Problemas y ejercicios de analisis matem

PROBLEMAS DE EJERCICIOS
DE
ANALISIS MATAMATICO
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G. B a r a n e n k o v , B , D e m id o v i c h , V . E fim e n k o , S . K o g a n y
G. L u n ts t É . P o r s h n e v a , Z?. Siofeoya, 5 . F r o l o v , ñ . Shostak
y A . Y a n p o ls k í
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
DE
ANALISIS MATEMATICO
.floyisac/o p o r
p ro/esor
D em id o v ich
S egu n d a edición
EDITORIAL MIR • M o s c ú
19 6 7
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PRO LO G O
E n el
p resen te
li b r o , lo s p r o b le m a s y
e je r c ic io s de a n á lisis
m a t e m á t ic o se h a n e s c o g id o de acu erdo c o n el program a m á x im o
d e l c u r s o general de m a te m á tic a s su periores q u e se estudia en lo s
c e n tr o s
de
enseñanza
t é c n ic a
su p erior.
C o n tien e
m ás
de
3000
p ro b le m a s s is te m a tiz a d o s en c a p ít u lo s (I — X ) y abarca la t o t a li­
dad de la s p a r te s q u e c o n s t i t u y e n el cu rso de m a te m á tica s su periores
de lo s
m e n cio n a d o s c e n tr o s de en señ a n za (e x c e p t o la g eom etría
a n a lític a ). S e ha prestado e s p e cia l a t e n c ió n a la s partes q u e, por
ser m ás im p o r ta n te s , requ ieren una m a y o r p r á c tica (d e te rm in a ció n
de l ím it e s , t é c n ic a de d ife r e n c ia c ió n , c o n s tr u c c ió n de las g rá fic a s
de la s fu n c io n e s , t é c n ic a de in t e g r a c ió n , a p lic a c ió n de las in te ­
g rales d e fin id a s , series y r e s o lu c ió n de e cu a cio n e s d ife re n cia le s ).
T e n ie n d o
en
c u e n ta
que
en
alg u n os
c e n tr o s
de ensoñanza
s u p e r io r se e x p lic a n c a p ít u lo s su p le m e n ta rio s al c u r s o de m a te­
m á t ic a s , lo s a u tore s h a n in c lu id o p ro b le m a s de te o ría de lo s ca m p o s ,
del m é t o d o de F o u r ie r y
de cá lcu lo s
a p ro x im a d o s.
La
práctica
p e d a g ó g ic a dem u estra q u e el núm ero de p rob lem a s que se ofrecen ,
no s ó l o es m á s q u e s u f ic ie n t e para c u b r ir la s necesidades de los
e s t u d ia n te s
c a p ítu lo s
para r e fo r z a r p r á c tic a m e n te e l c o n o c im ie n t o de los
co r re s p o n d ie n te s,
s in o que
ta m b ié n da al
p ro fe s o r la
p o s ib ilid a d de h a c e r una s e l e c c i ó n v ariad a de lo s p rob lem a s dentro
de lo s
lim it e s de c a d a ca p ítu lo y de e le g ir lo s n e ce sa rios
para
la s ta re a s de resum en y l o s tr a b a jo s de c o n tr o l.
A l p r i n c i p i o de ca d a c a p ít u lo se da u n a b re v e in tro d u c ció n
t e ó r ic a y las d e f in ic io n e s y fórm u la s m ás im p o r ta n te s relativas
a la p a rte co rre s p o n d ie n te del c u r s o . A l m is m o tie m p o se ofrecen
e je m p lo s de re s o lu c ió n de lo s problem as típ ic o s más interesantes.
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6
P ró lo g o
C on e llo creem os h a b er fa c ilita d o a lo s e stu d ia n te s el e m p le o de
este m a n u a l de p ro b le m a s a l r e a liz a r sus tr a b a jo s in d iv id u a les.
Se dan la s s o lu c io n e s de todos lo s problem as do c á lc u lo . En
las s o lu c io n e s de aqu ellos problem as q u e v a n m arcados c o n un
a ste ris co (*), o c o n dos (**), se i n c lu y e n b rev es in d ic a c io n e s para
su r e s o lu c ió n o r e s o lu c io n e s . P arte de lo s p ro b le m a s se ilu stra n
con fig u ra s para h a cerlo s más co m p r e n s ib le s .
E ste m anual de
problem as es el resu ltado de la r g o s años de
enseñanza de la d is c ip lin a , p o r p a rte do los autores, en los cen tros
de enseñanza té c n ic a de la U n ió n
problem as
y
e jo r c ic io s
o rig in a le s ,
S o v ié tica .
se
h an
p rob lem a s c u y o co n o c im ie n t o es genoral.
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E n é l, adem ás de
re c o g id o
n u m erosos
C a p ítu lo I
IN T R O D U C C IO N A L A N A L I S I S
§ 1, Concepto de fu n c ió n
I o. N ú m e r o s r e a l e s . Lo s nú m eros racion a les e irra cio n a le s se
d e n o m in a n nú m eros reales. P o r valor absoluto de u n núm ero real a so e n t ie n ­
do u n núm ero 110 n e g a tiv o |a|, d e term in a d o p o r las c o n d icio n e s : \ a \ ~ a y
s i a ^ O y \ a \ = — a, si a < 0 . Para d os números reales cualesquiera a y b
so v e r i f i c a la d esig u a ld a d
2o. D e f i n i c i ó n d e l a f u n c i ó n . Si a cada u n o do ios v a lores *)
q ue puedo to m a r u n a m a g n itu d v a r ia b le x , perten ecien te a un determ inado
c o n ju n t o E y c o rre s p o n d o u n v a l o r ú n ico , f in it o y d eterm inado do la m ag­
nitud y , esta m a g n itu d y recib e e l nom b re de /unción (uniform o) de x y
o de variable dependiente determ in a d a on el c o n ju n to E\ x se llam a argumento
O variable independiente. E l hecho do q ue y sea fu n ció n de x so expresa
ab revia d a m en te p o r m e d io de las n o ta cio n e s: y = f ( x ) o y = F { x ) y etc.
Si a ca d a uno de lo s v a lo re s q ue pueda lom a r x y perten ecien te a un
d e t e r m in a d o c o n ju n to E , corresp on d e n uno o v a rios v a lores do la m agnitud
v a ria b lo y y esta m a g n itu d y so llam a función m ultiform e de x y d eterm iuada
en el c o n ju n t o E . fcn lo su cesivo , co n la palabra « fu n c ió n » designarem os
ú n ic a m e n te las fu n cio n e s u n i f o r m e s , siem pre que de fo rm a e x p líc it a no
se p re v e n g a lo con trario.
3°. C a m p o d e e x i s t e n c i a d o l a f u n c i ó n . E l c o n ju n to de
v a lores do x y que d e te rm in a n la fu n c ió n dada, so llam a campo de existencia
o campo de definición de la fu n ción .
E n los casos más elem e n ta les, e l ca m p o de e x isten cia de las funciones
representa: o u n segmento [a y b), os d e cir, u n c o n ju n to de núm eros reales x t
que sa tis fa ce n a las desigualdades
o u n intervalo (a, b )y es decir,
un c o n ju n t o de n ú m o r o s rea les x , que sa tis fa ce n a las desigualdades a <^x <^b.
Pero la estru ctu ra d e l cam po de ex isten cia de las fu n cio n e s puode ser aún
m ás c o m p le ja (véase, p o r o j . , el p ro b le m a 21).
Ejem plo
1.
D e te rm in a r el cam po de e x iste n cia de la fun ción
1
u — -----------Solución.
.
La f u n c i ó n estará d e fin id a si
* 2- l >
0,
es d e cir, s í |^ |> 1. Do esta fo rm a , el cam po de ex isten cia de la fun ción
representa u n c o n ju n to de dos in te r v a lo s : — o o O
< — 1 y 1< * < -| -co .
*) En adelanto, to d o s lo s v a lo re s de las inagnitudos que se exam ínen se
supondrán reales, siem pre q ue de m anera e x p líc it a n o se indique lo co n tra rio .
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8
Introducción al análisis
4 o. F u n c i o n e s i n v e r s a s . Si la e c u a c ió n y = j (s) a d m ite s o lu c ió n
ú n ic a resp ecto a Ja v a ria b io x y es d e cir, s i e x is te una fu n ció n x = g ( y )
t a l, que y = j [ g { y ) I, la fu n c ió n ar= £ ( y ) , o s ig u ie n d o las n o ta cio n e s usuales
y — g( z ) > se llam a inversa co n r e la c ió n a y = f { x ) . Es e v id e n te q ue g [ f ( x )j =
= x , es decir, que las fu n cion e s / (x) y g ( x ) son recíprocam ente inversas.
En el caso general, la ecuación y = f ( x ) determinará una función mul­
tiforme inversa x = = f - * { y ) tal, que y = / ( / “ * (y)) para todas las y , que sean
valores de la función j (x).
Ejem plo
2.
Determinar la inversa do la función
y = 1 — 2~*.
Solución.
(1)
Resolviendo la ecuación (1) respecto a x, tendremos:
2” x =
1— y
y
•
lg 2
Es
e v id e n te
q ue
el
ca m p o
de
d e f in ic i ó n
(2)
de
la
fu n c ió n
(2)
será:
—a > < y < l .
5o. F u n c i o n e s c o m p u e s t a s o i m p l í c i t a s . La función y de
x, dada por una cadena de igualdades y = /(u ), donde u = (p(x), etc,, se llama
compuesta o junción de junción.
La fu n ció n dada por una e c u a c ió n que n o está resuelta c o n respecto
a la v a ria b le d ependiente, r e c ib o el nom b ro de im plícita. P o r e je m p lo ,
la e c u a c ió n x 3 + y :* = 1 determ ina a y com o fu n ció n im p lí c it a de x .
6o. R e p r e s e n t a c i ó n
g r á f i c a d e l a s f u n c i o n e s . E l con­
ju n to de pu n tos (x , y ) de un p la n o X O Y f cu yas coordenadas estén rolacionadas
e n t r e s í p o r la e c u a c ió n y = / { x ) , s o denom ina gráfica do d ich a fu n ción .
i* * .
D em ostrar, que si a y b so n n ú m eros reales
I M ~ - | f r | | < | a — fcl < l « l + I H
2. D em ostra r la s s ig u ie n te s ig u a lda des:
a) |« 6 ( = ¡a | -j & |;
c ) |~ |
b) | a |2 = a 2;
d)
(b
0 );
y«*= | a| .
3. R e s o lv e r la s in ecu a cio n e s:
a) 1íc — 1 j <
3;
b) | * + 1 1> 2 ;
c)
| 2 a ?+ l| < l;
d) \ x — 1 1< [ a : - ( - l |.
4. H a lla r / ( — 1). / ( O ) , / ( 1 ) , / ( 2 ) , / ( 3 ) y / ( 4 ) , si f ( x ) = x s — 6a:2 + l i s — 6 .
5 . H a lla r / ( O ) ,
= /
/ (
.
/(-* ),
/ (± ) .
^
, si / ( * ) =
1 4 -x*.
*) lg x = log 10x, como siempre, designa el logaritmo decimal del número x.
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Concepto d e la ju nción
6 . Sea / ( x) = a re e o s (Ig z ) . H a lla r / ( ¿ ) ,
9
/ ( 1 ) Y / (10).
7. L a fu n c ió n f ( x) es lin e a l. H a lla r dicha f u n c ió n , si
/ ( — 1) — 2 y / ( 2 ) = - B .
8 . H a lla r la fu n c ió n entera y ra cion a l de segu n do grado } (x),
si / (0) = 1, / (1) = 0 y / (3) = 5.
9. S e sabe que, / ( 4 ) = — 2 y / ( 5 ) = 6 . H a lla r el v a lo r apro­
x im a d o de / (4 , 3), con sid era n do q u e la fu n c ió n / (£ ), en el seg­
m e n to 4 < £ < 5 , es lin e a l ( in ter p o la ció n lin e a l d e fu n cio n es).
• 1 0 . E s c r ib ir una s o la fó rm u la q u e exprese la fu n c ió n
0 , si £ < 0 ,
/< * ) =
x , si x > 0 ,
em pleando el sign o de v a lo r a b s o lu to .
D eterm in ar e l ca m p o de e x iste n cia de la s sig u ie n te s fun ciones:
11 . a) y = V x + 1 ;
12 .
J
b ) y = y rx + L
4 — ar2
13. a) y - V z * — 2;
b) y ^ = x Y ^ ~ 2 -
1 4 * ..
y ^ Y 2 -\ -x — x'K
15.
y —V — £ +
16.
y = Y x ~ £ 3,
17-
V=
4o
i
1/ 2 - 1-
— 3* + 2
19.
y = are eos 73— .
1n~x
20 .
y = are sen ^ lg
21.
y — Y sen2x.
22.
Sea / (£) = 2 a 4 — 3£3 — 5 í 2 - f 6x — 1 0 . H a lla r
.
<f(x) = - j [ f ( x ) + f ( - x ) ]
23.
y
= T l/(* )“ /(-* )!■
La
fu n c ió n / ( s ) , determ inada
en e l c a m p o sim é trico
—
se denom ina
par, si / ( — z ) = / ( z ) >
e
si
/ ( - * ) = — /(£ ).
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10
Introducción al análisis
D etorm in ar,
cu á les impares:
cu á les de las sig u ien tes
a) / ( * ) - i - (a* + 0
fu n c io n e s
son
pares
y
;
b) f { x ) = Y í + x + x 2— ] /r l — x + x*;
c) / (*) = ^ ( S + I ) 5+
d) / (* ) = i g | í f ;
e) / ( x ) = l g (a:+ 1 /1 + **).
24*. D em ostrar que cu a lq u ie r fu n c ió n / (a:), determ inada en el
in te rv a lo — l < C x < l , puede representarse com o la suma de una
fu n c ió n par y otra impar.
25. D em ostrar q u e el p r o d u cto de dos fu n cion es pares o de
d o s impares es una fu n c ió n par, m ien tra s que el p ro d u cto de una
fu n c ió n par por otra im par e s una fu n c ió n impar.
2 6 . La fu n c ió n / (x) se llam a p e r ió d ic a , si e x iste un número
p o s it iv o T (p erío d o d e la ,f u n ción ) ta l, que f ( x + T) = f ( x )
para todos lo s v a lores de x perten ecien tes al c a m p o de e x is te n cia
de la fu n c ió n f ( z ) .
D e te rm in a r cuáles de las fu n cio n e s que so enum eran a c o n t i­
n u ación son periód ica s y h a lla r el período m ín im o T de la s m is­
mas:
a) / (x) = 10 sen 3x;
b) / ( x) = a sen X z + b eos X x ;
c) f ( x) =
y
tgx;
d) / ( s ) = sen* x ;
e) f ( x ) ^ s e n { V x ) .
27. E xpresar la lo n g itu d del segm en to y = M N y el área S
de la
fig u r a A M N com o f u n c i ó n de x = A M
( f i g . 1). C on struir
Jas g rá fic a s de estas fun ciones.
28. Las densidades lin eales (es d e cir, la masa de una unidad de
lo n g itu d ) de una barra A B = l { fig . 2 ) en sus porcion es A C — l i9
C D = l 2 y D B = l3 ( l { + l 2~\- k = l) son resp ectiva m en te ig u a les a qi9
?2 y <?3- Expresar la masa m do una p o r c ió n v a r ia b le A M = x de
esta m ism a barra, com o fu n c ió n de x . C on stru ir la g r á fic a de
esta fu n c ió n .
29. H a lla r q>[i|)(:r)| y ip [q> (o:)], si y ( z ) = z 2 y ^ ( x) = 2x .
30.
H a lla r / { / [ / ( * ) ] } ,
si
f ( x ) = T~ .
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11
Concepto de la función
3 1 . H a lla r / (a:
1 ), si / ( x — l ) = x2.
3 2 . Sea f (re) la suma de n m iem b ros de
m ética .
D em ostrar que:
una progresión arit­
/ ( n + 3 ) - 3 / ( i» + 2 ) '+ 3 /( n + l ) - / ( n ) « 0.
3 3 . D em ostrar quo, si
f(x ) = kx + b
y lo s núm eros x , t x¡¡ y x 3 c o n s titu y e n una progresión a ritm é tic a ,
ta m b ié n form arán una progresión a ritm é tic a lo s núm eros f f a ) ,
/ { * a ) y /(a ra ).
3 4 . D em ostra r q u e, s i f ( x ) es una fu n c ió n
d e cir, f { x) = ax ( a > 0 ), y lo s núm eros x u y x s
a
ex p on en cia l, es
co n stitu y e n una
M
l r■'/ü-
Fig. 2
Fig. 1
progresión a r itm é tic a , lo s núm eros f ( x 4), f ( x 2) y
una progresión geom étrica.
3 5 . Sea
f ( x 3) forman
D em ostrar, que:
36.
Sea q > ( a ) = - j (ax + a~x) y i|) (x ) = y
(ax — a~x).
que:
«p ( * + » ) = q> ( * )
( 0 ) + ♦ ( * > ♦ (if)
y
•ty{x + y ) = tf(x)-ty ( y) + cp ( y)
37.
(«)•
H a lla r / ( - 1 ) , / (O) y / ( l ) , si
/(* )=
are sen z ,
para
a re tg x ,
para 0 < x < + c o .
— l < z < 0,
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Demostrar
12
Introducción al análisis
38. D eterm in ar las raíces (ceros) y lo s ca m p os
p ositivos y do valores n e g a t iv o s de la fu n c ió n y , si
a) r/ = l + x ;
d) y = x 3 — 3x;
b) y = 2 + x — * * ;
o) y = i g J Z - .
de
valores
c ) y = 1 — x + x 2;
39. H alla r la fu n c ió n in versa de la y, si:
a) y = 2 x + S-,
d )y = I g y ;
b) y — x 1— 1 ;
e)
= a r e t g 3x.
c ) y — ^T 1— x 8;
¿En q u é ca m p os estarán d efin id a s estas fu n c io n e s inversas?
40. H a lla r la f u n c i ó n in versa de
í x,
^
si x < 0 ,
( x2, si x > 0 .
41. E scrib ir las fu n cio n e s q u e so dan a c o n t in u a c ió n en form a
de cadena de igualdades, de m odo q u e cada u n o de lo s eslabon es
con ten ga una fu n c ió n elem ontal sim p le (p o te n c ia l, e x p o n e n c ia l,
tr ig o n o m é tr ica , e t c .) :
a) y = (2a; — 5)10;
c ) r/ = l g t g | - ;
b) y — 2 C0S*;
d) y = are sen ( 3 - * 2).
42. E scrib ir en fo rm a de una igualdad la s sig u ie n te s fu n cion es
com puestas, dadas m edian te una cadena de igualdades:
a) y = u2y u = s e n z ;
b) í/ = a r c t g i ¿ , u = y v, i> = l g £ ;
2 u, si w < 0 ,
c ) J/ =
0,
si u > 0;
t¿ — x 2 — 1 .
43.
E scrib ir en form a e x p l í c i t a
ecuaciones:
la s fu n c io n e s y dadas por las
a) x 2—*are eos */ = ji ;
b) 10* + 10* = 10 ;
c) * + l t f | = 2 y .
H alla r lo s cam pos de d e fin ic ió n de las fu n cio n e s i m p l í c it a s dadas.
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Hepresentación gráfica de las funciones elementales
13
§ 2. R epresentació n g r á f i c a de la s fu n c io n e s ele mentales
La c o n s t r u c c ió n de las g rá fica s do las fu n cio n e s y = f { x) se efectú a, on
l o fu n da m en ta l, m a rca n d o una red s u ficie n te m e n te n u trid a do puntos
^ i ( x h y i), donde y t = f ( x t) ( ¿ = 0, 1, 2, . . . ) , y un ien do después estos ú lti­
m os o n tre sí con una lín ea , c u y o carácter debo tener on cuenta la p o s ició n
d o los p u n to s in term e d ios. Para hacer las operaciones se recom ien da el
em pleo de la regla de cá lcu lo.
F lg.3
La c o n s t r u c c ió n de g rá fica s fa c ilita el estu d io de Jas curvas de las
fu n cio n e s elem entales mas im p orta n tes (véaso el a pén d ice V I ). P a rtien do
de la g rá fica
i/ — /<*)•
(H
c o n ayuda d o c o n s t r u c c io n e s g e o m é trica s elem en ta les ob ten em os las gráfica
de las fun cion es:
1) 1/1 = — f (x), q ue es la represen ta ción sim étrica de la gráfica T
resp ecto a i eje OX\
2) y z = t ( — ce), que es la rep resen ta ción s im é tr ic a de la g rá fica T respecto
al eje OY\
3) y 3 = f ( x — a), que es la misma g rá fica V desplazada a lo largo d e l eje
O X on la m ag n itu d a;
é) y* = &+ / ( * ) » q ue es la propia g rá fica V desplazada a lo largo del eje
O Y en la m a g n itu d b ( f i g . 3).
E j e m p l o . C on stru ir la g rá fica do la fu n ció n
Solución.
La
línea buscada e s la sin u soid e y = s e n x , desplazada a
l o largo del eje O X , hacia la derecha, en la m ag n itu d
C on struir las g r á fic a s do las fu n cion es
44.
y = k x , si /c = 0,
1, 2, y ,
lineales ( l í n e a s r e c t a s ) :
— 1, — 2.
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(fig . 4).
14
Introducción al análisis
45.
y = x + b, si 5 = 0 ,
4G.
z s = l,5 x -t-2 .
1, 2, — 1,
— 2.
C onstruir las g rá fica s de la s sig u ie n tes
enteras de 2 ° g ra d o (p a rá b o la s):
47. y = a z 2, si a = l , 2 t 1/ 2,
48.
49.
=
fu n cion es
ra cion ales
— 1, — 2, 0.
si c = 0, 1, 2 y — 1.
y = (x — x 0)2, si x 0 = 0, 1, 2,
— 1.
5 0 . */ = z/o~|-(z — l ) 2, si í/0 = 0, 1, 2 , — 1.
51*.
y — ax* + b x + c, s i: 1) a = 1 , fe = — 2, c = 3;
2) a = — 2, 5 = 6 , c = 0.
5 2 . í/ = 2 + x — x 2. H a lla r
parábola con ei eje O X .
lo s
pu n tos
de
C on struir la s g rá fic a s de la s sig u ie n te s
enteras de g ra d o su perior al segundo:
in tersección de esta
fu n cion es
ra cion ales
53*. y = x 3 (parábola cúbica)
54.
y = 2 + ( x — l ) 3.
55.
y = x d— 3 x + 2.
56.
y = x A.
57.
y = 2 x z — x4.
C on struir la s g rá fica s de las fu n c io n e s h o m o g rá fic a s siguientes
(hipérbolas):
58*. y = - .
X
6 1 *. ií = j f o fX r—VXq'
s i * 0 = 1 » y < ¡ = — 1 » rn = 6 .
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Representación gráfica de las funciones elem entales
62* 7/sss—
^
^
3^ + 2
C on struir las g rá fic a s
fraccionarias:
15
-
‘
63.
y = x+
X
de
las siguientes
fu n cion es racionales
.
X'2
64.
65*.
66.
.
y = -Js" 10
67*- ^ =
<c»rixj d e A g n esi).
68 * y = 'x £ + a\ (serPent¿na de N ew ton ).
69.
y = x + ~y.
70.
y ===x 2, - f
C on stru ir
(tr id e n te d e N ew to n ),
la s g rá fic a s de la s fu n cion es irracionales siguientes:
7 1*. i j = - Y x .
72.
y = ¥ * '
7 3*. y = . y ( p a r á b o l a
74.
de Nell).
y = ± x Y x (p a rá b ola sem icúbica).
7 5*. | / = ± - ^ v 25 — a:2 (¿Zipse).
o
76.
y = ± Y x 1 — 1 ( h ip érb o la ).
77.
I -s á a ;.
78:
¡/= ± x
79.
y = ± x ] / r2 5 — x 2.
C on struir
tricas:
(ciso id e d e D io cles ).
la s g r á fic a s de
la s sigu ien tes
80*. y - - sena:.
8 3*. y ~ c t g x .
81*. y = e o s x .
84*. y = s e c x .
8 2*. j/ = t g x .
8 5*. y = c o s e c x .
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fu n cion es trigon om é­
16
Introducción ai análisis
86.
y — A sen x , si A = 1 , 10 , 2 , --- 2.
jr = s e n ( x — <p), s i cp
ío|»
88 .
II
o
«•
87*. j/ = s e n n x , si » = 1 , 2, 3 , i - •
3n
2 ’
n,
-
Jl
" 4 •
89*. y = 5 sen (2x — 3).
90*. t/ = a s e n x - f - & c o s x , si a = 6 , b = -
8.
96.
y = 1 - 2 cosa;.
92.* y = c o s 2 x.
97.
y = sen x — y sen 3 x.
93*. y = x + sen x.
98.
y = : COS X •-f- 4 " c o s 2a;.
94*. y — x sen x .
JC
99*. y = COS — t
X
95.
100 . y = ± y . sena;.
91.
y = s e n x -| -c o s x .
y = t g 2 x.
C onstruir la s g rá fica s de la s sig u ie n tes fu n cio n e s e x p o n e n c ia le s
y lo g a rítm ica s:
101 .
y — ax > si a — 2 , y ,
¿(¿ = 2 ,7 1 8 .'.)* )"
102 *. p = lo g a :c, si a — 10 , 2 , — , e.
103*.
= sha;, don de sha: = 4 ' ( * * —
104*. y = c h x , dondo ch x =
( ex -(- e~x) .
105*. y = t h x , dondo t h x = - ^ - ^ - .
i
106. y = 10 *.
107*. y = e ~x2 (cu rva d e p roba bilid ad es).
108.
i/= 2
**".
1 13. i/ = l g - ¿ - .
109.
y = lga;2.
114. y = l g ( - x ) .
110.
t/ = l g 2 x.
115. j/ = l o g 2 (1 - f x ) .
111 .
t/ = l g ( l g x ) .
116. y = l g (eos 2 ).
112.
y= ^ i-
1 17. j/ = 2 - x s e n x .
*) V éase más d eta lla d a m en te sob re ei núm ero e en la pág. 26.
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R epresen ta ción g rá fica de la s fu n cio n es elem entales
C o n stru ir las g r á fic a s
trica s in v ersa s:
de
la s
sig u ie n te s
17
fu n cio n e s tr ig o n o m é ­
118*.
//= a r c s e n :K .
122 . y = a r c s e n y .
119*.
?/ = a r c c o s :r .
1 23. y = a r e c o s y .
120*.
y = a rctg a r.
1 24. y = x + a r c c t g x .
121 *. y = a r c c t g ;c .
C o n s tr u ir la s g r á fic a s de la s sig u ie n te s fu n cio n e s :
125.
y = |x |.
126.
y =
+ 1*|).
127. a ) y = x \ x \ ;
b ) y = logy^ |a:| .
128. a ) y = sen £ + 1sen re |; b ) y = sena; — |sen x |.
3 — x 1 p a ra | a : | < l ;
129. y =
130. a ) y = [x\, b) y = x — [ x ] , d o n d o [x ] es la p a rte entera del
n ú m ero x , es decir, el m a y o r n ú m ero en tero, m en or o igual a x.
C on stru ir las g r á fic a s de la s sig u ien tes fu n cio n e s e n e l sistema
de co o r d e n a d a s p ola re s (r , cp) ( r > 0 ):
131.
r = l (c i r c u n f e r e n c i a ).
132*. r — y
(e s p i r a l d e A r q u ím e d e s ).
133*. r = ew (e s p i r a l lo g a r ítm ic a ).
134*. r = ~
{ e s p i r a l h ip e r b ó lic a ).
135 .
r = 2 eos<p (c ir c u n fe r e n c ia ).
136.
r = — -— ( l í n e a recta ).
137 .
r = s e c 2-|- (p a r á b o la ).
sen fp
138*. r = 1 0 sen 3 cp (r o s a de tr e s p é ta lo s ).
139*. r = a (1 - j- c o s <p) ( a > 0 )
(c a r d io id e ).
140*. r 1 = a ? eos 2<p ( a > 0 ) ( le m n is c a ta ) .
C on stru ir
la s g r á fic a s
de
la s sig u ie n te s
form a p a ra m étrica :
2-1016
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fu n cion es,
dadas e n
18
Introducción al análisis
141*.
x
=
í
39 y =
¿2
(parábola sem icábica).
142*. x = - l O c o s í y y = s e n ¿ (e l ip s e ) .
.. '
143*. x = z l O c o s 3 / , y = 1 0 sen 3 1 (astroid e).
144*. x = z a (eos t^ r i sen í),
círcu lo).
145*. x = —
» y=
y = a (sen ¿ — ¿eosZ)
(d e sa r ro llo
( f o l i u m de D e s c a r te s ).
146.
x = -^ = = = -,
147.
X — 2* + 2“ *f j/ = 2*— 2’ í (ram a d e una h ip érb ola ).
148.
z = 2 c o s 2 Z, y = 2 sen 2 ¿ (segm ento de recta).
149.
x = Z— í 2t y = l2 — t*.
150.
x = a { 2 eos t — eos 2 /),
Construir las g rá fica s de
form a im p lícita :
del
(se m icircu n feren cia ) .
y = a (2 sen t — sen 21)
la s siguientes
fun ciones,
(ca rd ioid e).
dadas
en
151*. a:2 + t/2 = 25 (circu n feren cia ).
152.
x y = 12 ( h ip érb ola).
153*. y~ = 2 x (parábola).
15 /1 • i S + S ^ 1
155.
y 2 = a:2 { 1 0 0 - a;2).
2
2
2
156*. a:3 + y 3 = a 3 (as¿n?We).
157*. s + í/ — 1 0 Jgí/.
158*. a;2 = eos y.
v
159*. y rx ¿ + y 2 = e Arcx%x (esp ir a l loga rítm ica ).
160*. x 3 4- y 2 — 3 x y =. 0 ( / o ü u m d e D e s c a r te s ).
161. H a lla r la fó rm u la de tra n sició n de la escala de C e lsio (C)
a la de Fahrenheit (F ), si se con oce que 0 ° C corresponde a 3 2 ° F
y 100 ° C a 212° F.
C onstruir la g r á fic a de la fu n c ió n obten id a.
162. En un triá n g u lo , c u y a base es ó = 10 y su a ltu ra h = 6 ,
ostá in scrito un rectá n gu lo ( f i g. 5). Expresar la su perficie de dicho
rectángulo y com o fu n c ió n de su base x .
C onstruir la g r á fic a de esta fu n c ió n y h a lla r su v a lo r m á xim o.
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19
L im ites
163. E n ei tr iá n g u lo A C B , e l la d o
á n g u lo v a r i a b l e X A C B = x ( f i g . 6 ).
B C — a,
el
A C = b y el
E x p re s a r y = área. A A B C c o m o fu n c ió n do x . C on stru ir la grá­
fica de esta fu n c ió n y ha l l a r su v a l o r m á x im o .
1 64. R e s o lv e r g rá fica m e n te la s ecuaciones:
a ) 2xs — 5 x - f - 2 = 0 ;
d ) 10"* = a:;
b ) x*-\ -x— 1 = 0 ;
e) x = 1 + 0 ,5 sen x ;
c) lg x = 0,lx ;
f) c t g x = x
(0 < x < n ) .
1 65. R e s o lv e r g rá fica m e n te l o s sistem as (le ecuaciones:
a) x y = 1 0 , x - \ - y = 7;
b ) x y = 6 , a:2 - (-y 2 = 13;
c ) x^ — x + y — 4 , ¡/2 — 2 x = 0 ;
d ) x 2 4 y - 10 , x + i,2 = 6 ;
( 0 < x < 2 rc).
e) y = s e n x , y — c o s x
§ 3, Limites
1o. L i m i t e
de
una
sucesión.
límite de la sucesión xit x 2» -. •»
El núm ero a re cib e el nom b re d e
.. -:
lito x n = a,
fl-»00
s i para cu a lq u ier e > 0 e x is t o u n nú m ero # = JV (e )-ta l, que
|x n — a j < e para n > N .
E jem plo
■
1.
D em ostra r que
lim
n-^-oo n -p 1
( 1)
2*
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Introducción al análisis
20
Solución.
Considerem os la d iferen cia
1_
"n + i '
n+ \
V a loran d o su m a g n itu d a b so lu ta , tendremos:
2n±l
(2)
n-\~i O .
n+ 1
si
(e).
De esta forma,
número N = - —
para cada número p o s i t i v o e se puede
1 ta l, que para n > N
se cu m p le
encontrar un
la d esig u a ld a d (2). Por
co n sig u ien te, el número 2 es lim it e de la su cesión z n = (2n +
decir, se
v e rifica la fórm u la ( 1).
2o L í m i t e
d e u n a f u n c i ó n . Se d ice que la fu n ció n
cuando x
a ( A y a -son unos números), o que
1), es
f ( x ) A
lim f (#) = Aj
x -* a
s i para cu alquier e > 0
ex iste un número ó-— Ó (e) > 0
t a l, que
I / (*) — -4 |< e para 0 < ] x — a |< ó.
Análogam ente
lim f ( x ) = A,
X-VCO
s i | / ix ) ~ A |< e para |a; |> N (e).
T a m b ién se em plea la n o t a c ió n con ven cion a l
lim f (x) = co ,
que in dica, que I / (®) |> £ para 0 < |z — a |< ó ( E), donde E es u n número
p o s itiv o arbitrario.
3o. L í m i t e s l a t e r a l e s , fii i < f l y
sg escribe con v e n cio n a l­
m ente x - > a — 0 ; análogam ente, s i x > a y x
a, se escribirá a sí: x —>-a~f-0 .
L o s números
f (a — 0) =
lim f (x) y
K-va—0
/ ( a + 0) =
lim f (x)
cc-xi-f-0
se llam an,
respectivam ente, lím ite a la izquierda de la Función f (x ) en el
punto a y lím ite a la derecha de la fu n ció n / {z) en e ! punto a (si es que
d ic h o s números existen).
Para que ex ista el lím it e de la fu n ció n f {x ) cuando z —*-a, es necesario
y su ficien te que se v e rifiq u e la igualdad
/ ( s - 0) - / ( a + Ü).
Sí o x is to n e l
lim f\ (x )
a»a
y
el
lim / 2 M ,
x -+a
tienen
teoremas:
1) lim [ f i ( x) + f z (*)] = l i m f { { x ) + lim f2 (x);
:c-*a
x-+a
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lu ga r
lo s
sigu ien tes
21
Lím ites
2) Hm [/, (*) fz (x)¡ = ] ¡xn /,(*)• lim f2 (*);
x-*a
x-*a
ar-ta
3) lim [ / , ( * ) / / „ { * ) ] - l i m / , ( * ) / ! ! « « * )
x-+a
x-* a
x -+ a a
(U m /2 (*) i= 0).
V
x-+a
L o s lím it e s sig u ie n tes so em p lea n co n frecuencia:
,.
sen *
hm — — = 1
x->0
x
Hm ( l + - L ^ = lim ( i + cc)a = e = 2,71828 . . .
X-K» V
Ejem plo
fu n ció n
2.
X '
Ct-»0
H a lla r lo s
lím ite s a la derecha y a la izq u ierd a de la
/ (x) = arctg —
cu a n d o x ->- 0 .
Solución.
Tenemos;
/ ( + 0) = Ü ' £ o ( a r c t g ^ ) ~ T
/ < — 0) =
lim / , . i \
*__0 (^ctg— J
n
----- 2"
En esto caso, es evidente que no existe limite do 'la función / {x)
cuando
166. D em ostrar que, s i n —> 00 , el lím it e de la su cesión
1
i
i
j_
7 4 ’ 9 > • * ' » «*2 ’ * ‘ ’
e s ig u a l a ce r o . ¿P ara q u é v a lo r e s de n se cu m p le la desigualdad
W
< - s'
(s ie n d o z un n ú m e ro p o s i t i v o a rb itra rio)?
E fe c tu a r el c á l c u l o n u m é r ic o para: a) e = ü , l ; b) e — 0 ,01;
c ) s = 0 , 001 .
1 67. D em ostra r que el l í m i t e de la sucosión
Xn =
rt-fl
{n = ly 2 ,
cu a n d o n —> o o es ig u a l a 1. ¿Para qué v a lo r e s de
la d esig u a ld a d
N se cu m p le
\xn — i I < e ,
(sie n d o b un n ú m ero p o s i t i v o a rb itra rio)?
H a lla r N para: a) e = 0 , l ; b) a = 0, 01; c ) e = 0 ,0 0 1 .
168. D em ostrar que
lim s* = 4.
x-+'2
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22
/ntroducción al análisis
¿ C ó m o e le g ir para el n ú m ero p o s i t i v o da do e un n u m eró p o s i­
t i v o ó , de m odo q u e de la desigu aldad
| z - 2|<6
se deduzca la desigualdad
\xt — 4 | < e ?
C a lcu la r Ó, para: a) e = 0 , l ; b) e = 0 ,0 1 ; c ) 8 = 0 ,0 0 1 .
Í 6 9 . D ilu cid a r
nales:
a)
el sen tid o e x a c to de la s n o ta cio n e s c o n v e n c io ­
l i m l g x = — o o ; b)
I l m 2 * » + oo;
c) l i m / ( x ) = o o .
a'->-j-oo
x-voo
170. H a lla r lo s lím ite s de la s sucesiones:
'
1
'
_JL
2 ’
2
4
i 1 3 ’
c) V z V W
JL
_J _
3 1
4
( - 1)71"1
’ ‘
h
• ••••
6
2ti
5 * ’ * ’ 1 2rt — i ’
* .
\Í2
V W
* >
• - !
d ) 0 ,2 ; 0 ,2 3 ; 0 ,2 3 3 ; 0 ,2 3 3 3 ; . . .
H a lla r lo s lím ite s:
•+_V Í_)
1 7 1 ‘
1 72. l i m
+
n-»oo
173.
+
.
n
lim f 1 + 3 + 5 t Z .+ _ . . + ( 2n- l ) ------- Í 2 ± l ] .
n-foo L
174.
» + l
lim
.
n-too « “ ( - I ) '1
1 75.
176.
,.
2n+1 + 3^+»
lim
2n4 -3 »
n~>oo
1 M
lim (i-+ ^ -+ -i-+ ---+ T r)-
178*. lim « H -2 » + * + . . . + «« .
n-f-oo
179.
n3
1ira ( Y n + 1 — V~ñ)'
IWfo
180.
•
lim - S¿ x t ~ •
« - . » n* + 1
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2
J
Lim ites
23
A l buscar e l lím ite do la razón de d os p o lin o m io s en teros resp ecto a x T
cu a n d o x —>-co. e s c o n v e n ie n te d i v i d i r p re v ia m e n te los d os térm inos de
la razón p o r x nt d o n d e n es la m a y o r poten cia d e esto s p o lin o m io s .
En m u ch o s casos puede em plearse u n p ro ce d im ie n to análogo, cuando
se tra ta de Ira ccio n e s q ue c o n t ie n e n o x p re sio n e s irracion ales.
E j e m p l o 1.
I¡m
( 2 * — 3) ( 3 * + 5 ) ( 4 * — 6)
X -* o a
3 a ;® - f - X
( - 4 x )) \( * + 4x ) \( - 4 x ))
V
j . ^
■1
x -f r o o
o
2 -3-4
g
i
X®
E jem plo
2.
l i m- — x
- = Lim
x ^ c o f x 3 + 1 0
40 i
181.
ilim
X -.c c
182.
„
y
(1/ + 1 )2
% ,
x - +
=
4 0 a 1186. lim
l
l i m -ÍJ22*
lim
x—.oo
184.
lim
X->CO
1 85.
V * J +
1
187. l t o J f e + L .
x-»oo x - \ - y X
3*-|-7
4 -5
•
188-
lim
—
^-.co 10 + * j / *
.
189.
lim -É Ü H ..
x+ \
1 90.
^<■
■
* -+ « ]/* + V x + y *
l i m - ! 2 £' ±
' 1
® c í = 2 1 •.
x -v c o
2x2 — 3x — 4
..
X -.O C
X-.OC * — *
183.
- = !■
/ 1 + _1£.
X ¿7V »
J 1 LIA
1+5
Si P ( x ) y 0 (a?) so n p o lin o m io s en teros y P (a)
de la fr a c c ió n ra cio n a l
x“
. -
0 o Q (a)
;
*
0, el lím ite
P( x)
Q (*)
se h a lla directam ente.
P (a:)
Si P (a) = Q (a) = 0,
0 se recom ienda s i m p l if ic a r la fr a c c ió n ■^
, por el
b in o m io x — a, una o varias veces.
E jem plo
lim
x-* 2
191.
lim
a:-*—i
£2 — 4
x2— 3 x 4 -2
lim -
193.
l im
x -y -l
lim
x-*2
(x — 2) ( x 4 - 2 )
x-+2 (x — 2) (x - 1 )
195.
x 24 - l •
lim
X -fí
•
X2 — 1
xa4 -3 x 4 " 2 •
x 2- 2 x
X -— 4 x 4 - 4
lim x + 2
lim
x3 + l
£ 2 -5 x 4 -1 0
X2— 25
x-*b
192.
194.
3.
196.
li r a
x-+a
197.
lim
x-*2 Z -
x3 — 3 x 4 - 2
4 x -f 3 •
x a — (a 4 - 1 ) x 4 - a
x 3 — a3
(x + A )3 -x 3
h-0
198.
lim (
h
1
x->l V l - z
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4
1
M
1 -X 3 )
24
Introducción al análisis
Las expresiones irra cio n a le s s e reducen, en m uchos casos, a una form a
racional in trod u cien d o una nueva variable.
E j e m p l o 4. H allar
fím
J p
g
-
1
.
x-*0 f i + x — 1
Solución.
Suponiendo
i+ x= y*t
tenemos:
Hm
=
Hm 4 = 4
o i?
199.
lim
* -1
200.
1 .
lim J ! ! ± £ + i =
v~*í
y+t
*
.
¿
201. lim .f e " 1...
*-,1 J / * _ l
*“ 1
lim
*-> 64
=
t y —f
'
202. lim
y a: — 4
+1-.
* -> l
{ * — l )2
Otro p roced im iento para h a lla r el lím ite de una exp resión irracion al
es el do trasladar la parto irra cion al del num erador al d en om in a dor o,
a l con trario, dol denom inador a l numerador.
E jem plo
5.
lim V ¿ - V ¡ r b Ijm
x~>a
x
a
x — a
o-kj (* — fi) ( f x + ' / a )
=
203.
2 04. lim
a:-*8
205.
x -* 3
x—8
211 .
2 )/a
^ + ^ g ± E
a:2
E
4x + 3
lim ( V x + Z - V x ) .
X -+ + V J
lim X X
-^ 7 •
X->1 y CC— i
206. l im, 1— V 5 + , ^
.r->4 L— 1/5 — X
lim V l + « - V l - «
207. lim
*-»<)
208. l i m/i-*0
7= - = -------------------- ( a >
"j/ x -f- ]/ a
2io . Iim V
i .
lim
*-»7
lim —
x- mi
/i
212 . lim
[ V x ( x + a) - x ] .
213 ^ i j m
( ] / V — 5x + 6 — z).
fx>
^
214.
lim
215.
* ( / 5 » + T — *).
— x 8).
x -* o o
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0 ).
! .
Lím ites
Al hacer ol
fórm ula
c á lc u lo
de
lo s
25
lím ite s ,
en
sena:
,
lim
x-*0
m uch os casos se emplea
1
x
y se supone que se sabe que, lim se a x = s e n a y
x-*a
_ .
.
Ejem plo
J
2 16. a)
son 5a:
Li m------------s-0 *
6. .
b)
( sen 5a:
lira I — =------ . 5 ) = 1 - 5 = 5.
x-+Q V 5a:
x
lim (1 — a:) t g
2 29.
lim c t g 2 # c t g
sen 3a:
sen 5x
sen 2a:
^ -* 0
230.
l i m ------------
231.
lim
2 32.
lim
sen n x
2 19. l i m
5- — .
sen3rtx
l i m (rasen — ) .
n -vcx»
V
n j
e os m x — eos nx
x2
v
tg a:— sen x
i i m — — ---------.
* -► 0
X2
a» 0
>
¡n~~3x
x^ 0
ooo
¿66.
1 — eos x
221 . lim
¿
1 — 2 eos x
0 /lfv
220 .
— a;).
'
1 — sen -
K -.0
2 18. lira
¿
* -► 0
x *00
2 1 7 . lim
.
*-*■1
son x
lim
lim eos x = cos a.
x->a
2 28.
lim -^ -;
*-►2
la
sen a: — sen a
x~a
X-+U
aresen x
234.
lim
2 35.
lim ^ ie J L .
2 36.
Jim
X-+1 sen
222 . lim
e o s a: — e os a
2 2 3 . lim
X-Kl
224.
sen 3x
x — a
lim
*—
,0
tg Jtx
2
s +
2
1 — X2
2 2 5 . lim sen (*,+ (0 - se a * _
2 37.
lim
x — sen 2 x
x_>0 ^ + s e n 3a: '
ft -> 0
226.
lira
j ix
*
JTX
e os —
sen i — eos a:
n
,
1—
t g *
2 38.
lim
a_vi
4 -.
1 —
l/^
* ~ * T
227. a) l i m x s e n — ;
'
b)
* * o
2 39.
lim 1 - V c m Í .
rc-v O
X2
*
lim a; s e n — .
X-*oo
240.
lim V l + s e n a - V l - s e n a ;
x-+Q
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x
Introducción a l análisis
26
A l h allar los lím ites de la forma
lim[q> (*)]♦<*> = C ,
x-*a
lo ;
debe tenerse en cuenta que:
1) si ex isten los lím ite s fin ito s
lim < p (s )= :A
x-+a
y
lim t|? (x) — B ,
x~+a
se tienei que cC-= A B\
2) si lim q>(x) = A * £ 1 y lim \J>(x) = ± c o t el
w-va
x-+a
lím it e (3) se resuelvo directam ente;
3) si lim cp(x) — 1 y
lim q > ( x ) = c o ,
x-m
donde a (x)
so
x->a
0, cuando x - + a
supone
«
*
sien do e — 2 , 7 1 8 . . . el núm ero de Neper.
H allar
lim í ™
* ] 1**.
x -> 0 \
Solución,
*
/
Aquí
sen 2x
x-*Q \
por consiguiente,
X
/
H m / s e n 2x
x->0 \
Ejemplo
.x-*0
p
x
^ 21^ 2
)
8. H allar
lim ( ^
V 1 f; -
a --> oo \ 2 x +
Solución.
Tenemos:
x + t
lim - a
X -+ o o
=
2x-f*l
..
1
1
X
hm
x -» c o
<> i
2
+
i
lim x 2 = - f- c o .
X -* c o
P or lo cual,
H m0O \ 2x-j- 1 /
X-+
Ejemplo
9.
= °-
H a lla r
Hm ( Z = ± - Y
x-yoo \ ^ T »
/
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e!
cp (x) = l + a (x ),
Huí a(x)ty{x)
lím £<j>(3C>—i
- x-+a
) « * > =e
X -X l
7.
q ue
de h a lla r
y , p o r consiguiente,
C = I im {[1 + Cí (* )] a(*> }
Ejemplo
problem a
27
Lím ites
Solución.
Tenemos:
* - T
lim
7 X 7 =
l-tco 2 T 1
H acien do
i »
,im
X-»oo ^ | 7*
- =
i-
las tra n sform a cion es que se indicaron más a rriba , obtendrem os
( S i ) ’ - J ¡ ; [ 1+ ( S t - ‘ ) ] x 2x
*+l
lim
—2 x
e “ 2.
En osle caso con creto, puede hallarse el li m i t e con más fa cilid a d , sin
recurrir al p roced im ien to general:
hm
/X — l\x
I — _
x -c * > \ * +
]
— «l i m
i )
( í - i y
'
31 '
uta r ( i - i - r i ' 1
3C^«LV
*)
-I
x -* -c o
lim
( '+ ! ) ■
X-+OQ
,-2
(*+ir
En t o d o caso, es con ven ien te recordar que:
k \x
lim(1+-l)
«'•'JS(£:)’■
248- 1™(A)’ÍS
2«*- «=(5 T*x -* o o V
x
eh.
I
x—co
z _
l
\ * + l
i)
2 4 2 -
X-*CO
2x
243.
«o»
2 50. l i m ( l
^
72-ytW
sen x
2 44. Ii m ( í ! x 2 £ ± ^
3 x + 2 ;
*-o
^
1
2 5 1 . lim (1 + sen :r) x .
x -* 0
252**. a) lim {eos x) x ;
x -> 0
1
2 4 6 . lim ( l - i - ) "
b) lim (eos x )
.
71-.03 V
.
x -0
2 4 7 . lim ( l + l r .
X->00 '
X ‘
A l ca lc u la r lo s lim ite s que se dan a co n tin u a c ió n , es conveniente saber
que, s i e x is te y es p o s it i v o el lim / (* ), se tiene:
x -* o
lim [ln / (* )] = in [ lim / (a:))x-+a
x-»a
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28
Introducción a l análisis
E jem plo
10. Demostrar que
x -t-0
Solución.
Tenem os:
l i m ..n (- ] t
x->0
^ = l i m [ l n ( l + a : ) 1 /*J = ln [ l i m ( l + ar), / * J = i l a e = l .
X-+0
x
La fórm u la (*)
*
x-*Q
so em p lea , frecuentem ente, en la re s o lu c ió n
de problem as.
2 5 3 . lim |lri ( 2 x + 1) — ln ( x + 2)\.
X->CG
2 5 4 . l i m lg- (A + Í0^ ,
x -> U
260*. lim
2 5 5 . lim í - i n
x-*0 V X
i/
V
1 -3 i
.
256. lim r r l l n í s + l ) — I n x ] ,
eax
x-vO
x -* 0
;
x
b) I i m H ^ - 1 .
x - fO
x
259*. lim a- y - ‘ ( a > 0 ) .
x -* 0
s e n a
2 6 3 . a) l i m —
x
2 58*. l i m í í = i .
x-vO
1
2 6 2 . lim i ~ e X
X-+0
2 57. lim ln (c” x)- .
gbx
2 6 1 . lim
x -* + c o
x -v O
(a>0).
n
-* ‘
71-*<X)
x
(V éanse^ lo s
x
e je r c ic io s
103
x
H a lla r lo s sigu ien tes lím it e s latera les:
2 64.
a) lim — J L = . ;
x-*—oo y x 2~f -1
b) lim
.
2 6 5 . a) lim
thx;
2 6 7 . a) l i m
b) lim ln(1 + gS) .
2 6 8 . a) lim
x->—<o
x-+— 0
b) lim
X-*-f-co
th x ,
b) lim
X“V+0
d on de t h x = e-¿ T -e-^ ■
**+« *
b) l ¡ m
—
\ + ex
.
_ J _ .
~ +° l + ^
Ü 22^L;
x
1S8a * 1 .
X
2 6 9 . a) lim
37— 1 .
v . i —o I * — 1 1 ’
2 6 6 . a) lim — 1 - ;
x->—0
l p( i + e*) ;
X —+ — o o
b) lim
. .
x-*l-f*0
2 7 0 . a) lim - A j ;
W o * - 2 ’
b) ü m
r~o '
x -* 2 + 0 z ~ ~ ¿
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y
1 04).
Lím ites
29
C o n stru ir Jas g r á fic a s de la s fu n cion es:
271**. y = l i m (c o s 2n a;).
n-yco
2 7 2 *.
X
y = lim r— ,
(* > 0 )
273.
y = Jim V a * + a 2.
274.
y = lim (a r c t g nx) .
n -» c o
275.
y = I i m f l + a:n
(*>0).
n->oo
2 7 6 . C o n v e r tir
m ixta
en
ord in a ria
la
sig u ie n te
fr a c c ió n
periódica
a = 0 ?1 3 5 5 5 . .
co n sid e rá n d ola c o m o el l í m i t e de la correspon dien te fr a c c ió n fin ita .
2 7 7 . ¿Q ué o cu rrirá c o n las raíces do la e c u a c ió n cuadrada
axs + bx + c =» 0 ,
s i el c o e fic ie n t e a tiende a ce r o , y lo s co e ficie n te s b y c son
con stan tes, siendo
0?
2 78. H a l l a r e l l i m i t o del á n g u l o in tern o de un p o líg o n o regu­
lar de n lados si n —>00 .
2 79. H a lla r el lím it e de los perím etros de lo s p o líg o n o s regu­
lares de n lados in scrito s en una cir cu n fe r e n cia de radio R y de
lo s c ir cu n s cr ito s a su alrededor, si n —> 00.
2 80. Hal l ar el lím it e de la sum a de las lon gitu d es de las
ordenadas de la cu rva
y == c~x eos n x ,
trazadas en lo s pu n tos x = 0 , 1 , 2 ,
n , si n —± 00 .
281. H a l l a r el l í m i t e de las áreas de lo s cuadrados construidos
sob re la s ordenadas de la cu rv a
y = 2 l~x
c o m o bases,
n —> 00 .
donde
x = i y 2 , 3, .
n } con
la
c o n d ic ió n
de que
2 82. H a l l a r el lím ite , cu a n d o n —> 00 , del perím etro de la
línea quebrada M ^ M X . . . M n> in scr ita en la espiral lo g a rítm ica
r — e-* y
s i lo s v é r tic e s
á n g u lo s p olares
de
esta
quebrada
¥o = 0 , (pi =
tienen,
, . . . , q>n = ^
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respectivam ente,
.
los
30
Introducción al análisis
2 83.
E l segm ento A B = ¿ a ( f i g . 7) está d i v i d i d o en n partes
iguales. Sobre cada una de ellas, tom á n d o la c o m o base, se ha
con stru ido un tr iá n g u lo isó sceles, c u y o s á n g u lo s en la base son
igu a les a a = 4 5 ° . Dem ostrar, que ol l í m i t e del p erím etro de la
lín e a quebrada así form ada es diferen te do la l o n g it u d d el seg­
m en to A B , a pesar de que, pasando a lím ite s , la línea quebrada
«se con fu n d e g eom étrica m en te c o n el segm en to A B ».
B
F i g. 7
F i g. 8
2 84. E l p u n to C x d i v i d o al segm en to A B = l en dos partes
igu a les; el p u n to C 2 d i v i d e al segm ento A C { en dos partes ta m ­
bién igu a les; ol p u n to C3 di v i de , a su vez, al segm en to C 2C X en
dos partes ig u a le s ; el C 4 h a ce lo p r o p io con el segm en to C 2CZ
y así su cesivam en te. D eterm in ar la p o s i c i ó n l í mi t e del p u n to
cu an do n —> oo,
2 85. Sobre los segm entos o b te n id o s a l d i v i d i r e l c a te to a de
un tr iá n g u lo re ctá n g u lo en n partes ig u a le s , se h an co n stru id o
rectángu los in s cr ito s ( f i g. 8 ). D eterm in ar el l í m i t e del área de la
fig u ra escalonada a sí c o n s titu id a , si n —> oo.
286. H a lla r las constantes k y b de la e cu a ció n
Jim ( ¿ z + b — í L ¿ í ) = 0 .
( 1)
E scla recer el sen tid o g e o m é tric o de la ig u a ld a d (1).
287*. U n proceso q u ím ic o so desa rrolla de tal form a , que el in cre­
m ento de la ca n tid a d de su bstan cia en cada i nt er val o do tie m p o t , de
una su cesión i nf i ni t a de in te rv a lo s ( ¿ t , (í - + ' ! ) T) (¿ = 0 , 1 , 2 , . . . ) , es
p ro p o rcio n a l a la ca n tid a d de su b sta n cia existente al c o m ie n z o del
in te rv a lo y a la d u r a c ió n do d i c h o in te rv a lo . S u pon ien d o q u e en
el m om ento i n i c i a l la ca n tid a d de su b sta n cia era Q0, determ inar
la ca n tid a d Q(tn) que habrá de la m ism a después de tran scu rrir un
in tervalo do tie m p o t> si el in crem en to do la ca n tid a d de s u b s ­
tan cia se realiza ca d a eneava parte d e l in te rv a lo de tie m p o
_
n
H a l l a r Q , = l i r a Q\n).
n->cc
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31
In fin itésim o s e in fin itos
§ 4 . In fin ités im os e in fin ito s
I o. I n f i n i t é s i in o s.
Si
l i m a ( x ) = 0,
x-+a
es d e c ir , s i | a ( x ) | < e , cu a n d o 0 < ( x — a |< 6 (e), la fu n ció n a (x) so llam a
Infinitésim a ( in fin ita m en te pequeña) cu a n d o x — a. A n álogam ente so deter­
m in a la fu n c ió n in f in it é s im a (in fin ita m e n te pequeña) a (x ), cu a n d o x - * c o .
La sum a y el p ro d u cto d e un núm ero lim it a d o de in f in i t é s im o s , cuando
x —►*<*, es ta m b ié n un in f in it é s im o cu a n d o x —>-a.
S i a ( x ) y P ( x ) so n in f in it é s im o s cu a n d o x —*-a y
d o n d e C es un nú m ero d i s t i n t o d o cero, las fu n cio n e s a (x) y p (x) reciben
el nom b re d o infinitésim as de un mismo ord en; si C = 0 , se d ic e q ue la fu n ció n
a (x) es una infinitésim a de orden superior resp ecto a P (x). La fu n c ió n a (x)
se d e n o m in a infinitésim a de orden n resp ecto a la fu n ció n p ( x ) , s i
c t (x )
L“
t p w f
-
“ c'
donde 0 < |C |< + c o .
Si
|‘ rn¡ r § - = 1’
x-+a P (x )
las fu n cion es a (x) y (5 (x) se lla m a n equivalentes cuando x - ^ a ;
a (x ) ~ p (x).
P o r e je m p lo , si x - * - 0 tendrom os:
sen x — x ;
tgx~x;
l n ( l + x ) —- x T
etc.
La sum a de d os in fin ité s im o s de orden d i s t i n t o , e q u iv a le a l sum ando
c u y o orden os in fe r io r .
E l lim ito de la razón de d o s in f in i t é s im o s n o so altera , s i los térm in os
do la m ism a se s u stitu y e n por o t r o s c u y o s v a lo re s re s p e ctiv o s sean eq u iva ­
lentes. Do acuerdo co n este teorem a, al h allar el lím ite do la fr a c c ió n
ih m <*{*)
,
P (*)
dondo a ( x ) - > - 0 y P ( x ) —>-0, cu a n d o x —>*a, al nu m erad or y d e n o m in a d o r
do la fra cció n pueden restárselo (o sum ársele) in f in it é s im o s do orden su p e­
rior, e le g id o s de tal fo rm a , q ue las ca n tid a d e s resultantes sean eq u iva len tes
a las a nteriores.
E je m p lo
1.
_
..
lim
_
-¡—77 ,
lo (1 +
_
1^x3
¿X)
1
= h m —^— = -rr .
o 2.x
¿
2 °. I n f i n i t o s. Si para un nú m ero cu alq u iera /V, tan grande c o m o se
deseo, e x is t e ta l ó ( W ) , q uo para 0 < |x — a |< ó (N ) se v e r ific a la d e s i­
gualdad
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32
introducción al análisis
la función f (x) recibo el nombro de in fin ita ( in fin ita m en te grande) cuando
x —>■ a.
Análogamente*, 1 (x) se determina como infinita (infinitamente grande)
cuando x —>-co. El concepto do infinitos d© diversas órdenes se establece
de manera semejante a como so hizo para los infinitésimos.
288. D em ostrar q u e la fu n c ió n
/(a0 = 2 5 *
e s in fin ita m en te pequeña
se c u m p le la desigualdad
cu an do x —* oo. ¿Para q u é v a lores de x
si e es un núm ero arbitrario?
H a cer los c á lc u lo s para: a) e = Q, l ;
2 89. D em ostrar que la fu n c ió n
b) e = 0 ,0 1 ;
c ) e = 0 ,0 0 1 .
/ (x) = 1 — z 2
es in fin ita m e n te pequeña cu a n d o x —> \ . ¿Para qué v a lores de x se
c u m p le la desigualdad
si e es un número cu tero arbitrario? H a c e r lo s c á l c u l o s n u m é ric o s para:
a) e = 0 f l ; b) e = 0 , 0 1 ; c ) e = 0 , 001 .
290. D em ostrar que la fu n c ió n
f <*> = í ~ 2
es i nf i ni t ament e grande cu an do x —* 2 . ¿E n q u é en torn os ) x — 2 | < ó
se v e r ific a la desigu aldad
If ( x ) \ > N ,
si N es un número p o s it iv o arbitrario?
I-Iallar ó, si: a) iV = 10 ; b) TV = 100 ; c ) N = 1000 .
291. Determ inar el orden in fin ite sim a l: a) de la s u p e r fic ie de
una esfera, y b) del v o lu m e n de la m ism a, si su radio r es un
i nf i ni t és i mo de I o orden. ¿C u ál será el orden in fin ite s im a l del
radio y del v o l u m e n respecto al área de esta esfera?
2 9 2 . Sea a el á n g u lo cen tral de un sector c ir c u la r A B O
( fig . 9 ), c u y o radio R tiende a ce r o . D e term in a r e l orden i nf i ni ­
tesim a l: a) do la cuerda AB\ b) de la f l e c ha del a r c o C D ; c ) del
área dol k A B D , resp ecto al in fin it é s im o a .
2 93. D eterm in ar el orden in fin ite s im a l respecto a x, cu an do
x —> 0 , de las fu n cio n e s siguientes:
a ) j ^ ;
d) 1 - c o s x ;
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In fin itésim os e in fin itos
b) Y x -+•y x ;
33
o ) t g x — sen x.
c) f » * — V * » ;
2 94. D em ostra r q u e la lo n g it u d de un arco in fin it é s im o de una
cir cu n fe r e n cia de ra d io con sta n te, es e q u iv a le n te a Ja lon gitu d
de la cuerda q u e tensa.
295. ¿S on eq u iv a len te s, u n s e g m e n to in fin it é s im o y la s e m ic ir ­
cu n feren cia in fin it é s im a co n s tr u id a sob re é l, c o m o diám etro?
D
B
A p lic a n d o e l teorem a sobre la razón de dos in fin ité s im o s , h a lla r :
2 9 6 . lim
.
a rcscn
2 9 7 . lim
x-,0
2 98. l i m ^
.
X
,
lrx <1— ^r)
.
2 99. lim
1
2*. .
eos x
3 0 0 . D em ostra r q u e c u a n d o x —> 0 , las m a gn itu d es
y }/rl + x — 1.
son e q u iv a le n te s entre s í. E m p le a n d o este resultado» m ostrar que,
cu a n d o \x\ es peq u eñ o, se v e r if ic a ]a ig u a ld a d aproxim ada
y i + * « i
x
+ y .
( 1)
A p lic a n d o la f ó r m u la (1), h a lla r aproxim adam ente;
a) 1^1706; h) 1 /0 ^ 7 ; c) ]/T 0 ; d) 1/1 20
y co m p a r a r lo s v a lores así obten id os c o n lo s q u e se dan en las
tablas.
301.
D em ostra r que, cu an do x —> 0 , so v e r ific a n las igualdades
a proxim a da s s ig u ie n te s , c o n p re cisió n hasta lo s térm in os de
orden x 2.
a) r b
~
1 -a :;
b) V a * + x ( & a - 1- ^
( a > 0 );
3— i Gi 6
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34
Introducción al análisis
c) ( l + x ) n « l + n x ( n, es u n núm ero n a tu r a l);
d) l g (1 + x) «
Mx,
donde M =* lg e = 0 , 4 3 4 2 9 . . .
P a rtien d o de estas fórm u las, c a l c u l a r aproxim adam en te:
1) n ¡ 2 ;
0797 ’
5)
1,04®;
Í05’
^
6) 0 ,9 3 4;
V i5 ;
7) l g 1 ,1 .
C om parar lo s v a lo r e s así o b te n id o s c o n l o s q u e se dan
en las
tablas.
3 0 2 . Demostrar q u e, cu a n d o x —* o o , la fu n c ió n ra cio n a l entera
P (x) = a Gx n + a tx nmml + . . . + dn
(ao ^
0)
es una m a gn itu d in fin ité s im a , e q u iv a le n te al té rm in o su perior
aQx n.
3 0 3 . S u p on ga m os q u e x —> 00. T o m a n d o a x c o m o m agn itu d
i nf i ni t a de I o ord en , d eterm in ar el ord en de c r e c im ie n t o de las
fu n cion es:
_ _ _
a) x 2— lOOx— 100U;
x*
b)
+2
c)V s + V *
;
d) V x - 2 z * .
§ 5. Continuid ad de la s fu ncio n es
1 °. D e f i n i c i ó n d e c o n t i n u i d a d . La fu n ció n / (x) so lla m a con­
tinua para x = £ (o «en el p u n to £ »),
1) d ic h a fu n ción está determ inada
c u e l p u n to 5, e s d e cir, ex iste el núm ero / (£ ); 2) e x is to y es f i n i t o el
lim ite Jim / (x); 3) esto lím ite e s ig u a l a l v a lo r de la fun ción en e l punto
*-*■ £
es decir,
lim / ( * ) = / ( © .
x->l
( 1)
H acien do la su stitu ción
donde A 6 - > - 0 , se puedo e s c r ib ir la c o n d ic ió n ( 1) de la forma:
lim A / ( 5 ) =
lim [ / ( 6 + A © - / ( 6)J = 0 ,
(2)
es d e cir, la fu n ció n / (z ) es con tin u a en ol punto 6. cuando, y s ó l o cu an d o,
en este punto, a un in crem ento in fin ité s im o d e l argum ento correspon do un
increm ento in fin ité s im o d e la función.
Si la fu n ción os con tinu a en cada uno d o los pu n tos de un ca m p o
determ inado (in te rv a lo , segm ento, e t c .), s e d ice q ue os continua en este
campo.
E j e m p l o 1. D em ostrar que la fun ción
y = sen x
es continua para cualquior v a lo r do! argum ento x.
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Continuidad de las funciones
S o l u c i ó n .
35
Se tiene:
Ay = sen (x + Ax) — sen x = 2 sen ~
eos ( *
sen
■
+
Ax
tt
eos ^ x -(- ~
^ •Ax.
2
C om o
Ax
sen -5lira — ------ = 1 y
Ax-»0 Ax
eos
J < 1.
2
í
para cu alquier v a lo r de x, tendrem os:
lím Ay = 0.
Ax->0
P o r co n sig u ie n te , la fun ción sen x es con tin u a para — c o < x < + c o .
2o. P u n t o s d e d i s c o n t i n u i d a d
d e u n a f u n c i ó r . Se dice
aue una fu n ció n / (x) es dwcon*í/u/a en el punto x 0, que pertenece a l cam po
cíe e x is te n c ia do la fu n ció n o que es p u n to frontera de d i c h o cam no, si en
este p u n to n o se v e r i f i c a la c o n d ic i ó n de co n tin u id a d de la función.
E jem p lo
2. La
fu n ció n /
—
(fig . 10, a) es d iscon tin u a en el
p u n to x = l . E sta fun ción n o está d e fin id a en ol p u n to i = l y co m o quiera
q u e so e lija e l núm ero / ( 1). la fu n ción com p leta da / (x ) n o será con tinu a
en el p u n to x = l.
Si la fu n ció n f (x) tiene lím ites f i n i t o s :
lim
/ ( x ) = / ( x 0— 0) y
0
lim
x
f (x ) = / (x0+ 0),
-* xq+ 0
pero los tres núm eros / (x0), / (x 0— 0) y / (x0+ Q ) n o so n iguales entre sí,
e n ton ces, x0 recibe el nom bre de punto de discontinuidad de 1ra especie. En
p a rticu la r, si
/ ( * o - 0) = / ( * 0 + 0) t
x Q se lla m a punto de discontinuidad evitable.
Para que la fu n c ió n / (x) sea c o n tin u a en el punto x0> es necesario
y s u fic ie n t e que
/ (x0) = / <x0— 0) = * / (xo - j - 0).
Ejem plo
3. La fu n ció n
sen x
/ (x) — ^ j-
tiene d iscon tin u id a d de 1ra espe­
c ie en el p u n to x = 0.
E fe ctiv a m e n te , aquí
/ ( + 0) =
lim ^ ~ = - f 1
x -> + 0
1:m
0 ) ■= h
/i (1 — av
X“>—o
x
s-------o n x — — 1.
x
E j e m p l o 4. La fu n ció n y = E (x ), d on d e E (x) representa la parte entera
del núm ero x (es d e cir, E (x ) es un núm ero entero q uo satisface a la igualdad
3*
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Introducción al análisis
36
x = E (x )+ q , donde 0 < ? < i )
entero: * = 0 , ± 1, ^ 2 , . . . .
ira ospecie.
E lectiva m en te, si n es u n
Bs evid en te, quo en to d o s los
,
y
es d is c o n tin u a (fig . 1Q; ó ) en cada p u n to
to d o s lo s pu n tos do d is c o n t in u id a d - s o n do
número e n te ro , E ( n — 0) = /i —•1 y
demás puntos e s t a fu n c ió n o s con tin u a.
(«>
=
(b )
Los pu n tos de d isco n tin u id a d de la f u n c ió n que n o s o n de 1ra e sp ecie,
se llam an puntos de discontinuidad de 2 a e s p e c ie .
Son tam b ién pu n tos d o d is c o n t in u id a d de 2a esp ecio lo s puntos de d is­
continuidad Infin ita, as d e c ir , a q u e llo s p u n to s x Ql para lo s que, p o r lo m en os,
uno do los lím ites laterales / ( x Q— 0) o / ( x q + 0 ) es igual a c o (véase el e j. 2).
Ejem plo
5»
L a fu n c ió n y = c o s —
(fig. 10, c), e n e l p u n to s = 0
x
tiene una d isco n tin u id a d de 2a e s p e cio , y a que aquí n o o x is t e n in g u n o de
los d os lím ite s laterales
lim
*->—o
eos—
x
y
lim eos —
x-H -0
.
3o. P r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s . A l a n a liz a r
las fim cio n o s para d e term in a r s i son con tin u a s, h a y q uo tener presentes
los sig u ie n to s tooreraas:
1)
La suma y e l p ro d u cto de un n u m e r o lim it a d o d o fu n cio n es c o n t i ­
nuas en un c a m p o d e te rm in a d o es, a su vez, una f u n c ió n c o n tin u a en este
m ism o cam po;
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37
Continuidad de la s junciones
2) o ) c o c i e n t e d o la d i v i s i ó n d e d o s funcionas c o n tin u a s en uu cam po
d e te rm in a d o , es tam b ién una f u n c i ó n c o n tin u a , para to d o s lo s v a lores del
a rg u m en to d e este m is m o ca m p o, que n o anulan el d en o m in a d or;
3) si la f u n c ió n f (x) e s c o n tin u a
en un in te r v a lo (a y b)>estando el conju n t o de sus v a lo r e s c o m p r e n d id o en el in te r v a lo { A y B ) y la fu n ció n <p (x)
os c o n tin u a en e s t e in te r v a lo (A , B ) y la fu n ció n com puesta tp(/<¿01 tam bién
es c o n t in u a en el in te r v a lo (a, ¿>).
T o d a fu n c ió n f ( x) t c o n tin u a en e l seg m e n to [ a, ¿>], posee la s propiedades
sigu ien tes:
1) f ( x) está a co ta d a en [a, 6], es d e cir, e x is t o c ie r t o nú m ero M t a l, que
|/ ( s ) | < M para a < * < 6;
2) / ( x) a lca n za en [a, b] su v a lo r
m á x im o y m ín im o ;
3) / (x ) to m a t o d o s lo s v a lo re s
in te r m e d io s entre d os d a d os, es decir,
s i / ( a ] = / ! y / (P) — B (a < a < p
b) y A =£ B y entonces, cu alquiera q u e sea
e l núm ero C, c o m p re n d id o en tre A y /?, e x iste p o r lo m onos un v a l o r de
* = Y ( o c < Y < £ ) t a l , q u e f ( y ) = C.
En p a r t ic u la r , s i / ( a ) / (p) < 0, la ecu ación
/< *) = 0
tiene en e l in te r v a lo (a , P), por lo m en os, una raíz real.
304. Dem ostrar, q u e la f u n c i ó n y = x 3 es co n tin u a
q u ie r v a l o r del arg u m en to x .
3 05. D em ostra r, q u e Ja f u n c i ó n ra cio n a l entera
para c u a l­
P (x ) = a 0x tl + a r f 1' 1 + . . . + a n
es c o n t in u a p a ra c u a lq u ie r v a l o r de x.
3 06. D em ostrar, q u e la fu n c ió n ra cio n a l fra ccio n a ria
t?
_
W
ao*u + a i* n - * + - - . + f l n
h x m +
biXm - í +
"
. + b m
es c o n tin u a para to d o s lo s v a lores de x , a
q u e a n u la n el d en o m in a d o r.
e x c e p c ió n
de
aquellos
3 0 7 *. D em ostra r, q u e l a f u n c i ó n y = Y x es co n tin u a para
x > 0.
3 0 8 . D e m o s tra r q u e , si l a f u n c i ó n / ( x ) es c o n tin u a y no nega­
tiv a en el in te r v a lo (a , b) la fu n c ió n
F (x) = / 7 { í )
ta m b ién es c o n t in u a en este in te r v a lo .
309*. D e m o s tra r, q u e la f u n c i ó n y — e o s x es c o n t in u a
para
c u a lq u ie r v a lo r de x.
3 10. ¿P a ra q u é v a lo r e s de x serán c o n t in u a s las fun ciones:
a) t g x y b) c t g x ?
311*. D em ostrar, q u e la f u n c i ó n y — \x\ es c o n tin u a .
Cons­
t r u ir la g r á fic a de esta f u n c i ó n .
3 12. D em ostra r,
q u e la m a g n itu d a b so lu ta de una fu n c ió n
c o n t i n u a es ta m b ié n u n a f u n c i ó n c o n t in u a .
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in trod u cción al an á lisis
3 1 3 . U n a f u n c i ó n está d a d a p o r las fó r m u la s
/ ( * ) _ /
f c r
cu an d 0 x ¥ = 2 '
[ A c u a n d o x = 2.
¿C ó m o debe e le g irse el v a l o r de la f u n c i ó n A = f ( 2 ), para q u e
la f u n c i ó n } ( x ) f c o m p le ta d a de osla fo r m a , sea c o n t in u a c u a n d o
x = 2? C o n stru ir la g r á fic a de la f u n c i ó n y = f ( x ) .
3 14. E l seg u n d o m ie m b r o de la ig u a ld a d
f ( x) = 1 — £ sen
1
x
carece de s e n tid o c u a n d o x = 0. ¿C ó m o e le g ir ol v a l o r
para q u e la f u n c i ó n f ( x ) sea c o n t i n u a en este p u n to?
315. La f u n c i ó n
/ (x ) = a r c t g
de
/(O)
a: - 2
carece de sen tid o c u a n d o x = 2 . ¿P u e d e e le g ir s e el v a lo r de / (2)
do ta l fo rm a , q u e la fu n c ió n c o m p le t a d a sea c o n t in u a c u a n d o
* =
2?
316.
La f u n c i ó n f { x) es in d e te r m in a d a en el p u n to x = 0.
D eterm in ar / ( O ) de t a l fo r m a , q u e f ( x) sea c o n t in u a e n este
p u n to, si:
a) f { x ) =
------ ^------- ( n es u n n ú m e co n a t u r a l);
, v , , »
1 — eos X
h) / ( * > = — i , —
c)
f ( x ) =
;
l n (1 + a ) — I n (1 — x )
,
X
e) / (x) = x 1 son - i - ;
f) f { x ) — x c l g x .
A v e r ig u a r si son c o n t in u a s las fu n c io n e s :
317 - * = ¿ 2- -
32°- ^ = i f r
318* y ^ T + T
3 2 1 ' a ) y — s e n ’T -
319. y = Y .
•
]
,
.
-
b) ¡ ^ z s e n ^ -
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Continuidad de las funciones
322.
y= —í -
.
3 26. y = (1 + x ) a rctg
1
3 23.
y = ln (eos x) .
3 2 7 . y = ex + i .
1
3 24.
y = ln
tg -~ | .
3 25.
; / = a rctg — .
3 28. y = e~ ** .
3 29. y — -------— ji + e l- x
330. y =
x2
cu an do x < 3 ,
2x + 1
cu an do x >
3.
Construir la g rá fica do esta f unci ón.
3 3 1 . Dem ostrar, que la fu n c ió n de D ir ic h le t x ( x )i 9 ue es
ig u a l a coro cu an do x es irra cion a l e igual a 1 cu an do x es ra cio­
nal, es d iscon tin u a para cada uno de lo s v a lo r e s de x.
A v e r ig u a r si son con tin u a s y con stru ir la g rá fica de las
sigu ien tes fun ciones:
332. y =
(x>0).
©o 1
I
333. y = l i m ( x a rctg n x ).
334. a) y = s g n x ,
h) ?/ = 2 S g n 2 ,
c) y = sgn <seri x ) }
donde
la fu n c ió n s g n x se determ ina por la s fórm u las:
(
+ 1 » si
2 > 0,
sgn x = {
0 , si
2 — 0,
[
— 1 , si
x < 0.
335. a) y = x — E ( x ) i b) y = x E ( x ) f donde E ( z ) es la parte
entera d e l núm ero 2 .
3 36. D ar un e je m p lo quo demuestro que la sum a de dos fu n ­
c io n e s discon tin uas puede ser una f u n c i ó n con tin u a .
337*. Sea a una fra cció n propia p ositiva que tiende a cero
( 0 < a < i ) . ¿Se puede poner en la igualdad
£ ( l + a ) = £ ( l - c t ) + l,
que se v e r i f i c a para todos lo s valores de a , el l í mi te
tidad a ?
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de
la
can­
40
Introducción al análisis
3 38. D em ostra r, q u e la e cu a ció n
x* — 3a + l = 0
tiene una raíz real en
m ente esta raíz.
339. Dem ostrar, q u e
tiene por l o m en os una
3 40. Dem ostrar, que
el in te r v a lo ( 1 , 2 ) . C a lc u la r a p rox im a d a ­
cu a lq u ie r p o l in o m i o P ( x) de grado im par
raíz real.
la e cu a ció n
tg x = x
tiene una i nf i ni dad de raíces reales.
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C a p ítu lo IJ
D IF E R E N C I A C IO N DE F U N C I O N E S
1. Cálculo d i r e c t o de d e riv a d a s
1o. I n c r e m e n t o d e l a r g u m e n t o
e
incremento
do
la
f u n c i ó n . Si x y x t son v a lo re s doI argum ento x, m ien tra s que y — f ( x )
c y l = f [ x j) son lo s correspon d ien tes valores do la fu n ción y = / ( z ) ,
Ax = xi — x
se llam a increm ento del a rgu n en to x orí el segm ento \x, x , ! , y
Ay —
y* — y,
o sea,
A y - / ( * ! > - / ( * ) “
/ ( * + A * )- / ( * >
(1)
r e c ib e el nombre de increm ento de la función y en este m ism o segm ento |x, x ,]
(fig . 11, dondo A x = M A y Ay = ^lAr). La razón
A y_
Ax
representa el c o e fic ie n t e an g u la r d e
= tga
la socante M N
de la g r á fic a
de
la
fu n ción y = / ( z ) (fig . 11) y se llama velocidad media de v a ria ció n de ia fun­
c ió n y en el segm ento (x t z 4-A.r).
E j e m p l o 1. Parn la fun ción
y = z2— 5z-(-6,
ca lc u la r Ax y Ay, correspon dien tes a las sigu ien tes variacion os del argumento:
a) desde x = i hasta z = l , i ;
b) desde x = 3 hasta z = 2.
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D iferen cia ción de ju ncion es
Solución.
Tenemos;
a) Ax = l , l — 1 = 0,1,
Ay = <l, i 2 _ 5 . 1 , l + 6 ) ~ ( 1 2 ~ 5 . 1 + 6 ) = - 0 , 2 9 ;
b)
= 2 — 3 » — 1,
Ai/ ~ (22 — 5- 2-f- 6) — (32— 5 -3
Kjemplo
6) = 0-
2. H a lla r , para la h ip é rb o la y - ^ — y el c o e f ic i e n t e an g u la r
de la secante q ue pasa p o r lo s puntos, cu yas abscisas so n x = 3
Solución.
—■—
Aquí
Ax = 10 — 3 = 7* y = - | - ; y í = : - L ; A y ^ 4 i
3 '
10 ’
10
. P o r c o n s ig u ie n t e , k =
3 0 ............................
2o. D e r i v a d a .
y
-^ -=
A*
Derivada y ’ —
al argum ento x se llama
al
lim ito
(tx
de
art = 10.
\
3
1
30 *
do
fu n ció n
la ra zón
Ax
y = / (*) co n respecto
,
cuando
As
tiende
a cero, es d ecir
y ' = Lim — - ,
a *-*-o
A#
si d i c h o lím it e existe.
DI v a lo r d o la d e riv a d a nos l o da el co e fic ie n te angular de la tangente
M T a ia g r á fic a do Ja fu n c ió n y = f ( x ) en el p u n to x ( f j g . 11);
i/' = tg<p.
La o p e ra ció n de h a lla r la derivada y ' re cib e el nom b re do derivación
de la función.
La deriva d a y ' = / ' ( ; z ) representa la velocidad de variación de la función
en el punto x.
E j e m p l o 3. H a lla r la deriva d a de la fu n c ió n
y = x 2.
Solución.
A p lic a n d o la fó r m u la (1) tendrem os:
Ai/ = (x + A a:)2 — x 2 = 2 x A x + { Ax) z
^ -= --2 x +
Ax
á x.
P or consiguiente,
y' =
3o.
Derivadas
lim
-=
Ax~>Q A a:
l i m (2 z - {- A x) = 2x.
laterales.
Las expresiones
/k * ) =
,;(* ) =
i¡m
/ (« + y - / ( »
A «--o
Ax
l
i¡m
A * -* -fo
A*
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C álculo directo de derivadas
43
s e llam an respectivam ente derivadas a la izquierda o a la derecha de la fu n ­
c i ó n j ( x ) en e l p u n to x. Para que ex ista / ' {x) es n ecesa rio y s u fic ie n t e que
/:< * )-/;< * ).
Ejemplo
4.
H a lla r / I (0) y / ; ( 0 ) para la fu n ción
/( z ) = | z | .
Solución.
Por d e f i n i c i ó n , tenemos que
/ : (0) =
/ i { 0) =
4o. D e r i v a d a
lim
£ sx -* -0
infinita.
Ax
L = - 1,
lim
Si en un punto determ in a do tenemos que
lim Ü f ± * 2 = í í í > _ co,
AX-vfi
AX
s e d ic e , que la fu n ció n continua / (x) tie n e derivada i n f i n i t a en el punto x .
En este caso, la tangente a la g r á fic a de la f u n c ió n y = / ( x ) será perpendi­
cu la r al eje OX.
E j e m p l o 5. H a lla r / ' <0) para la -fu n c ió n
Solución.
T en em os:
/ ' (0) =
lim
Ar_>0
Ax
=
lim — l = ^ = c o .
¿x -* Q V A x *
3 41. H a lla r el in crem en to de ia fu n c ió n y = x 2, correspondiente
al paso del argum ento:
a)
do í = '1 a i j - 2 ;
b)
de a : = l a
c)
de x = 1a x ± = 1 + h.
1 ,1 ;
3 42. H a l l a r A y para la fu n c ió n y = f r x y si:
a) x = 0 , A x = 0,001;
b) x = 8 ,
= — 9;
c ) z = a , A z = k*
3 4 3 . ¿P o r qué, para la f u n c i ó n t/ = 2,z-|~3 se puedo determ inar
e l win crem e n to A y, co n o c ie n d o solam en te que el in crem en to corres­
pondiente es A z = 5, m ien tras q u e para la fu n c ió n y = x ¿ no puede
hacerse lo m ism o?
3 44. H a l l a r el increm ento A y y la razón — ■para las fun ciones:
Ax
a > 1J= ( g a l a ) * ' » clian do x = i
y A # = 0,4;
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44
D iferen cia ción
de fun cion es
b) y = Y x c u a n d o x = 0 y A x = 0 ,0 0 0 1 ;
c ) y = : l g x cu a n d o .r — 1 0 0 .0 0 0 y A x — — 9 0 .0 0 0 .
345. H a lla r A y y
. co rresp on d ien tes a la v a r i a c i ó n d ol a rg u ¡\x
m e a to desde x hasta x ^ - A x , para la s sig u ie n te s fu n cio n e s :
a) y = a x -\ -b ;
b) y — x 3',
d) y = Y x ;
e) y = 2*;
* ) » = -& ■ ’>
f) y = l u x .
3 4 6 . H a l l a r el c o e fic ie n t e
a n g u la r de la secan te a la parábola
y = 2 x — x 2,
.si las abscisas de lo s p u n tos de in te rs e cció n son :
a) x x — 1 , x 2 — 2;
b) 2 7 , ^ 1 , x 2 = 0 ,9 ;
O) * i = l , * 2 = l + / í .
¿H a cia qué l í mi t e tien d e el c o e fic ie n t e a n g u la r de la secan te
en el ú l t i m o ca so , si /z —> 0 ?
3 4 7 . ¿C u ál es la v e lo c id a d m edia de v a r ia c ió n de la f u n c i ó n
y = X’1 en e l se g m e n to
4?
3 4 8 . L a l e y d el m o v im ie n t o de u n p u n to es s = 2¿ 2 4 - 3 ¿ -\-5f
donde la d is ta n c ia s se da e n ce n tím e tro s y e l tie m p o t , e n se g u n ­
dos. ¿ A q u é será ig u a l la v e lo c id a d m edia de este p u n to d u ra n te
e l in t e r v a lo de tie m p o com p re n d id o entro t = 1 y t = 5?
3 4 9 . H a l l a r la p en dien te m ed ia de la cu r v a y = 2X en e l seg ­
m e n to 1 < £ < 5.
3 5 0 . H a lla r la pendiente m edia de la cu r v a y — f ( x ) o n el s e g ­
m en to [x, rs-f-Aá’ J.
3 5 1 . ¿Q ué se en tien de p o r p en dien te de la cu rv a y = f ( x ) en un
punto dado x ?
3 5 2 . D e fin ir : a) la v e lo c id a d m edia de r o t a c ió n ; b) la v e lo c id a d
instantánea de ro ta ció n .
3 5 3 . ü n cu erpo c a le n ta d o e in tr o d u c id o e n un m e d io c u y a
tem peratura sea m e n o r, se enf r í a. ¿ Q u é debe entenderse p o r : a) v e ­
lo cid a d m edia de e n fr ia m ie n to ; b) v e lo c id a d de e n fr ia m ie n t o en un
m om en to dado?
354. ¿Q u é debe entenderse p o r v e lo c id a d de r e a c c ió n de u n a
substancia en una r e a c c ió n q u ím ic a ?
3 5 5 . Sea m = f ( x ) la m a sa de u n a barra h ete rog é n e a en el
seg m en to [0 , x] . ¿Qué debo entenderse por: a) densidad l i n e a l m ed ia
de la barra en e l se g m e n to [x, x + A x ] ; b) densidad lin e a l de la
barra en el p u n to x ?
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D erivación p or medio de tablas
45
\ ¡¡
j
3 5 6 . H a l l a r la ra zó n
para la f u n c i ó n «/ = — ,en
x = 2, s i : a) A x = l ; b) A x =
la derivada y ' cu a n d o x — 2?
357**. H a l l a r la derivada
358. Hal lar y’ =
V
a ) y = x*;
b) y = -~¡r;
lim
el punto
0 , l ; c ) A * = 0 ,0 1 . ¿A q u é será
igual
de la fu n c ió n y = tg a:.
para la s fun ciones:
a * -»0
c) y = Y x \
d) y = c l g * .
3 5 9 . C a lc u la r / ' (8 ) , s i / (x) =
x.
3 60. H a l l a r / ' ( O ) , f (1) y / ' ( 2 ) , si / (* ) = x ( x — l ) a ( x — 2)\
3 6 1 . ¿E n que pu n tos la derivada de la fu n c ió n f ( x ) — z 3 c o i n ­
cid e n u m érica m en te c o n el v a lo r de la propia fu n c ió n , e s decir,
/ ( * )
=
/ ' ( * ) ?
3 6 2 . L a l e y del m o v im ie n to de un p u n to e s s = 5 í2, don de la
d is ta n c ia s v ie n e dada en m etros y e l tiem p o t , en segundos. H a ­
l la r l a v e lo c id a d d e l m o v im ie n to en e l instante t = 3.
3 6 3 . H a l l a r e l c o e fic ie n te a n g u la r d e la
tangente a la cu rva
y = 0 , l x 3, trazada eu e l p u n to c u y a abscisa es x — 2.
3 6 4 . H a l l a r el c o e fic io n te a n g u la r de la
tangente a la curva
y = s e n x en el p u n to { n ; 0 ).
3 6 5 . H a l l a r e l v a lo r de la derivada
de
la
fu n c ió n
X
en el p u n to x = x 0 ( x 0 =¿=0).
366*. ¿ A q u é son ig u a le s lo s co e ficie n te s angu lares do las tani
g en tes a la s cu rva s y = —
X
. /•
c y = x 21 en el p u n to de su in tersección ?
H a l l a r el á n g u lo entre estas tangentes.
367*** D em ostrar q u e la s sigu ien tes fu n cio n e s
vad as fin ita s en lo s pu n tos q u e se in d ica n :
a) ¡/= V
no
tienen
deri­
eD- el p u n to x = 0 ;
b) y = j/ x — :t en el p u n to x = l ;
c) r/ = ( c o s £ | en lo s pu n tos x =
tí
(k
=
0 , ± 1, ± 2 ,
. ,
.).
2. D e riv a c ió n por medio de ta blas
I o. R e g l a s p r i n c i p a l e s p a r a h a l l a r l a d e r i v a d a .
Si c
es una co n sta n te y u = q ) ( í ) y ^ = i|j(.t) son fu n cion es d e riv a b le s , se lion e:
1) (c)' = 0;
2)
3) ( u ± i dr*';
4) (cu)' — cu':
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46
D iferen ciación de funciones
S)
6)
(uo)' = u'v-\-v'ir,
=5^ 0>;
7) ( v ) = _ i ^ "
2°. T a b l a d e l a s
pales
I. ( * " ) ' — n xn~K
H .
( ^
) '
=
-
i
derivadas
f e * 0)de
-
(z >
X III. (ln z ) ' = —
0).
princi­
( z > 0).
X I V . ( lo g a * ) ' = — L _ = 221sli' 50 '
i ln a
z
(z > 0 . a > 0) .
X V . (sh x )' = ch x .
l l l . (sen x ) ' = eos x .
1V . (eos x ) ' = — sen x.
1
X V I . {ch x ) ' == sh x.
e os2 X
V I. ( c lg x ) ' =
v b '
funciones
X I I . <**)' = **.
2 y x
V. (tg z ) '
las
1
V - .
sen2 x
V I I . (areson a-)' = —
X V I I . (th xY
1
4
ch2 x ‘
X V III. ( c t h x ) ' =
1/1 —
<!*!<«•
i
V I II . (árceos x ) '
1
sh2 x '
1
X IX . (A rsh * )'
y íT í*
i
X. (n rcctgx )' = —
X X . (A rch x ) ' » -
'
i
■/x 2- 1
(l*|>D-
X X I . (A rth * ) ' = | ~ j ,
x 2-!-1 •
■1
X X II. (A rcth z)'
z2- i
3*'. R e g l a
para
derivar
las
funciones
compuestas.
Si r/= j ( u ) y u = <p(x), es d e c ir , 0 = /[<p(x)|» d on d e las fu n cio n es y y w
tienen d erivada, so tiene
u>
o en o tra s notaciones
dy
dx
_ dy
du
du
dx
Esta regla puedo a plicarse a cadenas d e cu a lq u ie r nú m ero f i n i t o do fu n cio n e s
derivarnos.
K j o m p l o 4. H a lla r la d e riv a d a do la fun ción
y = ( s 2- 2 x + 3)*.
S o l u c i ó n . H a cie n d o p —
la fó r m u la ( i ) ten d rem os: •
do nde
ix = x 2— 2 S + 3 ,
de
acuerdo con
y ' = ( U % (x2 - 2 x -|- 3 ) ; = 5u* ( 2 x — 2) - 1 0 ( x - 1 ) ( x 2 - 2 x + 3 ) *
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47
D erivación p or medio de tablas
Ejem plo
2. H a lla r la d eriva d a de la fu n ció n
y = sen0 4:r.
Solución.
H acien do
y = u3;
a = s o n i>;
v = 4x,
h a llam os
y ' = 3u2*cos u « 4 = 12 sen2 4 x eos 4x.
H a lla r las d e riv a d a s d o las sigu ien tes fu n cio n es (en lo s N ÜS 368— 108,
no se em plea la regla do d e riv a ció n de fu n c io n e s com puestas):
A . F u n cion es a lg eb ra ica s
2
5
3 68.
y = x * — 4 z :i~ h 2 z — 3.
3 7 5 . y = 3 x ¿ ~ 2 x 2 + x_0,
3 69.
y= 7
*i
3 7 6 * . y = x 2-\/~3?.
370.
y^ax^ + bx+c.
I f Z + x 2— 0 , 5 ^ .
3 77. y = -JL= - - - ^
y x ,¿
371. y = - ^ .
3 78. y
3 7 2 . y = a tm + btm*n.
3 79. y =
y
a
y
ono
373.
374.
v
f
J
ax*+b
r /= — .
qoa
- r:- .
oou.
y a 2_t_/,2
J
=
y = — + ln 2 .
^
.
X
.
c - f dx
x* — 5a:+ 5
y = T,
-
X y
Z
- .
i
2x— i
------------.
z
3 81. y = ! -+ ■ £ ?„ ■
X
J
\ —
y
z
B . F u n cion es trig on om étrica s y circu la res inversas
3 8 2 . y = 5 sen x -{- 3 eos x .
3 8 6 . y — a rctg x - j- a rcc lg x.
3 83. [/ = t g x — c t g x .
OQ/
senx +- eos x
3 o 4 . y — -------------------.
,v
sen x — eos x
3 87. y - f s c t g s .
OOQ
3 o 8 . y = x áresen x .
3 8 5 . 0 = 2* s e n f - ( < * - 2 ) c o s í .
3 89. y
J
C.
.
e x p o n e n c ia le s y log a rítm ica s
3 90. t/ — x 7 *éx .
3 9 6 . y = ex aresen x .
391. y = { x — \ ) e x .
3 97. y = ~
.
3 9 2 . í/ = ~ .
3 98. y = a:3 ln x —
393. y = ¿ L .
399. y = - + 2 1 n x - ~
3 9 4 . f ( x ) = ex c o s x .
3 95. y = ( z 2 — 2 x + ¿‘ ) e * .
4 0 0 . y = ln re I g x — ln<z lo g a ;c.
t?
3"
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.
J
.
48
D iferen ciación de funciones
D. Funciones h iperbólicas e h ip erb ó lic a s inversas
401.
4 02.
y = x sha;.
*
4 05. y = a r c t g x — A r t h x.
u — —r— .
4 06. u = arcsen x Arsh x.
ch x
y
403. y = t h * - * .
4 07.
Arch* .
X
/AO
Arcl hx
4 08. y = - J 3 J 5— .
/A,
3 cfch x
4 04- y -* u r r •
E . F u n cion es com puestas
o»
H a lla r Jas derivadas de las sigu ien tes fu n cion es (en lo s N
4 09 — 4 66, es necesario a p lica r la regla para d eriva r fun ciones
com puostás de un argum ento interm edio):
4 0 9 * * . y = ( 1 - f - 3 * - 5 : r 2)30.
Solución.
D esignem os 1 - f 3x — 5 z 2— u; en ton ces j/ = u30. Tendrem os:
w; = 3 - i o ^
= 30 u™ - (3 — lOx) = 30 {4 - f 3x — 5 * * ) » . (3 — 40-r).
4 10. » - ( = ± Í ) a .
4 11. f ( y ) = ( 2 a + 3 b y ) * .
412. y = (3 + 2 z 2)4.
,,,
413. y
3
5 6 (2 2 — 1)’
1
2 4 (2 2 — 1)»
414.
y = Y í ^ 7 2.
415.
^=
+
4 16.
y=
—
4 17.
y = (3 — 2 sen a:)6.
1
4 0 (2 2 — 1)»
S o l u c i ó n . ^ ' = 5 (3 — 2 sen z)4- ( 3 — 2 son z)'=*b (3 — 2 sen x)4 ( — 2 e o s x)
= — í 0 eos x (3 — 2 sen x)4.
418. y — t g z —
t gs x -(--g- tgs x .
4 19. y = y r ctg x — y ctg a .
4 20. y = 2 x -J- 5 eos 3 x.
4 2 1 * . x = cosec2 1 + sec 2 1.
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D erivación p or medio de tablas
4 23.
v = 3 eos3 X
424. y = y
49
eos X
3 sen x — 2 e o s x
i
425. y = j/ sen 2 x
eos3 x
426. y = * Y 1 + aresen x .
427. y = Y a rctg x — (aresen a;)3.
1
428. u — ----- —
arctg x
.
4 29. y = Y x e * + x .
430. y = y 2 e * ~ ~ ¿‘ x + i + ln5 x.
431. y — s e n 3a; + c o s y + t g ] / x .
S o l í i c i ó n . y '= c o s 3 : r - ( 3 : r ) ' — sen —
- ?1 wn- 5
__!
j
eos2 V
- ( Y XY ~ ^ eos 3x —
.
2 1 /5 eos2 y x
432. y = sen ( z 2 — 5 x + 1) + tg
a
433. / { x ) = c o s ( a z + p).
434. / ( 0 = sen ¿se n (¿-f<p).
435.
y -
1 + c o s 2a:
i — e o s 2z •
436. / ( i ) = a ct.g ~ .
4 37.
— ¿ e o s (5a;2) — i c o s i 2.
438. í/ = aresen 2 a:.
S o l n c i o n. y
y i - ( 2i )2
439. y = aresen
.
- ( 2x)' =
y í - w
4 46. f ( i ) = ¿ s e n 2 ‘ .
4 40. /(re) = árceos y x .
4 47. y — árceos ex.
4 41. V = arctg
4 48. y = I n ( 2 i + 7).
.
4+2:
442. ¿ / - a r c c t g ^
.
4 4 9 . j/ = l g s e o x .
443. y = 5 e ~ x i.
4 50. y = l n ( l — Xa).
444. y =
4 51. j/ = l n 3 x — l n ( l n x ) .
5 xi
445. y = x H 0 iX
4-101G
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D iferen ciación de fun cion es
50
452. y = ] n ( e x + 5 s c n x — 4 a rcsen z).
4 53. í/ = a rctg ( I n x ) + l n (arctga:).
4 5 4 . y = Y Inos + l + l n ( V r£ + l ) .
E . F u n cion es d iversa s
4 5 5 * * . y = sen 3 5 x coa 2 4* *
rrcz
11
M
/lj6 - y = - 2 F ^ 2 j 5 “
í ^ -
15
10
4 ( * - 3 ) * ~ 3 { x — 3)3
W /‘ ^
1
2 . ( i - 3)2 '
/,5S- ^= 8<r=W459. , = ^
2-x 2 j+ 1
X
460. y =
a2 l /a 2 - f
4 61. í/ = — ,----------- .
3 V (!+ * * )«
4 62. !/ = {
+
^
4 63. */ = y 1^(1 + * 3) 8 - y ^ { 1 + x 3)5.
4 64. y ^ ± Y
^ -
4 65. y = x * ( a - ' ¿ x * ) ‘¡ .
« -H s s r/ í í -7
9
5 (x + 2 > 6
3
( j + 2)a +
2
(* + 2 )3
1
2 ( x + 2)2 1
4 68. y ~ ( a + x ) Y a — x .
4 6 9 . y = V {x + a) (x + b) {x + c).
4 7 0 . z = [/'y - \ - Y y .
471. / ( i) ^ (2 1 + 1) ( 3 / + 2) y ' 3i + 2 .
472. i =
- 1— . .
) / 2 a j — ¡/2
4 73. y = l n ( / í + P - l ) - l n ( V i + « * + l ) .
4 74. y = ^ eos 3x (3 eos 2 x — 5).
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D erivación p o r medio de tablas
475
(tg**--i)(tg**+lotgg*+i)
J
3 tg3 x
47G. y = t g 2 5a;.
4 7 7 . y = y sen (x -).
4 7 8 . y = sen2 (¿3).
4 7 9 . y = 3 sen a: eos 2 a: + sen 3 x .
4 80. ¡f = i - t g 3.r — tg z -l-a r .
rn .
4 8 i- y
cosa:
=
- 3
^
,
4
+ T cts x -
4 82. y = ] / a sen 2 x + (i eos 2 a;.
4 83. y = aresen a:2 -(- árceos x
A
4 8 4 . y = y (arasen x ) 2 árceos x .
/QCL
1 .
4
8 5 . i / = = a r c s e n X<¿—
—^7—
486. if = a reson -
X
r.V T + P
.
487. y - -ig ? 0-8.*488. y —
aresen (a; j / "
.
489. y = y a - — x 2 + a aresen -£•.
a
490. f/ = x y ra,¿— a:2 + nz arcson
x
a
491. y = aresen (1 — x ) + j / 2 a ; — a;2.
492. y = ( a : — y ) w c s e n Y x + - j Y x — x2.
493. y = In (aresen 5a;).
494. y = arcson(lna;).
495. J
y = arctg
. — e,ia .
* 1 — X cos.a
2
496. y = y a r c t g
5 l« 7 + 4
^---------.
497. y — 362 a rctg j
/
"
— (36 + 2a:) j / t e — a;2.
498. y = — 1^2 arcctg-^ 4 -— x.
V 2
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51
D iferen cia ción de fun cion es
52
4 9 9 . y = J/T*.
5 0 0 . y = e ^ n2x.
5 0 1 . F ( x ) = (2mamx- \ - b y .
502. / ' { ¿ ) = ^o:íc o s p í .
c a .»
( a son &x — fl e os Bar) e ax
^2+ ^ ------------- •
™ d- y
504. y =
e~x (3 sen 3 z — c o s 3 x ) .
5 05. y = x na - * \
5 06. y = \/rc o s x a }'cosx.
ctgi
507. y = 3
*
5 0 8 . i/ = In (a x 2 + bx-\ -c).
5 0 9 . y = ln (
a
:
z
2).
5 1 0 . y = x — 2|/*5 + 2 1 n ( l + / í ) .
5 11. y = ln ( a + x
512^ =
i ¿
-
513. y = l n e o s
\; 2 a x -+- x 2) .
a?— j
.
514*. y =
5 (5 . y ^ l n ^
516- 2 /= ~
- ^
p
2 ^ 7
2) .
+ ln ^
5 17. y ~ ^ y x * — a3 ~ ~ - ~ l n ( x - { - } / ~ .x 2 — a2) .
5 18. y = l n l n (3 — 2a;3).
519. y = 5 1 n 3 (aa:-}-6).
520. y = l n ^ ^ ± i .
[/x* + a* — x
5 21. y = - l n ( a ; 3 -
fl3) + ¿ l n p ^ .
5 22. y = a:-sen ( l n a ; —
COO
1 1
*
523. y = T l n t g T -
1
.
COSZ
y i ^
.
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D erivación p o r medio de tablas
524. / (x) =
53
+ 1 — In - 1 V f t ? . .
5 25 . y = ¥ ln -s q - —
5 26. y = 2 arcsen3x 4 - (1 _ árceos 3a:)3.
sena*
5 2 7 . y = 3‘ ^
+
*
.
4
0
i? S ! «
1 3 COS^ta:
t g * + 2- V 3
----------------•
5 2 8 . if = 4 = l n —
tg y -í-2 + -| /3
1 /0
5 29. y = arctg ln a?.
5 30. ^ = ln aresen s + -i- l n 2 x + aresen ln x.
5 3 1 . y = a rctg ln — .
X
5 3 2 . y — 1 0 a rctg - 7=. + 4 - l n - ^ x T ' •
3
1 /2
*>
a+ l
5 3 3 . y = l n 1 + -^ sert ~ + 2 a rctg i / -sen a:.
1 — 1/ s e n s
ciOf
^ •. x 2-\-i
5 3 4 . í/ = T l n 5¿
1 ,
a; — i
4
,
1 + T l n ^ T r + T a r c t g a:.
i
'i
1
í>r — 4
5 3 5 . / ( * ) = T l n { l + ^ ) ~ - g - I n ( a : 5! - a ; + l ) + y | a r o t g - ^ 7=- .
x '
1 / 1 — xa
537. j / = s h 3 2#,
5 3 8 . y = e«a ch(5a;.
5 39. y = t h 3 2x.
5 4 0 . j/ = l n s h 2 :r .
5 41. j/ = A rsh
.
542. y = A r c h l n x .
5 43. y — A r t h (tg x ).
5 44. y = A r c t h (sec a:).
5 4 5 . w= A r t h y ^ a .
v
í-\ -x 2
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54
D iferen ciación de fun cion es
5 46.
(sl — 1) A r t h x + y ® .
547. p = ^ y X 2 H- — ) A r s h x — - ^ - x ^ l + x 2.
5 48. H a lla r ?/', si:
a) lf — 1*|;
b) y « * s | ;r | .
C onstruir la g rá fica de las fu n cion es y e y \
549. H a lla r y \ si
r/ = ln|x|
( x = ^ 0 ).
5 50. H a lla r / ' (x ), si
f(x) =
5 51. C a lcu la r / ' ( O ) , si
1
1 — x cu an do x < 0 ,
e” x
cuando x > 0 .
/ (x) = *?“* eos 3x.
S o l u c i ó n . / ' (x) — e~x ( — 3 sen 3x) — <r* e o s 3a;;
f
(0 ) — e ° ( — 3 sen 0 ) — c ° e o s 0 = — 1.
5 52. / ( x ) = l n ( l + x ) + a r c s e n . H a lla r / ' (1).
553. j - t g ’ - f .
H a lla r ( - g . ) ^
.
554. H a lla r / + ( 0 ) y / I (0) para las funciones:
a) f (x ) =
son (xa);
b) / (x) = areson
c) / ( * ) = — “ 7 »
a2— a:2
<z2+ *2 ’
/ ( 0) = 0 ;
1 + e*
d) / (x) = x 2 sen — , x =5^ 0 ; / ( 0 ) =. 0 ;
c ) / ( s ) = x s c n - j , x ^ 0 ; / ( 0) = 0 .
5 5 5 . Dada la fu n c ió n / ( x ) = e“ x, h a lla r / (0) + x f (0).
5 56. Dada la fu n c ió n / (x) = ] / " l + x y h a lla r / ( 3 ) + ( x — 3 ) f ( 3 )
5 57. Dadas
“
>«
s
las
fun ciones
/ (z) = tg x
•
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y
cp (x) = ln (1 — x)
D erivación p or medio de tablas
558.
h a lla r
Dadas
las
fu n cion es
} (x) = i — x
y
55
cp (s) = 1 *— sen
,
.
559. Dem ostrar q u e la derivada de una fu n c ió n par es una
f u n c i ó n im par y la de una fu n c ió n im par, es par.
5 60. D em ostrar que la derivada de u n a fu n c ió n p e rió d ica es
u ñ a fu n c ió n ta m b ién p eriód ica .
5 61. Dem ostrar q u e la fu n c ió n y = xe~x satisface a la ecu a ció n
x y ' = ( i — x) y.
xs
5 62. Dem ostrar q u e la fu n c ió n y = x e
x y ' = ( í — x 2) y.
5 63. Dem ostrar que la
fu n c ió n
2 satisface a la ecu a ción
y = — ----- --------
satisface a
la
ecu a ción x y ' = y ( y ln x — 1 ).
F . D e r iv a d a loga rítm ica
Se lla m a derivada logarítmica de una fu n ció n
lo g a ritm o de d ich a fu n ció n , es decir,
=
a la dorivada del
'Xlny)’ — ’J’
''<*>
y
f (*)
La loguritmación previa de las funciones facilita en algunos casos el
ca lcu lo de sus derivadas.
E j e m p l o . H a lla r la derivada de la fu n ción exponen cial compuesta
y=y?,
d on de u = tp (s) y v = ty(x).
S o l u c i ó n . T o m a n d o lo g a ritm o s , tendrem os:
l n y = v ln u.
D erivan do los dos m iem b ro s de esta igualdad co n respecto a x
(ln y ) ' = v ’ ln w+ y (ln « ) ' ,
o
1
y
1
u
— u' = zv' l n « 4 - ¿ > — u
de donde
y' = y
ln u - f ~
,
o sea,
y ' = u " { v ' Inw + ^ - a ' j .
564.
H a lla r y ' , si
y = \fxs ■
7
r
% sen 3 x eos 2 x.
!+ « 2
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5 i>
D iferen cia ción de fun cion es
2
Solución,
1
ln
,
2
y y
l n x + l n ( l — x) — ln (1 - j - x 2) _|_ 3 in se o ar+ 2 ln eos x\
1
,
2x
(— 1 )
3 x"*~ 1 — x
,
1 - f x'¿
2 sen x
1
sonx cos*
cosx
’
de donde
> ' = i ' ( w - i é r - T í ^ + 3 « B “;- 2 t8 * )
■
5 6 5 . H a lla r y ' , si y = ( s o n x ) x .
\
Solución,
ln y = x l n sen x; — - y ' = l n s e n x + x c t g x ;
y
y 1 = (sen x )x (ln sen x + x e t g x).
H a lla r
y\
tom ando
previa m en te
lo g a ritm o s
para
la
fu n c ió n
••
II
568.
569.
y
=
y
V
^
5 74. y =» V * .
5 75.
YX
£76. y * = x x .
- '
577. y = £ sen*.
*1/ - ü + r (x -2 )9
570.
5 78. j/ = ( c o s x ) 8enx
V ( x - l)* (* -3 )«
5 71. »
II
=3>
566. y ~ { x J r 1) (2 a ;-}-1) (3a: - f - 1).
(a-j-2)2
567.
lJ
(x + l)¡» (* + 3 )* •
...
V * -i
• f ^ + 2)2 T / ( z + 3 ) a
579.
572. y = x s.
* - ( * + * ) ■
580. y = (arctg a;)*.
573. y — a;"'3.
§ 3. Derivadas de fu ncio n es que no e s tá n dadas e x p líc ita m e n te
de
1.° D o r i v a d a
Si
la
fu n c ió n
fu n ció n
de
la f u n c i ó n i n v e r s a .
y — / (x) e s J ^ ^ O , la d eriva d a de la
* — í~Hy) será
x[. —
u
1_
7""
V'X
o sea,
d x
dy ~
1
dy
dx
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la derivada
in v e r s a
D erivadas de ju n cion es que no están dadas explícitam ente
Ejem plo
1.
H a lla r
57
la deriva d a x y’ i si
y = x + l n x.
Solución.
1
x 4 -1
1-f------ = — ~ — ; p o r consiguiente,
Tenem os
x
x
x
x'
y
x+i *
2 o. D e r i v a d a s d e
funciones
dadas en f o r m a
t r i c a . Si la dependencia entre la fu n ció n y y el argum ento x
p o r m e d io d e l parámetro t
param éviene dada
{
se tiene,
Xt
o con otras notacion es,
¿y
dy _
dt
dx
dx
dt
Ejem plo
2.
H a lla r
, si
CÍX
x = a eos t y
y = a sen t.
Solución.
H a lla m o s
a s e n í y - ^ - — a c o s t . De aq u í que,
af
ctt
dy _
dx
3 o.
Derivada
de
acost _
*—a s e n í
la
función
®
implícita.
Si
la
dependencia
entre x e y v ien e dada de fo rm a im p líc it a
F ( x t y) = 0;
(1>
para h a lla r la derivada y'x = y \ en io s casos más sim ples, bastará: 1) ca lcu la r
la d eriva d a co n respecto a x d e l p rim o r m ie m b ro de la ecu ación ( 1), co n si­
dera n d o y fu n ció n de x : 2) ig u a la r esta derivada a cero, es decir, suponer que- ¿ F ( x , V) = 0 ,
( 2 ).
y 3) r e s o lv e r la e cu a ción ob ten id a co n respecto a y \
E j e m p l o 3. H a lla r la d e riv a d a yx , si
s 8 _j_ ¿,3— 3 ax y ^ o.
S o l u c i ó n . C a lcu la n d o la derivada del p rim er m iem b ro d e
d a d (3) o ig u aláud ola a cero, tendrem os:
3x2-\-3y*y' — 3a (y + x y ' ) = Q,
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(3^
la ig u a l­
58
D iferenciación de funciones
de donde
y
■2__ o-]}
a x — y2 '
5 81. H a lla r la derivada z v, si
a) y — 3 z + ^3;
b ) í/ = ar — y s e n x ;
c ) y ’= 0 , 1a : + e * /2 .
C a lcu la r la
derivada y ' —
do las
dadas en form a paramétrica:
582.
2 — 2/ — 1 ,
y = t*
1
f+ 1
583.
1
y
’
(
1 Y
U + i J
2o t
1
584.
+ i*
’
l-H 2
585.
=
3at
1 -H a 1
3at*
y = í+t»
'
[ 2 = y i,
58G.
i y = y t.
'x = y p + t ,
587.
_
y ~
588.
t —1
yw + i
*
x = a ( c o s ¿ - H s e n ¿)>
í/ = a ( s e n ¿ — i c o s / ) .
589.
590.
# = a eos 2
y = fcsen2 1 .
|:r = a c o s 3 ¿,
( j/ = 6 son3 /.
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fu n cion es
y siguientes,
D erivadas de ju n cion es que no están dadas explícitam ente
r
x —
¡
59
eos3 1
t= = - ,
\/ eos 2t
591. <
sen31
y = ___ :______ ' .
y eos 2 1
f
1
I X = árceos ^ 7=
,
592.
. y = aresen - ,_____
L
Y l-M 2
593. J
x = e ~ l.
y = e*
594.
í x = a ( l n t g y + c o s ¿ — sen
,
1 y = d (sen t + eos i).
5 9 5 . C a lcu la r
dx
para ¿ =
1
2
si
x = a (t — sen ¿),
y = a ( 1— eos t).
zt
,, .
. ,
dy
a sen t
sen t
------------------— y
S o h j c j o n , - r = — Ti--— —
dx
a (1 —' e o s t )
1 — cosí J
sen —
{ dy \
)
\ dx )
l=Y
* -co sT
x = t\nt,
5 9 6 . H a lla r
5 9 7 . H a lla r
dx
d y
dx
5 98. Demostrar
p a ra m é trica s
para t = 1, si
.
ln t
y = —r
.u
¡ x = e i C05t,
para ¿ = - y , si {
*
4
l y = e t sen t.
que
la
fu n ción
*/,
dada
* = 2 í + 3i*t
, í / - ¿ 2 + 2 í 3,
s a tis fa c e a la ecu a ción
5 9 9 . P ara x = 2 se c u m p le la igualdad
x 2 = 2x.
•¿Se deduce de ésto que
( x * y = (2 x y
p a ra x = 2 ?
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por
la s
ecuaciones
60
D iferen ciación de funciones
600.
Sea y = Y a? — x 2. ¿Se puede d eriva r
la igualdad
£2 + y 2 =
H a l l a r la derivada
m ie m b ro
a m ie m b r o
a 2?
de las sigu ien tes
fu n cio n e s
ira p lí-
cita s y :
6 12. arctg (x -\ -y ) = x .
601. 2 a ;~ 5 i/-| -1 0 — O.
602.
*2 , V3
fl2 1 ¿2
613. ev = x - { - y .
l
... y.
614. I n x + e * = c.
603. x 3 + y 3 = a 3.
604. x3 4- x 2y + y 2 = 0.
615. \ n y + ~ = c.
y
ii
-i
616. a rctg
T ln ( x 2 + r %
605. V x +\/~y = V'a606.
617. Y " x 2 + y 2 = c a rctg y_ •
607. y 3 - x ~ y .
3
*+ !/
608. y — 0 ,3 s e n y = x .
X
618.
610. t g y — x y .
x y
+
n
r a g j
2y
.
S o l u c i ó n . D erivando,
y = 1, obtonem os 2 ^ ' = 1
=
.
p u n to
l + x z / 3.
tenem os: 2 y ' = y 3-\-3xy2y'.
de d on de y ' = — i.
620, H a l l a r l a s d e r i v a d a s y ' d e l a s f u n c i o n e s
n u a ció n ,
= jf
619. H a l l a r y ' en el
M (1 ; í ) , si
609. a eos 2 (x-4- y ) — b.
6 Í 1.
XV
y,
H a cie n d o
*= 1
q u e sed a n
ea co n ti­
e n la s p u n to s q u e se in d ic a n :
a) (£ + £/)a = 2 7 (x — y) c u a n d o x = 2 e y = 1;
b) yev = ex+l c u a n d o x = Q e y — 1;
c) y2
-^ -cu an d o
3; = 1 e y = 1.
§ 4. Aplicaciones g e o m é tric a s y m ecánicas de la d eriva da
I o.
E c u a c i o n e s d e 1 a t a n g e n t e y d e 1 a ñ o r m a 1. De la inter­
p reta ción geom étrica de la derivada se deduce, que la ecuación de la tangentea la curva y = f ( x ) o F ( x r y) = 0 on el p u n to M (xQy y0) es:
y — uo = y¿
d on de y'0 os el v a lo r de Ja derivada y ' en el p u n to M (x0, y0). La recta*,
perpendicular a la tangente, quo pasa p o r e l p u n to de
con ta cto de ésta con*
la cu rva, recibe el nom b re de normal a dicha curva. Para la n orm a l tendre­
m o s la sigu ien te ecuación:
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A p lica cio n es geom étricas y m ecánicas de la derivada
2 o. A n g u l o
entre
curvas.
61
P o r á n g u lo fo r m a d o por las curvas
y = h <*)
O
y = / 2 (*)
<ni su punto com ú n M q ( x0 , y0) (fig . 12) se en tien d e el á n g u lo ce que forman
<*ntro s í las tan gen tes a estas c u r v a s M 0A y iV/0ff en el p u n to M 0.
P o r la c o n o c id a fó r m u la de G eom etría A n a lít ic a obtenem os:
3°. S e g m e
mal, para el
g u l a r e s . La
s i g u ie n t e s ( f i g .
t r m _ /« (* o )-/i(g o )
^
1 + / Í ( ¿Fo W Í (*o)
n t o s , r e l a c i o n a d o s c o n la t a n g e n t e y la no r ­
c a s o de un s i s t e m a de c o o r d e n a d a s r e c t a n ­
tangente y la n orm a l d eterm in a n lo s cuatro seg m en tos
13):
t = T M , lla m a d o segmento ta n gen te,
S t — T K , su bta n g en te,
n — N M , segm ento norm al,
S n ~ K N f subnormal.
C o m o ATA/ = |yo I Y t g cp = y j, s e tiene
t = 7 il/=
‘
yo
iWIÍ = |y0 y r + ( ! / í ) 2 |;
St = TK =
|5
~ 1í/oyó
4 o. S e g m e n t o s ,
ralacionados
con
la
tangento
y la
n o r m a l , p a r a el c a s o do un s i s t e m a do c o o r d e n a d a s p o ­
l a r e s . Si la curva v ien e dada en coorden a d a s p o la re s por la e cu a ción
r = /(<P>. el á n g u lo p , fo rm a d o p o r la tan gen te M T y el ra d io p o la r r = OM
< fig . 14), se d eterm in a p o r la fo r m u la sigu ien te:
tgP-
dip
dr
r'
'
L a tan gen te M T y la n o r m a l M N en e l p u n to M t ju n to con el radio p o la i
d e l p u n to de c o n t a c t o y la p erp e n d icu la r a d ich o r a d io trazada por ej
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G2
D iferen cia ción de fun cion es
polo O, determinan los cuatro segmentos siguientes (véase la fig. 44):
t = M T , segm ento d e la ta n gen te p o la r ,
n = M N , s e m e n t ó d e la norm al p o la r,
S t = 07\ su bta n gen te p o la r ,
subnormal polar.
Estos segmentos se expresan con Jas siguientes fórmulas:
t = M T = j ¿ r T V r * + (r')*; S t = O T = - ¿ ¡ j ;
n = M N = V r * + (r')\
Sn = O N ^ \ r'\ .
021.
¿Q ué á n g u lo s cp form a n co n e l e je O X la s ta n g en tes a la
cu rv a y = x — x 2 en lo s p u n tos c u y a s abscisa s son : a ) # = 0 ;
b) # — 1 /2 : c ) # = 1?
S o l u c i ó n . Tenemos ¿r' = l — 2x. Do donde:
b) tgrp = 0, <p= 0°; c) tg <p= — 1; cp= l35° (fig. 45).
a)
lg < p = f,
<p= 45°;
0 2 2 . ¿Q ué á n g u lo s form a n co n o l e je de a b scisa s, a l corta rse
co n éste on e l o rig e n de coord en a d as, la s sin u so id e s
y = sonx
e y = sen 2 # ?
0 2 3 . ¿Q ué á n g u lo form a co n e l e je de a b scisa s, a l corta rse
con este en e l o rig e n de coorden adas, la ta n gen toid o y = f t g x ?
6 2 4 . ¿Q ué á n g u lo form a la cu r v a i/ = e ° ^ x co n la recta x = 2
a l cortarse con e lla ?
6 2 5 . H a lla r lo s p u n tos en q u e la s ta n g e n te s a la c u r v a y —
~ 3 # 4 - p 4 #3— 12 #2 - f 20 sean p a ra le la s a l e je de a b scisa s.
0 2 0 . ¿E n q u é p u n to la ta n gen te a la p a rá bola
y =
— Ix + 3
es p a ra lela a la recta 5 # + ? / — 3 = 0?
027.
H a lla r la e c u a c ió n de la p a rá b ola y = # 2 - f b x + c ,
tan gen te a la recta x — y en e l p u n to ( 1 ; 4).
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que es
A p lica cion es geom étricas y mecánicas de la derivada
03
6 2 8 . D eterm in ar e l c o d i c í e n l e a n g u la r de la tangente a la
cu rv a x * - \ - y z— x y — 7 = 0 en e l purilo ( 1 ; 2 ).
6 2 9 . ¿E n que p u n to de la cu rva y 2 = 2 x 6 la tangente es p er­
p en d icu la r a la recta 4 x — 3 y - ¡ - 2 = 0?
6 3 0 . E scrib ir las e cu a cio n e s de la tan gen te y de la n orm al a
la p a rá b ola
y = V x
en e l pun to cu y a a b scisa os x = 4.
Solución.
T e n e m o s y' =
■/ * ; de aq u í
¿a y
de la tan gen te será k = [y' ]*= 4 —
que, el c o e fic ie n t e angular
x
1
Co mo el p u n to de c o n t a c t o tiene
c o o rd e n a d a s x = 4 e y = 2 , la e c u a c ió n de
la ta n g e n te
es y — 2 — ~ ¡r(x— 4),
o bien, x — 4 y + 4 = 0 .
lSn v ir t u d d e la c o n d ic i ó n de p e rp en d icu la rid a d , el c o e fic ie n t e
de la n o r m a l es:
*! =
las
an g u la r
— 4,
de d o n d o la e c u a c ió n de la n o r m a l es
y — 2 — — 4 ( r — 4), o bien, 4 x-\ -y — 18 = 0.
6 3 1 . E scrib ir las ecu a cion es de la tangente y de la n orm al a la
cu rva y = x 3 -\-2x2— 4 x — 3 en e l p u n to ( — 2 ; 5 ).
6 3 2 . H a lla r las ecu a cion es do la ta n gen te y do la n orm al a la
cu rva
y = v 'x ~ l
en el p u n to ( 1 ;
6 3 3 . H a lla r
a las sig u ien tes
a) y = t g 2 x
0).
la s ecu a cion es de las tan gen tes y de las n orm ales
cu rv a s en lo s puntos que se in d ica n :
en e l o rig e n d o coordenadas;
£
,^
b) y = are s e n — — en e l p u n to de in tersección con el o jo OX\
c) y — are eos 3 x en el p u n to de in te rse cció n con e l e je O Y ;
d) y = i n x en e l pu n to de in te rse cció n co n e l e je O X ;
e) y = e i ~x2 en los pu n tos de in tersección con la recta y = i .
6 3 4 . E scrib ir las ecu a cion es de la tangente y de la n orm al a
la cu rva
1+ *
_
x==z
v
_
y
—
3
+
f
2t
’
en e l p u n to { 2 ; 2 ).
6 3 5 . E scrib ir la e cu a ció n de la tangente a la curva
x = t c o s t y y*=ts& nt
en el orig en de coorden adas y en e l
pu n to t = - ^ m
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64
D iferen cia ción de funciones
636.
E scrib ir las ecu a cion es de la tan gen te y de la norm al
la cu rva
+
*6 = 0 en e l pu n to c u y a ordenada es y = 3.
637- E scrib ir la e cu a ció n de la tangente a la cu r v a rc5- ^ 5—
— 2 x y = 0 en e l punto ( 1 ; 1 ).
638- E scrib ir las ecu a cion es de la s tangentes y de las norm ales
a la cu rva y = ( x — 1) ( x — 2) (x — 3) en sus pu n tos de in tersección
con el e je de abscisas.
*
6 3 9 . E scrib ir la s ecu acion es de la tan gen te y de l a n orm a l a
la cu rva y 4 = 4rc*-j- 6z y en e l p u n to (1 ; 2 ).
640*. D em ostrar que e l segm en to de tangente a la h ip érb ola
xij = a2, com pren did o entre lo s ejes de coorden adas, está d iv id id o en
dos partes ig u a les p or e l p u n to de con ta cto.
6 4 1 . D em ostrar que en la astroide z*/* + y 2te = a 2/3 e l segm ento
tangente, com pren did o entre lo s e je s de coorden adas, tien e m a gn i­
tud constante e ig u a l a a .
6 4 2 . D em ostrar que la s n orm a les a la e n v o lv e n te de la cir cu n ­
feren cia
x = a (eos 1 4 *t sen t)9 y = a (sen t — t eos t)
son tangentes a la circu n fe re n cia x l j r y ¿ = a it.
643. H a lla r e l á n g u lo de in te rse cció n de la s p a rá b ola s
y = (x — 2 )2 e y = — 4 + 6 ;r — x z.
6 4 4 . ¿Q ué á n g u lo form an
entre s í las p arábolas y = e y = x 3
a l cortarse?
6 4 5 . D em ostrar que la s cu rv a s y = 4 x 2 + 2rr — 8 e y = x 2~ x + 10
son tangentes entre sí en e l p u n to (3 ; 34). ¿O cu rrirá l o m ism o en
el pun to ( — 2; 4)?
646. D em ostrar que las h ip é rb o la s
x y = a 2 y x" — i/ ■= b~
se cortan entre sí form an do un á n gu lo recto.
6 4 7 . S e da la p a rá bola y 2 = i x . C a lcu la r la lo n g itu d de lo s
segm entos tangente, n orm a l, subtangente y su bn orm al en el punto
(1;
2 ).
6 4 8 . H a lla r la lo n g itu d del segm ento su btan gen te de la cu rv a
y = 2 x en cu a lq u ier p u n to de la m ism a.
6 4 9 . D em ostrar que la lo n g itu d d e l seg m en to n orm a l a cu a l­
q u ier p u n to de la h ip é rb o la eq u ilá tera x 2 ~~y 2 — a 2 es ig u a l a l radio
p o la r de d ich o punto.
6 5 0 . Dem ostrar que la lo n g itu d del seg m en to su b n orm a l do la
h ip érb ola s 2 — y 3 = a 2, en un p u n to cu a lq u ie ra de la m ism a , es
ig u a l a la abscisa do d ic h o pu n to.
6 5 1 . D em ostrar que lo s segm en tos su btangen tes de la elip se
+
= l y de la circu n fe re n cia x*-\-y2 = a 2, en
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lo s pu n tos de
a
A p lica cion es geom étricas y m ecánicas d e La derivada
65
abscisas ig u a les, son ig u a le s en tre s í. ¿Q ué p ro ce d im ie n to de con s­
tr u c ció n de l a ta n g e n te a la elip se se desprende de l o antedicho?
6 5 2 . H a lla r la lo n g itu d de lo s segm en tos ta n gen te, n orm al,
su b ta n gen te y su b n o rm a l a la c ic lo id e
x ~ a (t — sen t)
y = a (1 — c o s í )
en un p u n to cu a lq u ie ra i = t 0.
6 5 3 . H a lla r e l á n g u lo q u e form a n en tre sí la tan gen te a la
esp ira l log a rítm ica
r — aeh(9
y el ra d io p o la r del p u n to de co n ta cto .
6 5 4 . H a lla r e l á n g u lo en tre la tangente y e l ra d io p o la r del
p u n to de co n ta cto para la lem n isca ta r2 = a2 c o s 2 <p.
6 5 5 . H a lla r las lo n g itu d e s de lo s segm en tos p ola res: tangente,
n o rm a l, su btan gen te y su b n orm a l y e l á n g u lo que form a n entre
sí la ta n gen te y e l ra d io p o la r del p u n to de co n ta cto para la espi­
ral de A rq u ím ed es
r = atp
en el p u n to de á n g u lo p o la r q> = 2 jc.
6 5 6 . H a lla r la s lo n g itu d e s de lo s segm en tos p ola res: subtan­
gente, su b n orm a l, ta n gen te y n o rm a l, y el á n g u lo que form an
entre s í la ta n g e n te y e l ra d io p o la r para la e sp ira l h ip e rb ó lica
r = ^~ cn u n p u n to a rb itra rio q>=qp0; r = r0.
6 5 7 . La le y
del m o v im ie n to de un
p u n to sobre el e je O X es
x = 3¿ — ¿3.
H a lla r la v e lo cid a d del m o v im ie n to de d ic h o pu n to para lo s instan­
tes ¿0 = 0 ; ¿i = l y t 2 — 2 (x se da en ce n tím e tro s;
en segundos).
6 5 8 . P o r el eje O X so m u ev en dos p u n tos que tien en respecti­
v a m en te la s le y e s de m o v im ie n to
* = 1 0 0 + 51
y
donde ¿ > 0 . ¿C on q u é v e lo c id a d se a leja rá n estos pu n tos, el uno
d e l o tr o , en e l m om en to de su en cu en tro (x se da en cen tím etros;
en segundos)?
659.
L o s e x tre m o s de un se g m e n to Á B = 5 m . se deslizan por
la s recta s perpen dicu lares en tre sí O X y O Y (fig . 16). L a v e lo c i­
dad de desplazam ien to d e l ex trem o A es ig u a l a 2 m /s e g . ¿C uál
será la v e lo cid a d d e desplazam ien to del ex trem o B en e l instante
5 —1016
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66
D iferen ciación de funciones
en que el ex trem o A se en cu en tre a una d ista n cia O A = 3 m . del
orig en de coordenadas?
6 6 0 , La le y del m o v im ie n to de un p u n to m a te ria l, lan zado en
el p la n o v e rtica l X O Y (fig . 17), form an do un á n g u lo a respecto
al h o riz o n te , co n una v e lo cid a d in ic ia l v 0, v ien e dada p or la s f ó r ­
m ulas (sin tom ar en co n sid e ra ció n i a resisten cia del aire)
x
— Vqí c o s a , y —
sen a —
,
donde t es e l tiem p o y g la a celera ción de la fuerza d e gravedad.
H a lla r la tra y ectoria del m o v im ie n to y su a lca n ce . D eterm in ar
ta m b ién la m agnitud de la v e lo cid a d del m o v im ie n to
ció n .
y
su
d irec­
6 6 1 . U n p u n to se m u e v e so b re la h ip é r b o la U - — de ta l m odo»
q u e su abscisa x aum enta u n iform em en te con la v e lo cid a d de una
unidad p or segundo. ¿Con q u é v e lo cid a d variará su ordenada, cu an do
el p u n to pase p or la p o s ic ió n (5; 2)?
6 6 2 . ¿E n q u é p u n to de la p a rá b ola y 2 = i 8 x la ordenada crece
dos veces m ás de p risa q u e la abscisa?
6 6 3 . Uno de lo s la d o s de un re ctá n g u lo tien e u n a m a gn itu d
con stan te a = 10 cm , m ien tra s que e l o tro , b ) es v a r ia b le y aum enta
a la v e lo cid a d con stan te d e 4 cm /se g . ¿A qué v e lo cid a d crecerán
la d ia g on a l del re ctá n g u lo y su área en e l instante en q u e 0 = 30 cm ?
6 6 4 . El. ra d io de una esfera crece u n iform em en te co n una v e lo ­
cid ad de 5 cm /se g . ¿ A q u é v e lo cid a d crecerá n e l ároa d e la super­
fic ie de dich a esfera y e l v olu m en de la m ism a, cu a n d o el ra d io
sea ig u a l a 50 cm ?
6 6 5 . Un pu n to se m ueve sobre la espiral de A rqu ím edes
r — ay
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G7
D erivadas de órdenes superiores
(a = 10 cm ) de
m odo q u e la v elocida d an gu lar de r o ta c ió n de su
ra d io p ola r es con stan te e ig u a l a 6 ° p o r segu n do. D eterm inar la
v e lo cid a d con q u e se alarga d ich o ra d io p o la r r en el instante en
qu e r = 25 cm .
666 .
Una barra h eterogén ea A B tien e 12 cm . de lo n g itu d . La
masa de la parte d e A M de la m ism a crece p roporción al m ente al
cu a d rad o de la d ista n cia del p u n to m ó v il M respecto al extrem o .4
y es ig u a l a 10 g cu an do A M = 2 cm . H a lla r la m asa de toda
la barra A B y la densidad lin e a l en cu a lq u ier pu n to M de la
m ism a. ¿ A q u é es ig u a l la densidad lin ea l d e la barra en los
pu n tos A y B ?
§ 5, D eriva d as de órdenes s u p e rio re s
I o. D e l i i l i c i ó n d e l a s d e r i v a d a s d e ó r d e n e s
superio­
r e s . D e r iv a d a d e s e g u n d o o rd en o d eriv a d a seg u n d a de una fu n ció n y = j ( x \
se lla m a a la d e riv a d a d e su d erivad a, es d e cir, a
L a d e riv a d a segunda se designa así:
. ' O - g - . o /"(*).
SL x = j ( t ) es la ley del m o v im ie n t o re ctilín e o ele un p u n to ,
es la ace­
le r a c ió n de d ic h o m o v im ie n to .
En general, la derivada de orden enésimo de la fu n ció n
=
os la
deriva d a do la d eriva d a de orden ( n — 1). La derivada enésima so designa a sí:
y 'n \
E j oni p i n
o - § r - 0 f (n> (*)•
1 . H a lla r la deriva d a de segundo orden de la fun ción
y = bi (1_ X).
o i u c i ó n.
~ r\
^ =
=
( i- * ) *
-
2o. F ó r m u l a d o L c i b n i z . Si las funciones u = <p(x) y y = i¡>(^
tienen derivadas hasta de ord e n enésim o in clu sive, para ca lc u la r la derivada
enésim a del p ro d u cto de estas fu n cion es puede emplearse la fórmula de
L eibn iz
=
3°.
dadas
i/-j-
u 'n - 2 > r , " + . . - \ - u v ‘ n K
Derivadas
de ó r d e n e s
superiores
en f o r m a p a r a m é t r i c a . S i
de
funciones
r * = <P(¿),
5*
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D iferen cia ción d e ju ncion es
68
s u s d e r iv a d a s u'
*
ax
&x
x' ’
,
y"
. . . p u ed en ca lcu la rse
**
dx¿
su ce siv a m e n te p o r
la s fó r m u la s :
'í^x)x ~
9
-g '
Para la d e r iv a d a d o 2 o o r d o n se c u m p le la
2.
>
'
fó rm u la
x \y"tt-x uy\
*;cx"“
E jem plo
a*'
W r
’
H a lla r y " , si
x = a eos l,
{
y = bsen t.
Solución.
T en em os:
< . (¿ s e n t >t_
b -c o st
y
(a c o s í)/
— cíSQnt'~
„ ( - T ct« 0 ;
lJ
A.
(a c o s í ) }
- T
- i i h
-a se n f
b
a C%
b _
aase n 3 / '
D erivad as de órdenes superiores de junciones
explícitas.
H a lla r la s derivadas de segu n do g ra d o de la s fu n c io n e s sig u ie n te s:
6 6 7 . y = x 9 -\- 7x* — 5 x + 4.
6 6 8 . y = e x2.
6 6 9 . y — sen* x.
670. y = l n j / l + x \
6 7 1 . y = ln ( x + V a 2 + x*).
6 7 2 . / ( s ) = ( l + ; z 2)-a r c t g :r .
6 7 3 . y = (are sen x ) 2.
6 7 4 . ¡/ = a c h — .
6 7 5 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n y = -x—
e c u a c ió n d iferen cia l
*
sa tisfa ce
a
la
1 + y ' 2 = 2yy*.
6 7 6 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n
s a tisfa ce a la e cu a ­
c ió n d ife re n cia l y" — 2 y ' - \ - y — ex .
6 7 7 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n y — C ^ - * -\-C2e~2x para c u a l­
q u ier v a lo r de la s co n sta n te s C x y C 2 sa tisfa ce a la e cu a ció n
*/* + 3y* + 2 y = 0 .
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D erivadas de órdenes superiores
69
6 7 8 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n y = e2X sen 5 z sa tisfa ce a la
e cu a ción y " — 4 ¡/' + 29*/ = 0.
6 7 9 . H a lla r y " , si y = x 3 - 5 x * + 7 x - 2 .
6 8 0 . H a lla r / ” (3 ), si / (z ) = ( 2 x - 3 ) 8.
6 8 1 . H a lla r y v para la fu n c ió n y = ln (1
6 8 2 . H a lla r yv l para la fu n ció n y == sen 2x.
6 8 3 . D em ostra r, que la fu n c ió n y ~ e ~ * c o s x sa tisfa ce a la ecua­
c i ó n d ife re n cia l yv / - f- 4 y = 0 .
6 8 4 . H a lla r / (O), /'( O ) ? / '( O ) y /" ( O ) , si
/ (x ) = ex sen x.
6 8 5 . L a e c u a c ió n del m o v im ie n to de u n p u n to sobre e l e je O X , es
x — 100 -}- 5 í — 0 ,0 0 1 t 3.
H a lla r la
in sta n tes
v e lo cid a d y
la a ce le ra ció n
¿o =
0;
¿i =
l;
¿2=
de
d ic h o
p u n to
para
los
10 .
686 . P o r la circu n fe re n cia x 2 + y 2 = a2 se m ueve u n p u n to M
co n una v e lo cid a d an gu lar co n sta n te co. H a lla r la le y del m ov i­
m ie n to de su p r o y e c c ió n M^ sobre e l e je O X y si en e l m om ento
¿ = 0 el p u n to ocupaba la p o s ic ió n M 0 (a> 0) (fig . 18). H a lla r la
v e locid a d y la a celera ción del m o v im ie n to del p u n to M t.
¿A q u é es ig u a l la v e lo cid a d y la a ce le ra ció n del p u n to A f t en
el m om en to in ic ia l y en e l m om en to en que pasa p or e l orig en de
coordenadas?
¿C u á les son lo s v alores a b solu tos m á x im o s de la v elocida d
y de la a ce le ra ció n del p u n to M t?
6 8 7 . H a lla r la derivada de orden n-ésirno
d e la fu n ción
y = ( a x + b)n} donde n es un núm ero entero.
688 . H a lla r las derivadas d e orden n -ésim o de las fu n cion es:
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70
D iferen ciación de funcionen
6 8 9 . H a lla r la d eriv a d a n -ésim a d e las fu n c io n e s :
a) IJ = sen x ;
b)
y ~ eos 2 x ;
« ) y = e~3Xd) y = ln(l+a?);
e) y
_
1
.
14 x
’
i+ x .
1— 3: »
/ ) 1/
g ) y = sen 2 x ;
h)
y = Iti (az-f-
6 9 0 . E m p lea n d o la fó r m u la de L e íb n iz , h a lla r y^n\ si
a) y = x - e x\
b) y
« ) ?/ = (1 — x 2) cosa:;
_ i+ x _ .
d) y
“
y*
’
e) y = x 3 l u x .
•691. H a lla r /< "> (0), si / (x ) = ln
i —x
B . Ztertwzdas
ó r d e n e s s u p e r i o r e s , d e f u n c i o n e s dadas e n form a
p a r a m é tr ic a y de f u n c io n es i m p l íc it a s .
H a lla r
6 9 2 . a)
6 9 3 . a)
para las fu n c io n e s sig u ie n te s:
x = ln ty
x = a rctg i,
y*=ñ
«/ = ln (1 + ¿2);
x = a cos£.
c)
K = < zsen ¿,
6 9 4 . a)
í/
= a sen3 ¿;
x = a (sen t — t eos l ) ,
d)
y = a (eos t-\ -t sen t ) .
x = a r c tg í,
6 9 5 . a)
y - i 1'x = ln t,
x = e " at}
b)
y = ca'.
y= l / T ^ .
y — a (1 — eos í);
x = eos 2 ¿ y
y = sen 2 1\
c)
x — a ( t — s e n ¿ ),
x = a c o s 3 í,
h)
x = aresen i ,
b)
y = i- t
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•
Derivadas de órdenes superiores
696. H a lla r
71
x = e xc o s í ,
d*x
dy* ’
si
y = e*sen í.
6 9 7 . H a lla r
x = l n ( l + í2),
para í = 0 , si J X
\
698.
que
[ y =i t .
D em ostrar
y , determ inada
com o
las ecu a cion es £ = s e n / e y — ae* ^2 j~ b e ~ l
ción d iferen cia l
fu n c ió n
de x
por
, sa tisfa ce a la ecua­
cualesquiera que sean la s con stan tes a y ó.
H a lla r
699.
700.
701.
y m= - í^ - para las sigu ientes fu n cion es:
z = s e c í,
y = lgt.
x = e~{ c o s í ,
y = e~l sen t .
x = e~\
7 0 2 . H a lla r
d ny
d xn
S i{
z = ln ¿ ,
m
í
7 0 3 . C onociendo la fu n c ió n y =* f (x),
y x w de la fu n c ió n inversa x = f~1( y ).
7 0 4 . H a lla r y", si x 2 + */2 = 1.
Solución.
h a lla r
las derivadas x
A p lic a n d o la regla do d e r iv a c ió n de fu n cio n e s com puestas
tenem os 2a: + 2^ ' = 0 ; de d o n d e y ' =
e
!/— xy
'x
y*
P o n ie n d o en lu gór de y ' su v a l o r , o b te n d re m o s en d e fin it iv a :
y2Jt X ^ _ _
Í3—
=
1
ir3 *
D eterm inar las derivadas y" de las sigu ientes funciones y — f ( x ) ,
dadas de form a im p líc ita :
7 0 5 . y 2 = 2 p x.
706. 4
+ £ - i .
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72
D iferen ciación de junciones
7 0 7 . t/ = x -f-a r c t g y.
7 0 8 . Dada
la
ecu a ción
h a lla r
y
.
709. H a lla r y " en el p u n to (1 ; 1 ), si
x 2 - f 5 x y + y 2 — 2 x + y — 6 = 0.
710. H a lla r y " en el pu n to (0 ; 1), si
2 4—
x y + y* =
l.
711. a) La fu n c ió n y está dada im p lícita m en te p or la ecu a ción
z 2 + 2 x y + y 2— 4 z + 2 y — 2 = 0.
H a lla r
en e l pu n to (1 ; 1).
b) H a lla r - g - , si x* + y t = a2.
§ 6 . D ife re n c ia le s de p rim e r orden y de órdenes s u p e rio re s
I o . D i f e r e n e i a I de p r i m e r o r d e n . Se llama d iferen cial {de
prim er orden) de una ¡unción y = f { x ) a la pa rte prin cip a l do su in crem ento,
lineal con respecto a l in crem ento A z — dz de la v aria b le in d ep e n d ien te x.
La d ife re n cia l de una fu n ció n es ig u a l a l p ro d u cto de s u derivada p o r la
d ife re n cia l de la v aria b le independiente
d y = y ' dx.
De aquí, quo
S i M N es ol arco do la g rá fica de la fu n c ió n y = f ( x ) ( f i g . 19), M T la
tangente en e l punto M { x t y ) y
PQ = Ax — dxt
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D iferen cia les d e p rim er orden y de órdenes superiores
73
ten d re m o s que e l in c r e m e n to do la ordon ada d e la ta n g e n te
A T = dy
y e l s e g m e n t o A N = Ay.
E j e m p l o 1. H a lla r e l in c r e m e n to y la d i f e r e n c ia l de la fu n c ió n
y = 3 x 2—~x.
Solución.
1er p r o c e d i m i e n t o ;
Ay — 3 ( s + A s ) 2 — (x + A s ) — 3z 2-\-x
o b ie n ,
A y = (6x — 1) A s + 3 (A x)3.
P o r c o n s ig u ie n t e ,
dy — (6^ — 1) A s = (6x — 1) dx.
2o p r o c e d i m i e n t o :
y ' — 6s — 1; dy = y ' d x = (6s — 1 ) d x .
E j e m p l o 2. C a lc u la r A y y d y do la f u n c i ó n y = * 3x* — x f p a ra x = l
y A s = 0 ,01.
S o l u c i ó n . A y = (6x — 1)* A s + 3 (A s)2 = 5 *0,01 + 3 -(O,OI) 2 — 0,0503
y
dy = ( 6s — 1) A s = 5* 0,01 = 0,0500.
2 o. P r o p i e d a d e s f u n d a m é n t a l a s d e l a s d i f e r e n c i a l e s :
1) dc = 0 , d o n d e o — c o n s ta n te .
2) d x = A s, d o n d e s e s la v a r ia b le in depen d ien te.
3) d (cu) = c d u .
4 ) d (i¿ i
f ) — du ^¡z du.
5) d (uv) — u d v-\ -v du.
6) * ( t )
* + 0).
7) df (u) — / ' (u) du.
3°. A p l i c a c i ó n
d é la
d iforen cia l
para los c á lc u lo s
a p r o x i m a d o s . Cuando el v a l o r a b s o lu t o d e i in c r e m e n to A s de la varia ­
ble in d e p e n d ie n te s es pequeño, la d ife r e n c ia l dy do la f u n c ió n y = / ( x )
y e l in c r e m e n t o Ay de d ic h a f u n c ió n s o n a p ro x im a d a m e n te ig u a le s entre sí
Ay f & d y ,
es d e cir,
/ ( x - h A s ) — / (s) ^ / ' (x ) As,
de d o n d e
/ ( s + A s) ^ / ( * ) + / ' ( * ) A s.
(1 ),
E j e m p l o 3. ¿En cu á n to aum entará a p rox im a d a m e n te e l la d o de un
cu a d ra d o , s i su ároa au m en ta do 9 m 2 a 9,1 m 2?
S o l u c i ó n . Si x es e l área d e l cu ad rado e y el la d o del m is m o , ten­
d re m o s que
y= l/ x.
P o r las c o n d ic io n e s d e l p r o b le m a : s = 9; A s = 0 , 1 .
C a lc u la m o s a p ro x im a d a m e n te e l in c r e m e n to A y d e l la d o d e l cuadrado
Ay ^ dy — y ’ Ax
1
— - 0,1 — 0,016 xn.
2 y 9
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D iferen cia ción de funciones
74
4o . D i f e r e n c i a l e s d e ó r d e n e s s u p e r i o r e s . Se lla m a d iferen ­
cia l d e segundo orden a la d ife r e n c ia l de la d ife re n cia l de p r im e r o rd e n :
d*y = d { d y ).
De form a análoga se d eterm in a n las d iferen cia les de tercer orden y de ó r d e ­
nes sucesivos.
S i y = f ( x ) y x es la v a r ia b le in d e p e n d ie n te , se tiene
d2y = y ° {d&)\
d*y = y " (dx3),
dny = y<n>(dx)H.
Cuando y = f { u ) , donde u = íp(a;)J se tiene:
d ^ = y n [du)* + y ' d*u,
¿ 2^ — y>» (dw)3-}-3 y " d u -d 2u -\ -y' d*u,
e t c . (En este caso,
v aria b le u).
las a p o s t r o fe s
d esig n a n
d e r iv a c ió n c o n resp ecto a la
7 1 2 . H a lla r e l in crem en to A y y la d ife re n cia l d y de la fu n ción
y = 5 x + x 2 para x ~ 2 y A x = 0 ,0 0 1 .
7 1 3 . S in c a lc u la r la d eriva d a , h a lla r
d (1 — x*)
para x = l y A x = — y
.
7 1 4 . E l área S de u n cu adrado, c u y o la d o es ig u a l a x , v ien e
dada p or la fó rm u la S = x 2. H a lla r e l in crem en to y la d iferen cia l
de esta fu n c ió n y determ in ar ol v a lo r g e o m é tric o de esta ú ltim a .
7 1 5 . D ar la in te rp re ta ció n g e o m é trica d e l in cre m e n to y de la
d ife re n cia l de las sigu ien tes fu n cion es:
a) del área del c ír c u lo S — jix 2; b) d e l v o lu m e n del c u b o v — x 3.
7 1 6 . D em ostrar, que cu a lq u ie ra que sea x , e l in crem en to de la
fu n ció n y = 2x , correspon dien te a l in crem en to de x en una m a g n itu d A x , es e q u iv a le n te a la exp resión 2 ¿cA x l n 2 , cu a n d o A x —» 0 .
7 1 7 . ¿Para q u é v a lo r d e x , la d ife re n cia l de la fu n c ió n y = x 2
n o e q u iv a le a l in crem en to de esta m ism a fu n c ió n cu a n d o A x —> 0 ?
7 1 8 . ¿T ien e d ife re n cia l la fu n c ió n y = |x| para x = 0?
7 1 9 . E m p lea n d o la d eriva d a , h a lla r la d ife re n cia l d o la fu n c ió n
n
A
n
y = e o s x , para x = - g - y A x = y r .
7 2 0 . H a lla r la d ife re n cia l de la fu n c ió n
2
y ~ V 7
para x = 9 y A x = — 0 ,0 1 .
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D iferen cia les de prim er orden y de órdenes superiores
75
7 2 1 . C a lcu la r la d ife re n cia l de la fu n ción
// = t g x
para
y
=
H a lla r las d iferen cia les de las siguientes funciones, para cu a l­
quier v a lo r de la v a ria b le independiente y de su increm ento:
722. y =
7 2 3 . ;/ =
X1
X
\ -x
*
7 2 4 . y = a r c s e n ^ -.
7 2 5 . j/ = arctg ~
.
7 2 6 . y = e ~ x\
727. y = x l n x — x.
728. y = ^ 1 ^ .
J
i+ X
7 2 9 . r = ctgq> + coscccp.
7 3 0 . s = a rctg e l.
7 3 1 . H a lla r d y % si Z - + 2x y — y 2 = a 3.
S o l u c i ó n . T e n ien d o en cu enta la in v a ria b ilid a d de la form a de ia
d ife re n cia l, tenem os:
2 x d x - { - 2 { y d x-\ ~ xd y) — 2 y d y = Q. De donde
d y = ^ l ± L dx.
x-v
H a lla r la s d ife re n cia le s
form a im p líc ita :
de las siguientes
fun ciones, dadas de
7 3 2 . ( z + y ) * ( 2 x + y)* = 1.
733. y ^ e ' y .
7 3 4 . ln | ^ x 2+ y 2 = a rctg — .
x
7 3 5 . H a lla r d y en e l p u n to (1 ; 2 ), si y 3 — y = Qx2.
7 3 6 . H a lla r e l v a lo r a proxim ado del sen 31°.
Solución.
m u ía
T o m a n d o x = are 30o —
o
y Ax = arc í ^ —
(1) (véase 3o) tendrem os que, sen 31° ^ sen 3
+ 0,017 . ^ + = 0,515.
