MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 7-02-2001.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 40‘
Elegir dos de las tres preguntas:
1. Velocidad de sucesión del Centro Instantáneo de Rotación.
2. Aceleración del Centro Instantáneo de Rotación.
3. Ecuación de la Catenaria y propiedades.
Nota: Es necesario puntuar en las dos preguntas elegidas para aprobar el ejercicio.
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 7-02-2001.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 35‘
Un Aro 1 gira sobre un eje fijo e1 que pasa por su centro con velocidad angular ω
constante. Un Aro 2 gira alrededor del diámetro e2 del Aro 1, perpendicular al eje e1,
con velocidad angular relativa de módulo constante ω tal y como muestra la figura. Una
masa M se desliza con velocidad relativa de módulo constante V a lo largo del diámetro
del Aro 2 perpendicular al eje e2.
En el instante en el que el ángulo θ vale 90º la masa M se encuentra en el centro de
ambos aros.
1.
2.
3.
4.
Velocidad angular absoluta del Aro 2, y velocidad absoluta de la masa M. (2 puntos)
Eje instantáneo de rotación y deslizamiento del sólido 2. (2 puntos)
Aceleración angular absoluta del Aro 2. (3 puntos)
Aceleración absoluta de la masa M. (3 puntos)
e1
M
v
ω
θ
2
e2
1
ω
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 7-02-2001.
TERCER EJERCICIO TIEMPO: 30‘
El mecanismo de la figura está formado por un disco de radio L/2 que rueda sin deslizar
por un suelo horizontal, una barra AB de longitud total 3L articulada en el centro del
disco y en una deslizadera que se mueve por la vertical, y una barra de longitud L que
esta articulada a otra deslizadera en la vertical y a la barra anterior tal y como se indica
en la figura.
Obtener las curvas polares fija y móvil de la barra CD.
B
ϕ
L
Y
L
D
C
O
2L
A
X
L/2
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 7-02-2001.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 50‘
Un disco de radio R rueda sin deslizar sobre el suelo horizontal con una velocidad
R
angular constante ω en sentido horario. En un punto situado a
del centro del disco
3
está articulado el extremo C de una barra CB de longitud 2R unida a su vez en B a otra
barra AB de la misma longitud mediante una articulación plana. Determinar en el
instante representado en la figura:
1. Aceleración angular absoluta de las barras AB y BC. (4 puntos)
2. Aceleración relativa del centro del disco respecto de la barra AB. (4 puntos)
3. Aceleración absoluta del punto D del disco. (2 puntos)
ω
C
O
A
D
30º
B
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 7-02-2001.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 30‘
Dos discos de masa despreciable y radio R están unidos mediante un cable de longitud
Mg
2R y peso por unidad de longitud de valor q =
. Si en la periferia de los discos se
2R
colocan sendas masas puntuales de valor M, la posición indicada en la figura es de
equilibrio.
Se pide:
1.- A qué distancia del suelo queda el punto más bajo del cable.
(5 puntos)
2.- Valor mínimo del coeficiente de rozamiento necesario entre disco y suelo.
(5 puntos)
R
R
M
M
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 7-02-2001.
SOLUCIONES
2.
→
→
→
→
Ω = ω e1 + ω e 2
2/
x=y
z=0
3/
α = ω2 e 3
4/
→
→
→
a M = 2⎛⎜ − ωV e1 + ωV e 2 ⎞⎟
⎝
⎠
→
→
VM = − V e 3
1/
→
2
3.
X +Y =L
4.
1/
2
2/
3/
5.
2
L⎞
⎛L⎞
⎛
2
⎜x + ⎟ + y = ⎜ ⎟
2⎠
⎝2⎠
⎝
2
→
α AB =
3ω2 →
k
27
a OrelAB = −
→
a D = ω2 R j
(
1/
flecha = R 2 − 2
2/
f =
1
3
11 3ω2 →
k
54
3ω2 R → 25ω2 R →
i−
j
9
27
→
→
→
α BC = −
)
2
MECANICA APLICADA. EXAMEN DE LA SEGUNDA PARTE. 7-02-2001.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 40‘
Elegir dos de las tres preguntas:
1. Aplicación del teorema del momento cinético al centro instantáneo de rotación.
2. Ecuaciones de Euler del movimiento de un sólido con con punto fijo.
3. Variación de la energía cinética en un choque sin rozamiento.
Nota: Es necesario puntuar en las dos preguntas elegidas para aprobar el ejercicio.
MECANICA APLICADA. EXAMEN DE LA SEGUNDA PARTE. 7-02-2001.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
La barra AB, de masa 2M y longitud L, se mueve de forma que sus extremos deslizan
sin rozamiento por las guías fijas, tal y como se indica en la figura. El extremo B está
6Mg
unido a un resorte horizontal de contante elástica K =
, y longitud sin tensión L.
L
En el instante inicial, el sistema está en reposo en posición horizontal ( ϕ = 90º )
mientras que sobre el extremo A descansa una masa puntual de valor M/2.
Al dejarlo moverse libremente, se observa que la masa puntual se mantiene sobre el
punto A de la barra, hasta que al alcanzar la posición ϕ = 60º comienza a deslizar por
ella. Calcular:
1. Energía cinética y potencial del sistema en una posición genérica anterior a
ϕ = 60º . (3 puntos)
2. Ecuación diferencial de segundo orden del movimiento del sistema. (1 puntos)
3. Fuerza de rozamiento y normal entre masa y barra para ϕ = 60º .(4 puntos)
4. Valor del coeficiente de rozamiento entre masa y barra. (2 puntos)
C
A
M/2
ϕ
2M, L
B
L
K=6Mg/L
Lo=L
MECANICA APLICADA. EXAMEN DE LA SEGUNDA PARTE. 7-02-2001.
TERCER EJERCICIO TIEMPO: 50‘
El sistema mecánico de la figura está constituido por un cono de masa M, radio de la
base R, y altura R, articulado mediante una articulación plana en O a un eje de manera
que el cono carece de rotación propia. Si el sistema gira alrededor del eje vertical por
20 g
una acción no representada en la figura con una velocidad ω =
constante y su
3 R
movimiento de nutación parte del reposo relativo ( θ& = 0 ) en la posición vertical (θ=0).
Calcular:
1. Tensor axil en O con el sistema de referencia de la figura. (3 puntos)
2. Ecuación diferencial del movimiento. (2 puntos)
3. Valor de la velocidad de nutación y par a aplicar en el instante en que el eje del cono
pasa por la horizontal. (5 puntos)
y
ω
z
θ
R
O
x
R
MECANICA APLICADA. EXAMEN DE LA SEGUNDA PARTE. 7-02-2001.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
El conjunto de la figura está constituido por un disco de masa M y radio R, un plano
inclinado de masa 2M y tres resortes iguales de longitud natural R y constante elástica a
determinar K. Sabiendo que entre el plano inclinado y el suelo no hay rozamiento, que
entre el disco y el plano inclinado existe rozamiento suficiente para asegurar la rodadura
y que el sistema se encuentra en equilibrio estable, calcular:
1.
2.
3.
4.
Valor de la constante elástica K. (1 punto)
Energía potencial reducida del sistema. (3 puntos)
Energía cinética reducida del sistema. (4 puntos)
Frecuencias naturales del sistema. (2 puntos)
K,R
60º
K,R
2R
2R
M
2M
K,R
2R
MECANICA APLICADA. EXAMEN DE LA SEGUNDA PARTE. 7-02-2001.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
Una barra AB de masa M y longitud L está suspendida por sus extremos de dos barras
iguales, carentes de masa y de longitud L. Una masa puntual de valor M impacta con
velocidad vertical conocida V en la posición que muestra la figura. Sabiendo que el
choque es plástico y sin rozamiento, calcular:
1. Campo de velocidades de la barra AB inmediatamente después del impacto. (7
puntos)
2. Percusiones de enlace en las articulaciones A y B. (3 puntos)
C
D
L
L
v
60º
60º
A
B
L
4
3L
4
MECANICA APLICADA. EXAMEN DE LA SEGUNDA PARTE. 7-02-2001.
SOLUCIONES
2.
1/
2/
3/
4/
3.
1/
2/
3/
4.
1/
2/
3/
4/
5.
