Tema 3 Álgebra

Tema 1II: Aplicaciones
Lineales
Asignatura: Álgebra
David González de la Aleja Gallego
Departamento de Matemática Aplicada
Tema III: Aplicaciones Lineales
• ¿Qué es una Transformación Lineal?
• Aplicaciones Lineales de ℝn a ℝm.
• Aplicaciones Lineales utilizando Coordenadas.
Departamento de Matemática Aplicada
¿Qué es una transformación lineal?
Una aplicación lineal (o transformación lineal) es una función T entre dos espacios
vectoriales, V y W
T: V
v⃗
que cumple:
• T ( u ⃗ + v )⃗ = T ( u )⃗ + T ( v )⃗
• T (λ v )⃗ = λT ( v )⃗
→
→
W
T ( v )⃗
∀ u ,⃗ v ⃗ ∈ V .
∀ v ⃗ ∈ V, ∀λ ∈ ℝ .
Por ejemplo, T : ℝ2 → ℝ2 tal que T
1
2
=
(0) (0)
y
T
0
0
.
=
(1) (2)
T
T
2
0
1
0
2
0
2
4
=T
+T
= 2T
+ 2T
=2
+2
=
(2)
(0)
(2)
(0)
(1)
(0)
(2) (4)
:
Tema 3: Aplicaciones Lineales
Transformaciones lineales y matrices - YouTube
3
¿Qué es una transformación lineal?
Matrices
La transformación mediante una matriz es una aplicación lineal. Para A ∈
T : ℝn
x⃗
→
→
m×n
,
ℝm
T( x ⃗ ) = A x ⃗
es una aplicación lineal porque:
• T( x ⃗ + y ⃗ ) = A( x ⃗ + y ⃗ ) = A x ⃗ + A y ⃗ = T( x ⃗ ) + T( y ⃗ )
• T(λ x ⃗ ) = A(λ x ⃗ ) = λ A x ⃗ = λT( x ⃗ )
∀ x ,⃗ y ⃗ ∈ ℝn .
∀ x ,⃗ ∈ ℝn, λ ∈ ℝ .
Ejemplo:
Para A =
1 5 −1
∈
(6 −9 1 )
ℝ3
x
y
(z)
→
→
, definimos la aplicación lineal
ℝ2
x
x
1
5
−1
y
T y =
(
)
6
−9
1
(z)
(z)
𝔐
T:
2×3
4
:
.
𝔐
Tema 3: Aplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales de ℝn a ℝm.
Teorem
Sea T : ℝn → ℝm una aplicación lineal. Entonces, para cada x ⃗ ∈ ℝn, se cumple qu
T ( x ⃗ ) = T (x1 e 1⃗ + x 2 e 2⃗ + … + xn e n⃗ ) = x1T
es decir, existe una única matriz A ∈
T( x ⃗ ) = A x ⃗
con
m×n
1
0
⋮
0
+ … + x nT
0
0
⋮
1
1
0
⋮
0
= T
0
0
⋮
1
… T
x1
x2
⋮
xn
tal qu
A = (T( e 1⃗ ) T( e 2⃗ ) … T( e n⃗ )) .
Por ejemplo, dada una aplicación lineal T : ℝ2 → ℝ2 definida por T (y) =
, la
(x − y)
x+y
x
matriz que define la aplicación es:
T
T
1
1
=
(0) (1)
A=
0
1
=
(1) (−1)
1 1
.
(1 −1)
5
e
,
e
a
𝔐
Tema 3: Aplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales de ℝn a ℝm.
Núcleo e Imagen
Sea T : ℝn → ℝm una aplicación lineal. Definimos:
✦ Núcleo: es el conjunto de vectores de ℝn que tienen valor 0 ,⃗ es decir,
⃗
Ker(T ) = { x ⃗ ∈ ℝn / T( x ⃗ ) = 0 }
✦ Imagen: es el conjunto de vectores de ℝm que se obtienen a partir de T, es decir,
Im(T ) = { y ⃗ ∈ ℝm / T( x ⃗ ) = y ⃗ para algún x ⃗ ∈ ℝn}
Debido a que T : ℝn → ℝm está definida por una matriz A ∈
m×n
, tenemos que
n
n
⃗
⃗
• Ker(T ) = { x ⃗ ∈ ℝ / T( x ⃗ ) = 0 } = { x ⃗ ∈ ℝ / A x ⃗ = 0 } = Ker(A)
• Im(T ) = Col(A) ya que si A = ( a 1⃗ a 2⃗ … a n⃗ ) entonces
T( x ⃗ ) = A x ⃗ = x1 a 1⃗ + x2 a 2⃗ + … + xn a n⃗
6
:
.