¿t
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0
° +
loU
, p o r la fó r -
eos 30° = 0,500 +
76
D iferen cia ción d e funciones
7 3 7 . S u stitu y en d o e l in crem en to
c ia l, c a lc u la r a p rox im a d a m en te:
a) eos 61°;
d ) l g 0 ,9 ;
í>) tg 4 4 ° ;
c ) e0’2;
e) are tg 1 ,0 5 .
de la fu n c ió n p o r la d ife re n ­
7 3 8 . ¿E n cu á n to aum enta, a p rox im a d a m en te, o i v o lu m e n de una
esfera , si su ra d io / í = 15 cm se alarga en 2 m m ?
7 3 9 . D od u cir la fó rm u la a p rox im a d a (para v alores de (A * | ,
pequ eñ os en co m p a ra ció n con 3 )
Y x -f- A x »
V I -f
Ax
2y x
y co n e lla , h a lla r lo s v a lo re s a p rox im a d os d e Y 5 ; Y 1 7 * Y 70 ;
1^640.
7 4 0 . D od u cir la fó rm u la a proxim ada
y/ x + ¡Ax «5 Y~x -f-
Ax
3y ?
y h a lla r los v a lo re s a p rox im a d os de Y 1 0 , y / '70", y ^ 2 0 0 .
7 4 1 . H a lla r lo s v a lo re s a p rox im a d os de la s fu n cio n e s:
a) y = x 3— 4a:2 + 5 x + 3 para x = l , 0 3 ;
b ) / (a:) = ] / l + x para a: — 0 , 2 ;
C) / (* ) = ] /
para a: = 0 , 1 ;
d) y ^ e l ~ x2 para x = l , 0 5 .
742.
743.
744.
745.
/ =
H a lla r e l v a lo r a p ro x im a d o de t g 4 5 ° 3 '2 0 " .
H a lla r aproxim adam en te a resen 0 ,5 4 .
H a lla r aproxim adam en te 7/ 1 T .
D em ostrar, basándose en la fó rm u la d e la
le y de O h m
q u e una pequeña v a r ia c ió n do la intensidad de la corrien te,
debida a una pequeña v a r ia c ió n d e la resisten cia , puede h a lla rs e
de m anera a proxim ada p o r la fó rm u la
AI =
--^ A R .
7 4 6 . D em ostrar, q u e un error r e la t iv o dn 1 % , co m e tid o al
determ in ar la lo n g itu d d o l ra d io , da lu g a r a un orror r e la t iv o
a p rox im a d o do un 2 % , a l c a lc u la r e l área del c ír c u lo y la su p er­
f ic ie de la esfera.
7 4 7 . C a lcu la r d2y, si y = eos 5 z.
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Teorem as
Solución.
de
valor
medio
77
d 2y = y ” (dx)* = — 25 eos 5x (d x)2.
7 4 8 . í¿ = ] ^ 1 — a:2 , h a lla r d 2u.
7 4 9 . y = árceos x , h a lla r d2y .
7 5 0 . y = sen x ln x , h a lla r d2y .
751.
z=
h a lla r
■C
7 5 2 . z = a;2e - a:) h a lla r d 3z.
7 5 3 . z ~ ~ñ~ — > h a lla r d 4z.
¿
X
7 5 4 . í¿ = 3 s e n ( 2 x - f 5 ) , h a lla r d nu.
7 5 5 . j/ = ¿ * C0S as e n (a :s e n a ), h a lla r d ny .
§ 7 . Teorem as del v a lo r medio
1.
T e o r o m a d e R o l l e . Si una fu n c ió n f (x) es con tinu a en el s e g ­
m e n to a < ^ z < C b , tiene una deriva d a / ' (x) en cada uno de lo s puntos in te­
riores de éste y
2. T e o r e m a d e L a g r a n g e . Si una fu n ció n f {x) es con tinu a en el
seg m en to a ^ x ^ b y tiene d eriva d a en cada p u n to in te r io r de éste, se tiene
i ( b ) - f ( a ) = { b - a ) /'( £ ) ,
d on d e a < £ < 6 .
3.
T e o r e m a d e C a u c h y . Si d os fu n cion es f (x) y F (x) s o n c o n t i­
nuas en e l seg m en to
y tienen en e l in te r v a lo a < a : < 6 derivadas
q ue n o se anulan sim u ltá n ea m en te, sien do F (b) ^ F i a ) , se tiene.
/ ( * ) - / ( « ) _ V (l)
F ( b ) - F ( a ) ~ F '(l) ’
don de a < £ < b.
756. V e r i fi c a r q ue la fu n ció n f ( x ) = x — x 3 sa tisfa ce a las con d iciones
dol teorem a de R o l l e en lo s seg m en tos — i ^ x ^ O y
H a lla r los
v a lo r e s correspon dien tes do £.
S o l u c i ó n . La fu n ció n / ( x) e s con tinu a y d c r iv a b le para to d o s los
v a lo re s do x\ adem ás do e sto , / ( — 1) = / (0) = / (1) = 0 . P o r consiguiente,
ol teorem a de R o lle puede a plicarso en lo s segm entos - i < i < 0 y
Para h a lla r el núm ero £ form a m os la ecu ación :
/ ' ( * ) = ! — 3*2 = 0.
s ie n d o — 1 <
<
De donde
0 ; 0 < £ 2 < 1.
7 5 7 , L a fu n c ió n f (x) = \/ (x — 2 )2 en los extrem os del segm ento
JO, 4 j tom a v a lo r e s ig u a les
/( 0 ) = /( 4 ) = f 4 .
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78
D iferen ciación de fun cion es
¿Es v á lid o para esta fu n c ió n el teorem a de R o lle en el segm ento
10, 4]?
7 5 8 . ¿So cu m p len las con d icion es del teorem a de R o lle para la
fu n ción
f(x ) = tg x
en el segm en to (0 , ri]‘í
7 5 9 . Sea
f { x ) = x (x + 1 ) (x + 2) (,x
3),
D em ostrar que la ecuación
r (x) = o
tiene tres ra íces reales.
760. La ecu a ción
e* = 1 + z ,
evidentem ente, tiene una ra íz , rr = 0. D em ostrar que esta e cu a ción
no puede tener otra ra íz real.
7 6 1 . C om probar si se cu m p le n las con d icion es del teorem a de
L agrange para la fu n ción
f { x ) = z — x*
en el segm ento
m edio de 5 .
[ — 2,
i]
y h a lla r el correspon dien te v a lo r in ter­
S o l u c i ó n . La fu n c ió n / ( x ) = x —
es con tin u a y d eriva b le para to d o s
los valores do x y y / ' ( x ) — 1 — S x 2. Do dondo, p o r la fó r m u la de L a gra n ge,
tenemos / (4) — / ( — 2) = 0 — C = f l — ( — 2 ) ] < £ ) , es decir, / ' ( g ) = - 2. Por
con sigu ien te, i — 3|2= — 2 y | « = z f c l ; sirv e so la m e n te el v a lo r g = — 1,
para el que se cu m p le la desigualdad — 2 < | < 1.
7 6 2 . C om probar si so cu m plen las con d icion as del teorem a de
Lagrange y h a lla r el correspondiente p u n to in term ed io g para la
fu n ción
f (x) = x*-'*
en el segm en to [ — 1 , 1],
7 6 3 . En el segm ento de la p a rá bola y = x 2 com p ren d id o entro los
puntos A (1; 1) y B (3; 9) h a lla r un p u n to cu y a tangente sea paralela
a la cuerda A B .
7 6 4 . A p lica n d o e l teorem a de L agran ge, dem ostrar la fó rm u la
sen (x + h) — sen x =■ h eos E,
dondo x < l < x + h.
765. a) C om probar si se cu m p len la s co n d icio n e s del teorem a
de C au ch y para las fu n cion es / (x) = x 2 + 2 y F ( x ) = * x 3 — 4, en el
segm ento |1 , 21 y h a lla r g;
b) ídem para / (x ) = sen x y F (x) — eos x , en e l segm ento
r*
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Fórm ula de T a ylor
79
8 . F ó rm u la de T a y lo r
Si una fu n ció n / (#) es con tin u a y tiene derivadas continuas hasta de
grado
1) in clu sive, en e l segm ento a ^ x ^ b (o b
y para
cada p u n to in te r io r del m ism o e x iste una derivada fin ita / <íl)(a?), en este
segm ento se v e rifica la fórm ula d e T a ylor
l ( x ) = í (a) + < * - « ) / ' ( « ) +
f
(a) +
f" ( « )+ ...
don de | = a -r-0 {* — <*) y O < 0 < 1 .
En el caso particu lar, en que a — 0 tenemos (fórmula de M aclaurin):
i (*) = f (0) + x f (0) -i-
r (0 )+ ... +
l<n~u ( ° ) + í f /in)
d on de £ = 0a:, O < 0 < 1.
7 6 6 . D e sa rro lla r e l p o lin o m io / (a:) =
— 2 x 2+ 3 x + 5 en poten­
cias enteras y p o s itiv a s del b in o m io x — 2 .
Solución.
f ' ( x ) = 3z2 — 4 s - j- 3 ;
para n >• 4. De donde:
(s) = 6z — 4;
(^) = 6-,
/<«>(*) = 0
/ (2) = 11; i* (2) ~ 7; /* ( 2 ) o - 8 ; /" '( 2 ) = 6.
P o r consiguiente:
^ _ 2 ^ + 3 ^ + 5 = 11 + (x - 2 ) . 7 + (- ^ - 2- 8 + < ^ = ^ . 6
o bien
± 3 _ 2 * a + 3* + 5 ^ 1 1 + 7 ( * — 2) + 4(.r — 2 ) 2 - f ( * — 2)*.
767. D esa rrolla r la fu n c ió n /{£*) = £* en p oten cias del
hasta e l te rm in o que co n ten g a (a:~|-l)3.
Solución.
} ^ ( x ) — ex para todas las n ,
— 1) = — .
b in om io
Por
c o n s i­
guiente:
e« - l + (;P_L1) ± + («+<)» V ■<*+D 1 i l * + W £l
1 }
don de
2!
* ^
3!
* ^
4¡
’
— f + 0 (x + l ) ; O < 0 < 1.
7 6 8 . D e sa rro lla r la fu n c ió n f { x ) — \ n x en poten cias de
1,
hasta e l té rm in o con (a; — l ) 2.
7 6 9 . D e s a rro lla r la fu n c ió n f ( x ) = s e n x en p oten cias de
hasta e l té rm in o de x z y hasta e l té rm in o de x 5.
7 7 0 . D esa rrola r la fu n c ió n f ( x ) — e* on poten cias de x hasta
el té r m in o de a:*” 1.
7 7 1 . D em ostrar que la d ife re n cia entro sen ( a - f h) y
sen a + h eos a
n o es m a y o r de y h2.
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80
D iferen cia ción de fun cion es
7 7 2 . D eterm in a r e l o rig e n de la s fó r m u la s a p rox im a d a s:
a)
1 + y h ; — ^ x 2, I « | < 1 ,
b) y" 1 + x zz 1 + y i - j r ,
M < 1
y v a lo ra r el e rro r de la s m ism as.
773. V a lo r a r e l error de la fó rm u la
o . 1 . 1 . 1
5 ~ 2+2T+3T+4T •
7 7 4 . U n h i l o pesad o, b a jo la a c c ió n d e la g ra v ed a d , se com ba
form a n d o la
ca te n a ria
y — ach -^ -.
D em o stra r
pequeños de ¡x| la fo rm a q u e tom a
aproxim ad am en te p o r la p a rá bola
i
el
h ilo
que
para
v a lo re s
puede representarse
x '2
y = « + * r 7 7 5 * . D em ostrar que cu an do
de
\x\<£a,
c o n u n a p re cisió n
hasta
, se v e r ific a la ig u a ld a d a p rox im a d a
§ 1 9 . Regla de L ’ K flp Ita l- B e r n o u lll p a ra e l c a lc u lo
de lím ite s In d e te rm ina d os
i.
y ^
Cálculo
de
límites
. Sean las funciones
indeterminados
uniformos
f (x)
y
do
las
formas
<p (x) dorivables para
0 < | x — a \ < k , sin que la dorivada q>' (x) se reduzca a cero.
Si f ( x ) y q> (x) son infinitamente pequeños o infinitamente grandes
cuando x -* - a , es decir, si la fracción ■ ^
q)
representa on el
una expresión indeterminada de la forma ^
o
<P(*)
punto x = a
, tendremos que
*-*« <P (*)
a condición de que oxista el límite de esta fracción do las derivadas
(regla de L'Hópital-Bernoullí). Esta regla es aplicable también en el caso
en quo a — co.
Si la fracción —7^
vuelvo a dar una expresión
indeterminada en el
punto z ~ a , de una de las dos formas antes indicadas y / ' (x) y q>' (x)
satisfacen a todas las condiciones que seformularon para
/ (x) y q> (x),
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R egla de V H ó p it a l-B ern ou lli para el cálculo de lím ites indeterminados
81
so aplica d o n u ev o la m ism a regla, co n lo que tondremos la fra cció n de las
segundas derivadas y así sucesivam ente.
No obstante, debe recordarse que puede e x is t ir el lím ite do la fracción
f (x)
, s i n que la fra cció n de las derivadas tienda a lím ite a lg u n o (véase el
6 809).
2. O t r a s f o r m a s i n d e t e r m i n a d a s . Para ca lcu la r lo s lím ites
de expresiones indeterm inadas de la fo rm a 0 «co, h a y que transform ar los
correspondientes p rod u cto s / , ( x ) - / 2 (x), donde
lim / , ( i ) = 0 y lim /2 { x ) = c o ,
x -* a
fracción
x*+a
1
h ( x)
( form a
° b ie n
^ fo rm a
.
/i Y)
E n ca so de expresiones in d eterm inad as de la form a c o — a> debe trans­
form arse
la corresp ondiente
d ife re n cia
f i ( x ) — f 2 (x)
en
el
produ cto
fi (x) f 1-
L
Ji \x)
y
ca lcu la r, on
; s i el lim
/1 W
prim er
lugar, el
lím ite
de
la fracción
— 1, reducim os esta e x p resión a la forma
x -* a h \x )
h(*)
A H
(fo rm a
° ) .
/i W
L o s lím ite s de las ex p resion es in determ inadas do las form as 1“ , 0o y co°
se d eterm in a n buscando previam ente sus logaritm os y hallando e l límite
del lo g a ritm o de la exp resión e x p o n e n cia l [ /i ( x )]/2
(para ío que será
necesario ca lc u la r lím ites in d eterm inad os de la forma 0 *oo).
En c i e r t o s ca sos, o s con ven ien te c o m b in a r la regia de L ’ H o p ita l-B e rn o u lli co n el c á lc u lo de lím ite s por m ed ios elem en tales.
E j e m p l o 1. Calcular
lim
f form a indeterm inada — \ .
CO )
tf-vQ Ctg X \
Solución.
A p lica n d o la re g la de L ’ H o p ita l-B e rn o u lli, tenemos;
ln x
h m —— =
x->0Ctgx
(In * )'
.. son2 x
lim
— — = — h m ----------.
x_>0 ( c tg x )
x-*0 x
Resulta una e x p re s ió n indeterm inada de
\a form a
, pero n o es necesario
v o lv e r a a p lica r la regla de L ’ H ó rita i-B e rn o u lli, puesto quo
..
sena x
h m — -----
. A n
..
seu x
l i m ------------ sen x = 1 .0 = 0.
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D iferen ciación de fun cion es
82
t
C oa lo que oa d e fin it iv a , encontram os:
1
* ——X = 0
A.
lim
* - 0 Ctg a:
E j e m p l o
2.
C alcular
lim f — ^ -------- L-\ (form a indeterm inada c o — os).
a-*.0 \sen2 z
** j
R educiendo la fra cció n a un común d en om in a dor, tonemos:
lim ( — íx-»0 \sen2 a;
i;- ^ = 1i ni 1 y
^ ~ ( fortti9 indeterm inada
.
z2 )
* 2 seri2z
\
0 )
A n tes do a p lica r la regla de L ’ H ó p ita l-B e rn o u lli, su stitu im o s e l denom inador
de la ú ltim a fra cció n p o r el in fin it é s im o eq uivalente (Cap. I, § 4) z 2 sen2 x ~ z 4.
Tenemos:
lim ( — ~
x-*Q \sen2 x
~ \ = üm —
x 2 ) *_>o
S¿ n —■ { form a indeterm inada
*4
\
0 /
.
P o r la regla do L ’ H ó p ita l-B crn o u lli
lim
/
í
1 \
- — ó------------ 5-
V sen -z
x2 )
=
lim
2z — s e n 2z
? ~ rK
4xJ
lim
2 — 2 c o s 2z
---------.
12z2
Después, por m edios elem entales, h a lla m os:
/
1
1 \ ..
1 — eos 2z
_.
2 sen2 x 1
lim ( -— ---------- 5- = Jim — ‘77-ñ— = lim — x -z — = -r- .
\ sen2 x x ¿ J x^ 0
bz¿
bz- ó
Ejem plo
3.
Calcular
3
lim ( e o s 2 x ) x2 (fo rm a indeterm inada l*3).
*-*•0
H allan do el lo g a ritm o y a p lica n d o la regla de L ’ H ó p ita l-B e rn o u lli, ton em os:
n
3
s.
3 ln eos 2z
R
t g 2z
0=■— o h m - 7 :— — — 6 .
x^ 0
X_ ,Q 2 x
z2
-
h m ln ( c o s 2z ) *
x—Q
JL
P or co n sig u ie n te , lim (eos 2z) ** =^e~Q.
x-*0
H a lla r lo s lím ite s que se in d ica n de la s fu n cio n e s sigu ien tes:
lim x- - 2x' ' ~ l t 2 •
776 . ¡c-*l
s 3 -7 x + 6
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R egla de L ' H ó p ita l-B crn o u lli para el cálculo de lím ites indeterminados
„
,
. ,
Solución
777.
778.
..
x * — 2x*— x + 2
hm -
l i t n 100- J 7 sonz
£-►0
^
lim ■ i ~ x—
.
.
=hm
3^2 — 4a: — 1
7 8 3 . lim 4 X-*co 2
83
i
.
7 8 4 . lim -jj— ..
x -* i í _ s e a 5 f .
a -*»
V z
n,
/
W 9 . lim V
x->0
x~ i
7 8 5 . lim
-eos*
2
tg x — sen x
ygg
780. l i m x-t-0 x — sen x
'
ln (sonmar)
' x—
+o
7 8 1 . lim ;icc.2 f-~ 2 .tg * ■
1 + eos Ax
Jl
782.
1
« o ct g ü f .
h ise n x
7 8 7 . lim (1 — eos x ) c t g x .
x_>0
'
lim *8 *
tg 5x ‘
*
Á
24
n 1
•/
Solución
.•
\ *.
..
( i — C09x)C0SX
(1 —- c o s s ) w
lim (1 — eos x ) c t g x — Jim -------------= l i m ----------------- X
X^o
x~>0
sena:
x^ 0
se n x
X lim eos x — l i m ^ ^ - 1 = 0 .
*-♦0
x-vO eos x
7 8 8 . lim (1 — x )
x -> !
.
¿
7 9 2 . lim x Hson — , r a > 0 .
x —*<*>
7 8 9 . l i m a r c s e n z c t g a:.
x-*0
x
7 9 3 . lim ln x ln ( x — 1).
x -f i
790. x-vO
lira(*n<r*)> * > 0 .
794. x-*
lim
f - 4 - I4n *)/ •
1 V^ — 1
7 9 1 . lim x s e n — .
X
X~»0O
n
Solución,
.
/
ar
1 \
i.
x l n x — x~M
h m ( - — 7 — - ------ 1= l i m —-------- — r—¡— —
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84
D iferen cia ción de funciones
Solución.
Tenemos:
xx = y\
ln y = x ln x;
lim ln y = Iim x ln x —
X“ >0
x -* 0
_t_
j jj j
y
= iitn — r— = l i m ------— = 0, de d on de lim y = i , o sea, lim x x = í .
x -+ 0
x -* 0
t
x
x -* Q
x -> 0
x2
1
1
7 9 9 . lim a;*.
JC->+oo
8 0 4 . lim x 1 _ *.
X-vl
3
800.
tcr —
lim a:4+1“ * .
805.
x -> 0
' 2 .
x~+l '
4
'
1
801.
lim :rpen*.
8 0 6 . lim ( c t g x ) l n x .
x~>0
x -+ 0
7ÍX
802.
lim ( I - * ) " 5 2 .
8 0 7 . lim ( ± V S \
x~y\
X -+ 0 '
*
/
i
803.
lim ( i + s 2) * .
8 0 8 . lim ( c t g a ) se« * .
x -Ȇ
x -t - 0
8 0 9 . D em ostrar q u e lo s lím ite s :
a) lim
} x -0
,
..
b)iS
x2 sen —
— — 0;
se* *
x — senx ,
n o pueden h a lla rse p o r la re g la de L ’ I io p it a l — B e r n o u lli. H a lla r
estos lím ite s directam en te.
A<¿
F i g. 20
8 10 *. D em ostrar q u e e l área de u n seg m en to c ir c u la r co n un
á n g u lo ce n tra l a pequeño, q u e tien e la cuerda A B = b y la sa g ita
C D = ¿ h { f i g . 20), es aproxim adam en te ig u a l a
S
con
un error r e la tiv o
ó
tan pequ eñ o co m o se desee, cu an do a —> 0 .
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Capítulo I I I
E X T R E M O S DE L A S FU N C IO N ES Y A P L IC A C IO N E S
G E O M E T R I C A S DE L A D E R I V A D A
§ 1. E ntrem os de la s fu n c io n e s de un argum ento,
4.
Crecim iento
y decrecim iento
de las
funciones.
La fu n c ió n y = j ( x ) se llam a crecien te (d ecrecien te) en un in te r v a lo d ete rm i­
n a d o (segm ento), cuando para unos pu n tos cualesquiera
y aro» de dicho
in te r v a lo (segm ento), de la d esig u a ld a d x t < x 2 se deduce la desigualdad
/ ( * i ) < / ( * 2)
21, a) ( / ( * l) > / (* 2) (fig . 24, ó)). Si la fu n c ió n f (x) es
c o n tin u a en el seg m en to (a, b\ y / ' (x) > 0 ( / ' (x) < 0) para a < z < ó , la
fu n ción f ( x ) crece (decrece) en d i c h o seg m e n to (a , ó].
En lo s casos m ás s im p le s , el c a m p o de ex isten cia de la fu n ció n / (x) se
puede d i v id ir en u n núm ero f i n i t o d e in terva los do cre cim ie n to y decreci­
m ie n t o do la fu n c ió n (in terva los de m onotonía). E s to s in te rv a lo s están lim i­
tados p o r lo s p u n to s críticos de x (donde f ' ( x ) = 0 o n o e x iste / ' (x)).
F j o m p l o 1. In v e s tig a r e l c r e c im ie n t o y d ecrecim ien to de la fu n ció n
y = z 2 — 2x + 5.
Solución.
H a lla m o s la derivada
y' = 2 x - 2 = 2 ( x - i ) .
(1)
Do d on de y' = 0 para x = í . En e l eje n u m érico obten em os d os intervalos
do m o n o to n ía : (~ ~ c o , 4) y (1, - ¡-c o ) . De la fó r m u la (1), ten em os: 4) s i — o o <
< x < 4, se tie n e i / ' < 0 y , p o r con sig u ie n te , la fu n ció n ) (x) decrece en el
in te r v a lo ( — c o , 1); 2) si l < x < - f - c o , so tie n e y ' > 0 y , p o r con sigu ien te,
la f u n c ió n / (x) crece en e l in te rv a lo (4, + C Q ) (fig . 22).
E j e m p l o 2. D eterm in ar lo s in te r v a lo s de cre cim ie n to y d e cre cim ie n to
de la fu n c ió n
4
V~ x+ 2
Solución.
-
E n este caso, x = — 2 es el punto do d isco n tin u id a d de la
fu n ció n e y' =
— r - ^ o < 0 cuando x =£ — 2. P o r co n sig u ie n te, la fu n ción y
( x -j- ¿)
decrece on lo s in te rv a lo s — c o < s < — 2 y — 2 < x < + c o .
E j e m p l o 3. In vestiga r el cre cim ie n to y d ecrecim ien to do la fu n ción
Solución.
Aquí,
y ' = Z4 — Z2.
(2
R e so lv ie n d o la e cu a ció n x 4 — x 2 = 0 f h a lla m o s los p u n to s
— 1,
x2 ==0 y x 3 = l , on lo s que la deriva d a y ' so anula. C om o quiera que y ' puede
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86
E xtrem os de las ¡u n cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada
cam biar do sig n o sola m en te a l pasar p o r p u n to s en q ue ésta se hace igual
a cero o so produce una d is co n tin u id a d (en e ! caso d a d o n o h a y p u n to s do
d isco n tin u id a d para y ' ) t tendrem os que, en cada u n o de los in te rv a lo s
( — co , — 1), ( — 1, 0), (0 , 1) y (1, + o d ) la deriva d a conserva u n m ism o sign o,
p o r lo cu a i, en cada u n o de estos in te r v a lo s la fu n c ió n que in v e s tig a m o s
F i g- 24
será m on óton a . Para determ in a r en cu á le s d e estos in te rv a lo s crece la fun­
c i ó n y en cu áles decrece, h a y que saber q ué s ig n o tieno la deriva d a en cada
u o o . d e e llo s . Para «averiguar el s ig n o de y ' en el in te r v a lo ( — c o , — 1),
basta sabor ol sig n o de y’ en cu alquier p u n to de este in te rv a lo . T o m a n d o , por
e je m p lo , x = — 2 de la e c u a c ió n (2), o b te n e m o s y ’ = 1 2 > O, por con sig u ie n te ,
y ' > O on el in tervalo ( — c o , — 1) y la fu n ción en él es cre cie n te . De form a
análoga h a llam os que y' < O en el in te rv a lo ( — 1, 0)
^para c o m p ro b a rlo
puedo tom ar, por e je m p lo , z = — i - j ;
in te r v a lo
se puodo tom ar x —
p ' < O en el
so
(0 , 1) ^aquí
y , fin alm on to, y ' > O on ol in te r v a lo ( í , + o o ) .
De esta form a, la fun ción estudiada crece en ol in te r v a lo ( — o o , — 1),
decrece en el ( — 1, 1) y v u e lv e a crecer en e l in te rv a lo ( 1, + c o ) .
2.
E x t r e m o s de l a s f u n c i o n e s . S í e x is t o u n en torn o bilateral
dol punto x0 t a l, que para cu alquier o t r o p u n to x =£
de este e n to rn o se
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E xtrem os de las ¡u n cion es de un argumento_________________ 87
v e rifica la desiguald ad / (x) > / (ar0), el punto x 0 recibo el nom b re de punto
m ínim o de la fu n ció n y — ¡ { x ) y el núm ero / (* 0) el de m ínim o de dicha fun­
c ió n y = f ( x ) . A n á loga m en te, s i para cu a lq u ier p u n t o s =£
d e un entorno
determ in a d o d e l p u n to x i se cu m p lo la desigualdad f ( x ) < f ( z i), x A recibe
el nom bro de punto m áxim o d e la fu n ció n / ( a ) , y / ( * * ) , ol do m áxim o de
d ich a fu n ció n (fig . 23.) E l punto m ín im o o m á x im o de una fun ción se llama
tam b ién punto extrem o do la m ism a y el m ín im o o m á x im o de esta fu n ción ,
el do extrem o de ella . Si x 0 e s u n p u n to extrem o do la fu n ció n / ( s ) , se
tien e, que / '( a ; 0) = 0 (punto esta cion a rio), o n o existo / ' (z0) (con d icion es
necesarias para la ex isten cia d e extrom o). La p ro p o s ició n recíproca n o es
c ie rta , puesto que lo s pu n tos e n quo / ' ( * ) = 0 , o n o e x iste / ' ( x ) ( puntos
crítico s), n o so n o b lig a to ria m e n te pu n tos extrem os de la fu n ció n / (s). Las
co n d icio n e s su ficien tes de ex isten cia o ausencia de extrem o de una fu n ció n
c o n tin u a f (x) se dan en las reglas siguientes:
1. Si e x is te tal en torn o (x0 — 6 , a:0 + Ó) del punto c r ít ic o ar0, on que
/ ' (s ) > 0 P ^ a x 0 — ó O
< x0 y / ' (z) < 0 para xQ < x < ^0
punto x 0
será un punto m á x im o de la f u n c ió n / ( * ) ; s i p o r el co n tra rio, / ' ( z ) < 0 para
x 0 — Ó O O o y / ' ( * ) > 0 para x 0 < * < a r 0- f ó , el punto x Q será un punto
m ín im o de la fu n c ió n j (x).
S i fin a lm e n te , se encuentra u n núm ero p o s itiv o ó tal, que / ' (x ) conserva
in v a ria b le su sig n o cuando 0 < | z — x 0 | < ó , el punto x 0 n o será punto
e x tre m o de la fu n c ió n / (a:).
2. Si f ' (x0) — 0 y í" { x o X O * *0 es un punto m áxim o do la función / (x);
Si / / (ar0) = 0 y /'< (*0) > 0 , x 0 es un punto m ínim o do la función i (x)\
s i f' ( x 0) = 0 , f* (x0) = 0, ¡"' ( x 0)
0, el punto x 0 no os pim ío extrem o de la
función f ( x ) .
En fo rm a más general: S upon gam os quo la primera do las funciones
d erivad as de j ( z) , que n o se anula en el punto x 0, es de orden k. E n este
ca so , si k es par, el punto x 0 será u n p u n to extrem o, quo sera m á x im o
s i /<*>(*o) < 0 y m ín im o , s i f<h ) ( x o) > 0 . Si k es im par, x 0 n o es un punto
extrem o.
E j e m p l o 4. H a lla r lo s e x trem os de la fun ción
y = 2x +
Solución.
H a lla m o s la derivada
Igu a la n d o la derivada y' a cero, tenemos:
•^1-4-1 = 0De donde se deduce el p u n to e sta cion a rio a q = — 1.
D e Ja fó rm u la (3), tenem os: s i x = — 1 — h, donde h puede ser cualquier
núm ero p o s it i v o su ficien tem en te pequeño, entonces, y ' > 0 ; s i , por el con­
trario, ar— — 1 + h, se tiene x ' < 0 * ) . P o r con sigu ien te,
= — 1 es un punto
m á x im o do Ja fu n ció n t/, adem ás
p i­
lg u a lando a cero ol d en om in a d or de la expresión y ' en (3) tenemos:
f x= Q \
d o aquí h a lla m os el segundo punto c r ít ic o X2 = 0 de la fu n ció n , para el que
no e x iste deriva d a y ' . Cuando x = * — h, evidentem ente, tendrem os y 1 < 0;
*) Si n o es f á c i l determ in a r el s ig n o do la derivada y \ se puede calcu­
lar éste p o r p ro ce d im ie n tos a ritm é tico s , tom a n d o co m o h un núm ero p o s itiv o
su ficien tem en te pequeño.
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E xtrem os de las fu n cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada
cuando x = h> tenem os y ' > 0 . P or con sigu ien te, x 2 = 0 es un p u n to m ín im o
do Ja fu n ció n y, además
y{í^ n = 0 (fig . 24). La in v es tig a ción del co m p o rta ­
m ien to de la fu n ción enel punto
= — 1 se puede efectuar tam b ién por
m edio de la segunda derivada
„» —
v
~
___
t x f i "
Aquí y " < 0 para 27= — 1 y , p o r con sigu ien te, x x = — 1 es un p u n to m á x im o
do la función.
3.
V a l o r e s m í n i m o y m á x i m o a b s o l u t o s . E l v a lo r m ín im o
(m á x im o ) absolu to de una fu n ción con tinu a / (x ) en u o segm ento dado [a, b]
se alcanza en lo s puntos crítico s do la fu n ción o en los extrem os de dicho
segmento.
E j e m p l o 5. H a lla r lo s valores m ín im o y m á x im o a b solu tos de la
fu n ción
y = x s — 3x-f- 3
en el segm ento
Solución.
1
1
••
Como
y' = 3x2—3,
lo s puntos crítico s de la fu n c ió n y son :
1 y x 2 — 1. Com parando los
valores do la fu n ció n en estos puntos co n los valores de la fu n ció n en los
extrem os del in te r v a lo dado
y (— 1)=5;
y(l) = l; í (
- 4
)
= 4
; y ( 2 t )
= 1 1 T
’
llegam os a Ja co n clu s ió n (fig . 25), de q ue el v a lo r m ín im o a b so lu to do la
fun ción m = 1 se alcanza en el p u n to x = i (en ol p u n to m ín im o) y el m á x im o
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E xtrem os de las fun cion es de un argumento
a b solu to M = 11 y *
en el p u n to x = 2
89
(en el punto extrem o derecho dei
segmento).
D eterm inar los in te rv a lo s do d ecrecim ien to y cre cim ie n to de las
fu n cion es:
8 1 1 . y = i — 4 x — x*.
8 1 2 . y = ( x — 2 )\
8 1 3 . y = ( * + 4 )s .
8 1 4 . y = x 2 (x — 3).
815.
816- y = j ¿ T p 817-
g
-
8 1 8 . y = ( x — 5)'\/r x .
819. y = f - ¥ x .
8 2 0 . y = x -j- sen x .
821. y ^ x l n x .
8 2 2 . y = aresen (1 + x).
8 2 3 . y = 2 e**-*x .
i
8 2 4 . y = 2x ~ a.
825. y = ^ r .
A v e r ig u a r lo s extrem os de las fu n cio n e s sigu ien tes:
8 2 6 . y = x 2 + £ x + 6.
Solución.
H a lla m o s la derivada de la fu n c ió n dada y ' = 2x + 4.
Igu alam os y ' a cero y ob te n e m o s el v a lo r crítico d e l argum ento,
2.
C om o y ' < 0 cuando x < — 2 e y ' > 0 cuando a r > — 2, tenem os que x — — 2 es un
pu n to m ínim o de la fu n c ió n , además, ¿/mín = 2. E l m ism o resultado s e obtiene
recurriendo a ! s ig n o do la segunda deriva d a on el punto c r ític o : y” = 2 > 0 .
8 2 7 . y = 2 + x — x 2.
8 2 8 . y = x 3— 3ar2 4 - 3 x + 2.
8 2 9 . i/ = 2a:3 + 3^3— 1 2 x -f-5 .
Solución.
H alla m os la derivada
y ' = 6 x * + 6 x — i 2 = 6 {x* + x — 2).
y
Igu a la n d o a ce ro la derivada y \ ob ten em os los puntos críticos 3^ = — 2
x 2 = l . Para d eterm in a r el ca rá cter del extrem o ca lcu la m os la segunda
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90
E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada
derivada
= 6 (2 z + l)« Como y° ( — 2 ) < 0 , ol punto ^ = — 2 es un punto
máximo de la función y y siendo ymóx = 25. Análogamente, tenemos que
y" (1) > 0; por lo que x2= i es un punto mínimo de la función y> siendo
^mín= *“ 2.
830. y = * * ( * - 1 2 ) * .
840. y = 2 eos -|- + 3 eos
831. y = x ( x ~ \ y ( x — 2 )3.
*3
832.
y
* ¡¡+ 3 ‘
x*— 2x + 2
833.
y
x-1
■
8 4 1 . y = x — ln (1 + # ) .
842. y — x l n x .
843. y — x ln 2 x.
... ( * - 2 ) ( 8 - * )
y
X2
10
835.
lJ x ( 4 — x2) '
844.
834.
836.
837.
845. y = xe*.
4
J
lJ
ÍMfi
y—x e
847.
<?*
y= — ■
y *»+ 8
y
*»_4 '
,,
8 4 8 . y = x — a rctg x .
838. y = f ( x * - l ) * .
8 3 9 . y = 2 sen 2 x -f- sen Ax.
D eterm inar lo s m ín im os y m á x im o s a b solu tos de la s sigu ientes
fu n cion e s en lo s segm entos que se in d ica n (cuando los segm entos
n o se in d ica n , los m ín im o s y m á x im o s a b solu tos de las fu n cion es
deben determ inarse en to d o e l ca m p o de e x iste n cia ):
8 4 9 ‘
y = 7+¿¿'
8 5 0 . y = ] / a ; ( 1 0 — x).
851. y = sen4 x - f e o s 4 x .
8 5 2 . y = á rce o s# .
8 5 3 . y — x* en e l segm ento [ — 1, 3],
8 5 4 . y = 2 x * + 3 x 2— í 2 x + l :
a) en e l segm en to [ — 1, 5);
b) on o l segm ento [ — 10, 12].
8 5 5 . D em ostrar que para
la desigualdad
los v alores p o s itiv o s de x se cu m p le
x + j-> 2 .
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E xtrem os de las ¡unciones de un argumento
91
8 5 6 . D eterm inar lo s co e fic ie n te s p y q del trin om io cuadrado
y = x 2 + p x + q, do form a que [/ = 3 sea un m ín im o de este trin o­
m io cu an do a i o l . D ar la e x p lic a c ió n g eom étrica del resultado
o b ten id o.
8 5 7 . D em ostrar la desigualdad
e * > l+ s
Solución.
para x =¿=Q.
E xam in am os la fu n ció n
/( * ) = * * - ( 1 + s ) .
P o r el p ro ce d im ie n to g en era l h a llam os que esta fu n c ió n tie n e un m ínim o
ú n ic o , / (0) = 0. P or con sigu ien te,
/ (x) > / (0) para x =£ 0 ,
e s decir,
e* > 1 + x para x ^
0,
q ue es lo que s e trataba do dem ostrar.
D em ostrar las desigualdades:
X3
8 5 8 . x — jr -< ;s e n :r
859. c o s x > l —
para x > 0 .
para x=¿=0.
8 6 0 . a: — - r r < l n ( l + x ) < . x para x > 0 .
8 6 1 . D iv id ir un núm ero p o s it iv o dado a en dos sum andos, de
ta l form a , que su p rod u cto sea o l m a y o r p osib le.
8 6 2 . T o rce r un trozo de alam bre de lo n g itu d dada l, de manera
que form e u n re ctá n g u lo cu y a área sea la m a y o r p o sib le .
8 6 3 . ¿C uál de los triá n g u lo s re ctá n g u lo s de perím etro dado,
ig u a l a 2 p, tien e m a y o r área?
8 6 4 . H a y q u e h acer una s u p e r fic ie rectan gu lar cercada por
tres do sus la d o s co n tela m e tá lica y lin d an te p or e l cu a rto con
una la rg a pared de p ied ra . ¿Q ué form a será m ás con ven ien te dar
a la s u p e rficie (para que su área sea m a y o r), si se dispone en total
de l ra lin e a le s de tela m e tá lica ?
8 6 5 . D e una h o ja de ca rtó n cu adrada, de lado a, h a y que hacer
u n a ca ja recta n g u la r a b ierta , que tenga la m a y o r capacidad p osib le,
recorta n d o para e llo cuadrados en lo s á n g u los de la h o ja y doblan do
después lo s sa lien tes de la fig u ra en form a de cru z así obten id a.
866. U n d e p ó s ito a b ie rto , d e h o ja de la ta , con fo n d o cuadrado,
debe tenor ca p a cid a d para v lit r o s . ¿Qué dim en sion es d eb e tener
d ic h o d e p ó sito para que en su fa b rica ció n se necesite la menor
ca n tid a d de h o ja de lata?
8 6 7 . ¿C uál de lo s c ilin d r o s de v olu m en dado tiene m enor superf i c i o to ta l?
8 6 8 . In scrib ir en una esfera dada un c ilin d r o de v olu m en m á xim o.
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02
E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geométricas de la derivada
8 6 9 . In s cr ib ir en una esfera dada un c ilin d r o que tenga la
m a y o r s u p e r fic ie la te ra l p o sib le .
8 7 0 . I n s c r ib ir en una esfera dada u n co n o d e v o lu m e n m á x im o .
8 7 1 . In s cr ib ir en una esfera dada un co n o c ir c u la r recto q u e
tenga la m a y o r s u p e rficie la te ra l p o s ib le .
872 - C ircu n scrib ir en torn o a u n cilin d r o dado un co n o re cto
q u e tenga el m enor v olu m en p o s ib le {lo s p la n o s y cen tros d e sus
bases circu la re s co in cid e n ).
8 7 3 . ¿C uál de lo s con os circu n scrito s en torn o a una esfera tien e
el m enor volu m en ?
8 7 4 . Una fa ja de h o ja de lata de anchura a debe ser en corvada
lo n g itu d in a lm e n te en form a de ca n a ló n a b ie rto (fig . 2 6 ). ¿Q ué
O
/\
a
F i g. 26
F i g. 27
á n g u lo ce n tr a l cp debe tom arse para q u e e l
ca n a ló n tenga la m a y o r
capacidad posible?
8 7 5 . De una h o ja c ir c u la r h a y q u e corta r un se c to r ta l, que
en rolla d o nos dé un em budo de la m a y o r ca p a cid a d p osib le.
8 7 6 . Un recip ien te a b ie rto está form a d o p or un c ilin d r o , te rm i­
nado p or su parte in fe r io r en u n a scm iesfera; el espesor de sus
paredes es con stan te. ¿Q ué d im en sion es deberá te n e r d ic h o recip ien te
para que, sin v a ria r su capacidad, se gaste en h a ce rlo la m en or
ca n tida d d e m a teria l?
877. D eterm in ar la a ltu ra m ín im a h = O B q u e puede ten e r la
puerta d e una torre v e rtica l A B C D , para que a tra v é s de e lla se
pueda in tro d u cir en la torre una barra ríg id a M N , de lo n g itu d Z,
cu y o ex trem o M resbalará a l o la r g o de la lín e a h o riz o n ta l A B .
La anchura de la torre es d < í ( f i g . 27).
8 7 8 . E n un p la n o d e coordenadas se da un p u n to , M 0 (x 0, z/0),
situ ado en ol prim er cu adran te. H acer pasar p o r este p u n to una
recta, d e m anera que e l tr iá n g u lo form a d o entre e lla y lo s sem iejes
p ositiv os d e coordenadas tenga la m en or área p o s ib le .
8 7 9 . In scrib ir, en una elipse dada, un r e c tá n g u lo de m a y o r
área p osib le , que ten ga lo s lados p a ra le lo s a lo s e je s de la p rop ia
elipse.
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E xtrem os de las funciones de un argumento
93
8 8 0 . In scribir un r e c tá n g u lo de m a y o r área p osible en e l seg­
m en to de la p a rá bola y 2 = 2 p x corta d o p or la recta x = 2a.
a
8 8 1 . H a lla r e l p u n to d e la cu rva
en el q u e la tan­
gen te form e co n e l e je O X el á n g u lo de m a yor v a lo r a bsolu to
p osib le.
8 8 2 . Un corredor tien e que ir desde el punto A, que se encuen­
tra en una de las o rilla s de un r ío , a l p u n to B , que se h alla
en la otra. S abiendo q u e la v elocid a d de m o v im ie n to por la o rilla
es k veces m a y o r q u e la d e l m o v im ie n to p or e l agua, determ inar
-r
Q
F i og. 28
bajo q u é á n g u lo deberá atravesar e l r ío , para lle g a r a l punto B en
e l m en or tiem p o p o sib le . La anchura del r ío es h; la distancia
entre los puntos A y B (p or la o r illa ), es d.
8 8 3 . E n e l seg m en to recto A B = a, que une en tre si dos focos
lu m in osos A (de in ten sidad p ) y B (de intensidad q), h a lla r ol
p u n to m enos ilu m in a d o M
(la ilu m in a ció n es inversam ente pro­
p orcion a l a l cuadrado de la distan cia a l fo c o lu m in oso).
8 8 4 . Una lám para está colgada sobre e l ce n tro de una mesa
redonda de radio r . ¿A qué altura deberá estar la lám para, sobre
la m esa, para q u e la ilu m in a ció n de un o b je to que se encuentro
en el borde sea la m e jo r p o sib le ? (L a ilu m in a ció n es directam ente
prop orcion a l a l cosen o del á n g u lo de in cid en cia de los ra y o s lu m i­
nosos e inversam ente p rop orcion a l al cu adrado de la d istan cia al
foco de lu z).
8 8 5 . De un tro n co redondo, de diám etro d, h a y que co r ta r una
v ig a d e se cció n recta n g u la r. ¿Q ué anchura x y altura y deberá
tener esta s e c c ió n para que la v ig a tenga la resistencia m áxim a
p osib le: a) a la com p resión y b) a la fle x ió n ?
Observación.
La resistencia de la viga a la com presión es pro­
p o rcio n a l al área de su s e c c ió n transversal, m ientras quo a la f le x ió n es
a l produ cto d o la anchura do esta s e c c ió n por el cuadrado do su altura.
88G. U na barra u n iform e A B , que puede g ira r alrededor del
p u n to A (fig . 2 8 ), soporta una carga do Q k g a la d istan cia de a cm
del p u n to A y se m an tiene en e q u ilib rio p or m edio de una fuerza
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I
94
Extrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada
v ertica l P , aplicada en su ex tre m o lib r e B . Cada cm de lo n g itu d
do la barra pesa q k g . D eterm in ar la lo n g itu d x de la m ism a,
de tal form a, q u e la fuerza P sea la m ín im a p o s ib le y h a lla r P m\n.
887*. Los cen tros do tres esferas perfectam ente elá stica s A,
B y C están situ ados en lín e a recta. La esfera A , de m asa A i,
ch oca a una v e lo cid a d v con la esfera B y la cu a l, recib ien d o una
determ inada v e lo cid a d , ch oca a su vez co n la esfera C , cu y a masa
es m . ¿Q ué masa deberá tener la esfera B para que la v elocid a d
de la esfera C sea la m ayor?
8 8 8 . S i tenem os N p ila s e lé ctr ica s id é n tica s, con e lla s pode­
m os form ar baterías por p roced im ien tos d is tin to s , u n ien d o en tre
sí grupos do n pilas en serie y , después, lo s gru p os así form a d os,
( e n n ú m ero
en d e r iv a ció n . L a in ten sidad de la c o m e n t e que
proporciona una batería de este tip o se determ ina p or la fórm u la
j
N nz
N R + n fr ’
donde e es la fuerza e le ctro m o triz de una p ila , r es su resistencia
in tern a, y R es su resisten cia extern a.
D eterm in a r para qué v a lo r de n es m a y o r la in ten sidad de la
corrien te q u o p rop orcion a la b atería.
8 8 9 . D eterm in ar q u é diá m etro y deberá tener la abertura c ir ­
cu la r de una presa, para que e l g a s to do agua p o r segu n do Q sea
el m a y o r p o sib le , si Q — c y Y h — U* donde k es la profundidad
del pun to in fe rio r de la abertura (ta n to h t co m o e l c o e ficie n te
em pírico c, son con stan tes).
8 9 0 . S i x if x Zl
x n, so n lo s resu ltados de m edicion es ig u a l­
m en te precisas de la m a gn itu d x , su v a lo r m ás p roba ble será a q u él,
para el cu al la sum a de lo s cuadrados de lo s errores
n
O~
( x — XiY
tenga e l v a lo r m ín im o (p rin cip io de los cuadrados m ín im o s ).
D em ostra r que e l v a lo r m ás p roba ble de la m a g n itu d x es la
m ed ia a ritm ética de lo s resu ltados de las m edicion es.
§ 2 . D irección de la co n ca vid a d . Puntos de In fle x ió n
C o n c a v i d a d d e l a g r á f i c a d o u n a f u n c i ó n . So dice
quo la g r á fic a de una fu n c ió n d ifo ro n cia b le y = f ( x ) es cóncava hacia abafo
en el in terv a lo (a, 6) (o cóncava hacia arriba en ol in te r v a lo (ai9 &j)), si
para a < * < ¿ el arco de la curva está situ a d o d eb a jo (o corresp on d ien te­
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D irección de la concavidad. P u n tos de in flexión
m ente, para ai < ^ x <Cbít encim a) de la
del in te r v a lo (a, b) <o del in te r v a lo (a u
te para que en la g rá fica y = f ( x ) la
(o hacia arriba), es quo se v e rifiq u o
d esig u a ld a d
/ '< * ) < 0
95
tan gen te trazada on cu alquier punto
bx)) ( f i g . 29). L a c o n d ic i ó n su ficien ­
co n ca v id a d esté d ir ig id a hacia abajo
on el in te r v a lo corresp ondiente la
</"(*) > 0 ) .
E n lu ga r de d e c ir que la g rá fica es có n ca v a hacia abajo, suelo decirse,
que tie n e su convexidad dirigida hacia arriba. De form a análoga, para la
g r á fic a c ó n c a v a hacia arriba, so d ic e tam bién que tiene su convexidad diri­
gida hacia abajo.
2o. P u n t o s d e i n f l e x i ó n . ^ E l p u n to (x0, f ( xq)) j en que cam bia
do s e n tid o la co n ca v id a d de la g rá fica de la fu n c ió n , so lla m a punto de
in fle x ió n ( f i g . 29).
Y
O
J—l —1
bx0 i
a
b,
X
i g . 29
Para la a bscisa del p u n to de in f le x i ó n ;r0, de l 0 g r á fic a 'd o la fu n ció n
y = f ( x ) , la segunda derivada f n ( x0) — 0 o / ' (x0) n o o x iste . Los pu n tos en
que i " ( x ) = ^ 0 o f" (x) n o e x iste , se lla m a n puntos críticos de 2a esp ecie. El
p u n to c r í t i c o de 2a especie x$ os la abscisa d e l p u n to do i n f l e x i ó n , si
f* (x ) con serv a sig n o s co n sta n te s, y con tra rios entre sí, on los in terva los
xq — ó < ^ < ^ o
y x Q< x < 3o + ó , d on d e ó os un número p o s it iv o determ i­
n a d o, y n o será punto do i n f l o x i ó n , si los sig n o s de f" (x ) en los in terva los
a n te d ic h o s so n iguales.
Ejemplo
1. D eterm in ar los in te rv a lo s de con ca vida d y con vexidad
y lo s p u n t o s de i n f l e x i ó n de la curva de Gauss
y = e -* \
Solución.
T en em os:
y ' = — 2 x e’
e
y" =
— 2) e ~ x*.
Igu a la n d o a cero la segunda deriva d a p", h a lla m os los p u n to s crítico s de 2a
especie
1
1/2
y
* 2= :
1
y 2
'
Estos pu n tos d i v id e n a i e jo n u m érico — c o < * < + c o on tres in tervalos:
I ( — c o, # i), II ( x ít x z) y III (x2l + c o ) . L o s sig n o s de y " serán , respectiva­
m ente, + , «— y + (do lo quo es f á c i l con ven cerse, tom a n d o, por ejem plo,
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96
E xtrem os de Las funciones y aplicaciones geom étricas de la derivada
un punto en cada u n o de lo s in te rv a lo s in d ic a d o s y pon ien d o lo s corresp on ­
dientes v a loros de x en y"). P or esto, la curva será: 1) c ó n c a v a hacia arriba
1
1
para — c o < * < ------- — y —
< x <
y 2
1/2
1
\
+
co;
2) cón ca v a
hacia a b a jo, para
/ i 1
so n lo s pu n tos de in fle x ió n
— < . r < — — . L o s pu n tos ( — — ;
1 /2
V 2
l 1 / 2 y k. )
( f i g . 30).
Es de a d v e rtir, que d e b id o a la sim etría de la curva de Gauss respecto
a l eje O Y f la in v e s tig a ció n del s ig n o do la con ca vida d de esta curva hubiera
s id o su ficiente rea liza ría en el sem ieje 0 < : r < + c o .
Ejemplo
2 . H a lla r los puntos de i n f l e x i ó n de la g r á fic a de la fu n ció n
ymzy/x + 2.
Solución.
T en em os:
(i)
Es e v id en te que y " n o se anula en n in g ú n s itio .
Igualando a cero el denom inador del quebrado del segundo m iem b ro
do la igualdad (1), tenem os que, y " n o e x isto para x = — 2. Com o y " > 0
para * < — 2 o j/ ' < 0 para
— 2, el punto ( — 2, 0) es un punto de in f l e ­
x ió n (iig . 31). La tan gen te a esto p u n to os paralela al eje de ordenadas,
y a quo lá primera derivada y ' es in f in i t a para x = — 2.
H a lla r lo s in terv a los de co n ca v id a d y lo s puntos de in flex ión
de las g rá fica s de las funciones:
8 9 1 . y = x 3~ 6 x2 + 12 s + 4.
896. y = c o s x .
8 9 2 . y = ( z + l ) 4.
897. y — x — sen x.
8 9 8 . y = x 2 \nx.
893*
894. y =
8 9 9 . t/ = a rctg a :— x.
x * + 12 ‘
8 9 5 . y — y 4 1/3 — Í2 x.
9 0 0 . y = (1 + x - ) e x.
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97
A síntotas
§ 3 . A s ín to ta s
-
9
1°. D e f i n i c í ó n. Si un p u n to ( s / y ) se desplaza continuam ente p o r una
curva y = f ( x ) d e tal form a que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda
al in fiu it o , m ientras quo la distancia entre este punto y una recta determi­
nada tiende a cero, esta recta recibo él nombre (le asíntota de la curva.
2o. A s í n t o t a s
v e r t i c a l e s (paralelas a l eje OY). Si existe un
núm ero a ta l, quo
lim / ( ; c ) = c o ,
x -* a
la recta x — a t s asíntota (vertical),
3o. A s í n t o t a s o b l i c u a s
(respecto
Si e x is te n lo s lím ites
lú n
a
lo s
ojes
de
coordenadas).
"íU fc ,
•T-»-4-c*o
x
I,
y
lim
[ / ( z ) ~ A - £2 ] = 61,
X -+ 4 -0 O
la recta y = A1ar-f-61 será asíntota (oblicua a la derecha o
horizontal derecha (paralóla al e je OX) . =
Si e x is te n ios lím ites
bien, si k ¡ = 0 ,
lim Í M . ^ k 2
x->—co x
y
Jim [ / { z > — k2x ) = b z,
X-v—oo
¡
la recta y = h‘2x + b i es asíntota (oblicua a la izquierda o bien, cuando &2 = 0
horizontal izquierda, paralóla al eje OX) , La gráfica de la fun ción y = l ( x
(que so supone un iform e) n o puede tener más de una asíntota dorecha
(o b licu a u h orizo n ta l), ni m ás de una asíntota izquiorda (ob licu a u hori­
zontal).
E j e m p l o i . H a lla r las asíntotas de la curva
*2
Solución.
verticales:
Igu a la n d o a cero el d enom inador, obten em os dos asíntotas
x= —1 y
Buscamos
2 = 1,
las asíntotas ob licu a s. Cuando
A 'j ^
lim — —
X-v+oo %
T
i• /
\
h, == h m (u — x ) =
,
lim
tenemos:
—
i = *,
x y x ‘¿ — 1
x2m—X V * 3*~ 1
a
--------- - ■----- -------- — 0 ,
*-4*~
V x> -i
lim
7—1016
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98
E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada
p o r con sigu ien te, la asíntota derecha será
cuando x - * — c o , tenemos:
&2=
y=x.
A n álogam ente,
lim — — — 1;
X-*— oo
b‘¿ =
la recta
Um
x
(y + s ) = 0*
x - > — co
De esta form a, la asín tota izquiorda es y = — x (fig . 32). La in vestigación
de las asírilotas do osta curva puede s im p lifica rs e s i se tiene en^ cuenta
su simetría.
E j e m p l o 2. H a lla r las asíntotas de la curva
# = s + l n x.
Solución.
Como
lim y — — oo,
la recta x = 0 será una asíntota v e rtica l (inferior). Investigam os la curva
para h allar solam ente la asíntota o b lic u a derecha (ya quo : r > - 0).
Tenemos:
k=
lim — —1,
b — lim ( y — x ) — lim ln x — o o .
X-*4-C3
K->+«X)
Por consiguiente, esta cu rva n o tiene asíntotas ob licuas.
Si la curva viene dada por las ecuaciones param étricas a: = q>(¿); =
en prim er lugar se investiga s i el parám etro t tione valores para los que
M\
-i
0
F i g. 32
una de las funciones q>(t) o i|)(¿) se hace in fin ita , m ientras que" la otra
sigue siendo fin ita . Cuando < p (¿ o )= o o y
( ¿o) —
la curva tiene una
asíntota horizontal, y = c. Si \|>(¿o) = c o y (p(¿0) = c , la curva tiene una
asíntota vertica l, x = <?.
Cuando q) (ío) = 1H ío) — co» a l m ism o tie m p o que
lim ^<Pw
7 7 r =A:i t->t0
Km M Í O - - * ? (*)!= **
t->t0
la curva tendrá una asíntota o b licu a , y = kx-\-b»
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Construcción de las g rá fica s de las fun cion es p or sus pu n tos característicos
99
Si la cu rva so da en ;forma de ecu ación polar r = /(<p}, sus asíntotas
se pueden h a lla r p o r la regla anterior, reduciendo la ecu ación de la curva
a la form a param étrica p o r las fórm u la s:
x — r eos q>= / (<p)cosq>; y = r son <p= / (<p) sen cp.
H a lla r la s a sín to ta s de las cu rv a s:
9 ° 8 . ij = z - 2 + - ^ ~ = ^ .
902. y = ^ ¿ + 3
•
9 0 9 . y = e ~ * -|- 2.
w z-y =
904.
905.
910* V = r ^ z 1
9 1 1 . 9 = é*.
X*
y = Y x* — l.
906. y = ■ t
[/
9 1 2 . y=-~
■
sen x
913. y = ] n ( i + z ) .
4- 3
9 0 7 . y = - 4 i— -— .
(/ — 1
914. x = l ;
y - ¿ + 2 a r c lg l .
9 1 5 . H a lla r la a sín tota de la espiral h ip e r b ó lic a r = '~ '
§ 4 . C o n s tru c c ió n de la s g rá fic a s do la s fu n c io n e s por sus puntos
c a r a c te r ís tic o s
A l con struir la g rá fica de una fu n ció n es necesario, ante todo, h allar
el ca m p o de d e f in ic ió n de la m ism a y determ inar su com p orta m ie n to en
la frontera de esle cam po de d e fin ic ió n . Es con ven ien te tam bién señalar
previam ente ciertas pecu liarid a des de las funciones (si es que las tienen),
c o m o son: la sim etría, p e rio d icid a d , permanencia del signo, m onotonía, etc.
Después, hay que encontrar lo s pu n tos de d isco n tin u id a d . los puntos
extrem os de la fu n c ió n , los pu n tos do in fle x ió n , las asíntotas, etc.
Los elem entos ha lla dos perm iten establecer el carácter general de la grá ­
fica de la fu n ció n y obtener su diseño m atem ático verdadero.
E j e m p l o 1. C on stru ir la g rá fica de la fun ción
y
x
f
X 2- d
S o l u c i ó n , a) La fu n ció n ex iste en todas partes, m enos en los pun
tos x ~ z k 1.
La fu n ció n es im par, p o r lo q ue la g rá fica de la m ism a será sim étrica
con respecto al punto O (0; 0). Esta circunstancia s im p lific a Ja construc­
c i ó n de la gráfica.
b)
Los puntos de d is co n tin u id a d son x = — i y x = l t a l m ism o tiempo
que lim
y
lim
t/ = =f=co, p o r con sigu ien te, las rectas j = ± 1
y =
1^0
s o n a sín to ta s vertica les de la gráfica.
7*
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100
E n trem os-d e la s fu n cion es y aplicacion es geom étrica$ d e l e derivada
c) B u scam os 'las asíntotas ob licu a s. T en em os:
A -,=
¿»1==
Hm “
*-►4-00 *
= 0,
.
lim y = c o r
ÍE-V-j-OO
p o r con sig u ie n te , n o e x is te asíntota, o b lic u a derecha.
sim étrica, tam p oco e x istirá asíntota o b lic u a izquierda.
C om o
la g rá fica
es
d) H a lla m o s los p u n to s c r ític o s do I a y 2a e sp ecie, es decir, a q u e llo s
pu n tos en q ue so anula o n o ex iste la prim era, o correspon dien tem en te,
3a segunda derivada do la fu n c ió n dada.
Tenem os:
(1 )
3 f ( x Z - 1)4 ’
2 x ( 9 — x2)
(2)
9 f (x* — \ y
Las derivadas y ' e y n d e ja n de e x is t ir ú n icam en te cu a n d o x = ± 1, es decir,
sólo en a q u e llo s puntos en quo tam p oco e x is te la prop ia fu n c ió n y, p o r
6Dto, serán puntos c r ític o s s ó l o a q u e llo s en q ue y 9 o y" s e anulan.
De (1) y (2), se deduce:
y ' = 0 para x — ±
V^;
y 'z z z 0 para x — 0 y x = ± 3.
De esta
in te rv a lo s
form a ,
( — co,
y'
conserva ^ co n sta n te el
(— V3,
sig n o
en
cada
— 1) , ( — 1, 1), ( l , V 3)
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uno
de
los
y ( l/3 , + c o ) .
C onstrucción d e la): gráficas d e las fun cion es p or sus .plin tos característicos
101
e y* en cada u n o de lo s in te rv a lo s ( — c o , — 3 ), { — 3, — 1), ( — 1 • 0) (0, 1),
(1, 3) y (3, -f-c c ).
,
Para determ in a r qué ' s ig n o tiene y ' -'(o correspondientem ente, i/")
en cada u n o de los in te rv a lo s señalados,' basta co n determ inar el sig n o de y '
(o de y *) en un p u n to cu alq u iera de cada u n o .d e estos intervalos.
Los resultados de esta in v e s tig a ció n , para m a y o r co m o d id a d , se jncluyort
en u n a ta b la (ta b la I), ju n t o con lds de lo s ¿á lc ü lo s d e ; las ordenadas de
•. i
: * : ’*
’ ‘ *• . . .1 ‘ . :
•
•'i : : !5
Tabla I
X
"
0
|(0 , 1) |
1
( 1. 1 / 3 )
V 3 s a l , 73
3
(3, + c o )
+
1 ,5
+
+
+
+
o
---
( V 5 -, 3)
\ -
y
0
—
± co
+
y'
—
—•
no
existe
--
y'
0
—
no
existe
Con­
clu­
siones
La
Pun­
to de
fun­
infle­ ción
xión decre­
ce; la
gráfi­
ca es
cón­
cava
hacía
abajo
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La fun­
Pun­
ción
de­
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do
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dis- ■ gráfica
con­
es cónca­
tinui­ va hacia
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nimo
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La fun­
clón cre­ to do ción crece;
lnfíe- la gráfica
ce; la
gráfica - xión"
es cón­
es cón­
cava hacia
cava
abajo
hacia
arriba
lo s p u n to s ca ra cterísticos de la g rá fica de la fu n c ió n . D ebe a dvertirse,
q u e d e b id o a q u e la fu n ció n y es im par, es su ficien te ' hacer los cá lc u lo s
so la m e n te para z > 0; la m itad izquierda de Ja g r á fic a so reconstruye por
e l p r in c ip io de la sim etría impar.
o)
Con los resultados d e la in v e s tig a c ió n , co n stru im os la g rá fica d© la
fu n c ió n (fig . 3 3 ).
s
E j a m p i o 2. C on stru ir la g r á fic a de la fun ción
ln x
S o l u c i ó n , a) E l c a m p o de e x isten cia de la fu n ció n es: 0 < * < 4 - c o .
b) E n el ca m p o de ex isten cia n o h a y p u n to s de d isco n tin u id a d ,
p e ro .a l ap rox im arse a l p u n to frontera (a;— 0) d e l - c a m p o de -existencia,
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102
E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada
tenemos:
,.
,.
lira y = l i m
ln x
x ~ *0
x -+ 0
— do.
x
Por consiguiente, la recta x — 0 {e l eje de ordenadas) os u n a a sín tota v e r tic a l.
c) Buscamos la asíntota o b lic u a derecha u horizontal (va q ue la asíntota
o b lic u a a la izquierda n o e x iste , pu esto que 110 es p o s ib le q ue
— c o ):
h — lim
— = 0r
X-++K> X
6=
lira y = 0.
P o r con sigu ien te, la asíntota horizontal derecha os ol e jo de a b scisas: p = 0 .
d) H a lla m o s los pu n tos críticos. Tenem os:
1 — ln a:
2 Incr — 3
y ' e y° ex isten en todos los 'p u n to s
dada e
d e l ca m p o
de ex isten cia de la fu n ción
y ' = 0, si l n ^ = l f o s d e cir, cuando x = e;
y " = 0 , s i l n x = - ^ - , es d e cir, cuando x = e z¡2.
H a cem os la tabla, en la quo in c lu im o s los pu n tos ca ra cte rístico s (ta b la II).
En esto caso, además de los p u n to s característicos encontrados, e s co n v e n ie n te
h a lla r los puntos de in tersección
H a cien d o í / = 0 , encontram os x =
e l eje de abscisas): la g rá fica n o
e)
Con los resultados de
fu n c ió n (fig . 34).
de
\
se
la
la g rá fica con los e je s d e coordenadas.
(pu n to do in te rse cció n d o la cu rva con
corta co n ol e je de ordenadas.^
in v e s tig a c ió n , co n stru im o s la g r á fic a de la
C on stru ir la s g rá fica s de las fu n cio n e s q u e se in d ica n m ás
a b a jo , determ inando e l ca m p o de o x is te n cia de cada fu n c ió n , lo s
p u n to s de d iscon tin u id ad , lo s p u n tos e x trem os, lo s in te r v a lo s de
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104
E xtrem os de las fu n cion es y aplicaciones geom étricas d e la derivada
cre cim ie n to y decrecim ien to, lo s p
la d ir e cció n de la|s con ca v id a d es y
V*
I
«
916i i f s ’a * — 3s*.
917. y
938. y = 2 x + 2— 3 V ( x + r j *
-§£ - * * V
'
939. y =
9 1 8 . y = (x — i ) z ( x + 2 ).
919. y = j £ z z 3 1 1 í i ± Í L .
990
«W V *
^25
r
‘
9 4 1 . y == ¥ ( ¿ ~ T ) * + y { ¿ Z 5 ) '
942. y — - j = = = - .
a:
l/4 « — * 2
.
.
1
922.
943. y =
I
r
•
923. y = í í ± 3 .
*
*
2
9 2 4 . y = a;s + - - .
;
_
.
1 / a:3 — 4
944. y = ? ^ = f
,
’
*
£
.
945. y « - - j ?
- .
V
? T J -2 )*
9 4 6 y = Xe- x¡
925. y = - ¡ q ^ .
947. y = ( a + - y - ) e “ .
9 2 6 . {/ = ¿ 4
9 4 8 . z = c 8* - * J- 1*.
qp7
927.
1
1
•
9 2 1 . g a g * * - 2.* + 3
| /5 ^ T .
9 4 0 . y = y / {?-(-4 )2- ^ ( í : = 4 ) !
1*»—5)8
/ / —
*
.
4x
9 4 9 . y = ( 2 - h * a) e - *29 5 0 y ^ 2 ¡ x ] _ x *'
928- * = f e | -
951. y « ^ f .
929- y =
952. y = 4 p l n ~
93° 931. y = ^ ± l .
953. 2/ = - ^
'
. ...
.
954. y = (* + 1 ) ln a ( z + 1 ).
932. y = V z + y - S Z T x .
9 5 5 . y = ln
933. y - . / g + S - / g r ; .
y56
934. y = x ] / x 4 . 3 Q-l*
“ S— q 935. y = y1 / a;3—
3x.
.
ln -¿ g + T r l
,
957, 0 = M
*
i + « “ *)■
1
936. y - V T T P .
958. y = ln ( e + — )
9 3 7 . y = | / 1 — a;3.
0 5 9 . y = s e n x -| -c o s a :.
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d ife r e n c ia l del arco. Curvatura
I
960* y = = s e n a H
sen 2x
g-—
9 6 2 . y == sen 3 r e n c o s 3 2 .
964. y -
9 7 3 . y = # — 2arcctga r.
974. y = y + a rctg # .
9 6 1 . y = c o s x — eos? a;.
963. y ~
105
A
sen s - f eos x
sea x
9 7 5 . y = ln sh x .
976. y = A rch ( ^ + ~ r) *
9 7 7 . y c = e sen*.
s e n (¿ + ^ -)
978. y = e m
V ~x.
9 6 5 . y = sen x •sen 2x.
9 7 9 . y = *»■***.
9 6 6 . y — e o s x* eos 2x.
9 8 0 . t/ — ln s e n # .
9 6 7 . y = z-\* sen x .
981. y = ln tg ( y - y )
9 6 8 . y = a r e s e n (l — í ^ 2).
níJn
aresen x
9 6 9 . y = — .... .
.
:
.y i-x *
•
9 8 2 . f/ = ln a : — a rctg a:.
9 8 3 . i/ = co s a :— l n c o s z .
9 7 0 . y = 2 x L~ t g x .
9 8 4 . y — a rctg ( l a i ) «
971. y — x a rctg # .
9 8 5 . y — aresen ln (a :a - ( - l ) .
1
9 7 2 . y = x a rctg — , si x 4= 0
2
X
e y — p , si x — 0 .
986. y = x x .
i.
9 8 7 . y = x x ..
T a m b ién se 'recom ienda co n s tru ir las g r á fic a s de las fu n cion es
indicadas en los. N?$.N 0S. 8 26 — 848.
C on stru ir la s g r á fic a s do las fu n cio n e s sigu ien tes, dadas en
form a param é trica:
9 8 8 . z = t * — 21, y = t 2 + 2l.
9 8 9 . # = <zcos3 ¿, y = a s e n t ( a > 0 ) .
990. x —
y — t e ' 1.
9 9 1 . x = t + e ~ t1 y ~ 2 l + e~2i*
9 9 2 . x = a ( A x t — ¿), y = a ( c h t — i ) ( a > 0 ) .
§ 5 . D ife re n c ia l del a rc o . C u rv a tu ra
Io. D i f e r e n c i a l d e l a r c o . La diferencial del arco s de una curva
plana, dada por una ecuación en coordenadas cartesianas x e y t so expresa
por la fórmula
i -d*.= V (d*)* -H
si la ecuación do la curva tiene Ja forma:
a) y = f { x ) t entonces ds = j / * i +
dx;
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106
E xtrem os de las fu n cion es y aplicacion es geom étricas de la derivada
b) x = fi (y), entóneos ds — /
c ) * = <p(J),
i + ( w
) 2dr'
J/ = il>(í ). entonces d s = j /
( - ^ - ) 2+
'] / '
y
d ) F ( s , y) = 0 , entonces d s = — - ?— J L d x =
\*yI
J7'2\
d t'
J 7 '2
y dy.
\*x\
Llam ando a al á n g u lo q ue form a la d irección p o s it iv a de la tangente
(es docii% d ir ig id o en ol se n tid o doí crecim ien to d e l arco de la curva s) con
la dirección p o s itiv a del ojo O X , tendremos:
eos a —
dx
ds
sena — É L
ds
En coordenadas polares,
dS= l / ( d r ) a + (rd q > )*= j / r ^ + ( J ¡ L ) 2 dcp.
Llam ando p a l á n g u lo form a d o por el radio p o la r de u n p u n to d e
curva y la tangente a la cu rva en este m ism o p u n to, tenemos:
la
coS p = - ^ ,
ds
2o. C u r v a t u r a
de u n a
cu rva, en su punto M , a l lí m i t e
curva.
So llam a curvatura K de una
do la razón del á n g u lo q ue form an [las
direccion es p ositiva s de las tangentes a d ich a cu rva en lo s puntos M y
{ángulo de adyacencia)
( f i g . 35), es decir,
a
la
lon g itu d
N
del a rco M N = A sy cuando N —* M
K = Jim -t— = - t — ,
As
ds
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D iferen cia l del arco. Curvatura
107
d o n d e a os el á n g u lo entre la d ir e c c ió n p o s it iv a de la tangente en el punto
M y el eje O X .
R adio d e curvatura R . R e cib e el n o m b re d e ra d io d e curvatura R ia
ca n tid a d in versa a l v a l o r a b s o lu t o de la cu rv a tu ra , es decir:
\
Las circu n fe re n cia s so n lín e a s
de
K
\
curvatura con stan te
( '- 4 -
donde a es
el ra d io de la circu n fe re n cia J r lo m ism o q ue la lín e a recta ( K = 0 ).
Las fó r m u la s para c a lc u la r la s cu rvaturas en coorden adas cartesianas
son las sig u ie n te s (exa cta s, a e x c e p c ió n del sig n o ):
1) s i la cu rva v ien e da d a p o r una e c u a c ió n e x p líc it a y = f ( x ) , la fórm u la
será
V'
K
2)
s i la curva se da p o r una e c u a c ió n
la fó rm u la
K
F"
r XX
F
1 xny
n
n *
F"
yy
F 'y
n
F 'y
0
im p lí c it a
{F'*+F'*Y h
3) s i la curva se da en form a
ií>(¿)7 en ton ces
K
param étrica
*'
y’
x"
y"
F {x, y ) = ¿ 0 , se emplea
’
por
las ecu acion es x — y ( t )
(* '* + *'*)»/* ’
donde
dx
~df
Ed coorden a d a s
tenem os:
'/ =
ÉL
dt
x" =
d?x
di 2 ’
*V
d?y
d¿2
p o lares, cu a n d o la cu rv a se da p o r la ecu a ció n r — / (<p),
r2 4 -2 r '2 _ rr»
donde
r' =
„. ________
d*r
dr
d y
^
r
~~
d (p 2
o s c u l a t r i z (o c ír c u lo oscu la d or). Se llam a
3o. C i r c u n f e r e n c i a
circu n feren cia oscu latriz d e una cu rva, en un p u n to M de la m ism a , a la
p o s ic ió n lí m i t e d e la circu n feren cia que pasa p o r d ic h o punto M y por otros
d os p u n to s P y Q d e la m ism a cu rv a , cu a n d o P — * M y Q —+ M .
E l r a d io de la circu n feren cia o s c u la t r iz es igual a l ra d io d e curvatura
y su ce n tro (<cen tro de curvatura) se encuentra en la n orm a l a la cu rva,
trazada en el p u n to M , h a cia el la d o de su co n ca v id a d .
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108
E xtrem os de las fu n cion es y aplicacion es geom étricas de la derivada
Las coordenadas X
fórm u las
e
Y
d e l centro de curvatura se ca lcu la n c o n -las
y 'í i + y '2)
y*
Y = y +
i + y‘*
La evoluta de una curva es el lu ga r g e o m é trico de Jos cen tros de cu rva ­
tura de dicha curva.
Si en las fórm u la s para la d e te rm in a ció n de las coordenadas dol centro
d o curvatura se consideran X e Y co m o Jas coorden adas v a ria b les de los
pu n tos de la e v o lu ta , estas fórm u la s nos darán Jas ecuaciones paramótricas
de dicha e v olu ta co n p arám etro .r o y (o
s i ia p ro p ia cu rva v ien e dada
p o r ecuaciones en form a param ótrica).
Fig.
Ejem plo
36
1. H a lla r la e cu a ció n de la ev o lu ta
Solución.
4x3,
Y =
de
la p a rá b ola y — x*.
. E lim in a n d o
el
parám etro x t
h a lla m o s la ecu a ció n de la e v o lu ta en form a e x p líc it a
2/s
E volven te de una cu rva. Se da este nom bre a una curva ta l, quo con
re la c ió n a ella , la curva dada resulta ser la evoluta.
La norm al M C a la e v o lv e n t e r 2 es tangente a la evoluta r j¡ la lon g itu d
d e l arco CCi de la e v olu ta e s ig u a l al
increm entó correspond iente del radio
de curvatura
—
p o r cuya razón, la e v o lv e n t e r 2 recibo
tam b ién ol nom bro de d esarrollo de la curva / \ , que se o b tie n e desenrollando
un h i lo tenso e n r o lla d o a la e v o lu ta / ' j (fig . 36). A cada ev o lu ta lo corres­
ponde una in fin id a d de e v o lv e n te s, que responden a las d iv e rsa s lon gitu des
in icia le s que puede tener ol h ilo .
4o. V ó r t i c o s d o u n a c u r v a .
Se l lam a vértice do una curva al
un to de la m ism a en que la curvatura, tiene m á x im o o m ín im o . Para
eterm inar los vórtices de una cu rv a so form a Ja exp resión de la curvatura K
y se h a lla n sus puntos, extrem os. En lugar de la curvatura K se puede tom ar
J
ol ra d io de curvatura
R =
I*
y se busca su p u n to e x tre m o , s i es que en
e ste caso es mas f á c il ol cálcu o.
Ejemplo
2. H a lla r el v é rtice do la catenaria y = a ch — (a > 0).
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D iferen cia l del arco. Curvatura
x
1
x
S o 1 u c i ó n. C om o w '=^sh — , © y" = — c h — ,
a
a
a
* = ----, _ x
a cii2 —
a
y,
109
tendrem os
p o r co n sig u ien te , Ü = a clí2 — . T en em os, que
a
ax
q ue
= sh
K —
a
.
df í
2x
Igu a la n d o a cero la derivada —-— , obten em os s h
= 0, de d on de hallam os
ax
a
el único punto crítico x = 0. Calculando la segunda derivada
y Poni0Q-
d2R
= — ch —
= - >o.
d x ,¿ a:=0
a
a x—0
a '
P or co n sig u ie n te , x = 0 es ol p u n to m ín im o del ra d ío de curvatura (o ©1 m á­
x i m o de la curvatura) de la catenaria. E l v órtice de la catenaria y =
d o en
e lla
el
v a lo r de x = 0 , obten em os
= ^ a c h - ^ - , será pu es, el p u n to ^4(0, a).
H a lla r la d ife re n cia l del a rco , y e l cosen o y e l sen o d e l á n gu lo
q u e fo rm a , co n la d ir e cció n p o s itiv a del eje O X 7 la ta n g e n te a cada
una de la s cu rva s sig u ie n te s:
993* x 2 + y 1 = a 2 (c ir c u n fe r e n c ia ).
994. - g - + - g - = l
(e lip se ).
9 9 5 . y 2 — 2 p x (p a rá b o la ).
9 9 6 . £2/ 3 y 2/3 = ¿z.Va (astroid e).
9 9 7 . t/ = a c h - ^ - (ca ten a ria ).
9 9 8 . x = a ( ¿ ~ s e n ¿ ) ; y = a ( 1 — c o s ¿ ) (ciclo id e ).
9 9 9 . £ = a c o s 3 ¿? y = a s e n z t (astroid e).
H a lla r la d ife re n cia l d e l a rco y e l cosen o, o~el seno, del á n g u lo
^que form a e l ra d io p o la r co n l a ta n gen te a cada una de la s cu rvas
.siguientes:
1 00 0. r = acp (espiral de A rqu ím edes).
1 00 1. r ( e s p i r a l
h ip e r b ó lic a ).
1 00 2. r = a s e c 2-|- (p a r á b o la ).
100 3. r = a eos2 -2- (ca rd io id e ).
100 4. r = a(* (esp ira l lo g a r ítm ic a ).
1 00 5. r 2 = a 2 cos2<p (le m n isca ta ).
C a lc u la r la
q u e se in d ica n :
cu rv a tu ra d e la s cu rva s sig u ien tes en
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lo s puntos
110
E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas d e la derivada
1006. y = x 4— 4x z — 18x2 en e l o rig e n de coorden adas.
1007. x 2 + -x y -(-y 2 = 3 en e l p u n to (1 ; 1).
1008. - ~ r + - p “ = l en lo s v é r tic e s A (a, 0) y B ( 0 , 6).
1009. x = t~, f/ = / 3 en e l p u n to (1 ; 1 ).
1010 . r 2 = 2 a 2 c o s 2 <p en lo s v é rtic e s c u y o s á n g u lo s p ola res son
9 = 0 y 9 = jc.
1011. ¿E n q u é pu n to de la p a rá bola y 2 = 8 x su cu rv a tu ra es ig u a l
a 0 ,128?
1012. H a lla r e l v é rtice de la cu rv a y = e*.
H a lla r lo s radios do cu rvatu ra (en cu a lq u ie r p u n to) de las lín ea s
sigu ientes:
1013. j/ = x 3 (parábola cú b ica ).
1 0 1 4 - - S - + T r = 1 (e lip se ).
1015. x =
4
¿
1016. x = a c o s 3 ¿; y = a sen 3 2 (astroid e).
1017. x = a ( c o s £ - f / s e n ¿ ) ; y = a ( s e n l — t c o s í ) (e v o lv e n te de la
circu n fe re n cia ).
1 01 8. r = a e kv (espiral lo g a r ítm ica ).
1019. r = a (l-¡-c o s < p ) (ca rd io id e ).
1020. H a lla r el v a lo r
p a rá bola y 2 = 2 p x.
1021. D em ostrar
y = a ch “
que
m ín im o d e l
el
ra d io
radio
de cu rv a tu ra
de cu rv a tu ra
de
de
la
la catenaria
es ig u a l a la lo n g itu d del segm ento de la n orm al.
C a lc u la r las coordenadas del c e n tr o de cu rv a tu ra de las cu rva s
sigu ientes, en lo s pu n tos que se in d ica n :
1022 . x y = 1 en el pu n to ( 1 ; 1 ).
1023. a y 2 = x 3 en el pu n to (a , a).
E scrib ir la s ecu a cion es do las circu n fe re n cia s o scu la trice s de las
curvas sigu ien tes, en lo s pu n tos q u e so in d ica n :
1024. y = x 2— 6 x + 1 0 en e l p u n to (3 ; 1).
1025. y = e x en e l p u n to (0; 1 ).
H a lla r la e v o lu ta de las cu rvas:
1026. y2 = 2p x (paráb ola ).
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D ife re n c ia l d el arco. Curvatura
1 0 2 7 . -£ L + - g l = l
111
(e lip se ).
102 8. D em ostrar que la e v o lu ta de la c ic lo id e
x = a (t — sen l);
y = a (1 — c o s j )
es una c ic lo id e desplazada.
1029. D em ostrar que la e v o lu ta de la espiral log a rítm ica
r = aekv
tam bién es una espiral lo g a r ítm ic a con el m ism o p o lo .
1030. D em ostrar que la curva
x = a (eos t + 1 sen í);
(desarrollo de la circunferencia)
y = * a (sen l — t eos i)
es la ev olv e n te de l a cir cu n fe r e n cia x = a c o s í ; y = a s e n * .
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C a p itu lo TV
I N T E G R A L I N D E F I N ID A
1 . In te g ra c ió n Inm ediata
I o. R e g l a s p r i n c i p a l e s
1) S i F ' (x ) — f (at), entonces
para
la
integración.
J/(*)«to = F (x )+ C ,
C
donde C es una constante arbitraria.
2) ^ A f { x ) d x — A ^ f (x) dx, dondo A es una constante.
3) ^ f / i { x ) ± f z { x ) ) d x = ^ / , (s ) rfx i
4) Si
^
fXx)m
dx = F (x) + C y u = y { z ) , se tiene,
^ / (a) du = F (u)-\-C.
En particular,
^ / (a s + fc) d x = -^ - F {ax-T-b) + C
2 o. T a b 1 a de i n t e g r a l e s
rv
I. ^ x n d x =
xn+l
C,
(a 4 - 0).
inmediatas.
n =i¿=— i .
II. ^ ™ = l a | a ;H - C .
S T 3 ^ = T “
V. t
fi
VI. í
le T + c - - T
. Í L =8— l n | » + V P + I | + C
y
aroo,sT + c ‘
(a = £ 0 ).
-f"a
/ ^ = - = arcsen — +C — ~ árceos JL +
J l / a 2+ a ;2
a
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a
Ci
(o > 0 ).
113
Integración inmediata
V IL
^ a* d x = z ^ + C
(a > 0);
^ ex dx = e* + C.
V I I I . ^ sen x dx =* — eos x - }-C.
I X . ^ e o s x dx =5 sen * + C
x -
S
X L \ 7 ^ 7 = ~ ct« x + c X II.
*
ctx
dx
,
I
x^V
\ — -------= ln t g — -f-C = ln |co s e c x — c t g s | + C.
«) sen £
|
¿ |
Im ' i
X IV .
¿
-
l' | t ! ( T + T ) | + c - |' l , ' - +
» ! l + '-
^ sh a; d x = c h x -|~¿7.
«/
XV.
^ ch x dx = sh x-J-C.
xvl
i w
X V II.
^ -J ^ = -c t h * -K .
Ejem plo
=
,h i+ e'
4.
(ax*-\~bx-\-c) dx = ^ aa:2 c fa :+ ^ &x d x ^ ^ cd z^ =
x = a ^ x * d x + b ^ xdx~\~c\^ d x = a ~
+ b
— \-ex + C.
H a lla r las sig u ie n te s in te g ra le s , em pleando para e llo las reglas
p r in c ip a le s 1 ), 2) y 3) y la s fó rm u la s de in te g ra ció n .
1 03 1.
^ 5a2z 6 dx.
1032. J (6z* + 8 x + 3) dx,
1 03 3.
^ x ( x + a) (x-\ - b) dx.
1034.
(j (a + b x 3) 2 d x.
1 03 5. ^ Y l p x d x .
1036.
\ -p -
•
J V í
8-1016
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Integral indefinida
114
1—n
1037.
J (n x ) 71 d x.
2
2
1038.
J (a 3— a;3) 3 ¿a:.
1039.
J ( / x + l ) ( x — V * + l)d a f.
,0 4 0 .
t
,0 4 1 .
í a z = * £ . d X.
J
l/a
1042.
\
j
f e
d*.
y<w
1043' J i C p í I0 4 í- 5
1045.
J
,0 4 6 .
?
J 1/8 + X 2
1047.
? y 2 + z * - V 2 ~ xi dx
¿
"J/4— x*
1 / 4 + x2
i 0 4 9 . a) \ c t g - x d x ;
J
1048*. a) \ tg 2 x d x ;
b)
^ c th * x d x .
1050. ^ 3 xe* dx.
b) ^ th 2 x d x .
J
3o. I n t e g r a c i ó n
mediante
la
introducción
bajo
el
s i g n o de la d i f e r e n c i a l .
La regla 4) a m p lía con sid erablem en te la
tabla do las integrales in m ed iatas. Precisam ente, gracias a esta regla, la
ta b la de las integrales es v á l id a , independientem ente de q u e la v aria b lo
de in teg ra ción sea una v a ria b le in depen dien te o una fu n ció n d i f e r e n c ia b a .
E j o m p 1 o 2.
•4P
L
- ± . ^
+
2
c
- ±
<
^
+
c
- $ V G = 1 + c.
2
don de se supuso ^ = 5* — 2. Se em p leó ía regla 4) y la in tegral I de la tab la .
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Integración inmediata
Ejemplo
x dx
3.
y i+ * *
fS
d(x>)
2 j " i / i + ( x 2)a
115
i
= - i - l n ( x > + V l + * < ) + C.
2
De fo rm a im p líc it a , so c o n sid e ró que u = * 2 y so em pleó la regla 4) y la
in teg ra l V de la tabla.
Ejemplo
4.
\ x 2cx9d x
f ex3 d (*3) = -^- e*n-|-C de acuerdo con la
*
*' ■)
regla 4) y la in tegral V I I de la tabla.
En los eje m p lo s 2, 3 y 4, antes do a p lica r las integrales de la tabla,
tra n sform a m os la in te g r a l dada a la forma
^ / («p (*)) <p' (* ) dx=* ^ / (u) duy dondo u — cp (*).
Este t ip o de tra n sform a ción se lla m a introducción bajo e l signo de la
d iferen cia l.
Es con ven ien te señalar la s transform aciones do la s diferen cia les que so
em plean co n frecuencia, co m o son las que se u tiliza ro n en los ejem plos 2 y 3:
a) d x = — d {a x-\ - b) (a =f= 0); b) x d z = ~ d (x2) y otras semejantes.
a
H a lla r las sig u ien tes in teg ra les, em plean do para e llo la s reglas
p rin cip a le s y la s fó rm u la s do in teg ra ción .
P ad
d.x
1051**,
1063*,
\ a—X
2* + 3
1052**.
i 2* + l
1 —*3*
*1053.
3 + 2*
dx.
s
+ 1
V * + ln *
1064.
dx.
dx.
y *2
X
dx
1065.
3*2 +
x dx
-\-bx
,1 0 5 4 .
1055.
1056.
+ 1
f *2
x +
dx.
1057.
1058.
]
f t ,± lf ± l d x
}
z+ 3
a x
1060*.
S
1062.
p
Ü
7*2— 8
i
•
dx
(a + ó) — (a — ó).r 2
2^ -
*2
dx.
*2+ 2
1068.
S
1069.
c.
J
-
^ J ± £ ± i dx¡
\ (« +
*
{0< ó< a).
x—\
1059.
1061.
1067.
5
dx
1066.
a x 4- b
dx.
a* + P
d x.
1070.
1071.
*3 ,, dx.
12
P * 2_ 5 j + 6
)
X2 + A
aX~
dx
y 7 + 8*2
&¿y
1072.
J y i~ y '
^ y a — b x dx.
1073.
dx
y 7 -~ 5 * 2 %
—5
2
8*
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In tegra l Indefinida
116
1074.
1075.
1076.
1077.
1078.
1079.
s
s
s
s
s
s
1080.
1083.
1093.
s
: dx.
V o lM T í
1094.
jj s . 7 * adx.
1095.
Sí
* + 3
dx.
| /* * -4
* dx
X2~5 ’
1096.
x dx
2x» + 3 ‘
a*-}-6
dx.
a ^ -f.6 2
1097.
s
dx.
S 5,/
* •
1 7 = i dx-
1098.
^ e x \r a — bex d x .
1099.
C 5
í í
\ (eu-| -l)3 ea dx.
1 1 0 0 *.
i
1101
.
C . /"a re s e n * ,
i
£ -(* 2+ 1)2 dx.
* dx
V a*^7* '
*2
T I ñ dx.
14-*°
1081.
1082.
3 — 2ac
dx.
5*4-7
V
T ^ -.x * ~ d x '
r arctg
,
4
1102
.
ÍJ d*
i 2* + 3 *
?
a x dx
i
1 4 -« 2*
Si
*
,-b x
e- 2 bx
d x.
e f dt
1103.
[ ■ ________
c y i —<?2¿
1085.
1104.
H sen (a +
1086.
1105.
\ eos
r=- dx.
J
1 /2
1106.
^ (eos a x 4 -s e n a x )2 dx.
1107.
S
1108.
J sen ( lg x ) ^ .
1109*.
^ sen2 x dx.
1110*.
^ eos2 x dx.
111 1.
J sec2 (a x 4- 6) dx.
1084.
44-*2
(l+ s * )ln (H - Z i + x * )
1087.
ae - mx dx.
1 08 8.
j 4 2” 3X>dx.
1 08 9.
^ (ef — é~l) d i .
1090.
i» 5
-2
(. (ea 4 - e a)2 dx.
1091.
1092.
• (a* — 6*)2
a2 * - l
V a*
,
dx.
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dx.
117
Integración inmediata
1112.
In s.
•
1114
1128.
$ctg*«**r.
f *
f - % J S6a«"
<<2 9 1130. ?
1131. \ Y i -i-3 co s2a ;s e n 2 x d x .
» 15-
S lS T íi+ J T -
"
S á f e -
l ' 32- ! « ' f " í
\ x s e n {1 — x 1) d x .
4
\ ( ----- -— — — 1 \2 d x.
1 11 8.
* sen x / 2
t
1120.
i l g * dX■
^ H
1134.
|
f í i i z .
1121.
1J35
P \+J^Jxd
JJ ÜUb-o*
eos2 3x
1 136.
f (cosox + s e n . »)» ^
J
11137.
13 7.
*
^
1122 .
1 13 8.
tg y
1123.
sen ax
\ ■
.6 cosec*
$
“ sec: ” x - ¿X.
^ d x .
Jctg
* -
¿ sen-4®
r*
\ ctg x d x .
I
T f c
* 139- S
A
1119.
^
J y c o s z x — sena ®
3 eos ^5x
1117.
son j c° s x
¿;e
Í
16-
'\ - ^ L d x .
a
®
(2 s h 5 :r — 3 c h 5 ;r )¿ ;r .
1139. J s h 2 x d x .
J t g l / í ^ .
1 14 0. J
dx
shx
1124.
$ * c t g (* * -j-l)d z .
1141.
1 12 5.
í
1 14 2.
\
1126.
\ c o s is e n --d x .
1143.
^ thzd z.
1127.
^ sen3 6 x eos 6 x dx.
1144.
^cthzár.
^ -------.
¿ sen x eos x
. dxr— .
¿ s h x en a:
H a lla r la s sig u ien tes in te g ra le s in defin ida s:
1145.
^ x y 5 - í 2 dx,
1 14 6.
J
‘
1147.
x5-\~5^z ’
1 14 8.
jj x e - * 2 d x.
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118
In teg ra l indefinida
s
1149.
1150.
3— y 2 + 3*2 ,
— 2+ 3 *
dx•
?
1169.
dx
o ~y^
y 2
'
\
1152.
i — sen x
dx.
x -J- eos x
1170.
tg 3 x - c t g 3 x ,
sen dx
ax-
1171.
\
1153.
s
s
1154.
1155.
1172.
dx
x l n 2x *
sec2 x
~Ztga x — 2
9
1173.
dx.
_
2
\
dx
' 2x 2-f_j f 2x 2+ l *
H
1156.
\
J y * + i
1176.
1160.
1161.
S
S
s
^ ¿sen2 x s e n 2 x d x .
í
f ^
■ 5-
J «“ + i ■
r
dx
J <« + 6) + (a — 6 ) *
dx
S
dx
sen ax cos ax
\
tg 2 ¿ x dx.
1178.
^ son
1180.
1181.
cos —
a
\
1165.
\
t g y w
\
dx.
1182.
i - J i - .
1183.
[/x — 1
x dx
1184.
dx.
J 1 /4 -2 2
^e
V
<farctg.-c+xln(1.M 2)-n
l+*a
dx.
1185.
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* sec2 x dx.
sen x eos x ^ ^
i 1 / 2 — sen4 x
i
sen2 x eos2 x
aresen x ~^x cj x
V i - *
¿ sen (x2)
\
< P o)^ -
T
x
árceos —
dx
y t + ln x
2nt
dx
x ( 4 — ln 2 x)
1179.
V 4 — tg2*
1104.
a).
V
V eW
» -T
2 6* -
1177.
seo2 x dx
í
fe _ ¿ r .
J y 4—3 *
1 /1 — **
1163.
1167.
X
s e n 2 ^ ¡- d x .
z
1162.
1166.
SA*-
(0 < ¿ <
1158.
1159.
1174.
1175.
a sco X c o s ^
1 15 7.
—d x .
X8 — 1
S í T Í * '
1151.
sen x — co s x ,
1168.
s
soc x tg x
y sec2 a: + 1
dx.
M étodo de sustitución
4 ^ 0 3 * 2 1 dx-
1186-
l
t l8 7 ‘
\ r
&
i '
119
1189-
J í * c h ( * » + 3 )d * .
1190-
S
í r * '
1188.
§ 2 . M éto d o de s u s titu c ió n
I o. S u s t i t u c i ó n , o c a m b i o
i n d e f i n i d a . Poniendo
de
variable
en
la
integral
* = <p(f).
d o n d e ¿ es
tendrem os:
una nueva
v a ria b le y
J
q> una fu n ció n
con tin u a d iferen cia b le,
/[ * < !) ]
(1)
La fu n ció n <p se procura e lo g ir de ta l manera, que el segundo m ie m b ro de
la fórm u la ( 1) to m e una form a más adecuada para la in tegración .
E j e m p l o 1. H a lla r
5
x~ [/ x — 1 dx.
S o l u c i ó n . E s natural p on er t = ~ l / x — 1, de donde x =
= 2/. dt. P or consiguiente:
^ X 1/7^1 d x=
y dx*=
(¿2 + l) f - 2 f á í = 2 ^ (£4 + í2 )d í =
- y
t» + - J * » + C - y ( * - l ) 5 + - | ( * - l ) * + C .
A lg u n a s veces se em plea la s u s t it u c ió n dol tip o
« = tp(x).
S upongam os, que hem os con se g u id o
g r a l / (x) dx a Ja form a sig u ie n te:
transform ar
la e x p resión subinte-
f (x) dx = g {u) du> d on d o u — q> (*).
S i la
\ g ( u ) d u es co n o cid a , es decir,
V
\ g ( u) du = F (u) + c ,
tond remos
J f{x)dx^F[cp(x)) + C
E sto p ro ce d im ie n to es e l que y a u t iliz a m o s on el § 1, 3o.
Los e je m p lo s 2, 3 y 4 (§ 1) s e p o d ría n haber resuelto do la forma siguiente:
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120
In teg ra l indefinida
Ejemplo
2 . u = 5ar— 2; du = 5 d z ;
du,
o
r
J
dx
y s r r j
i
= ~ i
?
du
i
u 2
y r = X —
,
* 2
. ______
+ c = — V 5*-2+c.
2
E j e m p l o 3. u = x- ; du = 2x dx;
P
z dz
l f
rfu
x dx— ^ - .
1------------------ -----------
i v r p r = — i y f ^ r = - r , n í“ + V i + * “ ) + ^ »
1
= — ln (I 2 + y i + *«) + <7.
Ejemplo
4. w ^ a r3; ¿fw = 3x^ ^a:; z 2 d x
íí»
du
T
‘
^ *2*** ¿a = - g - J e«du = - | - e « 4 - C = - | - *** + £•
2#. S u s t i t u c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s .
1) Si la integral c o n tie n e el radical ~[/a2 — ¿3, generalm ente
x = a sen t\ de donde
se
hace
~]/a2— z 2 = a e o s t .
2) Si la in tegral c o n tie n e el ra d ica l l / x 2— a2, so hace x = o s e c t; de d on de
~\/x2 — a2 — a t g / .
3) Si la in teg ra l c o n tie n e e l ra d ica l ~\/x 2-\-q2, se hace x = a t g t; de donde
']/ x2+ a 2 = a sec / .
H ay que advertir, quo las su stitu cion e s trig on o m é trica s n o so n siempre
las más convenientes.
En cie rto s casos, en lugar de las su stitu cion e s trig on om é trica s, es pre­
fe rib le emplear las sustituciones hiperbólicas, c u y o ca rá cter es an á logo
(véase el ej. 1209).
En el § 9 se trata más d etalladam ente de las su stitu cio n e s t r ig o n o ­
m étricas e hiperb ólica s.
E j e m p l o 5. H allar
Solución.
S
H a cem os x = t g /. P o r co n s ig u ie n te , dx
V ^ + I . = ?
J
x2
x
y tg t(+ i
tg2 t
= [
át
= f
J sen2 / e o s /
¿
di
s ?
eos2 Z “ j
sen2 / + eos2 ¿
seu2 /«co s¿
eos2 t
t
sen ¿ e o s 8 /
di
son8 /
e ooss2
2í —
T d/
j eos /
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P eos/
' J sen2 /
1
M étod o de sustitución
la |tg ' -f-sec t |
+
l/i+
tg i
í
t g í - f - V l + tg * í |—
+ C = ln | z + y
r * 2+, l- ,|—
y w + i
x
+ c.
4191* H a l l a r la s s ig u ie n te s in te g ra les, u tiliz a n d o para e llo la s
s u s titu c io n e s indicadas:
dx
a)
* l/x2— 2 ’
í
dx
z=
e*+l ’
c)
d)
i
X
— l n t;
J s ( 5 x 3 — 3 )7 d x , 5 x 2 — 3 = í ;
f
xdx
J y
í T
t = Y x - f - 1;
r '
v
f
COS 3: ¿a:
e)
¡
V l+ s e n 2x
¿ = sen
H a l l a r la s in te g ra le s sig u ien tes, em p le a n d o para e l l o las susti­
tu c io n e s m á s adecuadas:
1192. J x { 2 x + $ )í 0 d x
+ X
+ l/x
1197.
l / l —*
dx.
1198. J
1194. \
-
1199.
1195. í
■
1200*. J
1193
• S t Í
J a: l/2a: + 1
0 V e* —1
1196. J[
ln 4 *
dx.
+ 1
sen3 X
d x.
Jr
| /c ó s V
in te g ra le s ,
*“
&
dx
* Y l + x* ‘
em plean do s u s titu cio n e s
1205 .
S T
e 2x
a:
H a l l a r la s sig u ie n te s
g on om é trica s:
I2»* '
dx.
l - V ¿ ±±dx.
1206*-
• J W
S
^ T /c r g r -
1207- J ] / r ^ 2 <fa.
1203. J ■
1204*. í — = = •
J xV x*-
1
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tr i­
122
In tegra l indefinida
1208. C a lc u la r la integral
f ■■
i *(1 -*)
v a lién d ose de la s u s titu c ió n a: = sen2 ¿.
1 209. H a lla r
^ Y a 2 -\-x2 d x t
e m p le a n d o la su stitu ción h ip e r b ó lic a x = a s h t .
S o l u c i ó n .
Do donde,
"
^ |/a24* x
= ' j / a ‘2 + a 2 s h 2 í*=aa ch
Tenem os,
ty
d x c = » a ch
t dt.
#
dx = ^ a ch t •a ch / dt =
= a2 J ch*t <**=«* J -cll.2^ ± l dt = ^ - ( - L Sh 2 í + < ) + C —
(sh t c h t + t ) - t C .
Com o
sh t =
x
—
~\Za? + z *
ch t —
------
,
y
_______
x + y as + x 2
e * = c h t + ah t =
--------------
,
tendrem os en d e fin itiv a :
J y a 2 - \ - x 2 d x = ~2~ '] / a * -\ -z * + - g - La (a; +
d o n d o C j =s C
a2
—
ín a os una n ueva co n sta n te
’l / a 2 + * * ) + ^ i *
a rb itra ria .
1210. H a lla r
h a cie n d o
P
x 2'd x
J
y¿2Z^2
*
z — a c h t.
§ 3. In te g ra c ió n p o r p a rte s
F ó r m u l a
p a r a
la
i n t e g r a c i ó n
p or
y t> = t|)(x) s o n f u n c i o n e s d i f e r e n c i a b a s , t e n d r e m o s
\ u dv = uv — ^ v d u .
E j e m p l o
1. H a l l a r
^ x ln x d x.
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p a r t e s .
que
Si
u = <p(:r)
123
Integración p or partes
P o n ien d o u = l u x ; dv = x d x y tendrem os du
C
- z2 ,
(* x 2 íta
— ; ¿>= 4 - - . De donde,
a:
L
x2
a:2
.
J , l „ « « t e = - r l a « - J T - — = - 2_ l n i _ _ - ( - C .
A veces, para redu cir ia integral dada a una inm ediata, hay quo emplear
varias veces )a fó rm u la de in te g ra ció n p o r partes. En a lg u n os casos, v alién ­
dose de la in teg ra ción p o r partes, se o b tie n e una ecu ación , de la que se
d eterm in a la integral buscada.
E j e m p l o 2. H allar
^ ex coa x dx.
Tenem os
é* eos x d x — ^
d (sen x ) = ex sen x — ^ ex son x d x = cx sen x -f^ ex d (eos z ) = ex sen x - f ex eos x — ^ ex eos x dx.
P or con sigu ien te,
^ e x eos x dx = ex sen x -f- ex eos x — ^ ex eos x d x y
de donde
r» ..
ex
\ ex eos x d x = —
(sen x + c o s s ) + C.
H a lla r las sig u ien tes in tog ra les, u tiliza n d o la fó rm u la para
in teg ra ción p o r partes:
la
1 211.
ln x d x.
1220*.
1212.
^ a rctg x dx.
1221.
1213.
J aresen x d x.
1222*. \^ (a:2-f- 5 x + 6 ) eos 2a; d x .
1214.
jj x s e n x d z .
1223.
J x z ln x dx.
1215.
^ x eos 3a: dx.
1224.
J ln 2 z dx.
1225.
J I n * dx.
X3
1226.
ln x ,
J — — ax.
Vx
1218** . ^ x " e s x dx.
1227.
J x a rctg x dx.
1219*. ^ (a;2 — 2 x -j- 5) e~x dx.
1228.
J x aresen x dx.
1216.
1217.
5 ?•<*»•
J x - 2 - x d x.
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^ x 3e
3 dx.
\ xsen xcosxdx.
Integral Indefinida
124
1229.
^ ln {x -f- Y 1 + x ~) dx.
1233.
J 3*cosa;da;.
1230.
P xd x
¿ sen2a:
1234.
^ e“ * s e n b x d x .
1231.
C x eos x ,
i sen2 x d x -
1235.
íj sen (Ina;) dx.
1232.
\ e*sea x d x .
H a lla r las sig u ie n te s
diraientos:
intégralos,
em plean do diferentes
1236.
^ x*e~**dx.
1246. \ -l resen_ V - dx.
i
y í —x
1237.
J
1247.
^ x t g 2 2x dx.
1238.
J ( i 2-
1248.
J
1239.
[ x l n ^ d x .
J
1+*
1249.
^ eos2 (ln x ) dx.
1240.
J
1250"
S s q V '-
1241.
dx.
2 x + 3) ln x dx.
proce-
dx.
dx.
J SRS^H dx.
1251 *
[ ___
dx
• J ( * * + a 8)8
*
1242.
^ x 2 a rctg 3a; dx.
1 25 2 *. J Y ^ — x ^ d x .
1243.
^ x (arctg x ) 2 dx.
1253*.
1244.
^ {arcsen x ) 2 dx.
J Y A + x * d x.
S V 9E - z 2
1245.
y - 2 ^ d z .
§ 4. In te g ra le s e le m e n ta le s que c o n tie n e n un tr in o m io cuadrado
Io. I n t e g r a l e s
d o 1 tipo
mx-\-n
. .
dx.
flx¿ + 6x + c
^ -
El
p roced im ien to
p r in c ip a l de c á lc u lo co n s is te en rodu cir el t r in o m io de segundo grado a
form a:
bx 4 - c = a ( x + k)2 + 1,
la
(1)
d o n d e k y l so n con stan tes. Para efe ctu a r la t ra n sfo rm a ció n (1), lo más
c ó m o d o es com p leta r cuadrados en e ! t r in o m io de segundo grado. T a m b ié n se
puede em plear la su stitu ció n
2ax + b = t.
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In teg ra les elem entales
que contienen un trinom io cuadrado
125
Si m = 0, re d u cien d o el t r in o m io de s e g u n d o grado a la form a (1), o b t e ­
nem os las in teg ra les in m ed ia ta s III o I V (véase § 1, 2 o, tabla de las in te ­
grales elcm o n ta le s ).
Ejem plo i.
f
dx
1 P
dx
(—
f +
(
- §
M
T
- - §
r
5\
5
*
5 .)* + —
16
•
2
-
a rctg ! ^ - + C =
y a !' —
4
j/s í
4
Y 31
S i m =£. 0 , del
de s e g u n d o grado
nu m erad or se
separa
la
derivada
C
mx + n
? ' 2^ (2fíX + 6 ) + ( ' l ’ " 2 7 )
) a z* + b x + c aX~ ]
axt + b z + c
‘ 1 /3 2
2 a x - j- b d e l trin o m io
dx —
■£rln | « a+ f c * + « i + ( » ~ 3 r ) S o x » + ¿ j + 7 »
y de esta form a n o s e n c o n tra m o s c o n una in te g ra l c o m o la q ue analizam os
m ás a rriba .
E j e m p l o 2.
,
f t <2 - ‘ > - 4
d¡c= ) — á g - ® — 1
(
1 x2
5-
(*
2 )
4
2 o. I n t e g r a l e s
í .
,
.........................
-2~ '
—1—
i
. „
. .
1_
= Y l n \ x * - x - i \ — rT 7=\n
2 \/5
del
tipo
? —
2 » -i-y g
2® — 1 + 1/5
m x + n _—
L o s m é to d o s do c á l c u l o so n a n á lo g o s a lo s e x a m in a d o s más arriba. En d e f i ­
n i t i v a la in tegral se red u ce a la V' in te g r a l in m e d ia ta , s i a > 0, y a lo VI,
si a < 0 .
E j e m p l o 3o.
Í
dx
i/2 + 3 ® ~ 2 ® 2 -
1
í1
y 2
l
dx
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1
4x
y r arcsen_
In teg ra l indefinida
126
Ejomplo
4 o.
tía;
i
V ^ + 2* + 2
2 J
y * * + 2*+ 2
¿ V ( * - H ) 8+ l
= V i 2 + 2a: + 2 - ! - 2 1 n ( í + l + y a ; a - f 2 * + 2 ) + C’ .
3°. I n t e g r a l e s
del
tipo
cía:
( / » £ - } - « ) |/a¿r 2 + b x - f - c
U tiliz a n d o la s u s titu c ió n inversa
1
mx + n
= *,
estas in to g ra le s so reducen a l tip o 2 o.
E j e m p l o 5. H a l l a r
dx
x + i ) l/a ja +
Solución.
1
P on em os
x+ i
de d on de
dx =
dt
t2 •
Tenem os:
dt
t*
dx
[x + í ) y
dt
V i — 2í + 2¿2
* + 1
1
di
= - ln
V 2
+c=
4 o. I n t e g r a l e s
del
tipo
‘ - T +
— ln
/
,z - ' + 4
■1— x + V 2 ( j 2+ 1)
■1/2
^ Y a x % + b x + c dx,
X +
í
C o m p le ta n d o
+
+ C.
cu a­
drados en el t r in o m io do s e g u n d o g ra d o, esta in te g ra l so reduce a una de
las d o s in teg ra les p r in c ip a le s sig u ie n te s (véanse los Nos, Nos 1252 y 1253):
1) ^
2) J l / W + A d x = ^
]/¡2 T j2
rcaon
y & + A + ± l n \ x + y & + A ] + C.
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Integración de fun cion es racionales
Ejemplo
127
6.
1/ 1 — 2 x — x * d x = ^ ‘1 /2 — ( ! + *)*<* ( ! + * ) =
= y 1 — 2* — X2
+ aresen
C.
1/2
H a lla r las in tegrales:
1255. J
1256. J
'2 5 ? .
1268. J
dx
32+ 2 i + 5 '
dx
x* + 2 x *
1269. J
J 53 ^
'
1270. .
• S
1258. J
1259. J
* 2~ ? * - H 3 ’
J * 2+ 3s + 4
J
, ____ _
( * - i ) y a2—2
dx
( x + l ) y r 2+ 2*
1272. f y * » + 2 * + 5 ¿X.
¿x.
6*+10 ’
1262. f — —
1273.
\ y x — x 2 dx.
2274.
J V 2 ~ * -a ;* d * .
dx
x dx
-3 V 2-} 3 i — 2 x 2
1275.
J y * —*a
1276
\
y * 2+ p * + s
3a: — 6
- ¿te.
1277.
J
”\/¿r2 — 4* -f- 5
1278. J
1264. J
1265
dx
dx
1261
1263
a:
1271. (
3* — 2
dx.
* 2 — 4.c -j- 5
1260. \
y i-^ 2
■s
1266. f
cos *
7, d x.
J son3 * — ó s e n x + 12
¿z
28 ~ 8
J y i — a — í®
1267. J
x* —4íF-\-$ '
rfar.
* _______
y5z2_22+i
1279. [
<xrf*
y i - t - «*+«2*
sen * cfc_______
"|/eos3 * -f- 4 cos * + 1
ln * dx________
x j / l — 4 J n* — ln 3 *
ría;.
§ 5 . In te g r a c ió n de fu n c io n e s ra cio n a le s
I o. M é t o d o d e l o s c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s . La in te ­
g r a c ió n de una fu n c ió n ra cion a l, después de separar la parte entera, se
reduce a la in te g r a c ió n de una fracción racional propia
*<*>
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In tegra l indefinida
428
don de P ( x ) y Q (:r) son p o lin o m io s enteros y e l grado del num erador P ( x )
e s m en or que e l del d en om in a d o r Q (x ).
Si
Q(x) — (x — a)a . . . ( x — l)X,
d o n d e ay . . . . I so n las diferentes raíces reales d e l p o lin o m io Q { x ) y a ,
X
s o n números naturales (grados de m u lt ip lic id a d do las raíces), la fr a c c ió n (1)
podrá descom ponerse en fra ccio n e s sim ples:
^ (X)
—
A i
j
i
A 2
i
A
■
cc
' •' + Í ^ T + < * - V + ' " +
Para calcular lo s co eficien tes
de la identidad (2) se reducen
coeficien tes de cada una de las
j r o c e d i m i e n t o ) . T a m b ién
ando la x , en la igualdad (2)
dam ente eleg id os ( s e g u n d o
E j e m p l o 1. H allar
Í
Solución.
<2)
indeterm inados Af, A L y ,
ambas partes
a la form a entera y, después, se ig u a la n los
potencias iguales de la v a ria b le x ( p r i m e r
se pueden ca lc u la r estos coeficien tes iguao en su equivalente, a cie rto s números d e b i­
procedimiento).
x dx
1
'
I.
( s - 1 ) (* + l)*
Tenem os:
*_________ A
( x ~ l ) (* + l )2
,
Bi
*—1
■
* + 1
B2
(* + !)* '
d e donde
x = A (x + í ) * + B t ( x - i ) (* + l) + S 8 ( * - 1 ) .
(3)
a)
Primer procedimiento para la determinación de los coeficientes. C opiam os
la identidad (3) dándole la form a
x = (.¿ + # 1) s:2 + (2/ t 4 ' ^ 2) ^+*(-4 —
— B%).
Igualando lo s co e ficie n te s de cada una de las p oten cia s iguales de x , tenemos
0 = ¿4 4
- 4
—
0 = / l — B j — B 2.
De donde
1
¿ = 4 -;
1
« i - — y ;
1
^2 = — .
b)
Segundo procedimiento para la determinación de los coeficientes. Haciendo
x = \ en la identidad (3), tendrem os:
l
l = ^ l - 4 , es decir, A — — .
H acien do a: = — 1, tendrem os:
— 1 = — B z -2,
es decir, # 2 — y
H a cie n d o después £ = 0, tendrem os:
0 — ^4— -B*— B2t
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*
Integración de fu n cion es racionales
129
P o r co n s ig u ie n te ,
1 f
~ 4
dx
1 í*
\ x -1
4
dx
}
. I T
x+ i
dx
2 )
(*+ o *
6' =
= T
ln I " " 1 l - T
ln ' " + 1 ! “
T
F
Í +
m
1
2 ( * + 1)
E jem plo
2.
.r— 1
T ln
x+ 1
H a lla r
s
&
= /.
x'¿ — 2x'* + x
Solución.
T en em os,
1
1
x ¿ — 2 x Z -\ -x
y
x ( x — \)2
A
,
B
x
1
x —
1
'
{x —
\ = A ( x — l ) 2-\-13z(x — l ) + Cx.
%
1)2
(4)
A l resolv er este e je m p lo , s o re co m ie n d a c o m b in a r lo s dos p ro ce d im ie n to s
para la d e t e r m in a c ió n de lo s c o e fic ie n te s . U t iliz a n d o el seg u n d o p r o c e d i­
m ie n t o , h a cem o s x ~ 0 on la id e n tid a d (4) y ob ten em os t = -4. L u e g o , haciendo
z = i , ten drem os q u e 1 = (7. D espu és, em p lea n d o el p rim e r p roced im ie n to,
ig u a la m o s en la identidad (4) lo s c o e fic ie n t e s de x 2. Tendremos;
O — A - j - B , es decir, B = — 1.
De esta fo rm a ,
A ^U
£ = - 1
y (7 = 1.
P o r co n s ig u ie n te ,
S i el p o lin o m io Q (x ) tiene ra íces c o m p le ja s a ± ib de m u lt ip lic id a d fr,
en la d e s c o m p o s ic ió n (2) e n tra n adornas f r a c c io n e s s im p le s de la forma
M j* + N x
x*-\- px-\-q
,
'
_ M kx + N h
"t'( ® á . ( . p a; . ( . í j7r >
donde
1-3 t P * + ? = [ * - ( « + «&)] l * ~ ( « -
ib)\
y M it N i ,
M ) l, Nh son c o e fic ie n t e s in d eterm inados que so ca lcu la n por
los p ro ce d im ie n to s in d ic a d o s más a rriba . G uando /í = l , la fr a c c ió n (5)
so in teg ra d ire cta m e n te ; cu a n d o A r > l , se em p lea e l procedimiento de reduc­
c i ó n , recom endán dose que p rev ia m en te se le d é a l t r in o m io do segundo grado
x 2 -\~px-\-q la fo rm a ( * + - £ - )
Ejem plo
Solución.
3.
+ (?—
Y so lía£a
H a lla r
Como
s
*+ i
(** + 4 * + 5)*
dx — /.
X
9—1016
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susLitución a ? - } - y = z .
130
In teg ra l indefinida
poniendo x + 2 = z, tenemos:
,
f
2 -1
;
J ( ^ + 1)2 2
$
zdz
i (22+ l)2
= = - 2 ( Z2 + l ) " S
P (l + z2) - z 2 ,
(Z2 + 1)2 ^
'P + T + S
[ ~ 2 (22 + 1) ] = ”
z
i 4
— arctg z — - j z , ,T H - t t a r c t g 2 2 (* * + l)
2 °. M é t o d o
se tiene,
do
P (x)
,
j
o (*)
2 (a * + l)
I T Í ^ ± i _ _ _ 4 - a rctg { a : + 2, + C.
Ostrogradski.
?
Z+ I
1 2 “ l " Vb
- 4 - arctg Z + C = -
2(22 + 1 ) '“
X (x)
Si Q (x) tio n o raíces
. f
y (* >
m ú lt ip le s ,
,
Qi ( * ) + 1 e 2 <*)
, px
’
{ >
donde Q { (x) es el m áxim o com ú n d iv is o r del p o l in o m io Q (x) y de su d e ri­
vad a Q' (*);
Q a W = Q ( * ) :< ? i (*);
X (*) o Y (a:) son p o lin o m io s co n co eficie n te s in determ inados, cu y os grados
son menores en una unidad que lo s de Q t ( * ) y Qz (*), respectivam ente.
Los coeficien tes indeterm inados do lo s p o lin o m io s X (x) o Y (*) se calculan
deriva n d o la i d e n t id a d (6).
E j e m p l o 4. H allar
?
dx
1)2 1
i
Solución.
P
dx
A a fi+ B x+ C
i
<«« — 1)2
1>»
*J —1
. ? Z) * 2 + 2¿ * + F
'
J
*3 —
1
dar.
D erivando esta id en tid a d , tendremos:
1
( 2¿ s + t f ) { z a —
( * * — 1)2 =
1 ) — 3a?2(¿a;2 + t f e
+ C)
(* 3 — 1)2
Z )^ + ^
+
+ F
*3— 1
o bien,
i = ( 2 A x + B ) (* 3 — 1) — 3*2 ( ^ 2 + ^ + C ) + ( D * 2+ ^ + ^ )
— i).
Igualando los co eficien te s de las corresp on d ien tes p o to n cia s do * , tendremos
E — A = 0\
D = 0;
F — 2 B = Q\
D + 3C = O;
E + 2 A = Q;
B-\-F — — 1;
do donde
A = 0;
¿í= —
C = 0;
0 = 0;
£ = 0;
^ = --| -
y, p o r consiguiente,
í1
í/x
1
*
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2
f
tfx
131
Integración de ju ncion es racionales
Para c a lc u la r la in to g ra l del segundo m ie m b r o de la igualdad (7), des­
com p on em os la f r a c c ió n — — — en fra ccio n e s elem en tales:
1
*3 — 1 ~
L
*—1 +
M x+N
*3+X + l
9
es d e cir,
(8 )
\ = l ( z * + z + i ) + M x ( x — 1) + TV{ * — 1).
1
P o n ie n d o * = i , tendrem os q ue £ = - 3íg u a la n d o lo s c o e fic ie n t e s de las p oten cia s ig u a le s do x en am bos m iem ­
bros de Ja ig u a ld a d (8), b a ila m os:
¿ + A/ = 0;
L — N = 1;
es d e cir.
1
P or lo tanto,
P
¿
dx
1 P
3 )
”
dx
* -1
z+ 2
*a + *+ l
— I" 1“ I
J (*3 — 1)2
1
ln (** + * + ! )
6
1
x
dx
P
, 1 L
3 ( z 3- l ) +
dx
9
* 24 - s + l
( s - 1 )2
1/3
- arctg
3 1 /3
2z + t
-\-C.
V3
H a lla r las in teg ra les:
1280. J
1281
dx
( z - j - a) ( a + 6)
1288
i
P *2
a2—
_ 5z+9
da:.
- i « 3- 5* -(-6
1282
1283-
ü
1 289. $
dx
{ * — ! ) ( « + 2) ( * + 3 )
S
,2 8 4 . J ^
í
2*2 + 41* — 91
dx.
( * + 3) ( * _ 4 )
3+ 2
dx.
5*2+^
5zg+ 0 z + 9
,
( x - 3 ) 2 < * + l )2 a X '
3a: — lO)2
2* — 3
129° - S (zg" - 3 z > 2 ) 3
dx.
dx.
1291. J
1 292. J
d i.
dx
1285-
S t f W
1293*
•
1286. J - g r i - d * .
. 0^
1294. J - * , - .
C * 4- 6 x 3 - f 12z * + 6
1287- l
S (* 2 _ 4 a ¡+ 3) ( í 2 + 4 z - j- 5 ) ■
z 3 — 6Z- + 12J — 8
1295. J *4 + 1 •
9*
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Integral indefinida
132
i m
]
iJ + S + r -
1299f
1297.
S (»+ i)(í< + í+ i)>
1300. S V - Í + W
•
“ *■
)298- S
H a lla r Jas integrales siguientes, u tiliza n d o el m étod o de Ostrogradski:
1301 ■ S J Z + W W + W '
1303' l H2+ i ) 4 ’
1302- S l í É n r -
H a lla r
m ientos:
1304* S
las integrales siguientes,
,3 Ü 5 - \
{ x s + 1)(* 3 + 8) d x ■
i» » -
Í
J L
1307 ‘
\
\x - 4 y ^ x - 2 y d x -
t f +
1 3 i 0 *-
idx•
1308* \ * W T W -
1 3 tl*
l
1 3 1 2<
\
1314.
— 4^2 + 5^ — 2
procedi­
\ * (* » + !) ’
(** + 2* + 2)(*a + 2» + 5)'-
1313’
1309. \ . - . f , r
J
em pleando diversos
l l T & r -
\ -¿ -r ■
J
§ 6. Integración de algunas fu ncio n es Irra cio n a le s
Io. I n t e g r a l e s
del
tipo
ÜL
4 - b \ qi
J jL
l a x + b \ qz
(D
donde
H es
una
función
racional
y p it qít P2>
• •• s 0 n
números enteros.
Las integrales del tip o (1) se b ailan valiéndose de la su stitu ción
ax + h = z » ,
cx-\-d
donde n es o l m ínim o com ún m ú lt ip lo do los números qv q2> *• •
Ejemplo
1.
H allar
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133
Integración de algunas fun cion es irracionales
Solución.
La s u s titu c ió n 2x — l =
f _________ dx_____________ r
i
2g» dz __ 0 P
’^ 2 r ^ í _ 0 z2— : _
= 2
reduce la in tegral a
la forma
rfg
J 2— 1 ~
J
( ^ + l + - ¿ i ) d2 = (z + l ) 2 + 21r«|3 — M + C =
= ( l + 4/ 2Í = T ) 2 + ln
—
H a lla r las integrales:
1315.
1316.
[
*
dx.
j y * -i
[ -£ M = - .
1321. [ - ^ r . d x .
¿*+ ¿
1322.
\
J )'
1317.
¿ (2 — x ) "|/1 — #
? ■ ____ dx , ^ = .
J \/x-\-i + V ( * - M ) a
1323.
\x \ / W \ d x .
J
*+ 1
1318 • ¡ V 0 7 T -
1324. S f i ± i * r .
1319.
1325. C
t
1 ¿x.
.3 y . r + 1
. . . f ± 3— <fo.
J ** 1 /21 + 3
1 320. f
+ i ^ . rfx.
«J (*-|-l)2— "l/ar^-l
2°.
Integrales
dol
tipo
í ■■ .^ L = r d»,
J ^ flí^ + 5 I c + C
d o n d o P n (& ) o s u n
Se supone que
p o lin om io
do
grado
(2)
/a.
^ — ^ = ¿ 5 = = = = dx = Q n - i (*) \I a*2 + bx -}- c -f- X \ — .
■
— »
(3)
d on do Q n -i (^') es un p o lin o m io de grado ( » — t) co n co e ficie n te s in d e te rm i­
nados y A, es u n número.
L o s c o o fic io n t o s d e l p o l in o m io Q n -i (ar) y el número A, se ha lla n d eri­
van d o la identidad (3).
E j e m p l o 2.
S rf
$ ^ 73=
*
-
f
~ (A x3 + fíx*+ cx+ D )-y**+ Z + *‘ \
dx
y lF + i
'
De donde
^ ± ^ r - = ( 3 4 * » + 2 B x + C) V ^ + 4 +
y ,i +4
T
T
+ ?■>* +
y jq r 4
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■
y 3 + S
In tegra l Indefinida
134
M u ltip lica n d o por ~\/x2+ 4
iguales de x, obtenemos:
e igu alan d o
lo s
co e ficie n te s
de
las potencias
A = - ~ ; B = 0 ; C = ~ ; D = 0; X = - 2 .
P or con sig u ie n te ,
J
=
3°. I n t e g r a l e s
V ' S 2 + 4 ~ 2 l Q { a : + V ‘Í 2 + 4 ) - t - C .
del
tipo
{ -------------- f
(4)
* (x — a ) n " l / flz2+ ¿,a:+ c
Se reducen al tip o de integrales (2) valién dose de la su stitu ción
1
t.
H a lla r las integrales:
z*dx
f
1326. \
S . t
J V ar‘,™";r+ Í
1327
■s v é j r
1/ i — s 2
iss»- s
'
J ( i + l ) 3 T / i a+ 2 i ‘
‘
1328. \ — Í L ^ d x .
J
1331.
[ - f l ± ^ ± l - ^ dx.
V l+ x*
¿
4 °. I n t e g r a l e s
dx
1329. [ -------- ^ ______
^ x b ~\/x2— i
dx
de
Jas
x Y x 2 -1 + 1
diferenciales
binomias
^ x m (a~j-bxn)P dx,
(5)
d o n d e m, n y p s o n n ú m e r o s r a c i o n a l e s .
C o n d i c i o n e s d o C h ó b i c h e v . La integral (5) puede expresarse
p o r m e d io do una c o m b in a c ió n f i n i t a de funciones elem entales únicamente
en lo s tres casos que siguen:
1) cuando p es número entero;
2) cuando
es
número
entero.
Aquí
se
em plea
la
su stitu ción
a+¿>xn = z3y donde 5 es el d iv is o r de la fr a c c ió n p\
3) cuando
+ p es núm ero entero. En este ca so se em p lea la sus­
t itu ció n aaTn -f-¿> = z3.
E j e m p l o 3- H a lla r
S!
W
Solución.
Aquí
m= i-;
¿
‘
« = -£ -;
" -
p = -i-!
ó
Por con sig u ie n te , tenem os o l 2) caso de integrabilidad-
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n
=
=
l
T
in teg ra ción
de fu n cion es trigonom étricas
135
L a s u s t it u c ió n
1
1 + * W
nos d a : a: = (z3 — l ) 4; dx = 12z2 (z3 — í )3 dz. P o r lo quo
= 12
donde
z= V 7 W i H a lla r las in tegrales:
3
1332.
1333.
J x 3 ( l + 2 i 2) ”
dx.
[ i7 ^ - ^ .
J ^ 1+**
1335.
^ 'x f ^
1336.
\
J
\
.
I * (2 + S3) 3
1334.
\ ------$
=
.
1337.
í
_ t/d— .
§ 7. In te g ra c ió n de fu n c io n e s tr ig o n o m é t r i c a s
I o.
Integrales
del
tipo
^ sen771 x c o s n x d x = / m, n ,
(i)
d o n d e m y re s o n n ú m e r o s e n t o r o s .
1) Cuando m = 2A*-j-l es u n nú m ero im par y p o s itiv o , se supone
J m, * = ~
jj sen2,t x c o s n x d (eos x ) = — ^ (1 — eos2 x) h co sn x d (eos x).
De fo rm a análoga se p ro ce d e cuando n es u n núm ero
Ejem plo
im p ar p o s itiv o .
1.
r»
f*
SCnll
\ se n I 0 x co sa x d : r = \ sen*o x (1 — se n 2 x) d (sen x) = -L— —
2) Cuando m y n so n nú m eros pares y p o s itiv o s ,
g r a l ( 1) so tran sform a v a lién d ose de las fórm u la s:
so n 2 x = - ^ - ( l — c o s 2x ) ,
Ja e x p re sión su b in te-
cos2 x = - y (l-| ~ c o s 2x),
sen x eos x ■= i
¿t
sen 2x.
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se n 13
-------(- C.
Integral indefinida
Ejemplo
2.
^ eos2 3 x sen4 3x dx — ^ (eos 3 x sen 3 x )2 sen2 3x dx =
f
sen2 6x 1 — c o s G x .
1 (* ,
= \ — 4----------- ^-----------
- t S(
-
1 — eos 12a:
2
sen 12x
24
t(t
3) Cuando m = — p y
del m is m o orden, tenemos
"*• n — \
T i (sen Gx
1
„
\ ,
sen3 b x j - \ - G .
/ i = — v so n
n ú m eros en teros, n e g a tiv o s y paros
2 x d (tg x ) =
«)
iL
=5
sen 6x cüs G;r) áx
son2 6x eos 6x
r r ~ — — = í c o s e c ^4 x s6c v
«3 son^ x eos x
„ .
£L±V- t
(i+ig**)2
v—2
a + t g 2^ ) 2
tg
d (tg x ) .
x
A este ca so se reducen, en pa rticu la r, las in teg ra les
í ^ i _ = _ í_ f
J son*** 2 - * J
(*+f)
dx
líI J
y c
i COSVX
se u
( * + í
Ejem plo
)
3.
dx
\ c á ^ 7 = $ sec2 i ¿ ( t g x ) = ^ ( l + tg2 * M ( t g x ) = t g s - f - ~ t g 3 s - t - C .
e os4
E j e m p ío
?
J
4.
dx
_
dx
1 P
sen3 x — 23 J
s e n 3 4¡r e o s 3 -í-
z
= 4 $
tr 3 l
sec6f
tó =
z
8
sec2 — rfx =
tg' T
-iS K
2
2
'
x
+ t g ~ ]d (ig| ) =
tg 2
t g - f
2 ln
4
tg 2
2 t s2 í
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+
2
4-C.
In teg ra ción
de
fun cion es
137
trigonométricas
4) Las integrales de la forma ^ tgm x d x
^ ctgmx d x j , donde m es
un número entero y positivo, so calculan valiéndose do la fórmula
tg2 x = sec2 x — i
(o de la correspondiente ctg 2 x = cosec2x — 1).
Ejemplo
5.
^ t g * x d x = ^ tg 2 x (sec2 x — 1)
=
tg * x d x ~
= ^ —3 ^ — ^ (sec2 x — \ ) d x ~
—tg z + z + í?.
5) En ol caso general, las integrales Im, n de la forma (í) se calculan
por medio de fó r m u la s d e r e d u c c i ó n (_f ó r m u l a s de r e c u r r e n c i a ) , que se deducen,
ordinariamente, empleando la integración por partes.
0.
f son2 x 4 - eos2 $ _
Ejemplo
f*
\
dx
f
sen x _ , P dx
d x = \sena;--r.— dx
\
¿
eos-’ x
¿ eos x
r.—= \ — ------------
¿ eos-* x
J
cosJ x
11 fP COSI
cosí
1
=
,,
.( (*
f
SC" x - 2 ^ ~ 2 ) - ^ 7 d x + )
dx
COS X
-ra r;+ T i» lx « + » > * l+ c H a l l a r la s integrales:
1338.
J eos* x d x .
1347. J
1339.
^sen 5#<£r.
1348. ^
1340.
^sena # c o s a # á # .
1 341.
J seu3| - e o s s y d x.
1 342.
13431344.
1345.
1346.
^ sen4 o: do:.
^ sen2 a:eos1 a: da:.
•
dx
1350. J
dx
sen2 X COS4 X
dx
¿
sonBX eos3 X
dx
1352. ^
\ sen2 x eos2 x d x.
J
eos0 3 x dx.
son*3 X
■
eos 0 X
eos 2
- dx.
1349. ^
sen6 X
1351. [
J sen* x
*
dx
_
X
„ X
sen -7T- eos 3 —
¿t
.
.
so n (x -| --2 -)
1353. ■' so¿
1354.
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^
dx
son0 x
d 38
Integral indefinida
1355. ^ sec54a;da:.
1360.
J
1356. ^ tg2 5a: da:.
1361. J
1357. ^ c t g 3 a: da;.
1362. J
1358. ^ c t g 4 a: da:.
1363. J
1359. J ( t g » | 4 - t g + ) d x .
1364. J
coss x
dx.
sen4 x
dx
’^/sen x eos3 x
dx
y f T
2°. Integrales de las formas: V sen frta: eos na: da:,
^ son rnx son nxdx y ^ eos mx eos nx dx.
Én estos casos so emplean las fórmulas:
1) sen m i cosna: — — [sen (m + n )a: + sen (m — n) x]\
2) sen mx sen nx =-^- [eos (m— n) x — eos (/7t+n) x];
¿i
3) eos mx eos nx =
Ejemplo
[eos (m—tí) a: + eos (m+ n) x].
7.
^ sen 9a: sen x dx = ^ -i- [eos Sx — eos 10a:] dx =
sen 8a: — ^ sen 10a: + C.
H a l la r la s integrales:
^ cos(íia:+fe) cos(<2a: —b)dx.
1 3 6 5 . ^ sen Zx eos 5a: dx.
1369.
1366. ^ sen 10a: sen 15a: da:.
1370. ^ sen coi sen ( m i + <p) di.
1367. ^ eos
1371.
^ e o s x eos2 3a: d x .
1372.
^ sen a: sen 2a: sen 3a: dx.
^ ií (sen x y eos x) dx9
(2)
eos y dx.
1368. ^ sen y eos - y - da;.
3o. I n t é g r a l o s
de la f o r m a
d o n d e B es una f u n c i ó n r a c i o n a l .
1) Valiéndose de la sustitución
do donde
sen x —
21
1 — í2
COSX =
1+ 22»
l + «2 *
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dx
2dt
i + ¿2 ’
139
In teg ra ción de fu n cion es trigonom étricas
las in te g r a le s de la fo rm a ( 2) se reducen a in teg ra les de fu n cio n e s
les do ja nueva v a r ia b le t.
ra cion a ­
E j e m p l o 8. H a lla r
?
Solución-
dx
= /.
1+ s e n a :+ c o s x
S u p on ie n d o t g
2
•1=
= t> tendrem os:
í*
t
A t
i + t2
1 + * 2 1 j + ¿2
tj
n -tg -f-
+
+ c.
2) Si s e v e r i f i c a la id entidad
R ( — s e n * , - ~ c o s x) = R (son x 9 eo s x ) ,
para r e d u c ir la in te g r a l (2) a la fo r m a
tu ción t g z = í.
E n este caso,
t
sen g = —
— ..............
_------- _ - >
j
racional s o puedo em plear la s u sti­
i
COSj —
x—
—
V i+ t2
,
-
yi+t»
, .
2 = a rctg t,
,
dt
d x = ~ jT .
E j e m p l o 9. H a lla r
dx
(3)
1 + sen2 x
Solución.
Pon ien do
tg * -* .
seB2 * = T + 7 2 ' ’
^ = 1 + 1 5 -’
ten d rem os:
p
dt
p
i
(1 + i}2 ( i + _ j i _ )
i
=
di
i
p
y s i
d {íV l)
i+ (iV 2 )2
a r c t g ( t 1 / 2 ) + C = y = a rctg ( V 2 tg x ) - f C.
Debe a d v e rtirse q ue la in t e g r a l (3) s e c a lc u la más d e prisa s i ol num e­
ra d or y el d e n o m in a d o r d e la fr a c c ió n se d i v id e n previam ente p o r eos2 *.
E n a lg u n o s ca so s con cre to s o s con ven ien te e l e m p le o de p roced im ie n to s
a r t if ic ia l e s (véase o l e je m p lo N ° 1379).
H a l l a r la s in tegrales:
1373. C -5 -r-pJ
3 + 5 cosa:
.
1 3 7 4 . í — — ^ --------- .
¿ senx + eos x
1375. \
J
™ sx
1+ co ss
dx.
1376. ( - sena:- - d x.
j 1 — sena:
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m
In tegra l indefinida
4 Q 77
10
[
'
<*£__________
i S - 4 sen z + 7 co s x '
1378,
S e o s X + 2 sonar + 3
1370**
í
• i
3 s o n a;-|- 2 co-s x
2 sen a + 3 co s x
S T + ^ F
1382* ‘
J
,
. s e n * v. da.
(1— cosa;)*
1386. ¡ 1
1 387. |j
1388. J
•
'
1383*.
sen2 x — 5 sen x c o s ar
1 385. ^
J
*
1380. \ i ± M f d x.
J 4 — tg®
1 3 8 1 *-
dx
138 4 *.
¡*+3 senxcoa x —cos2x'
sen 2a:
dx.
4 - son2 a:
co s 2a:
e o s4 a: -(- son4 a:
co s a:
dx.
sen2 a: — 6 sen x - j - 5
138 9 *. \ rr,
%
t
¿ ( ¿ — sen x) (d — se n a:)
1 39 0 *. \ l ~ s e a x + c o s x d x .
J 1 + sen x — cos x
§ 8. In te gra ción de fu n c io n e s h ip e rb ó lic a s
La in teg ra ción de las fu n cio n e s h ip e r b ó lic a s es co m p le ta m e n te
a la in te g ra ció n do la s fu n cion es trig o n o m é trica s .
Deben rocordarso las sigu ien tes fórm u la s p rin cip a le s:
a n á loga
1) ch* x — sh2 £ » 1;
2 sh8 x = -5- (cli 2 x — 1);
3) c h « * = - i . ( o l i 2 * + i ) ;
1
u
4) sli x c h x = -^ * sh 2x.
Ejemplo
1. H a lla r
^ o h 2 a: da;.
Solución.
T en em os:
^ ch2 x dx — ^
Ejem plo
2.
(ch 2x -|-1) d x = -i- sh 2% + - i - x + C.
H a lla r
^ ch3 arda;.
Solución
^ ch;i x dx =
Tonomos:
Jj ch2 x d (sh x ) = ^ (1 4 " sh2 x) ¿ (s^ x ) = ¿h x + " " y ~ + £
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E m pleo de sustit. trigonom . e hiperból. para el cálculo de integrales de la forma 141
H a lla r las in tegrales:
1391.
^
sh * x d x .
1 3 9 7 . ^ th z x d x .
1392-
ch 4 x d x.
1398.
1393.
^ sh 3 x ch x d x .
1 3 9 9 . ^ áb2'/ : ~ :
1394.
J s h ax c h * x d x .
1400. J
f395' S
cth 4x dx.
oh2 x ’
■
'«'•
dx
2 sh a - f 3 ch * ’
*
\ th a — i *
1396
y ch 2x
§ 9. Empleo de sustituciones trigonom étricas e hiperbólicas para el calcule
de Integrales de la forma
R (x t y ax* -|- bx -f- c) dxt
(1)
donde fí e s u n a f u n c i ó n r a c i o n a ! .
T ra n sform a n d o el t r in o m io do .segundo grado ax*-\-bx-~-c on una suma
o rosta de cu ad ra dos, red u cim os la in tegral (1) a una de las intégralos de
las form a s siguientes:
1) ^
R ( z t y m'2— z2) dz;
2)
^ R (z , '\/m^ + z i)dz\
3)
^ R ( z , T/ z Z—
E sta s ú ltim a s
las sustitiicionos:
1) z = m sen t o
2) 2 = m t g í o
3) 2 = m. sec t o
E j e m p l o 1.
m 2)
dz.
integrales so resuelven v alién dose, respectivam ente, de
z — m t h t,
2= m sh í,
z = m c h t.
H a lla r
f
dx
i <z + l ) 2 y * í + 2 * + 2
Solución.
Tenemos:
* 2-| -2 .r + 2 = ( * + l ) a - M .
P on ga m os a; + 1 = tg t , en c u y o ca so dx = sec2 /. dt y
j
~
^ __________ dx__________ __ ^ sec2 t dt _
^
eos t
j (z + l ) 3 l / ( j j + " í ) S + Í ~ J
J sen2 ¿
1
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_
~
y * i + 2x + 2
------------------ 7 + \ --------- +
c -
142
In teg ra l indefinida
Ejem plo
2.
H a lla r
s + l dx — 7.
Solución.
T en em os:
1 \2 . 3
cep o n ie n d o
=
y dx = ^ -
ch td t,
obtendrem os:
/
■s
3 V3
8
3 1 /3
= “ 8
sh i ch3 i di
c h 3 t dt =
- 4 S
ch3 i
3 /1
. , , , ,
r - ¥ Í T shichí+T í ) +C-
Como
í = ln ^ + y - } - y x 2 + x - f - l ^ + l n ^ | ,
d efin itiv a m e n te , tendrem os:
l
(x2+ I + 1 ) 2 _ l ( a; + l )
y **+*+!
3
lü
H a lla r las in tegrales:
1403. J y 3 — 2a; — x 2 d x.
1409..
^ ] / a : 2~ 6a: — 7 dx.
3
1404. J y i ! + x2 dx.
1410.
1405. í - J t — dx.
1411.
1406. jj y ^ 2 — 2 x + 2 d x .
1412.
o y9+xa
dx
_3_
’
(cc3- 2 o ; + 5 ) 2
1407, \ V & - 4 ^ x .
1413.
1408.
1414.
^ l ^
+ arda:.
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der
( i +*2) y y f p
•
dx
< i-x 2 ) y i + ^
'
In teg ra ción
de
distintas
ju ncion es
V i3
§ 10. Integración de diversas funciones transcendentes
H a l l a r la s in te g ra les:
1415.
J( ar2 + 1f e ^ d x .
1 421.
1 416.
^ x 2 eos2 Sx dx.
1422.
dx
-[/e*« + ex + l ‘
1 417.
^ x s e a x c o s 2 x dx.
1423.
1418.
^ e2* sen 2 arete.
1424.
1419,
^ ex sen x sen 3a: d x .
1425.
1420.
\ are* eos x d x.
1426.
sen x sh x dx.
§ 11, Empleo de las fórm alas de reducción
2
1427.
! h a lla r / 2 e / 3.
1 4 2 8 . I n = ^ s e n 11arete; h a l l a r / 4 e I s.
1429-
h a Ila r
e U
1 4 3 0 . / „ = ^ x ne~x d x ; h a l l a r / 10.
§ 12. Integración de d is tin ta s funciones
i m -
l
‘ « 21 433.
1437.
4z + 9 #
ai — 5
-d x.
2x+2
X'¿
d x.
\
1438.
1439.
dx
f ____:
.) x*— 2a?a+ l ‘
?
1434.
í
1440.
.
xdx
x + í)»
*•+*+4
dx
(*2 + 2)2
l
— 4x
i(1
é -2 V i)2
1441.
J
1442.
t
, -rfJ
... .
o V a:2+ ^ + l
5 w + 2)2* (a:+ 3)2 *
1436.
J
dx
(* + ! ) « (* a+ l ) '
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In tegra l indefinida
3- s
1443
l - f l :
5
V S
1444. P
dx
1462-
)> ( f 3 + f ; r
1445.
s
144G . ?
2a; 4-1
Y ( 4 x 2-~2x-|-l)3
T7=
M
- 7= =
<) y 5— i +
1447.
V (* 2 — l)3
^
cía;.
.
s
sen 3 a:
1463
y COS3a: .
1464.
1465.
dx..
"
cos x s e n ^ x
1466.
cosec5 5x d x .
\ -s ^ d x .
J eos6 a;
^
— x'j
s o j) ^
x
x dx
1448.
1449.
<í*
1461.
¿a:.
X sen ( - j - r
dx.
1 4 6 7 . ¡| t g 3 ( - J - f
^ )d x .
(i+ « * ) y i —*« ‘
.
\
x d X --. — . .
¿ y 1 - 2x 2- * *
1 4 5 0 . [ — ■ 1 3-
dx.
1468*
J a a a n x + tccx -S
i m
S j + r a
(*a+ t ) T
14 51 * . f
da
_ _
.
(cc2^4aí) "]/á— 3:2
1452. J y ^ g dx.
-
X
dx
1 4 7 0 . J eos 2 x-\~2 sen x eos x +
+ 2 sen2 *
■s
1453. J / a s - í a * * : .
1 471
1454. í -
1 4 7 2 . J ( 2 + eo s* ) (3 + eos x ) ’
sec 2 x
da;.
1473. 5 ,
j/tg 2 * + 4 tg * + l
eos/xa
dx.
1474. ^
0 x
1 4 5 5 . ^ a;
y l x .. _ .
[ / a 2 -j-a + 1
]/ "£ 2
dx
1456. ^ —
*
1457. .
1458.
+ 2a; + 2 da;.
tía:
,______
dx
sen * son 2 x *
da
cv Y a2 + sen2 üa:
* ti*
E S*» •
S
i sj/l-xa
1475-
¿ ir n -* 3
1 4 7 6 . ^ a; s e n 2 x d x .
-y
1459.1
,j j r í +
1 4 6 0 . ^ eo s 4 a: d x
dx.
1477. J
1478.
www.FreeLibros.me
x * e x* d x .
\ xe*x d x.
In tegra ción de d istin tas fun cion es
1479.
1480.
^ x 1 In j / l — x d x .
1482
1483.
1484.
1485.
i (sen x + eos x ) 2 ’
i < tg x + 4 )se n 2 *
1487.
1488.
1489.
X
+
1491.
í A
1492.
J 4 4
r,
\ (x 2 - l ) 1 0 ^ d x .
*
1493# f
? _______ dx_______
-
~
dx.
J
*
a
\ s h a: c h a: d x .
J
149^
gretga ^
"
z2
*
1495.
*
\ a:3
aresen — dx.
£ sh "1/1 — o?
J
1486.
X’
i
i x
,
\ s o n 2 — COS - 75" d x .
¿
2
2
P
d x ________
d x.
P —
J
f x a rctg x j
¿V I+ T *
1481.
1490.
445
l/l — x
1496.
^ eos{ln x ) d x .
f
sh a: ch x
) sh* * -f-ch2 a:
1497.
p
V(a:2 — 3a:)sen 5a:dx.
\ !\¡*x d x '
1498.
\ x a r c t g (2a: + 3) dx,
?
dx
¿ c**— 2cx *
1499.
?
r\ aresen y x dx.
\ e** — 1)e* + i3 dX‘
1500.
^ \x\dx.
1 0-1016
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Capitulo V
IN T E G R A L DEFINIDA
§ 1. La Integral definida como lím ite de una suma
I o. S u m a i n t e g r a l . Sea f (x) una fu n c ió n d e fin id a en oí segm ento
y a ~ x 0 < Xj < . . . . <
= ó una d i v i s i ó n arb itra ria de este seg­
m en to en n partes (fig . 37). La suma do la form a
n —i
2 /(£ í)A * ¡,
i= 0
( i)
d on de *i < gf < * j +1; A*¿ = * ¿+1 — x £\
i = 0, 1, 2, . . . ( n - 1 ) ,
re cib e el nom b re de suma integral de la fu n c ió n f (x) en [a , b]. S n repre­
senta g eom étricam ente la suma a lg é b r ic a do las áreas de io s co rre s p o n d ie n ­
tes paralelogram os (véase la f i g . 37).
2o. I n t e g r a l d o f i n i d a. El lim ito
número n do d iv is io n e s tiende al i n f i n i t o y la
tien d e a cero, so llama integral definida de Ja
x — a y x = b, os d e cir,
n —í
lim
Y
m áx.
.
1
i= 0
do
la suma S n >cu a n d o el
m a y o r de las d ife re n cia s Ax,fu n c ió n f (x) entro io s lím ites
b
/< 6 «> A * í = \
J
(2)
a
Sí la fu n c ió n / (x) es c o n tin u a en fa, ¿>JT tam bién será in te g ra b le en ¡a f b),
os decir, ol lím ite (2) e x isto , in d epen dien tem ente del m étod o q ue se em plee
para d i v id ir el segm ento de in te g r a c ió n [a, ó] en se g m en tos p a rcia les y de
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L a integral definida com o lim ite de una suma
147
la e le c c i ó n d o lo s p u n to s £$ d e n t r o de d i e b o s seg m e n to s. La in te g ra l (2),
d o f in id a g e o m é trica m e n te , es de p o r sí la sum a a lg é b r ic a de las áreas de
las fig u ra s quo fo rm a n el trapecio m i x l i l í n c o aABb, on el que las áreas
do las partes situ a d a s s o b r e el eje O X se tom a n co n s ig n o p o s itiv o , m ien tra s
que las áreas d e las partes que se e n cu e n tra n b a jo el e j e O X se tom a n con
sig n o n e g a t iv o (véase la f ig . 37).
L a d e f i n i c i ó n de la sum a in te g r a l y de la in tegral d e f in id a s e genera­
lizan , n a tu ra lm en te , al ca so cuando a > 6 .
E j e m p l o i . Form ar la suma in teg ra l S n para la fu n c ió n
/(* ) = 1 + *
en el s e g m e n t o [1, 10], d iv id ie n d o este in t e r v a lo en n partes iguales y
e lig ie n d o los p u n to s £* d e fo rm a q uo c o in c id a n c o n los e x tre m o s izq u ierdos
do lo s se g m e n to s p a rcia le s f*|, x M ¡, ¿ A quó es igual el lim S n?
71-» 0
Solución.
Aquí
A
t
=
n
y
=
x0
qí
i A zf — 1 -+■ —
.
De d o n d e / (gj) = 1 + 1 - f - ^ - = 2 + - —- . P o r c o n s ig u ie n t e ( f i g . 38),
=
2
/(6 ,)A * ,= 2
(2 + -7
t
) ~ — — -»+ -S -(0 +
i
+ .
lim S n = 58 i - ,
n — co
¿
E j e m p l o 2. H a lla r e l área d e l tr iá n g u lo m ix t ilín c o , lim ita d o p o r el
arco d e la p a r á b o la y — x*, e l e je O X y
la v e r tic a l x = a ( a > 0 ) .
S olución.
D iv id i m o s la base
e n n partes ig u a le s A z = — . E lig ie n n
d o e l v a l o r de la f u n c ió n en el c o m ie n z o de ca d a seg m e n to , ten d rem os:
a
» , - o ; ^ = ( - S - ) 2 ; » - “ [ 2 ( ^ ) a ] ; •••; * » = [ < « - < > f ] 2 •
10*
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In tegra l definida
EL área de
la
los re ctá n g u lo s in s c r it o s se ca lcu la m u lt ip lic a n d o cada yh por
baso
k x — ! L (fig . 39). Sum ando, obten em os el área de la figura escabas
tonada
S* = í
( t ) 2 [ 1 + 23+ 3a+ . . . + (» - 1)3 ] -
/ \
U tiliz a n d o la fórm u la de la sum a do lo s cu adrados de Jos nú m eros en teros
n :
.o
» ( * + i)(2 n + i)
6
2 '*
h=t
hallam os
0
a* (n— 1) n(2n— 1)
43,1
5 ?
do dondo, pasando al lím ite, obtenemos:.
S=
..
a3 (n — l)n (2n— 1)
lim S n = lim — ^
n-»oo
~
a3
^
•
C a lcu la r las in tegrales d efin id a s sigu ien tes, con sid erá n d ola s com o
lím ite s de las correspon dien tes sum as integrales.
1501.
1502.
t
\ dx.
i
1503. J x 2 dx.
a
—2
T
10
\ (y0 + g t ) d t ,
1504. ^ 2 x dx.
v o y g son constantes.
