SEMANA 1
TEORÍA DE EXPONENTES
ECUACIÓN DE 1º GRADO
1.
E
Efectuar:
31
E 27
36
A) 3
D) 1
B) 6
E) 0
21
4
*
3
22
A) 8
D) 2
1
* 362
* 22
1
6
C) 4
6 2
9 3
1
2
23
23
E
1
4
3
1
8
3
1
2
23
23
E 8
RPTA.: D
3 82 4
RPTA.: C
Simplificar:
2
5
4
3
E 27 27 3 2 3
A)
2
3
3
2
B)
D) 3
0,2
4.
1
625
C) 2
* 27
* 3
4
2
3
5
3
1
3
3
27
1
27
E
2
1
9
5
1
243
1
625
4
B) 22
E) 25
C) 23
1
4
1
9
1
2
1
4
2
625 9 4²
RPTA.: D
0,2
27 1 6
243
243
32
0,2
0,2
2
5 10
3
2
3
2
5.
Para n ; n 2
el equivalente de la expresión
n²
n
a a² a³...a
será:
A) a
RPTA.: B
Calcule:
1
0,250,5
5 + 3 + 16 = 24
1
2
1
E
9 243 81
32
E
243
1
9
1
42
RESOLUCIÓN
1
81
0,2
1
16
A) 21
D) 24
E) 1
* 27
Efectuar:
0,5
RESOLUCIÓN
3.
B) 6
E) 5
0, 6
3
4
20 ,6
RESOLUCIÓN
E 1 1
2.
3
2
1
C) 2
RESOLUCIÓN
1
1
* 27 3
3
1
4
3
0, 125
3
D)
n
n
5
a a³ a ...a
B) a²
a
E)
RESOLUCIÓN
n
2n1
a
C) 0
n3
n
n² nn1
a 2
n
a2 b2
P 1
1
a b
n 3
n2 nn1
n 3
n n2
n
2
a
a
a
n n 3
a 2
n
n 3
1
a2
a
C)
48 factores
A
3
x
3
x
x
44 factores
A) x6
D) x7
B) x9
E) x7
A
x
48
x
44
x
x3
9.
2
1
b a
2
Simplificar:
14a 14b
2 b 14a 2 a 14b
A) 14a+b
D)
x 1
20
4
22x 2
14
2
; si: a + b = ab
B) 14
C) 7
ab
E) 7a+b
x 2
B) 3
E) 6
RESOLUCIÓN
C) 4
M
x
20x 20
4x 42 4x 41
x
5x 5
14a 14b
2 14a1 14b1
14a 14b
2 141 14a 14b
1
1
7
M 7
M
RESOLUCIÓN
x
20x 20
4x 20
RPTA.: D
Si:
2
RPTA.: E
RPTA.: E
8.
b a
PQ
A x7
A) 2
D) 5
a b
1
M
x
D)
2
1
ab
ab
ab
1
y Q
ba
ab b a
ab
1
PQ
b a ab b a
x18
A 11
x
Efectuar:
B)
P
C) x4
x16
A 11 x2
x
7.
1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
3
a b
E)
x 3
1 ; x 0
x... x x
x...3 x
x
1
ba
ab
A)
Efectuar:
3
a1 b1
y Q 2
b2
a
Halle P . Q, siendo b > a > 0
RPTA.: D
6.
1
RPTA.: C
10.
Si: a+b = 2ab ; {a;b}
-{0;1}
1 1
a b
Reducir:
x
y
A)
a
a
1
b
x
b
2a
2b
RESOLUCIÓN
y
1
y
a
b
1 1
a b
x
y
x1 y1
1
1
b
y
y
12.
1
1
2 1
b
11.
Resolver
5
5
y
5
5
x2
Calcule:
E x 4x
1
2
B)
Elevando
m. a.m.
x 2
x 2
x2
5
1
2
5 e indicar
E x
5
E)
2 x 1
1
4
C) 2
x
x
cuadrado
el dato
1
x
2x
1
C)
5
B) 5
5
5
22 x 2 2
4x
2
4x
2 x
4x
2
xx
Luego: E x
x 1
al
E x
D)
y
E) 5
RESOLUCIÓN
el valor de: x1
1
A)
5
y
2
D) 4
x
y
1
x
Si: x
A)
RPTA.: A
x 1
RPTA.: B
1 1
2
a b
1 1
2
1
2 2 1
a b
b
b
x
y
5
1
b
(*) a + b = 2ab
1
2
5
x 1 5
1
1
b
x
y
y
y
y 5
x
y
1
1
b
y
1
E) 1
1
a
y
y
RESOLUCIÓN
1 1
a b
1
y
x
Cambio de variable:
x
C)
y
y
x
B)
y
D)
x
x
x
4x2
x
1
2
4x
Ex
1
4
2
E = x²
2
1
1
E
2
2
1
5
RPTA.: A
13.
Calcule “x” en:
21 23 x
21 23 x
2123 x
x
xx
30
x27 60 x 51
60
x54 60 x51
A) 27
D)
21
3
B)
3
E)
3
9
C)
9
3
RPTA.: E
15.
n
n
Luego:
A) 236
D) 128
21 2 3 x
2 x
3
Si: 52x = 2(10x) 4x
n 21
21 n 21
5 2
n 21
x
2
2 x n 21.............()
2
3 n
x
n n 21
Solo se verifica para: n = 27
E
2 1
E
33
2x 0 5x 2x
1
2
2
1
16
4
1
E
16
16.
Reducir:
3
3
x² x 4 x7
3
B) x 4
A) x
D) x
1
2
2
RPTA.: B
RPTA.: C
5
2 5x 2x 0
E = 16² = 256
x 93
14.
C) 512
Reemplazando:
2 3 n n 21
27
2
x4
x=0
n
x
x
5
() en ():
x 2
B) 256
E) 0
RESOLUCIÓN
n
3
x 21
Calcule: E
n x n x n.......()
23 x
x7
7
Trabajando con cada miembro.
x
x105
x4
20
RESOLUCIÓN
xx
4
60
E) x
RESOLUCIÓN
4
1
x6
x
x²
Resolver:
1
3
2
2
3
1
0
x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
5
3
2
5
D)
2
A)
5
C) x 4
B)
2
5
E) 4,5
7
4
RESOLUCIÓN
C)
2
3
1
3
2
1
3
3
x x 1 x 3 x 5 x 1 x 4
RESOLUCIÓN
d ax
d bx
d cx
x
x
x
bc
ac
ab
2 2x 5
3 2x 5
2x 5
2
2
2
x 5x x 5x 6 x 5x 4
1
2
3
2
2
2x 5 2
0
x 5x x 5x 6 x 5x 4
0
2x 5 0
5
x
2
RPTA.: D
17.
d
x0
abc
d ax bx cx d bx ax cx
bc
ac
d cx ax bx d ax bx cx
0
ab
abc
1
1
1
1
d a b c x
0
b
c
a
c
a
b
a
b
c
0
d = (a + b + c) x
Halle el conjunto de solución de la
ecuación en “x”.
a
b
x a x b x ; a 0 ;
b
a
A)
B) {a}
D) {a + b} E) {a b}
x
b0
C) {b}
RPTA.: C
19.
Multiplicando por “ab”.
a²x a³ + b²x + b³ = ab x
A)
(a² + ab + b²)x = a³ b³
3
2
C)
2
3
E) 1
Recordando que:
RPTA.: E
Resolver en “x”; {a; b; c; d} R
ax + b = 0 tiene
soluciones, si y solo si:
+
a=0
d ax d bx d cx
d
4x
bc
ac
ab
abc
E)
B)
RESOLUCIÓN
Cs = {a b}
d
abc
1
4
D) 3
(a²+ab+b²)x = (ab)(a²ab+b²)
x=ab
C)
admite
infinitas soluciones.
a² (x a) + b² (x + b) = ab x
A) 1
Calcule a + b sabiendo que la
ecuación
en
“x”
ax 1 x 2
x2
b
4
RESOLUCIÓN
18.
d
abc
B) d
D)
a 2b 3c
d
infinitas
b=0
a
1 x 1
x x20
b
b 4 2
a 1
1 1
b 4 1 x b 2 2 0
a 1
1
b 4
a 5
b 4
5 3 2
2
1
1
2
b
2
4
5 9 8
1
3
b 2
6
22
RPTA.: A
SEMANA 2
b
2
3
ab
POLINOMIOS – V.N. - GRADOS
5
6
a
21.
9
3
6
2
RPTA.: B
20.
A) 1
D) 4
Resolver la ecuación
x 2
3 5
x 3
2 5
x 5
2 3
3
x
x
3
3
x
5
5
2
B) 25
D) 5 3
E) 7 5
T.I. = P(o) = nn
coef = P(1) = (1 + 2 + n)n
2
4
2n . nn = (3 + n)n
2n = 3 + n n = 3
RPTA.: C
22.
1
x 3
2 5
Calcule “m” si la expresión:
M x
C) 3 2
m
x
m
x²
m
x³
m
xm
se transforma a una expresión
algebraica racional entera de 5to
grado.
RESOLUCIÓN
3 5
C) 3
6
A) 22
x 2
B) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
luego indique el valor de:
2
Sea el polinomio:
P(X) = (xn1 + 2xn2 + n)n, si 2n
veces su término independiente es
igual
a
la
suma
de
sus
coeficientes, entonces “n” es:
A) 8
D) 11
1
B) 9
E) 12
C) 10
RESOLUCIÓN
x 5
2 3
1 0
1
x 2 3 5
3 5
M x
1
2 5
0
x
2 3 5
Pero nos piden:
0
2 3
1
m
M X x
123....m
x
m1
2
m
m1
m
2
x
x5
m=9
RPTA.: B
23.
Calcule “n” para que el monomio
sea de 2º grado.
M x
xn2
A) 4
D) 8
3
xn
x
x
x2n3
2
2
25.
4
A) 0
D) 3
2
4
B) 5
E) 9
M x
x
x
2n 4
2
RPTA.: A
x
2
4
x10n4
x4n8
26.
en donde:
G.Rx G.Ry = 3 G.A(P) = 13
Calcule: a + b
A) 6
D) 11
RPTA.: A
a
b
c
ab bc ac
Halle el grado absoluto de:
Si:
ab2 c2
RESOLUCIÓN
G. RX = a + 3
G. Ry = b 2
a + b = 12
2
B) 4
E) 8
27.
C) 5
G.A(P) = a+b+1
Sea P(x) un polinomio lineal tal
que verifica la relación
P P x P6X 9x 21
Para todo valor de “x”. Halle P(4)
A) 17
D) 32
9a² 8ac 8bc
.....
a b ² c²
de la condición:
a
b
c
k
ab bc ac
B) 18
E) 33
C) 19
RESOLUCIÓN
Propiedad de proporciones:
abc
1
2 a b c 2
C) 8
RPTA.: E
RESOLUCIÓN
El G.A. =
B) 7
E) 12
x9a y8ac z8bc
transformable a una E.A.R.E.
A) 3
D) 7
Del siguiente polinomio
P(x; y) = 7xa+3yb2z6a+5xa+2yb3za+b
M(x) = x6n 22 = x2 6n 22 = 2
E x;y;z
C) 2
E = 3² 3(3) + 1 + 1 3 + 1
E=0
n=4
24.
B) 1
E) 7
RESOLUCIÓN
C) 6
RESOLUCIÓN
3n6 2n3
Si: P(x+5) = x² 3x + 1
Calcule: E = P(8) + P(6)
a
1
abck
ab 2
Lo reemplazamos en “”
9a² 8a² 8a² 25a²
G.A.
5
4a² a²
5a²
RPTA.: C
Sea P(x) = ax + b P(6X) = 6ax + b
P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b
Luego:
a²x + ab + b 6ax b = 9x+21
(a² 6a)x + ab = 9x + 21
a² 6a = 9 ab = 21
(a3)² = 0
a=3
3b = 21
b=7
Entonces: P(x) = 3x + 7
P(4) = 3(4) + 7 = 19
RPTA.: C
28.
Calcule “n”, si
monomio es 6.
M x;y;z;w
A) 12
D) 11
4
el
G.A.
x2n4
3
z2n3
y2n
5
w16
5
B) 13
E) 10
30.
del
Además P(P(x)) es independiente
de “x”. Calcule “n”
C) 14
B) 8
D) 8
E) 5
P p x
2n 4 2n 3 2n 16
6
4
3
5
5
n
2
1 x n 8
n 8 x 65
46n = 552
n² 16n + 64
64n² + 16n + 1 = 0
RPTA.: A
Calcule “n” si el monomio es de
A) 1
1
D)
2
x
n
x2
B) 3
1
E)
3
3
x
C) 2
31.
M x x
2n
x²
8n
1n=
8n
1
27x 52
1
8
RPTA.: C
Si: P P P x
Calcule: P(1)
RESOLUCIÓN
6n
A) 1
D) 5
x
1 1 1
n 6n
M x x 2
B) 4
E) 1
C) 4
RESOLUCIÓN
Como
es
P P P x
lineal,
1 1 1
4
2 n 6n
entonces: P(x) es lineal. Luego
3n + 6 + 1 = 24n
P(x) = ax + b
1
8
46n = 360 + 192
30n 60 + 40n + 60 24n 192 = 360
4to. grado M x
C)
como es independiente de “x” se
cumple:
n² 1 n 8
65n² + 65 =
n8
65
n = 12
29.
A) 1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
G.A. =
nx 1
Si: P x
x8
27x + 52 = a³ + a²b + ab + b
7 = 21n
n=
P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b
1
3
a=3
b=4
P(x) = 3x + 4
RPTA.: E
P(1) = 3 + 4 = 1
RPTA.: E
34.
32.
Halle la suma de los valores de
“n” que hacen que la expresión:
n
1
Px 2xn3 73 x x7n 6 sea
3
racional entera.
A) 7
D) 12
B) 8
E) 13
A) 0
D) 729
n
3
n3n=3
n=3
RPTA.: E
7n 0
n7
35.
n=6
de "n" 9
Sabiendo que:
P x;y 5xm2yn²5
B) 3
E) 13
C) 5
Por ser ordenado y completo:
a = 3; b = 2 y c = 1
2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17
Calcule “m” si el polinomio
2n
P x 7xn
8n
6x
n
n1
5x2n2
xn1 ... xm²m3
RESOLUCIÓN
C) 15
RPTA.: A
36.
A) 1
D) 8
B) 13
E) 18
RESOLUCIÓN
Q x;y
2xn5ym4
son semejantes. Calcule el menor
valor de m + n.
Si el polinomio en “x” e “y”
P(x, y) = 5xa + 3xbyc + 2xcyb + ya
es
homogéneo
ordenado
y
completo respecto de “x” e “y”.
Calcule: 2a + b + 3c
A) 17
D) 16
RPTA.: C
33.
C) 728
P(x)= (x+1)³ P(1)=0 P(P(1)) = 1
P(1) = (2)³ = 8
P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729
P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730
n=6
B) 3
E) 730
RESOLUCIÓN
C) 9
RESOLUCIÓN
n30
Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1
Calcule: P(P(1)) + P(P(1))
Si: P(x; y) Q(x; y)
es completo y ordenado; en forma
ascendente; de 4nn términos.
m 2 = n + 5 m n = 7 ....()
n² + 5 = m+4 n²m = 1 ...()
+ : n² n 6= 0
n = 3 n = 2
A) 4
D) 7
B) 5
E) 8
RESOLUCIÓN
Es
ordenado
ascendente:
Luego:
n=3
m = 10
n = 2
m=5
menos: m + n = 3
RPTA.: B
C) 6
en
forma
n2n 8n = 0 n = 2
Luego:
Px 7x0 6x 5x² x³ ...xm³m3
El número de términos es:
P(x) = (3x 1)n+5x + 1; además
la suma de coeficientes es 70.
m² m + 3 + 1
m² m + 4 = 4nn
m² m + 4 = 16
m² m 12 = 0
m=4
Calcule el valor de:
A) 6
D) 12
RPTA.: A
37.
Halle a y b en la identidad:
b4ax7 bby8 abx7 aay8
B)
1
1
y
2
4
E) 0 y 1
C)
RPTA.: C
40.
aa = bb
a b ...
ab = b4a b = 2a
RPTA.: C
Siendo: P(xn + 1) = x 1
7
Halle: “n”, si: P(3) =
8
Dado el polinomio mónico
P(x) = 5x4 7ax5 + (n2)x74x 1
Calcule el valor de: nn
A) 1
D) 25
1
1
a=
b
4
2
38.
2n = 64 n = 6
10 6 4
RESOLUCIÓN
b
a
C) 4
RESOLUCIÓN
coef P 1 2n 5 1 70
1 1
y
2 3
1
D) 1 y
4
A) 1 y 3
B) 5
E) 3
10 n
B) 4
E) 16
C) 27
RESOLUCIÓN
Por ser mónico y de una variable
“x” (coeficiente principal = 1)
(n 2) = 1 n = 3
Luego nos piden: nn = 33 = 27
RPTA.: C
A)
1
3
D)
1
2
1
E)
3
B)
2
3
1
2
C)
PRODUCTOS NOTABLES
41.
RESOLUCIÓN
n
SEMANA 3
Si
x2 y2
3x y , halle
y
x
4
n
x +1=3x =2x=
n
2
xy yx
W x y x 0, y 0
x
y
Luego:
P(3) =
2 1
7
8
2
D) 2
1
n
Sea P(x) un polinomio
4
E) 16
C) 4
2
1 / 2
RESOLUCIÓN
x3 y3 3xy x y
RPTA.: E
39.
3
B) 2
A) 16
1
2 23
8
1
n
3
n
n
x y3 3xyx y 3xyx y
x y3 0
4
RESOLUCIÓN
xx xx
x y W x x 16
x
x
x y z
3
6
3
6
6
1
12
12
Si a a 1 , halle W a a
x 6y
3
3
6
6
6
2
A)256
D)322
B)306
E)196
C) 343
=
=
=
=
=
1
3
7
343
322
Si
8
45.
Si
z ab c
Halle:
W
A) mnp
B)1
C) mnp
D) m n p
x2yz xy 2z xyz 2
b c ac a ba b ca b c
1
E) 2
A)
8
mn 0 m n
8
mp 0 m p
8
pm 0 p m
W
4
93 xyz x y z
, x, y, z R 0
W
xy xz yz
1
B) 32
E) 8
1
abc
C) 18
xyz x y z
1
xyz a b c
x+y+z=a+b+c
x 6 y 6 z 0, halle
A) 16
D) 16
D)
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
6
B) b c a
E) 1
w=1
Si:
x
y
C) 2y z
RESOLUCIÓN
44.
x bca
y c ab
m4n n2p 1
m4m p2n 1
m, np R
93 xyz x y z
2
4
m n 8 m p 8 p m 0,
Halle W
yz 93 xyz
3
9 xyz x y z
W
24 16
93 xyz x y z
2
RPTA.: D
RPTA.: D
43.
z
2
6
xy xz yz
RESOLUCIÓN
a² 2 + a2
a² + a2
a4 + a4
a12 + a12 + 3(7)
a12 + a12
36 xyz
z
x 3 xy z y
x y z 3 xyz
x y z 2 xy xy
RPTA.: A
42.
3
6
RPTA.: E
46.
W
Simplificar:
5
4
8 2 1
4
A) 343
8
4
8
2 1
B) 4 2
2 1
C) 32 2
D) 8 2
D 2 12 1 22 1
E) 32
2 12 1 2
2
RESOLUCIÓN
24 8 2
2
f
4
f
4
2 1
2 1
8
2 1
n
2
1
8
f 2f 2
8
N 2
1
D 28
5
W 2
W4 2
1 24 1
4
2
2
3
N 1 22 1 22 1
22
2
N
22 22 28
1
.
.
.
8 2 1
8
24 8
2
22
2
2N3
D
1
.
.
.
RPTA.: B
2256 1
Si xy 1 3 x 1y, halle
47.
N 32 2256 28
x y 4 3x2y2
W
2 2
4
x
y
A)11
D)4
B)7
E)8
RPTA.: E
C)-6
49.
RESOLUCIÓN
x y
3
y x
x2 y2 3xy
x2 2xy y2 5xy
25x²y² 3x²y²
4x²y²
W
Simplificar:
32
2
n3
1 3 22 1 24 1 28 1 ... 2128 1
1 2 1 22 1 24 1 28 1 ...n fact
A) 0,5
D) 0,25
B)2
E)1
B)2
D) 2 7
E) 2 3
C)3
2 7
2 7
28
W
1
33 1
27
3 3
3 3
1
W3 2 33
W
27
W3 2 W
W3 W 2 W 1
RPTA.: A
RPTA.:B
48.
A)1
W3 1
x y 5xy
x y4 25x2y2
w
3
RESOLUCIÓN
2
1
2 7 3
2 7
1
3 3
3 3
Operar: W
C)4
50.
Si ab
1
ac bc
Halle: W
1
1
1 ,
a 1b 1c 1 ,
a 1b 1c 1
a, b, c 0
RESOLUCIÓN
A)1
B)-1
C)2
D)
1
abc
52.
E) 21
2
x
a b c abc 0
abc ac bc c ab a b 1
W
1
abc ac bc c ab a b 1
ab bc ac 1
1
ab bc ac 1
B) 0
E) 4096
x
D) a
2
2
C) 211
4
2048
4
1024
8
2048
8
2048
2048
2
2
1 ² 1 x2048 ² 2
1024
Halle: x1 y1 z1 , x, y, z 0
1
W = x² 1 ² x² 1 ² x 1 ²...
x 1 ² 1 x ² 2
W = x 1 ² x 1 ²...
x 1 ² 1 x ² 2
W = x 1 ² x 1 ²....
x 1 ² 1 x ² 2
1 ² x
1 ² 2
W = x
1024
4
Si 1 a1x a y 1 a1z a x y z ,
B) a
2
x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x4 1 ²...
1024
RPTA.:B
A)a
RESOLUCIÓN
W=
51.
2
1 1 x2048
A)1
D)-2
a b c abc
2
1024
1
1
1
1
ab ac bc
W=
W x 1 x 1 x2 1 x4 1 ...
RESOLUCIÓN
Simplificar:
1
C) a
E)1
2048
W = 2
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
x
z
1 a a y 1 a a x y z
a xa y a z a a x y z
2
a3 a2 x y z axy xz yz xyz
a3 a2 x y z
axy xz yz xyz
xy xz yz
1
xyz
a
1 1 1
a1
z y x
x 1 y 1 z 1 a1
53.
Si n a b c 4ab bc ac
4
a
2
b2 c2 ab ac bc
a 2 b 2 c2 8
y:
Halle: n, a b c
A) 2 2
B)
D)4
E)8
2
2
C)2
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
a2 b2 c2 x
ab bc ac y
n x 2y 4yx y
n x2 4xy 4y2 4xy 4y2
2
n x²
n a2 b2 c2
a
2
n
a
2
2
2 2
2
b c
() β
8
a b c a b c 2 2abcc b a
RPTA.: E
a b c a b c 4abca b c
Operar:
a b c
W a b c a b c 6ba c b
a b c 2ab 2ac 2bc
Si: b = 0,5
2
2 2
2
2
54.
b2 c2 a4 b4 c4 2 a2b2 a2c2 b2c2 ...( )
4
4
2 2
2
4
4
4
2
3
3
2
D)
B)2
1
16
E) 16
C)
2 2
2
2
2
A)1
4
1
4
Ε
3
4
2
a
2
a
2
2
2
b2 c 2
2
b2 c 2 2ab ac bc
1
0
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
a+c=n
W n b n b 6b n2 b2
3
3
W n3 3n2b 3nb2 b3 n3 3n2b 3nb2 b3
2
56.
¿Cuál es el intervalo de valores de
“”, de modo que la ecuación
2x2 2(1) x 8 0,
3
6bn 6b
W 8b3
tenga
raíces de distinto signo?
3
1
W 8 1
2
A)
RPTA.: A
1
,
2
C) ;2
E)
55.
2
B) 2;
D) 6;2
8;
Si a1 b 1 c 1 0; a, b c 0,
RESOLUCIÓN
Halle:
2 1
x2
x 4 0 0
2
E
a4 b 4 c 4 4abca b c
A) 4abc
D)2
a b c4
B)4abc
E)abc
2
2 1
16 0 , como c<0, se
2
C)1
RESOLUCIÓN
1 1 1
0
a b c
bc ac ab2 02
b2c2 a2c2 a2b2 2abc2 2ab2c 2a2bc 0
b2c2 a2c2 a2b2 2abc c b a...()
Además:
presentan 2 posibilidades:
2 1
1
0 2 1 0
2
2
2 1
1
ii) b 0
0 2a 1 0
2
2
i) b 0
En este caso una respuesta seria
1
1
x ;
;
2
2
RPTA.:A
57.
Los valores de “x” que satisfacen
la ecuación:
2x 13
x 3 x 6
tiene la propiedad que su suma
es:
A)-14
D)-2
B)-7
E)7
C)-9
entonces 2b2 9ac
RESOLUCIÓN
2x 13 x 3 2 x 3x 6 x 6
4 2 x2 9x 18
4 x2 9x 18
0 x2 9x 14
0 x 7x 2
I. Si la suma de sus raíces es igual
a
su
producto,
entonces
b+c=0.
II. Si una raíz es la negativa de la
otra, entonces b=0.
III. Si una raíz es doble de la otra,
x= -7No cumple
A) Las
3
afirmaciones
son
verdaderas.
B) Solo I y II son verdaderas.
C) Solo I y III son verdaderas.
D) Solo II y III son verdaderas.
E) Solo II es verdadera.
x=-2 Si cumple
Únicamente
ecuación.
(-2)
satisface
la
RPTA.: D
58.
Sea A la suma de las raíces de
ax bx c 0 y B la suma de las
2
raíces a
x 12 bx 1 c 0 ,
entonces B-A es:
A)-2
D)1
B)-1
E)2
C)0
RESOLUCIÓN
S
b
c
; P
a
a
I. x1 x 2 x1.x 2
b c
bc 0
a a
II. x1 x 2 , pero x1 x 2
x2 x2
b
a
b
a
RESOLUCIÓN
0
b
c
b
x 0S
a
a
a
2
ax 2ax a bx b c 0
ax 2 2a bx a b c 0
0 b (V)
x2
2a b
a b c
x2
x
0
a
a
2a b
S
a
b b
B A 2 2
a a
RPTA.: A
59.
(V)
En la ecuación cuadrática:
ax2 bx c 0 afirmamos:
b
a
b
2x 2 x 2
a
b
3x 2
a
III. x1 2x 2 x1 x 2
x2
x2
2
b
3a
b
3a
b2
2
x2 2
9a
...........................(1)
2
b
a
Luego: x1.x 2
x 22
c
a
2x2 x2
c
a
2x 22
c
a
SEMANA 4
DIVISIBILIDAD
COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACIÓN I
61.
c
...........................(2)
2a
(2) toma el valor de 5?
De (1) y (2)
b²
c
9a² 2a
2b² = 9ac
RPTA.: A
60.
2x 2 m 1x 3 n 0
B) 4x2 4x 3
C) 4x2 4x 3
D) 4x2 4x 2
RESOLUCIÓN
3x 3nx m 2 0
Sea este Polinomio
Px 4x2 ax b :
2
Son equivalentes, para
m n R, calcule n.
B)15
A) 4x2 4x 3
E) 4x2 4x 2
Si las ecuaciones cuadráticas:
23
A)
5
11
D)
9
¿Cuál
será
aquel
polinomio
cuadrático de coeficiente principal
4, capaz de ser divisible por
2x 1 y que al ser evaluado en
Por condición:
4x2 ax b 2x 1 .q'x
2
1
1
4
a
b 0
2
2
-a+2b=-2.............................(1)
15
C)
7
E) 9
Además:
4x2 ax b (x 2)q''x 5
RESOLUCIÓN
2 m1 3n
3
3n
m2
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5
2a+b = 11 .........................(2)
De: 2(1)+(2)
2m 4 9 3n 6n 3m 3
13 3n
m
2
: 5b=-15b=-3
En (2) :2a=-8a=-4
Conclusión: Px 4x2 4x 3
13 3n
6n 3
3
2
RPTA.: C
62.
39 9n
3
2
12n 39 9n 6
15
n
7
6n
RPTA. C
¿Para qué
polinomio:
x
2
y2 z2
valor
x
2
de
“m”
y2 z2 mx2 yz
es divisible por (x+y+z)?
A) 4
D) -8
el
B) 2
E) -4
C) 1
RESOLUCIÓN
Px a c (b c)x a bx 2 6x 3 2x 4
En la base a la identidad:
x
2
2
2
2
2
2
x y z q'x,y,z
A) -2
D) -1360
Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando:
(1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0
-8=2mm=-4
Px x 1q'x R 1 0
Px x 1q' 'x R 2 0
Px x 3q' ' 'x R 3 0
Empleando Ruffini ( tres veces)
-2
Resulte ser divisible por x a
2
A) P q
2
D) P.q 1
1
C) P q
B) P q
2
3
-2
-1
E) P q2
RESOLUCIÓN
3
a2 3ap
-a a2
1 -a (a2 3p) 3ap 2q a3
-a
-a
2a2
2
1 -2a 3a 3P
2
Si: 3a 3P 0
-2
-8
a+b-8
-8
-6
-6
(c+a)
a+2b+c-8
(a+b-8) (a+2b+c-81) 2(a+b+c-4)
6
-a-b+2
R1
(a+b-2)
b+c-6
R2
-36
a+b-38
Si: a+b+c-4=0a+b+c=4
b+c-6=0 b+c=6
a+b-38=0a+b=38
en (1) c=-34
en (2) b=40
Luego: abc=2720.
R1 0
RPTA.: E
R1 0
a2 P a2
65.
3
P3
Reemplazando en: R1 0
a q
3 2
Si el Polinomio:
Px x3 6x2 11x 6; es
3a3 2q a3 0 a3 q
2
Conclusión: P3 q2.
divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c)
indistintamente.
¿Cuál será el residuo de:
RPTA.: A
64.
(b+c)
R3
2q
-a
(a+b)
-2 -12
Aplicando dos veces ruffini bajo el
principio de divisibilidad.
0 -3P
-6
+2
1
1
C) 40
Por Teorema de divisibilidad
Busque la relación que debe
existir entre “p” y“q” a fin de que
el polinomio:
Px x3 3px 2q
3
B) -34
E) 2720
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
63.
es divisible por x 3 x 2 1
y z x y z mx yz
2
Determine “abc” sabiendo que el
polinomio :
Px
x a1b 1 b 1c 1 c 1a1
A) 0
C) ab + bc + ca
D) ab + cb + ca
B)1
D) 1
?
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Al ser divisible indistintamente lo
será también por el producto es
decir:
Acondicionando el divisor:
3
Px (x a)(x b)(x c) q(x)
x3 6x2 11x 6 3er grado
Uno
1
Sabiendo que el cociente de la
división
De donde:
a+b +c =6
ab +bc + cd= 11
abc= 6
x 30 y m
; consta de 10
xn y2
términos.
Determine el valor de: mn
Se pide:
P x
1
1
1
x
ab bc ca
P x
c a b
x
abc
P x
A) 60
D) 600
x 1
Evaluando en x=1: R P1 0
20
C) 3
B) 8000
E) 8
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
Por condición:
30 m
10
n
2
¿Cuál será aquella división notable
que
genere
al
cociente
35
3 1
RPTA.: C
x3 6x2 11x 6
x3 a b c x2 ab bc cax abc 68.
a
2
1001001
(monico)
66.
10
109 1
103 1
103
103 1
103 1
n=3
m=20
a30 a25 ... a5 1 .
Luego: 20³ = 8000
a 1
A)
a1
RPTA.: B
a 1
B) 5
a 1
36
40
69.
a 1
a5 1
40
C)
Por principio teórico de signo y
variación de exponente de 5 en 5,
es la B.
RPTA.: B
Encuentre
10
9
el
valor
1 999
A) 1000001
C) 1001001
E) 1
x 1
sabiendo que
x 1
T10 T50 T100 x 236
cociente de :
RESOLUCIÓN
67.
Se desea conocer de cuántos
términos
está
constituido
el
B) 1010101
D) 0
de:
A) 396
D) 236
B) 133
E) 131
C) 132
RESOLUCIÓN
x 1
x1 x2 x3 ...xk ... 1
x 1
T2
T3
Tk
T10 x 10
x10 .x50 .x100 x236
71.
x6n1 1
; n N . Entre x 1; se
x 1
T50 x 50
obtiene un nuevo cociente que al
T100 x 100 x3160 x236
De donde:
Después de dividir el cociente de
ser
dividido
por
x
2
x 1
obtendremos como residuo.
3 160 236
3 396
132
A) 0
D) x-1
Luego: # términos=132+1=133
B) -x
E) 1
C) x+1
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
P
70.
x y
x3 yP
Si la división indicada:
genera
un
cociente
notable.