1/
2/
ML2 2
3MgL
ML2 2
T=
ϕ& sen 2 ϕ +
ϕ&
cos ϕ + 3MgL sen 2 ϕ
4
2
3
4
1
3g
6g
&& + ϕ
&& sen 2 ϕ + 2ϕ& cos ϕ − ϕ& 2 sen ϕ cos ϕ − sen ϕ +
ϕ
sen 2 ϕ = 0
3
6
L
L
26
26 3
Fr =
Mg
N=
Mg
50
50
1
f =
3
⎡3
⎤
2
0
0 ⎥
⎢ 4 MR
⎢
⎥
3
MR 2
0 ⎥
⎢ 0
4
⎢
⎥
3
⎢ 0
0
MR 2 ⎥
⎢⎣
⎥⎦
10
&θ& = g sen θ + 3 ω2 sen θ cos θ = 0
R
5
6g
P=0
θ& =
R
Mg
K=
2R
Mg 2 Mg 2
V red =
s +
x
4R
2R
3M 2 3M 2
3M
T red =
s& +
x& +
x& s&
4
2
2
6± 6 g
ω2 =
15 R
→
12V →
Ω=
k
43L
22 3
58 3
PB =
PA =
MV
MV
128
129
V=
(
)
MECANICA APLICADA. SEGUNDO EXAMEN PARCIAL. 26-05-2001.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 40‘
Elegir dos de las tres preguntas:
1. Aplicación del teorema del momento cinético al centro instantáneo de rotación.
2. Ecuaciones de Euler del movimiento de un sólido con punto fijo.
3. Variación de la energía cinética en un choque sin rozamiento.
Nota: Es necesario puntuar en las dos preguntas elegidas para aprobar el ejercicio.
MECANICA APLICADA. SEGUNDO EXAMEN PARCIAL. 26-05-2001.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 30‘
El sistema de la figura está formado por una barra de masa M y longitud L, articulada
en uno de sus extremos mediante una articulación plana a un eje vertical que gira con
velocidad angular constante ω, y por una masa puntual M que puede deslizar sin
rozamiento sobre la barra y que está unida a la articulación mediante un muelle ideal de
constante K.
Se pide obtener las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema.
L
K
M
M
ω
MECANICA APLICADA. SEGUNDO EXAMEN PARCIAL. 26-05-2001.
TERCER EJERCICIO TIEMPO: 30‘
La barra de la figura, de masa M y longitud 2L se encuentra apoyada sobre una rótula
en su punto medio. En uno de sus extremos lleva pegada una masa puntual M y en el
otro se encuentra apoyado un disco de masa M/2 y de radio R. El coeficiente de
rozamiento entre barra y disco es lo suficientemente grande como para que se garantice
la rodadura.
Se coloca todo el sistema en posición horizontal y se deja libre partiendo del reposo.
Calcular
1) Campo de aceleraciones de la barra y del disco en el instante inicial (5 puntos)
2) Reacciones entre barra y disco, y en el apoyo de la barra en el instante inicial (5
puntos)
M ,R
2
L
M
M
L
MECANICA APLICADA. SEGUNDO EXAMEN PARCIAL. 26-05-2001.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 30‘
El sistema de la figura está formado por un semiaro de masa M y radio 2R que rueda
sin deslizar sobre un suelo horizontal. En su centro O está articulada una barra OC de
masa M y longitud R al diámetro sin masa AB. El extremo C está unido a la barra sin
masa AB mediante sendos resortes ideales de constante elástica K. Los puntos D y E
son los puntos medios de los radios AO y OB, respectivamente.
Sabiendo que la posición dada en la figura es de equilibrio estable, determinar:
1- Energía potencial reducida del sistema. (3 puntos)
2- Energía cinética reducida del sistema. (7 puntos)
A
D
E
O
K
K
C
B
MECANICA APLICADA. SEGUNDO EXAMEN PARCIAL. 26-05-2001.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 35‘
MLω
en el extremo B de un sólido rígido AOB de masa
3
M, articulado en su punto medio O al suelo, y con la forma que se muestra en la figura.
En el movimiento posterior el extremo A del sólido choca sin rozamiento con el
extremo D de la barra CD de masa M y articulada en su extremo C a la pared. El
1
choque es inelástico y con un coeficiente de restitución de Newton ε = . La barra CD
2
está en posición horizontal gracias a un muelle ideal articulado en E a la pared y en D a
la barra CD.
Se pide calcular:
1. La constante elástica necesaria. (1 punto)
2. El campo de velocidades del sólido AOB tras la percusión. (3 puntos)
3. El campo de velocidades de los sólidos inmediatamente antes del choque. (2 puntos)
4. El campo de velocidades de los sólidos tras el choque. (4 puntos)
Se aplica una percusión P =
E
K
L
P
C
L
D
M
ε=1/2
O
45º
L
A
M
L
B
MECANICA APLICADA. SEGUNDO EXAMEN PARCIAL. 26-05-2001.
SOLUCIONES
1.
(
)
M&x& − M ω 2 x sen 2 θ + xθ& 2 + Kx − Mg cos θ = 0
(
)
M &θ&x 2 + 2xx& θ& +
2.
3.
3g
11L
7Mg
N=
11
α barra =
α disco = 0
Ho = 0
Vo =
26Mg
11
⎤
⎡4
MgR
0
⎥ ⎧ϕ⎫
⎢
1
Vred = {ϕ θ}⎢ π
⎥⎨ ⎬
1
2
⎢ 0
MgR ⎥ ⎩ θ ⎭
2
⎦
⎣
⎤
⎡⎛
16 ⎞
2
− MR 2 ⎥ ϕ&
⎢⎜12 − π ⎟MR
⎧ ⎫
1
⎠
Tred = ϕ& θ& ⎢⎝
⎥⎨ & ⎬
1
θ
2
⎢
MR 2 ⎥ ⎩ ⎭
− MR 2
⎥
⎢⎣
3
⎦
{
4.
ML &&
sen 2θ ML2 2
MgL
θ − Mω 2 x 2
−
ω sen 2θ +
sen θ + Mgx sen θ = 0
3
2
6
2
2
Mg
2L
Ω AOB = −ω
Ω CD = 0
3ω
Ω CD =
4
}
K=
Ω AOB = −ω
ω
Ω AOB = −
4
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL JUNIO. 25-06-2001.
TERCER EJERCICIO TIEMPO: 60‘
Los alumnos con la primera parte de la asignatura convalidada por el Plan Renove sólo
deben realizar las preguntas del Bloque B.
El resto de alumnos deben realizar las preguntas de los dos bloques, A y B.
Bloque A: PREGUNTAS CORRESPONDIENTES AL PRIMER PARCIAL
Deben contestarse las 2 preguntas
1. Aceleración del Centro Instantáneo de Rotación (2,5 puntos).
2. Definir:
Centro Instantáneo de Rotación
Base
Ruleta
y obtener las ecuaciones vectoriales de base y ruleta (2,5 puntos).
Bloque B: PREGUNTAS CORRESPONDIENTES AL SEGUNDO PARCIAL
(MECANICA APLICADA II)
Deben contestarse las 2 preguntas
3. Teoremas de Steiner (2,5 puntos).
4. Angulos de Euler (2,5 puntos).
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL JUNIO. 25-06-2001.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 45‘
Se tiene un sistema formado por una única barra en escuadra de masa M y longitud
2L. Tal y como indica la figura. Sobre el lado BC desliza sin rozamiento una masa de
valor 2M 3 puntual unida al extremo C de la barra mediante un muelle ideal de
constante K = 5Mg 2L . En el instante inicial se coloca el sistema en la posición que
aparece en la figura, la barra se encuentra anclada en un extremo a una rótula plana
mientras que el otro extremo de la barra se encuentra libre.
