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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH
“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y
METALURGIA
ECONOMIA
MINERA
ARNALDO ALEJANDRO RUIZ CASTRO
AGRADECIMIENTO
En primer lugar vaya mi profundo agradecimiento a Dios por ser el artífice de mi
existencia.
Agradecer a las autoridades de la UNASAM, en la persona del Sr. Rector Dr. Fernando
Castillo Picón, Sr. Vicerrector Académico Mag. Roosevelt Villalobos Diaz, Sr.
Vicerrector Académico Cesar Narro Cachay y al Sr. Decano de la Facultad de
Ingeniería de Minas, Geología y Metalurgia Mag. Porfirio Baldomero Poma Rique, por
permitirme realizar la siguiente publicación. Así mismo, vaya mi agradecimiento al Ing.
Luís Torres Yupanqui, por su continua contribución para la ejecución de la presente
publicación.
Un cariñoso agradecimiento a mi esposa Rosa Enith, y a mis hijos, Rosa Milagros,
Martín Gregorio, Yessenia, Carla Virginia, Rainer; quienes en forma silenciosa
mostrando su comprensión, permitían el desarrollo del presente tratado
técnico -económico.
ii
PRESENTACION
Uno de los retos cotidianos que afrontamos todos los profesionales es la adecuada toma
de decisiones en los diferentes campos en los cuales nos desarrollamos, para afrontar los
mismos se hace necesario contar con las herramientas adecuadas que propicien los
logros técnico-económicos óptimos de la solución de problemas.
En el presente tratado denominado simplemente Economía Minera, se realiza el enfoque
de algunas de las tantas herramientas económicas, que nos permitirán tomar las
decisiones convenientes sobre aspectos técnicos, utilizando algunas de las herramientas
con las cuales se cuenta, como es el caso por ejemplo de la selección de equipos de
limpieza, que dada la gran cantidad y variedad de equipos, será necesario aplicar la
matemática financiera para lograr la mejor elección final, que permita una mayor
rentabilidad de esta operación unitaria minera.
Dada mi experiencia como profesional en el campo netamente de la actividad minera a
lo largo de diez años, en proyectos mineros como son el caso de Mina Aguila, Proyecto
de Expansión Cobriza, Proyecto Aurífero Arirahua y proyectos de la pequeña minería y
minería artesanal, así como más de veinte años en la actividad docente, han permitido
que desarrolle un apropiado enfoque sobre las herramientas económicas que
posibilitarán tomar decisiones apropiadas y a su debido tiempo, en el campo de la
minería; como es el caso de la matemática financiera; el análisis marginal para una
determinación estática-periódica de la capacidad operativa de la mina; la ley mínima
explotable, como un indicador dinámico-periódico del minado. Finalmente se
predisponen la variedad de consideraciones para la realización de la valuación o
valorización de las propiedades mineras en sus diferentes etapas; es decir, ya sea como
un proyecto inicial, o dentro de la etapa de operación.
Es bien cierto, que en este primer enfoque, se están visualizando los principales
algoritmos para tomar decisiones, muchos de los cuales se encuentran sistematizados en
programas computarizados, que permiten una rápida determinación de los mismos, pero
también es necesario que se continúen con los análisis de los mismos, para una
adecuación inmediata y a su debido tiempo. Por lo cual, tengo la esperanza que se de
continuidad a la presente publicación, con otros tratados similares.
Arnaldo Ruiz Castro
iii
PROLOGO
En los momentos actuales en que la cantidad de textos en la materia de Economía en
forma general casi llega a ser exuberante, sin embargo la publicación de esta obra en
“Economía Minera” acreditada por varias razones, como la influencia en la ciencia y
tecnología de esta materia en el mundo económico, y aparece en un momento en que la
economía minera adquiere una notable relevancia sin precedentes, específicamente
cuando la minería en el mundo y particularmente en nuestra región atraviesa sus
apogeos más importante. Además acrecienta el mérito del autor, el formidable esfuerzo
realizado para escribirla, como fruto de su experiencia académica y profesional
desarrollada en la Facultad de Ingeniería de Minas Geología y Metalurgia de la
UNASAM, que desde años viene compartiendo la docencia de la asignatura de
“Economía Minera” , y la necesidad imprescindible de una constante actualización en
los temas involucrados, aportando de esa manera un texto que sea de mucha utilidad
tanto para estudiantes, profesionales dedicados a la industria minera.
En la FIMGM- UNASAM, este es el primer libro que se publica en “Economía
Minera”, personalmente para mí es un honor que el Ing. Arnaldo Ruiz Castro autor del
presente tratado, me haya solicitado que prologue esta obra. Además, quiero hacer
recomendar y hacer extensiva la necesidad ser leída en forma obligatoria por nuestros
alumnos de ingeniería, de manera que puedan
afianzar y especializarse en este
fascinante mundo de la economía minera, adquiriendo y introduciendo en ella los
conocimientos y herramientas necesarias para entenderlas, comprenderlas y hacer
mucho más fácil su aplicación.
El autor ha explicado en forma sencilla, sucinta, claramente estructurados, y
desarrolla con detalles los conceptos necesarios, y resuelve las interrogantes más
frecuentes, desde las definiciones básicas, las matemáticas financieras, el complejo
trabajo de clasificarlas, finalmente complementan con amplios ejemplos prácticos que
consolidan el saber de la Economía Minera, presentarlo en forma didáctica los
diferentes métodos de análisis y con el mérito singular, de recoger conceptos que talvez
todavía no se haya incluido en otros tratados similares.
Finalmente quiero subrayar, que nuestro país y en el mundo entero, se vive
actualmente el auge de la minería, particularmente debido al alza de los precios de los
metales, y muy excepcionalmente en nuestro medio, la Regiòn Ancash, donde se
ubican las operaciones de dos grandes empresas, lideres en la minería mundial, la Cìa
Minera Antamina SA y la Cìa Barrica Misquichica SA, por lo que nos obligan acentuar
los conocimientos cada vez más crecientes en la economía minera. Por una de estas
razones es que justamente llega a nuestras manos una obra con lo que acertadamente ha
afianzado y consolidado el Ing. Arnaldo Ruiz Castro..
M. Sc. Ing. Porfirio B. Poma Rique
Decano de la FIMGM- UNASAM
iv
INDICE
AGRADECIMIENTO
PRESENTACION
PROLOGO
INDICE
ii
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iv
v
CAPITULO I
CONCEPTOS BASICOS
1.1. Definición de Economía
1.1.1. Análisis Macroeconómico
1.1.2. Análisis Macroeconómico
1.2. La Industria Minera y su clasificación.
1.3. Análisis Económico de la Actividad Minera.
1.4. La aplicación de la economía a la actividad minera.
1.5. Toma de Decisiones:
1.6. “Ingeniería Económica” y “Evaluación Económica”.
1.7. Análisis general de inversiones:
1.8. Uso Industrial de los minerales:
7
7
8
9
10
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12
13
13
14
CAPITULO II
MATEMATICA FINANCIERA
2.1. Definición.
2.2. Relaciones de las Matemáticas Financieras con otras Disciplinas:
2.2.1. Contabilidad:
2.2.2. Derecho
2.2.3. Economía
2.2.4. Ciencia Política
2.2.5. Ingeniería
2.2.6. Informática
2.2.7. Finanzas
2.2.8. Sociología
2.3.
Interés económico y financiero.
18
2.3.1. Regímenes de Intereses.
2.3.2. Tipos de Tasa de Interés.
2.3.3. Determinación de la Tasa de Interés Nominal.
2.4. Formulas de Interés Compuesto en Toma de Decisiones.
2.4.1. Factor de Pago Simple – Cantidad compuesta.
2.4.2. Factor de Pago Simple – Cantidad Presente.
2.4.3. Factor de Series Uniformes - Cantidad Compuesta.
2.4.4. Factor de Depósito de Fondo de Amortización.
2.4.5. Factor de Series Uniformes – Valor Presente
2.4.6. Factor de Recuperación del Capital.
2.5.
Aplicación General de la Matemática Financiera en Toma de Decisiones.
2.5.1. Primera Etapa.- Identificación de Variables:
2.5.2. Segunda Etapa.- Elaboración del Diagrama o Flujo Económico:
2.6. Series de Gradientes.
2.6.1. Series de gradientes aritméticas.
v
16
16
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32
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37
2.6.2. Series geométricas.
2.7. Efectos económicos de proyectos frente al radio de retorno (ROR).
40
2.8. Aplicación de la Matemática Financiera a la Minería.
42
2.8.1. En proyectos de inversión minero metalúrgicos.
2.8.2. En la toma de decisiones de proyectos mutuamente excluyentes:
2.8.3. En la selección económica de equipos y maquinarias
de mina y planta.
2.8.4. En la toma de decisiones que consideran diferentes horizontes
de vida útil.
3.2.1.
38
42
44
46
47
CAPITULO III
VARIABLES ECONOMICAS ESTÁTICAS Y DINAMICAS EN LA MINERIA
3.1.
Concepto y clasificación de costos en la actividad minera.
50
3.2.
Método del análisis marginal.
53
Fundamentos.53
3.2.2. Interrelación de las Variables Fundamentales.53
3.2.3. Análisis de la Producción Económica.54
3.2.4. Análisis del Factor Marginal.55
3.2.5. Rentabilidad Máxima.
56
3.3. Ley mínima explotable.
57
3.3.1. Fundamentos.57
Determinación de la ley mínima explotable.
58
3.4. Aplicaciones a la minería
60
CAPITULO IV
DEPRECIACION, AGOTAMIENTO, AMORTIZACIÓN Y FLUJO DE CAJA
4.1. Flujo Corporativo en la actividad minera.
73
4.2. Definición y métodos de depreciación.
75
4.2.1. Métodos de depreciación.75
4.3. Definición y métodos de agotamiento.
77
Métodos de agotamiento.78
4.4. Definición y métodos de amortización.
80
4.4.1. Métodos de amortización
81
4.5. Flujo de caja.
87
4.5.1. Clasificación de flujo de caja.
87
4.6. Aplicaciones a la minería
90
CAPITULO V
VALUACION DE PROPIEDADES MINERAS
5.1. Conceptos básicos para la valorización de propiedades mineras.
5.2. Metodologías genéricas aplicadas a la valorización de empresas.
vi
92
92
5.2.1. Métodos basados en el balance
5.2.2. Métodos basados en el descuento de flujo de fondos
5.3. Valorización de propiedades mineras en proyecto.
5.4. Valorización de propiedades mineras en operación.
5.5. Aplicaciones a la minería.
BIBLIOGRAFIA.
92
95
98
98
99
100
vii
CAPITULO I
CONCEPTOS BASICOS
1.1.
Definición de Economía.-
Resulta complicado obtener una definición exacta de la economía, por cuanto presenta
una serie de efectos sobre el que hacer del ser humano, para considerar su presencia
indiscutible sobre la actividad humana, presentamos algunos enfoques de la economía.
Según la Real Academia Española, la economía deriva del latín oeconomía y este a su
vez del griego οἰκονομία, y presenta las siguientes definiciones:
a)
Administración eficaz y razonable de los bienes.
b)
Conjunto de bienes y actividades que integran la riqueza de una
colectividad o un individuo.
c)
Ciencia que estudia los métodos más eficaces para satisfacer las
necesidades humanas materiales, mediante el empleo de bienes escasos.
d)
Contención o adecuada distribución de recursos materiales o expresivos.
e)
Ahorro de trabajo, tiempo o de otros bienes o servicios.
f)
Ahorros mantenidos en reserva.
g)
Reducción de gastos anunciados o previstos.
La mayoría de autores bajo consideraciones generales, establecen una definición que
concuerda con lo establecido por Francisco Mochón Morcillo, que lo define como:
“Aspectos de toda actividad humana que en el intento de satisfacer las necesidades
materiales, implica la necesidad de elegir”.
El análisis económico se establece bajo dos enfoques: el microeconómico y el
macroeconómico.
1.1.1. Análisis Macroeconómico.a. Definición.- La macroeconomía es la rama de la economía que estudia el
funcionamiento de ésta en su conjunto. Es decir, estudia la economía global de un
país, si bien para proceder a dicho estudio lo que hace es fijarse en el
funcionamiento individual de una serie de mercados y en las interrelaciones que se
producen entre ellos.
b. Tipos de Mercado.- Dentro del contexto internacional, se presentan los siguientes
tipos de mercados: Mercado de bienes y servicios: donde se compran y venden todo
tipo de bienes (alimentos, electrodomésticos, ordenadores, ladrillos, etc.) y de
servicios (servicios profesionales de abogados, médicos, espectáculos,
competiciones deportivas, peluquería, etc.). Mercado de dinero: donde confluye la
demanda de dinero (interés de familias, empresas, organismos públicos, etc. de
disponer de dinero) y la oferta de dinero (cantidad de dinero que el Banco Central
del país mantiene en circulación). Mercado de trabajo: donde confluye la oferta de
trabajo (deseo de los habitantes del país de trabajar) y la demanda de trabajo (interés
de las empresas de contratar trabajadores).
8
c. Indicadores Macroeconómicos.- Entre los indicadores de mayor relevancia
tenemos:

El PBI (Producto Bruto Interno): El PBI se puede medir desde dos
enfoques diferentes, obteniendo en ambos casos el mismo resultado: Como flujo de
gastos (o de productos finales): es decir, cuál ha sido el destino de los distintos
bienes y servicios producidos durante el ejercicio, y Como flujo de rentas: cómo se
distribuyen las rentas que se han generado durante la producción de esos bienes y
servicios.

El PNB (Producto Nacional Bruto): mide lo producido por los
nacionales de un país, ya residan en el mismo, ya residan en el extranjero.

El PIN (Producto Interior Neto): es igual que el PBI, pero deduciendo
la pérdida de valor (el desgaste) que haya experimentado el equipo productivo
(infraestructuras, maquinaria, instalaciones, etc.) durante el ejercicio.
1.1.2. Análisis Microeconómico.a. Definición.- La Microeconomía estudia la conducta de las unidades (empresas,
hogares o consumidores, y otros agentes económicos) que integran la economía.
Según el Dr. Antonio García Sánchez, “la microeconomía es el conjunto de teorías cuyo
objetivo consiste en explicar el proceso mediante el cual los recursos escasos se asignan
a usos alternativos”.
b. Teorías Microeconómicos.- La microeconomía, establece sus criterios
fundamentados en las siguientes teorías:

Teoría de la Conducta del Consumidor y de la Demanda: Esta teoría,
según Ferguson, establece que “El esfuerzo más o menos consciente, para alcanzar
la satisfacción máxima con un ingreso limitado, determina la demanda individual de
bienes y servicios”.

Teoría de la Producción y el Costo: Toda acción que se realiza con la
finalidad de generar bienes y servicios, se establece mediante procesos productivos,
que de hecho hacen necesario la participación de recursos humanos y recursos
físicos (maquinarías y/o equipos, y materiales e insumos). Tanto los recursos
humanos y recursos físicos a través destiempo condicionan su transformación
económica a costos.

Teoría de la Empresa y la Organización del Mercado: Los bienes y
servicios generados por acciones empresariales, son procesados en los mercados
reales y/o virtuales, donde dadas las consideraciones de una competencia perfecta a
través de las ofertas y demandas, se determinan los precios de los bienes y servicios;
así mismo, bajo consideraciones de competencias restringidas (monopolio y/o
oligopolio), también se condicionan los precios de los bienes y servicios. Un caso,
específico de mercados monopólicos y oligopólicos lo establece la actividad minera,
donde el precio de los metales se genera a través de la bolsa de valores donde tienen
ingerencia sólo algunas empresas.

Teoría de la Distribución: Dadas las consideraciones de la oferta y la
demanda de un mercado bajo consideraciones de competencia perfecta o imperfecta,
se determina la cantidad de los bienes y servicios que serán distribuidos a los
mercados, para su respectivo proceso de comercialización.

La Teoría del Equilibrio General y el Bienestar Económico: Los
consideraciones establecidas en los procesos operativos de una empresa de bienes o
9
prestación de servicios, condicionan efectos de producción y productividad,
estableciendo la productividad como la medida de la producción frente a los
recursos utilizados, esto conlleva a establecer la optimización de resultados que
permitan obtener un equilibrio adecuado del uso de recursos, es decir una
minimización de costos permitiendo una maximización de utilidades generadas por
la empresa.
1.2. La Industria Minera y su clasificación.
El Perú ostenta un gran potencial minero, los mismos que se encuentran ubicados en la
costa, sierra y selva, por lo cual su clasificación, se diversifica del modo siguiente:
 Por el Tipo de Minerales que se Explotan:

Yacimientos metálicos.

Yacimientos no metálicos.

Yacimientos carboníferos

Yacimientos de hidrocarburos.
 Por el Grado de Tecnificación:

Minería artesanal.

Minería tecnificación continúa.

Minería altamente tecnificada.
 Por el Tipo de Procesamiento:

Industria minera con productos iniciales.

Industria minera con productos intermedios.

Industria minera con productos terminados.
 Por el Sistema de Explotación:

Minado subterráneo.

Minado Superficial.
 Por la Cuantificación del Proceso Minero:

Minería artesanal.

Pequeña minería

Mediana minería.

Gran minería
En lo referente a la quinta clasificación, los detalles de cuantificación técnica y
económica, se detallan en el Cuadro Nº 1 - 001.
CUADRO Nº 1 – 001
CLASIFICACION DE LA MINERIA EN EL PERU
10
EST RAT O
T AM AÑO DE
M in e ría A rte sa n a l
P e q u eñ a M ine ría
M e d ia n a M in e ría
1.3. Análisis Económico de la Actividad Minera.
G ra n M in e ría
Dentro del desarrollo de la actividad minera, así como dentro de otras actividades
empresariales, se predisponen dos aspectos de fundamentación económicos, por un lado
tenemos los ingresos económicos generados por la comercialización de los productos
accesibles a los mercados de compra y venta de los minerales, y por otro lado, los
gastos generados por el proceso minero – metalúrgico, que se pueden diversificar en
3
costos operativos y costos productivos.
H as
H as
M ás
M ás
C a so : M a te ria le s de c o nstru c ció n, a ren a s g ra v
M in e ría a rte sa n a l: H a sta 2/d0 0ía m
3 puesto al mercado para
El análisis de ingresos, es propio de cada producto que es
e q u eñ a enMeline
ríacaso: H
a sta 3 ,00
ía
0m
suPcomercialización,
presente
lo sustentaremos
a /d
la comercialización
de
productos minero metálicos, para lo cual se recurren a dos aspectos fundamentales: el
aspecto técnico que consiste en elaborar adecuada y cuidadosamente el Balance
Metalúrgico del mineral procesado, obtenido este del beneficiado de los minerales, por
cualquiera de los métodos utilizados (separación gravimetrica, flotación,
hidrometalurgia, etc.), además de la consideración de la presencia cualitativa y
cuantitativa de los elementos metálicos penalizables, y el aspecto de valorización
económica de los productos obtenidos, sustentados bajo estándares establecidos y
corroborados por los contratos bipartitos contraídos entre el productor y el comprador.
F u en te: M IN E M
En lo referente a los egresos económicos, se predisponen los costos de operación,
que bajo los lineamientos establecidos en la presente publicación corresponden a los
generados por las operaciones de minado, ya sean operaciones unitarias y operaciones
auxiliares; las operaciones metalúrgicas extractivas y/o las de fundición y refinación, y
las actividades de transporte. Por otro lado se consigan los costos productivos, que son
aquellos que involucran todos los rubros para un desarrollo empresarial sostenido,
incluyendo los costos operacionales.
En el Gráfico Nº 1 - 002, se observa los flujos físicos y monetarios establecidos por el
proceso general del desarrollo de la actividad minera.
En este gráfico, establecemos que el punto de partida de la actividad minera, son las
reservas de mineral generadas a través de los trabajos de exploración realizados,
posteriormente iniciada la actividad de explotación, mediante el minado superficial o
subterráneo del yacimiento, establecemos el proceso de producción minero metalúrgico,
hasta obtener un mineral intermedio (concentrado) o terminado (metal), que sea
accesible al mercado consumidor, produciéndose el proceso de comercialización del
producto obtenido, en este punto lo que se comercializa tiene características de un flujo
físico, obteniéndose después de la comercialización un flujo monetario por las ventas
11
del producto. En el proceso de distribución del ingreso, se canalizan cuatro rubros de
distribución: los costos operativos, el capital financiero, esto es el monto que retorna a
la actividad minera para su continuidad, que también podría establecerse como capital
de trabajo, los pagos de impuestos y las utilidades establecidas por las empresas. El
proceso financiero, nos permite tener un monto económico que mantenga la
operatividad del proceso minero metalúrgico, teniendo además cuidado de tener una
cierta reserva de dinero por las posibles eventualidades que pueden estar presente
durante la operación de la mina; bajo las circunstancias de una falta de liquidez, se
recurrirá a un financiamiento externo, que posteriormente debe ser cubierto con los
ingresos generados por la empresa. El capital de operación e inversiones nos permite
acceder al mercado abastecedor donde se realizan las acciones de compra de
maquinarías, equipos, materiales e insumos necesarios para las operaciones minero
metalúrgicas. Este circuito cerrado se mantiene durante la vida útil del yacimiento.
GRAFICO Nº 1 – 002
FLUJO FISICO – ECONOMICO DE LA ACTIVIDAD MINERA
12
INGRESO
ECONOMICO
POR VENTAS
PROCESO DE
MERCADO
1.4. La aplicación de la economía a la actividad minera.
DISTRIBUCION
TRIBUTARIO
Como
se puede deducir de los párrafos antes descritos, la microeconomía es la parte de
DEL
INGRESO
la economía que nos permitirá adecuar parámetros,
para realizar
adecuadas tomas de
C
OPE
decisiones dentro del desarrollo de la actividad minera en sus diferentes clasificaciones,
de este modo estaremos maximizando la rentabilidad de la empresa, mediante la
13
UT
minimización de costos y por ente la optimización de los recursos humanos y físicos
utilizados en los procesos minero metalúrgicos. Las consideraciones de la
microeconomía, se hacen aplicativos en las diferentes etapas de los proyectos mineros;
esto es que, en el anteproyecto minero, se debe enfocar un uso racional de la inversión
que permita el descubrimiento del yacimiento mediante exploraciones sistemáticas
sucesivas, hasta obtener las reservas de mineral que rentabilicen el proyecto en sí.
Durante el proyecto minero, considerando la etapa de la infraestructura e
implementación, es decir la etapa pre – operativa, será necesario utilizar adecuadamente
las inversiones que permitan la puesta en marcha del proceso minero y/o metalúrgico.
Finalmente el la etapa operativa del proyecto se debe sustentar la optimización
técnico – económica del proceso.
1.5. Toma de Decisiones:
Peter Drucker, en sus textos de administración gerencial, ha establecido que la toma de
decisiones tiene cinco fases que son las siguientes:





Definir el problema.
Analizar el problema.
Desarrollo de soluciones alternas.
Decidir sobre la mejor solución.
Convertir la decisión en una acción eficaz.
Estas fases de la toma de decisión se aplican a la toma de decisiones de evaluación
económica, así como a la toma de decisiones empresariales en general. Definir
problemas de evaluación económicos claramente, es tan importante en el análisis
económico como cualquier otra situación que requiera una decisión. En cualquier
situación que requiere toma de decisiones es necesario hacer las preguntas convenientes
antes de que uno pueda esperar conseguir las respuestas que son necesarias. El análisis
del problema o de las preguntas es el paso siguiente en el procedimiento de toma de
decisiones, para el análisis económico así como decisiones empresariales en general.
Esto conduce a la tercera fase de la toma de decisiones, respecto a si las
aproximaciones alternativas o las inversiones no pudieran ser mejores. El análisis de
estas inversiones alternativas entonces nos deja en una posición para decidir sobre la
mejor opción económica y para tomar la decisión de poner la mejor opción en
ejecución.
Estas consideraciones de toma de decisiones, se puede efectivizar haciendo uso de la
“Ingeniería Económica” y la “Evaluación Económica”, las consideraciones al respecto
lo analizamos en el siguiente párrafo.
1.6.
“Ingeniería Económica” y “Evaluación Económica”.
La ingeniería y la tecnológica científica, de un modo u otro proporcionan la base para
las mejores oportunidades de inversión en mundo actual. Incluso la posibilidad
económica de inversiones en terrenos se relaciona a menudo con la tecnología de la
14
ingeniería que puede hacer la tierra más valiosos varios años después, con
departamentos, un parque o la utilización de una planta industrial. En una sociedad
capitalista es imprescindible que las propuestas de ingeniería tanto como otros tipos de
propuestas de inversión sean evaluadas en términos de valor monetario y costos antes
que ellos sean emprendidos. Incluso en actividades públicas, los beneficios deben ser
mayores que los costos antes que los gastos sean normalmente aprobados. Así, el
término “ingeniería económico” que se utiliza ampliamente en la literatura y los textos
se aplican en general a la “evaluación económico” de todos los tipos de situaciones de
inversión. Los términos “evaluación económica” e “ingeniería economía” son
considerados para tener el mismo significado en este tratado. Una persona no necesita
ser un ingeniero para ser proficiente en la aplicación de los principios de la ingeniería
económica (o evaluación económica) para evaluar alternativas de inversión. El
prerrequisito de las empresas exitosas de ingeniería es la factibilidad económica. Este
prerrequisito aplicado a las situaciones de inversión de ingeniería y de no-ingeniería,
tanto como los términos “evaluación económica” o “ingeniería económica” tienen el
significado e importancia válidos, no sólo para los ingenieros, sino también para los
banqueros, los contadores, los administradores de negocios y otro personal en una
amplia variedad de descripciones de trabajo donde ellos están involucrados en la
evaluación económica de las alternativas de la inversión.
1.7. Análisis general de inversiones:
La actividad minera en sus diferentes etapas de proyecto, establece tres criterios
generales de inversión, los cuales deben ser adecuadamente analizados y sustentados,
para realizar una adecuada toma de decisiones.
Para toda consideración empresarial, deben considerarse los siguientes análisis de
inversión:



Análisis Económico.
Análisis Financiero.
Análisis Intangible.
El análisis económico implica la evaluación de los méritos relativos de situaciones de
inversión desde un punto de vista de la utilidad y del costo (o económicos). El análisis
financiero establece de donde se obtendrán los fondos de inversión para las inversiones
propuestas. Algunas métodos alternativos de financiar inversiones incluyen el uso de
fondos personales o corporativos, solicitando prestamos bancarios, teniendo un
ofrecimiento de deuda financiado corporativo de enlaces o de obligaciones, o ir al
público con un nuevo ofrecimiento de la acción ordinaria. El análisis intangible implica
la consideración de factores que afectan las inversiones pero que no puede ser
cuantificado fácilmente en términos económicos. Los factores intangibles típicos son
consideraciones legales, opinión o voluntad pública, factores ecológicos y ambientales,
condiciones inciertas de la ley reguladora o de impuesto, y muchas otras.
Muchas veces una alternativa que parece ser económicamente la mejor puede ser
rechazada por razones financieras o intangibles. Por ejemplo, los proyectos atractivos
pueden ser rechazados por razones financieras, si los fondos internos no están
disponibles para financiarlos y los financiamientos externos no pueden ser obtenidos
con radios de interés atractivos. Los factores intangibles que pueden causar el rechazo
15
de proyectos económicamente atractivos son innumerables, pero los más altos en la lista
de importancia son la opinión pública potencial y los problemas legales de la posible
contaminación del aire, de la tierra o del agua. La importancia del análisis de los
factores financieros e intangibles en relación con los factores económicos nunca debe
ser subestimando en la toma de decisión de la gerencia de inversiones. Ellos a menudo
son tan importantes o más importantes que las consideraciones económicas.
Hay una tendencia en la literatura y la práctica de intercambiar el uso de los términos
“análisis económico” y “análisis financiero”. Esto conduce a menudo a la confusión y
al uso incorrecto de los métodos de la decisión de la inversión. Es importante reconocer
eso, según lo utilizado en este tratado, el “análisis económico” se relaciona con lo
beneficioso de un proyecto propuesto y el “análisis financiero” se relaciona con cómo
el proyecto será financiado. En esta publicación nos referiremos sobre todo, al
desarrollo y la ilustración de las técnicas económicas del análisis.
1.8. Uso Industrial de los minerales:
En el Cuadro Nº 1 - 003, se presenta en forma muy sintetizada la utilización de los
minerales en forma genérica, los mismos que están en relación con las demandas
efectivizadas por los sectores que los utilizan.
CUADRO Nº 1 – 003
USO INDUSTRIAL DE LOS MINERALES
PRODUCTOS MINEROS
SECTOR DE USO
Productos
industriales.
 Fierro y metales ferrosos (manganeso,
molibdeno,
vanadio,
wolframio,
telurio, etc.)
 Bienes de inversión, maquinarias,
equipos, y en la construcción.
 Aluminio, cobre, zinc.
 Bienes de consumo durables.
 Plomo, antimonio, cadmio, tungsteno,
indio.
Industrias en general o sectores no
 Estaño
productores de bienes y servicios.
 Plata
 Bismuto
 Selenio
 Roca fosfórica.
Sector agrario.
 Arsénico.
 Oro
Sector Financiero
 Plata
Los fines de uso de los minerales permiten realizar la siguiente clasificación:
a)
Metálicos:

De utilidad general: fierro, cobre, plomo, níquel y mercurio.
16
b)

Metales ligeros, imprescindibles en la era espacial: aluminio, magnesio,
titanio., etc.

Metales preciosos: oro, plata, platino, etc.

Metales ferrosos de uso industrial: cromo, manganeso, molibdeno,
tungsteno, vanadio, berilio, etc.
No metálicos:






c)
Azufre y pirita: fuentes de ácido sulfúrico.
Nitratos, fosfatos y potasa: para fertilizantes y otros usos.
Fluospar, dolomita, magnesita, criolita: en procesos metalúrgicos.
Cal, tiza: diversos usos.
Caolín, arcilla: diversos usos
Asbesto, mica, grafito y otros: usos especiales.
Combustibles:
 Carbón de piedra: dependiendo de la calidad tiene diversidad de usos.
 Petróleo.
 Gas natural.
CAPITULO II
17
MATEMATICA FINANCIERA
2.1. Definición.
Es una rama de la matemática aplicada que estudia el valor cronológico del dinero, es
decir el valor que toma el dinero con respecto al tiempo, al combinar elementos
fundamentales que lo condicionan como son: capital, tasa de interés y el tiempo, para
conseguir un rendimiento o interés económico, al brindarle herramientas y métodos que
permitan tomar la decisión más correcta al momento de realizar una inversión.
2.2. Relaciones de las Matemáticas Financieras con otras Disciplinas:
Según Tovar Jiménez, José y Carlos Ortiz, Mairena, establecen que es fundamental una
adecuada toma de decisiones en muchas disciplinas del que hacer humano, para este fin
se recurre a las matemáticas aplicadas, que permitirá lograr resultados adecuados y
coherentes para el logro de los fines que se persiguen. A continuación detallamos
algunas de las disciplinas fundamentales donde interviene la matemática financiera.
2.2.1. Contabilidad: Es el proceso mediante el cual se identifica, mide, registra y
comunica la información económica de una organización o empresa, con el fin
de que las personas interesadas puedan evaluar la situación de la entidad.
Relación: Suministra en momentos precisos o determinados, información
razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente
privado o publico, que permitirá tomar la decisión mas acertada al momento de
realizar inversiones.
2.2.2. Derecho: Es el conjunto de leyes, preceptos y reglas, a los que están sometidos
los hombres que viven en toda sociedad civil. El derecho posee diferentes ramas
por lo que se relaciona de diversas maneras con las matemáticas financieras.
 Derecho Mercantil: es el conjunto de leyes relativas al comercio y a las
transacciones realizadas en los negocios.
Relación: En sus leyes se encuentran artículos que regulan las ventas, los
instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros,
corretaje, garantías y embarque de mercancías; que representan instrumentos
esenciales en las finanzas.
 Derecho Civil: es el conjunto de normas e instituciones destinadas a la
protección y defensa de la persona y de los fines que son propios de ésta.
Relación: Regula la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden
adquirir, los contratos de compra y venta, disposiciones sobre hipotecas,
prestamos a interés; que representa el campo de estudio de las matemáticas
financieras, es decir, todas las transacciones económicas que estudia esta
disciplinas.
18
2.2.3. Economía: Es una ciencia social que estudia los procesos de producción,
distribución, comercialización y consumo de bienes y servicios; es decir, estudia
la riqueza para satisfacer necesidades humanas.
Relación: esta disciplina brinda la posibilidad de determinar los mercados en
los cuales, un negocio o empresa, podría obtener mayores beneficios
económicos.
2.2.4. Ciencia Política: es una disciplina que predispone el estudio sistemático del
gobierno en su sentido más amplio. Abarca el origen de los regímenes políticos,
sus estructuras, funciones e instituciones, las formas en que los gobiernos
identifican y resuelven problemas socioeconómicos y las interacciones entre
grupos e individuos importantes en el establecimiento, mantenimiento y cambio
de los gobiernos.
Relación: Las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos
que tengan que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en
manos de los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina
en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajustes
económicos y negociaciones que beneficien a toda la población.
2.2.5. Ingeniería: Es él termino que se aplica a la profesión en la que el conocimiento
de las matemáticas y la física; alcanzado con estudio, experiencia y practica, se
aplica a la utilización eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza.
Relación: Esta disciplina controla costos de producción en el proceso fabril, en
el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación
de los equipos industriales de producción.
2.2.6. Informática: Es el campo de la ingeniería y de la física aplicada, relativo al
diseño y aplicación de dispositivos, por lo general circuitos electrónicos, cuyo
funcionamiento depende del flujo de electrones para la generación, transmisión,
recepción y almacenamiento de información.
Relación: Esta disciplina ayuda a ahorrar tiempo y a optimizar procedimientos
manuales que estén relacionados con movimientos económicos, inversiones y
negociaciones.
2.2.7. Finanzas: Es el termino aplicado a la compra-venta de instrumentos legales
cuyos propietarios tienen ciertos derechos para percibir, en el futuro, una
determinada cantidad monetaria.
Relación: Esta disciplina trabaja con activos financieros o títulos valores e
incluyen bonos, acciones y prestamos otorgados por instituciones financieras,
que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas
financieras.
2.2.8. Sociología: Es la ciencia que estudia el desarrollo, la estructura y la función de
la sociedad. Esta analiza las formas en que las estructuras sociales, las
instituciones y los problemas de índole social influyen en la sociedad.
19
Relación: La sociedad posee empresas que necesitan el buen manejo o una
buena administración de los recursos tanto humano como material. La
matemática financiera trabaja con inversiones y le proporciona a la sociología
las herramientas necesarias para que esas empresas produzcan más y mejores
beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad.
2.3. Interés económico y financiero.
Según el glosario de términos de definición.org, se define la tasa de interés o sólo
interés como: “Es la valoración del costo que implica la posesión de dinero producto de
un crédito. Rédito que causa una operación, en cierto plazo, y que se expresa
porcentualmente respecto al capital que lo produce. Es el precio en porcentaje que se
paga por el uso de fondos prestables”.
Desde una interpretación semántica el término interés queda establecido según R.
Nicolau Casellas, como: “El vocablo “interés” proviene del latín “inter esse” que
significa “estar entre”. Tratamos de explicar la idea: si tenemos un capital inicial de 100
unidades monetarias (um) y al cabo de un tiempo dado tenemos 120 um, lo que esta en
medio entre ambas cifras, es la diferencia (20 um) y corresponde precisamente a los
intereses”.
Desde un punto de vista técnico, el interés es el costo del dinero y su cálculo, se
fundamenta en:
a) El capital inicial prestado o ahorrado, que financieramente se denomina valor
presente (P).
b) El periodo o fracción de tiempo (t).
c) La tasa de interés, que es un porcentaje (i)
El costo del dinero puede establecerse por día, por semana, por mes, etc., siendo lo más
usual que el dinero se preste a una tasa de interés anual.
2.3.1. Regímenes de Intereses.
Bajo las consideraciones de efectivización entre los entes naturales o jurídicos que lo
aplican, los intereses se establecen bajo dos regímenes: interés simple e interés
compuesto.
a)
Interés Simple.
En la modalidad de interés simple, el interés de cada periodo es calculado siempre en
función del capital o monto inicial:
De acuerdo a lo establecido el interés simple se puede formular del modo siguiente:
Interés Simple (I) = Capital Inicial (P) x Tasa de Interés (i) x Tiempo (t)
20
El monto final, o financieramente denominado valor futuro (F), se calcula mediante la
siguiente fórmula:
F = P + I = P (1 +it)
Ejemplo Nº 2 – 001:
Se pide un préstamo bancario de US $ 1,000.00, con una tasa de interés de 60 %
nominal anual, esto es 15 % trimestral. Calcular el interés simple que debe generarse
durante un año y los montos finales que se generarían trimestralmente.
El interés generado durante un año es de:
I = P x i x t = 1,000.00 x 0.60 x 1 = US $ 600.00
El monto final o valor futuro será de:
F = P (1 + it) = 1,000.00 (1 + 0.60 x 1) = US $ 1,600.00
Los montos trimestrales generados son:
TABLA Nº 2 – 004
MONTOS TRIMESTRALES CON INTERES SIMPLE
TRIMESTRE
1
2
3
4
MONTO INICIA
1,000.00
1,150.00
1,300.00
1,450.00
Como podemos apreciar en el cuadro expuesto, los intereses generados trimestralmente
son siempre los mismos.
b)
Interés Compuesto.
En la actualidad, el uso del interés simple se ha restringido a algunas operaciones
comerciales, siendo el interés compuesto el de mayor utilización para actividades
económicas y financieras. El proceso de capitalización denominado interés compuesto,
establece el criterio del pago sobre el capital inicial y sobre el interés establecido. Por lo
general se calcula el interés compuesto sobre una tasa anual, la cual puede ser
capitalizada en forma continua, diaria, mensual, bimestral, trimestral o semestral.
Por lo establecido, el monto final o futuro de una capital invertido, ahorrado o prestado,
se calcula utilizando la siguiente fórmula matemática:
F = P (1 + i)n
21
Donde:
F = Monto Final o Valor Futuro
P = Monto inicial o Valor Presente
i = Tasa de interes.
n = Número de períodos.
Ejemplo Nº 2 – 002:
Se pide un préstamo bancario de US $ 1,000.00, con una tasa de interés compuesto
anual de 60 % nominal, esto es 15 % trimestral. Calcular el monto final que debe
generarse durante un año y los montos finales que se generarían trimestralmente.
Aplicando la fórmula general tendremos el siguiente resultado:
F = P (1 + i)n = 1,000.00 (1 + 0.60)1
F = US $ 1,600.00
Bajo las consideraciones de la aplicación de un interés compuesto de 60/4 = 15 %
trimestral, los resultados que se obtienen se muestran el la Tabla N° 2 – 005:
TABLA Nº 2 – 005
MONTOS TRIMESTRALES CON INTERES COMPUESTO
TRIMESTRE
1
2
3
4
MONTO INICI
1,000.00
1,150.00
1,322.50
1,520.88
En el Gráfico N° 2 – 006, observamos la diferencia que se predispone entre un monto
final generado por la aplicación de un interés simple y un interés compuesto, bajo las
consideraciones de un mismo monto inicial y una misma tasa de aplicación, lo cual
estaría produciendo que para periodos de tiempo mayores existiría un incremento del
interés compuesto que se obtiene.
22
GRAFICO Nº 2 – 006
COMPARACION DE MONTOS FINALES GENERADO POR UN
INTERÉS SIMPLE Y UN INTERES COMPUESTO
1,800.00
2.3.2. Tipos de Tasa de Interés.
En el mercado financiero existe una gran variedad de tipo de intereses, que además
dependen de los efectos de su aplicación. En el presente tratado, nos referimos a los
tipos de tasa de interés de acuerdo a su aplicación en el mercado financiero en
concordancia con las entidades que solicitan los préstamos (prestatarios).
a)
Tasa de Interés Nominal (in).
Es la tasa de interés básica que se nombra o declara en una operación financiera. Por lo
general el valor correspondiente a esta tasa lo determina el Banco Centra de cada país,
para transacciones bancarias y comerciales; pero también, se puede establecer por
contrata de los prestamistas y prestatarios. Esta tasa de interés por lo general se
establece para un periodo anual y es propio de cada unidad monetaria. Por ejemplo en el
país el Banco de la Nacional establece un promedio de 6 % anual para una cuenta de
ahorros, mientras que esta misma entidad establece un 18 % anual para préstamos.
1,700.00
b)
Tasa de Interés Periódica (ip).
1,600.00
Esta tasa se determina para diferentes fracciones de tiempo, generalmente periodos
menores a un año, el cual es directamente proporcional al tiempo establecido. Por
)
23
ejemplo, si la tasa de interés nominal anual es de 60 % su tasa de Interés periódica
mensual, será de: 60/12 = 5 %.
Por lo tanto podemos establecer que:
ip =
in
x 100
m
Donde:
ip = Tasa de interés periódica, correspondiente al periodo del año.
in = Tasa de interés nominal anual dividida entre 100.
m = Número de periodos al año.
c)
Tasa de Interés Efectiva (ief).
Es la tasa que utilizan las entidades bancarias y financieras, para la concretización de
pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier tipo de gastos que la operación
implique. Esta tasa de interés es la variación que sufre el interés periódico por la
aplicación de un interés compuesto a los periodos de tiempo que se establecen durante
un año, de aquí que su fórmula matemática, sea la siguiente:
ief = [(1 +
in m
) −1] x 100
m
Donde:
Ief = Tasa de interés efectiva anual
in = Tasa de interés nominal anual dividida entre 100.
m = Número de veces al año que se acumulan intereses al capital (capitalización).
Ejemplo 2 – 003:
Determinar la tasa de Interés efectiva anual, de una tasa de interés nominal del 60 %,
capitalizable mensualmente.
Ief = [(1 + in/m)m – 1) x 100] = [(1 + 0.60/12)12 – 1) x 100]
Ief = 79.59 %
d)
Tasa de Interés Continua (ic).
Este tipo de tasa de interés se genera cuando, el número de periodos, m, por año, es
bastante grande. Por lo establecido deducimos que el radio de interés periódico, in/m,
será muy pequeño.
24
Aplicando geometría analítica de límites podemos deducir:
ic = limite [(1 + in/m)m – 1]
m∞
ic = limite [{(1 + in/m)m/in}in – 1]
m∞
ic = limite [em/inln(1+in/m)]in – 1
m∞
ic = ein - 1
Ejemplo 2 – 004:
¿Qué tasa de interés efectiva es equivalente a las siguientes consideraciones?
1.
Una tasa de interés nominal de 8 % compuesto trimestralmente.
ief = [(1 + 0.08/4)4 –1] x 100 = 8.243 %
2.
Una tasa de interés nominal de 8 % compuesto diariamente.
ief = [(1 + 0.08/365)365 –1] x 100 = 8.328 %
3.
Una tasa de Interés nominal de 8 % compuesto continuo.
ic = (e0.08 – 1) x 100 = 8.329 %
e)
Tasa de Interés Real (ir).
Una de las variables que influye sobre el poder adquisitivo del dinero con respecto al
tiempo, es la inflación, la Tasa de Interés Real establece esta variable (inflación) para
corregir los efectos causados sobre una tasa de interés efectiva, ya que esta última es la
que más se aplica en las transacciones financieras; la influencia de la inflación queda
determinada en la siguiente fórmula que determina la tasa de interés real:
Ir = [(ief - ϕ )/(1 + ϕ )] x 100
Donde:
Ir = Tasa de Interés Real anual.
ief = Tasa de Interés efectiva anual dividida entre 100.
ϕ = Tasa de Inflación anual dividida entre 100.
25
La inflación puede condicionarse de dos maneras:
Ex – post.- Es decir después de haberse producido el efecto inflacionario, el cual es
utilizado para encontrar el costo real de una operación financiera, una vez
efectuada la misma.
Ex – ante.- Antes de que suceda el efecto inflacionario, como efecto para tomar
decisiones, por lo cual la inflación será una variable estimada, con la
consiguiente incertidumbre de su cumplimiento.
Ejemplo Nº 2 – 005:
Calcular la tasa de interés real, producida una inflación de 2.35 % en el año 2006, bajo
las consideraciones de una moneda nacional, considerando una tasa efectiva anual de
79.59 %:
Ir = [(ief - ϕ )/(1 + ϕ )] x 100 = [(0.7959 – 0.0235)/(1 + 0.0235)] x 100
Ir = 75.47 %
2.3.3. Determinación de la Tasa de Interés Nominal.
Como se manifestó anteriormente la tasa de interés nominal queda fijada anualmente
por el Banco de Crédito de cada país, al cual denominaremos tasa de interés bancario, el
cual sirve como base para determinar las tasas que podrían aplicarse a cada tiempo de
empresa económica o financiera, lográndose así establecer la denominada tasa mínima
atractiva de retorno y la tasa interna de retorno, esta última bajo consideraciones
económicas es la máxima tasa de interés que podría lograrse por efectos económicos
financieros.
De un modo gráfico sencillo esto podría apreciarse del modo siguiente:
GRAFICO Nº 2 – 007
TASAS DE INTERES
TASAS DE IN
26
Del grafico inferimos que una TIB, produciría el mínimo interés que estará generándose
por la inversión de un capital determinado, tomándose como inversión en este caso un
ahorro establecido, si asumimos que en moneda extranjera (dólar), ahorramos US $
100.00 y la tasa de interés bancario es de 2 % anual, el interés generado anual sería de
US $ 2.00, que representaría la ganancia de una persona natural o jurídica.
Pero, bajo las circunstancias que esta misma persona natural o jurídica, desease invertir
en una actividad empresarial se debe establecer una TMAR, que por las consideraciones
de inversión están sujetas a riesgos de inversión, que inclusive podrían llegar a la
pérdida del capital invertido. Los riesgos de una actividad empresarial tienen
características de internas y externas; en el caso de consideraciones internas están los
riesgos técnicos y económicos; en cuanto a los externos se encuentran los efectos de
políticas económicas y sociales. Por ejemplo en el caso de la minería un riesgo técnico
será la determinación de las reservas de mineral y en el caso de política económica
encontramos la variación del precio de los metales en el mercado internacional, y como
política social, encontramos por ejemplo el cambio de un mandato presidencial.
La cuantificación de los riesgos es típica de la actividad empresarial la cual se establece,
por ejemplo en el caso de la minería el valor del riesgo estaría variando entre 50 % a
100 %. Esto estaría generando una TMAR entre 27 % a un 36 % anual.
2.4. Formulas de Interés Compuesto en Toma de Decisiones.
La toma de decisiones sobre acciones técnicas, económicas o financieras, conllevan al
éxito o fracaso de una actividad empresarial, siendo la elección económica y/o
financiera la de mayor preponderancia para determinar la(s) mejor(es) alternativa(s).
El flujo económico y/o financiero de una actividad empresarial sobre diferentes
periodos de tiempo; considerando el flujo como un efecto monetario de ingresos,
egresos o combinación de ambos; para una aplicación específica; esta relacionada a seis
(06) fórmulas básicas de interés compuesto, que a su vez se sustentan únicamente a
cinco (05) variables, que en el presente tratado se detallarán con la siguiente
nomenclaturas:
P = Valor Presente, referido a un valor de ingresos o costos monetarios.
F = Valor futuro, referido a un valor de ingresos o costos monetarios.
A = Valor anual, de una serie de “n” valores anuales iguales, realizados al final de
cada periodo de interés, denominado también valor anual equivalente.
i = Tasa de interés efectiva por periodo (utilizaremos esta nomenclatura
por consideraciones de simplificación, ya que la nomenclatura del interés
efectivos es ief).
n = Número de periodos de interés.
Gráficamente, estas variables pueden ser visualizadas del modo siguiente:
27
GRAFICO Nº 2 – 008
VALOR CRONOLOGICO DEL DINERO
Cada problema de interés esta compuesto de cuatro (04) de estas variables, tres (03) de
las cuales son valores dados y el cuarto debe ser determinado.
Para facilitar la solución de problemas complejos, se recomienda utilizar la notación
denominada estándar, que describe de un modo particular las consideraciones de
configuración de las variables que intervienen en un problema específico. Por ejemplo:
La notación estándar (F/P,i,n), significa que la variable incógnita (es decir que debe ser
hallada) es F (valor futuro); conocidos: P (valor presente), i (tasa de interés efectiva) y n
(periodo anual de tiempo). La notación estándar (A/F,i,n); significaría, determinar “A”,
dados “F”, “i” y “n”.
Los seis (06) factores derivados para la solución de problemas de interés compuesto,
son las siguientes:
0
2.4.1. Factor de Pago Simple – Cantidad compuesta.
Mediante este factor se calcula el valor futuro simple, teniendo como dato el valor
presente simple.
Un análisis de la generación del interés y del monto final en los diferentes periodos de
tiempo, nos conduce a los siguientes resultados:
Primer Periodo:
Capital inicial  P
Interés
P
VALOR P
 Pi
Capital Final  P (1 + i)
Segundo Periodo:
Capital Inicial  P (1 + i)
Interés
 [P (1 + i)]i
Capital Final  P(1 + i)2.
28
Tercer Periodo:
Capital Inicial  P(1 + i)2.
 [P(1 + i)2]i
Interés
Capital Final  P(1 + i)3.
Por analogía establecemos que en el periodo final (n), tendremos:
Capital Inicial  P(1 + i)n-1.
 [P(1 + i)n-1]i
Interés
Capital Final  P(1 + i)n.
Este último valor así determinado viene a representar al valor futuro, por lo tanto en
forma genérica tendremos:
F = P (1 + i ) n
El factor (1 + i)n, es el denominado Factor de Pago Simple – Cantidad Compuesta,
cuya denominación estándar es:
(1 + i)n = (F/P, i, n)
Ejemplo Nº 2 – 006:
Calcular el monto final, después de 7 años, de una inversión inicial de US $ 1,250.00 al
8 % efectivo compuesto anualmente.
F = 1,250.00 (1 + 0.08)7
F = US $ 2,142.28
2.4.2. Factor de Pago Simple – Cantidad Presente.
Mediante este factor se realiza la transformación de un valor futuro a un valor presente,
utilizando la siguiente fórmula:
P =F [
1
]
(1 + i ) n
29
El factor 1/(1 + i)n, es el denominado Factor de Pago Simple – Cantidad Compuesta,
el mismo que tiene la siguiente denominación estándar:
[1/(1 + i)n] = (P/F, i, n)
Ejemplo Nº 2 – 007:
Si se necesita un monto final US $ 6,500.00 al final del año 5, que cantidad debe
invertirse en la actualidad, con una tasa de interés efectiva de 7.5 % compuesto anual.
P = 6,500.00 [1/(1 + 0.075)5]
P = US $ 4,527.63.
2.4.3. Factor de Series Uniformes - Cantidad Compuesta.
Este factor nos permite calcular el valor futuro, de una series de valores anuales
equivalente.
Analíticamente podemos establecer lo siguiente:
Para: n = 1

