Sesión 11 (1)

Probabilidad: Conceptos básicos de probabilidades:
Experimento aleatorio, espacio muestral, eventos.
Operaciones con eventos. Definición de Probabilidades.
M. Sc. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo
[email protected]
Estadística y Probabilidades
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Objetivo:
Conocer
los
conceptos
básicos
de
probabilidades: Experimento aleatorio, espacio
muestral, eventos y realizar operaciones con
eventos. Definición de Probabilidades.
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Contenido:
Conceptos básicos de probabilidades: Experimento aleatorio,
espacio muestral, eventos y realizar operaciones con eventos.
Definición de Probabilidades.
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1. PROBABILIDAD
1.1. INTRODUCCIÓN
La estadística representa un método para la toma de decisiones frente a la
incertidumbre y como tal, se basa en la teoría de probabilidades, pues la probabilidad es la
medida de la incertidumbre y de los riesgos asociados con ella. Por ello, el estudiante, antes
que aprender procedimientos estadísticos para tomar decisiones, debe tener un concepto claro
de la teoría de probabilidad.
Un tratamiento preciso de la teoría de probabilidad requiere de dos enfoques, uno
inicial, basado en la teoría de conjuntos, y un segundo basado en las distribuciones de
probabilidad.
El primer enfoque nos permite comprender con claridad el concepto de
probabilidad, así como obtener un listado de axiomas y propiedades fundamentales de la teoría
de probabilidad. Con el segundo enfoque, llegamos a representaciones matemáticas que
facilitan el cálculo de probabilidades, mediante fórmulas que se ajustan regularmente a ciertos
fenómenos o experimentos.
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1.2. EXPERIMENTO
En estadística se considera experimento al proceso mediante el cuál se
obtienen los datos, ya sea de naturaleza cualitativa o cuantitativa.
1.2.1. EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO
Se llama así al fenómeno o experimento que siempre tiene que ocurrir.
Es decir se presenta de una única manera y existen fórmulas matemáticas
que describen el fenómeno y con las que se pueden determinar el resultado
del experimento.
Ejemplos:
1. El experimento consiste en dejar en el aire un plumón, éste siempre
tiene que caer, pues la ley de la gravedad hará que sea atraída al suelo.
2. Elevamos el precio de un bien, inmediatamente se reducirá la cantidad
demandada.
1.
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1.2.2. EXPERIMENTO NO DETERMINISTICO O ALEATORIO
Se llama así al fenómeno o experimento en el que no se puede determinar con certeza su
resultado, debido a que las causas que lo originan son no predecibles por ser aleatorias.
¿Por qué se dice que el experimento es no determinístico o aleatorio?
Por que:
a.Sus resultados son producto del azar.
b.Se puede repetir, cada experimento muchas veces sin cambiar las condiciones.
c.Sus resultados posibles se pueden enlistar en un conjunto.
Ejemplos:
1. Lanzar una moneda sobre una mesa es un experimento aleatorio; unas veces resulta cara otras
veces sello. Si en este experimento “cargásemos” la moneda (revistiendo la cara con un metal
pesado) de tal manera que al lanzarla a una mesa siempre resulte cara, el experimento deja de
ser aleatorio y pasaría a ser determinístico.
2. Consideremos un partido entre dos equipos de Fútbol; desde el punto de vista de los
resultados (goles). Siempre queda un margen de azar en la determinación del número de goles
a favor o en contra.
3. Los juegos de lanzar dados, barajas, loterías, ruletas, carrera de caballos, etc. son típicamente
aleatorios.
4. Observar la vida útil de un artículo.
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1.3. ESPACIO MUESTRAL ()
Se denomina espacio muestral, al conjunto formado por todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio.
En notación matemática el espacio muestral se define como sigue:
 = {x / x es resultado de un experimento aleatorio}
Ejemplos:
Describir el espacio muestral asociado a cada uno de los experimentos aleatorios:
1. Lanzar una moneda al piso y observar el resultado que ocurre en la cara superior de la moneda.
 = {c, s}  n () = 2
1. Lanzar dos monedas consecutivas al piso y observar el resultado que ocurre en la cara superior de
las monedas.
 = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}  n () = 4
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1.4. EVENTO O SUCESO
Se llama evento o suceso a todo subconjunto del espacio muestral. A los eventos
se les denota con las primeras letras mayúsculas del alfabeto, así decimos:
A = Es un evento  A  
A  se le considera evento seguro y a  evento imposible.
Ejemplo:
Suponga que se lanza dos monedas consecutivas al piso y se observa el resultado que
ocurre en la cara superior de las monedas. Enliste los siguientes eventos:
a). Se obtuvo exactamente una cara.
b). Se obtuvo exactamente dos sellos.
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1.6. TÉCNICAS DE CONTEO
1.6.1. PERMUTACIONES
Permutación es un arreglo lineal de todos los elementos de un conjunto o parte
de los elementos del conjunto (subconjunto) tomados en un orden definido. El número total de
permutaciones está en función al número de elementos tomados a la vez para cada permutación.
