Álgebra 5 to Primaria Í n d i ce ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN Z ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Q MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN Q POTENCIACIÓN I: EXPONENTE NATURAL POTENCIACIÓN II: EXPONENTES ESPECIALES POTENCIACIÓN III: CON BASE EN Z REPASO OPERACIONES COMBINADAS CON EXNENTES ESPECIALES LEYES DE EXPONENTES I LEYES DE EXPONENTES II LEYES DE EXPONENTES III OPERACIONES COMBINADAS CON LEYES DE EXPONENTES RADICACIÓN I: CÁLCULO DE RAÍCES BÁSICAS RADICACIÓN II: OPERACIONES COMBINADAS EN EL RADICANDO REPASO RADICACIÓN EN Z - PRIMERA PARTE RADICACIÓN EN Z - SEGUNDA PARTE TEORÍA DE EXPONENTES PARA LA RADICACIÓN (EXPONENTE FRACCIONARIO) TEORÍA DE EXPONENTES PARA LA RADICACIÓN (RAÍZ DE UN PRODUCTO) EXPRESIONES ALGEBRAICAS REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES II REPASO ECUACIÓN DE PRIMER GRADO ECUACIÓN DE PRIMER GRADO II ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON COEFICIENTE EN Q PLANTEO DE ECUACIONES SISTEMA DE ECUACIONES I SISTEMA DE ECUACIONES II PÁG. 7 10 13 17 21 24 28 32 34 38 42 46 50 54 58 62 64 68 72 76 80 84 88 92 93 97 101 105 109 113 ÁLGEBRA 1 Adición y sustracción en Z En el Pamer móvil suben 15 niños, luego bajan 7 niños y finalmente suben 20 niños más. ¿Cuántos niños llegan al colegio en el Pamer móvil? Para conocer el número total de alumnos que llegan al colegio, se realiza la siguiente operación: suben bajan suben Los alumnos que suben serán representados con el signo más (+), y los que bajan, con el signo menos (-). +15 -7 +20 suben bajan suben ⇒ Agrupamos + - + - 15 + 20 -7 35 -7 +28 En la adición y sustracción de números enteros (Z) tenemos los siguientes casos: A. Caso I Signos iguales Si se suman dos números con signos iguales, los números se suman y al resultado se le antepone el signo común. Ejemplos: -5 - 17 = -22 13 + 9 = 27 B. Caso II Signos diferentes Si se suman dos números con signos diferentes, los números se restan (el mayor menos el menor) y al resultado se le antepone el signo del número mayor. Ejemplos: -14 + 17 = 3 20 - 35 = -15 Completa: a) -15 + 32 = _____________ b) -6 - 17 = _____________ c) -24 + 17 = _____________ d) 7 - 18 = _____________ e) -4 - 15 = _____________ f) -27 - 38 = _____________ g) -18 + 27 = _____________ h) 17 - 29 = _____________ i) -32 + 15 = _____________ j) -29 + 17 = _____________ 5to PRIMARIA 7 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE 6. Resuelve: R = -20 + 18 - 36 + 57 - 19 + 10 Nivel básico 1. Calcula: A = -17 - 42 + 53 Resolución: 7. Resuelve: A = -27 + 15 - 18 + 26 - 17 + 23 Signos iguales sesuman A = -17 - 42 + 53 -59 + 53 Signos diferente se restan -6 2. Calcula: L = -42 - 36 + 98 4. Calcula: E = -100 - 47 + 98 + 102 y = -1 Nivel intermedio 5. Resuelve: B = -17 + 42 - 53 + 18 - 61 + 10 Resolución: B = -17 + 42 - 53 + 18 - 61 + 10 ¡Agrupamos! B = +42 + 18 + 10 - 17 - 53 - 61 - B= B= 8 +70 -61 5to PRIMARIA 8. Si: y = -17 + 28 - 12 Calcula: y + 28 Resolución: y = -17 + 28 - 12 y = -29 + 28 3. Calcula: G = 86 - 92 -16 + Nivel avanzado 131 ∴Nos piden: y + 28 -1 + 28 27 9. Si: A = -25 + 30 - 17 + 2 Calcula A + 32. 10. Si: W = -15 + 83 - 37 - 23 Calcula W - 5. ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico 1. Calcula: A = 197 – 47 – 250 a) –99 b) –200 c) –100 d) 100 e) 99 2. Calcula: B = –23 – 49 + 70 + 22 a) b) c) d) e) 18 20 118 –18 –118 3. Calcula: C = 8 – 21 + 5 – 12 a) 20 b) –20 c) 15 d) –15 e) 33 4. Calcula: D = 15–18 + 23 – 17 + 4 5. Calcula: E = 32 – 56 + 48 – 134 + 30 a) 80 b) 8 c) –80 d) 88 e) 78 Nivel intermedio 6. Calcula: F = –18 + 20 – 15 + 16 – 36 + 15 a) –16 b) –18 c) 18 d) 16 e) –32 8. Calcula: H = –17 – 19 – 23 + 14 + 18 + 23 a) –4 b) –14 c) –8 d) –6 e) –9 9. Calcula: J = –14 + 27 – 9 + 8 – 11 + 29 a) 32 b) 51 c) 24 d) 16 e) 8 10. Calcula: J = 27 – 12 – 8 + 33 + 14 – 17 – 19 a) 17 b) 5 c) 18 d) 14 e) –13 Nivel avanzado 11. Si: N = –8 + 28 – 15 Calcula: “N + 18” a) 26 b) 23 c) 15 d) –15 e) 12 12. Si: A = –15 + 7 – 32 + 13 Calcula: “A –50” a) 55 b) 15 c) –15 d) –77 e) 5 7. Calcula G = –12 + 15 – 8 + 17 – 20 + 32 a) –24 b) –16 c) –14 d) 24 e) 14 5to PRIMARIA 9 ÁLGEBRA Multiplicación y división en Z 2 LEY DE SIGNOS A. Caso I Si se multiplican o se dividen dos números con signos iguales, el resultado será positivo. MULTIPLICACIÓN (+) (+) = + (-)(-) = + DIVISIÓN (+) =+ (+) (-) =+ (-) Ejemplos: (-7)(-12) = 84 (-10) ÷ (-2) = 5 Completa: a) (-10)(-4) b) (9) (11) c) (-15) (-3) d) (-25) ÷ (-5) = ___________ = ___________ = ___________ = ___________ B. Caso II Si se multiplican o se dividen dos números con signos diferentes, el resultado será negativo. MULTIPLICACIÓN (+) (-) = (-)(+) = Ejemplos: (7)(-11) = -77 (-36) ÷ (4) = -9 Completa: a) (-8)(12) b) (4) (-9) c) (-24) 8 d) (-54) ÷ 9 10 = ___________ = ___________ = ___________ = ___________ 5to PRIMARIA DIVISIÓN (+) =(-) (-) =(+) ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 1. Calcula: A = (-9) (12) - (-15) 3 Resolución: B = (30 - 45) (93 - 96) ÷ (-2 - 3) B = (-15) Resolución: A = (-9) (12) - (-15) 3 - +=- - = + A = -108 - (-5) × A = -108 + 5 A = -103 2. Calcula: (-3) ÷ (-5) ÷ (-5) - -=+ B= +45 + = B = -9 6. Calcula: R = (20 - 27)(18 - 21) ÷ (-3 - 4) 7. Calcula: A = -15 + (-37 + 35)(-1- 5) Nivel avanzado L = ( -8)(9) - (-36) 12 3. Calcula: G = (-2)(-8)(10) - (-4) 2 4. Calcula: (-4)(-6) (-5) E= + 5 (-3) Nivel intermedio 5. Calcula: B = (30 - 45) (93 - 96) ÷ (-2 - 3) 8. Calcula: Y = (-62 + 26) ÷ (5 - 11) + 18 Resolución: Y = (-62 + 26) ÷ (15 - 11) + 18 Y = (-36) ÷ (-6) + 18 Y= Y= +6 + 18 +24 9. Calcula: E = (-60 + 80) ÷ (9 - 13) + 17 10. Calcula: H= (-24 + 18) (27 - 29) - (-49) 5to PRIMARIA 11 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico 1. Calcula: (6) A = (–2)(–3)(–5) – 3 a) –32 b) 28 c) 32 d) –28 e) –27 7. Calcula C a) b) c) d) e) 8. 