Clasificación de los grupos de Dedekind
Elisa Pacheco Bertomeu
Diciembre 2021
1
Introducción
En la teorı́a de grupos, un grupo de Dedekind es tal que todos sus subgrupos
son normales. Llevan el nombre de Richard Dedekind que los investigó en 1897.
Los grupos de Dedekind no abelianos, los denominó grupos Hamiltonianos en
honor a William Rowan Hamilton, el descubridor de los grupos cuaterniones.
Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916) y Reinhold Baer(1902-1972)
fueron dos matemáticos alemanes que descubrieron y demostraron qué estructura tiene un grupo de Dedekind.
2
Definiciones y resultados previos
Definición 1 G es un grupo de Dedekind si todos sos subgrupos son normales.
Nota 1 Si G es un grupo abeliano, G es de dedekind.
Definición 2 G es un grupo Hamilitoniano si es de Dedekind y no abeliano.
Ejemplo 1 Q8 es un grupo Hamiltoniano.
Nota 2
1) Sea G un grupo tal que todos sus grupos cı́clicos son normales,
entonces G es un grupo de Dedekind.
Demostración: Si G es abeliano, por la nota anterior G es de Dedekind.
Supongamos ahora que G no es abeliano y sea H ≤ G. Consideramos
h ∈ H y el subgrupo < h >≤ G. Como G es un grupo Hamiltoniano se
tiene que < h >⊴ G. Sea g ∈ G, hg ∈< h > ∀g ∈ G. Además < h >≤ H
∀h ∈ H. Luego, hg ∈< h >≤ H. Lo que implica que hg ∈ H ∀g ∈ G, es
decir H ⊴ G.
□
2) Sea G un grupo de Dedekind y H ≤ G, entonces H es un grupo de
Dedekind.
3) Sea G un grupo de Dedekind y N ⊴ G, entonces G/N es de Dedekind.
Demostración: Sea K ≤ G/N . Por el Teorema de correspondecia ∃H ≤
G, tal que N ≤ H, de manera que K = H/N . Además como G es un
1
grupo de Dedekind, H ⊴ G y otra vez por el Teorema de correspondecia
H/N ⊴ G/N . Luego G/N es un grupo de Dedekind.
□
4) Si G1 y G2 son grupos de Dedekind, en general G1 ×G2 no es de Dedekind.
(Ejemplo: El subgrupo diagonal de Q8 × Q8 no es normal).
Veamos ahroa que si G es un grupo de Dedekind, entonces G es nilpotente
con c(G) ≤ 2.
Para ello vamos a definir la serie central inferior de un grupo G.
Definición 3 Se define la serie central inferior de un grupo G como:
G = γ1 (G) ≥ γ2 (G) ≥ ... ≥ γi (G) ≥ γi+1 (G) ≥ ...
tal que [γi (G), G] = γi+1 (G), lo que implica γi (G)/ ≥ γi + 1 ≥ Z(G/γi+1 (G)).
Ejemplo 2 Serie central inferior de D4 :
γ1 (D4 ) = D4 , γ2 (D4 ) = [D4 , D4 ] = D4′ = Z(D4 ), γ3 (D4 ) = [Z(D4 ), D4 ] = 1
Luego D4 tiene la siguiente serie central inferior:
D4 ⊴ Z(D4 ) ⊴ 1
Proposición 1 G es un grupo nilpotente, si, y solo si, ∃c ≥ 1 tal que γc (G) = 1.
Demostración: Supongamos que G es nilpotente. Entonces ∃{Gi }ni=0 tales
que Gi ⊴ G ∀i = 0, ..n y
G = G0 ≥ ... ≥ Gn = 1
tal que Gi /Gi+1 ≤ Z(G/Gi ). Veamos por inducción que γi (G) ≤ Gi−1 . Observamos que para i = 1 tenemos γ1 (G) = G ≥ G0 = G.Por lo que se satisface la
desigualdad.
Supongamos ahora que se cumple γi (G) ≥ Gi−1 . Veamos que γi+1 ≤ Gi
también se cumple.
γi+1 (G) = [γi (G), G] ≤ [Gi−1 , G] ≤ Gi
En particular se cumple para i = n, luego γn+1 ≤ Gn = 1. En consecuencia
γn+1 = 1.
La longitud de la cadena de la serie central inferior de G coincide con la clase
de nilpotencia de G.