Según esto podemos distinguir tres casos:
a) Permutaciones simples.
a.1.
n Pn
a.2.
n Pr
= n
= n / (n-r) 
a) Permutaciones con objetos repetidos.
nPn1, n2, n3,...nk
= n / (n1 * n2 * … *nk)
a) Permutaciones circulares.
PCn = (n-1) 
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Ejemplos:
1. Se invita a 5 gerentes de grandes Empresas de Chiclayo, para dar a los alumnos de
Marketing y Negocios Internacionales de la UCV, una conferencia sobre exportación. ¿De
cuántas maneras distintas se pueden sentar los gerentes en una fila?
5 P5
= 5 = 5*4*3*2*1 =120
1. De un grupo de 4 personas, se tiene que elegir a 3 personas que deben ocupar el cargo de
presidente, secretario, y vocal. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los arreglos?
4 P3
= 4 / (4-3) = 24
2. El número de formas diferentes de permutar 12 objetos iguales en todo, salvo el color, de
los cuales 3 son negros, 4 son blancos y 5 son rojos es,
12P3, 4, 5
= 12 / (3 * 4 *5) =27720
3. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 9 personas alrededor de una mesa
elipsoidal?
PC9 = (9-1)  =8
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1.7. COMBINACIONES
Cuando hablamos de combinaciones, no debemos tener en cuenta el orden de los elementos; sólo nos interesa que se
combine un elemento con otro.
nCr = n / r(n-r)
Ejemplos:
1. ¿Cuántos cables de conexión se necesitan para que dos aulas cualesquiera, de doce aulas existentes en total en una Universidad, puedan
comunicarse directamente?
12C2
= 12 / 2 (12-2) = 66
2. Una caja contiene 20 tornillos similares, de los cuales 10 son buenos, 8 tienen defectos del tipo A, 5 tienen defectos del tipo B, y 3 los
dos tipos de defectos.¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que resulta de escoger al azar 11 tornillos de manera que 2 tengan
defectos Ay B, 3 defectos sólo A, 2 con defectos sólo B y 4 sin defectos?
10C4 * 5C3
* 3C2 * 2C2 = 6300
3. Dados los eventos A de 4 elementos, y B de 8 elementos.¿Cuántos eventos de 6 elementos pueden formarse si cada uno debe contener:
a)
b)
Un solo elemento de A?
Por lo menos un elemento de A?
Solución:
a)
4 C1 * 8 C5
= 224 formas.
a)
4 C1 * 8 C5 + 4 C2 * 8 C4 + 4 C3 * 8 C 3 + 4 C4 * 8 C2
= 896 formas.
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Ejemplo: Suponga que el experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y observar el
resultado que ocurre en la cara superior del dado. Calcular la probabilidad de que ocurra:
a) El número 6.
b) Por lo menos el número 4.
c) A lo más el número 2.
Solución:
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n () = 6
a) A= {6}  n (A) = 1
P(A)= n(A) / n () = 1/6
a) B= {4, 5, 6} n (B) = 3.
P(B)= n(B) / n () = 3/6
a) C = {1, 2}  n (C) = 2.
P(C)= n(C) / n () =2/6
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1.9. AXIOMAS DE PROBABILIDAD
A.1. 0 P(A)  1
A.2. P() =1
A.3. Si A y B son dos eventos en , tales que A y B son mutuamente
excluyentes
(AB = )
 P(AB) = P(A)+P(B)
Este axioma se puede extender para k eventos mutuamente excluyentes A1,
A2,…, AK, es decir
P( A1A2 …AK) = P(A1)+P(A2)+…+P(AK)
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1.10. TEOREMAS DE PROBABILIDAD
T.1. P( ) = 0
T.2. P(A´) = 1- P(A)
T.3. Si AB  P(A)  P(B)
T.4. Si A y B no son mutuamente excluyentes ( AB  )
 P(AB) = P(A)+P(B) -P (AB)
T.5. Si A, B y C no son mutuamente excluyentes
 P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) -P (AB) - P (AC)- P (BC)+ P (ABC)
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Ejemplos:
1. La probabilidad de que la señora hablantina reciba por lo menos 8 llamadas
telefónicas en un día es 0.2 y la probabilidad de que reciba a lo más 5 llamadas
telefónicas en un día es 0.3. Hallar la probabilidad de que la señora hablantina
reciba 6 ó 7 llamadas en un día.
Solución:
 = {0,1 ,2 ,3 ,4 ,5, 6, 7, 8, 9,...}
A= {8, 9,…}  P(A) = 0.2
B= {0, 1, 2, 3, 4, 5} P(B)=0.3
C = {6, 7}  P(C) = ?
ABC
= 
P (ABC)
= P()
P(A) + P(B) + P(C) = 1
0.2 + 0.3 + P( C) =
1  P( C) = 0.5
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2. Un escolar entra a una tienda de golosinas. La probabilidad de que compre
caramelos es 0.7, la probabilidad de que compre galletas es 0.5 y la probabilidad de
que compre ambos (caramelos y galletas) es 0.3. Hallar la probabilidad de compre
caramelos, o galletas o ambos.