2. Calcula: B a) b) c) d) e) (8)(6) (3) (4) 3 13 –13 12 –12 15 3. Calcula: C (2)(7) a) b) c) d) e) 4 2 12 16 –16 –12 2 4. Calcula: D = (–3)(–2)(4) – a) b) c) d) e) 10 5 22 –22 26 –26 13 4 –4 2 0 –2 Nivel intermedio 6. Calcula: B = –7 + (–19 + 16)(–4 – 2) a) –11 b) 25 c) 11 d) –25 e) 18 12 5to PRIMARIA Calcula: D = (13 – 20) (–2 –1) (–19 + 22) a) –7 b) 7 c) 18 d) –18 e) 14 9. Calcula: E = –14 +(–10 + 7)(–1 – 5) a) 18 b) –14 c) 4 d) 14 e) –16 10. Calcula: B = –3 + (34 – 32)(–4 – 9) a) 29 b) -29 c) 23 d) -23 e) 25 Nivel avanzado 11. Calcula: A 5. Calcula: (5)(4) (18) E (10) 9 a) b) c) d) e) 15 – 19 7 – 9 –5 7 10 8 4 –4 –8 a) b) c) d) e) (20 36) 9 (32 34) 14 -14 19 1 -34 12. Calcula: B (15 40) 3 (5 10) a) b) c) d) e) 2 13 –13 –16 8 ÁLGEBRA 3 Adición y sustracción en Q + = 1 5 3 5 4 5 El día de hoy trabajaremos las sumas y restas con fracciones. ¡PRESTA ATENCIÓN! A. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS Para sumar o restar dos o más fracciones homogéneas, se operan los numeradores y se escribe el denominador común. Ejemplos: −14 − 8 − 5 = −14 − 8 − 5 = −27 = −3 −15 + 9 = −15 + 9 = −6 • • 9 9 9 9 9 7 7 7 7 B. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS Método 1: Productos cruzados A C AD + BC + = Cuando los denominadores son primos entre sí, efectuamos el producto cruzado: B D BD Ejemplos: x • 2 − 5 = 2x 4 − 3x5 = 8 − 15 = −7 3 4 3x 4 12 12 • −10 − 7 = −10x5 − 3x7 = −50 − 21 = −71 3 5 3x5 15 15 Método 2: Por MCM (mínimo común múltiplo) Se recomienda utilizar este método al operar 3 fracciones o más. Completa: MCM (4, 6, 3) = 12 5to PRIMARIA 13 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 1. Calcula A = −15 + 17 − 47 4 4 4 Resolución: A = −15 + 17 − 47 4 4 4 + 15 17 − − 47 A= 4 A = −15 − 47 +17 4 + 62 17 − A= 4 A = −45 4 −18 + 23 − 37 2. Calcula: L = 3 3 3 3. Calcula: G = 13 − 5 + 4 − 57 7 7 7 7 4. Calcula: E = −4 + 5 − 13 + 11 3 3 3 3 Nivel intermedio 5. Calcula: B = −15 + 1 13 2 Resolución: -15 1 B= + 13 2 x B= −15 × 2 +13 × 1 13 × 2 B = −30 +13 26 B = −17 26 14 5to PRIMARIA 6. Calcula: R = −4 + 8 5 3 7. Si: A = -5 + 2 4 Nivel avanzado 8. Calcula: E = 3 − 5 + 7 10 2 4 Resolución: E= 3 − 5+7 10 2 4 donde MCM de (10), (2), (4) = 20 E = 2 × 3 − 10 × 5 + 5 × 7 20 6 − 50 + 35 E= 20 E = −9 20 −7 2 9 9. Calcula: A = + − 6 3 2 −2 3 4 10. Calcula: H = + − 5 2 6 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel intermedio Nivel básico 1. Calcula: 4 8 10 1 A 3 3 3 3 23 a) 3 b) 16/3 c) 5 3 5/12 e) 0 d) 2. 