Universidad Tecnológica de Panamá
Centro Regional de Panamá Oeste
Investigación de las reglas de la Probabilidad
Facultad:
Ingeniería Civil
Carrera:
Ingeniería Civil
Asignatura:
Métodos Estadísticos
Profesora:
Bridget Cadogan
Grupo:
9IC121
Presentado por:
Fernando Velasquez
Xavier Moore
Fecha:
27 de junio del 2022
Teoría
La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las
diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de
un rango estadístico.
Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría DempsterShafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de
aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las
posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a
una simple ley de relatividad.
La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos
de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por
otra parte, la probabilidad de que un evento “no ocurra” equivale a 1 menos el
valor de p y se denota con la letra q
P(Q) = 1 − P(E)
Los tres métodos más usados para calcular las probabilidades son la regla de la
adición, la regla de la multiplicación y probabilidad condicional.
Regla de la adición
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de
ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las
probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes,
es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente.
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A.
P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de
ocurrencia simultánea de los eventos A y B.
Ejemplo: Se lanzan un dado. Usted gana $ 3000 pesos si el resultado es par o
divisible por tres ¿Cuál es la probabilidad de ganar?
Lo que primero hacemos es definir los sucesos:
Sea A = resultado par: A = {2, 4, 6}
Sea B = resultado divisible por 3: B = {3, 6}.
¿Ambos sucesos tienen intersección?
𝐴 ∩ 𝐵 = {3} Luego,
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
3 2 1 4 2
+ − = =
6 6 6 6 3
Regla de la multiplicación
La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos
o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus
probabilidades individuales.
P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B) si A y B son independientes.
P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B|A) si A y B son dependientes.
Ejemplo: Un lote contiene “100” ítems de los cuales “20” son defectuosos. Los
ítems son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos.
Suponga que dos ítems son seleccionados sin reemplazamiento (significa que el
objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la
probabilidad de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos?
Solución:
Sea los eventos:
A1 = {primer ítem defectuoso}, A2 {segundo ítem defectuoso}
Entonces dos ítems seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento
A1∩ A2 que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada
se tiene que:
20
𝐴2
19
P(A1) = 100 ; P(𝐴1) = 99
Así probabilidad de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos es:
𝐴2 20
19
)=
P(A1 ∩ A2) = P(A1)P ( ) (
= 0.038
𝐴1 100
495
Ahora suponga que selecciona un tercer ítem, entonces la probabilidad de que
los tres ítems seleccionados sean defectuosos es:
A2
A3
20 19 18
19
)( )( ) =
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P ( ) P (
∩ A2) = (
= 0.007
A1
A1
100 99 98
2695
Probabilidad condicional
También llamada probabilidad condicionada, es una medida estadística que
indica la probabilidad de que ocurra un evento A si otro evento B ha sucedido.
Es decir, la probabilidad condicional P(A|B) se refiere a cuánto de probable es
que suceda el evento A una vez ya se ha producido el evento B.
La probabilidad condicional se escribe con una barra vertical entre los dos
eventos: P(A|B), y se lee la probabilidad condicional del evento A dado el
evento B.
el valor de la probabilidad condicional es un número entre 0 y 1. Cuanto mayor
sea la probabilidad condicional, más probable será de que el evento A se
cumpla cuando ocurra el evento B, pero cuanto menor sea la probabilidad
condicional, menos probable será que el evento A se cumpla cuando suceda el
evento B.
Fórmula de la probabilidad condicional
La probabilidad condicional del evento A dado el evento B es igual a la
probabilidad de la intersección entre el evento A y el evento B partido por la
probabilidad del evento B.
La fórmula de la probabilidad condicional (o probabilidad condicionada)
solamente se puede utilizar si la probabilidad de ocurrencia del evento no
condicionado es diferente de cero, esto es, P(B)≠0. O dicho de otra forma, si es
posible que ocurra el evento B.
También se puede calcular la probabilidad condicional a partir de su inversa, es
decir, si se conoce P(B|A) se puede determinar P(A|B). Pero para ello se debe
aplicar el teorema de Bayes.
Ejemplo para aplicar probabilidad condicional
Se sabe que en una bolsa llena de bolas la mitad son naranjas y la otra mitad
son verdes. Además, un tercio de todas las bolas son naranjas y, al mismo
tiempo, están marcadas con una señal. ¿Cuál es la probabilidad de que al
sacar una bola naranja, esta tenga la señal?
Para resolver el ejercicio tenemos que aplicar la fórmula de la probabilidad
condicionada, que es:
El enunciado del problema nos dice que la mitad de la bolsa son naranjas, por
tanto, la probabilidad teórica de coger una bola naranja es del 50%.
Por otro lado, sabemos que un tercio del total son bolas naranjas y tienen una
señal, de manera que la probabilidad de obtener una bola naranja y con señal
es:
Finalmente, sustituimos las probabilidades calculadas en la fórmula de la
probabilidad condicionada para hallar su valor:
La probabilidad de sacar una bola con la señal si esta es naranja es del 66%.