Solución:
Sean los eventos:
A = El niño compra caramelos
B = El niño compra galletas
AB = El niño compra caramelos y galletas
P(AB) = P(A)+P(B) -P (AB)
= 0.7 + 0.5 – 0.3 = 0.9
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Ejercicios propuestos
1. Cada uno de cuatro amigos elige una bebida al azar en la cafetería. Describa el espacio
muestral del experimento si hay disponibles en tres sabores denominados por L, N y F,
¿cuántos elementos tiene?.
2. Un lote de N artículos contiene k defectuosos, describir el espacio muestral del número
de artículos extraídos hasta obtener el último defectuoso.
3. Un experimento consiste en observar la vida útil de dos objetos, describa el evento “la
duración del primero más la duración del segundo es al menos 4 años”.
4. En un edificio de 10 pisos entran al ascensor al primer piso tres personas. Cada una
baja al azar a partir del segundo piso. ¿De cuántas maneras distintas estas personas
pueden bajar en pisos diferentes?.
5. Cierto producto se arma en tres etapas. En la primera hay 5 líneas de ensamblado, en la
segunda 6, y en la tercera 4. ¿De cuántas maneras distintas puede hacerse circular el
producto durante el proceso de ensamblado?
6. Una caja contiene 8 dulces de piña; 6 de naranja y 4 de fresa. ¿Cuántos elementos tiene
el espacio muestral que resulta de extraer al azar un dulce de cada sabor?
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7. Un grupo de 5 hombres y 10 mujeres, se divide al azar en 5 grupos de 3 personas cada una. Calcular el
número de maneras en que cada grupo contenga un hombre.
8. ¿De cuántas maneras diferentes puede un padre dividir 8 regalos entre sus 3 hijos, si el mayor debe recibir 4
regalos y los menores 2 cada uno?
9. Un sistema está formado por dos componentes A y B cuyas probabilidades de falla son 1/6 y 2/15
respectivamente. Si la probabilidad de al menos una de las dos componentes falle es 7/30, calcular la
probabilidad de que:
a) Ninguno de las dos componentes fallen.
b) Sólo una de las componentes falle.
10. Un lote contiene n objetos. La probabilidad de que al menos uno sea defectuoso es 0.06, mientras que la
probabilidad de que al menos dos sean defectuosos es 0.04. Calcular la probabilidad de que:
a) Todos los objetos sean no defectuosos.
b) Exactamente un objeto sea defectuoso.
11. Doscientas personas están distribuidas de acuerdo a su sexo y lugar de procedencia de la siguiente manera:
130 son hombres, 110 son de la capital y 30 son mujeres y de provincias. Si se eligen dos personas al azar
calcular la probabilidad de que:
a) Ambos sean hombres y de provincias.
b) Al menos uno de los dos escogidos sea mujer.
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12. Un comerciante tiene 12 unidades de cierto artículo de los cuales 4 tienen algún tipo
de defecto. Un cliente pide para comprar 3 de tales artículos pero que no tengan
defectos. Si el comerciante escoge al azar y de una sola vez 4 de tales artículos, ¿cuál es
la probabilidad de que con las 4 unidades escogidas satisfaga el pedido del cliente?
13. Cien personas fueron encuestadas acerca de sus preferencias sobre tres productos
A, B, y C. Se encontró que 50 prefieren el A, 37 el B, y 30 el C. Además 12 prefieren A
y B, 8 sólo A y C, 5 sólo B y C, y 15 sólo C. De cinco personas encuestadas elegidas al
azar, calcular la probabilidad de que 2 de ellas prefieran B, y C, 2 sólo A y B, y una
prefiera los tres productos.
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Probabilidad: Conceptos básicos
de probabilidades: Experimento
aleatorio, espacio muestral,
eventos. Operaciones con eventos.
Definición de Probabilidades.
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Conclusión
Se logró que el estudiante conozca los conceptos básicos de
probabilidades: Experimento aleatorio, espacio muestral,
eventos y realizar operaciones con eventos. Definición de
Probabilidades.
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Referencias
• C. Véliz Capuñay, Estadística para la administración y los negocios, 2da ed., Lima:
Pearson, 2014. (519.5 V41)
• D. C. Montgomery y G. C. Runger, Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería,
México, D.F.: Limusa, 2010. (519.2 M77)
• L. Montesinos Ruiz, K. Llanos Miranda, E. Cerna Figueroa, S. Pajuelo Rojas y F.
Coaquira Nina, Estadística descriptiva e inferencial, Lima: USIL, Fondo Editorial, 2017.
(519.5 M773)
• R. Millones Rivalles, E. Barreno Vereau, F. Vásquez Urbano y C. Castillo Crespo,
Estadística aplicada a la ingeniería y los negocios, Lima: Universidad de Lima, Fondo
Editorial, 2015. (519.5 M58)
• W. Mendenhall, R. J. Beaver y B. M. Beaver, Introducción a la probabilidad y
estadística, 13 ed., México, D.F.: Cengage Learning Editores, 2010. (519.2 M42)
24
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