Activados - Matematica 4

4(;,4Í;0*(
Gerente editorial
Daniel Arroyo
Jefa de contenidos editoriales
Verónica Lombardo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Editora
Yanina Sousa
Editing
Belén Boscaroli
Autores
Aperturas: Pablo Amster
¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Silvana Mastucci
Nora Quirós
Fernando De Rossi
Coordinadora del área
de Marcas y derechos
Amorina Scalercio
Jefe del departamento de Arte y diseño
Lucas Frontera Schällibaum
Diseñadoras de maqueta
Patricia Cabezas
Laura Porta
Diagramación
Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo
Ilustrador
Pablo Zerda
Fotografías
Archivo de imágenes de Grupo Macmillan
Thinkstock
Gerente de Preprensa
Produccióny editorial
Producción editorial
Carlos Rodríguez
Corrector de estilo
Gabriel Valeiras
Matemática
Matemática4:
43.¿Para
¿para
Fotoactivados
qué
qué sirve?
sirve?:
/ /Roxana
versión
AdrianaAbálsamo
para
Beatriz
el docente
Berio...
... [et.al.].
[et.al.].
/ Roxana
- 1a- ed.
1aAbálsamo
ed.
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Isidro:
Boulogne:
[et.al.].
Puerto
- 1aPuerto
ed.
de -Palos,
Boulogne:
de Palos,
2013. 2013.
Puerto de Palos, 2013.
256
256
p.:p.:
il.; il.;
2828x20
x 20 cm
cm.- -(Activados)
(Activados)
ISBN
ISBN
978-987-547-529-8
978-987-547-579-3
978-987-547-582-3
1. Matemática.
1. Matemática.
2. 2.Enseñanza
Enseñanza
Guía
Docente.
Secundaria.
Secundaria.
I. Abálsamo,
I. I.Abálsamo,
Berio,
Roxana
Adriana
Roxana
Beatriz
CDD
CDD
510.712
510.712
371.1
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-582-3
978-987-547-529-8
978-987-547-579-3
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición.
Esta obra se terminó de imprimir en octubre
febrero de
de 2013,
2013, en
en los
los talleres
talleres de
de FF PP Compañía
Compañía Impresora,
Impresora, Beruti 1560,
Florida,1560,
Beruti
provincia
Florida,
de provincia
Buenos Aires,
de Buenos
Argentina.
Aires, Argentina.
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Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de
XXX actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta la matemática con la
vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula.
Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de
681 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta la matemática con la
vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula.
Mira
Foco
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Apertura: en esta sección, Pablo
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Amster, especialista en el área de la
matemática, ofrece textos relacionados
con la historia y evolución del
Apertura: en esta sección, Pablo
pensamiento matemático.
Amster, especialista en el área de la
matemática, ofrece textos
relacionados con la historia y
evolución del pensamiento
matemático.
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En el cuadro de
contenidos aparecen los
temas numerados para su
En el cuadro de
fácil identificación.
contenidos aparecen los
temas numerados para su
fácil identificación.
Conector: invita a
InfoActiva: presenta
definiciones, clasificaciones,
procedimientos básicos y
ejemplos de cada contenido
presenta
queInfoActiva:
facilitan la comprensión.
definiciones, clasificaciones,
procedimientos básicos y
ejemplos de cada contenido
que facilitan la comprensión.
repasar conceptos
explicados en páginas
anteriores.
Conector:
invita
Conexión
a
a¿Para
repasar
quéconceptos
sirve?
explicados en
páginas anteriores.
Test de
comprensión:
incluye preguntas
básicas que
permiten evaluar la
Actividades:
para cada tema
Test de comprensión:
incluye
se proponen distintas actividades
preguntas básicas que permiten
que están organizadas de manera
evaluar la comprensión de la teoría
secuencial.
y revisar errores comunes.
Actividades: para cada tema
se proponen distintas actividades
que están organizadas de manera
secuencial.
menteACTIVA: propone
menteACTIVA:
situaciones problemáticas con un
propone situaciones
mayor nivel de complejidad.
problemáticas con
un mayor nivel de
complejidad.
Trabajos
prácticos:
Integración: incluye más actividades
Autoevaluación:
para
Autoevaluación:
propone
propone más
actividades
resolver en el
actividades
para
cuaderno.
resolver en el
cuaderno.
incluyen
más evaluar
actividades
más actividades para
para que
que cada
cada alumno
pueda
los para
practicar los
temas
alumno pueda evaluar
conocimientos
los
adquiridos
durante
el del
capítulo.
capítulo.
conocimientos adquiridos
durante el capítulo.
¿Para qué sirve?
¿Para ¿Para
qué
sirve?
qué sirve?:
en esta
sección, Laura Pezzatti, especialista en
el área de la matemática, ofrece una
serie de textos que conectan los
¿Para quécontenidos
sirve?: endeesta
sección, Laura
los capítulos
con la vida
Pezzatti, especialista
en
el
área
de
la matemática,
cotidiana y otras disciplinas
con el
ofrece una serie objetivo
de textos
que
conectan
los
contenidos
de responder a la pregunta
de los capítulos inicial
con laque
vidasecotidiana
y
otras
plantea.
disciplinas con el objetivo de responder a la pregunta
inicial que se plantea.
Índice general
Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9
1. Números reales. ..................................
2. Números racionales. ...........................
3. Operaciones con números racionales.
Integración ..........................................
4. Módulo de un número real. ...............
5. Ecuaciones. .........................................
6. Inecuaciones. ......................................
Integración ..........................................
Autoevaluación ....................................
10
12
14
18
20
22
24
26
28
Capítulo 2: NÚMEROS IRRACIONALES ....... 29
7. Propiedades de la potenciación y
la radicación. ......................................
8. Números irracionales. .........................
9. Radicales. Adición y sustracción. .......
10. Multiplicación y división de radicales. ..
11. Operaciones combinadas. ..................
12. Racionalización de denominadores. ...
Integración ..........................................
13. Sucesiones. .........................................
14. Sucesiones aritméticas. ......................
15. Sucesiones geométricas. ....................
Integración ..........................................
Autoevaluación ....................................
30
32
34
36
38
42
46
48
50
52
54
56
Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 57
16. Funciones. ...........................................
17. Análisis de funciones I. ......................
18. Análisis de funciones II. .....................
Integración ..........................................
19. Función lineal. ....................................
20. Distancia entre dos puntos. ...............
21. Ecuación de la recta. ..........................
22. Función módulo. .................................
Integración ..........................................
Autoevaluación ....................................
58
60
62
66
68
70
74
78
80
82
Capítulo 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA ............ 83
23. Función cuadrática. ............................ 84
24. Raíces de una función cuadrática.
Discriminante. ..................................... 86
25. Distintas expresiones de la función
cuadrática. .......................................... 88
26. Gráfico de una función cuadrática. .... 92
Integración .......................................... 96
27. Ecuaciones de segundo grado. .......... 98
28. La parábola como lugar geométrico. 102
29. Ecuación de la parábola. ................. 104
Integración ........................................ 106
Autoevaluación .................................. 108
Capítulo 5: POLINOMIOS ......................... 109
30. Polinomios. Características. ............... 110
31. Suma y resta de polinomios. ............ 112
32. Multiplicación de polinomios. ........... 114
Integración ......................................... 118
33. División de polinomios. ................... 120
34. La regla de Ruffini. Teorema
del resto. .......................................... 122
35. Raíces de un polinomio. .................. 124
36. Operaciones combinadas. ................ 126
Integración ........................................ 130
Autoevaluación .................................. 132
Capítulo 6: FACTORIZACIÓN DE
POLINOMIOS ...................................
37. Factor común y factor común
por grupos. .......................................
38. Trinomio cuadrado perfecto y
cuatrinomio cubo perfecto. ..............
39. Suma y resta de potencias de
igual exponente. ...............................
40. Teorema de Gauss. ...........................
Integración ........................................
41. Casos combinados de factoreo. .......
42. Ecuaciones
Ecuaciones de
degrado
gradomayor
mayora ados.
dos......
43. Estudio
Estudio de
de funciones
funcionespolinómicas.
polinómicas......
..
Integración ........................................
44. Expresiones algebraicas
fraccionarias. .....................................
45. Operaciones con expresiones
algebraicas fraccionarias. .................
46. Ecuaciones con expresiones
algebraicas fraccionarias. .................
Integración ........................................
Autoevaluación ..................................
Capítulo 8: SEMEJANZA
GEOMETRÍA Y
133
134
136
138
140
142
144
148
150
154
156
158
162
166
168
Capítulo 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ... 169
47. Sistemas de ecuaciones lineales.
Método gráfico. ................................
48. Resolución de sistemas de
ecuaciones I. .....................................
49. Resolución de sistemas de
ecuaciones II. ....................................
50. Sistemas de ecuaciones mixtos. ......
Integración ........................................
Autoevaluación ..................................
Y TRIGONOMETRÍA
FIGURAS PLANAS
......................................
..............................
51. Teorema de Thales. ..........................
52. Aplicaciones
Aplicacionesdel
delteorema
teoremadedeThales.
Thales.
...
53. Semejanza de triángulos. .................
Integración ........................................
54. Trigonometría. ..................................
55. Cálculo
Cálculo de
de razones
razonestrigonométricas.
trigonométricas.
....
56. Resolución de
de triángulos
triángulos rectángulos.
57. rectángulos.
Teoremas del.......................................
seno y del coseno. ....
58.
57. Teoremas
Resolucióndel
de seno
triángulos
y del coseno. ....
oblicuángulos.
58. Resolución
.............................................
de triángulos
oblicuángulos.
Integración
.............................................
........................................
Autoevaluación
Integración ........................................
..................................
Autoevaluación ..................................
Capítulo 9: PROBABILIDAD Y
Capítulo
ESTADÍSTICA
9: COMBINATORIA
.....................................
Y PROBABILIDAD
59. Combinatoria.
.........................................
...................................
59.
60. Combinatoria.
Binomio de Newton.
...................................
Triángulo
60. Binomio
de Pascal.
de.........................................
Newton. Triángulo
61. de
Probabilidad.
Pascal. .........................................
....................................
62.
61. Probabilidad.
Probabilidad condicional.
....................................
.................
62. Probabilidad
Integración ........................................
condicional. .................
Integración
Autoevaluación
........................................
..................................
Autoevaluación ..................................
185
186
188
192
196
198
200
202
204
202
204
206
206
210
212
210
212
213
213
214
214
218
220
218
222
220
222
224
224
226
226
170
172
176
178
182
184
Control de resultados ............................... 227
Control de resultados ............................... 227
¿Para qué sirve?
Contenidos
1
1. Números reales.
2. Números racionales.
3. Operaciones con números
racionales.
4. Módulo de un número real.
5. Ecuaciones.
6. Inecuaciones.
Los números racionales aparecen en los primeros textos matemáticos de la
historia. Se encuentran presentes en las tablillas babilónicas y en el célebre
papiro egipcio de Ahmes, escrito hacia 1650 a. C. Allí se detallan las operaciones con fracciones, que los egipcios escribían como sumas de fracciones
de numerador igual a 1; estos desarrollos no son únicos. Es un hecho notable que los números racionales se puedan representar siempre de esa forma,
y más notable aún que lo supieran ya los antiguos egipcios. Por ejemplo, el
1 también se puede pensar como __21 + __31 + __61 .
En aquellos tiempos, la notación era muy diferente a la actual. La barra de
fracción, que separa el numerador del denominador, fue introducida recién
en el siglo XIII por Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Por
su parte, las fracciones decimales tuvieron que esperar hasta el siglo XVI,
cuando el belga Simon Stevin ideó la forma de calcular empleando décimas,
centésimas, etc., aunque todavía faltaba para llegar a la notación actual: en
37 654
su sistema un número como ______
1 000 se escribía 37(0)6(1)5(2)4(3).
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Por qué son tan importantes los números racionales?
b. Representen las siguientes fracciones utilizando el método egipcio.
4
5
3
ˆ __
ˆ __
ˆ __
5
9
4
4 __
5
3 __
1 + __
1 + __
1 + __
1 ˆ__
1 = __
1 + ___
1 ˆ__
1
1 + __
a. Respuesta abierta. b.ˆ__ = __
= 1 + ___
= 1 + __
5 2 10 3 5 15
9 3 9
4 2 3 4 6
capítulo
Números reales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Números reales
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 2
Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros.
Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o en forma decimal; una
y otra designan exactamente al mismo número. La expresión decimal de un número racional tiene un
número finito de cifras decimales, o es periódica.
34 = 3,777... = 3,7
___
9
13 = –3,25
– ___
4
17 = 2,8333... 2,83
___
6
Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre dos
números enteros, por tener infinitas cifras decimales no periódicas.
Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales.
__
3
__
4
36 = 1,817120...
35 = 2,236067...
___
321 = 2,140695...
Hay números irracionales que se determinan a partir de una ley de formación.
2,246810...
–0,12223242...
5,1122334455...
14,0123456...
El conjunto de los números reales ( ) está formado por los números racionales ( ) y los irracionales ( ).
Los números reales se grafican sobre una recta denominada recta real. A un punto de la misma se
le asigna el 0, se elige un segmento unidad y se ubican los números restantes. A cada número real le
corresponde un punto de la recta y viceversa.
1
– __
2
–1
0
1
__
8
1
Intervalos reales
Se denomina intervalo real a toda semirrecta o segmento de la recta real.
Algebraicamente se designa un intervalo por sus extremos encerrados entre paréntesis o corchetes:
ˆ paréntesis, si los extremos no están incluidos (intervalo abierto);
ˆ corchetes, si se incluyen los extremos (intervalo cerrado).
A = x∈
[
–3
B = x∈
(
4
C = x∈
[
–5
D = x∈
(
–4
10
∧ –3 ≤ x ≤ 1 = [–3;1]
]
1
4 < x < 7 = (4;7)
)
7
–5 ≤ x < 0 = [–5;0)
E = x∈
[
3,5
F = x∈
]
–1
∧ x > –6 = (–6;+∞)
(
–6
G = x∈
)
0
–4 < x ≤ –1 = (–4;–1]
∧ x ≥ 3,5 = [3,5;+∞)
∧ x ≤ 1 = (–∞;1]
]
1
H = x∈
∧ x < – __21 = –∞;– __21
(
)
1
– __
2
)
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Todo número que tiene infinitas cifras decimales ¿es irracional?
b. ¿Cuál es la diferencia entre (2;3) y [2;3]?
a. No, los números periódicos son racionales. b. El primer intervalo no incluye los extremos y el segundo, sí.
1
ACTIVIDADES
Números reales
1. Coloquen una X donde corresponda.
Número
Naturales
Enteros
Racionales
X
X
X
X
X
–4
1
__
3
Irracionales
Reales
__
35
X
X
__
39
X
X
1,34
X
X
X
X
2. Representen cada uno de los siguientes intervalos en la recta numérica.
[ ]
c. __31 ;__21
a. ( –2;3 )
(
–2
)
3
__
b. ( –5;35 ]
[
d.
(
–5
]
1
__
3
___ 3 ___
3
1
__
2
[– 327 ;327 )
]__
35
[ ___
3
–327
3
)
___
327
3. Escriban el intervalo real correspondiente en los siguientes casos.
a. x ∈
∧ x ≥ –3 =
b. x ∈
∧ –1 ≤ x < 7 =
c. x ∈
∧x≠3=
d. x ∈
∧ –3,5 < x < 0 =
[–1;7)
e. x ∈
∧ –1,2 < x ≤ 1,2 =
(–1,2;1,2]
(–∞;3) ∪ (3;+∞)
f. x ∈
∧ x ≤ –2 ∧ x > 1 =
(–∞;–2] ∪ (1;+∞)
[–3;+∞)
(–3,5;0)
4. Expresen de tres formas distintas los intervalos que se indican a continuación.
a. Todos los números reales mayores o iguales que –3 y menores que 2.
x∈
∧ –3 ≤ x < 2 = [–3;2)
–3
[
2
)
b. Todos los números reales mayores o iguales que –5.
x∈
∧ x ≥ –5 = [–5;+∞)
–5
[
c. Todos los números menores que –3 o mayores o iguales que 2.
x∈
∧ x < –3 ∨ x ≥ 2 = (–∞;–3) ∪ [2;+∞)
–3
)
2
[
d. Todos los números reales mayores que –2 y menores o iguales que –1.
x∈
∧ –2 < x ≤ –1 = (–2;–1]
–2
(
–1
]
11
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Números racionales
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 3
Al efectuar la división no exacta de dos números enteros, puede suceder que:
ˆ el resto de la división sea cero; en ese caso el cociente es una expresión decimal con un número
finito de cifras decimales (expresiones decimales finitas).
5 = 5 : 2 = 2,5
__
2
9 = 9 : 12 = 0,75
___
12
12 = –12 : 10 = –1,2
– ___
10
ˆ el resto nunca se anule; necesariamente se repite y al repetirse también lo hacen las cifras decimales del cociente, determinando el período (expresiones decimales periódicas).
2 = 2 : 3 = 0,6
__
3
16 = 16 : 15 = 1,06
___
15
10 = –10 : 11 = –0,90
– ___
11
Para transformar una expresión decimal periódica en fracción, se escribe en el numerador de la misma
el número decimal, sin la coma, menos la parte no periódica y en el denominador, tantos 9 como cifras
decimales periódicas tenga la expresión, seguidos de tantos ceros como cifras decimales no periódicas
contenga.
29
32 – 3 = ___
3,2 = ______
9
9
315 – 3 = ____
312 = ____
104
3,15 = _______
33
99
99
95
583 – 158 = – 1425
___________
_____= – ___
–15,83 = – 1
90
90
6
Aproximación
Cuando se trabaja con números que tienen muchas o infinitas cifras decimales, se realizan aproximaciones cometiendo un pequeño error que es aceptado por razones de orden práctico.
Para calcular el promedio final de las calificaciones de un alumno en una asignatura determinada,
se suman las notas obtenidas en los tres trimestres y se las divide por 3.
Los promedios finales se aproximan por redondeo a dos decimales.
Asignatura
Lengua
Historia
1.° trimestre
5
7
2.° trimestre
8
7
3.° trimestre
7
8
Promedio final
6,67
7,33
Para aproximar por redondeo se considera la cifra siguiente a la última que se va a dejar; si es mayor
o igual que 5, se suma uno a dicha última cifra y si es menor, se deja igual.
20 = 6,6666... ≅ 6,67 (ε < 0,01)
5
+ 8 + 7 = ___
________
3
3
7
+ 7 + 8 = ___
22 = 7,3333... ≅ 7,33 (ε < 0,01)
________
3
3
Otra manera de aproximar es por truncamiento, que consiste en eliminar directamente las cifras que
no desean considerarse.
__
35 = 2,236067... ≅ 2,23 (ε < 0,01)
e = 2,7182818... ≅ 2,7182 (ε < 0,0001)
Error
El valor más probable es el promedio de los valores obtenidos.
Se denomina error absoluto (εa) al módulo de la diferencia entre el valor
de cada medición (xi) y el valor más probable (xx).
x1 + x2 + ... + xn
x = ______________
n
_
_
εa = |xi – x|
εa
_
El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor más probable. εr = __
x
El error porcentual es el error relativo multiplicado por 100.
12
ε% = εr . 100
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Siempre es importante trabajar con la expresión decimal exacta de un número?
b. ¿La expresión 3,2 es equivalente a __23 ?
29
a. Depende del contexto que se esté trabajando. b. No, es equivalente a ___.
9
2
ACTIVIDADES
Números racionales. Operaciones.
5. Completen para obtener números racionales periódicos. Escriban la expresión decimal correspondiente.
12
12
a. _____
=
6
5
2
c. _____
=
b. _____
7 =
d. _____
3 =
3
Hay infinitas posibilidades.
6. Rodeen con color las expresiones equivalentes en cada caso.
233
a. ____
100
2,33
2,3
0,233
2,033
b. __91
1,11
0, 1
0,1
1,11
c. __52
4
___
10
4
0,4
2,5
7. Escriban como fracción irreducible los siguientes números.
a. 3,2 = 16
c. 1,24 = 31
b. 0,3 = 3
d. 1,6 =
5
25
10
g. 5,36 = 59
f. 0,09 = 1
h. 4,26 = 64
45
5
3
11
11
8. Completen las siguientes tablas.
15
__
a. 23,1456
Error
e. 1,15 = 52
b. 38
Truncamiento
Redondeo
23,1
23,1
ε < 0,1
ε < 0,1
Error
Truncamiento
Redondeo
2,8
2,8
ε < 0,01
23,14
23,15
ε < 0,01
2,82
2,83
ε < 0,001
23,145
23,146
ε < 0,001
2,828
2,828
9. Calculen
el error porcentual de cada una de las siguientes aproximaciones por redondeo.
__
a. 35 , ε < 0,001
15
b. ___
7 , ε < 0,01
0,003
0,1333
10. Lean atentamente y respondan.
Pablo tiene que repartir con sus tres socios los $3 000 de la ganancia de la semana. Para calcular
cuánto dinero le corresponde a cada uno, realiza las siguientes operaciones.
1
__
0,33 . $3 000 = $990 cada uno.
3 = 0,333…
¿Es correcto esto? ¿Por qué?
No, le corresponden $1 000 a cada uno, porque al haber trabajado con la expresión decimal periódica
truncada, no se repartió el dinero en su totalidad.
13
3
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Operaciones con números racionales
INFOACTIVA
Una operación donde aparecen expresiones decimales periódicas conviene resolverla en forma fraccionaria, respetando la jerarquía de las operaciones y sus propiedades.
_____
15 . 0,26 + 5–1 – 0,25 =
___
3
4
____
25 =
15 . ___
24 + __
1 – ____
___
4 90 5
100
5 =
15 . ___
4 + __
1 – ___
___
4 15 5 10
7
1 – __
1 = ___
1 + __
5 2 10
1. Se escriben como fracción las expresiones decimales.
3
2. Se simplifica cuando sea posible.
3. Se resuelven las potencias y raíces.
4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
Luego, las sumas y restas.
Si aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se deben resolver primero las operaciones que estos
encierran.
0,08 .
[ ( __12 )
4
___
__
]
3
25 – 0,26 = ___
5 – ___
8 . ___
24
1 . 2 + __
.3
8 + 3___
90 ( 16
64
8 ) 90
5 – ___
1 + __
4
4 . __
= ___
45 ( 8 8 ) 15
3 – ___
4 =
4 . __
= ___
45 4 15
4 = – __
1
1 – ___
= ___
15 15
5
Si el cálculo está expresado como fracción, se deben resolver el numerador y el denominador por
separado y luego, obtener el cociente correspondiente.
_______
_______
3
0,5 – __
8
________
2–3
3
5 – __
3 . 5 3 ___
____
10 8
100
________
________
+
1
13
__
__
9
2
3
0,03 . 5
_______
+
0,1
3
3
( )
__
3
1
__
___
3
20
8
____
____
=
+
=
3
1
__
9
1
__
8
( __25 + 0,3 . __92 ) : 0,6 = _____________
( __25 + __39 . __92 ) : __23
_____________
_______
________
2
5 2
21 + 1 – __
30,21 + 1 – ( __
( 52 )
2)
3____
100
3 : __
2 + __
2
__
(
5 2) 3
___________
____
=
5 2
121 – __
3____
100 ( 2 )
3 : __
1 + __
1 : __
1
= ___
20 9 2 8
19 : __
2
___
10 3
= _______
25
11 – ___
___
4
10
27 + 4
= ___
20
20
= _____
103
____
– 20
107
= ____
20
20
57 . –____
= ___
20 ( 103 )
57
___
57
= –____
103
14
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Al resolver una operación, ¿por qué conviene escribir las expresiones decimales periódicas
como fracción?
b. Las expresiones decimales periódicas, ¿cumplen con las propiedades de los números naturales?
a. Porque así se tienen en cuenta todos sus decimales. b. Sí, cumplen con las mismas propiedades.
ACTIVIDADES
Operaciones con números racionales
3
11. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. __53 . 15 – 1,2 . ( –0,5 ) =
f. 0,54 . __73 . __71 – 0,24 + __53 + 0,26 =
15
b. __35 : ___
9 + 0,3 : 0,5 =
g. ( 0,18 + 0,21 ) : ( 0,2 + 0,05 ) + 0,3 =
c. 0,583 – 0,3 : __21 . 1,2 =
h. 0,35 : 0,15 + __41 . ( 0,002 : 0,007 + 1 ) =
15 .
d. 3 – __51 : 0,7 . ___
4 0,2 =
11
.
i. – 0,4 . __
8 + 2 + ( 0,2 + 1,1 ) 3,5 =
37
(
29
___
3
)
– ___
50
)(
(
95
___
42
(
38
)
)
e. – __53 + 0,09 : 0,03 – 0,5 : 0,125 =
– ___
5
)
16
___
9
8
__
5
(1
(
)
97
– ___
90
(
)
93
___
28
___
18
(
)
[
]
j. 2 . 0,2 + (–10 + 3,75) : __23 : 0,3 =
113
– ___
10
12. Resuelvan.
4
___
a. 0,2 2 = 81
27
____
b. 2,3 –3 = 343
9
____
c. 0,3 2 = 100
125
____
d. 1,6 3 = 27
5
__
____
e. 3 2,7 = 3
___
2
__
f. 30,4 = 3
______
1
___
g. 30,009 = 10
______
2
__
3
h. 30,064 = 5
15
ACTIVIDADES
Operaciones con números racionales
3
13. Escriban el cálculo combinado que responde a cada pregunta y resuelvan.
a. ¿Cuál es la mitad de la quinta parte de veinte?
1 :2 = 2
20 . __
5
b. ¿Cuál es el inverso del triple de 0,3?
( __31 . 3 )
c. ¿Cuál es el triple de 0,2 aumentado en 0, 1?
7
3 . 0,2 + 0, 1 = __
9
d. ¿Cuál es el doble de 0,07 disminuido en __21 ?
31
1 = – ___
2 . 0,07 – __
2
90
–1
=1
14. Encuentren el error en la resolución de los siguientes cálculos, si es que lo hay. Luego, resuélvanlos correctamente.
_________
a. –0,3 2 + (0,5 + 0,3) . 5 =
– __31
2
( )
______
3
37
– __91 + 4 = ___
9
10
0,04 . __
8 – 0,01 5
__________________
a.
=
0, 2
3
9
___
10
_______________
3
0,24 + __ + 0,1 5
5
_________________
_______
=
c.
30,02 7
5
3
6
3
________________________
0, 2 + 1, 1
0, 4 . 3,5
b. ________ + _______ =
(0,7 + 0,3)5 . (2,7 : 10) . 0,1–1
d. 3_________________________
=
3
20
___
3
343
____
90
0, 6
16
3
El cálculo está resuelto correctamente.
15. Resuelvan.
________________
______
23 __
7 ___
3
2 . __
1
___
___
5 + 25 + 90 =
9 + 9
3
61
___
1,6 . __56 + ___
90 = 30
+ 0,8 . 5 =
En el segundo término, se toma 0, 3 como 0,3 al
resolver la sustracción.
____________
b. 32,5 + 0,2 . 32 . 0,7 + 0,22 + 0,03 =
0, 3
(2, 9 : 7)
ACTIVIDADES
Operaciones con números racionales
3
16. Marquen las opciones correctas.
___
(
)
3 125
a. 0,6 . ____
8 + 0,1 : 1,75 =
3
32
X ___
14
___
5
8
__
7
35
2
b. ( 1,6 + 0, 1 ) : __98 =
113
___
36
32
X ___
3,6125
10
___
9 + 0, 2
c. ________
+ 0,3 2 =
1
__
5
__
3
37
X ___
4
__
3
9
9
3
________
0
11
d. 0,20 . __
5 – ( 0,3 – 1 ) =
0
e. 0,35 + __91 : 0,05 + __23 =
99
– ___
10
3
(
)
–0,33
X – __1
3
99
X ___
9
___
10
10
17. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
_________
___
___
a. 33 2 – 1,992 + __37 – ( 0,45 . 3121 + 0,3 ) =
14
e. 0,6 2 + 0,05 .
173
____
288
– ___
5
______
1
. __5
[ ( 3____
125 ) 9 + 0,3 ]
3
b. [ 2,02 – ( 0,2 – 0,17 + 1,3 – 2 ) ] : 33 0,008 =
0, 18 . 1,1
f. _________
2 + 0,1 =
3
40
___
3
9
___
80
2
–1
=
( __2 + 2,5 )
_____________________
____
__
c.
1
3( 0,6 + 0,32 + __ ) : 0,02
6
=
g. _______________________
53
1
___
81 + ( 0,2 – 1,03 ) : 0,0 1 =
33
0,23 + ___
30
7
__
2
218
– ____
3
_______
_________
_________________
( )
0,03
d. 31,4 + 0,04 + ( 1,5 – 1,2 ) : 1 – __31 – _____
0,5
113
– ___
10
3
(
)
–1
1
30,04 . __ . [0, 9 – (0,0 3 + 0, 1)]
( 30,14 – __21 . 0,03 )
77
_____
4 _____________
= h. __________________________
=
–1
3
1 800
17
INTEGRACIÓN
18. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
a. ¿Cuántos números naturales, incluido el cero,
se encuentran en el intervalo (–2;4]? ¿Y números enteros? 5 números naturales. 6 números enteros.
b. ¿Cuántos números reales se encuentran en el
intervalo [–2;–1]? Hay infinitos números reales.
corresponda. Expliquen las respuestas.
Todo número...
a. ... natural es un número entero. V
b. ... entero es un número natural. F
c. ... real es un número natural. F
d. ... irracional es un número real. V
e. ... irracional es un número racional. F
19. Hallen el valor de x en cada caso e indiquen
a qué conjunto numérico pertenece la solución.
a.
c. Perímetro = x
1 cm
__
3
x
7 cm
2,3 cm
79
P = ___,
15
, .
___
b.
y .
x
d. Área = x
3 cm
4 cm
, .
__
32 cm
y .
pertenece (∈) o no (∉) al intervalo.
a. 2 ∈ (2;5]
F
d. 5 ∉ (2;5)
V
b. 2 ∈ [2;5]
V
e. 0 ∈ (–5;–1)
F
c. 5 ∉ (2;5]
F
f. –3 ∈ [–3;2]
V
21. Representen los siguientes intervalos en la
Solución a cargo del alumno.
18
]
25. Escriban los intervalos representados en
20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
recta numérica.
a. x ∈ ∧ –3 < x < 5
b. x ∈ x ≤ –1 ∧ x > __51
c. x ∈ ∧ __31 < x ≤ __27
d. x ∈ ∧ x ≥ 5
)
Recta numérica a cargo del alumno.
__
A = 5 . 32 ,
(
24. Representen de dos maneras distintas los
siguientes intervalos.
a. [2;3) x ∈ ∧ –2 ≤ x < 3
b. (–∞; –5] ∪ (7; +∞) x ∈ ∧ x ≤ –5 ∨ x > 7
c. [–2; +∞) x ∈ ∧ x ≥ –2
d. (–∞;–1] ∪ [2;+∞) x ∈ ∧ x ≤ –1 ∨ x ≥ 2
5 cm
x = 5 cm, , ,
23. Escriban el intervalo indicado en cada caso.
Luego, represéntenlo en la recta numérica.
a. Todos los números reales mayores o iguales
que 5. [5;+∞)
b. Todos los números reales mayores que 3 y
menores o iguales que 8. (3;8]
c. Todos
los números reales menores o iguales
___
___
3
3
que 334 . (–∞;334 ]
d. Todos los números reales mayores que – __21 y
1 ;3
menores que 3. – __
2
e. Todos los números reales mayores o iguales
7
;0
que – __57 y menores o iguales que 0 – __
5
f. Todos los números reales mayores que 0. (0;+∞)
[
5 cm
x = 374 cm,
22. Respondan.
cada recta.
a.
)
b.
3
[
5
(–∞;3) ∪ [5;+∞)
(
–3
)
5
(–3; 5)
(
1
(1; +∞)
c.
d.
[
–2
)
3
[–2; 3)
e.
]
–4
[
2
(–∞;–4] ∪ [2;+∞)
(
–8
]
–1
(–8; –1]
f.
capítulo
CONTENIDOS
1
1 *2 *3
26. Escriban la expresión decimal de cada una
31. Lean atentamente, escriban el cálculo en
de las siguientes fracciones. Clasifíquenlas.
cada caso y resuelvan.
a. El doble de la tercera parte de 15, aumenta23
do en la raíz cuadrada del doble de __89 . ___
2
16
y
b. La diferencia entre un cuarto de ___
las
tres
9
131
quintas partes de 25. – ___
9
c. La raíz cuadrada de la suma entre un quinto
36 ___
10 3
de cinco y el producto de ___
5 y 9.
d. El cociente entre el cuadrado de la diferencia entre un tercio y tres quintos, y cinco
8
medios elevado a menos uno. ___
45
e. La raíz cúbica de la diferencia entre uno y
siete octavos, disminuida en el doble de la raíz
17
cuadrada de 2,7. – ___
6
f. La diferencia entre el cociente de la raíz cua81
81
___
drada de ___
16 y la raíz cuarta de 16 , y el doble
de cinco cuartos. –1
a. __23 = 1,5 E.D.F.
e. __91 = 0, 1 E.D.P.
7
b. ___
28 = 0,25 E.D.F.
f. __95 = 0, 5, E.D.P.
1
c. ___
15 = 0,06, E.D.P.
12 2,4 E.D.F.
g. ___
5 =
3
0,1875, E.D.F.
d. ___
16 =
15
1,6, E.D.P.
h. ___
9 =
27. Completen el siguiente cuadro realizando
una aproximación por truncamiento.
__
__
Número
1,345
36
2
__
3
ε < 0,1
1,3
2,4
0,6
1,9
ε < 0,01
1,34
2,44
0,66
1,91
ε < 0,001
1,345
2,449
0,666
1,912
ε < 0,0001
1,3455
2,4494
0,6666
1,9129
3
37
28. Completen el siguiente cuadro realizando
una aproximación por redondeo.
__
__
3
32. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
49
a. –3 . 3,2 + __51 – __31 = – ___
5
9.
5 . ___
__
__
30
b.
0,25 –
3121 = – ___
(
)
Número
2,345
37
2
__
9
33
ε < 0,1
2,3
2,6
0,2
1,4
ε < 0,01
2,35
2,65
0,22
1,44
(7
7)
7
1 .
___
2
c. ( 0,6 + 0,02 – 20 2,2 ) : 1,4 = __
5
ε < 0,001
2,346
2,646
0,222
1,442
17
d. 0,4 . 3,3 + 0,2 + 0,3 2 + 0,2 = ___
ε < 0,0001
1,3456
2,6458
0,2222
1,4422
e. ( 0,2 + 0,5 ) . 1,5 1
9
–1
+ __31 + 0,7 : 1,5 = 4__
3
f. [ 11 – ( 0,5 : 0, 1 + 3,3 + 0,2 ) ] = 9
2
29. Calculen el error porcentual de cada una de
las siguientes aproximaciones por redondeo con
ε < 0,01.
__
__
113
0,03538
a. ___
9
c. 37 0,1606
e. 32 0,2979
b. 35 0,1758
d. __75 0,6
f. __74
__
0,25
30. Aproximen por redondeo a los milésimos el
25
25
___
número ___
14 e indiquen los errores. 14 ≅ 1,786
a. εa
b. εr
25
a. 1,786 – ___
14
|
|
c. ε%
25
1,786 – ___
14
b. εr = __________
25
___
14
|
|
[
]
1 .
11
___
g. – __35 . 0,5 – 0,2 + ___
10 3,3 : 1,6 + 1 – 0,7 = – 18
1
h. ( –0,3 + 2 . 0,5 ) – ( 0,09 + 0,2 ) . ___
+ 0, 1 = 0,8
(
)
29
1
29
__
i. [ 0,5 : 5,9 : ( 0,7 – 0,3 ) + 1 ] : – 2 = – ___
12
( )
________________
27
3( 6,19 – 5,29 ) . 0,1 = – ___
j. ___________________
11
0,07 – 0,13 . 9 + 1
5 .
1 . 16 + __
__
0,08
(
[
8]
4) 3
____________________
k.
= __1
2
4
___
4
0,26
1
–0,2 + ( 1,3 – 0,3 ) : – __
6
l. _____________________
= –5
9
1,3 : 0,83 – 0,2 . __
5
( )
25
1,786 – ___
14 .
c. ε% = __________
100
25
|
___
14
|
19
4
3
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Módulo de un número real
INFOACTIVA
El módulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero sobre la recta real. Para todo
número real x, su módulo se expresa: |x|.
{
∀x ∈ : |x| = –xx
|3| = 3
si x ≥ 0
si x < 0
|–5| = –(–5)
–5
0
|–5| = 5
3
|3| = 3
Propiedades del módulo
ˆ |x| ≥ 0
|__23| = __23
ˆ |x| = |–x|
|4,03| = |–4,03|
= –(–4,03) = 4,03
|247| = |–247|
= –(–247) = 247
ˆ |x + y| ≤ |x| + |y|
|3,2 + 5| ≤ |3,2| + |5|
|8,2| ≤ 3,2 + 5
8,2 ≤ 8,2
|8,9 + (–6)| ≤ |8,9| + |–6|
|2,9| ≤ 8,9 + 6
2,9 ≤ 14,6
ˆ |x . y| = |x| . |y|
|4 . (–3)| = |4| . |–3|
|–12| = 4 . 3
12 = 12
|–2,4 . 1,95| = |–2,4| . |1,95|
|–4,68| = 2,4 . 1,95
4,68 = 4,68
|0| = 0
|–15,7| = 15,7
Para entender mejor las propiedades que siguen, se representan los siguientes intervalos reales.
–a
)(
x < –a
0
a
)(
–a < x < a
x>a
ˆ |x| > a ∧ a > 0 ⇒ x > a ∨ x < –a ⇒ x ∈ (–∞;–a) ∪ (a;+∞)
–a
)
0
|x| > a
|x| > 8 ∧ 8 > 0 ⇒ x > 8 ∨ x < –8
⇒ x ∈ (–∞;–8) ∪ (8;+∞)
a
(
|x| ≥ 4,1 ∧ 4,1 > 0 ⇒ x ≥ 4,1 ∨ x ≤ –4,1
⇒ x ∈ (–∞;–4,1] ∪ [4,1;+∞)
ˆ |x| < a ∧ a > 0 ⇒ –a < x < a ⇒ x ∈ (–a;a)
–a
(
|x| < 3 ∧ 3 > 0 ⇒ –3 < x < 3
⇒ x ∈ (–3;3)
20
0
|x| < a
a
)
2 ∧ __
2 > 0 ⇒ – __
2 ≤ x ≤ __
2
|x| ≤ __
5 5
5
5
[
2 ;__
2
⇒ x ∈ – __
55
]
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Dos números opuestos ¿tienen el mismo módulo?
b. ¿Cuál es el signo del valor del módulo del cociente entre un número positivo y otro negativo?
a. Sí, porque ambos se ubican a la misma distancia del cero en la recta numérica. b. El resultado es positivo.
ACTIVIDADES
Módulo de un número real
4
33. Calculen los siguientes módulos.
a. |–3| = 3
d. |–a| = a, si a > 0
g. |3 . (–2)| = 6
b. |–20| = 20
e. |3 – 5| = 2
h. |–12 : 6| = 2
c. |a| = a, si a > 0
f. |5 + 7| = 12
i. |3 . (–5) – 8| = 23
34. Completen con <, > o =, según corresponda.
a. |–45| =
b. –3 <
<
c. |a + 3|
|45|
d. |–2 + 5|
|3|
<
>
|x| . (–2)
f. |5 . (–3)| =
|5| . |–3|
e. |x| . |–2|
|a| + |3|
|–2| + |5|
35. Escriban el conjunto solución.
e. |x| > 2,3
a. |x| = 3
c. |x| ) 2
S = {–3;3}
[–2;2]
( –∞;– __37 ) ∪ ( __37;+∞ )
b. |x| = –5
d. |x| * 3
f. |x| < 0, 1
Absurdo.
(–∞;–3] ∪ [3;+∞)
36. Resuelvan los siguientes
_______ cálculos.
|
|
a. –3 + __31 : 0,6 +
9
__
2
______
3
– | –2,3 + 2,5 |
30,008 ____
c. ___________________
=
| 30,64 – 3 |
3| –0,125 | =
3
0
__
| 1, 5 – 1, 2 – 3 |
d. _____________ =
|3 |
1 – 0,2
b. |–3 + 0,2| – – __41 – ______ =
0, 2
13
– ___
10
( – __91 ;__91 )
0, 6
4
37. Representen sobre la recta numérica los conjuntos de números que se indican a continuación.
a. |x| = __53
b. |x| ≥ a
x
]
g. |x| > 2 ∨ x = 0
4
)
–2
0
)
–7
f. |x| < 4 ∧ x > 9
[
a
–a
c. |x| ≤ 4 ∧ x ≥ 4
d. |x| > 2 ∧ x < 3
e. x < 0 ∧ |x| > 7
x
(
2
)
3
h. |x| < 6 ∨ x = 2
ø
)
–2
(
–6
0
(
2
)
6
21
5
4
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Ecuaciones
INFOACTIVA
Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de la/s variable/s.
h + h = 2h
m+n=n+m
cn + dn = (c + d) . n
3,5x + 2 – x + 0,4 = –0,6x + 1,3
Una ecuación es una igualdad que se verifica para uno, algunos o ningún valor de la/s variable/s.
x+3=0
8 – 2x = 0
x+5=x–2
a + 2b + c = 0
9 + x = 4 – 2x2 – 8
Resolver una ecuación es encontrar, si existen, el o los valores de las variables que verifican la
igualdad planteada. Dichos valores determinan el conjunto solución de la ecuación.
Una ecuación de primer grado o lineal es aquella cuya forma general es: ax + b = 0, siendo a y b
números reales y a ≠ 0.
1 = –__
4 x + 2 : __
–6 . ( x – __
) 12
3) ( 5
1 x + __
1 = x – __
4 . (x – 4)
3x – 2 + 2 . ( __
3
4)
3
8x + 4
–6x + 2 = –__
5
2 x + __
1 = x – __
4x + 4
3x – 2 + __
3
3
2
8x = 4 – 2
–6x + __
5
3 = –__
11 x – __
1x + 4
___
3
3
2
11
___
4x = 2
11
x = ___
8
22 x = 2
–___
5
5
x = –___
11
Ecuaciones con módulo
Para resolver ecuaciones lineales en las que aparecen módulos que incluyen la incógnita, se deben
tener presentes tanto la definición de este concepto como sus propiedades.
|x + 5| = 8
Se elimina el módulo, aplicando la definición.
x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ –5
∨
x + 5 < 0 ⇒ x < –5
x+5=8⇒x=3
∨
–x – 5 = 8 ⇒ x = –10
[
–5
0
3
)
–5
–10
0
Solución = {–10; 3}
2 . |2 – 3x| + 5 = x + 9
Se elimina el módulo, aplicando la definición.
2
2 – 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ __
3
∨
2
2 – 3x < 0 ⇒ x > __
3
2 . (2 – 3x) + 5 = x + 9
∨
2 . (–2 + 3x) + 5 = x + 9
4 – 6x + 5 = x + 9
–4 + 6x + 5 = x + 9
–7x = 0
5x = 8
x=0
8
x = __
5
]
0
2
__
3
(
1
0
Solución = {0; 8}
22
2
__
3
1
8
__
5
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿La solución de la ecuación –3x = 15 es x = 18?
b. ¿Es cierto que en |x – 5| = –2 el valor de x es igual a 3?
a. No, es –5. b. No, porque el módulo de un número real es siempre positivo.
ACTIVIDADES
Ecuaciones
5
38. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuáles ecuaciones tienen infinitas soluciones?
X 7a + 2a = 9a
7a + 2a = 9
7 + 2a = 9a
7 + 2a = 9
b. ¿Cuáles ecuaciones tienen solución única?
X b . __1 = b + 0,6
8 – |x| = |x|
2
2a – b = –b + 2a
|a| + 2 = 5
c. ¿Cuáles ecuaciones no tienen solución?
X x – 0,2 = x + __1
x + 5 = 1,7 – x
5
–x + __73 = 2x + 1
2 . (x – 4) = x – 4
39. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. __35 x + 8,2 = 10 – __65 x
5
. __3
d. 2,4 . – __
11 + 3x = 1,5 – 7 x + 1
b. 2,6 + 5,2 = –x + __87 x
944
e. x – ( 2x + 0,32 ) – 3x = __91 + 9x
c. 1,8 + 0,3x – __31 = –0,7x
0,3x
– 0, 3 .
7
_________
f. –0,4 . ( 2,8 – 0,4 ) + ___
(–13)
15 x =
–15
18
x = ___
25
x = – ____
15
7
x = – __
5
1
x = __
3
(
)
(
)
1
– ___
30
10
x = ___
3
(
)
40. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulos.
a. | x + 5 | = 2,5
x = –2,5; x = –7,5
b. | 2x – 1 | = 0,5
7
2
x = __; x = __
9
9
c. 0,25 . | –3x + 4 | = __47 x
2
x = __
5
d. 2 . | __21 x – 0,25 | = 2x – __43
5
x = ___
12
41. Planteen las ecuaciones y resuelvan.
a. El quíntuplo del módulo del siguiente del tercio
de un número es igual a dos.
|
|
9
1 x + 1 = 2; x = – __
21
; x = – ___
5 . __
5
5
3
b. La cuarta parte de la suma entre un número y
su anterior es igual al siguiente de su triple.
1
1 . (x + x – 1) = 3x + 1; x = – __
__
2
4
23
6
5
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Inecuaciones
INFOACTIVA
Las desigualdades que contienen variables se llaman inecuaciones.
Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y el conjunto solución es un intervalo real o el conjunto vacío.
Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o se multiplique
a ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.
–5x > 7
2 x ≤ –4
– __
5
–2x < 9
3 x ≥ –2
– __
4
–5x : (–5) < 7 : (–5)
2 x : – __
2 ≥ –4 : – __
– __
( 25 )
5 ( 5)
–2x : (–2) > 9 : (–2)
3 x : – __
3 ≤ –2 : – __
– __
( 34 )
4 ( 4)
7
x < – __
5
7
S = ( –∞;– __
5)
x ≥ 10
9
x > – __
2
8
x ≤ __
3
S = [10;+∞)
9 ;+∞
S = ( – __
)
2
8
S = ( –∞;__
3
]
Inecuaciones con módulo
|3x – 5| < 4
Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.
5
3x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ __
3
∨
5
3x – 5 < 0 ⇒ x < __
3
3x – 5 < 4 ⇒ x < 3
∨
1
–3x + 5 < 4 ⇒ x > __
3
5 ∧ x < 3 ⇒ __
5≤x<3
x ≥ __
3
3
[
0
5
__
3
1
[ __53;3 )
)
3
2
5 ∧ x > __
5
1 ⇒ __
1 < x < __
x < __
3
3
3
3
(
0 _31
( __13;__53 )
)
5
__
3
1
3
2
5 ∪ __
5 ;3 = __
1 ;__
1 ;3
La solución es la unión de los intervalos: S = ( __
3 3)
3 ) (3 )
[
(
0 _31
4 . |x + 3| – 1 > 1 – x
)
1
3
2
Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.
x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ –3
∨
4 . (x + 3) – 1 > 1 – x
x + 3 < 0 ⇒ x < –3
∨
4 . (–x – 3) – 1 > 1 – x
4x + 12 – 1 > 1 – x
–4x – 12 – 1 > 1 – x
5x > –10 ⇒ x > –2
14
–3x > 14 ⇒ x < – ___
3
x ≥ –3 ∧ x > –2 ⇒ x > –2
–6
–5
–4
[
–3
(
–2
14 ⇒ x < – ___
14
x < –3 ∧ x > – ___
3
3
( –2;+∞)
–1
–6
)
14
–5 – __
3 –4
)
–3
–2
–1
14 ∪ ( –2;+∞ )
La solución es la unión de los intervalos: S = ( –∞;– ___
3 )
–6
24
)
14
–5 – __
3 –4
–3
(
–2
–1
14
( –∞;– ___
3 )
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que la solución de la inecuación –5x ≤ 20 es x ≥ –4?
b. ¿La inecuación |x – 3| < 4 tiene como solución todos valores que se encuentran entre –1 ≤ x ≤ 7?
a. Sí, al pasar el –5 dividiendo cambia el sentido de la desigualdad. b. No, no se deben considerar los extremos.
6
ACTIVIDADES
Inecuaciones
42. Marquen las opciones correctas.
a. La solución de – __5x . (–4) ≤ –20 es:
(–∞;–25)
b. La solución de |4x – 2| < 4 es:
[ __21 ;__23 )
( – __21 ;__21 )
c. La solución de 2 . |x – 6| > 4 es:
[4;8]
(8;+∞)
X (–∞;–25]
X
(–25;+∞)
[–25;+∞)
( – __21 ;__23 )
( – __21 ;__23 ]
X (–∞;4) ∪ (8;+∞)
(–∞;4)
43. Resuelvan las siguientes inecuaciones y escriban el conjunto solución.
5
a. 0,6x – __91 ≥ – ___
18
1 ;+∞
S = – __
4
[
5
d. –0,3 . __31 x – ___
12 ≤ 0,3x
[
)
(
)
)
4,1x + 8,4
e. _________
≤ 0,9
2x
b. __67 x – 3,2 < __29 x
29
S = – ___;+∞
30
(
15
S = ___;+∞
52
)
S = [–4;0 )
c. __21 x + 5,07 – x > 5,57
S = ( –∞;–1 )
–3x
f. _____
x – 1 < 2,8
26 ∪ ( 1;+∞ )
S = –∞; ___
53
(
)
44. Resuelvan las siguientes inecuaciones con módulo y escriban el conjunto solución.
a. 6 . |x – 2| ≤ 8x
6 ;+∞
S = __
7
[
c. 4 . (x + 1) < |x – 3| + 4x
)
S = (–∞;–1) ∪ (7;+∞)
b. |–5| . |2x – 3| ≥ 10
d. 3 . |4x – 1| > 10x
5
1 ∪ __
;+∞
S = –∞;__
2
2
(
] [
3
3
S = –∞;___ ∪ __;+∞
22
2
(
)
) (
)
45. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El módulo del anterior del triple de un
número es menor que el módulo de menos
cinco.
4
|3x – 1| < |–5|; S = – __;2
3
(
)
b. La tercera parte del siguiente de un número
es mayor que la suma entre dicho número y su
doble.
1 . (x + 1) ≥ x + 2x; S = –∞;__
1
__
8
3
(
)
25
INTEGRACIÓN
46. Calculen los siguientes módulos.
a. |–15| = 15
b. |–29| = 29
c. |45| = 45
d. |–1 – 5| = 6
e. |–3 . 20| = 60
f. |10 : (–2)| = 5
g. |2 + 4 . 3| = 14
h. |12 : (–6) + 1| = 1
a. |x| + 5 = 12
e. |x + 4| = 2
S = {–7;7}
S = {–6;–2}
f. __31 . |x + 1| = 2
b. |x| + 4 = 12
S = {–8;8}
S = {–7;5}
g. 3 . |x – 3| + 1 = 7
S = {–6;6}
La distancia de un número a cero es 5. ¿Cuáles son
los números que cumplen con esa condición?
–5 y 5
48. Escriban el conjunto de valores que verifican
las siguientes igualdades.
a. |x| = 23 S = {–23; 23}c. |x| = 0 S = {0}
b. |x| = –4 Absurdo.
d. |x| = 7 S = {–7; 7}
49. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La tercera parte de la diferencia entre el doble
de un número y su mitad es igual al doble del
cuadrado de tres. ¿Cuál es ese número?
b. El anterior de la mitad de un número es igual
al doble del mismo. ¿Cuál es dicho número?
c. La suma de dos números consecutivos es
igual al triple del siguiente de dicho número.
¿Cuáles son esos números?
d. La diferencia entre el triple de un número y
su quinta parte, es igual al doble de seis
quintos.
Solución a cargo del alumno.
50. Resuelvan las ecuaciones.
13
x = ___
70
2
+ 3 __
_______
x = __
b. –2x
+ 6x = 2x
5
3
0,2x
3
+ 1 ____
______
x = ___
c. __25 x + 0,3 = 3x
17
2 + 4
1
– 8x
+1
–2
______
________
x = – ___
d. 7______
+ 2x
= –10x
3
3
16
6
1
e. 2,1 x + __41 x – 3 . __91 x – __61 = 6–2x x = – __
4
a. 0,7 . (x + 1) = 0,2 + 0,7
(
)
51. Escriban en lenguaje coloquial.
a. 2 . (0,5 + x) = x + 1
b. __41 . __31 x – 1 = 5x – 2
)
c. |x + 5| : 2 = |–16|
d. 3 . __21 = 3 . | 2x – __21 |
Solución a cargo del alumno.
26
módulo.
c. –2 . |x| + 1 = –11
47. Respondan.
(
52. Resuelvan las siguientes ecuaciones con
d. 0,2 – |x| = 0 __1 __1
S= – ;
55
{
S = {1;5}
}
h. –2 . |x –1| – 3 = –15
S = {–5;7}
53. Escriban el conjunto representado como
ecuación o inecuación con módulo.
a.
|x| = 3
–3
3
b.
[
–5
]
5
|x| ≤ 5
c.
)
–1
(
1
|x| > 1
54. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El módulo de la diferencia entre un número
y cinco es siete. ¿Cuál es dicho número?
b. El doble del módulo de la suma de un número y cuatro es doce. ¿Cuál es dicho número?
c. La tercera parte del módulo de la suma
entre un número y uno es uno. ¿Cuál es dicho
número?
d. El triple del módulo de la suma entre siete y
un número es nueve. ¿Cuál es dicho número?
a. –2;12 b. –10;2 c. –4;2 d. –10;–4
55. Calculen todos los números que verifican las
siguientes igualdades.
d. __35 + 0,2 – |x| = 1
a. |x| + 4 = 5
S = {–1;1}
b. __32 . |x| – 2 = 3
15 15
S = – ___;___
c. __25 – |x| = 4 2 2
S=∅
{
}
8 ;– __
8
S = – __
9 9
S = {–7;–1}
e. |x + 4| = 3
{
f. 2 + 3 . |x + 1| = __25
7 5
S = – __;– __
6 6
{
}
}
56. Unan cada ecuación con su conjunto solución.
a. |x – 4| = 2
b. |2x – 4| = 2
c. 2 . |x – 4| = 2
d. |x – 4| : 2 = 2
{0;8}
{2;6}
{3;5}
{1;3}
capítulo
CONTENIDOS
1
4 *5 *6
57. Escriban el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.
a. |x| > 3
__
b. |x| ≤ 37
c. |x + 1| > 2
d. |x – 2| < 4
e. 2 . |x – 3| ≥ 8
f. __31 . |x + 4| ≤ 2
61. Unan cada inecuación con su conjunto solución.
a. 2 . (x – 1)3 < 16
b. –2 . (x – 1)3 > 16
c. [2 . (x + 1)]3 > 8
d. [–2 . (x + 1)]3 < –8
>
<
>
>
x
x
x
x
2
3
0
–1
Solución a cargo del alumno.
58. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
corresponda.
a. Una ecuación es una igualdad que se verifica
para todos los valores de la variable. F
62. Marquen las opciones correctas.
a. El doble del módulo del siguiente de un
número es menor que su triple.
X 2 . |x + 1| < 3x
b. Toda ecuación lineal es de la forma
ax + b = 0.
V
c. En la ecuación |2x – 7| = –3, el valor de
|2 . (x + 1)| < 3x
d. El conjunto solución de una inecuación siempre es un intervalo real.
X
F
e. Cuando se multiplican ambos miembros de
una desigualdad por un número negativo, la
desigualdad no cambia su sentido.
F
59. Escriban la expresión con módulo que
corresponde a cada representación.
a.
)
–3
(
3
|x| > 3
b.
[
0
)
__1
3
1 ∧x*0
|x| < __
3
c.
ˆˆ
–2
2
d.
|x| = 2 ∨ x > 4
4
[
–a
]
a
|x| ≤ a
el conjunto solución.
a. La quinta parte del anterior de un número es
mayor o igual que el doble de dicho número.
b. El siguiente del triple de un número es menor
que dicho número aumentado en dos novenos.
c. El doble del módulo de la tercera parte de un
número disminuido en nueve es menor que siete.
1 b. 3x + 1 < x + 0,2;
1 . (x – 1) ≥ 2x; S = –∞;– __
a. __
5
9
7
1 x – 9 < 7; S = (16,5;37,5)
S = –∞;– ___ c. 2 . __
18
3
(
)
|
|
| __21 . (x – 1) | ≥ 2x
| __21 x – 1 | ≥ 2x
1 .|
__
|
2 x – 1 ≥ 2x
1.
__
2 x – 1 ≥ 2x
| |
63. Resuelvan las inecuaciones con módulo.
11
S = –∞;__
7
4
b. 3 – (2x – 8) + 5 > |–x – 4| . |–3| S = –28;__
5
S = (–∞;8)
c. 2 . (2x – 6) < |3x – 7| + 3
(
(
a. 5 + |3x – 4| ≤ 12 – 4x
d. 4 . |2x + 5| + 3 ≥ __21 . (4x + 6) S =
8
S = –∞;__
e. 6 + |2x + 3| – 4x > 5x + 1
7
f. |7x – 4| + 8 ≤ 2 . (x – 6) + 10 S = ∅
(
]
)
)
h. 7 . |x + 2| – 10 < 3x + 2
9 ;+∞
S = – __
7
S = (–2,6;–0,5)
i. 3 . |–x + 3| + 2x ≤ –2x + 7
S = ( –∞;–2 ]
g. 2x + |2x + 3| ≥ –3 . (x + 2)
j. | __31 x – 5 | + 8 ≤ __32 x + 10
[
)
S = [ –3;+∞ )
64. Marquen las opciones correctas.
60. Escriban en lenguaje simbólico y obtengan
(
|2x| + 1 < 3x
b. El módulo del anterior de la mitad de un
número es mayor que su doble.
F
x es 2.
|2x + 1| < 3x
]
¿Cuál es el conjunto solución de…
1 .
a. … ___
12 |–5x + 2,6| > 0,16?
2
( ___
15 ;+∞ )
14
( –∞;___
15 )
X
14
2
___
( –∞;___
15 ) ∪ ( 15 ;+∞ )
14
2 ___
( ___
15 ; 15 )
b. … 2x + 2 – 5 . (x – 3) ≤ x – 8?
X
25
[ ___
4 ;+∞ )
25
( ___
5 ;+∞ )
25
( –∞;___
4 )
25
( –∞;___
4 ]
27
capítulo
1
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
65. ¿Cuál es el intervalo que corresponde en cada caso?
a. x ∈
∧ –2 < x < 2
(–∞;–2) ∪ (2;+∞)
b. x ∈
{–2;2}
Ninguna de las anteriores.
[–3;5)
(–∞;–3] ∪ [5;+∞)
Ninguna de las anteriores.
{–4;3}
(–4;+∞)
∧ x < –3 ∨ x > 5
X (–∞;–3) ∪ (5;+∞)
c. x ∈
X (–2;2)
∧ x = –4 ∨ x > 3
(–4;3)
X Ninguna de las anteriores.
___
66. ¿Cuál es el error porcentual de 315 por redondeo con ε < 0,001?
X a. 0,000429
b. 0,429
c. 0,000000429
67. ¿Cuál es el resultado de cada cálculo?
_________
__ 1____ . 0,20
3
38 . 3100
________________
a.
(0,25 – 0,30) . 2,1
21
___
2
X {–1;1}
b. 3 . |x| + 2 = 5
c. 5 + 2 . |x + 1| = 15
{4}
2
X – ___
21
(–1;1)
X {–6;4}
2
___
21
[–1;1]
{–6}
68. ¿Cuál es la ecuación que corresponde a cada problema?
a. La mitad del siguiente de un número es igual a su doble, aumentado en la tercera parte de 30.
¿Cuál es el número?
1.
1.
__
__
2 2x + 1 = 2x + 3 30
1
__
2 x + 1 = 2x + 3 . 30
19
X __1 . (x + 1) = 2x + __1 . 30 x = – ___
3
2
3
b. El anterior de la tercera parte de un número es igual a la raíz cuadrada del producto entre dieciséis y el cuadrado del desconocido.
____
1.
__
2
3 (x – 1) = 316x
____
X __1 . x – 1 = 316x2
3
S=∅
___
1
__
2
2
3 x – 1 = 316 x
69. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación?
|–2| . |__21 x – 0,3 | ) 1,3
a. (–∞;2]
28
b. [–0,6;+∞)
X c. [–0,6;2]
d. (–∞;2] ∪ [–0,6;+∞)
Contenidos
2
7. Propiedades de la
potenciación y la
radicación.
8. Números irracionales.
9. Radicales. Adición y
sustracción.
10. Multiplicación y división de
radicales.
11. Operaciones combinadas.
12. Racionalización de
denominadores.
13. Sucesiones.
14. Sucesiones aritméticas.
15. Sucesiones geométricas.
En la historia matemática hay una leyenda que ha atravesado los siglos: la del
descubrimiento de los irracionales por parte de los pitagóricos.
Se cuenta que Pitágoras, el célebre filósofo de la antigua Grecia, tenía la idea
de que todo en el universo está basado en los números. Y los números eran, para
él, enteros o fracciones de enteros. Sin embargo, uno de sus discípulos encontró
una magnitud que no podía escribirse como fracción de enteros: esto era terrible,
pues conmovía toda una visión del mundo. Y la magnitud en cuestión no era otra
que la diagonal del cuadrado, cuyo cálculo procede de un teorema que lleva justamente el nombre de Pitágoras, aunque era conocido mil años antes por los
babilonios. Si el lado del cuadrado mide 1, el cuadrado de su diagonal tiene que
valer 12 + 12 = 2; de esta forma, la diagonal mide la raíz cuadrada de 2.
Se cuenta que los pitagóricos, avergonzados, no quisieron revelar a nadie el
secreto de su hallazgo; otra leyenda va más allá y afirma que a quien dio a conocer tal secreto lo arrojaron por la borda de un navío. No se cree que esto sea
cierto aunque, de alguna forma, deja entrever que los pitagóricos se vieron un
tanto “desbordados” por los acontecimientos.
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Cómo se diferencian los números racionales de los irracionales?
__
b. Además de 32 , ¿qué otros números irracionales conocen?
a. Porque los números irracionales no se pueden escribir como fracción de enteros.
b. Por ejemplo, los más “famosos” son π, la constante e y el número de oro (φ).
capítulo
Números irracionales
7
6
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Propiedades de la potenciación y la radicación
INFOACTIVA
Propiedades de la potenciación
ˆ Potencia de exponente cero.
a0 = 1 ⇔ a ≠ 0
ˆ Potencia de exponente negativo.
1
⇔a≠0
a–n = __
an
ˆ Potencia de otra potencia.
(an)m = an . m
ˆ Producto de potencias de igual base.
an . am = an + m
ˆ Cociente de potencias de igual base.
an
___
= an – m ⇔ a ≠ 0
am
ˆ Distributividad respecto de la multiplicación.
(a . b)n = an . bn
ˆ Distributividad respecto de la división.
( __ba )
n
an
= __
⇔b≠0
bn
Propiedades de la radicación
__p
__
La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: 3n ap = an
__
1
__
3
36 = 62
__
1
__
4
__
3
__
__
1 = x– __73
__
x7
3
3
3x3 = x4
35 = 53
Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación.
___
__
1
1 __
__
__
3a
3 m3a = ( am )n = an.m =
ˆ Distributividad respecto de la multiplicación.
3 a . b = (a . b)n = an . bn = 3n a . 3b
ˆ Distributividad respecto de la división.
n
n
n
_____
__
6
___
3
__
n
4
___
4
___
___
4
4
n __
bn
3b
m:r
___
10
n
__
___
n:r
___
10
___
5
___
381 = 334 = 332
__
___
4
n
___
__
5
__
33 = 331 .2 = 332 = 39
___
5
___
3
___
m
__
m.p
____
___
_____
3
3–8 = 3(–2)3 = –2
332 = 325 = 2
381 = 334 = |3| = 3
n.p ____
3am = a n = a n.p = 3am.p ⇔ p ≠ 0 ∧ a > 0
n
ˆ Amplificación de índices.
4
1
__
__
1
__
an
a
3 __
____
= ___
⇔b≠0
1 = n
__
m
__
___
n
___
____
1
__
3an = a ⇔ n es impar ∨ 3an = |a| ⇔ n es par
349 = 372 = |7| = 7
2 .2
___
1
__
m.n
3am = a n = a n:r = 3am:r ⇔ r ≠ 0 ∧ a > 0
ˆ Eliminación del radical.
__
( )
364 = 326 = 323
353 = 35
___
1
__
n
a
a
__
= __
b
b
3
ˆ Simplificación de índices.
30
1
____
ˆ Raíz de raíz.
5
__
5 .3
____
15
___
15
___
34 = 322 .3 = 326 = 364
6
__
6 .4
___
24
___
3x3 = 3x3 .4 = 3x12
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
–2
2
4
__
a. ¿Es cierto que __43 = –__
3 ?
3 3
b. ¿Es correcto decir que 3a = |a|?
( )
( )
a. No, la base de la segunda expresión debe ser positiva. b. No, esto ocurre si el índice y el exponente son pares.
ACTIVIDADES
Propiedades de la potenciación y la radicación
7
1. Marquen las respuestas correctas.
a. (ab)–5 : (ab)2 . a =
____
a–2 b–3
__
a6 b6
3
__
c. 3a . 3b . a2 : b4 =
__
3
a–7 b–7
a–8 b–7
____
b. 3a4 b5 . 3a2 b =
__
X a–6 b–7
__
X a2 b
_____
a4 b3
– __27
7
__
a2 b 2
5
__
d. 3a . 3b . 3a . b . a–4 =
X a3 b3
a2 b
5
__
X a–3 b6
a5 b 6
ab2
– __29
a–3 b
9
__
a2 b 2
– __61
a5 b
– __61
2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas.
a. 3–2 = __91
d. 2 . 20 : 2–3 = 23
V
b. ( 72 )–3 = 76
___
3 __
e. 335 = 35
F
c. 4–3 : 4–5 = 4–8
3
i. __52
– __23
( )
V
f. 395 = |9|
___
F
2
__
3
h. 325 = 5
V
__
5
F
g. (2a)5 = 2a5
F
__
6
V
= – __25
3
__
2
( )
F
3. Expresen como una única potencia aplicando las propiedades.
a. 2–5 . 2 : 2–4 =
__
d. (ab)3 . (ab)–2 =
20
__
__
(–3)–12
e. 35 . 352 . 355 =
c. (5 . 4)2 : (52 . 4)3 =
5–4 4–1
f. 3364 . 32 =
____
___
6
52
__
__
g. 36 . 363 . 366 =
___
__
b. [ (–3)3 : (–3)–3 ] –2 =
3
ab
____
h. 3ab : 3a2 b =
___
__
22
65
i. (a–1 b)5 . 3ab =
a
9
– __
1
– __
2
11
__
a 2 b2
4. Identifiquen el error y resuelvan correctamente.
(24 : 2 . 26)–3 = (210)–3
(29)–3 = (2)–27
= 27
5. Resuelvan expresando
con un índice común.
__
3
__
__
5 . 33
3______
a. _______
=
6
39 . 125
4
__
8
___
. 381
32_____
b. _______
=
8
31 296
3
3__5
6
__
1
3__4
8
___
5
__
__
3 . 3__
2
3__
c. _______
=
10
33 . 33
3
__
__
10
25
__
34
3
_____
12 3
3
3__. 32__
d. 3_______
= 33 . 2
4
12
33 . 32
31
8
7
8
10
11
12
13
14
15
16
17
Números irracionales
INFOACTIVA
Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente entre dos
números enteros y tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Como ya se vio, las raíces no exactas de números racionales son números irracionales.
Se denomina radical a la raíz indicada de un número o de una expresión, siempre que esta tenga
solución real.
Representación en la recta numérica
Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real.
Para representar ese punto sobre la recta numérica, si el irracional es
__
de la forma 3a , se debe recurrir al teorema de Pitágoras: A2 = B2 + C2
A
B
c
__
ˆ Representación de 32 .
Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo isósceles cuyos
catetos midan 1. El valor de
______
__
la hipotenusa es: 312 + 12 = 32
__
32
__
0
1
32
2
__
ˆ Representación de 33 .
Se determina sobre la recta un triángulo rectán__
gulo cuyos catetos midan 1 y 3_______
2 , respectivamente.
__
__
El valor de la hipotenusa es: 3( 32 )2 +12 = 33
__
32
__
33
0
1
__
__
32
33
2
__
ˆ Representación de 35 .
Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y ______
2, respectivamente.
__
El valor de la hipotenusa es: 312 + 22 = 35
__
35
__
0
1
2
35
3
De este modo se puede representar cualquier raíz cuadrada de un número natural, siempre que se
elijan convenientemente los catetos del triángulo rectángulo.
32
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
__
a. En el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 36 , si uno de los catetos mide 1 cm, ¿cuánto
debe medir el otro cateto?
b. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cm y 4 cm, ¿la medida de la hipotenusa corresponde a un número racional
o irracional?
_____
__
a. El otro cateto debe medir 35 cm. b. Racional, se representa 39 cm = 3 cm.
8
ACTIVIDADES
Números irracionales
6. Marquen las opciones correctas.
a. Los números que son irracionales.
__
__
X – 33
– 34
___
X π
3–2
b. Las operaciones cuyos resultados son números irracionales.
__
___
X 32 . 318
__
X – 32 + 33
__
__
__
__
__
X 35 + 1
– 39 + __21
__
7. Representen los números √6 ; √8 ; – √2 en la recta numérica.
__
36
__
32
__
38
__
–32
__
__
36
38
__
–4
–3
–2
–1
0
1
32
2
3
4
5
8. Representen en la recta numérica los siguientes números, usando una escala de 1 cm.
__
__
3
a. 3___
2
d. – 32 + 2
__
__
__
b. 35 – 1
__
c. –2 . 33
e. 32 + 33
__
__
f. –2 . 35 + 32
Solución a cargo del alumno.
33
9
8
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Radicales. Adición y sustracción
INFOACTIVA
Extracción de factores de un radical
Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es
mayor o a lo sumo igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la potenciación y radicación.
_____
3
3
______
3
________
3
___
__
3
__
3
__
__
__
__
3
__
3
____
3
3
316x8 = 324x6x2 = 323 . 2x6x2 = 323 . 32 . 3x6 . 3x2 = 2 . 32 . x2 . 3x2 = 2x2 . √2x2
_______
__________
___
__
__
___
__
__
__
__
____
__
363x6yz5 = 332 . 7x6yz4z = 332 .37 .3x6 .3y .3z4 .3z = 3 .37 .x3 .3y .z2 .3z = 3x3z2 . √7yz
_____ 4 ___ 4 ___
______
36 m5 = _________
729 m5 = 4 ___
334 .___
332
____
4 4
4
625
5
35
4
3
3
_____
_____
3
343a2 = 7
. a2
______
_____
b3
b3
3
3
___
4
__
__
___
4
3 m . 4 9m
. 3m4 . 3
m = __
√
5
__
__
7
7 . 37 __. a = ___
7a . __
372 .__
37 .__
3a2 = _______
= ____________
b √b
b . 3b
3b2 . 3b
Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando.
ˆ Términos con radicales semejantes:
5
__
5
__
3
__
3
__
4
__
4
ˆ Términos con radicales no semejantes:
__
3
– 33 y 33 ; –2 . 32 y 4 . 32 ; 3 . 3x3 y –8 . 3x3 .
__
__
__
__
4
__
3
__
–37 y 37 ; 5 . 33 y 7 . 32 ; –4 . 33 y 9 . 34 .
Adición y sustracción de radicales
Solo es posible sumar o restar términos que contienen radicales semejantes.
__
__
__
__
__
__
__
6 . 33 + 4 . 33 – 33 = (6 + 4 – 1) . 33 = 9 . √3
__
__
__
__
__
__
5 . 36 – 9 . 32 + 3 . 36 + 4 . 32 = (5 + 3) . 36 + (–9 + 4) . 32 = 8 . √6 – 5 . √2
Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de llevarlos a su mínima expresión.
__
____
___
___
___
__
___
__
__
___
__
4
3 . 33 – 5 . 3243 + 7 . 327 – 8 . 375 = 3 . 33
332 . 33 –__8 . 352 . 33
__ – 5 . 33 __. 33 + 7 .__
= 3 . 33 – 45 . 33 + 21 . 3
__3 – 40 . 33
= (3 – 45__+ 21 – 40) . 33
= –61 . √3
__
___
__
___
__
4
___
___
__
___
__
4
4 . 32 – 6 . 3
49 – 8 . 38 + 363 = 4 . 32
72 – 8 . 322__. 32 + 3__32 . 37
__ – 6 . 3__
2 – 6 . 3__
7 – 8 . 2 . __
= 4 . 3__
32 + 3 . __
37
= 4 . 32 – 6 . 3__7 – 16 32 + 3__. 37
= (4 – 16)
__. 32 + (–6
__ + 3) . 37
= –12 . √2 – 3 . √7
34
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen
las__respuestas.
__
3
3
a. ¿Es cierto que
32__8 = 4 . 34 ? ¿Por qué?
__
3
b. ¿Por qué 33 y 33 no son semejantes?
________
__
3
3
3
__
3
__
3
__
3
__
3
__
a. Sí, al aplicar propiedades se obtiene 328 = 323 . 23 . 22 = 323 . 323 . 322 = 4 . 322 = 4 . 34 . b. Porque para que
sean semejantes el índice y el radicando deben ser iguales.
ACTIVIDADES
Radicales. Adición y sustracción
9
9. Extraigan los factores
del radical.
__
___
___
a. 332 =
_____
3
27c5
f. ____
=
343
3
81a b c
g. _________
3 2 401c =
32a b
h. _______
=
729b c
3_________
_________
0,5
b. 33 0,125 =
3 2 . ___
3c
__
c
7
7
3 2 2
__
ab c
7
_____
4 . 32
4
4
8
12
4
__
____
c. 364a3 =
________
3
_______
4
4
3
3 2 4
128a5 b9 c10
=
9bc
3 __________
512a b c
j. _________
3 125d =
i.
_____
11
_________
3 3
3b . 33a b
e. 3234a3b7 =
3 ___
2a
2 a b . 3___
c
___
8
3
2
7b . 37b c
d. 32 401b5c =
6
5
____
3
3
___
a
2 ab . 5 ___
__
3
3c3
________
8a . 3a
2
3
3
a2c
8bc . 3 ___
____
5d
d2
3
4
5
10. Marquen las opciones correctas.
3
__
¿Cuáles de los siguientes radicales son semejantes a 32 ?
3
___
3
a. 3–2
___
3
b. 5 . 364
____
6
__
X d. 3 . 322
X c. –2 . 3128
11. Resuelvan las siguientes sumas y restas.
__
__
__
a. –3 . 35 – 7 . 35 + 2 . 35 =
__
__
__
__
b. 2 . 32 + 5 . 32 – 32 =
__
__
__
–8 . 35
__
__
–5 . 33
c. – 33 + 33 – 5 . 33 =
__
6 . 32
__
__
__
__
d. 2 . 3b – 3 . 3a – 2 . 3b – 3a = –4 . 3a
__
__
__
__
e. 5 . 3a – 6 . 3b – 3b =
__
5 . 3a – 7 . 3b
12. Resuelvan
las
siguientes sumas algebraicas.
___
__
__
a. 35 + 38 – 332 =
__
__
__
___
3
3
___
__
___
b. 3 . 37 – 3 . 328 + 363 =
___
3
3
15 1
– ___ . __
4 2
35 – 2 . 32
__
1
1
__
d. –3 .__ __21 – 5 . ___
32 + 8 =
___
__
e. 354 + 312 – 36 =
__
__
2 . 36 + 2 . 33
0
___
__
____
1
1
1
__
. ____
c. –4 .__ ___
27 + 3 – 2 243 =
3
5 1
– __ . __
9 33
3
3
___
__
__
f. 320 + 3 . 38 – 5 . 35 =
__
__
–3 . 35 + 6 . 32
35
10
9
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Multiplicación y división de radicales
INFOACTIVA
Para efectuar cualquier multiplicación o división de radicales, estos deben tener el mismo índice.
La operatoria con radicales cumple con las siguientes propiedades.
ˆ Propiedad distributiva de la multiplicación y división respecto de la suma y resta.
a . (b ± c) = (b ± c) . a = ab ± ac
(b ± c) : a = b : a ± c : a
__
___
__
__
__
___
__
___
__
33 . ( 33 + 327 ) = 33 .33 + 33 .327 = 39 + 381 = 3 + 9 = 12
____
__
___
____
__
__
___
___
__
( 3125 – 320 ) : 35 = 3125 : 35 – 320 : 35 = 325 – 34 = 5 – 2 = 3
ˆ Cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados.
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(a + b) . (a – b) = a2 – b2
__
__
__
__
__
__
__
__
( 32 – 33 )2 = ( 32 )2 – 2 .32 .33 + ( 33 )2 = 2 – 2 .36 + 3 = 5 – 2 .36
__
___
__
___
__
___
( 310 + 37 ) . ( 310 – 37 ) = ( 310 )2 – ( 37 )2 = 10 – 7 = 3
Multiplicación y división de radicales de distinto índice
Para que los índices de dos o más radicales sean iguales, se debe calcular el mcm de los índices
de los radicales dados, obteniéndose así el mínimo común índice.
4
__
__
6
x
3a2 y 3
4
__
4 .3
mcm(4;6) = 12, ambos radicales deben tener índice 12.
