FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Segundo avance Ejercicios propuestos Alumna: Sánchez Celiz, Lucía Vanessa Chiclayo, 26 de Noviembre del 2016 CASO RED BRAND CANNERS Presentamos a continuación un caso sencillo, pero interesante, en el cual se han captado varios puntos importantes para la formulación de modelos reales. Ante cualquier problema, es importante que el administrador sea capaz de distinguir entre los hechos y datos que son relevantes y los que no los son. Llegar a comprender esta distinción puede ser particularmente difícil, porque en algunas ocasiones los miembros del equipo administrativo defenderán a capa y espada ciertos conceptos que en realidad han sido mal interpretados o son erróneos. Este caso fue diseñado para recrear una situación de ese tipo. Nuestra actividad en esta ocasión consistirá únicamente en formular el modelo. Sin embargo, usted volverá a ocuparse de este caso en el capítulo 5, y allí se le pedirá que aporte sus propias soluciones, análisis, críticas e interpretaciones. El lunes 13 de septiembre de 1996, Mitchell Gordon, vicepresidente de operaciones, llamó al contralor, al gerente de ventas y al gerente de producción a una reunión para analizar juntos la cantidad de productos de tomate que enlatarían en esa temporada. La cosecha de tomates, que había sido comprada desde la fecha de su plantación, ya estaba empezando a llegar a la enlatadora y las operaciones de enlatado debían ponerse en marcha el lunes siguiente. Red Brand Canners era una compañía mediana dedicada a enlatar y distribuir diversos productos a base de fruta y vegetales, bajo distintas marcas privadas, en el oeste de Estados Unidos. William Cooper, el contralor, y Charles Myers, el gerente de ventas, fueron los primeros en llegar a la oficina del señor Gordon. Dan Tucker, el gerente de producción, llegó algunos minutos más tarde y dijo que había pasado al departamento de Inspección de producto a recoger el último cálculo estimativo de la calidad del tomate que estaba llegando. De acuerdo con el informe, 20% del cultivo era de calidad grado “A” y el resto de las 3,000,000 libras eran de calidad “B”. Gordon preguntó a Myers cuál sería la demanda de productos de tomate en el año siguiente. Myers respondió que, para fines prácticos, sería posible vender todos los tomates enlatados que fueran capaces de producir. La demanda esperada de jugo y puré de tomate, por otra parte, era limitada. En ese momento, el gerente de ventas hizo circular el pronóstico de demanda más reciente, que aparece en el Anexo 1. También recordó al grupo que los precios de venta ya habían sido establecidos, como parte de la estrategia de mercado a largo plazo proyectada por la compañía, y que las ventas potenciales se habían pronosticado tomando como base esos precios. Bill Cooper, después de leer los cálculos de la demanda estimada, comentó que él tenía la impresión de que a la compañía “le tendría que ir bastante bien (con el cultivo de tomate) en ese año”. Gracias al nuevo sistema de contabilidad que habían instalado, tuvo oportunidad de calcular la contribución de cada producto y, de acuerdo con ese