Obstáculos epistemológicos en la transición de la Aritmética al Álgebra

Titulo
Maestrante
Obstáculos epistemológicos en la transición de la Aritmética al Álgebra:
La generalización, un aspecto importante para introducir el álgebra en la escuela
Código: 221422042 José Lizardo Jácome Cabrera
Código: 221422035 Bayardo Jurado Ordoñez
GESCAS
Grupo
de
investigación
Línea
de
Historia y epistemología de la evolución del pensamiento matemático
investigación
Asesor
Andrés Chaves
Resumen
en Este proyecto de investigación pedagógica basado en los antecedentes de revistas
latinoamericanas de educación matemática especializadas en el campo de la transición de
castellano
la aritmética al algebra, busca acortar esa brecha que hay entre estas dos y enfocados en la
generalización con base en la búsqueda de patrones elaborar unas recomendaciones
pedagógicas, apoyados en una prueba diagnóstica aplicada a estudiantes de grado octavo,
identificar los obstáculos epistemológicos que impiden el avance del conocimiento.
Con relación a nuestra temática específica de estudio, consideramos los siguientes ejes
teóricos:
1. El álgebra como un conjunto de procedimientos para resolver problemas.
2. El álgebra como aritmética generalizada.
3. El álgebra como lenguaje para el estudio de las relaciones existentes entre cantidades
que varían. (Oller Marcen, antonio. y Meavilla Segui, 2014)
Palabras claves
Algebra, transición, aritmética, obstáculos epistemológicos, generalización
This pedagogical research project based on the antecedents of Latin American
Abstract:
Resumen
en mathematics education journals specialized in the field of the transition from arithmetic to
algebra, seeks to bridge that gap between these two and focused on generalization based
inglés
on the search for patterns to elaborate pedagogical recommendations, supported by a
diagnostic test applied to eighth grade students, identify the epistemological obstacles that
impede the advancement of knowledge.
In relation to our specific subject of study, we consider the following theoretical axes:
1. Algebra as a set of procedures for solving problems.
2. Algebra as generalized arithmetic.
3. Algebra as a language for the study of the relationships between quantities that vary.
(Oller Marcen, antonio. And Meavilla Segui, 2014)
Key
words: Algebra, transition, arithmetic, epistemological obstacles, generalization
Palabras claves
en inglés
1. Planteamiento del problema de indagación pedagógico: justificación, contextualización, aporte e
innovación
1. Planteamiento del Problema
Uno de los procesos matemáticos que presenta gran dificultad en el ámbito escolar es la transición de lo
aritmético a lo algebraico, en este sentido la generalización empleando lenguaje algebraico se ha convertido
en un dolor de cabeza para los estudiantes.
Existe un gran número de investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje del álgebra. Todas ellas hacen
referencia a las dificultades, obstáculos y errores que manifiestan los estudiantes de diferentes grados respecto
con la comprensión de conceptos algebraicos, como por ejemplo, el paso del lenguaje aritmético al algebraico
que conlleva a la generalización, la comprensión del concepto de variable en la resolución de problemas, la
comprensión y comunicación del lenguaje simbólico, los signos de agrupación y las ecuaciones lineales. Se
ha observado que muchos estudiantes no manejan el significado de los símbolos que han aprendido
formalmente porque utilizan el álgebra como algo mecánico y memorístico, más no como una herramienta
que permite comprender generalizaciones, captar conexiones estructurales y argumentar en matemáticas
(Arzarello, Bazzini, Chiappini 1995).
También se ha encontrado la existencia de una literatura muy limitada sobre la creación de patrones a través
de los cuales se generalizan expresiones matemáticas, así como la justificación de estas generalizaciones. Por
lo tanto se hace necesario proporcionar herramientas que permitan mejorar y facilitar la enseñanza del
álgebra. Es importante integrar la enseñanza de las matemáticas desde la primaria con el desarrollo de este
pensamiento de una manera tal que sirva como puente entre la aritmética y el álgebra.
(Warren, E., Cooper, 2007), han realizado experimentos de enseñanza del álgebra temprana donde se han
centrado en la generalización de patrones
Como lo afirma (Pérez, J. 2005) en su tesis
Un papel fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico – matemático de los estudiantes le dan a la
generalización matemática, algunos autores como Mason J. y Socas M. entre otros, proponiéndola como un
medio importante para iniciar al estudiante en el estudio del álgebra elemental o para reafirmar conceptos
como el de función y expresiones algebraicas, introducir al estudiante en el concepto de variable y en
sistemas de representación más abstractos como lo es el algebraico.
Nuestra practica pedagógica nos permite evidenciar las dificultades u obstáculos que presentan los estudiantes
en los procesos cognitivos involucrados en el aprendizaje del álgebra en secundaria, el álgebra y su lenguaje,
el simbolismo algebraico, la abstracción y generalización
1.1 Justificación:
El problema del aprendizaje del álgebra escolar constituye un tema aún no resuelto; los estudiantes de
diferentes niveles educativos tienen dificultades en la comprensión de los diversos aspectos y usos que
caracterizan a las variables (Trigueros y Ursini, 2003; Ursini, Escareño, Montes y Trigueros, 2005; Ochoviet
y Oktac, 2011; Juárez, 2011) y suelen evitar el acercamiento algebraico (Ursini yTrigueros, 2006) como
consecuencia de que no poseen una comprensión profunda del concepto (Herrera López et al., 2016).
Autores como 21(Silver y Kenney 2001; Kaput, Carraher y Blanton, 2008) como se citó en Bautista et al.,
2021, señalan que es habitual que los estudiantes experimenten dificultades en la transición de la aritmética
al álgebra porque tienen poca o ninguna experiencia previa con el tema. Unido a lo anterior, otros autores
(Butto, 2005; Cai y Knuth, 2011; Radford, 2014) como se citó en (Bautista et al., 2021), consideran que, la
transición de la aritmética al álgebra no se debe realizar de manera abrupta, sino que sea un proceso progresivo
y que se vaya adquiriendo grado tras grado, sin saltos ni rupturas.