___
12
__
__
6 .2
___
12
__
6
x = 3x1 .2 = 3x2
3a2 = 3a2 .3 = 3a6 y 3
Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, se los debe reducir a mínimo común índice y
luego aplicar las propiedades recíprocas de las distributivas de la radicación respecto de la multiplicación y división.
n
_
3a
__
3
__
2 .3
____
3 .2
____
_
__
n
__ _
__
_________
n
n
n
a n __a
3__
=
. 3b . 3n c . ... . 3d = 3a . b . c . ... . d ∧ ___
con b ≠ 0
n
b
3b
3
6
___
6
___
6
_____
6
___
35 . 35 = 351 .3 . 351 .2 = 353 . 352 = 353 . 52 = 355
3
__
4
__
3 .4
___
4.3
____
12
__
12
__
12
_____
12
___
12
______
12
__
3a2 . 3a3 = 3a2 .4 . 3a3 . 3 = 3a8 . 3a9 = 3a8 . a9 = 3a17 = 3a12 . a5 = a . 3a5
4
___
73
3___
____
6 5
37
36
4 .3
____
3 .3
12
___
9
____
__
7
7
12 ___
1
7 = 12 __
3____
3___
= _______
= ______
12 10 =
6 . 2 5 .2
10
7
37
37
37
9
3
4
__
b3
3__
____
5 2
3b
4 .5
____
20
___
___
__
b3 . 5
b15 = 20 b7
3____
3b__15 20 ___
_____
= _______
3
5 . 4 2 . 4 = 20 8 =
8
3b
3b
3b
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen
las respuestas. __
__
__
__
a. ¿Es cierto que ( 32 – 33 )__2 =__( 32 )2 – ( 33 )2?
____
3
6 2
32 .__35
.5?
____
b. ¿Es correcto decir que _______
es lo mismo
6
__ que
7
37
3
a. No, la primera expresión resuelta da 5 – 2 . 36 y la segunda –1. b. No, porque si bien 6 es el índice común,
no fue aplicada correctamente la propiedad en el radicando.
10
ACTIVIDADES
Multiplicación y división de radicales
13. Resuelvan las siguientes operaciones.
__
__
__
__
___
__
__
___
__
d. ( 35 + 327 ) . ( 35 – 327 ) =
a. 33 . ( 35 + 2 . 35 ) =
___
3 . 315
–22
___
__
____
__
b. 32 . ( 332 – 3128 ) =
e.__( 37 + 3__8 ) : 33 =
–8
3__3 + 2 . 3__3
7
____
__
__
2
c. ( 37 – 33 )2 =
___
__
f. ( 3a5 b – 3ab3 ) : 3a =
___
__
10 – 2 . 321
(a2 – b) . 3b
14. Reduzcan a un índice común.
__
4
__
4
3
__
__
4
__
336 y 33
a. 33 y 33
3
__
6
__
6
3
5
__
15
__
7
2
4
____
___
15
___
3a10 y 3b12
c. 3a y 3b
354 y 353
b. 352 y 35
__
___
d. 3a2 b3 y 35c
14
____
14
____
3a4 b6 y 357 c7
15. Reduzcan a un índice común y resuelvan las siguientes multiplicaciones ___
y divisiones.
___
3
___
a. 32x . 32x2 =
__
4
___
6
____
x . 325 x
8 __
8
___
b. 3x . 33x . 3x = x . 39x
5
___
2
4
____
c. 3xy . 3x y =
3
2
20
_____
3x19 y14
___
____
d. 33 4y2 : 34 8x y =
___
5
__
e. 35x : 3x =
4
y5
2x
3___
12
3
___
55
3__x
10
3
______
______
9 8 7 5
____
9
f. 33 27x2 y3 : 33y2 x = 33 y x
37
11
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Operaciones combinadas
INFOACTIVA
Para resolver un cálculo combinando con radicales, se deben seguir estos pasos, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones y sus propiedades.
__
__
__
__
__
__
2 . 32 . 38 + ( 5__. 36__– 7 . 38__) . 3__
3=
3_______
5 . 36 . 33___
– 7 . 38 . ___
32 . 2 . 8 + ___
33 =
5 . 318 – 7 _____
. 324 =
___332 + _____
5
2
3
2
+
5
.
3
2
.
3
–
7
.
3 . 2__3 =
3 __ ___
___ __
__ ___
2=
324 . 32 + 5__. 32 . 332 –__7 . 33 . 32__2 . 3__
22 . 32 + 5 .__
3 . 32 – 7__. 2 . 33 . 3__
2=
4 . 32 + 15 . 3__
2 – 14 . 3__
6=
19 . 32 – 14 . 36 =
__
____
____
3
1. Se separa en términos.
2. Se resuelve cada término respetando la
jerarquía de las operaciones.
3. Se escriben los radicales en su mínima expresión.
4. Se resuelven las sumas y restas entre los
radicales semejantes.
__
_______
___
__
__
Para repasar las
operaciones con
radicales pueden
volver a las
páginas 34 y 36.
__
2
3
33 __
. 39 – 33 . 327 . 3
_______
9 + (35 – 33 ) =
4
33
__ 3 ___
__
__
__ 4 ___ 3 ___
__
__
2
3
3
3
.
3
________
__
– 33 . 333 . 332 + (35 – 33 ) .(35 – 33 ) =
4
33
____
____
____
__ 2
__ __
__ 2
6 1. 6 4 .3 3 .3 3 .4 2 .4
. 332 .4 – 2 .3
331. 6____
____________
3 . 33 . 33 + (35 ) – 2 .35 .33 + (33 ) =
4 .3 1 .3
33
______
_________
____
12 36 . 38
______ – 12336 . 39 . 38 + 5 – 2 .35 . 3 + 3 =
3
3
____
___
___
12 314
___ – 123323 – 2 .315 + 8 =
3
3
2 .6
3 .4
3
3
___
___
___
___
___
3311 – 3 . 3311 – 2 .315 + 8 = –2 . √311 – 2 . √15 + 8
12
12
12
Si en el cálculo aparecen letras, o números y letras, se procede de la misma forma.
_______
____________
__ __
___
3 3
___ 6 ___ 3 3 . 2 ___
______
___
2 .2 2 .3 1 .3
3
x___
. 3__
x + 3 .2 32 .2 .x2 : 6 3x
3x
3
________
______________
3__3x26 .__
3
+
9x
:
3x
=
3
3
3
3
2 .3 1 .3 6 5
5
3x . 3x
3x . 3x
______
_____
3 6
_________
3x4 . x3 + 6 34 .x2 : (3x)
36 _____
= ________
3
3x3 . x5
__
____________
18 7
x + 6 (34 : 3) . (x2 : x)
3__
= ____
6
3
3x8
__
____
18 7
6 3
3x + 3
_____
= ______
3 .x
6 6
3x . x2
__
____
18 7
x + 6 33 . x
1 . _______
3____
= __
3
6
.
3
x
3x2 . 3
__
____
1 . 18 __x + 6 ____
x7 + 6 33 . x = __
1 . 18 __
= __
3
√33 . x
x
x √
x6
3
38
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las
respuestas.
__
__ __
___
a. ¿Es correcto_______
decir que 32 + 32 . 35 = 2 . 310 ?
___
1
3 __
__
b. El cálculo 33 . 327 , ¿puede expresarse como ( 3 + 32 )2?
5
__
4
__
a. No, para resolver se debe tener en cuenta la jerarquía de las operaciones. b. No, es 34 o 335 .
ACTIVIDADES
Operaciones combinadas
11
16. Resuelvan
las siguientes operaciones combinadas. __
__
__
____
____
__
3
a. ( 3448 + 3125 ) . 37 =
i. 33 . ( 4 . 375 + 5 . 333 ) =
___
____
__
_____
6
28 . 333 . 74 + 45
56 + 5 . 335
___
__
____
___
__
____
___
3
3
___
3
__
4
___
___
4
___
4
____
__
__
__
__
__
3
__
__
__
__
__
__
__
m. 33 . (35 – 2 . 33 ) + (5 . 33 + 35 ) . 35 =
___
3
2 + 4 . __
3 . __
5
5
3
____
___
9 __
7 5
__
– . __
2 4 3
e. ( 3__18 – 348
__ ) : 35 =
3
__
l. 32 . 38__– ( 7 . 35 – 2 . 33 ) : ( 4 . 33 ) =
___
___
__
__
2 . 312 – 3 . 318
___
__
8 . 32 – 15
d. 36 . (332 – 3243 ) =
4
__
k. ( 36 – 5 . 33 ) . 33 + 350 =
3 . 377 + 2 . 349
4
6
__
__
c. ( 3297 + 356 ) . 37 =
3
__
2 + 5 . 37 + 3 . 325
4 . 333 – 9
3
3
j. 3175 + ( 32 + 3 . 32 ) . 32 =
b. 33 . ( 3176 – 327 ) =
6 . 315 – 1
____
__
____
__
___
___
n. 38 . ( 3242 – 327 ) – 324 =
f. ( 3 . 3128 – 5 . 3512 ) : 323 =
__
– 28
44 – 8 . 36
3
____
3
____
3
__
g. ( 5___
. 3297 –__ 2 . 3189 ) : ( 3 . 32 ) =
3 7
3 11
5 . __
– 2 . __
2
2
3
3
____
4
__
__
___
__
3
__
____
6
__
–3 . 35 + 5 . 3392
___
__
4
4
4
h. ( –5 . 3486 + 2 . 396 ) : __21 . 33 =
– 22 . 32
___
ñ. – 3103 : 323 + 32 . ( 310 + 5 . 37 ) =
(
)
__
__
__
__
___
__
o. – 32 . 33 : 33 + ( 36 – 2 . 321 ) : 33 =
__
–2 . 37
39
11
ACTIVIDADES
Operaciones combinadas
17. Expresen en lenguaje simbólico y luego resuelvan.
a. El cuadrado de la suma entre la raíz cuadrada de quince y la raíz cuarta de cincuenta.
___
( 315
4
___
2
4
___
__
+ 350 ) = 15 + 10 . 318 + 5 . 32
b. El cociente entre la diferencia de la raíz cuadrada de ocho y el triple de la raíz cuadrada de
cuatro, y la raíz cuadrada de dos.
__
__
__
__
( 38 – 3 . 34 ) : 32 = 2 – 3 . 32
c. El producto entre la suma del doble de la raíz cúbica de cinco y tres y su diferencia.
__
___
__
( 2 . 33 5 + 3 ) . ( 2 . 33 5 – 3 ) = 4 . 33 25 – 9
d. El cuadrado del producto entre la suma de la raíz cuadrada de siete y la raíz cuadrada de veintiuno,
y la raíz cuadrada de tres.
__
[ ( 37
___
__
__
+ 321 ) . 33 ] = 84 + 42 . 33
2
e. El cubo de la diferencia entre el producto de la raíz cuadrada de tres y la raíz cuadrada de dos,
y el triple de la raíz cuadrada de seis.
__
__
__
__
( 33 . 32 – 3 . 36 )3 = –48 . 36
18. Hallen el perímetro y el área de las figuras sombreadas.
a.
b.
__
32
__
__
33 + 2
__
__
3 . 35
__
Perímetro = 4 . ( 32 + 33 ); Superficie = 5 + 4 . 33
40
__
45
Perímetro = 15 + 3 . 35 ; Superficie = ___
2
ACTIVIDADES
Operaciones combinadas
11
19. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
__
______
___
___
___
4
__
____
32 .___
3128
a. 372 – 3__
98 + 32 . 332 – _________
=
3
__
__
4
364
4
– 32 + 2 . 323 – 32
__
____
3
__
____
__
3
___
________
__
__
__
4
__375___ – 4 . 323 =
f. 32 . 3–27 + 32 . 338 – 32 – ________
__
__
5
.
27
3
3
1. 5
–3 . 32 – __
3 3
__
___
3
25 __
___
– 1 . 33
3
6
_____
__
__
. 32 401
3343_____
b. ( 3 – 37 ) + ____________
– 37 . ( 37 – 2 ) =
6
__
__ 32 401
6
9 – 4 . 37 + 49 . 37
2
____
__
1 + 33
__3675___ =
e. _______
+ 1 + 33 )2 – _________
6 __ (
3 . 12
3
5
__
___
___
__
__
__
. 33 + __
327 __
c. ( 2 + 5 . 33 ) . ( 1 – 33 ) – ________
( 33 + 37 )2 =
4
___
9
__ 32 __ . ________
__ 1 __ – 38 . 316 =
g. __31 . ___
+ _______
25__
2 . 321 – 3
5
39
____
___
__
__
__
__ 2
2
. 324
3162____
d. ( 32 – 36 ) – ( 36 + 32 ) + __________
=
3324
__
–6 . 33
1 – 9 3. 2
__
3
___
__
32 – 33 32 + 33
__
__
__
__
__
__
6
3__
h. (310 – 32 ) . (35 + 32 ) – (32 – 35 )2 – 5 . ___
=
__
33
___
2 . 35 + 310 –9
20. Relacionen
una expresión de la primera columna con la correspondiente de la segunda.
_____
a. ( 3a – 1 + 1 )2 =
ˆa–2
_____
_____
b. ( 3a – 1 – 1 )2 =
ˆ a + 2 – 2 . 3a + 1
_____
c. ( 3a + 1 + 1 )2 =
ˆa
_____
_____
d. ( 3a + 1 – 1 )2 =
ˆ a + 2 . 3a – 1
_____
_____
_____
_____
e. ( 3a – 1 – 1 ) . ( 3a – 1 + 1 ) =
f. ( 3a + 1 – 1 ) . ( 3a + 1 + 1 ) =
_____
ˆ a + 2 + 2 . 3a + 1
_____
ˆ a – 2 . 3a – 1
mente ACTIVA
___________
______
__
¿Cuál es el resultado de 33 . 33 . 33 ?
8
__
7
__
337 o 38
41
12
11
13
14
15
16
17
18 19 20 21
Racionalización de denominadores
INFOACTIVA
Racionalizar el denominador de una fracción es transformarlo en un número racional; por lo tanto,
siempre que en el mismo aparezcan radicales irracionales, se debe hallar una fracción equivalente a la
dada con denominador racional.
Primer caso: en el denominador hay un único radical con índice igual a 2.
Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe amplificar por la misma raíz que tiene el denominador.
__
1__
___
35
1
___
__
35
__
__
√5
5
5 = ___
1
3___
___
__ . 3
__ = ____
= ___
2
5
35 35
35
Segundo caso: en el denominador hay un único radical con índice mayor que 2.
Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe amplificar por una raíz que tenga el mismo índice que la raíz del denominador, cuyo radicando tenga los mismos factores, pero con exponente igual a
la diferencia entre el índice y el exponente dado.
3
____
___
5 2
2
3
3
____
___
5
322
3 .
___
= ____
5
322
5
___
3
2
3
____
___
5 3 =
2
3
5
___
4
______
____
4
3a3b2
4
_____
____
4
3a3b2
___
3_____
. 323
______
5 2
2
3 .23
5
=
__
3 .___
38
_____
5 5
2
3
4
___
=
__
5
3 .√ 8
______
2
4
___
4
___
4
4 . 3ab2 = _______
4 ____
. 3ab2 = ______
4 . _____
4 . √ab2
ab2 = ________
3___
____
_______
= _____
4 3 2
4 3 2
4 4 4
4
2
2
ab
3a b
3ab
3a b ab
3a b
Tercer caso: el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2.
Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos
por su diferencia.
(a + b) . (a – b) = a2 – b2
__
__
3
________
________
__ 7 __ = ________
__ 7 __ . 3
__
__ + 35
33 – 35
33 – 35 33 + 35
__
__
__
__
1 . _______
33 – __
6
5 + 3__
= _______
5 – 36 5 + 36
__
__
7 .( 33 + 35 )
__
__
__
__
= __________________
( 33 – 35 ) .( 33 + 35 )
( 33 – 1 ) .( 5 + 36 )
__
__
= _______________
( 5 – 36 ) .( 5 + 36 )
7 . ( 33 + 35 )
__
__
= ____________
( 33 )2 – ( 35 )2
5 . 33 + 33 . 36
__ – 5 – 36
= ______________________
52 – ( 36 )2
__
__
__
__
=
7 . ( 33 + 35 )
____________
3–5
__
__
7 .( 33 + 35 )
= ___________
–2
__
__
7 . ( 33 + 5 )
= – __
3
2
__
__
7 . √3 – __
7 . √5
= – __
2
2
42
__
1
33 – __
______
5 – 36
__
__
__
___
__
__
__
5 .33 + 318 – 5 – 36
= __________________
25 – 6
__
__
__
5 . 33 + 3 . 32 – 5 – 36
= ____________________
19
__
__
__
3 . 2 – ___
5 – ___
1 . 6
5 . 3 + ___
= ___
19 √
19 19 √
19 √
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.___
a. ¿Es correcto decir que la expresión 3x–1 (con x > 0) debe racionalizarse?
__ 1 __ ?
b. ¿Cómo se racionaliza la expresión ________
32 – 35
__
1__ . b. Se debe multiplicar el numerador y el denominador por __
a. Sí, porque es ___
32 + 35 .
3x
ACTIVIDADES
Racionalización de denominadores
12
21. Marquen las opciones correctas.
¿En cuáles de las siguientes expresiones no se racionaliza el denominador?
__
1 –1
__
X b. ___
( 32 )
a. ( 32 )–1
x__
___
c. _____
1
___
X d. ____
33x
316
22. Unan con flechas cada expresión con la racionalización correspondiente.
__
3
__
a. ____
6 5 =
3
ˆ __23 . 32
3
__
b. ____
=
3
3
ˆ __43 . 32
3__
c. ___
=
3
ˆ __43 . 32
34
__
32
__
34
23. Racionalicen__ las siguientes expresiones.
1__
a. ___
=
37
1
__
g. ____
=
3 4
7
3___
7
35
__
5__
b. – ___
=
33
5 . 33
– _____
3
___
12x
___ =
c. ____
6 . 32x
3a
___ =
d. ____
33a
33a
32x
__
8 .__32
h. ______
=
4
32
2__
–___
i. ______
=
333
___
5 . ___
___
3b
5b___
______
e.
= 21 3
7 . 33b
9__
f. ___
=
3
32
9 . 3 __
__
4
2 3
__
7 + 3__3
j. _______
=
7 . 33
3
___
25
3____
25
4
__
8 . 32
___
2 . 27
– __
3 3
4
__
3 __
3___
+ 1
7
3
6
____
74a3
3_____
7____
3a
k. ________
6 2 3 =
3 . 37 a
__
35
____
l. ______
=
5
4
10
________
328 125 b2
__________
3b
381b
43
12
ACTIVIDADES
Racionalización de denominadores
24. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál de las siguientes expresiones racionaliza a...
__
__
3
3__
a. ... ___
?
35
__ 1
b. ... _______
?
32 + 1
__
__ 33 __ ?
c. ... ________
32 + 37
3
3__
___
33
_______
__ 1
32 – 1
__
__
2 – 3__
7
3__
X _________
32 – 37
X
__
__
__
3
3__
___
35
5
3__
___
33
5
3__
X ___
32 – 1
__
__
__
5 +5
3__
a. _______
=
ˆ 15 – 7 . 35
35 + 2
__
3__5 – 5
b. _______
=
35 + 2
__
5 +5
3__
c. _______
=
35 – 2
__
5 –5
3__
d. _______
=
35 – 2
__
ˆ –5 – 3 . 35
__
ˆ 3 . 35 – 5
__
ˆ 15 + 7 . 35
26. Racionalicen las siguientes expresiones.
__
32 + 3
__
3 – 32
–7 __ =
b. _______
5 – 33
35
7 __
– ___ – ___ . 33
22 22
__
__32
c. _______
=
32 – 5
5 . __
2 – ___
– ___
2
23 23 3
__–5 __ =
d. _________
310 – 33
5 ___ 5 __
– __ . 310 – __ . 33
7
7
44
______
__ 1
32 + 1
2__ + 1
3
______
32 + 1
________
__ 1 __
32 – 37
________
__ 1 __
32 + 37
__
2 + 3__
7
3__
_________
32 – 37
25. Relacionen cada cálculo con su resultado.
__ 1
a. _______
=
35
__
__
2__ – 1
3
______
10 – 3__5
e. ________
=
5 + 35
3 . __
11 – __
__
5
4 4 3
__–3 __ =
f. _________
311 – 37
3 __ 3 __
– __ . 311 – __ . 37
4
4
__
__
3 – 38__
3___
g. _________
=
312 – 32
3 . __
1 – ___
__
6
5 10 3
__
8 . 33 __
h. _________
=
5 + 2 . 33
48 40 __
– ___ + ___ . 36
13 13
12
ACTIVIDADES
Racionalización de denominadores
27. Racionalicen las siguientes operaciones.
__
2__+ 33
5
3 . __ __
a. _______
= __
3 +
2 3
2
33 – 1
__
__
__
__
7 + __
2 . 33
4.
2. 3 + 1
b. _________
= 2 . 32 + __
6 + __
7 3
7 3
2 . 32 – 1
________
__
__
___
__
__
____
_______
__
__
5_______
+ 35
5 __
3___
__ =
+ 1
g. 3________
2
2
35 – 35
__
__
___
___
7 + 32
3________
3__
10 + 335
_________
__ = 3
k. _________
5
337 – 32
__
__
3 – 1 __
3___
– 32 – 6 . 33 + 36
___________________
e. ____________
= 18
2 . 327 – 32
106
311 ___
22 + 3143
__
f. ___________
= __________
2 . 311 – 313
31
__________
__
6 + 32
3________
6 + 3___
2
___
__
__ = 3
j. 3_________
2
2
336 – 32
2 + 3___
16
3__
9 __
4 __
d. _________
= – __
– . 2
7 7 3
32 – 316
__
3
1
4938 + 49
______
= 3___________
i. ________
3 __
7
338 – 1
________
__
__
__
5__. 32 __
3 . __ __
c. __________
= __
6 – 2
5 3
5
3 . 33 + 32
__
___
__
–2 . 35 – 2 . 32y
__ –2 ___ = ______________
h. _________
5 – 2y
35 – 32y
______
a–1
– 1) . 3a3 + a
______
______________
l. _______
= (a
3
3
3a + a
a +a
__
– 3a
__
m. 1______
= –1
3a – 1
______
a2 + 2 + 5
1
______
n. ___________
= 3__________
2
a2 – 23
3a + 2 – 5
45
INTEGRACIÓN
28. Escriban la mínima expresión aplicando las
propiedades.
a. (5–2 : 5–5)2 : 57 = 5–1
___
__
__
e. 37 . 314 . 323 = 28
____
5
____
b. (82)7 : (83 : 87)–1 = 810 f. 3c2d3 . 3c8d2 = c2d
___
c. (a3)4 : (a–2 . a–5)–2 = a–2
b 4 __
b
d. ( __
c ) . c2
–1
( )
b3
= __
c2
___
7 a14
a4 = a
g. ___
: __
a21 a8
___ 3 __
15 . 35
3______
= 15
h. ________
6 ___
1 . 5–1
3
3 3
33
29. Marquen las opciones correctas.
¿A cuál de las siguientes expresiones equiva2
__
le ( ab )3 ?
3
___
3ab2
X
3
33. Extraigan
los factores fuera
del radical.
______
______
____
__
3
3
4
2
2
.
2
3
a. 3512 =
f. 316x y5 = 2y . 32x2 . y2
______
____
_____
3
4
_______
4
____
5
5
____
2
3
________
3
34. Calculen
el perímetro de cada figura.
__
__
a. 2 . 35 + 2 . 32
__
2 . 32
__
__
__
__
2 . 33
6 . 33 + 36
__
33
___
327
F
35. Resuelvan
las siguientes sumas
algebraicas.
__
___
___
__
__
V
a. – 345 + 320 – 7 . 35 = –8 . 35
___
F
d. ( b . b ) = b
9
___
___
__
b. 348 – 5 . 312 + 327 = –3 . 33
__
___
e. 3a2 = |a| V
___
__
____
c. – 354 + 324 – 3 . 32 . 3 = –4 . 36
____
F
___
____
__
d. – 3169 – 399 + 3275 = –13 + 2 . 311
___
31. Representen
en la recta numérica.__
__
__
d. 2 . 35 – 3 . 33
__
e. 311
__
f. – 311 + 2
Solución a cargo del alumno.
___
__
___
___
____
__
__
3
3
f. – 356 – 3175 + 3112 = –2 . 37 – 37
___
__
___
___
__
3
__
3
3
3
g. 388 – 311 + 38 = 311 + 2
___
Para representar 32 en la recta numérica, se
comienza por__2 catetos cuyas medidas son 1. Para
__
representar 33 , por dos catetos que miden 1 y 32 ;
__
y para representar 35 , por dos catetos que son 1 y
2. ¿Cuáles son las medidas de los catetos
que debe__ ___ ___
rían
considerar
para
representar 311 ;___337 ; 356
?
___
___
__
___
337 , 1 y 6
____
___
e. 352 – 2 . 3117 + 3578 = –4 . 313 + 17 . 32
___
__
__
h. 398 – 3112 – 328 =7 . 32 – 6 . 37
32. Piensen y resuelvan.
__
311 , 1 y 310
2
2 10
3(ab)3
3
a. – __
37 + 2
b. 36 – 1
__
c. 3 + 32
2
10 2
4
F
__
46
3
3
3a
243a b
___
j. ________
3 3a b = b
___
33
__
a
c. __
= 3a : 3b
b
f. b5 . b2 = b10
__
1 . __
2
a
2 . ___
__
= ___
9 a12
3a5 a
i.
_____
b. a . a . b = 2ab
3 3
3
_____
_____
a
ab . ___
a b = ___
e. ____
c2
cd
c5d
3 4
3
_____
x8y
x 5 4 . x2
4 . ___
__
= __y . __
5
5 xy6
3
5
h.
d. 3x7y9 = xy . 3x2 . y4
Expliquen las respuestas.
__
3
___
3(ab)2
30. Indiquen V (Verdadero) o F (Falso).
a. b3 = 3b3
3xz . 3 ___
3 27x3z4
z
g. ______
= ____
4y 4y2
256y5
_____
c. 33 125a5 = 5a . 35a
b.
5
__
_____
___
3ab3
5
__
3
b. 32 187 = 32 . 33
356 , 1 y 355
____
__
3
3
3 16
9 . 3 __
2 + __
i. ___
+ 3250 – __21 . 32 = __
2
54
3 2 3
__
___
___
__
7.
j. – 354 – 324 + __3 . 36 = – __
36
3
2
2
__
__
36. Sabiendo que
A = √ 3 + 5 y B = 2 . √ 3 – 1.
__
__
a. A + B = 3 . 33 + 4
b. 2A – B = 11
__
c. –A + B = 33 – 6
d. 3A – 5B = –7 . 33 + 20
__
e. –4A – B = –6 . 33 – 19
__
f. –2A + 3B = –13 + 4 . 33
capítulo
CONTENIDOS
2
7*8*9*10*11*12
42. Racionalicen las siguientes expresiones.
___
4
37. Calculen el área de cada figura.
__
a.
__
__
6 + 33
3_______
2
__
32 + 1
b.
__
3
36
38. Resuelvan
los siguientes cuadrados.
__
___
__
__
a. ( 35 – 38 )2 =
d. ( 321 __– 7 . 37 )2 =
__
__ 2
___
4
b. ( 32 + 35 ) =
e. ( 2 . 33 + 5 . 315 )2 =
___
__
___
__
2
2
3
3
3
c. ( 312 – 315 ) =
f. ( 4 . 35 + 3 . 32 ) =
Solución a cargo del alumno.
__
39. Resuelvan
teniendo__en cuenta que__ A = √3 + 2,
__
B = √3 + 5, C = 5 – √3 y D = 2 – √3 .
a. (B – A) . C
c. C . D + B : A
e. (D – C) : A + B2
d. (B . C) – D2
b. (B + C) : D
__
14
37
9 __
__
18
____
___
b.
= 5 . 32
350
__
__
2
. __
33
______
c.
= 32
3__6
3
__
6
3__
___
d. 5 = 35
35
7 . __
7
___
3
e. – ____
= – __
9 3
327
__
3 .
9 __ ___
f. ______
= 16
36
8 . 36
__
3
6
___
g. ____
= 39
3
324
7 5 __
__
7__
h. ___
= 2 . 38
5
__
34
6
5_____
. 3x2
5
____
–
__
x
i. – 6 4 =
3x
__ = –2 . 37
a. – ___
33
f. (A + B) : D – C
__
__
____
3x . 3y
__ =
a. ______
xz __
3
___
. 3 y2
3xy____
________
b. 6 5 39 =
3x y
_____
___
4
c. 3(xyz)2 . 35 xyz =
_____
d. 36 x5y9 : 33 x5y2z3 =
__
__
. 34 x =
3x5 __
e. _______
7
f.
__ 3x
3 __
3x . 3x
______
__
4
3x7
Solución a cargo del alumno.
3
3
=
__
___
b. 3a3 . 3ab2 . 3a3b2c = a3b2 . 3ac
______
_____
___
c. 3a b c . 3ab c : 3ab = ab c
2 5 3
____
4
2 4
______
3 3
4
_____
5
20
____
6
. 3a7b9 = a3b4c2 . 34 ____
3a3b5c____
b2c3
e. _____________
4
3abc
_____
______
2 7 5
ab3___
c4 . 3a___
b c = ab2 c4 . 4 __
f. 3_____________
3b
4 2
3a b . 3b5c
g.
__ __ __ 3 __
a __
. 3b . 3c __
. 3a
3
_____________
3
4 __
3b . 3c . 3c3
12
__
19 __
4.
ˆ ___
7 + 7 32
__
19 __
ˆ ___
– 4 . 32
b.
c.
d.
2 +3
3__
2__ + 7
3
_______
=
3__2 – 3
2__ – 7
3
_______
=
32
__ + 3
2__ – 7
3
_______
=
32 – 3
7
7
__
23 ___
___
.
ˆ – 7 – 10
7 32
__
23 ___
10 .
ˆ – ___
7 + 7 32
44. Marquen las opciones correctas.
__
__
b.
35 – 311
__
__
5__ – 311
3
_________
__
35 + 311
__
5__ + 311
__
X c. 3_________
d.
35 + 311
__
__
5__ + 311
3
_________
__
35 – 311
45. Traduzcan al lenguaje simbólico y racionali__
. 3c
______
d. 3a4c5 . 3a2b7c4 : 3a3bc2 = ab3 c2 . 3a8 b6c17
______
36 – 35
__
2__. 32 __ =
_______
_______
__
__
q. – _________
335 + 37 –2 . 337 – 35
4x2 + ___
x
r. – ________
=
4 __
32x __
3x +
___
__
( 32x – 34 x ) . ( 3x + 2x )
__
__
3
_____
__
__
5__ – 36__
p. 3________
= –1
2
__ + 7 =
a. 3_______
5__ – 311
__
a. 3_________
a. 3ab . 32ab . 3ab2 = ab . 32b
___
__
3a + 6a
________
1 – 36a
___
__
5
3
. 335 – 5
3__
__________
_________
__
o.
=
58
3 . 37 + 35
__ a
n. ________
=
3a – 6a
¿Cuál de las siguientes expresiones racionaliza
__
__
a ( 35 – 311 )–1?
41. Resuelvan
las siguientes___
operaciones.
___ ____ ___
3
32x __
x . 4 ________
x2 . 3y
___
_____ =
332 . 53 x3 y
k. ______
4
15
45xy
3 4 ___
________
8 6 7 3 6
a b c
3ab
3
_________
_________
_______
l. 8 3 7 2 = 33abc
39a b c
5 ___
5 ___ ___
+ __ . 310
m. ________
= 10
3
6
4 – 310
43. Unan cada expresión con su resultado.
Solución a cargo del alumno.
40. Resuelvan expresando como índice común.
7
7 . 38x2
___
j. _____
= _______
4
2
2x
_______
= c–1 . 3a10b2c–3
cen las expresiones obtenidas.
a. El cociente entre la raíz cúbica de tres y la
suma de la raíz cuadrada de trece y tres.
b. La razón entre el cuadrado de la raíz cuarta
de dos y la raíz cuadrada de sesenta y tres.
c. El cociente entre la diferencia de la raíz cuadrada de ciento sesenta y la raíz cuadrada de doscientos cincuenta, y la raíz cuadrada de cinco.
d. El inverso de la suma entre el triple de la raíz
cuadrada
de 7 __
y la raíz
cuadrada
de 54.
____
__
____
___
__
160 – __3250
22 c. 3___________
3___
33
___
a. ________
b. ____
d. ( 3 . 37 + 354 )–1
35
313 + 3
363
3
4
47
13
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Sucesiones
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 4
Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro.
N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; ... }
El conjunto de los números naturales es una sucesión de infinitos elementos.
Se denomina término a cada uno de los elementos de la sucesión.
1;
4;
9;
16;
25;
36; ...
; n2
a1
a2
a3
a4
a5
a6
an
En algunas sucesiones se puede encontrar un término general an (término enésimo) que es la fórmula de un término cualquiera en función del lugar que ocupa.
En la sucesión 1; 4; 9; 16; 25; 36; ..., el término general de la sucesión es an = n2.
Si se conoce el término general, se puede hallar la sucesión o cualquier término de la misma, reemplazando en forma consecutiva los números naturales en el valor n del término general.
1 ; __
1 ; __
1 ; __
1 ; __
1 ; ...; __
1
Si el término general de una sucesión es an = __n1 , entonces la sucesión será: 1; __
n
2 3 4 5 6
Por lo tanto, una sucesión es una función que le asigna a todo número natural un número real. f:
→
Sucesiones aritméticas
Se denomina sucesión aritmética a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene sumando al anterior un número constante r llamado razón aritmética.
6;
12;
6+6
18;
12 + 6
24;
18 + 6
30; ...
Sucesión aritmética con r = 6.
24 + 6
Para que una sucesión sea aritmética, debe verificarse que: a2 – a1 = a3 – a2 = ... = an – an – 1 = r
Sucesiones geométricas
Se denomina sucesión geométrica a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene multiplicando el anterior por un número constante q llamado razón geométrica.
2;
–4;
2 . (–2)
8;
–4 . (–2)
–16;
8 . (–2)
32; ...
Sucesión geométrica con q = –2.
–16 . (–2)
a
a
a
n
2
__3
____
Para que una sucesión sea geométrica, debe verificarse que: __
=q⇔q≠0
a = a = ... = a
1
48
2
n–1
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En una sucesión aritmética, ¿cada término es mayor que el anterior?
b. En una sucesión geométrica, el cociente entre un término y su anterior ¿es siempre el mismo?
a. No siempre. Si la razón es un número negativo, el anterior será mayor. b. Sí, es la condición de sucesión geométrica.
13
ACTIVIDADES
Sucesiones
46. Escriban los cinco primeros términos de cada una de las sucesiones, a partir del término general.
c. an = __32 n + 1
5 7
11 13
a. an = 3n + 2
__; __; 3; __; ___; ...
3 3
3 3
5; 8; 11; 14; 17; ...
d. an = 2n2 – 1
b. an = 2 . (n – 1)
0; 2; 4; 6; 8; ...
1; 7; 17; 31; 49; ...
47. Escriban los siguientes tres términos en cada sucesión.
13; 15; 17; ...
a. 5; 7; 9; 11;
75
b. 300; 150; 75; ___
2;
75 ___
75
75 ___
___
; ...
;
;
4 8 16
c. 8; 13; 21; 34;
3
__
3
55; 89; 144; ...
__
3
d. 2; 2. 33 ; 2 . 39 ; 6;
__
3
__
6 . 33 ; 6 . 39 ; 18; ...
48. Rodeen con color el término general de cada sucesión.
a. –1; 1; 3; 5…
2n – 3
n+1
3n – 2
b. – __31 ; __31 ; 1; __35 …
2
__
3n + 1
– __31 n
2
__
3n – 1
49. Indiquen si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas y calculen la razón.
7
e. 7; – __27 ; __47 ; – __87 ; ___
16 ; ...
a. 7; 9; 11; 13; 15; ...
1.
Geométrica, razón – __
2
Aritmética, razón 2.
b. 8; –24; 72; –216; 648; ...
Geométrica, razón –3.
17
23
11
___
___
f. __21 ; – __25 ; – __
2 ; – 2 ; – 2 ; ...
Aritmética, razón –3.
c. 8; 3; –2; –7; –12; ...
g. 6; –6; 6; –6; ...
Aritmética, razón –5.
Geométrica, razón –1.
__
__
__
d. 32 ; 2; 2 . 32 ; 4; 4 . 32 ; ...
h. 9; 6; 3; 0; –3; –6; ...
Geométrica, razón 32 .
Aritmética, razón –3.
__
50. Propongan un ejemplo del término general de acuerdo con el tipo de sucesión indicada y escriban los tres primeros términos en cada caso.
a. Sucesión aritmética.
La solución no es única, por ejemplo n + 4. Los tres primeros términos son 5; 6; 7.
b. Sucesión geométrica.
La solución no es única, por ejemplo n . (–3). Los tres primeros términos son –5; –10; –15.
49
14
13
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Sucesiones aritméticas
INFOACTIVA
En una sucesión aritmética cada término se obtiene sumándole al anterior un valor constante r.
a1
a2
a3
a4
=
=
=
=
a1 + 0r
a1 + 1r
a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a3 + r = a1 + r + r + r = a1 + 3r
El término general an es: an = a1 + (n – 1) . r
an = an – 1 + r = a1 + r + r + ... + r = a1 + (n – 1) . r
n – 1 veces
ˆ Para calcular un término determinado de una sucesión aritmética conociendo dos términos consecutivos, se deben seguir estos pasos.
Calculen a6 en una sucesión en la cual a1 = –2 y a2 = 7.
1. Se halla la razón.
r = a2 – a1 ⇒ r = 7 – (–2) ⇒ r = 7 + 2 ⇒ r = 9
a6 = a1 + (6 – 1) . r ⇒ a6 = –2 + (6 – 1) . 9 ⇒ a6 = –2 + 5 . 9 ⇒ a6 = 43 2. Se calcula el término.
La razón es igual a la diferencia entre dos términos consecutivos: r = ak – ak – 1 ∧ k ∈ N – {1}
ˆ Para calcular un término determinado de una sucesión aritmética conociendo otro término y la
razón, se deben seguir estos pasos.
Calculen a4 si a10 = 35 y r = 8.
Se considera a a4 como primer término (a4 → a1) y a a10, por lo tanto, como séptimo (a10 → a7).
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ a7 = a1 + (7 – 1) . r ⇒ 35 = a1 + 6 . 8 ⇒ a1 = 35 – 48 ⇒ a1 = –13 → a4 = –13
ˆ Para calcular el número de términos de una sucesión aritmética, se deben seguir estos pasos.
Calculen el número de términos de la sucesión aritmática, sabiendo que a1 = 8; a2 = 20; …; an = 140.
r = a2 – a1 ⇒ r = 20 – 8 ⇒ r = 12
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ 140 = 8 + (n – 1) . 12 ⇒ 132 = (n – 1) . 12 ⇒ 11 = n – 1 ⇒ n = 12
Suma de los términos de una sucesión aritmética
La suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética se obtiene de la siguiente manera.
a1
a2
a3 ... an–2
an–1
an
a1 + 2r + an – 2r = a1 + an
a1 + r + an – r = a1 + an
(a1 + an ) . n
La suma de los n primeros términos es: Sn = ___________
2
a1 + an
ˆPara calcular la suma de los términos de una sucesión aritmética se deben conocer el primer término, el último y la cantidad de términos.
Calculen la suma de todos los números pares comprendidos entre 42 y 120, inclusive.
120 = 42 + 2 . (n – 1) ⇒ 78 = 2 . (n – 1) ⇒ 39 = n – 1 ⇒ n = 40
40 ⇒ S = 162 . 20 ⇒ S = 3 240
Sn = (42 + 120) . ___
n
n
2
50
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si se conocen los términos a2 y a6 de una sucesión aritmética, ¿cómo se puede averiguar la razón?
b. El término a6 de una sucesión aritmética, ¿puede ser mayor que a20?
a. Sí, se despeja r en la fórmula an = a1 + (n – 1) . r, y se consideran a2 → a1 y a6 → an. b. Sí, pueden ser decrecientes.
14
ACTIVIDADES
Sucesiones aritméticas
51. Calculen los 3 primeros términos de una sucesión aritmética que cumpla con las siguientes condiciones.
a. La razón es 3 y su primer término, 4.
b. Su primer término es 10 y el segundo, 8.
4, 7, 10
10, 8, 6
52. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la razón en una sucesión aritmética de 40 términos que comienza con 10 y termina en 244?
r=3
X r = 6
r = __61
53. Resuelvan de dos formas diferentes y respondan.
a. ¿Cuál es el primer elemento de una sucesión aritmética, si el quinto es 7 y su razón es 2?
a1 = –1
b. ¿Cuál es el tercer término de una sucesión aritmética, si su razón es –3?
No es posible hallar el tercer elemento conociendo solo la razón.
54. Lean atentamente y respondan.
a. En una sucesión aritmética el primer término es 15; el último, 110 y su razón, 5. ¿Cuántos términos tiene? ¿Y si su razón fuera 10?
Tiene 20 términos. No es posible una sucesión aritmética que cumpla con estas condiciones.
b. En una sucesión aritmética la razón es –3, el segundo elemento es 4 y el último, –26. ¿Cuántos
términos tiene?
Tiene 12 términos.
55. Respondan.
a. ¿Cuál es la suma de los primeros 20 números pares?
420
b. ¿Cuál es la suma de los 10 primeros múltiplos de 11 que siguen a 83?
1 375
56. Lean atentamente y respondan.
¿Cuáles son las amplitudes de los ángulos de un triángulo rectángulo si se sabe que están en sucesión aritmética?
30, 60 y 90
51
15
14
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Sucesiones geométricas
INFOACTIVA
En una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante q.
a1 = a1 . q0
a2 = a1 . q1
a3 = a2 . q = a1 . q . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = a1 . q2 . q = a1 . q3
El término general an es: an = a1 . qn – 1
an = a n – 1 . q = a1 . q . q . q . q . ... . q
n – 1 veces
ˆ Para calcular un término determinado de una sucesión geométrica conociendo dos términos consecutivos, se deben seguir estos pasos.
Calculen a6 en una sucesión geométrica en la cual a1 = 5 y a2 = 15.
a
2
15
___
q = __
a1 ⇒ q = 5 ⇒ q = 3
a6 = a1 . q6 – 1 ⇒ a6 = 5 . 35 ⇒ a6 = 5 . 243 ⇒ a6 = 1 215
1. Se halla la razón.
2. Se calcula el término.
a
k
La razón es igual al cociente entre dos términos consecutivos: q = ____
ak – 1 ∧ k ∈
– {1}
ˆ Para calcular un término determinado de una sucesión geométrica conociendo otro término y la
razón, se deben seguir estos pasos.
Calculen a3 si a7 = 192 y q = 2.
Se considera a a3 como primer término (a3 → a1) y a a7, por lo tanto, como quinto (a7 → a5).
192 ⇒ a = 12 → a = 12
an = a1 . qn – 1 ⇒ a5 = a1 . 25 – 1 ⇒ 192 = a1 . 24 ⇒ 192 = a1 . 16 ⇒ a1 = ____
1
3
16
ˆ Para calcular el número de términos de una sucesión geométrica, se deben seguir estos pasos.
243 .
2 ; a = __
1 ; ...; a = ______
Calculen el número de términos de la sucesión geométrica, sabiendo que a1 = __
n
3 2 2
2 048
a
1
__
2
2
3
__
__
q = __
a ⇒q= 2 ⇒q=4
1
__
3
243 = __
3
2 . __
an = a1 . qn – 1 ⇒ ______
2048 3 ( 4 )
n–1
729 = __
3
⇒ ______
4096 ( 4 )
n–1
n–1
3 6 = __
⇒ ( __
( 43 ) ⇒ n – 1 = 6 ⇒ n = 7
4)
Suma de los términos de una sucesión geométrica
La suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica se obtiene de la siguiente manera.
Dada: Sn = a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + ... + a1 . qn – 1
(1)
–
Sn . q = a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + ... + a1 . qn – 1 + a1 . qn (2)
Sn = a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + ... + a1 . qn – 1
(1)
Sn . q – Sn = –a1
Se multiplican ambos
miembros de (1) por q.
+ a1 . qn
Se resuelve (2) – (1).
n
q –1
Sn . q – Sn = –a1 + a1 . qn ⇒ Sn . (q – 1) = a1 . ( –1 + qn ) ⇒ Sn = a1 . ______ ∧ q ≠ 1
q–1
52
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En una sucesión geométrica, si un término es positivo y el sucesor es negativo, ¿qué signo le
corresponde al siguiente término?
b. Si se conocen la razón y la suma de los términos de una sucesión geométrica, ¿qué dato se
puede averiguar?
Le corresponde un número positivo porque su razón tiene que ser negativa para pasar de un término positivo a
otro negativo. b. Se puede averiguar el primer término de la sucesión.
15
ACTIVIDADES
Sucesiones geométricas
57. Hallen los 3 primeros términos de una sucesión geométrica que cumpla con las condiciones indicadas.
a. La razón sea 5 y su primer término, –2.
b. Su primer término, –12 y le sigue –3.
3
–12; –3; – __
4
–2; –10; –50
58. Respondan.
En una sucesión geométrica...
a. ... el octavo término es –640 y su razón es –2. ¿Cuál es el primer elemento?
a. a1 = 5
b. ... el primer elemento es 1, el último es 243 y su razón es 3. ¿Cuántos términos tiene?
Tiene 6 términos.
c. ... la razón es 2, su primer elemento es 3 y el último, 1 436. ¿Cuántos términos tiene?
No existe sucesión geométrica con estas condiciones.
__
__
d. ... a4 = 37 y a5 = 2 . 37 . ¿Cuál es la razón?
La razón es 2.
59. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la razón en una sucesión geométrica de 12 términos que comienza con __81 y termina en 256?
r = __21
r = –2
X r = 2
60. Calculen la suma de los cinco primeros términos en cada caso.
a. Sucesión geométrica donde a1 = 129 y la razón es 3.
15 609
b. Sucesión geométrica cuyos primeros dos términos son 2 y 6.
242
61. Lean atentamente y respondan.
Martín decide repartir una determinada cantidad de dinero entre sus cinco hijos, dándole a cada uno
el doble de lo que le dio al anterior. Si comienza repartiéndole $45 al más pequeño, ¿cuánto dinero
repartió entre sus hijos?
$1 395
53
10INTEGRACIÓN
62. Escriban los tres términos que siguen en
68. Resuelvan teniendo en cuenta el concepto de
cada sucesión. Luego, indiquen si se trata de
una sucesión aritmética o geométrica.
a. 4; 9; 14; ...
d. 20, 10; 5; ...
múltiplo.
a. ¿Cuántos múltiplos de tres hay entre 9 y 225?
b. ¿Cuántos múltiplos de siete hay entre 7 y 1 680?
b. 5; 15; 45; ...
14
16 ___
e. 6; ___
3 ; 3 ; 4; ...
c. 5; 6; 4; 7; 3; ...
f.
9 ___
15 ___
27
21 ___
__
2 ; 2 ; 2 ; 2 ; ...
Solución a cargo del alumno.
63. Escriban los cuatro primeros términos de
cada una de las siguientes sucesiones, teniendo
en cuenta el término general.
__
a. an = 3n + 2
d. an = 3n __ __
5; 8; 11; 14
1; 32 ; 33 ; 2
1; 3; 5; 7
1 ; __
2
1 ; 0; __
– __
5
5 5
e. an = 1__1 – __21 n __1
3; 9; 27; 81
; 0; – ; –1
2
2
c. an = 2n – 1
f. an = __51 . (n – 2)
b. an = 3n
64. Resuelvan.
a. Escriban el término general de una sucesión
aritmética y sus tres primeros términos.
b. Escriban el término general de una sucesión
geométrica y sus tres primeros términos.
Solución a cargo del alumno.
65. Hallen el término general de la sucesión
aritmética o geométrica que represente lo indicado en cada caso.
a. Una sucesión de números pares.
b. Una sucesión de números impares.
c. Una sucesión de números primos.
a. an = 2n b. an = 2n – 1 c. No existe.
66. Resuelvan.
¿Cuál es el término general que permite obtener
cada uno de los términos de la sucesión ?
5
3
7
__
__
__
2 ; 2; 2 ; 3; 2 …
b. __23 ; 1; __43 ; __53 ; 0,5…
a.
c. 4; __25 ; 2; __47 ;
8
__
5…
d. 5; 7; 9; 11; 13…
Solución a cargo del alumno.
67. Calculen teniendo en cuenta que se trata de
sucesiones aritméticas.
a. El valor de n, sabiendo que el primer término
es 15, la razón es –3 y el último término es –57.
b. El valor de a8, sabiendo que la razón es 12 y
el tercer término es 5.
n = 25
a8 = 65
54
a. Hay 73 números. b. Hay 240 números.
69. Calculen la cantidad de términos en cada caso.
En una sucesión aritmética...
a. ... cuyos primer y último elementos son 135
y 20, respectivamente y su razón es –5. 24
b. ... su razón es 7, el primer elemento es 40 y
el último, 25. No es posible esta sucesión.
c. ... el primer elemento es 20, el último es –67
y la razón es –3. 30
70. Respondan.
a. ¿Cuál es el cuarto término de una sucesión
aritmética, si el primero es 5 y la razón, 7?
b. ¿Cuál es el primer término de una sucesión
aritmética, si el sexto es 40 y su razón es 3?
c. ¿Cuál es el noveno término de una sucesión
geométrica, si el primero es 9 y el segundo, 12?
d. ¿Cuál es el segundo término de una sucesión
geométrica, si el décimo es __47 y la razón es __61 ?
a. a4 = 26 b. a1 = 25 c. a9 = 33 d. a2 = 2 268
71. Respondan.
a. Si en una sucesión aritmética el primer término es –67 y la razón es –3, ¿qué lugar ocupa el
término cuyo valor es –16? No es posible.
b. Si en una sucesión aritmética el primer término es 6 y la razón es __21 , ¿qué lugar ocupa el
término cuyo valor es 12? Lugar 13.
c. Si en una sucesión geométrica el primer término es 2 y la razón es 3, ¿qué lugar ocupa el
término cuyo valor es 4 374? Lugar 8.
d. Si en una sucesión geométrica el primer término es – __51 y la razón es 5, ¿qué lugar ocupa el
término cuyo valor es –125? Lugar 5.
72. Respondan.
En la sucesión aritmética 4; 19; 34; 49; 64, ¿cuántos términos hay que agrupar para que la suma
sea 715?
Hay que sumar 10 términos.
capítulo
CONTENIDOS
13*14*15
73. Resuelvan.
a. Calculen la suma de los 20 primeros múltiplos naturales de 5 comenzando por 35.
b. ¿Cuál es la suma de los primeros diez términos de la sucesión aritmética 12; 7; 2; –3…?
a. 1 650 b. –105
74. Resuelvan.
Las longitudes de los lados de un triángulo, cuyo
perímetro es 99 cm, forman parte de una sucesión aritmética.
a. ¿Cuánto mide cada uno de los lados del
triángulo? Por ejemplo, 20 cm; 33 cm y 46 cm.
b. ¿Existe una única solución? ¿Por qué?
Existen varias soluciones, depende que número se
toma como primer elemento de esta terna.
75. Resuelvan.
a. Escriban una sucesión geométrica cuya razón
sea 2 y su primer término, 5. 5; 10; 20; 40
b. Escriban el término general que corresponde
n–1
a la sucesión de a. 5 . 2
76. Calculen sabiendo que son sucesiones
geométricas.
4
1
__
a. a1 y S4, siendo a4 = ___
25 y q = 5 .
b. a4 y S5, siendo a1 = 50 y q = __21 .
624
25
375
a. a1 = 20 y S4 = ____. b. a4 = ___ y S5 = ____.
25
4
4
77. Calculen la razón en cada caso, sabiendo
que se trata de sucesiones geométricas.
1
a. El primer término es 25 y el quinto es ___
25 .
b. El tercer término es 117 y el sexto es 3159.
c. El primer término es –4 y el quinto es –484.
1 b. 3 c. 3
a. __
5
78. Respondan.
a. Sabiendo que a1 = 3 y a5 = 768 y que se
trata de una sucesión geométrica, ¿cuál es la
suma de los primeros seis términos?
b. En la sucesión geométrica cuyo primer término es 5 y la razón es 2, ¿cuál es la suma de
los ocho primeros términos?
c. ¿Cuál es la suma de los primeros cinco términos de la sucesión geométrica cuyos cuarto y
1
quinto términos son __51 y ___
10 , respectivamente?
4 095
31
a. _____ b. 1 280 c. ___
10
1 024
2
79. Lean atentamente y respondan.
Una alumna de la escuela decide repartir caramelos a sus 20 compañeros siguiendo el orden de la
lista, de la siguiente forma: al primer compañero le
da 40 caramelos y al siguiente 2 menos.
a. ¿Cuántos caramelos le regaló al compañero
número 20? 2 números.
b. ¿Cuántos caramelos repartió en total? 420
c. Si al primer compañero le compartiera 35 caramelos, ¿cuántos le corresponderían al compañero
número 20?
No es posible cumplir con la condición indicada.
80. Lean atentamente y respondan.
La profesora Laura quiere formar a los alumnos de su
escuela de una forma muy especial, para participar
de la jornada de Educación Física. En la primera fila
iría solamente un alumno; en la segunda, dos; en la
tercera, tres, y así sucesivamente. La idea es que los
estudiantes formen un triángulo.
a. ¿Cuántos alumnos participan para formar
un triángulo de cinco filas? 15 alumnos.
b. ¿Cuántos alumnos participan para formar un
triángulo de veinte filas? 210 alumnos.
c. La relación que existe entre las filas de estos
triángulos ¿es una sucesión aritmética o
geométrica? Es una sucesión aritmética.
81. Resuelvan.
Malena y Guadalupe están organizando el cumpleaños de Lola. El primer día deciden comenzar
a preparar las invitaciones, cumpliendo con la
consigna de que a partir del día siguiente cada una
de ellas invita a dos personas. Esas dos personas al
día siguiente invitan a dos amigos cada una, y así
sucesivamente.
a. ¿Cuántos invitados habrá al finalizar la semana contando a Malena y a Guadalupe?
b. ¿Cuántos días tendrán que transcurrir para
que en la fiesta haya 32 personas?
a. 128 invitados. b. 5 días.
82. Escriban el enunciado de un problema cuya
respuesta sea a3 = 5.
Existen infinitas soluciones, una puede ser: Hallen a3
si a1 = 1 y la razón es 2.
55
capítulo
2
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
83. ¿Cuál de los siguientes números es irracional?
___
__
__
a. 3–4
b. 34
c. –34
3
__
X d. 34
84. ¿Cuáles de las siguientes expresiones es equivalente a ( a2 . b5 )–3 . (ab)2?
a. a–28 . b2
b. a–19 . b2
__
X c. a3 . b–13
d. a23 . b2
__
85. ¿Cuál es el resultado de 2 – (– √8 ) . √3 ?
__
__
__
__
__
b. 2 . 33 – 2 . 36
X c. 2 + 2 . 36
d. 2 – 2 . 36
__
a. 2 . 33 + 2 . 36
3
__________
________
_______
5 __
86. ¿Cuál es la expresión en lenguaje coloquial que traduce a 33332 + 2 ?
a. La raíz cuadrada de la raíz cúbica de la raíz quinta de la suma entre la raíz cuadrada de dos y dos.
b. La raíz quinta de la raíz cuadrada de la raíz cúbica de la suma entre la raíz cuadrada de dos y dos.
X c. La raíz cúbica de la raíz cuadrada de la raíz quinta de la suma entre la raíz cuadrada de dos y dos.
d. La raíz cúbica de la raíz cuadrada de la raíz quinta de la suma entre la raíz cúbica de dos y dos.
__
87.
√__
x
¿Cuál es el resultado de ___
?
√y
__
a. 3x
7
___
xy
X d. 3___
y
c. y
88. ¿Cuál es el resultado que se obtiene al racionalizar
2.
__
X a. – __
3 – 3 310
___
__
x
3
___
b. __yx
___
b. __37 + __32 . 310
__
__
√
2
5
_________
__ + √__
?
√2 – √5
___
c. – __37 + __32 . 310
___
d. __37 – __32 . 310
89. ¿Cuál es el término general de la sucesión – __59 ; – __58 ; – __57 ; – __56 ?
1.
X a. __
5 n – 2
b. 5n – __51
c. __51 . n
90. ¿Cuál es la razón de la sucesión aritmética de 20 términos que comienza en 12 y termina en –45?
a. r = 3
X b. r = –3
c. r = –2
91. ¿Cuántos términos tiene una sucesión geométrica si su razón es 3; su primer elemento,
último término, 19 683?
a. 3
56
b. 81
X c. 15
1
____
243 y el
Contenidos
3
16. Funciones.
17. Análisis de funciones I.
18. Análisis de funciones II.
19. Función lineal.
20. Distancia entre dos puntos.
21. Ecuación de la recta.
22. Función módulo.
¿Cuándo nace el concepto de función? En la matemática babilónica, ya
aparecían tablas de cuadrados y cubos de números naturales. Más tarde, los
griegos calcularon valores de distintas funciones como las cuerdas de círculos
determinadas por distintos ángulos. Pero esta es una mirada moderna de la
matemática antigua: en realidad, hizo falta que pasaran muchos siglos para
que se entendieran las funciones como relaciones entre conjuntos. Y en el
camino hubo dificultades. En el siglo XVII, Galileo, ya anciano y casi ciego,
observó que precisamente la misma tabla de cuadrados perfectos que habían
descripto los antiguos traía aparejada un hecho inquietante: ¿cómo pueden
ponerse en correspondencia los números naturales y sus cuadrados siendo
que los primeros son muchos más?
Esta aparente paradoja se resolvió mucho tiempo después, pero las funciones siguieron su recorrido y, en 1748, otro sabio llamado Euler introdujo la
idea de “expresión analítica”, que sirve para pensar muchísimas funciones a
partir de fórmulas. Como Galileo, también Euler terminó sus días ciego, aunque eso no le impidió tener una visión extraordinaria en casi todas las ramas
de la matemática.
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Cuál fue el aporte que realizó Euler? ¿Por qué creen que fue tan importante?
b. Escriban algunos ejemplos de funciones aplicadas a situaciones de la vida
cotidiana.
a. El aporte que realizó Euler fue la idea de “expresión analítica”. Su aporte sirve para
pensar muchísimas funciones a partir de fórmulas y así, poder analizarlas en profundidad.
b. Por ejemplo, el tiempo que tarda en llenarse una pileta en función de la cantidad de
agua que vierte la canilla.
capítulo
Funciones
16
15
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Funciones
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 5
Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la primera (independiente) le corresponde un único valor de la segunda (dependiente).
Dominio y codominio de una función
El conjunto dominio (Df ) de la función está formado por los valores que puede tomar la variable independiente. El conjunto codominio está formado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente. El conjunto imagen (Im ) es un subconjunto del codominio formado por los valores que toma la función.
La imagen de x a través de la función f se denota con la expresión y = f(x).
f: A → B es función de A en B ⇔ ∀ x ∈ A ∃! y ∈ B / y = f(x)
(∀: para todo; ∃!: existe un único)
La representación gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos (x;y) de
cuales (x;y) es un par ordenado de f.
→
para los
y
y = x2 + 2x + 1
(–3;4)
x
y
–3
4
–2
1
–1
0
0
1
1
4
Df =
4
3
y = x2 + 2x + 1
2
1
Im = (0;+∞)
–4
–3
–2
–1
0
1
2 x
Clasificación de las funciones
Una función es inyectiva si y
solo si a elementos distintos del
dominio les corresponden imágenes distintas en el codominio.
y
6
f : [–4;6] → [–2;6]
Una función es sobreyectiva
si y solo si a todo elemento del
codominio le corresponde una
preimagen en el dominio.
5
Una función es biyectiva si y
solo si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
y f : [–3;7] → [–3;5]
y
f : [–3;5] → [–2;4]
4
A
4
B
–3
–4
58
0
–1
–2
6 x
0
7 x
–3
0
–2
C
–3
5
x
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Una relación en la cual dos elementos distintos del dominio tienen_____
la misma imagen ¿es función?
b. ¿Qué valores puede tomar x para que se pueda resolver f(x) = 3x – 3 ?
a. Sí. b. No, x ≥ 3.
16
ACTIVIDADES
Funciones
1. Marquen con una X los gráficos que representan funciones de A → B, A = [–1;4] y B = [–2;3].
Expliquen la respuesta.
a.
b.
c.
X
y
y
1
1
y
1
0
0
x
1
0
x
1
x
1
a. Hay elementos del dominio sin imagen. b. Es función. c. Hay elementos del dominio que tienen más de una imagen.
2. Completen la tabla de valores y grafiquen cada una de las siguientes funciones.
a. f(x):
→ /f(x) = 2x + 1
x
f(x)
–1
–1
0
1
1
3
b. g(x):
→ /g(x) = 2x + 1
x
g(x)
1
3
2
5
3
7
Solución gráfica a cargo del alumno.
3. Clasifiquen las siguientes funciones definidas de
a.
→
b.
en inyectivas, biyectivas y sobreyectivas.
c.
y
y
y
4
4
3
–3
–3
–1 0
–2
Biyectiva
3
5
x
–3
–1 0
3
5
–2
No inyectiva - No sobreyectiva
–1 0
3
5
x
x
–3
No inyectiva - Sobreyectiva
59
17
16
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Análisis de funciones I
INFOACTIVA
Intersección con los ejes
La ordenada al origen es el punto de intersección de la gráfica con el eje y; vale decir que f(0) = c.
Los ceros o raíces de una función son las abscisas de los puntos de intersección de la gráfica y el eje x;
vale decir que f(x) = 0. Para determinar la raíz, hay que plantear y resolver una ecuación (procedimiento
y
analítico).
3x + 2
f(x) = –__
5
3
3x + 2
0 = –__
5
–2 : (
2
3x
–2 = –__
5
3 =x
–__
5
10 = x
___
3
1
)
–2
–1
0
1
2
3
4 x
–1
Teorema de Bolzano
Si una función f(x) es continua en un intervalo de su dominio, y tiene distinto signo en los extremos
del mismo, entonces la función tiene por lo menos una raíz real en ese intervalo.
f(a) < 0
⇒ f(x1 ) = 0 ∧ x1 ∈ (a;b)
f(b) > 0
}
f(b) > 0
⇒ f(x ) = 0 ∧ x
f(c) < 0 }
2
y
2
∈ (b;c)
f(b)
a
Como consecuencia del teorema anterior, entre
dos raíces reales consecutivas la función adopta
solo valores positivos o negativos.
c
x1
b
x
x2
f(c)
f(a)
Conjuntos de positividad y negatividad de una función
El conjunto de positividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función
es positiva.
+
C = x ∈ Df ∧ f(x) > 0
El conjunto de negatividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función
es negativa.
–
C = x ∈ Df ∧ f(x) < 0
y
Los conjuntos de positividad y negatividad quedan
determinados por las raíces reales de la función.
b
+
C = (a;b) ∪ (c;+∞)
–
C = (–∞;a) ∪ (b;c)
60
a
d
e
c
x
Intervalo de positividad
Intervalo de negatividad
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si solo se sabe que f(0) = 2, ¿se puede afirmar que la función f es negativa en todo su dominio?
+
b. Si la función g(x) verifica que g(3) = 0 y g(5) = 8, ¿el intervalo de positividad es C = (3;+∞)?
a. No, faltan datos para conocer la negatividad en el resto del dominio. b. No, faltan datos para asegurarlo.
17
ACTIVIDADES
Análisis de funciones I
4. Completen la tabla.
Función
f(x) = 3x – 1
g(x) = x2 – 4
h(x) = __23 x – __41
k(x) = (x – 3)2
Intersección con el eje x
1
__
3
2 y –2
1
__
6
3
Intersección con el eje y
–1
–4
1
– __
4
9
5. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es el intervalo que verifica el teorema de Bolzano en cada caso?
a. De una función f(x) sabemos que f(–4) = 0, f(1) = 0, f(5) = 0, f(0) > 0 y f(2) < 0.
[–5;0]
X [–3;3]
[3;6]
b. Dada la función f(x) = 3x + 1
X [–2;2]
[–2;–1]
[0;2]
c. Dada la función f(x) = (x – 4) . (x + 3)
[–4;–3]
X [0;5]
[5;7]
6. Indiquen, en cada caso, los ceros, la ordenada al origen, los intervalos de positividad y negatividad.
a.
b.
c.
y
y
2
2
y
4
2
–4
–2
0
2
4
6x
–4
–2
–2
0
2
–2
4
6x
–4
–2
0
2
4
6x
–2
Ord. al origen = (0;1)
Ord. al origen =
Raíces = (1;0); (5;0)
Raíces = (–3;0); (3;0)
+
C = (–3;0) ∪ (0;3)
+
C = (–∞;1) ∪ (5;+∞)
+
C = (–3;3)
–
C = (∞;–3) ∪ (3;+∞)
–
C = (1;5)
–
C = (–∞;–3) ∪ (3;+∞)
Ord. al origen =
Raíces =
(0;0)
(–3;0); (0;0); (3;0)
(0;4)
61
18
17
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Análisis de funciones II
INFOACTIVA
Funciones pares e impares
Existen condiciones de simetría que facilitan la representación gráfica de ciertas funciones.
Una función es par cuando su gráfica es simétrica respecto del eje y.
f(x) es par ⇔ f(x) = f(–x)
y
2
f(x) = x
f(–x) = (–x)2 = x2
f(x) = f(–x)
La gráfica de la función f(x) = x2 es simétrica
respecto del eje de las ordenadas; se dice
entonces que es una función par.
4
f(1) = f(–1)
f(2) = f(–2)
2
–4
–2
0
2
4
6x
–2
Una función es impar cuando su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas.
f(x) es impar ⇔ f(x) = –f(–x)
y
f(x) = x3
f(–x) = (–x)3 = (–x)2 . (–x) = –x3
f(x) = –f(–x)
La gráfica de la función f(x) = x3 es simétrica
respecto del origen de coordenadas; se dice
entonces que es una función impar.
4
2
–4
–2
0
2
4
x
–2
–4
Si una función no es par ni impar, se dice que
no tiene paridad.
Crecimiento y decrecimiento de una función
Una función f(x) es creciente, en un cierto intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valores
que adopta la variable independiente, también aumentan los valores de sus imágenes.
f(x) es creciente ⇔ x2 > x1 ⇒ f( x2 ) > f( x1 )
f(x) = x2 es creciente en el intervalo (0;+∞), pues: x2 = 3 > x1 = 1 ⇒ f(3) = 9 > f(1) = 1
Una función f(x) es decreciente, en un cierto intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valores que adopta la variable independiente, disminuyen los valores de sus imágenes.
f(x) es decreciente ⇔ x2 > x1 ⇒ f( x2 ) < f( x1 )
f(x) = x2 es decreciente en el intervalo (–∞;0), pues: x2 = –1 > x1 = –2 ⇒ f(–1) = 1 < f(–2) = 4
Máximos y mínimos de una función
En el punto en que la gráfica pasa de ser creciente a ser decreciente, existe un máximo relativo.
En el punto en que la gráfica pasa de ser decreciente a ser creciente, existe un mínimo relativo.
Una función puede tener más de un máximo o mínimo relativo.
62
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La función y = 3x – 2 ¿es par o impar?
b. Si una función es creciente en el intervalo (2;3), ¿existe un máximo en x = 3?
a. No tiene paridad; b. No necesariamente.
18
ACTIVIDADES
Análisis de funciones II
7. Determinen analíticamente si las siguientes funciones son pares o impares.
a. f(x) = 3x2
d. k(x) = x2 + 2
Par.
Par.
b. g(x) = 3x
e. l(x) = 3x4
Impar.
Par.
c. h(x) = –x3
f. m(x) = x2 + x
Impar.
Ni par, ni impar.
8. Unan con flechas, cuando sea posible, teniendo en cuenta que f(x) = –x2 + 2 y g(x) = 2x3.
a. f(x) + g(x)
b. f(x) . g(x)
c. 2 . f(x)
d. g(x) + g(x)
PAR
e. g2(x)
f. f(x) . f(x)
IMPAR
9. Identifiquen si los siguientes gráficos corresponden a funciones pares o impares.
a.
Impar
–3
c.
–2
Par
y
y
1
1
–1
0
1
2
3
–3
x
–2
–1
–1
b.
1
2
3
x
0
1
2
3
x
d. Par
Impar
–3
0
–1
–2
–1
y
y
2
1
1
–1
–2
0
1
2
3
x
–3
–2
–1
–1
63
18
ACTIVIDADES
Análisis de funciones II
10. Observen los gráficos y completen.
a.
d.
y
y
4
–1,5
–1
–0,5
2
–3
–2
–1
0
0,5
1
1,5
x
5
x
3
X
–2
0
1
2
3
–4
x
–2
–6
Int. de crecimiento =
(–∞;0) ∪ (2;+∞)
Int. de crecimiento =
Int. de decrecimiento =
(0;2)
Int. decrecimiento =
Máximos =
(0;4)
Máximos =
No tiene.
Mínimos =
(2;0)
Mínimos =
No tiene.
b.
No tiene.
e.
–3
–2
y
y
2
2
–1
0
1
2
3
–1
x
0
–2
–2
–4
–4
1
2
3
4
Int. de crecimiento =
(–∞;0) ∪ (2;+∞)
Int. de crecimiento =
(–∞;3)
Int. de decrecimiento =
(0;2)
Int. decrecimiento =
(3;+∞)
Máximos =
(0;0)
Máximos =
(3;3)
Mínimos =
(2;–4)
Mínimos =
No tiene.
c.
f.
y
y
2
10
1
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
–3
–10
–2
–1
0
1
2
–1
Int. de crecimiento =
64
Int. de crecimiento =
(–2;0,5) ∪ (3;+∞)
Int. de decrecimiento =
No tiene.
Int. decrecimiento =
(–∞;2) ∪ (0,5;3)
Máximos =
No tiene.
Máximos =
( 0,5;f(0,5) )
Mínimos =
No tiene.
Mínimos =
(–2;0) y (3;0)
18
ACTIVIDADES
Análisis de funciones II
11. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), teniendo en cuenta el gráfico.
a. La función crece en el (–∞;2).
F
y
b. La función tiene un máximo en (–3;2).
V
2
c. En el intervalo (–2;+∞) la función es decreciente. V
d. La función decrece en el intervalo (–3;+∞).
1
V
–6
e. La función crece solo en el intervalo (–4;–2).
–5
–4
–3
F
–2
–1
0
1
x
–1
12. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si el intervalo de crecimiento de una función es (–∞;3) entonces, ¿la función decrece en el intervalo (3;+∞)?
Puede decrecer o ser constante, o decrecer en otro intervalo.
b. Si en una función el intervalo de decrecimiento es (–∞;t) y el de crecimiento es (t;+∞), entonces
en el punto de abscisa t ¿hay un mínimo relativo?
Sí, porque a la izquierda de la abscisa t la gráfica decrece y a su derecha, crece.
13. Realicen el gráfico de una función que cumpla con las siguientes características y respondan.
ˆ f(x): →
ˆ Imagen: (–∞;3)
+
ˆ C = (–2;1)
–
ˆ C = (–∞;–2) ∪ (1;+∞)
ˆ Intervalo de crecimiento = (–∞;–1)
ˆ Intervalo de decrecimiento = (–1;+∞)
a. ¿Cuál es el máximo?
Solución a cargo del alumno.
b. ¿Cuál es la ordenada al origen?
Solución a cargo del alumno.
c. ¿Cuántas raíces tiene? ¿Cuáles son?
Solución a cargo del alumno.
Gráfico a cargo del alumno.
65
INTEGRACIÓN
14. Escriban la fórmula de la función que cumple
16. Escriban la imagen que corresponde en cada
con lo pedido en cada caso.
a. A cada número real le asigna su doble.
b. A cada número entero le asigna el anterior
de su triple.
c. A cada número real le asigna el triple de su
cuadrado.
caso, teniendo en cuenta el gráfico. Luego, clasifiquen las funciones.
y
a. f(x): →
+
4
b. g(x): →
+
+
c. h(x):
→
2
a. y = 2x b. y = 3x – 1 c. y = 3x2
–2
15. Indiquen el dominio y la imagen para cada
uno de los siguientes gráficos.
a. Df = ; Imf =
y
–2
–1 –5 0
–10
–15
1
2
3
x
b. Df = ; Imf = (–∞;1]
0
1
2
3
4
5
x
–1
–2
c. Df = ; Imf = [–3;+∞)
y
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
x
–1
–3
d. Df = ; Imf = [–2;2]
y
3
2
1
66
x
condiciones indicadas en cada caso, teniendo en
cuenta los conjuntos A = [–3;2] y B = [–1;4].
a. f(x): A → B/f(x) es creciente en el [–3;0) y es
decreciente en (0;2].
b. f(x): A → B/f(x) no sea inyectiva, pero sí
sobreyectiva.
c. f(x): A → B/f(x) tenga dos máximos.
–2
–1 –1 0
–2
–3
1
2
a. La función f(x) = x3 – 3x + 4, ¿tiene al menos
una raíz en el intervalo (–2;0)?
b. La función f(x) = 2x3 – x – 7, ¿tiene al
menos una raíz en el intervalo (0;2)?
c. Para una función continua f(x) se cumple
que f(–3) < 0 y f(–2) > 0, entonces ¿en el intervalo (–3;–2) existe por lo menos una raíz?
Solución a cargo del alumno.
19. Indiquen, en cada caso, los intervalos de
positividad y negatividad sabiendo que se trata
de una función f(x) continua.
a. Los únicos ceros de la función f(x) son x = –5
y x = 1, además f(–6) = 3, f(0) = –1 y f(2) = 4.
b. Los únicos ceros de la función g(x) son x = –3,
x = 2 y x = 4, además g(–4) = 2, g(0) = 3,
g(3) = –2 y g(5) = 3.
c. Los únicos ceros de la función h(x) son x = –3
y x = 2, además h(–4) < 0, h(0) < 0 y h(3) > 0.
–2
–3
2
18. Respondan y expliquen las respuestas.
1
–6
1
Solución a cargo del alumno.
y
–1
0
–2
17. Representen la función que cumpla con las
15
10
5
–3
–1
Solución a cargo
del alumno.
3
x
a. C = (–∞;–5) ∪ (1;+∞), C = (–5;1)
+
–
b. C = (–∞;–3) ∪ (–3;2) ∪ (4;+∞), C = (2;4)
+
–
c. C = (2;∞), C = (–∞;–3) ∪ (–3;2)
+
–
capítulo
CONTENIDOS
3
16*17*18
20. Resuelvan teniendo en cuenta el gráfico.
22. Marquen las opciones correctas.
Teniendo en cuenta el siguiente gráfico...
y
y
4
1
2
–1
–3
0
1
2
3
4
5
6
–2
x
–2
–1 –1 0
–2
–3
–4
–5
1
2
3
x
–4
a. ... ¿cuál es el intervalo de crecimiento?
a. Clasifiquen la función definida de → .
b. Redefinan el dominio y el codominio para
que sea biyectiva, en caso de ser necesario.
c. Intervalos de positividad y de negatividad.
d. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
e. Máximos y mínimos, si los hubiera.
Solución a cargo del alumno.
21. Indiquen la información solicitada para cada
uno de los siguientes gráficos.
ˆ Raíces.
ˆ Ordenada al origen.
ˆ Intervalos de positividad y de negatividad.
ˆ Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
ˆ Máximos y mínimos.
ˆ Imagen.
(–∞;2) ∪ (–4;2)
X (–∞;–2) ∪ (0;2)
(–2;0) ∪ (0;2)
–5
–4
–3
–2
–1
(–2;2)
c. ... es una función:
X par.
sin paridad.
impar.
d. ... ¿cuál es el conjunto de negatividad?
–
0
X
–
X
–
0
e. ... ¿cuál es la imagen?
y
–6
X (–2;0) ∪ (2;+∞)
(–2;+∞)
2
–7
(–∞;2)
b. … ¿cuál es el intervalo de decrecimiento?
+
0
a. f(x) = – __21 . (x + 4)2 + 2
(–4;–2) ∪ (0;2)
0 x
+
0
–
–2
f. ... ¿cuál o cuáles son los máximos?
–4
X (–2;0)
(0;–2)
b. h(x) = (x + 2)2 . (x –2)2
y
–2
–1 –1 0
X (2;0)
g. ... la función definida de
6
5
4
3
2
–3
(0;–4)
→
–
0
es:
inyectiva.
no inyectiva, no sobreyectiva.
1
2
3
x
X no inyectiva, sobreyectiva.
biyectiva.
Solución a cargo del alumno.
67
19
18
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Función lineal
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 6
Se llama función lineal a aquella cuya fórmula es y = mx + b.
Los números m y b reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen, respectivamente.
Ecuación explícita de la recta: y = mx + b
Pendiente
Ordenada al origen
La representación gráfica de una función lineal es una recta.
ˆ La pendiente de una recta es el cociente entre la variación
de la variable dependiente (Δy) y la variación de la variable
independiente (Δx) de cualquier punto de la misma.
Δy y2 – y1
m = ___ = ______
x2 – x1
Δx
y
y2
Δy
y1
Δx
b
ˆ La ordenada al origen es el valor donde la recta
corta al eje y.
0
x
x2
x1
f(0) = b
El valor de la pendiente determina que una función lineal sea creciente, constante o decreciente.
y
4
3
2
1
–4
–2
–1
–2
y
y
4
3
2
1
m>0
0
2
4
6x
–4
–2
Creciente
–1
–2
4
3
2
1
m=0
0
2
4
6x
–4
–2
Constante
–1
–2
m<0
0
2
4
6x
Decreciente
Representación gráfica de una función lineal dada de forma explícita
Para graficar una función lineal, se debe marcar la ordenada al origen (b) y, a partir de ella, representar un par de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente (m).
y
y
4
4
3
2x + 1
y = __
3
3
2
2
2
3
y = – __ x + 4
2
3
1
1
3
–2
b=1
68
0
2
3
Δy 2
m = ___ = __
3
Δx
6
x
–2
b=4
0
3
6
Δy
3
m = ___ = – __
2
Δx
x
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La ecuación explícita de la recta que corta al eje y en 3 y tiene pendiente 2, ¿es y = 3x + 2?
b. Las funciones de la forma f(x) = mx + b, con m > 0 y b cualquier valor real, ¿siempre son crecientes?
a. No, la ecuación es y = 2x + 3. b. Sí.