Averigüe al término antepenúltimo
A) x 2y9
B) x6 y324
C) x36 y360
D) 0
Efectuando la división notable
432
x6n 1
x6n1 x6n2 x6n3 x2 x 1
x 1
Luego en:
x6n1 x6n2 x6n3 ... x2 x 1
x 1
Aplicando Ruffini
E) x6 y314
Existen “6n” términos
RESOLUCIÓN
Si la división indicada es notable,
debe cumplir que:
P 432
3
P
P2 3.432
1
1
-1
1
0
-1
Existen “6n-1” términos
P2 3.33.24 P 32.22 36
Luego:
1 ... 1 1 1
0 -1
-1
1 0 ... 0 1 0
qx x6n2 x6n4 x6n6 ... x4 x2 1
y
y
x3
x36 y432
x3 y36
x3
12
1
36
36
12
Finalmente en:
1
qx x2 x 1
Según el teorema del residuo
Si: x2 x 1 x
Que al evaluarlo en este valor
R q 2 1 0
T1 T2 ... T10 T11 T12
antepenúltimo
Cero
Tantep T10 x3
1210
y
36
10 1
x6 y324
RPTA.: B
72.
RPTA.: A
Factor Primo de:
Q a,b 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc
será:
A) 1+c
D) 1+bc
B) 1+b
E) 1+abc
C) 1+ab
75.
RESOLUCIÓN
Asociando:
Qa,b 1 b c bc a1 b c bc
Extrayendo factor común
A) m-n-P
C) m-n+P
E) mn+nP+Pn
Qa,b 1 b c bc 1 a
Qa,b 1 b c1 b 1 a
Qa,b 1 c 1 b 1 a
Mediante la distribución
segundo y tercer término:
RPTA.: B
¿Cuántos
factores
primos
binómicos admite el polinomio;
n2
Px X
n
x x x x 1;n N.
A) 1
D) n
3
2
el
Asociando:
m n P nP n2 p2 m(n3 p3)
3
…......
n P…......
n P …......
2
n P n np P2
(n-P) m3 n2P nP2 mn² mnP mP2
RESOLUCIÓN
Asociando de 2 en 2:
Px xn.x2 xn x3 x2 x 1
Px xn (x2 1) x(x2 1) (x2 1)
…
…......
….....
en
m3 n P n3P n3m P3m P3n
B) 2
C) 3
E) ninguno
n
Px (x 1) x x 1
2
B) m+n-P
D) m+n+P
RESOLUCIÓN
Constante
73.
¿Cuál será el divisor trinomio del
polinomio en variables: m,n,p.
m3 n P n3 P m P3 m n ?
Px (x 1)(x 1) xn x 1
RPTA.: B
(n-P) mm2 n2 nP m n P2 m n
(m+n)(m-n)
(n P) m n m2 mn nP P2
m Pm… P) n(m … P
(n P)m n
(n P)m nm P m n P
RPTA.: D
76.
El Polinomio:
Mx, y x y 3xy1 x y 1
3
74.
Uno de los divisores de:
a2 b 2 c 2 d2 2ad bc Será:
A) a-b+c-d
C) a-b-c + d
E) a-b-c-d
B) a+b-c+d
D) a+b+c-d
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
a2 b2 c2 d2 2ad 2bc a =
a
2
2ad d2 b2 2bc c2 =
a d
2
b c
2
a d b c a d b c
RPTA.: A
Será divisible por:
A) x 2 xy y 2 x y 1
B) x 2 xy y 2 x y 1
C) x 2 xy y 2 x y 1
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
Mx, y x y 1 3xyx y 1
3
Diferencia de cubos
2
M x, y x y 1 x y x y 1
-3xy(x+y-1)
Px,y ax by2 ax by2 bx2 ay4
Extrayendo el factor común
M x, y x y 1 x2 xy y2 x y 1
Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)
RPTA.: C
77.
Un
factor
primo
racional
de:
R a a b 9ab 27 ; será:
3
3
RPTA.: A
79.
A) a+b+3
B) a-b+3
C) ab-3(a+b)
D) a2 b2 ab 3a b 9
A) 4x
D) 2(x-y)
E) a2 b2 ab 3a b 9
B) 4y
E) 2(x+y)
3
2
C) 4z
z2
2
a b c a b 9 ab 3a b
RPTA.: D
Cuántos divisores
Polinomio:
admitirá
x y
2
2
x y
z2
a b 3 a2 b2 3 ab a 3 3b
2
Q z4 2 x2 y2 z2 x2 y2
Corresponde
a
la
identidad
Gaussiana, que proviene de:
78.
Mediante un aspa simple
R a a3 b3 3 3ab 3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
2
Halle la suma de los elementos de
aquellos Polinomios irreductibles
que se desprenden de:
Qx, y,z z4 2 x2y2 z2 x2 y2
2
Q z2 x y z2 x y
2
2
Q x, y,z z x y z x y z x y z x y
Sumando estos elementos =4z
el
RPTA.: C
Px;y a2bx4 b3 a3 x2y4 ab2y8
A) 8
D) 4
B) 7
E) 3
C) 15
80.
Px,y 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x
RESOLUCIÓN
Empleando el aspa simple:
Px,y a2bx4 b3 a3 x2.y4 ab2y8
ax
2
b y
2
2
bx2
ay 4
Un divisor del Polinomio:
Px,y a2x2 b2y4 bx2 ay4
4
será:
A) 3x-4y
D) 2x-3x
B) 4x-3y
C)2x-3y
E) 2x-5y+12
82.
RESOLUCIÓN
x 2
16
Buscando la forma de un aspa
doble:
16
; halle el valor
numérico del quinto término para
x=1
2
-3y
5y
x 2
2 x2 4
Px,y 8x 14xy 15y 48x 36y 0
2
4x
2x
En el cociente notable
A) 729
D) 243
0
12
Px, y 4x 3y 2x 5y 12
B) 126
E) 729
C) 81
RESOLUCIÓN
Dando la forma de un C.N:
RPTA.: B
8
SEMANA 5
COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACIÓN
81.
Hallar el menor término racional
del cociente notable.
3
47 23 2
3
3
B) -1
E) 8
x=1
C) 3
83.
Halle el grado absoluto del primer
término central del C.N.
7
4 2
3
4 2
Por
el
término
A) 11
D) 40
general
Tk
4 2
3
7k
25 k
6
Por la condición necesaria
suficiente se debe de cumplir:
....................()
y
15n 50 15n 10
n6
n1
n2
25 k
debe ser mínimo k 7;
6
luego en :
T7 2
C) 63
RESOLUCIÓN
Por lo que piden:
25 7
6
B) 106
E) 72
k 1
efectuando por exponentes
Tk 2
T5 36.(1)8 729
RPTA.: E
x15n 50 y15n 10
xn 1 yn 2
RESOLUCIÓN
7
4
2
2
T5 x 2 x 2 (x 2)6 (x 2)8
4 2
A) 9
D) 5
3
8
x 22 x 22
2
2
x 2 x 2
x y
x y
7
luego:
20
4
7
20
4
Hallamos los términos centrales.
T7 23 8
RPTA.: E
y
x y
T10 x7
10
T11
9
7
9
T10 x70y36
10
T11 x63y40
4
4
G.A. T10 106
RPTA.: B
84.
Si… x195y140 x190y147 ...
son términos
consecutivos del
desarrollo de un C.N. Halle el
número de términos.
A) 61
D) 60
B) 59
E) 65
Aplicando la identidad de Argan a
39
7
20
87.
y
x5
38
21
7
x ,
en
indique el número de
factores primos.
Número de términos = G.A +1
NT 59 1 60
A) 5
D) 6
B) 3
E) 2
P(x) x x 1 x x 1
x x 1 x x x 1
P(x) x x 1 x x 1
x x 1 x
P(x) x x 1 x x 1
x x x 1
P(x) x x 1 x x 1
x x 1 x 1 x x 1
P(x) x x 1 x x 1 x 1
x x 1
P(x) x8 x4 1 x7 x5 x3
2
x20 y30
. Calcule el lugar que
x2 y3
4
ocupa el término que contiene a
x10.
2
2
3
2
4
B) quinto
D) cuarto
2
RESOLUCIÓN
Tk x
20 2k
x
10 k
x
10
y
3
k 1
2
?
x y
10
2
2
3
2
2
2
2
k 5
2
3
2
4
4
2
2
2
C) 4
RESOLUCIÓN
En el siguiente cociente notable
A) sexto
C) octavo
E) décimo
Luego de factorizar
P(x) x8 x7 x5 x4 x3 1
RPTA.: D
85.
RPTA.: A
Formando un C.N. de:
y
Luego:
fac. primos= x4 x2 3
C) 58
RESOLUCIÓN
... x5
P(x) x2 x 1 x2 x 1 x4 x2 1
2
3
El lugar es quinto
RPTA.: B
Hay 4 factores primos
RPTA.: C
88.
86.
Luego de factorizar:
P(x) x8 x4 1; halle la suma
de los factores primos.
A) x4 x2 3
B) x 3
2
Factorizar:
P x x6 x4 2x2 1 indicar la
suma de coeficientes de un factor
primo.
A) 1
D) 2
B) 0
E) -2
C) x2 3
D) x4 2
E) x4 1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
C) 1
P x x x 1
x x 1x x
P x x6 x4 2x2 1
6
3
2
2
2
3
2
A) 3x +2
D) x+2
1
Aplicando Ruffini
RPTA.: C
Factorizar:
F x abx2 a2 b2 x ab , e
indicar la suma de los T.I. de los
factores primos.
A) a+b
D) b
B) a-b
E) ab
12
1
2
12
6
C) a
RESOLUCIÓN
8
-3 -2
6
7
2
14
4
0
7
2
2
2
ax
b
bx
a
90.
Al factorizar:
P(x) 10x2 17xy 3y2 5x y
Indicar la suma de sus términos
de sus factores primos.
A) 7x-4y+1
C) 4x-7y-1
E) 5x+2y-1
RESOLUCIÓN
91.
5x
-y
0
2x
-3y
1
P(x) 5x y2x 3y 1
RPTA.: A
Factorizar:
P(x) 12x3 8x2 3x 2 , e
indicar un factor primo lineal.
2x
1
92.
Factorice:
P(x) x5 5x4 7x3 x2 8x 4
Indique el promedio aritmético de
los T.I. de los factores primos.
4
3
3
D)
2
6
5
2
E)
3
B)
C)
1
4
RESOLUCIÓN
P(x) 10x2 17xy 3y2 5x y 0
2
P(x) 2x 13x 22x 1
RPTA.: A
A)
B) 7x-1
D) 4y-1
3x
F(x) ax bbx a
RPTA.: A
P(x) 2x 1 6x2 7x 2
F(x) abx a b x ab
2
C) -2x+1
RESOLUCIÓN
de coef = 1
89.
B) -3x1
E) 4x+3
1
5
7
-1
-8
-4
6 13 12
13 12 4
-5 -8 -4
4
1
1
6
-1
1
5
8
4
1
-2
3
-6
2
-4
0
1
-1
-2
0
0
P(x) x 1 x 1 x 2 x2 3x 2
P(x) x 1
x 1 x 2
2
Luego: M.A
93.
x
x
2
1
A) 2
D) 6
2
112 2
3
3
P(x) x2 x 1 x 1
P(x) x 1 x 1 x 1
P(x) x 1 (x 1)
2
Calcule el número de factores
algebraicos.
B) 3
E) 8
Nf.A 32 1 6 1 5
RPTA.: B
C) 6
96.
RESOLUCIÓN
P(x;y) x4 4y4 4x2 y2 2xy
2
P(x;y) x2 2y2
P(x;y) x2 2xy 2y2
94.
2
x
2
2xy
2
A) 7
D) 5
2xy 2y2
Cambio de variable: x5 y
e indicar el número de factores.
B) 3
E) 6
C) 4
97.
2x
2x 3 x2 2x 3
Nf 2 2 4
RPTA.: C
95.
Factorizar P(x) x3 x2 x 1
en
(x) , luego indique la cantidad
de factores algebraicos.
15
x5 1
coef 3 1
Factorice:
2
x5
P(x) x x2
P(x) x4 6x2 9 (2x)2
1 x
RPTA.: C
P(x) x4 2x2 9 4x2 4x2
2
P(x) x
10
RESOLUCIÓN
2
P(x) y5 y4 1
P(x) y2 y 1 y3 y 1
P(x) x4 2x2 9 ,
C) 3
RESOLUCIÓN
P(x) x
B) 4
E) 2
Factorice
P(x) x2 3
Calcule la suma de coeficientes,
de un factor primo del polinomio
factorizado.
P(x) x25 x20 1
Nf .A 2 2 1 4 1 3
RPTA.: B
A) 2
D) 5
P(x) x 1 x2 1
P(x;y) x4 4y4
A) 4
D) 7
C) 3
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
Al factorizar:
B) 5
E) 7
2
1 x2 1 x2
2
Indique el número de factores
cuadráticos.
A) 2
D) 4
B) 3
E) 5
C) 1
RESOLUCIÓN
P(x) x2 x4 2x3 1 x2 1 x 4 2x2
P(x) 2x3 2x2 2x2 (1 x)
D) 72
x2 x(1 x)
Son 2 factores cuadráticos
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
98.
E) 71
NF.A 6 4 1 24 1 23
Señale un factor primo de:
Ojo: y 2 no
parámetro
P(x) 2x 1 4x(x 1) 2
7
es
variable,
es
RPTA.: A
2
A) 4x 6x 3
2
B) 4x 5x 1
C) 4x2 7
E) 2x² + 3x + 1
D) 4x2 7x 1
SEMANA 6
MCD – MCM - FRACCIONES
101. Halle el MCD de los polinomios
P(x) y Q(x).
RESOLUCIÓN
P(x) 2x 1 4x2 4x 1 1
7
P(x)= 12x5 8x4 45x3 45x2 8x 12
P(x) 2x 1 2x 1 1
7
4
3
2
Q(x)= 2x 5x 8x 17x 6
2
Cambio de variable: y=2x+1
A) x+1
C) (x-2)(2x-1)
E) (2x+3)(2x-1)
y7 y2 1 y2 y 1 y5 y4 y² y 1
un factor es : 4x² + 6x + 3
RPTA.: A
99.
Cuántos
presenta:
factores
B) (x+1)(x-2)
D) 3x+2
RESOLUCIÓN
lineales
Factorizando P(x)
P(x;y) x y x4 y4
4
A) 1
D) 3
B) 0
E) 6
2
2
4
x²
xy
y2
x²
xy
y2
P(x;y) 2 x2 xy y2
12
0
c(x) 6x2 13x 6 2x2 5x 2
RPTA.: B
B) 8
-4
4 -12
c(x) x2 12p2 4p 65
c(x) 6p 132p 5
2
P(X;Z) 32 x5 y2 z3
-4 -41
41
12
1
1
c(x) x2 12 x2 2 4 x 41
x
x
1
1
x p x2 2 p2 2
x
x
100. Calcule el número de factores
algebraicos en (x) , el polinomio.
4
8
c (x) 12x4 4x3 41x2 4x 12
No tiene factores lineales.
A) 23
-12
-45
Luego el cociente c(x)
x y
4
P(x;y) 2 x4 2x3y 3x2y2 2xy3 y4
8 -45
12
P(x;y) x y 2xy
-1
C) 2
RESOLUCIÓN
2
12
P(x) x 13x 22x 32x 1x 2
Factorizando Q:
Q(x) 2x4 5x3 8x2 17x 6
C) 10
Q(x) x 1 x 2 x 32x 1
Por tanto:
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7
MCD(P,Q) x 1 x 2
RPTA.: E
103. Halle el M.C.D. de:
RPTA.: B
A x 4x4 4ax3 36a2x2 44a3x 16a4
102. Indicar el grado del M.C.M. de los
polinomios P(x) y Q(x) , donde:
B x 6x4 6ax3 18a2x2 30a3x 12a4
P (x) x 8x 17x 9x 9x 17x 8x 1
A) 2 x a
B) x-a
Q(x) x5 5x4 x3 x2 5x 1
C) x a
D) 2 x a
2
7
6
5
A) 3
D) 6
4
3
2
3
2
B) 4
E) 7
E) x a²
C) 5
RESOLUCIÓN
Factorizando A por el aspa doble
especial:
A x 4 x4 ax3 9a2 x2 11a3x 4a4
RESOLUCIÓN
Factorizando P (x); el polinomio es
recíproco.
1
-1
1
8
17
9
-1
-7
-10
7
10
-1
9
17
8
1
1 -10
-7
-1
0
10
7
1
3ax
2 ax
x2
x2
4a2
a2
Por tanto:
A(x) 4 x 4a x a
3
Similarmente
B x 6 x4 ax3 2a3x2 5a3x 2a4
el polinomio cociente es reciproco
también, pero de grado par:
x
x2
2
1
1
1
c (x) x3 x3 3 7 x2 2 10 x 1
x
x
x
ax
2 ax
B x 6 x 2a x a
3
3
1
1
m x2 2 m2 2
x
x
1
x3 3 m3 3m
x
P (x) x 1 x2 3x 1 x2 5x 1x2 x 1
x
RPTA.: D
104. Sabiendo que el M.C.D. de los
polinomios:
A x 2x3 x2 3x m
B x x3 x2 n , es:
Factorizando Q(x) similarmente:
x
2
Q x x 1 x2 5x 1 x2 x 1
2a
a2
Por consiguiente el MCD= 2 x a
Haciendo:
Por tanto:
2
MCM x 1 x2 5x 1 x2 x 1 x2 3x 1
x 2 . Halle “m+n”
A) 4
D) 7
B) 5
E) 0
RESOLUCIÓN
C) 6
Usando el método de Horner:
1 2
1
-2
-1
3
2
-4
m
-2
A) 27
D) 125
0 m-2=0 m 2
1
2
Calcule: "a b c "
1
2
P(x) Q(x) MCD P Q
B) 16
E) 9
C) 64
RESOLUCIÓN
1 1
1
0
1
-2
1
-2
2
2
1
Sumando P(x) Q x se obtiene:
n
ax4 b 4a x3 4b 4a c x2
4c 4b x 4c.............................(1)
-4
Por otro lado
polinomios
n=4
0 n-4=0
Conclusión: m+n=6
105. Halle el MCD de los polinomios:
P(x) X
m
ax2
bx
2
ox
x
2
P(x) ax bx c x2 1
n
x x 1
Q(x) m n xmn1 mxm1 nxm1
Sabiendo que m;n;
A) xk 1
k 1
D) x
m
n
B) xm 1
Q(x) 4x 5 ax2 bx c
RESOLUCIÓN
MCD
2
MCD
2
Consideremos: m=nk
Entonces:
P(x) x
n
x
n
x 1
nk
P(x) x 1 x
2ac b x
ax2 bx c
a2 x4 2abx3
2
2
2
2bcx c2 ...............................(2)
1
Comparando coeficientes de
1 y +2
Similarmente:
Q(x) nk n xnk n 1 nk xnk 1 n xnk 1
c
-1
Por lo tanto:
2
MCD= ax bx c
C) xn 1
Desarrollamos
nk
Factorizando Q x :
1 E) xk 1 1
nk n
los
P(x) ax4 bx3 a c x2 bx c
RPTA.: C
mn
factorizando
Q(x) nk n xnk 1 xn 1
a=1; b=4; c=4
a+b+c=9
RPTA.: E
Por lo tanto:
M.C.D P(x),Q(x) xn 1
RPTA.: C
107. Sea D(x) el Mínimo común
múltiplo de los polinomios M(x) y
N(x) si:
M(x).N(x)
Halle el resto de
D(x)
106. Sean los polinomios:
A(x)
P(x) ax4 bx3 a c x2 bx c
dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo
que:
Q(x) 4ax3 4b 5a x2 4c 5b x 5c
Los cuales verifican:
Descomponiendo
parciales
M(x) x4 nx3 7n2 x2 n3 x 6n4
N(x) x3 4nx2 n2 x 6n3
A) 0
2
2
B) 6n C) 6n
D) 10 n2
E) 12 n2
por
fracciones
5
10
3
3
2
x 1 2x 1
Por tanto:
RESOLUCIÓN
Como D(x) es MCM entonces A (x)
representa MCD (M.N).
Factorizando
los
polinomios
obtenemos.
M(x) x n x 3n x 2n x n
N(x) x n x 2n x 3n
Por lo tanto:
MCD (M,N)= (x-n) (x+2n)
2
2
MCD (M,N)= x nx 2n
5
10
; c
3
3
A
2 5 10
3 B C 3 3 3 1
RPTA.: A
A= 2 ; B=
109. Sabiendo que A,B,C y D son los
numeradores de las fracciones
parciales en que puede ser
descompuesta
la
siguiente
fracción:
4x3 x2 3x 2
x2 x 1
Se pide el resto de la división:
x nx 2n
R(x) 10n2
x 3n
RPTA.: D
2
108. Si
2
2
la
fracción
4x2 2x 3
se
2x2 x 1
transforma en otra equivalente
B
C
donde A,B,C son
A
x 1 2x 1
constantes
reales.
Calcule:
A
3 B C
A) 2
D) -1
B) -5
E) 0
RESOLUCIÓN
Descomponiendo
parciales:
4x3 x2 3x 2
x2 x 1
2
A) -1
B) 1
1
D)
3
5
E)
3
RESOLUCIÓN
C) 3
Dividendo:
4x2 2x 3
5
2
2
2
2x x 1
2x x 1
2
Halle: A+B+C+D
5
2x 1 x 1
4x3 x2 3x 2
x2 x 1
2
C) 1
en
fracciones
A B
C
D
2
x x
x 1 x 12
Ax x 1 B(x 1)2 Cx2 x 1 Dx2
2
Desarrollando
comparando
obtiene:
A=1; B= -2;
x2 x 1
2
y
luego
coeficientes
se
C=3; D=-4
Por lo tanto:
A+B+C+D= -2
RPTA.: D
110. Sabiendo que la fracción se
transforma en otra equivalente.
5x2 9x 4
A
Bx C
2
3
2
x 3x 3x 2 x 2 x x 1
Halle: A + B + C
A) 1
D) 8
B) 5
E) -5
RESOLUCIÓN
C) 6
A + B + C =
2
3
Por lo tanto: m= 6
Factorizando P (x) y Q(x)
P(x) x 1 x 2 x 4
Q(x) 2 x 1 x 2
MCM = 2 x 1 x 4 x 2 x 2
Grado =3
5x2 9x 4 A x2 x 1 Bx C x 2
Comparando coeficientes se tiene
A=2
A B 5
B=3
A 2B C 9
C=1
A 2C 4
A+B+C=6
RPTA.: C
111. Si la fracción se descompone en
fracciones parciales de la forma:
2
x 1
A
Bx C
2
2
x 3x 3x 2 x 2 x x 1
RPTA.: A
112. Al descomponer la expresión en
fracciones parciales se tiene los
numeradores A, B y C:
x2 5
x3 8x2 17x 10
Luego se dan los polinomios:
P(x) x3 m 5 x2 11x 6
Q(x) x3 m 1 x2 x m 3
3
Halle el grado del MCM de los
polinomios P y Q.
Donde:
P(x) x3 5x2 2x 8
Q(x) 2x mx 4 ;
m 9 (A B C)
B) 2
E) 5
Halle el grado del MCM
A) 2
D) 6
2
A) 4
D) 3
siendo : m= A + B + C
B) 4
E) 3
C) 5
RESOLUCIÓN
C) 3
Descomponiendo
parciales se tiene:
fracciones
x2 5
A
B
C
x 1 x 2 x 5 x 1 x 2 x 5
x2 5 A x 2x 5 B(x 1) x 5 C x 1x 2
RESOLUCIÓN
Desarrollando fracciones parciales
x2 1 A B x2 A 2B C x A 2C
A B 1 , A+ 2B + C = 0,
A + 2C = 1
5
A ,
3
2
B ,
3
1
C
3
Si x= -2B=-3
3
Si x=-1A=
2
Si x=-5C=
A+B+C=1=m
5
2
Entonces:
P(x) x3 6x2 11x 6
Q(x) x3 2x2 x 2
P(x) x 3 x 1 x 2
Q(x) x 1 x 2 x 1
MCM P,Q = x 1 x 2 x 3 x 1
Grado =4
RPTA.: B
113. Si: a,b,c, son números diferentes
y:
P(x)
x
x
x
xd
(x a) (x b)(x c) x a x b x c
a2
b2
c2
Calcule:
p(a) p(b) p(c)
A) -2
D) 1
B) -1
E) 2
B) x
E) -1
RESOLUCIÓN
Desarrollando
tiene:
el
C) 2x
numerador
se
8x
2 6x
y el denominador :
8
2 6x
reemplazando y simplificando
Desarrollando se tiene:
P(x) x x a x b x b x c x a x c
+x-d
Evaluando:
8x
2 6x
E
x
8
2 6x
RPTA.: B
p(a) a(a b)(a c)
p(b) b(b a)(b c)
p(c) c(c a)(c b)
115. Si: ab bc ac abc
2
2
2
2
Simplificar:
reemplazando en M:
a2
b2
c2
a a ba c b b ab c c(c a)(c b)
M=0
RPTA.: C
114. Indicar la respuesta
luego de simplificar:
A) 1
D) 3x
C) 0
RESOLUCIÓN
M
1x
1 3x
1
1x
1 3
1 3x
E
1x
1
1 3x
1 3
1 x
1 3 1 3x
1
Factorizando se tiene
correcta,
1
1
1
1
1
1
2 1
2 1
2 1
2
2
2
a b
b 2c
c 2a
2c2 1
2a 1
2b 1
A) 0
B) 1
2
2
2
C) a b c
D)
a2 b2 c2
2
E) abc
RESOLUCIÓN
De la condición se tiene:
1
1
c2 1
a2 b2
c2
1
1
a2 1
b2 c2
a2
1
1
b2 1
c2 a2
b2
Entonces reemplazando en la
expresión:
c2 1
a2 1
b2 1
1
1
1
2
2
c2
a
b
2c2 1
2a2 1
2b2 1
RPTA.: B
116. Si se verifica que:
2 a b 2ab a ba 1b 1
Simplificar:
ab a 2 ba b 2
b 1
a1
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
E
a b 1 2
A) 1
D) -2
C) 3
abc c2 a c
b a 1 2
de la ecuación se tiene:
c 1
. 1
1
a c c
2
2
a
2
ac
a
2
c
RPTA.: D
118. Al reducir la expresión:
Entonces reemplazando en E
2a
2b
2
2
a1 b 1 b 1 a1
E=4
RPTA.: D
117. Simplificar la siguiente expresión
a
c
cb a c c c2 a
2a
2b
ab
a1 b 1
y halle:
C) -1
a a c a c a2 ac c2
.
2
2
a ac c b a c a c
c c2 a
bc
a a c c2 a c
.
b a c a c c
2
c c2 a
bc
b 1
a1
2
2
E a
b
b 1
a1
E
B) 2
E) 3
RESOLUCIÓN
1
1
1
2 2 1
2
c
a
b
E
a a c a3 c3
c
1 c
.
. 1
2
2 2
2
ac
c
a ac c a b bc
2
c 1 c a
bc
x 1
x 1
2
2 1
1
1
x 1
x 2
x 1
1
1
x
x 1
x 1
x 1
x 1
Se obtiene:
B) x x 1
2
A) 1
C) x x 1
2
E) x x 1
4
2
RESOLUCIÓN
D) x x 1
4
2
Desarrollando:
RPTA.: A
2x2
x 1
x 1
x 1
x 1 x4 1
x 1
x 1
x2
x2
x2
x2
2x2
2
2
4
x 1 x 1 x 1
120. Simplificar:
ax ax 1 ax 2 ax 3 1
1 ax 1 2ax 1 3ax a4x4
ax 1
ax 2
A)
2x2
2x2
1
4
4
x 1 x 1
ax
a 2x
a
E)
x
B)
D) 1
RPTA.: A
C)
xa
x 2a
RESOLUCIÓN
119. Sabiendo que la fracción:
Haciendo: ax=m
ax by
2
p2x2 2m2xy m2y2
m m 1 m 2 m 3 1
toma un valor constante k.
1 m 1 2m 1 3m m4
k 0 , para todo valor de x,y; xy
0 , Halle:
a2 b2 p2 m2
en términos de
a2 b2 p2 m2
Agrupando:
m
2
k.
2m
2
A)
k 1
k 1
k 1
k2 1
B)
Factorizando:
E) k 1
2
ax by
2
m
m
2
k p x 2m xy m y
2 2
2
2 2
a2x2 2abxy b2y2 k p2x2 2m2xy m2y2
2
3m 1
3m 1
2
2
2
a2 b2 p2 m2 kp2 km2 p2 m2
a2 b2 p2 m2 kp2 km2 p2 m2
m p k 1
a b p m
2
2
2
2
a b p m
m2 p2 k 1
2
2
a2 b2 p2 m2 k 1
a2 b2 p2 m2 k 1
1
2
NÚMEROS COMPLEJOS
121. Sea el complejo : 1 i
12
Calcule
Entonces reemplazando en:
2
2
SEMANA 7
a kp ; b km ; ab km
2
2
RPTA.: D
Comparando coeficientes:
2
3m 1 3m 1 m4
C) k+1
RESOLUCIÓN
2
2
D) k-1
2
3m m2 3 2 1
A) 32
D) 64
B) -32
E) 128
C) -64
RESOLUCIÓN
2
Si: Z 1 i Z 1 i 2i
2
2
4
Si: Z 2i Z 2i 4
2
12 4 64
3
RPTA.: C
122. El equivalente de:
RESOLUCIÓN
8
1i
1i
1i
1 1 i
1
1i
1i
1
1
1i
1 i
será:
E) 2in1
D) -2i
1 i
n
2
1 i 1 i
n
in 2i 2in1
17
B) 0
E) 256
C) -2i
RESOLUCIÓN
1i
1i
i
i
1i
1i
Sabemos:
8
B) -3
D) -i
E)
1 2i3
2i 256
4n 6
E 11 2i
C) 1
i
2
n
B) i
D) 1
n 1
i
i
17
1 1
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
1 i 2
2
2n 3
2
2n 3
2i
2
i2n3
*
i2 i 1 (1)i 1
n
n 1
i
RPTA.: D
124. Calcule el valor de :
1 i ; donde n
n2
1 i
n
A) -2
11 2i
1
1i
1i
m ni 1 1
2
1
1
A)
B)
C)
5
5
5
1
2
D)
E)
7
7
RESOLUCIÓN
4n 6
17
126. Halle “m + n”; a partir de
E) 1
1
1
i
2
2
11 2i
2
A) 4
n 1
1
3
i
2
2
17
17
n , calcule el valor de
1
2
i
2
2
1 ; es:
C) -2
11 2i
Luego:
8
RPTA.: E
123. Si,
51
RESOLUCIÓN
Operando:
i i
1 2i
A) 1
17
RPTA.: C
125. El equivalente de:
11 2i
A) 2i
D) 64
n
2
1 i
1 i
1 i
n
B) 2i
n1
C) 2i
1i
1 i
i
1
1i
1 i
1
i2
m ni
1 2 i
m ni
2 i 2 i
2
m
2 i 2 1
5
m ni
i
5
5 5
1
n
5
1
mn
5
RPTA.: C
k 3i
127. ¿Qué valor asume “k”, si
es
2 5i
Cis 2340º Cis 6 360º 180º
239 1
20
2
219
RPTA.: E
un complejo imaginario puro?
A) 2
B) -2
15
2
D)
C) 15
130. Si: Z C Z Z 7 Im(z)
Calcule: Z 3,5i
E) 1
A) 3,5
D) 2,4
RESOLUCIÓN
2k 15 k
15
2
Sea: Z a bi
a bi x yi .
b
Calcule:
2
ay y 4
nos piden : Z 3,5i a bi
B) -4
E) 1
C)-2
RESOLUCIÓN
7b 7b
49 7
3,5
4
2
RPTA.: A
i sen
131. Calcule: 2 cos
12
12
4 ay y
b2 4 a y2 y2
b2
2
7
i
2
7
49
a b i a2 b2 7b
2
4
a x2 y2 b 2xy
x2 a y2 b2 4x2y2
a bi x2 y2 2xyi
a bia bi 7b
a2 b2 7b
2
A) 4
D) 2
C) 2,1
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
128. Sabiendo que:
B) 2,2
E) 1,2
6
4
A) 8i
D) -8
b2
4
ay2 y 4
B) 8
E) 32
C) -8i
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
1 3i
39
129. Calcule:
1 i
6
2 cos i sen
2
2
23 0 i 1 8i
40
20
19
B) 2 C) 2
19
E) 2
A) 2
20
D) 2
1 3i
2Cis60º
1 i
239 Cis 2340º
39
40
132. Sean los complejos
Z1 1 i Z2 3 6i
RESOLUCIÓN
39
RPTA.: A
1 i
4
10
220
2
Halle el módulo de Z1
Z23
1
2
13
D)
2
7
2
29
E)
2
A)
B)
C)
27
2
RESOLUCIÓN
o
o
555555 4 3 333 4 1
i3 1
333
i1 i i 21
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
Z12 1 i
Z32
2
2i
1
3 6i 3 6 i 3 6 i
3
2
135. Halle un número complejo cuyo
cuadrado
sea
igual
a
su
conjugado.