1505*,
1506*. H a lla r el área d e l trapocio m ix t ilín e o , lim ita d o por la
h ip é rb o la
* i
y = T >
el eje O X y las dos ordenadas: x = a y x = b ( 0 < a < b ) .
1507. Hallar
X
r>
sen t d t .
0
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C álculo de las integrales d efin id as p or medio de indefinidas
149
§ 2 . Cálculo de las Integrales definidas por medio de Indefinidas
ble.
I o. I n t e g r a l
d e f i n i d a c o n el l í m i t e s u p e r i o r v a r i a ­
Si la f u n c ió n / (¿) es c o n t i n u a en el s e g m e n to [a,
fu n ció n
X
í '( * ) = J f(t)dt
¡
es u n a f u n c ió n p r im it iv a de / {*), e s decir,
F ' (x) = l (x) p a r a a <
2o, F ó r m u l a
de
x < b.
N c w t o n -L e i b n i z.
^ f(x )d x = F {x)
Si
F' (x) = f (x ), se t ie n e T
= F (b )-F (a ).
a
La f u n c i ó n p r i m i t i v a F ( x ) s e c a lc u la h a lla n d o la in t e g r a l in defin ida
J f(x)d x= F (x)+ C .
E je m p lo
U H a lla r la in te g r a l
3
x4 dx•
-i
Solución.
J
5
|—
= -? —
i 5
5
5
1 5 0 8 . Sea
a
H a lla r:
da 7
iUi db
H a lla r la s d eriva da s de las sig u ie n te s fu n cio n e s :
x
1509.
=
*»
Jln¿á¿ (* > 0 ).
1511. F ( z ) = J
x
*
o
Yx
1510. F ( x ) = j l / T T í * ¿ í -
1512. J =
X
J c o s ( t 2) d ¿
J_
X
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(* > 0 ).
150
Integral definida
1513. H alla r los pu n tos e x trem os de La fu n ción
X
y =
U tiliza n d o
integrales:
1514.
1515.
la
i
\
fórm u la
do N o w to n -L e ib m z ,
1516.
*
las siguientes
i
-2
i
V
— X
X
<zs
1517.
'
V a lién d o se
las sumas:
h a lla r
a;
í*
dx
\ i+ x
0
-1
r
? sen t ,,
,
_ n
\ -—— dt en el campo x > U.
«■ ‘
l
0
de
las
integrales
definidas,
71-+0O '
h a lla r
los [lím ites de
'
1519**. lim ( — j - T - ) - — {^ r + . . . + + - )
V'f + 1 ^
^
^ n + n )4520.
{ p > 0).
C a lc u la r las integrales:
2
1521.
1522.
j (^ -2 ^ + 3 )^ .
\ {V li+ V ^ )d x .
0
1527.
^ x^ Z + 2
1528.
1528.
i
/»
¡j
‘
«J
i
*
1523.
_
1529.
Y -^ fid y .
f
dx
\t! . r 2 + 4 í + 5 ‘
0
4
1530.
1524.
dx
\ }A r -2 d a :.
¡¡
¿3 * a- 3 z + 2 '
2
r1%
1531.
1 525. T
> ■ ■ ■
1/25+33:
dz.
f) '*8 + 1
0
n
4
,5 2 8 .
$’ ^
.
1532.
j.
t)
Tí
- 2
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In teg ra les im propias
151
V2
*
2.
1533.
^
dx
.
0 lv/ l —
3,5
1540.
\
*
3T
4
dx
1534.
2
ti
3
1 /5 + 4 * -* *
1541.
^ C t g 4 q)(¿(p.
1
1535 .
\
71
t
l
y*dy
* r*
■
V yO +4 ■
1542.
4
1536.
5
o
jj eos2 a da.
i
b
1543.
JT
^ c h a da;.
o
2
1537.
tgxd x.
ln 3
\ s e n 3 q>dcp.
\
• j
dx
oh** •
ln 2
e2
1538
1545.
j sh2 x d x .
o
Í539.
$ 2 i í í “ ii> d x .
§ 3, Integrales Impropias
1®. I n t e g r a l e s
de l a s f u n c i o n e s no a c o t a d a s .
Si
una
fu n c ió n I ( x ) n o está a cotada en n in g ú n e n t o r n o d e l p u n to e, d e l segm ento
[a, b y y e s c o n t i n u a cu a n d o a < ^ x < c y c < - r < ó , de acuerdo c o n la d e f i ­
n i c i ó n se su pon e:
b
c—e
\ f ( z ) d z — lim \
d
£—*0 d
a
a
l>
f ( x ) d x + ] i m ? / ( i ) dx,
t]-*0 d
(1)
c+U
S i e x is t e n y so n f i n i t o s lo s lím ite s d e l seg u n d o m ie m b ro de la ig u a ld a d (1),
la in te g r a l im p rop ia re cib e el nom b re de convergente. en c ! raso co n tr a r io
será divergente. Cuando c = a o c = b, la d e t e r m in a c ió n se s im p lif ic a do la
fo rm a corresp on d ien te.
S i e x is t e una f u n c ió n F (x ), c o n t in u a e n o l seg m en to (/*, b] ta l, que
F ' ( x ) = j ( x ) para x =?= c (p r i m i t i v a generalizada) , se tiene,
b
í ( x ) d x = F (b) — F (a ).
n
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(2)
452
In tegra l definida
b
Si l / W K ^ W
para a < ¿ < &
y
^ F (x) dx
a
tam b ién converge (criterio de comparación).
Si / ( * ) > 0 y l i m { / ( * ) Je —
= ^ gfc c o ,
A
J c — x f 11 cuai1^0 36~7> c ^ tendrem os que: i )
con verge,
-4 =£ 0,
&
es
in te g ra l (4)
decir,
/(* ) • * -
si m < ; i , la in tegral ( í ) es
convergente, 2) si w > 4, la integral (4) es divergente.
2 o. I n t e g r a l e s c o n l í m i t e s i n f i n i t o s .
es continua para a < > < c o , so supone quo
co
la
Si
la
fu n c ió n
f (x)
'
í f (x) dx = lim í j (x) dx
t)
l>-*0O V
(3)
o
y según que exista o n o exista lím it e f i n i t o del segundo m ie m b ro de la
igualdad (3), la in tegral correspondiente recibirá el nom b re de convergente
o de divergente.
Análogam ente
co
\ f (x) dx =
J
lim
í f{x)d x
y
a -f —OO V
\ f(x)d x=
•»'
a
lim
\ / (x) dx.
Q -- —CO
“ ro
ft-H-co a
OO
Si l / W K ^ t í )
y la in tegral
F ( z ) d a ; converge, la in tegral (3)
tam -
a
b ién convergerá.
Si / <*) > 0 y lim { / (ar) x m} — A =£ o o , A =/=■ 0, es decir, f (*) ~
cuando
X—
*oo
*
ar— > c o , tendremos que: 1) si m > l , Ja in tegral (3) es con verg en te, 2) si
m < l , ia integral (3) es divergente.
E j e m p l o 1.
\ ~ = l i m
\
J x2
e ->0
Í £ . + Iim \ Í £ « l i m
( 4—
x
e~>0 J * *
n ->0 v ^
+
/
f - —
11-^0 V
l) = c o
/
la integral es divergente.
E j e m p l o 2.
oo
S
o
Ejemplo
S
T $ ? = í , ! , “ <»re ,* i - ' “ <!t8 0>“ f
■
o
3. In vestiga r la con vergen cia do la integral de Euler-Poisson
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In teg ra le s im propias
Solución.
Se tiene,
oo
i
oo
e ~ xZ d x = \ e xZ dx-ir \ e ,ta d x .
j *+\
i
La p rim era de las d o s integrales del segundo m ie m b r o n o
y la segunda e s co n v e rg e n te , y a q uo e ~~x3 < ;
para x > 1 y
oo
os im p rop ia
b
d x = lim
\ e~x d x — lim ( — e~b -f- e J) =e~~1\
b-+ oo
p o r co n s ig u ie n te , la in te g ra l (4) e s convergento.
E j e m p l o 4. In v e s tig a r si e s co n verg en te la integral
oo
J
<5 >
S o l u c i ó n . C u a n d o x — > + c o , ten em os:
1
1
4
1
1
C o m o la in tegral
oo
SI
e s con vorg on te, nuestra integral (5) tam b ién lo es.
E j e m p l o 5. In v e stig a r si es co n verg en te la integral e líp tica
dx
(6)
y i — x*
S o l u c i ó n . E l p u n to de d is c o n tin u id a d de la fu n ció n su b in le g ra l es:
« s a l . A p l ic a n d o la fó r m u la de Lagrange a la d iferen cia 1 — x * = (1 — x ) x
X (1 + * ) (1 -\-x2)t obten em os:
1
1
y l - xi
i / ( i - x).te\
1
1
'
|
(1 — a:) * 2a:J
d on de x < x 1< 4 . P o r co n sig u ie n te , cu a n d o x — > 1 , tendremos
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154
In tegra l definida
Com o la integral
1
ü
(-r ir )* *
es con vergente, la in tegral dada (6) tam bién convergerá.
C a lcu la r las sigu ien tes
d iv e rg e n cia ):
in teg ra le s
im propias
1
1546.
d eterm in ar su
i
[
¿
.
£
1557. \
V*
0
J
2
1547.
(o
dx
x ln X
.
0
f —
\
.
i
*
« r .c o
i
1558.
,
2
f
¿a;
J a: ln2 a:
0
1 548.
0
,5 5 M
<M 9-
I
(iÉ fjr '
(■ »* )•
co
i
1550.
- n f r
a
1560.
C-* L -
(a > l).
O
^
3
tt
2
oo
1551. C
J x
1561.
i
\ ctgsd s.
a
o
00
1552. J i j - .
1562. \ e - * * d x
0
co
1
oo
1553. J % •
1563‘
1
1554.
$ a rctg * dx.
0
¡ - f a . .
.
1504. "j
oo
03
OO
1 555.
J
da;
;r2“|-4a;-}-9 ’
íc /'c
1565.
(*
da;
J a;3 + l
— oo
oo
1556.
( k > 0).
[ sen x d x .
1
1566.
o
í
o
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dx
5a;2
155
Cam bio de variable en la integral definida
A v e r ig u a r si so n co n v e rg e n te s las in tegrales:
100
1567.
i
\
1571.
9
f
-fe o
1568.
1569.
1
i
**
2
[
J x
—
.
-J 2 x + t f x 2 + i - \ - 5
1572.
\
dl
_\ x* + f x4 + ,
dx
\ ,
.< l n *
.
15 7 3 . ? - ^ 5 . dx.
a?2
i
3t
2
03
1570.
í
y ^ + i
1 57 4 *. D em ostrar
( f u n c i ó n beta)
quo
la
in teg ra l
de
E u le r,
de
Ia
especie
i
B (p , q) =
\ x ^ 1 (1 — x ) q- x d x
*)
o
es c o n v e r g e n te cu a n d o p > O y ? > 0 .
1575*- D em ostrar, q u e la in te g ra l
(f u n c ió n gam m a)
de
E u le r,
do
2 a especie,
co
r (p )= | xv-'e-* dx
es co n v e rg e n te cu a n d o p > 0 .
§ 4. Cambio de variable en la integral definida
Si la fu n c ió n / (x) es co n tin u a en el segm ento a ^ x ^ b y a : = q ) ( í } es
una fu n c ió n co n tin u a con ju n ta m en te ro n su derivada 9 ' (¿), en el segm ento
d on de a = 9 ( a ) y b — 9 (P), y la fu n c ió n /[q>(¿)l es d e fin id a
y c o n tin u a en el segm ento a ^ ¿ P> tenemos
b
p
^ f ( x ) d x = \ ^ / [q> (t)] <p' (t) dt.
a
E jem plo
1.
a
H a lla r
a
^ x2 y a 2 ~ x * d i
(a > 0).
O
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In teg ra l definida
Solución.
H agam os
x = <zsení;
dx = a coa t dt.
x
E n este caso, f = arcson — y ,
= arcsen 0 — 0, P — aresen l = y
a
por
co n sig u ie n te ,
se
puede
to m a r
a =
• P o r lo c u a l, tendrem os:
2
x 2 y'a* — x2 dx =
\ a2 sen2 t~\/a2— a2 se n 2 t a e o s t dt =
8
ti
n
2
2
re
Y
= a4 ^ sen2 i e o s2 ¿ dt = í sen2 2 í i í ¿ = ^ - ^
0
( i — cos 4 t)dt=*
0
u
7T
2
1576- ¿S e puede c a l c u l a r la in te g ra l
2
J V i — x*dx
v a lié n d o se de la su s titu ció n x = c o s / ?
T r a n s fo r m a r las sigu ien tes in te g ra le s d e fin id a s
las su stitu cio n es que se in d ica n :
v a lié n d o s e
4
3
1577.
3
^ V x + i d x , x = 2t — 1 . 1 5 7 9 . \ - - * =
¿
, x = sh t.
.) V ^ s + l
3
JL
2
1578- í —-t4 = = 7 ,
x = sen¿.
1580.
\ f ( x ) d x i x = a rctg
í
¿
2
1581.
P ara l a in tegra l
b
J / (a:) d x
(b >
a
in d ica r una s u s titu c ió n lin e a l entera
x = a t + Pj
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a)
de
157
Cam bio de va riable en la in teg ra l definida
que d é p o r resu ltad o q u e lo s lím ite s de in te g r a c ió n se hagan
respectivam en te igu a les a 0 y 1.
Ut i l i zando las su stitu cio n es que se in d ica n , c a l c u l a r las siguientes
integrales:
4
dx
1582. \ — ~~7=r
* = ¿ a.
J 1 + l/x
29
1583.
\
( I ~ ,2.)V3
dx,
x — 2 = zs.
J ( * — 2) / s + 3
Jn 2
1584.
J
e* — 1 = z*.
0
f 5 + IW í,
o
<586-
(
. +
. w
,
■
V a lié n d o s e de s u s titu cio n e s adecuadas, c a lc u la r
i
________
1587. j
Jn 5
dx.
1589.
1588. \ . V í l z l
,¡
las in tegrales
j
**
1590. f
*
d*.
¿5
J 2* + l / 3 * + l
C a lc u la r la s integrales:
3
o
1591. [
r dx
J
x \/x* + 5 z + i
1
[ V ^ - x 2 dx.
J
2n
j KA#
f
dx
1 5 9 4 - ,)í t5 —
— 3’o e•os
- —x
0
dx
1592 • \ / T T T 2 7 5 J (1 + * 2) 2
-i
1595.
1593.
D em ostrar, q u e si f (x) es una fu n c ió n par,
a
a
^ / (x) d x = 2 ^ / (a;) dx.
—a
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.
In tegra l definida
S i , p o r e l c o n t r a r i o , f (x ) e s u n a í u n c i ó n
im p a r,
a
^ f (x) d x — 0 .
—a
1596. D em ostrar,
que
co
co
oo
\ e ” *v2 d x — 2 ? e - *2 d x =
— co
—X
\
0
dx.
0
1 597. D em ostra r, que
1
dx
\ árceos x
0
1598.
D em ostrar,
n
2
P sen x
dx.
j
z
o
que
71
2
n
2
/ (s e n x ) d x =
o
^ / (eos x ) dx.
o
§ 5. Integración por partes
S i la s fu n c io n e s u ( x ) y
s e g m e n t o [ a , fe], s e t i e n e ,
v(x)
tie n e n
b
^
"b
a
sig u ie n te s
in te g ra le s ,
c o n tin u a s en e!
b
u ( x ) v ' ( x ) d x — u ( x ) v ( x ) | — ^v ( x ) uf
a
C a lc u la r la s
d eriv a d a s
(x) d x .
(1)
a
e m p le a n d o l a f ó r m u la d e in te ­
g r a c i ó n p o r partes:
71
2
1599.
1600.
CO
\ a rco s x d x .
4l
0
e
a
1G03. ^ x e - x d x .
\ lnscte.
J
1
i
1604.
O
co
\ e~ax e o s b x d z
co
1605.
1601.
0
Jt
1602.
{ a > 0).
\ e x sen x dx.
o
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jj e_ o v s e n f e x d x
( a > 0 ).
T eo rem a
d el
valor
medio
1606**. D em ostrar, q u e para la f u n c ió n gam m a
1575) es v á lid a la f ó r m u la de red u cción :
r ( p + i ) = p r (/> )
(véase el N°
(p>0).
Deducir de esto, que F ( r c - } - l ) = w ! , si n es n ú m ero natural.
1607. D em ostra r, q u e para la integral
n
jt
2
2
Jn = ^ s e n " x d x = i c o s nx dx
o
o
es v á lid a la f ó r m u l a d e reducción
i __ n ~ 1 i
1n — — ~
H a lla r 7n, si n es un núm ero n atu ral. U tiliza n d o la fó r m u la
o b ten id a , c a l c u l a r I d y i 10.
1608. C a lc u la r la in te g ra l sig u ie n te (véase el N ° 1 5 7 4 ), em­
pleando reiteradam ente la in te g r a c ió n por partes
B ( p t q) — ^ z v~x (1 — z ) q~l d x,
donde p y q son n ú m ero s enteros y p ositiv os.
1609*. E xpresar por m edio de B (fu n c ió n beta) la integral
?T
2
I m n = ^ se n "4x c o s " x d x ,
o
si m y n son n ú m ero s enteros n o n ega tiv os.
§ 6. Teorema del valor medio
1o. A c o t a c i ó n
a ^ x ^ b y se tiene
de
las
integrales.
b
b
J / (X) dx <
^ F (x) dx.
a
«
Si
f(x)^ F (x)
para
(1)
Si f ( x ) y q> ( x ) s o n c o n tin u a s para a ^ , x < ^ b y , adornas, <p ( z ) > 0, se tione,
b
b
b
m ^ <w
^_/ .... <^ M
_ ^ <P (x) d x ,
p (vv
x ) d...x <^ ^ / <*) 7 (*)
a
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(2)
160
Integral definirla
d o n d e m es e l v a lo r m ín im o a b s o lu t o y
fu n c ió n i ( x ) e n el s e g m e n t o [a , b}.
E n p a r t i c u l a r , s i q> ( 2 ) = 1 , se" t i e n e
M
el
y a l o r m á x i m o a b s o l u t o d e la
b
m (ft-
á) <
(3)
J / (*) d x < M \ ( b - a ) .
a
L a s d e s i g u a l d a d e s (2 ) y
e q u iv a le n te s ig u a ld a d e s:
(3 )
se
pueden
b
su stitu ir
resp ectiv a m en te
por
sus
b
f ( x ) < ? ( x ) d x = f (c) ^ 9 ( x ) dx
a
a
y
6
f(x)dx=f($(b-a),
J
a
d o n d e c y £ s o n n ú m e r o s q u o s e e n c u e n t r a n e n t r e a y b.
E j e m p l o 1. A c o t a r la in t e g r a l
n
2
1 + y
y
sen3 xd x .
o
S o l u c i ó n .
G om o 0
sen 2 2 < . f * ten drem os:
e s d e cir,
1 ,5 7 <
/ <
1 ,9 1 .
é
2a. V a l o r
m e d i o
de
la
f u n c i ó n .
E l núm ero
b
\ /(* > * .
a
se lla m a v a lor m ed io d e la f u n c ió n f (x ) e n e l s e g m e n t o a ^ x ^ b .
I
1610*. Determ inar
ca lcu la rla s:
2
el
sign o
de
la s
in tegrales siguientes
2n
\ ^ d x .
71
b) \ arcosx d x ;
0
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sin
161
Teorem a d el va lor m edio
1611- D eterm in ar {sin c a lc u la r la s ) c u á l
g rales es m a y o r :
i
de las sigu ien tes inte-
i
a) ^ Y ' l + x 2 d x o
0
1
^ x dx\
o
i
b) ^ x : sen2 x d x o ^ X s e n a d a : ;
o
2
c)
2
^ e x2 d x
o
^ e* d x.
i
t
H a lla r l o s v a lo r e s m ed io s de la s
m en tos q u e se in d ica n :
1612. f ( x ) = x * ,
sig u ien tes fun ciones en lo s seg­
0 < *< 1 .
1613. f ( x ) = a + b c o s x ,
—
1614.
/ (x) = sen 2 a:,
0 < x < ji .
1615.
/ ( x) = sen4 x ,
0 < x < :r r .
i
1 6 1 6 . D em ostra r, q u e la \ ■■ 7—
J 1/2 + * - * *
está
com pren did a
2
1
• ^ - ^ 0 , 6 7 y — — ^ 0 , 7 0 . H a lla r el v a lo r e x a c to de esta
~K 2
A c o t a r las in teg ra les:
n
i
1617.
4
\ Y i + x2dx.
o
1620*.
1 6 1 8 . ] ^ .
^xVlgxdx.
o
ít
1621. J
n
-i
4
2n
1619.
dx
\
10 + '¿ c o s x '
0
1 6 2 2 . In teg ra n d o p o r partes, dem ostrar que
200n
a . \ cosr , ^
1
°<
i
iOOw
x
d ;r< -íoóír •
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entre
in teg ra l.
Integral definida
§ 7. Areas de las figuras planas
1°. E l á r e a e n c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s .
Sí una curva
continua se da en coordenadas cartesianas por la ecu ación y — f (x) |/ (x ) > 0 ] ,
el úrea del trapecio m ixtilíneo* lim ita d o por dicha curva, por dos verticales
on los puntos x ^ a y x = b y por ol segm ento del eje de abscisas a < ¿ x ^ l >
(fig . 40), se determina p o r la fórm ula
b
S = J / ( x ) dx.
'
(1)
O
Ejemplo
1.
C alcular el área do l a ' f i g u r a
lim ita d a p o r ia parábola
y = 4 r * Pür las rectas x — \ y x — 3 y p o r e l eje de abscisas ( f i g . 41).
Solución.
E! área que se busca se expresa con la in tegral
3
E j o m p l o 2. C alcular el área de la fig u ra lim ita d a p o r la curva
z = 2 — u — y* y el eje de ordenadas ( f i g . 42).
S o l u c i ó n . En esto ca so están ca m bia dos lo s e je s de coordenadas y,
por consiguionto, el área que se busca se expresa con la integral
i
J (2 -v -y*)d y= 4 Í-,
- l
donde lo s lím ites de in teg ra ción f / i = — 2 e ¿/2 = 1 son las ordenadas de los
puntos de in tersección do la curva dada co n el oje de ordenadas.
En un caso más general, cuando el área ó1 de la figura está lim itada
por d os curvas continuas y — /l (x) e p = / 2 (a:) y p o r d os vertica les x — a
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A rea s de las figuras planas
y x = b, donde / j ( * ) < / 2 (x) para a < s < 6
463
( f i g . 43), tendremos:
u
(2 )
Ejemplo.
entre las curvas
3. C a lcular el área S de la
figura
plan a com prendida
^ — 2 — x 2 e y3 — z ‘
(3)
(fig . 44).
S o l u c i ó n . R e s o lv ie n d o sim ultáneam ente el sistoma de ocuaciones (3),
hallamos los lím ites de in teg ra ción :
— 1 y z*¿~ 1. Do acuerdo co n la
fórm u la (2), obten em os:
i
ó* =
^ (2 — x 2— s 2/ 8) d x ^ { 2 x
x3
3
f\ l
15
'
-1
Si la curva se da por ecuaciones en form a pararnótrica, a; — q>(/), ^ = i|>(í),
el área del tra p e cio m ix t ilín e o , lim ita d o por esta cu rva, por dos verticales,
F i g. 42
x = a y z = 6 respectivam ente* y p o r el segm ento del eje O X x se expresará por
la in teg ra l
donde tt y t 2 se determ inan de las ecuaciones
a = : ( p ( ¿ 1) y Í7= cp(í2) 1 \ ¡ j ( í ) > 0 en o l segm ento [tif t 21].
E j e m p l o 4. H a lla r el área de la elipse S ( f i g . 45), u tiliza n d o sus
ecuaciones param étricas
{
x = a eos /,
y = 6 s e n /.
S o l u c i ó n . E n v ir t u d de la sim etría será s u ficie n te ca lcu la r el área
de una cuarta parte y , después, cu ad rup licar el resultado. Poniendo en la
11 *
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164
In teg ra l definida
ecu ación * = : a c o s ¿
p rim e ro x = 0 y después x — a , o b ten d rem os lo s lím ite s
3T
de in teg ra ción : t l =* — y ¿2 = 0. P o ? lo q ue
¿*
re
2
S=
^ & sen a ( — sen ¿) dt = ab ^ sen2 t dt =
xah
ÜL
2
y , p o r con sig u ie n te , S = itab.
2 °. E l á r e a e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Si la curva con tin u a
so da en coorden adas p olares p o r una e c u a c ió n r = /(cp ), el área d e l se cto r
M (x;y)
F i g . 44
A O B ( f i g . 46)f lim ita d o p o r ol arco de la curva y lo s d os radios polares
O A y OBy correspon dien tes a los v a lores q>t = a y q>2= P» se expresa p o r la
in te g ra l
a
E j e m p l o 5. H a lla r el área de la
de B ern ou ili /-2 = a2 cos 2cp ( f i g . 47).
fig u ra lim ita d a p o r la Iem niscata
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Areas' de las fig u ra s planas
S o l u c i ó n . C om o la cu rv a
área d o u n o de sus cu ad ra n tes
es
s im é t r ic a ,
165
determ in a m os
p rim e ro
el
TC_
4
0
a2cos2<prf<,>=T - [ 4 - se,' 2tp] o /Í = J T
'
De donde S = a2.
y 1 6 2 3 . C a lc u la r ol área de la fig u r a lim ita d a p o r la parábola
y = ¿tx— x* y el e je de abscisas.
•4624. C a lc u la r el área do la fig u ra lim ita d a p o r la cu rva
i j y r ] n z y el eje O X y la recta x = e.
' 1625*. H a l l a r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la cu rv a
y j = x ( x — l ) ( z — 2) y el e jo O X .
\ 1626.
H a lla r el área de la fig u ra
lim ita d a p o r la cu r v a t/3= x,
la re cta y = 1 y la v e rtica l x = 8.
i 1627.
C a lc u la r el área de la fig u r a com p ren d id a entre
una
sem ion d a de la sin u soid e y — s e n x
y e l e je O X .
1 6 2 8 . C a lc u la r el área do la f ig u r a com p ren d id a en tre la cu rva
y — t g x t el ejo O X y la recta x = - y .
1 6 2 9 . H a l l a r el área de la fig u r a com p ren d id a entre la h ip é r ­
b o la x y = m 2f la s v e r tic a le s x = a y x ^ = 3 a ( a > 0) y el ojo O X .
1 6 3 0 . H a l l a r el área de la fig u r a com p re n d id a en tre la cu rva
de A g n e s i y =
x2_^a-¿ Y e l eJe de abscisas.
1 6 3 1 . C a lc u la r e l área de la fig u ra lim ita d a p o r la cu rva
y — x 2y la re cta y = 8 y e l e je O Y .
1 6 3 2 . H a l l a r e l área de la fig u r a lim ita d a p o r la s p a rá b o la s
y? = 2 p x y x 2 = z 2 p y .
J 1 6 3 3 . C a lc u la r el área de la fig u r a lim ita d a por la p a rá b o la
y=j. 2 x — x 2 y la recta y = — x .
J 1 6 3 4 . C a lc u la r el ároa del se g m e n to de la p a r á b o la y — x 2,
q u e co rta la re cta y = 3 — 2x.
1 6 3 5 . C a lc u la r el área de la fig u ra com p ren d id a cu tre las paráb ola s y = x~, y — —
y la recta y = 2x.
1636. C a lc u la r e l área de la f ig u r a com p re n d id a entre la s pará^í
b ola s y = —
í
3
2
e y = 4 — rrx'1O
i 1 6 3 7 . C a lc u la r e l área de la fig u ra com pren did a
de A g n e s i y = -— ^
y la p a r á b o la
1638.
C a lc u la r el á re a de
y = e x , y — e~x y la recta x = l .
entre la
curva
=
la
fig u r a
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lim ita d a por las cu rva s
16t>
Integral definida
1639. H alla r el área do
la
fig u ra
lim ita d a
por
la
h ip érb o la
-p- = l y *a recta X x = t ^ a '
1640*. H a lla r el área lim ita d a por la astroide
2
2
2
x*-\-y* « c 3*.
1641. H a lla r el área de la figura com prendida entre la catenaria
y = a ch-J,
el eje O Y y la recta
y=
+
1642. H a lla r el área de la fig u ra
lim ita d a p o r la cu rv a
a 2y - — x - (a2 — x2).
1643. C a lc u la r el área de la fig u ra com prendida den tro de la
cu rv a
1644. H a lla r el área de la figura com pren did a en tre la h ip é r ­
b o la eq u ilá tera x 2— ?/2 = 9 t el eje
O X y e l d iá m etro q u e pasa por
e l p u n to (5; 4).
1645. H a lla r el á re a de la fig u ra com pren did a entre la curva
y=
ol oje O X y la recta x = i ( x > i ) .
1646*. H a lla r
el área
de
la fig u ra
lim ita d a
por
la cisoide
i f = '¿a—x y su a s^n to ta x “
(& > 0).
1647*. H a lla r el área de la fig u ra com p ren d id a entre el estrofo id e y 2 - = x \x
y su asíntota ( a > 0 ) .
¿(i X
1648. C a lcu la r el área de la s dos partes en que la parábola
y2 = 2 x di vi do al c ír c u lo a:2 + ?/2 = 8.
1 6 4 9 . C a lcu la r ol área de la su p erficie com p ren d id a en tre la
c ir c u n fe r e n c ia x 2 + y2 = 16 y la p a rá b ola x 2 = 12 ( y — 1).
1 650. H a lla r el área co n te n id a en el in te r io r de la astroide
x = a eos3 t\ y = b s e n 3¿.
1651. H a l l a r el área de la su perficie com p ren d id a entre el eje
O X y un arco de la c ic lo id e
x —
s e n /) , y = a (1 — c o s í ) .
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167
A rea s de las fig u ra s planas
1652. H a l l a r e l área de la fig u ra lim ita d a por una rama de la
trocoide
x = at — b sen t .
(0 < b < a )
y — a — b eos t
'
'
y l a tangente a la m ism a en sus pu n tos in feriores.
1653. H a l l a r el
área de la fig u ra lim ita d a p o r la ca rd io id e
x — a (2 eos t — eos 2 /),
y sis a (2 sen ¿ — sen 2¿).
1654*. H a l l a r el área de l a
f o liu m de Descartes
fig u r a
lim ita d a
3at
. .
+
* P — l + *3 •
p o r el
l a z o del
3a*2
1655*. H a l l a r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la card ioid e
r = *a (1 -fe o s e p ).
1656*. Ha l l a r el área co m p re n d id a entre la prim era y segunda
espira de la espiral de A rq u ím ed es r = acp (fig . 48).
F i g. 48
1 6 5 7 . H a lla r el área de u n a de la s h o ja s de la cu rva
r = a eos 2cp.
1658. H a l l a r el área lim ita d a p o r l a cu r v a r 2 = a ? sen4<p.
1659*. H a l l a r el área lim ita d a p o r la cu r v a r = asen3cp.
1660. H a l l a r el área lim ita d a p o r e l c a r a c o l de Pascal
r = 2-|-eos q).
1661. H a lla r
el
área
y las sem i recta s q> —
y
lim ita d a
por
la
parábola
r = asec2“
<p = - 5 - ,
1662. H a l l a r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la elipse
r = i+- W
(0< e< 1)-
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168
In tegra l definida
1663. H a l l a r el área de la fig u ra lim it a d a por la cu rv a
r = 2tfcos3<p, que está fuera del c í r c u l o r = a .
1664*. H a l l a r el área lim ita d a p o r la cu r v a x K-\-yK= x * y 2.
§ 8. Longitud del arco de una curva
I o. L o n g i t u d
del
a rc o en c o o r d e n a d a s
rectangula­
r e s . La lon gitu d 5 del arco de una cu rva regular y = / ( * ) , co m p ren d id a
entre d o s puntos cu yas abscisas sean x — a y x = 6, es ig u a l a
a
E j e m p l o 1. H a lla r la lo n g itu d do la a stroid e x 2/34 - y 2/s = a 7/s
( f i g . 49).
S o l u c i ó n . D erivando la e c u a c ió n do la a s tr o id e , tendrem os
*
Por lo c u a l,
para
la
lo n g itu d
dol
,*/•
■
a rco de m i cu a rto de a stro id e , tenem os:
De don de, s = 6a.
2 o. L o n g i t u d
del
arco
de una
c u r v a dada en f o r m a
p a r a m é t r i c a . Si la curva se da en ecuaciones de form a paramétricn
2 s=<j)(í) e p = 9 ( f ) (en <!ue 9 ( 0 y ^MO tienen d eriv a d a s con tinu as), la
g itu d 5 del a rco de la curva será igual a
<2
* = 4 V x ' 2+ y '2dt,
lo n ­
.
h
donde t x y t 2 so n lo s v a lo re s del parám etro corresp on d ien tes a los e x tre m o s
d e l arco.
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L on gitu d del arco de una curva
Ejem plo
2.
H a lla r
la
lon gitu d
169
de un arco de la c i c l o i d e (fig . 50).
r x — a (¿ — sen t ),
\ y = a ( 1 — eos ¿).
Solución.
T en em os
x ' = ^ = a ( 1 — eos í) e y ' = ^ = c sen í .
P or
lo
cual
2n
2ji
\ y a2 ( i — eos ¿)2 -j- a2 se n 2 t d t = 2a \ s e n y d í = 8 < z ,
Los lím ite s de in te g r a c ió n í t = 0
e x trem os del a rco de la c ic lo id e .
y
tz = 2 n
corresponden
a
los
pu n tos
Si una curva regular v ie n e dada por una e c u a c ió n r — / (<p) en
nadas polares r y cp, la lo n g itu d s d e l arco será igual a
coorde­
0
5=
^
y r 't +
r ' * rfcp,
a
dondo a
del arco.
y
P so n
E jem plo
lo s
3.
v a lores
H a lla r
la
d e l á n g u lo p o la r en
lo n g itu d
to ta l
de
los p u n to s
extrem os
la curva [r = a sen3 ~
•j
( f i g . 51). T oda la cu rva está d escrita p o r e l p u n to (r, <p) a l v ariar (p desde 0
hasta 3n.
Solución.
Tenem os r ' = a sen2 -—- c o s - | - , p o r
lo
c u a l, la
lo n g itu d
de t o d o el arco de la cu rva será
33ji«
= ^ y
^ ____________________________________
3rt
a2 se n 6 - 2 - - f a2 son4 — e o s2 - 2 - d<p — a jj sen3 -2-drp = ^ 2 Í .
0
j
1665. C a lc u la r la
lo n g itu d d e l a rco de la p a rá b o la
y* = z * d esde e l o r ig e n d e c o o r d e n a d a s h a s ta e l
denadas son £ = 4,
y = 8.
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pu n to
se m icú b ica
cuyas
coor­
170
Integral definida
1666*. H a l l a r la lo n g itu d de la ca te n a ria
= a c h — desde el
v é rtice A (0; a) hasta el p u n to B (h; h).
1667. C a lcu la r la lo n g it u d d e l arco de la p a rá b ola y = 2]/"rr
desde x = 0 hasta r c = l .
1668. H a lla r la lo n g it u d del a rco de la cu rv a y = ^ e x f com pren­
dido en tre lo s pu n tos (0; 1) y (1; e).
1669. H a lla r la lo n g it u d d e l arco de la cu rv a y = : l n : r desde
x = ]/15 hasta x =
1670. H a lla r la lo n g itu d d e l a rco y = are sen ( e
hasta x — í .
1671. C a lcu la r la lo n g itu d d el arco
de la cu r v a
com pren did o en tre
y= 0 e y = i
) desde x = 0
x = ln
.
1
1672. H a lla r la lo n g itu d del arco de la cu r v a x = ~
desde y = l hasta y = e.
1673. H a lla r la lo n g it u d del
tractriz
sec y ,
arco de la rama
Y a* — y2 + a l n
a+
1
—y
V
derecha de la
y*
y
desdo y — a hasta y = b (0 < C b < i a).
1674. H a lla r la lo n g itu d de la parte cerrada de la cu r v a 9 a y 2 =
~ x ( x — 3a)‘2.
1675. H a lla r la lo n g it u d d e l a rco de la cu rv a
desde x — a hasta x ~ b ( 0 < a < b ) .
1676*. H a lla r la lo n g itu d d e l arco de la e v o l v o n t e d e l c í r c u l o
x — a ( c o s í 4- t s e n / ) ,
y — a (sen ¿— i cos¿)
\
m
} desde ¿ = 0 hasta t — T .
J
1677. H a lla r la lo n g it u d de la e v o l u t a de l a elipse
3 = ^ - c o s 3 ¿; 7/ = ^ - sen3 1 (c* = a 2 — b*).
1678. H a lla r la lo n g it u d de la cu rv a
x =s a (2 c o s í — e o s 2Z),
y = a ( 2 s e n ¿ — sen 2 /).
1679. H a lla r la lo n g it u d de la prim era espira de la espiral de
A r q u ím e d e s r
acp.
1680. H a lla r la lo n g it u d t o t a l de la card ioid e
r = f l ( l + cos<p).
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171
Volúm enes de cuerpos sólidos
1681. H a l l a r la l o n g i t u d d e l a rco de la p a rte de la parábola
r = a sec* - 2 - , co r ta d a de l a m is m a por la re cta v e r t ic a l q u e pasa
p o r el p o lo .
1682. H a lla r
la
lo n g itu d
del
rqp = 1 desde e l p u n to ^2;
arco de la
espiral
h asta e l p u n to
h ip e r b ó lic a
2^ .
1683. H a l l a r la l o n g it u d del arco de la espiral lo g a r ítm ica
r = a e mf (m > 0 ) , q u e se en cu e n tra d e n tro del c í r c u l o r = a.
1684. H a l l a r la l o n g i t u d del a r c o de la cu rv a
cp =
(^ + y )
desde r = l
hasta r = 3.
§ 9. Volúmenes de cuerpos sólidos
I o . V o l u m e n d o u n c u e r p o d e r e v o l u c i ó n . L o s volúm enes
d e lo s cu erpos cn gon d rad os por Ja r e v o lu c ió n d e un trapecio m ix t ilín e o ,
li m i t a d o p o r una cu rv a y = f(x ) > el e je O X y d os v ertica les x = a y x = ó,
a lre d ed o r d e lo s e je s O X y O Y , se expresan , resp ectiva m en te, p o r las fórm u la s:
b
*) v x = n
^ y 2 dx;
b
2) V y — 2 n
a
^ xydx*).
a
E j e m p l o 1. C a lcu la r lo s volú m en es de lo s cu erpos engendrados por
la r o t a c ió n do la fig u ra , lim ita d a p o r una sem ion da do la sinu soide
y = sen x y p o r e l s e g m e n to
d e l e je O X alrededor: a) del e je OX
y b) del e je OY.
Solución.
JC
(*
ji2
a) V x — n \ se n 2 x dx —
;
o
n
n
b) V y = 2ji ^ x se n x d x — 2 s i ( — x eos x - f s e n x)JJ = 2 j i 2.
0
de
E l v o lu m e n del cu erp o engendrado p o r la ro ta ció n a lre d ed o r dol e je O Y
la fig u ra lim ita d a p o r la cu rva x = - g ( y ) , el e je O Y y las d os paralelas
* ) Sea un cuerpo engendrado p o r la r e v o lu ció n alrodedor d o l ojo O Y de
un tr a p e c io m ix t ilín e o , lim it a d o por la curva y = / ( x )
y p o r las rectas
x = a , x — b e y = 0. C om o e lem e n to del v olu m e n de este cuerpo se tom a el
v o lu m e n d e una pa rto del m is m o , engendrada p o r la ro ta ció n alred edor dol
e j e O Y de un rectángulo d o la d o s y y d x , que se encuentra
a una d ista n cia x
do) e je O Y . En este caso, e l e lo m e n to del v o lu m en es:
b
d V y = 2 n x y d x , d e d on d e V y — 2% ^ x y dx.
a
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Integral definida
172
y = c e y = d, puede determ inarse p o r la fórm u la :
d
y = JT ^ x * d y ,
c
quo se obtiene de la fórm u la 1), expuesta anteriorm ente, perm utando la s
coordenadas x o y.
Si ia curva se da de o t r o m odo (en form a p a ra m ótrica , en coordenadas
polares, e t c ) en las fó rm u la s anteriores hay quo hacer el corresp on d ien te
c a m b io de v aria b le de in teg ra ción .
x a
F i g. 52
En oi caso más general, lo s volúm enes de lo s cuerpos engendrados ^ o r ­
la rota ción de una figura, lim ita d a por las curvas
— / t (x) e y 2 — h ( x )
{sien d o
(x) < ' / 2 (* )) y por las rectas x = a, x = b y alrededor de lo s e je s de
coordenadas O X y OY, serán respectivam ente
V x = n ^ ( y l — y\)dx
V
Vy = 2it ^ z ( y z — y j d x .
a
Ejemplo
2. H a lla r el v o lu m e n do! toro, engendrado a l g irar el
c ír c u lo
> a) alrededor del eje O X (fig . 52).
Solución.
Tenemos:
Vi = 6 _ y n2 _ ^ e y2= b + y < i * - x 2.
Por lo cual
o
V x = n \ ({& + y az - x * ) 2 - ( b - y a * ~ x * y ¿ ] d x =
•J
—a
u
= 4516 \ V a 2 — x* dx = 2n*a*b
—a
esta ú ltim a integral se resuelve haciendo la s u s t it u c ió n r = a s e a í ) .
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173
Volúm enes de cuerpos sólidos
El v olu m en de un cuerpo, o b te n id o a l g irar un sector, lim ita d o por un
a r c o de curva r — F ( w ) y d os rad ios polares rp= a , <p— p, alrededor del eje
p o l a r , so puede ca lc u la r p o r la fó rm u la
V p — ^ -ií
^ r
3 sen cpdcp.
E sta jn is m a fó rm u la es c ó m o d o a p lica rla cuando se busca el volum en
d e cu erpos engendrados p o r la ro ta ció n , alrededor del eje p o la r , d o figuras
lim ita d a s p o r cu a lq u ier curva cerrada, dada en coordenadas polares.
E jem plo
3. D eterm inar el v o lu m en engendrado por la ro ta ció n de
la curva r = ascn2q> alrededor del e je polar.
Solución.
n
ji
C,
6
Vr> = 2 • ~
jí ^ r3 sen tp dq>= -g- na3 ^ sen3 2q> son cp ¿Zcp =
0
n
2
32
P
64
= y jia M
sen4 (p eos3 <p d y ~
na 3.
2o . C á l c u l o d e l o s v o l ú m e n e s d e i o s c u e r p o s s ó l i d o s
cuando
se
conocen
sus
secciones
transversales.
Si
i ’ = iS'(a:) es el área de la se c ció n del cuerpo p o r un plano, perpen dicu lar a
una recia determinada (que se lom a co m o eje O X ), en e l punto de abscisa x,
e l v olu m e n de este cuerpo será igual a
*2
V — [ S (x)d x,
«j
*1
d o n d e x ] y x 2 son las a b scisa s d o las seccion es extrem as de d i c h o cuerpo.
E jem p lo
4. D eterm in ar el volum en de una cuña, cortada de un
c i l i n d r o circu la r p o r un plano, q u e pasando p o r el d iá m e tr o de la base
está in clin a d o respecto a e lla , form a n d o un ángulo a . E l radio de la base
e s igual a H ífig , 53).
S o Iu c i o n. T om a m os c o m o e je O X el d iám etro de la base, p o r
el que
pasa el p la n o de co rle , y corno
e je O Y el d iám etro de la baso, perpendi­
cu la r al a nterior. La ecu ación de la circunferencia de la base será x 2- f ,V2 — R 2El área de la sección A B C , que se encuentra a la d ista n cia x del
o rig e n de coordenadas O, será igual a
S (¿r) = ar. AA B C = ^ A B * B C = ~ y y t g a — y
tg a.
P or lo que el volum on que se busca de la cuña, es
R
V ~2 -y
R
\ y 2 tg a dx = tg a
b
(II 2 — x 2) dx —
a li3.
6
1 6 8 5 . H a l l a r e l v o l u m e n d e l c u e r p o e n g e n d r a d o p o r la r o t a c i ó n ,
a l r e d e d o r d e l e j e O X , d e la s u p e r f i c i e l i m i t a d a p o r e í e j e O X y la
p a rá b o la
y = a x — x 2 (a >
0 ).
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174
In tegra l definida
1686. H a lla r
e l v o lu m e n
ro ta ció n do la elipse ^ + ¿ 2 = 1
d el e lip so id e ,
en gen drado
pór
la
alred ed or d e l e je O X .
1687. H a lla r e l v o lu m e n
del cu erp o engendrado a l
g ira r,
alrededor del eje O X , la s u p e r fic ie lim ita d a por la c a te n a ria
y = a c h - í - , el eje O X y la s rectas x — ± a .
1688. H a lla r el v o lu m e n
del cu erpo engendrado a l
g ira r,
alrededor del eje O X , la c u r v a i/ = sen2 :r,
en el in t e r v a lo x = 0,
hasta z = n.
1689. H a lla r el v o lu m e n d e l .cuerpo engendrado al g ir a r la
s u p e r fic ie lim ita d a por la parábola sem icú b ica y 2 = x 3, el eje O X
y la recta x = l % alrededor d e l eje O X .
1690. H a lla r el v o lu m e n del c u e r p o engendrado al g ir a r la;
misma s u p e r fic ie del problem a 1689, alrededor d e l eje O Y .
1691. H a lla r lo s volú m en es do lo s cu erp os engendrados al g ira r
la s superficies lim ita d a s p o r las lín e a s y = e x , x = 0 e j/ = 0,
alrededor: a) del eje O X y b) del eje O Y .
1 692. H a lla r el v o lu m e n del cu erp o engendrado al g ir a r , a lre ­
ded or del eje O Y , la parto do la p a rá b ola y2 — 4 a x, q u e in te rce p ta
la recta x = a .
1693. H a lla r el v o lu m e n del cu e rp o engendrado al g ira r, a lre ­
dedor de la recta x — a , la parte de la p a rá b ola y 2 — 4 a x t q u o so
intercepta por la m ism a recta.
1694. H a lla r el v o lu m e n del cu e rp o en gen drado a l g ira r,
alrededor de la recta y = — />, la fig u ra lim ita d a por la parábola
y2 z = 2 p x y por la recta x = y .
1695. H a lla r el v o lu m e n del cu erpo engendrado a l girar,
alrededor del ejo O X , la s u p e r fic ie com pren did a entre la s pará­
b o la s y ~ x 2 e y = Y ' x .
1696. Ha l l a r el v o lu m e n del cu e rp o en gen drado a l g ira r, a lr e ­
dedor del eje O X , el la z o do la cu r v a (x — 4 a ) ijl = a x (x — 3a) ( a > 0 ) .
1697. H a lla r el v o lu m e n del cu e rp o q u e se engondra
al g ira r
la
cisoid e y 2 s==» **
¿a “ x
, alred ed or do su a s ín to ta x — 2a.
1698. H a lla r el v o lu m e n del p a ra b o lo id e de r e v o l u c i ó n ,
si el
radio de su base es 7? y su a ltu ra es H .
1699. Un segm en to p a r a b ó lic o r e c to , de base ig u a l a 2a y de
altura h gira alrededor do su base. D eterm in ar el v o lu m e n del
cu erpo de r e v o lu c ió n que se engondra (« lim ó n » de C a v a lie ri).
1700. Dem ostrar, q u e el v o lu m e n de la parte dol cu erpo de
r e v o lu c ió n , engendrado a l gi rar la h ip é r b o la eq u ilá tera x 2 — j/2 = a 2
alrededor del eje O X , q u e in tercep ta el p la n o
z = 2 a } es ig u a l al
v olu m en de una esfera de radio a.
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V olúm enes d e cu erp os sólidos
1701. H a l l a r lo s volú m en es
la fig u r a lim ita d a p o r un a rco
175
de lo s cu erp os engendrados al girar
do la c ic lo id e
" x = a ( t — s e n ¿ ), y ~ a ( 1 — c o s í )
y p o r ol eje O X , alred ed or:
a) d e l eje O X y
b) del eje
OY y
c) del eje de s im e t r ía de la fig u ra .
1 702. H a l l a r
el v o lu m e n dol
cu erp o en gen d ra d o al g ir a r
la
astroide x ~ a e o s 3 *, y = 6 sen3 ¿ alrededor del eje O Y .
1703. H a lla r el v o lu m e n del cu erp o q u o resulta de la rotación
de la c a r d io íd e r = a ( 1 +CGS <p) alred ed or d el eje p o la r.
1704. H a l l a r
el v o lu m e n del
cu erpo en gen d ra d o al g ir a r la
cu rva r = <z eos2 <p alred ed or del e je p ola r.
1 705. H a l l a r el v o lu m e n , del o b e lis co , cu y a s bases p a ra lela s
son re c tá n g u lo s de la d os A y B y a , b y la altura ig u a l a h.
1 706. H a l l a r
el v o lu m e n del c o n o e l í p t i c o r e c to , c u y a base es
una elip se de sem iejes a y b y c u y a a ltu ra es ig u a l a h.
1 7 0 7 . S obre la s cuerdas de la astroide z 3/a + y 2^
a ¿/s, paralelas
ai eje O X , se h an co n stru id o unos cu adrados, c u y o s la d os son
igtiales a las lo n g itu d e s do la s cuerdas y lo s p la n o s en q u e se
encuentran son perpen dicu lares a l p la n o X O Y . H a lla r el v o lu m e n
del c u e r p o q u e fo rm a n estos cu adrados.
1 7 0 8 . Un c í r c u l o d efo rm a b le se d esp laza de ta l fo r m a , q u e uno
de lo s pu n tos de su c ir c u n fe r e n c ia descansa sob re el eje O Y , el
j-2
fi 2
cen tro describe l a e l i p s e +
=> 1, m ien tras q u e e l p la n o del
c í r c u l o es p e r p e n d icu la r al p la n o X O Y . H a l l a r e l v o lu m e n del
cu erpo en gen drado p o r d i c h o c ír c u lo .
1 709. E l p la n o de un tr iá n g u lo m ó v il perm anece p erp en d icu la r
al d iá m e tro f i j o de un c í r c u l o de ra d io a. L a base del tr iá n g u lo
es la cu erda de d ic h o c í r c u l o , m ien tras q u e su v é r t ic e resbala por
una recta p a r a le la al d iá m e tro f i j o , q u e se en cu en tra a una dis­
ta n c ia k del p la n o del c í r c u l o . H a lla r el v o lu m e n del cu erp o
(lla m a d o conoide) en gen d ra d o p o r el m o v im ie n to de este triá n g u lo
desde un e x tre m o del d iá m etro h asta el otro.
1710. H a l l a r el v o lu m e n del cu e rp o l im it a d o p o r Jos c ilin d r o s
x 2 -\-z2 = a 2 e y 2 + z2 = a 2.
1 7 1 1 . H a l l a r el v o lu m e n del se g m e n to d el p a ra b o lo id e e l íp t ic o
?/2
z2
in te r c e p ta d o p o r el p la n o x = a.
1712. H a l l a r el v o lu m e n d el
le2
v2
22
loid e ue u n a h o ja ^ 2" + -p —
cu e rp o
y
lim ita d o p o r el h ip é rb o­
*03 P*anos 2 = 0 y z = * k .
1 713. H a l l a r el v o lu m e n del e lip so id e
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+
------ ¡ 3" “
Integral definida
176
§ 10. Area de una superficie de revolución
El área de una su p e rficio engendrada p o r la ro ta ció n , alrededor del eje
O X , del arco de una cu rva regular y = / ( « ) , entro lo s pu n tos x — a y x = b,
se expresa por la fórm u la
b
J
a
y V ' í + F 5 d*
(i)
a
(ds es la d ife re n cia l del arco de la curva).
Guando la ecu ación de la curva se da de otra form a, el área de la
su p e rficio S x
o b tie n e de la fó rm u la (1), efectu a n d o lo s correspondientes
c a m b io s do variables.
F i g . 54
E j e m p l o 1. H a lla r el área do la
a lred ed or d e l o jo O x , el lazo de la curva
=
Solución.
tenem os:
=
y—
Para
la
s u p e r fic ie
Do
ai
girar
( f i g . 54).
parte su perior de
Z — x)~\/ x.
engen drada
aq u í
q ue
la cu rva,
la
cuando
d ife re n cia l
del
arco
ds =
x ~j 1
^
r = d x . P a rtieu do de la fó rm u la (1), el área do la su p e rficio será
2 [/x
3
£ = 2it [ 4 - ( 3 - z ) V z
I 3
- ^ L d x = ¿Tí.
2 l/z
E j e m p l o 2. H a lla r e! área de la su p e rficio engendrada al g ira r un
a rco do la c ic lo id e x = a { t — sen t); y = a ( l — cos t), alred odor de su e j e de
sim etría (fig . 55).
S o l u c i ó n . La su p e rficie quo so busca está engendrada p o r la rota ­
c ió n del a rco O A alrededor de la recta A B , cu ya e cu a ción e s x = n a.
T om a n do y c o m o v aria b le in depen dien te y ton ion d o en cuenta q ue el eje de
ro ta ció n A B está desplazad o con respecto a i ejo de coo rd eo a d a s O Y a una
d is ta n cia n a , tendrem os
2a
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177
A r c a de una su perficie de revolución
Pasando a la v a ria b le l, obtenem os;
ji
S c * 2 n ^ (na — at + a son t) j / " (
n
r»
di =
n
= 4íW* ^
= 4?ta-
dt
¿
= 2 n \ (na — a l + a sen t) 2a sen
0
2+
^ SeU ~S— * S8Q T
SCn * Sen
~
— 2ji e o s y + 2* c o s -^ -— 4 s e n -^ - + y s cn 3 y
] * = &t
— y ) a1.
• 1714. En la f ig . 56 se dan las dim ensiones de u n espejo para­
b ó li c o A O B . H a y que ha l l a r l a s u p e r fic ie de este espejo.
F i g. 56
1 715. H a l l a r el área de la s u p e r fic ie del «huso», que resulta
al g ir a r u n a sem ion d a de la sin u soid e y = s e n x alred ed or de!
eje O X .
1 716. H a l l a r el área de la s u p e rficie engendrada por la rotación
de la parte de la ta n g en to id e y = t g x , com p ren d id a entre ar = 0
y x = ~
y alrededor dol eje O X .
1 7 Í7 . H a lla r el área de la s u p e rficie engendrada por la rota­
c ió n , alred ed or d el eje O X , del a rco de la cu rv a y = e~x com p ren ­
d id o entre x = 0 y x = -f- c o .
1718. H a ll a r el área de la s u p e rficie (d en om in a d a c a te n o i d e ) }
en gen drada
por
la
r o t a c ió n
de
la
ca te n a ria y = a c h y
del e je O X , en tro lo s lím ite s x — 0 y x — a .
12—
io ig
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alrededor
178
In teg ra l definida
1719. H a lla r el. área de la su p erficie de r e v o lu c ió n de la
astroido
+ y'2^ =
alrededor del eje O Y .
1720. H a lla r el área de la su p erficie de r e v o lu c ió n de la cu rva
x = ~ í / * — ~lnr/
alrededor
del
eje
OX,
com p ren d id a
entre y = 1
e y = e.
1721*. H a lla r el área de la s u p e rficie del to r o en gen d ra d o por
la r o ta c ió n del c í r c u l o x* + 0 / — ó)2 = a 2 alrededor d el eje O X ( ¿ > a).
1722. H a lla r el área de la s u p e rficie en gen drada al g ir a r la
elipse - ^ - + - ^ - — 1 alrededor: 1) del e je O X ; 2) d e l e je OY" ( a > b ) .
1723. H a lla r el área de la s u p e r fic ie en gen drada
de los arcos de la c i c l o id e x = a ( l — sen Z), z/ = a ( 1 —
dor: a) del eje O X ; b) del eje O Y ; c ) de la tangente
en su p u n to superior.
1724. H a lla r el área de la s u p e r fic ie engendrada
c i ó n, alrededor del eje O X t de la ca rd io id e
al g ir a r u n o
c o s í ) alrede­
a la c ic lo id e
p o r la rota­
x = a (2 eos t — eos 2 í),
i/ = <z ( 2s e ní — s c n 2 í ) .
1725. H a lla r el área de la s u p e rficie engendrada al g ir a r la
lom niscata r 2 ^=a2 cos2cp alrededor del eje polar.
1726. H a lla r el área de la s u p e rficie en gen drada por la ro ta ció n
de la ca rd io id e r = 2a (1 - f eos cp) alrededor del eje p o la r.
§ 11. Momentos, Centros de gravedad. Teoremas da Guldln
i ° . M o m e n t o e s t á t i c o . Se denom ina momento estático do u n punto
m aterial A, d o m asa m, s it u a d o a una d is ta n c ia d del o j o / , co n respecto
a este m ism o o j o Z, a la m a g n itu d
R e cib e el nom bre de momento estático de un sistem a de n p u n t o s m ate­
riales, do masas mu m2,
m*, situ a d os en el m is m o p la n o que el e j e l,
co n respecto a l cual se tom an, y separados de é\ p o r las d ista n cia s
dj* ¿o. • d/i. la suma
M t= 2
rmd,,
(1)
i= i
debiendo tomarse las d ista n cia s de lo s p u n to s quo se encuentren a u n lado
del eje l con sig n o m ás ( + ). y los q ue estén al o tro , co n s ig n o m enos ( — ).
Do form a a n á loga se determ ina el momento estático de un sistema de puntos
co n respecto a un plano.
Si la masa ocupa con tinu am ente toda una línea o una fig u ra del p la n o
X O Y , los m om en to s e s tá tic o s M x y M y respecto a lo s e je s de coordenadas
O X y O Y , en lu ga r de la suma (1), se expresan por las correspondientes
integrales. Cuando se trata de fig u r a s g eom étricas, la den sidad so considera
igual a la unidad.
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M om en tos. C entros de gravedad. T eorem as de G uldln__________ 179
E n p a r tic u la r : 1) para la curva x = x ( s ) ; y = //(.?), d on d e el p a rá m otro *
es lo lo n g itu d del arco, tenem os:
h
L
M x = ^ y (s) ds;
(ds — V (dx),¿ + {dy)2 es la d ife r o u c ia l d e l arco);
2)
para una fig u r a p lan a , lim it a d a p o r
y d os v e rtica le s x = a e y = bt obten em os:
b
M
X = T
5
( 2)
M y = | x (s) tlx
la cu rv a
y = y { x ) , el o jo O X
t>
y ' y I d x '’
M^ - \
<3)
x \y\d x(\
E j o r a p l o t . H a lla r los m om e n to s está tico s, resp ecto a los ejes O X
y O Y , d o l tr iá n g u lo li m i t a d o p o r las rectas:
-a + To - = 1 > * = ° * J' = ° (f i g ‘ 57>Solución.
obtenemos:
En esle caso, y — b ^ i — í - J .
A p lic a n d o
la
fórm u la
(H)x
a
6
2 o. M o m e n t o s d e i n e r c i a . Se d en om in a momento d e inercia > respecto
a u n e j e J, de u n p u n to m a te ria l de masa m y situ a d o a una d istan cia d
d e d i c h o e j e l t a l nú m ero
F i g. 58
Se d o c ! n o m b r e de momento de ine rc ia t respecto a un eje / , de un
sistem a de n p u n to s m a te ria le s, de m asas mit m+, . . . mn , a la suma
h =
i= i
12*
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180
In teg ra l definida
d o n d o d¡, d-¿, . . . • dn, son las d ista n cia s desdo los p u n to s a l eje l. Cuando
la masa es con tin u a, en lu g a r de la suma, obtendremos, la in t e g r a l co rre s­
pondiente.
l í j e m p l o 2. H a lla r el m om e n to de in e rcia do un tr iá n g u lo do base b
y altura h, respecto a su p ro p ia base.
S o l u c i ó n . T om am os lá base del triá n g u lo co m o e je O X y su altura
c o m o eio O Y ( f i g . 58).
D iv id im os ol triá n g u lo en f a ja s h oriz on ta les in fin ita m e n t e delgadas,
d e espesor d y , que juegan el papel de masas elem entales dm. E m p lea n d o la
sem ejanza de triá n g u los, obtenem os:
dm = b k
dy
v
d i x = y 2 dm = A " ( h _ . y) dy.
De donde
h
l x = i \
y2 (h ~ - ^ dy = j 2 bh'K
3o. C e n t r o d e g r a v e d a d . Las coordenadas del cen tro de gravedad
d e una figura plana (ya sea a rco o superficie) de m asa M , se c a lc u la n por las
fórm u la s
—
z -
M xr
Y
—
M
M x
M
'
don de M x y M y son lo s m o m e n to s e s tá tic o s de las m asas. C u ando se trata
d e figuras geom étricas, la m asa M es nu m éricam ente ig u a l a l correspond iente
a rco o a l ároa.
:
Para las coordenadas dol c o n t r o de gravedad (x , y) d e u n a rco de curva
plan a y — f (x ) ( a ^ x ^ b ) , q ue une los pu n tos .«4 (a; / (a )) y £ ( & ; / ( £ ) ) *
tenemos
n
b
n
J x ds
J x '\/í + ( y ' ) 2 d x
[ y ds
~X=^-—
= a-r----------------------
l
'
¡ yi+(y')*dx
a
a
j y y ' l + (y ') * d x
a
,
V í + í y ' í 2 dx
b
a
Las coordenadas del cen tro de gravedad (x. y) del trap ecio
x
b, 0 < . y
/ { » ) , so pueden ca lc u la r p o r la s fórm u la s
b
m ix t il ín e o
b
x y dx
s
T
’
5 y it ix
s
b
donde
y dx e s el área de la figura.
Fórm ulas análogas se e m p le a n para h allar las coorden adas del cen tro de
gravedad de lo s cuerpos só lid o s .
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M om entos.
C entros de gravedad.
T eorem as de Guldin
181
E j e m p l o 3. H a lla r el ce n tro de gravedad del arco do la s e m icircu n ­
ferencia x 2 + y2 = a2 ( y > 0 ) ( f i g . 59).
S o I l i c i ó n . Tenemos
y «= y ^ 2 —
ds = y i +
—x
y'
(/)2
dx =
ya *—*
De donde
a
A/y =
^ x ds—
^
—a
a:
V«2.
d x bs 0,
Af
—
a
—a
a
f*
a rfz
\ — ___
A í=
—a
P or co n sig u ie n te ,
_
x = 0;
4o. T e o r e m a s
a rco
do
— 2
j/ = —tf.
Guldin.
T e o r e m a 4°. E l 'á r e a do la su p e rficie engendrada por la rota ción del
de una curva plan a a lre d ed o r de un e je , situ ado en e l m ism o plano
que la cu rva, p e ro q ue n o so corta co n e lla , es ig u a l a l p ro d u cto d o la
lon g itu d d e d ic h o a rco p o r la lo n g itu d do la circu n fe re n cia quo describe el
centro de gravedad del m ism o.
T e o r e m a 2o. E l v o lu m e n d e l cuerpo engendrado p o r la r o t a c ió n do
una fig u ra p la n a alrededor d e un eje, s itu a d o on el m is m o p la n o que la
fig u ra , pero q ue n o se corta co n o lla , es igual a l p rod u cto d e l área de dicha
fig u ra p o r la lo n g itu d de la circu n fe re n cia q u e describe e l cen tro de grave­
dad de la m ism a.
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182
/ nttgral definida
1727. H a l la r lo s m o m en tos e stá ticos, respecto a lo s e je s de c o o r ­
denadas, del seg m en to de la lín e a recta
com p ren d id o entro d ich o s ejes do coorden adas.
1 728. H a l l a r los m o m e n to s está ticos del re c tá n g u lo de lados
a y b, respecto a estos m ism o s lados.
1729. H a l l a r lo s m o m e n to s e stá tico s,
respecto a l o s e je s O X
Y O Y , y Ihs coordenadas d el ce n tr o de g ra v e d a d
d el tr iá n g u lo
lim ita d o p o r las rectas: re + r/ = a , x = 0 e y = 0.
1730. H a l l a r los m o m e n to s e stá ticos,
respecto a
lo s ejes O X
y O Y , y las coordenadas del cen tro de g ra v e d a d d e l arco de la
astroide
* 8/3 4 - y v * = a 2/»,
situ a d o on el prim er c u a d r a n t e .
1 731. H a l l a r e l m o m e n t o e s tá tic o de la circu n fe re n cia
r = 2a sen<p,
respecto al e je p o la r .
1732. H a lla r las co o r d e n a d a s
de la catenaria
del
ce n tr o de g ra v e d a d d e l arco
y = a ch —
com p reu d id o en tro x = — a y x = a.
1733. H a l l a r el ce n tr o de gravedad del arco de cir cu n fe r e n cia ,
de radio a, q u e su b tie n d e e l á n g u lo 2a.
1 7 3 4 . H a lla r las co o r d e n a d a s d el cen tro de g r a v e d a d d e l prim er
a rco de la c ic lo id e
x — a ( t — s e n t)',y = a ( i — c o s í ) .
1735.
H a l l a r las
coo rd en a d a s
fig u ra lim ita d a por la elipse
del c e n tr o
= l
y
denadas O X y O Y ( x > 0 , j / > 0 ) ( 0 < í < 2 j c ) .
t7 3 6 .
H a lla r las c o o r d e n a d a s
del ce n tr o
figura lim ita d a por las c u r v a s
de
g ra v e d a d
de la
p o r lo s e je s de c o o r ­
de
g ra v e d a d
de la
1737.
H a l l a r las c o o r d e n a d a s d el ce n tr o
de
fig u ra lim ita d a por el p r im e r arco de la c ic lo id e
gravedad
de la
y = x i\
x
= a (t — sen t ) y
y = V ~ x.
y = a (1 — eos t)
y por el eje O X ,
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A p lica ció n de las in t. d ef. a la resolución de problem as de física
183
1738**. H a l l a r el cen tro de g ra v e d a d del h em isferio de radio a,
con el c e n tr o en e l o rig e n de coorden adas, situ a d o sob re el p la ­
no X O Y .
1739**. H a l l a r e l c e n tr o de g ra ved a d de u n c o n o c ir c u la r recto,
h o m o g é n e o , si el ra d io de la base es r y la altura es h.
1740**. H a l l a r el c e n tr o de g ra ved a d del h em isferio de una
b o la h o m o g é n e a do ra d io a, con el cen tro en el origen de co o rd e ­
nadas, s itu a d o s o b r e el p la n o X O Y .
1741.
H a l l a r el m o m e n to d e in ercia de una circu n fe re n cia de
radio a y respecto a su p r o p io d iá m e tro .
1 7 4 2 . H a l l a r e l m o m e n to de in ercia de un r e c tá n g u lo de lados
a y 6, respecto a estos lados.
1743. H a lla r el m o m e n to de in e rcia do u n segm ento p a r a b ó lic o
recto, respecto a su eje de s im e tría , si la base es 2b y la altura es h.
1744.
H a l l a r el m om en to de in ercia de la s u p e rficie
de la
e l i p s e +
=
respecto a sus ejes p rin cip a les.
1745**. H a l l a r el m o m e n to p o la r de in ercia de un a n i l l o c i r c u ­
lar de radios R t y i ? 2
es d e cir, e l m om en to de inercia
respecto al eje q u e pasa p o r
el cen tro d e l a n i l l o y es perpen dicu ­
la r a l p l a n o d e l m ism o.
1746**. H a l l a r el m om en to de in e rcia de u n c o n o c ir c u la r recto,
h o m o g é n e o , respecto a su e je , si el radio de la base es Ji y la
a ltu r a es / / .
1747**. H a lla r e ! m o m e n to de in ercia de una b o la h om ogén ea
de r a d io a y m asa M , respecto a su diám etro.
1748. H a l l a r e l área y e l v o l u m e n de un to r o en gen drado por
la r e v o lu c ió n de u n c í r c u l o de r a d io a , alrededor de un eje situado
en e l m ism o p la n o que el c í r c u l o y que se en cu en tra a una d is ta n ­
c i a b ( b ^ a ) d e l c e n tr o de este.
1749. a) D e te r m in a r la p o s ic ió n d e l co n tr o de g ra ved a d d e l
a r c o de la astroide
+
= a ¿/*y situ a d o en el prim er cuadrante.
b)
H a l l a r el c e n tr o de g ra v e d a d de la fig u ra lim ita d a por las
cu r v a s y 2 = 2 p x y x - — 2 p y.
1750**. a) H a l l a r el c e n t r o de g ra v e d a d dei s e m ic ír c u lo , a p l i ­
c a n d o el teorem a do G u ld in .
b)
D em ostrar, a p lic a n d o el teorem a de G u l d i n , q u e el centro
d e g ra v e d a d de u n tr iá n g u lo dista de su base a u n tercio de la
a ltu r a .
§ 12. A p lic a c ió n de la s I n t e g r a le s d e fin id a s
a la r e s o lu c i ó n de p rob le m a s de f í s i c a
í°. T r a y e c t o r i a r e c o r r i d a p o r u n p u n t o . Si un puntóse
mueve sobre una curva y el valor absoluto de su velocidad v = f ( í ) es una
función conocida del tiempo í, el espacio recorrido por dicho punto en un
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184
In teg ra l definida
in te r v a lo de tiem p o [lit t z] será ig u a l a
J i(t)d t.
h
E jem plo
1.
La v e lo c id a d de un p u n to es ig u a l a
i>= 0,1í3 rn/seg.
H a lla r el esp acio s % re corrid o por el p u n to , durante un in te r v a lo de tiem p o
7 ^ = 1 0 seg, tra n scu rrido dosde el c o m ie n z o de su m o v im ie n t o . ¿Á q ue será
igual la v o lo c id a d m edia d o l m o v im ie n t o durante este in te r v a lo ?
S o l u c i ó n . Tenem os
ÍO
10
¡>= ^ 0,1Í3 d t = 0,1
0
o
= 250
y
2o. T r a b a j o
do
una fuerza.
Si una fuerza v a r ia b le X = f ( x )
actúa en la d ir e c c ió n del ojo O X , ol trabajo de esta fuerza en el segm onto
[ x ,, x 2] será ig u a l a
?
A = . \ / (x) dx.
V
E j e m p l o 2. Si para estirar u n m u e lle 1 c o i se n ecesita una fuerza
do 1 k g f ¿qué trabajo habrá q u o om plcar para e s t ir a r lo 6 cm ?
S o l u c i ó n . P o r la l e y de H o o k e , la fuerza X k g f q u e estira en x
luollo e s ig u a l a X = k x , d on d o k es un c o e f ic ie n t e cío p ro p o rcio n a lid a d .
S u p on ien do quo 2 = 0,01 m y X = 1 k g f , tendrem os q uo /¿ = 100 y , p o r
co n s ig u ie n te , X = 1 0 0 x .
De a q u í, q uo el tr a b a jo q ue se busca c*s:
0.06
s
0,06
lOOx d x = 5 0 j 2
= 0 ,1 8 k g f w.
3o. E n e r g í a c i n é t i c a . So da el n o m b re de energía cin ética d o un
p u n to m a te ria l, de m asa m y v e lo c id a d ut a la sigu ien te e x p r e s ió n :
A'
L a energía cin ética d e un sistem a d e n p u n to s m a teria le s, d e masas
m2,
mn , cu y a s v e lo c id a d e s ro sp ectiv a s sean v lt vz , . . . , vn , es ig u a l a
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A p lica ció n de las in t. d ef. a la resolución de problemas de física
185
Para c a lc u la r la en ergía c in é t ic a de un cuerpo, h a y q ue d i v i d i r l o con­
v en ien tem en te en partos elem en ta les (que ju egan el papel de puntos m ate­
riales) y , después, su m a n d o la energía c in é t ic a de estas partes, 5' pasando
a lím ite s , en lu ga r de la sum a (1) se obtendrá la correspondiente in teg ra l.
E j e m p l o 8 . H a lla r la energía c in é t ic a do un c i lin d r o circu la r h o m o ­
géneo (m a cizo ), de den sidad ó, c u y o r a d io d e la baso es i? y la altura h 9
quo gira co n una v e lo c id a d a n g u la r oí alrededor de su ejo.
S o l u c i ó n . C om o masa e lem e n ta l dm s e tom a ia m asa de un c ilin d r o
hueco, d e altura h, radio in te r io r r y espesor d e la pared dr ( f i g . 60). Tonem os:
dm — 2 n r-k d dr.
Com o ia v e lo c id a d
c in é tica elem en tal es
lin e a l de la
dK =
masa dm es ig u a l a ¿>= ro). la energía
= Jtr3ú)2A<5 dr.
De donde
R
9, A 0 . . .
n<o26R*h
A ^=rtúí2Ao \ r¿ d r —
------- .
0
4 o. P r e s i ó n d e l o s l í q u i d o s . Para c a lc u la r la fuerza co n q ue
presionan lo s líquidos se e m p le a la le y do Pascal, según la cu a l, la presión
que ejercen lo s líq u id o s s o b ro u n área S su m ergida a una p rofu n did a d h r
es ig u a l a
P = yhSt
d on d e y os el peso e s p e c íf ic o del líq u id o .
E j e m p l o 4. H a lla r la presión quo s o p o rta u n s e m ic ír c u lo de ra d io r ,
s u m e r g id o v e r tic a lm o n t e e n agua, de tal fo rm a , quo su d iá m e tr o co in c id e
con la s u p e r f ic ie lib r o de a q u é lla ( f i g . 61).
S o l u c i ó n . D iv id im o s ia su p e rficie del s e m ic ír c u lo en elem entos, f a ja s
p a ralelas a la s u p e r fic ie d e l agua. E l área de u n o de e sto s elem en tos (o m i­
tien d o lo s in f in it é s im o s de o rd en su p e rio r), situ a d o a la d ista n cia h de la
s u p e r fic ie d e l agua, os ig u a l a
d S = 2x dh = 2
dh.
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186
In tegra l definida
La prosión q ue so p o rta este e le m e n to es ig u a l a
d P = Yh d $ = 2 y k
dht
d on d e y GS el PGS° e s p e c ífic o dei agua, igual a la unidad,
Do aq u í que, la presión total es
r
r»
P= 2 ^
f ( r 2 — h2)
1751. La v e locid a d de un cu erp o, lan za d o h acia arriba v e rtica lm e n to c o n una v elocida d in icia l v0, despreciando la resistencia
del aire, se expresa por la fó rm u la
” = v0 — gt,
dondo t es el tiem po transcurrido y g la a c e le ra ció n de la g r a v e ­
dad. ¿A qué distancia de la p o s ició n in ic ia l se en con trará este
c u e r p o a lo s t seg de h a b erlo lanzado?
1 752. L a v e lo cid a d de un cu erp o , lanzado v e rtic a lm e n te hacia
arriba con una v e locid a d in ic ia l t?0, con ta n d o la resisten cia del
aire, se expresa por la fó rm u la
donde t es el tiem po transcurrido, g es la a c e le ra ció n de la gra­
vedad y c os una con stan te. H a lla r la altura a que se e le v a el
cu erpo.
1753. U n p u n to del eje O X vib ra a rm ó n ica m e n te alred ed or del
origen de coordenadas con una v e lo cid a d que viene dada p o r la
fórm u la
V — I>0 eos Cú¿,
don de t es el tiem po y v0 y co son unas con stan tes.
H a lla r la le y de la v ib r a c ió n del p u n to, si para t = 0 tenía
una abscisa x = 0 . ¿ A q u é será igual el v a l o r m ed io de la m ag­
n itu d absoluta de la v e lo cid a d del punto durante e l período de la
vib ra ción ?
1754. La v elo cid a d del m o v im ie n to de u n p u n to os
v = t e ~ ° > 0it m/seg.
H a lla r el ca m in o reco rrid o por d ic h o punto desde que com en zó
a m overse hasta q u e se pare p o r com p leto.
1755. Un p r o y e c til co h e te se levan ta v e rtica lm e n te . S u p on ien d o
que, siendo con stan te la fuerza de arrastre, la a c e le r a c ió n del
co h e te aum enta a causa de la d is m in u ció n de su peso según la le y
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A p lica ció n de ¿as int. d ef. a La resolución de problem as de física
187
h a lla r la v e lo c id a d d e l c o h e t e en c u a lq u ie r in sta n te ¿, s i su v e lo ­
c i d a d in ic ia l es ig u a l a c e r o . H a lla r ta m b ié n la altura q u e alcanza
•el c o h e te e n el instante 2 — / 4.
1 7 5 6 * . C a lcu la r el tr a b a jo necesario para sacar e l agua que
h a y en una cu ba c ilin d r ic a v e r t ic a l, que tien e un ra d io de base lí
y una a ltu ra II.
1757. C a lcu la r e l trab ajo necesario para sacar el agu a que h a y
e n un re cip ien te c ó n ic o , c o n e l v é r t ic e h a cia a b a jo , c u y o radio
d e la base es R y la altura H .
1 7 5 8 . C a lc u la r el tr a b a jo necesario para sacar el agua de una
'Caldera sem iesíérica , que tie n e un radio R = 10 m.
1759. C a lc u la r el tr a b a jo necesario para sacar, p o r e l o r if ic io
s u p e rio r, el a coito co n te n id o e n una cisterna de form a c ilin d r ic a
•con e l e je h o r iz o n t a l, si el peso e sp e cífic o d e l a ceite e s y , la lo n ­
g it u d de la cisterna I I y el ra d io de la base R .
1 7 6 0 * *. ¿O u é tra b a jo h a y que rea lizar para le v a n ta r un cuerpo
de m asa m de la s u p e rficie de la T ie rra , c u y o radío e s R t a una
a lt u r a h ? ¿-4 q u é será ig u a l este trab ajo si h a y q u e expu lsar
«el cu erpo al in fin ito ?
1 7 6 1 * * . D o s cargas e lé c tr ic a s eo = 100 C G S E y e4 = 2 00 CGSE
s e en cu en tra n e n e l e je O X en lo s pu n tos x o — 0 y x l = i cm ,
re sp e ctiv a m e n te . ¿Q ué tr a b a jo se realizará si la segunda carga
se traslada a l p u n to x 2 = 1 0 cm ?
1 7 6 2 * * . U n c ilin d r o c o n u n é m b o lo m ó v i l , de d iá m etro D = 2 0 cm
y de lo n g itu d Z = 8 0 c m , está l l e n o de v a p o r a p re sión de p =
— 1 0 k g f/c m 2. ¿Q ué tra b a jo h ace fa lta r e a liz a r para dism in u ir
e l v o lu m e n del v a p or e n d o s veces si la tem peratura e s constante
( p r o c e s o isotérm ico)?
1 7 6 3 ** . D e te rm in a r e l trab ajo rea lizad o e n la e x p a n sió n adia­
b á tic a d el aire, hasta ocu p a r un v o lu m e n 1^ = 1 0 m3, si el v o lu ­
m e n in ic ia l es F 0 = l m 3 y la p re sión P o = l k g f / c m 2.
1 7 6 4 * * . U n á rb o l v e r tic a l, de peso P y radio a , se a p oy a en
u n a ra n gu a A B ( fig . 6 2 ). L a f r i c c i ó n en tre una parte pequeña o
d e la base del á rb o l y la s u p o rficio del a p o y o que está en c o n ­
t a c t o c o n e l l a es ig u a l a F = \ipo1 dondo p = co n s t. e s la presión
d o l á r b o l sobre la s u p e r fic ie del a p o y o , referida a la unidad de
s u p e r fic ie d e l m ism o , y ¡x es el c o e fic ie n t e de f r ic c i ó n . H a lla r
e l tra b a jo de la fuerza de f r i c c i ó n o n una r e v o lu c ió n d e l á rb ol.
1 7 6 5 * * . C a lcu la r la en org ía c in é t ic a de u n d isco , d o masa M
y r a d io R , que gira a lr e d e d o r de un o je que pasa por su ce n tr o
y o s p e rp e n d icu la r al p la n o d el d isco con una v e lo c id a d angu­
l a r co.
1 7 6 6 . C a lc u la r la en ergía c in é t ic a de un c o n o c ir c u la r recto,
d e m a sa M , q u e gira alred ed or de su e je c o n una v e lo c id a d angu­
la r co. E l radio de la base d e l co n o es R , la a ltu ra I I .
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m
Integral definida
1 7 6 7 * . ¿Q ué trab ajo es n e ce s a rio realizar [para deten er una
b ola de h ie rro de ra d io i ? = 2 m, q u e gira alrededor de su d i á ­
m etro c o n una v e lo cid a d a n g u la r ío = 1000 v u e lta s /m in u to ? (E l peso
e sp ecífico d e l h ierro y = 7 ,8 g f /c m 3).
1768.
U n tr iá n g u lo d e base b y a ltu r a h está su m ergid o v e r ticalm en te en agua, c o n el v é r tic e h a cia a ba jo, de form a, q u e su
i '
base c o in c id e c o n la su p erficie del agu a. H a lla r la presión q u e
el agua ejerce sobre é l.
1769. Una presa v e r tic a l tiene form a de tra p e cio . C a lc u la r
Ja presión tota l del agu a sobre d ich a presa, sabien do que la base
superior tien e a = 70 m , la base in fe r io r ó = 5 0 m y su a ltu ra
k = 20 m .
1770. H a lla r la presión que ejerce un l í q u i d o , c u y o peso espe­
c í f i c o es y , sobre una elipse v e r tic a l, de ejes 2a y 2b, el ce n tr o
de la c u a l está su m ergid o hasta una p rofu n d id a d h. E l eje m a y o r
2a de la elipse es p a ra le lo a la su p erficie del líq u i d o {h > b ).
1771. H a lla r la presión que ejerce el agua sob re u n c o n o c i l i n ­
d rico v e r tic a l, con ra d io de la base R y a ltu r a H , su m erg id o
en ella c o n el v é r tic e h acia a ba jo, de form a que la base se encuen­
tra al n iv e l del agua.
P rob lem a s
d iv erso s
1772. H a lla r la masa de una barra de lo n g it u d ¿ = 100 c m r
si la densidad lin e a l de la m ism a a la distan cia x cm , respecto
a uno de lo s extrem os, es igual a
6 = 2 + 0,001a;2 —
.
'
cm
1773. Según datos e m p irico s, la capacidad c a lo r íf ic a e sp ecifica
del agua, a la tem peratura
( 0 < ¿ < 1 0 0 ° ) , es ig u a l a
c = 0 ,9 9 8 3 -
5 ,4 8 4 *10"5* + 6 , 9 1 2 - 10~7¿2.
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A p lica ción de las in t . d ef. a la resolución de problem as de jísica
180
¿Q ué ca n tid a d de c a lo r se necesita para calen tar 1 g de agua
desde 0o hasta 100° C?
1 774. E l v ie n to ejerce una presión u n ifo rm e p g f / c m 2 sobre
una puerta, cu y a a n ch u ra es b cin y la altura h c m . H a lla r
e l m om en to do la fuerza c o n que presiona el v ie n to , q u e tiende
a h a cer girar la puerta sob re sus goznes*
1 775. ¿Q ué fuerza de a t r a c c ió n ejerce una barra m aterial,
d e lo n g it u d l y masa M y sobre un punto m a te ria l de masa m ,
situ a d o en la m ism a recta de la barra a una distancia a de uno
d e sus extrem os?
1 7 7 6 * *. C u an do la c o r rie n te de líq u id o q u e pasa p o r un tubo
d e s e c c ió n c ir c u la r , de ra d io a , es la m in a r estable, la v e lo cid a d
v e n u n p u n to que se en cu en tra a la distan cia r del e je del tubo,
s e expresa p o r la fórm u la
d o n d e p es la diferencia de presión dol líq u id o en los extrem os
d e l tu bo, ¡i es el c o e fic ie n te de v isco s id a d y l la lo n g itu d del
tu b o . D eterm in ar el gasto d e líquido Q , es decir, la can tidad del
m ism o q u e pasa p o r la s e cció n transversal d el tu bo en la unidad
d e tiem p o.
1 77 7 *. Las m ism as co n d ic io n e s d el problem a a n te rio r (1776),
pero c o n un tu b o de s e c c ió n recta n g u la r, en que la base a es
g ra n d e con r e la c ió n a la a ltu ra 2 b. En esto caso, la velocidad
de la co rrie n te v en el punto M (x . y) se determ ina por la f ó r ­
m u la
D eterm in ar el g a sto Q de líq u id o .
1 7 7 8 * * . A I estudiar la s cu a lid a d e s din á m ica s de lo s a u t o m ó v i­
le s se recurre frecuentem ente a la c o n s tr u c c ió n de dia gram as espe­
c ia le s : sobre el eje de abscisas se tom an las v elocida des v y sobre
el de ordenadas, la s m a gn itu d es inversas a las correspon dien tes
a ce lera cio n es a . Dem ostrar, q u e el área S , lim ita d a por la curva
d e esta g r á fic a , por la s d o s ordenadas 1; = ^ y y = i ; 2 y el eje
de abscisas, es n u m érica m e n te ig u a l al tiem p o que se necesita para
a u m en tar la v e lo c id a d del a u t o m ó v il desde v t a v z (tiem p o
de « e m b a la d o »).
1779.
U n a v ig a h o riz o n ta l, de lo n g itu d l, está en e q u ilib r io
b a jo la a c c ió n de una carga, u n iform em en te repartida a lo la rg o
de e lla y d ir ig id a v e rtica lm en te h a cia abajo, y de las reacciones
de sus a p o y os A y
=
=
dirig id a s verticalm en te hacia
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190
In teg ra l definida
arriba. H a lla r el m om en to de f le x i ó n M x cu la s e c c ió n transver­
sa l x y es decir, el m om e n to respecto al p u n to P , de abscisa x y
de todas las fuerzas q u e a ctú a n on la parte A P de l a viga.
1780.
U n a v ig a h o riz o n ta l, de lo n g it u d l , está en e q u ilib r io
bajo la a c c ió n de las reaccion es de sus a p oy o s A y B y de una
carga repartida a lo la r g o de la m ism a, c o n una intensidad
de q — k x , donde x es la d is ta n c ia al a p o y o izquierdo y k un c o e fi­
cie n te co n sta n te. H a lla r e l m o m e n to de f le x i ó n M x en la s e c c ió n x *
O b s e r v a c i ó n .
S e d a e l n o m h r e d o i n t e n s i d a d d o d i s t r i b u c i ó n d e la
c a i g a , a Ja c a r g a ( f u e r z a ) r e f e r i d a a l a u n i d a d d e l o n g i t u d .
1781*. H a lla r la ca n tid a d de c a lo r que desprende una corrien te
a ltern a sinusoidal
durante el período T en un c o n d u c to r de resistencia R .
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C a p ítu lo V I
F U N C I O N E S DE V A R I A S V A R I A B L E S
§ 1. Conceptos fundamentales
I o. C o n c e p t o d o f u n c i ó n d e v a r i a s
variables.
Design a c i o n e s d e l a s f u n c i o n e s . Una m a g n itu d v a ria b le z se denom ina
función u n ifo rm e de d os v a ria b les x e y, s i a cada c o n ju n to do valores de
éstas ( x , y) d e ! ca m p o d a d o , correspondo un v a l o r ún ico y d ete rm in a d o de z.
Las v a r ia b le s x e y se lla m a n argumentos o variables independientes. La depen­
dencia fu n cio n a l se representa así:
- = / ( * , y );
z = F ( x , y);
etc.
Las fu n cio n es de tres o m ás argum entos so dofinen de manera análoga.
E j e m p l o 1. E x presa r el v o lu m e n V del c o n o en fu n c ió n de su gene­
ratriz x y del r a d io d© la base y.
S o l u c i ó n . S abem os p o r la geom etría, q ue el v o lu m e n del co n o es
ig u a l a
V = ~ ~ n y 2h,
donde h es ia altura deí con o. Poro k = ~/x'¿ —
P or co n sig u ie n te,
v = — ay* y * « —y*.
Esta es, precisam ente, la dependencia fun cion al que se buscaba.
E l v a lo r de la fu n ció n z = f ( x y y) en el p u n to P { a , b ), es d e cir, cuando
x = a e x = 6, se designa p o r f ( a , b) o f ( P ). La representación geom étrica
de la fu n c ió n z = f ( x , y) en un sistem a de coordenadas cartesianas X , Y , Z
es, en térm inos generales, una su p e rficie (fig . 03).
E jem plo
2. H a lla r / (2, — 3) y / ^1,
H ,
Solución.
■
P o n ie n d o z ~ 2 e
— 3, hallam os:
22 4
/<2. - 3 )
j , si
. ( — 3)2
2 - 2 - ( — 3)
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13
12
Funciones d e varias variables
102
P o n ien d o x ~ i y su stitu y e n d o y p o r t e n e m o s :
x
2
*»+y2
2xy
2-1
es d e cir,
/ ^1,
= / ( * , y).
2.
C a m p o d e e x i s t e n c i a d e Ja f u n c i ó n . P o r cam po de e x i s ­
tencia (de definición) d e la fu n c ió n s = / ( x , y ) , se e n tie n d e el c o n ju n to de
pu n tos ( * , y ) d e l p la n o X O Y q ue determ in a n la fu n c ió n da d a (es decir,
para los q ue la fu n c ió n to m a v a lores reales determ in a d os). En los casos
m ás elem e n ta le s, el ca m p o de e x iste n cia d o la fu n c ió n representa una parle
fin ita , o in fin it a , del p la n o co o rd e n a d o X O Y , lim ita d a p o r una o varias
curvas (frontera d e l campo)".
De form a a n á lo g a , para las fu n cio n e s de tres v a r ia b le s u = f ( x , y* z),
el ca m p o de e x is t e n c ia de la fu n c ió n e s un c u e rp o d e te rm in a d o del espa­
c io O X Y Z .
E j e m p l o 3. H a lla r el ca m p o de e x is te n c ia de la fu n ció n
1
y 4 _ a .a _ .0 2
Solución.
Esta f u n c ió n tiene v a lores reales cuando
4 — * 2— y 2 > o ó b ie n
+
A esta ú ltim a d esig u a ld a d sa tis fa ce n las coorden a d a s de los pu n tos situ a ­
dos d e n tro de un c ircu lo de r a d io 2 co n el c e n t r o en el o rig e n do co o rd e ­
nadas. El ca m p o de e x is te n c ia do esta fu n c ió n es pues el in te r io r do este
c ír c u lo (fig . 64).
E j e m p l o 4. H a lla r el ca m p o de e x is te n c ia de la fu n ció n •
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Conceptos
Solución.
para —
p < l
E l prim er
fundam entales
su m an do
de
la
fu n c ió n
queda
ó b ie n — 2 < > < ; 2 . E l segundo su m an do
dotermiaado
tiene valores
reales cuando a# > 0 , es d e cir, en d os casos:
. f z> 0,
si
.
f *< 0 ,
o si 1
l i/> 0.
\ y<0.
E l cam po do e x iste n cia do tod a la fun ción se representa en la f ig . 65 y com~
prende la frontera del campo.
3.
Líneas y su p erficies
de n i v e l
de l a s fun c io n e s.
Se da el nom bre de línea de nivel de una fu n ció n z = / ( ; r , y ), a la línea
F i g- 64
F i g. 6 5 1
f ( x y y) = C d e l plano X O Y * para cu yos pu n tos la fu n c ió n tom a un m ism o
v a lo r z — C (que generalm ente se señala co m o a n o ta ció n en el d ibu jo).
F i g . 66
Se lla m a su p erficie de nivel de una fu n ció n do tros argum entos u =
— f { x , y , z) a q u e lla su p e rficie f ( x f y y z) — C en cu y os puntos la fu n ción
toma un v a lo r constante u = C.
E j e m p l o 5. Construir la línea de n i v e l de la fu n ció n z = x*y.
S o l u c i ó n . La e c u a c ió n de la línea de n iv e l tiene la form a x*y = C
Q
o b ie n
y= -^ .
H a cien d o C = Q ,
±1 ,
= f c 2 . . . t obten em os
líneas de n iv e l (fig. 66).
13—1016
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la
fa m ilia
de
104
Funciones de varias variables
1782. Expresar el v o lu m e n
re g u la r en fu n c ió n de su altura
1783. E xpresar el área S de
de pirám ide exagon al re g u la r,
la s bases y de la altura z.
1784. H a lla r /
V de una p irá m id e cu a d ra n g u la r
i y de su arista latera l y.
la su p erficie la te ra l de u n tr o n c o
en fu n c ió n de lo s la d os x e y de-
3) y /(l,
- 1 ) , si
f ( x , y) = x y + - y .
1785. H a lla r f (x, y ) , f ( — x ,
— y), f ( - j - , ■— ) , f
, si
/<*• r t - n g 2 "
1786. H a lla r lo s v a lores que tom a la fu n c ió n
/ ( * , y) = 1 + * — y
en lo s puntos de la p a rá b ola
fu n c ió n
y = x - , y co n s tru ir la g r á fic a d e la
F ( x ) = f ( x , x 2).
1787. H a lla r e l v a lo r de la fu n ción
* * + 2 * V + -/*
1— *2— 5,3
en los pu n tos de la c ir c u n fe r e n c ia x 2 -}- y 2 = R 2.
1788*. D eterm inar / (x), si
1789*. H a lla r f ( x , y ), si
f ( x + y , x — y ) = x y + y*'
1790*. Sea z = " Y y - + f ( Y x — *)•
y z, si z = i para y = 1.
1791**. Sea
z
=
Y
1+
y 2,
z = x /(-| -).
para
D eterm in ar
D e te rm in a r
fu n cion es
fu n cio n e s
/
/ y z } si
x = i.
1792. H a lla r y representar lo s
sigu ien tes funciones:
ca m p os de ex iste n cia
a) 2 = V i
b) z = 1 +
las
las
V — (* — i/)2:
c ) z = ln ( x - f p);
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de
la s
195
C on cep tos fundam entales
d) z = x -f- are c o s y;
e) z = Y i — z 2 + V í — y 2',
f ) z = are sen -¥ ~ ;
g ) z = Y x * ~ 4 + Y 4 — y 2;
h ) z = y (x~ + y ~ ~ a2) {2a2— x 2~ ~ y 2) ( a > 0 ) ;
i) z = Y y s e a x ;
m) z = — ¿r= L = = -;
Y v -V *
j) z = l n ( z z - f y ) ;
n) 2 = - ^ - - f - A - ;
k) z = are t g
1) z =
^
;
o ) z = ] / s e n (xz + f/z).
X* + y* '
1793, H a lla r lo s ca m p o s do e x is te n cia de las sigu ien tes fu n cio­
nes de res argum entos:
a) u * = Y x + Y y
+
Y * ,’
b) u = \n{xyz)\
c ) y = are sen x A r aresen y + are sen z;
d) y = \ / ' —
—
1 7 9 4 . C o n s tr u ir la s lín e a s de n iv e l ele la s fu n cio n e s q u o se dan
a c o n t i n u a c i ó n y a v e rig u a r el ca rá cter de las su perficies represen­
tadas por d ich a s fu n cion es:
a) z — x - \ - y , d) z = y ^ ;
g ) z = -J^-;
h ) z = x 2 + y 2\e) z = (1 + x + y ) 2;
k )z = - 4 = ;
l/x
c) z = x * - y * ; f ) z = l - [ x \ - \ y \ ;
1 7 9 5 . H a l l a r las
i ) z= -¿£ -_ .
lín e a s de n ivel de la s sig u ie n te s
a ) z = i n ( x 2 + y)\
d) z = f { y — ax)\
b ) z = a re sen xy\
e) z = / (
c) z = f
funciones:
) .
F );
1 796. H a l l a r la s su p e r fic ie s de n iv e l de la s siguientes
nes do tres v a ria b le s:
fu n c io ­
a) u — x + y + z,
b) u = x 2 + y 2 + z2,
c ) u = x 2 + y 2— z 2.
13*
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106
Funciones de varias variables
§ 2. Continuidad
1. L í m i t e d e u n a f u n c i ó n . E l núm ero A recibe el nom b ro do
lím ite d e la función z — f ( x , y) cu a n d o el p u n to P ' ( x , y ) tiende a l p u n to P (a, b),
si para cu alquier e > 0 ex iste un ó > 0 t a l, q ue cuando 0 < p < ó , (donde
p = V ( * — a)2+ (H — &)2 es
Ja desigualdad
distancia entro los pu n tos P y P ' ) , se v e rifica
[ f [ x , y) — A \ < z .
En es lo caso se escribe:
H m / ( * f y) = A.
x -+ a
y~*b
2. C o n t i n u i d a d y p u n t o s
do d i s c o n t i n u i d a d .
La
c ió n 2 = ) ( x , y ) recib o ol nom bre de continua en e l punto P (a, b), si
fun­
lim / (s, y ) — / (a, b).
X -K X
Ü-+b
La fu n ció n q ue es c o n tin u a en todos los p u n to s de un cam po determ i­
nado, se lla m a continua en este campo.
Las c o n d ic io n e s de co n tin u id a d do una f u n c ió n / ( s , y) pueden n o cum ­
p lirse en puntos a isla d os (puntos aislados de discontinuidad), o en pu n tos que
form en u n a o varias líneas ( líneas de discontinuidad) y , a veces, figuras
.geom étricas m ás com plicadas.
E j e m p l o 1. H a lla r lo s pu n tos de d is co n tin u id a d de la fu n ció n
X
—
*y±1_
n
* 2— y
•
S o l u c i ó n . La fu n ció n pierde su s e n tid o , s i el d e n o m in a d o r se anula.
Poro,
— 0 o sea, y — x 2 es la e c u a c ió n de una p a rábola. P or co n sig u ie n ­
te, la fu n ció n dada tiene una línoa de d isco n tin u id a d : la p a rá b ola y = x*.
1797*. H a lla r los siguientes lím ite s de las fun ciones:
. ) lim <*■ + »■) « e n ±
;
.) lim ^
U-*0
;
e) I t o ^
i/-*2
»>
;
d)
r/-*oo
u-*h
;
l/-fO
( ‘ +
i ) ‘;
f> S
S
t
f
•
1798. A v erig u a r si es c o n tin u a la fu n c ió n
/(* .
■ 1799. H a lla r
fun ciones:
y)
lo s
a) z = \ n Y x * + y2;
Y ' i — or — y2, s i x 2 + í/2 < 1,
0
, s i x 2 - f p 2> 1.
p u n tos
de d iscon tin u id ad
c) 2 =
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>
de
las sig u ie n te s
197
Continuidad
1800*. D em ostra r, q u e la fu n c ió n
si *« + » ■ * : 0 ,
0
, sí x = y = 0.
es con tin u a c o n r e la c ió n a cada una de las v a r ia b le s x e y por
separado, pero n o es co n tin u a on el punto (0, 0) respecto al c o n ­
ju n to de estas v a r ia b le s .
§ 3. D e riv a d a s p arc ia le s
1.
D e f i n i c i ó n de las d e r i v a d a s p a rc i a le s.
s i h a cem os, p o r e j . , que y sea con stan te, ob ten em os la deriYada
*
dx
Si z = / ( s , y ),
i¡m / ,( * + * « ■ * ) - / ( » .
¿x-yO
As
q uo re cib o el nom b re de derivada parcial d e la fu n c ió n z c o n respecto a la
v a r ia b le x . De m o d o a n á lo g o se d e fin e y se dosigna la derivada parcial do
la fu n c ió n z c o n respecto a la v a ria b le y. Es evidente, que para h allar las
derivadas p a rcia le s pueden utiliza rso las fó rm u la s ordinarias de d eriv a ció n .
E je m p lo
1. H a lla r la s d erivad as p arciales de la fu n ció n
2= ln tg j
.
C onsiderando y co m o m a g n itu d con stan te, tenem os:
Solución.
Oí
1
1
Ox
. x
tg—
b y
„ x
e o s2—
y
1 =
y
y
2
• 2x
y sen —
y
A n á lo g a m e n te , c o n sid e ra n d o x co m o co n sta n te , tendrem os:
dz
dy
*
E jem p lo
argum entos
2.
1
. x
tg —
*
y
1
(
0x \
e o s 2—
y
H a lla r
la s
x \
y2 /
2x
«
2a:
y2 sen —
y
derivadas parciales de
u = a:3y2z-|-2a:— 3 y - f -z + 5. .
Solución.
ií.-3 * W * + 2 .
* U 2 x * ir «-3 ,
■ £ -* V + l.
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la
fu n ció n
do
tres
198
Funciones de varias variables
2.
T e o r e m a d e E u l e r . La fu n ció n j(x > y) se lla m a fu n ció n homo­
génea do grado n , s i para cu a lq u ie r fa c t o r re a l h se v e r if ic a la igualdad
j (Au\ ky) = k * f (.x , y).
Una fu n ció n racional entera será h om ogén ea , si to d o s los térm in os d e la
m ism a son del m ism o grado.
P ara toda fu n ció n hom ogénea d ife rcn cia b le do grado n t s o v e rifica
siem pre la igualdad (teorema de Euler):
y ) + y f ' u (x ’
y)-
H a lla r la s derivadas p a rc ia le s de la s fun ciones:
1808. Z —
1801. z = a;3 - f y 3 — 3 a x y .
1803.
1809. z = e
tí
II
N|*«:
•
1802. z - x ~ y .
x+ y
u
x.
sen-
1810. 2 - a r e s e n ] / x 2 + y 9 .
180-1. z ^ V ^ — y 2.
1805.
X v .
1811. z = I n s e n — ^ .
Vy
X
1812. u — \xy ).
V x t + y*
1806. z = l n ( x + y a : s 4 -!/'-).
1807. z = a rctg
1813. a = zx v .
.
1814. H a lla r f'x { 2; 1) y f v {2 ; 1 ), si / ( * » y ) = 1/ x y + j 1815. H a lla r
f x ( 1 ; 2; 0 ),
ü ( i ; 2 ; 0 ) y n { í ; 2 ; 0 ) , si
j ( x , y , z ) = ln ( x y + z).
C om probar ol teorema de E u lo r s o b re la s fu n cion es h o m o g é ­
neas (N08, H 08 1 8 1 6 - 1 8 1 9 ) :
1816. f ( x , y ) = A x * + 2 B x y + Cy'-.
1817. z =
X
1818. f ( x , y) =
1819. f ( x , y ) = l n — .
1820. H a lla r - ¿ ( 7 ) , donde r = f x 2 + ya + 2a.
dx dx
Or d(p
1821. C a lcu la r
dy dy
, si a := -r c o s c p c y = r sentp.
dr d<p
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'
D erivadas parciales
1822. Dem ostrar, q u e x — - \ - y ~ = 2 f si
z = l n ( z 2 4 - * y + y 2).
1 8 2 3 . Dem ostrar, q u e a:
+ y
= x y - f z, si
y
2 — £1/
1 8 2 4 . D em ostrar,
que ^
^
+ J r = 0, si
u = ( z — y) (y — 2) (z — x).
1 8 2 5 . D em ostrar,
que —
■
yí
u[f
+
Ou
— 1» s*
u = x-\- X~ U
y—z
1 8 2 6 . H a lla r z = z ( x } y ) , si
x
dz ____
0y
z 2 -)-//2
1 8 2 7 . H a lla r z = z ( x , y ) , sa b ien d o, que
~
yl . y 2 ( 2:, í/) = sen [/ cu an do « = 1.
1828. P o r el p u n to M (1 ; 2; 6) de la su perficie z = 2 x 2 + t/2
s e h a n h e ch o pasar p la n o s paralelos a lo s coordenados X O Z
e y O Z . D eterm inar, q u é á n g u lo s form a n c o n lo s ejes de coorde­
nadas las tangentes a las seccion es así ob ten id as, en su punto
com ún M .
1829. E l área de u n trapecio de bases a, b y de altura h es
ig u a l a S = \ ( a + b ) h . H a lla r
^
y , m ediante su d ib u jo ,
escla recer su sen tid o g e o m é trico .
1830*. D em ostrar, q u e la fu n c ió n
2xy
. si * 2 + y * ¥ = o
f {X, y ) = ■
0,
si x = y = 0,
tien e derivadas p arciales f'x ( x , y) y f y ( z , y ) en el punto (0, 0),
a pesar de ser d iscon tin u a en este punto. R epresentar g e o m é tri­
c a m e n t e esta fu n c ió n en la s proxim idades del p u n to (0; 0).
§ 4 . D if e r e n c ia l t o t a l de una fu n c ió n
1.
I n c r e m e n t o t o t a l de una f u n ció n .
t o t a l de una fu n c ió n z = j ( x , y ) a la diferencia
Az = A / ( s , y ) = j ( x + b z t V + & y ) — f ( z , y).
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Se
llam a
incremento
Funciones de varias variables
200
2.
Diíoroncial
total
de u n a f u n c i ó n .
R ecibe el nom b ro
de diferencial total do una fu n ció n z ~ / ( x , y) ia parte prin cipa l del incre­
m ento tota l Az, lin ea l respecto a los in crem entos de lo s argum entos Ax y Ay.
La diferencia ontro el increm ento to ta l y la d ife re n cia l total de la
fu n ció n es un in fin ité s im o de orden su perior a p = ~\/Ax2 + &y2.
La fu n ció n tiene, in du b ita b lem en te, d iferen cial t o t a l, cuando sus d ife­
renciales parciales son continuas. Si la fu n ció n tiene d ife re n cia l t o t a l, se
lla m a diferenciable. Las diferenciales de las v a ria b les independientes, por
d o fin ició n , coin cid en con sus increm entos, os decir, d x = A x y rfy = Ay.
La d iferen cial total de la fu n ció n z = / ( x , y) so ca lcu la p o r la fórm u la
dz
dz
.
dz= - é ¿ d x + ~ ü d*Análogam onto, la d iferen cial total de una fu n ció n de tres a rg u m en to»
u = f (x, y, z) se c a lc u la p o r la fórm ula
du
du
du
du=— dx+—
Ejemplo
dy+—
dz.
1. Para la fun ción
f ( x y y ) = x 2+ x y - - y 2
h allar el increm ento t o ta l y la d ifc r o n c ia l tota l.
Solución.
f ( x + A x , y + Ay) = ( x + A x ) 2- h ( x + A z ) (y + A y )— (y + Ay)2;
A / (*t y) = [(* + Ax)2 + ( * + Ax) ( y + Ay) — (y + Ay)2] — (x2+ z y ~ ~ y2) =
= 2 x - A x + A x 2 + x - A y - f y - A x - f A x -A y — 2 y - A y — Ay2 =
= [(2x-\ -y) A x - f ( x — 2y) Ay] + (Ax2+ A x * A y — A y 2).
A qu í, la expresión d / = (2x + y)
+
— 2y) Ay es la d iforon cial tota t
de la fu n ción , mientras que (A x 2-)-A x « A y —- Ay2) os un in fin ité s im o de­
orden superior al del in fin ité s im o p=¿~\/Ax2^ - A y 2.
E j e m p l o 2. H a lla r la d ife re n cia l to ta l de la fu n ción
2 — ~ Z x 2 -J- y2.
Solución.
dz
dX
x
y x2^ y2
dz
dy
y
y x2 ± y 2
■x
,
y
xdx+ydy
dz = —
- d x -\.......
dy = — — — = — .
V x 2 + y2
l / x 2 + y2
V « 2 + V1
A p l i c a c i ó n de la d i f e r e n c i a ! do la f u n c i ó n a i o s
3.
c á l c u l o s a p r o x i m a d o s . Cuando |A x | y |Ay | so n su ficientem en te
pequeños, y por con sigu ien te, os su ficientem en te pequeño tam bién p =
= ~[/Ax2+ A y 2, para la fu n ció n d ifo ro n cia b lo z = / ( x , y) se v e rifica la
igualdad aproxim ada A z ^ d z , o sea,
&z
~Sx
a
i
&z ,
y'
E j e m p l o 3. L a altura de un co n o es / / = 30 c m , el radio de su basei? — 10 cm . ¿Cómo v ariará el volum en do d ich o co n o s í I I se aum enta 3 mm
y i? so d ism in u yo t m m ?
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D iferen cia l total de una junción
Solución.
v o lu m e n
la
El
1
del co n o e s F = — n i? 2# .
v o lu m e n
su stitu im o s
O
O
La v a r ia c ió n
<j
a p ro x im a d a m e n te
= ■4- n (2R H d R + ¿?2 d t í ) = ¿
20 í
por
la
d ife r e n c ia l
n ( — 2-10■ 30 •0,1 + 1 0 0 - 0 ,3 ) = — 10a
del
AV^dV—
— 31,4 cm 3.
E j o t a p l o 4 . C a lcu la r a p ro x im a d a m e n te 1,023 ,0 1 .
S o l u c i ó n . E x a m in e m o s la f u n c i ó n z = xV. E l núm ero q ue se busca
puede con sid era rse c o m o e l v a lo r in crem e n ta d o do esta fu n c ió n cu a n d o x = 1,
y=-. 3, A * = 0,02 y A y — 0,01. E l v a l o r i n i c i a l de la f u n c ió n es z = l 3 = J t
A z a* dz = y x y -1 Ax-^-xV ln x A y = 3* 1-0,02 + 1 - l n 1-0,01 = 0,06.
P o r co n s ig u ie n te , 1,023 , 01
y
1 + 0 , 0 6 = 1.06.
1 8 3 1 . P a ra la fu n c ió n f { x i y ) — x ¿y , h a lla r el in crem en to to ta l
la d ife re n cia l tota l e n el p u n to (1; 2 ); co m p a r a r lo s entre s í, s i :
a) A x — 1, A y = 2 ; b) A x = 0 , l , A y = 0 ,2 .
1832. D em ostra r, q u e para las fu n c io n e s u y y de v a r ia s
(p o r e.j., de dos) v a ria b le s se v e r ific a n la s reglas ord in a ria s ded e r iv a c ió n :
a ) d (u + v) = du-\- dv\
,
, ( u \
b) d ( u v ) = v du-\-u 'dv;
v d u — u dv
H a lla r la s d ife re n cia le s to ta le s de la s siguientes fu n cion es:
1 833. z = x* + y* — Zxy.
1838. z = l n { x <1+ y*).
1 8 3 4 . z = x ¡y3.
lg39> / ( * , y ) = l n ( l + - ~ ) .
- 2 — y2
1 835. z = - í
5:2 + y2 *
1 836. z = sen2 x - f eos2 1/.
'
1840. z = a r c t g — -b a r c t g — x
1841. z = l n tg — .
1 837. z = * y x v.
1842. H a l l a r d f ( l ; 1), s i f ( x , y ) = - ^ - .
1843. u — xyz.
1 8 4 4 . u = y ' x 2 + y--\- z2.
1 8 4 5 . 11 = [ x y + — )*•
1846. u = a r c t g ^
1
.
1 8 4 7 . H a l l a r d f ( 3 ; 4 ; 5 ), s i f ( x , y , z ) = ^ q ^ r
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y
Funciones de varías variables
1848. U n o de los la d os de u n re ctá n g u lo es a = 10 c m , el o tr o ,
6 = 2 4 cm . ¿C óm o variará Ja d ia g o n a l l de este rectá n g u lo si el
lad o a se alarga 4 m m y el lad o 6 se acorta 1 m m ? H a lla r la
m a gn itu d aproxim ada do la v a r ia c ió n y co m p a ra rla c o n l a e x a c ta .
1849. U na ca ja cerrada, cu y a s dimensiones exteriores son de
10 cm , 8 cm y 6 cm , está hecha de madera con trach apada de
2 m m de espesor. D eterm in ar el v o lu m e n a p rox im a d o del m a te ria l
<¡ue se gastó en hacer la caja.
1850*. E l á n g u lo ce n tra l de u n sector c ir cu la r es ig u a l a 80°
y se desea d ism in u irlo en I o. ¿En c u á n to h a y q u e afargar el radio
'del sector, para que su área no varíe, si su lo n g itu d in ic ia l era
ig u a l a 2 0 cin?
1851. C a lcu la r aproxim adam ente:
a) (1,0 2 )3 .(0,9 7 )2 ; b) / ( 4 t05)* + (2,93)*;
c)
sen 3 2 °-eos 59° (a l co n v e r tir los grados en radianes y cu a n d o
se c a lc u le el sen 60°, tom ar sola m en te tres cifra s decim ales; la
ú ltim a cifra debe redondearse).
1852. Dem ostrar, que el error r e la t iv o de un p ro d u cto es
aproxim adam ente ig u a l a la sum a de lo s errores re la tiv o s do los
factores.
i
1853. A I m edir en un lugar el tr iá n g u lo A B C , se o b tu v ie ro n
los datos siguientes; el lado a = 1 00 m ± 2 m , e l la d o 6 = 2 00 m
± 8 m y el á n g u lo (7 = 60° ± I o. ¿C on q u é grado de e x a c titu d
puede ca lcu la rse e l la d o c?
1854. E l período T de o s c ila c ió n dei p é n d u lo se c a lc u la por
la fó rm u la
T = 2 x / j ,
donde l es la lo n g itu d del p é n d u lo y g , la a ce le ra ció n de la gra­
vedad. H a lla r e l error que se co m e te al determ inar T, c o m o
resultado do lo s pequeños errores A l — a y A g = $ com etidos al
m ed ir l y g.
1855. L a d ista n cia entre lo s pu n tos P 0 (x Q; y 0) y P (x; y) es
igual a p, y el á n g u lo form ado por el v e cto r P 0P c o n e l e je O X ,
es igual a a . ¿En c u á n to variará el á n g u lo a , si el p u n to P tom a
la p osición P { (x + dx, y + dy), m ien tras que e l p u n to P 0 sigue
invariable?
§ 5, D eriva ció n de fu ncio n es compuestas
1.
C a s o d o u n a s o l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e . Si z =
= f ( x , y) es una función diforenciablo de los argumentos x e y, que son,
.a su vez, funciones díforonciables do una variable independien le t:
z = 9 (í).
í'= 'l> (í).
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D eriva ción de ju n cion es com puestas
l a d e riv a d a de
íPor la fó r m u la
la
f u n c ió n
co m p u e sta z = /( < p ( 0 »
^ (01 so
203
puede ca lc u la r
dx_ r
ÉK.
dt ~ dx di ' d y dt
/n
En e l ca so p a r t ic u la r d e quo t co in c id a c o n u n o de lo s argum entos,
p o r e je m p lo , co n a , la d e r iv a d a « t o t a l» de la f u n c ió n z c o n resp ecto a x será:
dx
E je m p lo
W2
1.
H a lla r —
dx “*■ dy
dx #
, si
z = e 3'r_i"2y, d o n d o x = c o s í ,
Solución«te
■dt
w
¿/ = ¿2.
P o r la fó r m u la (1) tenemos:
^ + 2 y . 3 ( _ s e n í ) + (;3 x + 2 (/.2 .2 i =
_ e3* + 2i» (4 ( _ 3 son f) = á3 c o s ¿ + 2t2 (4j — 3 sen t).
E jem p lo
2 . H a lla r la d e r iv a d a p a rcia l -g j- y la d e r iv a d a t o ta l —
7 si
z s a ^ , d o n d e í/~ < p (:r ).
S o lu ció n .
^ - — y c xv. B a sán donos en la fó r m u la (2), obten em os:
ox
dx
=
y e x y
x
c
*
]
cp' ( 2:) .
2.
Caso
de v a r i a s
v aria b les
i n d e p e n d i e n t e s . Si z es
u n a f u n c i ó n com p u esta de v a ria s v a r ia b le s in d ep en d ien tes, p o r ejem p lo ,
z = f ( x , y ) , d o n d e £ = <p(«, v) o
=
v) (a y y so n v a r ia b le s in d ep en ­
d ie n t e s ; / , <p y y¡> so n f u n c io n e s d ifc r c n c ia b le s ), Jas d erivadas p a rcia le s de z
-con r e s p e c to a u y v se ex p resa n así:
Oz
du
dz d x , dz dy
dx du
d y du
dz
dz d x , dz dy
dv ~~ d x dv
d y 0u
En t o d o s lo s ca so s e x a m in a d o s se v e r ific a la fórm u la
dz
dz .
dz = -T-d x-\ ~ -— dy
dx
dy
«(prop ied a d de invariabilidad de la d iferen c ia l tota l).
E je m p lo
3.
H a lla r ~
y ~
, si
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r
W
(4)
204
Funciones de varias variables
Solución
A p lic a n d o la s fórm u la s (3) y (4), obtenem os:
•
f
v ) - v + r u(x, y ) ± -
y
■£■=& (*• U ) ^ - r u (.x,V) ~ r .
Ejemplo
dz
e c u a c ió n
—
* dx
4.
Dem ostrar,
dz
.
x
— 0.
que
la f u n c ió n z =¡ tp (x2 + y2) sa tisfa ce a la
S o l u c i ó n . La f u n c ió n q> dependo do x e y a través d e l argumento*
in term ed io x*-\-y2 = t t p o r lo cual
*
dx
* ■ £d x■ - * ' ( • * + » ■ » 2 .
dt
dz
dz di
dy — dt dy
<P' (* 2 + * 2) 2y.
P o n ien d o la s derivadas parciales en el prim er m ie m b ro de la e c u a c ió n ,
tondremos:
u ik ~
x T U = y t f ' (a:a+ y i ) 2 x ~ arip' (* a +
2v=
= 2zy<p' (®2 + a2) _ 2alrq3/ (*2 + ^ ) . = ow
es d e cir, la f u n c ió n z sa tisfa ce a la e c u a c ió n dada.
1856. H a lla r
, si
2 — ~ > donde a; = eí, y = In¡f.
1857. H a lla r
si
u ^ l n s e n ^ p ^ , donde a: = 3¿2, p = V
1858. H alla r ^
al
+
, si
u = s x y z y donde £ = ¿* + 1, j/ = l n ¿ , 2 = t g ¿ .
1859. H a lla r 4j¡ - , si
di
u =: -r - r * > donde x = = / ? c o s f , y = / ? sen
V x 2+ v2
1860. H a lla r
O*
si
z = u”, donde w = s e n x , y = c o s x
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z = H.
D erivación de fun cion es com puestas
1861. H a lla r §
y § ,
si
z = arctg-|- e z/ — x2.
1 8 6 2 . H a lla r A
y § ,
ai
1 8 6 3 . H a lla r Í 1
y Í l,
si
dx
J
dy 1
z = f ( u , v), don de u = x 2 — y*, v * = e xy.
1 8 6 4 . H a lla r £
y £ ,
si
z = a rctg — , donde ¿r = u sen v, y = u eos y.
1 8 6 5 . H a lla r £
y £ ,
si
z = f ( u ) t donde u = ^ x y + — .
1
x
1866* D em ostrar, que si
u — O (.r2 + j/2 + z2), donde a: = R eos <p eos o|i,
# = i í eos q>sen i|?, z = i?sencp,
e n to n ce s ,
5a
du
A
i^ r = 0
1 8 6 7 . H a lla r £ ,
as
y
w
A
^ 0-
si
u = f ( x , y , z ) , donde y = <p(a;), 3 = ^ ( x , y).
1868. Dem ostrar, que si
z = f ( x + ay)i
-donde / es u n a fu n c ió n d iferen cia b le , entonces,
dz
dz
dy ~
a
dx *
Í8 6 9 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n
w = f ( u 9 v),
-donde u =
v = y + b t f satisface a la ecuación
dw
_
d io
.
j
dio
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205
206
Funciones de varias variables
1870. Dem ostrar, que la fu n c ió n
2—
( * 2 — y 2)
satisface a la ecu a ción
^1 dz , 1 Oz __ z
X d x ' 1" y dy ~ y*
1871. Dem ostrar, que la fun ción
z = x y + x <p(-|-) ,
satisface a la e cu a ció n
dz
dz
x ^ + y ~ ó i^ xy+z1872. Dem ostrar, que la fu n c ió n
z = eyy (ye 2v2 )
satisface a la ecu a ción
M '+ x y ' w = x y z '
1873. Un lad o de un re ctá n g u lo de x = 2 0 m , aum enta con u n a
velocidad de 5 m /s e g , el o tr o lad o de y = 30 m , d is m in u y e con
una v e locid a d de 4 m /seg. ¿Con q u é v e lo cid a d variarán el p erí­
m etro y el área de d ich o rectá n g u lo?
1874. Las ecu acion es del m o v im ie n to de un p u n to m a teria l so n
x= ?t,
y = ¿2,
z = l3.
¿Con q u é v elocida d aumentará la distancia desde este p u n to a&
o rigen do coordenadas?
1875. D os barcos, que salieron al m ism o tie m p o del p u n t o A r
v a n , uno, hacia el norte y , el o tr o , h acia el nordeste. L a s v e lo ­
cidades de dich os barcos son: 20 k m /h , y 40 k m /h , respectivam ente*
¿Con q u é v elocida d aum enta la distancia entre ellos?
§ 6. D erivada en una d ire c c ió n dada y g ra d ie n te de una (unció n
1.
D e r i v a d a do u n a f u n c i ó n en u n a d i r e c c i ó n da da .
Se da el nombre de derivada de una función z = / (s, y) en una dirección dada
l = pT\ a la expresión
ai - r J £ 0
P tP
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D erivada en una dirección dada y gradiente de una función
2 ^7
dondo f (P ) y / (P A son lo s v a lores d e la fu n c ió n en los pu n tos P y />,.
S i la fu n c ió n z os d ife r e n c ia b le , se v erifica rá la fórm u la
dz
dz
di
_
c o s a + _
dz
. £ona.
d on d o a es e l á n g u lo fo rm a d o p o r el v e ctor l co n el eje O X ( f i g . 67).
A n álogam ente se d eterm in a la d e riv a d a en una d ir e c c ió n dada
una fu n c ió n do tres argum entos u = j ( x , y , z). E n esto caso
Ou
du
, Ou
cosa+—
q . du
cos p
— cos
(i)
para
(2>
donde a , 0 y y so n los á ngulos entre la d ir e c c ió n l y los correspon d ien tes
ojos de coordenadas. L o d eriva d a en una d ir e c c ió n dada caracteriza la.
v e lo c id a d co n q ue varía la fu n c ió n en d ich a d ire cció n .
P (x ;y )
0
F i g. 67
E j e m p l o 1. H a lla r la derivada do la fu n ció n z ¡ = 2 x 1 — 3y2 en ol'
p u n to jP (1; 0)* en la d ir e c c ió n q ue fo rm a con ol eje O X un á n g u lo de 120°.
S o l u c i ó n . H alla m os la s d erivad as p a rcia les do la ^función dada,
y sus v a lores en o l p u n to P:
dz
dx
■ w ~ ° «
Aquí
co s a = c o s 1 2 0 ° = — s-
son a = sen 120°
V *
A p lic a n d o la fó r m u la (1), obtenem os:
1 /8 _
■ S — 4 ( — 5 " ) + 0 - - V -------- *■
El s ig n o m enos in d ic a , q ue la fu n c ió n en esto punto y on la direccióndada, decrece.
2°. G r a d i e n t e d o u n a f u n c i ó n . Recibo ol nom b re de gradiente
de una fu n c ió n z = / ( a : , ¡/), u n v e c to r , c u y a s p roy eccion es sobre los ejes d o
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208
Funciones de varias variables
-coordenadas son las correspondientes derivadas parciales de dicha fu n ción :
La derivada de ia fu n ció n dada en la dirección l t está relacionada con el
gradiente do la m ism a por la sigu ien te fórm u la :
dz
~Jl -
A
nPi grad 2,
■es decir» la derivada on esta d ir e c c ió n es ig u a l a la p ro y e cció n del gradiento de la fu n ció n sobre la d ir e c c ió n on que se deriva.
¿ E l gradiente de la fun ción en cada punto tiono la d irección de la
n orm a l a la correspondiente línea do n ivol de la fu n ció n . La dirección del
gradiente de la fu n ció n , en un p u n to d ado, es la dirección de la. v e lo ­
cid a d m áxim a de crecim iento do la fu n ció n on este p u n to, es decir,
cuando £ = grad z , la derivada y y tom a su v a lo r m á x im o , igual a
V
W
M
w
f -
Análogam ente se determ ina el gradien te de una fu n ció n de tres variables
u = f ( x , y, z):
(4 )
El gradiente do u n a j fu n ción de tres variables, en cada punto lleva la
d irección de la n orm a l a la su p erficio do n ivel quo pasa p o r d ich o punto.
E j e m p l o 2. H a lla r y con struir el gradien te do la fu n ció n z ~ x ' ¿y
■en e l punto P ( i ; 1).
F i g. 68
Solución.
p u n to P.
C alculam os las derivadas parciales y
- i r - 2* "
■ £ - *
P or consiguiente» grad z = 2 i + j
sus /valores Jon el
( í r L =2:
( w
) = l-
( f i g , 68).
1876.
H a lla r la derivada? de la fu n ción z = x * ~ x y ~ ~ 2 y 2 en el
punto i 5 (1; 2) y en la d ir e cció n quo form a con ol eje O X un
.ángulo de 60°.
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Derivada en una dirección dada y gradiente de una junción
209
1877. H a lla r la derivada de la fu n c ió n
+
+ i
en el p u n to P (1; 2), e n la d ir e cció n que
va desde éste al punto
¿V(4; 6 ).
_______
1878. H a lla r la derivada de la fu n c ió n z = l n ) / V 2 -j- y ¿ en el
p u n to P (1; i ) e n la d ir e cció n de la bisectriz del prim er án gu lo
coordenado.
1879. H a lla r la derivada de la fu n c ió n u = x* — 3yz + 5 en el
p u n to M (1; 2; — 1) en la d ir e cció n que form a á n g u lo s igu a les
con todos lo s ejes de coordenadas.
1880. H a lla r la derivada de la fu n c ió n
u = x y + yz + z x on el
p u n to M (2; 1 ; 3) en la d ir e c c ió n q u e va desde éste al punto
N (5; 5; 15).
1881. H a lla r la derivada de la fu n c ió n u = ln (ex + ey + ez) en
el o rig e n de coordenadas, en la dirección que form a con los ejes
de coordenadas O X , O Y y O Z lo s á n g u lo s a , p y y , respectiva­
mente.
1882. E l p u n to en q u e la derivada de una fu n c ió n , en c u a l­
q u ier d ir e cció n , es ig u a l a cero, se llam a punto estacionario de
esta f u n c ió n . H a lla r lo s p u n tos estacionarios de la s siguientes
fun ciones:
a) z = x l + x y + y 2 — 4 x — 2y\
b) z = x * + y*-r $xy;
c ) u = 2y2-k- z 2— x y — y z + 2x.
1883. D em ostrar, que la derivada de la fu n c ió n 2
en c u a lq u ie r punto de la e lip se 2 z 2 + ¿ / 2 = C2 a
n orm a l a la m ism a, es ig u a l a cero.
1884. H a lla r el grad z en el p u n to (2; 1), si
, tomada
lo
la r g o de la
z = x 3 4 - y 3 — 3 xy.
1885. H a lla r el grad z en el p u n to (5; 3), si
2= Yx*~y*.
1 886. H a lla r el grad u en ol p u n to (1 ; 2; 3), si u ~ z y z .
1887. H a lla r •la m a g n itu d y la dirección del grad u en
p u n to (2; — 2; 1), si
u = x 2 + y 2 + z2.
1888. H a lla r
el
á n g u lo
z = ] n - | - e n lo s p u n tos A
entre
lo s
gradientes
de la
el
fu n ción
y 5 ( 1 ; 1).
1889. .H a lla r la m a g n itu d de la elev a ción m á x im a do la super­
fic ie
z = x 2 + íy*
en el p u n to {2 ; 1; 8).
í 4—í 0 i tí
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D erivada en una dirección dada y gradiente de una función
209
1877. H a lla r la derivada
de la f u n c i ó n z = a;5— 2x*y + xy* + l
en el p u n to P (1; 2), en la d ire cción quo va desde éste al p u n to
N (4; 6).
_______
1878. H a lla r la derivada de la fu n c ió n z = ln ]/'xl + y ¿ en el
punto P ( 1; 1) en la d ir e c c ió n de la b isectriz del prim er á n g u lo
coordenado.
1879. H a l l a r la derivada do la fu n c ió n w = x 2 — 3¿/z 4- 5 en el
pu n to M ( 1; 2; — 1) en la d ir e cció n q u o form a á n g u lo s igu a les
con todos lo s ejes de coordenadas.
1880. H a l l a r la derivada de la f u n c i ó n u^=xy-\- y z-f- z x on e l
punto M (2 ; 1; 3) en la d ir e c c ió n q u e v a desdo ésto al punto
N (5; 5; 15).
1881. H a l l a r la derivada de la fu n c ió n u = l n {e*-\-ev + e~) en
el o r ig e n de coordenadas, en la d ir e c c ió n q u e form a con los ejes
de coorden adas O X , O Y y O Z lo s á n g u lo s a , p y y , respectivam ente.
1882. E l p u n to en q u e la derivada de una f u n c ió n , en cu a l­
q u ier d ir e c c ió n , es ig u a l a coro, se lla m a punto estacionario de
esta f u n c ió n . H a lla r l o s pu n tos e sta cion a rios de la s siguientes
fun ciones:
a) z = x 2 ~\-zy + y 2 — 4 x — 2y;
b) z = z * + if* — 3xy;
c) u = 2y2 + z2 — x y — y z + 2x.
1883. D em ostrar,
que la
derivada de la fu n c ió n z = —
en c u a lq u ie r p u n to de la elip se 2 x 2 -f- y 2 = C2 a
norm al a la m ism a, es ig u a l a cero.
1884. H a l l a r el grad z en el p u n to (2 ; 1), si
z=
+
lo
, tomada
la r g o
de la
Sxy.
1885. H a l l a r el grad z en el p u n to (5; 3), si
z = ] / x 2 - ~ y 3.
1886. H a l l a r el grad u en el p u n to ( 1 ; 2; 3), s i u = zyz.
1887. H a l l a r •la m a g n itu d y la d ir e c c ió n del g ra d u en
p u n to {2; — 2 ; 1 ), si
u = x 2 + y 2 + z 2.
1888. H a l l a r
el
á n g u lo
z = l n ~ ~ e n lo s p u n tos
entre
x )
lo s
gradientes
de
la
el
fu n ción
y ^ ^
1889. .H a lla r la m a gn itu d de la e le v a c ió n m á x im a de la super­
ficie
z — x 2 + 4 y2
on el p u n to (2; 1; 8).
14— 101 ü
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210
F u ncion es de varias variables
1890.
C on struir
gu ion tes fu n cion es:
el
c a m p o v e c t o r ia l
a) z = x + y ;
c ) z = x* + y2;
*>)
* } '■ - .
del
g radien te
de
la s
s í-
1
l / x 2+ y 2+ z 2
§ 7. D erivadas y d if e r e n c ia l e s de ó rdenes s u p e rio re s
1.
D e r i v a d a s p a r e í a l o s d e ó r d e n e s s u p e r i o r e s . Se lla m a n
derivadas parciales de segundo ord en de una f u n c ió n z = ¡ ( x y y ) a las d e r iv a ­
d a s parciales de sus d erivadas p a rcia le s d e p r im e r orden.
Para desig n a r las derivadas d e seg u n d o ordon se em plean las sigu ien tes
n ota cio n e s
d ( dz \
d2z _ f»
dx
0
V
dx
I dz \
j~
d x2
x x {X' t i '
02z
A n á lo g a m e n te se determ in a n y se designan las d eriv a d a s p a rcia le s de
orden su p erio r a l segundo.
Si la s derivadas p a rcia les q u e h a y que c a lc u la r son co n lin u a s , el resul­
tado de la derivación sucesiva n o depende del orden de dicha derivación.
Ejem plo
fu n ción
1.
H a lla r
la s d e riv a d a s p a rcia le s
z — a rctg
S o 1 u c i ó n.
ordon:
de segundo orden de la
.
H alla m os p rim e ra m e n te las d erivad as p a rcia le s de p rim er
dz _
dx ~
1
1
. . X-
y
y
X*~\-y2
+ y2
<)t _
I / _____X _\ __
dy “ “
., x 2 \
y¿ )
2=8
X
x* + y*
1+-^
A h o r a v o lv e m o s a derivar:
¿)2z
dx2
0 t
y
\
dx l a;2_|- y z )
d i
d2z
dy 2 - dy {
d-T.
d x dy ~
x
x 2+ y 2
d (
y
\
dy { x Z + y * )
2x y
( x 2+ y 2)2 ’
\
2xy
)
(* 2 + p2)2 •
1 - { z 2-|-I/2) — 2 y - y _
(* 2 + ¡/2)2
x 2— y2
<«*+ *S » '
Debe advertirse q ue la lla m a d a derivada p a rcia l «cru zad a» se puede h a lla r
de o t r a m anera, a saber:
¿)2z
d2z
-d íd 7 ~ ~ d ¡T d ¿.
d
(
x
\
i - { x 2-\-y2) — 2 x - x _
dx \
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(x 2 + y 2)2
x2 — y 2
( * 8 + y2)2 ‘
Derivadas y d iferenciales de órdenes superiores______________211
2.
D i f e r e n c i a l e s
d e ó r d e n o s s u p e r i o r e s . R e cib e e l D om bre
d e d i f e r e n c i a l d e s e g u n d o o r d e n (le u n a f u n c i ó n z = / ( x , y ) , l a d i f e r e n c i a l
cíe l a d i f e r e n c i a l d e p r i m e r o r d e n d o d i c h a f u n c i ó n :
d l¿z ~ d ( d z ) .
A n á l o g a m e n t e s o d e t e r m i n a n la s d i f e r e n c i a l e s d e la f u n c i ó n z d e o r d e n
s u p e r i o r al s e g u n d o , p o r e j e m p l o :
d 3z = d ( d 2z )
y , en g e n e r a l,
d n z — d ( d ,l-1z).
S i z — f ( x , y ) , d o n d e x e y s o n v a r i a b l e s i n d e p e n d ie n t e s y la f u n c i ó n /
t i e n e d e r i v a d a s p a r c i a l e s c o n t i n u a s d o s e g u n d o g r a d o , la d i f e r e n c i a l d e 2 o
o r d e n d e La f u n c i ó n z s e c a l c u l a p o r l a f ó r m u l a
d2z . ts , r, d 2z
,
.
. OH , ,
d 2= T V
2 ■■■■ a ■d x d y + - ^ 2 d !f *
dx2
d x dy
dy2
E n g en era l, c u a n d o e x is te n
fó rm u la s im b ó lic a
n .
( 1)
la s c o r r e s p o n d i e n t e s d e r iv a d a s se v e r i f i c a la
(
0
0
\ 71
d x - * r + d y W
)
,#
que form alm ente se desarrolla según la ley binom ial.
Si z = / (x , y ) , donde los argum entos x e y son a su voz fnncío'Ms do una
o varías variables independientes, tendremos
-B J T «*• < *+ ■ & r f f + # “* + £
*<'•
<! >
Si z e ¡/ son variables independientes, d 2x — 0, d2y = 0 y la fórm ula (2) se
hace equivalente a la fórm ula ( 1 ).
E j e m p l o 2. H allar las diferenciales totales de Io y 2o órdenes de la
función
z *= 2x'2 — 3 x y — y 2.
S o l u c i ó n . 1er procedim iento- Tenemos:
-g —
3 .-2 » .
P o r lo cu a l,
dz —
d x -f-
dy = (4x — 3y) dx — (3 x -f- 2y) dy.
D espués,
_É !l = /
dx2
óxdy
_
d2z
dy 2
de dondo se deduce que
dH = ^
+ 2 ¿?f ¿ y
^Vt = A d x * -
f> d x d y - 2 dy'*
procedim iento. Diferenciando, hallamos:
dz = 4x d x *—3 (y d x + x d y ) — 2 y d y = (4x — 3y) dx — <3x + 2y) dy r
V olviendo a diferenciar y recordando que d x y dy no dependen de x o y,
•14*
2°
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i
212
Funciones de varias variables
obtenemos:
d2z = (4 d z — H dy) d x ~ - ( 3 d z - \ - 2 d y ) d y = 4 d x 2 — 6 d x d y — 2 dy*.
, 0(H
rT i ,
d2z
a x-
02z
dx dy
.
tt
d2z
d2z
lo 9 1 . H a lla r -r -ó -,
m
1 892. H a lla r
d2z
dy¿
si
ú2z
, s,
z =- ln (x 2 + y).
1893. H a lla r
, si
dx Oy
1894. H a l l a r ^ - ,
si
dx Oy
z = arc(.g
x. Jry
°
. 1895. H a lla r
..
1 — xy
.
, si
_
r = y x 2 + y * + z 2.
1896. H a lla r todas las derivadas parciales de 2o orden
(unción.
•
u = x y - f yz + zx.
1897 • H a l > " s S
r , ■ si
h
u — x ay &zy ,
1898. H a lla r
.v , si
dxdy2 7
z = sen (xy).
1899. H a lla r / ^ ( O , 0), f ' v (Qt 0 ), f vy(Q, 0), si
/ ( * , í,) = (1 + z r H + y ) \
1900. Dem ostrar, que
=
■, si
1 /
x—y
z = a rsen ]/ —
1 9 0 L Dem ostrar, que
^
• . .... ..
¿te
—
d2*
dx
, si
z = ay.
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de la
D erivadas y diferenciales de órdenes superiores
1902*, Dem ostrar, q u e para la fu n c ió n
/ ( * , y) = x y ± j
con la c o n d ic ió n com p lem en ta ria de / ( O , 0 ) = 0 , tenemos
/¿ „ ( 0 , 0) = - i ,
1903 H
a l la r
1JIW.
tt.dilar
’>~z , ^
z - ,
gx2
0xdy
/U (0 , 0 ) — h i-
si
0/j2 , sx
Z = / { ü , i>),
donde u = x* + y * t v = x y .
1904. H a lla r
S » , si
dx¿
u = f ( x , y y z ) t donde z = <p(x, y ).
IT i ,
1905. H a l l a r
y) donde
d2z
w
0 2z
,
= q> {cr, y),
si
—
i/).
1906. Dem ostrar, q u e Ja fu n c ió n
u = a rctg
satisface a 3a e c u a c ió n de Laplace
Ó*u
,
d2u
A
- U*
1907. Demostrar, que la fu n c ió n
i¿ = ln ~
donde
,
r = ]/r ( s — fl)2 + (*/— b)2, satisface a la e cu a ció n
d2u
^
fte*
1 dy*
de L a p la ce
Q
d2u
1908. Dem ostrar, q u e la f u n c i ó n
u { x y t) = A sen (aXt + <p) sen Xx
satisface a la e cu a ció n de v ib ra cio n e s de la cuerda
d2u.
2 d2u
= a ¿ -----dt2
dx¿
*
1909. Dem ostrar, que la fu n c ió n
(x -
* < * ■ » '‘ W
- 7 O
T
x0)2M v- uq)2+ { Z- zq) 2
‘
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214
Funciones de varias variables
(x 0l y0t z0l a , son constantes) satisface a la e cu a ció n de la con d u c­
tividad c a lo r ífic a
du
2
dt ~ a
/
(
d'¿u
3*2
d*u
dy2
+
d*u \
dz2 /
1910. Demostrar, que la fu n c ió n
a = <p ( .r — a ¿ ) +
\\) (x -\ --a ¿),
donde y y
son unas fu n cion es cu a lesq u iera, d iferen cia b les dos
veces, satisface a la e cu a ció n de las v ib ra cio n e s de la cuerda
d*ii
2 d*u
di2 “ a
dx* ‘
1911. Demostrar, que la fu n c ió n
satisface a la ecu a ción
* Ü !L +
w2 Ü L « o
1912. Demostrar, que la fu n c ió n
M = <p(xy) - h / x p N ’ f - i - )
sa tisfa ce a la ecuación
I 2 Ü í i _ t/2 - ^ L = 0
31
y
3x2
d yt
-
u■
1913. Demostrar, que la fu n c ió n z = j [x - \ -q > ( y )} satisface
ecu a ción
dz
dx
d*z_ — —
dx dy
dy
a
la
0*z
dx2
1914. H a lla r u := u ( x y y), si
dx dy
1915. Determinar la form a do la fu n c ió n u — u ( x 1 y) que satis­
face a la ecu a ción
d*u
dx*
1916. H a lla r d 2z, si
Z=
1917. H a lla r
si
u z= x y z .
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Integración
215
de diferenciales exactas
1918. H a l l a r d*z, si
2 = (p(¿), don de l =* x 2 - i - y 2.
1 919. H a l l a r d z y d2z, si
donde
=
v = xy.
1 920. H a l l a r d2z, si
z = / ( u , t>), don de u = * a x , v = b y .
1 921. H a l l a r d*z, si
z = / ( ¿ ¿ ? y ), donde u = x e v> v ~ y e x .
1922. H a l l a r ds z, si
z = cx eos y.
1 923. H a l l a r la d ife ren cia l de 3 ür orden de la fu n ción
z = £ eos y + y sen x,
y d eterm in ar todas d eriva da s p a r c ia le s de 3 ei orden.
1924. H a l l a r d f ( 1, 2) y d 2/ ( l , 2 ), si
/ ( * > 2/) = x 2 -\-xy -\-y2— 4 ln x — 10 I n y .
1925. H a lla r
+ 4 x z + 2yz.
d 3/ ( 0 , 0 , 0 ), si / (x, y , z ) — x 2-\-2y2 + á
r z2 — 2 x ^ 4 -
§ 8. In te g r a c ió n de d i f e r e n c i a l e s e x a c ta s
I o. C o n d i c i ó n d e d i f o r e n c i a l e x a c t a . Para q ue la expresión
P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y , en que las fu n cion es P ( x %y ) y Q (x, y ) son c o n t i­
nuas co n ju n ta m e n te con sus d eriv a d a s p a rcia le s de p rim e r orden en un
r e c in t o sim p le m e n te c o n e x o D , represente d o p o r sí* en el re cin to D y ia
d ife r e n c ia l e x a cta d e una f u n c ió n determ in a d a u ( x , y), es n ecesa rio y s u f i ­
c ie n te que se c u m p la la c o n d ic i ó n
dQ
dx
Ejem plo
t.
__ dP
dy
Cerciorarse de q ue la e x p re sión
{2 x + y) d x + ( x + 2y) dy
os la d ife r e n c ia l e x a cta de una fu n c ió n determ inada y h a lla r d ich a fu n c ió n .
Solución.
En este ca so P = 2 x -\ -y , Q — x + 2 y . P or e sto ,
y , p o r c o n s ig u ie n t e ,
{2 x + y ) d x + ( x + 2 y ) d y = d u = - ^ d x + ~ - d y ,
d on d e u es la fu n c ió n q ue se busca.
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dx
^ - = \
dy
216
Funciones de varias variables
De acuerdo con Ja c o n d ic ió n ^ ~ = 2x + y % p o r con sigu ien te,
ox
(2x + y ) d x — x* + x y + q (y),
Pero, por otra parto,
= y2+ c
=*x + q>' (y ) = x + 2y*
de donde q>'(j/) = 2¿/, q>(p)=»
y
y
u = x* -j- x y -j-
_j. C.
Finalmente,
(2x + y ) d x + ( x + 2 y ) d y = d (a:2 + x y + y 2 + C).
2°. C a s o
de
tros
variables.
Análogamente), la expresión
P ( x , y , c)dx4-Q(:r, y, z)dy + fí (x, y, z)dzt
en quo P ( x , y, z)f Q ( x , / / , z ) y R (x, y, z)t ju n to con sus derivadas parcia­
les de 1er ofd on, son fu n cion es con tin u as de las variables x, y t z representa
la diferencial exacta de una fu n ció n determinada u (x, y , z), en un recin to
sim plem en te con exo D del ospacio, cuando, y s ó l o cuando, en D se cu m p la
la c o n d ic ió n
d x ~~ d y
E j o m p 1 o 2.
'
IIL = J 9dy
~~ Óz
1
0P -
dz ~
dR
dx
Cerciorarse de que la expresión
(3*2 4- 3y -
i ) d x - f ( z2 M ZX) dy + (2 yz + í ) d z
es la diferencial oxacta de una fun ción y h allar d ich a función.
S o l u c i ó n . A q u í / >= 3x 24- 3y — j , Q = z 8 + 3 x y R = 2 y z-\ -l. E sta b le­
cemos, que
dQ
dx
dP
dy
^
J!*Lma- J Í ! L = 2z
dy
Oz
0 P -1 ° R - 0
dz
dx
y, por consiguiente,
(3xa4 - 3 y — I ) d x 4 - ( s 2 + 3x) d y + ( 2 y z + \) dz = du = - ~ d z + ~ - d y + ^ £ - dz,
dondo u es la fu n ció n que se busca.
Tenemos:
es decir,
u = ^..(3x24 - 3 y — í ) d x = x * 4 - 3 x y — x + y ( y t z).
Do otra parto,
■ s--* • + ■ & -+ * ■ ■
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Integración 1d e diferenciales exactas
217
de d on de -^ 2 - — ¿2 y - ^ L = 2(/s + l . E l p rob lem a se reduce a buscar una fun­
c ió n de d os variables 9 (y, z), cu y a s derivadas parciales se co n o ce n , habién­
dose c u m p lid o la c o n d ic ió n de d iferen cia l exacta
H a lla m os cp;
y (y, z ) = J z * d y = y z 2+\\>(z)
J ^ = 2yz + ty' (z) = 2yz + d,
V ( z ) = 1,
^ ( z ) = z + Ct
es d e cir, (p {y, z)=* yz* + z + C . Y y fin alm en te, obtenemos
u = x* + 3 z y — r - f yz2 -f- z + C .
Después de com p rob a r q u e las expresiones que se dan m ás a ba jo
son diferen cia les exactas de cie r ta s funciones, h a lla r estas fun­
cion es.
1926. y d x H- x dy.
1 9 2 7 . (c,osx + 3 x 2y ) d x + ( z 3 — y 2) d y .
m oa
(x + 2 y ) d x + y d y
1928‘
1929.
*
X± % d x - 2 x ~ y,, dy.
X 2 -\ -lJ 2
1930. — d x
y
1 931.
X 2 -~ -lJ ¿
J
%rdy.
y ‘¡
*
■=
d x ^ — l — dy.
V * * + V*
V * 2 -¡-y2
1 932. D eterm in ar las con stan tes a
expresión
y
i
de
tal
form a,
que Ja
(a x 2 -\-2xy - f y2) d x — (x 2 + 2x y -f- by2) dy
(x*+y*)2
sea la d ife re n cia l e x a cta de una fu n c ió n z, y h a lla r esta ú ltim a .
Después de co m p ro b a r q u e la s expresiones que se dan m ás abajo
so n las diforen cia les e x a cta s de ciortas fu n cion es, h a lla r estas
funciones.
1933. ( 2 x + y + 2) d x + ( x - f 2y + z ) d y - f ( x + y + 2z) dz.
1 934. (3 # 2 ~f- 2 y 2 -j- 3z) d x -f- ( í x y + 2 y — z)d y-\ - ( 3 z — y — 2) d z .
1 935. (2x y z — 3y lz + 8 z y ’¿ -\-2) d x
4 - ( x 2z — 6x y z -f- 8x*y + 1) d y -f- (x 2y — 3x y 2 + 3) dz.
1936
i 937
• ( y - i ? ) áa:+ ( T —
x d x + y dy + zdz
-\/x* + y* + t*
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218
Funciones de varias variables
1938*. Se dan
de coordenadas:
la s p royeccion es
Y
y
(*+y)*'
de u n a
y —
fuerza sobre los ejes
^x
(* + «*
’
donde X es una m agnitud constante. ¿Cuál debe ser el co e ficie n te Xt
para que la fuerza tenga potencial?
1939. ¿A qué co n d ic ió n debe satisfacer la fu n c ió n / ( i , y ) , para
que la expresión
/(* , y )(d x + d y )
sea una diferen cial exacta?
1940. H a l l a r la fu n c ió n i¿, si
du = / ( x y ) (y d x + x dy).
§ 9. Derivació n de fu ncio n es Im p líc ita s
1. C a s o d e u n a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e . Si una ecuación
/ ’ (x, t/) = 0, donde f (x> y) es una fu n ció n diferenciabiu de las v a ria b les x
determ ina a y co m o fun ción de x , la derivada de esta fu n ció n dada en
forma im plícita , siem pre que fy { x y */)=¿= 0, puede h a lla rse p o r la fórm u la
dy _
íx{x,y)
«**
V )'
Las [derivadas de órd en es superiores se
de la fórm u la (1).
Ejem plo
t.
H allar
y ~
..
ha lla n
por
d e riv a ció n
sucesiva
, si
+ y2)3 _ 3 (*2 + yZ) _|_ \ = 0.
Solución.
Designando e l prim er
I ( x y y )t h a llam os las derivadas parciales
m iem b ro
de esta ecu ación
por
i* (*, y) = 3 (s2+ y 2)2-2z - 3 -2x = 6x [(x*+y*)2- 1 ] ,
h (* . y) = 3 ( x s + y 2) 2. 2y _ 3 . 2 y = 6y (<s2 + y 2)2 _ t j.
De don do, aplica n do la fórm u la (1), obtenemos:
dy
rfa?
íx (x y y) _
fv(*,y)
6a: [(x 2-f-¿/2) 2 — 1]
6//((ar2 + y 2 ) 2 _ i )
x
y '
Para h allar la segunda derivada, derivam os co n respocto a x la primera derivada
que hemos encontrado, teniendo on cuenta a l hacerlo que y es fu n ció n de x:
dy
& 9 .. d f
dx* d x \
t,¡/
y )
* dx
y
(
x \
X[
¿,2
rjl
ya + gg
^3
2. C a s o d e v a r i a s v a r i a b l e s i n d o p o 11 d i e n t e s . A náloga­
m ente, si la ecu ación F { x y y, 2) = 0, donde F ( x y y y z) es una fu n ció n d ife -
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D erivación de fu n cion es im plícitas
219
re n cia b le de la s v a r ia b le s x , y y z , determ ina a 2 com o fu n c ió n d e las
v a r ia b le s in depen dien tes x e y , y F z ( x , y , z ) = f = 0, las derivadas parciales
d e esta f u n c ió n dada de form a im p lí c it a pueden h a lla rse p o r las fórm u la s:
dz ^
F x ( x , y , z)
dz
F y (x, y , z)
c
dx
p 'z (x , y, z)
dy
F'z ( x , y , z ) '
O t r o p ro ce d im ie n to para h a lla r las d erivad as de la fu n c ió n z es el sigu ien te:
d ife r e n c ia n d o Ja e c u a c ió n F { x , y , z) = 0 , obtenem os:
0 F . , dF t , dF
dx + - - — dy +
dz = 0.
dx
dy
dz
De d o n d e jp u e d e d eterm inarse dz, y
E f j o m p l[o 2.
H a lla r
p o r con sig u ien te
y
y ^
.
, si
x * -2 y * -\ -3 z* -y z+ y = Q .
S o 1 u c]i ó n . l or p r o c e d i m i e n t o . D esign a n d o el p rim er m ie m b ro
d e estaa e c u a c ió n p o r m e d io d e F { x , y , z), h a lla m o s la s d eriv a d a s parciales
Fx( Xy y , z) = 2x,
F v ( x , y, z ) = — 4y — z + t ,
F z (x , y , z) = 6z — y.
A p lic a n d o la fó r m u la (2), obtenem os:
p»dz1_
Px ( x , y , z )
* « * ”
/£ (* ,
2°
2x
r)
6 z -y
procedim iento.
_
dz
F „ (x ,y ,z )_
’
¿ir
/•; ( * ,
z) “
1 — 4y — z
G * -* f
D ife re n cia d o la e c u a c ió n dada, obtenem os:
2 x d x — 4y dy -j-6 z dz — y dz — z d y - j- d y = 0.
De d o n d e
im p líc ita :
d e term in a m os
dz, e s
d e cir,
la d ife r e n c ia l
total
de la fu n ción
2 x d x -f- (1 — 4y — z) dy
dz = -------------------- p----------------- •
y — 6z
C om p a rá n d ola co n la f ó r m u la dz = ~
3°. S i s t e m a
ecuaciones
de
d
dz
2s
dz
dx
y — bz
dy
funciones
x
¿y » vem os, que
1 — 4y — z
y—
6z
implícitas.