6. R 6 a) b) c) d) e) 7. 3. a) b) c) d) e) 4. 5. 8. Calcula: 4 17 25 8 D 9 9 9 9 a) 4/9 b) 4/18 c) 5/9 d) –2/9 4 e) 9 Calcula: 1 5 3 11 E 4 4 4 4 a) b) 1 4 1 4 –1/8 d) 1/8 e) 5 c) 4 3 5 –13/5 –11/5 1/5 5 –1 Calcula: M 3 4 2 5 a) –7/10 b)–7 c) 3/10 d)–1/10 e) –9 Calcula: 2 3 41 C 7 7 7 40/21 46/7 18/7 40 7 – 40 7 8/3 9/4 –1/3 –16/3 –15/4 Calcula: a) b) c) d) e) 1 3 2 7 B 5 5 5 5 1/10 1 –1 –5 –1/10 2 3 B Calcula: a) b) c) d) e) Calcula: 9. Si A 12 2 7 7 B 3 7 2 2 Calcula: A + B a) b) c) d) e) –7 9 28/9 7 –9 3 8 5 5 4 1 B 11 11 10. Si A Calcula: A + B a) 147/16 b) 137/16 c) 146 55 d) 106/55 e) 1 5to PRIMARIA 15 ÁLGEBRA Nivel avanzado 11. Calcula: 1 2 5 M 2 3 6 a) b) c) d) e) 16 –2/3 2/3 4/3 5/6 7/6 5to PRIMARIA 12. Calcula: J 1 3 1 4 5 2 a) b) c) d) e) 7 20 5/11 4/7 27/20 17/11 ÁLGEBRA 4 Multiplicación y división en Q A. MULTIPLICACIÓN DE DOS FRACCIONES A C AxC x = B D BxD Ejemplos: -÷-= + YY -8 2 -8 x 2 -16 16 = = = x 3 -7 3 x -7 -21 21 4 3 20 -9 20 x -9 4 x -3 -12 = = = YY x = 12 3 5 3x5 1x1 1 1 1 ¡Simplificamos! B. DIVISIÓN DE DOS FRACCIONES D A C A AxD ÷ = x = B D B C BxC Fracción de fracción: Calcula los 2 de 15 ; esta expresión equivale a: 5 4 1 3 2 15 2 x 15 1x3 3 = = = x 5 4 5x4 1x2 2 1 2 Se invierte Ejemplos: 3 7 3 4 3 × 4 12 ÷ = × = = YY 5 4 5 7 5 × 7 35 YY 2 ÷ 1 = 2 × 5 = 2 × 5 = 10 5 1 La división también se puede presentar de la siguiente manera: Multiplico extremos A B C D = AxD BxC Multiplico medios Ejemplo: 1 5 2 2 15 x 3] = = 1x5 = 5 1x2 2 4 3x4 15 2 1 5to PRIMARIA 17 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico ( )( ) ( )( ) 1. Calcula A = 1 2 −3 + −1 5 5 −7 2 Resolución: A = 1 −3 + −1 −7 2 5 5 2 A = 1x − 3 + −1x − 7 2x5 5x2 A = −3 + 7 10 10 A = −3 + 7 10 ( )( ) ( )( ) 2 182 91 B = 252 − 70 = = 120 120 60 6. Calcula: 7. Los -6 2 de es: 5 3 Nivel avanzado 8. Calcula: 4 A= 10 5 A= 2 5 ( )( 75 )+( 101 )( 23 ) L= 3 4 3. Calcula: ( )( 13 ) − ( 73 )( 12 ) G = 13 2 4. Calcula: ( )( 43 ) − ( 12 )( 34 ) E= 1 2 Nivel intermedio 5. Calcula: B= 3 ÷ 2 − 1 ÷ 3 5 7 4 7 Resolución: B= 3 ÷ 2 − 1 ÷ 3 5 7 4 7 ↓ ↓ invertimos 3 7 1 7 B= x − x 5 2 4 3 21 7 21 • 12 - 10 • 7 = 10 12 10 • 12 x 18 1 1 A = 2 + 6 +5 3 1 5 7 Resolución: 2. Calcula: B= E= 1 ÷ 2 − 1 ÷ 3 5 3 4 5 5to PRIMARIA 1 1 A = 2 ] 6 ] +5 3 1 5 7 A = 1x5 + 1x7 + 5 2x3 6x1 A = 5 + 7 +5 6 6 A = 5+7 +5 6 A = 12 + 5 6 A=2+5 A=7 9. Calcula: 1 3 B = 4 + 6 +7 3 2 9 5 10. Calcula: 3 C= 5 + 9 −9 2 10 2 7 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico a) b) c) d) e) 1. Calcula: 7 4 3 11 A 3 5 5 3 a) 4/3 3 c) -1/3 d) 1/3 e) 5/13 b) 2. 7. a) b) c) d) e) 3 5 1 5 B 2 4 4 2 b) 8. 