UNIDAD 3: “PROBABILIDAD”
¿Qué es una probabilidad?
Sin duda se está familiarizando con términos como: probabilidad, posibilidad y azar. El pronóstico
meteorológico anuncia que hay un 70% de posibilidad de lluvias para el domingo.
¿Qué es una probabilidad? En general, es la posibilidad de que algo sucederá.
Probabilidad: Valor entre 0 y 1, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurrirá un
evento. Puede expresarse como un número decimal o con una fracción o en porcentaje.
La probabilidad 1 representa algo que seguramente va a suceder, se denomina certeza.La
probabilidad 0 señala algo que no puede ocurrir, se denomina imposibilidad.
Cuanto más se aproxime a cero una probabilidad, es más improbable que suceda algo.Cuanto
más se acerque a 1, tantos más seguros estaremos que ocurrirá.
Se utilizan tres palabras claves en el estudio de la probabilidad: experimento, resultado y evento.
Estos términos se emplean en nuestra habla cotidiana, pero en Estadística tienen significados
específicos.
Experimento: Proceso que conduce a la ocurrencia de una (y solamente una) de varias
observaciones posibles. Se lo puede pensar como una acción.
Un experimento tiene dos o más resultados posibles, y es incierto cuál habrá de ocurrir.
Resultado: Lo que resulta específicamente de un experimento.
Por ejemplo, lanzar una moneda al aire es un experimento. Se puede observar el lanzamiento de
aquella, pero no se está seguro de si caerá “cara” o “cruz”. Si la moneda se tira al aire, un resultado
particular es caer “cara”. El resultado alternativo es caer “cruz”. Cuando se observan uno o más de
los resultados de un experimento, se llama a esto un evento.
Evento: Conjunto de uno o más resultados de un experimento.
Ejemplo para aclarar los tres términos: en el experimento de tirar un dado existen seis
resultados posibles, pero hay muchos eventos factibles.
Todos los resultados posibles son: caer un 1; caer un 2; caer un 3; caer un 4; caer un 5;
caer un 6. Algunos eventos posibles son: un número par; un número mayor que 4; unnúmero 3
o menor.
PROBABILIDAD CLÁSICA
Se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.
Empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo
el número de resultados favorables entre el número total de resultados posibles.
Probabilidad de un evento =
Nº de resultados favorables
Nº de resultados posibles
Si sólo uno de varios eventos puede ocurrir cada vez, se dice que los eventos son
mutuamente excluyentes.
| Mutuamente Excluyente: Se expresa esto porque la ocurrencia de cualquier eventoimplica
que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo.
Si un experimento tiene un conjunto de eventos que incluye cada uno de los resultados posibles,
tales como los eventos “un número par” y “un número impar” en el experimento de lanzamiento de
un dado, entonces el conjunto de eventos se denomina colectivamenteexhaustivo.
| Colectivamente Exhaustivo: Se señala esto porque por lo menos uno de los eventos
debe ocurrir cuando se realiza un experimento.
En el experimento de tirar un dado, cada resultado será un número par o impar. Por lotanto, el
conjunto es colectivamente exhaustivo.
Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y los eventos son mutuamente
excluyentes, la suma de las probabilidades es igual a 1.
Ejemplo: Para el experimento de lanzar una moneda es:
evento cara
evento cruz
total
0,5
+
0,5
1
Para que se pueda aplicar el enfoque clásico, los eventos deben tener la misma posibilidad
de ocurrir (a lo que se denomina eventos igualmente posibles). Además, el conjunto deeventos
debe ser mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
Una distribución de probabilidades da toda la gama de valores que pueden ocurrir con base en un
experimento, y resulta similar a una distribución de frecuencias. Sin embargo, en vez de describir el
pasado define qué tan probable es que suceda algún evento futuro.
¿Qué es una distribución de probabilidad?
Una distribución de probabilidad muestra los posibles resultados de un experimento, y la
probabilidad de cada resultado.
Distribución probabilística: enumeración de todos los resultados de un experimento junto
con la probabilidad asociada a cada una.