15 3 3 6i
1
i
2
1
3
i
C)
2
2
Piden:
Z12 Z32
Z32
15 3 3 6I
2
Z1
2I
3 6 15
3i
2
2
3 6 15 3
3 6 15 3
i
2 2
2
2
2
RESOLUCIÓN
Sea el complejo: Z a bi
27
El módulo es:
2
Z a bi
Luego: a bi a bi
2
RPTA.: C
133. Calcule:
i2343 i331 i542 i300
i55 i242 i328
A) -3
D) -2
B) -4
E) -1
C) -5
RESOLUCIÓN
o
a2 b2 2abi a bi
a2 b2 a
2ab b
1
Resolviendo: a =2
2
1
1
Luego: b2
2
2
1 1
3
b2 b2
4 2
4
o
2343 4 3 ;300 4
o
331 4 3 ;
3
2
b
Luego el complejo buscado será
o
542 4 32;
B) 1
E) 1
2
1
i
2
1
3
i
D)
2
2
A)
Z
i3 i3 i2 1 2i
2
i i2 1
i
1
3
i
2
2
RPTA.: C
RPTA.: D
555555
134. Calcule: i
A) i
D) -2i
136. Si: Z
333
i
B) -i
E) 0
C) 2i
2
3Re Z
Halle: Z
3
2
A)
1
2
B)
D) 2
3
2
C)
E) 1
3
2
RPTA.: A
138. Indicar
RESOLUCIÓN
A) 4
D) 2 i
Por condición:
(a+bi)² = 3a
E
a² b² 3a;
2ab 0
E4
B) 4
E) 2i
C) + 2
3 4i 3 4i
3 4i 3 4i
2
E4 6 10 E4 16
E=2
RPTA.: C
3 3
2 2
139. Resolver la ecuación en C/ C
RPTA.: B
5 12i
Ln2 3iLn 4 0
A) 3 2i
B) 2 3i
C) 3i
E) 1 + i
D) 2i
Recordemos:
Z a
Z a
a bi
i
2
2
5 12 i 25 144 169 13
Luego:
13 5
13 5
5 12i
i
2
2
5 12i 3 2i
D) e4i ;ei
4i
C) e
B) ei
A) 4i
RESOLUCIÓN
3 4i 3 4i
E4 6 2 25
a2 3
a1 0
ó
b 0
b2 0
1
complejos
E4 3 4i 3 4i 2 9 16
Resolviendo el sistema:
137. Calcule :
los
RESOLUCIÓN
(a²b²) + 2abi = 3a + 0i
Z
de
resultantes de:
Sea: Z = a + bi
uno
E) ei ; e4i
RESOLUCIÓN
(LnZ)² 3i LinZ 4i2 = 0
LnZ
4i
LnZ
i
De donde:
LnZ = 4i ó LnZ = i
Z1 = e4i
Z2 = ei
RPTA.: E
142. Calcule el valor de x en:
140. Calcule:
x n x m
1
n
m
4 12i 3 4i
A) m
A) 13
B) 14
D) 17
E) 20
mn
m n
n
E)
nm
C) 16
C)
RESOLUCIÓN
*
3 4i 5
*
12i 5 144 25 13
4 13 17 17
B) n
D)
m
nn
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
xm mn nx mn mn
x(m n) mn
mn
mn
x
m n m n
RPTA.: C
SEMANA 8
TEORÍA DE ECUACIONES
141. Calcule “k” para que la ecuación
se reduzca a una de primer grado.
2
143. Halle x en :
2 x
2x x ; x C
x 2
2k 3 3kx 2
2k 3
x 1
x 1
A) -2
D) 2
B) -3
E) 3
A)
C)1
2k 3x 1 3kx 2x 1 2k 3 x
2
1
2kx2 2kx 3x 3kx2 3kx 2x 2
3
C) x C
4
E) -4
RESOLUCIÓN
x2 4 4x2 2x2 5x2 2x2 4
4
3x2 4 x2
3
RPTA.: C
144. Resolver en “x”
2
2
= 2kx 2k 3x 3
2
B)
D) -3
RESOLUCIÓN
2
4
3
2
5kx kx 5x 1 2kx 3x 2k 3
3kx2 3x2 k 5 x 2k 2 0
3k 3 x2 k 5 x 2k 2 0
3k 3 0 k 1
RPTA.: C
a bx a bx abx
a b a b
ab
a b
A) -2
D) 3
B) 1
E) a + 2b
RESOLUCIÓN
C) 2
a bx a b a bx a b abx
ab
a b a b
a b
ab x = 2 ab
x=2
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
145. Si x1;x2 ;x3 son las raíces de la
ecuación
x3 n 1 x2 2nx n 3 0
Calcule: x1 1 x2 1 x3 1
A) 1
D) 4
B) 2
E) -1
C) -3
a2 2a 7 0 a2 5 2a 2
a2 5
2 b2 2b 7 0
a1
b2 5
2
b 1
a² 5 b² 5
4
a1
b 1
RPTA.: C
148. ¿Qué podemos afirmar acerca de
esta ecuación?
x
RESOLUCIÓN
Por cardano:
1
x 2 x 3 x 2 2 0
x
*
x1 x2 x3 n 1
*
x1x2 x1x3 x2x3 2n
A) Tiene 5 soluciones
B) Tiene 4 soluciones
lo pedido es : 1 x1 x2 x3
C) la suma de las soluciones es
*
x1x2x3 n 3
D) es incompatible
E) 3 soluciones
x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3 3
RPTA.: C
146. Si la ecuación paramétrica en “x”
presenta
infinitas
soluciones
calcule el valor de a + b.
RESOLUCIÓN
x 0 x 0 (no)
ax 1 2x b2
A) -2
D) -2
B) 2
E) -3
C) 3
RESOLUCIÓN
2
b 1
a2
2
a = 2 b 1 b 1
a + b = 3 a +b = + 1
RPTA.: C
a 2 x b2 1 x
solución única.
A) 2
D) 2 y 4
x2 2x 7 0
a2 5 b2 5
Calcule
a1
b 1
B) 2
E) 7
x 2 0 (no)
x 3 0 x 3
1
1
2 0 x
x
2
1 7
x1 x2 3
2 2
RPTA.: C
149. Calcule el valor de si la ecuación
de segundo grado
4 x2 2 x 1 0; tiene
147. Si a y b son las soluciones de la
ecuación cuadrática
A) 3
D) 5
B) 4 y -2
E) 2
RESOLUCIÓN
C) 4
7
2
4 0
2 2 8 0
C) -4 y 2
4 2 0 4
2
RPTA.: C
150. Si 3 2 2 es una raíz irracional
B) 8
E) *
E)
4
9
2
3
ax4 bx2 c 0
están en P.A. 9b2 100 ac
9 k 4 100 1 4k ; k 0
RESOLUCIÓN
x1 3 2 2 x2 3 2 2
11
de la ecuación x1 x2 x3
2
3k 20 k 12 0
4
k
k 36
9
6
153. Indique una
ecuación.
1
x3
2
A) – 9
D) 3
x2 1 x 1
14 1
RPTA.: C
A) 2
D) 2
B) 1;2
C)
E) 4
RESOLUCIÓN
x 2 4x-x=4+2
3x 6
x2
Pero x 2 x
RPTA.: C
152. Calcule el menor valor de k, si las
raíces
de
la
ecuación
4
2
x k 4 x 4k 0 ; están en
progresión aritmética.
B) – 2
E) -3
9x4 7x2 2 0
9x2
+2
2
-1
x
2
9x 2 x2 1 0
m = 4
1
1
2 x
4
x2
x2
de
la
C) – 1
RESOLUCIÓN
2
151. Encontrar el conjunto de solución
de:
solución
9x4 7x2 2 0
n
n1
2
m
luego: x1x2 x1x3 x2x2
2
4x
2
RPTA.: C
además: x1x2x3
D) 36
C)
Si: las raíces de:
C) 1
Si:
B) -9
RESOLUCIÓN
de: 2x3 11x2 mx n
m,n , calcule el valor: nm
A) 4
D) 7
A) -4
RPTA.: C
154. Si: x1;x2;x3;x 4 son raíces de la
4
2
ecuación: 10x 7x 1 0
Calcule el valor de x14 x24 x34 x44
2
25
1
D)
25
1
2
1
E)
4
A)
B)
RESOLUCIÓN
Factorizando:
5x
2
1 5x2 1 0
C)
29
50
x1
x3
5x 1
5x 1
2x 1
1
x2
5
1
x4
2
2 a3 7 5 a; a 5
2x 1 0
1
al cuadrado miembro a miembro
5
1
2a3 7 25 a2 10a
2a3 a2 10a 32 0
2
2
1
1 1 1
25 25 4 4
2 1 29
x14 x24 x34 x44
25 2 50
RPTA.: C
2
x14 x24 x34 x44
1
2
x x 1
1
4
B)
D) 4
1
4
C)
1
8
a=2
x4 2x48
x=4
2
nos piden : x 16
B) 3
E) -2
C) 1
De:
x3 mx2 18 Cs ; ;
x3 nx2 12 Cs ; ;
Por cardano –
156. Resuelve la ecuación
2x 1 3 x 4 5 e indique el
2
A) 4
B) 3
D) 19
E)
C) 16
1
4
x 4 a x a3 4
2 a3 4 1 a 5
=-m
m ...(I)
=0
además:
18
3
12
2
RESOLUCIÓN
0
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
16
A) -3
D) 2
3
3
que tienen dos raíces comunes
señale el valor de m.
1
1
2 8
3
32
x3 mx2 18 0; x3 nx 12 0
x2 x 1 1 x2 x 2 0
x 2 x 1 0
x 2 x 1
Sea:
6
157. Dadas las ecuaciones
E) 2
valor de x
4
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
-32
a 2 a2 3a 16 0
3
3
10
aquí a R
2
x
Señale el menor valor de
2
A)
155. Luego de resolver:
x2 x 1
2
-1
3k 2k
en (I): - k = m
En la ecuación:
3m
x 2
2
27 m3 9m3 18 0
18m3 18 m 1
RPTA.: C
158. Si: 3 25 es una raíz
ecuación:
2x2 k 1 x k 1 0
de la
A) - 2
D) 1
A) 2
D) 4
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
E) 5
B) -3
E) 2
x1 x2 x1 x2
k 1
2
x2 x3 bx2 cx 34 0
160. Halle “k” para que la diferencia de
raíces sea uno.
x5 bx4 cx3 34x2 0 Calcule
el valor de “b” ; b y c R
B) 3
E) 7
0 x 2
RPTA.: C
x2 0 ( raíz doble)
x3 bx2 cx 34 0
Si x1 3 5i x2 3 5i
1
C) 11
b2 4ac
a
4 2 k 1
2
2
Por cardano:
x1x2x3 34
2 k 2k 1 8k 8
4 k2 10k 7
k2 10k 11 0
k 11 (k 1) 0
k = -1
k = 11
RPTA.: C
34 x3 34 x3 1
Además: x1 x2 x3 b
6 + -1 =b b = 5
RPTA.: C
159. Resolver:
x2 4x 8 x2 4x 4 2x2 8x 12
A) x = 2
D) x = 3
B) x = 1
E) x = 0
C) x = -2
SEMANA 9
SISTEMAS DE ECUACIONES
161. ¿Qué valores de “K” haría que el
sistema
K 3 x 2K 3 y 24
K 3 x K 1 y 8
no acepte solución?
RESOLUCIÓN
x2 4x 6 n n 2 n 2 2n
al cuadrado m.a.m:
A) 2
D) 3
B) 1
E) 6
C) - 1
2
n 2 n 2 2 n2 4 2n
2
(I)
2n 2 n 4 2n
n2 4 n 2 n 0
n=2
2
luego : x 4x 6 2
x2 4x 4 0
RESOLUCIÓN
Como:
a1x b1 y c1
a2x b2 y c2
a1 b1
c
1
a2 b2
c2
solución
K 3 2K 3
K 3K 1 2K 3K 3
K 3 K 1
K2 2K 3 2K2 3K 9
K2 5K 6 0
K
K
A + 4 + 2b – (- b + 1) = 0
3b = - 3
b=-1
-6
+1
K 6K 1 0
K = 6 K = -1
a x b = -1
Además:
RPTA.: C
K 3 24
K 3
8
K3
3
K 3
K 3 3K 9
12 2K
6 K
163. Señale una raíz de la ecuación:
x3 4x2 6x 4 0
A) 1 + i
D) 3 - i
K = -1
B) 1 - i
E) A y B
C) 3 + i
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
Divisores
A) 0
D) 2
B) 1
E) -2
1
-4 +6 -4
X=2
2
1
posee infinitas soluciones, indique
a x b.
C) -1
1,2, 4
T.I.:
evaluando para x = 2
162. Examine para que valores de a y
b el sistema:
xyz 0
x y 2z 1
2 x 4 y az b
del
-4 +4
-2 +2
0
Una raíz es x = 2
Las otras raíces se obtienen al
resolver.
x2 2x 2 0 x
2 4
2
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
Para infinitas soluciones:
g 0
164. El
conjunto
ecuación:
x 0
1 1 1
g
1 -1 1 0 a 4 4 2 8 a 0
solución
de
K 4 x3 K 3 x2 3 0
es 1; ; Calcule el valor
2 4 a
1 1 1
A) 1
B) 3
1 -1 2
D) 2 3
E) 4 3
1 1 1
x
1 -1 2
b 4 1
0 1 1
1 -1 2
RESOLUCIÓN
=0
Como una raíz es x = 1
K–4+ K-3-3=0
C) - 3
la
de
K=5
3
2
La ecuación es: x 2x 3 0
Por Ruffini:
1
2
1
3
X=1
1
166. Formar la ecuación de cuarto
grado de coeficientes racionales si
una de sus raíces es
0 -3
3
3
3 0
A) x4 4 x2 64 0
B) x4 8 x2 16 0
C) x4 4 x2 16 0
x
3 3 i
3
3
i; 3
2
2
2
D) x4 16 x2 64 0
x
3 3 i
3
3
i; 3
2
2
2
RESOLUCIÓN
E) x4 16 x2 16 0
x 3 5i
2 3
Elevando al cuadrado.
x2 3 5 2 15 i
RPTA.: B
x 2 2 2 5 i
165. Formar la ecuación de cuarto
grado de coeficientes reales; si
dos de sus raíces son: 1 2i y
Elevando al cuadrado.
x4 4x2 4 60
x4 4x2 64 0
1 2i.
4
3
RPTA.: C
2
A) x 4x 12x 16x 15 0
4
3
2
B) x 4x 12x 16x 15 0
4
3
2
C) x 4x 12x 16x 15 0
4
3
2
D) x 4x 12x 16x 15 0
4
3
2
E) x 4x 12x 16x 15 0
167. En el polinomio cúbico
P(x) x3 x 1
Se observa que
P a P b P c 0
Calcule el valor numérico de
RESOLUCIÓN
P a3 b3 c3 ab ac bc abc
x1 1 2i
x2 1 2i S 2 y P 5
A) - 17
D) - 28
x2 2x 5 0
x2 1 2i
S 2
x3 x 1 x a x b x c
x3 x 1 x3 a b c x2
x 2x 3 0
Multiplicando:
2
2x
2
C) - 21
Se cumple que
y
2
x
B) - 11
E) - 29
RESOLUCIÓN
x1 1 2i
P3
3 5i.
ab ac bc x abc
a b c 0 a3 b3 c3 3 abc
8 x2 2x 15 0
ab + ac + bc = + 1
abc = -1 3 abc = - 3
Ecuación resultante:
x2 4 x3 12 x2 16 x 15 0
RPTA.: A
P 3 1 1 P 3 27 3 1
P 3 29
RPTA.: E
168. Calcule el valor de (a + b) en la
ecuación:
2 x4 x3 3 x2 a x b 0 ; {a;b}
Si se sabe que una de sus raíces
es: 1 + 2 i
A) 31
D) 38
B) 34
E) 39
C) 35
RESOLUCIÒN
x1 = 1 + 2i
x2 = 1 2i x1.x2 = 2; x1.x1 = 5
x² 2x + 5 = 0
Por Horner:
1
2
1
2
3
2
3
5
0
a = 19
;
a + b = 34
b
2
2
RESOLUCIÓN
Obsérvese que:
x ix i x2 1
x 2ix 2i x2 4
.
.
.
x nix ni x2 n2
T.I 1 4 ... n2
T.I 1 2 ... n
2
n
2
B) 2
E) 5
C) 3
RESOLUCIÒN
2
6a
; Producto=
2a 7
2a 7
b = 15
B) n
E) n
A) 1
D) 4
a–4=2a–7
3=a
0
RPTA.: C
i; i; 2i; 2i;.......; ni; ni
T.I
si se sabe que la suma de sus
raíces excede al producto de las
mismas en una unidad.
2
6a
1 ; operando
2a 7 2a 7
169. Halle el término independiente de
una ecuación de grado mínimo de
coeficientes reales, si se sabe que
su conjunto solución es
n
2a 7 x7 2 x6 5x2 a 6 0
Ecuación:
RPTA.: B
A) n
D) n2
170. Señale el valor de “a” en la
ecuación:
Suma=
4 - 10
10 - 25
6 - 15
-5
a
RPTA.: E
C) n
171. No es solución de la ecuación:
10
10
x x 1 x x 1 48 ; es
A) -1
D) 4
B) 2
E) A ó D
C) -5
RESOLUCIÓN
10
z z2 1 48
x
z 7
10
10
Si: x
x
7
7
x
x
x2 7x 10 0 ; x2 7x 10 0
x
(x 2) (x 5) = 0 ; (x+2)(x+5) = 0
x=5
ó
x=2
x=-2
ó
x=-5
RPTA.: E
172. Halle
la
relación
entre
coeficientes de la ecuación:
x 5 x 4 x 7 x 6 504
x2 x 20 x2 x 42 504
los
a x4 b x2 c 0
Haciendo x2 x z
para que sus raíces reales estén
en progresión aritmética.
z 20z 42 504
z2 62 z 336 0
A) 4b2 49 ac
z 56z 6 0
B) 8b2 49 ac
Regresando a la variable original.
C) 9b2 100 ac
x
2
D) 16 b2 100 ac
x 56
x
x 56 0
ó
x = -2
2
x 8x 7 x 3x 2 0
E) 25b2 100 ac
x 7
RESOLUCIÓN
7
2
2 53
2
RPTA.: A
3
(x + 3) (x+)(x)(x3) = 0
x
2
92
x
2
2 0
174. Resolver:
x3 y3 35
xy 5
2;3
c.s 3;2
c.s 1;2 ; 2;3
c.s 2;3 ; 3;2
c.s 3;2 ; 1;2
A) c.s
Equivalencia resultante
b
c
x 10 x 9 x x2
a
a
2
b
b
10 2 100 4 2 ... 1
a
a
b
c
10 2 9 4 ... 2
a
a
B)
También:
RESOLUCIÓN
4
2
2
4
4
100 b2
9b2 100 ac
1 2
9
ac
RPTA.: C
C)
D)
E)
x3 y3 35 ;
x y x
2
x+ y = 5
xy y 35
2
5 x2 xy y2 35
x xy y 7
2
173. Resolver: La ecuación
2
x 5x 7x 4x 6 504
5 y
y halle la suma de los cuadrados
de las raíces negativas.
3y2 15y 18 0
A) 53
D) 62
B) 57
E) 64
RESOLUCIÒN
x =5–y
C) 61
Multiplicando convenientemente
2
y 5 y y2 7
y2 5y 6 0
y 3 x 2
y 2 x 3
c.s 2;33;2
RPTA.: D
175. Resolver:
RESOLUCIÓN
5y2 7x2 17
Haciendo x v y v
v
5xy 6x 6
2
2
B) 14
E) 1
xy 1
xy
4
4 v v v v
C) 0
8 2 v2
RESOLUCIÓN
90 2 v2
5y2 7x2 17
5xy 6x2 6
0 2 2 8 90
30y 42x 102
2
2
0 2 4 45
85 xy 102x2 102
9 v 3
5 v 65
30y2 85xy 60x2 0
6y2 17xy 12x2 0
3y
4
2y
-3x x
3
-4x x
3y
2y
2
3y
3y
Si x
5 y2 7 17
4
4
y 4
2
Si x
2y
2y
5y2 7 17
3
3
y 3
4 3 0
C.S. 12;66;12 ; 5
C.S.;v 9;3 ; 9; 3 5; 65 5; 65
5
65; 5 65
65 5
65; 5 65
x 12 6 5
RPTA.: B
177. Resolver:
x2 3xy 2y2 3
x2 5xy 6y2 15
según esto halle (a + b + c + d).
A) 0
D) 3
B) 1
E) -2
RESOLUCIÓN
x2 3xy 2y2 3 x (-5)
e indicar como respuesta la suma
de todos los valores posibles de
“x”
B) 8
E) -4
65
x 8
x2 y2 180
1 1 1
x y 4
A) 7
D) 4
Se obtuvo: C.S.= a;b c;d ,
RPTA.: C
176. Resolver:
2
2 v2 90
e indicar como respuesta la suma
de todos los valores de “y”
A) 7
D) -7
v 180
C) 28
5x2 15xy 10y2 15
x2 5 xy 6 y2 15
4x2 10xy 4y2 0
2 x2 5 xy 2y2 0
C) 2
2x
y
x
2y
y = - 2x
x
y=
2
3 x 4 x
2
2
3 x 4 x
3
2
x 1
A) 7
D) 4
Si x 1 y 2 1; 2
Si x 1 y 2 1;2
x
x
x
x2 5x 6 15
2
2
2
3x a
4x b
a3 b3
ab
Luego: 2
a b2
a3 b3 a3 ab2 a2b b3
0 ab b a
RPTA.: A
b a 0 ab 0
70
3 x4 x 0
x 3 x 4
C.S. 4;3
4
2
A) 1
D) -4
B) 2
E) 4
C) 3
2 a2
2
a 2a 1 4a 8
a2 6a 7 0
5x x 34 x3 296
2
x
2
2x
2
A) 4
D) 16
6 x2 2 x 7 0
x4 4 x3 4x2 6 x2 12 x 7 0
x 4x³ 2x² + 12x 7 = 0
S
a1
4
4
a0
1
C) 31
5 x3 34 x3 296
RPTA.: E
179. Al resolver:
B) 11
E) 17
RESOLUCIÓN
4
2
180. Halle el valor de “x” , sabiendo
que es un número entero positivo
de:
2
Haciendo x 2x a
2
3 7
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
a 1
+
7=a+b
Luego a + b + c + d = 0
x2 2x 2 x2 2x 2 1
C) 5
Haciendo:
2x2 5x2 3x2 15(2)
0 30
C.S. 1; 2 ; 1;2 ;
178. Halle la suma de las raíces de la
ecuación:
B) 6
E) 3
RESOLUCIÓN
2
7
indicar
como
respuesta
la
diferencia de los cuadrados de sus
raíces.
Si y = - 2x x2 3x 2x 2 2x 3
Si y
3
x3 a
5a2 3a 296 0 a 8 a 7, 4
haciendo
4
x3 8
x3 23
4
4
4
x3 7, 8
x = 16
RPTA.: D
SEMANA 10
A) 1
D) 4
INECUACIONES
181. Resolver:
x 1 x 2 x 2 x 3 0 ,
A) - 2
D) 1
B) - 1
E) 2
RESOLUCIÓN
x
2
C) 0
x2 x 2 x2 x 6 0
2x 4 0
x 2
x 2;
RPTA.: B
182. Si: x
, ¿a que intervalo
pertenece la expresión algebraica:
5
2
x 4
5
A) ,
4
C)
0,5
E)
5
0,
4
5
B) 0,
4
D) 0, 4
3a 5b
2
2
0
2
9 a 25b 30 ab
3 a 5b
2
5b 3 a
RPTA.: B
184. Si 1< x < 5
Simplificar:
x2 2x 1
A) 2
D) x-3
x2 10x 25
B) 4
E) x + 3
C) 2 x-6
RESOLUCIÓN
E
x 1
2
x 5
2
E x 1 x 5
Como:
1 x 5
0 x 1 4
y:
1x5
4 x 5 0
E x 15 x 4
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
185. Halle el menor numero impar que
se debe asignar a “K” en:
k x2 8x 4 0 , con la condición
que sus raíces sean números
complejos:
x
x2 0
1
1
x 4 4
5
5
0 2
x 4 4
0
E
El menor valor entero será: -1
C) 3
Como 3 a 5b
x 2 x2 x 6 0
B) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
e
indicar el menor valor entero.
3 a 5b hallar el
M que cumpla lo
5b
M.
3a
183. Si a>0, b>0,
mayor numero
3a
siguiente:
5b
2
RPTA.: E
A) 1
D) 7
B) 3
E) 9
RESOLUCIÓN
k x2 8 x 4 0
C) 5
0 b2 4 ac 0
A) 4, 0
C) 0, 3
2
8 4k x 4 0
64 16k 0
4 k 0 k 4
menor impar: k = 5
3
E) 0,
2
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
Si: 2 x 0
186. Halle el complemento del conjunto
1
solución de: 3
x
1
A) 0,
3
1
B) 0,
3
1
3
C)
0,
E)
1
,
3
D) 0,
1
3
4 x2 2
3
0
4 x2 3
2
0
RPTA.: C
188. Resolver: x2 6x 16 0
7
, 2
4
B) x
D) , 8 4,
E) x
RESOLUCIÓN
x 2 6x 16 0
x 2 6x 9 7 0
x 32 7 0 x
RPTA.: E
189. Indicar el intervalo solución que
satisface la desigualdad:
+
-
C) 8, 4 4,
1
3
x
1
3 0
x
1 3x
0
x
1 3x
0
x
3x 1
0
x
Puntos críticos
0
0 4 x2 4
A)
RESOLUCIÓN
+
B) 0,2
D) 0, 4
4 x2 3x 7
0
x2
1
3
A) x 1;
0
B) x 7 / 4;1 2;
1
3
C) x ;
1
Complemento: 0;
3
RPTA.: A
187. Si:
7
1;2
4
D) x
1;2
E) x
;
2 x 0 , a que intervalo
pertenece la expresión:
3
4 x2
2
RESOLUCIÓN
4x2 3x 7
7
4
4x
x
A) x
7
-1
C) x
4 x 7 x 1
x2
7
4
x
0;x 2
4x 7 0 x
x 1 0 x 1
x2 0x 2
+
-
7
4
+
1
2
31
16
D) x
31 3
;
16 4
3
4
E) x
Puntos
críticos
-
B) x
RESOLUCIÓN
2x2 3x 5 0
3
5
x2 x 0
2
2
2
3 3
x2
2 4
7
;1 2;
4
2
2
5
3
4 2 0
la mitad
RPTA.: B
2
190. Halle la suma de todos los
números enteros que satisfacen la
siguiente inecuación:
4x2 3x 2x 1
A)
5
4
B) 0
2
3
9
5
x 4 16 2
2
C)1
E)
D) 3
3
9
5
x 4 16 2 0
3
31
x 4 16
+
RESOLUCIÓN
1
4
-
192. El intervalo en el cual se satisface
x2 x 6
la inecuación: 2
0
x x6
es: a;b
c;d
; Calcule:
1
4x 1 0 x
Puntos críticos:
4
x 1 0 x 1
-
>
RPTA.: A
4x2 3x 2x 1 0
4x2 5x 1 0
4x
-1
x
-1
4x 1 x 1 0
-
x
+
1
1
x ;1
4
a2 b2 c2 d2
A) 13
D) 26
B) 18
E) 32
RESOLUCIÓN
Factorizando el númerador
denominador; vemos que:
x 3 x 2 0
x 3 x 2
RPTA.: C
191. Resolver: 2x2 3x 5 0
C) 23
N
P.C
D
x=3
x=-2
x=2
x=-3
y
xa xb
2
x a xb
Si: 0 < b < a
En la recta real:
A)
-
+
-
+
-3
-2
0
x 0
+
C) a;b
x 3; 2
2;3
a=-3
b = - 2 a2 b2 c2 d2 26
c=2
d=3
D) b;0
E) a;b
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
193. Indique el conjunto solución de la
x2 x 6
inecuación:
1
x2 x 6
2 ab
ab
B) a;0
3
2
b;
xa xb
2
x a xb
2 a b x 4 ab
x a x b
Puntos referenciales:
2 ab
x
;x a;x b
ab
A) ; 2 0;3
B) ; 1 1;
C) ;0 3;
-a
D) ; 2 1;6
E) ; 2 1;
0
b
Como x 0
x a,0
2 ab
ab
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
Pasando todo al primer miembro
x2 x 6
1 0
x2 x 6
2
2
x x6x x6
0
x2 x 6
x=0
N
2x
P.C
x 3 x 2
x=3
D
x = -2
195. Calcule el conjunto solución de:
x3 1 x2 x
A)
4, 1
C) 1,
B) 1,1
D) ,1
E)
1,
RESOLUCIÓN
x3 1 x2 x
x3 x2 x 1 0
x x 1 x 1 0
x 1 x 1 0
x x2 1 x2 1 0
-
+
-2
0
+
3
2
2
x ; 2 0,3
194. Resolver:
2
RPTA.: A
x 1 x 1 x 1 0
x 1 x 1
2
0
Puntos críticos:
-
+
+
-1
x 4,5 3
1
RPTA.: E
x 1,
197. El
conjunto
solución
de
la
2
inecuación: a x b x c 0
RPTA.: E
Es: ;3 6; Calcule a+b+c.
196. Resolver:
x2 x 20 0 ………………………….(1)
x2 6x 9 0 ………………….………(2)
x2 x 2 0 ………..……….………..(3)
A) 6
D) 12
B) 8
E) 14
RESOLUCIÓN
C) 10
A) x 4
B) x 5
C) x 4
D)
solución
E) 4 x 5;x 3
La solución se
inecuación
x 3 x 6 0
RESOLUCIÓN
x2 9 x 18 0
Con lo cual
ax2 bx c x2 9x 18
De (1):
x2 x 20 0
x
-5
x
+4
x 5 x 4 0
deduce
de
la
a=1
b =-9
c =18
a + b + c = 10
RPTA.: C
5
-4
Por puntos críticos:
+
+
-
198. Señale el valor máximo de k en la
inecuación: 2 x2 k x 2 3 x de
modo que la desigualdad se
cumpla para todo valor de “x”.
-4
5
De (2):
x2 6x 9 0
x 3
2
x
0
A) 8
D) 5
B) 7
E) 4
RESOLUCIÓN
Preparando la inecuación, se
tendría 2x2 k 3 x 2 0
3
De (3):
x2 x 2 0
1 7
x2 x 0
4 4
la condición es : 0 ; es decir
k 3 4 2 2 0
2
k 3 42 0
k 3 4 k 3 4 0
k 1 k 7 0
2
2
1
7
x 2 4 0
x
Los puntos críticos son k= -1; k=7
en la recta real
Al interceptar:
-
+
-4
C) 6
3
5
-1
0
+
7
A) - 4
D) - 3
B) - 5
E) -1
C) - 2
RESOLUCIÓN
k 1;7
Factorizando, se tiene
k max 6
x
3
RPTA.: C
199. Señale el valor entero
satisface al sistema.
que
x
x
1
2
3
x2 2x 24...(2)
4
x 2 0
1
x 1 x 3
4
1
3
3
; se descarta ya que sus
x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 2
0
x 1 x 3
2
2
B) 4
E) 8
C) 5
2
2
se
descartan
los
factores:
2
x x 1 y x x 1 con lo cual
RESOLUCIÓN
1.
2
raíces sus complejas.
Factorizando de nuevo.
x2 5x 24...(1)
A) 3
D) 7
x
1
2
x2 5x 24 0 x 8 x 3 0
x =1
N
-
+
+
x=2
x 1 x 1 x 2 0
x 1 x 3
2
-3
0
x=-1
8
2
P.C
x=-1
D
2.
Recta real:
2
x 2x 24 0
x 6 x 4 0
-
-
+
3.