19
ACTIVIDADES
Función lineal
23. Grafiquen las siguientes funciones lineales dadas en forma explícita.
a. y = 3x – 5
b. y = – __41 x + 2
c. y = –5x – 1
d. y = __21 x + __23
Solución a cargo del alumno.
24. Escriban la ecuación de una recta que cumpla con las condiciones indicadas en cada caso.
a. Es una función decreciente y tiene la misma ordenada al origen que y = 3x – 2.
Por ejemplo, y = –x – 2
b. Tiene una raíz positiva y es creciente.
Por ejemplo, y = 3x – 2
c. Pasa por el origen de coordenadas y su pendiente es la misma que 2x – 4y = 1
1x
Por ejemplo, y = __
2
d. Es una función constante cuya ordenada al origen es 3.
Por ejemplo, y = 3
25. Calculen la pendiente de cada recta.
a. La recta R pasa por los puntos a = (–2;–3) y
b = (1;0).
1
b. La recta S pasa por los puntos c = (–1;3) y
d = (2;–4).
7
– __
3
c. La recta T pasa por los puntos e = (–5;–2) y
f = (–3;–7).
5
– __
2
d. La recta U pasa por los puntos g = (–1;4) y
h = (–5;–2).
3
__
2
69
20
19
21
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27
28
29
Distancia entre dos puntos
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 7
La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que tiene a dichos puntos por extremos.
Para calcular la distancia entre dos puntos se aplica el teorema de Pitágoras.
Sean los puntos a = (x1;y1) y b = (x2;y2).
________
ab2 = ac2 + bc2 ⇒ ab = 3 ac2 + bc2
y
b
y2
y2 – y1
__________________
D(a;b) =
3( x
2
2
2
– x1 ) + ( y2 – y1 )
y1
a
c
x2 – x1
x1
x2
La distancia entre a y b es:
x1
y
x2
4
a = (–2;2) ∧ b = (4;3)
y1
x
b
3
y2
a
2
__________________
1
D(a;b) = 3_______
[4 – (–2)]2 +___
(3 – 2)2
2
2
D(a;b) = 36 + 1 = 337
–2
0
4
x
Distancia de un punto a una recta
La distancia de una recta a un punto que no pertenece a la misma es la longitud del segmento
perpendicular a la recta que tiene por extremos a un punto de la misma y al punto considerado.
La distancia de un punto p = (x1;y1) a una recta.
y
R: Ax + By + C = 0 está dada por la siguiente fórmula:
|
Ax1 + By1 + C
_______
D(R;p) = ____________
3A2 + B2
R
|
p
y1
x1
1 x + 3.
Distancia del punto a = (3;1) a la recta R: y = __
2
1 x – 3 = 0 ⇒ R: –x + 2y – 6 = 0
R: y – __
2
|
|
.3
+2.1–6
_____________
_________
D(R;a) = –1
3(–1)2 + 22
+2
_________
__ – 6 = 3,13
D(R;a) = –3
35
|
|
y
R: –x + 2y – 6 = 0
5
4
3
2
y1 1
–1
70
x
–1
p
0
1
2
3
x1
4
x
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo se expresa la fórmula de distancia de cualquier punto al origen de coordenadas?
3 . 2 + 1______
. (–3) – 2
b. ¿Qué información
se puede obtener de la siguiente expresión? D(R,a) = _______________
_________
2
2
|
a. Si p = (x1;x2), 3(x1)2 + (x2)2 b. La distancia desde la recta 3x + y – 2 = 0 al punto (2;–3).
20
33 + 1
|
ACTIVIDADES
Distancia entre dos puntos
26. Calculen la distancia entre los puntos dados.
a. m = (–3;1) y t = (0;4)
__
e. v = –3;– __34 y w = (1;–6)
___
(
2 . 85
__
3 3
3 . 32
b. p = (–2;–3) y q = (1;2)
___
f. k ____
= (–2;5) y l = __53 ;7
269
3_____
5
334
c. r = __21 ;5 y s = __27 ;1
( )
( )
)
( )
g. n = (–4;0) y o = (0;–2)
__
2 . 35
5
d. t = (3;3) y u = (2;–4)
__
5. 32
h. p_____
= (–1;5) y r = 6;__45
( )
1009
3______
4
27. Ubiquen los puntos m = (2;5) y t = (4;2) en un par de ejes cartesianos y resuelvan.
Solución a cargo del alumno.
a. Calculen la D(m,t).
___
313
b. Indiquen los puntos q y r, del segundo cuadrante, que verifiquen que D(m,t) = D(q,r).
q = (–4;2); r = (–2;5)
c. Dado el punto h = (0;–4), encuentren el punto j que cumpla D(m,t) = D(h,j).
Por ejemplo, (2;–1).
d. Las respuestas en los ítems b. y c. ¿son únicas?
No, hay infinitas respuestas.
71
20
ACTIVIDADES
Distancia entre dos puntos
28. Calculen la distancia del punto p a la recta M, en cada caso.
a. p =___(–2;3) y M: 3x – 2y + 4 = 0
8 . 313
______
13
b. p = (–2;–4) y M: x + 3y – 1 = 0
3 . ___
__
10
2 3
d. p = (3;–2) y M: y = 2x – 4
4 . __
__
5
5 3
e. p = (1;–3) y M: y – 2 = 0
5
c. p = (1;3) y M: x + 1 = 0
2
f. p = (0;–2) y M: y = 3x + 2
2 . ___
__
10
5 3
29. Representen en un sistema de ejes cartesianos y calculen el perímetro de cada figura en forma exacta.
a. Triángulo abc, siendo a = (–3;2), b = (0;3) y c = (–1;0).
___
__
2 . ( 310 + 32 )
Solución a cargo del alumno.
b. Paralelogramo mrtq, siendo m = (–1;–2), r = (0;1), t = (4;1) y q = (3;–2).
___
8 + 2 . 310
Solución a cargo del alumno.
72
20
ACTIVIDADES
Distancia entre dos puntos
30. Calculen analíticamente la distancia entre las rectas dadas y grafíquenlas en un sistema de ejes
cartesianos.
a. A: y = 3x – 2 y B: y = 3x + 5
7 . ___
___
10
10 3
b. C:
__ y = –x + 2 y D: y = –x + 1
2
3___
2
c. E: y – 2 = 2x y F: (y – 1) = 2 . (x + 3)
__
35
d. G: (y – 1) = –2 . (x – 3) y H: y = –3x – 2
6 . ___
__
10
5 3
Solución a cargo del alumno.
mente ACTIVA
Dada la función f(x) = –2x – 4 y dos puntos de la gráfica, tales que f(a) = 0 y f(0) = b,
__
calculen la distancia entre a y b. 2 . 35
73
21
20
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Ecuación de la recta
INFOACTIVA
y
x __
__
m + n =1
y
x
__
Toda ecuación de la forma __
m + n = 1 representa una recta
en forma segmentaria.
Los denominadores m y n representan la raíz y la ordenada
al origen, respectivamente.
y
ordenada al origen
n
abscisa al origen
m
x
Para pasar de la ecuación explícita a la segmentaria, se procede de la siguiente manera.
Dada la recta y = 2x – 3 ⇒ 2x – y = 3
y
2x – y __
x
2x + ___
_____
=3
⇒ ___
= 1 ⇒ ___
3
3
3 –3
3
__
2
y
x + ___
___
=1
–3
3
__
2
y
y
+ ___
=1
–3
1
–1
Para representar gráficamente una función lineal en forma
segmentaria, se determinan sobre los ejes las intersecciones con
la recta y luego se traza la misma.
0
1
2
3
x
–1
2
–2
–3
y = 2x – 3
1
Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma
Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente
(m) y un punto perteneciente a la misma ( x1;y1 ).
y – y1 = m . (x – x1)
La ecuación explícita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1;3).
y – 3 = 2 . (x – 1) ⇒ y – 3 = 2x – 2 ⇒ y = 2x – 2 + 3 ⇒ y = 2x + 1
Ecuación de una recta dados dos puntos de la misma
Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos
pertenecientes a ella (x1;y1) y (x2;y2).
x – x1
y – y1
______
______
y2 – y1 = x2 – x1
La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es:
(2;1) y (5;3)
x1 y1
y – 1 _____
y – 1 _____
2
1 x – __
_____
= x – 2 ⇒ _____
= x –32 ⇒ y – 1 = __
3
3
3–1 5–2
2
(
) . 2 ⇒ y = __23 x – __43 + 1 ⇒ y = __23 x – __13
x2 y2
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.
M: y = a1 x + b1 ∧ P: y = a2 x + b2 ∧ M // P ⇔ a1 = a2
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas.
1
S: y= a1 x + b1 ∧ N: y = a2 x + b2 ∧ S ⊥ N ⇔ a1 = – __
a
2
74
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Todas las rectas pueden expresarse en forma segmentaria?
y–1
–3
_____
b. ¿Por cuáles puntos pasa la recta de ecuación x_____
–3 = 2 – 1 ?
a. No, las que pasan por el origen no pueden expresarse en forma segmentaria. b. Por los puntos (3;1) y (0;2).
21
ACTIVIDADES
Ecuación de la recta
31. Escriban en forma segmentaria y explícita la ecuación de cada una de las rectas graficadas.
a.
c.
–3
–2
–1
y
y
6
5
4
3
2
1
1
–1
–2
–1
0
1
2
3
X
y
1
2
3
4
5
X
1
X
x + ___
y =1
__
Forma segmentaria: 4 –4
x + __ = 1
__
Forma segmentaria: 2 4
y = 4 – 2x
Forma explícita:
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
y = –4 + x
Forma explícita:
b.
d.
–5
–4
–3
–2
y
y
1
1
–1
0
1
–5
X
–4
–3
–2
–1
–1
–1
y
y
x + __ = 1
___
Forma segmentaria: –3 –1
x + __ = 1
___
Forma segmentaria: –3 1
Forma explícita:
0
1x
y = 1 + __
3
1x – 1
y = – __
3
Forma explícita:
32. Escriban las ecuaciones de las rectas indicadas.
Función
f(x)
g(x)
h(x)
k(x)
– __23
Pendiente
3
–2
1
__
4
Punto
(2;6)
( –1;– __21 )
(0;–2)
(0;0)
Ecuación explícita
y – 6 = 3 . (x – 2)
y = 3x
1 = –2 . (x + 1)
y + __
2
5
y = –2x – __
2
1x
y + 2 = __
4
1x – 2
y = __
4
3
y = – __ x
2
Ecuación segmentaria
No tiene
y
x + ____
____
=1
5
5
– __
– __
2
4
y
x + ___
__
=1
8 –2
No tiene
75
ACTIVIDADES
Ecuación de la recta
21
33. Marquen las opciones correctas.
y
a. ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen de la recta __4x + ___
–2 = 1?
4
1
__
4
X –2
2
b. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta y – 1 = –3 . (x + 2)?
X –3
–1
2
–2
1
–6
y
c. ¿Cuál es la abscisa al origen de la recta __2x + __3 = 1?
X 2
–3
d. ¿Por cuál de los siguentes puntos pasa la recta de ecuación y – 3 = – __21 . (x + 2)?
X 3; – __1
(–3;2)
– __1 ;0
(–3;–2)
(
2
(
)
y_____
–4
–2
e. ¿Cuál es la ecuación en forma explícita de la recta x_____
3 = 5 ?
X y = __5 x + __2
y = __31 x – 4
y=x–2
3
3
b.
y
>
0
y
__
= 1 de las rectas graficadas.
b
c.
y
y
x
a
b
<
0
x
a <
0
b >
0
x
a
<
35. Escriban la ecuación de la recta que pasa por los puntos indicados.
a. m = (2;–1) y t = (1;–2)
y=x–3
b. q = (–3;–2) y r = (–1;2)
y = 2x + 4
76
)
y = 3x + 5
34. Coloquen < o > según corresponda a las ecuaciones de la forma __ax +
a.
2
c. s = (0;3) y t = (–1;2)
y=x+3
d. u = (1;–2) y p = (3;1)
3
7
y = __ x – __
2
2
0
b
<
0
21
ACTIVIDADES
Ecuación de la recta
36. Escriban // o ⊥ según corresponda.
a. 3y = x ⊥
y
x
__
e. ___
–6 + 4 = 1
(y + 1) = –3 . (x – 1)
c. y = 3x – 1
//
d. y = –x ⊥
y
x
__
___
2 + –2 = 1
(y + 1) = __32 . (x – 3)
y
x
___
__
1 + –1 = 1
__
2
g. y – 4 = –3 . (x + 1) ⊥ y = __31 x + 7
h. __21 y + __43 x = 1 ⊥ y – 5 = __32 . (x – 6)
y = – __23 x – 1
b. y – 1 = __32 x ⊥
//
f. (y + 1) = 2 . (x – 3)
y – 2 = 3 . (x + 1)
//
37. Escriban en forma segmentaria las ecuaciones de las rectas.
a. La recta M pasa por los puntos (2;3) y (–1;0).
x +y=1
__
–1
b. La recta T es paralela a M y pasa por el punto (–3;1).
y
x + __
___
=1
–4 4
c. La recta R es perpendicular a T y pasa por el punto (–3;0).
y
x + ___
___
=1
–3 –3
38. Completen la tabla teniendo en cuenta el punto indicado.
Ecuación de la
recta
Punto
a
Recta paralela que pasa por a
Recta perpendicular que pasa
por a
y = 3x + 2
(4;1)
y = 3x – 11
7
1 x + __
y = – __
3
3
– __31 x – y – 3 = 0
(2;0)
2
1 x + __
y = – __
3
3
y = 3x – 6
y = 5x
(–2;–1)
y = 5x + 9
7
1 x – __
y = – __
5
5
y+3
x
__
_____
2 = 8
(6;–2)
y = 4x – 26
1
1 x – __
y = – __
2
4
–y + 1 = __31 x
(–3;1)
1x
y = – __
3
y = 3x + 10
mente ACTIVA
Ubiquen en un sistema de ejes cartesianos los puntos a = (–2,1), b = (3;2) y c = (1;–2) y
calculen el área del triángulo abc de dos maneras diferentes.
Área = 9 unidades cuadradas
77
22
21
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Función módulo
INFOACTIVA
y
Se define la función módulo o valor absoluto como:
x≥0
f(x) = |x| = –xx si
si x < 0
{
1
–3
+
f: R → R 0
–2
–1
0
1
2
3
2
3
X
–1
Funciones de la forma f(x) = |x + c|
–3
–2
y
y
2
2
1
1
–1
0
1
2
3
X
ˆ Si c > 0, la función |x| queda desplazada c unidades hacia la izquierda.
f(x) = |x + 1|
–3
–2
–1
0
1
X
ˆ Si c < 0, la función |x| queda desplazada
|c| unidades hacia la derecha.
f(x) = |x – 2|
Funciones de la forma f(x) = |x| + b
y
y
2
–3
–2
–1
–3
–2
–1
0
1
2
3
X
–1
1
0
1
2
3
ˆ Si b > 0, la función |x| queda desplazada b unidades hacia arriba.
f(x) = |x| + 1
–2
X
ˆ Si b < 0, la función |x| queda desplazada
|b| unidades hacia abajo.
f(x) = |x| – 2
Para graficar ciertas funciones, se deben redefinir las mismas aplicando la definición de valor absoluto.
f(x) = –2.|2x – 2| + 3
2x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
f(x) = –2.(2x – 2) + 3 = –4x + 4 + 3
f(x) = –4x + 7 ⇔ x ≥ 1
2x – 2 < 0 ⇒ x < 1
f(x) = –2.(–2x + 2) + 3 = 4x – 4 + 3
f(x) = 4x – 1 ⇔ x < 1
{
+ 7 si x ≥ 1
f(x) = –4x
4x – 1 si x < 1
y
3
1
–3
78
–2
–1
–1
0
1
2
3
X
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La función y = |x| definida de → ¿es inyectiva? ¿Y sobreyectiva?
b. La función y = –2 . |x – 3| + 4, ¿tiene un máximo o un mínimo en su vértice? ¿Qué coordenadas tiene?
a. No es inyectiva ni sobreyectiva. b. Un máximo. (3;4)
22
ACTIVIDADES
Función módulo
39. Grafiquen en un mismo sistema de ejes cartesianos los siguientes grupos de funciones.
a. f(x) = |x|
g(x) = |x| + 2
b. m(x) = |x|
n(x) = |x| – 3
h(x) = |x + 2|
i(x) = 2 . |x|
o(x) = |x – 3|
p(x) = –3 . |x|
y
y
f(x) = |x| + 2
4
4
f(x) = 2 . |x|
2
f(x) = |x + 2|
2
f(x) = |x|
f(x) = |x|
1
1
–5 –4 –3 –2 –1
f(x) = |x – 3|
3
3
0 1
2
3
4
5
–5 –4 –3 –2 –1
x
0 1
2
3
4
5
x
–1
–1
f(x) = –3 . |x|
–2
–2
f(x) = |x| – 3
–3
–3
40. Representen las siguientes funciones en un sistema de ejes cartesianos.
a. f(x) = –|x + 3|
b. g(x) = |2x – 2| + 1
c. h(x) = |x + 1| + 3
y
4
g(x) = |2x – 2| + 1
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1
h(x) = –|x + 1| + 3
0 1
2
3
4
5
x
–1
f(x) = –|x + 3|
–2
–3
41. Observen los gráficos, analicen los desplazamientos y escriban la fórmula correspondiente.
a.
b.
y
y
3
2
1
–6
–5
–4
y = |x + 4| – 2
–3
–2
–1
–1
–2
–3
3
2
1
0
1
X
–3
–2
–1
–1
–2
–3
0
1
2
3
X
y = –2 . |x| + 1
79
INTEGRACIÓN
42. Escriban las ecuaciones de las siguientes
43. Calculen la distancia entre la ordenada al origen
rectas en forma explícita y segmentaria. Luego,
calculen la distancia de cada una de las rectas al
punto (–3;–2).
__
a. y = 2x + 3; 35
y la raíz de cada una de las siguientes rectas.
a. y = __21 x – 4
d. y = – x – 5
1
__
b. y = –2x + 3
e. y – 2 = 3 . (x + 1)
c. y = 4x __
f. y + __21 =___– __21 . (x__ – 2)
y
44. Resuelvan lo pedido en cada caso.
7
6
5
4
3
2
1
–3
–2
__
__
5
5
10 f. 3___
a. 4 . 35 b. 3___ c. 0 d. 5 . 32 e. 5 . 3___
2
3
6
a. y = 4__ x – __1
3
3
y
2
t
1
–1 –1 0
–2
–3
1
2
3
x
–2
–1
0
1
2
3
–1
4
x
r
–2
__
b. y = –2x + 1; 35
–3
m
y
7
6
5
4
3
2
1
–3
–2
ˆ Ecuación de la recta mr.
14
ˆ Distancia D(t,mr). ___
5
ˆ Distancia D(m;r). 5
ˆ Área del triángulo mrt. 7 u2
b. y = 3__ x + 3
–1 –1 0
–2
–3
1
2
3
2
x
y
4
3
___
1
y
f
–2
3
1
–1
0
–1
–1
g
2
–2
h
2
c. y = –3x – 1; 310
–3
i
1
2
3
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
1
2
3
4
x
–1
Ecuación de la recta___fg.
5 . 313
Distancia D(h,fg). ______
___13
Distancia D(f;g). 313
Área del paralelogramo fghi. 5 u2
45. Resuelvan.
Un triángulo queda determinado por la recta
2x – 3y + 1 = 0 y los ejes coordenados. ¿Cuánto
mide___el perímetro y el área del triángulo?
13 +5
1 unidades cuadradas.
P = 3______ unidades; A = ___
12
6
80
capítulo
CONTENIDOS
3
19*20*21*22
46. Escriban la ecuación de la recta en forma
49. Escriban las fórmulas de las siguientes fun-
explícita, en cada caso.
a. La recta M que pasa por los puntos a = (–3;2)
y b = (1;0). M: y = – __1 x + __1
2
2
b. La pendiente de N es 3 y pasa por el punto
c = (0;–2). N: y = 3x – 2
c. La recta P es perpendicular a 2x + 3y – 1 = 0
3
1
x + __
y pasa por el punto d = (1;2). P: y = __
2
2
d. La recta R es paralela a (y – 2) = __21 . (x + 2)
y pasa por el punto e = (–2;0). R: y = __1 x + 1
2
e. La recta S tiene la misma ordenada al origen
y
x
__
que ___
–3 + 2 = 1 y pasa por f = (–3;–2).
ciones, a partir del gráfico de f(x) = |x|.
a. Se traslada c unidades a la derecha.
b. Se traslada d unidades hacia arriba.
c. Se traslada f unidades hacia abajo y k unidades hacia la derecha.
d. Se traslada h unidades hacia abajo.
4
S: y = __ x + 2
3
47. Resuelvan en cada caso, teniendo en cuenta
los puntos a = (1;2), b = (3;–4) y c = (6;3).
a. La ecuación en forma segmentaria de lay
x + ___ = 1
___
recta que pasa por b y c.
33 –11
___
7
b. La ecuación de la recta perpendicular
a bc,
3
17
__
___
y
=
–
x
+
que pasa por a. ___ 7
7
58
c. La D(a;bc ). 16 . 3____
29
___
___
___
d. El perímetro del triángulo abc. 2 . 310 + 358 + 326
e. El área del triángulo abc. 16 u2
f. La distancia del punto c al eje x. 3
48. Observen el gráfico de f(x) = –|2x + 3| + 5
y resuelvan.
a. Intersecciones con los ejes.
b. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c. Intervalos de positividad y negatividad.
d. Máximo o mínimo.
e. Imagen.
f. Dominio y codominio para que sea biyectiva.
a. f(x) = |x – c|; b. f(x) = |x| + d; c. f(x) = |x – k| – f;
d. f(x) = |x| – h
50. Escriban la fórmula de cada uno de los
siguientes gráficos, teniendo en cuenta que son
corrimientos de la función f(x) = |x|. Luego, indiquen los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, positividad y negatividad.
y = |x + 2|, C = (–2;+∞), D = (–∞;–2)
a.
–
+
C = no tiene, C = (–∞;–2) ∪ (–2;+∞)
y
4
3
2
1
–4
–3
–2
–3
–2
–1 –1 0
–2
0
1
2
x
–1
+
y = –|x| + 3, D = (0;+∞), C = (–∞;0) C = (–3,3),
b.
–
C = (–∞;–3) ∪ (3;+∞)
y
3
2
1
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
3
x
–1
y
8
7
6
5
4
3
2
1
–4
–1
y = |x – 1| + 1, C = (1;+∞), D = (–∞;1)
c.
–
+
C = no tiene, C =
y
3
2
1
2
x
1
–3
a. Raíces: –4 y 1, ord.
al origen– 2 b. C = (–∞;–1,5),
+
D = (–1,5;+∞) c. C = (–4;1), C =(–∞;–4) ∪ (1;+∞)
d. Máx = (–1,5;5) e. (–∞;5] f. [–1,5;+∞)→(–∞;5]
–2
–1
0
1
2
–1
81
capítulo
3
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
51. ¿Cuál es la imagen de la función y = (x – 3)2?
a.
b.
+
X c. [0;+∞)
d. (1;+∞)
52. ¿Cuál es la imagen de la función y = |x – 2| – 3?
a. [3;+∞)
b. (–∞;3]
X c. [–3;+∞)
d. (–∞;–3]
53. ¿En cuál intervalo es creciente la función y = |x| – 4?
a. (–∞;0)
X b. (0;+∞)
c. (–∞;–4)
d. (–4;+∞)
54. ¿En cuál intervalo es negativa la función y = |x – 3|?
a. (–∞;3)
b. (–∞;–3)
c. (3;+∞)
X d. Ninguna de las anteriores.
55. ¿Cuál es la pendiente de la recta (y – 4) = –2 . (x – 1)?
a. 2
X b. –2
c. –4
d. 1
x
__
56. ¿Cuál es la distancia aproximada desde el punto a = (2;0) a la recta ___
–2 + 3 = 1?
y
a. –3,33
b. 9,23
c. –9,23
X d. 3,33
57. Dada la función y – 1 = 2 . (x + 1), ¿cuál de las siguientes rectas es paralela?
X a. y = 2x
b. y = –2x
c. y = x
d. y = –x
58. El cuadrado abcd tiene dos vértices ubicados en a = (1;0) y b = (2;3); ¿cuál es su perímetro?
___
a. 310
82
___
b. 10
X c. 4 . 310
d. Ninguna de las anteriores.
Contenidos
4
23. Función cuadrática.
24. Raíces de una función
cuadrática. Discriminante.
25. Distintas expresiones de la
función cuadrática.
26. Gráfico de una función
cuadrática.
27. Ecuaciones de segundo
grado.
28. La parábola como lugar
geométrico.
29. Ecuación de la parábola.
Durante el período helenístico se dio un avance fundamental en la historia
de la matemática. Al cabo de varios siglos, esta se transformó por fin en una
disciplina independiente de la filosofía.
Grandes sabios contribuyeron a esto, como Euclides y Arquímedes. Este
último también desarrolló de manera notable un aspecto de la matemática
hasta entonces poco explorado por los griegos: las aplicaciones prácticas a
problemas concretos. Sin embargo hay un tercer personaje, no tan famoso,
pero no por eso menos importante. Hablamos de Apolonio de Perga, en cuyo
tratado sobre las cónicas introdujo un término que se sigue usando en la
actualidad: la parábola. Se trata de una curva que ya era conocida siglos
atrás, aunque fue Apolonio el primero en estudiarla en profundidad y describir
una propiedad geométrica que todavía se emplea para la construcción de
objetos de gran utilidad, como antenas satelitales o colectores solares.
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Qué cambio fundamental se produjo en el período helenístico?
b. ¿Qué objetos conocen que tengan forma de parábola?
a. En el período helenístico, la matemática pasó a ser una disciplina independiente de la
filosofía y comenzó a aplicársela a problemas concretos.
b. Por ejemplo, las antenas parabólicas y los faros de los autos, entre otros.
capítulo
Función cuadrática
23
22
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Función cuadrática
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 8
A la función polinómica de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c números reales y a ≠ 0,
se la denomina función cuadrática.
Los términos de la función reciben los siguientes nombres: y = ax2 + bx + c.
Término
cuadrático
Término
lineal
Término
independiente
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.
ˆ Funciones de la forma y = ax2.
ˆ Funciones de la forma: y = x2 + c.
y
y
y = x2
1 x2
y = __
4
y = x2 + 3
7
3
y = x2
5
2
3
–4
–2
0
2
y = x2 – 3
4
x
1
–2
–4
–2 –1 0
2
4
x
–4
–3
y = –x2
a > 0 → La parábola “va” hacia arriba.
a < 0 → La parábola “va” hacia abajo.
0 < |a| < 1 → La parábola se abre.
|a| > 1 → La parábola se cierra.
c > 0 → La gráfica se desplaza hacia arriba.
c > 0 → La gráfica se desplaza hacia abajo.
ˆ Funciones de la forma y = ax2 + bx.
1 x2 + 2x
y = __
2
y
y
6
6
1 x2 – 2x
y = __
2
y = x2
4
4
y = x2
2
–6
–4
–2
0
2
2
4
6
x
–4
–2
0
–2
1 x2 – –4
y = – __
2x
2
–6
–4
Si a y b tienen el mismo signo, la gráfica
se desplaza hacia la izquierda.
84
–6
–2
2
4
6
x
1 x2 + 2x
y = – __
2
–6
Si a y b tienen distinto signo, la gráfica
se desplaza hacia la derecha.
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En la gráfica de la función y = –2x2, ¿el vértice representa un máximo o un mínimo?
b. Las gráficas de las funciones y = 2x2 – x e y = –2x2 + x, ¿se desplazan ambas hacia la derecha?
a. Un máximo, ya que a < 0. b. Sí, hacia la derecha, porque los signos de a y b en ambos casos son distintos.
23
ACTIVIDADES
Función cuadrática
1. Escriban <, > o = según corresponda, sabiendo que los gráficos corresponden a funciones cuadráticas.
a. De la forma y = ax2
–3
–2
–1
d. De la forma y = ax2 + c
y
y
1
3
0
1
2
3
2
x
1
–1
–2
–3
–2
–1
b =
0
c =
0
a <
0
b. De la forma y = ax2
–3
–2
–1
b =
0
y
y
3
2
2
1
1
0
1
2
3
–3
x
a >
0
–2
–1
b =
3
x
c
>
0
–2
–1
0
1
2
3
x
–1
0
c
=
a >
0
c. De la forma y = ax2 + c
–3
0
3
b =
0
2
e. De la forma y = ax2 + bx
–1
a >
1
–1
–3
a <
0
b >
0
0
y
2
1
1
2
3
–3
x
–2
–1
0
–2
–1
–4
–2
–6
–3
0
=
0
f. De la forma y = ax2 + bx
y
0
c
c
<
0
a <
0
b >
1
0
2
c =
3
x
0
85
24
23
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Raíces de una función cuadrática. Discriminante
INFOACTIVA
Las raíces de una parábola, y = ax2 + bx + c, se calculan mediante la fórmula:
________
–b ± 3b2 – 4ac
x1,2 = ______________
2a
Calculen en forma analítica las raíces de la función y = x2 – x – 6.
_______________
___
–(–1) ± (–1)2 – 4 . 1 . (–6)
± 325 = _____
3
1±5 =
x1,2 = _______________________
= 1_______
2
2.1
2
a = 1; b = –1; c = –6
{
1+5 ⇒
_____
2
1–5 ⇒
_____
2
x1 = 3
x2 = –2
Al radicando b2 – 4ac se lo llama discriminante, ya que el valor del mismo sirve para discriminar la
naturaleza de las raíces (se lo simboliza con la letra griega Δ, delta).
Δ = b2 – 4ac
Si Δ > 0 ⇒ Raíces reales distintas.
Si Δ = 0 ⇒ Raíces reales iguales.
Si Δ < 0 ⇒ Raíces no reales.
Δ>0
Δ=0
y
Δ<0
y
x1
x2
y
x1 = x2
x
x
x
La gráfica tiene dos puntos
La gráfica tiene un punto de
La gráfica no tiene puntos de
de intersección con el eje x.
intersección con el eje x.
intersección con el eje x.
y = –x2 – x + 2
Δ = (–1)2 – 4 . (–1) . 2 = 9
y = x2 + 4x + 4
Δ = 42 – 4 . 1 . 4 = 0
y
y
y
3
5
5
2
4
4
3
3
2
2
1
1
1
–3
x1
–2
–1
y = x2 + 2x + 3
Δ = 22 – 4 . 1 . 3 = –8
0
x2
1
2
x
–1
x1 = x2
–2
–3
86
–4
–3
–2
–1
0
–1
1 x
–4
–3
–2
–1
0
–1
1 x
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La ecuación x2 – 2x + 1 = 0, ¿tiene raíces reales? ¿Cómo son esas raíces?
b. Si las raíces de una ecuación cuadrática no son reales, ¿la gráfica corta al eje x?
a. Sí. Iguales. b. No.
24
ACTIVIDADES
Raíces de una función cuadrática. Discriminante
2. Marquen una X donde corresponda.
Discriminante
Ecuación
>0
x2 +5x – 14 = 0
=0
<0
X
Tipo de raíces
Reales distintas
Reales iguales
X
x2 + 10x + 29 = 0
X
x2 – 6x + 4 = 0
No reales
X
X
X
x2 + 2x + 1 = 0
X
X
1 2
__
3 x – 2x + 3 = 0
X
X
3. Calculen en forma analítica las raíces de las siguientes funciones.
a. y = 4x2 – 4x + 1
d. y = x2 – 6x + 9
1
x1 = x2 = __
2
x1 = x2 = 3
__
__
e. y = __21 x2 – x + 2
x1 = 35 + 36 ; x2 = 35 – 36
Raíces no reales.
b. y = x2 + 2 . 35 x – 1
__
__
c. y = x2 – 2x + 17
__
f. y = x2 + 2x – 2
__
Raíces no reales.
__
x1 = 1 + 33 ; x2 = 1 – 33
87
25
24
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Distintas expresiones de la función cuadrática
INFOACTIVA
La función cuadrática puede ser expresada de distintas maneras.
POLINÓMICA
f(x) = ax2 + bx + c
Se desarrolla el cuadrado
de un binomio.
Se aplica la propiedad
distributiva.
Se busca el vértice.
Se buscan las raíces.
CANÓNICA
FACTORIZADA
2
f(x) = a . (x – xv ) + yv
f(x) = a . (x – x1 ) . (x – x2 )
El vértice y el eje de simetría se reconocen con
Las raíces se identifican en forma inmediata.
facilidad.
y
eje de simetría
y
x=2
8
6
v = (–2;5)
8
6
y = (x – 2)2 + 3
4
–4
–2
0
x1 = –3
2
–2
1 . (x + 2)2 + 5
y = – __
2
x = –2
4
6
–6
x
eje de simetría
–2
x2 = 5
0
2
4
6
x
x1 = 0
7x–5
1 . (x + 2) . (x + 5) = – __
1 x2 – __
y1 = – __
2
2
2
Factorizada
Polinómica
Polinómica
2
2
y2 = 2 . (x – 1) . (x – 3) = 2x – 8x + 6
y2 = (x – 2) + 3 = x – 4x + 7
Canónica
2
–4
1 . (x + 2)2 + 5 = – __
1 x2 – 2x + 3
y1 = – __
2
2
2
–4
x2 = –1
–2
–4
Canónica
1 x . (x – 5)
y = – __
2
4
2
–6
y = 2 . (x + 1) . (x + 3)
Factorizada
Polinómica
Polinómica
Las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado (ax2 + bx + c) y los coeficientes a, b y c de su
forma polinómica se relacionan de la siguiente manera:
b
x1 + x2 = – __
a
x1 . x2 = __ac
2
ax
bx __
bx __
c
c
___
___
2
ax2 + bx + c = 0 ⇒ ___
a + a + a = 0 ⇒ x + a + a = 0
3 y x = __
1.
Reconstruyan la ecuación de segundo grado cuyas raíces son x1 = – __
2
4
2
3 + __
5
5
b
b
b __
1 = – __
__
__
__
x1 + x2 = – __ab ⇒ – __
a⇒–4=–a⇒a=4
2 4
c ⇒ __
c
3 . __
3
1 = __
__
x1 . x2 = __ac ⇒ – __
a=–8
2 4 a
88
}
5 x – __
3
⇒ x2 + __
4
8
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la función y = –2 . (x – 3)2 – 2?
b. En la función y = (x + 3) . (x + 1), ¿la abscisa del vértice es 2?
a. El punto (3;–2). b. No; es –2, ya que es el valor medio entre las raíces.
25
ACTIVIDADES
Distintas expresiones de la función cuadrática
4. Escriban en forma canónica la función cuadrática que corresponde en cada caso.
a. El vértice se encuentra en el punto (3;–2) y el coeficiente principal es –1.
y = –(x – 3)2 – 2
b. El vértice de la función es el punto (–3;–1) y pasa por el punto (1;1).
1 . (x + 3)2 – 1
y = __
8
5. Escriban en forma factorizada la función cuadrática que corresponde en cada caso.
a. Las raíces de la función son x1 = –3 y x2 = 1, y el coeficiente principal es –2.
y = –2 . (x + 3) . (x – 1)
b. Pasa por los puntos (2;0), (3;0) y (–1;2).
1 . (x – 2) . (x – 3)
y = __
6
6. Completen la siguiente tabla.
Forma factorizada
Forma polinómica
Forma canónica
y = –(x – 2) . (x + 2)
y = –x2 + 4
y = –x2 + 4
y = 2 . (x – 1) . (x + 3)
y = 2x2 + 4x – 6
y = 2 . (x + 1)2 – 8
y = (x + 3)2
y = x2 + 6x + 9
y = (x + 3)2
1 x . (x – 8)
y = __
2
1 x2 – 4x
y = __
2
y = __21 . (x – 4)2 – 8
7. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el vértice de la función y = 2 . (x + 3)2 – 4?
(3;–4)
(2;–4)
X (–3;–4)
(–2;–4)
b. ¿Cuales son las raíces de la función y = x2 + x – 6?
x 1 = 2 y x2 = 3
X x1 = 2 y x2 = –3
x1 = –2 y x2 = 3
c. ¿Cuáles son las raíces de la función y = __31 . (x – 6)2 ?
1
x1 = 6 y x2 = __
x1 = –6 y x2 = __31
x1 = 6 y x2 = –6
3
x1 = –2 y x2 = –3
X x 1 = 6 y x2 = 6
89
25
ACTIVIDADES
Distintas expresiones de la función cuadrática
8. Completen con la letra que identifica al gráfico que corresponde a cada función.
ˆ Gráfico A
ˆ Gráfico B
y
y
6
1
2
4
–1
2
–1
ˆ Gráfico C
y
0
0
1
2
3
4
1
x
–1
1
2
3
4
x
–2
a. y = – (x – 1) . (x – 3)
b. y = (x + 2) . (x – 1)
–2
C
0
–2
–1
–3
–2
c. y = (x – 2)2 + 1
B
–1
A
e. y = – (x – 2)2 + 1
d. y = x2 – 4x + 5 A
f. y = x2 + x – 2 C
1
2
x
B
9. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. Expliquen las respuestas.
El vértice de f(x) = a . (x – h)2 + k coincide con una de las raíces de g(x) = a . (x – x1 ) . (x – x2 ), entonces...
a. ... la función f(x) tiene dos raíces iguales.
V
b. ... la función f(x) es positiva en todo su dominio, menos en x = h.
c. ... el vértice de f(x) es (h;0).
F
Podría ser negativa,
depende del signo de a.
V
d. ... si x1 < 0 y x2 < 0, entonces h > 0.
F
Debe ser negativo.
10. Escriban en forma polinómica cada una de las siguientes funciones cuadráticas.
a. Tiene por raíces a x1 = –2 y a x2 = –3, y pasa por el punto (0;6).
y = x2 + 5x + 6
b. Pasa por los puntos (0;0), (4;0) y (2;–4).
y = x2 – 4x
c. El vértice es el punto (0;–2) y una de las raíces es x1 = –1.
y = 2x2 – 2
d. La ordenada al origen es 5 y sus raíces son x1 = –1 y x2 = 1.
y = –5x2 + 5
90
25
ACTIVIDADES
Distintas expresiones de la función cuadrática
11. Reconstruyan la ecuación de segundo grado que corresponde en cada caso.
a. x1 = 2 y x2 = –3
c. x1 = –1 y x2 = 0
x2 + x – 6 = 0
x2 + x = 0
b. x1 = 2 y x2 = –1
d. x1 = 2 y x2 = 5
2
x2 – 7x + 10 = 0
x –x–2=0
12. Escriban las funciones cuadráticas en la forma indicada.
a.
c.
y
y
2
2
1
–5
–4
–3
–2
–1
0
–5
1
b.
–3
–2
–1
0
–2
–6
0
1
x
–2
ˆ Forma factorizada:
y = –x . (x + 3)
ˆ Forma polinómica:
y = –x2 – 3x
d.
y
2
–4
–1
–4
y
–5
–2
–1
y = x2 + 6x + 7
ˆ Forma polinómica:
–3
x
y = (x + 3)2 – 2
ˆ Forma canónica:
–4
1
1
x
–1
0
–2
–1
–4
–2
–6
–3
ˆ Forma factorizada:
y = (x + 3) . (x – 1)
ˆ Forma polinómica:
y = x2 + 2x – 3
1
2
3
4
5
ˆ Forma canónica:
y = –(x – 2)2
ˆ Forma polinómica:
y = –x2 + 2x – 4
x
mente ACTIVA
Una compañía de telefonía celular, de acuerdo con un estudio de mercado, sabe que
el ingreso mensual de la empresa cuando la tarifa es de x pesos mensuales está
dado por la función f(x) = –600x . (x – 300), donde 0 < x < 300.
a. ¿Cuál debe ser la tarifa mensual para que el ingreso sea máximo? ¿Cuál es ese
ingreso?
b. ¿A partir de qué tarifa mensual la empresa comienza a tener pérdidas?
a. $150, $13 500 000 b. A partir de $300.
91
26
25
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Gráfico de una función cuadrática
INFOACTIVA
Para realizar el gráfico de una parábola, f(x) = ax2 + bx + c, se deben calcular los elementos de la
misma y luego, representarla.
ˆ Raíces de la parábola.
Son los puntos de intersección de la gráfica y el eje x, vale decir que f(x) = 0.
________
x1,2
–b ± 3b2 – 4ac
= ______________
2a
y
Vértice
ˆ Vértice de la parábola.
o
b
xv = – ___
2a
yv = f(xv)
Las coordenadas del vértice son: V = (xv;f(xv )).
Ordenada
al origen
Punto
simétrico
Eje de simetría
x1 + x2
xv = _______
2
Raíz
x1
ˆ Eje de simetría.
Es la recta que tiene por ecuación x = xv.
Raíz
x2
x
ˆ Ordenada al origen.
Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y, vale decir que f(0) = c.
ˆ Punto simétrico a la ordenada al origen con respecto al eje de simetría.
Representen la función f(x) teniendo en cuenta los elementos de la parábola.
f(x) = x2 – 2x – 3 ⇒ a = 1 ∧ b = –2 ∧ c = –3
_______________
–(–2) ± 3(–2)2 – 4 . 1 . (–3)
x1; x2 = _______________________
2.1
______
34 + 12
2
±
___________
=
2
___
316
2
±
_______
= 2
2±4
= _____
2
2+4 =3
x1 = _____
2
y
6
y = x2 – 2x – 3
2
Raíz
x2 = –1
2 – 4 = –1
x2 = _____
2
–6
Vértice:
4
–4
–2
0
–2
Ordenada al origen
(0;–3)
–4
–(–2)
xv = _____
x =1
2.1 v
yv = 12 – 2 . 1 – 3 yv = –4
–6
x=1
Eje de simetría
Raíces:
Raíz
x1 = 3
2
4
6
Punto simétrico
(2;–3)
Vértice
(1;–4)
V = (1;–4)
Eje de simetría: x = 1
92
Ordenada al origen: (0;–3)
x
Punto simétrico: (2;–3)
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En una función cuadrática, ¿cuál es el punto en el que la parábola pasa de ser creciente a ser
decreciente o viceversa?
b. Si las raíces de una función cuadrática son iguales, ¿cuál es el valor de la abscisa del vértice?
a. El vértice, sea máximo o mínimo, se encuentra en el cambio de crecimiento. b. El mismo valor que el de las raíces.
26
ACTIVIDADES
Gráfico de una función cuadrática
13. Observen los gráficos y completen.
a.
y
Raíces:
(–2;0) y (2;0)
Vértice:
(0;4)
2
Eje de simetría:
x=0
1
Ordenada al origen:
(0;4)
Intervalo de crecimiento:
(–∞;0)
Intervalo de decrecimiento:
(0;+∞)
Raíces:
(0;0) y (4;0)
Vértice:
(2;4)
3
2
Eje de simetría:
x=2
1
Ordenada al origen:
(0;0)
Intervalo de crecimiento:
(–∞;2)
Intervalo de decrecimiento:
(2;+∞)
Raíces:
(–1;0) y (3;0)
Vértice:
(1;–4)
–1
Eje de simetría:
x=1
–2
Ordenada al origen:
(0;–3)
–3
Intervalo de crecimiento:
(1;+∞)
–4
Intervalo de decrecimiento:
(–∞;1)
4
3
–2
–1
–
0
1
2
3
x
–1
b.
y
4
–1
–
0
1
2
3
4
x
–1
c.
y
1
–1
0
1
2
3
4
x
93
26
ACTIVIDADES
Gráfico de una función cuadrática
14. Realicen el gráfico aproximado de cada una de las siguientes funciones y escriban los datos indicados en cada caso.
a. y = x2 + 2x – 3
Raíces:
(–3;0) y (1;0)
Vértice:
(–1;–4)
Eje de simetría:
x = –1
Ordenada al origen:
(0;–3)
Punto simétrico:
(–2;–3)
Intervalo de crecimiento:
(–1;–∞)
Intervalo de decrecimiento:
(–∞;–1)
y
1
–4
–3
–2
–1
0
1
x
–1
–2
–3
–4
b. y = (x – 3)2 – 1
Raíces:
(2;0) y (4;0)
Vértice:
(3;–1)
4
Eje de simetría:
x=3
3
Ordenada al origen:
(0;8)
2
Punto simétrico:
(6;8)
1
Intervalo de crecimiento:
(3;+∞)
Intervalo de decrecimiento:
(–∞;3)
y
–1
–
0
1
2
3
4
x
1
2
3
x
–1
c. y = (x – 3) . (x + 2)
Raíces:
Vértice:
Eje de simetría:
94
(–2;0) y (3;0)
25
1 ;– ___
__
2 4
1
x = __
2
(
y
)
2
–2
–1
0
Ordenada al origen:
(0;–6)
–2
Punto simétrico:
(1;–6)
–4
Intervalo de crecimiento:
(–∞;0,5)
Intervalo de decrecimiento:
(0,5;+∞)
–6
–8
26
ACTIVIDADES
Gráfico de una función cuadrática
15. Completen con la letra que identifica al gráfico correspondiente, sabiendo que las gráficas representan funciones de la forma y = ax2 + bx + c.
ˆ Gráfico A
ˆ Gráfico B
y
y
4
2
3
1
2
–2
1
–1
0
1
2
3
4
x
–1
–2
–1
0
1
2
3
4
x
–2
–1
a. El discriminante negativo. A
c. a > 0 y b > 0
b. El vértice es un máximo. B
d. Tiene raíces reales. B
A
16. Marquen las opciones correctas.
a. En la función y = 2 . (x – 2)2 + 1...
... el vértice es el punto (2;–1).
X ... las raíces no son reales.
... la ordenada al origen es el punto (0;1).
X ... el intervalo de crecimiento es (2;+∞)
b. En la función y = __12 . (x – 3) . (x + 4)...
1
X ... el eje de simetría es x = – __
2.
... el intervalo de crecimiento es (–∞;– __21 ).
X ... las raíces son x1 = 3 y x2 = –4.
... la imagen de 2 es 3.
c. En la función y = x2 – 3x...
X ... la ordenada al origen coincide con una raíz.
... el eje de simetría es x = __21 .
... la imagen es (0;+∞).
X ... una raíz es x = 3.
d. En la función y = __21 x2 + 2x + 2...
X ... las raíces son reales e iguales.
X ... el vértice es (–2;0).
X ... el intervalo de crecimiento es (–2;∞).
X ... la ordenada al origen es 2.
mente ACTIVA
Martín juega al básquet. En un entrenamiento, lanza la pelota de modo tal que sigue
la trayectoria descripta por la función f(x) = –x2 + 5x + 6, donde x representa el tiempo en segundos y f(x) la altura a la que se encuentra la pelota en m.
a. Realicen el gráfico correspondiente.
b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
c. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar nuevamente el piso?
d. ¿Desde qué altura lanza Martín la pelota?
a. Solución a cargo del alumno. b. 12,25 m c. 6 seg d. Desde los 6 m.
95
INTEGRACIÓN
17. Respondan.
22. Escriban la fórmula de una función cuadráti-
a. Si la gráfica de una parábola crece en el
intervalo (–∞;3), ¿cuál es el eje de simetría?
b. Si el eje de simetría de una parábola es
x = 2, ¿cuál punto es el simétrico de (1;3)?
c. Si las raíces de una función cuadrática son
x1 = –1 y x2 = 4, ¿cuál es la abscisa del vértice?
d. Si una función cuadrática decrece en el intervalo (–∞;3), ¿cuál es el intervalo de crecimiento?
e. Las parábolas, ¿siempre cortan al eje y?
3
a. x = 3, b. (3;3), c. x = __, d. (3;+∞), e. Sí.
2
18. Marquen las opciones correctas. Luego,
escriban en forma factorizada cada una de las
funciones marcadas.
¿Cuáles de las siguientes funciones tienen raíces
reales distintas?
ca que cumpla con las condiciones indicadas en
cada caso.
a. Las raíces son reales y distintas.
b. El eje de simetría sea x = 2.
c. Las raíces coinciden con el vértice.
d. El discriminante es negativo.
e. Una raíz es cero.
f. Una raíz coincide con la ordenada al origen.
Solución a cargo del alumno.
23. Escriban la función correspondiente a cada
gráfico en forma polinómica.
4 2 __
4
8
a. y = __
x – x – __
9
9
9
y
2
1
X a. y = 2x2 – 3x + 1
X d. y = 2x2 + 7x + 3
X b. y = x2 – 8x + 2
e. y = 4x2 + 3x – 1
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
1
2
3
x
1
2
3
x
–1
c. y = –x2 + x – 3
f. y = x2 + 6x + 9
–2
Solución a cargo del alumno.
19. Calculen el valor de t para que cada una de las
siguientes funciones tenga sus raíces iguales.
a. y = x2 + 4x + t
c. y = x2 – tx + 16
2
b. y = 9x – tx + 1x
d. y = tx2 + 6x + 9
8 x + ___
16
8 x2 – __
b. y = – __
9
9
9
y
2
a. 4, b. 6 y –6, c. 8 y –8, d. 1 y –1
1
20. Calculen el valor de k, teniendo en cuenta
las condiciones indicadas en cada caso.
a. Una raíz de la función y = 3x2 – 10x + k es 3.
b. Las raíces de la función y = –3x2 – 2x + k
no son reales.
c. Las raíces de la función y = –x2 + 2x – k son
iguales.
d. Las raíces de la función y = 2x2 – kx + 2 son
reales.
–3
–2
–1
–1
–2
c. y = x2 + 4x + 4
y
4
1 c. k = 1 d. k D (–∞;4] F [4;+∞)
a. k = 3 b. k < – __
3
3
21. Escriban las funciones en forma canónica e
indiquen las coordenadas del vértice.
a. y = x . (x + 3)
d y = –3 . (x – 1) . (x + 1)
b. y = 2 . (x – 1) . (x + 2) e. y = –(x – 3) . (x + 1)
c. y = (x + 3) . (x – 3) f. y = __21 . (x – 2) . (x + 4)
Solución a cargo del alumno.
96
0
2
1
–3
–2
–1
0
capítulo
CONTENIDOS
4
23*24*25*26
24. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la función que corresponde a cada gráfico?
a.
y
6
4
2
–3
–2
–1
0
Solución a cargo del alumno.
1
2
3
x
–1
y = (x – 2) . (x + 3)
y = x . (x + 3)
X y = – (x – 2) . (x + 3)
y
2
1
–2
–1
0
1
2
3
x
–1
–2
y = 2x2 + x – 1
c.
y
2
–3
27. Reconstruyan las ecuaciones
partir de sus raíces.
a. x1 = –2 y x2 = 4
__
__
b. x1 = 32 y __x2 = – 32
__
c. x1 = 1 + 33 y x2 = 1 – 33
d. x1 = 0 y x2 = – __21
e. x1 = 6 y x2 = 4
f. x1 = __23 y x2 =__ 3
__
g. x1 = –2 + 33 y x2 = –2 – 33
h. x1 = – __43 y x2 = 0
cuadráticas a
x2 – 2x – 8 = 0
x2 – 2 = 0
x2 – 2x – 2 = 0
2x2 + x = 0
x2 – 10x + 24 = 0
2x2 – 9x + 9 = 0
x2 + 4x + 1 = 0
4x2 + 3x = 0
Escriban la forma polinómica y la forma factorizada de una función cuadrática sabiendo que
tiene una raíz en x = 8 y alcanza un mínimo en el
punto (6;–12).
y = –2x2 – x – 1
–4
a. Realicen el gráfico aproximado de una función
cuadrática, sabiendo que sus raíces son x1 = (1;0)
y x2 = (3;0) y la ordenada al origen es positiva.
b. ¿Cuántas funciones cumplen con lo pedido?
c. ¿La función graficada tiene un máximo o un
mínimo?
28. Resuelvan.
X y = 2x2 – x – 1
–5
26. Resuelvan.
a. Solución a cargo del alumno. b. Infinitas. c. Mínimo.
b.
–3
25. Grafiquen las siguientes funciones e indiquen en cada caso las raíces, el vértice, el eje de
simetría, la ordenada al origen, la imagen y los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
a. y = –x2 + 9
d. y = – (x + 3)2 + 2
2
b. y = (x + 2)
e. y = x2 + 2x
c. y = x2 – 4x
f. y = __21 . (x – 2) . (x + 1)
–2
–1
0
–2
a. y = 3x2 – 36x + 96 b. y = 3 . (x – 4) . (x – 8)
1
x
29. Marquen con las opciones correctas.
Dada la función y = (x – 3)2 + 2.
a. ¿Cuál es el eje de simetría?
–4
X x = 3
x=2
x = –3
–6
b. ¿En qué intervalo crece?
y = (x + 3)2
X y = – (x + 3)2
y = – (x – 3)2
X (3;+∞)
(–3;+∞)
(–∞;3)
c. ¿Cuál es la ordenada al origen?
(0;3)
(0;2)
X (0;11)
97
27
26
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Ecuaciones de segundo grado
INFOACTIVA
La forma general de las ecuaciones de segundo grado es:
ax2 + bx + c = 0 ∧ a ∈
∧b∈
∧c∈
∧a≠0
Ecuaciones incompletas
ˆ Si b = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma ax2 + c = 0.
__
Para resolver este tipo de ecuaciones, se despeja el valor de la x teniendo en cuenta que 3x2 = |x|.
x2 – 16 = 0
x2 = 16
__
___
3x2 = 316
|x| = 4
x1 = 4 ∧ x2 = –4
–3x2 + 27 = 0
–3x2 = –27
x2 = 9__
__
3x2 = 39
|x| = 3
x1 = 3 ∧ x2 = –3
1 x2 – 5 = 0
__
5 __
1 x2 = 5
5 2
x = 25
__
___
3x2 = 325
|x| = 5
x1 = 5 ∧ x2 = –5
ˆ Si c = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma ax2 + bx = 0.
Para resolver este tipo de ecuaciones, se debe tener en cuenta que m . n = 0 ⇒ m = 0 ∨ n = 0.
x2 – 2x = 0
x . (x – 2) = 0
–5x2 + x = 0
x . (–5x + 1) = 0
{
{
x1 = 0
x2 – 2 = 0 ⇒ x2 = 2
x1 = 0
1
–5x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = __
5
Ecuaciones completas
Si la ecuación es completa, o sea que ninguno de sus coeficiente es igual a cero, los valores de x que
la satisfacen se encuentran aplicando una fórmula en la cual estos intervienen.
________
–b ± 3 b2 – 4ac
ax2 + bx + c = 0 ⇒ x1,2 = ______________
2a
2x2 + x – 3 = 0 ⇒ a = 2 ∧ b = 1 ∧ c = –3
_____________
x1,2 =
______
–1
± 312 – 4 . 2 . (–3) –1
± 31 + 24 = ______
–1 ± 5 ⇒ x = ______
–1 + 5 = 1 ∧ x = ______
–1 – 5 = – __
3
__________________
= ___________
1
2
4
4
4
2
4
2.2
2x2 + 4x + 2 ⇒ a = 2 ∧ b = 4 ∧ c = 2
__________
2
________
± 316 – 16 = ______
–4 ± 34 – 4 . 2 . 2 = –4
–4 ± 0 ⇒ x = x = –1
_____________
x1,2 = ________________
1
2
4
4
2.2
98
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La ecuación x2 + 9 = 0 ¿tiene soluciones reales?
b. La ecuación x2 + 2x + 1 = 0, ¿cuántas soluciones tiene?
a. Raíces no reales. b. Una doble, x1 = x2 = –1.
27
ACTIVIDADES
Ecuaciones de segundo grado
30. Resuelvan las siguientes ecuaciones incompletas.
a. 2x2 – 50 = 0
x1 =5; x2 = –5
b. x2 + 49 = 0
La solución no es real.
c. 2x2 = 3x2 + 36
La solución no es real.
d. 3x2 + 2x = 0
2
x1 = 0; x2 = – __
3
g. __34 x2 – __32 x = 0
1
x1 = 0; x2 = __
2
h. x2 – 9 = 0
x1 = 3; x2 = –3
i. –x2 + 1 = 0
x1 = 1; x2 = –1
j. __21 x2 – 8 = 0
x1 = 4 y x2 = –4
e. –x2 – __21 x = 0
k. –2x2 – __21 x = 0
f. x2 = –4x
l. __21 x2 – 4x = 0
1
x1 = 0; x2 = – __
2
x = 0; x = –4
1
x1 = 0 y x2 = – __
4
x = 0; x = 8
99
27
ACTIVIDADES
Ecuaciones de segundo grado
31. Planteen la ecuación y respondan.
a. La diferencia entre un número y la mitad de su cuadrado es igual a 0. ¿De qué número se trata?
1 x2 = 0; 0 y 2
x – __
2
b. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos da por resultado 613. ¿Cuáles
son esos números?
x2 + (x + 1)2 = 613; 17 y 18
c. Si al multiplicar dos números pares consecutivos, se obtiene 1 088, ¿qué números se multiplicaron?
2n . (2n + 2) = 1 088; 34 y 32
d. El anterior del doble del cuadrado de un número es igual a 7. ¿Cuál es el número?
2x2 – 1 = 7; 2 y –2
e. En un cuadrado, la diagonal mide 3 cm más que el lado. ¿Cuánto mide la diagonal? ¿Cuál es el área?
(l + 3)2 = 2l; d = 10,24 cm; área = 52,46 cm2
f. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm menos que la diagonal?
d2 = 2 . (d – 5)2; área = 145,71 cm2
32. Calculen el perímetro de las figuras sabiendo que el área de cada una es igual a 14 cm2.
a.
c.
x + 5 cm
x – 1 cm
x
x – 1 cm
18 cm
20,85 cm
b.
x
d.
x
___
4 . 314 cm
100
__
20 . 32 cm
7x
27
ACTIVIDADES
Ecuaciones de segundo grado
33. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. x2 + x – 6 = 0
____
f. 3x+ 2___= x – 3
7 + 321
_______
2
2 y –3
__________
b. x2 – 2x – 3 = 0
3 y –1
g. 3x2 + 3x + 7 = 5
3 y –6
c. x + x2 + 1 = 0
No son reales.
d. 2x2 – 8x + 9 = 0
No son reales.
e. (x + 2)2 = x + 2
–1 y –2
h. –3 . (x + 1)2 + 12 = 0
–3 y 1
i. 2x__. (x – __1) – 3 = x – 3x – 2
2 y – 3___
2
3___
2
2
j. (x + 3) . (6x – 3) + 5 . (9 – 7x) = 22
No son reales.
34. Calculen el valor de k conociendo el valor de una de las raíces de la ecuación.
a. x = 2 es raíz de x2 – 3x + k = 0
2
b. x = 3 es raíz de x2 – kx + 6 = 0
5
mente ACTIVA
Calculen el perímetro de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus
lados son números pares consecutivos.
x2 + (x + 2)2 = (x + 4)2. Los lados miden 6, 8 y 10 unidades. Perímetro = 24 unidades.
101
28
27
29
30
31
32
33
34
35
36
37
La parábola como lugar geométrico
INFOACTIVA
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que están a igual distancia de un punto fijo
llamado foco y una recta fija denominada directriz.
Para construir una parábola dados un foco (f ) y una directriz (D), se pueden seguir estos pasos.
1. Se traza una recta A perpendicular a D, que pase por f.
2. Se traza una recta B para3. Con centro en f, se traza
lela a D entre f y D de modo
una circunferencia de radio
que su distancia a f sea menor igual a la distancia entre D y B.
o igual que la distancia a D.
D
D
f
A
4. Se marcan los puntos de
intersección entre la circunferencia y la recta B.
D
A
D
f
A
5. Se repiten los pasos del
2 al 4, considerando cada vez
una recta paralela a D distinta
a B.
B
D
f
B
A
f
A
6. Se unen los puntos de
intersección entre las rectas y
las circunferencias, obteniendo
así la parábola.
B’ B B’’’
f
D
A
B’’
El vértice de la parábola se encuentra en A en el punto medio entre f y D.
102
B
f
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Qué elemento de la parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco?
b. ¿El foco puede pertenecer a la directriz?
a. El eje de simetría de la parábola; b. No, porque no habría puntos que equidisten de ambos.
28
ACTIVIDADES
La parábola como lugar geométrico
35. Construyan la parábola con los datos indicados en cada caso.
a.
c.
D
f
f
D
b.
d.
D
f
f
D
103
29
28
30
31
32
33
34
35
36
37
38
Ecuación de la parábola
INFOACTIVA
Para obtener la ecuación general de una parábola, se elige el sistema de coordenadas de modo que el
vértice tenga coordenadas v = (0;0), y que el eje de simetría coincida con alguno de los ejes de coordenadas.
ˆ Si el eje de simetría es el eje x, el foco f = (p;0) y la directriz (D) x = –p, donde p ∈ ∧ p≠ 0,
y2
la ecuación de la parábola es x = ___.
4p
|p| es la distancia entre el vértice y el foco o entre el vértice y la directriz.
Si p > 0, el foco
está a la derecha de
la directriz y la parábola tiene sus ramas
hacia la derecha.
y
D: x = –p
v = (0;0)
f = (p;0)
x
p
Si p < 0, el foco
está a la izquierda de
la directriz y la parábola tiene sus ramas
hacia la izquierda.
y
D: x = p
v = (0;0)
f = (–p;0)
x
p
ˆ Si el eje de simetría es el eje y, el foco f = (0;p) y la directriz (D) y = –p, donde p ∈ ∧ p≠ 0,
x2 .
la ecuación de la parábola es y = ___
4p
Si p > 0, el foco
está arriba de la
directriz y la parábola
tiene sus ramas hacia
arriba.
Si p < 0, el foco
está debajo de la
directriz y la parábola
tiene sus ramas hacia
abajo.
y
f = (p;0)
p
x
v = (0;0)
y
D: x = –p
v = (0;0)
p
x
f = (–p;0)
D: x = –p
Para obtener la ecuación de la parábola conociendo el foco y la directriz se pueden seguir estos pasos.
Obtengan la ecuación de la parábola sabiendo que f = (–3;0) y D: x = 3.
y2
Ecuación general de la parábola: x = ___
4p
Distancia del foco al vértice v = (0;0) es 3 ‰ |p| = 3.
p < 0 porque la parábola tiene las ramas hacia la izquierda ‰ p = –3
La ecuación de la parábola es:
y2
x = ____
–12
Para obtener el foco y la directriz de una parábola conociendo su ecuación, se pueden seguir estos pasos.
Obtengan el foco (f) y la directriz (D) de la parábola y = 3x2.
x2 = 3 . 4p ⇒ 1 = 12p ⇒ p = ___
x2 ∧ y = 3x2
x2 = 3x2 ⇒ __
1
___
y = ___
4p
4p
12
x2
La parábola tiene sus ramas hacia arriba, porque p > 0.
(
)
1 y la directriz es la recta y = –___
1.
f = 0;___
12
12
104
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen2 las respuestas.
y
a. En la ecuación x = ___
, ¿cuáles son las coordenadas del foco?
20
b. ¿Cuál es el eje de la parábola 6y = x2?
a. f(5;0) b. El eje y.
29
ACTIVIDADES
Ecuación de la parábola
36. Escriban la ecuación de la directriz y de la parábola en cada uno de los siguientes casos.
a. f = (2;0)
c. f = (0;4)
D: x = –2, y2 = 8x
D: y = –4, x2 = 16y
b. f = (0;–5)
d. f = (–4;0)
2
D: x = 4, y2 = –16x
D: y = 5, x = –20y
37. Escriban en cada caso las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.
a. x2 = 3y
c. x2 = –7y
3
3
3
p = __, f = 0;__ , D: y = – __
4
4
4
7
7
7
p = – __, f = 0;– __ , D: y = __
4
4
4
( )
b. y2 = __21 x
1 ; f = __
1 ;0 ; D: x = – __
1
p = __
8
8
8
(
)
d. y2 = – __23 x
3
3
3
p = – __; f = – __;0 ; D: x = __
8
8
8
(
( )
)
38. Completen la tabla.
Ecuación
Foco
Directriz
x2 = 2y
( 0;__21 )
y = – __
2
6x = y2
( __23;0 )
x = – __
2
hacia la derecha
–2x2 = 3y
( 0;– __83 )
( – __89;0 )
( 0;__35 )
y = __83
hacia abajo
9x + 2y2 = 0
20y = 3x2
1
3
9
Sentido de las ramas
hacia arriba
x = __
8
hacia la izquierda
y = – __35
hacia arriba
105
INTEGRACIÓN
39. Resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas.
a. 4x2 – 3x = 0
b. 3x2 – 48 = 0
c. –8 + x2 = 0
d. 3x2 – 2x = 0
e. x + x2 = 0
f. x2 – x = 0
2
g. 6x – 12 = 0
h. 4x2 = x2 + 9
i. 9x – 5x2 = 0
j. –7x2 + 12 = 2 . (1 – x2)
k. 10x + 5x2 = 13x
l. 4 . (4x2 – 4) = 4
Solución a cargo del alumno.
40. Planteen y resuelvan los siguientes problemas.
a. La diferencia entre el cuadrado de un número natural y el cuadrado de su mitad es 192.
¿Cuál es el número?
b. La suma de los cuadrados de dos números
positivos consecutivos es 313. ¿Cuáles son esos
números?
c. Los lados de un rectángulo miden 4 cm y 7 cm,
respectivamente. ¿En cuánto se deben disminuir
los lados para que el área disminuya 10 cm2?
d. Un número más 5 veces su raíz cuadrada da
por resultado 126. ¿De qué número se trata?
e. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya
diagonal mide 8 cm?
f. En un triángulo rectángulo, las medidas de
los lados son tres números consecutivos.
¿Cuánto mide cada lado? ¿Cuál es el área? ¿Y el
perímetro?
g. La suma de dos números es cero y su producto, –4. ¿Cuáles son esos números?
h. En un número de dos cifras la suma de las
mismas es 7 y la suma de sus cuadrados es 29.
¿Cuál es el número?
i. Al multiplicar dos números se obtiene 405 y
al sumarlos, 42. ¿De qué números se trata?
Solución a cargo del alumno.
41. Marquen las opciones correctas.
Al doble de un número se lo disminuye en 6, se le
calcula el cuadrado y se le resta 4, obteniendo 0.
¿Qué números cumplen con esta condición?
X c. 2
a. –2
e. –4
d. –16
f. 16
X b. 4
(2x – 6)2 – 4 = 0
106
42. Resuelvan.
5y–2
a. x2 + 7x + 10 = 0
2
–5 y 8
b. 2x – 6x – 80 = 0
__
__
1 2
__
6 – 4 y – 36 – 4
3
c. 2 x + 4x + 5 = 0
4y1
__
d. x2 – 5x + __
4=0
__
3
3___
2
3
y
–
–
3
e. 2x + 3 . 33 x + 3 = 0
2
Raíces no reales.
f. x2 + 2x + 2 = 0
2
2
4y2
g. x + 36 – 12x + x = 20
2
2
0
h. (x + 5) = 50 – (x – 5)
1 y–1
__
2
i. (2x + 1) – (2x + 2) = 1
2
Raíces no reales.
j. x . (4 – x) = 5
14
2 y – ___
1.
__
2
2
k. (3x – 2) : 4 – 2 (3x + 2) = –8 __
3
3
4 y –2 ____
l. x2 – 2x – 8 = 0
385
23 3_____
±
m. 3x . (x – 1) + 2x = 4 . (x – 3)2 ___
2
2
______
4
n. 32x + 1 = x – 1
43. Grafiquen las parábolas teniendo en cuenta
los datos.
{f = (3;0)
f = (0;–2)
b. {D: y = 2
{f = (–2;0)
f = (0;5)
d. {D: y = 2
a. D: x = 1
c. D: x = 4
Solución a cargo del alumno.
44. Escriban en cada caso el foco (f) y la ecuación de la directriz (D).
a. 6y = x2
e. y = – __41 x2
b. –9y = x2
f. y = __61 x2
c. y2 = 4x
g. x = – y2
d. –6x = y2
h. x = – __21 y2
Solución a cargo del alumno.
45. Escriban la ecuación de cada una de las
siguientes parábolas a partir del foco, sabiendo
que tienen vértice en el origen de coordenadas.
a. f = (2;0)
b. f = – __21 ;0
(
e. f = (0;–2)
)
g. f = __32 ;0
c. f = (0;4)
d. f = 0:– __31
(
f. f = (–3;0)
)
( )
h. f = ( 0;__43 )
a. 8x = y b. –2x = y2 c. 16y = x2 d. 4y = –3x2
e. –8y = x2 f. –12x = y2 g. 8x = 3y2 h. 3y = x2
2
capítulo
CONTENIDOS
4
27*28*29
46. Marquen las opciones correctas.
a. Si el punto __43 ;3 pertenece a la parábola
( )
cuya directriz es x = –3, ¿cuál de los siguientes
puntos también pertenece a la parábola?
( – __43;3 )
( 3;__43 )
X
( __43;–3 )
( –3;__43 )
48. Escriban la ecuación de la parábola en cada
caso, sabiendo que el punto indicado pertenece
a la misma. Luego, averigüen el foco y la ecuación de la directriz.
y = 4x2
a. p = (1;4)
y
3
b. Si el foco de una parábola es el punto (–3;0),
¿cuál es la ecuación de la directriz?
y=3
y = –3
1
X x = 3
–3
x = –3
c. La directriz de una parábola tiene por ecuación x = –3. ¿Cuál es la distancia entre el foco
y la directriz?
3
2
–1
b. p = (–1;–3)
–3
–2
–1
y = –8x2
x
0
1
2
3
x
2
3
x
2
3
x
–3
X Hacia la izquierda.
Hacia la derecha.
c. p = – __21 ;1
(
1 y
x = – __
2
)
y
1
x = 8y2
X y = 8x2
2
2
)
x2
y = __
8
3
–2
e. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene foco
1
1
___
en 0;___
32 y directriz y = – 32 ?
(
2
–1
d. ¿Cuál es el sentido de las ramas de la parábola y2 = –8x?
Hacia abajo.
1
y = –3x2
–6
Hacia arriba.
0
y
X 6
–3
–2
–3
–2
–1
0
1
–1
47. Escriban la ecuación de la parábola teniendo
–2
en cuenta la directriz y sabiendo que el vértice
está en el origen de coordenadas.
a. D: y = – __21
e. D: x = – __21
b. D: y = 3
f. D: y = –1
c. D: x = __43
g. D: x = 4
d. D: x = –6
h. D: y = __43
a. 2y = 2x2 b. –12y = x2 c. –3x = y2 d. 24x = y2
e. 2x = y2 f. 4y = x2 g. –16x = y2 h. –3y = x2
x = 5y2
d. p = (5;–1)
y
2
1
–3
–2
–1
0
1
–1
–2
107
capítulo
4
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
49. ¿Cómo se clasifican las raíces de la función y = x2 + 6x + 9?
a. Reales distintas. X b. Reales iguales.
c. No reales.
50. Teniendo en cuenta la función y = –3 . (x + 2)2 – 1, ¿cuáles de los siguientes puntos corresponden al vértice?
a. (–3;–1)
b. (–3;1)
c. (2;–1)
X d. (–2;–1)
51. En la función y = (x – 3) . (x – 5), ¿cuál es la ecuación que corresponde al eje de simetría?
a. x = 3
b. x = 5
X c. x = 4
d. x = –4
52. ¿Cuál es la ecuación que corresponde a la función graficada?
a. y = (x + 2)2 + 2
y
2
b. y = (x – 2)2 + 2
1
–3
–2
–1
0
X c. y = (x – 2)2
1
2
3
x
d. y = (x + 2)2
–1
53. Si el vértice de una función cuadrática tiene coordenadas (–3;2), ¿cuál es la ecuación del eje de
simetría?
X a. x = –3
b. x = 3
c. x = 2
d. x = –2
54. ¿Cuál de los siguientes puntos corresponde al foco de la parábola 4y = x2?
X a. (0;1)
b. (0;–1)
c. (1;0)
d. (–1;0)
55. ¿Cuál es la directriz de la parábola –2x = y2?
a. y = __21
b. y = – __21
1
X c. x = __
2
d. x = – __21
56. ¿Cuál es la función que representa los puntos que equidistan del f = (0;–2) y de la D: y = 2?
a. 2y = 2x2
108
b. –2y = x2
c. 8y = x2
X d. –8y = x2
Contenidos
5
30. Polinomios. Características.
31. Suma y resta de
polinomios.
32. Multiplicación de
polinomios.
33. División de polinomios.
34. La regla de Ruffini.
Teorema del resto.
35. Raíces de un polinomio.
36. Operaciones combinadas.
La búsqueda de raíces de polinomios de primer y segundo grado es casi
tan antigua como la escritura. Con mayor o menor claridad, los métodos aparecen explicados ya en las tablillas babilónicas, pero la ecuación cúbica es
más difícil y tuvo que esperar mucho más tiempo. Se cuenta que fue resuelta
por un matemático de Bologna llamado Del Ferro en 1506, pero sus escritos
nunca fueron encontrados.
En 1539 Tartaglia, italiano también, reveló sus propios métodos a Cardano,
quien juró no darlos a conocer y, por supuesto, no cumplió. Más tarde, Cardano
atribuyó el descubrimiento original a Del Ferro, calificándolo de “una hazaña
realmente hermosa y admirable”.
El hallazgo, por sí solo, no parece tan descomunal. Sin embargo, el resto
de la cita nos ayuda a entender el porqué de tanta admiración: “Este arte,
verdadero regalo de los dioses, que supera toda sutileza humana posible y
el esplendor de todo ingenio mortal, es una prueba del valor de las inteligencias, y es tan maravillosa que quien la haya logrado puede creer que ya nada
le ha de ser imposible”.
1. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Qué forma de calcular las raíces de un polinomio cuadrático conocen?
¿Qué método habrán usado los babilonios?
b. ¿Están de acuerdo con lo que dice Cardano? Después de resolver algo,
¿alguna vez sintieron que “ya nada les ha de ser imposible”?
a. Por ejemplo, la fórmula resolvente. Los babilonios no tenían una fórmula sino que empleaban
el método de completar cuadrados. Se sugiere que los alumnos busquen información.
b. Respuesta abierta. Sin duda, resolver un problema difícil es un gran incentivo para pensar otros
aun más difíciles, pero la misma historia de los polinomios mostraría, apenas un par de siglos más
tarde, que algunos problemas son verdaderamente imposibles.
capítulo
Polinomios
30
29
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Polinomios. Características
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 9
Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números
y letras, ligados entre sí con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
3x + 24
___
1
4x5 + 6x3 – __
4
x6 – 10
_______
x2
x2 + 32x
Los números son los coeficientes, y las letras, las variables o indeterminadas.
Si la variable no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones algebraicas son enteras
y se denominan polinomios. De los ejemplos anteriores, los dos últimos no son polinomios.
Clasificación de los polinomios
Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:
ˆ monomio, si tiene un solo término
ˆ trinomio, si tiene tres términos
2 3
__
x
;
2x + 5 – x4;
5
ˆ binomio, si tiene dos términos
5x2 – 4;
ˆ cuatrinomio, si tiene cuatro términos
6x4 + 8x3 – 5 + x8.
Los términos que tienen la misma variable y exponente son semejantes.
Los términos 10x3, 2x3 y –4x3 son semejantes.
Se denomina grado al mayor exponente que tiene la variable de los términos con coeficientes no nulos.
P(x) = 6x + x2 – 7x5; grado: 5
Q(x) = 10 – x3 + x; grado: 3
T(x) = 7; grado: 0
Se llama coeficiente principal al que multiplica a la variable de mayor exponente.
S(x) = –x + 2x4 – 5x3; coeficiente principal: 2
T(x) = –x6 – 8x + x4; coeficiente principal: –1
Al polinomio cuyo coeficiente principal es 1, se lo denomina normalizado.
Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respecto de los exponentes de la variable.
2 x2 – __
1x + 5
F(x) = 2x4 + x3 – __
3
5
3 x3
G(x) = 7 + x + 3x2 – __
2
H(x) = x5 + 2x2 – 7
Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado.
R(x) = 2x4– x3 + x2 – 8x + 7; está completo.
2 x2 +9; está incompleto.
Q(x) = x4 – __
5
Para completar un polinomio, se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.
M(x) = 2x5 + x3 – 8 = 2x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x – 8
N(x) = 8x4 + 3x2 = 8x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 0
O(x) = x5 – 9 = x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x – 9
110
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El grado del polinomio 3x4 – 5x3 + 8, ¿es 3?
b. El polinomio 4x2 + 3x2 – x + 9, ¿es un trinomio?
a. No, 3 es el coeficiente principal, el grado es 4. b. Sí, porque 4x2 + 3x2 = 7x2, entonces quedaría 7x2 – x + 9.
30
ACTIVIDADES
Polinomios. Características
1. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es un polinomio?
3
8x2 – 3x–4
___
__
3x
+6
______
x2
X 35 . x3 + 5–1
32x + x3
b. ¿Cuál es el polinomio de mayor grado?
X –5 – 2x5
3x + 5x2
6x2 – 4x3
8x4 – 9
c. ¿Cuál es el coeficiente principal de 4x5 – 3 – x6 + 8?
X –1
1
4
6
d. ¿Cuál polinomio se encuentra normalizado?
x3 – x4
X 3x2 + x3
–x + 3x2
–x + 1
2. Completen.
Polinomio
Clasificación
8x2 – 6x – 3x3
6
12x – 2 – 5x
2
3
–3x3 + 8x2 – 6x + 0
3
–3
0
6
7
–2
4
–2
–7
2
–4
0
6
Binomio
4
5x + x – 2x – 7
2
Grado
Trinomio
6
x + 3x – 5x – 3x
3
5
4
2
7x + 0x + 0x + 0x + 0x – 2
4
Cuatrinomio
2
Coef.