Se pide calcular en el momento en que se deja libre el sistema:
1. Reacción entre la masa y la barra BC.
2. Aceleración angular de la barra.
3. Aceleración relativa de la masa respecto de la barra.
M
L
A
B
L/2
2M/3
K
C
L/2
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL JUNIO. 25-06-2001.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 50‘
El sistema de la figura está constituido por una barra sin masa AB de longitud 6R, que
presenta en su punto medio una rótula esférica fija, O. En el extremo A se encuentra
soldado perpendicularmente a la barra y por su centro un disco de masa 2M y radio R,
mientras que en el extremo B se halla una masa puntual de valor M. El sólido está en
posición horizontal debido a una acción exterior no indicada, girando alrededor de la
barra AB con velocidad angular constante ω 0 . En un momento dado se retira la acción
exterior, a la vez que una masa C de valor M, que se mueve con una velocidad
73
horizontal
ω0 R perpendicular a AB, golpea en el punto B, produciéndose un choque
12
plástico con rozamiento, de modo que la masa C queda adherida al punto B en el
movimiento posterior. Para el instante inmediatamente posterior a la colisión, calcular:
1. Velocidad angular del sólido (3 puntos).
2. Angulo de nutación (3 puntos).
3. Velocidad angular de rotación propia (4 puntos).
2M
ωo
A
R
3R
O
3R
B
C
V=73ωoR/12
M
M
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL JUNIO. 25-06-2001.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
Un disco de radio R está articulado en su centro A a la barra OA, de longitud 3R, y
cuyo extremo O es una articulación fija. El disco rueda sin deslizar sobre la barra CE,
que está articulada en C a la pared.
Teniendo en cuenta que la barra OA se mueve con velocidad angular constante ω, se
pide obtener en el instante representado en la figura:
1. Velocidades angulares absolutas del disco y de la barra CE. (3 puntos)
2. Aceleración relativa al disco del punto D de la barra CE. (2 puntos)
3. Aceleración angular del disco. (5 puntos)
3R
R
O
A
ω
C
E
D
5R
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL JUNIO. 25-06-2001.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
El sistema plano de la figura consta de un cable AB de peso por unidad de longitud
Mg
, una barra BC de masa M y longitud 2R y un disco de masa M y radio R. La
q=
R
barra tiene el extremo B unido al cable y el C está articulado al disco. Sabiendo que el
sistema se encuentra en equilibrio en la posición indicada (BC horizontal y C a la
misma altura que O), calcular:
1. Coeficiente de rozamiento mínimo entre suelo y disco. (4 puntos)
2. Longitud del cable AB. (6 puntos)
A
R
5− 2
2
B
C
O
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL JUNIO. 25-06-2001.
SOLUCIONES
1.
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
4
5.
Mg
6
g
α=
2L
r
27g r
j
a MrelABC = −
8
r 1 r
r
Ω = −ωo j + ωo k
2
θ = arctg 73
4
71
ϕ& = ωo
73
N=
( )
→
→
4.1 Ω Disco = 0
→
3 →
Ω CE = − ω k
2
→
9 2 →
4.2 a DrelDisco = − ω R j
4
→
3 2→
4.3 α Disco = − ω k
2
1
5.1 f =
3
R
5.2 l =
2
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL SEPTIEMBRE. 17-09-2001.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 45‘
Un disco de masa M y radio R se encuentra en reposo en la posición de la figura. Si se
desplaza ligeramente de esa posición comienza a girar alrededor de la arista del apoyo
fijo de manera que existe rodadura. Si el coeficiente de rozamiento entre disco y suelo
1
es f =
. Obtener:
11
(3 puntos)
1. Ecuación diferencial del movimiento del disco mientras rueda.
2. Reacción entre disco y suelo en función de la coordenada generalizada de la figura.
(3 puntos)
3. Razonar si con el tiempo ocurre, el deslizamiento o la pérdida de contacto; y obtener
con qué inclinación sucede esto.
(4 puntos)
Posición
Inicial
M, R
M, R
G
θ
f
O
G
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL SEPTIEMBRE. 17-09-2001.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
La barra AB, de masa M y longitud
2L esta unida en A a un eje vertical mediante una
articulación plana. El extremo B de la barra está unido a un cable sin masa de igual
longitud y que está atado al eje vertical tal y como se indica en la figura. El eje vertical
gira con velocidad angular constante ω.
Obtener:
-
para qué valores de ω el cable se encuentra completamente tensado. (3 puntos)
-
valor del esfuerzo T del cable en función de ω.
(3 puntos)
Si se sustituye la articulación plana por una soldadura (y para la posición de la figura),
-
equilibrar el sistema con una masa puntual de valor M .
A
M,
2L
B
2L
ω
2L
(4 puntos)
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL SEPTIEMBRE. 17-09-2001.
TERCER EJERCICIO TIEMPO: 60‘
Los alumnos con la primera parte de la asignatura convalidada por el Plan Renove sólo
deben realizar las preguntas del Bloque B.
El resto de alumnos deben realizar las preguntas de los dos bloques, A y B.
Bloque A: PREGUNTAS CORRESPONDIENTES AL PRIMER PARCIAL
Deben contestarse las 2 preguntas
1. Definir la Velocidad de Sucesión del Centro Instantáneo de Rotación, y deducir su
expresión (2,5 puntos).
2. Obtener las expresiones que relacionan la carga por unidad de longitud q(x), el
esfuerzo cortante V(x), y el momento flector M(x) en una viga (2,5 puntos).
Bloque B: PREGUNTAS CORRESPONDIENTES AL SEGUNDO PARCIAL
(MECANICA APLICADA II)
Deben contestarse las 2 preguntas
1. Teoremas de Guldin (2,5 puntos).
2. Centro de percusiones (2,5 puntos).
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL SEPTIEMBRE. 17-09-2001.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 50‘
Un plano Π gira alrededor del eje Z siguiendo la ley que se indica en el dibujo.
El extremo A, de una barra AB de longitud 4√2 R contenida dentro del plano, se mueve
con una velocidad desconocida a lo largo del eje Z en dirección descendente. La ley
angular de la barra AB sobre el plano Π viene indicada en la figura. Un disco D de
radio R se halla unido a la barra AB mediante una articulación en su centro B. En C hay
rodadura.
Se pide, para la posición de ωt = 90º :
1.
2.
3.
4.
Velocidad angular del disco D. (2 puntos)
Aceleración angular de la barra AB. (2 puntos)
Aceleración del centro del disco B. (4 puntos)
Aceleración angular del disco D. (2 puntos)
Z
A
Π
ω
t
2
4 2R
B
ωt
X
R
C
Y
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL SEPTIEMBRE. 17-09-2001.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
El mecanismo de la figura está formado por dos barras iguales AB y BD de longitud
4 3R , articuladas entre sí en el punto B; un bloque D articulado a la barra BD, que
desliza por el suelo horizontal; y un disco de centro C y radio R que rueda sin deslizar
por el suelo horizontal con velocidad angular constante 2ω en sentido antihorario.
La barra AB se halla articulada al suelo en el punto fijo A, y se apoya permanentemente
sobre el disco. En el instante representado, las dos barras forman un ángulo de 60º con
la horizontal. Calcular en ese instante:
1. Velocidad relativa de C respecto a la barra AB (3 puntos).
2. Velocidad del punto D (2 puntos).
3. Aceleración del punto D (5 puntos).
B
4R 3
4R 3
C
A
2ω
60º
D
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL SEPTIEMBRE. 17-09-2001.
SOLUCIONES
1.
4g
(1 − cos θ)
1. θ& 2 =
3R
7Mg
4Mg
cos θ −
2. N =
3
3
5
cos θ =
3. Desliza
6
Fr =
Mg
sen θ
3
2.
3g
2L
2
MLω
Mg
2. T =
−
3 2
2 2
1. ω >
3.
4
xm = 0
ym =
L
2
→
r
r
1 Ω Disco = −2ω i + ωk
2
→
ω r
2 α AB =
j
2
→
→
→
3 a B = −4ω R i − 5ω R j
→
r
r
2
2
4 α Disco = ω i − 2ω j
5.
2
2
→
r
r
1 V CrelAB = −ωR i − ωR 3 j
→
r
2 VD = −12ωR i
→
→
3 a D = −16 3ω R i
2
zm = −
2L
3
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 22-01-2002.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 40‘
Elegir dos de las tres preguntas:
1
2
3
Polo de aceleraciones.
Circunferencias notables.
Obtener la ecuación de la catenaria a partir de las ecuaciones cartesianas del
equilibrio de un hilo.
Nota: Es necesario puntuar en las dos preguntas elegidas para aprobar el ejercicio.
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 22-01-2002.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
Un satélite de telecomunicaciones en forma de cilindro de radio R, gira con velocidad
angular constante ω alrededor de su eje de revolución z. Una barra AB articulada en A a
la periferia del cilindro se mueve relativamente a éste en un plano perpendicular xOz
con velocidad angular relativa constante ω. Una masa M se mueve por la barra AB con
velocidad relativa a ésta v = 2ωR constante.
Cuando la barra AB forma con la cara superior del cilindro 45º, la distancia AM es
2R . Determinar en ese instante:
1
2
3
4
5
Velocidad angular absoluta de la barra AB.