-4
+
0
6
+
-
-3
-
-1 0 1
+
2
x 3, 1 1 2;
RPTA.: C
Interceptando
201. Halle
el
intervalo
6
8
x=7
RPTA.: D
200. El mayor valor entero negativo
que satisface a la inecuación:
x
6
x
1
2
4
x 2 0 es:
1
3
x2 4x 3
solución
al
resolver: x x 1 3x 1 4 2 1 4x
2
2
x=-3
3
5
3
A) x ;0
B) x ;0
5
C) x ;
3
5
E) x ;
3
0;
5
RESOLUCIÓN
D) x 0;
x2 x2 2x 1 3x 1 3x 1 2 8x
5 x 3
5x 3
3
x
5
x2 x2 2x 1 3x 1
2x 3x
0x
A) 1
D) 6
B) 2
E) 11
C) 5
RESOLUCIÓN
0
3
5
203. Halle la suma de los
, al
resolver
la
inecuación:
16 x3 35 x2 51x
0
x4 x2 1
3
x 0;
RPTA.: D
202. Indicar
la suma de aquellos
números enteros que satisfacen la
inecuación:
x 5 2x4 32 3x2 x 2
2
48
A) 1
D) 5
17
B) 0
E) 6
0
C) 4
RESOLUCIÓN
x 5 2x4 32 3x2 x 2
2
48
X=5
“par”
17
3x
x4 16 0
2
2
+
2
3
16 x3 35 x2 51x 0
x 16x2 35x 51 0
16 x
51
x
-1
x 16x 51 x 1 0
Puntos críticos
x=0x=0
16 x + 51 =0
2
3
+
1
+
2
+
5
-
+
51
16
x ;
-
x=
x – 1 = 0 x = 1
-
x
3
x
-1
“par”
-2
0
2
x 4 x 4 0 x
x 2 x
+
x4 x2 1 x2 x 1 x2 x 1
0
51
16
+
1
51
0;1
16
1
RPTA.: A
2
x ;1 2;5
3
1 + 2 -2 + 5 = 5
RPTA.: D
204. Si: x 5,10 , halle : 32 M-17 N
2x 1
tal que: N
M
3x 2
A) 18
D) 12
B) 16
E) 10
C) 14
206. Halle el conjunto
4x 3 2 3x
RESOLUCIÓN
2x 1
2
7
3x 2
3 3 3x 2
19
9
; N
32
17
32M 17N 10
2
6
5
7x = 5
5
x
7
9
C)
4
2
3
C.S.
- 4x+3 = 2-3x
1 =x
5
7
1
1
RPTA.: B
M x 5 x5 2
Haciendo cambio de variable
yx
1
5
5
8
8
B) C.S. 1;
5
8
C) C.S.
5
y2 y M 2 0 ; y
0
1 4 M 2 0
M
4x 7
2x 3
3
207. Resolver:
A) C.S. 1;
M y2 y 2
2
3
4x 3 2 3x 4x 3 2 3x
1
SOLUCIÓN
2
E) 0
2 3x 0 3x 2 0 x
se cumple: M x 5 x5 2
D)
5
7
4x 3 2 3x
205. Encontrar el número mayor M con
la propiedad de que para todo
5
B)
6
2
E)
5
C)
de:
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
2
A)
3
5
7
D) 1;
M
x
B) 1
A)
Como: 5 x 10
9 2
7
19
17 3 3 3x 2
32
solución
9
4
D) C.S. 1;3
9
El mayor valor M
4
E) C.S.
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
SEMANA 11
INECUACIONES, VALOR
ABSOLUTO, INECUACIONES
EXPONENCIALES
4x 7
2x 3
3
2x 3 0 x
3
2
4x 7
4x 7
2x 3
2x 3
3
3
4x-7=6x-9
-4x+7=6x-9
2=2x
16 = 10x
1=x
1,6= x
2
3
1
4x2 3x 1 x2 2x 1
4x
2
5x
2
1
6
4x 3 2x 1 ,
+
e
D) 3
-
+
+
2
3
1
1
2
;1
5
3
El menor número entero
4x 3 2x 1 4x 3 2x 1 0
6x 4 2x 2 0
x
2
3
210. Halle la suma de los valores
enteros
que
pertenecen
al
complemento
del
conjunto
solución de la inecuación:
x2
1
x
x2
A) 0
D) 3
x=1
+
-
2
3
+
C) 2
x2
1
elevando
al
x
x2
cuadrado y por diferencia de
cuadrados:
1 x 2
1
x2
x x 2 x x 2 0
2
x ;1 =1
3
RPTA.: B
x2 4 x x2 4 x
0
x x 2 x x 2
209. Al resolver, indicar el menor valor
entero
que
satisface
la
2
2
desigualdad: 4x 3x 1 x 2x 1
RESOLUCIÓN
B) 1
E) 4
RESOLUCIÓN
1
B)
E) -2
RPTA.: B
E) 5
4x 3 2x 1
A) 0
D) 2
2
x=1
3
x
C) 2
RESOLUCIÓN
1
5
x 0;
1
5
0
indicar como respuesta el mayor
de los números enteros que
pertenece a su conjunto solución.
B)1
x 3x 5x 2 0
x=0 x
RPTA.: C
2
A)
3
2
x 5x 1 3x 2 x 1 0
8
C.S.
5
208. Resolver:
3x 1 x2 2x 1 4x2 3x 1 x2 2x 1 0
x
2
x 4 x2 x 4
x2 x 2
C) 1
C.S.
,
2
1 17 1 17 1 17 1 17
,
,
2
2
2
2
Entonces:
{2, 2}
211. Si
-4x-7; x
RPTA.: B
el
x-7; x 7
conjunto solución de la
x 1
1
inecuación 2
tiene
x 1
x 4x 8
la forma:
;
a
c Halle:
b
a+b+c
A) 5
D) 9
B) 7
E) 10
Elevando al cuadrado
2
x 1
1
x2 4x 8 x 1
Luego:
1 x 1
1
x 1
x2 4x 8 x 1 x2 4x 8 x 1 0
x2 2x 1 x2 4x 8 x2 2x 1 x2 4x 8
0
x2 4x 8 x 1 x2 4x 8 x 1
2x 7 2x2 6x 9
2
x2 4x 8 x 12
E
4x 7 7 x
x
5
RPTA.: E
A) 60
D) 63
B) 61
E) 64
C) 62
RESOLUCIÓN
x60
x 12 0
x6
x 12
x= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
214. Resuelva la inecuación
x 1 x
A) 0;
B) 1;
C) ;1
E) ;0
D) 1;1
4x 7 x 7
x
se resuelve a una constante, para
x 2,5 ; halle dicha constante.
B) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
4x+7; x
4x 7
para x 2;5
RPTA.: D
RPTA.: E
A) 1
D) 4
0
7
x ; 1
2
a + b + c = 7 + 2+1 = 10
212. Si la expresión E
7-x; x<7
213. Halle la suma de los valores
enteros
que
verifican
a
la
inecuación x 6 x 12 0
RESOLUCIÓN
x 7
C) 8
2
7
4
RESOLUCIÓN
x 1 0 x 0
x0
x1
C) 3
7
4
1
Universo: x 1
Elevando al cuadrado
x 1 x2
x2 x 1 0 ; 3
x
interceptando
x 1;
RPTA.: B
217. Cuántos
valores
enteros
satisfacen a la inecuación
1
1
4
0
4
x2
9x
A) 31
D) 34
215. Indicar el conjunto solución de
x2 x5 3
A) 5;
B) 6;
D) 6;
E)
C) 5;
2;5
RESOLUCIÓN
1.
2.
3.
4.
Universo
x 2 0 x 5 0 x 5
x5 3 x2
Elevando al cuadrado
x5 96 x2 x2
RESOLUCIÓN
x–2>0
x>2
9–x>0
x<9
3; 4; 5; 6; 7; 8.
3 45 6 7 8
218. Señale el intervalo en el cual le
satisface la inecuación
2x 5
x2 5x 6
x2 2
x2 4 x 6
A) 2;
RPTA.: B
C)
216. Indique el conjunto solución de
C)
E)
1
;
2
5
2
B) 0;
1
D) ;
2
B) 3;0
5
;4
2
E) 7;
x3 3x2 5x 2 x 1
A) ;0
C) 33
RPTA.: C
6 x 2 12
3
B) 32
E) 35
D) 3;6
5
2
RESOLUCIÓN
1.
1
0;
2
x2 5x 6 0
x2 5x 6 0
x 3 x 2 0
+
RESOLUCIÓN
Elevando al cubo.
x3 3x2 5x 2 x3 3x2 3x 1
2x 1
1
x
2
1
x ;
2
RPTA.: C
+
0
2.
2x – 5 < 0
5
x
2
3.
De …(1) y …(2)
2
3
x 2;
5
2
RPTA.: A
219. Al
resolver: x 4 3 x 1 4 ,
indicar como respuesta la suma
de sus raíces.
9
11
2
D)
7
7
8
9
E)
4
A)
B)
C)
4
7
220. Indicar el menor valor entero
positivo
que
satisface
la
desigualdad:
x 1
RESOLUCIÓN
x+4=0
x=-4
x -1 = 0
x=1
-4
+
+
x 4;1
x 1;
1
x 1
25
- ….
- ….
+ ….
0,04
C) 3
x 2
3
x
1
25
x 3
2
x 3
6x 3
0
x x 1
puntos críticos x
(x+4) +3 (x-1) = 4
x + 4 + 3x – 3 = 4
4x = 3
3
x
4;1
4
3
x
4
+
-
0
+
1
1
x 0; 1;
2
2
RPTA.: B
se
Cálculo de ():
(x + 4) 3(x1) = 4
3
1
x=
2
1
;0;1
2
-
1
2
2x 1 x 3 1 ,
221. Al resolver:
x a;b ;
obtiene
según esto, hallar (b+c).
A) 17
D) 14
Luego:
x 3
2
B) 2
E) 0
x2
(x+4) + 3(x-1) = 4
x – 4 + 3x -3 = 4
2x = 11
11
x=
; 4
2
x
Cálculo de
x
1 x 1 1 x
5
5
x2 x3
x 1
x
x2 x3
0; x 0;1
x 1
x
x2 2x x2 4x 3
0
x x 1
Cálculo de
-
RESOLUCIÓN
1
x ; 4
x 2
3
A) 1
D) 4
x 4 3 x 1 4
0,008
B) 16
E) 13
C) 15
RESOLUCIÓN
3 3
,
4 2
3 3 9
4 2 4
2x 1 x 3 1
1
2
x 3 0 x 3
2x 1 0 x
RPTA.: E
1
x ; ..Universo
2
2
2x 1 1
x3
2 6x 4x 7 6x 2
2 6x 4x 7 4x 7 6x 2
9 < 10x
-5 < 2x
9
5
x
x
2
10
2
2x 1 1 2 x 3 x 3
x 5
2
2 x3
2
x2 10x 25 4x 12
x2 14x 13 0
x 13 x 1 0
1
2
9
10
5
1
2 9 3
C.S. x
;
10
x = 13 x = 1
1
13
RPTA.: B
1
x ;1 13;
2
b
c
b + c = 1 + 13 =14
RPTA.: D
222. Halle el valor de “x” que satisface
la desigualdad.
3
4
2 4x 7 8
64
27
A)
9
;
10
;
223. Halle la suma de los valores
enteros positivos que pertenecen
al complemento del conjunto
solución
de
la
inecuación
x 5
A) 6
D) 17
C)
9
D)
;
10
2 4x 7 8
E)
3 3
4
2 4x 7 8
4 x 1
B) 12
E) 20
2 x 4
C) 15
2x
2 x 5 2 x 1
2 x 4
2x
x5
x 1
x4
x
0
x 5 x 1
x2 3x 4 x2 5x
0
x 5 x 1
2 x 2
12x 12
3
3
4
4
2 4x 7 8 12x 12
x 5 x 1
+
0
+
-
2 4x 7 12x 4
4x 7 6x 2
22x
RESOLUCIÓN
5
2
3
4
x 1
4 x 1
B)
RESOLUCIÓN
4x 4
-1
2
5
C.S. 1;2 5;
1
6x 2 0 x
3
C.S.
C
3 4 5 12
RPTA.: B
SEMANA 12
224. Halle el conjunto solución de la
inecuación:
x 3
1
3
3
x
2
x2
1
9
9
A) 3;
B) ; 3
C) ;3
E) 2;3
D) 3;
FUNCIONES
x
226. Sea la función: f x ax2 b , a b
constantes y “x” un número real
cualquiera. Los pares ordenados
(0;3); (2;2) y (3;R) corresponden
a los puntos de la función,
¿Calcular el valor de “R”?
RESOLUCIÓN
x 2
1 x
3
4
A) 1
B)
D) 2
E) 5
C) 1; 3
3 x 3 9 x 2
x 2
x 3
1 x
2
x 2
3
3
x2
1 x
2
x3
x 2
x 2 2 x 1
0
x3
x2
3x2 4x 10
0
x 3 x 2
RESOLUCIÓN
f x ax2 b
y ax2 b
Evaluando:
(0;3) 3 a 0 b b 3
2
C.S. 2;3
(2;2) 2 a 2 b b 2 4a b a
2
(3;R) R a 3 b
2
RPTA.: E
225. Indicar el mayor valor entero del
conjunto solución de la inecuación
R
x2 2x 15 x 1
R=
A) -1
D) - 4
B) -2
E) -5
C) -3
Halle el dominio de f x 22 x2
A)
B) x / 4 x 4
Si:
x2 2x 15 0
x
3
x
-5
C) 2;2
D) 2;
E)
-3
5
2;2
RESOLUCIÓN
Si además x+ 1 0
x 1
C.S. ; 3
3
4
1
9 3
4
RPTA.: B
227.
RESOLUCIÓN
1
4
Como
f x 0 ,
entonces
definida solo si 4 x2 0
Luego: x2 4 0
x 2 x 2 0
mayor valor entero = -3
RPTA.: C
esta
x = 2 x = -2
f x 3 x 1 6
2
g x 2 x 1 3
2
+
-
+
-2
2
x 2;2 Dom f 2;2 ó x / 2 x 2
Señale Rang f Rang g
A) 2;6
B) 3;6
C) 6;
D) ; 3
E) 3;6
RPTA.: C
228. Halle el dominio de la función:
y f x ; tal que f x x 2 6 x
A) 2;4
B) 2;6 C) 2;4
D) 2;6
E) 6;
RESOLUCIÓN
Rang f ;6
Rang g 3;
Interceptando
Rang f Rang g = 3;6
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
x2 0
x2
x 2;6
6x0
x6
231. Halle “p” para que el conjunto de
pares ordenados de:
f 2;3 ; 1;3 ;2;P 6 sea
función
RPTA.: B
229. Halle el rango de la función f cuya
x2
regla es f x
x3
A)
1
B)
C)
2
3
D) ;1
E)
1
2
3
C) - 3
RESOLUCIÓN
(2;3) = (2; P + 6)
Luego: 3= P + 6
- 3 =P
232. Señale el dominio de la función f;
x2
xy 3y x 2
x3
xy x 3y 2
x y 1 3y 2
x
Rang f
B) - 4
E) - 1
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
y
A) -5
D) 2
3y 2
si f x
A) ; 1 1; 0
B) 1;1 1;
C)
y 1
D)
1
E)
RPTA.: B
230. Dada las funciones f y g cuyas
reglas de correspondencia son
x2
x2 1
; 1 U;1
1;1
RESOLUCIÓN
x2
0
x2 1
x2
0
x 1 x 1
P.C.
N
x=0
x=1
x = -1
D
1
2
1
;4
2
A) ;
B)
C)
D)
3;
E)
RESOLUCIÓN
+
-1
-
+
1
Como f x 0, entonces
Dom f ; 1 1; 0
x3
1
0 x
2x 1
2
Luego x 3 0 x 3 puntos
1
críticos
2x 1 0 x
2
definida si:
+
1
233. Halle el dominio de f x 1 x2
x
B)
-
1
2
RPTA.: A
+
3
1
3;
2
1
Dom f
;3
2
0
RPTA.: B
C) 1;1 0
D)
E)
235. Si la función parabólica
1;1
f
RESOLUCIÓN
Como
f x 0 ,
pues
x 0,
A) 1
D) 4
x 1 x 1 0
x=1
+
-1
/ y ax2 bx c
B) 2
E) 5
C) 3
x=0c=4
x = 1 a + b+ 4 = 2
a + b = -2……………….…
+
x = -1 a-b +4 = 12
a – b = 8……………………
1
x 1;1
De y a = 3 y b = -5
dom f 1;1 0
RPTA.: C
234. Si f x
2
RESOLUCIÓN
x = -1
-
x, y
pasa por los puntos A (1,2);
B (-1;12); C (0;4) Calcule a b c
1 x2 0
x2 1 0
entonces:
x ;
A) ; 1
esta
x3
, halle su dominio.
2x 1
f x 3x2 5x 4
f1 3 5 4 2
RPTA.: B
236. Señale el valor máximo de la
función
f,
si
la
regla
de
correspondencia es:
f x x 1 x 2 x 3
2
A) - 1
D) - 4
2
B) - 2
E) - 5
2
1-3x; x
f x
1
2
1
1
Si: x y
2
2
1
1
Si: x y
2
2
1
R f ;
2
x- 1; x
C)- 3
RESOLUCIÓN
Operando:
f x x2 2x 1
1
2
f x x2 4x 4
RPTA.: B
f x x2 6x 9
238. Dada la función f x ax b; x
f x 3x2 12x 14
a = -3; b = 12; c = - 14
fmáx
4a
144 4 3 14
donde a y b son ctes reales, si
f x y f x f y
x, y , y si
144 168 24
24 4
fmáx
2 3
A) 1
D) 4
f x 2 6 Halle: a +b
1
1
2
A) ;
2
B) ;
1
;
2
1
D) ;
2
C)
Como f x y f x f y
a x y b ax b ay b
b=0
luego: f x ax
f 2 2a 6 a 3
a +b = 3
RPTA.: C
239. Halle la suma de los valores
enteros del dominio de la función:
1 1
E) ;
2 2
C) 3
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
237. Halle el rango de la función f
definida por: f x 2x 1 x
B) 2
E) 5
f x
RESOLUCIÓN
1
2x-1; x
2
2x 1 =
1-2x; x
1
2
A) 0
D) 5
x2 3x 4
21 x2 4
B) 1
E) - 5
RESOLUCIÓN
C) - 1
El dominio esta dado por
solución de la inecuación:
x2 3x 4
21 x2 4
0
la
- 3a+b = -13
x 3x 4 0 x , 1 4;
2
21
x2 4 0
x2 4
21
a + b = - 1 (-)
-3a + b = - 13
x2 4 0
x2 25 0
4a
= 12
a=3
b=-4
3a – 2 b = 3 (3) – 2 (-4) = 17
x ; 2 2;
x 5,5
RPTA.: A
Dom f 5; 2 4;5
RPTA.:E
240. Si M 2;6 ;1;a b ;1;4 ;2;a b ;3;4
242. Halle el rango de: f x x2 6 3
es una función, halle: a2 b2
A) 12
D) 26
B) 16
E) 27
RESOLUCIÓN
C) 32
7;1
B)
C)
0
D) 7;1
E) 1;
(2;6)= (2;a+b)
1;a b 1;4
6 = a+b
a–b=4
a +b = 6
a–b=4
2a = 10
RESOLUCIÓN
Como f x 0 ,
+
y 3
2
x2 16
x2 y2 6y 7
x y2 6y 7
0
y2 6y 7 0
f1 1 f 3 13, hallar:
y 7 y 1 0
(3a-2b)
y = -7
C) 15
y =1
+
RESOLUCIÓN
Si f x ax b , evaluando:
f1 1 a 1 b 1
*
a +b = -1
f 3 13 a 3 b 13
2
y2 6y 9 x2 16
241. Sea una función definida en el
conjunto de los números reales,
por f x ax b y además
*
esta
x2 16 3
y
RPTA.: D
B) 16
E) 23
entonces
definida solo si: x2 16 0 pero,
como nos solicitan el rango,
entonces:
a=5
b = 1 a2 b2 52 12 26
A) 17
D) 19
A)
-7
+
1
y ; 7 1;
Ranf
7;1
RPTA.: A
243. Si
f x x2 2 ;
g x x a ,
determinar el valor de “a” de
modo que (f o g) (3) =(g o f)(a-1)
8
7
1
E)
8
A) -8
D)
B) -
1
7
C)
245. Señale el valor de “n” en la
función f ; si f x x 2 x 3 ... x n
y el dominio es 10;
7
8
A) 6
D) 10
B) 7
E) 13
C) 9
RESOLUCIÓN
f og3 f g 3 f 3 a a2 6a 11
2
gof a 1 g f a 1 g a 1 2
RESOLUCIÓN
gof a 1 g f a 1 a2 a 3
Reemplazando resultados:
(fog) (3) = (gof) (a1)
a² + 6a + 11 = a² a+3
8
a=
7
RPTA.: B
244.
Si:
x2 0 x 2
x3 0 x 3
.
.
.
xn 0 x n
Como : n > 2 > 3...
Domf n;
n = 10
f x 2x 3b , determinar el
valor
de
“b”
de
manera
f b 1 3 f * b ;b
RPTA.: D
que
2
A) 3
D) - 4
B) 4
E) 2
SEMANA 13
C) -3
TEMA:
246. Calcule el siguiente límite
RESOLUCIÓN
x3 5x2 3x 3
x 1 3x3 6x2 9x
Calculando f * x :
lim
f f * x x , x Df *
2 f * a 3b x
x 3b
;x Df *
2
Como: f b 1 3f * b2
f * x
D)
1
3
6
E)
5
A) 5
B)
1
6
C)
RESOLUCIÓN
b2 3b
2 b 1 3b 3
2
2
3b 11b 4 0
1
b=
b=-4
3
Factorizando
denominador.
x 1 x2 6x 3
lim
x 1
3x x 1 x 3
RPTA.: D
x2 6x 3 5
x 1 3x(x 3)
6
lim
5
6
numerador
RPTA.: C
247. Calcule el siguiente limite:
x 8
lim
x 64 3
x 4
A) 4
B) 3
1
4
E) 2
D)
C)
x 8
lim
x 64 3
x 4
1
3
C) 1
1
E)
2
2
x y2
lim
y 2
y3 8
y2 4
a ax x2
1
4 3
1
5
2
como x P
1
2
5
1
6
2
a ax
A) 3a
D) 1
B) a
E) a2
RPTA.: C
C) -a
250. Halle el V.V. de la expresión
x2 x2 12x
, para x =4
T
x2 5x 4
RESOLUCIÓN
Multiplicando al numerador y
denominador por su conjugada se
tiene:
a2 ax x4 a ax
lim
x a
a2 ax a ax x2
a a x a ax x a
lim
a a x a ax x
2
x a
B) 2
1
1
8 2 3
2
2 13 0
2
P 1 2
3 12 0
1
1
2
12 2 2
2
2
Factorizando:
2x 1 4x 3 4x 3 , y
Luego: Px
2x 1 6x 2 6x 2
RPTA.: B
x a
P x
Evaluando:
3
lim
expresión
límite de la
8x2 2x 3
;
12x2 2x 2
RESOLUCIÓN
y 2 y2 2y 4
lim
y 2
y 2 y 2
248.
valor
A) -3
3
D)
4
Hacemos un cambio de variable
x y3
y6 x
el
para x=0,5
RESOLUCIÓN
3
249. Hallar
2
ax
2
= 3a
RPTA.: A
1
2
1
D) 6
3
1
3
1
E) 5
2
A) 11
B) 9
C)
7
RESOLUCIÓN
4 4 12 4
T
2
4 5 4 4
3
2
64 16 48 0
16 20 4 0
Factorizando num. y den.
N = x x2 x 12
x
x
-4
3
2
3
x x 4 x 3
=
x2 5x 4
x
-1
x
-4
(x-1)(x-4)
D=
=
T
RPTA.: B
x x 4 x 3
x 1 x 4
253. Calcule: lim
x 1
x x 3
x 1
,
y
como x = 4
4 7 28
T
3
3
D)
A) 6
D) 2
1
3
C)
RESOLUCIÓN
lim
RPTA.: B
x
B)
1
4
x 1
251. Halle el lim
1
2
1
E)
5
A) 1
x 1
x 1
x 1
x 1
RPTA.: B
8x2 5x 6
4x2 x 1
B) 0
E)
1
x 1 2
x 1
C) 1
x10 a10
xa x5 a5
254. Halle lim
B) a2
E) 2 a5
A) 2
D) a5
C) 5
RESOLUCIÓN
8 5
2
lim
x
4 1
2
RESOLUCIÓN
Dividiendo
numerados
y
denominados entre x²
5 6
x2 8 2 8 5 6
x x
2 8 0 0 2
lim
x
1 1
1 1
400
2
x2 4 2
x x
RPTA.: D
252. Calcule: lim
x 1
2
A)
3
1
D)
4
x3 1
x2 1
Factorizando:
x5 a5 x5 a5
lim
x a
x5 a5
1
C)
2
D)
3
2
B)
3
4
1
2
C) -2
E)
RESOLUCIÓN
x
5
255. Halle el valor de
2x20 3x10 1
lim
x 4x20 2x5 1
lim
RESOLUCIÓN
2a
RPTA.: E
A) 2
3
B)
2
5
E)
4
x 1 x2 x 1
lim
x 1
x 1 x 1
Coef de x20 Denominador
lim
x
Coef de x20 Númerador
2 1
4 2
RPTA.: B
x10 x 2
x x2 x 1
256. Calcule lim
B)
E)
A) 0
D) -1
RESOLUCIÓN
T
C)
46
4 1
10 5
2
2
0 0
4 16 4 4 4
Efectuando operaciones:
x6
x 1 x x 6 x 1 x 6
T
x x 4 x 4
x 4 x 4 x x 4
RESOLUCIÓN
x10 x 2
; ya que el
x x2 x 1
exponente de númerador es
mayor que el exponente del
denominador.
lim
x4
1
y como
x x 4 x 4 x x 4
x=4 T
1
1
ó 25
4 4 4 32
RPTA.: B
257. Halle el lim x2 4x x2 x
RPTA.: A
259. Halle el lim
x
4x
x 3
2
3
5
E)
7
A)
B)
3
D)
2
C)
2
3
lim 2 4 2
Multiplicando la expresión por
conjugada
x2 4x x2 x
x2 4x x2 x
lim
x
4x x x
la
3x
x2 4x x2 x
D)
E)
C)
4
7
el
B) 24
E) 0,25
27 6 5 16 5 2
3
2
4x
lim
3
valor aproximado de
x6
x 1
la función Tx 2
, para
2
x 16 x 4x
x=4
A) 25
1
D)
3
B) 0
1
7
Indeterminado
Transformando adecuadamente
RPTA.: D
258. Halle
x 3
x
4
4
x 1 x 1
x
x
3
3
2
4
1
1
1
x
A) 6
4
lim
x
2
27x 6x 5 16x2 5x 2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
2
3
27
6 5
5 2
3 x2 16 2
2
x x
x x
6 5
2 2
5 2
2
6
5
5
2
0
0
0
0
4x
x 3 27 16
4
7
RPTA.: E
C) 23
260. Si: lim
x 0
senkx
1
kx
sen5 x
sen3 x
Calcule lim
x 0
3x
5x
34
15
5
E)
3
A)
B)
15
20
17
C)
D)
34
31
19
RESOLUCIÓN
5 sen5x
3 sen3x
E lim
x 0
3x
3 5x
5
3 5
9 25
34
E
5 3
15
15
RPTA.: A
261. Halle la suma de las constantes k
x3 1
y b, que cumple lim k x b 2 0
x 0
x 1
A) 1
D) 3
B) 0
E) -1
RPTA.: D
263. Calcule el siguiente limite
1 cos 6x
lim
x 0
sen 6x
C) 2
A) 0
1
6
E) 2
B)
RESOLUCIÓN
D) 6
x 1
lim k x b 2
x 0
x 1
RESOLUCIÓN
3
lim
kx b x2
1 x3 1
x2 1
kx3 b2 kx b x3 1
lim
x 0
x2 1
3
k 1 x bx2 kx b 1
lim
x 0
x2 1
como el limite es cero, entonces
k = 1, b = 0
k +b = 1
x 0
6x 5 sen 2x
x
lim
x 0 2x 3 sen 4x
x
sen 2x
6
x
lim
x 0
sen 4x
23
x
sen2x
62
x
lim
x 0
sen 4x
23 4
4x
62
2
2 12
7
RPTA.: A
262. Calcule el siguiente limite:
6x sen2x
lim
x 2x 3 sen 4x
A) 3
D)
2
7
B) 0
E)
RESOLUCIÓN
1
6
C)
6
5
C) 1
Aplicando la Regla de H´ospiral
d
1 cos 6x
0 sen 6x 6
lim dx
lim
x 0
x 0
d
cos 6x
sen6x
dx
Evaluando:
0
0
uno
RPTA.: A
264. Calcule el siguiente limite:
tg x sen x
lim
x
x3
A)
D)
B)
E)
RESOLUCIÓN
sen x
sen x
cos x
lim
x
x3
C)
lim
sen x 1 cos x
a1 5
3
x cos x
sen x 1 cos x
1
lim
2
x
x
cos x
x
1
2
x
2 a1 n 1 r
S
n
2
2 5 n 1 2
437
n
2
437 4 n n
RPTA.: B
265. Halle el valor de “a”,
sabiendo que:
a > 0
x3 2a2x ax2
2a 5
x
2ax x2
D)
1
2
B)
1
3
267. Encontrar la mayor edad de tres
personas; sabiendo que forman
una P.A creciente, cuya suma es
63 y la suma de sus cuadrados es
1373.
C) 2
E) 3
A) 27
D) 24
RESOLUCIÓN
Factorizando
numerador
denominador:
x x 2a x a
lim
x
x x 2a
lim
x
Este
2a-5
a=2
x x a
B) 26
E) 23
C) 25
RESOLUCIÓN
y
a-r,a,a+r
S = 63 3a = 63 a = 21
a r
2
a2 a r 1 373
2
2 21 r 21 1 373
2 441 r 441 1 373
2 a2 r2 a2 1 373
1a
x
resultado
n = 19
RPTA.: B
lim
A) 1
2
igualamos
con:
2
2
RPTA.: C
SEMANA 14
2
r2 25 r 5
16 , 21 , 26
PROGRESIONES
RPTA.: B
266. Cuántos términos debe tener una
P.A. cuya razón es 2. Sabiendo
que el noveno término es 21 y la
suma de todos ellos es 437.
A) 11
D) 23
B) 19
E) 25
RESOLUCIÓN
a9 a1 8r
C) 21
268. La suma de los tres primeros
términos de una P.A. es 42, la
suma de los tres últimos es 312, y
la suma de todos los términos
1062,
¿de
cuántos
términos
consta dicha progresión?
A) 14
D) 18
B) 16
E) 19
C) 17
RESOLUCIÓN
21 a1 8 2
a1,a2 ,a3.....an2,an1,an
a1 a2 a3 42
+
an , an1 an 312
RESOLUCIÓN
a3 4a1....
a1 an an a1 a1 an 354
3 a1 an 354
a6 17
a1 an 118
S 1 062
a6 3r 4 a6 5r
17 3r 4 17 5r
a1 an
2 n 1 062
118
2 n 1 062
n = 18
17 3r 4 17 20r
17r 3 17
r=3
a1 a6 5r
a1 17 5 3
RPTA.: D
a1 2
269. En una P.A. los términos de
lugares 11 y 21 equidistan de los
extremos y suman 48. Determinar
la suma de todos los términos de
dicha progresión.
A) 360
D) 744
B) 372
E) 804
C)
720
a8 a6 2r
a8 17 2 3
a8 23
RESOLUCIÓN
a1 ,........a11................a21 ..........an
10
RPTA.: C
271. Dadas
las
aritméticas:
*
x 2y 4x 1 ...
48
Último: a31 n 31
*
a an
S 1
n
2
48
S
31
2
S = 744
x y 2y 2 ...
A) 3
D) 9
C) 80
B) 4
E) 12
C) 7
RESOLUCIÓN
2y – x = 4 x + 1 - 2y
4y - 5x = 1
270. En una P.A el tercer término es
igual a 4 veces el primero y el
sexto término es igual a 17. Halle
la suma de los 8 primeros
términos.
B) 30
E) 20
y
progresiones
Calcule el valor de (xy)
RPTA.: D
A) 50
D) 10
a a8
a1 a2 ..... a8 1
8
2
2 23
a1 a2 ..... a8
8
2
a1 a2 ..... a8 25 4 100
10
a1 an a11 a21
De :
x + y – y = 2 y + 2 – x –y
x=y+2–x
2x –y = 2
y=2x-2
4 2x 2 5x 1
8x - 8 - 5x = 1
3x = 9 x = 3 y = 4
x y = 12
7n 1
Sn
n, a21 ??
2
a an
Sn 1
n
2
RPTA.: E
272. Calcule:
2 26 242
K 1 2 6 10 ...
3
3
3
201
80
80
D)
201
101
80
200
E)
81
A)
B)
2 a1 8
C)
a1 4
301
80
S1 : n 2
RESOLUCIÓN
2 26 242
K 1 2 6 10 ....
3
3
3
3 1 27 1 243 1
K 1 2 2 6 6 10 10 ....
3 3 3 3
3
3
1 1 1
1 1 1
K 1 3 5 ... 3 5 ...