Si el sistem a d e dos
( F ( x , y , « , v) = 0 t
[ G ( x , y f i¿, i/) =
0
d e te rm in a u y v co m o fu n cio n e s d ifere n cia b le s d e las v a r ia b le s x e y ,
ja cob ia n o
d F OF
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y
el
22 0
F u ncion es de varias variables
las diferen cia les de ostas fu n cion es (y p o r con sig u ie n te ,
parciales) so pueden h a lla r d o las sigu ien tes ecuaciones
sus
d erivadas
F
A
d F
F
J
i
j = A
-d,—
d
x - I* —
-- di y H.— d—
du
-f-0r F— dv
0,
dx
dy
du
dv
(3)
dG , . OG
dG _ , dG _
,,
¿ * + - 3—dy-|— — rfíí-4-— = 0
dx
dy
du
1
Ejem plo
3. Las ecuaciones
u - f - u ^ s + y,
ru +yy = l
determ inan u y v com o fu n cion es de x
o y\ h a lla r
S o 1 u c i ó n. 1er p r o c e d i m i e n t o .
co n respecto a x , obtenem os:
du
dx
dv
dx
du
D erivan do
y
a m bas
.
ecu acion es
u
dv
o,
“ + * t o + 1 ,te
de donde
dv
u+ x
*¿+y
x — y ' d* — x — y '
du
A n álogam ente, h a lla m o s:
du _
dy
y -j-y
x—y
’
dy _ y + x
Oy ~ x — y
2° p r o c e d i m i e n t o .
P or d e r iv a c ió n
relacionan entre sí las cu a tro variables:
h a lla m os
dos
ecuaciones q ue
du-\-dv— dx-\-dy,
x d t i + u d x ~ \ - y dv-^-v d y = Q.
R e s o lv ie n d o
nemos:
_
esto sistema
respecto a
(u + V) dx~\-{v-\-y) d y
x—y
1
las d ife re n cia le s
^
(u-\-x) d x - ± ( v + x ) dy
y
De dondo
du _
dx
dv
dx
u-\-y
x—y ’
u-\~x
dv
x — y T dy
du y dvy o b t e ­
du
dy ~
y -j-y
x—y
v+ x
x—y
, . r '4° ' f u n c i o n e s d a d a s e n f o r m a p a r a m é t r i c a . Si la fun ción
d ife re n cia b le ; de las variables x e y so da en ecu acion es param étricas
x - x ( u , v),
D (*■ y)
D (u , v)
y — y ( u , v),
z = z(u,v)
dx dx
du dv
dy dy
du dv
*
0,
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D erivación de fu n cion es im plícitas
221
la d ife re n cia l de esta fu n ció n se puede h a lla r d e l sistema do ecuaciones
,
dx =
dx
dx ,
du +
dv,
du
' dv
dy^^Ldu+ZLdv,
(4)
j
dz
dz
dz = — d u + — dv.
k.
ou
dv
C o n ocien d o la d iferen cia l dz = p d x - \ - q d y
dz
dz
_
= p y _ = 9.
Ejem plo
la s ecuaciones
4.
La fu n c ió n
x — u-\-v,
z de
h a lla m os
lo s
y — ifi-\-v2j
las derivadas parciales
argum entos x e y viene dada por
2 = ns - j - ^ ( « =^¿= v).
i, n
ds
dz
H a lla r — y — .
dx
dy
Solución.
1er p r o c e d i m i e n t o .
P or d ife re n cia ció n
tres ecuaciones que rela cion a n e n tre s í las c i n c o variables:
h a llam os
( d x = d u + dv,
d y = 2u du + 2v dv,
l dz = 3 u 2 du + 3v'2 dv.
De la s prim era s dos ecu acion es d esp ejam os du y dv:
d u = 2 v d x -d y _
2 ( v — u)
du
dy — 2u dx
2 (y — u)
P on em os en la tercera ecu a ció n las expresiones así determ inadas de du y dv:
,
d z
=
0 9
3 u 2
2v d x — dy „ 9 d y — 2 u d x
¡- ó v ¿
— =
2 (tf— u)
2 { v — u)
— — ---------
Ü u v ( u — v ) d x + 3 ( v t — u2) d y
, , 3 , , v ,
= ---------------- T ( v — u)----------------- = — óuv d x - h y ( u + v ) dy.
De d on de
dz
dz
■3F“ - d w '
2°
procedimiento.
*
dx
3
aF=T
De la tercora ecu ación
3 „ S * L + 3 i, * 4 L ;
dx
dx
4 i = 3 B t * L + 3 V2 * L .
dy
D e riv a m o s las dos prim eras ecuaciones,
y después, con respecto a y :
du f dv
dada se puede hallar:
dy
dy
prim eram ente, con
du
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dv
{5)
'
respecto a x ,
222
Funciones de varias variables
Del prim er sistema tenemos:
du
dx
v
v— u '
dv
dx
u
u— u
Del segundo sistema tenemos:
du
dy
i
2 (u— v ) ’
Poniendo las expresiones ~
0z
y ^
v — u
J H
u —V
“2
1941. Sea y una
1
2 ( v — u) '
en la fórm u la (5), obtenem os:
3¡i2 — —
óx
dv
dy
_ : w,
+ 3 l'2 •2 i h r ) - 4
fu n c ió n
<“ +»>•
de x y determinada
por
la ecuación
**
1 ¿2 = 1.
a* 1
H a l la r
*L , f l
y
dx
^ d x3
dx2
*1
.
1942. Sea .y una fu n c ió n determ inada
x* + j f + 2 a x y = 0
por la ecu a ción
( a > 1).
Demostrar, que ^ | = 0 y e x p lica r el resultado obtenido.
1943. H a lla r
, si y = 1 + 0 * .
1944. H a lla r
y g ,
1945. H a lla r ( £ ) _ ,
si
y
y = * + ln y.
( g ) „ , , «i
a ? _ 2 * y + ff* + x + 0 - 2 = O.
U tilizan do los resultados obten idos, representar a proxim ada­
m ente la grá fica de esta cu rva en el entorno del p u n to x = í .
1946. La fu n ción y está determ inada por la ecu a ción
ln )/4 r2 + í/2 = a a r e t g
«w -
1 * S■
s.
á - >•
(a=¿= 0).
-
i + x y — ln (exv -\- e~x,J) — 0.
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D erivación de fu n cion es im plícitas
223
1948. L a fu n c ió n z de las v ariab les x o y se da por la ecu a ción
z 3 + 2 i f + z ' - Z x y z - 2 y + 3 = 0.
H a lla r
~
dx
y
J
d~
dy
Í9 4 9 . H a lla r
y
dx
J
dy
, si
x eos y + y eos z + z eos x = 1.
1950. L a fu n c ió n z v ie n e dada p o r la ecuación
z* + y 2 — z2 — x y = 0.
H a lla r-^ - y
TT
para el sistema de v a lo r e s x = — 1, í / t = 0 y z — 1.
n
1 9 o l- H a lla r
<^2
¿ 2
d 2Z
d 22
¿te ’
éty 5 dx'¿ 7 ¿tedy
?
¿ 22
.
#2
» ¿„2 ( ^
’
<ty2 ?
22
a2
'
bl¿ 1 c‘
1952. f (x , y, 2) = 0- Dem ostrar, q u e ■— •~ 7 •— = — 1.
1953. 2 = 9 ( 2;, y), donde y es fu n c ió n de
e cu a ció n tJ>(£, y) = 0 . H a l l a r
determ inada por la
.
1954. H a lla r dz y <22z, si
x 2+ y 2 + z2 ~ a 2.
1955. Sea 2 una f u n c i ó n de la s v a r ia b le s x
por la e cu a ció n
a -j- 2 y 2 -j- z 2 —
2 ;2
8 2 :2
o
y
determ inada
— 2 + 8 = 0-
•
H a lla r dz y dí z para el sistem a de valores z = 2 , y = Ü y 2 = 1.
1956. H a lla r dz y d2z t si ln z = x + y + z — í . ¿ A qué son
igu a les las derivadas prim era y segunda de la fu n c ió n 2?
1957. Sea la fu n c ió n z dada por la ecu a ción
i ? + y 2 + z 2 — 9 ( a x + by + cz),
donde cp es una fu n c ió n
tantes. D em ostrar, que
cu a lqu iera
d iferen cia b le
y a , ó, c, cons­
(cy - b z ) ~ - + (^z — ex) -J i = ¿a: — a y .
1958. D em ostrar quo l a fu n c ió n z, determinada por la e cu a ció n
F ( x — a z 7 y — bz) = 0 ,
donde F es u n a fu n c ió n d ife re n cia b le cu a lq u iera de dos argum entos,
satisface a la ecu a ció n
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224
F u ncion es de varias variables
1959. F [ ~ r ,
D em ostrar, que x -r^ + y
— z.
1960. Dem ostrar, quo la fu n c ió n z, determ inada
c i ó n y = x y ( z ) + t y (z ) , satisface a la e cu a ció n
0 2z i dz \2 _es dz dz
02z
dx2 \ dy )
Ox dy d x dy
1961. Las fu n cion es y y z de
dan por el sistema de ecuaciones
02z / dz V2
dy2 V dx )
la v a r ia b le
*> + *•— * » - o , ** + 2 » * + 3 * * - 4 . H a lla r
X = 1 , 1/ = 0 y z = l .
1962. Las fun ciones y y z de
dan por el sistema de ecuaciones
la
por
la e cu a ­
.
indepen dien te
, ■§ , g
v a r ia b le
x
se
y - g - para
independiente
x
se
x y z = a , z + i / + z = b.
H a lla r d y , dz,
d 2z.
1963. Las fun ciones
y v de las v a ria b le s independientes x e y
se dan por el sistema de ecu a cion es im p lícita s
u = x-\-y,
u v = y.
C a lcu la r
du
fíu
02u
71 ’ ly '
d2u
d2u
dv
dv
’ ¿t/2 ’ 1 7 ’ T y '
d2v
d2v
d i dy ’
02v
dy* p a r a
z = 0, y = l .
1964. Las fu n cio n e s n y
v de la s variables independientes
£ e y se dan por el sistema de ecu a cion es im p lícita s
u + v = z,
u — y v — 0.
H a lla r du, d v , d2u, d2v.
1965. Las fun ciones u y v de las v a ria b le s x e y
e l sistema de ecu a cion es im p lícita s
s = q> ( u t v ) y
Tl n
du
dx
du
dy
H a lla r -r— , - 3— ,
dv
dx
1966. a) H a lla r
b) H a lla r
Ox
y =
se dan
por
v ).
dv
dy
y -r— .
J
Y ^
oy
z = z/cosi>, y = u s e n v y z = cv.
y -J^-, si x = u + v, y = u — v y
c) H a lla r dz, si x - \ - e u+vt y = e n~v y z = u v .
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z = ut;.
225
Cambio de variables
1967. z = F ( r , <p)t donde r y (p son fun ciones de las variables
x e y % determ inadas por el sistema de ecu acion es
x = r cosq),
H a lla r
n a ila r
dx
iy = rsen<p.
v - dz
y
dy ’
1968. C onsiderando z c o m o fu n c ió n de x e y, h a lla r
y
,
si x = a eos cp eos tj), t /= ó s e n epeost);,
z = ese m|>.
§ 10, Cambio de v ariab le s
Cuando se cam bian las v a ria b les en la s
d erivad as quo entran en e ll a s deben expresarse
respecto a las nuevas varia b les, a p lica n d o para
ció n de fu n cion es compuestas.
I o. C a m b i o d o v a r i a b l e s o n l a s
tienen derivadas ordinarias.
E jem plo
1.
expresiones d ife re n cia le s, las
p o r m e d io de derivadas con
e l l o la regla do d iferen cia­
expresiones
que
con­
T ra n sfo rm a r la e cu a ció n
X'
d*'J .
dx 2
dy
pon ien d o # = -“ • •
S o l u c i ó n . Expresam os las derivadas de y respecto a z por m edio de
las derivadas de y con respecto a t. Tenemos:
dy
dt
dy _
dx
dzy
dxa
dx
dt
dy
dt
t2 dy
1
W
dt
J _ ( dy >
d
d ( d y \ = dt \ d x I
dx \ dx )
dx
dt
P on em os la s expresiones d o
y ca m b ia n d o x p o r
las d erivadas h a lla d a s
on la
ecuación
| , obtenem os:
^ • <3( 2 # + ' - S - ) + 2 4
(-« ■ í-j+ r f* -0
4 s r + a,* - °
15—1016
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dada
F u ncion es de varias variables
E j e m p 1 o •2 .
T r a n s fo r m a r la e c u a c ió n
( dy V
dx*
dy
V dx )
»
dx
lom a n d o y co m o a rg u m en to y x c o m o fu n c ió n .
S o l u c i ó n .
E x p re s a m o s la s d e r iv a d a s d o y r e s p e c to a
la s d e riv a d a s d e x resp ecto a y
x p o r m o d lo
de
1
dy
dx
dx_ 1
'd y
<py_J_ / J \
d x2
d x J dx_ j
<L / J \
d y I dx_
V. d y )J
dx
d*x
d*x
dy2
dy*
(
\ d y .J
í_ 'l
_
\ d y )
í-í V
dy
■
\dy)
P o n i e n d o e s ta s e x p r e s io n e s d e la s d e r iv a d a s e n la e c u a c i ó n
d ada, ten drem os:
d*x
i
1
/ d x \3
dx
\d ij)
dy
dy *
( W
r — 0,
o, fin a lm e n te ,
dy*
E j e m p l o
pasando o
3.
‘ 1 \dy/
T r a n s fo r m a r la ecu a ció n
dy ^
x + y
dx
x—y
la s c o o r d e n a d a s p ola res
x — r cos 9 , y = r sen 9 .
(1 )
S o l u c i ó n .
C on sid era n d o r c o m o fu n c ió n d e 9 , de la fó r m u la
obtenem os:
d a = c o s cp d r — r s e n 9 ¿ 9 , dy =-*sen cp dr + r c o s 9 rf<p, d e d o n d e
.
dy _
s o n 9 dr-\- r e o s cp dep _
dx
e o s cp d r — r s e n cp dep
dr
s o n cp -3
dq>
dr
c o s cp
dep
P o n ie n d o en la e c u a c ió n dada la s ex p re sio n e s
de
h r e o s cp
x, y
r s e n cp
y
dr
s e n cp —r— f - r c o s cp
cos 9
dr
d9
r sen 9
— r C 0 S ( P + r s e n <P
— r c o s cp— r s e n 9
o, después d e s im p lific a r ,
dr
d9
r.
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dy
— tendrom os;
(1 )
227
Cam bio de variables
2 o. C a m b i o d o v a r i a b l e s e n
tienen derivadas parciales.
E jem plo
las
expresiones
que
4. T ra n sform a r la ecu a ció n de las vib ra cion es de la
d*u
con­
cuerda
* d2u
~dW~
HteP
{ a * 0)
a unas nuevas v a r ia b le s in depen dien tes a y P, d on de a — x — a t , p — x-^-at.
S o l u c i ó n . Expresam os las derivadas parciales de u con respecto a x y t
p o r m e d io de derivadas parciales do u con. respecto a a y p. A p lic a n d o las
fó rm u la s de d e riv a ció n de fu n cion es com puestas
du
du d a
dt
3<x
du Ofi
dt
d i'
du
du
da
dx
da
dx
du dP
'
d§ d x ’
obtenem os:
du
~dt
du ,
du
Ou
. , du
dx
da
dp
. ,
du
f du
i)u \
du ,
du
da
dp
V o lv e m o s a derivar a p lica n d o estas m ism as fórm u la s:
/ du\
d_^ / du \ d a
dir" \ ~ d f ) ~ ~ d a \ ‘ W ) di
d*u
/
du_ \
dp \ dt )
d
~W
l
d*u
d*u\ \,
d'¿u
da2
a \da9p
flft
dt ~
. .,/ d*u
( d*u
j ( aJ + a
l
c?2u
d*u \
O?2d a d p ) a ~
i d*u
V ía »
d2u
dx'£
d / du \ d f t ___
dp \ d x ) d x ~~~
d / du \
|^ | ( du \ da
dx \ dx j ~ da \ d x ) dx
I d2u
fru
\
dadp )
/
* + l
2 0%
\ .
. .Ha
d a ddp
p T HfP
dfi* } '
d*u
. 0 2u \
d a dfl +
dffi )
' ”
d^u
d a 2 '*'
d*u
dadp
+
d2u
~dF
‘
P o n ié n d o lo en la e cu a ción dada, tendrem os:
.
d'u
i d
u
Y da?
n
d*u d*u
. d2u . \ &*u „\ // <r*u
02u ,,
d*u
&
*I¿ . d2u \
d a ddp
P +1 dp2
dB2 ;j “ G“ \V da*
^ + ' ¿ dda
a ddp
p +1
da
o bien,
d2u
da dp
Ejem plo
5.
T ra n sform ar
la
— ü.
ecu ación
x2
co m o nuevas v a r ia b le s independientes u = x , v = ——
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+
tom ando
, y co m o nueva fun ción
228
Funciones de varias variables
Solución.
Expresam os las derivadas parciales
las derivadas parciales
y
,
,
dx
dy
.
dx
dz
Por otra parte,
,
dw
dw
aw — —?— d u —— du.
du
dv
Por esto
dw _ , dw ,
du4~—r— dv
du
dv
dx
x'¿
dz
z
o bien,
dw / d x
dw
du
dy \
dx
dz
De aquí que
„ ( i
dz = z2 { —
V x2
dw
1 du? \
z2 dw
5---------- 5- — ) dx H
—— dy
du
x 2 dv )
y 2 dv
y, por consiguiente,
dz
da;
2 / jl_
2 \ x2
dw
du
1 dw \
x ,¿ dv )
y
dz
z2 dw
dy ~~ y 2 dv
Pon ien do estas expresiones en la ecu ación dada, obtenem os:
*222 M
\x*
m ediante
. Para e l l o , d iferen cia m os la s relaciones
dadas entre las variables antiguas y las nuevas
,
y
Üü
du
LJ?íM . .2 Ü íl_z2
x2 d v ) +
o bien,
dw
1969. Transform ar la ecuación
haciendo * = <?*.
1970. Transform ar la ecuación
poniendo £ = cos¿.
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0v
229
Cambio de variables
1971.
argum ento:
T ra n s fo rm a r la s sig u ien tes
ecuaciones,
tom a n do
y com o
1972.
L a tangente del á n g u lo ¡x, form a d o por la tangente M T
y el ra d io v e c to r O M d e l p u n to de tangencia ( f i g . 69), se expresa
de la form a sigu iente:
T ra n sfo rm a r esta ex p re s ió n ,
a: = rcosq>, y ~ r senep.
pasando
a
las coordenadas polares:
Y
O
T
F i g. 69
1 9 7 3 . E xpresar la f ó r m u la de la cu rva tu ra de una línea
on coorden adas p olares x = r cosq), i/ = rsen<{>.
1974.
T ra n s fo rm a r a las nuevas v a r ia b le s independientes u y v
la ecu a ción
si u — x , v — x 2-\~y2.
1975.
T ra n sform a r a las nuevas v a r ia b le s independientes u y v
la ecu a ció n
x
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230
Funciones de varias variables
1976. Tran sform ar la ecuación de L a pla ce
d*u
d x* +
d*u
dy* ~
a las coordenadas polares r y <p, poniendo
x — r c o s (p ,
2/ ^
rse n q ).
1977. Transform ar la ecu a ción
^ ü i _ » 2 Ü i _ 0
dx*
y dy* " " u >
haciendo u = x y y
.
1978. Transform ar la ‘ecuación
dz
dz
y -d ¿-x
,
.
in troduciendo las nuevas v ariab les independientes
u=
1 •>
u = — 4- —
x
' y
y la nueva fu n c ió n w = l n z — ( x + y ) .
1979. Transform ar la ecu a ción
^
dx2
2 ^ - + 4 ^ = 0 ,
dz dy ' dy:
tomando com o nuevas v ariab les independientes
u = x-\~y,
y= y
y co m o nueva fu n c ió n u; =
1980. Transform ar la ecuación
dx* ^
dx d y ^ dy*
poniendo u = x-\-y, i > = x ~ y f w = x y — z y donde w = w ( u , v).
§ 11. Plano ta ng e nte y normal a una superficie
I o. E c u a c i o n e s
del plano
t a n g e n t e y do la n o r m a l
p a r a el c a s o en q u e
la s u p e r f i c i e está dada de f o r m a
e x p l í c i t a . Recibe el nom bro do plano tangente de una su p e rficio en el
punto M (p u n to do con ta cto ) el p la n o on que están situadas todas las tan­
gentes en el punto M , a las curvas trazadas en d ich a su p erficie q ue pasan
por esto punto M.
Se llama normal de una su perficie a la recta perpen dicu lar a l p la n o
tangente en e l punto de contacto.
Si la e c u a c ió n de la su p erficie esta dada de form a e x p líc it a en u n sistema
de coordenadas cartesianas, z = ¡ ( x y y ) t dondo / (x t y) es una fu n ció n diferon~
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231
P lan o tangente y normal a una superficie
c ia b le , la e cu a ció n dol p la n o tangente en e l p u n to
fi c i e será
M (*0, y0, z0) a la super­
2*— z0 = fx (x0, u0) ( X — * o ) “t"/u (x o> yo)
— i/o)‘
0)
A q u í 2 0 = l ( z 0% y0) y X , y , Z , so n las coorden adas v a ria b les de los puntos
d o l plano tangente.
Las ecu acion es de la norm al tienen la fo rm a :
_
£
=
f x ( x 0’ yo)
a
(
2)
/*/(«o» vo)
d on de X , y , Z , so n las coorden adas v a ria b les d e lo s puntos d o la norm al.
E j e m p l o i . E s c r ib ir la s ecu a cio n es del plano ta n g e n te y d o la ñorm a l a la su p e rficie
z= -¿
y 2 ea su p u n to M (2; — 1; 1).
S o l u c i ó n . H a lla m o s las derivadas parcialos de la fu n c ió n dada y sus
v a lo re s en el punto Af.
Í i _ r
dx
_*>
*’
02
0y
[ d* ) M
„
/ 02
-* •
( t ) «
-
De d o n d e, a p lica n d o las fó rm u la s ( i ) y (2), tondrom os: z — 1 = 2 (a: — 2 ) - f
+ 2 (y - M ) ° b ion , 2 x + 2y —
1 = 0, q uo es la ecu ación del p la n o ta n g e n te ,
y f _ 2 — iL h i a ‘
i-
t , q ue so n la s ecu acion es do la norm al.
1
2o. E c u a c i o n e s
de!
plano
tangente
y do
la n o r m a l
para
ol
cas o en quo
la s u p e r f i c i e o s t á d a d a d e f o r m a
i m p l í c i t a . En ©1 caso en que ln ecu a ció n de la s u p e r fic ie regular cstó
dada d o form a im p líc it a
F ( x , y, z) = 0
y F [ x 0, ¿/o> 2o) = 0, *a3 ecu acion es co rresp o n d ien tes tendrán la form a
F x (^o* yo» zo) ( X — aro)
(x o* í/o» z o) 0 ^
ífo) H" ^
(*o* yo* zo) (Z
2o) = 0 .
(3)
q ue es la ecu ación d e l p la n o ta n g e n te , y
X — ar0
Fx (ar0, yo» -o)
_
y — yp
F v (x$, yQf z0)
_
Z — gQ
Fz (^o* 2/o» 2o)
que so n las ecu acion es de la norm al.
E j e m p l o 2. E s crib ir la e c u a c ió n d e l p la n o tan gen te y de la norm al
a la su p e rficie 3x yz — z3 = a 3 un el punto que tiene a: = 0 e y = aS o l u c i ó n . H a lla m o s la cota z dol punto do c o n ta cto , p o n ie n d o x = 0
e y = a en la ecu a ció n de la su p e rficie : — z3 = a3, de d on d e 2 = — a. Do esta
fo rm a , el p u n to de con tacto' es M (0. a, — a).
D esign a n d o por F (x, y, 2) e l p rim e r m ie m b ro de la e c u a c ió n , h a llam os
las d eriv a d a s parciales y sus v a lo re s on el punto M :
F x = 3yz,
( F x ) m = — 3 o 2,
Fy = 3 x z ,
(Fy )a/ = 0,
Fz = 3 x y — 32a,
( F z) m “
— 3fl2.
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232
Funciones de varias variables
A p lic a n d o la s fó r m u la s (3) y (4), obten em os:
- 3tf2 (2 _ 0 ) + 0 ({/ — a) — 3fl2 (z + a) = 0,
o sea, x + 2 + a =
0, e c u a c ió n d o l p la n o tangente,
0 y —a
-3 a 2 “
a:
e/ — a z + a
o sea, -y- = —— = —-— , ecu acion es
z+ a
0
— 3a* , ’
, ,
d o La
n o rm a l.
1981. E s c r ib ir la s ecu acion es de lo s p la n o s tangentes y las de
la s n orm ales a las sig u ie n tes su perficies en lo s puntos q u e se
indican :
a) al p a ra b o lo id e de r e v o lu c ió n z = x 2-\-y2> en el p u n to (1; — 2; 5 );
b)
al con o
+
~-*ir ”
en c l Pu n to (4.; 3 ; 4 );
c ) a la esfera x 2 -\-y2 + z2 = 2 R z f en el p u n to ( r e o s a ; 7? sen a ; R ).
1982. ¿En q u é p u n to del elipsoid e
* 2 _ l y2 _i_ z2 - i
T T + -P -+ -3 - - 1
la norm al form a án g u los igu a les con los ejes coordenados?
1983. P o r .e l p u n to M (3; 4; 12) de la esfera x 2 + y2 + z 2 ~ 169
pasan pla n os perpendiculares a lo s ejes O X y O Y . E s c r ib ir la
e cu a ció n del p la n o que pasa p o r las ta n gen tes a la s seccion es que
o rigin an a q u é llo s , e n el p u n to co m ú n A i.
1984. Dem ostrar, q u e la e c u a c ió n del p la n o tangente a la
su p erficie cen tral de 2 o orden
a x 2 - f by 2 4 - cz2 — k
e n su p u n to M (x 0} y 0, z0) tiene la form a
a x 0x + by0y + cz0z = k.
1985. Dada la s u p e rficie x 2 + 2 y 2 + 3zz = 2 Í , trazar a e lla
n os tangentes q u e sean p a ra le los al p la n o x + 4y-\- 6 z = 0 .
1986. D a do e l elipsoid e
a'¿ "i" ¿,3 -T c2
p la ­
*1
trazar a é l p la n o s tangentes q u e in te rc e p te n en lo s e jes coord en a ­
dos segm en tos de ig u a l lo n g itu d .
1987. H a l la r en la s u p e rficie x z -\-y'1— z 2- ~ 2x = 0 lo s pu n tos
on q u e los p la n o s tan gen tes a e lla sean p a ra le lo s a los planos
coordenados.
1988. Dem ostrar, que lo s p la n o s tangentes a la su perficie
x y z z = m ? form a n c o n lo s p la n o s coorden ados tetraedros de v o lu m e n
con stan te.
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Fórm ula de T a y lo r para la s fun cion es de varias variables
1989. Demostrar,
que
lo s
p la n o s
tangentes
a
la
233
superficie
Y x + Y y + V Z = Y a in lercop tan en los ejes coordenados segm en­
tos, cu ya suma es con stan te.
1990. Dem ostrar, que el con o
y la esfera
son tangentes entre sí en lo s pu n tos {0 , ¿ b, c).
1991. S e llam a án gulo entre dos s u p e r f i c i e s en el p u n to de su
in tersección , ai á n g u lo q u e forman los planos
tangentes a dichas
superficies en el punto que se considera.
¿Q ué á n g u lo form an en su in tersección el c ilin d r o a:2 - f p2 = R 1
y la esfera ( x — R ) i + y * + - z * - = R l en el punto M ( | - ;
\0 ) ?
1992. S e llam an ortogona les las superficies q u e se corta n entre
sí
form ando á n g u lo recto en cada u n o de lo s puntos de la línea
de su in tersección .
Dem ostrar, que las superficies ¿r2 ¿/2 - f z2 = r2 (esfera), ¿/ = a:tgq>
(p lan o) y z 2 = ( a r + i f ) t g 2 \]> (con o), que son superficies coordenadas
d e l sistema de coordenadas esféricas r , <p, tp, son ortogon ales entre sí.
1 993. Dem ostrar, que todos lo s planos tangentes a la superficie
c ó n ic a z ^ x f
en su p u n to
M (x 0, i/0í z0), donde x 0 ^ O y pasan
por el origen de coordenadas.
1994*. H a lla r las p ro y e ccio n e s del elipsoid e
:c2 -f-¿/“ - f - z 2— x y — 1 =^0
sobre lo s pla n os coordenados.
1995.
Dem ostrar, que la n orm a l, en c u a lq u ie r p u n to de la super­
f i c i e de re v o lu ció n z = / ( \ íx 2 -f- y2) (/'=?*=0) co rta a su ejo de ro ta ció n .
§ 12. Form ula do T a y lo r para las fu n c io n e s de v arias
variable s
S upongam os quo la fu n c ió n f (x , y) tiene en un en torn o del punto (a , b)
derivadas parciales continuas hasta oí orden (n + i ) in clu siv e . Entonces,
en este en torn o so v e r if ic a la fórm ula de T a y lo r:
1 (z , y) = i (a, 6) + - i - [ / ; (a , b) ( z - a) + f y (a, b) (y - b ) ] +
+ 4 r lr* * (a'
2 /" „ (a , b) ( z - a) {y - b) + / " „ (a , b) (V - i,)*] + . . .
■ ■ ■ + Í r [ ( x - a) - ¿ + ( y - b ) - k Y f ( a ’ b ) + f í n ( x ' y)'
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(1>
234
Funciones de varias variables
dondo
ñ " (í > y )
x
Xf [ a + Q ( x - a ) t b + B ( y - b ]
(O < 0 < X).
En otras notacion es:
f { x + h , y + k ) = f ( x , y ) + -L [h j'x <*, y ) + kfy ( x , y) f
+ m r
xll<«, » ) + k T m (*, </)!+ •••+4r ( ;i -
(
Aa/ »x (x , y) +
k + kJ í ) nH *
*>+
2
( )
+ ( T r T í j r [ h - í + i ! ~ k Y + i / ( l + 9fc; » + 0fc>o bien,
A / < s , * ) = <*/ ( x , y ) + - i - ¿ 2 / (a:,
21
y)+...
1
En e l caso pa rticu la r en que a = 6 =
de fórmula de Maclaurin.
Fórm ulas análogas so n v á lid a s para
riables.
E j e m p l o . I-Tallar el in crem ento
= x 3 — 2y3 + 3 x y a l pasar do io s v a lores x
y i ~ 2 -\-h.
S o l u c i ó n . E l in crem en to q uo se
la fórmula (2). C a lculam os previam ente
y sus valores on el p u n to dado (1, 2):
0, la fórm u la (1) recibe ol nom b re
las fu n cio n e s de tres y
q ue recibo la fu n ció n / (x, y ) —
= 4, y = 2, a lo s v a lo re s x l = l - \ - h 9
busca puede encontrarse a p lica n d o
las derivadas p a rcia le s sucesivas
í ’x (x, y ) = 3 x * + 3 y ,
f ' J 1; 2) = 3 - l + 3 - 2 = 9,
/;(* .» )—
/y (1 j 2) = “ 6 -4 + 3 - 1 = — 21,
6 I /S + 3 * ,
s/) = 6 x,
/”
/^ (* .» )« 3 ,
/« (* •
í'
m ás va­
(1; 2) = = 6 . 1 = 6,
/ " ( 1 ; 2 ) = 3,
) = - 122/ ,
(1; 2) = - 1 2 . 2 = - 2 4 ,
£ £ ( * t ! r) = 6,
/*íúf(l> 2) = 6,
«£ ,< * . f l - 0 ,
/^ (1 ;2 )= 0 ,
/ ^ ( i ; 2 )= 0 ,
y) = - 1 2 ,
/ » ' „ (1; 2) = - 1 2 .
*
T od a s las derivadas siguientes serán id én tica m en te iguales
P on ien do los resultados ob ten id o s en la fórm u la (2), obtenem os:
a
cero.
A / (*, 0 - / ( 1 + * , 2 + * ) - / ( l , 2 ) ^ A . 9 + * ( - 2 1 ) +
• f - | r l /l2-6 + 2fcfc-3 + fc2( — 24)1 + 4 r I * 3-6 + -3 ft 2 ft -0 + 3 M 2 -0 + ft3 ( — 12)] =
d]
= 9fc _ 21fc -)-362 +
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-
12k* -f- A3— 2fc3.
Fórm ula de T a y lo r para la s fun cion es de varias variables
1 9 9 6 . D esarrollar
tiv as de h y k , si
j{x -\ -h ,y +
en poten cias
235
enteras y posi­
f ( x , */) = a * 2 + 2fe¿*y - f ¿y2.
1997. D esarrollar la fu n c ió n f ( x t y ) — — x 2 + 2 x y + 3r/2— 6 x —
— 2 y — 4 p o r la fó r m u la de T a y l o r en u n entorno del punto
( - 2; 1).
1 998. H a l l a r el in crem en to q u e recibe la fu n ción f ( z y y ) = z 2y
al pasar de lo s v a lores
y = 1 a lo s valores
x x = * í + hy
y ^ i + k .
1999. D esarrollar la fu n c ió n
f (*> */, z ) = x 2 + y'2 + z 2 + 2 x y — y z — 4 x — 3 y — z + 4
por la fó r m u la do T a y l o r en el entorno del p u n to (1; 1; 1).
2 0 0 0 . D esarrollar / ( x + h, y - f k y z-\- /) . en p o te n cia s enteras
y p o sitiv a s de h , k y Z, si
f (x , y , z ) — x 2 + y 2-\-z2— 2 x y — 2 x z — 2 yz.
2 0 0 1 . D esarrollar p o r la fó rm u la de M a cla u rin , hasta lo s tér­
m in o s de 3o orden in clu siv e , la fu n c ió n
f ( x , y ) ^ ex sen y.
2002. D esarrollar por la fó r m u la de M a cla u rin , hasta lo s té rm i­
nos de 4o orden in clu siv e , la fu n c ió n
/ (x , y ) = e o s x eos y.
2003. D esarrollar por la fó rm u la de T a y lo r , en un entorno del
pu n to (1; 1) hasta lo s té r m in o s de 2 o orden in clu siv e, la fu n ción
f ( x , y) = y*.
2 0 0 4 . D esarrollar por la fó r m u la de T a y lo r , en u n en torn o del
p u n to (1; — 1) hasta lo s té r m in o s de 3o orden in clu siv e , la fu n ción
}(x , *) = « * «
2005. D ed u cir las fó r m u la s a proxim a da s, c o n ex a ctitu d hasta
lo s térm in os de 2o orden, c o n re la ció n a la s m a gn itu d es a y p,
para la s expresiones
a) a r c t g i± | . ¡
b) | / E ± 5 E + ü ± E ,
si \a\ y |P| son pequeños en co m p a ra ció n c o n 1.
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236
Funciones de varias variables
200fi*. A p lica n d o la fó rm u la do T a y l o r ,
de 2 o orden, c a l c u l a r aproxim adam en te:
a)
j/T | 0 3 ; y ^ O ^ ;
hasta
lo s
térm in os
b) (0 ,9 5 )2.01.
2007. Sea z una fu n c ió n i m p líc it a de x e y , determ inada por
la ecu a ció n zs — 2 x z -\ -y = 0, q u e tom a el v a lo r z = l cu a n d o x = l
e y = 1. E scribir v a rios té r m in o s d el d e s a rro llo de la fu n c ió n z
en p o te n cia s crecien tes de la s diferen cias z ~ l e y — i .
§ 13. Extremo de una fu n c ió n
de v a r i a s v a ria b le s
1
D e f i n i c i ó n d e e x t r e m o d o u n a f u n c i ó n . So dice que
una fu n ció n f (£, y) tiene un máximo (o un mínimo) / (a, b) en el punto
P ( a , h ) , si para todos los puntos P' (x\ y ) d iferentes de P , de un entorno
su ficientem en te pequeño del punto P, se cu m plo la desigualdad / { c , ó) >
> / ( * , y) (e, respectivam ente, / {a, b) < j (x, y)). E l m á x im o o m ín im o de una
fu n ció n recibe tam bién el nom bro do extrem o de la m ism a. Análogam ente
se determ ina el e x trem o de una fu n ció n de tres o más variablos.
2°. C o n d i c i o n e s
necesarias
para
la
existencia
de
e x t r e m o . Los puntos, en q ue la fu n c ió n d i fe r e n c ia b a f ( x , y ) puede a lcan­
zar un extrem o (es decir, l o s lla m a d os puntos estacionarios), se h a lla n resol­
v ie n d o el sistema do ecuaciones
lx ( z ,y ) = 0 ,
!'y ( x , y ) = 0
(1)
(condiciones necesarias para la existencia de ox tremo). E l sistema (1) os eq u i­
v alente a una ecu ación d f (Xy y) = 0. En el caso general, en el p u n to extrem o
P ( a , b) do la fu n ció n / (x, y)%o 110 e x isto d j (a, b) o b ion d j (a, b ) = 0 .
3o . C o n d i c i o n e s
suficientes
para
la e x i s t e n c i a
de
e x t r o m o. Sea P ( at b) un punto estacionario de la fu n ció n / (a\ y)> es decir,
d f ( a , b) = 0 . En este caso: a) s i d2/ ( « , b) < 0, sien do d z 2 + d¿»2 > 0, / K b)
es un máximo do la fu n ción / (x , y); b) si d2/ ( a , b) > 0, s ie n d o d x ¿ + d y2 > 0,
/ (a, b) es un mínimo de la fu n ció n / (x, y)\ c) s i di¿j (a, b) ca m bia de sign o,
/ ( a , ¿>> n o os punto extrem o d e la fu n c ió n / (x, y).
Las co n d icion es citadas
equivalen a las sigu ien tes: sea f'x ( a , b ) =
— f'v {a > 6) = 0 y A = f x x (a, ó), B = / " y (a, ó), C = f yj/(ai
b). F orm am os el dis­
criminante
A = A C — B 2.
En este caso: 1) si A > 0, !a fu n ció n tiene un e x tr e m o on e l punto
P( a > b) y éste es un m á x im o , s i A < 0 (o C < 0), y un m ín im o , si A > 0
{ o C > 0 ) ; 2) si A < 0, en el punto P (a, b) n o e x iste e x tre m o ; 3) si A = 0t
la ex isten cia de extrem o do la fu n ció n en el punto P ( at b) queda indeter­
minada (es necesario co n tin u a r la in vestigación ).
4 ° . C a s o d e f u n c i o n e s d e m u c h a s v a r i a b l e s . Para las fun­
cion es do tres o más v a ria b les, la s con d icion es necesarias para la existencia
de extrem os son análogas a las co n d icion es del párrafo 1 °, (1), y las co n ­
d icio n es suficiezites, a n á logo s a las del párrafo 3 o, a), b) y c).
Ejom plo
1. A v e rig u a r lo s extrem os de la función.
z = * x 3 + 3 x y * ~ - Í5 x — 12 y.
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237
Extrem o de una función de varias variables
S o l u c i ó n . H a lla m os
d e ecuaciones (1):
las derivadas parciales y form am os el sistema
Í Í = 3*2 + 3jí2 - ! 5 = 0
dx
Í i = 6 í t f — 12=0
dy
o bien,
j
x * +
\
y2 —
5 =
0 t
x y — 2 = 0.
R e s o lv ie n d o este sistem a obten em os cuatro puntos estacionarios:
P ,(l;2 );
J>2 ( 2 ; 1 ) ;
~ 2 );
J®*(— 2 ; — 1).
H a lla m os las derivadas de 2 o orden
d*z
.
-óx
5- 9“
—
2
y form a m os el d iscrim in a n te
cionarios.
1) Para
el
punto
dH
,
Tdx
_ 7íty
r = b^ ’
d*z
“STT
dy2 — 5*
A = ^4C — i? 2 para cada u n o de los puntos esta­
P ,:
( - 0 ) ^ - 6 ,
B = ( ¿ ^
^
= 12,
¿ =
= í 4 -¡r )
—
A = <4C— # 2 = 36 — 144 < 0 . lis decir, en el punto 1\ n o hay
V oy* J Pi
e x trem o
2) Para ol punto .P2- A ^ = í 2 f B = 6, C = 12; A = 144 — 36 > 0, . 4 > 0 . En
el punto P ¿ la fu n ción tiene un m ín im o . Este m ín im o es igual al valor
de la fu n ció n cuando x = 2, y = i:
*mfn = S + 6 - 3 0 ~ f 2 = — 28.
3) Para el p u n to P 3: A = - 6 , 5 = - 1 2 , ¿* = - 6 ;
A= 3 6 -1 4 4 < 0 .
N o h a y e>tremo.
4) Para el punto P ,t\ A = — 12, 1 3 = — 6, C = — 12; A = 1 4 4 — 30 > 0,
¿ l < . 0 . En el punto P^ la fu n ción tiene un m á x im o . Esto m á x im o es ig u a l a
3|riáx= - 8 - 6 + 30 + 12 = 23.
5o. E x t r e m o
condicionado.
Se lla m a extrem o
condicionado
do una fu n ció n / (x, 2), en el caso más sim p le , al m á x im o o m ín im o de esta
fu n ció n , a lea uzad o con la c o n d ic ió n de quo sus argum entos estén ligados
entre sí p o r la ecuación <p(x, y ) = 0 (ecuación de en la ce). Para lia llar el ex ­
tre m o co n d icio n a d o do la fun ción / (x , y ), co n la ecu ación do enlace q> (x , z) = 0 ,
se form a la llamada función de Lagrange
donde X os un m u ltip lic a d o r constante indeterm inado, y se busca el extrem o
o rd in a rio do esta fu n ció n a u x ilia r. Las co n d icio n e s necesarias para que haya
un extrem o so reducen a l sistema de tres ecuaciones
■
¿ F S J>L+ X ^ l =
ijx
^ i L
dy
dx
dx
+ > A
dy
o,
= o,
<2>
dy
9 (* t y) = 0
c o n tres in cóg n ita s, x, y ,
de las quo, en general, se pueden deducir éstas.
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238
Funciones de varias variables
El problem a do la. existencia y el caráctor del extrem o con d icion a d o se
resuelve sobre la base del estud io del sig n o quo tiene la segunda d iferen cial
de la fu n ció n de Lagrango
02F
d2F
d2F
para el sistema de valores do x, y t X q ue in vestigam os, ob ten ido de (2),
con la c o n d ic ió n de q ue dx y dy estén relacionados entre sí por la ecu ación
- S r <ix+ 4 ¡ r <,!' = 0
< * * + * * + *>■
Precisamente, la fun ción / ( x , y ) tendrá un m á x im o con d icion a d o, si d'2F < 0 .
y un m ínim o con d icio n a d o, si d*F > 0. En particu lar, si el discrim in a n te
A para la fun ción F {x. y) en el punto estacionario es p o sitiv o , en esto punto
habrá un m á x im o co n d icion a d o de la fu n ció n / (x, y), s i A < 0 (o C < 0),
y un m ínim o con dicionado, s i A > 0 (o C > 0 ) .
Análogam ente se ha lla n los extrem os con dicion a d os de las funciones
de tres y más v a ria b les cuando existen una o m ás ecuaciones de enlace
(cuyo número debe ser m enor que el de variables). En este caso, hay que
in clu ir en la fu n ción de Lagrango tantos m u ltip lica d ores indeterm inados
co m o ecuaciones do enlaco haya.
E j e m p l o . 2. I-lállar los extrem os do la fun ción
z = 0 — 4 x — 3y t
co n la c o n d ic ió n de que las variables x e y satisfagan a la ecu ación
S o l u c i ó n. G eom étricam ente, ol problem a so reduce a encontrar los
valores m áxim o y m ín im o de la cota z del plano 2 = 6 —-4 x — 3y para sus
puntos do intersección con el c ilin d r o x 2 + [/2 = l .
Formamos la fun ción de Lagrango
F ( x , y) = e - / lx - 3 y + K(z* + y * - i ) . /
dF
Tenemos, -r—- =
OF
— 4 + 2Xx, - ™ =
— 3 + 2Xy. Las con d icion es necesarias p ro ­
porcionan ol sistema do ecuaciones
í
- 4 + 2Xx = 0,
j ‘ - 3 + 2 ^ = 0,
>- * » + y * = l ,
resolviendo ol cu a l, encontramos:
5
Y
A2 = -
5
’
4
X 2 = = ------- 5“ *
4
3
^ 2~ ------- 5" •
3
Como
d2/ 7
d2/7
„
52F
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E xtrem o de una fu n ción de varias variables
239
tenemos
d 2F — 2X (dz2 + dy*).
5
6
4
3
d y — —z - , entonces, d*F > 0 , y, por co n sig u ie n te , en este
o
o
Si X — — - , x «as —
punto la fu n c ió n tiene un m ín im o c o n d icio n a d o . Si
3
----- — ,
¿
y —
* = ------ e
o
p - , e n ton ces, d 2F < 0 y , p o r con sig u ie n te , en esto punto la
o
tiene un m á x im o c o n d icio n a d o .
De esta form a ,
máx.
fun ción
. . I6 i 9
—- O”p
c “l c — H»
1 5 1 5
16
9_
w
zmln. = 6 ----- 5 " - ~O' = 1 6°. M á x i m o y m í n i m o
a b s o l u t o s de la ' f u n c i ó n .
Toda
fu n c ió n , d ife re n cia b lo en u n a r e g ió n acotada y cerrada, ^alcanza su v a lo r
m á x im o (m ín im o ), o en un p u n to esta cion a rio, o en un punto de la frontera
de la región .
E j e m p l o 3. D eterm in ar lo s v a lo re s m á x im o y m ín im o de la fu n ció n
* = s 2+ z/2— sy + s + y
en la re g ió n
í< 0 ,
y <10,
a: 4
>
— 3.
S o l u c i ó n . La re g ió n in d icad a e s u n triá n g u lo (fig . 70).
1) H a lla m o s io s pu n tos e sta cion a rios:
r 2; = 2 x - j r + i = o ,
\ 2 ; S 2 2 ,-x -M = 0 ;
de d on de x = — 1. y = — 1; ob ten em os el punto M ( — 1; — I).
En e l p u n to M e l v a l o r de la fu n ció n e s zM = — 1. N o es necesario
in vestiga r si hay extrem o.
2) E xam in am os la fu n c ió n en la fron tera de la reg ió n .
C u ando x = 0 . tenem os q u e z = y2-\-y, y ol problem a s e reduce a buscar
e l m á x im o y m ín i m o a b s o lu t o s de esta f u n c ió n de un argum ento en el
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240
F u ncion es de varias variables
segmento
—
Al
hacer
esta
investigación,
■<¡W . n b s . ) * = o = 6 en el P“ nto (0; - 3 ) y <zmln. nbs.) x=o ”
hallamos
que
/ f en el pun­
to ( 0 ; ----------- .
Cuando i/ = 0, obten em os que z = x 2-\-x.
A n á log a m e n te h a lla m o s ,
<*máx.ahs.)*/=(> = 6 en e l Punt0 < - 3 ‘» 0) Y (zmín. ab s.)y= 0 ~
( - - M
que
“~ T en el pUQto
-
Cuando x + ¡/ = — 3 o
b ien
^ = — 3 —-#,
tendrem os q ue z = 3 x 2 + 9 s + 6.
3
/
3
A n á loga m en te h a lla m o s, que (zmfn. abs. ) * + y = - 3 ^ “ T c n c l Pun to [ ~ T ;
3 \
- T J : < * m a * .«i» .)* + ■ » = - « — 6
co in c id e
con (zmSx. ab9.),.= 0
y
con
teináx. abs.)y=0- ^ n *a recta x - \ - y = — 3 se podría hacer la in v e s tig a c ió n de
la ex isten cia do extrem o co n d icio n a d o sin re cu rrir a la fu n ció n d e un s o lo
argum ento.
3) Com parando to d o s lo s v a lo re s de la fu n c ió n z o b te n id o s , lle g a m o s
a Ja c o n c lu s ió n do que
abs> = 6 en lo s p u n to s (0 ; — 3) y { — 3; 0) y
z mín. atis. = — ^ Gn
Investigar
variables:
pun^0 e sta cio n a rio M .
si tien en
extrem os
las sig u ie n te s
fu n c io n e s de
2008. ¿ = ( z - l ) 2 + 2 y 2.
2009.
—
2010 .
z = x* + x y + y 2 — 2 x — y.
2 011. z
=
x 3y 2
(6 — x — y ) ( x > - 0 ,
y >
0).
2012. s = x* + y* — 2x* + 4 x y — 2y*.
2013. z = x y y
1—
X-
o
y,3
2 014. z = 1 — (a® + ys)*-'a.
2015. z = (,t2 + 1/~) « - ( « H - * ) .
2 010. z = - , 1 + a - g
V I + **+»»
2 0 1 6 .1 . z = A
.C
+
y
+ y
(a r> 0 , j / > 0 ) .
201 6.2. 2 = e ^ ( r 2— 2 ^ ) .
H a lla r lo s extrem os de la s fu n cio n e s de tres variables:2017. u — x 2 -\- */2 + z2 —
+ # — 2z.
2018. u = * . | - . g . + J Í + - ? - ( * > o , ^ > 0 , z > 0 ) .
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dos
Problem as de determ inación de los m áx. y m ín. absol, de las ju ncion es 241
H a lla r
lo s
e x trem os
de
la s fu n c io n e s z ,
dadas de form a im -
2019*. x 2 + y 2 + z 2 — 2 x + 4 y — 6z — 1 1 = 0 .
2 020. x s ~ y 2 — 3 z - f - /i í/ + z2 + z — 8 = 0.
D eterm in ar l o s e x tre m o s c o n d ic io n a d o s de la s fu n cion es:
2021. z =r x y , si x -f- y = 1.
2 022. z = x + 2 y , si x 2 + i/z = 5.
2 023. z = x 2 + y 2, s i
=
2 0 2 4 . z = c o s 2 x + c o s 2 í/, s i y — 1 =
2 0 2 5 . u = x — 2y + 2z, si x 2 +•y 1 + z 2, = 9.
2026. u = x 2
y2 +• z2, si ^ l - f - | l - } . i i = l ( íi > i » > c > 0 ) .
2027. u = x y 2z 3, si x + y + z = 1 2 ( x > 0 , y > 0 ,
z > 0 ).
2 0 2 8 . u — x y z c o n la s c o n d ic io n e s : z + y + z = 5 t
a:j/ -f-
= 8.
2029. D e m o s tra r la desigualdad
z~\-y-\-z
3 r ------
p — > y xyz,
si x > 0, y > 0 , 2 > 0 .
I n d i c a c i ó n . Buscar oí máximo do la función u = xyz con la condi­
ción do que x y + 2 ==S.
2 0 3 0 . D e te rm in a r el m á x im o a b solu to de la fu n ción
z = l+ a :+ 2 jr
en la s region es: a) x > 0 , y > 0 , x + y < l ; b) a : > 0 , y < 0 , x — y < l .
2 0 3 1 . D e te rm in a r el m á x i m o y m ín im o absolu tos de las fu n c io n c s : a) z — x 2y y b) z = * x 2 — y 2 en la re g ió n £ 2 + i/2< 1.
2 0 3 2 . D e te rm in a r el m á x im o y m ín i m o a b so lu to de la fu n c ió n
z = sen x -jr sen y -+- se n ( x + y ) en la re g ió n
0 < y < -^ ,
2033. D eterm in ar el m á x im o y m ín im o a b so lu to de ln
z = x 3 + y s — Sxy en la re g ió n 0 < a ; < 2 , — l < y < 2 .
fu n ción
§ 14. P ro blem as de d e te rm in a c ió n de lo s m áxim os y mínimos
a b s o lu to s de la s fu n c io n e s
E j e m p l o 1. Hay que dividir un número ontero a en tres sumandos
no negativos de manera que el producto de éstos sea máximo.
S o l u c i ó n . Sean los sumandos quo se buscan x t y, a — x — y. Busca­
mos el máximo absoluto de Ja función f
y ) = x y (a—z — y).
16—1016
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Problem as de determinación de los m áx. y m in. absoL de las funciones 243
2036. E ntre todos lo s triá n g u lo s de p erím e tro igual a 2 p , ha­
l l a r el q u o tiene m a y o r área.
2037. H a l l a r el p a ra lelep íp ed o recta n g u la r de área S dada, que
tenga e l m a y or v o lu m e n posible.
2038. R epresen tar el n ú m ero p o s itiv o a en form a de producto
de cu a tro fa c to re s p o s itiv o s , c u y a suma sea la m en or posible.
2 0 3 9 . E n el p la n o X O Y h a y q u e h alla r un p u n to M { x %y ) tal,
q u e la sum a de los cuadrados de sus distan cia s hasta las tres
rectas, x = 0 , y = 0 , x - y - 1 - 1 = 0 , sea la m en or posible.
2040. H a l l a r el tr iá n g u lo de p orím etro 2 p dado, que al girar
alred ed or do u n o de su s lados engendre el cu erpo de m a y o r volum en.
2041. En u n p la n o se dan tres pu n tos m a lo ria les P x (:r,, y j),
P z ( x 2t í/2) Y ^ 3 (^ 3» Vz)-> cu y a s m asas respectivas son m l9 m z y m3.
¿Q ué p o s ic ió n deberá o c u p a r el p u n to P ( : r, y ) para que el m om ento
c u a d r á tic o (m o m e n t o de in ercia ) de esto sistema de puntos, con rela­
c i ó n a d ic h o p u n to P (es decir, la suma m xP xP 2 +
+ w 3P 3P 2)
sea e l m en or posible?
2 0 4 2 . H acer pasar u n p la n o por el p u n to M ( ay
c) que form e
co n lo s p la n o s coordenados un tetraedro que tonga el m enor
v o lu m e n posible.
2 0 4 3 . In s cr ib ir en un e lip so id e un paralelepípedo rectangular
qu o tenga e l m a y o r v o lu m e n posible.
2044. C a lc u la r las dim en sion es exteriores quo deberá toner un
c a jó n re cta n g u la r a b ierto, del q u e se dan el espesor de las pare­
des ó y la ca p a cid a d (in te rio r) V , para q u e al h acerlo se gaste la
m en or ca n tid a d p o s ib le de m a teria l.
2 0 4 5 . ¿E n q u é p u n to de ia e lip se
la ta n gon te a ésta forma c o n lo s ejes
de m en or área?
2 04 6 *. H a lla r lo s e je s de la olipse
coordenados ol
trián gulo
5x2 + 8 x y + 5 y - = 9.
2047. En una esfera dada, in scr ib ir el c ilin d r o cu ya superficie
to ta l sea m á xim a .
2048. L o s cu rsos de dos ríos (dentro de lo s lím ite s de una
re g ió n determ inada) representan aproxim adam ente una parábola^
y = ir2, y una recta, % — y — 2 = 0. H ay q u e u n ir estos ríos por
m e d io do un ca n a l r e c t ilín e o que tenga la m enor lon gitu d posible.
¿ P o r q u é p u n tos habrá que trazarlo?
2 0 4 9 . H a lla r la d is ta n c ia m ás co rta del punto M ( 1, 2, 3) a la
recia
1
1
1.
x
i ~
y
- 3
__ z
”
2 *
16*
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242
Punciones de varias variables
P or el sen tido quo tiene oí prohloraa* Ja fu n ció n / ( * , y ) se exam ina
den tro del triángulo cerrado s > 0 , y > 0 , x + y < a (fig . 71).
Rasnlviendo oí sistema
/;.( * , y) =
y ( a — 2 x — if) =
Q,
f'y ( x t y ) = z x { a — x — 2y) = 0,
obten em os
( t ; t )
para
el
in terior
del
triá n g u lo
un
' l>ílra ^ con iProí)arnos s i se cu m p len
s o lo
p u n to
estacion ario
Jas c o n d ic io n e s necesarias.
Tenem os
& * ( * » 'A*77- * ! ! *
f x » ( x ' ? ) * = * — 2* — 2y,
( a
a \
* ” 3” J —
J'or con sigu ien te, A —
/ a
B = ,1'x»
,
(.T ’ t J -
Css‘1vu[t ~'
l\
2
S~a'
a \
/ a
fyy (*. y ) = — 2x.
a ^
1
T a-
2
i r ) - _ ~ fl y
= A C -B *> 0 ,
/1 < 0 .
Bs decir, la fu n ció u tieno m á x im o en o) punto ( " I - ;
“í j - ) •
Como en el contorno del triángulo Ja función / {x, y) = 0» este máximo
será el máximo absoluto de dicha función» es decir, ol producto será máximo
a
cuando x = y ~ a — x — ?/ = —
y e l valor máximo del mismo sera igual
o
a
27 *
O b s e r v a c i ó n . Esto problema podría haberse resuelto también por el
método del extremo condicionado, buscando el máximo de la función u = xyz
con la condición de quo x - \ - y + z — a.
2034. E ntre lodos lo s paralelepípedos rectangulares
de v olu m en
V dado, h alla r aquél c u y a s u p e rficie tota] sea m enor.
2035. ¿Qué dim en sion es deberá tener un b a ñ o a b ierto, de v o l u ­
m en V dado, para que su s u p e rficie sea la m enor posible?
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Problem as de determ inación de los m áx. y m ín. absol. de las fun cion es 243
2036. E n tre todos lo s tr iá n g u lo s de p erím etro ig u a l a 2 p y h a ­
lla r el q u e tien e m a y o r área.
2037. H a lla r el p a ra lelep íp ed o re cta n g u la r de área S dada, que
ten ga el m a y o r v o lu m e n posible.
2 0 3 8 . R epresen tar el n ú m ero p o s it iv o a en fo rm a de producto
de cu a tro fa c to re s p o s itiv o s , c u y a sum a sea la m en or posible.
2039. E n el p la n o X O Y h a y que h a lla r un p u n to M (#, y) tal,
q u e la sum a de lo s cu adrados de sus distan cia s hasta las tres
rectas, x = 0 , y = 0 , x — y + 1 = 0 , sea la m en or posible.
2 0 4 0 . H a lla r el tr iá n g u lo de p e rím e tro 2 p dado, que al girar
alrededor de u n o de sus lados engendre el cu erpo de m a y o r volu m en .
2 0 4 1 . E n un p la n o se dan tres p u n tos m a teria les P i ( x iy í/J,
P 2 (x 2> yz) y P $ { x Zi # 3)» cu y a s m asas respectivas son m if m>¿ y 7713.
¿Q ue p o s i c i ó n deberá o c u p a r el p u n to P ( x , y) para que el m om ento
c u a d r á lie o (m o m e n t o de in ercia ) de osle sistema de puntos, con re la ­
c i ó n a d ic h o purito P (es decir, la suma m lP lP 2 + m^P2P 2 + m 3P 3P 2)
sea ol m en or posible?
2 0 4 2 . H a c e r pasar un p la n o por el p u n to M (a, ó, c) que forme
con lo s p la n o s coordenados u n tetraedro q u e ten ga el m enor
v o lu m e n posible.
2043. In s cr ib ir en un e lip s o id e u n p a ra lelepípedo rectangular
q u e ten ga el m a y o r v o lu m e n posible.
2 0 4 4 . C a lc u la r las dim en sion es exteriores que deberá tener un
c a jó n re cta n g u la r a b ierto, d e l q u e se dan ol espesor de las pare­
des ó y la ca p a cid a d (in terio r) V , para q u e al h a cerlo se gaste la
m en or ca n tid a d p o s ib le de m a te ria l.
2 0 4 5 . ¿E n q u é p u n to de la elipse
la ta n g e n te a ésta form a con lo s e jes coordenados el
de m en or área?
204 6 *. H a lla r lo s e je s de la e lip se
5+> +
trián gulo
+ 5 y 2 = 9.
2 047. En una esfera dada, in scr ib ir e l c ilin d r o c u y a superficie
to ta l sea m á xim a .
2048. L o s cu rsos de dos ríos (dentro de los lím ite s de una
r e g ió n determ in ada) representan aproxim adam ente una parábola,
y = z 2, y una recta,
— 2 = 0. H a y que u n ir estos ríos por
m e d io de u n ca n a l r e c t ilín e o que tenga la m en or lo n g itu d posible.
¿P o r q u é pu n tos habrá que trazarlo?
2 0 4 9 . H a lla r la d is ta n c ia más cortá d o l p u n to A f ( l , 2, 3) a la
recta
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244
Punciones de varias variables
.. =2050*. L o s pu n tos A y B están situ a d os e n diferen tes m edios
ó p ticos, separados el u n o del o tr o por una lín ea recta ( f i g . 7 2).
L a v elocida d de p rop a ga ción do la luz en el prim er m e d io es
igual a v u en el segundo, a v 2. A p lic a n d o e l « p r in c ip io de Ferm at»,
según el cu a l el ra y o lu m in o so se propaga a io la rg o de la línea
A M B , para c u y o recorrido necesita e l m ín im o de tie m p o , deducir
la ley de la refra cción del ra y o de lu z.
Fig.
72
F i g. 73
2051. A p lica n d o o l «p rin c ip io de Ferm at», deducir la ley de la
reflexión del rayo de lu z de un p la n o en un m e d io h o m o g é n e o (fig . 73).
2052*. Si por u n c ir c u ito e lé c t r i c o de resistencia R pasa una
corriente I , la can tidad de c a lo r q u e se desprende en una unidad
de tiem p o
es proporcion a l a P R .
D eterm in ar, ¿c ó m o habrá
que distribuir la corriente I en I u / 2 o I 3 v a lié n d o se de tres
conductores de resisten cia s R u / ? 2l y R$, re sp ectiv a m e n te, para
con segu ir que e l desprendim iento de c a l o r sea m ín im o?
§ 15. Puntos singulares de las curvas planas
I o. D e f i n i c i ó n d e p u n t o
s i n g u l a r . ’ U n p u n to M (:% y0) de
una curva plana / (¿c, y) — 0 se llam a punto singular, si sus coordenadas satis­
facen sim ultáneam ente a las tres ecuaciones:
/ (*01 Vo) =
/* (*oi Uo) = o ,
fu (*o> yo) = °-
2o. T i p o s p r i n c i p a l e s d e p u n t o s s i n g u l a r e s .
m os que en el punto sin g u la r M (x0. i/o)
derivadas de 2o orden
¿ = Ix x (xq, i/o)’
n o so n todas iguales a cero y que
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Suponga­
245
P u n tos singulares de la s curvas planas
en este caso tendrem os:
a) s i A > 0 , M será un punto aislado (fig . 74);
b) si A < 0, M será u n punt o crunodal (punto doble) (fig . 75):
M
F i g . 74
c ) s i A = 0, AI puedo ser un punto de retroceso de I a especie (fig . 76) o^dc
2a e sp e cie (fig . 77), o un punto aislado, o punto doble co n tangentes c o i n c i­
d en tes o tacn od o (fig . 78).
A l r e s o lv e r lo s prob lem a s d e esto a p a rta d o, se con sidera o b lig a to r ia la
c o n s t r u c c ió n d o las curvas.
E j e m p l o 1. D em ostrar, q ue la curva y 2 = a x 2+ x * tiene: un punto
cru n o d a l, s i a > 0; u n p u n to a is la d o , si c < 0 y u n p u n to do retroceso de
í a e sp ecio, s i a = 0.
S o l u c i ó n . En este c a s o / (z , y ) = a x * - |-z3 — y 2. H a lla m o s las derivadas
parciales y la s igu a la m os a cero
íx ( x , y ) =2 2 a x + 3x2 = 0,
f y ( x , y) =
— 2y — 0.
Este s is t e m a tiene d os so lu cio n e s : 0 (0; 0) y N
^—
— a; 0 ^ ,
pero
las coor*
denadas d e l p u n t o N n o satisfacen a la e cu a ció n de la cu rva dada. E s decir,
h a y un s o l o p u n to sin g u la r 0 ( 0 ; 0J.
H a lla m o s las segundas derivadas y su s v a lo re s en e l p u n to O;
fx x ( x , y ) = 2 a
+
62
,
Á = 2a,
f x v ( x , y ) = 0,
B = 0,
f m ( x , V ) = - 2.
C— —2,
A = i4C— ¿?2i= — 4a.
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Funciones de varias variables
24t>
P or consiguiente,
Si a > 0 , A < 0 y el p u n to O será u n punto cru n od a l ( f i g . 79);
Si a < 0» A > 0 y el p u n to O será un p u n to aisla d o ( f i g . 80);
Si o = 0, A = ü . La ecu ación d e la cu rva en este ca so será
o bien
y — dz
donde # . > 0 ; la cu rva es sim é trica co n respecto a l e je OX> que
es tangente a la m ism a. P o r con sigu ien te, e l p u n to M
retroceso de I a especie (fig . 81).
Determ inar el ca rá cter de lo s
sigu ien tes:
será u n p u n to de
puntos sin g u la re s
de las curvas
2053. y 2 ~ — x 2 + £4.
2054. ( y — x 2)2 = x*.
2055. a V = a ¥ - / .
2 0 5 6 . x ¿y ¿ — x 2 — i f = 0.
2057. a* - f y* — 3 a x y = 0 (f o l i u m de Descart es) .
2058. y* (a — x ) = x 3 (ci so i de ).
2059. (x2 + y 2)2 = a? ( x 2— y 2) (l emni sca t a).
2060. { a x ) y 2 = ( a — x ) x 2 { es t r o f o l d e ) .
2 0 6 í . (x2 - f y 2) ( x — a f = b2x 2 (a > 0, b > 0) { concoide). E xa m in a r
tres casos:
1) a > b ,
2) a = b, 3) a < b .
2 062.
D eterm inar c ó m o va ría el ca rá cter del p u n to sin g u la r
de la curva y 2 == ( x — a) (x — b) ( x — c) en dep en d en cia de lo s v a lores
de a, b y c ( a < 6 < c son reales).
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247
E nvolvente
§ 16, E n v o lv e n te
I o. D e f i n i c i ó n d e l a e n v o l v e n t e .
Envolvente de una familia
de curvas planas s e lla m a a la curva (o a ! c o n ju n t o de curvas) tangente
a todas las líneas de d ich a fa m ilia , adornos cada uno de sus pu n tos tiene
co n ta cto c o n a lg u n a de la líneas do la fa m ilia q uo se exam ina.
2o. E c u a c i ó n
de
la e n v o l v e n t e .
S i una f a m ilia do curvas
depen dien te de u n parám etro v a ria b le a
l { x , y , ce) — 0
tiene e n v o lv e n te , las ecu acion es
m e d io dol sistem a de ecuaciones
j
param étricas de ésta
se determ inan
í (xj Vy a) = 0,
l / á ( * , y, a ) = 0 .
E lim in a n d o e l p a rá m etro a
la form a
por
del
W
sistem a (1), obten drem os una ecu a ción de
D (s , y )= 0 .
(2)
D ebe a d v ertirse, que la curva (2), o b te n id a form alm en te, llam ada curva
discriminante, adem ás de la e n v o lv o n to , si ésta e x iste , puede contener lugares
g e o m é trico s de p u n to s sin g u la re s de la fa m ilia dada, q ue n o form an parte
d e la e n v o lv o n to d o la m ism a.
A l re s o lv e r lo s p ro b lem a s de esto p a rá g ra fo , se recom ien da hacer los
d ib u jo s .
E j e m p l o 1. H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m ilia de rectas
x c o s a + y son a — p = 0 (p = c o n s t ., p > 0).
S o l u c i ó n . Esta f a m ilia d o rectas dependo del p arám etro a . Form a­
m o s ol siste m a d e e c u a c io n e s (1)
( x eos a + y s i n a — p — 0,
\ — x sen a + y eos a = 0 .
R e s o lv ie n d o este sistem a co n respecto a x o y, ob ten em os las ecuaciones
param ótricas de la e n v o lv e n te
x = p cosa,
y = psona.
E le v a n d o am bas e c u a c io n e s a l cu ad rado y su m án dolas, e lim in a m o s el pará­
m e tro a :
x*+y* = p.
Es d e c ir , la e n v o lv e n t e de o s la f a m ilia de rectas es una circu n feren cia
de ra d io p co n e l cen tro en el o rig e n d e coordenadas. La f a m ilia do rectas
dada es, a su v e z , la f a m i l i a d e tangentes de esta circu n fe re n cia (fig . 82)*
2063.
H a lla r la e n v o lv e n te
de la
fa m ilia
de circu n feren cias
2 0 6 4 . H a lla r la e n v o lv e n te de la f a m i li a de rectas
y - kx+
( k es un parám etro, p — co n s t).
í
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248
F u ncion es d e varias variables
2 0 6 5 . H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m ilia de c ir cu n fe r e n cia s de
radios ig u a le s a / ? , c u y o s c e n tr o s se en cu e n tra n en o l e j e O X .
2 0 6 6 . H a lla r la cu rva q u e e n v u e lv e a un se g m e n to de l o n g i ­
tu d Z, cu a n d o sus e x tre m o s re sb a la n p o r lo s e je s de coordenadas.
2 0 6 7 . H a lla r la e n v o lv e n te de la f a m i l i a de rectas q u e form a n
con lo s e jes do coordenadas tr iá n g u lo s de área c o n s ta n te S.
2 0 6 8 . H a lla r la e n v o lv e n t e de la s e lip se s de área co n s ta n te S ,
cu y o s e je s de sim e tría c o in c id e n .
2 0 6 9 . A v e r ig u a r e l c a rá cte r do la s c u r v as d i s c r i m i n a n t e s de las
fa m ilia s de c u r v a s sig u ie n te s ( C es el p a rá m e tr o ):
a) y = ( x — C )3 (p a rá b o la s c ú b ic a s );
b) j/2 = ( x — C ) 3 (p a rá b o la s s e m ic ú b ic a s );
c ) ¡/3 = ( x — C)z (paráb ola s do N e il);
d ) (a + x ) ( y — C)2 = x 2>( a — x ) (e strofo íd os).
2 0 7 0 . La e c u a c ió n do la tr a y e c to r ia q u e s ig u e un p r o y e c t i l
lan za d o desde e l p u n to O y c o n la v e lo c id a d i n i c i a l v0 y form a n do
u n á n g u lo a c o n el h o r iz o n te (p rescin d ie n d o de la re s is te n cia del
aire), es
y = x ^ a~ w
¿ ^ -
T o m a n d o e l á n g u lo a c o m o p a rá m e tro , h a lla r la e n v o lv e n te de
todas la s tr a y e c to r ia s del p r o y e c t il situ a d a s en un m is m o p la n o
v e r tic a l («parábol a d e s e g u r i d a d ») (fig . 8 3).
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249
F u n ción vectorial de un argumento escalar
§ 17. L o n g itu d de un a rc o de c u r v a en el espacio
La diferencial del arco de u n a curva en el e sp a cio en coordenadas carte­
sianas recta n gu lares es
ds = V d x * + d y 2 + d z 8,
donde z , y , 2, son las coord en a da s v a ria b les d e l punto de la cu rva.
Si
x = x ( t ) y y = y(l)> z = z (t)
son las ecu acion es param étricas de la cu rv a en e l esp acio, la lon gitu d del
arco en el in te r v a lo co m p re n d id o ontro t = t t y í = í2 ser¿
H a l l a r la lo n g it u d de lo s a rcos de la s cu rva s que se dan en
lo s p rob lem a s 2071 — 2076:
|
2 0 7 1 . x — t,
y = t a, z = ñ j - desde t = 0 hasta t = 2.
Q
2 072. x = 2 c o s ¿ , p = 2 s e n ¿ , z = — ¿ desde t — 0 hasta t = . j i .
2 073. x = z e i c o s t 1
arbitrario de t.
2074. 7/ = - ^ ,
z — e* desde ¿ = 0
hasta
un v a l o r
z — - y - desde x — 0 hasta x — Q.
2075. a:a = 3y, 2xy = 9z desde el p u n to 0 ( 0 ; 0; 0 ) hasta el p u n to
Af(3;3;2).
11
2076. y = a are s e n - í - , 2 =
desde el
p u n to
0 ( 0 ; 0 ; 0)
hasta el p u n to M { x 0, y 0y z 0).
2077. L a p o s ic ió n de u n p u n to en cu a lq u ie r in sta n te ¿ ( ¿ > 0 )
se determ ina p o r la s ecu a cion es
X r = 2 y = ln¿> z = t 2.
H a lla r la v e lo c id a d
¿ = 1 y ¿ = 10.
m edia
del m o v im ie n to entre lo s instantes
§ 18. Función v e c to r ia l de un a rg u m e n to e s c a la r
1°. D e r i v a d a
de u n a f u n c i ó n
vectorial
de un a r g u ­
m e n t o e s c a l a r . La función vectorial a = a ( ¿ ) puede determ inarse dando
las tres funciones escalares ax (t)t av (t) y az (í) d e sus p roy eccion es sob re
los e je s do coordenadas:
a = ax (0 i - f ay (t) J + az (t) k .
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249
F u n ción vectorial de un argum ento encalar
§ 17. L o n g itu d de un a rc o de c u r v a en el e sp a c io
La dif er en cial d e l arco de una cu rva en ol e s p a c io on coorden adas ca rte­
sianas recta n g u la re s es
d s ^ Y d x Z + d y t + dzZ,
d on de x , y , z , son las coorden a d a s v a r ia b le s d e l punto do la curva.
H a l l a r l a lo n g it u d do lo s arcos de la s cu r v a s q u e se dan en
l o s p r o b le m a s 2071 — 2076:
74
r
—
i
2
T —
_T_ ■ ¿ o c r l a
/
—
O
hcicfft
/ —
9
n
2 0 7 3 - a: = V c o s í , y = » ¿ ' s o n ¿ , z =
a rb itra rio de t.
2 0 7 5 . x 2- = % ,
M (3; 3 ; 2).
=
desdo t = 0 hasta un
v a lo r
desde e l p u n to O (0; 0; 0) h asta el p u n to
2 0 7 6 . y = a are sen — , s = ^ I n ^ ¿ 5
desdo el
p u n to
0 ( 0 ; 0 ; 0)
hasta e l p u n to M { x 0, y 0> z Q).
2077.
L a p o s ic ió n de u n
se determ ina por las e cu a cio n e s
p u n to on c u a lq u ie r in sta n te ¿ ( ¿ > - 0 )
x ~ 2¿, y = lnt> z = t 2.
H a l l a r la v e lo c id a d
t = í y ¿ = 10.
m edia del m o v im ie n t o outre lo s instantes
§ 18. Función v e c to r ia l de un a rg u m e n to e s c a la r
I o. D e r i v a d a
de u n a
fu n ció n
vectorial
do un a r g u ­
m e n t o e s c a l a r - La función vectorial a = cv(l) puede determ inarse d a n d o
la s tres fu n cio n e s e sca la res ax ( t ), a y ( t ) y a z (i) de su s p ro y e ccio n e s sobre
l o s e je s do coord en ad as:
a = ax ( 0 i + ay { t ) J + az ( t) k .
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F u n cion es de varias variables
250
L a d eriva d a de la f u n c ió n v e c to r ia l a = a { t ) co n resp ecto a l a rg u m e n to
e sca la r i os una nueva fu n ció n v e c t o r ia l d e te rm in a d a p o r Ja ig u a ld a d
da
lirvi
—
dax {t )
dau ( t )
-------------- J¿-1+ —¿ r
~dr= lí™o
daz (l)
J+ dt
*•
El m ó d u lo do la deriva d a do la fu n ció n v ectoria l es ig u a l a
da,
Tt
E l e x tr e m o d e l
cu na
r a d io
v e c t o r v a r ia b le
r = r(t)
d e s crib e en el e sp a cio una
r = x ( t ) i + y ( t ) J + z ( t ) k,
q ue recibe el n o m b r e de hodógrajo d o l v e c t o r r.
La d e riv a d a
(i t
roprusenta d e p o r s í u n v e c to r , tan gen te a l h o d ó g r a f o
en el p u n to correspon dien te,
dr
ds
~dt
dF
d on de .s* e s la lo n g itu d del a rco d e l
in icia l.
En p a r tic u la r ,
h od ógra fo,
=1.
Io
Si el p a rá m e tro t es o l tie m p o , —
e x trem o del
v e c t o r r , - ^ r “ r r r 5=9 w es
d t«dt
extrem o.
2°. R e g l a s
p rin cip a le s
c i o n e s v e c t o r i a l e s de un
.. d , . .
v
da
1) - r - i a - t - b - c ) ^
di
7
di
2)
. db
1 dt
, donde
3) FL( L o
7) a
tom a d a desde c ie r t o punto
=
= v es el vector de la velocidad del
vector de la aceleración do d ic h o
para
la
d e riv a ció n
argum ento escalar.
de
fun­
de
dt y
tn es u n
escala r co n sta n te ;
u. + ( p - í p , d o n d o <p (¿) os una fu n ció n e sca la r de t:
O í
d
o
- 0 , s i |a |= con st.
E j e m p l o t . E l r a d io v e c to r de un p u n to
tante do tie m p o , se da p o r la e c u a c ió n
r = i-4 f* ¿4 -3 A fc.
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m ó v il,
en c u a lq u ie r in s ­
(1)
F unción vectorial de u n argumento escalar
251
D e te rm in a r la tr a y e c to r ia , la v e lo cid a d y la a celera ción del m ov im ie n to.
S o l u c i ó n . De la e c u a c ió n { ! ) , tenem os:
x =
E lim in a n d o e l tie m p o
urna línea recta
\, y = : —
z = 3¿2.
l, : tenem os, q uo
x —
1
la
y
tra y e cto ria d e l m o v im ie n to es
z
“ 0
*
D eriv a n d o la e x p resión (1), h a lla m os la v e lo c id a d del m o v im ie n to
dr
y la a ce le r a c ió n d o l m ism o
dh-
- = - 8 ^
+ 6*.
L a m ag n itu d de la v e lo c id a d es ig u a l a
dr
dt
= 1/(8í)* + ((5í)2 = 10|¿|.
N otem os, q ue la a ce le r a c ió n es constante y tiene la sigu ien te m agnitud
¿ 2
» .
i
.
__
^ | = y ( - 8 ) 2+ G2= 10 .
2 0 7 8 . Dem ostrar, q u e la e c u a c ió n v e cto r ia l
r — /-i = (i-2 — r t) t 9
donde
y v 2 so n lo s radios v ectores de dos pu n tos
dados, es la
e c u a c ió n de u n a recta,
2 0 7 9 . D eterm in ar, q u é lín e a s son lo s h o d ó g ra fo s de las sig u ien ­
tes fu n cio n e s v e cto r ia le s:
a) v = a t
c;
b) r = a t 2 -\-b¿;
c ) r = a eos i -+■ b sen t\
d ) r = a c h t-\- b sh t,
don de, a , & y c son v ectores con sta n te s, a l m ism o tiem po q u e los
vectores a y b so n perpen dicu lares entre sí.
2 0 8 0 . H a l l a r la derivada de la fu n c ió n v e c to r ia l a ( ¿ ) =
= ^ a ( l ) a ° ( t ) y donde a ( t ) es u n a f u n c i ó n escalar, m ientras que
a ° (t) es u n v e c t o r u n idad, en lo s ca so s en que el v e c to r a (t)
v a r ía : 1) so la m e n te en lo n g it u d , 2) sola m en te en d ir e c c ió n , 3) en
l o n g it u d y en d ir e c c ió n (caso general). E sclarecer el sen tid o g e o­
m é t r i c o de los resu lta d os obten id os.
2 0 8 1 . A p l i c a n d o la s reglas para la d e r iv a ció n de fun ciones
v e c to r ia le s de u n arg u m en to escalar, d e d u cir la fó rm u la para la
d e r iv a c ió n d e l p ro d u cto m ix t o de tres fu n cion es vectoriales,
a> b y c .
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Funciones de varias variables
252
2082* H a lla r la derivada, con respecto a l parámetro t ,
v olu m en del paralelepípedo construido sobre lo s tres vectores;
del
a ~ i - J- t j + t 2k\
b=
2ti
—j
f
£3fe;
c = —m + t*j+ k .
2083. La ecu a ció n do un m o v im ie n to es
/• = 3i eos t
A j sen t ,
donde t es el tiem po. D eterm in ar la trayectoria de este m o v im ie n ­
to, la v e lo cid a d y a ce lera ció n del m is m o . C onstruir la tra y ec­
toria del m o v im ie n to y los v ectores de la v elocid a d y de la a celera ­
c i ó n para lo s in stan tes £ = 0, t =
y t = ^- .
2084. La ecu a ció n de un m o v im ie n to es
v = 2 i eos t — 2 j sen t -\- 3k t .
Determ inar la trayectoria, v e lo cid a d y a c e le ra ció n de este m o v i­
m ien to. ¿A qué son igu a les la m a gn itu d de la v e locid a d y de la
aceleración y cuáles son sus direccion es en lo s instantes t = 0
y í - T ?
2085. La ecu a ción de un m o v im ie n to es
r = i eos a eos cot + j sen a eos cot
k sen (ot,
donde a y o ) son constantes y £ es e l tiem p o. D eterm in ar la trayec*
toria, la m agn itu d y la d ir e cció n de la v e locid a d y la acelera­
c ió n del m ov im ien to.
2086. L a ecu a ción del m o v im ie n to de un p r o y e c til (prescin­
dien do de la resistencia d el aire) es
v = VqI —
ftf2 ,
donde
v0y> vQ2} <*s la v e lo c id a d in ic ia l. H a lla r la velocidad
y la a ce lera ción en cu a lq u ie r instante.
2087. Dem ostrar, quo si u n punto se m ueve por la parábola
^=
z= 0
de ta l
form a,
que
la p r o y e c ció n do la v elocida d
sobro el e je O X se m antiene con san te ^ - ^ = con st.^ ,
la
c i ó n ta m b ién se mantendrá con stan te.
2088. U n punto situado en la rosca de u n t o r n illo ,
enrosca en una v ig a , describe una h é lic e circu la r
x = a eos 0, y = a sen 0, z — hO,
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acelera­
que se
Triedro intrínseco de una curva en el espacio
253
d o n d e 0, es e l á n g u lo de g ir o d el t o r n illo , a , e l ra d io d el t o r n illo
y h la e le v a c ió n co rre s p o n d ie n te a l g ir o de u n ra d ia n te. D e te rm i­
n a r la v e lo cid a d , d e l m o v im ie n t o del p u n to .
2 0 8 9 . H a lla r la v e lo c id a d de u n p u n to de la c ircu n fe re n cia de
u n a ru ed a , d e ra d io a , q u o g ira c o n u n a v e lo c id a d a n g u la r c o n s ­
t a n t e (o, d o t a l f o r m a , q u e s u c e n t r o , a l o c u r r i r e s t o , s e d e s p l a z a
e n l í n e a r e c t a c o n u n a v e l o c i d a d c o n s t a n t e v 0,
§ 19. T rie d ro In trín s e c o de una c u rv a en el espacio
E n t o d o punto M ( x ,
z), quo n o sea sin g u la r, de una curva en ei
esp acio r = r ( t ) , se puede con stru ir un triedro intrínseco form a d o por tres
plan os perpendiculares entre sí (fig . 84):
1) e l p la n o osculador,
en el
dr
dt
y
que están situados los vectores
d2r
d t2 ’
dr
y 3) el plano
dt
rect ifi ca n tey iV/AfjMs, p erp e n d icu la r a lo s d os p lan os primeros.
2) e l p la n o normal, M M 2M 3, perpen dicu lar al voctor
Las in terseccion es de estos tres p lan os form an tres rectas:
1) la tangente M M {\ 2) la normal principal M M 2 y 3) la binormal M M 3%
que se determ inan respectivam ente co n tos voctoros:
dr
1) T = — - (vector de la tangente);
fii
2) I *
dr
3) N = B X T
d2r
¿ ' (vector de la binormal) y
(vector de la normal pri ncipal).
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254
Funciones de varias variables
L o s correspondientes vectores unitarios
*L.
r-
y =
T l ’ p
lB
N
N
se pueden c a lc u la r por Jas fórm u las
dr
T ^ —r— ;
as
dx
dt
v=*
; p^TXv.
dx
ds
Si X y Y y Z , son las coordenadas variables dol punto do la tangente,
las ecuaciones de dicha tangente en el punto M (x, y y z) tendrán la form a
y - *
X
(1)
T'
V
donde Tx = ~ - , Ty — ~TT» T 2 =
; partiendo de la c o n d ic ió n de perpenat
ai
(it
dicularidad de la recta y el p la n o , obten em os la e cu a ció n del p la n o normal
Tx ( X - x ) + TtJ( Y — y ) + Tz ( Z ~ z ) « 0 .
(2)
Sustituyendo en las ecuaciones (1) y (2) 7'*, Ty y Tt p o r B xt
Bt
y N x . iWyy N z , obtenem os las ecuaciones du las rectas b in o rm a l y normal
prin cip a l y , respectivam ente, de los planos o scu la d or y rectifica n te.
E j e m p l o 1. H a lla r los vectores unitarios p rin cip a les r t v y 0 d e la
curva
x=
y = * , s = /a
t y
en el punto t — 1.
E s crib ir las ecuaciones de
en este punto.
S o l u c i ó n . Tenem os;
t
la
r =
t i
(1r
-JJ—
tangente, n orm a l p r in c ip a l
+ l* j + Wc
Í + 2 W + 3 /* * .
d*r
.
/ i ^
dt*
t=* 1, obtenem os:
7’
X
dr
~~ dt
Jr
d2/»
7// x ~dii~~
i
N = 7 iX 2 l =
■ ■£
i i
*1 M
2
0 2
,i k
6 —G 2
t
= fii — b i - f 2fc:
= — 2 2 í — 1 6 ¿ + 18fc.
:2 3
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y
binorm al
Triedro intrínseco ríe una curva en el espacio
255
Por consiguiente,
* + & / + 3fc
T~
yn
n _
— 3J + k
’
y í»
— líí-S J + 9 k
ym
’ v
Como para 2= 4, tenemos j = i, y = U 3 — 4, entonces
x —[
1
y —i
“
2
2— 1
”
3
es )a e cu a ció n d e la tangente,
x — \ // — 1
“Ü - " - 3 '
2— 1
1
es la ecu a ció n do la bin orm a l y
x—4
— 11
y— 4
—8
2— 1
9
es ia de la n o r m a l p r ín c ip a lSi la cu rva en el esp acio se da co m o la in tersección
de
dos superficies
F ( x , y, z) = 0, G (x, y y z ) = 0 ,
rít*
rí^t*
en lugar de los vectores — y — -6- se pueden tomar los vectores dr{dx,
íit
ai
dy, dz} y d*r{d*x, d*y, d2z}, pudiéndose considerar una de las variables
x y yy z como independiente y suponer que su segunda diferencial es igual
a cero.
E j e m p l o 2- Escribir la ecuación del plano osculador de la circun­
ferencia
*2 + 0 * -1-22 = <),
x + y + z= Q
eu el p u n to M (4; 4; — 2).
Solución.
D iferen cia n d o el sistema
in d epen dien te, tendremos:
(3),
co m o
(3)
s i Jar
fuera
x dx + y dy - f z dz = 0,
dx-\~dy -\-dz = §
y
d& + d ¡ p - \ - y & y + d z * + z d*z=Q,
P on ien d o x = i , y = i , z - * — 2, obtenem os:
dy = — dx] dz = 0;
d*y = — \-dx*\
.j
d * z = 4 - rix2á
Por consiguiente, el plano osculador se determina por los vectores
{dXy —dx, 0} y
jo, —
o Lien,
{4, — 4, 0}
y
\0y - i , 4).
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variable
256
Funciones de varias variables
De dondo, el vector normal al plano osculador es
í
.7 k
B
y, por con sigu ien te, su ecuación sorá
- 1 ( * - 1 ) - ( í, - 1 ) - ( s + 2) = 0,
es decir,
X f ^ + 5 = 0,
com o debía o cu rrir, y a que nuestra curva se encuentra en este plano.
2090. H a lla r lo s vectores u nitarios
curva
principales
r,
v,
P de
la
x = i — c o s í, y = se n í, z = í
en el punto í = - j - .
2091. H a lla r lo s vectores u nitarios de
principal de la espiral có n ic a
la
tangente
y
norm al
r = e l ( i eos i + j sen t -f k )
en un plinto arbitrario. Determ inar lo s á n g u lo s que
rectas con el eje OZ.
2 092. H a l l a r los vectores u n ita rio s prin cip a les
curva
forman
t
,
v
estas
,p
de la
y = x*, z « 2x
en el punto x = 2.
2093. Dada la h é l i c e circu la r
x = a c o s í , y — a s e n h z — bt
escribir las ecuaciones de las rectas que form an la s aristas del
tetraedro intrínseco en un punto a rb itra rio de d ic h a lín e a . D eter­
m in ar los cosenos directores de la tangente y de la n orm a l prin­
cip al.
2094. E scribir las ecu a cion es de los planos q u e form an el
tetraedro intrínseco de la curva
x 2 + y 2 + z2 = 6. x 2— y2 + z2 = 4
en el punto M { 1; 1; 2).
2095. H a lla r las ecu a cion es de la tangente, d e l
y del p la n o oscu la d or de la curva
plano
x = t , y = t2, z = t 2 en el p u n to M (2; 4; 8).
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normal
Triedro intrínseco de una curva en el espacio
2 0 9 6 . H a lla r las ©cuaciones de la tangente, de
c ip a l y de la b in orm a l en u n p u n to a rb itra rio de
t*
* = — .
t*
y= ~ ,
257
la normal prin­
la curva
¿a
*= — •
H a lla r lo s puntos en q u e la ta n gen te a esta curva es paralela
al
p la n o x - f - 3 y - | - 2 z — 10 = 0.
2097. H a lla r las ecu a cion es de la tangente, del p la n o osculador, de la norm al p rin cip a l y de la binorm al de la curva
¿2 •
x = t t y = — ¿, z = —
en e l punto ¿ = 2 . C a lc u la r lo s co s e n o s directores de la binorm al
en este punto.
2 0 9 8 . E scribir la s ecu a cion es de la tangente y del p la n o nor­
m a l a las cu rva s siguientes:
a) x = / f e o s 2 /, y = R s e n t e o s z = > R s m t
cuando
b) z = x 2 -\-y2, x = y en el punto (1 ; 1; 2);
c)
+ y 2 ~r 22 = 25, x + z = 5 en el punto (2; 2 j ^ 3 ; 3).
2 0 9 9 . H a l l a r la e cu a ció n d el p la n o norm al a la cu rva z = x 2—
— y 2» U = x en el origen de coordenadas.
2100. H a lla r la e cu a ció n d e l p la n o oscu la d or a la curva x — e \
y=
z — t |^2 en el p u n to t = 0.
2 1 0 1 . H a lla r las ecu acion es de
curvas:
a) x 2
los planos osculadores
a
las
y 2 + z 2 = 9, x 2— y 2 = 3 en e l punto (2; 1; 2);
b) x 2 = Ay , ;r3 = 24z en el punto (6; 9; 9);
c ) x 2 + z2 = a 2,
(■£(>! Va* 2o)«
y2 -|- z2 =
en
cu a lq u ie r
2 1 0 2 . H a lla r las e cu a cio n e s d e l p la n o
prin cipa l y de la b in orm a l a la curva
punto
de
Ja
curva
oscu la d or, do la normal
y 2 c=~.Xi z 2 = z en el punto (1; 1; 1).
2103. H a lla r las ecu a cion es d el plano oscu la d or, de la normaJ
prin cip a l y de la bin orm al a la h é lic e có n ic a x = t c o s ¿ , y = ¿ s e n ¿ ,
z = bt en el origen de coordenadas. HaLlar lo s vectores unitarios
de la ta n gen te, de Ja norm al principal y de la b in o rm a l en el
origen de coordenadas.
17-1016
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258
Funciones de varias variables
§ 20. C u rv a tu ra s de fle x ió n y de to r s ió n de una c urva en el espacio
I o. C u r v a t u r a d e f l e x i ó n .
Se entiende p o r curvatura d e flexión
de una curva on un p u n to Af, e l número
K = - ¡« r = Alim
a-*0
■
As
d on d o cp es el á n g u lo do g ir o de la tangente (ángulo de contingencia) en el
segm ento do curva M N , y As, la lon gitu d del arco de esto segm ento do curva.
R s e llam a radio de curvatura de flexión. Si la cu rva so da p o r la ecu ación
r = r ( s ) . d on de s es la lo n g itu d del a rco, tendremos
1
I d *r
R
| ds*
Para el caso on que la curva se d ó en form a
dr
1
R
paramétríca general,
tenemos:
d2r |
dt X dt*
d r |3
dt |
'
(1)
2o. C u r v a t u r a
do t o r s ió n .
Se entiendo por curvatura de torsión
de una curva en el punto M , el número
r = — = lim
0
P
AS-+0 As
donde 0 es el á n g u lo do g ir o de la bin orm a l en el segm ento de cu rva M N .
La m angnitud p so lla m a radio de curvatura de torsión, Si r = ?*($), so tiene
1
dp 1
~ds~ |—
P
dr
ds
d 2r
ds2
/ d2r
{ ds2
d3r
ds3
\
)
JO
doude o í s ig n o m onos se tom a cuando
lo s v ectores
y v tionen la misma
d ire cció n , y ol sig n o m ás, en el caso contrario.
Si r = r ( t ) , donde t es un parám etro arbitrario, so tendrá
dr
dt
1
—
—T
"j
p
( dr
l dt
Ejemplo
hélice circular
1.
H a lla r
las
d*r
dt*
d2r
dt*
—
—7T.
d 2r
*r V
N d t2 )
curvaturas de f le x ió n
r = i a.e o s t-\*J a sen t + k bt (a > 0).
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/0N
y
de
to rsió n de la
259
Curvaturas de flex ió n y torsión de una curva en el espacio
Solución.
Tenemos:
dr
dt
— i a sen t + J a cos t + kby
d2r
d 3r
dt3
——i
a
cos t — J
a
sen t ,
= — i a sen t — J a cos l.
De donde
i
dr
d2r
~dTX dt 2
J
— a sen t
— a cos /
dr
dt
d2r
dt2
k
a cos t
— a sen t
b
— iab sen / — J ab cos t
0
— a sen l
dsr
dt*
az/¿
a cos t b
— a cos t
— a son’/
a sen t
0
= a2b.
— a cos t 0
Por consiguiente, basándonos en las fórmulas (1) y (2), obtenemos:
1
a "\/a2+ b2
(a2_J_62)3/a
R
a2b
a2 (a2+ b 2)
1
p
a
b
o2+ b 2 *
es decir, para la hélice circular, las curvaturas do flexión y de torsión son
constantes.
3o. F ór m u í a s d e F r e n e t
dx
ds
2104.
en to d o s
2105.
en Lodos
2106.
R
dy
ds
p
a
D em ostrar, q u e si
lo s pu n tos de una
D em ostra r, q u e si
lo s pu n tos do una
D em ostrar, q u e la
ÍP
ds
v
P
la cu rv a tu ra de f le x ió n es ig u a l a cero
lín e a , ésta es una recta.
la cu rvatu ra de torsión es igual a cero
c u r v a , ésta es una curva plana.
curva
x = 1 + 3 / + 2z2, y = 2 — 2¿ + 5 / 2,
2 = 1 — t2
es p la n a ; h a lla r e l p la n o en q u e se encuentra.
2 1 0 7 . C a lc u la r la cu rva tu ra de las lín eas:
a) x = c o s í , t/ = s e n / , z = c h ¿ cu a n d o ¿ = 0;
b ) £ 2— .</2 + z2 = l , y 2— 2 x - \ - z = 0 en el p u n to (1; t ; 1).
17*
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260
Punciones de varias variables
2108. C a lcu la r la s cu rva tu ra s de f le x ió n
sigu ien tes cu rva s en c u a lq u ie r p u n to:
y
de
torsión
d e 1las
a) x ~ e l eos t, y s e * sen t, z =
b) a: = a c h í , y = a s h t % z = ¿ a t ( hé li c e hiperból ic a) .
2109. H a lla r los radios de cu rvatu ra de f l e x i ó n y de
de la s sigu ien tes lín eas eii Un p u n to a rb itra rio (x , y , z):
a) x í = 2 ay ,
torsión
— 6 a 2z;
b) a:3 — 3ph j, 2x z * = p 2.
2 1 1 0 . Dem ostrar, q u e las Componentes ta n g en cia l y norm al del
vector de a c e le r a c ió n w se expresan por la s f ó r m u la s
donde v es la v e lo cid a d , R e l ra d io de cu rv a tu ra de f le x i ó n de la
tra y ectoria , t y v lo s v e cto res u nitarios de la ta n g e n te y de la
norm al p rin cip a l a la c u r v a .
2 1 1 1 . P o r la h é lic e c ir c u la r r = = ¿ a c o s í + ¿ a s e n * + bife se m u e v e
u n iform em en te un p u n to c o n v e lo cid a d v. C a lc u la r su a celera ­
ció n w .
2 1 1 2 . L a e cu a ció n de un m o v im ie n to es
r = t i + t2j ‘j - l * k .
,
D eterm in ar en lo s instantes í = 0 y t = 1: 1) la cu rv a tu ra de
f le x i ó n de la tra y e ctoria y 2) las com ponentes t a n g e n c ia l y n orm a l
d e l ’ v ector de a c e le ra ció n d e l m o v im ie n to.
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C a p ítu lo V I I
IN T E G R A LE S M U LT IP LE S Y CURVILINEAS
§ 1 . In te g r a l doble en coordenadas re c ta n g u la re s
1 °. C á l c u l o
i n m e d i a t o d e i n t e g r a l e s d o b l e s . So llam a
integral doble de una fu n ció n co n tin u a f ( x t y) sobro un recin to cerrado
y a co ta d o *S* d e l p la n o X O Y y a l lím it e do la suma in tegral d o b le correspon­
diente
í
J
/ (x, y ) d x d y ^
lim
V
m é x A x ¿-*0
m áx
*
/ ( * f i Vh) A M * * .
(1)
*
don de Axí = s í +1“- z ¿ , b y h «=
— y h y la suma se extien de a a q u ellos v a l o ­
res de i y A, para lo s que lo s puntos (i*; Vfj pertenecen a l re cin to S.
2o C o l o c a c i ó n d o l o s l í m i t e s d e i n t e g r a c i ó n e n l a i n t e ­
g r a l d o b l e . Se d istin g u en dos form a s p rin cip a les d e recintos d e in te­
g ra ción :
1)
El re cin to de in teg ra ción S (fig . 85), está lim ita d o a izquierda y
derecha por las rectas x = x ¡ y x = x 2 ( x 2 > xj) , m ientras que por abajo y por
arriba l o está por la s cu rv a s con tin u as ¿/ = <pi { x ) { A B ) e
(GD)
[<P2(*)><Pi(*)|i cada una de las cuales se corta con la v e rtica l x = X
(x* < X < x 2) en u n s o l o p u n to (véase la fig. 85). En ol recin to S t la
v a r ia b le x varía desdo x , hasta x 2 y la v a ria b le y, cuando x permanece
con stan te, varía entre
e y2 ^ q >2 (*). E l ó a lc u lo do la in tegral (1)
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202
In tegra les m últiples y curvilíneas
puedo realizarse re d u cién d ola a una in teg ra l reiterad a de la form a
a>2<*)
^
^ /(* • y ) d z d y = ^ d x
^
( S)
^
/( a : , y ) d y .
<pj<x)
<P2(*>
,n
donde, a l c a lc u la r
\
/ ( i , y) dy, se con sid era
s c o m o ca n tid ad con stan te.
<p¿ x )
2)
E l re cin to de in te g ra ció n S (fig . 86), está lim it a d o por a b a jo y por
arriba p o r las rectas y ~ y i o y=-y-> (*/2 > ¿ /t )> m ien tra s q ue p o r la izquierda
F i g. 87
y p o r la derecha l o ostá p o r la s cu rv a s con tin u as z = t|)i(y) (A D) y x = ty2 ( y )
(CD) [ij>? (y) ->ij>i(y)], cada una d e las cu ales se corta en un s o l o p u n to con
la h o r iz o n t a l y = r ( í / i < ^ < . V 2) (fig . 86).
Análogam onto a l caso a n terior tenem os:
v2
^
/ (* , y) d x d y =
jj d y
(S)
ui
donde, a i c a lc u la r la in teg ra l
\
* 20/>
^
f ( x , y) dx,
* tW
/ (x, y ) d x t s e considera
y co m o ca n tid ad
*j(y>
consta a lo .
Si el re cin to de in te g r a c ió n n o pertenece a n in g u n a de la s form a s
anteriorm en te examinadas, se p ro cu ra d i v i d i r l o en p a rtes, de manera, que
cada una d e e lla s corresp on d a a a lg u n a d e a q u ella s d os form as.
E j e m p l o 1. C a lc u la r la in te g ra l
1
i
I = \ (ix \ (x + y ) dy<
0
X
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In tegra l doble en coordenadas rectangulares
263
Solución
i
i
Ó
Ejemplo
2.
D eterm inar Los lím ite s de in teg ra ción de La integral
j(x, y)d xd y,
<S)
s i el recinto do in te g r a c ió n S (fig . 87) está lim ita d o p o r la h ip érb ola
y2_ g 2 — i y p o r la s d os rectas x = 2 y x = — 2 (se considera el recin to quo
com p ren do a l origen de coordenadas).
S o l u c i ó n . E l recin to do in teg ra ción A B C D (fig. 87) está Limitado
p o r Las d os rectas x = — 2 y x = 2 y p o r las d os ramas de la hipérb ola :
y = V 1+x*
o
— l / l + tf2 ,
os d e cir, pertenece a La primera form a. Tenemos:
2
^
Vi+*z
l ( x . !/) d x d y = ^ d x
<S)
-2
\
f {x, y)dy.
- V'f+¿Z
C a lc u la r la s sig u ien tes integrales reiteradas:
2
2113.
211/1
■
i
3
\i d y \ ^ ( z * + 2 y ) d x .
0
o
y
ü
i
M
w
5
2117. jj rfj, J
2118-
0
(x + 2y)da:.
S
a se n <p
n
J.
2115. ^
o
2
« >
“t + ^2 ■
2119.
\ d(f
£T
Ü
7
?
0
r asen2 q)¿/r.
'2
2
*
f V f *«<¿0
2 ,t6 - ) d X \
3 cos <p
1
•
2120. \ d x
K i-**
\
V T ^ = y*d y.
X
E scrib ir las ecu acion es de las lín eas que lim ita n los recintos
a que se extienden la s in tegrales d ob les que se in d ica n más abajo
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Integrales m últiples y curvilíneas
264
y d ib u ja r estos recintos:
2
2121.
%
>
2124.
2x
J rf* J / (a:, y) dy
1
X
3
V 25-x2
x+9
^ d x ^ f ( x , r /)d y .
'l
X2
4
2123.
3
J dy J ! { x , y ) d x .
—6
ys
-í
3
2122.
2 —y
2125. J da:
o
2
10— y
i
O
f(x , y)dx.
2126.
í
t»
-1
J
} ( x , y ) dy.
.. o
*4-2
c?x
^
<
f{x,y)d y.
X2
C o lo ca r lo s lím it e s de in te g r a c ió n , en u n o y o tr o ord en , en la
in teg ra l doble
\ \ / ( * » í / ) á a :d ^
(5)
para los recintos S que a c o n t in u a c ió n se in d ica n .
2127.
S es un re c tá n g u lo c u y o s vértices son : 0 ( 0 ; 0), A (2; 0),
2? (2; 1) y C ( 0 ; 1).
2128. S es un tr iá n g u lo c u y o s v é rtic e s so n : 0 ( 0 ; 0 ), ¿4(1; 0)
y * ( 1 ; 1).
2 129. ó1 es un tra p ecio c u y o s v értices son ; 0 ( 0 ; 0 ), ¿4 (2; 0 ),
0 (1; i ) y C (0 ; 1).
2 130. S es u n p a ra lo lo g ra m o c u y o s v é rtic e s so n : ¿4 (1; 2),
0 ( 2 ; 4 ), 0 ( 2 ; 7) y 0 ( 1 ; 5).
2131. S es un se c to r c ir c u la r O A B c o n ce n tr o en el p u n to
0 ( 0 ; 0 ), c u y o arco tien e sus extrem os en ¿4(1; 1) y B ( — 1; 1)
(fig . 88).
2132. S es un segm en to p a r a b ó lic o re cto ¿ 4 0 0 , lim ita d o por
la parábola 0 0 ¿ 4 y p o r el ségm en to de recta 0 ¿4 , que u n e entre
sí lo s puntos 0 ( — 1; 2) y ¿4 (1; 2) ( fig . 8 9).
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265
In tegra l doble en coordenadas rectangulares
2133. S es un a n illo c ir c u la r l i m i t a d o p o r las circu n feren cias,
c u y o s radios so n r = l y i ? = 2, y c u y o centro c o m ú n está situ a d o
en e l p u n to 0 ( 0 ; 0).
2134. S está lim it a d o por la h ip é r b o la y'2 — x* = 1 y por la
circu n fe re n cia
+
9 (se considera el recin to q u e com p ren d e
el o rig e n de coorden adas).
2135. C o lo c a r lo s lím it e s de in te g ra ció n en la in teg ra l d o b le
si
el
r e c in to
a) x > 0 ;
está determ in ado p o r las desigu ald ad es sigu ien tes:
d) y > x ; x > — 1; y < i ;
y>0;
b ) x 2 - f y * < a a;
e) y < x < y + 2 a ;
c ) x2 + * / * < * ;
0 0< y< a.
In vertir e l orden de in te g ra ció n en la s siguientes in te g ra le s dobles:
2a
2
a
i
Y 4ax
k ax
V 2ax-x8
3x
t
i-v
/ (x, y) dx.
0
2x
YT-H*
q i-.x a
q
2o
ül
2
R Y2
2
0
x
B
/fía_xa
0
C a lc u la r la s sigu ien tes in teg ra les dobles:
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Integrales m últiples y curvilíneas
266
2145.
\ [ xdxdy,
donde 5 es un tr iá n g u lo c u y o s v é rtic e s son
<S)
0 ( 0 ; 0 ), A (1 ; 1) y B ( 0 ; 1).
2146. ^ ^ x d x d y , don de el recin to de in te g ra ció n S está l i m i (S>
la d o por la recta que pasa p o r los p u n to s A ( 2; 0 ), # ( 0 ; 2) y por
el arco de cir cu n fe r e n cia
p u n to C (0; 1) { fig . 90).
2147.
r a d io a,
cuadrante.
de
radio
1 que tie n e
su ce n tr o en el
\ [
dxdy — , d o n d e S es la parte d e l c í r c u l o de
<5) Y * 2- * 2- * 2
c o n cen tro en ol p u n to O (0; 0 ), s itu a d o en el prim er
2148.
^ ^Y x>¿ — y 2 d x d y ,
donde
S
es u n
tr iá n g u lo
con
lo s
con
lo s
v é rtic e s en lo s p u n tos 0 ( 0 ; 0 ), .<4(1; — 1) y B ( 1 ; 1).
2149.
^\
— .V2 ^
don de
5
es u n
tr iá n g u lo
(S)
v é r tic e s en
2150.
lo s p u n tos 0 ( 0 ; 0 ), ^4 (10; 1) y
ti «)
e i ' d x d y , donde 5
B ( 1; 1).
es un tr iá n g u lo m i x t i l í n e o
OABy
(S)
l im it a d o por la parábola y 2 = x y por la s recta s x = 0 e y = 1 (fig . 9 1).
2151.
\
donde S es un seg m en to p a r a b ó lic o , lim ita d o
{S)
*C
por la parábola y - ~ ¿ - y por la recta
y = x.
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267
Integral doble en coordenadas rectangulares
2152.
C a lc u la r la s s ig u ie n te s in te g ra les y d ib u ja r lo s recintos
;» q u e se e x tie n d e n :
jt
ji
1-feos x
2
3 eos 1/
a)
\ dx
\
o"
Í
y 2s e n x d y ;
c)
\ dy
\
'
J
2
n
b)
2
i
j dx
\
0
z 2 sen2 y d z .
y* dy,
eos x
A n t e s de re s o lv e r lo s p r o b le m a s 2 1 5 3 — 2 1 5 7 se recom ienda hacer
lo s d ib u jo s correspon dien tes.
2 1 5 3 . C a lc u la r la in te g ra l doble
i x y 2 d x dy,
K.
V
(5 )
s i S e s u n r e c in t o l i m it a d o por la p a rá b o la y 2 = 2 p x y por la recta
p.
2 1 5 4 * . C a lc u la r la in te g ra l d o b le
\ \ xydzdy,
** *
(s )
q u e se e x tie n d e a l r e c in to S, lim it a d o
c ir c u n fe r e n c ia s u p e r io r ( x — 2 )2 - f y 2 = í*
2 1 5 5 . C a lc u la r la in te g ra l d ob le
C C
n
( S)
por el o jo O X y la se m i­
d x dy
y
v
2^
9
d o n d e S es u n c í r c u l o do ra d io a , ta n g en te a lo s ejes de coordenadas
y q u e se en cu e n tra e n el p rim e r cu a dran te.
2 1 5 6 * . C a lc u la r la in te g r a l d o b le
y d x dy,
<S)
d o n d e e l r e c in to S está l i m i t a d o por e l e je de a bscisa s y
d e c ic lo id e
x = R (t — sen t)
y = R ( 1 — eos t)
( 0 < 2 < 2n).
2 1 5 7 . C a lc u la r la in te g ra l d o b le
\ \ xydxxy,
♦) t'
(■S)
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el
arco
Integrales múltiples y curvilíneas
268
en
do
la
que
el
re cin to
coorden adas
y
por
de
el
arco
z — f íe o s 3 /,
2158.
re cin to
H a lla r
S { 0 < x < l ;
el
S
in te g ra ció n
de
j/ =
lim ita d o
por
lo s
e je s
a s tro id e
( 0 < ¿ < - y ) *
fís e n 3¿
v a lo r
está
m e d io
de
la
fu n ció n
/ (x, y) =
xyt
en
el
0 < i / < l } .
I n d i c a c i ó n .
Se da
en e l re cin to S a l n ú m ero
el
nom bre
d e v a l o r m e d i o de
una f u n c i ó n / ( x , y )
\ \ H z > V)d* dU'
(S>
d o n d e S , e n e l d e n o m i n a d o r , s e ñ a l a e l á r e a d e l r e c i n t o S.
2159.
M
(x, y )
H a lla r e l v a lo r m e d io d e l cu a d ra d o de
del
c írcu lo
(x — a)2 +
y2<
i ? 2,
al
la d is t a n c ia d e l p u n t o
o rig e n
de
coorden adas.
§ 2 . Cambio de v a ria b le s en la In te g ra l doble
I o. I n t e g r a l
d o b l e
en
c o o r d e n a d a s
p o l a r e s .
Cuando en
l a i n t e g r a l d o b l o s e p a s a d e la s c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s x , y a l a s p o l a r e s r,
q>, r e l a c i o n a d a s c o n la s p r i m e r a s p o r l a s e x p r e s i o n e s
x = rcostp ,
se v e r ific a
y = r s e n q >,
la f ó r m u l a
\ \ f
^ \ / (r c o s 9 i r sen 9 ) r dr d y .
y) d x
(S )
(1)
(S )
S i e lre c in to d e in te g r a c ió n S está lim it a d o p o r lo s
y p o r l a s c u r v a s r = r 1 (q>) y r = r 2 (<p), d o n d e r* ( j )
fu n cio n e s u n ifo r m e s en e l s e g m e n to c c < q > < p ,
c a l c u l a r p o r la f ó r m u l a
P
^ ^ F (<p, r ) r d r d y — ^ d(p
(S)
*
rayos r = a
y r = p ( a < P)
y r ? (<p) ( r . (<p) < r 2 ( 9 )) s o n
la in te g ra l d o b le se puede
r*(<p)
^
F (ip, r) r d r y
r i (q>)
r* (<t>)
d o n d e F ( 9 . r ) = f (r e o s 9 , r s e n 9 ) . A l c a l c u l a r l a i n t e g r a l
[
P (9 . r ) r d r ,
.
.
n (<p>
se c o n s id e r a c o n s ta n t e la m a g n it u d 9 .
S i e l r e c i n t o d e i n t e g r a c i ó n n o p e r t e n e c e a l a f o r m a e x a m i n a d a , se
d i v i d o en partes, do m anera q u e cada u n a d e e lla s rep resen te d e p o r s í un
r e c i n t o d e la f o r m a d a d a .
2 o. I n t e g r a l
d o b l e en c o o r d e n a d a s
En el
c u r v i l í n e a s .
ca so m á s g e n e r a l, s i e n la in t e g r a l d o b le
y
/ ( x , y ) d x dy
(.8)
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Cam bio de variables en la integral doble
269
se quiere pasar do las v a ria b les x , y a las v a ria b les a, v, relacionadas con
a q u é lla s p o r m e d io de la s ex p re sio n e s con tin u as y diforen ciables
x = <p(«t v),
y = i|>(u, »)>
que establecen una corresp on d en cia biu n ívoca y co n tin u a en arabos sentidos,
e n tre io s p u n to s del recin to S del p la n o X O Y y lo s pu n tos de un recin to
d e te rm in a d o R ' del p la n o U O ' V , a i m ism o tie m p o que el jacoblano
£>(** y)
D (u, v)
dx
du
dy;
du
dx
dv
dy
dv
con serv a in v a ria b le su s ig n o en el re cin to S , será v á lid a la fó rm u la
[
^ 1 {x, y ) d x d y = ^
<S)
^ f [ 9 ( x t y), t|> (u, v)]\I\ du dv.
(S')
L o s lím ite s d e esta nueva in te g ra l so determ inan d e acuerdo co n las
reglas generales, s o b re la base de la form a que tenga el re cin to S \
E j e m p l o M . C a lcu la r la sigu ien te integral pasando a coordenadas
polares
^ \ V * — *2— y2
¿y
(S)
d on de e l re cin to S es un c ír c u lo d e radio f í = i co n cen tro en el origen de
coorden adas ( f i g . 92).
Solución.
H acien do la s u s t it u c ió n £ = rc o s q > , y = rsen<p, obtenem os
l/l
— y 2 — V * “ (r co s <P)2 — (r son q))s = V 1 — ra.
C om o on el recin to S la coordenada r varía de 0 a i , cu alquiera que
sea el v a lo r de «p, m ientras que <p varía de 0 a 2n, tenemos
2n
í
1
\ ~[/'i — x * — y2 d z d y = \ dq> \ r \ / \ - r2dr = ~ n .
o
(S)
o
P a sa r a la s coorden adas p o la re s r y q> y c o lo c a r los lím it e s de
in te g r a c ió n para la s nuevas v ariab les en las. sig u ie n te s in teg ra les:
1
1
2
2160.
^ d x ^ f (x, y ) d y .
2162.
\ \ f ( x , y ) d x dy,
(8)
donde S
e y = 1.
es
i
2163.
un
tr iá n g u lo
2161.
lim ita d o
por
i
^ d x ^ / ( - j ) dy.
xt
-l
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x
dx
( Y x 2 + y 2 ) dy.
las recta s y = x t y = — x
270
Integrales m últiples y curvilíneas
2164. \ \ / (x, y) d x dy,
donde e l recin to
S
ostá
lim ita d o p o r
(S)
la lem niscata
( x 2 + y 2)2 = a 2 ( x 2 — i f ) .
2165.
C a lcu la r la sig u ien te in tegra l doble, pasando previamentea coordenadas polares
J \ ydxdy,
(S)
donde S es un s e m ic írc u lo
C (■£■;
de diám etro a con cen tro en e l p u n to
o ) (fig. 93).
Y
F i gs
92
21(56. P asan do a coorden adas polares, c a l c u l a r la sig u ie n te inte­
g ral doblo,
J J (* * 4 - y * ) d x d y ,
(S)
qu e se ex tie n d e al r e c in to lim ita d o por la circu n feren cia
x2 -j- y2 = 2 ax.
2167.
C a lc u la r la sig u ie n te in te g ra l d o b le , pasando a coorde­
nadas polares,
¡i»
\ V a ? - X'
y2dxdy.
( S)
donde el recin to do in te g ra ció n S os un s e m ic ír c u lo de ra d io a con
con tro en el origen de coordenadas, situ a d o sobre e l e je O X .
2168.
C a lc u la r la integral d o b le de la fu n c ió n / (r , (p) = r sobre
el recin to lim ita d o p o r la cardiode r = a (1 + eoscp) y la c ir c u n fe ­
rencia r ~ a . (S e considera el recin to q u e no co n tie n e e l p o lo ).
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Cambio de variables en la integral doble
2169.
polares
C a lc u la r
la
sig u ie n te
j dx
C a lc u la r
pasando
a coordenadas
pasando
a
V<22—*2
a
2170.
polares
in tegra l,
271
^
la
Y x 2 -f- y 2 dy.
sigu iente
in teg ra l,
coordenadas
y a? — x 2 — y* d x dy.
(8)
donde el r e c in to S está lim ita d o por la h o ja de lem niscata
( x 2 + y 2)2 = a2 ( x 2 — y 2)
( x > 0).
2171*. C a lcu la r la in te g ra l doblo
i i
V
l ~ W — w ^ d y,
(S )
que se extiende al r e c in to S , lim ita d o por la
elipse ~j5*+ - p ' = := 1,
pasando a las coord en ad as p o la res g en era liza d a s r y
fórm u las:
- í - = r eos cp,
<p según
las
-| -~ rse iiip .
2172**. T ran sform ar la integral
c
p*
\ f (x, y) dy
^
0
ax
( 0 < c t < P y c^ > 0 ), in trod u cien d o las nuevas v ariab les i¿ = # + y 2
u v = y.
2173a. E fe c tu a r el ca m b io de v ariab les u = x + y , v - ^ x — y en
la integral
i
i
►
dx
0
/ ( x , y ) dy.
o
217 4**. C a lc u la r la in tegra l doble
\ \ dx dy,
\S)
donde S es un r e c in to lim ita d o por la curva
,2 x 2
-2
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272
Integrales múltiples y curvilíneas
Indicación.
Efectuar el ca m b io do variables
i = (?rcos(p,
p = 5 rse n q ).
§ 3. C álculo de á re a s de fig u ra s planas
I o. E l á r e a e n c o o r d e n a d a s
un recinto plano (S) os igual a
rectangulares.
El
áre a S
de
(S)
Si el recinto (ó1) está d eterm inado por las desigualdades a ^ x ^ b , y (x)
tendremos
b
i|?(x)
S * = ^ dx
a
^ dy.
<p(x)
2°. E l á r o a e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Si el recin to
determ inado, on coordenadas polares r y <p, p o r las desigualdades
se tie n e
0
S=
2175. Construir los
siguientes integrales:
2
a)
^ dx
-1
F « f»
^ ^ r dtp d r =
^ dtp
<S)
a
^ dy;
x2
^ r dr.
</)«p
recintos cu y a s
x+2
<1
V a*—
b) ^ d y
\
0
0-2/
áreas se expresan
a)
\
«
4
3 sec
dtp
O
^
2
rrfr;
b)
por
las
por
las
dx.
C a lcu la r estas áreas y ca m b iar e l orden de in tegra ción .
2176. Construir los recintos cu y a s áreas se expresan
integrales:
71
arctg-2
(ó') está
p,
o(l+cos<p)
^ dy
n
a
rdr.
m
2
C a lc u la r estas áreas.
2177. C alcular el área lim itada por
x -\ -y — a y x -| -3 y = a ( a > 0 ) .
2178. C a lc u la r e l área de la fig u ra
y lim itada por este eje, la parábola y'¡ =
2179*. C a lcu la r el área lim ita d a por
las rectas x ~ y,
x = 2y.
situada sobre el eje O X
í a x y la recta x + y = Sa.
la elipse
( y - x ) * + * = 1.
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Cálculo
de
volúmenes
273
2180. H a lla r e l área lim ita d a p o r las parábolas
y 2 = i Ox -|- 25 e y 1 — — 6a; + 9.
2181. H a l l a r el área lim ita d a por las siguientes líneas, pasando
a coordenadas polares,
+
2x, x 2 + y* = 4x, y = x> y = 0.
2182. H a lla r el área lim ita d a por la recta r e os<p = l y la
circu n fe re n cia r = 2. (Se considera Ja su perficie que n o contiene
e l p o lo ).
2183. H a lla r el área lim ita d a por las curvas
r = a { l - f c o s c p ) y r = a eos tp {a > 0).
2184. H a lla r e l área lim ita d a por la línea
( x2
y2 \2 _
{ 4 ^ ~ )
x2
4
y2
9
2185*. H a lla r el área lim ita d a por la elipse
( x — 2y + 3)2 + ( 3 x + 4 y — 1 )2 == 100.
2186. H a l l a r el área del cu a d rilá te ro cu r v ilín e o lim ita d o por
los arcos de la s parábolas x 2 — ay, x 2 = by, y 2 ~ a x , y2 = Pz
( 0 < a < fr, 0 < « < § ) .
Indicación.
In trod u cir nuevas variables u y v, suponiendo
x* = u y , y 2 — vx.
2 187. H a lla r el área del cu a d r ilá te ro c u r v ilín e o lim ita d o por
ios arcos de la s cu rva s y2 = ax, y2 = bx, x y = a , x y = p (0 < a < b,
0< a< p ).
Indicación.
y'¿ = ¡;x.
In trod u cir nuevas variables u y
v, suponiendo xy=x.u,
§ 4 , C á lcu lo de volúm enes
E l volumen V de un cilindroide, lim ita d o p o r arriba p o r
la su perficie
con tinu a s — f (x, y), por a b a jo por e l p la n o z — 0 y lateralm ente por la
su p erficie c ilin d r ic a recta que corla en el p la n o X O Y el recin to S {fig . 94),
es ig u a l a
V=
l ( x t y) dxd y,
(S)
2188. E xpresar, por m ed io de una in te g ra l d ob le ,
el volum en
de una p irá m id e c u y o s v értices son : 0 ( 0 ; 0; 0 ), .4 (1 ; 0; 0),
B ( 1; 1; 0) y C ( 0;
0; 1) (fig . 95). C o lo ca r los
lím ite s de inte­
g ra ció n .
18—1016
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274
In tegra les m últiples y curvilíneas
En io s problem as 2 1 8 9 — 2192 h a y que d ib u ja r lo s cuerpos,
c u y o s volúm enes se oxpresan por la s in teg ra les d ob les q u e se dan:
1
2189-
21‘JO.
1 -.-C
\ dx
[
0
0
2
2—x
•'
\dx
«J
a
«i
2
(1 — x — y)dy.
2191.
V i-xz
\ dx
\
•.
«1
0
2
\ (4 — x ~ y ) d y .
tí«v
O
2193. D ib u ja r el cu erp o,
2192.
cuyo
(1 — x)dy.
0
2
\ d x \ (4 — x — y) dy.
frvi
V
0'
2—x.
v o lu m e n
expresa
la
integral
dx
\
y ' a 2 — x 2 — i f d y , y basándose en razon am ien tos geom éo
o
tríeos, h a lla r el v a lo r de esta in tegra l.
2194. H a l l a r el v olu m en d e l cu erpo lim ita d o por el parabo­
loid e e l íp t ic o z = 2x2 - f - + 1 , el p la n o x + y = i y los planos
coordenados.
2195. U n cu erpo está lim it a d o por el p a ra b o lo id e h ip e r b ó lic o
z = x 2 — y 1 y lo s pla n os j/ = 0 , z = 0 , x = l . C a lc u la r su volum en.
2 1 9 6 . U n cuerpo está lim ita d o p o r e l c ilin d r o x2 - f z2 = a 2 y los
planos ij = 0 > z = 0, y = x . C a lc u la r su volu m en .
H a lla r lo s volúm enes de lo s cuerpos lim ita d o s por las super­
fic ie s sigu ien tes:
2197. az — y 2, x 2 + y 2 = r~, z = 0.
2198. y — |/~x, y = 2 \ /rx , x - f z = 6, z = 0.
2199. z = = x 2 + y 2, y — x2, y = 1, z = 0.
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Cálculo de áreas de su p erficies
2200* x + y + z — a, 3 z-\~y — a, ^ x ~ \ - y = a, y — 0, z — 0.
2201. - g . + i i = l ,
y = - ± - x , y = 0, 2 = 0.
2202. x 2 -}~ i/2 = 2 a x , z = ctx} z = p x (a > p ) .
En lo s problem as 2203 — 2211 em pléense coordenadas polares
y generalizadas.
2203. H a lla r el v o lu m e n total del espacio com prendido entre
e l c ilin d r o x 2 -\-y2 = a 2 y e l h ip e rb o lo id e x2 - f */2 — z2 = — a2.
2204. H a lla r e l v o lu m e n to ta l d el espacio com prendido entre
e l c o n o 2 (x2 + y 2) — z2 = 0 y el h ip e rb o lo id e
x* + ij2 — z2 = — a2.
2 2 0 5 . H a l l a r el v o lu m e n lim ita d o p o r las superficies 2az = x 2 -f- y-,
x 2 + y 2 — z2 = ary z = 0.
2 2 0 6 . D ete rm in a r el v o lu m e n d el elipsoide
2 2 0 7 . H a ll a r el v o lu m e n d el s ó l i d o lim ita d o por e l paraboloide
2az = x2 + j/2 y la esfera x 2 + y 2 - f z2 = 3a2. (Se sobreentiendo el
v o lu m e n s itu a d o den tro d el pa ra boloid e).
2 2 0 8 . C a lc u la r e l v o lu m e n d el s ó lid o lim ita d o por el p la n o X O Y ,
ol c ilin d r o x 2 + y 2 = 2 a x y e l c o n o x 2 4 - y 2^ z 8.
2 2 0 9 . C a lc u la r el v o lu m e n d e l s ó lid o lim ita d o por e l p la n o X O Y ,
la s u p e rficie z —
y e l c ilin d r o x 2H-?/2 — R 2.
2 2 1 0 . C a lcu la r e l v o lu m e n del s ó lid o lim ita d o por e l p la n o X O Y ,
el p a ra b olo id e z ^
+
y el c i li n d r o ^
+ J íi= = 2 — .
2211. ¿E n q u é razón divide el h ip e rb olo id e x 2 ~ f ¡/2 — z3=: a2 al
v olu m en de la esfera x 2 + y 2 -f-z2< 3 a 2?
221 2 *. H a lla r e l v olu m e n d el s ó lid o lim ita d o por las suporíic ie s
*=x+y, x x y
= 2, y =
y = 2 x 7« = 0 ( x > 0 ,
y> 0).
§ 5. C á lcu lo de áreas
de s u p e rfic ie s
El área a de una superficie regular z = /(a:, y), quj> tengacomo proyec­
ción en el plano XOY unrecinto St es igual a
a = \ B\ t / l +
2 213. H a lla r
el
área
( ^ ) 2 + ( í r ) 2 rf* ‘% -
do la
parte
del
p la n o —
a
com prendida entre lo s p la n o s de co o r d e n a d a s ..
b
e
= 1,
1
18 *
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276
In tegra les m últiples y curvilíneas
2214. H a lla r e l área de la parte de s u p e rficie del
c ilin d r o
z 2- { - y 2 ~ R 2 ( z > 0 ) , com pren did a
entre
lo s
pla n os z = m x
y
x — n x (m > n > 0).
2215*. C a lc u la r el ároa de la parte de s u p e r fic ie del c o n o
x 2— y 2 — z2, situada en e l prim er o c ia n te y lim ita d a por el p la n o
y -\-z = a.
2216. C a lc u la r
el área de la parto
de s u p e rficio del c ilin d r o
x 2 - f y 2 = a x , cortada del m ism o por la esfera x 2 -\- j/2 + z2 = a 2.
2217. C a lc u la r
el área de la p a rle de s u p e rficie de la esfera
x2 -\-y2 -\-z2
cortada por la s u p e rficie
—
2218. C a lc u la r
e l área de la parte
de s u p e rficio d e l parabo­
lo id e !/2 -|-z2 = 2ax¡ com p ren d id a en tre el c ilin d r o y 2 = ax y el
p la n o x = a.
2 219. C a lcu la r el área d e la parte de s u p e rficie d e l c ilin d r o
x2 -f- y 2 — 2 ax, com prendida en tre e l p la n o X O Y y el c o n o £ 2 - f-y 2 = z2.
2220*. C a lc u la r e l área de la parte de s u p e r fic ie d el co n o
x? — y2 = z2, situada den tro del c i l i n d r o x 2-\- y 2 = 2ax.
2 22 0.1*. H a lla r el área do la parte d e l c ilin d r o y ~ = z 4 x cortada
por la esfera x 2 + y 2 - f z2 = 5 x ,
________
2 2 2 0 .2 .
H a lla r e l área de la parte d ol c o n o z = Y x<2>Jr y z cortada
por el c ilin d r o ( x 2 + y 2)2 — a 2 ( x2 — y 2) .
2221*. Dem ostrar, q u e las áreas de las partes de las superfi­
c ie s de los p a ra b oloid e s x 2 -\~y2 — 2 a z y x 2 — y 2 = 2 a z c o r ta d a s por
o l c ilin d r o x 2 4 - y 2 = s R 2 so n iguales.
2222*. U na esfera de radio a está corta d a por d o s cilin d ro s
circu la res, c u y a s bases tien en lo s d iá m etros ig u a le s a l radio de
a q u é lla , y q u e son ta n gen tes en tre sí a lo la rg o de u n o de los
d iá m etros de la misma... H a l l a r e l v o lu m e n y el área de la parte
de su perficie de la esfera q u e q u ed a.
2223*. E n una esfera de ra d io a se h a c o r ta d o u n o r i f i c i o , con
sa lid a , do base cu a d ra d a , c u y o la d o t a m b ié n es ig u a l á a. E l eje
d e este o r if ic io c o in c id e c o n el d iá m e tro de la esfera. H a lla r el
área de la su perficie de ésta corta d a por el o r ific io .
2224*. C a lcu la r e l área de la parte de s u p e rficie h e lic o id a l
z = c a rctg — , situada en e l p rim e r o cta n te y que está com pren x
dida entre los c ilin d r o s x 2 + y 2 = a 2 y x 2 - ] - y 2 — b'1.
§ 6 , A p lic a c io n e s de la in te g r a l d o b le a la m ecánica
4o. M a s a y m o m e n t o s
ostáticos
de las
l á m i n a s . Si S
e s un recin to d e l p la n o X O Y , o cu p a d o p o r una lám ina, y p ( x , y ) es la den­
s i d a d su p erficia l de d ich a lám ina en el punto (x\ y ) , la masa M de ésta y sus
m o m e n to s estáticos
y A f y co n respecto a lo s ejes O X y O Y se expresan
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A p lica cion es de la integral doble a la mecánica
277
p o r las integrales dob les
M== \ $ p ^ ’ y ^ d x d y '
(S)
^
M* =
\ \
(S>
y ) dxdy »
z p (*> y ) dx dy.
(1)
<S)
Si la lá m in a es h om ogén ea , p (x, y) = const.
2o. C o o r d e n a d a s d e l c e n t r o d e g r a v e d a d d e l a s
n a s . S i C ( x t y ) es e l cen tro de gravedad de una lám ina, se tiene,
T -- M *
~ M
77— M x
M
lámi­
'
d o n d e M es la masa do la lám ina y M x * M y sus m o m e n to s está ticos con
resp ecto a lo s ejes de coord en a da s (véase I o). Si la lám ina es h om ogén ea , en
las fó r m u la s (1) se puedo p on er p = l .
3o. M o m e n t o s
de i n e r c i a
d o l a s l á m i n a s . Los m om entos
do in ercia de una lám ina, co n respecto
a lo s ejes O X y O Y , son iguales
respectivam ente a
lx =
\ ^U3P (*» y ) d x d y ,
(S)
E l m o m e n to
de
/ y = jj ^ z * p { x , y ) d x d y
(2)
(S)
inercia de la lá m in a co n respecto a l origen d e coordenadas
Io= ^
(* 2+ y 2) p ( * » 3#>¿c<ty = / x + / y
(3)
(S)
P o n ie n d o p (a;, i/) = l , on
g e o m é t r ic o s de in e rcia de
las fórm u la s (2) y (3), obten em os lo s m om entos
las fig u ra s planas.
2 2 2 5 . H a l l a r la masa de una lá m in a c ir c u la r de radio 7?, si su
densidad es p r o p o r c io n a l a la d ista n cia desde el p u n to a l centro
e ig u a l a 5 en e l borde de la lá m in a .
2 2 2 6 . U n a lám ina tien e la form a de tr iá n g u lo re ctá n g u lo con
c a t e t o s O B = a y OA = b; su densidad en cu a lq u ie r p u n to es igual
a la d ista n cia desde éste a l ca teto O A . H a lla r lo s m om en tos
e stá tic o s de la lá m in a c o n resp ecto a lo s ca tetos OA y O B .
2 2 2 7 . C a lc u la r la s coorden adas del
cen tro de gravedad de la
fig u ra O m A n O ( fig . 9 6), l i mi t ada por la cu rva j/ = sena: y por la
recta O A , que pasa por e l o rig e n de coordenadas y por el v értice
A
de la sin u soid e.
2 2 2 8 . H a l l a r las coord en a d a s d e l cen tro de gravedad de la
fig u r a lim ita d a p o r la ca rd io id e r = a ( i + c o s q>).
2 2 2 9 . H a l l a r la s coord en a d a s d el cen tro de gravedad de un
s e c to r c ir c u la r de radio a t c u y o á n g u lo cen tra l es ig u a l a 2a
(fig . 97).
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278
Integrales m últiples y curvilíneas
2230. C a lcu la r las coordenadas d el contro de gravedad de la
figura lim itada por las parábolas ?/2 = 4a;+ 4 e y 2= — 2 r - ( - 4 .
2231. C a lcu la r el m om ento de inercia d e l triá n g u lo lim ita d o
por las rectas s + y = 2, x = 2 e y = 2, con respecto al e je O X .
2 232. H a lla r e l m om en to de inercia de un a n illo c ir c u la r de
diámetros d y D ( d < D ) : a) con respecto a su p ro p io centro y b)
con respecto a su diámetro.
2233.
C a lcu la r el m om ento de inercia de un cuadrado de la d o a,
con respecto al e je que, pasando por u n o de sus vértices, es per­
pendicular a l plano del cuadrado.
2234*. C a lcu la r el m om en to de in ercia del segm en to interceptado
de la parábola y* = a z por la recta x = a , c o n respecto a la recta
— a2235*. C a lcu la r el m om ento de inercia de la superficie lim i­
tada por la h ip é rb o la x y — 4 y la recta x + y = 5, c o n respecto
a la recta x = j/.
2236*. E n una lám ina cuadrada de lad o a T la densidad es
proporcional a la distancia hasta u n o de sus v é r tic e s . C a lc u la r el
m om en to de inercia de dicha lám ina c o n resp ecto a lo s la d os que
pasan por éste v é r tic e .
2237. Ha l l ar e l m om en to de in e rcia de la cardioide r = a {1 + coscp)t
con respecto al p o lo .
2238. C a lcu la r el m om ento de inercia de la su p erficie de la
lemniscata r2 = 2a2 eos 2(p, c o n respecto al e je , perpen dicu lar al
plano do la m ism a, que pasa por el p o lo .
2239*. C a lcu la r el m om en to de inercia do una lá m in a h om o­
génea lim itada por un arco de la c ic lo id e x = a {t — sen t ) y
y — a ( l — c o s t ) y e l e je O X , c o n rospecto al eje O X .
§ 7. In te g ra le s tr ip le s
i °. La i n t e g r a l t r i p l o e n c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s .
Se llama integral triple de una función f ( xt y, z), sobre un recinto V> al
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Integrales triples
lím it e de la correspondiente suma trip lo
H
(V)
\ / (*. y, z) dx dy d s =
,1
lim
¿*,-.0
máx
V
^
V , / (s¡,
"
nwWA„Lo
n táx Ai/y -*0 4
sA) Aa:/ Ay y As*.
•“
»
*
mflx A**-*0
E l c á lc u lo do la integral trip le so reduce a ca lcu la r sucesivam ente tros in te­
grales o rd in a ria s (sim ples) o a c a lc u la r una d ob lo y una sim ple.
E j e m p l o 1. Calcular
J
\ Ü \ x*y*z dx dy dz.
v
donde el recin to Y se determ ina p o r las desigualdades
0<
Solución.
1
1 «=
x
1,
0<!/<*,
1
x
Tenem os:
xy
xy
dx ^ dy ^ xhj^z dz = ^ d x
ü
o
o
o
x*y* ~
ó
i
X
2.
o ^
1
x 2y4
(* X b
2*~
" í * í
Ejemplo
0 < r < a n /.
,jb [ *
j ~ 2 " ir \o
i
f
0
x ¡0
i r d;r=rio-
C alcular
W
x2(lx<iV dz'
\
'(V)
x2
y2
¿2
e x te n d id a al v o lu m e n d e l e lip s o id e
Solución.
<i
jj ^ í x 2 d x d y d z —
a
a:2 da:
(V)
-«
y2
^
?
^ a;2*^* dar,
(Suz)
donde S y2 es e l área de la elipse - p - +
í i « - |AV
f dy d z =
,,/
22
a:2
=* 1 — —
, ^ = con st, igual a
, - 5 - * 6 e ( l — § -) .
L’ o r esto, c u d e fin it iv a , tenem os:
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1
280
Integrales m últiples y curvilíneas
2o. C a m b i o
la integral triple
de
variables
$
en
la
integral
triple.
Si
en
/ ( * , y, z) d z dy dz
hay que pasar do las variables x , y , z, a las variables u , u, w t relacionadas
con las prim eras p o r las igualdades s = cp (u, v, u>), y = ^ ^ ( u , v , w), z = X ( « , v y w),
donde las fu n cion es <p,
x1) son continuas, ju n t o con sus derivadas parciales do Io orden.
2) establecen una correspondencia biu n ívoca c o n tin u a en am bos sentidos,
entre lo s pu n tos del recin to do in te g ra ció n V del esp acio O X Y Z y lo s puntos
d e un re cin to determ inado V' del esp acio O ' U V W y
3) el determ inante fu n cion a l (ja cob ia n o) de estas funciones
D { x, y, z)
I
D {u , v , w)
dx
dx
dx
da
dv
dw
dy
da
dy
dv
dy
dw
dz
dz
dz
da
dv
dw
conserva invariable su sig n o en el r e c in t o Vt entonces, será v á lid a la fórm ula
z)dxdydz=^^^
f [cp{¿¿, ¿>, w), ip (u, v y w )y x (u ,y , w )\ \ I \dudv dw.
En particular,
1) para las coordenadas c ilin d r ic a s , r, <p, h (fig . 98), dondo
x = r eos 9 , y = r sen (p, z — h y
obtenem os que, / = r;
2) para las coordenadas esféricas cp, \J), r (cp es la lo n g itu d ;
y r el radio v ector) ( f i g . 99), dondo
x — r eos ij) eos <p»
la latitud
y =■ r e os \J>son ip,
3 = r sen
tenemos / = r2 cosi|?.
E j e m p l o 3. C a lcular la sigu ien te
nadas esféricas,
SSSv
in tegral,
pasándola a las co o rd e ­
^ 2+ y 2-|“ z'¿ dx dy dzy
(V )
donde V es una esfera de ra d io R.
S o l u c i ó n . Para la esfera, lo s lím it e s de v a ria ción de las coordena­
das esféricas (p (lo n g it u d ), ^|) (la titu d ) y r (ra dio vector), serán:
0 < f p < 2?t,
n
ji
Por esto, tendremos:
jt
2 jx
[ ^ ^ V x ¿ + y ‘¿ + z2 dx dy dz a= f
(V )'
0 < r < i?.
2
R
^
í rr2 eos \|) dr — n R * .
0
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<)
In tegra les triples
281
3o. A p l i c a c i o n e s d e l a s i n t e g r a l e s t r i p l e s .
d e un re cin to d e l esp acio trid im e n sio n a l O X Y Z es igual a
E l volumen
(V)
La masa do un cuerpo que ocu p a el recin to V,
M = ^ ^ ^ y ( x , y , z) dx dy dz:
(V)
donde y ( x , y , z) es la den sidad del cuerpo en el p u n to (x, y, z).
L o s momentos estáticos de un cu erpo, co n rosp ecto a lo s p ian os coorde­
nados son;
M z y = ^ jj Jj y (*» y * z) 2 dx dy dz>
M y z =* ^ ^
y (*>
z) x dx dy dz>
(V)
M zx= 5 S S y
y ' z* y dx dy dz'
(Y)
Las coordenadas del ce n tro de gravedad
— M
~
yz
—
M '¿ x
s r * ‘
'
r
MXY
'
M
Si el cu erp o es h om o g én e o, en las fórm u la s para determ inar las coor­
denadas del ce n tro de gravedad se puede poner Y {x * y* z) — L
Los momentos de ine rc ia , co n respecto a lo s ejes co ord e n a d os son-
i x = ? \ J (y2+ z 2)y(*> y >2) dx dy dz ;
(V)
/ y = = J ^ \ (z2 + x ¿‘ ) y ( x y y y z) dx dy dz;
lz
** $ J S ^ 2 + ^ y
y * z* d x dy d z '
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In tegra les m últiples y curvilíneas
282
P o n ie n d o en estas fó rm u la s
g e om é trico s do in ercia del cuerpo.
y
(*>
z ) 7” 5*»
ob ten em os
lo s
m om entos
A . C á lca lo de la s in te g r a le s t r i p l e s
C a lcu la r los lím ite s de in te g r a c ió n en la in tegra l trip le
H
\ f (*> y , z) d x d y dz
<V)
para lo s recintos V que se in d ica n a c o n tin u a c ió n :
2240.
V es un tetraedro lim it a d o
p o r lo s planos
x + y + z = l,
x = 0,y = 0,
z = 0.
2 2 4 1 . V os un c ilin d r o lim it a d o p o r las superficies
x* + y* = R \ z — 0, z = / / .
2242*. V es un c o n o lim it a d o por las superficies
-íÍ-4 -J l-iÍ
z= c
2243. V es un v olu m en lim ita d o por la s superficies
z = l — x z — y2, z = 0.
C a lc u la r las sigu ien tes integrales:
i
i
i
2 244. J 'd’x 11
\ d’ y p\ ;
lA + y + s + l
0
0
0
2
2
r»
2245.
Vx
dx ^ dy
0
a
0
0
t
2247.
2
í
0
J
1~ x
í dx [ dy
o
xdz.
o
V n*-x
2246. \ dx
J
^
0
dy
dz
__________ .
- 7=
i / a * - * * — Í/S—2*4
*
*
\
J
o
*
i —x —y
^
xyzclz.
0
2248. C a lcu la r
(V)
s
d x d y dz
(a s -j-y + * + l) 3
1
donde F e s el re cin to de in te g ra ció n , que está l im it a d o
p la n os de coordenadas y por el p la n o x - f y - f - z — 1 *
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p o r lo s
Integrales triples
283
2249. C a lcu la r
^
\h
( x + y + z)%d x d y d z ,
donde F es la parte com ún
esfera ;r2 ~-|-y2 - )- z 2< 3 a 2.
2250. C alcular
del
paraboloide 2az
z 2 -\-y2 y de la
^ ^ ^ z2 dx d y dz,
d o n d e F es la parte com ú n de la s esferas x* -f-y 2 + z2 < f í 2 y £a +
+ i f + z2 < 2 f l z .
2 251. C alcular
^ jj ^ z d x d y d z ,
&)
donde V es el v olu m en lim ita d o p o r el p la n o z = 0 y por la mitad
jy
¿í
su perior d el e lip soid e -^2" + *^2‘ +
1*
2252. C alcular
i J S
(V)
( 4
+
£
+
- í ) * * *
>p2
¿2
donde F es la parte interna del e lip so id e ^ + "p" + 7 T “
2253. C alcular
.-i íi
^ \ zdxdydz,
<v>
don de V es el recin to lim ita d o por el co n o z2 —
( s 2 + y 2) y por
el p la n o z = h»
2 2 5 4 . C a lcu la r
cilin d ricas,
a
la
sig u ien te
J ^
integral,
pasando
dxdydZj
d o n d e F es el recin to lim ita d o p o r las superficies
£ 2 + ¿/2 = z 2 y que con tien e el p u n to {0, 0 , /?).
2 255. C a lcu la r
F
coordenadas
+
+
2 k - vT2
^ dz
^
o
o
d y ^ z | /a ;2-)-y 2 dz,
o
transform ándola previam ente a la s coordenadas cilin dricas.
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=
284
Integrales m últiples y curvilíneas
2256. C alcular
2r
V 2r x—
^ dz
0
/ ¿ r a —xS -.¡/2
^
dy
^
- Y'Zrx—vfi
dz,
0
transform ándola previam ente a las coordenadas cilin d rica s.
2257, C alcular
H
Y Ri-x
dx
2
Jj
-
dy
/ R2-X2
^
( z 2 + y 2) d z ,
0
tran form án dola previam ente a la s coorden adas esféricas.
2258- C a lcu la r la integral sigu iente, pasando a las coordenadas
esféricas
[ [ [
+ V* + * * d z d y d z ,
(V )
donde V es la parte interna de la esfera x2 + y 2 + z2 < x .
B, C á lcu lo d e volú m en es p o r m edio de in teg ra les trip les
2259. C a lcu la r, por m edio de una integral
del cuerpo lim ita d o por las superficies
y 2 ¡= Aa¿ — 3ax,
y2 — a x ,
triple, el v olu m en
z — ± A.
2260**. C a lcu la r el v olu m en de la parte del c ilin d r o x l \ -y 2 =
= 2a x , com prendido entre el pa ra boloid e x*-\ -y2 = 2az y el p la n o
XOY.
2261*. C a lcu la r el v o lu m en del cu erpo lim ita d o por la esfera
x 2 + y 2-\-z2 — a2 y el co n o z 2 = z 2-\-y2 (la parte exterior con res­
p ecto a l co n o ).
2262*. C a lcu la r el v o lu m e n del cuerpo lim ita d o por la esfera
x 3-f-J/2 + z2 = 4 y el p a ra b olo id e x2- f y 2 = 3z (la parte in terior con
respecto al pa ra boloid e).
2263. C a lcu la r el v olu m en del cuerpo lim ita d o por el plano
X O Y , el c ilin d r o x 2 -\-y2 — a x y la esfera x2 + y 2 -\-z2 = a 2 (in tern o
c o n respecto al c ilin d r o ).
2264. C a lcu la r el v olu m en del cuerpo lim ita d o por el parabo­
lo id e
+
=
y el p la n o x = a.
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285
Integrales triples
2264.
i . H a lla r el v olu m en del cuerpo lim ita d o por la superficie
i
i fl2+
2264.
ficies
^
z2 \ 2 -
¿2 T cs J
* 2
i
fl2 '
z2
£‘¿
c*2 *
2. H a lla r el v olu m en del cuerpo
a2 “T ¿,2
;_**_?
c2
**
*2 i ^
fl2 I " b2
lim ita d o por
las super­
*2 — o
C‘¿
C . A p lica cio n es de la s in teg ra les trip le s a la m ecán ica y a la física
2265. H a l l a r la masa M del paralelepípedo rectan gu lar 0
0 < ? / < & , 0 < z < c , si la densidad en el p u n to (x t y , z) es p ( x , y , z) =
= :r + ? / + 2 .
2266.
D e l octan te de la esfera £2 + y2 - M z < c 2, x > 0 , t / > 0 ,
z > 0, se h a cortado el cuerpo O A B C , lim ita d o por los p la n o s de
coordenadas y
por
el p la n o
—|—
—1
(<2 < c , ¿ < c )
(fig . 100).
H a lla r la masa de este cu erpo, si su densidad en cada punto
( x f y, z) es ig u a l a la cota z del mism o.
2267*. E n el cu erpo de form a sem iesférica x 1-)-*/2 ~¡-z2< a 3,
z > 0 , la densidad v a r ía p rop orcion a lm en te a la distancia desde
e! p u n to a l cen tro. H a lla r e l cen tro de gravedad de este cuerpo.
2268. H a l l a r el cen tro de gravedad del cuerpo lim ita d o por el
pa ra boloid e y 2 + 2z2 = 4 x y p o r el p la n o x — 2.
2269*. H a l l a r el m om en to do inercia del c ilin d r o circu la r, que
tie n e por altura h y p o r radio de la base a, con respecto al eje
qu e sirve de diám etro de la base d e l p ropio cilin d r o .
2270*. H a lla r el m om en to de inercia del c o n o cir cu la r , que
tiene por a ltu ra k , por radio de la base a y de densidad p, con
respecto al diám etro de su base.
2271**. H a lla r la a tra cc ió n que ejerce el co n o hom ogéneo,
de altura h y á n g u lo en ol v ó rtice a (en la sección a x ia l), sobre
u n p u n to m aterial, que tenga una unidad do masa y quo esté
situ a d o en su vértice.
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Integrales m últiples y curvilíneas
2272**. Dem ostrar, que la a tra cc ió n que ejerce una esfera
hom ogénea sobre u n p u n to m aterial exterior a e lla no varía,
si toda la masa de la esfera se con centra en su centro.
§ 8. In te g ra le s Im pro p ia s, dependientes de un p a rá m e tro . In te g ra le s
Im propias m ú ltip le s
I o. D e r i v a c i ó n
respecto
del
parámetro.
Cumpliéndose
ciertas restricciones que se im ponen a las fu n cion es / ( x %a ) y
(x t a ) y a las
correspondientes integrales im propias, se v e rifica la regla de Leibniz
CO
d
da
oo
/ (x, a ) dx =
a
Ejemplo
calcular
1.
so
Solución.
\ fa
’ (x, es) dx.
a
V aliéndose
CXJ
*
acta
de
la
d eriva ción
respecto
del
parámetro,
—0x2
-— — — --------- dx
(a > 0, P > 0).
Sea
oo
S
-asa
-
-0x2
r f _ d z = F ( a , p).
Entonces,
00
da
é\
x e - « * d z = ^ ~ e~™*
2a
'oo
O
2a
1
De d on d e P ( a , p) = — g - l n a + C (P).
Para h allar C (p), ponem os a — p en la
ú ltim a igualdad. Tenem os, 0 = — ~ l n P + C (P).
2
De donde C (P ) — —- l n p . P o r consiguiente,
F (a, P )= — y
ln a + y l n p = y
ln
.
2 o. I n t e g r a l e s
dobles
i m p r o p i a s , a) C a s o e n q u e e l
r e c i n t o d e i n t e g r a c i ó n e s i n f i n i t o . Si la fu n ción f ( x y y) es
con tinu a en u n recinto in f in i t o S , se supone
\ \ f ( x > y ) d x d y = lim [ [
fe)
f ( z t y ) dx dy.,
(1)
(o)
donde o es un recin to f in ito , situado totalm ente en S , entendiéndose por
o S , que a m pliam os ol recin to a sogún una le y arbitraria, de manera que
en éste entre y permanezca en él cualquier punto del recinto S. Si el segundo
m iem bro tiene lim ito y éste n o depende de la e lección que se haga de o ,
la correspondiente integral im p rop ia recibe el nom b re de con vergente; en el
caso contrario se llam a divergente.