Velocidad absoluta de la masa M.
Aceleración angular absoluta de la barra AB.
Aceleración de la masa M.
Aceleración de la masa M relativa al satélite.
(1 punto)
(1 punto)
(2 puntos)
(3 puntos)
(3 puntos)
z
M
x
A
ωt
R
B
v
ω
O
y
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 22-01-2002.
TERCER EJERCICIO TIEMPO: 45‘
Un disco de centro O y radio R/2 rueda sin deslizar entre dos pistas circulares, una de
r
radio R que gira con velocidadr angular constante -3ω k y otra de radio 2R que gira con
velocidad angular constante ω k .
Se pide:
1. Base del cilindro de centro O
2. Ruleta del cilindro de centro O
3. Polo de aceleraciones del disco
(3 puntos)
(4 puntos)
(3 puntos)
Y
x
y
A
θ
2R
O
R
B
ϕ
X
O1
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 22-01-2002.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
El sistema de la figura está constituido por las barras AB y CD, ambas de longitud
L 2 y paralelas entre sí, unidas por la barra BC, de longitud 2L, y que permanece
horizontal a lo largo del movimiento. Sobre ella se apoya un disco de centro E y radio
L , de manera que el disco no desliza sobre la barra BC en su movimiento. El centro
4
del disco está articulado a la barra EF tal y como se muestra en la figura.
En el instante considerado, la barra AB, que gira con velocidad angular ω constante, se
halla inclinada 45º respecto a la horizontal, y el disco se apoya sobre la barra BC en su
punto medio G. Calcular en ese instante:
1
2
3
4
Velocidad angular absoluta de la barra EF y del disco.
Aceleración angular absoluta de la barra EF.
Aceleración relativa del centro del disco respecto a la barra BC.
Aceleración angular del disco.
(3 puntos)
(2 puntos)
(2 puntos)
(3 puntos)
F
3L/4
E
B
L
A
2
45º
ω
L/4
G
2L
L
D
2
45º
C
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 22-01-2002.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
El sistema plano de la figura consta de una barra vertical BD de masa M y longitud L
Mg
, un
empotrada en el suelo, un resorte ideal (L 0 = 0) de constante elástica K =
L
L
Mg
y longitud S CEF = 3 + 2 3 , y
cable CEF de peso por unidad de longitud q =
4
L
L
unido en F al cable. Sabiendo que el conjunto se
un disco de masa M y radio
4
encuentra en equilibrio por la acción del par P y que la tensión del cable en el punto C
es horizontal, calcular:
(
1.
2.
3.
4.
5.
)
Tensión del cable en el punto C .
(2 puntos)
Diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores de la barra BD (2 puntos)
Tensión del cable en el punto F.
(2 puntos)
Valor del par P.
(2 puntos)
Fuerza de rozamiento entre disco y suelo.
(2 puntos)
L
E
B
A
P
C
L
F
L/2
D
G
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 22-01-2002.
SOLUCIONES
MECANICA APLICADA. EXAMEN EXTRAORDINARIO. 22-01-2002.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 40‘
Elegir dos de las tres preguntas:
1
2
3
Teorema de Koenig del momento cinético.
Forma reducida de la energía cinética.
Sólido con eje fijo sometido a percusiones, Centro de percusión.
Nota: Es necesario puntuar en las dos preguntas elegidas para aprobar el ejercicio.
MECANICA APLICADA. EXAMEN EXTRAORDINARIO. 22-01-2002.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
El sistema de la figura está formado por la barra AB, de masa M y longitud 4R, y por el
disco de centro G, masa M y radio R. La barra está articulada en su extremo fijo A. El
disco rueda sin deslizar sobre la barra. Se abandona el sistema en reposo a la acción
gravitatoria, con la barra en posición horizontal y el disco en contacto con el punto
medio de la barra C.
Calcular:
1. Reacciones entre la barra y el disco en el instante inicial.
(5 puntos)
2. Aceleración del centro del disco y aceleración angular de la barra en ese instante.
(5 puntos)
A
M,4R
G
M,R
C
B
MECANICA APLICADA. EXAMEN EXTRAORDINARIO. 22-01-2002.
TERCER EJERCICIO TIEMPO: 50‘
En el sistema de la figura la barra AB de masa M y longitud L está unida en A mediante
una articulación plana a un eje vertical que gira con velocidad angular constante ω. La
barra AC sin masa y longitud L está en el plano definido por la barra AB y el eje de
giro e y sobre la misma se sitúa una masa puntual a una distancia r de A (no hay
deslizamiento de la partícula sobre la barra). Los extremos B y C de las barras están
unidos mediante dos muelles ideales iguales de constante elástica K.
Por medio de un mecanismo no representado, el ángulo de la barra AB con el eje de
giro y el de la barra AC es el mismo tal y como se indica en la figura.
1.- Obtener la ecuación diferencial del movimiento del sistema.
(4 puntos)
2.- Obtener la relación que debe existir entre θ y ω para que partiendo de condiciones
iniciales adecuadas el movimiento que se obtenga sea estacionario (es decir sin
variación del ángulo θ).
(2 puntos)
3.- Obtener el valor de m y r para que el sistema esté dinámica y estáticamente
equilibrado para el movimiento del apartado anterior.
(4 puntos)
A
r
M, L
θ
θ
B
m
C
ω
e
MECANICA APLICADA. EXAMEN EXTRAORDINARIO. 22-01-2002.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
El sistema mecánico de la figura se encuentra en equilibrio estable en la posición
vertical indicada. La polea, disco de masa M, radio R, y centro A, está articulada a una
cruz sin masa. Ésta, a su vez está articulada a un punto fijo. Un cable, que está arrollado
a la polea y no desliza sobre ella, está unido en sus extremos a dos muelles iguales de
constante elástica K=Mg/3R y longitud sin tensión R. Ambos muelles, en la posición
de equilibrio, tienen una longitud de R.
Se pide obtener las frecuencias naturales de oscilación del sistema mecánico.
R
K=Mg/3R
Lo=R
R
O
2R
A
R
R
M, R
O
MECANICA APLICADA. EXAMEN EXTRAORDINARIO. 22-01-2002.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
Sea un sistema situado en el plano vertical y constituido por dos barras iguales de masa
M y longitud L articuladas en A y B y posicionadas en ángulo recto como muestra la
figura, un disco de masa M y radio R y un muelle de longitud sin tensión L0 y constante
elástica K, cuyos extremos están unidos al suelo y al punto medio de la barra BC.
Se lanza el disco contra la barra BC y se produce un choque elástico y sin rozamiento
en el extremo C de dicha barra. En el instante anterior al choque, el disco posee una
velocidad angular conocida ω y la velocidad de su centro de gravedad es vertical,
conocida y de valor v.
Determinar, inmediatamente después del choque:
1. Energía cinética del sistema formado por las barras, el muelle y el disco.
(1
punto)
2. Velocidad angular del disco.
3. Velocidad angular de las barras AB y BC.
(1 punto)
(8 puntos)
A
ω
45º
D
B
C
K, Lo
v
MECANICA APLICADA. EXAMEN EXTRAORDINARIO. 22-01-2002.
SOLUCIONES
MECANICA APLICADA. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 25-05-2002.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 40‘
Elegir dos de las tres preguntas:
1
2
3
Ecuaciones de Euler.
Forma reducida de la energía potencial.
Teoremas fundamentales de la Dinámica de Percusiones.
Nota: Es necesario puntuar en las dos preguntas elegidas para aprobar el ejercicio.
MECANICA APLICADA. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 25-05-2002.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
El sistema de la figura está situado en un plano vertical, consta de dos barras iguales de
masa M y longitud L articuladas en sus extremos, de modo que el punto A es fijo y el C
se mueve a lo largo de una vertical. Sabiendo que no existe rozamiento y que el sistema
parte del reposo en la posición indicada con trazos (barra AB vertical y BC horizontal),
calcular:
1. Aceleración angular de las barras AB y BC en el instante subsiguiente. (4 puntos)
2. Energía cinética del sistema en la posición de trazo continuo (A y C a la misma
altura). (2 puntos)
3. Velocidad angular de las barras AB y BC en la posición anterior. (4 puntos)
B
A
B
C
C
MECANICA APLICADA. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 25-05-2002.
