Física Complementaria. Bachillerato Internacional.
Física Complementaria. Bachillerato Internacional.
1. Introducción.
2. Concepto de sistema de referencia.
3. Vectores.
4. Concepto de trayectoria, posición y desplazamiento.
5. Velocidad media y velocidad instantánea.
6. Aceleración media y aceleración instantánea. Componentes
intrínsecas de la aceleración.
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1. Introducción.
2. Concepto de sistema de referencia.
3. Vectores.
4. Concepto de trayectoria, posición y desplazamiento.
5. Velocidad media y velocidad instantánea.
6. Aceleración media y aceleración instantánea. Componentes
intrínsecas de la aceleración.
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Cinemática → Estudio del movimiento sin ocuparse de las causas que lo provocan.
Conceptos previos:
- Móvil: cuerpo en movimiento respecto a un determinado sistema de referencia.
- Móvil puntual: cuerpo que se supone sin dimensiones, es decir, reducido a un punto.
Un cuerpo está en movimiento si cambia su posición en el tiempo respecto de un punto que
tomamos de referencia y consideramos fijo.
En el universo conocido no se conocen puntos fijos, de modo que todos los movimientos
son relativos a un sistema de referencia elegido.
Para el estudio del movimiento de un cuerpo es necesario determinar respecto de qué punto
se realiza el estudio, es decir, definir un sistema de referencia.
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2. Concepto de sistema de referencia.
3. Vectores.
4. Concepto de trayectoria, posición y desplazamiento.
5. Velocidad media y velocidad instantánea.
6. Aceleración media y aceleración instantánea. Componentes
intrínsecas de la aceleración.
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Sistema de referencia → Punto «fijo» respecto del cual describimos el movimiento de un
cuerpo.
¿Cómo ve el piloto de un bombardero caer una bomba? ¿Y el soldado que la ve caer desde
el suelo? ¿Cuál es el movimiento real?
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Sistema de referencia inercial → Cuando está en reposo o se mueve con movimiento
rectilíneo y uniforme, es decir, con velocidad constante (sin aceleración).
Sistema de referencia No inercial → Cuando se mueve con movimiento no rectilíneo o a
velocidad no constante (con aceleración).
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2. Concepto de sistema de referencia.
3. Vectores.
4. Concepto de trayectoria, posición y desplazamiento.
5. Velocidad media y velocidad instantánea.
6. Aceleración media y aceleración instantánea. Componentes
intrínsecas de la aceleración.
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Vector → Segmento orientado en el espacio que queda definido conociendo su módulo,
dirección, sentido y punto de aplicación.
Componentes cartesianas del vector →
Módulo del vector →
𝒓 =
Dirección del vector →
𝒕𝒈 ∝ =
𝒓 = 𝒙Ԧ𝒊 + 𝒚Ԧ𝒋 + 𝒛𝒌
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
𝒚
𝒙
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P1. Un vector tiene su origen en el punto (2,4) y su extremo en el punto (7,7) . Determina el
módulo del vector, así como su dirección (ángulo con OX).
P2. Calcula el módulo del vector cuyas coordenadas son (1, 4, -3).
P3. Las direcciones de dos vectores cuyos módulos son 3 y 4 unidades, forman entre sí un
ángulo recto. ¿Cuánto valdrá el módulo de su resultante? ¿Cómo podríamos determinar la
dirección del vector resultante?
P4. Dibuja los vectores siguientes:
𝑟Ԧ1 = 4 𝑖Ԧ
𝑟Ԧ3 = −3 𝑖Ԧ − 5 𝑗Ԧ
𝑟Ԧ5 = 4 𝑗Ԧ
𝑟Ԧ2 = 5 𝑖Ԧ − 3 𝑗Ԧ
𝑟Ԧ4 = 5 𝑖Ԧ + 2 𝑗Ԧ
𝑟Ԧ6 = 3 𝑖Ԧ + 4 𝑗Ԧ
Calcula las operaciones siguientes y el módulo del vector resultante de cada una:
𝑟Ԧ1 + 𝑟Ԧ5
𝑟Ԧ2 + 𝑟Ԧ4
𝑟Ԧ3 + 𝑟Ԧ6
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2. Concepto de sistema de referencia.
3. Vectores.
4. Concepto de trayectoria, posición y desplazamiento.
5. Velocidad media y velocidad instantánea.
6. Aceleración media y aceleración instantánea. Componentes
intrínsecas de la aceleración.
