03 Tema 05 - Probabilidad Condicionada

TEMA 5
PROBABILIDAD
CONDICIONADA
TEMA 5: Probabilidad condicionada.
Determinación concreta del espacio muestral
aplicaremos el concepto de probabilidad
Frecuencia relativa condicionada
 B nn
fr A
nAB
AB
B

Si un experimento se repite n veces, y los sucesos A y B
ocurren nA y nB, definimos Frecuencia relativa del suceso A
considerando solamente las veces que ocurrió el suceso B
n  rf (AB)
nB
fr(B)
n
si
fr B  0
Probabilidad condicionada
 B
•
P A
•
P B

 
P(A  B)
; P(B)  0
P(B)
P(A  B)

; P(A)  0
A
P(A)
 
 
 P A  P(B)
B

P(A  B)  
P B  P(A)
A

Ω / B = Ω´
A
A
12
𝑃𝑃 𝐴𝐴 =
100
3
=
𝑃𝑃𝐴𝐴∩ 𝐵
𝐵
B
Ω
B
𝑃𝑃𝐵
𝐵
25
𝑃
𝑃′
9
=
100
2
1
=
=
100 50
𝑃𝑃𝐴𝐴�𝐵
𝐵 =
𝑃𝑃′ 𝐴𝐴
𝑃𝑃 𝐴𝐴∩ 𝐵𝐵
𝑃𝑃𝐵𝐵
2
2
= 100 =
9
9
100
𝐴𝐴 =
2
9
?
Ω / B = Ω´
B
B
A
𝑃
𝑃′ 𝐴𝐴 = 0
Ω
𝑃𝑃 𝐴𝐴 =
56
100
=
14
25
𝑃𝑃𝐵
𝐵
=
4
100
𝑃𝑃𝐴𝐴�𝐵
𝐵 =
=
1
𝑃𝑃 𝐴𝐴∩ 𝐵𝐵 = 0
25
𝑃𝑃 𝐴𝐴∩ 𝐵𝐵
𝑃𝑃𝐵𝐵
=
0
=0
4
100
𝑃𝑃′ 𝐴𝐴
?
Una urna se ha llenado de bolas blancas y negras de la siguiente forma:
Se introducen tantas bolas blancas como número de puntos se obtienen
en la primera tirada de un dado; y tantas bolas negras como número de
puntos de puntos se obtengan en una segunda tirada del dado.
¿Cuál es la probabilidad de que la urna contenga exactamente cinco
bolas blancas?
NOTA: Denotar muy claramente todos los sucesos, justificando todas las respuestas.
El espacio muestral de experimento realizado:
“Tirar dos veces un dado para llenar la urna”, por tanto las posibles composiciones de la citada urna son:
1,1;1, 2;...;1,6; 


 (2,1);.............  2,6  ; 
......................; 6,6 
 

en total se presentarán VR6,2 = 62 = 36 formas distintas de llenar la urna
 ¿cuál es la probabilidad de que la urna contenga exactamente cinco bolas blancas?
Sea el suceso: A  “Exactamente Cinco bolas Blancas en la urna”
o lo que es lo mismo: “Primera tirada del dado es cinco”, y está formado por los sucesos elementales:
A  5,1 ; 5,2 ;5,3 ;5,4 ;5,5 ; 5,6 
luego:
P(A) 
6 1

36 6
Sabemos que el número total de bolas introducidas es de ocho.
¿Cuál es la probabilidad de que la urna contenga exactamente cinco
bolas blancas?
De ahora en adelante, disponemos de la información adicional:
El número total de bolas introducidas es de ocho
1,1;1, 2;...;1,6; 