5 2 Calcula: Calcula: 3 2 3 D 3 5 5 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Calcula: 1 14 1 10 E 7 5 2 3 31/15 b) 7/8 c) 4/3 d) 19/15 a) e) 31 –31 6 –1 1 Calcula: 19 15 Nivel intermedio 6. Los 1 1 5 9 10 a) 27 b)37 c) 2 d)77 e) 16 2 3 1 7 C 5 4 10 2 a) 13/20 b) –13/20 c) –1/20 d) 20 e) 1/20 4. 14 7 22 2 13 13 5 15 J 3 c) 7/3 d) 5/4 e) 3/8 3. Calcula: I Calcula: a) 7/6 –2 15 12 7/3 2 3 10 de es : 5 3 9. Calcula: 37 7 4 I 5 5 15 a) b) c) d) e) 11 3 14 33 5 10. Calcula: 3 21 2 5 J 7 7 9 9 a) b) c) d) e) 1 –1 2 –2 3 Nivel avanzado 11. Calcula: 7 1 13 D3 4 12 2 5 a) b) c) d) e) 1 0 2 –7/2 –5/3 5to PRIMARIA 19 ÁLGEBRA 12. Calcula: M 3 3 4 1 2 8 2 5 7 a) –7 b) c) d) e) 20 –3 14 7 3 5to PRIMARIA ÁLGEBRA 5 Potenciación I: Exponente natural La distancia que hay desde mi casa al colegio Pamer es de 103 metros. Eso equivale a: 103 = 10 × 10 × 10 = 1000 3 veces La distancia es de 1000 metros. Esta semana aprenderemos la potenciación. ¡PRESTA ATENCIÓN! DEFINICIÓN La potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número llamado base tantas veces como lo indica otro número, llamado exponente. exponente (Indica la cantidad de veces que voy a multiplicar la base) an = P potencia base EXPONENTE NATURAL a n = a × a...a ; n ∈ 123 " n " veces Ejemplo: 52 = 5 × 5 = 25 2 veces Completa: a) 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 b) 33 = _________________ = __________ c) 103 = _________________ = __________ d) 53 = _________________ = __________ 5to PRIMARIA 21 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 4 2 1. Calcula: A = 2 + 3 Resolución: • 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 • 32 = 3 x 3 = 9 A = 24 + 32 ↓ ↓ A = 16 + 9 A = 25 4 6. Calcula: R = 23 − 33 4 −7 7. Calcula: A = 100 + 125 22 52 Nivel avanzado 8. Calcula: 13 3 2 Y = 2 x 2... 2 − 2 + 5 − 8 4 13 veces 2 2. Calcula: L = 3 + 5 3. Calcula: G = (15 - 11)2 + 25 4. Calcula: E = (-8 + 10)3 + 42 Nivel intermedio 5 5. Calcula: B = 22 − 62 3 −5 Resolución: • 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 • 32 = 3 x 3 = 9 • 62 = 6 x 6 = 36 5 N = 22 − 62 3 −5 N = 32 − 36 9−5 N = 32 − 36 4 N = 8 - 36 N = -28 22 5to PRIMARIA Resolución: 13 3 2 Y = 2 x 2... 2 − 2 + 5 − 8 13 veces 13 13 Y = 2 − 2 +125 − 64 ¡Si se restan dos cantidades iguales el resultado será igual a cero! Y = 0 + 125 - 64 Y = 125 - 64 Y = 61 9. Calcula: 3 3 E = 320 − 3 x 3... 3 + 4 − 2 20 veces 10. Calcula: 2 A = 510 − 5 x 5... 5 + (−7 +12) 10 veces ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico 1. 