Reconocimiento de saberes previos: Dada la ecuación de la circunferencia (𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟗)𝟐 = 𝟒𝟗 Determine las coordenadas de su centro y la longitud del radio. Determine la ecuación de una recta que pasa por el punto 𝐀(𝟑; 𝟏) y que sea perpendicular a la recta 𝑳𝟏 : 𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟖𝟎 = 𝟎 Calcule la distancia del punto 𝐏(𝟕; 𝟗) al centro de la circunferencia 𝑪: 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟓 Observación: • (𝒙 − 𝒂)𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 • (𝒙 + 𝒂)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 Determine el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia según la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 − 2𝑦 = 0 Resolución De la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 − 2𝑦 = 0 Arreglamos la ecuación (𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔𝟐 ) + (𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + 𝟏𝟐 ) = 0 + 𝟔𝟐 + 𝟏𝟐 (𝒙 − 𝟔)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟑𝟕 (𝒙 − 𝟔)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = (√𝟑𝟕) 𝟐 Coordenadas del centro: 𝑪(𝟔; 𝟏) Longitud del radio: 𝑹 = √37 Resolución De la gráfica, la longitud del radio 𝐑 = 𝟑 Arreglamos la ecuación (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − (−3))2 = (3)2 (𝒙 − 𝟐 )𝟐 + (𝒚 + 𝟑)𝟐 = 𝟗 Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 𝐶 en el punto 𝑃(5; 7). 𝐶: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 13 Resolución La ecuación de la recta tangente: • La pendiente del segmento AP 𝒎𝑨𝑷 = • 𝟕−𝟒 𝟑 = 𝟓−𝟑 𝟐 La pendiente de la recta tangente 𝒎=− • 𝟐 𝟑 Punto de tangencia 𝑷(𝟓; 𝟕) Ecuación de la recta: 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎 ) 𝟐 𝒚 − 𝟕 = − (𝒙 − 𝟓) 𝟑 𝟑𝒚 − 𝟐𝟏 = −𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 𝟑𝒚 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝟏 = 𝟎 Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 𝐶 en el punto 𝑃(6; 6). 𝐶: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 13 Resolución La ecuación de la recta tangente: • La pendiente del segmento AP: 𝑨(𝟑; 𝟒) , 𝑷(𝟔; 𝟔) 𝒎𝑨𝑷 = • 𝟔−𝟒 𝟐 = 𝟔−𝟑 𝟑 La pendiente de la recta tangente 𝒎=− • 𝟑 𝟐 Punto de tangencia 𝑷(𝟔; 𝟔) Ecuación de la recta: 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎 ) 𝟑 𝒚 − 𝟔 = − (𝒙 − 𝟔) 𝟐 𝟐𝒚 − 𝟏𝟐 = −𝟑𝒙 + 𝟏𝟖 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝟎 = 𝟎 Dada la circunferencia 𝑪: 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 = 𝟏 a. Calcule la distancia del punto 𝐏(𝟕; 𝟗) al centro de la circunferencia. b. Calcule la menor distancia del punto 𝐏(𝟕; 𝟗) al centro de la circunferencia. c. Calcule la mayor distancia del punto 𝐏(𝟕; 𝟗) al centro de la circunferencia. Resolución 𝑪: 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 = 𝟏 𝑪: (𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟑𝟐 ) + (𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + 𝟏𝟐 ) = 𝟏 + 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐 𝑪: (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟏𝟏 Coordenada del centro es (𝟑; 𝟏) Radio de la circunferencia: √𝟏𝟏 Distancia entre dos puntos: 𝒅𝑨𝑷 = √(𝟕 − 𝟑)𝟐 + (𝟗 − 𝟏)𝟐 𝒅𝑨𝑷 = √𝟖𝟎 = 𝟒√𝟓 La menor distancia del punto 𝑷 a la circunferencia 𝒅 = √𝟖𝟎 − √𝟏𝟏 La mayor distancia del punto 𝑷 a la circunferencia 𝒅 = √𝟖𝟎 + √𝟏𝟏 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Primer caso: 𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 "𝒑" 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒂𝒓á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 Grafique la parábola 𝒙𝟐 = 𝟒𝒚 Resolución De la ecuación 𝒙𝟐 = 𝟒𝒚 se compara con 𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚 Luego 𝒙𝟐 = 𝟒(𝟏)𝒚 , de donde 𝒑 = 𝟏 𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆: (𝟎; 𝟎) 𝒇𝒐𝒄𝒐: 𝒇(𝟎; 𝟏) 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝒚 = −𝟏 Grafique la parábola 𝒙𝟐 = 𝟖𝒚 Resolución De la ecuación 𝒙𝟐 = 𝟖𝒚 se compara con 𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚 Luego 𝒙𝟐 = 𝟒(𝟐)𝒚 , de donde 𝒑 = 𝟐 𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆: (𝟎; 𝟎) 𝒇𝒐𝒄𝒐: 𝒇(𝟎; 𝟐) 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝒚 = −𝟐 Grafique la parábola 𝒙𝟐 = −𝟏𝟐𝒚 Resolución De la ecuación 𝒙𝟐 = −𝟏𝟐𝒚 se compara con 𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚 Luego 