ASIGNATURA: MATEMÁTICA III
CICLO: 2022-II
HOJA DE EJERCICIOS: UNIDAD 1
II. Determine en cada caso si la serie es convergente, si lo es calcule su suma:
1
1
1
n
n
n
2 + 4 +8
3
n =1
1.
4.
4n
n =1
6.
2
2
+ 8n + 3
n
2n + 3n
5n
n =1
2.
3.
n
n =1
5.
1
( 3n − 2 )( 3n + 1 )
n =1
n
n =1 ( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )
7.
3
2
+n
8
n =1 ( 3n + 1 )( 3n + 4 )
1
( 3n − 2 )( 3n + 1 )
8. n =1
9.
n =1
1
arctan 1 + n( n + 1 )
2n 3 + 3n + 1
3
Sen
n 2 + 5n
n
n =1
10.
III. Analizar la convergencia de la sucesión, {𝑽𝒏 }𝒏≥𝟏 si:
a)
Vn = n3 sen(
n
3
) 9n6 + 27n tag (
1
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑔(𝑛)
2
+
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑔(𝑛)
b)
𝑉𝑛 =
c)
𝑉𝑛 = 𝐿𝑛(𝑛𝑛 )
d)
𝑉𝑛 =
e)
𝑉𝑛 = 𝑛. 𝑠𝑒𝑛 (𝑛) + √
1+𝑛
n
3n
5n
)tag (
)sen(
)
n +1
n +1
n +1
2+𝑛
+ ⋯+
𝜋
4
𝑛+𝑛
𝐿𝑛(𝑛!)
1
√𝑛2 +1
+
1
√𝑛2 +2
1
𝑛
+ ⋯+
1
√𝑛2 +𝑛
3𝑛 +4 𝑛 +7𝑛 +9𝑛
𝑛
IV. Sea la sucesión definida por recurrencia: 𝒂𝟏 = 𝟏 ; 𝒂𝒏+𝟏 = 5 -
𝟏
𝒂𝒏
.
a) Probar que, la sucesión es creciente.
b) Probar que, la sucesión es acotada por 5.
c) Hallar el límite de la sucesión.
𝟏
V. Si la sucesión {𝑼𝒏 }𝒏≥𝟏 es tal que:𝑼𝟏 = 𝟏; 𝑼𝒏 = (𝟐𝑼𝒏−𝟏 𝟑), 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 ≥ 𝟐
𝟒
Probar que la sucesión {𝑈𝑛 }𝑛≥1 es convergente y calcular su límite.
VI. Los términos de una sucesión se dan por:
𝒂𝟏 = √𝟐 ; 𝒂𝒏+𝟏 = √𝟐 + 𝒂𝒏 , 𝒏 ≥ 𝟏
a) Probar que la sucesión es convergente.
b) Hallar el límite de la sucesión.
VII. Los términos de una sucesión se dan por: 𝒂𝟏 = 𝟏 ; 𝒂𝒏+𝟏 = √𝟐𝒂𝒏 , 𝒏 ≥ 𝟏
a) Probar que la sucesión es convergente.
b) Hallar el límite de la sucesión.
VIII. SERIES.
1.- Hallar la suma de las siguientes series:
a) ∑∞
1 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑔 (
1+𝑛4 (𝑛+1)4
)
8n + 16
b)
4𝑛3 +6𝑛2 +4𝑛+1
n (n + 4)
2
n =1
c)
∑∞
1
e)
∑∞
1
2
2𝑛
(2𝑛 −1)(2𝑛+1 −1)
d)
𝑛
∞
𝑔) ∑
cos (
2n+1
𝑛2 +n
𝑛=1
) 𝑠𝑒𝑛(
1
𝑛2 +n
(3𝑛 −2𝑛 )(3𝑛+1 −2𝑛+1 )
1
∑∞
1 𝐿𝑛 (1 − 𝑛2 )
f)
(𝑛+1)!
6𝑛
∑∞
1
∞
)
h)
2n+1
∑
𝑛=1
n4 +2𝑛3 +𝑛2
2.- Analizar la convergencia de las siguientes series.
∞
a)
∑𝑛=1(
2+𝑠𝑒𝑛3 (n+1)
2𝑛 +𝑛2
∞
)
e) ∑
d) ∑
f)
𝑛=1 √𝑛(𝑛−3)
∞
4
3
𝑛=1 5𝑛 +𝑛 +1
∑
𝐿(𝑛)
𝑛=1 𝑛√𝑛
∞
(𝑛+1)3
𝑛=1
2𝑛2 −3𝑛+1
∞
𝑛+2
g) ∑
3.-
∞
1
2
𝑛=1 𝑛 (𝐿𝑛(𝑛))
∑
∞
𝑛5 +4
𝑛=1
∞
c)
𝑛2 𝑠𝑒𝑛(𝑛)+1
∑
b)
h) ∑
9
𝑛 ⁄2
4𝑛 𝑛!
𝑛
𝑛=1 𝑛
Determinar el intervalo y el radio de convergencia de las siguientes series.
a)
∑∞
𝑛=0
c)
∑∞
𝑛=1 (
e)
∑∞
𝑛=0
g)
∑∞
𝑛=1
i)
4𝑛+1
𝑥 2𝑛
𝑛+3
b)
∑∞
𝑛=0
(𝑥 − 2)2𝑛
𝑛+1)𝐿𝑛(𝑛+1)
d)
∑∞
𝑛=0
(−1)𝑛 𝑥+1 2𝑛
( 3 )
4𝑛
f)
1
(−1)𝑛−1
𝑛 3𝑛
2
𝑛 𝑛
∑∞
𝑛=1 3 𝑥
(𝑥 − 5)𝑛
2
2𝑛
(𝑥 − 3)𝑛
𝑛+2
3𝑛 +(−2)𝑛
𝑛
∑∞
𝑛=1
1
2𝑛
∑∞
𝑛=1
g)
∑∞
𝑛=0(
𝑛2
𝑥
(𝑥−1)𝑛
𝑠𝑒𝑛(𝑛)
h)
(𝑥 + 1)𝑛
(𝑥 − 2)𝑛
𝑥 2 −1 𝑛
)
2
4.- Expresar las siguientes funciones como la suma de una serie de potencias.
a) 𝑓(𝑥 ) =
c)
3
7−𝑥
𝑓 (𝑥 ) =
e) 𝑓 (𝑥) =
3𝑥+2
b) 𝑓 (𝑥) =
5
1+3 𝑥
3
1+𝑥−𝑥 2
d)
𝑓 (𝑥 ) =
f)
𝑓 (𝑥 ) =
2𝑥 2 +3𝑥+1
2𝑥+5
𝑥 2 +5𝑥+4
4
5−2𝑥
5.- a) Si: 𝑓(𝑥 ) = 𝐿𝑛(𝑛2 + 𝑛 − 2). Expresarla como una serie de Taylor en
𝑥0 = 5
b) Desarrollar en serie de Taylor la función: 𝑓 (𝑥 )
alrededor de 𝑥0 =
1
2
=
3
1+𝑥−𝑥 2
;
e indicar su radio y su intervalo de convergencia.
c) Expresar la función 𝑓(𝑥) = cos(3𝑥) como una serie de Máclaurin.
d) Expresar la función :
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 𝑥,
como una serie de Taylor
en 𝑥0 = 1.
e) Expresar como una serie de Maclaurin la función:
𝑓 (𝑥) =
5𝑥+4
2+5𝑥−3𝑥 2
URP, agosto 2022
