actividad-9.-CIRCUITO-EQUIVALENTE-DE-UN-TRANSFORMADOR (1)

MAQUINAS ELECTRICAS I
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15 de agosto de 2022
ACTIVIDAD 9: CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR
I. OBJETIVO
Analizar el circuito equivalente de un transformador a partir de la relacion de transformacion
II. MARCO TEORICO
(Mora, 202-207)
3.5. CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR
Los problemas relacionados con las tensiones y las corrientes en los transformadores se pue- den resolver con gran
precisión por medio del cálculo complejo, que es un método analítico que ha sustituido hoy en día (gracias a las excelentes
calculadoras electrónicas de bolsillo de que se dispone actualmente en el mercado) a los complejos diagramas vectoriales
que se fueron utilizando hasta la década de los setenta. Aun así, el cálculo resulta ser algo laborioso, por lo que suele
recurrirse a la sustitución del transformador por un circuito equivalente simplificado que incorpore todos los fenómenos
físicos que se producen en la máquina real. El desarrollo de circuitos equivalentes de las máquinas eléctricas no es una
invención moder- na, estando ligado a la propia evolución y expansión de la ingeniería eléctrica. Hay que reconocer, sin
embargo, la excelente labor realizada por Steinmetz, quien a principios del siglo XX asentó las bases científicas de la
tecnología eléctrica. La ventaja de desarrollar circuitos equivalentes de máquinas eléctricas es poder aplicar todo el
potencial de la teoría de redes eléctricas para conocer con antelación la respuesta de una máquina en unas determina- das
condiciones de funcionamiento.
En el caso del transformador el desarrollo de un circuito equivalente se inicia reduciendo ambos devanados al mismo
número de espiras. Generalmente se reduce el secundario al primario, lo que quiere decir que se sustituye el transformador
original por otro que tiene el mismo primario con N1 espiras y un nuevo secundario con un número de espiras N2ñ igual a
N1.
Para que este nuevo transformador sea equivalente al original, deben conservarse las condiciones energéticas de la máquina, es decir, las potencias activa y reactiva y su distribución entre los diversos elementos
del circuito secundario. Todas las magnitudes relativas a este nuevo devanado se indican con los mismos símbolos del
transformador real pero afectados con una tilde, como indica la Figura 3.14, donde los valores de tensiones y corrientes
se expresan en forma compleja.
203
Transformadores
R1
X1
Φ
A
X´2
a
PFe ≠ 0
V1
I1
E1
E´2=E1
R´2
I´2
V´2
Z L∠ϕ 2
a´
A´
N1
N´2=N1
Figura 3.14. Circuito equivalente de un transformador real reducido al primario.
De acuerdo con el principio de igualdad de potencias, pérdidas, etc., se obtienen las siguientes relaciones entre las magnitudes secundarias de los transformadores real y equivalente:
a) F.e.m.s. y tensiones
En el transformador real se cumple:
E1 N 1
E
=
= m ú E2 = 1
E2 N 2
m
(3.32)
y en el transformador equivalente, al ser Nñ2 = N1, se tiene:
E1 N1
=
= 1 ú Eñ2 = E1 = mE2
Eñ2 Nñ2
(3.33)
es decir, la f.e.m. Eñ2 del nuevo secundario es m veces mayor que la f.e.m. E2 que existía en
el transformador real.
De forma análoga se tendrá para la tensión V2ñ:
V2ñ = mV2
(3.34)
b) Corrientes
La conservación de la potencia aparente de ambos secundarios indica que:
S2 = V2 I2 = V2ñ I2ñ
(3.35)
y teniendo en cuenta la relación (3.34) se obtiene:
Iñ2 =
I2
m
(3.36)
es decir, la corriente Iñ2 del nuevo secundario es m veces menor que la corriente I2 que
existía en el transformador real.
c) Impedancias
Al igualar las potencias activas que se disipan en las resistencias, se obtiene:
R2 I22 = Rñ2 I2ñ2
(3.37)
de donde se deduce, teniendo en cuenta (3.36):
Rñ2 = m2 R2
(3.38)
204
Máquinas eléctricas
es decir, la resistencia Rñ2 del nuevo secundario es m2 veces la resistencia R2 que existía en
el transformador real.
