TEMA 53. Relaciones métricas perpendicularidad, distancia, ángulos, áreas, volúmenes

Tema 53.Relaciones métricas: perpendicularidad, distancia, ángulos, áreas, volumen..
TEMA 53. Relaciones métricas: perpendicularidad,
distancia, ángulos, áreas, volúmenes…
1. Introducción
La Geometría desarrollada en la Grecia clásica sufre un cambio conceptual en el siglo XVII
de manos de matemáticos como Fermat y Descartes. A partir de este momento la
aritmetización de la geometría genera un nuevo enfoque que va a generar un gran avance en
esta rama matemática.
Por otro lado el concepto de vector y magnitud vectorial utilizado en los siglos XVI y XVII
por los físicos de la época se plasma en nuevos conceptos matemáticos, los espacios
vectoriales, si bien su definición axiomática no se plasma hasta el siglo XIX a manos de Cantor.
Las operaciones de espacios vectoriales más importante son el productos escalar, vectorial y
mixto permiten definir conceptos geométricos como ángulos, distancias, áreas, volúmenes...
2. Definiciones previas.
1) Se llama espacio afín a una terna A=(Π, V, ϕ) donde se cumple Π es un conjunto no
vacio de elementos denominados puntos; V un espacio vectorial y ϕ una aplicación que
relaciona vectores con puntos de la forma siguiente:
ϕ: ΠxΠ
P, Q
V
ϕ(P,Q)= PQ Cumpliéndose las propiedades:
1. ϕ(P,Q)=0
P=Q
2. ϕ(P,Q)+ ϕ(Q,R)= ϕ(P,R)
3. ∀ P∈Π y v∈V entonces ∃ Q∈Π: tal que ϕ(P,Q)=v
Los casos más importante son el Plano Afín, de dos dimensiones: A2=(Π2, ℝ2, ϕ) y el
Espacio Afín, de tres dimensiones: A3=(Π3, ℝ3, ϕ). Los puntos en el plano y espacio afín
pertenecen a los conjuntos Π2= ℝ‫ݔ‬ℝ y Π3= ℝ‫ݔ‬ℝxℝ.
Para describir el espacio afín se usan los sistemas de referencia ℛ={O, u1 , u 2 ,..., u n } siendo
O∈Π, un punto denominado origen y { u1 , u 2 ,..., u n } una base del espacio vectorial V. Así todo
vector v ∈ V se podrá expresar en función de la base de V: v = λ1·u1 + ... + λ n ·u n y todo punto
P a partir de las coordenadas del vector OP = P1·u1 + ... + Pn ·u n → P ( P1 , P2 ,..., Pn ) .
2) Dado un ℝ-Espacio vectorial, V, llamaremos producto escalar a una aplicación, f, que
actúa sobre VxV para llevar al cuerpo ℝ de la siguiente forma:
f: VxV
u, v
ℝ
f( u, v )= u·v (notación simplificada), cumpliéndose 4 axiomas:
-
Axioma 1 (Conmutativa): u·v = v·u
-
Axioma 2 (definida positivo): u · u >0 si u ≠0
-
Axioma 3 (distributiva): u· v + w = u·v + u·w
-
Axioma 4 (distributivo con el producto escalar): (α ·u )·v = α ·(u·v )
(
)
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)
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Ejemplo de productos escalares en V= ℝn, siendo v = ( x1 , x 2 ,..., x n ) y u = ( y1 , y 2 ,..., y n )
se define el producto escalar de la siguiente forma: u·v =
n
∑ x ·y
i
i
.
i =1
3) Dado un espacio Euclídeo con un producto escalar definido, llamaremos norma de V a
una aplicación que nos relaciona un vector de V con el cuerpo de la siguiente forma:
:V
ℝ
u = u·u (tiene sentido pues u·u ≥0).
u
Propiedades inmediatas (a partir del producto escalar):
1.
u ≥ 0 (pues u·u ≥0)
2.
u = 0 ↔ u = 0 : u = 0 : u·u = 0 ,  u = 0 entonces u·u = 0 (Ax2 u·= 0 )
3.
λ·u = λ · u : λ·u = (λ·u )·(λ·u ) = λ2 ·u·u = λ2 u → λ·u = λ · u
2
2
4. u ··v ≤ u · v (Desigualdad de Schwartz). Demostración:
Si v =0 o u =0 ( o los dos) entonces u · v = u · v =0
(
)(
)
2
2
Si v ≠0 y u ≠0: λ·u + v · λ·u + v = λ2 u + 2λ·u·v + v ≥ 0 , luego el discrimínate
(
)
2
2
es negativo (no soluciones reales): 2·u·v − 4· u · v
5.
2
< 0 → u·v < u · v
u + v ≤ u + v (Desigualdad de Minkouski). Demostración
2
(
)(
)
2
2
2
2
(
u + v = u + v · u + v = u + v + 2u·v ≤ u + v + 2 u · v = u + v
Ejemplo norma en V= ℝn, u =
)
2
n
∑x
2
i
.
i =1
4) Antes de definir el producto vectorial tenemos que introducir el concepto de
orientación. Dos bases de un espacio vectorial tienen misma orientación si el determinante de
los coeficientes de una base en función de la otra (matriz de cambio de base) es positivo.
Fijada una base otras dos bases misma orientación si las dos la misma orientación o las dos
diferente orientación respecto al base fijada.
El producto vectorial sólo definido en espacios V de dimensión 3. Sea { e1 , e2 , e3 } una base
de V, el producto vectorial de dos vectores a otro vector u × v = w cumpliendo:
a) Módulo: w = u × v = u · v sen (∠(u , v ) )
b)
c)
(u × v )·u = (u × v )·v = 0 (ortogonal a ambos vectores)
La orientación de (u , v , w )· es la misma que la base { e1 , e2 , e3 }
Propiedades inmediatas:
1. u × v = − v × u (si cambiamos una fila de la matriz el determinante cambia de signo)
2. u × (v + w ) = u × v + u × w (linealidad del determinante)
3. u × 0 = 0 (el módulo del vector nulo es cero)
4.
(λ·u ) × v = u × (λv ) = λ·(u × v ) (Una fila
proporcional y se puede sacar constante)
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El producto vectorial de los tres vectores de la base nos permite calcular el producto
vectorial de cualquier otro vector, poniendo estos en la base y aplicando la linealidad del
producto vectorial.
El producto vectorial del vector u = (u x , u y , u z ) = u x ·e x + u y ·e y + u z ·e z con el vector
v = (v x , v y , v z ) = v x ·e x + v y ·e y + v z ·e z es otro vector con las siguientes coordenadas:
ex
u × v = ux
ey
uy
vx
vy
ez
 uy
uz = 
 vy