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Vector de posición → Vector que une el origen del sistema de referencia O con el móvil en
cada instante. Este vector depende del tiempo y la relación entre ambos se denomina
ecuación vectorial del movimiento: 𝑟Ԧ 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖Ԧ + 𝑦 𝑡 𝑗Ԧ P.E: 𝑟Ԧ 𝑡 = 2𝑡 + 3 𝑖Ԧ + 4𝑡 2 𝑗Ԧ
Trayectoria → Línea descrita por el móvil durante su movimiento. Es una función
independiente del tiempo.
𝑥 𝑡 = 2𝑡 + 3
y 𝑡 = 4𝑡 2
𝑡=
𝑥 −3
;𝑦
2
=4(
Ecuaciones paramétricas de la trayectoria
𝑥 −3 2
)
2
→ 𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9
Función de la trayectoria (y = f (x))
Vector desplazamiento → Vector que une las posiciones del móvil en dos instantes de
tiempo diferentes. Se representa por Δr:
∆𝑟Ԧ = 𝑟Ԧ2 − 𝑟Ԧ1
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Espacio o distancia recorrida → Longitud medida sobre la trayectoria. Se representa por s
y sólo coincide con el módulo del vector desplazamiento si el movimiento es rectilíneo y no
han existido cambios de sentido durante el trayecto.
http://www.educaplus.org/play-292-Distancia-y-desplazamiento.html
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P5. Un peatón recorre 30 m hacia el Norte en 20 s, después 40 m hacia el Este en 25 s, y ,
por último, 60 m hacia el sur en 40 s. Determina la trayectoria, la posición final y el
desplazamiento en cada etapa así como el desplazamiento final.
P6. A la vista de la figura halla en centímetros:
a) Las coordenadas de los puntos A y B.
b) Los vectores 𝑟Ԧ1 y 𝑟Ԧ2 .
c) El vector desplazamiento, Δ𝑟,
Ԧ y su módulo.
P7. La posición de la partícula en el plano viene dada por la ecuación vectorial:
𝑟Ԧ = 𝑡 2 − 4 𝑖Ԧ + 𝑡 + 2 𝑗Ԧ
En unidades del SI calcula:
a) La posición de la partícula en los instantes t = 2 s y t= 5 s.
b) El vector desplazamiento entre esos instantes y su módulo.
c) La función de la trayectoria.
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2. Concepto de sistema de referencia.
3. Vectores.
4. Concepto de trayectoria, posición y desplazamiento.
5. Velocidad media y velocidad instantánea.
6. Aceleración media y aceleración instantánea. Componentes
intrínsecas de la aceleración.
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Velocidad → Magnitud vectorial que nos dice el «ritmo de cambio de la posición de un
móvil». La unidad de la velocidad en el SI es el metro por segundo (m/s).
Velocidad media → Cociente entre el desplazamiento Δr y el tiempo transcurrido Δt. Su
dirección y sentido son los mismos que los del vector desplazamiento.
𝑣Ԧ𝑚 =
∆𝑟Ԧ
∆𝑡
=
𝑟2 − 𝑟1
𝑡2 − 𝑡1
Rapidez media o celeridad media → Cociente entre el espacio recorrido Δs y el tiempo
transcurrido Δt.
∆𝑠
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
∆𝑡
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Velocidad instantánea → Velocidad del móvil en un punto de su trayectoria. Se calcula
como el límite al que tiende la velocidad media cuando el tiempo tiende a cero, es decir,
haciendo la derivada al vector de posición con respecto del tiempo:
∆𝑟Ԧ
∆𝑡 →𝑜 ∆𝑡
𝑣Ԧ = lím
𝑣Ԧ =
𝑑 𝑟Ԧ
𝑑𝑡
La dirección de la velocidad será tangente a la trayectoria en cada punto y sentido el del
movimiento
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Rapidez o celeridad → Termino que se aplica al módulo de la velocidad.
Componentes cartesianas de la velocidad → El vector velocidad se puede descomponer
en sus componentes sobre los ejes cartesianos:
𝑣Ԧ 𝑡 = 𝑣𝑥 𝑖Ԧ + 𝑣𝑦 𝑗Ԧ
→
𝑟Ԧ 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖Ԧ + 𝑦 𝑡 𝑗Ԧ → 𝑣(𝑡)
Ԧ
=
Ԧ
𝑑𝑟(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑
𝑑
= 𝑑𝑡 𝑥 𝑡 𝑖Ԧ + 𝑑𝑡 𝑦 𝑡 𝑗Ԧ
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P8. La posición de una partícula en el plano viene dada por la ecuación vectorial:
𝑟(𝑡)
Ԧ
= 𝑡 2 + 3 𝑖Ԧ + 𝑡 − 1 𝑗Ԧ
En unidades del SI calcula:
a) La posición de la partícula en los instantes t = 2 s y t= 3 s.
b) La velocidad media en ese intervalo.
c) La velocidad instantánea y la rapidez instantánea para t = 2 s.