De forma similar, planteando la conservación de la potencia reactiva en las reactancias,
resulta:
X2 I22 = Xñ2 I2ñ2
(3.39)
Xñ2 = m2 X2
(3.40)
y por consiguiente:
es decir, la reactancia Xñ2 del nuevo secundario es m2 veces la reactancia X2 que existía en el
transformador real.
En general, cualquier impedancia conectada en el secundario del transformador real, por
ejemplo la impedancia de carga ZL 7 r2 en la red de la Figura 3.13, se reducirá al primario
siguiendo las relaciones (3.38) o (3.40), por lo que se convertirá en una impedancia ZñL de
valor (véase Fig. 3.14):
ZñL = m2 ZL
(3.41)
lo que indica que cualquier impedancia ZL conectada en el secundario del transformador se
convierte en un valor m2 ZL en el transformador equivalente.
Téngase en cuenta, para demostrar la igualdad anterior de un modo general, que en la
Figura 3.13 del transformador real se cumple:
ZL =
V2
I2
(3.42)
siendo la impedancia reducida o transferida al primario en el circuito equivalente de la
Figura 3.14:
ZñL =
Vñ2
Iñ2
(3.43)
y sustituyendo (3.34), (3.36) y (3.42) en (3.43) resultará:
ZñL =
Vñ2 mV2 m2 V2
=
=
= m2 ZL
Iñ2
I2
I2
m
(3.44)
que coincide con la relación (3.41), obtenida allí por analogía con las equivalencias de (3.38)
y (3.40).
Es innegable que observando el circuito equivalente inicial obtenido en la Figura 3.14, el
lector puede imaginar multitud de redes equivalentes con tal de imponer diferentes condiciones al
número de espiras elegido Nñ2 del nuevo transformador. La importancia fundamental de la reducción de los devanados al haber elegido la igualdad especial Nñ2 = N1 estriba en que se puede llegar
a obtener una representación del transformador en la que no exista la función transformación, o
dicho en otros términos, se va a sustituir el transformador real, cuyos devanados están acoplados
magnéticamente, por un circuito cuyos elementos están acoplados sólo eléctricamente.
En efecto, si se observa el circuito de la Figura 3.14 y se tiene en cuenta la igualdad
(3.33), existe una identidad entre las f.e.m.s. primaria y secundaria, lo cual permite reunir los
extremos de igual polaridad instantánea, sustituyendo ambos devanados por uno solo como
muestra la Figura 3.15. Por este arrollamiento único circulará una corriente diferencia: I1-Iñ2,
Transformadores
X1
R1
X´2
205
R´2
I´2
I1
Φ
I0
E´2=E1
N´2=N1
V1
V´2
PFe ≠ 0
Figura 3.15. Circuito equivalente de un transformador real reducido al primario.
que teniendo en cuenta las identidades (3.16) y (3.31) es igual a la corriente de vacío I0. Ésta a
su vez, tiene dos componentes, una activa IFe y otra reactiva Ik, y como ya se demostró en el
epígrafe 1.7.2 del Capítulo 1, representan un circuito paralelo formado por una resistencia
RFe, cuyas pérdidas por efecto Joule indican las pérdidas en el hierro del transformador y por
una reactancia Xk por la que se deriva la corriente de magnetización de la máquina (véase
Fig. 1.32 del Capítulo 1). De acuerdo con estos razonamientos, el circuito de la Figura 3.15 se
transforma en el de la Figura 3.16, lo que representa el denominado circuito equivalente
exacto del transformador reducido al primario.
El mismo proceso seguido hasta aquí para obtener el circuito equivalente del transformador reducido al primario se puede emplear en sentido inverso, es decir, tomando un primario
con un número de espiras Nñ1 = N2 y dejando inalterado el secundario; se obtiene así el llamado
circuito equivalente reducido al secundario cuyo esquema se indica en la Figura 3.17, y cuya
comprobación de magnitudes se deja como ejercicio al lector.
En este texto se utilizará normalmente el tipo de circuito obtenido en primer lugar y
mostrado en la Figura 3.16. Este circuito responde fielmente al comportamiento del transformador real y por ello se denomina circuito equivalente exacto. En la práctica, y debido al
reducido valor de I0 frente a las corrientes I1 e I2, se suele trabajar con un circuito equivalente aproximado que se obtiene trasladando la rama en paralelo por la que se deriva la
corriente de vacío a los bornes de entrada del primario, resultando el esquema de la Figura 3.18a. Con este circuito no se introducen errores apreciables en el cálculo y sin embargo
R1
X 2' = m 2 X 2
X1
I0
I1
Figura 3.16.