De ahí la importancia de iniciar el estudio del álgebra desde los primeros niveles de escolarización como
lo señala en los estándares de competencia (Ministerio de Educación Nacional, 2006) con respecto al
pensamiento algebraico que propone cultivar este pensamiento desde la Educación Básica Primaria a partir
de distintos caminos y acercamientos significativos para su comprensión, así un aspecto importante en el
aprendizaje del álgebra corresponde a la utilización con sentido y al estudio formal de los objetos algebraicos,
para lo cual es necesario ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características
de los sistemas numéricos (Ministerio de Educacion Nacional, 2006). De otro lado, el álgebra tiende a
enseñarse como si se pudiera entender sin ningún problema, asumiéndose así una postura simple de
sustitución de números por letras, en cuyo caso las letras no cobran significado y aparecen de manera aislada
cuando en realidad supone la vinculación de procesos de generalización, simbolización y abstracción que
requieren de la planificación de estrategias de enseñanza para ser abordados Kieran (como se citó en Burgos
y Godino, 2019).
Como docentes de matemáticas de básica secundaria, en nuestra práctica pedagógica de aula hemos
observado en los estudiantes que al llegar al grado octavo se les dificulta el paso de la aritmética al álgebra,
siendo un factor que afecta el desarrollo pleno de las competencias asociadas a las matemáticas.
De acuerdo a lo anterior, se ve la necesidad de realizar una indagación que permita identificar algunos
obstáculos epistemológicos que presentan los estudiantes de grado octavo de las dos instituciones en mención
al pasar de la aritmética al álgebra especialmente en el proceso de generalización, partiendo de los hallazgos
es importante plantear recomendaciones metodológicas que permitan evidenciar y superar los obstáculos
epistemológicos en los estudiantes de grado octavo al igual de mejorar las competencias propuestas por los
lineamientos curriculares de matemáticas y adoptar las competencias en situaciones cotidianas.
1.2 Contexto.
Este proyecto de indagación pedagógica se llevará a cabo con dos grupos de estudiantes de grado octavo de
las instituciones: IEM Luis Eduardo Mora Osejo de Pasto (Nariño) y la IER Jorge Eliecer Gaitán de Puerto
Leguizamo (Putumayo), las dos instituciones pertenecen al sector público y los maestrantes de este proyecto
desempeñan su labor docente con los estudiantes de este nivel educativo.
Por mucho tiempo se ha evidenciado que en la población estudiantil de dicho nivel académico, se dificulta el
paso de la aritmética al álgebra, siendo uno de los motivos por los cuales de grado séptimo a grado octavo
haya un avance curricular que muchos de los estudiantes no están preparados para asumir; afectando la falta
de comprensión y desarrollo de las competencias del pensamiento algebraico. Por lo tanto, este proyecto de
indagación busca incidir en la mejora del paso de la aritmética al álgebra en especial en el proceso de
generalización a través de algunas recomendaciones metodológicas de enseñanza que visualicen los
obstáculos epistemológicos más frecuentes que presentan los estudiantes de las dos instituciones educativas,
las cuales se propondrán en este proyecto y que buscan mejorar las competencias del pensamiento algebraico.
Todo lo anterior motiva a la siguiente pregunta, la cual guía el proyecto:
¿Cuáles son los obstáculos epistemológicos que presentan los estudiantes del grado octavo de las
instituciones: IEM Luis Eduardo Mora Osejo de Pasto (Nariño) y la IER Jorge Eliecer Gaitán de Puerto
Leguizamo (Putumayo) al pasar de la aritmética al álgebra en el proceso de generalización.
1.3 Aporte e innovación.
Este proyecto de indagación pedagógica permitirá identificar los obstáculos que presentan los estudiantes de
grado octavo al realizar la transición de la aritmética al álgebra y comparar estos hallazgos con los
encontrados en la literatura especializada que alude al objeto de estudio.
A partir de la experiencia como docentes de grado octavo, se considera la importancia de la realización de
este proyecto de indagación, debido a los bajos resultados académicos que han mostrado estudiantes del grado
octavo de las dos instituciones en las cuales se llevará a cabo el proyecto de indagación. Por lo tanto, este
proyecto beneficiará a los estudiantes del grado octavo y a las nuevas generaciones y en general a las dos
instituciones educativas en las cuales desempeñamos nuestra labor docente.
2. Antecedentes del problema
2.1 Proceso de selección de los artículos y discriminación de tendencias de investigación:
Para este apartado se ha tenido en cuenta como fuente de información las investigaciones publicadas en los
artículos de diez revistas iberoamericanas, todas de divulgación virtual, de acceso gratuito y con título alusivo
al campo de la educación matemática (educación matemática, matemática educativa y didáctica de las
matemáticas). El periodo considerado es 2016 – 2021. Puntualmente se tuvieron en cuenta los artículos que
aluden al tema de transición de lo aritmético a lo algebraico. Para esta selección; se procedió a identificar el
tema de indagación en el título del artículo, si en el titulo no hace referencia se procede a revisar el resumen
del artículo; si en el resumen no se encuentra el tema de interés se continua con la lectura de la introducción,
si en ella no está el objeto de estudio, el paso siguiente es la lectura del artículo. Si en él hay alusión al tema
de interés se selecciona y clasifica.
El proceso de indagación revisado permitió identificar cuatro tendencias de investigación las cuales son: los
estudiantes y sus prácticas (C1), Profesores y sus prácticas (C2), currículo (C3), materiales didácticos (C4).
Además, de ellos se extrajeron 23 artículos encontrados se extrajeron un total de 40 citas las cuales se
discriminan para los diferentes apartados de este articulo como son, antecedentes, planteamiento del
problema, marco teórico. Las categorías establecidas se relacionan en la Anexo 1.
2.2 Tendencias de investigación
En lo que sigue de este proyecto se escriben los aportes identificado en cada una de las tendencias de
investigación reseñadas.