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in t e g r a le s im p r o p ia s , d e p e n d ie n te s de u n p a r á m e tr o . I n t e g . im p r o p . m ú lt ip le s 287
Si la f u n c i ó n s u b in te g r a l f ( x y y) n o e s n eg a tiva ( / ( x f y ) > 0 ), para que
la in tegral im p r o p ia sea c o n v e r g e n te es n ecesa rio y s u ficie n te q ue ex ista
el l í m i t e d e l seg u n d o m ie m b r o de la ig u a ld a d (1), au n q u e sea para u n sistema
de r e c in to s a q ue c o m p le t e n el r e c in t o S.
b)
C a s o d o u n a f u n c i ó n d i s c o n t i n u a . Si la f u n c i ó n / (x , y)
os c o n tin u a en t o d o un re cin to cerra do y acotado S t a e x c e p c ió n d o l p u n to
P ( a t b), se su pon e:
*\ / (*. y) dx dy = lim f í i ( i , y) d x dy,
(2)
d o n d e *S*g es e l r e c i n t o q u e re s u lta d e e x c l u i r d e l S un r e c in t o in terior
p eq u eñ o de d iá m e t r o e q ue c o n tie n e a l p u n t o P . En o l ca so de q ue ex ista
el l í m i t e (2) y d e q ue n o depen da do la fo rm a de lo s r e c in t o s in te r io re s
p e q u eñ os q uo s e e x c lu y a n d o l r e c in t o S, la in tegral con sid erada s e lla m a
c o n v e r g e n te , m ie n tra s q u e en e l ca so c o n t r a r io , es dive rgen te .
Si / ( x t y)
0, ol l í m i t e d e l s e g u n d o m ie m b r o d e la ig u a ld a d (2) no
d ep e n d e de la f o r m a de lo s r e c in t o s in tern os que se e x c lu y e n d o S\ en p a rg
t ic u la r , on c a lid a d d o tales r e c in t o s p u ed en tom a rse c í r c u l o s de ra d io
c e n t r o e n e l p u n to P .
E l c o n ce p to de in te g r a le s
in te g r a le s trip les.
E jem p lo
im p ro p ia s
con
d o b le s es f á c i l p a sa rlo a l ca so do
2. In v e s tig a r la co n v e rg e n cia do la integral
d x dy
it|
<S)
(3)
(i
d on de S es t o d o el p la n o X O Y .
S o l u c i ó n . Sea o u n c í r c u l o de r a d io p cori c e n t r o en el origen
coorden adas. P a s a n d o a la s coorden a d a s polares, s i p =£ 1, tenem os:
2 ¿i
J
P P
(a)
de
p
f?T. d u
~ Ü( 0l ) <1....................
+ S 3 W ” S
Ó
lÓ ( l + rü)P
2 it
i
0
1 ( l + r2)l-P
o díp =
2
1— p
Si p < l , se tie n e lim / ( a ) = lim / (cr) = c o y
a-*-S
p-voo
co n tr a r io , p > l , so tie n e 1i m / ( o ) =
n-voo
P-
r-
l
P
la
in te g ra l
y la in tegral
1(1 '*■p2)l_P — i]
d iv e r g o . Si p o r ol
co n verg e.
Cuando
2?l
p = i,
tenem os
quo
/ ( < ? ) = : \ d<p \
r )
0
r)
0
n \n ( i + p 2); l i m / ( a ) = c o ,
1 *+■
r
~
A -+ C O
d e c ir , la in te g ra l d iverg e.
Por consiguiente, la integral (3) es convergente para p > 1.
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es
288
r I n te g r a le s m ú lt ip le s y c u r v ilín e a s
2273. H a lla r / ' ( * ) , si
/ (x) = ^ e 'xv d y
(x > 0 ).
X
2274. Demostrar, que la fu n c ió n
—
l
j + T - , ) * "**
satisface a la e cu a ció n de Laplace
d*u
¡Fu
dx* ■*" dy* ~
2275. La tran sform ación de L a p la ce F ( p ) para la fu n c ió n f (t)
se determ ina por la fórm ula
co
0
H a lla r F ( p ) , si: a) / (¿) = 1;
d) / (t) = eos pt.
2276. A p lica n d o la fórmula
b)
/ (t) = e af\ c)
i
J x ’*-> cZx .
0
i-
(n > 0 ),
ca lcu la r la integral
i
J arn_1 \n x d x .
o
2277*. A p lica n d o la fórm u la
00
\ e ' 7" d t = J
(P> 0).
&
c a lc u la r la integral
^ ¿ V * d /.
6
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/ (¿) — sen pt;
Integrales im propiast dependientes de un parám etro. In teg . improp. m últiples 289
U tiliz a n d o la d e r iv a c ió n
sigu ien tes integrales:
parámetro, ca lcu la r
las
<N
00
2 278.
respecto al
\
2
dx
(ct> 0 , p > 0 ).
00
2279.
r>
\ ------------:------- s e n m x d x
*)
2
o
00
228 0 .
j
2281.
?
( |a |<
J i 2 y i _ *2
^
(a>0,p>0).
1).
1
'
f»
2282.
\
0
fe rf,
(a > 0 ).
C a lcu la r las siguientes integrales im propias:
00
2283.
2284.
c©
\ d x J «-<*+■/> dy.
í d y ^ e v dx.
t/
*<
ú
*■
0
2285'
íowU ! s
es un
recin to, que se determina
(S)
por las desigualdades x > l , y > x 2.
c©
<*
<*
dy
2286*. \ d x \ <xi + '¿yt+ a .¿Y¿ (a > 0).
0
u
2287. La in teg ra l de E u le r -P o is s o n , determinada por la fórm ula
oo
OO
i =
\ e - ^ d x , se puede escribir ta m b ién en la form a / = \ e ~ u2dy.
X
fo
o
^
M u ltip lic a n d o entre sí estas fórm u las y pasando después a las
coordenadas polares, c a lc u la r I .
2288. C alcular
O O
OO
00
"
x
0
dz
« (»» + ya + ** + 1 ) 2 *
o
i a -io ta
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290
Integrales m últiples y curvilíneas
A v erig u a r si con vergen
pias:
2289**.
las siguientes integrales dobles im p r o ­
[ ^ l n V ^ x* + y 2 d x d y , donde 5 es el c í r c u l o x* + ya< l .
(5 )
2290.
\\
, donde S es un recin to que se determina
y
<*+*>■
por la desigualdad x 2 + i/2 > 1 («parte e x te rio r » del c ír cu lo ).
2291*.
2292.
mina por
esfera).
\ \ 3
- ,
V (^— y)2
donde 5 es un cuadrado | a ? | < l, | y | < l .
í í í — d-x dy fL - , donde V
i(i } i (.« + * ■ + * ) «
la
desigualdad
x 2 - j- y2
es un recin to, que se deter-
z2 > 1
(«parte e x te rio r »
de
la
§ 9. In te g ra le s c u rv ilín e a s
Io I n t e g r a l e s
curvilíneas
de p r i m e r
t i p o . Sea f (*, y)
una fu n ció n continua o y — <p(x)
la e cu a ción de una curva plana
determinada C.
Marcamos un sistema de puntos A f j f o , y i) (¿ = 0, 1, 2, . . . » n), quo d i v i ­
dan la curva
C en arcos elem entales
in tegral
2
¿Vi =
y
n
f (x h
El
lim ito
formam os la suma
de esta suma, cuando
n-^-co
y
i=i
m áx As¿-> 0 recibo e l nombre de integral curvilínea de primer tipo
n
lim 2
n-*oo
.
i —1
/ (x i< y ¡ )^ s¡ -
\ /(*• >j)ds
«J
(ds es la diferencial dol arco) y se calcula por la fórmula
b
f (x, y) ds = ^ / (x, ip (*)) V 1 + (tp' (z))2 ¿a-.
(I
En el caso de que Ja curva C este dada en Corma paramétrica:
:r = <p(í), V= 'Ht) [ a < í < P ! » tonomos;
3
jj f (x, y ) d s = J /(<p (i). * ( / ) ) V q i '^ O + ^ Í O í í .
Se consideran también integrales curvilíneas de primer tipo de funcio­
nes de tres variables / (s, y, z)t tomadas sobre una curva en ol espacio, que
se calculan análogamente. La integral curvilínea de primer tipo no depende
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291
In tegra les curvilíneas
del sentido del camino de integración. S i la fu n ció n su bin tegral / se interpreta
c o m o la d en sid ad lin e a l de la cu rva de in te g r a c ió n C, esta in te g ra l repre­
sen ta rá d o por sf la masa de la curva C.
Ejem plo
1.
C a lcular la in teg ra l cu rvilín ea
C
d on de C es el co n to r n o del
B ( 0 ; 1) y 0 ( 0 ; 0) ( f i g. 101).
tr iá n g u lo
A B O , cu yos
v é rtice s son : A (1; 0),
F i g. 101
S o l u c i ó n . A q u í, la
la de OA: y = 0.
P or lo tan to, tendrem os:
+
[ (x + y )
C
AB
e c u a c ió n de A B es: y = l — x, la dó Ó B : x = 0 y
^ (* + y ) ¿ $ + ^ (* + ?y)¿s =
BO
OA
t
i
t
= ^ y 2 dx + \ 1/drj + ^
0
2o. I n
y Q {*> y)
s e recorre
de segundo
U
x d x = ’]/> + 1 .
0
tegrales curvilíneas
dos e g u n d o
t i p o . S i P ( z , y)
so n fu n cio n e s c o n tin u a s o y = (p(.r) es una cu rva plana C t que
a l v a r ia r x desde a hasta 6, la correspondiente integral curvilínea
tipo se expresa de la fo rm a siguiente
b
P ( x , y )d x + Q(x, y ) d y =
[ P (x , <p (ar)) + <p' (.c) Q { x, cp <*))] dx.
a
En el ca so m ás general, cu a n d o la cu rv a C se da en la form a paramétrica : i = (p(¿), y = ^(£)> d on de t varía entre a y p, tenemos:
P
^ P ( x t y ) d x + Q ( x t y ) d y = > ^ (P (< p (0 > >l>( t ) ) ip' {t) + Q (q> ( t ) , ij) (t)) t|>' {t)\ d t .
G
a
F ó rm u la s a n á log a s son v á lid a s para la in te g ra l cu rv ilín e a de segundo
t i p o tom ada sob re una curva en el espacio.
19*
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Integrales m últiples y curvilíneas
292
co
gr
do
de
Lft integral cu rv ilín e a do segundo t ip o c a m b i a s u s i g n o p o r el
n t r a r i o , al c a m b i a r el
sentido
del
c a m i n o do i n t e ­
a c i ó n . Mecánicamente, esta integral puede interpretarse com o el trabajo
la correspondiente) fuerza v aria b le {.P ( x , y ) , Q (x, ij)} a lo la rgo do la curva
integración C.
Ej omplo
2. C alcular la integral curvilínea
f y 2d x + x 2 dy,
donde C e s la m itad su perior do la e lip s e x = a c o s í ,
recorre en el sen tido de las agujas del reloj.
Solución.
y = 6 sen f, que se
Tenemos
ü
^ y2 dx + x 2 dy =
C
[62 sen2 t •( — a sen l)
a¿ eos2 l •b eos t\ dt =
k
0
= — ab'¿
0
sen3 t dt + a2b Sj eos3 t dt ^ a b 2.
k
k
3o. C a s o -d e. d i f e r e n c i a l
e x a c t a . Si la e x p resión suM ntegral
de la integral cu rvilín ea de segundo t ip o e s la d ife ren cia l exacta de una
fu n ció n uniform e determinada Ü = U (x, y), es decir, P (x, y ) d x + Q ( x , y ) d y =
= d ü {x, y), esta integral cu rvilín ea n o depende d e l ca m in o de iu tegración
y se cu m ple la fórm u la do N ew ton-L oíbniz
<*2; v2>
P { x , y ) d x - \ - Q ( x , y ) d y = U ( x 2, y2) — U { x u y¡ ),
( 1)
l/x)
donde ( x ^ y t) os el p u n te in icia l y (.r2; y2), ef punto fin a l del cam ino. En
particular, s i o ! con torn o de in tegración C e s cerrado, so tiene
[ P (;x , y) dx + Q (x, y ) dy = 0.
i)
G
(2)
Si, 1) o l con torn o de in teg ra ción C está com p ren d id o totalm ente en un
determ inado recinto sim plem en te con exo S y 2) las funciones P (* , y ) y
< ? (* > !/), ju n to con sus derivadas parciales do I o orden, son con tin u as en el
recin to S, la c o n d ic ió n necesaria y su ficionte para
la ex isten cia de la
fu n ció n U es que se verifique idénticam ente en tod o el recin to 6' la igualdad
60
dP
0)
(véase in tegración de diferen cia les exactas). Si n o se cu m plen las c o n d ic io ­
nes 1) y 2), la subsistencia de la c o n d ic ió n (3) n o garantiza la existencia
de la fu n ció n uniform e U y las fórm u la s (1) y (2) pueden resultar ser
erróneas (vóaso el problema 2332). Señalemos un p roced im iento para h allar
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Integrales curvilíneas
la fu n ció n U (x , y) p o r m edio de .su d iferen cial tota l, basado en el empleo
de las integrales cu rv ilín e a s {es decir, un procedim iento más de integración
do !a d iferen cial exacta). Como con torn o de integración C so toma la línea
Y
M (x;y)
y
yo
\po ( * o ‘, y o ) i
0
x,o
X
F i g . 102
quebrada
(íig . 102), donde P0 (x0; y0) es un punto fijo , M (x; y ) un punto
variable. En este caso, o lo la rgo de / W
tenemos que y = y 0 y dy = 0,
m ientras que a lo Largo de P^M , tenemos que dx — 0. Obtenemos:
<*; i/)
U ( z , y ) — U (x0, y 0) =
^
P (x, y ) dx + Q ( x , y) dy =
(-V yo>
*
y
= ^ J* ( * . yo) d* + ^ Q (*> y ) dy-
*0
vo
A nálogam ente, integrando sobre la línea quebrada P^P^M, tenemos:
y
v {*> v ) — v (*o>
y)=*
x
Q
(*o> y ) d,J +
"o
Ejemplo
3.
p (*> v ) d x -
*0
(4x - j - 2 y ) dx + (2x — 6r/) dy — d i '. Hallar U.
Solución.
Aquí, P {x, y) =*4x-\ -2 y
y
Q ( x fy) — 2x — (\y\ a l
tiem po que, evidentem ente, se cu m plo
la co n d ició n (3). Sean x 0 — 0,
Entonces,
x
y
e
U (x , y ) = \ 4 x d x l r \ ( 2 x - 6 f / ) d y + C = 2x 2 + 2 x y - 3 y * + C \
o bien,
x
V (xy y)= ^
d / / + ^ ( 4x + 2y) dx-\-C = — 3y'¿ -\~2x2-\-2xy -I- C ,
donde C = U (0; 0) es una constante arbitraria.
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m ism o
í/ o = <'-
2%
Integrales m últiples y curvilíneas
A\ F ó r m u l a do G r o e n p a r a ol p l a n o
Si C ea la frontera
del re cin to S y las fu n cion es P ( x , y) y Q ( x , y) s o n con tinu as, ju n to con
sus d e riv a d a s parciales do I o orden, on el recin to cerrado S + C y se v e r i­
fica la fórmula de Green
p > r f * + Q á ¿ ,= $ J ( ñ
^
dxdy,
(S)
donde el sen tido
recin to S quede a
5o. A p l i c a c
área lim itada por
del recorrido d e l co n to rn o C se e lig e de form a que el
la izquiorda.
i o n e s do l a s i n t e g r a l e s c u r v i l í n e a s .
1) El
un co n to rn o cerrado Ct es ig u a l a
S*= — ^ y d x = ^ x d y
r
c
(el se n tid o del recorrido del co n to rn o debe elegirse co n tr a r io a l m o v im ie n to
de las agujas del reloj).
Más útil para las a p lica cion es es la sigu ien te fó rm u la
c
c
2)
El trabajo de una fuerza, cuyas proyeccion es sean X = X ( x t y , z)>
Y = Y ( x , y , z ) , Z ~ Z ( x 1 y > z) (o correspondientem ente, el tra b a jo de un
cam po do fuerzasj, a lo la rgo del ca m in o C> so exprosa por la integral
A = ^ X d x + Y d y + Zdz.
Si la fuerza tiene p o ten cia l, es decir, si e x iste
= U (x, y, z) (fu n c ió n p ote n cia l o de fuerza) ta l, que
una f u n c ió n
U=
dU- X
dU- V
ñ 1 -7
dx
} dy
1 dz
el trabajo, independientem ente de la form a d e l ca m in o C, es igual a
<**; t/a; 22)
A =
^
(x2; vz\ 22)
X d x -\ -Y dy-\~Z dz =
^dU = U (x2> y^,
U (xj , y tl zj),
<*1; vt; zi)
w; ¿i)
donde (arlf y it zj) os el p u n to in ic i a l y (x2t y*, z2) el p u n to fin a l dol ca m in o .
A . In te g r a le s cu r v ilh ie a s de p rim er tipo
C a lc u la r las siguientes in teg ra les cu rvilín eas:
^x y d s ,
2293.
don de
C
es
el
c o n to r n o del
cu adrado
l * l + | W = a (< *> 0 ).
2 294,
(*
ds
\ —r z = = z r . donde C es un
segm en to de recta que une
entre si lo s puntos 0 ( 0 ; 0) y <¿4(1;2).
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295
Integrales curvilíneas
j2
r/2
x y ds, don de C es e l cu adran te de la elipse -^ --1 --^ - = 1,
S
c;
situ a d o en e l prim er cu adran te.
^ y 2 ds,
2296.
don de
C
es
el
p rim er
a rco
de
la
c ic lo id e
c
x —a
— s e n ¿ ), y = a (1 — eos t).
2 29 7.
^ 1f x* -\-y1 ds, donde C es e l a rco de la ev o lv e n te de la
c
circu n feren cia x = a (cos / + 1 sen / ) , y = a (sen t — t c o s t) [0 < t < 2n].
^ (x 2 + y 2)2 ds, donde C es e l a rco de la espiral
2298.
lo g a r ít-
c
m ica r = a e m(* ( m > 0)
O ( — o o ; 0),
229 9.
desde
el
pu n to
A(Q\a)
hasta
el
punto
^ (x-\ ~ y)d s, donde C es el la z o derech o de la lem n iscata
c
r2 = a 2 cos 2cp.
2300.
\ { x - f z)ds,
donde
C
es
un
a rco
de
la
cu rva
* don de C es la prim era espira de la
h é lice
c
x = t, y =
z = ts [ 0 < ¿ < 1 ] .
2301.
+
c
c ir c u la r x = a c o s ¿ , y = a s e n t , z = b t ,
2 30 2.
^ Y 2y 2 + z2 ds, donde C es e l c ír c u lo x2 + y2 + s 2 = a2, x = y.
c
2 3 0 3 *. H a lla r e l área de la su p erficie la te ra l del c ilin d r o p a ra b ó lico
3
y = ^ x 2, lim ita d a p o r lo s p la n os z = 0, x = 0, z — x , z/ = 6.
2304.
H a lla r
la
lo n g itu d
del
a rco
de
h é lice
có n ic a
C,
x = a é cos t, y = a é sen t, z — aelf desde el pu n to O (0; 0; 0) hasta el
p u n to A (a; 0 ; a ).
^
g
2 3 0 5 . D eterm inar la masa d e l co n to rn o de la elipse
si
— 1»
su densidad lin e a l en cada p u n to M (x, y ) es ig u a l a \y\.
2 30 6. H a lla r la m asa de la prim era espira de la h é lice circu ­
la r x = a c o s ¿ , y = a s e n t , z = bt, s i la densidad en cada punto es
ig u a l al ra d io v ector del m ism o.
2 30 7. D eterm in ar la s coordenadas del ce n tro de gravedad del
sem ia rco do la c ic lo id e
£ = a (¿ — s e n 2),
y = a ( l — cos¿) [ 0 < í < j i J .
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Integrales m últiples y curvilíneas
2308. I ia lla r e l m om ento de in ercia , con rcspesto a l eje O Z ,
de la prim era espira de la h é lice c ir c u la r x ^ a c o s t , y = a s e n t y
z — bt.
2309. ¿C on q u é fuerza in flu y e la m asa M , d istribu id a con
densidad constante p or la circu n fe re n cia x 2 + y 2 = a 2, z — 0, sobre
la masa m y situada en el p u n to 4 ( 0; 0; b)?
¡1. Integrales curvilíneas de segundo t i p o .
C a lcu la r la s siguientes in tegrales cu rv ilín e a s:
2310. jj ( x 2 — 2xi/) d x + (2x y + y 2) d y ,
Ai?
de la parábola y ^ x ¿ que va desde e l
punto B (2; 4 ).
donde
AB
es
el
arco
pu n to .4 (1 ; 1) hasta
el
2311.
j (2a — y ) d x + x d y , donde C es el prim er arco de la
c
c ic lo id e x = a ( i — s e a í ) , y = a (1 — c o s í ) recorrid o en e l sentido
del cre cim ie n to del parám etro t.
2 31 2.
[ 2x y d x — x ¿ d y ,
tom án dola a lo la r g o de lo s diferentes
u
GA
ca m in os, que parten del origen (le coorden adas 0 ( 0 ; 0) y que
fin a liz a n en e l pu n to 4 ( 2 ; 1) (fig . 103):
a) sobro
la recta OmA\
b) sobre
la parábola O n A , c u y o e je de sim etría es e l e je OY\
c) sobre la p a rá b o la O p A , c u y o e je
de sim etría es el e je O X ;
d) sobre
la lín e a quebrada O t í A ;
e) sobre
la lín ea quebrada OCA.
2313.
\ 2x y d x + z 2 d y ,
en
la s
m ism as
OA
problem a 2312.
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co n d icio n e s
quo
el
297
Integrales curvilíneas
2314*. ^ ^ U—
cu n feren cia o:2
re lo j.
^ tom ándola a lo largo
de
í/2 = a2 en sentido co n tra rio al de
la cir­
las agujas del
x = a eos
^ y 2 d x -\ - x 2 d y, don de C es la m itad superior de la elipse
c
= 6 sen
que se sig u e en e l sentido de las agu jas del re lo j.
2 31 6.
\ e o s y d x — sen a’ dy, tom ándola a lo la rg o del segm ento
2315.
AB
A B de la bisectriz del segundo á n g u lo coord en a d o, si la abscisa
del pu nto A os igual a 2 y la ordenada del p u n to B igual a 2.
2317. ^
dyi , donde C es e l lazo derech o de la lom nisc
ca ta r2= a2 eos 2<p, que se sig u e en el sen tido con trario al de las
a gu ja s del re lo j.
2318. C a lcu la r las in tegrales cu r v ilín e a s do las expresiones
diferen cia les exactas siguientes:
(2; 3 )
a)
^
(3; 4 )
x d y + y d x , b)
(-1; 2)
J
(1; i)
x d x + y d y , c)
<0;1)
^
( x + y ) (d x + d y )9
<0; 0)
<2; i)
d)
^
dX~ 2 dy (Por u n ^ m i n o que n o co rte al e je O X ),
(i; 2)
(x^y)
e)
\
(\ 2- 1- 2)
'~x + yd
'
X
^ o r un ca m *n 0 (íu e n o c o r t e a ' a r°cta x + y = t y >
y
( * 2; Vi)
í)
J
cp (*) d x - f 1}) (y) dy.
<*1; vi)
2319.
H a lla r las fu n cion es prim itiva s de
su b in tegra les y c a lc u la r las sigu ientes integrales:
la s
expresiones
(S^O)
( x i + 4xy*) d x + {6 * V — 5Í/4)
\
»
(-2 ; -1 )
_
O ;0 )
cai l d n o de in te g ra ció n no se co rta con la
b)
^ ^
<G ;-i)
recta
=
a)
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Integrales m últiples y curvilíneas
(3; i)
c)
í
+
< t;t)
//dy
*
cam j no (]e i üte g ra ció n n o se
co rta
3
c o n la recta y = — x ) ,
(1; íí
d)
\ (
y ) d x + ( —7= =
+ x \ dy.
2320. C a lcu la r la in teg ra l
X dz + ydy
V i + *> + »* ’
tom á n d ola
en
el
sen tido de la s agu jas d e l r e lo j, a l o la r g o del
r^2
Jl2
c u a r to de la elipse -^2" + -| r = : l> ?u e se en cu en tra en e l prim er
cuadrante.
2 32 1.
D em ostrar, que si f (u) es una fu n c ió n c o n tin u a y
un con to rn o cerra d o «reg u la r a trozos», la
C
£ / (x 2 + y 2) ( x d x + y dy) = 0.
2 32 2. H a lla r la fu n ció n p rim itiv a U> si:
a)
= (2 x + 3?/) d x -\ - (3 x — Ay) dy;
b) dit = (3a:2 — 2 x y + y 2) d x — (a:2 — 2x y -f- 3 y 2) dy;
c ) du = e x- v [ ( í + x + y ) d x + ( l — x — y ) d y ) ;
j
dx
s+ y
.
dy
x+y
d) d u = — — ----p - .
'
C alcu la r la s sigu ien tes in te g ra le s cu r v ilín e a s , tom adas a l o la rg o
d o cu rva s en e l espacio:
2323. ^ (y — z ) d x + (z — x ) d y + ( x — y ) d z ,
c
esp ira de la h é lice c ir c u la r
don de
C
es
una
' x = acos¿,
y = asen t ,
z^ b t,
correspon dien tes a
la
v a r ia c ió n
del p a rá m etro
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i desde 0
a 2jt.
es
299
In tegra les curvilíneas
2 3 2 4 . ^ y d x + z d y + x dz, donde C es la circu n feren cia
c
X= R
y =
^ z =
e o s GC e o s ¿ }
i? eos a sen
i ? s e n a (a =
co n st),
recorrid a en e l se n tid o d e l cr e cim ie n to dei parám etro.
2325.
x y d x + y z d y + z x d z , don d e O A os e l a rco
de la
c ir -
ó a
cu n fe re n cia x 1 + y 2 + z2 = 2 R x , z = x f situ a d o por e l la d o del p lan o
XO Z y donde y > 0.
2 3 2 6 . C a lcu la r* la s in te g ra le s cu r v ilín e a s de la s d iferen cia les
e x a c ta s sig u ie n te s:
<6; 4 ; 8)
a)
\
x d x + y d y — z dz,
( i : 0; —3)
(a ; b't c)
b)
^
yzd x + zxdy + xydz,
(i; i; i)
(3; 4; 6)
\
f
’
g
+ y dj/+ 2 z
(0; 0; 0,
’
(*= 1/1 ¿ )
d)
^
p
+ z x ^ y -j- x y dz ^
c a m ¡ n0
(i e
in te g ra ció n
está
situ a d o en e l p rim er o cta n te ).
B . F ó r m u l a de Green
2 3 2 7 . V a lié n d o s e de l a fó r m u la de G reon, tran sform ar la in te ­
g r a l cu r v ilín e a
I ^
d x + y \xy + \ n ( x + V ¿ r T Í ñ } d y,
c
don de e l
2328.
c o n to r n o C lim it a un re c in to S.
A p lic a n d o la fó r m u la d e G reen, c a lc u la r
/ = ^ 12 ( x 2 + y2) d x + (x-\- y )2 dy,
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30 0
In tegra les m últiples y curvilíneas
dondo C os e l co n to rn o do un tr ia n g u lo , cu y o s v é rtic e s están en
lo s pu n tos A (1 ; 1), B ( 2; 2) y C { 1; 3) y que se recorre en sen tido
p o s itiv o . C om probar el resu ltad o o b te n id o , c a lcu la n d o la in te g ra l
directam en te.
2329. A p lica n d o la fó rm u la de G reen, c a lc u la r la in teg ra l
§ — x * y d x + x y s dy,
donde C
con tra rio
2330.
parábola
es A n B .
es la circu n feren cia x* + y 1' ■=*•7?2, que se recorre en se n tid o
ai de las a gu ja s del re lo j.
P or los p u n tos A ( 1 ; 0 ) y B (2; 3) se ha tra za d o una
A m B , c u y o e je co in cid e con e l e je O Y , y su cuerda
H a lla r la
*
dp
{x + y )d x — (x — y )d y
AmDnA
directam en te, a p lica n d o la fó rm u la de G reen.
^ exy [y 2 d x + (1 + x y ) ¿*/l» si lo s pu n tos A
A7nB
y B están situ a d os en e l e je O X y el área, lim ita d a p or e l ca m in o
de in te g ra ció n A m B y por e l seg m en to A B , es ig u a l a S.
2331. H a lla r
la
2332*. C a lcu la r la & x dy, ~ ,Jf x . E x a m in a r dos casos:
o
a) cuando e l orig en de coordenadas está fuera dol. co n to rn o C,
b) cu an do ol co n to rn o rodea n veces el orig en de coordenadas.
2333**. D em ostrar que si C
es una curva cerrada, en ton ces
(^) eos ( X , n ) d s = 0,
c
donde s os la lo n g itu d del a rco y n la n orm a l exterior.
2 33 4. V a lié n d o se de la fórm u la de G roen, h a lla r la
in teg ra l
I = ( § [ x eos ( X , n) + y sen ( X , rc)| d s ,
c
donde ds es la d ife re n cia l del
con torn o C.
2335*. C a lcu la r la in tegra l
a rco y
u,
d x — dy
$
x~\- y
C
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la
n orm a l
e x terior
al
In teg ra les curvilíneas
301
tom a d a a lo la r g o d e l co n to rn o del cuadrado que tien e sus v értices
on lo s pu n tos A ( 1 ; Q ) , 5 ( 0 : 1 ) , C ( — 1 ; 0 ) y Z>(0; — 1 ), co n la
c o n d ic ió n de que e l recorrid o del c o n to r n o so haga en sentido
co n tr a r io a l de la s a g u ja s del r o lo j.
D . A p l i c a c i o n e s d e l a integra l curvilínea
C a lc u la r e l área de la s fig u ra s lim ita d a s p or
cu rv a s:
2 3 3 6 . P o r la elip se x = a c o s t , y = b s e n t .
2 3 3 7 . P o r la a stroid e x — a c o s * t , y = a s e n 3 t.
2 3 3 8 . P o r la ca rd ioid e x a (2 eos t — eos 2t),
las sig u ien tes
y = ^ a (2 sen t — sen 2 1) .
2339*. P o r e l lazo del f o liu m de D escartes x ? - ¡ - y~ — 3 a x y •■=
=
(a >
).
2 3 4 0 . P or la cu rva ( x - \ - y )3 = a xy.
2341*. U na circu n fe re n cia de ra d io r rueda sin resb a la r sobre
otra circu n fe re n cia fija , de ra d io 7?, con serván dose siem pre fuera
0
0
d e e l l a . S u p on ien d o que —
sea un núm ero cu tero, h a lla r e l
área
lim ita d a p or la curva (e p ic ic lo id e ) que describe cu a lq u ie ra de los
p u n to s de la c ir c u n fe r e n c ia . m ó v il. A n a liz a r e l ca so p a rticu la r en
q u e r = R (ca rd ioid e).
2 342*. U n a circu n fe re n cia de radio r rueda sin ,resb a la r por
o tra circu n fe re n cia fija , de radio 7?, perm aneciendo siem pre dentro
■de e lla . S u pon ien do que —
sea un núm ero en tero, h a lla r e l
área
lim ita d a p or la cu rva (h ip o c ic lo id e ) descrita p or cu a lq u iera de los
p u n to s de la circu n fe re n cia m ó v il. A n a liz a r ol ca so p a rticu la r en
que r —
(astroide).
2 3 4 3 . U n ca m p o está en gen d rado p or una fuerza de m agn itu d
co n s ta n te F , que tien e la d ir e c c ió n del sem ieje p o s itiv o O X . I ía lla r
e l tra b a jo de d ic h o ca m p o, cu a n d o un p u n to m a teria l d escribe, en
e l se n tid o de la s a g u ja s del r e lo j, e l cu a rto del c ír c u lo x?-\ -y2 = R (1
q u e se en cu en tra en e l p rim er cu adran te.
2 3 4 4 . H a lla r e l tra b a jo q u o rea liza la fuerza de gravedad al
trasladar un p u n to m a te ria l de m asa m y desde la p o sició n
A ( x ú Vú z t) h a sta la p o s ic ió n B (x 2; y 2; z 2) (el o jo O Z está d irig id o
v o r lic a lm c n t c h a cia a rrib a).
2 3 4 5 . H a lla r e l tra b a jo de una fuerza e lá s tica , d irig id a hacia
el o rig e n de coord en a d as, cu y a m a gn itu d os p rop orcion a l a l a lo­
ja m ie n to del p u n to resp ecto a l o rig e n de coord en a d os, si el punto
d e a p lic a c ió n de d ich a fuerza d escribe, en sen tido co n tra rio a l de
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302
Integrales m últiples y curvilíneas
las agu jas del re lo j, e l cu a rto de e lip se
- f - p - = * situ a d o en el
prim er cuadrante.
2346.
H a lla r la fu n ció n p o te n cia l de la fuerza H { X , Y , Z }
y determ inar e l trabajo de dich a fuerza en e l trozo de ca m in o
quo se da, si:
a) X = 0, Y == 0, Z = — m g (fuerza do gravedad) y el p u n to
m a teria l se desplaza desde la p o sició n A (xu y u z x) a la p o s ic ió n
£ (*2»
22);
b) X — — ^
,
Y = —
,
Z = —
,
donde
¿1 = con st
y
r=y x2 *•)-y 2 +
z2 (fuerza de a tra cció n de N ew ton ) y e l p u n to m ate­
ria l se desplaza desde la p o sició n A (a , 6, c) hasta e l in fin it o ;
c) X — —
Y = — A2y, 2 = — k 2z t donde k = co n s t (fuerza
clá s tic a ), estando el pu n to in ic ia l del ca m in o en la esfera
x2
y2 -\-z2 = R 2 y e l fin a l en la esfera a;2 + y 2 + z2 = r2 ( f í > r ) .
§ 10. In te g ra le s de superficie
1.
Integrales
de
superficie
de
primer
tipo.
/ ( x y y , z) una fu n ción con tinu a y z = cp (2 , 1/) una su p o rficie regular ó1.
La integral de superficie de primer tipo representa de por sí el lim íte
de la suma integral
Sea
n
[ [
S
1(X, y, z ) d S = lim y ¡ / ( I ¡ , y i, zí)AS¡,
n-voo ”
i—l
donde
es el área de un elem ento i de la su perficie S , al que perteneceel punto (s¿, ijiy zí )\ el diám etro m á x im o de estos elem entos en que s o
d iv id o la superficie tiendo a cero.
E l valor de esta in tegral n o depende del lado do la superficie S que se
e lija para la integración.
Si la p roy ección a de la su p erficio S sobre el p la n o X O Y es u n ifo rm o ,
es decir, que cualquier recta paralela al ejo OZ corta a la s u p e r fic ie ó’ en
un s o lo punto, la correspondiente integral de su perficie do prim er tip o se
puedo calcular por la fórm ula
[ [ / ( * , y, z ) d s = \ í / [ * , y, <p(*. y ) ) V y ) + < p y ( x ' v)**dy-
S
(a)
Ejemplo
í . Calcular la integral do su p erficio
Ss i
(a?+y + 2)dó\
donde S es la su perficie del cu bo 0 < ; 2
1, 0 - < ¿ f < 1, 0 < z < l .
Calculamos la suma de las intégralos do su perficie tom adas sob re la cara,
superior del cu bo (z = l ) y sobre la cara in fe rio r del m ism o
(z = 0)
i t
•1 1
* 1
[ Oc + y + l ) <**<*!/ + ^ { (x + y ) d x d y =
n
00
^ ^{2x + 2 y + i ) d x d y = 3.
00
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303
In teg ra les de superficie
Es eviden te, que
m a y o r e ig u a l a
3a integral de su p e rficie que se busca será
y
tres
veces
(a; -f- y -f- z) dS = 9.
sJ
2o.
Integral
do
superficie
de
segundo
t i pQ.
Si P =
^ t z), Q = Q ( x , y , z) y R = R ( x i y t z) son fu n cion es continuas
y ó'+ e s la cara de una su p e rficie regular S que se caracteriza por la d irec­
c ió n de la n orm a l n { c o s a , c o s p , c o s y } , la correspondiente integral de
su p erficie de segundo tip o se expresa de la form a siguiente:
^ jj P d y d z + Q d z d x + R d x dy = ^ jj ( P c o s a + í ? cos P + P co s y ) dS.
5+
S
A ] pasar a la otra cara S ~ d e la superficie, esta integral c a m b ia su
s i g n o p o r el contrario.
S i la su p erficie S está dada de form a im p lícita , F ( x , y , z ) = 0, los
c ó s e n o s directores de la n orm a l a esta su p erficie se determ inan p o r las
fó rm u la s
1 dF
p
1 dF
1 0F
C0Sa = l D - W ’ C0S ^ = ~D~ ~dy~ ’ C0^ = - D ~ 3 r '
________________________________
d on de
y el s ig n o que se pon ga delante d e l ra d ica l dede elegirse de acuerdo con la
cara de la su perficio S quo se tome.
3o.
Fórmula
de
Stockes.
S i las fu n cion es
P ¿ = P (x , y , z),
Q — Q ( x , y, z) y R = R ( x y y, z) tienen derivadas continuas y C e s un con­
t o r n o cerrado, que lim ita una su p erficie b ila tera l S t se v erifica la fórmula
de Stockes
í
P dx-\-Q dy-\- R dz —
C
S
d on de c o s a , cos p y c o s y , son lo s co se n o s directores de la n orm a l a la
s u p e r fic ie S , deb ien do determ inarse la d ir e c c ió n de la norm al de tal form a
que, desde ésta, el re co rrid o d e l co n to rn o C se efectúe en se n tid o con tra rio
a l q ue sigu en las agujas del r e lo j (en un sistema de coordenadas do mano
derecha).
C a lc u la r la s s ig u ie n te s in te g ra le s de s u p e rficie de p rim or t ip o :
2 34 7.
^ ^ (3 a + ¡/2) AS,
2348.
^ ^ V 'z*-] y 2 dS,
don de S
don de S
es
es
la esfera
la
x z -j- j/2 + z2 = a2.
su p e rficio
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la te ra l
del
304
Integrales m últiples y curvilíneas
C a lcu la r
tip o :
la s
s ig u ie n te s
in te g r a le s
de
s u p e r fic ie
2 34 9.
\ \ y z d y dz + x z d z d x + x y d x d y , d on d e
's
ex terior de la s u p e r fic ie del tetra ed ro lim it a d o
x = 0 , y = 0, z = 0, x + y -i-z ^ a .
2 35 0.
^ ^ z d x d y , donde S
es
la
ca ra
S
p or
de
segundo
os
la
lo s
cara
p la n os
e x te r io r d e l e lip s o id e
*(S)
l í . JÜ. i - ? L - i
a* r ¿>2
¿a — ■
^ ^ x 2 dy dz + y 2 dz d x z l¿ d x d y , donde S os la ca ra e x te s
rio r de Ja s u p e r fic ie de la sein i esfera x * - \ - y 2
z 2 = a 2 (z ;& 0 ).
2 3 5 2 . H a lla r la m asa d e la s u p e r íic io d e l cu b o 0 < ^ < 1 ,
0 < z < 1, si la den sid ad s u p e r fic ia l en el
p u n to
M (x\ y ; z) e s ig u a l a xyz.
235 3. D eterm in a r las coordenadas d e l ce n tro do g ra ved a d de la
cá p su la p a ra b ó lic a h om og én ea az — x 2 -\-y2 (0
2 35 4. H a lla r el m o m e n to de in ercia de la parte de s u p e rficie
2 35 1.
la tera l del co n o z = ~\fx2 + y 2 |0 < z < h\ con resp ecto a l eje O Z .
2 35 5. V a lié n d o se de la fó rm u la d e S to ck e s , tra n sform a r las
in teg ra les:
(x 2 — yz) d x 4 - (y 2 — z x ) d y + (z2 — x y ) dz;
a)
c
b) ^ y d x + z d y + x d z .
c
A p lic a n d o la fó r m u la de S to ck e s, h a lla r la s in te g ra le s que se
dan a c o n tin u a c ió n y co m p ro b a r lo s resu ltad os c a lc u lá n d o la s
d irecta m en te:
235G. § { y - \ - z ) d x -^ -(z -\ -x ) d y - \ - ( x Jr y ) dz, d on d e C es la cireú n ­
es
feren cia x 2 -\~ y^-\-z¿ = a 2, x - \ - y + z — 0.
2 3 5 7 . ^ (y — z) d x -\ - (z — x ) dy-\- ( x — y ) dz, donde C
es la e lip se
c
x 2 + y 2 = l , x - \ - z = \.
2 35 8. § x d z + ( z + y) d y - \ - ( x 4 - y - { - z ) d z 1 d on d e
C
c
x — a w n t , y = a c o s ¿ , z — a (sen t -|- e o s t) [ 0 < ¿ < 2 j í | .
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es
la
cu rv a
305
Fórm ula de Ostrogradski-Gauss
2359,
y 2 d x - f z 2 dy + x 2 dz,
^
donde
ABCA
es
el
con torn o
AUCA
del A A B C con lo s vértices en lo s pu n tos A (a ; 0; 0 ), B (0; a; 0) y
C (0 ; 0; a),
2360. ¿En qué ca so la in tegral cu rv ilín e a
I ^ jP d x + Q dy+Rdz
c
será ig u a l a cero, para cu a lq u ie r co n to rn o cerrado C?
§ 11. Fo rm u la de Ostrogradski-Gauss
S es un a s u p e r f ic ie r e g u la r c e r r a d a , q u e lim it a u n v o lu m e n V ,
P = P ( z f y , z ) y Q = Q(Xy y , z) y R = R ( x , y , z) so n fu n c io n e s c o n tin u a s ,
Si
y
ju n t o c o n s u s d e r iv a d a s p a r c ia le s d e 4 o o r d e n , e n
v e r ific a la f ó r m u l a d o O s tr o g r a d s k i-G a u s s
^
( P eos a + <? eos P-f- i? eos y) d S = ^ ^
e l r e c in t o
+ ^
+
cerrad o
se
dxdVdz'
8
(V)'
donde cosa , cosg y eos y, son ios cosenos directores de la normal exterior
a la superficie S.
V a lién d o se de la fó rm u la de O strogradsk i-G au ss, transform ar
la s sigu ien tes in teg ra les de su p e rficie , sobre las su p e rficie s cerra­
das 5 , que lim ita n e l v olu m en V (donde c o s a , eos (3 y eos y ,
son los cosenos directores de la norm al e x terior a la su p e rficie S).
2361.
^
's
x y d x d y - f yz d y dz -f- z x dz dx.
2 36 2.
^
s
x 2 d y d z y 2 dz d z z 2 d x d y .
2^3
f f
y
2364.
a eos a + y eos p + z eos y ^
y x* + ¿ * + z 2
c o s a + 4 ^ cos ^
cos
) c^ '
s
V a lié n d o se de la fórm u la de O strogradski-G auss ca lcu la r las
sig u ien tes in tegrales de su p e rficie :
2365.
^ \^x2 d y dz + y 2 d z d x + z 2 d x d y t donde S es la
cara ex­
terior de la s u p e r fic ie del cu b o 0 < x < a , 0 < y < a , 0 < z < « .
2366.
^ x d y d z -\ -y d z d x - ^ z d x d y y don de S
20-1016
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es la cara exte-
Integrales múltiples y curvilíneas
306
rio r de la p irá m id e
x = 0, y — 0, 2 = 0.
lim ita d a
p or
las
su p e rficie s
\ \ x 3 dydz-\~ys d z d x + z 3 d x d y,
V
e x terior de la esfera x ¿ + y 2 + z 2 = a 2.
2367.
2 36 8.
donde
x-\-y + z — a f
S
es
la
cara
J Jj ( z 2 eos a - ^ - y 2 eos P -f- z2 eos y ) dS , donde S es la super­
fic ie e x terior to ta l d e l con o
2369. D em ostrar, q u e s i 5 os una s u p e rficie cerrada y / cu a l­
q u ier d irección con stan te,
^ ^ c o s ( n , Z )d S = 0,
donde / i es la n orm a l e x te rio r a la s u p e rficie S.
2370. D em ostrar, que e l v o lu m e n F , lim ita d o
fic ie S , es igual a
p or
la super­
1 p i4
V = y J J (z eos a + </ eos (3 + z eos y )
s
donde c o s a , c o s p y eos y , son lo s cosen os directores de la norm al
exterior a la s u p e r fic ie S.
§ 12. Elementos de la t e o r í a de lo s campos
\° C a m p o e s c a l a r y c a m p o
vectorial.
El campo escalar
so determina por una fu n ció n escalar del punto t¿ = / ( P ) = / (z , y, z), donde
P ( z , y , z) es un punto del espacio. Las superficies / (z , p, z) = 6\ donde
<7 — const, se llaman superficies de nivel del cam po escalar.
El campo vectorial se determina por ia fu n c ió n v e cto ria l dol punto
a = a (P) = a (r), donde P os un punto on e l esp acio y r = x l - \ - y j - \ - z k es el
radio vector del punto P . En form a coordenada a — ax i + ayJ + azh , donde
= y . *)» au = ay (zi y , z),
= a* ( z , y, z), son las proyecciones del
v ecto r a> sobre los ejes de coordonadas. Las líneas vectoriales ( líneas de
fuerza, Líneas de corriente) dol cam po vectorial se deducen del sistema de
ecuaciones diferenciales
El cam po osea lar o
dz
dy
ax
ay
v ectoria l que n o
dz
az
depende del
tiem p o
se
llama
estacionario, m ientras q ue e l que depende del tie m p o , no es estacionario.
2o. G r a d i e n t e .
E l vector
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Elem entos de la teoría de los campos
^
donde V
^
+ ^
307
^
+
- g j ; es el operador de H a m ilto n (nabla), recibo el
nom b re do gradiente d e l cam po U = / (P ) en el punto P (véase el cap. V I . § 6).
El gradiente está d ir ig id o p o r la n orm a l r a la superficie de n ivel en el
punto P t en el sen tido del crecim iento de la fun ción £/, y tiene una lon­
g itu d igual a
dü
dn
Si la d irección se da
entonces
por el
dU
j tt i
a
- ^ - = grad U ' l = grad¿ u =
vector unitario
dt/
dax
&ay
daz
{cosa ,
eos
p, eos y),
Q
dU
eos p - f - ^ - c o s y.
eos a +
( Derivada de la junción U en la dirección l).
3o. D i v e r g e n c i a
y rotor.
Se llam a
v e cto ria l a (P) = axí-\ -a yJ ^ - a zUy el escalar
..
l
divergencia do
un
campo,
_
d 1V (I — —----- --- -r-— -f-- 2— = V
dx
1 dy
'
dz
Recibe ol nombre de rotor do un cam po vectorial a (P) = axi + « / - [ _ a j e .
el v ecto r
—
- ( *
- £
) •
+
( *
- *
) '+
( £ - 4 W
- * x . ,
4o. F l u j o
d e l v o c t o r. Se denomina flu jo del cam po vectorial
a ( P ) y a través de la su p erficie S, en ol sen tido determinado por oí vector
u n ita rio do la n orm a l w { c o s a , eos p, eos y ) a dicha su perficie S, la integral
\
c m dS — y
an dS =
^ J (ax eos a + ay eos p -j- az eos y ) dS.
Si S es una superficie cerrada, que lim it a un volum en F, y n es e l vector
u n ita rio de la norm al e x te rio r a la superficie S, será v á lid a la fórmula de
Ostrogradski-Gauss,, cu ya form a v ectoria l es
an dS — ^
^ div a d x dy dz.
<v)
5 o. C i r c u l a c i ó n d e l v e c t o r ; t r a b a j o <1 o 1 c a m p o. La in te­
gral lineal del v ecto r a sobre !n cu rva C se determina p o r la fórmula
a dr =
\
?
as d s = J ax dx~\-al/dy-\-az dz
(1)
O
y representa do por sí el trabajo del cam po u a lo la rg o de
( as es la p roy e cció n del vector a sobro la tangente u C).
la curva C
20*
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Integrales m últiples y curvilíneas
308
Si la curva C es cerrada, la integral lineal (1) se lla m a circulación
del cam po vectorial a a lo largo del con torn o C.
Si la curva cerrada C lim ita una superficie bilateral S , se v erifica la
fórmula de Stockes, cuya form a v ectoria l es
^ a d r = ^ jj n rot a d S =
^ (rot a ) n dS,
donde n os el vector de la n orm a l a la su p erficie S, cuya dirección deberá
elegirse do tal m o d o, que para el observador que m ire en el sentido de n ,
ol re corrid o del co n to r n o C so efectúe en d ire cció n contraria a la que
siguen las agujas del r e lo j, cuando el sistema de coordenadas os do m ano
derecha.
6o. C a m p o
potencial
y campo
solenoidal.
Un cam po
vectorial a ( r ) se llama potencial, si
a = grad U ,
donde U = f ( r ) es una fu n ció n escalar (potencial del cam po).
Para que sea potencial un cam po a , dado en u n recinto sim plem ente
co n e xo, es necesario y su ficiente que a sea irrotacional, os decir, que ro t
a = 0. En esto caso e x iste un potencial U, quo se determina p o r la ecuación
dU = ax dx-\-ay dy-\-az dz.
Si e l potencial U os una fu n ció n u n iform o,
so tiene
\ a d r = U (B) —
AB
— V (A)\ en particular, la circu la ción del vector a será igual a cero:
#
a d r = 0.
c
Un cam po vectorial a ( r ) se lla m a solenoidal, si en cada punto del
cam po la d iv a = 0 ; en esto caso, el f l u j o del v e ctor a través de cualquier
superficie cerrada será igual a cero.
Si el cam po es a la vez potencial y so le n o id a l, se tiene d i v ( g r a d £ / ) = 0
y la fun ción potencial U es arm ónica, es decir, satisface a la ecuación
ff.217
de Laplace
^
1 dy* >
TJ
JJ
_
^
>)2
= 0 , o sea A U = 0, donde A = V 2 = - ^
+
es ol operador do Laplace.
2 37 1. D eterm inar l as s u p e r fic ies de n iv e l del ca m p o escalar
U — f(r),
donde v ~ \ r x i -\-yi -j - z 2. ¿C uáles
serán
las su perficies
d e n iv e l del cam po U = F ( p), donde p = Y x ~+ !/2?
2 37 2. D eterm inar la s su p e rficie s de n iv e l del ca m p o escalar
U = aresen
y**+y*
'
2373.
D em ostrar, que las líneas v e cto r ia le s dol cam po v e c to ­
ria l a ( P ) = c , donde c es un v e cto r con stan te, son rectas parale­
las al v ector c.
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309
E lem en tos de la teoría de los campos
2 37 4. H a lla r la s lin ca s v e cto ria le s del cam po a = — coiji + (ú xj ,
donde o es úna constante.
2 37 5. D educir las fórm u las:
a) grad (C 1£/ + C 2V ) = C 1g r a d £ 7 -f C2 grad V % donde Cj y C 2 son
constantes;
b ) grad (U V ) = U grad V + V grad U\
c ) grad ( t / 2) = 2U grad U ;
i ) 8 r .d
e) grad (p (Í7) = <p' (Í7) grad t /.
237 6. H a lla r la m a gn itu d y la d ire cció n del gradien te del
ca m p o í / = x a + y 3 + 23 — 3 x y z en o l punto A (2 ; 1 ; 1 ). D eterm inar
en qué pu n tos el gradiente del cam po es perpen dicu lar a l eje OZ
y en cu á les es ig u a l a cero.
237 7. C a lcu la r e l grad U> si U es respectivam en te ig u a l a:
a) r, b) r2, c ) y , d) / (r) (r = * Y x * + y 1 + z 2 ).
237 8. H a lla r e l gradiente d e l cam po escalar U = c r , donde c
es un v e cto r con stan te. ¿C u á les serán las su p orficies do n iv e l de
este cam po y có m o están situadas respecto al v ector c ?
2 37 9. H a lla r la derivada d e la fu n ción U ==“ T + ”| r + 7 á ' en
un p u n to dado P ( x , y , 2 ,), en la d ir o cció n d e l ra d io v e cto r r de
esto pu n to. ¿E n q u é ca so esta d eriva d a será ig u a l a la m agnitud
d e l gradien te?
2380. H a lla r la derivada de la fu n ción £7 = y
en
la d ire cció n
Z {c o s a , eos p, eos y}* ¿E n qué ca so esta derivada es igual a cero?
2 3 8 1 . D educir las fórm u las:
a)
d i v ( C i« 1+ C 2a 2) = 6,1d i v a 1-¡-CT2 d i v a 21 donde
y C 2 son
constantes;
> b) d iv ( í 7 c ) = g r a d f /* c , donde c es un v e cto r constante;
c ) d iv (¿ 7 a ) = grad U - a - \ - U d i v a .
238 2. C a lcu la r la d i v ^ y j .
2 3 8 3 . H a lla r la d iv a para e l ca m p o v ectorial cen tral a(p) = / ( r ) y , donde r = ] / x 2 + í/2 -f-z 2 .
238 4. D e d u cir las fórm u las:
a) rot {Cia i - f C2a 2) = C{ rot a x - f C2 rot a 2t donde C { y C2 son
constantes;
b) r o t ( U c ) = grad ü X c , dondo c es un v e cto r con stan te;
c ) rot { U a ) = grad U x a + U rot a .
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310
Integrales m últiples y curvilíneas
2385. C a lcu la r la d iv e rg e n cia y e l ro to r del v e cto r a , si a es
ig u a l respectivam en te a: a) r ; b) r e y c) f ( r ) c , dónde c es un
v e c t o r con stan te.
2 38 6. H a lla r la d iv erg en cia y e l ro to r d e l cam po de la s v e lo ­
cid a d e s lin é a lo s do lo s p u n tos de un cu erp o, q u e g ira co n una
v elocid a d an gu lar co co n sta n te , alrededor del e je OZ en d ire cció n
con tra ria a la que sig u e n las a gu ja s d e l reloj,
2387. C a lcu la r o l rotor del ca m p o de las v e lo cid a d e s lin ea les
u — co X r de lo s pu n tos de un cu erp o, quo g ira co n una v e locid a d
a n g u la r ü> con sta n te, alrededor de e je determ in ado que pasa
por e l orig en do coordenadas,
2388. C a lcu la r la d iv erg en cia y e l rotor d e l g ra d ie n te de un
ca m p o escala r U.
2389. D em ostrar, que d iv (r o t a ) — 0.
2390. V a lié n d o se del teorem a do O strogradski-G au ss, dem ostrar
q u e ol f lu jo del v e c to r a - r , a través de una su p e rficie cerrada,
q u e lim ita un v olu m en a rb itra rio v , es ig u a l a l tr ip lo de este v olu m en .
2 39 1. H a lla r e l f lu jo del v e c to r r , a tra v é s de la s u p e rficie
t o t a l del c ilin d r o x 2 + y 2 < JR2, 0 < z < / / .
2392. H a lla r e l f lu jo del v e cto r a = x H +
j +
a través
X % -\ -
<le : a) la su p e rficie latera l del co n o —
?/2
b) la s u p e r fic ie t o ta l de este m ism o con o.
2393*. C a lcu la r la d iv e rg e n cia y e l f lu jo de la fuerza de a tra c­
c i ó n j F = — r~ - de un p u n to de. m asa m , situ a d o en
el
o rig e n
de
coordon adas, a través do una s u p e rficie cerrada a rb itra ria que rodea
a d ic h o p u n to.
2394. C a lcu la r la in teg ra l lin e a l del v e cto r r a lo la rg o de una
esp ira de la h é lice c ir c u la r z = / ? c o s ¿ ; y — R son t\ z * = h t , desde
¿ — 0 hasta t — 2 n.
2395. V a lié n d o s e d e l teorem a de S tock es, c a lc u la r la c ir c u la ­
c i ó n del v e c to r a = x 2y H + j + z h a lo largo de la circu n fe re n ­
cia x 2 + y 2 — R 2\ z = 0, tom an do en ca lid a d de s u p e r fic ie e l h em islo r io * =
2 3 9 6 . D em ostrar, que si F es una fuerza ce n tr a l, es d e c ir, que
está d ir ig id a a un p u n to f i j o 0 y dep en d e sola m e n te de la distan ­
c ia r h a sta este p u n to: F — / ( r ) r , donde / (r) es una fu n ció n
u n ifo rm e co n tin u a , e l ca m p o será p o te n c ia l. H a lla r e l p o te n cia l
U del ca m p o.
2397. H a lla r o l p o te n c ia l U del ca m p o de g r a v ita c ió n , que
ongendra un p u n to m a teria l do masa m , situ a d o en e l orig en de
coordenadas: a = —
a
D em ostrar, q u o e l p o te n cia l
la ecu ación de L a p la ce A U = 0.
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U
sa tisfa ce
Elementos de la teoría de lo s campos
311
2398. Com probar si lo s cam pos v ectoria les que se dan a con ti­
n u ación tienen p oten cial U y , si lo tienen, h a lla rlo :
a) a = (5x 2y — 4x y ) i - f (3** — 2y) j\
b) a ~ y z i -f- z x j - j - x y k ;
c ) a = { y - \ - z ) i + (x-\-z) j + (x + y ) k .
2 39 9. D em ostrar, q u e e l cam po cen tra l espacial a = f ( r ) r será
fe
solen oid a l s ó lo cu a n d o f ( r ) = “
> donde k — con st.
2 40 0. ¿Será solen oid a l e l cam po v e cto ria l a = r ( c x r ) , donde c
es un v e cto r con stan te?
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C apítu lo V I I I
SERIES
1. S e rie s numéricas
I o. C o n c e p t o s
principales.
Una serie numérica
oo
+ flo + - - * = 2
n= i
Qn
(í)
so lla m a convergente, s i su suma parcial
$n = fli + a2 + •••+ an
tiene lím it e cuando n
co . El número «9 = l i m S n recibe el nom bro de suma
?l-*co
do la serie y la cantidad
R n = S — S n = : « n + i 4 " a7i+24- •••
el de resto do la serie, ¿¿i ol lím it e lim S n n o e x iste ,
la serie recibe el
7 i— » c O
nom bro do divergen te.
Si la serie es convergente, el
lim an = 0 (condición necesaria para la conn-»oo
vergencia). Poro La a firm a c ió n inversa n o es cierta.
Para que la serio (1) sea convergente es necesario y suficiente que para
cualquier número p o s itiv o e se pueda encontrar un N ta l, quo para n > J V
y para cu alquier número p o s itiv o /?, se cu m pla la desigualdad
I an+fr<*n+2+ •••
I< e
(criterio de Cauchy).
La convorgencia o divergencia do una serie n o se altera s i añade o se
suprim e un numero f i n i t o do térm inos.
2°. C r i t e r i o s
do c o n v e r g e n c i a y d i v e r g e n c i a
de las
s e r i e s de t é r m i n o s p o s i t i v o s .
a)
l c r i t e r i o d e c o m p a r a c i ó n . S i 0 *&an ^ b ní a partir de un
determinado n =
y la serie
c o
Ói + &2+ •••+ bn
2
bn
(2)
n=l
es convergente, la sorio (t) tam b ién será con vorgente. Si por el con tra rio ,
la serie ( 1) es divergente, la serie (2) tam b ién lo será.
En calidad do series com parativas es m u y c ó m o d o tom ar, en particu lar,
la progresión geométrica
f ¡ a(tn
n=0
(" =£ °)t
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Series numéricas
313
que es convergente cuando | q | < l y divergente cuando
armónica
|«7 | > 1, y la serie
co
in
1
n—i
que es divergente.
E j e m p l o 1. La serie
1*2
2-22 1 3-2» 1 “ 1 /i'2 n
es convergente, ya que aquí
1
ün
1
n-2n < -'2n ’
y la p rogresión geométrica
00
Y J_
On ’
Zj
cu ya ra zón es q = » ~ - f es convergente.
E j e m p l o 2. L a serie
ln 2 . In 3 .
2
1
3
. ln n
•
•
•
+■
1 *** '
n
1
es divergente, ya que su térm in o general
correspondiente —
TI
es m ayor que
el
térm ino
de la serie arm ónica (que es divergente).
b) II c r i t e r i o
de
comparación.
Si
e x iste
un
l i m f i n i t o
n -> c o
On
y diferen te do cero (en particu lar, s i an ~ bn ) t las series (1) y (2) son
vergentes o divergentes simultáneamente.
E j e m p 1 o 3. La serie
1 * 1j
i
1 j
1 + T " r T + " - + S r = T H' - ' es divergente, y a que
1
y la serie c u y o té rm in o general es —
os divorgonto.
E j o m p 1 o 4. L a serie
1 . 1 . 1
2 — 1 1 22— 2 1 2S— 3
” ‘ ’^"271—
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con­
314
Series
es convergente, porque
M
/
i
M
J
1
*
: 1 ? ) “ *• 0 sea w = 2 - 1 F •
y la serie cu yo térm ino general es
es convergente.
¿t
c)
C r i t e r i o d e D ’A l e m b e r t .
m inado n = n0) y ex iste ol lim ito
Cuando an > 0 (a p a rtir de ún deter­
lim 2 "±í = g
n->co
la serie (1) será convergente, si $ < 1 , y divergente, si < ? > 1 .
la convergencia do la serie queda sin esclarecer.
E j e m p l o 5. Investigar la convergencia de la serio
A , J L tJ L o.
2
22
23
Solución.
\
2n-
2n
í
Cuando <?= 1,
,
"r% ' ’
Aquí
2n - 1
gn
*n+i
n™
<h
,•
„
2« + l
2n+1
’
(2w + 1) 2n
1 ..
” «X“ 2 » + i ( 2 » - l ) - 2
i
L
^ 2»
1
,_ J _ = 2 •
2/i
P o r consiguiente, la serie dada es convergente.
d ) C r i t e r i o d o C a u c h y . Cuando an > 0 (a p a rtir de un
determ inado n = n0) y existo ol lím ite
térm ino
ilim
• nr
y —
an = q,
n-> <x>
la serie (1) es convergente, si « ? < 4 , y divergente, s i < y > l . En e l ca so en
que «7= 1, la convergencia do la serie quede sin esclarecer.
e) C r i t e r i o i n t e g r a l d e C a u c h y . Si an = - f (n), donde la fun­
c i ó n / (z ) es p o sitiv a , m on óton a decreciente y c o n tin u a cuando s > a > 1,
la serie (1) y la integral
oo
/ ( X) dx
a
s o n convergentes o divergentes simultáneamente.
V a lié n d o se del criterio integral se demuestra que la serie de D irichlet
co
S i r
n=l
<3 >
es convergente, si p > l » y d ivorg on íe, si p < 4 . La convergencia de muchas
serios se puede investigar com p a rá n d olas co n la correspondiente serie do
D irichlet (3).
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Series numéricas
Ejemplo
315
tí. in vestiga r la convergencia de la serie
1 • 1 • 1 + ...+
1
1 «2 ' 3 -4 1 5 -6 1
' (2n — 1) 2n 1
Solución.
Tenemos:
1
1
(2n — 1) 2n
1
1
4 fl*
1_
2n
4n* '
Com o la serie de D irich le t cuando p = 2 es convergente, basándose en el
11 c r ite r io de co m p a ra ció n puedo afirm arse que la serie dada tam bién es
convergente.
3 o. C r i t e r i o d e c o n v e r g e n c i a d e l a s s e r i o s d e t é r m i ­
n o s p o s i t i v o s y n e g a t i v o s . Si la serie
I ai I+ 1a¿ I+ •••+ 1 an 1+ •••»
(4)
form ada p o r lo s valores absolutos de lo s térm inos de la serie (1) es con­
vergente, la serie (1) tam bién es con vergente y recibe el nombro do absolu­
tam ente convergente. Si p o r el c o n tra rio , la serio (1) es convergente, m ien­
tras que la (4) es divergente, ia serio (1) se lla m a condicionalmente conver­
gente.
Para averiguar si la serie (1) es absolutam ente convergente pueden
em plearse para la serie (4) lo s ya c o n o cid o s crite rio s do convergencia de las
series de térm in os p o s itiv o s . En particular, la serie ( í ) será absolutamente
con vergente, si
an+l
an
lim
n - T co
En el c a s o general,
de
divergencia
serie
do
la
la
<
n
1 o lim y |an |< 1.
n -v o o
divergoncia d e la
(1).
Pero
si
ol
serie (4) n o
lim
*n+l
<*n
n - ‘ ce
se desprende la
>1
o
lim
an |> 1, en ton ces será divergente n o s ó l o la serie (4), sin o
n-*oo
la serie (1). .
C r i t e r i o d e L o i b n i z . Si para una serie alternada
bien
tam bién
— ^2+ ^ 3—^4+•••(&» > 0 )
se cu m p len las co n d icion es: 1)
el
(*>)
> 62 > ¿3 > • ••> - )
lim 6^ = 0, la serio (5)
n -* c o
será convergente.
Para e l resto de la serie i?n , en este ca30, será v á lid a la acotación
I Rn I
Ejem plo
7. In vestiga r la convergencia do la serie
S o l u c i ó n . T om a m os la serie de
nos de la serie dada:
( 2 \2 , ( 3 \3 § / 4
lo s
t
v a lores absolutos de lo s té rm i­
t ¡
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n
316
Series
Como
lim / O
1
Z r = lim
- = lim
—1 /
,l_ co2re — 1
1_
n
- 4 .,
2
la serie dada es absolutam ente convergente.
E j e m p 1 0 8. La serie
os convergente, ya que se cu m plen las co n d icion es del criterio de Leibniz.
Pero converge 110 absolutam ente (condicionalm ente), y a que la serie
1 1
1
1+ T + T + - " + 7 r + " es divergonte (serie arm ónica).
O b s e r v a c i ó n . Para que las series alternadas sean convergentes, n o
es su ficiente que su te rm in o general tienda a cero. E l criterio cíe Leibniz
afirm a únicamento, que la serio alternativa converge s i el valor absoluto del
té rm in o general de la m ism a tiende a cero m o n ó t o n a m e n t e . P o r
e jem p lo , la serie
-
1 • 1
5
2
1 lJL_
52
+ ± _ _ l +
es divergente, a pesar de que su térm ino general tiende a cero (la v ariación
m on óton a del v a lo r a b solu to de este térm ino general, aquí, naturalm ente,
n o so cum ple). Efectivam ente, en este ca so 6T2&= »S’fe-|-‘S,fc* donde
+
y el lím ite
J -4 -+ ...+ Í .,
5 h = -(-1 + -^ + ...+ -^ -),
liin ¿ ' ¿ - f c o {Sk es la suma parcial de la serio a rm ón ica), m ien -
k~*O0
9}
tt
tras que el l i m S k e x iste y es f i n i t o (Sk es la suma parcial de la progresión
fc-foo
geom étrica, que es convergente), p o r consiguiente, iiai S 2h = co.
k-*co
P o r otra parte, para quo la serie alternada sea con%'ergente, n o es nece­
sario que se cum pla e l criterio de Leibniz, y a que la sorie alternada puede
ser convergente, s i el valor absolu to de su térm ino general tiende a cero de
form a no m onótona.
A sí, la serie
•
1
1 3»
o;i
22 1
/.<>.
42
.
1
1 ••' 1
( l n — 1)3
1
(2« ) 2
■
es convergente, y además absolutam ente, a pesar de que e l crite rio de Lefbjiíz no se cum ple, puesto que el v a lo r absolu to del
térm ino general d e la
serio, aunque tiendo a cero, no lo hace m onótonam ente.
4o S e r i e s de t é r m i n o s c o m p l e j o s . La serie quo tiene por tér­
m in o genera \cn = a n-\-ibn (¿2= — 1) es convergente si, y s ó l o si, s o n convergentes
03
simultáneam ente las seríes de sus térm inos reales
^
n= 1
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OO
an Y 2
n=l
y
este
Serles
numéricas
< «= 2
-»+ * 2
31 7
caso,
2
n= 1
n=í
<6>
n=l
La serie <fi) es in dubitablem en te convergente y se denom ina absolutamente
convergente, si converge la serie
2
n—1
2 ^ an-\-bm
n—i
cu y o s térm inos son los m ó d u lo s de lo s d o la serie (G).
5o. O p e r a c i o n e s c o n l a s s e r i e s .
a) Cada u n o de lo s térm inos do una serie convergente puede m u lt ip li­
carse p o r u n núm ero cualquiera k, os decir, si
a l +
a 2 +
• •• +
* » +
• •• =
se tendrá
ha ^+ hag + •••+ han + . . . — kS .
b) Se entiende por suma (o resta) de dos series convergentes
« i-| -a 2
- f a n + . . . = ó ,1,
(7)
&I + &2+ - ••+ ft/» + •••
(®)
Ja correspondiente serie
(flj ± &i) + (^2 ± &2) + •••+ (flr* =t &«) + . . . = *^1 i
c ) So lla m a producto de las series (7) y (8), la serie
c \ + c' ¿ + ••• + £
*
+
•
0*2.
(
9
)
donde
= a j& n + fl2&n-i
+ an¿,t (n = l , 2 , . . . ) .
S i las series (7) y (8) son absolutam en te convergentes, la serio (9) también
l o seré y su suma será igual a
d) si una serie es absolutam ente con vorgcnto, su sum a n o varía
cuando
se al tora ol orden de sus térm inos. Esta propiedad n o tiene lugar cuando la
con vergen cia n o es absoluta.
E scrib ir la fó rm u la m ás sim p le d e l térm in o en ésim o de
sig u ie n te s series, de a cu erd o con lo s térm in os que se in d ica n :
las
2 4 0 Í.
i + | + | + | + ...
2 40 7. | + | + ¿ + ¿ + ¿ + ¿ + ...
2 40 2.
l + | + f 4 +
2408. l + g
2 40 3.
l + * +
. . .
» + 4 . + ...
2 40 4. 1 + 4 + 4 + 1 + . . .
9 ' 1G
2405.
+ J ^ + ^
« ^
+ ...
2409- 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . . .
2410. 1 + -S- + 3 + 4 + 5 + - ¡ r +
*
+
240 6. 4 - , 4 + ^ + 8 + . . .
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318
Series
E n lo s problem as N
prim eros térm inos de la
q u e ya se conoce.
2411.
2412.
.
an =
a IL
2411-2415 es necesario e scrib ir l o s 4 6 5
serie, partien do del térm in o g en eral dn
2414.
=* ( - 2n
l )n * .
=
.
^ 2 + sen
2 4 1 5 . a n- =
j cos /¿jx
n:
2 4 1 3 .a n = i ± í ^ ) l .
In vestiga r la con v erg en cia de la s series sigu ien tes, valién dose
de los criterios de co m p a ra ció n (o de la co n d ició n necesaria):
2416. l — l - j - l — 1 - L . l ) " “ i
^
• 4
+
i ( 4
M
( i r +
M I S . | + |_ + J . +
2419.
4
( 4
r +
-
~2n-\-i +
+
f i o ^ I 10
fio
- +
... + & F L +
...
2 4 2 0 . y + T + T + • • • + ‘¿ T " f" ' • •
M 21, n + é + ¿ +
2422.
—
^ ío n + i+
"•
~ y _ - f y — + y ~ ~ + ■••+
+ ...
2423. 2 + - ? - + ^ . + . . . ■ 2" •
2424- ‘ +
2
'
é
+ f s + '-'T 7 ; +
2425.
2426.
.............
3
+
± + l^ -_ + l L
+
2
3 T /2
4 1 /3
1
.
3
.
- "
...
V a lié n d o se del crite rio
g en cia de la s series:
9 / 97
n
5
.
...
. . . +
------(n + l ) V «
de
D ’A lem b ert,
.
3n—1
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in vestiga r
la
con v er­
Series
319
numéricas
V a lié n d o s e del c r it e r io do C a u ch y ,
de la s series:
in v e stig a r
2429. » + ( » ) • + ( * ) ■ + , . . + ( £ & ) - +
2 4 3 0 .i+ ( i) , + (4 ), +
la
con vergen cia
...
... + (5 Í r if - ‘ +
-
In v estig a r la co n v e rg e n cia d e la s sig u ien tes series de
p ositiv os:
2 43 1. 1 + - ^ - + - ^ * + • •- b - I 2432.
+ • •• +
térm inos
•••
(n + if-i +
1
2433- é i + é í + r h Q +
(3n — 2 ) ( 3 r e + l )
•••
o/o/
1 . 4 9
2434. - ~ 4 - r 4 — 4
...
2435.
+
. . . + _ + _ +
o/. qí*
3
3
^ OD-
9
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5
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2
11
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42.52 “ r • • • "T (w + 1y¿(„ j_ 2 )2
(* )• + ... + ( * ■ ) ■ + . . .
‘ + ( ¿ ) l +
2439. i . + ^ - + Í J .+
2440. 1
*2
2*2 + 1
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22-3^ ■*" 3*¿ *4‘2 ^
M I. 4 +
* 8 .
11) 1
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... + ( g | } ) í +
...
...+ • £
2 ■A
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1
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,
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2n 4 1
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2444. i + £ + £ + . . . + 1 ^ ¡ J r + . . .
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1 j . 1 -3 .
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■
2443.
— - h 4.8 + 4 .8 .12~''
0444
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o ,/C
,
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,
(3!)2
,
1000-1002
,
1
1 -3 -5 . . . (2n — 1)
' ‘ '+
,
4 -8-12 . . . 4 » + " -
, («O 2
,
4000-1002-1004
,
244 5. 1 0 0 0 ^ ------- ^ ------+ ---------1 ^ 7 -------- + . . .
1000-1002-1004 . . . (998+ 2n) ,
1 -4-7 . . . (3 /1 -2 )
’ 1" " -
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Series
320
2446.
2 , 2 -5 -8 ,
1 + 1 -5 -9 '
2447.
1 , 1 - 5
2 2 -4-6 '
1
,
1 -11
, 2 -5 -8 -1 1 -14 . . . (6n — 7) (6 n — 4) ,
1 -5 -9 -1 3 -1 7 . . . (8ra— 1 1 ) (8n — 7)
1 - 5 - 9 . . . ( 4 * — 3)
•••■*" 2 - 4 - 6 - 8 - 1 0 . . . <4n— 4) (4n— 2)
,
1 -1 1 -2 1
2448.
T T -1
2 44 9.
H , 1-4 ,
1 -4 -9
,
1 "1T 3 3 ' + ' l - 3 . 5 - 7 - 9 ‘
S T " 1"
51
,
‘ *
, 1 -1 1 -2 1 ... (1 0 /2 -9 ) ,
■+• • • ■+
(2re— 1)1
,
1 - 4 - 9 . . . n2
,
• • •"*' 1 - 3 - 5 - 7 - 9 . . . ( 4 * - 3 ) ^
no
’ ' *
CO
2 45 0. ^
a r c s e u .
ti
2 45 9.
I7"
n = l
•
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V «(n + D
oo
no
V
a
«
2451. Z ' s e n l F »l=l
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1
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2
4
6
1
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y
.
1
1 2n l n n + V l n ^
°°
OO
*2 + 1
' ^
2453. 2
n -‘ t
oo
2 46 2. Y
^
— - J ----- 7= .
n y n - /n
2463. V
Y
fi - ÍnL _
(2n— 1) (5 jTn
^
2454.
CO
7 1 =2
2464. ^
co
( l — COS-^-j .
n = l
y . 1
n Inn
0 ,,.r
ni
2 46 5. 2 j ~¿ñ ■
l=n
» -2
oo
co
2456. y . 1
n 1q“ n
n=2
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^
•
2466. 2
n = l
ex»
2
.
oo
71=1
2 45 7.
-
71=1
2 45 2. 2 l n ( l + | ) .
2 45 5.
1 -
2460. y , ± . V » (« + 1 ) ( * + 2)
ex»
n- l nn- l nl nn '
■
2467. 2
« = 2
n = l
2458. S ^ T -
2468*. 2
n = 2
-¡^ i.
n = l
co
2 46 9. D om ostrar, que la serie 2
““T T
n* ln« n
n=2
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*
1)
.
S eries numéricas
1) es
q > 1 , si
2) es
g < 1 , si
con v erg en te, cu a lq u iera q u e
p = 1;
d iv e rg e n te , cu alqu iera q u e
p = l.
A v e rig u a r la con v erg en cia ¡jde las
S i son con vergen tes, com prob ar s i lo
m ente.
4
O ,í 7 f í
1
2 47 1. 1
o / 7o
¿W ¿.
,
>
1/2
1
, ( - 1 ) 71” 1
+
321
sea j ,
si
p > l ,
y
cu an do
sea
si
p e 1,
y
cuando
g,
sigu ien tes series altern adas.
son a b solu ta o c o n d ic io n a l­
,
‘
V3
^
i 1 ,1
, ( — l)” -1 ,
1 — - j - f -g-— . . . n------ ~s~ - p . . .
^
^ . 3
l - y
M 74- A
2475.
+
13-
- á +
—
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l )” -1 n .
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2
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r - í i j v
1 ^ - S '7
—
1 (
2479
1 -
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7
7 -9 ^ 7 .9 -4 1
4 -(
n + — ------ + . . .
(» + l ) V / r + l - y
< - « * ( i í í r + . . .
1 ^ n -i3 - 5 - 7 . . . ( 2 r t - f l )
" 78# T ^ r 5 + 2 X 8 “" ‘ ' - + ( _ ' 1)
2481.
'75
-I — + — | -----------------¿ ------- f . . .
2 l/2 —1
3 l/3 — l
4 1 /4 -1
2476.
n ,o r»
--
2-5.8~:(3n-l)+*-*
j\n-i 1 * 4 - 7 . . . ( 3 b - 2 )
^
7-9-11 . . . ( 2 k + 5 ) 1 •
s e n a , sen 2 a .
, sen n a
-7ln
—77T
1 TíTTTmif
10 1
(ln 10)2 •
' • •• H
1 (ln 10)1
^
( - D n~ -
71=1
CO
248 2. 2
7 1= 1
( — 1)7I_1 *8 ~ T 7 jj‘ •
^
'
248 3. C erciorarse de q u e el crite rio d e con vergen cia de
D ’ A lem b ert n o resu elve el problem a d e l escla re cim ie n to de la
2 1 — 1016
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Series
322
oo
con v erg en cia d e la serie
2
a n> don de
n— I
*¿k—i
=
a 2k-i
»
0
(A’= J , 2, • . . ),
a 2k —
m ientras q u e con ayuda del cr ite rio d e C a u ch y se puede com prob ar
q u e esta serie es con v erg en te.
2484*. C erciorarse de que e l c r ite r io d e L eib n iz no es a p lica b le
a las serios a lte rn a tiv a s a) — d ). C om probar, cu á le s de estas series
son divergen tes, cu á le s
con v erg en tes co n d icio n a lm e n te y cu á les
a bsolu ta m en te con vergen tes:
ai
i
1
a;
1/2— 1
q/2+1
.
.
1__1
~l/ 3 — 1
1/ 3 + í
( ° 2ft- , =
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1
1
1
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3
2
33
22
1_________ i
V '4 - l
v /íT í-r
1/ 4 + 1
%
= "
. 31
31 -t-
1
32 . 15
t
o
) :
1
36
+ •• •
(««■-* =
c ;\ ii
v
«2A= - ¿ = r ) ;
J
3;{_ + . . .
( a 2fc-. = 2j— P
— íífc) :
A\ T1 - l + T - T1 +i n1 _ T1 +i . . .
d)
( a 2ft-l= 4 ^ — i . « 2 f t = — 4 ^ 3 3 ) '
In vestiga r la co n v e rg e n cia de la s sig u ie n te s series de
co m p le jo s:
<x>
OO
» <
2485.
2
2
+
2 48 9. y
¿ )n
2 '*
00
2
( 2 ¿
—
1 ) ^
i
3n
=
1
2490.
2
(»+0 v *
l
OO
00
1
2487.
~ n +
00
«
n
V
n = l
n = l
2 48 6.
1
2
n = l
*(3 +
1
2491.
* ) n
2
’
n
~
[ *
+
( 2
n
(
/ 1
- 1
) *
! *
l
00
2 48 8. ^
n
=
n
i
9
2 49 2.
V
f
2
-
¿
)
+
l
L ^ (3 — 20 — 3¿
n » l
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térm in os
323
Series numéricos
2 4 9 3 . E n tre las cu rva s y ^ ~ ~ e y = - ^ - ,
a
la
derecha
de
su
p u n to de in te rs e cció n , se h an co n stru id o segm entos p a ra lelos al
eje O Y y que guardan entre s í d ista n cia s ig u a les. ¿Será fin ita la
sum a de la s lo n g itu d e s d e estos .segmentos?
249 4. ¿Será fin ita la sum a d e las lo n g itu d e s de lo s segm entos
de q u e se h a b la en el
problem a a n terior, si la curva y = -¿¿- s e sus-
titu y e por la curva y = — ?
X
oo
2 49 5. F orm ar la sum a d e la s series
2
oo
y
n = l
2
n = l
¿Será con v e rg e n te esta sum a?
co
249 6. F orm ar la d iferen cia de la s series divergen tes
2
—t
«= i
y 2
e in v e s tig a r su co n v erg en cia .
n = l
2 4 9 7 . ¿S erá co n v e rg e n te la serie q u e resu lta de restar la
OO
serie
co
2
n=t
d e la s e rie 2 í ?
n—1
2 4 9 8 . B u sca r dos series ta le s,
y su d iferen cia d iv erg en te.
q u e su
sum a sea con vergen te
oo
2 4 9 9 . F orm ar e l p ro d u cto de la s series
Y , — -—
nya
«=1
v
v
y
"Y.
n=1
1
2 » -i
■
E ste p rod u cto ¿será con vergen te?
2 5 0 0 . F orm ar la
serio
(1+ 1 + - I +
... + _*_ + ...
.
¿Ser¿
con v erg en te esta serie?
2501. S é d a l a
serio
- l + - ¿ —
...
A pre­
cia r el v a lo r d e l error q u e se co m e te al s u s titu ir la sum a d e esta
serie p or la sum a d e sus cu a tro prim eros térm in os y por la suma
do sus c in c o prim eros térm in os. ¿Q ué puede d ecirse d e lo s signos
d e estos errores?
2502*. A c o ta r e l error que se co m e te al s u s titu ir la suma de
la serie
T + T ( T ) V H T ) '+ - - - + - = r ( T ) '+ . . .
p o r la sum a d e sus n prim eros térm in os.
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324
Series
2503- A c o ta r e l error q u e se co m e te
la serie
1 4- _L. j _ _ L 4_
A^
21 ^
3! ^
’ *’
a]
s u s titu ir la
-u — 4ni T
sum a
de
•••
p or la sum a de su s « prim eros té rm in o s. E n p a rticu la r, a cota r
la ex a ctitu d de esta a p ro x im a ció n cu a n d o n — 10.
2504**, A co ta r e l error q u e se co m e te a l s u s titu ir la sum a de
la serie
.
1
1
i~
,
22
1
'
,
32
,
'
'
'
i
■ ~t" n 2
l
' •‘
p o r la su m a d e sus n prim eros té r m in o s . E n p a rticu la r, a cota r
la e x a ctitu d de esta a p ro x im a ció n cu a n d o « = 1000.
2 5 0 5 *. A c o ta r el error que se co m e te a l s u s titu ir la sum a de
la serie
. / i
( 1 \ 2
t
)
\ 2 n- 2
/ 1
+ 3 (t )
por la sum a de sus n prim eros té rm in o s.
00
„
2 50 6. ¿C u án tos té rm in o s de la serie
/
a\n—1
> j -i— ^------ h a y q u e tom ar
n —1
para c a lc u la r su sum a con e x a ctitu d desde 0 ,0 1 hasta 0 ,0 0 1 ?
oo
2 50 7. ¿C uántos térm in os de la serie 2
f f i t + l ) 5n~ ^ ay q u e tom ar
n=t
para c a lc u la r su sum a c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 . 0 ,0 0 1
2508*. H a lla r la su m a d e la serie
1
, 1
1- 2
, 1
2- 3
,
3- 4
1
*‘
y
0 ,0 0 0 1 ?
i
n ( n + 1) "1~ * ' *
250 9. H a lla r la su m a d e la serie
§ 2. S e ríe s de fu nciones
1°. C a m p o d e c o n v e r g e n c i a .
1£1 c o n ju n to
argum ento x y para lo s que la serie de fu n cio n e s
de
lo s
valores
li (*) + / í ( * ) + •* •+ /n (*) _t" •* •
es convergente, se lla m a
cam po de convergencia
ele esta serie.
del
(1)
L
fu n ció n
S ( s ) — l i m S n (z),
n -* -c o
donde S n { x ) — /« (x)-\ -fz ( * ) + . - • + / » ( * ) y x pertenece a l ca m p o de c o n v e r ­
gencia, recibo e l nom bre de suma do la serie, y B n {x) = S ( x ) — S n (*), el de
resto de la serie.
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325
Series de funciones
En lo s casos m ás sim p les, para d eterm inar el ca m p o de convergencia
de la serie (1) basta a p lica r a esta serie lo s c o n o cid o s crite rio s de con ver­
gencia, con sid era n do x f i j o .
E j e m p l o 1. D eterm inar e l ca m p o de convergencia d e la serie
x+\
1 .2
Solución.
serie, tendremos
{* + !)*
(* + D »
+
2-2 z +
3 -2 *
+
D esign ando
, im
.
W
por m e d io de un el térm in o general
iinj
I“ni
, (* + ?£ ■
+ n ' 2 n + , '•
i x + i r 1^ »
2
Basándose en ol crite rio d e D *A lem bort se puede a firm a r que
con verg en te ( y además absolutam ente con vergen te), s i
07/7tf
104
i; la serie es d iverg en te, s i
< z < —3 o
si
a rm ó n ica 1 —1
l < s < c o
1
f
q
u
< 1» es decir,
flfc
si — 3 < x <
4
^
la serie es
-f
F i g.
.
la
_ i«+n.
2 * «("+ i> l* + l| “
-3
de
(fig .
e
104).
^>*,
Cuando x = í
es d ivergento, y
e s decir,
se
si — c o <
obtiene
i
cuando Xf= — 3,
la
serio
la serie
“ •> q110 (d0 acuerdo con e l crite rio de L eib n iz) es convergente
(pero n o absolutam ente).
E s decir, la serio con verge cuando — 3 < x < l .
2o. S e r i e s d o p o t e n c i a s . Para toda serie de potencias
c0 + Ci ( i — a) + c2 (ar — a ) * - f
(x — a)n + . . .
(3)
(cn y a so n núm eros reales) ex iste u n in te rv a lo (intervalo de convergencia)
| x — a | < / t con cen tro en e l p u n to x = a, en c u y o in torior la serie (3)
es absolutum ente convergente; cu a n d o |a:— a 1 > i? la serie es divergente.
E l radio de convergencia R puedo ser en casos particulares igual a 0 y a co .
En lo s pu n tos ex trem os dol in te rv a lo de con vergen cia x = a ± . R puedo tenor
lu gar, tauto la co n v erg en cia , co m o la divergoncia de la serie de potencias.
E l in terv a lo do con vergen cia se determina generalm ente p o r m edio de los
crite rio s d o D ’Alcrnbert o de C auchy, a p licá n d olo s a la serie formada por
los valores a b solu tos do lo s térm in os de la serio dada (3).
A p lic a n d o a la serie do lo s valores absolutos
1*0 I + 1c i I I
a I + •••+ 1 cn 11 * - a
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...
Series
los criterios de D’Alembert y de Cauchy, obtenemos respectivamente las
siguíontcs fórmalas para el raaio de convergencia de la serie de potencias (3);
R=
.
4 ? =
lim Y I cn I
n-voo
y
«=liin |-^-I.
n-*cc | cn+i I
No o b sta n te, h a y que e m p le a r lo s co n mucha p re ca u ció n , ya q u e , frecu en ­
tem en te, io s lím it e s q ue figu ran on lo s segu n dos m ie m b ro s do estas f ó r m u ­
las n o e x iste n . A sí, p o r e je m p lo , s i u n c o n ju n t o i n f i n i t o de c o e f ic i e n t e s
cn so anula ( l o que, en p a rticu la r, ocurre cuando la serio co n sta sola m en te
rio térm in os do p oten cia s pares, o so la m e n to de potencias im p a res de ( z — a))t
110 se pueden em p le a r las fó r m u la s in d icad as. D e b id o a e sto , se recom ien d a
<iut\ al determ in a r e l in te r v a lo d e c o n v e rg e n cia , se om p lee e l c r it e r io
do D ’ A lo m b e rt o el do C auchy d irecta m en te, c o m o so h iz o m ás a r r ib a al
in v e s tig a r lu serio (2), sin recu rrir a las fó r m u la s g en era les de d e te r m in a c ió n
dol ra d io de co n v erg e n cia .
Si z = x - { - i y es una v a ria b le c o m p l e ja , para la s e r ie de potencias
c0 + c { (z — z0) + c2 (z — 20)2 + . . . + * » ( * — zo)n + * - •
W
+
2o==J:o + ¿l/o) c h iste un d ete rm in a d o c í r c u l o (circulo de con ver­
gencia) |z — z0 \<^H co n e l ce n tro en el punto z = ¿ z 0, en c u y o in te r io r la
serie es absolu ta m en te c o n v e rg e n te ; cu a n d o \z —
la s e r ie es d i v e r ­
gente. En lo s pu n tos situ a d os en la m ism a c ir c u n fe r e n c ia de esto c ír c u lo
do co n v e rg e n cia , la serie (4) puede ser ta n to co n v e rg e n te co m o d iv org on tc.
E l c í r c u l o de co n ve rg en cia so determ in a , g e n e ra lm e n te , v a lié n d o s e d e lo s
crite rio s de D ’ A le m b e r t o d e C auchy, a p lic a d o s a la serie
I co I + 1<4 | • I z — zo 1+ 1cz I ' I 2 ~ 2o I2 + •• •+ 1 cn I * I2 — zo in + •••»
c u y o s térm in os son lo s m ó d u lo s d e lo s d o la s e r ie dada. A s í, p o r e j . ,
u t iliz a n d o el c r i t e r i o d e D ’ A le m b e rt es fá cil observar do q ue el c í r c u l o de
co n ve rg en cia de la serie
g -j-1
t
1-2 "1
(s +
l)S
2 ^
t
< « + 1 )3
,
,
(* +
! ) ”
n .2n
3-23
está determ inado p o r la d esig u a ld a d | z - f - l | < 2 (basta re p e tir las o p e r a c i o ­
nes q uo so h icie r o n en la pag. 288 para determ in a r el in te r v a lo d e c o n v e r ­
gen cia de la serie (2), y s u stitu ir x p o r z). E l c e n t r o d o l c ír c u lo d e c o n v e r ­
g e n cia esta on el punto z = — t , y e l ra d io H de esto c ír c u lo ( r a d i o de
co n v e rg e n cia ) o s ig u a l a 2.
3 ° . C o n v o r g o n c i a u n i f o r m o , La serie de fu n cion es (1) co n v e rg e
u n iform em en te en un in te rv a lo d e te rm in a d o, si para c u a lq u ie r e > O
s e puede h a lla r u n N ta l, q ue n o depen de de x , q u e cu a n d o n > TV, para
todos lo s v a lores d o x d e l in te rv a lo d a d o , so cu m p le la d esig u a ld a d
I Rn (*) |< e , donde fín ( x ) es ol resto de la serie dada.
Si |l n (x) |^ e n (n = l , 2, . . . ) para
y
la
s e r ie
num érica
fX>
2
cn es con verg en te, la s e r ie de f u n c io n e s (1) será a b so lu ta y
un iform e-
74=1
m en te co n verg en te en ol segm ento [a, b| (criterio de
La serio d e p oten cia s (3) con verge a b so lu ta y
uier segm ento situ ado d e n tro de su in te r v a lo do
o potencias (3) se puede d e riva r e in teg ra r térm ino
in te r v a lo de con verg e n cia (cuando | x — a | < / ? ) , es
3
* o + * i ( * — a ) + c 2 ( * — a )2 +
••- + * n ( x —
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W eierstra ss).
u n ifo rm e m e n te en c u a l con vorg on cia . La serie
a té rm in o d e n tr o de su
d e c ir , q ue si
= /
(x ),
(f>)
327
Series de funciones
entonces,
tenem os:
para
cu a lq u ier
c i+ 2 c 2 ( x —
X
del in te r v a lo
de con vergen cia
a ) + . . . + n c n (x — a ) * " 1 -*-
X
x
^ i? , ( a : — a) d x +
^ c 0 ¿/£ +
xo
x
la serie (3)
= /' (* ).
(6 )
X
^ c 2 (x — a)z dx-\- . . . —
xo
do
X<)
c * (a: — a)n d x - f - . . . =
xo
■
¿ c , te= y
(7)
n = 0
xo
(el núm ero x 0 tam b ién pertenece a l in te r v a lo d e con vergen cia d e la serio (3))
Adem ás, las series (6) y (7) tienen el m ism o in terv a lo de con vergen cia que
la serie (3).
H a lla r e l ca m p o de con v erg en cia de las series:
OQ
2 61 0.
OO
2
L .
2 51 8. 2
^
n=l
n=l
co
OO
2511. 2
25<9- 2 7 5 ^ 0 ^ •
n= 1
n=l
O 0
O O
2512.
2
( - l ) n+* ^
n=t
o siq
-
2 52 0.
71
— 2« — 1)2-
¿
2
2” « n p
•
2 52 2.
¿
.
2523.
n=0
J
.
x
oo
{ - l ) n+íe - " s e n * .
2524*. 2
(a7n - f - - ^ j ) .
n=0
7 i= l
oo
co
2
71—1
^
•
n = l
oo
2 51 7.
=
o o
J S " ”
2
¡ 4
n=l
c o
2 51 6.
2 « -j-1
(7r+i,oT2ñ •
j
n=0
n=0
2515-
•
X’
•
n= l
2 51 4.
2
co
X ' sen (2rc— 1 }*
j
^ ___
n=l
o o
2
.
•
2 52 5.
2
*“•
7l= -l
H a lla r el in te rv a lo de con v erg en cia de las sigu ien tes series de
p oten cia s e in v e stig a r la con v erg en cia en lo s extrem os de dich o
www.FreeLibros.me
328
Series
in te rv a lo :
oo
252 6.
oo
2539. ^
"^ T •
n=l
co
2 * “n=0
03
2527.
-ci
*n
2540.
71=1
y.
n ón*Id n
71= 2
co
CO
«SH aj2R-l
2528.
2j
71=1
03
2 52 9.
2541.
‘
2
* n!
n=í
co
2542**.
2 l (472— 3)2 '
71=1
2 « !* n'71=1
oo
2 53 0.
2
2 6 4 3 *- 2
n
n —i
oo
2531. 2
03
VI XnU
2 5 4 4 *. 2 V
•
n =í
(ft-t-l)5s 2n
• 2n + l
oo
OO
^ ( - l ) n( 2 » + l ) V \
t»=0
2546.
n—i. n! '
Y ( g - 3 ) tt
Ti- 5n
n= 1
03
oo
2534.
~ 5 )*
2-3* '
n=l
03
co
2533.
•
^
n= l
n —0
2532.
.n 2
°°
(— 1
2 relar".
n—1
71= 1
9a
*
CO
2535.
¿ $
71=1
■
2548. ^
( - 1)
71= 1
W-l (*
CO
2 53 6.
Z i
Tl=l
Un+ l )
‘
2549. ¿
n—i
03
OO
2537. 2
3 "V * .
n=0
2 55 0.
2
n=l
( f )"
2
71=1
co
***■
.
2551.
£
71=1
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'>n ( * + 3 ) n
— 2 ) 2”
329
Series de funciones
oo
9552
V
2j
^)n (2n — 1).2n •
2558. ¿
J fí ^ -
n=l
71=1
co
w -
h
n=l
- t r ^
S
S
^
-
2559*. 2
n=l
OO
oo
2554. ^
n=l
( l + - i ) ” 2 (* -1 )"-
w! (* + 3 )*
7171
2 5 6 0 .2
OO
(* + i)»
2555,
.
2 5 6 i . 2 ( - D n^ q : r ( * - 2 r .
2
( ¡ l + i ) i n * ( » + i)*
n=l
n =0
Oo
2 55 6. ■ÉJ
2 (rt
i- J
+ ílr) lrn3!a"
( n +r ln) •
n=l
n=0
oo
co
2557.
2 5 6 3 .2
(-l)n
(* ” 3>n
n—
0
n=l
D eterm in a r el c ír c u lo de co n v erg en cia :
2 56 4.
2
¿" 2 n-
2566-
71*0
2
•
T»= |
OO
2565.
S
oo
( l + « i ) z n.
2567. 2
n= 0
5
•
n= »0
2 56 8. (1 + 2í) + (1 + 2t) (3 + 2t) z + . . .
. . . + (1 + 2¿) (3 + 2 i ) . . . (2 b + 1 + 2¿) z n 4- . . .
2 5 6 9 . l + r L - + i r - i; ; _ ¿. ) ^ . . . .
z»
( 1 - 0 (1— 2 f).. .(1 — m) T
»™ -
¿
71= 0
>>■
2571.
P a rtie n d o del co n c e p to de con v erg en cia u n iform e, dem os­
trar que la serie
1 + x + z 2 -¡- ••• + * * +
n o co n v e rg e u n iform em en te en e l in te rv a lo ( — 1, 1 ), pero es uni ­
form em en te con v erg en te en cu a lq u ie r seg m en to situ a d o dentro d e é l-
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330
Series
Solución.
U tiliza n do la fórm u la do la suma do la p rog re sió n geo­
m étrica, para | z | < l obtenem os
j.n+1
R n ( z ) = x * + l + : r*+ 2 -r. . . = —
-.
T om em os ol segm ento [ — 1 + c t , 1 — a ] , dentro d e l in terv a lo ( — 1, 1)
donde a es un número p os itiv o tan p equeño c o m o se desee. En este segm ento
— a y |1 — z | > a y , por consiguiente,
Para dem ostrar la convergencia u n iform e do la serie dada
( — 1 + a , 1 — a ] , hace fa lta probar que para cu a lq u ier e > 0
un N tal, que dependa exclu siva m en te de e , y q ue para
so v erifiq u e la desigualdad
para t o d a s las
examinado.
Tom ando
cu alquier
e>0,
hacemos
que
de
(1 — a ) n+1 < c a , (n + 1) 1“ (1 — a ) < ln (e a ), es decir, n + \ >
l u ( l — a ) < 0)
—
y n >
—
en ol segm ento
se puede hallar
cu a lq u ie r n ^ > N
x d e l segm ento
TomaQd o ,
de
donde
} EJ,\ (ya que
ln (1 — a )
es fca
fo rm a ,
N=
_ i f qos convencem os d e que, e fectiva m en te, cuando n > i V , se
ln (1 — ct)
verifica la desigualdad |Rn (*) I < e para todas las x del segmento [ — 1 + a,
1 — a] y , por consiguiente, queda demostrada la convergencia uniforme de
la serie dada en cualquier segmento situado dontro del ( — 1, 1).
En lo que se rofiere a la totalidad del intervalo ( — 1, 1), éste contiene
puntos tan próximos como se desee al punto x = l , y como lim Rn (x) =
x-+\
= Jim z
x-+1 1
x
= co, por grande quo sea n, siempre se pueden hallar puntos x
para los quo Rn (x) será mayor que cualquier otro número, tan grande como se
deseo. Por consiguiente, es imposible elegir N tal, que para n > i V se
verifique la desigualdad |i?^(ar)|<e en t o d o s los puntos de! intervalo
( — 1, 1), lo que quiero decir, quo la convergencia de esta serie en dicho
intervalo ( — 1, i) no es uniformo.
2572.
trar que:
P artien do del co n ce p to de con v erg en cia u n iform e,
demos
a) la serie
1
X 4 -r~X2
— -l f
1 -4"i--------
1!
2!
. . . -j■
n\ '
1- . . .
converge u n iform em en te en cu a lq u ie r in terv a lo fin ito ;
b) la serie
Xz
1
con verge
(-1 . i);
( — 1)n- l x m
n
T •••
X4 ¿G
T + 3••" +
u n iform em en te
en
todo
el
in terv a lo
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de
con v erg en cia
334
Series de funciones
c ) la serie
2X
1
J3* . •• * +
J.
*r
con v erg e u n iform em en te en e l in terv a lo
núm ero p o s itiv o cu a lqu iera ;
d) la serie
° ° )» donde 6 es un
2n +2
( x z— s 4) - f ( s 4— x*) + (x*— x 8) + . . . + (z
es con vergen te, no s ó lo dentro del in terv a lo { — 1, 1 ), sin o tam bién
en lo s extrem os del m ism o, pero la con v erg en cia de la serio en el
in te rv a lo ( — 1, 1) no es uniform e.
Dem ostrar la con vergen cia u n iform e de las siguientes series de
fu n cion es en lo s in te rv a lo s q u e se in dican :
co
2573*
2
“ja " en
segm ento [ — 1; 1)-
n=* i
oo
2n
257 4.
n= i
en to d o e i e je num érico.
oo
2575.
2 (“
n=l
l ) 71” 1 ~ T :r en
se8m en to [0, 11.
V a lién d o se de la d e riv a ció n e in tegra ción té rm in o
h a lla r las sum as de las series:
rn
2576. x + - f
3
+ “n
T" + - •*
-n
2577. x
2 1 3
■271-1
2 57 8. x + 4 "
3
2 57 9. X-
‘ ^
5
3 +1 5
258 0. l + 2 x -t -3 x 2 +
2 5 8 1 . 1 — 3x 2 4 - 5 x 4~
1
2n —
1
'
+ ( - l ) n- l S
+
- -
-\~ (il -j- 1) x n -{- . . .
+ ( — í ) n- 1 ( 2 n — l ) x * n-* t
2 5 8 2 . 1 •2 4 - 2 ■3 x 4 - 3 •4 x 2 4 - . . . 4 - » (n + 1) x n"1
H a lla r las sum as de las series:
t>r OO
1
, 2
, 3
n
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a
térm in o,
332
Serles
a
^
* 1
i
^
>
3 . 3 ^ 5-32
7-33 ^ • ' #
(*—1)” 1
|
( 2 n ~ i ) 3 n-i~i~ ' ‘ *
• + ^ 2^— h •- •
258 6. -g" + ~22~ +
§ 3. S e rle de T a y lo r
1.
D e s a r r o l l o de u n a f u n c i ó n on s e r i o de p o t e n c i a s .
Si una fu n ción / (x) adm ite un d e s a r ro llo en serie de potencias do x — a m
un en torn o | x — a | < R d e l punto, a , esta serie (serie de T aylor) tendrá la
form a:
t(z)= f(a ) + j ' ( a ) ( x - a ) + í ^ & { z - a ) * + . . . + ! ? ? M ( x - a ) ' ' + . . .
(1)
Cuando <1= 0 , la serie de T a y lo r recibe tam b ién e l nom b re de serie de Alaclaurin. La igualdad (1) es cierta, s i para |x — a | < i ? el término com plem en­
tario de la fo rm u la do T a y lo r
n
R n ( z ) * = f ( x ) — [/<<z) + 2
~ ¿T "‘
* )* ] “ * 0
k=i
cuando n —> 00.
Para acotar el resto de la serie se puede em plear la fórm u la
Rn f r > - %
g r
/ 'n+1) la+<) ( l ~ a)]’ á o n d e O < 0 < l
(2)
(forma de Lagrange).
Ejemplo
1. D esa rrolla r la fu n c ió n / (x) = cha: en serie de potencias
do x.
Solución.
H alla m os las derivadas de la fu n c ió n dada / ( x ) = char1
/ ' ( * ) = sha:, / " ( a ) — c h i , f ”' ( x ) = s h x t
en general, / í n >(x) = ch z , s i n es
par, y /<n> (* ) = sh x , si n es im par. P on ien d o a = 0, obtenem os: f ( 0 ) = l ,
/ ' (0) — 0 , / ° ( 0 ) = l f f w (0) = 0
on general, /<n >(0) = l , s i n es par, y
/ ( « ) ( 0 ) = 0> s i n es im par. De don de, basándonos on (1), tenemos:
c k - í + ! - + - S - + . . . + ’g r + . ~
Para determinar el in te rv a lo do convergencia
crite rio de D ’A lem b ert. Tenem os:
x 2 rt+2
lim
n—veo
x 2n
( 2 * + 2)! • (2n)l
do
(3)
la serie (3) e m p lea m os el
(2n+l){2n + 2) °
para cu alquier x . P or con sigu ien te, la serie os convergente en e l in tervalo
— c o < £ < c o . El resto de la serie, de acuerdo co n la fó r m u la (2), tione la
forma
x n+1
R n ( * ) = 7— r i r r
s5 n es imPar» y
^n+i
fín (x) =
Como O > 0 > 1 ,
^ —
sh Q j, si n es par.
tendremos
ch Ox |= --------------------- < * M ,
|sh Qx |=
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2
1*1
S erie de T a ylor
por
lo cu al |R n (x ) I
e^ -
^a
333
ser*°
Cuy °
térm in o
general
es
I x ln
- ^ y — e s convergente para cu alquier x ( l o que es f á c i l de com probar v alién ­
dose del crite rio de D ’ A le m b e rt), p o r
necesario de convergencia
lo
que,
de acuerdo con el criterio
lim i( rn -i f '- 1iT) 1 r ^ 0,
n -»c o
y , por con sig u ie n te , lim R n ( x) = 0 cualquiera que sea x. Esto s ig n ifica , que
n-*oo
la suma d e la sexie (3), para cu a lq u ier x , es efectiva m en te igual a cha:.
2.
Procedim ientos
q u e se e m p l e a n al d e s a r r o l l a r
serie
de p o t e n c i a s .
V a lié n d o se d e lo s desarrollos fundamentales
I.
xn
+
X
j-3
seni = _ _ _ _ r +
3-5
( —CC< * <CO),
^2^+1
(_ co < x < co ),
£2
*4
x2n
III. eos a: = 1 ----- 2j— I—4]-----------------------------------------( ~ c o < x < c o ) .
iv.
a + * r = i + ^ - z + m(y
) » 2+ ...
m j m - l ) . . . j m - n + i ) x n + . . . ( _ 1 < g < 1 ) .),
71}
y de la fórm u la de la suma d e la p ro g re sión g eom étrica se püede, on muchos
casos, ob ten er fá cilm en te e l d e s a r ro llo de una fu n ció n dada en serio de
poten cia s, sin que haya necesidad do in vestigar el resto de la serie. A veces,
a l hacer el desarrollo, es con ven ien te u tiliz a r la d e r iv a c ió n o integración
té rm in o a térm in o. Cuando se trate de desarrollar on serie de potencias^fun­
cio n e s racionales, se recom ien da desarrollar dichas fu n cion es en fracciones
sim ples.
E j e m p l o 2. D esarrollar en serie de p oten cia s de x ••) la fu n ción
u , __________ 3
/W
(1 _ * ) ( 1 + 2 x )
Solución.
1
D esarrollan do la fu n ción en fra ccion es sim p le s, tendremos:
/(I )i- n r + T T 2 í '
*) En lo s extrem os d e l in te r v a lo de convorgencia (es decir, cuando
1 y x ~ \ ) ol d esa rrollo I V se co m p o rta de la sigu ien te manera: si
0 , con verge absolutam ente en am bos extrem os; si 0 > m > — 5, diverge
cuando a r= — 1 y con verge co n d icio n a lm e n to cuando x = l\ s i m ^ — 1, diverge
en am bos extremos.
**) A q u í, lo m ism o que en lo su cesivo, se sob re en t i onde «potencias
enteras y positivas».
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en
334
Series
Como
OO
Tl _ = 1 + , + , ! + . . . «
2
(4)
n=0
30
(5)
n<s»0
en d e fin itiv a tenemos,
00
co
/<*)= 2
*n + 2 2 (— l)n 2ni n= 2
71=0
Los
progresiones
n=0
geom étricas (4) y
cuando |x |< i y |x |< - i - ;
[ l + ( - i ) n 2n+1]*"-
(6)
n=0
por
(5) son
convergentes respectivam ente
co n sig u ien te,
1
1
la
fó r m u la
(6)
os
cierta
1
cuando |x | < — . es d e cir, cuando — -t— < x < — .
3o. S e r i e d e T a y l o r p a r a f u n c i o n e s d o d o s v a r i a b l e s .
E l d osa rrollo d e una fu n ción de d os variables / (a;, y) cn la serie de T a y lo r.
en un entorno dol p u n to (a; ó), tiene la forma
/(* . » ) - / ( « . » ) + T f
* )+ -¿ -[(* -« )-=
dxr +
U « - l ) ^ ] 2 f ( a . b ) + . . . + ± [ ( X - a ) - ¿ + ( y - b ) J ¿ Y f ( a , b ) + . . . ( 7)
Si a = f>=rO, la serie de T a y lo r se llama tam b ién [serie de M aclaurin.
este caso, se usan las sigu icn tos notaciones:
0 - « ) £ + f e - S ) ■ £ - ] /< .,
x«=a
<*-«)■
»)
I/=b
+2
a2/ (*, »)
L
dr2
x=a
y*=b
x=a
?/—b
(* -«)* +
(x — a) (y — 6) +
ly=b
En
y)fi
dy2
( y — 6 )2 .
i/-b
El d esa rrollo de la serie (7) tiene lugar, si el rosto de la serie
n
/ ? „ ( * , * ) - / < * . * ) + { / < « , *>+ 2
^
[ (x- a) ¿ + (*'“ fr)¿ ] fe/ (a‘ 6)} ~ * 0
h=i
cuando « —> c o . El resto de la serie puede represontarse en la form a
R» < * • »(n-M
> =)I [
0
(* ■- “ ) £ + < * - - b) ^
] " + 1 1 (* .» ) x=a+6(x-fi)
y=b-HKl/—b)
donde O < 0 < 1.
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Serie de T a ylor
335
D esarrollar cu serie do poten cias enteras y p o s itiv a s de x las
fu n cion es q u e se in d ica n a c o n tin u a c ió n , h a lla r lo s in tervalos de
co n v erg en cia de las series ob ten id as e in vestiga r e l com portam iento
de lo s restos d e las m ism as:
2 5 8 7 . ax ( a > 0 ).
,
2 58 9. e o s ( x + a).
^ ,
2 58 8. sen
•
2 59 0. sen2 a:.
2591*. l n ( 2 + x ).
U tiliz a n d o lo s desarrollos fu n dam en tales I — V y la progresión
g e o m é trica , e scrib ir e l d e sa rro llo en serie de poten cias de x , de las
sig u ien tes fu n c io n e s e in d ica r los in te rv a lo s de con vergen cia de
e lla s *
2 * -3
2 59 8. eos2 x.
259 2.
<x
2 5 9 9 . sen 3a: + x eos 3a;.
2 59 3.
.
2600.
2594.
'2
26Q1_
2 5 9 5 . e*\
i
V*-
2596. s h x .
2602- i o r S -
2 59 7. eos 2x.
2 60 3.
ln (1 + s — 2a:2).
A p lic a n d o la d e r iv a ció n , d esarrollar en serie de poten cias de x,
la s sig u ie n te s fu n cion es e in d ica r los in terv a los e n 4 que dichos
d esarrollos tien en lu ga r:
2 6 0 4 . (1 +■ x ) ln (1 - f x ).
2606. aresen x . 2 60 5. a r c t g x .
2 60 7. ln ( x - f - 1 ^ 1 + £ 2)V a lié n d o s e de d iferen tes p roced im ien tos, d esarrollar en serie de
p oten cias de x , las fu n cio n e s que se dan a co n tin u a ció n e indicar
los in terv a lo s en q u e d ich o s desarrollos tien en lugar:
2 60 8. son2 x eos2 x.
2 61 6.
2609. ( i + x ) e .-X
x
2 61 0. (1 + e*)3.
2 61 1. Y S + x .
2612.
x 2 -3 x +
l
\
0
I
2617.
\ e ~ x2d x.
o
261H.
^ \n(i+x)dx
.
*2- 5 * + 6 ’
2 61 3. c h 3 x.
s
0
2614.
1
* 01* - 4—
•
2 61 5. ln (x 2 + 3 x - f 2 ).
X
2619.
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\ ~ J ^ = r .
Í V 1- * 4
336
Series
E scrib ir lo s tres prim eros térm in os d iferen tes de cero, do los
desarrollos en serie de poten cias de x de la s sig u ien tes fu n cion es:
2620.
t g x.
2623, seca:.
2621.
thx.
2624. l n c o s 2 .
2622.
ecosx.
2625. ensena:.
2626*. D em ostrar, que para c a lc u la r la lo n g itu d de la elipse se
puede u tiliz a r la fó rm u la aproxim ada
5 « 2 jia ( l — —
.
donde e es la excen tricid a d y 2 a el e je m ayor de la elipse.
2627. U n h i l o posado suspendido p or sus extrem os form a ,
su propio peso, la caten aria y = a c h - í - , siendo a
p or
, donde H es
la ten sión h orizon ta l del h ilo y q el peso de una unidad de
lon g itu d del m ism o. D em ostra r, que para v alores pequeños de x ,
puede a dm itirse, con a p ro x im a ció n hasta una ca n tida d del orden
x2
do
que el, h ilo cu elg a form a n d o la p a rá bola y = a + i r -
2628.
poten cias
2 62 9.
potencias
2630.
D esarrollar la fu n ció n rr3 — 2 x 3 — 5o: — 2 en serie do
de 2 + 4.
f ( x ) — 5 2 3 — 4 2 a — 3x + 2. D esa rrolla r / ( x + ft) en serie de
de h .
D esa rrolla r \ n x en serie de p oten cias de 2 — 1.
2631. D esa rrolla r
en
serie de p oten cias de 2 — 1.
2632. D e s a r r o lla r -^ -
en serie de
2 63 3. D esa rrolla r
+ '43.^7
2634. D esa rrolla r
2635. D esa rrolla r
ex
p oten cias de z + 1.
en
serie de p oten cias de 2 + 4.
en
ser*e
enserie de
p oten cias de 2 + 2.
p oten cias de 2 + 2.
en serie de p oten cias de 2 — 4.
2636. D esa rrolla r ^
ji
2637. D esa rrolla r cos x en serie de poten cias de 2 — ^"* •
n
263 8. D esa rrolla r cos s 2 en serie de poten cias de 2 — ^
2639*. D esarrollar ln 2 en serie d e p oten cias de
2 64 0. D esa rrolla r
^
^
\ zf*x '
en serie de p oten cias de
2641. ¿Qué error se com ete si se supone q u e aproxim adam ente
e « 2 - | - ^ r + -^y- + -^ r?
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S e r ie de T a y l o r
337
2 6 4 2 . ¿Con qué e x a ctitu d se. c a lcu la rá e l núm ero
si se em ­
plea la serie
2a
X*
*r + —
o
a r c tg x = x
tom ando la
suma de sus cin c o p rim eros térm inos con x = l ?
2643*. C a lcu la r el núm ero
con ex a ctitu d hasta 0 ,0 0 1 , v a lién ­
dose del d e sa rro llo en serie de p oten cia s de x , de la
aresen x (véa se e l e jem p lo 2606).
2 64 4. ¿Cuántos térm in os hay que tom ar de la serie
f unc i ón
eos x ^ i1 — ** + . . . ,
p a ra c a lc u la r el eos 18° con e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 1 ?
2 6 4 5 . ¿Cuántos té rm in o s h a y que tom a r de la serie
x3
sen a: =
,
para c a lc u la r el sen 15° con e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 0 1 ?
2 64 6. ¿C uántos térm in os h a y que tom a r de la serie
X
A
,
x
x2
,
¿ — 1 + “J f + “2 [ " + ••» »
para h a lla r el núm ero e con ex a ctitu d hasta 0,0001?
2647. ¿C uántos térm in os h a y que tom ar de la serje
1n (1 -\-x) = x — ^ - + . . . ,
para ca lcu la r c! ln 2 js o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 y hasta 0 .001?
2 64 8. C a lcu la r \yr 7
con
e x a ctitu d
hasta
0 ,0 1 ,
p or
m edio
del
d e sa rrollo de la fu n ció n y r S -\ -z en serie de p oten cias de x .
2 64 9. A c la r a r
la proceden cia de la fórm u la aproxim ada
l/"a2 -|-^ ^ f t - | * - ^ '( f l > 0 ) , ca lcu la r co n ella ] / 2 3 ,
Lomando a = 5,
y v a lo ra r e l e rro r com etido.
2650. C a lcu la r y 19 con e x a ctitu d hasta 0 ,00 1 .
2 65 1. ¿Para q u é v a lo re s do x la fó rm u la aproxim ada
COS X
A
1
X2
Y
da un error n o m ayor de 0 ,0 1 ; 0,001 y 0,0001?
2 65 2. ¿Para qué v a lo re s de x la fó rm u la aproxim ada
sen x & x
22-1016
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338
Series
da un error no m a yor de 0,01 y
0 ,0 0 1 ?
1/2
2653* C a lcu la r
\ »~en x- d x con ex a ctitu d hasta 0 ,0 0 0 1 .
r.i
*
0
1
2 65 4. C alcu la r ^ e ~ xZd x co n e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 0 1 .
0
1
2655. C a lcu la r jj l i c e o s x d x con e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 1 .
0
1
2 65 6. C a lcu la r
\ s e a * dx co n e x a ctitu d h a sta 0 ,0 0 1 .
o V »
1/4
2 65 7. C a lcu la r
________
jj Y 1 + x * d x co n e x a ctitu d h a sta 0 ,0 0 0 1 .
1/9
2658. C a lcu la r
^ ] /" x e x d x con e x a ctitu d h a sta 0 ,00 1 .
o
2 65 9; D esa rrolla r en serie de p oten cias de x e y la fu n ció n
c o s (£ — y ) y h a lla r e l cam po de con v erg en cia de la serie obtenida
y a n a liza r el resto de la m ism a.
E s c r ib ir o l d e sa rro llo en serie de p oten cias de x e y de las
sigu ien tes fu n cion es e in d ica r sus cam pos de con v erg en cia :
266 0. se n a :-se n y .
2663*. ln ( 1 — x — y - ^ x y ) .
2 66 1. sen(a:2 + |/2).
2664*. a rctg
2 6 6 2 *.
i + * —u
■
.
2665. f ( x , y ) = a x 2 + 2 b xy-\ -cy* D e s a rro lla r f ( x + h , y + Ic) en
serie de poten cias de h y A.
2 66 6. / (x, y) = s 3 — 2í/3 + 3 z y . H a l l a r e l in crem en to de esta
ht
fu n ción a l pasar de lo s v alores £ = 1, y = 2, a lo s v a lo re s x =
y = 2 + fc.
2 66 7. D esa rrolla r la fu n ció n e x+v en serie de p oten cias de
x — 2 e y -f-2 .
2668. D esa rrolla r la fu n ción sen ( x + y) en serie de p oten cias
,
jt
de x e y — tt *
¿t
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Serles de Fourler
339
E s c r ib ir io s tres o cu a tro p rim eros térm in os del d e sa rro llo en
se rie d e p oten cia s do x e y de la s sig u ien tes fu n cion es:
2 6 6 9 . ex c o s y .
2 6 7 0 . ( l + * ) 1+y.
§ 4. S e rle s de F o u rle r
1. T e o r e m a
de
D i r i c h l o t .
Se d ic e q u o u n a f u n c ió n / (z ) s a tis ­
f a c e a l a s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t e n u n i n t e r v a l o ( a , b)t s i e n e s t e i n t e r ­
v a l o la f u n c ió n
1) e s t á u n i f o r m e m e n t o a c o t a d a , e s d e c i r , |/ ( * ) ) • < A / p a r a a < z < 6 ,
d on d e M es una con sta n te;
2) n o tie n e m á s q u e u n n ú m e ro fin it o d e p u n to s de d is c o n tin u id a d
y t o a o s e l l o s d o I a e s p e c ie (es d e c i r , q u e o n c a d a p u n t o d e d i s c o n t i n u id a d
£
l a f u n c i ó n / ( z )t i o n c u n l í m i t e f i n i t o a la i z q u ie r d a / ( g - f 0 ) = l i m / (£ — e )
y
un lím ite f in it o a la
d e r e c h a / ( 5 + 0 ) = l i m / ( £ + c ) <e >
0»;
c**0
3 ) n o tien e m á s q u e u n n ú m e ro f in it o de p u n to s de e x tr e m o s e stricto s.
E l teorem a d e
D irich let a firm a , quo tod a fu n ció n / (x ) que
s a tisfa g a en
el
i n t e r v a l o ( — n , ai) l n s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t e n c u a l q u i e r
p u n to x de
e s to in t e r v a lo , e n qu e j ( x ) sea c o n t in u a , é s ta so p u ed e d e s a r r o lla r e n se rie
tr ig o n o m é tr ica de F ou rier:
f (x) = - y - +
ai e o s X + b 1 s e n x + a 2 e o s 2 x + b 2 s e n 2 x + . . .
. . . -\ -a n e o s n x -\ -b n s o n n x -\ - . . . ,
e n q u e l o s c o e f i c i e n t e s d e F o u r i e r a n y bn s o c a l c u l a n p o r l a s
(1)
fórm u la s
n
an'=— 5 / (*) C°S nxdx ( n= 0, 1 , 2 , . . . ) ;
—rr
1
bn = —
n
■"*
^ / ( z ) s o n n x d x (n = í , 2, . . .).
—n
S i x e s u n p u n t o d o d i s c o n t i n u i d a d d o l a f u n c i ó n f ( x ) p e r t o n e c i e n t o al
i n t e r v a lo { — jt, ji), la s u m a de
la s e rie d e F o u r ie r
S {x) seráig u a l
al a
m e d i a a r i t m é t i c a d e I 09 l í m i t e s
a la i z q u i e r d a y a
l a d e r e c h a d e la f u n ­
ció n :
S(x) = - L [ f ( x - 0 ) + f ( x + 0 ) ) .
En
lo s extrem os del in te rv a lo z =
—
ti
y x = n
£ ( - n ) = ¿ < j T ) = - i - [ / ( — j, + Q) + / ( n _ 0 ) ! .
2. S e r i e s i n c o m p l e t a s
de
F o u r i e r . S i la
p a r ( o s d e c i r , s i f ( — x ) = f ( x ) ) , e n t o n c e s , e n l a f ó r m u l a (1 )
fu n ció n
/ (z)
es
* * «0 (1 1 = 1 , 2 , . . . )
22*
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340
Series
y
rt
2 l*
an - ^ — \ I ( x ) c o s n x d x ( x — 0, 1, 2, . . . ) •
•H
0
Si
la fu n ció n f ( x) es im par
= 0 ( « =M:0, 1, 2, . . . ) y
(es
decir,
si
/ ( — x)r*= — / (x)),
e n ton ces,
rr
/ (ar) sen n i da? (n = l , 2, . . . ) .
Ó
Una fu n c ió n , dada en el in tervalo (ü, n), se puedo p ro lo n g a r, a v o lu n ta d ,
en el in te r v a lo <— n , U) c o m o par o co m o impar; p o r co n sig u ie n te, puede
desarrollarse on ol in terv a lo (0, ji), en serios in co m p leta s d o Fourier, com o
se dosee^ en serie de senos o de cosenos de arcos m ú lt ip le s .
3. S e r i e s
de F o u r i e r d e
período
21. Si una fu n ció n /(a?)
satisface las co n d icion es de D irich let en un in te rv a lo ( — 11 l) de lo n g itu d
2í,
para los puntos do co n tin u id a d d o la fu n ció n , pertenecientes a este
in terva lo, so v erifica rá e l desarrollo
,
i
\
<*n
.
nx i i
1 ( j ) = -^i + a 1c o s —
rt*
, ,
2 jii
- f iq s o n — — |-&2 cos —
, ,
+ ó2 sen
2jti
l
«"II , ,
nnx
. . -|- an cos — ----- !- bn sen — ~
donde
an = ~
l { x ) C 0 3 ~ - d x (n = 0, 1, 2 , . . . ) »
—i
i
'n— T
\ '
-i
j
(2)
(*) sen ^ ^ - d x {n = 1, 2, . . . ) .
En lo s puntos de d isco n tin u id a d de la fu n ció n / (.r) y en lo s e x trem os del
in terv a lo x = ± U la suma de la serie de Fourier se determ ina a n á loga ­
m ente a co m o se hace cuando se desarrolla en el in terv a lo ( — n , n).
En e l caso do quo la fu n ció n /(a?) se desarrolle cm serio de Fourier cn
un in terv a lo a rb itra rio (a, a + 2 í ) do lo n g itu d 2/, los lím ite s de in teg ra ción
en las fórm u la s (2) debe su stituirse, respectivam ente, p o r cz y a + 21.
D esa rrolla r en series de F o u rie r, en e l in te rv a lo ( — Jt, n ), las
fu n ció n os que so in d ica n a c o n t in u a c ió n , d eterm in ar la sum a de
la s serios en lo s pu n tos de d isco n tin u id a d y en lo s extrem os del
in te rv a lo ( x = — Jt, x ~ rt), co n s tru ir la gráfi ca de l a p rop ia fun­
c i ó n y de la Suma de la serie corresp on d ien te (d en tro y fuera del
in te rv a lo ( — ji, k )):
c { para
2671. / ( * ) = {
c2
y>
—
0 < x < n .
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S eries de Fouricr
341
E xa m in a r e l ca so p a rticu la r en que c £— — d , c2 = l .
a x para —
2 67 2. / ( * ) =
bx
0 < x<rc.
»
E xa m in a r los casos p a rticu la res: a ) a = 6 = 1 ; b) a = — 1, 6 — 1;
c) a — 0 , 6 = 1 ; ti) a — .1 . 6 = 0 .
2 67 3. f { x ) = x \
2 67 6. / (¿r) = c o s as.
2 67 4.
/ ( x ) = ea*.
2677. / ( x ) = s h a x .
2 67 5.
/ (x ) = sen a x .
2678. / (x ) = ch ax.
2 67 9.
D e sa rro lla r en serie de F o u ricr la f unc i ó n
x ,
en el in te r v a lo ( 0 , 2 ji).
2 68 0. D e sa rro lla r
la
fu n ció n
/(x )-^ -,
en el in te rv a lo (0 , n ),
en serio de senos de arcos m ú ltip le s. E m pléese e l desarrollo
ob ten id o para la sum a de las series n u m éricas sigu ien tes:
a) 1 — §- + -5 — — + •••;
1 + 5- - T ' _ F + I 3 + I 7 -
•••’
c ) 1 — y ' + y — J7 + Í 3 — •■•
D esarrollar en serios in co m p le ta s de F ou ricr, en e l in terv a lo
(0 , n ), la s f unci ones que se in d ica n a co n tin u a ció n : a) cn sories
de sen os de a rcos múl t i pl es, b) en series de cosen os de arcos m úl­
tip les. D ib u ja r las g rá fica s de la s f unci ones y las g rá fica s de las
sum as de la s correspon d ien tes series en sus cam pos do ex isten cia .
268 1. / ( x ) — x . Val i éndos e del d e sa rro llo quo se ob ten ga , hal l ar
la sum a de la serio
. . 1 . 1
t 5*
268 2.
/ ( x ) = x 2. V a lié n d o s e d e l d e sa rro llo que se obten ga, hal l ar
las sum as de las series nu m éricas:
1) l + - p - + - p - + • ••;
2) 1
" J T + • ••
268 3. ¡ ( x ) = eax
ji
2684. / ( x ) =
T
0 para y < x < n:.
x para 0 < s < y ,
2 68 5. / ( * ) =
“%
jx — x para y < x <
n-
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342
Series
D esa rrolla r, on e l in te rv a lo (0 ,
m ú ltip les, las sigu ien tos fu n cion es:
ji)
x para 0 < x < ~
en serie de senos de arcos
,
2686. f ( x ) =
0 para — < C x < i n .
2 68 7. } ( z ) = z ( K - x ) .
2688. / (x) = sen y .
D esarrollar, en el in te rv a lo (0 , n )
m ú ltip les, las fu n cion es:
en serie de cosen os de arcos
1 para
2689. / ( * ) = { J
para h < x < C rt.
1— y
para 0 < x < 2 h.
2 69 0. f ( x )
K0 para 2h < x < n.
2 69 1. f (x) = x s o n x .
n
c o s x para 0 < x < — ,
2692. / (x) =
— c o s x para
ü
ot.
2
2 69 3. V alién dose del d esa rrollo de la s fu n cio n e s x y x : en el
in terv a lo (0 , J t ) , en serie de cosen os de a rcos m ú ltip le s (véan se
los Nos 2681, 2 68 2), dem ostrar la igu ald ad
co
2
cos n x
3:r2 — 6jt£ +
2 a 2 /r> .
. N
n=i
2694**'. D em ostrar, q u e si la fu n c ió n / (x)
tiem po
/
+
— — / (4 ^ —
su
serie
es p a r y a l m ism o
de
F ou rier
en
el
in te rv a lo ( — n , j i ) representa de p or sí e l d e sa rro llo en serie de
cosenos de arcos m ú ltip le s im pares, m ien tra s que si la fu n c ió n / (x)
es im par y
1 { ' Y + x ') = f [ t Í — x ) • se
d esa rrolla
en
el
in ter­
v a lo ( — ji , ji ) en serie de senos de a rcos m ú ltip le s im pares.
D esarrollar las sig u ien tes fu n cio n e s en series de F o u rier, en
lo s in terv a lo s que se in d ica n :
2695. f ( x ) = \x\ ( — 1 < x < 1 ) .
2696. f ( z ) = 2 x ( 0 < x < 1).
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Series de Fourier
269 7. f ( x ) - e *
343
( - l < x < l ) .
2 69 8. f ( x ) = 10 — x ( 5 < x < 15).
D esa rro lla r, en series in com p leta s de F ourier en lo s in tervalos
que se in d ica n : a) en serie de senos de arcos m ú ltip lo s, y b) en
serie de cosen os do a rcos m ú ltip les, la s sig u ie n te s funciones:
2 69 9. / ( * ) = 1
( 0 < íf< 1 ) .
2 70 0. f ( x ) = x
(0 < * < / ) .
2 70 1. f ( z ) = x 2 ( 0 < * < 2 j t ) .
x
2 70 2. f ( x ) =
2 70 3.
para
2 — s para 1 <
D e s a rro lla r la
«r < 2.
fu n ción sig u ien te on serie do cosenos de
a rcos m ú ltip le s , en e l in te rv a lo ( y , 3^ ,
/(*) =
1
3
para y < x < 2 ,
3 — x para 2 < z < 3 .
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C apítu lo I X
ECUACIONES D IFE R E N C IA LE S
§ I o, V e rific a c ió n de las solucio nes, Formación de las ecuaciones
d ife re n c ia le s de f a m i li a s de curvas, Condiciones in ic ia le s,
1. C o n c e p t o s
fundamentales.
F ( x , y, y' ,
La e cu a ció n de la forma
*,<>») = O,
(1)
dondo !/==!/ (x) os la fun ción q ue se busca, so llam a ecuación diferencial de
orden n-sitno, Cualquier fu n ció n y = :<p(z)
cp(:r) que transformo la ecuación
ecu ación (1) en
on
identidad, recibe, ol nom bre de soluc
tetón de esta ecu ación , y la gráfica de
d ich a fu n ció n se llama curva integral.. Si la so lu ció n so da en forma im plícita,
y) — 0, generalmente, recibo ol nombro de integral.
E j e m p l o 1. Probar, que la fu n ción y = sen x es s o lu c ió n de la ecuación
Solución.
Tenemos:
y ' = cosa;,
— sen x.
y, p o r con sigu ionio,
y * + !/ = — sen x 4 - son x s 0.
La integral
<]> (a\ y y C j,
C,t) = 0
(2)
de la ecuación d iferen cial (1), que contiene n constantes arbitrarias indepen­
dientes CXy .
Cn y quo es eq uivalente (en el cam po dado) a In e cu a ció n (1),
se llama integral general de esta ecuación (en ol cam po correspondiente).
Dando valores determinados a las constantes C t, . . . , Cn en la relación (2),
se obtiene una integral particular do la ecu ación (1).
Recíprocam ente, teniendo una fa m ilia de curvas (2) y ex clu y e n d o lo s
parámetros C i9 .
Cn del sistema de ecuaciones
/¿(T)
"**
“d T ^ 0» •••» " d ? r = 0 »
se obtiono, cn general, una ecu ación diferen cia ! do la form a (1), cu ya in tegral,
cn el campo correspondiente, os Ja re la ción (2).
E j e m p l o 2. Hallar la ecuación d iferen cial de la fa m ilia de parábolas
y = C i ( z - C 2)*.
Solución.
(3)
Derivando d os veces ia e x p re sió n (3), tendremos:
y ' = 2Ci { z - C 2) e * " - 2 C , .
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(4)
V erificación de las soluciones
345
E x c lu y e n d o de las ecuaciones (3) y (4) los parámetros C { y C2f hallam os la
ecu ación d iferen cial que buscábamos
Es fá cil com p rob a r quo la fu n c ió n (3) transforma esta ecu ación en identidad.
2o. C o n d i c i o n e s
iniciales.
Si para la s o lu c ió n particular
y = j/(x) de la ecu a ció n diferencial
»<*>=/<*. y, y '
y'” - 1*)
(5>
se dan las condiciones in icia les (problema de Cauchy)
y ( x o ) = vc>’ y ’ ( z o ) = y ; ............ !/( n - I > ( * o ) = ^ n - 1 )
y so con o ce la solución general de la ecu ación (5)
V — T(** CV •••> Cn)y
las constantes a rbitrarias C¡, .
sistema de ecuaciones
C7l se determinan, s i e ll o es p o sib le , del
yo = <P(*o* ^i» — » ^V/)>
l/ó — (P/ (*0> ^1» •••i Cn)i
y(n-i) = {p(n-l)(xQt c ít
Ejem plo
c n)t
3. H a lla r la curva de la fam ilia
y = ClC* + C2e-zx,
(6)-
q ue tiene y ( 0 ) = l o y ' ( 0 ) — — 2.
S o l u c i ó n . Tenem os:
(7)
P o n ien d o :r= -0 , en las fórm u la s (6) y (7), tenemos:
1 = C ,-1-CZt - 2 =*Ct - 2 C z ,
de donde
Ci = 0.
C2^ l
y , por con sigu ien te,
y=
2*.
A v e rig u a r, si son so lu cio n e s de las ecu a cion es d ife re n cia les que­
so dan, l as f unci ones que se in d ica n :
2 70 4. x y ' = 2 y % t/ = 5 z 2.
2 70 5. y ’ = x * + y 2,
y = ± .
2 7 0 6 . ( x -\ - y ) d x - \ ~ x d y = ^ Ü f y =
2 70 7. {/’ + y = 0,
C 2-X 2
^
.
y = 3 s e n a : — 4cos^.
2 70 8. -^77- + <*>2* = 0»
# = C t eos (út + C2 sen<*>/.
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E cuaciones diferenciales
346
270 9. y " — 2 j/'-| -y = 0 ;
a) y = x e x,
b) y = x 2e x.
2710. y " — (Xj -f- ^ 2) y ' + A.jA-2 y — 0,
f/ = C1e ^ 5C4 - C 2e ^ “ .
D em ostra r, q u e la s re la cio n e s q u e se in d ica n son in te g ra le s de
la s ecu a cion es d ife re n cia le s que se dan:
2711. (x — 2 y )y ' = 2 x — y,
2 7 1 2 . { x — y ~ r \ ) y ' — 1,
x 2 — x y + y ? = C2.
y = x + C e v.
2 7 1 3 . ( x y — x ) y ” + x y '2 + y y ' — 2 y ' = 0 ,
y = !n (a ;y ).
F orm ar las e cu a cio n e s d ife re n cia le s d e las f ami l i as de cu rva s
q u e se dan (C, C¡, C 2, C3 son con stan tes a rbitrarias);
2714. y = Cx.
2 7 1 5 . y = C x 2.
2 7 2 1 . ln -
= 1 + ay
y
(a es u n p arám etro).
2 7 1 6 . y 2 = 2C x.
2 72 2. ( y - y < > y ~ 2 p z
2 7 1 7 . a:2 + í/2 = Cs.
(y0, p son parám etros).
271 8. y = C ex .
2 72 3. y ^ C ^ + Cze-*.
2 71 9. x 2 = C ( x 2- y 2).
2720. y2 + ±
^ ^2
= 2 + Ce
2.
2 7 2 4 . y = Cx eos 2 x -(- Cz sen 2 x .
2 7 2 5 _ = (C i +
^ + ^
X
2 7 2 6 . F orm ar la e cu a ció n d ife re n cia l de todas las recta s del
p la n o X O Y .
2 72 7. F orm ar la e cu a ció n d ife re n cia l de todas la s parábolas
c o n eje v e r tic a l en e l p la n o X O Y .
2 72 8. F orm ar la e cu a ció n d ife re n cia l de todas las circu n fe re n ­
cia s en e l p la n o X O Y .
H a lla r, para las fa m ilia s d e cu rv a s q u e se dan , las lín ea s que
sa tisfa g a n a las co n d icio n e s in icia le s q u e se in d ica n :
2 7 2 9 . x 2— y2 = C,
y ( 0 ) = 5.
2 73 0. y - ( C í + £?**)«**,
y (0 ) = 0,
2 73 1. y — C ¡ s e n ( x — C2),
y(n ) = i,
y ' (0) = 1.
y'(n)-0.
2 7 3 2 . y = C te-X + C2ex + C3e 2X;
y (0) = 0,
y ' (0) = 1 ,
y" (0 ) = — 2.
§ 2. Ecuaciones d if e r e n c ia l e s de l 0r orden
I o. F o r m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r o n c i a l e s d o 1er o r d e n .
La ecuación diferencial de 1er ordon con una función y incógnita resuelta con
relación a la derivada y', tiene la forma
y' = f ( x , y ) ,
(1)
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E cuaciones diferenciales de l tr orden
347
d o n d o f (x, y ) t e s una fu n ció n dada. En a lg u n o s casos, es con ven ion te c o n s i­
d e r a r com o fu n c ió n in có g n ita la v aria b le x y e s c r ib ir la ecu a ció n (1) en la
form a
* ' - g < *.*),
d o n d e g (x , y ) = —
T en ien d o
-—
.
en cu enta
quo y ' = '^ r m y x ' 4 — » la s ecuaciones diforen cia les
dx
dy
<1) y (1 ') se pueden e s c r ib ir en form a sim étrica
P ( x %y ) d x + Q { x , y ) d y = 0,
( 2)
d o n d e P (a:, i/) y «? (x, i/) son fu n cion es con ocid a s.
P or s o l u c i ó n ae la e c u a c ió n (2) se en tien d o la fu n ció n de la forma
j/ = (p (x ) o ar = i|)(y), que sa tisfa ce a esta ecu ación . L a in tegral general do las
e c u a c io n e s (1) y (1'), o de la e c u a c ió n (2), tiene la forma
<D(:r, y , C) = 0,
d o n d e C es una con sta n te arbitraria.
2o. C a m p o d e d i r e c c i o n e s .
E l c o n ju n to de d ireccion es
t g a = f ( x y y)
ae llam a cam po de direcciones de la ecu ación d ife ren cia l ( í ) y se representa
g en era lm en te p o r m e d io de un sistem a de ra y ita s o de flech a s co n un ángulo
d e in c lin a c ió n a .
L as cu rv a s / (x, y) — k> on cu y os pu n tos la in c lin a c ió n d e l cam po tiene
u n v a lo r con stan te k , s e lla m a n isoclinas. C on struyendo las is o clin a s y el
« a m p o d e d ir e c c io n e s , en lo s ca so s m ás sim p le s se puede d ib u ja r a p r o x i­
m a d a m e n te e l ca m p o de las curvas in tegrales, con sid erándose estas últim as
«o rn o curvas, q ue en cada u n o de sus pu n tos tie n e n la d ir e c c ió n dada dei
ca m p o .
E jo m p lo
1. C on struir, p o r el m é to d o
d e las curvas in te g ra le s de la e c u a c ió n
y ' = x.
do las is o c lin a s , el cam po
S o l u c i ó n . C on stru y e n d o las is o c lin a s x ~ k (líneas rectas) y ol cam po
d e d ir e c c io n e s , o b te n e m o s a p rox im a d a m e n te el cam po de las curvas integrales
( f i g . 105). L a s o lu c ió n g e n e r a l es la f a m i l i a do parábolas
X2
> ,= - + €
C on stru ir, p o r el m é to d o de las is o c lin a s , e l cam po a p ro x im a d o de las
c u r v a s in te g r a le s para la s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s q ue se in d ic a n a c o n ti­
n u a ció n :
2733. y ' = — x.
2734. y ' = ~ f .
2735. y' = i + y * .
2736. y' = - £
± í-.
x —y
2737. y' = x * + y * .
un
3o. T e o r e m a d e C a u c h y . Si una fu n c ió n / (x, y ) es con tin u a en
r e c in t o d e te rm in a d o Í 7 { a < x < / i , b < y < B } y tiene en esto recin to
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348
Ecuaciones diferenciales
derivada acotada f y ( x , y), entonces, p o r cada punto ( s 0, 1/o) de U* pasa una»,
y s ó l o una, curva integral y = <p(z) do la ecu a ció n (1) (cp (^o) = ^o)-
Y
F i g.
105
4o. M é t o d o d e l a s q u e b r a d a s d o E u l e r .
Para la con stru c­
c ió n aproxim ada de la curva in tegral de la e cu a ción (1), quo pasa p o r u a
punto dado M b (x0, t/n), esta curva so su stituye p o r una línea qaebruda co n
vértices en Mt (x¿, ijí), donde
*¿+l —
yM
y t -}- Ay u
Ax¡ — h (paso d e í proceso).
A y ¡ = h f (xi9 y ¿) ( i = r 0, 1, 2, . . . ) .
Ejemplo
2.
P or c i m étod o de Euler, h a lla r, para la e cu a ción
y ( 1). si y (0) = 1 (h = 0 , t).
C on stru im os la tabla sig u ien te:
i
x¡
0
1
2
3
4
5
«
7
0
0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
0 ,5
0 ,6
0 ,7
8
0,8
10
0 ,9
1 ,0
9
yt
i
i
1,005
1,015
1,030
1,051
1,077
1,101)
1,148
1,194
1,248
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0
0,005
0,010
0 ,0 1 5
0,021
0 ,0 2 6
0,032
0,039
0,046
0,054
E cuaciones d ijeren cialcs de 1cr orden con variables separables
349
D e esta fo r m a , i / ( l ) = 1 ,2 4 8 . P ara co m p a ra r, darnos el v a lor
e x a c t o d e y (1) = e1/4 « 1,284.
P o r el m é to d o de E u le r, h a l l a r l as so lu cio n e s p a rticu la res
d e la s e cu a cio n e s d ife re n cia le s q u e se dan a co n tin u a ció n para lo s
v a lo r e s de x q u e se in d ica n :
2 73 8.
=
y ( 0 ) = 1; h a lla r j / ( l ) ( A = 0 , 1).
2 7 3 9 . y' = x + y , y (1 ) = 1 ; h a l l a r y { 2 ) ( h = Q, 1).
y (0 ) — 2 ; h a l l a r y (1 ) </* = 0 , 1).
2740. t
2741. y ’ = y - ' ^ ,
y (0) — 1; h a l l a r y ( l ) ( A = 0, 2).
§ 3. Ecuacio nes d if e r e n c ia l e s de 1 er orden con v a r ia b le s s ep ara bles .
T r a y e c t o r i a s o rtog o na le s
I o. E c u a c i o n e s d i f e r e n c í a l o s d o 1er o r d e n c o n
varia­
b l e s s e p a r a b l e s . Se lla m a n ecuaciones co n variables separables, las
e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s do Ier o rd en do la form a
y ' = / ( * ) $ te)
(i)
o bien,
X (x) y f e ) dx 4 - X , (x) V , (y) ¿ y =
(P )
D iv id i e n d o am bos m iem b ros de la e c u a c ió n (1) por g (y ) y m u ltip lica n d o
p o r d x , ten d rem os
= / (x) dx.
De d on de,
integrando,
obten em os la inte­
g r a l g e n e ra l de la e c u a c ió n (1) en la form a
¡I
r
\ t w * + c .
A n á loga m en te, d i v id ie n d o lo s d os m iem b ros de la ecu ación ( T )
X j í i ) y te ) e in te g ra n d o , se ob tien e la in tegral general de la ecu ación
o n la form a
m
por
( i')
s
S i para un v a lo r determ in a do do y = j/p; tenemos (pie g { y o ) = 0, la fu n ció n
y — y 0 ta m b ié n es s o lu c ió n d o la e cu a ción (I), co m o es fácil convencerse
d ir e c ta m e n t e . A n á loga m en te, las rectas x = a e y ^ = b serán cu rv a s integrales
d e la e c u a c ió n ( 1 ') , si a y b so n de p o r s í raíces de las ecuaciones
(x )= 0
o y ( r / ) = 0 , p o r cu y os prim eros m iem bros se d i v i d i ó la ecu ación in icia l.
E j e m p l o 1. R e s o lv e r Ja ecu ación
y' = — v
~ .
En
p a rticu la r, h a lla r
la
s o lu c ió n
(3)
q ue sa tisfa ce a la c o n d ic ió n in icia l:
» (!)= * .
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350
Ecuaciones diferenciales
Solución.
La ecuación (3) so puede escrib ir de la form a
d v _ __v_
dx
x
De donde, separando las variables, tendremos*.
dy _
dx
y
*
y, por consiguiente,
ln | y I = — ln |*| -| -ln C lf
donde la constante arbitraria ln Cy está tom ada e a
pues de potenciar, se obtiene la s o lu c ió n general
form a
logarítm ica.
D e s-
donde £ = ={: Cx.
A l d iv id ir por y podríam os perder la so lu ció n £ = 0, pero esta ú ltim a
está contenida en la fórm u la (4) para C = 0.
U tiliz a n d o la co n d ició n in ic ia l dada, obtenem os que C = » 2, y , por con­
siguiente, la so lu ció n particular buscada es
2
2o. A l g u n a s
ocuacionos
d i f e r e n c i a l e' s
que
puedeo
reducirse a ocuacioncs
con las v a r ia b le s
separables.
Las ecuaciones diferen cia les de la form a
y ' ^ f (ax + by + c)
{ b =£ 0)
so reducen a ecuaciones de la form a (1) por m ed io de la su stitu ció n
u=¿ax-\- by -f-c, donde u es la nueva fu n ció n quo so busca.
3 °. T r a y e c t o r i a s o r t o g o n a l e s son curvas que cortan las líneas
de la fam ilia dada O (x , y , <z) = 0 (a es un parámetro) form ando ángulo rocto.
Si F ( x , y , y ' ) & 0 es la ecuación d iferen cial do la fam ilia,
/(*,„,
o
es la ecuación d ife ren cia l de las trayectorias ortogonales.
Ejemplo 2
H a lla r las trayectorias ortogon a les de la fa m ilia de elip so s
*2 + 2y2 = fi2.
S o l u c i ó n . D erivando ambas partes de
ecu ación diferencial de la fam ilia
(5)
la ecu ación
(5), h a lla m o s
la
x + 2 y y ' = 0.
De donde, sustituyendo y ' por —
o b t e ne mo s la ecu ación diferencial do la s
trayectorias ortogonales
y'
o bien
x
Integrando, tendremos q uo y = Cx 2 (fa m ilia de parábolas) (fig. 106).
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E cuaciones diferenciales de Jcr orden con variables separables
351
4 o. F o r m a c i ó n d e J a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s . A l fo r­
m ar la e c u a c ió n d ife re n cia l en lo s prob lem a s g eom étricos, se puede 'em plear
c o n frecuencia e l s e n tid o g e o m é trico de la derivada, co m o tangente.'del
á n g u lo que form a la recta tangente a la curva con la d ir e c c ió n p ositiva
d e l eje O X ; esto perm ito, en m uch os casos* determ inar inm ediatam ente la
re la c ió n entre la ordenada y de la cu rva que so busca, y su abscisa x e y \
es decir, obtener la ecu a ció n d ife re n cia l. En otros casos (véanse io s pro­
b lem as N 03 2783, 2890, 2895), se u t iliz a e l se n tid o g e o m é trico de la integral
d e fin id a , co m o área do u n trap ecio m ix t ilfn e o o lon g itu d de u n arco. En este
F i g.
106
caso, d irecta m en te de las c o n d ic io n e s d e l p rob lem a , *se ob tie n e una ecu ación
integra] s im p le (puesto aue la fu n c ió n que se busca se encuentra bajo el
sig n o in te g ra l), pero quo d e riv a n d o sus d os m iem bros, se puede co m fa cilid a d
transform ar en ecu a ció n diferen cial.
E j e m p l o 3. H a lla r una cu rva que pase p o r el punto (3; 2), para ]a
que la lo n g itu d d e l segm ento de cu alquiera do sus tangentes, com prendido
entre los ejes de coordenadas, este d i v id id o en e l p u n to de con ta cto en dos
partes iguales.
S o l u c i ó n . Sea AI (x, y) el p u n to m e d io de la tangente A B t que según
las c o n d ic io n e s es, a la vez, el punto de con ta cto (los pu n tos A y D son
lo s pu n tos do in tersección de la tangente co n lo s ejes O Y y OX) . De acuerdo
co n las c o n d icio n e s , OA = 2y y O B — 2 x . El c o e ficie n te angular de la° tangente
a la curva en el p u n to M (x> y) es igual a
dy
dx ~
OA
___ y_
OB ~
x
Esta es la e cu a ció n d iferen cia ] de la curva que
tra n sfo rm a ció n , tenem os:
x
se buscaba.
y
y , por co n sig u ien te ,
ln z + ln|/ = ln C, o sea, xy — C.
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H acien do una
352
licuaciones diferenciales
U tiliz a n d o la c o n d ic ió n in ic ia l, determ inam os que C = 3 - 2 = G.
Ja curva rjiio se buscaba os la hipérbola xy — (i.
Es decir,
R esolv er las ecu acion es d ife re n cia le s:
2 74 2. tg x sen2 y d x -f- eos2 x e tg y d y = 0.
2 74 3. x y f — y = xf.
2744. x y i j = 1 - x 2.
2 74 5. y — x y ' — a (1 + x 2y').
2746. 3ex l g y d x + ( l — e x) sec2 y d y = 0.
2747. y ' tg z = y.
H a l l a r las so lu cio n e s p a rticu la re s d e las sig u ien tes ecu acion es,
q u e satisfacen a las co n d ic io n e s i ni ci al es que se in d ica n :
2 74 8. (1 + e x) ^ y - y ' = <?*; y — 1 para a: = 0.
2741). (.rz/2- f ; r ) d x + (x*y — y ) d y = Q\^y = 1 para x = 0.
2750.
y ' $ e n x = yh\ y\ £/=■=! p a r a a : = ^ .
R e so lv e r las sig u ien tes ecu a cion es d ife re n cia le s
cai nbi o de V ariables:
v a lié n d ose
del
2751. i/ = ( x + y Y K
2752. y ' = ( 8 x + 2 y + l ) \
2753. (2o: -)- 3y — 1) d x - f (Ax + 6 y — 5) d y — 0.
2754. (2x — y ) d x-\ -(A x— 2 j / + 3) d y = * 0 .
E n lo s f\os 2755 y 2750 pasar a la s coord en a d as polares:
2755. t f = V * + £ = * .
2756. (x 2 + y - ) d x — xi/ d y = 0.
2757*. H a lla r una cu rv a que tenga u n segm ento de tan gen te
cu y a lo n g itu d sea ig u a l a la d ista n cia desde e l p u n to de con ta cto
hasta el origen de coordenadas.
2758. H a l l a r una c ur v a para la que el segm ento de la nor mal ,
en cu a lq u ier pu n to de la m ism a, com p ren d id o en tre lo s ejes de c o o r ­
denadas, esté d iv id id o p or este p u n to on dos partes iguales.
2 75 9. H a lla r una cu rva c u y a subtangente tenga vina lon g itu d
co n sta n te a.
2760. H a lla r una cu r v a cu y a su btan gen te sea el d ob le de la
abscisa del p u n to de con ta cto.
2761*. H a lla r una c u r v a , para la que la abscisa del ce n tro d o g ra ­
vedad de. la fig u ra pl ana, lim ita d a p or lo s ejes de coordenadas,
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E cuaciones diferenciales homogéneas de 'Ier orden
353
por esta m ism a cur va y p o r la ordenada de cu a lq u ie ra de sus
pu n tos, sea ig u a l a 3 /4 de la abscisa de este punto.