Término
principal indep.
Completo y ordenado
3
2
–2x + 0x + 5x + x – 7
2
Monomio
–4x + 0x + 0
2x – x4 + 5
Trinomio
–x + 0x + 0x + 2x + 5
4
–1
5
x2 + 35 x – 3x3
–x2 + 3 + x2 + 2x5
Trinomio
–3x3 + x2 + 35 x + 0
3
–3
0
Trinomio
2x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 3
5
2
3
__
4
3
2
__
3. Escriban un polinomio que cumpla con las condiciones dadas.
a. Un trinomio de grado 3, cuyo coeficiente principal sea 2 y el término independiente, –4.
Solución a cargo del alumno. Por ejemplo, 2x3 + 3x2 – 4
b. Un binomio de grado 4, normalizado, cuyo término independiente sea 3.
Solución a cargo del alumno. Por ejemplo, x4 + 3
c. Un polinomio completo de grado 2, con coeficiente principal –3 y término independiente, –8.
Solución a cargo del alumno. –3x2 + 2x – 8
4. Normalicen los siguientes polinomios.
a. –3x2 + 5x3 – 10
( – __53 x
2
)
+ x3 – 2 : 5
b. –x4 + 3x2 – 7x
–1 . (x4 – 3x2 + 7x)
c. __32 – __61 x2 + x
–6 . (–4 + x2 – 6x)
111
31
30
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Suma y resta de polinomios
INFOACTIVA
La suma de varios monomios semejantes es otro monomio semejante al dado, cuyo coeficiente es
la suma de los coeficientes de los monomios dados.
15 x4
1 x4 = ___
5x4 + 2x4 + __
2
2
6x3 + x3 + 5x3 = 12x3
x + x + x + x = 4x
Para restar dos monomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) = 4x6 ∧ Q(x) = –2x6 ⇒ P(x) – Q(x) = 4x6 – (–2x6) = 4x6 + 2x6 = 6x6
Reducir un polinomio es sumar o restar sus términos semejantes.
2 x4 + 2x4 + 6x3 = x5 + __
4 x4 + 2x3
–4x3 + x5 – __
3
3
2x4 + 3x + x4 – x = 3x4 + 2x
Para sumar varios polinomios entre sí, se completan y ordenan, luego se encolumnan sus términos
semejantes y se suman.
{
P(x) = –3 + 2x2 + 5x3 – x4
{
R(x) = 3x2 + 2x – 1
Dados: Q(x) = –9x3+ 2x2 – 4x + 5
Dados: T(x) = –x + 5 – 4x2
P(x) + Q(x)
R(x) + T(x)
4
3
2
– x + 5x + 2x + 0x – 3
+ + 0x4 – 9x3 + 2x2 – 4x + 5
—————————————
P(x) + Q(x) = – x4 – 4x3 + 4x2 – 4x + 2
3x2 + 2x – 1
+ –4x2 – x + 5
———————
R(x) + T(x) = – x2 + x + 4
Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
{
{
M(x) = 2x2 – x + 2
Dados: N(x) = 3x2 – 1
1 x3 + 6
A(x) = 3x – 2x2 – __
5
Dados: B(x) = –3x2 + 5x + 4x4 + 3
M(x) – N(x)
A(x) – B(x)
2x2 – x + 2
+ –3x2 + 0x + 1
———————
M(x) – N(x) = –x2 – x + 3
1 x3 – 2x2 + 3x + 6
0x4 – __
+ –4x4 + 50x3 + 3x2 – 5x – 3
—————————————
1 x3 + x2 – 2x + 3
A(x) – B(x) = –4x4 – __
5
Para resolver una suma algebraica de polinomios, se opera en el orden en que aparecen los términos.
Dados P(x) = 5x2 + 3x – 2; Q(x) = –6x2 – 4x + 5 y R(x) = 3x2 + x – 7
P(x) + Q(x) + R(x)
P(x) + Q(x) – R(x)
2
5x + 3x – 2
+ –6x2 – 4x + 5
3x2 + x – 7
———————
P(x) + Q(x) + R(x) = 2x2 + 0x – 4
112
5x2 + 3x – 2
+ –6x2 – 4x + 5
–3x2 – x + 7
————————
P(x) + Q(x) – R(x) = –4x4 – 2x + 10
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es correcto decir que 7x5 + 2x5 = 9x10?
b. Para resolver P(x) – Q(x), ¿se debe sumar el opuesto del polinomio Q(x) al polinomio P(x)?
a. No, porque la parte literal debe ser x5. b. Sí, P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)].
31
ACTIVIDADES
Suma y resta de polinomios
5. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas reduciendo a la mínima expresión.
a. x4 – 3x4 – 2x4 + 8x4 =
___
___
7
– __ x3
6
7
– ___ x
d. – __21 x + __53 x – __31 x = 30
4x4
___
b. 348 x2 – 327 x2 – 312 x2 =
c. 0,6 x3 + __21 x3 – __37 x3 =
__
– 33 x2
6. Tengan en cuenta los siguientes polinomios y resuelvan.
ˆ A(x) = –5x2 + x – 3
ˆ B(x) = x2 + 2x4 + 2
ˆ C(x) = 2x3 – x + 1
a. A(x) + B(x) =
2x4 – 4x2 + x – 1
4
2
d. A(x) – B(x) = –2x – 6x + x – 5
b. A(x) + C(x) =
2x3 – 5x2 – 2
4
2
e. B(x) – A(x) = 2x + 6x – x + 5
c. B(x) – C(x) =
2x4 – 2x3 + x2 + x + 1
f. C(x) – B(x) =
–2x4 + 2x3 – x2 – x – 1
7. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas de polinomios.
ˆ P(x) = –5x2 + 3x – 4x3 – 1
a. P(x) – Q(x) – S(x) =
4
3
2
–5x – 2x – x + 3x – 4
b. P(x) – [Q(x) – S(x)] =
4
3
2
5x – 4x – 9x + 3x
c. Q(x) – [R(x) + P(x)] =
3x3 + 8x2 – 10x – 3
ˆ Q(x) = –x3 + 1
ˆ R(x) = 7x + 5 – 3x2
ˆ S(x) = 2 – 4x2 + 5x4 – x3
d. [R(x) – Q(x)] + [P(x) – S(x)] =
–5x4 – 2x3 – 4x2 + 10x + 1
e. – [R(x) + S(x) – Q(x)] + P(x) =
–5x4 – 4x3 + 2x2 – 4x – 7
f. [P(x) + Q(x)] – [R(x) – S(x)] =
5x4 – 6x3 – 6x2 – 4x –3
113
32
31
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Multiplicación de polinomios
INFOACTIVA
Para multiplicar dos monomios, se deben multiplicar los
coeficientes y las indeterminadas entre sí, aplicando la regla
de los signos y las propiedades de la potenciación.
5x . 3x = 15x2
7x4. (–5x4) = –35x8
xn . xm = xn+m
–6x3 . 3x = –18x4
–5x5 . (–8x7) = 40x12
Para multiplicar un polinomio por un monomio, se aplica la
propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma
y la resta.
a . (b ± c) = a . b ± a . c
10 x2 – 30x
2 x + 6 = –5x . (–x3) – 5x . 4x2 – 5x . –__
–5x . ( –x3 + 4x2 – __
( 23 x ) – 5x . 6 = 5x4 – 20x3 + ___
)
3
3
Para multiplicar dos polinomios, se aplica la propiedad
distributiva, efectuando luego la multiplicación de monomios.
(a + b) . (c + d) = ac + ad + bc + bd
Calcular el producto entre P(x) = x2 – 4x + 3 y Q(x) = 5x2 – x.
P(x) . Q(x) = (x2 – 4x + 3) . (5x2 – x)
= x2 . 5x2 + x2 . (–x) – 4x . 5x2 – 4x . (–x) + 3 . 5x2 + 3 . (–x)
= 5x4 – x3 – 20x3 + 4x2 + 15x2 – 3x
P(x) . Q(x) = 5x4 – 21x3 + 19x2 – 3x
Potencia de un monomio
Para resolver la potencia de un monomio, se debe aplicar
la propiedad distributiva de la potenciación respecto de la
multiplicación y la potencia de otra potencia.
(4x)3 = 43 . x3 = 64x3
(–2x3)2 = (–2)2 . (x3)2 = 4x6
(a . b)n = an . bn ∧ (xn)m = xm . n
7 3
3
( –__35 x ) = ( –__35 )
27 x21
. ( x7 )3 = –____
125
Cuadrado de un binomio
Al resolver el cuadrado de un binomio, se obtiene un trinomio cuadrado perfecto.
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Cuadrado de
un binomio
Trinomio
cuadrado perfecto
(x – 3)2 = x2 + 2 . x . (–3) + 32 = x2 – 6x + 9
Cubo de un binomio
Al resolver al cubo un binomio, se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto.
(a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)2 . (a + b) = (a2 + 2ab + b2) . (a + b)
(a + b)3 = a2 . a + a2 . b + 2aba + 2abb + b2 . a + b2 . b = a3 + a2 b + 2a2 b + 2ab2 + b2 a + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
Cubo de
un binomio
Cuatrinomio
cubo perfecto
(5 + x)3 = 53 + 3 . 5 . x2 + 3 . 52 . x + x3 = 125 + 15x2 + 75x + x3
114
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierta la igualdad (a – b)2 = a2 – b2?
b. ¿Es correcto decir que 4x3 . (–5x3) = –20x3?
a. No, porque la potencia no es distributiva respecto de la resta. b. No, porque al aplicar las propiedades de
potencias de igual base los exponentes se suman.
32
ACTIVIDADES
Multiplicación de polinomios
8. Resuelvan las siguientes multiplicaciones de monomios.
c. – __52 x2 . (–5x) . – __21 x3 =
4 5
___
x
2
d. 0,3 x . – __2 x2 = 27
(
5
a. –3x3 . (–9x2) = 27x
–2x6
b. __31 x5 . (–6x) =
(
3
)
–x6
)
9. Apliquen propiedades y resuelvan.
a. (–5x3) . – __51 x . x =
x5
d. (x – 5) . (x – 5) . (x + 5) =
b. (2x2)4 . (2x2)3 . 2x2 =
256x16
e. (x – 2) . (x + 2) . x =
x3 – 4x
c. (3x5)2 . 3x5 + x15 =
28x15
f. (x – 1) . (x – 1) . x2 =
x3 – 2x2 + x
(
)
x3 – 25x – 5x2 + 125
10. Resuelvan las siguientes multiplicaciones.
a. (5x2 + 3x – 4) . (–7x) =
–35x3 – 21x2 + 28x
b. __21 x . x3 – __34 x + 8 =
(
1 x4 – __
2 x2 + 4x
__
2
3
)
1
c. –3x3 . –x + __91 x2 – ___
27 =
(
)
1 x5 + __
1 x3
3x4 – __
3
9
15 3
2
d. __52 x2 . 25x – ___
2 x + 5x =
(
)
10x3 – 3x5 + 2x4
11. Resuelvan las siguientes multiplicaciones de binomios.
a. (4x3 – 2) . (4x3 + 2) =
16x6 – 4
b. (2x2 + 5) . (2x2 + 5) =
4x4 + 20x2 + 25
c. __21 x – 3 . __21 x + 3 =
(
)(
)
1 x2 – 9
__
4
d. __41 x2 – 2 . __41 x2 – 2 =
(
)(
1 x4 – x2 + 4
___
16
)
115
32
ACTIVIDADES
Multiplicación de polinomios
12. Tengan en cuenta los polinomios y resuelvan.
ˆ P(x) = 2x2 + x – 5
ˆ Q(x) = 4x2 + 3x – x4 + 4 + 2x3
a. P(x) . R(x) =
ˆ R(x) = x3 – x
ˆ S(x) = –x – 2x3 + 8 – x2
d. R(x) . S(x) =
2x5 + x4 – 7x3 – x2 +5x
b. Q(x) . P(x) =
–2x6 – x5 + x4 + 9x3 + x2 – 8x
e. R(x) . Q(x) =
–2x6 + 3x5 + 15x4 + 0x3 – 9x2 – 11x – 20
c. S(x) . P(x) =
–x7 + 2x6 + 5x5 + x4 – 3x2 – 4x
f. S(x) . Q(x) =
–4x5 – 4x4 + 7x3 + 20x2 + 13x – 40
2x7 – 3x6 – 9x5 – 20x4 + x3 + 25x2 + 20x + 32
13. Resuelvan los siguientes cuadrados y cubos de binomios.
a. (a2 + 3)2 =
a4 + 6a2 + 9
3
6
b. (–5 + b3)2 = 25 – 10b + b
c. (–c – 2)2 =
c2 + 4c + 4
d. (a + 3)3 =
a3 + 9a2 + 27a + 27
e. (4 – b)3 =
64 – 48b + 12b2 – b3
f. (2c2 + 4)3 =
8c6 + 48c4 + 96c2 + 64
14. Unan cada expresión con su resultado.
a. (a + b)2
b. (a – b)2
c. (–a + b)2
d. (–a – b)2
e. (a + b)3
f. (–a – b)3
g. (–a + b)3
h. (a – b)3
116
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
a2 + 2ab + b2
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
–a2 + 2ab – b2
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a2 – 2ab – b2
–a3 – 3a2b – 3ab2 – b3
a2 – 2ab + b2
–a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
32
ACTIVIDADES
Multiplicación de polinomios
15. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas.
a. (x + y)3 = (x + y)2 . (x + y)
V
b. (x – y)2 = (x – y) . (x + y)
F
c. (x2 + y)2 = (x2 – y) . (x2 + y)
d. (x – y)3 = (x – y)2 . (x + y)
(x – y) . (x – y)
e. (x2 + y4)3 = x6 + 3x4 y4 + 3x2 y8 + y12 V
(x2 + y) . (x2 + y) f. (x – y2)2 = x2 – y4
F
(x – y)2 . (x – y)
F
F
x2 – 2xy2 + y4
16. Calculen el perímetro y el área de cada figura y escríbanlo en su mínima expresión.
a. Recángulo.
c. Cuadrado.
3x2 – 5
2x
2 . (x + 1)
Perímetro = 8x + 4; Área = 4x2 + 4x
Perímetro = 12x2 –20; Área = 9x4 – 30x2 + 25
b. Triángulo isósceles.
d. Rombo.
6x
x2
4x
__
__
___
3
Perímetro = 2 . 33 . x2, Área = 3___ x4
3
Perímetro = 4 . 313 x; Área = 12x2
mente ACTIVA
Dado un paralelepípedo con las siguientes dimensiones, calculen las expresiones del volumen, el área y la longitud total de las aristas.
3x
3
Volumen = 30x
Área = 62x2
Longitud total de las aristas = 40x
2x
5x
117
INTEGRACIÓN
17. Marquen las opciones correctas.
22. Dados los siguientes polinomios, resuelvan
a. ¿Cuáles de los siguientes son polinomios
normalizados?
1 4
__
2x + 6
1 – x3
X x2 + x5
las sumas y restas. Luego, indiquen el grado de
cada uno de los polinomios dados y de los
resultados de las operaciones.
ˆ M(x) = 5x2 + x3 – 2
ˆ N(x) = –x3 + 5
X 3x + x2
b. ¿Cuáles expresiones son monomios?
a. M(x) + N(x) =
f. N(x) – M(x) =
b. R(x) + S(x) =
g. S(x) – M(x) =
X 7x4 – x5 + x5
c. N(x) + R(x) =
h. S(x) – R(x) =
c. ¿Cuáles expresiones son polinomios?
d. M(x) + S(x) =
i. R(x) + R(x) =
e. R(x) – N(x) =
j. R(x) – S(x) =
X – __1 x3 – 4x3
4
2
5x + 3x
–3x2 + 1
__
X 32 x + 5
0,6 x–1 – 3
___
x2
X __
x – 2
32x – 8
de cada polinomio.
a. –3x + 7x2 – 3 + x3
b. –7x + x2 – 5
c. 4x2 – 3x5 + 7 + 8x3
d. 3x + 5x – 2
a. 3; 1 b. 2; 1 c. 5; –3 d. 1; 8
19. Resuelvan las sumas y restas de monomios.
a. 3x2 + 7x2 – 8x2 + x2 = 3x2
___
____
__
__
b. A(x) + [C(x) + D(x)] = –2x3 – x2 – x + 2
e. [A(x) + B(x)] – [C(x) + D(x)] = 2x4 – 2x3 + 6
f. [A(x) – C(x)] + [B(x) – D(x)] = 2x4 – 2x3 + 6
__
__
f. – 354 x5 + 3150 x5 – 36 x5 = 36 x5
20. Reduzcan los siguientes polinomios.
a. 8x2 – 3x3 + x – 5x2 – x3
b. x + 7x2 – 3x + 9 – 5x
c. 12x4 – x5 + x3 + x5 – 9x4
d. 6x2 + 3x + 5 – 7x2 + 2 – x
e. –3x3 + 5x2 – x3 – 4x2 – 2x3
a. D(x) – [A(x) – B(x)] = –x4 + 4x3 – 2x2 + x – 7
d. [D(x) + B(x)] – C(x) = x4 + 4x3 – 2x2 – x + 1
e. – 350 x4 – 318 x4 + 38 x4 = –6 . 32 x4
___
en cuenta los polinomios dados.
ˆ A(x) = x4 – 2x3 + 5 – x
ˆ B(x) = –x2 + x – 2
ˆ C(x) = –x4 – 2x3 + x – 3
ˆ D(x) = 2x3 – x – x2
c. B(x) – [A(x) + C(x)] = 4x3 – x2 + x – 4
25
___
b. –5x8 – x8 + __21 x8 – __43 x8 = – 4 x8
5
__
c. 0,3x + 3x + 1,2x – 4x = – 9 x
17
___
d. __87 x3 – __41 x3 + 1,5x3 = 8 x3
___
Solución a cargo del alumno.
23. Resuelvan las sumas algebraicas, teniendo
18. Escriban el grado y el coeficiente principal
3x2 – 4x3 + x
g. – [A(x) – D(x) – B(x)] – [C(x) + B(x)] =
h. [A(x) + C(x) – B(x)] – [D(x) – B(x)] =
g. 6x3 – x2 – x – 2 h. –6x3 + x2 + x + 2
24. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál de las expresiones equivale a (a4 – b2)2?
7x2 – 7x + 9
a8 – b4
X a8 – 2a4 b2 + b4
3x4 + x3
a6 – b4
a6 – 2a4 b2 + b4
–x2 + 2x + 7
–6x3 + x2
b. ¿Cuál es el producto de (2x2 + 1) . 2x3?
X 4x5 + 2x3
21. Completen y ordenen los polinomios cuando
sea necesario.
a. 5x4 – 3x3 + 2x2 – x5 + x –x5 + 5x4 – 3x3 + 2x2 + x + 0
b. 7x3 + 8x2 – 9x + 2 Está completo y ordenado.
c. 4 – 2x + 4x2 – 3x3 –3x3 + 4x2 – 2x + 4
d. 3x3 + 2x2 – 6x 3x3 + 2x2 – 6x + 0
118
ˆ R(x) = –x4 – x + 3
ˆ S(x) = x2 – x + 2
2x2 + 2x3
4x6 + 2x3
6x8
c. ¿Cuál es el producto de (x – 1) . (x + 1)?
x2 + 2x + 1
x2 + 1
x2 – 2x + 1
X x2 – 1
capítulo
CONTENIDOS
5
30*31*32
25. Resuelvan.
¿Cuál es el valor de a para que la multiplicación
entre...
a. ... (x2 + ax – 1) y (x + 2), dé por resultado
(x3 + 5x2 + 5x – 2)?
b. ... (x – 3) y (3x3 + ax2 – 5), dé por resultado
(3x4 – 27x2 – 5x + 15)?
c. ... (x4 – 2x3 + 3ax2 – xa) y (x – 1), dé por
resultado (x5 – 3x4 – 13x3 + 20x2 – 5x)?
28. Escriban el polinomio reducido que expresa
el área de cada figura.
a. Área: 6x2 – x – 2
d
c
a
b
o
___
___
ab = 2x + 1
do = 3x – 2
b. Área: 7,5x2 + 3,5x – 1
d
a. a = 3 b. a = 9 c. a = –5
26. Escriban el polinomio reducido que expresa
el perímetro de cada figura.
a. 10x2 + 2x – 6
d
c
a
ab = 2x2 – 3x + 2
bd = 3x + 2
c
a
c
__
___
b
o
cd = 5x2 + 2 do = 2x
___
ao = 3x – 1
b
m
___
ad
= 2x2 + x – 2
__
dc = 3x2
b
___
d
__
a
c
c. Área: 10x3 + 6x2 + 2x
b
___
___
__
ac = 5x – 1
ad = 3x2 + 4x – 5
b. 10x2 + 4x – 4
d
a
d. Área: 2x2 + 3,5x – 1
am = x
c
c
c. 11x2 + 4x
a
a
___
ab = 5x2 + 8
__
b
___
bc = 3x2 + 2x – 4
27. Tengan en cuenta los siguientes polinomios
y resuelvan.
ˆ A(x) = x2 + 4x – 12
ˆ C(x) = x2 + 2
a. A . B =
b. B . C =
c. C . D =
d. D . A =
e. B . (–D) =
3
2
__
co = 4x – 1
29. Resuelvan las operaciones combinadas.
a. (3x + 1) . (2x + 2) – (6x2 + 4) =
ˆ B(x) = –x2 + x + 3
ˆ D(x) = –x + 5
f. D . D =
g. (–A) . A =
h. C . A =
i. B . C . D =
j. (C . D)2 =
a. –x – 3x + 19x – 36 b. –x + x + x + 2x + 6
c. –x3 + 5x2 – 2x + 10 d. –x3 + x2 + 32x – 60
e. –x3 + 6x2 – 8x – 15 f. x2 – 10x + 25
g. –x4 – 8x3 + 8x2 + 96x – 144 h. x4 + 4x3 – 10x2 + 8x – 24
i. x5 – 6x4 + 4x3 + 3x2 + 4x + 30
j. x6 – 10x5 + 29x4 – 40x3 + 104x2 – 40x + 100
4
ab = x + 2
b
o
4
3
2
b. (5x – 3) . (2x – 3) + 2 . (–5x2 –7) =
c. 3x2 . (2x2 + 3) + (–x3 + 7) =
d. (–2x3) . (x2 – x) – 3 . (x5 – x4) + x2 =
e. –8x3 . (–x + 2) + (x2 – 1) + 16x3 =
f. (3x2 + x) . (3x2 – x) – 3x . x3 + __31 + (x2 + x) =
(
)
g. (4x + 2)2 + (4x – 2)2 =
h. (x2 – 1)3 + (x – 1)3 =
a. 8x – 2 b. –21x – 5 c. 6x4 + 9x2 – x3 + 7
d. –5x5 + 5x4 + x2 e. 8x4 + x2 – 1 f. 6x4 g. 32x2 + 8
h. x6 – 3x4 + x3 + 6x2 – 3x – 2
119
33
32
34
35
36
37
38
39
40
41
42
División de polinomios
INFOACTIVA
Para dividir dos monomios, se deben dividir los coeficientes y las indeterminadas entre sí, aplicando
la regla de los signos y las propiedades de la potenciación.
xm : xn = xm – n
10 x3
(–10 x8) : (3x5) = (–10 : 3) (x8 : x5) = –___
(10 x3) : (5x) = (10 : 5)(x3 : x) = 2x2
3
Para dividir un polinomio por un monomio, se aplica la propiedad distributiva.
(a ± b) : c = a : c ± b : c
(12x6 + 36x4 – 6x3 + 42x) : (–6x) = 12 : (–6) (x6 : x) + 36 : (–6) (x4 : x) – 6 : (–6) (x3 : x) + 42 : (–6) (x : x)
= –2x5 – 6x3 + x2 – 7
Para dividir dos polinomios, se deben cumplir las siguientes condiciones.
ˆ El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polinomio divisor.
ˆ El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.
ˆ El polinomio divisor debe estar ordenado en forma decreciente.
Dividendo
Divisor
P(x)
Q(x)
R(x)
C(x)
Resto
{
P(x) = 2x – 5 + 4x4
Dados Q(x) = –2x + x2
P(x) = C(x) . Q(x) + R(x)
Cociente
hallar P(x) : Q(x).
El dividendo debe estar completo y ordenado: P(x) = 4x4 + 0x3 – 10x2 + 0x – 5
El divisor debe estar ordenado: Q(x) = x2 – 2x
4x4 + 0x3 – 10x2 + 0x – 5
4x2 . (x2 – 2x)
–(4 x4 – 8x3)
——————
0x4 + 8x3 – 10x2
–(8x3 – 16x2)
—————————
0x3 + 6x2 + 0 x
–(6x2 – 12x)
—————————
0x2 + 12x – 5
8x . (x2 – 2x)
6 . (x2 – 2x)
x2 – 2x
4x2 + 8x + 6
Cociente: C(x)
4x4 : x2 = 4x2
8x3 : x2 = 8x
6x2 : x2 = 6
Resto: R(x)
Se termina la cuenta porque el grado es menor que el grado del divisor.
C(x) = 4x2 + 8x + 6
120
R(x) = 12x – 5
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si se aplica la propiedad distributiva en la división (4x3 – x) : (2x), ¿el resultado es 2x2 – __21 x?
b. En una división de polinomios, ¿cómo se debe ordenar el polinomio dividendo?
1 . b. Se debe ordenar en forma decreciente.
a. No, porque x : x da por resultado 1, lo correcto es 2x2 – __
2
33
ACTIVIDADES
División de polinomios
30. Resuelvan las siguientes divisiones entre monomios.
1 x2
– __
2
10 4
a. – __35 x6 : ___
3 x =
(
)
(
6x5
b. ( –27x8 ) : – __29 x3 =
(
c. – __41 x3 : 2x =
)
)
3 9
1 8
__
d. ___
16 x : – 4 x =
(
)
1 x2
– __
8
3
– __ x
4
31. Resuelvan las siguientes divisiones.
3x5 + 4x3 – 2
a. (15x7 + 20x5 – 10x2) : (5x2) =
b. –3x5 + 6x3 – __52 x2 : – __21 x =
(
) (
)
c. __32 x9 – 0,6 x7 + __54 x5 : – __31 x3 =
(
) (
8
)
d. (12x – 8x + 16x – x ) : (–8x4) =
7
5
4
4
6x4 – 12x2 + __ x
5
12 x2
–2x6 + 2x4 – ___
5
3 4
1
__
3
– x + x – 2x + __
2
8
32. Calculen el cociente y el resto de las siguientes divisiones.
a. (2x3 – 10x2 + 8x – 6) : (2x – 1) =
c. (– 5x3 + 3x2 – x + 1) : (x2 + 2) =
9
7
17
Cociente: x2 – __ x + __, Resto: – ___
2
4
4
Cociente: –5x + 3, Resto: 9x – 5
b. (3x4 + 12x2 – 9x – 3) : (x2 + x) =
d. (12x7 – 10x5 + 8x4 – 4x2) : (x3 + x2) =
Cociente: 3x2 – 3x + 15, Resto: –24x – 3
Cociente: 12x4 – 12x3 + 2x2 + 6x – 6, Resto: 2x2
33. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el cociente de – __41 x3 : – __43 x ?
(
X __1 x2
3
)(
)
1 3
__
3x
1 4
__
3x
b. ¿Cuál es el cociente de (16x4 – 12x3 + 8x2 – 20x) : (4x)?
4x4 – 3x3 + 2x2 – 5x
X 4x3 – 3x2 + 2x – 5
4x3 – 3x2 + 2x – 5x
c. ¿Cuál es el resto de la división (x3 + 1) : (x2 + 1)?
x–1
X –x + 1
x+1
121
34
33
35
36
37
38
39
40
41
42
43
La regla de Ruffini. Teorema del resto
INFOACTIVA
La regla de Ruffini es un método práctico que se utiliza para dividir un polinomio P(x) por otro cuya
forma sea x + a.
Dados P(x) = 2x3 + 3x – 1 y Q(x) = x + 2 hallar P(x) : Q(x), aplicando la regla de Ruffini.
Dividendo
Divisor
2
x+2
3
El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado.
2x + 0x + 3x – 1
Se escriben alineados los coeficientes del dividendo.
2
–2
0
–2
3
1
1
1
1
–1
1
3
Cociente
Resto
3x2 + 1x + 1
–1
–1
+
Cálculos auxiliares
(–2) . (–4) = 8
(–2) . 11 = –22
–2
2
–4
8 –22
–4
11 –23
C(x) = 2x2 – 4x + 11
El polinomio cociente es un grado menor que el polinomio dividendo.
3
3
(–2) . 2 = –4
El coeficiente principal se “baja” sin ser modificado;
luego se lo multiplica por el opuesto del término independiente del divisor y se suma con el segundo coeficiente; así
sucesivamente hasta llegar al resto.
Los números que se obtienen son los coeficientes del
cociente y el último valor es el resto.
(3x3 – 2x2 – 2) : (x – 1)
Dividendo
3x3 – 2x2 + 0x – 2
0
R(x) = –23
Cociente
Resto
(–x5 + 12x3 – 15x2 – 16) : (x + 4)
–x5 + 0x4 + 12x3 – 15x2 + 0x – 16
–1
–4
–1
Cociente
Resto
Dividendo
0
12
–15
0
–16
4
–16
16
–4
16
4
–4
1
–4
0
–x4 + 4x3 – 4x2 + x – 4
0
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio por otro de la forma x + a es el valor que resulta de reemplazar la variable del dividendo por el valor opuesto al término independiente del divisor.
122
Dados P(x) = 3x3 – 2x2 – 2 y Q(x) = x – 1
Dados P(x) = –x5 + 12x3 – 15x2 – 16 y Q(x) = x + 4
El resto de la división P(x) : Q(x) se obtiene:
P(1) = 3 . (1)3 – 2 . (1)2 – 2
P(1) = 3 – 2 – 2 = –1
El resto de la división P(x) : Q(x) se obtiene:
P(–4) = –(–4)5 + 12 . (–4)3 – 15 . (–4)2 – 16
P(–4) = 1024 – 768 – 240 – 16 = 0
El resto de la división es –1.
El resto de la división es 0.
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo debe ser el polinomio divisor para poder aplicar la regla de Ruffini?
b. Para aplicar la regla de Ruffini, ¿el dividendo debe estar ordenado, sin importar si está completo?
a. Debe tener la forma x ± a. b. No, el dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.
34
ACTIVIDADES
La regla de Ruffini. Teorema del resto
34. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el resto de la división (–x3 – 4x + 5) : (x – 2)?
X –9
–7
1
21
(x3 – 2) : (x + 2)
(x3 – 2) : (x – 2)
b. ¿Cuál de las siguientes divisiones es exacta?
(x3 – 1) : (x + 1)
X (x3 – 1) : (x – 1)
35. Resuelvan usando la regla de Ruffini y verifiquen usando el teorema del resto.
a. (5x3 – 2x2 + x – 3) : (x + 1) =
Cociente: 5x2 – 7x + 8, Resto: –11
b. (x5 – 3x3 + 4x2 – x + 2) : (x – 1) =
Cociente: x4 + x3 – 2x2 + 2x + 1, Resto: 3
c. (x3 – x2 – 12x + 12) : (x – 1) =
Cociente: x2 – 12, Resto: 0
d. (2x4 – 4x2 + x – 8) : (x – 2) =
Cociente: 2x3 + 4x2 + 4x + 9, Resto: 10
e. (x6 + 4x5 – 7x3 – 3) : (x + 1) =
Cociente: x5 + 3x4 – 3x3 – 4x2 + 4x – 4, Resto: 1
f. (–2x5 – 4x3 – x2 – 80) : (x + 2) =
Cociente: –2x4 + 4x3 – 12x2 + 23x – 46, Resto: 12
36. Calculen el resto de las siguientes divisiones aplicando el teorema correspondiente.
a. (–x5 – 3x3 + 4x + 7) : (x – 3) =
–305
b. (2x6 – x3 + x2 – 3) : (x + 1) =
1
c. 4x5 – 3x4 – 2x3 + __21 x – 1 : (x – 2) =
(
)
64
d. (–5x8 + 3x2 – x + 6) : (x – 1) =
3
123
35
34
36
37
38
39
40
41
42
43
44
Raíces de un polinomio
INFOACTIVA
Una función de la forma f(x) = an xn + an – 1 xn – 1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0, siendo n un número natural
y an, an – 1, ..., a2, a1, a0, números reales, es una función polinómica.
ˆ Si an ≠ 0, entonces la función es de grado n.
ˆ El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales.
ˆ Las funciones polinómicas son continuas.
Función
5 x + 2 x – 3 x2 + 4x – 10
9x3 – 4
5x + 4
46
4
Grado
Cuatro
Tres
Uno
Cero
3
Se llama orden de multiplicidad de una raíz a la cantidad de veces que esa raíz se repite como tal.
Para determinar el comportamiento de una función polinómica respecto del eje x (eje de las abscisas), se debe conocer la forma factorizada del polinomio, f(x) = an . ( x – x1 ) . ( x – x2 ) ... (x – xn – 1 ) . ( x – xn ),
y determinar el orden de multiplicidad de sus raíces.
ˆ Si el orden de multiplicidad de la raíz es par,
la gráfica de la función toca el eje x, pero no lo
atraviesa.
ˆ Si el orden de multiplicidad de la raíz es
impar, la gráfica de la función atraviesa el eje x.
y
y
Raíz de orden impar
Raíz de orden par
x
f(x) = (x + 1)3
x = –1 es una raíz de orden impar.
La gráfica atraviesa el eje de abscisas y lo
“corta”.
f(x) = (x – 2)2
x = 2 es una raíz de orden par.
La gráfica toca el eje x y “rebota”.
y
y
2
4
3
x = –1 Raíz de
orden impar
2
–3
124
–2
–1
1
0
–1
1
–1
x
0
1
2
3
4
5
6
x = 2 Raíz de orden par
x
–2
1
2
3
4
x
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si el orden de la multiplicidad de la raíz es par, ¿la gráfica de la función atraviesa al eje x?
b. Para que dos polinomios sean divisibles, ¿cuál debe ser el resto de la división entre ellos?
a. No, la gráfica rebota. b. Cero.
35
ACTIVIDADES
Raíces de un polinomio
37. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál de las gráficas corresponde a la función indicada en cada caso?
a. f(x) = (x – 2) . (x + 4)2 . (x + 3)2
y
y
X
–4 –3
x
2
y
–4 –3
x
2
–4 –3
x
2
b. g(x) = x . (x – 1)2 . (x + 2)
y
X
–2
y
x
1
–2
y
x
1
–2
x
1
38. Indiquen en cada gráfico cuáles son las raíces y el orden de multiplicidad de las mismas.
y
a.
–4
–3
–2
–1
y
c.
0
1
2
3
4x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
4x
3
Raíces: –4, –2, 0, 1, 3
Raíces: –3, –2, 0, 3
Orden de multiplicidad: Impar: –4, –2, 0; Par: 1, 3
Orden de multiplicidad: Impar: –2, 0, 3; Par: –3
b.
d.
y
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x
y
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4x
Raíces: –5, –3, 3, 4
Raíces: –3, –2, 0, 3
Orden de multiplicidad: Impar: –3, 3; Par: –5, 4
Orden de multiplicidad: Impar: –2, 0, 3; Par: –3
125
36
35
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Operaciones combinadas
INFOACTIVA
Para resolver operaciones combinadas entre polinomios, se deben tener en cuenta los mismos procedimientos y propiedades que con los números reales. Resuelvan como cálculos auxiliares las operaciones más complejas.
Para repasar las
operaciones de
polinomios
pueden volver a
las páginas 112,
114, 120 y 122.
{
P(x) = x3 – 125
Dados Q(x) = x2 + 5x + 25 calculen P(x) : Q(x) – 2 . R(x).
R(x) = x2 + 3x – 1
( x3 – 125) : (x2 + 5x + 25) – 2 . (x2 + 3x – 1) =
(x – 5) – 2 . (x2 + 3x – 1) =
x – 5 – 2x2 – 6x + 2 =
= –2x2 – 5x – 3
Cálculos auxiliares
x3 + 0x2 + 0x – 125
–(x3 + 5x2 + 25x)
—————————————
0x3 – 5x2 – 25x – 125
–(–5x2 – 25x – 125)
—————————————
0x2 + 0x + 0
x2 + 5x + 25
x – 5 Cociente
/
Siempre que sea posible, se deben cancelar los términos opuestos para simplificar las operaciones.
{
P(x) = x + 2
Dados Q(x) = x – 3
calculen P(x) . Q(x) – R(x).
R(x) = x2 – 2x + 1
(x + 2) . (x – 3) – (x2 – 2x + 1) =
(x – 3x + 2x – 6) – (x2 – 2x + 1) =
x2 – x – 6 – x2 + 2x – 1 =
=x–7
2
En algunos casos, aparecen divisiones que pueden resolverse utilizando la regla de Ruffini.
{
P(x) = x3 – 2x2 + x + 4
Dados Q(x) = x + 1
calculen P(x) : Q(x) – [Q(x)]2.
(x3 – 2x2 + x + 4) : (x + 1) – (x + 1)2 =
( x2 – 3x + 4) – ( x2 + 2 . x . 1 + 12) =
( x2 – 3x + 4) – ( x2 + 2x + 1) =
x2 – 3x + 4 – x2 – 2x – 1 =
= –5x + 3
Cálculos auxiliares
P(x) : Q(x) = (x3 – 2x2 + x + 4) : (x + 1)
1
–2
1
4
1
–1
–3
3
4
–4
0
–1
Cociente: x2 – 3x + 4
126
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que 2x + 2x . (x + 2) = 4x . (x + 2)?
b. La suma (x + 1)2 + (x + 1)2, ¿se puede escribir como [ (x + 1)2] ]2?
a. No, porque no se respetaron los términos. b. No, se puede escribir como 2 . (x + 1)2.
36
ACTIVIDADES
Operaciones combinadas
39. Resuelvan las siguientes operaciones.
a. 4x . (x5 – x3 + 2x) + 3x4 – 5x6 =
f. –(x6 – 5x4 + 2x) . 2x – 2x . (x + x3) =
–x6 – x4 + 8x2
–12x7 + 10x5 – 6x2 – 2x4
b. –x . (3x6 + 8x9 – x) – (3x2 – 5x10) =
g. 7 . (x2 + x3) – 3x . (x + 2x2) – 8x3 =
–3x7 – 3x10 – 2x2
4x2 – 7x3
c. –5x . (4x3 + 3x2) + 3x2 . (7x + x2) =
h. –2x . (x3 – x4 + 5x) – 4x2 . (x2 + 3x) + 6x4 =
–17x4 + 6x3
2x5 – 10x2 – 12x3
d. 4x2 . (x3 – x2 + x) – 3x . (–x4 + x) =
i. –(x3 + 3x2 – 5x + 4) + (x3 – 1) . 5x + 3x2 =
7x5 – 4x4 + 4x3 – 3x2
5x4 – x3 – 4
e. (x + 4) . (x2 – 5) – x . (x3 – x2 + 1) =
4
3
2
j. __51 x + x2 . (5x – 1) – __51 x – 2 . 5x =
(
)
49
5x – 2x + ___ x
5
3
–x + 2x + 4x – 6x – 20
(
)
2
40. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es el resultado de cada uno de los siguientes cálculos combinados entre polinomios?
a. (x – 4)2 + 3x =
X x2 – 5x + 16
x2 – 8x + 16
x2 + 3x – 16
x2 + 11x + 16
3x2 – 8x
–8x2 + 8
b. 4x . (x2 – x + 2) – 4x3 + x2 =
8x3 – 3x2 + 8x
X –3x2 + 8x
c. (x + 3)2 – (x – 3)2 =
2x2 + 18
x2 + 12x
2x2
X 12x
127
36
ACTIVIDADES
Operaciones combinadas
41. Resuelvan las siguientes operaciones.
a. (x2 + x3)2 – (x3 – 1) : (x – 1) =
6
5
4
e. __81 x3 + 27 : __21 x + 3 – 9 – __41 x2 =
)(
(
3
1 x2 – __
__
x
2
2
2
x + 2x + x – x – x – 1
b. –3 . (x2 – 4x) + (x3 + 5x2 + 2x – 8) : (x + 2) =
) (
f. __21 x + __41 . (2x2 + 2) – x2 + __29 x + 2 : (x + 4) =
(
(
)
1 x2
x3 + __
2
–2x2 + 15x – 4
c. (x2 – 2x)2 + (x3 + x – 1) . 3x =
g. __23 x – __31
(
2
) + (x
9 2 ___
13
__
x + 36
4
4x4 – 4x3 + 7x2 – 3x
d. (x4 – 16) : (x + 2) – (x – 4)2 =
x3 – 3x2 + 12x – 24
)
2
)
1
1
__
– ___
16 : x – 4 =
)(
)
h. 5x . (x3 + 2x – 1) + (4x3 + 7x2 – 5x – 6) : (x – 1) =
5x4 + 14x2 + 6x + 6
42. Encuentren el valor de a, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad.
–2x5 + 4x4 + 37x3 – 37x2 – 6x + 7 = (ax + bx2 + c) . (x3 – 5x2 + 1)
a = –6; b = –2; c = 7
43. Tengan en cuenta los siguientes polinomios y resuelvan.
ˆ A(x) = x4 – 2x2 + x
a. [ B(x) ]2 – A(x) =
–x4 + 3x2 – 3x + 1
b. D(x) + [ C(x) ]2 =
x4 – 3x3 – 4x2 + 17x + 18
128
ˆ B(x) = x – 1
ˆ C(x) = x2 – 2x – 4
ˆ D(x) = x3 + x + 2
c. A(x) : B(x) + D(x) =
2x3 + x2 + 2
d. C(x) . D(x) – B(x) . A(x) =
–x4 – x3 – 3x2 – 7x – 8
36
ACTIVIDADES
Operaciones combinadas
44. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. (–x3 + 8) : (x – 2) – (x + 1)2 =
–2x – 4x – 5
2
)
+ (x – 2x2) . x4 – x5 + __61 =
(
(
27x3 – 23x2 + 25x + 15
)(
)
x2 + x – 20
c. (x4 – 3x3 + x2) : x2 – (5x2 – 2x)2 =
–25x4 + 20x3 – 3x2 – 3x + 1
]
1
2
2
2
6
.
d. (3x2)3 . – ___
27 x (–3x) : x + (x + 2) =
)
)
f. __41 x3 + x2 – x – 28 : __41 x2 + 2x + 7 + x2 – 16 =
b. (3x – 1)3 + (2x + 4)2 =
(
(
29
7
1 x3 – ____
– __ x6 + __
192
4
4
2
[
e. __21 x3 + __41
x4 – 9x3 + 4x2 + 4
g. 5x2 . (2x2 – 4x3)2 + (x2 + 2x)3 + 80x7 =
80x8 + 21x6 + 6x5 + 12x4 + 8x3
h. (x5 – 2x4 + 3x2 + 2x + 8) : (x2 + 2) – (x3 – 4) =
–2x2 + x + 8
45. Resuelvan teniendo en cuenta los siguientes polinomios.
ˆ A(x) = x2 + 2
ˆ B(x) = x3 – 1
a. B(x) : C(x) + A(x) =
2x2 + x + 3
[
ˆ C(x) = x – 1
ˆ D(x) = x3 + x2 – 2
c. [2 . A(x) . 3 . B(x)] + D(x) – B(x) =
6x5 + 12x3 – 5x2 – 13
]
b. __51 . D(x) – B(x) . C(x) =
4
3
3
1 x2 + __
x – __
– __ x4 + x3 – __
5
5
5
5
d. [ B(x) ]2 . C(x) + D(x) =
x7 – x6 – 2x4 + 3x3 + x2 + x – 3
mente ACTIVA
Se tiene un cuerpo formado por dos cubos unidos entre sí
con la longitud de las aristas indicadas en el gráfico. ¿Cuál
es el polinomio que expresa el volumen de dicho cuerpo?
x+2
x+1
Volumen = 2x3 + 9x2 + 15x + 9
129
INTEGRACIÓN
46. Resuelvan la división de los monomios.
50. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
4 6
25 7
51 3
17 9
10 4
___
___
___
5x3 e. ___
x
a. ___
5 x : 4 x = 15
4 x : 8 x =
( )( )
( )( )
49
11
7
27
121
11
___
__
__
___
___
b. ( 9 x ) : ( 21 x ) = 81 x f. ( ____
136 x ) : ( 34 x ) = 4
49
144
58
116
10
12
____
___
___
___
____
x
x
c. ( ___
5 x ) : ( 24 x ) = 25 g. ( 7 x ) : ( 343 x ) = 2
5
3
13
3
26
__
__
___
x h. ( __1 x ) : ( ___
x
d. ( ___
2 x ):( 3 x ) = 4
10 x ) = 6
4
17
12
4
3
8
6
5
12
12
a. La suma de dos polinomios de grado 2
7
6
siempre da como resultado otro polinomio de
13
2
corresponda.
10
3
grado 2.
F
b. El producto de dos polinomios de grado 3
47. Resuelvan las siguientes divisiones.
a. __31 x5 + 8x4 – __92 x2 + x : __32 x =
(
b. ( 7,2 x
)( )
)( )
) ( )
+ __32 x3 – 5x2 : __51 x =
1
0,5 x5 – 0,5x3 + 0, 05 x : ___
10 x =
7x6 + 21x7 – __31 x5 : (3x4) =
2 8 __
1 6
1 2
__
__
4
7 x – 2 x + 0,4 x : 2 x =
x7 – __41 x6 + 0, 25 x4 – __51 x3 : (0,2x3) =
–2x5 + 4x6 – __27 x7 – 8x3 : __31 x2 =
–x6 – x5 + 2x3 – __81 x2 : __38 x =
c.
(
d.
(
4
)
(
f. (
e.
)( )
)
(
h. (
g.
)( )
)( )
Solución a cargo del alumno.
siempre da por resultado otro polinomio de
grado 9.
F
c. El opuesto de un polinomio se obtiene multiplicando el polinomio por (–1).
V
d. En un polinomio, si el orden de multiplicidad de una raíz es impar, la gráfica atraviesa el
eje x.
V
e. Un polinomio de grado 5 tiene 5 raíces. V
f. Si un polinomio tiene 2 raíces de orden par,
48. Resuelvan e indiquen el cociente y el resto
el polinomio tiene grado 2.
de cada división.
g. Dos polinomios son divisibles si su resto es
a. (6x + 3x – 9) : (3x ) =
5
4
2
el polinomio nulo.
b. __51 x4 – __58 x3 + __57 x – 5 : (5x3) =
(
)
c. (–10x7 – 8x5 + 4x7 – x) : (2x2 + 1) =
d. (12x + x – 5x + 3) : (3x – 2) =
3
F
V
51. Calculen el valor de a para que P(x) sea
divisible por Q(x).
2
e. (5x6 – 20 + 4x7 – 15x – 6x4) : (5x3 – 1) =
f. (12x5 – 4x3 + 16) : (4x2 + 2) =
g. (15x7 – 3x5 – 12x4 – 18x) : (3x3 – x2 + 1) =
h. (x6 + x3 – x2 + 1) : (x4 – x2 + 1) =
a. P(x) = x6 – x5 + ax3 + 2; Q(x) = x – 1
b. P(x) = x3 – ax2 + x – 5; Q(x) = x + 1
c. P(x) = 3x4 + 2x2 – 2a2; Q(x) = x – a
d. P(x) = x4 – ax3 – 2x2 – 1; Q(x) = x + 2
Solución a cargo del alumno.
e. P(x) = x5 + ax – 4; Q(x) = x – 2
49. Escriban la expresión que representa el perí-
f. P(x) = ax3 + 8; Q(x) = x – 2
metro___
y el área de la siguiente figura.
= ob
a
ab = 2x + 2 cm
g. P(x) = –ax3 + x4 + 1; Q(x) = x – 1
___
ao
___
h. P(x) = __31 x3 + __92 x2 + ax – 11; Q(x) = x + 3
i. P(x) = ax3 + 8x – 48; Q(x) = x – 2
Perímetro: 16x + 16;
Área: 8x2 + 16x + 8
130
o
b
j. P(x) = 9x4 – __31 x2 + x + a; Q(x) = x – 3
7
a. a = –2; b. a = –7; c. a = 0; d. a = – __; e. a = –14;
8
f. a = –1; g. a = 2; h. a = –6; i. a = 4; j. a = –729
capítulo
CONTENIDOS
5
33*34*35*36
52. Escriban el orden de multiplicidad de las raí-
53. Calculen el resto en cada caso, sin resolver
ces de cada uno de los siguientes gráficos.
a. Orden par = 0, 2. Orden impar = –2
las divisiones.
a. (–5 x2 + x – 2) : (x – 3) =
y
b. (x3 – x2 + 1) : (x + 4) =
c. __43 x4 + __41 x3 – x2 + x : x – __21 =
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4x
(
d. ( 0,3 x
)(
)
– __61 x3 + 2 : (x + 6) =
)
2
21 ; d. r = 50
a. r = –44; b. r = –79; c. r = ___
64
54. Encuentren, en cada caso, el valor de a tenien-
b. Orden par = 2. Orden impar = –3, –2, 0
do en cuenta que P(x) y Q(x) son divisibles.
y
P(x)
Q(x)
Resto
x – ax + 1
x+5
6
–x4 + x2 – x
x+a
–1
4x5 – 8
x+2
a
–x3 + 5x2 + 10x – 2
x–a
48
3
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4x
c. Orden impar = –1, 1, 3
___
a = 26; a = –1; a = –136; a = 5; ±310
55. Resuelvan las operaciones combinadas.
a. (x2 – 1)2 + (4x3 – 5x + 2x2 – 1) =
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4x
b. (4x2)3 – (x2 – 3)2 + (x2 + 9) =
c. –(x3)2 + (x3 + 1)2 – (x2 + 1) =
d. Orden par = –1, 1
d. 3 . (x2 + 2x – 3) – (3x2 – 9) + 6x2 =
e. (x2 – 1)2 + (x2 + 1)2 – 2 =
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4x
f. (x2 + x + 1)2 – (x4 + 3x2 + 1) =
g. (x – x2) . (3x2 + x – 5) + (–x2 + 5x – 3x4) =
h. (x3 – 1) . (x + 2x2) . x – 2 . (–x3 + x6) =
e. Orden par = –1, 1, 4. Orden impar = 3
i. (4x2 + 1) . 3x – 2 . (x + 1)2 =
y
j. (x3 + 8) : (x + 2) + (x – 4)2 =
k. (x2 – x + 1) . (x3 – 1) : (x – 1) =
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4x
l. (x5 + 4x3 – 2x2 + 3x – 6) : (x2 + 3) + (–x3 – 1) =
[
]
1 2 .
1
__
3
m. –3x . ___
27 x (–2x) : 9 x + (x + 1) =
f. Orden par = –1, 1. Orden impar = 0
y
(
)
n. (x3 + 5x2 –x) . x + 3 . (x2 – 1)2 – 5x3 =
2
o. (x6 – 2x4 + x2) : 2x2 + x + __21 . – __21 x2 =
(
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4x
) (
)
p. (x2 – 7x + 12) . (x + 1) – x . (x2 + 6x) – x4 =
Solución a cargo del alumno.
131
capítulo
5
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
56. ¿Cuál de los siguientes polinomios tiene grado 5, término independiente igual a 3 y coeficiente
principal 2?
a. 5x2 + x4 – 6x + 3
b. 3x5 + x4 – 6x + 2
c. 2x3 + x4 – 6x + 5
X d. 2x5 + x4 – 6x + 3
57. ¿Cuál de las siguientes gráficas puede representar una función polinómica de grado 6?
y
a.
y
c.
x
b.
x
X d.
y
y
x
x
58. ¿Cuál es el resto de la división entre (3x6 + 5x4 – 2x3 – x2 – 10) y (x + 2)?
a. –274
b. –242
X d. 274
c. 242
59. ¿Cuál es el valor de a para que al dividir (–x4 + 2x3 + 4x2 + ax + 6) y (x + 3), el resto sea –78?
X a. –5
b. –3
c. 3
d. 5
60. ¿Cuál de los siguientes polinomios es divisible por (x + 4)?
a. –x – x5 + 5x2 – 8
b. –5x + 3x3 – x2 + 40
X c. –x4 – 3x3 + x2 + 48
1
1 3
__
__
8 = x + 2 , ¿cuáles son los valores de a y b?
3
3
__
X b. a = __
a. a = – __23 y b = – __43
c. a = – __23 y b = __43
2 y b = – 4
(
61. Si x3 + ax2 – bx +
d. x2 – 2x3 – x + 12
)
d. a = __23 y b = __43
62. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función x2 . (x – 2)4 . (x + 2) . (x + 3)5?
a.
b.
y
x
132
X c.
y
x
d.
y
x
y
x
Contenidos
6
37. Factor común y factor común por grupos.
38. Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio
cubo perfecto.
39. Suma y resta de potencias de igual
exponente.
40. Teorema de Gauss.
41. Casos combinados de factoreo.
42. Ecuaciones de grado mayor a dos.
43. Estudio de funciones polinómicas.
44. Expresiones algebraicas fraccionarias.
45. Operaciones con expresiones algebraicas
fraccionarias.
46. Ecuaciones con expresiones algebraicas
fraccionarias.
A fines del siglo XVIII y comienzos del XIX vivió en Italia
un personaje cuyo nombre es conocido por cualquiera que
haya atravesado el colegio secundario. Nos referimos a Ruffini,
autor de la famosa regla para la división de polinomios.
Sin embargo, la fama es a veces injusta: en realidad, el
mayor hallazgo de Ruffini pasa casi desapercibido para quienes no son matemáticos. Se trata de responder a una simple
pregunta: ¿hay alguna fórmula que permita encontrar las
raíces de cualquier polinomio? La respuesta es notable: no
existe una fórmula general para encontrar raíces de polinomios de grado mayor que 4. La demostración de Ruffini no
era del todo correcta, pero más tarde fue corregida y publicada por el noruego Abel, en 1826. Desde entonces, la teoría
de ecuaciones algebraicas no volvió a ser la misma.
1. Lean atentamente y respondan.
a. El polinomio x5 – x tiene 3 raíces que se pueden encontrar factorizándolo.
¿Contradice esto el resultado demostrado por Ruffini y por Abel?
b. ¿Por qué creen que la teoría de ecuaciones algebraicas “no volvió a ser la
misma”?
a. No; porque se refiere a la posibilidad de encontrar una fórmula general, pero eso no quiere decir
que no se puedan resolver ciertos polinomios específicos. b. Respuesta abierta. Más allá de la
importancia particular de la demostración de Ruffini y de Abel, en matemática son muy interesantes (y en general difíciles) los teoremas que muestran alguna imposibilidad.
capítulo
Factorización de polinomios
37
36
38
39
40
41
42
43
44
45
46
Factor común y factor común por grupos
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 10
Factorizar un polinomio de n términos es expresarlo como un producto de polinomios primos.
Factor común
Para factorizar un polinomio a través del factor común, se debe recordar la propiedad distributiva
de la multiplicación respecto de la suma o de la resta.
a . (b ± c) = a . b ± a . c (el factor a se repite en ambos términos)
Para extraer el factor común, se debe proceder de manera inversa: a . b ± a . c = a . (b ± c)
Primero, se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término y luego,
para encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común.
El factor común puede ser la variable del polinomio, elevada a la menor potencia, y/o el dcm de
todos los coeficientes del mismo.
Factoricen el polinomio P(x) = 6x2 – 3x, extrayendo el factor común.
3x es el factor común de los dos términos.
P(x) = 3x . 2x – 3x . 1
P(x) = 3x . (2x – 1)
Expresión factoreada de P(x) a través del factor común.
6x2 ___
3x
____
3x 3x
Dentro del paréntesis va lo que resulta de dividir cada término por 3x.
Factoricen el polinomio Q(x).
Q(x) = –15x6 – 12x5 + 6x3 = –5 . 3x3 . x3 – 4 . 3x3 . x2 + 2 . 3x3 = 3x3 . (–5x3 – 4x2 + 2)
Para normalizar un polinomio, se debe sacar como factor común el coeficiente principal.
2
R(x) = 3x
(
1
__
2
3
x
1
__
____
__
.
–2=3 3 – 2
3
)
(
1
= 3 . x2 – __
6
)
Polinomio normalizado
Factor común por grupos
En algunos casos el factor común por grupos se puede aplicar a polinomios que no tienen un factor
común en todos sus términos.
Factoricen el polinomio S(x) = 4x3 – 2x2 + 6x – 3, mediante el factor común por grupos.
Se forman grupos de términos, de forma tal que en cada
S(x) = (4x3 – 2x2) + (6x – 3)
uno de ellos haya un factor común.
2x2
3
S(x) = 2x2 . (2x – 1) + 3 . (2x – 1)
S(x) = (2x2 + 3) (2x – 1)
En cada término debe aparecer el mismo factor para poder
extraerlo nuevamente como factor común.
Al sacar nuevamente factor común, la expresión queda
factorizada a través del factor común por grupos.
Factoricen el polinomio Q(x).
Q(x) = x6 + 2x5 + x4 + 2x3 + 2x + 4 = (x6 + 2x5) + (x4 + 2x3) + (2x + 4)
= x5 . (x + 2) + x3 . (x + 2) + 2 . (x + 2)
Q(x) = (x5 + x3 + 2) . (x + 2)
134
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En P(x) = 6x3 – 15x2 + 3x = 3x . (2x2 – 5x), ¿se extrajo correctamente el factor común?
b. En todo polinomio, ¿se puede aplicar factor común por grupos?
a. No, P(x) = 3x . (2x2 – 3x + 1). b. No, se deben poder agrupar términos con factores comunes.
37
ACTIVIDADES
Factor común y factor común por grupos
1. Marquen las opciones correctas.
En cada caso, ¿cuáles expresiones son equivalentes a las dadas?
a. x8 – x2 =
b. x5 – 2x2 + x =
c. x4 . (x2 – 3x + 1) =
x 2 . (x 4 – x )
X x . (x4 – 2x + 1)
X x2 . (x6 – 1)
x5 . (–2x3 + x4)
x8 . (1 – x6)
x5 . (x – 2x–3 + x)
d. x3 . (x2 – 3x + 2) =
2x6 – 4x5 + 2x4
3x5 – 9x4 + 6x3
X x6 – 3x5 + x4
x6 – 3x3 + 2x3
x8 – 3x4 + x4
X x5 – 3x4 + x3
2. Extraigan factor común.
7 4 __
1 3
d. – __92 x7 – ___
15 x + 3 x
a. 6x5 – 6x4 + 2x3 =
3
21 x – __
__ x3 . x4 + ___
–2
2
10
9
1
6x3 . x2 – x + __
3
(
(
)
15 5
b. __49 x9 + 3x8 – ___
2 x
9 5 . 4 __
4 3 ___
__
x x + 3
x – 10
3
4
(
e. 3x5 – __53 x + 6
1x + 2
3 . x5 – __
5
)
(
(
)
35
21 6 ___
f. – ___
10 x – 6
1
2
__
c. – __92 x2 – ___
15 x – 3
3
__ . x2 + ___
x+3
–2
10
9
)
25
21 . x6 + ___
– ___
10
9
(
)
)
3. Extraigan factor común por grupos en los siguientes polinomios.
a. x4 – x3 + 2x – 2 =
(x – 1) . (x3 + 2)
2
3
b. x5 – 3x3 – 2x2 + 6 = (x – 3) . (x – 2)
c. x3 – 2x2 – x + 2 =
(x2 – 1) . (x – 2)
4. Marquen las respuestas correctas.
a. ¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden al área del rectángulo?
b. ¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden al volumen del prisma?
x–2
3 . (x – 3)
6x
x+4
3x – 5
X (3x – 9) . (x + 4)
x . (5x + 11)
X 3 . (x – 3) . (x + 4)
x . (2x – 4) . (3x + 15)
4x – 5
X 6x . (x – 2) . (3x – 5)
135
38
37
39
40
41
42
43
44
45
46
47
Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto
INFOACTIVA
a
x2 ± 2ax + a2 = (x ± a)2
Cuadrado de un binomio:
expresión factorizada del
trinomio cuadrado perfecto.
Trinomio cuadrado perfecto:
Es el desarrollo del cuadrado del binomio.
a
x2
ax
ax
a2
x
x
x ± 2ax + a = (x ± a) . (x ± a) = (x ± a)
2
2
(x + a)2 = x2 + ax + ax + a2
= x2 + 2ax + a2
2
x–a
a
(x – a)2
a . (x – a)
P(x) = x2 + 10x + 25 = x2 + 2 . x . 5 + 52 = (x + 5)2
x–a
x
5
2
Q(x) = x – 6x + 9 = x2 – 2 . x . 3 + 32 = (x – 3)2
x
2
a
a .(x – a)
x
3
R(x) = x2 + 12x + 16 = x2 + 2 . x . 6 + 42
6≠4
x
4
No es trinomio cuadrado perfecto.
x
(x – a)2 = x2 – a . (x – a) – a . (x – a) – a2
= x2 – ax + a2 – ax + a2 – a2
= x2 – 2ax + a2
Cuatrinomio cubo perfecto
x3 + 3ax2 + 3a2 x + a3 = (x + a)3
Cubo de un binomio: expresión
factorizada del cuatrinomio cubo perfecto.
Cuatrinomio cubo perfecto: es el desarrollo del cubo del binomio.
x3 ± 3ax2 + 3a2 x ± a3 = (x ± a) . (x ± a) . (x ± a) = (x ± a)3
(x + a)3 = (x + a) . (x + a) . (x + a)
= (x2 + 2ax + a2) . (x + a)
= x3 + 3ax2 + 3a2 x + a3
Expresión factorizada
(x – a)3 = (x – a) . (x – a) . (x – a)
= (x2 – 2ax + a2) . (x – a)
= x3 – 3ax2 + 3a2 x – a3
T(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3 . x2 . 1 + 3 . x . 12 + 13 = (x + 1)3
x
1
3
2
K(x) = x – 6x + 12x – 8 = x3 – 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 – 23 = (x – 2)3
x
2
M(x) = x3 + 4x2 + 8x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23
6≠4
12 ≠ 8
x
2
No es cuatrinomio cubo perfecto.
136
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El producto de (x + 6) . (x – 6), ¿es equivalente a un trinomio cuadrado perfecto?
b. ¿El cubo de un binomio es equivalente al cuatrinomio cubo perfecto?
a. No, porque los dos factores tienen que ser iguales. b. Sí, es la misma expresión factorizada.
38
ACTIVIDADES
Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto
5. Completen con el valor que corresponde para que resulte un trinomio cuadrado perfecto.
a. x2 +
6 x + 9
b.
4 x2 – 20x + 25
c. 9x2 – 12x +
4
d. 4x2 + 12 x + 9
6. Desarrollen las siguientes expresiones.
a. (2x – 4)2 =
2
b. __21 x – 5 =
(
)
4x2 – 16x + 16
1 x2 – 5x + 25
__
4
c. (x3 – 2)2 =
x6 – 4x3 + 4
d. (x + 6)3 =
x3 + 18x2 + 108x + 216
27 2
27 3 ___
___
x –
x + 18x – 8
8
2
3
e. __23 x – 2 =
(
)
f. (x – 2x)3 =
5
x15 – 6x11 + 12x7 – 8x3
7. Expresen cada trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio.
c. __91 x10 + __31 x5 + __41
2
a. x2 – 10x + 25
(__31 x
(x – 5)2
b. 9x – 12x + 4
5
1
+ __
2
)
d. x + 4x + 4x2
2
6
4
(x3 + 2x)2
(3x – 2)2
8. Expresen cada cuatrinomio cuadrado perfecto como el cubo de un binomio.
c. __81 x6 + __43 x4 + __23 x2 + 1
3
a. x3 – 9x2 + 27x – 27
(__21 x
(x – 3)3
b. 8x3 + 36x2 + 54x + 27
2
+1
)
d. 27x6 – 81x5 + 81x4 – 27x3
(3x2 – 3x)3
3
(2x + 3)
9. Escriban la expresión más sencilla que permita calcular el área de la figura.
Área = (x + 1)2
1
x+1
x
137
39
38
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Suma y resta de potencias de igual exponente.
INFOACTIVA
Para un polinomio de la forma P(x) = xn ± an existen cuatro posibilidades.
P(x) = xn ± an ∧ n es par
P(x) = xn ± an ∧ n es impar
Factoricen el polinomio P(x) = x4 – 81 = x4 – 34.
___
Se buscan las raíces de P(x): x4 – 81 = 0 ⇒ |x| = 381 ⇒ |x| = 3 ⇒ x1 = 3 ∧ x2 = –3
Por el teorema del resto: P(3) = 0 ⇒ (x – 3) es divisor de P(x).
P(–3) = 0 ⇒ (x + 3) es divisor de P(x).
4
Se aplica la regla de Ruffini con las raíces halladas, las veces que sea posible.
(x4 – 81) : (x – 3) = x3 + 3x2 + 9x + 27
1
3
1
0
3
3
0
9
9
(x3 + 3x2 + 9x + 27) : (x + 3) = x2 + 9
0 –81
27 81
27
0
1
–3
1
3
–3
0
9 27
0 –27
9
0
P(x) = x4 – 81
= (x3 + 3x2 + 9x + 27) . (x – 3)
= (x2 + 9) . (x + 3) . (x – 3)
Q(x) = x4 + 81 no tiene raíces reales.
R(x) = x5 – 32 = x5 – 25
Se buscan las raíces de P(x):
x5 – 32 = 0 ⇒ x = 2
S(x) = x3 + 64 = x3 + 43
Se buscan las raíces de S(x):
x3 + 64 = 0 ⇒ x = –4
Por el teorema del resto:
R(2) = 0 ⇒ (x – 2) es divisor de R(x).
Por el teorema del resto:
S(–4) = 0 ⇒ (x + 4) es divisor de S(x).
Se resuelve por la regla de Ruffini R(x) : (x – 2)
R(x) = (x – 2) . (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)
Se resuelve por la regla de Ruffini S(x) : (x + 4)
S(x) = x3 + 64 = (x + 4) . (x2 – 4x + 16)
Resumiendo:
P(x) = xn ± an
n impar
n par
Divisor/es
n
n
(x + a)
n
n
(x – a)
n
n
x +a
x –a
x –a
(x + a) ∧ (x – a)
xn + an
No tiene divisores de la forma (x ± a).
Diferencia de cuadrados
P(x) = x2 – 4 = x2 – 22 = (x – 2) . (x + 2)
R(x) = x4 – 64 = (x2)2 – 82 = (x2 – 8) . (x2 + 8)
R(x) = x6 – 16 = (x3)2 – 42 = (x3 – 4) . (x3 + 4)
138
P(x) = x2 – a2 = (x – a) . (x + a)
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Las expresiones (x – y)2 y (x2 – y2) ¿son equivalentes?
b. Uno de los posibles divisores del polinomio x4 + 16 ¿es (x – 2)?
a. No, la primera es el cuadrado de un binomio y la segunda, la diferencia de dos expresiones al cuadrado.
b. No, porque un polinomio de la forma xn + an con n par no tiene divisores de la forma x ( a.
39
ACTIVIDADES
Suma y resta de potencias de igual exponente
10. Factoricen las siguientes sumas y restas de potencias de igual exponente.
a. x5 – 32 =
e. x9 + 1 =
(x – 2) . (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)
(x + 1) . (x2 – x + 1) . (x6 – x3 + 1)
b. x12 + 1 =
f. x6 + 729 =
No tiene raíces reales.
No tiene raíces reales.
c. x4 – 81 =
g. x3 – 64 =
(x – 3) . (x + 3) . (x2 + 9)
(x – 4) . (x2 + 4x + 16)
d. x7 + 2 187 =
h. x8 – 256 =
(x + 3) . (x6 – 3x5 + 9x4 – 27x3 + 81x2 – 243x + 729)
(x – 2) . (x + 2) . (x2 + 4) . (x4 + 16)
11. Escriban cada expresión como diferencia de cuadrados, siempre que sea posible.
a. x2 – 9 =
b. 100x4 – 256 =
(x – 3) . (x + 3)
d. 4x2 – 25 = (2x – 5) . (2x + 5)
(10x2 – 16) . (10x2 + 16)
1
e. x6 – ___
36 =
__
c. 9x2 – 5 =
(x
3
)(
1 . x3 + __
1
– __
6
6
)
__
(3x – 3 5 ) . (3x + 3 5 )
f. x2 + 25 =
No es diferencia de cuadrados.
12. Calculen la medida de cada una de las aristas del prisma.
Volumen = 3x2 – 12
Una de las aristas mide x – 2 cm y la otra, x + 2 cm.
3 cm
139
40
39
41
42
43
44
45
46
47
48
49
Teorema de Gauss
INFOACTIVA
Si el polinomio P(x), de grado n, con coeficientes enteros y término independiente no nulo, admite
p
una raíz racional __
q (fracción irreducible), entonces p es divisor del término independiente y q lo es del
coeficiente principal.
Para hallar las raíces racionales de P(x) = axn + bxn – 1 + cxn – 2 + ... + d:
ˆ se buscan los divisores del término independiente y del coeficiente principal;
p ___
→ Divisores del término independiente.
ˆ se buscan las posibles raíces: __
q →
Divisores del coeficiente principal.
Todo polinomio P(x), de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse como:
P(x) = a.(x – x1).(x – x2).(x – x3).....(x – xn)
Siendo a el coeficiente principal de P(x) y x1; x2; ... ; xn
sus raíces reales.
Hallen las raíces del polinomio P(x) = 2x3 – 7x2 + 2x + 3.
Divisores del término independiente, (–3): ±1, ±3
Divisores del coeficiente principal, (2): ±1, ±2
p
Posibles raíces __q :
3
1 ; x = ±3; x = ±__
x1 = ±1; x2 = ±__
3
4
2
2
Se especializa el polinomio P(x) por las posibles raíces (xn es raíz si P(xn) = 0).
P(1) = 0 ⇒ x1 = 1 es raíz.
1 ) = 0 ⇒ x = – __
1 es raíz.
P(– __
2
2
2
P(–3) = 0 ⇒ x3 = –3 es raíz.
1 . (x + 3)
P(x) = 2x3 – 7x2 + 2x + 3 ⇒ P(x) = 2 . (x – 1) . x + __
2
(
)
Un polinomio P(x) tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factores
iguales; el orden de multiplicidad de la misma está dado por el exponente del factor.
Polinomio factorizado
Raíces
Multiplicidad
P(x) = 2 . (x – 1) . x + __21 . (x + 3)
x1 = 1 ∧ x2 = – __21 ∧ x3 = –3
Tres raíces simples.
P(x) = (x – 1)2 = (x – 1) . (x – 1)
x1 = x2 = 1
Una raíz doble.
x1 = x2 = x3 = –2
Una raíz triple.
(
)
P(x) = (x + 2)3 = (x + 2) . (x + 2) . (x + 2)
P(x) = (x – 2)2 . (x + 1)3
P(x) = x3 . (x + 3) = x . x . x . (x + 3)
140
x1 = x2 = 2 ∧ x3 = x4 = x5 = –1 2, raíz doble y –1, raíz triple.
x1 = x2 = x3 = 0 ∧ x4 = –3
0, raíz triple y –3, raíz simple.
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál es el coeficiente principal y el término independiente en xn + bxn – 1 + … + d?
b. Si un polinomio es de grado n, su mínima expresión factorizada ¿es el producto de n factores?
a. El coeficiente principal es 1 y el término independiente es d. b. No, depende de si las raíces son simples o múltiples.
40
ACTIVIDADES
Teorema de Gauss
13. Escriban las posibles raíces de los polinomios.
(1; (2; (3; (4; (6; (8; (12; (24
5 ; (__
35 ; (15; (21; (35; (105
7 ; (3; (5; (7; (___
1 ; (__
(1; (__
3
3
3
3
b. –3x3 + 9x2 + 99x – 105 =
1
1
(__; (__; (1
2
4
c. –4x4 + 2x3 – 2x + 1 =
7 ; (5; (7; (35.
1
__
( ; (1; (__
5
5
d. 5x4 – 20x3 – 90x2 – 100x – 35 =
a. x3 + 3x2 – 10x – 24 =
14. Calculen las posibles raíces de los polinomios. Luego, especialícenlos para hallar las raíces.
a. x3 + 2x2 – x – 2
(2; (1; raíces: x = –2; x = (1
b. x3 – 7x + 6
(6; (3; (2; (1; raíces: x = –3; x = 2; x = 1
c. 3x3 – 12x2 + 15x – 6
2 ; (2; (3; (6; raíces: x = 1 (doble) y x = 2
1 ; (__
(1; (__
3
3
d. 2x3 + 14x2 + 30x + 18
9 ; (6; (9; (18;
3 ; (2; (3; (__
1 ; (__
(1; (__
2
2
2
raíces: x = –1; x = –3 (doble)
15. Hallen las raíces de los siguientes polinomios y factorícenlos.
a. x3 + 2x2 – 5x – 6 =
d. 3x3 – 9x2 – 30x + 72 =
(x – 2) . (x + 3) . (x + 1)
3 . (x – 2) . (x – 4) . (x + 3)
b. x3 – 4x2 – 3x + 18 =
(x – 3)2 . (x + 2)
c. 2x4 + 10x3 + 12x2 – 8x – 16 =
(x – 1) . (x + 2)3
e. 5x3 + 25x2 – 125x – 625 =
5 . (x – 5) . (x + 5)2
f. –2x4 – 10x3 – 18x2 – 14x – 4 =
–2 . (x + 1)3 . (x + 2)
141
INTEGRACIÓN
20. Completen con = o ≠ según corresponda.
16. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
corresponda.
a. x3 . (x – 3) = x3 – 3x
F
F
c. (–2x + 1)2
c. x4 . (x2 – 3x + 1) = x6 – 3x5 + x4 V
d. (x – 1)3
15 4 F
d. __23 . (x2 – __32 + 5x4) = __23 x2 – ___
2 x
15 4 V
3
3
e. __2 . (x2 – __32 + 5x4) = __2 x2 – 1 + ___
2 x
f. – __31 x2 . __21 x2 + __31 x – 2 = – __21 x4 – __91 x3 + __32 x2
(
9x2 – 4
b. (5x – 2)2 = 25x2 – 20x + 4
b. x3 . (x2 – 2x + 1) = x5 – 2x3 + 1
–4x2 – 4x +1
≠
=
e. (2x – 2)3
x3 – 3x2 +3x + 1
≠
f. (3x2 – 1)3 ≠
)
x3
27x5 – 27x4 + 9x2 +1
F
21. Escriban la expresión factorizada.
17. Extraigan factor común.
a. 9x2 – 6x + 1 = (–3x + 1)2
1x – 2
b. __91 x2 – __34 x + 4 = __
3
(
3
a. 3x5 – 6x3 + 3x2 = 3x2 . (x – 2x +1)
3 3 . 2 __
9 3
3 4 __
__
x x – 1x + 3
b. __23 x5 – ___
5
10 x + 2 x = 2
(
)
)
2
c. 9x4 + 12x2 + 4 = (3x2 + 2)2
c. –2x4 + 2x2 – 4x = –2x . (x3 – x + 2)
1 x2 – 2 2
d. __91 x4 + __34 x2 + 4 = – __
)
3
1 x2 . –x5 + __
1 x4 + 5x3 – 2
d. __31 x7 – __91 x6 – __35 x3 + __32 x2 = – __
3
3
3. 3
21
__
(x – 2x + 7)
e. __23 x3 – 3x + ___
2 = 2
3
1 x4 – 2x3 – __
1
3 7 __
6 6 __
1 3
– __ x3 . __
f. – ___
2
10 x + 5 x + 5 x = 5
3
3 . __
7 2
1 + __
3 3
21 2 __
__
x – x3
g. __43 + ___
10 x – 2 x = 2 2 5
3
2 x2 . – __
1 x2 + __
6 3 __
2 4 ___
2 2
__
x+1
h. – ___
7
15 x + 35 x + 5 x = 5
3
1 x3 – 2
e. __41 x6 – 2x3 + 4 = __
2
(
(
)
(
)
(
)
(
)
a. 2x4 – 4x3+ 3x – 6 = (x – 2) . (2x3 + 3)
3 5
b. __23 x6 – 3x5 – 2x + 4 = (x – 2) . __
x –2
2
4
2
5
4
3
2
c. x – 2x – 2x + 4x = (x – 2x ) . (x – 2)
d. 3x3 – 2x2 – 9x + 6 = (3x – 2) . (x2 – 3)
e. 6x3 + 5x2 + 48x + 40 = (6x + 5) . (8 + x2)
f. 2x5 + 4x3 – x2 – 2 = (2x3 – 1) . (x2 + 2)
g. 4x7 – 12x5 + 3x2 – 9 = (4x5 + 3) . (x2 – 3)
(
)
19. Desarrollen las siguientes expresiones.
2
a. (2x – 3) =
2
b. (–2x + 5) =
2
2
c. __31 – __21 x =
2
d. 2x + __31 =
2
e. __53 x2 – __41 =
(
(
(
)
)
)
(
3
g. – __31 x2 – 1 =
3
h. 2 – __21 x3 =
(
(
)
)
2
3 3
i. (x + 2x ) =
j. (5 – x2)3 =
Solución a cargo del alumno.
2
2
( –3x + __31 x )
f. __91 x6 – 2x4 + 9x2 =
3
g. x3 – 15x2 + 75x – 125 = (x – 5)3
h. –8x3 + 36x2 – 54x + 27 = (–2x + 3)3
( – __21 x – 2 )
( __31 x – x )
i. – __81 x6 – __23 x4 – 6x2 – 8 =
2
3
3
2
k. –8x9 + 12x6 – 6x3 + 1 = (–2x3 + 1)3
1 x – x2
3 4 ____
1 3
__
l. –x6 + __73 x5 – ___
49 x + 343 x = 7
(
)
3
22. Completen para que las expresiones resulten
equivalentes.
a. 3x3 – 2x2 = 3x2 . x – __32
b. 4x2 + 12x +9 = 2x + 3
(
)
(
c. x4 + x3 – 2x – 2 = (x + 1) .