2.2.1 Los estudiantes y sus prácticas: En cuanto al rol de los estudiantes en el complejo camino de
comprender la simbología algebraica y su trascendencia desde lo aritmético, a finales de la década de los
ochenta, Kieran, citado por (Zapatera Llinares, 2018) advertía que “un área muy necesitada de la
investigación matemática es el pensamiento algebraico”. Desde entonces numerosas investigaciones han
sugerido promover el desarrollo de aspectos algebraicos en la Educación y fomentar cambios en la forma de
pensar de los estudiantes que les conduzca al pensamiento algebraico. Por otra parte, (Carraher et al., 2008)
dice que para adquirir el razonamiento algebraico temprano se debe aprender a generalizar, es decir, a
identificar patrones y poder reconocer la norma; sin embargo, antes de emprender dicho aprendizaje, es
necesario observar cómo el alumnado representa y razona por sus propios medios. Para (Zapatera Llinares,
2018) los estudiantes los cuales se enfrentaron a las pruebas tuvieron éxito en la generalización cercana y
media y encontraron dificultad en la generalización lejana, solo algunos estudiantes que tuvieron flexibilidad
en cambiar las estrategias alcanzaron el mayor nivel de éxito, utilizando la secuencia “estrategia aditiva sobre
dibujo-estrategia funcional local-estrategia funcional global”
De esta manera para (Zapatera Llinares, 2018) la generalización es uno de los procesos cognitivos más
importantes de la actividad matemática, idea que complementa (Mason, J., Burton, L., y Stacey, 1992) al
afirmar que las generalizaciones constituyen el verdadero nervio de la matemática y consideran a esta como
la esencia del álgebra y una de las rutas fundamentales hacia ella. Dichas rutas se ven obstaculizadas, segùn
Lee citado por (Zapatera Llinares, 2018) por la fijacion de una cierta estrategia y su resistencia a abandonarla,
esto constituye en un obstáculo que impide generalizar a algunos estudiantes; por su parte (Orton, A., y Orton,
1994) centraron esta fijación en los enfoques recursivos que suponen un obstáculo para avanzar hacia la regla
general. Dado que en los procesos de la generalización, existe una progresión en las cuestiones planteadas
que pone de manifiesto los niveles de dificultad y de conocimiento que requieren. De esta forma los niveles
de dificultad y de conocimiento son menores en las cuestiones de generalización cercana, y aumentan en la
generalización lejana y en la expresión verbal de la regla general alcanzando niveles muy altos en la expresión
algebraica de la regla. En consecuencia, los estudiantes de Primaria encuentran un nivel de dificultad muy
alto en las cuestiones en las que tienen que expresar la regla general de forma algebraica mediante la
utilización de indeterminadas. Aunque esta dificultad para utilizar las letras como variables ha sido atribuida
frecuentemente a la inherente abstracción del álgebra y a limitaciones en el desarrollo cognitivo de los
estudiantes (Zapatera Llinares, 2018). Así, y desde el punto de vista del aprendizaje, para introducir el
pensamiento algebraico de forma rica y explícita, para Callejos y Rojas citados por (Zapatera Llinares, 2018)
el profesorado debe conocer lo que los estudiantes son capaces de hacer, en el paso de la aritmética al álgebra
desde la perspectiva del pensamiento algebraico, lo cual abarca aspectos como el pensamiento funcional, el
pensamiento relacional, la generalización de patrones y la expresión de la generalización.
2.2.2 Los profesores y sus prácticas: Esta línea de investigación tiene varias vertientes de interés. Por un
lado, está la discriminación de los obstáculos epistemológicos que suscitan la enseñanza de la aritmética en
torno al aprendizaje del algebra. En este sentido se destacan los trabajos de Scheiter, Gerjets, y Schuh (2010)
y de (Stacey y MacGregor, 1999). Estos autores señalan que en la educación primaria se privilegia la
resolución de problemas aritméticos, puntualmente la tención recae en el desarrollo de habilidades
encaminadas en la comprensión del problema, en la aplicación de procedimientos de solución y la
construcción de esquemas mentales abstractos. Afirman que tal continuidad conduce a “una compulsión para
calcular” que dificulta el empleo de las estrategias algebraicas en el momento de buscar, seleccionar y
nombrar la incógnita o incógnitas apropiadas, impidiendo incluso pensar en construir una ecuación. Esta
misma tendencia hace que el alumnado quiera trabajar con valores conocidos y no con incógnitas.
En el mismo sentido, la otra vertiente recae en el planteamiento y solución de problemas, ya que para (Boletin
Oficial del Pais Vasco, 2007; BOPV, 2016; Gasco, 2017) en los primeros cursos de la Educación Primaria,
una vez conocidas las operaciones aritméticas, se comienzan a enseñar problemas que se resuelven
empleando precisamente esas operaciones (resolución aritmética). Tras adquirir competencia en dichas
técnicas, se da paso a la resolución algebraica, usualmente al inicio de la Educación Secundaria.
Paulatinamente con la familiaridad de resolución de problemas permite la adquisición de multitud de
competencias. En este sentido, se identifican tres grandes campos: la habilidad para entender el problema, la
competencia para aplicar el procedimiento de resolución y la capacidad para construir esquemas mentales
abstractos (Scheiter, Gerjets y Schuh, 2010). Además, no solo representa un objetivo para la enseñanza de
las matemáticas, sino que es uno de los principales medios para hacerlo promoviendo hábitos de persistencia,
curiosidad y confianza en situaciones desconocidas (National Council of Teachers of Mathematics, 2000).
También podemos resaltar el papel importante del concepto matemático, un concepto matemático es un
medio para organizar un conjunto de fenómenos. Con base en esta idea, Freudenthal (1983) sugiere comenzar
la instrucción por los fenómenos y, a partir de ellos, enseñar al alumno a manipular los conceptos, como
medios de organización de esos fenómenos. En este sentido, para Treffers, 1993 (citado por(Gómez &
Cañadas, 2016) dice que “la realidad no solamente es un área de aplicación, sino que también es una fuente
de aprendizaje”. El análisis fenomenológico de un tema de las matemáticas escolares es un procedimiento
que permite establecer los fenómenos que dan sentido al tema, identificar los contextos que organizan esos
fenómenos y las subestructuras que les sirven de modelo, y describir las relaciones entre esas subestructuras
y esos contextos. La capacidad de un profesor para realizar el análisis fenomenológico de un tema contribuye
a su habilidad para diseñar, seleccionar o adaptar tareas que promuevan el desarrollo de las competencias que
le pueden permitir a los escolares “plantear, formular e interpretar problemas mediante las matemáticas en
una variedad de situaciones” (OCDE, 2005, p. 75). Por consiguiente, el análisis fenomenológico es una
herramienta con la que los profesores pueden analizar los temas matemáticos que enseñan.