v
uz
vz
e1 , −
ux
uz
vx
vz
e2 ,
ux
vx
z

e3 
v y 
uy
5) El producto mixto al igual que el vectorial se define en espacios vectoriales en tres
dimensiones. Se llama producto mixto de tres vectores al número real que resulta de
multiplicar escalarmente el primer vector por el producto vectorial de los otros dos.
[ ]: V3 x V3 x V3
ℝ
(
[ u , v, w ]= u· v × w
u , v, w
)
A partir de los módulos de los vectores y del ángulo entre ellos se calcular el valor del
producto mixto:
(
)
[ u , v, w ]= u· v × w = u · v × w cos( ∠(u , v × w ) = u · v · w ·sen (∠(v , w ))(cos( ∠(u , v × w )
ux
Analíticamente se calcula como: [ u , v, w ]= v x
uy
vy
uz
vz
wx
wy
wz
Propiedades (propiedades de los determinantes):
a) [ u , v, w ]=0 ↔ { u, v, w } son linealmente independientes.
b) [ u , v, w ]= [ w , u , v ] = [v , w , u ] =- [v , u , w ] = −[u , w , v ] = −[ w , v , u ]
c) [ λ·u , v, w ]=[ u, λ·v, w ]=[ u, v, λ·w ]=λ·[ u , v, w ]
d) [ u + u ', v, w ]=[ u , v, w ]+[ u ', v, w ]
3. Ángulos.
Se llama ángulo entre dos vectores u y v , ∠(u, v) , al que se obtiene de la expresión
u ·v
u ·v
siguiente: u·v = u · v ·cos( ∠(u , v )) . Por tanto el ángulo es: cos(∠(u , v ) ) =
Si dos vectores son ortogonales (producto escalar es nulo) entonces el ángulo ∠(u, v)
=90o=π/2 rad. Por desigualdad de Schuarzt se cumple − 1 ≤ cos(∠(u, v)) =
u·v
≤ 1.
u ·v
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3.1. Ángulo formado entre dos rectas.
Es el mismo que el ángulo de sus vectores directores, pues estos vectores son paralelos a
 u ·v
 u ·v

las rectas (Si es mayor de 90o se calcula el suplementario). ∠( r , s ) = ∠(u , v ) = cos −1 