:
.
.
.
𝔐
Tema 3: Aplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales de ℝn a ℝm.
Sobreyectiva, Inyectiva y Biyectiva
Sea T : ℝn → ℝm una aplicación lineal. Definimos:
✤ Sobreyectiva: si la imagen de T es ℝm
✤ Inyectiva: si T( x ⃗ ) ≠ T( y ⃗ ) para cada x ,⃗ y ⃗ ∈ ℝn con x ⃗ ≠ y ⃗
✤ Biyectiva: si es sobreyectiva y inyectiva.
Teorem
Sea T : ℝn → ℝm una aplicación lineal con matriz asociada A ∈
• T es inyectiva
• T es sobreyectiva
⇔
(A | 0 )⃗ tiene una única solución
Col(A) = ℝm
⇔
m×n
. Entonces
⇔
rango(A) = n
⇔
rango(A) = m.
7
.
:
.
.
a
𝔐
Tema 3: Aplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales de ℝn a ℝm.
Sobreyectiva, Inyectiva y Biyectiva (Ejemplo)
Para la matriz
2 1 3 −2
C = 2 −1 5 2
(
)
1 1 1 1
se pide
• Define la aplicación lineal asociada a C
• ¿Es sobreyectiva, inyectiva y/o biyectiva?
La aplicación lineal asociada a C es T : ℝ4 → ℝ3 tal qu
T( x ⃗ ) = C x ⃗
Esta aplicación no es inyectiva ya que rango(C) ≤ 3 y n = 4. Entonces tampoco es biyectiva.
Finalmente, veamos que es sobreyectiva:
2 1 3 −2
2 −1 5 2
(
)
1 1 1 1
→
1 1 1 1
0 1 −1 4
(0 0 0 1)
→
rango(C ) = 3 y m = 3.
8
e
.
,
.
:
Tema 3: Aplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales de ℝn a ℝm.
Sobreyectiva, Inyectiva y Biyectiva
Teorem
Sea T : ℝn → ℝn una aplicación lineal con matriz asociada A ∈
• T es inyectiva
⇔
T es sobreyectiva
⇔
n×n
cuadrada. Entonces
T es biyectiva ⇔
A es invertible
Además, en este caso, existe la función inversa de T
T −1 : ℝn
x⃗
→
→
ℝn
T −1( x ⃗ ) = A −1 x ⃗
Por ejemplo, la aplicación lineal asociada a la matriz
3 −4 −1
A = −3 2
0 es biyectiva ya que rango(A) = 3
( 0 −2 −2)
→
3 −4 −1
0 2
1
(0 0 −1)
Además, la aplicación inversa es T −1 : ℝ3 → ℝ3 con matriz asociada
:
.
.
9
:
.
a
𝔐
Tema 3: Aplicaciones Lineales
2/3 1/3 −1
=
0
0 1/2
( −1 −1 1 )
A
−1
Aplicaciones Lineales utilizando Coordenadas
Sea T : ℙ3 → ℙ2 la aplicación lineal que transforma cada polinomio en su derivada. Por
ejemplo, la base canónica la transforma en:
T(1) = 0,
T(x) = 1,
T(x 2) = 2x,
T(x 3) = 3x 2
También, se puede escribir en coordenadas
T̃ ( e 1⃗ ) = 0 ,⃗ T̃ ( e 2⃗ ) = e 1⃗ , T̃ ( e 3⃗ ) = 2 e 2⃗ , T̃ ( e 4⃗ ) = 3 e 3⃗
donde T̃ : ℝ4 → ℝ3 es la aplicación lineal actuando en las coordenadas. Además, podemos
definir la matriz asociada
0 1 0 0
A= 0 0 2 0
(0 0 0 3)
Entonces, para transformar 1 + 3x + 5x 2 + 4x 3 hacemos lo siguiente
c
1
0 1 0 0
3
3
= 10
0 0 2 0
(0 0 0 3) 5
(12)
4
:
.