2 76 2. H a lla r la ecu a ción de la cu rv a que pasa por el p u n to (3; 1),
para Ja que el segm en to de tangente com prendido entro e l punto
d e c o n ta c to y el e je O X esté d i v i d i d o cu dos partes igu ales p or el
p u n to de in te rse cció n con el e je O Y .
2 7 6 3 . H a l l a r la e cu a ció n de la curva que pasa p or e l p u n to (2 ; 0),
sa b ien d o que el segm ento d e la tan gen te a dich a c u r v a , com p ren ­
d id o entre e l p u n to de co n ta cto y el eje OY> tien e l o n g i t u d co n s ­
tante e ig u a l a 2.
H a lla r las tra y e cto ria s o rto g o n a le s de las fa m ilia s de curvas
q u e se dan a co n tin u a ció n (a es u n parám etro) y co n stru ir estas
fa m ilia s y sus p ro y e ccio n e s ortogon a les:
2 7 6 4 . x* + y 2 = aK
2 76 6. x y = a .
2765. y2~ a x .
2 76 7. ( x — a ) '- ^ y ¿ = a2.
§ 4. Ecuaciones
d ife re n c ia le s homogéneas de 1er orden
1o. E c u a c i o n e s
homogéneas.
Úna ecu a ció n diferencial
P ( x , y ) d x + Q ( x t y) d y = 0
(1)
se lla m a homogénea, s i P ( x , y) y Q ( x t y ) son fu n cion es hom ogéneas de igual
g ra d o. La e cu a ción (1) puedo reducirse a la form a
y por m e d io de la su stitu ció n y — xa, donde u os una nueva fu n ció n in có g ­
n ita , so tran sform a en ecu a ció n c o n v a ria b les separadas. T a m b ié n se puede
e m p lea r la su stitu ció n x = yu.
E j e m p l o 1. H a lla r la s o lu c ió n general de la ecu ación
y ' = e -* + - ±y - .
Solución.
c= eu -\-u o bien,
H acem os la
s u s titu c ió n
j
y = .u z \
en este caso,
dx
e 11 du — -----.
x
0
Integran do, obtenem os u ~ — ln ln — , de donde
Q
yt=n — x ln ln — .
X
2o. E c u a c i o n e s
reducibles
a homogéneas.
/ «.S + M + C.X
V & 2 X +^2^ ~ \~ c 2 /
2 3 — i 016
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Si
«
-
}
=
354
E cuaciones diferencia les
y ó = « i bi
É?2 ^2
O, pon ien d o en l a ecu a ció n (2) z = í ¿ + a , y = r>+(5, dondo la s
constantes a y J so determ inan p o r e l sistem a de ecuaciones
aiQ,-\-b$-\-Cí = 01 32<*+ $2P+ <:2==0>
obten em os u n a ecu ación d ife re n cia l hom ogénea respecto a las v a r ia b le s u y v.
Si ó — 0. pon ien d o en la ecu a ció n (2) o ix -4 -b 1y = u, ob ten em os una ecu ación
c o n v a ria b les separadas.
In tegrar la s ecu a cion es diferen cia les:
2768. i / ' = — - 1 .
2770. ( x — y ) y d x — x H y = 0.
X
2769. *,' = — £ J i L .
2 7 7 1 . H a lla r , para la e cu a ció n ( z 2 + y2) cte — 2^2/¿y = = 0 , la
fa m ilia de curvas in teg ra les y escoger a q u e lla s cu rva s que pasan
respectivam ente por l o s pu n tos (4; 0 ) y (1; 1).
2772. y d x + ( 2 Y ~ x y — $ ) d y = 0 .
2773. x d y — y d x = ] /
+ i f dx.
2 7 7 4 . (4 s 2 + 3x y + y2) d x + (4 y2 + 3 z¡/ + z 2} ¿ y = 0.
2 775. H a l l a r la s o lu c ió n p a r tic u la r de la e cu a ció n (x 2— 3y^)dx-\-\-2 x y d y — 0 , con la c o n d ic ió n de que y = l p a ra x t = 2 .
R eso lv e r la s ecuaciones:
2 7 7 6 . ( 2 x — y + 4 ) d y + ( x ~ - 2y + 5 ) d x = 0.
9777
» /—
y ~
i+ x ^ y
•
2778
?/ -
V ~
x + 2? + x
2x + 4 y + 3 ‘
2 7 7 9 . H a l l a r la e cu a ció n de la
cu rv a , q u e pasa p o r el p u n to
(1 ; 0) y q u e tiene la propiedad de q u e el segm en to, q u e inter­
cepta su ta n gen te en el eje O Y , es ig u a l al ra d io p o la r del p u n to
de con ta cto.
2 78 0**. ¿Q u é form a debe darse al e s p e jo de un p r o y e c to r para
q u e lo s ra y o s del f o c o lu m in o so con centrado1-en u n p u n to se reflejen
form a n do u n haz paralelo?
2 7 8 1 . H a lla r la e c u a c ió n de la
cu rv a , c u y a subtangente es
ig u a l a
la m edia a r itm é tic a de las coordenadas del p u n to de
co n ta cto .
•
.
2782. H a lla r la e cu a ció n de la cu rv a , para i a c u a l, la l o n g i ­
tu d
del segm en to, in tercep ta d o por la n o rm a l
en cu a lq u ie ra de
sus
puntos en el e je de ordenadas, es ig u a l a
l a d ista n cia desde
este p u n to a l origen de coordenadas.
278 3 *. H a lla r la ecu a ció n de la cu rv a , para la c u a l, el área
com prendida entre e l e¿e« de abscisa s, la m ism a cu rva y dos o rd e­
ñadas, una de las cu a lés¿ es con sta n te y la otra v a ria b le es igual
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E cuaciones diferenciales lin eales de 1er orden. E cu ación de B ern ou lll
355
a l a ra z ó n del cu b o de la ordenada v a r ia b le a la abscisa corres­
pondiente.
2784.
H a l l a r la cu rv a , para la c u a l, l a lo n g itu d del segm ento
del eje de ordenadas, in tercep ta d o p o r cu a lq u ie ra de sus tangentes,
es i g u a l a la a bscisa d e l p u n to de con ta cto.
§ 5.
Ecuacio nes d if e r e n c ia l e s lin e a le s de 1er o rd e n . Ecuación
de B e rn o u lll
í°. E c u a c i o o o s
lineales.
La e c u a c ió n
d ife re n cia l de
y ' + P ( x ) y = (QY(x)
laform a
(1)
de 1er g r a d o c o n respecto a y e y \ se lla m a lineal.
S i la f u n c i ó n Q ( z ) = 0 , la e cu a ción (1) tom a la form a
y' + P ( x ) y = 0
(2)
y r e c ib o el n o m b re d e e c u a c ió n d ife r e n c ia l lin ea l homogénea. En esté caso,
las v a r ia b le s se separan y la s o lu c ió n g en era l de la e c u a c ió n (2) es
(3)
Para re s o lv e r la e c u a c ió n lin e a l n o h o m og é n e a (1) se em plea el lla m a d o
m é to d o de variación de la con stante arbitraria. Este m é to d o co n s is te en que,
p rim e ra m e n te, se h a lla la s o lu c ió n g en era l de la corresp on d ien te ecu ación
lin e a l hom ogénea, e s d e c ir , la e x p re s ió n (3). Después, su pon iend o que en
esta e x p resión C e s f u n c ió n de x , se busca la s o lu c ió n de la ecu ación
n o h om og én ea (1) en la fo rm a (3). Para e llo , p on em os en la ecu a ció n (1)
y e y \ deducidas de (3), y de la e cu a ción d ife re n cia l así ob ten id a d e te rm i­
n am os la fu n c ió n C (*). D e esta form a , ob te n e m o s la s o lu c ió n general d e la
e c u a c ió n n o h om ogénea (1) de la form a
y = C (x)e
Ejem plo
i.
J
R e s o lv e r la ecu a ció n
(4)
y' — t g x - y + c osx,
Solución.
La corresp on d ie n te e c u a c ió n h om ogénea es
y' — t g x y ^ O .
R e s o lv ié n d o la , tenemos;
y — C— L - .
COS x
C on sid erando C c o m o f u n c ió n d e * y d eriv a n d o, hallam os:
^
t:
cos x
dC .
dx
sena;
^
e os2 x
P o n ie n d o y o y ' en la ecu a ción (4 ), obtenem os:
1
dC
sen x
C
, ...
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dC
356
E cuaciones diferenciales
d e donde
i
f
C
(a:) = \ eos2 z rfx = —
i
x+
sen 2 z +
Cy.
Por con sigu ion te, la so lu ció n general de la ecu a ció n (4) tieno la form a
y = (\ -x-\ —
V 2
1 4
s e n 2 z + C± \ ------ -—
/
eos#
.
Para resolver la ecu a ció n lin e a l (1) se puede em plear tam bién la s u sti­
tución
y = uvy
(5)
donde u y v son fu n cion es de x . En este caso, la ecu ación (1) tom a la form a
[u ' +
P
( ).
(6)
{x ) u ]v -\ -v 'u = Q x
Si se e x ig e que
u' + P ( x ) u = 0,
(7)
do (7) h a llam os u y y después, de (6) h a llam os v> y por fin , de (5) h a lla m o s y.
2o. E c u a c i ó n d e
B e r n o u 1 i i. L a ecuación do 1er orden de
la form a
y '+ P (x )y = Q (z )y «,
donde a ^ O y a = £ l , so lla m a e c u a c i ó n d e B c r n o u l l i . Esta ecu ación se reduce
a lin ea l valiéndose do la su stitu ción z — y 1” 01. Se puede tam b ién em plear
directam ente la su stitu ció n y = ui\ o el m étodo de v a r ia ció n do la constante
arbitraria.
Ejem plo
2.
R e s o lv e r la ecuación
Z7*
Solución.
Esta es una e cu a ción de B ern ou lli ^en la que
-
Poniendo
y = uvt
'Obtenemos:
uv-\-x ~[/uv
o
v ^u'
u
j
-\ -v 'u z = x ~\/uv.
P ara determ inar la f u n c ió n u e x ig im o s que se cu m p la la relación
u '— — u = 0 ,
X
de
donde
P o n i e n d o e s ta e x p r e s i ó n e n la e c u a c i ó n (8 ), te n e m o s :
v ,x* = x \/vx*t
d e d o n d e h a l l a m o s v:
t i .
,
..
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(8)
E cuaciones diferenciales lineales de Jcr orden. Ecuación de B ern ou lll
357
y , p o r co n s ig u ie n te , obten em os la s o lu c ió n general en la form a
y = *i
(-J- ln| xl + C j 2.
H a lla r la s in te g ra le s gen erales de las ecu a cion es:
2785. 4 ^ -------— = x.
dx
x
2786. 4dx
^ - +1 —x = **.
2 7 8 7 * . (1 + y2) d x ^ ( Y i + ¡ r sen y — x y ) d y.
•2788. y2 d x — ( 2 x y + 'ó) d y = 0 .
H a l l a r las s o lu cio n e s p a rticu la re s que sa tisfa ga n a las c o n d ic io ­
nes que se indican:
2789. xy ' -\-y — e x = 0 ; y = b
2 790. y' —
para x ~ a .
- J —g- — 1 — x = 0 ; y = 0 para x = 0.
2 7 9 1 . y' — y t g * « — L _ ; y = 0 para x = 0.
H a lla r las s o lu cio n e s gen erales de la s ecu acion es:
2792.
-x y * .
2 793. 2 x y - % — y t + x = 0.
2 7 9 4 . y d x-\ -{^ x— ~
z 3i/) d y — 0.
2795. 'á xd y = y ( l - \ - x s e n x — 3j/3 s e n s ) dx.
2796. Se dan tres
s o lu cio n e s
p a rticu la res
e c u a c ió n lin e a l. D em ostrar, q u e la ex p resión y 2E y
con stan te para
resultado?
cu a lq u ie r
x.
¿Q ue
sentido
y , y x e y2, de una
con serva tin v a lo r
g e o m é t r ic o
tiene
este
2 7 9 7 . H a lla r las cu rva s, para las cu a les, el área del tr iá n g u lo
form ado p o r el eje O X , la tangente y el r a d io v e cto r al punto
de co n ta cto es constante.
2 7 9 8 . H a lla r la e c u a c ió n de la c u r v a , para la c u a l, el segm en to
in terceptado por la tangente en el e je de abscisas es ig u a l al
cuadrado de la ordenada del p u n to de con ta cto.
2 7 9 9 . H a lla r la ecu a ción de la c u r v a , para la c u a l, el segm en to
interceptado por la tangente en el eje do ordenadas es ig u a l a la
su bn orm a I.
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358
licuaciones diferenciales
2800. H a lla r la ecu a ción de la cu rv a , para la cu a l, e l segm ento
in terceptado por la tangente en el eje de ordenadas es p r o p o rc io ­
nal ai cu adrado do la ordenada dol punto de con ta cto.
2801. H a lla r la ecu a ción de la c u r v a , para la cu a l, la lon gitu d
de la tangente es igual a la distancia desde el punto de intersec­
c i ó n de esta tangente con el e je O X hasta el p u n to M (0, a).
§ 6, Ecuaciones d ife re n c ia le s e x a c t a s , F a c t o r In te gra nte
I o. E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s
totales). Si para la ecu ación diferencial
exactas
(o en
diferen cia les
P ( x } y)dx + Q (z t y)dy = 0
se cumple la igualdad — - s
,
(1)
la e cu a ción (1) so puede e s c r ib ir de la
form a dU (x , f/) = 0 y se llam a ecuación d i f e r e n c i a l exacta (o en diferen cia les
totales). La in teg ra l general de la e cu a ción (4) es U (x , y ) = C. La fu n ció n
U
y) se determ ina por ol m étod o que se in d ic ó en el cap. V I , § 8, o por
la fórm u la
*
U ~
y
^ P(ar, y )d x - \ - ^ Q ( z 0t y ) dy
x0
^0
(véase e l cap. V i l , § 9).
Ejemplo
1.
H allar la in tegral de la ecu ación d iferen cial
( 3 * * + 6* 0*) d x + ($x*y + 4y3) ¿ 0 = 0 .
Solución.
Ó (3**+6*0*)
—
Esta
es
0(6**0 + 403)
dy
la form a d ü = 0.
Aquí
una
— — l 2 xy
dx
8U
dx
ecu ación
y,
d ife re n cia l
4
por con sigu ien te,
= 3*2 + 6 x y * ,
exacta,
ya
la ecu ación
que
4.
tiene
= 6 * 2 y + 4 y*;
d e donde
U = ^ ( 3 z a + 6 : t 0 a) ¿ ;c + < p { 0 )= 3 3 + 3:r‘20 2 + {p(0).
•Derivando U con respecto a y, hallam os
~
= 6**0 + q>' (y) = Gx*y +
4y3
)r la co n d ició n ); de donde y ' ( y ) - t í y Z y q>(0) = 04 + £o'
d e fin itiv a
tenemos U ( x í y ) = s 3 + 3 í 202 + 04 + Co> y, por co n sig u ie n te, s 3 + 3z 202 +
+ y 4 — c es la in te g ra l general quo so buscaba do la ecu ación dada.
2o. F a c t o r i n t e g r a n t e . Si ol prim er m iem b ro do la ecu a ció n (1)
n o es una d ife re n cia l exacta y se cu m p len las co n d icion es d e l teorema
d é Cauchy, e x is te ’una fu n ció n p = |x(:r, y ) (factor integrante) ta l, que
S
li(P d x+ Q d y)*= d U .
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(2)
E cuaciones diferenciales exactas.
359
F a ctor integrante
De d o n d e o b te n e m o s , :q u e la fu n c ió n \i sa tis fa ce a la ecuación
£ < ! * > - £ W ).
E l fa c t o r in te g r a n te \í se puedo h a lla r f á c ilm e n t e en d os casos:
1}
" S - ) = F ( x ) ' entoncos
2)
(^);
= F * W ' cntonces Ia “ I* («O-
Ejem plo
2. R e s o lv e r la e cu a ción
[2xy + z
Solución.
*
y
j d x + (x* + y*) dy = 0.
Aquí
y , p o r co n sig u ien te p = |i(2:).
C
o
m
o
-
^
d
p
-
=
-
^
r
-
0
f *
1
7
=
^
i
r
+
<
?
- 5
í
-
’
5
0
t
e
n
d
r
á
q
u
c
- ^ - = 4 " ( 4 r - 4 * ) r f z = ¿ * ° ,,líl= ;E , f*= e s M u lt ip lic a n d o la ecu ación p o r p = ¿x obtenem os:
e*
tfa: + ex (*2H-£ía) < % - 0
q ue e s una e c u a c ió n d i fe r e n c ia l e x acta , in te g rá n d o la , ten drem os la integral
g en era l
H a lla r las in te g ra les gen erales de las ecu a cion es:
2 8 0 2 . (x -\ -y ) dx-\- ( x - f 2y) d y = 0 .
2 8 0 3 . (x 2 + y 2 + 2 x) d x -f- 2x y d y — 0.
2 8 0 4 . ( x 3 — 3xy~ + 2) d x — (3 x 2y — y2) d y — 0.
2 8 0 5 . a: d x + y d y = * % = $ * .
2806.
*1L * L + - * * - ? * ' . d y ~ 0.
2 8 0 7 . H a l l a r la in te g ra l p a r tic u la r de la ecuación
( z + e v ) d x + ev ^ 1 — 7 ) ^ — 0 ,
q u e satisfaga a l a c o n d ic ió n in ic ia l ¡ /( 0 ) = 2.
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360
E cuaciones diferenciales
■
— —1
*
-■ —
- —
R e s o lv e r las sigu ien tes e cu a cio n es, que a d m ile n e l fa c t o r i n t e ­
grante de las form as
=
o
=
2808. (x
y 1) d x — 2x y d y = 0.
2809. y ( l - \ ~ x y ) d x — z d y ' = 0 .
2810. ^ d x + ( y s r - l a x ) d y = 0 .
2811. (x c o s y — y sen y ) d y
(x se n y + y eos y) d x = 0.
§ 7. Ecuaciones diferenciales de 1er o rd e n , no r e s u e l t a s con r e s p e c t o a la
derivada
I o. E c u a c i o n e s
diferenciales
s u p e r i o r . Si la ecu ación
de
1er
orden,
F ( x % i/. y ') = 0,
de
grado
(1)
por e j . , es de sogundo g ra d o c o n rospccto a y ' , re s o lv ié n d o la co n respecto
a y ' t ob ten em os d os ecuaciones:
=
y)-
(2)
De esta form a, p o r cada p u n to jW0 ( z 0, y 0) do un determ in a do c a m p o del
plano pasarán, on general, d os curvas integrales. La in tegral general de ln
ecu ación (1) tiene, en esto caso, la form a
(D (* , y , C) = * , ( * , y,
C) 0)2 ( * ,
y t C) = 0,
(3)
donde
y <D2 so n las in teg ra les generales de la e c u a c ió n (2).
Además, para la ecu ación (1) puede e x is t ir una integral singular. G e o m é ­
tricamente, la integral sin g u la r representa d e p o r sí la e n v o lv e n te do la
fa m ilia do curvas (3) y puedo obten erse e lim in a n d o C del sistem a de ecu a­
ciones
® ( * .! /• 9 - 0 ,
® ¿ ( * t y, C) = 0
(4)
o e lim in a n d o p = y ’ d e l sistema do ecuaciones
F ( x f y , J > ) = 0 , F ’v ( x , y , />) = 0 .
(5 )
Debe advertirse, que las cu rv a s determ inadas p o r las ecu a cio n e s (4) o (5)
n o so n siem pro s o lu c io n e s de la ecu ación (1); por lo c u a l, en cada ca so
c o n c r e t o es n e cesa rio hacer la prueba.
E j e m p l o i . H a lla r las in tegrales, g e n e ra l y sin g u la r, do la ecu a ció n
+ 2 s y ' — y = 0.
Solución.
hom ogéneas:
R e s o lv ie n d o
co n
re s p e cto a
determ inadas en e l campo
+
>0,
cuyas integrales generales son
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y
te n e m o s d os ecu a cion es
Ecuaciones diferenciales de 1er orden, no resueltas con respecto a la derivada 301
o
(2ss + y — C) - 2 1 / x - ^ x y = 0 ,
(2* + y - C) + 2 1/ x * + X y = 0.
M u ltip licá n d ola s entre sí, ob ten em os la integral general do la ecuación dada
o bien
(y-C )*= A C x
(fa m ilia de parábolas).
D e riv a n d o la integral general resp ecto a C y e lim in a n d o 6'. h a lla m o s la
integral singular
y
- |- X = 0 .
(La prueba demuestra q ue y - f x = 0 es so lu ció n de la ecu ación dada).
La integral sin g u la r tam b ién se puede h a lla r d e riv a n d o xp'¿ -\-2xp— y = 0
respecto a p y e lim in a n d o p .
2°. R e s o l u c i ó n
de la e c u a c i ó n
diferencial
p o r el
m é t o d o do i n t r o d u c c i ó n do un p a r á m e t r o .
Si la ecuación
d ife re n cia l do 1er ordon tiene la form a
*= < p (y , y').
las v a r ia b le s y y x se pueden determ in a r por el sistema de ecuaciones
4
d<7>
7
, d<p d p
,
+
* -v (9 .P h
d o n d e p = y r desem peña el papel d e parámetro.
A n á loga m en te, si y =
y'), las variables x c y so determ inan por el
sistem a do ecuaciones
■' d'lb
Ejemplo
2.
,
¿hh
dp
H allar las in tegrales, general y singular, de la ecu ación
S o l u c i ó n . H aciendo
e c u a c ió n de la forma
la
su stitu ció n
>/' — />, volvernos a
escrib ir
la
.r 2
i/ = P2 — * P + 2 .
D erivan do resp ecto a x y
co n sid era n d o
p = 2pí ~
p com o
fun ción de x , tenem os
p - xi r + x
o b ion
( 2p — x ) — (2p — x), o sea
= 1. Integrando, obten em os p — x \ - C .
ax
ax
P o n ien d o esto c n la ecu ación p r im itiv o , tenem os la solu ción gonoral:
y = (X + C ) * - x ( x + C ) + ^ -
O
„-¿*+ C x+ C ».
D erivando esta s o lu c ió n general respecto a C y
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e lim in a n d o
C, obten em os
362
Ecuaciones diferenciales
la solución singular: y = ~ - ,
de
la
ecu ación
^La prueba domuestra que y — ^ - e s solución
dadaj .
S i se iguala a c e r o el fa cto r 2p — x t en q uo se h iz o la s im p lific a c ió n ,
o b te n e m o s P = y » y» p o n ien d o este v a lo r de p e n la
as
n o m o s y = — , es d e cir, la m ism a s o lu c ió n singular.
H a lla r las in tegrales generales y
ecu a ció n dada, o b le ­
sin gu lares de las ecu acion es
(en lo s N oa 2812 — 2813 con stru ir el ca m p o de la s cu rva s in tegrales):
2 8 1 2 . y ’ * - 2 L y ’ + i = o.
X
2813. 4 j/'2 - 9 z = 0.
2 8 1 4 . y y ' * - ( z y + í ) y ' + x = 0.
2815. y t f * - 2 x y ' + y = 0.
2816. H a lla r las cu rva s in teg ra les de la e c u a c ió n j/'8 + í/a — 1,
que pasan p o r el p u n to JW^O; -|-j .
R e s o lv e r ías ecu a cion es sigu ien tes,
y '= p :
in trod u cien d o el
2817. x ^ s m y ' + ln y '.
2820. 4 y = x * + y'*.
2818. y = y ' W .
2821. e* =
parám etro
■
2 819. y — y 'z -\-2\n y '.
§ 8. Ecuacloims de Lagrange y de Gla lraut
I o.
Ecuación
do
Lagrange.
La ecu a ció n d e la form a
V^x<p(p) + q ( p ) ,
(1)
d o n d e p ^ y \ recib e el n o m b re de ecuación de Lagrange. P o r m e d io de la
d eriv a ció n , y ten ien d o en cuenta q ue dy = pdx> la e cu a ción (1) se reduce
a lin e a l co n respecto a x\
p d x = q> (p ) dx + [xq>' (p ) + y ' (p)] d p ,
Si p ^ < p ( p ) , de las ecu acion es (1) y (2) s e o b tie n e
form a paramétrica:
* ^ C f ( p ) + g (p),
(2)
la s o lu c ió n g en era l
y = [ C / (p ) + g (p)] q> (p) +
en
(p),
d o n d e p os un parámetro y f (p) y g { p ) unas fu n cion es c o n o cid a s d eterm i­
nadas. Además, puede e x is tir s o lu c ió n singular, q uo so busca p o r e l proce­
d im ie n t o general.
2o. E c u a c i ó n d e C l a i r a u t . Si en la e cu a ción (1) <p(p) = p , se
o b tie n e la ecuación de Clairaut
y = zp-f\|)(p).
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E cuaciones
de Lagrange y
d e Clairaut
303
La s o l u c i ó n general do esta ecu ación tie n e la form a do y*=C'x-{-ty(C)
( fa m ilia de rectas). A dem ás, e x iste s o lu c ió n sin g u la r (e n v o lv e n te ), q ue so
o b t i e n e c o m o resu lta d o d e e lim in a r e l p a rá m etro p d e l sistem a de ecuaciones
r z = - y (P),
\
Ejemplo.
y = px+ ip (p ).
R e s o lv e r la ecuación
(3 )
Solución.
Ponem os y ' = p ,
en este caso,
y = 2 p x + -^ -;
deriva n do
y su stitu y e n d o dy p o r p d x } obten em os:
p d x = 2p dx + 2x d p — ~ ~
o bien,
dx
tfp -
2
i 1
p x ^ p * '
R e s o lv ie n d o esta e cu a ción lin e a l, tendrem os:
x — ~ a ( ln p + C ) .
P o r co n s ig u ie n te , la e c u a c ió n g en era l será:
x = ~j£ 0 QP + O »
y = 2p x-\ -~ .
P
Para h a lla r la in tegral sin g u la r según la regla g en e ra l, form am os el sistema
y = 2 Px + - L ,
0 — 2x
.
De aquí
1
2.
— T ?T '
y , p o r co n sig u ie n te ,
y = ± 2 l/2 i.
P o n ie n d o y en la ecu a ció n (3 ), n o s c o n v e n c e m o s de q uo la fun ción
o b ten ida n o es s o lu c ió n y de quo, p o r c o n s ig u ie n t e , la ecu ación (3) n o tiene
in tegral singular.
R e s o lv e r la s sig u ie n te s ecu acion es de L agrange:
2822. y = ± x ( y ' + j r ) .
2 8 2 4 . y = (1 + y 1) x + y'K
2 8 2 3 . y = y ' + V l - y ' z.
2825*. y =
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y '(2 x + y ' ) .
364
Ecuaciones diferenciales
H a lla r las in tegrales, generales y sin gu lares, de las sigu ien tes
ecu a cion es de C la ira u t y co n stru ir los ca m p os de la s cu rva s inte­
grales:
2826. y = x y ' + y'*.
2827. y ^ x y ' + y \
2828. y = x y ' + j / l + ({/')*.
2829. y = x y ' + ± .
28*10. H a lla r la cu rva, para la c u a l, el área del tr iá n g u lo
form ado p o r la tangente a la m ism a , en c u a lq u ie r p u n to , y los
ejes de coordeuadas, es constante.
7831. H a lla r la cu rv a , si la distan cia desde un p u n to dado
hasta cualquiera de las tangentes de la m ism a, es con stan te.
2832. H a lla r la cu rva, para la c u a l, el seg m en to de cu a lq u ie r a
de sus tangentes, com pren did o entre lo s ejes de coordenadas, t ie n e
una lon gitu d constante, ig u a l a L
§ 9,
Ecuaciones
2833.
cia le s
«>
e
d ife re n c ia le s d iv e rs a s de l 6r orden
D e te rm in a r
in d ica r
el
sus
(x -\ -y )y ‘ = x
tip o
de
la s
m étod os
de
re so lu ció n :
a r c t g —•;
y' = 2 x y + x 3-
k)
d) y ' = 2 x y + y 3;
xy'
0
( y — * ¡ 0 * = y ' 3;
sen
(y' — 2xy) Y y
=
a)
y'
+
+
y
sen
2837.
(2 x y z — y ) d x + x d x = 0.
x y ' + y = x y 2 \nx.
2838.
y = x y ' + y' \ny'.
(y* +
+
3 -cV )
dy
=
0;
(xy3 -|- l n x) d x
=
b) x ] n - j d y — y d x = z Q .
2836.
1;
n)
i/cos-| -) d x + x e o s - ~ d y
x dx—
=
(x3— 3 xy)d x+ (x3+ 3 )d y = 0 ;
Xa;
2835.
y'
m)
R e s o lv e r las ecu a cion es:
2834.
d ife re n ­
(x3 — x y ) y ' = y*]
y-t
g ) y ^ x e ’J'-,
h)
eos
1) ( x 3 -\-2 xii3)
e)
-f- j/ =
e cu a cio n e s
i) i / = z ( x + y ) 2:
}) x
b) ( x - y ) y ' = y 2;
c)
sig u ie n te s
— y 3>j dy,
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0;
— t/2
dy.
365
E cuaciones diferenciales diversas de 1er orden
2839. y = x y ' - | - Y — ay'.
2 840. x 2 { y - \ - i ) d x - \ - { x z — 1) (y — 1) d y — 0.
2841. ( 1 - )- y 2) (e2 x d x — e » dy) — ( i
2 842. y - y
2 x -í
y) dy = 0.
2845. ( 1 — x2) if + x y ^ a .
= i.
2843. y e y — ( y a -p 2 x e y) y ' .
2846. x y '
y- ^ - x = 0.
*+1
2 844. y ' + y c o s x = sen x c o s x.
2 8 4 7 . y' (a; cos y + a s o n 2 y ) = i .
2 8 4 8 . (.t? y - x 2-\-y — 1) d x + (x y + 2 x — Sy — & ) d y ^ 0 .
2 849.
✓ - Í 1 + - * £ ■ ) '•
2) dy.
2 8 5 0 . x y 3 d x = ( x 2y
2851.
3**
U ~
** + y + l ‘
- d y - \ / - j d x < = 0.
2852. 2 d x + y
2853.
2861. e" d x + ( x e » — 2 y ) d y ==0.
i r - í + t f f f .
2854. y y + y2 = coa x.
2862. y = 2 x y ' + V l + y'?
2855. x d y + y d x — y 2 ¿fa.
2863.
2856. I/' (.t + sen y^ = i .
2864. (2
2857. y %
2865.
J/ — - r (1-t-ln i/ — ln a;).
X
- - P + f -
e
x
+
y
*
)
d
y
—
y
e
x
dx~-, 0 .
2 8 5 8 . x 3 d x - ( x * + , f ) d y = 0.
2866. x y ( x i f + i ) d y — dx= =0.
2859. a:**,'* + 3 a ^ ' + 2 r - 0.
2867. a (*'/ + 2 y ) — x y y '.
2860.
2 d x + y dy
y m
*
2868. x d y — y d x — y 2 dx.
+
i dy — y d x
0.
2869. (a:2 — 1)3/2 cfy + (a;3 + 3x y Y x 2 — í ) d x = 0.
dy
2870. t g x ~ 3 ¿ - y = a 2871.
Y a 2-\-x2 d y ( x y — Y a2 -f- x 2) d x — 0.
2872. x y y 'a — ( x2 + y 1) y' + x y = 0.
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366
Ecuaciones diferenciales
2873. y = Xy ’ + - ~ .
2874. (3a:3 -(- 2 x y — y 2) d x 4 - (x2 — 2 x y — 3 y 2) ¡?y = 0.
2875. 2 y p Í | = 3 p 3+ 4 y ® .
H a lla r las solu cion es de la s sigu ien tes
con d icion es in icia le s que se in d ica n :
ecu a cion es, para la s
2876- y ' = ^ t l ; y = 0 para 3 = 1 ,
2877. <?~vy ’ = 1; y = l para 3 = 1 .
2878. y 'c t g 3 - | - i / = 2; y = 2 para £ = 0.
2879. ev ( ¡ / ' - ¡ - l ) = l ; y = 0 para 3 = 0.
2880. y '
y = eos x ; y = y para £ = 0.
2 8 8 1 . y' — 2 y ~ — x %\ y = -i* para 3 = 0.
2882.
y '- \ - y = 2x ; y = — 1 para 3 = 0.
2 883.
3 í/' = ^; a) y = l para 3 = 1; b) ¿/ = 0 para 3 = 0.
2884. 2x y ' = y ; a) ?/ = l para 3 = 1; b) y = 0 para 3 = 0.
3
2885. 2xy?/' + x 2 — y? = 0;
= 0; c ) y = 0 para 3 = 1.
a) y = 0
para
3 = 0;
b) y = 1
para *
2886. H a lla r una curva que pase por el p u n to (0; 1) y que la
subtangente sea ig u a l a la suma de la s coordenadas del p u n to de
con ta cto.
2887. H a lla r la cu rva, sabiendo, que la suma de lo s segm entos
que intercepta la tangente a la m ism a en lo s ejes de coordenadas
es con stan te e igual a 2 a .
2888. La suma de las longitudes de la norm al y de la subnorm al
es ig u a l a la unidad. H a lla r la e c u a c ió n de
la cu rv a ,
sabien do,
que ésta pasa por el o rig e n de coordenadas.
2889*. H alla r la cu rva, para la c u a l, el á n g u lo form ado por la
tangente con el radio v e cto r del p u n to d e . co n ta cto es constante.
2890. H a lla r la curva, sabiendo, que e l área com prendida entre
los ejes de coordenadas, esta cu rva y la ordenada de cu alqu ier
punto situ ado en e lla , es ig u a l a l cu b o de esta ordenada.
2891. H a lla r la cu rva, sabiendo, que el área del sector lim ita d o
por el eje p o la r, la propia cu rva y e l radio p o la r do cualquiera
de sus puntos, es proporcion a l a l c u b o de este radio.
2 892. H a lla r la cu rva, para la c u a l, el segm ento que intercepta
la tangente en el eje OX> es ig u a l a la lo n g it u d de la propia
tangente.
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E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d iv e rs a s de 1e r o rd e n
367
2893. H a lla r la cu rv a , para la c u a l, el segm en to de tangente,
com prendido entre los ejes de coordenadas, se d iv id e en dos partes
igu a les por la parábola y 2 = 2 x.
2894. H a lla r la cu rv a , para la c u a l, la norm al a cu a lqu iera de
sus pu n tos es ig u a l a la distancia desde este punto hasta e l origen
de coordenadas.
2895*. E l área de la figura lim ita d a por una curva, lo s ejes
de coordenadas y la ordenada de cu a lqu ier punto de la cu rva, es
igual a la lon gitu d d o l coorrespondiente arco de la m ism a. H a lla r
la e cu a ció n de esta cu rva, si se sabe, q u e pasa por el punto (0; 1).
2896. H a lla r la cu rv a , para la c u a l, el área del trián gulo que
form an el eje de abscisas, la tangente a la curva y el radio v ector
del p u n to de co n ta cto , es co n sta n te e igual a a2.
2897. H a lla r la cu rva, sabiendo, que el punto medio del segm ento,
interceptado en el e je O X por la tangente y la norm al a la m ism a,
es constante, (a; 0).
AI formar la ecuación diferencial de 1er orden, sobre todo en los probloraas físicos, son frecuentes los casos en que conviono emplear el llamado
método de las diferenciales, que consiste en que, las relaciones aproximadas
entre los incrementos infinitamente pequeños de la3 magnitudes que se
buscan, ciertas con una aproximación nasta de infinitésimos do orden
superior, se sustituyen por las correspondientes relaciones entro sus dife*
renciales, cosa que no influye en el resultado.
P r o b l e m a . En un d e p ó s ito hay 190 lit r o s de d is o lu c ió n acuosa que
c o n tie n e 10 kg do sal. E n este d e p ó s ito se vierte agua con una velocidad
de 3 li t r o s p o r m in u to y se expulsa la m ezcla co n v e lo cid a d de 2 litros
por m in u to. La c o n ce n tra ció n se m antiene hom ogénea rem oviend o ol agua.
¿Cuánta sal habrá en e l d e p ó s ito después de transcurrida una hora?
S o l u c i ó n . So da el nombro do concentración c de una substancia
dada, a la cantidad de la misma que hay en una unidad de volumen. Si la
concentración es homogénea, la cantidad de substancia en un volumen V
será igual a cV.
Supongamos, que la cantidad de sal que hay en el depósito después de
transcurrir t min, es igual a x kg. La cantidad de mezcla que hay en el
depósito en este instante será (1004- 1) litros y, por consiguiente, la con­
centración c —
Por litro.
Durante el espacio do tiempo dty dol depósito salen 2dt litros de
mezcla, que contienen 2c dt kg de sal. Por esto, la variación dx do la can­
tidad de sal quo haya en el depósito se caracteriza por la relación
2x
~ d x = 2c dt, o bien — dx*=*
Esta es, precisamente, la ecuación diferencial que so buscaba. Sepa­
rando las variables o integrando, tenemos:
In z = -2 1 n (1 0 0 +
9)
+ lnC
o sea,
x —
C
(íoü-M*)
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Ecuaciones diferenciales
La con stan te C so determ ina partiendo de la co n d ició n de que, cuando
t = 0, x = lü, es decir, C = 100.000. Después dt* una hora, en el dep ósito
quedarán
100.000
0
.
5¿3,9 k g de sal.
2898*. Demostrar, que
la su perficie libre de un líq u id o pesado
que gira alrededor de un
eje v e rtica l, tiene la form a de un para­
boloide de rev olu ción .
2899*. H a lla r la dependencia que existe entre la presión del
airo y la altura, con ociendo, que esta presión es igual a 1 kgf por
1 cm 2 al n iv e l d el mar y
de 0 ,9 2 k g f por 1 c m 2 a 5 00 m etros de
altura.
2900*. Según la l e y de H ooke,
un co rd ón e lá s tic o do lo n g i­
tud /, b a jo la a cción do una
fuerza do d ila ta c ió n t \ experim enta
un increm ento do longitud igual a k l F (£■■=*con st). ¿En cu á n to
aumentará la longitud de este cordón , por la a cción de su propio
poso W , si so lo cu e lg a por u n o de sus extrem os? (L a lon gitu d
in icial del cordón es /).
2901. Resolvor este m ism o problem a, pero con la co n d ic ió n de
quo on el extrem o libre del cordón se suspende un peso P .
A l resolver los problem as 2902 y 2903, u t iliz a r la le y de Nevvton, según la c u a l, la v elocida d con quo se en fría un cu erpo os
proporcional a la diferencia de tem poraluras d e l cuerpo y del
medio que lo rodea.
2902. H a lla r la dependencia entre la temperatura T y ol
tiem po /, si un cuerpo ca len ta d o hasta '¡\ grados so introduce en
un lo ca l cu y a temperatura es con stan te e igual a a grados.
2903. ¿Dentro de cuánto tiem po, la temperatura do un cuerpo
calentado hasta 100°, descenderá hasta 30°, si la temperatura del
local es igual a 20° y durante los primeros 20 m in e l cuerpo en
cu e s tió n se en frió hasta 00o?
2904. El e fecto relardador d el rozam iento sobre un d isco que
gira dontro de un líq u id o , es proporcional a la v elo cid a d angular
de rotación . H a lla r la dependencia de esla v elocida d angu lar del
tiem po, con ociendo, que ol d isco , que co m en zó a girar con una
velocidad do 100 r .p .in ., después de pasar 1 min gira a una v e lo ­
cidad de 60 r.p.m .
2905*. La v elocida d de desintegración d el radio es proporcional
a la cantidad del mism o. Se sabe, que transcurridos 1600 años
queda la mitad de las reservas in iciales de radio. H a lla r q u é
la n ío por c íe n lo do radio rosultará desintegrado cu an do pasen
100 años.
2906*. La velocidad de salida d e l agua por un o r ific io , que
se encuentra verticalm ente a una distancia h de la superficie
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E cuaciones diferenciales de órdenes superiores
369
lib re d e l líq u id o , se determ ina p o r la fórm u la
v = c V 2gh,
d o n d e c & 0 ,6 y g es la a c e le ra ció n de la fuerza de gravedad.
¿C u á n to tie m p o tardará en sa lir e l agua quo lle n a una caldera
scm ie sfé rica do 2 ni de d iá m e tro , si s a le por un o r if ic io redondo
q u e h a y en o l fon d o y que tiene 0,1 ni de radio?
2907*. L a can tidad do lu z que resu lta absorbida al pasar por una
capa d e lg a d a de agu a, e s p rop orcion a l a la can tidad de l u z que
ca e sobre o lla y al espesor de la m ism a capa. Si al atravesar una
capa de agua do 3 m de espesor queda absorbida la m itad de la
ca n tid a d in ic ia l de lu z ¿qué parte de esta ca n tid a d llega rá hasta
la profundidad de 3 0 m?
2908*. L a resisten cia dol aire on e l descen so de los cuerpos
en paracaídas e s proporcion a l al cu adrado de la v e lo c id a d con que
se m ueven. H a l l a r la v e lo cid a d l í m i t e de la caída.
2909*. E l fo n d o de un d e p ósito, do 3 00 litro s de capacidad,
e slá c u b ie r to de una m e z c la de sal y de una substancia in d is o ­
lu b le . S u pon ien d o que la v e lo c id a d c o n que se d is u e lv e la sal
es p rop orcion a l a la d ife re n cia en tro la con cen tra ción en el ins­
tan te d a d o y la con ce n tra ció n de la d is o lu c ió n saturada (1 kg do
sal para 3 litro s de agua) y que la ca n tid a d de agua pura dada
d is u e lv e 1 /3 de k g de sal por m in , h a lla r qué ca n tid a d de sal
con ten d rá la d is o lu c ió n a l c a b o de una hora.
2910*. L a fuerza e le c tr o m o tr iz e de un c ir c u ito , c o n in ten si­
dad do co rrien te i , resisten cia R e in d u cta n cia L , és ig u a l a la
c a íd a de te n sió n R i m á s la fuerza e le ctr o m o tr iz de a u toin d u cción
L“
. D eterm in ar la in te n sid a d de la corrien te i t on un instante t,
s i c = E s e n t ó (E y o> son con stan tes) e ¿ = 0 cu an do ¿ = 0.
§ 10. Ecuaciones d if e r e n c í a l e s de o rdenes sup eriore s
i°. C a s o
do
integración
inmediata.
Si
t/<n>= /( * ) ,
se tieno
y = [ d * \ . . . J / ( x ) d x + C , x " - i + C2* « - ü + . . . - | - C Il.
n veces
2o. C a s o s d o r e d u c c i ó n a u n o r d e n i n f e r i o r . 1) Si
ecuación diferencial no contiene y de forma explícita, por ejemplo:
la
E ( x t y \ y") = 0,
poniendo y' = p , obtenemos una ecuación do orden inferior en una unidad
E ( x t p, p ') = 0.
24-1016
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Ecuaciones dijerenciales
Ejemplo
1.
H a lla r la s o lu c ió n particular d e lu ecuación
x y ' + v ' + * ?=0,
quo satisfaga a las co n d icion es
y = 0, y f = 0 para x = Q.
Solución.
P on ien d o y ' = p } ten em os {/" = />', d o donde
xp'
p-\-x = 0.
R esolv ie n d o esta ecuación c o m o
obtenem os:
lin ea l co n
p x = Ci
respecto a la fun ción
p,
.
De las co n d icio n o s y ' = p = 0 para z = 0, tonoinos quo 0 — Ct — 0, es decir,
£ , = ( ) . P or con sigu iente
x
p
=
~
o bien,
dy
dx
_x_
2 ’
do don do, v o lv ie n d o a integrar, obten em os
y = - ^ . + C2.
P on ien do y ^ O para x = Q, h a lla m o s C2 = 0.
particular que buscábam os es
P or co n sig u ie n te, la so lu ció n
2) Si la ecuación d iferen cia l n o c o n tio n e x de form a e x p líc it a , p. o j .
F ( y , y ', f ) = 0,
pon ien d o y' = p , y u = p ^
t
» ob ten em os una ocuación do orden in fe r io r en
una unidad
' t *
Ejemplo
2.
p’ p i § ) = 0
•
H allar la so lu ció n particular de la ecuación
co n la c o n d ic ió n do que y = \, y ’ = 0 para x = 0.
Solución.
Ponem os y ' = p , en este caso, y 9 = p 4^* y nuestra ecuación
d'J
so transforma en la siguiente:
H em os ob ten id o una ocuación del t ip o de B orn ou ili c o n respecto a p
(y se considera argum ento). R e s o lv ié n d o la , hallam os:
p ^ ± y V C i+ y'K
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371
E cuaciones d iferen ciales de órdenes superiores
te,
Do
la c o n d i c i ó n y ' ^ p — 0 p a ra y — i 9 t e n e m o s C i =
____
p
= ±
vV v
— 1. P o r c o n s ig u ie n ­
2—t
o b ie n
dy
% - ± y V y > - 1.
In teg ra n d o,
ten em os:
1 +. x — ^
árceos—
t 2.
P o n ie n d o
y — 1
y
s — 0,
obten em os
quo
0 ^ = 0^
do
donde
c o s a ;,
o
y = sec z.
R e s o lv e r la s ecu a cion es.
29H .
y" = ± .
2 9 2 0 . y y " = y \ + J/'2.
•U
2912. y" = —
.
2921. y y -
y ’ (1 + y'). = 0.
2 9 1 3 . y " = 1 - V ' 2.
2 9 2 2 . y' = -
.
2914.
2923. ( x - f - 1) y " -
( x + 2) y' +
* * /" - } - y ' = 0 .
4
2 9 1 5 . y y " = y'*.
yU
y
2 9 1 6 . y y " - \ - y 'z = 0.
u>
2924. x y " — y ' \ n — .
2 9 1 7 . (1 + a:*) y"-h|/'2-5-1 = 0 .
2925, ^ + T
2 918. y ' (1 + i/'2) = ay".
2919.
j:-|
-2 =
0.
~ xy" '
2 9 2 6 . x y m-\-y" = l - \ - x .
x V ' + ^ ' = l-
2 9 2 7 . y w2-|-y"2 = l .
H a l l a r la s s o lu c io n e s p a rticu la re s,
les q u e se in d ica n :
para las co n d ic io n e s in icia ­
2928.
(1 -\-x2,) y ' — 2 x y ' = 0; y = 0, y ' = 3 para x = 0.
2929.
l + y '2 = 2 y y "; y = 1, y ' =* 1para x =
2930.
y y " + y ' 2 = y ' 3; y — 1, y ' = 1 para x = 0.
2931.
x y " = y '; y = 0, y ' = 0
para x = 0.
H a l l a r la s in te g ra le s gen erales de la s ecu acion es:
2 9 3 2 . y y ' = V ¥ + y rV - y ' y ' ' 2933. yy" = y ' 2 + y' W
+ V a.
2934. y ' * - y y " ^ y Y .
2 9 3 5 . {/{/" + y ' 2-
i/'3 l n i / - 0 .
24*
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372
Ecuaciones diferenciales
H a lla r las soluciones
indican:
2936.
que satisfagan
a la s con d icion es que se
— 1; y = 1, y' = 1 para ^ =
•
2937. y y "-| -y '2 = 1; y = l , y ' = l para 3 = 0.
2938. z y " = V ^ l r í / ' 2; i/ = 0 para * = 1; y = l para x = e z.
2939. y ” (1 -I- ln x ) + ^ - y ' = 2 + h\x\ y = y .
y ' = 1 para * = 1.
2940. y " = - j - ( í H - l n ~ ) ; ’/= - j ’ 'S = 1 Para * = 1 2941. y" — y '2 4 y ’ (y — 1) = 0; y = 2 , y ' = 2
2942. 3 y 'y " = y 4 y ' s 4 1; y = - 2 ;
para 3 = 0 .
y ' = 0 para 3 = 0.
2943. y2 + r 2- 2 y / = 0 ; y = J , y ' = l para 3 = 0.
2944. 2/¿/' + y - f z/y" = 0; ?/ = 1 para x = 0 e y = 0 para x — — 1.
2945. 2//' + {í/'2- 6 ^ ) - ? / = 0; y = 0, y ' = 2 para .r = 2.
2946. y 'y 2-}- yi/f — y '2 = 0; y = 1, y ' — 2 para a: — 0.
2947. 2 y y " — 3 y '2 ~ 4//2; y = 1, y' = 0 para a: — 0.
2948. 2 yy "-| -2 r — y ' 2 = 0; y = l , y ' = l para * = 0.
2949. y" = y ' 2 — y; y = — i - ;
2950. y" + y2 «v " V
y -
y ’ = i - para a r = l .
2- yyyy '2 =
— 0; y// =
— 1, y ' =
— cv para 3
^=
2951. l -r yy" + y ' 2 = 0; y = 0, y ' = l para 3 = 1.
2952. <l + y y ') y " = ( I T y ' 2) y ' ; y = 1 ,
y ' = l para 3 = 0.
2953. ( x i - i ) y " - \ - x i / - = i / ; y = — 2, y ' = 4 para 3 = 1.
R e so lv e r las ecuaciones:
2954. y ' = 3i/"2 f y"s.
2955. y' = 3y" 4 y" — y"a.
2956. y"'2 = 4y".
2957. y y 'y " = y ' 3 — y"2. D estacar la cu rva integral que pasa por
e l p u n to (0; 0) y q u o es tangente en éste a la recta y 4 - 3 = 0.
2958. H a lla r las curvas de radio de curvatura constante.
2959. H a lla r la curva, para la c u a l, ol radio de curvatura es
proporcional al cu bo de la normal.
2960. H a lla r la curva, para la c u a l, el radio de curvatura es
igual a la normal.
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E cuaciones diferenciales lineales
2 9 6 1 . H a lla r la cu rv a , para la cu a l, ol radio de curvatura es
dos veces m a y o r que la norm al.
2 9 6 2 . H a l l a r las cu rva s, para las cu a les, la p royección d e l radio
de curvatura sobre el e je O Y es constante.
2963. H a lla r la o cu a ció n del ca b le do un puente colgante,
su pon ien do quo la carga se d istribu ye uniform em ente por la p royec­
c i ó n de d ic h o ca b le sobre una recta h o riz o n ta l. E l peso del cable
se desprecia,
2964*. H a lla r la p o s ició n de e q u ilib r io de un h ilo fle x ib le ,
in estirab le, su jeto por sus ex trem os a dos puntos y que tiene una
carga con stan te q (on la que se in c lu y e e l peso del p ropio h ilo )
por unidad de lo n g itu d .
2965*. Un grave sin v e locid a d in icia l resbala por un plano
in clin a d o . H a l l a r
la lo y de su m o v im ien to ,
si e l á n g u lo de in cli­
n a c ió n es igual a a , y el c o e fic ie n t e de frota m ien to [X.
I n d i c a e i ó o.
La fuerza do fro ta m ien to
Ja re a cció n que op o n e el plano.
es igual a [¿/V, donde N es
2966*. L a resistencia del aire a la caída de lo s cuerpos puede
con sid era rse proporcion a l al cu adrado de la v elo cid a d . H a l l a r la
ley d e l m o v im ie n to , si la v e lo c id a d in ic ia l es ig u a l a cero.
2967*. U n a la n ch a de m otor, de 3 00 k g f de peso, se m ueve en
lín e a recta c o n una v e lo c id a d in ic ia l de 66 rn/seg. L a resistencia
del agua es proporcion a l a la v e lo c id a d e igual a 10 k g f cu án do la
v e lo cid a d es de 1 rn/seg. ¿D e n tro de cu á n to tiem po la velocidad
do la la n ch a será ig u a l a 8 m /sog.
§ 11. Ecuaciones d if e r e n c ia l e s lineales
I o. E c u a c i o n e s
liomogóneas.
Las
fu n cion es
y x = <p4( i ) ,
= <p2 (a;), . . . {/7í = q>7t ( * ) se lla m a n lineal/nenie dependientes, cuando existen
unas con stan tes C4, CT2,
Cn , tales, que sin ser todas iguales a cero, so
tiene
en e l c a s o co n tr a r io estas fu n cio n es re cib en e l nom b re de* linealmente
independientes.
La solución general de la ecu ación d ife re n cia l lin ea l hom ogénea
y m + P i (x) y ^ - D + . . . + P n (* ) p - O
c o n c o e fic ie n t e s co n tin u o s P¿ (x) (¿ = 1, 2,
(i)
n) tiene la form a
y = ^ lí/i + ^ 2 l/2 + •* • +£Vd/n»
donde
y<¿,
¡}n> son s o lu cio n e s lin ea lm en te independientes do la ecua­
c i ó n (1) (sistema fundamental de soluciones).
2o. E c u a c i o n e s n o h o m o g é n e a s .
La s o lu c ió n general de la
e cu a ción d ife r e n c ia l lineal no homogénea
y ™ + P i {*) y ' n~ " + ■ . . + P n (*)</ = / (*),
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&)
374
E cuaciones diferenciales
s ie n d o lo s c o e fic ie n t e s Pt (x) y
nuas, tiene la form a
el
seg u n d o m ie m b r o
/ (x)
fu n cion es c o n ti­
^ = ^0 + ^1
d o n d e f/ o es la s o lu c ió n general de la corresp on d ien te ecu a ció n h om ogénea
(1) e Y una s o lu c ió n pa rticu la r de la ecu ación n o h om og én ea dada (2).
Si so conoco u n sistem a fun dam en tal do solu cion e s y lt ygi •>.«&* de
la ecu ación hom ogénea (1 ), la s o lu c ió n general de la correspond iente ecua­
c ió n n o hom ogénea (2) se puede h a lla r p o r la fórm u la
y = C\ (x ) y i + C2 ( x )
+
- C u ( x ) y n,
donde las funciones Ct (s ) (¿ = 1, 2, . . n) se ob tien e n d e l sistema^ de ecua­
ciones
¿ i (^ ) V±~T
q <*) y í +
cí
{ x ) 1/2
+ • • • ~i“ é n ( x ) !/n ” d,
(z) vi
+ . . . + c ; <*) * ; = o T
(^)
cí (*) |/Ír ~ 2>+ Cí (x) 4 n- 2)+ . -. + c ; (*) y n( ~ 2>= 0
Ci (*) y(r 1:>■+Ci <*) y % - 1■>-+ ... + c ; (x) » {," " « = /(* )
(método de variación de las constantes arbitrarias)
E j e m p l o . R esolv er la ecuación
x y " + ij'=--x 2.
(4)
S o l u c i ó n . R e s o lv ie n d o la ecu ación hom ogénea
obtenem os:
*y"+y'**
0>
y = é*1 ln i-|- é*2.
(5)
o
P or consiguiente, se puede tom ar
y l = ln x e y2 =r. t
y buscar la s o lu c ió n de la ecu ación (4 ) en la form a
V — Ci (x) ln x + C2 (x).
Form ando e l sistem a (3) y teniendo en cuenta que la form a
e cu a ción (4) es y " + —
x
= x, obtenem os
( C í ( x ) l n x + C.; ( z ) l = Ü,
( Cí ( * ) - i + C¡ (*)■» = *■
De donde
y , p o r consiguiente.
y —— + A l n x + ü.
d on d e A y B son con stan tes arbitrarias.
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reducida
de la
licu a cion es diferenciales lineales de 2o orden con coeficientes constantes 375
2968. I n v e s tig a r la dependencia lin e a l de los siguientes
m as de funciones;
a) x y x + 1;
o) X*
b) x 2, - 2 # 2;
f) e*, e2X, e 3X;
c ) 0, 1, x ;
g ) sena:, cosa:, 1;
á) x , x + i ,
x-\ -2 ;
* 3;
h) sen2 #, eos2 # , 1.
2969. F orm a r la e c u a c ió n d ifere n cia l lin e a l
cie n d o su sistem a fu n d am en ta l de solu cion es:
a) y * = s e n # .
y2 = x e x;
c)
í / 2 ~ ^ 2;
d ) y i =^exy
h om o g én e a , c o n o ­
= eos o:;
b) V i - e ? ,
Xi — X,
siste­
y 2 = ex sen#,
y$ = e x e o s # .
2970. C on ocien do el sistem a fundam ental
e cu a ció n d ife re n cia l lin ea l hom ogénea
V\ = x , y*¿ = #2, y 3 ==
de solu cion es
de
la
,
h a lla r su s o lu c ió n p a r tic u la r y , que satisfaga a las con dicion es
in iciales
y U*=i = o ,
v ' \ x m i- - u
y” | * -i = 2 .
2971*. R e s o lv e r la ecu a ció n
{/"-h — y ' + y - O ,
con o cie n d o s u s o lu c ió n p a r t ic u la r y i = - -------- .
2972. R e s o lv e r la e cu a ció n
a * ( l n a ^ l ) í f - a * '+ * = * 0 ,
co n o c ie n d o su s o lu c ió n p a r t ic u la r y t =^x.
R e s o lv e r la s sigu ien tes ecu acion es lin eales no hom ogéneas por
el m étod o de v a r ia c ió n de las con stan tes a rb itra ria s:
2 973. x h f — x i f = 3 # 3.
2974*. x Y + x y ' — y =
2 975. */'" + [/' = sec #.
V
§
12.
E cu a c io n e s
constantes
d if e r e n c ia l e s
lin e a le s
de
2°
orden
con
I o. E c u a c i o n e s h o m o g é n e a s .
La ecu ación lin ea l
do 2o orden co n co e ficie n te s con stan tes p y q, es de la form a:
V*+Pi/' + qy = 0.
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c o e fic ie n te s
hom ogénea
(1)
376
E cuaciones diferenciales
Si /r, y k 2 son las raíces d e la e c u a c ió n cara cte rística
cp (k ) = k ” -|- p k - 1-7 = 0 ,
(2)
la s o lu c ió n gen eral de la e c u a c ió n (1) se e s cr ib e e n una de las
s ig u ie n te s ;
tres
fo rm a s
1) y — Cic hlX-\-C2c h'l X. s i k i y k 2 s o n rea les y k í =p /c2:
2) y = - e * iar(C t + £;>*)’ si /;, = A-2;
3) y s=ea x (C j c o s p a : ' f - Q s e n p x ) , s i / i j = a + p¿ y &2 = a — P¿ (P
2*\ E c u a c i o n e s n o h o m o g é n e a s .
e c u a c ió n d i fe r e n c ia l lin e a l n o h om ogén ea
La
solu ción
0).
g o n o ra l
y” + p y ' + w — f (*)
de
la
Cs>
so puede e s c r i b i r en fo r m a de sum a
y = Vo + Y>
don d e yo es
s o l u c i ó n gen eral do la c o r r e s p o n d ie n t e e c u a c ió n (1) s in s e g u n ­
d o m ie m b r o ,
que so d e te rm in a por la s f ó r m u la s 1) — 3 ), e Y
es una s o l u ­
c i ó n p a r t ic u la r d o la ecu a ción d a d a (3).
La fu n c ió n / so puedo h a lla r p o r e l método de los coeficientes indeter­
minados en los s ig u ie n te s ca s o s s im p le s :
1. f ( * ) ~ e axP n ( x ) , d o n d o P n (x) es u u p o l i n o m i o de g r a d o n.
Si a no
és raíz d o la e c u a c ió n cara cterística (2 ), es d e c ir , <p( « )
0,
se co n s id e ra
Y = eaxQrt( x ) , do n d e Qn (x ) e s u n p o l i n o m i o
de g r a d o « c o n
c o e fic ie n t e s in determ in ados.
Si a es raíz do la e c u a c ió n c a r a c te r ís tic a (2 ), e s d e c ir , (p (a ) = ü, so
con sidera Y = z re l x Qn ( x ) , d o n d e r es e l g r a d o de m u l t i p l i c i d a d d e la raíz
a (r = l o r — 2).
2. / (x ) = eax l P T (x ) co s ó x + Q/n ( x ) s e n bx\.
Si <p (a ± bi) =£ 0 , se con sidera
Y = e a x [S]$ ( x ) c o s ó x + T u son fcx),
do n d o ó*n ( * )
Si p o r e l
y Tw ( x ) s o n p o l i n o m i o s do g r a d o ¿V = m á x { « , m).
c o n tr a r io , cp (a ± bi) = 0 , so co n s id e ra
y = x reax [Sjs { * ) oos bx-\- 7 'n ( 2 ) sen bx\,
d o n d e r e s e ! g r a d o d o m u l t i p l i c i d a d d e la raíz a ± bi (p ara ia ecu a ció n
d e 2o ord e n r = l ) .
En e l c a s o g e n e ra l, para r e s o lv e r la e c u a c ió n ( 3 ) se e m p le a e l método
de variación de las constantes arbitrarias (v é a se e l § 11).
E j e m p l o 1. H a l l a r la s o l u c i ó n de la
e c u a c ió n
2 y " - ~ y '- y = = 4 x ^ .
Solución.
fci== l
y
La e c u a c ió n
c a r a c te r ís tic a 2/c2— k — 1 = 0
tiene la s
/,:2 = - L . L a s o l u c i ó n gen eral do La c o r r e s p o n d ie n te e c u a c ió n
raíces
liom o-
y
gén ea (d o la fo r m a prim era) es i/o = Cte x -\-C2e 2 . E l segu n d o m ie m b r o do la
ecu a ció n da da / ( z ) = 4 x e 2x~ e axP n (x ). P o r c o n s ig u ie n t e , Y = c2x ( A x B ),
y a q u e w = l y r = 0 . D e r iv a n d o Y d o s ve ce s y p o n ie n d o la s d e r iv a d a s en la
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licuaciones diferenciales lineales de 2o orden con coeficientes constantes 377
ecu ación dada, obtenem os:
2e2X ( 4 4 * + 4 B + A A ) -
e2* <24* + 2Z* + 4 ) - e** ( A x + D) = 4 zc*x .
S im p lific a n d o por e2X o igu alan d o entro sí lo s coeficien tes quo corresponden
a las prim eras potencias do x y io s térm in os independien Les de ambos
m iem b ro s de la ig u a ld a d t tenemos:
4
5 4 — 4 y 7 4 + 3 # = 0 t de donde 4 = — y B =
Do este form a , Y
28
x — —r -j , y la s o lu c ió n general do la ecu o-
e 2-'
c ió n dada es
—
y = C¡ex -\-C2e
/ 4
(T x -
¿
28 \
25 ) •
t j e m p i o 2. H a lla r la so lu ció n general de la ecu a ció n y " — 2y' + y = z e x .
S o l u c i ó n . La ecu ación ca ra cterística k2 — 2k + 1 = 0 tiene una raíz
c u y o « r a d o do m u lt ip lic id a d es dos, fc = l . E l segundo m iem b ro de la
e cu a ción es, f ( x ) ^ x e x \ aquí, a — 1 y n = l . La s o lu c ió n p a rticu la r Y =
= x 2ex ( A x + B ) t puesto quo a co in c id e co n la raíz
= 1 c u y o grado do m u l­
t ip lic id a d e s igual a d os y , p o r con sigu ien te, r = 2.
D erivan d o Y d os veces, pon ien d o las d erivadas en la ecu a ción e igualando
lo s co e ficie n te s, obten em os 4 = — ,
=
Por con sigu ien te, la
so lu ció n
ge­
neral de la ecu a ció n dada se escrib e de la form a
y = (C1 + C2x ) e * + - ^ x ? e * .
E j e m p l o 3. H a lla r la so lu ció n general de la ecu ación y'7+ i/ = x son x.
Solución.
La e c u a c ió n característica
_]-4 = 0 tiene las
k\ = i y
— i. La s o lu c ió n g en era l do la correspondiente ecu a ció n
génea sera ¡véase 3), donde a = ü y 0 = 1 ] ;
raíces
h om o­
y0 = C\ co s z + C2 sen x .
El segundo m ie m b ro tiene la form a
/ (x) =
donde a = 0,
p a rticu la r
\Pn (x) eos bx + Qm ( x ) son bx),
b = \, P n ( x ) = 0,
Qm ( * ) = £.
A
61 le correspondo la solu ción
Y — x t ( 4 z + B ) cos x + (Cx + D) sen x]
(aqu í N = 1. a = 0, b = 1, r = \).
D erivan d o d os voces y p o n ie n d o las derivadas en la ecu ación , igu a la m os
entre sí lo s co e ficien tes do lo s d os m ie m b ro s do la igualdad q uo correspon­
den a cos x t x c o s í , se n x y x son x. Com o resultado, obten em os cu a tro
ecuaciones: 2A + 2 D = 0 T 4C = 0, — 2B + 2C = 0 , — 4 4 = 1, do Jas cuales se
r2
determ inan: 4 = — 1 /4 ,
— 0, C = 0 , P = i f 4. P or
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lo
quo Y =
— cos* +
378
Ecuaciones diferencíales
La solución general será
y = Ci eos x + C osen x — ~ c o s ar + -| -s o n a r .
3o. P r i n c i p i o de s u p e r p o s i c i ó n de s o l u c i o n e s . Si
segundo miembro de la ecuación (3) es una suma de varias funciones
el
f ( x) = h ( * ) + /2 W t - ' + Z b (x )
e
=
2
s on las correspondientes soluciones de las ecuaciones
+
= /* (* )
(¿ = 4 , 2 , . . . , * ) ,
Ja suma
es so lu ció n de la ecuación (3).
i l a l l a r la s o lu ció n general de las oeuaciones:
2 976. y" — 5 y ' + 6 y = 0
2982.
y n + 2 y' + y = 0.
2977. y " - 9 y = 0.
2983.
+
2978. y " - * , '= ( ) .
2984.
=0.
2979. y "-\ -y = Q.
2985. y = i f + y'.
2980. y” ~ 2 y ’ + 2^ = 0.
2986.
=
2981. y’ + 4 y ' + 1 3 y = 0.
H a lla r las solu cion es p a rticu la res que satisfagan
c io n e s que se indican:
a
la s con d i­
2987.
e/’ ~ 5 y ' - } - 4 y
= 0; y — 5, y ' = 8 para
2988.
/ + 3 jr'-)-2í/
= 0; y = l , y ' — — 1 para x — 0.
2989. y " + 4 y = Ü,
2990. y " 4 - 2 y ' = 0;
2991. y" —
y=0,
y = l,
x = ü.
y ' = 2 para x — 0.
y ' = 0 para x = 0.
y = a, y ' = 0 para x — 0.
2992.
y " - } - 3 y ' = 0;
y — 0 para x = 0 o y = ü para x = 3.
2993.
y"-|-r[a(/ = 0;
y — 0 para x = 0 e y = 0 para x — i .
2994. Indicar la form a de las solu cion es p a rticu la re s de las
sig u ie n te s ecuaciones n o hom ogéneas:
a) y " — 4 y = x V ¡x;
b) y"-\-Qy — eos 2x;
c ) y " — 4 y' - r 4 y = sen 2 x -f- e2X;
d) y n - f 2 y '
2 y = ex sen x;
o) y" — % ' + 6y = (x z - f 1) ex -(- xe2*;
í) y " — 2y' -}- 5 y = x e x eos 2x — x 2ex sen 2x.
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licuaciones diferenciales lin eales de 2o orden con coeficientes constantes 379
H a l la r l a s o lu c ió n de la s ecu a cion es:
2 9 9 5 . y" — Ay'
Ay — x 2.
2 9 9 6 . y " - y ' + y = x * - r 6.
2 9 9 7 . y "-\ -2 y ' + y = etx .
2 998. y " — 8 y ' + 7i/ = 14.
2 9 9 9 . y ’ ~ y = e*.
3 0 0 0 . y " - f y — eos x .
3 0 0 1 . y" -\-y' — 2í/ = 8 sen 2 x.
3 0 0 2 . y" + y' -
liy = x e 2X.
3 0 0 3 . y ” — 2 y' -¡- y = sen x
sh x .
3 0 0 4 . t f + y ' = sen 2 x.
3 0 0 5 . y " — 2 y ' -j- 5 y = ex cos 2x.
3 0 0 6 . H a l l a r la s o lu c ió n de la ecu a ción y " -|- 4 y — sen x , que
s a tis fa c e a la s co n d ic io n e s y — í , ii' — l para x = 0.
R e s o lv e r la s ecu acion es:
d%x
3 0 0 7 - - ^ 2“ +
=
*4s e n p t.
E xa m in a r
los ca so s : 1)
co;
2) p = c o .
3008. y" - l y ' - \ r i 2 y
e*x.
3 0 0 9 . y" — 2 y ' — x 2 — i .
3 0 1 0 . y" -
2t/ -)- y = 2ex .
3 0 1 1 . y " — 2 y ' = e iX + 5.
3 0 1 2 . y ” — 2 y ‘ — 8tj = e* — 8 cos 2x.
3 0 1 3 . y " + y' = 5 x + 2ex .
3014. y " - y ' = 2 x - l - 3 e \
3 0 1 5 . y " + 2 y' + y = ex -\-e-x .
3 0 1 6 . y ” — 2 y -j-1 0 {/ = sen 3 x + e x.
3017. / - V
+ 4j/ = 2e2X + - 2 - .
3 0 1 8 . y* — 3i/' = x -| -co s x .
3 0 1 9 . H a l l a r la s o lu c ió n de la e cu a ció n
q u e s a tisfa ce a la s c o n d ic io n e s :
y ' — 2y' = e 2r + x 2— U
i/ = -g-, y ' = 1 para x — 0.
R e s o lv e r las ecu acion es:
3020. y" — y — 2 x s e n x .
3 0 2 1 . y" — 4y = e2* sen 2a;.
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E cuaciones diferenciales
3022. i f — 4y = 2 sen 2 x — 3 eos 2j* + i .
3023. j/*— 2y' -j- 2^ = 4c* sen x.
3024. i f = ze*-\~y.
3025. y* \-$y = 2x sen
.r
1
x c 3X.
3 026. jf" — 2 y' — 3y = x ( l + * » * ) .
3027. //' — 2ij
3# -{- 2 x e x.
3 028. i f - ' x y ' - \ - í y ~ x e * x .
3029. y " + 2 y -
2 ;n raje -
Sy -
(s + 1 )
3030*. y" + y = 2.r eos x eos 2x.
3031. x f — 2y — 2 xex (eos a:— son x).
V a lié n d ose d e l m étodo de v a r ia c ió n
trarias, resolver las ecuaciones:
de
las constantes
3032. y" |-y — t g * .
3030. ,/
3 033. ;/* - f J/ = c t g i-.
3037. ?/'-! y = ^ ±
a rb i­
y =- - i — .
eos x
sen x
3 034. y " — 2 y - \ - y — — .
3 0 3 8 . a) y " — y = i h x ;
3035. / -I- 2y ' -|-
b) y” - 2 y = 4 s V *
X
3039. D os pesos igu a les están co lg a d os del e x tre m o de un
resorte. H a lla r la ecu a ción del m ov im ien to q u e efectuará uno de
estos pesos, si el o tr o se desprende.
S o l u c i ó n . Supongam os que el aumento do lo n g itu d que experim enta
e l resorte ha j o la acción do uno de lo s posos, en estado de reposo, os igual
a a y que la masa de d ic h o peso os m. D esignem os con la letra x la co or­
denada de esto peso, tomada en d ire cció n v e rtica l, a p a r t ir de la p os ición do
e q u ilib r io cuando s ó lo h a y un poso.
En esto caso,
d 2x
m~di2
dondo, evidentem ente, k
— k (* + °)t
> y p o r con sigu ien te, ~ ^ - = — ^ - x . La s o lu -
c ió n general es x ~ C i eos y
/ c
— / -|- C2 son y
f
ti
— t.
Las co n d icio n e s in icia le s
nos dan x = a y ^ - = 0 para ¿==0; de donde Ci = a y C2 = 0, y, p o r c o n siguienle,
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Ecuaciones lineales de orden superior al 2oy con coeficientes conslantes 381
3 04 0 *. L a fuerza que ala rga a un resorte es proporcional al
a u m e n t o de lo n g itu d d e l m ism o e ig u a l a 1 k g f, para un aum ento
d e lo n g itu d de 1 c m . D e l resorte está suspendida una carga c u y o
peso es de 2 k g f. H a l l a r el período d e l m o v im ie n to oscila to rio que
re c ib ir á esta carga, si se tira do e lla u n p oco hacia a b a jo y des­
pués se suelta.
3 04 1 *. Una carga, cu y o peso os P =*4 k g f, está suspendida de un
resorte al que ala rga en i c m . H a l l a r la l e y del m o v im ie n to de
esta ca rg a , si e l ex trem o superior del m u e lle efectúa las o s c ila ­
c io n e s a rm ó n ica s v e rtic a le s y = 2 sen 3 0 / c m y en el m om ento
in ic ia l la carga estaba on reposo (la resistencia d e l m ed io se
desprecia).
3 0 4 2 . Ün p u n to m a te ria l do masa m , es atra íd o por dos c e n ­
tros. L a fuerza de a tra cc ió n de cada u n o es proporcion a l a la
distan cia (el c o e fic ie n t e de p rop orcio n a lid a d es ig u a l a k ). H a lla r
la le y del m o v im ie n to de d ic h o p u n to, sa b ien d o q u e la distancia
en tre lo s cen tros es de 2í>, que en el m om en to in icia l el punto
en cu e s tió n so en con trab a en el se g m e n to que une entre sí dichos
ce n tr o s , a una d ista n cia c del punto m edio d e l m ism o y quo su
v e lo c id a d era ig u a l a cero.
3043. U n a cadena de 6 m de lon gitu d se desliza, sin roza­
m ie n to , desde un sop orte h acia a b a jo . Si ol m o v im ie n to se in icia
e n e l m o m e n to en q u e del soporto cu e lg a 1 m de cadena ¿cuánto
tiem p o tardará en deslizarse toda la cadena?
3 0 4 4 . U n tu b o la r g o y estrech o gira c o n una v e lo cid a d angu lar
c o n s ta n te <o alred ed or de un o je v e r tic a l perpendicular a é l. Una
b o la , q u e so en cu en tra dentro de d ic h o tu b o , se desliza por él
s in rozam ien to. H a l la r las le y e s d e l m o v im ie n to de la b ola con
re la c ió n a l tu b o , con sid era n do que:
a) en el m o m e n to in ic ia l J a b o la se encontraba a una distan­
c i a a d e l eje de ro ta ció n y su v elo cid a d en d ich o m om ento era
ig u a l a cero;
b) en el m o m en to in i c i a l , la b o la se encontraba en el eje do
ro ta ció n y te n ía u n a v e lo c id a d in ic ia l de v0.
§ 13, Ecuacio nes d if e r e n c ia l e s lin e a le s de orden s u p e rio r al 2o,
con c o e f i c i e n t e s c o n s ta n te s
1°. E c u a c i ó n h o m o g é n e a . El sistema fundamental de soluciones
Vi* Vz* •••» ün de la ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes
l/<n>+ a{y<n- l' + . . . + a n_ iy' + a ny = 0
(1)
so construye sobre la base del carácter que tienen Jas raíces de la ecuación
característica
. . . - f a,,.,*-f-fln = 0.
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(2)
m
Ecuaciones diferenciales
Es decir: i ) s i k es una raíz, roal de la ecu ación (2) de grado de m u lt ip l i­
cidad m, a ésta le corresponden m so lu cio n es linealraento in depen dien tes
de la ecu ación (1):
yz*=zehx> . . . . Vm= * m- 1e**;
2)
si a ± P ¿ e s un par do raíces co m p le ja s de la ecu ación (2) de grado
de m u ltip licid a d m, a o lla s lea corresponden 2m s o lu cio n o s linealmenteindependientes de la ecuación (1):
y i = ea x cosps, IJ2 — e °"Xs ¡ n
J/3 = x e a x eos fix, y k = x e ax sen (lar, . . .
y ^ n - i = x m- * e a x eos fkr, 02ro «=.rm“ 1¿ cwf sen (te.
2a. E c u a c i ó n
no
ecuación no hom ogénea
homogénea.
+
La
s o lu c ió n
p a rticu la r
de
+ a „ - iy' + any = r f (s)
In­
(3>
se busca basándose en las reglas del § 12, 2o y 3o.
H a lla r la s solu cion os generales de las ecuaciones:
3 0 4 5 . y ” — 13t/"-|-i2t/' = 0.
3046. y - " ~ y ' = 0.
3058. y i v + 2ír + y « 0 .
3059.
y<*-»> +
3 047. y " -\ -y = 0.
3048. y i Y + 2 y " = 0.
+
y<n~ 2) + - - -
3049. t/” — 3p" + 3 y ' — y = 0.
1- Y y' + y e * 0.
3 050. yIV + 4 y = U.
3 051. y»v + 8 / + 1 6 y * 0 .
3060. y lv — 2y” -\- y " = e x.
3052. y lw -b !/' = 0.
3061. y ™ — 2 y ’, + y " = x 3.
3053. y i v — 2 y “ -\-y = 0.
3 062. y m- y = x3 - l .
3054. y ' v - a* y = :0 .
3 063. y1v - b y"‘ — eos Ax.
3055. y i y — 6 y " + 9 y = 0.
3 0 6 4 . y " + ! / " = x 2 + 1 + 3xc*.
3 0 5 6 . y i v -b cPy” = 0.
3065. y m+ y ’ + y ’ - i - y = x e K.
3057. {/Iv -u 2 y* -1-t/" = 0.
3066. y ” - b ?/' = tg a:sec x.
3 067. H a lla r la s o lu c ió n pa rticu la r de la ecu a ción
y " + 2y‘, + 2 y ' + y = x,
que satisface a
las co n d icio n e s
in icia le s y (0) = y ’ (0) = y " (0) = 0..
§ 14, Ecuaciones de Euler
La ecuación, lin e a l de la forma
(ax + 6 )" y <n>+ Ai (ax + 6)n- l ¡/i” - 1»+ . . . -b An- , (o x + b) y + Any = j (x), (1)
don de a, b, A t
A „ - U A„,
son con stan tes, se lla m a ecuación de Euler.
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383
E cuaciones de E u ler
Para o l re cin to
diente» t, p o n ie n d o:
in tro d u cim o s
una nueva v aria b le indepen­
ax -|- b = e l.
E n ton ces,
y l" = fl3e-.i¿
+
j y así sucesivamente!,
y la ecuación de E u ler so tran sform a en una ecu ación lin e a ! co n c o e f i c i o n le s con stan tes.
Ejem plo
1.
Solución.
R e s o lv e r la ecu a ció n x * y " x y ' y = 1.
P o n ie n d o x = e i t obten em os:
dy
dx
_
dy
dt
/>- t
d 2y _
1 dx2
t
dfiy
l d i*
dy \
di / *
(
P or co n s ig u ie n te , la ecu a ció n dada tom a la fo rm a
dt*
d o d on do
y = c , cos i -f- Co sen i - h 1
o sea,
y = c i COS (1 n x) -(- C2 son (1 n a:) -{-1.
Para la ecu ación hom ogénea do Euler
x ny iti) + A íX n - } y i n - 1 >+ . . . - f A n ^ x y ' + A n y = 0
(2)
cu a n d o . r > 0 s o puedo buscar una so lu ció n d o la form a
¡,= z K
(3)
P o n ie n d o en (2) y y y
, y<n \ d eterm inad as por la ro la c ió n (3), ob ten em os
la e cu a ción característica, de la que se puede h a lla r e l ex p o n e n te k .*
S i k e s una ra íz real do la ocu ación característica, de grado m de^ m u l­
t ip lic id a d , a e ll a lo correspon derá n m s o lu cio n e s lin o a lm e n te in depen dien tes
iji = x h, y 2 = x h \ n x y y 3 = x h ( l n * ) 2,
ym = x h (ln ar)m_1.
S i a r b P t es
un par de raíces co m p le ja s do grado m de m u lt ip lic id a d ,
a e lla s le s corresponderán 2m s o lu cio n e s lin e a lm o n to in depen dien tes
y i — x a cos (p l n x), y-¿ = x a sen (P l n x ), y3 = x a ln x co s (p ln x),
y 4 = x a ln x s o n (P l n x ),
*/2m~i = £ a { l n x)™ "1 cos (P ln x),
Vyn — Xa 0*» x ) 771” 1 sen (P l n x).
E jem plo
2.
R e s o lv e r la ecuación
x 2 y * — d z y ' + 4y = 0.
Solución.
Ponem os
y = x h\ y' = k x ll~1, y" - k ( f r - 1)
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384
Ecuaciones dije réndales
Ilaciondo la su stitu ción on la ecu ación dada, después rio s im p lific a r p o r x k y
o b te n e m o s lu ecuación característica
/f2 _ 4 * + 4 = 0.
R e solv ién d ola , hallam os;
ki = k2= 2 ,
por con sigu ien te, la s o lu c ió n general será;
y = C ¡ x * C 2z * ln x.
R esolvor las ecuaciones:
3068.
+
+ y =
3069. * V — x y ' — 3y = 0.
3070. x2y " + x y ' -\-4y — 0.
3071. xh/"'— 3x h j" + ñ xy’ — 6 ;/ - 0.
3072. (S x + 2 ) y " 4 - 7 y ' = 0 .
3 073. x f = % .
3074.
0.
3075. x h f — 4 x y ' - f 61/ = x.
3076. (1 + * ) * y ' — 3 (1 + * ) y' + 4y * (1 + x ):{.
3077. H a lla r la s o lu ció n pa rticu la r do la ecuación
x y ' — x y ' + y = 2x,
que satisface a las con d icion es in icia le s :
y — 0, y ' = 1 para x = 1.
§ 15. Sistemas de ecuaciones d ife re n c ia le s
M é t o d o d e e l i m i n a c i ó n . Para h allar ia s o lu ció n , por e je m p lo ,
de un sistema normal de d os ecuaciones diferen cia les de 1er orden, es decir,
de un sistema de la form a
— = / ( * , y, *),
v >z)’
resuelto con respecto a las derivadas de las fu n cion es y y z que
derivam os una de ella s respecto a ¿p. Tenem os, por eje m p lo:
dhj
df
di
W
se buscan,
df
- 3 F — t e + - d í t + T r B'
D eterm inando s de la primera ecuación del sistema ( l ) y pon ien d o la
expresión obtenida
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()
’i
Sistem as de ecuaciones diferenciales
en la ecu ación (2), obten em os una ecu ación
in có g n ita y. R e s o lv ié n d o la , h a lla m os:
de
385
2o o rd e n con una fu n ció n
Cu C2)>
(4)
donde
y C2 son unas constantes arbitrarias. P o n ie n d o la fu n ción (4) en
la fórm u la (3), d e te rm in a m o s la fu n ció n z s i n necesidad de nuevas integra­
ciones. El c o n ju n to de la s fórm u las (3) y (4), donde y se ha su stitu ido
p o r i|j, da la solución general del sistema (1).
Ejemplo.
R e s o lv e r el siste m a
dy
dx
2 y + 4 s = 1 + 4x>
dz
d x ' y - 2 = T a2Solución.
D erivam os la prim era ecu ación co n respecto a x\
í l +
2 £ - + 4 í r = 4-
D espejando z en la p rim e ra ecu a ción tenemos
dx
2y)
y pon ien d o este v a lo r on la segunda, tendrem os:
dz
— y
Pon ien do
3
—
—9 X
-~ r
dz
lo s v a lo re s de z y de —
on
JLtt_
~r?y
— ±É L
4 dx -
la e cu a ción ob ten id a
después
de
deriva r, lle g a m o s a la ecu ación de 2o orden con una in cógnita y:
’ t S P |t Í M
w
- 0 iS - * * * >
R e s o lv ié n d o la , h a llam os
y = C te2x + C2e - z x +
y entonces
dy_
s = i . ( í + 4x - * L - 2y ) = - C,.** + ^
dx
De form a análoga p u ede
núm ero de ecuaciones.
procederso en e l caso de sistem as de m ayor
R e so lv e r lo s sistemas:
dy
dx
3 078.
l
dz
dx
- ± **.
2’
3079.
— y-
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886
E cuaciones diferenciales
dx
3080.
3 086.
dz
i ¡ ¿ = y - ~ z'
* L + 2 z-y + 2 e ' =
dx
dt
dt
z>
dz
3087.
x.
dt
0;
a; = 0, y = 1 para i — 0.
y*
•»
3081.
4 r — y^- 3 6 ¿ ~ 0 ?
dt
dy _
y^
dx
z
¿2
1
dx
2 y-
*
dx
3 08 8 *. a ) -
dx
dy
a :»+ 3 * 0 *
dy
2.
dt
dz
i r = x + y c)
dz
2y"z
dx
dy
x — y
x+y
dz
|»
dx
dy
dz
y — z
z— X
x — y
i 7 = y + z'
3 083.
destacar la cu rva in tegra l que
pasa p o r e l p u n to (1 ; 1; — 2).
dz
— = x + y + z.
j ¿ + 2 y f 2 = aena:,
3084.
dz
4r/— 2 z = c o s : c .
I Hx
í
3085.
3089.
dz , 2
d í * i s r » = m*-
+ -¡y + iz = ix ,
dz
l
ÍÜ 4 -Z -1
¿x - I - * - 1'
y — 2 — 07,
dx
d 2y
2*/ - h 4 z = * \
3 090.
z/ — 0, 2 = 0 para a; = 0.
I
— y — 3z =
— a;.
3091**. U n p r o y e c t il s a le del c a ñ ó n con una v e lo c id a d i n i c i a l v 0,
form a n d o u n á n g u lo a c o n el h o riz o n te . H a l l a r la e c u a c i ó n del
m o v im ie n to de esto p r o y e c t il, tom a n do la resistencia d e l aire pro­
p o r cio n a l a la v e lo c id a d .
3 09 2 *. U n p u n to m aterial M es a tr a íd o por u n cen tro O c o n una
fuerza p r o p o r c io n a l a la distan cia q u e los separa. E l m o v im ie n t o c o m ie n ­
za en oí p u n to A , a la d ista n cia a d el cen tro, con u n a v e lo c id a d i n i c i a l
i;0, p erpen dicu la r al segm ento O A . H a l l a r la tra y e cto ria d ol p u n to M .
§ 16, Integración
de
ecuaciones
d if e r e n c ia l e s
m e d ia n t e s e rie s de p o te n c i a s
Si no es posible integrar una ecuación diferencial valiéndose de fun­
ciones elementales, su solución puedo buscarse en ciertos casos en forma
de serie de potencias
co
y— 2
n —0
e'» ( * —*o)".
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(*>
In teg ra ción de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias
387
L o s c o e fic ie n t e s in determ inados
(re = 0 , 1, 2, . . . ) se hallan p o n i é n d o l a
serio ( i ) en la ecu ación e ig u a la n d o lo s co e ficie n te s que corresponden
a p o te n cia s iguales dol b in o m i o x — x Q en a m b o s m iem b ros do la igualdad
así obten id a.
T a m b ién se puedo ba sca r la s o lu c ió n de la ecuación
y ' = 1 ( x , y)\ donde y (* 0) = l/o*
(2)
en fo r m a de serie do T a y lo r
!/(*) = 2
^ 7 ^ ( * - * o ) n,
n t0
n‘
(3)
d o n d e i j { x 0)^ = yoj y ' (*o) = / (*o. Uo) 7 la s sigu ien tes derivadas y<n >( x 0)
{ n — 2 } 3, . . . ) so h a lla n sucesivam ente d eriva n do la ecuación (2) y su sti­
tu y e n d o x p o r ol núm ero xq.
E j e m p l o 1. H a lla r la s o lu c ió n de la ecuación
y" — x y = ? 0,
Si y — yo, y ' ^ y ó para x = 0.
S o l u c i ó n . P on em os
y — co + c lx + . . . + cnxn + ..
do donde, d erivan do, obtenem os:
^ = 2 . 1 ^ + 3 . 2 c 3* + . . . + n ( n - 4 ) C n ® " “ 2+ ( n + i ) n , n + lIn - i +
+ (w+ 2) (n + 1) r,1+22:n+ . . .
P o n ie n d o y e y ” en la ecu ación dada, lle g a m o s a la identidad
[2 - i c 2 +
3 - 2 c 3x
+ . . . + n (h — 1) cnx n^ + (n + 1) 7?cn+1x " ~ l +
+ (« + 2 ) (72 +
1)
<?*+**"+..,] — *
( ^ + ^ * + . . . + ^ " + . . . 1
0.
e
R e u n ie n d o en o l p rim er m ie m b r o de la ig u a ld a d ob ten id a lo s térm inos quo
tengan x co n ig u a l ex p on en te e ig u a la n d o a coro lo s co e ficie n te s que corres­
p o n d e n a e sto s ex p on en tes, tendrem os
c2= 0 ;
3 -2 c3 —
= 0,
c3 = ^
;
4 -3 c4— c 4 — 0 ,
=
5*4c5 — c2 = 0,
i c2
l
5*4 ’ ülc-
En general.
£ i____________
co
„
c*h ~ 2 3 ^ 5 * 6 - . . . - (3/c — 1) 3/c ’
í 3//+2==^
3*4' 1
3 - 4 . f t . 7 - . . . -3* (3/c + l)
(A? = l f 2, 3, . . . ) .
P o r con sigu ien te,
(
j3
*0
xsft
1 + ^ 3 + ? 3 3 ^ + *“ + 2 . 3 : 5^ . . . . .
\
3* +
J+
+ Cí i * + 3T4 + 3 ' 4 ^ . 7 + , **+ 3.4*6.7.....3A(3A' + l ) + , , V 1
don de r0 = y0 y
W
c1== í/ í;.
25*
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388
Ecuaciones diferenciales
U tiliz a n d o ol c r it e r io de d ’ A le m b e rt es fá cil com p ro b a r, q uo la serie (4)
es con vorg cn te para — c o < a ; < - } - c o .
Ejemplo
2.
H a lla r la s o lu c ió n de la ecu ación
y '= * x + y;
Solución.
y 0 — 1/ (0) = 1.
P on em os,
¿l
ó!
'Penemos, yo = 1,
= 0 + 1 = 1. Derivando los dos miembros de la ecuación
y 's m x + y , hallamos consecutivamente yv = l + y\ ySa" l + l = 2» y”’ = 'j\
Z/¿" = 2, etc. Por consiguiente,
Para ol ojera pío quo examinamos, la solución encontrada se puede escribir
en la forma definitiva
y = l -\~x-\-2 (¿x— 1 — z) o bien,
y
= 2ex — 1 — x.
Análogamente debe procederse cuando se trate de ecuaciones diferencia­
les de órdonos superiores. La investigación do la convergencia de las series
obtenidas, en general, es complicada y no se considera obligatoria al resol­
ver los problemas do este parágrafo.
H a lla r , v a lién d ose de serios de p o te n c ia s , la s s o lu c io n e s de las
ecu acion es siguientes, c o n las c o n d ic io n e s in ic ia le s que se in d ica n .
E n lo s N os. 3097, 3098, 3 0 9 9 y 3101
cia do las solu cion es que se o b te n g a n .
in v e s tig a r la c o n v e r g e n ­
3093. y ' = y - \ - z 2; y = — 2 para x = 0.
3 094. y' = 2 y + x — i ; y = y o para x — l.
3 0 9 5 . y ’ = y 2-\-x3; y = 4r Para x = 0.
3 096. y ' — x ? — y t ; y = 0 para 2 = 0.
3 0 9 7 . ( í - x ) y ' — í - { - x — y ; y = 0 para 2 = 0.
309 8 *. x y " -\ -y = 0; y = 0 , y ' = 1 para 2 = 0.
3 0 9 9 . y ” -\-xy — 0 ; y = i , y ' = 0
3100*.
para 2 = 0.
y" = —■y' + y = 0; y = i , j/' = 0 para a: — 0.
3101*. y - + i - y ' + y = 0-, y = 1, y ' = 0 para x = 0.
3102.
-}-2 eos ¿ - 0 ;
x = a;
~
= 0 para t = 0.
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Problem as sobre el método de Fourier
389
§ 17. P roblem as sobre el método de F o u rie r
Para h a lla r Ja s o lu c ió n d o una ecu a ció n d ife r e n c ia l lin e a l homogénea,
en d eriv a d a s p arciales, por e l m é to d o de Fourier, se buscan primeram ente las
s o lu cio n e s pa rticu la res d e esta ecu a ción de tip o esp ecia l, cada una de las
cu ales representa do por s í el p rod u cto de fu n cion es que dependen de un
s o l o argum ento. En e l ca so m ás s im p le , se tiene un c o n ju n to in íiu it o do estas
s o lu c io n e s un (n = l , 2, . . . ) ,
iin ea lm en te independientes para cualquier
núm ero f i n i t o do e lla s y que sa tis fa ce n a las condiciones de contorno dadas.
La s o lu c ió n u que se bu sca, se representa en form a de serie, do estas so lu ­
cio n e s parciales:
co
(•)
li=
n=l
(puedan p o r d e term in a r
condiciones iniciales.
los co e ficie n te s Cni que se h a lla n partiendo de las
U
O
1
2
Fig.
107
P r o b l e m a . E l d esp la za m ien to transversal u = * u ( x , t) de los puntos
de una cu erd a, cuya a bscisa es x en el instante t, s a tis fa c o a la ecuación
d*u
d*u
—— = a-
(2 )
donde a 2 = - ^ - (7 o es la ten sión y p la densidad lin ea l de la cuerda). Hallar
la form a que tendrá esta cuerda en un instante t , s i sus extrem os x = 0
y x = l están su je to s y en el instante in ic i a l f e = 0 , la cuerda tenía la forma
de la p arábola u =
x (l — x )
(fig .
107) y sus puntos tenían una velocidad
ig u a l a cero.
Solución.
De acu erdo con las co n d icion es d e l problem a se pide
hallar una s o lu c ió n u = u (x t t) de la e c u a c ió n ( 2), que satisfaga a las con d i­
cion es del con torn o:
Ii(0 , 0 = 0 ,
U (l,i) = 0
(3)
y a las c o n d ic io n e s iniciales:
4h
w( í , 0) = ^ L x ( l - x ) y
*;(Z , 0) = 0.
w
B uscanios las solu cion es, d is tin ta s de cero, de la ecu ación (2) do tipo
o sp ecial
u= X (x )T (t).
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390
Ecuaciones diferenciales
Pon ien do esta e x p resión en la e c u a c ió n (2) y separando la s variables, o b t e ­
nemos:
T” (t ) _
a*T(t)
X a (x )
X(z) •
Gomo las variables z y t son in d ep en d ien tes, la id e n tid a d (5 ) s o l o será
posiblo en ol caso cn q uo el valor t o ta l do la. r e la c ió n (5) sea co n sta n te .
Designando esta co n sta n te p o r m edio de - A,2, h a lla m o s dos ecuaciones
diferen cia les ordinarias:
+
0 y X ” ( x ) + W X ( * ) = 0.
R e solv ien d o estas ecu acion es, obtenem os:
T (t) = A e os a\t -\-B sen a\ t ,
X ( z ) = C e o s Xx + D sen kx>
donde A , 23, Cy D , son constantes arbitrarias- De la s co n d icio n e s ( 3 ) te n e ­
mos: X ( 0 ) = 0 y J£(¿) = 0, p o r con sig u ie n te, C = 0 y sen
0 (ya q u e D
no puede ser igual a coro a l m ism o
tie m p o
que C).
P o r e sto ,
,
donde k es u n número entero. Es f á c i l com p robar, que n o s o piord o g e n e ­
ralidad s i se tom a para k únicam ente lo s valores p o s itiv o s (fc = l , 2, 3, . . . ) .
A cada v a lo r de
le corresponde una s o lu c ió n p a rticu la r
/ ^
ícan . . n
Aajr \
knx
j i k = i Ak eos
t + Bh s e n — — t 1 sen — -— ,
que satisface a las co n d icio n e s d e l co n to rn o
(3).
Formamos la serie
oo
/
kant
y A h eos —
. n
kant \
knx
f Bft sen — — 1 sen — — ,
S
*=1
cu yo suma, es evidente, que sa tisfa ce a la e cu a ción ( 2) y a las c o n d ic io n e s
del con torn o (3).
E lija m os las con stan tes A k y Bk de m o d o que la suma de la serio
cum pla las co n d icio n e s in ic ia le s (4 ). Gomo
oo
du
^
kan (
Á.
kant
— = 2 j — l— [ ~ A k se n —
.
kant \
knx
\~Dh e os — y— 1 sen - y — ,
l
uponiondo 2 = 0, obtenem os:
oo
/
a\
u (z ,(})
,
knx
= 2 j A k s o n —j -
¿ik
..
x (l~ x)
h=i
iy
oo
du ( x y 0)
—
■
v-i
kan n
knx
,
r
se!l
r = 0.
Por con sigu ien te, para d eterm inar los c o e fic ie n t e s ¿4* y Bjt hay q uo desa-
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391
Problem as sobre e l método d e F ou rier
r ro lla r on s e r ie de Fou rier de
ü (i, 0)
sen os la fu n c ió n
y
la
c
..
du ( x , 0)
A
fu n ció n ------~ — - = 0 .
dt
De acuerdo co n las fó rm u la s ya c o n o cid a s (cap. V I I I , § A, 3o), tenem os:
2
h~ T
f
4h
x
I T * ^ — *) 50,1
\
knx
,
3 2 /i
~~T
'
si h o s im par, y >4/, = 0 , s i k o s par;
l
kan __
2 f
——
,
A'Jiz ,
A
0- s en—j— ¿ x —0,
A
fí/i — 0.
o
La s o l u c i ó n buscada sorá:
^
32 h
c o s ( 2n + l ) ant
v
Z
2j n^ü
3 10 3 *. E n
el
instante
(2—
(2n + i ) m
)*
96n--------- 1---------•
in ic ia l ¿ = Ü , una cu erda, su jeta en sus
e x tre m o s x = 0 y x = Z, ten ía la form a de la sinusoido u = A sen - ~ r - ,
s ie n d o la v e lo c id a d de sus pu n tos ig u a l a ce r o . H a lla r la form a
de esta cu erda en e l instante t.
3 1 0 4 * . E n el instante i n i c i a l ¿ = 0, a lo s pu n tos de una cuerda
r e c tilín e a 0 < x < l se Jes d io una v e lo c id a d d o — ~ = l . H a lla r la form a
q u e tendrá esta cu erda en el instante Z, s i sus extreraps x = 0 y x = l
están su jetos (véase el p ro b le m a 3103).
3 1 0 5 * . U na cu erda, c u y a lo n g i t u d e s Z = 1 0 0 c m , está sujeta por
sus e x tr e m o s i = 0 y x ^ = l . E n el instante in ic ia l se tir a de e lla ,
c o g ié n d o la p o r el p u n to x = 5 Ó c m , y se separa de su p o s ició n
n o rm a l h asta u n a d is ta n c ia /¿ = 2 c m y después se suelta sin
e m p u ja rla . D eterm in a r la fo rm a de esta cu erd a en c u a lq u ie r instante t.
3 1 0 6 * . A l v ib r a r lo n g itu d in a lm e n te una v a r i lla recta, delgada
y h om ogén ea , c u y o oje c o in c id e con el do O X , el desplazam iento de
su sección transversal u = u ( x , t ), de abscisa x , en el instante
satisface a la e cu a ció n
d*u
o d2u
d t 2 ~ a " dx2 ’
J£
donde a 2 = — (E
es el
m ó d u lo
de Y o u n g
y
p la densidad de la
v a r i l l a ) . D e te rm in a r la s v ib r a c io n e s lo n g itu d in a le s de una v a rilla
h o rizo n ta l e lá s tica , c u y a lo n g itu d es ¿ = 100 c m , que, estando
su je ta por u n o de sus e x tre m o s , a: = 0, y estirándose por el o tr o
x = 1 0 0 , una lo n g itu d A / = l c m , se suelta después sin em pujarla.
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392
Ecuaciones diferenciales
3 Í 0 7 . P a ra la v a r i ll a recta h om ogén ea , c u y o ejo c o in c id e con
el do O X y la tem peratura u = u (x > t) de su s e c c ió n de a bscisa x ,
en u n instante
cuando no e x isten fuentes do c a lo r , satisface
a la ecu a ción de la co n d u ctiv id a d c a lo r íf ic a
Ou
lít
n d*u
a
donde a es una constante. D eterm in ar la d is tr ib u c ió n de la tem ­
peratura en una v a r illa de 100 c m de lo n g itu d , p a ra c u a lq u ie r
instante t , si se con oco la d is tr ib u c ió n in ic ia l de aquélla
u ( x , 0) s= 0,01a: (100 — x ).
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C a p ítu lo X
C A LC U LO S APRO XIM ADO S
§1.
Operaciones con
números aproximados
i ° . E r r o r a b s o l u t o . E l error absoluto de un núm ero aproxim ado a,
que su stitu y e a un núm ero e x a cto A, es el v a lo r absolu to de la d ife re n cia
entre e llo s . E l núm ero A, que satisface a la desigualdad
M —a|<A,
(1)
recibe el nom b re d e límite del error absoluto. El número exacto A se halla
entre los lím ites a— A < A < a + A, o , más abreviadamente» A = a ± A.
2.
E r r o r r e l a t i v o . Se entiende p o r error relativo do un número
a p rox im ad o a, q ue su stitu y e a u n núm ero exacto . d { / l > G ) , la razón dol
e rro r a b so lu to d e l núm ero a a l número exacto A. El número ó, que satis­
face a la desigualdad
<2>
se llam a límite del error relativo d e l núm ero a p rox im ad o a. Como p ráctica­
m ente
co m o lím ite d o l erro r re la tiv o s e tom a co n frecuencia el
n ú m e ro ó = — .
a
3o. N ú m e r o d e c i f r a s il o c i m a l e s e x a c t a s . So dice
núm ero a p ro x im a d o y p o s it iv o a , escrito en form a decim al tiene
decimales exactas en sentido estricto, si el v a lo r absolu to d e l error
\
número u o e x c e d e d e — de la unidad d e c im a l d e orden enésim o.
¿i
que un
n cifras
de este
En este
caso, cuando r c > l , so puede tom ar co m o lím ite del error re la tiv o el núm ero
1
1
2Js V 10 )
donde k es la prim era c i f r a co n valor d o l núm ero a. R ecíprocam ente, s i
1
sabe q ue ó
exactas
en
se
/ 1 \ n -i
[ "iO )
se n tid o e stricto .
nú m ero
En
particu lar,
a
tendrá
n
cifra s
d e cim a le s
el nú m ero a tendrá co n toda
1 /
seguridad n cifra s exactas en sen tido e stricto , s i
1
\n
vTo’ J '
S i el error absolu to do u n número a p rox im ad o a no excede de una unidad
decim al d e l ú l t i m o o rd e n (c o m o ocu rre, p o r e j . , c o n lo s núm eros que resu l­
tan do las m e d icio n e s con ex actitu d hasta la unidad co rre s p on d ie n te ), se d ico
quo todas las cifra s d e cim a le s de este núm ero aproxim ad o son exactas en
sentido amplio. Cuando e l nú m ero a p rox im ad o tie n e más cifra s significativas,
éste, si es e l resultado fin a l de cá lcu los, se redondea generalm ente de ta]
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Cálculos aproximados
394
forma, que todas las cifra s que se d e ja n sean exactas en sen tid o estricto
o en sentido am plio.
En lo su cesivo supondrem os que, al escrib ir lo s datos in icia les, todas
las cifra s son exactas (siem pre que n o se advierta lo con trario) en sen tido
estricto. En cu an to a lo s resultados de lo s cá lc u lo s in term edios, éstos podrán
tener una o d os cifras de reserva.
H a y que ad vertir, que lo s o jo m p lo s do este parágrafo, p o r regia general,
representan de por s í lo s resultados fin ales d e cá lc u lo s y , p o r consiguiente,
las respuestas se dan en números aproxim ad os quo sólo con tienen cifras
decim ales exactas.
4o. S u m a y r o s t a d e n ú m e r o s a p r o x i ni a d o s. É l lím ite d e l
error absolu to do la sum a a lgébrica de varios números, es ig u a l a la suma
de lo s lím ites de lo s errores absolutos d e estos números. P or esto, para que
en la suma de una cantidad reducida de nú m eros ap roxim ad os, cuyas cifras
decim ales sean todas exactas,
fig u ren sola m en te cifras exactas (p o r
le
m enos en sen tid o a m p lio ), h a y
que igu a la r todos lo s sum andos, tom ando
com o patrón a qu el que tonga m enos cifras d ecim ales, y^ d e ja r en cada uno
de o lio s ,u n a cifra de reserva.^ L u ego, se sum arán los núm eros así ob ten id os,
com o exactos, y se redondeará la u ltim a c ifr a d e la suma.
Si se trata de sum ar números ap roxim ad os sin redon dear, hay q ue procoder a su redondeo, conservando en cada u n o de lo s sum andos una o dos
cifra s do reserva, y lu ego regirse p o r la s reg la s a que nos hem os referido
más arriba, reteniendo en la suma las c ilr a s do reserva correspondientes
asta term inar las operaciones.
E j e m p l o 1.
215,24 + 1 4 ,1 8 2 -{-2 1 ,4 = 215,2 ( 1 ) 1 4 , 1 (8) + 21,4 = 250,8.
E l error re la tiv o de una
suma do sum andos p o s itiv o s n o e x c e d o al
m a y o r do lo s errores re la tiv o s do sumandos.
E l error re la tiv o de una resta n o es fá cil de calcular. S ob ro todo, cuando
se trata de h a lla r la d iferen cia entre d os números próx im os.
E j e m p l o 2. A i restar lo s núm eros a p ro x im a d os 6,135 y 6,131, con
cuatro cifras exactas, obtenem os una d ife re n cia de 0,004. El lím ite do su
0 ,0 0 1 + — 0,001
1
------ó~004----------- = - j ' = 0 , 2 5 ; p o r c o n s ig u ie n ­
e rro r re la tiv o es igual a ó
te, n i una s o la de las c ifr a s d o la d iferen cia es cierta. P o r esta razón,
deben evitarse, siem pre que e s t o sea p o s ib le , las restas do nú m eros apro­
xim a d os, p róx im os entro sí, transform ando, s i os p rociso, la expresión de
que se trate de tal fo rm a , que desaparezca esta operación.
5o. M u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n d e n ú m e r o s a p r o x i m a ­
d o s . E l lím ite del error r e la t iv o del p rod u cto y co cio n te do núm eros
aproxim ad os es igual a la su m a de lo s lím ites de lo s errores re la tiv o s
de estos núm eros. P a rtien do de esto y a p lica n d o la regla s o b re ol núm ero
d e c ifr a s exactas (3a), en la respuesta se conservará ú n icam en te un número
determ inado de cifras.
E j o m p i o 3. E l produ cto de lo s nú m eros a p ro x im a d o s 25,3-4,12 =
= 104,230.
S u p on ien do que todas las cifras de los factores sean exactas, o b te n d r e ­
mos, quo el lím ite d o l error re la tiv o d o l p ro d u cto será
1 „
,
1
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O peraciones con números aproximados
m
D e d o n d e , e l nú m ero do c ifr a s exactas d o l p ro d u cto sorá igual a tres
y e l re s u lta d o, s i es d e f i n i t i v o , d eb erá e scrib irse así: 25,3-4,12 = 104, o más
e x acta m en te, 2 5,3-4,12 = 104,2 di 0,3.
C°. E l e v a c i ó n a p o t e n c i a s y e x t r a c c i ó n de r a í c e s d e
n ú m e r o s a p r o x i m a d o s . El lím it e d e l e rror r e la t iv o d e la potencia
e m é s im a de un nú m ero a p r o x im a d o a, es ig u a l al m ú lt ip l o m -s im o del
l í m i t e d e l error de o s le núm ero.
E l lím it e d e l e r r o r r e l a t iv o de la raíz m -s im a de u n nú m ero a p r o x i­
m a d o a, es ig u a l a —— p a rte
m
del
lím ite
del
o rror
r e la t iv o
d o l nú m oro a.
7 o. C á l c u l o d e l e r r o r r e s u l t a n t e d e d i v e r s a s o p e r a ­
ciones
con
números
a p r o x i m a d o s , Si Aai%. . . yAan so n los
lím it e s de lo s errores a b so lu to s de lo s nú m eros a p ro x im a d o s at , .
an ,
e l lím it e d e l e rro r a b s o lu to AS d e l r e s u lta d o
S = f (°i> ••■> fin)
s o p u ede v a lo r a r ap rox im ad am en te p o r la fórm u la
AS
dt
da.
J L
dan
A an .
En este caso, el lim it o d e l e r r o r r e la t iv o S será ig u a l a
AS’-
AS
df
Oa.
Kl
A a,
‘ I/ j
di
dan
Aan
T7T =
d in /
din i
da.
dan
A an'
E j e m p l o 4. C a lcu la r S = ln (10,3 + "1/4 ,4 ); lo s n ú m e ro s a p rox im a d o s
10,3 y 4,4 tienen tod as las c i f r a s exactas.
S o l u c i ó n . C a lcu la m os p rim era m e n te e l lim ite del error a b so lu to AS
—
1
/
1 Ab \
« n su fo r m a g e n era l: S « l n (a + ~\/b ), AS = —^ —7= .y Aa + y " j /Í T /*
T en em os A a = A ¿ ^ s y p
= 2,0976
d e ja m o s 2,1, ya q ue ol error re la tiv o
1
1
d e l n ú m e ro a p r o x im a d o V 4 , 4 es ig u a l a « s y ‘ “Jq’ — “§ 0“ í o l e rror a b so lu to
será en ton ces
^ 2 - - ¿ r = -jtt ; es decir, de las décim as se puedo ostar seguro.
80
40
P o r co n s ig u ie n te ,
a ‘?
= T o, 3 + 2 T ( ¿ + T ' 2 t o ) = 1 2 ^ ( 1 + ¿ ) = «
^
0 '005-
L o que s ig n ific a q ue las centésim as son exactas.
A h o ra p ro ce d e m o s al c á lc u lo con una cifra de reserva:
lg (1 0 ,3 +
V+4)
** Ig 1 2 ,4 = 1,093;
O bten em os la respuesta: 2,52.
8o. D e t e r m i n a c i ó n
de
ln (10,3 + 1 ; M ) ^ 1,093-2,303 = 2,517.
lo s
errores
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tolerables
on
los
396
Cálculos aproximados
A p lic a n d o las fórm u las d e l punto 7, cuando se dan lo s v a lores de A S
? do
y considerando ig u a le s entre s í todas las d iferen cia les p a rcia les
Ó/
A
dak
o las ca n tid a d e s 1 ^
^ ah
ca lcu la m o s lo s errores a b s o lu t o s
. 0ak
J |
tolera >les Aaif . . . , A ( L n > . . . do lo s números a p ro x im a d o s ait . . ant . . . que
intervienen en las o p era cion es {principio de la igualdad de influencias).
D eb e advertirse, quo en ciertas oca sion e s n o os con ven ien te e m p lea r oi
p rin cip io de la igualdad d e in flu en cia s en el c á lc u lo do lo s errores t o le ­
rables de lo s argum entos do las fun cion es, y a q ue ésto puede presentar
e x ig e n cia s prácticam ente im p o s ib le s de satisfacer. En estos casos se reco­
m ienda red istrib u ir lo s errores d e la fo rm a más ra cion a l, si e l l o es p o s ib le ,
de m odo q ue ol e rro r t o ta l n o exceda Ja cantidad dada. E s decir, el p ro ­
blem a así planteado, p ro p ia m e n te h a b la n d o, es indeterm inado.
E j e m p l o o . El v olu m e n de la «cu ñ a c ilin d r ic a » , es decir, d e l c u e rp o
truncado d e l c ilin d r o c ir c u la r p o r un p la n o , q ue pasando p o r e l d iám etro
de la base, igual a 2 R y fo rm a con e ll a u n á n g u lo a , se c a lc u la p o r la f ó r 2
•
muía F —
¿Con qué p recisión deberán m ed irse el r a d io /?
60 cm
y el á n g u lo do in clin a ción a , para que el volum en
pueda con ocerso co n una ex actitu d hasta de 1% ?
de
la cuña c ilin d r ic a
S o l u c i ó n . Si A F , A R y A a so n lo s lím ite s do lo s errores a b s o lu t o s
do las m agnitu des F, R y a, el lím ite d e l error r e la t iv o del v o lu m e n F
que se c a lc u la será
3Ai? .
2Aa
. i
X
+ sen 2a 'v' 100 ‘
S uponem os
y
¿
» e donde
D ^
R
^
600
.
. sen 2a
A a < ~ 400
60 cm
600j “
lnm;
„ i
.
flf
---4 0 0 de radlan * * 9 1
ü c esta form a, asegurarem os la e x a ctitu d del 1% q ue se nos e x ig ía , si
m edim os el ra d io co n una p recisión hasta de 1 m m y el á n g u lo do i n c l i ­
nación a, con p recisió n hasta do 9 \
3108. C om o resu ltad o de m ed icio n es se h an obtenido lo s s i­
guientes núm eros a p ro x im a d os, c o n toda s las c if r a s e scrita s e x a cta s
en sen tid o am plio:
a) 12Q0 7 / 14/f; b) 3 8,5 cm ; c) 6 3 ,2 1 5 kg.
C a lcu la r sus errores absolu tos y relativos.
3109. C a lcu la r lo s errores a b so lu to s y re la tiv o s de los núm e­
ros a p roxim a dos, con todas las c ifr a s escritas e x a cta s en sen tid o
A pf r i f 11 n *
a) 2 4 1 ,7 ;
b)
0 ,0 3 5 ; c) 3 ,1 4 .
3110. D eterm in ar el n ú m ero de c if r a s e x a cta s * ) y e s c r ib ir e n la
form a que correspon de lo s núm eros aproxim ados siguientes:
*) Las cifra s exactas se entienden en s e n tid o estricto.
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Operaciones con números aproximados
397
a) 4 8 ,3 6 1 c o n p r e c is ió n de u n 1%;
b ) 1 4 ,9 3 6 0 c o n p r e c is ió n de un 1%;
c ) 5 9 2 ,8 c o n p r e c i s i ó n de u n 2%.
3 1 1 1 . S u m ar lo s sigu ien tes núm eros a p ro x im a d o s, con todas
las c if r a s e s c rita s e x a cta s:
a )2 5 ,3 8 6 + 0 ,4 9 + 3 ,1 0 + 0,5;
b) 1 , 2 - 102 + 4 1 , 7 2 + 0 ,0 9 ;
c ) 3 8,1 + 2 ,0 + 3 ,1 2 4 .
3 1 1 2 . E fe c tu a r la resta de lo s sig u ie n te s núm eros aproxim ados,
c o n toda s la s c if r a s e scrita s exactas:
a) 1 4 8 ,1 — 6 3 ,8 7 1 ; b) 2 9 , 7 2 - 1 1 , 2 5 ; c ) 3 4 , 2 2 - 3 4 , 2 1 .
3 11 3 *. C a lc u la r la d ife re n cia en tre la s áreas de dos cuadrados,
c u y o s la d o s , según las m ed icio n es, son
ig u a le s a1 5 ,2 8
cm
y 1 5 ,2 2 c m (c o n e x a c titu d h asta de 0 ,0 5 m m ).
3 1 1 4 . C a lc u la r el p r o d u cto de lo s sigu ien tes núm eros a p r o x i­
m a d os, c o n toda s las c ifr a s escrita s ex a cta s:
a) 3 , 4 9 - 8 , 6 ; b) 2 5 ,1 - 1 ,7 4 3 ; c ) 0 ,0 2 - 1 6 ,5 .
In d ica r lo s lím ite s p r o b a b le s de lo s resu ltad os.
3 1 1 5 . L o s lados de u n r e c tá n g u lo so n igu a les a 4 ,0 2 m y 4 ,9 6 m
(co n p r e c is ió n hasta de 1 c m ). C a lc u la r
el área de este r e c ­
tá n g u lo .
3 1 1 6 . C a lc u la r el c o c ie n t e de lo s núm eros a p rox im a d os sig u ien ­
tes, c u y a s c if r a s e scrita s son toda s exactas:
a ) 5 ,6 8 4 : 5 ,0 3 2 ; b) 0 ,1 4 4 : 1 ,2 ; c ) 2 1 6 : 4 .
3 1 1 7 . L o s ca te to s de un t r iá n g u lo re c tá n g u lo son igu a les
a 1 2 ,1 0 c m y 2 5 ,2 1 c m (con p r e c is ió n hasta 0 ,01 c m ). C a lcu la r
la ta n g e n te del á n g u lo op u esto al prim er cateto.
3 1 1 8 . C a lc u la r la s p o te n cia s q u e se in d ica n de lo s siguientes
n ú m eros a p ro x im a d o s (la s bases do la s p o te n c ia s son ex actas en
to d a s las c if r a s e scrita s):
a) 0 ,4 1 5 8 2; b) 6 5 ,2 3; c ) 1 ,5 2.
3 1 1 9 . E l la d o de u n cu a d r a d o es ig u a l a 4 5 ,3 c m (con p r e c i­
s ió n b a s ta 1 m m ). H a l l a r el área de d ic h o cuadrado.
3 1 2 0 . C a lc u la r el v a lo r de la s sig u ie n te s ra íces (los números
su b ra d ica le s so n e x a c to s en to d a s las c if r a s escritas):
a) Y 2 ,7 1 5 ; b ) f ' 6 5 ^ ; c )
^ 8 1,1.
3 1 2 1 . L os ra d io s de la s bases y la g e n era triz de un
con o
t r u n c a d o son ig u a le s re s p e ctiv a m e n te a R = 2 3 ,6 4 c m + 0 ,01 cm ;
/• = 1 7 ,3 1 ± 0 ,0 1 c m y / = 10,21 c m ± 0 0 , l cm ; el núm ero n = 3,14.
C a lc u la r , según estos d a to s, la s u p e r fic ie t o t a l de este c o n o tr u n ­
c a d o . A c o t a r lo s e rrore s, a b s o lu to y r e la t iv o , del resu ltad o.
3 1 2 2 . La h ipoten u sa de u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo es igual
a 1 5 ,4 c m ± 0 ,1 c m ; u n o de los ca te to s es
ig u a l a 6 ,8
c m ± 0 , 1 cm .
cC on q u é e x a c titu d so pueden c a lc u la r , c o n estos da tos, el otro
c a t e t o y el á n g u lo a g u d o a d y a c e n te a é l? H a l l a r sus valores.
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398
Cálculos aproximados
3123. C a lc u la r el peso e sp e cífic o d e l a lu m in io , si un c ilin d r o
do d ic h o m eta l, de 2 c m de d iá m etro y 11 c m de a ltu ra , pesa 9 3 ,4 g.
E l e rro r r e la t iv o de la s m e d icion e s lin eales es ig u a l a 0 ,01 y el
de la d e te rm in a ción del peso, 0 ,0 0 1 .
3 124. C a lcu la r la in ten sida d de Ja corrie n te , si la fuerza
e le ctro m otriz es ig u a l a 221 v o lt io s -£ 1 v o l t io y la re siste n cia ,
809 o h m io s ± 1 oh m io .
3125. E l p erío d o de o s c i l a c ió n de un p é n d u lo de lo n g itu d l es
igual a
T =,2 n / X
,
donde g es la a ce le ra ció n do la gravedad. ¿Con q u é p r e c is ió n debe
m edirse la lo n g itu d de un p é n d u lo , c u y o p eríod o de o s c ila c ió n
es, a p roxim adam en te, de 2 seg, para co n o ce r este p e ríod o de o s c i l a ­
c i ó n c o n un error r e la t iv o d e l 0 ,5 % ? ¿Con q u é e x a c titu d deben
tom arse lo s v a lo r e s de n y de g?
3126. S e n ecesita m edir, c o n una p re cisió n d e l 1%, el área
do la s u p e rficie la te ra l de un co n o tru n ca d o, lo s ra d io s de cu y a s
bases tienen respectivam ente 2 m y 1 m y la g en eratriz 5 m
(aproxim adam en te). ¿Con q u é p r e c is ió n se deben m e d ir lo s r a d io s
y la g en eratriz y c o n c u á n ta s c ifr a s debe tom a rse el n ú m ero tí?
3127. P ara d eterm in ar el m ó d u lo de Y o u n g por la f le x ió n de
una v a r illa de s e c c ió n re c ta n g u la r se em plea la fó rm u la
donde l es la lo n g itu d de la v a r i ll a ; b y d, la base y la a ltu ra
de la s e cció n tra n sv o rsa l de la m ism a ; s, la sagita de f le x i ó n y P f
la c a r g a . ¿Con q u é p r e c is ió n deberán m edirse la lo n g itu d l y la
sagita 5, para q u e el e rro r de E n o ex ced a d e l 5 ,5 % , c o n la c o n ­
d ic ió n de que P se c o n o c e c o n u n a p r e c i s i ó n hasta e l 0 ,1 % y la s
m agnitudes d y b con p re cisió n hasta el 1%; l
50 c m y s & 2 ,5 cm ?
§ 2 In te r p o la c ió n de fu ncio n es
I o. F ó r m u l a d e i n t e r p o l a c i ó n d e N c w t o n. Sean x Qy x t , . . .
. . . . x * lo s v a lo re s tab u la res d e ! a rg u m en to, cu y a s d iferen cia s, /í = A x í(A x ¿ =
= z ¿+l — Xi\ i = 0 , 1, . . . / » — 4), so n con sta n tes (intervalo de la tabla) o Vo>
Pi< •••>&»» lo s co rre s p o n d ie n te s v a lo re s d e la fu n ción y. En este caso, el
v a lo r de la fu n ción y f para un v a l o r in te r m e d io d e l a rg u m e n to x t se da,
aproxim adam ente, p o r la fórmula de interpolación de N e w ton :
, - „ + , . A „ , + i ü j j = l ! ^ . + . . . + l l ' - l l - ; |* — + Ü a - i, „
d on de ? =
y \ y ü = y x— y 0, A 2y 0 = ¿ V i — &Vo ■•■ so n las su cesivas
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ni
d ife -
In terp ola ción
de junciones
r e n d a s f in it a s do la fu n ción y . Para x —
(¿ = 0,
©i p o l in o m io (1)
tom a io s v a lo r e s co rre s p o n d ie n te s de la tabla y t ( í = O y i
C om o
casos p a rticu la re s de la fórm u la d e New ton se ob tien en ; para n = i , la
interpolación linea l y para n = 2, la interpolación cuadrática. Para fa c ilita r
o l u s o de la fórm u la de N ew ton , se recom ien d a fo rm a r previam ente las
tab la s de las d ife re n cia s fin ita s.
S i y = f ( x ) es un p o l in o m io de « - s i m o
grado,
A ny i — co n s t y An+i{/¿ = 0
y , p o r co n s ig u ie n te , la fó r m u la ( 1) os ex acta .
E n el c a s o g e n era l, s i f ( x ) tiono una d eriva d a con tin u a /<n+1>(.z)
sogm ento [a , b ], que c o n tie n o io s pu n tos x 0l x {, . . * , x n y x , e l error
ó r m u la ( 1) será ig u a l a
en el
de la
n
„
, ,
X i
<7
< 9 — í + 1)
R n ( x ) ^ = y — 2 j ----------------- "j----------------- A *¿/0 =
i= 0
(2)
d o n d e £ es
v a lo r in te r m e d io determ in a do entre a : ¿ ( í = 0 , 1,
E n la p ráctica se u t iliz a una fórm u la a p ro x im a d a más c ó m o d a ;
n)
y
x.
Si se puedo to m a r c u a lq u ie r núm ero n y éste deberá e le g ir s e de tal
form a , quo la d ife re n cia Aw+tyo s e a » w 0 d on tro de io s lí m i t e s de ex actitu d
dada. E n o tra s palabras, las d iferen cia s A n¡/o deben ser constantes en lo s
órdenes d e c im a le s que se dan.
E ) e m p l o 1. H a lla r el sen 26°15/ , v a lién d o se de lo s datos que dan
las tablas; se n 26° = 0,43837, se n 27° = 0,45399 y son 28° = 0,40947.
S o l u c i ó n . F orm a m os la tabla
, .
Aquí, ¿ = 6 0 ,
i
*i
y¿
0
i
2
26°
27°
28°
0,43837
0,45399
0,46947
q -
A p lic a n d o la
la t a b la , tenemos
26*15' - 2 6 °
fórm u la
son 26*15' = 0 ,4 3 8 3 7 + - j -
(l)
1
y
A 2y t
1562
1548
— 14
•
u t iliz a n d o
0,01562 +
la primera línea h o rizo n ta l de
4
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- - ( - 0 , 0 0 0 1 4 ) = 0 ,4 4 2 2 9 .
Cálculos aproximados
400
Acotamos el error R<¿. Aplicando la fórmula (2) y teniendo en cuenta
que |y(T1>| «< l, si y = seax, tenemos:
, 4 (4
0 ( 4
3!
2 ) / n \*
7
1
_ 1
\ 1 8 0 ) _ 128' 5 7 ,3 3 " - - - 4 -10
.
E s decir, que todas las cifra s dadas para el sen 26*15' so n exactas.
V alién dose de la fó rm u la de New to n tam bién se puede h a lla r el valor
correspondiente del a rg u m en to x p a rtie n d o do un v a lo r in term ed io dado
de la fu n ció n y ( i n t e r p o l a c i ó n i n v e r s a ). Para e sto , prim eram ente, se d e te r­
mina el corresp on d ie n te v a lo r de <7, p o r el m é to d o de las aprox im acion es
sucesivas, su pon iendo:
&yo
y
—1
£<1+1)— ^<0) —
2!
A2^0
A{/o
$<*>(*<*> — 1) . . . (q{i>— n + i ) Ani/ 0
*■
M
A í/o
(¿ = 0, 4, 2,...)
P o r <7 se tom a e l v a lo r com ú n (¡c o n la e x a ctitu d d a d a !) do d os
cio n e s su cesiva s q<vl>=zq<m + 1>. De don de, x = x 0+ g « ¿ .
a p roxim a ­
E j e m p l o 2. V a lién d o se do la ta b la ca lc u la r a p rox im a d a m en te la raíz
de la ecuación sh x = 5.
Solución.
X
y — shx
Ay
A2y
2,2
2 ,4
2 ,6
4,457
5,466
6,695
1,009
1,229
0,220
T o m a n d o y0 = 4,457, tenem os:
— 0.538 + 0,027 = 0,505;
q<a> — 0 , 5 3 8 ° - 565^0 ’ 435
0 ,5 3 8 + 0 ,0 2 7 = 0,565.
Do osta forma, se puede tomar
x = 2 , 2 + 0,565-0,2 = 2 , 2 + 0,113 = 2,313.
2°. F ó r m u l a d e i n t e r p o l a c i ó n d e L a g r a n g o .
En el caso
general, el p o lin o m io do e n ésim o g ra d o, que para x = x ¿ to m a lo s valores
dados de V i ( i = 0, 1, . . . , r c ) , v ien e d a d o por la fó r m u la d e i n t e r p o l a c i ó n de
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In terp olación
de junciones
401
Lagrange
_
( x - x {) [ x — x 2) . . . ( x — x n)
(^0 — * 1) (^0
( * + *p)
x ¿‘ )' • *(^0 — x n)
0
(x l — x o ) ( x l ' ~ X - ¿ ) - - ( x i — *n)
1
pe — jtq) ( s + a q ) , . . ^ — Xh-i) ( x — Xk+i ) . . . ( g — a;n)
r ,
(**— *o) <ar*—ajj)-. .(** — */,-i) (* — **+1). ..(* * — *„) y / i i "
(* — *o) (a — J j ) . .. (j — a ^ )
<**“ *o) (xn~~x \)- ••(xn — ^n-l) *'
3 1 2 8 . Dada la ta bla de v a lores do x e y:
X
i
2
3
4
5
6
y
3
10
15
12
9
5
F orm ar la ta b la do la s d ife ren cia s fin ita s de la fu n ción y.
3129. F orm ar la ta bla de las d ife ren cia s de la fu n c ió n y = x* —
— 5 x * - { - x — 1, para lo s v a lo r e s de x = í , 3, 5 , 7, 9 y 11. C ercio­
rarse de q u o toda s la s d ife re n cia s fin ita s de 3° orden son iguales
e n tro sí.
3 13 0 *. V a lié n d o s e do la con stan cia de las d iferen cia s de 4o
ord en , fo rm a r la ta bla de las d ifere n cia s de la fu n c ió n y = x4 —
— 10x3 + 2 x 2 - f 3a:, p a ra lo s va loros en teros de x com pren didos
en el in te r v a lo 1 < x < 10.
3131. Dada la tabla
l g 1 = 0 ,0 0 0 ,
lg 2 = 0,301,
l g 3 = 0 ,4 7 7 ,
lg 4 = 0 ,6 0 2 ,
l g 5 = 0,699,
c a lc u la r , v a lién d ose de la in te r p o la c ió n lin e a l, los núm eros: lg 1,7;
lg 2 ,5 ; lg 3 ,1 y l g 4 , 6 .
3 1 3 2 . D ada la ta bla
son 10= = 0 ,1 7 3 6 ,
son 13° = 0 ,22 5 0,
sen 11° = 0 ,1 9 0 8 ,
sen 1 4° = 0 ,24 1 9,
sen 12° = 0 ,2 0 7 9 ,
sen 15° = 0 ,2 5 8 8 ,
c o m p le ta r la , c a lc u la n d o para e llo , p o r la fó r m u la do
(para n = 2 ), lo s v a lores de los sonos cada m ed io grado.
2 6 -1 0 1 6
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N ew ton
Cálculos aproximados
402
3133.
Form ar el p olin o m io de in terp o la ción de N ew ton para la
función dada por la tabla
X
0
i
2
3
4
y
i
4
15
40
85
3134*. Form ar el p o lin o m io de in terp ola ción de N ew ton para
la fu n ción dada por la tabla
X
2
4
6
8
10
y
3
11
27
50
83
H a lla r y para x = 5 ,5 . ¿Para q u é x será y = 20?
3135. Una fun ción está dada por la tabla
X
-2
1
y
25
- 8
2
4
-1 5
-2 3
Form ar el p olin o m io de in te rp o la ció n do Lagrange y h alla r
ol v a lo r de y para x = 0 .
3 136.
E m píricam ente se han determ inado las m agnitudos de
la co n tra cció n do un resorte (x mm) en dependencia de las
cargas ( P k g ) que actáan sobre él:
X
5
10
15
20
25
30
35
40
P
49
105
172
253
352
473
619
793
H alla r la carga quo produzca una co n tra cció n do 14 m m del resorte.
3137. Dada la tabla do las m agnitudes x e y
X
0
i
3
4
5
y
i
- 3
25
129
381
ca lcu la r ol v a lor do y para a; = 0 ,5 y x — 2: a) valiéndose de la
in terp o la ción lin eal; b) por la fó rm u la de Lagrange.
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C álculo de las raíces reales de las funciones
403
§ 3. Cálculo de la s ra íc e s re a le s de la s ecuaciones
1
Determinación
de l a s a p r o x i m a c i o n e s
iniciales
de
las
raíces.
La determ inación aproxim ada de las raíces do una
ecu ación dada
/(* )« 0
( 1)
so d iv id e en dos etapas: 1) la separación de las raíces, es decir, la deter­
m in a c ió n de lo s in tervalos, lo más estrechos posib les, entro lo s que está
com prendida una y s ó lo una raíz do la ecu ación (1); 2) ol cálculo de las
raíces c o n ol grado de ex actitu d p refija d o.
S i la fu n ció n f (x ) está doterminada y es continua en ol segmento
\a, b] y f ( a ) ' f (b) < 0, en este segm ento [a, b] habrá por lo menos una raíz g
de la ecu ación (1). Esta raíz será indudablem ente única, s i / ' { x ) > 6
O / ' ( x ) < 0 para a < x < b.
Para h a lla r a proxim ad am ente la raíz | se recomienda con struir la
g rá fica de la fu n ció n y = f ( x ) en papel in iíim etra d o. Las abscisas de los
puntos de in tersección de la g rá fica co n el ojo O X serán las raíces de la
e cu a ción f { x ) = 0. A veces, os más cóm o d o su stitu ir esta ecuación por su
e q u iv a le n te
<p(x) = i]}(x). E n ton ces las ra íces do ln e cu a ció n se hallan
c o m o a b scisa s ae lo s pu n tos de in tersección do las g rá fica s y — 9 (2)
e y = i))(x ).
2o. R e g l a
de
las partes
proporcionales
(método do1
l a s c u e r d a s ) . Si cn e l segm ento \a, b] se encuentra una raíz única 5
de la ecuación / ( x ) = 0 , d on de la fu n ció n / ( x) es con tinu a en d ich o seg­
m en to [a, fc], a l s u s t it u ir la curva y = / ( x ) p o r la cuerda que uno los puntos
(<*'. / ( « )) y (&í / (&))* Obtenemos la prim era a p rox im a ción de la raíz
<2>
Para o b te n e r la segunda a p ro x im a ció n c2, a p lica m o s la fórm ula (2) a aquél
do lo s segm entos [a, c x\ o |r., />1 en cu y o s ex trem os ln íu n óión / (x ) tonga
v a lores de sign os con tra rios. De la m ism a form a se construyen las siguientes
a p ro x im a c io n e s . La su ce sió n do los núm eros cn ( y — 1, 2 , . . . ) converge
h acia ia raíz £, es d ecir
lim ** = 5.
■n-voo
El c á l c u l o do las aprox im acion es c x. c2, . . . , p o r lo g en e ra l, do be con tin u arse
hasta quo cosen de variar las cifra s d e cim a le s quo se conservan en la
respuesta (jd o acuerdo con el grado d e exactitud d ado!). Pora las o p e ra cio ­
nes in term ed ias debon tom arse una o d os cifras de reserva. Esta in d ic a ­
c ió n tie n e ca rá cter general.
Si la fu n ció n / (x ) tie n e una derivada / ' (x) co n tin u a y d iferen te do
cero on el s e g m e n to [a , 6], para acotar el error absolu to de la raíz aproxi­
mada c n, s o puede em p lea r la fórm u la
donde
(1=
3o. M é t o d o
de
rain I f ( x ) | .
< it£ X S i b
Kowton
( do
y / ' ( * > ¥ * 0 para a < x < 6, sien do
las
tangentes).
Si /' (x) =£ 0
f { a ) j ( b ) < 0 , / ( a ) / * » > 0 , las apro-
20*
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404
C álculos aproximados
x im a cio n e s sucesivas x n (n = 0 , 1, 2 , . . . ) de la raíz § de la e c u a c ió n / (x) = 0,
s e ca lcu la n p o r ¿as fórm u las
=* a , x n = x n - i “ “ (t í *
(rc = l , 2,
(3)
Cuando se cu m p len estas su p o sicio n e s, la su cesió n x n (n = 1, 2, . . . )
m onótona, y
es
lim ¿ * = 1.
TO-> CV
Para acotar los errores se puede u t iliz a r la fórm u la
u
don de p =
m in
|/ ' (^) |.
En. la p ractica resulta m ás có m o d o e l e m p le o de fó r m u la s m enos c o m ­
plicadas
x 0 = a,
=
— a / ( : r n_|) ( » = 1, 2, . . . ) ,
d o n d e a — -p -^ y , quo d a n , aprox im ad am en te,
la
m ism a
(3 ')
e x a c titu d
q ue
la
fórm u la (3).
S i I (b) / " (b ) > 0 , en las fórm u la s (3) y (3 ') deberá su p on erse ar0 = ó.
4°. M é l o d o d e i t e r a c i ó n . S upongam os que la e c u a c ió n dada se
ha reducido a la forma
* = <p(*)>
(4)
don do |<p' (x) I
r < 1 ( r e s una con stan te) para a ^ x ^ b . P a rtien do del
v a lo r in ic ia l ao x0, p e rten e cie n te a l s e g m e n to |tf, ó], fo r m a m o s la su cesión
d e lo s nú m eros x lt x>¿> . . . según la s ig u ie n te le y :
*1 = 9 (20)»
Si
=
*2 = 9 ( 21)»
x n = y ( x n_ í), . . .
(5)
2, . . . ) , e l lím ite
| = Í im z n
7W-CO
será la ú n i c a r a í z do la e c u a c ió n (4) en el seg m en to [a, &], es d e cir,
x n s o n las aproximaciones sucesivas do la raíz !*.
La acotación d o l error a b s o lu t o de la enésim a a p r o x im a c ió n de x n la
da la fórm u la
u —* « k
P o r e sto , s i x n y
i —r
c o in c id e n co n uua e x a c titu d hasta e , el
error a b s o lu to do x n será
^
lím it e del
-
Para transform ar la ecu ación /(a :) = 0 a la fo rm a (4) so s u s t it u y e esta
ú ltim a p o r la ecuación eq uivalente
z —z —
d on de el núm ero X
(¿r),
0 so e lig e de ta l fo rm a , que la fu n ció n
—^ /(* )1 =
_
sea pequeña on v a lo r a b s o lu to on las p rox im id a d e s d o l p u n to
Xq (p o r e j . , se puede, suponer q ue 1 — X / ' (x0) = 0).
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C álculo de las raíces reales de las funciones
405
E j e m p l o 1. R ed u cir la ecu a ció n 2 x — l n x — 4 = 0 a la form a (4 ), si
la a p ro x im a c ió n in ic ia l de la raíz :r0 =?2,5.
Solución.
Aquí
/ ( x ) = 2 x — ln x — 4; f ' ( a :) = 2 — — .E scrib im os
la
x
e cu a ción eq uivalente x — x — k ( 2 x — ln j — 4)
y en c a lid a d de u n o do los
v a lores con ven ien tes do k to m a m o s 0,5, nú m ero p r ó x im o a la raíz de la
ecu a ció n
1— k í 2 — — )
V
x ) |x=,2.5
= 0 , es decir, a
1,0
^ 0 ,6.
La ecu a ció n in ic ia l se reduce a la form a
x = x — 0 ,5^ 22; — ln £ — 4)
o bion,
x^2 + ± U x .
E j e m p l o 2. C a lcular con e x a ctitu d
c i ó n precedente, com p re n d id a entre 2 y 3.
basta 0,01 la raíz g do la ecu a­
C á l c u l o do la r a í z p o r el m é t o d o
d e i t e r a c i ó n . A pro­
v echam os el resu lta d o del e je m p lo 1, su p on ien d o ar0 = 2,5. El c á lc u lo lo r e a ­
liz a m o s según la s fó rm u la s (5 ), co n una c ifr a de reserva.
xt= 2
ln 2,5 =« 2,458,
xz= 2 + ~
ln 2,458 ís, 2,450,
* 3= 2 - ¡ - - i ln 2,450
2,448,
xí = 2 - 1 - 4 - ln 2,448 «=> 2,448.
Es d e cir, g ^ 2 , 4 5 (e l proceso de a p rox im a cio n e s u lte riores puede darse por
term in a d o, ya que la tercera c iír a d ecim a l (la s m ilésim a s) s o han fija d o ).
P ro ced em os a a cotar el error. Aquí
1
1
q>(:r) = 2 - t - y ln x y y ' ( z ) = ^ .
C o n sid era n d o q uo to d a s las a p ro x im a c io n e s x n se encuentran on el segm ento
[2,4; 2,5], ob ten em os
r — m a x ] q;' ( i ) |=
0,21.
P o r co n sig u ie n te , el lím ite del e rro r a b s o lu to do la a p rox im a ción x 3, do
acuerdo con la ob se rv a ción hecha anteriorm ente, es
IA = ■0 , y ? M = 0,00i 2 « s 0,001.
1 — 0,21
Do esta fo rm a , la raíz exacta £ de la e c u a c ió n se encuentra entre lo s lím ites
2,447 < l < 2,449;
puede tom arse £ ^ 2 , 4 5 , y to d a s
serán exactas en s e n tid o e stricto .
las cifra s d o esto
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núm oro
aproxim ado
406
Cálculos aproxim ados
Cálculo
do
!a
raíz
por
f(x) = 2 x - I n * - 4 ,
ol
método
/'< * ) = 2 - i - ,
do
N e w ton .
Aquí
/'( * ) = ¿ .
En e l segmento 2 < s < 3 tenem os: / ' (x) > 0 y /• (x ) > 0; / (2) / (3) < 0
y / ( 3 ) / " ( 3 ) > 0 . P o r consiguiente, las c o n d ic io n e s del apartado 3o, para
x 0«^3, se cumplen.
T om am os
Hacemos lo s c á lc u lo s por la fórm u la ( 3 ') , co n dos cifras do reserva
x¡ = 3 -—0 ,6 (2 ■3 — ln 3 — § = 2,4592;
x 2 = 2,4592 - 0,G (2 •2,4592 - l a 2,4592 - 4) - 2 ,4 4 8 í;
*3 = 2,448i - 0 , ( 5 (2 ■2,4481 - ln 2,4481 - 4 } = 2,4477;
x/, = 2,4477 — 0,0 ( 2 - 2 , 4 4 7 7 - ln 2,4477 — 4) = 2,4475.
En esta etapa suspendemos los c á lc u lo s , ya que las cifras d e las m i l é ­
simas n o cam bian más. D am os la respuesta: la raíz | — 2,45. O m itim o s la
acotación d o l error.
5o. C a s o d e u n s i s t e m a d o d o s
ecuaciones.
Supongam os
que hay que calcu la r, con un grado de ex actitu d dado, las raíces reales de
un sistem a de d os ecuaciones con d os in cógnitas
r/(*.y)=o,
•
1 « p (* .v ) = o.
6
w
y supongam os tam bién , que se tiene la a p rox im a ción in ic ia l de una de las
so lu cio n es
q ) de este sistem a, x = x 0, y = y§.
Esta a p roxim ación in icial puede obtenor.se, p o r e j . , gráficam ente, co n s­
truyendo (en un m ism o sistema de coordonadas cartesianas) las curvas
j (x> y) = Q y q )(x , y) = 0 y d otorm inando las coorden a d a s do los pu n tos do
intersección do estas curvas.
a) M é t o d o d o N o w t o n . S upongam os que el determ inante fun cion al
r
d ( / , <P)
y)
n o so anula en las p rox im id a d es do la a p rox im a ción in icia l x = x 0y y = yoEn esto caso, por el m é to d o de N cw to n , la primera a p ro x im a ció n del resul­
ta d o dol sistem a (6) tiene la form a xl = x 0 -\-a(iy í/i = í /o + P o i donde a 0, %
es la solu ción del sistema de las d os ecuaciones lineales
í / (x o* Ifo) + a o/*x (x oi yo) + Po/i/(x Oi ¿/o) = 0»
l <p(*o. //o) + a 0<F*(xo> ¡fo)+ Po<Pí/(x o . í/o)=0.
La~sogunda aproxim ación so consigue p o r ol m ism o procedim iento:
« 2 — £ f + Bit
¡f2 = lfi + PlF
donde ctj, P, os la so lu ció n del sistem a de ecuaciones lineales
1 (x
i»
yi) +
^ i l x ( x lt
r/i) + P i / y ( x i, l / i ) = 0,
<p(x i> » i ) + o K d + P i V y í s i t
A n álogam ente se obtiene la tercera y dom as aproxim aciones.
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Cálculo de las raíces reales de las funciones
407
b)
M é t o d o d o i t e r a c i ó n . Para la re so lu ción del sistem a de ecua­
c i o n e s (6) se puedo em plear el m é to d o de iteración , transform ando este sis­
tema a la fo rm a equivalente
f
l
x = F ( x , y),
y = <X>(x, y )
1 ;
y su pon ien d o, q u e
t
I F'x <*; y ) I+ 1 0'x ( x y y) I < r < 1;
| F'y (x, y) |+ 10 )^ (*, y) |< r < 1
(8)
e n un entorno b id im en sio n a l determ in a do £/, de la a p ro x im a c ió n in icial
<*o» í/o)» <?ue contiene tam b ién la s o lu c ió n exacta (g , rj) del sistem a.
La su ce sió n de las a p rox im a cio n es ( x „ , y n) (n — 1, 2, . . . ) , que converge
hacia la s o lu c ió n del sistem a (7), o , lo que es lo m is m o , hacia la s o lu c ió n
d e l sistem a (6), se ío r m a según la s ig u ie n te ley:
x { = F (xQt y 0) t
^ , = O { x 0, y0),
x2= F ( x u y i),
í/2= íI)(*i> y í),
x 3=z F ( s 3 , y 2)>
^3 = °
S i tod as las (x*, yn ) pertenecen a U , 1im
(x 2i
y*)>
= §, lim y n — i).
n->co
n-^oo
Para transform ar el sistem a d e ecuaciones (6). a la form a (7), cu m p lien d o
la c o n d ic i ó n (8), se puedo recom endar el sigu ien te proced im ien to. E xam in a­
m o s el sistem a de ecuaciones
a /(x ,
{
e q u iv a le n te a l sistem a
i/) = 0 ,
Y / ( x > y) 4 - 6<p (ar, j/) = 0,
(6) co n
la c o n d ic i ó n de que
m o s a e s c r ib ir de la form a:
rj"
V.
^|
6I
0. L o v o lv e -
x = x + a f (x , y ) + P<p(x, y) == F (x, y ),
y = y +■y f ( s , y) + ó f p (x, y) = O) (x, y).
E le g im o s lo s parám etros a , p , y» 6 , d e m o d o, que las dorivadas parciales
d e las fu n cion es F ( x , y) y O (x, y ) sean iguales o p r ó x im a s a ce ro para la
a p r o x im a c ió n in ic ia l, es d e cir, h a lla m o s a , p, y> ó , co m o solu cion o s a p r o x i­
madas del sistem a de ecuaciones
l + a / ; ( ® 0> ¡/o) + P<p;(*o, Vo) = 0,
a / y (*o- yo) + P<Py (* o .
o) = 0 ,
Y / i ( * o • ^ o ) + «< P ¿ ( * o . y o ) = 0 ,
l + Y / i (*o. yo) + 8<P¡,(*o. y0) = o.
E lig ie n d o de esta fo rm a lo s p arám etros a , p, y , ó y partien do de la
s u p o s ic ió n do qué las derivadas p a rcia les de las fu n cion es / (x , y) y cp (x, y)
varían relativam ente dospacio en e l entorno de la a p r o x im a c ió n in icia l
(xq, ¿j0)» *a c o n d ic ió n (8) so cu m p lirá .
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408
Cálculos aproximados
Ejemplo
3. R ed u cir el sistem a de ecuaciones
a la form a (7 ), s i la a p ro x im a c ió n
Solución,
in ic ia l
de Za raíz os z 0 = 0,8, y 0 = 0,55.
A q u í / (x, y) ==^2 + y* — i f 9 ( 2:,
fy(*0> J
l o) = l , 1;
<P¿(zo> Z/o) = í>02,
=
— y; /*(a?0f y 0) = l A
íp^aro, y 0) = ~ l .
E scrib im os el sistem a, e q u iv a lcn to al de partida,
r
« ( * « + » * _ i ) + p (xa _ „ ) _ o ,
/I
l
Y ( ^ + ! / 2- 1 ) + 5 (^ 3- íí) = Ü,
l |
en la forma
* = * + « < * * + 0 * — l ) + p ( s a— !/),
y « ír+ -V (a:a+¡fa- i ) + 6 ( áB 8 _ y ) #
E legim os en ca lid a d de v a lores n u m éricos con ven ien tes de a ,
so lu ció n del sistema do ecuaciones
(3,
y
, Ó,
la
1 + 1,6 a + 1,92 p = 0,
1,1 a — P= 0,
1,6
y
+ 1 ,9 2 ^ 0 ,
1 + 1,1 Y — 0 = 0,
es decir, suponernos a >**— 0,3,
— 0,3, 7 ^ — 0,5 y 6 ^ 0 , 4 .
En esto caso, e l sistem a de ecuaciones
r
\
x*= tx — 0,3 {¿r2 + i/2— 1 ) — 0 ,3 (a;3— y ) ,
r j s s y — 0,5 (x2 + p2 — l ) + 0,4 (x* — y),
eq uivalente al de partida, tiene la form a (7) y en un en torn o s u ficie n te ­
mente p equeño d e l punto ( x 0i y0) se cu m p lirá la c o n d ic i ó n (8).
P o r el procedim ien to de pruebas, separar la s raíces reales de
las siguientes ecu a cion es y , v a lié n d o se do la reg la de las partos
proporcionales, c a lcu la rla s c o n a p rox im a ción hasta 0 ,01.
3138. x * - x + l = 0.
3139. x 4 + 0 , 5 * — 1,55 = 0.
3140. a;3 — Ax — 1 = 0.
P artien do de las a p rox im a cion es in icia le s obten id as grá fica ­
m ente, ca lcu la r p o r ol m étod o de N ew ton, c o n e x a ctitu d hasta
0 ,0 1 , las raíces de la s ecuaciones:
3 141. x 3 - 2 x — 5 = 0.
3 1 4 3 . 2* = 4 x .
3142. 2 » — l n * — 4 = 0 .
3144. \ g x = — .
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X
In teg ra ción numérica de funciones
40£
U tiliza n d o las a p rox im a cion es in ic ía lo s encontradas grá fica ­
mente, c a lc u la r p o r el m é to d o
de ite ra ció n , c o n e x a ctitu d hasta
0 ,0 1 , las raíces de las ecuaciones:
3145. x 3- 5 x + 0 ,l = 0.
3 1 4 7 . x 5- * - 2 = 0.
3146. 4x = c o s x .
H a lla r grá ficam en te las a p roxim a cion es in icia le s y ca lcu la r,
con exactitu d hasta 0 ,0 1 , las raíces reales de Jas sigu ien tes ecu a­
c io n e s y sistem as;
3 1 4 8 . * 3- 3 x + l = 0.
3154. arv + 2 : r - 6 = 0.
3 1 4 9 . z 3- 2 x 2 + 3 x - 5 = 0.
3155. é* + e ~*x — 4 = 0.
3 1 5 0 . ^ - t - x 2- 2 : r - 2 = 0.
x* + y * - 1 = 0 ,
3156.
3 1 5 1 . Z ‘ h \ x — 1 4 = 0.
3 1 5 2 . a;3-(-3a; — 0 ,5 = 0 .
z * - u ~ 0.
f z 2 | - i / - 4 = 0,
3 1 5 3 . 4 x — 7 se n a : = 0.
3 1 5 7 . ^ ^ — Igo: — 1 = 0.
3 1 5 8 . C a lcu la r, c o n exactitud hasta 0 ,0 0 1 , la m ínim a raíz,
p ositiva de la e cu a ció n t g s = a\
3 159. C a lcu la r, c o n e x a c titu d hasta 0 ,00 0 1, la raíz do la ecua­
c i ó n z - t h x = 1.
§ 4. In te gra ción numérica de fu ncio nes
I o. F ó r m u l a
la integral
de l o s
trapecios,
Para calcular aproximadamente-
b
s
f (x) dx
a
(/(a ) es una función continua en [a, ó]) se divide el segmento do integra­
ción \a, &} on n partes iguales y se eligo ol intercalo del cálculo h = —— .
Supongamos que x¿ = a:0+ //* (*0 = <7, xn = b, i = 0, i , 2 , . . . , n) son las absci­
sas de los puntos do división y que ¿q = / ( xj ) son los correspondientes valo­
res do la función subinlegral y = f(x) . Entonces, por la fórmula de los Irapecios, tenemos:
b
J / ( x ) d * ^ / , ( ^ ± i ^ 2 . + ¡,1+ y a+ . . . + ¡,n_ 1)
(1>
a
con un error absoluto
donde M2= m á x . |f" (x) | para
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410
Cálculos aproximados
Para conseguir la exactitud dada e, a l ca lcu la r la in tegral, se determina
«1 intervalo del c á lc u lo h partiendo do la desigualdad
< 2 >
•es d e cir, h debo ser del orden ~]/l. El v a lo r de h así obten ido, se redondea
por d efe cto do form a, quo
b— a
~
'
~
n
sea un número quo nos dé el núm ero de d iv is io n e s n. Después de deter­
m inar h y n por la fórm u la ( 1), so ca lcu la la in teg ra l, tom ando los valores
•de la fu n ció n subintegral con una o d os cifra s decim ales de reserva.