F=A
n= 2

F = A (1 + i) + A
n =3

F = A (1 + i) (1 + i) + A (1 + i) + A
F = A (1 + i)2 + A (1 +i) + A
De donde podemos establecer que para un periodo de tiempo “n”, tendremos la
siguiente relación:
F = A (1 + i)n-1 + A (1 + i)n-2 + ………….. + A (1 + i) + A
F = A [(1 + i)n-1 + (1 + i)n-2 + ………….. + (1 + i) + 1]
Si multiplicamos esta última ecuación por (1 + i), obtendremos:
F (1 + i) = A [(1 + i)n + (1 + i)n-1 + ………….. + (1 + i)2 + (1 + i)]
30
Sustrayendo estas dos últimas ecuaciones, tendremos:
Fi = A [(1 + i)n – 1]
F = A[
(1 +i ) n −1
]
i
La relación [(1 + i)n – 1]/i, se denomina Factor de Series Uniformes - Cantidad
Compuesta, y tiene la siguiente notación estándar:
[(1 + i)n – 1]/i = (F/A, i, n).
Ejemplo Nº 2 – 008.
Si se realizaron inversiones anuales de US $ 725.00, durante 12 años consecutivos, con
un interés efectivo compuesto anual de 9 %, determinar la cantidad total generada al
final de este periodo.
F = [725.00 (1 + 0.09)12 – 1]/0.09
F = US $ 14,602.02
2.4.4. Factor de Depósito de Fondo de Amortización.
Este factor nos permitirá determinar el valor anual equivalente de un valor futuro
establecido; la interrelación entre estas dos variables es la siguiente:
A =F [
i
]
(1 + i ) n −1
El factor i/[(1 + i)n – 1], es el denominado Factor de Depósito de Fondo de
Amortización, cuya notación estándar es:
i/[(1 + i)n – 1] = (A/F, i, n)
Ejemplo Nº 2 – 009:
Si se considera una tasa de interés efectiva anual de 6 %, que cantidad debe depositarse
al final de cada año para redituar US $ 2,825.00 al final del año 7.
A = 2,825.00 x 0.06/ [(1 + 0.06)7 – 1]
A = US $ 336.56.
2.4.5. Factor de Series Uniformes – Valor Presente
Mediante este factor se realiza la transformación de valores anuales equivalentes a un
valor presente, el mismo que puede ser deducido del modo siguiente:
31
Si:
F = A [(1 + i)n – 1]/i
y
F = P (1 + i)n.
Luego:
P (1 + i)n = A [(1 + i)n – 1]/i
P =A
(1 + i ) n −1
i x (1 + i ) n
El valor [(1 + i)n – 1]/[i x (1 + i)n], es el denominado Factor de Series Uniformes –
Valor Presente, y cuya denominación estándar es la siguiente:
[(1 + i)n – 1]/[i x (1 + i)n] = (P/A, i, n)
Ejemplo Nº 2 – 010:
Una inversión producirá US $ 610.00, al final de cada año durante 15 años. Si la tasa de
interés efectiva compuesta anual es de 10 %. ¿Cuál es el valor presente de esta
inversión?.
P = 610.00 [(1 + 0.10)15 – 1]/[0.10 x (1 + 0.10)15]
P = US $ 4,639.71
2.4.6. Factor de Recuperación del Capital.
Mediante este factor se calcula el valor de las anualidades equivalentes, de un valor
presente, para lo cual se utiliza la siguiente fórmula de matemática financiera:
A =P
i x (1 + i ) n
(1 + i ) n −1
Donde [i(1 + i)n]/[(1 + i)n – 1], es el denominado Factor de Recuperación del
Capital, cuya formulación estándar es el siguiente:
[i(1 + i)n]/[(1 + i)n – 1] = (A/P, i, n)
Ejemplo Nº 2 – 011:
Se ofertan US $ 3,500.00 para una inversión; determinar cuanto se conseguirá al final
de cada año en un periodo de 6 años para la justificación de esta inversión a una tasa de
interés efectiva anual de 12 %.
A = 3,500.00 {[0.12(1 + 0.12)6]/[(1 + 0.12)6 – 1]}
A = US $ 851.29
32
En el Cuadro Nº 2 – 009, presentamos en forma resumida las fórmulas de los factores
antes descritos:
CUADRO Nº 2 – 009
FORMULAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
NOM BRE, FORM ULA
1. Factor de Pago Simp
n
(1 + i)
2.5. Aplicación General de la Matemática Financiera en Toma de Decisiones.
La aplicación de las fórmulas antes descritas, tienen la finalidad de tomar decisiones
técnico – financieras, ya que establecido el aspecto técnico de características generales o
específicas, se aplica el enfoque económico, permitiendo de este modo realizar la
selección de consideraciones análogas o mutuamente excluyentes.
2. Factor de Pago Simp
Para la solución integral de problemas de matemáticas financieras, se debe recurrir a dos
etapas, lo cual permitirá el planteamiento y la solución adecuada del problema, las
etapas son las siguientes:
2.5.1. Primera Etapa.- Identificación de Variables:
Los problemas de matemáticas financieras, como quedó establecido, se base en cinco
(05) variables: Valor Presente, Valor Futuro, Valor Anual Equivalente, Tasa de Interés
y Periodo de duración. En esta primera etapa, se identifican las variables que
condicionan valores dados y se establece la variable que se desea determinar.
n
1/(1 + i)
2.5.2. Segunda Etapa.- Elaboración del Diagrama o Flujo Económico:
En problemas generales y específicamente en aquellos de difícil interpretación, es útil
visualizar el problema a través de un flujograma económico, a criterio del proyectista,
33
donde se interrelaciona el Efecto Económico frente al Periodo de Tiempo establecido.
Tal como se muestra en el Grafico Nº 2 - 010:
GRAFICO Nº 2 – 010
INTERRELACION EFECTO ECONOMICO VS. TIEMPO
P
A
A
A
1
2
3
0
A
A
n-1
F
n TIEMPO
Donde:
P = Valor Presente.
F = Valor Futuro
A = Valor Anual Equivalente
0, 1, 2, n-1, n = Período de tiempo
En el caso descrito de representación, los valores anuales equivalentes, así como el
valor presente y el valor futuro, se establecen como valores económicos positivos, la
representación de valores negativos estarían precedido por el signo menos (-).
Algunos autores prefieren hacer una representación de valores económicos mediante
flechas, los valores positivos tendrán las flechas hacia arriba, mientras que los negativos
lo harán con flechas hacia abajo, tal como se aprecia en el Gráfico Nº 2 – 011
GRAFICO Nº 2 – 011
REPRESENTACION SAGITAL DE UN FLUJO ECONOMICO
P
0
F
A
A
A
A
1
2
3
n-1
34
n TIEMPO
Para dar solución a problemas de matemáticas financieras, es necesario establecer
criterios de solución adecuados, ya que un mismo problema puede resolverse de varias
formas, pero al final del proceso deben arribarse a resultado similares.
Ejemplo 2 – 012:
Una inversión minera establece el siguiente criterio económico, para la oportunidad de
canalización de un determinado capital; el monto invertido genera US $ 1,000.00
durante los tres (03) primeros años y US $ 600.00 para los dos (02) años siguientes. Si
al final del periodo de inversión no se tienen un valor de rescate y la tasa de interés para
este tipo de inversiones es de 12 % efectivo anual. Establecer el monto que debe tenerse
para ejecutar dicho proyecto.
Solución:
Como se puede apreciar, la aplicación directa de una de las fórmulas antes indicadas no
estaría solucionando el problema en mención, por lo cual es necesario recurrir a un
análisis de solución, en este caso el problema en discusión puede ser resuelto de tres
modos diferentes.
El planteamiento general del problema utilizando las etapas antes mencionadas, es el
siguiente:
Primera Etapa:
El análisis del problema, nos conduce a determinar que las
conocidos son: Valor anual, Tasa de interés anual efectiva y
Mientras que el valor que se desea conocer es el valor presente,
calculado de los valores anuales, que en este caso tienen datos
equivalentes.
variables con valores
el periodo de tiempo.
el mismo que debe ser
numéricos que no son
Segunda Etapa:
El flujograma económico se puede simular del modo siguiente:
P =?
0
A1
A2
A3
1
2
3
A4
4
Donde:
P = Valor presente, incógnita del problema
35
A5
5
Tiempo (años)
A1 = A2 = A3 = US $ 1,000.00.
A4 = A5 = US $ 600.00
Primera Alternativa de Solución:
En esta alternativa, se establece el criterio de solución, predisponiendo dos arreglos:
considerando dos flujos con los valores anuales equivalentes dados, en el segundo flujo
se calcula un valor presente hipotético en el periodo tres (03) y se realiza su posterior
conversión al momento actual.
P
P
A1
A1
A1
A2
A2
+
0
1
2
3
t
0
1
2
3
4
P’
Donde:
P = Valor presente, incógnita del problema
A1 = US $ 1,000.00
A2 = US $ 600.00
P’ = Valor presente hipotético.
Planteamiento estandarizado del problema:
P = A1(P/A, i, n) + A2((P/A, i, n) x (P/F, i, n))
P = 1000(P/A, 12, 3) + 600((P/A, 12, 2) x (P/F, 12, 3)).
Planteamiento específico del problema:
P = 1000((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n) + 600((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n) x (1/(1 + i)n)
P = 1000((1.12)3 – 1)/0.12(1.12)3) + 600((1.12)2 – 1)/0.12(1.12)2) x (1/(1.12)3)
P = US $ 3,123.61
36
5 t
Segunda Alternativa de Solución:
Para la solución del problema, establecemos dos flujos, que tengan valores anuales
equivalente, tal que se puedan aplicar las fórmulas de un modo directos, como
detallamos a continuación:
P
P
A1
A1
A1
A1
A1
A2
A2
A2
+
0
1
2
3
4
5 t
0
1
2
3
t
Donde:
P = Valor presente, incógnita del problema
A1 = US $ 600.00
A2 = US $ 400.00
Planteamiento estandarizado del problema:
P = A1(P/A, i, n) + A2(P/A, i, n)
P = 600(P/A, 12, 5) + 400(P/A, 12, 3)
Planteamiento especifico del problema:
P = A1((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n) + A2((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n)
P = 600((1.12)5 – 1)/0.12(1.12)5) + 400((1.12)3 – 1)/0.12(1.12)3)
P = US $ 3,123.60
Tercera Alternativa de Solución:
En esta alternativa, se consideran los valores de las anualidades en forma independiente,
establecidos como valores futuros para poder aplicar la fórmula del valor futuro para
cada uno de ellos. La simulación gráfica será del modo siguiente:
37
P
A1
0
1
A2
A3
2
A4
3
A5
4
5
t
Donde:
P = Valor presente, incógnita del problema
A1 = A2 = A3 = US $ 1,000.00
A4 = A5 = US $ 600.00
Planteamiento estandarizado del problema:
P = A1(P/F, i, n) + A2(P/F, i, n) + A3(P/F, i, n) + A4(P/F, i, n) + A5(P/F, i, n)
P = 1,000(P/F, 12, 1) + 1,000(P/F, 1000, 2) + …. + 600(P/F, 12, 4) + 600(P/F, 12, 5)
Planteamiento específico del problema:
P = A1/(1 + i)n + A2/(1 + i)n + A3/(1 + i)n + A4/(1 + i)n + A5/(1 + i)n
P = A1/(1.12)1 + A2/(1.12)2 + A3/(1.12)3 + A4/(1.12)4 + A5/(1.12)5
P = 1,000/(1.12)1 + 1,000/(1.12)2 + 1,000/(1.12)3 + 600/(1.12)4 + 600/(1.12)5
P = US $ 3,123.00
2.6. Series de Gradientes.
Los flujos económicos no permanecen constantes a lo largo de un periodo de tiempo,
dependiendo del tipo de empresa, se producen incrementos que pueden tener
consideraciones aritméticas o geométricas. Si bien es cierto que las soluciones pueden
tener características convencionales, existen algoritmos matemáticos para solucionar
estos problemas, sin la aplicación de muchas iteraciones.
2.6.1. Series de gradientes aritméticas.
El incremento o decremento de una cantidad fija periódica sucesiva, produce una serie
de gradiente aritmética, “G”. Bajo estas circunstancias el flujo económico anual tendrá
dos componentes:
a) Una cantidad constante, al cual denominaremos “A1”, similar al flujo económico
del primer periodo.
b) Una cantidad variable que se determina según la relación: (n – 1) x G.
38
Para solucionar este tipo de problemas, se transforman los valores variables de “G”, a
un valor constante, aplicando la siguiente fórmula:
1

n
A2 = G  − ( A / F , i, n) 
i
i

El factor de conversión de cantidades variables a una cantidad constante futura:
1 n