3
3 3
9 9 9
1
3
K 1
1
1
1 2
2
3
9
1
3 9
9 1
80
8 80
81
RPTA.: A
273. La suma de los “n” términos de
una P.A. es:
7n 1
Sn
n
2
Calcule el término que ocupa el
lugar 21.
A) 122
D) 105
B) 144
E) 100
RESOLUCIÓN
a1 a2 15 r 7
4
11
a21 a1 20r
a21 4 20 7 a21 144
RPTA.: B
274. En una P.A. la suma de sus “n”
términos está dada por:
S 3n2 n ,
¿Cuál
será
la
expresión de la suma sino se
considera el primero ni el último?
1
9
1
1
K 1 3
8
9
201
K
80
a1 an
7n 1
2 n 2 n
a1 an 7n 1 S1 : n 1
C)
169
A)
B)
C)
D)
E)
3n2 5n 2
3n2 5n 2
3n2 5n 2
3n2 5n 2
3n2 5
RESOLUCIÓN
S 3n2 n
a1 an
a1 an
2
3n 1
2 n 3n n 2
Sin considerar a1 y an
a an1
S 2
n 2
2
T1 x 2, T3 x 6
a an
S 2
n 2
2
S 3n 1 n 2 3n2 5n 2
RPTA.: D
275. En una P.G. de tres términos la
suma de ellos es 248 y su
producto es 64 000. Escribir la
progresión y dar como respuesta
el mayor de sus términos.
A) 50
D) 200
B) 100
E) 220
C)
150
T1 T3
5
x2 5
2
T2
3
T2
3
3
T2 x 2
5
Además:
T3
T
2 T22 T1 T3
T2
T1
9
2
x 2 x 6 x 2
25
Resolviendo x = 3
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
T1 , T2 , T3
T
, T, T q
q
T
T T q 248 ………………….
q
T
T T q 64 000
q
T 3 64 000
T = 40
1
40 1 q 248
q
Resolviendo:
q=5
T q 40 5
T q 200
B) 4
E) 7
C) 5
RESOLUCIÓN
T1 T1q2 T1q4 637
T1 q T1q3 T1q5 1911
RESOLUCIÓN
q T1 1 q2 q4 1 911
276. Determinar “x”, si el primer
término de una P.G. es igual a
(x-2); el tercer término es igual a
(x+6) y la media aritmética de
sus términos primero y tercero se
5
refiere al segundo como .
3
B) 3
E) 2
T1 1 q2 q4 637
RPTA.: D
A) 7
D) 5
A) 3
D) 6
T1 , T1 q, T1 q2 , T1 q3 , T1 q4 , T1 q5
En
277. La suma de los términos que
ocupan el lugar impar en una PG.
De 6 términos es 637 y la suma
de los que ocupan el lugar por
1 911. Halle la razón.
C) 4
q=3
RPTA.: A
278. La suma de los términos de una
P.G. de 5 términos es 484. La
suma de los términos de lugar par
es 120. ¿Cuál es la razón entera
de la progresión?
A) 3
D) 6
B) 4
E) 7
RESOLUCIÓN
C) 5
T1 T1q T1q2 T1q3 T1q4 484
T1 1 q q2 q3 q4 484
A) 30
D) 33
B) 31
E) 34
C) 32
3
T1q T1q 120
RESOLUCIÓN
T1 q q3 120
a1 100
:
an ?
1 q q2 q3 q4 121
30
q q3
Resolviendo: q = 3
r = 96-100= -4
n = 18
RPTA.: A
279. La suma de 3 números en P.A. es
15, si a estos números se agregan
el doble de la razón excepto al
término central entonces ahora se
encontrarán en P.G. indicar la
razón de esta última progresión.
20
3
10
D)
3
A)
B) -3
E)
C) 5
5
3
an a1 n 1 r
a18 100 18 1 4
a18 100 68
a18 32
RPTA.: C
281. Calcule el séptimo término de la
sucesión 21 22.....
A) 26
D) 20
B) 27
E) 22
C)
20
RESOLUCIÓN
1
2
n=7
1 1
1
r
4 2
4
RESOLUCIÓN
a1
a - r, a, a + r
3a = 15
a=5
5 – r, 5, 5 + r
a7
5+r, 5, 5+ 3r P.G.
5
5 3r
5r
5
1
1
6
2
4
1 3
2 2
2
a7 1
2
a7
25 5 r 5 3r
25 25 20r 3r2
RPTA.: C
2
3r 20r
20
r
3
RPTA.: A
280. En la P.A.
100 96 92....
Calcule el término que ocupe el
lugar 18.
282. Señale el valor de:
1 1 1 1 1
P 1 ...
2 3 4 9 8
A) 0,2
D) 0,8
B) 0,4
E) 1, 0
RESOLUCIÓN
C) 0,5
1
1 1
1
3
S1 1 .....
2
1
3 9
3 2
1
3
1
1
1 1 1
S2 ..... 2 2 1
1 1
2 4 8
1
2 2
S2 1
P
3
32 1
1
2
2
2
x 1 x 2 x 3
2
283. Halle el n-esimo término de la
sucesión 8 13 18....
B)
C)
D)
E)
D) 4n2 2n 1
2x
2
6
n n 1
n n 1 2n 1
2
3
2n 1
2n 1
2x
, x
3
6
E) 64n2 8n 21
RESOLUCIÓN
a1 = 8 = 5 + 3
a2 = 13 = 5 2 + 3
a3 = 18 = 5 3 + 3
an = 5n + 3
an² = 25n² + 30n + 9
RPTA.: C
SEMANA 15
RPTA.: C
284. Calcule el valor de P 1 2 3 4 ... n
D) n -1
2
n n 1
Operando
x2 2x 1
x2 4x 4
x2 6x 9
C) 16n2 25n 9
n
E)
2
2n 1
6
n 1
A)
nx2 2x 1 2 3 ... n 12 22 32 ... n2 nx2
B) 25n2 30n 9
B) n
2n 1
6
n 1
2
x2 2nx n2 n x2
A) 16n2 30n 6
A) -n
... x n nx2
2
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
2
C)
n+1
LOGARITMOS E INECUACIONES
LOGARÍTMICAS
286. Determine
el
valor
L og100 N 1,5 L og512 29
A) 10
D) 2 200
“N”,
B) 100
E) 512
si
C) 1 000
RESOLUCIÓN
n: es un número par
Para 2 términos: 1- 2 = -1
Para 4 términos: 1 - 2 + 3 - 4= -2
Para 6 términos:1-2+3-4+5-6=3
n
Para n términos:
2
RPTA.: E
285. Señale el valor de “x” en la
ecuación
RESOLUCIÓN
L og100 N
3
3
L og512 512 L og100 N
2
2
3
1
N = 1002
N = 102
3
2
1 000
RPTA.: C
287. Calcule k L og 1 0,00032 L og 2 20,5
25
5
2
7
D)
2
A)
B)
3
2
C)
3
2
289. Halle el valor de
W=Log2 L og3 antilog3 L og1,5 2,25
A) 0
D) 1,5
E) 3,7
B) 1
E) 0,75
C) 2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
k L og 1 32 105 L og
2
2
w Log2 L og3 antilog3 L og1,5 1,5
2
1
2
25
x
2
w Log2L og3 antilog3 2 1
1
x
5
1
5
25 2 2 5
2x
5
25 25 55
2x
RPTA.: B
Log23 x 2 Log3 x 3 ,
290. Resolver
5
5 5
-2x=-5
5
x
2
5
7
K 1
2
2
e
indicar el producto de sus raíces.
A) -4
B) 9
D) -3
E) 1
1
9
C)
RPTA.: D
288. La expresión:
1
1
antilog L oga L ogb 2L ogc es
2
3
igual a:
A)
ab
c
B)
a b
c2
D) 3
a b
c2
E) 3
ab
c2
C) 3
ab
2c
RESOLUCIÓN
Log3x
2
2 Log3x 3 0
a
a 2a 3 0
a 3 a 1 0
2
a = -3
Log3 x 3
a=1
Log3 x 1
1
27
1
1
x1x2 = 3
2
9
RESOLUCIÓN
1
antilog L oga L og b L ogc2
3
a b
c2
RPTA.: C
291. Resolver:
1
a b
antilog
L og 2
3
c
antilog L og 3
x2 3
x1
Logx xx
xx
x2
x 2
,
indicar el valor x2 1
3
a b
c2
A) 15
D) 37
RPTA.: D
B) 8
E) 48
RESOLUCIÓN
C) 24
e
1
x
xx Logxxx x2x4
x
x2x
xx x 4
x
x
4
x x x x2x
8
4
2 23 2 4
13
24
Log84 2 2 2 Log
1
23 2 4
1
2 22
3
Log 13 22
xx5 x2x
x + 5 = 2x
x=5
52 1 24
24
RPTA.: C
292. Resolver Ln 12 Ln x 1 Ln(x 2) ,
3
2
13
4
6
13
RPTA.: C
e indicar su conjunto solución:
A) 5; 2
B) 2
D) 1;5
E) 3; 2
C) 5
RESOLUCIÓN
Ln12 Ln x 2 Ln x 1
Ln12 Ln x 2 x 1
12
5
5
B)
12
C) Indeterminado
D) Incompatible
E) x
A)
12 x2 3x 2
0 x2 3x 10
x
-5
x
2
(x-5)(x+2)=0
x = 5 x = -2
294. Señale el valor de x que satisface
a la igualdad.
7x2 1
Log (x 3)
5 5
7x 3
RESOLUCIÓN
7 x2 1
7x 3
7x2 3 x 21x 9 7x2 1
- 24 x +9 = - 1
10 = 24 x
5
x
12
x3
Verificando, no será valor
de la ecuación
C.S.= 5
RPTA.: C
293. Calcule el logaritmo de 2 2 en
7
2
8
D)
7
295. Resolver la ecuación
2
Logxxx Logx2 xx 24
base 8 4 2
A)
RPTA.: B
11
3
9
E)
4
B)
C)
6
13
A) 3
D) -8
B) 4
E) C ó D
RESOLUCIÓN
Como: Log an am
RESOLUCIÓN
1
2
Log2 2 Log2 2 Log2
3
2
x
x2
24
2
m
n
C) 6
2x x2 48
x2 2x 48 0
x 8 x 6 0
x=-8
x=6
ó
x2=
x=6
298. Señale el valor de “x” que verifica
la igualdad
B) 8
C) 10
E) Incompatible
Logx a a
1
27
RPTA.: C
296. Resuelva la ecuación
1
Logx Log x
2
RESOLUCIÓN
1
81
x1x2
RPTA.: C
A) 6
D) 100
1
x2 4 3
nlogn x
nn
A) n
D) nn1
B) nn
n 1
E) nn
logn x
1
1
a
2
2
n
C) nn1
RESOLUCIÓN
2 a a 1
Elevando a la potencia “n”
2 a a 1
nLogn x
nLognx
Elevando al cuadrado
4 a a2 2a 1
nn
nn
n
nLogn x n
2
0 a 2a 1
a = 1 Logx = 1 x = 10
Incompatible
Logn x nn1
n 1
x nn
RPTA.: E
RPTA.: E
297. Señale el producto de las raíces
de la ecuación: 81 Logx 3 27 x
299. Halle la suma de las raíces de la
siguiente ecuación
1
A)
3
1
D)
81
1.
E)
1
243
Log2x Log2 x
1
C)
27
A) 16
D) 21
b)
C) 19
Log2x z
Tomando logaritmo en base “x”
Logx 3 Logx 81 Logx 27 Logx x
2 z z
z=4
4z z2 z = 0
Log2x 0 Log2x 4
4Logx 3 3Logx 3 1
Logx 3 z 4 z2 3z 1
x 20
x=1
2
a)
B) 17
E) 32
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Logx 3
2.
1
B)
9
x 24
x = 16
4 z 3z 1 0
4z
1 z
z
-1-4z
- 3z
4z 1 z 1 0
z = 1 x=3
1
z =
4
300. Indicar el producto de las raíces
de la siguiente ecuación
16 + 1 = 17
RPTA.: B
Log2 y2 y Log2
xLog5x2 125
A) 5
D) 25
B) 15
1
E)
5
Log2y3 Log2y 8
C) 125
Logy
3
Logy Logy3 Logy 8
3Logy Log y 3Logy Log y 8
2Log y 4Log y 8
RESOLUCIÓN
Log2 y 1
Logy 1
Tomando logaritmos en base “x”
Log5x 2 Logx x Logx125
Log5x 2 3Logx 5
Logy 1
Haciendo Log5x z; se tiene
3
z
2
z 2z 3 0
z- 2=
z 3 z 1 0
Logy 1
y1 10
y2 101
x1 102
x2 102
x1 x2 102 102 100 1
Log5x 3
y2
8
y
x = 125
Log5x 1
RPTA.: D
1
5
Por consiguiente: Producto = 25
x=
302. Si a;b
A) 2
D) 10
301. Resolver el sistema:
x
Log2 xy Log2 8 ,
y
Logx
Logy
2
4
D) 1
E) 0
RESOLUCIÓN
2Los x 22Logy
Logx 2Logy
Logx Logy2
x y2
Log2xy Log2
x
8
y
B) 5
E) 12
C) 7
RESOLUCIÓN
1
b a1
a
Ahora reemplazando:
De: ab= 1 b
e indicar el producto de valores
“x”
B) 100
distintos de la unidad y
además: ab = 1 averigüe el valor
de: aLogb 0,5 bLoga 0,2
RPTA.: D
A) 10
C)
1
10
Log
a
5
a1 10
Log
b
2
b1 10
aLoga 2 bLogb 5 2 5 7
RPTA.: C
303. Halle el Log 6!, sabiendo que
Log 2=a; Log 3=b
A) 2a+3b+1
B) 3a+2b+1
C) 4a+b+1
D) a+2b+1
E) 3a+b+1
RESOLUCIÓN
Log 6!= Log 1 2 3 4 5 4 6
Log 6!= Log 1 Log2 Log3 Log4 Log5 Log6
Pero la necesidad es expresado en
términos de 2 y 3. Por ello.
10
Log 6!=0 a b Log2 22 Log Log2 3
2
1
x
2
2
2
x1x2 2
RPTA.: D
Log 6!=a b 2Log2 1 Log2 Log2 Log3
Log 6!=3a+2b+1
SEMANA 16
RPTA.: B
306. Halle la suma de valores de “n”
que satisfagan la igualdad
n! 3 n! 2 3
n! 6
304. El valor de la expresión:
Log 4
3
Log9 27Log4 9
10
; será:
A) 0,001
D) 1 000
B) 0,1
C) 10
E) 100 000
A) 1
D) 4
RESOLUCIÓN
Aplicando la regla del sombrero
dos veces en:
Log4 9Log3 4
10Log2 27
3
10Log3 4 Log4 9 Log9 27 10Log3 3
103 1 000
RPTA.: D
305. Halle el producto de los raíces de:
Logx 2x
BINOMIO DE NEWTON Y
RADICACIÓN
B) 2
E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
Sea n! = z
z2 z 6 3z 18
z2 2z 24 0
z 6 z 4 0
z=6
n=3
n=3
ó
z = -4
n 4 no existe
x2 2
RPTA.: C
A) 2
B) 4
D)
2
E)
2
2
C) 8
RESOLUCIÓN
1
Log2x2 Log2 2
Logx 2x
Log2 x2
Log2 2x
Log2 x
2 Log2x 1 Log2x
2
2Log2x Log2x 1 0
2Log2x
+1
Log2x
-1
Log2x 1 x 2
Log2x
1
2
307. Reducir:
12! 13! 14!
K
12! 13! 12!x7
A) 28
D)
28
3
14
3
7
E)
3
B)
C) 14
RESOLUCIÓN
K
K
K
12! 13! 14!
12! 13! 12! 7
12! 1 13 13 14
12! 1 13 7
14 14 28
3 7
3
RPTA.: D
308. Calcule la suma de valores de “n”
n 3 ! n2 3n 2 n2 3n
A) 3
D) - 8
B) -3
E) 9
11
12
12
12
P C11
6 C7 C4 C7 C8
C) 8
13
P C13
8 C5
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
n 3! n2 3n 2 n2 3n
n 3 ! n 1 n 2 n n 3
n 3 ! n n 1 n 2 n 3
n 1!n n 1n 2n 3 n n 1n 2 n 3
n 1 ! 1
10
11
12
P C10
5 C6 C7 C4
311. Resolver:
19
20
C18 C18
6 C7 C8
E 5
21
C13
C21
8
E) 6
C)
1
2
RESOLUCIÓN
18
19
20
C18
5 C6 C7 C8
E
21
C13
C21
8
309. Halle el valor de “n” en:
5!
A) 3
D) 6
719!
n!!
E
6!
n!!
B) 4
E) 7
720!
5!
19
20
C19
6 C7 C8
21
8
C
21
8
C
C21
8
2C
21
8
C) 5
719!
n!!
1
2
RPTA.: C
312. Si se cumple que
Cxy 12 C6y 5
RESOLUCIÓN
119!
1
4
D)
n=1
RPTA.: A
720!
B) 4
n=2
3
119!
A) 2
6!
n!!
Halle x + y
n!!
720!119!x120 719! 6!
720
A) 13
D) 17
720! 120! 720!
B) 15
E) 18
C) 16
n!!
RESOLUCIÓN
n!!=120!
n!=5! n= 5
RPTA.: C
310. Simplificar:
11
12
P C38 C84 C59 C10
6 C7 C4
A) C12
8
13
4
D) C
B) 2 C12
8
1)
y -1 = 6 y = 7
x + 2 = y + 5 x = 10
2)
y - 1 = 6 y-1+6 = x+2 = y+5
y=7
12 = x + 2 = 12
x = 10
X +y = 17
C) C13
5
12
5
E) C
RESOLUCIÓN
11
12
P C38 C84 C59 C10
6 C7 C4
11
12
P C94 C59 C10
6 C7 C 4
RPTA.: D
313. Reduzca
20
26
C10
C20
C19
C26
9
6
25
19
C525 C19
C
C
9
6
10
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
19
20
C26
6 C10 C9
E 19 25
C9 C5 C25
6
C26 .3 C19
E 619 269
C9 .C6
E= 3
*
RPTA.: C
RPTA.: C
314. Determine el valor de “n” , si
18
17
16
15
20
cumple 4C19
11 C7 C10 C7 2C8 n C8
A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
C) 4
15
8
15
7
2C
2.
16
16
16
17
C16
7 C8 C9 C8 C9
3.
17
18
C17
10 C9 C10
4.
18
18
18
19
C18
7 C10 C11 C10 C11
5.
19
11
4C
19
11
19
11
C
C
C
iii)
5C
nC
5C19
11
20 11
n
C19 n 3
12
n+1 - n = n n ; n
; n
12!
1 3 5 7 9 11
64 6!
B) VVF
E) FFF
C) VFV
Para el caso (i)
n 1 1 n(n)
Para el caso (ii)
n
1
1
n 1 n n n 1 n
n2
n2
n
2n2
n2
n
n
-1
-1
Luego:
n
n 1
n
n 1
2
1 n2 n 1 1 n2 n
1 n2 n 1 1 n2 n
2
2
RPTA.: B
317. Determine la suma de todos
aquellos valores de “n” que
verifiquen la igualdad:
n! n! 321
80
5n! 9
A) 5
D) 8
RESOLUCIÓN
=n
2
2
n
1
1
n1 n n1
n n 2 n4 2n3 n2 2n 1
3
Indique la razón de verdad
*
E) n
n
20
12
(n+1) n - n
D) n +1
20
8
nC
A) VVV
D) VFF
C) n n 1
n n2 1
315. Respecto a las proposiciones
ii)
B) n n 1
1 n n….
1 1 1
n 2 n….
RPTA.: B
i)
A) n2 1
Procesando el radicando
16
8
1.
C
n2
1 1
n2
316. El equivalente de:
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
15
8
n
n2
n n2
n1 n1
0 = 2 ( falso)
Para el caso (iii)
Operando el segundo miembro
12!
12 11 10 9 8 7 6
64 6
64 6
B) 6
E) 9
RESOLUCIÓN
Hagamos que: a = n!
a a 321 80 5a 9
a2 721a 720 0
C) 7
a
a
- 720
-1
5
a' 720
a'' 1
Regresando el cambio
n! = 720
n!=1
n2 1
n! = 6!
n3 0
n1 6
En consecuencia: n1 n2 n3 7
RPTA.: C
318. El valor de:
A) 8
D) 1 024
T6 256
RPTA.: C
320. Halle el grado absoluto del
término 16 en la expansión de
P x, y x3 2y2
A) 20
D) 45
25
B) 25
E) 60
C) 35
RESOLUCIÓN
4 5 6
9
4
7 8
2 3
5
x y
T51 C
y x
10 9 8 7 6
T51
1 2 3 4 5
T51 4 9 7
10
5
Tk 1 Ckn a
nk
B) 256
E) 64
C) 512
b
k
2y
25
T151 C15
x3
10
15
2
25
T16 215 C15
x30 y30
G.A = 30+30=60
RPTA.: E
RESOLUCIÓN
Procesando por partes para el
radicando:
9
9 8 7
9 8 7
8
7 8 7 8 7 7 1 8
Exponentes:
4 5 4 6 5 4 4 1 5 30 36 4
Ahora reemplazando en:
2 6
4
8
4
36
83 512
319. Halle el valor del termino central
10
x y
del desarrollo de
y x
B) 128
E)1 024
RESOLUCIÓN
Analicemos un término genérico
(Lugar K+1), en:
C) 265
k
14
K
TK 1 C
14k
x
TK 1 1
k
t central = t 111
2
b
k
C) 7
14
#t =10+1=11
nk
B) 8
E) 5
1
x
= T1 T2 ..... TK 1 .......T15
x
RESOLUCIÓN
tk 1 Ckn a
14
1
x
; existe un termino que
x
2
contiene a x . El termino que
ocupa este termino contado a
partir del extremo final es:
A) 9
D) 6
RPTA.: C
A) 64
D) 512
321. En el desarrollo de la expresión
;k 0,1,2,.....n
12
x
14 k
C14
x
k
k
2
Por condición:
3
3k
14 k 2 12
2
2
k=8
En consecuencia:
RESOLUCIÓN
14
1
x T1 T2 .....T9 T10 T11........T15
x
Séptimo lugar
RPTA.: C
En el desarrollo de esta expresión
existen 9 términos entonces el
central estará ocupado por el
quinto.
84
4
8
8 x
TCnetral T5 T4 1 C4
8 x
n
n
322. En el desarrollo de x y los
8
coeficientes de los términos de
lugar séptimo y octavo son
iguales. Entonces el número de
términos que presentará será:
A) 49
D) 45
B) 48
E) 44
C)47
n
n
Si: x y T1 T2 .....T7 T8 .....Tn1
8
Averigüemos
a
los
términos
deseados
n 6
n 6
n n
6
n n
T7 T6 1 C6 x
y C xexp y6
8
8
n7
n
T8 T71 C x
8
Por condición:
n 6
n 7
n
n
Cn6
Cn7
8
8
n 7
n
n n
n 6 6 8 8
Coef.
n 7
7
N n
y C7 xexp y7
8
n 7
n
n
n 7 7 8
1
1
n
n 6 n 7 6 8 n 7 7 6
7n 8 n 6 48 n # términos = 49
RPTA.: A
323. Averigüe al termino central central
8
x 8
al expansionar:
8 x
A) 80
D) 60
B) 70
E) 50
C) 60
RPTA.: B
324. En el desarrollo de
1 x
43
los
coeficientes de los términos de los
lugares “2x+1” y “r+2” son
iguales ¿De qué términos estamos
hablando?
RESOLUCIÓN
n
7
8 7 6
5 70
4 3 2
TCentralC84
A) 14 y 29
C) 16 y 26
E) 18 y 30
B) 16 y28
D) 16 y 27
RESOLUCIÓN
Admitimos que en:
1 k T1 T2 .... T2r1 ....Tr2 .... t44
43
43 2r
r 1
T2r 1 C2r
r ; Tr 2 Tr 1 1 Cr43
1 r
Según condición
43
43
C2r
Cr431 C2r
Cr431(r 1)
2r=r+1
r= 1
2r=42-r
3r=42
r=14
En base es esto los términos
ocupan los lugares:
Cuando r 1 T3 T3
Para
r 14 T29 T16 (esto
permite
decir
que
nos
T2 2 )
es
primero.
RPTA.: C
325. Si los exponentes de “x” en los
1
términos del desarrollo xm m
x3
n
van disminuyendo de 6 en 6
unidades y el décimo tercero
resulta independiente de x.
Indique al término independiente.
A) 10 9 8
C) 10 13 14
E) 10 11 12
B) 10 3 2
D) 11 12 13
327. Calcule “a x b” si el resto de
x 14 4x 13 2x1 15x 2
Es equivalente a: (ax+b)
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
x 1
RESOLUCIÓN
Por condición:
n
TIndependiente T12 1 C12
xm
n12
x
m
3
12
mn - 16m
4
4 x 1 2x3 15x 2
3
Si: x + 1=a
2x2 4x 11x 2
2 x2 2x 1 11 x 1 1
a4 4a3 2a2 11a 11
-1
n
T13 C12
x
Será Independiente mn-16m=0
m(n-16)=0
De donde: m=0 v n = 16
16
n
16
Luego: TIndependiente C12
C12
12 4
16 15 14 13 12
14 13 10
12 4 3 2 1
RPTA.: C
4
-4
-2
-4
-6
6
1
2
(2 2) (2)
(2 4
-11
12
+1
11
-9
2
R = a + 2 R= x + 1 + 2
R= x + 3 ax + b
A=1,b=3
326. Extrae la raíz cuadrada de:
4x6 13x4 22x3 12x5 8x 25x2 16
A)
B)
C)
D)
E)
3x3 2x2 x 4
5x2 7x 2
2x3 3x2 x 4
4x2 8x 2
x4 2x3 x2 x 1
RPTA.: C
328. Calcule:
19 4 21 7 12 29 2 28
A) x+1
D) x+4
B) x+2
E) x+5
C) x+3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
4x6 13x 4 22x3 12x5 8x 25x2 16
4 -12 13 -22
-4
-12 13
12 9
4 - 22
-4 6
-16
16
-3) (-3)
25 -8 16 2 -3 1 -4
(4 -3)(-3)
(4 -6 1)(1)
(4 -6 2 -4)(-4)
25
-1
24 -8 16
24 8 -16
19 4 21 7 12 29 2 28
19 2 84 7 12
12+7 12x7
12 7 7 12 2 7 1 1
RPTA.: A
329. Reducir:
E 6 2 10 2 8 2 7
2x3 3x2 x 4
28 1
RPTA.: C
A)
7
B)
2 C) 7 1
D)
2 1
2 1
E)
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
332. Simplificar:
3x 1 3x 1
E 6 2 10 2 8 2 7
2 3x 9 x 2 1
7 1
E 6 2 10 2 7 2 6 2 8 2 7
E 6 2 7 1 8 2 7 2 1
B) 2
E) 0
2 3x 9x2 1
C) 3
7 1 6 5
6 1
E=0
RPTA.: E
331. Calcule:
6 4 3 1 8
5 24
B) 8
E) 6
1
2 2x 4x2 1
6 4 3 1 8
2
1
5 24
2
3 2
1
2
52 6
6 4 3 3 2 6 4 3 6
1
6 4 3
2
3x 1 3x 1
2
5x2
9x2 1 4x2 1
a
b
2x 1 2x 1
2x 1 2x 1
2
5x2 a b
2x 1 2x 1
5x2
2
2
5 a b
5
6x 9x2 1 2 4x 2 4x2 1
ab
2
2
333. Efectuar:
K 13 7 5 7
C) 9
6 4 3 1 8
3x a 2x b a b 5x
2
RESOLUCIÓN
P
P=7
C) x 2
2x 1 2x 1
3x 1 3x 1
E 12 2 35 8 7 11 2 30 7 2 6
P
B) 2x
E) 3x
3x 1 3x 1
E 12 140 8 28 11 2 30 7 2 6
P
9x2 1 4x2 1
3x 1 3x 1
RESOLUCIÓN
P
RESOLUCIÓN
A) 1
D) 7
A) 7
D) 5
2 2x 4x 2 1
5x 2
A) -x
D) 5x
12 140 8 28 11 2 30 7 2 6
P
2x 1 2x 1
RPTA.: D
330. Reducir
E 7 5
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
K
K
7 5
13 7 3
32 10 7 8 2 7
K 5 7
4
5 7 3 7
7
2
K
4
3 7
7 3 7
13 7 5 7
13
3 7
C) 3
RESOLUCIÓN
K
RPTA.: D
7 1 2
RPTA.: B
334. Reducir:
18
P
6
48
9 72
5 24
8 48
B) 1
C) 3
E) 4
A) 0
D) 2
RESOLUCIÓN
18
P
9 72
3 2
P
P
6 3
3 2 6 3
3
6
5 24
6
3 2
48
8 48
4 3
6 2
4 3 6 2
6 3 2
4
P 2 3 6 3 2 2 3 3 2 6 0
RPTA.: A
335. Transformar a radicales simples:
10 108
3
A)
3 2
B) 2
C)
3 1
D)
E)
2 3
3
3 1
RESOLUCIÓN
Si:
3
10 108 A B
3
10 108 A B
10
3
108 3 10 108
(+)
3
2A
3
20 6 2A 8A3
10 6A 4A3
10 4A3 6A A 1
A 3 A 3
3
10 108 3 10 108
A2 B 2
1-B=-2B=3
3
10 108 1 3
RPTA.: D
SEMANA 1
CONJUNTOS I
336. Si: A ;a;a;a,b;
Indicar las proposiciones que son
verdaderas.
I.
aA
{a, b} A
II.
{} A
{} A
III.
A
A
A) solo I
C) solo III
E) II y III
B) solo II
D) II y IV
RESOLUCIÓN
A ;a;a;a,b;
I.
II.
III.
aA
{a, b} A
F
F
{} A
=F
{} A
F
V
A
A
V
V
=V
=V
I y III son verdaderas
RPTA.: D
337. Dados los conjuntos:
A x N 2x 13
B x A
x² 2x A
Indicar si es verdadero o falso, las
siguientes proposiciones.
I.
x A / x² 5 > 4
II. x (A B) / 2x + 5 < 8
III. x (A B) / x² B
A) VVF
D) VFF
B) FVF
E) VVV
C) VFV
339. Halle el cardinal del conjunto B e
indicar el número de subconjuntos
ternarios que tiene.
B x Z x 8 x 2
RESOLUCIÓN
A x N
2x 13
A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
B x A
x² 2x A
siendo : p q p q A B
CONJUNTOS
LÓGICA
´
x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
x² 2x = 0 ;1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24
A) 48
D) 56
B = {1; 4; 5; 6}
I.
x A / x² 5 > 4
II.
III. x (A B) / x² B
C) 63
RESOLUCIÓN
(V)
x (A B)/2x + 5 < 8
B) 42
E) 45
B x Z
x 8 x 2
(F)
(x > 8) (x = 2)
(V)
(x> 8) (x = 2)
RPTA.: C
338. Sea A n Z
x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
n 600
n(B) = 8
Calcule la suma de elementos del
conjunto B; si
B a 2 3 a A a A
A) 1000
D) 1424
B) 1296
E) 1528
RESOLUCIÓN
8
#Subconjuntos
8!
C
3! 5!
3
Ternarios de B
C) 1312
A n Z
n 600 1,2,3, 4,5,...,600
B a 2
3
a A a A
a es cubo perfecto
6x7x8
56
6
RPTA.: D
340. Dados los conjuntos unitarios
A = {a + b; a + 2b3; 12} y
a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³
B = {xy ; yx ; 16};
B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2 ;....; 8³ 2
halle el valor de (x + y + a² + b)
2
elementos 8 x 9
2 8
de B
2
A) 81
D) 87
1312
Nota: SN3
n n 1
2
B) 92
E) 90
C) 96
RESOLUCIÓN
A y B son unitarios:
2
*
RPTA.: C
A = {a + b; a + 2b 3; 12}
a+b
= 12
a + 2b 3 = 12
a + 2b
= 15
como: a + b
= 12
b
=3 a=9
*
B = {xy; yx; 16}
xy = yx = 24
x=2;y=4
x + y + a² + b =
*
nP(B) = 32 = 25 n(B) = 5
nP(AB) = 8 = 23 n(AB) = 3
90
RPTA.: E
341. Calcular
el
número
de
subconjuntos binaros del conjunto
D, si:
D = {(x² 1)Z / 0 < x 4}
A) 132
D) 124
B) 126
E) 120
C) 105
RESOLUCIÓN
D = {(x² 1)Z / 0 < x 4}
0 < x 4 0 < x² 16
n(AB) = 7 + 5 3 = 9
nP(AB) = 29 = 512
*
5
C = 3x 1 Z x
3
5
x
3
5
x 31
3 1
3
(3x + 1) < 6
C = {1; 2; 3; 4; 5}
n(C) = 5
1 <x² 1 15
D = {0; 1; 2; 3; ...;15} n(D)= 16
16
#Subconjuntos
16!