Nota: Si las rectas se cruzan en ángulo es el que
forman las rectas paralelas secantes.
Casos particulares:
Paralelismo entre las dos rectas: se cumplen que los vectores directores son
proporcionales, u = λ·v o
ux uy uz
. Se cumple que u ·v = u · v .
=
=
vx v y vz
Perpendicular entre dos rectas: se cumple que u·v =0
3.2. Ángulos formados por una recta y el plano.
Para el estudio entre recta y plano necesitamos disponer de un vector que caracterice su
dirección. Para la recta utilizamos su vector director y para el plano el vector normal
(perpendicular a todos los vectores del plano). Sea r recta y vr su vector director y sea Π un
plano y nπ su vector normal, entonces se define el ángulo
formado por r y Π como:
 n ·v
∠(π , r ) = 90 − ∠(nπ , vr ) = 90 − cos −1  π r
 nπ · vr


 = sen −1  nπ ·vr

 n ·v

 π r
Casos particulares:
Paralelismo entre el plano y la recta: se cumple que no se cortan si los vectores vr y
nπ son perpendiculares y además ningún punto de la recta pertenece el plano:
vr · nπ =0, y P∈r pero P∉π.
La recta r contenida en el plano π: si los vectores vr y nπ son perpendiculares y
cualquier punto de r es también de π: vr · nπ =0, y P∈r y P∈π
La recta r es perpendicular al plano π si vr y nπ son paralelas, por tanto | vr · nπ |=
v r · nπ
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4




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3.3. Ángulos entre dos planos
El ángulo formado por dos planos π1 y π2 se calcula, por propiedades de los ángulos, como
el ángulo formado por dos vectores perpendiculares a los mismos planos, nπ 1 y nπ 2 . (Si sale
mayor de 90o se calcula el suplementario)
 nπ ·nπ
1
2
∠(π 1 , π 2 ) = ∠(nπ 1 , nπ 2 ) = cos −1 
 n ·n
 π1 π 2




Casos particulares:
Planos paralelos: se cumple que los vectores normales, nπ 1 y nπ 2 , serán también
paralelos y ningún punto de un plano es del otro ( nπ 1 ·nπ 2 = nπ 1 · nπ 2 y si P∈π1
entonces P∉π2).
Planos contenidos: los vectores normales, nπ 1 y nπ 2 son paralelos y cualquier
punto de un plano es también del otro ( nπ 1 ·nπ 2 = nπ 1 · nπ 2 y si P∈π1 entonces
P∈π2)
Planos perpendiculares: se cumple que sus vectores normales nπ 1 y nπ 2 son
perpendiculares entre sí, y por tanto nπ 1 · nπ 2 = 0
4. Distancias.
La distancia está relacionada con la norma de un vector, se cumple así que la distancia
ente dos puntos P y Q es igual a la norma del vector asociado PQ :
d ( P, Q) = PQ =
(Qx − Px )2 + (Q y − Py )2 + (Qz − Pz )2
4.1. Distancia entre un punto y una recta.
La distancia entre un punto P y una recta r será la distancia entre el
punto P y el punto P’ de la recta tal que cumpla PP ' es perpendicular a la
recta ( PP '·v r = 0 ). Para calcular la distancia podemos usar dos métodos.
Método 1( calculando el punto P’): La primera forma sería tomando un punto genérico de r
que vendría dado en función de t y formar el vector con P. Imponiendo la condición de que
este vector vr son perpendiculares se obtendría el valor de t y por tanto el punto P’.
Método 2: Utiliza la propiedad de que el módulo del producto vectorial es igual al área del
paralelogramo generado por los dos vectores (que veremos luego). Cogemos un punto de la
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recta Q y calculamos PQ × v r
que será el área del paralelogramo formado por ambos
vectores. Si a este número le dividimos por v r , base de la figura, el resultado es la altura del
paralelogramo es decir la distancia entre P y P’, o lo que es lo mismo la distancia de r a P.
d ( P, r ) = h =
PQ × v r
vr
Q
vr
Método 3 (Pitágoras): calculamos el cateto QP’ del triángulo rectángulo con hipotenusa
es PQ a partir de la proyección del vector PQ sobre v r . La distancia será el otro cateto que se
calcula por Pitágoras:
P
d(r,Q)=
Q
vr
P’
 PQ·v 