Características
de
una
distribución
de
probabilidades:
en
una
distribución
probabilística, se observan dos características:
La probabilidad de un resultado específico debe estar siempre entre 0 y 1, inclusive.
La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes, es 1.
VARIABLES ALEATORIAS
Variable aleatoria: Cantidad que es el resultado de un experimento aleatorio el cual, debido al
azar, puede tomar valores diferentes.
¿Cómo pueden ser las variables aleatorias? Las variables aleatorias pueden ser
discretas o continuas.
Variable aleatoria discreta: puede tomar sólo cierto número de valores específicos. Si hay 100
empleados en una empresa, la cantidad de los ausentes el lunes, puede ser sólo 0, 1, 2, 3, …, 100.
Por lo general, una variable aleatoria discreta es el resultado de contar algo.
Variable aleatoria discreta: variable que sólo puede tener ciertos valores claramente
separados, que resultan de contar algún elemento de interés.
Debe observarse que una variable discreta puede, en algunos casos, tener valores fraccionarios o
decimales. Dichos valores deben estar separados, es decir, tener cierta distancia entre ellos. Como
ejemplo, las puntuaciones otorgadas a los participantes en programas emitidos por televisión, en el
cual algunos de los integrantes del jurado indican el puntaje con decimales, como ejemplo los
puntajes podrían ser: 6; 9; 5,5; 10, es decir hay una distancia entre 5,5 y 6.
Puntuaciones de 5,5 y 5,54 o 5,543 no puede ser consideradas discretas.
Variable aleatoria continua: si se mide algo, como el ancho de una habitación, la altura de una
persona o el diámetro exterior de una pieza, se dice que la variable es una variable aleatoria
continua. Por ejemplo:
la distancia entre dos ciudades.
La presión arterial de una persona.
Es lógico que, si se organiza un conjunto de variables aleatorias discretas en una distribución de
probabilidades, la distribución se denomina distribución probabilística discreta.
Los medios utilizados, así como las interpretaciones de probabilidad, son diferentes para las
variables aleatorias discretas o las continuas.
MEDIA, VARIANCIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
Media: La media es un valor particular que sirve para representar una distribución probabilística.
También es el valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria. La media de una distribución
de probabilidades, se denomina también valor esperado. E(x). es
un promedio ponderado para el que los valores posibles que se consideran son afectados por las
probabilidades correspondientes de ocurrencia.
La media de una distribución probabilística discreta se calcula con la fórmula:
𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∑[𝑥 · 𝑃(𝑥)]
Donde P(x) es la probabilidad de cada valor posible de la variable aleatoria x. en otras palabras, se
multiplica el valor de cada x por su probabilidad de ocurrencia y luego se suman estos productos.
Variancia y desviación estándar: la media no describe el grado de dispersión en una distribución.
La variancia sí lo hace. Como se analizó en la unidad anterior, una comparación de dos variancias
permite confrontar la variación de dos distribuciones que tengan la misma media, pero diferentes
dispersiones.
La fórmula para una distribución de probabilidades es:
Variancia
𝜎 2 = ∑[(𝑥 − 𝜇)2 · 𝑃(𝑥)]
⇒
𝜎 = √𝜎
2
Desviación estándar Los
pasos de cálculo son:
1.
Restar la media a cada valor y elevar al cuadrado la diferencia.
2.
Multiplicar el cuadrado de cada diferencia, por su probabilidad.
3.
Sumar los productos resultantes para llegar a la variancia.
4.
Hallar la raíz cuadrada de la variancia para obtener la desviación estándar.
DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL
La distribución probabilística binomial es un ejemplo de una distribución probabilística discreta.
También llamada distribución de Bernoulli, en honor de James Bernoulli, quien la descubrió a fines
del siglo XVII.
Una distribución binomial tiene las siguientes características:
1)
Un resultado de cada ensayo o realización de un experimento se clasifica en una dedos
categorías mutuamente excluyente: éxito o fracaso. Por ejemplo: la respuesta a una pregunta del
tipo verdadero/falso es precisamente verdadera o falsa.