− ( A / F , i , n )  , es el denominado “factor de series aritméticas”, su designación

i
i

estándar es (A/G, i, n).
El cálculo de la cantidad anual se realiza utilizando la siguiente fórmula:
A = A1 + A 2
A = A1 + G(A/G, i, n)
2.6.2. Series geométricas.
Una gradiente geométrica establece que el incremento o decremento de un flujo
económico, entre periodos sucesivos no es una cantidad constante, sino un porcentaje
constante.
Si representamos por “j” el porcentaje de cambios entre periodos contiguos, y si se
tiene un valor de flujo económico constante como “A” en cada periodo anual; el flujo
económico en cualquier periodo siguiente, “k”, es:
Ak = A(1 + j)k-1.
El valor presente de una serie de gradientes geométricas, se calcula según la fórmula:
n
P = ∑A (1 + j )
K =1
P = A(1 + j )
k
k −1
(1 + i ) k
(1 + j ) k
∑
k =1 (1 + i )
n
Bajo estas consideraciones, se pueden diversificar dos fórmulas, dependiendo de los
valores relativos que pueden tomar “i” y “j”.
Para i = j
P=
nA
(1 + i )
39
Para i ≠ j
1 − (1 + j ) n (1 + i ) −n 
P = A

(i − j )


Ejemplo 2 – 013:
Los beneficios que genera una planta de fundición y refinación de cobre, son en la
actualidad US $ 1’400,000.00 anualmente, la tasa de interés efectiva anual que se
considera para este tipo de empresas es de 8 %, determinar el valor presente de tales
beneficios para los próximos 10 años, si:
a) Las ventas se incrementan a razón de US $ 150,000.00 al año.
b) Si las ventas se incrementan en 10 % anual.
Solución:
a) Variables establecidas para la serie de gradientes aritméticas
i=8%
n = 10 años.
G = US $ 150,000.00
A1 = US $ 1’400,000.00
Formulación estándar para la transformación de la serie de gradiente en un valor anual
equivalente.
A2 = G(A/G, i, n)

A2 = 150,000(A/G, 8 %, 10).
Fórmula especifica para la determinación del valor anual equivalente de la serie de
gradientes:
1 n
A2 = G  −
i
i



i


 (1 + i ) n − 1 



 1

10 
0.08


A2 = 150 ,000 
−
10

0.08  (1 + 0.08 ) − 1 
0.08



A2 = US $ 580,697.09
A = A1 + A2
A = 1’400,000.00 + 580,697.09
A = US $ 1’980,697.09
40
El Valor presente se determina considerando:
La formulación estandarizada:
P = A (P/A, i, n)

P = 1’980,697.09 (P/A, 8%, 10)
La formulación específica aplicada es:
n
(
1 + i ) −1
P=A
n
i (1 + i )
(1.08 )10 − 1
10
0.08 (1.08 )
P = 1'980 ,697 .09
P = US 13’290,638.70
b) Variables establecidas para la serie de gradientes geométricas:
i=8%
j = 10 %
n = 10 años
A1 = 1’400,000.00
Aplicando la fórmula específica, cuando i ≠ j, tendremos:
1 − (1 + j ) (1 + i )
P = A
(i − j )

n
−n



1 − (1.10 ) (1.08 )
P =1'400 ,000 
0.08 − 0.10

10
−10



P = US $ 14’098,323.20
2.7. Efectos económicos de proyectos frente al radio de retorno (ROR).
El radio de retorno de la inversión, es una tasa de interés que se determina con la
finalidad de conocer el porcentaje de utilidad generado al realizar una inversión, este
valor debe calcularse frente a los beneficios brutos y los costos de producción
establecidos en un proceso productivo o bajo la generación de un servicio. Para la toma
de una decisión adecuada los valores obtenidos de un análisis matemático financiero,
que calculan este valor, se comparan con tasas de interés estándares propios de cada
actividad empresarial, definitivamente valores mayores a las tasas estándares serán los
adecuados para iniciar o dar continuidad al proceso.
41
Ejemplo 2 – 014:
Se realiza una inversión de US $ 10,000.00 que serán amortizados en 5 años, con pagos
mensuales de US $ 2,630.00. Determinar el radio de retorno (ROR) de esta inversión.
Solución:
Para la solución de este tipo de problemas, se hace una comparación del valor presente
invertido, que como se deduce será un valor negativo, así mismo este valor se compara
con las amortizaciones anuales que como son pagos también establecen valores
negativos, por lo cual se pueden trabajar como si fuesen valores positivos.
Aplicamos la fórmula estándar del valor presente frente a las anualidades establecidas.
P = A(P/A, i, n)
10,000 = 2,638 (P/A, i, 5).
Como se puede apreciar en esta última formulación, el valor desconocido es la tas de
interés “i”, aplicando la fórmula específica, tendremos:
 (1 + i ) 5 − 1
10 ,000 = 2,638 
5 
 i (1 + i ) 
Para solucionar este tipo de problemas, consignamos el método de pruebas y errores,
esto es se asimilan valores que supuestamente podrías estar cercanos a la solución final
y por último aplicando una interpolación, se consigue el resultado deseado.
a) Asimilación de valor cercanos al resultado de P = US $ 10,000.00, esto es:
Para i = 8 %:
 (1 + 0.08 ) 5 − 1 
10 ,000 = 2,638 
5 
 0.08 (1 + 0.08 ) 
10,000 = 10,523.77
Como se puede apreciar, este valor es ligeramente mayor al resultado deseado, como
“P” e “i”, son inversamente proporcionales, realizaremos la tentativa de aproximación
con un valor de “i” mayor a 8.
Para i = 11%
 (1 + 0.11) 5 − 1 
10 ,000 = 2,638 
5 
0.11 (1 + 0.11) 
10,000 = 9,749.78
42
b) Interpolación de resultados:
8%

10,532.76
ROR %

10,000.00
11 %

9,749.78
Realizando una resta entre el último valor y el primer valor y entre el último valor y el
segundo valor, tendremos:
3%

- 782.98
(11 – ROR) %

- 250.22
Estableciendo el criterio de igualdad del producto de extremos por extremos,
tendremos:
(11 – ROR) x (- 782.98) = 3 x (-250.22)
Calculando el ROR:
ROR = 10.04 %
2.8. Aplicación de la Matemática Financiera a la Minería.
2.8.1. En proyectos de inversión minero metalúrgicos.
Bajo estas consideraciones, se determina el valor de la variable que permitirá tomar una
decisión adecuada, esto a criterio del proyectista.
Aplicación 2 – 015:
Una empresa minera ha determinado que su radio de retorno sobre la inversión es de 10
% efectivo anual. Bajo esta consideración ha establecido que su flujo económico de
procesamiento para dar inicio a la actividad minera – metalúrgica de su yacimiento es el
siguiente:
Debe realizar una inversión inicial de US $ 200,000.00, los cuales deben generar
ingresos netos anuales de US $ 20,000.00, durante los 10 años de vida útil del
yacimiento mineral, al final de este periodo las instalaciones y equipamiento de mina y
planta, establecen un valor de rescate de US $ 250,000.00.
Solución:
Cualquiera de las tres variables que establecen valores económico, esto es: valor
presente, valor futuro o valor anual equivalente podrían predisponer la solución al
problema dado, pero no serían suficiente para una toma de decisión adecuada.
a) Considerando el valor presente para dar solución al problema:
43
Con el planteamiento estandarizado del problema, tendremos:
P = -II + IN(P/A, i, n) + F(P/F, i, n).
Donde:
P = Valor presente
II = Inversión inicial
IN = Ingresos netos
F = Valor futuro
P = -200,000.00 + 20,000(P/A, 10, 10) + 250,000(P/F, 10, 10)
El planteamiento específico será:
 (1 + ROR ) n − 1 
250 ,000
20
,
000
P = -200,000 +

n
n  +
 ROR (1 + ROR )  (1 + ROR )
 (1 + 0.10 ) 10 − 1 
250 ,000
P = -200,000 + 20 ,000 
10  +
(1 + 0.10 )10
 0.10 (1 + 0.10 ) 
P = US $ 19,277.16
El resultado del valor presente nos permite deducir, que bajo las consideraciones
expuestas en el periodo establecido de 10 años tendríamos una rentabilidad de US $ 19,
277.16, este valor positivo calculado no es un indicador suficiente para realizar una
toma adecuada de decisión de inversión.
b) Considerando el ROR para solucionar el problema.
El planteamiento estandarizado nos detalla:
II = IN(P/A, i, n) + F(P/F, i, n)
200,000.00 = 20,000(P/A, ROR, 10) + 250,000(P/F, ROR, 10)
El planteamiento específico será:
 (1 + ROR ) n − 1 
250 ,000
20
,
000
200,000 =

n
n  +
 ROR (1 + ROR )  (1 + ROR )
 (1 + ROR ) 10 − 1 
250 ,000
200,000 = 20,000 
+

10
10
 ROR (1 + ROR )  (1 + ROR )
44
Aplicando el método de interpolación, tendremos:
Para 12 %

193,497.77
Para ROR %

200,000.00
Para 10 %

219,277.16
Realizando una sustracción entre el primer valor y el último valor, y entre el segundo
valor y el último valor, obtenemos:
2%

- 25,779.39
(ROR – 10) %

- 19,277.16
Luego:
ROR = 11.50 %
Como podemos observar este valor de ROR así obtenido, es ligeramente mayor al 10 %,
por lo tanto se acepta la inversión para este proyecto, como podemos observar el ROR,
nos permite realizar una toma de decisión más adecuada.
2.8.2. En la toma de decisiones de proyectos mutuamente excluyentes:
Bajo estas consideraciones, se analizan diferentes proyectos de inversión, que pueden
ser canalizados por personas naturales o jurídicas, de modo que se seleccione la mejor
alternativa de inversión.
Aplicación 2 – 016.
Una empresa minera desea realizar inversiones en tres diferentes proyectos
minero – metalúrgicos, los cuales tienen 6 años de vida útil y cuyo radio de retorno es
de 10 % anual efectivo. Las consideraciones económicas que se consignan son las
siguientes:
CUADRO Nº 2 – 012
PROYECTOS ALTERNATIVOS
PROYECTO
INVERSION
INICIAL (US $)
INGRESOS
BRUTOS
ANUALES (US $)
45
GASTOS
ANUALES
(US $)
VALOR DE
RESCATE
(US $)
1
2
3
100,000.00
150.000.00
200,000.00
60,000.00
90,000.00
110,000.00
20,000.00
35,000.00
50,000.00
40,000.00
50,000.00
70,000.00
Solución:
En este caso, se puede utilizar cualquiera de las variables de toma de decisiones, ya que
el mayor valor obtenido de entre los proyectos, será el que determine la mejor
alternativa.
Utilizando el cálculo del valor presente, la formulación estandarizada genérica, es la
siguiente:
P = - II + IBA(P/A, i, n) – GA(P/A, i, n) + VR(P/F, i, n) ó
P = - II ± INA(P/A, i, n) + VR(P/F, i, n).
Donde:
P = Valor presente.
II = Inversión inicial.
IBA = Ingresos brutos anuales.
GA = Gastos anuales
VR = Valor de rescate
Proyecto 1:
Considerando la segunda formulación estandarizada tendremos:
P = -100,000 + 40,000(P/A, 10, 6) + 40,000(P/F, 10, 6).
La formulación específica, es la siguiente:
 (1 + 0.10 ) 6 − 1 
40 ,000
P = -100,000 + 40 ,000 
6
6  +
 0.10 (1 + 0.10 )  (1 + 0.10 )
P = US $ 96,789.40
Proyecto 2:
 (1 + 0.10 ) 6 − 1 
50 ,000
P = -150,000 + 55,000 
6  +
(1 + 0.10 ) 6
 0.10 (1 + 0.10 ) 
46
P = US $ 117,763.00
Proyecto 3:
 (1 + 0.10 ) 6 − 1 
70 ,000
P = -200,000 + 60 ,000 
6
6  +
 0.10 (1 + 0.10 )  (1 + 0.10 )
P = US $ 100,828.80
La mejor alternativa es el proyecto 2, el cual debe ser seleccionado.
2.8.3. En la selección económica de equipos y maquinarias de mina y
planta.
Esto nos permite tomar decisiones sobre la adquisición de dos o más tipos de equipos y
maquinas que se utilizarán en las operaciones de mina o de plantas de tratamiento de
minerales, también por analogía se usa para el reemplazamiento de equipos
minero-metalúrgicos.
Aplicación 2 - 017:
Una unidad operativa minera, esta considerando dos tipos diferentes de fajas
transportadoras, para el manipuleo del mineral desde el interior de la mina hasta la
cancha de gruesos.
La Faja Nº 1, tiene un costo inicial de de US $ 10,000.00, los costos de operación y
mantenimiento anuales es de US $ 3,000.00, mientras que su valor de rescate será de
US $ 6,000.00 al final de su vida útil consignada en 6 años.
La Faja N° 2, tiene un costo inicial de US $ 15,000.00, y sus costo de operación y
mantenimiento son del orden de US $ 2,000.00 al año, considerando un valor de rescate
de
US $ 10,000.00 al final de 6 años de operación. Si el ROR para este tipo de
inversiones es de 15 % efectivo anual, establecer la mejor alternativa económica.
Solución:
Si aplicamos el algoritmo del valor presente y tratándose de costos tanto inicial, como
de operación y mantenimiento anual, que deben ser consignados con valores negativos,
lo asimilamos a valores positivos, mientras que el valor de rescate debe tener una valor
negativo; la decisión final se establecerá considerando el menor de los valores
obtenidos, por ser el menor costo; la formulación estándar para ambos casos, es la
siguiente.
P = CI + COM(P/A, i , n) – VR(P/F, i, n).
Donde:
P = Costo presente del flujo económico
47
CI = Costo inicial del bien.
COM = Costo de operación y mantenimiento.
VR = Valor de rescate.
F = Valor futuro.
La solución especifica, es como sigue:
Faja Nº 1:
 (1 + ROR ) n − 1 
5,000
P = 10,000 + 3,000 

n
n
 ROR (1 + ROR )  (1 + ROR )
 (1 + 0.15 ) 6 − 1 
5,000
P = 10,000 + 3,000 
6
6   0.15 (1 + 0.15 )  (1 + 0.15 )
P = US $ 19,191.80
Faja Nº 2:
 (1 + ROR ) n − 1 
10 ,000
2
,
000
P = 15,000 +

n
n   ROR (1 + ROR )  (1 + ROR )
 (1 + 0.15 ) 6 − 1 
10 ,000
P = 15,000 + 2,000 

6
6
 0.15 (1 + 0.15 )  (1 + 0.15 )
P = US $ 18,245.70
Si bien es cierto, que la diferencia entre los valores de las alternativas es de
US $ 946.10, pero la selección corresponde a la Faja Nº 2, por ser el de menor costo.
2.8.4. En la toma de decisiones que consideran diferentes horizontes de
vida útil.
En algunos aspectos del desarrollo minero, es necesario considerar diferentes horizontes
de vida para realizar selecciones de proceso, equipos, maquinarías, recursos físicos, etc.
La metodología más aplicada para dar solución a este tipo de problemas es el
denominado “reemplazamiento de igual categoría”, este método asume tiempos de
horizontes de vida iguales que para la alternativa de mayor duración, estableciendo para
el tiempo hipotético adicionado, consideraciones de flujos económicos repetitivos a los
generados en el horizonte de vida de menor duración.
Aplicación 2 – 018:
48
Una empresa minera que explotará un yacimiento metálico por el método a cielo
abierto, tiene dos alternativas para la adquisición de cargadores frontales de diferentes
capacidades, los mismos que establecen diferentes usos y periodos de operación.
Se considera la adquisición de un cargador frontal que tiene un costo inicial de
US
$ 225,000.00 y su costo de operación y mantenimiento anual es de US $ 30,000.00, con
un valor de rescate de US $ 150,000.00 al final de los 6 años de vida útil, este equipo
minero ha sido considerado para el desbrozamiento del sobreencape que tendrá una
duración de 3 años y 3 años adicionales de minado del tajo abierto.
El segundo cargador frontal de menor capacidad que el anterior, que únicamente será
utilizado para el desencape del material que sobreyace al yacimiento, tiene un costo
inicial de US $ 67,500.00, mientras que sus costos de operación y mantenimiento anual
son desorden de US $ 60,000.00 y sus valor de rescate en este periodote tiempo es de
US $ 37,500.00.
El ROR, para este tipo de inversiones es de 15 % efectivo anual.
Determinar la mejor alternativa de inversión.
Solución:
Estableciendo el flujograma económico de ambas alternativas, donde se visualiza un
flujo económico hipotético para la segunda alternativa, se consideran a los costos como
valores positivos y a los ingresos con valores negativos.
Primera Alternativa:
CI
COM
0
1
COM
2
COM
COM
COM
COM -L
3
4
5
6
COM
COM
4
5
t
Segunda Alternativa:
CI
COM
0
1
COM
2
COM-L CI
3
3
COM -L
6
t
Flujo económico hipotético
Donde:
CI = Costo inicial
COM = Costo de mantenimiento y operación
L = Valor de rescate
Solución:
49
Considerando el valor presente como la variable solución y aplicando las fórmulas
específicas, tendremos:
Primera alternativa:
 (1.15 ) 6 − 1  150 ,000
30
,
000
P = 225,000 +

6  (1.15 ) 6
 0.15 (1.15 ) 
P = US $ 273,685.30
Segunda Alternativa:
 (1.15 ) 6 − 1 
[67 ,500 − 37 ,500 ] 37 ,500
P = 67,500 + 60 ,000 
+

6
(1.15 ) 6
(1.15 ) 3
 0.15 (1.15 ) 
P = US $ 298,082.20
Como podemos observar, se selecciona la primera alternativa, por ser el de menor
costo.
CAPITULO III
VARIABLES ECONOMICAS ESTÁTICAS Y DINAMICAS EN LA
MINERIA
50
3.1.
Concepto y clasificación de costos en la actividad minera.
La actividad minera, como un efecto empresarial, establece gastos en las diferentes
etapas en la cual se desarrolla, esto es desde el descubrimiento del mineral en el cateo
y/o prospección hasta la etapa en que se comercializan los productos minerales
obtenidos (ya sea como concentrados o sea como productos terminados).
Al no existir una regla específica que determine la clasificación de costos. Una
clasificación general de los costos en minería, sería el siguiente:
a)
Inversiones o Costos de Capital.
Los costos de capital o inversiones tienen tres componentes principales: el activo fijo o
capital fijo, el activo circulante o capital circulante, y activo intangible.
a.1. El activo fijo, son los fondos necesarios para la adquisición del conjunto de bienes
que poseerá una empresa, que tiene una vida útil dada, que se destina en forma directa o
indirecta a realizar la producción industrial, en el caso de un proyecto inicial minero, los
costos mas significativos son:





industrial, etc.)