2.2.3 Currículo: Para una mejor comprensión de los conocimientos matemáticos, se debe recurrir a la historia
en ella podemos evidenciar la evolución de dicho pensamiento. Por su parte (Sessa., 2005) reflexiona sobre
la historia del álgebra y alerta sobre el uso “ingenuo” de la historia de la matemática en la enseñanza y el
aprendizaje. Considera que el conocimiento de los “caminos” de la historia representa una vía de acceso a
mayores niveles de complejidad acerca de la naturaleza de los objetos matemáticos. De la misma manera
Azcárate y Deulofeu (1990) destacan en este sentido que no se trata de enseñar la historia de un concepto en
un período o períodos determinados, sino que constituye un instrumento básico para el enseñante y supone
un conocimiento imprescindible para la elaboración de una didáctica determinada. Este conocimiento, le
permitirá adquirir una visión más amplia de la que se obtiene a partir de las definiciones de una teoría acabada,
a la que se llega después de un largo camino. Además, aclaran, que si las nociones matemáticas se reproducen
en la enseñanza como formalmente son presentadas en una teoría acabada pueden conducir a graves errores
epistemológicos y didácticos.
Para (Socas, 1997), la principal dificultad en el aprendizaje de las matemáticas ha sido, el aspecto deductivo
formal. Si bien es cierto el abandono el aspecto deductivo formal se ha estimado adecuado en la educación
secundaria, esto no incluye el abandono del pensamiento lógico, por ser este una destreza de alto nivel que
resulta necesaria para alcanzar niveles de competencia matemática.
2.2.4 Material didáctico: El problema del aprendizaje del álgebra escolar constituye un tema no resuelto;
estudiantes de diferentes niveles educativos tienen dificultades en la comprensión de los diversos aspectos y
usos que caracterizan a las variables, para (Herrera López et al., 2016) En este mismo sentido, el estudio de
Escalante y Cuesta enfatiza la existencia de dificultades en el proceso de trasferencia del lenguaje natural al
lenguaje algebraico. Por su parte (Oller Marcen, antonio. y Meavilla Segui, 2014) consideran que La
transición entre la aritmética y el álgebra es un tema de investigación interesante y permanente en la didáctica
de la Matemática. En este sentido, el análisis del carácter algebraico o aritmético de ciertos problemas
escolares aparece como un aspecto relevante a la hora de diseñar trayectorias didácticas que faciliten dicha
transición.
Por su parte para (da Silva et al., 2021) manifiestan que el material didáctico manipulativo debe ser de uso
cotidiano en los diferentes niveles educativos, estos mismos autores tomando la idea de Castro Olivera y Tinti
(2019) afirman que el producto educativo es el resultado de la investigación de “ un profesor-investigador
que tiene la iniciativa de buscar medios y métodos para mejorar su desempeño profesional y que pueda
producir conocimientos y materiales para mejorar eficazmente la calidad de la enseñanza (p. 243). En el
mismo sentido (Jurado, 2021) propone que este tipo de productos deben establecer conexión entre el álgebra,
la aritmética y la geometría; en la actualidad hay numerosas investigaciones en torno a la creación de
problemas de matemáticas con propósitos didácticos y desarrollo de competencias docentes.
Las experiencias didácticas que involucran la creación de problemas e invención de juegos sus formas
adecuadas de exaltar la creatividad y facilitan el aprendizaje de las matemáticas, Vigotsky (2012), afirma que
en todo acto creador, los factores intelectuales y emocionales resultan igualmente necesarios y que el
sentimiento y pensamiento son los que mueven la creación humana.
Por tanto, el profesor debe estar dispuesto a buscar y desarrollar actividades que conlleven a investigar y debe
mostrar interés y empatía por este proceso, cautivando a los estudiantes; según Camargo (2020), citado por
(da Silva et al., 2021) el profesor debe movilizar siempre las tareas con claridad evitando ambigüedades al
tratar los conceptos pertinentes a las tareas de exploración-investigación
Como conclusión y resultado de la revisión bibliográfica expuesta en este apartado evidencia que la
investigación de la transición de la aritmética al algebra no privilegia como objeto de reflexión lo concerniente
a errores y a fallas aritméticas. Al contrario, tiende a centrar la investigación en la búsqueda de patrones y
generalización de los mismos enfatizando en los obstáculos que presentan los estudiantes en este proceso,
centrando con mayor énfasis en lo epistemológico.
Este proyecto radica su importancia en el desarrollo del pensamiento algebraico y el grado de abstracción de
los estudiantes al enfrentarse a situaciones problema que implican generalidad.
3. Marco teórico-conceptual
En el camino de las matemáticas, el problema del aprendizaje del álgebra escolar es un tema no resuelto;
estudiantes de diferentes niveles educativos tienen dificultades en la comprensión de los diversos aspectos y
usos que caracterizan a las variables (Herrera López et al., 2016) los cuales se convierten en obstáculos que
no permiten el avance.
Obstáculo:
El concepto de obstáculo fue introducido por primera vez por el filósofo francés Bachelard en el contexto de
las ciencias experimentales y bajo la denominación de obstáculo epistemológico, este ha sido uno de los
grandes aportes realizado por Bachelard a la moderna teoría del conocimiento, que las cataloga como
dificultades psicológicas que no permiten una correcta apropiación del conocimiento objetivo (Villamil
Mendoza, 2008)
Los obstáculos epistemológicos reconocibles en la historia de la Matemática permiten comprender ciertas
dificultades que se evidencian en el aprendizaje del conocimiento matemático
Para Bachelard citado por (Malisani, 1999) el obstáculo epistemológico,
... se conoce afrontando un conocimiento anterior, destruyendo los conocimientos mal adquiridos o
superando aquello que en el espíritu mismo obstaculiza la espiritualización. Un obstáculo epistemológico
se incrusta en el conocimiento no formulado. Costumbres intelectuales que fueron útiles y sanas, pueden
después de un tiempo obstaculizar la investigación.
Referente al concepto de obstáculo epistemológico propuesto por Bachelard, para ciencias experimentales,
es necesario referirse al matemático especialista en didáctica de las matemáticas Guy Brouseau quien adapto
este concepto a la didáctica de las matemáticas escolares.
En palabras de (Barrantes, 2006) los obstáculos epistemológicos no son necesariamente conocimientos
erróneos sino tipos de conocimiento que están obstaculizando a la adquisición de un nuevo, de esta forma el
conocimiento es funcional en un contexto es disfuncional en otro más amplio, posterior mente el propio
Barrantes plantea:
Brousseau propone que el interés didáctico de un problema tiene que estar basado en el desempeño del
estudiante, sus ensayos, experiencias, los rechazos que haga y las consecuencias de estos rechazos;
también la frecuencia con que el estudiante está dispuesto a cometer errores y la importancia de estos
errores. Desde esta perspectiva, los problemas más interesantes serán aquellos que permitan franquear un
verdadero obstáculo.
