Módulo 4 G2

Funciones crecientes y
decrecientes. Máximos y
mínimos
Módulo 4
Cálculo 1
2023-1
Videoconferencia 05
Temario
Funciones crecientes y decrecientes en un intervalo.
Puntos críticos, extremos relativos y absolutos.
Cálculo de máximos y mínimos locales de una función.
Criterio de la primera derivada.
Motivación
Distribución de productos
Para distribuir sus productos de belleza, una
empresa necesita elaborar cajas rectangulares
menos costosas de 1000 𝑐𝑚3 cuyo largo es tres
veces el ancho. Si el material para la parte inferior
cuesta S/. 0.7 por 𝑐𝑚2 , los lados cuestan S/. 0.5
por 𝑐𝑚2 y la parte superior cuesta S/. 0.2 por
𝑐𝑚2 . Determinar las dimensiones de la caja.
Adaptado de
http://www.opentextbookstore.com/calc/3_5.pdf
Saberes previos
La función decrece en el intervalo de <-2;2>
V
F
La derivada de la función solo es positiva en
el intervalo de <2;+ ∞>
V
F
El punto más bajo de la gráfica es para x=2
V
F
Para x=-2; x=2, la pendiente de la recta
tangente es cero.
V
F
Logro de aprendizaje
Al
finalizar
la
sesión
el
estudiante
encuentra los máximos y mínimos relativos
de una función, determinando sus puntos
críticos y los intervalos de crecimiento y
decrecimiento, haciendo correcto uso del
criterio de la primera derivada de una
función.
Fuente: Freepik
Funciones crecientes y decrecientes en un intervalo
Función creciente
Sea f una función definida sobre un intervalo y sean x1 y x2 dos puntos de este intervalo.
Se dice que f es creciente sobre el intervalo si:
x1 < x2 entonces f (x1 ) < f (x2 )
y
y = f(x)
crece
f (x2)
f (x1)
X1
crece
X2
x
Funciones crecientes y decrecientes en un intervalo
Función decreciente
Sea f una función definida sobre un intervalo y sean x1 y x2 dos puntos de este intervalo.
Se dice que f es decreciente sobre el intervalo si:
x1 < x2 entonces f (x1 ) > f (x2 )
y
f (x1)
y = f(x)
decrece
f (x2)
x
X1
crece
X2
Funciones crecientes y decrecientes en un intervalo
Teorema 1: Sea la función 𝑦 = 𝑓 (𝑥) continua en [𝑎, 𝑏] y diferenciable en 𝑎; 𝑏 .
a)
Si 𝒇’(𝒙) < 𝟎, para todo x[a, b] entonces 𝒇 es decreciente en 𝑎; 𝑏
b) Si 𝒇’(𝒙) = 𝟎, para todo x[a, b] entonces 𝒇 es constante en 𝑎; 𝑏
c)
Si 𝒇’(𝒙) > 𝟎, para todo x[a, b] entonces 𝒇 es creciente en 𝑎; 𝑏
constante
f'(x) < 0
f'(x) =0
f'(x) > 0
Puntos críticos, extremos relativos y absolutos
Valor máximo relativo
La función 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥1 , si existe un
intervalo abierto 𝐼, donde 𝑥1 está contenido y 𝑓 definida,
tal que se cumple 𝒇 𝒙𝟏 ≥ 𝒇 𝒙 , ∀𝑥 ∈ 𝐼.
Valor mínimo relativo
La función 𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥0 , si existe un
intervalo abierto 𝐼, donde 𝑥0 está contenido y 𝑓 definida,
tal que se cumple 𝒇 𝒙𝟎 ≤ 𝒇 𝒙 , ∀𝑥 ∈ 𝐼.
Extremos relativos y absolutos
Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una
función continua 𝑓 sobre un intervalo cerrado [𝑎; 𝑏]:
1. Reemplace los números críticos en la función f.
2. Reemplace los extremos del intervalo en la función 𝑓.
3. El valor más grande de los obtenidos en los pasos 1 y 2 es el
valor máximo absoluto; el mas pequeño es el valor mínimo
absoluto.
Máximo global: El mayor de todos los máximos en todo
el dominio de la función.
Mínimo global: El menor de todos los mínimos en todo
el dominio de la función.