7. H Calcula: A = (20–16)2 + 43 a) a) b) c) d) e) 20 -20 c) 70 d) 80 e) 90 b) 2. C = (–15+22)2–43 49 64 –15 15 2 D = 32 + 82 – 102 27 -5 5 6 –27 F = 62–52+42 b) c) d) e) 27 18 –27 –18 10 I 2x32 5x22 a) 18 b) 20 c) 2 d) 38 e) 136 20 4 40 2 8 Calcula: R = 4 + 3 x 22–32 x 4 a) b) c) d) e) I 20 –20 –104 140 10 52 102 2 3 3 135 105 5 125 142 Nivel avanzado 11. Calcula: 12 veces a) b) c) d) e) 27 –27 9 –9 3 12. Calcula: 6. Calcula a) b) c) d) e) 9. J 412 4x4...4 (5 8)3 Nivel intermedio G 8 9 17 10 –10 Calcula: a) b) c) d) e) Calcula: a) 24 9 32 7 10. Calcula: Calcula: a) b) c) d) e) 5. B = (–13+15)3+53 6 15 21 123 133 Calcula: a) b) c) d) e) 4. 8. Calcula: a) b) c) d) e) 3. Calcula: 200 160 4 22 2 H 626 6x6...6 (13 15 1)2 26 veces a) b) c) d) e) –9 –3 3 1 9 5to PRIMARIA 23 ÁLGEBRA Potenciación II: Exponentes especiales EXPONENTES ESPECIALES A. Exponente cero “Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a uno”. Ejemplos: YY 10 = 1 YY 480 = 1 YY ( 34 ) = 1 0 00 = Indeterminado YY (9 x 3 x 8 - 15 x 12)0 = 1 B. Exponente uno “Todo número elevado al exponente uno es igual al mismo número”. Ejemplos: YY 181 = 18 YY 241 = 24 YY ( 73 ) = 73 1 YY (-7)1 = -7 C. Exponente negativo () a −n = 1 a n Ejemplos: YY YY YY ( 13 ) = ( 13 ) = 3 = 3 ( 12 ) = ( 21 ) = 2 = 8 ( 13 ) = ( 13 ) = 3 = 9 −1 1 −3 3 −2 2 1 3 2 Recuerda que Base uno → La unidad elevada a cualquier exponente siempre es uno 1n = 1 . 24 5to PRIMARIA 6 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 1. Calcula: 6. Calcula: () () () C= 1 5 A = 270 + (-7)0 + 132 - 321 Resolución: A = 270 + (-7)0 + A= 1 - 1 7. Calcula: 132 - 321 + 3. Calcula: −2 − 1 4 + 1 3 () () ( 13 ) 1 D= 4 1 - 32 A = -31 2. Calcula: −2 −1 + 1 5 −1 −1 −2 Nivel avanzado L = 310 - (-9)0 + 140 - 401 8. Calcula: 2 E =133 G = (17 x 42 - 21)0 + (42)1 - 121 −23 +152 4 − 42 Resolución: 4. Calcula: 0 1 E = (-10 - 5) - (7 - 10) E = 13 32 - 23 + 15 24 - 42 Nivel intermedio 5. Calcula: ( ) − ( 13 ) +( 12 ) B= 1 4 −2 −3 Resolución: E = 13 9-8 + 15 16 - 16 E = 131 + 150 E = 13 + 1 E = 14 B= 1 -2 1 -3 1 -4 + 4 3 2 B= 4 2 3 3 + 1 1 B = (4)2 - (3)3 + (2)4 B = 16 - 27 + 16 B = 16 + 16 - 27 B = 32 - 27 B=5 −4 9. Calcula: 2 4 1 2 F =186 −351 13 + 261 −130 10. Calcula: 2 G = 243 −91 2 + 325 −6 x 4 () − 1 4 5to PRIMARIA −3 25 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico 1. Calcula: R = (24 x 15 – 18)0 + (53)1 – 421 a) b) c) d) e) 2. F = (–18 – 3)0 – (15 – 17)1 –3 –22 –20 20 3 35 –35 34 –34 1 1 1 0 30 –1 1 0 5 2 1 5 1 151 32 Calcula: 1 3 7 1 24 a) –8 b)–7 c) –12 d)–14 e) –15 Calcula: 3 5 T 2 3 I = 1 – 27 + 28 –13 a) b) c) d) e) 1 5 7 7 2 1 –1 5/2 –5/2 1 7/5 10. Calcula: Calcula: J = (9 – 12)1– (5 – 11)1 + (4 + 2)0 1 2 3 4 5 3 1 H 2 9 a) b) c) d) e) 1 0 5 9 5 –5 1 6 –6 Nivel avanzado 11. Calcula: Nivel intermedio 6. Calcula 1 1 1 7 9 I 2 1 2 a) b) c) 1 J 4 31 14 10 17 21 3 K 5 9. 32 a) b) c) d) e) 26 8. –8 2 Calcula: a) b) c) d) e) H = 250 – (–9)0 + 125 – 351 Calcula: a) b) c) d) e) 5. 