□
Lema 1 Sea G un grupo de Dedekind, entonces G es nilpotente y c(G) ≥ 2
2
Demostración: Si G es abeliano, entonces G es nilpotente y c(G) = 1.
Supongamos ahora que G es Hamiltoniano y sea x ∈ G, entonces < x >⊴ G
y NG (< x >) = G. Sabemos que dado un grupo G y H ≤ G, entonces CG (H) ⊴
NG (H) y además NG (H)/CG (H) ≲ Aut(H). Luego en estas condiciones tenemos que G/CG (< x >) ≲ Aut(H). Como < x > es cı́clico, Aut(< x >) es
abeliano, entonces G/CG (< x >) es abeliano. Sabemos que G′ es el menor
subgrupo normal de G tal que G/G′ es abeliano, entonces G′ ≤ CG (< x >). En
general esto es cierto ∀x ∈ G, luego G′ ≤ ∩x∈G CG (< x >) ∩x∈G CG (x) = Z(G).
Consideramos los términos de la serie central inferior de G: γ1 = G, γ2 (G) =
[G, G] = G′ , γ3 (G) = [G′ , G] = 1 ya que G′ ≤ Z(G). Por lo que G presenta la
siguiente cadena central inferior:
G ⊵ G′ ⊵ 1
con c(G) = 2.
□
Observación: Notemos que si G es un grupo Hamiltoniano, todos sus subgrupos son normales, en particular sus subgrupos de Sylow lo son, lo que implica
que G sea nilpotente.
Ejemplo 3 Serie central inferior de Q8 : γ1 (Q8 ) = Q8 , γ2 (Q8 ) = Q′8 = Z(Q8 ),
γ3 (Q8 ) = [Z(Q8 ), Q8 ] = 1 con lo que nos queda la siguiente cadena central
inferior:
Q8 ⊵ Z(Q8 ) ⊵ 1
Proposición 2 Si [x, y] ∈ Z(< x, y >), entonces [xm , y] = [x, y]m = [x, y m ]
Demostración: Observamos que para m = 0, 1 el resultado se cumple. Supongamos que es cierto para m, veamos si las igualdades se cumplen para m + 1.
[xm+1 , y] = xm+1 yx−(m+1) y −1 = (xxm )y(x−m x−1) y −1 = xxm yx−m (y −1 y)x−1 y −1
= x(xm yx−m y −1 )yx−1 y −1 = x[xm , y]yx−1 y −1 y por HI [xm , y] = cm . Además
como c conmuta con x e y, [xm+1 , y] = cm+1 . Análogamente se prueba que
[x, y m ] = [x, y]m .
□
Proposición 3 Sea G un grupo nilpotente de clase 2, entonces se cumple la
siguiente identidad:
m
(xy)m = xm y m [x, y]( 2 )
Demostración: Lo demostramos por inducción sobre m. Para m = 1 es
trivial:
1
(xy) = xy[x, y](2)
m−1
Supongamos que se cumple (xy)(m−1) = x(m−1) y (m−1) [x, y]( 2 ) , veamos si
m
se cumple (xy)m = xm y m [x, y]( 2 ) .
Por la hipótesis de inducción y el hecho de que [x, y] está en el centro de
m−1
G, obtenemos que (xy)(m) = (xy)(m−1) (xy) = x(m−1) y (m−1) [x, y]( 2 ) xy =
3
m
x(m−1) y (m−1) xy[x, y]( 2 ) . Ahora por la proposición anterior [y (m−1) , x] = [y, x](m−1) ,
luego y (m−1) x = xy (m−1) [y, x](m−1) . Sustituyendo queda:
m−1
m−1
(xy)m = x(m−1) xy (m−1) [x, y](m−1) y[y, x]( 2 ) = xm y m [y, x]( 2 )+(m−1)
m−1
. Sabemos que m
+ m−1
= m−1
+ (m − 1).
2 =
2
1
2
Por tanto se cumple que
m
(xy)m = xm y m [y, x]( 2 )
como querı́amos probar.
□
Teorema 1 (Teorema chino del Resto)
Supongamos n1 , n2 , ..., nk ∈ N tales que son coprimos dos a dos. Entonces
para enteros dados a1 , a2 , ..., ak , existe un entero x que resuelve el sistema de
congruencias simultáneas:
x ≡ a1(modn1 )
x ≡ a2(modn2 )
..
