Álgebra 5to Primaria: Ejercicios y Teoría

Álgebra
5
to
Primaria
Í n d i ce
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN Z
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Q
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN Q
POTENCIACIÓN I: EXPONENTE NATURAL
POTENCIACIÓN II: EXPONENTES ESPECIALES
POTENCIACIÓN III: CON BASE EN Z
REPASO
OPERACIONES COMBINADAS CON EXNENTES ESPECIALES
LEYES DE EXPONENTES I
LEYES DE EXPONENTES II
LEYES DE EXPONENTES III
OPERACIONES COMBINADAS CON LEYES DE EXPONENTES
RADICACIÓN I: CÁLCULO DE RAÍCES BÁSICAS
RADICACIÓN II: OPERACIONES COMBINADAS EN EL RADICANDO
REPASO
RADICACIÓN EN Z - PRIMERA PARTE
RADICACIÓN EN Z - SEGUNDA PARTE
TEORÍA DE EXPONENTES PARA LA RADICACIÓN (EXPONENTE FRACCIONARIO)
TEORÍA DE EXPONENTES PARA LA RADICACIÓN (RAÍZ DE UN PRODUCTO)
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES II
REPASO
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO II
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON COEFICIENTE EN Q
PLANTEO DE ECUACIONES
SISTEMA DE ECUACIONES I
SISTEMA DE ECUACIONES II
PÁG.
7
10
13
17
21
24
28
32
34
38
42
46
50
54
58
62
64
68
72
76
80
84
88
92
93
97
101
105
109
113
ÁLGEBRA
1
Adición y sustracción en Z
En el Pamer móvil suben 15 niños, luego bajan 7
niños y finalmente suben 20 niños más. ¿Cuántos
niños llegan al colegio en el Pamer móvil?
Para conocer el número total de alumnos que llegan al colegio, se realiza la siguiente operación:
suben bajan suben
Los alumnos que suben serán representados con el signo más (+), y los que
bajan, con el signo menos (-).
+15
-7
+20
suben bajan suben
⇒ Agrupamos
+
-
+
-
15 + 20
-7
35
-7
+28
En la adición y sustracción de números enteros (Z)
tenemos los siguientes casos:
A. Caso I
Signos iguales
Si se suman dos números con signos iguales, los
números se suman y al resultado se le antepone el
signo común.
Ejemplos:
-5 - 17 = -22
13 + 9 = 27
B. Caso II
Signos diferentes
Si se suman dos números con signos diferentes,
los números se restan (el mayor menos el menor)
y al resultado se le antepone el signo del número
mayor.
Ejemplos:
-14 + 17 = 3
20 - 35 = -15
Completa:
a) -15 + 32
= _____________
b) -6 - 17
= _____________
c) -24 + 17
= _____________
d) 7 - 18
= _____________
e) -4 - 15
= _____________
f) -27 - 38
= _____________
g) -18 + 27
= _____________
h) 17 - 29
= _____________
i) -32 + 15
= _____________
j) -29 + 17
= _____________
5to PRIMARIA
7
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
6. Resuelve:
R = -20 + 18 - 36 + 57 - 19 + 10
Nivel básico
1. Calcula: A = -17 - 42 + 53
Resolución:
7. Resuelve:
A = -27 + 15 - 18 + 26 - 17 + 23
Signos iguales
sesuman
A = -17 - 42 + 53
-59 + 53
Signos diferente
se restan
-6
2. Calcula: L = -42 - 36 + 98
4. Calcula: E = -100 - 47 + 98 + 102
y = -1
Nivel intermedio
5. Resuelve:
B = -17 + 42 - 53 + 18 - 61 + 10
Resolución:
B = -17 + 42 - 53 + 18 - 61 + 10
¡Agrupamos! B = +42 + 18 + 10 - 17 - 53 - 61
- B=
B=
8
+70
-61
5to PRIMARIA
8. Si: y = -17 + 28 - 12
Calcula: y + 28
Resolución:
y = -17 + 28 - 12
y = -29 + 28
3. Calcula: G = 86 - 92 -16
+
Nivel avanzado
131
∴Nos piden: y + 28
-1 + 28
27
9. Si: A = -25 + 30 - 17 + 2
Calcula A + 32.
10. Si: W = -15 + 83 - 37 - 23
Calcula W - 5.
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
1. Calcula:
A = 197 – 47 – 250
a) –99
b) –200
c) –100
d) 100
e) 99
2. Calcula:
B = –23 – 49 + 70 + 22
a)
b)
c)
d)
e)
18
20
118
–18
–118
3. Calcula:
C = 8 – 21 + 5 – 12
a) 20
b) –20
c) 15
d) –15
e) 33
4. Calcula:
D = 15–18 + 23 – 17 + 4
5. Calcula:
E = 32 – 56 + 48 – 134 + 30
a) 80
b) 8
c) –80
d) 88
e) 78
Nivel intermedio
6. Calcula:
F = –18 + 20 – 15 + 16 – 36 + 15
a) –16
b) –18
c) 18
d) 16
e) –32
8.
Calcula:
H = –17 – 19 – 23 + 14 + 18 + 23
a) –4
b) –14
c) –8
d) –6
e) –9
9. Calcula:
J = –14 + 27 – 9 + 8 – 11 + 29
a) 32
b) 51
c) 24
d) 16
e) 8
10. Calcula:
J = 27 – 12 – 8 + 33 + 14 – 17 – 19
a) 17
b) 5
c) 18
d) 14
e) –13
Nivel avanzado
11. Si: N = –8 + 28 – 15
Calcula: “N + 18”
a) 26
b) 23
c) 15
d) –15
e) 12
12. Si: A = –15 + 7 – 32 + 13
Calcula: “A –50”
a) 55
b) 15
c) –15
d) –77
e) 5
7. Calcula
G = –12 + 15 – 8 + 17 – 20 + 32
a) –24
b) –16
c) –14
d) 24
e) 14
5to PRIMARIA
9
ÁLGEBRA
Multiplicación y división en Z
2
LEY DE SIGNOS
A. Caso I
Si se multiplican o se dividen dos números con signos iguales, el resultado será positivo.
MULTIPLICACIÓN
(+) (+) = +
(-)(-) = +
DIVISIÓN
(+)
=+
(+)
(-)
=+
(-)
Ejemplos:
(-7)(-12) = 84
(-10) ÷ (-2) = 5
Completa:
a) (-10)(-4) b) (9) (11)
c) (-15)
(-3)
d) (-25) ÷ (-5)
= ___________
= ___________
= ___________
= ___________
B. Caso II
Si se multiplican o se dividen dos números con signos diferentes, el resultado será negativo.
MULTIPLICACIÓN
(+) (-) = (-)(+) = Ejemplos:
(7)(-11) = -77
(-36) ÷ (4) = -9
Completa:
a) (-8)(12)
b) (4) (-9)
c) (-24)
8
d) (-54) ÷ 9
10
= ___________
= ___________
= ___________
= ___________
5to PRIMARIA
DIVISIÓN
(+)
=(-)
(-)
=(+)
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
1. Calcula:
A = (-9) (12) - (-15)
3
Resolución:
B = (30 - 45) (93 - 96) ÷ (-2 - 3)
B = (-15)
Resolución:
A = (-9) (12) - (-15)
3
- +=-
- =
+
A = -108 - (-5)
×
A = -108 + 5
A = -103
2. Calcula:
(-3)
÷
(-5)
÷
(-5)
- -=+
B=
+45
+ =
B = -9
6. Calcula: R = (20 - 27)(18 - 21) ÷ (-3 - 4)
7. Calcula: A = -15 + (-37 + 35)(-1- 5)
Nivel avanzado
L = ( -8)(9) - (-36)
12
3. Calcula:
G = (-2)(-8)(10) - (-4)
2
4. Calcula:
(-4)(-6) (-5)
E=
+
5
(-3)
Nivel intermedio
5. Calcula:
B = (30 - 45) (93 - 96) ÷ (-2 - 3)
8. Calcula: Y = (-62 + 26) ÷ (5 - 11) + 18
Resolución:
Y = (-62 + 26) ÷ (15 - 11) + 18
Y = (-36) ÷ (-6) + 18
Y=
Y=
+6
+ 18
+24
9. Calcula: E = (-60 + 80) ÷ (9 - 13) + 17
10. Calcula:
H=
(-24 + 18)
(27 - 29) - (-49)
5to PRIMARIA
11
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
1. Calcula:
(6)
A = (–2)(–3)(–5) –
3
a) –32
b) 28
c) 32
d) –28
e) –27
7. Calcula

C
a)
b)
c)
d)
e)
8.
2. Calcula:

B
a)
b)
c)
d)
e)
(8)(6) (3)

(4)
3
13
–13
12
–12
15
3. Calcula:
C
(2)(7) 
a)
b)
c)
d)
e)
 4 
 2 
12
16
–16
–12
2
4. Calcula:
D = (–3)(–2)(4) –
a)
b)
c)
d)
e)
 10 
 5 
22
–22
26
–26
13
4
–4
2
0
–2
Nivel intermedio
6. Calcula:
B = –7 + (–19 + 16)(–4 – 2)
a) –11
b) 25
c) 11
d) –25
e) 18
12
5to PRIMARIA
Calcula:
D = (13 – 20) (–2 –1)  (–19 + 22)
a) –7
b) 7
c) 18
d) –18
e) 14
9. Calcula:
E = –14 +(–10 + 7)(–1 – 5)
a) 18
b) –14
c) 4
d) 14
e) –16
10. Calcula:
B = –3 + (34 – 32)(–4 – 9)
a) 29
b) -29
c) 23
d) -23
e) 25
Nivel avanzado
11. Calcula:

A
5. Calcula:
(5)(4) (18)
E


(10)
9
a)
b)
c)
d)
e)
15 – 19  7 – 9    –5  7 
10
8
4
–4
–8
a)
b)
c)
d)
e)
(20  36)
  9 
(32  34)
14
-14
19
1
-34
12. Calcula:

B
(15  40)
  3 
(5  10)
a)
b)
c)
d)
e)
2
13
–13
–16
8
ÁLGEBRA
3
Adición y sustracción
en Q
+
=
1
5
3
5
4
5
El día de hoy trabajaremos las sumas y restas con fracciones.
¡PRESTA ATENCIÓN!
A. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS
Para sumar o restar dos o más fracciones homogéneas, se operan los numeradores y se escribe el denominador común.
Ejemplos:
−14 − 8 − 5 = −14 − 8 − 5 = −27 = −3
−15 + 9 = −15 + 9 = −6
•
•
9
9 9
9
9
7
7
7
7
B. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS
Método 1: Productos cruzados
A C
AD + BC
+
=
Cuando los denominadores son primos entre sí, efectuamos el producto cruzado:
B
D
BD
Ejemplos:
x
•
2 − 5 = 2x 4 − 3x5 = 8 − 15 = −7
3 4
3x 4
12
12
•
−10 − 7 = −10x5 − 3x7 = −50 − 21 = −71
3
5
3x5
15
15
Método 2: Por MCM (mínimo común múltiplo)
Se recomienda utilizar este método al operar 3 fracciones o más.
Completa:
MCM (4, 6, 3) = 12
5to PRIMARIA
13
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
1. Calcula A = −15 + 17 − 47
4
4 4
Resolución:
A = −15 + 17 − 47
4
4 4
+
15
17
−
− 47
A=
4
A = −15 − 47 +17
4
+
62
17
−
A=
4
A = −45
4
−18 + 23 − 37
2. Calcula: L =
3
3 3
3. Calcula: G = 13 − 5 + 4 − 57
7 7 7 7
4. Calcula: E = −4 + 5 − 13 + 11
3 3 3
3
Nivel intermedio
5. Calcula: B = −15 + 1
13 2
Resolución:
-15 1
B=
+
13
2
x
B=
−15 × 2 +13 × 1
13 × 2
B = −30 +13
26
B = −17
26
14
5to PRIMARIA
6. Calcula: R = −4 + 8
5 3
7. Si: A = -5 + 2
4
Nivel avanzado
8. Calcula: E = 3 − 5 + 7
10 2 4
Resolución:
E= 3 − 5+7
10 2 4
donde MCM de (10), (2), (4) = 20
E = 2 × 3 − 10 × 5 + 5 × 7
20
6
−
50
+
35
E=
20
E = −9
20
−7 2 9
9. Calcula: A = + −
6 3 2
−2 3 4
10. Calcula: H = + −
5 2 6
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel intermedio
Nivel básico
1.
Calcula:
4 8 10 1
A  

3 3 3 3
23
a)
3
b)
16/3
c)
5
3
5/12
e) 0
d)
2.
6.
R 6 
a)
b)
c)
d)
e)
7.
3.
a)
b)
c)
d)
e)
4.
5.
8.
Calcula:
4 17 25 8
D



9
9
9 9
a) 4/9
b) 4/18
c) 5/9
d) –2/9
4
e)
9
Calcula:
1 5 3 11
E
   
4 4 4 4
a)
b)
1
4
1
4
–1/8
d) 1/8
e) 5
c)
4
3
5
–13/5
–11/5
1/5
5
–1
Calcula:
M

3 4

2 5
a) –7/10
b)–7
c) 3/10
d)–1/10
e) –9
Calcula:
2 3 41
C
  
7 7 7
40/21
46/7
18/7
40
7
– 40
7
8/3
9/4
–1/3
–16/3
–15/4
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
1 3 2 7
B   
5 5 5 5
1/10
1
–1
–5
–1/10
2
3
B
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
Calcula:
9.
Si
A
12 2
 
7 7
B
3 7
 
2 2
Calcula: A + B
a)
b)
c)
d)
e)
–7
9
28/9
7
–9
3 8

5 5
4
1

B

11 11
10. Si
A
Calcula: A + B
a) 147/16
b) 137/16
c) 146
55
d) 106/55
e) 1
5to PRIMARIA
15
ÁLGEBRA
Nivel avanzado
11. Calcula:
1 2 5
M
  
2 3 6
a)
b)
c)
d)
e)
16
–2/3
2/3
4/3
5/6
7/6
5to PRIMARIA
12. Calcula:
J
1 3 1
 
4 5 2
a)
b)
c)
d)
e)
7
20
5/11
4/7
27/20
17/11
ÁLGEBRA
4
Multiplicación y división
en Q
A. MULTIPLICACIÓN DE DOS FRACCIONES
A
C AxC
x
=
B
D BxD
Ejemplos:
-÷-= +
YY
-8
2
-8 x 2 -16 16
=
=
=
x
3
-7 3 x -7 -21 21
4
3
20 -9 20 x -9
4 x -3
-12
=
=
=
YY
x
= 12
3
5
3x5
1x1
1
1 1
¡Simplificamos!
B. DIVISIÓN DE DOS FRACCIONES
D
A
C A
AxD
÷
=
x
=
B
D
B
C
BxC
Fracción de fracción:
Calcula los 2 de 15 ; esta expresión equivale a:
5
4
1
3
2
15
2 x 15
1x3
3
=
=
=
x
5
4
5x4
1x2
2
1 2
Se invierte
Ejemplos:
3 7 3 4 3 × 4 12
÷ = × =
=
YY
5 4 5 7 5 × 7 35
YY 2 ÷ 1 = 2 × 5 = 2 × 5 = 10
5
1
La división también se puede presentar de la siguiente manera:
Multiplico
extremos
A
B
C
D
=
AxD
BxC
Multiplico
medios
Ejemplo:
1
5
 2
2
15
x
 3] =
= 1x5 = 5
1x2 2
 4
3x4
 15
2
1
5to PRIMARIA
17
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
( )( ) ( )( )
1. Calcula A = 1
2
−3 + −1
5
5
−7
2
Resolución:
A = 1 −3 + −1 −7
2
5 5
2
A = 1x − 3 + −1x − 7
2x5
5x2
A = −3 + 7
10
10
A = −3 + 7
10
( )( ) ( )( )
2
182 91
B = 252 − 70 =
=
120
120 60
6. Calcula:
7. Los
-6
2
de
es:
5
3
Nivel avanzado
8. Calcula:
4
A=
10
5
A= 2
5
( )( 75 )+( 101 )( 23 )
L= 3
4
3. Calcula:
( )( 13 ) − ( 73 )( 12 )
G = 13
2
4. Calcula:
( )( 43 ) − ( 12 )( 34 )
E= 1
2
Nivel intermedio
5. Calcula:
B= 3 ÷ 2 − 1 ÷ 3
5 7 4 7
Resolución:
B= 3 ÷ 2 − 1 ÷ 3
5 7 4 7
↓
↓ invertimos
3
7
1
7
B= x − x
5 2 4 3
21
7
21 • 12 - 10 • 7
=
10
12
10 • 12
x
18
1 1
A = 2 + 6 +5
3 1
5 7
Resolución:
2. Calcula:
B=
E= 1 ÷ 2 − 1 ÷ 3
5 3 4 5
5to PRIMARIA
1 1
A =  2 ]  6 ] +5
3 1
 5  7
A = 1x5 + 1x7 + 5
2x3 6x1
A = 5 + 7 +5
6 6