análisis, comprobó que la ganancia incremental de los tomates enteros era mayor que la de cualquier otro producto de tomate. En mayo, después de que Red Brand había firmado contratos en los que se comprometía a comprar la producción de los agricultores a un precio promedio de 18 centavos por libra, Cooper calculó la contribución de los productos de tomate (véase el Anexo 2). Dan Tucker hizo comprender a Cooper que, aunque tenían una considerable capacidad de producción en la planta, no les sería posible producir únicamente tomates enteros, porque el porcentaje de tomates de calidad A en la cosecha adquirida era excesivamente bajo. Red Brand empleaba una escala numérica para registrar la calidad de los productos sin procesar y de los productos preparados. Dicha escala abarcaba del cero al diez, y cuanto más grande era el número, tanto más alta era la calidad del producto. Clasificando los tomates de acuerdo con esa escala, los tomates A promediaban nueve puntos por libra y los tomates B cinco puntos. Tucker hizo la observación de que la calidad mínima promedio de entrada para los tomates enteros enlatados era de ocho puntos por libra, y que la calidad para los de jugo era de seis. El puré podía elaborarse íntegramente con tomates grado B. Esto significaba que la producción de tomates enteros estaba limitada a 800,000 libras. Gordon replicó que esto no constituía una limitación real. Que recientemente había recibido una oferta para comprar cualquier cantidad de tomates grado A, hasta un total de 80,000 libras, al precio de 25 1 /2 centavos por libra, y que en aquel momento había declinado la oferta. Sin embargo, creía que esos tomates todavía estaban en venta. Myers, quien efectuaba algunos cálculos, comentó que, aun cuando estaba de acuerdo en que a la compañía “le tendría que ir bastante bien en ese año”, pensaba que no lograrían ese buen resultado enlatando tomates enteros. Le parecía que el costo de los tomates debía asignarse en función de la calidad y la cantidad, en lugar de hacerlo solamente según la cantidad, como lo había hecho Cooper. Por tanto, él había recalculado la ganancia marginal considerando esto (véase el Anexo 3) y, según sus resultados, Red Brand debería utilizar 2,000,000 de libras de los tomates B para producir puré, y las 400,000 libras restantes de tomates B junto con todos los tomates A para elaborar jugo. Si las expectativas de demanda se realizaran, la contribución del cultivo de tomate de este año sería de $144,000. 1. ¿Por qué ha dicho Tucker que la producción total de tomate está limitada a 800,000 libras?; es decir, ¿de dónde salió la cifra 800,000? Tenemos como restricción de calidad: (9 ∗ Ea + 5 ∗ Eb) ≥8 Ea + Eb Ea = Libras de tomates de grado A para producir tomates enteros. Eb= Libras de tomates de grado B para producir tomates enteros. La cantidad de tomate calidad A es el 20% de 3 000 000: (0.2)(3 000 000) = 600 000 Entonces la variable Eb debe ser como máximo 200 000 para que así se cumpla 600 000+ 200 000 = 800 000 2. ¿Qué defecto tiene la sugerencia de Cooper, al intentar utilizar toda la cosecha para tomates enteros? Max Z = (0.36/18)(Ea+Eb)-(0.27/20)(Ja+Jb)+(0.36/25)(Pa+Pb) Max