I 2'
Iμ
IFe
V1
R2' = m 2 R2
E1 =
RFe
Xμ
E2'
V2'
Circuito equivalente exacto de un transformador real reducido
al primario.
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Máquinas eléctricas
R1' =
R1
X 1' =
m2
X1
m2
X2
I 0' = mI 0
I1' = mI1
V1' =
Figura 3.17.
'
I Fe
V1
m
'
=
RFe
I μ'
RFe
m
R2
X μ' =
2
I2
Xμ
V2
m2
Circuito equivalente exacto de un transformador real reducido
al secundario.
se simplifica enormemente el estudio de la máquina. El esquema puede simplificarse aún
más observando la conexión en serie constituida por las ramas primaria y secundaria (reducida). Si se denomina:
Rcc = R1 + Rñ2 : Resistencia de cortocircuito
Xcc = X1 + Xñ2 : Reactancia de cortocircuito
(3.45)
el circuito de la Figura 3.18a se convierte en el de la Figura 3.18b. Con ayuda de este último
circuito equivalente simplificado pueden resolverse una serie de problemas prácticos que
afectan a la utilización del transformador; en particular para el cálculo de la caída de tensión y
el rendimiento. Inclusive, si en un problema real se requiere únicamente la determinación de
la caída de tensión del transformador, se puede prescindir de la rama paralelo, ya que no
afecta esencialmente al cálculo de aquélla; de este modo el circuito resultante será la impedancia serie: Rcc + j Xcc . Como quiera, además, que en los grandes transformadores se cumple
que Xcc es varias veces Rcc , se puede utilizar solamente la reactancia serie Xcc para representar
el circuito equivalente del transformador. Este esquema final es el que se utiliza cuando se
realizan estudios de grandes redes en sistemas eléctricos de potencia: análisis de estabilidad,
cortocircuitos, etc.
I1
X1
R1
I0
IFe
Rcc
R´2
I0
I´2
IFe
Iμ
V1
RFe
I1
X´2
V´2
Xμ
V1
RFe
a)
Xcc
I´ 2
Iμ
Xμ
b)
Figura 3.18. Circuito equivalente aproximado de un transformador reducido
al primario.
V´2
Transformadores
207
Ejemplo de aplicación 3.3
A partir de las ecuaciones (3.24), (3.25) y (3.31), que definen el comportamiento de un transformador real, deducir de un modo analítico el circuito equivalente exacto de la Figura 3.16.
Solución
Las ecuaciones de partida son:
1) V1 = E1 + R1 I1 + j X1 I1 ; 2) V2 = E2 − R2 I2 − j X2 I2 ; 3)
E1
E2
; 4) I1 = I0 +
I2
m
Si en la ecuación 2) se multiplica por la relación de transformación m resulta:
mV2 = mE2 − mR2 I2 − j mX2 I2
o en forma equivalente:
2ñ) mV2 = mE2 − m2R2
I2
m
− j m2X2
I2
m
y denominando:
Eñ2 = mE2 ; Vñ2 = mV2 ; Iñ2 = I2 /m ; Rñ2 = m2 R2 ; Xñ2 = m2 X2
la ecuación 2ñ) se convierte en:
Vñ2 = Eñ2 − Rñ2 Iñ2 − j Xñ2 Iñ2
lo que da lugar a las ecuaciones transformadas siguientes:
a) V1 = E1 + R1 I1 + j X1 I1 ; b) Vñ2 = Eñ2 − Rñ2 Iñ2 − j Xñ2 Iñ2 ; c) E1 = Eñ2 ; d) I1 = I0 + Iñ2
que el lector puede comprobar fácilmente que son las ecuaciones que rigen el comportamiento eléctrico del circuito de la Figura 3.16.
3.6. ENSAYOS DEL TRANSFORMADOR
Los ensayos de un transformador representan las diversas pruebas que deben prepararse para
verificar el comportamiento de la máquina. En la práctica resulta difícil la realización de
ensayos reales directos por dos motivos esenciales: 1) la gran cantidad de energía que ha de
disiparse en tales pruebas, 2) es prácticamente imposible disponer de cargas lo suficientemente elevadas (sobre todo cuando la potencia del transformador es grande) para hacer un ensayo
en situaciones reales.
