BPTFI03 - Serie A TALLER DE PROBLEMAS 1 - PRODUCTO VECTORIAL. TORQUES A. Producto Vectorial Antes de iniciar este taller el estudiante debe estar familiarizado con la definición de la operación matemática “producto vectorial entre dos vectores”. ⃗⃗ En particular: i) con la definición: 𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗ en componentes ii) con el cálculo de 𝐴⃗ × 𝐵 Se les sugiere recurrir a una breve introducción a los vectores presentada en el Cap. 1 del texto Young Freedman, Volumen 1, 12va Edición. ⃗⃗ = 3𝑖̂ + 4𝑘̂ , calcula 𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗ de dos maneras: Problema A1 (*)- Dados los vectores 𝐴⃗ = 2𝑘̂ y 𝐵 ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ a) Aplicando directamente la definición: |𝐴 × 𝐵| = |𝐴||𝐵|𝑠𝑒𝑛𝜃, dirección: normal a ambos vectores; sentido: el que determina la regla de la mano derecha. b) Aplicando el determinante de la matriz formada por los vectores unitarios y las componentes. Respuesta: ⃗⃗ = |𝐴⃗||𝐵 ⃗⃗|𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗̂, puesto que 𝑗̂ es perpendicular a 𝐴⃗ y a 𝐵 ⃗⃗ y el sentido lo impone la regla de la a) 𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗ , y el ángulo 𝜃 que forman 𝐴⃗ y 𝐵 ⃗⃗. mano derecha. Debemos calcular el módulo de 𝐴⃗ , el módulo de 𝐵 ⃗ ⃗⃗ Resulta: |𝐴| = 2, |𝐵| = 5. ⃗⃗ lo calculamos por ejemplo, con el producto escalar: El ángulo entre 𝐴⃗ y 𝐵 2 ⃗⃗ = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 ⟹ 8 = 2 5 𝑐𝑜𝑠𝜃 ⟹ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0,8 y por lo tanto 𝑠𝑒𝑛𝜃 = √1 − ( 8 ) = 0,6. 𝐴⃗ . 𝐵 10 ⃗⃗ = 𝐴 𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗̂ = 2 5 0,6 = 6𝑗̂. En definitiva: 𝐴⃗ × 𝐵 𝑖̂ 𝑗̂ ⃗⃗ = |0 0 b) Al plantear el determinante de las componentes obtenemos: 𝐴⃗ × 𝐵 3 0 𝑘̂ 2| = 6𝑗̂. 4 Problema A2 (**) (26.23)- ¿Cuál es la fuerza magnética que actúa sobre un electrón con velocidad 𝑚 ⃗⃗ = (0,8𝑖̂ + 0,6𝑗̂ − 0,4𝑘̂)𝑇, sabiendo que la ley de fuerza 𝑣⃗ = (2𝑖̂ − 3𝑗̂). 106 en un campo magnético 𝐵 𝑠 ⃗⃗ y que la unidad de medida del campo magnético en el Sistema Internacional magnética es 𝐹⃗𝐵 = 𝑞𝑣⃗ × 𝐵 de Unidades (𝑆𝐼) es el Tesla (𝑇)? Expresa 𝐹⃗ en coordenadas cartesianas y luego halla su módulo y los ángulos que forma 𝐹⃗ con cada uno de los ejes cartesianos. Respuesta: 𝐹⃗𝐵 = (−1,92𝑖̂ − 1,28𝑗̂ − 5,76𝑘̂) ∙ 10−13 𝑁; 𝐹 = 6,21 ∙ 10−13 𝑁; 𝜃𝑥 = 108𝑜 ; 𝜃𝑦 = 102𝑜 ; 𝜃𝑧 = 158𝑜 . Continúa en la página siguiente (*) Problema extraído del banco de Problemas del Departamento de Física, Unimet. (**) Problema extraído del texto Física, Volumen 2, Tipler y Mosca, 5° edición, Editorial Reverté. B. Torque Mecánico Sabemos, por intuición mecánica, que para hacer girar un cuerpo no solo es necesario aplicar una fuerza, sino que debemos hacerlo en el lugar apropiado. No se puede abrir una puerta empujando sobre la bisagra. La figura muestra tres fuerzas aplicadas a una llave, con el objeto de hacer girar la tuerca. ⃗⃗⃗⃗𝑐 es imposible que la tuerca gire, por grande que sea Cuando se aplica 𝐹 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ la magnitud de la fuerza. 𝐹 𝑎 y 𝐹𝑏 sirven para hacerla girar, pero 𝐹𝑏 es más eficiente, pues el “brazo de palanca” (distancia perpendicular del ⃗⃗⃗⃗⃗𝑏 a 𝑂 ) es mayor. punto de aplicación de 𝐹 La acción de rotación de una fuerza se define como el “momento ó torque de la fuerza” : 𝜏⃗ = 𝑟⃗ × 𝐹⃗ donde 𝑟⃗ es el vector posición del punto donde se aplica la fuerza 𝐹⃗ . El equilibrio de una partícula requiere que la suma de las fuerzas aplicadas sobre ella sume cero. Lo mismo es válido para cuerpos extensos: si la suma de fuerzas aplicadas no es nula, el cuerpo sufrirá un movimiento de traslación. Pero además, se requiere que las suma de los torques aplicados sea nula para que un cuerpo rígido (no deformable) esté en equilibrio rotacional. Esto se debe a que la existencia de un torque no equilibrado genera una rotación en un cuerpo rígido. Entonces, si estamos en presencia de un cuerpo rígido extenso (es decir, que no puede reducirse a una partícula) debemos