2)
La variable aleatoria es el resultado de contar el número de éxitos en una cantidad
de ensayos. Por ejemplo: se tira una moneda cinco veces y se cuenta el número de soles que
resultan.
3)
La probabilidad de un éxito permanece igual para cada ensayo. Lo mismo sucedecon la
probabilidad de un fracaso. Ejemplo: la probabilidad de que adivine la primera pregunta de una
prueba de verdadero/falso en forma correcta (éxito) es igual a ½. Este es el primer ensayo. La
probabilidad de adivinar en forma correcta la segunda pregunta (el segundo ensayo) también vale
½; la probabilidad de éxito en el tercer ensayo es asimismo ½, y así sucesivamente.
4)
Los ensayos son independientes, lo cual significa que el resultado de un ensayo noafecta
el resultado de algún otro.
Para establecer una distribución probabilística binomial, se debe saber:
1)
El número de ensayos.
2)
La probabilidad de éxito en cada ensayo.
Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 soles en 6 tiradas deuna
moneda?
La distribución binomial puede describirse utilizando la fórmula:
P(x) = (𝑛) · 𝑝𝑥 · 𝑞 𝑛 − 𝑥 =
𝑥
𝑛!
𝑥! ·(𝑛−𝑥)!
· 𝑝𝑥 · 𝑞𝑛−𝑥
Donde:
n es el número de ensayos o intentos.
x es el número de éxitos
p es la probabilidad de éxito
q = 1 – p es la probabilidad de fracaso
Responde al desarrollo del binomio (p + q)n.
Las familias de distribuciones probabilísticas discretas son tres: la distribución binomial, la
distribución hipergeométrica y la distribución de Poisson. Aquí sólo se analizará la primera.
¿Cómo es la gráfica de una distribución probabilística binomial?
Función de probabilidad Parámetros n
≥ 0 número de ensayos (entero)
0 ≤ 𝑝 ≤ 1 probabilidad de éxito (real)
Dominio k ∈ {0, …, 𝑛}
Función de probabilidad (fp)
(𝑛) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘
𝑘
USO DE TABLAS DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Una distribución probabilística binomial es una distribución teórica que, según se mostró, puede ser
generada en forma matemática. Sin embargo, con la excepción de problemas en los que n es
pequeña (es decir, n = 3, o bien 4), los cálculos para las probabilidades de 0; 1; 2; … éxitos pueden
ser muy tediosos. Como ayuda para determinar las probabilidades necesarias, se ha desarrollado
una amplia tabla que da las probabilidades de 0; 1; 2; 3; … éxitos para diferentes valores de n y x.
DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA NORMAL
La distribución probabilística normal es un ejemplo de una distribución probabilística continua.
Recordemos que una variable aleatoria continua es la que puede tomar un número infinito de
valores posibles dentro de una gama o variedad específica. Generalmente es el resultado de medir
algo.
Ejemplos: el peso de una persona u objeto; expectativa de vida de pilas del tipo alcalinas; el
volumen de un recipiente; expectativas de vida de algunos productos, como baterías, neumáticos,
lámparas. Lo mismo ocurre con los pesos de las cajas de cereal; la longitud de rollos de aluminio.
La distribución probabilística normal y su respectiva curva normal tienen las siguientes
características:
La curva normal es acampanada y presenta un solo pico en el centro de la distribución. Las
tres medidas de posición central tienen el mismo valor y están localizadas en el pico o cúspide de la
curva. De esta forma, la mitad del área bajo la curva se encuentra por arriba de este punto central
y la otra mitad por abajo.
La distribución probabilística normal es simétrica con respecto a su media. Si se corta la
curva normal verticalmente en este valor central, las dos mitades se reflejarán como imágenes en
un espejo.
La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es
asintótica, lo cual significa que la curva se acerca cada vez más al eje x, pero en realidad nunca
llega a tocarlo, esto es, los puntos extremos de la curva se extienden indefinidamente en uno y otro
sentido.
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa
por N (μ, σ) . S u g ráfica es la campana de Gauss:
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la
unidad.
Al ser simétrica respecto al eje q ue pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la
izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
