APLICACIÓN DE DERIVADAS A INGENIERIA CIVIL NOMBRES: Elías Calle Tirado Luis Tarifa Miranda Anita Sánchez Gudiño DOCENTE: Ing. Claudia Celis MATERIA: CALCULO II CARRERA: Ingeniería Civil Tarija, 17 de mayo de 2018 INGENIERIA CIVIL INTRODUCCIÓN La madera ha sido en el pasado el material más utilizado para construir, hasta que los avances tecnológicos en hormigón y acero la relegaron a un segundo plano. El uso del cálculo diferencial es muy amplio tanto en los trabajos de ingeniería civil, al igual que en diversas ramas. Teniendo en cuenta la importancia de la madera, no solo en el sentido tradicional o decorativo, sino también como material suplente del hormigón (tal como se lo hacía hasta unas cuantas décadas atrás en nuestro país), se ha dedicado un espacio para presentar un ejemplo práctico y muy útil, como es el cálculo de la máxima resistencia de una viga en función de sus dimensiones; lo cual es muy útil al momento de cortar una barra a partir de un tronco, aprovechando completamente su espesor y su anchura. Una demostración muy sencilla, pero ventajosa al momento de decidir las medidas de la viga que será extraída. Un problema matemático que, sin el e l conocimiento del cálculo de máximos y mínimos a través de la derivada, sería muy complejo de solucionar. En la ingeniería civil la aplicación del cálculo diferencial, principalmente las derivadas de puntos máximos y mínimos son de gran relevancia ya que nos ayudan a identificar la l a flexibilidad de una viga de madera dependiendo de la calidad de esta. Los futuros ingenieros civiles debemos tener dominio de estos conceptos que sustentan los sistemas de la ciencia y usar adecuadamente modelos matemáticos para analizar y precisar el comportamiento de dichos sistemas en su carrera profesional. En este informe se detalla la aplicación de máximos y mínimos en una función para calcular la viga con mayor ma yor resistencia que se puede obtener a partir p artir de un tronco en general. OBJETIVOS Conocer el concepto de derivada Identificar las aplicaciones de las derivadas en ingeniería civil Realizar un ejemplo de una aplicación de la derivada a ingeniería civil MARCO TEORICO 1. Aplicación de las Derivadas en los problemas p roblemas de Ingeniería Civil La ingeniería civil es la rama r ama de la ingeniería que aplica los conocimientos de física, química, cálculo y geología a la elaboración de infraestructuras, obras hidráulicas y de transporte. La denominación "civil" se debe a su origen diferenciado de la ingeniería militar. Tiene también un fuerte componente organizativo que logra su aplicación en la INGENIERIA CIVIL administración del ambiente urbano principalmente, y frecuentemente rural; no sólo en lo referente a la construcción, sino también, ta mbién, al mantenimiento, control y operación de lo construido, así como en la planificación de la vida humana en el ambiente diseñado desde esta misma. Esto comprende planes de organización territorial tales como prevención de desastres, control de tráfico y transporte, manejo de recursos hídricos, servicios públicos, tratamiento de basuras y todas aquellas actividades que garantizan el bienestar de la humanidad que desarrolla su vida sobre las obras civiles construidas y operadas por ingenieros. Apartar del cálculo diferencial se pudieron calcular formulas, como por ejemplo, la fórmula del área de un triángulo A=BxH 2 , salió sali ó a partir de calcular el área bajo la recta de un triángulo. Ahora, existe otra cuestión fundamental, que es el hecho de que sirve para p ara calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de fluidos, etc. Por ejemplo, en la práctica profesional de Ingeniería civil, ci vil, en muchos casos, se hace necesario conocer el caudal de un rio, cual es la velocidad que lleva el agua y que es en función del tiempo, ya que esta información permite conocer con buena precisión el balance hidrológico que tiene esta corriente de agua, además que son datos básicos bási cos para la construcción de obras hidráulicas, todo esto no sería posible sin el uso de derivadas. 2. Resistencia de vigas En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento estructural lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o funcionamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico. La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son sólidos deformables, en teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular INGENIERIA CIVIL aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las la s vigas como si fueran elementos unidimensionales. 3. La Derivada la derivada puede entenderse geométricamente de la siguiente forma: “La recta tangente a la curva y= f(x) en P[c,f(c)] es la recta que pasa por P con pendiente”: “Siempre y cuando exista el límite y no sea ∞ ó -∞ “ nos presentan la definición formal de la derivada de la siguiente forma: La derivada de una función f es otra función (léase “f prima”) cuyo valor en cualq cualquier uier número x es 4. Derivada de orden superior La operación de derivación toma una función f y produce una nueva función f`. Si ahora derivamos f´, producimos otra función denotada por f ´´(léase “f biprima”) y denominada segunda derivada de f.A su vez, puede derivarse, y de ahí producir f```,que se denomina tercera derivada de f, y así sucesivamente. La cuarta derivada se denota con f (4), la quinta derivada se denota con f (5), etcétera. Por ejemplo, si f (x)=2x3−4x2+7x−8 f ´(x)=6x2−8x+7 f ´´(x)=12x−8 ´´(x)=12x−8 f ´´´(x)=12 f ´´´´(x)=0 5. Funciones Implícitas Es aquella función en la que la variable dependiente y, se halla mesclada con la variable independiente x, se puede expresar como: f(xy)=0 4x5y3+2x3y2-3xy+2=0 DERIVACIÓN IMPLICITA En este tipo de funciones, como se indicó anteriormente, la variable y, esta mesclada con la variable x, de la que depende, de forma que cada vez que derivemos la variable y tendremos que multiplicarla por el termino dy/dx=y’ A nivel práctico puede decirse que la variable y, se derivara como si fuese una x, para a continuación multiplicarla por y’. INGENIERIA CIVIL Ejemplo: se tiene x5y3 cuya derivada será realizada como un producto, esto es: 5x4y3+x5(3y2)y’ PROBLEMA DE DERIVADAS REFERENTE A INGENIERIA CIVIL 1. Enunciado del problema “La resistencia de una viga rectangular rect angular es proporcional al producto del ancho por el cuadrado de su espesor (altura). Calcular las dimensiones de la viga más resistente que puede cortarse de un tronco cuya sección transversal es una elipse de semiejes a (mayor) y b (menor)” 2. Solución del problema Identificamos los datos Una vez obtenidas nuestras ecuaciones, procedemos a despejar ecuaciones y suplantarlas hasta conocer el valor de nuestras incógnitas. Cabe destacar que al existir dos ecuaciones con dos incógnitas, el sistema tiene solución. INGENIERIA CIVIL CONCLUSIONES • • Aprendimos las diferentes aplicaciones de derivadas a ingeniería civil Identificamos los valores proporcionales que afectaran a las dimensiones que tendrá la viga con mayor resistencia que se puede obtener a partir parti r del tronco de un árbol. • Conocimos el concepto de Derivadas y sus antecedentes.