A = 5+7 +5
6
A = 12 + 5
6
A=2+5
A=7
9. Calcula:
1 3
B = 4 + 6 +7
3 2
9 5
10. Calcula:
3
C= 5 + 9 −9
2 10 2
7
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
a)
b)
c)
d)
e)
1.
Calcula:
7 4
3 11

A         
 3  5   5  3 
a) 4/3
3
c) -1/3
d) 1/3
e) 5/13
b)
2.
7.
a)
b)
c)
d)
e)
3 5
1 5

B         
 2  4   4  2 
b)
8.
5
2
Calcula:
Calcula:
3
2
3

D    3  
5
5
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
5.
Calcula:
1 14
1 10

E         
 7  5   2  3 
31/15
b) 7/8
c) 4/3
d) 19/15
a)
e)

31
–31
6
–1
1
Calcula:
19
15
Nivel intermedio
6. Los
1
1
5
9
10
a) 27
b)37
c) 2
d)77
e) 16
2   3   1   7 

C 
    

 5   4   10   2 
a) 13/20
b) –13/20
c) –1/20
d) 20
e) 1/20
4.
14 7 22 2



13 13 5 15
J 3
c) 7/3
d) 5/4
e) 3/8
3.
Calcula:
I
Calcula:
a) 7/6
–2
15
12
7/3
2
3
10
de 
es :
5
3
9.
Calcula:
37 7  4
I  
 
 5 5  15
a)
b)
c)
d)
e)
11
3
14
33
5
10. Calcula:
 3  21   2  5 
J
 7
7   9 9 

a)
b)
c)
d)
e)
1
–1
2
–2
3
Nivel avanzado
11. Calcula:
7
1 13
D3 

4 12 2
5
a)
b)
c)
d)
e)
1
0
2
–7/2
–5/3
5to PRIMARIA
19
ÁLGEBRA
12. Calcula:
M
3
3 4
1
 2
8 2
5
7
a) –7
b)
c)
d)
e)
20
–3
14
7
3
5to PRIMARIA
ÁLGEBRA
5
Potenciación I: Exponente
natural
La distancia que hay desde mi casa al colegio
Pamer es de 103 metros. Eso equivale a:
103 = 10 × 10 × 10 = 1000
3 veces
La distancia es de 1000 metros.
Esta semana aprenderemos la potenciación.
¡PRESTA ATENCIÓN!
DEFINICIÓN
La potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número llamado base tantas
veces como lo indica otro número, llamado exponente.
exponente
(Indica la cantidad de veces que
voy a multiplicar la base)
an = P
potencia
base
EXPONENTE NATURAL
a n = a × a...a ; n ∈
123
" n " veces
Ejemplo: 52 = 5 × 5 = 25

2 veces
Completa:
a) 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
b) 33 = _________________ = __________
c) 103 =
_________________ = __________
d) 53 = _________________ = __________
5to PRIMARIA
21
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
4
2
1. Calcula: A = 2 + 3
Resolución:
• 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
• 32 = 3 x 3 = 9
A = 24 + 32
↓ ↓
A = 16 + 9
A = 25
4
6. Calcula: R = 23 − 33
4 −7
7. Calcula: A = 100
+ 125
22
52
Nivel avanzado
8. Calcula:
13
3
2
Y = 2
x
2...
2 − 2 + 5 − 8
4
13 veces
2
2. Calcula: L = 3 + 5
3. Calcula: G = (15 - 11)2 + 25
4. Calcula: E = (-8 + 10)3 + 42
Nivel intermedio
5
5. Calcula: B = 22 − 62
3 −5
Resolución:
• 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
• 32 = 3 x 3 = 9
• 62 = 6 x 6 = 36
5
N = 22 − 62
3 −5
N = 32 − 36
9−5
N = 32 − 36
4
N = 8 - 36
N = -28
22
5to PRIMARIA
Resolución:
13
3
2
Y = 2
x
2...
2 − 2 + 5 − 8
13 veces
13
13
Y = 2
− 2
+125 − 64
¡Si se restan dos cantidades iguales el resultado
será igual a cero!
Y = 0 + 125 - 64
Y = 125 - 64
Y = 61
9. Calcula:
3
3
E = 320 − 3
x
3...
3 + 4 − 2
20 veces
10. Calcula:
2
A = 510 − 5
x
5...
5 + (−7 +12)
10 veces
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
1.
7.

H
Calcula:
A = (20–16)2 + 43
a)
a)
b)
c)
d)
e)
20
-20
c) 70
d) 80
e) 90
b)
2.
C = (–15+22)2–43
49
64
–15
15
2
D = 32 + 82 – 102
27
-5
5
6
–27
F = 62–52+42
b)
c)
d)
e)
27
18
–27
–18
10
I 2x32  5x22
a) 18
b) 20
c) 2
d) 38
e) 136
20
4
40
2
8
Calcula:
R = 4 + 3 x 22–32 x 4
a)
b)
c)
d)
e)
I
20
–20
–104
140
10
52
 102
2 3
3
135
105
5
125
142
Nivel avanzado
11. Calcula:
12 veces
a)
b)
c)
d)
e)
27
–27
9
–9
3
12. Calcula:
6. Calcula
a)
b)
c)
d)
e)
9.

J 412  4x4...4  (5  8)3
Nivel intermedio

G
8
9
17
10
–10
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
Calcula:
a)
24
9
32  7
10. Calcula:
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
5.
B = (–13+15)3+53
6
15
21
123
133
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
4.
8.
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
3.
Calcula:
200 160
 4
22
2
H
 626  6x6...6  (13  15  1)2
26 veces
a)
b)
c)
d)
e)
–9
–3
3
1
9
5to PRIMARIA
23
ÁLGEBRA
Potenciación II: Exponentes
especiales
EXPONENTES ESPECIALES
A. Exponente cero
“Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a uno”.
Ejemplos:
YY 10 = 1
YY 480 = 1
YY
( 34 ) = 1
0
00 = Indeterminado
YY (9 x 3 x 8 - 15 x 12)0 = 1
B. Exponente uno
“Todo número elevado al exponente uno es igual al mismo número”.
Ejemplos:
YY 181 = 18
YY 241 = 24
YY
( 73 ) = 73
1
YY (-7)1 = -7
C. Exponente negativo
()
a −n = 1
a
n
Ejemplos:
YY
YY
YY
( 13 ) = ( 13 ) = 3 = 3
( 12 ) = ( 21 ) = 2 = 8
( 13 ) = ( 13 ) = 3 = 9
−1
1
−3
3
−2
2
1
3
2
Recuerda que
Base uno → La unidad elevada a cualquier exponente siempre es uno 1n = 1 .
24
5to PRIMARIA
6
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
1. Calcula:
6. Calcula:
() () ()
C= 1
5
A = 270 + (-7)0 + 132 - 321
Resolución:
A = 270 + (-7)0 +
A= 1 -
1
7. Calcula:
132 - 321
+
3. Calcula:
−2
− 1
4
+ 1
3
() ()
( 13 )
1
D= 4
1 - 32
A = -31
2. Calcula:
−2
−1
+
1
5
−1
−1
−2
Nivel avanzado
L = 310 - (-9)0 + 140 - 401
8. Calcula:
2
E =133
G = (17 x 42 - 21)0 + (42)1 - 121
−23
+152
4
− 42
Resolución:
4. Calcula:
0
1
E = (-10 - 5) - (7 - 10)
E = 13
32 - 23
+ 15
24 - 42
Nivel intermedio
5. Calcula:
( ) − ( 13 ) +( 12 )
B= 1
4
−2
−3
Resolución:
E = 13
9-8
+ 15
16 - 16
E = 131 + 150
E = 13 + 1
E = 14
B=
1 -2
1 -3
1 -4
+
4
3
2
B=
4 2
3 3
+
1
1
B = (4)2 - (3)3 + (2)4
B = 16 - 27 + 16
B = 16 + 16 - 27
B = 32 - 27
B=5
−4
9. Calcula:
2 4
1
2
F =186
−351
13
+ 261
−130
10. Calcula:
2
G = 243
−91
2
+ 325
−6 x 4
()
− 1
4
5to PRIMARIA
−3
25
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
1.
Calcula:
R = (24 x 15 – 18)0 + (53)1 – 421
a)
b)
c)
d)
e)
2.
F = (–18 – 3)0 – (15 – 17)1
–3
–22
–20
20
3
35
–35
34
–34
1
1
1
0
30
–1
1
0
5
2
1
  
5
1
 151  32
Calcula:
1
3
  
7
1
 24
a) –8
b)–7
c) –12
d)–14
e) –15
Calcula:
3 5
T    
2 3
I = 1 – 27 + 28 –13
a)
b)
c)
d)
e)
1
5 7
   
7 2
1
–1
5/2
–5/2
1
7/5
10. Calcula:
Calcula:
J = (9 – 12)1– (5 – 11)1 + (4 + 2)0
1
2
3
4
5
3  1
H
2 9


a)
b)
c)
d)
e)
1
0
5
  
9
5
–5
1
6
–6
Nivel avanzado
11. Calcula:
Nivel intermedio
6. Calcula
1
 1  1
7
9
 
I  
2
 1
2
 
a)
b)
c)
1
J  

4
31
14
10
17
21
3
K   
5
9.
32
a)
b)
c)
d)
e)
26
8.
–8
2
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
H = 250 – (–9)0 + 125 – 351
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
5.
7.
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
4.
84
–84
83
80
50
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
3.
d)
e)
1
8
–4
4
5to PRIMARIA
2 161
B 194
a)
b)
c)
d)
e)
34
30
–30
–34
5
2 7x5
 426
1
  
3
2
ÁLGEBRA
12. Calcula:
3 32 24

C 172
2 251
 165
a) 17
b) 15
c) 19
d) –17
e) –18
5to PRIMARIA
27
ÁLGEBRA
7
Potenciación III: Con
base en Z
LEY DE SIGNOS PARA LA POTENCIACIÓN
1. Todo número positivo elevado a un exponente, par o impar, da como resultado un número positivo.
Par/Impar → Exponente
(+a)
= +P
Base
Potencia
Ejemplos:
•
52 = 25
•
33 = 27
•
152 = 225
•
25 = 32
2. Todo número negativo elevado a un exponente par da como resultado un número positivo.
Par → Exponente
(-a)
Base
= +P
Potencia
Ejemplos:
•
(-3)2 = +9
•
(-2)4 = +16
•
(-5)4 = 625
•
(-2)6 = 64
3. Todo número negativo elevado a un exponente impar da como resultado un número negativo.
Impar → Exponente
(-a)
Base
= -P
Potencia
Ejemplos:
•
28
(-3)3 = -27
•
5to PRIMARIA
(-2)7 = -128
•
(-1)5 = -1
•
(-5)3 = -125
ÁLGEBRA
Afecta solo al 2 no al signo
-2 4 ≠ (-2) 4
-16 ≠ 16
El signo se mantiene
-1 -3
-3 3
= =
(-3)3 = -27
3
1
Por el
paréntesis
afecta al
signo y al
número.
Se invierte
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
2
7. Calcula:
( )
3
R = −42 + − 1
2
1. Calcula: A = (-4) - (-3)
Resolución:
par
A = (-4)
2
impar
- (-3)
8. Calcula:
 2 3
S= 3 −3 
 36 
- • =
- +
A = +16 + 27
A = 43
 2− 3
S= 3 3 
 36 
3. Calcula: G = (-1)8 - (-2)3 + 80
S =  9 − 27 
 36 
4. Calcula: E = -115 - 32 - (-2)5
 − 18 
S=
 36 
Nivel intermedio
( ) ( )
−4
+ −1
3
−2
0
− (57 − 100)
1 -4
1 -2
B = - + - - (57 - 100)0
2
3
4
2
B = (-2) + (-3) - 1
B = (+16) + (+9) - 1
B = 16 + 9 - 1
B = 25 - 1
B = 24
( ) +( − 12 )
C= −1
3
−3
−2
S =  −1 
2 
−3
−3
−3
−3
S = [-2]3
Resolución:
6. Calcula:
−3
Resolución:
2. Calcula: L = (-5)2 - (-4)3
B= − 1
2
+115
Nivel avanzado
3
A = (+16) - (-27)
5. Calcula:
−4
− (17 × 42 − 7)0
S = -8
9. Calcula:
 2 2
M= 6 −8 
 56 
−2
10. Calcula:
4 

T =  22 3 
4 −4 
−3
5to PRIMARIA
29
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
1.
Q = –118–42 – (–2)4
33
–33
–40
40
–18
–64
39
–39
30
20
33
23
8
–8
10
1

J  
 2 
a) 84
b)83
c) 81
d)80
e) 79
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
H = –62 + 130 – (–2)2
–40
–39
40
39
18
2
1
   
 2
4
1
–18
0
18
11. Calcula:
 22 
A 2
3
3  2 
a) 1/4
b) 1/8
3
1
   
 3
3
4
 42
5
–5
15
–15
10
1
N    
 3
1
M 32    
 2
18
–18
–16
16
0
2
10. Calcula:
6. Calcula:
30
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
16
–58
–42
42
40
1
M 491  129    
 3
H = (–5)2 – (–8)2
T = –52 + 230 – (–2)5
a)
b)
c)
d)
e)
8.
9.
Nivel intermedio
5.
M = 119 – 72 + 151 – (–3)2
a)
b)
c)
d)
e)
8
6
10
9
12
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
Calcula:
0
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
4.
3
Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
3.
6
P = (–1) – (–2) + 9
a)
b)
c)
d)
e)
2.
7.
Calcula:
 117
5to PRIMARIA
c)
1
16
d) 1/2
e) 1
2
3
 160
 1230
ÁLGEBRA
12. Calcula:
 32  42 
B