La presencia de errores y dificultades en dicha transición motivan a Brousseau a precisa las condiciones que
debería satisfacer un conocimiento para poder ser declarado un “obstáculo”:
• Un obstáculo es un conocimiento.
• Un obstáculo tiene un dominio de “validez”.
• Un obstáculo resiste y reaparece.
• Un obstáculo es constitutivo del saber.
Basado en estas condiciones Brousseau propone una arqueología de los obstáculos, donde plantea los diversos
orígenes de estos, según el desarrollo del sujeto y la incursión en modelos culturales específicos:
 El Ontogénico, que tiene que ver con todo lo relacionado con las limitaciones del sujeto en algún
momento de su desarrollo;
 El Didáctico, que son todos los obstáculos que se adquieren o aparecen por el modo de enseñar o por
la escogencia de un tema o una axiomática en particular. A la vez que didáctico puede ser
sociocultural;

Los Epistemológicos, son los obstáculos que ciertos conceptos tienen para ser aprendidos, es propio
del concepto.
Cabe resaltar que en este proyecto se abordara solamente obstáculos de origen epistemológico y referente al
paso de la aritmética al álgebra específicamente para la categoría de la generalización.
Por otra parte (Barrantes, 2006) concluye que “Un obstáculo se manifiesta por los errores que no son debidos
al azar. Son errores que aparecen una y otra vez, son reconocibles, se sabe que van a aparecer y que persisten.”
Al respecto Una cierta relación entre obstáculo y error lo hace (Malisani, 1999) “El error no es sólo el efecto
de la ignorancia, de la duda o del azar, como suponían las teorías conductistas del aprendizaje, sino que es la
consecuencia de un conocimiento anterior que se manifiesta falso o no apropiado a una nueva situación”. De
este modo la fijación de ciertas tendencias o estrategias y la resistencia a abandonarlas se convierten en un
obstáculo para el nuevo conocimiento.
Por lo cual otros investigadores hacen clasificaciones de los obstáculos epistemológicos. Al respecto es
importante referenciar a (Socas, M 1997) citando a Bacherard, quien interpreta a los obstáculos
epistemológicos como causas de estancamiento e incluso de regresión. En este mismo sentido Socas resalta
la idea de obstáculo de Tall (1989) quien en su trabajo “Different Cogniteve Obstacles in a Technological
Paradigm” los llama como obstáculos cognitivos y distingue dos tipos:
 Obstáculos basados en secuencia de un tema, este surge fundamentalmente del hecho de que ciertos
conceptos tiene un grado de complejidad y es preciso familiarizarse con ellos en cierto orden.
 Obstáculos basados sobre casos simples, este se da por someter al estudiante a casos simples por un
periodo sustancial de tiempo antes de pasar a casos más complejos.
Socas tomando las ideas de Bachelard y Brouseau concluye que un obstáculo es un conocimiento adquirido,
no una falta de conocimiento, sino algo que se conoce positivamente que tiene un dominio de eficacia y se
utiliza para producir respuestas adaptadas a un contesto, pero que resulta ineficaz cuando se cambia el
contexto y produce respuestas inadecuadas e incluso incorrectas.
Otra clasificación de obstáculo epistemológico dada por Bachelard alude (Mora Zamora, 2002) en su artículo
“Obstáculos epistemológicos que afectan el proceso de construcción de conceptos del área de ciencias en
niños de edad escolar” en el cual destaca unos tipos de obstáculos:
 La experiencia básica o conocimientos previos.
Los individuos antes de iniciar cualquier estudio, tienen ya un conjunto de ideas muy propias acerca de cómo
y por qué las cosas son como son. Estas ideas o conocimientos previos pueden ejercer una potente influencia
que puede limitar el proceso de aprendizaje.
 El obstáculo verbal.
Las palabras de índole técnica y científica las que pueden inducir a dificultades de comunicación,
 El peligro de la explicación por la utilidad.
El utilitarismo plantea una serie de problemas a la hora de definir un término, pues existe la tendencia de
reducirlo y sintetizarlo de tal manera que se pretende explicar o definir un concepto solamente mediante la
idea de utilidad o beneficio.
 El obstáculo animista.
La tendencia de explicar ciertos fenómenos o definir ciertos conceptos haciendo analogías con la naturaleza
animada.
Se puede concluir que los obstáculos epistemológicos aparecen cuando las dificultades y los errores persisten
en el tiempo y se reúsan a desaparecer
El acercamiento al algebra
Los primeros acercamientos al algebra se realizan en los primeros años de la enseñanza secundaria, para
(Palarea, 1998) el acercamiento al "Álgebra" se puede considerar para todos los niños y todas las edades en
cuanto es un modo de pensar, sirve como método de aprehender y de explicar interrelaciones, permite una
manera de llegar a la generalidad por la vía de lo particular y descubrir los "modelos" que se presentan en lo
cotidiano; cabe resaltar a Posada, (2006) citado por (Henry & Irene, 2018) manifiestan que dicha
interpretación en el contexto escolar debe ser entendida como una forma de pensamiento matemático que
brinda a los estudiantes herramientas conceptuales y procedimentales para identificar, caracterizar y
formalizar relaciones, por lo cual puede verse como un proceso que demanda ciertas competencias que se
deben estudiar desde la educación básica primaria, por este motivo, el Ministerio de Educación Nacional
(MEN) integra el álgebra en la escuela, ya que las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas son
debidas a múltiples situaciones que van desde una deficiente planificación curricular hasta la naturaleza
misma de las matemáticas, que se manifiesta en el simbolismo y proceso de pensamiento pasando por el
desarrollo cognitivo de los estudiantes como también por las actitudes afectivas y emocionales.
Palarea plantea,
“La interpretación que está más en consonancia con el desarrollo histórico del Álgebra en sus tres etapas:
retórica, sincopada y simbólica, sugiere que la forma más convencional de concebirla es como la rama de
las Matemáticas que trata de la simbolización de las relaciones numéricas generales, de las estructuras
matemáticas, y, de las operaciones de esas estructuras. En este sentido, el Álgebra escolar se interpreta
como una "aritmética generalizada" y como tal involucra la formulación y manipulación de relaciones y
propiedades numéricas.”