𝒙𝟐 = 𝟒(−𝟑)𝒚 , de donde 𝒑 = −𝟑 𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆: (𝟎; 𝟎) 𝒇𝒐𝒄𝒐: 𝒇(𝟎; −𝟑) 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝒚 = 𝟑 Grafique la parábola 𝒙𝟐 = −𝟏𝟎𝒚 Resolución De la ecuación 𝒙𝟐 = −𝟏𝟎𝒚 se compara con 𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚 −𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟓 Luego 𝒙𝟐 = 𝟒 ( 𝟒 ) 𝒚 , de donde 𝒑 = − 𝟒 = − 𝟐 𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆: (𝟎; 𝟎) 𝒇𝒐𝒄𝒐: 𝒇(𝟎; −𝟐, 𝟓) 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝒚 = 𝟐, 𝟓 Segundo caso: 𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒑 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒂𝒓á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 Grafique la parábola 𝒚𝟐 = 𝟖𝒙 Resolución De la ecuación 𝒚𝟐 = 𝟖𝒙 se compara con 𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙 Luego 𝒚𝟐 = 𝟒(𝟐)𝒙 , de donde 𝒑 = 𝟐 𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆: (𝟎; 𝟎) 𝒇𝒐𝒄𝒐: 𝒇(𝟐; 𝟎) 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝒙 = −𝟐 Grafique la parábola 𝒚𝟐 = −𝟐𝒙 Resolución De la ecuación 𝒚𝟐 = −𝟐𝒙 se compara con 𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙 −𝟐 𝟐 𝟏 Luego 𝒚𝟐 = 𝟒 ( 𝟒 ) 𝒙 , de donde 𝒑 = − 𝟒 = − 𝟐 = −𝟎, 𝟓 𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆: (𝟎; 𝟎) 𝒇𝒐𝒄𝒐: 𝒇(−𝟎, 𝟓; 𝟎) 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝒙 = 𝟎, 𝟓 Ecuación de la parábola cuando el vértice NO se encuentra en el origen Primer caso: (𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌), 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒑 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒂𝒓á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 Las coordenadas del vértice son 𝑽(𝒉; 𝒌) 𝒑: 𝒑𝒂𝒓á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 Dada la ecuación de la parábola (𝑥 − 3)2 = 4(𝑦 − 2), determine las coordenadas del vértice, foco, y la ecuación de la recta directriz. Resolución De (𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟒(𝟏)(𝒚 − 𝟐) , comparamos (𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌) Luego 𝒉 = 𝟑 , 𝒌 = 𝟐 y 𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆: (𝟑; 𝟐) 𝒇𝒐𝒄𝒐: 𝒇(𝟑; 𝟑) 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝒚 = 𝟏 𝒑=𝟏 Dada la ecuación de la parábola 𝑥 2 − 6𝑥 = 8𝑦 + 23, determine las coordenadas del vértice, foco, y la ecuación de la recta directriz. Resolución De 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟖𝒚 + 𝟐𝟑, luego 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟑𝟐 = 𝟖𝒚 + 𝟐𝟑 + 𝟑𝟐 (𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟖𝒚 + 𝟑𝟐 de donde (𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟖(𝒚 + 𝟒) (𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟒(𝟐)(𝒚 + 𝟒) comparamos (𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌) Luego 𝒉 = 𝟑 , 𝒌 = −𝟒 y 𝒑=𝟐 𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆: (𝟑; −𝟒) 𝒇𝒐𝒄𝒐: 𝒇(𝟑; −𝟐) 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝒚 = −𝟔 SALA 1 Dada la ecuación de la circunferencia 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 = 𝟏, grafique y determine la menor distancia del punto 𝑷(𝟏𝟎; 𝟏𝟐) al centro de la circunferencia. SALA 2 Dada la ecuación de la circunferencia 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 = 𝟏, grafique y determine la menor distancia del punto 𝑷(𝟏𝟎; 𝟏𝟐) al centro de la circunferencia. SALA 3 Dada la ecuación de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 = 𝟏, grafique y determine la menor distancia del punto 𝑷(𝟏𝟎; 𝟏𝟐) al centro de la circunferencia. SALA 4 Dada la ecuación de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒚 = 𝟎, grafique y determine la menor distancia del punto 𝑷(𝟏𝟎; 𝟏𝟐) al centro de la circunferencia. SALA 5 Dada la ecuación de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒚 = 𝟎, grafique y determine la menor distancia del punto 𝑷(𝟏𝟎; 𝟏𝟐) al centro de la circunferencia. SALA 6 Dada la ecuación de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒚 = 𝟎, grafique y determine la menor distancia del punto 𝑷(𝟗; 𝟖) al centro de la circunferencia. SALA 7 Dada la ecuación de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒 = 𝟔𝒚, grafique y determine la menor distancia del punto 𝑷(𝟗; 𝟖) al centro de la circunferencia.