C
2! 14!
2
Binarios de D
343. Oscar compra 9 baldes de
pinturas de diferentes colores. Los
mezcla
en
igual
proporción.
¿Cuántos nuevos matices se
pueden obtener?
15 x16
15 x 8
2
RPTA.: E
342. Si:
n [P(A)]= 128;
n [P(AB)] = 8
n[P(B)]= 32
y
Halle el cardinal de P(AB) sumado
con el cardinal de:
C = 3x 1 Z
B) 517
E) 520
5
x
3
C) 519
nP(AB) + n(C) = 517
RPTA.: B
120
A) 521
D) 512
nP(A) = 128 = 27 n(A) = 7
A) 512
D) 503
C) 247
RESOLUCIÓN
# de colores
=9
# de nuevos matices= 29 1 9
= 512 10
= 502
RPTA.: E
344. El
conjunto
A
tiene
200
subconjuntos
no
ternarios.
¿Cuántos subconjuntos quinarios
tendrá?
A) 64
D) 21
RESOLUCIÓN
B) 246
E) 502
B) 56
E) 35
RESOLUCIÓN
C) 48
Sea n(A)
=x
Subconjuntos
x
x
2 C3 200
no ternarios
2x
2
x
x!
200
3! x 3
x 2 x 1 x
6
n
346. Sean los conjuntos A E ; B E
y C E; E conjunto universal, tal
que:
200
Luego :
8
#Subconjuntos
8!
C
5!
x 3!
5
Quinarios
8x7x6
56
6
RPTA.: B
345. Si el conjunto “C” tiene (P + 1)
elementos
y
(2P
+
3)
subconjuntos propios; además:
n(A) = 4P + 2
= 18
RPTA.: C
x 8
(AB)
; n(B) = 3P + 6 y
E = {x Z+ / x < 10}
A = x E x 7
´
AB
BC
BC
AC
=
=
=
=
{x E / x 9 x > 2}
{3}
{x E / x 7}
A B C
´ ´ ´
Determinar n(A) + n(B) + n(C)
A) 9
D) 13
B) 12
E) 11
C) 10
RESOLUCIÓN
E={xZ+/x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
n(AB) = 2P 2
A x E / x 7 1,2,3, 4,5,6
Halle n(AB)
A = {7, 8, 9}
De:
A) 14
D) 17
´
B) 16
E) 20
C) 18
A C A B C A B C
A
RESOLUCIÓN
n(C) = P + 1
# subconjuntos
2P 3
propios de C
P+1
2P + 1 1 = 2P + 3
P=2
Luego:
n(A) = 4(2) + 2 = 10
n(B) = 3(2) + 6 = 12
n(AB) = 2
B = 12
A = 10
8
2
10
.8
.9
B
C
.4
.1
.5
.7
.3 .2
.6
A B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11
RPTA.: E
347. Sean A, B y C tres conjuntos no
vacíos
que
cumplen
las
condiciones:
*
ABBA
*
si x C x B
RESOLUCIÓN
Sean n(A) = x n(B) = 2x
Determinar el valor de verdad de
las siguientes proposiciones.
I)
II)
III)
IV)
# subconjuntos # subconjuntos
993
de B
propios de A
A y B son disjuntos
(A B) C
C (A B)
C (A B)
A) FVVF
D) VFVF
B) FFVV
E) FFFV
22x (2x1) = 993
2x(2x1) = 992 = 25 x 31
x=5
C) FFFF
Luego:
RESOLUCIÓN
U
A=5
ABBA
xCxB
B = 10
10
5
Graficando las dos condiciones:
B
2
A
C
# subconjuntos de B 128 27
# subconjuntos propios de A 212 1
RPTA.: D
I)
II)
III)
IV)
A y B son disjuntos
(A B) C
C (A B)
C (A B)
(F)
(F)
(F)
(V)
349. Dados los conjuntos:
3x 5
A x N /
N
4
x
x 1
B
N / N
2
2
RPTA.: E
C x N / 2x 25
348. Sean A y B dos conjuntos finitos
tales que:
*
*
*
Halle: n[(AB) C ]
´
A) 2
D) 5
AB=
n(B) = 2 . n(A)
B tiene 128 subconjuntos.
´
El número de subconjuntos de B
excede al número de subconjuntos
propios de A en 993.
¿Cuántos subconjuntos propios
tiene A ?
A) 281
D) 2121
B) 2101
E) 2131
C) 2111
B) 3
E) 6
RESOLUCIÓN
*
3x 5
A x N /
N
4
3x 5
4N 5
Nx
4
3
N = 2; 5; 8 ......
X = 1; 5; 9 ......
C) 4
*
A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....}
elementos
n(AB)
comunes;
x
x 1
B
N / N
2
2
A) 14
D) 11
B) 13
E) 10
x 1
2
RESOLUCIÓN
x
2
1
No existe natural
2
NATURAL
B=
*
C x N / 2x 25
C = {13, 14, 15, 16, 17, .....}
n(AB) C A B (DIFERENCIA SIMÉTRICA)
determine
C) 12
320 = n(PA) + n (PB)
320 = 2n(A) + 2n(B)
320 = 26 + 28
Luego:
n(A) = 6
n(B) = 8
B
A
4 22 6
n (A C ) = n(A C)
= n {1, 5, 9}
=3
RPTA.: B
350. Para los conjuntos A, B y C
afirmamos:
n(AB) = 10
RPTA.: E
352. Sean A, B y C conjuntos no vacíos
diferentes dos a dos, tales que:
I.
II.
Si A B C C B A
A A
III.
A B
IV.
Si A B B A
V.
A BA BA
´
´
´ ´
´ ´
´ ´ ´
B A ; C B
A C
´ ´
´
A B
Son verdaderas:
´
Al simplificar:
[B(C A)] [A (B C)] se
´
obtiene:
A) todas
B) solo II y III
C) todas excepto V
D) solo II, III, IV y V
E) solo I, II y V
A) A
D) A C
B) B
E)
C) A B
RESOLUCIÓN
B A ; C B ; A C
RESOLUCIÓN
I.
II.
Si A B C C B A
A A
(V)
(V)
III.
A B
(V)
IV.
Si
(V)
V.
A BA BA
(V)
´ ´ ´
´
´ ´
A B B A
´ ´
´
´
A B
´
´ ´
´
A B ; C B ; A C
RPTA.: A
351. Si A y B son dos conjuntos finitos,
tal
que,
el
número
de
subconjuntos de A y de B suman
320, los conjuntos A y B tienen 2
Graficando
regiones:
y
enumerando
B
C
A
1
2
3
las
I)
II)
III)
B C A A B C
[2]
[1; 3] =
RPTA.: E
353. Sean A y B dos conjuntos
cualesquiera, simplificar:
A B A B A B
A) solo I
C) solo I y II
E) todos
A
E)
B
C
B) A B
D) A B
´
B) solo II
D) solo II y III
RESOLUCIÓN
´ ´ ´
´´
A) A B
C) A B
[A(BC)] [C D]
(A B) (B C)
[(A D) C] [A (BC)]
1
2
RESOLUCIÓN
3
47
D
5
6
Graficando los conjuntos A y B
I)
A
B
2
II)
3
1
4
III)
A B A B A B
(A B)
´
(BA)
1,2,3 2,3
1,2,3 1, 4 1 A B
´
RPTA.: A
RPTA.: A
355. Dado 3 conjuntos A; B y C:
Si n(A) = m ; n(B) = m + r
n(C) = m + 2r ; además:
n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896
Se sabe además que A, B y C son
disjuntos.
Calcule n(A B C)
A) 16
D) 32
354. En
el
gráfico,
las
zonas
sombreadas están representadas
por:
A
B
C
D
[A(BC)] [C D]
[{1,2,3} {2,6,5}] {7}
= {1,3,7}: si
(A B) (B C)
{1,2,3,4,5,6,7} {2,5,6} =
{1,3,4,7} no
[(A D) C] [A (BC)]
{1,2,5} {1,3} = {1} no
B) 22
E) 48
C) 24
RESOLUCIÓN
n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r
nP A nPB nPC 896
2m + 2m+r + 2m+2r = 896
2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7
m=7
llevaron corbata, si 16 señoritas
no llevaron cartera ni casaca y 28
señoritas no llevaron casaca?
r=1
A
B
C
7
8
9
A) 8
D) 11
n(A B C) = 24
U=
SEMANA 2
H=
6x
U = 50
B
12x
M=
Cartera = 24
rb
at
a
=
Casaca = 40
17
11 x 9 12
12
16
40 = 11 + 9 + 12 + x x = 8
RPTA.: A
C) 32
RESOLUCIÓN
A = 18x
Co
356. Se hizo una encuesta a 50
personas
sobre
preferencias
respecto a dos revistas A y B. Se
observa que los que leen las dos
revistas son el doble de los que
leen solo A, el triple de los que
leen solo B y el cuádruplo de los
que no leen ninguna de las dos
revistas. ¿Cuántas personas leen
la revista A?
28
CONJUNTOS II
B) 30
E) 40
C) 10
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
A) 24
D) 36
B) 9
E) 12
4x
358. De los residentes de un edificio se
ha observado que 29 de ellos
trabajan y 56 son mujeres, de los
cuales 12 estudian pero no
trabajan. De los varones 32
trabajan o estudian y 21 no
trabajan ni estudian, ¿cuántas
mujeres no estudian ni trabajan,
si 36 varones no trabajan?
A) 32
D) 26
3x
B) 30
E) 34
C) 28
6x + 12x + 4x + 3x = 50 x = 2
n(A) = 18(2) = 36
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
357. A una ceremonia asistieron 24
señoritas con cartera, 28 varones
con corbata, 40 portaban casaca,
17 varones con corbata no tenían
casaca, 9 señoritas portaban
casaca pero no tenían cartera.
¿Cuántos varones con casaca no
)
T(29
E
17
21
H
15
12
12
56
M
x
X = 56 – 24
X = 32
RPTA.: A
359. En una clase de 50 alumnos, se
practica tres deportes: Atletismo,
Básquet y Fulbito.
*
Los que practican atletismo o
fulbito pero no básquet son 30.
*
Los que practican básquet o
fulbito pero no atletismo son 27.
*
Los que practican atletismo y
fulbito son 7.
*
Los que practican fulbito pero no
atletismo o básquet son 15.
*
Los que no practican estos
deportes son la cuarta parte de los
que practican básquet y fulbito
pero no atletismo.
*
4 practican atletismo y básquet
pero no fulbito.
*
Los que practican básquet pero no
atletismo o fulbito son 4.
¿Cuántos
practican
solo
dos
deportes o no practican ninguno?
A) 21
D) 2
B) 17
E) 18
C) 19
50 = 15 + 8 + (7x) + x + 8 + x
+4+4+2
X = 50 48 = 2
solo 2 deportes o ninguno de los
tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19
RPTA.: C
360. Dado los conjuntos A; B y C
contenidos en el universo de 98
elementos, tal que:
n(A B) = 21
n(B C) = 25
n(C A) = 32
3n (ABC) = n(ABC )
´
Hallar: A B C
´
A) 93
D) 77
B) 95
E) 91
C) 87
RESOLUCIÓN
Diagrama de
visualizar:
Ven
–Euler
Planteando tenemos:
98 = 4x + 21 + 25 + 32
20 = 4x
5 =x
RESOLUCIÓN
B
A
U = 50
x
A
B
8+x
4
4
3x
98
x
8
7-x
2
15
C
para
Piden: A B C
U A B C 98 5 93
RPTA.: A
361. Usando las leyes del álgebra de
conjuntos, simplificar:
= 10
´
A B B A B C
C
A) A
C) U
E) (A B)C
B) B
D) (A B)C
RESOLUCIÓN
363. En una encuesta a los estudiantes
se determinó que:
[(AB)B] =
[(AB)C]C = (AB)CC
{[(AB)B][(AB)C]}C
{}C = U
RPTA.: C
362. En
un
condominio
de
100
personas, 85 son casados, 70 son
abonados de teléfono, 75 tienen
bicicleta y 80 son empresarios.
¿Cuál es el mínimo número de
personas que al mismo tiempo
son casados, poseen teléfono,
tienen
bicicleta
y
son
empresarios?
A) 15
D) 24
RPTA.: B
C
B) 10
E) 15
C) 20
*
*
*
*
*
*
*
68 se portan bien
160 son habladores
138 son inteligentes
55 son habladores y se portan bien
48 se portan bien y son inteligentes
120 son habladores e inteligentes
40 son habladores, inteligentes y se
portan bien.
¿Cuántos
estudiantes
inteligentes solamente?
A) 10
D) 12
B) 20
E) 8
son
C) 40
RESOLUCIÓN
U=
RESOLUCIÓN
Tomando por partes:
CASADOS
Y
TELÉFONO
CASADOS
70
15
55
TELÉFONO
75
45
30
PORTAN
BIEN: 68
HABLADORES:
160
AUTO
15
5
30
30
15
25
85
45
CASADOS,
TELÉFONO Y AUTO
80
70
10
25
EMPRESARIOS
55
25
40
80
8
10
INTELIGENTES:
138
365. Dado el conjunto universal “U” y
los subconjuntos A, B y C; se
tiene los siguientes datos:
Solo inteligentes = 10
RPTA.: A
364. Un club consta de 78 personas, de
ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet
y 23 voley. Además 6 figuran en
los 3 deportes y 10 no practican
ningún deporte. Si “x” es el total
de
personas
que
practican
exactamente un deporte, “y” es el
total de personas que practican
exactamente 2 deportes, entonces
el valor de (xy) es:
A) 9
D) 15
B) 10
E) 16
C) 12
n(U) = 44
n(BC) = 12
n(AC) = 14
n[(ABC ) ]=6
n(ABC) = 5
n(B) = 17
n(A) = 21
n(ABC ) =3
´
Hallar n(C)
A) 31
D) 26
B) 27
E) 28
C) 29
RESOLUCIÓN
n(AB C ) =3
n[(AB)C] =3
U = 44
RESOLUCIÓN
U = 78
F = 50
b
B = 32
A = 21
B = 17
4
2
3
5
a
a
–
´
44
–
9
7
6
c
b
x
C
6
10
17 – b – c
V = 23
a+b+c=y
x : solo un deporte
21 + 2 + 7 + 6 + x = 44 x = 8
n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29
RPTA.: C
Del universo:
44ab+b+17bc+32+10 = 78
a + b + c = 25 = y
También:
x + y + 6 + 10 = 78 x = 37
x y = 12
RPTA.: C
366. En un grupo de 80 estudiantes, se
encuentra que las cantidades que
estudiaban las diversas lenguas
eran
en
número
de
72,
distribuidas
de
la
siguiente
manera:
*
*
*
*
*
Alemán solamente 25
Español solamente 12
Francés pero no alemán
español, 15
Alemán y francés 10
Alemán y español 8
de trabajadores con menos de 20
años y el número de mujeres
solteras con menos de 20 años.
ni
A) 5
D) 18
Además
los
que
estudiaban
español y francés eran tantos
como los que estudiaban alemán y
español.
Determinar
cuántos
estudiaban 2 lenguas solamente o
estudiaban las 3 lenguas.
A) 14
D) 8
B) 20
E) 18
B) 10
E) 8
C) 15
RESOLUCIÓN
C
A(60)
U(100)
B
a
b
z
x
y
C) 12
25
A: personas con más de 20 años
B: hombres
C: casados
RESOLUCIÓN
U = 80
A
Por datos:
x + y = 25
x + z = 15
x = 10
y = 15
z=5
E
25
8-x
12
x
10 - x
8
8-x
*
F
*
15
Dos lenguas solamente ó
lenguas
= (80) (25 + 15 + 12 + 8)
= 20
Trabajadores con menos de 20
años: 15 + 25 = 40
Mujeres solteras con menos de 20
años = 25
40 25 = 15
RPTA.: C
tres
RPTA.: B
367. En una encuesta realizada a 100
trabajadores de una fábrica se
obtuvo la siguiente información:
todos los hombres tenían más de
20 años, 25 de las mujeres eran
casadas mientras que 15 de los
trabajadores casados tenían más de
20 años y 10 de las mujeres
casadas tenían más de 20 años. Si
hay 60 que tienen más de 20 años,
hallar la diferencia entre el número
368. ¿Qué
operación
gráfico?
A
representa
B
C
A) [(AC)(BC)] C
B) [(AB)(BA)]C
el
Datos:
a + b + x + y + z = 25 ......(1)
x + y + z = 2(a + b + c) ....(2)
(2) en (1)
a + b + 2 (a + b + 2) = 25
3(a + b) = 21
a+b=7
C) C (AB)
D) (CA) (CB)
E) A B C
´
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
369. En un colegio hay 35 niños. Cada
uno de ellos tiene una bandera que
puede ser monócroma, bicolor o
tricolor,
habiéndose
usado
únicamente 3 colores: rojo, amarillo
y azul. El número de banderas
bicolor es el doble del número de
banderas monocromas, mientras
que el número de banderas que
tienen el color rojo es igual al
número de banderas que tienen el
color azul e igual al número de
banderas que tienen el color
amarillo. Si sólo 8 niños tienen
banderas tricolor y dos alumnos
banderas color amarillo. ¿Cuántas
banderas bicolor rojo – azul hay?
A) 2
D) 7
B) 3
E) 10
C) 5
RESOLUCIÓN
U = 35
Azul
Rojo
y
a
b
RPTA.: C
370. A cuántas personas le gusta 2
cursos solamente si la cantidad de
personas que le gusta aritmética
pero no álgebra ni física es el doble
de los que les gusta álgebra, pero
no aritmética ni física y además a
los que les gusta física pero no
aritmética ni álgebra es el triple de
los que les gusta álgebra pero no
aritmética ni física y a los que les
gusta los 3 cursos es la cuarta parte
de los que les gusta aritmética pero
no álgebra ni física, si a 24
personas le gusta solamente un
curso y además el total de personas
que gusta de al menos un curso es
36.
A) 5
D) 4
B) 8
E) 10
C) 12
RESOLUCIÓN
x
A
8
z
x
Dato:
a+x+y=y+z+b=x+z+c
a + 18 z = 18 x + b = 18y+ c
De donde:
a = z y + c
b=xy+c
Sumando: 7 = x + z 2y + 4
7 = 18 y 2y + 4
3y = 15
y=5
c=2
Amarilo
A: aritmética
X: álgebra
F: física
n
4y
2y
y
p
m
6y
F
RPTA.: A
372. De 60 personas se sabe:
Datos:
A (xF) = 2[x (AF)]
F (Ax) = 3[x(AF)]
A x F
*
*
*
*
1
A x F
4
AxF = y
Por dato:
4y + 2y + 6y = 24
12y = 24
y
=2
6 hombres tienen 20 años
18 hombres no tienen 21 años
22 hombres no tienen 20 años
Tantas mujeres tienen 20 años
como hombres tienen 21 años.
¿Cuántas mujeres no tienen 20
años?
A) 18
D) 22
13y + m + n + p = 36 .... dato
13 x 2 + m + n + p = 36
m + n + p = 10
B) 20
E) 28
C) 24
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
H
371. A, B y C son conjuntos contenidos
en un mismo universo, simplifique
la siguiente expresión:
E=
21+
x = 10
{{[(A B) (A B )] (A B )}
(C A)} {((A C) (A C)}
´
A) AC
D) AC
B) B
E) C
M
6
´
21
x = 10
20
20 -
C) A
60
28
32
= 22
RPTA.: E
373. De un grupo de personas se sabe
lo siguiente:
*
Algunos provincianos son casados.
*
RESOLUCIÓN
E={{[(AB)(ABC)](ABC)}(CA)} (AC)
A(B(ABC)...............................
A(BA)
*
*
*
(AB) (ABC)
*
[(AB)A] [(AB)BC]
A (ABC)
A
*
*
*
(CAC)
(AC)
(AC)
(AC)
Todos
los
profesores
no
son
provincianos.
Ninguno de los que tienen hijos es
profesor
Todos los casados tienen hijos
9 personas no son provincianas, ni
casadas, pero tienen hijos.
Hay 12 profesores y son tantos como
el número de casados
De los 25 provincianos, 15 tienen
hijos.
5 casados no son limeños
10 limeños no son profesores ni
tienen hijos.
¿Cuántas personas conforman el
grupo y cuántos no tienen hijos, ni
son profesores?
A) 63 y 20
C) 59 y 23
E) 63 y 22
B) 57 y 10
D) 64 y 9
RESOLUCIÓN
CASADOS
LIMA
SOLTEROS
7
12
9
10
PROVINCIA
5
10
HIJOS
10
HIJOS
= 25
RPTA.: B
375. En una ciudad el 60% de los
habitantes comen pescado; el
50% come carne; el 40% de los
que comen carne también comen
pescado. ¿Qué porcentaje de los
habitantes no comen pescado ni
comen carne?
A) 15%
D) 10%
HIJOS
Total = 63
No tienen hijos ni son
profesores = 20
B) 23%
E) 30%
C) 20%
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
374. En una academia de 100 alumnos,
se rindieron 3 simulacros con los
siguientes
resultados:
40
aprobaron el primero; 39 el
segundo; y 48 el tercero. 10
aprobaron
3
simulacros.
21
ninguno; 9 los dos primeros, pero
no el tercero; 19 el tercero, pero
no los dos primeros.
¿Cuántos aprobaron por los menos
dos exámenes?
A) 19
D) 27
B) 38
E) 29
C) 24
P = 60%
C = 50%
40%
30%
20%
x
U = 100%
40
50% 20%
100
60% + 30% + x = 100%
X = 10%
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
S = 39
P = 40
SEMANA 3:
NUMERACIÓN I
9
10
x
376. Calcule “a” si:
y
19
21
T = 48
U = 100
x + y + 10 + 19 = 48
x + y + 19 = 38
p
a n 2c 1 aa7.
3 9
c
4c3
2
p
Además 5p7n
RPTA.: C
A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
C) 4
378. Si:
n n 1 n 2 n 3 n 4 n5 abcd7
RESOLUCIÓN
Halle: a b c d
c
p
5p7n 4c3p ; a n9 2c 1 aa7
2
3
A) 10
D) 11
p4
n7
n9
c3
p 3ó6
C= par
n=8 ; p6 ; c2
n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n5) abcd(7)
n 5
7
n1
a289 5aa7
81a 2 9 8 245 7a a
81a 26 245 8a
73.a 219 a 3
RPTA.: B
12345(6) abcd7
1
6
1
377. ¿Cuántos valores puede tomar “k”
kn
0,125 ?
kk n
A) 4
D) 7
C) 13
RESOLUCIÓN
Luego:
en
B) 12
E) 14
B) 5
E) 8
2
3
4
5
6
48
306 1860
8
51
310 1865
a=5
1865 53037 abcd7
b=3
C=0
D=3
C) 6
a + b + c + d = 11
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
k n
kk n
0,125
1
8
Descomponiendo
379. Halle m n p , si 110n ,81n1 y
1mp(n1) son números consecutivos.
A) 15
D) 12
B) 14
E) 11
C) 13
k
1
k
1
kn k 8
k (1 n) 8
RESOLUCIÓN
1
1
n1 8
n1 8
n7
Por dato: 110n 1 81n1
Pero k n 7
k 1;2;3;4;5;6
K puede tomar 6 valores
110n;81n1;1mpn1
n2 n 1 8 n 1 1
n2 7n 8 0 n 8n 1 0
n
n
-8
1
n=8
1818..
1108 ;819 ;1mp7
..
1818n
72 ; 73 ; 74
74 7
4 10
3
“m” veces
A) 8
D) 14
7
1
1mp7 1347 m 3;p 4;n 8
m n p 15
RPTA.: A
380. Sabiendo que : a7bn aoc9;
B) 9
E) 10
Propiedad tenemos:
1818..
..
1818n
C) 3
RPTA.: C
a7b n aoc 9
382. Si:
a b 1 c 2 c9 b 1 10 xy 123
7 n 9 n 8
Calcule: a b c x y
También por dato:
6d68 mbmb5
6 82 d 8 6 mb5.52 mb 5
390 8 d 26 mb 5
A) 9
D) 12
B) 10
E) 13
C) 11
RESOLUCIÓN
195 4d 13.mb5
Caso Especial: b b2
15
a b 1 c 2 c9 b 1 /10 / xy /123
d 0 mb5 15 305
“m” es máximo
n>8
Pensando:
m 14 (mayor valor)
n 8 14 123
n 123 112
n 11
RESOLUCIÓN
0
n 8 m 123
“m” veces
valor de (m + b + d).
B) 4
E) 8
C) 11
RESOLUCIÓN
además 6d6n mbmb5 . Halle el
A) 2
D) 6
123
a b 1 c 2 c9 b 1 3 3x y 59
m = 3; b = 0
Igualando:
m b d 3
RPTA.: C
381. Calcule el valor de “n” si “m” es
máximo en:
*c=5
* b 1 3;b 2
* a b 1;a 1
*c 2 3 x y
5 2 3x y
7 3x y ; x = 2
y=1
abcax 17a29 abcx.x a 1729.29 a
abc x .x 36.29
Si
Pide: a b c x y 11
RPTA.: C
x 9 abc9 116 1389
383. En la siguiente expresión:
Luego:
M 4n6m 54n 3mn8
a=1 ; b=3; c=8
x 1113n 9
n 1 3 9 n 5
Halle M.
A) 42
D) 220
B) 532
E) 44
C) 24
Analizando:
A) 27
D) -3
n5
54n
4n6m
m6
mn
3mn8
5 n m8
C)-5
4 b a n m (Ordenando)
4 5 6 7 8
Luego: 656 7 517 8
M 4667 546 3768
34
B)3
E)5
RESOLUCIÓN
m7 y n6
M 244
a b c m n , sabiendo
que: aban bcnm
Sabiendo que: m < 9 y b > 4
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
385. Halle
254
a b c m n 6 5 1 7 3
3
M = 24
RPTA.: D
RPTA.: C
386. Calcule la suma de las dos últimas
384. Si se cumple que:
cifras del numeral: 16 1213 8n ,
abcaaaabn 17a29
al expresarlo en el sistema de
base n 1 .
Calcule el valor de “n”
A) 6
D) 4
A)3
D)9
B)4
E)5
C)6
RESOLUCIÓN
abcaaaabn 17a29 x 29
x cambio de variable
B) 7
E) 3
C) 5
RESOLUCIÓN
N 1612138n Base n 1
Por descomposición:
16 12 13 8 n n 1 11n
11
5 12 n
1576n
11n
11n
143n 11n
5 5 n
44n
7n
36n
68n
33n
66n
3
Por división a base 4:
89 4
1 22
2
47n
7 13n
7
324 5 3 55 2 5 4 89
4
1
Números
equivalentes
3245 11214 abcdx
a 1;b 1; c 2; d 1; x 4
m3
2
N ...32(n 1)
4
5
1
a b c d x m 12
de las 2 últimas cifras = 5
RPTA.: C
A) 12
D) 18
B) 14
E) 19
C) 16
RESOLUCIÓN
Calcule a b c d m x
B) 10
E) 15
388. Calcule : a n m
Si: 120an 64a 2553m
387. Si se cumple:
9 6 12
abcd x
m m m
2m1
A) 8
D) 13
RPTA.: C
120an 64a 2553m
C) 12
1200 n 640
n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2)
n3 2n2 (n 2) 82 (8 2)
n8
RESOLUCIÓN
64a 120a8 2553m ;m 5
m8
m6
9 6 12
abcdx
m m m 2m1
“m” divide a 9; 6 y 12 por tanto
m=3
Reemplazando.
3245 abcdx
a
mayor
valor
aparente menor base x 5
Se verifica para:
x=4
25536 2 63 5 6² 5 6 3 645 64a
a5
a m n 5 6 8 19
RPTA.: E
389. Halle “x” en:
abxn ccn7 ,
A)0
B) 2
D)5
E) 6
si: c 2
y ba
C) 3
2
2
En base n 18 324
RESOLUCIÓN
abxn ccn7...(I) ; C 2 ; b a
Número 210 324 02 01 0018
RPTA.:E
2 c a b n 7 c 3
a4
b5
n6
391. Halle a b n k en la siguiente
expresión:
9abk 213312n ; donde k n2
Luego en I
45x6 3367 174
A) 18
D) 41
45x6 4506 x 0
RPTA.:A
14
B) 24
E) 37
Luego: n
k n2 k
9abn2 213312n
10
15
14
15
1
11
12
Transformando de base (n) a base n2
21 33 12n
13
9
a
b n2
1 n 1n
¿Cuántas cifras tendrá el menor
numeral de la base “n”, cuya suma
de cifras sea 210, cuando se
exprese en la base n2 ?
A) 6
D) 9
C) 28
RESOLUCIÓN
390. Si se cumple que:
(2n) numerales
Número de cifras =5
n7
n(n 1)
2
n(n 1)
91 n
n 18
2
9 9n
B) 7
E) 5
C) 8
RESOLUCIÓN
Aplicando propiedad.
15 n(4) (n 1).5 n 0 1 2 3 ... (n 1) 1
21n 9
n 4 ; k 16
33 4 a
a 15
12 4 b
b 6
a b n k 41
RPTA.: D
392. El mayor número de 3 cifras
diferentes de la base n, se escribe
en base 8 como 4205. Halle n.
A) 10
D) 13
B) 11
E) 14
RESOLUCIÓN
C) 12
Sea: abc n el mayor a b c
abcn n 1 n 2 n 3n 42058
394. Si se cumple:
a10b11b2 15c8
pasando a base 10.
Halle: a b c
n 1.n2 (n 2).n n 3 4 83 2 82 0 8 5 2181
A)6
D)9
n3 n 2184
n(n2 1) 2184
= 15c 8
a 10b 11b2
n 1nn 1 12 13 14
n 13
a(4 b)(6 b)8 = 15c 8
RPTA.: D
*a 1
* 4 b 5 ;b 1
* 6 b c ;c 7
*a b c 9
393. Se desea repartir S/. 1000000 entre
un cierto número de personas, de
tal modo que lo que les corresponda
sea:
RPTA.: D
S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;…
395. Si se cumple: abn ba7
Halle la suma de cifras de n ; si es
el máximo valor posible.
y que no más de 6 personas reciban
la misma suma. ¿Cuántas personas
se beneficiaron?
B) 15
E) 12
A) 37
D) 21
C) 11
RESOLUCIÓN
Descomponiendo:
Transformando a base 7:
7
2 915
(3)
B) 13
E) 10
C) 14
RESOLUCIÓN
1 000 000 7
(1)
142 857 7
20 408
(1)
(3)
C)5
RESOLUCIÓN
n(n 1)(n 1) 2184
A) 16
D) 13
B) 7
E) 10
7
416
(3)
n a b 7b a
6b
n
1
a
7
59
(3)
7
8
(1)
7
1
a7 y b7
a 1 ;b 6
n 37
3 7 10
1 000 000 11 333 311 7
RPTA.: D
SEMANA 4
Número de personas:
1 1 3 3 3 3 1 1 16
N 16
RPTA.: A
NUMERACIÓN II
396. Si
el
término
ab
avo
de
siguiente serie aritmética es ba .
la
Calcule “a +b” si: 30;…;48;51…
A) 6
D) 9
B) 7
E) 10
2
1
305 110
n=
1 16
13
C) 8
a + b + n=19
RESOLUCIÓN
30;…;48;51…
Razón: 3.
Término 1: 30
Término n: tn t1 n 1 razón
398.
RPTA.: E
¿Cuántos
términos
tiene
siguiente progresión aritmética:
la
233 x ;242 x ;301 x ;........;1 034 x
A) 26
D) 19
t ab 30 ab 1 3 ba
Descomponiendo:
30+3x ab -3= ba
30+3(10a+b)-3=10b+a
27+29 x a = 7 x b
B) 17
E) 22
C) 20
RESOLUCIÓN
Cálculo de la razón R:
242x 233x 301x 242x
1
a=1; b=8
a+b=9
Descomponiendo polinómicamente
2x2 4x 2 2x2 3x 3
8
3x
2
397. Dada la siguiente
aritmética:
RPTA.: D
progresión
1 2x2 4x 2
2335 ;2425 ;3015 ;.........;1 0345
+4
“n” términos
Halle: a+b+n
B) 16
E) 19
x=5 R = x- 1 R=4
aa0;ab(a 2);a(b 1) 3b;.....3a 05
A) 15
D) 18
+4
10345 2335
1
4
n = 20
n
C) 17
RESOLUCIÓN
“n” términos
aa0; ab(a 2); a(b 1)3b ;.....3a05
RPTA.: C
399.
En la numeración de las páginas
impares de un libro se han
empleado 440 tipos de imprenta.
