polares

Curvas paramétricas
Coordenadas Polares
Simetrías
Gráficas de ecuaciones en coordenadas polares
UNIDAD 6: Coordenadas Polares
Máximo Florean Chávez Santos
Universidad Nacional de Ingenieria
Facultad de Ingeniería Mecánica
14 de julio de 2022
Máximo Chávez Santos
Cálculo Diferencial
Curvas paramétricas
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Simetrías
Gráficas de ecuaciones en coordenadas polares
Contenido
Contenido:
1
Ejemplo de curva paramétrica.
2
Coordenadas Polares
Máximo Chávez Santos
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Ejemplo
Bosqueje la gráfica de la curva parametrizada por: x “
y“
3t 2
.
1 ` t3
Resolución:
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3t
,
1 ` t3
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Definición
Sea L un rayo fijo llamado eje polar, cuyo origen es O, que se
llama polo, sobre un mismo plano.
Sea r la distancia entre O y P y θ la medida del ángulo que forman
L y OP, medido desde L hacia P en sentido contrario a las
manecillas del reloj, entonces decimos que P tiene por
coordenadas polares a r y θ y escribimos P “ pr , θq.
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(Fórmulas de transformación)
Las relaciones p1q y p2q, nos permiten cambiar de coordenadas
polares a coordenadas rectangulares y viceversa.
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Dado un par pr , θq, el punto con coordenadas polares r y θ es único.
El polo O tiene por coordenadas polares p0, θq con θ arbitrario.
Por ser r una distancia, es positiva, sin embargo bajo cierto criterio
es conveniente hacer que r tome valores negativos.
Esto es posible definiendo P “ p´r , θq como el simétrico respecto
al origen del punto P 1 pr , θq como se muestra en la imagen:
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Observación
1 Si P tiene coordenadas polares pr , θq, entonces P también
tiene coordenadas polares pr , θ ˘ 2nπq y p´r , θ ˘ p2n ´ 1qπq
para cada n P Z.
2
3
Si P no es el polo, existe un solo par de coordenadas polares
pr , θq sujetos a las condiciones r ą 0 y 0 ď θ ď 2π.
pr , θq “ p´r , θq.
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(Simetría con respecto al eje polar)
Una curva es simétrica con respecto al eje polar si se cambia pr , θq
por p´r , θq o p´r , π ´ θ ` 2kπq, k P Z, sin alterar la ecuación polar.
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(Simetría con respecto al eje θ “
π
)
2
π
si se cambia
2
pr , θq por pr , π ´ θq o p´r , ´θq, sin alterar la ecuación polar.
Una curva es simétrica con respecto al eje θ “
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(Simetría con respecto al polo)
Una curva es simétrica con respecto al origen si al cambio de pr , θq
por pr , π ` θq la ecuación polar no se altera.
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La gráfica de una ecuación polar r “ f pθq, o de manera general,
F pr , θq “ 0 consiste de todos los puntos P que tienen al menos una
representación polar pr , θq cuyas coordenadas satisfacen la
ecuación. Para la simplificación, en la obtención de la curva polar,
se recomienda los siguientes pasos:
1
2
Intersección con el eje polar. Hacemos θ “ 0 y se resuelve la
ecuación en función de r , las raices reales permiten la
ubicación del punto pr , 0q.
Encontrar simetrías.
3
Determinar la variación de r y θ.
4
Verificar si el polo pertenece al lugar geométrico de la ecuación
polar, para ello hacemos r “ 0.
5
Se determinan los valores de r correspondientes a los valores
asignados a θ.
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Ejemplo
Grafique la curva polar de ecuación: r “ 2.
Resolución:
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Ejemplo
Grafique la curva polar de ecuación: θ “ π{3.
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Ejemplo
Grafique la curva polar de ecuación: r “ 2 cospθq.
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Ejemplo (Rosa de 4 pétalos)
Grafique la curva polar de ecuación: r “ 2 senp2θq.
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Ejemplo
Grafique la curva polar de ecuación: r “ 1 ` senpθq.
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