Adquisición de terrenos.
Desarrollo de preproducción.
Estudios ambientales y permisos.
Equipos mineros y/o metalúrgicos, instalaciones y servicios.
Infraestructura (vías de comunicación, energía eléctrica, agua
Diseño e ingeniería.
Construcción y montaje.
Contingencias o imprevistos.
a.2. El activo circulante o capital circulante, representa el dinero necesario para
empezar la operación y asumir las obligaciones subsiguientes durante la puesta en
marcha del proyecto. Este monto esta constituido por: Dinero en caja y bancos, cuentas
por cobrar, cuentas por pagar e inventario.
a.3. El activo intangible, son los que determinan un valor por su adecuación, pero que
no pueden ser visualizados físicamente, entre estos tenemos:





Patentes y marcas registradas de la empresa.
Estudios y organizaciones en general.
Capacitación al personal.
Investigaciones realizadas.
Derechos adquiridos por la empresa.
Para casos específicos de minería, los costos de capital que pueden ser establecidos,
serían tomando como base del CES (Cost Estimating System), desarrollado por la
Mineral Availability Field Office del US Bureau of Mines, que es el siguiente:
A. Evaluación del impacto ambiental.
51
B y C. Minería a cielo abierto y subterráneo









Exploración.
Desarrollo de preproducción.
Equipos mineros.
Transporte.
Instalaciones y servicios mineros.
Infraestructura.
Restauración durante la construcción.
Ingeniería y dirección de la construcción.
Capital circulante.
D. Tratamiento de minerales.











Conminución.
Beneficio.
Separación sólido líquido.
Hidrometalurgía.
Aplicaciones especiales.
Transporte.
Servicios generales.
Infraestructura.
Restauración.
Ingeniería y dirección de construcción.
Capital circulante.
E. Infraestructura General.





b)
Accesos.
Servicios generales.
Instalaciones de carga.
Transporte.
Tratamiento de aguas residuales.
Capital de trabajo.
Es el monto económico necesario para mantener en marcha el proceso productivo hasta
su posterior comercialización. Por lo cual es el capital requerido una vez finalizada la
etapa de anteproyecto, construcción y puesta en marcha del proyecto.
Este capital se destina a:



c)
Stock de materiales e insumos
Gastos de comercialización
Disponibilidad mínima en caja y bancos.
Costos de Operación.
52
Son los montos económicos necesarios para el desarrollo de las operaciones unitarias y
auxiliares en el proceso minero – metalúrgico.
Los rubros donde se deben detallar este tipo de costos son:

Costos directos:
-
Mano de obra.
Maquinarías y equipos
Materiales e insumos

Costos indirectos:
-
d)
Mano de obra.
Maquinarías y equipos
Materiales e insumos
Costo de Producción:
Entendemos por Costos de producción, a la sumatoria de todos los gastos que ocasiona
el proceso productivo, hasta poner el producto comerciable en el puerto de embarque,
FOB. Estos costos incluyen la mano de obra, materiales e insumos y los pagos por
servicios, etc, no consideran los gastos administrativos, ni los costos financieros, ni los
tributos que deben ser pagados.
e)
Gastos administrativos:
Montos económicos destinados para el mantenimiento continúo de la producción de la
empresa minera, a través del personal, equipos y materiales e insumos, de apoyo directo
o indirectos de la actividad minera.
Está constituido por:
•
•
•
•
•
f)
Planilla Pas
Sueldos del personal de apoyo: legal y logístico
Pagos por asesoramiento.
Gastos en equipamiento
Gastos de materiales.
Tributación en Minería
En la minería como en cualquier actividad empresarial esta sujeta a tributos propios del
Estado Peruano, en el caso específico de esta actividad los tributos a que esta sujeto son
los siguientes:
• Derecho de tenencia de la concesión.- en este caso se paga un dólar por hectárea
por año en concesiones por exploración para el caso de la pequeña minería y tres
dólares en el caso de la mediana y gran minería, monto absorbido por el MINEM.
53
• Derecho de vigencia de la propiedad minera.- Monto similar que el anterior, pero
para concesiones por explotación, pagados anualmente durante la vida útil del
yacimiento minero, absorbido por el MINEM.
• Impuesto a la renta de personas naturales (IRPN) y jurídicas (IRPJ), aplicado al
monto de ingresos netos generados por la actividad que desarrolla, en el caso de la
minería es del 50 %.
• Impuesto General a la Ventas (IGV), establecido por las transacciones comerciales
de compra y venta de productos, normativamente es de 19 %, del monto establecido.
• Impuesto Selectivo al Consumo (ISC), tiene un impuesto especifico para cada
producto
3.2. Método del análisis marginal.
3.2.1. Fundamentos.El análisis del factor marginal nos permitirá establecer las siguientes variables
técnico-económicas empresariales:
a) Las ganancias o pérdidas de la empresa minera a diferentes niveles de
producción.
b) La explotación económica del yacimiento para alcanzar el objetivo de
rentabilidad establecido por la empresa minera.
c) La sensibilidad de la rentabilidad o ganancia, bajo posibles fluctuaciones del
precio de los metales en el mercado internacional, los costos productivos de la
empresa, y volúmenes de producción y venta de los metales o minerales obtenidos.
Los detalles antes mencionados se sustentan en tres variables fundamentales: los
ingresos brutos económicos generados, los costos de producción, y los niveles de
producción. Los ingresos en el caso de la minería se encuentran establecidos por el tipo
de mineral y el precio de los metales predispuestos en el mercado internacional. En el
caso de los costos estos se sustentan en los costos variables y costos fijos.
3.2.2. Interrelación de las Variables Fundamentales.Gráficamente las variables fundamentales se pueden visualizar en el gráfico Nº 3 - 013.
Estas variables en el gráfico expuesto establecen efectos lineales, que muy pocas veces
se cumplen en la realidad, por lo que es necesario realizar ajustes al momento de
establecer criterios para un mayor grado de precisión de los parámetros de producción,
costos y rentabilidad.
GRAFICO Nº 3 – 013
54
FACTOR
ECONOMICO
INGRESOS BRUTOS
COSTO TOTAL
COSTO VARIABLE
COSTO FIJO
PRODUCCION
La relación de las variables, se establece del modo siguiente:
CT = CV + CF
CV = CVU x T
I
= PU x T
Donde:
CT
= Costo Total
CV
= Costo Variable
CF
= Costo Fijo
CVU
= Costo Variable Unitario
T
= Cantidad Producida.
I
= Ingresos Brutos Económicos
PU
= Precio Unitario del mineral.
3.2.3. Análisis de la Producción Económica.Teniendo las variables antes mencionadas, la utilidad económica (UE) generada antes
del pago de los gastos financieros y de los impuestos, se establece según la fórmula:
UE = PU x T - (CF + CVU x T)
La rentabilidad (r) que se genera, se define como la utilidad económica sobre los costos
totales, produciéndose la siguiente fórmula matemática:
r =
PU x T −(CF +CV U x T )
CF +CV U x T
La producción económica que se debe obtener en forma teórica, se deduce de la fórmula
antes establecida, es decir:
55
PU x T - (CF + CVU x T) = r (CF + CVU x T)
= r x CF + r x CVU x T
PU x T - CVU x T - r x CVU x T = r x CF + CF
T[PU - CVU (1 + r)] = CF (1 + r)
T =
CF (1 +r )
PU −CV U (1 +r )
.................................... (1)
3.2.4. Análisis del Factor Marginal.El análisis marginal define a la Explotación Mínima (EM) del yacimientos, donde el
nivel de rentabilidad de la empresa minera es nula, r = 0, lo cual predispone que los
ingresos brutos generados equilibran exactamente a los costos totales.
Bajo este efecto, la fórmula (1), con una rentabilidad igual a cero, considera la
producción mínima del yacimiento minero, donde la fórmula matemática es la
siguiente:
EM =
CF
PU −CV U
……………………… (2)
La producción EM, así calculada, representa la cantidad de mineral que debe
comercializarse, sin que se generen ni ganancias ni pérdidas, es decir que la utilidad
neta será igual a cero (0).
El Factor Económico Crítico (FEC), esto es, la cantidad monetaria que tiene la
dualidad de ser ingresos brutos y costos totales a la vez, se determinan mediante el
siguiente análisis matemático, multiplicamos la ecuación (2) por “PU”, se obtiene:
PU x T =
PU x CF
PU −CV U
Luego, FEC, se determinará por la fórmula:
FEC =
CF
CV U
1−
PU
…………………….. (3)
Gráficamente, los parámetros antes manifestados se visualizarían del modo siguiente:
GRAFICO Nº 3 – 014
56
FACTOR
ECONOMICO
INGRESOS
COSTO TOTAL
PUNTO DE
EQUILIBRIO
COSTO VARIABLE
FEC
COSTO FIJO
EM
PRODUCCION
3.2.5. Rentabilidad Máxima.
Establecidas las consideraciones económicas y técnicas de un proyecto, es necesario
determinar los límites máximos de rentabilidad que puede tener la empresa, bajo
consideraciones analíticas, esto reobtendría cunado las cantidades producidas y
vendidas sean infinitas, sin producirse cambios en las otras variables. Esto
matemáticamente puede establecerse del modo siguiente:
En la ecuación (1), se tendría:
Cuando T  ∞
[PU – VU(1 + r)]  0
La rentabilidad máxima (r*) se obtiene de la relación PU = VU(1 + r*).
Luego: PU = VU + VU r*.
r*=
PU
−1
VU
…………………… (4)
Gráficamente, la función de rentabilidad de una empresa, se puede representar entre un
valor mínimo de “r”, esto es -100 %, es decir la pérdida total de los costos incurridos, y
el valor máximo “r*” y r = 0 en el punto de equilibrio.
r
r*
GRAFICO Nº 3 – 015
0
T
57
-1
EM
3.3. Ley mínima explotable.
3.3.1. Fundamentos.La ley mínima explotable, denominado en el idioma inglés “cut off grade”, mal
traducido como ley de corte, ya que traducción real debe ser ley mínima de corte,
permitirá determinar en el proceso de minado de la unidad productiva minera las
siguientes consideraciones:
a) La ley del mineral de mina, que propiciará que los ingresos netos que se generen
sean igual a cero (0), esto es que los ingresos brutos económicos sean iguales a los
costos de producción.
b) Determina que mineral, dentro del proceso de explotación, debe ser extraído
bajo consideraciones de rentabilidad económica; es decir establece el planeamiento
de minado de las labores mineras de explotación.
c) Permite determinar la rentabilidad óptima de la empresa, de un modo continuo.
d) La determinación correcta de la ley mínima explotable es de vital importancia
para definir la cantidad de reserva mineral que sustentará el proyecto minero a
ejecutarse en un determinado periodo de tiempo.
La ley mínima explotable debe ser calculada como mínimo anualmente y a lo largo del
horizonte de vida del proyecto minero, de allí que esta variable tiene un carácter
dinámico. Bajo consideraciones de una variación de las variables que lo condicionan,
tales como el precio de los metales y los costos de producción, su cálculo puede ser
realizado tantas veces como sea necesario durante un año, de modo que se consignen la
explotación rentable del yacimiento en operación, especialmente cuando se produce la
caída del precio de los metales en el mercado internacional.
Determinación de la ley mínima explotable.
En toda operación minera, para un cierto valor de ley de mineral (Lm) le corresponde
un valor económico (Vm), como se puede indicar:
Lm
Vm
58
Si al valor del mineral le deducimos el Costo de Producción (Cp), se tiene el margen de
ganancia de la operación (Mg):
Lm
Vm – Cp = Mg
En un depósito mineralizado, se tiene la opción de trabajar leyes más altas que la ley
mínima explotable, de modo que el valor del mineral será superior al costo de
producción, es decir reportará ganancias:
Vm > Cp = Ganancia
Lm
Vm
Por lo contrario, si la ley de mineral disminuye debajo de la ley mínima explotable,
habrá pérdidas:
Lm
Vm
Vm < CP = Pérdida
De esta manera se pasa de una posición de ganancias a otra de pérdidas, lo que
significa que en dicho tramo, en algún momento habrá un punto cero, sin ganancias ni
pérdidas económicas, es decir:
Vm
= Cp
En este momento se predispone la ley mínima explotable (Lme).
Vm > Cp = Ganacia
Lm
Vm
Lme
Vm = Cp
Lm
Vm
59
Vm < CP = Pérdida
Si consideramos la siguiente relación:
Lm
Vm
Lme
Cp
Establecemos la fórmula de la ley mínima explotable.
Lme = Lm x
Cp
Vm
Otro modo de calcular la ley mínima explotable es aplicando la siguiente fórmula:
Lme =
Cp
PN x R
Donde:
Lme = Ley mínima explotable
Cp = Costo de producción.
PN = Precio neto pagable.
R = Recuperación metalúrgica del mineral.
Las fórmulas establecidas para el cálculo de la Lme, son aplicables en yacimientos
monometálicos. Para calcular la Lme en yacimientos polimetálicos, se aplican las
mismas fórmulas, pero con ciertas variaciones, en la Aplicación 3 – 023, se desarrolla
un problema para la determinación de la Lme en yacimientos polimetálicos.
Por otro lado, en yacimientos polimetálicos también se puede calcular la Lme,
considerando las equivalencias respectivas entre los minerales con valor económico, en
la Aplicación
3 – 024, se presenta un problema de este tipo.
3.4. Aplicaciones a la minería
60
Aplicación 3 – 019 (análisis marginal)
La Mina Pierina, tiene una explotación de 22,000 toneladas métricas secas por día
(TMSD), considera una explotación promedio mensual de 25 días, considerando el
precio actual del oro en US$ 1,000.00 la onza troy y teniendo que el costo fijo anual es
de US$ 125’345,000.00, mientras que su costo variable es de US$ 18.50/TMS, realizar
el análisis marginal de este proyecto aurífero, si tiene una recuperación metalúrgica
inicial de 80 %, mientras que su recuperación final es de 90 %, la promedio del mineral
de mina es de 6 gr/TMS.
Solución:
1.
Ley mínima pagable (LMP).
LMP = 6 gr/TMS x 0.80 x 0.90 = 4.32 gr/TMS.
2.
Producción Anual Calculada.(PAC)
PAC = 22,000 x 25 x 12 = 6’600,000 TMSA
3.
Contenido fino del mineral procesado (CFP)
CFP = 6`600,000 TMSA x 4.32 gr/TMS = 28’512,000 gr/año de oro fino
4.
(PT)
P=
Ingresos económicos brutos generados por la producción anual
US $1,000 .00 / onzt
x 28 '512 ,000 gr / año =US $ 916'784,56
31 .1 gr / onzt
5.
r =
Rentabilidad (r).
916 '784 ,566 −(125 '345 ,000 + 6'600 ,000 x 18 .5)
(125 '345 ,000 + 6'600 ,000 x 18 .5)
r = 2.70 = 270 %
6.
PU =
Precio unitario del mineral de mina.
US $ 916 '784 ,566
6'600 ,000 TMS
PU = US$ 138.91/TMS
7.
Explotación mínima del yacimiento.
125 '345 ,000
EM =
138 .91 −18 .50
EM = 1’040,985 TMSA
61
6.00
EM = 3, 470 TMSD
8.
Factor económico crítico.
FEC =
125 '345 ,000
18 .50
1−
138 .91
FEC = US$ 144’603,221.91/año
9.
Rentabilidad máxima
r*=
r*=
PU
−1
VU
138 .91
−1
18 .5
r* = 6.51 = 651 %
Aplicación 3 – 020 (análisis marginal)
Una unidad minera, establecida como pequeña productora; determina que sus costos
totales para producir 1,000 TMSM (toneladas métricas secas por mes) de concentrado
de plomo es de US$ 5,000.00, mientras que los costos totales para producir 1,500
TMSM de concentrado de plomo es de US$ 6,000.00. Asumiendo que los costos
variables están en relación directa con el rango de producción. Determinar lo siguiente:
a)
El costo variable unitario.
b)
El costo fijo.
c)
El costo fijo unitario para la producción de las 1,000
TMSM de concentrado.
d)
Si el precio del concentrado es de US$ 10.00/TMS,
determinar la explotación mínima (EM)
e)
Bajo las mismas consideraciones que para el punto
anterior, calcular el factor económico crítico (FEC).
f)
Si reproducen 200 TMSM de concentrado, determinar
la pérdida que se genera.
Solución:
Recurriendo a una solución gráfica, que nos permitirá consignar soluciones
preliminares, tendremos lo siguiente:
Metodología:
62
1.
En el eje de las absisas de un sistema de
coordenadas cartesianas, establecemos la producción de concentrado de plomo a una
escala determinada a libre albedrío.
2.
En el eje de las ordenadas se establece el
factor económico también a una escala a criterio del proyectista.
3.
Se consignan puntos de interrelación
producción – factor económico, tales como A y B, del Grafico Nº 3 – 016, los cuales
se originan trazando líneas perpendiculares a los ejes de las absisas y ordenadas para
una determinada producción y factor económico; esto es, que para 1,000 TMS que
establece un costo de US$ 5,000.00, tendremos el punto “A”, mientras que para la
producción de 1,500 TMS y un costo de US$ 6,000.00, se tendrá el punto “B”.
GRAFICO Nº 3 – 016
FE (US$)
10000
INGRESOS BRUTOS
8000
COSTO TOTAL
6000
B
AA
4000
2000
COSTO VARIABLE
COSTO FIJO
PUNTO DE
EQUILIBRIO
T(TMSM)
500
1000
1500
2000
2500
4.
Uniendo los puntos A y B, obtendremos la
perspectiva del costo total.
5.
Si se traza una recta paralela al eje de las
absisas; a partir del punto de intersección, de la recta de costo total y el eje de las
ordenadas, obtendremos el costo fijo, que en este caso es de US$ 3,000.00,
aproximadamente.
6.
El costo variable, es una recta paralela al
costo total, a partir del eje de las coordenadas.
La solución analítica, nos permite obtener los siguientes resultados:
63
a)
El costo variable unitario (CVU), se deduce como la
pendiente del costo total, que a su vez es la pendiente del costo variable, por lo cual
aplicando geometría analítica obtendremos la siguiente relación.
CV U =
US $ (6,000 −5,000 )
(1,500 −1,000 ) TMS
CVU = US$ 2.00/TMS
b)
costo total.
Para calcular el costo fijo, partimos del principio del
CT = CV + CF, que también se puede representar como:
CT = CVU (T) + CF, de donde:
CF = CT – CVU (T).
Si en esta última ecuación reemplazamos el costo total de una determinada
producción, obtendremos el costo fijo (CF).
CF = US$ 5,000.00 – (US$ 2.00/TMS) (1,000 TMS)
CF = US$ 3,000.00.
El mismo resultado se obtiene, si consideramos los otros valores, esto es:
CF = US$ 6,000.00 - (US$ 2.00/TMS) (1,500 TMS)
CF = US$ 3,000.00.
c)
concentrado será
CF U =
El costo fijo unitario (CFU), para las 1,000 TMS de
CF
, de aquí:
T
CF U =
US $ 3,000 .00
1,000 TMS
CFU = US$ 3.00/TMS
d)
fórmula establecida.
EM =
Para determinar la explotación mínima, aplicamos la
CF
PU −CV U
64
EM =
US $ 3,000 .00
US $10 .00 / TMS −US $ 2.00 / TMS
EM = 375 TMSM
e)
tendremos:
FEC =
FEC =
Aplicando la fórmula del factor económico crítico,
CF
CV U
1−
PU
US $ 3,000 .00
US $ 2.00 / TMS
1−
US $10 .00 / TMS
FEC = US$ 3,750.00
f)
Para establecer la perdida originada por producir 200
TMSM, consideramos la siguiente relación:
IN = IB – (CV + CF)
Donde:
IN = Ingresos netos.
IB = Ingresos brutos, IB = PU (T)
CV = Costo variable, CV = CVU (T), luego:
IN = PU (T) – [CVU (T) + CF]
IN = US$ 10.00/TMS (200TMS) – [US$ 2.00/TMS (200TMS) + US$ 3,000]
IN = - US$ 1,400.00.
Aplicación 3 – 021 (ley mínima explotable).
En la aplicación 3 – 019, Tenemos que el precio unitario del mineral oro es de
US$ 138.91/TMS, mientras que sus costos unitarios totales ascienden a la suma de
US$ 37.50/TM, para una ley del mineral de 6 gr/TMS. Determinar su ley mínima
explotable.
Solución:
Aplicando la fórmula establecida, tendremos:
65
Lme = Lm x
Cp
Vm
Lme = 6 gr / TM x
US $ 37 .50
US $138 .91
Lme = 1.62 gr/TMS.
Esto considera que el yacimiento minero Pierina tiene como ley mínima explotable
1.62 gr/TMS, bajo esta ley las utilidades económicas netas son iguales a cero (0), es
decir, no se establecen pérdidas ni ganancias económicas.
Aplicación 3 – 022 (ley mínima explotable).
Se desea saber cual es la ley mínima explotable de una empresa minera aurífera cuyos
costos de producción ascienden a US$ 65.00 por tonelada de mineral extraído, y su
recuperación metalúrgica es de 75 %. Asumamos que el precio del oro es de US$
926.00/onza y el precio neto pagable es de 80 % de la cotización del oro.
Solución:
Aplicando la fórmula:
Lme =
Lme =
Cp
PN x R
US $ 65 .00 / TMS
US $ 926 .00 / onz x 0.80 x 0.75
Lme = 0.12 onz/TMS. = 3.64 gr/TMS.
Nota: El producto de US$ 926.00/onz por 0.80, nos proporciona el precio neto pagable
(PN).
Aplicación 3 – 023 (Lme en yacimientos polimetálicos)
Una unidad minera de producción procesa concentrados selectivos de plomo – plata y
zinc, cuyo balance metalúrgico se observa en el Cuadro Nº 3 – 013, para el cálculo de la
Lme durante el año 2008, se consideran los siguientes precios proyectados de los
metales valorizables: oro = US$ 918.00/onz, plata = US$ 15.20/onz, plomo = US$
1.18/lb y
Zn = US$ 0.85/lb.
Los costos de producción generados son los siguientes:
Costo de minado
US$ 17.40/tc
Desarrollo y preparación
14.50
Proceso metalúrgico
13.80
66
Gastos generales
4.50
Imprevistos
5.00
TOTAL
US$ 55.20/tc
CUADRO Nº 3 – 017
BALANCE METALURGICO
P R O D U C C IO N
TCSD
% Pb
IT E M
Solución:
C abeza
3 ,0 0 0 .0 0
1.
Se realiza la valorización de los concentrados selectivos:
C onc. P b - A g
1 5 8 .2 3
1.1. Valorización del concentrado de plomo – plata.
Ca)o Valor
n c delZ mineral
n
3 5 .5 4
R e la v e
2 ,8 0 6 .2 3
Plomo :
12 .45 %
x 2,000 .00 lbs / tc x US $1.18 =
100 .00 %
US $
293 .82 / tc .
Plata: 176.27 onz/tc x US$ 15.20/onz
=
2,679.30
Oro:
=
312.12
0.34 onz/tc x US$ 918.00
Valor Bruto del Concentrado de plomo
=
US$
3,285.24/tc
=
US$
785.00/tc
=
US$
2,500.24/tc
0 .9 6
1 2 .4 5
0 .8 7
0 .1 9
b) Deducciones por maquila y castigos por
Impurezas
Valor Neto del concentrado de plomo
1.2. Determinación del valor unitario neto de cada metal en el concentrado de
plomo.
a) Se calcula la constante de valorización (K1), dividiendo el valor neto entre el
valor bruto:
67
%
1
6
K1 =
US $ 2,500 .24 / tc
US $ 3,285 .24 / tc
K1 = 0.76105
b) Se calcula el valor neto de cada elemento, del modo siguiente:
Plomo = 0.76105 x 293.82
= US$
223.58/tc
Plata = 0.76105 x 2,679.30
= US$
2,039.05/tc
Oro
= US$
237.61/tc
Valor neto del concentrado = US$
2,500.24/tc
= 0.76105 x 312.12.
c) Utilidad neta por tonelada de mineral de mina
UN =
VC N
RC
Donde:
UN = Utilidad neta del concentrado (US$/t)
VCN = Valor neto del concentrado
RC = Ratio de concentración.
Aplicando la fórmula:
UN =
US $ 2,500 .24 / tc
x 0.80
18 .96
UN = US$ 105.50/tc
0.80 viene a ser la recuperación del mineral de mina.
d) Utilidad neta por cada elemento metálico del mineral de mina.
Plomo :
Plata :
Oro :
US $ 223 .58 / tc
x 0.80 = US $ 9.43 / tc .
18 .96
US $ 2,039 .05 / tc
x 0.80 = US $ 86 .04 / tc .
18 .96
US $ 237 .61 / tc
x 0.80
18 .96
TOTAL
= US $ 10 .03 / tc .
= US$ 105.50/tc
68
1.3. Valorización del concentrado de zinc.
a) Valor del mineral
Zinc :
60 .21 %
x 2,000 .00 lbs / tc x US $ 0.85 / lb =
100 .00 %
US $
1,023 .57 / tc
Plata: 23.62 onz/tc x US$ 15.20/onz
=
359.02
Oro:
0.08 onz/tc x US$ 918.00
=
73.44
Valor Bruto del Concentrado de Zinc
=
US$
1,456.03/tc
=
US$
792.00/tc
b) Deducciones por maquila y castigos por
Impurezas
Valor Neto del concentrado de zinc =
US$
664.03/tc
1.4. Determinación del valor unitario neto de cada metal en el concentrado de zinc.
a) Se calcula la constante de valorización (K2), dividiendo el valor neto entre el
valor bruto:
K2 =
US $ 664 .03 / tc
US $ 1,456 .03 / tc
K2 = 0.45605
b) Se calcula el valor neto de cada elemento, del modo siguiente:
Zinc = 0.45605 x 1,023.57
= US$
466.80/tc
Plata = 0.45605 x 359.02
= US$
163.73/tc
Oro
= US$
33.50/tc
Valor neto del concentrado = US$
664.03/tc
= 0.45605 x
73.44
c) Utilidad neta por tonelada de mineral de mina
UN =
VC N
RC
Aplicando la fórmula:
UN =
US $ 664 .03 / tc
x 0.80
84 .40
69
UN = US$ 6.29/tc
0.80 viene a ser la recuperación del mineral de mina.
d) Utilidad neta por cada elemento metálico del mineral de mina.
Zinc :
US $ 466 .80 / tc
x 0.80 = US $ 4.42 / tc .
84 .40
Plata :
Oro :
US $ 163 .73 / tc
x 0.80 = US $ 1.55 / tc .
84 .40
US $ 33 .50 / tc
x 0.80
84 .40
TOTAL
= US $ 0.32 / tc.
= US$ 6.29/tc
1.5. Valor neto generado por cada elemento metálico.
Plomo:
US$
9.43/tc
Plata:
US$ 87.59/tc
Oro:
US$ 10.35/tc
Zn:
US$
VN
US$ 111.79/tc
4.42/tc
1.6. Cálculo de la ley mínima explotable.
Aplicando la fórmula genérica establecida tendremos.
Lme = Lm x
Cp
Vm
Lme − Pb = 0.96 x
55 .20
= 0.474 %
111 .79
Lme − Ag = 13 .72 x
Lme − Au = 0.03 x
Lme − Zn = 2.16 x
55 .20
= 6.775 onz / tc
111 .79
55 .20
= 0.0148 onz / tc
111 .79
55 .20
= 1.067 %
111 .79
Aplicación Nº 3 – 024 (Lme en yacimientos polimetálicos, utilizando equivalencias).
70
Si tiene un yacimiento minero con contenidos de zinc y plata cuyos costos totales
ascienden a US $ 90/TM minada. La recuperación metalúrgica de la plata es de 60 % y
del zinc es de
80 %. Se determina que la cotización promedio, para el año en
estudio, de la plata es de
US$ 15.20/onza y del zinc US$ 0.85/lb. El método de
tratamiento es de flotación, obteniéndose un concentrado de zinc.
Realizada la valorización del concentrado, las deducciones al contenido pagable son; de
30 % en la plata y de 45 % en el zinc, respectivamente, estas deducciones son por
maquila y penalidades al concentrado.
Contenido pagable de la plata:
Precio neto x recuperación = US$ 15.20/onza x 0.70 x 0.60 = US$ 6.384/onza.
Lo que determina que el valor de una onza de plata es de US $ 6.384
De donde deducimos que 1 $ = 0.1566 onzas de plata ….……………………….(a)
Contenido pagable del zinc:
Precio neto pagable x recuperación = US$ 0.85/lb x 0.55 x 0.80 = US$ 0.374/lb.
Lo que determina que 1 libra de zinc vale US $ 0.374.
Determinándose que 1 $ = 2.6738 lb de zinc.
1 $ = 2.6738 lb = 0.1213 % de Zn ........................................................................ (b)
Nota: Teniendo el factor de conversión de 2,204.60 lb/TM.
Igualando (a) y (b), se obtiene la equivalencia de estos dos elementos:
0.1566 onzas de plata = 0.1213 % de zinc.
Por lo tanto:
1onza Ag = 0.7746 % de zinc. ................................................................................. (c)
1 % de zinc = 1.2910 onz de plata. ............................................................................ (d)
Las equivalencias (c) y (d) permiten obtener “n” alternativas de solución de la ley
mínima explotable. Así por ejemplo puede obtenerse una ley mínima explotables
equivalente en plata y una ley mínima explotables equivalente en zinc.
Aplicando la fórmula genérica:
Lme =
Cp
PN x R
71
Lme equivalent
e −Ag =
US $ 90 .00 / TM
US $15 .20 / onz x 0.70 x 0.60
Lme equivalente – Ag = 14.10 onzas/TM.
Lme equivalent
e −Zn =
US $ 90 .00 / TM
US $ 0.85 / lb x 0.55 x 0.80 x 2,204 .6 lbs / TM
Lme equivalente – Zn = 10.92 %.
Una ley mínima explotable equivalente en plata de 14.10 onzas/TM, significa que si la
empresa explota mineral con ley de plata de más de 14.10onzas/TM, cualquier mineral
con contenido de zinc resultará económico. De manera similar, si la empresa explota
mineral de zinc de 10.92 %, cualquier mineral adicional con contenido de plata que se
explota será económico. Sin embargo, en muchos casos la empresa tiene una ley
constante de uno de los metales y quiere determinar la ley que debería tener el otro
mineral para que la explotación resulte económica. Si por ejemplo, la mina del ejemplo
tiene de plata de 7.00 onzas/TM, cual debe ser la ley mínima de zinc que debe
explotarse.
La solución será la siguiente:
Lme adicional de plata = 14.10 onz/TM – 7.00 onz/TM = 7.10 onz/TM
Utilizando la ecuación (c):
1 onz Ag
7.10 0nz Ag
Luego:
→
→
0.7746 % Zn.
X
X = 5.50 % de Zn.
De manera similar, si la empresa fija una ley de zinc de 6 %, cual debe ser la ley de
plata mínima.
Lme adicional de Zn = 10.92 % - 6 % = 4.92 % de Zn.
Utilizando la Ecuación (d):
1 % de Zn
→
4.92 % de Zn →
Luego:
1.2910 onz de Ag.
X
X = 6.35 onzas de Ag.
En consecuencia, pueden establecer las siguientes soluciones de leyes de corte:
CUADRO Nº 3 – 018
72
ALTERNATIVAS DE LEYES MINIMAS EXPLOTABLES
SOLUCIONES→
Ag (onz/TM)
Zn (%)
1
14.10
0.00
2
0.00
10.92
3
7.00
5.50
4
6.35
6.00
CAPITULO IV
DEPRECIACION, AGOTAMIENTO, AMORTIZACIÓN Y FLUJO DE CAJA
4.1.
Flujo Corporativo en la actividad minera.
La evaluación de una propiedad minera, sea este en su etapa de proyecto inicial, o de
minas que se encuentran operando, predispone el cálculo del flujo económico y/o
financiero, con la finalidad de establecer la influencia económica del proyecto minero,
el flujo conceptual se analiza del denominado flujo corporativo o empresarial, el mismo
que mediante un flujo diagramático se representa según el Grafico Nº 4 – 019.
73
GRAFICO Nº 4 – 019
FLUJO CORPORATIVO EMPRESARIAL
DIVIDENDO DE
ACCIONES
INGRESO
POR
PATENTES
PRESTAMOS
FLUJO
CORPORATIVO
INVERSIONES
CAPITAL
EQUTATIVO
CAPITAL DE TRABAJO
INGRESO
POR VENTAS
OPERACIONES
CAPITAL DE TRABAJO
COSTOS DE OPERACION
INGRESOS BRUTOS
DEDUCCIONES POR
DEPRECIACION
DEDUCCIONES POR
AGOTAMIENTO
DEDUCCIONES POR
AMORTIZACION
DEDUCCIONES
FINANCIERAS
IMPUESTOS GENERALES
UTILIDAD NETA
:
El Grafico antes mostrado nos permite realizar la siguiente interpretación:
a) El flujo corporativo, donde el aspecto corporativo viene a ser la constitución de
una empresa con la presencia de personas naturales o jurídicas, condiciona los
ingresos y egresos económico – financieros, dependiendo del tipo de actividad que
realiza; dentro de los ingresos se establecen las patentes o trabajos específicos
investigados y alcanzados, aplicables a actividades similares y los ingresos netos
generados por la operación o producción de un bien. Los egresos lo constituyen las
repartición de las acciones (dividendo de acciones) generadas, entre los accionistas
de la empresa; el capital de trabajo y las inversiones fijas. Pero, también existen
actividades económico – financieras que establecen criterios de dualidad, es decir
74
que predisponen ingresos y egresos, como son el caso de inversiones, préstamos y
capital equitativo.
b) Dentro de los egresos específicos y los que están directamente relacionados con
la actividad empresarial que se desarrolla (explotación de recursos naturales,
prestaciones de servicios, alquileres de equipos y maquinarias, etc.), encontramos el
capital de trabajo, que representan los recursos económicos necesarios para la
operación continuada de la empresa durante un determinado horizonte de operación
o producción. En el caso de un procesamiento minero a cielo abierto este monto
representará los gastos que se ocasionarían por tres meses de operaciones
ininterrumpidas, mientras que en un minado subterráneo esto representan los gastos
generados por seis meses de operaciones sin interrupciones, que se mantendrán en
forma continua durante la vida del proyecto minero.
c) Como inversiones fijas se consideran a las adquisiciones que realiza la empresa
sobre terrenos y construcciones, que se realizan con los capitales de la empresa y
que no necesariamente están destinados para un servicio de las actividades de la
empresa sino que pueden tener fines colaterales que al final de la vida de la empresa
pueda revertir el monto invertido en ellos.
d) Como se puede apreciar en el diagrama sagital el capital de trabajo predispone que
las operaciones sean físicamente realizadas y que las mismas generaran los costos
de operación, que son montos no retornables, al mismo tiempo las operaciones a
través de la venta de los minerales genera las ganancias brutas.
e) La depreciación y el agotamiento, son parámetros económicos cuya aplicación
predispone los efectos de costos por la tenencia de bienes de capital para las
operaciones de minado, y por la presencia del mineral que esta siendo explotado,
respectivamente y tiene un efecto dual sobre el flujo de caja, ya que permite en una
primera instancia absorber su condición de gasto y por otro lado su condición de
ingresos bajo montos prorrateados anualmente.
f) La amortización, por otro lado representa los pagos que se realizan por los
prestamos efectivizados por la empresa y que han sido invertidos ya sea como costo
de capital o como capital de trabajo, lo mismo sucederá con el servicio a la deuda
que son las deducciones por el financiamiento que realiza la empresa.
g) Finalmente realizados los pagos por impuestos generales, se generan las ganancias
netas que ingresan al flujo corporativo como un flujo de caja económico –
financiero.
El flujo de caja (FC) puede tener los siguientes condicionantes:
FC = Utilidad Neta + Deducciones de “libro” o “no- monetario”
FC = Utilidad Neta + depreciación + agotamiento + amortización + deducciones
diferidas.
FC = Utilidad por ventas – costo de operación – impuestos generales.
4.2. Definición y métodos de depreciación.
75
La depreciación viene a representar la pérdida económica de un bien por el paso del
tiempo. También se podría definir como el costo que se consigna por la posesión de un
bien en relación con el tiempo de su tenencia.
Por lo expuesto la depreciación generará dos valores económicos durante el horizonte
de vida del bien adquirido: a) El costo que representa la pérdida de su valor de
adquisición, y b) El valor del bien, durante su vida útil, mientras no alcance su
depreciación final. Muchos bienes, inclusive culminada su vida útil, tienen un valor
remanente denominado valor de rescate.
4.2.1. Métodos de depreciación.Los métodos más utilizados para realizar la depreciación de los bienes de capital son los
siguientes:
a) Método de la línea recta.- De acuerdo a este método, el costo básico de la
propiedad o del bien en discusión, menos su valor de rescate, es deducido en
cantidades anuales iguales sobre el periodo de vida del bien adquirido.
La depreciación anual, se determina por el producto del costo básico “C” de la
propiedad, menos el valor de rescate “L”, multiplicado por la unidad dividida entre
el número de años de vida útil del bien.
DLR/año = (C – L) x (1/n).
Este método se aplica cuando se desea realizar una depreciación a lo largo del
periodo de vida de un proyecto, con la finalidad de tener una continuidad constante
de deducciones económicas, por lo general cuando la administración se efectiviza
en forma directa sobre la operaciones de la empresa.
Ejemplo:
Un equipo minero es adquirido a un costo inicial de US $ 10,000.00, su vida
estimada es de 10 años, con un valor de rescate de US $ 3,000.00 al final de su vida
útil. Calcular la depreciación anual del bien.
DLR/año = (10,000.00 – 3,000.00) x (1/10)
DLR/año = US $ 700.00
Esto determina que al inicio del primer año el costo generado por la tenencia del
equipo será de US $ 700.00, mientras que el valor del bien será de US $ 9,300.00. El
segundo año su costo por tenencia será de US $ 1,400.00, mientras que su valor será
de US $ 8,600.00, y así sucesivamente.
b) Método de la taza simple o doble taza sobre saldo decreciente.- Este método
aplica una depreciación de “1/n” o “2/n” a una base decreciente anual, en el primer
caso es el método de la taza simple sobre saldo decreciente, y en el segundo caso la
doble taza sobre sal decreciente.
76
Para establecer la nueva base (saldo decreciente) para un determinado año, la
depreciación tomada en todos los años siguiente es sustraído del costo básico inicial
de modo que la nueva depreciación es aplicada a pequeños balances decrecientes
cada año.
Ejemplo:
Considerando el mismo ejemplo anterior, calculando la depreciación del equipo,
utilizando el método de la doble taza sobre saldo decreciente se tendrá:
CUADRO Nº 4 – 020
DEPRECIACION POR EL METODO DE DOBLE SALDO DECRECIENTE
AÑO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
RADIO DE
DEPRECIACION
2/10
2/10
2/10
2/10
2/10
2/10
2/10
2/10
2/10
2/10
BASE DE
AJUSTE
10,000.00
8,000.00
6,400.00
5,120.00
4,096.00
3,277.00
2,622.00
2,098.00
1,678.00
1,342.00
DDSD
2,000.00
1,600.00
1,280.00
1,024.00
819.00
655.00
524.00
420.00
336.00
268.00
Este método se aplica cuando se desea realizar una depreciación mayor en los
primeros años, de modo que el pago de impuestos sea menor en los primeros años.
Su aplicación se dirige generalmente cuando se realizan trabajos de corta duración,
para los propietarios de equipos de alquiler, o cuando se operan equipos por la
modalidad de “servis”.
c) Método de la suma de los dígitos de los años.- En este método se aplica un
radio de depreciación diferente cada año, para el precio inicial u otra base del bien,
reducido por su valor de rescate estimado. Por lo tanto, se aplica un radio variable
cada año a una cantidad constante. El denominador de la fracción del radio,
permanece constante y es la suma de los dígitos que representan los años de vida útil
estimados. La suma de los dígitos de los años que se ubicará en el denominador, se
calcula según la relación: n(n + 1)/2, donde “n” representa a la vida útil del bien. Por
ejemplo si n = 5 años, las suma de los dígitos será: 1 + 2 + 3+ 4 + 5 = 15, o lo que
es lo mismo aplicando la fórmulas: 5 (5 + 1)/2 = 15. El numerador será el mayor de
los dígitos de la vida útil del bien, para el primer año, y para cada año siguiente se le
irá restando una unidad, es decir si la vida útil es 5 años, el numerador para el
primer año será este valor, para el siguiente año será 4, y así sucesivamente.
Una fórmula general para el cálculo de esta depreciación para cualquier año, es la
siguiente:
77
DSD / año =
n − m +1
n
∑m
(C − L )
m =1
Donde:
DSDA
n
m
=
=
=
Depreciación de la suma de los dígitos de los años
Vida útil del bien
Los dígitos de los años de depreciación.
n
∑m
=
m =1
C
L
=
=
Suma de los números de los años desde 1 hasta “m”.
Costo u otra base depreciable.
Valor de rescate.
Ejemplo: Consignando el ejemplo anterior:
CUADRO 4 – 021
METODO DE DEPRECIACION DE LASUMA DE LOS DIGITOS DE LOS
AÑOS
AÑO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
RADIO DE DEPRECIACION
10/55
9/55
8/55
7/55
6/55
5/55
4/55
3/55
2/55
1/55
C–L
7,000.00
7,000.00
7,000.00
7,000.00
7,000.00
7,000.00
7,000.00
7,000.00
7,000.00
7,000.00
DSDA
1,272.73
1,145.45
1,018.18
890.91
763.63
636.36
509.09
381.82
254.55
127.27
Este método de depreciación se aplica cuando se desea realizar depreciaciones
mayores en los primeros años, pero, más moderadas que para el caso anterior.
4.3. Definición y métodos de agotamiento.
Este parámetro económico, representa la pérdida del valor adquisitivo de una propiedad
que explota recursos naturales no renovable. Se consideran recursos no renovables
aquellos que después de su explotación no pueden ser regenerados, dentro de los cuales
se encuentra la explotación de los minerales e hidrocarburos, y los bosques en pie con
más de 5,000 hectáreas.
Para el caso específico de la minera de yacimientos metálicos y no metálicos el valor de
adquisición se consigna, a través de los siguientes rubros:
a) Adquisición de la propiedad minera, ya sea como concesión de denuncio, compra de
la propiedad, alquiler de la propiedad u otra modalidad de tenencia.
78
b) Costos de pre – inversión, entre los cuales se encuentran las exploraciones del
yacimiento, los gastos por los estudios del proyecto desde el preliminar hasta el de
factibilidad, y labores de desarrollo en su etapa inicial.
El monto gastado en los rubros manifestados pueden ser deducidos por los métodos de
agotamiento, los cuales también generan consideraciones de costos e ingresos, tal como
se analizan en los siguientes párrafos.
Métodos de agotamiento.Para el cálculo del agotamiento se establecen dos métodos bien diferenciados, los cuales
para efectos del cálculo del flujo de caja se predisponen mutuamente excluyentes, por lo
tanto su cálculo debe ser realizado anualmente utilizando ambas metodologías, hasta la
finalización del proyecto empresarial. El valor del agotamiento que se utiliza es el
monto mayor de los calculados, ya se como costo de agotamiento o porcentaje de
agotamiento, siempre y cuando estos montos no superen el 50 % de la base imponible.
a) Método del costo de agotamiento.- Según esta metodología el agotamiento se
calcula según la fórmula:
CA / año = Base de Ajuste x
Unidades de min eral exp lotadas y vendidas en el año
Unidades de min eral remanente al inicio del año
BASE DE AJUSTE = Costo Base ± Ajustes – Agotamiento acumulado
AJUSTE (+) = Cuando se predisponen ingresos por reservas económicas
descubiertas.
AJUSTE (-) = Cuando se pierden reservas económicas por explotación ó por su
valorización negativa.
Ejemplo.El monto de adquisición de una propiedad minera es de US $ 150,000.00. Las
reservas económicas de dicho mineral son de 1 Millón de toneladas cortas secas. La
producción económica calculada es de 50,000 toneladas anuales, cuyo precio de
comercialización es de US $ 9.00/tc. Los gastos de operación y gastos generales son
de US $ 80,000.00 por año, mientras que la depreciación de los bienes adquiridos es
de US $ 20,000.00 por año. Calcular el costo de agotamiento para los dos primeros
años.
Solución:
AÑO 1 : CA = (150,000) ( 50,000 tc/ 1’000,000 tc)
CA = US $ 7,500.00
AÑO 2 : CA = (150,000 – 7500) (50,000 tc/ [1’000,000 – 50,000])
CA = US $ 7,500.00
79
b) Método de porcentaje de agotamiento.- El porcentaje de agotamiento, es un
valor porcentual especificado por el Estado Peruano, aplicable a los ingresos brutos
generados por la venta de los minerales explotados durante el año imponible de la
propiedad minera, la deducción por agotamiento bajo este método no puede exceder
del 50 % del impuesto a las utilidades de la propiedad, después de todas las
deducciones, excepto de la deducción por agotamiento.
Porcentajes de agotamiento aplicables al año 2008:
CUADRO Nº 4 – 022
PORCENTAJE DE AGOTAMIENTO – 2008.