2o. F ó r m u l a d e S i m p s o n ( f ó r m u l a p a r a b ó l i c a ) . Si n es
un número par, on las notaciones I o es v á lid a la fórmula de Simpson
b
/
(r )
dx
h
—
[(jfo +
S fa ) + 4
({/j +
J/3 +
. . . 4 -i/n -i) +
a
"Í"2 ([/2 + y4+ . . . + F n - 2)]
(3)
•con un error absoluto
-donde Af4= m á x . |/* v ( x ) | cuando a < x < ó.
Para asegurar la exactitud dada e, a l ca lcu la r la in teg ra l, el in terv a lo
del c á lc u lo h so determ ina partiendo de la desigualdad
^ ( 6-a )A /t < e ,
■es decir,
*
(5)
que el in tervalo h tendrá ol orden \ í e. E l número h se redondea
por d e fecto do tal forma, que n = —
soa un número entoro par.
O b s o r v a c i ó n . Com o no es fá cil la determ inación del in terv a lo del
c á l c u l o k y del núm ero n relacionado con é l, por m e d io do las desigualdades
(2) y (5), en general, en la práctica, h se h a lla grosoram ontc a tanteo. Des­
pués de ob ten ido el resultado, se du plica el num ero n, es decir, se d iv id e
por d os el in tervalo parcial h. Si el nuevo resultado coin cide co n el anterior,
•dentro de las cifras d ocim a les quo so conservaron, se term ina ol 'cá lcu lo.
En caso co n tra rio, so repito e l p rocedim iento y así sucesivamente.
Para calcular aproxim adam ente el error absoluto R de la fórm u la de
cuadratura do Sim pson (3) se puede em plear tam bién el principio de Ru ng e,
según e l cu a l,
•
«
R
IS-31
15
•donde 2 y 2 , son los resultados obtenidos en lo s c á lc u lo s con la fó rm u la (3),
para lo s intervalos h y I I = 2h, respectivam ente.
3160.
B a jo la a cción de una fuerza variab le F , d irig id a a lo
largo de| eje O X , u n punto m aterial so traslada por este eje desde
la p osición x = 0, hasta la p o sició n x = 4. C a lcu la r, aproxim ada-
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In tegra ción n nm érica de funciones
411
•mente, e] tra b a jo A de la fuerza F y si se da la tabla de lo s v a lo ­
res d e su m ó d u lo F :
X
0 ,0
0 ,5
1 .0
1 ,5
2 ,0
2 ,5
3 ,0
3 ,5
4 ,0
F
1 ,5 0
0 ,7 5
0 ,5 0
0 ,7 5
1,50
2 ,7 5
4 ,5 0
6,75
10,00
E fe c tu a r lo s
la de S im p son .
cá lcu los
por
la
fó r m u la de
lo s
trapecios y por
i
3 1 6 1 . C a lc u la r , a p roxim adam en te,
^ ( 3 ^ —A x ) d x , por la fór0
m u ía de lo s tra p e cio s, tom a n d o n = 1 0 . C a lc u la r esta in tegra l ex a c­
ta m en te y h a lla r lo s errores a b s o lu to y r e la t iv o dol resultado.
D e te rm in a r el l í m i t e su perior A del error a b s o lu t o del c á l c u l o
e fe c tu a d o para n — 10, a p lica n d o la fó r m u la del error q u e se da
e n e l tex to.
i
3 1 6 2 . C a lc u la r ^
p o r la fó r m u la
de
Sim pson, c o n e x a c ti­
tu d h a s ta 10~4, tom ando rc = 10. D e te rm in a r e l l í m i t e superior A
d e l e rro r a b s o lu to , a p lica n d o la fó rm u la d e l error que se da en el
te x to .
Calcular,* c o n e x a c titu d hasta 0 ,0 1 , las siguientes in teg ra les
d e fin id a s :
i
2
dx
1+ * #
Jt
3164.
3169.
3 1 6 5 . $ ^ .
0
3170.
1
n
2
3166.
J xlgxdx.
2
3171
2
3167.
l ^ - d x .
^ ™ L ?-d x .
1
3172.
«-*• dx.
0
i
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412
Cálculos aproximados
3 1 7 3 , C a lcu la r, c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 , la in teg ra l im propia
x>
\ \
x2 ' em p lea n d o
la
su s titu ció n x =
C om probar el c á l c u l o
b
a p lica n d o la fó rm u la de S im pson a la integral
J
i
, dondo
/>
se e lig e de tal form a, que
+S
b
3 1 7 4 . La fig u ra plana lim ita d a por una sem ionda do la sin u ­
soid e y = s e n x y el ejo O X , g ira alrededor de este eje. C a lc u la r
por la fórm u la de S im pson , c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 , el volum en
d e l cuerpo de re v o lu ció n que so engendra.
3175*. C a lcu la r
por la fó r m u la de S im pson , c o n e x a c titu d
hasta 0 ,0 1 , la lo n g it u d
del arco de la elipse
-y - +
^ 22)2~ =
*■*
situado en o l prim er cuadrante coordenado.
§ 5. In te gra ción numérica de ecuaciones d ife r e n c ia le s o rd in a ria s
I o. M é t o d o
do
las
aproximaciones
sucosivas
(de
P i c a r d ) . Supongamos quo se nos da la ecuación diferencial do 1er orden
V* — 1 (x * v )
<1>
con la condición inicial y = yo para x = x$.
La solución y (x) de la ecuación (1) que satisface a la condición inicial
dada puede expresarse, generalmente, de la forma
r j ( x ) = lim uí ( x ),
í->co
(2)
dondo las aproximaciones sucesivas de yt (x ) se determinan por las fórmulas
Uo (x) = yo,
»v
•Ji ( x ) = V 0+
\ 1 (* , y i-i (* )) dx
*o
= 0, 1, 2, . . . ) .
Si ol segundo miembro / (¿r,
en el entorno
t f { |z —
y)
es una función dotorrainada y continua
Itf— í t o l <¿ } .
y satisface en el mismo a la condición de Lipschitz
! / ( *> 0i) — / ( * , yz)\ < ^ \ U i - V 2 \
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Integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias
{ L es una con sta n te), e l p roceso de las a p rox im a cion es sucesivas (2) es seguro,
■que con v erg erá en e l in te r v a lo
\x — Xq I < > l»
dondo
y
M = máx I / (x , y) |.
H
A l ocu rrir e sto, e l error
\x — x 0 |"+i
Rn = \ ' j ( * ) - V n
( * + 1)1
■con ta i de que
El m étodo de la s a p ro x im a cion es su cesivas (de Picará) , co n pequeñas
m o d ific a c io n e s , se puede a p lica r tam bién a los sistem as n orm ales do ecua­
c i o n e s d iíe r e u c ia le s . En cu a n to a las ecu acion es d ife ro n cia lo s do órden es
su p eriores, éstas se pu eden e sc rib ir on form a de sistem as de ecuaciones
•diferenciales.
2o. M é t o d o d e R u n g e y K u 11 a. Supongam os que en un segm ento
lia d o xq .*£ x < X h a y q u e b a ila r la s o lu c ió n y ( x ) d e l problem a (t) con una
■exactitud dada e.
Para e s to , p rim era m en te, e le g im o s h = —
•- Q (intervalo del cálculo),
■dividiendo e l segm en to [x0i X ] en n partes ig u a le s do form a que /¿4 < e . Los
pu n tos de d iv is ió u x¡ se d eterm in an p or la fórm u la
x t = *Q + lh
( i = 0, 1, 2,
n).
L os co rre sp o n d ie n te s v a lo re s de y i - y ( x i ) de la fu n ción q u e se busca, según
o l método de Bunga y Kutta> s e ca lcu la n sucesivam ente por la s fórm ulas
yt+ i= yi+ & V h
A í / . = y ( * í‘ >T 2 # + 2*<f>+ k { %
donde
t = 0 , 1, 2,
n
kp=*1(xt, J
’ i) k.
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414
Cálculos aproximados
dado [x 0, X ] se puede ob ten er p a rtien d o d e l p r in c ip io de R u nge:
P
. I Vvn— ¿/mi
15
1
d on d e n = 2 m , y^a e Vm son los resu ltad os de los c á lc u lo s efectu ados p o r
e l esquem a (3) con lo s in te rv a lo s h y
2h.
El m étodo de R ungo y K u tta s e
puede em plear tam b ién
para r e s o lv e r
sistem as de ecu acion es d ife ren cia les
*/' = / ( * , »/> 2),
z '= q > ( * , y , z)
(4>
co n c o n d icio n e s in ic ia le s dadas: y = y§, z = zQ para x = x 0.
3o. M é t o d o d e M i I n c . l?ara la re so lu ció n d e l p rob lem a (1) p o r e l
método de M i ln e y p a rtien d o de lo s d a tos in ic ia le s , y — y0 para x = x 0, s e
h a lla n p o r cu alq u ier p roced im ien to io s v a lo re s su cosivos
Vi = y ( x i)>
y
y
( x f¿)>
yz— y { ^ )
de la fu n ció n q u e se busca y (x) (p or
e j ., puede em plearse ol
d e s a r r o llo dela s o lu c ió n y (x) on la se rio (cap. I X , § 17) o b a ila r estos v a lo re s por el m é to d o
de las a p rox im a cion es sucesivas, o em p lea n d o el de Runge y K u tta, etc.).
Las a p roxim acion es y i e
para los s ig u ie n te s v a lores de y¿ {i = 4 , 5, , . . f n),
so h a lla n , su cesivam ente, p o r las fórm ulas
—
Ah
y i = y i - H — 3- (2/ í - 3— / 1—2 + 2/¿ - i) i
(5>
y i = y ¿-2 4 * ’ 3“ (li +
donde
fi= j(zu y t)
y
U— f{^ y i)'
Para e l c o n tr o l, ca lcu la m os la m agnitu d
fi| = -29
Si
no
sobrepasa de una u n idad
U il
d e l ú ltim o ord en
• (6>
d ecim al
40~m q u e
so conserva en la respuesta para y (cr), en ca lid a d do y¿ tom am os
y pasa­
m os a ca lc u la r e l sig u ie n te v a lo r yt+ iy re p itie n d o para o li o e l p roceso
in d ica d o. S i, p o r e l co n tra rio , e ¿ > 1 0 " m, hay que v o lv e r a em pezar d o
nuevo, d ism in u yen d o e l in te rv a lo d e l c á lc u lo . La m agn itu d d e l in te r v a lo
in ic ia l se d otorm in a, a p roxim ad am en te, de la desigu aldad ¿ 4 < 10"™.
Para e l caso de la so lu ció n d o l sistem a (4), las fó rm u la s de M iln o so
escrib en p o r separado, para las fu n cio n e s y (x) y z (x). E l ord en d e l c á lc u lo
sigu e s ie n d o e l m ism o.
E j e m p l o 1. D ada la
in ic ia l y (0) = 1,5, ca lcu la r,
de e s t a 'e c u a c ió n para e l
com b in a n d o lo s m étodos de
Solución.
la co n d ic ió n do
tom am os ¿ = 0,25.
hasta :r = l,5 , so
ecu ación d ife re n cia l y' — y — x , con la co n d ic ió n
con ex a ctitu d hasta 0,01, o l v a lo r de la s o lu c ió n
v a lo r del a rgu m en to x = 1,5. H acer lo s cá lcu lo s
R unge — K u tta y M iln e.
E legim os el in terva lo in ic ia l del cá lc u lo
partien do de
q u e A4 < 0 , 0 1 . Para e v ita r co m p lica cio n e s al e s c r ib ir h ,
En este caso, tod o el in te r v a lo do in te g ra ció n , desde x = 0
d iv id e en sois partes ig u a le s do 0,25 d oj lo n g itu d , p or
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I
/ntcgración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias
415
m ed io de lo s p u n tos
( i = 0, i , 2, 3, 4, 5, 6 ); lo s corresp on d ien tes v alores
de y y de la d eriva d a y ' lo s d esig n am os co n y ¿ o y '.
L o s p rim eros tros v a lo re s d e y (sin c o n ta r e l in ic ia l), los ca lcu la m os
p or e l m étod o d e R ungo y K utta (p or la fórm u la (3)); lo s o tro s tros valores,
í/4» Vb o
por e l m é to d o de MiJne (p or la fórm u la (5)).
El v a lo r yQ será, e v id en tem en te, la respuesta a l problem a.
E l c á lc u lo lo efectu a m os con d os c ifr a s de reserva por un esquem a
d ete rm in a d o , que com prende dos tablas, 1 y 2, A l fin a l do Ja tabla 2
ob te n e m o s la respuesta.
Cálculo
del
valor
de
/ ( * . y) = — x + y*
y v A quí
* 0= 0*
1/0 =
/í = 0 ,2 5 .
T en em os,
*y« = y
('‘ í0' + 2* i0) + 2*i>0>+ *í0>) =
= - i - (0,3750 + 2-0,3906 + 2-0,3926 + 0,4106) = 0,3920?
= f {x0, y0) h = ( - 0 + í ,5000) 0,25 = 0,3750;
4 0, = 7 ( * o + y
j
. ^ o + ~ g “ ) A = { — 0,125 + 1,5000 + 0 ,1 8 7 5 )0 ,2 5 = 0,3906;
*0 + Y ’ y o + ^ j A = ( — 0 ,1 2 5 + 1 ,5 0 0 0 + 0,1053)0,25 = 0,3926;
:
=
y o - f * 30>> h = ( - 0 , 2 5 + 1 ,5 0 0 0 + 0 ,3 9 2 6 ) 0,25 = 0,4100;
y , = y o + A y 0 = l >5000+0,3920 = 1,8920 (la s p rim eras.tres cifra s de esto núm ero
a p ro x im a d o están garan tizadas).
A n álogam ente so ca lcu la n lo s v a lo ro s de y* e y 3. L os resu ltad os dol
c á lc u lo se recogen en la tabla 1.
C á l c u l o d e l v a l o r d e y 4. Tenem os:
/< * » i/)— —*x + y>
— 0,25, *4 = 1;
t/o — 1,5000, y , = 1,8920, y2= 2,3243, y3= 2,8084;
y¿ = 1,5000, y [ ~ 1,0420, ví = 1,8243,
= 2,0584.
A p lica n d o la fó rm u la (5 ), h a lla m os:
_
Al,
y ¿= y o + ~ (2 y 'í- v í + =
= 1 , 5 0 0 0 + + ^ <2 -1 ,6 4 2 0 -1 ,8 2 4 3 + 2-2,0584) = 3,3588:
O
y 4 = / ( * 4> 7 i ) = - i + 3,3588 = 2,3588;
l/4 = i/2 + Y ^
^
=
= 2,3243 + -!—
* - 1 * 5 * 1
=
■ (2,3588 + 4 - 2 ,0 5 8 4 + 1 ,8 2 4 3 ) = 3,3590;.
I 3 .s r > 8 8 - 3 .3 5 9 0 1 _ W 0 2 ^ ? . 10_ 0 < ^
p o r con sig u ien te, n o hace fa lta rov isar el in te r v a lo de cá lcu lo .
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0Q¡;
416
Cálculos aproximados
Tabla 1 . C á l c u l o d e
e y 3 p o r e l m é t o d o d e R u n g e y K u tfca
/ ( * . V) = — xJrV\ h = 0,25
V a lo r
de i
xt
Ui
/ ( * í + -g -,
y[ =
*<*>
s / (x h Vi)
tí°
»«+
0
1
2
3
V a lo r
0
0,25
0 ,5 0
0 ,7 5
1,5000
1,8920
2,3243
2,8084
AjU
* !+
1
2
8
)
1,5000
1,6420
1,8243
2,0584
0,3750
0,4105
0,4561
0,5146
1,5625
1,7223
1,9273
2,1907
0,3906
0,4306
0,4818
0,5477
yi+ W )
t í 1*
A >Ji
*¿+1
1,6426
1,8251
2,0593
0,4106
0,4562
0,5148
0,3920
0,4323
1,8920
2,3602
0,5900
/(* ,+ ■ £ .
de i
0
2
2
1,5703
1,7323
1,9402
2,2073
)
0,3926
0,4331
0,4850
0,5518
0,4841
0,5506
2,3243
2,8084
3,3590
O btenem os */4=
= 3,3590 (la s prim eras tros cifra s de esta a p rox im a ción
está n garantizadas).
Do' fo rm a an áloga efectuam os ol c á lc u lo de lo s v a lores de y 5 o y 6. L os
resu lta d os do este c á lc u lo se in clu y e n en la ta b la 2.
De osta form a, fin alm en te, tenem os:
y 0 , 5 ) = 4,74.
4\ M é t o d o
d e A d a m s. Para la r e s o lu c ió n dol p rob lem a (1) por
o l m étod o do A dam s, p a rtien d o de lo s d a tos in icia le s y { x o ) = 'Jo h a lla m o s,
p o r cu a lq u ie r p ro ce d im ie n to , lo s sigu ien tes tres v a lores do la fu n ción quo
se busca y (#):
V i^ y
(*i) = .V{ * o + h ) i
Uz = y (*z) = y (x0 +
2 h),
y 3**y (x3) = y
(*o+3fc)
(estos tres v alores so pueden ob ten er, p or c j . , p or m e d io d e l d e s a r r o llo de
y { x ) en se rie de p oten cia s (cap. I X , § 16), o h a llá n d o lo s p or el m é to d o de
la s a p ro x im a cio n e s su cesiva s (p u n to I o), o em p lea n d o o l de R unge y K u tta
(p u n to 2°) e tc .).
V a lién d ose de lo s núm eros z 0, x it x 2, x 3 e y 0, y it y 2t !/3, ca lcu la m o s la s
m agnitu des % %
q2l
donde
% = W » = hf(x<» í/o)>
<3i = W i = ht (* i, Vi)>
<]2= h ? A = k f (x2t u 2 )y
9 s = hy í — hf { x &* y*)-
D espués, form am os la tabla diagonal de las d iferen cia s fin ita s de la m agn itu d q.
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In teg ra ción num érica de ecuaciones diferenciales ordinarias
X
y
A y=
— Vn+ i'—
— Vn
q=
;= /(* ,
y)
= y'h
A 2g =
A 3g —
= A g ,j+1 —
= A 2gn+1 —
— A g„
—A2gn
A 29o
A 39o
A<? =
—9 n + i ~ 9n
417
*0
yo
A i/o
f (* o . yo)
9o
*1
Vi
A i/i
1 ( X n Ui)
9i
A g,
A 29 i
A 39 i
í/2
Ai/2
í (*2>
í/2>
92
A92
A a92
A 39a
i/3
Ay3
/
<*3> ^3)
93
¿9 3
A 293
Ay4
f(Xk> Vk)
9/.
A
A y5
/
y5)
95
*3
*4
*5
y»
X
yo
q
A ?o
94
E l método de Adame co n s is to on co n tin u a r la ta b la d ia g o n a l de d ife r e n ­
c ia s v a lié n d o s e do la fórmula de Adams
1
5
3
Aj/n =<Jn ~^~~2 Atfn—1 4 “ Jó A 2tfa-2 + "g"
(7)
A sí, u tiliz a n d o lo s n ú m eros q z> A A 2?*, A3?o» situ a d o s d ia g on a lm en te
en la tab la de d ife r e n cia s , v a lié n d o n o s d e la fó rm u la (7 ) y p on ien d o en
1
*5
3
e lla /* = 3, c a lc u la m o s A y 3 = ? 3~-|-y Atf2-r jí> A ^ + j t - A3g0« H a lla d o e l v a lo r
.
Ay3, c a lc u la m o s y 4 — í/3 + Ay3. C o n o cie n d o 24 o j/4, ca lcu la m o s
= ^ / (^ 4* .V4)»
in c lu im o s y 4, Aí/ 3 y 74 en la ta b la de d ife re n cia s y la com p leta m os después
c o n la s d ife r e n c ia s fin it a s A73, A 2q2l A2y j, situ a d a s, ju n to con q4, en una
n u ev a d ia g o n a l p a ra le la a la a n terior.
D espués, e m p le a n d o lo s n ú m eros de esta nueva d ia g o n a l, v a lié n d o n o s
de la fó rm u la (8) y p o n ie n d o on e ll a
4 , c a lc u la m o s Ay4, #5 y <j5 y o b te ­
n em os la sigu ien te d ia g o n a l: q3l A<74, A 2^ , A 3<72. Con a yu da de esta d ia g on a l,
ca lc u la m o s e l v a lo r de y 0 de la s o lu c ió n y (a:) q u e so busca y así su cesivam eute.
Para c a lc u la r A y , la fó r m u la de A d a m s (7) parte d o la su p o s ició n de
quo la s terceras d ife r e n cia s fin ita s A3? s o n con stan tes. En corresp on d en cia
co n e s to , la m agn itu d h d e l in te r v a lo in ic ia l d o l c á lc u lo se determ in a de
la d e sig u a ld a d ¿ 4 < 1 0 -m (s i se d esea o b te n e r e l v a lo r d e y ( x ) co n ex a ctitu d
h asta 10- ^ ) .
En este s e n tid o , la fó rm u la de A d a m s (7) es e q u iv a le n te a las fórm u lu s
do M iln o (5 ) y de R unge y K u tta (3).
L a a co ta c ió n d e Tos e rr o re s , para ol m é to d o de A d a m s, es co m p lica d a
y prácticam en te in ú t il, y a q u e, en g en era l, p ro p o rcio n a re su lta d o s exagera­
d o s . En la p rá ctica se sig u e la m archa de la s terceras d ife re n cia le s fin ita s ,
e lig ie n d o o l in te r v a lo h tan p eq u eñ o, qu e las d ife re n cia s co lin d a n te s A 3q¡
y Añqi+t so d ife re n cie n en tre sí, c o m o m á x im o , en una o d os un idades d e l
o rd e n d a d o (sin c o n ta r la s c ifr a s d o reserva).
Para e le v a r la e x a c titu d del re s u lta d o , la fórm u la de A dam s puede
c o m p le ta r s e co n té rm in o s q u e con ten g a n la s d ife re n cia s cuartas y m ayoros
27—1016
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Tabla
(Los
de
|/4, y 5 e y Q por
el
111 ítodo
/(*» y)= — * + * / ; ^ — 0,25
datos iniciales se da« en c u r s iv a )
2. Cálculo
de
M iln c
419
in teg ra ción numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias
d e la m agn itu d q. A l hacer e sto, crece ol núm ero de lo s p rim eros v a lores
d o la fu n ció n y que so n ecesita n para com enzar a lle n a r la tabla. Las
fórm u la s de Adam s para ob ten er ex a ctitu d es elevadas no las vam os a e x p o­
ner a q u í.
Ejemplo
2. C a lcu la r, p or ol m étodo com b in a d o de R u n go y K utta
y A dam s, para x = l , 5 y co n una ex a ctitu d hasta 0,01, el v a lo r de la so lu ­
c ió n do la ecu a ció n d ife re n c ia l y ' = y — x , con la co n d ició n in icia l de que
y (0) = 4,5 (véase o l e j. 4).
Solución.
E m pleam os lo s v a lores do yj> y2, y 3f que o b tu v im o s al
re s o lv e r e l p rob lem a 1. Su c á lc u lo s e da en la tabla 4.
L os v alores sig u ien tes do y /t, y5, y Qí lo s ca lcu la m os por e l m étodo de
A d a m s (véanse la s tablas 3 y 4).
T a b l a 3. T a b la p r in c ip a l para e l c á lc u lo de y
e yg
p o r e l m é to d o d e A dam s
/ ( * , ! / ) = — z + y'y h = 0,25
do i
(L os datos in ic ia le s se dan en cu rsiva)
Vi
0
0
2,5000
1
0,25
2,8920
2
0,50
2,3243
3
0 ,75
2,8 08 4
4
1 ,0 0
5
(i
Valor
*i
lyt
y i’ =
Qi =
A ?¡
A * f,
Aa<?j
= /(* .. J
’ >)
1,5000
0,3750
0,0355
0,0101
0,0028
1,6420
0,4105
0,0456
0,0129
0,0037
1,8243
0,4561
0,0585
0,0166
0,0047
0,, 5504
2,0584
0,5146
0,0751
0,0213
3,3588
0 ,0356
2,3588
0 ,5897
0 ,0964
1,25
3 ,0944
0.,7450
2,7444
0,6861
1 ,5 0
4,7394
1
1
Respuesta: ó ,74
E l v a lo r y g = 4,74 será la respuesta del problem a.
En lo s ca sos de r e s o lu c ió n de lo s sistem as (4), la fórm u la de Adam s (7)
y e l esquem a d e c á lc u lo que s e m uestra en la tab la 3, se u tiliz a n separa­
dam en te para cada una de la s fu n cion es y (z) y z (x ).
H a l l a r tre s a p ro x im a c io n e s su c e siv a s de la s solucion es de la s ecuac io o e s d ife re n c ia le s y de los s is te m a s sig u ie n te s:
317 6. j/' = x* + y2;
3177 . y ’ = x - \ - y + z ,
3 1 7 8 . y" = — y ;
y ( 0 ) = 0.
z' = y — z ;
y ( 0 ) = 0,
y (0 ) = l ,
z (0) = — 2.
'
y ' {0) = 1.
27*
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420
Cálcalos aproximados
Tabla 4. T a b la a u x il ia r p a ra el c á lc u lo p or e l m é to d o de A daius
1
&Ui - Q l + - Y
V a lo r
de i
5
Qi
3
*
3
+ ‘J‘TA23i- 2 + - g -
^
!|
0,5140
4
0,5897
5
0,6801
1
3
3 ai
- g - A3? í-3
A *í<-2
0,0293
0,0054
0,0011
0,5504
0,0376
0,0069
0,0014
0,6356
0,0482
0,0089
0,0018
0,7450
C a lcu la r ap ro x im ad a m e n te, por el m éto d o de R ungo y K u tta ,
s u p o n i e n d o q u e e l i n t e r v a l o e s h — 0 ,2 , l a s s o l u c i o n e s d e l a s s i g u i e n ­
tes e c u ac io n e s d ife ren c ia le s y siste m a s, p ara los in te rv a lo s que
se in d ican :
3 1 7 9 . x ' = y — x\ y { 0 ) = 1 ,5 ( 0 < x < l ) .
3 1 8 0 . ^ '= - § — y2; i/(l) = 1 ( í < i < 2 ) .
3 1 8 1 . y ' — Z + 1, z ' = y — x , y ( 0 ) = l , 2 (0 ) = 1 (0 < 2 < 1 ) .
V alién d o se d el m é to d o co m b in ad o de R u n g e y K u t t a y M iln e
o de R u n g e y K u t t a y A d am s, c a lc u la r, co n e x a c titu d h a s ta 0 ,0 1 ,
los v alo res de la s so lu c io n e s de la s e c u a c io n e s d ife re n c ia le s y s is­
te m a s q u e se d a n a c o n tin u a c ió n , p a ra lo s v a lo re s d e l a r g u m e n to
q u e so ind ican:
3 1 8 2 . y '= x -{ -y ; y = 1 p a r a 2 = 0 . C a l c u l a r y p a r a 2 = 0, 5
3 1 8 3 . y ' — x t -^y; y = 1 p a r a 2 = 0 . C a l c u l a r y p a r a 2 = 1 .
3 1 8 4 . y' = 2y — 3; y = 1 p a r a 2 = 0 . C a l c u l a r y p a r a 2 = 0 , 5 .
— x -i-2
3185.
C alcu lar
3186.
y
z' =
2
y
para
z
y '=
z' —
C alcu lar
3187.
y"
-(- 2 ¡/ + 3 z; y = 2, z = — 2 p a r a
z
2
= 0 ,5 .
* ~ 3 y — z,
y — z; y =
para
= 2 — y;
y y
y + z,
2
y
2,
z =
— 1
para
= 0 ,5 .
= 2,- y ' ~ — 1 p a r a
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2
2
=
0
.
= 0.
2
= 0.
Cálculo aproximado de los coeficientes de Fourier
421
C a lc u la r y para ¿r = 1 .
3188. y V +
i
1 = 0; y — 1 ,
C a lcu la r y para
y /:= 0 para * = * 1 .
1,5.
3 1 8 9 . -^ | - + -^ -co s 2¿ =
0; £ = 0, x
~ 1 para ¿ = 0.
H a lla r x { n ) y a:' (n ).
§ 6 . C álcu lo a proxim ado de lo s c o e f i c i e n t e s de F o u rie r
Esquoma
do
12
ordenadas.
Sean
y n ^ f ( x n) (n = 0 , 1 , . . . , 12)
lo s v a lo re s do la fu n ció n y — f ( x ) en lo s p u n tos equ id istan tes x n = ~ -
del
segm en to JO, 2rc], a l m ism o tie m p o que yo — VíaForm am os las tablas;
Vo Vi V2 V3 V4 V5 Vo
V n Vio vo Vs v r
%
su m a s (2 )
d i í e r o n c . (A)
Uq IZj
«0
u i u 2 u3
u4 u 5 “e
v i v2 »3 VA
u2
«3
vA v2 ” 3
Uq M5 *4
sum as
*0 s l s2 s2
d ife rcn c.
h
t2
|
sum as
d iferen c.
v5 **
Oí o z o 3
*1 *2
*
L o s c o e fic ie n t e s do F o u rier an , bn (n = 0, l f 2, 3) de la fu n ción y = / ( x )
se pu eden h a lla r a p rox im a d a m en te por las form u las:
6í7o = 50“f 5i + s2"l*s3»
66 j = 0 ,5 ^ !-(-0 ,86602+ ^ 3»
6a ! = ¿0 + 0,866 ¿ i - ) - 0 ,5 t 2,
662 = 0,866
Ga2^ s Q— s3 -¡-0 ,5 (5j — ó-2),
663 = 0! — <J3,
^
6a3 = ÍQ— ¿2i
d . „ d » 0 ,8 6 6 —
^ .« ,1 —
T en em os:
3
/(x )^ 3 - + 2
(a* eos nx + bn son nx).
n= l
Se em p lean ta m b ié n o tr o s esqu em as. Para fa c ilita r e l c á lc u lo se u tiliza n
plantill as.
H a lla r e l p o lin o m io de F ou rior para la fu n ción y = / { s )
Ejemplo.
(0
x
2 n ), dada p o r la tabla
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422
Cálculos aproximados
Uo
y\
y*
y*
y*
y*
ya
yi
i/8
Uo
Vio
ya
38
38
12
4
14
4
— 18
— 23
— 27
-2 4
8
32
Solución.
Formamos las tablas:
38
y
u
38
38
12
4
14
4
32
8
-2 4
-2 7
-2 3
70
20
-2 0
-1 3
-1 9
6
4
28
41
20
-2 0
V
38
u
-1 8
70
-1 0
-1 3
51
7
.56
89
P o r la fórm ula (1) tenem os:
33
s
20
t
a0 = 9 ,7 ;
¿1 = 13,9;
a , = 24,9;
62- - 8 , 4 ;
— 18
27
V
-2 0
— 18
a
T
f»
4
27
41
33
45
28
28
-2 1 , -3 7
a2 = 10,3;
ó3 = 0,8.
as = 3,8;
Por consiguiente,
/ (x ) « ^ 4 , 8 + (24,9 co s x - f 1 3 ,9 sen x )-f- (10,3 c o s 2 x — 8,4 sen 2 x ) - f
4 - ( 3 ,8 cos 3 s-f-0 ,8 se n 3x).
V a lié n d o se del esquem a do 12 ordenadas, h a lla r los p o lin o m io s
d e F ou rier para las fu n cion es sig u ien tes, dadas en e l segm ento
JO, 2jc| por las ta h la s de sus v a lores, correspondientes a los v a lo ­
res equid istan tes d e l argum ento (i/o = Vi2);
2/9 = 7400
2/9 = 7600
y 0= - 7 2 0 0
Vs
y i = 300
V4 == 0
j/2 = 700
vs
i/o — 0
2/3 == 9 ,7 2
2/6 = 7.42
2/9 = 5 ,6 0
i/ í
2/7
i/2 = 9 ,6 8
2/4 == 8,97
2/5 == 8 ,1 8
= 6,81
2/8 = 6 ,2 2
y í0 = 4 ,8 8
Vu = 3,67
|/o-= 2 ,714
2/3 == 1,273
2/6 = 0 ,3 7 0
i/, = 3 ,042
2/4 == 0 ,788
2/5 == 0 ,495
2/7 =
= 6 ,6 8
y2 = 2,134
=-4 3 0 0
== - 5 2 0 0
2/7
= — 2250
j/s = 3850
0 ,5 4 0
2/8 = 0,191
.Vio = 4500
Vn = 250
V9= - 0 , 3 5 7
Vio = — 0 ,437
2/n = 0,767
3 1 9 3 . C a lcu la r u n os cu a n tos prim eros co o ficio n te s de Fourier,
por el esquema de 12 ordenadas, para las sigu ientes fu n cion es:
а) / ( x ) =
(x 3 - 3nz* + 2n*x)
б ) f (x ) = -¿2-(x — n) 2
(0 < i< 2 n ),
(0 < ¡c < 2 r t ).
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SO LUCIO N ES
Capítulo I
1. S o l u c i ó n . C o m o a = (a — b) - f 5, te n d re m o s q u e |a |« ¿ |a — 6 | + | ó | . De
d o n d e l a — 6 | > | a | — |M y |a — b |«=| b — a | > I b |— |a |. P o r co n sig u ie n te ,
|a — b \~j> \\a |— |b ||. A dem ás, |a — b | = |a - f ( — b) | < |a |+ |— b \ ~ \a |-f| b |.
3 . a) - 2 < x < 4 ; b) a; < - 3 , o; > 1; c ) - 1 O < 0 ; d ) x > 0 . 4. - 2 4 ; - 6 ;
0 ; 0 ; 0; 0. 5 .
1; 1 ~
;V 'í T ^ ;
7. / ( * ) = - - +
8.
I * !" 1 V í + x * ;
1 /V l+ í* .
f ( x ) = í . x * - ^ x + 1.
9.
0 .4 .
6.
n; - i ;
10.
0.
+
I I. a ) — 1 < x < + c o ; b ) — c o < x < - f e o . 12. ( — c o , — 2 ),_ (— 2, 2), ( 2 ,- f e o ) .
13. a) — c o < r < — V 2 , V ' 2 < x < + c o ; b ) x = 0 , | x | > f / 2 . 14. — 1 < x < 2 .
R e s o l u c i ó n . D ebo se r 2 * f x — x 2 > 0 , o x 2 — x — 2 < £ 0 , es d e cir, (x + l ) x
x ( x — 2 ) < 0 . D o d o n d e , o x - f l > 0 , x — 2 < ü , e s d e c ir , — l < ; x < 2 ; o p o r
e l c o n tr a r io x - f 1 < 0 , x — 2 > 0 , e s d e c ir . x < — 1, x > 2, l o q u e n o e s p o s i­
b le . D o e s ta fo rm a , —
15. — 2 < x C 0 . *6. — c o < x < — 1, 0
. . s ' x < l . 17. — 2 < x < 2 . 18. — 1 <
2 0.
1< *< 100.
21.
x
< 1, 2 < x < + c o .
f c n < 2 < / í n + - " - (* = 0,
± 1 ,
19. — g - < * < l .
± 2 ,...)-
22.
<p(2)==
= 2 x 4 _ 5 * 2 — 10, i | ) ( x ) = — 3 x » 4 - 6 x . 23. a) P ar; b ) im p a r; c ) par; d ) im par;
e)
im p a r.
24.
Indicación.
\
4- / ( — x )] + — 1 / (x ) — / ( — x )].
2n
= T~> c )
K
p e r ió d ic a ,
d)
= — x, si 0 < x < c ;
y=
—
28.
,
cu an d o
si
c < x ^ a .
¿ i < s < í i + ¿ 2;
E m p léese
la
id e n tid a d
26. a) P e r ió d ic a , r =
p e r ió d ic a ,
7, =
ji ;
si c < x
m = (¡íx
2
/ (x ) = i
[f (x ) - f
b> p o r ió d ic u , T =
e ) a p e r ió d ic a .
27.
y=
x 2, si 0 < z < c\ S = 6 x —
cu a n d o 0 ^ x
* * = «Z^i + ^ 2 + ^3
m=
-4“ ^2
— ¿j)
cu a n d o / i + J2 < * <
< Z l+ ? 2 + ¿ 3 = ¿ - 2 9 .< p ( t | ) ( x ) ) = 22* ;t| )((p (x ))= -2 ícíl. 30. x . 31. (x + 2)2. 37.
0; ^ .
38.
a)
y=0
cu a n d o
x = —lf
y > 0
cu an d o
x > — 1,
y < 0
cu a n d o x < — 1; b ) y = 0 cu a n d o x = — i y x = 2, y > 0 cu an d o — 1 < x <
■< 2, í / < Ó
cu a n d o — c o < x < — 1
cuan­
y
2 < x < -fc o ;_ c) y > 0
d o — c o < x < + c o ; d) y = 0 cu an d o x = 0 , x = — ~\/3 y x = l / 3 , y > 0
cu a n d o — ~\/3 < x < 0 y ~[/2 < x < - f 0 0 , y < 0 cu a n d o — c o < x < — " l/3
y 0 < x < ] / 3 ; e ) y = 0 cu a n d o x = l , y > 0 cu a n d o — : . x > < x < ~ l y 1 <
< X < 4 -co ,
y<
o cuando 0 < x < 1. 39. a) x = -.^ ( y — 3) ( — c o < y <T -fe o );
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424
!>)
Solucionen
x= V u + i
< + co);
d) x
y x= ~
=
Vy+4 (—1< y < + <»); c.)x =
2 -10! / ( — o o <
¡/<+
40. x = y cuando — c o < y < ; 0; z =
u * = 2 x ^ 5 ; b ) y = 2u, a = c o s x ; c )
co );
o)
*=
1 —¡y3 (—oo< y<
tg y ( — £ . < j
j .
i-
f
| /y cu an d o 0 < { / < . + o o . 4 ! . a) y = u 10,
m
C
=
u*= t g v t j>= y ; d ) y = aresen *¿,
u = 3ü,
a:2. 42. a) y = s e u - x ; b) y — a r c tg Y j g l : ; c) ¿/ ^=2 ( z 2 — 1), si
I * | < 1 » e y = 0, s i |« I > 1. 43. a ) y = — co s x¿, l / S < |z | < V 2 jx ; b) y =
= lg (10 — 1 0*), — o d < z < 1; c ) »/ — y
cu a n d o
—co < z < 0
e y = x cu a n d o
0 < : r < - | - O 3 . 46. I n d i c a c i ó n .
V éase e l a p é n d ice V I , fig . 1. 5 1 . I n d i ­
cación.
C om p leta n d o cu ad ra d os en e l trin o m io d e seg u n d o grado»
tendrem os y ==y0 + a ( z — z 0)2, don d e x 0 = — b/2a 'e yo = (4 a c -~ 6 a)/4 a . De
d on d e la g rá fica quo s e busca e s la p a rá b ola y = ax*y desplazad a a lo
la rg o d el e je O X en la m a g n itu d x 0 y a lo la rg o d e l e je O Y
un
la m agn itu d yQ. 53. I n d i c a c i ó n .
V éase el a p én d ice V I, d ib u jo 2.
58. I n d i c a c i ó n .
V éaso el a p én d ice V I , d ib u jo 3. 61. I n d i c a c i ó n .
Esta
g rá fica
representa
de p or
sí
la h ip é rb o la y = — -»
despla zad a
a
lo
la rg o d el e je O X on la m agn itu d i 0 y a lo la rg o d e l e jo O Y en la m a g n i­
tud y0. 62. I n d i c a c i ó n .
S eparan do la parte en tera , ten d rem os y = »
2
13 / /
2 \
g- / far-f—jj-J (co m p á rese con
ol JN? 6 l ) . 65.
Indicación.
Véase o í a p é n d ice V I, d ib u jo 4. 67. I n d i c a c i ó n .
V éase o l a p é n d ice V I,
d ib u jo 5. 71. I n d i c a c i ó n .
V éase o l a p én d ice V I, d ib u jo 6. 72. I n d i ­
cación.
Véaso ©1 a p é n d ice V I, d ib u jo 7. 73. I n d i c a c i ó n .
V éa se el
a p é n d ice V I , d ib u jo 8 . 75, I n d i c a c i ó n . Véase e l a p én d ice V I, d ib u jo 19.
78. I n d i c a c i ó n .
V éaso el a p én d ice V I, d ib u jo 23. 80. I n d i c a c i ó n .
V éase el a p én d ice V I, d ib u jo 0. 81. I n d i c a c i ó n . V éaso el a p én d ice V I,
d ib u jo 9. 82. I n d i c a c i ó n .
V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 10. 83. I n d i ­
c a c i ó n . V éaso o! a p é n d ice V I , d ib u jo 10. 8 4 . I n d i c a c i ó n .
V éase el
a p én d ico V I, d ib u jo 11. 85. I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ice V I, d ib u jo 11.
87. I n d i c a c i ó n .
E l p e r ío d o de la fu n ció n T = 2n/n. 89. I n d i c a c i ó n .
La g rá fica q u e s o busca e s la sin u so id e y = 5 sen 2x con a m p litu d 5 y p e río ­
d o ti, desp la zad a h a cia la derecha a l o la rg o del e jo O X en Ja m agnitu d
1
1 -Tj-. 90. I n d i c a c i ó n . P o n ie n d o a = A co s 9 y b = — A s e t x y , te n d re m o s
y = A s e n ( z ~ q > ) , d o n d e A = ~\/a2 + b2 y q* = a r c t g ^ —
yl = 10,
<p= 0,927.
92.
Indicación.
co s2z = - r p
. En n u e stro caso,
( 1 + c o s 2 s ) . 93.
Indi­
=
c a c i ó n . La g r á fic a q u e se busca es la sum a do la s g rá fica s ' J i = x o
= s e n z . 94. I n d i c a c i ó n .
La g rá fica q u e s e b u sca es e l p rod u cto de~las
g rá fica s ^ - 1 e y2= sen x. 99. I n d i c a c i ó n .
La fu n ció n es par. Para
x > 0 d e te rm in a m o s lo s p u n tos para lo s cu a les 1) y — 0 ; 2) y — 1 y 3 ) y =
55 — ! . Cuando x — > - f e o y — > 1. í 01- I n d i c a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I,
d ib u jo 14. 102.
Indicación.
V éase
el
a p én d ice V I, d ib u jo 15.
103. I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ico V I, d ib u jo 17. 104. I n d i c a c i ó n .
V éaso e l a p én d ice V I , d ib u jo 17. 105. I n d i c a c i ó n . V éase el a p é n d ice V I ,
d ib u jo 18. 107. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p é n d ice V I , d ib u jo 18. 118. I n d ic a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 12. 119. I n d i c a c i ó n . V éa so el
a p én d ice V I , d ib u jo 12. 120. I n d i c a c i ó n . V éa se el a p én d ice V I , d ib u jo 13.
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425
121. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo , 13. 132. I n d i c a c i ó n .
V éa se e l a pén d ice V I , d ib u jo 30. 133. I n d i c a c i ó n . V éase e l apén dice V I,
d ib u jo 32. 134. I n d i c a c i ó n . V éase ol a p én d ice V I , d ib u jo 31. 133. I n ­
d i c a c i ó n . V éase e l a p é n d ice VI., d ib u jo 33. 139. I n d i c a c i ó n .
Véase
el a p én d ice V I , d ib u jo 28. 140. I n d i c a c i ó n .
V éase e l a p én d ice V I r
d ib u jo 25. 141. I n d i c a c i ó n .
F orm am os la tab la de los v a lores
t
0
i
2
3
9 ♦»
—1
—2
-3
X
0
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8
27
•• •
-1
—8
-2 7
y
0
i
4
9
4
9
1
C on stru yen d o los p u n tos (x , y ) o b te n id o s , resu lta la cu rva buscada (véase
ol a p én d ice V I , d ib u jo 7). ( E ! p a rám etro
a l h acer esto, n o s e m arca g e o ­
m étrica m en te). 142. V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 19. 143. V éase o l apén­
d ic e V I , d ib u jo 27. 144. V éase el a p én d ice V I , d ib u jo 29. 145. V éase el
a p é n d ice V I , d ib u jo 22. 150. V éase ol a p én d ice V I , d ib u jo 28. 151. I n d i ­
c a c i ó m ^ R e s o l v ie n d o la ecu a ción co n resp ecto a y , ob ten em os y =
= ± y 2 5 - z 2. D espués de lo cu a l es fá c il co n stru ir la curva q u o se busca
p o r p u n tos. 153. V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 21. 156, V éase el a p én d ice V I ,
d ib u jo 27. Basta co n stru ir lo s (¿r, y ) corresp on d ien tes a la s abscisas
x — 0, ± 4 -> áz
157. I n d i c a c i ó n . R e s o lv ie n d o la e cu a ció n con res¿t
p e c to a x t tendrem os x ~ í 0 lg y — y ( * ) . De don d e obtenem os lo s p u n tos { x y y)
de la 'urva que se busca, d á n d ole a la orden ada y v a lo re s a rb itra rio s {y > 0 )
y c a lc u la n d o p o r la fó rm u la (* ) la ab scisa x % Debe tenerse en cu en ta , que
l g y — ^ — c o cuand o y
0. 159. I n d i c a c i ó n . P asando a l^ s co o rd e n a d a s
p ola res r =
d ib u jo
32).
y2 y
160.
tg(p = — , ten d rem os r = e9 (véase ol a p én d ice V í,
x
Indicación.
P asando a las coord en a d a s p olaros x —
= r coscp o y — r sen cp, ten d rem os r = ^
d ib u jo 32). 161. F = 32 + 1,8(7.
163, p = y s e n a ; y máx = y
3^ ^ g efj.3 ^ ( v ^ase
a p én d ice V I,
162. y*= 0,62 (10 — x ); y máx = 15 para x = 5.
para z = y .
164.
a)
* i= y ,
i 2 = 2;
b)
x=
= 0,68; c) x i — 1,37, :t2 = 10; d) x = 0,40; e ) a := l ,5 0 ; f) x = 0,86. 165. a) x i = 21
í/j = 5; x 2 = 5, y<¿ — 2', b ) x^ = — 3, y j = — 2;
2, y 2~
3; £3 = 2, 1/3 = 8;
*4 = 3, 2/4 = 2; c) x l = 2t 2/ j = 2; x 2 « s 3 ,4 , y2^ — 2,5; d) x x « s — 3,6, y ±
3,1;
^2 ^ — 2 ,7 ,
1/2 ^ 2 , 9 ;
y , = V ? ; Xz= ^ . ,
2,9,
j-2 =
t/3 ^ 1 ,8;
x4 ^ 3 , 4 ,
166. n > ± = -
1/4 ^ — 1,6;
e)
a) * > 4 ; b) « > 1 0 ;
= y ,
c) n >
> 3 2 . 167. n > - t — i = / V : a) iV = 9; b ) N — 99; c.) JV = 999. 168. < 5 = - | - ( b <
< 1 ) . a) 0,02; b ) 0,002; c ) 0,0002. 169. a) l g x < — N cu an d o 0 < * < d ( 7 V ) ;
b ) 2* > / V cu an do x ' p - X ( N ) ; c ) |/ ( * ) ! > A" cu a n d o | z | > Z { l V ) . 170. a) 0;
b ) 1; c ) 2; d)
171. ~
.
172. 1.
173.
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174.
1.
175. 3.
176.
1.
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177. JL . 1 7 8 .- i - . I n d i c a c i ó n .
4
E m p le a r la fórm ula l 2-)-2 s + . . . - f « 2 =
ó
= — n (n + 1) (2n + l) . 179. 0. 180. 0. 181. 1. 182. 0. 183. co. 184. 0. 185. 72.
6
186. 2.
187. 2. 188. o o .
189. 0. 190. 1.191. 0. 192. co . 193
— 2.
195. 4 - - i»® - ° j ¿ r - <97- 3* 2- I98- — *• 199- y - 20° - 3- 2Ü1*y -
194. co .
202’ T
203. - i5b. 204. 12. 205. 2~ . 206. - ó4 - 207- *■ 208- 2~ 4yl =x ■209- 3
210. - i - .
211. 0. 212.
213.
214.
b) 0. 217. 3. 218. 4A - 2>9 . 4O- - 22° - *•
•
- i . 215. 0. 216. a) - i sen 2;
221• 4 - -
222- c o s a
223’
— son «-
- L 227. a) 0; b) 1. 228. — 229. 4A- 230. 0.
V2
232. - ! ( » * - ; » * ) . 233. - j • 2 3 í- *■ 235- y • 236- y • 237- — y -
224. n. 225, cos
231. — ~ p = .
y x¿
■
x.
22
G,
238. n . 239. i4 • 240. 1. 241. 1. 242. 44- • 2 43. 0. 244. 2 - 245. 0. 246. e~i.
.247.
*2
248. ¿ r 1. 249.
«?"*. 250. e*. 251.
J_
252.
-L
lim ( c o s í ) * = lim ( —(1—eoss)) * = l i m ( l — 2 sen 2- í- )
;t-» 0
*->o V
- '
2 sen* y
( _ ! ü ü i)
2 sen* 4¿á" - ”
2
lim
= * = j#
x^ °
sen —x \
lim
= l i m T ( 1 — 2 sen,¿ X
x-+o L \
(
*
2
. Como lim l
sen 2 4 *
)
x~*Ü V
= — 2 *1 *lim - r = 0 ,
tendrem os
x->-0 4
Resolución.
y e
~*~
Resolución.
2
£
“2
lim (cos x ) x = <?
x
a) 1.
i
______ i
*2
/
lim (cos s) * =
ac-*0
A nálogam ente al anterior (véase a),
/ —2 sen*
^ 0 \
1
a:
Como
lim
2
K->0
sen 2
-___ -
#2
/
1
=
—2
lim X
x->0
2
1
------------------ 1
= ——
. tendrem os lim (cos—5x ) x ~—
e 2 ~ — 7= . 253. ln 2
*
,/-
254. 10 l g * . 255. 1. 256. i . 257. — - y - 258* 4'
P on er
—
Indicación.
E m p lea r la id en tid a d
\
Indicación.
P on er — = a , don d e a — ^ 0 (véase el
- l = a , doudu a — -> 0. 259. ln a.
a .... e111 a. 260, ln a.
Indicación.
ti
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JÉ 259). 261. a — b. 262. 1. 263. a) 1; b ) y
427
. 264. a) — 1; b ) 1. 265. a) — 1:
b ) 1. 266. a ) 1; b) 0. 267. a) 0; b ) 1. 268. a) - 1 ; b) 1.
270. a ) — c o ; b) - f e o . 271. R e s o l u c i ó n . S i x 4= k n ( k
eos2 £ < 1 e i/ — 0; s i, p o r e l co n tra rio x = kji} co s2 x ~ l
4
cu an do 0 < * < 1; y = y
cuando * = 1; y = 0 cu an do x
274. y = — -
cu a n d o
a: < 0;
y= 0
cu an do x = 0;
275. y = 1 cu a n d o 0 < x < 1; */ = x cu an do 1 < x <
—> - y
; x 2 - =*-co. 278. n . 279. 2 * R . 280.
I
284. lim ACn = ^ r . 285.
la cu rv a y
5
j . 287.
269. a) - 1 ; b ) 1.
= 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) ,
o i/ = l . 272. y - = x
>f.
y = -—
273. y = \x\.
cu an do
x > 0.
61
+ co . 27G. ^
. 277. x j —>
. 281. 1 y
. 282.
+ 1 .
e2 —1
286. Jt = l , ¿/ = 0; la recta y = x es a sín tota de
Q^n} = Q0 ( 1
> donde
k es el co e ficie n te
de p r o p o r cio n a lid a d (« r e g la de in terés com p u esto»); Q í = Qo^,‘ , ■ 288. | i l >
> -i;
a)
| * 1 > 1 0 ; b ) | * | > 1 0 0 ; c ) | x| > 10Ü O . 289. [ a:— 1 1<
0 < e < 1;
a)
|a: — 1 1< 0,05;
b)
|x - 1 1< 0,005;
c)
cuando
|x - í |< 0,0005.
290. | x — 2 | < ~ = 6 ; a) 6 = 0,1; b ) 6 = 0,01; c) 6 = 0,001. 291. a) segundo;
b)
tercero,
y ,
o)
b)
3. 295. N o. 296. 15. 297. - 1 . 298. - 1 . 299. 3. 300. a) 1,03(1,0296);
0,985 (0,9849);
c)
3,167(3,1623).
Indicación.
V 'i 0 = y ' 9 + 1 =
: = 3 j / l + - ~ ; d)
3)
0.0095(0,00952);
292. a) í ; b) 2; c ) 3. 293. a) 1; b ) y ;
10,954(10,954).
4)
301.
3,875(3,8730);
d)
2;
1) 0,9 8(0 ,9 8 0 4 );
2)
1,03(1,0309);
5) 1,1 2 (1 ,1 2 5 );
6)
0,72(0,7480);
7) 0 ,0 4 3 (0 ,0 4 1 3 9 ). 303. a) 2; b ) 4; c ) i - ! d) ~
L.
c) J - ;
. 307.
Indicación.
Si
«J
x > 0 , cu a n d o |A x | < x , tenem os [ V - M - A x — ~ f x |= |Ax | / ( V ^ - p A x + V 1) <
| A x | /| /x - 309. I n d i c a c i ó n .
U tiliz a r la desigualdad | c o s ( x - f A x ) —
— c o s x |<¿ |Ax |. 310. a) x
don d e k es un núm ero en tero; b) x
=£ kn> donde k es un n ú m ero en tero. 311. I n d i c a c i ó n . U tiliz a r la de­
sig u a ld a d ||x + Ax| — |x| | < | Ax|. 313. /1 = 4. 314. / ( 0 ) = 1 . 315. No.
316. a) f ( 0 ) = n; b ) / ( 0 ) = y ; c ) / (0) = 2; d ) / ( 0 ) = 2 ; e ) / ( 0 ) = 0; f) / ( 0 ) = 1.
317. x = 2, es un pu nto de d isco n tin u id a d de 2a especie. 318. x = — 1, os un
p u n to de d isco n tin u id a d e v ita b le . 319. x = — 2, es un punto de d isco n tin u i­
dad de 2a esp ecie; x ~ 2 , es un pu nto de d isco n tin u id a d e v ita b le . 320. x = 0,
es u n p u n to de d isco n tin u id a d de I a esp ocie. 321. a) x = 0, es un pu nto de
d isco n tin u id a d do 2a e sp e cie ; b) x ^ - 0 , es un pu nto de d iscon tin u id a d e v i­
ta b le . 322. x = 0, es un p u n to de d isco n tin u id a d e v ita b le , x = l:a (/c = ± 1,
±2,...)
son
pu ntos de
d isco n tin u id a d in fin ita . 323. x = 2 n h - \ - ^ (k = 0 ,
± l i d i 2, . . . ) son p u n to s d e d isco n tin u id a d in fin ita . 324. x = kji {k = 0,
rfc 1, ± 2 , . . . ) , so n p u n tos d o d isco n tin u id a d in fin ita . 325. x = 0, es un
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pu nto do d isco n tin u id a d de I a esp e cie . 326. x = — 1, es un p u n to de d isco n ­
tin u id a d e v ita b le ; a: — 1, un pu nto de d isco n tin u id a d de I a esp e cie . 327. x =
— — 1, os un p u n to de d isco n tin u id a d de 2a esp e cio . 328. x = 0, es un p u n to
do d isco n tin u id a d e v ita b le . 329. x = l , es u n pu nto de d isco n tin u id a d de I a
esp ecie. 330. <2: = 3, es un p u n to de d is co n tin u id a d de I a esp e cie . 332. x = í ,
es un p u n to de d isco n tin u id a d d o I a esp e cie . 333. La fu n c ió n es con tin u a .
334. a) x = 0, es un p u n to de d isco n tin u id a d de I a e sp e cie ; b) Ja fu n ció n
es con tin u a; c ) x=* Im (/¿, es un n ú m ero e n te ro ), so n p u n tos de d is co n tin u i­
dad do 1a e sp e cie . 335. a) x — k {/c, es un n ú m ero e n te ro ), so n p u n tos do
d isco n tin u id a d de I a e sp e cie ; b ) x = k (k ^ 0, es u n n ú m ero e n te ro ), son
p u n tos de d isco n tin u id a d de I a esp e cie . 337. N o , porqu e la fu n ció n y — E ( x )
es d isco n tin u a cu an do
338. 1,53. 339. I n d i c a c i ó n .
D em ostra r,
q u e cu an do x 0 es su ficien tem en te gran de, ten em os P
xq ) P (xq) < 0.
Cipítulo li
341. a) 3; b ) 0,21; c ) 2h + h* 342. a) 0 ,1 ; b ) - 3 ; c ) f ' a + h — f a ~ . 344. a) 624;
1560; b) 0,01;
100; c ) - 1 ; 0,000011.
345. a) a A x ; a; b) 3*2 A * - f
+ 3*(A*)* + (A»)3; f c é + M l r f t M * 4
« V T F B -V T ;
f)
in £ ± A _ ;
x
348.
=
+ .
.)
J _ i n (í + A ) .
¡\x
V
x /
3Í6. a)
15 cm /s e g .
lim
v -=
349.
7,5.
350.
352. a)
Ax
Aa>*0
¿
■ ~
* 2 -;
b)
A¿
„ i ; b) 0,1; c )
— A; 0 . 347. 21.
+
351.
A
L .
t
=
lim
=
lim
, d on d e
Aí-v0 A i
lim 4 2 . ,
Af-*0
355. a) A - ;
Ax
c) —
d on d e
b)
T es
tem peratura en e l
r
Q es la ca n tid ad
lim - ^ L . 3 5 6 . a )
a^-*-0 A x
0, 249;
M ]¡m
Aoc-í-0
la
* 2 . , d a n d o <p, es la
tg (* -| -A g )
Ai
= — 0,25.
tg x _
357.
=
en
b)
so c2 x .
Y
AT
in stan te
de su bstan cia
6
/ '( * ) =
At-+Q A t
m agnitud d el á n g u lo do ro ta ció n en e l in stan te U 353. a)
=
'
t.
el
dT
; b) - ¿ f —
354.
4r- =
di
in sta n te t,
_ J L ^ _ 0 ,2 3 8 ;
12
Resolución.
, im
sen A x
Ax-*Q Ax c o s x eos (x -{-A x )
=
1/=
1|m sen A x
Ax-^0
Ax
x
X iim — --------- . 1------- - -- - — —. = se c2 x . 358. a ) 3*2; b ) ------Í L ; c )
i — ;
Ax->0 COS X COS (’X -f- A x)
COS2 X
X3
2l / x
d> —
—
“* 359.
se U2 X
=
llrn
A*-*0
-L - R esolu ción ,
f ( 8 ) = lim ^(8 + Am) — /(8 ) _
_ Í2
£ * ± % r li
Ax
,
Ax-*0
Ax
8+ ¿ * ~ 8
lim ----------a *-*0
A x [ ^ ( 8 + A x ) 2 + i r ( 8 + A x ) 8 + l / 8 2]
1
Hm —
1
=
. 360. / '< 0 ) = - 8 , / ' ( 1 ) = 0 , / ' ( 2 ) = 0 .
^ A x -0 ^ ( 8 + A s )2+ 2 ^ 8 + A s 4
12
361. s j = 0 ; s 2 = 3. I n d i c a c i ó n . La ecu ación / ' (x ) = f (s ) para la fu n ció n
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dada tien e la forma 3xa = x3. 362. 30 m /scg , 363. 1, 2. 364. — 1.
365. / ' { x 0) = —
366. — 1; 2; tg<p = 3. I n d i c a c i ó n . Em pléense los
*o
.
resultados d el ejem p lo 3 y del problema 365. 367. R e s o l u c i ó n.
a ) * /' (0) =
-
Hn,
^
l i m f (A a)a =
lim - 4 = - = c o ; 1>) / ' ( 1 ) = lim
+
¿x->0
Ax
Ax-*0 f A x
Ax-*0
Ax
(2 A
r+ 1
i r.i»K
t
\
C0S ~ 0 ~ n + * X )
1
=
r - +
c o ;
a’¿ + 0 V ( A x^4
)
c) / l ( J Í + L r t ) -
^
2
/
L _ 2 ----------------- !_\ =
Hm!
Al
A x -> -0
———! = — 1 • / i \f S í2+2/ i /WAx-t+O
lim
A x ~ t+ 0
lim
A* -* -0
=-
Ai x
X
368. 5 * 4 -
A®
Ax
1
í 5x2
— 4 + 2 x — 2x 3. 370, 2ax + b. 371. —
. 372. matm~ i +
i)
a
_1
i
ííj7^*í>
•I'
—1»
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(1 : 15);
( — 2;
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633.
626.
631.
a) i/ — 2 x; y = —
(1;
— 3).
y—5=0;
627.
y = z * — x - (-1.
* + 2 = 0.
632.
628.
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o: — í = 0;
y = 0.
b) x — 2y — 1 ^=0; 2 * + p —2 = 0; c ) 6 * + 2 y — n = 0 ;
2 x — 6 y + 3 ? t = 0; d ) y ~ x — 1; y = 1 — x ; „ e ) 2 x + y — 3 = 0 ; z — 2y + i = Q para
e l pu nto (1; 1); 2* — ^ + 3 = 0 ; x + 2 y — 1 = 0
para ol p u n to ( — 1; 1).
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Soluciones
634. l x — lO y + 6 = 0,
—
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636.
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5 a -j-6 ¡/ — 13 = 0,
433
635.
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Gx— 5 y + 2 1 = 0 .
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— 4) y —
637.
s - f ^ — 2 = 0.
o- ; en el p u n to (2 ; 0 ); y = — * 4 - 2 ;
638. En e l p u n to (1; 0): y — 2 z — 2; y =
O
y = * — 2; en e l
pu nto (3; 0 ):
y = 2 x — 6;
=
í . 639. 14* — 13^ + 12 = 0;
1 3 * 4 -1 4 ^ — 41 = 0 . 640. I n d i c a c i ó n .
L a ecu ación d e la tan gen te es
x
y
o----- r - ^ - = 1- P o r c o n s ig u ie n te , esta tan gen te corta a l e je O X en e l punto
¿X q
¿y q
A (2 * 0, 0) y a l e je O Y en o l p u n to B (0, 2y 0). B uscando ol p u n to m e d io del
se g m e n to A B , h a lla m o s e l p u n to { x Ql y 0). 643. 4 0°36'. 644. En el pu nto (0, 0)
las p a rá b o la s s o n tan gen tes en tre sí; en el pu nto (1, 1) se cortan b a jo el
á n g u lo
652.
de
F=
653.
a rctg y ^ 8 ° 8 ' .
'
2ason y I g y
a rctg
.
n == a V i 4 - 4 ji2;
654.
647.
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S t = S n = 2\
2asen y
y -f2 r p .
655.
t g p = 2xt.
;
t = n = 2~\/2 . 648.
S t = 2a sen2 y t g
S t — 4jz*a;
656.
^ í = a;
S n = a\
y ;
■ * ■■
ln ¿
Sn = a$<znt.
í = 2rt« ~\/\ + 4 íi2;
¿4 = ~
9»
¿ = " [/a 2 -j- p j •
« = -£ 2 - V /fl24"Po í t g / x = — cp0. 657. 3 c m /s e g ; 0; — 9 c m /s e g . 658. 15 c m /s e g .
o
3
659. — y m /s e g . 660. La ecu a ción de la tra y ectoria es y = * t g a —
—
¿- r ? g — x2'
2f*g co s¿ a
^1
a lca n ce
es
igu al
a - v° 5ea ^a — .
£
i/ «^2— 2i»o£í so n a 4 - £ 2¿2; o l c o e fic ie n t e an g u la r del v e c to r
a
'
Indicación,
Para d eterm in a r
e lim in a r e l p a rá m etro t d e l sistem a d ad o.
pu n to A (d ib u jo 17). Las p ro y e ccio n e s de
^
y
. L a m agn itu d do la v e lo c id a d
de
la v e lo c id a d
ostá
d ir ig id o
p or
de
v e lo cid a d
la v e lo cid a d
tra y e cto ria
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que
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v e cto r
tan gen te
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tra y e cto ria .
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9 \
( y , y j . 663. La d ia g on a l
crece c o n una v e lo c id a d de ~ 3,8 c m /s e g , e l área, co n una v e lo cid a d de
40 c m 2/s e g . 664. E l área d e la su p erficie crece co n una v e lo cid a d do
0,2.ti m 2/s e g , e l v o lu m e n , co n una v e lo c id a d d e 0,05jt m 3/s o g . 665. ~ c m /s e g .
o
666. La m asa to ta l de la barra es de 360 g , la den sid ad en e l pu nto M
es ig u a l a 5 * g/ern , la densidad en e l pu nto A es ig u a l a c e r o , la densidad
en
e l p u n to
B
669. 2 e o s 2 x. 670.
673.
es
de
60
3 (i+ *2)2
g /c m .
667.
■ 671.
..... — -------- . 672. 2 a rctg x - 1
y ( aT + £ S ¡ 3
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!+ * * •
- r ^ — s + J i 5 S ? -e” Í L . 674. —
a
1 — x 2 1 (4 _ 22)V 2
6 81. yv =
• 682.
56*6H -210*L
668.
ch — . 679. g » = 6. 680.
a
ex2 (4 * 2 + 2).
/ " ' (3 ) = 4320.
y V I = — 64 sen 2 * . 684. 0; 1; 2; 2. 685.
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La v e lo c i-
Soluciones
434
dad v = 5\ 4,997; 4,7. La a celera ción a = Q; —0,006; — 0,06; —686. La le y d e l
m o v im ie n to d el pu nto ilfj es a: = a c o s 0 í; la v e lo cid a d e o e l m om en to t es
ig u a l a — <zü)seno)¿; la a ce le ra ció n en e l m om en to t : — ao> 2 c o s c o ¿ . La
v e lo c id a d in icia l es ig u a l a 0; Ja a ce le ra ció n in ic ia l: — gcú2; la v e lo cid a d
cu an do x = 0 :
eco; la a celeración cu a n d o z — O: 0. EL v a lo r m á x im o do la
m agn itu d a b solu ta de la v e lo c id a d : g(ú. E l v a lo r m á x im o de la m agn itu d
a bsolu ta do la a ce le ra ció n : gcd2. 687. y<n ) = nlan. 688. a) n\( 1 — s ) “ <n+1),
b)
( ~ l ) * + i * -3 . . . ( 2 » - 3 ) _ 6g9_ a) aen ^
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b ) 2 „ c o s ^ 2* + » - ^ - )
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695. a) (1 +
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A , — j i j - »»0 ,0 0 0 3 7 .
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727.
. 694. a) 0 ; b) 2e*al
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435
Soluciones
735. | | dx. 737. a) 0,485; b ) 0,965; c) 1, 2; d) - 0 , 0 4 5 ; e ) - j + 0 ,0 2 5 ^ 0 ,8 1 .
738. 565 cmz . 739. y T « s 2,25; _ V 'Í 7 a* 4,13; 1 / 7 0 ^ 8 , 3 8 ; 1 /6 4 0 « í 25,3.
740. ] ñ ó ^ 2 , 1 6 ; f 7 0 « = 4 , l 3 ; f 2 0 0 ^ 5 ,8 5 . 741. a) 5; b) 1, 1; c) 0,93; d ) 0,9.
742.
1,0019.
743.
0,57.
744.
2,03.
748.
—
. 749.
(
i
i 2 cosz
sen o: \ , ,
I — sen x ln x-\-------------------------------- 1 (dx)*.
750.
...
751.
.
21n * — 3
S2
^ -------- (dx)*.
752. — « - « ( ^ - e a + e ) ^ ) » . 7 5 3 . - ^ ^ - . 754. 3 -2 n sen ( 2 z + 5 + ^ ) (£ c)n .
755. e x cos a son ( x sen a -*(- n a) (dx)n .
7 5 8 . N o . E l p u n to
762.
| = 0.
763.
_ l . ( a - l ) 2+
x= ~
2 ( 3 ~ í>3 ,
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. . .+
— ^ T T á l’
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773.
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<1 + —J)8/»
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770.
0 < 6 < 1.
e x isto.
fu n ción .
769. s e n x =
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sen x = x —
e* = 1 + s + - | j - - ¡ - - | j - .
0 < 0 < 1.
2
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que
*>) 6 — J * 768. l n z = ( x - l ) -
O < 0 ,< 1 ;
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£= l+ 0 ( * - l) ,
£2= 0 2z , O < 0 2 < 1 .
ib > "fti81
es
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dondo
— -| | -co s| 2,
N o,
un pu nto d e d iscon tin u id a d
(2 , 4 ). 765.
= x — £ L + ^ | -co s g „
a)
es
757.
772.
en a m b os ca sos
El
6™®*5
error:
O <0<1.
= — ¡-. 775- R e s o l u c i ó n .
T en em os
” 2
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. D esa rrolla n d o a m b os factores en poten_i_
cia s de x, ob ten em os:
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M u lt ip lic á n d o lo s , ten d rem os: “j
L u ego, d e s a r ro lla n d o e?K/a en p oten cia s
778.
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para
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797.
— 1.
806.
1
— .
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799.
807.
para
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n = 1;
808.
1.
^
co . 779.
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* + “ J” + "g“ T *
p o li-
1. 780. 3. 781. y .
n
. 786. 1. 788. — . 7 8 9 .1 . 790. 0 .1 91. a. 792. c o
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0
1. 800. e 3. 801.
1-
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^
de - j - » ob ten em os el m ism o
n o m io eT as l + ‘7 + - ^ - - 7 7 7 . ------1 - ,
782. 5. 783. c o . 784. 0. 785.
* ( * — ¡7 )
810.
para
r c < l.
1. 802.
1.
793.
0.
795.
803. 1. 804.
Indicación.
H a lla r
— .
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. 7 9 6 .^ .
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805.
— .
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28*
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436
Solucione&
dondo ^ =
R2
( a — sen a)
es
la
ex p resión ex a cta
del
área
del
segm en to
( R t es e l ra d io de la circu n fe re n cia co rre sp o n d ie n te ).
ca p ítu lo III
811. ( —'C o, — 2), cre ce ; ( — 2, c o ) , decrece. 812. ( — c o , 2), d ecrece; (2, 0o ) ’
crece. 813. ( — c o , c o ), cro co . 814, ( —-o o , 0) y (2, c o ) , cre ce ; (O, 2), decrece*
815. ( — c c , 2) y (2, c o ) , decrece 816. ( — c o , 1), crece; (1, o o ) , decrece.
817. ( — o o , — 2), ( — 2, c o ) y (8, c o ) , decrece. 818, (O, 1 ), decrece; (1, c o ),
crece. 819, { — c o , — 1) y (1, c o ) , crece; ( — 1, i ) decrece. 820. ( — c o , o c ) .
crece.
823.
821.
^0, — ^ , decrece;
( — c o , 2 ),
d ecrece; (2, c o ) ,
825. ( — c o , ü) y
=
tt
^ — , co ^ ,
crece.
(0, 1), d e crece;
crece.
824.
822.
( — o d , a)
0),
crece.
(a , c o ) , decrece.
Q
ymáy =
cu an do x =
(1, o o ), crece. S27.
- 828, N o hay e x tr e m o - 830* ^inín = 0 cu a n d o
( — 2,
y
x~0;
jfIIlIn=».0 cu an do
* = 12; |/máx = 1296 cu a n d o x = 6. 831. y mía
— 0,70 cu an d o x ^ 0 , 2 3 ; y lnáx = 0
c u a n d o x = 1; pmín
— 0,05 cu a n d o x ^ 1,43. G uando i = 2 n o h a y e x tre m o . 832.
9
N o h a y extrem o. 833. ymóx— - 2 cu an d o x = 0 ; ym ín= 2 cu a n d o z = 2 . 834. Z/má3C= = ^
2
— ; y mía = 3 y 3 cu a n d o x —
y 3
cu an do x = 3 , 2. 835. y máx— — 3 V 3 cu a n d o x =
2
—
= —p .
v 3
= —2 y
836.
3;
y m áx= l
i/m(n = y 3
cu a n d o
^máx
cu an d o
cu a n d o
x = 4 2 /e ji;
843.
=
4
837.
]/3. 838.
f/mIn= —
-(-y
ji
í/májc — 5 eo s
e o s c u a n d o x = 42
± 1 . =fc2, . . . ) .
* = 0.
z = 2
839.
x^=0.
cu a n d o x =
cu an do
i = 0.
—
i/IüálX = V 2
j
ft==0> i
0mf n = l
y mfn = 0
l/3
cu a n d o
k ± —■^ jt;
y íaÁX = —
cu a n d o
cu a n d o
1» ± 2 f . . . ) .
x = l2 ^
cu an do
cu an d o x —
x
= ( /e—
y jn ;
M = y
v a lo r
cu a n d o
5
x = 6 ( 2 k + 1) a (/c = 0,
841. ym£ll= 0 cu a n d o x = 0. 842. y rüíli= — ~ cu a n d o x = y
1
cu a n d o x =
845. y m Iü— — —
El
ji;
840. . í/Illáx = 5
cu an do
m ín im o
x = l.
es
851).
.
í/m(ll = 0 cu a n d o x = i . 844. y mln — 1 cuando
x = — 1.
846.
ífmfn = 0
cu an do
y máx « - ^ - c u a n d o x — 2. 847. y m£n = « cu a n d o x = l . 848. N o h a y
849.
x = ±\\
1
m = — y cu a n d o
m= 0
cu a n d o
a s= — 1;
x= 0
y
el
x = 10;
v a lo r
x = 0;
extrem o.
m á x im o
Ai = 5 cu an do
x ~ 5 . 851. m — -i* cu a n d o x = (2fc + l ) - j - ; A / = l cu an d o x — “y ” (/c = 0, ± 1 ,
¿ 1 2 ,...).
852. o t = 0
cu an do x = l ;
A/ = n
cu an do
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x = — 1.
853.
m = —1
431
Soluciones
cu an do x — — 1; M — 21 cu a n d o x = 3 854. a) m — — 6 cuando x = \\ M — 226
cu an do x = 5; b) m = — 1579 cu an do x = — 10; A /= 3 7 4 5 cuando x — \2.
856. p — — 2 . «7 = 4. 861. Cada u n o de lo s sum andos debo so r igual a y .
862. El re ctá n g u lo debe ser un cuadrado cu y o lado os ig u a l a
863.
Isós­
celes. 864. E l la d o de la su p erficie, que está ju n to a la pared, debo ser
d os veces m a y o r que ol o tro lado. 865. E l la d o del cuadrado qu e se recorta
dobe so r igu al a -g -• 866. I ai altura
de
la
base.
867.
A q u é l,
c u y a a ltu ra
868. La a ltu ra d el c ilin d r o ,
es el r a d io de la esfera
debe ser d os veces m enor que el lado
i
e.s igu al a l diám etro
ra d io
de
Ja
base.
do su baso, R " j / * y , donde R
dada. 869. L a altura del c ilin d r o es R ~[/2, donde R
es el r a d io d o la esfera dada. 870. La altura del c o n o es - j i i , don d e
R es
el
4
radio de la esfera dada. 871, La a ltu ra del c o n o es — R, don d e R es el ra d io 4
o
$
de la esfera dada. 872. E l ra d io do la base del c o n o es -L-r , don d e r es el
ra d io de la base del c ilin d r o d a d o. 873. A q u él, cuya altura es dos veces
m a y o r q u e e l d iá m etro de la esfera. 874. c p = ji, es d ecir, la sección del
ca n a lón tiene form a de se m icircu n feren cia . 875. El á n g u lo cen tral del sec­
tor es 2 n /
?
.
876.
a cero, es d e c ir,
2
=
a ltu ra
e i recip ien te
22
— d*)^, 878.
La
¿x0
de
la
debe
parte c ilin d r ic a
ten er form a
+ - í í - = i . $79, L os
¿1/q
la d o s del
debo ser
igual
do sem iesfera.
rectá n g u lo
son
877. h —
a \/2
y b
d on d e a y b son lo s corresp on d ien tes sem iejes de la elipse.
880. Las co o rd e n a d as d e lo s v é rtice s del rectá n g u lo, situ ados en la paráb o la ^ - j a , ±
. 881. ^ ± y = ,
a la m a y o r de la s m agn itu d es árceos
j .
882.
y arctg
K
884.
-L j.
~
885.
.)
“
—
V ^ il(iQ'
—
f e
b)
d
, - f e .
\M m.
El
á n g u lo
es
igual
. 883. A M ■— a
**<■•» •
^
l P + f g
—
i
/
Indicación.
1 .
886.
C uando el ch oqu e
do la s d os esfera s os com p letam en te c lá s t ic o , la v e lo cid a d que adquiere la
b o la in m ó v il, de m asa m1$ después de prod u cirse el ch oqu e co n la de
m asa m2, que se m ovía c o n v e lo c id a d
v, será igu al a
—
.
m i i ^22
888. n =
(s i este n ú m ero no es en tero o n o es d iv is o r dol núm ero N % se
tom a e l n ú m oro en tero m ás p ró x im o a l v a lo r o b te n id o ,
do N ) . C o m o la resisten cia in tern a de la batería es igu al a
fís ic o
do la s o lu c ió n
oncoutrada o s: quo la rosistencia
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quo sea d iv is o r
, el sentido
interna do la bate-
438
Soluciones
ría deberá se r lo m ás p róxim a p o s ib le a la resisten cia ex terior. 889. y =
2
891. ( — oo, 2), cón cava
hacia a b a jo ; (2, c o ), cón cava
hacia arriba;
M (2; 12) pu nto de in fle x ió n . 892.
c o , o o ), cón ca va hacia arriba.
893. ( — c e . — 3), cón cava hacia a b a jo; ( — 3, c o ) , cón cava hacia a rriba; no
hay puntos de in fle x ió n . 894. ( — o o , — 6) y (O, 6), con ca v id a d es hacia
arriba; ( — 6, 0) y (6, c o ) , con ca v id a d es hacia a b a jo ; so n pu ntos de in fle x ió n :
-
-
,
0 ( 0 ; 0 ),
M z ( 6;
-| ) .
895.
(O, y 3 ), con cavidades hacia a rriba ; ( —”1 /3 , 0) y (V §,
hacia a b a jo ; so n pu ntos de in fle x ió n : M it 2 (
896.
((4 A + l ) - y , (4A + 3)
(4/c + 5)
x ió n :
(-c o ,
, con ca vid a d hacia abajo (* = 0, ± 1 , ± 2 ,
y
con ca v id a d es
y O {0\ 0).
od),
0)
- 5 - j , con ca vid a d hacia a rriba .
|/5)
-
^(4/c + 3)
,
pu ntos de in fle ­
— ^ (2 /c -}-l) - í - i 0 J . 897. (2foi, {2 * + 1 ) íi) , co n ca v id a d hacia arriba;
<(2/r—- 1) ji, 2A n ), co n ca v id a d
cisas de lo s puntos
hacia
do in fle x ió n
hacia abajo; ^ ^ L - ,
a b a jo ( A = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) ;
son
x =>k n .
898.
^ 0t
00 j , co n ca v id a d hacia arriba; M
la s
abs­
con cavidad
^—
—
*
p u n to de in fle x ió n . 899. ( — o o , 0), co n ca v id a d hacia a rrib a ; (0, c o ) , con ca ­
vid ad hacia a b a jo ; 0 ( 0 , 0 ) , p u n to d e in fle x ió n . 900. ( — c o , —3 ) y ( — 1, cx>),
con ca vid a d hacia a rriba ; ( — 3, — 1) co n ca v id a d b a cía a b a jo ; p u n tos de in flo x ió n son W , ( — 3;
y M 2 ( — 1;
.
901.
x = 2\
y = 0.
902.
3 = 1,
x = 3; y = Q. 903.
=
y = l . 904. y = x . 905. y = — x (izq u ierd a ), y — x
(dorech a). 906. y = — 1 (izq u ierd a ), y = 1 (d erech a). 907. x = ± 1 , y = — x (iz ­
q u ierd a ), y = a:(derecha). 908. y = — 2 (iz q u ie r d a ), í /= 2 x — 2 (d erech a ), 909. y = 2 .
910. a; = 0, y = 1 (izq u ierd a ), y = 0 (derecha). 911. £ = 0, y = 1. 912. y = 0. 913. x =
= — 1. 914. y = ar — re (iz q u ie rd a ; y = ar+ rt (derech a). 915. y = a. 916. y ,náx = 0
cuando i = 0 ; y mjn = — 4 cu an do s = 2; el punto de in fle x ió n es M\ ( 1, — 2).
917. y máx = 1 cu an do x =
± V3;
x ió n es M u 2 ( ± 1;
y mín — 0 cu a n d o a: = 0; ol p u n to de in fle ­
ymáx = 4
cu an do
x = — 1;
ymín = 0
cuando
* = 1; ol pu nto de in fle x ió n es M i (0; 2). 919. yináx = 8 cu an d o a: — — 2; yinín = 0
cu an do x = 2\ el pu nto de in fle x ió n es M (0; 4). 920.
* cu a n d o x = 0;
lo s
puntos
de
in fle x ió n
son
M it 2 ( ±
1 / 5 ; 0)
y
Af3l 4 ^ ± 1;
^ ^ 5) •
921. l/,4,áx = — 2 cu an do * = 0; y mfn = 2 cu an do x = 2; las asín tota s so n a: =■ 1,
y = a : ~ l . 922. L o s puntos de in fle x ió n so n M t , 2 ( ± 1 , ± 2 ); la asíntota es
a: = 0. 923. y má x = ‘ - 4 cu an do
1; y njín = 4 cu an d o x = l ; la asíntota
os x = 0. 924. y infn = 3 cu an do 2 = 1; el pu nto do in fle x ió n es M ( - l T 2 ; 0 );
la asíntota es 2 = 0. 925. tfmóX= - g son il í1>2( ± 1;
asíntotas
son
cuaDÍ*0 * =
lo s p u n tos de
in fle x ió n
; la a sín tota es y = 0. 926. y m¿ x = — 2 cuando 2 = 0; las
x= ±Z
e
y = 0.
927.
y,n ín = — 1 cu a n d o 2 = — 2; y m áx= *l
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439
Soluciones
cu a n d o x =
2; lo s p u n to s de
la a sín tota
es y = 0. 028. y mAx = l
.1 /^ 5 ;
in fle x ió n son
0 ( 0 ; 0) y M it 2 ( ^ 2 y 3; =F
cu a n d o x ~ 4 ; el
punto de in fle x ió n es
; las a sín tota s s o n x = 2 e y — 0. 929. El p u n to de in fle x ió n es
27
8
e y = 0. 930. y má x = “ ^ cu an d o x =
0 ( 0 ; 0); la s a sín tota s x = ± 2
las
a sín tota s son x = 0, i = 4 e y — 0. 931. y máx = ~ 4 cu an d o x = — 1; I/mf n ™ 4
cu a n d o * = 1 ; la s a sín tota s son x = 0 e y = 3 x. 932. .<4(0; 2 ) y D (4; 2) son
lo s p u n tos e x tre m o s; J/,Q5X = 2 y ¡ 2 cu an d o a; = 2. 933. 4 ( — 8; — 4) y D (8; 4)
ñon lo s p u n to s de lo s e x tr e m o s . El p u n to de in fle x ió n es 0 ( 0 ; 0). 934. El
p u n to d el e x tre m o o s A ( — 3 ; 0); y mf,¡ = — 2 cu an do x = — 2. 935. L os pun­
tos
de
lo s ex trem os so n A ( — " j/3 ; 0 ) , 0 ( 0 : 0 )
cu a n d o
*
| /e } / i +
=
— 1;
X
)
el
p u n to
. 936.
de
= 1
y
B {~y/3; 0 );
in fle x ió n
es
cu a n d o 3 — 0;
lo s
M
y m áx= y / 2
1 1^3 +
pu ntos
do
2 " l/3 ,
in fle x ió n
s o n M l l 2 { ± 1; 0). 937. L o s p u n tos de in fle x ió n so n M.j (0 ; 1) y A /2 ( l ; 0 );
la a sín tota es y = — x . 938. y m ¿x = 0 cu an d o * = — 1; y,ní u = s '~‘ * (cu a n d o
x = 0). 939. y m áx== 2 cu a n d o x = 0 ; lo s p u n tos de in fle x ió n so n M u o ( ± 1; f 2);
la a sín tota e s y = 0. 940. y jn£n = — ^ cuan(lo £ — — 4;
cu u n d o x = 4
el p u n to de i n f l e x i o n e s 0 ( 0 ; 0 ); la a sín tota es y = 0 . 941. y níín = f r4 cu an do
z — 2; yrain — 1^4 cu a n d o x = 4; y m 6x==: 2 cu a n d o x = 3. 942. y mín = 2 cu an do
x = 0\ la s a sín to ta s so n x = ± 2 . 943. L as asín totas son x = ± 2 e y = 0.
~1/ o
-1/0
9 44- ^ m í n = - ^ f
cu a n d o x = l / 3 ;
p u n tos do in fle x ió n s o n
y m&x =
^ — 3;
“
f T
cu a n ^ x = - l / 3 ;
0 (0 ;0 ) y
" I " ) * *aS
lo s
a s*ü "
3
to ta s, x = ± l .
945. y mín = - ~
M ^12;
x = 6;
ol
p u n to
do
(
— 3a;
2;
y M 2 ( — a, " 7 “ ) ; la a síu tota 03 2/ = ° -
y = 0.
949.
y máJC = 2
Af i . z ( ± 1; -7 ) ■ 950‘
951.
os
; la a s ín to ta , y = 0. 947. L o s p u n tos do in fle x ió n
cu a n d o x = 4; lo s p u n tos de in fle x ió n so n M ít 2
to ta ,
in fle x ió n
) í *a a sín tota es x = 2. 946. y ru¿ x = “ * cu a n d o x = l ; ol pu nto
d e in fle x ió n es M
so n
cu a n d o
ym6x = ( f ,7 4 cu a n d o
cu a n d o
í,niáx= 1
x = 0;
cu a n d o
s = ¿2 ^ 7 ,3 9 ;
^ 1 4 , 3 9 ; 0 ,7 0 ); las a sín to ta s,
x -= 0
e
el
lo s
e 9'2^ ; la
p u n tos
* = ± 1;
p u n to
y = 0.
952.
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í/máx = í2
de
» inin = °
de
in f le x i ó n
cu a n d o
in fle x ió n
asín­
son
ar = 0 .
os A f ( « 8/3« s
yraIn — — ^ - c u a n d o
x =
j ;
440
Soluciones
—- ~ S
el p u n to de in fle x ió n es Af ( ^ 7 ^ ^
~ 4? )
*
,Jm í a ~ e cuan(ío
x = e: ol pu nto do in fle x ió n es M ( c 2; ^7 ) ; la a sín tota e s s — 1; í / - > 0 cu a n d o
4
1
z —>-0 . 054. J/ihjíx = - ^ a - ^ 0,54 cu a n d o x = - ^ —
x — 0;
ol
pu nto
cu an do x
de
in fle x ió n
es
á/
1 ^ —0 ,86; irmín = 0
1^
cu a n d o
— 0 , G 3 ; ^0,37 j ;
y
0
— 1 + 0 (pun to lím ite e x tre m o ). 055. y mfn = t cu an do x = ±
“j/2 ;
Jos pu ntos do in fle x ió n so n M u 2 (=fc 1.89; 1,33); la s a sín tota s, s = ± l .
956. La a sín tota es o:// = 0 . 957. L as a sín tota s so n y = 0 (cu a n d o x —>--j- c o )
e
jjt=
—
y = 0;
959.
(cu a n d o
x
la
Es
0 0 ).
fu n ció n
una
no
fu n ció n
está
958.
L as asín totas son x = —
d eterm in a d a
p e rió d ica
de
en
el
p e río d o
s = » y ji + 2/cji; I/mAx — V ' ¿ cu a n d o z = - ^ - + 2 / c n
p u n tos de in fle x ió n son
de
p e río d o
2j*.
cu an d o
cu a n d o x = -5- + 2/fn(A: = 0 , ± 1 , =t 2 , . . . ) ;
A f* (/c r c ;0 )
y
Nk
seg m en to
2.t.
x —0
(k = 0,
e
£ — 7 ’ ^J
¡/m l n ^ ^ ~ [ / 2
0 j . 960. E s
¿,in ín= — | - V 3
;
±1,
cuando
±2,...);
una fu n c ió n
*
lo s
p o rió d ica
* = * y íi + 2 /íji;
ymóx = y
1 /3
lo s
in f le x ió n
son
pu ntos
de
^ árceos ^ — y j + 2/cji; ^
Es
p e rió d ica de p e r ío d o 2 ít. En e l se g m e n to { — :t, jiJ y wfiX = y
una
fu n ción
cu a n d o r - ± y
y m ln = ~ " 2 cu a n d o J = ± n ; y m ín ;= 0 cu an d o x = 0 ; lo s p u n tos de in flo x ió n
so n ü fj, 2 ( ± 0,57; 0,13) y A /3i 4 ( ± 2,20; — 0,95). 962. E s una fu n ció n p erió­
dica im p a r de p e r ío d o 2jr. En e l se g m e n to [0, 2ji); y máx — 1 cu an d o x = 0\ y mln =
= 0,71 cu a n d o
W
- y ; y lnáx = l cu a n d o x = y
= - 0’71 cuan<1° * = - £ « ;
x=2:i;
lo s
p u n tos
do
;
y Iflí„ = — 1
cuando
in fle x ió n
so n
cu a n d o
</mas= i
M ± (0 ,3 6 ;
0 ,86);
x
*= jt,
cuaní3<>
Af2 (1,21;
0 ,86);
J / 3 (2,3ü; 0 ); M k (3 ,5 1 ; — 0 ,8 6 ); M s (4 , 35; - 0 , 8 6 ) _ y M 6 (5 ,5 0 ; 0 ). 963. Es una
fu n ció n
p e riód ica
de
p e r ío d o
' 1 /2
2n.
pnifn =
-1 /
cuando
x = - 2 - -J-
2/cíx;
q
t j— cuando * = = — — jt + 2Are(ft==0,
±1,
3
tas s o n x = — 7i-\-kji. 904. Es u n a f u n c i ó u p e r i ó d i c a
t o s de i n f l e x i ó n s o n M *
(/e = 0 ,
3
totas son x = y ji-j-A-jt. 965.
Es una fu n c ió n
d = l,
± 2, . . . ) ;
d e p e r ío d o n ;
± 2, . . . ) ;
p e rió d ica
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las asíntolo s pu n ­
la s
o s fn -
par de p e río d o
2n
441
Soluciones
En e l segm en to [0, ji]: yn
x = n’
V m in ^—
cu an d o x = árceos ■A=-, ywSx — 0 cuando
cu a n d o
* = a rcco s
( - d ^ ) ;
y mín = 0
/ íi
\
/
z = Q; lo s pu ntos de in fle x ió n son M\ I ~ \ 0 1 ; M 2 ^arcsen
y M 3 ^ n — arcsen ^ — ;
período
2n .
En ol
cu a n d o
s = a rcco s
sog m en to
j / g
[0, * ] :
;
y má7L — 4 cu an do * = 0;
cu a n d o
¿e = jí; lo s puntos do
A
|
/ g )
y
"\/2
—— ;
A i,
4 V 7\
~ f ~)
Es una fu n ción periódica
( _ _ * -J ;
j/m ín — — 1 cuando
(á rceos
— 1 ^ - ? ) . 966.
cuando
in f le x ió n
(á rce o s
par de
j/iníU =
s = aTCcos
- i — ;
son
( - |
Mz
/ g
)
;
|
/ g
.)
967. Es una fu n ció n im par. L os p u n tos de in fle x ió n so n M h ( k n : ¿Jt)
(/£ — 0, d r l , ± 2 , . . . ) . 968. Es una fu n c ió n par. L os pu ntos de lo s ex trem os
so n A if 2 ( ± 2 , 8 3 ; — 1,57); y ináx *** 1,57 cu an do * = 0 (pun to do retroceso); los
p u n tos do in fle x ió n son M it 2 (dr
— 0,34). 969. Es una fu n ció n im par.
Su cam po de e x iste n cia es — l < x < í . E l p u n to de in fle x ió n 0 ( 0 , 0); la
a sín tota x = ± : l .
970.
Es una fu n ción
im par.
0máX = -£— l + 2fai
*r
3
3
* = ~ + /eji; i/míin = -L_ji + 1 - f 2/c.ü cu an do a? = -j¡r Ji + Arji;
fle x ió n
971.
so n
Es
M h(k^,2kn)\
una
fu n ció n
= — ~ x — í (cuan do x
2A: + 1
x = — — jx(A: = 0,
la s asín totas
par;
ym[n = 0
lo s
cu an do £ = 0;
cuando
pu ntos
de
in-
dr 1, d z 2 , . . ).
las asín totas son
— c o ) e y = ^ - x —í (cuando x -> * + c o ). 972, y
y~
, =0
cu an do cc = 0 (p u n to a n g u lo so ); la a sín tota es y = 1. 973. i/IIlín = H - y cuando
x = í;
4
cu an do
x — — 1;
el
pu nto
de
in fle x ió n
(cen tro
de
sim etría ) es (0, :x); la s asín totas, y^=x-|-2r£ (izqu ierda) c y = x (derecha).
974. E s una fu n c ió n im par. y mfn ^ 1,285 cu an d o s = l ;
1,856 cuando
ar = — 1; e l
p u n to
de
in f le x ió n os M
(cuan do x —>— oo) o y = y
e
y = x — ln 2 .
977.
Es
una
= y f l ¡ + 2Arji;
976.
fu n c ió n
^0,
4J-) ; las asín totas, I / = t ; — { - «
(cuan do ® - ^ - + c o ) .
*/rnín ^ l » 3 2
p e rió d ica
cu an do
do
975.
a? = l ;
p e río d o
la
2jí.
= * cu an do z ~ “ ~ + 2 & :i (/í — 0,
Las asíntotas so n * = 0
asíntota
es ¿c = 0.
1
y.n<n — — cuando x —
e
±1,
±2,...);
los
pun-
VÜ - i
to s
de
in fle x ió n
son
— Mu
^arcsori
www.FreeLibros.me
—
^- + 2/¿,n; ¿
2
j
442
Soluciones
/-
y
/M - 1
Nk ( — arcscn - ■^
* + (2 fc -j-l) n, e
2
978,
L os
p u n tos
do
los
ex tre m o s son .4 (0 ; 1) y B ( 1; 4,81). E l punto de in fle x ió n es M (0, 28; 1,74).
979. E l p u n to de in fle x ió n es M (0, 5; 1,59); la s asín totas, y ^ 0 ,2 1 (cuando
x—
<x>) e i/» s 4 ,8 1 (cuan do x —
o o ). 980. El cam po de d eterm in a ción
de la fu n ció n es o l c o n ju n to de los in te r v a lo s (2Aji , 2/ tji-f- jx), don d e A = 0,
±1> ± 2 , . . .
La fu n ció n es p e rió d ica de p e río d o 2ji: y raáx = 0 cuando
x=
do
+ 2 h x ( k = 0, z t 1» ± 2
d eterm in a ción
^2/c + y j
,
es
ol
. . . ) ; las asín totas son x = k n . 981. E l cam po
c o n ju n to
de
lo s
in te rv a lo s
dondo k es un núm ero en tero.
La
— 5 ") Jl*
fu n ción
es
p eriód ica
do p eríodo 2ji. L os puntos de in fle x ió n so n A/^ (2kn; 0) (/c = 0, ± 1, ± 2, . . . ) ; las
asín totas, x = ± 2 A j i .
982.
E l ca m p o
de d eterm in a ción
es x > 0 ;
la
fu n ció n es m onótona crecien te; la a sín tota es x = 0. 983. El ca m p o de d eter­
m in a ción es I x — 2kn |< - ^ ( * = 0, ± 1, ± 2 , . . . ) .
La fu n ció n os p e rió d ica
de p oríod o| 2:i; j/mIn = l cu an do x = 2kn (A = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) ;
so n x = -2 - + fcji. 984.
(p u n to
lim ito
dol
La asíntota es y ^ 1 , 5 7 ;
cu an do
x -> -0
e x tre m o ). 985. L os p u n tos de lo s extrem os so n
A it g X
X ( d : l , 3 1 ; 1,57); í»m(n = 0 cuando a- = 0.
A
x = — ^ 0 ,3 7 ;
y -+ 1
y —>-
las asín totas
986.
cu an do x - + - -fO . 987.
* « 0 ,6 9
El
pu nto lím ite
cu an d o
del extrem o
l
es <<4(-f0; 0); y ¡li6x = e c ^ l , 4 4 cuando x = < ?^ 2 ,7 2 ; la asíntota es y = i\
los pu ntos de in fle x ió n , A /j (0,58; 0,12) y M%(4,35; 1,40). 988. * mtn = — 1
cu an do t = i ( y = 3); f/m ín= — 1 cuando t — — l ( x = 3). 989. Para ob ten er la
g rá fica basta co n variar t entre lo s lím ite s de 0 a 2ji; x mtn= — a cu an do
¿ = j i ( y = 0 ); x móx = a cu an do t = 0 (y = 0 ); y mfn = — * (p u n to de retroceso)
cuando
+ - L ^ -( x = 0 ); y m áx= + a (pun to
do retroceso)
.
, ...
,,
,
X ( x = 0); lo s puntos de in fle x ió n cu an do t =
(* "
=± ^ 7 = 2 .
^niáx = “
— '1 / 2 * 1/2 j
» = ± ^ 7| ) •
cuan<*° * = 1 ( * = * ) ;
cuando
í = — “1 /2 y
n
*inln = — J
lo s
3rc
cuando
pu ntos de in fle x ió n
( V 2 e >2;
cu an d o t = ^ y
5 ix
7¿i
—£•
,
son
í = — 1 ( < / = — *);
so n
cu an do
^
V2
¿—V ^;
las
asín totas, x = 0 e t/ = Cl. 991. * mín = l e i/mín = l cu an d o 1 = 0 (p u n to de re­
tro ce so ); la a sín tota es y = 2 x cu an do f - > - - f e o . 992. !/min = 0 cu an d o t = 0.
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443
s e n a - — — . 994. d s = ~ 1 /
a
~g ~ dx\
a
a r
a2 — x*
5a;
cosa ——
— : sen a = — —
— , don d o c = l / a 2 — ¿>2. 995. c/s =
V a 4— <¡**2
V 1a2—
//
p
; sen a = — ■ ____ . 996. ds = y í ± d x .
= — V p 2- t f 2 ^ ; eos a = — T
1/
'V j f i- f .
V f» + y*
3/-—
1
y
997.
ds = ch — d x ;
eos a =
eos
- 1
^
a
¿c
ch
a
x
sen a = th — . 998. dx = 2a son 4* d i; eos a = sen 4 - ; sen a — e o s
• 999, ds =
a
¿
¿
¿ _______
3a sen ¿ e o s í
c o s a = — c o s í; s e n a = s o n í.
1000. ds = a V l - f (p2 c?cp;
993. ds = — d x :
V
cosa= — ;
a
eos J3
V i — <p2
. 1001.
V l-f-q > 2 d<p: c o s P —
ds = -% -
.
1002 .
=
y i+ < p *
9 rfq>; ™
—
dtp; se n p = co s 4y- . 1003. ds = a e o s —•
senop______
= e o<P s 1004. ds —
^
y_
¿
¿
¿
COS3 - i .
.___________
= r y 1 4 - (ln a ) 2 dep;
1006.
A -= 36.
1007.
( _ « =
y
1
fl2
. 1005. ds — — dtp; sen p = eos 2<p.
l / l -f- (ln a)2
r
son p =
K = — -l r = . 1008. K A = ^ ; K B = \ .
1009. K =
3 1 /2
62
“2
0
3
/ 9 _\ I 9
. 1010. IC = — - 7= ea a m b os v é rtice s. 1011.
y
— 3^.
13 V 13
a V 2
1013.
j .
1015. ñ = í ^ ± ü 2 .
1016.
= |r y r + F | . 1019. R =
1023
' ( ~ T * ; T a)-
R=
a464
3
— a sen 2í
<P '
1024*
1014. H - | W +
6a:
^4 a c o s f \ .
+ ( y — 3 )2 = 8. 1026. />Y2 = ^
2
R=
.
1017.
1020.
R = \at\.
i?mIn = |p|.
<^— 3)a+ ( i / — - § - ) 2= 4 “ -
1018.
1^22.
1025'
y
A.
R=
(2;
2).
< * + 2> * +
( X — p ) 3 (p a rá b ola sem i cú b ica ). 1027. ( a X ) 3 +
4
-¡-(6 y > 3 = c 3
donde c « = « 2 - & 2 .
C a p ítu lo IV
E n la s s o lu c io n e s d e esto ap a rtad o, para s im p lific a r , se o m ite la con stante a r b itra r ia a d ic io n a l C .
1031 . A 02*7. 1032. 2 * 3 + 4 * 2 + 3 * . 1033. ~
+ {a + 3&) — + - ^ ~ • 1034. a2* +
71—
abx4 , ¿»2a:7
.
+ - 2
1
7
- ^ a V
o
1035.
+ -1 a V
7
2o: ..
V 2 px.
o
_ 4 o
Í039.
1
n
1036. nx
n
2*2 y
o:
*.
í
,
■ 1037. V n x .
1040.
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1038. a2* 3a:2 5 / a:
13
7
444
Soluciones
. e r ,
m
,
2 « i/S _ 4 « j+
2x3
-| -4 x T /a x — 2x2-|------- — = .
5 y az
1043. — — a r c t g — — . 1044. ------ ™ ln
y 7
5 y 7
2 i/io
1045. ln (x + V 4 V * * ) . 1046. arcsen ~
1048*.
a) t g x — x .
Indicación.
1050.
Indicación.
P on er
t g 2 x = se c2 x — 1;
b)
a ln
R e s o l u c i ó n
n— x
*0
x — th x .
b) x — c t h x .
cP
1051.
|* + y
ln ( x - f V x a + 2).
P oner th2 x = l --------¡4 — . 1040. a) — c t g x — x ;
<3*)*
ln 3 - f 1 '
— a jj ^
- . 1047. arcsen
T—Vio
- 7= -
\ — ~—
¿
a—x
dx —
— — a I 11 1a — x |+ q ln C = a ln
^
Resolución.
2x+3
4 ,
2
D iv id ie n d o
2T + T = 1 + 2 l + T '
el
De
+ S
C 1
1052. * + l n | 2 * + l |.
a— x |
n u m erad or >or el d e n o m in a d o r o b te n e m o s
f 2x + 3 ,
f > , f
2*/*
d0nde
+
) 2 ^ í á l = r
>«53.
í + J
W
| - * + i l ] n | 3 + 2*|.
= I +
105'..
— y - l n |a + 6 * |. 1055. y * + y ^ l n | o - . * + f5|. 1056. ^ - + x + 2 ln | * - 1 |.
1057. í f + 2 * + l n | * + 3 [ . 1058. - ^ - + ^ - + x ^ + 2 x + Z ]n I * — 1 1. 1059. « * * +
¿j
‘I
O
+ 2ob ln I x — a I
1
1
f
xdx
f
1060.
x—a
(* + !)-!
J (* + 1)3
J
1062.
V ( '¿ - 6 x ) 3 .
ln |x 1-1 |-f
dx
dx
1061.
(* + 1)3 ” - j Sz A+ 1
- S ¿ ( * + 1)2
1063. V x ^ + i .
=
4 1 /1
ln
.* 1 / 7 - 2 1 / 2
1067.
* 1 /7 + 2 1 /2
1068. x — V 2 a re tg
1069
V2
y
•
1074. ^ a r c t g
.
i 073.
( j / - í *
]n |*2 — 5 |. 1078. y i n
1080. ^ arcsen y
ln
1
= a r c tg
1 /1 5
_
( i / i )
y a -\ -b + x y a — b I
Y a
b — x~\/ a — ó ]
2 Y a 2 — b*
x 2 . a2
1070. * —
ln a 3 - * 3 | ) .
— L— l n ( 2 V 2 * + l / 7 + 8*3).
2 y2
* V 3 — 1 /2
iln | 3 * 2 _ 2
= lu
* 1 /3 + 1 /2
2 1 /6
1075.
(5j;2 + 7 ).
+ - p = - l n ( * V 5 + 1 / 5 * 2 + 1).
1077. y
x dx
^ —7
y x 2+ i
1071.
ln ( * 3 + 4 ) + a r c t g y
1
1072. ^ 7= arcsen ( *
1 /5
- (
- 2 6 1/ 1 - ! / .
Resolución.
1065.
1066.
Indicación.
1
x -f-1
1076.
y
1 /5 * 2 + 1 +
y * 2 -4 + 3 1 n l* + l/* 3 -4 .|
(2*2 + 3). 1079. ^
l n ( « 2*2 + ¿,2) + i a r c tg y
.
. 1081. ^ a r c t g * 3 .1 0 8 2 . g I n | * 3 + y * « ^ T |. 1083. | l / ( a r c s e n * )* .
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445
Soluciones
( arctg
. 1085 . 1 ln ( 1 + 4 * 2 ) - V ( a r c t g 2 * ) 3 _ 108{,_ 2 y l ü (a.+ y 1+a.2).
1084.
1
1088. - g - ¿ 4 42" 3:c-
1087.
2x
a
a
-y « “ + 2 s-
,0 8 f - « ' + « "'•
2*
- 4 2*
3
1
* . 1 0 3 1 . -jln a —^ -lnr -6r Ví - bx
S — +ax )) - 2 z . 1092. -l np aM\ 3 y 2 + a
2 /) .
i
1093.
-
1094.
2 ln 7
2*x2+ 1 '
1097. In |«* — 1 |.
7x2.
1095.
2
y ( a - b e x )3.
Sh
1098.
~ e x.
,090.
3a , a
1099. y - ^ a + i ) .
1100. -5
Indicación.
H 01.
a rctg (* “ ).
1102.
1104.
co s ( a + 5 x).
1105.
2* + 3 ^ 3 V
bx
1+e
1
ln
1103.
2b
i-e-b x
x
" 1 /2 s e n — — .
1106. x
son 2x
1107. 2 san ~\/x. 1108. — ln 1 0 -c o s (Ig x ). 1109. í sen 2 x
1
.
Poner sen2 x = -£ - (1 — co s 2x). 1110, -g —f
4
in d ic a c ió n a l p roblem a 1109.
1113.
a ln
*s£| -
1114, S l n |t g ( T ’ + T ) | *
1116. | t g ( * 2 ) . 1117.
1112.
1115- T
sen
a— b
2a
co s 2ax.
V é a s e la
- - - ---—
x.
ax + 6
2
ln'|tg
i c o s ( l - * 2). 1118. * ~ ~ c t g s : 1 / 2 - V 2 1 n
1119. — ln|cosx|. 1120. ln js e n x ). 1121. (a — b)ln
aresen**.
Indicación.
Indicación.
1111. — t g ( « x + 5).
2X + S ) *
x y i
t g -f-
. 1122.5 ln sen
1
1123. — 2 ln |c o s l / x |. 1124. \ ln |sen ( * 2 + 1 ) [. 1125. ln |t g * 1 .1126. £ sen 2 - .
2¿t
A
Q
1127.
1130.
■se” 4.6* .
24
—
1128.
V eos 2 x .
1133. - j - y i g 5 * .
ln | t h x | .
2
1131.
1134.
ax
1_
1136. — ^ ln |tg
a
2
3
sh 5x.
1139.
1142,
— T-----“ 7------ .
4a sen*1 ax
1129.
— i - ln (3 + c o s 3 * ).
1/(1 + 3 eos2 x)3.
„3 2 . + , g + .
-
)
1
. 1137.
sh 2x.
1143. l n c h x .
1140.
“ “ ■ T Í ^ + s r a r ) 2
ln |ó — a c t g 3 x |. 1138. g c h S x —
ln
1144. In | s h x | «
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th T
.
1145,
1141. 2 a rctg ex %
— 7^>
12
— x2)ñ-
446
Soluciones
U 46. 4 -I n | * « — 4 * + l| .
4
1149.
]
/
1147.
ar c l g ( a
4 V5
- a rctg ~
.
yb
l n ( z V 3 - } - V 2 + 3 a : 2).
— 7T" + a? — 2 ln | « + 1 1z
1151.
1153. 1 + n l s e c 3 * + t g 3 x | + ~ g j ) .
1152.
1154. —
.
1159. 4 - arcsen ( i 2). 1160. — tg
z
o
1162. a r c s e n ^ — -
1163.
a ln | tg
|•
1165. «—2 ln |e o s ~\/'x^\ |. 1166. 4 r ^ I tg 4 r I + a rctg x .
J
1168.
-
1155. l n | t g * +
-iaacnx
1157. —
a
.
. 1161.
i
1164.
«se»8 * .
ii7 3 .
1175. -y _*
1167- *a r c tg * + Í B ! í 1 + f?> +
4
,7 8 .
“
a rcs e n f J ^ + y 4 l T 3 r 3 .
*
1 / 3 _____
arctg s |
¿ c < )s ( ^ + < p 0 ) .
1181.
U 7 9 .iln | | ± ^ | .
= \ t gC2 ? ^
•
Indicación.
(5 z2 — 3)8;
d)
1180. -
t arCC¡ l
2 ^
.
1184. (^ £ £ H !L í> L _
1186. — ^ ln
ilife
4 1 /5
I 1 / 5 — se n 2x
J
$
1188* j V U n l H V l + ^ I 3-
1100. - j - l ^ - 3 t h x . 1191. a)
ln |a: |+ 2 a rctg x .
1174. z - l n ( l + á*).
• **83. - 2 c t g 2 s .
1185. ln ( s e c x + V s c c 2 x + 1 ) .
1187. ^ L a r c t g ( ^ | ) .
-2 a :
. 1176. ln (e* + V ¿ 2 * _ 2 ) . 1177. i l n } t g a z |.
U 8 2 , ~ arcsen ( ^ ^ )
— ~\Z\— x*.
c) ^
/
— sen_£
z
- ^ - ^ ( l + ln a ) 4.
1171.
1172.
z
1169. V 2 1 n | t g _ ^
— ln |sen x + eo s x |.
—
ln |2 + co s x |.
.
m
— ~ e~x t.
¿
1150.
%=='
- y ex
______________________________
+ V tg * «-2 | .
1156. V 2 a rctg ( « V 2 ) - —
1158. l 3 * E B 2 L .
z
1148.
1180.
á r c e o s c u a n d o x > "|/2.
V í ^ + l ) 3— 2 V ^ + l i
e)
se n 2 x + 2 eos2 x
b)
- i - s h (a * + 3 ) .
— ln (1 + í?-*);
ln (sen a: + ~\/i + sen2 x )
2 ( i ^ _ | + 2 V 5 - 2i » l i + y i | ) .
1194. ln
l / 2 x -\ -i — 1
. 1195. 2 a r c t g 'l / e I — í . 1196. ln i — ln 2 1 n | ln z - f 2 l n 2 1-
" 1 /2 Í + Í + 1
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Soluciones
1197.
.( « r a e n s ) 3 _
O
1200. ln
, 198. | { e* _ 2 ) Y ^ + l .
O
X
—
í + y x 2+ i
+ ^ arcsen x.
447
1199.
(eos* s — 5) l / c o s x.
o
. I » d i c a e i ó n . P o n e r x = 4 " . 1201. — — V i — x 2- f
t
2
1202. — - g - l / ‘¿ — x 2 — ~ j / 2 — x 2. 1203.
1
/
i \
1204. árceos — , s i x > 0, y árceos ( — - j ,
y x 2“ f l 2 _ a árceos - .
s i x < 0 *).
Indicación.
P on er
x = ~ . 1205. V Í a + T — ln I Ü K f Ü l .
1 2 0 6 . --------------------- .
í
K
|
x
4x
Observación.
En lu gar de la su stitu ción trig o n o m é trica so puedo
u tiliz a r
la
su stitu ció n
x = -i-.
Z
1207.
1208. 2 aresen y x .
1210. ~
1212. x a rctg x —-
ln (1 -j- x 2). 1213. x aresen x~j- y i — x 2. 1214. sen x — x c o s x .
«oie;
x sen 3 x
^
\/x2 — a2-\—
- í - ~l/l— x P + - ^ - aresen x.
¿t
<u
l n | x + ^ / x * — a2 I. 1211. x l n x — x.
t cos3x
f
-
x+ l
.
fi3»
1218. - g y - (9 x2 — 6 x -f-2 ).
eX
Resolución.
i9i7
xln2 + l
2 * ln 2 2 '
.
En lu gar do in tegrar
rep etid a ­
m ente p o r partes, se puedo om plear ei sig u ie n te p ro ce d im ie n to de c o e fic ie n ­
te s in d eterm in a d os
*2*3* dx = ( A x 2 + B x + C) e3*
o , después do d eriva r,
x 2e3x = ( A x 2 + B x + C ) Ze3X + (2 A x + B ) e3X.
j
S im p lifica n d o p o r e3X o igu alan do entre s í lo s c o e ficie n te s que fig u ra n con
las m ism as p oten cia s de x, ob ten em os:
1 = 3 /4 ;
de d o n d e
Q = 3B + 2 A ;
0 = 3C + Z?,
1
2
2
C
A = ~ ; B = — — ; C = — , En la form a gen eral \ i 5* (x ) c<l* dx =
= <?* ( x ) <?a i , d o n d e P n (x ) es e l p o lin o m io d a d o de g ra d o /? y Qn ( x ) un
p o lin o m io de g ra d o rc co n lo s co e fic ie n te s in d eterm in a d os. 1219. — e~x (x 2- f 5).
*
Indicación.
Indicación.
V éase e l p ro b lem a 1218*. 1220. — 3*
V éase
ol
problem a
2x2 4 - 1 0 x + l l
„
. 2x + 5
0
1222. ------ ! ;— ■— ■sen 2x H-------— c o s 2x
4
4
1218*.
1221.
3 ( x * + 9 x 2 + 54x + 162).
—
,
i •
j /
Indicación,
m ien d a u t iliz a r e l m é to d o de ios co e ficie n te s
f e _|_s e n 2 x ^
o
rr
.
T am bién so reco4
in d eterm in a d os en la
form a
P n (x ) co s flx dx = Qn (x ) co s p x + R n (x ) sen Px,
*) En l o su ce s iv o , en ca sos a n á lo g o s, se in d icará a v eces una respuesta
uc corresp on d a sola m en te a una parte cu aiqu iora d e l cam po de existencia
e la fu n ció n su b in teg ra l.
3
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Soluciones
don d o P n ( z) o» el p o lin o m io dado de grado n y Qn ( x) y R n ( x) son unos
p o lin o m io s de grado n co n coeficien tes in determ in ados (véase e l problem a
1218*). 1223. - ^ - l n x — 4 r * . 1224. x ln ^ x — 2 x l n x + 2x. 1225. —
— ~
.
3
9
2x¿
4a:2
1226.
2 y i ln x — 4 l / x .
1227.
- í l d - L a rctg x - - | - .
— y arcsen x - \ - ^ ~[/l — x 2.
1229.
1228.
arcsen x —
x hi (z-\- "| /l - f x 2) — ~Y \ + a:2.
,
. . .
. . OOJ
a:
. . .
1230. — x c t g x ^ - l n |sen x |. ^ 2 3 1 .--------------(- ln
sena:
i oo-j
3* <sen 37+ co s ^ 1» 3)
¿ 00/í
1 + (1 a 3 )2
•
a:
1232. e*<sen x —eos x )
2
{a sen bx — b co s bx)
«2 + b2
37
1 ^ " 3C ,
1235. -g -| s e n (ln z ) — c o s ( l n x ) | . 1 2 3 C .------ ^ - { x ü + l ) .
\
x 2+ 3iCJ
± —
1 2 4 0 .-—
X
x 3 x 2
- = - ^ - — .
X
X
(9 x 3 + 1 ) .
1244.
1241.
*239.
fin (ln x ) — i| •ln z ,
1243.
x
.
j
P on ien d o
,
06 (!0Hd°
1
/
5
H b s o ,„_
> obten em os du = dx y v — —^
ar
,
f
dx
J
l^ + T jr
2 (x 2 + l )
+
i
2 (x 2 + l )
<X *
tenem os ^
x
_ _
2 (x*+l)
¿4
x 2 rfx = x
+
Em ­
l / a 2 — x 2 + ^ ~ arcsen — ,
¿J
( l
u = ~\Za2—x 2 y dv — dx\ de don d e d u = —
— ^ ^
- d x = :x l / f l 2-— x 2— t
J
y ü2 _ x 3
^
J
x dx
V a 2- * 2
— x 2— ^ — ===z==?=x y a 2— x 2 —
~}/a2 — x2 d x -}-q2 £ .
4
' J
y a2— x 2
siguiente, 2 ^ ’ / a ^ — x 2 dx = x ' ) / a 2 — x 2-\-a2 arcsen
consi
d— — ln J x + V ^ + x 2 1.
-
(ia r c tg A + _ £ _ r ) . I n d i c a c i ó n .
pléese la id en tidad 1 s — ■| (x 2 + a 2) — x 2]. 1252.
y y = x;
ln (1 + x*).
^
x 2 dx
Ponem os
— x.
1249. | +
y ^v =
a r c t g x + C. 1251.
1+ x
1247. x t ? 2 x +
¿
1248.
u= x
i —x
1245.-— ------------------ f-
(*
Resolución.
ln
(a rctg x ) t - x a rctg x + 1
1246. - 2 1 / 1 - 1 arcsen
+ ; i » s (2 1 .,)+ 2 x s e ,(2 | n , )
ción.
( ] A — l).
1242. 4 - a r c t g 3 x o
l-l-V l-z a
l5 Ü £ i2 iL _ ^ ..
2e
x 2__ I
x (arcson x )2-|-2 ~ l/l — x 2 arcson z — 2a;.
+ ln
+ j
3* .
1237.
Indicación.
Véase
1254. — í . y g “H x 2_{_.|_ arcsen - i . I n d i c a c i ó n .
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. 1253. y
el
P or
y ^ - f x 2+
problem a
1252*.
V éase el problem a 1252*.
Soluciones
1255. - i- a r c t g
1256. y i n
% | . 1257. - 2 — a rctg
x+ 2
V il
X ln ( j s —7x4-13)-f-r~T ?a r c tg
y
1260.
449
- ^25^- y
O
y
. 1258. 4 x
y n
ln (£2 — 4 x + 5 ) + 4 a r c tg (a: — 2 ).
ó
( * « 4 - 3 2 + 4 ) + + a r c t g 2:1 +^ 3 . 1261. s -4 -3 ln (£ 2— 6 x 4 -1 0 ) +
y?
+ 8 a rctg (a: — 3).
1264.
ln
1266.
—2 V i
+
1
1262.
arcsen
1/2
.
arcsen ( 2 z — 1).
1265.
* + - T T + y * 2+ i> .z + '7
3 l/a :2 — 4 * + 5 .
1267.
arcsen — -~ J - .
V5
ln ^ y 5 _ _ A _ + y 5 x 2 — 2 x + l ) .
5ys
1263.
¿ y s r a i p H
1268.
ln
1 + 1 /1 — 2.-2
1269. — arcsen 2 ~ Z . 1270. arcsen —
x Y 5
(1 — x ) y 2
( s > l / 2 ) - 1271. — a r c s e n —i - j .
* + í
1 2 7 2 . Í ^ y ¿ J + 2 + p > + 2 1 n (z + l + y P + 2 T + 5 ) . 1 2 7 3 .^ —
+ - | - arcsen ( 2 z — 1).
1275. i - ln
4
£2*—3
£2— 1
1274.
- V 1 - 4 ln £ -
2+
1
t
~ a rctg
1276.
+ y i + ex + <?2* ) .
1279.
~ y 2 — * — * 2+ y
3 — son x
ys~ “ *
1278.
1277.
y 3
— ln | c o s £ + 2 +
ln 2 £ - 2 areson ^ ± ~
y s
A ln
i
( * — l ) 4 ( * — 4) b |
( V : í )’
I*
1284.
5 z + ln
¿
arcsen 2 z.^~1 ■
ln
(-+ T +
1 1.
y y * » .
*+
Í(T£
. -----^ l ) ( £ + 3)3
^
ln
y * -s « +
V e o s - a : + 4 co s a : +
.
1282.
£ + 3 ln |£ — 3 f — 3 ln |£ — 2 |.
1281.
1283.
-
( s + 2)4
1G1
(* -4 ) 6
. 1285.—
i+ £
+
(a -1 )»
*16
-2
g*
2
11 - ___ —
( £ — 2)a £ - 2 *
£—5
30
27
. 1289.
h ™ ln
1288. — r -s *
x+2
49 ( £ — 5)
49 ( £ + 2 ) 1 343
2 (£ -3 )
2 (x + l)
£—1
x
1
. 1291. £ + ln
1292. a + i - l n
1290.
£+ 1
2 (£ 2— 3 a r + 2 )2
y ^ + i
+
H
A
l * 1286' T * + ¿ ln
- 4 -a r c tg z .
+ ¿
1293.
~
a r c t g (a :+ 2 )- i m - 7
4287
(2 £ — l ) * ( 2 * + l ) 9
i_
ln | ar— 3 |— 4 ln | x — 1 1+ 4 ln (®2 + 4a; + 5) +
65
20
ln ¿ f e v i ” +
a r c tg
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451
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452
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Soluciones
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1475. -* -x tg 3 x-f-*i- ln| c o s 3 x |.
1477.
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Ó + 2 l á 10 ) '
ln I10
1494. ln
ln
1 ( * * a r c B« i i . + ^ ¿ 2 - j / Í S = T ) ■
4 \
x
o
/
1 /
9
1497. -g- I — x 2 cos 5 x + — x sen 5x +
1498.
£ (x 2— 2) a rctg (2x + 3) +
1499 . 4 - V x — x 2 + ^ x — — j arcsen 1 /x .
x |x
2
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C a p itu lo V
T2
1501. b — a.
1502.
1503. 3. 1504.
OlQ 1
^ — . 1505. 156. I n d i -
c a e i ó n. D iv id im o s e l segm ento del ejo O X , desde s = l hasta x = 5, on
partes ta le s, que la s a b scisas do lo s pu ntos de d iv is ió n form en una p ro­
g resión goom étrica: x 0 = \, x x = x 0q, * 2=x<yy3,
Indicación.
Véase e l p rob lem a
U t i l i z a r l a fó rm u la
sen a
1505.
x n = x (jqn.
1507. 1 — c o s z .
1506.
Indicación.
+ sen 2 a -f ... 4-sen / i a = —-—
fe o s
4r —c o s x
2 son-2 -1
x ( " + t ) » ] *
-1 /1 + ^ .
1508‘
«
í
—
E í ; 2> § = ¿ -
1511. 2 a * -* 4- e " * 2.
1512.
^
,509‘
^ Í Í r+ 4rC O s4r.
2 y x
*2
*2
l n *-
151°-
1513.
* =
= « ji( n = l t 2 ,3 , . . . ) . 1514. ln 2 .1 5 1 5 . — 1*. 1516. e * - e " * = 2 sh * . 1517. s o n * .
1518. - j - K e s ° l u c i ( i n - L a su^ a Sn==~7fi
+ ■ " • + ■ « » + n -~
j
+•••+ n
(4 ^
puede con siderarse com o suma in te g ra l para la fu n ción
l
f { x ) = x en e l segm en to
[0, 1J. P o r esto,
I ¡m s n =
[ xdx =
n ~ > c o
Resolución.
1
4
ó" 4
. —
1
*
*+ l
L a suma
1
--.-4
\
— \ se
,
1
« 4 -2
1
,_____ j ____ 1______ 1 /
n+ n ~ * I 1 + ±
puode con sid era r c o m o
suma
fu n ció n
en
tienen la fo rm a
e l segm en to [0, 1],
=
(A = l , 2,
don d e
lo s
« ). P or esto,
^
1525.
in tegral para
la
1 + 4* / )
i + 4n
= ln 2 .
1510. In 2.
A
1520.
— a rctg 2 = a rctg i .
7
y
iiin
s„=
n~>oo
1521.
1526.
pu ntos
j .
1522.
Iq - | - f^27. l n
1530. ln
- 2 - . 1535. - | l n í i j ¿ § . 1536.
1 2 2 = 3 3 1523.
do d iv is ió n
\’ - r ^ T
J
~ .
l - h *
1524.
. 1 5 2 8 . 3 5 ¿ - 3 2 l n 3. 1529. a r c t g 3 —
1531. ~
. 1532. 1
15
2 _ . 1533. - 5 - . 1534.
-]/3
4
1537- T ‘ 1538‘ l n 2 ‘ 1539’ 1 “ c o s 1 ,
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1540.
0.
1541.
*
1544.
t h ( I n 3) — th
¿t
si p < l .
ar ct g ^ —
1543- s h l = y
(ln 2) = - g - • 1545. —
g e n te . 1548. j— ^ , s i p < l ;
1550.
1542-
( e— 7 ) •
sh 2rc. 1546. 2. 1547. E s d iv e r-
es d iv e rg e n te ,
si
p>l.
1549. Es divergen te.
1551. Es d iv erg en te. 1552. 1. 1553. —
, si p > t ; es d iv erg en te,
P~~~ t
1554. n . 1555. -~ j= • 1550.
y 5
1558.
j ^ 2 « 1559.
1563.
1564.
Es d iv e rg en te
i-+ i-ln 3 .
Es
d iv erg en te.
1500.
1557.
Es
divergen te.
, 1561. E s d iverg en te. 1562. -i- .
1565.
1566. Es divergen te.
1567. Es
con v erg en te. 1568. E s d iv erg en te. 1569. Es con v erg en te. 1570. Es con v er­
gente. 1571. E s co n v e rg e n te , 1572. Es divorgorite. 1573. Es co n v erg en to.
1574 .
Indicación.
0 (p , £ ) = \ / (x ) dx-\i)
X {1 —
les
/ (a;) d x, donde f ( x ) = xV~l X
t
c o m o lim / ( x ) x 1~'P = 1 y lim (1 — x )1^ f (x) = 1T am bas in tegra.x->0
x-fl
so n con vergen tes cu an do
1— p < l
y 1 — s < l , es d ecir, cu an do p > 0
l
y ? > 0 . 1575.
Indicación.
«»
T (p )= ^ í ¡ ( x ) d x +
0
^
La prim era
para c u a lq u ie r p.
¡ ( x ) c l x t don d e f [ x ) ^ =
i
in te g ra l es con verg en te cu a n d o p > 0 , la sogunda,
n
2
2
1576. N o .
1577.
2 *\/l jj l/ t d t. 1578.
jj r ^ = = =
= .
T
InS
1579.
c»
^ dt. 1580. \
Id 2
dt.
1588. T / 3 - y .
o
x = ( b - a ) i + a.
1582.
4 -2 1 n 3 .
0
1583. 8 -------1 5... 8#v4• . 2 -•4• -«
2V 3
1593.
1581.
1585.
ri •
2
-* 4 = . 1586. «----------------------i
,
•
T /5
2 1 / l + aí
1589. 4 — n . 1590. y
1594.
¿
aw
.1587.
í f
a1
n/
4
•
l n -112. 1591. l n 7 + ^ l / ^ , 1592. y + ^ - -
1599. - £ — 1. 1600. 1. 1601. —
¿
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o
■ 1602. i - ( e * , ) - ! ) .
Z
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1 6 0 3 .1 .1 6 0 4 .
„ ■ 1605.
- g b. y,-,- • 1606. R e s o l u c i ó n .
r (p -fl)
cx>
=3 jj x ^ e"x dx.
U tiliz a n d o
la
fórm u la do in teg ra ción
o
xP = u> e~x dx = dv. D o donde du =
p or partes, pon em os
d x, u = — e~x y
co
r (p + i)= [-x p * ^ ]y + j>
J * p -i» -* ¿ * = p r (p ).
(* )
0
Si p es un núm ero natural, u tiliz a n d o la fó rm u la
en cuenta, que
ro
F ( 1) -
(* ) p v eces y teniendo
jj e - * d x = i ,
0
obtenem os
r (p + i)= p !
1607.
¡D l=
^ ¿ ¡ T ^ TT ’
si
R==2&
es
UD
n,i m ero
Par-
h k +1
2-4-G . . . 2k
.
, si n = 2k + l es un num ero impar.
1 .3 -5 . . . ( 2 k + i )
128
315’
1608.
i,0 ”
, (P_ 1) r tg . . *)>. ^ 1609> 1 B ( 2 + 1 ,
( p + $ — 1)1
2
V 2
63n
512'
2+ 1) .
2 ;
Indicación.
Poner
sentar— í. 1610. a) más; b) m enos; c) m ás. I n d i c a c i ó n . D ibu jar la
g rá fica de la fu n ció n su bin tegral para lo s v a lores del a rgu m en to en el
segm ento do in teg ra ción . 1611. a) el prim ero; b) el seg u n d o; c ) el prim ero.
1612.
4 - - 1 6 1 3 .a .
1618. y < / < y .
La
1614. 1 6 1 5 .- f - .
o
fu n ció n
Z
1619.
su bin tegral
32
1623. s = — . 1624. 1.
0
la fu n ció n .
1632.
1638.
1016. 2 arcsen 4 .
o
t < / < y !
crece
1617. 2 < / < l / 5 .
1620.
Indicación.
m onótonam en te.
1621.
1
V 2
1
1625. — . I n d i c a c i ó n . T en er en cuenta ol s ig n o de
Z
1626. 4 4 - - 1627. 2. 1628. in 2 . 1629. m* ln 3 . 1630. na?. 1631. 12.
-Ip ü .
1
o
1633. 4 y .
1634. 1 0 y .
— 2 = 2 (ch 1 — 1).
I ndicación.
1639.
1635. 4.
ab [2 l / 3
1636. y .
— ln (2 +
1637.
V 3 ) ] . 1640.
y —y
3
8
.
mz2.
Véase e i apéndice V I, d ib u jo 27, 1641. 2 a V 1. 1642. - + a2.
3
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1643.
í 5 ji .
459
1644. -¡L !n 3. 1645. 1. 1646. 3rca2. I n d i c a c i ó n .
di c c V I, d ib u jo 23. 1647.
’ I n c ^ * c a c i ^ n - V éase el a pén d ice V I,
y ^ n+ ÍA A
ó
3
d ib u jo 24. 1648. 2 n - \ - ~ y 6n - A ■ 1649- ¥ n - í J / 1
o
ó
o
3
-A-jiafc. 1651, 3na*. 1652. ji (ó2-f-2a¿/). 1653. 6m i2. 1654.
Para e l la zo, e l parám etro t
varía
3
1657.
28,
n/72
o
Indicación.
Indicación.
V éase el apéndice V I,
1656. 8 n 3a2.
. 1658. a2.
I n d i c a c i ó n . Véase ol apéndice V I, d ib u jo 30.
11^2
1659. ' - j - , I n d i c a c i ó n .
Véase el a pén dice V I,
4
d ib u jo 33. 1660. ~ n . 166Í.
2
+
1650.
entre lo s lím ite s 0 < í < ¿ - f - c o . Véase el
a p én d ice V I , d ib u jo 22. 1655.
d ib u jo
Véase el apón-
14
a?. 1662.
3
. 1664. rey 2. In d i c a c i ó n .
1665.1 ( 1 0 V I O - 1 ) .
ch*a— sh 2 a = l .
V 2 + ln ( l + V 2 ) .
( V 2 + D _ 1669
t?
l n ( 2 + V 3 ) . 1672. A («2 + l ) .
oji h
-|-a — ¿>= i n _ _ .
1676.
d ib u jo
4 (a° ~ &3).
29. 1677.
las
coord en a d a s polares.
1666. " [ / P ^ 2 . I n d i c a c i ó n .
1667.
+ In
Pasar a
—
. 1663. a2 f - ? - +
( t _ e2)J/2
V 3 ^
U tiliz a r
1668.
1 + 1 lfl 3
¿
la
fórm u la
y T + 1 2— V 2 +
167Q_l n ( e + .l / _
1673. a ln y . 1674. 2a V 3 .
T
1C71>
1675. ] n ~ Z Í +
i
aT2.
Indicación.
1678.
16a.
Véase
1679.
el. apéndice
na y í + 4 ^ . f ±
V I,
ln ( 2 * +
+ V l + 4 n 2 ) . 1680. 8a. 1681. 2a l l / 2 - f ln ( l / 2 + l ) ] . 1682. A A + l n 3-± j ^ ,
w
1683.
a- V 1 + w ’ .1684.
/Tí
-l(4 -| -ln 3 ].
Z
1685.
i A L (e 2+ 4 _ e- 2). 1688.A i r 2. 1689. » * = - £ • .
vy = 2ir. 1692. Í Ü J 2 Í .
n " 3 ( 1 5 - I 6 1 n 2 ) . 1697. 2n 2a3.
b) 6n»a*; c ) —
■( 9 * 2 - 1 6 ) .
A ( . 4 S + i t e 5 + az,) .
A n a 2 A . 1710.
, 693.
3
1690.
1699.
1702. jggJW ®.
1703.
ux =
J|nft2a. 1701. a) 5n*a»;
A n a3.
1704. A * * 3. 1705.
( 1 -|- A A j .
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J687.
1695. A „ . 1696.
1707. j ^ a 2. J708.
| a 3, 1711. jia* V p 5. 1712.
2.
1691.
1694. A n p ».
1698.
t 706. 2 ^ .
A ^
J S t .1686.
oü
ú
A * 02&.
1713.
1709.
A aabe.
460
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1714. y
( 1 / 1 7 3 - 1 ) ; ^ n a2 ( 5 - j / 5 - 8 ) .
1715. 2n [ ] / 2 + l n ( 1 / 2 + 1 )]. 1716.
n ( V S - V D + n l n ? O f f t 1) . i 7 i 7 . n [ y g + l n ( l + V 2 ) ] . 1718. y
y s+ 1
(e2+
+ « - 2+ 4 ) = y Í ( 2 + sh 2). 1719.
1721.
1720.
- y ( e - 1) (e2 + e + 4).
4 n 2ab. I n d i c a c i ó n .
A q u í, y — b ± ~[/a2— x*. T om a n d o el s ig n o m ás,
ob te n e m o s la su p e rficie e x te r io r del t o r o , m ien tra s q u e c o n el s ig n o m en os,
se ob tien e la s u p e r fic ie in te r io r dol m ism o .
1722. 1) 2nfr2 -}- — —
6
aresen e;
I n í - ^ 4 ; d on d o e = i - ^ ----- — (e x c e n tr ic id a d de la e lip s e ). 1773.
i ~~ e
o
2) 2na2 + —
e
a) - ^ y l ¡ b ) Í6n2fl2; c ) y jio 2. 1724. - y n a 2. 1725. 2 n a2 ( 2 - y l ) . 1726. y
1727. M X = y
V P + 65; j l í y =
1729. Jl/z = M y = y
1731.
2n a2.
1734.
x = j 1 a;
1737. a: = n a;
1732.
y
y ^ + P .
; r = y = y .
* = 0;
y = ,~ a .
1738.
x=
^ 0; 0;
Ma ^
M b=
M x = /l/y = y
- 7- 2 + . - ?■- 2 .
4
sh 1
1735.
í/ = -jr * a .
1730.
1728.
1733. x =
y =
-| -j .
.
n a 2.
.
a2; x = 7 = y
-a s e r l a ;
a
1736.
Resolución.
a.
7 = 0.
x= y—
.
D iv id im o s
el h e m is fe r io en zonas e sfé rica s elem en ta les, do ároa d o , p o r m e d io
de plan os h o riz o n ta le s. T en em os d o = 2 j t a d z t don d o dz o s la a ltu ra do la
a
2n J az dz
zona. De d on d o z = — 4 — -— = 4 * . P o r s im e tría , x = y = 0. 1739. A la d ista n 2n aa
¿
3
c ía de — de la a ltu ra , a p a rtir del v é rtice d e l c o n o . S o l u c i ó n . D iv i­
d im o s e l c o n o on elem en tos, por m o d io de p la n os p a ra lelos a la base. La
m asa de cada capa elem en tal será dm¿ = y jip 2 rfz, don d e y» es la d e n sid a d , s,
la d ista n cia
d e sd e o l
n [ —
De
d on d e
plan o
secan te
hasta ol
v é rtice
del c o n o , p = ~ z .
¿d i
z = -— 4 - n r *
= - ^ - h . 1740.
í 0; 0;
V
^
8
• R ^ s o 1 u c i ó n.
7
P or sim e tría x = y = 0. Para dotorm in ar z t d iv id im o s ol h e m is fe r io e n c a p a s
elem en ta les, por m e d io do p lan os p a ra le lo s al p la n o h o r iz o n ta l. La m asa
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461
de u n a de estas capas elem en ta les será drti = y n r^ d z:
don d e y es la densi­
d a d , z, la d ista n cia
en tre e l p la n o secante y la base del h em isfe rio y
_
r = l/fl2 —
* f ( • * - * • ) * *
3
e l ra d io de la se cció n . T en em os:-z = *—------^----------------- ~ ^ a'
na*
3
Í7AU / - n a ® . 1742. / O= | o 5 3 ; / Í, = | fl3&. 1 7 4 3 ./ = ^ M *. 1744. / a ==-i-jtafr3;
= - i - n a 36. 1 7 4 5 . / = ■ —
en
a n illo s
m on tos
elem en ta les
será
— i?}).
Resolución.
co n cé n trico s .
dm — y 2 n r dr
y
el
La
m asa
m om en to
de
¡D ividim os el a n illo
de
uno
in ercia,
de
estos
fía
/ =
ele-
r3 dr
Ri
=
(-^2— ^ í ) ; ( y = l)> 17*6. 1 = j Q J('R4H y .
Resolución.
D iv id im os
e l c o n o on u n a serie de tu b os c ilin d r ic o s elem en tales, p a ra lelos al eje dol
c o n o . E l v o lu m e n de u n o de estos tu b os elem entales será dV = 2nrh dr, don­
de r es e l r a d io d e l tu b o (es d ecir, la d ista n cia hasta ol e je del co n o ),
h = H ^1—
Ia altura del tubo; en este caso, el momento de inercia
fí
/ = y j j 2n H
,
dón d e
y
os
la
den sid ad
del
con o.
2
1747.
I = -£ * fría2. R e s o l u c i ó n . D iv id im o s la esfera en una serio de tubos
o
e le m e n ta le s , cu y o s ejes sean el d iá m e tro d a d o . E l v olu m en elem ental será
1—
a
En este ca s o , e l m o m e n to
de
in ercia
será:
r2~
« su altura.
^
J = 4 n a Y \ *1/ 1 ~ - — r5 dr =
0
fl2
V
g
— -j=- Jia5y ,
dondo
y
es
la
d en sid ad
/
o
= y j i a sY. SB tendrá q u e ¡ —
2
—■_
de la
1748.
esfera, y c o m o la m asa ikf —
K = 2nzfl2&;
1S' = 4jx*a&.
1749.
9
/
4
|
p. 1750. a) * = 0, y — — — , I n d i c a c i ó n ,
1U
o ji
a) x = ^ y = — a\ b ) x ~ y =
o
L o s o je s de coord en ad as
el
=
d iá m e tro y
el
se han e le g id o de ta l form a , que O X co in c id e con
o r ig e n de coord en a d a s co n el con tro del c ír c u lo , b) x —
Resolución.
en g en d ra d o
por
ol
g ir o
El
v olu m en
del
cu e rp o ,
que
de un triá n g u lo a lrod ed or
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es un
de su
d o b le co n o
base, es igual
S o lu c io n e s
462
a V= y
nbh*, d o n d o b e s la base y b Ja a ltu ra
del
rem a do C u ld in este m ism o v o lu m e n V = . 2 n x ^r-bk,
¿»
triá n g u lo. P o r el te o ­
d o n d e "x es la distan -
cía desde el ce n tro de g ra ved a d a la b a se. Do don d e * =
¿
1752. - ^ - I n
2g
+
\
• 1753. z = Í ^ s c n c o t;
/
t>cp = — y0.
0 )
- 1 0 « » . 175 5 . , = 4 í n ( ^ ) ;
¿
1751.
7?2¿ / 2. I n d i c a c i ó n .
u0í —
1754.
S=
31
h ^ ^ b í i - ( a - b t l ) la — ^ - . j .
,7 5 6 .
La fuerza elem en ta l (la g ra v ed a d ) es ig u a l a l
p eso del agua on o l v o lu m e n de la capa de esp esor d x , e s d e cir, dF = y n R * d x ,
d on d o y os e l p eso d e la u n id a d do v olu m en d e l agu a. P o r co n s ig u ie n te ,
el tra b a jo elem en tal de la fuorza es dA = y n R 2 ( H — x ) d x , don d e ares él n iv e l
dol agua. 1757. A = ~ y R W .
175ÍI. A = y n R 3H .
1758. A = 2 Z ~ R * T M a® 0,79-101 = 0 ,79-10’ k g f m.
1760. A — — ~ ~ ; A c o = mgR.
Rosolnción.
La fuerza
1 + 7F
Y 71 M
q u e actúa s o b ré o l cu erpo de m asa m, e s ig u a l a F = k —^ ~ , d o n d e r es la
d ista n cia hasta ol con tro do la T ierra . C om o para r = R , ten em os q u e F — m g ,
resu lta
k M = g R 2. E l tr a b a jo
que
se
busca tendrá la form a A =
ll+h
k - ^ - d r = km M ( 7 ^ ~ ~R ^ h ) = ~ ~ J T ' C,,ancl0 /í= = c o « ten em os que
1 + ~R
A co = m g R .
1761.
1,8 - 104 e r g io s .
Resolución.
La
fuerza de a cció n
m utua de las ca rg a s será F = = - ^ I d in a s. P o r c o n s ig u ie n te , el tra ba jo n ece­
sa rio
para trasladar
la ca r g a
e x desdo el p u n to
a l pu nto x 2 será: A =
*a
^ ■ = e o e !
x-
\
M = l , 8 - 1 0 4 o rg . 1762. 4 = 8 0 0 w fn 2 k g f m. R o s o -
*2
/
l u c i ó n . Para e l p roceso is o té rm ic o pi> = />0i>0. E l tra b a jo rea liza d o on la
ex p a n sión d o l g a s desde e l v o lu m e n v0 basta el v o lu m e n i>, es ig u a l a
vi
P d v = p 0v o l n i l i .
-
*>2
p roceso a d ia b á tico
Do dot.de
lución.
1763. A
15.000 k g f m .
Resolución.
Para el
vo
es v á lid a la le y de P o isso n pu — />o£:y* d o n d e fe <**.1,4.
J - ^ ^ “^ = ^ = T T [ 1—
' 1764, ' 4 = J I,'Hi><,' R o s o -
l>2
Si a es el rad io de la baso d e l á r b o l, la p re sió n s o b re la u n idad
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de s u p e r fic ie
463
p
de a p o y o será p = — % • La fuerza de fr o ta m ie n to de un a n illo
3CCL
do anchura d r , que so encuen tro a una distan cia r d e l cen tro, será ig u a l a
2 li P
■■■■ - - r dr. El tr a b a jo de la fu erza de fr o ta m io n to , sobre esto a n illo , durante
a'
Azi\iP
una v u elta co m p le ta es d A =
- r2 dr. P o r l o cu al, el tra b a jo to ta l A —
a‘
a
=
r2 dr = -|- n\xPa> 1765. ~ M R 2co2.
cin é tica de un o lo m o n to
es e l e le m e n to
^
-
^ '•> d r =
0
= 2,3 108 k g f m.
a la resorv a
La
energía
v~-$— = 2!L.yL da, don d o d<j = 2 n r d r ,
¿t
¿t
de su p e rficie ; r, su d ista n cia al ojo do g iro ; p, la densidad
M
Meo2
1 D e esta I ° rm a’ dK = ~2
r2
Do don d e, AT =
su p e rfica l, p ¡=
=
d ol d isco d K
Resolución.
•
176G-
Indicación.
K = ~ M R ^ .
1767.
^ = ^ - ^ 2 =
L a ca n tid a d de tra b a jo n ecesario es igual
do en ergía c in é tic a . 1768. p =
.
o
17G9, P =
6
^
^ ll,3 * 1 0 s 7\ 1770. P = abynh> 1771. P = - ^ — - (com p on en te v e rtica l d ir io
1
g id a de a b a jo hacia a rrib a ). 1772. 533-^- g . 1773. 99,8 ca l. 1774. M —
_ f } b p g fcm> i n s . — kAírn^^
¿
^ e3 ja c o n s tan te g ra v ita to r iá ). 1776. 4 r ~ r .
a \a~Y L)
Resolución.
■]
<? =
-
J y -2rtr
|
r d
r ^
25
Q ~ ^ va
—^ P
* Indicación.
D ir ig ir ol
o jo de
o
a b scisa s p o r e l la d o m a y o r , in fe r io r , dol re ctá n g u lo , el de orden adas, porpem licu íarm en to a é ste, en su pu nto m e d io . 1778. R e s o l u c i ó n . S —
^2
— ^
p o r otra PartCí ~!ir==a' de ^onde d t ^ d v ,
¿i
el
—
tiem p o
y
por
con sig u ien te,
t>2
n e ce sa rio
para
ol
-
e m b a la m ie n to
i
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^ ~
= S.
1779.
( > - * ) •
Mx =
™ -
464
Soluciones
A
?
Mx
c i ó n.
kx
( a t - t y k t d t + A x ^ - g - V * — **). 1781. Q = 0 y\2TRl% c a l. I n d i c a -
ó
U tilíce se la lo y de J ou le-L en z.
Capítulo VI
1782. F = - | < * » - * « ) as.
1783.
™
*»■
- < ( b
j3 ^ T
• )-■ }■ • /(*= - * - - * ■
' 1786. / { x , * * ) = . ! + * - * * .
í =
1787. = = ~
+
^
.
1788. / ( z ) = 3 ^ + i f .
I u d i c a c i ó n . R epresentar la fu n ció n dada en la form a f
y s u s titu ir ~
por z .
1789.
j (x , y ) = ——
u-\-o
* + </ = « , x — y = v. L n esto caso z = _ I — f
U
+ ( * ? )
2U
V No
argum entos it y p p o r x
) =
Solución.
u—v
/ Í 7
) 2+ ‘
D esign am os
.,
u4~v u — v ,
f.
f ( Uy v ) = — --------- -
queda más que ca m biar la d e n o m in a ció n de los
o y. 1790. / ( « ) — u2 + 2 a ; z — x — 1 + V y . I n d i c a c i ó n .
En la id en tid a d x = l + / ( V * p o r co n sig u ie n te ,
.
V 4 »*+ 3 (* -» )« .
0 pon em os l / x - ~ - l = u; en ton ces, x = (m + 1)2 y ,
f (u) = u 2 + 2u.
1791. f (y ) — ~\/1 + y*'y z = -
V
y
2.
I^ l
Resolución.
es
d e cir ,
Cuando x — 1 tenem os
/ {í/) = V l + Z/2.
y z= x j/* 1+
En
este
la id en tid a d 1 / 1 H -y2 = 1 - / ( “ J"") »
caso,
/ ( J L j = j / l -f
— V ^ + y 8* í7 92. a) C írcu lo un idad, co n e l ce n tro en
e l origen de coord en adas, in c lu id a la circu n feren cia (x 2 4 - y 2 < 1); b) la b isoctriz
y = x , d el I y III á n gu los coord en a d os; c ) sem ip la n o, situ a d o sobre la recta
x + y = 0 ( x + y > 0 ) ; d ) fa ja , com pren dida en tre la s rectas y = ± 1, in clu id a s
éstas en ( — l < y < l ) ; o) cu ad ra d o, form a d o por lo s seg m en tos de las rectas
x — z t i e y = ± 1, in clu id o s sus lados { — 1 < z < 1 , —
f) parte
del p lan o, adyacente al e je O X y com p ren d id a entre las rectas y = ± . x y
in c lu y e n d o esta s rectas y e x clu y e n d o el o r ig e n do coord en a d a s ( — x ^ y ^ x ,
cu a n d o z > 0 , z < y < — z cu a n d o z < 0 ) ; g ) d os fa jas x > 2 , — 2 < y < 2
y x < ~ 2 . — 2 < . y < 2 ; h ) a n i ll o , co m p re n d id o entre las circu n feren cia s
* 2_j_ ^2 -= fl2 y x 2'+ y * = 2a2t in clu id a la fron tera ; i) las fa jas 2n n < z <
< ( 2 n + i ) ai, y ^ r O u (2n + l ) n < z < ( 2 a + 2) n , y < 0 , don d e * es u n núm ero
en tero; j) la parte del p la n o situ a d a p or en cim a de la parábola
z 2 ( * 2 + ¿ / > 0);
k) t o d o e l p lan o X O Y ; 1) to d o ol plan o X O Y y a e x ce p ció n d e l o rig e n de
coord en a d a s; m ) la parte d el p la n o situada p o r en cim a de la parábola y 2= x
y a la derecha del e je O Y , in clu y e n d o lo s pu ntos del eje O Y y e x clu y e n d o
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405
Soluciones
lo s d e la p arábola ( x > 0 , y > ’V x)\ n) t o d o ol p la n o, a e x ce p ció n do los
pu ntos de la s rectas x = i c y = 0; o ) la fa m ilia de a n illo s co n cé n trico s
x 2 + y 2 < ; n (2/c + 1) (Ar — 0, 1, 2, . . . ) . 1793. a) 1 octantu (in clu y e n d o la
fro n te ra ); b) I, T il, V I y V I II o cia n te s (o x clu y o n d o la fron tera); c) un cubo,
lim ita d o p o r lo s p la n os x = z l z 1. y = ± r l y z — d r l » in clu id a s sus caras;
d) una esfera d e ra d io 1 co n ce n tro en e l o rig e n de coord en a d a s, in clu id a
su su p e rficie . 1794. a) U u p lan o; las lín eas de n iv e l so n rectas, paralelas
a la recta a H -y = 0; b) un p a r a b o lo id e d o r o v o lu c ió n ; la s líneas de n iv e l son
c ír c u lo s c o n c é n tr ic o s cu yo ce n tro está situ a d o cn el origen d e coorden adas;
c ) p a r a b o lo id e h ip e r b ó lic o ; la s lín ea s d o n iv e l so n h ip é rb o la s equiláteras;
d ) u n c o n o de 2 o ord en ; la s líneas d e n iv o l son h ip é rb o la s equiláteras;
c ) c i lin d r o p a r a b ó lic o , cu y a s gen eratrices son paralelas a la recta z + y + i = 0 ;
la s líneas de n iv e l son rectas paralólas; f) su p e rficie lateral do una pirám id e
cu a d ra n g u la r; las líneas d o n iv e l s o n c o n to rn o s do cu ad rados; g) la s líneas
de n iv o l so n parábolas y = Cx-\ h) las líneas de n iv o l son parábolas y — C \/x\
i) la s líneas ao n iv e l so n circu n fe re n cia s C ( x 2 + rj*)=>2x. 1795. a) Parábolas
y = C - . r 2 ( C > 0 ) ; b) h ip é rb o la s x y = C ( |C ] < 1); c ) circu n feren cia s z 2+ y 2= C 2;
d ) rectas y = a x + C; c ) rectas y = C x ( x ^ 0 ) . 171MS. a) P la n os p a ra le lo s al
p la n o x ^ y + z — 0 ; b) esfera s co n cé n trica s c u y o cen tro s o oncuentra en el
o rig e n do coord e n a d a s; c ) cu a n d o u > 0 , h ip e r b o lo id e s do r e v o lu ció n de una
h o ja a lre d e d o r d el e je O I ; cu a n d o u < 0 , h ip e r b o lo id e s do r e v o lu c ió n d e dos
h o ja s , a lre d e d o r d o l m ism o c jo ; am bas fa m ilia s de curvas están d iv id id a s
p o r e l c o n o x* + y ,¿— z2 = l) (u = 0 ). 1797. a) 0; b) 0 ; c ) 2; d ) ek\ o) n o e x is te
e l lím ite ; f) n o e x is te e l lím ite . I n d i c a c i ó n . En e l p u n to I>) pasar a las
co o rd e n a d a s p ola res. En lo s p u n ios e) y f) ex am in a r las v a ria cio n e s de x
e y a lo la rg o d e las rectas y = k x y d em ostrar, que la e x p resión dada puede
tender a lím ite s d ife re n te s, que deponden del v a lo r del k e le g id o . 1798. C on ­
tin u a . 1799. a) P u n to de d isco n tin u id a d cu an d o x = 0 e y — 0\ b ) to d o s lo s
p u n to s do la recta x = y (lín e a de d is co n tin u id a d ); c) la lin ca de d is c o n ti­
n u id a d es la circu n fe re n cia ar2-f-y 2 = l ; d ) las líneas de d is co n tin u id a d son
lo s e je s de coord e n a d a s. 1800.
