Taller de Problemas 1

BPTFI03 - Serie A - Período 1516-1
TALLER DE PROBLEMAS 1 - PRODUCTO VECTORIAL. TORQUES
A. Producto Vectorial
Antes de iniciar este taller el estudiante debe estar familiarizado con la definición de la operación
matemática “producto vectorial entre dos vectores”.
⃗⃗
En particular: i) con la definición: 𝐴⃗x𝐵
⃗⃗ en componentes
ii) con el cálculo de 𝐴⃗x𝐵
Se les sugiere recurrir a una breve introducción a los vectores presentada en el Cap. 1 del texto Young
- Freedman, Volumen 1, 12va Edición.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema A1 (*)⃗⃗ = 2𝑘̂ calcula 𝐴⃗x𝐵
⃗⃗ de dos maneras:
Dados los vectores 𝐴⃗ = 3𝑖̂ + 4𝑘̂ y 𝐵
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗|𝑠𝑒𝑛𝜑, dirección: normal a ambos vectores;
a) Aplicando directamente la definición: |𝐴 × 𝐵| = |𝐴||𝐵
sentido: el que determina la regla de la mano derecha.
b) Aplicando el determinante de la matriz formada por los vectores unitarios y las componentes.
Respuesta:
⃗⃗ = −|𝐴⃗||𝐵
⃗⃗|𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑗̂, puesto que 𝑗̂ es perpendicular a 𝐴⃗ y a 𝐵
⃗⃗ , y el sentido lo impone la regla de la
a) 𝐴⃗ × 𝐵
⃗⃗ , y el ángulo que forman 𝐴⃗ y 𝐵
⃗⃗.
mano derecha. Debemos calcular el modulo de 𝐴⃗ , el modulo de 𝐵
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
Resulta: |𝐴| = 5, |𝐵| = 2. El ángulo entre 𝐴 y 𝐵 lo calculamos con el producto escalar: 𝐴 . 𝐵 =
⃗⃗|𝑐𝑜𝑠𝜑 = 5.2. 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 8 de modo que 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0,8 y por lo tanto 𝑠𝑒𝑛𝜑 = 0,6.En definitiva: 𝐴⃗ × 𝐵
⃗⃗ =
|𝐴⃗||𝐵
⃗⃗|𝑠𝑒𝑛𝜑 = −5 . 2 . 0,6𝑗̂ = −6𝑗̂.
|𝐴⃗||𝐵
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
⃗⃗ = |3 0 4| = −6𝑗̂.
b) Al plantear el determinante de las componentes obtenemos: 𝐴⃗ × 𝐵
0 0 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema A2 (**) (27.7)- Una partícula con carga eléctrica 𝑞 = 7,80𝜇𝐶 se desplaza con velocidad 𝑣⃗ =
−(3,80. 103 𝑚/𝑠)𝑗̂ en una región uniformemente magnetizada. Se determina que la fuerza magnética
sobre la partícula, en ese instante, vale 𝐹⃗ = [7,60𝑖̂ − 5,20𝑘̂]. 10−3 𝑁. Sabiendo que la ley de fuerza
⃗⃗, y que la unidad de medida del campo magnético en el Sistema Internacional
magnética es 𝐹⃗ = 𝑞𝑣⃗ × 𝐵
de Unidades (SI) es el Tesla (abreviado “T”):
a) Calcula todas las componentes del campo magnético que puedas determinar con esta información.
b) ¿Existen componentes del campo magnético que no pueden determinarse midiendo la fuerza?
⃗⃗. 𝐹⃗ , y determina así el ángulo entre ambos vectores.
c) Calcula el producto escalar 𝐵
Respuesta:
a) 𝐵𝑥 = −0,175𝑇 ; 𝐵𝑧 = −0,256𝑇 .
b) 𝐵𝑦 no puede ser determinada, ya que, siendo paralela al vector velocidad, no produce fuerza
magnética sobre la partícula.
c) El producto escalar es nulo, lo cual permite verificar que ambos vectores son perpendiculares entre
sí. Nótese que se está obviando una posible componente 𝐵𝑦 ≠ 0 , que no puede ser determinada por
este método.