imponer dos condiciones para asegurar su equilibrio: ∑𝑛1 ⃗⃗⃗ ∑𝑚 𝐹𝑖 = 0 𝜏𝑘 = 0 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ Problema B1 (**) (21.57 modificado)- Dos cargas puntuales 𝑞1 = 2,0𝑝𝐶 y 𝑞2 = −2,0𝑝𝐶 están separadas a una distancia 𝑎 = 4 𝜇𝑚. Se encuentran ubicadas sobre el eje 𝑦, estando la carga negativa en el origen de coordenadas, y la carga positiva en el eje 𝑂𝑦 positivo. Este dipolo eléctrico, está inmerso en un campo eléctrico uniforme de valor 4,0 ∙ 104 𝑁/𝐶. a) Determina el vector momento dipolar eléctrico, 𝑝⃗ = 𝑞𝑎⃗. b) Demuestra que el torque neto sobre el dipolo es igual al producto vectorial del vector momento dipolar eléctrico con el vector campo eléctrico. Verifica que el resultado es el mismo para cualquier centro de torques. c) Halla el valor del momento o torque sobre el dipolo si el dipolo forma un ángulo de 30𝑜 con el campo eléctrico. Respuesta: a) 𝑝⃗ = 8,0 ∙ 10−18 𝐶𝑚 𝑗̂. b) Sobre la carga positiva actúa 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗ . El torque de esta fuerza respecto del origen es: 𝜏⃗ = 𝑎𝑗̂ × 𝑞𝐸⃗⃗ = 𝑞𝑎 𝑗̂ × 𝐸⃗⃗ = 𝑝⃗ × 𝐸⃗⃗ . La fuerza sobre la carga negativa no produce torque respecto del origen, pues está aplicada allí. Por lo tanto el torque neto es el que produce la fuerza sobre la carga positiva. Calcula el torque respecto de cualquier otro punto para verificar que el resultado es el mismo. c) 𝜏 = 1,6 ∙ 10−13 𝑁𝑚. Continúa en la página siguiente (*) Problema extraído del banco de Problemas del Departamento de Física, Unimet. (**) Problema extraído del texto Física, Volumen 2, Tipler y Mosca, 5° edición, Editorial Reverté. Problema B2 (**) (21.58)- Un dipolo eléctrico de momento dipolar 0,5 𝑒 𝑛𝑚 está inmerso en un campo 𝑁 eléctrico uniforme de valor 4,0 ∙ 104 𝐶 . ¿Cuál es el valor del momento 𝜏 ejercido sobre el dipolo cuando: a) El dipolo es paralelo al campo eléctrico. b) El dipolo es perpendicular al campo eléctrico. c) El dipolo forma un ángulo de 30𝑜 con el campo eléctrico. Respuesta: a) Cero. b) 𝜏 = 3,2 ∙ 10−24 𝑁𝑚. c) 𝜏 = 1,6 ∙ 10−24 𝑁𝑚. Problema B3 (*)- La figura muestra una viga homogénea de longitud 𝐿 = 3𝑚 y peso 𝑊’ = 200𝑁, de cuyo extremo cuelga una carga de peso 𝑊 = 1000𝑁. La viga esta inclinada un ángulo 𝛼 = 60𝑜 respecto al suelo, y puede girar sobre un perno que está en el punto 𝑂. Está equilibrada por un cable que la sujeta mediante un gancho ubicado al extremo opuesto de 𝑂, formando con ella un ángulo 𝛽 = 30𝑜 . a) Expresa algebraicamente el torque del peso de la carga y el torque del peso de la viga; determina el valor de la tensión. b) Calcula el vector fuerza que ejerce el perno sobre la viga. Expresa tu resultado en coordenadas cartesianas y en coordenadas polares. Respuesta: a) El peso de la carga genera un torque horario de magnitud |𝜏⃗⃗⃗⃗⃗| 𝑤 = (𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝛼) 𝑊 = 1500𝑁𝑚. El peso de la barra (lo consideramos aplicado en su 𝐿 punto medio) genera un torque también horario de magnitud |𝜏⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 𝑤′ = (2 𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑊′ = 150𝑁𝑚. El torque de la tensión del cable debe tener la misma magnitud que la suma de éstos, y sentido opuesto (antihorario), para que el sistema permanezca en equilibrio. Por lo tanto: |𝜏⃗⃗⃗⃗⃗| 𝑇 = (𝑑 𝑠𝑒𝑛𝛽)𝑇 = 1650𝑁 𝑚. 1650𝑁𝑚 Entonces la tensión vale 𝑇 = 3𝑚.𝑠𝑒𝑛30° = 1100𝑁. b) Anulando la sumatoria de fuerzas sobre la viga, resulta que las componentes 𝑥 e 𝑦 de la fuerza ejercida por el perno sobre la viga en el punto 𝑂 valen: 𝐹𝑥 = 953𝑁 ; 𝐹𝑦 = 1750𝑁: 𝐹⃗ = (953𝑖̂ + 1750𝑗̂)𝑁 Estas componentes determinan que la fuerza en el perno tiene una magnitud de 2.183𝑁, y forma un ángulo de 58,4° con el eje horizontal 𝐹⃗ = (1993𝑁; 61°). ¡Nótese que la fuerza en el perno no está alineada con la viga, ya que ésta forma un ángulo de 60° con la horizontal! (*) Problema extraído del banco de Problemas del Departamento de Física, Unimet. (**) Problema extraído del texto Física, Volumen 2, Tipler y Mosca, 5° edición, Editorial Reverté.