TERCER EJERCICIO TIEMPO: 40‘
Una placa cuadrada CDEF de masa M y lado L, de espesor despreciable, se fija por su
lado CF a un eje vertical. A la misma altura de C, se suelda al eje una barra HI de masa
M y longitud 2 L, inclinada 45º respecto de la vertical. Placa y barra son coplanarias.
El sistema gira con una velocidad angular constante ω alrededor del eje vertical. Se
pide:
1. Reacciones en los apoyos (figura 1). (5 puntos)
2. Calcular la distancia d (respecto del punto de soldadura H) a la que es
preciso fijar la placa cuadrada, para que el sistema esté equilibrado.
Barra y placa siguen siendo coplanarios (figura 2). (5 puntos)
ω
A
L
L
C
D
H
H
d
M, L
M,
45º
E
L
2L
45º
I
F
L
L
B
Figura 1
Figura 2
MECANICA APLICADA. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 25-05-2002.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
El sistema de la figura está formado por una barra OA, de masa M y longitud L, y por
una masa puntual M que puede deslizar sin rozamiento a lo largo de la barra. La masa
está unida al extremo A de la barra por un muelle ideal de constante K1 = 2Mg/L. A su
vez, dicho extremo está unido a las arandelas C y B mediante dos muelles iguales de
constante K y longitud sin tensión L. Las arandelas no tienen masa, y deslizan sin
rozamiento sobre guías verticales, de tal forma que los muelles AB y AC permanecen
horizontales durante todo el movimiento.
En la posición de equilibrio estable la barra permanece vertical (AB=AC=L) y la masa
se encuentra en el punto medio de la barra.
1
2
3
Hallar la condición que debe cumplir la rigidez K de los muelles AB y AC para
que dicha posición sea de equilibrio estable. (4 puntos)
Obtener la energía cinética reducida del sistema. (3 puntos)
Si K=Mg/L, hallar las frecuencias naturales del sistema. (3 puntos)
B
K
L0 = L
A
C
K1 = 2Mg/L
L0 = 0
M
M,L O
L
L
MECANICA APLICADA. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 25-05-2002.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
El sistema mecánico de la figura representa el tren de aterrizaje de una avioneta. La
rueda tiene una masa total M y radio R, con centro en B y articulada a la barra OB sin
masa de longitud 2L que está articulada a su vez en un punto fijo O mediante una
articulación plana. Para accionar la recogida de la rueda se articula una barra sin masa
AC de longitud L al punto medio de la barra OB, y en su otro extremo a una deslizadera
donde se aplica la fuerza F. Si en el instante inicial el sistema está vertical y la rueda
giraba con una velocidad angular ω, deducir:
1. Las ecuaciones diferenciales del movimiento. (5 puntos)
2. Si se desea que el giro de elevación se produzca a velocidad angular constante
obtener el valor de la fuerza F a emplear. (3 puntos)
3. ¿Es posible llegar a recoger por completo el tren de aterrizaje con esa fuerza? (2
puntos)
O
C
F C´
L
L
A´
A
L
B´
B
M, R
M, R
M, R
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 24-06-2002.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 50‘
Una catapulta está constituida por un brazo AB de longitud 2 2L y masa M articulada
en A a un carro de masa 4M con ruedas de masa despreciable. Un muelle ideal de
constante elástica igual a 8Mg / L une los puntos D del carro y C centro del brazo de la
catapulta. La catapulta se precarga mediante el tensado del cable CG hasta que el brazo
forma 45º con la vertical como se muestra en la figura. Una masa M se coloca en el
extremo del brazo B manteniéndose solidaria al brazo durante el movimiento
subsiguiente.
En un instante dado se corta el cable CG. Determinar en ese instante, bajo el supuesto
de que el carro sólo puede desplazarse horizontalmente:
1. Aceleración del brazo AB (2 puntos).
2. Aceleración del carro (3 puntos).
3. Reacciones en la articulación A del brazo AB (2 puntos).
4. Reacciones en las ruedas (3 puntos).
D
L
M
B
8Mg/L
C
45º
M, 2 2L
A
L
G
F
2L
E
2L
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 24-06-2002.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
Un placa plana cuadrada de masa M y lado L, cuelga de dos barras idénticas sin masa
de longitud L, contenidas en el mismo plano vertical, siendo A, B, C, D rótulas planas.
Inicialmente el sistema formado por las dos barras y el cuadrado está en reposo. Un
disco de masa M/4 y radio L/4 que gira con ω y cuyo centro de gravedad se traslada
con velocidad v, impacta con el cuadrado en la posición que muestra la figura. Sabiendo
que el choque es inelástico con coeficiente de restitución ε = ½ , y sin rozamiento, se
pide:
Obtener el campo de velocidades de los cuatro cuerpos en el instante posterior al
choque.
L
A
C
M=0, L
M=0, L
B
D
ω
M, L
L/4
M/4, r = L/4
v
30º
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 24-06-2002.
TERCERO EJERCICIO TIEMPO: 60‘
Los alumnos con la primera parte de la asignatura convalidada por el Plan Renove sólo
deben realizar las preguntas del Bloque B.
El resto de alumnos deben realizar las preguntas de los dos bloques, A y B.
Bloque A: PREGUNTAS CORRESPONDIENTES AL PRIMER PARCIAL
Deben contestarse las 2 preguntas
1. Propiedades del campo de velocidades de un sólido rígido (2,5 puntos).
2. Propiedades de la catenaria (2,5 puntos).
Bloque B: PREGUNTAS CORRESPONDIENTES AL SEGUNDO PARCIAL
(MECANICA APLICADA II)
Deben contestarse las 2 preguntas
3. Obtener la expresión del Teorema del Momento Cinético aplicado a un punto
cualquiera de un sólido rígido en dinámica plana (2,5 puntos).
4. Obtener la ecuación del movimiento unidimensional equivalente del ángulo de
nutación de un giroscopio de Lagrange (2,5 puntos).
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 24-06-2002.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
En el sistema de la figura la barra vertical AB de longitud L se traslada con velocidad v
constante hacia la derecha a lo largo del movimiento. La barra AB está articulada en sus
extremos a dos deslizaderas. La deslizadera en A se mueve por la horizontal y la
deslizadera en B se mueve sobre la barra CD que a su vez está articulada en C a una
deslizadera vertical. La barra AC de longitud 2L / 3 está articulada en C a la
deslizadera vertical mientras que en A lo está a la deslizadera horizontal.
Para la posición indicada en la figura se pide:
1- velocidad angular de la barra CD (4 puntos)
2- aceleración angular de la barra CD (6 puntos)
A
L
60º
C
B
D
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 24-06-2002.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
El sistema de la figura está formado por una barra AB de peso P, que forma 45º con la
horizontal, está apoyada sobre un suelo horizontal y está articulada en B a un disco sin
masa de radio R, y por un cable de longitud 3R que está unido al disco en D. El peso
Mg
y la tangente al cable en E es horizontal.
por unidad de longitud del cable es q =
R
Sabiendo que el sistema está en equilibrio, calcular:
1. El valor de las reacciones en los apoyos A y B en función de P.
(8 puntos)
2. Para que se verifique el balance de fuerzas, suponiendo que el coeficiente de
rozamiento es lo suficientemente grande, ¿cuánto tiene que pesar por lo menos la
(2 puntos)
barra AB?
D
B
A
45º
C
E
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 13-09-2002.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 40‘
El sistema de la figura está constituido por un disco de masa 2M y radio R, cuyo centro
se encuentra unido a un resorte de constante elástica K. El disco rueda sin deslizar y
lleva enrollado en su periferia un hilo de masa despreciable, unido al bloque B de masa
M, como se muestra en la figura. En el instante inicial, el muelle se encuentra sin
deformación y el sistema en equilibrio, debido a un soporte no representado en la figura.
Se elimina el soporte y comienza el movimiento. Calcular:
1. Ecuación diferencial del movimiento (4 puntos).
2. Valor máximo de la velocidad del bloque B (2 puntos).
3. Máxima tensión del cable durante el movimiento (4 puntos).
K
A
2M, R
B
M
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 13-09-2002.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
El cigüeñal de un motor de dos cilindros se representa tal y como indica la figura 1.
