Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema se dice escalonado cuando cada ecuación tiene al menos una incógnita menos que la ecuación anterior. Resolver un sistema escalonado es muy fácil. La idea del método de Gauss es transformar el sistema que me den en otro escalonado haciendo transformaciones elementales. Claro, esas transformaciones elementales no deberían cambiar la solución del sistema de partida. El sistema lo escribimos en forma matricial. Una ecuación del sistema viene a ser equivalente a una fila de la matriz. Las transformaciones elementales que se pueden realizar y que no cambian la solución del sistema de partida son: intercambiar dos filas Multiplicar (o dividir) una fila por un número distinto de cero Sustituir una fila, digamos i, por la combinación: aFi + bFj , siendo a y b números. Tema 3: Resolución de sistemas 1/3 Vale, suponer que hemos aplicado el método de Gauss y hemos transformado el sistema de partida en otro escalonado. Algunas definiciones Suponer que aparece alguna fila toda de ceros. Eso es equivalente a una ecuación de la forma 0x1 + 0x2 + · · · + 0xn = 0. Esa ecuación se llama ecuación trivial. No cuenta para nada. Se puede quitar. Suponer que aparece alguna fila de la forma 0 0 . . . 0 | b, con b ̸= 0 (claro!, si no sería ecuación trivial), se supone que b esta en la posición de los términos independientes. Esa fila es equivalente, pensando en ecuaciones a 0x1 + 0x2 + · · · 0xn = b. Imposible. No hay ningún valor de x1 , . . . , xn que cumpla esa ecuación. Como no podía ser de otra forma, se llama ecuación imposible. El resto de ecuaciones se llaman ecuaciones válidas. Tema 3: Resolución de sistemas 2/3 Clasificación o discusión del Sistema. Quedamos que el sistema lo hemos transformado en escalonado y añado, que hemos quitado (al menos no las contemos) las ecuaciones triviales. Si aparece una ecuación imposible el sistema es incompatible, (SI), significa que no hay solución Si nº de ecuaciones válidas = nº incógnitas ⇒ Sistema Compatible Determinado (SCD), significa que hay una sola solución Si nº de ecuaciones válidas < nº incógnitas ⇒ Sistema Compatible Indeterminado (SCI), significa que hay infinitas soluciones En el caso de que exista (una o infinitas) solución se obtiene resolviendo el sistema escalonado. Tema 3: Resolución de sistemas 3/3