(*) Problema extraído del banco de Problemas del Dto. de Física, Unimet.
(**) Problema extraído del texto Física Universitaria, Volumen 2, Young, Freedman, Sears, Zemansky, 12ava Ed.
B. Torque Mecánico
Sabemos, por intuición mecánica, que para hacer girar un cuerpo no solo es
necesario aplicar una fuerza, sino que debemos hacerlo en el lugar
apropiado. No se puede abrir una puerta empujando sobre la bisagra. La
figura muestra tres fuerzas aplicadas a una llave, con el objeto de hacer
girar la tuerca.
Cuando se aplica ⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑐 es imposible que la tuerca gire, por grande que sea la
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
magnitud de la fuerza. 𝐹
𝑎 y 𝐹𝑏 sirven para hacerla girar, pero 𝐹𝑏 es más
eficiente, pues el “brazo de palanca” (distancia perpendicular del punto de
aplicación de ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑏 a 𝑂 ) es mayor.
La acción de rotación de una fuerza se define como el “torque de la fuerza” :
𝜏⃗ = 𝑟⃗ × 𝐹⃗
donde 𝑟⃗ es el vector posición del punto donde se aplica la fuerza 𝐹⃗ .
El equilibrio de una partícula requiere que la suma de las fuerzas aplicadas sobre ella sume cero. Lo
mismo es válido para cuerpos extensos: si la suma de fuerzas aplicadas no es nula, el cuerpo sufrirá
un movimiento de traslación. Pero además se requiere, que las suma de los torques aplicados sea nula
para que un cuerpo rígido (no deformable) esté en equilibrio rotacional. Esto se debe a que la
existencia de un torque no equilibrado genera una rotación en un cuerpo rígido. Entonces, si estamos
en presencia de un cuerpo rígido extenso (es decir, que no puede reducirse a una partícula) debemos
imponer dos condiciones para asegurar su equilibrio:
⃗⃗⃗𝑖 = 0
∑𝑛1 𝐹
∑𝑚
𝜏𝑘 = 0
1 ⃗⃗⃗⃗⃗
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema B1 (**) (21.63)- Dos cargas puntuales de igual magnitud 𝑞 = 4,5𝑛𝐶 y signos opuestos están
ubicadas sobre el eje 𝑥, estando la carga negativa en el origen de coordenadas, y la carga positiva a su
derecha. La distancia entre ellas es 𝑎 = 3,1𝑚𝑚. Este dipolo eléctrico, está inmerso en un campo
eléctrico uniforme de intensidad desconocida, cuyas líneas forman un ángulo 𝜃 = 37° con la dirección
del dipolo. Determina:
a) El vector momento dipolar eléctrico.
b) Demuestra que el torque neto sobre el dipolo es igual al producto vectorial del vector momento
dipolar eléctrico con el vector campo eléctrico. Verifica que el resultado es el mismo para cualquier
centro de torques.
c) La intensidad del campo eléctrico si el torque sobre el dipolo tiene una magnitud de 7,2 . 10−9 𝑁𝑚.
Respuesta:
a) 𝑝⃗ = 13,95𝑝𝐶𝑚 𝑖̂.
b) Sobre la carga positiva actúa 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗ . El torque de esta fuerza respecto del origen es:
𝜏⃗ = 𝑎𝑖̂ × 𝑞𝐸⃗⃗ = 𝑞𝑎 𝑖̂ × 𝐸⃗⃗ = 𝑝⃗ × 𝐸⃗⃗. La fuerza sobre la carga negativa no produce torque respecto del
origen, pues está aplicada allí. Por lo tanto el torque neto es el que produce la fuerza sobre la carga
positiva. Calcula el torque respecto de cualquier otro punto para verificar que el resultado es el mismo.
c) 𝐸𝑜 = 857,6𝑁/𝐶
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Continúa en la página siguiente
(*) Problema extraído del banco de Problemas del Dto. de Física, Unimet.