3
f. (3x – 2) =
)
1 3
j. –x6 + x5 – __31 x4 + ___
27 x =
18. Extraigan factor común por grupos.
142
≠
a. (3x – 2)2
d. x3 + 3x2 + 3x + 1 =
e. x6 – 4x3 +
4
(
x
2
)
(
x3 –
1
+
)
2
3
)
= (x3 + 2)2
(
f. 6x3 + 3x2 = 3x2 . 2x +
1
)
(
x2 +
g. 3x5 + 30x3 + 75x = 3x .
2
5
)
capítulo
CONTENIDOS
37*38*39*40
23. Escriban la expresión más simple que indique el volumen de cada uno de los cuerpos,
teniendo en cuenta los datos.
a. v = 5 . (x – 3)2
5 cm
6
27. Hallen las raíces de cada polinomio y escríbanlos en forma factorizada.
a. x3 – 19x + 30 =
b. x4 + 3x3 – 3x2 – 7x + 6 =
c. x3 – 9x2 + 24x – 20 =
d. 3x4 – 9x3 + 9x2 – 3x =
e. x4 – x3 – 6x2 =
f. 3x4 – 12x3 – 54x2 – 60x – 21 =
Solución a cargo del alumno.
(x – 3) cm
28. Hallen las raíces de cada polinomio y escríbanlos en forma factorizada.
(x – 3) cm
3
b. v = 3 . (x – 27)
a. 2 . (x – 3) . (x – 2) . (x + 1) =
b. –3 . (x + 1)3 . x – __51 =
(
)
c. – (x – 3) . (x + 7)2 =
x2 – 3x + 9
d. x3 . (x – 6) =
2
e. – x + __41 . (x + 0,75)3 =
(
3
x–3
24. Factoricen las siguientes sumas y restas de
potencias de igual exponente.
a. x4 – 81 =
e. x5 – 32 =
6
b. x – 1 =
f. x5 + 32 =
c. x4 + 8 =
g. x8 + 1 =
3
d. x – 8 =
h. x2 + 1 =
Solución a cargo del alumno.
25. Resuelvan aplicando la diferencia de cuadrados, siempre que sea posible.
a. x2 – 121 =
d. 9x2 – 4 =
b. x5 – 25 =
e. 9x4 – 25 =
6
c. x – 6 =
f. __91 x6 – 4 =
Solución a cargo del alumno.
26. Escriban las posibles raíces de cada uno de
los siguientes polinomios mediante el teorema de
Gauss. Luego, verifiquen cuáles son las raíces de
cada polinomio.
a. x3 – 2x2 – 5x + 3
e. –5x5 – 4x2 – 3x + 5
b. x5 – 3x2 – 4
f. x6 – 4x2 – 3x + 2
5
2
c. 3x – 2x + 3x – 1
g. 4x5 – x3 – 2x2 + 2
d. –2x7 – 3x2 + 3
h. –3x3 – 2x +1
Solución a cargo del alumno.
)
f. (x – 5)4 =
Solución a cargo del alumno.
29. Indiquen el grado de multiplicidad de las raíces de los siguientes polinomios.
a. x3 – x2 – 8x + 12 =
b. x5 – 4x4 + 4x3 =
c. x4 – 9x2 + 4x + 12 =
d. x4 – 10x2 + 9 =
e. x3 – 3x2 + 9x =
Solución a cargo del alumno.
30. Marquen las opciones correctas.
Dado el polinomio P(x) = x4 – 3x3 – 8x2 + 12x,
¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
X a. Tiene una raíz en x = 0.
b. Tiene una raíz en x = 12.
c. Tiene una raíz en x = –3.
X d. Tiene dos raíces simples.
e. Tiene una raíz triple.
f. Tiene una raíz doble en x = –2.
g. Tiene una raíz doble en x = 2.
143
41
40
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Casos combinados de factoreo
INFOACTIVA
En algunos polinomios se deben aplicar varias veces los distintos casos de factorización.
ˆ Siempre que sea posible se debe extraer factor común, y luego, se estudia si algunos de los factores
se pueden seguir descomponiendo en nuevos factores.
Factor común x2
P(x) = 2x4 + 2x3 + x2 = x2 . (x2 + 2x + 1) = x2 . (x + 1)2
Trinomio cuadrado perfecto
Factor común 27
1 = 27 . x – __
1 . x2 + __
1 x + __
1
Q(x) = 27x3 – 1 = 27 . x3 – ___
3
3
9
27
(
)
(
)(
)
Para repasar los
casos de factoreo
pueden volver a
las páginas 134,
136, 138 y 140.
Resta de potencias de igual exponente
ˆ Se analiza si es posible extraer factor común por grupos, y luego, se estudia si algunos de los
factores se pueden seguir descomponiendo en nuevos factores.
Factor común por grupos
R(x) = x3 + 3x2 – 4x – 12 = x2.(x + 3) – 4.(x + 3) = (x + 3).(x2 – 4) = (x + 3).(x – 2).(x + 2)
Diferencia de cuadrados
ˆ Se puede también aplicar el teorema de Gauss.
Factor común –3
Trinomio cuadrado perfecto
S(x) = –3x3 + 15x2 – 24x + 12 = –3.(x3 – 5x2 + 8x – 4) = –3.(x – 1).(x2 – 4x + 4) = –3.(x – 1).(x – 2)2
Teorema de Gauss
Se encuentra una raíz de x3 + 5x2 – 8x + 4.
S(1) = 0 y se aplica la regla de Ruffini con el divisor (x – 1).
1
1
1
–5
1
–4
8
–4
4
–4
4
0
x3 – 5x2 + 8x – 4 = (x – 1) . (x2 – 4x + 4)
144
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Cuando hay que factorear un polinomio, ¿siempre se puede aplicar más de un caso?
b. Cuando se factoriza un polinomio, ¿se debe respetar un orden al aplicar los distintos casos?
a. No, depende del polinomio. b. No, no es necesario respetar un orden.
41
ACTIVIDADES
Casos combinados de factoreo
31. Indiquen el caso de factoreo aplicado en cada paso.
a. 3x3 – 12x2 + 12x
c. 2x4 – 6x3 – 5x – 15
3x . (x2 – 4x + 4) Factor común.
2x3 . (x – 3) – 5 . (x – 3) Factor común por grupos.
3x . (x – 2)2 Trinomio cuadrado perfecto.
(x – 3) . (2x3 – 5) Factor común.
b. x3 – 5x2 – 9x + 45
d. 2x3 – 18x2 + 54x – 54
x2 . (x – 5) – 9 . (x – 5)
Factor común por grupos.
(x – 5) . (x2 – 9) Factor común.
2 . (x3 – 9x2 + 27x – 27)
2 . (x – 3)3
Factor común.
Cuatrinomio cubo perfecto.
(x – 5) . (x – 3) . (x + 3) Diferencia de cuadrados.
32. Observen el procedimiento realizado para hallar la factorización de cada polinomio e indiquen si
está resuelto correctamente. En caso contrario, escriban la factorización correspondiente.
a. x3 – x2 – 4x +4
d. x4 – x3 – x – 1
2
x . (x – 1) – 4 . (x – 1)
x3 . (x – 1) – (x – 1)
(x2 – 4) . (x – 1)
(x – 1) . (x3 – 1)
(x – 2) . (x + 2) . (x – 1)
Correcto.
Incorrecto. No se puede aplicar factor común
por grupos.
x3 . (x – 1) – (x + 1)
b. 2x2 + 18
2 . (x2 + 9)
2 . (x – 3) . (x + 3)
e. x6 – x5 + x4 – x3
x3 . (x3 – x2 + x – 1)
x3 . (x + 1)3
Incorrecto. La expresión (x2 + 9) no es diferencia
Incorrecto. En el resultado, el binomio del cubo
de cuadrados.
tiene que ser de la diferencia.
c. x3 – 4x2 + 4x
x . (x2 – 4x + 4)
x . (x – 2)2
Correcto.
f. 2x5 + 4x4 + 2x3
2x3 . (x2 + 2x + 1)
2x3 . (x + 1)2
Correcto.
145
41
ACTIVIDADES
Casos combinados de factoreo
33. Escriban los siguientes polinomios en forma factorizada.
a. A(x) = x3 – x2 + __23 x – __23
3
A(x) = (x – 1) . x2 + __
2
(
f. F(x) = x4 – 3x3 – 2x2 + 7x – 3
)
F(x) = (x3 – 2x + 1) . (x – 3)
b. B(x) = 2x3 – 50x
g. G(x) = 2x6 – 16x3
G(x) = 2x3 . (x – 2) . (x2 + 2x + 4)
B(x) = 2x . (x – 5) . (x + 5)
25 2
10 3 ___
h. H(x) = __35 x4 + ___
3 x – 3 x – 10x
2 2
c. C(x) = 2x5 – ___
27 x
1 . x2 + __
1 x + __
1
C(x) = 2x2 . x – __
3
3
9
(
)(
d. D(x) = 3x3 – 12x2 + 15x – 6
D(x) = 3 . (x – 2) . (x – 1)2
e. E(x) = 3x3 + 12x2 – 9x – 54
E(x) = 3 . (x – 2) . (x + 3)2
146
)
5
H(x) = __ x . (x – 2) . (x + 3) . (x + 1)
3
i. I(x) = x3 + 3x2 + 4x + 12
I(x) = (x2 + 4) . (x + 3)
j. J(x) = x5 + 4x4 + 4x3 – x2 – 4x – 4
J(x) = (x – 1) . (x2 + x + 1) . (x + 2)2
41
ACTIVIDADES
Casos combinados de factoreo
34. Resuelvan teniendo en cuenta el polinomio P(x) = x4 – 5x3 + 7x2 – 3x.
a. Factoricen el polinomio P(x).
P(x) = x . (x – 3) . (x – 1)2
b. Indiquen las raíces y el grado de multiplicidad de cada una.
Raíces = {0; 1; 3}; x = 0 y x = 3, raíces simples; x = 1, raíz doble.
35. Completen para que se cumpla la igualdad e indiquen el caso de factoreo usado.
(
= x .(
a. x5 – 4x3 = x3 .
3
) Factor común.
).( x + 2 )
x2 – 4
x–2
b. 2x3 + 2x2 – 16x – 24 = 2 .
(
Diferencia de cuadrados.
)
x3 + x2 – 8x – 12
(
= 2 . (x – 3) . (
2
)
x+2
(
= (x – 2) . (
Trinomio cuadrado perfecto.
x3 + 12x2 + 48x + 64
c. x4 + 10x3 + 24x2 – 32x – 128 = (x – 2) .
(
) Gauss. Regla de Ruffini.
x2 + 4x + 4
= 2 . (x – 3) .
d. 3x5 – 9x4 – 147x3 + 441x2 = 3x2 .
Factor común.
)
Gauss. Regla de Ruffini.
3
x+4
)
x3 – 3x2 – 49x + 147
Cuatrinomio cubo perfecto.
)
Factor común.
( x – 49 ) Gauss. Regla de Ruffini.
x–7
= 3x . (x – 3) . (
) . ( x + 7 ) Diferencia de cuadrados.
x + 2x – x + 6
+ 3x + 18 = (x + 3) . (
) Gauss. Regla de Ruffini
x+3
x –x+2
= (x + 3) . (
).(
)
x+3
x –x+2
=(
) .(
) Gauss. Regla de Ruffini
2
= 3x2 . (x – 3) .
2
e. x4 + 5x3 + 5x2
3
2
2
2
2
36. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la factorización de cada uno de los siguientes polinomios?
a. x4 – 9x2 =
X x2 . (x – 3) . (x + 3)
b. x5 + 6x4 + 9x3 =
x . (x + 3)2
c. 2x3 + 4x2 – 6x =
(x2 – 2) . (x + 3)
d. x3 – 7x – 6 =
x . (x2 – 7)
e. x5 + 3x4 – 4x2 =
X x2 . (x + 2)2 . (x – 1)
x4 . (1 – 9x)
X x3 . (x + 3)2
2x . (x2 + 2x + 6)
X (x – 3) . (x + 2) . (x + 1)
x2 . (x + 2)2 . (x + 1)
x2 . (x2 – 81)
x3 . (x2 + 9)
X 2x . (x – 1) . (x + 3)
(x + 3) . (x – 2) . (x + 1)
x2 . (x – 2)2 . (x – 1)
147
42
41
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Ecuaciones de grado mayor a dos
INFOACTIVA
Para encontrar el o los valores de x para los cuales P(x) = –9, siendo P(x) = x3 – x2 – 9x, se debe
plantear la ecuación: x3 – x2 – 9x = –9.
Para resolver este tipo de ecuaciones, se pueden seguir estos pasos.
x3 – x2 – 9x + 9 = 0
(x3 – x2) – (9x – 9) = 0
x2 . (x – 1) – 9 . (x – 1) = 0
(x2 – 9) . (x – 1) = 0
(x – 3) . (x + 3) . (x – 1) = 0
∨
∨
x–3=0
x=3
1. Se iguala a cero el polinomio.
2. Se factoriza el polinomio resultante.
3. Se aplica la ley de nulidad del producto.
a.b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
x+3=0
x = –3
∨
∨
x–1=0
x=1
Las raíces de P(x) = x3 – x2 – 9x + 9 son x1 = 3, x2 = –3 y x3 = 1.
Para verificar las soluciones, se reemplazan los valores de x en P(x):
Se debe verificar que P( xn ) = x3 – x2 – 9x = –9
P(3) = 33 – 32 – 9 . 3
P(3) = 27 – 9 – 27
P(3) = –9
P(–3) = (–3)3 – (–3)2 – 9 . (–3)
P(–3) = –27 – 9 + 27
P(–3) = –9
P(1) = 13 – 12 – 9 . 1
P(1) = 1 – 1 – 9
P(1) = –9
Por lo tanto: S = {–3;3;1}
Hallen x, tal que P(x) = 1.
Hallen x, tal que Q(x) = –1.
P(x) = x3 – x2 + x
Q(x) = x3 – x – 1
x3 – x2 + x = 1
x3 – x2 + x – 1 = 0
(x3 – x2)+ (x – 1) = 0
x2 . (x – 1) + (x – 1) = 0
(x2 + 1) . (x – 1) = 0
x3 – x – 1 = –1
x3 – x – 1 + 1 = 0
x . (x2 – 1) = 0
x . (x – 1) . (x + 1) = 0
x2 + 1 = 0
∅
∨
x–1=0
x=1
Verificación:
P(1) = 13 – 12 + 1
P(1) = 1 – 1 + 1 ⇒ P(1) = 1
La solución es S = {1}
148
x=0
x=0
∨
∨
x–1=0
x=1
∨
∨
Verificación:
Q(0) = 03 – 0 – 1
Q(1) = 13 – 1 – 1 = –1
Q(–1) = (–1)3 – (–1) – 1 = –1
La solución es S = {–1;0;1}
x+1=0
x=–1
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para resolver la ecuación (x – 1) + (x – 2) = 0, ¿se debe igualar cada paréntesis a 0?
b. Si al resolver una ecuación se obtiene que x = a, para verificarlo, ¿se debe calcular P(a) o P(x) = a?
a. No, la ley de nulidad del producto no se cumple en la suma b. Se debe calcular P(a).
42
ACTIVIDADES
Ecuaciones de grado mayor a dos
37. Indiquen cuáles son las raíces de los polinomios dados.
a. P(x) = 2 . (x – 4) . (x + 1)
S = {–1;4}
d. S(x) = x . (x – 3)
S = {0;3}
b. Q(x) = –5 . (x – 5) . (x + 3) . (x – 2)
S = {–3;2;5}
e. T(x) = (x – 3)2 . (x + 1)
S = {–1;3}
c. R(x) = x – __41 . (x – 2)
1
__
(
)
{ }
S = 4 ;2
f. U(x) = (x – 2)3 . (x + 3)3
S = {–3;2}
38. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. x3 + 4x2 – 3x = 18
S = {–3;2}
S = {–2;–1}
15 2
15
___
3
b. 5x3 – ___
2 x + 10x = 4x – x – 2
1 ;3;5
S = – __
2
{
d. 5x2 + 6x + 2= – x3 – 2x – 2
}
c. 13x2 – 50x = x3 – 3x – 35
S = {–5;1;7}
e. 5x4 – 2x3 – 3x2 = 5x4 – 3x3 + 4x2 – 15x + 9
S = {1;3}
1
f. x3 – __32 x2 = ___
12 . (x – 1)
1 ;__
1
S = – __
32
{
}
39. Resuelvan teniendo en cuenta los datos.
a. Hallen el valor de x, tal que P(x) = 2 y P(x) = x3 – 3x.
S = {–1;2}
b. Si Q(x) = x3 – x2 – 9x + 15, ¿cuál es el valor de x tal que Q(x) = 6?
S = {–3; 1;3}
149
43
42
44
45
46
47
48
49
50
51
52
Estudio de funciones polinómicas
INFOACTIVA
Para realizar el gráfico aproximado de una función polinómica se debe:
ˆ Hallar la ordenada al origen, la que está determinada por el término independiente y es el punto (0;a0 ).
ˆ Factorizar el polinomio.
ˆ Las raíces indican las intersecciones con el eje x.
ˆ El orden de multiplicidad de las raíces indica que la gráfica
- rebota, si es par o
- atraviesa el eje x, si es impar.
ˆ Hallar los conjuntos de positividad y negatividad, para lo cual se buscan valores del dominio entre
dos raíces consecutivas para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo.
3
1 x4 – 2x3 + x2 + 2x – __
Realicen el gráfico aproximado de la función f(x) = __
2
2
y
ˆ Ordenada al origen:
3)
(0;– __
2
3
3
1 4
__
3
2
y = __
2 x – 2x + x + 2x – 2
2
ˆ Factorización del polinomio:
1 . (x + 1) . (x – 1)2 . (x – 3)
f(x) = __
2
ˆ Intersecciones con el eje x :
1
Raíz
x1 = –1
–3
–2
x1 = –1 ∧ x2 = 1 ∧ x3 = 3
–1
0
Raíz
x2 = 1
1
2
Raíz
x3 = 3
3
4
x
–1
–2
ˆ Orden de multiplicidad:
x1 = –1; raíz impar ⇒ La gráfica atraviesa el eje x.
x2 = 1; raíz par ⇒ La gráfica rebota en el eje x.
x3 = 3; raíz impar ⇒ La gráfica atraviesa el eje x.
Ordenada al origen
( 0;– __23 )
ˆ Conjunto de positividad y negatividad:
45
3 = ___
1 . (–2)4 – 2 . (–2)3 + (–2)2 + 2 . (–2) – __
f(–2) = __
2
2
2
∀x : x ∈ (–∞;–1) ⇒ f(x) > 0
3
f(0) = – __
2
∀x : x ∈ (–1;1) ⇒ f(x) < 0
3 = – __
3
1 . 24 – 2 . 23 + 22 + 2 . 2 – __
f(2) = __
2
2
2
∀x : x ∈ (1;3) ⇒ f(x) < 0
45
3 = ___
1 . 44 – 2 . 43 + 42 + 2 . 4 – __
f(4) = __
2
2
2
∀x : x ∈ (3;+∞) ⇒ f(x) > 0
150
C+ = (–∞;–1) ∪ (3;+∞)
C– = (–1;1) ∪ (1;3)
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál es el valor de la imagen en P(a) si a es raíz del polinomio?
b. ¿El conjunto de negatividad está formado por los valores de y negativos?
a. Es y = 0. b. No, el conjunto de negatividad está formado por los valores de x que tienen imagen negativa.
43
ACTIVIDADES
Estudio de funciones polinómicas
40. Escriban la letra del gráfico que corresponde a cada función.
a. 3 . (x – 2) . (x + 1) . (x – 1) B
b. –3 . (x – 2) . (x + 1) . (x – 1)
C
GRÁFICO A
–3
–2
–2
D
d. (x – 2) . (x + 1) . (x – 1)
A
GRÁFICO C
–1
y
y
7
6
5
4
3
2
1
2
1
–1
–2
–3
0
1
2
3
–2
–1
x
GRÁFICO B
–3
c. (x + 2) . (x – 1) . (x + 3)
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
0
1
2
3
x
0
1
2
3
x
GRÁFICO D
–1
y
y
7
6
5
4
3
2
1
2
1
–1
–2
–3
0
1
2
3
x
–2
–1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
41. Realicen el gráfico aproximado de las siguientes funciones polinómicas.
a. P(x) = x3 + x2 – x – 1
b. Q(x) = x3 – 2x2 – x + 2
y
y
2
2
1
1
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
1
2
3
4
x
–4 –3 –2 –1 0
–1
1
2
3
4
x
–2
151
43
ACTIVIDADES
Estudio de funciones polinómicas
42. Realicen un gráfico aproximado de las siguientes funciones polinómicas a partir de sus elementos.
a. y = x3 + 6x2 – x – 30
Ordenada al origen:
Ordenada al origen (0;–30)
Raíces y orden de multiplicidad:
Raíces = {–5;–3;2}; todas las raíces son simples.
Conjunto de positividad:
C = (–5;–3) ∪ (2;+∞)
+
Conjunto de negatividad:
C = (–∞;–5) ∪ (–3;2)
–
b. y = x3 – x2 – 8x + 12
Ordenada al origen:
Ordenada al origen (0;12)
Raíces y orden de multiplicidad:
Raíces = {–3;2}; x = –3, raíz simple y x = 2, raíz doble.
Conjunto de positividad:
C = (–3;2) ∪ (2;+∞)
+
Conjunto de negatividad:
–
C = (–∞;–3)
c. y = x4 + 5x3
Ordenada al origen:
Ordenada al origen (0;0)
Raíces y orden de multiplicidad:
Raíces = {–5;0}; x = 0, raíz triple y x = –5, raíz simple.
Conjunto de positividad:
C = (–∞;–5) ∪ (0;+∞)
+
Conjunto de negatividad:
–
C = (–5;0)
d. y = x3 + x2 – 16x – 16
Ordenada al origen:
Ordenada al origen (0;–16)
Raíces y orden de multiplicidad:
Raíces = {–4;–1; 4}; todas las raíces son simples.
Conjunto de positividad:
C = (–4;–1) ∪ (4;+∞)
+
Conjunto de negatividad:
C = (–∞;–4) ∪ (–1;4)
–
152
Solución a cargo del alumno.
43
ACTIVIDADES
Estudio de funciones polinómicas
43. Escriban la función polinómica de grado tres que corresponde a cada gráfico.
a.
c.
y
y
8
6
4
–2
–3
–1
0
1
2
3
4
–2
–1
0
1
2
3
x
0
1
2
3
x
–6
x
–4
–12
–8
–18
y = (x – 3) . (x + 2)2
y = (x – 4) . (x – 2) . (x + 1)
b.
d.
–3
–2
–1
y
y
24
18
12
6
6
–6
–12
–18
–24
–3
0
1
2
3
–2
–1
–6
x
–12
–18
y = –2 . (x + 3) . (x – 1)2
y = 3 . (x – 2) . (x + 3) . (x + 1)
44. Completen la tabla.
Raíces
Conjunto de
positividad
Conjunto de
negatividad
x1 = 0; x2 = –2; x3 = 5
(–2;0) ∪ (5;∞)
(–∞;–2) ∪ (0;5)
x1 = 3; x2 = –2
(3;∞)
(–∞;–2) ∪ (–2;3)
–x3 – 3x2 + 6x + 8
x1 = –4; x2 = –1; x3 = 2
(–∞;–4) ∪ (–1;2)
(–4;–1) ∪ (2;∞)
x4 – 2x3 – 3x2
x1 = –1; x2 = 0; x3 = 3
(–∞;–1) ∪ (3;∞)
(–1;0) ∪ (0;3)
x4 – 8x2 + 16
x1 = 2; x2 = –2
(–∞;–2) ∪ (–2;2) ∪ (2;∞)
∅
Polinomio
x3 – 3x2 – 10x
x3 + x2 – 8x – 12
mente ACTIVA
Escriban la fórmula de una función polinómica de grado cuatro, en la cual el conjunto de
positividad sea vacío y represéntenla en un sistema de ejes cartesianos.
y = –x4
153
21INTEGRACIÓN
45. Marquen las opciones correctas.
48. Calculen los valores de x teniendo en cuenta
¿Cuáles factorizaciones corresponden a cada
polinomio?
a. 2x3 – 12x2 + 18x
las condiciones pedidas en cada caso.
a. P(x) = 5 y P(x) = x3 + 3x2 – 13x – 10.
b. Q(x) = –3 y Q(x) = x3 + 3x2 + x.
c. R(x) = 5 y R(x) = x3 – 2x2 + x + 3.
2x . (x + 3)2
X 2x . (x – 3)2
2x . (x2 – 9)
2x2 . (x – 3)
a. S = {–5; –1; 3} b. S = {–3} c. S = {2}
49. Marquen las opciones correctas.
a. P(x) = 7 . (x – 3) . (x + 1) . (x + 2)3
b. x4 – x3 + x2 – x
X x . (x2 + 1) . (x – 1)
X (x3 + x) . (x – 1)
x . (x + 1) . (x2 – 1)
x . (x3 – x2 – x)
X Tiene una raíz en x = 3.
Tiene una raíz en x = –3.
Tiene una raíz en x = –7.
c. x5 – 3x4 + 3x3 – x2
(x – 1)2 . x2
(x – 1)3 . x
X x2 . (x – 1)3
(x – 1) . x3
X Tiene dos raíces simples.
X Tiene una raíz triple.
Tiene una raíz doble.
d. x4 – 2x3 + 3x – 6
(x3 – 3) . (x – 2)
(x + 3) . (x – 2)
(x + 3)2 . (x – 2)
X (x3 + 3) . (x – 2)
X Es un polinomio de grado cinco.
b. Q(x) = x3 . (x + 1) . (x – 5)
Tiene una raíz en x = 1.
46. Escriban las raíces de cada polinomio.
a. P(x) = –3 . (x – 1) . (x + 3)
b. Q(x) = – __21 . x – __21 . (x + 1)2
2
c. R(x) = x – __21 . x + __21 . (x + 1)
(
(
)
) (
)
d. S(x) = __31 . (x – 3) . x + __51 . (x – 2)
(
)
e. T(x) = 2 . (x + 3)5
f. U(x) = x . (x + 6) . (x – 7)
g. V(x) = 3 . x – __31 . (x – 1) . (x – 6)
(
)
h. W(x) = 13 . (x – 8) . (x2 – 4)
Solución a cargo del alumno.
47. Expresen en forma factorizada los siguientes
polinomios.
a. P1(x) = x3 – 9x2 + 11x + 21
b. P2(x) = x4 + x3 – 6x2
c. P3(x) = x3 – x2 – 100x + 100
d. P4(x) = x4 + 4x3 + 4x2
e. P5(x) = 3x3 – 12x2 – 33x – 18
f. P6(x) = x4 + 2x3 – 11x2 – 12x + 36
g. P7(x) = –x5 + 8x4 – 16x3
h. P8(x) = 2x3 – 10x2 – 48x
Solución a cargo del alumno.
154
X Tiene una raíz en x = –1.
X Tiene una raíz en x = 0.
X Tiene dos raíces simples.
X Tiene una raíz triple.
Tiene una raíz doble.
X Es un polinomio de grado cinco.
50. Resuelvan las siguientes ecuaciones polinómicas y verifiquen los resultados obtenidos.
a. x5 + x3 + 2x2 – 3x – 9 = x5 + 2x – 3
b. –2x4 – 2x3 – 29x2 – 40x + 32 = –3x4 + 2x + 32
c. –2x3 + 6x2 – 3x + 23 = –3x3 + 2x2 – 5
d. 4x3 – 7x2 + 9x – 2 = 3x3 – x2 – 2
e. –2x4 – 7x3 – 7x2 + 7x – 5 = –3x4 – 2x2 + 5
Solución a cargo del alumno.
51. Escriban la función polinómica que cumple
con las siguientes condiciones.
ˆ C+ = (–4;–2) ∪ (1;3)
ˆ C– = (–∞;–4) ∪ (–2;1) ∪ (3;+∞)
ˆ P(2) = 10
5 .
.
.
.
P(x) = – ___
12 (x + 4) (x + 2) (x – 1) (x + 3)
capítulo
CONTENIDOS
41*42*43
6
52. Escriban la letra del gráfico que corresponde
53. Indiquen la ordenada al origen, las raíces, su
a cada función.
multiplicidad, una expresión factorizada del polinomio y los conjuntos de positividad y de negatividad para cada una de las siguientes funciones.
a.
a. (x – 3) . (x + 1)2 B
b. (x – 3)2 . (x + 1) C
Ordenada al origen: 8 y
Raíces: x = –2 (impar);
x = 2 (par).
c. 2x . (x – 4) . (x + 1) A
d. –2x . (x – 4) . (x + 1)
D
8
GRÁFICO A
y
–3
0
–2
0
2
4
x
P(x) = (x + 2) . (x – 2)2
C+ = (–2;2) ∪ (2;+∞)
C– = (–∞;–2)
–8
–4
2
x
b.
–26,5
Ordenada al origen: –18 y
–4 –3
GRÁFICO B
0 1 2
x
Raíces:
x = –3 (par);
x = 1 (par).
y
4
–18
–4
–2
0
2
4
x
P(x) = (x + 3)2 . (x – 1)2;
C+ = ’; C– = (–∞;–3) ∪ (–3;1) ∪ (1;+∞)
–4
54. Escriban la función polinómica que cumple
GRÁFICO C
y
17,25
–4
–2
0
2
4
x
–17,25
GRÁFICO D
con las condiciones indicadas en cada caso.
a. Raíz doble en x = –2 y triple en x = 0 y
ordenada al origen (0;0).
b. Raíces dobles en x = 5 y x = –3, raíz triple
en x = 4 y ordenada al origen (0;20).
c. Raíces dobles en x = 3 y x = 5, ordenada al
origen (0;15).
d. Raíces x = 1, x = –10, x = –2 y ordenada al
origen (0;40).
Solución a cargo del alumno.
55. Grafiquen aproximadamente las siguientes
y
–4
–2
0
–26,5
2
4
x
funciones polinómicas. Indiquen en cada caso la
ordenada al origen, las raíces, el orden de multiplicidad y los conjuntos de positividad y de
negatividad.
a. y = 2x3 – 2x2 – 50x + 50
b. y = x4 – 7x3 + 9x2 + 27x – 54
c. y = x4 – 2x3
d. y = x3 + 4x2 – 3x – 18
Solución a cargo del alumno.
155
44
43
45
46
47
48
49
50
51
52
53
Expresiones algebraicas fraccionarias
INFOACTIVA
Dados dos polinomios P(x) y Q(x), tal que Q(x) sea distinto de cero, se denomina expresión algeP(x)
braica fraccionaria a toda expresión de la forma ____
.
Q(x)
5
_____
x2 – x
∀x : x ≠ 0 ∧ x ≠ 1
2x + 3
_________
x2 – 6x + 9
3x2 – 5
_______
2x + 1
1
∀x : x ≠ –__
2
1
_____
x4 + 2
∀x : x ≠ 3
Una expresión algebraica es irreducible si no existen en ella factores comunes al numerador y al
denominador.
x ∀x : x ≠ 3
_____
x–2
Expresión irreducible
x . (x – 1)
x . (x – 1)
x2 – x
__________
= ___________ = ______________
x3 + x2 – 2x x . (x2 + x – 2) x . (x – 1) . (x + 2)
∀x : x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ –2 Expresión reducible
Factores comunes al numerador y al denominador.
Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias
Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria, se debe factorizar el numerador y el denominador, y cancelar los factores comunes en ambos; se obtiene así una expresión irreducible equivalente
a la original.
2
– 3) . (x + 2)
– x – 6 = (x
x________
____________
x . (x – 3)
x2 – 3x
x+2
= _____
x
∀x : x ≠ 3 ∧ x ≠ 0
(x – 2) . (x – 1)
x2 – 3x + 2 = __________________
1
_____________
= _____
x3 – x2 – 4x + 4 (x + 2) . (x – 2) . (x – 1) x + 2
+ 3) . (x – 3)
x2 – 9 = (x
_____
____________
=x+3
x–3
(x – 3)
∀x : x ≠ ±2 ∧ x ≠ 1
Para repasar la
factorización de
polinomios
pueden volver a
las páginas 134,
136, 138 y 140.
∀x : x ≠ 3
ˆ Al simplificar, se deben identificar los valores de x que anulan el denominador.
ˆ Algunas fracciones algebraicas resultan equivalentes a expresiones algebraicas enteras.
ˆ El objeto de simplificar es reducir la expresión y poder efectuar operaciones en forma más sencilla.
156
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Todas las expresiones algebraicas racionales se pueden simplificar?
b. Los valores que no puede tomar x, ¿se calculan en la expresión simplificada?
a. No, no todas son reducibles. b. No, se deben averiguar en la expresión sin simplificar.
44
ACTIVIDADES
Expresiones algebraicas fraccionarias
56. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles de las siguientes son expresiones algebraicas fraccionarias?
X a. (x3 – 2) : x3
–3
X b. x_____
x+1
c. 2x3 – 4x + 895
e. 3x – 2
5
X d. __
x
+1
______
f. 2x
2
57. Indiquen los valores que no puede tomar x en cada caso.
3
–3
c. x______
x
–3
a. x_____
x+5
∀ x : x ≠ –5
x+5
b. ___________
2x2 – 2x – 4
∀x : x ≠ 0
x2 – x – 6
d. _______________
x3 + x2 – 17x + 15
∀ x : x ≠ –1 ∧ x ≠ 2
∀ x : x ≠ –5 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ 3
58. Unan con una flecha las expresiones equivalentes.
3
– 2x2 – 3x
a. x___________
x2 + 2x – 15
2
ˆx+1
3x – 12
b. _______________
x3 – 5x2 + 8x – 4
ˆ __53
x4 – x3 – 7x2 + x + 6
c. __________________
x3 – 2x2 – 5x + 6
x . (x + 1)
ˆ ________
x+5
3x2 – 9x
d. ________
5x2 – 15x
x3
ˆ _______________
x4 – 7x3
e. _____________________
5x3 – 15x2 – 245x + 735
5 . (x – 3) . (x + 7)
3 . (x + 2)
ˆ _____________
(x – 2) . (x – 1)
59. Simplifiquen las siguientes fracciones algebraicas.
2x3 – 8x2 + 2x + 12
a. __________________
3x3 + 6x2 – 27x – 54
2 . (x + 1) . (x – 2)
_______________
3 . (x + 3) . (x + 2)
x3 + 2x2 – 4x + 1
b. _______________
x3 – 4x2 + 2x + 1
2
+ 3x – 1
x__________
x2 – 3x – 1
x4 – 2x3 – 5x + 10
c. ________________
x5 – 7x4 + 10x3
x3 – 5
_________
x3 . (x – 5)
x2 – 9
d. ________
2
2x + 6x
x_____
–3
2x
157
45
44
46
47
48
49
50
51
52
53
54
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
INFOACTIVA
Multiplicación
El resultado de multiplicar dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica fraccionaria cuyo
numerador y denominador son el producto de las expresiones dadas.
R(x)
P(x) . R(x)
P(x) . ____
____
= _________
Q(x) S(x)
Q(x) . S(x)
x2 = _________
x2
x + 2 . ____________
x + 2 . _____
______
2x2 – x x2 – 4 x . (2x – 1) (x + 2) . (x – 2)
x
= _____________
(2x – 1) . (x – 2)
Se factorizan los numeradores y denominadores, se simplifica y luego se opera.
División
El resultado de dividir dos expresiones algebraicas fraccionarias es otra expresión que se obtiene
multiplicando la primera expresión por la recíproca de la segunda.
R(x)
P(x) . ____
S(x)
P(x) ____
____
:
= ____
Q(x) S(x)
Q(x) R(x)
x + 3 . _____
x+3
x + 3 : _____
x = ________
x + 2 = _____
______
x
x2 + 2x x + 2 x . (x + 2)
x2
Tanto en la multiplicación como en la división, se debe simplificar siempre que sea posible.
Adición y sustracción
Si las expresiones tienen igual denominador, se suman o restan sus numeradores según corresponda.
. (x + 3)
6 = ______
2x + 6 = 2
2x + _____
_____
________
x+4 x+4
x+4
x+4
– (3x – 1) 3
3 – ______
3x – 1 = 3
– 3x + 1 = _______
–3x + 4
_____
__________
= _________
x–1
x–1
x–1
x–1
x–1
Para expresiones de distinto denominador, estas se deben transformar en otras, equivalentes a las
dadas, que tengan el mismo denominador.
Este denominador (denominador común) es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores
de las expresiones originales y se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes con su
mayor exponente.
2 . (x – 2)
3x + 4
x+8
x+8
x + 8 + 2x – 4 = ____________
x + 8 + _____
2 = ____________
2 = ____________
_____
+ _____
+ ____________ = ____________
x2 – 4 x + 2 (x – 2) . (x + 2) x + 2 (x – 2) . (x + 2) (x + 2) . (x – 2) (x + 2) . (x – 2) (x + 2) . (x – 2)
9
x+5
x + 5 – ____________
x – 4 – x – 5 = – ____________
x + 4 = _______
x+4
1 – _____
1 = ____________
____________
– _______
= _____
(x + 5) . (x – 4)
x2 + 10x + 25 x2 – 16 (x + 5)2 (x + 4) . (x – 4) x + 5 x – 4 (x + 5) . (x – 4)
Para resolver las operaciones combinadas entre expresiones algebraicas fraccionarias se debe tener en
cuenta la simplificación, multiplicación, división, suma y resta de expresiones algebraicas fraccionarias.
Para resolver una operación combinada, se pueden seguir estos pasos.
x2 – x . (x – 1) – (2x + 3)
x2 – x2 + x – 2x – 3
____________________
= ________________
x + 3 : _____
4
x + 3 . _____
x+1
_______
_______
(x + 1)2 x + 1
(x + 1)2 4
1. Se separan los términos y se efectúan las operaciones
indicadas en cada uno de ellos.
–x – 3
= ________
x+3
2. Se opera entre las expresiones semejantes.
________
4 . (x + 1)
4 . (x + 1)
x+3
158
= –(x + 3) . ________ = –4 . (x + 1)
3. Se simplifica siempre que sea posible.
∀x : x ≠ –3 ∧ x ≠ –1
4. Se indican las condiciones de posibilidad.
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
2
x –1
–1
a. En la expresión ______
= ___
, ¿se simplificó correctamente?
x3 + x2
x3
3
x+3
x
_____
________
b. ¿Es cierto que _____
x – 2 + x – 2 = 2 . (x – 2) ?
a. No, no se puede simplificar si hay sumas o restas en el numerador o denominador. b. No; si las expresiones
tienen igual denominador, se suman o se restan sus numeradores y el denominador no varía.
45
ACTIVIDADES
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
60. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es el resultado de cada una de las siguientes operaciones?
x3
x2 – 1
______
a. _____
x – 1 . x3 – x2
2
3
2
(x – 2) x_______
b. _______
. + 3x
x2 + 3x x2 – 4
x . (x + 1)
X ________
x3
x3 – 1
_______
(x – 1)2
. (x – 2)
X x_________
x3
x
x–1
x+2
2
x2 – 3x
+ 2x
c. ________
: x_______
x–2
3x3 – 12x
2x
– ___
9
2
5
– x3 __________
d. x______
: x – 3x
x3 – x2 x2 – 2x – 3
x3 . (x + 1)
2
x–3
X _________
1.
__
3 x
3x . (x + 2)
X (x + 1)2
x3 . (2x – 3)
61. Efectúen las siguientes multiplicaciones.
4
x . (x + 2)
– 2x3 . __________
a. x_______
x2 – 4 x2 + 4x + 4
x4
_____
x+2
5
+ 32 . ____________________
x2 – 1
b. x_______
x – 1 x4 – 2x3 + 4x2 – 8x +16
(x + 2) . (x + 1)
6
x3 + 2x2 – 3x . x_______
+ 2x5
c. ________________
3
2
3
2
x – 4x – 7x + 10
x + 3x
x4
_____
x–5
x3 + 5x2 + 5x – 2
2x3 – 2 . ________________
d. ___________
5
2
4x2 + 4x – 8
x –x
x2 + 3x – 1
__________
2x2 . (x – 1)
62. Efectúen las siguientes divisiones.
x3 + 3x2 – 9x – 27
x3 + x2 – 6x
a. _____________
: ________________
x – 25
x6 + 3x5 – 10x4
x – 25
_______________________
x3 . (x + 5) . (x + 3) . (x – 3)
x3 + 2x2 – 13x + 10
x3 – 6x2 + 11x – 6 : _________________
b. ________________
x2 – x – 6
x3 + x2 – 25x – 25
(x
+ 1) . (x – 5)
_____________
x+2
x3 – 3x2 + 4
x3 – 5x2 + 4x + 4
: ________________
c. ___________________
3
4
3
2
x + x – 3x – 5x – 2
x – 3x + 2
x3 – 3x + 2
__________________
(x + 1)2 . (x2 – 3x – 2)
x5 – x2
x2 – 2x + 1
: __________
d. ___________
3
2
3
2
x – x – 6x
x – 3x
x3 . (x2 + x + 1)
_____________
(x + 2) . (x – 1)
159
45
ACTIVIDADES
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
63. Resuelvan las siguientes operaciones con igual denominador.
15
6x
______
c. ______
2x – 5 – 2x – 5 =
3
x
______
a. ______
3x + 9 + 3x + 9 =
1
__
3
3
3x2
x4
______
d. ______
–
=
2
2
x –3
x –3
–9
4x
–3
______
______
b. 5x
x+1 + x+1 =
3_________
. (3x – 4)
x+1
x2
64. Completen las siguientes sumas y restas para obtener el resultado indicado.
–3x
5x
–1
2x + 1
______
_____________
a. 3x
= _____
x+2 +
x+2
2
x2 + 1
– 3x + 1
d. _____________
+ _____________
= x__________
x–3
x–3
x–3
5x
3x
8x
b. _____________
+ _____________
= _____
x+1
3x2 – 7x
–7x
e. _____________
– _____________
= ______
x2 – 3
x2 – 3
2
2x + 1
5x
+1
_______
c. _____________
– ___
= –3x
2x
2x
x4 – 3
5
x4 – 8
f. _____________
– _____________
= _______
5x3 – 3
3
3
x+2
x+1
x+1
2x
3x2
x –3
5x – 3
5x – 3
65. Resuelvan las siguientes operaciones.
160
2
4
5x
+1
2x
_____
______
– 5x – 15
2x
____________
a. ______
3x + 3 + x + 1 – x2 – 1 =
3 . (x2 – 1)
3
x+3
2
_______
2x
+ x2 – 49x – 38
_________________
d. 2x + 1 + _____
x + 5 – x2 – 25 =
x2 – 25
–x3 – 7x2 – 3x – 2
+ 1 _____
b. – __3x – x_____
+ x 2+ 2 = ________________
x3
x3 . (x + 2)
9x2 – 50x – 17
3x + 1
2x
2
_______________
______
_____
e. _____
x + 2 + 3x + 6 – x – 5 = 3 . (x + 2) . (x – 5)
3x
–1
2x
______
x+6
________
c. ________
+ x_____
x + 1 – 3x + 3 = 3 . (x + 1)
x . (x + 1)
5x
+1
2x
–x2 + 16x – 9
______
_____________
f. _____
x – 3 – x + 2 + 2 = (x + 2) . (x – 3)
45
ACTIVIDADES
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
66. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
x2 + x – 6
3x – 1 . __________
a. x + ________
=
x–1
2 . (x + 3)
5___________
x2 – 9x + 2
2 . (x – 1)
2__________
x2 – x – 11
x2 – 2x + 4
x2 + x – 3
4 – x2 . 3x
+6
______
__________
b. ______
=
2x – 4 x – 2 +
x–3
–x3 – 5x2 + 14x + 48
___________________
2 . (x – 2) . (x – 3)
2___________
x2 – 4x – 6
____________
c. 1 – x2 x+ +4x2+ 3 =
___________
2
2x
–4
______
x2 – 4
x
________
d. _______
x+1 + x–2 =
_____
x+2
3x – 4
________
x . (x – 2)
3___________
x2 – 3x – 6
x2 – 9
x2 + 3x – 6 . __________
x2 – 2x – 3
f. ____________
+ 3___________
=
x–1
2___________
x2 + 8x + 6
x2 – 9
x2 + 2x – 15
3___________________
x3 + 21x2 + 42x – 12
(x + 3)2
(x + 1)2
_________
2
x –x–6
x–3
x+1
=
g. _______________
: __________
+ __________
x+1
x3 + 5x2 + 7x + 2 x2 + 3x + 1
_____
x–3
x2 + 3x – 2
_____________
(x + 2) . (x + 1)
2
+ x + 18
x__________
x2 + 5x + 6
x–1
______
(x
+ 2)2
_______
x+3
_________
e. x3 + 8 + (x2 – 5) : (x2 – 2x + 4) =
______
x2 – 9
x–1
__________
x2 + 4x + 3
x2 + 5x + 6
x_____
–3
____________
+
=
h. ___________
:
2
x
+
1
1
x + 7x + 10
_____
x+2
2____________
x2 + 3x – 17
x2 + 4x + 3
161
46
45
47
48
49
50
51
52
53
54
55
Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
INFOACTIVA
Dados dos polinomios P(x) y Q(x) tales que Q(x) no sea nulo, se denomina ecuación fraccionaria a
P(x)
toda expresión del tipo ____
= 0.
Q(x)
Resolver una ecuación fraccionaria es encontrar las raíces del numerador P(x) que no anulen al
denominador Q(x). Si alguna de las raíces del numerador es igual a alguna de las raíces del denominador, esta debe ser descartada, ya que no es solución de la ecuación planteada.
Luego, se deben verificar en la ecuación original los valores de x hallados.
3 =1
2 – ______
_____
x – 2 x2 – 2x
10 + ___
25 + 1 = 0
– ___
x
x2
∀x : x ≠ 0 ∧ x ≠ 2
∀x : x ≠ 0
3
2 – ________
_____
=1
x – 2 x . (x – 2)
x =0
10x + ___
25 + __
– ____
2
x2
x2
3
2x
________
– ________
=1
x . (x – 2) x . (x – 2)
10x + 25 + x2 = 0
–______________
2x – 3 = x . (x – 2)
–10x + 25 + x2 = 0
2x – 3 = x2 – 2x
(x – 5)2 = 0
–x2 + 4x – 3 = 0
|x – 5| = 0
x1 = 1
∧
2
x
x2 = 3
x2
x=5
2
–5
2 = x_____
1 + _____
_____
x – 1 x + 1 x2 – 1
9 –4=0
_____
x+1
∀x : x ≠ 1 ∧ x ≠ –1
∀x : x ≠ –1
2 . (x – 1)
x2 – 5
x+1
____________
+ ____________ = _____
(x – 1) . (x + 1) (x – 1) . (x + 1) x2 – 1
. (x + 1)
9 –4
_____
________
=0
x+1
x+1
x2 – 5
x + 1 + 2x – 2 = _____
____________
(x – 1) . (x + 1) x2 – 1
9 – ______
4x + 4 = 0
_____
x+1
x+1
x + 1 + 2x – 2 = x2 – 5
9
– (4x + 4)
__________
=0
x+1
9
– 4x – 4 = 0
_________
x+1
–x2 + 3x + 4 = 0
_____________
x=
–3 ± 332 – 4 . (–1) . 4
__________________
2 . (–1)
5 – 4x = 0
______
–3 ± 39 + 16 = ______
–3 ± 5
x = ____________
–2
–2
–3 – 5 = 4 ∧
x2 = ______
–2
–3 + 5 = –1
x1 = ______
–2
No es un valor posible.
162
–4x = –5
5
x = __
4
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
1
x
_____
a. ¿Cuál es el valor de x en la expresión _____
x – 1 = x – 1?
P(x)
b. Si Q(a) = 0, ¿se puede asegurar que x = a es raíz de la expresión fraccionaria ____
?
Q(x)
a. No tiene solución. b. No, porque Q(x) no puede anularse.
46
ACTIVIDADES
Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
67. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la solución de cada una de las siguientes ecuaciones?
5
2
1
_____
_____
a. _____
x–3 + x+3 – x–3 = 0
x=9
x=3
X x = 6
2
1
2
__
b. __
+ ___
3x = x
x2
x=0
6
X x = __
5
x=2
x+3
2
2
______
______
c. _____
x – 2 + x2 – 4 = x2 – 4
x=2
X x = –3
x = –4
X x = 1
x = –1
2
2
x
x
_____
d. __
2 – x+1 = 0
X x = 0
68. Indiquen los valores que no puede tomar la variable y resuelvan las ecuaciones.
+3
3
__
a. x_____
x = 2
∀x : x ≠ 0; x = 6
–1
______
b. 2x
2x = 0
1
∀x : x ≠ 0; x = __
2
+5
2
__
c. x_____
3x = 5
∀x : x ≠ 0; x = 25
–5
x
_____
d. x_____
x+7 – x–2 = 0
5
∀x : x ≠ –7 Ž x ≠ 2; x = __
7
x________
. (x – 3)
+2
x
_____
e. x_____
x – 3 + x + 3 = x2 – 9
∀x : x ≠ –3 Ž x ≠ 3; x = –2
x
x
_____
f. _____
x+3 – x–2 = 0
∀x : x ≠ –3 Ž x ≠ 2; x = 0
2
x______
+3
+5
x–2
_____
g. x_____
x + 1 – x2 – 1 = x2 – 1
∀x : x ≠ ±1; x = 2
x2 + 2
x_____
+6
1
__________
h. _____
x + 1 + x – 3 = x2 – 2x – 3
1
∀x : x ≠ –1 Ž x ≠ 3; x = – __
8
163
46
ACTIVIDADES
Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
69. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
x + 1 – x_____
–2 = 0
a. _____
x+2
x–3
1
x = __
2
5
1 – _________
x
b. _____
= _____
x–1
x2 + x + 1
x3 – 1
x=2
–4
4x
+ 53
_______
_______
c. 14x
2x – 2 – 3 = x + 5
x=6
3x
+ 2 ___
–1
1
______
______
d. 2x
x – 2 + 6x + 4 : 2x = 0
x=±1
4
– 2x
2
e. x______
– x = ______
x3 – 2
x3 – 2
’
164
x2 – 4x + 3
2x + 4
–1
______
f. ___________
+ __________
= 2x
x+2
x2 + 5x + 6
x2 + x – 2
x = –1
x2 + x
–3
2x – 6
______
___________
g. __________
– 2x
2
x + 7 = x2 + 4x – 21
x + 8x + 7
x=1
x2
7x
2
_______
h. ______
+ _____
x – 3 – 7x + 21 = 0
x2 – 9
6
x = – __
5
2x . (1 – x)
x2 – 5x
x3 + 2x2 – 12x
i. ___________
– 2_____________
= _________
3
x2 – 1
x3 – 7x + 6
x – 6x2 + 5x
1
x = __
3
5x + 1
x–3
3
__________
j. __________
– _____
x – 2 = x2 – 4x + 4
x2 – 4x + 4
2
x = __
7
46
ACTIVIDADES
Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
70. Observen las resoluciones de las siguientes ecuaciones y marquen los errores que encuentren.
Luego, resuélvanlas correctamente.
x+3
2x = _______
2 x2
a. _______
+ ___
x2 + 3x
x2
x2 + 3x
Falta multiplicar el denominador del segundo término por (x + 3).
2x . (x + 3)
x+3
2x2
_________
+ _________
= ________
x2
x . (x + 3)
x . (x + 3)
x + 3 + 2x2 + 3x = 2x2
4x + 3 = 0
x = – __43
5
3
2
b. _____
+ _____
= _____
x–1
x–1
x2 + 1
El común denominador es incorrecto.
3 . (x – 1) + 5 . (x + 1)
2
___________________
= _____
x–1
(x + 1) . (x – 1)
3 . (x – 1) + 5 . (x + 1) = 2 . (x + 1)
3x – 3 + 5x + 5 = 2x + 2
8x – 2x =2 + 3 – 5
6x = 0
x=0
71. Resuelvan.
5x + 3 _____
13x – 3
ax
_______
En la ecuación ______
x – 1 + x + 1 = x2 – 1 , ¿qué valores puede tomar a para que se cumplan las condiciones indicadas en cada caso?
a. Que la solución de la ecuación sea –1.
No es posible, –1 no pertenece al dominio de la ecuación.
b. Que la solución de la ecuación sea –2.
a = –6
c. Que la ecuación no tenga solución.
a = –5
mente ACTIVA
2
+ 5x + 6
Si x = –2 anula el numerador de la ecuación x__________
= 0, ¿se puede decir que x = –2
x+2
es una solución?
El valor x = –2 no es solución a la ecuación porque no pertenece al dominio.
165
INTEGRACIÓN
72. Marquen las opciones correctas.
75. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles de las siguientes son expresiones algebraicas fraccionarias?
¿Cuál es la mínima expresión que corresponde a
cada una de las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias?
a. (x3 – 2) . x
2x2 + 5x + 3
a. _____________________
x4 + 4x3 + 7x2 + 6x + 2
X b. (x5 – 3x) . (x – 1)–1
X c. 2x–2 . (x + 1)
3
2 . x + __
2
_________
x+1
(
d. 5x3 – 3–1 . x
3
2 . x – __
2
__________________
(x + 1) . (x2 + 2x + 2)
(
)
)
X Ninguna de las anteriores.
73. Escriban los valores que puede tomar la
variable en cada caso.
–2
a. x_____
x+3
x2 – 2x + 1
d. __________________
x3 – 15x2 + 64x – 49
x–1
b. ______
x2 – 9
x5 + 3x2 + 2
e. 5____________
4x2 + 9
3
x – 3x
c. __________
x3 + x2 – 6x
x–1
X ________
x–1
_________
1
2 . x + __
6
2 . (x + 1)
(
)
Ninguna de las anteriores.
2
x + 5x + 6
f. ___________
x2 – 3x – 10
Solución a cargo del alumno.
74. Simplifiquen las siguientes expresiones algebraicas; indiquen los valores que no puede tomar
la variable en cada caso.
76. Resuelvan las siguientes multiplicaciones.
x–1
x2 – 3x . _____
x–1
a. _________
= _____
x
x+2
x2 – x – 6
2
x – 2x + 3
_______________
x3 – 5x2 + 9x – 9 . __________
x–1
= 2 . (x – 2) . (x + 5)
b. ________________
x2 + 4x – 5
2x2 – 10x + 12
2 . (x + 1)
x2 – 4x – 6
a. 2___________
= ________
x2 + 2x – 15
x+5
2 . (x – 5) . (x – 2)
x3 – 3x2 + 4 . 4x
– 20
_______
= ________________
c. _____________
x2 – 1
2x3 – 10x2 + 12x
3
________
3x2 – 18x + 15
= 2 . (x + 1)
b. _________________
2x3 – 10x2 – 2x + 10
6x . (x + 3)
x – 8x
x + 9x – 3x – 9 . 4
________
= __________
d. 3________________
x3 – 1
x–3
2x2 – 10x + 12
x . (x – 3) . (x – 1)
4
–5 . (x – 3)
–5x3 + 25x2 – 35x + 15
= _________
d. _____________________
x+2
x3 – 3x + 2
3
(x – 2)
x4 – 3x3 – 6x2 + 28x – 24
e. _______________________
= ________
x3 + 5x2 + 6x
x . (x + 2)
2
(x – 2)
_______________
x3 – 3x2 + 4
= x . (x – 1) . (x + 3)
f. _______________
x4 + 3x3 – x2 – 3x
4
x–5
– 5x3 – 2x2 + 11x – 5
= _____
g. x____________________
x+3
x4 + 3x3 – 2x2 – 5x + 3
x–3
x3 – 4x2 – 3x + 18
h. ________________
= _____
x+2
x3 + x2 – 8x – 12
x3 + 3x2 – 10x
x–2
i. ______________
= ________
x4 + 7x3 + 10x2
x . (x + 2)
x4 – 5x2 + 4
– 2) . (x + 1)
_____________
= (x
j. ____________________
4
x + 2x3 – 3x2 – 4x + 4
(x + 2) . (x – 1)
x+3
x – 7x – 30
= _____
k. ____________
x2
x3 – 10x2
2
3
4
3
3
3
– x2 – 3x + 3 . 3
x2 – 9x
x
________
= __
e. x______________
7
3x2 – 12x + 9 7x2 – 21
–2x3 + 14x – 12
= –2 . (x – 1)
c. ______________
x2 + x – 6
166
6x3 + 7x2 – 11x – 2
=
b. ___________________
12x3 + 38x2 + 30x + 4
3
x3 + 24x2 + 15x – 150 . x_______
3 . (x + 5)2 . x2
+ 3x2
= _____________
f. 3____________________
x–5
x3 – x2 – 8x + 12
(x – 2) . (x – 5)
77. Resuelvan las siguientes divisiones.
9 . (x – 3) . (x – 1)
x3 + 4x2
x2 + 6x – 45 : ___________
a. 3____________
= _______________
x2 + 7x + 10 3x2 + 3x – 6
x2 . (x + 4)
x3 + x – 6 : _____________
x+3
b. ____________
= x2 . (x – 1)
3
x + 3x2 – 10x x5 + 4x4 – 5 x3
(x + 2) . (x + 6)
x3 – 4x2 – 28x – 32 : __________
x+2
= _____________
c. __________________
x
x2 + x – 30
x3 – 13 x2 + 40x
2
x2 + x – 6
–2
+ x – 6 = x_____
d. ___________
: x_________
x–3
x2 + 5x + 6
x2 – 4
3
– 125 5________________
x4 + 25x3 + 125x2
=1
e. x_______
:
x2 – 25
5x3 + 25x2
3
x2 + x – 6
+ x2 – 8x –12
x3 – x2 – 6x
: ________________
= _________
f. x______________
x2 + 3x – 10
x3 + 8x2 + 5x – 50
x2 – 4
capítulo
CONTENIDOS
44*45*46
6
78. Resuelvan e indiquen los valores que no
81. Escriban una suma o una resta entre expre-
puede tomar la variable.
siones algebraicas racionales, cuya simplificación
dé el resultado indicado en cada caso.
x–1
x + x – 6 . _________
x –1
a. __________
= _____
x+1
x2 + 4x + 3 x2 – x – 2
2
2
4
x2 – 5x + 6
+ 2x3 . ___________
b. x_______
=1
x3 – 4x
x3 – 3x2
5
3
2
x4 . (x – 5) . (x + 7)
+ 2x4 – 15x3 _____________
: x5 +x 2x–4 3–x 35x3 = ________________
c. x_____________
x+3
x2 – 8x + 15
x2 – 27x + 42 : ___________
5x – 35
= 3x . (x – 3)
d. 3_____________
5
8
2
__
__
__
x2 –
3
x–
x3 –
3
3
x2 – x
79. Resuelvan las siguientes sumas y restas con
2
+3
5__________
x2 + x + 5
+ 2 + 5x
_______
a. x_____
x–3 =
x–3
x–3
x2 + 3x – 1
b. __________
x+5
e. x – 3
x4 + 2
c. ______
x–1
5
– 2x + 1
f. x__________
x+3
Solución a cargo del alumno.
82. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
x3 + 2x2 – 14x – 3 . ________________
2x + 2
2
________________
a. _____
=
x+3 +
x2 – x – 2
x3 + 8x2 + 16x + 3
2
(x + 2)
x2 + 3x + 2
– __________
+ 2x =
c. ____________
x2 + 6x + 9
x3 + 4x2 + 3x
x
2
1
b. ______
+ ______
= _____
x2 – 4
x2 – 4
x–2
2x3 + 5x + 3
5x + 3
2x3
+ __________
= ___________
c. __________
x2 + 4x + 4
x2 + 4x + 4
x2 + 4x + 4
x+2
+3
______
x+1
______
______
d. 2x
3x – 2 – 3x – 2 = 3x – 2
–x2 + 2x + 8
x2 – 5
2x + 3
– _________
= ___________
e. _________
x2 + x – 1
x2 + x – 1
x2 + x – 1
4
3
3
–x + 2x – 6x – 2
– 6x – 2
x4 – x3
f. x__________
– _________
= ________________
x2 + x – 6
x2 + x – 6
x2 + x – 6
80. Resuelvan las siguientes sumas y restas con
distinto denominador.
x2 + 5x – 4
2
x
_____________
_____
a. _____
x+3 + x–2 =
2
2___________
x – 4x + 8
3
2x
x+1
_____
______
c. _____
x + 3 + x – 3 – x2 – 9 =
x2 – 9
5x2 + 7x + 10
3x
+5
2x
_______________
______
+
=
d. __________
2
2
3
x + 4x + 4
x –4
x + 2x2 – 4x – 8
x – 2x
x
x + 3x – 2x
– _______
= –_____________
e. _________
x2 + x – 6
x2 + 3x
x3 + x2 – 6x
3
3
x
x2
f. __________
+ ______
– __________
=
x2 + 6x + 9
x2 – 9
x2 – 6x + 9
x2 + 5x – 3
_________________
x3 + 5 x2 – 9x – 45
3x2 + 5x – 2
_____________
___________________
e. 3x3 – 10x2 + 3x + x3 + 4 x2 – 8x + 3 =
________________
x3 + 6x2 + 3x – 10
x4 + x3
_______
x3 – 3x2
x –x
=
+ ________________
f. __________
3
x3 – 3x2 – 4
+ 5x2 + 8x + 4
x_______________
x2 – 5x + 6
2
x3 – 5x2 – 6x
____________
x2 – 4x – 12
x5 – 25x3
_____________
_____________
g. x5 – 3x4 – 10x3 – x2 – 8x + 15 =
___________
x2 – x – 6
83. Resuelvan las siguientes ecuaciones, indi-
–x + 3
3x + 1
2
__________
__________
b. _____
x + 1 – x2 + 3x + 2 = x2 + 3x + 2
4
2_______________
x3 + x2 – 6x – 3
x3 – 3x2 + 3x – 1
3_________________
x3 + 8x2 – 33 + 10
________________
d.
–
=
x3 + 3x2 – 10x
x2 – 3
__________
2
x – 2x + 1
Solución a cargo del alumno.
(x + 3) . (x – 2)
3
1
d. _____
x+6
3x2 – 2x – 5 . x_____
+3
3
– ______
b. ____________
2x – 6 =
6x2 + 8x – 30 x – 1
igual denominador.
2
x–1
a. _____
x+3
2
quen los valores que no puede tomar la variable
y verifiquen los resultados obtenidos.
–2
x2 – 5x + 4
–3
______
____________
a. 2x
x+1 – x =
x+1
x = –7, x = 1
3
2
_____
b. _____
x–5 – x+5 = 0
x = 25
2____________
x2 + 10x – 5
+1
______
__1
c. 2x
x–3 + x =
x2 – 9
’
+3
–2
d. x_____
+ x_____
=2
1
x = __
2
x+2
x–3
–_______________________
x4 – 5x3 – 6x2 – 27x + 27
4
2
3x2
2x + 1
x
x
–
18
x
+
81
_______
_______
___________
3
x2
x +7
x+1
g. x2 + 5x – x3 + 2x2 + x2 + 7x + 10 =
_____
e. 3_______
+ _____
x+3 = x–3
x2 – 9
3_____________________
x4 + 7x3 – 2x2 – 11x – 5
x4 + 7x3 + 10x2
2
x–1
x+2
x+5
–3
+ _______
– ___________
= 3
h. _______
f. __________
+ x_____
6x2 + x
6x2 + 7x + 1 –______________
6x3 + x2
x + x2 + 2x – 1
x+2 = 1
x2 + 4x + 4
6x4 + 7x3 + x2
x = ±1
x = ±2
167
capítulo
6
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
84. ¿Cuál es la expresión factorizada del siguiente polinomio?
P(x) = x6 + 2x5 + x4 – 8x3 – 16x2 – 8x
a. x . (x – 8) . (x + 1)2
X b. x . (x3 – 8) . (x + 1)2
c. x3 . (x – 8) . (x + 1)2
85. En la ecuación x4 + 5x3 – 12x2 + 2 = 3x3 – x4 + 2, ¿cuál es el conjunto solución?
a. S = {–3;2}
b. S = {–2;3;0}
X c. S = {–3;0;2}
86. Dada la función polinómica P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6,...
a. ... ¿cuál es la ordenada al origen?
X (0;6)
(6;0)
(0;–6)
b. ... ¿cuáles son las raíces?
{–3;–2;1}
{–2;–1;3}
X {–2;3;1}
c. ... ¿cuál es el conjunto de positividad?
C = (1;2) ∪ (3;+∞)
X C = (–2;1) ∪ (3;+∞)
+
C = (–∞;1) ∪ (3;+∞)
+
+
d. ... ¿cuál es el gráfico que le corresponde?
X
y
y
y
6
6
2
2
–4
–2 –2 0
–4
2
4
x
–2 –2 0
2
4
2
x
–4
–2 –2 0
2
4
x
87. ¿Cuál de las expresiones se obtiene al simplificar la siguiente expresión algebraica fraccionaria?
x5 – 4x4 + 16x2 – 16x
__________________
x4 + 3x3 – 10x2
(x – 2) . (x2 – 4)
a. ______________
x
88. ¿Cuál es la solución a la ecuación
a. x = __53
168
2
(x – 2)
b. _______
x
3
2
_____
_____
x – 3 + x + 3 = 0?
3
X b. x = – __
5
(x – 2) . (x – 4)
X c. ______________
2
x . (x + 5)
c. x = – __35
Contenidos
7
47. Sistemas de ecuaciones
lineales. Método gráfico.
48. Resolución de sistemas de
ecuaciones I.
49. Resolución de sistemas de
ecuaciones II.
50. Sistemas de ecuaciones
mixtos.
La matemática de la antigua Grecia consistía, principalmente, en lo que hoy
es apenas una de sus ramas: la geometría. Otras áreas fueron desarrolladas,
pero siempre pensadas como auxiliares a aquella que constituía su verdadero
interés. Mucho tiempo después de la conquista romana, vivió en Alejandría el
célebre Diofanto, quien desarrolló la disciplina que más tarde perfeccionarían
los árabes: el álgebra. Su obra ha perdurado durante siglos y contiene, entre
otras cosas, los elementos básicos sobre sistemas de ecuaciones lineales. Pero
lo más curioso es que muy poco se sabe de él, excepto la edad en que murió,
expresada justamente como la solución de una ecuación lineal.
Su niñez, dice el epitafio, ocupó la sexta parte de su vida; transcurrió una
doceava parte más hasta que tuvo barba. Luego pasó una séptima parte hasta
que se casó y cinco años más tarde tuvo un niño, que vivió en total la mitad
de años que su padre. Diofanto le sobrevivió y lo lloró durante cuatro años.
1. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Qué edad tenía Diofanto cuando murió? ¿Cómo la calcularon?
b. ¿Se les ocurre alguna situación parecida a la de Diofanto que se pueda
resolver por medio de una ecuación o un sistema de ecuaciones lineales?
x + ___
x + __
x + 5 + __
x + 4 = x ⇒ x = 84. Diofanto tenía 84 años. Se planteó la ecuación lineal
a. __
2
6 12 7
a partir de los datos del problema. b. Respuesta abierta. Por ejemplo, un problema con las edades de padres e hijos: “Hace 4 años, la edad de Pedro era el triple que la de su hijo y dentro de
6 años será el doble. Calculen las edades de Pedro y su hijo.” Pedro, 34 años y su hijo, 14 años.
capítulo
Sistemas de ecuaciones
47
46
48
49
50
51
52
53
54
55
56
Sistemas de ecuaciones lineales. Método gráfico
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 11
Un sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas cada
una representa dos rectas en el plano, y resolverlo es hallar la intersección de ambas (conjunto solución).
{
ax + by = c
dx + ey = f
Dos rectas en un plano pueden ser incidentes (tienen un punto en común) o paralelas (no tienen
ningún punto en común o son coincidentes).
Los sistemas se clasifican en compatibles e incompatibles, según tengan o no solución; los sistemas
compatibles pueden ser determinados o indeterminados, según tenga una o infinitas soluciones.
Rectas incidentes
Rectas paralelas
y
y
y
R1
R1
R1
R2
R2
x1
0
x
0
x
x
0
y1
R1 ∩ R2 = {(x1;y2)}
R1 ∩ R2 = R1 = R2
R1 ∩ R 2 = ∅
Determinado
(solución única)
Indeterminado
(infinitas soluciones)
Sistema incompatible
(no tiene solución)
Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales
Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones, se deben representar ambas rectas en un mismo
sistemas de ejes y hallar la intersección de ambas.
–1
{3xx ++2yy == –13 ⇒ {yy == –3x
– x+
{
S = {(–1;2)}
S=∅
1
2
3
__
2
1
__
2
{
1y =2
x – __
y = 3x – 6
3
⇒ y1 = 3x + 1
3x – y = –1
2
y
y
3
(–1;2)
2
2
3
1 + __
y = – __
2x 2
1
–2
–1
0
y = 3x + 1
1
2
y = 3x – 6
3
–2
–2
–1
0
1
2
3
4
x
–4
–1
–2
y = –3x – 1
Sistema compatible determinado
170
–6
Sistema incompatible
4
x
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si dos rectas son coincidentes, ¿cuántos puntos tienen en común?
b. Un sistema incompatible ¿tiene infinitas soluciones?
a. Infinitos puntos. b. No, no tiene solución.
47
ACTIVIDADES
Sistemas de ecuaciones lineales. Método gráfico
1. Marquen las opciones correctas.
{2x + y = 6
Teniendo en cuenta el sistema y – 9 = ax , ¿cuál debe ser el valor de a para que el sistema sea
incompatible?
a. 2
c. __21
X b. –2
2. Resuelvan gráficamente y clasifiquen cada uno de los siguientes sistemas.
a.
{
{
– __1 x + y = 1
y=x+2
y – 1 = __21 x
c. x2+ 2 = 2y
y
y
y = __1 x + 1
2
y=x+2
3
3
2
1
(–2;0)
–2
S=
0
2
y –1 = x + __1
2
1
x
1
–2
x
1
S = Infinitas soluciones
{(–2;0)}
Sistema compatible determinado.
Sistema compatible indeterminado.
{
{2x – 3y = – 9
y – __2 x = 1
b. 2x –55y = 10
d. y + x = –2
y
y
2x = 1
y – __
5
3
y = –x – 2
2
–2
0
–1
1
5
(–3;1)
x
Sistema incompatible.
1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–1
–2
∅
2x + 3
y = __
3
3
2
2x – 5y = 10
1
S=
0
1
x
–2
S=
{(–3;1)}
Sistema compatible determinado.
171
48
47
49
50
51
52
53
54
55
56
57
Resolución de sistemas de ecuaciones I
INFOACTIVA
Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones, existen varios métodos. Todos ellos permiten
obtener el mismo resultado, y la utilización de uno u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original.
Método de sustitución
Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y luego reemplazarla en la otra ecuación.
{
⇒
2x + 4y = 2 (a)
3x – 2y = 9 (b)
1. Se despeja x en la ecuación (a).
(a) x = 1 – 2y
3 . (1 – 2y) – 2y = 9
3
3 – 6y – 2y = 9 ⇒ 3 – 8y = 9 ⇒ –8y = 6 ⇒ y = – __
4
5
3 = 2 ⇒ 2x – 3 = 2 ⇒ x = __
2x + 4 . ( – __
2
4)
5 ;–__
3
S = ( __
2 4 )}
{
2. Se reemplaza la x por “1 – 2y” en la
ecuación (b).
3. Se resuelve, obteniendo el valor de y.
4. Se reemplaza el valor de y, en cualquiera
de las dos ecuaciones, y se calcula el de x.
5. Se escribe el conjunto solución.
Método de igualación
Se debe despejar en ambas ecuaciones la misma incógnita y luego, igualar las ecuaciones obtenidas.
{
3
2x – 2y = __
2
(a)
5
3x + y = __
4
(b)
3 – 2x ⇒ y = x – __
3
(a): –2y = __
4
2
5 – 3x
(b) y = __
4
1. Se despeja y de ambas ecuaciones.
1
3 = __
5 – 3x ⇒ 4x = 2 ⇒ x = __
x – __
2
4 4
2. Se igualan ambas ecuaciones y se calcula
el valor de x.
1
3 ⇒ –2y = __
1 – 2y = __
1 ⇒ y = – __
2 . __
4
2
2
2
3. Se reemplaza el valor de x obtenido, en
cualquiera de las ecuaciones, y se calcula el de y.
{
}
1 ;–__
1
S = ( __
2 4)
4. Se escribe el conjunto solución.
Métodos de reducción por sumas y restas
Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones multiplicando los dos
miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan
ambas ecuaciones para eliminarla.
{
5x – 2y = 2
2x – 4y = 8
⇒
{
{
(5x – 2y). 2 = 2. 2
2x + 4y = 8
10x – 4y = 4 +
2x + 4y = 8
12x
= 12
2. Se suman las ecuaciones, miembro a miembro.
12x = 12 ⇒ x = 1
3. Luego, se calcula el valor de x.
3
2 . 1 + 4y = 8 ⇒ 4y = 6 ⇒ y = __
2
4. Se reemplaza el valor de x obtenido, en cualquiera de
las dos ecuaciones, y se calcula el de y.
3
S = ( 1;__
2
{
172
1. Se igualan los coeficientes de y.
)}
5. Se escribe el conjunto solución.
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En el método de sustitución, ¿se reemplaza siempre la misma incógnita?
b. Si un sistema tiene solución vacía, gráficamente ¿se obtienen rectas paralelas?
a. No, se puede reemplazar cualquier incógnita. b. Sí.
48
ACTIVIDADES
Resolución de sistemas de ecuaciones I
3. Resuelvan los siguientes sistemas por el método de igualación y escriban el conjunto solución.
{2x – 9y = 11
a. 4x + y = 3
c.
S = {(1;–1)}
{
y+3
2 . (x + 3) – 3 = _____
2
2y
–1
x_____
–4
1
______
__
2 –
4 = – 2
( )
S=
{
x – __1 y = –0,2
b. y – 32 = 3x
d.
S=∅
–2
{ ( __21 ;5 ) }
{(
3 . x + __32 – 3 . y – __41 = – __41
)
(
)
1
2 . (x + y) – __54 = __23 y + ___
15
S=
86
11 ;___
{( ___
75 75 )}
4. Resuelvan los siguientes sistemas por el método de sustitución y escriban el conjunto solución.
{
y – __34 = 2x
1
__
3 x + y = –1
2
S = –1;– __
3
a.
{(
c.
)}
{–x + 5y = –6
b. 2x + 10 + y = 0
S = {(–4;–2)}
d.
{
– __23 . (x – 4y) = –4
6y
+ 5x __
_______
– 31 = – __52 y
10
S=
{
52 __
3
;–
{ ( ___
33 11 ) }
4x
–3
1
__
______
=y
2
4x –
5
– 3x
______
– y = –2
2
S=
45
{ ( –12;___
2 )}
173
48
ACTIVIDADES
Resolución de sistemas de ecuaciones I
5. Resuelvan los siguientes sistemas por el método de sumas y restas y escriban el conjunto solución.
{3x – 2y = 4
a. 4y – 5 = 3x
S = {(6;7)}
b.
{
3
3
1
__
__
__
4x = –2 – 2y
1
__
__
1 + 4 x = – 61 y
S=
{
2 + 3x = __85 y
7
16
___
–4x + ___
12 y + 3 = 0
c.
S = {(6;32)}
d.
{ ( – ___173 ;__25 ) }
{
5
__
3 x – 1 = 2y
5
3
__
__
2 + 3y = 2 x
Infinitas soluciones.
6. Resuelvan los siguientes sistemas por el método más conveniente y escriban el conjunto solución.
{
2 . (y – 3) + 5x = y + 1
a. 4 . (y – 1) – 1 = 3y – 2x
S=
b.
{
7
x_____
+ 2 __
4 + 2 = y + 3
y_____
–3
3
__
4x = 1 – 3
S=
174
{ ( __32;__113 ) }
{ ( 2;__23 ) }
{
c.
3
2x
–1
______
__
2 = 4y – 2
x_____
+6
1.
__
5 (y + 3) = 10
S=
d.
{
{ ( 1;__21 ) }
y + __21 . (x – 2) – __41 . (3x + 1) = 0
9
3
1
__
__
__
.
6 x – 2 y – 2 = 4y + 2
S=
(
{ ( 0;__45 ) }
)
48
ACTIVIDADES
Resolución de sistemas de ecuaciones I
7. Resuelvan los siguientes problemas planteando previamente el sistema de ecuaciones correspondiente.
a. Valentina pagó $58,10 por tres paquetes de pastillas y siete alfajores. Camila pagó $57,70 por
seis paquetes de las mismas pastillas y cinco alfajores iguales. ¿Cuánto cuesta cada paquete de
pastillas y cada alfajor?
{3p6p ++ 7a5a == 58,10
57,70
Cada alfajor cuesta $6,50 y cada paquete de pastillas, $4,20.
b. Laura tiene cuatro años menos que la mitad de la edad que tiene su papá. Hace siete años, el
papá tenía el triple de la edad de Laura. ¿Cuántos años tiene cada uno en la actualidad?
{
1 p–4
l = __
2
3 . (l – 7) = p – 7
Laura tiene 22 años y su papá, 52 años.
c. Francisco y Pedro fueron a tomar un helado. Antes de salir de su casa, Francisco tenía $50 más
que Pedro. Cada uno se compró un cucurucho que costó $20. Si después de pagar los helados, a
Francisco le quedó el doble del dinero que tenía Pedro, ¿cuánto tenía cada uno antes de salir?