 14 
4
a) 16
b)
c)
d)
e)
1/16
1/4
4
2
5to PRIMARIA
31
ÁLGEBRA
8
Repaso
1. Si: A = -19 + 23 - 18 + 52 - 14
6. Calcula:
B = (-2)(-4)(-3) + 10
Calcula A + B.
a) 38
c) -10
b) -38
d) -34
e) 10
2. Calcula:
B=
( −15 + 12 ) ( −5 )
−
3
5
a)
17
5
c)
17
7
b)
34
7
d)
24
5
c) 2
b) 1
d) -2
3. Calcula: C = (15 - 17) (-4 - 6) ÷ (-7 + 5)
a) 10
c) -10
b) 5
d) -5
e)
24
7
e)
11
10
7. Resuelve:
T= 2 ÷ 3+2 ÷ 3
5 2 5 7
e) -1
a) 0
( )( ) ( )( 35 )
K = 1 13 + 7
5 2
2
a)
13
10
c) 1
b)
6
5
d)
e) -2
11
5
8. Calcula:
3
9
4 10
2
F= + −
5 10 5 4
7
( )( )
4. Si: D = 7 + 2
5 5
E= 4+7
3 3
Calcula D + E.
5
a)
2
c)
82
b)
15
d)
41
4
e) 83
15
28
15
a) 18
c) 1
b) 2
d) 0
e) -1
9. Resuelve: Q = (-5 + 13)2 - 52
a) 39
c) 49
b) 29
d) 54
e) 44
5. Calcula:
10. Resuelve:
J= 1+3+5
3 4 2
a) 1
b)
32
c)
3
4
41
12
d) 43
24
5to PRIMARIA
e) 43
12
M = 523 −5 × 5... × 5 + 33 − 24
23 veces
a) 1
c) -1
b) -7
d) 11
e) 2
ÁLGEBRA
11. Calcula:
12. Resuelve:
L=
( ) ( )
25
+ 2 − 142
2
3 +7
a) 16
c) 3
b) 2
d) 1
e) 8
I= − 1
2
−3
a) -17
c) -12
b) -1
d) 0
+ −1
3
−2
e) 1
5to PRIMARIA
33
ÁLGEBRA
9
Operaciones combinadas con
exnentes especiales
Esta semana aprenderemos a resolver operaciones combinadas con
los exponentes especiales del tema anterior.
Caso I:
Recuerda:
• a0 = a (a ≠ 0)
• a1 = a
Aplicamos los exponentes especiales:
C = 230 + 151 + 132
C = 1 + 15 + 1
C = 17
Caso II:
Con exponentes negativo y signos de
colección.
Recuerda:
1 –n = an (a ≠ 0)
a
•
A=
1 –2 1 –3
÷
4
2
×
1 –2
3
A = [ 42
÷ 23]
× 32
A = [ 16
÷ 8]
× 9
A=
× 9
2
A = 18
Caso III:
Utilizando signos de colección y exponentes «0», «1» y negativo.
D = [(25 × 4 – 81)0 + 1200] ÷
D=[
D=
+ 1] ÷ 21
1
÷ 2
2
D=1
34
5to PRIMARIA
1 –1
2
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
6. Si: [(23 × 17)0 + 141] ÷ (10 – 9)45
Resuelve los siguientes ejercicios:
7. N = [(2400 – 23)0 + 136] – 141
1. J = 1 + 30 – 42
50
0
1
Nivel avanzado
Resolución:
J = 150 + 300 – 421
8. J =
J = 1 + 1 – 42
J=
2
– 42
1 –1 1 –2
+
5
3
Resolución
J = –40
3. M = 32 – 116 + 5000 – 61
1
Nivel intermedio
J=
5 1
3 2
+
1
1
M=
9. M =
+ 15] ÷ (1)23
16
÷
M = 16
÷ 71
÷7
+ 9 ] ÷7
J= [
14
] ÷7
J=2
Resolución
M = [(17 × 42)0 + 151] ÷ (9 – 8)23
1
+
J= [ 5
5. M = [(17 × 42)0 + 151] ÷ (9 – 8)23
M=[
1 –2
3
1
5
J = [ (5)1 + (3)2 ] ÷ 7
4. N = (23 × 15 + 17) + 1 – 15
15
–1
J=
2. P = 130 + 200 – 351
0
÷ 71
1
10. J =
1 –1 1 –2
+
÷ 41
3
5
1 –2 1 –3
+
4
2
÷
1 –1
3
5to PRIMARIA
35
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
18. C = [(12 – 8)1 – 151] ÷ (6 – 5)12
a) –11
c) 11
e) 11/12
b) 4
d) –4
Resuelve los siguientes ejercicios:
11. M = 42 – 115 + 3000 – 41
a) 4
c) –7
b) 12
d) –2
e) 15
12. A = (15 × 17 + 14)0 + 113 – 91
a) –5
c) 5
b) –1
d) –7
e) –3
19. E = [(23 × 15)0 + 111] ÷ (5 – 3)2
a) 2/4
c) 3
e) –2
b) 2
d) –3
20. J = [(2300 – 140)0 – 151] ÷ 71
a) –16
c) –2
b) 16
d) +2
13. M = 101 + (17 × 14)0 – (10 – 9)15
a) 10
c) 12
b) –13
d) –4
a) 96
c) 15
b) 18
d) –1
21. M =
e) –72
c) 29
b) 25
d) 3
e) 7
16. A = [(1500 – 14)0 + 113] – 91
c) –1
b) 13
d) 7
e) –7
17. B = [(25 × 15)0 + 151] ÷ (27 – 26)36
a) –18
c) –20
b) 18
d) 16
36
5to PRIMARIA
÷
1 –1
2
c) –8
d) –26
1 –1 1 –2
+
6
4
a) 31/2
b) –2
e) 31/2
÷ 111
c) 2
d) 14/11
e) –31/2
Claves
Nivel intermedio
a) 1
1 –2 1 –3
+
5
3
a) 26
b) 8
22. S =
15. J = (14 × 15 + 16)0 + (15 – 10)1 + 123
a) –7
Nivel avanzado
e) 17
14. N = –180 + 151 + (27 × 12)0
e) 14
e) –16
11.
b
17.
d
12.
d
18.
a
13.
a
19.
c
14.
c
20.
c
15.
e
21.
a
16.
e
22.
c
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
EXPONENTES ESPECIALES
a0 = 1
a≠0
b1 = b
Ejemplos:
Ejemplos:
ZZ 15 = 1
ZZ 151 = 15
ZZ (23 × 15 – 100)0 = 1
ZZ (–3)1 = –3
0
Es hora de practicar
lo aprendido...
¡Buena suerte!
a –n b n
=
b
a
Ejemplos:
ZZ
1 –1 5 1 1
=
=5 =5
5
1
ZZ
4 –2 3 2 32 9
=
= 2=
3
4
4 16
5to PRIMARIA
37
ÁLGEBRA
10
Leyes de exponentes I
PRODUCTO DE BASES IGUALES
Escribimos la misma base y sumamos los exponentes.
los exponentes se suman
am • an = am + n
bases iguales
Ejemplos:
ZZ x5 • x4 = x5 + 4 = x9
ZZ a7 • a–3 = a7 – 3 = a4
ZZ 54 • 5–2 = 54 + (–2) = 54 – 2 = 52 = 25
DIVISIÓN DE BASES IGUALES
Escribimos la misma base y restamos los exponentes.
bases
iguales
los exponentes se restan
am
= am – n ; donde a ≠ 0
an
Ejemplos:
x7
ZZ 4 = x7 – 4 = x3
x
a5
ZZ –3 = a5 – (–3) = a5 + 3 = a8
a
32
ZZ
= 32 – (–1) = 32 + 1 = 33 = 27
3–1
38
5to PRIMARIA
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
1. Resuelve:
3. Simplifica:
4. Reduce:
7. Resuelve:
Agrupamos los
exponentes en
+ y –
M = 39 • 3–8 • 32
J = x10 • x–15 • x20
M = b7 • b10 • b–2 • b–4
5. Resuelve:
N=
N=4
25
•
27
24
13
–5
J = 4 4 • 42
4 •4
Nivel avanzado
8. Efectúa:
5
7
4
–2
M = 2 • 3 6 • 2 4• 3
2 •3
Resolución
5
7
4
–2
M = 2 • 3 6 • 2 4• 3
2 •3
5
4
7
–2
M=2 •2 •3 •3
6
4
2 •3
5+4
Nivel intermedio
Resolución
5
4
N = 2 •72
2
5 +4
2
N=
27
9
N = 27
2
N = 29 – 7
N = 22
5
4
M= 3 •3
6
3
A = 27 • 2–5 • 23
Resolución:
A = 27 • 2–5 • 23
A = 2(7 + (–5) + 3)
A = 2(7 – 5 + 3)
A = 2(7 + 3 – 5)
A = 2 (10 – 5)
A = 25
A = 32
2. Calcula:
6. Calcula:
M=2
26
• 37 – 2
• 34
9
5
M = 26 • 34
2 •3
M = 29 – 6 • 35 – 4
M = 23 • 31
M=8•3
M = 24
9. Resuelve:
5
8
4
–4
N = 4 • 7 7 • 4 3• 7
4 •7
10. Simplifica:
J=
x10 • y9 • x–5 • y–2
; x, y ≠ 0
x3 • y7
5to PRIMARIA
39
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
11. Reduce: A = x7 • x–10 • x13
a) x16
c) x30
4
b) x
d) x10
19. Simplifica:
e) x19
12. Simplifica: B = b15 • b7 • b–4 • b–8
a) b4
c) b34
e) b8
10
14
b) b
d) b
13. Resuelve: C = 25 • 2–8 • 24
a) 12
c) 14
b) 16
d) 8
14. Calcula: D =
a) 81
b) 27
32
•
35
3–3
•
c) 4
d) 19
15. Efectúa: E = 45 • 4–6 • 44 • 4–1
a) 162
c) 2
b) 12
d) 16
e) 2
a) –3
b) 3
17. Reduce:
a) x7
b) x17
9
4
F = 38 • 32
3 •3
c) 27
d) –27
e) 9
e) 4
a) 4
b) 8
40
c) 1
d) 2
28 • 22
23 • 24
5to PRIMARIA
7
4
–3
J= 5 •5 •5
55 • 53
c) 5
d) 6
a) –1
b) 1
21. Simplifica:
e) –10
a) x10
b) x10 y16
x16 • y12 • x–3 • y–8
; x, y ≠ 0
x3 • y4
c) x16
e) x14y
16
16
d) x y
22. Efectúa:
L=
e) –2
x8 • x5
;x≠0
x4
c) x
e) x9
d) 9
H=
20. Calcula:
K=
G=
18. Resuelve:
a) 1
b) a8
a18 • a–1
;a≠0
a7 • a3
c) a13
e) a9
d) a7
Nivel avanzado
Nivel intermedio
16. Resuelve:
I=
e) 3
a) 9
b) 27
Claves
32 • 47 • 36 • 4–2
35 • 45
c) 36
e) 1
d) 31
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
LEYES DE EXPONENTES I
1. Producto de bases iguales
am • an = a
m+n
Al multiplicar
bases iguales
los exponentes
se suman
Ejemplo:
24 • 22 = 24 + 2 = 26 = 64
2. División de bases iguales
Al dividir
bases iguales
am
=a
an
Ejemplo:
37
= 37 – 4 = 33 = 27
34
m–n
los exponentes
se restan
¡Recuerda!
a≠0
«a» es diferente de 0
5to PRIMARIA
41
ÁLGEBRA
11
Leyes de exponentes II
1. Potencia de potencia
En la potencia de potencia, se escribe la misma
base y los exponentes se multiplican.
Definitivamente es
más fácil de lo que
pensé...
los exponentes se multiplican
(am)n = am × n
«paréntesis»
Ejemplos:
YY (23)2 = 23 × 2 = 26 = 64
YY [(a2)3]6 = a2 × 3 × 6 = a36
YY [(m7)0)]4 = m7 × 0 × 4 = m0 = 1
OJO:
¡Si el exponente es
cero, el resultado total
sera igual a 1!
2. Exponente de exponente
En exponente de exponente, se escribe la misma
base y los exponentes se elevan.
Se lee: «dos al cubo»
3 veces
3
a 2 = a2 × 2 × 2 = a8
YY
YY
42
2
m3
3
74
=
2 veces
= m3 × 3 = m9
3 veces
74 × 4 × 4 =
2
764
5to PRIMARIA
2
(x 5) ≠ x5
x10 ≠ x25
Como hay
paréntesis, los
exponentes se
multiplican.
«no hay paréntesis»
Ejemplos:
¡Es diferente!
No hay
paréntesis, los
exponentes se
elevan.
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
M = 217 – 12
Nivel básico
1. Simplifica:
A=
Resolución:
2
A=x
•x
10
A = x • x9
A = x10 + 9
•
M = 25
2
x3
M = 32
se lee tres al cuadrado
A = (x2)5 • x3
2×5
(x2)5
6. Resuelve:
3×3
7. Simplifica:
A = x19
2. Reduce:
3. Simplifica:
4. Reduce:
1
J = (37)2 • (32)–6 • 32
5
1
M = x0 • (x3)–1 • x7
Nivel avanzado
2
B = (x7)2 • x5
8. Reduce:
7
I = {[(35)7]0}9 + 31
0
C = (94)0 • a3
Resolución
3
D = (x7)0 • x3 • x–7
7
I = {[(35)7]0}9 + 31
I = 3 5×7×0×9 + 31
I = 30 + 3
I=1+3
Nivel intermedio
5. Efectúa:
1
M = (25)3 • (23)–4 • 22
Resolución
1
M = (25)3 • (23)–4 • 22
M = 25 × 3 • 23×(–4) • 22
M = 215 • 2–12 • 22
M = 215 + (–12) + 2
Agrupamos exponentes
M = 215 – 12 + 2
15
+
2
–
12
en + y –
M=2
I=4
9. Calcula:
9
K = {[(54)9]0}8 + 51
10. Efectúa:
1
0
S = [(23)2]–1 • 28 + 35
5to PRIMARIA
43
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
18. Calcula:
Simplifica:
a) 49
b) 7
50
11. A = (b6)0 • b
a) b0
b) 1
(x5)0
12. B =
a) x3
b) x8
•
c) b11
d) b30
e) b
3
x2 • x–5
c) x5
d) x13
e) x12
2
13. C = (x4)3 • x5
a) x22
b) x17
c) x27
d) x37
14. D = (a4)7 • a–10
a) a38
c) a28
b) a18
d) a8
e) x1
19. Simplifica:
a) m24
b) m20
20. Reduce:
a) a12
b) a8
2
H = (72)7 • (74)–3 • 70
c) –49
e) 29
d) 39
3
I = (m4)6 • m0 • m–4
c) m10
e) m48
40
d) m
1
2
J = a3 • (a3)–2 • a3
c) a14
e) a
6
d) a
Nivel avanzado
21. Resuelve:
e) a1
a) 7
b) 5
1
0
K = [(32)4]–1 • 39 + 24
c) 9
e) 15
d) 10
1
15. E = (m8)3 • m2
a) m48
c) m26
14
b) m
d) m24
e) m13
a) 7
b) 10
Nivel intermedio
16. Reduce:
a) b7
b) b1
7
a) 18
b) –16
44
1
F = b0 • (b2)–1 • b9
c) b
e) b21
d) b14
17. Reduce:
1
G = (24)5 • (29)–2 • 22
c) 16
e) 17
d) 20
5to PRIMARIA
22. Efectúa:
Claves
5
L = {[(49)8]0}7 + 41
c) 4
e) 5
d) 6
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
LEYES DE EXPONENTES II
¡RECUERDA!
2
(x3)2 ≠ x3
1. Potencia de potencia
x6 ≠ x9
(xa)b = x
a•b
multiplicamos
los exponentes
Ejemplos:
YY [(m5)3]2 = m5×3×2 = m30
YY [(a4)0]5 = a4×0×5 = a0 = 1
2. Exponente de exponente
b
xa = x
Ejemplos:
«b» veces
a • a.....a
se eleva
2 veces
YY
2
x3
YY
x5 = x1 = x
= x3 • 3 = x9
0
5to PRIMARIA
45
ÁLGEBRA
12
Leyes de exponentes III
1. Potencia de un producto
El exponente afecta a cada factor
A.
B.
Exponentes
iguales
x n • y n = (x • y)n
(x • y)n = xn • yn
Producto
Producto
Ejemplos:
Ejemplos:
YY (2 • 3) = 2 • 3 = 4 • 9 = 36
2
2
2
YY 2 2 • 3 2 = (2 • 3)2 = 62 = 36
YY (a • b ) = (a ) • (b ) = a • b
3
4 3
3 3
4 3
9
12
YY (2m n ) = 2 • (m ) • (n ) = 8 m n
4
3 3
3
4 3
3 3
2. Potencia de una división
El exponente afecta
A.
al numerador y al
denominador
n
x
x
y = yn
Ejemplos:
YY
YY
46
2
3
3
5
Se coloca solo un
exponente
=
n
donde y ≠ 0
23
8
=
33 27
a
a
= 5
b
b
5
5to PRIMARIA
12 9
YY 4 2 • 2 2 = (4 • 2)2 = 82 = 64
YY a 5 • b 5 = (ab)5
B.
Exponentes iguales
n
xn
x
n = y
y
Ejemplos:
YY
10 3 10
53 = 5
5
YY a 5 = a
b
b
3
5
Se coloca sólo un
exponente
donde y ≠ 0
= (2)3 = 8
b≠0
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
6. Calcula:
E = 55 • 25 • 10–4
Resuelve:
1. A = (2x5 y3)3
7. Resuelve:
F = 34 • 44 • 12–2
Resolución:
A = (2x5 y3)3
Nivel avanzado
A = 23 • (x5)3 • (y3)3
8. Efectúa:
A = 8x15y9
G=
2. B = (3x y )
4
2 2
3. C = (a5 • b)3
Resolución
4. D = (4a3 b)2
G=
6 3 10 2
+ 2
33
5
G=
6 3 10 2
+
3
5
Nivel intermedio
5. Calcula:
D=3 •2 •6
4
Resolución
4
–2
El mismo exponente
D = 3 4 • 2 4 • 6–2
D = (3 × 2)4 • 6–2
D = (6)4
D = 64 + (–2)
D = 64 – 2
D = 62
D = 36
• 6–2
63 102
+
33 52
G = (2)3 + (2)2
G= 8 + 4
G = 12
9. Efectúa:
2
3
M = 152 + 83
5
4
Multiplicación de
bases iguales
10. Resuelva:
4
4
N = 6 • 44
12
5to PRIMARIA
47
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
Resuelve los siguientes ejercicios:
18. M = 59 • 39 • 15–7
a) 15
c) 5
b) 1
d) 125
e) 225
d) a • b7
e) a2 b14
19. N = 26 • 56 • 10–4
a) 10
c) 1
b) 100
d) 1000
e) 0
12. B = (3a5 b)3
a) 27a15b
b) 27a15b3
c) 9a15 b3
d) 3a125 b3
e) 3a15 b13
20. J = 32 • 22 • 6
a) 36
b) 6
e) 16
13. C = (2x6y2)3
a) 6x18y8
b) 6x18y6
c) 8x18y6
d) 8x18 y8
e) 16a3 b2
11. A = (a • b7)
a) 2a2b14
b) ab49
c) a • b14
2
14. D = (2a7b2)4
a) 16a28b8
b) 8a28b8
c) 16a7b16
d) 8a14 b8
e) 16a3 b2
d) 25x91 y100
e) 5x18 y20
Nivel intermedio
16. F = 2 • 4 • 8
a) 16
b) 36
7
–5
c) 64
d) 8
17. G = 33 • 43 • 12–2
a) 1
c) 7
b) 144
d) 12
48
Nivel avanzado
5
5
21. M = 4 • 5
105
a) 2
b) 4
184 122
+ 2
94
4
a) 25
b) 90
c) 1
d) 16
e) 32
c) 2
d) 14
e) 50
22. N =
15. E = (5x9y10)2
a) 10x81 y100
b) 25x18y20
c) 10x18y20
7
c) 216
d) 1
5to PRIMARIA
e) 6
e) 0
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
LEYES DE EXPONENTES III
Potencia de
un producto
Potencia de
un cociente
(x • y)n = xn • yn
xn yn = (x • y)n
y≠0
y≠0
x n xn
y = yn
xn = x n
y
yn
5to PRIMARIA
49
ÁLGEBRA
Operaciones combinadas con
leyes de exponentes
CASO 1
Tenemos:
Potencia de
potencia
3 4
5 2
H = (a ) • (a ) • a
H = a3 × 4 • a5 × 2 • a
H = a12 • a10 • a Multiplicación
de bases iguales
H = a12+10+1
H = a23
Esta semana aplicaremos en
la resolución todas las leyes
de exponentes que hemos
aprendido.
CASO 2
Tenemos:
2
Exponente de
exponente
a3 • a4
M=
a2
3×3
a • a4
M=
a2
9
4
M = a •2 a
a
9+4
13
a
M = 2 = a2
a
a
a≠0
División de
bases iguales
M = a13 – 2
M = a11
CASO 3
CASO 4
Potencia de un
producto
2 5
4
a, b ≠ 0
J = (a • 3b ) 4• a
a •b
5
2×5
4
J = a • 3b 4• a
a •b
5
10
4
J = a •3b •4 a
a •b
5+4
10
9
10
a
J = 3 • b4 = a 3 • b 4
a •b
a •b
4
4
3
Exponentes
L = 2 •4 6 – 183 iguales
4
6
4
(2 • 6) – 18 3
L=
6
44
4
L = 124 – 33
4
4
L = 12 – 27
4
L = 34 – 27
Tenemos:
J = a9 – 3 • a10 – 4
J = a6 • b6
50
13
5to PRIMARIA
Tenemos:
L = 81 – 27
L = 54
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
J = (2)4 – 25
J = 16 – 25
1. Resuelve: A = (34)2 • (32)3 • 3–11
J = –9
6. Calcula:
Resolución:
A = (34)2 • (32)3 • 3–11
A = 38 • 36 • 3–11
A = 38+6–11
A = 33
A = 27
M=
7. Resuelve:
8. Reduce:
3. Calcula:
M=
4. Efectúa:
N=
J=
Resolución
3
5
J = (9 • 4)
– 15
184
3
4
36 4 – (5)2
18 4
J = 36 – 25
18
9 • 4 – 15
184
32
4
(x3 • y5)2
x 5 • y6
Resolución
(33)4 • 31
310
4
A=
2
A=
(x3 • y5)2
x 5 • y6
A=
(x3)2 • (y5)2
x5 • y6
A=
x6 • y10
x5 • y6
A = x6–5 • y10–6
A = x • y4
J = 9 • 44 – 152
18
3
4
4
(23)4 • 2–2
216
Nivel intermedio
5. Resuelve:
J=
45 • 75 + 452 + 112
145
152
Nivel avanzado
2. Resuelve: B = (22)3 • (24)3 • 2–13
4
33 • 63 – 202
93
52
2
2
9. Simplifica:
7
4 5
B = (a15• b 19)
a •b
10. Calcula:
2
(2 • 3)4 • 23
C=
210 • 33
5to PRIMARIA
51
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
11. Resuelve:
A=
a) 5
b) 1
e) 25
33
(4 ) • 4
444
a) 64
b) 16
12. B =
2
(53)2 • 54
520
c) 0
d) 15
5 4
122 • 22 + 104
82
54
a) 25
c) 15
b) 5
d) 27
18. L =
c) 4
d) 1
13. M = (27)3 • 2–20 • 23
a) 4
c) 32
b) 16
d) 64
e) 2
(34)3 • 3–3
+ 17
37
a) 5
c) 2
b) 10
d) 9
44 • 84 + 272 + 115
16. B =
164
92
a) 25
c) 15
b) 16
d) 26
43 • 53 – 492
103
72
a) –41
c) 39
b) 41
d) –39
e) 3
Claves
5to PRIMARIA
e) 28
(x4 • y3)6 • x3
x17 • y13
c) x10 • y3
e) x3y5
5
d) y
M=
a) x10y5
b) x10
2
(5 • 2)3 • 53
511 • 22
c) 20
e) 10
d) 8
C=
22. Reduce:
e) 23
e) 16
Nivel avanzado
a) 5
b) 2
17. K =
52
92 143
+ 3 + 230
32
7
a) 6
c) 9
b) 18
d) 17
e) 16
Nivel intermedio
e) 8
20. A =
21. Calcula:
15. C =
Resuelve:
83
62
+
+ 117
43
32
a) 15
c) 13
b) 12
d) 12
19. M =
e) 2
2
14. N = (62)0 • 63 • 6–7
a) 36
c) 1
b) 6
d) 0
e) 23
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
LEYES DE EXPONENTES
Potencia de
un cociente
Producto de bases
iguales
Potencia de
potencia
am • an = am+n
(am)n = am • n
a n an
b = bn
Potencia de un
producto
División de
bases iguales
Exponente de
exponente
(ab) = a • a
am
= am–n
an
n
n
n
mn
a =a
n veces
m....m
5to PRIMARIA
53
ÁLGEBRA
14
Radicación I: cálculo de
raíces básicas
RADICACIÓN
Es la operación inversa a la potenciación, y consiste en que dados dos números
llamados «cantidad subradical» e «índice», se requiere encontrar otro número
llamado «raíz».
índice
n
raíz
a = b ; porque bn = a
cantidad subradical
o radicando
Se debe cumplir:
«La raíz elevada
al índice da como
resultado la cantidad subradical o
radicando».
Ejemplos:
ZZ
3
27 = 3 porque 33 = 27
Se lee: «la raíz cúbica de veintisiete es tres».
aquí está el «2» tácitamente
ZZ
ZZ
0
16 = 4 porque 42 = 16
Se lee: «la raíz cuadrada de dieciséis
es cuatro».
5
32 = 2 porque 2 = 32
Se lee: «la raíz quinta de treinta y
dos es dos».
54
Raíz enésima de la unidad
La raíz enésima de uno es igual a
uno; es decir, si extraemos la raíz de
cualquier índice a uno, siempre será
igual a uno.
n
1 = 1 porque 1n = 1
5
5to PRIMARIA
Ejemplos:
ZZ
5
1 = 1 porque 15 = 1.
ZZ
9
1 = 1 porque 19 = 1.
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
1. Completa:
YY
25 = _________ porque 5
= _______
YY
3
8 = _________ porque 2
= _______
YY
4
81 = _________ porque 3
= _______
YY
7
1 = _________ porque 1
= _______
2. Completa:
100 = _________ porque 10
YY
YY
3
YY
YY
= _______
27 = _________ porque 3
= _______
4
16 = _________ porque 2
= _______
3
64 = _________ porque 4
= _______
3. Resuelve:
A=
25 +
3
4
6. B = ( 25 ×
8 –
7
1
3
5
9
7. C = ( 64 ×
6
81 ) + ( 32 ×
1 ×
81 ) +
1 )
144
Nivel avanzado
8. Calcula el valor de M + 7.
M=
3
125 ×
4
100
16
Resolución
M=
3
125 ×
4
100
16
M=
(5 × 10)
2
M=
50
2
M = 25
4. Resuelve:
M=
3
27 –
100 +
3
64
Te piden calcular el valor de M + 7:
↓
25 + 7 = 32
Nivel intermedio
Resuelve:
5. A = (
Rpta.: 32
4 ×
3
27 ) + (
9 ×
4
16 )
N=
Resolución
A=(
4 ×
9. Calcula el valor de N + 5.
3
27 ) + (
9 ×
A=( 2
×
3 )+( 3
×
A=
6
+
6
A = 12
4
144 ×
5
16 )
2 )
10. Calcula el valor de P +
P=
3
32
27 :
9 ×
5
16
25
1
5to PRIMARIA
55
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
Resuelve:
11. J = 100 +
a) 11
b) –11
4
8
16 – 1
c) 15
d) –13
3
12. S = 81 +
a) –11
b) 13
13. R = 121 +
a) –17
b) 17
e) 13
4
27 –
1
c) 11
d) –13
3
e) 12
8 + 4
c) 15
d) –11
e) 11
= 81 ⇒
81 =
YY 2
=8⇒
8 =
YY 5
= 25 ⇒
a) 10
b) 17
25 =
.................. (
)
YY
16 = 4
.................. (
)
YY
100 = 50 .................. (
)
16. M = ( 64 ×
a) 260
b) 13
8
17. J = ( 1 ×
a) 46
b) 13
56
5
16 )
e) 19
3
4
4 ) × ( 25 +
c) 45
d) 90
16 )
e) 23
16 )
e) 15
7
32 × 1 ) +
c) 26
d) 28
3
144 × 27 ) –
c) 23
d) 25
5to PRIMARIA
100
e) 30
169
e) 27
27 :
16 ×
22. Calcula el valor de A +
a) 39
b) 37
3
169 ×
c) 43
d) 38
36
4
c) 20
d) 12
A=
Nivel intermedio
Calcula:
20. S = ( 9 +
a) 25
b) 35
8 ×
1 ) + ( 27 ×
c) 9
d) 11
M=
27 = 9
YY
5
21. Calcula el valor de M +
15. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
3
19. L = ( 25 ×
a) 14
b) 10
25 ) – (
c) 18
d) 1
Nivel avanzado
14. Completa:
YY 3
3
18. K = ( 36 ×
a) 22
b) 24
4
e) 15
16 :
9 ×
9
1
e) 41
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
RADICACIÓN
n
a =b
Si
n
n = índice
a = radicando
b = raíz
a = b ⇒ bn = a
Ejemplos:
ZZ
ZZ
3
5
8 = 2 ⇒ 23 = 8
1 = 1 ⇒ 15 = 1
5to PRIMARIA
57
ÁLGEBRA
15
Radicación II: operaciones
combinadas en el radicando
RADICAL
El día de hoy, aprenderemos a resolver
expresiones en las que dentro del radical haya
operaciones que efectuar.
Es el signo
; es un
operador compuesto por
( ) y el signo de colección
vínculo ( ).
RADICANDO
Es el número o expresión
que se escribe dentro del
signo radical:
52 – 32
radicando
Recuerda
• 52 = 25
• 23 = 8
• 71 = 7
C=
Ejemplos:
A=
6+5×2
A=
6 + 10
A=
16 = 4
Primero resuelvo
el radicando
9
•
•
+1 +
C=
3+ 1 +
C=
4 +2
16
4
C=2+2
C= 4
B=3
4 + 52
B=
3
2 + 25
B=
3
27 = 3
58
5to PRIMARIA
D = 23 × 4 – 71
D=
8× 4 – 7
D=
32 – 7 =
25 = 5
16 = 4
4 =2
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. N =
7. B =
47 – 2 × 6 +13
49 + 4 × 2 + 50
16 – 3 × 4
Nivel avanzado
Resolución:
N=
6. A =
16 – 3 × 4
Primero
resuelve el
producto
8. Calcula el valor de J +
J=
N = 16 – 12
Resolución
N=
J=
4
23 × 4 – 42
1.o las potencias
23 × 4 – 42
N=2
2.o el producto
J=
2. A = 24 – 5 × 3
3. B =
4. C =
J=
36 + 2 × 5
144 – 4 × 2
23 – 3 × 5 +1
23 – 3 × 5 +1
23 – 15 + 1
M=
8+1
M=
9
M=3
∴ Nos piden:
J +
↓
4
7
M=
16
J=4
Resolución
M = 23 – 3 × 5 +17
M=
8 × 4 – 42
J = 32 – 16
Nivel intermedio
5. M =
256 , si:
256
+
16
↓
4 + 4
1.o
resolvemos
la potencia
2.o
el producto
8
Rpta.: 8
9. Calcula el valor de T +
T=
16 , si:
52 × 4 – 82
10. Resuelve:
P=
32 × 7 + 118 + 72 – 62
5to PRIMARIA
59
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
Resuelve los siguientes ejercicios:
11. R =
a) 9
b) 39
49 + 6 × 3
c) 5
d) 25
12. M =
100 + 13 × 2
a) 260
b) 130
c) 36
d) 6
13. T = 44 – 4 × 2
a) 6
c) 80
b) 3
d) 2
18. R = 3
e) 10
c) 2
d) 29
19. S =
9 + 7 × 2 – 90
c) 19
d) 3
20. T =
3
a) 3
b) 27
e) 1
15. M =
a) 5
b) 3
4
100 +
16
c) 2
d) 4
e) 2
e) 10
3
144 + 2 × 7 + 80
c) 13
d) 2
17. J = 32 + 8 × 2 + 14
a) 5
c) 6
b) 7
d) 81
60
5to PRIMARIA
e) 3
e) 12
e) 4
81 + 81
c) 1
d) 30
e) 33
a) 13
b) 18
23 × 6 + 117 + 52 – 42
c) 16
d) 15
22. Calcula el valor de M +
Nivel intermedio
16. N =
a) 1
b) 9
5×2+
e) 0
Nivel avanzado
21. J =
14. J = 28 + 3 × 7
a) 8
c) 10
b) 7
d) 11
16 + 5 × 4 + 51
a) 3
b) 7
a) 2
b) 11
e) 5
4
M=
a) 10
b) 4
e) 19
81 , si:
52 – 3 × 23
c) 7
d) 6
e) 2
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
RADICACIÓN
radical
52 + 11
radicando
Si dentro del radical hay una
operación
combinada,
se
resuelve:
A=
52 + 11
A=
36
A=6
¡Resuelvo!
52 + 11
25 + 11
36
5to PRIMARIA
61
ÁLGEBRA
16
Repaso
1. Relaciona:
A)130
B) 131
C)013
a) IA, IIB, IIIC
b) IB, IIC, IIIA
c) IC, IIA, IIIB
d) IA, IIC, IIIB
e) IB, IIA, IIIC
I) 13
II) 0
III)1
b) x23
c) x24
e) x25
S=
a) 8a10 b13
b) 16 a10 b13
c) 2a7 b9
3. Reduce:
a) x5
x7 • x • x4
x5 • x3
d) x2
b) x6
e) x4
M=
c) x
3
4. Calcula:
a) 9
39 • 3–3 • 34
38
d) 0
b) 27
e) 3
R=