.
x
3
≡
ak(modnk )
Teorema (Dedekind, Baer)
Teorema 2 Todos los subrgupos de un grupo G son normales si, y solo si, G
es abeliano o G = Q8 × E × O, donde E es un grupo 2-elemental abeliano y O
un grupo abeliano con elementos de orden impar.
Demostración: Supongamos que G es un grupo no abeliano tal que todos
sus subgrupos son normales, es decir: ∀H ≤ G, H ⊴ G.
Sean x, y ∈ G tales que xy ̸= yx, es decir, [x, y] ̸= 1 y definimos c = [x, y].
Ahora consideramos los subgrupos < x >, < y > de G. Por hipótesis
< x >, < y >⊴ G.
Además como c = [x, y] = xyx−1 y −1 , c ∈< x > y c ∈< y > lo que implica
que c ∈< x > ∩ < y >. Entonces existen a, b ∈ Z con a, b ̸= 0, 1 tales que
c = xa y c = y b .
Definimos Q =< x, y >. Como c conmuta con los generadores de Q por ser
potencia de estos, entonces c ∈ Z(Q).
Por otro lado por la Nota 2, Q es un grupo de Dedekind, en particular
Hamiltoniano por lo que por el Lema 1 es un grupo nilpotente y c(Q) = 2
Entonces por la Proposición 2, ca = [x, y]a = [xa , y] = [c, y] = 1, luego
o(c) < ∞, lo que implica que o(x) < ∞ y o(y) < ∞. En consecuencia Q tiene
orden finito (en el caso de que G fuera finito, Q lo serı́a y omitirı́amos este paso).
Sea |x| = m y |y| = m. Supongamos que x e y son tales que m + n es el
mı́nimo que satisface c ̸= 1.
4
Sea p primo, veamos que o(c) = p . Supongamos que p|m = o(x), entonces
por la condición de minimalidad cp = [xp , y] = 1. Luego o(c)|p, y como c ̸= 1,
o(c) = p. Lo que implica que o(x) e o(y) son potencias de p ya que como
c ∈< x > ∩ < y >, | < c > | = o(c) debe dividir a | < x > | = o(x) y a
| < y > | = o(y).
r
Como c es potencia de x y de y, existen ciertos k, l, r, s ∈ Z tales que xkp =
s
c = y lp y [k, p] = 1 = [l, p].
Ahora hay ciertos k ′ , l′ tales que kk ′ ≡ 1 mod p y ll′ ≡ 1 mod p. Sustituyendo
r
s
x por x′ e y por y ′ tenemos xp = c = y p (r, s > 0).
Luego o(x) = pr+1 y o(y) = ps+1 .
Veamos ahora que p = 2.
r−s
Supongamos sin pérdida de generalidad que r ≥ s y definimos y1 = x−p y.
r−s
r−s
r−s
r−s
Notemos que [x, y1 ] = xy1 x−1 y1−1 = xx−p yx−1 y −1 xp
= x−p cxp
= c.
Por la condición de minimalidad se debe satisfacer que o(y1 ) ≥ o(y) = ps+1 .
Aplicando el resultado de la Proposición 3 y la Propsición 2 , tenemos que
s s
s
ps
r
s
r−s p (p −1)
r−s
s
r−s
s
s
r−s
=
y1p = (x−p y)p = (x−p )p y p [y, x−p ]( 2 ) = x−p y p [y, x−p ] 2
r
s
−pr (ps −1)
−
pr (ps −1)
pr (ps −1)
2
2
=c 2
x−p y p [y, x]
= c−1 cc−1
s
pr (ps −1)
lo que implicarı́a que y1p = 1 y o(y1 ) ≤ ps .
Si p es impar, p divide a
2
Necesariamente p = 2 y 2r−1 (ps − 1) debe de ser impar, luego r = 1. Como
r ≥ s, s = 1.
Nos queda que o(x) = 22 = o(y) y x2 = c = y 2 por lo que
Q =< x, y|x4 = 1, x2 = y 2 >
. Veamos que xy = x−1 . Como < x >⊴ G, xy ∈< x > y o(xy ) = o(x) = 4,
entonces xy ∈ {x, x3 }. Si xy = x, c = 1. Necesariamente xy = x3 = x−1 .
Concluimos que como
Q =< x, y|x4 = 1, x2 = y 2 , xy = x−1 >
y Q no es abeliano, luego Q = Q8 .