{
f = p + 50
f – 20 = 2 . (p – 20)
Francisco tenía $120 y Pedro, $70.
d. La diferencia entre el doble de un número y la tercera parte de otro es igual a 25. Además, la
suma entre la tercera parte del anterior del primer número y el anterior del doble del segundo es 46.
¿Cuáles son los números?
{
1 y = 25
2x – __
3
1 . (x – 1) + 2y – 1 = 46
__
3
Los números son 16 y 21.
8. Calculen el perímetro del paralelogramo abcd.
___
d
__
a
b
__
ab = 8,5 cm; bc = 12 cm.
c
___
bc ___
= __53 . __
ab + 6,9 cm
3 . ab – bc = 13,50 cm
El perímetro es de 41 cm.
mente ACTIVA
Un micro salió de Mar del Plata a 120 km/h. Tres horas antes, salió otro micro de la
misma terminal y con el mismo destino que el anterior, a 90 km/h. Si ambos micros
e = 120t
circulan a velocidad constante, ...
e = 90 . (t + 3)
a. ... ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
a. Se encontrarán a las 9 h.
b. ... ¿a qué distancia de Mar del Plata se encontrarán?
{
b. Se encuentran a 1 080 km.
175
49
48
50
51
52
53
54
55
56
57
58
Resolución de sistemas de ecuaciones II
INFOACTIVA
El valor del determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es la diferencia entre el producto de
los elementos de la diagonal marcada con verde y los elementos de la diagonal marcada con naranja.
(
a a
)
A2x2 = a 11 a12 ⇒ |A| =
21 22
| aa
11
21
|
a12
a22 = a11 . a22 – a21 . a12
5 2
|A| = | –7
–3 | = 5 . (–3) – (–7) . 2 = –15 + 14 = –1
La regla de Cramer es un método para resolver, mediante el uso de determinantes, sistemas de
ecuaciones cuadrados, es decir, que contengan el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
El procedimiento se explica para un sistema de 2 x 2 y de manera análoga se resuelve cualquier
sistema cuadrado de n x n.
a x+b y=c
Para resolver un sistema a1 x + b1 y = c1 se deben realizar dos procedimientos.
{
2
2
2
1. Se hallan los valores de los siguientes determinantes.
|
a b
Δ = a1 b1
2
2
|
|
c b
Δx = c1 b1
2
2
Determinante general
Se forma con los coeficientes de las incógnitas.
|
|a c |
Δy = a1 c1
2 2
Determinante en x
Se reemplazan en Δ los coeficientes de x por los términos independientes.
Determinante en y
Se reemplazan en Δ los coeficientes de y por los términos independientes.
2. Se calculan los valores de las incógnitas.
Δ
Δy
x
x = __
∧ y = __
Δ
Δ
{
– 2y = 6
Resuelvan el sistema 4x
–2x + 6y = 2
4 –2 ⇒ Δ = 20
Δ = | –2
6|
Δ
x
40 ⇒ x = 2
x = __
= ___
Δ 20
–2 ⇒ Δ = 40
Δx = | 6
x
2 6|
Δ
y
20 ⇒ y = 1
y = __
= ___
Δ 20
4 6 ⇒ Δ = 20
Δy = | –2
y
2|
S = {(2;1)}
La clasificación de un sistema se establece de acuerdo con los valores de los determinantes.
176
Sistema compatible
determinado
Sistema compatible
indeterminado
Sistema incompatible
Δ≠0
Δ = 0 ∧ Δx = Δy = 0
Δ = 0 ∧ (Δx ≠ 0 ∨ Δy ≠ 0)
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En un sistema de ecuaciones, ¿el determinante general puede ser 0?
b. En un determinante, si un coeficiente es cero, ¿el determinante es cero?
a. Sí, pero el sistema no será determinado. b. No necesariamente.
49
ACTIVIDADES
Resolución de sistemas de ecuaciones II
9. Resuelvan los siguientes sistemas por la regla de Cramer y clasifíquenlos.
{ 3x – 8y = 2
a. –2x + 4y = 1
S=
{ ( –4;– __47 ) }
Sistema compatible determinado.
b.
{
2
__
5 x – 2 = –4y
10y + __21 x = 5
S=
{ ( 0;__21 ) }
Sistema compatible determinado.
{
7
__
x + 2y = 6
3
c. 6y
– 3 + 7x = 0
d.
{
1
__
2 x – 4y = 12
y = __31 . (1 + x)
S = {(–16;–5)}
Sistema compatible determinado.
{
3 . (3x – 1) = –2y
e. 3x + y = 2
S=
{ ( – __31 ;3 ) }
Sistema compatible determinado.
f.
{
6y + 1 = 9x
3x – __31 = 2y
S=∅
Infinitas soluciones.
Sistema incompatible.
Sistema compatible indeterminado.
177
50
49
51
52
53
54
55
56
57
58
59
Sistemas de ecuaciones mixtos
INFOACTIVA
Resolver analíticamente un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las incógnitas
que verifican simultáneamente las ecuaciones del sistema.
Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones significa encontrar los puntos de intersección de
ambas gráficas.
En los casos en que el sistema esté formado al menos por una ecuación de segundo grado, se puede
reconocer cuántas soluciones tiene el mismo analizando el discriminante de la ecuación cuadrática que
surge al resolver el sistema por el método de igualación o sustitución.
Δ>0
Dos puntos de
intersección.
Δ=0
Un punto de intersección.
y
Sistema formado
por una recta y una
parábola.
{
y = mx + d
y = ax2 + bx + c
y
x
La recta es secante a la
parábola.
Sistema formado
por dos parábolas.
Δ<0
Ningún punto de
intersección.
y
x
La recta es tangente a la
parábola.
y
y
x
La recta es exterior a la
parábola.
y
{
y = ax2 + bx + c
y = dx2 + ex + f
x
x
Resuelvan los siguientes sistemas.
{
178
{
4x + 2
a. yy == –2
x2 – 2x + 10
x2 + 6x + 3
b. yy == 9
3x2 + 3x – 12
4x + 2 = –2x2 – 2x + 10
2x2 + 6x – 8 = 0 ⇒ x1 = –4 ∧ x2 = 1
La recta es secante a la parábola en los puntos (–4; –14) y (1; 6).
6x2 + 3x + 15 = 0 ⇒ No tiene raíces
reales.
Las parábolas no se cortan.
x
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Un sistema de ecuaciones mixto, ¿puede resolverse mediante la regla de Cramer?
b. ¿Una parábola y una recta se pueden intersecar en más de dos puntos?
a. No. b. No.
50
ACTIVIDADES
Sistemas de ecuaciones mixtos
10. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la solución al siguiente sistema?
{
y = __13 x2 + x + 1
y = –x – 2
a. (–3;–2)
X b. (–3;1)
c. (3;–1)
d. (1;–3)
11. Completen con <, > o =, según corresponda.
a.
c.
e.
y
y
y
x
6 <
x
6 >
0
b.
x
6 =
0
d.
f.
y
y
y
x
6 =
0
x
6 <
0
x
6 >
0
0
12. Marquen las opciones correctas.
Si a < 0, b < 0 y c > 0, ¿cuál de los gráficos corresponde al sistema?
{
y = ax2 + c
y = bx
a.
b.
y
X c.
y
x
d.
y
x
y
x
x
179
50
ACTIVIDADES
Sistemas de ecuaciones mixtos
13. Resuelvan los sistemas en forma gráfica y analítica e indiquen el conjunto solución.
{
y = x2 – 2x – 3
a. y – 1 = x
d.
S = {(–1;0), (4;5)}
y
5
{
y = – __21 . (x – 3) . (x + 2)
3
__
4x + y = 5
S=∅
y
(4;5)
4
5
3
(–1;0)
–4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
6
x
1 1
–4 –3 –2 –1 0 —
2
2
3
4
5
6
3
4
5
x
–2
–4
{
{
y = __1 . (x – 3)2 + 1
y = (x + 1) . (x – 3)
b. y + x = – 1
e. –4y 2= (x + 1) . (x + 5)
S = {(–1;0),(2;–3)}
S=∅
y
y
6
11
—
2
5
1
–4 –3 –2 –1 0
(–1;0) –1
1
2
3
4
5
6
x
1
(2;–3)
–3
–4 –3 –2 –1 0
1
–1
–4
{
1
__
y = x . __1 x – 1
(
{
)
y = x2 + 5x + 6
f. y = –x2 + 2x + 8
c. S = {(2;0)}
S=
35
,(–2;0) }
{ ( __21 ;___
4 )
y
9
y
1 35
—
(—;—
2 4)
(2;0)
–4 –3 –2 –1 0
–1
6
5
–—
4
–2
c. 3y = 3 . (x 2– 2)
2
1
2
3
4
5
6
x
6
3
–—
2
–3
–6
–4 –3 –2 –1 0
0,25
180
1
2
3
4
5
6
x
x
50
ACTIVIDADES
Sistemas de ecuaciones mixtos
14. Resuelvan los siguientes problemas.
a. La altura de un rectángulo mide el doble que su base. Si se aumenta 2 cm la base y se disminuye 3 cm la altura, su área es de 165 cm2. ¿Cuáles son las nuevas dimensiones del rectángulo?
{(bh =+ 2b2) . (h – 3) = 165
Las nuevas dimensiones del rectángulo son 11 cm y 15 cm.
b. El producto de dos números es igual a 168. Si uno de ellos es 8 unidades mayor que la mitad
del otro, ¿cuáles son esos números?
{
x . y = 168
1y + 8
x = __
2
Los números son 12 y 14.
15. Lean atentamente y resuelvan.
Marcelo y Carlos tienen un puesto de panchos cada uno en distintos puntos de una ciudad. La ganancia de Marcelo en miles de pesos en un fin de semana está dada por la función M(x) = –x2 + 6x, y la
de Carlos por la función C(x) = 2x, siendo x la cantidad en cientos de panchos vendidos.
a. Grafiquen M(x) y C(x) en un mismo par de ejes cartesianos.
b. ¿Cuáles son las restricciones que deben realizar para que el sistema tenga sentido?
c. ¿Cuántos panchos tiene que vender cada
uno para que las ganancias de ambos sean
las mismas? ¿Cuáles son los montos?
400 panchos y $8 000 de ganancias.
Ganancias en miles de $
x≥0yx∈
y
9
(4;8)
M(x)
d. ¿Cuántos panchos tiene que vender Marcelo
para que sus ganancias sean mayores que las
de Carlos?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
x
Panchos (cientos)
Mayor que cero y menor o igual que 400 panchos.
mente ACTIVA
Encuentren los valores de x para los cuales en el sistema
a. y1(x) > y2(x)
b. y1(x) < y2(x)
{
y1 = – __21 x2 + 3x + __27
y2 = __23 x – __23
se cumple que:
a. (–2;5) b. (–∞;–2) ∪ (5;+∞)
181
INTEGRACIÓN
16. Resuelvan gráfica y analíticamente los siste-
20. Hallen el valor de a para que la solución del
mas y luego clasifíquenlos.
sistema sea (–1;–1).
a.
{
0,6 x – y = 1
1
__
5x – 3 = y
{
{
y + __3 x = 1
b. x = 4–3 . (y – 2)
a. S = {(–5;–4)} S.C.D. b. S =
1
x + ay = __
2
4x + y = –5
{ ( – ___125 ;___145 ) } S.C.D.
17. Resuelvan los sistemas por el método que
21. Resuelvan los siguientes problemas.
a. La diferencia entre un número y el doble del
anterior de otro es igual a cuatro. Además, la
diferencia entre el cuádruplo del segundo y el
triple del primero es seis. ¿Cuáles son esos
números? –10 y –6.
b. Gastón juntó $64,50 en monedas de $2 y de
$0,50. Si tiene cuatro monedas de $0,50
menos que el triple de monedas de $2, ¿cuántas monedas de cada valor tiene?
c. Encuentren la ecuación general de la recta
que pasa por los puntos – __21 ;– __25 y __32 ;– __61 .
d. Si al numerador de una fracción se le suma una
unidad y al denominador se le restan tres unidades, se obtiene una fracción equivalente a 2.
Además, se sabe que el numerador es 19 unidades menor que el triple del denominador.
¿Cuál es la fracción original?
e. La razón entre el siguiente de un número y
7
el anterior de otro es ___
10 . A su vez, la razón
entre el doble del primer número y el siguiente
del segundo es 1. ¿Cuáles son los números?
f. Calculen las amplitudes de los ángulos interiores
del trapecio isósceles abcd.
^ __3 ^
d = 5 a + 68°
d
c
crean más conveniente y luego clasifíquenlos.
a.
{
S=
2–1 . x – __1 = y – 2
S = ∅ S.I.
{
(
)
b. 2x + 8 =2 4y
{0,6x – y + 2 = 0
c. 3x – 10 = 5y – 20
d.
e.
f.
{ ( ___1615;– __51 ) } S.C.D.
–y + __43 x = 1
1
__
3 y = –x + 1
{
{
{
x + 2y
_______
= 3 + 4y
2
x – y = – __31 . (–2 + y)
y_____
–2
x + 2 = –3
Infinitas soluciones.
S.C.I.
S = {(0;–1)} S.C.D.
S=
(
34 ___
; 26 S.C.D.
{ ( – ___
45 15 ) }
x – 5 . (x – 0,3y) = __21 y + 1
1______
– 3y __
1.
2 + 2 (x – 2) = 12
6+y
5x
+4
______
– _____
2 = 4
3
S = {(1;–8)} S.C.D.
18. Hallen el valor de k para que el sistema
cumpla con las condiciones indicadas en cada
caso.
{
kx + 3y = 1
2x + 9y
a. Compatible determinado.
b. Compatible indeterminado.
c. Incompatible.
2 b. k = __
2 c. No existe k.
a. k ≠ __
3
3
19. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), teniendo
a
en cuenta el siguiente sistema.
{
V
b. Si b = –5, el sistema no tiene solución.
c. Si b = –5, el sistema tiene infinitas soluV
d. Si b ≠ 5, el sistema tiene una única solu-
182
F
)
b
22. Hallen el valor de c de modo que el sistema
a. Si b = 1, el sistema no tiene solución.
ción.
) (
3
b. 19 monedas de $2 y 53 de $0,50 c. y = 2x – __
2
^
^ ^
17
___
^
d. 12 e. 6 y 11 f. a = b = 70° y d = c = 110°
x+y=5
–x – b = y
ciones.
3
a = – __
2
cumpla con las condiciones indicadas.
F
{
3x2 + 2x + c = y
y = –4x – 1
c<2
a. Tenga dos soluciones.
b. Tenga una única solución. c = 2
c>2
c. No tenga solución.
capítulo
CONTENIDOS
47*48*49*50
23. Resuelvan analítica y gráficamente los sistemas y escriban el conjunto solución.
{
S = {(–2;5),(5;12)}
y + 3 = x . (x – 2)
a. x – y = –7
{
{
{
28. Hallen el valor de b y de c para que el sistema cumpla con las condiciones indicadas.
{
y = –x2 – 2x + c
y = –2x + b
a. Se intersecan en el punto (2;–5).
b. ¿Existe otro punto de intersección? ¿Cuál?
c. Grafiquen ambas funciones.
x = __1 y
S = {(0;0)}
y = (x – 3)2
y = __41 x2
S = {(6;9),(2;1)}
y = – __3 . (x2 – 2x – 2)
8 ;__
1
S = (0;3), __
33
{
y = –x2 – 8x – 12
S=∅
a. Encuentren la función cuadrática que tiene
__
__
por raíces a x1 = – 35 y x2 = 35 y pasa por el
punto (–3;4).
{
S = {(–2;8),(4;–4)}
b. Encuentren la ecuación de la recta que pasa
por los puntos – __31 ;–2 y (2;5).
b. y = 4–2x . (x – 2)
c.
7
a. b = –1 y c = 3 b. (–2;3)
29. Resuelvan.
d. y = –x2 + 3
e. y = x2 – 6x + 5
1 .
__
2 x (x – 6) = y
f. y + 2x = 4
{
( )}
24. Resuelvan teniendo en cuenta el siguiente
sistema.
{
3
y = __
2x + b
y = ax2 + 2x + 1
a. Encuentren el valor de a y de b, sabiendo
que el sistema se interseca en (–4;–3).
b. ¿Hay otro punto de intersección? ¿Cuál?
1 y b = 3 b. Sí, el (2;6).
a. a = __
4
25. Hallen el valor de b para que las parábolas
del siguiente sistema sean tangentes.
{yy == 2–x. (x+ –6xb)– 9
2
2
b=3
26. Encuentren la intersección de la parábola de
vértice (2;–8) y una de sus raíces es (–2;0) con
la recta que pasa por los puntos (4;–6) y (8;–5).
55
1 ___
Los puntos son __
2 ;– 3 y (4;–6).
(
)
27. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es el intervalo que corresponde para que el
sistema tenga dos soluciones?
{
1 2 __
1
y = __
4x – 2x + c
y = __21 . (3x – 4)
a.
c ∈ (–2;+∞)
c. X c ∈ (–∞;2)
b.
c ∈ (2;+∞)
d.
c ∈ (–∞;–2)
(
)
c. Hallen analítica y gráficamente los puntos de
intersección de ambas funciones.
a. y = x2 – 5 b. y = 3x – 1 c. S = {(–1;–4),(4;11)}
30. Resuelvan.
a. Desde un árbol se desprende una fruta con
una trayectoria que se describe mediante la
función y = – __35 x2 + 15 metros, donde x está
dada en segundos. En el mismo momento un
ave comienza a volar hacia la fruta, con una
trayectoria que se describe mediante la función
y = 4,16 x. ¿En qué instante y a qué altura se
encuentra el ave con la fruta? 2 segundos, 8,33 m
b. Encuentren dos pares de números tales que la
diferencia entre el primero y el segundo es –10, y
además, el segundo número es igual al producto entre el primero y la diferencia entre el
doble del primero y siete.
c. Martín lanzó una pelota con una trayectoria que
se describe mediante la función y = – __43 x . (x – 8).
Simultáneamente, su hermano lanza otra pelota
cuya trayectoria se describe por la fórmula
y = 0,75x + 4,5. Ambas trayectorias están
dadas en metros y x en segundos.
ˆ Grafiquen en un mismo par de ejes ambas
trayectorias.
ˆ ¿En qué instante y a qué altura se chocan las
pelotas?
{
x – y = –10
b. y = x . (2x – 7) Los pares de números son 5, 15 y –1, 9.
c. Se intersecan en el segundo 1, a 5,25 m y en el
segundo 6, a 9 m.
183
capítulo
7
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
31. En
{
4x + y = 3
, ¿cuál debe ser el valor de a para que el sistema sea incompatible?
1
__
2 y = ax + 1
a. X –2
b.
1
__
2
c.
2
d.
32. ¿Cuál es la ecuación que completa el sistema con
Ninguna de las anteriores.
x______
+ 3y
= __43 . (x – 2) para que tenga infinitas
2
soluciones?
– __21 x + 3y = 3
c.
1
__
2 x – 3 = –3y
b. X – __21 x + 3 . (y + 1) = 0
d.
Ninguna de las anteriores.
a.
33. ¿Cuál es la solución del siguiente sistema?
{
3x + 5
1.
______
= __
2 (y + x)
4
y–2
–x + 3 _____
2
______
– 3 = __
2
3
a. X (1;3)
b.
(3;1)
c.
(–1;–3)
d.
Ninguna de las anteriores.
34. Para el cumpleaños de 15 años de Paula, su papá alquiló remises y camionetas para trasladar a
los invitados a la fiesta. Los remises podían transportar hasta 4 personas cada uno y las camionetas
hasta 7 personas cada una. Fueron trasladadas 111 personas y alquiló 21 vehículos en total. Si todos
ellos fueron completos, ¿cuántos vehículos de cada tipo alquiló?
a.
9 remises y 12 camionetas.
c. X 12 remises y 9 camionetas.
b.
11 remises y 10 camionetas.
d.
Ninguna de las anteriores.
35. ¿Cuál es el conjunto solución del siguiente sistema?
{
y = 2 . (x – 4)
3y = x2 – 15
a.
184
(–2;3)
b.
(3;2)
c.
(–3;2)
d. X (3;–2)
Contenidos
8
51. Teorema de Thales.
52. Aplicaciones del teorema de
Thales.
53. Semejanza de triángulos.
54. Trigonometría.
55. Cálculo de razones
trigonométricas.
56. Resolución de triángulos
rectángulos.
57. Teoremas del seno y del coseno.
58. Resolución de triángulos
oblicuángulos.
Imaginemos que viajamos a Egipto y, deslumbrados por las célebres pirámides, queremos conocer su altura. El folleto turístico no tiene ese dato y el camello que nos trajo tampoco parece muy dispuesto a ayudarnos. ¿Cómo hacemos?
El problema se simplifica mucho si somos uno de los Siete Sabios de
Grecia; precisamente aquel que es hoy considerado el padre de la geometría.
Nos referimos a Thales de Mileto, quien logró su cometido valiéndose de una
vara clavada en forma perpendicular en el suelo. En efecto, la razón entre las
alturas de la vara y de la pirámide tiene que ser la misma que hay entre las
longitudes de sus respectivas sombras. Cuenta la leyenda que el sabio resolvió el problema de este modo literalmente asombroso, haciendo uso del
teorema que hoy lleva su nombre. Si bien no fue Thales el primero en descubrir estas relaciones fundamentales para la semejanza de triángulos, le cabe
el mérito enorme de haberlas sistematizado y explicado de manera racional.
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Cómo se usa el teorema de Thales en el procedimiento descripto en la historia?
b. Más allá de que no tenga pirámides... ¿se podrá usar este método para
medir alturas en un planeta como el de El Principito?
a. Al ser los rayos del sol paralelos entre sí, la altura a de la pirámide dividida por la longitud b de
su sombra debe ser igual al cociente entre una vara de longitud c ubicada perpendicular al suelo y
. c. b. No, no serviría medir la
la longitud d de su sombra. El valor de a se obtiene calculando b____
d
sombra proyectada sobre el suelo, porque al ser tan chico el planeta, su curvatura incide en
los cálculos. En un planeta grande como la Tierra, la curvatura es despreciable si los objetos
están relativamente cerca entre sí.
capítulo
Semejanza y trigonometría
51
50
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Teorema de Thales
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 12
Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, la razón entre las medidas de
los segmentos determinados en una de ellas es igual a la razón entre las medidas de los segmentos correspondientes determinados en la otra.
A
a
B
b
A // B // C
D y E transversales.
d
e
c
C
___
___
f
de
ab
___
__ = ___
__
bc
ef
E
Al ab le corresponde el de en la otra transversal.
Se dice entonces que son segmentos correspondientes.
___
D
___
Como consecuencia del teorema de Thales, toda recta paralela al lado de un triángulo que interseque a los otros dos lados o a sus prolongaciones determina sobre ellos, segmentos proporcionales.
R // S
c
c
n
m
R
c
m
b
n
R
a
S
n
S
m
b
__
R
a
a
__
___
ac
bc
___
___
__
= ___
mc
nc
b
___
__
ma
___
___
__ = nb
__
ac
bc
__
ac
bc
___
__
___
= ___
cn
cm
__
Calculen la longitud
__del ap.
__
__
R // S, ac = 5 cm, bc = 5,5 cm, qc = 4,4 cm
c
__ __
ac
bc
___
__ = ___
__
pc qc
5,5 cm
5__
cm ______
_____
pc = 4,4 cm
p
q
a
__
R
S
b
5 cm . 4,4 cm = pc . 5,5 cm
22 cm2 = __
_______
pc
5,5 cm
__
4 cm = pc
186
__
__
__
ap = ac – pc
__
ap = 5 cm – 4 cm
__
ap = 1 cm
S
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo se expresa simbólicamente “6 es a 9 como 12 es a 18”?
5,5 cm
6,6___cm ___
______
b. Si al aplicar el teorema de Thales se determina que ______
=
, ¿ab mide 12,1 cm?
3 cm
ab
6 = ___
12 b. No, mide 3,6 cm.
a. __
9 18
51
ACTIVIDADES
Teorema de Thales
1. Calculen el valor de las incógnitas y la longitud de cada segmento.
a. A // B // C
c. A // B // C // D
A
a
a
B
C
b
d
b
c
A
e
B
f
g
c
C
e
f
__
ac
___
= 12 cm
ab = 5 cm
___
d
___
___
__
de
= (x – 1) cm
__
ef = (x + 3) cm
ab
= 2,5 cm
___
bd
= 12 cm
__
ef = (5,5 – x) cm
fg
=
___
gh =
__
__
x = 11 cm; de = 10 cm; ef = 14 cm
___
___
h
D
( __23 x + 2 ) cm
(2x – 0,5) cm
___
__
x = 3 cm; ef = 2,5 cm; fg = 6,5 cm; gh = 5,5 cm
__
b. ad // be // cf
d. A // B
a
A
b
d
a
c
e
b
B
c
___
f
___
__
ab
= (6 + 3x ) cm
__
__
bc = 3x cm
___
e
d
__
__
__
__
__
ac
__
__
de
= 3x cm
__
df = 6 cm
= (x – 35 ) cm
bc = 2 cm
__
__
__
cd = 35 cm
__
ce = x cm
__
__
x = 18 cm; ab = (6 + 3 . 32 ) cm; bc = 3 . 32 cm;
x = (5 . 35 + 10) cm; ac = (4 . 35 + 10) cm;
___
__
__
__
__
de = 3 . 32 cm; ef = (6 – 3 . 32 ) cm
__
ce = (5 . 35 + 10) cm
187
52
51
53
54
55
56
57
58
59
60
61
Aplicaciones del teorema de Thales
INFOACTIVA
A partir del teorema de Thales, se puede dividir un segmento ab (de cualquier medida), por ejemplo,
en cuatro segmentos congruentes.
o
o
R
b
a
b
a
1. Se traza una semirrecta con origen en a.
2. Se marcan sobre la semirrecta cuatro segmentos congruentes (de cualquier medida).
3. Se traza la recta R determinada por o y b.
4. Se trazan rectas paralelas a R que pasen por
___›
los otros puntos que se marcaron sobre ao.
También se puede dividir un segmento en dos partes conociendo la razón entre esas partes.
Para dividir el segmento ab en dos partes cuya razón sea __31 , pueden seguir estos pasos.
___
ap
1
___
___ = __
3
pb
o
o
R
b
a
b
a
1. Se traza una semirrecta con origen en a.
2. Se marcan sobre la semirrecta cuatro segmentos congruentes (de cualquier medida).
p
3. Se traza la recta R determinada por o y b.
4. Se traza la recta paralela a R que pasa por el
___›
primer
punto marcado sobre ao y se determina p
___
en ab.
___
En la siguiente proporción de es cuarto proporcional.
Para construir el cuarto proporcional, conociendo las medidas de los otros tres segmentos, pueden
seguir estos pasos.
___
e
___
ad
ab
___
__ = ___
___
bc
de
d
a
b
a
c
1. Se trazan dos semirrectas con el origen en
común.
2. Se marcan sobre
una de las semirrectas dos
___ __
de los segmentos ( ab y bc ).
b
c
3. Sobre___la otra semirrecta se marca el tercer
segmento ( ad ) a partir del origen.
4. Se traza la recta determinada por d y b y luego,
la paralela que pasa por c.
___
En la siguiente proporción de es tercero proporcional.
___
___
__
e
___
ad
ab
___
__ = ___
___ , siendo bc = ad.
bc
de
188
d
a
b
c
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Se puede dividir cualquier segmento en segmentos congruentes?
b. Para construir el tercero proporcional, ¿se deben conocer tres segmentos de distintas medidas?
a. Sí. b. No, dos de ellos deben tener la misma medida.
52
ACTIVIDADES
Aplicaciones del teorema de Thales
2. Dividan los siguientes segmentos, según lo indicado.
a. En 3 segmentos congruentes.
a
c. En 4 segmentos congruentes.
b
e
b. En 5 segmentos congruentes.
c
f
d. En 7 segmentos congruentes.
d
g
h
3. Tracen un segmento de 11 cm y divídanlo en 3 partes, de modo tal que cada segmento sea el
doble del anterior.
a
b
189
52
ACTIVIDADES
Aplicaciones del teorema de Thales
4. Resuelvan.
a. Tracen un segmento de 8 cm y divídanlo en dos, de modo tal que su razón sea __52 .
5 cm
2 cm
a
b
b. Tracen un segmento de 9,5 cm y divídanlo en dos, de modo tal que su razón sea __43 .
a
b
c. Tracen un segmento de 6 cm y divídanlo en dos, de modo tal que su razón sea __25 .
a
b
d. Tracen un segmento de 9 cm y divídanlo en dos, de modo tal que la medida de uno de ellos
sea el 20% de la medida del otro.
a
190
b
52
ACTIVIDADES
Aplicaciones del teorema de Thales
5. Tracen
el segmento
cuarto proporcional
y luego calculen la longitud del mismo.
___
__
___
___
a. ab = 2,5 cm; bc = 4 cm; ad = 1,5 cm
___
___
c. mn = 2 cm; no = 3,5 cm; mp = 2,5 cm
q
4,375 cm
2,4 cm
p
2,5 cm
1,5 cm
a
2,5 cm
b
__
__
c
4 cm
__
m 2 cm
__
b. rs = 2,5 cm; st = 3,5 cm; ru = 3 cm
n
3,5 cm
__
__
d. xy = 5 cm; yz = 2 cm; xv = 2,5 cm
4,2 cm
u
v
u
3 cm
r
o
1 cm
2,5 cm
s
2,5 cm
3,5 cm
x
t
y
5 cm
2 cm
z
6. Dibujen
el segmento
tercero proporcional y luego calculen
la medida
del mismo.
___
__
___
__
a. ab = 1,5 cm; bc = 3 cm
c. de = 5 cm; ef = 2 cm
e
2,25 cm
d
2 cm
a
b
4 cm
___
3 cm
0,5 cm
1,5 cm
p
c
g
d
2 cm f
__
d. pq = 3 cm; qr = 2,5 cm
t
1,79 cm
s
q
4,5 cm
e
5 cm
___
___
b. mn = 4,5 cm; no = 1,5 cm
m
h
0,8 cm
3 cm
2,5 cm
n 1,5 cm o
p
3,5 cm
q
2,5 cm r
191
53
52
54
55
56
57
58
59
60
61
62
Semejanza de triángulos
INFOACTIVA
Dos triángulos son semejantes cuando los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos, congruentes.
o
c
a
En los triángulos semejantes, los lados correspondientes se oponen a ángulos
congruentes.
___
___
^
^
c = o , entonces
ab se corresponde con mn.
__
___
^
^ , bc se corresponde con no.
a =m
___
^ ^ __
b = n , ca se corresponde con om.
m
b
n
___
^
^; ^
a =m
b =^
n; ^
c =^
o
abc ~ mno
__
__
ab
ca
bc
___
___
___
___
= ___
= ___
no
om
mn
La constante que se obtiene al dividir las medidas de los lados correspondientes se denomina razón
de semejanza.
Criterios de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes
si tienen sus tres lados
respectivamente proporcionales
(LLL).
Dos triángulos son semejantes
si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes
(AA).
N
M // N
c
c
M
s
Dos triángulos son semejantes si
tienen dos lados respectivamente
proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos
congruente (LAL).
A // B
g
e
a
r
___
__
ac
___
__
e
b
a
__
c
f
b
ab
bc
___
___
__ =
__
as = rs
ar
__
ec
___
__
cb
__
cd
__
= ___
ca
A
β
α
a
^
^
a =^
e
c =^
g
abc ∼ efg
abc ∼ ars
d
A // B
b
B
^
^
α= β
abc ∼ cde
Se llama base media al segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo.
En todo triángulo, una base media es paralela al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud de dicho lado.
___
mn es base media del
abc.
___
___
mn // ab ∧ 2 . mn = ab
c
m
a
192
abc ∼ cmn
n
__
__
___
ab
bc
ac
___
___
___
___
__
___
mc = nc = mn
b
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Todos los triángulos rectángulos son semejantes?
b. Los triángulos congruentes ¿son semejantes?
a. No. b. Sí.
53
ACTIVIDADES
Semejanza de triángulos
7. Unan con una flecha los triángulos semejantes.
a.
e.
c
c
b
48°
87°
35°
a
b
a
b.
f.
c
8,6 cm
c
10,4 cm
7,5 cm
6 cm
a
b
9 cm
b
15,4 cm
a
c.
g.
c
c
35°
66°
58°
a
a
b
d.
b
h.
c
c
7,7 cm
5,2 cm
2 cm
a
a 4,3 cm b
2,5 cm
3 cm
b
8. Indiquen en cada caso si abc y def son semejantes. En caso de serlo, escriban
el criterio utilizado.
__
a. ^
a = 36° 50’
^
b = 78° 20’
^
d = 64° 50’
^
f = 36° 50’
Sí, por AA.
___
b.
ab = 7,5 cm
__
bc = 8 cm
^
b = 70°
No.
__
c.
ac = 3,5 cm
__
bc = 6 cm
^
c = 65°
df
= 7 cm
__
ef = 3 cm
^
f = 65°
No.
___
de
= 14 cm
__
ef = 16 cm
^
e = 70°
___
d.
ab = 4,5 cm
__
bc = 3 cm
__
ac = 9 cm
___
de
= 13,5 cm
__
ef
= 9 cm
__
df = 27 cm
Sí, por LLL.
193
53
ACTIVIDADES
Semejanza de triángulos
9. Indiquen en cada caso si los triángulos son semejantes. Luego, escriban los ángulos congruentes
y los lados correspondientes.
c
a.
abc y ced
___ __
ac // be
b
d. abc y dbc
b
d
a
a
d
e
Sí, por AA.
^
a y
Sí, por AA.
__
d^
be
___
bc y
c^
ba y
d^
eb
__
___
ac y
^
c y
ed
___
___
ab y
ac y
c
c
b
d
a
b
Sí, por AA.
___
___
ab y
__
bc y
^
c y
de
__
a^
ed
^
a y
ad
__
a^
de
^
af c y
__
ac y
ae
c. abc y def
d
6 cm
a
b
^
c y
194
^
d
^
f
__
__
__
ae
cf y
be
__
___
af y
ab
b
f
8 cm
c
e
e
d
Sí, por LLL.
^
b y
a^
be
a
15 cm
^
e
__
ac y
^
e
9 cm
10 cm
^
a y
^
d
f. abe y cde
___
›
^
bd es bisectriz de b
c
12 cm
e
f
Sí por AA.
^
a
^
c y
bc
db
d
^
b y
__
__
e. acf y abe
e
dc
__
ab y
a
__
bc y
b^
dc
___
b.
ade y abc
___
de base media
__
^
c
^
ab c y
be
db
^
a y
c
Sí por AA.
___
___
ab y
de
__
___
__
bc y
df
__
__
ac y
ef
^
a y
b^
ea y
^
ab e y
^
d
d^
ec
e^
cd
___
__
ab y
cd
___
be y
__
ae y
__
ec
___
ed
53
ACTIVIDADES
Semejanza de triángulos
10. Calculen
el valor de __
x e y,___sabiendo que los triángulos son semejantes.
___
__
a. bd // ae
d.
cd // be
f
c
c d
b
d
b
a
e
e
__
a
___
___
cd = (6x – 2,5) cm
ab = 5 cm
be = (x + 6,5) cm
cb = 9,25 cm
12
ac = ___
5 x + 2 cm
___
ab = (3,6x + 1) cm
bd = (3x – 1,25) cm
bc = (4,5y – 8,4) cm
__
__
__
__
ae = (2y – 3,8) cm
x = 3,5 cm; y = 4,4 cm
__
(
)
df = 12 cm
___
de = (5x – 3,5) cm
__
__
ef = 15 cm
x = 2,5 cm; y = 3,2 cm
__
__
___
b. vu base media
___
__
e. ac // df y cb // fe
c
r
v
f
t
u
s
__
__
a
__
rs = (4x – 3__. 35 ) cm
___
(
5
3___
vu = x + 2
rt =(3y – 3,4) cm
__
__
) cm
rv = (x . 35 – 6) cm
__
x = 2 . 35 cm; y = 3,8 cm
___
___
c. ab // de
d
e
b
___
__
ab = (7x – 3) cm
bc = (1,3 y + 2) cm
12
df = __57 x + ___
5 cm
__
5
ac = __3 x + 6 cm
fe = 10,8 cm
__
(
(
__
)
)
x = 3 cm; y = 12 cm
a
b
___
f. de base media
c
d
e
c
d
a
___
e
__
___
ab = (4x + 1,6 ) cm
bc = 2,7x cm
de = (2x + 6,3 ) cm
__
__
__
___
ac = (2x + 5,3 ) cm
cd = (3y + 2,4) cm
10 cm; y = __
2 cm
x = ___
5
3
ce = 4,8 cm
___
ab = (7x + 9,6 ) cm
b
___
11
ad = x + __
3 cm
__
ac = (y + 2,5) cm
(
)
de = 6 cm
x = 1 cm; y = 6,83 cm
195
INTEGRACIÓN
11. Calculen el valor de las incógnitas y la medida
15. Obtengan en cada caso el tercero proporcio-
de cada segmento.
__
___
__
__
a. ae // bf // cg // dh
nal, analítica
y gráficamente.
___
__
a. ab = 6 cm; bc = 4 cm
___
___
b. mn = 9 cm; no = 4,5 cm
___
__
c. pq
= 5,5 cm;
qr = 6 cm
___
__
d. fg = 7 cm; gh = 5 cm
x = 2,2 cm
y__= 9,5 cm
ac
___ = 9 cm
bd = 5 cm
___
eg
___ = 5,4 cm c
gh = 1,3 cm
a
b
d
___
f
a. 2,6 cm b. 2,25 cm c. 6,54 cm d. 3,57 cm
16. Obtengan en cada caso el cuarto proporcional,
g
h
__
ab
= 4 cm
___
cd = ( y – 4,5 ) cm
__
ac = 2,5x + __27 ) cm
(
___
e
ef = 2,4 cm
___
eg
= ( 3x – 1,2 ) cm
___
gh = (x – 0,8) cm
a. de
___ = 4,125 cm b. uz = 10,5 cm c. pq = 2, 54 cm
d. gh = 2,5 cm
___
b. bc // de
x = 4 cm
y__= 6 cm
ac
___ = 16 cm
ab = 10 cm
___
d
pq = 4,8 cm
___
ap = 8 cm
b
___
ad
= ( 3,5x – 4 ) cm
___
ab = 4x
__
ae = 12 cm
analítica
y gráficamente.
___
__
___
a. ab = 4 cm; bc = 3 cm; ad = 5,5 cm
__
__
__
b. rs = 3 cm; st = 7 cm; ru = 4,5 cm
___
___
___
c. mn
= 5,5 cm;
no = 3,5 ___
cm; mp = 4 cm
___
__
d.___de = 8 cm; ef__= 4 cm; dg =
___5 cm
17. Resuelvan.
a
p
e
q
c
__
ec = 7,2 cm
___
ap = ( 2y – x ) cm
___
pq = ( x + 0,8 ) cm
12. Tracen los segmentos indicados en la carpeta
y divídanlos según corresponda.
a. Un segmento de 5 cm dividido en seis segmentos congruentes.
b. Un segmento de 6 cm dividido en cuatro
segmentos congruentes.
Solución a cargo del alumno.
13. Tracen en sus carpetas un segmento de 7 cm
y divídanlo en tres partes, de modo que cada segmento consecutivo sea la mitad del anterior.
Solución a cargo del alumno.
14. Tracen los segmentos indicados en la carpeta
a. En un determinado momento del día, una
persona proyecta una sombra de 60 cm. En el
mismo instante, una casa que mide 7,20 m de
altura, proyecta una sombra de 2,70 m. ¿Cuál
es la altura de la persona?
b. Para colgar una piñata, se colocaron dos
alambres de pared a pared, como lo indica la
figura. La distancia entre c y d es 50 cm más
que la distancia entre a y b. ¿Cuál es la longitud del alambre entre los puntos a y e?
ab // cd
a
3m
e
4,5 m
4 . cd – 2,5 m
c
d
a. 1,60 m b. 3,83 m
18. Indiquen si las rectas A, B y C son paralelas,
teniendo en cuenta los datos, la figura de análisis___y el teorema de Thales.
___
ab
= 6,3 cm
de
= 7,2 cm
__
__
bc = 4,8 cm
ef = 9,45 cm
y ubiquen
el punto p, según corresponda. ___
___
___
a. ab
=
6,5
cm, donde ap es la mitad de ___
pb.
__
__
b. __
cd = 5,5 cm, donde cp es el triple de pd__.
___
c. ef = 7 cm, donde ep es las __53 partes de pf.
Solución a cargo del alumno.
b
A
B
C
c
No son paralelas.
196
a
b
d
e
f
capítulo
CONTENIDOS
8
51*52*53
19. Calculen la medida de los lados que faltan
para que los triángulos sean semejantes.
a.
r
23. Calculen los lados desconocidos, sabiendo
que la razón de semejanza entre los triángulos
abc y mnp es __34 .
n
10 cm
p
b
q
9 cm
15 cm
10 cm
11,25 cm
o
b.
s
a
__
m
c
___
p
___
bc = 8,44 cm; mn = 13,3 cm; mp = 9 cm
e
8,4 cm
b
7 cm
43°
4,5 cm
31°
d
f
___
106°
43°
10,8__cm
a
__
___
c
a. pq = oq = 6 cm b. df = 16,8 cm; bc = 5,4 cm
24. Calculen el valor de las incógnitas y la medida
de cada segmento sabiendo que los triángulos son
semejantes.
a.
c
20. Demuestren que los tres triángulos son
semejantes, sabiendo que la figura está formada
por tres triángulos y un rectángulo.
d
b
q
___
a
p
c
___
ab
= 35 cm
__
bc
=x
__
__
cd = 4 . 35 cm
b
d
e
a
__
r
Solución a cargo del alumno.
de = 4 cm
__
__
ae = 3 . 35 cm
b.
21. Demuestren que los triángulos edf y afc son
b
semejantes. Escriban las razones de los lados.
Expliquen
las respuestas.
___
b
ed base media
c
a
e
d
e
___
f
c
a
Solución a cargo del alumno.
Expliquen las respuestas.
d
2x – 5 cm
x – 2 cm
x + 4 cm
x cm
f
e
65°
x – 3 cm
65°
a
3x cm
c
Perímetro__de abc = 24 cm
__
d
__
___
ab
= ( 2y + 4 . 33 ) cm ed = 6 . 32 cm
___
__
__
__
ad = ( x + 32 ) cm
ec = __21 y + 33 cm
(
)
Solución a cargo del alumno.
22. Determinen si los triángulos son semejantes.
b
__
___
4
ac = ___
ab
8 = 4; ___
bc
12 = 4; ___
__ = __
___
__ = __
x = 4 cm; ___
=4
1
2
3
ef
df
de
Por lo tanto son semejantes.
25. Resuelvan.
a. Un mástil de 6,5 m de altura proyecta una
sombra de 5 m. Calculen la altura de otro mástil que en ese mismo momento proyecta una
sombra de 3 m.
b. Alan mide 1,65 m y su hermana mide 20 cm
menos que él. A cierta hora del día, ambos
están en el parque de espaldas al sol y Alan
proyecta una sombra de 90 cm. ¿Cuánto mide
la sombra que proyecta su hermana?
a. El mástil mide 3,9 m. b. La sombra mide 0,79 m.
197
54
53
55
56
57
58
59
60
61
62
Trigonometría
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 13
En un triángulo rectángulo, cada cateto recibe un nombre según el ángulo agudo que se considere.
a
a
α
cateto adyacente
α
a^
cateto opuesto
^
a β
c
b
β
b
cateto opuesto a ^
α
c
^
cateto adyacente a β
Si se consideran los triángulos rectángulos aor y abc, se pueden formar las siguientes razones
T
con las longitudes de los lados.
c
En abc
En aor
__
bc = 0,8
___
__
ac
__
ab = 0,6
___
__
ac
__
bc = 1,3
___
__
ab
r
cm
20
cm
R
a
16 cm
8 cm
10
__
or
__
__ = 0,8
ar
__
ao
___
__ = 0,6
ar
__
or = 1,3
___
__
ao
α
6 cm o
b
12 cm
Las razones que se formaron con las medidas de los lados dependen únicamente del ángulo ^
α.
Razones trigonométricas
Se llaman razones trigonométricas a las que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo con los ángulos agudos del mismo.
Las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera:
ˆ Seno de un ángulo.
Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
___
__
cateto opuesto
^ ab
bc
__ ∧ sen β = ___
__
α = ______________
⇒ sen ^
α = ___
sen ^
ac
ac
hipotenusa
ˆ Coseno de un ángulo.
Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
___
__
cateto adyacente
^ bc
ab
__ ∧ cos β = ___
__
cos ^
α = _______________
⇒ cos ^
α = ___
ac
ac
hipotenusa
ˆ Tangente de un ángulo.
Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
__
hipotenusa
___
cateto opuesto
^ ab
bc
___
__
tg ^
α = _______________
⇒ tg ^
α = ___
∧ tg β = ___
cateto adyacente
ab
bc
198
c
β cateto
a
α
cateto adyacente
opuesto
b
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El valor del seno de un ángulo, ¿puede valer más de 1?
sen ^
α
?
b. ¿Es cierto que tg ^
α = ______
cos ^
α
a. No, porque la hipotenusa siempre es mayor que los catetos.
54
cat. opuesto
___________
hipotenusa
cat. opuesto
sen ^
α
_____
_____________
b. Sí.
= cat. adyacente = _____________
= tg ^
α
cat. adyacente
_____________
cos ^
α
hipotenusa
ACTIVIDADES
Trigonometría
26. Completen teniendo en cuenta el triángulo abc.
a.
ˆ A es el cateto adyacente al ángulo
b
a
ˆ A es el cateto opuesto al ángulo
.
c
.
A
B
a
ˆ B es el cateto adyacente al ángulo
b
ˆ B es el cateto opuesto al ángulo
.
a
.
C
b
b. Escriban las razones trigonométricas.
A
ˆ sen ^
a =
C
^
ˆ cosec b =
C
ˆ sec ^
a =
^
ˆ cos b =
^
C
ˆ sec b =
C
B
A
B
ˆ tg ^
a =
^
B
ˆ sen b =
A
B
C
ˆ cos ^
a =
C
ˆ cosec ^
a =
ˆ cotg ^
a =
^
ˆ tg b =
B
A
A
C
C
B
A
^
ˆ cotg b =
B
A
A
B
27. Calculen las razones trigonométricas en los siguientes triángulos.
a.
c
^
ˆ sen β =
0,8
ˆ cos ^
α=
0,8
^
ˆ cos β =
0,6
ˆ cotg ^
α=
10 cm
ˆ sec ^
α=
β
a
0,6
ˆ tg ^
α=
α
ˆ sen ^
α=
b
6 cm
1,3
1,25
ˆ cosec ^
α=
^
ˆ tg β =
0,75
1,6
1,3
^
ˆ cotg β =
0,75
^
ˆ sec β =
1,6
^
ˆ cosec β =
1,25
b.
5 cm
c
b
α
8 cm
0,848
^
ˆ sen β =
0,53
ˆ cos ^
α=
0,53
^
ˆ cos β =
0,848
ˆ tg ^
α=
1,6
^
ˆ tg β =
ˆ cotg ^
α=
β
ˆ sec ^
α=
a
ˆ sen ^
α=
ˆ cosec ^
α=
0,625
1,8868
1,17925
^
ˆ cotg β =
^
ˆ sec β =
^
ˆ cosec β =
0,625
1,6
0,17925
1,8868
199
55
54
56
57
58
59
60
61
62
Cálculo de razones trigonométricas
INFOACTIVA
Cálculo de razones trigonométricas con calculadora
Si se conoce el ángulo y se quiere hallar el valor de la razón trigonométrica, se deben seguir estos
pasos.
sen 30° = 0,5 → sin
3
cos 52° 45’ ≅ 0,762 → cos
0
=
5
2
tg 110° 55’ 8’’ ≅ –1,415 → tan
1
°’’’
1
4
0
5
°’’’
°’’’
=
5
5
°’’’
8
°’’’
=
Si se conoce la razón trigonométrica y se quiere saber a qué ángulo corresponde, se deben seguir
estos pasos.
sen x = 0,41 ⇒ x ≅ 14° 28’ 39’’ →
SHIFTT
cos x = –0,514 ⇒ x ≅ 118° 33’ 18’’ →
tg x = 1,839 ⇒ x ≅ 55° 32’ 12’’ →
SHIFT
T
SHIFT
T
sin
cos
tan
0
.
(–)
1
4
0
.
1
=
.
5
8
4
3
°’’’
SHIFT
T
1
9
=
=
SHIFT
T
SHIFT
T
°’’’
°’’’
Cálculo de razones trigonométricas para ángulos particulares
ˆ sen 0° = 0
ˆ sen 30° =
ˆ sen 45° =
ˆ sen 60° =
ˆ sen 90° =
1
__
2__
2
3__
2
__
3
3__
2
1
ˆ cos 0° = 1
__
ˆ tg 0° = 0
__
3
ˆ cos 30° = 3__
2
__
2
ˆ cos 45° = 3__
2
1
ˆ cos 60° = __
2
3
ˆ tg 30° = 3__
3
ˆ tg 45° = 1
ˆ cos 90° = 0
ˆ tg 90° = No existe
__
ˆ tg 60° = 33
Relación entre la tangente trigonométrica y la pendiente de una recta
La inclinación de una recta es el ángulo que forma el eje x con dicha recta, y su pendiente es la
tangente trigonométrica de su inclinación.
La recta que pasa por los puntos (0;1) y (5;4)
está representada en el siguiente gráfico.
α.
Para averiguar la pendiente, se debe calcular la tg ^
3
^
^
^
__
Como α = a , se puede calcular tg a = = 0,6
5
α, se puede utilizar la calculadora.
Para calcular ^
α = 0,6 ⇒ ^
α ≅ 30° 57’ 50’’
tg ^
La inclinación de esta recta es 30° 57’ 50’’
y su pendiente es 0,6.
200
y
b
4
3
4–1=3
2
a
1
–2
5–0=5
α
–1
0
–1
1
2
3
4
5 x
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Las razones trigonométricas, ¿se pueden aplicar a cualquier triángulo?
b. ¿Es cierto que en cualquier triángulo rectángulo se cumple que la tg 45° = 1?
a. No, tienen que ser triángulos rectángulos. b. Sí, porque el sen 45° = cos 45° por ser triángulo isósceles.
ACTIVIDADES
Cálculo de razones trigonométricas
55
28. Calculen las siguientes razones trigonométricas.
^
α
sen ^
α
cos ^
α
tg ^
α
cosec ^
α
sec ^
α
cotg ^
α
65°
0,9063
0,42262
2,1445
1,10338
2,3662
0,46630
83° 40’ 36”
0,99392
0,11014
9,02419
1,00612
9,07943
0,11081
16° 2”
0,27565
0,96126
0,28676
3,62783
1,0403
3,48729
tg ^
α
^
α
29. Calculen el valor del ángulo α utilizando la calculadora.
a.
c.
sen ^
α
^
α
e.
cos ^
α
^
α
0,82904
56°
0,34202
70°
2,34678
66° 55’ 13”
0,96771
75° 24’
0,93287
21° 6’ 47”
5,67128
79° 59’
0,72901
46° 48’ 12”
0,52467
58° 21’ 14”
6,72345
81° 32’ 25”
cosec ^
α
^
α
sec ^
α
^
α
cotg ^
α
^
α
b.
d.
f.
1,49448
42°
4,69321
77° 41’ 51”
0,67451
56°
1,00474
84° 25’ 56”
1,17918
32°
0,26048
75° 24’
3,87562
14° 57’ 10”
2,39651
65° 20’ 15”
2,06553
25° 50’
30. Resuelvan teniendo en cuenta los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos particulares.
a. sen 30° – cos 60° + 2 . tg 45° =
2
2 . sen 45° + (1 – cos 45°)2
c. ________________________
=
sen 30°
3
b. sen 60° – sen 90° + tg 30° =
5 . __
__
3 –1
6 3
sen 60°
2.
__
d. 1 + tg2 30° – cos2 30° + 3 . _______
cos 60° + 5 tg 60° =
__
7 ___
17 .
___
3
+
5 3
12
31. Encuentren los ángulos de inclinación de cada recta.
a.
b.
y
5
4
3
2
1
–2 –1 0 1 2 3 4 5
–1
y
4
3
2
1
^
α = 26° 33’ 54”
x
–2 –1 0 1 2 3 4 5
–1
–2
x
^
α = 38° 39’ 35”
201
56
55
57
58
59
60
61
62
Resolución de triángulos rectángulos
INFOACTIVA
Resolver un triángulo rectángulo significa hallar las medidas de los tres lados y de los ángulos
agudos a partir de ciertos datos, usando las razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y la suma
de ángulos interiores de un triángulo.
Para resolver un triángulo rectángulo, como el ángulo recto ya está determinado, se debe conocer
al menos el valor de uno de sus ángulos agudos y un lado, o el valor de dos de sus lados.
ˆ Dados un ángulo agudo y uno de sus lados.
ángulo agudo y cateto
ángulo agudo e hipotenusa
^
Para calcular el ángulo b , debe aplicarse la propiedad de los ángulos agudos.
^
^
^
^
^
c + b = 90° ‰ b = 90° – ^
c ‰ b = 90° – 34° ‰ b = 56°
c
Para repasar el
cálculo de razones
trigonométricas
con calculadora
pueden volver a la
página 200.
__
34°
3,5 cm
Para calcular el lado ac, se debe recurrir a una razón trigonométrica que
relacione los dos datos con el lado.
__
__ __
__
__
ac
__ ‰ ac = bc . cos ^
cos ^
c = ___
c ‰ ac = 3,5 cm . cos 34° ‰ ac ≅ 3,5 cm . 0,83
bc
__
‰ ac ≅ 2,902 cm
b
a
__
Para calcular
lado__ab, se razona__de la misma manera. __
__ el__
__
ab
___
^
__
c ‰ ab = 3,5 cm . sen 34° ‰ ab ≅ 3,5 cm . 0,56 ⇒ ab ≅ 1,96 cm
sen c = ‰ ab = bc . sen ^
bc
ˆ Dados dos de sus lados.
dos catetos
cateto e hipotenusa
Para
el teorema de Pitágoras.
_______
__ calcular
__el lado
__df, debe
__ aplicarse
__
__
2
2
2
2
2
f
3
ef = de +__df ‰
df = ef – de
_________________
2
2
df
(30 cm) – (18 cm)
__ = 3_________________
30 cm
2
2
df
__ = 3900 cm – 324 cm
df = 24 cm
d
18 cm
e
^
Para calcular el ángulo f , se debe recurrir a una razón trigonométrica que relacione los dos datos con
el ángulo.
__
^ 18 cm
^
^
^ de
__ ‰ sen f = ______
‰ sen f = 0,6 ‰ f ≅ 36° 52’ 12’’
sen f = ___
30 cm
ef
Para calcular
el ángulo ^
e , debe razonarse de la misma manera.
__
18 cm ‰ cos ^
de
__ ‰ cos ^
cos ^
e = ___
e = ______
e = 0,6 ‰ ^
e ≅ 53° 7’ 48’’
ef
30 cm
^
Se puede verificar que: ^
e + f = 53° 7’ 48’’ + 36° 52’ 12’’ = 90°
202
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si solo se conoce un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, ¿se puede calcular la medida del
cateto opuesto a este ángulo?
b. Si se conocen los catetos de un triángulo rectángulo y un ángulo agudo, ¿qué razón trigonométrica se puede aplicar?
a. No, se debe conocer también la medida de otro lado. b. La tangente.
56
ACTIVIDADES
Resolución de triángulos rectángulos
32. Calculen y completen.
a.
d.
b
6 cm
x
48°
d
10 cm
40°
c
a
ac =
36°
c
___
^
a =
__
b
y
a
50°
ab = 5,03 cm
x = 6,69 cm
y = 4,37 cm
7,83 cm
b
b.
b
e.
y
__
2 . 33 cm
a
^
b =
__
bc = 6,93 cm
60°
__
x = 11,28 cm
c
6 cm
d
z = 7,45 cm
y = 17,56 cm
ac = 6 cm
c.
a
c
118°
50°
x
30°
__
z = bc
f.
a
8,15 cm
b
2 cm
b
12 cm
c
x 30°
c
^
a = 35° 41’ 7”
a
3 cm
d
55°
7 cm
f
y
z
a
___
ab = 9,75 cm
^
c = 54° 18’ 53”
x = 5,2 cm
z=
2,86 cm
y = 0,64 cm
33. Resuelvan.
a. Calculen la altura de un triángulo isósceles cuya base mide 12 cm y el ángulo opuesto a la
misma mide 50°.
12,87 cm.
b. Manuel observa una paloma situada en la punta de un poste con un ángulo de elevación de 35°
desde el suelo. Si Manuel está ubicado a 15 m del poste, ¿cuál es la altura del mismo?
La altura del poste es de 10,50 m.
203
57
56
58
59
60
61
62
Teoremas del seno y del coseno
INFOACTIVA
Teorema del seno
En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
c
___
__
__
ac
bc
ab
______
= ______
= ______
^
^
sen c
sen ^
a
sen b
b
a
__
__
Para calcular los lados ab y bc , se aplica el teorema del seno.
c
__
__
ab ⇒ ab ≅ 8,27 cm
42 cm = ______
________
sen 135º sen 8º
__
__
bc
42 cm = _______
________
⇒ bc ≅ 35,75 cm
sen 135º sen 37º
8°
42 cm
a
135°
37°
b
Teorema del coseno
El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del
producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman.
___
__
__
c
__ __
2
ab
= ___
bc2 + ac2 – 2 . bc
. ac . cos ^
c
__
___ __
__
^
2
2
2
bc = __
ab + ___
ac – 2 . ab
.
ac
.
cos
a
__ ___
__
^
2
2
2
ac = bc + ab – 2 . bc . ab . cos b
b
a
__
Para
ef, se
el teorema del coseno.
__ calcular
__
__el lado __
__aplica^
2
2
2
ef
=
df
+
de
–
2
.
df
.
de
.
cos
d
__
2
2
2
ef
__ ≅ 36 cm + 196 cm
__ – 2 . 6 cm . 14 cm . 0,695
ef2 ≅ 115,24 cm2 ⇒ ef ≅ 10,73 cm
f
6 cm
46°
d
14 cm
e
El
teorema
de Pitágoras
es un caso particular del teorema del coseno.
__
___
___ __
__
2
2
2
c
bc
=
ab
+
ac
–
2
.
ab
.
ac
. cos ^
a
__
___
___ __
__
2
2
2
bc
= ab
+ ac – 2 . ab . ac . cos 90°
__
___
__
bc2 = ab2 + ac2
a
204
b
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Los teoremas del seno y del coseno, ¿se pueden aplicar en un triángulo rectángulo?
b. Si se conoce un ángulo y dos lados cualquiera de un triángulo, ¿se puede aplicar el teorema del seno?
a. Sí. b. No siempre, uno de los lados tiene que ser el lado opuesto al ángulo.
57
ACTIVIDADES
Teoremas del seno y del coseno
34. Calculen y completen.
a.
d.
a
35°
130°
12 cm
c
b
a
15 cm
__
^
a = 27° 57’ 57”
^
c =
c
24,50 cm
ac =
15 cm
ac =
e.
c
22,05 cm
b
7,5 cm
110°
43°
27°
28°
a
a
__
10,90 cm
bc =
^
a =
___
___
ab = 15,11 cm
ab =
f.
c
5 cm
c
9,5 cm
b
109°
c.
__
^
a = 22° 28’ 53”
^
b = 122° 31’ 7”
22° 2’ 3”
b.
^
c =
10 cm
b
__
43°
bc =
6,89 cm
4,59 cm
a
6 cm
22°
135°
a
^
a =
27° 7’ 36”
^
c = 130° 32’ 30”
10 cm
b
b
^
b = 22° 19’ 54”
^
c =
23°
14 cm
__
ac =
c
26,43 cm
___
ab =
14,60 cm
205
58
57
59
60
61
62
Resolución de triángulos oblicuángulos
INFOACTIVA
Un triángulo es oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto, y resolverlo es
hallar el valor de sus tres ángulos y sus tres lados. Para ello hay que aplicar los teoremas del seno,
del coseno y la propiedad de la suma de los ángulos interiores, que es igual a 180°.
Siempre que sea posible, se deben utilizar los datos y no los resultados obtenidos.
Se pueden presentar distintos casos.
Dos lados y el ángulo comprendido
Un lado y dos ángulos
Los tres lados
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Para resolver un triángulo oblicuángulo dados dos lados y el ángulo comprendido, se pueden seguir
estos pasos.
i
1. Se aplica el teorema del coseno para calcular el lado gh.
__
85°
2
2
2
gh
__ = (28 cm) + (22 cm) – 2 . 28 cm . 22 cm . cos 85°
2
2
2
2
gh
__ ≅ 784 cm + 484 cm – 107,376 cm
gh ≅ 34,07 cm
28 cm
g
22 cm
h
2. Se aplica el teorema del seno para averiguar los ángulos ^
gy^
h.
37,08 cm
22 cm = _________
______
⇒ sen ^
g
sen 85°
sen ^
g
cm . sen 85° ⇒ ^
_____________
≅ 22
g ≅ 40° 2’
34,07 cm
^
37,08 cm
28 cm = _________
______
⇒ sen h
sen 85°
^
sen h
cm . sen 85° ⇒ ^
_____________
≅ 28
h ≅ 54° 52’
34,07 cm
Para verificar los resultados obtenidos, se puede utilizar la propiedad de la suma de los ángulos
interiores de un triángulo.
206
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para poder averiguar los ángulos interiores de un triángulo obtusángulo, ¿qué datos se
deben conocer?
b. Si se conocen los ángulos interiores de un triángulo obtusángulo, ¿se pueden averiguar
sus lados?
a. Los tres lados. b. No, porque el triángulo no es único.
58
ACTIVIDADES
Resolución de triángulos oblicuángulos
35. Calculen la longitud de las diagonales del paralelogramo.
___
___
mp = 19,78 cm; nq = 11,35 cm
n
p
35°
m
8 cm
14 cm
q
36. Calculen la longitud de los lados iguales del trapecio isósceles, de la base menor y la amplitud
del p^
s q.
p^
sq = 39° 49’ 17”
___
q
__
pq = rs = 10,60 cm;
r
15 c
m
__
qr = 7,04 cm
65°
16 cm
p
s
37. Calculen las medidas de x e y.
x = 6 cm
__
10 . 33 cm
120°
30°
y = 7,86 cm
y
x
__
6 . 33 cm
38. Calculen los ángulos interiores del romboide, sabiendo que el perímetro mide 22 cm. Luego, calculen la medida de los lados desconocidos.
^
b=^
d = 106° 36’ 6”
d
a
9 cm
^
c = 50° 25’ 3”
c
^
a = 96° 22’ 46”
__
__
bc = cd = 7 cm
4 cm
b
207
58
ACTIVIDADES
Resolución de triángulos oblicuángulos
39. Resuelvan.
Laura y Pablo fueron a conocer el obelisco. Laura se paró a la derecha y observa el extremo superior
con un ángulo de elevación desde el piso de 55°. Pablo lo observa desde la izquierda con un ángulo
de elevación desde el piso de 65°. La distancia entre Laura y Pablo es de 20,8 metros.
a. ¿Cuál es la altura del obelisco?
La altura del obelisco es de 17,82 m.
b. ¿A qué distancia del obelisco se encuentra Pablo? ¿Y Laura?
Pablo se encuentra a 8,32 m del obelisco y Laura a 12,48 m.
40. Lean atentamente y respondan.
a. Santiago está construyendo una casita de juegos para sus hijos. Para hacer el techo, corta una
madera de 2,50 m de largo en tres partes y forma un triángulo. Uno de los lados mide 0,70 m y el
otro, 1,20 m. ¿Cuál es la medida de los ángulos del triángulo?
Los ángulos miden 134° 37’ 6’’; 20° 50’ 56’’ y 24° 31’ 58’’.
b. Para colgar unos adornos, Julieta quiere colocar tres clavos en una pared como lo indica la figura. ¿Cuál es la medida del ^
c?
b
6 cm
a
10 cm
15 cm
c
^
c = 15° 33’ 49”
41. Respondan.
El campanario de la plaza tiene dos niveles desde los que se puede tener la vista panorámica. Desde
el primer nivel, se observa el pie del tobogán con un ángulo de depresión de 20° y desde el segundo
nivel, con un ángulo de depresión de 35°. La distancia que hay entre el pie del tobogán y el primer
nivel es de 26,90 m.
a. ¿Cuál es la distancia entre los dos niveles?
La distancia entre los dos niveles es de 8,5 m.
b. ¿A qué distancia del pie del campanario se encuentra el tobogán?
La distancia entre el campanario y el tobogán es de 25,28 m.
208
58
ACTIVIDADES
Resolución de triángulos oblicuángulos
42. Calculen la altura de la pared sabiendo que el hombre mide 1,70 m y está ubicado a 6 m de la pared.
La altura de la pared es de 7,70 m.
pared
65°
70°
43. Resuelvan.
a. Catalina observa la terraza de su edificio con un ángulo de elevación desde el piso de 55°. Si
luego de recorrer una distancia de 19,45 m, acercándose al edificio, la observa con un ángulo de
elevación desde el piso de 75°, ¿cuál es la distancia que hay desde los pies de Catalina a la terraza
de su edificio?
La distancia entre los pies de Catalina y la terraza del edificio es de 46,58 m.
b. Desde un globo aerostático que se encuentra a 6 km de altura se observan dos puestos de peajes cuyos ángulos de depresión son de 50° y 20°, respectivamente. ¿A qué distancia se encuentran
entre sí los puestos de peajes?
Se encuentran a 11,45 km.
44. Calculen el perímetro del triángulo inscripto en el hexágono regular cuyo lado mide 5 cm.
El perímetro mide 25,98 cm.
mente ACTIVA
n
Calculen la medida de los ángulos del triángulo mnt.
4 cm
^
^ = 67° 57’ 5”
n = 76° 50’ 53”; ^
t = 35° 12’ 2”; m
t
m
5 cm
9 cm
209
INTEGRACIÓN
45. Resuelvan.
a. Construyan tres triángulos rectángulos como
el que se muestra a continuación, de modo
que ^
α mida 20°, 40° y 60° en cada caso.
α
b. Midan en cada triángulo la longitud de los
lados y completen la tabla.
^
α
sen ^
α
cos ^
α
tg ^
α
20°
0,34202
0,93969
0,36397
40°
0,64278
0,76604
0,83910
60°
0,86603
0,5
1,73205
Expliquen las respuestas.
b. cos 76° = 0,24192
F
V
c. sen ^
α = 0,5 ⇒ ^
α = 30°
V
d. tg ^
α = 58 ⇒ ^
α = 1° 36’ 1”
6,5 cm
46°
50. Calculen el valor de ^
α usando la calculadora.
j. cotg ^
α = 0,36397
k. cotg ^
α = 0,97927
^
l. cotg α = 3,73205
m. sec ^
α = 1,78830
^
n. sec α = 9,56678
ñ. sec ^
α = 1,90755
o. cosec ^
α = 2,55930
p. cosec ^
α = 1,14335
^
q. cosec α = 1,67459
^
β
sen ^
β
cos ^
β
tg ^
β
85°
0,99619
0,08716
11,43001
68° 19’ 25”
0,92929
0,36936
2,51591
23° 5 cm
14° 43’4”
0,25406
0,96719
0,26268
55°
0,81915
0,57358
1,422815
c
71° 35’ 25”
0,94882
0,31581
3,00441
c
d.
a
c
b
b
35°
52. Resuelvan teniendo en cuenta los valores de
las funciones trigonométricas de los ángulos particulares.
16 cm
8 cm
28°
c
d
a
Solución a cargo del alumno.
a. cos 30° . cos 45° – tg 45° . sen 60° . cos 30° =
48. Calculen el valor de ^
αy^
β en cada caso.
a.
b.
g
α
f
β
10 cm
7,5 cm
β
x
15 cm
h
5,5 cm α
Solución a cargo del alumno.
210
Solución a cargo del alumno.
51. Completen la tabla.
dos usando las razones trigonométricas.
a
b
a
a.
c.
b.
j. cotg 46° =
k. cotg 82° 27’ =
l. cotg 63° 45” =
m. sec 23° =
n. sec 45° 30’ =
ñ. sec 78° 15” =
o. cosec 72° =
p. cosec 29° 36’ =
q. cosec 16° 3” =
Solución a cargo del alumno.
F
47. Calculen la longitud de los lados desconoci-
b
a. sen 46° =
b. sen 103° 25’ =
c. sen 37° 17’ 35” =
d. cos 73° =
e. cos 58° 10’ =
f. cos 29° 45’ 21” =
g. tg 68° =
h. tg 75° 23’ =
i. tg 46° 40’ 15” =
a. sen ^
α=1
b. sen ^
α=0
^
c. sen α = 0,82904
d. cos ^
α=1
^
e. cos α = 0,29237
f. cos ^
α = 0,29237
^
g. tg α = 0
h. tg ^
α = 2,14451
^
i. tg α = 0,70235
46. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
a. sen 35° = 0° 34’ 25”
49. Calculen usando la calculadora.
z
60° + cos 30°
________________
b. sen
cos 30° + tg 60° =
cos 0° . cos 30° + sen 90° . sen 60°
=
c. _______________________________
tg 30°
y
d. sen 30° . tg 60° – tg 45° . (sen 60° . cos 60°)–1 =
e. sen2 45° . cos2 45° + 5 . sen2 60° – 3 . sen 0° =
__
5 . __
3
6 – __
2 c. 3 d. – __
a. 3___
b. __
3 e. 4
3
4
4
6 3
capítulo
CONTENIDOS
8
54*55*56*57*58
53. Resuelvan.
56. Teniendo en cuenta la figura, calculen los
Encuentren el ángulo de inclinación de una recta
que pasa por los puntos (–2;–3) y (3;4).
lados y los ángulos que faltan.
a
^
α = 54° 27’ 44”
α
54. Calculen los lados y ángulos que faltan.
a.
c.
__
2 . 33 cm
6 . 32 cm
b.
a
c
a
c
18 cm
d.
35°
7,5 cm
b
b
a
^
a.
34cm; β__= 75° 30’; ^
γ = 56° 25’
b. ___
ab = 10 cm;__bc = 7 cm; ^
a = 56° 25’
__
c. ab = 9 cm; bc__= 11,4 cm; ac = 15 cm
__
d. ac = 25 cm; bc__= 14 cm; ^
γ = 62° 35’
__
e. ___
ac = 15,5 cm; bc
= 18,5 cm; ^
a = 77° 30’
__
__
__
^
f. ab = 5 . 32 cm; bc = 9 . 32 cm; β = 110°
Solución a cargo del alumno.
57. abcd es un trapecio rectángulo. Calculen.
58°
c
b
__
ac
=
___
b
b
__
γ
c
__
a 3 . 33 cm
β
c
8 cm
b 6,5 cm
Solución a cargo del alumno.
c
70°
55. Resuelvan.
a. Calculen el área de un triángulo equilátero
__
sabiendo que cada lado mide 6 . 32 .
__
b. La base de un rectángulo mide 3 . 35 cm y
el área es de 30 cm2. Calculen el ángulo que
forma la diagonal con la base.
c. Uno de__los catetos de un triángulo rectángulo mide 33 cm__ y la razón entre este y el otro
cateto es 2 . 33 – 3. Calculen la medida del
otro cateto y los ángulos del triángulo.
d. En un rectángulo, la base duplica a la altura
y la diagonal mide 15 cm. Calculen el valor del
ángulo que forma la diagonal con la base.
e. Marcelo remonta un barrilete con un hilo de
12 m de longitud y al atarlo al piso queda a 8
metros de altura. ¿Qué ángulo forma el hilo con
el suelo?
f. Micaela está a la derecha del pie de una
montaña de 3 000 m de altura y observa la
cima bajo un ángulo de elevación de 50° desde
el suelo. Javier está a la izquierda del pie de la
montaña bajo un ángulo de elevación de 60°
también desde el suelo. ¿A qué distancia se
encuentra Micaela de Javier?
__
__
a. 18 . 33 b. 33° 41’ 25” c. (2 + 33 ) cm. Los ángulos
miden 65° 6’ 14” y 24° 53’ 46” d. 26° 33’ 54”
e. 41° 48’ 37” f. Se encuentra a 4 249,35 km.
a
d
a. La medida de la diagonal.
b. El perímetro del trapecio.
c. El área del trapecio.
d. La medida de los ángulos
14,4 cm
33,54 cm
49,27 cm2
interiores.
90°, 90°, 35° 1’ 1’’ y 144° 58’ 59’’
58. Resuelvan.
a. Camila está parada a una cierta distancia del
mástil de la bandera del colegio y observa el
extremo del mismo con un ángulo de elevación
de 75°. La altura del mástil es de 15 m. Si se
aleja el doble de distancia, ¿con qué ángulo de
elevación lo observa?
b. Un velero sale del punto a recorriendo 150 km
en dirección NE 55° 20’ y llega al punto b.
Al regresar toma dirección SO 30° hasta llegar al
punto c. Calculen la distancia de a hasta c.
c. Julieta quiere colocar tres clavos en una pared
para colgar unos adornos como lo indica la figura. ¿Cuál es la medida del ángulo c?
1,5 m
a
0,6 m
c
1m
b
a. El ángulo es de 61° 48’ 48”
b. 75,25 km. c. ^
c = 15° 33’ 49”
211
capítulo
8
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones
correctas
___
__
__
59. Sabiendo que ab // gc // fd, ¿cuál es el valor de x?
a
1 x cm
__
2
b
g
a. 0,97 cm
c
X c. 3,5 cm
5x – 3 cm
x – cm
f
b. 14,5 cm
d
4,5 cm
d. Ninguna de las anteriores.
5,8 cm
e
___
__
___
60. Teniendo en cuenta los segmentos ab = 5 cm; bc = 6 cm y ad = 3 cm, ¿cuál es el valor del
segmento cuarto proporcional?
a. 2,5 cm
b. 10 cm
X c. 3,6 cm
d. Ninguna de las anteriores.
__
61. Se sabe que los abe y bcd son semejantes. ¿Cuál es la longitud del lado ae?
6 cm
b
c
10 cm
4 cm
c. 2,4 cm
b. 6, cm
d
a
X a. 15 cm
d. Ninguna de las anteriores.
e
62. ¿Cuál es el resultado del siguiente cálculo?
3
4 . sen 60° . tg 30° + _______________
cos 30° . sen 45° =
__
a. __37 . 36
__
__
b. 2 + 6 . 32
X c. 2 + 2 . 36
d. Ninguna de las anteriores.
63. ¿Cuánto mide cada una de las diagonales del siguiente trapecio isósceles?
b
6 cm c
a. 11,489 cm
120°
a
__
4 . 33 cm
b. 16,613 cm
X c. 12,165 cm
d. Ninguna de las anteriores.
d
64. Sobre la terraza de un edificio se colocó un tanque de agua. Gastón está situado a 40 m del edificio y observa la base del tanque con un ángulo de elevación de 46° desde el piso, y el techo del
mismo con un ángulo de elevación de 50°. ¿Cuál es la altura del tanque?
a. 7,9 m
El tanque mide 6,25 m.
212
b. 49,11 m
c. 63,34 m
X d. Ninguna de las anteriores.
Contenidos
9
59. Combinatoria.
60. Binomio de Newton.
Triángulo de Pascal.
61. Probabilidad.
62. Probabilidad condicional.
En 1654, un personaje irrumpió en la casa del matemático francés Blas
Pascal con un problema: ¿cómo deben repartirse las apuestas de un juego que
se interrumpe por algún motivo? Se trataba de Antoine Gombaud, caballero
de Méré, conocido en el ambiente parisino por su afición al juego. La pregunta era bien concreta: dos jugadores juegan partidas consecutivas en las que
tienen iguales chances de ganar; el ganador final del juego es el primero en
ganar cuatro partidas. Si el juego se interrumpe cuando van 2 a 1, ¿cómo se
reparte el premio?
Pascal discutió el problema en una serie de cartas con otro gran matemático llamado Pierre de Fermat; cada cual por su lado, mediante desarrollos bastante extensos, llegó a la misma solución. El caballero no quedó satisfecho con
la respuesta y escribió un artículo sobre la “inutilidad de todas las ciencias”;
sin embargo, eso no impidió que la anécdota se convirtiera, según los historiadores, en el origen de una importante disciplina: la teoría de probabilidades.
1. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Por qué se habrá enojado Gombaud al recibir la respuesta?
b. Si tienen $80 de apuestas para repartirse, ¿cuánto le darían a cada uno?
a. Respuesta abierta. Por ejemplo, se puede pensar que él era uno de los jugadores involucrados
y, por lo tanto, le afectaba la respuesta. b. Las respuestas pueden ser variadas y más de una será
válida según el criterio utilizado.Detallando los diferentes resultados posibles, si se continuara el
juego, se ve que las apuestas deben repartirse en proporciones 11 a 5, es decir: 55 para el que va
ganando y 25 para el otro.
capítulo
Combinatoria y probabilidad
59
58
60
61
62
Combinatoria
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 14
Una permutación sin repetición es cada una de las formas posibles de ordenar n elementos distintos.
Pn = n!
¿De cuántas maneras se pueden ordenar 6 libros en un estante?
P6 = 6! = 720 → Se pueden ordenar de 720 maneras distintas.
Cantidad de veces que se
repite cada elemento
α,β,δ, ... γ
Permutación con elementos repetidos:
Pn
n!
= __________
α! β! δ! ... γ!
¿Cuántos números distintos de 6 cifras se pueden formar con las cifras 2, 2, 4, 5, 5, 5?
6! = 3!
4 . 5 . 6 = 60 → Se pueden formar 60 números distintos.
_________
P 6 = _____
2! . 3!
2 . 3!