PQ − 

v


2
2
r
4.2. Distancia entre un punto P y un plano Π.
Sea P un punto y Π un plano en el espacio con n vector normal. Si P ∈ Π entonces d(P, Π) =
0. Si P
∉ Π entonces d(P, Π) coincide con d(P,P’) donde P’ es la proyección de P sobre Π. La
distancia es la proyección del vector QP , con Q punto del plano, sobre el vector normal nπ .
d(P,π)=
PQ·n
n
4.3. Distancia entre dos rectas.
Primero se tiene que estudiar la posición relativa de ambas rectas r1 y r2. Casos:
a) Si ambas rectas coinciden o son secantes entonces d(r1, r2)=0
b) Si ambas rectas son paralelas entonces d(r1, r2)=d(P, r2) donde P es un punto de r1
c) Si las rectas se cruzan: es igual a la distancia entre una recta (un punto de la misma) y
el plano que contiene a la otra recta y es paralela: d (r , s) = d (π , r2 ) = d (π , B) . Como
se cumple que n = vr × vs , un punto del plano será un punto de r, A. Aplicando el
cálculo de la distancia de un punto a un plano se obtiene la fórmula siguiente fórmula.
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d (r , s) =
(vr × v s )·( AB ) [v r , v s , AB ]
=
vr × vs
vr × vs
4.4. Distancia entre dos planos.
Tendremos que estudiar la posición relativa de los planos, así tenemos dos opciones:
a) Si los dos planos se cortan o son coincidentes la distancia es cero: d(
d(π1, π2)=0
b) Si los planos son paralelos la distancia es la misma que la distancia de un de los planos
a un punto del otro plano: d(
d(π1, π2)=d(P1, π2)=
P1 P2 ·n1
n1
4.5. Distancia entre un plano y una recta.
Al igual que en los otros dos apartados anteriores hay que estudiar previamente la
posición relativa:
a) Si la recta corta al plano o contenida la distancia será nula.
b) Si la recta paralela al plano ( v r ·nπ = 0) la distancia es la misma que la de un punto de
la recta, P, al plano, d(r,
d(r,π)=d(P,π).
5. Áreas.
Área de un paralelogramo: es igual al producto de la base por la altura. A=b·h
Dado un paralelogramo de vértices consecutivos A, B, C y D . El área del paralelogramo
vale Area= AB × AD . Demostración
Area= AB × AD = AD · AB sen(α ) = b·h
B
14243
C
h
h
A
Area= AB × AD
D
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Área de un triángulo: el área de un triángulo ABC es la mitad del área del paralelogramo
ABCD siendo D el vértice que se obtiene por el corte de la recta paralela a AB desde C y BC
desde A.
Area =
AB × BC
2
Área de un polígono: Para calcular el área de un polígono lo descomponemos en triángulo
independientes y sumamos las áreas de todos estos triángulos.
6. Volúmenes.
Volumen de un paralelepípedo: es igual el área de la base por la altura del
paralelepípedo. Si los vértices A, B, C y D son cuatro vértices no coplanarios del paralelepípedo
se cumple que el volumen es igual al valor absoluto del producto mixto: V = [ AB, AC , AD] .
Demostración:
Sean u = AB , v = AC , w = AD
El módulo de v × w es el área de la base, y
la dirección perpendicular a la base,
formando un ángulo α con u :
α
h
[u, v, w] = A
base
· u ·cos(α ) = Abase ·h
V = [ AB, AC , AD]
Volumen de una pirámide base cuadrangular: el volumen de la pirámide es 1/3 del
volumen de un paralelepípedo de misma base y misma altura. Así se puede calcular como:
V =
1
[ AB, AC , AD]
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Volumen de un tetraedro: un tetraedro es una pirámide de base triangular, luego el
volumen será la mitad del volumen de la pirámide anterior, y por tanto 1/6 del paralelepípedo:
V =
1
[ AB, AC , AD ]
6
7. Conclusiones.
Para el cálculo de todas las relaciones métricas anteriores es necesario haber desarrollado
con anterioridad el producto escalar, vectorial y producto mixto.
Las nociones desarrolladas
as en este tema se encuentran en el currículo de Matemáticas II
en 2º de Bachillerato.
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