En relación al Álgebra escolar afirma que un estudio del desarrollo histórico del Álgebra sugiere que,
actualmente, es concebida como una rama de las Matemáticas que trata de simbolizar relaciones numéricas
generales y estructuras matemáticas y de operación sobre estas estructuras. Cabe resaltar que el proyecto de
indagación pedagógica trata al Álgebra como Aritmética generalizada y en consecuencia, las letras forman
parte de modelos que permiten generalizar las propiedades numéricas. El adquirir el concepto de variable
supone la conjunción de dos procesos: Generalización, que permite pasar de un conjunto de situaciones
concretas a algún aspecto común a todas ellas, y, simbolización, que permite expresar de forma abreviada lo
que tienen en común todas las situaciones, (Palarea, 1998) cuando se habla del concepto de variable, se
incluyen múltiples significados, y cada uno de ellos se corresponde con las distintas formas de enfrentarnos
a la generalización. Este análisis del desarrollo del simbolismo algebraico y sus reglas de transformación le
permite hacer distinción entre: usar letras para representar incógnitas, en resolución de ecuaciones; usar letras
para representar datos, expresando soluciones generales, y usar letras como herramienta para proveer reglas
que expresen las relaciones numéricas, que surgen en Lenguaje Algebraico en momentos históricos
diferentes.
La generalización matemática hace parte importante de la resolución de problemas complejos, está ligada
estrechamente al razonamiento matemático y necesita de un lenguaje exclusivo para su expresión, lo que la
coloca como parte importante dentro de los procesos de pensamiento matemático y hace que su enseñanza se
fundamente en algunos documentos legales como la Ley general de Educación, los Lineamientos curriculares
y los Estándares curriculares.
Por otra parte la generalización de patrones es uno de los contextos en los que es posible empezar a desarrollar
formas de pensamiento algebraico en la Educación Primaria. Investigaciones recientes han mostrado que los
estudiantes de los primeros cursos son capaces de comprender algunos aspectos de la generalización de
patrones antes de ser introducidos el álgebra formal (Callejo, Ma Luz, 2015). Es importante resaltar que desde
hace algunos años, la importancia de los patrones en matemáticas ha sido tal que ha habido un cambio
significativo en lo que la comunidad científica entiende por saber y hacer matemáticas. Los patrones
matemáticos se consideran la estructura que permite modelizar las reiteraciones que se observan en el entorno,
y la esencia y corazón de las matemáticas, es por esto que un acercamiento a la idea de patrón incluye términos
como secuencia, serie, orden, predecible, regularidad o estructura, entre otras. Todas ellas son relevantes y
permiten acotar la esencia de la noción de patrón. Para las matemáticas básicas, un patrón se puede describir
como cualquier regularidad predecible que, por lo general, implica relaciones lógicas, numéricas o espaciales.
Dichas relaciones constituyen la estructura del patrón, el cual se rige por una regla que recoge esas relaciones.
Con el conocimiento y la importancia del trabajo con patrones y la generalización en Matemáticas, los
Núcleos de Aprendizaje Prioritarios (Ministerio de Educación, 2011) y el Diseño Curricular (Ministerio de
Educación, 2014), espera que los alumnos construyan referencias para realizar, analizar y modelizar las
transformaciones algebraicas que representan la equivalencia de expresiones que conlleven a la
generalización. Además, se plantean distintos asuntos didácticos respecto de la resolución y la expresión de
las soluciones de un problema, pues el proyecto de enseñanza ve necesidad de tratar situaciones problemáticas
que se puedan resolver por distintos caminos o procedimientos, que no tengan solución, que admitan varias
soluciones y que una fórmula sea reconocida como la respuesta a un problema. Cuando los alumnos crean
fórmulas durante la resolución de diferentes actividades, estas pueden ser distintas (es decir, un alumno puede
encontrar distintas expresiones o en un curso puede haber diferentes) y todas ellas ser correctas, pues cuentan
o calculan lo mismo para cada valor de la variable. Por medio de este tipo de situaciones se construye la
noción de equivalencia de expresiones algebraicas.
Es así que cuando se trabaja en las escuelas desde cinco pensamientos que posibilitan el desarrollo de
habilidades comunicativas y de razonamiento frente a las matemáticas (pensamiento variacional, numérico,
métrico, aleatorio y pensamiento espacial y sistemas geométricos), y se hace énfasis en los procesos de
comunicación, modelación, resolución de problemas y ejercitación de procedimientos como parte del
quehacer pedagógico al interior del aula, es promover el aprendizaje de las matemáticas en contextos
cotidianos, de la matemática misma y de otras disciplinas; al respecto en los Lineamientos Curriculares de
Matemáticas [LCM] promueven que el pensamiento varacional se empieza a trabajar desde los primeros años
de la educación tomando mayor relevancia al cursar los primeros años de la enseñanza secundaria, estos
lineamientos buscan incentivar el espíritu investigativo de los actores.
4. Objetivos a alcanzar en el desarrollo de la investigación
Proponer recomendaciones metodológicas de enseñanza relacionadas con obstáculos
4.1 Objetivo
epistemológicos referentes al proceso de generalización en la transición de la aritmética al
general
álgebra, de los estudiantes de grado octavo de las instituciones educativas: IEM Luis
Eduardo Mora Osejo y IER Jorge Eliecer Gaitán.
4.2 Objetivos
Preguntas o
Productos
específicos
cuestiones
que
guiarán la
consecución
de cada uno
de los
objetivos
Identificar
los
Identificar
los
1. Caracterización
OE1:
obstáculos
obstáculos
de los obstáculos
epistemológicos que
epistemológicos
epistemológicos
la
literatura
que la literatura
encontrados en la
especializada señala
especializada
literatura
en el proceso de
señala en el
especializada de
generalización en la
proceso
de
las matemáticas.
transición
del
generalización en
lenguaje aritmético
la transición del
2. Cuestionario
al
lenguaje
lenguaje
para identificar
algebraico.
aritmético
al
obstáculos
lenguaje
epistemológicos.
algebraico.