P9. La posición de una partícula en el plano viene dada por la ecuación vectorial:
𝑟(𝑡)
Ԧ
= 𝑡 + 4 𝑖Ԧ + 2𝑡 − 2 𝑗Ԧ
En unidades del SI calcula:
a) Los vectores de posición para t = 1 s y t= 3 s.
b) El desplazamiento en ese intervalo.
c) La velocidad media en ese intervalo y su módulo.
d) La velocidad instantánea y la rapidez instantánea para t = 3 s.
e) La ecuación de la trayectoria.
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2. Concepto de sistema de referencia.
3. Vectores.
4. Concepto de trayectoria, posición y desplazamiento.
5. Velocidad media y velocidad instantánea.
6. Aceleración media y aceleración instantánea. Componentes
intrínsecas de la aceleración.
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Aceleración → Magnitud vectorial que nos dice cómo varía la velocidad de un móvil. La
unidad de la aceleración en el SI es el metro por segundo cuadrado (m/s2).
Aceleración media → Cociente entre la variación del vector velocidad instantánea, Δv, y el
tiempo transcurrido Δt. Su dirección y sentido son los mismos que los del vector variación
de velocidad.
𝑎Ԧ𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣2 − 𝑣1
𝑡2 − 𝑡1
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Aceleración instantánea → Aceleración del móvil en cada instante. Se calcula como el
límite al que tiende la aceleración media cuando el tiempo tiende a cero, es decir, haciendo
la derivada al vector velocidad con respecto del tiempo:
∆𝑣Ԧ
∆𝑡 →𝑜 ∆𝑡
𝑎Ԧ = lím
𝑎Ԧ =
𝑑𝑣Ԧ
𝑑𝑡
Sistema de referencia intrínseco a la trayectoria → A cualquier punto de la trayectoria se
le puede asociar un sistema de referencia formado por un eje tangente a la trayectoria y otro
perpendicular o normal a ésta.
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Componentes intrínsecas de la aceleración → La aceleración a la que está sometido un
móvil es la suma vectorial de las dos componentes intrínsecas de la aceleración, la
aceleración tangencial y la normal o centrípeta. La aceleración tangencial (𝑎Ԧ 𝑡 ) nos dice
cómo varía el módulo de la velocidad respecto del tiempo y la aceleración centrípeta o
normal (𝑎Ԧ 𝑛 o 𝑎Ԧ 𝑐 ) nos dice cómo varía la dirección de la velocidad respecto del tiempo.
𝑎Ԧ = 𝑎Ԧ𝑡 + 𝑎Ԧ𝑛
𝑎Ԧ𝑡 =
𝑎Ԧ𝑛 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑢𝑡
𝑣2
𝑅
𝑢𝑛
Siendo R el radio de curvatura de la trayectoria y 𝑢𝑡 y 𝑢𝑛 vectores
unitarios en la dirección tangencial y normal, respectivamente.
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P10. Una bola de billar toca una banda con velocidad v0 =2 m/s y cambia de dirección 0,4 s
después con velocidad v = 1,6 m/s. Empleando notación vectorial, calcula la aceleración
media en unidades del SI. (Ángulos de impacto y de salida = 30º)
P11. Una chica va en bicicleta a 15 km/h y comienza a frenar para pararse tras recorrer 10
m en 5 s. Calcula:
a) La aceleración del movimiento.
b) Escribe la ecuación de la velocidad de ese movimiento.
c) Representa el movimiento gráficamente.
P12. Observa la gráfica y halla la aceleración media,
la velocidad inicial, la ecuación de la velocidad y el
espacio recorrido a los 8 s.
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De este tema hay que tener claro:
- El movimiento siempre es relativo a un sistema de referencia concreto.
- Conceptos de trayectoria y espacio recorrido.
- Una magnitud vectorial puede descomponerse en sus componentes sobre los ejes de un
sistema de referencia.
- La diferencia entre velocidad y variación de la velocidad, es decir, aceleración.
- La aceleración es la variación de la velocidad, tanto de su módulo cómo de su dirección.
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