Para simplificar los cálculos, se considera que la masa está concentrada en las uniones
con las bielas, representándose mediante dos barras de masa M y longitud L, situadas
en el plano vertical XAZ, paralelas al eje de giro y separadas de él una distancia L. La
distancia entre los rodamientos en los que se apoya el cigüeñal (A y B) es 5L, como se
observa en la figura 1. Se pide:
1) Obtener las reacciones en los rodamientos en el instante en el que el cigüeñal se
encuentra en la posición de la figura 1, si gira con velocidad angular constante ω. (4
puntos)
2) Obtener la distancia d a la que deben colocarse cuatro masas M, tal y como se
muestra en la figura 2, para equilibrar el cigüeñal. (3 puntos)
3) Obtener las reacciones en los rodamientos en el instante en el que el cigüeñal, ya
equilibrado, se encuentra girado 90º (en el sentido positivo de ω) respecto a la
posición de la figura 2, si gira con velocidad angular constante ω. (3 puntos)
M,L
M,L
L
L
B
B
M
L
M
L
X
X
d
ω
d
d
M
L
Y
M
Z
Z
L
A
d
ω
A
L
Y
M,L
M,L
Figura 1
Figura 2
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 13-09-2002.
TERCER EJERCICIO TIEMPO: 60‘
Los alumnos con la primera parte de la asignatura convalidada por el Plan Renove sólo
deben realizar las preguntas del Bloque B.
El resto de alumnos deben realizar las preguntas de los dos bloques, A y B.
Bloque A: PREGUNTAS CORRESPONDIENTES AL PRIMER PARCIAL
Deben contestarse las 2 preguntas
1. Triedro intrínseco (2,5 puntos).
2. Propiedades de la catenaria (2,5 puntos).
Bloque B: PREGUNTAS CORRESPONDIENTES AL SEGUNDO PARCIAL
(MECANICA APLICADA II)
Deben contestarse las 2 preguntas
3. Teoremas de Pappus y Guldin (2,5 puntos).
4. Variación de la energía cinética en un choque sin rozamiento (2,5 puntos).
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 13-09-2002.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
El Robot de la figura 1 puede ser modelizado en parte por el conjunto de barras OA,
AB, BD, y OC que forman un plano y se articulan entre sí. El accionamiento de esos
elementos se realiza sobre la barra OC y sobre la barra OA. Si en un instante dado la
posición de los elementos del robot es la que se tiene en la figura 2, y se desea que la
velocidad del extremo D (donde se monta la garra del robot) sea V vertical, sin
aceleración:
1. Calcular las velocidades angulares instantáneas de las barras OA y OC. (4 puntos)
2. Calcular las aceleraciones angulares instantáneas de las barras OA y OC. (6 puntos)
C
D
B
B
A
O
L
2L
C
Figura 1
A
2L
L
45º
O
45º
Figura 2
2L
D
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 13-09-2002.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
Una barquilla recorre un cable ABC de peso por unidad de longitud q (N/m). La
barquilla cuelga de una rueda motorizada sin masa de radio R, que rueda sin deslizar
sobre el cable. Cuando se han recorrido 40 m de cable, la barquilla se detiene y se
mantiene en reposo mediante la aplicación de un par Pm= 10qR (Nm). Para esa
posición la tensión del cable en A es horizontal y de valor TA=30q (N). Determinar:
1.
2.
3.
4.
5.
Altura del cable en B medida desde el suelo. (2 puntos)
Valor de la Tensión del cable en B. (2 puntos)
Valor de la Tensión del cable en B'. (2 puntos)
Valor de la Tensión del cable en C. (2 puntos)
Peso de la barquilla P. (2 puntos)
Pm=10qR
C
O
R
B´
B
O
TA A
q
SAB=40m
5m
50m
B
h
D
P
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 22-01-2003.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40‘
1. Enunciar las propiedades del campo de velocidades de un sólido rígido. Si en el
sólido de la figura se conocen las velocidades de los puntos A, B, C
r r
r
r
( VC = 0 , VA = VB ) del sólido situados en el plano YOZ; deducir la ecuación del
e.i.r.d. del sólido exclusivamente a partir de las propiedades antes enunciadas y sin
aplicación de la ecuación general.
Z
R
A
R
R
C
R
B
X
Y
(5 puntos)
2. Definir polo de velocidades y polo de aceleraciones de un sólido rígido. Determinar
gráficamente la posición de los polos de las barras AB y BC del siguiente
mecanismo, en el que el punto C se mueve horizontalmente con velocidad constante
V.
B
A
C
VC=cte
(3 puntos)
3. En la celosía de la figura indicar cuáles de sus barras no soportan esfuerzo axial.
P
P
(2 puntos)
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 22-01-2003.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 40‘
Un panel ABCD cuadrado de lado 2L, gira sobre un eje horizontal E-E’ con una
velocidad angular relativa ω·Cos(ωt). Dicho eje, esta soportado por un yugo que gira en
la vertical geográfica con velocidad angular ω constante.
Determinar:
1) Velocidad angular del panel en función del tiempo (1 pto)
2) Aceleración angular del panel en función del tiempo (2 pto)
Si en el instante inicial el panel se encuentra en posición vertical, para esta posición se
pide:
3) Representar gráficamente el eje instantáneo de rotación del panel (2 pto)
4) Aceleración del punto B del panel (3 pto)
5) Velocidad máxima en los puntos del panel (2 pto)
z
L
L
x
E
z
B E’
A
L
ω·Cos(ωt) D
y
L
C
ω
ω
ω·Cos(ωt)
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 22-01-2003.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 40‘
El mecanismo de la figura está formado por un sólido OAC de forma triangular
articulado en O a un punto fijo, Un disco de radio R que rueda sin deslizar sobre el lado
AC del sólido OAC. Y una barra DE articulada al centro del disco y pasando por una
deslizadera articulada a C. Si en el instante que se muestra en la figura la velocidad
angular del sólido uno es ω constante y positiva, y la velocidad angular del disco
relativa al sólido OAC es 2ω también constante y positiva, calcular el campo de
velocidades y aceleraciones de los sólidos del sistema mecánico.
2ω
R
D
R
R
R
R
C
R
ω
E
O
A
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 22-01-2003.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
La tobera convergente-divergente del motor de una aeronave puede representarse de
forma simplificada mediante una sección longitudinal como la mostrada en la figura. El
pétalo convergente (triángulo rectángulo OAD) está articulado en su extremo fijo O. El
pétalo divergente (barra AB) está unido al convergente mediante una articulación en A,
mientras que su extremo B puede deslizar horizontalmente.
1) Obtener la base y la ruleta del pétalo divergente (barra AB). (4 puntos)
Dependiendo de las condiciones de vuelo (altitud, velocidad,...) la tobera debe variar su
geometría, para lo cual está accionada por un actuador. El actuador está formado por un
cilindro (barra EF) articulado en su extremo fijo E y un émbolo (barra CD) articulado
al pétalo convergente en D. Ambos componentes están permanentemente alineados,
pudiendo deslizar entre sí.
2) Obtener la base y la ruleta del émbolo del actuador (barra CD). (6 puntos)
Y
Pétalo Convergente
D
Actuador
F
R
C
Pétalo Divergente
θ
E
R
X
O
B
2R
Gases de Escape
Eje del Motor
2R
A
MECANICA APLICADA. PRIMER EXAMEN PARCIAL. 22-01-2003.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
El sistema de la figura consta de un disco de masa 2M y radio R que descansa sobre un
plano horizontal rugoso. Dicho disco lleva unido en el extremo A (a la misma altura que
Mg
el centro de disco) un cable ABC de peso por unidad de longitud q =
y que pasa
R
por una polea en B de dimensiones despreciables. La longitud del tramo AB del cable es
3R
3 − 1 R y la de tramo BC es de
. La tensión en B forma 60º con la horizontal. El
2
extremo C del cable se encuentra unido a una celosía representada en la figura.
Suponiendo que el conjunto se encuentra en posición de equilibrio calcular:
(
1.
2.
3.
4.
)
Angulo que forma la tensión en A con la horizontal. (2 puntos)
Parámetro de la catenaria. (2 puntos)
Distancia del punto B del cable a suelo. (4 puntos)
Fuerzas de enlace en E y D. (2 puntos)
B
D
A
R
C
R
R
E
MECANICA APLICADA. EXAMEN EXTRAORDINARIO. 22-01-2003.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40'
1. Enunciar las propiedades del campo de velocidades de un sólido rígido. Si en el
sólido de la figura se conocen las velocidades de los puntos A, B, C
r r
r
r
( VC = 0 , VA = VB ) del sólido situados en el plano YOZ; deducir la ecuación del
e.i.r.d. del sólido exclusivamente a partir de las propiedades antes enunciadas y sin
aplicación de la ecuación general.
