MATEMÁTICA BÁSICA
PARA INGENIERÍA
SESIÓN 3: Espacios y subespacios vectoriales
Departamento de Ciencias
INTRODUCCIÓN
Tipos de codificación
Utilizando espacios vectoriales se
han desarrollado códigos que
detectan y corrigen errores en la
transmisión de información en
forma
digital.
Todos
los
dispositivos utilizados hoy en día
(computadoras,
teléfonos
celulares,
redes
de
telecomunicaciones,
etc.)
emplean alguno de estos tipos de
codificación.
SABERES PREVIOS
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LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
identifica y diferencia un espacio
vectorial de un sub espacio vectorial,
utilizando
los
axiomas
y
propiedades de espacio vectorial de
forma correcta.
Contenidos
Espacios vectoriales
Propiedades de los E.V.
Subespacios vectoriales
Propiedades de los S.V.
Ejercicio 1
Determine si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales. Justifique su respuesta.
a) 𝑉 =
𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 Τ𝑦 = 2𝑥 + 3
b) 𝑇 =
𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ3 Τ5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
Solución:
a)
𝑉 ≠ ∅, pues (0,3) ∈ 𝑉. Sea 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑥2 , 𝑦2 ∈ 𝑉:
𝑦1 + 𝑦2 = 2𝑥1 + 3 + 2𝑥2 + 3 = 2 𝑥1 + 𝑥2 + 6 2 𝑥1 + 𝑥2 + 3
Entonces concluimos que V no es subespacio vectorial.
Ejercicio 1
b)
𝑇 ≠ ∅, pues (1,0, −5) ∈ 𝑇. Sea 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑥2 , 𝑦2, , 𝑧2 ∈ 𝑇:
5(𝑥1 + 𝑥2 ) − 2 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦1 + 𝑦2 = 5𝑥1 − 2𝑦1 + 𝑧1 + 5𝑥1 − 2𝑦1 + 𝑧1 = 0 + 0 = 0
Por lo tanto,
Sea
(𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 ) ∈ 𝑇 .
𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ∈ 𝑇 𝑦 𝑘 ∈ 𝑅:
5𝑘𝑥1 − 2𝑘𝑦1 + 𝑘𝑧1 = 𝑘 5𝑥1 − 2𝑦1 + 𝑧1 = 𝑘. 0 = 0
Por lo tanto 𝑘(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) ∈ 𝑇
T si es un subespacio vectorial de R3
Ejercicio 2
Determine si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de ℝ2 . Justifique su respuesta.
a) W = (𝒙, 𝒚) ∈ ℝ2 Τ𝒙𝒚 = 𝟎
b) 𝑇 = W = (𝒙, 𝒚) ∈ ℝ2 Τ𝒙 = 𝟎
Solución:
a) Se cumple (0,0) ∈ W.
La suma de dos vectores de W puede no estar en W, por ejemplo: (1,0)+(0,1) = (1,1) ∉ W
Entonces W no es un subespacio de ℝ2 .
b) Se cumple (0,0) ∈ T.
Sea (0, y1) ∈ T y (0, y2) ∈ T. Tenemos: (0, y1) + (0, y2) = (0, y1+y2) ∈ T
Sea (0, y) ∈ T y 𝑘 ∈ 𝑅 . Tenemos: k(0, y1) = (k.0, k.y) = (0, ky) ∈ T
Ejercicio 3
Determine si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de ℝ2 . Justifique su respuesta.
a) W = 𝑨 ∈ ℝ2𝑋2 Τ AT = A , es decir, el conjunto de matrices simétricas de 2x2
b) T = 𝑨 ∈ ℝ2𝑋2 Τ det(A) = 0
Solución:
a) Se cumple que
0
0
0
∈ W, pues la matriz nula es simétrica.
0
Sea A ∈ W y 𝑘 ∈ 𝑅. Tenemos: (kA)T = kAT = kA ∈ W
Entonces W es un subespacio de ℝ2𝑥2 .
b) Se cumple que
con A =
0
0
0
∈ T, pues la determinante de la matriz nula es 0.
0
1 −3
0 0
1 −3
yB=
, det(A) = det(B) = 0. Pero, det(A+B) = det(
)≠0
−1 3
−2 5
−3 8
Ejercicio 4
Determine si el conjunto W = 𝒑 ∈ 𝑃2Τ𝑝 0 = 0 , es decir los polinomios de grado menor o igual que
2 (incluyendo el polinomio nulo) tales que evaluados en 0 dan por resultado 0, es un subespacios
vectoriales de 𝑃2.
Solución:
a) Se cumple que 𝑝 ≡ 0 ∈ W, pues es el polinomio nulo.
Sea p, q ∈ W. Recordemos la definición de suma de funciones.