8. Calcula:
a) –5
b) 13
c) –7
5. Reduce:
A=
a12 • b7 • a–3 • b4
a7 • b3
d) a8
e) ab
6. Simplifica:
T=
23
(x ) • x
x4 • x
3 7
5to PRIMARIA
(2a3 b5)4
a2 b7
d) 16 a6 b20
e) 16 a12 b3
–2 183
B = 150 – 1
+ 3 – 51
3
9
d) –6
e) 12
9. Relaciona:
3
A) 125
I) 5
B) 27
II) 4
C) 16
III) 3
4
IV) 2
3
D) 16
a) IC, IIB, IIIA, IVD
b) IA, IIC, IIIB, IVD
c) IA, IIB, IIID, IVC
d) IC, IIB, IIIA, IVD
e) IA, IIID, IIIB, IVC
10. Calcula A +
c) 1
62
d) x19
7. Reduce:
2. Resuelve:
A = (23 × 15 + 73) 0 + 117 – 141
a) 14
d) –12
b) 13
e) –14
c) –13
a) a15 b11
b) a2 b8
c) a22 b14
a) x21
a) 7
b) 5
c) 8
11. Resuelve:
a) 18
b) 6
c) 9
25 , si:
A=
B=
3
27 +
64 –
d) 12
e) 17
16
23 × 3 + 17 + 72 – 62
d) 43
e) 25
ÁLGEBRA
12. Calcula M + N, si:
M=
N=
16 + 51
3
8 –
10 + 3 × 2
a) 0
b) 1
c) 2
d) –8
e) 4
5to PRIMARIA
63
ÁLGEBRA
Radicación en Z primera parte
17
Esta semana estudiaremos en el radicando cantidades enteras
(positivas y negativas).
Caso I: Radicando positivo
Índice: Par/impar → raíz positiva
par/impar
+ = +
Ejemplos:
100 = 10
ZZ
ZZ
3
8 =2
ZZ
4
81 = 3
Caso II: Radicando negativo
Índice: Impar → raíz negativa
impar
– = –
Ejemplos:
3
–27 = –3
ZZ
ZZ
ZZ
Índice: par → la raíz no pertenece a 
par
– =∈ 
13
5
–1 = –1
–32 = –2
Ejemplos:
–9 = ∈ 
ZZ
No existe un número entero que elevado al
cuadrado dé como resultado –9.
64
5to PRIMARIA
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
6. Efectúa:
1. Resuelve:
a)
3
5
–8 = _______
c)
b)
7
–1 = _______
d)
32 = _______
–16 = ______
A=2
3
a)
B=–
5
c)
impar
b)
7
32 = 2
+
+
par
d)
–1 = –2
–
–
–16 = ∈ 
–
2. Resuelve:
a)
3
–64 = _______
c)
b)
15
–1 = _______
d)
3
M=
3
15
–1 +
3
M=
M=
125 = ______
M=
–8 +
49
3
–1 –
3
–8 +
4
16
–32 + 3
25
19
–1
25 + 2 –
13
–1 – (–2)3
impar
3
13
–1 – (–2)3
–
– (–1) – (–8)
27
3
+1
+8
impar
– = –
12
9. Calcula:
N=
15
5
25 + 2 –
4. Efectúa:
T=
9 –2
Resolución:
M=
M=
–27 + 5
8. Efectúa:
–4 = _______
3. Calcula:
3
Nivel avanzado
impar
–8 = –2
–
–
16 – 3
7. Calcula:
Resolución:
impar
4
5
31 + 1 –
17
–1 – (–3)2
10. Resuelve:
Nivel intermedio
S=2
3
–8 –
15
–16 + 15 +
100
5. Resuelve:
R=5
3
8 –4
5
–32 + 2
64
Resolución:
5
3
R=5
8 – 4 –32 + 2
R = 5(2) – 4(–2) + 2(8)
R = 10
+8
64
+ 16
R = 34
5to PRIMARIA
65
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
Resuelve (ejercicios 11 a 22)
3
11. M = –125 –
a) 2
b) –5
12. T =
a) 6
b) 8
13. S =
a) 3
b) 1
17
3
–1 –
–1 +
3
3
243 +
c) –2
d) 5
36
e) 7
–64 – 81
c) 13
d) –8
4
14. D = –8 +
a) –4
b) 4
4
3
3
15. E = –64 +
a) 3
b) 1
5
e) –6
5
16 – –32
c) –3
d) 8
81 – –243
c) 7
d) –7
e) 2
11
8 – –1 – 5
c) –3
e) 4
d) 8
17. G = 3
a) 21
b) 22
66
4
4 –3
3
16 – 5
3
–27 – 5
c) 10
d) 11
–8 +
c) 20
d) –19
c) –7
b) –5
d) 4
100 – 4
19. T = 9
1
17
–1
e) –11
25
5to PRIMARIA
e) –32
5
c) 97
b) 117
d) 107
20. M = –8
3
–8 + 2
e) 3
–32 + 91
a) 106
4
e) 98
14
16 – 3
a) 23
c) 25
b) –23
d) 24
–1
e) –17
Nivel avanzado
21. S = 3
5
4 – 112
a) –4
e) 4
Nivel intermedio
16. F = –2
a) –10
b) –12
9 –8
18. R = 7
3
–27 –
21
–9 + 8 +
a) 2
c) 0
b) 1
d) 3
22. K =
3
62 + 2 –
19
81
e) 4
–1 – (–3)3
a) –15
c) 31
b) 32
d) 15
e) 8
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
Radicación en Z
Radicando positivo
Índice: Par/impar → raíz positiva
par/impar
+ = +
Caso II: Radicando negativo
Índice: Impar → raíz negativa
impar
– = –
Índice: par → la raíz no pertenece a 
par
– =∈ 
5to PRIMARIA
67
ÁLGEBRA
18
Radicación en Z Segunda parte
Esta semana trabajaremos las operaciones combinadas.
Resolvemos las operaciones del radicando.
A=
18 + 7 –
A=
25
A=
5
A=
5
5
–
8×4 +
5
13
+ (–1)
32
–2
–
A=
Recuerda
–1
Recuerda el orden:
–1
1° → Radicación y potencia
2° → Multiplicación y división
3° → Suma y resta
3
2
B=
32 + 52 + 21 + 3
B=
9 + 25 + 2 + 3 (6)
25 + 22 –
C=
5+4
–
C=
9
–
C=
3
C=
C=
68
5
–31 – 1 + (–2)3
5
–32
+ (–8)
(–2)
–8
+2
–8
5
–8
–3
5to PRIMARIA
+ 1
B=
36
+
18
+ 1
B=
6
+
18
+ 1
B=
C=
36 + 130
25
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
Resolución:
Resuelve (ejercicios 1 a 10)
1. A =
–32 + 36 +
5
16 × 2
+
17
–1
–32 + 36 +
A=
5
+
4
A=
2
+
A=
17
16 × 2
+
5
+ (–1)
32
2
–1
–1
3
23 + 42 + 19 – 31
S=
4
25 – 9 +
8 + 16 + 1 – 3
4
S=
3
19
–18 + 27 +
3. T =
16 – 7 +
3
–6 – 2 + 150
4. R =
27 × 3 +
3
–24 – 3 + 180
25
–3
2
5
–3
+
S=
6. T =
4
3
32 – 1 +
7. M =
9×3 +
23 + 52 + 31 – 41
32 + 7 – 3
35 + 1 + 23
Nivel avanzado
8. S = 3
9 +
S=3
–1
Nivel intermedio
52 – 9 +
16 +
25
–
3
–24 – 3 + (–3)2
25
–
3
–24 – 3 + (–3)2
Resolución:
2. M =
4
52 – 9 +
–1
4
A=
5. S =
4
S=
Resolución:
A=
S=
23 + 42 + 19 – 31
9 +
3
S=
3+5
3
S=
S=
8
–
2
–27
(–3)
+3
S=
+ (+9)
+
9
+
9
14
9. T =
10. M =
3
–
16 +
3
25
–50 – 14 –
19
–
3
–6 – 2 + (–2)3
–1 +
18 +
5to PRIMARIA
49
69
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
Resuelve (ejercicios 11 a 22)
4
3
11. T = 21 – 5 + –25 – 2 + 160
a) –2
c) –1
e) 0
b) 2
d) 1
12. M =
a) 4
b) 7
13. R =
a) 4
b) 9
12 × 3 +
3
–8 +
5
–27 – 5 + 170
c) 15
e) 12
d) 5
11 – 2 +
c) 13
d) –5
3
9×3
e) 10
18. N =
a) –4
b) –7
3
23 – 42
+ 51 – 2 – 23
c) –5
e) –6
d) –3
9
3
19. R = –32 + 14 + 3 14 + 2 + –1
a) –7
c) 10
e) 11
b) 8
d) 13
17
20. M = 15 – 6 + 2 33 + 3 – –1
a) –7
c) 18
e) 4
b) 16
d) –13
Nivel avanzado
21
3
11
3
14. T = –29 + 2 + –1 –
a) –4
c) –7
b) –2
d) –3
15. M =
a) –8
b) 7
16 + 9 –
15
–1 –
c) 9
d) 6
3
3
–6 – 2
e) 0
–32 + 5
e) –5
Nivel intermedio
16. R = 32 – 5 – 2 48 + 1 + 32
a) –3
c) 4
e) 7
b) –2
d) –5
17. M =
a) 7
b) –6
70
24 + 9 + 24 + 52 + 23 – 51
c) –2
e) 8
d) 0
5to PRIMARIA
–6 – 21 – –1 +
21. T =
a) –15
c) 0
b) –10
d) 1
22. K =
a) 16
b) 13
25 + 3 64
–
c) 20
d) 26
3
1+ 9
e) 5
–29 – 3 + (–4)2
e) 21
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
Operaciones combinadas en el radicando
Si dentro del radical hay una operación combinada se
resuelve y luego se aplica la radicación.
M=
3
13 • 4 – 52 =
3
27 = 3
Resolviendo: 13 • 4 – 52
52 – 25 = 27
5to PRIMARIA
71
ÁLGEBRA
19
Teoría de exponentes para la
radicación (exponente fraccionario)
n
am = a
m
n
Se divide el exponente de la cantidad
subradical entre el índice.
÷
Ejemplos:
tácitamente es 2
÷
8
ZZ
= x 2 = x4
x8
ZZ
m
n
a
=
n
5
ZZ
9
ZZ
5x
27
2 27 = 2 9 = 23 = 8
÷
÷
25
m25 = m 5 = m5
20x
3 20x = 3 5x = 34 = 81
El numerador del exponente fraccionario es
el exponente de la cantidad subradical, y el
denominador es el índice de la raíz.
am
Ejemplos:
5
ZZ x 6 =
ZZ
1
5
m =
6
x5
5
m =
1
5
m
1
ZZ
36 2 =
ZZ
16 4 =
1
2
361 =
4
161 =
36 = 6
4
16 = 2
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
Calcula (Ejercicios del 1 al 10)
1. T =
6
x30 •
Resolución:
÷
6
T = x 30 •
72
3
x18 •
5
÷
3
x
18
•
5
30
2
x5 • x3
÷
2
x 5 • x3 «3 al cuadrado»
5to PRIMARIA
18
5
T = x 6 • x 3 • x 5 • x9
T = x5 • x6 • x1 • x9
multiplicación de
5+6+1+9
bases iguales
T=x
T = x21
2. M =
7
x7 •
18
x36 •
8
3
x40 • x2
ÁLGEBRA
3. P =
4. G =
a8 •
4
b
36
13
a13 •
•
a50 • a5
•
a
12
b
4
•
Nivel intermedio
5. N =
8
78 +
10
420 – 115
Resolución:
÷
÷
8
10
8
N = 7 + 4 20 – 115
8
8
Nivel avanzado
2
5
20
10
5
1
a
10
1
3
S= 8
3
81 –
S=
3
9 +
4
16 + 7
S=
2
3
2 + 2 + 7 – 3
16 – 1
S=
–
11
6. R =
7. D =
50
9
+
5
100
+ 20 –
–1
2
0
7
2
1
1
9. G = 27 3 – 36 2 + 81 4 +
1
21
2
+7
8
1
32
+
–3
S=
27
49
8 –
7 +
13
+
161 + 7
N=
2
1
4
+ 16
4
S=
22
49
91 +
4
– 1
42 – 1
9
1
2
– 9
S=
7 +
71 +
13
1
Resolución:
N=
N=
N=
1
8. S = 8 3 – 9 2 + 16 4 +
10. P = 4 4 +
9
1
518 – 49 2 –
100
8
224
5to PRIMARIA
73
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
Calcula (ejercicios 11 a 22)
11. R = a10 •
a) 41
b) a41
9
12. N = b18 •
a) b15 a4
b) b5 a5
13. G =
a) x37
b) a27
8
x8 •
21
14. H = m
a) m10
b) m50
8
15. T =
42
•
15
5
4
8
18. T =
a) 9
b) 6
2
4
a15 • a40 • a5
c) a23
e) a26
31
d) a
3
4
a10 •
b9 • a12
5 8
c) b a
e) a10 b2
d) b5 a3
2
25
x32 • x50 • x4
c) x19
e) x7
d) x27
10
m • m
c) m23
d) m32
16
100
2
•m
e) m25
6
x •x •x •x •x
4
5
7
a) x
c) x10
b) x15
d) x7
3
e) x2
Nivel intermedio
100
6
16. D = 4200 + 150 – 318
a) –10
c) 15
b) –8
d) 3
17. J = 812 +
a) 69
b) 79
74
8
19. M =
a) 15
b) 17
516 +
224 –
4
11
244 – 127
c) 39
d) 27
5to PRIMARIA
e) –12
e) 45
8
78 –
c) 7
d) 8
15
615 +
c) 24
d) 14
3
4
312 + 21
e) 12
9
5
318 + 31
e) 9
7
20. R = 37 • 35 + 29 • 25 – 150
a) 33
c) 18
e) 25
b) 30
d) 16
Nivel avanzado
1
21. J = 9 2 +
a) 24
b) 26
1
7
12
6
8
18
1
436 – 81 4 +
c) 32
d) 15
1
1
9
227
e) 22
1
22. T = 64 3 + 36 2 + 16 4 + 8 3
a) 17
c) 14
b) 15
d) 11
e) 8
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
Exponente fraccionario
n
am = a
m
n
a
m
n
=
n
am
5to PRIMARIA
75
ÁLGEBRA
20
Teoría de exponentes para la
radicación (raíz de un producto)
Separamos en un producto de raíces, el índice
afecta a cada factor.
n
a•b
=
n
a
•
n
b
producto
Ejemplos:
ZZ
4
m•n =
4
m •
4
n
ZZ
3
27 • 8 =
3
27 •
3
8 =3•2=6
ZZ
5
x15 • y20 =
5
x15 •
5
15
20
y20 = x 5 • x 5 = x3 y4
Si los índices son iguales,
se pueden juntar en una
sola raíz manteniendo el
mismo índice.
n
a
•
n
b
=
n
producto
Ejemplos:
ZZ
ZZ
ZZ
3
x •
3
y =
3
x•y
4
8 •
4
2 =
4
8•2 =
4
16 = 2
7
x •
7
x13 =
7
x • x13 =
7
x1+13 =
76
5to PRIMARIA
7
x14 = x2
a•b
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
Resuelve (ejercicios 1 a 10)
3
1. M =
64 • 8 –
5
2
5
2
M=
64 • 8 –
M=
3
64 •
4
M=
8 –25
•
2 – 22
8
– 4
4
2. D = 16 • 81 –
4. N = 27 • 125 +
5. S =
4 •
9
518 – 71
4 • 49
2 – 36
Resolución:
S=
S=
3
4 •
3
3
4•2
1
20 •
4 – 49 2
2 – 36
–
2
3
2 •
3
2 •
3
1
2 + 16 4 +
15
530
4
2 •
212 • 38 +
8
Resolución:
320
Nivel intermedio
3
6
–4
7. R =
8. F =
10
9 • 16 +
3
–
Nivel avanzado
4
3
2
6. N =
10
36
–
10
3
M=
3. M =
8
S=
÷
3
M=
S=
10
Resolución:
3
S=
1
2
1
2
361
F=
4
212 • 38
F=
4
2
12
12
•
4
+
2 •
8
÷
2•8
38 +
8
16
F=24 •34 +
F = 23 • 32 + 4
F= 8 • 9 +4
F = 72 + 4
F=
76
7
12 •
9. G = 314 • 221 +
10. H =
3
29 • 56 +
5
16 •
3
5
2 –
20
5to PRIMARIA
240
77
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
Calcula (ejercicios 11 a 22)
18. R =
a) 1
b) 2
6
11. T = 4 • 9 – 318 – 61
a) 36
c) 42
b) 17
d) 15
e) 27
12. M = 36 • 81 + 25 • 16
a) 74
c) 36
b) 72
d) 42
e) 51
4
8
9
c) 121
b) 116
d) 18
17. L =
a) 5
b) 7
78
3
4 •
50 +
3
4 •
c) 22
d) 8
3
5
5
10
2 + –8 + 315
c) –37
e) 0
d) 37
3
3
3 + –32 – 420
c) 15
e) 7
d) –15
3
e) 42
22. T = 316 • 224 + 32 •
a) 76
c) –17
b) 37
d) –15
8
1
3
4 + 25 2 +
e) 14
1
2 – 36 2
c) 3
d) 4
5to PRIMARIA
3
21. M = 26 • 33 +
4 •
a) 10
c) 32
b) 11
d) –11
Nivel intermedio
16. N =
a) 19
b) 18
218
e) –1
5
327
e) 17
916 – 31
a) 118
9
Nivel avanzado
14. R = 16 • 81 – 81 • 100 +
a) 37
c) 32
b) 58
d) 57
15. K = 25 • 64 +
2 – 49 2 +
c) 3
d) 0
5
20. T =
9 •
a) –14
b) –7
e) 27
1
+
19. P = 16 •