Z
R
A
R
R
C
R
B
X
Y
(5 puntos)
2. Definir polo de velocidades y polo de aceleraciones de un sólido rígido. Determinar
gráficamente la posición de los polos de las barras AB y BC del siguiente
mecanismo, en el que el punto C se mueve horizontalmente con velocidad constante
V.
B
A
C
VC=cte
(3 puntos)
3. En la celosía de la figura indicar cuáles de sus barras no soportan esfuerzo axial.
P
P
(2 puntos)
MECANICA APLICADA. EXAMEN EXTRAORDINARIO. 22-01-2003.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
El mecanismo de la figura está formado por un sólido OAC de forma triangular
articulado en O a un punto fijo, Un disco de radio R que rueda sin deslizar sobre el lado
AC del sólido OAC. Y una barra DE articulada al centro del disco y pasando por una
deslizadera articulada a C. Si en el instante que se muestra en la figura la velocidad
angular del sólido uno es ω constante y positiva, y la velocidad angular del disco
relativa al sólido OAC es 2ω también constante y positiva, calcular el campo de
velocidades y aceleraciones de los sólidos del sistema mecánico.
2ω
R
D
R
R
R
R
C
R
ω
E
O
A
MECANICA APLICADA. EXAMEN EXTRAORDINARIO. 22-01-2003.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 40'
El sistema de la figura consta de un disco de masa 2M y radio R que descansa sobre un
plano horizontal rugoso. Dicho disco lleva unido en el extremo A (a la misma altura que
Mg
el centro de disco) un cable ABC de peso por unidad de longitud q =
y que pasa
R
por una polea en B de dimensiones despreciables. La longitud del tramo AB del cable es
3R
3 − 1 R y la de tramo BC es de
. La tensión en B forma 60º con la horizontal. El
2
extremo C del cable se encuentra unido a una celosía representada en la figura.
Suponiendo que el conjunto se encuentra en posición de equilibrio calcular:
(
5.
6.
7.
8.
)
Angulo que forma la tensión en A con la horizontal. (2 puntos)
Parámetro de la catenaria. (2 puntos)
Distancia del punto B del cable a suelo. (4 puntos)
Fuerzas de enlace en E y D. (2 puntos)
B
D
A
R
C
R
R
E
MECANICA APLICADA. EXAMEN EXTRAORDINARIO. 22-01-2003.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Una barra OC de masa M y longitud 2L está soldada en O a un eje vertical e. Otra barra
DE sin masa y longitud L 3 lleva en su extremo D una masa puntual M y está
2
soldada al eje en E. Las dos barras y el eje son coplanarios. El conjunto gira con una
velocidad angular ω = g y aceleración angular α = g debido a la acción de un par
L
L
de valor desconocido P.
Determinar las reacciones en los apoyos A y B.
ω
α
B
L
e
3L/2
O
L
L√3/2
D
E
60º
C
Mg
Mg
L
P
A
3L/2
MECANICA APLICADA. EXAMEN EXTRAORDINARIO. 22-01-2003.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Una barra de masa M y longitud L se mueve en un plano vertical de modo que su
extremo A, sometido a una fuerza F, describe una recta horizontal con aceleración a.
Calcular mediante las ecuaciones de Lagrange:
1. Ecuaciones diferenciales del movimiento de la barra.
2. Valor de la fuerza F.
A
F
a
M
B
MECANICA APLICADA. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 24-05-2003.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40'
1. En un sistema mecánico sometido a enlaces holónomos, reónomos y perfectos,
¿pueden dichos enlaces realizar trabajo en un desplazamiento real?; ¿y en un
desplazamiento virtual?; explicar y justificar el por qué. ¿Cómo influye esto en
el teorema de la energía? (4 puntos)
2. Aplicación del Teorema del momento cinético a un punto cualquiera. (4 puntos)
3. En el sólido de la figura (donde h>a>b≈0), ¿estará el diámetro mínimo del
elipsoide de inercia sobre alguno de los ejes representados? ¿por qué? ¿sobre
cuál?. ¿Y el diámetro máximo?. Dibuja la forma que tiene el elipsoide de
inercia. (2 puntos)
Z
h
Y
X
b
a
MECANICA APLICADA. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 24-05-2003.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
El sistema de la figura está formado por un aro fijo de radio R y una barra AB de masa
M y longitud 2R. La barra se encuentra en reposo en la posición indicada en la figura 1,
se separa ligeramente de esta posición y se abandona a la acción de la gravedad. Se sabe
que no existe rozamiento y que los extremos A y B deslizan a lo largo del aro y de la
guía horizontal, respectivamente. Calcular para la posición mostrada en la figura 2:
1. Energía cinética de la barra AB. (1 punto)
2. Velocidad angular de la barra AB. (3 puntos)
3. Aceleración angular de la barra AB. (3 puntos)
4. Fuerzas de enlace en los extremos A y B. (3 puntos)
A
M, 2R
R
30º
Figura 1
B
A
Figura 2
2R
B
MECANICA APLICADA. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 24-05-2003.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 40'
El sistema de la figura está formado por una varilla sin masa AB de longitud 2R en
cuyo extremo A se encuentra una masa puntual de valor M, mientras que el extremo B
es el centro de cuatro masas puntuales de valor M/4 unidas al punto B por cuatro barras
sin masa de longitud R. Estas cuatro masas se encuentran en un plano perpendicular a la
varilla AB. A su vez, la varilla permanece perpendicular al eje vertical por la acción del
cojinete situado en su punto medio O representado en la figura.
La varilla gira alrededor del eje vertical y sobre sí misma según se indica en la figura,
siendo ω constante.
1) Hallar el par Px ejercido por el cojinete sobre la varilla para que ésta permanezca
perpendicular al eje vertical, y comprobar que no es necesaria ninguna acción exterior
para que ω sea constante. (5 puntos)
Se rompe dicho cojinete, de manera que el punto medio de la varilla (O) permanece fijo,
pero la varilla puede girar libremente alrededor del eje X. El movimiento alrededor de
los ejes Y y Z sigue siendo libre (sin acciones exteriores).
2) Obtener la expresión del ángulo de nutación, la velocidad de precesión y la velocidad
de rotación propia para cualquier instante del movimiento subsiguiente. (5 puntos)
Y
A
M/4
M
ω
R
Px
X
R
O
ω
R
B
R
M/4
R
M/4
M/4
R
Z
MECANICA APLICADA. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 24-05-2003.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 35'
El sistema de la figura está constituido por una barra de masa M y longitud L y por dos
resortes, ambos de constante elástica K=Mg/L y longitud inicial sin tensión L0=L.
1. Definir la posición de equilibrio estable, posición en la que la barra es
horizontal. (3 puntos)
2. Obtener la matriz de rigidez. (2 puntos)
3. Obtener la matriz de masas. (5 puntos)
M, L
K
Lo
K
Lo
MECANICA APLICADA. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 24-05-2003.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 35'
Una compuerta AB de masa M y longitud 2L, puede girar sobre el eje A. Se coloca un
muelle ideal de constante K para reducir el choque en el tope B’’ cuando la compuerta
se abandona a la acción gravitatoria desde la posición horizontal AB’. El muelle une el
punto C, centro de gravedad de la compuerta, con un punto D fijo, según la figura
adjunta. El choque en B’’ se considera plástico y sin rozamiento.
Determinar los límites de la constante K para que la compuerta cierre con una percusión
M
gL
en B’’ inferior a
2
L
L
B’
D
θ
A
C
K
Lo=0
Mg
L
B
B’’
MECANICA APLICADA. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 24-05-2003.
RESULTADOS
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL DE JUNIO. 20-06-2003.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 45'
1. Definir de manera concisa los siguientes conceptos:
a. Centro instantáneo de rotación.
b. Curva Polar móvil (o ruleta).
c. Curva Polar fija (o base).
(1 punto)
d. Velocidad de sucesión.
(1 punto)
2. Deducir las ecuaciones vectoriales de base y ruleta.
3. Aplicar el cálculo gráfico de velocidades para obtener el CIR y la velocidad
angular de cada elemento de este mecanismo.
(1 punto)
L/2
L
L
L
L
L
L
L
ω
L
4. Enunciar los teoremas de Pappus y Guldin. Identificar cuál de ellos es aplicable
al cálculo del área lateral del tronco de cono de la figura, y obtener dicho área
para R=3, r=1 y h=2 mediante el teorema elegido.