.
:
:
= 3 + 10x + 12x 2 .
c
10
Tema 3: Aplicaciones Lineales
.
→
3
10
[12]
𝔅
→
𝔅
1
3
1 + 3x + 5x 2 + x 3 =
5
4
Matriz Asociada
Sea T : V → W una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y W, y
consideramos
• V
→
• W
→
V
= { v 1⃗ , v 2⃗ , …, v n⃗ } .
W
= { w 1⃗ , w 2⃗ , …, w m⃗ } .
Entonces, para cada v ⃗ ∈ V con coordenadas x ⃗ con respecto a
V
T( v ⃗ ) = x1T( v 1⃗ ) + x2T( v 2⃗ ) + … + xnT( v n⃗ ) = [x1 a 1⃗ + x2 a 2⃗ + … + xn a n⃗ ]
donde a i⃗ son las coordenadas de T( v i⃗ ) con respecto a
T [ x ⃗]
V
= [A x ⃗ ]
W
V,
W. Por
W
𝔅
𝔅
,
:
:
matriz se
(T )
𝔅
.
𝔅
𝔅
𝔙
lo tanto
W. Esta
V
Tema 3: Aplicaciones Lineales
𝔅
W
A = ( a 1⃗ a 2⃗ … a n⃗ )
con
la matriz asociada a la aplicación con respecto a las base
denota por
:
𝔅
𝔅
𝔐
𝔅
𝔅
Aplicaciones Lineales utilizando Coordenadas
11
Aplicaciones Lineales utilizando Coordenadas
Matriz Asociada (Ejemplo)
Dada la aplicación lineal
T:
ℝ2
x
(y)
ℝ2
x+y
(x − y)
→
→
se pide calcular
• La matriz asociada a la aplicación lineal, o lo que es lo mismo,
T( e 1⃗ ) =
1
1
1
1
=
, T( e 2⃗ ) =
=
(1) [1]
(−1) [−1]
→
c
(T ) con
,
c
(T )
(T ) =
c
1 1
(1 −1)
1
1
,
{(0) (1)}
0
1
=
,
(1) [1]
T
2
2
1
=
=
(1) (0) [0]
→
,
(T ) =
0 2
(1 0)
𝔅
𝔅
𝔅
𝔐
𝔅
𝔅
𝔐
12
.
.
:
.
,
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
Tema 3: Aplicaciones Lineales
:
𝔐
𝔐
𝔅
𝔅
𝔅
T( e 1⃗ ) =
=
c,
c
𝔅
•
c,
Aplicaciones Lineales utilizando Coordenadas
Matriz Asociada y Cambios de Base
Otra forma de calcular
(T ) =
,
T
0 2
es utilizar el siguiente diagrama:
(1 0)
P
T
c
P
(T ) = P
=
1 1
(0 1)
c←
(T ) =
c
c,
c
,
=
c
←
Para transformar v ⃗ tenemos dos opciones
•
v ⃗ = [ x ⃗]
→
b⃗ =
•
v ⃗ = [ x ⃗]
→
y⃗=P
(T ) x ⃗
,
c←
x⃗
→
→
←
1 1
(1 −1)
c,
c
c
→
(T )P
,
1 −1
(0 1 )
c←
(T ) =
.
0 2
(1 0)
T( v ⃗ ) = [ b ]⃗
z⃗ =
c,
c
(T ) y ⃗ →
b⃗ = P
←
c
z⃗
→
T( v ⃗ ) = [ b ]⃗ .
Por tanto,
𝔅
c
(T )P
c←
x ⃗.
𝔅
c,
𝔐
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
c
13
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
.