a) –27
b) 27
15
3
13. N = 27 • 64 –
730
a) 37
c) –18
b) –37
d) –10
8
e) –1
3
38
3
3
3
25
2 + 550
e) –8
2
e) 42
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
n
a•b =
n
a •
n
b
Raíz de un producto
m
x •
m
y =
m
x•y
5to PRIMARIA
79
ÁLGEBRA
Expresiones algebraicas
Expresión algebraica (E.A.)
Es el conjunto finito de constantes
(números) y variables (letras) unidos
por las operaciones de adición,
sustracción, multiplicación, división
y potenciación.
Los exponentes de sus variables
deben ser números racionales (Q).
Ejemplo:
3a5b7c – 2a4b3 + 7
21
Término algebraico (T.A.)
Es la unidad mínima de una expresión
algebraica.
Ejemplo:
–17m2n + 8m7n + 3xy – 5x4
Esta E.A. tiene 4 términos algebraicos
y son:
ZZ –17m2n
Los 4 términos están
ZZ 8m7n
separados por los sigZZ 3xy
nos + y – .
ZZ –5x4
Términos semejantes (T.S.)
Elementos del término algebraico
Expresión algebraica (E.A.)
Ejemplo:
Es el conjunto FINITO de constantes
2
–5a3b(letras),
(números) y variables
unidos
por las operaciones de adición,
exponentes
sustracción, multiplicación,
división
y potenciación.
Los exponetes de3 sus
–5 a b2 variables
deben ser: números racionales (Q).
coeficiente
Ejemplo:
variables
3a5b7c – 2a4b3 + 7
parte literal
80
5to PRIMARIA
Son aquelos términos que tienen la
misma parte literal, es decir: variables
y exponentes iguales.
Ejemplos:
ZZ 15 y2 ; 3 y2 ; 4 y2 ; 7 y2 → sí son T.S.
ZZ 3x3 ; 4x6 → no son T.S., porque tie-
nen exponentes diferentes.
ZZ 3 xy5 ; –3 y5x ; 4 xy5 → sí son T.S.
porque a pesar de estar invertido el
orden de las variables, estas son las
mismas y sus exponentes también.
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
1. Escribe dentro del paréntesis (S) si es E.A. y (N) si
no lo es:
2 x6y5
YY 3x5y3 – 5xy +
( )
3
YY 5mab3 – 2x5
( )
2
6
YY 3x + 5y + 3 ...
( )
YY 7x 2 – 3x6 + 5
( )
Resolución:
YY 3x5y3 – 5xy +
YY 5mab3 – 2x5
2 x6y5
3
YY 3x2 + 5y6 + 3 ...
YY 7x
– 3x6 + 5
2
(S)
( N ) → porque el
exponente es una letra
( N ) → porque es
una expresión infinita
( N ) → porque el
exponente de «x» es
un número irracional
2. Escribe dentro del paréntesis (S) si es E.A. y (N) si
no lo es:
YY
5 x7y8 – 16x3y6
YY 29x 9 – 5x4y3 + 3
YY –50a6b3 + 15ab – 3 ...
( )
( )
( )
YY 26x
( )
3
+ 3y5 + 7
3. Completa:
–23 x7 y3
Resolución:
25 –
5
Nivel intermedio
5. Construye un término algebraico: cuyo coeficien1
2
te es 25 – 36 • 4 , sus variables son a, b y x; y
sus exponentes 2, 4 y 3 respectivamente.
–
36 • 4
36 •
6
•
4
2
–7
YY Variables: a, b, x
YY Exponentes: 2, 4 y 3 respectivamente:
2 → a → a2
4 → b → b4
3 → x → x3
⇒ El término algebraico es: –7a2b4x3
6. Construye un término algebraico cuyo coeficien1
te es 49 2 –
25 • 9 , sus variables son m, n, z; y
sus exponentes 7, 9 y 4 respectivamente.
7. Elabora un término algebraico cuyo coeficiente es
3
3
1
2 •
4 + 36 2 , sus variables son x, y, a; y
sus exponentes 16, 3 y 9, respectivamente.
Nivel avanzado
8. Calcula x + y, si los siguientes términos son semejantes:
T1: 5mx n9
T2: –7m4 ny
Resolución:
T1: 5 mx n9
T2: –7 m4 ny
4. Dado el siguiente T.A.: –27x7y4m
Completa:
YY coeficiente: _____________
YY parte literal: _____________
YY variables: _____________
YY exponentes: _____________
1
YY Coeficiente: 25 2 –
Si son T.S., entonces tienen
la misma parte literal.
YY El exponente de m → 4, por lo tanto x = 4
YY El exponente de n → 9, por lo tanto y = 9
∴ Nos piden: x + y
↓ ↓
4 + 9 = 13
9. Determina a + b si los siguientes términos son semejantes:
T1: –7xa y13
T2: 13x8 yb
10. Calcula m + n – a si se tienen los siguientes T.S.
T1: –7xm y9 za+3
T2: 8x7 yn–5 z11
5to PRIMARIA
81
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
Nivel intermedio
16. Elabora un término algebraico cuyo coeficiente es
1
11. Completa:
5
5
(4 2 + 16 • 2 ) sus variables m, n y x; y sus
exponentes: 7, 3 y 9 respectivamente.
a) 5mnx
d) 4m7 n3 x9
9 3 7
b) 4m n x
e) 4 m3 x9 n7
c) 6m4 n3 x9
–5 m4 n7
17. Construye un término algebraico cuyo coeficiente es
12. Dado el siguiente T.A.: –13x y z
Completa:
YY coeficiente: _____________
YY parte literal: _____________
YY exponentes: _____________
YY variables: _____________
10
5
13. Escribe dos términos semejantes a:
–13m3n7: _________, _________
14. Dado el siguiente T.A.: –m7 n3
Completa:
YY coeficiente: _____________
YY parte literal: _____________
15. Escribe dentro del paréntesis (S) si es E.A. y (N) si
no lo es.
YY 13 x5y7 + 7x
5
y3
( )
1
49 • 4 + 81 2 , sus variables a, b y z ; y sus
exponentes: 5, 4 y 1 respectivamente.
a) 15 a5 b4 z
d) 23ab4 z5
b) 13 a5 b4 z
e) 18a5 b4 z
5 4
c) 23a b z
18. Construye un término algebraico cuyo coeficien1
te es 27 3 – 50 + 23; sus variables x, y; el exponente
de «x» es el doble de 4 y el exponente de «y» es la
raíz cuadrada de 9.
a) 12 x4 y9
d) 5 x8 y3
8 3
b) 10 x y
e) 10 x4 y9
c) 15 x4 y9
19. Escribe dos expresiones algebraicas:
YY __________________________________
YY __________________________________
20. Escribe dos expresiones no algebraicas:
YY
5 x2 + 3y3
YY –8xay3 – 3m
( )
( )
YY __________________________________
YY –7m + 3x –2
( )
YY __________________________________
82
5to PRIMARIA
ÁLGEBRA
Nivel avanzado
21. Calcula m + n – b, si se tienen los siguientes T.S.
T1 = –3x4 y13 zb+5
T2 =
a) 17
b) 14
8 xm yn–2 z11
c) 19
d) 13
22. Calcula a – b, si los siguientes términos son semejantes:
T1 = –9x12 yb
T2 = 5xa y7
e) 20
a) 5
c) 4
b) 6
d) 19
e) 7
ESQUEMA FORMULARIO
Expresión algebraicas
Conjunto finito de constantes y variables unidas por las
operaciones de adición, sustracción y multiplicación.
tiene
Términos algebraicos
coeficiente
–9 x3y6
pueden ser
Términos semejantes (T.S.)
parte literal
Porque tienen igual
parte literal
5to PRIMARIA
83
ÁLGEBRA
Reducción de términos
semejantes
22
Recordemos:
Los términos semejantes (T.S.) → son aquellos términos que tienen
la misma parte literal.
ZZ Si tenemos dos o más términos semejantes podemos reducirlos, para ello, sólo debemos operar sus
coeficientes:
Tienen la misma parte literal
(variable y exponente)
A = –5m2 + 11m2 – 13m2
A = (–5 – 13 + 11) m2
–18
+ 11
Agrupamos los coeficientes
porque todos los términos
son semejantes.
A = – 7m2
ZZ También podemos reducir aplicando la propiedad distributiva:
M = 2(a – 5) + 8(a + 3)
M = 2a – 10 + 8a + 24
M = 2a + 8a – 10 + 24
M = 10a +
14
Agrupamos
Ya no podemos reducir, no son T.S.
Cambia el signo
No cambia el signo
T = –(5x + 7) + (–10 + 8x)
T = –5x – 7 – 10 + 8x
T = –5x + 8x – 7 – 10
T = (–5 + 8)x – 17
T = 3x – 17
84
Agrupamos
Ya no podemos reducir porque no son términos semejantes
5to PRIMARIA
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
6. E = –(10b + 5) + (–a + 9)
1. M = –12a3 + 20a3 – 17a3
7. G = –(3m + 2) + (2m + 5) – (–m – 7)
Resolución:
M = –12a3 + 20a3 – 17a3
M = (–12 – 17 + 20) a3
– 29 + 20
M = –9a3
Nivel avanzado
8. H = 3(4x + 5) – 2(3 + 4x)
Resolución:
H = 3(4x + 5) – 2(3 + 4x)
H = 12x + 15 – 6 – 8x
H = 12x – 8x + 15 – 6
2. N = –15b2 + 17b2 – 8b2
3. R = –23m + 18m – 4m + 10m
H = (12 – 8)x + 9
H=
4x
+ 9
4. T = –27x2 + 11x2 – 8x2 + 4x2
Nivel intermedio
9. J = 4(5a + 6) – 3(2a + 5)
10. T =
5. D = –(12a + 4) + (–a + 7)
15x 7x
2x
+
+
4
4
4
Resolución:
D = –(12a + 4) + (–a + 7)
D = –12a – 4 – a + 7
D = –12a – a – 4 + 7
D = (–12 – 1)a + 3
D = –13a + 3
Recuerda:
–•+=–
–•–=+
5to PRIMARIA
85
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Reduce las expresiones (ejercicios 11 a 22)
Nivel básico
11. R = –15a + 8a – 13a + 24a
a) –4a
c) 4a
b) 8a
d) 44a
e) 37
12. T = –32b3 + 15b3 – 5b3 + 18b3
a) –4b
c) –4b2
2
b) 4b
d) 4
e) –4b3
13. M = –18m + 23m – 7m
a) 2m
c) –2a
b) –2m
d) 2
e) 12m
20. K = –(2a2 + 4) + (7a2 + 3) – (–a2 – 15)
a) 6a2 – 14
d) 10a2 + 14
2
b) 6a + 14
e) 10a2 + 8
c) –14 – 6a2
27m 5m 4m
+
+
6
6
6
a) 5m
c) 6m
b) 7m
d) 4m
21. R =
e) 10m3
15. R = 4x – 13x + 5x – 18x
a) 22x
c) –4x
b) –22x
d) 4x
e) 4
Nivel intermedio
16. S = –(2m + 4) + (3m + 2) – (–m – 4)
a) –2m + 2
d) 6m + 2
b) 2m + 2
e) 10 – 6m2
c) –2 – 2m
17. T = –(15a + 2) + (–a + 8)
a) –16a + 6
d) –16a – 6
b) 14a + 10
e) –16a
c) –14a – 10
5to PRIMARIA
19. M = –(3m + 2) + (5m + 4) – (m + 5)
a) 2m – 3
d) –3
b) m – 11
e) m – 3
c) m + 3
Nivel avanzado
14. T = 15m3 – 18m3 + 9m3 – 2m3
a) 4m3
c) 4m2
3
b) –4m
d) 14m3
86
18. R = –(10b2 + 3) + (–b2 + 7)
a) 11b2 + 10
d) 11b – 10
b) 11b2 – 4
e) 10 + 4b2
c) –11b2 + 4
e) m
22. T = 4(3x + 4) – 5(2x – 3)
a) 3x + 15
d) 2x + 1
b) –31 + 2x
e) 2x – 1
c) 2x + 31
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
Reducción de T.S.
se reducen si
tienen
Igual parte literal
A = 3 xy2 + 3 xy2 + 8 xy2
Podemos reducir
operando solo los
coeficientes
A = (3 + 5 + 8) xy2
A=
16 xy2
5to PRIMARIA
87
ÁLGEBRA
23
Reducción de términos
semejantes II
Hoy vamos a reducir expresiones en las que hay más de un tipo de término semejante (T.S.).
M = –7x + 10y + 11x – y
En esta expresión encontramos dos tipos de T.S.
Agrupamos:
M = –7x + 11x + 10y – y
M = (–7 + 11)x + (10 – 1)y
M = 4x + 9y
Ya no se puede reducir
Recuerda
Al momento de resaltar los T.S. debes
hacerlo con todo el signo de su coeficiente:
3a – 7b + 5a – 8b correcto
3a – 7b + 5a – 8b
incorrecto
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Reduce las expresiones (ejercicios 1 a 10)
Nivel básico
1. M = –5a + 10b – 16a + 27a – 10b
Resolución:
M = –5a + 10b – 16a + 27a – 10b
M = –5a – 16a + 27a + 10b – 10b
M = (–5 – 16 + 27)a
–21
+ 27
M = 6a
88
5to PRIMARIA
2. T = –14 + 12n – 3m + 38m – 12n
3. S = 17x2 – 5x + 13x2 + 5x
4. T = 15a2 + 13b3 – 8a2 – 7b3
Nivel intermedio
5. R = –(3x + 7y) + (7x – 5y)
Resolución:
cambia los signos
no cambia los signos
R = – (3x + 7y) + (7x – 5y)
ÁLGEBRA
R = –3x – 7y + 7x – 5y
R = –3x + 7x – 7y – 5y
R=
4x
– 12y
6. K = –(5a + 10b) + (12a – 15b)
7. M = 4(a2 + 3) – 4a2 + 17
Nivel avanzado
8. A = x(x + 5) + 3x2 – 2x
Resolución:
A = x(x + 5) + 3x2 – 2x
A = x2 + 5x + 3x2 – 2x
A = x2 + 3x2 + 5x – 2x
A = (1 + 3)x2 + (5 – 2)x
+ 3x
A = 4x2
9. B = x(x + 8) + 5x2 – 4x
10. D = x(x – 7) + 2x(x + 9)
5to PRIMARIA
89
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Reduce las expresiones (ejercicios 11 a 22)
Nivel básico
11. K = 15b2 – 3b + 18b2 + 3b
a) –33b2
c) 33b2
b) 17b2
d) 15b3
e) –15b2
12. M = 19a2 + 32b5 – 13a2 – 27b5
a) 11a7
d) 6a2 + 5b5
2
5
b) 5a + 6b
e) 6a2 – 5a5
2
5
c) –6a + 5a
13. R = –5m + 8x – 13m + 25x
a) 18m – 33x
d) –18m – 33x
b) –18m + 33x
e) –15m + 31x
c) –16m + 33x
14. T = –5y + 9b2 – 12y – 13b2