(**) Problema extraído del texto Física Universitaria, Volumen 2, Young, Freedman, Sears, Zemansky, 12ava Ed.
Problema B2 (**) (21.69)- Un dipolo eléctrico de momento dipolar 𝑝⃗ está inmerso en un campo
eléctrico 𝐸⃗⃗ .
a) ¿Qué orientaciones debe tener el dipolo respecto del campo eléctrico para que el torque eléctrico
sobre él sea nulo?
b) ¿Cuál de las dos orientaciones halladas corresponde a un equilibrio estable y cuál a un equilibrio
inestable? Para determinarlo, considera un pequeño desplazamiento a partir de cada una de esas
orientaciones de equilibrio, y piensa qué ocurre en cada caso.
Respuesta:
a) Los vectores 𝑝⃗ y 𝐸⃗⃗ deben ser paralelos (ángulo entre ellos 0°) ó antiparalelos (ángulo entre ellos
180°) entre sí.
b) Si el ángulo entre los vectores es nulo, luego de un pequeño desplazamiento tienden a recuperar
esa situación inicial: equilibrio estable. Si el ángulo entre los vectores es de 180°, luego de un pequeño
desplazamiento no vuelven a esa situación inicial: equilibrio inestable.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema B3 (*)- La figura muestra una viga homogénea de longitud 𝐿 = 3𝑚 y peso 𝑊’ = 200𝑁, de
cuyo extremo cuelga una carga de peso 𝑊 = 1000𝑁. La viga esta inclinada un ángulo 𝛼 = 60𝑜
respecto al suelo, y puede girar sobre un perno que está en el punto 𝑂. Está equilibrada por un cable
que la sujeta mediante un gancho ubicado a distancia d=2,5m del perno 𝑂, formando con ella un
ángulo 𝛽 = 30𝑜 .
a) Calcula, respecto a 𝑂, el torque del peso de la carga, del peso de la viga, y el torque de la tensión
en el cable; determina el valor de la tensión.
b) Calcula la fuerza que ejerce el
perno sobre la viga.
Respuesta:
a) El peso de la carga genera un torque horario de magnitud |𝜏⃗⃗⃗⃗⃗|
𝑤 = (𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝛼) 𝑊 = 1.500𝑁𝑚. El peso de
la barra (lo consideramos aplicado en su punto medio) genera un torque
𝐿
también horario de magnitud |𝜏⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
𝑤′ = (2 𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑊′ = 150𝑁𝑚. El torque de la
tensión del cable debe tener la misma magnitud que la suma de éstos, y
sentido opuesto (anti-horario), para que el sistema permanezca en
equilibrio. Por lo tanto: |𝜏⃗⃗⃗⃗⃗|
𝑇 = (𝑑 𝑠𝑒𝑛𝛽)𝑇 = 1.650𝑁𝑚. Entonces la tensión
1650𝑁𝑚
vale 𝑇 =
= 1.320𝑁.
2,5𝑚.𝑠𝑒𝑛30°
b) Anulando la sumatoria de fuerzas sobre la viga, resulta que las
componentes 𝑥 e 𝑦 de la fuerza ejercida por el perno sobre la viga en el
punto 𝑂 valen:
𝐹𝑥 = 1.143𝑁 .
𝐹𝑦 = 1.860𝑁.
Estas componentes determinan que la fuerza en el perno tiene una magnitud de 2.183𝑁, y forma un
ángulo de 58,43° con el eje horizontal. ¡Nótese que la fuerza en el perno no está alineada con la viga,
ya que ésta forma un ángulo de 60° con la horizontal!
(*) Problema extraído del banco de Problemas del Dto. de Física, Unimet.
(**) Problema extraído del texto Física Universitaria, Volumen 2, Young, Freedman, Sears, Zemansky, 12ava Ed.