PS-1316 Tema 2.3 - Sistemas Eléctricos

SISTEMAS ELECTRICOS
EJEMPLO 1.- CIRCUITO ELECTRICO DE COMPONENTES
EN SERIE CON UNA FUENTE DE TENSIÓN
Circuito eléctrico con un componente pasivo R y un componente
almacenador de energía C, ambos en serie con una fuente de
voltaje V(t).
R
+
i(t)
C
V(t)
Eo(t)
-
Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de la tensión en el
condensador Eo(t) ante una variación de V(t).
Suposiciones:
1.- Elementos ideales y lineales
Constantes:
R = Resistencia
C = Capacitancia
Variables:
V(t) = fuente de voltaje (variable de entrada)
i(t) = corriente del circuito
V R (t) = caída de voltaje en la resistencia
Vc(t) = Eo(t)= caída de voltaje en el condensador
52
MODELO MATEMATICO EN ECUACIONES
DIFERENCIALES
• Leyes de Kirchhoff
V ( t ) − V R ( t ) − Vc( t ) = 0
(1)
V ( t ) = V R ( t ) + Vc( t )
(2)
• Ecuaciones constitutivas
V R ( t ) = R i( t )
Vc( t ) =
(3)
1
∫ i( t )dt = Eo( t )
C
(4)
Se sustituyen las ecuaciones (3) y (4) en (2)
V ( t ) = R i( t ) +
1
∫ i( t )dt
C
(5)
Expresar la corriente en función de Eo
i( t ) = C
dEo( t )
dt
(6)
El modelo completo del sistema es entonces:
V ( t ) = R i( t ) + Eo( t )
i( t ) = C
dEo( t )
dt
(7)
(8)
53
MODELO MATEMATICO EN FUNCION DE
TRANSFERENCIA
Sustituyendo (8) en (7)
V ( t ) = RC
dEo( t )
+ Eo( t )
dt
(9)
Se escribe la ecuación en estado estacionario
V = RC
d Eo
+ Eo
dt
(10)
Restando (9) – (10)
V ( t ) − V = RC
d ( Eo( t ) − Eo )
+ ( Eo( t ) − Eo )
dt
(11)
Se escribe en variables de perturbación
V * ( t ) = RC
dEo* ( t )
+ Eo* ( t )
dt
(12)
Aplicando Transformada de Laplace
V * ( s ) = RC s Eo* ( s ) + Eo* ( s )
(13)
(14)
V ( s ) = ( RC s + 1 )Eo ( s )
*
*
Despejando se obtiene la Función de Transferencia:
Eo* ( s )
V*(s )
=
1
RC s + 1
(15)
54
Forma general
Eo* ( s )
*
V (s)
donde:
=
k
τ s +1
Sistema de 1er Orden
(16)
k = ganancia estática del sistema = 1
τ = constante de tiempo del sistema = RC
DIAGRAMA DE BLOQUES
V * (s)
k
τ s +1
Eo * (s)
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EJEMPLO 2.- CIRCUITO ELECTRICO DE COMPONENTES
EN SERIE CON UNA FUENTE DE TENSIÓN
Circuito eléctrico con un componente pasivos R y dos
componentes almacenadores de energía C y L, todos en serie con
una fuente de voltaje V(t).
L
R
+
i(t)
V(t)
C
-
Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de la corriente i(t)
ante una variación de V(t).