a) 17y + 4b2
d) –17y + 4b2
2
b) 17y – 4b
e) 4b2 – 16y
c) –17y – 4b2
15. M = –13a2 + 5b – 2m + 12a2 – 5b + 2m
a) –2a2
c) –a2
e) 2a2
2
b) 0
d) a
Nivel intermedio
16. R = 2(b2 + 6) – 2b2 + 15
a) 25
d) b + 27
b) b2 + 27
e) 27
c) 4b2 – 27
17. M = –(3m + 5a) + (7m – 3a)
a) –4m + 8a
d) 4m – 8a
b) 8a
e) 4m
c) 4m + 8a
90
5to PRIMARIA
18. T = –(4b2 + 3m) + (9b2 + 13m)
a) 5b2 + 10m
d) 5b2
2
b) 10m – 5b
e) 5b2 + 16m
c) –10m – 5b2
19. R = 3(m2 + 5) – 3m2 + 18
a) –33
d) m2 – 33
b) 33
e) 6m2 + 33
c) m2 + 33
20. S = –(3x3 – 5y) + 3(x3 + 2y)
a) x3 + 11y
d) x3 – 11y
b) 6x3 – 1y
e) 11y
c) –11y
Nivel avanzado
21. K = x(x – 5) + 2x(x + 4)
a) 3x
d) 3x2 + 9x
b) 6x
e) 9x
c) 3x2 + 3x
22. D = x(x + 7) + 8x2 – 7x
a) 9x2
d) 10x2
2
b) x + 9x
e) –9x2
c) x + 9x2
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
Reducción de T.S. II
Expresiones que tengan más de
un grupo de T.S.
A = 2x + 3y + 5x + 6y
Agrupa
A = 2x + 5x + 3y + 6y
A=
7x
+
9y
Ya no se puede reducir
5to PRIMARIA
91
ÁLGEBRA
24
Repaso
1. Resuelve:
8. Resuelve:
A=5
5
16 – 3
a) 26
b) 13
–32 –
c) 15
d) 18
15
–1
e) 27
2. Calcula:
B=3
3
–8 –
a) –21
b) 22
21
–17 + 16 – (–3)3
e) 21
c) –29
d) –27
3. Calcula M + N, si:
M=
32 – 5 +
N=
a) 3
b) 5
4×9 –
3
64 +
25
3
–6 – 2
c) 13
d) 10
e) 9
3
212 +
1
9. Calcula m + n – a, si los siguientes términos son
semejantes:
T1 = 7xm y9 za+7
T2 = –5x4 yn–5 z8
a) 7
c) 16
e) 21
b) 9
d) 17
10. Calcula A + B.
A = –(7x + 5) – (–2x + 2)
B = 3(2x + 5) + 4(5x + 6)
a) 21x + 32
d) 31x + 46
b) –5x – 7
e) –5x + 32
c) 26x + 39
11. Reduce:
4. Calcula R × S.
R=
a) 20
b) 19
1
A = 100 2 + 25 • 4 – (–1)3
c) 21
e) 17
d) 18
54 –
1
50
3100
1
S = 36 2 + 64 3 – 81 4
a) 9
c) 27
b) 31
d) 32
e) 19
M = –(3a + 5b) + (7b – 5a)
a) 4b
d) 8a
b) –8a + 2b
e) 8a – 2b
c) 2b + 8a
12. Construye un término algebraico cuyo coeficiente
3
5. Reduce:
T=
a) x7
b) x4
6. Simplifica:
a) 12x3
b) 3x2 + 9x
c) 9x2 + 3x
7. Reduce:
a) x
b) –2x2
2
92
15
x10 • x3 • x17 • x5 • x3
c) x5
d) x9
e) x10
R = x(x – 5) + 2x(x + 7)
d) 7x3
e) 4x2 + 9x
Q = x(x + 3) – 3x(x + 1)
c) 5x2
d) x + 3
5to PRIMARIA
e) x
3
3
sea: ( 100 • 81 +
2 •
2 •
2 ), sus
variables x, y, a; y sus exponentes: 5; 3 y 8 respectivamente:
a) 81x5 y3 a8
d) 92x8 y3 a5
b) 92x5 y3 a8
e) 19x8 y3 a5
8 3 5
c) 82x y a
ÁLGEBRA
Ecuación de primer grado
25
Una ecuación es una igualdad que se cumple para
un valor de una variable llamada incógnita.
Comprobamos:
3x – 1 = 20
3(7) – 1 = 20
3x = 21
21 – 1 = 20
x=7
20 = 20
La igualdad se ha comprobado para x = 7 (es el
único valor)
I. FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
ax + b = 0
a, b: son constantes
x: es la variable o incógnita
Ejemplo: 2y – 16 = 0
2; –16: son constantes
y: es la variable o incógnita
II. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
A. Caso 1
●
Resuelve: x + 9 = 15
Resolución:
La que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro:
x = 15 – 9
∴x=6
●
Resuelve: x – 17 = 21
Resolución:
Lo que está restando en un miembro, pasa sumando al otro miembro:
x = 21 + 17
∴ x = 38
C. Caso 3
Ahora combinaremos los casos anteriores:
● Resuelve: 5x – 3 = 7
Resolución:
5x = 7 + 3
Pasa sumando
B. Caso 2
Resuelve: 7x = 42
Resolución:
Lo que está multiplicando en un miembro pasa a dividir al otro miembro.
42
x=
7
∴x=6
x
●● Resuelve:
=5
9
Resolución:
Lo que está dividiendo en un miembro,
pasa a multiplicar al otro miembro.
x=5×9
∴ x = 45
●
5x = 10
x=
10
5 Pasa a dividir
x=2
5to PRIMARIA
93
ÁLGEBRA
●
Resuelve:
x+1
=8
2
Resolución:
x+1=8× 2
x + 1 = 16
x = 16 – 1
Pasa a multiplicar
Pasa a restar
∴ x = 15
Recuerda
La ecuación de primer grado también se llama ecuación lineal.
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1. 5x – 11 = 14
Resolución:
5x – 11 = 14
5x = 14 + 11
5x = 25
25
x=
5
6.
5x – 1
= 12
2
7. –10 – 7x = 32
Nivel avanzado
8.
6 – 3x
–1=6
2
Resolución:
x=5
6 – 3x – 1 = 6
2
+
2. 3x – 17 = 10
3.
x
+1=9
5
6 – 3x
=6+1
2
4.
2x
– 5 = –1
3
6 – 3x = 7
2 ×
5.
Nivel intermedio
6 – 3x = 14
2x – 1
= 11
3
Resolución:
2x – 1 = 11
3 ×
2x – 1= 33
2x = 33 + 1
2x = 34
34
x=
2
x = 17
94
5to PRIMARIA
–3x = 14 – 6
–3x = –8
8
x=–
3
9.
7 – 4x
–1=4
2
10.
9 + 3x
+1=7
5
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
Resuelve las siguientes ecuaciones:
11.
12.
x
+1=9
7
a) 12
b) 37
2x
– 7 = –1
5
a) 15
b) 10
c) 19
d) 65
18.
e) 56
c) 25
d) 17
e) 9
13. 9x – 21 = 42
a) 17
b) 9
c) 7
d) 6
e) 13
14. 7x – 2 = –16
a) 2
b) –2
c) 19
d) 7
e) 12
15. 2x + 13 = –11
a) 12
b) 7
16. –7 – 9x = 20
a) –3
b) 3
17. –1 – 3x = –5
1
a)
2
4
b)
3
c) 8
d) 5
19.
20.
21.
e) –12
22.
x
– 1 = 15
3
a) 18
b) 12
c) 48
d) 17
e) 15
x
+ 9 = 15
7
a) 42
b) 24
c) 16
d) 12
e) 17
2x
–1=2
3
7
a)
3
5
b)
7
2 + 3x
+1=4
5
1
a)
2
3
b)
4
9
8
9
d)
2
c)
e)
3
7
e)
4
7
Nivel avanzado
13
3
2
d)
5
c)
2 – 5x
– 1 = 11
7
81
82
a)
c) –
7
5
b) 13
d) 15
e) 7
Nivel intermedio
c) 9
d) 7
e) 5
c) 8
e)
d)
5
2
7
4
5to PRIMARIA
95
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
Ecuación de primer grado
Resolución
Transposición de términos
x – 12 = 20
x = 20 + 12
x = 32
5x = 60
60
x=
5
x = 12
96
5to PRIMARIA
x =5
2×
x = 10
x + 12 = 30
x = 30 – 12
x = 18
ÁLGEBRA
26
Ecuación de primer grado II
(AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES, PROPIEDAD DISTRIBUTIVA)
Esta semana aprenderemos ecuaciones de primer grado reductibles en
cada miembro de la igualdad.
1. –2x + 5x – 3 = 18
3x
–3 = 18
3x = 18 + 3
3x = 21
21
x=
3
4. 2(x – 1) – 5 = x – 5
Aplico la propiedad distributiva
2x – 2 – 5 = x – 5
Reduzca 2x – 7 = x – 5
2x – x = –5 + 7
x=2
x=7
2. x + 13 – 6 – 1 = 19
Reducir 13 – 6 – 1 = 13 – 7 = 6
x + 6 = 19
x = 19 – 6
x = 13
3. 6 + 3x + 4 – x = –x – 9 + 28
Reducir en cada lado de la igualdad
2x + 10 =
+
–x + 19
2x + x = 19 – 10 traspaso términos
3x = 9
9
x=
3
x=3
5to PRIMARIA
97
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
Resuelve las siguientes ecuaciones:
6x – 2 = 5x + 4
6x – 5x = 4 + 2
x=6
1. –5x + 9x – 2 = 34
Resolución:
–5x + 9x – 2 = 34
4x
– 2 = 34
4x = 34 + 2
4x = 36
36
x=
4
x=9
2. –8x + 13x – 7 = 38
3. 12 + 8x – 12x = –15 + 17
4. 16x – 15 – 5 – 4x = –2 – 6
Nivel intermedio
5. –10 + x + 8 – 7x = 8x – 5 + 9
Resolución:
–10 – x + 8 + 7x = 5x – 5 + 9
98
5to PRIMARIA
6. –7 – x + 4 + 9x = 4x + 6 – 41
7. 3x – 11 + 4x + 2 = –x + 47
Nivel avanzado
8. 3(x – 4) + 1 = x – 7
Resolución:
3(x – 4) + 1 = x – 7
3x – 12 + 1 = x – 7
3x – 11 = x – 7
3x – x = –7 + 11
2x = 4
4
x=
2
x=2
9. 2 + 5(x – 1) = –x – 2
10. 1 – (x + 3) = 2(x – 1) + 9
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
11. 15 + 2x – 6x = –2 + 7
1
7
a)
c)
3
4
b)
7
9
d)
13. –4 + x + 16 – 4x = 5x + 7 – 11
a) 15
c) 12
b) 7
d) 14
14. –8 – 2x + 5 + 10x = x + x – 7
2
7
a) –
c)
3
2
1
3
d)
2
3
5
2
12. 7x – 12 – 8 – 5x = – 9 – 7
a) 5
c) 9
b) 2
d) 7
b)
e)
e) 12
e) 2
e) 7
5
3
15. 2 – x – 7 + 3x = x – 19
a) 7
c) 6
b) –14
d) 9
e) –4
18. 5 + 3(x – 1) = –x + 9
1
a)
c) 4
2
2
1
b)
d)
3
5
19. 8(x – 2) – 6 = –x – 3
19
7
a)
c)
9
5
9
2
b)
d)
20
7
20. 8 + 6(x – 3) = x – 1
1
a)
c) 17
5
9
b) 2
d)
5
e)
7
3
e)
9
19
e) 15
Nivel avanzado
21. 2 – (x + 1) = 3(x – 1) + 8
a) 2
c) 9
b) –1
d) 7
22. 7 – (x + 2) = 2 + 5(x – 1)
2
4
a)
c)
5
3
b) 9
e) 6
e) 18
d) 7
Nivel intermedio
16. 10x – 6 + 2x + 1 = –x + 60
a) 7
c) 9
b) 8
d) 5
e) 12
17. 2(x – 7) + 1 = x – 21
a) 8
c) –8
b) –2
d) 12
e) –4
5to PRIMARIA
99
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
Ecuación de primer grado II
con
Transposición y agrupación
de términos semejantes
–3x + 5x – 8 = x + 20
2x
– 8 = x + 20
2x – x = 20 + 8
x = 28
100
5to PRIMARIA
Propiedad distributiva
2(x – 1) + 1 = x – 5
2x – 2 + 1 = x – 5
2x – 1 = x – 5
2x – x = –5 + 1
x = –4
ÁLGEBRA
27
Ecuación de primer grado
con coeficiente en Q
Esta semana aprenderemos a resolver
ecuaciones que tenga como constantes
números fraccionarios.
CON FRACCIONES HOMOGÉNEAS
CON FRACCIONES HETEROGÉNEAS
6x 20x
1. –
+
+ 1 = 11
7
7
3.
9x + 2x
= 21 + 1
18
11x
= 22
18
2
22 × 18
x=
11
1
x = 36
Fracciones homogéneas
–6x + 20x
= 11 – 1
7
14x
= 10
7
2x = 10
x=5
2x 7x
2. x +
+
= –15 + 45
9
9
Fracciones homogéneas
2x + 7x
x+
= 30
9
9x
x+
= 30
9
x + x = 30
2x = 30
x=
30
2
x
x
2 + 9 – 1 = 21
4.
x
x
x
7
+
+
=
3
2
5 10
MCM(3; 2; 5; 10) = 30
×
×
×
×
x
x
x
7
30
+ 30
+ 30
= 30
3
2
5
10
10x + 15x +
6x = 21
31x = 21
x=
21
3
x=7
x = 15
5to PRIMARIA
101
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
20x
+ x = 30
5
5x = 30
30
x=
5
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1. –
9x 21x
+
– 3 = 27
4
4
Resolución:
9x 21x
+
– 3 = 27
–
4
4
–9x + 21x
4
6.
5x 4x
+
– 3x = –84 + 18
2
2
7.
x
x
+
+ 2 = 13
8
3
= 27 + 3
12x
= 30
4
3x = 30
30
x=
3
x = 10
2.
x=6
Nivel avanzado
8.
Resolución:
x
x
x
5
+
+
=
3
9
6
3
12x 8x
+
+ 1 = 20
5
5
3. –
x 8x
–
– 2 = –14
3
3
4. 5 +
MCM(3; 9; 6) = 18
×
×
×
×
x
x
x
2
18
+ 18
+ 18
= 18
3
9
6
3
7x 5x
+
= 21
6
6
6x
Nivel intermedio
5.
x
x
x
5
+
+
=
3
9
6
3
+ 2x +
12x 8x
+
+ x = –18 + 48
5
5
Resolución:
12x 8x
+
+ x = –18 + 48
5
5
9.
x
x
x
1
+
+
=
4
2
3
4
12x + 8x
+ x = 30
5
10.
x+1 x–3
=
3
5
102
5to PRIMARIA
3x = 30
11x = 30
30
x=
11
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
x 7x
–
– 3 = –15
4
4
a) x = 2
c) x = –6
b) x = 6
d) x = 8
18.
11. –
2x 7x
+
= 36
3
3
a) x = 9
c) x = 10
b) x = 3
d) x = 6
e) x = 9
19.
12. 9 +
11x 13x
+
– 9 = 21
2
2
a) x = 15
c) x = 9
b) x = 7
d) x = 2
b) x =
15.
x 8x
+
+ 7x = –61 + 21
3
3
a) x = –1
c) x = 5
b) x = –4
d) x = –8
20.
e) x = 30
e) x = –7
e) x = 6
Nivel intermedio
16.
17.
x
x
+
+ 9 = 23
5
2
a) x = 15
c) x = 20
b) x = 10
d) x = 7
x
x
x
2
+
+
=
2
5
3 15
4
2
a) x =
c) x =
31
5
9
2
b) x =
d) x = –
8
5
e) x = –9
x
x
x
1
–
+
=
8
3
2 12
a) x = 1
e) x = 1
13. –
9x 5x
14.
+
– 5 = 44
2
2
a) x = 8
c) x = 7
b) x = 1
d) x = 2
x
x
x
3
+
+
=
7
6
3 14
a) x = 9
c) x = 10
b) x = 1
d) x = 3
1
7
c) x =
2
7
e) x =
3
5
d) x = 9
x
x
x
+
–
= –3 – 5
5
2 10
a) x = –9
c) x = –2
b) x = 4
d) x = 7
e) x = –
4
3
Nivel avanzado
21. x – 8 = x + 4
3
4
a) x = 22
b) x = 44
c) x = 19
d) x = 15
e) x = 17
22. 3x – 1 = x + 6
5
2
a) x = 18
b) x = 7
c) x = –28
d) x = 13
e) x = 6
e) x = 2
e) x =
1
7
5to PRIMARIA
103
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
Ecuación de primer grado con coeficientes en Q
Si hay fracciones homogéneas:
x + 7x – 3 = 5
2
2
8x
2
Si hay dos fracciones:
x–1 x+2
7 = 9
se realiza el producto cruzado.
=5+3
4x = 8
x=2
Si hay fracciones heterogéneas:
3x + x + x = – 11
4
3
4
2
MCM(2; 4; 3) = 12
104
5to PRIMARIA
ÁLGEBRA
28
Planteo de ecuaciones
Tengo «x» monedas y tú
Yo tengo el doble de lo