¿Cuántas páginas puede tener el
libro?
r ab(a 2) aa0 a(b 1)(3b) ab(a 2)
A) 165
D) 145
r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2
RESOLUCIÓN
r =10b-9a+2=3b-a+8
7b = 8a+6 r = 13
B) 330
E) 325
C) 320
Suponiendo la última página con
numeración PAR.
Cantidad de cifras de las páginas
impares:
1, 3, 5, 7, 9,
5#s
5 x 1 = 5 cifras
A) 159
D) 195
La numeración de las páginas
será:
1, 2, 3, 4,……., 71, 72,……..,
45#s
45x2=90cifras
“x” Cifras utilizadas
101, 103, 105, 107,……….
n 72, n 71, n 70........,N
440-(5+90) = 345 cifras
“(x+69)” cifras utilizadas
Se han utilizado 345 cifras para
escribir números de3 cifras:
(La cantidad de cifras del 1 al 72)
= (72+1)2-11=135
345
115
3
La cantidad de cifras utilizadas en
las 72 últimas páginas será:
números de 3 cifras
135+69=204
Total de páginas impares
= 5+45+115=165 páginas.
Entonces si al total de cifras desde
1ª “N”, le quitamos el total de
cifras utilizadas desde 1 hasta (N72) es igual a 204.
Total de páginas =330
RPTA.: B
400.
Al escribir la secuencia adjunta que
tiene 113 términos. ¿cuantas cifras
en total se han utilizado?
Asumiendo para N=3
N 1 3 111 N 72 1 2 11 204
6667 ,6970;7273;7576 ;...........
A) 664
D) 653
B) 665
E) 655
N=159
RPTA.: A
C) 620
402.
RESOLUCIÓN
abc 1
6667 , 6970 ;...9697 ;99100 ;102103...abc
11#s
1#
101#s
En la siguiente serie, halle el
término que ocupa el lugar ante
penúltimo.
3, 9, 17, 27,……., 699
A) 559
D) 649
B) 597
E) 585
RESOLUCIÓN
11 x 4
1x5
101.6
RPTA.: E
401.
C) 148
RESOLUCIÓN
11, 13, 15, 17,……., 97, 99
3 cifras =
B) 157
E) 185
Las 72 primeras páginas de un libro
utilizan 69 tipos de imprenta menos
en su numeración que las utilizadas
por las 72 últimas ¿Cuántas páginas
tiene el libro?
tn = t1 n 1.r1
C) 647
n 1n 2 .r2
2
En el problema
tn
n
699 3 n 1.6
700 n2 3n n 25
2
3n 2
.2
2
t23 3 22.6
403.
22.21
.2 597
2
405.
RPTA.:B
¿Cuántos números de la forma:
a a 1 b b 2 c c / 2
d
A) 500
D) 635
existen?
A) 960
D) 3600
B) 2160
E) 2400
C) 3200
a b
2
0
3
2
4
4
.
6
.
8
.
.
.
9
8 x 5
x
Para hallar los números de3 cifras
que tengan al menos 1 cifra impar
y 1 cifra par, al total de números
de 3 cifras se le debe restar los
números de 3 cifras pares e
impares luego:
RPTA.: C
En que sistema de numeración
existen 136 números de las formas:
aa bbK
A) 16
D) 19
B) 17
E) 20
C) 18
RESOLUCIÓN
a+b= k-1 (máximo)
a=1; b=0; 1; 2; 3…;k-2 k-1
a=2; b=0; 1; 2; .…;k-3 k-2
a=3; b=0; 1; 2; .…;k-4 k-3
.
.
.
.
.
.
a=k-2; b=0,12
a=k-1; b=0 1
#s =
k 1 k
136
2
k 1 k 8 17 2
k=17
RPTA.: B
c
9x10x10=900 números de 3 cifras
0
1
2
.
.
.
.
.
9
10 =3200
2
2
d= 0; 1; 4; 9; 16;…..; 8 ; 9
404.
C) 675
RESOLUCIÓN
N aa 1bb 2cc / 2 d
x
B) 625
E) 600
Sabemos:
RESOLUCIÓN
1
2
3
.
.
.
.
7
8
C#s= 8
¿Cuántos números de tres cifras
existen, que tengan por lo menos
una cifra par y por lo menos una
cifra impar?
# de 3 cifras
a
b
2
0
4
2
6
4
8
6
8
4 x 5 x
pares
c
0
2
4
6
8
5 = 100#s
# de 3
a
1
3
5
7
9
5 x
impares
c
1
3
7
5
9
5 = 125 #s
cifras
b
1
3
5
7
9
5 x
Entonces: 900-(100+125)675 #s
RPTA.: C
406.
¿Cuántos números capicúas existe
entre 800 y 80000?
A) 900
D) 750
B) 800
E) 810
RESOLUCIÓN
C) 700
800 < ”capicúas”< 80000
Capicúas
a b a ;
a b b a ;
8
9
1 0
2 1
3 2
. .
. .
. .
9 9
9x10=90
0
1
2
.
.
.
9
2x10 = 20
RESOLUCIÓN
Nro capicúa: abcba
Tenga 2 cifras “2”
En su escritura:
2 b c b 2x
a 2 c 2 a x
0 0
1 0
1 1
3 1
3 3
. 3
. .
. .
. .
. .
. .
. .
a b c b a
1 0 0
2 1 1
1 2 2
. . .
. . .
. . .
7 9 9
7x10x10=700
C#s Capicúas= 20+90+700=810
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
2
x 1 x 1
x 2 x 1
x 2 x 1 66
x 1 x 1 x 2 66 6 11
x 1 2x 3 7 1 2 7 3
x7
RPTA.: B
RPTA.: C
407.
¿Cuántos números de 10 cifras hay
en base 16 tal que el producto de
sus cifras sea 30?
A) 990
D) 500
B) 800
E) 600
409.
C) 720
Se escriben en forma consecutiva
los números enteros positivo uno a
continuación del otro hasta emplear
2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que
ocupa el último lugar?
A) 5
D) 8
RESOLUCIÓN
Casos: I
II
Producto de =30= 2x3x5 = 5x6
cifras
III
IV
=15 x 2 =10 x 3
Caso I : 10x9x8 = 720#s
Caso II : 10x9
=
90#s
Caso III : 10x9
=
90#s
Caso IV : 10x9
=
90#s
Total
= 990#s
¿En que sistema de numeración hay
66 números capicúas de 5 cifras,
que exactamente tenga 2 veces la
cifra 2 en su escritura?
A) 5
D) 8
B) 6
E) 9
C) 7
C) 7
RESOLUCIÓN
2226 cifras
1,2,…9; 10,11,….99,100,……U
9 #s
Cifras: 9x1
90 #s
90x2
2037 cifras
2037 3
679 # s de 3 cifras
RPTA.: A
408.
B) 6
E) 9
679 U 100 1 U 778
Última cifra =8
RPTA.: D
410.
Un libro se empieza a enumerar
desde una primera página y se
observa que 58 números comienzan
con la cifra 7. ¿Cuántos números
escritos terminan con la cifra 7?
A) 76
D) 74
B) 67
E) 73
C) 70
RESOLUCIÓN
La numeración de las páginas que
comienzan con la cifra 7 será:
1,2,3,….,7,…..,70,71,…,78,79…,
1#s
10#s
700,701,702,..,746
47#s
El libro tiene 746 páginas
La secuencia de las páginas que
terminan con la cifra 7 será:
7,17,27,37,47,…….,717,727,737
Total de números que terminan en
la cifra 7:
737 7
Total=
1 74
10
Total= 74 números
RPTA.: D
411.
Se han arrancado las 50 últimas
hojas de un libro, notándose que el
número de tipos de imprenta que se
han utilizado en su numeración, ha
disminuido en 361. ¿Cuántos tipos
de imprenta se han utilizado en la
numeración de las hojas que
quedaron.
Si cada página de 4 cifras
reemplazamos por una de
3
cifras, la cantidad de tipos
disminuye en 1.
Cantidad de páginas de 3 cifras =
400 -361 =39
La última página de 3 cifras es la
999
La última página de 3 cifras que
quedaron es =999-39=960
Cantidad
de
tipos=3(960+1)111=2 772
Total de tipos = 2 772
RPTA.: D
412. Si de los números del 1 a 1000,
no se marca ni un solo número
que contenga la cifra 4 ó la cifra 7
¿Cuántos números se marcan?
A) 506
D) 512
B) 510
E) 515
RESOLUCIÓN
Sin 4 ó 7 del 1 al 1000, por
análisis combinatorio tenemos:
* De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s
* De 2 cifras: a
B) 2 771
E) 2 774
RESOLUCIÓN
C) 2 769
En total de páginas =100
Si las 100 páginas arrancadas
fueran todas de 4 cifras, faltarían
en total 400 tipos de imprenta,
pero sólo faltan 361, esto indica
que algunas páginas son de 3
cifras.
b
7 x 8 = 56 #s
* De 3 cifras: a
A) 2 661
D) 2 772
C) 511
b c
7 x8x 8=448 #s
* De 4 cifras: (1000) 1#
Luego : 7 +56 +448+1 =512#s
RPTA.: D
413. Un libro tiene entre 100 y 1500
páginas, si en las 40 últimas
páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas
cifras tendría si se enumerara en
el sistema octal?
cifras más que el otro, y que la
suma de dichas bases es 15.
A) 3555
D) 4125
A) 5
D) 6
B) 4005
E) 4325
C) 3750
RESOLUCIÓN
B) 4
E) 7
C) 3
RESOLUCIÓN
x números de 3 cifras
x+y=40
x=5
aba w
y números de 4 cifras
3x+4y=155 y= 35
Última página =1034 = 2012 8
Nros capicúas:
xyxz
Además: w+z=15
# cifras = 4 2013 8 11118 3555
RPTA.: A
Método combinatorio:
414. Sea la P.A.:
4a6;.....;68b;6c b 2;70d
donde el término del trigésimo
lugar de la P.A. es 68b .
Halle (a + b + c + d).
A) 26
D) 25
B) 24
E) 13
b a (w)
1
2
3
.
.
.
.
0
1
2
3
.
.
.
x
y
1
2
3
.
.
.
.
0
1
2
w 1 w 1
w 1. w
C) 30
RESOLUCIÓN
4ab;.......;68b;6c b a;70d
r=8; c=9
t30 68b 4a6 29. 8
xz
.
.
.
z 1 z 1
z 1. z
680 406 10a 232
42 b 10.a d 4
8
a
Por dato:
5
w
w
2
a+b+c+d+=26
RPTA.: A
415. Halle la diferencia de las bases de
2 sistemas de numeración; si uno
tiene 56 números capicúas de 3
2
z z w 56
w z2 z 56
2
w zw z 1 56
14
wz
6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras
+x.4 =996
56
4
14
RPTA.: B
416.
4x=996-972
4x=24
x=6 números
Una persona empieza a numerar las
páginas de un libro desde el
número 4000, se detiene en el
número que representa la cantidad
de cifras utilizadas. Dar la suma de
las cifras del último número.
A) 12
D) 14
B) 13
E) 15
abcd7 10057
1 + 0+ 0+ 5=6
RPTA.: C
C) 11
SEMANA 5
ADICIÓN - SUSTRACCIÓN
RESOLUCIÓN
Sucesión será:
4000;4001;4002………….…;N
418. Si :
a0ca 8abc b7c8 ccab 24022
Halle: a b2 c
“N” tipos de imprenta
A) 270
D) 245
Planteando el enunciado:
(Cantidad de números) x 4 =N
a0ca abc b0c0 ccab
24022 - 8000 -708=15314.
Suma de cifras: 5+3+3+2=13
Entonces: a + b + c =14
(único valor que cumple)
RPTA.: B
Al enumerar las páginas de un libro
en base siete se emplean 996
cifras. Indicar la suma de las cifras
del numeral correspondiente a la
última página.
B) 5
E) 8
C) 6
RESOLUCIÓN
1;2;...6; 10 7 ;…; 66 7 ;
6 números 607 números
100 7 … 6667 1000 7 .. abcd7
600 7 números x números
C) 320
Si:
3N= 4x 3999
N= 4(1333) =5332
N=5332
A) 4
D) 7
B) 256
E) 325
RESOLUCIÓN
4N 3999 N
417.
*
*
*
1+(a+ b+ c)+c =.........1
15 + c=..........1 c = 6
2 + a + c = ...........3
8 + a = ...........3
a=5
1+ a + b + c = 15
1 + 5 + b +6 = 15
b=3
a b2 c 5 32 6 270
RPTA.: A
419. Halle : a b c ; si n + x =16 y
x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4
A) 13
D) 16
B) 14
E) 19
RESOLUCIÓN
C) 15
n + x = 16 ; (n 1) . x = ... 4
n = 10
x=6
SEMANA 6
MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN
420. Si al multiplicando y multiplicador
se le disminuye en 2 y 4
respectivamente,
el
producto
disminuye en 198. Halle la suma
de
los
factores
de
dicha
multiplicación si su diferencia es
8.
A) 63
D) 66
B) 65
E) 69
C) 67
Mxm=P
(M-2)(m-4) =P-198
M m -4M-2m+8= P -198
206 = 4M + m x 2
103=2M + m
+
8= M-m
111 = 3M; M = 37
m = 29
M + m = 66
421. Si abcd7 22227 ...31257
Halle el número de divisiones de
d
dividendo ca y residuo ab
b
B) 2
E) 6
entonces a=4 b=2 c=5 d=6
luego d
b ca Divisor
ab
Cociente
354 = divisor. cociente + 42
312= divisor. Cociente
además divisor >42
divisor =52,104,78,156,312
hay 5 divisiones (tabla de
divisores)
422. Calcular la cantidad total de
números enteros los cuales al ser
divididos entre 31, producen un
resto triple que el cociente
corresponde.
A) 13
D) 11
B) 4
E) 12
C) 10
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
A) 1
D) 5
66667 100007 1
abcd7 100007 1 abcd00007 abcd7 ...24117
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
+
Expresando:
C) 4
RESOLUCIÓN
abcd7.22227 ...31257
Multiplicando por 3.
abcd7.22227 ...31257 ;
Sea “N” uno de dichos números:
N= 31q + 3q
N= 34q
Además, sabemos: resto < divisor
3q 31
q 31 / 3 q 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9,10
Cantidad de valores =10
RPTA.: C
423. Si multiplicamos al número
abc
n0n (0
por
= cero)
observamos que el producto
total es **435 (cada asterisco
representa una cifra). Dar
como respuesta a + b + c; si
además; a<9.
A) 17
D) 14
B) 16
E) 13
C) 15
RESOLUCIÓN
que le falta a xyz para que sea un
número cuadrado
(el menor
posible).
abc
non
A) 36
D) 68
n=5
c=7
b=8
a=1
.935
935
B) 134
E) 45
C) 34
RESOLUCIÓN
abc
47
. . 435
...256
...32
a + b + c = 16
RPTA.: B
...576
o
7 c 10 6 c 8
424. Si en una división, el residuo por
exceso, residuo por defecto,
divisor y cociente son números
pares consecutivos. ¿Cuál es el
valor del dividendo?
A) 25
D) 60
B) 52
E) 56
C) 48
RESOLUCIÓN
Al
ser
pares
consecutivos,
entonces cada uno es igual al
anterior
incrementado
en
2
unidades.
R E N ; RD N 2 : d N 4 N;
q N6
N 2
o
10 2 a 6
CA 66 CA 60 CA xyzw
34 40 CA xyzw
1360 CA xyzw
CA aa CA ab CA xyzw
1 x 9 x 8
3 x 9 y 6
6 z 10 z 4
0
Falta = 900-864 = 36
RD
N
RPTA.: A
d
RE 2 ; R D 4;
N 4
N=2
d 6 ; q=8
D = 6 8 + 4 = 52
RPTA.: B
425. Si:
abc x 47 ...576
7 a
xyz 864
Sabemos que:
RE
o
7 b 5 10 5 b 0
y
CA aa x
CA ab CA xyzw . Calcule lo
426. Calcule el producto total de la
siguiente multiplicación:
aa 16 a 2 a 36
Si la diferencia de sus productos
parciales es 29.
A) 10336
B) 10036
20026
D) 20036
E) 21006
C)
RESOLUCIÓN
x
a 2a 36
a a 1
º
2 n 1 n 5
a<3
2n2 = n+5
n=7
6
Reemplazando:
Productos parciales:
a 16 a 2 a 36
a6
a 2 a 36
a 2 a 36
29 456
a2
Reemplazando:
456
...124512(7)
......6666(7)
...120305(7)
...120305(7)
...120305
...120305
...120305
...120305
...............542155
236
abcde57
5421557
2236
abcn8
54278 2839
1346
2839
2003(6)
178712
1 7 8 7 392
RPTA.: E
Producto: 2003(6)
RPTA.: D
428. Se obtienen 4 residuos máximos
427. Si:
1245124512....(n) n 1 n 1 ... n 1n
38 cifras
A) 51
D) 39
...abcde5n
base 12.
B) 148
E) 392
RESOLUCIÓN
C) 321
Como tiene 38 cifras termina en
12.
...124512(n) ... n 1 n 1n
=
...abcde5n ; n 5
B) 45
E) 42
Halle:
C) 40
RESOLUCIÓN
Calcule el producto de cifras del
numeral abcnn1 expresado en
A) 72
D) 254
al dividir abcde por 43.
(a+b+c+d+e)
abcde 43
-rpqz
42c
--42d
--42e
-42
ab 43 r 42;r 1
a=8
ab 85
b=5
42c 43(p) 42;p 9
42c 429 c 9
42d 43 q 42, q 9
42d 429 d 9
42e 43 z 42 z 9
42e 429; e 9
3q 2 q 36
q = 17
D= 39 x 17 + 26 = 689
cifras de D = 23 (6 + 8 + 9)
a + b + c + d + e =40
RPTA.: C
429.
1
del divisor. El menor
3
exceso es
número que se debe sumar al
dividendo para aumentar en 2 al
cociente es 52. Al triplicar al
dividendo, el cociente aumenta
en 36. Halle la suma de las cifras
del dividendo.
A) 15
D) 23
B) 17
E) 24
C) 20
RESOLUCIÓN
re
1
2
dr d
3
3
Luego:
*
D
d
2
d
3
q
D + 52
0
2
D dq d
3
d
q +2
52 dq
52
*
RPTA.: D
Es una división el residuo por
D 52 d q 2
2
d dq 2d
3
4
d d 39 r 26
3
3D
39
3x26 3q +2
0
430. En una división inexacta por
defecto, el divisor y el residuo son
34 y 14 respectivamente, si al
divisor se le agrega 5 unidades
entonces el cociente disminuye en
2 unidades. Halle el nuevo residuo
sabiendo que es el menor posible.
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
D
34
14
q
D
39
r
q-2
D 34q 14
D 39(q 2) r
34q + 14 = 39q – 78 + r
92 =5q + r
q=18 r=2; Residuo = 2
RPTA.: B
431. En una división entera inexacta la
suma de los 4 términos es 744, el
mínimo valor que se debe quitar
al dividendo para que el cociente
disminuye en 1 es 49, y el
máximo valor que se debe
agregar al dividendo para el
cociente aumente en 1 es 67.
Halle el dividendo.
A) 608
D) 628
B) 622
E) 632
C) 618
RESOLUCIÓN
D
r
d
q
D d q r 744...(I)
D - 49 d
D 49 d(q 1) (d 1)
d -1 q-1
D+67 d
D 67 d(q 1) (d 1)
d -1 q+1
116 = 2d d = 58
En (1)
58q + r + 58 + q + r = 744
59q + 2r = 686
10 48
D=58 x 10 +48 = 628
RPTA.: D
432. Sea “N” un número que tiene
entre 49 y 57 cifras que
multiplicando por 91 se obtiene un
número formado por un 1, un 3,
etc. Halle la suma de cifras de
dicho número
A) 168
D) 108
B) 156
E) 86
C) 96
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
433. Halle la suma de cifras del menor
número que multiplicando con 14
de un número formado por puras
cifras 3 y en las unidades un 0.
A) 17
D) 27
B) 19
E) 31
C) 26
RESOLUCIÓN
N. 14 =33…30
333…….
28
53
42
113
112
133
126
70
70
--
14
N=238095
Cifras =27
RPTA.: D
434. Se
tiene
943
número
consecutivos, si se divide el
menor de ellos entre 78 se
obtiene 29 de residuo ¿que
residuo se obtiene al dividir el
mayor entre este divisor?
A) 49
D) 29
B) 25
E) 35
C) 38
RESOLUCIÓN
N.91 = 1313…
131313...
91
403
364
391
364
273
273
---
cifras = 9x12 =108
943 números consecutivos: n+1,
n+2…, n+943
91
N=1443 001443...001443
4 cifs 6 cifs
6 cifs
Luego deben ser: 4 +6 .8 =52
cifras.
n+1
29
78
k
n+943 78
R
h
942
6
78
12
n 1 78k 29... 1
n 943 78h R...
2
942 78 12 6... 3
1 + 3 n 943 78k 12 35 4
Comparando
2 y 4 ; h=k+12 R =35
RPTA.: E
435. Si
se
divide
a 2 a
2
m a2 2 n
entre
dicho complemento aritmético.
Determine la suma de cifras del
numeral primitivo.
A) 13
D) 16
C) 15
RESOLUCIÓN
1 ; tanto por defecto
como por exceso se obtiene; que
la suma del residuo por defecto
más el residuo por exceso y más
el cociente por exceso es 34. Halle
(m + n + a), si el residuo por
defecto excede al residuo por
exceso en 16.
B) 14
E) 17
abc
CA abc
r (10 c)
3
abc 3 CA abc 10 c
abc 3 1000 abc 10 c
4 abc 3000 10 c
o
A) 16
D) 12
B) 8
E) 20
C) 10
4 c 10 c
o
5 c 10
RESOLUCIÓN
a=3
divisor:
a 2 a
2
c=
1 d = 18
Dato:
rd re q 1 34
0
2
4
6
8
cumple sólo para
c=2
abc
d
18 +q +1 =34; q=15
4
3008
rd re 18
c = 2; b = 5; a = 7
rd re 16
a+b+c+=14
rd=17
RPTA.:B
re=1
437. En una división el dividendo es
m8n 1815 17
m8n 287
par, el divisor es 2n 1n 2 , el
m=2
n=7
cociente
residuo
m + n + a =12
RPTA.: D
436. Al dividir un número de tres cifras
diferentes entre su complemento
aritmético se obtuvo cociente 3 y
como residuo la última cifra de
a 13a
es
b b
3
4
y
el
9 . Calcule la
suma de los términos de la
división si se realiza por exceso.
A) 2 870
D) 3 037
B) 2 900
E) 3 039
C) 3 000
Cantidad de valores: 10
RESOLUCIÓN
2n 1 n 2
2N
a 1 3a
r b3 b4 9
3a 10 a 3, 3
1 a 4 a 2;3
b2
RPTA.: C
439. En una división le faltan 15
unidades al residuo para ser
máximo y sería mínimo al restarle
18
unidades.
Determinar
el
dividendo, si el cociente es el
doble del residuo por exceso.
Por algoritmo de la división
A) 1139
D) 1193
Par
RESOLUCIÓN
2N 2n 1 n 2 a 1 3a 87
impar
impar
a = 3
residuo < divisor
87 2n 1n 2...
2n 1 10 n 5, 5.
Impar
n= 1; 3;5
en : sólo cumple si n=5
divisor =97 cociente =29
residuo=87 dividendo =2900
re 10
qe 30
Piden: 97+30+10+2900
Piden: 3037
RPTA.: D
438. Calcular la cantidad
total de
números enteros los cuales al ser
divididos entre 31, producen un
resto triple que el cociente
correspondiente.
A) 13
D) 11
B) 4
E) 12
C) 10
B) 1123
E) 1137
C) 1107
D=d.q+R
RMÍNIMO = R 18 = 1
R= 19
RMÁXIMO = R + 15 = d 1 d = 35
Además:
RD + RE = d
19 + RE = 35
RE = 16
q = 2RE
q = 32
D = 35 32 + 19
D = 1139
RPTA.: A
440. Sabiendo:
E An B7; E tiene (9n+1) cifras
como mínimo y que “A” y “B”
tiene 8 y 5 cifras respectivamente.
Halle “n”.
A) 12
D) 10
B) 14
E) 16
C) 8
RESOLUCIÓN
107 A 108
104 B 105
107n An 108n 1028 B7 1035
107n28 An B7 103n35
RESOLUCIÓN
Sea “N” uno de dichos números:
N = 31 q + 3 q
N = 34 q
Además, sabemos:
resto < divisor 3q < 31
q < 31/3
q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Cifras mínimas:
7n 28 1 9n 1
n = 14
RPTA.: B
441. Si M1,M2,M3,......,Mn son números
Por dato: E tiene “ 6x ” cifras
de
1,3,5,……….,
45
cifras
respectivamente ¿Cuántas cifras
puede tener como mínimo el
producto de dichos números?
10x 14 6x 10x 18
x 5
A) 529
D) 507
443. Halle el valor de “n” si E tiene 15
cifras, A tiene 18 cifras y B tiene
B) 526
E) 506
C) 527
RPTA.: B
13 cifras, siendo: E
RESOLUCIÓN
A) 4
D) 12
Observamos que la cantidad de
cifras
de
los
numerales
respectivos forman una serie
aritmética de razón 2, entonces:
#de tér minos
45 1
2
B) 5
E) 15
# cifras de En =
Min = 15n n + 1
Máx = 15n
# cifras de A² . B³ =
Min= 2(18) +3(13)5+1
Máx= 2(18) + 3(13)
36 + 39 = 15n
n=5
RPTA.: D
E
A.B2
C2
Tiene
6x
C) 7
En = A² . B³
La cantidad de cifras de:
M 1, M 2 , M 3
442. Si:
A2 B3
RESOLUCIÓN
23 ; n 23
Máx. = 1 + 3 + 5 + ... + 45 =
23
(1 + 45)
529
2
Min.= 529 23 + 1 = 507
n
RPTA.: B
cifras
enteras; además: “A” tiene x8
cifras; “B” tiene x4 cifras y “C”
tiene x0 cifras. Halle “x”
A) 4
D) 7
B) 5
E) 8
C) 6
RESOLUCIÓN
6
Max x8 2.x4
A.B2
E 2
C
Min x8 2.x4 3 1
Max 2.x0
Min 2.x0 2 1
E
x (n-1) 4
*
Max x8 2 x4 2 x0 1 1 10x 18
Min x8 2.x4 2 2 x0 10x 14
9
x=6
n=10
a + b + c = 14
RPTA.:B
444. Halle en base 10 el valor de “S” si
sus 15 términos forman una
progresión aritmética:
S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n)
A) 637
D) 675
B) 625
E) 645
C) 5481
3 columna = 1 2 3 4 5 50
4 columna = 2 4 6 8 5 100
RESOLUCIÓN
RPTA.:E
S 12n 21(n) 30n ... 210n
Razón: 21n 12n n 1
446. Si: S n 102 104 106 .......... ..........
Último término:
12n 14 n 1 210n
“n” sumandos
Resolviendo:
n2 7n 6 0 n 6
Halle la siguiente suma:
S 126 216 306 ... 2106
S= 8 + 13 + 18 + … + 78
S
15 x 86
645
2
S S1 S2 S3 S4 ......... S49
A) 26 615
C) 161 450
E) 146 150
B) 16 415
D) 164 150
RPTA.:E
RESOLUCIÓN
S1 102
445. Halle la
números
suma
de
a a / 2 b 2b
A) 84440
D) 104480
de todos los
la
forma:
B) 84480
E) 105480
C) 84840
RESOLUCIÓN
5
N=
a
2
4
6
8
S= 105
4
a
2
1
2
3
4
4
8
b (2b)
0 0
1 2
2 4
3
4 6
8
8 0
:20#s
1 columna = 0 2 4 6 8 4 80
2 columna = 0 1 2 3 4 4 40
S2 102 104
S3 102 104 106
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
S49 102 104 106
………..
………..
………..
………..
………..
………..
………..
……+198
S = 49(102)+48(104)+47(106)+...1(198)
S = 2[49(51) + 48(52)+47(53)+...1(99)]
S = 2[49(10049)+48(10048)+...
+47(10047)+...+1(1001)]
S = 2[100(49+48+47+....+1)....
(49²+48²+47²+...+1²]
49 49 1 49 49 1 2 49 1
S 2 100
2
6
164150
S = 164150
RPTA.: D
C.A. 9ab 41ab
A) 1
D) 10
C) 8
C.A. 1ab C.A 2ab C.A. 3ab ...
447. Efectuar:
S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ....+ 66...66
B) 6
E) 4
RESOLUCIÓN
“n” cifras
CA 1ab CA 2ab ... CA 9ab 41ab
A)
B)
C)
D)
10n1 9n
9
n1
10 9n 10
27
10n 9n 10
27
10n1 9n 10
2
27
10
3
A) 27
D) 4
m
k
3 2n 8
13
B) 13
E) 25
C) 53
k m
k
CA mn 2n
5 13 3
8 13
Método Práctico:
m
m9
3
12 n 2n n 4
12 m
k k
k 40
5 8
k m n 40 9 4 4
n(1)
RPTA.: D
27
RPTA.: D
448. Halle: a b si:
si se cumple
13
101 10n 1
n
RESOLUCIÓN
3S
101 1 102 1 103 1 ....... 10n 1
2
S
449. Calcule: k m
que:
k
CA mn
5 13
“n” cifras
2 10n 1 9n 10
1ab 9ab
9 4100 ab
2
RPTA.: E
Multiplicando por : 9:
9 S = 6 (9+ 99+999+9999 + ...
+ 99999 ....... 9999
(10 1)
a+b=4
“n” cifras
400 10 ab ab 40
6 (1+11+111+1111+...
+ 11111 ....... 1111
3S
2
9000 500 ab 9 4100 ab
Factorizando el 6:
9 103
RESOLUCIÓN
9 103 1ab 2ab ... 9ab 4100 ab
10n 9n 10
E) 2
27
S=
1ab 103 2ab ... 103 9ab 41ab
450. Si:
abcm cbam xyzm , xyzm zyxm
defgm y d e f g 16;
Halle el valor de m.
A) 5
D) 8
B) 6
E) 9
C.A 901000...000 99000...000
C) 7
(n+2)cifs.
RESOLUCIÓN
abcm cbam xyzm
x z m1
Suma de cifras: 9+9 =18
RPTA.: C
y= m – 1
x y zm
452. Si N y M son números de 200 y
150 cifras respectivamente, y
CA N M CA(N).
z y xm
Halle la suma de cifras del
complemento aritmético de M.
d e f gm
z+x=m-1=g
A) 151
D) 9
f m2
1 x z m 10m dem
RESOLUCIÓN
2y = 2m-2= 1 m 2m
D=1;e=0
Luego:
d + e + f + g =16 (por dato)
1 + 0 +m – 2 + m – 1 =16
2m=18
B) 1
E) 450
C) 50
C.A. N-M C.A.(N)
10k N M 10n N
M 10n 10K 10K 99...9
CA(M) 10k.1 100...0
m9
RPTA.: E
451. Calcule el complemento aritmético
n 1
n 1
del número M 9 10 10
Dar como respuesta la suma de
sus cifras.
A) 10n+2
D) 9n-1
( n+1)cifs.
B) 15
E) 10n-9
C) 18
Cifras = 1
RPTA.: B
453. ¿Cuál es el mayor sistema de
numeración en el cual se puede
escribir con tres cifras un número
entero que en el sistema decimal
tiene por complemento aritmético
a otro numeral de 3 cifras iguales?
A) 26
D) 19
B) 29
E) 22
C) 20
RESOLUCIÓN
M 9 10n1 10n1
RESOLUCIÓN
Se puede expresar:
Sea “n” el valor máximo de la
base, que representa al número
M 9 102 10n1 10n1
dado como: abcn N10
n 1
M 10
Además: CA N10 XXX
Factor común:
n 1
900 1 901 10
Cómo N10 debe ser máximo, por
lo tanto su CA deberá ser el más
pequeño posible, luego x=1
capicúas de
base “n”?
Luego: CA N10 111;N 889
Entonces:
abcn 889 n2 889; n 29,7
Luego el mayor valor de la base
será: n = 29
A) 6
D) 9
RPTA.: B
B) 4
E) 8
C) 7
RESOLUCIÓN
Planteando el enunciado.
454. Si:
21ab 24ab 27ab .... 69ab
11n 22n 33n ... n 1 n 1n 330n
es xyz63
1 n 1 2 n 1 3 n 1 ... n 1 n 1 3n n 1
Calcule: (a+b+x+y+z)
A) 28
D) 26
2 cifras es 330 en
B) 27
E) 32
Simplificando tendremos:
1+2+3+4+….+(n-1)=3n
C) 24
Suma
RESOLUCIÓN
21ab 24ab 27ab .... 69ab
n
n 1 3 n
2
de
es xyz63
naturales
2100 2400 2700 .... 6900 17 ab
n 1 = 6; n = 7 Heptanal
17#s.