Entonces, 𝑝 + 𝑞 x = p(x) + q(x), para todo x que pertenece al dominio de p y q. Entonces, (p + q) ∈ W
Sea p ∈ W y 𝑘 ∈ 𝑅. Recordemos la definición de producto de un real por una función.
Entonces, 𝑘𝑝 x = kp(x), para todo x que pertenece al dominio de p. Entonces, (kp) ∈ W
Entonces W es un subespacio de ℝ2𝑥2 .
Ejercicio 5
Determinar si T = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 / 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0} es un subespacio de ℝ3 .
Solución:
𝑇 ≠ ∅, pues (2,0, −1) ∈ 𝑇. Sea 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑥2 , 𝑦2, , 𝑧2 ∈ 𝑇:
(𝑥1 +𝑥2 ) + 𝑦1 + 𝑦2 + 2 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑦1 + 2𝑧1 + 𝑥1 + 𝑦1 + 2𝑧1 = 0 + 0 = 0
Por lo tanto,
(𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 ) ∈ 𝑇 .
Por lo tanto 𝑘(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) ∈ 𝑇
T si es un subespacio vectorial de R3
Ejercicio 6
El subespacio vectorial 𝑉 = 𝑠 1,0,2 + 𝑡 1,1,0 : 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ es equivalente a:
a)
𝑥, 𝑦, 𝑧 : −2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
b)
𝑥, 𝑦, 𝑧 : −2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
c)
𝑥, 𝑦, 𝑧 : 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
Solución:
Dado un vector 𝑣 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑠 1,0,2 + 𝑡 1,1,0 = 𝑠 + 𝑡, 𝑡, 2𝑠 , para algún t y s
Entonces 𝑥 = 𝑠 + 𝑡 ,
𝑧
2
Entonces: 𝑥 = + 𝑦
Esta ecuación representa un plano en 𝑅3 .
𝑦=𝑡 ,
2𝑥 = 𝑧 + 2𝑦
𝑧 = 2𝑠
−2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
Ejercicio 7
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) 𝑉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑥 + 𝑦 = 3𝑧 es un subespacio vectorial de ℝ3 .
b) Sea 𝑉 ⊂ ℝ4 . Si 0,0,0,0 ∉ 𝑉, entonces 𝑉 no es un subespacio vectorial.
c) 𝑉 = 𝑥, 𝑦, 0 : 𝑥 = 𝑦 es un subespacio de 𝑊 = 0, 𝑦, 𝑧 : 𝑦 = 𝑧 .
Solución:
a) Vemos que 𝑉 ≠ ∅, pues (1,2,1) ∈ 𝑉. Sean 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 𝑦 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ∈ 𝑉
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑥2 + 𝑦2 = 3𝑧1 + 3𝑧2 = 3 𝑧1 + 𝑧2
También: 𝑘𝑥1 + 𝑘𝑦1 = 𝑘 𝑥1 + 𝑦1 = 𝑘 3𝑧2 = 3𝑘 𝑧2
Por lo tanto V es subespacio. Verdadero.
b) Si 0,0,0 𝑉, el conjunto V debe ser también espacio vectorial, y no puede serlo sin elemento neutro. Verdadero
c) 𝑉 =
1,1,0
y 𝑊=
0,1,1
tienen diferentes vectores generadores. Falso
Ejercicio 8
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) 𝑉 =
𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑥 ≠ 𝑦 es un subespacio vectorial de ℝ3 .
b) Sea 𝑉 ⊂ ℝ3 un subespacio vectorial. Si 0,0,0 ∈ 𝑉 y 1,1,1 ∈ 𝑉, entonces 2,2,2 ∈ 𝑉.
c) 𝑉 =
𝑥, 𝑦, 0 : 𝑥 = 𝑦 es un subespacio de 𝑊 =
𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 .
Solución:
a) V es un subconjunto de R3 , 𝑉 ≠ ∅, 𝑝𝑢𝑒𝑠 (1,2,1) ∈ 𝑉. Si 1,2, 𝑧1 , 2,1, 𝑧2 ∈ 𝑉, pero 1 + 2 = 2 + 1.
Es decir, la suma no pertenece a V. Por lo tanto, que V no es subespacio vectorial. Falso.
b) Es verdadero, porque
c) 𝑉 =
1,1,0
2,2,2 = 2(1,1,1).
es subespacio de 𝑊 = 𝑅3 . Verdadero
TRABAJO EN EQUIPO
Instrucciones
1. Ingrese a la sala de grupos
reducidos asignada.
2. Desarrolle las actividades
asignadas
3. Presente su desarrollo en
el Padlet del curso.
METACOGNICIÓN
¿Qué dificultades se
presentaron?
¿Qué hemos aprendido en esta
sesión?
¿Cómo se absolvieron las dificultades
encontradas?
¿Qué tipos de problemas
se pueden resolver
mediante esta teoría?
REFERENCIAS
GRACIAS