Identificar
los
¿Qué obstáculos
1. Listado de
OE2:
obstáculos
que
epistemológicos
obstáculos
presentan
los
presentan
los
evidenciados en
estudiantes de las
estudiantes
de
los estudiantes de
dos instituciones, en
grado octavo de
las
dos
el
proceso
de
las
dos
instituciones.
generalización
instituciones en
2. Apartado de un
asociados
a
la
el proceso de
artículo en el cual
transición
del
generalización
se describan los
lenguaje aritmético
al
lenguaje
algebraico.
OE3:
Analizar diferencias
y similitudes en los
resultados obtenidos
en
las
dos
instituciones en las
cuales se realizará el
proyecto
de
indagación
pedagógica, después
de
aplicar
el
instrumento
de
indagación.
asociados a la
transición
del
lenguaje
aritmético
al
lenguaje
algebraico?
¿Los obstáculos
epistemológicos
encontrados son
los mismos en los
estudiantes de las
dos
instituciones?
obstáculos
epistemológicos
encontrados.
3. Presentación en
un
evento
académico.
1. Comparativa de
obstáculos entre
los estudiantes de
las
dos
instituciones.
2.
Recomendaciones
metodológicas
para abordar los
obstáculos
epistemológicos
encontrados.
3. Ponencia en un
evento
académico.
5. Materiales y métodos
5.1 Naturaleza de la investigación
5.1.1 Metodología:
Esta investigación se enmarca en el paradigma de la investigación cualitativa, entendida como "una actividad
sistemática orientada a la comprensión de fenómenos educativos y sociales, a la transformación de prácticas
y escenarios socioeducativos, a la toma de decisiones y también hacia el descubrimiento y desarrollo de un
cuerpo organizado de conocimientos" (Sandín Esteban, 2013) p. 123), cuyas principales características de
acuerdo a (Sandín Esteban, 2013) son:
 Depende del contexto, entendiendo que los fenómenos, en nuestro caso educativos, no pueden ser
comprendidos adecuadamente por fuera de su contexto natural y no construido ni modificado.
 La experiencia con los participantes se aborda de manera holística; es decir analiza al participante desde
sus múltiples interacciones que lo caracterizan, la importancia del investigador como el instrumento
principal, que a través de la interacción con la realidad recoge datos sobre ésta, siendo necesaria una
formación de éste a nivel teórico y metodológico que le permita ser sensible ante sus fenómenos de estudio
Otra característica de la investigación cualitativa es su carácter interpretativo, desde dos visiones: la del
investigador que trata de justificar, elaborar o integrar sus hallazgos en un marco teórico y la del investigador
que desea acercarse a la experiencia personal de los participantes desde sus significados y la visión del mundo.
5.1.2 Diseño Metodológico:
De acuerdo a nuestro proyecto de indagación pedagógica se centra en un diseño de investigación cualitativo
de enfoque fenomenológico, ya que para llevar a cabo una investigación bajo este enfoque, es indispensable
conocer la concepción y los principios de la fenomenología así como el método para abordar un campo de
estudio y mecanismos para la búsqueda de significados, cuyo propósito principal es explorar, describir y
comprender las experiencias de los estudiantes con respecto a un fenómeno y descubrir los elementos en
común de tales vivencias (Hernández Sampieri et al., 2014). Además se fija su objetivo en la develación de
las concepciones de los actores educativos en torno a un fenómeno concreto relacionado con el área de
Matemática en especial en el estudio del paso de la aritmética al algebra y recopilar información que permita
identificar y descubrir si los estudiantes logran establecer relaciones entre el pensamiento aritmético y el
pensamiento algebraico y que obstáculos presentan al llegar al estudio del álgebra en el grado octavo.
5.2 Población y criterios de selección
Los participantes de la investigación serán los estudiantes del grado octavo de la institución Jorge Eliecer
Gaitán de Puerto Leguizamo (Putumayo) y la institución Luis Eduardo Mora Osejo de la ciudad de Pasto, la
selección de los participantes se hizo por conveniencia ya que son los grupos de estudiantes que los
maestrantes tienen a cargo. Son estudiantes que están en un rango de edad entre los doce (12) a dieciséis (16)
años, que cursan el grado octavo de educación básica un grupo de población rural y pertenecientes a la
institución Jorge Eliecer Gaitán de carácter oficial, ubicada en el corregimiento de Puerto Ospina población
rivereña a orillas del rio putumayo, otro grupo pertenece a la institución Luis Eduardo Mora Osejo es de
carácter oficial ubicada en zona urbana del municipio de Pasto, los dos grupos en su mayoría pertenecen a
los estratos 1 y 2. Además esta selección fue de común acuerdo entre los maestrantes ya que el objetivo es
aplicar las recomendaciones que el proyecto sugiere para la enseñanza del al álgebra, en especial la búsqueda
y generalización de patrones.
5.3 Instrumentos de recolección y unidades de análisis de datos
En este apartado del proyecto de indagación pedagógica analizaremos como los estudiantes se enfrentan
ante una situación problema que involucra generalización y la búsqueda de patrones, cuál es su grado de
abstracción y la dificultad que presentan en este proceso.
Los instrumentos de recolección de datos que se utilizarán en el proyecto de investigación pedagógica
serán:
 Cuestionario los cuales vayan enfocados en la búsqueda o evidencia de los obstáculos que los
estudiantes puedan presentar al desarrollar la prueba, que serán previamente elaborados por los
maestrantes, analizados y validados a juicio de expertos.
 Observación participante de la actividad programada por los maestrantes que permitirá establecer
los tipos de obstáculos que presentan los estudiantes. Este instrumento de validación implica una
complejidad mayor en tanto el investigador observador es a la vez el profesor que gestiona la clase.
Este análisis estará enmarcado en los obstáculos que presentan los estudiantes al enfrentarse a una situación
problema con el uso de variables y de incógnitas, para ello utilizaremos la clasificación que hace Bachelard
de estos obstáculos
Unidades de análisis
 Tipos de preguntas que hagan los estudiantes durante el desarrollo
 Respuestas de los estudiantes al cuestionario
 Distintas formas o procedimientos de llegar a la respuesta
5.4 Etapas para el desarrollo del trabajo de campo
La Tabla 1 relaciona las etapas y actividades para el desarrollo del proyecto en el trabajo que se realizara
con los participantes de la indagación pedagógica.
Tabla 1: Etapas para el desarrollo del proyecto
No.