𝔐
𝔐
:
𝔐
𝔐
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
Tema 3: Aplicaciones Lineales
𝔐
𝔐
𝔐
𝔐
𝔅
𝔅
𝔅
←
𝔅𝔅
𝔅
(T ) x ⃗ = P
,
𝔅
𝔅
b⃗ =
Sobreyectiva, Inyectiva y Biyectiva
Sea T : V → W una aplicación lineal. Definimos:
✤ Sobreyectiva: si
⃗
✦ Ker(T ) = { v ⃗ ∈ V / T( v ⃗ ) = 0 }
✦
Im(T ) = W
✤ Inyectiva: si
Ker(T ) = 0 ⃗ .
Im(T ) = { w ⃗ ∈ W / T( v ⃗ ) = w ,⃗ v ⃗ ∈ V}
✤ Biyectiva: si es
sobreyectiva y
inyectiva
❖ Isomorfimos: si
T es lineal y biyectiva.
❖ Endomorfismo: si
T : V → V es lineal
❖ Automorfismo: si
T : V → V es lineal y
biyectiva.
Teorem
Sea T : V → W una aplicación lineal con matriz asociada A =
W
(T ) ∈
m×n
. Entonces
V,
W
(T ) es invertible.
14
𝔅
𝔅
⇔
rango(A) = n
rango(A) = m
• T es sobreyectiva ⇔
Si m = n,
T es inyectiva ⇔ T es sobreyectiva ⇔ T es biyectiva ⇔
V,
• T es inyectiva
:
.
.
.
.
a
.
𝔐
𝔅
𝔅
Tema 3: Aplicaciones Lineales
𝔐
𝔐
Aplicaciones Lineales utilizando Coordenadas
Aplicaciones Lineales utilizando Coordenadas
Sobreyectiva, Inyectiva y Biyectiva (Ejemplo)
Sea T : 2×2 → 2×2 una aplicación lineal definida como T(C ) = C − C T. Prueba si
es sobreyectiva, inyectiva y/o biyectiva.
0
1 0
1 0
1 0
0 0
0
T
=
−
=
=
(0 0) (0 0) (0 0) (0 0)
0
0
c
0
0 0
0 0
0 1
0 −1
−1
T
=
−
=
=
(1 0) (1 0) (0 0) (1 0 )
1
0
0
0 1
0 1
0 0
0 1
1
T
=
−
=
=
(0 0) (0 0) (1 0) (−1 0)
−1
0
c
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
T
=
−
=
=
(0 0) (0 1) (0 1) (0 0)
0
0
c
c
La matriz asociada respecto a las bases canónica es:
c,
0 0
0 0
0 1 −1 0
(T
)
=
c
0 −1 1 0
0 0
0 0
𝔅
𝔅
𝔐
𝔅
𝔅
𝔅
𝔅
Como el rango es 1 y n = m = 4, no es sobreyectiva, inyectiva ni biyectiva.
15
𝔐
𝔐
Tema 3: Aplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales utilizando Coordenadas
Núcleo e Imagen (Ejemplo)
Calcula también una base para el núcleo y la imagen:
1
0
0
0
0
1
,
,
0
1
0
0
0
1
• Como el núcleo de la matriz es L
𝔅
𝔅
.
Tema 3: Aplicaciones Lineales
.
, entonces una base para el núcleo de T es:
0
1
−1
0
, entonces una base para la imagen de T es:
0 1
{(−1 0)}
16
Im(T ) =
𝔅
𝔅
1 −1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0
0 1
0 0
,
,
{(0 0) (1 0) (0 1)}
• Como el Col de la matriz está generado por
𝔐
0
0
0
0
Ker(T ) =
→
.
c,
0 0
0 0
0 1 −1 0
(T
)
=
c
0 −1 1 0
0 0
0 0
Ejercicios
★ Álgebra Lineal con métodos elementales (Luis Merino y Evangelina Santos)
• Ejercicios Resueltos del Tema III: 32 al 42
• Ejercicios Propuestos del Tema III: 87 al 103, del 105 al 112, 114, 116 y 117
En clase haremos: 87.1, 90, 91, 94, 96, 103, 106, 110, 117.
★ Álgebra Lineal y sus aplicaciones 4º Edición (David C. Lay). En clase haremos:
• Ejercicios 1.8: 11, 20
• Ejercicios 1.9: 1, 5
• Ejercicios 2.3: 33.
Ecuaciones paramétricas
:
.
.
.
.
Departamento de Matemática Aplicada