CAJA CATENARIA
Andrés L. Granados M., 11/Feb/2018
Ecuaciones Diferenciales
Es muy popular hoy en dı́a utilizar una caja de cartulina de forma inusual, cuyas tapas en los extremos
al doblarse curvan la superficie exterior, produciendo una forma de caja en la que se puede introducir un
regalo o un artı́culo en su interior. Las hay de distintos tamaños y la forma de las tapas deben ser de tal
configuración, para que produzca el efecto deseado. La figura muestra la matriz desarmada hecha de cartulina
con una pestaña de una lado que se pega, los extremos se doblan donde se indican con lı́neas puntuadas.
Fig 1. Forma de la caja cuando está desarmada, mostrando la matriz y los dobleces.
La pestaña del extremo se pega y las tapas en forma de lenguetas se doblan para curvar
la superficie exterior y dejar el contenido vacı́o en forma de cilı́ndro ovalado.
La curva y(x) que describe la tapa, justo en el doblez, tiene una forma tal como se indica en el sistema
de coordenadas x − y a partir de la mitad de la misma. La curva del borde superior de la tapa es w(x), siendo
la tapa completa de semi-ancho igual a a y semi-largo igual a b. La ecuación del borde es entonces
w = y + 2z
(1)
siendo z el semi-ancho de la tapa a cada posición x, siendo de máximo valor a en x = 0, tal que
y+z =a
(2)
constante a lo largo de la tapa.
Las pendientes de rectas de la curva y(x) y w(x) son opuestas y simétricas con respecto a la horizontal
en la mitad de la tapa, por lo que
−y = y + 2z = w
=⇒
1
y = −z (3)
La ecuación (2) al derivarse da
z = −y (4)
w = y + 2z (5)
y la ecuación (1) al derivarse igualmente da
Estas tres ecuaciones diferenciales agrupadas mediante notación matricial resulta en el siguiente sistema
⎧ ⎫ ⎡
⎤⎧ ⎫
0 −1 0 ⎨ y ⎬
⎨y ⎬
z = ⎣ −1 0 0 ⎦ z (6)
v = Av
⎩ ⎭
⎩ ⎭
w
w
1
2 0
Los sistemas de las ecuaciones (3), (4) y (5) se expresan como
⎧ ⎫
⎨y ⎬ 1 1 0
0
1 1
z =
1 2 −1 ⎩ ⎭
0
1 0
w
⎧ ⎫
⎨y ⎬ 0
0
z =
1 ⎩ ⎭
0
w
(7)
que en ambos casos da que el espacio nulo de ambas transformaciones tienen como base el vector {−1, 1, 1}.
Soluciones del Problema
Los autovalores λ de este sistema (6) se obtienen mediante la ecuación caracterı́stica
λ
1 0 1
λ 0 = λ3 − λ = λ(λ + 1)(λ − 1) = 0
|A − λI| = 0
−1 −2 λ (8)
lo que da los autovalores λ = 0, +1, −1, lo que significa que la solución de y(x) es la combinación lineal de 1,
ex y e−x . Se tiene entonces que
y(x) = C0 + C1 ex + C2 e−x
(9)
y (x) = C1 ex − C2 e−x
(10)
Las condiciones de borde
x=0
x=b
y(0) = 0
y(b) = C0 + C1 eb + C2 e−b = a
y (0) = 0
(11)
dan el siguiente sistema de ecuaciones
C0 + C1 + C2 = 0
C1 − C2 = 0
b
C0 + C1 e + C2 e
−b
(12)
=a
cuya solución es
C0
a = −C0 (cosh b − 1)
2
de manera que la solución final de las ecuaciones diferenciales es
C1 = C2 = −
y(x) = a
cosh x − 1
cosh b − 1
y (x) = a
senh x
cosh b − 1
(13)
(14)
El semi-ángulo θ en las puntas de la tapa en los extremos es
θ = arctan a
senh b
cosh b − 1
(15)
que para la figura 1 da aproximadamente igual a 45◦ . Para a = 0.5 y b = 1.0 el resultado aproximado es
θ = 0.824752 . . . rad ≈ 47.25◦
2
