Sistemas de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con mas de una variable, y se pretende solucionar todas las ecuaciones al unísono, si es que es posible. Despejando las variables de forma que todas las ecuaciones se cumplan al mismo tiempo. Si bien los sistemas pueden ser enormemente complejos, para este curso solo revisaremos los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Además, normalmente vendrán de la siguiente manera. 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) El eje de f(x) pasa a ser el eje y, una de las variables, conservando x su eje correspondiente. De manera más general podemos tener 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑏 Dos ecuaciones con dos variables. Si bien existen sistemas realmente complejos, trataremos aquí sistemas simples, que permitan despejar las variables, e igualar las ecuaciones. Para el primer caso: 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) Vamos a tomar un ejemplo económico clásico, un mercado, además con demanda y oferta lineales: 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎: 𝑃 = 200 − 0.5𝑄 𝑂𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎: 𝑃 = 5 + 0.25𝑄 Tenemos que solucionar el equilibrio de mercado, de forma que Oferta y Demanda coincidan. Como el precio (P) ya viene en función de la cantidad, solo igualamos las ecuaciones. 200 − 0.5𝑄 = 5 + 0.25𝑄 Despejando 200 − 5 = 0.25𝑄 + 0.5𝑄 195 = 0.75𝑄 𝑄= 195 = 260 0.75 La cantidad de equilibrio es 13, usamos ya sea la demanda o la oferta, para averiguar el precio. 𝑃 = 200 − 0.5 ∗ 260 = 200 − 130 = 70 Se vendieron y compraron 13 unidades a 70 pesos de precio. De manera gráfica: Representación grafica del mercado. FooPlot Vemos que las dos rectas se cruzan en Q=260, P=70. En el segundo caso, poniendo un ejemplo simple: 𝑥2𝑦 = 3 𝑥 =9 𝑦 Debemos despejar una de las variables en ambas ecuaciones. 𝑦= 3 𝑥2 𝑦= 𝑥 9 Igualamos las dos ecuaciones 3 𝑥 = 2 𝑥 9 𝑥 3 = 27 𝑥=3 Con el valor de x, despejamos el valor de y 𝑦= 3 1 = 9 3 Gráficamente: Representación grafica del sistema de ecuaciones. FooPlot A efectos prácticos del curso, no veremos sistemas mas complejos.