TIPO DE YACIMIENTO
Petróleo y gas natural
Minerales sulfurados de plomo, estaño, tungsteno,
zinc, níquel, molibdeno, mercurio, vanadio,
minerales de uranio. Algunos yacimientos no
metálicos como: asbesto, mica, bauxita, etc.
Minerales de oro y sulfuros de plata, cobre y fierro
Carbón, lignito y sodio clorhídrico
Arcillas y pizarras
Grava, arena y piedra de construcción
% DE AGOTAMIENTO
22
22
15
10
7.5
5
Ejemplo
Considerando el ejemplo anterior.
Solución:
Calculamos el agotamiento para el Primer Año:
 Ingresos por venta de mineral: 50,000 tc x US $ 9.00
 Costos de operación
 Depreciación permisible
=
=
=
US $ 450,000.00
80,000.00
20,000.00
 Utilidad antes del agotamiento (base imponible)
 Limite del 50 % de Base imponible
 % de Agotamiento (22 % de Ingresos por ventas)
 Costo de Agotamiento
Utilidad antes de los impuestos
=
=
=
=
=
US $ 350,000.00
175,000.00
99,000.00
7,500.00
US $ 251,000.00
Se visualiza el monto mayor de los cálculos de agotamiento, es decir se elige entre el
valor por porcentaje de agotamiento (US $ 99,000.00) y costo de agotamiento (US $
7,500), considerándose el mayor valor de los calculados. Este valor así elegido (US $
99,000.00), se compara con el 50 % de la base imponible (US $ 175,000.00),
eligiéndose el menor valor de los establecidos, que viene a ser el agotamiento utilizado
para los efectos del cálculo del flujo de caja.
80
Ejemplo.La venta de minerales de una propiedad minera establece una utilidad bruta de
US$ 1’500,000.00, este mineral polimetálico tiene contenidos de plomo, zinc y plata.
US$ 1’000,000.00 de la utilidad es de los minerales sulfurados de plomo y zinc, y
US$ 500,000.00 de los minerales sulfurados de plata. Los costos de operación son de
US$ 700,000.00/año y la depreciación obtenible es de US $ 100,000.00/año. Determinar
el ingreso neto deducible, si las operaciones en la actualidad asumen pérdidas de
US$ 400,000.00/año durante los últimos 5 años.
Solución:
 Utilidad Bruta por ventas anuales
 Costo de operación anual
 Depreciación
=
=
=
US $ 1’500,000.00
700,.000.00
100,000.00
=
=
=
=
US $
700,000.00
350,000.00
220,000.00*
75,000.00*
 INGRESOS ANTES DE LAS PERDIDAS
 Pérdidas por operación
=
=
US $
405,000.00
400,000.00
 Ingresos imponibles
=
US $
5,000.00




Ingresos antes del agotamiento
Límite del 50 % sobre base imponible
% de Agotamiento de Pb y Zn (1 M x 0.22)
% de Agotamiento de la Ag (500,000 x 0.15)
•
Se considera la sumatoria de los dos valores señalados con asteriscos (US $
295,000.00), toda vez que no superan al límite de los 50 % (US $ 350,000.00), se le
utiliza como agotamiento.
4.4. Definición y métodos de amortización.
La amortización desde un punto de vista financiero es el proceso mediante el cual una
deuda u obligación, y los servicios de la deuda (cuota de interés) que genera, se paga
progresivamente por medio de servicios parciales. Los montos que se detallaron, pueden
realizarse a inicios de cada periodo (flujos anticipados), a fines de cada periodo (flujos
vencidos), o después de cierto plazo pactado originalmente (flujos diferidos). De cada
pago u cuota, una parte se destina a cubrir los intereses generados por la deuda y el resto
a disminuir el monto financiado (cuota de amortización).
El cálculo de la amortización de un financiamiento (préstamo) requiere de los siguientes
componentes:
 El importe de los pagos periódicos de amortización, que pueden ser uniformes o
irregulares.
 El número de pagos, cuyos plazos pueden ser uniformes o irregulares.
 La tasa de interés, que puede ser fija, variable o implícita.
 La formulación de las tablas de amortización conocidas también como cuadros de
servicio de la deuda.
81
Elementos de una tabla de amortización
Los formatos de una tabla de amortización, esta sujeta a los criterios del especialista que
lo predispone, pero en forma genérica establece los siguientes criterios:
CUADRO Nº 4 – 023
CONSIDERACIONES DE AMORTIZACION
N°
PERIODOS
O FECHAS
Indica
el
número de
periodos de
cuotas, y/o
las fechas de
vencimiento
del proceso
de pagos
CUOTA
TOTAL
Suma de la
cuota
de
interés y la
cuota
de
amortización
El servicio
puede incluir
sólo una de
las cuotas, de
acuerdo de
cómo ha sido
pactado
el
préstamo.
CUOTA DE CUOTA DE
INTERES
AMORTIZACION
Importe
Importe
devengado
calculado de
por
la acuerdo con
aplicación de el sistema de
la
taza reembolso
periódica del pactado. Al
préstamo
vencimiento
sobre
la de
cada
deuda
cuota
residual.
disminuye la
deuda
residual.
SALDO O
DEUDA
RESIDUAL
Saldo
del
préstamo
original en
un momento
determinado.
En
el
momento
cero, el saldo
es igual al
monto
recibido por
el préstamo.
DEUDA
EXTINGUIDA
Importe
acumulado
de las cuotas
de
amortización
Al
vencimiento,
la suma de
estas
será
igual
al
importe
inicial
del
préstamo.
4.4.1. Métodos de amortización
a)
Cuota constante vencida.- Para este efecto se utiliza la
fórmula de matemática financiera de anualidades con respecto a un valor presente,
que permitirá determinar las cuotas anuales constantes del préstamo realizado. La
fórmula para la determinación de las cuotas mencionadas es el siguiente:
A = Capital
financiado
x
i
1 −(1 +i ) −n
EJEMPLO N° 001.Determinar el flujo de amortización de un préstamo de US $ 10,000.00, desembolsados
el 8 de mayo, debiendo ser cancelados en siete cuotas cada fin de trimestre, con una tasa
de interés efectiva trimestral de 6 %.
Solución:
CUADRO Nº 4 – 024
METODO DE AMORTIZACION DE LA CUOTA CONSTANTE VENCIDA
82
SOLUCION DEL EJEMPLO N° 001
DETERMINACIÓN DE LA CUOTA CONSTANT
FORMULA ESPECIFICA:A= CAPITAL FINANCIA
CALCULO DE A:
1,791.35 US $
FECHAS
N° DIAS
PERIODO (n)
(1) C
CONS
MAYO
08
0
b)
Cuotas constantes en periodos variables
Cuando
JUNun préstamo
04 debe amortizarse con
90cuotas constantes que vencen
1 en periodos
1,79
variables de tiempo, dichas cuotas no constituyen una anualidad, porque los periodos de
pago
no son04
uniformes, en estos casos sin
SET
90embargo, también es posible2obtener rentas
1,79
constantes en periodos variables. El procedimiento a seguir consiste en.
DIC
03Fijar las fechas de vencimiento
90 de cada cuota y establecer
3 los días que
1,79

median entre los vencimientos de cada una de ellas.
MAR
03
90de una cuota de US $ 1.00, 4utilizando el factor
1,79

Hallar el valor actualizado
simple de actualización con una tasa periódica.
JUN
1 La suma de los importes90
1,79

de cada cuota de US $ 1.005traída al presente
constituye el factor de actualización con rentas de periodo variable (FA), cuya
ÁGO
6
1,79
inversa es30
el factor de capitalización90
para las mismas (FC).