Suposiciones:
1.- Elementos ideales y lineales
Constantes:
R = Resistencia
L = Inductancia
C = Capacitor
Variables:
V(t) = fuente de tensión
i(t) = corriente del circuito
V R (t) = caída de voltaje en la resistencia
Vc(t) = caída de voltaje en el condensador
V L (t) = caída de voltaje en el inductor
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MODELO MATEMATICO EN ECUACIONES
DIFERENCIALES
• Ley de Kirchhoff
V ( t ) = V L ( t ) + V R ( t ) + VC ( t )
(17)
• Ecuaciones constitutivas
VL ( t ) = L
di( t )
dt
V R ( t ) = R i( t )
VC ( t ) =
1
∫ i( t )dt
C
(18)
(19)
(20)
Sustituyendo (18), (19) y (20) en (17)
V(t ) = L
di( t )
1
+ Ri( t ) + ∫ i( t )dt
C
dt
(21)
y derivando se obtiene el modelo del sistema como:
di 2 ( t )
di( t ) 1
dV ( t )
L
+R
+ i( t ) =
dt
C
dt
dt
(22)
57
MODELO MATEMATICO EN FUNCION DE
TRANSFERENCIA
Se escribe la ecuaciòn (22) en variables de perturbación y se toma
la transformada de Laplace:
L s2I*( s ) + R s I*( s ) +
1 *
I ( s ) = sV*( s )
C
(23)
1 ⎞ 1
R
⎛
*
I * ( s )⎜ s 2 + s +
⎟ = sV ( s )
L
CL ⎠ L
⎝
(24)
1
s
I (s)
L
=
V*( s ) ⎛s2 + R s + 1 ⎞
⎜
⎟
L
CL ⎠
⎝
(25)
*
si hacemos
2ξω n =
I*( s )
V*(s )
donde
=
R
;
L
(s
ωn 2 =
1
CL
kω n 2 s
2
+ 2ξω n s + ω n 2
1
ωn =
CL
)
CR 2
ξ=
4L
(26)
k =C
58
DIAGRAMA DE BLOQUES
V(s)
V(s)
1
s
L
1
R
s2 + s +
L
CL
I(s)
k ωn s
s 2 + 2ξω n s + ω n 2
I(s)
2
ξ = coeficiente de amortiguación CR
4L
ω n = frecuencia natural =
1
CL
k = ganancia = C
59
EJEMPLO 3.- CIRCUITO ELÉCTRICO DE COMPONENTES
RESISTIVO, CAPACITIVO E INDUCTIVO
Circuito eléctrico compuesto por un componente resistivo R, y dos
componentes almacenadores de energía C y L.
L
E1
R
C
E2
Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de la tensión E 2 (t)
ante una variación de E 1 (t).
Suposiciones:
1.- Elementos ideales y lineales
Constantes:
R = Resistencia
C = Condensador
L = Inductor
Variables:
E 1 (t) = tensión de entrada
E 2 (t) = tensión de salida
i(t) = corriente a través del inductor
i 1 (t) = corriente a través de la resistencia
i 2 (t) = corriente a través del condensador
V L (t) = caída de voltaje en el inductor
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MODELO MATEMÁTICO EN ECUACIONES
DIFERENCIALES
L
i
+
+
i2
i1
E1
R
-
C
E2
-
• Leyes de Kirchhoff
E1 ( t ) = V L ( t ) + E 2 ( t )
(27)
i( t ) = i1 ( t ) + i 2 ( t )
(28)
E2 ( t ) = VR ( t ) = VC ( t )
(29)
• Ecuaciones constitutivas
di( t )
dt
(30a)
VR ( t ) = R i1( t )
(30b)
VL ( t ) = L
VC ( t ) =
1
∫ i2 ( t )dt
C
(30c)
61
Por lo tanto el modelo completo del sistema es:
E1 ( t ) = L
di( t )
+ E2 ( t )
dt
E 2 ( t ) = R i1 ( t ) =
(31)
1
∫ i 2 ( t )dt
C
(32)
i( t ) = i1 ( t ) + i 2 ( t )
(33)
MODELO MATEMÁTICO EN FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
Sustituyendo (33) en (31):
E1 ( t ) = L
d ( i1 ( t ) + i 2 ( t ))
+ E2 ( t )
dt
(34)
Despejando i 1 (t) y i 2 (t) de la ecuación (32):
i1 ( t ) =
E2
R
i2 ( t ) = C
dE 2
dt
(35) y (36)
Finalmente, sustituyendo (35) y (36) en (37) y arreglando,
obtenemos el modelo matemático en ecuaciones diferenciales del
sistema:
LC
d 2 E2 ( t )
dt
2
+
L dE 2 ( t )
+ E 2 ( t ) = E1 ( t )
R dt
En estado estacionario: E1 = E 2 , y
perturbación, la ecuación (37) queda:
LC
d 2 E 2* ( t )
dt 2
(37)
tomando
L dE 2* ( t )
+
+ E 2* ( t ) = E1* ( t )
R
dt
variables
de
(38)
62
Aplicando Transformada de Laplace:
LCs 2 E 2* ( s ) +
L
sE 2* ( s ) + E 2* ( s ) = E1* ( s )
R
(39)
La Función de Transferencia queda:
E 2* ( s )
E1* ( s )
1
=
Sistema de 2do Orden
L
LC s + s + 1
R
(40)
2
DIAGRAMA DE BLOQUES
1
E 1 *(s)
L
LC s + s + 1
R
2
E 2 *(s)
Escribiendo la función de transferencia en forma general:
E 2* ( s )
E1* ( s )
=
ωn 2
2
s + 2ζω n s + ω n
2
(41)
donde:
ωn =
ζ =
1
LC
1 L
2R C
63