Z=0.02*Ea+0.02*Eb-0.0135*Ja-0.0135*Jb+0.0144*Pa+0.0144Pb Dónde: Ea: Libras de tomates de calidad A para producir tomates enteros. Eb: Libras de tomates de calidad B para producir tomates enteros. Ja: Libras de tomates de calidad A para producir jugo de tomate. Jb: Libras de tomates de calidad B para producir jugo de tomate. Pa: Libras de tomates de calidad A para producir puré de tomate. Pb: Libras de tomates de calidad B para producir puré de tomate. Sujeto a: Ea+Ja+Pa≤ 600 000 Eb+Jb+Pb≤ 2 400 000 (9*Ea+5*Eb)/(Ea+Eb) ≥8 → 𝐸𝑎 − 3𝐸𝑏 ≥ 0 (9*Ja+5*Jb)/(Ja+Jb) ≥6 → 3𝐽𝑎 − 𝐽𝑏 ≥ 0 Ea+Eb ≤ 14 400 000 Ja+Jb ≤ 1 000 000 Pa+Pb ≤ 2 000 000 Bill Cooper afirmó que la compañía iba a tener muy buena ganancia y se refirió a su nuevo sistema de contabilidad que había utilizado para definir las contribuciones de cada producto y se llega a obtener una ganancia de 44800 dólares. En resumen se obtiene la siguiente tabla que nos muestra que para obtener la mayor ganancia no se utiliza todos los tomates eso quiere decir que no cumple la primera condición según el orden de condiciones mencionadas. 3. ¿Cómo calculó Myers sus costos para los tomates tal como aparecen en el Anexo 3? ¿Cómo llegó a la conclusión de que la compañía debería utilizar 2,000,000 de libras de tomates B para elaborar puré, y que las 400,000 libras restantes de tomates B además de todos los tomates A tendría que emplearlos en la elaboración de jugo? ¿Qué defecto encuentra usted en el razonamiento de Myers? Solución basada en la propuesta de Myers: Función Objetivo: Zmax= (-0.03/18)(Ea+Eb)+(0.24/20)(Ja+Jb)+(1.65/25)(Pa+Pb) Zmax= -0.00167*Ea-0.00167*Eb+0.012*Ja+0.012*Jb+0.066*Pa+0.066*Pb Sujeto a las mismas restricciones de la propuesta anterior: Ea+Ja+Pa ≤ 600000 Eb+Jb+Pb ≤ 2400000 Ea-3Eb ≥ 0 3Ja-Jb ≥ 0 Ea+Eb ≤ 14400000 Ja+Jb ≤ 1000000 Pa+Pb ≤ 2000000 Podemos corroborar las expectativas cuando analizó Myers donde la contribución sería 144000 dólares En resumen llegamos a obtener lo que se ve en el siguiente cuadro, también vemos que se utilizan todos los tomates para obtener la mejor ganancia en jugos y purés de tomates mas no en tomates enteros Para responder la segunda pregunta podemos notar el cuadro como conclusión de Myers de que la compañía debe utilizar 2 millones de libras del tomate tipo B para la elaboración de Puré de Tomate y el resto de 400 mil libras del tomate tipo B utilizarlo para fabricar Jugo de Tomate. El defecto es que en este caso no se cumple con la tercera condición establecida, ya que no existen ventas de tomates enteros. 4. Sin incluir la posibilidad de las compras adicionales que ha sugerido Gordon, formule como un modelo de PL el problema de determinar la política óptima de enlatado para utilizar la cosecha de esta temporada. Defina sus variables de decisión en términos de libras de tomates. Exprese los coeficientes de la función objetivo en centavos por libra. Calculamos los costos variables: 12-(3.54+0.72+1.20+2.10)= 4.44 13.50-(3.96+1.08+2.55+1.95)= 3.96 11.40-(1.62+0.78+1.14+2.31)=5.55 Solución Óptima: Función Objetivo: Zmax= (4.44/18)(Ea+Eb)+(3.96/20)(Ja+Jb)+(5.55/25)(Pa+Pb)-540000 