2,3
Variaciones
Variaciones sin repetición de elementos son las distintas formas que existen para agrupar m elementos distintos en grupos distintos de n elementos.
m
m!
V n = _______
(m – n)!
Los grupos son distintos cuando tienen los mismos elementos, pero en distinto orden o por lo menos
un elemento distinto. Por lo tanto, en la variación importa el orden que tengan los elementos en el grupo.
¿Cuántos números distintos de 3 cifras distintas se pueden formar con los números 3, 4, 5, 6 y 7?
5! = __
5! = 5
. 4 . 3 . 2! = 60 → Se pueden formar 60 números distintos.
________
V 3 = _______
2!
(5 – 3)! 2!
5
m
Variaciones con elementos repetidos: V’ n = mn
¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 5 y 7?
V’ 3 = 53 = 125 → Se pueden formar 125 números distintos.
5
Combinaciones
Combinaciones sin repetición son las distintas formas que existen para agrupar m elementos diferentes
en grupos distintos de n elementos, de manera tal que los grupos difieran en por lo menos un elemento.
m
m!
_________
Cn = ( m
n ) = n! (m – n)!
De un grupo de 9 personas, ¿cuántos equipos distintos de básquet se pueden armar?
9! = 5!
6 . 7. 8 . 9 = 126 → Se pueden armar 126 equipos distintos de básquet.
___________
C 5 = ( 95 ) = ____
5! 4!
5! 4 . 3 . 2
9
m
Combinaciones con repetición: C’ n = ( m + nn – 1 )
Al arrojar tres dados simultáneamente, ¿cuántos son los resultados posibles?
6 . 7. 8 = 56 → Existen 56 posibles resultados.
8! = 5!
________
C’ 3 = ( 6 + 33 + 1 ) = ( 83 ) = ____
3! 5!
2 . 3 . 5!
6
Propiedades de los números combinatorios
ˆ ( n0 ) = 1
214
ˆ ( n1 ) = n
ˆ ( nn ) = 1
ˆ ( nk ) = ( n n– k )
ˆ ( k n– 1 ) + ( nk ) = n k+ 1
(
)
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
m
m
a. ¿En qué se diferencian una V n y una C n ?
6
b. ¿Existen C 3 posibles para formar números de tres cifras distintas con el número 123 456?
m
6
a. En una V n importa el orden que tiene cada grupo, mientras que en una combinación, no. b. No, son V 3.
59
ACTIVIDADES
Combinatoria
1. Calculen operando con factoriales.
a. 4! 3! = 144
8!
c. __
5! =
b. 7. 6! = 5 040
104!
10 712
d. ____
102! =
2. Hallen el valor de x.
5! 121!
10!
_____
a. x + ______
3! 120! = 7! 3!
x = –2 300
336
9!
1!
. _____
b. _______
0! 4! 5! x = 10! 3! 2!
x = 2 400
3. Simplifiquen a la mínima expresión.
5! n!
a. _______________
= 20n
(n – 1)! . (7 – 4)!
(2 + n)! . _____
5! 8! . _____
1 = (160n + 320) . n!
b. _______
7!
3! n + 1
4. Lean atentamente y resuelvan utilizando permutaciones.
a. ¿De cuántas formas distintas pueden quedar clasificados 11 equipos de una liga de fútbol?
11! = 39 916 800
b. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 6 personas en una hilera? ¿Y en una mesa circular?
6! = 720 formas en una hilera y en una mesa circular (6 – 1)! = 5! = 120 formas en una mesa circular.
(En un círculo no hay primer elemento).
c. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas pueden formarse con los dígitos 2, 4, 5 y 6?
4! = 24 números.
ˆ ¿Cuántos de ellos son impares? ¿Y menores que 5 000?
3! = 9 números. 2 . 3! = 2 . 6 = 12 números.
d. ¿Cuántos anagramas pueden formarse con la palabras VOSOTROS? ¿Y con la palabra GEOMETRIA?
3 360 anagramas y con la palabra GEOMETRÍA, 181 440 anagramas.
e. ¿Cuántos números pueden formarse permutando las cifras de los siguientes números?
ˆ 2 214 445
ˆ 992 011
420 números
150 números, tener en cuenta que el cero a la
izquierda carece de validez.
215
59
ACTIVIDADES
Combinatoria
5. Resuelvan utilizando variaciones.
a. Con las letras del nombre LUCAS, ¿cuántos anagramas se pueden formar tomándolas de a 3?
60 anagramas.
b. En una carrera con 14 participantes, ¿de cuántas maneras se pueden distribuir los tres primeros puestos?
De 2 184 maneras distintas.
c. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7?
840 números distintos.
6. Calculen el valor de n.
n
n
a. V 2 = 5n
b. V 2 = 2
n=6
n=2
7. Resuelvan los siguientes problemas.
a. Se van a sortear 3 premios de $10 000, $5 000 y $2 500 entre 20 personas de una empresa,
mediante un sorteo con bolillas numeradas del 1 al 20. El primer premio será para la primera
extracción y así sucesivamente.
ˆ Si las bolillas que van saliendo no se devuelven al bolillero, ¿cuántas distribuciones de premios
distintas son posibles?
6 840
ˆ ¿Y si se devuelven al bolillero?
203 = 8 000
b. En un certamen de belleza se presentan 17 mujeres adolescentes. Si se van a otorgar distinciones a la reina, a la primera princesa, a la segunda princesa y a la reina de la simpatía, ¿de cuántas
maneras pueden distribuirse las premiadas?
17
V 4 = 57 120 maneras.
8. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse con los números 1, 2, 4, 7, 8 y 9?
120 números.
b. Con los números impares del 1 al 9, ¿cuántos múltiplos de 5 de 4 cifras distintas se pueden formar?
120
c. ¿Cuántos anagramas de 6 letras se pueden formar con las letras de la palabra MURCIELAGO?
= 151 200
V 10
6
d. Con los números 7, 5, 3, 2 y 1, ¿cuántos números de cifras distintas menores que 8 000 se pueden formar?
205 números.
216
59
ACTIVIDADES
Combinatoria
9. Resuelvan estos problemas con combinaciones.
a. Quieren pintar 9 bancos de una plaza, 4 de verde y 5 de marrón. ¿De cuántas formas se puede
combinar esta tarea?
( 94 ) = 126. El orden no importa, basta elegir 4 bancos para pintarlos de verde y el resto de marrón.
b. Se han seleccionado 14 ciclistas para elegir entre ellos a los 8 integrantes del equipo nacional
que participará en el campeonato mundial. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse?
( 148 ) = 3 003
c. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales se deben formar ternas para que en cada
guardia haya 3 médicos. ¿Cuántas ternas se podrán formar?
( 213 ) = 1 330
d. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 8 regalos distintos entre Jimena, Pablo y Fernando, de
modo que a Jimena le correspondan 3, a Pablo 3 y a Fernando 2?
( 83 ) ( 53 ) ( 22 ) = 560
e. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen.
¿De cuántas maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
ˆ( 63 ) = 20
ˆ ( 10
7 ) = 120
10. Calculen.
( 125 ) = 792
12
a. C 5 =
9
6
b. C 4 + C 2 =
8
c. C 3 . P3 =
5
( 94 ) + ( 62 ) = 141
C
d. ___27 =
V5
( 83 ) . 3! = 336
1
____
252
11. Marquen las opciones correctas.
x
a. ¿Cuál es la solución de la ecuación 2 + V 2 = 8?
x=2
X x = 3
Ninguna de las opciones anteriores.
11
12
b. ¿Cuál es la solución de la ecuación 11
3 + (x ) = 3 ?
( )
X x = 2
x=3
( )
Ninguna de las opciones anteriores.
c. ¿Cuántos números distintos se pueden formar con los dígitos 5, 2, 2, 4, 8, 5 y 1?
5 040 números
X 1 260 números
Ninguna de las opciones anteriores.
mente ACTIVA
Hay que colocar 7 caballos y 7 vacas en 14 corrales, de forma que los caballos ocupen los
corrales impares. ¿De cuántas formas se puede hacer?
Para situar a los caballos tenemos 7! opciones y otras 7! para las vacas, por lo tanto 7! 7! = 25 401 600
217
60
59
61
62
Binomio de Newton. Triángulo de Pascal
INFOACTIVA
El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para obtener el desarrollo de un binomio elevado a un exponente natural cualquiera.
(a + b)n, n ∈
Las expresiones a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas.
Si a = 3x y b = 4, el binomio queda expresado como (3x + 4)n.
Si se desarrollan algunas potencias de a + b, se obtiene
lo siguiente.
Coeficientes de los polinomios
resultantes
ˆ (a + b)0 = 1
1
ˆ (a + b)1 = 1a + 1b
1
ˆ (a + b)2 = (a + b) . (a + b) = 1a2 + 2ab + 1b2
1
ˆ (a + b)3 = (a + b)2 . (a + b) = 1a3 + 3a2 b + 3ab2 + 1b3
ˆ (a + b)4 = (a + b)3 . (a + b) = 1a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + 1b4
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Triángulo de Pascal
Si a = 2x y b = 5, el desarrollo de (a + b) es:
(2x + 5)4 = (2x)4 + 4(2x)3 5 + 6(2x)2 52 + 4(2x) 53 + 54
= 16x4 + 160x3 + 600x2 + 1000x + 625
4
Para hallar (a + b)5 a partir de la secuencia del triángulo de Pascal, se debe tener en cuenta que:
ˆ la siguiente fila del triángulo es 1, 5, 10, 10, 5, 1;
ˆ los factores siguen la siguiente secuencia a5b0 a4b1 a3b2 a2b3 a1b4 a0b5.
Es decir que (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Se llama fórmula de Newton al desarrollo de un binomio cuyo exponente es un número natural
cualquiera, teniendo en cuenta lo visto anteriormente y la noción de número combinatorio.
(a + b)n =
( n0 ) an + ( n1 ) an–1 b + ( n2 ) an–2 b2 + … + ( n n– 2 ) a2 bn–2 + ( n n– 1 ) abn–1 + ( nn ) bn
En la fórmula anterior, el número de abajo del número combinatorio de cada término y el número
al que está elevado b, es una unidad inferior a la posición que ocupa ese término.
Dado el binomio (a + b)24, ¿cuál es el término que ocupa la posición 17 en el desarrollo?
8 16
Se plantea la expresión ( 24
16 ) a b
El término que ocupa el lugar k (Tk) del desarrollo de (a + b)n puede obtenerse mediante la fórmula
Tk =
218
( k n– 1 ) an–(k–1) bk–1
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. 6a4 . b2 ¿es un término del desarrollo del binomio (a + b)6?
b. 84x6 ¿es el sexto término del binomio (–1 + x2)9?
a. No, 62 a6 – 2 . b2 = 15a4 . b2. b. No, 84x6 no es el 6.° término; ocupa el 4.° lugar, pues se calcula 4 9– 1 . (–1)6 . (x2)3
(
( )
60
)
ACTIVIDADES
Binomio de Newton. Triángulo de Pascal
12. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas.
a. ( n0 ) = 1
b. 00 = 0
( )
V
F
c. ( nn ) = 0
F
d. ( n2 ) = ( n n– 2 )
V
13. Desarrollen mediante el binomio de Newton.
c. (x + 2y)5 =
a. (x + 3)4 =
x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81
x5 + 10x4 . y + 40x3 . y2 + 80xy4 + 32y5
b. (x – 2)5 =
5
4
d. (x2 – 0,5)6 =
3
15
5
15
3
1
x12 – 3x10 + ___ x8 – __ x6 + ___ x4 – ___ x2 + ___
2
4
16
16
64
2
x – 10x + 40x – 80x + 8x – 32
14. Calculen.
a. El noveno término de (v2 – w)13.
1 287 v10 w8
b. El término de grado 6 en y del desarrollo del binomio (2 + y2)9.
5 376 y6
15. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el sexto término del binomio (x3 – 2)10?
X –8 064 x15
30 240 x15
Ninguna de las opciones anteriores.
b. ¿Cuál es el término de orden 4 en z del desarrollo del binomio (3 + z4)6?
X 1 458 z4
–1 458 z4
Ninguna de las opciones anteriores.
16. Desarrollen utilizando el triángulo de Tartaglia.
a. (a + b)5 =
a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5
10
8 3
6 6
4 9
2 12
15
b. (x2 – 3y3)5 = x – 15x y + 90x y – 270x y + 405x y – 243y
17. Resuelvan.
a. Escriban la décima fila del triángulo de Tartaglia e indiquen a qué potencia del desarrollo del
binomio corresponde.
1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 y corresponde a la novena potencia del desarrollo del binomio de Newton.
b. Desarrollen (a – 1)9.
a9 – 9a8 + 36a7 – 84a6 + 126a5 – 126a4 + 84a3 – 36a2 + 9a – 1
219
61
60
62
Probabilidad
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 15
Un experimento o suceso S es aleatorio cuando es producto del azar, por ejemplo, arrojar un dado,
sacar una carta de un mazo o una bolilla de un bolillero, etc. El espacio muestral E es el conjunto de
todos los resultados posibles de un suceso aleatorio; por ejemplo, al arrojar un dado, el espacio muestral es: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
de casos favorables
#S
_________________________
La probabilidad de que un suceso ocurra es P(S) = Número
= ___
∧ 0 ≤ P(S) ≤ 1.
#E
Número total de casos
En una bolsa hay 10 fichas iguales con los siguientes colores: 1 verde, 3 azules, 4 blancas y 2 rojas.
La probabilidad de sacar una ficha de un color determinado es:
3;
4;
1;
2.
ˆ P(verde) = ___
ˆ P(azul) = ___
ˆ P(blanco) = ___
ˆ P(rojo) = __
10
10
10
5
Se consideran ahora dos sucesos A y B en un espacio muestral E.
En una bolsa hay 10 bolillas iguales numeradas del 1 al 10. → E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} ∧ #E = 10
Suceso A: sacar una bolilla con un número par. → A = {2; 4; 6; 8; 10} ∧ #A = 5
Suceso B: sacar una bolilla con un número mayor que 6. → B = {7; 8; 9; 10} ∧ #B = 4
¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolilla par y mayor que 6?
#(A ∩ B)
2
P(A y B) = ___
10
#E
¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolilla par o mayor que 6?
#(A ∪ B)
7
P(A o B) = ___
10
#E
#(A ∩ B)
La probabilidad de que A y B ocurran se llama probabilidad compuesta: P(A y B) = ________
#E
#(A ∪ B)
La probabilidad de que A o B ocurra se llama probabilidad total: P(A o B) = ________
#E
En algunos casos, los sucesos sobre un mismo espacio muestral pueden relacionarse entre sí.
En una bolsa hay 3 bolillas negras y 3 blancas.
3 = __
3 = __
1 ∧ P(blanca) = __
1 , es igualmente probable sacar una
En una primera extracción: P(negra) = __
6 2
6 2
bolilla blanca o negra.
Si se saca una bolilla y no se reintegra a la bolsa, la probabilidad de sacar blanca o negra en la
segunda extracción cambia, ya que cambian #N o #B y #E = 5. Se dice entonces que los sucesos son
dependientes.
Si se saca una bolilla y se reintegra a la bolsa, la probabilidad de sacar blanca o negra en la segunda extracción es igual que en la primera. Se dice entonces que los sucesos son independientes.
220
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La probabilidad de sacar un cartón par o un cartón múltiplo de 3 ¿es la suma de las probabilidades?
b. En el experimento “tirar dos dados y obtener un 6 en cada tiro”, ¿los sucesos son dependientes o
independientes?
a. No. b. Son independientes.
ACTIVIDADES
Probabilidad
61
18. Respondan.
Si se arroja un dado equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de...
a. ... obtener un 3?
d. ... obtener un número impar?
1
__
6
1
__
2
b. ... de obtener un número mayor que 3?
e. ... obtener un número primo?
1
__
2
1
__
2
c. ... de no obtener un 4?
5
__
6
f. ... de obtener un número mayor que 6?
0
19. Resuelvan.
En un cajón de la cocina hay 12 tenedores, 12 cuchillos, 12 cucharas, 12 cucharitas de té y 6 de café.
Se extrae un cubierto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea...
a. ... cucharita de té o café?
c. ... sea tenedor o cuchillo?
4
__
9
1
__
3
b. ... tenedor y cuchara?
d. ... sea cuchara, cuchillo o cucharita de café?
5
__
9
0
20. Respondan.
Se arroja un dado equilibrado y se observa el número que sale en la cara superior. El suceso A es obtener un número menor o igual que 5 y el suceso B es obtener un número menor o igual que 3. ¿Cuál
es la probabilidad de que suceda A o B? ¿Y de que suceda A y B?
5
P(A) = __
6
1
P(B) = __
2
21. Piensen y resuelvan.
Una caja contiene 20 bolitas amarillas y 8 rojas; se extraen 2 bolitas al azar.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean amarillas?
20
C2
95
___
____
28 =
189
C2
b. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas? ¿Y de distinto color?
8
20
8
C C
C2
14 ______
80
___
____
; 1 28 1 = ____
28 =
189
189
C2
C2
221
62
61
Probabilidad condicional
INFOACTIVA
Un suceso A está condicionado a otro B cuando la probabilidad de que suceda A se ve modificada
a raíz del suceso B.
La probabilidad de que ocurra el suceso A, si se sabe que ha ocurrido el suceso B, se denomina
probabilidad condicionada.
P(A ∩ B)
P(A|B) = _________
P(B)
En una ciudad, el 40% de la población tiene pelo castaño, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene
pelo y ojos castaños.
Pelo
Ojos
Castaños
No castaños
Total
Castaño
15%
25%
40%
No castaño
10%
50%
60%
Total
25%
75%
100%
ˆ Si al escoger una persona al azar, se sabe que tiene pelo castaño, ¿cuál es la probabilidad de que
tenga también ojos castaños?
P(A ∩ B)
P(A|B) = ________
P(B)
A = {ojos castaños} → P(A) = 0,25
B = {pelo castaño} → P(B) = 0,40
A ∩ B = {pelo castaño y ojos castaños} = 0,15
P(ojos castaños ∩ pelo castaño)
0,15
P(ojos castaños|pelo castaño) = ___________________________
= _____
= 0,375
0,40
P(pelo castaño)
ˆ Si al escoger una persona al azar, se sabe que tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de
que no tenga pelo castaño?
P(A ∩ B)
P(A|B) = ________
P(B)
A = {pelo no castaño} → P(A) = 0,60
B = {ojos castaños} → P(B) = 0,25
A ∩ B = {pelo no castaño y ojos castaños} = 0,10
P(pelo no castaño ∩ ojos castaños)
0,10
P(pelo no castaño|ojos castaños) = _____________________________
= 0,40
= _____
0,25
P(ojos castaños)
222
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La probabilidad de arrojar un dado y obtener el número 4 sabiendo que salió par ¿es condicional?
b. De un total de 24 exámenes, se sabe que las tres cuartas partes son de mujeres y que la mitad
de ellas aprobaron. ¿Se puede averiguar la cantidad de hombres que desaprobaron?
a. Sí b. No, pues no se brinda información que permita averiguarlo.
62
ACTIVIDADES
Probabilidad condicional
22. Completen la tabla y respondan.
Una cadena de comida rápida le encargó a una consultora una encuesta para saber si a los habitantes
mayores de 18 años de una determinada ciudad les gustaría que se abriera un local allí. En total se
encuestó a 300 personas. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos en porcentajes.
18 a 30 años
31 a 43 años
44 o más
Total
Sí
23%
24%
5%
52%
No
6%
20%
17%
43%
No sabe/No contesta
3%
2%
0%
5%
Total
32%
46%
22%
100%
a. Se elige al azar una persona que dijo que sí; ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de 44 años?
5
___
52
b. Si se escoge una persona al azar que tiene entre 18 y 30 años, ¿cuál es la probabilidad de que
no quiera que se abra el restaurante?
3
___
16
c. Si se escoge al azar una persona que no contestó a la encuesta, ¿cuál es la probabilidad de que
tenga entre 31 y 43 años?
2
__
5
23. Completen la tabla y resuelvan.
Una agencia de venta de motocicletas realizó un estudio sobre accidentes de tránsito en los que se
vieron involucradas las marcas A, B y C de motos. Durante un año, recabó la siguiente información
sobre una base de 100 000 motos, en una determinada región del país. La tabla muestra la cantidad y
tipos de accidentes por marca.
Marca A
Marca B
Marca C
Total
Accidente grave (ag)
650
200
150
1 000
Accidente no grave (ang)
49 350
19 800
29 850
99 000
Total
50 000
20 000
30 000
100 000
a. Calculen P(ag), P(ag|A), P(ag|B) y P(ag|C). ¿Cuál de las tres marcas resulta más segura?
P(ag) = 0,01, P(ag|A) = 0,013, P(ag|B) = 0,01 y P (ag|C) = 0,005. La más segura es la marca C.
b. Si se elige una moto que no tuvo accidentes graves, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca C?
P(ang|C) = 0,30
223
INTEGRACIÓN
24. Simplifiquen a la mínima expresión y calculen el valor de A cuando n = 3.
3n
. (n + 2!)
45
__________
y A = ___
7
n+4
4! 7! (n + 3)! (n + 2!) n!
a. A = ______________________
8! (n – 1)! (n + 4)!
b. A = Pn – 1
4!
( n2 ) __
P
12 y A = 12
_______
(n – 2)
n
25. Resuelvan los siguientes problemas.
a. Un cantante debe realizar una gira por 8 países americanos para dar un recital. ¿De cuántas
formas distintas puede organizar su recorrido sin
repetir países? 40 320
b. En un club social deben elegirse 5 vocales
de entre un grupo de 11 personas. ¿De cuántas
formas distintas pueden ser elegidas? 462
c. Dados 14 puntos del plano, ¿cuántos segmentos pueden formarse? 91
d. Para jugar un partido de fútbol cinco, 10 amigos
se tienen que dividir en dos grupos de 5 integrantes.
¿De cuántas formas distintas pueden hacerlo? ¿En
cuántas de ellas, Pablo y Lucas formarán parte del
mismo equipo? 126; 56
e. Dados 12 puntos de una circunferencia,
¿cuántos triángulos con vértices en esos puntos
se pueden construir? 220
f. Con los dígitos 1, 2, 3, 5 y 6, ¿cuántos números de 5 cifras distintas pueden formarse tales
que sean múltiplos de 5? ¿Y que comiencen
24; 6
con 35?
g. Si de un mazo de 40 naipes se extraen
simultáneamente 6, ¿cuántas extracciones distintas se pueden hacer? 3 838 380
h. ¿Cuántos anagramas de 9 letras se pueden
formar con las letras de la palabra MANANTIAL?
30 240
26. Calculen el valor de la incógnita aplicando
las definiciones de factorial, permutación, variación y combinación.
25! 4!
a. 0! 2! x + _________
23! 2! 300 – V 3 = C 4
5
8
7
8
C3 V3
b. ( z + P5 ) : V = _____
5!
6
2
y
y
a. En un baile, 8 parejas danzan formando un
círculo. Si cada hombre permanece siempre a
la izquierda de la misma mujer, ¿de cuántas
formas distintas pueden acomodarse?
14 formas distintas.
X 5 040 formas distintas.
Ninguna de las opciones anteriores.
b. Cuatro personas suben a un colectivo en el
cual hay 7 asientos libres. ¿De cuántas maneras
pueden ocuparlos?
X 840 maneras de ocuparlos.
35 maneras de ocuparlos.
Ninguna de las opciones anteriores.
c. Con los dígitos del 1 al 9, ¿cuántos números
de tres cifras distintas se pueden formar, si la
suma de sus cifras es un número par?
260 números.
X 364 números.
Ninguna de las opciones anteriores.
28. Lean atentamente y resuelvan.
Un grupo de 13 alumnos de 4.° año desean
tomarse una fotografía grupal, sentados en fila,
como recuerdo de su paso por la escuela.
Si se sabe que 7 son chicas y que no quieren
aparecer ni dos chicos ni dos chicas juntos, ¿de
cuántas formas distintas pueden colocarse?
Formas de colocar a las chicas: 5 040; formas de colocar
a los chicos: 720; el producto es 3 628 800 colocaciones.
29. Respondan.
5
a. ¿Cuál es el desarrollo de __z1 – z2 ?
(
)
b. ¿Cuál es el desarrollo de (x + 2)7?
c. ¿Cuál es el desarrollo de (2x3 – x2)9?
5
1 – __
+ 10z – 10z4 + 5z7 – z10
a. __
z5 z2
y
c. y . C 5 . ( C 6 )–1 = 6 . V 2
71
a. x = ___
2 b. z = 4 584 c. No tiene solución, ya que
y = 0 y debe ser un número natural.
224
27. Marquen las opciones correctas.
b. x7 + 14x6 + 84x5 + 280x4 + 560x3 + 672x2 + 448x + 128
c. Solución a cargo del alumno.
capítulo
CONTENIDOS
59*60*61*62
9
34. Lean atentamente y resuelvan.
30. Respondan.
a. ¿Cuál es el primer y último término del desarrollo de (a – b2)8?
a8; b16
b. ¿Cuál es el término de grado 17 del desarrollo de (y + y5)5?
10y17
Un administrador de consorcios supervisa el pago
de expensas de los edificios A, B y C, que cuentan con un total de 125 pisos. En el año 2012, la
relación de pisos con la contribución pagada y no
pagada fue la siguiente.
31. Escriban los coeficientes de los términos del
desarrollo del binomio (x + 1)10. ¿Qué coeficiente
corresponde al término de orden 4?
Edificio
Expensas
A
B
C
Pagadas (P)
20
30
35
No pagadas
10
18
12
1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1; coef. 210
32. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el quinto término de (x – 0,5)9 considerando las potencias decrecientes?
8 x5
___
63
63 x5
X ___
8
Ninguna de las anteriores.
b. ¿Cuál es el término de orden 7 en el desa10
rrollo de x – __1 ?
3
40 x5
___
(
)
9
9 x5
___
40
X Ninguna de las opciones anteriores.
33. Resuelvan los siguientes problemas.
a. Se arrojan 3 monedas equilibradas. Calculen
la probabilidad de que salgan...
ˆ ... 3 caras.
ˆ ... 2 caras y una ceca.
ˆ ... al menos 2 caras.
b. Un coro está formado por 6 niñas. Si para
cantar se ubican en hilera, ¿cuál es la probabilidad de que estén de menor a mayor?
c. Fernando tiene una caja con 16 chupetines
de frutilla y 5 de ananá. Quiere extraer dos al
azar para regalarle a Daniela.
ˆ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean
de frutilla?
ˆ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto sabor?
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un piso elegido al azar haya pagado las expensas si es
del edificio B?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un piso elegido al azar no haya pagado las expensas si es
del edificio A? ¿Y si fuese del edificio C?
1 y si es del C, ___
12 .
a. 0,625; b. Si es del A, es __
3
47
35. Marquen las opciones correctas.
Se realiza una encuesta a 112 personas sobre el
color de ojos, obteniendo el siguiente resultado.
Hay 20 hombres con ojos azules y 30 con ojos
marrones. Hay 22 mujeres con ojos azules y
40 con ojos marrones.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el encuestado sea un hombre?
3
__
5
2
__
5
X Ninguna de las anteriores.
b. Si se elige una persona con ojos azules,
¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?
22
X ___
42
22
___
62
Ninguna de las anteriores.
c. Si se elige un hombre, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ojos marrones?
3
__
7
3
X __
5
Ninguna de las anteriores.
d. Si se elige una persona con ojos marrones,
¿cuál es la probabilidad de que no sea una mujer?
3
___
112
3
X __
7
Ninguna de las anteriores.
4
3
4
1
1
1
1
__
__
__
____
__
___
Eˆ __
8 ; ˆ 8 ˆ2 ; b. 6! = 720 ; c ˆ7 ; ˆ 21
225
capítulo
9
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
+ 23)!
________
–
36. ¿Cuál es el valor de n ∈ si (n
(22 + n)!
a. n = 18
(n + 22)!
____________
= 18n?
(5 + n + 16)!
X c. Ninguna de las anteriores.
b. n = 1
10
P8 – 8 . V 4
5
7
8! 5!
___________
+ 3z . C 3 = ____
– V 4, ¿Cuál es el valor de z ∈ ?
3! 6!
P5
3
28
X a. z = ___
b. z = ___
c. No existe el valor de z.
28
3
37. Dada
38. ¿Cuántos anagramas que empiezan con T se pueden escribir con la palabra AMISTAD?
a. 720 anagramas.
b. 250 anagramas.
X c. Ninguna de las anteriores.
6!
La respuesta correcta sería __
= 360 anagramas.
2!
39. Un promotor de una empresa de cosmética quiere obsequiar 48 muestras de crema a 15 personas,
con la condición de que todas reciban al menos 3 muestras. ¿De cuántas formas puede hacerlo?
X a. 680
b. 455
c. Ninguna de las anteriores.
40. ¿Cuál es la probabilidad de que en un mazo de 48 cartas españolas al extraerse una carta salga
un tres o un bastos?
4
a. ___
48
15
X b. ___
48
c. Ninguna de las anteriores.
41. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar una rosa o una flor blanca en un ramo donde hay 4 crisantemos amarillos y 2 blancos, 2 rosas amarillas y 2 blancas?
3
X a. __
5
b. __52
c. Ninguna de las anteriores.
42. En una ferretería se separaron tuercas, arandelas y tornillos en defectuosos y no defectuosos, y
se confeccionó la siguiente tabla.
Defectuosos
No defectuosos
Totales
TUERCAS
70
80
150
TORNILLOS
115
110
225
ARANDELAS
170
180
350
Totales
355
370
725
a. Si se extrae una tuerca al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
70
a. ____
150
70
X b. ____
355
c. Ninguna de las anteriores.
b. Si se extrae un tornillo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea no defectuoso?
110
X a. ____
225
115
b. ____
225
c. Ninguna de las anteriores.
c. Si se extrae un elemento defectuoso al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una arandela?
170
X a. ____
355
170
b. ____
350
c. Ninguna de las anteriores.
d. Si se extrae un elemento al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una tuerca?
70
a. ____
150
226
150
X b. ____
725
c. Ninguna de las anteriores.
CONTROL DE RESULTADOS
capítulo
14.
a. Es incorrecto. b. Es correcto.
1
15.
9
a. ___
10
1. Números reales
1.
Por ejemplo, fila 1: va X en
Enteros; Racionales; Reales.
2.
Solución gráfica.
3.
c. (–∞;3) ∪ (3;+∞)
d. (–3,5;0)
f. (–∞;–2] ∪ (1;+∞)
a. [–3;+∞)
b. [–1;7)
e. (–1,2;1,2]
4.
∧ –3 ) x < 2 = [–3;2)
∧ x * –5 = [–5;+∞)
∧ x < –3 ∨
(–∞;–3) ∪ [2;+∞)
∧ –2 < x ) –1 = (–2;–1]
a. x ∈
b. x ∈
c. x ∈
x*2=
d. x ∈
2. Números racionales
5.
Por ejemplo, a. 6; b. 12; c. 3; d. 5.
6.
7.
233
y 2,33.
Por ejemplo, a. ____
100
20
b. ___
3
c. 6
343
d. ____
90
30.
1,786
a. 0,0003 b. 0,000168 c. 0,0168
16.
32
Por ejemplo, a. Va X en ___
.
35
17.
14
173
7
218
____
____
__
a. – ___
5 c. – 3 e. 288 g. 2
9
40
b. ___
3
113
d. – ___
f. ___
10
80
31.
23
a. ___
2
77
h. _____
1 800
INTEGRACIÓN 1.2.3
18.
a. V
b. F
c. F
d. V
e. F
___
19.
a. x = 374 cm, y .
b. x = 5 cm, , , y .
17
e. – ___
6
f. –1
c. 3
131
b. – ___
9
8
d. ___
45
32.
49
a. – ___
5
4
e. __
3
i. – ___
12
30
b. – ___
7
f. 9
27
j. – ___
11
2
c. __
5
11
g. – ___
18
1
k. __
4
17
d. ___
9
h. 0,8
l. –5
29
4. Módulo de un número real
79
c. P: ___
15 , __, .
d. Á: 5 . 32 , y .
20.
a. F
b. V
29.
a. 0,03538 c. 0,1606 e. 0,2979
b. 0,1758 d. 0,6
f. 0,25
c. F
d. V
33.
a. 3
b. 20
c. a, si a > 0
d. a, si a > 0
e. F
f. V
e. 2
f. 12
g. 6
h. 2
i. 23
21.
Solución a cargo del alumno.
34.
a. = b. < c. < d. < e. > f. =
35.
a. S: {–3;3} d. (–∞;–3] ∪ [3;+∞)
a. Por ejemplo, fila 1: 23,1; 23,1.
b. Por ejemplo, fila 1: 2,8; 2,8.
22.
a. 5 números naturales.
6 números enteros.
b. Hay infinitos números reales.
a. 0,003
23.
___
3
7
a. [5;+∞) c. (–∞;334 ] e. – __
5 ;0
16
Por ejemplo, a. ___
5.
8.
9.
b. 0,1333
10.
a. No, le corresponden $1 000 a
cada uno.
3. Operaciones con números
racionales
11.
29
a. ___
3
38
e. – ___
5
97
f. – ___
90
8
b. __
5
1
c. – ___
50
16
g. ___
9
93
h. ___
28
1
d. – ___
50
12.
9
4
c. ____
a. ___
81
100
5
e. __
3
125
27
2
__
b. ____
d. ____
27 f. 3
343
13.
1
a. 20 . __
5 :2=2
1 .3
b. __
3
(
)
–1
=1
7
c. 3 . 0, 2 + 0, 1 = __
9
31
1
___
d. 2 . 0,0 7 – __
2 = – 90
37
i. ___
18
113
j. – ___
10
1
g. ___
10
2
h. __
5
[
b. (3;8]
24.
a. x ∈
b. x ∈
c. x ∈
d. x ∈
1
d. – __
2 ;3
(
)
]
f. (0;+∞)
∧ –2 ) x < 3
∧ x ) –5 ∨ x > 7
∧ x * –2
∧ x ) –1 ∨ x * 2
25.
a. (–∞;3) ∪ [5;+∞)
b. (–3;5)
c. (1;+∞)
d. [–2;3)
e. (–∞;–4] ∪ [2;+∞)
f. (–8;–1]
26.
a. 1,5 E.D.F.
b. 0,25 E.D.F.
c. 0,0 6, E.D.P.
d. 0,1875, E.D.F.
e. 0, 1 E.D.P.
f. 0, 5 E.D.P.
g. 2,4 E.D.F.
h. 1, 6 E.D.P.
27.
Por ej., fila 1: 1,3; 2,4; 0,6; 1,9.
28.
Por ej., fila 1: 2,3; 2,6; 0,2; 1,4.
7
7
∪ __
;+∞
b. Absurdo. e. –∞;– __
3
3
1
1
__
__
c. [–2;2]
f. – 9 ; 9
(
(
36.
9
a. __
2
13
b. – ___
10
) (
)
)
c. 0
d. 4
37.
Solución a cargo del alumno.
5. Ecuaciones
38.
a. 7a + 2a = 9a
1
b. b . __
2 = b + 0, 6__
c. x – 0, 2 = x + 51
39.
18
a. x = ___
25
1
d. x = __
3
944
b. x = – ____
15
1
e. x = – ___
30
7
10
c. x = – __
f. x = ___
5
3
40.
2
a. x = –2,5; x = –7,5 c. x = __
5
5
7
2
b. x = __
; x = __
d. x = ___
12
9
9
41.
9
1 x + 1 = 2; x = – __
21
___
a. 5 . __
5; x = – 5
3
|
|
1 . (x + x – 1) = 3x + 1; x = – __
1
b. __
2
4
227
6. Inecuaciones
56.
Por ejemplo, a. con {2;6}.
42.
Por ejemplo, a. (–∞;–25].
43.
1 ;+∞
a. S: – __
4
[
)
29
___
b. S: ( – 30 ;+∞ )
57.
Solución a cargo del alumno.
c. S: (–∞;–1)
15
d. S: ___
52 ;+∞
[
58.
a. F
)
26
∪ (1;+∞)
f. S: –∞;___
53
(
)
44.
6
a. S: [ __
7 ;+∞ )
5
1
__
b. S: ( –∞;__
2 ] ∪ [ 2 ;+∞ )
b. |x| <
c. |x| =
d. |x| )
(
8
)
INTEGRACIÓN 4.5.6
e. 60
f. 5
g. 14
h. 1
a. V
b. F
1 ∧x*0
__
3
2∧x>4
a
(29)–3 = 2–27
(
)
f. S: ∅
9
d. S:
i. S: (–∞;–2]
49.
Solución a cargo del alumno.
8
e. S: –∞;__
7
e. S: {–6;–2}
f. S: {–7;5}
g. S: {1;5}
55.
a. S: {–1;1}
}
8 __
;– 8
d. S: – __
9 9
e. S: {–7;–1}
{
}
7 __
f. S: – __
;– 5
6 6
}
{
)
67.
2
b. {–1;1} c. {–6;4}
a. – ___
21
68.
1.
1.
__
a. __
2 (x + 1) = 2x + 3 30
69.
c. [ –0, 6;2 ]
__
Por ejemplo, a. – 33 ; π.
Solución a cargo del alumno.
9. Radicales. Adición
y sustracción
9.
__
Por ejemplo, a. 4 . 32 .
10.
Solución a cargo del alumno.
11.
__
a. –8 . 3__5
b. 6 . 32__
c. –5 . 33
__
d. –4 . __
3a
__
e. 5 . 3a – 7 . 3b
12. __
__
a. 35 – 2 . 32
b. 0
__
15 .
d. – ___
4 __
e. 2 . 36
__
1
3__2
__
3
1 . x – 1 = 16x2
b. __
3
3
c. –4;2
d. –10;–4
_____
d. 333 . 23
5 . __
1
c. – __
9 3
____
54.
a. –2;12
b. –10;2
{
) (
)
66.
a. 0,000429
}
15 ___
15
b. S: – ___
2;2
c. S: ∅
j. S: [–3;+∞)
AUTOEVALUACIÓN
65.
a. (–2;2) b. (–∞;–3) ∪ (5;+∞)
c. Ninguna de las anteriores.
1 __
1
h. S: {–5;7}
d. S: – __
5;5
53.
a. |x| = 3 b. |x| ) 5 c. |x| > 1
{
)
25
b. ___
;+∞
4
3
c. x = ___
17
51.
Solución a cargo del alumno.
52.
a. S: {–7;7}
b. S: {–8;8}
c. S: {–6;6}
[
64.
14
2
___
a. –∞;___
15 ∪ 15 ;+∞
[
4
12
8
Solución a cargo del alumno.
c. S: (–∞;8)
(
25
3__3
10
8.
48.
a. S: {–23; 23} c. S: {0}
b. Absurdo.
d. S: {–7; 7}
1
d. x = – ___
16
1
e. x = – __
4
c.
7.
g. S: – __
7 ;+∞
h. S: (–2,6;–0,5)
50.
13
a. x = ___
70
2
b. x = __
5
__
__
6 3
a. __
5
3__
1
b. __
34
6.
|
)
5.
8. Números irracionales
1
b. __
2 x – 1 * 2x
(
i. F
4.
]
62.
a. 2 . |x + 1| < 3x
63.
11
a. S: –∞;__
7
e. V g. F
f. V h. V
Por ejemplo, a. 20.
61.
Por ejemplo, a. con x < 3.
|
c. F
d. F
3.
|
( ]
4
b. S: ( –28;__
5)
47.
–5 y 5
228
Por ejemplo, a. a–6 b– 7.
2.
|
)
3
1.
e. F
7
b. 3x + 1 < x + 0,2; S: –∞;– ___
18
1 x – 9 < 7; S: (16,5;37,5)
c. 2 . __
3
)
(
c. 45
d. 6
d. F
(
3
3
__
d. S: –∞;___
22 ∪ 2 ;+∞
45.
4
;2
a. |3x – 1| < |–5|; S: – __
3
1
__
.
(x + 1) * x + 2x; S: –∞;__1
b.
46.
a. 15
b. 29
c. F
60.
1.
1
__
a. __
5 (x – 1) * 2x; S: –∞;– 9
c. S: (–∞;–1) ∪ (7;+∞)
) (
b. V
2
7. Propiedades de la potenciación y la radicación
59.
a. |x| > 3
e. S: [–4;0)
(
capítulo
__
+ 2 . 33
__
f. –3 . 35 + 6 . 32
10. Multiplicación y división
de radicales
13.
___
a. 3 . 315
d. –22
__
b. –8
___
c. 10 – 2 . 321
__
7
2
+ 2 . __
e. __
3
3__
f. ( a2 – b ) . 3b
3
14.
__
__
4
4
Por ejemplo, a. 336 y 33 .
15.
____
6
Por ejemplo, a. x . 325 x .
3
11. Operaciones combinadas
16.
___
5 . 335
a. 56 +___
b. 4 . 3___
33 – 9 ___
3
3
c. 3 . 377
49
___ + 2 . 3
___
4
4
d. 2 . 3__12 – 3 .__318
3
2 + 4 . __
e. 3 . __
35
35
f. –28 __
__
3 11
7
. 3 __
–
2
g. 5 . __
2
2 __
4
h. –22 ._____
32
6 3
i. 28 . 33 .__74 + 45__
6
j. 2 + 5__. 37 + 3 . 325
k. 8 . 32 – __15
9 7 . __
5
l. __ – __
3
3
2
3
4___ 3
m. 6 . 315 – __1
n. 44 – __8 . 36 ____
6
ñ. –3 . 3__
5 + 5 . 3392
o. –2 . 37
17.
___
__
4
a. 15 + 10 .__318 + 5 . 32
b. 2 – ___
3 . 32
3
c. 4 . 325 – 9 __
d. 84 + 42
__ . 33
e. –48 . 36
18.
__
__
__
a. P: 4 . (32 + 33 ); Á: 5 + 4 . 33
__
45
b. P: 15 + 3 . 35 ; Á: ___
2
19.
__
__
__
4
4
a. – 32 + 2__. 323 – 3__
2
6
b. 9 –___
4 . 37 + 49 . 37
c. 2 . 321__ – 3
d. –6 . 33
__
25 __
– 1 . 33
e. ___
6 __3
1 . __
f. –3 . 32 – __
35
3
__
1
__
g. 5 – 9 . 32
___
__
h. 2 . 35 + 310 – 9
20.
____
Por ejemplo, a. con a + 2 . 3a – 1 .
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
12. Racionalización de denominadores
21.
Solución a cargo del alumno.
26.
__
a. 3 – 32
35.
__
a. –8 . 35
__
b. –3 . 33
__
c. –4 . 36
__
35 ___
7 .
b. – ___
22 – 22 33
5 . __
2 – ___
2
c. – ___
23 23 3
__
d. 2 . 311 – 13
5 . ___ __
5 . __
d. – __
7 310 – 7 33
3 . __
11 – __
5
e. __
4 3
4
__
3
3 . __
. 11 – __
7
f. – __
4 3
4 3
3 . __
1
__
___
g. 5 – 10 36
__
48 ___
. 6
+ 40
h. – ___
13
13 3
36.
__
a. 3 . 33 + 4
b. 11__
c. 33 – 6
__
4.
__
d. – __
32
7 – 7
__
__
__
32 – 6 . 33 + 36
e. 18 – _______________
____ 106
22 + 3143
__________
f.
__ 31
5 __
g. 3___
+ 1
2 __2
___
–2 . 35 – 2 . 32y
h. ______________
5__– 2y
__________
3
49 . 38 + 49
3
____________
i.
7__
__
6 3___
2
j. 3___
+
2___ 2 ___
10 + 335
k. 3_________
5 ______
(a – 1) . 3a3 + a
______________
l.
a3 + a
41.
___
____
4
3
a. ab . 32b e. a3b4c2 . __
3b2c3
___
4
b. a3b2 . 3ac f. ab2c4 ._______
3b
__
12
c. ab3c3 . 3c______
g. c–1 . 3a10b2c–3
3 2 20 8 6 17
d. ab c . 3a b c
8
__
__
7
e. – __
. 3
9 3
__
3
f. ___
. 6
16 3
3
__
g. 39
7 5 __
h. __
2 . 38
28.
Por ejemplo, a. 5–1.
6
29.
Solución a cargo del alumno.
e. V
f. F
31.
Solución a cargo del alumno.
__
23.
7
Por ejemplo, a. 3__
7.
33.
__
Por ejemplo, a. 24 . 32 .
35
b. 3
40.
Solución a cargo del alumno.
6
32. __
___
___ ___
; 1 y 310 ; 337 , 1 y 6; 356 , 1
311___
y 355 .
25.
__
Por ejemplo, a. 3 . 35 – 5.
__
39.
Solución a cargo del alumno.
d. 35
INTEGRACIÓN 7.8.9.10.11.12
34.
__
__
. 32
a. 2 . 35
__ + 2 __
b. 6 . 33 + 36
2__
7.
j. – __
2 36
38.
Solución a cargo del alumno.
c. 32
22.
3 . 3 __
2.
Por ejemplo, a. __
4 3
__
24.
35
__ .
Por ejemplo, a. ___
__
d. –7 . 3__
3 + 20
e. –6 . 33 – 19
__
f. –13 + 4 . 33
__
37. __
6 + 33
a. 3_______
2
__
a2 – 23
c. V
d. F
__
___
42.
4
__
7 . 38x2
a. –2 . 37 j. ______
2x ________
9 __
x . 4 32 . 53x3y
___
b. __
.
2
k.
3
5
15 3
m. –1
______
3a2 + 2 + 5
n. ___________
30.
a. F
b. F
3
___
__
e. 17. 32 – 4 . 313
27.
5
3 . __ __
a. __
2 3__3 + 2 __
4.
2 . __
b. 2 . 32 + __
36 + __
33 + 1
7
7
3 . __ __
2
__
c. 5 36 – 5
9
3
f. –2 . 37 – 37
__
3
g. 311 + 2
__
__
h. 7 . 32 – 6 . 37
__
9 .3
2 + __
i. __
32
__
_______
336a7b3c6
l. _________
3abc
5 ___
10 __
m. ___
+ 6
. 310
3
__
a + 6a
n. 3_______
1 – ___
36a
3 . 335 – 5
o. __________
__ 58 __
5 – 3__
6
3
________
__
p.
36 –________
3__5
__
q. –2 . 337 – 35
5 . x2
___
__
__
3
i. – ______
r. (32x – 34 x ) . (3x + 2x)
x
43.
19 __
4 __
Por ejemplo, a. con ___
7 – 7 . 32 .
44.
Solución a cargo del alumno.
__
45.
3
___33
a. _______
+3
313
__
4
22
3
____
___
b.
363
____
____
160 –__3250
c. 3___________
35
__
___
d. (3 . 37 + 354 )–1
13. Sucesiones
46.
Por ejemplo, a. 5; 8; 11; 14; 17.
47.
Por ejemplo, a. 13; 15; 17.
229
48.
Por ejemplo, a. 2n – 3.
49.
Por ej., a. Aritmética. Razón 2.
50.
Solución a cargo del alumno.
14. Sucesiones aritméticas
51.
Por ejemplo, a. 4, 7, 10.
52.
Solución a cargo del alumno.
53.
a. a1 = –1
72.
Hay que sumar 10 términos.
73.
a. 1 650
b. –105
b. 3
c. 3
56.
30, 60 y 90
78.
4 095
a. _____
1 024
b. 1 280
31
c. ___
10
15. Sucesiones geométricas
79.
a. 2
58.
a. a1 = 5
b. 6
c. No existe.
d. Razón 2.
59.
Solución a cargo del alumno.
60.
a. 15 609
b. 242
61.
$1 395
INTEGRACIÓN 13.14.15
62.
Solución a cargo del alumno.
65.
a. an = 2n
c. No existe.
b. an = 2n – 1
68.
a. 73
69.
a. No es posible.
70.
a. a4 = 26
b. a1 = 25
b. 30
c. a9 = 33
d. a2 = 2 268
a. Impar.
b. Impar.
c. Par.
d. Par.
10.
Por ejemplo, a. Decrec. = (0;2);
crec. = (–∞;0) ∪ (2;+∞); máx. =
(0;4); mín. = (2;0).
11.
a. F
b. V
c. V
d. V
e. F
13.
Solución a cargo del alumno.
b. 5
82.
Solución a cargo del alumno.
AUTOEVALUACIÓN
Va X en:
83. d.
86. c.
89. a.
84. c.
87. d.
90. b.
85. c.
88. a.
91. c.
capítulo
3
16. Funciones
1.
2.
3.
a. Biyectiva.
b. No inyectiva. No sobreyectiva.
c. No inyectiva. Sobreyectiva.
17. Análisis de funciones I
4.
9.
c. Aritmética.
Solución a cargo del alumno.
b. 240
Por ejemplo, a. No es posible.
c. No es posible.
81.
a. 128
b. a8 = 65
d. Par.
e. Par.
f. Ni par, ni impar.
12.
a. No se puede asegurar. b. Sí.
La opción b.
66.
Solución a cargo del alumno.
67.
a. n = 25
b. 420
80.
a. 15 b. 210
63.
Por ejemplo, a. 5; 8; 11; 14.
64.
Solución a cargo del alumno.
a. Par.
b. Impar.
c. Impar.
b. 5 . 2n – 1
b. 1 375
57.
Por ejemplo, a. –2; –10; –50.
7.
8.
75.
a. 5; 10; 20; 40
77.
1
a. __
5
55.
a. 420
18. Análisis de funciones II
74.
a. Por ej., 20 cm; 33 cm y 46 cm.
b. Solución a cargo del alumno.
b. 12
b. No es posible.
Por ejemplo, a. Ord. = (0;0).
Raíces en –3; 0; 3.
C + (–3;0) ∪ (0;3).
C – (–∞;–3) ∪ (3;+∞).
c. 8
d. 5
76.
624
a. a1 = 20 y S4 = ____
25 .
25
375
___
____
b. a4 = 4 y S5 = 4 .
54.
a. 20
230
6.
71.
a. No es posible.
b. 13
1 ; 2 y –2; __
1 ; 3.
Por ej., fila 1: __
3
6
5.
Por ejemplo, a. [–3;3].
INTEGRACIÓN 16.17.18
14.
a. y = 2x
c. y = 3x2
b. y = 3x – 1
15.
a. Df =
b. Df =
c. Df =
d. Df =
; Im =
; Im = (–∞;1]
; Im = [–3;+∞)
; Im = [–2;2]
16.
Solución a cargo del alumno.
17.
Solución a cargo del alumno.
18.
Solución a cargo del alumno.
19.
a. C+ = (–∞;–5) ∪ (1;+∞), C– = (–5;1)
b. C+ = (–∞;–3) ∪ (–3;2) ∪ (4; +∞),
C– = (2;4)
c. C+ = (2;+∞), C– = (–∞;–3) ∪ (–3;2)
20.
Solución a cargo del alumno.
21.
Solución a cargo del alumno.
22.
Por ejemplo, a. (–∞;–2) ∪ (0;2).
19. Función lineal
23.
Solución a cargo del alumno.
24.
Por ej., a. Puede ser: y = 3x – 2.
25.
a. 1
7
b. – __
3
5
c. – __
2
3
d. __
2
20. Distancia entre dos puntos
26.
__
a. 3 . 32
2 . ___
e. __
85
3 3
____
___
269
f. 3_____
5 __
g. 2_____
. 35
b. 334
c. 5
__
1 009
h. 3_____
4
d. 5 . 32
27. ___
a. 313
b. q = (–4;2); r = (–2;5)
c. Por ejemplo, (2;–1).
d. No.
___
28.
8 . 313
a. ______
13
3 . ___
b. __
2 310
c. 2
4 . __
d. __
5 35
e. 5
2 . ___
f. __
5 310
29.
___
___
__
a. 2 . (310 + 32 ) b. 8 + 2 . 310
30.
7 . ___
10
a. ___
10 3
__
2
b. 3___
2
__
c. 35
6 . ___
d. __
5 310
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
21. Ecuación de la recta
31.
y
x __
a. __
2 + 4 = 1; y = 4 – 2x
y
x + __
1 x
b. ___
= 1; y = 1 + __
3
–3 1
y
x + ___
c. __
= 1; y = –4 + x
4 –4
y
x
1 x–1
___
__
d. –3 + –1 = 1; y = – __
3
32.
Por ejemplo, f(x): y = 3x.
No tiene ecuación segmentaria.
33.
Por ejemplo, a. –2.
34.
a. a > 0; b < 0 c. a < 0; b < 0
b. a < 0; b > 0
35.
a. y = x – 3
b. y = 2x + 4
c. y = x + 3
3
7
__
d. y = __
2x– 2
36.
a. ⊥
b. ⊥
e. //
f. //
c. //
d. ⊥
37.
x
a. __
–1 + y = 1
y
x + __
=1
b. ___
–4 4
g. ⊥
h. ⊥
y
x + ___
c. ___
=1
–3 –3
38.
Por ejemplo, fila 1: y = 3x – 11;
7
1 x + __
y = – __
.
3
3
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
22. Función módulo
39.
Solución a cargo del alumno.
50.
a. y = |x + 2|; crec: (–2;+∞),
decrec: (–∞;–2); C–: no tiene;
C+: (–∞;–2) ∪ (–2;+∞).
b. y = –|x| + 3; decrec: = (0;+∞);
crec: (–∞;0); C+ = (–3,3);
C–: (–∞;–3) ∪ (3;+∞).
c. y = |x – 1| + 1, crec: (1;+∞);
decrec: (–∞;1); C–: no tiene, C+: .
40.
Solución a cargo del alumno.
AUTOEVALUACIÓN
Va X en:
51. c.
54. d.
57. a.
41.
a. y = |x + 4| – 2 b. y = –2 . |x| + 1
52. c.
55. b.
53. b.
56. d.
58. c.
INTEGRACIÓN 19.20.21.22
42.
__
a. y = 2x + 3; 35__
b. y = –2x + 1; 3___
5
c. y = –3x – 1; 310
capítulo
23. Función cuadrática
43.
__
a. 4 . 35
c. 0
10
e. 5 . 3___
__ 3
5
b. 3___
d. 5
5
f. 3___
2
__
6
___
44.
4
3
1 b. y = __
a. y = __
x – __
2x+3
3
3
45. ___
13 + 5
1
P: 3_______; Á: ___
12
6
46.
1
1
1
__
__
a. y = – __
2 x + 2 d. y = 2 x + 1
4
x+2
b. y = 3x – 2
e. y = __
3
1.
2.
3.
47.
y
x + ___
a. y = ___
=1
33 –11
___
7
29
___
___
___
d. y = 2 . 310 + 358 + 326
e. y = 16 u2
f. y = 3
48.
a. Raíces: –4 y 1; ord. al origen: 2.
b. Crec: (–∞;–1,5); decrec: (1,5;+∞)
c. C+: (–4;1); C–: (–∞;–4) ∪ (1;+∞)
d. Máx: (–1,5;5)
e. (–∞;5]
f. [–1,5;+∞) → (–∞;5]
49.
a. f(x) = |x – c| c. f(x) = |x – k| – f
b. f(x) = |x| + d d. f(x) = |x| – h
a. a < 0; b = 0; c = 0
b. a > 0; b = 0; c = 0
c. a > 0; b = 0; c < 0
d. a < 0; b = 0; c > 0
e. a > 0; b > 0; c = 0
f. a < 0; b > 0; c = 0
24. Raíces de una función cuadrática. Discriminante
3
1
__
c. y = __
2x+ 2
3
17
+ ___
b. y = – __
7 x___
7
58
c. y = 16 . 3___
4
Por ej., fila 1: > 0; Reales distintas.
1
a. x1; x2 = __
__
__ 2 __
__
b. x1 = 35 + 36 ; x2 = 35 – 36
c. No tiene raíces reales.
d. x1; x2 = 3
e. No tiene raíces
reales.__
__
f. x1 = 1 + 33 ; x2 = 1 – 33
25. Distintas expresiones de la
función cuadrática
4.
a. y = – (x – 3)2 – 2
1.
2
b. y = – __
8 (x + 3) – 1
5.
a. y = –2 . (x + 3) . (x – 1)
b. y = __1 . (x – 2) . (x – 3)
6
6.
Por ejemplo, fila 1: y = –x2 + 4;
y = –x2 + 4.
7.
Por ejemplo, a. (–3;–4).
8.
a. B b. C c. A d. A e. B f. C
9.
a. V
b. F
c. V
d. F
231
10.
a. y = x2 + 5x + 6 c. y = 2x2 – 2
b. y = x2 – 4x
d. y = –5x2 + 5
11.
a. x2 + x – 6 = 0 c. x2 + x = 0
b. x2 – x – 2 = 0 d. x2 – 7x + 10 = 0
12.
Por ejemplo, a. y = (x + 3)2 – 2;
y = x2 + 6x + 7.
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
26. Gráfico de una función cuadrática
13.
Por ej., a. Raíces: (–2;0) y (2;0);
vért.: (0;4); eje de sim.: x = 0;
orden. al origen: (0;4);
crec.: (–∞;0); decrec.: (0;+∞).
14.
Por ej., a. Raíces: (–3;0) y (1;0);
vért.: (–1;–4); eje de sim.: x = –1;
orden.: (0;–3); pto. sim.: (–2;–3);
crec.: (–1;–∞); decrec.: (–∞;–1).
15.
a. A
b. B
c. A
d. B
16.
Por ejemplo, a. Raíces no reales
y crec. (2;+∞).
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
INTEGRACIÓN 23.24.25.26
17.
3
a. x = 3 c. x = __
e. Sí.
2
b. (3;3)
d. (3;+∞)
18.
Va X en a., b. y d.
19.
a. 4
b. 6 y –6
c. 8 y –8
d. 1 y –1
20.
1
c. k = 1
b. k < – __
a. k = 3
3
d. k ∈ (–∞;4] ∪ [4;+∞)
21.
Solución a cargo del alumno.
22.
Solución a cargo del alumno.
232
26.
a. Solución a cargo del alumno.
b. Infinitas.
c. Mínimo.
27.
a. x2 – 2x – 8 = 0
b. x2 – 2 = 0
c. x2 – 2x – 2 = 0
d. 2x2 + x = 0
e. x2 – 10x + 24 = 0
f. 2x2 – 9x + 9 = 0
g. x2 + 4x + 1 = 0
h. 4x2 + 3x = 0
36.
a. D: x = –2; y2 = 8x
b. D: y = 5; x2 = –20y
c. D: y = –4; x2 = 16y
d. D: x = 4; y2 = –16x
37.
3
3
3
; f = 0;__
; D: y = – __
a. p = __
4
4
4
( )
( )
( )
( )
1
1
1
__
__
b. p = __
8 ; f = 8 ;0 ; D: x = – 8
7
7
7
c. p = – __
; f = 0;– __
; D: y = – __
4
4
4
3
3
3
__
__
d. p = – __
8 ; f = – 8 ;0 ; D: x = 8
28.
a. y = 3x2 – 36x + 96
b. y = 3 . (x – 4) . (x – 8)
38.
1
1
__
Por ej., fila 1: 0;__
2 ; y = – 2;
hacia arriba.
( )
29.
Por ejemplo, a. x = 3.
27. Ecuaciones de segundo grado
INTEGRACIÓN 27.28.29
39.
Solución a cargo del alumno.
30.
a. x1 = 5; x2 = –5
b. La solución no es real.
c. La solución no es real.
2
d. x1 = 0; x2 = – __
3
40.
Solución a cargo del alumno.
41.
Va X en b. y c..
1
e. x1 = 0; x2 = – __
2
f. x1 = 0; x2 = –4
1
g. x1 = 0; x2 = __
2
42.
a. 5__y – 2
__ b. –5 y 8
c. 36 – 4 y – 36 – 4
d. 4 y 1
j. Sin sol. real.
__
h. x1 = 3; x2 = –3
i. x1 = 1; x2 = –1
j. x1 = 4; x2 = –4
__
3
14
2 y – ___
k. __
e. – 33 y – 3___
3
3
2
f. Sin sol. real. l. 4 y –2 ____
1
k. x1 = 0; x2 = – __
4
l. x1 = 0; x2 = 8
31.
a. 0 y 2
c. 34 y 32
b. 17 y 18
d. 2 y –2
e. D: 10,24 cm; Á: 52,46 cm2
f. Á: 145,71 cm2
32.
a. 18 cm
c. 20,85__cm
___
d. 20 . 32 cm
b. 4 . 314 cm
___
33.
7 + 321
a. 2 y –3
f. ________
2
b. 3 y –1
g. 3 y –6
c. Sin sol. real. h. –3
__ y 1 __
d. Sin sol. real.
e. –1 y –2
29. Ecuación de la parábola
2 y – 3___
2
i. 3___
2
2
j. Sin sol. real.
23.
4 2 __
4
8
x – 9
x – __
a. y = __
9
9
8 2 __
8
16
b. y = – __
x – 9
x + ___
9
9
2
c. y = x + 4x + 4
34.
a. 2
24.
Por ej., a. y = – (x – 2) . (x + 3).
28. La parábola como lugar
geométrico
25.
Solución a cargo del alumno.
35.
Solución a cargo del alumno.
b. 5
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
g. 4 y 2
h. 0
385
23 3_____
m. ___
2 ± 2
n. 4
1
i. __
2 y –1
43.
Solución a cargo del alumno.
44.
Solución a cargo del alumno.
45.
a. 8x = y2
b. –2x = y2
c. 16y = x2
d. 4y = –3x2
e. –8y = x2
f. –12x = y2
g. 8x = 3y2
h. 3y = x2
46.
3
;–3 .
Por ejemplo, a. __
4
47.
e. 2x = y2
a. 2y = 2x2
2
b. –12y = x
f. 4y = x2
c. –3x = y2
g. –16x = y2
2
d. 24x = y
h. –3y = x2
(
48.
a. y = 4x2
b. y = –3x2
)
1 2
c. x = – __
2y
d. x = 5y2
AUTOEVALUACIÓN
Va X en:
49. b.
52. c.
55. c.
50. d.
53. a.
51. c.
54. a.
56. d.
5
30. Polinomios. Características
__
a. 35 . x3 + 5–1 c. –1
b. –5 – 2x5
d. 3x2 + x3
2.
La primera fila se completa con:
Trinomio; –3x3 + 8x2 – 6x + 0;
3; –3; 0.
3.
a. Por ejemplo, 2x3 + 3x2 – 4.
b. Por ejemplo, x4 + 3.
c. Por ejemplo, –3x2 + 2x – 8.
4.
3 2
3
a. – __
5x + x – 2 : 5
4
b. –1 . (x – 3x2 + 7x)
c. –6 . (–4 + x2 – 6x)
31. Suma y resta de polinomios
5.
7 3
c. – __
x
6
a. 4x4
__
7
d. – ___
x
30
b. – 33 x2
6.
4
1 4 __
2 2
b. __
2 x – 3 x + 4x
1 x5 + __
1 x3
c. 3x4 – __
3
9
d. 10x3 – 3x5 + 2x4
capítulo
1.
21.
a. –x5 + 5x4 – 3x3 + 2x2 + x + 0
b. Está completo y ordenado.
c. –3x3 + 4x2 – 2x + 4
d. 3x3 + 2x2 – 6x + 0
10.
a. –35x3 – 21x2 + 28x
2
a. 2x – 4x + x – 1
b. 2x3 – 5x2 – 2
c. 2x4 – 2x3 + x2
d. –2x4 – 6x2 + x – 5
e. 2x4 + 6x2 – x + 5
f. –2x4 + 2x3 – x2 – x – 1
7.
a. –5x4 – 2x3 – x2 + 3x – 4
b. 5x4 – 4x3 – 9x2 + 3x
c. 3x3 + 8x2 – 10x – 3
d. –5x4 – 2x3 – 4x2 + 10x + 1
e. –5x4 – 4x3 + 2x2 – 4x – 7
f. 5x4 – 6x3 – 6x2 – 4x –3
32. Multiplicación de polinomios
8.
Por ejemplo, a. 27x5.
9.
c. x3 – 25x – 5x2 + 125
a. x5
b. 256x16 d. x3 – 4x
c. 28x15 e. x3 – 2x2 + x
22.
Solución a cargo del alumno.
11.
a. 16x6 – 4
b. 4x4 + 20x2 + 25
1 x2 – 9
c. __
4
1 x4 – x2 + 4
d. ___
16
12.
a. 2x5 + x4 – 7x3 – x2 + 5x
b. –2x6 + 3x5 + 15x4 – 9x2 – 11x
– 20
c. –4x5 – 4x4 + 7x3 + 20x2 + 13x
– 40
d. –2x6 – x5 + x4 + 9x3 + x2 – 8x
e. –x7 + 2x6 + 5x5 + x4 – 3x2 – 4x
f. 2x7 – 3x6 – 9x5 – 20x4 + x3 +
25x2 + 20x + 32
13.
a. a4 + 6a2 + 9
b. 25 – 10b3 + b6
c. c2 + 4c + 4
d. a3 + 9a2 + 27a + 27
e. 64 – 48b + 12b2 – b3
f. 8c6 + 48c4 + 96c2 + 64
14.
Por ejemplo, a. con a2 + 2ab + b2.
15.
a. V
b. F
c. F
d. F
e. V
f. F
16.
+ 4x
a. P: 8x + 4; Á: 4x2 __
__
3
x4
b. P: 2 . 33 . x2; Á: 3___
3
– 20; Á: 9x4 – 30x2 + 25
c. P: 12x2 ___
d. P: 4 . 313 x; Á: 12x2
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
INTEGRACIÓN 30.31.32
17.
Por ejemplo, a. x2 + x5; 3x + x2.
18.
a. gr. 3; coef. 1 c. gr. 5; coef. –3
b. gr. 2; coef. 1 d. gr. 1; coef. 8
19.
a. 3x2
25 8
b. – ___
x
4
5
__
c. – 9 x
20.
a. 3x2 – 4x3 + x
b. 7x2 – 7x + 9
c. 3x4 + x3
17 3
d. ___
8 x
__
e. –6 . 32 x4
__
f. 36 x5
d. –x2 + 2x + 7
e. –6x3 + x2
23.
a. –x4 + 4x3 – 2x2 + x – 7
b. –2x3 – x2 – x + 2
c. 4x3 – x2 + x – 4
d. x4 + 4x3 – 2x2 – x + 1
e. 2x4 – 2x3 + 6
f. 2x4 – 2x3 + 6
g. 6x3 – x2 – x – 2
h. –6x3 + x2 + x + 2
24.
Por ejemplo, a. a8 – 2a4b2 + b4.
25.
a. a = 3
b. a = 9
c. a = –5
26.
a. 10x2 + 2x – 6 c. 11x2 + 4x
b. 10x2 + 4x – 4
27.
a. –x4 – 3x3 + 19x2 – 36
b. –x4 + x3 + x2 + 2x + 6
c. –x3 + 5x2 – 2x + 10
d. –x3 + x2 + 32x – 60
e. –x3 + 6x2 – 8x – 15
f. x2 – 10x + 25
g. –x4 – 8x3 + 8x2 + 96x – 144
h. x4 + 4x3 – 10x2 + 8x – 24
i. x5 – 6x4 + 4x3 + 3x2 + 4x + 30
j. x6 – 10x5 + 29x4 – 40x3 + 104x2 –
40x + 100
28.
a. Área: 6x2 – x – 2
b. Área: 7,5x2 + 3,5x –1
c. Área: 10x3 + 6x2 + 2x
d. Área: 2x2 + 3,5x – 1
29.
a. 8x – 2
b. –21x – 5
c. 6x4 + 9x2 – x3 + 7
d. –5x5 + 5x4 + x2
e. 8x4 + x2 – 1
f. 6x4
g. 32x2 + 8
h. x6 – 3x4 + x3 + 6x2 – 3x – 2
33. División de polinomios
30. __1
a. – 2 x2
b. 6x5
1 2
c. – __
8x
3
d. – __
x
4
31.
a. 3x5 + 4x3 – 2
4
b. 6x4 – 12x2 + __
5x
12 x2
c. –2x6 + 2x4 – ___
5
3 4
1
__
3
d. – __
2 x + x – 2x + 8
233
32.
9
7
17
__
___
a. c: x2 – __
2 x + 4 ; r: – 4 .
b. c: 3x2 – 3x + 15; r: –24x – 3.
c. c: –5x + 3; r: 9x – 5.
d. c: 12x4 – 12x3 + 2x2 + 6x – 6; r: 2x2.
33.
1 x2.
Por ejemplo, a. __
3
34. La regla de Ruffini. Teorema
del resto
34.
Por ejemplo, a. 9.
35.
a. c: 5x2 – 7x; r: –11.
b. c: x4 + x3 – x2 + 2x + 1; r: 3.
c. c: x2 – 12; r: 0.
d. c: 2x3 + 4x2 + 4x + 9; r: 10.
e. c: x5 + 3x4 – 3x3 – 4x2 + 4x – 4; r: 1.
f. c: –2x4 + 4x3 – 12x2 + 23x – 46;
r: 12.
36.
a. –305
b. 1
c. 64
d. 3
35. Raíces de un polinomio
37.
Por ejemplo, a. opción 2.
38.
a. Raíces: –4, –2, 0, 1, 3.
Multip. impar: –4, –2, 0; par: 1, 3.
b. Raíces: –5, –3, 3, 4.
Multip. impar: –3, 3; par: –5, 4.
c. Raíces: –3, –2, 0, 3.
Multip. impar: –2, 0, 3; par: –3.
d. Raíces: –3, –2, 0, 3.
Multip. impar: –2, 0, 3; par: –3.
36. Operaciones combinadas
39.
a. –x6 – x4 + 8x2
b. –3x7 – 3x10 – 2x2
c. –17x4 + 6x3
d. 7x5 – 4x4 + 4x3 – 3x2
e. –x4 + 2x3 + 4x2 – 6x – 20
f. –12x7 + 10x5 – 6x2 – 2x4
g. 4x2 – 7x3
h. 2x5 – 10x2 – 12x3
i. 5x4 – x3 – 4
49
j. 5x3 – 2x2 + ___
5 x
40.
Por ejemplo, a. x2 – 5x + 16.
41.
a. x6 + 2x5 + x4 – x2 – x – 1
b. –2x2 + 15x – 4
c. 4x4 – 4x3 + 7x2 – 3x
d. x3 – 3x2 + 12x – 24
3
1 2 __
e. __
2x – 2x
1 2
f. x + __
2x
9
13
x2 + ___
g. __
4
36
3
h. 5x4 + 14x2 + 6x + 6
234
42.
a = –6; b = –2; c = 7
43.
a. –x4 + 3x2 – 3x + 1
b. x4 – 3x3 – 4x2 + 17x + 18
c. 2x3 + x2 + 2
d. –x4 – x3 – 3x2 – 7x – 8
44.
a. –2x2 – 4x – 5
b. 27x3 – 23x2 + 25x + 15
c. –25x4 + 20x3 – 3x2 – 3x + 1
d. x4 – 9x3 + 4x2 + 4
29
7 6 __
e. – __
x + 41 x3 – ____
192
4
f. x2 + x – 20
g. 80x8 + 21x6 + 6x5 + 12x4 + 8x3
h. –2x2 + x + 8
AUTOEVALUACIÓN
Va X en:
56. d.
59. a.
62. c.
57. d.
60. c.
58. d.
61. b.
capítulo
37. Factor común y factor
común por grupos
1.
Por ejemplo, a. x2 . (x6 – 1).
2.
49
144
4 6
___
___
c. ____
25 x e. 15 x g. 2 x
49 5
3 2
__
b. ___
81 x d. 4 x
11
f. __
4
48.
Solución a cargo del alumno.
49.
P: 16x + 16; Á: 8x2 + 16x + 8
(
54.
a. –26
b. –1
b. –79
21
c. ___
64
55.
Solución a cargo del alumno.
)
a. (x – 1) . (x3 + 2)
b. (x2 – 3) . (x3 – 2)
c. (x2 – 1) . (x – 2)
4.
Por ejemplo, a. (3x – 9) . (x + 4)
y 3 . (x – 3) . (x + 4).
38. Trinomio cuadrado perfecto
y cuatrinomio cubo perfecto
5.
Por ejemplo, a. 6.
6.
a. 4x2 – 16x + 16
1 x2 – 5x + 25
b. __
4
c. x6 – 4x3 + 4
d. x3 + 18x2 + 108x + 216
27
27
e. ___ x3 – ___ x2 + 18x – 8
8
2
f. x15 – 6x11 + 12x7 – 8x3
7.
b. (3x – 2)
1 x5 + __
1 2
c. __
2
3
d. (x3 + 2x)2
a. (x – 3)3
b. (2x + 3)3
1 x2 + 1 3
c. __
2
d. (3x2 – 3x)3
(
a. (x – 2)2
2
8.
d. 50
c. –136 ___
d. 5; ±310
)
)
(
3.
51.
a. –2 c. 0 e. –14 g. 2 i. 4
7
b. –7 d. – __
8 f. –1 h. –6 j. –729
53.
a. –44
)
(
50.
a. F b. F c. V d. V e. V f. F g. V
52.
a. Par: 0, 2; impar: –2.
b. Par: 2; impar: –3, –2, 0.
c. Impar: –1, 1, 3.
d. Par: –1, 1.
e. Par: –1, 1, 4; impar: 3.
f. Par: –1, 1; impar: 0.
)
(
5 3
h. __
x
6
47.
Solución a cargo del alumno.
)
(
INTEGRACIÓN 33.34.35.36
46.
a. 5x3
1
a. 6x3 . x2 – x + __
3
9
4
10
b. __ x5 . x4 + __ x3 – ___
3
3
4
3
2 . x2 + ___
x+3
c. – __
10
9
3
21 x – __
2 x3 . x4 + ___
d. – __
2
10
9
1x + 2
e. 3 . x5 – __
5
25
21 . x6 + ___
f. – ___
10
9
(
45.
a. 2x2 + x + 3
4 4
3
3
1 2 __
__
__
3
b. – __
5x +x – 5x + 5x– 5
c. 6x5 + 12x3 – 5x2 – 13
d. x7 – x6 – 2x4 + 3x3 + x2 + x – 3
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
6
9.
Á: (x + 1)2
(
)
)
39. suma y resta de potencias
de igual exponente
10.
a. (x – 2) . (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)
b. No tiene raíces reales.
c. (x – 3) . (x + 3) . (x2 + 9)
d. (x + 3) . (x6 – 3x5 + 9x4 – 27x3
+ 81x2 – 243x + 729)
e. (x + 1) . (x2 – x + 1) . (x6 – x3 + 1)
f. No tiene raíces reales.
g. (x – 4) . (x2 + 4x + 16)
h. (x – 2) . (x + 2) . (x2 + 4) . (x4 + 16)
11.
a. (x – 3) . (x + 3)
b. (10x2 – 16) . (10x2 + 16)
__
__
c. (3x – 35 ) . (3x + 35 )
d. (2x – 5) . (2x + 5)
1 . x3 + __
1
e. x3 – __
6
6
f. No es diferencia de cuadrados.
(
)(
)
12.
Una arista mide (x – 2) cm y la
otra, (x + 2) cm.
40. Teorema de Gauss
13.
a. ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24
5
7
1 ; ± __
b. ±1; ± __
; ± __; ±3; ±5; ±7;
3 3
3
35
± ___; ±15; ±21; ±35; ±105
3
1 ; ± __
1 ; ±1
c. ± __
4
2
7
1 ; ±1; ± __
; ±5; ±7; ±35
d. ± __
5
5
14.
a. ±1; ±2; raíces: x = –2; x = 1
b. ±6; ±3; 2; 1; raíces: x = –3;
x = 2; x = 1
2 ; ±2; ±3; ±6.
1 ; ± __
c. ±1; ± __
3 3
Raíces: x = 1 (doble) y x = 2
9 ; ±6;
3 ; ±2; ±3; ± __
1 ; ± __
d. ±1; ± __
2 2
2
±9; ±18; Raíces: x = –1; x = –3
(doble)
15.
a. (x – 2) . (x + 3) . (x + 1)
b. (x – 3)2 . (x + 2)
c. (x – 1) . (x + 2)3
d. 3 . (x – 2) . (x – 4) . (x + 3)
e. 5 . (x – 5) . (5 + x)2
f. –2 . (x + 1)3 . (x + 2)
INTEGRACIÓN 37.38.39.40
16.
a. F
b. F
c. V
d. F
e. V
f. F
41. Casos combinados de factoreo
17.
a. 3x2 . (x3 – 2x +1)
3
1 x + 3)
b. __ x3 . (x2 – __
5
2
c. –2x . (x3 – x + 2)
1 x2 . –x5 + __
1 x4 + 5x3 – 2
d. – __
3
3
3
e. __ . (x3 – 2x + 7)
2
3
1 x4 – 2x3 – __
1
f. – __ x3 . __
5
2
3
7
3 1 __
+ x2 – x3)
g. __ . __
2 2 5
3
2 x2 . – __
1 x2 + __
h. __
x+1
5
7
3
18.
a. (x – 2) . (2x3 + 3)
3
b. (x – 2) . __ x5 – 2
2
c. (x4 – 2x2) . (x – 2)
d. (3x – 2) . (x2 – 3)
e. (6x + 5) . (8 + x2)
f. (2x3 – 1) . (x2 + 2)
g. (4x5 + 3) . (x2 – 3)
(
(
31.
a. Factor común. Trinomio cuadrado perfecto.
b. Factor común por grupos.
Factor común. Diferencia de
cuadrados.
c. Factor común por grupos.
Factor común.
d. Factor común. Cuatrinomio
cubo perfecto.
)
)
(
)
(
32.
a. Correcto.
b. Incorrecto. La expresión (x2 + 9)
no es diferencia de cuadrados.
c. Correcto.
d. Incorrecto. No se puede aplicar factor común por grupos.
e. Incorrecto. En el resultado, el
binomio del cubo tiene que ser
de la diferencia.
f. Correcto.
)
(
)
20.
Por ejemplo, a. ≠.