 (2,1);.............  2,6  ; 
......................; 6,6 
 

Al tener la información adicional de que en la urna hay 8 bolas en total, las posibles composiciones de la urna, ya
no serán las anteriormente expuestas, sino que el espacio muestral de referencia ha cambiado y resulta ser:
' 2,6;3,5;4,4;5,3;6,2 
 ¿cuál es la probabilidad de que la urna contenga exactamente cinco bolas blancas?
y la probabilidad de ocurrencia del suceso Aserá:
A  “Exactamente Cinco bolas Blancas en la urna”
PA
' 0,8;1,7;2,6;3,5;4,4;5,3;6,2;7,1;8,0 
1
5
PA
1
9
Resolvamos el ejercicio de otra forma, haciendo uso del concepto de probabilidad
condicionada, ya que se pide la probabilidad de un suceso teniendo como información
adicional que ha ocurrido otro suceso, y ello conlleva la variación de los espacios
muestrales.
El espacio muestral de experimento realizado: “Tirar dos veces un dado para llenar la urna”, y por
tanto las posibles composiciones de la citada urna son:
1,1;1,2;...;1,6; ..........;6,6 
en total se presentarán VR6,2 = 62 = 36 formas distintas de llenar la urna
Sean los sucesos:
A  “Exactamente Cinco bolas Blancas en la urna” o lo que es lo mismo: “Primera tirada del dado es cinco”
A 5,1;5,2;5,3;5,4;5,5;5,6 
B  “Total de puntos obtenidos en el experimento, ocho”
B 2,6;3,5;4,4;5,3;6,2 
Sabemos que el número total de bolas introducidas es de ocho.
¿cuál es la probabilidad de que la urna contenga exactamente cinco bolas
blancas?
 A 5,1;5,2;5,3;5,4;5,5;5,6 
 B 2,6;3,5;4,4;5,3;6, 2 
 B PPABB 
P A
Es decir, probabilidad del suceso:
las probabilidades de los sucesos del numerador y denominador de la expresión pedida, serán
respectivamente:
PB
5
36
P  A  B 
1
ya que  AB  5,3
36
1
por tanto:
 B 5 36  15
P A
36
Independencia estocástica (aleatoria)
•
A indep. B
↔
P(A)=P(A/B)
•
B indep. A
↔
P(B)=P(B/A)
•
A indep. B
↔
P(A ∩ B)=P(A) P(B)
•
A indep. B
↔
B indep. A
•
En general, dados
A  A , i  1,...,n
i
los Ai son "mutuamente" independientes
si y sólo si:
P(A1 A2 ...An )  P(A1 )P(A2 )...P(An )
Pero no tienen por qué ser independientes dos a dos
N 12
P(A) 
6 1

12 2
P(B) 
4 1

12 3
P(C) 
¿Son Mutuamente Independientes?
P(A)  P(B)  P(C)  PA  B  C
1 1 1 1
P(A)  P(B)  P(C)    
2 3 2 12
PA  B  C 
1
12
 Mutuamente Independientes
6 1

12 2
N 12
P(A) 
6 1

12 2
P(B) 
4 1

12 3
P(C) 
6 1

12 2
1 1 1 1
P(A)  P(B)  P(C)     
2 3 2 12 
  Mutuamente Independientes
1

PA  B  C 

12
¿Son Independientes dos a dos?
P(X)  P(Y)  P(X  Y)
1 1 1
2
P(A)  P(B)    ; PA  B 
 Independientes
2 3 6
12
1 1 1
2
P(C)  P(B)    ; PC  B 
 Independientes
2 3 6
12
1 1 1
2
P(A)  P(C)    ; PA  C 
 NO Independientes
2 2 4
12
Teorema de la partición (o de la probabilidad total)
 Dados Ai  A , i  1,...,n
tales que:
n
 A  
i
i1

A i  A j   i, j  1,,n / i  j
 P(Ai )  0 , i  1,,n
• Y sea
B A
otro suceso, entonces:


B
P
P(B)   i1 P(A i )
 A 

i
n

Demostración: Basta considerar
n
1.
B   (A i  B)
i1
2.