(2 puntos)
r
h
R
5. Enunciar el Teorema del momento cinético en dinámica plana aplicado a un
punto cualquiera. Sea un sólido formado por un disco sin masa al que se le
suelda una masa puntual. Aplicando el teorema anterior al punto de contacto,
obtener la aceleración angular del sólido para la posición indicada en la figura,
sabiendo que en dicho instante rueda sin deslizar y la velocidad angular vale ω.
(3 puntos)
ω
R
M
6. Principios de partida para la deducción de las ecuaciones de Lagrange y
condiciones para su aplicación.
(2 puntos)
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL DE JUNIO. 20-06-2003.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 50'
Un paraguas gira sobre su eje vertical con velocidad angular ω constante. La longitud
de sus varillas es 2 2 L , y el ángulo que éstas forman con el eje es ωt. Los puntos
medios de las varillas están unidos mediante barras de longitud 2 L al punto B, que
desliza sobre el eje del paraguas. Dichas barras forman un ángulo de valor ωt con el eje,
tal y como aparece en la figura, en la cual se han representado únicamente la varilla y la
barra pertenecientes al plano Π.
Se pide determinar en el instante en el que ωt =45°:
1) Velocidad angular de la varilla OP y de la barra AB.
2) Velocidad de los puntos A y B.
3) Velocidad del punto B relativa a la varilla OP.
4) Aceleración angular de la varilla OP y de la barra AB.
5) Aceleración de los puntos A y B.
6) Aceleración del punto B relativa a la varilla OP.
(1 punto)
(2 puntos)
(1 punto)
(1 punto)
(2 puntos)
(3 puntos)
Z
O
Y
ωt
2L
X
ωt
B
ω
A
2L
2L
P
π
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL DE JUNIO. 20-06-2003.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 45'
El sistema de la figura esta formado por una barra AB de longitud
longitud L y por un triangulo equilátero de lados
velocidad angular constante de valor ω.
3L , otra BC de
2 3
L . La barra AB gira con
3
El punto A, es una rotula fija, y en los puntos D y E se encuentran unas deslizaderas.
Calcular, para la posición de la figura:
1. Velocidad angular del triángulo. (4 puntos)
2. Aceleración angular del triángulo. (3 puntos)
3. Aceleración del punto D y E. (3 puntos)
B
2
30º
1
ω
3L
60º
A
L
C
E
3
2 3
L
3
D
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL DE JUNIO. 20-06-2003.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 35'
En el mecanismo de volquete de la figura, la carga puntual de 4M está en reposo sobre
la plataforma de masa M y longitud 4L existiendo un rozamiento entre ellos de
coeficiente f=1/2. La barra de accionamiento OB tiene una masa despreciable, está
articulada en O al chasis del vehículo y en B tiene una deslizadera sobre una guía en la
plataforma donde el rozamiento es despreciable. La plataforma está articulada al chasis
en A. Estando el vehículo fijo, se acciona la barra sin masa OB mediante un par P.
Si se desea que la elevación de la plataforma se realice con velocidad angular constante
2g
, calcular:
8L
1. El valor del par a aplicar en función del ángulo de inclinación θ. (4 puntos)
2. El ángulo en el que la carga comienza a deslizar sobre la plataforma. (6 puntos)
de valor ω =
M, 4L
2L
A
L
θ
L
O
B
4M
2L
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL DE JUNIO. 20-06-2003.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 35'
El rotor de un ventilador industrial que gira sobre un eje vertical con velocidad
10 g
, genera unas cargas rotativas en los apoyos de modo que las
constante ω =
R
reacciones sobre el rotor son:
Ax = Bx = 0
Az = Mg
Mω 2 R
20
1.- Determinar las coordenadas del centro de gravedad del rotor en el sistema xyz
(2 ptos)
2.- Determinar los productos de inercia del rotor Cx, Cy
(4 ptos)
3.- Se quiere equilibrar el sistema mediante una masa m a una distancia R del eje.
Determinar su valor y coordenadas en xyz
(4 ptos)
Ay = By =
z
By
Bx
R
y
R
x
R
Ay
Ax
Az
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 12-09-2003.
PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40'
1. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento. Definir y deducir la expresión
matemática para su obtención. Para el sólido de la figura que se mueve con su
punto A sobre
r la recta x=0 z=0, y B sobre x=0 z=L con velocidad
r
r
VA = VB = V j y velocidad angular la de la figura: cuál es el e.i.r.d., cuál es el
valor de la velocidad de deslizamiento, qué relación existe entre esa velocidad y
la de A. Comentar estos resultados desde el punto de vista teórico.
B
z
L
ω
h
x
y
A
V
2. Definir el coeficiente de restitución de Newton y su utilidad. Clasificar los tipos
de choque en función de este coeficiente y según la geometría. Las dos bolas (A
y B) de la figura son iguales (masa M y radio R), y están situadas en un plano
horizontal sobre el que pueden rodar sin deslizar. Se lanza la bola A con
velocidad V sobre B, de modo que se produce un choque central directo y
elástico. Indicar la máxima defomación del muelle de longitud sin tensión L, y la
velocidad de A cuando vuelva a pasar por la posición inicial argumentando las
respuestas dadas.
K, Lo=L
V
B
A
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 12-09-2003.
SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
El mecanismo de la figura está compuesto por un disco de centro A y radio R que rueda
sin deslizar sobre la periferia de un semicírculo de radio 3R, por una barra AB de
longitud 2R articulada en A al disco y en B a una barra BO de longitud 2 3 R que
tiene un punto fijo en O. El disco tiene una velocidad angular ω constante en sentido
positivo. En el instante representado en la figura obtener:
1. Velocidad angular de las barras AB y BO (2 puntos)
2. Aceleración del punto A del disco (5 puntos)
3. Aceleración angular de las barras AB y BO (3 puntos)
ω
A
2R
B
R
2 3R
3R
60º
O
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 12-09-2003.
TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 40'
El cable de la figura tiene un peso q por unidad de longitud, y una longitud total de 10L.
Uno de sus extremos está unido a la articulación C de la celosía de la figura, situada a
una altura 2L del suelo, mientras que por el otro lado, el cable apoya sobre el suelo a lo
largo de una longitud 6L. La celosía se halla montada en A y B sobre un vehículo que
se mueve en línea recta con velocidad constante v. Determinar:
1. Valor del coeficiente de rozamiento entre el suelo y el cable (6 puntos).
2. Esfuerzos soportados por las barras DF y EG de la celosía (4 puntos).
A
2L
2L
2L
F
2L
D
C
E
G
B
v
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL. 12-09-2003.
CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 40'
Una rueda de radio R y masa 2M distribuida uniformemente en su periferia gira en
torno a un eje horizontal AB sin masa cuya velocidad angular es ω1 constante. El eje
AB gira en torno al eje vertical OD, que pasa por el centro de la rueda a una velocidad
angular ω2 también constante. Los sentidos de rotación son los indicados en la figura.
La distancia AO=OB=h y el apoyo en A no absorbe esfuerzos axiales.
Calcular las reacciones en los cojinetes A y B.
MECANICA APLICADA. EXAMEN FINAL DE JUNIO. 20-06-2003.
QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 45'
Se desea hacer un estudio de las características dinámicas de un sistema mecánico para
clavar pilotes de construcción en un terreno (figura 1). El sistema mecánico está
formado básicamente (ver figura 2) por un elemento elástico que se cuelga de un cable
de grúa en A y que lleva una barra horizontal CD en su otro extremo; de esa barra
cuelga mediante dos resortes CE y DF un sistema que genera vibraciones mediante
masas excéntricas, y que lleva sujeto el pilote P que se va clavando en el suelo de una
elasticidad conocida.
Para ello se plantea un modelo simplificado (ver figura 3) constituido por dos masas de
dimensiones despreciables suspendidas por muelles, y donde el terreno es modelizado
mediante un muelle. Considerando únicamente el estudio del movimiento vertical,
obténgase la matriz de rigidez y la matriz de masas del sistema.
A
K=4Mg/L
Lo=0
C
K1=3Mg/2L
Lo=0
L
B
M
D
K2=3Mg/2L
Lo=0
L
F
E
4M
L
K3=Mg/L
Lo=2L
Figura 1
Figura 2
Figura 3