Indicación.
P o n ie n d o y = y , = coQSl,
ob te n e m o s la fu n ció n cpt ( x ) = 1 7 * q u e os con tin u a en tod as p a rles, ya
® 1 y1
q u e cu a n d o i / ^ O
e l d e n o m in a d o r
+
0 , m ien tra s quo cu an do
í/4= 0
(ar) ==0. A n á lo g a m e n te, cu a n d o x = x 4 = c o n s t, la fu n ció n cp3 ( y ) =
es co n tin u a e n tod as partes. P o r el c o n ju n to de la s v a ria b les s o y , l a fu n ­
c ió n z tiene una d is c o n tin u id a d on el p u n to (0, 0), ya que n o ex iste el
lim z. E fe ctiv a m e n te , p asan d o a las co o rd e n a d a s polares (ar = r coscp, y = rsen cp ),
ar-vO
y—►
O
o b te n e m o s z ~ s e n 2cp, de d o n d e se a p recia q u o , si x - * - Q e y —>-0 de manera
q u e cp = co n st (0 <1 cp
2 n ), z —y sen 2cp. C om o e sto s v a lo re s ex tre m o s do la fu n ­
c ió n 1 dependen d o la d ir e c c ió n do q>, z 110 tien e lím ite cu a n d o x —»- 0 o y —>■0.
1801. £ = 3
(x ^ -a v ). *
= 3 ( , » - « * ) . 1802. f - =
^
, £
| -= T 1805.
d*
dy
dx
y
y *-~S7 - .
(ajz-f-yz)»/»
X2 -J-y 2
y
_|.
y x* +
t =
~ dy
T ~ ~ ------------3/
(*2 + ^^3)»/*
y»)
lg 0 7 _
52 _
dx
30-1016
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•
= - - J
- y
*
- , .
F
-
1806- dx = ~- /7x =
z +^ =
y* - ’
y
x 2 + y*
dz
dy
x
a:2-(-y2
466
Soluciones
1808.
dz
^ - = y x y~ l ,
dx
*
v
1 senT
y
'_ —
C
cty
x
jni<
1811.
COS
X
- | i = * t 'l n z .
dy
'•
tQ4(,
1o I L>.
dz
1 . x4-a
— = ^ c tg --2 — ,
dx
Vy
V y
=
dz
■,1 —
dx
1809.
x y 2 y 2 x 2- 2 y 2
1814.
W l;2 ;0 ,_ -§ -,
£
tg p = co,
tg Y = -i-;
1820. -
1827. z = ^ 4 - ^
Z
2 ) tg a = c o ,
ln t,
1813.
f x (1; 2;
^
.
^
•
du
,
,
- j - = y z (xy)1 1 .
ox
In z,
/y (2, 1) = 0.
,< (,;2 :0 )— Í - .
i ~i ♦
,v
| y [ ( x * — y*)
1812.
1813.
* COS - i x
y x 2 \/2x2- 2 y ¿
• _ — “
dy
dz
x-\~a . x-\-a
— = —
Ct g — ^ .
0y
2 jV ¡/
y y
t x ( 2, l ) = y ,
1826. s = a rctg — + < p (.r)-
dz
i i / i
I y I (a: >— y * )
^ j- = ( ^ ) 2 ln (* y ).
* i.«
-| i = — \ e ^
dx
x2
0) = 1,
1 8 2 1 ...
ln z + sen f/— ¡ ^ . 1828. 1) tg cc = 4,
Z
tg fl = 4 ,
tg y = 4 - .
1829. í £ L = - L h ,
h, ~ = ~ (a-\-b). 1830, I n d i c a c i ó n . Com probar» que la fu n ­
de*
Z
Ofi
Z
c ió n es igu al a co ro en to d o ol e je O X y en t o d o el e je O Y y v alerse do la
d e fin ició n do la s d eriva d a s parciales. C orciorarse d e q u e f x (0, 0) = /y (0, 0) = 0
1831. A / = 4 A * + A y + 2A *2+ 2 A * A y + A x 2Ay] d f = /tdx + d y ; a) A f - d f = 8;
b) A / — d / = 0,082. 1833. dz = 3 { x 2- ~ y ) ¿te-j-3 ( y 2— x ) dy. 1834. dz = 2 x y 2 dx-\+ 3 x 2y 2 dy. 1835. dz = j ^ ^ ^ - (y d x — x d y ) .
1837.
dz = y 2x'J-1d x + x y (\-\-y \ ü x ) d y .
1836. dz = sen 2x d x — sen 2y dy.
1838. dz =
( x dx - \- y dy).
1839. d f = —
f d x — — d i / ) . 1840. d z - 0 . 1841. dz = ------------- { dy — ^ - d x \ .
*+ M
’J
t
* son M
*
)
X
1842.
d f (1, 1) = ífar — 2dy.
1844.
d u = — . ■ * - — ( x d x - j - y du-\-z dz).
i/ x 2-\- f/2+ 2 2
x [ ( y + t )
1846.
du ■=
du = yz d x + z x d y - ^ x y dz.
1845. du = { x y
^
z d x + ( 1 - ! ^ ) x z d l J + [ x'j + t
( y d x + * dy - 2-y - d i) ,
= ~ ( 5 d z — 3 d x — 4dy).
Zo
1843.
) ln ( ^
+ T
1847.
1850. -g - cm .
X
) dl]
d f (3, 4,
1848. di = 0,002 era; A i = 0,065 cm .
(c o n re la ció n a la s d im en sion es in toriores).
~ }
y *
•
5) =
1849. 75 cm »
Indicación.
Suponor que la d ife re n cia l de su p erficie del sector es igu al a ce ro y do
a q u í h allar la d ife re n cia l del ra d io.
1851. a) 1,00; b) 4,998; c ) 0,273.
1853. C on exactitud hasta 4 m (más exactam ente 4,25 m ).
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1854.
ti
- g y ig
.
Soluciones
1855.
«fa = —
p
(« fo c o s « — «te se n o ) .
,8 5 7 .
a;2- ) - i/3 • S
1863’
W
,8 5 8 . * - 2 , t o ^
l+ Ü 2 ± ^ £ l+
• 1859. 4 r = 0- *860. - ^ — (sen x ) c0SX (eos a; c tg x — sen a: ln sena;).
1861. «
¿te
1864.
1856. Í Í = £ Ü Í * £ Í Z ^ i .
dt
t la 2 1
( , _ £ ) .
+ ^ "7 T ^ 7 ~
467
■- r
h
■m 2- S
-
2 s / u ( a , i ; ) + y « * t f / ¿ ( K , i>);
Í1 _ 0 ,
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— 2y /ú ( u , * ) + * « * ! / / ¿ ( « , ¿>).
* ■ _ !.
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,8 6 5 .
= ( * + 4 “ ) f ' ( * y “i~ ~ e ') *
e - * ' [ ” ' <*> i " * + t ] ■
1867*
| i = „ ( ,- A .) r ( « 4 + i
=
^ * )+ < P ' ( * ) / ¿ X x t
)
;
z) +
+ /* (* > y , z ) ^ ^ , y)+ i| > ¿ (^ . ^)<p' (« )I - 1873. E l p erím etro crece c o n una
v e lo c id a d de 2 m /s e g ., e l área aum enta c o n la v e lo c id a d de 70 m 2/s e g .
1874.
l + 2 í2 + 3 *4 .
l / l + í 3+ /4
1875.
1878.
3 ¿ !.
¿
- 3 ^ .
O
1879.
2 0 ^ 5 - 2 1 / 2 k m /h o r a . 1876. — ^ 1 .
^
1880.
1881.
lo
1877. 1.
¿ o s a + c o s p + cosy
«3
<
1882. a ) (2 ; 0 ); 1>) (0; 0 ) y (1; 1); c ) (7 ; 2; 1). 1884. 9 « — 3 ¿ . 1885. i - ( 5 1 - 3 . / ) .
1886. 61 + 3 . / + 2fc.
1888. cosq> = —
y io
a b ey 2
1887. | g ra d u | = 6; eo s a = - | - , eo s p = —
.
1889. tg q> s s 8,944; <p ^ 8 3 °3 7 \
# d2z
(62a:2+ a 2y2)a/2 ’ 3* dV
2 (y — » 2) .
(a¡a + íí)2 ’
( 2 x y -\-y2) 3/z
dz2
abcxy
1894.
*2*
dxdy
.
i/)2 ’
a
dH _
3y2
1S98.
1891.
1
(s2 +
y)2
vx*
=
d2z
* 1S92. -T—TI=S
(62x2+ a 2y z f/ i ‘
1895. £ - ± = 5 ? .
dx*
r3
d % :_
d2w _ d*u __
* dzdy
d y dz
dz d x
'
abex2
(b * x 2 + a * y Z )3/i ' dV'1
2*
(* 2 +
dxdy
522
eos y = - 3 - .
' ¿te2'
lg 9 3
'
1896.
'
dH
dx Oy
* »
dx 2 ¿ y 2
d3r¿
a _ í 6 _ i Y_ i
d x d y d z ~ a $ yX
V,
z
— x2V c o s ( x y ) — 2 z s e n ( x y ) .
1899.
f x x (0, 0) = m (m — 1);
/ í y ( 0 , 0) = mrc; /y y ( 0 , 0 ) = w(i& — 4). 1902. I n d i c a c i ó n . C om probar» u t i­
liz a n d o la s roglag d e d e r iv a c ió n y la d e fin ic ió n de d e riv a d a p a rcia l» q u e
íx (2 , y) = y
+ ( S ¿ + y 2)8' ]
(Cuando a a + y 2 =¡f c ° ) ' / i ( 0 , 0 ) = 0 y , p or
co n sig u ie n te » f x ( O t y ) = — y cu a n d o x = Q y para cu a lq u ie r
/ a y ( 0 » y ) = - 4 , en p a rtic u la r , /Sry (0 , 0 ) = — 4. A n á log a m en te,
f x y (0 , 0) = 1 .
y . De d o n d o
h a lla m o s q u e
30*
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468
Soluciones
*003. ^ 4 ¿ —2 / ú ( « , y) + 4a:2/u u (w t ») + 4 x y f u o ( u , v ) Jr y V v v ( « » ^);
jj-
^ = /Ú ( k , ií) + 4 * í/S t t ( a , f ) + 2 ( * 2 + 5f2) /tt»(M , p ) + a : y / í v ( u , u);
¿)“2
^ = 2 / u ( íí ,
4 í/2/Ú u ( w, ¿j) + 4^ í/ / u ü ( m? » ) + * * /» » { » » * ) -
= f x x - \ - 2 f x z <i>x +
1904.
^2r
1905.
lj) +
//
l i‘ z (<pjf)a+ /s <pJC
«*.
«
/
/
= /« u (<p*)2 + 2 /ti® q>xl|>a: + /tnj (l|fct)2 + /u Cpxx + /» ^Ja-xí
= /üu <pí q>¿ + /un ((pi ^ - f ♦*«PÍr) +
+ fu <ixy + fv^xy)
02z
ég £ = 3 ruu W y P + W n tt'y V y + r n ( % ) 2 + f W v u + K % r
1914.
u (x, y ) = y ( x ) + y b ( y ) .
1015.
u ( x , y) = z y { y ) + t y ( y ) .
1916. d h — ex^ ](y d x -\ -x d y ) 2+ 2 d z dy]. 1917. tfiu = 2 ( x d y dz -f- y dx d z - \ - z d x d y ) .
1918.
( t ) ( x d x + y d y ) * + 2 y ’ (t) [d x*-\-dy2).
x (t fla -y .d « + * ln ^ -d | f) ;
+ 2 { x y ln
ln
1919.
dz = ( —
* * = ( - £ - ) * " [ ( y * i na ^
dx d y +
J
*n2_¡^ ------- ^ “ )
un (w, t>) c%2-j-2<z5/u?; ( w, i5) d x d y~f" 52/dü (
+
J L ) * :* +
*
1920.
v) d y 2.
d2z =
1921. d 2z —
= ( y e * h + ¿*vfuu + 2 y e * + y fu v + y 2e 2Xf l x ) d & + 2 (eVf'u + e*fv + x e 2V f u u + e x+V X
X ( 1 + x y ) f u » + y e * * f n ) d x d y + (x e V fi + * * * * "& » + 2 x ex+ vfúv + e2Xfvv) dy*
1922. d*z = ex (e o s y dx* — 3 se n y dx2 ¿ y — 3 eo s y dx dy2 - f - sen y dy*). 1923. d 3z =
= — y e o s x d x * — 3 sen z (te2 d y — 3 eos .y d x dy 2 + s sen y d¿/3. 1924. tí/ (1; 2 ) = 0;
d2/ ( l ; 2) = 6¿ r 2_j_2r ^ á í/ + 4 , 5 ^ 3 .
1925. d 2j (0, 0, 0) = 2 d z2 + 4dy2 + üdz2—
— 4 d x ¿ j/-f-8 íía :d z + 'id!/cíz.
1926. xy-\ -C .
1928. ~ ¡ - ^ + l n { x - \ - y ) + C .
1930. - Í - + C .
1927.
1929. - | - l o ( s 2 + y*) + 2 a r c t g - Í - + C.
1931. " l / z ^ + p + C.
1932. a = — 1, i = — 1, z =
1933. a í + ^ + z S - f i y - f - i z + j / 2 + C .
1937. Y x * + y 2 + z* + C. 1938. & = — 1.
de
d ife re n cia l exacta
para la
g* ^
2- -f-C-
1934. *3 _|_2x i / H ' 3 » + y 2— y z — 2 z + C.
1935. a ¡ V — 3xy2z + 4x2y a + 2 a :-f y + 3z-|-C .
cio n e s
x 3y — |j— l-s e n s -J -C .
1936. — + — + — + C.
y
z
x
Indicación.
E s c r ib ir las c o n d i­
ex p resión X d x + Y d y .
1939. f'x — /y .
xy
1942.
b 2 x .
—
<z2*/
s - ;
d '2 V
dx2
j- *
b4 .ñ
=
a¿y3
-
í o /i
d y
\ /t í(z)\ da z - 4\ - rC ,
1941.
—
J
a
La ecu a ció n quo determ ina a
u —
-
1940 .
d * y
- r ,,
ttó1
35%
* r - s =
a4í/5
y , es la ecu ación de u n par de rectas.
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n r •
469
Soluciones
dx
ó
— 1;
'» •
1Í)44 . ^ = - J U
1 — x y * -*
dx
( § )
= 8
\ d ¿x ) Xm,\
í
1/ .
x *
-
ó
-8 .
üx
dz
xx ~
1951.
d2z
d y 2 ~~
.
1953.
h \¿r
p L = * - .
:
dx2
S =T :
dz
dx
i
;
[ ^ ± f í^ ± p
.
a x — yi/
dx2
(^i^:— 1/)^
J O .- x 2 — Vz .
dz — 9y2— 3 x2 — 2
0x x y — z2
1
dy
3 ( x y —-z ¿)
'i’ i ipí
d * t= { ~
1962-
*
1
dy
2
c*xy
fl2¿;223 •
Jir d y , d*z
. 1954. d z = ~ — d x — ^
z
z
)3 ( d x 2 + 2 d x dy + dy*).
*y -
dx’
u-u
d2u
W
~
VU
dv
.
^ 0' ~
t/V
dv
*A.
d y ^ '
i ; Ty
~
(i
a) z r - = —
7 dx
C) ,iz = ¿
'pu
'p ;
c e os y
c son v
u
d2v
dx2
~
d2v
2;
” * dx dy
son (p
r
g
= ^ (r .
’ p;
♦¿
3*
2 ( l’ +
1967.
tp) s e n ( ? + / ■ ;
(r,
“ )i
_
2» S
dy - « -
•+2 ( £ ) ’ -
i»
£ - » •
i8 7 2 -
-
c p ) ^ .
«p;
’ p;
1
T (u -u );
d j/
(P)COS-P-
^ f r ( r ,
c
dy-
g
Q2¡*
i ; ^ = 0. 1904. du =
dy2
'pu
Si
b) d x
- d2z=
| = | = i;
= — i . eos 9 c tg S>; ÉL = _ i - son cpctg * . 1969. g f
1971. a) J 4
=
;
t
r Iel‘_U ( f+ “ ) ^ + « “+0 (« -« )* ]-
F ¿ (r , 9)
1961. | | = o o ;
d2= j f e r r f j )rfa:; ^
1963.
y dx 4
T T í/ ^ ’
+ y
tu
d**.
1965.
+ y)2
1966.
= 3
dx
a
dx dy
\ d x ) x=* 1
dx2 — 2 Í í > d x dy 4
1956. rfz = ^ ( d x + d p );
d2u
,945.
(1— y)*
dz = x s e n ¡ / - c o _ S i > W M - *
dy
c o s x — y sen 2
0x
d2s c4 (í>2— y2)
_
d2z
c2y
a2b W
;
dxdy~
b2z 'dx2“ ~
eos x — y sen z
c2x
dz _
a 2z
oy
c* (a2 — x 2)
a 2b2z3
y 2— a2
1946.
¿ ay _ 2y
</xa
x2 *
z sen x — c o s y
1949.
y— \
1968.
02
u = 0. 1970. g
« s i* -? --
1973.
= 0.
a:
=
£
17r - w i - £ ¡ r - 0' im5- “ S —
, m■ S + -Í *
[-+ (■ & )■ ]
0<p2
1 4 — = 0.
r dr
1977.
d2z——771— 02
r—T
-r- .
du du
¿u dv
í « - o l,“
19/8.
—’ = 0n.
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du
i.iTfi
1979.
-r-r
dv2
0.
47 0
Soluciones
1980.
198L a) 8 * - 4 * - * - 5 = 0 ;
n x — ^ y — 3 z— 4
- 6z = 0; _
= —
=
_ y — / i sen a
3— J?
sen a
0
‘
c2
± - r — A ••■•.=====.
1983.
y « 2 + ¿2+ cJ 2
.
o)
; b) 3 z + 4 j/-
.
a?— fíe o s a
x coa a ~f y sen a — H= 0,
C08g
=
a2
lgg2
‘
62
+
2 s + 4y-|-12z — 169 = 0
T » -T
y aa^^ a_|_ca T
1985.
* + 4 y + 6 z = ± 21.
1986. a: zfc y ± z = ± l / « 2 + 62 + ^2. 1987, En lo s p u n io s (1; ± 1 ; 0) lo s p lan os
tan gen tes son p a ra le lo s al p la n o X O Z y en lo s p u n tos (0; 0; 0) y (2; 0; 0)
a l p la n o Y OZ . La su p e rficie careco do p u n tos en lo s cu a les ©1 p la n o tan­
g e n te
sea
p a ra le lo
p la n o X O Y :
al
XOY.
X{/
f z~0,
i o
1991.
j —o
r
La p r o y e c c ió n
5.
- «j
1994,
L a P ro yecció n
sob re
el p la n o
La
p r o y e c c ió n
sob ro
XOZ:
el
s o b re
p la n o
el
YOZ:
f y==0,
» 0 2
Indicación.
La lín ea d e co n ta cto de la s u p e r fic ie co n e l c ilin d r o , que
p roy ecta esta s u p e r fic ie sobro a lg ú n p la n o , representa de p o r s í e l lu gar
g e o m é tr ico do lo s p u n to s, en fo s que e l p la n o tan gen te a la s u p e r fic ie dada
e s p e rp en d icu la r a l p la n o do p r o y e c c ió n . 1996. f ( x + h, y + k) = ax2 - f 2bxy +
+ cy 2 -{-2 ( a x ^ b y ) h-{~2 (b x-\ -cy) k -{-afi2 -\-2bhk~]-ckz. 1997. / (x , y ) = 1 — (z-\+ 2 )2 + 2 < * + 2 )(y -l) + 3 (y -l)2 .
1998. A / (* , y ) = 2 h + k + h * + 2 h k + h * k .
1999. /< * , y, z) = (x — i)* + ( y — l ) * f ( z — l ) * + 2 ( x - ~ l ) { y — l ) - ~ { y - - l ) ( z — í ) .
2000.
f(x+h,
y + l f,
z + l) = / ( * , y , z ) + 2 [h ( x — y — z) + k { y — x — z) +
+ í { z - « - ? ) H - / ( A , A, 0 , í ‘ + 6 í% H l4 ^
2003>
2001.
y + * y + 0
y
■ 2002. 1 ---------^ ~
1 + ( F _ 1) + (;s_ 1 ) ( y _ 1)_
+ (y + i ) ? + r ( « - l ) y + C 1 V ^ - 0 ± f e + l ) P .
2004.
2005.
a)
+
! + ! ( * — 1) +
a r c tg * ± | *
<«+P)—\ («2- P 2); b)) / (1 + « )Tn+ (1H-P)" *, 4+.* (mw+np)+
+ j ^ j { ( 3 w 2— ím ) a 2-— 3mrta{5+• (3rc2— 4n ) f5sJ. 2006. a ) 1,0081; c ) 0,902. I n d i c a c i _ ó n . U tiliz a r 3a fó rm u la de T a y lo r para las fu n cio n e s: a) f {x, y) =
= ~\/x'pry on un en torn o d e l p u n to (1; 1); b ) f { x >j r t = y x on un en torn o del
pu nto (2; 1). 2007. z = l + 2 ( * - 1 ) - ( y - i ) - 8 ( * - 4 ) 2 - f - i O ( * — 1) ( y - 1 ) —
— 3 ( y — l ) 3- f . . . 2008. zmín = 0 cu an do x = l , y = 0. 2009. N o h a y ex trem os.
2010. zJBÍn= — 1 cu an do x — í e y = 0. 2011. zmáx = 108 cu a n d o x = S e y = 2.
2012. zm ftl= — 8 cu a n d o x — “[ /2 , y — — “| /2 y cu a n d o x = - —
C uando x = y = 0
a
b
n o h a y e x trem os.
m
w_
a
2013.
b
Q y — ~]/2.
zmSx= —^ 7p en lo s pu ntos x==
3 ~\/3
ab
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Soluciones
2015. z m [n = 0 cu a n d o x = y = 0; un m á x im o a m p lio í = | e n
la
c ir c u n fe r e n c ia
x 2 -f-y 2 = l .
2016.
cu a n d o
lo s p u n tos d©
x=í,
y = — 1.
2016. 1. z mín = 6 cu a n d o a: = 4 , y = 2. 201C. 2. z m óx;= 8<2“ 2 cu an d o x = — 4,
1/ == — 2 ; n o hay e x tr e m o c u a n d o x = 0 , y = 0.
=
2
1
! /= - y
y
z= l.
2018.
u mín = 4
2017. wmin = — ^ cu a n d o x =
cu a n d o
1
z = -j,
i/ = l ,
z = 1.
2019. E sta e cu a ció n d e te rm in a d o s fu n c io n o s , d e las c u a le s , una tien e
m á x im o ( * ^ * = 8) cu a n d o x = l , y = — 2 , y la otra , un m ín im o (zraín — — 2)
cu a n d o x = l , y = — 2; en lo s p u n to s de la circu n fe re n cia ( x — l ) 2 + ( j/- f - 2 )2 = 25
cada una d e esta s fu n cio n e s n e n e u n ex trem o en la fro n te ra , z = 3 . I n d i ­
cación.
Las fu n c io n e s que s e m e n cio n a n en la respu esta se dete rm in a n
e x p líc ita m e n te p o r la s ig u a ld a d e s z = 3 ¡± "1/25 — ( x — l )2— { y + 2)'2 y e x iste n ,
p o r c o n s ig u ie n te , so la m e n te d e n tr o y en la fro n te ra do la c ir c u n fe r e n c ia
( x — l ) 2-f- (y + 2)2 = 25, en c u y o s p u n to s am bas fu n c io n e s tom an el v a lo r
z = 3. E ste v a lo r os e l m e n o r para la p rim era fu n ció n y el m a y or para la
se g u n d a . 2020. Una de la s fu n c io n e s d eterm in a d a p o r la fu n c ió n tie n e
m á x im o (z máx = — 2) cu a n d o x = — 1, y — 2 ; la otra tie n e m ín im o (zmín = 1)
cu a n d o x = — 1, y = 2; am bas fu n c io n e s tie n e n e x tr e m o en la fron tera on
lo s p u n to s de la cu rv a 4 x 3— 4 y 2— 1 2 x - H 6 y — 33 = 0. 2021. 2máx = X
cu an do
j
x = y
• 2022. zmás = 5 cu a n d o x = l ,
y = 2\ zm ¡n = — 5 cu a n d o x = — 1,
y = — 2. 2023. z mín = |jj cu a n d o * = :|f >
202** z múx=
cuaildo
7ji
9 ji , .
2 — 1 /2
x * = y + /cn, í/ = - g - + * íi; z ,nin=
2-------
,
3 ji
.
cu a n d o * « - § - + « « ,
2025.
z = — 2;
um ín = — 9 cu a n d o
/ / = — 2, z — 2.
t = í/= 0 ,
2026. wmáx = a
2 — z t.c .
202«- “ ,n«* = 4 |
Y ;
t )
x = — 1,
2027.
y = 2,
cu a n d o
z = ± ú ,
n mál: = 2 - 4 2-63
o " lo * Pun‘ os
(t ; T ;í )
;
5jt .
u raúx = 9 cu an d o
p = z = 0;
cu a n d o
y
x = 2,
x = l,
n niín = c cu an do
y = 4,
( í ; T ; 1 ) ;
z = 6.
( I :
; Km f n - 4 en lo s p u n tos (2; 2; 1) (2; 1; 2) (1; 2; 2). 2030. a ) E l v a lo r
d o l m á x im o a b s o lu to es z = 3 cu a n d o x = 0, y = 1, b ) ol v a lo r d o l m á x im o
a b s o lu to es z = 2 cu a n d o x = l , ¡/ = 0. 2031. a) El v a lo r d e l m á x im o a b s o lu to
es z
^
2
cu an do x =
e s 2 = — — 0 = cu a n d o
±
x = i
; el v a lo r dol m ín im o a b solu to
j / y
, y = , — j / " - i . ; b ) el v a lo r del m á x im o
a b s o lu t o 63 2 = 1 cu a n d o * = ^ 1, y = 0 ; el v a lo r d e l m ín im o a b s o lu to es
z = — 1 cu a n d o x = Q> y = ± 1. 2032. E l v a lo r del m á x im o a b s o lu to es
2
cu a n d o ar = y = - y
(m á x im o
in te r n o ); el v a lo r del m ín im o a b so-
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472
Soluciones
lu to es s = 0 cu an do x ~ y = 0 (m ín im o de fro n te ra ). 2033. E l v a lo r del
m áxim o a b so lu to es 2 = 13 cu a n d o z = 2, y = — i (m á x im o d e fr o n te r a ); el
v a lo r d el m ín im o a b s o lu to e s z — — 1 cu an do x = y = l (m ín im o in te rn o )
y cu an do £ = 0, y = — 1 (m ín im o d e fron tera ). 2034. C ubo. 2035. tfr 2 V f | /2 F ,
y
f 2 V . 2036. T riá n g u lo e q u ilá te r o . 2037. Cul)0. 2038. a ^ V i - Y a - Y a - Y l .
2031) •
m
(~ T ''
t ) -
2040 . L o s la d o s d e l triá n g u lo son :
2041. j - ^ 1 + ^ 2 ^ + ^ 3
'” 1 0 1 + ” *202 + ^ s
2042.
/n1+ m 2 + / » 3
*
'
’
2043. Las d im en sion es d e l p a ra le le p íp e d o son
1 /3
y
c
so n
lo s
2045. x = ±
se m ie je s
d ol
e lip s o id e .
2044.
^ , y- ± : —
. 2046. E l e je
*[/2
1 /2
“[ / 3
p, y - p y
.
— 4 -A •-1 = 3
a
ó ~r c
JÍ£_
1 /3
d o n d e a, 6
y = 2 6 + |T2F,
z=
.
¿»
m a y or os 2a = 6, e l e je m en or,
26 = 2. I n d i c a c i ó n . E l cu ad rad o de la d ista n cia del p u n to (x , y ) de la
o lip s o a su ce n tro (o r ig o n d e co o rd e n a d a s) es igu al a z 2 + y,¿. E l p rob lem a
se redu ce a buscar e l extrem o de la fu n ción x 2-\-y2y co n la c o n d ic ió n de que
dz2
-f- S x y -{- 5¿/2 =
0. 2047. E l r a d io de la base d e l c ilin d r o es
¿
la a ltu ra , R l / ^ 2 ------y ,
don d e R
V 5
1
1 \
Í
do
v2
Indicación.
Y
la
parábola
8
co n
. 2049.
el p u n to
LUS p
-\— ~
yo
,
/1 1
5 \
f - g - ; — -g -j
V 2 7 3 Ü . 2050. 5 2 2 * =
14 K
sen {5
E s e v id e n te , qu e el p u n to M> en q u e el ra y o pasa
de un m e d io a o tr o , d eberá en con trarse entre A t y B iy s ie n d o A M
BM =
2
es ol ra d io de la esfera . 2048. E l canal
do la recta: su lo n g itu d es ig u a l a
°
a
= — .
^ -7 /
eos a
, A ^ M - a tg cc, B iM = b t g £ . La d u ra ción del m o v im io n to del ra y o
es ig u a l a ——
j------- - — 5- , E l p rob lem a se redu ce a b u sca r ol m ín im o
D
v { eos a
y2 co s P
de !a fu n ció n / ( a , 6) = -----1--------- — ^ co n la c o n d ic ió n de q u e a t g a - f
'
r/
zq c o s a
t?2 co s p
i
o
i
-f-6 t g P = c.
2051,
a = p.
2052.
I t : lo : l 3 = - ^- :
~
Indicación.
H a lla r e l m ín im o do Ja fu n ció n / (71, / 2, 73) = / ? / ? * + 7|/Í2~WÍ»^3* ^0Ii la
co n d ic ió n de que 71+ / 2+ 7 3 = 7. 2053. Un pu nto a is la d o (0; 0 ). 2054. Punto
do re tro ce so de 2a esp ecie (0; 0 ). 2055. P u n to ta cn od o (0; 0 ). 2056. P u n to
a is la d o (0; 0). 2057. P u n to cru n o d a l (0; 0). 2058. P u n to de re troceso
d e I a especio (0; 0). 2050. T u n to cru n od a l (0; 0 ). 2060. P u n to cru n od a l
(0; 0). 2061. El o r ig e n de coorden adas es un p u n to a is la d o , s i a > 6, un
pu nto de re tro ce so de I a esp ecie, s i a = b y un pu nto cru n o d a l, s i a < ^ b .
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473
Soluciones
2062. ¿ i ontre la s m agn itu des a , b y c n o h a y ¡gu ales en tre s í, la curva
n o tie n e pu ntos sin g u la re s. S i
=
A (a, 0) es un pu nto a is la d o ; si
a < ^ b — c y B( b > 0) es un p u n to cru n o d a l; s i a = b = c, A (a y 0) es uu pu nto de
retroceso de I a esp ecie. 2063. y ~ - ± x .
2064. y i¿= 2px. 2065. y = z t R 206G. x 2/* + y2/3 = l 2/*.
2067. x y =
*$’ . 2068. Par de h ip érb ola s equiláteras
co n ju g a d a s, cu yas ecu a cion es, s i lo s e je s de s im e tría de las elip ses se tom an
S
c o m o ejes de co o rd e n a d a , tien en la form a x y = z t ~ . 2060. a) La curva d iscr im in a n to y = 0 es e l lu g a r g e o m é tr ic o do lo s p u n tos do in fle x ió n y la
e n v o lv e n te de la fa m ilia dada; b) la cu rva d iscrim in a n te y = 0 es el lu gar
g e o m é tr ic o de lo s pu ntos cu sp id a los y la e n v o lv e n te do la fa m ilia ; c) la
cu rv a d iscrim in a n te y = 0 es el lu g a r g e o m é trico de los pu ntos cu sp id a los
pero n o es la e n v o lv e n te ; d) la cu rv a d iscrim in a n te so d escom p on e en las
rectas: x = 0 (lu g a r g e o m é tr ic o de lo s pu ntos cru n od a les) y x = a (e n v o lv e n te ).
2070, y = $ — § ^ .
¿g
¿vj
2071.
7 4 ^ 2072. Y 9 + 4 ^ . 2073. Y ? i ( e l — 1). 2074. 42.
ó
2075. 5. 2076. x 0 + z0. 2077. 11
• 2079. a) recta; b) p arábola; c ) elip se;
d) h ip é r b o la . 2080.
; 3)
a ° ; 2) a ^
= {lT b c) + ( a d
J ¡ c ) + ( ab 7t ) *
y = 4sen l
(e lip s e ); v = 4 J ,
2082#
~
a»+a ~
4t (c2 + 1 ) ’
. 2081. ^
2083‘
w = — 31 cu an do 1 = 0; v — —
w = — li-L -T í — 2 1 / 2 J cu a n d o t =
v — — 3¿, w = — ^ j
(abe) -
* = 3 cos 1;
i+ 2 y
cu an do t = - 5 - .
2084. x = 2 c o s 1, y = 2 sen 1, z = 3 l (h é lic e cir c u la r ); t> = — 2 i s o u 1+ 2 ./ c o s 1 +
-f-3 /c; i^ = 1 /1 3 para cu a lq u ie r t\ w = — 21 co s t — 2J sen t\ w = 2 para cu alq u io r 1, v = 2 J - \ - 3fc, m>= — 21 cu an do 1 = 0 ;
2 1 + 3 A :, w — — 2 Í cuando
l = —>. 2085. a: = co s a co s coi; y = sen a co s col; ? = sen coi (c ir c u n fe r e n c ia ); v =
¿i
— — col co s a sen col—w / son a sen cof+cofc co s col; u=| co |; « > = —oj2í co s a c o s c o l=
— cú2J son a co s col — <o2fc se n col; w = co2.
u/x s & = 0 ; w z = ~ g ' y
c id a d angular
2090. t =
2
do
+
2086.
v = ] / **0 + vvo
w = g. 2088. ( ú ' \ / a * + h * t don d e
r o ta c ió n
del
v = —
t o r n illo .
2089.
=
cs
la v e lo ­
y a2co2 - j - — 2uco¿'o sen col.
{ 5 = ^ ( i — íc). 2091. t = +
[(eos t — s o n í ) * +
¿
y 3
+ (sen l + co s t )
i + fc j;
eo s (tT z ) = - ^ ;
cos ( v ^ ) = 0 .
v = —
[ ( sen t + c o s ¿) í - f (sen l — co s 1) ¿ I ;
2092.
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— i v=
.
Soluciones
474
— 2¿ + l c
x — fle o s í
y — asen í
z — 6í
0 = - -----+ — . 2093. ------------— r = - -------------— — — j—
*
-j/ 5
— u sení
a cosí
b
y — a son t
= - — =-------— bcosí
z — bt
1V
(b in o r m a l):
v
n
a
/4.
acosí
(tan gen te) — -------- — —
K b
n
b son t
x —a cosí
y — a sen t
---------- -— = - --------- *
cosí
sen í
z — bt .
.
= — tt " (norm al
O
p rin cip a l). L os cosenos d irectores de la tangente son : c o s a =
co s fi — —a.P0S. - - ■ cns y — —- —
y aa + & *
y^ + 6 2
L os cosen os d ire cto re s
.. ;
y a 2 + 62
de
la norm al
p rin cip a l so n : c o s a ^ c o s í; co s B t = s e n í; c o s y i — 0. 2094. 2a;— z = 0 (plano
n o rm a l);
y — 1 = 0 (plan o oscu la d or); x - \- 2z — 5 = 0
(plano rectifica n te).
2095.
= ~ Í = ~ ^
(ta n gon te);
a ;+ 4 y + 122 — 114 = 0 (p la n o n orm a l);
t*
í3
£*
y — o* 2 - * t
2096. — ^ — = — - —•— — j — (tan-
* — t*
1 2 s — Gy + z — 8 = 0
(plan o
f*
gen te);
z—
*--4
í* + 2í
£3
£2
£4
y ~
z~ j
— — = — — — 7 (norm al
1 — í*
-2 £ 3 -¿
'
=
Mi
=
;
— j ;
y ) ;
(tan gen te); x + y = 0
(n orm a l p rin cip a l);
1
p rin cip a l);
£3
X~ T
±
y
"
_ 2t
12
(b in o rm a l);
2097.
oscu la d o r).
1
= — ; c o s p2» — , co s y 2 =
0 .2 0 9 8 .a)
=
R
* — 2"
—
(4 ;
(plan o
=
2) .
oscu la d o r);
=
(b in o rm a l); cos a 2 =
R
2~
y
1 ;
= — g— =
x y 2 - 2 = 0 (p lan o n o rm a l); b) —
V2 D
2 ------2~
(tangonte);
( t angent e) ; x + y-\-4z —
-->10 = 0 (p lan o n orm a l); c ) * ^ l = - —
( t angont e) ; 2 y 3 s +
+ y — 2 V 3 , = 0 (plano norm al). 2099. x-\- y = 0. 2100. x — y — z y 2 = 0.
2101. a) 4x — y — 2— 9 = 0; b) 9 * — 6y + 2z — 18 = 0;
c ) b'2x $ x — a2ygy +
_f_(a 2__¿, 2) zgz — a 2¿*2(a 2_ ^ 2). 2102. 6 x — 8y — z + 3 = 0
(plan o oscu la d or);
^ ^ = ^ ■ = ^ 5
(norm al
p rin cip a l);
(b in o rm a l).
uj — 0 *1
2103. bx— z = 0 (p lan o oscu lador); x _ q r (norm al
(b in o rm a l); t - . ^ + Ü Ü - ;
l/i+ 6 a
ft = — h i ± J t ; v = J .
y i +62
p rin cip a l);
a ) 1 / 2 ; 6) L ® .
2108. a )
K = e^ p - \
bz — 0
^
"I
j-
2106. 2 * + 3¡/ + 1 9 í - 2 7 = 0.
-
2107.
x
T = e—
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í
;
b> K = T ~
2«ch*t
S o lu c io n e s
2109.
a)
wt = 0,
475
f l - p - l g ± « g ; b ) f l = p = (P Í + g ) .3 , 2 1 1 1 .
u>„ = 2
cu a n d o
^
1
/" 1 9
K = — y
^
í = 0;
. 2112. * = 2,
22
w^ = 2 y
/~ Í9
54
cu a n d o t = l .
Capí t ul o Vil
2113.
4 ~ . 2114. l n | | . 2115. ^ ¡ . 2116. y .
2120.
i . 2121. * = J L — 1; * = 2 — y; ! / = — 6; j/ = 2. 2122. 1/ = »*; 0 = 3 + 9
x « = l;
x — 3. 2123. y — x\ y = 10 — 3?; ?/ = 0; y = 4 . 2124. ^ = -| -; y — 2x\ x = l
x = 3.
2125. y = 0; y = y 2 5 = T 2; x = 0; x = 3. 2126. y = x 2; í / = :x + 2; x = — 1
1
x = 2.
2127.
1
=
2
2
f d x f / (x , y ) dy.
2
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jj dy jj / ( x , y ) d x +
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/ ( * » y ) d x = jj dx
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/ ( x , y ) d x - ¡ - j j dy
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Soluciones
476
2
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/ (x , y ) dx.
477
Soluciones
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0
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^
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y
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1
2144.
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^ dz
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0
1
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^
ó
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2145. i - ,
2146.
2147.
a. 2148.
.
a r e s e n yy
-\n>
2149. G. 2150. ~ . 2151. Ir. 2. 2152. a) — ; b ) l o " 5()1G; o) 2 A . 2153. 5 J l Í ' p 5.
3
T 'i - ( z - 2 ) 2
2154. ^ d z
x y dy = -^ - . 2155.
2.níí
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(S)
ú ltim a
^
o
so
x = 7 ? ( f — s e ni ) -
2157.
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2160.
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O
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donde esta
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1
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2159.
2158.
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2
^
^
o
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R ( l —c o a
y dy = ^ i ? ( l — c o s í ) d ¿
o
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a *\/2cz. 2156.
2n
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r / ( r eos (p, r sen (p) dr.
0
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2161.
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4
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2162. jj dtp
r / ( r 2) d r .
31
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2163.
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^
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478
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2164.
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(r cas q>, r sea cp) dr.
2166.
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2169.
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J = abr.
J14-0
L
2172.
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J
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\r /{ r co s <p, r sen <p)dr-f- \ ¿<p
a cos
2
$ ti
4
L os
V ^ ~ 2 0 ) ■— - . 2171.
lím ites
de
Indicación.
in teg ra ción :
0 < ]cp -< !2 rt,
El
0 < X !1 .
1 -ü
^ dv
«
^ / (w — « y , mi?) udw. R esolu ción . Tenem os x = w ( l — y) e y = uu\
o
1+ a
el ja c o b ia n o 7 = u. D eterm inam os lo s lím ites de m en fu n ción y: m{1 — y) = 0
cuando 2 = 0, de donde w= 0 (ya que 1 — v =£ 0); m
cu an do 2 = a. L os
lím ites de variación de y: c o m o y = a x , My = ccK (l — y), de don d e y
1
para y — flx hallam os, y = j - L . 2173. / —
+ P
2—u
1
1
-j-^
,
J •
“ j “ )
—u
-1
/ ( —g—- » *™2* ~ )
r fy
’
u
du
0
u—2
2 -u
1 + a
2-H>
-V
Indicación.
Después del
ca m bio
Ó
v
de v aria b les, las ecu acion es de lo s la d os d e l cuadrado serán: u = v\ a + y — 2
u — y = 2; u = — y. 2174. ab £ ( - p —
arct g
La ecu ación
eo s2 <p— ~
lím ite
do la cu rva es r4 = r* ^
] • Resolución.
in fe rio r para r es 0 y e l su p erior,
Com o r debe ser rea l,
y2
sen2 (p j , de
donde ol
os2 <p— |^-sen2 tp.
eos2 <p— - p - s e n 2 c p > 0; do don d e, para e l prim er
ángulo coord en a d o, tenem os q u e
A con secu encia d e 1a sim etría
I
del cam po de in teg ra ción co n resp ecto a lo s e je s , se puedo ca lcu la r -j* del
tota l
de
la
in teg ra l,
lim itá n d ose
al
prim or
cuadrante:
\\dxdy =
(S)
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a rctg T7T
= 4
\
] / - | - = o S 2 < p - - ^ . a e n 2<f
d<f
^
0
2
2181.
^ dy
o
u
Yy
a
y—2
2177.
Jd*
J
Indicación.
E fectu ar
dy.
2176. a) y
; b) ( 2 + - J ) a * .
a -x
4 y — yÜ .
el ca m b io
- 1 « s < 4 . 2180. y
2183. — n a K
de v a ria b lo s
2184.
6.
i - ( ó — a) ( P - a ) . 2187. y (P -
a ) ln y
.
2203.
- 8^
do
2193.
2188.
(6 1 / 3 - 5 ) .
a
2194. y . 2195. ~
- . 2199.
2200.
y J t a s (2 \ / 2 - l ) .
2207.
2211.
lOn.
v=
[ dy ^ ( 1 — x ) d x =
tí
X
= | dx | (l — x)dy.
2198.
2185.
l
0
1
V l5 .
x — 2 y = u, 3 x + 4 f/= st> .
1
2186.
<** +
128
. 2178. ~ a2. 2179. n . I n d i c a c i ó n .
2182.
^
_ yy,
/ o * —*a
0
3 (y -+ i-j.
y -
J
a b r d r • 2175- a) 4 - | ;
+ ¡j dt, J d x ; b ) - 2 p — y . ;
1
479
.
2201.
2204. - i : t a 3 ( l / 2 - l ) .
2208.
—
a^.
. 2212. - ^ { 2 "1/2— l ) .
O
. 2196. ~
2209.
. 2197. ~
2202.
2205. —
.
jw 3 ( a - P ) .
■. 2206. y
Jta&c.
na ( 1 2 2 1 0 .
Indicación.
-
E fe ctu a r el ca m b io
v a r ia b le s x y = u , — = v. 2213, - i " l /a 2&a+ ¿ » 2c* + flaa8. 2214. 4 ( m — n ) / ? 2.
x
¿
2215.
J — »-aa.
Indicación.
In tegrar
en
el
p la n o
YOZ.
2216.
4a2.
2217. 8a2arcsen — . 2218. 4 - ^ « 2 (3 V 3 - 1 ) . 2219. 8a2. 2220. 3.t:2. I n d i c á ­
ó
is
c i ó n . P a s a r a ia9 coord en a d a s p o la r e s. 2220. 1. I n d i c a c i ó n ^ P roy ecta r
la s u p e r fic ie sob ro e l p la n o d e coord on a d a s X O Y . 2220. 2. a2 'j / 2 . 2221. cr =>
3
= y n a2 £ ( l + J ^ - ) 2 — 1 J "
p o la re s. 2222. ^ a 3 y 8a2.
y
Indicación.
Indicación
Pasar
a
las
coord en a d a s
Pasar a las coord en a d a s p olares.
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S o lu c io n e s
480
a
/T
2223.
2
8a2 arctg
.
Indicación.
, (
. dx.
2
a = C dx
¿
J
5
= 8/z \ a resen
a
—
a ^ -----Y a 2- x 2- y 2
Integrar p or partes y después hacer la su sti-
2 1 / a 2 — a;2
o
0
*
tución x = ^ jp ~ s e n
e l resultado debe transform arse. 2224.
— a. V a 2-l-c ^ 4 -c 2 ln
,
Indicación.
^6 “j / '¿ 2^ . c2_
Pasar a las coordena-
a + y a2-\-c2 '
i
i
n ooí 2?ibR2 nooe /23á ¿z262
— 12 — ji2 —
Jt
das p olares. 2225. — . — * . 2226. — ; -^ 7- . 2227. x — T,-¡r ------ í í V =
3
*
12 ’ 24 ‘
3 (4 — jt.) ’ J
6 (4 — n) '
2228. x = - | a; 7 = 0 . 2229.
2232.
■ 7 = 0 . 2230. í = y ; 7 = 0 . 2231. I x = 4.
a) / 0 = i l ( O 4 _ ¿ 4 ) j
<¿
Indicación.
/ =
jj
"/«a:
La
^
d istan cia
jj
dx
í>
ción.
b) i j r = ¡ | (-D4 - á 4)- 2233. / = y * 4- 2234. | -a « .
( ? + * ) 2 ¿l/-
2235.
16^2 —9 ^ .
Indica-
-v 'lT x
desde
el
pu nto
{x , y)
a
la
recta
x = y es igual
jr
a d=
■, y so h a lla
v a lién d ose
de
la ecuación
norm al do la recta.
1/2
2230./ = i j / t a < ¡ [ 7 1 / 2 + 3
ln ( '1/ 2 -4- O L don d e & es el co e ficie n te d e p r o p o n
cio n a lid a d . I n d i c a c í ó n. Situando e l origen de coorden adas en
el vértice,
a partir d el cu a l, la distancia os p ro p o rcio n a l a la densidad de la lám in a,
d ir ig im o s los e je s do coordonadas según lo s la d os d o l cu adrado. E l m om ento
de inercia se determ ina co n resp ecto a l e jo O X . Pasando a las coordenadas
n
k
p olares, tenem os: I x =
2237.
/ 0 = | g - 3i o í .
T om ar
por
1
2240.
jj
O
dx
jj
Í )
jj
jj
b
jj
o
hr ( r sen q>)2r dr.
o
I 0= ~
- .
de
integración
2239.
t
l-x -i/
dy
a cosec cp
jj dep
kr (r sen cp)2 r d r +
2238.
v aria b les
1 -x
a sec (p
jj dtp
o
n
2
y
e
n
/ (x , y , z ) d z . 2241.
jj
Indicación.
(véase el
V r * - x‘¿
dx
-R
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jj
/ R2-y2
problem a
Ji
dy
jj
0
2156).
/ (x , y , z) dz.
Soluciones
a
2242.
c
jj d x
~
481
dy
jj
Jj
/ (x, y , z) dz.
2243.
c1
l /"**
/ * l +. j'2/2
?
c K - y + os
_ _ ^ y a2_ * 2
a
a
X <¡y
^
i
f(x ,y ,s)d z .
2244.
1—
\j dx
- 1
2
Jj
X
-iT S
A ( 3 1 _f. 1 2 y 2 - 27 1 /3 ). 2245.
—
V 2- .
0
2246.
2250.
2247.
59
480
2256.
2251.
2248.
i-]n2 - í .
(1 8 V § - J " )
.
nahc2
4
jt/í2/? 2
8
. 2252. ^ n a b c . 2253. ■
2254. J t /R 2255. - ~ a 2.
4
5
4
9
~ r 3 ( n — g - ) • 2257■ ^ n R '°- 2258‘
la
Resolución.
2240.
v= 2
V 2a*—*2
r
dx
^
dy
■ 2259. y
x 3 -f;/2
jt
2a
2
i
a % . 2260.
n o 3.
í'2
4/
2a eos cp
dz — 2 ^ dfp
2«
r dr jj d i í
jj
0
iL
2
iL
2a eos (p
2
0
>
C*
r3 dr
1 (* (2acos<p)4
3
..
2íia11 ~l/2
_
.
I n d 1J
T T - t J
4------------------------------- 2261.
0
0
Ó
19
c a c i ó n . Pasar a la s coord en adas esférica s. 2202.
n. i n d i c a c i ó n .
D
flíf
Pasar
a las coord en a d a s
cilin d ric a s . 2263. - ^ - ( 3 ^ — 4). 2264. jrabe.
2264.1.
2264.2. ~ ( V 2 ~ í ) a b c .
a
4 y2
2266. ^ (6c2 — a2— ó2) . 2267.
0; y = 0\ z = ^ a .
2265.
—
¿
Indicación.
(« + 5-|-r).
In trod u -
4 —
—
*T/72 />
esférica s. 2268. x = - - , y = 0, ¿ = 0. 2269. !-77r-' (3 «24-4/¿2).
o
12
I n d i c a c i ó n , E l e je d ol c ilin d r o se tom a c o m o e je OZ, el p la n o do la
base d el c ilin d r o c o m o p la n o X O Y . E l m om en to de in ercia so ca lcu la con
resp ecto al e je O X . D espués de pasar a las coorden adas cilin d ric a s , el
cuad rado d e
la d ista n cia del elem en to r d y d r d z a i e je O X es
igual
c ir las coorden ad as
a r -s e n 2 q>+ z2. 2270.
(2/t2- f 3a2).
Indicación.
se tom a co m o p la n o X O Y ; o í e je dol c o n o , c o m o c jo
La
baso del
con o
OZ■ El m om en to de
in ercia s e ca lcu la co n resp ecto al e jo O X . Pasando a las coordenadas c ilin ­
d rica s, para lo s p u n tos de la s u p e r fic ie del c o n o tenem os: r =
cu ad ra d o de
a r2 se n 2 <p+ z 2.
cio n a lid a d y p ,
co m o origen
— 2), y o l
la d ista n cia del elem en to r d y d r d z al o jo O X será igual
2271. 2íx/cp/¿ (1 — co s a ) , donde k es el co e ficie n te de prop or­
la d en sid a d . R e s o l u c i ó n . El v é rtice dol c o n o se tom a
de coord en ad as y
su e je , c o m o e je OZ. Si se in trod u cen las
3 1 -1 0 1 6
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coordenadas esférica s,
la ocuación
de la s u p e r fic ie
lateral
del
c o n o será
h
31
\p = -7¡— a , y la ecu ación del plan o de la base, r =
. A causa de la
¿
sen
sim etría s e tien e, que la te n sió n resultante está d ir ig id a p o r el e je OZ.
La masa d el elem en to de volum en dm ;= p r - e o s ij> d<p riij> dr, d on d e, p , es la
densidad. La com p on en te, p o r el e je O Z , do la a tra cción qu e e je rce este
elem ento sob ro la unidad d e masa situ a d a en ol p u n to 0 os igual
a —jt — sen
2rt
a
= Ap sen ip eos
Ü
2
\ dtp
dty dtp dr.
La
a tra cción
resultante
es
igual
A coftcc
\
dip
\
kp sen yp eos i|>dr. 2272. R e s o l u c i ó n .
In trod u cim os
ti
ti
o
las coorden adas c ilin d ric a s (p, <p, z) co n e l origen en el cen tro de la esfera
y de form a quo e l o je OZ pase p o r e l pu nto m aterial, cuya masa se supono
igual a m. La d istan cia dosde este pu nto hasta el cen tro do la esfera , la
d esignam os co n la letra £. Sea r = V p 2+ ( S ~ í:)2 1* d ista n cia entre el e le ­
m ento de v olu m en dv y la m asa m . L a fuerza de atracción del volu m en
elem ental dv de la esfera y del pu nto m ateria l m , está d irig id a a lo largo
de r y num éricam ente es igual a — A rym A L , don d e y = - / — —
es la den-
i * * *
sid a d de la esfera y r f y a p dtp dpdz el v olu m en e lo m ental. La p ro y e cció n de esta
fuerza sobre el e je OZ será : d F — — Í 2 X £ í!e o s (rz) = — k m y °
2n
B
VR2= 7í
De donde F = — kmy jj d<p ^ ( £ —z ) d z
0
— pdtp dp dz.
^
-R
= kmy ~- rt R3
, pero, com o
0
co
A y n t í ,¿= * M t
tendrem os
F —^ ~ - .
2273,
y*e~~xv* dy — e~ x *.
—
X
2275. a) A ( p > 0 ) ; b) j A - cu an do p > a ; c )
<P > ° ) > d )
(P > ° > *
co
2276 .
2278. I »
1
rr- . 2277.
*2
a
9
p*
.
Indicación.
D eriv a r dos voces
i*
\
J
o
1
—.
p
. 2279. a rctg -2 — a rctg — . 22SÓ.
*» ( ! + « ) ■ 228t. n ( V r ^ a S - l ) m
tn
¿
2282. arcctg — . 2183. i .
2284. A .
Pasar a
p olares. 2287.
las coorden adas
Resolución.
E x clu im o s de S
en torn o de a m p litu d e,
es
el
2285. - j . 2286.
origen
.
Indicación.
. 2288. A - .
2289. C onverge.
de coorden adas ju n to c o n su
d e cir, exam in am os I e = ^
ln V * 2 + V2
dy»
*•>
donde el re cin to que so ex clu y o es un cír c u lo de ra d io e co n con tro on el
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o rig e n
de
2ji
I '- \
i
a
la s
2n
*p (
0
Do
co o rd e n a d a s. P a sa n d o
coord en a d a s
Ó
donde,
[ \ 2f X
2291. C on verge.
R o d e a m o s la recta y = x con una fa ja estrecha y su pon em os
= lim ? d x ^
v e rg e cu a n d o a > - ^ - .
2
-_ + lim ^ dar í
2293. 0.
2294. In ^ °
- .
¿t
3
2296.
ln z - \ ) .
8
lim Í E= — i L . 2290. C o n v e rg e cu a n d o a > 1.
e-*0
2
Indicación.
tenem os
i
r l n r ¿ r - $ [ - £ . [n r |’ J r d r ] * p = 2 » ( ~ ~ ~
(0
2297.
2 3 0 0 .i
p ola res,
[ ( 1 + 4 * * ) 2 — 1 ].
(56 V 7 — 1). 2301. —
Indicación.
2298.
a rctg ^
—
2295.
f
. 2292. C o n -
+ Q b + fr ) _
3 \Q>-f- D)
________
J l l 3 í _ L ± ^ l . 2299.
a*
V I
. 2302. 2na*. 2303. ~ ( l O l / l O — 1).
^ / ( z , y ) ¿s g e o m é trica m e n to
so
pu ed e
in terp reta r com o
c
el arca d e la s u p e r fic ie c ilin d r ic a que tie n e la g en era triz para lóla a l e jo O Z t
cu y a base es e l co n to r n o de in te g ra ció n y la s a ltu ra s ig u a le s a lo s valores
de
la
fu n c ió n
s u b in to g r a l. P o r e s t o , S = ^ x ds, d o n d e C es o l arco O A de
3
la p a rá b ola p =
2305,.
2
que
+
une
arcsen
, ^ mh_______
y ( a2-t-b*)z
2313.
U t ilíc e s o
e cu a cio n e s
2316. — 2 son 2.
f)
(0; 0) y (4; 6 ).
* * ) ■ 2306.
En
■
tod os
2317. 0 .
^ < p (* )< í* + J j ^ [ y ) d y .
2304.
a “] / § .
~[/a*+b* ( n y a* + 4 n ¿ 2 +
i i r a’
i
1) '
lo s
ca sos 4.
p a ram étricas do
2318.
2319.
2312. a) 4 “ \ b) 0; c ; ^ ;
3
5
2314.
la
2308- 2 n a 2 V ^ T b 2.
2n .
a ) 8 ; b ) 12; c ) 2; d )
a)
02;
b)
1;
Indicación.
.
circu n fe re n cia .
c)
;
4
2315. - ^ - a b z.
e) ln ( * + ? ) :
- ^ + ln 2 ;
yi
2320. y 1 -t-ñ a — - / T + T z . 2 3 2 2 . a ) z 2 + 3 i j / — 21/2 + C; b ) z 3—
c)
"
2307
2 3 Í0 . 4 0 — . 2311. ~ 2 n a a.
30
d ) — 4; e ) 4.
la s
p u n tos
-
+ * i n ™ ± y * * + w * \
2b
a
)
2309.
lo s
d)
+
t+ V^.
—
d ) l n | i + y | + C. 2323. — 2 n a ( a + 6). 2324. - n « 2 c o s 3 ot.
31*
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484
2325.
=
( - i - + í L k j i L ) « 3 . 2326.
(*\ ?^
y*dzdy.
4
2328.
a) — 2 ; b) a b e - 1; c ) 5 l/ l\ ti) 0.
JT/f4.
.
2329. — —
1
2330. — y .
2327. / =
2331. 0. 2332. a) 0;
W
b ) 2nn. I n d i c a c i ó n .
En el caso b ), la fórm u la do G reen so
em plea eu
e l re cin to co m p re n d id o on tre el co n to rn o C y un c ír c u lo de ra d io s u fic ie n ­
tem ente pequ eñ o co n ce n tro en e l orin en do co o rd e n a d a s.
2333. R e s o ­
lución.
S i se su p on e qu e la d ir e c c ió n de la tan gen te c o in c id e co n la
d ire c ció n d el r e co rr id o p o s it iv o d o l c o n to r n o , ten d rem os que eo s ( X , n) —
= c o s (y ,
=
por
co n s ig u ie n te ,
^ eo s ( X . n) ds = <£
d s = ^ d y -= 0 .
C
C
C
d on d e S es e l área lim ita d a p or el co n to r n o C. 2335. — 4.
2334. 2Ó\
1 n d i-
3
c a e i ó n. La fó rm u la de G reen n o se puede em p lea r. 2336. nab. 2337. — n a 2.
o
2338. Gna2.
3
2339. — a 2.
Indicación.
P on er y — tx, don d e t o s un pará-
aa
m etro. 2340. -r^r . 2341. n ( t f + r) (i? + 2r); G jifi2 cu a n d o fí = r. I n d i c a c i ó n .
W
Ln ecu a ció n d'c la e p ic ic lo id e tien e la form a
R 4- r
y = (R - \ - r ) sen t — r s e n — - —
t,
x ==(7? -\-r) eo s t — r eo s —
-- t ,
don d e í es el á n g u lo de g ir o d e l ra d io del
c ír c u lo f i j o , trazado en ol pu nto d o co n ta cto . 2342. n (i? — r ) ( R — 2r);
3
R
n i? 2 cu an do r = — - . I n d i c a c i ó n . La ecu a ción de la h íp o c ic io id e se
o
4
o b tie n e de la ocu ación de la e p ic ic lo id e corresp on d ien te (véase e l p rob lem a
2341) su stitu y e n d o r p o r — r. 2343. F R . 2344. m g ( z i — z2). 2345.
(a2 — 62),
d on d e
p o te n cia l
es e l
k
c o e fic ie n t e
de
p r o p o r c io n a lid a d .
mgz, e l trabajo rng ( z x — z.¿)\
u
■= ;
~\/a2 + b * c t¿
J ! t ( R Z - ri ).
¿
2351.
c)
2352.
b)
.
el
a)
p o te n cia l U = - ~ ,
k2
p o te n cia l U = ---- j r - ( z 2 + y2 + z 2),
¿
el
2347.-^r-na*.
O
2
b)
2346.
2348. —
2353.
4
«1
- 25 ^ , + i— a.
1 0 (5 1 /5 -1 )
El
el
tra b a jo
e!
tra b a jo
— . 2349. 0. 2350.
2354. 2 ^ 2 M .
2
- f- jia b c .
ó
2355. a ) 0;
— ^ \ ( c o s a + cos P + co s y ) dS. 2 3 5 6 .0 . 2357. 4.r. 2358. — n a 2. 2359. — a11.
\S)
2 m "
W
-
T
&
E
- f - 2 3 6 1 o - W B - 2 ¡j $ ( . + , + . ) * * * ■
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485
S o lu c io n e s
“
(Vw)
>
^ \ Tv J Tm
2365. 3a«. 2366.
2372.
.
(V>
2SM -
2367. H «<,6.
C on os. 2373. C ircu n fe re n cia s
2368.
.
2371. E sferas;
£ 2 + #2 = ci» z = C2-
= 9 i — 3 J — 3 k ; ¡ g r a d £ / (i4) |= V 9 9 = 3
cilin d ro s .
2376. g m á U ( A ) =
z* = x y ; x = y = z . 2377. a)
b ) 2 r ; c ) — X ¡ - ; d ) / ' { r ) -~L . 2378. grad ( c r ) — c ; la s su p e rficie s de n iv e l son
p la n o s p e rp e n d icu la re s al v e c t o r c. 2379.
a = b = e.
2383.
2380. - ^ - = —
d¿
jiv /i
ro t (re) = — -—
2386.
;
c)
_ ^L- o
ol
r¿
d iv a — — / ( r ) - f - / ' (r ).
—
I 2ra(* ^ I cuando
cu an d o
l _L r .
2 3 8 2 .— .
r
2385. a) d i v r = 3 , ro t r = 0 ; b) d iv ( r e ) = ^ - ,
/ / frl
d iv ( / ( r ) c ) =
d i v u = 0; r o t v = 2©, d on d e © = ©7c.
- (c r ),
ir)
ro t { / ( r ) c ) — — — c X r .
2387. 2om °,
don d e
¡)2[J
u n it a r io p a r a le lo a l e je de ro ta ció n . 2388. d iv g ra d r/ = —
n ° es e l vector
Q'2\J
Q2JJ
— h ~gT¿~ »
r o t grad £ 7 = 0 . 2391. 3 n i? 2 ff. 2392. a ) i t ó * f f ( 3 J ) s + 2 / J í ) ; b ) ^ refl2# ( i í a+2JÍ2);
2393. d i v F = 0 en to d o s l o s p u n tos a e x ce p ció n d e l o rig e n d o coorden adas.
E l f l u jo es ig u a l a 4jim .
Indicación.
A l ca lc u la r
el
flu jo ,
a p lica r el
r
te o re m a de O s tr o g r a d s k i-G a u s s . 2394. 2n 2/¿2. 2395.
• 2396.
V \
r /( r )r f r .
—
ro
2397.
2398. a) N o tie n e ; b) Ü = x y z + C; c ) V — x y + x z + yz -|- C. 2400. Sí.
Capi t ul o VIII.
2401.
2406.
.
2« — 1 '
3« + 2
2402.
24» 7-
2n
2403.
'
—7 " T T\ -
^
.
2n~ 1 '
*«».
192
2404.
’
-4 .
** *
1 -3 .5 . . . ( 2 ^ - 1 )
1 * 4 .7 . . . (3re— 2)
2405.
"
(* + l ) 2 '
( _ 1)n+t €
'
2410. n<?l- 1>n+1# 2416. D iv e rg e . 2417. C on verg e. 2418. D iv erg e. 2419, D iv erg e.
2420. D iv erg e. 2421. D iv e rg e . 2422. D iverge. 2423. D iv erg e. 2424. D iverge.
2425. C on verge. 2426. C on verge. 2427. C on verg e. 2428. C onverge. 2429. C onverge.
2430. C o n v e rg e . 2431. C on verg e. 2432. C onverge. 2433- C onverge. 2434.
D iv org o. 2435. D iverge. 2436. C onverge. 2437. ^D iverge. 2438. Converge.
2439. C onverge. 2440. C on verg e. 2441. D iv e rg e . 2442. C onverge. 2443. Con­
v erge. 2444. C on verg e. 2445. C on verg e. 2446. C on verge. 2447. C onverge.
2448. C on verg e. 2449. C on verge. 2450. D iv erg e. 2451. C on verge. 2452. D iverge,
2453. C on verge. 2454. D iv erg e. 2455. D iverge, 2456. C onverge. 2457. D iv erg e.
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S o lu c io nes
486
2458. Converge. 2459. D iv erg e. 2460. C onverge. 2461. D iv erg e. 2462. C onverge.
2463. D iverge. 2464. C onverge. 2465. C onverge. 2466. C onverge. 2467. Diver*
ge.
2468.
D iverge.
Indicación.
^£+1 > i . 2470. C onverge c o n d icio an
nalm onte. 2471. C onverge con d icion a lm en te. 2472.
C onverge absolu ta­
mente. 2473. D iverge. 2474. Converge c o n d icio n a lm e n te . 2475. Converge
absolutam ente. 2476. C onverge con d icion a lm en te. 2477, C onverge a b so­
lutam ente. 2478. C on verge a bsolu tam en te. 2479. D iverge. 2480. Converge
absolutam ente. 2481. C onverge co n d icio n a lm e n te . 2482. C onverge a b solu ta m onto. 2484. a) D iverge; b) con verge absolutam en te; c ) d iverg e; d) con verg e
co n d icio n a lm e n te . I n d i c a c i ó n . En lo s ejem p los a) y d) ex am in ar la serie
oo
(a 2 h~i +
y en los b) y c) in v estig a r separadam ente la s series 5 ] a **-i
k=i
fc=i
oo
y
2
2485. D iverge, 2486. Converge a b solu tam en te. 2487. Converge
h=í
absolutam ente. 2488. C onverge co n d icio n a lm e n te . 2489, D iv erg e. 2490. C onverge
absolutam en te. 2491. Converge absolutam ente. 2492. C on verge a b solu ta m en te.
o o
o o
2493. Sí. 2494. N o. 2495. ^
; con verg e.
2496.
n=l
1 );
« —1
converge. 2497., D iverge. 2499. C onverge. 2500. C onverge.
l «>l < ¿ :
^
2501.
* 4 < 0 , R t > 0 . 2502.
Indicación.
El resto de la serie se puede acotar v a lién d ose de la su m a de la p rog resión geom ótrica , que excede a d ic h o resto: R n = a n
( 1 - j 2 ^— - - A — - ^ + . . . j <
2503i í lfl< 3 -10-8.
2504.
n+ 1
<
Resolución.
n
—
—
(n + 2)2 + ' " > ( n + l ) ( « 4 - 2 j + (n + 2 ) ( n + 3 ) H'
, / _ ! __________________________ 1
•R
_t' W + 2
n+ 3 ) ^
n+ 1
"
2505. Para la serie dada es f á c il
R n *= ( * + 1) ( “l " )
Rn
1
• = ( ^ + T — ‘H+ a ) +
« '
resto:
1 \ 2n—2
+ ( re + 2 ) ( - j - )
+
m os por
(4)'=
;
(n + 1 ) * 1
1
1
1
I
n (n + l )
(n + l ) ( n + 2 ) ^ ' "
h a lla r e l v a lo r e x a cto del
16 W
Resolución.
f « + i ) ~ t " 2+ < ) ~
•
i*.-(«-M>+n+»+3>+r‘+www.FreeLibros.me
M u ltip lica ­
487
Soluciones
R esta n d o, ob ten em os:
■ a r+ ^ -(-+ s )u r
1
16
De a q u í en con tra m os e l v a lo r de R n que se da m ás a rriba .
b a ila m o s
la
suma de
2508.
1.
Indicación.
S
la serie
. 2506an = —---------.
99; 999.
2509.
71
P on ien d o
2507.
S = 1 cu an do
n=0,
2; 3;
5.
x>0,
5 ' = — 1 cu a n d o x < 0 ; ó ’ ^ O cu a n d o z = 0. 2510. Cuando x > l os a b solu ta ­
m en te co n v e rg e n te , cu a n d o x ^ \
es d iv e rg e n te . 2511. C uando x > l es
a b solu ta m en te con v erg en te, cu an d o 0 < C x < l l con verg e n o a b solu ta m en te,
cu a n d o
es d iv erg en te. 2512. C uando x > e es a n solu tam en te co n v e r­
g e n te , cu a n d o
co n v erg e n o a b so lu ta m e n to , cu a n d o
es
d iv e rg e n te . 2513. — o o < x < c o . 2514. — c o < s < o o . 2515. Es a b so lu ta ­
m en te co n v e rg e n te cu a n d o z > 0 ; es d iv e rg e n te cu a n d o
Resolu­
ción.
1) |fln |^ ; _ i _ , y cu a n d o
e s co n v e rg e n te ; 2)
x > 0
la
serie c u y o
cu an d o x - < 0 ,
y
térm in o
eo s nx
no
general
tien d e
es
a cero
cu a n d o n —>-oo, ya que s i c o s n x —>-0 se dedu ciría q u o co s2 rc:r—>-— 1; de
esta fo rm a , cu a n d o
n o se cu m p le ol c r it e r io n ecesa rio de co n v e rg e n cia .
2516. Es a b so lu ta m e n te c o n v e rg e n te cu a n d o 2kn < x < (2A + 1) n (^ = 0, dz i,
zt2, ...);
en lo s dem ás p u n tos es d iv e rg e n te . 2517. Es d iv e rg e n te en to d a s
p a rtes. 2518. E s a b solu ta m en te co n v e rg e n te
cu a n d o
x
0 . 2519.
x > l,
1. 2520- * > 3 ,
2523.
* > 1,
* <
* < — 1.
1. 2 5 2 1 . i > 1 ,
2524.
z < — 1.
—l< a :< — y ,
2522.
y O
x ^ '5 -í-,
O
< 1 .
x < k ^ .
O
Indicación.
OO
Para
e s to s
v a lo re s
de
x
co n v e rg e ,
ta n to
la
serie
2
A= i
c °m o
la serie
cc
7¡
1
- 7 “T *
2 lz *
C uando
fc=i
se rie n o tie n d e
2527.
|x|>l
a cero.
— 2 < a r < 2 .
y
2525.
2528.
cu a n d o
|a: |
1
— ol
—
— 1 < ^ < 0» 0 < a: <
— l < a ¡ < l .
térm in o
general
1. 2526.
2534. i = 0. 2535.
— co <
x <
oo.
2532.
2536.
la
—
2 5 2 9 . -------- ^ < * < - 4 = - -
y 2
2530. — 1 < x < 1 . 2531. — i < * < i .
do
— 1 < * < 1 . 2533.
— 4 < > < 4 .
2537.
\s 2
— o o < * < c o .
—
2538. — 2 - < ¡ c < 2 . 2539. — * < z < e . 2540. — 3 < : r < 3 . 2541. — 1 < * < 1 .
2542. — 1 < £ < 1. R e s o l u c i ó n .
La d iv e rg e n cia do la serio cu a n d o
|x | 1 es e v id e n te (es in te re sa n te señ alar, que la d iv e rg e n cia do la serie
en lo s o x tre m o s d e l in te r v a lo de co n v e rg e n cia x = ± i
se puede c o m ­
probar, n o s o l o v a lié n d o s e del c r it e r io n ecesa rio do co n v e rg e n cia , sin o
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S o lu c io n e s
tam bién con ayuda d el c r it e r io
de D ’A le m b e rt).
> + !)!
lim
Ji-VOO
=
iím
n\zn '
|r a -j-) x n]n |
lim
«-♦oo
C uando
|x |< 1 ten em os:
( n - | - l ) |z [n =
lim
n->oo
n-*co
1.
:c
n
= 0
(la ú ltim a ig u a ld a d se puede ob ten er fá cilm e n te a p lic a n d o la reg la de
L ’ H ó p ita l). 2543. — 1
I n d i c a c i ó n . V a lié n d o s e del c rite rio do
D ’A le m b e rt n o s ó lo se puede h a lla r ol in te r v a lo de co n v e rg e n cia , sin o
tam bién in v e s tig a r la co n v e rg e n cia de la serio dada on lo s e x tre m o s de
d ic h o in te r v a lo , 2544. —
I ndi caci ón.
V a lié n d o s e del c r ite r io
do Cauchy n o s ó lo se puede b a ila r el in te rv a lo de co n v e rg e n cia , sin o
tam b ién in v e s tig a r la co n v e rg e n cia de la serio dada en lo s e x tre m o s do
d ich o in te r v a lo . 2545.
2546. — 2 < i < 8, 2547. — 2 < x < / 4 .
2548. 1 < * < 3 . 2549. — 4 < z < — 2. 2550. * = — 3. 2551. — 7 < > < — 3.
2552. 0 < x < 4 . 2553.
2554. — <?— 3 < X > — 3. 2555. — 2
:
< x < 0 . 2556. 2 < * < 4 . 2557. 1 < * < 3 . 2558. — 3 < * < — i . 2559. 1 — i - <
< x < 1+ — .
Indicación.
C uando x = 1 ± —
' í-^-r ,
ya q u e
lim V - " '■■■■ =
« “ ><»
e
ye
2562. 1 < x < 5 . 2563. 2 < x < 4 .
-f= 0. 2560.
2564.
la serie
os
d iv e rg e n te ,
- 2 < x < 0. 2561.
1 < x < 3.
|*|<1.
2565. } z \ < i . 2566. |s —
2567. |z |<
V 2. 2508. 3 = 0. 2569. |z |< c o . 2570. j z |<
( - U
1).
3 <
2577.
l n ( l + x ) ( - l < x < l ) .
2579. a r c tg * (| x | * , ; ! ) .
2582-
( r - ^ r (|g|<
2580.
1}-
2578.
(I J l <
2583‘
2576. — ln (1 — x )
i - l n p - í (|x |<
2581 •
~('¿ - l )2 <1 * I > ■ ) -
1).
(I * l < *)•
2584•
(a rctg x —
J
¿mm
— i . ln \ ^ X ) (I x I <" 1). 2585.
2
1 -\ - x ) V| 1' '
de la serie x
2586. 3.
tt-t-f
¿
o
2587.
+
b
. Indicación.
(véase el
^
p rob lem a
g (— o o < * <
E x a m in a r la
.
cu a n d o
2579),
o o ).
2588.
sen
sum a
1
x —— — .
“|/ 3
( * + -2 1 ) =
i
«2 _ n
v 2 [ * > .
“
T
2589.
L
'2
**
_i_
**
_i_
16
3!
+
4!
H
51
e o s ( x - f a) = COS a — x sen a
—— sen ^
n!
^
x
2!
T
—
+ —
•■+ <-
x'¿
f~
2
2590.
+ ...( - « > < * < « > ) ■
www.FreeLibros.me
-1 1 +
n\
. X't
.
c o s a “»— g p sen a T
— j - } - . . . ( — c o < x < c o ).
2- ¡ £
n
x4
+
1
''' J '
cos a P
sen2 * —
•••
2!
2591. ln (2 + * ) -
|< 3.
S o lu c io n e s
489
X
*2 t X3
xn
= ] n 2 + T - ^ + _ - . . . + ( _ l ) » - i ¡_
+ . . . ( — 2 < * <£ 2).
ción.
A l in v e s tig a r e l
re s to ,
u tilícese e l
teorem a sob re
la
Indica­
integración
oo
de
la
serie
de
p oten cia s.
2592.
-
’V . (n + 3) x n (| a: | < 1).
n —0
oo
2593-
=
" f' 2
n=0
( 1 + 3é r ) x ’ ‘
( l * K D -
2594.
( — c o < * < o o )- 2595. ex 2 = l + ^
n —2
CO
X2>1+1
22nX2n
2596- S ( ¿ + l ) ! ( - CO<X<CO)- 25í'7- 1 + 2 (
n«=0
n=l
n=l
2600.
^
2
X2Ȓ+I
Z
2n+I
“■gñ+T*
ñ ñ T n ( - »3 << * < 33)).'
(“ ^
oo
co
26° 2- 2 S
n=0
^
i i * i <
‘ )- 26° 3 - 2
n=l
CO
2C 04. * + 2
í +
(
ir 7
2n
oo
2605-
2
, 1 ’3
,
■ 1 -3 -5 . . . ( 2 # » - l ) x «»+ i ,
j ' 3 + 2 4 5 + " ' :
2 - 4 - 6 . . . 2n
2 « + 4 + ‘ ' (l * 1 ^
1 s 3 . 4 -3 **
1 . 3 .5 . . . (2 n — 1)
+
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2 .4 .6 . . . 2|»
2ñ+T
co
1).
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-I
-1
1
2001.
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2601 • T
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•
•
•
“
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n
„
*>an+l
i
•
•
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v-.
2? 1
1
2 - 4 - 6 . . . 2n
2 ^ ‘ +i
'** <
»:< i1 «i
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2»
2-4/. 26
2607.
l)n ^ 2n ) T ' 2598' 1 +
n =0
co
X (-o o < :r < c o ).
(| * | <
^ ¡- ( — c o O < c o ) .
n=l
CO
2606.
XC - K = X +
2608.
2 l ( - l ) " 41
94n-3x2n
(2>t)i
( - 0 0 < x < c o ).
2609.
1 }'
1+
«= 1
+ 2
i - 1 )"” 1
2 6 ,° -
8+ 3 ^
^
n = 2
(—c o < z < c o ).
X
2611.
2+
2 - 5 - 8 . . . (3 b — 4) x n
2»n- 1.3 n -n!
!•••■•(
22. 3.11
2 5 -32- 2!
n=1
2» - 38- 31 + " ' +
.
o D < s < c o ) . 2612.
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1 + -2^ + ' J,U~1 g n
1
g
x
^
/ 1 . i \ n
^
( 2» + i + 3>i+i) 2
n=i
Soluciones
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co
co
4n
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2 < z < 2).
2613.
l+ | -2
(1~ t(2/i)I
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S
4*+i
n=l
n=0
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2615.
co
2 6 ,6 ‘
l n 2 + 2 ( - l ) * “ 1 ( l + » - B) - v
n=l
( - i < x « l ) .
co
7-2n+!
21 (n=0
1>” ( 2 r + l ) ' (2r> + ÍTl < - » < « < ” )•
2617.
* + 2 < - l ) « X
«s=l
oo
/r 2 íT + l
rn
x {2n + i)n]
(l*l< «).
2
2618.
( —l)n+1 ^ r ( l z l <!)■
2619.
*+
71=1
+ ¿
x3
■’ + - - ■+ ‘- ^
2x®
„
+ T + T T + 2623.
:c3
s
j | i r
262L * - T + T T —
1 + 4 + ^ - + ...
2624.
+ - ■ - « » i< »
- 2622‘
■
*
• ( 1 ~ fT + V
—
_ ( * + £ + , £ + . . . ) .
1
+ - j - s 3 + * •• 2626. I n d i c a c i ó n .
la elip se y la
2628. s 3 — 2 z2—
2629. j ( x + h ) =
( — c o < z < co ;
co
2
( - 1 ) " - 1 f e ^ * )W( 0 < « < 2 ) .
=
■ )■
2 6 2 5 .* + * * +
oo
n
\
P artien d o de las ecu a cion es param étricas
de la e lip se x = a co s í, y = b sen
ca lc u la r la lo n g itu d de
expresión o b te n id a desarróllese en serie de poten cias de e.
—5 x —2 — —78-j-59 ( s 4 - 4 ) —1 4 (:r -f4 )2+(:r-|-4)3 ( —o o < z < o o ).
= 5a:3 — 4a;2— 3 z + 2-4-(15a:2 — 8x — 3) A + ( 1 5 s — 4 ) /i2-f-5&3
o o < h < o o ). 2630.
j-4
+
2631.
l
(-!)-> X
n =
0
cxj
X (x
1 )" { 0 < z < 2).
2632.
2
( " + l ) ( * + l>‘l
( — 2 < x < 0).
T i— 0
co
2633. 2
oo
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Indicación.
Para
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49 2
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2 + * ) - / ( ! , 2) = 9/t— 21/f + 3^2 + 3/i/c - 12*2 + jt 2 _ 2*3.
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Soluciones
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Capi t ul o IX
2704. Sí. 2705. N o. 2706. Sí. 2707. S í. 2708. Sí. 2709. a) Sí. b) n o. 2710. Sí.
2714. y — x y ' = 0. 2715, x y ' ~ 2y = 0. 2716. y — 2 xy ' = 0. 2717. x d x + y dy = 0.
2718. y ' =
y. 2719. 'dyZ— x* = 2 x y y ’ . 2720.
x y y ' ( * y * + l ) = l . 2721. y = s y ' l n | - .
2722. 2 iy " + í/' = 0. 2723. y" = y' — 2¡/ = 0. 2724. y* + 4 » = 0. 2725. j,’ _ 2 ¡ / ' +
+ y = 0. 2726. y " = 0, 2727. y " ' = 0 . 2728. (1 + y '2) y '" — 3 j j V a= 0 . 2729. y 2—
— *2 = 25. 2730. y = ze2X. 2731. i / = - — c o s x . 2732. y = y { — 5e~x + 9ex— í e 2*)
2738. 2,593 (e l v a lo r e x a cto y = c). 2739. 4,780 (el v a lo r e x a c to y = 3 ( ¿ — 1 )).
2740. 0,940 (e l v a lo r e x a cto
.y = l )
2741.
1,826 (e l v a lo r e x a cto
2742. c tg 2 ¡ / = t g 2 z + (7. 2743. * = — — = ;
V i + y*
2745.
g==a + — g - — .
2746.
y - 0.
t g y = C ( l — e*)3;
2744.
z = 0.
y = ~]/ñ).
x 2+ i / 2= ln Cx*.
2747.
y=+senx.
2
2748. 2e 2 = V « ( ! + «*) 2749. 1 + z/2 = -j— , . 2750. jp=4. 2751. a r c tg ( z + y ) =
= * + C . 2752. 8 i + 2¡/ + 1 = 2 t g ( 4 z + C). 2753. x + 2¿>+ 3 ln |2 x + 3 ^ — 7 |= C.
2754. 5a + 1 0 j + C = 3 1 n | 1 0 x - 5 y + 6 j. 2755. p = - —
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o ¡,2= 2 C * + C 2.
495
Soluciones
2756. ln p =
1
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o la h ip é rb o la y = . — . I n d i c a c i ó n .
= C. 2757. La recta y = Cx
E l seg m en to de
tan gen te es
x
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y2 +
»*+
Y
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• 2758.
(ir ) * '
275S-
y 2— x 2 ^ C .
2759.
2760.
igual
y2 = 2p x.
y=
x
[ x y dx
2761. y = ax2. I n d i c a c i ó n .
P o r la c o n d ic ió n
ó
3
— ----------- ~ ~ £ x .
D erivando
j¡ y dx
dos veces resp ecto a x , ob ten em os la ecu a ción d ife r e n c ia l. 2762.
2 — V 4 — X2
2763. j/ = y 4 — x 2 + 2 l n ---------—
y2 —
x.
ó
. 2764. Haz de rocía s y = kx. 2765. F am i­
lia de e lip s e s sem eja n te3 2x 2-}-y 2 ==:£;ü. 2760. F a m ilia de h ip érb ola s x 2 — y 2 = C.
2767.
2769
F a m ilia
. y = —C-------
y = ± x .
X
de
i - .
W
circu n fe re n cia s
x 2 + (^ — &)2= fc2-
~~
2 7 7 0 . * = £ « * '. 2771.
2772.
+
(a — C )2—
ln |y |= C . 2 7 7 3 .
+ ! » * ) * ( * + »)■ = <:. 2775. y = * j / l —
¡/2 = C*;
</ = - £ - * 2 - ¿
2776.
2768.
-
y = x ln£x
{ x — 2)*— j 2 = 4;
i * = 0 . 2774. (z 2 +
{z + y — í p = C ( x - y + ' A )
2777.
a r + ¡/ + 2 1 n | * + 0 — 1| = C .
2778.
ln |4 z + 8 ¡ / - f 5 | + 8y — 4 x = C.
2779. x*2= l — 2y. 2780. P a ra b o io id o de ro v o iu ció n . R e s o l u c i ó n . G racias
a su sim etría , e l e s p e jo que s o b u sca os una s u p o r fic ie do rev olu ción . El
o r ig e n de co o rd e n a d a s se sitú a on e l fo c o lu m in o so ; e l e jo O X es la d ire cc ió n d el haz d o rayos. S i la tan gen te a cu a lq u ie r p u n tó M (x , y ) do la curva
de la s e c c ió n hecha p o r e l p la n o X O Y on la su p e rficie quo se b u sca , form a
c o r e l e je O X un á n g u lo 9 , m ien tras quo el segm en to quo uno el o r ig e n do
co o rd e n a d a s co n esto p u n to M (x, y) fo rm a uti á n g u lo a co n oí m ism o eje,
ten d rem os que t g a = t g 2 y = - ^ t g ^ ip ‘ P e ro * t » a = í 'x
+ Y - La ° cua_
c ió n d ife r o n c ia i que s e busca e s y — y y ' 2 = 2 xy ' y su s o lu c ió n y 2 = 2 C x - f C2.
La s e c c ió n p lan a es una p a rá b ola . La su p e rficie buscada, un p a ra b oloid e
de r e v o lu c ió n . 2781. (x — y ) 2— Cy =^0. 2782. x 2 = C ( 2 y + C ) . 2 7 8 3 .(2 y « — *»)*«•
X
= C x 2.
I n d ic a c ió n .
P a r tir
= C x — x ln |x |. 2785.
de
que e l
y = Cx+xK
4 - e o s y = C. I n d i c a c i ó n .
área es
ig u a l a
^ ydx.
a
2784.
y=
2786. y = - ~ - x * + - ^ - . 2787. x V i + v ' - r
La ecu a ción e s lin e a l co n respecto a x y
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dy
.
S o lu c io n e s
496
2788. x = C y i
\
-l-a r c s e n x )
• 2791.
= x l n — . 2794. s 2 =
x
2798.
rx
n h __p u
y= -^ -+
^ — ■
2789.
!/2+ a : + ay =
y « =-
=
ln
y
+ o2 = 0. 2802. ¿ r -\-x y + y i = C .
^
3
- - 2 -iV + 2 x -f--~ =C .
2S07.
■ 2792. ¡/ (a;2 + í7jr) = 1. 2793.
i/2 =
• 2795- V* ( S + C e c o s x ) ~ z . 2 7 9 I . x y = C y * + a*.
y~r^y¿
0. 2799. x
i
í
y = - ± - (z\/ \ — z * +
2790.
2805.
^
. 2800.
ÍL + - ~ = 1 .
2801. x * + y 2 - C y +
2803. í t + x y ^ + x Z ^ C .
2804.
-----
s 2 + ;/2— 2 a r c t g — = C. 2800. x * — y * = C y ¿.
y e ~ — 2. 280S. ln |x |—
— C . 2809. y
+ - y - = C- 2810. ^ ln a¡-¡-
2811. (x s o n y-|-y c o s p — son p) ex = C . 2812. (x 2C2- j - l — 2C¡/) (x 2 +
+ C2 — 2Cy) — 0; la in te g ra l sin g u la r es x 2 — y 2= 0 . 2813. La in te g ra l gene­
ral es (y + C) 2 = x a; in teg ra l sin g u la r n o hay. 2814. L a in te g ra l general
es
y + c j | i - 4^4- Cj =0;
in teg ra l
general
es
1
2816. y = - g - co s x ±
.10, o
in te g ra l
y*-\-C2 = 2Cx;
la
L/3
2~“ sen x .
sin g u la r
in teg ra l
no
hay.
sin g u la r,
2815.
La
x * — y* — 0.
f x = sen /> + l n p ,
2817. | j, = p sen p + c o s p + p + (;.
r® = eP + pfiP + £•',
/
28,8‘
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2819‘ j
r+ ’
P
P
L j/ = p2 4 -2 1 n /? .
La s o lu c ió n sin g u la r
es
y = 0,
2820.
4y = x~ + p 2, ln
\p — x \ ~ C - \
—
p
2821. ln ~ l/p 2+ p 2- f a r c t g - y - = C, x = ln 2822. y = C + £ ;
2824.
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1
^
y= ±2x.
x
. La s o lu c ió n sin g u la r es y — ex .
2823.
— C ^ -ÍP + a .
¡ í = . C ( l + P) e - P — pü + 2.
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I P l~ a r c s e n P + C
\ y j = p + y i - P2.
i
1
x = - ¿ j - ( C p z — p),
2825.
i
”
!/ = - ¡ r (2 í7 p 2 + p 2).
6
I n d i c a e i ó n . La ecu ación
d ife re n cia l,
de
laque
fu n ción de /), es hom ogénea. 2826. y = C x + C *
y= ,— ~
s o lu c ió n sin g u la r n o tiene. 2828. y ===Cx + V f + C 2;
— Cx + —
; í/2 = 4x,
2830. xy = C\ 2831.
se determ in a
.
com o
2827. y = Cx + C;
x 2- f y 2 = l .
Una circu n feren cia y
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x
2829.
la fa m ilia
Soluciones
497
t
de tan gen tes a e lla . 2832. La a stroid e s 2 /3 -f-^ 2/3 = a2/3. 2833. a) H om ogénea;
y = xu\ b ) lin e a l co n re sp e cto a x\ x = uv\ c ) lin e a ! con resp ecto a y\ y — uv;
d ) e cu a ció n de B e rn o u lli; y = uv\ e) co n v a ria b les separablos; f ) ecu ación
de C la ira u t; red u cirla a la form a y = x y ' rb
g ) ecu a ción de Lagrange;
d eriva rla c o n respecto a x\ h ) ecu a ción d e B ern ou lli; y = uv; i) red u cib le
a uua ecu ación co n v a ria b le s sep arables; u = x + y ; j) ecu ación do Lagrange;
d e riv a rla con resp ecto a x ; k ) ecu a ción de B ern o u lli co n rela ción a x; x = uv\
I) ecu a ció n en d ife re n cia le s exactas; m ) lin e a l; y = uv‘ n ) ecu ación de
B e r n o u lli; y = uv. 2834. a ) s o n - — =
— ln |a: |+ C; b) x — ^ -eC l/+ !. 2835.
+ j , 4 = Cy2. 2836. !! = — £ £ £ - ■ 2837. x y { c — i - l n 2 z ) = l .
2838.
y=C x-\-
-\-C ln C; la s o lu c ió n sin g u la r es y = — e~"^x^ K 2839. y — Cx-\-~\/— aC\ la s o lu <t
f r3 — A I
\
c ió n sin g u la r es y =
2840. 3y -|- ln ■
^2841. — e 2X — <*y —
— a r c t g y — - 4 “ ln { l + y 2) = C . 2842. j/ = a:2 <l + CeT ). 2843. x = y * ( C — e~v).
2844.
¡/ = C’¿- s e n :c + s e n x — í .
2845.
y = a x + C V í ^ z 2.
= — r T (* + ln |* |+ C ). 2847. x = Cesen
X -j- 1
2846
y=
2a (1 - f s e n y). 2848. - ^ - + 3 x. + y +
¿j
+ l n [ ( * — 3)W»|íí — l | 3j = C. 284!». 2 a r c t g Z ^ ± = \n Cx. 2850. * a = l — | - +
+ C e'” " '.
2851.
x* = Ce’J— y - 2 .
= a? arcsen (Cx).
2854.
2852.
j / ^ + l n |*| = <7.
2
4
i/s = £ « “ 2 * + - g - sen * + - g - eos a:.
2856. x = C e » — 4 - (sen y - f e o s y ). 2857. p y = C ( p — i ) .
~ T yi~ T y ~ Í :
x e v — y 2 = C.
2862.
X ~
y=
x y = C ( y — 1).
2858. z * = Ce*v— y¡> —
2859, ( * * + £ > ( * • ¥ + 0 = 0. 2880.
_ _
2861 -
2855;
2853.
V ¿ 2+ 7 5 _ JL = C .
V ' l + !>■
P-,2
2P
"*■ 2p2 ln ( P +
+ í ' 3) •
y= 2px+yTTp*.
2863.
y = x e ° X.
2864.
i/2
2ex — ii* = Cy*.
.
=
'
„„„„
287° -
2867. x * - y = C e n . 2868.
^
00. .
* ' = C s e n * - “ - 2871-
a: + y = C. 2869. y =
fl2 l n ( i + V a " á T ^ ) + C
7
+
' .................. ‘
2872. ( y - C z ) { y * - x * + C) = 0. 2 8 7 3 . y * = C x - \ - - ^ , y = y
Jr X 2 y „ y 2 z — y l = C.
= C .
v_
28CC. y * + C e ~ 2 + — — 2 - 0 .
*4
2865. l n \y -f-2 |-f-2 a r c lg
2875.
p2 + 4y2 = C y 3.
2876.
32— i 016
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f 2 Í 2. 2874.
p -2 -1 .
2877.
y=x.
Soluciones
2878. y ~ 2. 2879. y = 0. 2880. y =
2882. j r = * “ x + 2 x — 2.
el pu ntó {0; 0) os
2884. a) y 2 = x ; b) y* =
+ rj*=:C2; b) no tiene
í y ;(sen s . ^ c o s * ).
2881. y = — { % & + 2 ¿ + l J r;
2883. a ) y = x\ b) y = C x y donde C es a rbitraria ;
e)
punto
sin g u la r" do
la • ecu ación d iféroftcial.
2px\ (0 , 0) es el p u n to sin g u la r. 2885. a) { x — C)2 +
so lu ció n ; c ) x 2 + y 2 = x\ (0, 0) es ol punto sin g u la r.
2886. =
2887. y = ( Y ^ + V I > . 2888. y2 «=1 — <r*
2889. f = C e « * .
I n d i c a e i ó n . Pasar a la s
coorden adas
p olares.
2890. 3£2 — 2x = 0.
2891. r = k < p. 2892.
+ [ y — 6)2 = 62. 2893. y * + i G x z = 0 . 2894. La. h ip érb ola
y2 — x 2 = C o la circu n {e ro n cia x 2-+- y 2 = C2. 2895.
•* i
x
ción.
\
y = - - {cx+ e ~ x ). I n d i c a-
P a rtir do que e l área es ig u a l a ^ y dx,
y
l,a
lon g itu d
del
arco
x
a*
Y í + y ' t d x . 2896. x = — + Cy. 2897. y 2 = AC ( C + a — x). 2898.
Indica-
j
c i ó n . A p lica r e l hecho de que la resultante do la fuerza do gravedad
y de la centrífuga e s norm al a la su p e rficie . T om a n d o el e je do g ir o com o
eje OY y designando p o r cú la v elocid a d angular de la rota ción , obtenem os,
para la sección plana axial do la su p orficie que se busca, la ecuación
d iferen cia l £ -“j ~ = co2x . 2899. p = ¿ “ ° ' 0()0,67?\
Indicación.
La presión
en cada n iv e l de la colu m n a v e rtica l de aire se puede con sid erar com o
d cp on d icn te exclu sivam en te do las capas que descausan más a rriba . E m pléeso
la loy de B o y le — M ariotto, según la cu al, la densidad es p rop orcion a l a la
presión . La ecu ación d ife re n cia l
Indicación.
La ecuación es ds — kiv• ^ j x dx.
2902. T = a + {T0— a) £-*■>.
r.
p.
in icia l
2906.
m.
2905.
Q0.
= n ( “i ^ )
En
100
seg.
v d t ‘ 2007.
p rop orcion a lid a d )
v = ~y^
t h
años
La
2901.
w)
se
d esin teg ra
ecu ación
un
4 ,2 %
es
La
ecu ación
cuando
Indicación.
La
( * j / —y ) . 2909. 18,1 k g .
(o=^l()p ( - - ) ‘
de
la
cantidad
Q = Qo ( y ) 1G° ° '
es
. I n d i c a c i ó n. La ecu ación
y
2900. 9 = — klw.
D entro de una hora. 2904.
Indicación.
Q — Qo ( y ) 3 . 2908. v
de
2903.
Indicación.
t ^ 35,2
buscada es dp — — k p d h .
t
co(k
ecu ación
os d Q = — AQ dh\
es
os
Indicación.
»
n (/t2— 2/t) d/i =
ol
c o e f¡cie n to
m ~ = m g ^ kv*;
La ecu ación es
”'
-
Í = R * + L W l -R3(>a-a t ~ Ll* C0S a t > + L(úe
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R f
L ]■
Soluciones
499
di
La e cu a c ió n es /?¿ + L — = £ s c u g ) ¿ .
Indicación.
+ C lX+ C 2. 2912. l + c 1r/ 2 = ( c 2 + - ^ ) 2.
2914.
i/ = C 1 + C 2 ln|a;|.
2917.
2919.
2015.
y=
y = ( l + ( 7 í ) l n | a : + C 1 |— C i:r + C 2.
y = i - { l n | a : | ) Z - l - C 1 lii| a :| -f-C 2.
2921
4 “^ -.
2922.
2013.
y = ln |« * * + ( 7 , |- * + £ ? « ,
2910.
V C , r + C 2.
y — C^
( * — C , ) = . a ln sen
2918.
2920.
y = ±
y
a: = 4 ~ ] n
Cj
|f = (C i«* + l)* H -< 7 j.
(s o lu c ió n
g u ia r ).
s in g u la r ).
2926,
+ C2x + C 3.
2931.
j/ = C *2.
+
tf = a » + 3 x.
2932.
2934. x — C, —
C2
ln
2037. ’ Ty = x + i .
2042. x - — y
J +^2*
c
+ C 2; y = ™ a : 2 + C
y ——
- { - C (s o lu c ió n sin -
In |a: |+ C 2z + C3. 2927. ¡, = son (C , + z ) +
2929.
¡/ = 6 ,, i Í ^
y= y
(*a + l ) .
>
; j/-C \
2033.
2930.
¡í= * + l.
z = <7, + ln
. 2035. x = Cxy* + y ln j/ + C2. 2036.
4a* = l.
! / + ^2
2038.
J -ii+ iln la ;!.
y = ( 6 > - C f ) eCl
y = * C xx ( x — C t)-\ -C $
y =
2928.
2 i/T
= — g— 3 2
2924.
2925.
+ 0*2; y + c .
y = + | [ " i V C\ — x * + C \ aresen
f-l
2023.
y — arln |i |+
2911.
2939.
(y + 2 ) - .
«2— 1
x*-\
y-
—
? = 4 - * 2-
2943.
2940.
y=
m
i * i
y = ~ x ' 2.
y=a-
2941.
1 — X2
e.+ l )
+
y s= 2 e * .
,-x
+ T ^ 7 ' 2945" y “
2044.
«
3e^-x
g - . 2946. y = 2~ g33f » 2947.
o
í/ = sgc2 :z.
2948.
y = s e n a :-f-l.
2949
949. y = •— — 4 " - 2950. x = — £ - e ~ y2. 2051. N o tie n e s o lu c ió n . 2952. y = ex .
4
2
¿
•i
¿
2953. j/ = 2 ln |x |—
. 2954.
c ió n s i n g u l a r e s y = C. 2955.
^ " T ^ 1 ( * “M ) 2 + ^ 2 - T-a soIu '
j-2
— h ( ^ í — C f) x + C2. La s o lu c ió n
g u ia r es j, = Í £ ± ü ? - ¡ - C . 2956. v = ¿ ( C , + * ) « + C 2* + C 3.
-f-C 2*Cl* ;
y = l ~ ¿ x;
y= —l +
Ia
s o lu c ió n
s in g u la r
2957.
os
sin -
* = C 4+
4
y — ~qZ-
x
'
32*
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500
2958. Las circu n feren cia s. 2959. ( x — C t)2 —
y = a ch
(.r —
. La circu n feren cia
xq)Z =
2(1’1
j — a2.
La
+ ~
H
2
constante
y
q
— a.
2963.
La
p arábola.
— g { aenct — p ic o s a ) . La
2966. s = — ln ch ( t
m ie n to es m
le y
g—
2964.
La
parábola
y = a ( 1 — c o s í),
y = ~ 7 r — e 11
¿
Q
+
£ 2* donde H os la ten sión h orizon ta l
Indicación.
2965.
2961.
x — x Q^ a (t — sen í ) ,
+ ^ 2 0 í/ = ^ c h
q
/
/ dy \ 2
~ ~ fíy
1 ‘ l^ ííc j '
ción.
(¿c— a;0)2-|-y2 = a*.
c ic lo id e
2962. €ay+Cí! = se c ( a x + CA.
= 0. 2960. La catenaria
La ecu ación
La
ecu ación
del
m o v im ie n to
j .
del m o v im ie n to
■ 2967.
es^ ~ = *
dx¿
d 2s
¿¿2 “
es
sí2
es 5 = —¡y- (sen a — ja c o s a ) .
z
Indicación.
= mg— k
d ife re n cia l
La
D en tro de
La ecu ación dol m o v im ie n to es
ecu ación
6,45
del
se g .
m o v í-
Indica­
= — 10*. 2968, a) N o; b) sí;
c ) s í; d) sí; e) n o; f) n o; g ) n o; h) s í. 2969. a) y v+ y ^ 0; b) y " — 2 y ' + y = 0;
c ) x 2y " — 2 x y ' + 2 y = 0; d ) y 1" — '¿y" + 4 y f — 2y = 0. 2970. y = S x — 5*2 + 2**.
1
2 9 7 i . y ¿ = — (C¡ sen * + ó'2 cos x). I n d i c a c i ó n .
E m plear
la su stitu ció n
x
!/— y¡u.
2972.
y = C ¡ x + C 2 1» x . 2973.
= Ax-\-— ~. I n d i c a c i ó n .
Las
y ^ A + B x ^ + x 3.
so lu cion es
hom ogénea son y , = * , y 2 — — - ^ o r
ol
2974.
p a rticu la res
m étod o
de
las
de
¿r = ~
+
O
la
ecu ación
variacion es
de
las
X
JJ
constantes arbitrarías h a lla m os: C x — ^- = A;
¿
Cz =
2975. y = A-{-
h
+ t fs e n * + C c o s * + l n |sec a ? 4 -t g * |+ sen x ln |co s x |— a: co s x.
2976.
y^=
= C 1*2* ' K V 3*- 2977. y = C{e-**-\-C2eZx . 2978. y = C\ + C2e * 2979. y = C ^ c o s * +
+ 0*2 son x. 2980. y = ex (Cl co s x + C 2 sen x ) . 2981. y - r ^ ( C | cos 3* + £ 2 s e íl3 * ).
2982. y = (Ci + C & ) e - * . 2983. y = ***
y=
^
+ ó y —*
= n ch +
2992.
2984.
Sí k > 0,
s i k < 0 , y = C l co s ~ [/— /c* + £2 sen ~\/~kx. 2985.y —
2 % C 2«
2987. p = 4e* + e « .
^ F + ¿ y “ * / F ).
2 ^
2986. y = e
2988. j =
y = 0.
2993.
+
lC o s - I + * + C2 s o n L p x ) .
2989. ¡ / - s e n 2 z .
y = C sen jur.
2994.
2990. y = l .
a)
2991. y ^
xe^x (Ax^ + Ü x + C ) ;
b) A c o s 2 r - f # sen 2 x; c ) ^ co s 2 i + 5 s o n 2 x + Cx*e*x ; d ) o * ( /t co s * + 5 s c n x ) ;
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c)
o* { A x * + B x + C ) + xe** ( D x + E)\
501
í)
z & [(A x * + B x + C) co s 2x +
+ (Dx2-\-Ex-\-F) sen 2*]. 2995. y = (Ci + C2x ) e2 * - f - l - ( 2 x * + 4 s + 3 ) . 2996. y =
= e 2 ((? ! cos
+ C2 so n ± - ^ 2 . j -)-x 3 + 3xz m
2997.
y = (Ct + C2x ) e~* +
- 1 - 4 - « 2X. 2998. í/ = Cí e:c-l-C 2í « - [ - 2 . 2999. y = Clí;*-|-C 2e - * - f 4 J
¿
3000. y =
s s C j co s x - ^ C 2 s e n x -\ -? x sen x . 3001. y = C\cx -\-C 2 fi~'¿ x — \ (3 sen 2a:-}-cos 2z).
2
j
3002.
y « C 1* » + C 1* "3 * + *
+ - i - co s * + “ 7”
3005.
1 -)
3003.
y = (Cl + Czx ) e * +
e~X' 3004. y =
(2 co s 2 x — son 2x).
y = - e x (C^ eos 2 x + CoSOn 2 x ) - { - ^ e x sen 2a*.
3006.
1
+ — (sen x + sen 2 x). 3007. 1) x = C x cos co¿ -f- C2 so n col +
i/= .c o s 2 x -f-
A
(J¿ _ _ } p sen Pl < 2) x =
= <7jCOs o>¿ + C2 son d>í — - ^ - / c o s c o í . 3008. í/ = C1e;{x+ í 7 2e45C— x c4*. 3009. y =
¿O)
= C 1+ C2e « + ^ —
3010.
+ (72e8)c- | - | - w * * — y * .
3013.
3011.
y -C ,+
3012. ¡/ = C i e-2*-|-C 2e4:i:— i c ^ -j-g (3 eo s 2x-|-sen 2x).
y = C-'j-f-C2e -^ +
3015. y =
|>= « * ( C 1 + Cí * + a »).
+
— 5*.
3014.
í-* + | e *
3010.
y = <71+ C,2e * — 3 * s * — * — * 2.
a = (C i eos 3 * + C 2 sen 3*) e* +
+ i ( s o n 3 s - j - G c o s 3 * ) - | - y . 3017. f / = < C i + C & + x * ) e ™ \
•+- C2<!3* -----— (eos x + 3 sen a:) —
-----------.
■ 3018. a = C j +
3019.------ y =
eSfc (4a: + i ) — - i ----
— “p + -£ ". 3020. y = £ , e * - f C ,2e~x — x s e n x — c o s x . 3021. y = C V “ 2X +
í»2X
+• £ -*
(sen 2x-|-2 co s 2o:). 3022. y ^ C j co s 2 x + £ 2 sen 2* —
3023.
y = í?* (C^ e o s x-|-C 2 sen x — 2 x c o s x ) .
+ - i - (x*¿ — x) **
+
3027.
(3* - 1 ) •**.
3025.
3026.
x
3024.
( 3sen 2x-|-2 co s 2 x )-fy — <7J<?x + Cí<r'x +
y — CA c o s 3x -(- C« sen 3 x + - i x sen x — -^ r eos x +
y - C ¡ ¿ * + Ca<rK -t-| - (2 _
y = Ci + C2e 2 x - 2 x e X - ^ x — 1 * » .
3028.
3x) +
( 2 * 2 - s) <?3*.
a = ( C j + C’2í +
) e2x.
3029. a ■= ( V " 3* + Cae*— 4 (2x2 + * ) ff- 3* + 1 . (2x2_¡_3* ) e*. ;ju3ü. y - C¡ cos x +
8 v
1 '
16
f
xX
, x2
x
. . .
3 ó
- f C2 son x + — ccooss xX +
H— ¿— sen
—
7- co s o3 x +
-I- — sen 3x.
SCO x
X — -T
I n d i c a c i ó n.
4
4
o
T ran sform ar e l p ro d u cto de cosen os en su m a de cosen os. 3031. y =
= Cte ~ x 1 2 -|- C2ex y 2 + x e x sen x 4 - ex cos x.
3032.
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y — C í co s x + C2 son x - f
-502
S o lu c io n a s
+ c o s x ln |o tg
+
|-
3033.
y — CiCoa x - f C2 s e u x + s e n ¿ * ln Jtg-^-
3034.
y—
+
ex ~\~xex ln |x |.
3035.
y—
e~x -{-xe~x ln |x |.
3036. !/ = C l co s * -f-(72 sen x + x son ar-)-eos x Id (e o s x
3037. y = Ci eos x -fsen x — x eos a:-{-sen x ln |sen x |. 3038. n) y = C iex + C 2 e~x -i-(ex -j-e~x ) arctg
b)
y = Ciex
-\-C 2 ¿ ~ xyr* + e xZ.
3040.
f ( ' S ’ ) = 2 _ * ( l + 2) (fc= ;',) :
Si
£ — «JUU
do reposo do
ecu ación
r = 2.1 j / |
2 gsen 3 0 / - - 6 0 '\/rg sen ~\/gt
T
cm . I n d i c a c i ó n .
—-~ r2
de Ja p o s ició n
La
la carga,
del
m ov im ien to
seg.
es
3041.
. ,
z se cuenta a partir
— * " = 4 — k ( x 0-\-x — y - l ) ,
donde
x 0 es la distancia desde e l pu nto de rep oso de la carea hasta el p u n to
in ic ia l do engauche d el resorte, í es la lo n g itu d del resorte on estado
do
reposo;
por
lo
cual
/c ( s 0— ¿) = 4,
p or
con sig u ien te,
d 2x
k ( x — y) , d on d o ¿ = 4, g^=981 cm 2/s o g . 3042. m —^ = k ( b — x ) —
I = c eos
—
¿
. 3043. G ^ - = gs; ¿ = ] / Ay l n ( 6 + 1 / 3 5 ) .
e ~ (0t)y
b)
r = ~ (e^1 — e~~tít).
¿(ú
ren cial dol m ovim ien to e s -^ -£ -=
di 2
3045. y = C 1+ C 2^ + ^ 1»
Indicación.
3044.
<ó-f x );
a) r =
La ecu ación di fe -
íoV .
3046. V = C x + C2< r « +
3047. !/ = C1e - “ + « 2 ( c 2 c o s _ l ^ _ ;r + C, sen
.
3048. y ~= C, + C2x + Csex ^ + C,fi~x v T . 3040. y = ex { C ^ C ^ + C ^ ) .
3050. y = ex (Cj eos x + C2 sen x ) + e~x (C3 eos x-\ -C k sen x ).
305Í. y = (Cj + C'¿x) eos 2 x + ( C ¿ -(- C^x) sen 2x.
x
_
3052. y ^ C t + C t f - x + e ^ ( <73 eo s
_
* + C4 s
o
n
) .
3053. ,j = (Cs + C2x ) e~* + (C3 + C,,r) «*
3054. // = 6 ' ^ * -}-J- C3 eos a z C4 sen ax.
3055.
y--^(Ci + C2x ) e v T x -i-(C3+ C i x
) e
- 3056.
í / = C 1 + C2z +
+ C3 c o s a a r + C 4 s e n a i . 3057. y = C + C 2i + ( C 3+ C 4j ) r * . 3058. !/ = (C , +
-|-C22) eos a + (Í7S+ ^ x ) se a i .
3059.
» = < r* (<71+ C 2a: + . . . + C nx n~i).
3060.
j, = C1 + C'2* + ( c 3+ C 4* + - ^ - ) c *
3061.
y =■Ct + C ¿ c + 1 2 x 2 + 3x3 + A.
+ _^_
xs
{C.¿ + C ,,x) e*.
3062. y = C ic * + c ~ Z ^(72 cos J ~ ^ i + C3 sen
3063. y ^ C ¡ - ¡ - C 2x + C3a:2 + C4P -“
(4 eos 4 x - s e n 4 * ) .
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5.
503
Soluciones
3064.
y ~ C lé - * + C 9+ C 3z + ^
«s + .-L * « + «*
3065. y = Cie '-x + C2 c o s x + C g s e n x + e * ^ —
3066.
.
.
-J- C% eos x + C3 sen x - f s e c x - f e o s x ln |c o s x |— t g x -s e n x - f x s e n x .
3067. .y = e - x + e
2 ( co s
sea
i
3068. ^ ( C j - f C o l n x ) — .
x ) + x ~ 2*
Q
-f .
3069. y = C, * 3
X
X
3070.
= C* co s (2 ln x ) + C2 s e n (2 ln x ),
3071. y = C ix-\-C2x* + C3z*. 3072. y - = C l + C2 ^ x + 2) — ^/3.
Q
3073. y = C1x 2H— — . 3074. y = Ci co s (ln x ) -\-C 2 sen ( ln x ).
x
3075. y = C’, * 3 - f C2í 2 + I * .
3077. i/ = x ( ! n x - f ln 2 x ).
3076.
3078.
¿- = ( * + 1)* [<7S+ ¿72 ln> ( * + l ) ] + ( * + l ) 3-
y = C { c o s x + C 2 sen x ,
z = * C 2 eos x — C ,s c n x.
3079. y = e r x ( C 1 c o s x + C 2 se n x ), 2 = -i- < r* [(C2— 2Ct) co s x — (C t + 2C2) se n x) .
3080. y = (Cl - C 2- C ix ) e - * * , z ^ (C ,x + C2) <r2X3081 . x = C^e1- f e
„ -
2 ^ C 2 e o s — 2 ~~ t + c s 9 °“ —
V
C ..-4 ..-S ( g .
C. . . + . - 5 ( -
*) *
C» V T - C° c a
£
0 .
T g l , + C» V | - C,
, m
W
,) .
3082. x = C ie~ l + C 2ei t , y = C3e~ ' + C ^ , z = - (C , + C s) < r‘ + ¿ V 2' •
3083. y = C , + C 2c 2 * - - f x2 + z ) , s - C g í » * — C i + | - (* 2 - * — 1).
3084. j/ = Cs + C2.r 4 - 2 sen a , z = — 2Ct — Cz ( 2x + i ) — %s o n x — 2 c o s x .
3085. y *= (C 2~ 2 C t - 2 C 2x ) e~x — 6 * + 1 4 , s = (C¡ + C2x ) « -* ■ + 5 * — 9;
C j= 9 ,
3086.
m
O
4,
y = í 4 ( 1 — e~*) — ¿‘ x (3 + ie~ x ) , z = — 9 (1 — e~x ) + « (5-|-4 e ~ * ) .
8e3 í— e ' + 6í — 1; y = — 20e3< + 8 c 3l + 3eí - f l 2 í + 10.
- T C
b ) ln
la
í ?2 =
e cu a ció n
^ Í -
^ -C ~ í
M 8‘.
.)
J í ± ^ i - C
, .
a r c tg ^ + C , , — r ~ = = = C2. c ) I n d i c a c i ó n .
hom ogénea
*
—
x — y
ln V ^ H - í / i = a r c t g — + C i.
L u eg o,
^ — , • h a lla m os
x+ y
u tiliz a n d o
p o r c io n e s d e riv a d a s, t e n e m o s — =■ —
2
x ( x — y)
las
y ( x + y)
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la
f - C
Integrando
p rim era
p rop ied a d es
* J + y*
*
integral
de las pro. De donde
504
S o lu c io n e s
ln z =
ln ( s 2,|_y2) - { - ] o c 2 y , p o r c o n s ig u ie n te ■_
- = C2\e) * + y +
¿
^
yx^-j-f/2
+ z = 0, £3+ y !¿+ 23 = 6. I n d i c a c i ó n .
U tiliz a n d o las propiedades de las
p rop orcion es
derivadas,
tenem os:
■ ^x — = . ^
= - ^ g— —
ftyÍ ~ •
y—z
z—x
x—y
0
de donde d x-\ -d y-\ -d z = 0 y , p or co n sig u ie n te , x - ^ y + z ^ C ^ . A n á loga m en te
xdx
ydy
z dz
x dx + y dy + z d z .
^
~ ( y - 7 ) = 7 F = ^ T = T ( 7 - = --------- " ~ Ó ~ -------------; * á* + l ' ^ + * á * = 0
y x 2- h y 2 + z 2 = c 2. Es d e cir, que las curvas in tegrales so n las circu n feren ­
cias £ + 2/ + ¿ = C j, £2 + y2+ 23 = C2. De las co n d icio n e s in ic ia le s x = i 9 y = i t
z= s — 2, tendrem os quo 6^ = 0, Cz = 6.
3089. ¡ , = , ( 7 ^ 4 - —
lo
X
(3 In^ ce— 2 ln x ) ,
í = l _ 2 C l* + ^ | - J - Í ( 3 1 n * * + l n * - l ) .
3090. y = s C iex } ^ + C2 e ~ x ^ + C3 cos 2 + £ 4 sen * + <?x — 2a:,
2= -
3091.
V 2 - C2e ~ x V 2 ~
x =
(1 — e
.
. ,
. Resolución,
w
f
c o s x - ^ sen * - j
m ?),
dvx
y = " p * ( &yo son a + w g) ( 1 — £
.
= — kvx \ m
co n d icio n e s in icia le s son : a:0 = ^0 = 0 ,
t = 0. In tegran do, obtenem os:
vx — vq c o s a e
ftf
m ,
= — kvy — mg
yA.o = y0 cos a ,
Y m
k
.
y = -^ 4
s e n -- —
k
Ym
cióu.
d iferen cia les
del
m¿) —
cu an do
^ 0— y0 s e n a
kvu -\-m g = (kv0 sen ct+ mg) e
onno
k
,
3092. y = a cos — y— L
1/ni
Las ecuaciones
«*+ *.
,
las
cu an do
- — t
m
* 2 , ¡z2y2
•
r
i ■
—^ - + ----- — = t .
Indica*¿
mvl
d^x
m o v im ie n to son : rn - •••-■ = — h2x\
d i2
3093. y = ~ 2 — 2 * — **. 3094. » , = ( ¡ , 0 + j
) eW
- i.- .íi+ í .
3095.
3090. . 4
»
-
^2
¿^3
^4
3097. {/ = ar + r - ^ + - - 5 + 5- T + l a
1 •Z Z - o
o -4
serie es con verg en te cu an do — i < a ? < i .
3098. ! / := i - ^ ^ + ( 2 ^ 3 ~ ( 3 ^ 4 + " - ’ ' a S0riü 08 C(>,,vcrKon te cuandü
— < x > < + < + c o . I n d i c a c i ó n . E m pléese el p roced im ien to de los c o e fi­
cien tes in determ inados.
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Soluciones
3099. y = l —
oí
* 3 + ^ r r z * — * 'o V '
o!
9!
— c o < x < - f e o . 3100. y = » - ^ I L Í . .
505
- * *» *a 3er*e 03 con vergen te cuando
Indicación.
Em pléese
el
m étodo
jj2
do lo s c o e fic ie n te s in determ inados. 3101. ¿f = l — 55"^ 22T42 ~~22-42 - 62
la serie es con verg en te cuando |x |< -|-co.
m étod o de lo s co e ficie n te s indeterm inados.
3102
• x ~ a { í
¿I ,S ' t' 4 ! <4
3103. u = A c o s
sen
.
Indicación.
co
U tiliz a r
las
co n d icio n e s :
, - ° U^ ¡ ^ = 0.
- Y SonL V • Il,d' CaCl6n'
( 2 / c - f- 1 ) Tíat
1
3104.
fe—o
las
Em pléeso el
6! í G + 8 ! ,8
u ( 0 , /) = 0, u { ¿ , t) = 0, « ( r , 0 ) = A sen
U tiliz a r
Indicación.
’
(2 / í •|~1) j c j
r
co n d icio n e s: u (0, i) = 0 f u (I, f ) = 0» ti ( x t 0) = 0,
,
d U
^
= 1.
oo
, in .
3105.
8/¿
1
n.i
rcrcaf
/in.r
u = —r —5- s e n - r — c o s — ?— s e n — —
.
ji2
n2
2
¿
l
n=l
las co n d icio n e s:
* /
r
. x
Indicación.
í 2h*
a
" T " Para 0 < X
m
dt
i u« i ;
U tilizar
•1
T »
) 2A ( 1 — |-) para -g- < ¡r < í.
OO
3106.
u= ^
i
'l/* cos ^
— - sen
^
^—
, donde los coeficien tes An =
n= 0
2 ? x
(2n+l)«x,
= — \ — sen
dx —
1)1
¿i
8 ( — l ) r*
1 , 77? ■>•
(2tf + l)-Jta
. . .
. ,
Indicación.
U tiliza r
,
las
o
1- •
/f»
a
Ouil, t)
x
d u ( x y 0)
co n d icio n e s: « ( 0, t ) = 0, ------— —= 0 , u (x, 0) = -¿- , --------- ^ — — = 0.
oj
„ . A400
3107. “ = “ 3-
1
— c o s » ji ) s e n —
e
aS7i3n2í
1003
f
. .
. .
• Indicación.
U tili-
71=1
zar las co n d icio n e s: u (0 , í ) = ^ « w ( 100, / ) ^ 0 , u ( x , 0 ) = 0,01 x (100 — x).
Capítulo X
3108.
a) < 1" ; < 0 ,0 0 2 3 % ; 1)) < 1 ram; < 0 , 2 6 % ; c ) < 1 g ; < 0 ,0 0 1 6 % .
3109.
a) < 0 , 0 5 ; < 0 ,0 2 1 % ; b) < 0 ,0 0 0 5 ; < 1 , 4 5 % ; c ) < 0 ,0 0 5 ; < 0 ,1 0 % .
3110. a) 2 c ifra s ; 48-103 ó 4!M Ü3, y a que el núm ero está com prendido entre
47 877 y 48 845; b) 2 c ifra s ; 15; c ) 1 c ifr a ; 6 -1 0 2. P rácticam ente, el resultado
dobo escrib irse en
la form a (5,9 ¿ 0 ,1 )-1 0 2. 3111. a) 29,5; b ) 1 ,0 -10a; c ) 43,2.
3112.
a) 84,2; b ) 18,5 ó 18,47 ± 0 , 0 1 ; c ) el resu ltado del cá lc u lo no tieno
c ifr a s ex a cta s, ya que la diferen cia es ig u a l a una centésim a y el valor
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S o lu c io n e s
p osib le del error absolu to tam bién es una centésim a. 3113*. 1,8 ± 0 , 3 cm 2'
I n d i c a c i ó n . U tiliza r la fórm u la del increm ento d e l área del cuadrado.
3114. a) 30,0 ± 0 , 2 ;
b ) 43,7 ± 0 , 1 ;
c ) 0,3 ± 0 , 1 . 3115. 19,9 ± 0 , 1 m 2.
3116. a) 1,1295 ± 0,0002; b) 0,120 ± 0,006-; c ) el co cie n te puede o s c ila r entre
48 y 62. P o r con sig u ien te, on la n ota ción dol cocien te n o puede considerarse
exacta ninguna cifra d ecim a l. 3117. 0,480. La ú ltim a c ifr a puede o s c ila r
en una unidad. 3118. a) 0,1729; b) 277-103; c) 2. 3119. (2,05 ± 0 ,01). 10^ e r a l
3120. a) 1,618; b) 4,025 ± 0 ,0 0 1 ; c ) 9,006 ± 0,003. 3121. 4,01-103 cm 2. El
error absoluto es 6,5 cm 2. El error r e la tiv o 0 ,1 6 % . 3122. E l cateto os ig u a l
a 1 3 ,8 + 0 ,2 cm ;
son a = 0,44 ± 0,01; a = 2601 5 ' ± 3 5 '.
3123.
2 ,7 ± 0 1 .
3124. 0,27 am perios. 3125. La lon gitu d del péndulo debe m edirse con e x a c­
titud do basta 0,3 cm ; los núm eros n y q deben tom arse con tres cifras
(segú n e l p rin cip o de las in flu en cia s igu ales). 3126. Los radios y la gene­
ratriz deben m odirso co n error relativ o do 1/300. El núm ero jx debe tomarse
con tres cifra s (según el p r in c ip io de las in flu en cia s ig u a les). 3127. La
m agnitud l debe m edirse co n p recisión del 0 ,2 % y s, co n p recisión del
0,7% (según e l p r in cip io do las in flu en cias ig u a les).
3128.
X
y
Ay
A2*/
A zy
A *y
1
3
7
— 2
-0
14
2
.10
5
— 8
3
15
- 3
4
12
—3
5
9
6
5
0
8
A5y
—
—9
-1
- 1
-4
3129.
X
y
Ay
A2y
1
-4
— 12
32
48
3
-1 6
20
80
48
48
5
4
100
128
7
104
228
176
9
332
404
11
736
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A
23
507
Soluciones
3130.
I n d i c a c i ó n . C a lcu la r los prim eros c in c o valores do y y , una vez
o b te n id o A 4í/ 0 — 24, rep etir esto núm ero 24 p or tod a la colum na do las
cuartas d iferen cia s. D espués do osto, la parto róstante de la tabla se liona
m ediante
op eracion es
de
suma (avanzando do derecha a izquierda).
3131. a) 0,211; 0,389; 0,490; 0,660; b) 0,229; 0,399; 0,491; 0,664. 3132, 0,1822;
0,1993; 0,2165; '0,2334; 0,2503. 3133. 1 - f z - f a S + i S . 3134. y = 1
+ —
+
x3 4 .
22 cuando ^ = 5,5; y = 20 cu an do x ^ o ,2. I n d i c a ­
c i ó n . A l c a lc u la r a para y = 20 tom ar í/ 0 — 11. 3135. El p o lin o m io de inter­
p o la ció n es y = x 2— 1 0 * + 1; y — 1 cu an do x = 0. 3136. 153 k g f (aproxim adam en te).
3137.
a)
y ( 0 , 5 ) = — 1;
y (2 ) = l l ;
b ) y (0,5) = -
-
,
y ( 2 ) = - 3.
3138. - 1 , 3 2 5 . 3139. 1,01. 3140. — 1,86; — 0,25; 2,11. 3141. 2,09. 3142. 2,45;
0,019. 3143. 0,31; 4. 3144. 2,506. 3145. 0,02. 3146, 0,24. 3147. 1,27. 3148.
- 1 , 8 8 ; 0,35; 1,53. 3149. 1,84. 3150. 1,31; - 0 , 6 7 . 3 1 5 1 .7 ,1 3 . 3152. 0,165.
3153- ± 1 , 7 3 y 0. 3154. 1,72. 3155. 1,38. 3156. x = 0,83; y = 0,56; z = - 0 , 8 3 ;
y - — 0,56. 3157. 3 = 1,67; y = 1 ,2 2 . 3158. 4,493. 3159. ± 1,1997. 3160. Por la
fó rm u la de lo s tra p ecios, 11,625; por la fórm u la de Sim pson, 11,417.
3161, — 0.995: — 1; 0,005; 0 ,5 % ; A = 0,005. 3162. 0,3068; A = l,3 -1 0 -A
3163. 0,69. 3164. 0,79. 3165. 0,84. 3166. 0,28. 3167. 0,10. 3168. 1,61. 3169. 1,85.
3170. 0,09. 3171. 0,07. 3172. 0,75. 3173. 0,79. 3174. 4,93. 3175. 1,29. I n d i -
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508
S o lu c io n e s
c a e i ó n.
U t i l i z a r la s e c u a c i o n e s
p a r a m é t r ic a s
de
la
e l i p s e z — c o s t,
p = 0 ,6 2 2 2 s o n t y t r a n s f o r m a r la f ó r m u l a d e l a l o n g i t u d d e l a r c o a l a f o r m a
n
2
P
•
•
\ 1 / 1 — e2 eos2 t ‘ dtf donde e es la excen tricida d de la e lip se . 3176.
X't
(x)— y T
o
y 2 W = x + S ,? 3 W = í
M * ) = + + / r ------z + l ,
x :i
z.¿ ( x ) — - g
= *—
+ ‘& + l ü S ' + - M
=
" - 3177- » í ( * ) =
+
7x¿
2 j 2- t 3 z — 2, s3 (a;) = —— — 2a:2+ 3 j — 2. 3178.
¡,3 ( * ) = * — y - + - ¿ g p
3179.
y (1) = 3,36.
t
~
x + 1'
Zi ( x ) = 3 x — 2,
( « ) = * , i/2(^ ) =
3180.
í/ ( 2
) = 0,80.
3181. <f(l) = 3,72;
z ( l ) = 2,72.
3182. y = l , 8 0 . 3183. 3,15. 3184. 0,14.
3185. y (0,5) = 3 ,1 5 ;
a (0,5) = — 3,15. 3186. y (0,5) = 0,55; z (0,5) = — 0,18.
3187. 1,16. 3188. 0,87. 3189. z ( n ) = 3 , 5 8 ; x ' (it) = 0,79. 3190. 429 + 1739 eos a-—
— 1037 sen x — 0321 cos 2a: + 1 2 6 3 sen 2a:— 1242 cos 3a;— 33 sen 3a:. 3191. 6,49—
— 1,90 eos a: + 2,14 son a: — 1,68 co s 2x 4 - 0,53 son 2a: — 1,13 co s 3a: + 0 ,0 4 sen 3a;.
3192. 0,960 + 0,851 c o s x + 0,915 son a ;+ 0 ,5 4 2 co s 2 x + 0 ,6 2 0 sen 2a:+0,271 co s 3a:+
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9,830
4,579
9,865
4,595
9,899
4,610
9,933
4 ,6 2 6 : 9,967
4,642 40,000
www.FreeLibros.me
lg *
(m an­
tisas)
ln
*
1,7047
1,7228
1,7405
1,7579
1,7750
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4,8563
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1,9169
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1,9601
1,9741
1,9879
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2,0149
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2,0412
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2,0669
2,0794
2,0919
2,1041
2,1163
2,1282
2,1401
2,1518
2,1633
2,1748
2,1864
7404
7482
7559
7634
770.9
7782
7853
7924
7993
8062
8129
8195
8261
8325
8388
8451
8513
8573
8033
8692
8751
8808
8865
8921
8976
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9085
9138
9194
9243
9294
9345
9395
9445
9494
9542
9590
9638
9685
9731
2.1972
2,2083
2,2192
2,2300
2,2407
9777
9823
9868
9912
9956
2,2513
2,2018
2,2721
2,2824
2,2925
0000
2,3026
512
IV, Funciones trigonom étricas
Xo
X
(radian es)
son x
tg I
ctg *
COS X
0
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
44
42
43
44
45
0,0000
0,0175
0,0349
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0,0873
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0,1222
0,1396
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0,1745
0 ,1 9 2 0
0,2094
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0,2443
0,2618
0,2793
0,2967
0 ,3 1 4 2
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0,3491
0,3665
0,3840
0,4014
0,4189
0,4363
0,4538
0,4712
0,4887
0,5001
0,5236
0,5411
0,5585
0,5760
0,5934
0,6109
0 ,6 2 8 3
0,6458
0,6632
0,6807
0,6981
0,7156
0,7330
0,7505
0 ,7 6 7 9
0 ,7 8 5 4
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0,1045
0,1219
0,1392
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0 ,1 9 0 8
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0 ,2756
0 ,2 9 2 4
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0 ,4 2 2 6
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0 ,5 0 0 0
0 ,5 1 5 0
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0,5736
0,5878
0 ,6 0 1 8
0,0157
0,6293
0 ,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0 ,6947
0,7071
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0 ,0 6 9 9
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0 ,2 8 6 7
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0 ,5 7 7 4
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0 ,7 8 1 3
0,8098
0,8391
0,8693
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0 ,9 6 5 7
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co
5 7 ,2 9
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14,30
11,43
9 ,5 1 4
8 ,1 4 4
7,115
6 ,3 1 4
5,671
5 ,145
4 ,7 0 5
4,331
4,011
3,732
3 ,487
3,271
3 ,0 7 8
2,904
2,747
2,605
2,475
2 ,3 5 6
2 ,2 4 6
2 ,1 4 5
2 ,0 5 0
1,963
1,881
1,804
1,732
1,6643
1,6003
1,5399
1,4826
1,4281
1,3764
1,3270
1,2799
1,2349
1,1918
1,1504
1,1106
1,0724
1,0355
1,0000
1,0000
0,9998
0 ,9 9 9 4
0 ,9 9 8 6
0 ,9 9 7 6
0,9962
0,9945
0,9925
0,9903
0 ,9 8 7 7
0 ,9 8 4 8
0 ,9 8 1 6
0,9781
0,9744
0,9703
0 ,9 6 5 9
0 ,9 6 1 3
0 ,9 5 6 3
0,9511
0 ,9 4 5 5
0,9397
0,9330
0 ,9 2 7 2
0 ,9 2 0 5
0 ,9 1 3 5
0 ,9 0 6 3
0 ,8 9 8 8
0 ,8 9 1 0
0,8829
0 ,8 7 4 6
0 ,8 6 6 0
0 ,8 5 7 2
0,8480
0,8387
0,8290
0,8192
0 ,8 0 9 0
0 ,7 9 8 6
0,7880
0,7771
0 ,7 6 6 0
0,7547
0,7431
0 ,7 3 1 4
0 ,7 1 9 3
0,7071
1,5708
1,5533
1,5359
1,5184
1,5010
1,4835
1,4661
1,4486
1,4312
1,4137
1,39G3
4,3788
1,3614
1,3439
1,3265
1,3090
1,2915
1,2741
1,2566
1,2392
1,2217
1,2043
1,1868
1,1694
1,1519
1,1345
1,1170
1,0996
1,0821
1,0647
1,0472
1,0297
1,0123
0,9948
0 ,9 7 7 4
0 ,9 5 9 9
0 ,9 4 2 5
0 ,9 2 5 0
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0,8901
0,8727
0,8552
0,8378
0 ,8 2 0 3
0 ,8 0 2 9
0,7854
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
04
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
COS X
ctg x
tg X
sen x
X
(ra d ia n es)
Xo
www.FreeLibros.me
513
V. Funciones exponenciales,»-hiperbólicas y trigonométricas
X
e*
0 ,0
1,0000
1,1052
1,2214
1,3499
sh x
ch x
1,0000
0 ,9 0 4 8
0 ,0 0 0 0
0 ,1 0 0 2
1,0000
0 ,2 0 1 3
0,3045
0,4108
1,0050
1,0201
1,0453
1,0811
0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
1,4918
0 ,8 1 8 7
0 ,7 4 0 8
0 ,6 7 0 3
0 ,5
0,(5
0 ,7
0 ,8
0 ,9
1,6487
1,822-1
2,0138
2 ,2 2 5 5
2 ,4 5 9 6
0 ,6 0 6 5
0,5488
0 ,4 9 6 6
0 ,4 4 9 3
0 ,4 0 6 6
0,5211
0,0367
0 ,7 5 8 6
0,8881
1,2552
1,3374
1,0265
1,4331
1 ,0
2,7183
3,0042
0 ,3 6 7 9
0 ,3 3 2 9
1,5431
3,3201
3,6693
0 ,3 0 1 2
0 ,2 7 2 5
4 ,0 5 5 2
0,2466
1,1752
1,3356
1,5095
1,6984
1,9043
1 , G685
1,8107
1,0709
2,1509
4 ,4 8 1 7
0,2231
2,1293
2,3524
4 ,9 5 3 0
5,4739
6,0496
6,6859
0 ,2 0 1 9
0 ,1 8 2 7
0,1653
0,1496
2 ,3 7 5 6
•2,6456
2,9422
2,5775
2 ,8 2 8 3
2 ,0
2 ,1
2 ,2
2 ,3
7,3891
8,-1662
0,-1353
0 ,1 2 2 5
0 ,1 1 0 8
' 3,6269
4,0219
4,4571
4,9370
2 ,4
11,0232
2 ,5
12,1825
13,4637
14,8797
16,4446
18,1741
0,0821
0 ,0 7 4 3
0 ,0 6 7 2
0 ,0 6 0 8
2 0,0855
22,1979
24,5325
2 7,1126
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0 ,0 4 0 8
1 ,1
1 ,2
1 ,3
1 ,4
1 ,5
1 ,6
1 ,7
1 ,8
1 ,9
2 ,6
2 ,7
2 ,8
2 ,9
3 ,0
3 ,1
3 ,2
3 ,3
3 ,4
3 ,5
1,1276
1,1555
son x
COS X
0,0000
0,0000
0 ,0 9 9 7
0,0998
0,1987
1,0000
0,9950
0,9801
0,9553
0,9211
0 ,1 9 7 4
0,2913
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0 ,5 3 7 0
0 ,6 0 4 4
0 ,6 6 4 0
0 ,7163
0,7616
0 ,8 0 0 5
0 ,8 3 3 7
0 ,8 6 1 7
0 ,8 8 5 4
0,9051
0,9217
0 ,9 3 5 4
0 ,9 4 6 8
0,2955
0 ,3 8 9 4
0,4794
0,5646
0,6442
0,7174
0 ,7 8 3 3
0 ,8 4 1 5
0,8912
0 ,9320
0,9636
0,9854
0 ,9975
0 ,9 9 9 6
0,9917
0,8776
0,8253
0,7648
0,6967
0,6216
0 ,5 4 0 3
0,4536
0 ,3624
0,2675
0,1700
0,0707
- 0 ,0 2 9 2
— 0 ,1 2 8 8
- 0 ,2 2 7 2
0 ,9 5 6 2
0,9738
0*9463
3,7622
4,1443
4 ,5 6 7 9
0 ,9040
0 ,9704
0 ,9757
0,0093
0 ,8 6 3 2
0,8085
- 0 ,4 1 6 1
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5,0372
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0,9801
0 ,9837
0,7457
0,6755
- 0 ,6 6 6 3
6 ,1 3 2 3
6,7690
7,4735
0 ,9 8 6 6
0,5985
0,5155
- 0 ,8 0 1 1
— 0,8569
8,2527
9,1146
. 0,9926
0 ,9 9 4 0
0 ,4 2 7 4
0 ,3 3 5 0
0,2392
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- 0 ,9 7 1 0
1 0,0179
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11,1215
0 ,9 9 5 0
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- 0 ,9 9 9 1
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14,9987
0 ,9 9 5 9
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0,9978
0,1411
0,041G
— 0 ,0 5 8 4
—0 ,1 5 7 7
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1 0,5426
16,5728
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- 0 ,9 3 6 5
9 ,0 2 5 0
9,9742
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0 ,0 9 0 7
0 ,0 5 5 0
3,2632
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7,4063
8,1919
9 ,0 5 9 6
3,1075
3,4177
th x
0,9890
0,9910
33-1016
www.FreeLibros.me
- 0 ,3 2 3 3
- 0 ,7 3 7 4
- 0 ,9 9 8 3
- 0 ,9 8 7 5
- 0 ,9 6 6 8
514
VI. Curvas (para consulta)
4.
Parábola
y=xK
2. P arábola cúbica
y = 3?
4. G ráfica de la
fu n ción fraccionaria
1
y=
2 ’
1
* = -
y=
í -
\ - X
'
X
6. Parábola (ram a su perior)
y = y i.
7. Parábola cúbica
y= V ~ x.
www.FreeLibros.me
515
8a. Parábola
de N oil
9. S in u soid e y co sin u so ld o
y ^ .scn x o y=-cosx.
10. T a n g cn toid o y contangentoid©
y = t g * c y = c t g x.
www.FreeLibros.me
41. G rá fica de las fu n cion es
y = gecz e y = cosccs.
12. G ráfica do las fu n cion es trig on om étrica s
y = A r c s o n x e y = A rceos x.
www.FreeLibros.me
inversas
517
13. G rá fica
de
la s fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic o s inversas
y = A r c tg x e y = A rcctg x.
14. G rá fica <lo la s fu n c io n e s ox p on en cia les
y — e x o y — e - x.
www.FreeLibros.me
51S
15. Curva loga rítm ica
1(>. Curva do Gauss
ir— la x.
17. Gráfica
lt =
de las fun ciones
ex — e~x
y —sh * = — g
e
y — ch x =
h iperbólicas
ex -r-e~x
------ (catenaria).
18. G ráfica de las fun ciones
h ip erb ólica s
ex— e-x
y = th x = «■— — — e
ex + e ~ *
í/ = cth x =
www.FreeLibros.me
ex + e~*
ex — e~x
51 y
20. H ipérbola
19. E lipse
*2
= a e o s t,
b sen t .
x2
y 2_
2
a2
¿2 “
a cht.
J{ xx == <
,
0
\
y = b s i) í.
(para la rama derecha).
21. Parábola
22. F o liu m de D escartes
y~ = 2 p x .
x 3 +• £** — 3 a a :// = 0
3aí
23. C iso id o do D io c le s
.r‘
í/2
ü— X
al2
Z _ T + Í 3 '’
3ní2
a í3
* = T F ir U
www.FreeLibros.me
1 + /2
5¿0
25. L em n iscata de B ernoulJi
1/2) 2 = d%
=
o
eo s 2<p.
a -\ -x
Q— x
26. C ic lo id e
x = a (t — sen /),
{ y = ia (1 — c o s 0 -
27.
H ip o c ic lo id e
(a stro íd e )
( 3; = a COS3
( ¿/ — a s e n 3
E v olv on to (d e s a rro llo ) d o la circu n fe re n cia
/•= a (1 + c o s ip).
( x = a (eos f + £ son 0»
1 y = a (sen t — t c o s t).
www.FreeLibros.me
521
r =
acp ( r > 0 ) .
r -i(r > 0 ).
33. R osa de tres p étalos
r = a son 3cp (r ^ 0).
34. R osa de cu a tro p é ta lo s
r — a ( s e a 2(p |.
www.FreeLibros.me
I NDI CE
Prólogo
.
. .
.
5
§
§
§
i . C oncepto de f u n c i ó n .........................................................................................
2. Representación gráfica de las fun ciones e le m e u t a le s ..........................
3. Lím ites
...............................................................................................................
7
13
19
§
§
4. Infinitésim os e i n f i n i t o s ................................................................................
5. C ontinuidad de las f u n c i o n e s ......................................
31
34
Capítulo I. Introducción al análisis
Capitulo / / ,
§
§
§
§
§
§
§
%
^
D iferenciación de funciones
C álcu lo directo do d e r i v a d a s .......................................................................
D erivación por m e d io de t a b l a s ...................................................................
D erivadas de fun ciones que n o están dadas ex p lícita m en te . . . .
A p lica cion es geom étricas y m ecánicas de la d e r i v a d a .........................
D erivadas do órdenes superiores
..............................................................
6. D iforencialcs de prim er orden y do órdenes s u p o r io r e s ......................
7. Teorem as d ol v a lor m e d i o ...........................................................................
8. Fórm ula do T a y l o r .........................................................................................
45
56
60
67
72
77
79
9. Regla de L T Ió p ita l — BernoulJi para el cá lcu lo de lím ites indeter­
m inados
80
1.
2.
3.
4.
5.
41
Capítulo I I I . Extrem os de la s fun ciones y a p lica cion es geom étricas de Ja
derivada
§
§
1. Extrem os de las fun ciones do un a r g u m e n t o ........................................
2. D irección do la con ca vid a d . Puntos de i n f l e x i ó n ..............................
85
94
§
§
3. A síntotas .
.................................
4. C onstrucción de las gráficas de las fun ciones por sus pu ntos caracte­
97
5
rísticos
5. D iferencial d el arco. C u r v a t u r a ..................................................................
99
105
Capitulo I V . Integral indefinida
§
§
1. Integración
i n m e d i a t a ..................................................................................
2. M étodo de sustitución
.................................................................................
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In d ic e
§
§
§
§
§
§
$
§
§
%
523
3. Integración p o r p a r t e s ..........................................................................
122
4 . Integrales elem entales q u e con tien en un trin om io cu ad rad o . . .
5 . Integración d o fu n cion es r a c i o n a l e s .............................
6. Integración
do algunas fun ciones ir r a c io n a l e s ..............................
7. Integración
do fu n cion es t r ig o n o m é t r ic a s ........................................
8. In tegra ción
de fu n cion es h i p e r b ó l i c a s ...........
9 . E m p leo de su stitu cion es trigon om étricas o h ip erb ólicas para el cá l­
cu lo de integrales de la f o r m a
10. In tegra ción
de diversas fu n cion es tr a n s c e n d e n te s .........................
11. E m p leo de las fórm u las de r e d u c c i ó n .......................................................
12. Integración
de distin tas f u n c i o n e s .....................................................
124
127
132
135
140
141
143
143
143
Capítulo V . Integral definida
§
4.
L a integral defin id a c o m o lím ite de una s u m a ............................
146
§
§
§
§
§
2. C á lcu lo de las in tegrales d efin id a s p or m edio de in defin idas . . .
3. Integrales
im propias .
.
4 . C a m bio de v a ria b le en la integral d e f i n i d a .....................
5. In tegra ción p o r p a r l e s ................................................................... ....
6. T eorem a d e l v a lo r m e d i o ....................................................................
159
§
5
§
§
§
7.
8.
9.
10.
11.
§
12. A p lica ció n de las integrales d efin id a s a ia resolución d e proble­
m as de física
149
151
155
158
A reas d o las figuras p l a n a s ................................................................... .
162
.............................................
168
L on g itu d d el arco de una cu rva
V olúm enes de cu erpos s ó l i d o s .............................................................
171
A rea de una su p erficie d e r e v o l u c i ó n ..............................................
176
M om en tos. Centros de gravedad. Teorem as de G u l d i n ...............
178
183
Capítulo V I . F u n cion es de v arias variables
§
§
§
§
§
§
§
§
§
^
§
§
§
§
§
191
1. C onceptos f u n d a m e n t a l e s ......................................................... .....
2. C o n t i n u i d a d .................................................................................................
196
.....................................................................................
197
3. D erivadas parciales
4 . D iferen cia l tota l d e una f u n c i ó n ................................................
199
5. D e riv a ció n de fu n cion es c o m p u e s t a s .......................................
202
6. D erivada en una d ire cció n dada y gra d ien te de una fu n ción . . . .
206
7. D erivad as y d iferen cia les d e órdenes superiores
.........................
215
Integración de d iferen ciales c x a c l a s .......................................
9. D eriv a ción de fu n cion es i m p l í c i t a s .......................................
218
10. C am bio de v a r i a b l e s .......................................................................
225
11. P la n o tangente y norm al a una s u p e r f i c i e ..............................
230
12. Fórm ula de T a y lo r para las fu n cion es do varias variables . . . .
13. E x trem o de una fu n ción d o v arios variables
.................
210
8.
14. P roblem as de d eterm in a ción d e ios m áxim os y m ínim os absolutos
de las f u n c i o n e s ..................................................................................
241
15. P u ntos singulares do la s cu rv a s p l a n a s ..................................
244
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233
236
In d ic e
524
§ 16. E n v o lv e n te
.........................................................................................................
§ 17. L on gitu d de un arco de curva en ol e s p a c i o .............................................
.........................................
§ 18. F u n ción v ectoria l de un argum ento escalar
247
24$
24$
§ 19. T ried ro intrínseco do una cu rva en el e s p a c i o .........................................
§ 20. Curvaturas do fle x ió n y do torsión de uña cu rva on el esp a cio . . .
253
258-
Capítulo V I I . Integrales m ú ltip les y cu rvilín eas
§
§
§
1. In tegra! d o b lo en coorden adas r e c t a n g u la r e s ...............................
2. C am bio de variables en la in tegral d o b lo . .. .
...........................
3. C álcu lo do áreas do figuras p l a n a s ................................................................
..................................................................................
4. C álcu lo d o volúm enes
5 . C á lcu lo d o áreas de s u p e r f i c i e s ................................................................
6. A p lica cio n e s de la integral d o b le a la* m e c á n i c a ................................
§
§
7. Integrales trip los
..............................
8. Integrales im propias, depen dien tes de un parám etro.
§
§
§
§ 9.
$ 10.
§ 11.
§ 12.
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
§
E cuaciones
312.
324
332
339
diferen ciales
§
§
1. V e rifica ció n d e las solu cion es. F orm ación de las ecu acion es diferen­
ciales do fam ilias de curvas. C on d icion es i n i c i a l e s
344
346
2. E cu acion es diferen ciales de 1er o r d e n .......................................
3 . E cu acion es d iferen cia les d e l cr orden con v aria b les soparablos.
§
T rayectorias ortogonales
..............................................................................
353
4 . E cu acion es d iferen ciales hom ogéneas do 1er o r d e n ................
§
286
290
Series
............................................................................................ .
Series num éricas
Series d e f u n c i o n e s ...........................................................................................
Serie d o T a y l o r ....................................................................................................
Series d o F o u r i e r ................................................................................................
Capítulo I X .
263
272
273
275
276
- 278
Integrales
im propias m ú ltip les
......................................................................................
Integrales cu rvilín ea s
Integrales de s u p e r f i c i e .......................................................................
302.
F órm ula d e O strogradski — G a u s s .................................................
303
E lom on tós de !a teoría d o ios c a m p o s ............................................
306
Capitulo V I I I .
2G1
5. E cu acion es diferen ciales lin eales do 1er orden. E cu a ción do B ern o u lli .
6. E cu a cion es d e diferen cíalos exactas. F a cto r i n t e g r a n t e .......
358
7. E cu a cion es diferenciales Úo 1er orden , n o resueltas respecto a la
d e r i v a d a .......................................................................................................
360
§ 8. E cu acion es de Lagrange y d e C l a i r a u t ................................................
§ 9. E cu acion es d ife r e n c ia le s diversa s d o 1er o r d e n ...................................
§ 10. E cu acion es d ife re n cia le s de órd en es s u p e r i o r e s .......................
$ 11. E cu acion es d ife r e n c ía lo s l i n e a l e s ...............................................................
34$
355
§
§
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362
364
369
373
In d ic e
§ 12.
E cu acion es d ife r e n c ia le s
525
lin e a le s de 2o ord en co n c o e ficie n te s
% 15.
•§ 16.
c o n s t a n t e s ..............................................................................................................
E cu acion es d ife r e n c ia le s lin e a le s de ord en su p erior al 2o , con
c o e fic ie n t e s co n sta n tes
v . . . . -.........................................................
E cu a cion es de E u l e r .....................
S istem as d e ecu a cion es d i f e r e n c i a l e s ....................................................
In te g ra ció n d& ecu a cion es d ife r e n c ia le s m ed ia n te serios d e po­
^ 17.
ten cia s
4 a .
..............................•: .
P roblem as s o b re e l m é to d o do F ou rier
§ 13.
•§ 14.
375
381
382
384
....................
386
389
O p eracion es con n ú m eros a p r o x i m a d o s ......................................................
In te rp o la ció n de fu n cio n e s
...........................................................................
C á lcu lo de la s ra íce s re a les de las e c u a c i o n e s ....................................
In te g ra ció n n u m érica de fu n cio n e s
..........................................................
393
398
403
409
<5 5. In tegra ción n u m érica de ecu a cion es d ife r e n c ia le s ord in a ria s . . .
$ 6.C á lcu lo a p ro x im a d o do lo s c o e fic ie n t e s
d o F o u r i o r .........................
412
421
C a p i tu l o X . C á lc u lo s a p r o x im a d o s
§ 1.
§ 2.
§ 3.
3 4.
S o lu c io n e s
■Capítulo
C a p ítu lo
...................................................................................................................
I I .............................................
423
428
C a p ítu lo
C a p ítu lo
C a p ítu lo
I I I ...................................................................................................................
I V ...................................................................................................................
V
...................................................................................................................
V I .................................................
V I I ............................................
V I I I ...................................................................................................................
I X ...................................................................................................................
X
....................................................................................................................
436
443
456
464
475
485
494
505
C a p ítu lo
C a p ítu lo
C a p ítu lo
C a p itu lo
C a p ítu lo
I
A p é n d ic e s
I.
III.
A lfa b e to g r ie g o
..................................................................................
C on stan tes d e uso f r e c u e n t e ......................
V a lo r e s in v e r s o s , p o te n cia s , raíces y l o g a r i t m o s .............................
F u n cion es t r i g o n o m é t r i c a s ..............................................................................
509
509
510
512
V . F u n cion es o x p o n o n c ia lo s , h ip e r b ó lic a s y trig on om étrica s
. . . .
V I.
C urvas (para c o n s u l t a ) ......................................................................................
513
514
III.
IV .
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