Tarea1

Tarea 1 Mecánica Clásica Avanzada, I-2022
Fecha de entrega: Lunes 25 de Abril, en .pdf legible (a mano o latex), con nombre,
a [email protected] Puede discutir con sus compañeros/as, pero la redacción debe
ser completamente personal. Si se detectan redacciónes iguales o muy similares, ambas
tareas serán cali…cadas con la nota mínima. Recomendación: cuando escriba una respuesta,
pregúntese si puede defender y explicar de forma coherente en una pizarra lo que está escrito.
1) Considere el siguiente principio de acción, que depende de segundas derivadas del grado
de libertad x (t):
I [x (t)] =
Z
t2
L x (t) ;
t1
dx (t) d2 x (t)
;
dt
dt2
dt :
Muestre que las ecuaciones de Euler-Lagrange están dadas por
d2 @L
dt2 @ x• (t)
d @L
@L
+
=0:
dt @ x_ (t) @x (t)
¿Cuáles son las condiciones que deben satisfacerse para que los términos que son derivadas
totales y que emergen de la derivada funcional se anulen?
2) Considere un sistema de N partículas en un campo gravitacional uniforme. Demuestre
que el torque total producido por el campo gravitacional al rededor del centro de masa es
cero.
3) Considere un sistema de N partículas que interactúan mediante una fuerza atractiva
que es proporcional a la distancia entre las partículas, es decir asuma que la fuerza que la
j ésima partícula ejerce sobre la i ésima está dada por
F~ji =
kmi mj (~ri
(1)
rj ) ;
donde k es una constante positiva y mk es la masa de la k ésima partícula. Usando el
sistema de referencia de centro de masa, determine las trayectorias de las partículas.
4) Encuentre las ecuaciones de Euler-Lagrange para el Lagrangiano de una partícula en
un sistema de referencia no-inercial, es decir encuentre la ecuación de movimiento para la
partícula de masa m, cuando su Lagrangiano está dado por
1
L (~r; ~v ) = m~v 2 + m~v ~
2
1
~r + m ~
2
1
2
~r
m
~ (t)
d2 R
~r
dt2
U (~r) ;
(2)
donde ~ (t) es la velocidad angular del S.R.N.I., y
~
d2 R
dt2
es su aceleración. (hint: utilice
notación de tensores carterianos).
En los siguientes problemas, considere un observador parado sobre la Tierra, quien dada la
rotación de la Tierra de…ne un observador no-inercial. Asuma que el módulo de la velocidad
angular de la Tierra es pequeño. Detalle sus razonamientos y cálculos.
5) Enuentre el desvío de la vertical de un cuerpo en caida libre.
6) Determine el desvío de la planaridad de la trayectoria de una partícula lanzada desde
la super…cie de la Tierra con velocidad ~v0 .
7) Determine el efecto de la rotación de la Tierra en las oscilaciones pequeñas de un
péndulo (el problema del péndulo de Foucault).
2