B
P
P(Ai  B)  P(Ai )  A 

i
A1 A2
An
B
B
A1
Bc
B
A2
Bc
B
An
Bc
Se dispone de dos urnas con la siguiente composición:
 2 bolas Blancas
 4 bolas Blancas
U1   3 bolas Negras ; U 2   3 bolas Negras
 5 bolas Rojas
 2 bolas Rojas


Se escoge una bola al azar de la urna nº 1 y se pasa, sin mirarla, a la urna nº 2,
y a continuación se extrae una bola de urna nº 2.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la urna nº 2 sea Blanca?.
Composición de las urnas.
2 bolas Blancas
4 bolas Blancas
U1   3bolas Negras ; U 2   3bolas Negras
 5bolas Rojas
 2bolas Rojas


Sucesos en estudio:
Bi ≡ “Bola extraída de la urna nº i es Blanca”
Bi
𝐵
𝐵
1
i1,2
𝐵
𝐵
𝐵
2 /𝐵
1
2
10
5
10
𝐵𝐵2/𝐵𝐵1
≡ “Bola extraída de la urna nº i No es Blanca”
B2
Se escoge una bola al azar de la urna nº 1 y se pasa, sin
mirarla, a la urna nº 2, y a continuación se extrae una bola
de urna nº 2.
410 
B2
8
𝐵𝐵1
10
 ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la urna nº 2 sea Blanca?.
De acuerdo con el teorema de la partición: P(B 2)  P B1  P 

P(B 2) 
B2
 
  P B1  P  B2 

B1 
 B1 
2 5
8 4
42
   
 0.42
10 10 10 10 100
5
10
Teorema de Bayes
Thomas Bayes (Londres, Inglaterra, 1702-1761) fue matemático y ministro
presbiteriano. Su obra más conocida es el Teorema de Bayes.
La Estadística bayesiana es un subconjunto del campo de la estadística en la que la evidencia
sobre el verdadero estado del mundo se expresa en términos de “grados de creencia” o, más
específicamente, las probabilidades bayesianas.
Se trata de probabilidad "inversa" en el sentido de que la "directa" sería la probabilidad de observar
algo supuesto que rigen ciertas condiciones. Los cultores de la inferencia bayesiana (basada en
dicho teorema) afirman que la trascendencia de la probabilidad inversa reside en que es ella la que
realmente interesa a la ciencia, dado que procura sacar conclusiones generales (enunciar leyes) a
partir de lo objetivamente observado, y no viceversa.
Dadas las condiciones del teorema de la partición:

Dados A  A ,
i
i  1, ...,n tales que:
n
A  
i

 A  A   i, j  1,,n
 P(A )  0 , i  1,,n
i1
i
j
/ i j
entonces:
i
Sea B otro suceso que ha ocurrido,
P(B)  0


P(A j )P  B A 
A 
j

P j B  
n
B 


P(A
)
P

 i1 i  Ai 
Donde:
P A i  
Probabilidad a priori.
 Aj  
P B 


P B  
 Ai 
Probabilidad a posteriori.
Verosimilitudes.
Demostración:


P(Aj) P B A 
 Aj  P(AjB)
j


P B 
P(B)
P(B)


B 
P(A
)
P
j
 A
T.P.
j

 n
P(Ai ) P BAi
i1
Se dispone de dos urnas con la siguiente composición:
 2 bolas Blancas
 4 bolas Blancas
U1   3 bolas Negras ; U 2   3 bolas Negras
 5 bolas Rojas
 2 bolas Rojas


Se escoge una bola al azar de la urna nº 1 y se pasa, sin mirarla, a la urna nº 2,
y a continuación se extrae una bola de urna nº 2.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la urna nº 2 sea Blanca?
 
De acuerdo con el teorema de la partición: P(B 2)  P B1  P  B2  P B1  P
 B1 
P(B 2) 
 B2 

 B1 
2 5
8 4
42
   
 0.42
10 10 10 10 100
2. Sabiendo que la bola extraída de la urna nº 2 es Blanca, ¿cuál es la probabilidad
de que la bola extraída de la urna nº 1 hubiera sido Blanca también?
Se nos pide:
PB1 
 B2 
 
𝐵𝐵/
2 𝐵𝐵1
B 1 2 10
5
10
𝐵𝐵2/𝐵𝐵1
De acuerdo con el árbol anterior:
𝐵𝐵2/𝐵𝐵1
B1
810
4
10
𝐵𝐵2/𝐵𝐵1
aplicando el teorema de Bayes:
B
B




2
2
P B1  P  B 
P B1  P  B 
B1 

1

1

P


B
B
B

2
P B2 
P B1  P  2   P B1  P  2 
 B1 
 B1 
 
2 5

B
P 1  10 10  10  0.238
42
 B2 
42
100