Zmax= (0.2466*Ea+0.2466*Eb+0.198*Ja+0.198*Jb+0.222*Pa+0.222*Pb)540000 Sujeto a: Ea+Ja+Pa ≤ 600000 Eb+Jb+Pb ≤ 2400000 Ea-3Eb ≥ 0 3Ja-Jb ≥ 0 Ea+Eb ≤ 14400000 Ja+Jb ≤ 1000000 Pa+Pb ≤ 2000000 Podemos observar que existe una ganancia máxima de 676020 dólares, sin embargo tomando en cuenta el monto de 540000. La diferencia entre los dos sería la ganancia máxima= 136020 dólares. Veamos el siguiente cuadro resumen: A comparación que Myers este caso cumple las tres condiciones en su respectivo orden, se utilizan todos los tomates, la calidad es aceptable y se cubre la demanda establecida casi en su totalidad solo faltaría 100000 libras de tomates enteros y 700000 libras de jugos de tomates. 5. ¿Cómo tendría usted que modificar su modelo para incluir en él la opción de realizar las compras adicionales sugeridas por Gordon? Solución modificada para concluir la opción de compras de Gordon: Descontamos el precio costo de los tomates comprados Función objetivo: Zmax= 0.2466Ea+0.2466Eb+0.198Ja+0.198Jb+0.222Pa+ 0.222Pb-54000080000*0.255 Calculamos los costos variables: 12-(3.54+0.72+1.20+2.10)= 4.44 13.50-(3.96+1.08+2.55+1.95)= 3.96 11.40-(1.62+0.78+1.14+2.31)=5.55 Max Z= (4.44/18)(Ea+Eb)+(3.96/20)(Ja+Jb)+(5.55/25)(Pa+Pb)-540000-20400 Max Z= (0.2466Ea+0.2466Eb+0.198Ja+0.198Jb+0.222Pa+ 0.222Pb)-560400 Sujeto a las mismas restricciones: Modificamos en la restricción de Tomates A = 680000 Ea+Ja+Pa≤680000; Eb+Jb+Pb≤2400000; Ea-3Eb≥0; 3Ja-Jb≥0; Ea+Eb≤14400000 Ja+Jb≤1000000 Pa+Pb≤2000000 Se concluye con la propuesta de Gordon al comprar 80000 más de tomates de grado A se obtiene mejor ganancia que en la óptima. La ganancia máxima es de 697692-560400= 137292 dólares. Llegamos a notar que se cumple con la demanda de tomates enteros y la de puré de tomates pero no se cubre toda la demanda con respecto a jugo de tomates pero en el caso óptimo anterior no se cumplía la demanda de tomates enteros así que utilizando la sugerencia de Cooper nos sale más ganancia y mejor capacidad para cubrir la demanda La ganancia extra a la solución óptima hallada sería: Ganancia Adicional= 137292-136020= 1272 dólares. 6. ¿Cuál sería la producción máxima de tomates enteros enlatados, en libras? ¿Sería posible aplicar en este caso la sugerencia de Cooper? Antes de comenzar definiremos según el orden de importancia los hechos que son relevante para este caso: Utilizar todos los tomates disponibles Producir en los niveles mínimos de calidad Cumplir con la demanda del mercado Variables de decisión: Ea= libras de tomates de grado A para producir tomates enteros Eb= libras de tomates de grado B para producir tomates enteros Eb= libras de tomates de grado C para producir tomates enteros Ja= libras de tomates de grado A para producir jugo de tomate Jb= libras de tomates de grado B para producir jugo de tomate Jc= libras de tomates de grado C para producir jugo de tomate Pa= libras de tomates de grado A para producir puré de tomate Pb= libras de tomates de grado B para producir puré de tomate Pc= libras de tomates de grado C para producir puré de tomate La primera pregunta es cuanto es la producción máxima para tomates enteros lo analizaremos con la siguiente restricción (9𝐸𝑎 + 6𝐸𝑏 + 3𝐸𝑐) ≥8 𝐸𝑎 + 𝐸𝑏 + 3𝐸𝑐 Obtenemos que para Ea=600000 libras de tomates enteros: Para producir la máxima cantidad de tomates enteros el valor de Ec tiene que ser 0. Resulta Eb=300000 libras de tomates enteros. Lo cual resulta que: La producción máxima de tomates enteros enlatados será de 900000 libras. Calculando los costos por libra: Z= costos por libra de tomates A, en centavos Y= costos por libra de tomates B, en centavos (1) …600000 libras * Z + 2400000 libras *Y= 3000000 libras* 18 centavos (2) …Z/9=Y/5 Reemplazando: Z=9*Y/5 en (1) 600000*(9/5)*Y+2400000*Y=54000000 centavos 3480000*Y=54000000 centavos Y= 15.54 centavos por libra de tomate B Z= 27.96 centavos por libra de tomate A Para aplicar en la sugerencia de Cooper: Existen 3000000 libras de tomates Restricción de calidad: (9𝐸𝑎 + 6𝐸𝑏 + 3𝐸𝑐) ≥8 𝐸𝑎 + 𝐸𝑏 + 𝐸𝑐 (9𝐽𝑎 + 6𝐽𝑏 + 3𝐽𝑐) ≥6 𝐽𝑎 + 𝐽𝑏 + 𝐽𝑐 Según información que se da: 600000 libras de grado A 1600000 libras de grado B 800000 libras de grado C Se aplica esta nueva propuesta en la sugerencia de Cooper. Función Objetivo: Max Z= (0.36/18)(Ea+Eb+Ec)+(-0.27/20)(Ja+Jb+Jc)+(0.36/25)(Pa+Pb+Pc) Max Z= 0.02*(Ea+Eb+Ec)-0.0135*(Ja+Jb+Jc)+0.0144*(Pa+Pb+Pc) Sujeto a: Restricciónes de la demanda: Ea+Ja+Pa≤600000 Eb+Jb+Pb≤1600000 Ec+Jc+Pc≤800000 Restricción de la calidad: Ea-2Eb-5Ec≥0 Ja-Jc≥0 Restricción de cantidad de tomates disponibles: Ea+Eb+Ec ≤ 14400000 Ja+Jb+Jc ≤ 1000000 Pa+Pb+Pc ≤ 2000000 Nos damos cuenta que Cooper sigue tomando importancia a la venta de tomates enteros y la contribución total según estas nuevas condiciones es de pequeña comparación de otras propuestas, 46800 dólares. Veamos el resumen del siguiente cuadro: Concluimos que para maximizar la ganancia en este caso hay que producir 100000 más que la demanda en tomates enteros que la demanda, no se cumple con la demanda de jugo de tomate y queda en almacén 100000 tomates. 7. ¿Cómo calculó Myers los costos que hemos observado en el anexo 4? ¿Cómo llegó a la conclusión de que lo más conveniente sería destinar 800000 libras de tomates grado C y 1200000 libras de tomates grado B para la fabricación de puré, reservando todo el resto de la cosecha de tomates para la elaboración de jugo? ¿Qué defecto encuentra usted en el razonamiento de Myers? Según el nuevo análisis de Myers recomienda lo siguiente: Para cubrir la demanda de tomates enteros: 600000 libras tomates de grado A y 200000 libras tomates de grado B Para cubrir la demanda de jugo de tomates: 1000000 libras de tomates de grado B Los restantes para cubrir la demanda de puré de tomate: 400000 libras de tomate de grado B y las 800000 libras de tomate grado C. Veamos el modelo de programación lineal y su solución Utilizaremos la tabla del Anexo 4 para ver la contribución de cada producto Función Objetivo: Max Z= (-0.03/18)(Ea+Eb+Ec)+(0.24/20)(Ja+Jb+Jc)+(3.22/25)(Pa+Pb+Pc) Max Z= -0.00167(Ea+Eb+Ec)+0.012(Ja+Jb+Jc)+0.1288(Pa+Pb+Pc) Sujeto a: Restricción de la demanda: Ea+Ja+Pa≤600000 Eb+Jb+Pb≤1600000 Ec+Jc+Pc≤800000 Restricción de la calidad: Ea-2Eb-5Ec≥0 Ja-Jc≥0 Restricción de cantidad de tomates disponibles: Ea+Eb+Ec ≤ 14400000 Ja+Jb+Jc ≤ 1000000 Pa+Pb+Pc ≤ 2000000 Se obtiene una ganancia de 269600 dólares. En el siguiente cuadro podemos apreciar se cumple la demanda de jugo de tomate y puré como planteaba Myers. Se utiliza toda la cantidad de tomate disponible y como conclusión se puede decir que dejamos gran mercado de tomates entero que puede ser perjudicial para posteriores años de producción en ventas. 