Sea C = CG (Q) = {g ∈ G, gx = xg∀x ∈ Q}. Veamos que G = CQ.
Por reducción al absurdo, supongamos que existe g ∈ G \ CQ, g no conmuta
ni con x ni con y. Como o(y) = 4 y < y >⊴ G, y g ∈ y, y 3 . Pero y g ̸= y ya que
g no conmuta con y, luego y g = y 3 = y −1 . Por lo que gx conmuta con y, pero
no puede conmutar con x. Podemos comprobar que gxy conmuta con x e y,
luego gxy ∈ C, entonces g ∈ CQ. Pero no puede ser por lo que hemos supuesto
anteriormente. Por lo tanto G = CQ.
Veamos que C no tiene elementos de orden 4. Sea g ∈ C tal que o(g) = 4.
Como [x, gy] = xgyx−1 (gy)−1 = xgyx−1 g −1 y −1 = [x, y] ya que g ∈ C. Sabemos
que [x, gy] ̸= 1 razonando como al principio de la demostración, gy es de orden
finito, y consecuentemente g. Luego G tiene todos sus elementos de orden
finito(En el caso de que G fuera finito lo omitirı́amos). También sabemos que
(gy)4 = 1 y que < gy >⊴ G. Lo que implica que (gy)x = (gy)− 1.
Entonces por una parte tenemos [x, gy] = [x, y] = xyx−1 y −1 = y x y −1 =
−2
y
y [x, gy] = xgyx−1 y −1 y −1 = (gy)x (gy)−1 = (gy)−1 (gy)−1 = (gy)−1 =
5
g −2 y −2 . Como g −2 y −2 = y −2 y o(g) = o(g −1 ) concluimos que o(g) = 2. Lo
que contradice la hipótesis inicial. Consecuentemente C no tiene elementos de
orden 4.
Hemos probado que los elementos en C con orden impar conmutan entre
si,en general en un grupo Hamiltoniano, todos sus elementos de orden impar
son centrales. Entonces estos elementos de C forman un grupo abeliano que
llamaremos O. El resto de elementos de orden potencia de 2 forman un grupo
2-elemental abeliano E1 y C = E1 × O.
Por eso G = CQ = (QE1 ) × O. Como E1 es elemental abeliano, podemos
escribir E1 = (Q ∩ E1 ) × E, para algún subgrupo de E1 E.
Por lo tanto G = QE1 × O = QE × O = Q × E × O.
Supongamos ahora que G = Q8 × E × O. Veamos que G es de Dedekind.
Notamos que G no es abeliano ya que contiene a Q8 . Por la Nota 2 es suficiente
probar que todos sus subgrupos cı́clicos son normales. Sea g1 , g2 ∈ G entonces
existen x1 , x2 ∈ Q8 , y1 , y2 ∈ E y z1 , z2 ∈ O tales que g1 = (x1 , y1 , z1 ) y
g2 = (x2 , y2 , z2 ). Tenemos que g1g2 = (xx1 2 , y1y2 , z1z2 ) = (xx1 2 , y1 , z1 ). Sabemos
x2
que xx1 2 ∈ {x1 , x−1
1 } ya que Q8 es de Dedekind y o(x1 ) = o(x1 ) = 4. Si
g2
x2
x1 = x1 , entonces g1 = g1 ∈< g1 >, luego < g1 >⊴ G. Supongamos ahora
g2
−1
que xx1 2 = x−1
1 , entonces g1 = x1 y1 z1 . Notemos que mcd(o(z1 ), 4) = 1 por
ser o(z1 ) impar. Por el Teorema 1, existe n ∈ N tal que n ≡ 3(mod4) y n ≡
1(mod(o(z1 )) . Lo que implica que n = 4k + 3 = o(z1 )l + 1 para ciertos k, l ∈
3
Z. Como y1 ∈ E, o(y1 ) ≤ 2, entonces g1g2 = (x−1
1 , y1 , z1 ) = (x1 , y1 , z1 ) =
4k+3 4k+3 lo(z1 )+1
n n n
n
(x1
, y1
,z
) = (x1 , y1 , z1 ) = g1 ∈< g1 >. Como se satisface ∀g2 ∈
G, < g >⊴ G. Hemos probado que todos los subgrupos cı́clicos de G son
normales, luego G es de Dedekind.
□
References
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