Ahora bien, el comportamiento de un transformador, bajo cualquier condición de trabajo,
puede predecirse con suficiente exactitud si se conocen los parámetros del circuito equivalente. Tanto el fabricante como el usuario del transformador necesitan esta información. Sin
embargo, no es sencillo ni fiable obtener estos parámetros de los datos de diseño o proyecto.
Afortunadamente, los elementos que intervienen en el circuito equivalente aproximado se
pueden obtener con unos ensayos muy simples que tienen además la ventaja de requerir muy
poco consumo de energía (la suficiente para suministrar únicamente las pérdidas de la máquina), de ahí que sean pruebas sin carga real. Los dos ensayos fundamentales que se utilizan en
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213
Transformadores
se podrá poner:
V1n
I
V1cc 1n
I1falta =
(3.62)
que al hacer uso de la 1.a identidad de (3.59) resultará:
I1falta =
100
I
ecc 1n
(3.63)
lo que indica que la corriente de cortocircuito de falta está en relación inversa con ecc. Cuanto
mayor sea el valor de ecc tanto menor será el valor de la corriente de cortocircuito. Como
quiera que un alto valor de ecc implica, como se demostrará en el epígrafe 3.7, una fuerte caída
de tensión en el transformador, deberá adoptarse una solución de compromiso entre ambos
aspectos contradictorios. En la práctica, los transformadores industriales menores
de 1.000 kVA, tienen un valor de ecc comprendido entre el 1 y 6 por 100 (transformadores de
distribución); sin embargo, para potencias mayores se aumenta hasta un margen del 6 al 13
por 100. Como se demostrará más adelante, el valor de ecc tiene también gran importancia en
el acoplamiento en paralelo de transformadores. Generalmente la componente eXcc es superior
a eRcc.
AMPLÍE SUS CONOCIMIENTOS
1. Relaciones entre las impedancias de los circuitos equivalentes:
De acuerdo con el circuito equivalente del transformador mostrado en la Figura 3.18, el
valor absoluto de la impedancia de la rama serie del transformador reducido al primario es:
Zcc = Rcc + jXcc
; donde se cumple
Rcc = R1 + m2R2
; Xcc = X1 + m2X2
(1)
mientras que cuando se utiliza el circuito equivalente reducido al secundario de la Figura 3.17,
los valores absolutos correspondientes los vamos a denominar del siguiente modo:
Zñcc = Rñcc + jXñcc ; donde se cumple Rccñ =
R1
m
2
+ R2
; Xñcc =
X1
m2
+ X2
(2)
obsérvese comparando las expresiones (1) y (2), que las relaciones entre estas magnitudes reducidas al primario o al secundario son:
Zñcc =
Zcc
m2
;
Rñcc =
Rcc
m2
;
Xñcc =
Xcc
(3)
m2
es importante utilizar bien estos parámetros cuando se trabaja con valores absolutos de impedancias, ya que las magnitudes son distintas según se utilice el circuito equivalente del transformador reducido al primario o reducido al secundario. Sin embargo cuando se utilizan valores por
unidad (véase el Apéndice 3), o se estudian las caídas de tensión de los transformadores en tanto
por ciento, los valores relativos son idénticos y no dependen del circuito equivalente utilizado.
Así podemos observar que las caídas relativas de tensión con parámetros reducidos al primario
mostradas en (3.76) son:
ecc =
ZccI1n
V1n
· 100
; eRcc =
RccI1n
V1n
· 100 ;
eXcc =
XccI1n
V1n
· 100
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TAREA
Se requiere determinar las impedancias del circuito equivalente de un transformador de 20 kVA, 8 000/240 V, 60 Hz. La prueba de
circuito abierto se realizó en la prueba del circuito secundario del transformador (para reducir el voltaje máximo que se tenía que
medir), y la prueba de cortocircuito se realizó en el lado primario del transformador (para reducir la máxima corriente que se
tenía que medir). Se tomaron los siguientes datos:
Encuentre las impedancias del circuito equivalente referido al lado primario y dibuje el circuito.