que tú tienes
2x
Plantear una ecuación consiste en interpretar y transformar un enunciado
(frase verbal) en una expresión matemática (símbolos).
ENUNCIADO
La mitad de un número
La tercera parte de un número
Un número aumentado en 7
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
x
2
Recuerda que una ecuación puede
x
3
ser representada por cualquier
x+7
letra que tú quieras usar.
Un número disminuido en 6
x–6
El doble de un número
2x
El triple de un número
3x
El exceso de un número sobre 12
La cuarta parte de un número aumentado en 9
La cuarta parte de la suma de un número y 9
Un número aumentado en su cuarta parte
Las dos terceras partes de un número
x – 12
x +9
4
x+9
4
x+ x
4
2 x
3
5to PRIMARIA
105
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
1. Un número aumentado en 15 da como resultado
50. Calcula dicho número.
Resolución:
Sabemos «x» ⇒ número desconocido o incógnita
x + 15 = 50
x = 50 – 15
x = 35
∴El número es 35.
2. Un número aumentado en 17 da como resultado
85. Calcula dicho número.
3. El exceso de un número sobre 9 da como resultado 15. Calcula dicho número.
4. El triple de un número es igual a 42. Calcula dicho número.
Nivel intermedio
5. El triple de un número es igual a la suma de dicho
número con 18. Calcula dicho número.
Resolución:
Número = x
El triple del número = 3x
Es igual a la suma del número con 18
3x = x + 18
3x – x = 18
2x = 18
106
5to PRIMARIA
x=9
∴El número es 9.
6. El doble de un número es igual a la suma de dicho
número con 50. Calcula dicho número.
7. Un número aumentado en su cuarta parte da
como resultado 10. Calcula la quinta parte de dicho número.
Nivel avanzado
8. La cuarta parte de un número aumentado en 5 es
igual a 8. Calcula dicho número.
Resolución:
Número = x
x +5=8
4
x =8–5
4
x = 3 ⇒ x = 12
4
∴ el número es 12
9. La quinta parte de un número disminuido en 1 es
igual a 3. Calcula dicho número.
10. Las dos terceras partes de un número da como
resultado 20. Calcular la tercera parte de dicho
número.
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
11. Un número excede a 13 en 11. Calcula la tercera
parte de dicho número
a) 7
c) 15
e) 8
b) 16
d) 12
12. El triple de un número es igual a 60. Calcula dicho número.
a) 21
c) 9
e) 6
b) 20
d) 13
13. Un número aumentado en 35 da como resultado
72. Calcula dicho número.
a) 12
c) 107
e) 6
b) 10
d) 17
18. La cuarta de un número aumentado en 1 es igual
a 7. Calcula dicho número.
a) 6
c) 24
e) 18
b) 9
d) 12
19. La quinta parte de un número disminuido en 7 es
igual a 7. Calcula la quinta parte del número.
a) 16
c) 7
e) 4
b) 9
d) 15
20. El exceso de un número sobre 5 es 19. Calcula dicho número.
a) 16
c) 5
e) 2
b) 24
d) 14
Nivel avanzado
14. Un número disminuido en 19 da como resultado
31. Calcula dicho número.
a) 30
c) 10
e) 100
b) 50
d) 80
21. Las dos terceras partes de un número da como
resultado 16. Calcula la mitad de dicho número.
a) 15
c) 13
e) 20
b) 19
d) 12
15. El triple de un número es igual a la suma de dicho
número con 24. Calcula el número.
a) 6
c) 20
e) 12
b) 50
d) 15
22. Un número aumentado en su cuarta parte da
como resultado 25. Calcula la mitad de dicho número.
a) 11
c) 2
e) 10
b) 17
d) 15
Nivel intermedio
16. La mitad de un número aumentado en 5 da como
resultado 15. Calcula el número.
a) 20
c) 7
e) 5
b) 60
d) 3
17. Un número excede a 12 en 15. Calcula dicho número.
a) 18
c) 2
e) 27
b) 15
d) 13
5to PRIMARIA
107
ÁLGEBRA
ESQUEMA FORMULARIO
Planteo de ecuaciones
Incógnita: «x»
El doble
2x
La cuarta parte
x
4
Aumentó
es
suma
108
La mitad
x
2
El triple
3x
5to PRIMARIA
La quinta parte
x
5
Exceso
es
resta
ÁLGEBRA
Sistema de ecuaciones I
29
Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales con dos o más
variables, que se verifican simultáneamente solo para un determinado
conjunto de valores que toman dichas variables, denominadas «conjunto
solución» (C.S.).
2x + y = 20
C.S. = {(x; y)}
3x – y = 15
I. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Es aquel sistema que está formado por dos o más ecuaciones de primer grado.
ax + by = c
mx + ny = e
II. MÉTODO DE REDUCCIÓN
Aquí utilizaremos un método de resolución llamado método de reducción.
ax + by = c
mx + ny = e
Resuelve:
Sumamos las ecuaciones para eliminar una de las variables.
x + y = 13 ... (1) → llamado ecuación N° 1
x – y = 27 ... (2) → llamado ecuación N° 2
Resolución:
x + y = 13
x – y = 27
2x = 40
x = 20
Sustituimos en 1:
x + y = 13
20 + y = 13
y = 13 – 20
y=–7
C.S. = {(20; – 7)}
Recuerda:
En un C.S. las soluciones deben ir en orden alfabético.
Ejemplo: m = 8 y n = 3
C.S. {(m; n)} = {(8; 3)} par ordenado
5to PRIMARIA
109
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
1. Resuelve:
x+y=5
x – y = 17
Resolución:
x + y = 5 ... (1)
x – y = 17 ... (2)
2x = 22
x = 11
Reemplazamos en (1):
x+y=5
11 + y = 5
y = 5 – 11
y=–6
El conjunto solución: C.S. = {(11; –6)}
2. x + y = 12
x – y = 10
3.
x + y = 12
2x – y = 15
4. x + 3y = 29
2y – x = 11
x – y = –1
–x + 2y = 5
Resolución
x – y = –1 ... (1)
... (2)
–x + 2y = 5
–y + 2y = –1 + 5
y=4
Reemplazamos en (1):
x – y = –1
x – 4 = –1
x = –1 + 4
x = +3
El conjunto solución: C.S. = {(+3; 4)}
110
x – y = 15
–x + 3y = 7
7.
x+y=8
–x + 2y = 1
Nivel avanzado
8. 2x + 3y = 19
3x – 3y = –9
Resolución
2x + 3y = 19
... (1)
3x – 3y = –9
... (2)
2x + 3x = 19 – 9
5x = 10
x=2
Reemplazamos en (1):
2x – 3y = 19
2(2) – 3y = 19
4 – 3y = 19
–3y = 19 – 4
–3y = 15
3y = –15
y = –5
El conjunto solución: C.S. = {(2; –5)}
Nivel intermedio
5.
6.
5to PRIMARIA
9. –x + 9x = 17
x – 5y = 7
10. 3x + 4y = –5
–3x – 2y = –7
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel intermedio
Nivel básico
16. Si –x + 7y = 15
x – 3y = 5
Calcula «x»
a) 16
b) 12
c) 20
Resuelve:
11. x + y = 15
x–y=7
a) {(2; 3)}
b) {(1; 5)}
c) {(5; 2)}
d) {(8; 2)}
e) {(11; 4)}
17. Si:
8x + 3y = 31
3x – 3y = –9
Calcula «x»
a) 4
b) 9
c) 3
12. x + 3y = –13
y – x = 33
a) {(1; 7)}
b) {(3; 2)}
c) {(2; 9)}
d) {(–28; 5)}
e) {(1; 5)}
18. Si: –2x + 5y = 21
2x + 8y = 18
Calcula «x»
a) 4
b) 9
c) 3
13. 4x – y = 24
5x + y = 48
a) {(8; 8)}
b) {(2; 7)}
c) {(2; 6)}
d) {(1; 5)}
e) {(1; 9)}
14. Si: 4x + 5y = 12
x – 5y = 8
Calcula «x»
a) 6
b) 4
c) 15
15. Si: y + 2x = 16
x–y=5
Calcula «x»
a) 8
c) 20
b) 17
d) 12
d) 3
e) 20
19. Si: –x + 10y = 14
x – 7y = 13
Calcula «x»
a) 9
b) 19
c) 6
d) 9
e) 12
e) 7
d) 6
e) 10
d) 6
e) 10
d) 12
e) 15
20. Resuelve:
5x + y = 17
–y – 2x = –11
a) {(2; 7)}
b) {(1; 8)}
c) {(1; 9)}
d) {(7; 8)}
e) {(2; 0)}
5to PRIMARIA
111
ÁLGEBRA
Nivel avanzado
21. Si:
8x + 4y = –10
–8x – 2y = –14
Calcula «y»
a) –16
c) 10
b) 12
d) 17
e) –12
22. Si:
3x + 7y = –12
–3x – 4y = –6
Calcula «y»
a) 6
c) 5
b) 3
d) –6
e) 1
ESQUEMA FORMULARIO
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Método de reducción ⇒
x + y = 19 ... (1)
x – y = 5 ... (2)
Lo que esta multiplicando 2x = 24
pasa al otro miembro
dividiendo.
x = 12
Reemplazamos x = 12 en (1)
12 + y = 19
y = 19 – 12
y=7
C.S. = {(12; 7)}
112
5to PRIMARIA
ÁLGEBRA
30
Sistema de ecuaciones II
Si: x + y = 10
x–y=2
Ahora:
+
Podemos eliminar una de las variables
utilizando el método ya aprendido «el
método de reducción».
x + 2y = 14 +
x–y=5
No podemos eliminar una de las
variables
En esta ocasión vamos a estudiar un sistema de la siguiente forma:
x + 2y = 14
x – 2y = 5
Para lo cual vamos a seguir utilizando «el método de reducción».
Ejemplo:
x + 2y = 14 ... (1)
x – 2y = 5 ... (2)
Resolución:
1° Multiplicamos a toda la ecuación por dos.
x + 2y = 14
2.x – 2.y = 2.5
x + 2y = 14
2x – 2y = 10
2° Sumanos las ecuaciones resultantes para eliminar una de las
variables.
x + 2y = 14 +
2x – 2y = 10
3x = 24
x=8
5to PRIMARIA
113
ÁLGEBRA
3° Ahora sustituimos el valor de «x» en la ecuación.
x + 2y = 14
8 + 2y = 14
2y = 14 – 8
2y = 6
y=3
4° Ahora para concluir escribiremos el conunto solución:
C.S. = {(8; 3)}
Par ordenado
Recuerda:
Buscar un número con su respectivo signo positivo o negativo que al multiplicar a una de las ecuaciones
nos ayude a eliminar una de las dos variables.
EJERCICIOS PARA LA CLASE
Nivel básico
1. Resuelve:
x + 3y = 20
x–y=4
Resolución:
x + 3y = 24
3.x – 3.y = 3.4
4. x + y = 8
x . 2y = 2
Calcula «x»
Nivel intermedio
5. 3x – y = 12
2x – y = –8
Resolución:
x + 3y = 24 ... (1) +
3x – 3y = 12 ... (2)
4x = 36
x=9
Reemplazamos en (1):
x + 3y = 24
9 + 3y = 24
3y = 15
y=5
El conjunto solución: C.S. = {(9; 5)}
2. x + 5y = 32
x–y=2
Calcula «x»
3. 2x + 3y = 15
x – y = 10
Calcula «x»
114
5to PRIMARIA
3x – y = 12
(–1)(2x) –(–1)(y) = (–1)(–8)
x
3x – y = 12
... (1) +
... (2)
–2x + y = 8
x = 20
Reemplazamos en (1):
3x – y = 12
3(20) – y = 12
60 – y = 12
–y = 12 – 60
–y = 12 – 60
–y = –48
y = 48
El conjunto solución: C.S. = {(20; 48)}
ÁLGEBRA
6. Resuelve:
5x – y = 15
2x – y = –7
Calcula «x».
Reemplazamos en (1):
3x + 2y = 5
3(13) + 2y = 5
39 + 2y = 5
2y = 5 – 39
2y = – 34
y = –17
7. Resuelve:
–x + y = 7
2x + 2y = 2
Calcula «y».
El conjunto solución: C.S. = {(13; –17)}
Nivel avanzado
8. Resuelve:
3x + 2y = 5
x + y = –4
Calcula «x».
Resolución
3x + 2y = 5
(–2)x +(–2)(y) = (–4)(–2)
3x + 2y = 5
–2x – 2y = 8
x = 13
9. Resuelve:
2x + y = 6
x + 3y = 10
... (1)
... (2)
10. x + y = 9
2
x–y
=4
3
+
5to PRIMARIA
115
ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel básico
Nivel intermedio
16. –2x + y = 9
4x + 3y = 12
Calcula «y»
a) 15
b) 12
c) 3
d) 30
e) 16
Resuelve:
11. 2x + 3y = 16
x–y=3
Calcula «x»
a) 7
b) 5
c) 6
d) 12
e) 15
12. 3x + y = 11
x – 2y = 4
Calcula «y»
a) 2
b) 7
c) 6
13.
x+y=1
3x – 3y = 5
Calcula «x»
1
a)
2
b) 7
14. x + y = 12
y – 2x = 3
Calcula «y»
a) 9
b) 15
c) 3
15. 7x – y = 13
x–y=1
Calcula «x»
a) 7
b) 15
c) 2
116
17. 5x + 3y = 19
x+y=5
Calcula «y»
a) 6
b) 3
c) 5
d) 9
e) 18
d) 0
e) 5
c) 12
e)
d) 8
d) 12
e) 6
d) 9
e) 16
5to PRIMARIA
4
3
18. 3x + y = 9
x + 5y =
Calcula «x»
a) –2
c) 19
e) 15
b) 2
d) 10
19. 3x + y = 9
x + 4y = 14
Calcula «x»
a) 16
b) 7
c) 9
20. x + 5y = 13
2x + y = 8
Calcula «y»
a) 2
b) 15
d) 5
e) 2
c) 8
d) 13
e) 7
ÁLGEBRA
Nivel avanzado
21.
22.
x+y
=2
7
x–y
=4
9
Calcula «x»
a) {(12; 5)}
b) {(3; 9)}
c) {(25; –11)} e) {(15; 11)}
d) {(0; 5)}
2x + y
=3
5
x–y
=3
2
Calcula «x»
a) 8
b) 2
c) 19
d) 17
e) 7
ESQUEMA FORMULARIO
S II
CUACIONE
EE
SISTEMA D
Forma:
3x + 2y = 25
x–y=5
... (1)
... (2)
3x + 2y = 25
.5
2.x – 2.y = 2
3x + 2y = 25
2x – 2.y = 10
5x = 35
x=7
+
os en (2)
Reemplazam
x–y=5
7–y=5
–y=5–7
–y = –2
y=2
C.S. = {(7; 2)}
5to PRIMARIA
117
ÁLGEBRA
118
5to PRIMARIA