Puntos críticos de una función
Sea 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), 𝑥0 es un número crítico de 𝑓, si
𝑓′(𝑥0 ) = 0 o 𝑓′(𝑥0 ) no existe
Al par ordenado (𝑥0 ; 𝑓 𝑥0 ), donde 𝑥0 es un
número crítico, se le denomina punto crítico de
una función 𝑓.
Puntos críticos de una función
Ejemplo 1: Encuentre los puntos críticos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 1
Puntos críticos de una función
Ejemplo 2: Halle los puntos críticos de la función
𝑔(𝑥) = 3𝑥 2 𝑥 − 5
1/3
Puntos críticos de una función
Criterio de la primera derivada
Sea c un punto crítico de una función f definida en un intervalo abierto < a, b> que contiene a c. Si f
es derivable en ese intervalo, entonces f (c) puede clasificarse así:
Si f’(c) cambia de signo de
negativo a positivo al pasar
por un punto crítico entonces
f(c) es un mínimo relativo.
(-)
(+)
Si f’(c) cambia de signo de
positivo a negativo al pasar
por un punto crítico entonces
f(c) es un máximo relativo.
f ' (b)  0
f ' (a)  0
a
(+)
(-)
(+)
f ' (a) 0
Si f ‘(c) no cambia de signo al
pasar por un punto crítico,
entonces f(c) no es máximo
ni mínimo relativo.
b
mínimo relativo
f ' (b)  0
f ' (a)  0
f ' (b)  0
c
(+)
a
c
máximo relativo
b
a
c
b
Ni máximo ni mínimo
Criterio de la primera derivada
f ´(d)
A partir del gráfico responda:
y
❑ ¿Cuáles son los puntos
críticos?
❑ ¿En qué punto no existe
derivada?
❑ ¿En qué punto no hay
extremos relativos?
f ´> 0
f ´(b) = 0
f ´< 0
f ´< 0
f ´< 0
f ´> 0
f ´(e) = 0
f ´(c) = 0
f ´(a) = 0
f ´> 0
❑ Indique los máximos y
mínimos relativos
f ´< 0
a
b
c
d
g
x
e
f ´(g) = 0
Criterio de la primera derivada
Ejemplo 3: Determinar los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 −2 utilizando el criterio de la primera derivada.
Solución:
Derivando, simplificando y factorizando:
f´(x) =
2 ( x 2 + 1) ( x − 1)( x + 1)
x3
Hallando los números críticos
Hacemos: 𝒇′(𝒙) = 𝟎
Se tiene: 𝑥 =  1, 0; pero 0 no está en el dominio de f
;
x0
Criterio de la primera derivada
Criterio de la primera derivada
-  x -1
-1  x  0
0x1
1x
Valor prueba
x =-2
x = -1/2
x = 1/2
x=2
Signo de f ´(x)
f ´(-2)  0
f ´(-1/2)  0
f ´(1/2) 0
f ´(2)0
Intervalo
Conclusión
f´(x) =
decreciente
2 ( x 2 + 1) ( x − 1)( x + 1)
x3
;
creciente
decreciente
x0
Mínimo relativo
-
2
-1
Mínimo relativo
0
1
+
creciente
Criterio de la primera derivada
Ejemplo 4: Determine los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función en base a su
representación gráfica.
Criterio de la primera derivada
Ejemplo 5: Determine los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función en base a su
representación gráfica.
Criterio de la primera derivada
Criterio de la primera derivada
Ejemplo 6: Determinar los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
utilizando el criterio de la primera derivada.
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2
Criterio de la primera derivada
Ejemplo 7: Determinar los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3 2/3 utilizando el criterio de la primera derivada.
Solución a la Motivación
Distribución de productos
Para distribuir sus productos de belleza, una
empresa necesita elaborar cajas rectangulares
menos costosas de 1000 𝑐𝑚3 cuyo largo es tres
veces el ancho. Si el material para la parte inferior
cuesta S/. 0.7 por 𝑐𝑚2 , los lados cuestan S/. 0.5
por 𝑐𝑚2 y la parte superior cuesta S/. 0.2 por
𝑐𝑚2 . Determinar las dimensiones de la caja.