Obtenido el FC, éste se multiplica por el importe del préstamo para hallar
NOV
28
90
7
1,79
la cuota constante.
Ejemplo
Nº 002
TOTAL
630
12,5
(1) -la cuota
Se fijaobtine
Fórmula
(a)
Calcule
y prepare laaplicando
tabla referencial parala
préstamos
de US $ 10,000.00
desembolsado el 10 de Julio, amortizable en cuatro cuotas uniformes con vencimientos
cada
trimestre
(el 10 del último
mes INTERES
de cada trimestre), a una
tasa
de interés efectiva
(2)
CUOTA
DE
=
SALDO
ANTERIOR
n
trimestral de 6 %.
(3) - AMORTIZACION = CUOTA CONSTANTE
Solución:
(4) - SALDO =CUADRO
SALDO
ANTERIOR(4)
n-1 - AMORTI
Nº 4 – 025
METODO DE AMORTIZACION DE CUOTAS CONSTANTES
EN PERIODOS VARIABLE
(5) - DEUDA EXTINGUIDA = DEUDA EXTINGU
83
SOLUCION DEL EJEMPLO N° 002
a) CALCULO DE LOS PERIODOS DE
DETALLE
FECHA
DESEMBOLSO
1 VENCIMIENTO
2 VENCIMIENTO
3 VENCIMIENTO
4 VENCIMIENTO
JUL 10
OCT 10
ENE 10
ABR 10
JUL 10
CUADRO Nº 4 – 026
EFE
FLUJO DE AMORTIZACION
FECHA
DIAS
PERIODO (n
JUL 10
0
b) ACTUALIZACION
DE LAS CUOTA
OCT 10
92
1
FA
FORMULA
GENERICA:
ENE 10
92
2 =
c)
cuotas constantes anticipadas
ABR 10
3
Donde:
FA = Factor90de Actualización,
JUL 10
91
4
TOTAL PA = Periodo acumulado,
FA O=
ESPECIFICA:
(1) FORMULA
- CUOTA CONSTANTE
= PRESTAMO
(2) - CUOTA DE INTERES = SALDO ANTER
Lu
(3)CALCULO
- AMORTIZACION
= CUOTA CONSTANT
DEL FC:
FC =
Ejemplo Nº 003
(4) - SALDO = SALDO ANTERIOR(4) n-1 - AM
Lu
CALCULO DE LA CUOTA FIJA PAR
Las cuotas constantes anticipadas en los sistemas de amortización de préstamos,
permiten que la entidad financiera efectué un menor desembolso al efectivamente
solicitado por el prestatario. Esto se debe a que el desembolso y el vencimiento de la
primera cuota son coincidentes pues ocurren en el momento cero.
Para el cálculo de la cuota constante anticipada se recurren a las fórmulas de matemática
financiera de anualidades anticipadas:
Aa (1 + i) = F [ i /{(1 + i)n - 1}] ............................ (b)
Aa (1 + i) = P [ i / {1 – (1 + i)-n}] ........................... (c)
84
Calculara el flujo de desembolso de amortización para un préstamo de US $ 10,000.00
otorgado el 10 de Julio, para amortizarse en cinco cuotas uniformes trimestrales
anticipadas, a una tasa de interés efectiva trimestral de 6 %.
Solución
CUADRO Nº 4 – 027
METODO DE AMORTIZACION DE CUOTAS CONSTANTES ANTICIPADAS
a) DETERMINACION DE LAS CUOTAS ANTICIPAD
FORMULA GENERICA: Aa (1 + i) = P [ i / {1 FORMULA ESPECIFICA: Aa (1 + 0.06) = 10000
Luego Aa(1.06) =
Aa =
b) FLUJO DE DESEMBOLSOS:
d)
Cuotas constantes diferidas
FECHA
DIAS
PERIODO (n)
En este método, el prestatario no paga interés ni capital durante los periodos diferidos,
capitalizándose el interés del préstamo al vencimiento de la cuota diferida. Al término
de los periodos diferidos, el principal capitalizado servirá como base para calcular la
cuota fija, considerando sólo el número de cuotas que restan en el horizonte temporal
pactado.
(
CO
JUL 10
0
0
JUL10
0
0
La cuota diferida puede ser vencida o anticipada, para su cálculo se utilizan las
ecuaciones
de las 08
matemáticas financieras siguientes:
OCT
90
1
Para anualidades
diferidas vencidas simples:
ENE 06
90
2
i 90
ABRA06
3
= P (1 +i ) x
.............................................. (d)
[1 −(1 +i ) ]
JUL 05
90
4
Para anualidades diferidas anticipadas simples:
TOTAL
1
i
A = P (1 +i )
x
......................................... (e)
[1 −(1 +i ) ]
(1) - CUOTA CONSTANTE
= Obtenida usando la F
Donde:
(2) - CUOTA
DE INTERES = SALDO ANTERIOR(4
A = Anualidades diferidas simples.
P = Monto financiado o préstamo realizado.
(3) - AMORTIZACION
i = Tasa de interés periódica. = CUOTA CONSTANTE(1) (4) - SALDO = SALDO ANTERIOR(4)n-1 - AMORT
k
−n
( k −1)
−n
85
n = Períodos de amortización
k = Periodos diferidos.
Ejemplo Nº 004.
Determinar el flujo de amortizaciones para el financiamiento realizado por una empresa
minera, con un capital de US $ 10,000.00, que deben ser pagados en cuatro cuotas
constantes cada fin de trimestre. Se considera un periodo diferido y una tasa de interés
efectiva trimestral de 6 %.
Solución:
CUADRO Nº 4 – 028
METODO DE AMORTIZACION DE CUOTAS CONSTANTES DIFERIDAS
a) DETERMINACION DE LAS CUOTAS ANTICIP
Aa = P (
FORMULA GENERICA:
Aa = 10
FORMULA ESPECIFICA:
b) FLUJO DE DESEMBOLSOS:
(1) CUOTA
(2) CU
(n)
e) PERIODO Amortización
constante.
CONSTANTE
INT
En éste método la amortización se calcula dividiendo
el capital de financiamiento o
préstamo entre el número de periodos en el que se producirá el servicio de la deuda o la
cuota de interés, que será
0 decreciente aritméticamente.
1
0
2
3,059.07
63
Ejemplo Nº 005
3
3,059.07
49
Determine el flujo económico de un préstamo de US $ 10,000.00 otorgado el 09 de
3,059.07
33
septiembre, el mismo4que debe ser reembolsado en cinco
cuotas trimestrales vencidas
con amortizaciones constantes, a una tasa de interés efectiva del 6 % trimestral.
5
3,059.07
17
Solución
TOTAL CUADRO Nº 3 – 02912,236.28
1,6
(1) - CUOTA CONSTANTE = Obtenida usando la
(2) - CUOTA DE INTERES
= SALDO ANTERIOR
86
trimestre sobre un monto igual al valor del p
METODO DE AMORTIZACION CONSTANTE
a) CALCULO DE LA AMORTIZACION CONSTAN
FORMULA GENERICA:
AMORTIZACION C
FORMULA ESPECIFICA:
AMORTIZACION C
AMORTIZACION C
b) FLUJO DE DESEMBOLSOS:
f)
Interés constante.
En este método, los pagos al periodo de vencimiento, incluyen solo la cuota del interés
devengado por el saldo, permaneciendo la deuda original sin variaciones hasta el
vencimiento de la última cuota, la cual incluye, la cuota del interés generado en el
último periodo, y la devolución del préstamo. Este método generalmente lo utilizan que
emiten bonos, las cuales únicamente pagan un interés denominado “cupón” durante la
vida útil del bono, devolviendo el capital en la fecha de vencimiento de la obligación.
FECHA
DIAS
PERIODO (n)
SET 09
0
DIC 08
90
1
Ejemplo Nº 006.
MAR 08
90
2
Detallar la tabulación del reembolso de un préstamo de US $ 10,000.00 otorgados el 9
de septiembre, el mismo que debe ser completamente pagado en cinco trimestres con
JUN
3a
una taza de
interés 06
efectiva de 6 % trimestral,90
pagándose los intereses devengados
fines de cada trimestre.
SET 04
90
4
DIC 03
90
5
TOTAL
450
(1) - CUOTA DE PAGO = CUOTA DE INTERES(
(2) - CUOTA DE INTERES = SALDO ANTERIOR
(3) - AMORTIZACION = MONTO FINANCIADO/P
Solución.
Nº 4 – 030
(4) - SALDO = CUADRO
SALDO
ANTERIOR(4)n-1 - AMOR
METODO DE AMORTIZACION DE INTERES CONSTANTE
87
FECHA
DIAS
PERIODO (n)
SEP 09
0
DIC 08
90
1
MAR 08
90
2
4.5. Flujo de caja.
JUN 06
90
3
El flujo de SEP
caja en un 04
proyecto es un estado de cuenta
que resume las entradas y salidas 4
90
económicas, a lo largo de la vida útil del proyecto, por lo que permite determinar la
rentabilidad de la inversión.
DIC 03
90
5
4.5.1. Clasificación de flujo de caja.
TOTAL
450
Bajo una conceptualización operativa el flujo de caja pueden diversificarse en tres tipos,
(1)
- CUOTA
DE PAGO
= CUOTA DE INTERES(
que
gráficamente
se pueden predisponer
del modo siguiente:
(2) - CUOTA DE
INTERES
= SALDO ANTERIOR
GRAFICO
Nº 4 – 031
(3) - AMORTIZACION
= 0,
PARA n = 1, 2, 3, 4
CLASIFICACION DEL FLUJO
DE CAJA
AMORTIZACION = 10,000.00,
PARA n =
Evaluación
Flujo de
Evaluación
económica
(4)
Inversión
- SALDO
y
= SALDO ANTERIOR(4)n-1
- AMO
financiera
liquidación
FLUJO DE CAJA
ECONOMICO
Flujo de caja
económico
operativo
FLUJO DE CAJA
FINANCIERO O
TOTAL
FLUJO DE
FINANCIAMIENTO
NETO
Evaluación de la
fuente de
financiamiento
a) Flujo de Caja Económico.- Es aquel que permite hallar la rentabilidad económica
del proyecto, donde dejan de ser considerados los efectos financieros, lo cual
predispone que el proyecto será financiado enteramente por el capital propio del
inversionista.
88
Este tipo de flujo se establece a través del flujo de inversión y liquidación, y el flujo de
caja económico operativo.
En el flujo de inversión y liquidación, se consideran todos los costos de inversión
necesarios para el funcionamiento de la empresa y sus respectivos valores de
liquidación; dentro de este flujo se considera:
 Adquisición de activos y sus liquidaciones (valor de rescate).
 Gastos pre-operativos.
 Capital de trabajo.
b) Flujo de Financiamiento Neto.- Que considera los efectos producidos por el
financiamiento de la inversión con capitales externos en su totalidad o parcialmente, los
cuales son derivados en calidad de préstamos.
Este tipo de flujo lo constituyen los siguientes rubros que deben ser adecuadamente
canalizados:
 El desembolso del capital principal (que se consigna al momento de recibir el
crédito).
 La amortización de la deuda.
 Las cuotas de interés o gastos financieros asociados.
 El escudo fiscal o escudo tributario.
c) Flujo de Caja Financiero.- Que queda establecido por el flujo económico y por flujo
de financiamiento neto, que es el que finalmente debe evaluarse para decidir si la
inversión en el proyecto es o no rentable.
CUADRO Nº 4 - 032
ESTRUCTURA DEL FLUJO DE CAJA:
El flujo de caja económico - financiera, predispone la siguiente estructura:
PERIODO
Comprende el tiempo de vida útil en el cual se desarrollará el
proyecto de inversión establecido, generalmente establecido en
años calendario, para el caso específico de la minería.
RUBRO
INGRESOS BRUTO
COSTOS DE
OPERACIÓN Y
ADMINSITRACION
CUOTA DE
INTERES O
Son aquellos montos económicos determinados por la venta de
los minerales, que son obtenidos por la comercialización de los
productos asequibles al mercado (concentrados o metales).
Representa el monto que la empresa invierte para obtener un
producto determinado, donde se encuentran establecidos los
costos de operación, gastos administrativos, gastos por ventas,
etc. dejando de lado los costos tributarios.
Son los montos considerados por el financiamiento del proyecto
sean estos de fuentes internas o externas, en el caso de que la
89
SERVICIO A LA
DEUDA
INGRESOS ANTES
DE LA
DEPRECIACIÓN
DEPRECIACION
INGRESOS ANTES
DEL
AGOTAM
IENTO
empresa realice estas inversiones sin considerar los intereses
correspondientes este valor será igual a cero.
Es el monto que se genera por deducir del ingreso bruto los
costos de operación y administración, y el servicio a la deuda
Son los montos económicos que se calculan por medio de
cualquiera de los métodos establecidos para este fin, y sobre
todos los bienes que condicionan el efecto de depreciación.
Se determina por la deducción de los dos rubros anteriores.
AGOTAMIENTO
El monto establecido por este rubro debe ser cuidadosamente
establecido, calculándose el costo de agotamiento y el porcentaje
de agotamiento, que son mutuamente excluyentes, es decir sólo
se tomo en consideración uno de ellos, en todo caso el de mayor
valor, per, aún más este valor así calculado no debe sobrepasar
del 50 % del monto de ingreso antes del agotamiento, si esto
sucede se considera este último valor.
INGRESOS
Se determina por la deducción de los dos rubros anteriores.
TAZABL
ES
Son los montos deducibles condicionados por los gobiernos
locales, regionales y/o nacionales propios de cada país.
IMPUESTOS
INGRESOS NETOS
DEPRECIACION
AGOTAMIENTO
FLUJO ECONOMICO
AMORTIZACIÓN
FLUJO FINANCIERO
Se determina por la deducción de los dos rubros anteriores.
Son los montos antes deducidos por este rubro que ingresarán
como efectos de tenencia de los bienes adquiridos.
Son los montos antes deducidos por este rubro que ingresarán
como efectos de tenencia de la propiedad.
Determinado por los tres rubros anteriores y que vendría a
determinar el valor de la propiedad tanto en efectos monetarios
como de activos fijos (bienes y propiedades).
Representa el pago de una inversión o préstamo obtenido por el
proyecto.
Se determina por la deducción de los dos rubros anteriores, y es
el monto que permitirá establecer la conveniencia de realizar o
no un proyecto.
90
4.6. Aplicaciones a la minería.
Aplicación Nº 4 - 025
Un yacimiento polimetálico de plomo y zinc, ha sido estudiado completamente,
habiéndose realizado una pre-inversión de US $200,000.00, los cuales han sido
invertidos en la adquisición de la propiedad minera, en exploraciones sistemáticas y en
los estudios minero – metalúrgicos que han posibilitado la determinación de su
factibilidad, las reservas de mineral obtenidas son del orden de 50,000 TMH.
En la actualidad se requiere una inversión de US $140,000.00, los cuales se distribuyen
del modo siguiente:
 US $80,000.00, para la infraestructura y equipamiento minero metalúrgico de la
mina, sobre el cual se realizarán las depreciaciones utilizando el método del Balance
Doble Decreciente, a lo largo de la vida útil del proyecto.
 US $ 20,000.00, son para la adquisición de terrenos para la infraestructura de la
planta concentradora y de la cancha de relaves los cuales se consideran no
depreciables.
 US $ 40,000.00, son considerados como capital de trabajo para un proceso
continuado del proyecto minero- metalúrgico.
La empresa minera cuenta en la actualidad con un capital disponible de inversión de US
$20,000.00, el remanente debe ser financiado con un interés compuesto anual de 10 %,
los mismos que deben ser cancelados a lo largo de la vida útil del proyecto.
Se ha establecido una producción anual uniforme de 10,000 TMH, con un precio
proyectado promedio de US $ 20.00/TMH, mientras que los costos de operación, gastos
generales y de comercialización anuales son de US $ 110,000.00 y los impuestos
generados por la producción son del 50 % sobre los ingresos tasables.
SOLUCIÓN:
1. Determinación de la vida útil del proyecto.
VU = Reservas o Inventario de Mineral / Producción anual
VU = 50,000 / 10,000
VU = 5 años.
91
2. Determinación de la Depreciación.AÑO
1
2
3
4
5
RANGO DE
BASE DE
DEPRECIACION
ANUAL
0.4
800
0.4
480
0.4
288
0.4
172
0.4
103
3. La amortización del Prestamo se establ
1
2
PRESTAMO
ANUAL (US $)
120,000.00
96,000.00
72,000.00
48,000.00
24,000.00
2 - 4
AÑO
1
2
3
4
5
4. FLUJO DE CAJA
92
AÑOS
1
SERVIC
DEUDA
12,0
9,60
7,20
4,80
2,40
36,0
CAPITULO V
VALUACION DE PROPIEDADES MINERAS
5.1. Conceptos básicos para la valorización de propiedades mineras.
Las propiedades mineras, como se detalló anteriormente, son empresas que se
predisponen para la generación de beneficios económicos, estableciendo
consideraciones sociales bajo los lineamientos de su predisposición empresarial.
Por lo manifestado las empresas mineras sustentarán sus valores de propiedad en las
consideraciones de ingresos y egresos económicos.
5.2. Metodologías genéricas aplicadas a la valorización de empresas.
En forma genérica, la mayoría de autores establecen que los métodos de valorización de
propiedades empresariales se pueden clasificar en seis grupos, los cuales se sintetizan en
el siguiente cuadro:
CUADRO Nº 5 - 033
PRINCIPALES METODOS DE VALUACION DE EMPRESAS
BALANCE
CUENTA DE
RESULTADOS
MIXTOX
(GOODWILL)
DESCUENTO
DE FLUJOS
Clásico
Unión de expertos
contables europeos
Free cash flow
Cash flow
acciones
Valor contable
Valor contable
ajustado
Valor de
liquidación
Múltiplos
Valor sustancial
P/EBITA
Renta abreviada
Capital Cash
flow
Otros
múltiplos
Otros
APV
PER
Ventas
Dividendos
CREACIO
N DE
VALOR
EVA
Beneficio
económico
Cash value
added
CFROI
OPCIONES
Black y Acholes
Opción de
invertir
Ampliar el
proyecto
Aplazar la
inversión
Usos alternativos
Dentro de la actividad minera, los de mayor uso son los métodos de balance y el de
descuento reflujos, en el presente tratado presentaremos enfoque generales sobre ambos
métodos.
5.2.1. Métodos basados en el balance.
Esto esta referido al valor patrimonial de la empresa. Por lo que se proporciona el
valor de la propiedad desde un punto de vista estático, por lo que no se tiene en cuenta
la posible evolución futura de la empresa, el valor temporal del dinero, ni otros factores
como son: la situación del sector, problemas de recursos humanos, de organización,
contratos, etc. que no se ven reflejados en los estados contables.
93
a) Valor contable.
El valor contable, o valor en libros, o patrimonio neto de la empresa, es aquel valor de
recursos propios que se sustentan en el balance general de la empresa y que se
denominan capital y reservas, o también patrimonio empresarial.
En el siguiente cuadro observamos el balance general y cuenta de resultados de una
mina hipotética.
CUADRO Nº 5 – 034
BALANCE GENERAL Y CUENTA DE RESULTADOS (MILLONES DE
DOLARES)
ACTIVO
Tesorería
Deudores
Inventario
Activos fijos
Total Activo
5.00
10.00
45.00
100.0
0
160.0
0
PASIVO
Proveedores
Deuda bancaria
Deuda a L. plazo
Capital y reserva
Total Pasivo
40.00
10.00
30.00
80.00
Ventas
Costo de ventas
Gastos Generales
Intereses
Beneficio antes de
los impuestos
160.0 Impuesto (35%)
0
Beneficio Neto
300.00
136.00
120.00
4.00
40.00
14.00
26.00
Como se puede deducir del pasivo contable de la empresa, el valor contable o valor en
libro de las acciones (capital más reservas) es de 80 millones de dólares, que también
representa la diferencia entre el activo total y el pasivo exigible (proveedores, deuda
bancaria y la deuda a largo plazo), es decir: 160 – (40+10+30) = 80 millones de dólares.
Por lo que se deduce que el valor de la empresa bajo esta metodología es de 80 millones
de dólares.
b) Valor contable ajustado
El patrimonio neto ajustado o valor contable ajustado, se produce cuando los valores de
los activos y pasivos de la empresa se ajustan a su valor demarcado. Para este efecto es
necesario analizar algunas partidas del balance general empresarial de un modo
individual, de manera que este se ajuste a su valor de mercado. Por ejemplo, podemos
considerar:

Dentro de los deudores se incluye 2 millones de dólares, que son deudas
incobrables, por lo que esta partida bajo consideraciones reales debe figurar con un
valor de 8 millones de dólares..

Los inventarios, después de descontar partidas obsoletas sin valor y de
revalorizar los restantes a su valor de mercado, representa un total de 52 millones de
dólares.

Los activos fijos, constituidos por terrenos, edificaciones y maquinarias,
según una nueva tasación, tiene un valor de 150 millones de dólares.

El valor contable de las deudas a proveedores, bancos y a largo plazo es
igual a su valor de mercado, el balance ajustado se muestra en el cuadro siguiente:
94
CUADRO Nº 5 – 035
BALANCE GENERAL AJUSTADO (MILLONES DE DOLARES)
ACTIVO
Tesorería
Deudores
Inventarios
Activos fijos
Total Activo
5.00
8.00
52.00
150.00
215.00
PASIVO
Proveedores
Deuda bancaria
Deuda a largo plazo
Capital y reservas
Total Pasivo
40.00
10.00
30.00
135.00
215.00
El valor contable ajustado es de 135 millones de dólares, que representa al capital y
reservas de la empresa, o también se obtiene de la sustracción del activo total (US$ 215
millones) y del pasivo exigible (US$ 80 millones). Bajo estas consideraciones el valor
de la empresa es de 135 millones de dólares.
c) Valor de liquidación.
Es el valor de la empresa en el caso que se proceda a su liquidación, esto es, que se
vendan sus activos y se cancelen sus deudas. Este valor se calcula deduciendo del
patrimonio neto ajustable los gastos de liquidación de la empresa que están
representados por la indemnización a los empleados, gastos fiscales y los otros gastos
propios de la liquidación.
En caso del ejemplo seguido, si los gastos de liquidación fuesen de 60 millones de
dólares, el valor de liquidación de la empresa será de 135 – 60 = 75 millones de dólares.
d) Valor substancial.
El valor substancial representa la inversión que debería efectuarse para constituir una
empresa en idénticas condiciones a la que se esta valorando. También podemos
definirlo como el valor de reposición de los activos, bajo el supuesto de continuidad de
la empresa por oposición al valor de liquidación. Normalmente no se incluyen en el
valor substancial aquellos bienes que no sirven para la explotación, como es el caso de
terrenos no utilizados, participación en otras empresas, etc.
Se suelen presentar tres clases de valor substancial:
 Valor substancial bruto: Es el valor del activo a precio de mercado, en el caso
del ejemplo que se sigue, este valor es de 215 millones de dólares (Ver Cuadro Nº 5
– 031).
 Valor substancial neto o activo neto corregido: Es el valor substancial bruto
menos el pasivo exigible, también conocido como patrimonio neto ajustado, que en
el caso del ejemplo que se sigue es de 135 millones de dólares.
 Valor substancial bruto reducido: Es el valor substancial bruto, menos el
valor de la deuda sin costos de financiamiento. En el ejemplo que se sigue,
tendremos: 215 – 40 = 175 millones de dólares. Los 40 millones de dólares
corresponden a los proveedores.
95
5.2.2. Métodos basados en el descuento de flujo de fondos.
Mediante estos métodos se determina el valor de la empresa o valuación de la propiedad
empresarial, a través de la estimación de los flujos de dinero o flujos de caja (cash
flow), preestablecidos para un futuro a lo largo de la vida útil de la empresa, para luego
trasladarlo al momento actual, utilizando una tasa de descuento propia de cada actividad
empresarial.
En forma genérica, los diferentes métodos de flujo de fondos o flujo de caja, aplican la
siguiente fórmula, similar a la fórmula del valor presente, antes expuesta en el presente
tratado.
VP =
FF 3
FF n +VR n
FF 1
FF 2
FF 4
+
+
+
+ +
2
3
4
1 +i
(1 +i )
(1 +i )
(1 +i )
(1 +i ) n
Donde:
FFn = Flujo de fondos generados en el periodo n.
n
= Periodos de tiempo, n = 1, 2, 3, ……. N.
i
= Tasa de descuento propia de cada actividad empresarial.
VRn = Valor residual o valor de rescate de los bienes de la empresa,
El valor de mayor dificultad de determinación en los diferentes flujos de fondos o flujos
de caja, es la tasa de descuento apropiado para cada flujo, en el Cuadro Nº 5 -32, se
establecen las diferentes tasas de descuento para cada flujo establecido.
CUADRO Nº 5 – 036
FLUJO DE FONDO FRENTE A LATASA DE DESCUENTO.
TIPO DE FLUJO DE FONDOS
CFd. Flujo de fondos disponible para la
deuda
FCF. Flujo de Fondos Libre (Free cash
Flow)
CFac. Flujo de fondos disponible para los
accionistas
CCF. Capital Cash Flow
TASA DE DESCUENTO ADECUADA
id. Rentabilidad o tasa exigida a la deuda.
WACC. Costo ponderado de los recursos
(deuda y acciones)
ie. Rentabilidad o tasa exigida a los
accionistas.
WACC. antes de los impuestos.
Para obtener mayor amplitud de determinación de flujos y entender adecuadamente las
tasas de descuento, establecemos el siguiente cuadro que nos permite visualizar en
forma simplificada la diferencia entre el balance general y el balance financiero.
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CUADRO Nº 5 – 037
BALANCE GENERAL Y BALANCE FINANCIERO DE UNA EMPRESA
BALANCE GENERAL
ACTIVO
PASIV
Tesorería
Proveed
Deudores
a) Free cash flow.
Deuda Finan
corto pl
Traducido como flujo de fondos libres, es aquel flujo operativo, generado por las
operaciones que se realizan en la empresa, sin tener en cuenta las consideraciones de
endeudamiento, pero después del pago de los impuestos. Es el monto económico que
quedaría disponible en la empresa después de haber cubierto las necesidades de
reinversión en activos fijos y en necesidades operativas de fondo, bajo las
consideraciones de ausencia de deudas y por lo tanto no existen cargas financieras.
Predispongamos de una empresa que considera el siguiente flujo económico:
Inventario
NOF
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Deuda Finan
largo pl
Recurs
CUADRO Nº 5 – 038
CUENTA DE RESULTADOS DE LAEMPRESA (MILLONES DE DOLARES)
PERIODO
ITEM
Ventas
Costo de productos vendidos
Gastos Generales
Amortización
Beneficios antes de intereses e imp
Pagos de intereses PERIODO
ITEM
Beneficios antes de impuestos (BA
Beneficios
antes
Impuestos (30
%) de intereses e imp
Impuestos
sobre(BDT)
el BAIT (30 %)
Beneficio Neto
Beneficios
Netos
de
la
Empresa
sin
Dividendos
(+)
Amortización
Beneficios
Retenidos
(-) Incremento de activos fijos
(-) Incremento de NOF
Free Cash Flow
Para la obtención del free cash flow, se consideran los siguientes rubros económicos.
CUADRO Nº 5 -039
FLUJO DE FONDOS LIBRES DE LA EMPRESA (MILLONES DE DOLARES)
Para calcular el valor de la empresa mediante este método, se recurre a la actualización
de los Free Cash Flor periódicos, para lo cual se utiliza el WACC, es decir la tasa de
interés promedio ponderado de los recursos, cuya fórmula general es la siguiente.
WACC
=
E x ic + D x id (1 −T )
E´+D
Donde:
WACC = Costo promedio ponderado del capital o recursos (Weighted average costo of
capital).
E = Valor de mercado de las acciones.
D = Valor de mercado de la deuda.
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ic = Rentabilidad exigida a las acciones.
id = Rentabilidad exigida a la deuda.
T = Tasa impositiva.
Para propiedades mineras en WACC es de 18 % en el mercado internacional.
Aplicando la fórmula, para el caso en discusión tendremos::
VP =
FF 3
FF n +VR n
FF 1
FF 2
FF 4
+
+
+
+ +
2
3
4
1 +i
(1 +i )
(1 +i )
(1 +i )
(1 +i ) n
VP =
135
145
162
+
+
2
1 +0.18
(1 +0.18 )
(1 +0.18 ) 3
VP = 317.14 millones de dólares
Lo cual determina que el valor actual de la empresa es de 317.14 millones de dólares.
b) Cash Flow disponible para las acciones.
El flujo de fondos disponibles para las acciones (CFac.), se calcula restando al flujo de
fondos libre, los pagos de principal e intereses (después de impuestos) que se realiza en
cada periodo a los poseedores de la deuda y sumando las aportaciones de nueva deuda.
En forma resumida sería:
CFac = FCF – [intereses pagados x (1 – T)] – pagos principal + nueva deuda.
c) Capital Cash Flow.
Se denomina así a la suma del cash flow para los acciones más cash flow para
losposeedores de deuda.
CCF = CFac + CFd
5.3. Valorización de propiedades mineras en proyecto.
En proyectos mineros, esto es determinada las reservas de mineral utilizando las
metodologías correspondientes, ya sea para operaciones subterráneas o minado
superficial, el valor considerativo corresponderá a las reservas probadas de mineral y a
las labores mineras de exploración desarrolladas; así como los equipos adquiridos por la
empresa para la ejecución de las labores de exploración, sobre las cuales se pueden
aplicar cualquiera de las metodologías de valorización o valuación de propiedades
mineras.
5.4. Valorización de propiedades mineras en operación.
99
En yacimientos mineros en explotación, los inventarios mineros estarán dentro de la
capitalización para los cálculos de valorización correspondientes, también se deben
considerar los bienes de capital de la empresa, así como la determinación de los costos
de producción. Los flujos económicos establecidos permitirá la determinación del valor
de la empresa, para lo cual se aplicará cualquiera de los métodos antes citados.
5.5.
Aplicaciones a la minería.
En el caso de la Aplicación 4 – 25, establecemos que el WACC del capital cash flow, es
de 15%, si al flujo económico de la empresa le determinamos su valor actual neto,
obtenemos el valor de la propiedad minera en operación, el mismo que es de US$
80,009.72.
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BIBLIOGRAFIA.
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Centro de Estudios Financieros, España.
2. CESAR, ACHING GUZMAN, 2006, Matemáticas financieras para toma
de decisiones empresariales, Lima, Perú,
Edición electrónica.: www.eumed.net/libros/2006b/cag3/,
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Minado, FIMGM – UNASAM, Huaraz, Ancash, Perú.
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México, S. A. de C. V. México.
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USA.
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