Etapa
Actividad
Ya que el tema de indagación pedagógica está
1
Definir la población
enmarcado en el estudio del algebra, el grupo al
cual está dirigido son estudiantes del grado octavo
de las instituciones en las cuales desempeñan su
labor docente sus maestrantes.
Se diseñara un cuestionario con situaciones
2
Diseño y validación del cuestionario
problema que implique generalidad y búsqueda de
patrones.
El cuestionario previamente diseñado y validado a
3
Aplicar el instrumento
juicio de expertos se aplicara a los estudiantes para
la solución del mismo
En esta etapa tomaremos los resultados de las
4
Análisis de los resultados
prueba propuesta para detectar los tipos de
obstáculos en los que incurren los individuos
Con base en los resultados encontrados se elabora
5
Diseño de la propuesta
unas recomendaciones y propuesta de enseñanza
5.5 Etapas para el desarrollo del proyecto (y articulación con los objetivos específicos)
Tabla Articulación con objetivos específicos
No. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Etapas
OE1 Identificar los obstáculos epistemológicos 1. Revisión bibliográfica de literatura especializada
que la literatura especializada señala en el enfocada en los diferentes obstáculos presentados
proceso de generalización en la transición del durante la transición la aritmética al álgebra.
lenguaje aritmético al lenguaje algebraico.
OE2 Identificar los obstáculos que presentan los 2. Diseñar y construir el instrumento de recolección
estudiantes de las dos instituciones, en el de información (cuestionario-taller). Se diseñará un
proceso de generalización asociados a la cuestionario, el cual permita identificar los
obstáculos epistemológicos más frecuentes.
transición del lenguaje aritmético al lenguaje 3. Validar el instrumento de recolección de
información: será validado a juicios de expertos.
algebraico.
4. Aplicar el instrumento de recolección de
información: Se aplicará el cuestionario a los
estudiantes de grado octavo de las dos
instituciones educativas, con el propósito de
encontrar
los
obstáculos
epistemológicos
recurrentes presentados en la transición de la
aritmética al álgebra.
5. Revisar y analizar la información obtenida de las
respuestas dadas por los estudiantes a las
preguntas planteadas en el cuestionario y en las
preguntas e inquietudes realizadas durante la
aplicación de la prueba y cuando se realice la
socialización de las respuestas correctas del
cuestionario.
OE3 Analizar diferencias y similitudes en los
resultados obtenidos en las dos instituciones
en las cuales se realizará el proyecto de
indagación pedagógica, después de aplicar el
instrumento de indagación.
6. Comparar la información aportada por otros
autores sobre los obstáculos presentados durante la
transición de la aritmética al álgebra teniendo en
cuenta la generalización y los resultados obtenidos
en los cuestionarios desarrollados por los
estudiantes.
7. Proponer recomendaciones, sugerencias
metodológicas a partir de los hallazgos
encontrados, con el objetivo de minimizar dichos
obstáculos encontrados y que presentan mayor
recurrencia en los estudiantes al transitar de la
aritmética al álgebra.
6. Cronograma de actividades (y articulación con las fases de la investigación)
En este apartado relacionamos los tiempos en los cuales se realizar cronológicamente el desarrollo del
proyecto de indagación pedagógica cada una de sus etapas están en el Anexo 2
7. Referencias bibliográficas
Referencia Bibliográfica
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Matemática Educativa (Vol. 21, Issue 1, pp. 87–114). https://doi.org/10.12802/relime.18.2114
Anexo 1
Tabla 1. Categorización de citas por artículo
Revistas
Link de ingreso
Educación matemática
https://www.revista-educacionmatematica.org.mx/revista/
https://www.relime.org/
1Relime
Unión: Revista iberoamericana de
educación matemática
Avances de investigación en educación
matemática
Redimat
https://union.fespm.es/index.php/UNI
ON
http://www.aiem.es/index.php/aiem
https://hipatiapress.com/hpjournals/ind
ex.php/redimat/index
PNA. Grupo de Investigación Didáctica http://www.pna.es
de
la
Matemática:
Pensamiento
Numérico
Educación matemática en la infancia
http://www.edma06.es/index.php/edma0-6
Revista
Chilena
de
educación https://www.sochiem.cl/revistamatemática
rechiem/index.php/rechiem
Bolema:
Boletim
de
Educação http://www2.rc.unesp.br/bolema
Matemática
Educación matemática unión matemática http://inmabb.criba.edu.ar/revuma/rev
argentina
uma.php
FUENTE: propia
No. De
articulo
23
8
34.8%
5
21.74%
2
8.7%
3
13,04%
1
4.34%
2
8.7%
1
4.34%
1
4.34%
0%
0%
No. De artículos por No.
categoría
Cita
C1 C2 C3 C4 40
3
6
2
2
13
Referencia
articulo
23
8
2
3
3
3
1
1
7
5
1
1
6
2
1
1
8
3
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
del
Anexo 2
Tabla 2: Etapas para el desarrollo del proyecto de indagación pedagógica
FASES DE LA
INDAGACIÓN
Escritura del
proyecto de
indagación
pedagógica.
Diseño y validación
de los instrumentos
de recolección de la
información.
Diseño de la
propuesta
didáctica.
Socialización de
resultados.
Escritura del
artículo.
FASES DE LA
INDAGACIÓN
Escritura del
artículo.
ACTIVIDADES A
REALIZAR
Revisión bibliográfica y
antecedente.
Descripción del problema de
investigación.
Sustentación del proyecto.
Diseño del cuestionario de
indagación.
Validación del cuestionario por
juicio de expertos.
Aplicación del cuestionario de
indagación.
Análisis de los resultados del
cuestionario, de las preguntas
que puedan surgir durante su
aplicación y en la socialización
de las respuestas.
Diseño de la propuesta
didáctica con
recomendaciones, sugerencias
y actividades, para tratar de
minimizar los obstáculos más
recurrentes encontrados.
Validación por juicio de
expertos de la propuesta
didáctica.
Presentación de la primera
ponencia.
Presentación de la segunda
ponencia.
Diciembre
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Año 2021 – 2022
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Otubre
Noviembre
OCTUBRE
NOVIEMBR
E
Escritura del trabajo.
ACTIVIDADES A
REALIZAR
Escritura, socialización y
sustentación del trabajo.
AÑO 2022-2023
DICIEMBRE
ENERO
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
JULIO
AGOSTO
SEPTIEMBR
E