RPTA.: C
9000
17 17 ab xyz63
2
Observando:
ceros)
(otras
cifras
son
ab
ab 39
17 * 7 b .3;b 9
73 * 7 a 6 .7;a 3
9
63
4500 17 17 39 xyz63 X=7
17 4539 77163 xyz63
Y=7
a b x y z 27
Z=1
RPTA.: B
455. ¿En que sistema de numeración
“n” la suma de todos los números
456. Halle la suma mínima de
siguientes
números
que
encuentran en P.A.:
los
se
S = ab;ac; a 1 3; a 1 c;....; a 7 c
De como respuesta la suma de
cifras de S.
A) 16
D) 21
B) 18
E) 22
RESOLUCIÓN
C) 20
ab;ac; a 1 3; a 1 C... a 7 c
5
b=3
amin 1
5
5
c=8
S
13 88 88 13
1
2
5
S
101
16 808
2
RESOLUCIÓN
Desdoblando en dos sumas:
S1 134 136 138 ... 13100
Cifras de S=16
RPTA.: A
457. Si: aba8 ab8 ba8 ccdd8
Halle el valor de (a+b+c+d).
A) 15
D) 18
B) 16
E) 19
C) 17
S1 7
9 11
… +103
103 7 103 7
S2
1 2695
2
2
S2 315 317 319 ... 3199
S2 16 22 28 ... 298
298 16 298 16
S1
1 7536
2
6
RESOLUCIÓN
Ordenando:
aba8
S S1 S2 2 695 7536 10 231
RPTA.: E
ab8
459. Halle: “ a+b+c” si:
ba8
c c d d8
a b a 2d8 16 d
a1b9 a2b9 a3b9 ... a8b9 48c29
A) 16
D) 20
b=5
b a b 2 2d8 16 d
d=3
B) 17
E) 18
C) 15
RESOLUCIÓN
a1b9
a 2 CC8 9C
a2b9
c= 1 a=7
a + b + c + d = 16
RPTA.: D
.
.
.
a8b9
48c29
458. Halle la suma:
Unidades:
13 4 315 136 317... 13100
A) 2 895
C) 12 301
E) 10 231
B) 7 536
D) 10 321
º
8 b x29 8.b 9 2 b 7
Decenas:
89
6 42 4 9 6 c 6
2
Centenas:
8 a 4 489
8 a 40 a 5
a + b + c = 18
RPTA.: E
460. Halle la diferencia de las cifras de
un número de 2 cifras; tal que la
suma del número con el que
resulta de invertir sus cifras, sea
igual a la suma de todos los
números de 2 cifras hasta el
inclusive.
A) 0
D) 1
B)4
E) 3
5 5 5 =125 Números
C. A. abc (9 a)(9 b)(10 c)
C) 2
RESOLUCIÓN
Planteando el enunciado:
Nro. Inicial: ab
ab ba 10 11 12 13 ... ab
6
4
7
5
2
2
3
0
0
1
5
5 = 125
Números
Sumando:
Unidades:
25 (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 625
Decenas:
25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500
Centenas:
25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500
55625
22=10+ab ab 12
3 = 12 9
Pide la diferencia b a = 1
RPTA.: D
461. Halle la suma de los C.A. de todos
los números que tienen tres cifras
impares.
a b c
1 1 1
3 3 3
5 5 5
6
4
22 a b 10 ab ab 9
RESOLUCIÓN
9
10 ab
11 a b
ab 9
2
A) 55 6615
C) 45 625
E) 55 625
8
5
Nro. Invertido: ba
8
B) 55635
D) 55 525
RPTA.: E
462. Se
realiza
una
reunión
de
Peruanos y Bolivianos para tratar
con respecto a la agricultura, son
12 en total, los peruanos son más
que los bolivianos, los peruanos
llegan y se dan los buenos días
mutuamente; los bolivianos lo
mismo, pero los peruanos no
saludan a los bolivianos y lo
mismo los bolivianos, si en total
se efectuaron 31 saludos ¿Cuál es
la diferencia entre Peruanos y
Bolivianos?
A) 2
D) 5
B) 3
E) 4
C) 1
d=d
c= d+r
b=d+2r
a=d+3r
RESOLUCIÓN
P+B=12
Saludos Peruanos
1
P-1
2
P-2
Resolviendo
r 1 e 2
P 1
2 P
.
.
.
.
P-1
.
.
1
a b c d e
6
7
8
9
Saludos Bolivianos
1
B-1
2
B-2
3
B-3
B 1
.
.
2 B
.
.
.
.
B-1 1
4
5
6
7
3
4
5
6
2
2
2
2
Si r 2 e 4
ab c de
119 7 5 4
No hay números
RPTA.: E
P² + B² (P + B) = 62
P² + B² = 74
7² + 5² = 74
75=2
464. Halle la suma de cifras de la suma
de todos los números de la forma
RPTA.: A
463. ¿Cuántos números de la forma
abcde
existe,
tales
que:
a b c d e y la suma de los
cuadrados de las cifras de
segundo y quinto orden es igual a
la suma de los cuadrados de las
demás cifras?
(Las cifras a, b, c, y d forman una
progresión aritmética).
B) 5
E) 4
5
6
7
8
Solo hay 4 números
P 1
B 1
2 P 2 B 31
2
2
P P B B 62
A) 1
D) 9
e=2r
C) 6
a 3 b 1
2b 5
2 3
a 2
A) 15
D) 16
B) 14
E) 17
C) 13
RESOLUCIÓN
UM
M
C
b
1
a
3
a 2
2 3
1
3
0
3
4
1
5
5
7
6
9
7
5
x
D
(2b)
U
2
5
(2)
5
8
=10
RESOLUCIÓN
abcde;a b c d e
a2 d2 b2 c2 e2.
d 3r
2
d2 d 2r d r e2
2
2
b = {1; 4}
a = {3; 5; 7; 9; 11}
Ordenado los productos parciales
U
10
(5)
1
D
10
(10) =
2
50
C
10
(1)
2
5
M
10
(25) =
5
UM
=
Si la factura total fue S/. 2213.
Halle el número de relojes.
50+
=
A) 4
D) 7
Planteando el enunciado:
“a” # de relojes
143 a + 91 b + 77 x c = 2 2 1 3
12 31
50
S=
C) 6
RESOLUCIÓN
5 0
10
(25) =
5
B) 5
E) 8
(1) +1
55 1 0 5 0
Cifras 16
RPTA.: D
*
º
Módulo de 7 :
º
465. Si:
A = 3k + 1 ;
B = 3k + 2
Halle el residuo que deja
expresión:
E = [2A + 22B + 2³] entre 7
B) 2
E) 4
la
C) 3
2B
E = (2 + 2
RPTA.: B
467. ¿Cuál es el residuo de dividir:
666...666 (8) entre 13?
A) 2
D) 5
+ 8) 7
E = (2³)k . 21 + (2³)2k 24 + 1
º
B) 8
E) 9
C) 3
RESOLUCIÓN
E = (23k+1+26k+4+ 7 +1)
º
3a + 7 = 7 + 1
7m 1
a
3
m=2 ;
a=5
102 cifras
RESOLUCIÓN
A
º
º
DIVISIBILIDAD I
A) 1
D) 5
º
[( 7 +3)a+ 7 + 7 ] = 3 + 3 4 2 ¨
SEMANA 7
Calculando restos potenciales de
base 8 respecto al módulo 13.
º
E = ( 7 +1)2 + ( 7 +1)( 7 +2)+1
Base 8:
º
E=2+2+1+ 7
80; 81; 8²; 8³; 84
1; 8; 12; 5; 1
1; 5; 1; 5; 1
º
E = 7 + 5 residuo = 5
RPTA.: D
466. Una importadora ha comprado
relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a
S/. 91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u.
Cada 4 cifras se anula:
102 4
2 25
6 6 6 ..... 6 6 6(8)
5 1
100 cifras = 0
º
n + 7 = 25 n = 18; 43; 68; 93
º
º
30 6 13 r
13 + 2 = 13 + r
r=2
º
n 7 = 25 n = 7 ; 32 ; 57; 82
# términos = 8
º
RPTA.: C
RPTA.: A
470. Si al dividir por exceso:
º
468. Si: 43a43 es la suma de 83
números consecutivos, halle el
valor de “a”.
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
Sean
los
83
números
consecutivos: n41; ...; n1; n;
n+1,...;n+41
Luego:
n41 + ....+n+41= 43a43
83n = 43a43
º
83 = 43043 + 100a
º
º
83 = 49 + 17a + 83
º
83 = 17a 34
a=2
RPTA.: B
469. ¿Cuántos términos son múltiplos
º
de 25 ?
2; 5; 10; 17; .......; 10001
A) 12
D) 5
B) 9
E) 6
C) 8
RESOLUCIÓN
Término n ésimo:
an = n² + 1 ; n = 1,...., 100
º
n² +1 = 25
º
n² + 1 50 = 25
º
(n + 7) (n 7) = 25
2304606902b31 con 23 no deja
residuo, halle el valor de b.
A) 1
D) 7
B) 2
E) 8
C) 5
E = [26n+3+9k.4k] entre 7?
RESOLUCIÓN
Se tiene:
º
2304606902b31 23 2b31
º
= 23 + 2031 + 100b
º
= 23 + 7 + 8b
B) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
7 + 8b = 23
b=2
. 2³ + ( 7 +2)k.4k
º
RPTA.: B
por 10
A) 1
D) 6
B) 2
E) 7
º
E = ( 7 +1)( 7 +1) + 2k.4k
471. Halle el residuo de dividir:
unac2008
2n
E = 23
º
3abc3
C) 3
E = 26n+3 + 9k.4k entre 7
Como el residuo es “0”
A) 1
D) 4
Ojo: 2k.4k
º
º
= 8k=( 7 +1)
º
E = ( 7 +1)+( 7 +1) = 7 +2
RPTA.: B
C) 5
474. Sea:
º
n! = 23 + 2;
RESOLUCIÓN
unac2008
3abc3
...1
...3
º
(n+1)! = 23 + 6
¿Cuál es el residuo de (n+3)!
entre 23?
4k
k
= ...1
A) 3
D) 12
º
= 10 + 1
B) 6
E) 13
C) 5
RPTA.: A
472. Halle el residuo de dividir:
RESOLUCIÓN
nm
abba2 cde14 fgh36 por 2.
A) 0
D) FD
B) 1
E) N.A.
RPTA.: Cç
C) 0.1
475. ¿Cuántos términos de la serie: 4;
11; 22; 37; 56; ....(100 términos)
RESOLUCIÓN
º
nm
E = abba2 cde14 fgh36 ; a = 1 , b=0
son: ( 13 +1)?
A) 14
D) 8
º
º
º
= 2 1nm 4 1 6 3
º
º
º
= 2 1 2 1 2 3
B) 15
E) 12
º
= 2 +3
E
º
= 2 +1
RPTA.: B
473. ¿Cuál es el residuo de dividir la
siguiente suma:
RESOLUCIÓN
Sucesión de 2º orden:
C) 9
c=
1
a+b =
4; 11; 22; 37; 56;...
3
2a =
4
a=2 ;
7
11
4
15 19
A) 7
D) 2
B) 3
E) 1
C) F.D.
RESOLUCIÓN
4
4
columna
secundaria
b=1 ;c=1
135ab1 base 11
º
11 3
ab1
º
11 r
º
º
11 3ab1
11 r
º
2n² + n + 1 = 13 + 1
º
Restos potenciales de impotencia
3 con respecto al módulo 11.
º
n(2n+1) = 13 ; n = 13 k
#s: {13; 26; 39; 52; 65; 78; 91} (7 nros)
#s: {2n+1= 13; 6; 19; ...97} (8 nros)
30; 31; 3²; 3³; 34; 35
1; 3; 9; 5; 4; 1
º
º
11 3ab0 31 11 r
Total de números 7 + 8 = 15
RPTA.: B
476. Halle “a” si (a+b) = 6, además:
º
º
k
11 35 3 11 r
º
º
º
11 +( 11 +1).3 = 11 +r
º
aabbaabb...ab5
1334
11 9
y el
º
11 + 3 = 11 +r
r=3
RPTA.: B
exponente tiene 88 cifras.
A) 3
D) 6
B) 4
E) 2
478. Halle el resto de dividir E entre 7:
C) 5
E 1426 1425
RESOLUCIÓN
A) 2
D) 1
++
º
1334 = 11 +3; calculando restos
potenciales.
º
º
º
º
( 11 +3)5k+b =( 11 +3)5k( 11 +3)b= 11 +9
º
º
º
º
1424 1423
B) 6
E) 5
21
C) 3
RESOLUCIÓN
E = 1426
Impar
º
º
º
= 7 +r
º
( 7 2)Impar = 7 +r
=( 11 + 35k)( 11 +3b) = 11 +9
º
º
7 2k = 7 + r
=( 11 +3b) = 11 +9
b=2
;
a=5
RPTA.: B
K = múltiplo de 3 k = 3n
º
º
º
7 23n = 7 1 = 7 + r
º
477. Si el número 135
ab1
º
7 +6= 7 +r
r =6
Residuo = 6
se convierte
en base 11. ¿Cuál será la cifra de
unidades del resultado?
RPTA.: B
479. Halle (d+u), si el
número
º
la
de
RESOLUCIÓN
º
forma: mcdu 11, tal que md 7
2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; .... 14762
y m + c + d + u = u²
A) 9
D) 15
B) 13
E) 45
1x2; 2x3;3x4;4x5; 5x6; ....;121x122
C) 12
(por dato en base 5 acaba en 1)
RESOLUCIÓN
º
º
tn = n (n+1) = 5 + 1 ; n= 1,2,...,121
º
mcdu 11;md 7;m c d u u² u² =16
++
31
u² = 25
u² = 36
º
n² + n = 5 + 1 + 5
º
n² + n 6 = 5
º
(n+3)(n2) = 5
º
c + u (m+d) = 11 ;
Luego:
º
para u = 4
º
º
n+3= 5 n= 5 3= 5 +2
º
c (m+d) = 11 4 .......... ()
º
3m+d = 7 .......................()
º
Para u = 4
m + c + d = 12
m + d = 12 c ..................()
si: c = 4
m + d = 8 ........................()
de () y ()
º
c = 11 + 4
c=4
de () y ()
m = 3; d = 5
d+u=9
º
n2= 5 n= 5 +2
n = 5k + 2 k = 0; 1; 2; ....23
n 121
24 valores
RPTA.: B
481. En una fiesta infantil el payaso
“POPI” juega con un grupo no más
de 150 niños y observa que si los
agrupa de 7 en 7 le sobran 5
niños; si los agrupa de 4 en 4 le
faltaría un niño para formar un
nuevo grupo y si los agrupa de 9
en 9 le sobran 2 niños. Calcule el
número de niños que hay en dicha
fiesta.
RPTA.: A
A) 42
D) 122
480. ¿Cuántos términos de la siguiente
sucesión: 2; 6; 12; 20; 30;
....;14762 al expresarlos en base
5, resultan que su cifra de menor
orden es 1?
B) 130
E) 56
C) 47
RESOLUCIÓN
# niños (N) 150
º
N = 7 +5
º
N= 4 +3
º
A) 12
D) 42
B) 24
E) 28
N= 9 +2
C) 36
º
º
N = 4 + 11
N = 9 + 11
º
N = 36 +11 = 36 k + 11
k=1;2;3
N = 47; 83; 119
º
M = 36 = 36y
105x + 36y = 528
4
3
Pero:
º
N= 7 +5
N = 47
2(420)
Vlentes 15 56
3(108)
M
81
lentes
4
RPTA.: C
482. En una conferencia a la que
asistieron 528 personas; se sabe
que de los varones: la tercera
2
parte usan corbata; los
usan
15
3
lentes y los
llevan saco. De las
7
mujeres se sabe que: la sexta
3
parte usa minifalda; las
usan
4
2
lentes y las
tienen ojos azules.
9
Calcule el número de personas
que usan lentes.
A) 137
D) 420
B) 56
E) 48
C) 81
Personas con lentes: 137
RPTA.: A
483. Un comerciante va a la “Galería
Gamarra” con S/. 3060 para
comprar
polos,
camisas
y
pantalones de precios unitarios
iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60
respectivamente.
Si
entre
pantalones
y
camisas
debe
comprar más de 10 prendas.
Calcule cuántas prendas en total
compró; si la cantidad de polos
fue la mayor posible; además
compró al menos uno de cada uno
y empleó todo su dinero.
RESOLUCIÓN
*
*
*
*
*
*
# personas = 528
A) 183
D) 184
B) 172
E) 195
De los varones (V):
º
V
usan corbata =
V3
3
º
2
usan lentes =
V V 15
15
º
3
llevan saco = V V 7
7
RESOLUCIÓN
C) 163
Artículo: camisas; polos, pantalones
24 ; 15 ;
60
Nº artículos x ; y ;
z
Máximo
Precios Unitarios
x + z > 10
º
V = 105 = 105x
De las mujeres (M):
º
M
usan minifalda =
M6
6
Luego:
24x + 60z + 15y = 3060 ........()
º
º
º
Por 5 : 24x + 5 + 5
=
º
5
º
usan lentes = 3M/4 M = 4
º
2
tienen ojos azules = M M 9
9
24x = 5 x = 5 xmin = 5 en()
24 5 + 60z + 15y = 3060
20z + 5y = 980 4z + y = 196
Zmin = 6 ymax = 172
x + y + z = 183
1
2
3
4
71
72
3.71 214
3 x 71 x 2 = 426
71 x 4 = 284
72 x 3 = 216
214
c
c
c
c
=
=
=
=
4
2
2
2
RPTA.: A
cdu = 426
484. El residuo de dividir el número
RPTA.: D
143
657
entre 25 es ab . Calcule el
resto de dividir dicho número
entre a b
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
486. Halle el mayor número abc , tal
que: 1492abc al ser dividido entre
40, deje como residuo 24.
C) 3
A) 996
D) 995
RESOLUCIÓN
143
657
º
= ( 25 +7)
º
Sabemos que:
143
= 25 + 7
º
º
º
1492 = 40 + 12
= 25 +(7²) 7= 25 +( 25 1) .7
71
º
71
º
= 25 +( 25 171)7
º
º
Aplicando el Binomio de Newton:
º
1492abc 40 12
= 25 + 25 17 = 25 7
º
º
67143 = 25 +18 = 25 + ab
ab = 18
º
º
º
º
RPTA.: A
P c 2 d 1u 3
B) 316
E) 441
C) 213
º
12abc 40 2 4
º
º
º
º
º
º
121 4 40 12
RESOLUCIÓN
122 4 40 24
o
cdu c 2 d 1 u 3 c 2 d 1 u 3 k
123 4 40 8
cdu cdu 213 k 213k k cdu cdu
124
3.71.k= cdu k 1
Dando valores obtenemos:
(k1)
k
cdu
º
Determinando
los
restos
potenciales de 12 respecto al
módulo 40, hallamos como valor
del Gaüssiano cuatro, entonces el
abc
exponente
deberá
ser
múltiplo de cuatro, más aquel
exponente del grupo periódico que
deja resto potencial 24.
485. Halle el menor valor de N = cdu ,
sabiendo que es múltiplo de:
A) 214
D) 426
abc
1492abc 40 12abc 40 24
657143=( 8 +1)143= 8 + 1143= 8 +1
r=1
C) 989
RESOLUCIÓN
º
143
B) 249
E) 998
º
º
40 16
º
abc 4 2
además, como debe ser el mayor
posible abc 100 0
1000 2
4k + 2 < 1000 k <
249,5
4
kmáximo = 249
abc 4 249 2 998
0
999 a 999 b 7
0
RPTA.: E
SEMANA 8
DIVISIBILIDAD II
La diferencia: 999(7) 6993
487. La suma de trece números
enteros consecutivos es de la
forma 4 a 9 a . Halle el mayor de
los números.
A) 363
D) 375
B) 368
E) 374
RPTA.: E
489. Si:
0
abc 11
0
C) 369
bac 7
0
cab 5
Calcule el menor valor de:
(a + b + c)
RESOLUCIÓN
De la condición:
N 6 N 5 N 4 ......
N ...... N 5 N 6 4a9a
A) 16
D) 12
Efectuando la suma indicada:
RESOLUCIÓN
13N 4 a9 a
B) 10
E) 14
0
0
0
0
0
bac 7 2 b 3 a c 7
0
cab 5 b 5
0
1 4 4 a 3 9 1(a) 13
a = 7 13 N = 4797 N = 369
De las ecuaciones: a + c =5
0
RPTA.: D
488. Si un número de 4 dígitos donde
sus 3 últimas cifras son iguales se
le ha restado otro que se obtuvo
al invertir el orden de las cifras del
primero. Si la diferencia es
múltiplo de 7. Halle la diferencia.
B) 1 554
E) 6 993
RESOLUCIÓN
0
abbb bbba 7
Descomponiendo
C) 2 331
0
3a c 7 3 2a 7 1
a + b + c = 3 + 5 + 2 = 10.
a=3
c=3
El mayor número: N 6 375
A) 777
D) 4 662
C) 15
abc 11 a b c 11
4 a9 a 13
999(a b) 7
a b 7.
RPTA.: B
0
490. Se cumple: mnp 22
0
pnm 7
0
mp 9
Calcule: m x n x p
A) 72
D) 126
B) 81
E) 162
RESOLUCIÓN
C) 90
0
mnp 22 p : par;
m
5
0
n
p 11
(+)(-)(+)
0
b c b 5 99
1 (10) 1 (10) 1
0
0
m n p 11…………………………… 1
5 10b c 10b 5 99
0
10 20b c 9 9
0
pnm 7 ;
4
9
231
9
8
0
0
2 p 3n m 7 …………………………... 2
Hay 2 números 4 95 .
a b c b a
0
mp 9
0 0 1
0
m p 9 ; p: par.
m p 9 …………………………………
1 1 2
3
2 2 3
. . .
3 en 1
. . .
. . .
9 - n = 11
9 9 9
n=9
10 10 9 900# s.
3 en 2
0
0
9 p 27 7
Números que no son 4 95
900 - 2 = 898
0
p 36 7
RPTA.: D
p=6
º
m=3
492. Si: 1185 a2 47 6 032 0 0 0 19!
Halle “a”
m n p
3 9 6 162
RPTA.: E
A) 4
D) 7
B) 5
E) 8
C) 6
491. ¿Cuántos números capicúas de 5
cifras no son múltiplos de 495?
A) 872
D) 898
B) 890
E) 899
ab c b a 4 95
RESOLUCIÓN
0
RESOLUCIÓN
0
C) 896
0
5
0
99
El criterio más preciso es 9 ;
porque se analiza todas las cifras.
Tendremos
0
19! 9
A) 50
D) 56
0
1 1 8 5a2 4 7 603 2000 9
B) 52
E) 58
C) 54
0
a39
RESOLUCIÓN
a=6
0
Como 364 = 7
RPTA.: C
493. Halle: n x p si:
º
abcd 7
abcd 364 d a 2b 3c … 1
0
x8 n 5 nx 25 y
1231
- +
7 d a 2b 3c 364(d a 2b 3c)
0
n 5 ppxp 7
0
0
A) 15
D) 18
B) 16
E) 20
C) 17
0
7 363 d a 2b 3c (d a 2b 3c) 7
d a 2b 3c 21 en 1
abcd 364 21 7644
RESOLUCIÓN
a=7
b=6
c=4
d=4
0
x8 n 5 nx 25
0
n 5 pp x p 7
Verificando:
n5 1 ;n 6
d-a+2b+3c = 4-7+12+12=21
ab + cd = 7 x 6 + 4 x 4 = 58
RPTA.: E
0
495. El número de la forma: a a0 b b c
al ser dividido entre 4; 9 y 25
deja como residuo 2; 4 y 7
respectivamente. Halle “a”.
Criterio: 25
0
nx 25 ; n 7
0
7x 25 ; x 5
0
A) 6
D) 2
2 ppxp 7
º
Criterio 7
0
B) 4
E) 0
RESOLUCIÓN
2 pp5 p 7
M a a0 b b c
31 231
- +
0
4 2
0
3p 15 p 6 7
C) 3
0
0
M
9 4
2p 9 7
p + n + x = 18
0
25 7
RPTA.: D
494. Sabiendo que:
Por lo tanto:
abcd 364(d a 2b 3c) .
Halle la expresión: ab cd
0
0
4 2 80 4 82
M
º
0
25 7 75 2 5 82
497. ¿Cuántos capicúas de 4 cifras son
divisibles por 99 pero no por 15?
Propiedad:
M m.cm.(4;25) 82
0
A) 8
D) 7
M 100 82
entonces:
B) 9
E) 11
C) 10
RESOLUCIÓN
0
b=8
0
Sea: abba 99 15 a 5
aa0b b c 100 82
c=2
*
Caso 1 ab ba 99
a + b=9
9
0
8
1
7
2
6
3
4
5
3
6
2
7
1
8
Hay ocho números
0
aa0 8 8 2 9 4
0
2a 9 4
0
a 9 2 ; a = 2
RPTA.: D
496. Halle el residuo que se obtiene al
ab 5
dividir: ab1ab 4
A) 2
D) 1
Entre 11.
B) 3
E) 6
C) 4
*
RESOLUCIÓN
0
M a b 1 a b 4 11
Caso 2 ab ba 189
a9 b= 9
Hay un número
Rpta. 9 números
RPTA.: B
- +- +- +
4 a b a 1 b 11
0
0
11 3
ab5
M
º
11 3
ab5
º
11 3ab5
B) 6
E) 4
C) 7
0
5 6 7 8 9 10 11 12 … 98 99
0
= 11 99 98 ... 10 56789
0
= 11
3 11 3
0
32 11 9
0
33 11 5
4
A) 5
D) 2
el
RESOLUCIÓN
Gaus: modulo: 11
1
498. Halle el residuo de dividir
número 5678…979899 con 11.
99 10
90 5 7 9 6 8
2
0
0
= 11 109.45 7
0
= 11 6
3 11 4
0
35 11 1
Cada vez que la potencia de 3 es
múltiplo de 5 el residuo es 1.
RPTA.: D
RPTA.: B
499. Halle el residuo de dividir el
número 13579…959799 con 9.
A) 6
B) 7
C) 3
D) 1
E) 0
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
1 3 5 7 …. 95 97 99
a53b72c4 8
2 c 4 8 8 2c 4 8
0
0
0
421
9 1 3 5 ... 99
(Criterio de divisibilidad)
0
0
*
= 9 50
(Suma de números impares)
*
-+-+-+-+
0
0
a53b 7 2 c 4 11 10 55 11 65
*
a53b 72 c 4 9 2 63 9 65
a53b72c4
2
0
= 9 25
0
c = 2; 6
0
0
0
9 7
a5 3b 72 c4 99 65
RPTA.: B
500. Halle el resto de dividir el número:
N 321aaa321aaa4 Entre 7.
0
a5 3b c4 7 99 99 2 198
Si c 6 b 2 ; a 9
a b c 17
RPTA.: E
A) 1
D) 4
B) 2
E) 0
C) 3
502. Se sabe que
mnpq
mnpq
m
7
RESOLUCIÓN
n
7
N = 321 aaa
321 aaa(4)
3
4
N = (57) (21a) (57) (21a)(64)
N 57 644 21a 642 57 64 21a
0
0
0
0
mnpq
p
7
0
11 5
0
11 4
0
11 2
Calcule el residuo de dividir N
entre 11. Si N mnpq7
N 57(7 1) 4 7 57(7 1) 4 7
0
0
A) 5
D) 2
N 7 57 57 7 114
0
0
0
N 7 (7 2) 7 2
N 7 r 2
RPTA.: B
501. Se tiene el numeral a5 3b 7 2 c 4
es divisible por 8 y que al ser
dividido entre 11, el residuo es
10; y al ser dividido entre 9 el
residuo es 2. Halle el mayor valor
de: (a + b + c).
A) 10
D) 16
B) 12
E) 17
C) 14
B) 3
E) 1
mnp 4
C) 8
RESOLUCIÓN
N mnpq7
mnp 4
descomponiendo:
mnp 4 16 m 4n p
N mnpq7 mnpq7 mnpq7
16 m
4n
p
mnpq mnpq
m 16
N mnpq7
16
0
N 11 5
n 4
7
4
p
7
º
0
11 4 11 2
0
0
0
N 11 516 11 44 11 2
0
0
0
N 11 5 11 3 11 2
0
RPTA.: D
0
N 11 30 11 (33 3)
0
N 11 3
505. Calcule “a x b”; si 4 a056 7b 9
Resto: 3
es divisible entre 10 y al ser
dividido entre 8 el resto es 2.
RPTA.: B
A) 4
D) 21
503. Halle el residuo de dividir con 10
66...66
el número
7
mnp00 cifras
A) 0
D) 6
abc
*
66...667
mnp00cifras
abc
abc
66...667
mnp00
cifras
66...667
mnp00cifras
7
...1
k
1
4 a056 7b9 8 2 a b 22 8 2
a b 20 8 a b 4 ó 12
k
abc
1
...0
504. ¿Cuántos valores puede tomar “a”
si el número aaa.............aa9
16 cifras es divisible entre 8?
RESOLUCIÓN
16 cifras
0
0
Para a b 12
b=7
b a 2a = 5
a b 35
C) 6
de
506. Un animalito va de “A” hacia “B”
dando saltos de 15 cm y regresa
dando saltos de 16 cm. Después
de haber recorrido 1,22 m se
detiene. ¿Cuánto le falta para
llegar al punto A?
A) 48 cm.
B) 42 cm.
C) 52 cm.
D) 58 cm.
E) menos de 40 cm.
RESOLUCIÓN
15
15
0
N aaa...aa 9 8
0
0
8 16 a 8 :
se cumple para todo “a”
a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
a toma 8 valores
0
abc
abc
B) 4
E) 7
I
RPTA.: C
RPTA.: A
A) 2
D) 8
*
;mnp00 4
abc
66...667
mnp00cifras
abc
4
ba2
0
abc
abc
7mnpoo 1
74k 1
0
4 a05 6 7b9 10 b a 2 18
+-+-+- +
C) 3
RESOLUCIÓN
C) 35
RESOLUCIÓN
B) 1
E) 8
66...667
mnp00cifras
B) 15
E) 5
…...
…
15
16 16
15a 16b 122
0
Modulo 3
0
0
0
3 3 1b 3 2
0
b 3 2
k = 0 ; b = 2 (sí)
b 3k 2
k = 1 ; b = 5 (No)
Reemplazando:
15a 16(2) 122
122 32 90
a
6
15
15
La distancia de A a B es:
16(6) = 90 cm
Falta: 90 16(b) = 58
RPTA.: D
0
507. Si 333... 41 . Con “n” mínimo.
508. Un niño si cuenta sus canicas
agrupándolas de 5 en 5 le faltan 2
canicas; si las cuentan de 6 en 6
le sobran 3; y si las cuentan de 8
en 8 le faltan 5; por lo que decidió
agruparlos de 9 en 9, así no le
sobra ninguna canica. Si la
cantidad de canicas se encuentra
entre 400 y 650. ¿Cuántas canicas
tiene el niño?
A) 438
D) 485
Sea “N” la cantidad de canicas que
tiene el niño:
0
5 3
0
N 6 3
0
8 3
0
A) 8
D) 16
B) 12
E) 10
C) 14
5 cifras.
0
N MCM (5;6;8) 3 120 3
Entonces:
N 123; 243; 363; 483; 603........
RESOLUCIÓN
33333
C) 483
RESOLUCIÓN
"n" cifras
¿Cuál será el residuo por exceso
que se obtiene al dividir entre 26
al menor número de 5 cifras
diferentes de la base n?
B) 480
E) 603
41
0
Pero: N 9 400 N 650
813
Menor número de
diferentes en base 5:
5
cifras
El niño tiene 603 canicas.
RPTA.: C
0
10234 5 26 r
Descomponiendo:
1 54 0 2 52 3 5 4 694
694
26
674
26
509. ¿Cuál es la suma de las cifras del
mayor número entero de tres
cifras, tal que si se le resta la
suma de sus tres cifras el
resultado es divisible por 13?
A) 26
D) 23
18
Por defecto = 18
Por exceso = 8
B) 20
E) 24
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
C) 15
0
abc a b c 13
431
0
+ 5a 4b 13
a=9
b=5
c=9
a b c 9 23
RPTA.: D
510. ¿Cuántos números de dos cifras
hay, que al elevarse al cuadrado y
al ser divididos entre cinco dejan
resto cuatro?
A) 18
D) 45
B) 48
E) 36
C) 32
RESOLUCIÓN
0
0
5
5
0
ab 5 1
ab
0
2
0
51
0
5 2
ab
0
ab 5 2
5 4
ó
0
ab 5 2
12; 17; 22; 27; ……..; 97
18 valores
13; 18; 23; 28; ……..; 98
18 valores
Existen36números
RPTA.: E