21.
g.
a. (–3x + 1)2
2
1
__
b.
h.
x–2
3
2
2
c. (3x + 2)
i.
2
1
__
2
d. – x – 2
j.
3
2
1
e. __ x3 – 2
k.
2
2
1
__
3
f. –3x + x
l.
3
22.
Por ejemplo, a. 3x2.
(
(
(
(
(
(x – 5)3
)
)
)
)
33.
3
a. A(x) = (x – 1) . x2 + __
2
b. B(x) = 2x . (x – 5) . (x + 5)
1 . x2 + __
1 x + __
1
c. C(x) = 2x2 . x – __
3
3
9
d. D(x) = 3 . (x – 2) . (x – 1)2
e. E(x) = 3 . (x – 2) . (x + 3)2
f. F(x) = (x3 – 2x + 1) . (x – 3)
g. G(x) = 2x3 . (x – 2) . (x2 + 2x + 4)
5
h. H(x) = __ x . (x – 2) . (x + 3) . (x + 1)
3
i. I(x) = (x2 + 4) . (x + 3)
j. J(x) = (x – 1) . (x2 + x + 1) . (x + 2)2
(
19.
Solución a cargo del alumno.
(–2x + 3)3
1 x2 – 2 3
– __
2
1 x – x2 3
__
3
(
(
)
)
(–2x + 1)3
3
(
1 x – x2
__
7
3
)
)
)(
)
34.
a. P(x) = x . (x – 3) . (x – 1)2
b. Raíces = {0; 1; 3}; x = 0 y x = 3,
raíces simples; x = 1, raíz doble.
23.
a. V: 5 . (x – 3)2
b. V: 3 . (x3 – 27)
35.
Por ejemplo, a. (x2 – 4) Factor
común; (x – 2) . (x + 2).
Diferencia de cuadrados.
24.
Solución a cargo del alumno.
36.
Por ej., a. va X en x2 . (x – 3) . (x + 3).
25.
Solución a cargo del alumno.
42. Ecuaciones de grado mayor
a dos
26.
Solución a cargo del alumno.
37.
a. S = {–1; 4}
d. S = {0; 3}
b. S = {–3; 2; 5}
e. S = {–1; 3}
1; 2
f. S = {–3; 2}
c. S = __
4
38.
a. S = {–3;2}
d. S = {–2;–1}
1
__
b. S = – ; 3; 5 e. S = {1;3}
2
1 ; __
1
c. S = {–5;1;7}
f. S = – __
3 2
39.
a. S = {–1;2}
b. S = {–3; 1;3}
27.
Solución a cargo del alumno.
28.
Solución a cargo del alumno.
29.
Solución a cargo del alumno.
30.
Va X en a. y en d.
{ }
{
}
{
}
235
43. Estudio de funciones polinómicas
40.
a. B
b. C
c. D
d. A
41.
Solución a cargo del alumno.
42.
a. Ord. al origen: (0;–30); Raíces:
{–5; –3; 2}, todas las raíces son
+
simples; C = (–5;–3) ∪ (2;+∞);
–
C = (–∞;–5) ∪ (–3;2)
b. Ord. al origen: (0;12); Raíces:
{–3; 2}, x = –3, raíz simple y x = 2,
+
raíz doble; C = (–3;2) ∪ (2;+∞);
–
C = (–∞;–3)
c. Ord. al origen: (0;0); Raíces:
{–5; 0}, x = 0, raiz triple y x = –5
+
raíz simple; C = (–∞;–5) ∪ (0;+∞);
–
C = (–5;0)
d. Ord. al origen: (0;–16); Raíces:
{–4; –1; 4}, todas las raíces son
+
simples; C = (–4;–1) ∪ (4;+∞);
–
C = (–∞;–4) ∪ (–1;4)
43.
a. y = (x – 4) . (x – 2) . (x + 1)
b. y = (x – 4) . (x – 2) . (x + 1)
c. y = (x – 3) . (x + 2)2
d. y = –2 . (x + 3) . (x – 1)2
44.
Por ej., fila 1: x1 = 0, x2 = –2,
x3 = 5; (–2;0) ∪ (5;+∞);
(–∞;–2) ∪ (0;5)
MENTEACTIVA
Por ejemplo, y = –x4
INTEGRACIÓN 41.42.43
45.
Por ej., a. va X en 2x . (x – 3)2
46.
Solución a cargo del alumno.
47.
Solución a cargo del alumno.
48.
a. S = {–5; –1; 3}
b. S = {–3}
c. S = {2}
49.
Por ejemplo, a. va X en: Tiene
una raíz en x = 3; Tiene dos raíces simples; Tiene una raíz triple;
Es un polinomio de grado cinco.
50.
Solución a cargo del alumno.
51.
5
P(x) = – ___ . (x + 4) . (x + 2) . (x – 1) .
12
(x + 3)
52.
a. B
236
b. C
c. A
d. D
53.
a. Ord. al origen: 8; raíces: x = –2
(simple); x = 2 (doble);
P(x) = (x + 2) . (x – 2)2;
+
–
C = (–2;2) ∪ (2;+∞); C = (–∞;–2)
b. Ord. al origen: –18; raíces: x = –3
(doble); x = 1 (doble);
P(x) = (x + 3)2 . (x – 1)2; C+ = ∅;
–
C = (–∞;–3) ∪ (–3;1) ∪ (1;+∞)
54.
Solución a cargo del alumno.
55.
Solución a cargo del alumno.
44. Expresiones algebraicas
fraccionarias
56.
Por ejemplo, va X en a., b. y d.
57.
a. ∀ x : x ≠ –5
b. ∀ x : x ≠ –1 ∧ x ≠ 2
c. ∀ x : x ≠ 0
d. ∀ x : x ≠ –5 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ 3
58.
x . (x + 1)
a. con ________
x+5
3 . (x + 2)
b. con _____________
(x – 2) . (x – 1)
c. con x + 1
3
d. con __
5
x3
e. con _______________
5 . (x – 3) . (x + 7)
59. 2 . (x + 1) . (x – 2)
a. _______________
3 . (x + 3) . (x + 2)
2
+ 3x – 1
x__________
b. 2
x – 3x – 1
x3 – 5
c. ________
x3 . (x – 5)
x–3
d. _____
2x
63.
1
a. __
3
3 . (3x – 4)
b. _________
x+1
64.
a. x + 2
b. x + 1; x + 1
c. 2x
c. 3
d. x2
d. x – 3; –3x
e. x2 – 3; 3x2
f. 5x3 – 3; 5x3 – 3
65.
2x2 – 5x – 15
a. ____________
3 . (x2 – 1)
–x3 – 7x2 – 3x – 2
b. ________________
x3 . (x + 2)
x+6
c. ________
3 . (x + 1)
2x3 + x2 – 49x – 38
d. _________________
x2 – 25
9x2 – 50x – 17
_______________
e.
3 . (x + 2) . (x – 5)
–x2 + 16x – 9
_____________
f.
(x + 2) . (x – 3)
66.
5x2 – 9x + 2
a. ___________
2 . (x – 1)
–__________________
x3 – 5x2 + 14x + 48
b.
2 . (x – 2) . (x – 3)
2
x
__________
c. 2 + x + 18
x + 5x + 6
3x – 4
d. ________
x . (x – 2)
x2 – x – 11
e. 2__________
x2 – 2x + 4
3x3 + 21x2 + 42x – 12
f. ___________________
(x + 3)2
2
x + 3x – 2
g. _____________
(x + 2) . (x + 1)
2x2 + 3x – 17
h. ____________
x2 + 4x + 3
46. Ecuaciones con expresiones
algebraicas fraccionarias
45. Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
67.
Por ejemplo, a. va X en x = 6.
60.
x . (x + 1)
Por ej., a. va X en ________ .
x –1
61. _____
4
x
a.
x+2
b. (x + 2) . (x + 1)
x4
c. _____
x–5
x2 + 3x – 1
d. __________
2x2 . (x – 1)
62.
x – 25
a. ______________________
x3 . (x + 5) . (x + 3) . (x – 3)
(x + 1) . (x – 5)
b. _____________
x+2
x3 – 3x + 2
_________________
c.
(x + 1)2 . (x2 – 3x – 2)
x3 . (x2 + x + 1)
d. _____________
(x + 2) . (x – 1)
68.
a. ∀x : x ≠ 0; x = 6
1
b. ∀x : x ≠ 0; x = __
2
c. ∀x : x ≠ 0; x = 25
5
d. ∀x : x ≠ –7 ∧ x ≠ 2; x = __
7
e. ∀x : x ≠ –3 ∧ x ≠ 3; x = –2
f. ∀x : x ≠ –3 ∧ x ≠ 2; x = 0
g. ∀x : x ≠ ±1; x = 2
1
h. ∀x : x ≠ –1 ∧ x ≠ 3; x = – __
8
69.
1
f. x = –1
a. x = __
2
b. x = 2
g. x = 1
6
c. x = 6
h. x = – __
5
1
__
d. x = ±1
i. x =
3
2
e. ∅
j. x = __
7
70.
a. Falta multiplicar el denominador
del segundo término por (x + 3).
b. El común denominador es
incorrecto.
71.
a. No es posible, –1 no pertenece al dominio de la ecuación.
b. a = –6
c. a = –5
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
INTEGRACIÓN 44.45.46
72.
Va X en b. y c.
73.
Solución a cargo del alumno.
74. 2 . (x + 1)
x–5
g. _____
a. ________
x+5
x+3
3
x–3
b. ________
h. _____
x+2
2 . (x + 1)
________
c. –2 . (x – 1)
i. x – 2
x . (x + 2)
–5 . (x – 3)
(x – 2) . (x + 1)
d. _________ j. _____________
x+2
(x + 2) . (x – 1)
(x – 2)3
x+3
________
k. _____
e.
x2
x . (x + 2)
2
(x – 2)
f. _______________
x . (x – 1) . (x + 3)
75.
Por ejemplo, a. Ninguna de las
anteriores.
76.
x–1
a. _____
x+2
x2 – 2x + 3
b. _______________
2 . (x – 2) . (x + 5)
2 . (x – 5) . (x – 2)
c. _______________
x . (x – 3) . (x – 1)
6__________
x3 . (x + 3)
d.
x–3
x
e. __
7
3 . (x + 5)2 . x2
f. _____________
(x – 2) . (x – 5)
77. 9 . (x – 3) . (x – 1)
a. _______________
x2 . (x + 4)
2
b. x . (x – 1)
(x + 2) . (x + 6)
c. _____________
x
–2
d. x_____
x–3
e. 1
2
+x–6
f. x_________
x2 – 4
78.
–1
a. x_____
x+1
b. 1
x4 . (x – 5) . (x + 7)
c. ————————————
x+3
d. 3x . (x – 3)
79.
5x2 + x + 5
a. __________
x–3
1
_____
b.
x–2
2x3 + 5x + 3
c. ___________
x2 + 4x + 4
x
______
d. + 2
3x – 2
2
–
___________
e. x 2 + 2x + 8
x +x–1
x4 + 2x3 – 6x – 2
f. –________________
x2 + x – 6
80.
x2 + 5x – 4
a. _____________
(x + 3) . (x – 2)
–x + 3
b. __________
x2 + 3x + 2
2x2 – 4x + 8
c. ___________
x2 – 9
5x2 + 7x + 10
d. _______________
x3 + 2x2 – 4x – 8
–x4 + 3x3 – 2x2
e. _____________
x3 + x2 – 6x
–_______________________
x4 – 5x3 – 6x2 – 27x + 27
f.
x4 – 18x2 + 81
3_____________________
x4 + 7x3 – 2x2 – 11x – 5
g.
x4 + 7x3 + 10x2
3
x + x2 + 2x – 1
h. –______________
6x4 + 7x3 + x2
81.
Solución a cargo del alumno.
2.
Soluciones gráficas a cargo del
alumno.
a. S = {(–2;0)}; S.C.D.
b. S = ∅; S.I.
c. S = Infinitas soluciones; S.C.I.
d. S = {(–3;1)}; S.C.D.
48. Resolución de sistemas de
ecuaciones I
3.
{( __21 ;5 )}
86
11 ;___
b. S = ∅; S.I. d. S = {( ___
75 75 )}
4.
52 __
3
2 c. S = ___
;– )}
a. S = {( –1;– __
{( 33
11
3 )}
45
b. S = {(–4;–2)} d. S = {( –12;___ )}
2
a. S = {(1;–1)}
c. S =
5.
a. S = {(6;7)}
17 5
b. S = – ___;__
3 2
c. S = {(6;32)}
d. S = Infinitas soluciones.
{(
6.
)}
{ ( __32;__113 ) }
3
b. S = { ( 2;__ ) }
2
a. S =
7.
{ ( 1;__21 ) }
5
d. S = { ( 0;__ ) }
4
c. S =
{3p + 7a = 58,10
82.
Solución a cargo del alumno.
a. 6p + 5a = 57,70
Alfajor: $6,50; pastillas, $4,20.
83.
a. x = –7, x = 1
b. x = 25
c. ∅
b. 3 . (l2– 7) = p – 7
Laura tiene 22 años y su papá,
52 años.
{
1p – 4
l = __
1
d. x = __
2
e. x = ±1
f. x = ±2
{
f = p + 50
c. f – 20 = 2 . (p – 20)
Francisco tenía $120 y Pedro, $70.
AUTOEVALUACIÓN
84.
Va X en b.
{
1 y = 25
2x – __
d. __1 3
. (x – 1) + 2y – 1 = 46
3
Los números son 16 y 21.
85.
Va X en c.
86.
a. Va X en (0;6).
b. Va X en {–2;3;1}.
c. Va X en C+ = (–2;1) ∪ (3;+∞).
d. Va X en el tercer gráfico.
87.
Va X en c.
Va X en b.
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
9.
{ ( –4;– __47 ) } S.C.D.
1 S.C.D.
b. S = { ( 0;__
2 )}
a. S =
7
47. Sistemas de ecuaciones
lineales. Método gráfico
1.
ab = 8,5 cm; bc = 12 cm. P: 41 cm
49. Resolución de sistemas de
ecuaciones II
88.
Va X en b.
capítulo
8.
c. S = ∅; S.I.
d. S = {(–16;–5)} S.C.D.
1 ;3 S.C.D.
e. S = – __
3
f. S = Infinitas soluciones. S.C.I.
{(
)}
237
50. Sistemas de ecuaciones
mixtos
10.
Va X en b.
11.
a. <; >; =
b. =; <; >
12.
Va X en c.
13.
Soluciones gráficas a cargo del
alumno.
a. S = {(–1;0), (4;5)}
b. S = {(–1;0),(2;–3)}
c. S = {(2;0)}
d. S = ∅
e. S = ∅
35
1 ;___
,(–2;0)
f. S = __
2 4
14.
a. h(b=+ 2b
2) . (h – 3) = 165
{(
}
)
{
Las nuevas dimensiones del rectángulo son 11 cm y 15 cm.
{
x . y = 168
b.
1y + 8
x = __
2
Los números son 12 y 14.
13.
a. Solución gráfica a cargo del
alumno.
b. x ≥ 0 y x ∈
c. 400 panchos y $8 000 de
ganancia.
d. Mayor que cero y menor o
igual que 400 panchos.
21.
a. –10 y –6
b. 19 de $2 y 53 de $0,50
3
17
c. y = 2x – __ d. ___ e. 6 y 11
2
12
^
^
^
f. a = b = 70° y d = ^
c = 110°
22.
a. c < 2
INTEGRACIÓN 47.48.49.50
16.
a. S = {(–5;–4)} S.C.D.
14
12 ;___
b. S = – ___
S.C.D.
5 5
17.
16 ;– __
1 S.C.D.
a. S = ___
15 5
b. S = ∅; S.I.
{(
)}
{(
)}
c. S = Infinitas soluciones. S.C.I.
d. S = {(0;–1)} S.C.D.
34 26
e. S = – ___;___
S.C.D.
45 15
f. S = {(1;–8)} S.C.D.
{(
)}
18.
2 c. No existe k.
2 b. k = __
a. k ≠ __
3
3
19.
a. V b. F
c. V
d. F
20.
3
a = – __
2
238
c. c > 2
b. c = 2
{
4.
Solución a cargo del alumno.
( )}
(
6.
b. (–2;3)
29.
a. y = x2 – 5 c. S = {(–1;–4),(4;11)}
b. y = 3x – 1
30.
a. 2 segundos, 8,33 m
{
x – y = –10
b. y = x . (2x – 7)
5, 15 y –1, 9.
c. Se intersecan en el segundo 1, a
5,25 m y en el segundo 6, a 9 m.
AUTOEVALUACIÓN
Va X en:
31. a.
33. a.
35. d.
34. c.
capítulo
Solución gráfica a cargo del
alumno.
a. 6 cm
c. 0,5 cm
b. 0,5 cm
d. 1,79 cm
53. Semejanza de triángulos
7.
)
28.
a. b = –1 y c = 3
8
51. Teorema de Thales
___
a.
__
3.
Solución gráfica a cargo del
alumno.
a. 2,4 cm
c. 4,375 cm
b. 4,2 cm
d. 0,5 cm
26.
55
1 ;– ___
y (4;–6)
Los puntos son __
2 3
27.
Va X en c.
1.
Solución a cargo del alumno.
5.
24.
1 y b = 3 b. Sí, el (2;6).
a. a = __
4
25.
b=3
32. b.
2.
Solución a cargo del alumno.
23.
a. S = {(–2;5),(5;12)}
b. S = {(0;0)}
c. S = {(6;9),(2;1)}
8 ;__
1
d. S = (0;3), __
33
e. S = ∅
f. S = {(–2;8),(4;–4)}
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
52. Aplicaciones del teorema
de Thales
x = 11 cm; de = 10 cm;
ef = 14 cm ___
__
b.
cm; ab ___
= (6 + 3 . 3__2 ) cm;
__ x = 18 __
bc
de = 3 . 32 cm;
__ = 3 . 32 cm;
__
ef = (6 – 3 . 3__
2 ) cm
c.
___= 2,5 cm;
__ x = 3 cm; ef
fg = 6,5 cm;
gh = 5,5 cm
__
d. x = (5 . __
35 + 10) cm;
__
ac = (4 . 3__
5 + 10) cm;
__
ce = (5 . 35 + 10) cm
a. con g.
b. con h.
c. con e.
d. con f.
a. Sí, por AA.
b. No.
c. No.
d. Sí, por LLL.
8.
9.
___ ___ ___
; ed___
; be
a. Sí, AA. d^
be; d^
eb; db___
__
^
b. Sí, AA. a; a^
de; a^
ed;
ad
;
de
___ __ __ ; ae
^
^
^
c. Sí, LLL. e; d; f; __
de; __
df; __
ef
d. Sí, AA. ^
c; b^
dc; db; dc;__
bc ___
__
e. Sí, AA. ^
d; ^
e; a^
be; ae__
; be; ab
__ ___
^
^
^
f. Sí, AA. d; d ec; e cd; cd; ec; ed
10.
a. x = 3,5 cm;
y = 4,4 cm
__
b. x = 2 . 35 cm; y = 3,8 cm
10 cm; y = __
2 cm
c. x = ___
5
3
d. x = 2,5 cm; y = 3,2 cm
e. x = 3 cm; y = 12 cm
f. x = 1 cm; y = 6,83 cm
INTEGRACIÓN 51.52.53
11.
a. x = 2,2 cm;
___ y = 9,5 cm;
__
ac = 9 cm; bd___= 5 cm;
___
eg = 5,4 cm; gh = 1,3 cm
__
b. x = 4 cm; y = 6 cm; ac = 16 cm;
___
___
ab = 10 cm; pq = 4,8 cm;
___
ap = 8 cm
12.
Solución a cargo del alumno.
13.
Solución a cargo del alumno.
14.
Solución a cargo del alumno.
15.
a. 2,6 cm
b. 2,25 cm
c. 6,54 cm
d. 3,57 cm
16.
a. 4,125 cm
b. 10,5 cm
c. 2, 54 cm
d. 2,5 cm
17.
a. 1,60 m
b. 3,83 m
18.
No son paralelas.
19.
a.
b.
___
pq
__
___
= oq = 6 cm
__
df = 16,8 cm; bc = 5,4 cm
20.
Solución a cargo del alumno.
21.
Solución a cargo del alumno.
__
22.
8 = 4;
bc
__ = __
x = 4 cm; ___
2
___
df
__
4
ac = ___
ab
12 = 4; ___
___
___
__ = __
=4
1
3
ef
de
Por lo tanto son semejantes.
23.__
___
bc
___= 8,44 cm; mn = 13,3 cm;
mp = 9 cm
24.
Solución a cargo del alumno.
25.
a. El mástil mide 3,9 m.
b. La sombra mide 0,79 m.
54. Trigonometría
26.
a. b; a; a; b
b. Solución a cargo del alumno.
27.
a. sen ^
α = 0,6
cos ^
α = 0,8
tg ^
α = 0,75
cotg ^
α = 1,3
sec ^
α = 1,25
cosec ^
α = 1,6
b. sen ^
α = 0,848
cos ^
α = 0,53
tg ^
α = 1,6
cotg ^
α = 0,625
^
sec α = 1,887
cosec ^
α = 1,179
sen ^
β = 0,8
cos ^
β = 0,6
tg ^
β = 1,3
cotg ^
β = 0,75
sec ^
β = 1,6
cosec ^
β = 1,25
^
sen β = 0,53
cos ^
β = 0,848
tg ^
β = 0,625
cotg ^
β = 1,6
^
sec β = 1,179
cosec ^
β = 1,887
29.
Por ejemplo,
a. 56°
b. 42°
c. 70°
fila 1:
d. 77° 41’ 51”
e. 66° 55’ 13”
f. 56°
30.
a. 2
c. 3
5 __
7
17 __
b. __ . 33 – 1
d. ___ + ___ . 33
5
12
6
31.
a. 26° 33’ 54” b. 38° 39’ 35”
56. Resolución de triángulos
rectángulos
32.
__
a. ^
a = 50°; ac = 7,83 cm;
__
ab = 5,03 cm__
^
b.
__ b = 60°; ac = 6 cm;
bc = 6,93 cm
c. ^
a = 35° 41’ 7”; ^
c = 54° 18’ 53”;
___
ab = 9,75
d. x = 6,69 cm; y = 4,37 cm
e. x = 11,28 cm; y = 0,64 cm;
z = 7,45 cm
f. x = 5,2 cm; y = 0,64 cm;
z = 2,86 cm
33.
b. 10,50 m
a. 12,87 cm
57. Teoremas del seno y del
coseno
34.
a. ^
a = 27° 57’ 57”; ^
c = 22° 2’ 3”;
__
ac = 24,50 cm___
^
b.
__ c = 109°; ab = 15,11 cm;
bc = 10,90 cm
c. ^
a = 27° 7’ 36”; ^
b = 22° 19’ 54”;
^
c = 130° 32’ 30”
d. ^
a = 22° 28’ 53”; ^
b = 122° 31’ 7”;
__
ac = 22,05 cm
___
^
e.
__ a = 43°; ab = 4,59 cm;
bc = 6,89 cm
___
f. ^
c = 23°; ab = 14,60 cm;
__
ac = 26,43 cm
58. Resolución de triángulos
oblicuángulos
39.
a. 17,82 m
b. Pablo, 8,32 m y Lura, 12,48 m.
40.
a. Los ángulos miden 134° 37’ 6”;
20° 50’ 56” y 24° 31’ 58”.
b. ^
c = 15° 33’ 49”
41.
a. 8,5 m
b. 25,28 m
42.
La pared mide 7,70 m de alto.
43.
a. 46,58 m
b. 11,45 km
44.
P: 25,98 cm
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
INTEGRACIÓN 54.55.56.57.58
45.
a. Solución a cargo del alumno.
b. Por ejemplo, fila 1: 0,34202;
0,93969; 0,36397
46.
a. F
b. V
c. V
d. F
47.
Solución a cargo del alumno.
48.
Solución a cargo del alumno.
49.
Solución a cargo del alumno.
50.
Solución a cargo del alumno.
51.
Por ejemplo, fila 1: 0,99619;
0,08716; 11,43001
52. __
3
6 – __
c. 3
a. 3__
4
4
5 __
2
__
d. – __ . 33
b.
3
6
53.
^
α = 54° 27’ 44”
e. 4
54.
Solución a cargo del alumno.
36.
p^
sq =__39° 49’ 17”; __
___
pq = rs = 10,60 cm; qr = 7,04 cm
55.
__
b. 33° 41’ 25”
a. 18 . 33__
c. (2 + 33 ) cm. Los ángulos miden
65° 6’ 14” y 24° 53’ 46”.
d. 26° 33’ 54” e. 41° 48’ 37”
f. Se encuentran a 4 249,35 km.
55. Cálculo de razones
trigonométricas
37.
x = 6 cm; y = 7,86 cm
56.
Solución a cargo del alumno.
28.
a. Por ejemplo, fila 1: 0,9063;
0,42262; 2,1445; 1,10338;
2,3662; 0,46630.
38.
^
c = 50° 25’ 3”; ^
a = 96° 22’ 46”;
^
b=^
d__= 106° 36’ 6”;
__
bc = cd = 7 cm
57.
a. 14,4 cm
b. 33,54 cm
c. 49,27 cm
d. 90°, 90°, 35° 1’ 1” y 144° 58’ 59”
35.___
___
mp = 19,78 cm; nq = 11,35 cm
239
58.
a. 61 48’ 48”
b. 75,25 km
c. ^
c = 15° 33’ 49”
AUTOEVALUACIÓN
Va X en:
59. a.
61. a.
63. c.
60. c.
62. c.
64. d.
capítulo
9
59. Combinatoria
1.
a. 144 c. 336 b. 5 040 d. 10 712
2.
a. x = –2 300
b. x = 2 400
3.
a. 20n
b. (160n + 320) . n!
4.
a. 11! = 39 916 800 formas.
b. 6! = 720; 5! = 120
c. 4! = 24; 3! = 9; 2 . 3! = 12
d. 3 360; 181 440.
e. 420 números. 150 números.
5.
a. 60
b. 2 184
c. 840
6.
a. n = 6
b. n = 2
7.
a. 6 840; 203 = 8 000
17
b. V 4 = 57 120
8.
10
a. 120
b. 120
c. V 6 = 151 200
d. 205
9.
a. 126
b. 3 003
10.
a. 792
c. 1 330
d. 560
b. 141
11.
Va X en:
a. x = 3
e. 120; 20
1
c. 336 d. ____
252
b. x = 2
c. 1 260
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
60. Binomio de Newton.
Triángulo de Pascal
12.
a. V
b. F
c. F
d. V
13.
a. x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81
b. x5 – 10x4 + 40x3 – 80x2 + 8x – 32
c. x5 + 10x4y + 40x3y2 + 80xy4 + 32y5
15 8 __
5 6 ___
x –2
x + 15
x4 –
d. x12 – 3x10 + ___
4
16
3
1
___ x2 + ___
16
64
240
14.
a. 1 287 v10 w8
b. 5 376 y6
15.
a. Va X en –8 064 x15
b. Va X en 1 458 z4
16.
a. a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 +
5ab4 + b5
b. x10 – 15x8 y3 + 90x6 y6 – 270x4 y9 +
405x2 y12 – 243y15
17.
a. 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9,
1; 9.° potencia del Bin. de Newton.
b. a9 – 9a8 + 36a7 – 84a6 + 126a5 –
126a4 + 84a3 – 36a2 + 9a – 1
61. Probabilidad
18.
5
1 b. __
1 c. __
1 e. __
1 f. 0
a. __
d. __
2
2
2
6
6
19.
4
5
1
b. 0
c. __
d. __
a. __
3
9
9
20.
5
1
P(A) = __; P(B) = __
2
6
21.
95
14 80
a. ____
b. ____; ____
189
189 189
62. Probabilidad condicional
22.
Por ejemplo, fila 1: 52%.
5
3
2
a. ___
b. ___
c. __
5
52
16
23.
Por ejemplo, fila 1: 150.
a. P(ag) = 0,01; P(ag|A) = 0,013;
P(ag|B) = 0,01 y P(ag|C) = 0,005.
La más segura es la marca C.
b. P(ang|C) = 0,30
INTEGRACIÓN 59.60.61.62
24. 3n . (n + 2!)
a. __________ ; A
n+4
12 ; A = 12
b. _____
n–2
25.
a. 40 320
b. 462
c. 91
d. 126; 56
45
= ___
7
e. 220
f. 24; 6
g. 3 838 380
h. 30 240
26.
71
b. z = 4 584
a. x = ___
2
c. No tiene solución, pues y = 0.
27.
Va X en:
a. 5 040 formas distintas.
b. 840 maneras de ocuparlos.
c. 364 números.
28.
3 628 800 formas de colocarse.
29.
5
1 – __
+ 10z – 10z4 + 5z7 – z10
a. __
z5 z2
b. x7 + 14x6 84x5 + 280x4 +
560x3 + 672x2 + 448x + 128.
c. Solución a cargo del alumno.
30.
a. a8; b16
b. 10y17
31.
1, 10, 45, 120, 210, 252, 210,
120, 45, 10, 1; 4.° término, 210.
32.
Va X en:
8 x5
a. ___
63
b. Ninguna de las anteriores.
33.
3 __
1 ; __
; 1
a. __
8 8 2
34.
a. 0,625
1
b. ____
720
4 4
c. __; ___
7 21
12
1 ; C: ___
b. A: __
3
47
35.
Va X en:
a. Ninguna de las anteriores.
3
3
22
c. __
d. __
b. ___
5
7
42
AUTOEVALUACIÓN
Va X en:
36. c.
38. c.
40. b.
37. a.
39. a.
41. a.
42.
150
70
170
110 c. ____
a. ____ b. ____
d. ____
225
725
355
355
¿PARA QUÉ
SIRVE?
Índice
LOS NÚMEROS REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
LA APROXIMACIÓN Y EL ERROR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
LAS SUCESIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
LAS FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
FUNCIÓN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
DISTANCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
FUNCIÓN CUADRÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . 10
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES . . . . . . . . . . . . . 11
TEOREMA DE THALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
TRIGONOMETRÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
COMBINATORIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
PROBABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 1
contenido
1
Los números reales
Los diferentes conjuntos de números fueron surgiendo en la historia de
acuerdo a la necesidad de contar y medir, pero ¿acaso hay algo cuya medida no
sea un número racional?
Hace más de 2000 años, los pitagóricos creían que todas las medidas podían
a
expresarse de la forma __
con a y b enteros, con b ≠ 0. Sin embargo, esta idea
b
tambaleó cuando quisieron expresar la medida de la diagonal de un cuadrado de
lado 1. De todos modos, como esto contradecía parte de sus creencias, ya que no
representaba un número conocido para ellos, decidieron no revelar este “secreto”.
Hoy sabemos, utilizando el teorema de Pitágoras, que la diagonal de un cuadra__
do de lado 1 mide 32 y este número no es racional, es decir, no puede escribirse
a
como __
con a y b enteros. Con el mismo criterio, por ejemplo, en un triángulo recb
__
tángulo de catetos 1 y 2, aparece 35 como medida de la hipotenusa, que tampoco
es un número racional.
Si bien en esa época se descubrió la existencia de números no racionales, a los que llamaron “inconmensurables”, su notación actual surgió recién en el siglo XVII, es decir, unos 2000 años después de
su descubrimiento.
Ahora... ¿con los números reales alcanza para medir todo lo que nos rodea?
La respuesta es sí, porque agregando los números irracionales la recta real está completa. Es decir,
no tiene “agujeritos”, cosa que sí pasa cuando marcamos en ella solo los números racionales. Por
ejemplo, si se pudiera caminar por la recta que no incluye a los números irracionales, correríamos el
__
riesgo de caernos en el “agujero” que se encuentra a distancia 32 del origen.
Si bien en términos prácticos usamos para medir los números raciona__
les —no hay una diferencia significativa en decir que algo mide 32 o
1,41 y si se necesita más precisión, se puede decir que mide 1,414213
y así sucesivamente cada vez que se requiera más exactitud—, contar
con los números reales hizo posible el surgimiento de una rama de la
matemática: el análisis. Muchas nociones, como las ideas de velocidad
y de aceleración, pueden definirse gracias a que contamos con los
números reales.
¡Y así casi todo lo que se irá viendo a lo largo de este libro descansa
en el hecho de que se puede caminar tranquilo por la recta real sin riesgo de caerse!
Actividades
___ ___
___
rectángulos
cuya
hipotenusa
mida
13
,
17
y
29 .
1. Encuentren triángulos
√
√
√
___ ___
___
2. Verifiquen que √13 , √17 y √29 son números irracionales.
1. 2 y 3; 1 y 4; 2 y 5
__
2. Se prueba del mismo modo que se prueba que 32 es irracional, utilizando el hecho de que
13, 17 y 29 también son números primos.
2
capítulo 1
contenido
2
La aproximación y el error
En nuestra vida cotidiana nos la pasamos “aproximando”, porque decir todo con una precisión del 100% no
solo sería muy costoso, sino que en ocasiones nos resultaría imposible y, en la mayoría de los casos, no es necesario.
Así, por ejemplo, cuando decimos: “En el recital había unas
1 000 personas”, estamos haciendo una estimación de acuerdo con lo que vimos; cuando decimos: “Son las 3 y media”
y en verdad el reloj marca las 3:31 horas con 34 segundos,
también estamos aproximando.
En matemática y en las ciencias en general pasa lo mismo:
no siempre es necesario tener una precisión absoluta para
poder concluir algo útil e interesante. Muchas veces no
necesitamos tanto grado de precisión y más aún, en la mayoría de los casos, ¡es
imposible poder hacerlo!
Por ejemplo, podemos considerar que la Tierra es una esfera, cosa que no es cierta,
pero sin dudas esta afirmación nos permitirá hacer algunas cuentas para aproximar
58
su volumen. También podemos considerar que el número ___
es igual a 0,58 cuando
99
en verdad es 0,58 o podemos decir que π es 3,14, cosa que tampoco es cierta, pero
para hacer cuentas es útil y nos brinda resultados aproximados.
Así, en el primer caso es muy costoso decir con precisión cuál es la forma de la Tierra;
en el segundo, no necesitamos tanta precisión para nuestras cuentas y son más cortas
al considerar el número truncado y, en la tercera, por más que quisiéramos, dado que el
desarrollo decimal de π es infinito, sería imposible escribirlo completamente.
Ahora, ¿qué tan buenas son estas aproximaciones? ¡Depende! Si quisiéramos conocer la
cantidad de personas que hubo en el recital para saber si el lugar estaba lleno o no, entonces la
aproximación sirve, pero si le quisiéramos regalar una gaseosa a cada persona que asistió, necesitaríamos una mayor precisión porque no querríamos que nadie se quedara sin su bebida. Pasa lo
mismo en matemática, la precisión de una aproximación va a depender del contexto y de para qué
se quiera usar la información.
Vale recalcar que, así como en la vida no podríamos ni hablar si esperamos que nuestros dichos
tengan un 100% de precisión, en matemática y en ciertas ciencias, no podríamos tener el enorme
caudal de conocimiento si no nos permitimos aproximar, aunque no debemos ignorar que cuando lo
hacemos el conocimiento es aproximado.
Actividades
1. Supongamos que nuestra calculadora trabaja con dos dígitos después de la coma. Si
1
ingresamos _____
1 000 , ¿qué número es para la calculadora?
1
2. Si en la misma calculadora realizamos la siguiente cuenta: 1000 . _____
1 000 , ¿cuál es el
error cometido por la calculadora? ¿Les parece una buena aproximación?
1. 0 2. El error es 1, pues la cuenta da 1 y la calculadora hace 1 000 . 0 = 0. Por lo tanto, no
parece una buena aproximación.
3
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 2
contenido
13
Las sucesiones
En enero de 2013, Martín decide empezar a anotar el dinero que tiene ahorrado mes por mes.
Al comenzar el año tiene $3000; al finalizar el primer mes tiene $5000; el segundo, $7000; el tercero,
$9000; el cuarto, $11000 y el quinto y último mes que tiene anotado, tiene $13000. ¿Podemos saber
cuánto dinero tendrá el mes que viene? ¿Y en 2 años?
Como podemos observar, a partir del segundo mes sus ahorros aumentan $2000 por mes, así el
mes que viene tendrá $15000 y en 2 años, tendrá $61000; a los $13000 que tiene se le suman los
$48000 (24 meses a $2000 por mes). Si quisiéramos precisar una manera de sintetizar cuánto dinero
tiene Martín ahorrado en el mes n (a partir de enero de 2013) escribiríamos: “Ahorros de Martín en el
mes n = $3000 + $2000 . n”.
En este ejemplo, intentamos buscar alguna regularidad que nos
permita ajustar el comportamiento de los ahorros de Martín a cierta
fórmula para intentar predecir el futuro de sus ahorros. Si bien esto
no es totalmente exacto porque estamos haciendo algunos supuestos
como que no cambia el trabajo, el monto de sus ahorros, ni su estilo
de vida, etc., nos permite obtener algunas conjeturas. Por ejemplo, “no
es probable que Martín pueda comprarse una mansión de millones de
pesos en 2 años” o “es muy probable que pueda comprarse un auto de
alrededor de $60000 en 2 años”. Lo que hemos generado es un modelo
matemático del comportamiento de los ahorros de Martín, representado con una sucesión y, a partir de este modelo, podremos responder
algunas preguntas.
Un ejemplo muy conocido, que también se modeliza con una sucesión, es la propuesta
pu
uesta de Leonardo
uesta
de Pisa, más conocido como Fibonacci. Allá por el siglo XIII, se encontraba estudiando
evolud cómo
ó
l
cionaba la población de conejos. Partió de los siguientes supuestos: los conejos alcanzan la madurez
sexual a la edad de un mes, momento en el que se aparean y la hembra siempre resulta preñada;
el período de gestación es de un mes y la hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos
opuestos. El primer mes tenía una pareja de conejos; el segundo mes también tendría la misma pareja pues recién a partir de aquí están aptos para reproducirse y hay que esperar el mes de gestación.
El tercer mes tendría dos parejas, pues nacieron los que estaban gestándose; el cuarto mes tendría
tres parejas, pues la pareja que ya podía reproducirse tiene una pareja al mes, pero la otra aún debe
esperar el mes de gestación. El quinto mes tendría cinco parejas; el sexto mes, ocho... De esta manera pudo observar que la cantidad de parejas de conejos en el mes n es la suma de las cantidades de
los dos meses anteriores. Entonces, si Fn es la cantidad de parejas de conejos en el mes
n, Fn = Fn–1 + Fn–2 (n ≥ 3) y así también, obtuvo un modelo matemático que le permitió predecir qué
pasaría con esa población de conejos.
Actividades
1. ¿Por qué creen que funciona la fórmula que descubrió Fibonacci para estudiar la cantidad de conejos?
2. ¿Qué otros supuestos ha hecho Fibonacci para que sea verdadera la fórmula descubierta?
1. Se desprende de lo escrito anteriormente, la idea es que lo miren con cuidado. 2. Por ejemplo, que los conejos no mueren.
4
capítulo 3
contenido
16
Las funciones
Supongamos que queremos publicar algo en Facebook y que lo vea la
mayor cantidad posible de gente. ¿En qué momento del día nos convendría
publicarlo? ¿Será lo mismo hacerlo a cualquier hora? Una opción para responder a estas preguntas sería analizar la cantidad de amigos que tenemos
conectados en las diferentes horas del día. ¿Tengo la misma cantidad a las
8 de la mañana que a las 10 de la noche? ¿A qué hora tendré más amigos
conectados? ¿Dependerá también del día de la semana?
Para casos así, nos sería de gran utilidad tratar de encontrar una función que
modelice la cantidad de amigos conectados que tenemos en Facebook en
relación con la hora del día, y tal vez también con el día de la semana. Lo que
nos interesa es encontrar el máximo de esta función, y así saber a qué hora
tenemos más amigos conectados. Si suponemos que a la hora en la que hay más amigos conectados, más gente verá mi publicación, entonces tendríamos la respuesta a nuestra pregunta.
Si miramos a nuestro alrededor, vemos que muchas cosas que nos rodean están relacionadas con
otras. Por ejemplo, el clima y nuestro estado de ánimo, el precio de un producto y la cantidad de
unidades que compramos, la simpatía de las personas y qué tan bien nos caen, los alimentos y su
cantidad de kilocalorías, los programas de televisión y su rating, la hora y el lugar donde estamos, el
precio de Internet y la cantidad de usuarios que tienen dicho servicio, la cantidad de metros cuadrados de un terreno y la cantidad de pisos que puedo construir, y así podríamos nombrar muchísimas
relaciones más.
Muchas de estas situaciones se pueden modelizar usando funciones. Justamente, estudiar estas funciones nos permitirá responder preguntas sobre el fenómeno en cuestión, describirlo e incluso poder
anticiparnos y hacer predicciones.
Así, por ejemplo, los economistas se dedican a modelizar y estudiar funciones que les permitan a
sus empresas maximizar sus ganancias; los meteorólogos, a modelizar y estudiar funciones que les
permitan predecir el clima; los ingenieros civiles, funciones que les permitan concluir qué cantidad
de materiales necesitan para construir cierto puente; los médicos, a modelar y predecir el comportamiento de epidemias. Como ven, en cada área hay funciones que nos permiten conocer, entender y
predecir mejor el mundo que nos rodea.
Actividades
1. ¿Qué otras variables pueden influir en la cantidad de amigos que vean mi publicación en Facebook?
2. Casi todas las empresas quieren maximizar sus ganancias y para eso deben analizar
a qué precio les conviene vender su producto. ¿Es cierto que mientras mayor sea el
precio, más ganancias tendrán? ¿De qué más depende? ¿Cómo podría ser la función de
ganancia en relación al precio?
1. La cantidad de gente que hace publicaciones a cada hora; por ejemplo, si mucha gente publica, entonces el Inicio se llena y la gente presta menos atención a cada publicación en particular.
2. No es cierto que mientras mayor sea el precio mayor será la ganancia, pues dependerá de la
cantidad de productos que se vendan.
5
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 3
contenido
19
Función lineal
Las funciones sirven para modelizar múltiples situaciones de la vida cotidiana. Particularmente,
las funciones lineales son muy utilizadas por su simpleza para ser analizadas matemáticamente. De ellas
conocemos todo: podemos resolver fácilmente las ecuaciones asociadas, determinar si son crecientes o
decrecientes, la tasa de crecimiento o decrecimiento y cuál es la imagen en cada punto. Es decir, lo mejor que nos puede pasar es poder modelizar lo que queremos estudiar mediante una función lineal. De
hecho, muchas veces hay fenómenos que no son lineales, pero se comportan de esta manera en ciertos
períodos o son bastante parecidos a una función lineal y entonces se prefiere considerar estos modelos
lineales en vez de otros más complejos que serán más difíciles de estudiar matemáticamente.
Algo que ha mantenido, y mantiene, a muchos científicos investigando es el tema de “la memoria”.
Algunas cosas se saben y muchas otras aún no, pero vamos a focalizarnos en un experimento del
psicólogo Stenberg, que trataba de investigar cómo se produce el almacenamiento y la recuperación
de la información. Para esto, básicamente Stenberg le mostraba a los sujetos un conjunto de dígitos
durante un cierto tiempo y luego les pedía que indicaran si algún dígito en particular estaba o no
en el conjunto inicial. Después de repetir este proceso y estudiar sus resultados, conjeturó que el
tiempo de reacción R —lo que tarda la persona en responder por sí o por no— es una función lineal,
dependiendo del tamaño del conjunto inicial N, representada por R = 38N + 397, medido en milisegundos. Entre otras cosas, a partir de este experimento, Stenberg observó que el tiempo de reacción
R no depende de si el dígito está o no en el conjunto inicial.
En el ámbito de la medicina, el crecimiento de un feto a partir de la semana 12 de embarazo se puede
aproximar por la función L = 1,5t – 6,7 donde L es la longitud en centímetros y t es la edad del feto medida en semanas. Así, por ejemplo, en la semana 18 la medida del feto es de aproximadamente 20,3 cm.
ros y la distancia del suelo a la rodilla. Luego apliquen
la fórmula mencionada y calculen el error que se comete
al aplicar la aproximación en cada caso.
2. ¿Qué otros ejemplos de la vida cotidiana se modelizan
a través de funciones lineales?
Solución a cargo del alumno.
6
meses
nacimiento
1 año
2 años
3 años
EDAD (MESES Y AÑOS
4 años
5 años
PESO POR EDAD EN VARONES (desde el nacimiento hasta 5 años)
Peso (kg)
Actividades
1. Confeccionen una tabla con la altura de sus compañe-
Peso (kg)
PESO POR EDAD EN MUJERES (desde el nacimiento hasta 5 años)
El peso de un niño, a partir de los 8 o 10 meses, también se
puede considerar que es lineal en función de la edad, como
puede observarse en los gráficos de la Organización Mundial
de la Salud (OMS). Otro dato interesante, extraído también de
estudios de la OMS, es que podemos estimar nuestra altura
midiendo solamente la distancia del suelo a nuestra rodilla. Para
varones de 6 a 18 años, la fórmula es A = 2,22R + 40,54 y para
mujeres de 6 a 18 años, la función está descripta por A = 2,15R
+ 43,21, donde A es la altura de la persona y R la distancia entre
el suelo y la rodilla. Obviamente, estas mediciones no son exactas, el error es de ±8,42 cm en los varones y de ±7,79 cm en las
mujeres en el 95% de los casos. Sin embargo, a pesar de no ser
exacta, es una buena aproximación lineal de nuestra altura.
meses
nacimiento
1 año
2 años
3 años
EDAD (MESES Y AÑOS
4 años
5 años
capítulo 3
contenido
20
Distancia
Seguramente, lo primero que se nos viene a la mente, cuando hablamos de distancia, es aquella que hay entre dos lugares o dos ciudades, pero el concepto de distancia puede ser utilizado en
muchos otros contextos. Para esto es necesario preguntarse cuáles son las características que hacen
a este concepto.
1. La distancia siempre es un número mayor o igual a cero. De hecho, si observamos en un mapa,
nos damos cuenta de que las medidas nunca son negativas.
2. La distancia es igual a cero solo en el caso de que el lugar de partida y el de destino sea
exactamente el mismo.
3. La distancia de c a d es igual a la distancia de d a c, pues medir de un lado a otro o al revés
es lo mismo.
4. La distancia entre dos lugares siempre es menor o igual que si se pasa por un tercer lugar. Por
ejemplo, para ir de Rosario a Buenos Aires cualquier camino que pase por otro lugar será más
largo o igual que ir directamente. Esto es lo que se conoce como “desigualdad triangular”.
Un desafío es encontrar una fórmula que nos permita calcular la distancia entre dos
palabras. ¡Sí, entre dos palabras! Para poder hacer esto tenemos que tener en cuenta
que por ejemplo, si dos palabras son iguales, la distancia tiene que ser cero. Además,
si dos palabras son “parecidas” entonces la distancia entre ellas debería ser pequeña y así, mientras más parecidas sean, menor debería ser su distancia. En principio,
tendríamos que preguntarnos qué queremos medir: si dos palabras son parecidas en
significado o si se escriben parecido. En esta ocasión, estudiaremos la segunda opción.
Entonces, queremos que dos palabras “estén cerca si se escriben parecido”.
Una opción es comparar caracter a caracter y sumar 1 si son diferentes y 0 si no. En el caso de palabras
de distinta longitud sumamos 1 por cada caracter de diferencia. Supongamos que uno está tipeando
rápido y pone “leta” en vez de “letra”; con la definición anterior estas dos palabras estarían a distancia
2. Sin embargo, pareciera estar más cerca “leta” que “lerda”, que también está a distancia 2 de “letra”.
Teniendo en cuenta lo anterior, podemos mejorar nuestra noción de distancia entre dos palabras
diciendo que es la menor cantidad de pasos que se necesitan para que una palabra se convierta en
la otra, donde las operaciones permitidas para llevar a cabo esta conversión son la inserción o la
eliminación de una letra y la sustitución de una letra por otra. De este modo, para pasar de “leta”
a “letra” solo necesito insertar una “r”, con lo cual la distancia entre ambas palabras es 1. Esta
distancia se conoce como Distancia de Levenshtein. Esta es una de las distancias más usadas en los
correctores ortográficos; si una palabra no está dentro del diccionario del corrector, este propone
posibles cambios. Estos posibles cambios son las palabras del diccionario que están “más cerca” de
la que hemos escrito, según esta noción de distancia.
Actividades
1. ¿Por qué te parece que se llama así la “desigualdad triangular”?
2. Si consideramos la distancia de Levenshtein, las palabras “parto”, “pardo” y “caro”,
¿qué distancia tienen con la palabra “cardo”? ¿Cuál está más cerca?
3. ¿A qué distancia están las palabras matemática y maravillosa? (distancia de Levenshtein)
1. Se llama desigualdad triangular pues con los tres puntos se determina un triángulo y en este,
la medida de un lado es siempre menor o igual que la suma de las medidas de los otros dos. 2.
Parto, distancia 2; pardo, distancia 1; caro, distancia 1. Las palabras pardo y caro están más cerca.
Respuesta: Están a distancia 8.
7
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 4
contenido
23
Función cuadrática
Las funciones describen relaciones y nos ayudan a analizar comportamientos como el valor de
una acción en la bolsa, la ganancia de un negocio o la cantidad de una sustancia en nuestro cuerpo.
Algunos de estos comportamientos están descriptos por funciones cuadráticas.
Un ejemplo intramatemático es la relación entre el lado de un cuadrado y su área: si el lado del cuadrado mide 1, su área será 1. Si el lado del cuadrado mide 2, entonces su área será 4. Si el lado del
cuadrado mide 3, su área será 9... En general, obtenemos que si el lado del cuadrado es x entonces
su área es x2, es decir, el área está descripta por una función cuadrática muy particular.
Lo mismo sucede en los deportes que involucren una pelota, sea del tamaño que fuere, como el golf,
el béisbol, el voley, el fútbol y el básquet. ¿Alguna vez observaron la forma que describe la pelota?
Si pateamos una pelota, esta se eleva, recorre una cierta distancia elevándose cada vez más, hasta
a
que llega a un punto donde empieza a bajar, recorriendo “el mismo camino”, pero al revés que en la
primera parte. Podemos decir que la trayectoria de la pelota describe una parábola.
¿Para qué nos sirve esto? Los modelos matemáticos permiten entender mejor el comportamiento de
lo que se está estudiando y además nos sirve para predecir, con cierto grado de precisión, lo que
ocurrirá. Por ejemplo, una vez que la pelota ha alcanzado el punto máximo sabemos que la trayectoria será “la misma, pero al revés” de lo que ya recorrió y esto, por ejemplo en béisbol, nos servirá
para anticipar adónde ir a buscar la pelota.
Otro ejemplo interesante que puede estar descripto por una función cuadrática es la
ganancia que se obtiene en función del precio al cual se vende cierto producto. Si
g
lo
logramos descubrir qué función se ajusta a modelizar este hecho, entonces podremos
predecir cuántos productos venderemos a cada precio y así, por ejemplo, también
podremos saber a qué precio venderlos para obtener la ganancia máxima.
Actividades
1. En el béisbol, mientras más lejos tiremos la pelota, más tiempo tendremos para recorrer las distintas bases.
a. ¿Qué características tendrá que tener la fórmula de la función cuadrática
que corresponde al tiro para que esta distancia sea lo más grande posible?
b. ¿Cómo se traduce eso al tiro?
2. Se sabe que si cada ejemplar de una novela se vende a $150,
entonces la ganancia es de $5000. Si, en cambio, se vende cada libro a
$180 o a $220, se obtiene la misma ganancia y esta es de $9200.
a. Si suponemos que la función que modeliza la ganancia en relación al
precio de venta es una función cuadrática, ¿cuál es su fórmula?
b. ¿A qué precio se obtendrá la mayor ganancia?
c. ¿Cómo pueden explicar que vendiendo a $180 y $220 se gane lo mismo?
1. a. El valor de a debe ser chico en valor absoluto. b. Es un tiro largo y bajo. 2. a. g(p) = –2p2 +
800p – 70 000. b. La ganancia máxima es $10 000, vendiendo a $200. c. Obtenemos la misma
ganancia con $180 y $220, por ejemplo porque vendemos menos libros a $220.
8
capítulo 5
contenido
30
Polinomios
Supongamos que Andrés piensa un número del 1 al 100 y Vicky lo tiene que adivinar. Cada vez que Vicky dice un número, Andrés le indica si el número que pensó es mayor o menor. En este juego, a Vicky le conviene ir partiendo el conjunto de números a la
mitad para acotar la cantidad de posibilidades; por ejemplo, si dice 50, estaría descartando
o
al menos 51 números, salvo que el número pensado por Andrés sea 50, por lo que Vicky
habría adivinado directamente. Si Andrés dice que es menor, el número a adivinar estaría
entre 1 y 49, y si dice que es mayor estaría entre 51 y 100. Con cualquier otro número, por
ejemplo 20, podría tener mucha suerte y entonces quedarse con el conjunto del 1 al 19, pero
ero
también podría tener mala suerte y quedarse con el conjunto del 21 al 100 que es mucho
más grande que los conjuntos anteriores, por lo que es más conveniente “partir a la mitad”.
d”.
Esta misma idea puede aplicarse a encontrar soluciones de ecuaciones. Si bien es cierto que hemos
aprendido a resolver ecuaciones como ax2 + bx + c = 0 y de hecho, tenemos una fórmula que nos indica
cuáles son sus soluciones, no es fácil resolver, por ejemplo, x8 + x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – 2x – 2 = 0.
No porque nosotros no sepamos, sino porque encontrar las soluciones de una ecuación no siempre es
posible como en el caso de la ecuación cuadrática.
Por suerte, no siempre queremos calcular la solución exacta y es ahí donde aparece Bolzano, quien
nos brinda un método para encontrar una solución tan buena como uno quiera. ¿Cómo es esto?
Supongamos que queremos hallar una solución de P(x) = x5 – x4 + 1 = 0. Como P(0) = 1 y P(–1) = –1,
sabemos por el teorema de Bolzano que hay un x que pertenece al intervalo [–1,0] tal que P(x) = 0.
1
1
__
Entonces, si partimos el intervalo en dos, obteniendo los intervalos –1;– __
2 y – 2 ;0 , sabemos que
en alguno de ellos está ese x que buscamos. Teniendo en cuenta el teorema de Bolzano nuevamen1 > 0 y P(–1) < 0, el x que buscamos está incluido en –1;– __1 y si volvemos a partir el
te, como P – __
2
2
3
3 __
3
1
__
__
intervalo en dos y repetimos el procedimiento, obtenemos –1;– __
y
–
;–
2 , P – 4 > 0, entonces
4
4
3
nos quedamos con –1;– __
. Repitiendo este proceso, vamos obteniendo intervalos cada vez más
4
chicos que contienen el x que buscamos:
[
( )
[
]
[
[
] [
] [
]
]
] ( )
[ ] [
] ( )
[ ]
( )
7 ___
13
13 __
3
13
7
7 ___
13
___
___
__
__
ˆ [ – __
8 ;– 16 ] y [ – 16 ;– 4 ], P( – 16 ) > 0 ∧ P( – 8 ) < 0 entonces nos quedamos con [ – 8 ;– 16 ];
7 ___
27
27 ___
13
27
7
7 ___
27
___
___
__
__
ˆ [ – __
8 ;– 32 ] y [ – 32 ;– 16 ], P( – 32 ) > 0 ∧ P( – 8 ) < 0 entonces nos quedamos con [ – 8 ;– 32 ];
55
55 ___
55
55 ___
7 ___
27
27
27
___
___
___
___
ˆ [ – __
8 ;– 64 ] y [ – 64 ;– 32 ], P( – 64 ) < 0 ∧ P( – 32 ) > 0 entonces nos quedamos con [ – 64 ;– 32 ];
109
109 27
109
109
55 ____
55
55 ____
ˆ [ – ___
;–
y – ____;– ___
, P – ____ > 0 ∧ P( – ___
< 0 entonces nos quedamos con [ – ___
;–
.
64 128 ] [ 128 32 ] ( 128 )
64 )
64 128 ]
7
7 __
3
7
3
7 __
3
__
__
__
__
ˆ –1;– __
8 y – 8 ;– 4 , P – 8 < 0 ∧ P – 4 > 0 entonces nos quedamos con – 8 ;– 4 ;
De este modo —utilizando repetidamente el truco de partir el intervalo al medio y luego el teorema
109
55 ____
de Bolzano—, podemos decir que hay una raíz de P en el intervalo – ___
;–
y todos los números
64 128
incluidos en este intervalo son de la forma –0,85. Ahora, si nos basta con dos dígitos después de
la coma, podríamos decir que una “solución” es –0,85, pero si necesitáramos una mayor precisión,
tendríamos que seguir con este proceso. Este método se conoce como el Método de Bisección.
[
]
Actividades
1. ¿Cuánto da P evaluado en la “raíz” que encontramos?
2. ¿Cuán lejos está la verdadera raíz de P de –0,85?
1. 0,034288438
2. Sabemos que la raíz será de la forma –0,85 pues así son todos los números donde está el x
1 (también se puede ver porque la longique buscamos, con lo cual el error será menor que ____
100
1
____
tud del intervalo considerado es
). La raíz con más grado de precisión es –0,856675 que eva128
luada en P da –0,000000605.
9
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 6
contenido
37
Factorización de polinomios
Hay diferentes maneras de expresar lo mismo y, en general, se utiliza
una escritura u otra dependiendo de lo que se quiera enfatizar o de la finalidad
que se le quiera dar. Así, por ejemplo, podemos referirnos a las medias diciendo que
tenemos 12 pares de medias si queremos dar cuenta de la cantidad o podemos decir
que tenemos 3 pares de medias rojas, 2 verdes, 5 negras y 2 blancas, si queremos
hacer énfasis en una cuestión de combinación de colores, o bien que tenemos 4 pares de soquetes, 6 pares de medias cortas y 2 pares de medias largas, si queremos
hacer referencia a las diferentes cantidades según el tipo de media. Cada una de
estas escrituras describe lo mismo, los pares de medias. Sin embargo, cada escritura tiene una cierta utilidad dependiendo de lo que quiera mostrar.
Lo mismo ocurre con las expresiones algebraicas: hay diferentes escrituras de una misma expresión y
cada una de esas escrituras permite mostrar, como en el ejemplo de las medias, algo en particular.
Así, por ejemplo, en la expresión x2 – x – 2 se puede ver fácilmente que la parábola que la describe
corta al eje y en –2, pero no se puede ver en dónde esa parábola corta al eje x. Sin embargo, esta
expresión es equivalente a (x + 1) . (x – 2), que es otra escritura de la misma función y permite ver
fácilmente que la parábola corta al eje x en –1 y 2, pero dejamos de ver en dónde cortará al eje y.
Esto significa que cada “escritura” tiene sus ventajas y sus desventajas.
Una de las principales ventajas de tener la forma factorizada de la expresión —en el ejemplo
(x + 1) . (x – 2)— es que podemos ver a simple vista cuáles son sus raíces. Cuando se tiene la expresión factorizada igualada a cero, averiguar los valores de x que verifican la igualdad, se reduce a
encontrar los valores donde cada factor vale cero. En el ejemplo, la expresión es igual a 0 si y solo
si x + 1 = 0 o x – 2 = 0, es decir, cuando x = –1 o x = 2 y así, el tener la fórmula factorizada nos
permite reducir el problema en 2 problemas más pequeños.
Identificar las raíces inmediatamente permitirá, entre otras cosas, resolver ecuaciones, realizar un
gráfico aproximado de la función o resolver problemas como, por ejemplo, averiguar cuánto tiempo
después de que un tenista golpea la pelota esta cae a la cancha, sabiendo que la trayectoria está
dada por la expresión f(t) = 8t – t2, con t medido en segundos. En este caso, la pelota tocará el piso
cuando su altura sea cero, f(t) = 0. Por lo tanto, si factorizamos la expresión, inmediatamente identificaremos el tiempo que estamos buscando.
Actividades
1. Teniendo en cuenta el ejemplo del tenista, ¿en qué momento la
pelota tocará el piso?
2. ¿Existe algún x entero tal que la expresión x2 + 3x + 2 sea impar?
3. ¿Pueden encontrar con los métodos aprendidos las raíces de
x3 + x2 + x + 1? ¿Y de x4 + x3 + x2 + x + 1?
10
1. t . (8 – t) = 0 ⇒ t = 0 ∨ t = 8. Tocará el piso 8 segundos después. 2. No. x2 + 3x + 2 = (x + 1) .
(x + 2), es el producto de dos números consecutivos, con lo cual uno de los dos siempre es par y al
multiplicarlo por cualquier número el resultado siempre es par. 3. Se espera que en el primer caso
puedan encontrar que –1 es raíz (también lo son i y –i). La idea es hacer hincapié en que —incluso
con polinomios muy simples y de grados bajos— no es fácil encontrar las raíces. Podrían intentar utilizar el método de bisección visto en el texto ¿Para qué sirve? Teorema de Bolzano.
capítulo 7
contenido
47
Sistemas de ecuaciones lineales
Son muchas las situaciones que se modelizan utilizando ecuaciones lineales: desde ejemplos
matemáticos hasta ejemplos de economía, astronomía, ingeniería, biología, meteorología o física,
incluso hay ejemplos que datan de hace alrededor de 4 000 años.
Uno de ellos, formulado en el antiguo imperio babilónico (1900-1600 a.C), dice así:
“Un trapecio de 320 unidades cuadradas es quitado de un triángulo rectángulo con
una línea paralela a uno de sus lados. El otro lado tiene 50 unidades de longitud,
y la altura del trapecio es de 20 unidades. ¿Cuáles son las medidas de las bases
del trapecio?”.
50
Otros ejemplos tienen que ver con averiguar el equilibrio en una distribución de
temperaturas, en cifrar y descifrar mensajes, en encontrar las resistencias, corrientes y potencial eléctrico de un circuito e incluso en la mecánica detrás del funcionamiento de un tomógrafo. También en astronomía se usan los sistemas de
ecuaciones para encontrar las ecuaciones de las órbitas de planetas y asteroides.
20
área = 320 u2
Otro problema muy interesante proviene de la economía y es conocido como el modelo de Leontief. Este modelo tiene el objetivo fundamental de estudiar la interrelación de industrias en una
economía y llevó a Wassily Leontief a ganar el Premio Nobel en 1973. Veamos un ejemplo concreto que se puede luego generalizar a otros contextos: “En una ciudad hay tres industrias: una de
acero, una de transporte y una planta de energía eléctrica. Para producir una unidad de acero ($1),
la industria gasta $0,25 de acero, $0,1 de ferrocarril y $0,35 de energía eléctrica. Para producir
una unidad ($1) de transporte se gasta $0,15 de acero, $0,2 de transporte y $0,1 de energía
eléctrica. Para producir una unidad ($1) de energía eléctrica se gasta $0,15 de acero,
0
$0,25 de transporte y $0,35 de energía eléctrica. Si hay una demanda externa de $600
e
000 de acero, $600 000 de transporte y $1 100 000 de energía eléctrica, ¿cuánto debe
producir cada industria para satisfacer la demanda total?”.
Si se supone que la producción de cada industria es igual a su demanda, no habría sobreproducción, y la demanda total es igual a la suma de las demandas internas y externas. El problema se resuelve, entonces, mediante un sistema de tres ecuaciones con
tres incógnitas; por ejemplo, si tomamos el caso de la industria de acero, la ecuación
quedaría planteada del siguiente modo: 0,25a + 0,1t + 0,35e + 600 000 = a.
Como se puede ver, la aplicación de este tema se encuentra en todas las áreas y es por eso
que es tan importante su estudio. Podríamos enumerar muchos otros contextos en donde se utilizan,
pero como diría el famoso matemático Fermat, “... una página de este libro es muy pequeña para
poder hacerlo”.
Actividades
1. Resuelvan el problema de los babilónicos. Pueden ayudarse con el gráfico.
2. Planteen las ecuaciones que faltan del problema del modelo de Leontief y resuélvanlo.
(x + y) . 20
x . 50
1. Primera ecuación: 320 = _________ ⇒ 320 = 10x + 10y; segunda ecuación: 320 = _____
2
2
y_____
. 15
⇒ 320 = 25x – 15y; solución, 12 y 20.
–
2
2. 0,15a + 0,2t + 0,1e + 600 000 = t; 0,15a + 0,25t + 0,35e + 1 100 000 = e.
La industria de acero debe producir $2 320 623,206; la de transporte, $1 537 515 y la de energía,
$2 819 188,192.
11
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 8
contenido
51
Teorema de Thales
¿Alguna vez quisieron medir algo muy alto? ¿Un edificio? ¿Una
montaña? ¿El obelisco? ¿Acaso se imaginan cuánto pueden medir las
pirámides de Egipto? Hoy en día se cuenta con diversos elementos de
medición que permiten conocer estos datos con bastante precisión.
Pero... ¿qué sucede si en este momento quisiéramos averiguar la altura
de un edificio? ¿Qué instrumentos tenemos a nuestro alcance?
Probablemente, contemos con los mismos instrumentos que tenía Thales
hace más de 2 500 años, ¿no es cierto? En aquella época, fue Thales quien
con una vara y algún instrumento de medición, como el que hoy conocemos como cinta métrica, pudo
calcular la altura de una de las pirámides de Egipto: la pirámide de Keops.
Seguramente, todos observaron que en un día soleado todos los objetos, personas, edificios, etc.,
tienen su propia sombra, pero ¿notaron que todas estas sombras son paralelas entre sí? Ahora bien,
¿existe alguna relación entre la altura del objeto o persona y su sombra? Sí; justamente, la sombra
que generan los objetos y las personas son proporcionales a su altura. Así, por ejemplo, si Eugenia
es más alta que Celeste, entonces su sombra será más larga que la sombra de Celeste. Y sí... Thales
usó las sombras y esta proporcionalidad para calcular la altura de las pirámides.
Los rayos del sol —generadores de sombras— son paralelos entre sí, el piso es plano y los objetos
están todos ubicados perpendiculares al piso. Estas afirmaciones no son exactas, pero son buenas
suposiciones cuando se está en un lugar fijo. Por lo tanto, todos los triángulos formados por un rayo
de sol, un objeto ubicado sobre la tierra y su sombra serán todos semejantes. Precisamente, esto es
lo que dice el famoso teorema de Thales.
¿Y para qué sirve esto? Cuando sabemos que dos triángulos son semejantes, sabemos también que
las medidas de sus lados son proporcionales y, por ende, el largo de la sombra es proporcional a la
altura de los objetos en sí:
largo de la sombra del objeto A ____________________________
largo de la sombra del objeto B
____________________________
=
altura del objeto A
altura del objeto B
Entonces, si conocemos la altura de algún objeto chico —que podemos ubicar junto al árbol, al edificio u objeto que queramos medir— y podemos medir las sombras de ambos objetos, reemplazando
y despejando en la igualdad anterior, podremos averiguar la altura del edificio, árbol, etc., sin más
instrumentos que ¡una cinta métrica!
Actividades
1. ¿En algún momento del día el largo de la sombra es igual a la altura del objeto?
2. Sabemos que este tipo de resultados no son 100% exactos. ¿Se les ocurre en dónde
podemos cometer errores? ¿Cometeremos un error mayor cuando la sombra del objeto
sea más corta o más larga?
12
1. Para que el largo de la sombra y la altura del objeto sean iguales, el triángulo rectángulo que
se forma debe ser isósceles. Entonces, sus ángulos agudos miden 45°. Por lo tanto, el largo de
la sombra será igual en el momento en que los rayos del sol toquen el suelo con un ángulo de
inclinación de 45°.
2. Por ejemplo, cuando medimos la sombra. El error será mayor cuando la sombra es más corta.
No es lo mismo una diferencia de 0,1 cm en algo que mide 0,5 cm que en algo que mide un
metro (error relativo).
capítulo 8
contenido
54
Trigonometría
Está claro que no podemos medir la altura de una montaña con una cinta métrica. Menos aún,
podemos utilizarla para medir la distancia que hay desde la Tierra hasta la Luna y muchísimo menos,
para medir la distancia entre dos astros. Uno de los principales usos de la trigonometría es la medición de grandes distancias o a puntos inaccesibles, ya que si conocemos dos ángulos y un lado de
un triángulo, o dos lados y un ángulo podemos encontrar el resto de las medidas. Lo que se hace en
estos casos entonces es triangular los objetos cuya distancia queremos medir, de modo que, a través
de algunos pasos, podamos despejar la medida que queremos averiguar.
Veamos un ejemplo, supongamos que queremos calcular la distancia entre dos estrellas o entre los
picos de dos montañas, llamémoslos a y b. Tendríamos entonces un esquema como el siguiente en
el cual c y d son dos puntos cuya distancia conocemos o podemos calcular. Nuestro objetivo será
calcular, entonces, la distancia entre a y b.
a
d
c
d
Con algún instrumento —como por ejemplo, un teodolito— medimos los ángulos
acb, bcd, bdc y adc. Ahora, si observamos el triángulo acd, del cual conocemos
dos ángulos y un lado —distancia conocida entre c y d—, podemos hallar la
__
medida de ac __
y del mismo modo, observando el triángulo bcd podemos hallar
la medida de bc. Finalmente, en el triángulo abc conocemos las medidas de dos
de sus___lados y de un ángulo, lo que nos permite calcular la medida del tercer
lado (ab), que es precisamente la distancia que queríamos averiguar.
Este método se usa en una amplia variedad de situaciones. Eventualmente, si
quisiéramos calcular la distancia de la Tierra a la Luna o a algún otro astro,
o la altura de una montaña tendríamos como dato solamente a, pero se procede con argumentos similares, siempre intentando triangular la figura de modo tal de poder
ir despejando la medida que queremos averiguar. Y así, mediante las herramientas matemáticas y
el ingenio de numerosos astrónomos, se ha podido resolver el problema de calcular distancias que
no podemos ir a medir.
Actividades
1. Marquen en una hoja los puntos a, b, c y d ubicados aleatoriamente. Luego, midan
la distancia entre los puntos c y d. Finalmente, apliquen el método mencionado anteriormente para conocer la distancia entre a y b.
2. La distancia en línea recta entre Paraná y Posadas es de 660,89 km y entre Paraná y
Resistencia, de 499,81 km. El ángulo que tiene como vértice a Paraná, cuyos lados
pasan por las otras dos ciudades mide 26°. ¿Cuál es la distancia en línea recta entre
Posadas y Resistencia? ¿Cómo hicieron para calcularla?
1. Solución a cargo del alumno. 2. Respuesta abierta. Por ejemplo, se puede utilizar el teorema
del coseno. La distancia es aproximadamente 304,64 km.
13
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 9
contenido
59
Combinatoria
A grandes rasgos podríamos decir que la combinatoria estudia cuántas configuraciones con
ciertas condiciones hay, cómo se construyen y qué propiedades tienen. En muchas ocasiones, las distintas ramas de la Matemática, recurren a la combinatoria para obtener respuestas a
distintas situaciones.
Si en nuestra aula hay 30 bancos y en el curso somos 31 alumnos, sí o sí, al menos
dos de nosotros nos sentaremos en el mismo banco. Este resultado, que parece
obvio, se conoce como principio del palomar y sostiene que si hay n nidos y n + 1
palomas, entonces en un nido duermen al menos dos palomas.
Un ejemplo un poco menos obvio es el siguiente: si tiramos dos dados 12 veces
en, al menos, dos de esas tiradas, la suma de ambos dados es la misma. Las
posibles sumas de dos dados son 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, es decir, tenemos 11 posibles sumas —que equivaldrían a los nidos— y tiramos 12 veces el
dado —las tiradas equivaldrían a las palomas—, entonces, sí o sí hay al menos
una suma que se repite.
Veamos otro ejemplo conocido: el teorema de la amistad. Para esto asumimos que dos personas
pueden ser amigas o no amigas. El teorema garantiza que en cualquier grupo de 6 personas existen
3 de ellas que son todas amigas entre sí, o bien ninguna es amiga de otra.
¿Por qué es válido el teorema de la amistad? Observemos el gráfico y pensemos a cada persona
como uno de los vértices. Si dos personas son amigas unimos esos dos vértices con color azul;
si no, con color rojo. Elegimos uno de los vértices y lo llamamos p; de este punto salen cinco
aristas, cada una de color rojo o azul. Según el principio del palomar, al menos tres de estas
aristas deben ser del mismo color, por ejemplo, azul. Luego, llamamos a, b y c a cada uno de los
extremos opuestos de estas tres aristas. Entonces, si alguna de las aristas ab, bc o ca es azul, se
formará un triángulo azul junto con las dos aristas correspondientes: esto significa que las tres
personas que forman este grupo son amigas entre sí.
Si ninguna de las aristas ab, bc, ca es azul, entonces estas tres aristas son de color rojo y por lo tanto, el triángulo con vértices en a, b y c es rojo, y estas tres personas forman un grupo de tres donde
ninguna es amiga de otra, pues todas las aristas son rojas.
Actividades
1. Si tenemos un conjunto con 21 objetos y pintamos cada objeto de uno de dos colores, entonces sí o sí tendremos al menos 11 objetos pintadas del mismo color. En el
teorema de la amistad se realiza este mismo planteo, pero con cinco elementos, entonces tendríamos al menos tres de ellos pintados del mismo color. ¿Cómo pueden generalizar este resultado?
2. ¿Es cierto que si tienen un conjunto con 8 números enteros, entonces pueden encontrar dos que al restarlos, el resultado sea múltiplo de 7? ¿Por qué?
14
k están pintadas del mismo color y
1. Si hay k cosas y 2 colores entonces: Si k es par, al menos __
2
k
+
1
_____
si k es impar, al menos
están pintadas del mismo color. 2. Los posibles restos en la divi2
sión por 7 son 7 (del 0 al 6) y se tienen 8 restos con lo cual, por el principio del palomar, al
menos 2 de ellos se repiten. Restando esos, porque tienen el mismo resto, se obtiene un múltiplo de 7.
c
p
b
a
capítulo 1
contenido
61
Probabilidad
La probabilidad tiene múltiples aplicaciones; se utiliza en áreas que van desde la estadística
a la filosofía, pasando por la sociología, la física y la psicología, ya que en todas ellas suele ser útil
saber qué tan probable es que ocurra un cierto suceso.
Sin embargo, la teoría de probabilidades tiene su origen en los juegos de azar. Uno de los
primeros problemas de probabilidad, introducido en la Edad Media, fue el de averiguar la
cantidad de resultados posibles cuando se lanza varias veces un dado. Así, alrededor del
año 1200, Richard de Fournival afirmó —y estaba en lo cierto— que si se lanzan 3 dados—
hay 216 combinaciones posibles. Ese cálculo, hasta entonces, ningún matemático lo había
podido resolver correctamente.
Ahora bien, supongamos que estamos jugando al truco, somos mano y tenemos 32 de envido.
Seguramente cantaremos real o falta envido porque sabemos que hay muy pocas chances de perder,
pues la probabilidad de que un oponente tenga 33 es muy baja. En cambio, si nuestro oponente
tiene en mesa un seis, es un poco más probable que tenga 33. Otro de los juegos en el que los
jugadores manejan conocimientos de probabilidad es el póquer. Se han escrito gran cantidad de
libros que enseñan cómo aplicar probabilidades para ganar torneos de este juego.
Si bien hay muchas variantes del póquer, la más habitual hoy en día es la holdem.
En esta versión, todos los jugadores reciben dos cartas y se abre el juego: los que
apuestan siguen en juego y los que no, se retiran. Luego de esta primera ronda,
se ponen en la mesa 3 cartas que serán para todos y se abre una nueva ronda de
apuestas. Nuevamente, el que paga sigue y el que no, se retira. A continuación, se
pone una cuarta carta en la mesa y se abre otra ronda de apuestas. Finalmente,
se pone una quinta carta en la mesa y se abre la última ronda de apuestas. Gana
el jugador que forme el mejor juego de 5 cartas combinando las que tiene en la mano con las que más
le convengan de la mesa. Por ejemplo, si en la mesa hay un as de corazones, un 8 de picas, un 2 de
diamante, un 3 de corazones y una J de diamantes, y un jugador tiene un 4 de diamantes y un 5 de
picas, entonces su mejor juego es una escalera (1, 2, 3, 4 y 5). Si tuviese dos ases, su mejor juego sería
una pierna de ases (tres cartas con el mismo número y otras dos, distintas).
No es lo mismo arrancar una partida con un par de ases que con un 4 y un 5 de diferente palo. Por
eso nos conviene apostar en esta primera mano, pues si en la mesa sale lo del ejemplo anterior,
por más valioso que parezca nuestro par de ases, habremos perdido frente a un 4 y un 5 de distinto
palo. De todos modos, es bueno recordar que estas son probabilidades y que siempre puede llover
un día con poca probabilidad de lluvia o no llover un día en el que la probabilidad de lluvia sea alta.
Actividades
1. Richard de Fournival afirmó que hay 216 posibles combinaciones al lanzar 3 dados,
¿cómo habrá hecho para contarlas?
2. Si tiramos 3 dados, ¿cuántas combinaciones posibles hay si no tenemos en cuenta los
casos repetidos? Por ejemplo, 6-6-1; 6-1-6; 1-6-6 se cuentan como una misma combinación.
3. Si tiramos 3 dados y queremos apostar a cuánto dará la suma de esos tres dados,
¿a qué número nos conviene apostar?
1. Cada dado tiene 6 opciones, entonces las posibles combinaciones son 6 . 6 . 6 = 216. 2. Si solo consideramos las diferentes hay 6 con los tres números iguales, 30 con dos números iguales y otro distinto, y 120 con
los tres números distintos, haciendo un total de 156. 3. No todas las sumas tienen la misma probabilidad. Es
muy interesante calcular la probabilidad de cada suma. Conviene apostar a que la suma será 10 u 11, que tie27
nen una probabilidad mayor de ocurrir ____
216
( )
15
¿PARA QUÉ
SIRVE?
FIN