Guia N03 MAT430 2013 1 Aplicaciones de

Dirección de Formación General
Programa de Matemática
Cálculo II
GUÍA Nº 3
Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales
A) Crecimiento o Decrecimiento
Modelo de Malthus.
Si P(t ) representa la población en el tiempo t , un modelo que permite determinar
esta población en cualquier instante t , teniendo información de la población en un
tiempo t 0 , es el conocido como Modelo de Malthus:
dP
 kP , con P(t 0 )  P0
dt
1) En una cápsula de cultivo de ciertas bacterias se tenía un número de 300
individuos. Después de 40 minutos se observaron en la cápsula 900 individuos.
Determinar la función que describe el número de bacterias en el minuto t , y el
número de individuos en la cápsula después de 3 horas.
2) Una población de 750 microbios es sometida a la acción de un antibiótico
experimental. Cuando han transcurrido 2 horas se observan 500
microorganismos. Determinar la función para el número de microbios en el
tiempo y el momento en que el número de microbios es de un 10% de la
población inicial.
3) Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótopo
plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que 0,043 % de la
cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de
ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que
queda.
4) Cierto condensador pierde su voltaje a través de cierta resistencia en una
razón proporcional a su voltaje inicial de 100 voltios. Si a los 4 segundos el
voltaje es de 39 volts, determine la función voltaje del condensador en el tiempo
V (t ) .
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B) Circuito LR en Serie
Si consideramos el siguiente circuito eléctrico
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a este circuito, la suma de las caídas de
potencial a través del inductor L 
di
y de la resistencia R  i , es igual a la fuerza
dt
electromotriz (fem) o voltaje E (t ) aplicado al circuito y es así como se obtiene la
siguiente ecuación diferencial lineal para la corriente i (t )
L
di
 R  i  E (t )
dt
donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia
respectivamente y la corriente i (t ) es conocida como la respuesta del sistema.
5) Una batería de 5 voltios se conecta a un circuito en serie en la que la
inductancia es 0,4 henrios y la resistencia es 100 ohmios. Determine la corriente
i (t ) si la corriente inicial es cero.
6) Un generador con una fem de 15 voltios se conecta, en t  0 , en serie con
una resistencia de 40 ohmios y un inductor de 5 henrios. Determine la corriente
para todo t .
C) Ley de Newton del enfriamiento
Una aplicación sencilla y útil de las ecuaciones diferenciales, es aquélla que
permite modelar el comportamiento del cambio de temperatura de un cuerpo, en
interacción con la temperatura de un medio dominante, al que llamaremos
temperatura ambiente, la cual se considerará constante.
Si Tam es la temperatura ambiente y T es la temperatura de un cuerpo inmerso en
esta temperatura ambiente, entonces, a temperatura del cuerpo cambia, en el
tiempo, en forma proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y la
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temperatura ambiente. Así, el problema queda modelado por la ecuación
dT
 k (T  Tam )
dt
El valor inicial T (0)  T0 determina la constante de integración, mientras que otro
valor ( T (t1 )  T1 ) determina el valor de k .
7) La temperatura del aire es de 15 ºC y el aceite de un automóvil se enfría de
180 ºC a 40 ºC en 10 minutos. Obtenga la función de la temperatura en el tiempo
y con ella calcule en que instante la temperatura del aceite será de 20 ºC y la
temperatura a los 25 minutos.
8) Un fabricante de joyas retira un anillo de la llama de un soplete, a una
temperatura es 800 ºC. Cinco minutos después su temperatura es de 80 ºC.
Obtenga la función de la temperatura en el tiempo si la temperatura ambiente es
de 20 ºC.
9) Un termómetro está a una temperatura de 17 ºC y se aplica a una persona
para medir su temperatura de 37 ºC. A los 15 segundos el termómetro tiene una
lectura de 30 ºC. Hallar la función de temperatura del termómetro y calcular a los
cuántos segundos el termómetro sólo tiene un error de 0,3 ºC (36,7 ºC).
Más ejercicios puedes encontrar en
Cálculo - J.Stewart. -
Thompson Learning
Ecuaciones Diferenciales - C.Edwards , D.Penney
-
Prentice Hall
Ecuaciones Diferenciales con Modelado - Dennis G Zill – Cengage Learning
Editores
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Soluciones
1) P(t )  300 e0,0275t , y 42.352 bacterias.
2) P(t )  750 e 0, 2027t ; y 11,36 horas
3) aprox. 24.180 años
4) V (t )  100 e 0,235t
5) i(t )  0,05  (1  e 250t )
6) i(t )  0,375 (1  e 8t )
7) T (t )  165 e 0,189t  15 ; 18,5 minutos; 16,46 °C.
8) T (t )  780 e 0,513t  20
9) T (t )  20  e 0,07t  37 ; 60 segundos.
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