Adaptado de
http://www.opentextbookstore.com/calc/3_5.pdf
Solución a la Motivación
Consideremos las dimensiones de la caja
𝑥: ancho
y: largo
z: alto
𝑧
Nuestra función Costo sería:
𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑥
𝑦
𝐶 = 0.7(á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) + 0.5 𝑠𝑢𝑚𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 + 0.2(á𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
𝐶 = 0.7𝑥𝑦 + 0.5 2𝑦𝑧 + 2𝑥𝑧 + 0.2𝑥𝑦
Además, el volumen es de:
𝑥𝑦𝑧 = 1000
𝐶 = 0.9𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧
Recuerden que el largo es tres veces el ancho:
𝑦 = 3𝑥
𝑥(3𝑥)𝑧 = 1000
𝑧 = 1000/3𝑥 2
𝐶 = 0.9𝑥(3𝑥) + (3𝑥)𝑧 + 𝑥𝑧
𝐶=
2.7𝑥 2
+ 4𝑥𝑧
1000 𝑐𝑚3
Reemplazamos en la función costo y reducimos:
𝐶=
2.7𝑥 2
4000
+
3𝑥
Solución a la Motivación
Derivamos la función costo:
𝐶 ′ 𝑥 = 5.4𝑥 −
4000
3𝑥 2
Que se define en todas partes excepto x = 0 (lo que produce una caja de volumen 0).
Determinamos el punto critico igualando a cero la derivada y despejando el valor de x
3
𝑥=
4000
≈ 6.27
16.2
Observamos que la función a la izquierda del punto critico es decreciente y a la derecha es creciente, por tanto existe
un valor mínimo relativo (El costo es mínimo). Por tanto, las dimensiones de la caja serán:
Ancho: 𝑥 = 6.27 𝑐𝑚
𝑧
𝑦
𝑥
Largo: 𝑦 = 3 6.27 = 18.81 𝑐𝑚
Alto: 𝑧 = 3
1000
6.27 2
= 8.48 𝑐𝑚
Conclusiones
1.
Dada la función continua en el intervalo 𝐼 = 𝑎; 𝑏 y diferenciable en el intervalo abierto 𝑎; 𝑏 .
Si 𝑓 ′ 𝑥0 > 0 para 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , entonces 𝑓 es creciente en 𝐼.
Si 𝑓 ′ 𝑥0 < 0 para 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , entonces 𝑓 es decreciente en 𝐼.
Si 𝑓 ′ 𝑥0 = 0 para 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , entonces 𝑓 es constante en 𝐼.
Fuente: https://respuestas.tips/wpcontent/uploads/2018/12/5-7.jpg
2.
Sea 𝑥0 en el dominio de 𝑓, si 𝑓 ′ 𝑥0 = 0 o 𝑓 ′ 𝑥0 no existe, entonces 𝑥0 es un número crítico de 𝑓.
3.
Sea 𝑥0 un número crítico de 𝑓, que es continua en el intervalo abierto 𝐼, tal que 𝑥0 ∈ 𝐼, si 𝑓 es derivable en el intervalo,
excepto posiblemente en 𝑥0 , entonces:
Si el signo de la derivada de 𝑓, cambia de negativa a positiva en 𝑥0 , entonces 𝑓 tiene un mínimo relativo en (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )).
Si el signo de la derivada de 𝑓, cambia de positiva a negativa en 𝑥0 , entonces 𝑓 tiene un máximo relativo en (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )).
Si el signo de la derivada de 𝑓, no cambia en ambos lados de 𝑥0 , entonces 𝑓 no tiene extremos relativos en (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )).
Logro de aprendizaje
Al
finalizar
la
sesión
el
estudiante
encuentra los máximos y mínimos relativos
de una función, determinando sus puntos
críticos y los intervalos de crecimiento y
decrecimiento, haciendo correcto uso del
criterio de la primera derivada de una
función.
Fuente: Freepik
Referencias bibliográficas
1. Leithold, L. (1994). El Cálculo. Mexico: Oxford University Press.
2. Purcell, V. R. (2007). Cálculo. México: Prentice Hall INC.
3. Ron Larson, B. E. (2010). Cálculo 1 de una variable. México: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA
EDITORES, S.A. DE C.V.
4. Stwart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (Vol. Séptima Edición). Mexico
DF: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.
Fuente: https://ulcerasfora.sergas.gal/Informacion/PublishingImages/190/Bibliograf%C3%ADa.png
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