1 Cuantificadores 1. Simbolice los siguientes enunciados usando los cuantificadores adecuados: a) Todo número entero es racional. b) Ningún número imaginario es irracional. c) La suma de dos números naturales siempre conmuta. d) Ningún triángulo es escaleno, a menos que no sea isoángulo. e) Para que un grupo sea campo se necesita que sea anillo. f) Un conjunto contable puede no ser finito. g) El producto de dos funciones discontinuas puede ser continua. h) Existen números naturales que son el producto de dos irracionales diferentes. i) Existe un único número entero par que es primo. j) Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una recta paralela a la primera. √ n k) No todo número algebraico positivo es de la forma b, con n natural y b racional positivo. l) Un animal es mamı́fero solamente si es vertebrado. 2. Sean R el universo del discurso, A, B ⊆ R y a, b ∈ R. Traduzca los siguientes enunciados al lenguaje ordinario: a) ∀x ∈ A, x < b. b) ¬∃x ∈ A tal que x > b. c) ∀x ∈ A, x ∈ B. d) (∃x ∈ A)(x ∈ / B). e) (∀x ∈ B)(b ≤ x). f) (∀x ∈ A)(x ∈ B) ∧ (∃x ∈ B)(x ∈ / A). g) a ∈ A y ∀x ∈ A, a ≤ x. h) a ∈ A ∧ (∀x ∈ A)(x = a). i) (∀x ∈ A)(∀y ∈ B)(x > y). j) no ∃x ∈ A tal que x < b y ∃y > b tal que ∀x ∈ A, y ≤ x. 3. Sean R el universo del discurso, S, T ⊆ R y a, b ∈ R. Traduzca los siguientes enunciados al lenguaje simbólico, usando cuantificadores: a) Cada elemento de S es mayor que b. b) Ningún elemento de T es menor que a. c) S es un subconjunto de T. d) S no está contenido en T. e) b es una cota superior de S. f) S está contenido estrictamente en T. g) a es el mayor elemento de S. h) b es el único elemento de S. i) Todo elemento de S es menor que cualquier elemento de T. j) b es una cota superior de S, pero no es la menor de ellas. 2 Teorı́a de Números. Inducción Matemática. 1. Pruebe o refute: a) Si k, m, n ∈ Z+ , entonces k|mn ⇒ k|m ó k|n. b) Si n ∈ Z+ , entonces 3n2 + 5 ∈ Q. 2n2 + 3n − 14 c) Si n ∈ Z, 12|n y 18|n, entonces 216|n. d) Si n ∈ Z, 12|n y 18|n, entonces 36|n. e) Si m, n ∈ Z, 12|m y 18|n, entonces 216|mn. f) Si m, n ∈ Z, 12|n y 18|n, entonces 36|mn. g) Si k, i, j, m, n ∈ Z, k > 0, i ≡ j (mod k) y m ≡ n (mod k): i) i + m ≡ j + n (mod k). ii) im ≡ jn (mod k). h) Si j, k, m, n ∈ Z, m, n > 0, j ≡ k (mod m) y j ≡ k (mod n): i) j ≡ k (mod mn). ii) Si m y n son primos diferentes, entonces j ≡ k (mod mn). i) Si n ∈ Z y 3 no divide á n, entonces n2 ≡ 1 (mod 3). j) Si m, n ∈ Z+ , m|n2 y m ≤ n, entonces m|n. k) Si n ∈ Z, entonces n2 − n + 3 es impar. l) ∀m ∈ Z, con m > 2, m2 − 4 es compuesto. m) ∀m, n ∈ Z, si m − n es par, entonces m3 − n3 es par. n) Si x, y ∈ R, entonces bx − yc = bxc − byc. o) Si x, y ∈ R, entonces dx − ye = dxe − dye. p) Si m ∈ Z y x ∈ R, entonces bmxc = mbxc. q) Si x, y ∈ R: bxyc = bxcbyc si y sólo si x, y ∈ Z. r) Si x, y ∈ R y bxc < byc, entonces x < y. s) Si x, y ∈ R y x < y, entonces bxc ≤ byc. t) Si x, y ∈ R y dxe > dye, entonces x > y. u) Si x, y ∈ R Y bxc < dye, entonces x ≤ y. 2. Demuestre las siguientes propiedades: a) Si n ∈ Z: n es primo√ si y sólo si n > 1 y ∀r, s ∈ Z+ , si n = rs, entonces r = 1 ó s = 1. + b) Si n ∈ Z , entonces 18n2 + 12n + 2 ∈ / Q. c) Si n ∈ Z: n es primo si y sólo si n > 1 y ∀r ∈ Z+ , si r|n, entonces r = 1 ó r = n. d) Si n ∈ Z+ , entonces (2n + 1)2 + 4n ∈ / Z. 6 e) Si n ∈ Z, no es cierto que n2 ≡ 2 (mod 5). f) Si a, b ∈ R y bac < bbc, entonces a < b. g) Si x, r ∈ R y r > 0, entonces: i) |x| < r ⇔ −r < x < r. ii) |x| > r ⇔ x < −r ó x > r. h) Si r, s ∈ Q, con r < s, ∃q ∈ Q tal que r < q < s. i) La diferencia de los cuadrados de cualquier par de enteros consecutivos es impar. j) ∀x ∈ R, si b4xc es par y 4 no divide á b4xc, entonces b4xc = 4bxc + 2. k) ∀x ∈ R, si b3xc = 6 3bxc + 2, entonces 3|b3xc ó b3xc ≡ 1 (mod 3). l) Si n ∈ Z, 4|n y 8 no divide á n, entonces n ≡ 4 (mod 8). m) Si n ∈ Z+ , entonces 3n2 + 5 ∈ Q. n2 − 8 n) Si x ∈ R: x ∈ / Z si y sólo si bxc < dxe si y sólo si bxc = dxe − 1. o) Si n ∈ Z y 3 - n, entonces 3|n − 1 ó 3|n + 1. p) Si m, n ∈ Z, 6|m y 15|n, entonces 9|m2 + n2 . q) Si n ∈ Z, 2|n y 4 - n, entonces n ≡ 2 (mod 4). r) ∃!k ∈ Z tal que k y k+1 son primos.