8. Sin concluir la posibilidad de las compras adicionales que ha sugerido Gordon, formule como un modelo de PL el problema de determinar la política óptima de enlatado para utilizar la cosecha de esta temporada. Defina sus variables de decisión en los términos de libras de tomates. Exprese los coeficientes de la función objetivo en centavos por libra. Calculamos los costos variables: 12-(3.54+0.72+1.20+2.10)= 4.44 13.50-(3.96+1.08+2.55+1.95)= 3.96 11.40-(1.62+0.78+1.14+2.31)=5.55 Óptima Solución: Función Objetivo: Max Z= 540000 (4.44/18)(Ea+Eb+Ec)+(3.96/20)(Ja+Jb+Jc)+(5.55/25)(Pa+Pb+Pc)- Max Z= 0.2466*(Ea+Eb+Ec)+0.198*(Ja+Jb+Jc)+0.222*(Pa+Pb+Pc)-540000 Restricción de la cantidad de tomates: Ea+Ja+Pa≤600000 Eb+Jb+Pb≤1600000 Ec+Jc+Pc≤800000 Restricción de la calidad: Ea-2Eb-5Ec≥0 Ja-Jc≥0 Restricción de cantidad de tomates disponibles: Ea+Eb+Ec ≤ 14400000 Ja+Jb+Jc ≤ 1000000 Pa+Pb+Pc ≤ 2000000 Al realizar el caso obtenemos una ganancia máxima de 685740 dólares sin tomar en cuenta los 540000 dólares, en conclusión la ganancia máxima real sería la diferencia entre los dos, 145740 dólares. Además cumple la demanda de tomates enteros y la de puré de tomate mas no la de jugo de tomate. 9. ¿Cómo tendría usted que modificar su modelo para incluir en él la opción de realizar las compras adicionales sugeridas por Gordon? Solución modificada para concluir la opción de compras de Gordon: Descontamos el precio costo de los tomates comprados. Calculamos los costos variables: 12-(3.54+0.72+1.20+2.10)= 4.44 13.50-(3.96+1.08+2.55+1.95)= 3.96 11.40-(1.62+0.78+1.14+2.31)=5.55 Función Objetivo: Max Z= (4.44/18)(Ea+Eb+Ec)+(3.96/20)(Ja+Jb+Jc)+(5.55/25)(Pa+Pb+Pc)540000-20400 Max Z= 0.2466*(Ea+Eb+Ec)+0.198*(Ja+Jb+Jc)+0.222*(Pa+Pb+Pc)-560400 Sujeto a las mismas restricciones de la propuesta anterior: Modificamos en la restricción de tomates A=680000 Cantidad de tomates a utilizar: Ea+Ja+Pa ≤ 680000 Eb+Jb+Pb ≤ 1600000 Ec+Jc+Pc ≤ 800000 Restricción de la calidad: PROMEDIO MÍNIMO DE PUNTOS PRODUCTO Tomate Entero 8 Jugo de Tomate 6 El promedio para la calidad para el tomate entero es 8: (9*Ea+6*Ea+3*Ec)/(Ea+Eb+Ec) ≥ 8 El promedio para la calidad para el jugo de tomate es 6: (9*Ja+6*Jb+3*Jc)/(Ja+Jb+Jc) ≥ 6 Por lo tanto las restricciones quedarían de la siguiente manera: Ea-2Eb-5Ec ≥ 0 Ja – Jb ≥ 0 Restricciones para la demanda: Demanda del tomate entero: Ea+Eb+Ec ≤ 14400000 -> 800000 cajas * 18 lb/caja Demanda del jugo de tomate: Ja+Jb+Jc ≤ 1000000 -> 50000 cajas * 20 lb/caja Demanda del puré de tomate: Pa+Pb+Pc ≤ 2000000 -> 80000 cajas * 25 lb/caja Restricción de la NO negatividad: Ea, Eb, Ec, Ja, Jb, Jc, Pa, Pb, Pc ≥ 0 La ganancia que se obtendrá en total será 707412-560400=147012 dólares. La ganancia extra a la solución óptima hallada sería: Ganancia Adicional= 145740-147012= -1272 dólares