7. Calcula: a) b) c) d) e) 4. 84 –84 83 80 50 Calcula: a) b) c) d) e) 3. d) e) 1 8 –4 4 5to PRIMARIA 2 161 B 194 a) b) c) d) e) 34 30 –30 –34 5 2 7x5 426 1 3 2 ÁLGEBRA 12. Calcula: 3 32 24 C 172 2 251 165 a) 17 b) 15 c) 19 d) –17 e) –18 5to PRIMARIA 27 ÁLGEBRA 7 Potenciación III: Con base en Z LEY DE SIGNOS PARA LA POTENCIACIÓN 1. Todo número positivo elevado a un exponente, par o impar, da como resultado un número positivo. Par/Impar → Exponente (+a) = +P Base Potencia Ejemplos: • 52 = 25 • 33 = 27 • 152 = 225 • 25 = 32 2. Todo número negativo elevado a un exponente par da como resultado un número positivo. Par → Exponente (-a) Base = +P Potencia Ejemplos: • (-3)2 = +9 • (-2)4 = +16 • (-5)4 = 625 • (-2)6 = 64 3. Todo número negativo elevado a un exponente impar da como resultado un número negativo. Impar → Exponente (-a) Base = -P Potencia Ejemplos: • 28 (-3)3 = -27 • 5to PRIMARIA (-2)7 = -128 • (-1)5 = -1 • (-5)3 = -125 ÁLGEBRA Afecta solo al 2 no al signo -2 4 ≠ (-2) 4 -16 ≠ 16 El signo se mantiene -1 -3 -3 3 = = (-3)3 = -27 3 1 Por el paréntesis afecta al signo y al número. Se invierte EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 2 7. Calcula: ( ) 3 R = −42 + − 1 2 1. Calcula: A = (-4) - (-3) Resolución: par A = (-4) 2 impar - (-3) 8. Calcula: 2 3 S= 3 −3 36 - • = - + A = +16 + 27 A = 43 2− 3 S= 3 3 36 3. Calcula: G = (-1)8 - (-2)3 + 80 S = 9 − 27 36 4. Calcula: E = -115 - 32 - (-2)5 − 18 S= 36 Nivel intermedio ( ) ( ) −4 + −1 3 −2 0 − (57 − 100) 1 -4 1 -2 B = - + - - (57 - 100)0 2 3 4 2 B = (-2) + (-3) - 1 B = (+16) + (+9) - 1 B = 16 + 9 - 1 B = 25 - 1 B = 24 ( ) +( − 12 ) C= −1 3 −3 −2 S = −1 2 −3 −3 −3 −3 S = [-2]3 Resolución: 6. Calcula: −3 Resolución: 2. Calcula: L = (-5)2 - (-4)3 B= − 1 2 +115 Nivel avanzado 3 A = (+16) - (-27) 5. Calcula: −4 − (17 × 42 − 7)0 S = -8 9. Calcula: 2 2 M= 6 −8 56 −2 10. Calcula: 4 T = 22 3 4 −4 −3 5to PRIMARIA 29 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico 1. Q = –118–42 – (–2)4 33 –33 –40 40 –18 –64 39 –39 30 20 33 23 8 –8 10 1 J 2 a) 84 b)83 c) 81 d)80 e) 79 Calcula: a) b) c) d) e) H = –62 + 130 – (–2)2 –40 –39 40 39 18 2 1 2 4 1 –18 0 18 11. Calcula: 22 A 2 3 3 2 a) 1/4 b) 1/8 3 1 3 3 4 42 5 –5 15 –15 10 1 N 3 1 M 32 2 18 –18 –16 16 0 2 10. Calcula: 6. Calcula: 30 Calcula: a) b) c) d) e) Calcula: a) b) c) d) e) 16 –58 –42 42 40 1 M 491 129 3 H = (–5)2 – (–8)2 T = –52 + 230 – (–2)5 a) b) c) d) e) 8. 9. Nivel intermedio 5. M = 119 – 72 + 151 – (–3)2 a) b) c) d) e) 8 6 10 9 12 Calcula: a) b) c) d) e) Calcula: 0 Calcula: a) b) c) d) e) 4. 3 Calcula: a) b) c) d) e) 3. 6 P = (–1) – (–2) + 9 a) b) c) d) e) 2. 7. Calcula: 117 5to PRIMARIA c) 1 16 d) 1/2 e) 1 2 3 160 1230 ÁLGEBRA 12. Calcula: 32 42 B 14 4 a) 16 b) c) d) e) 1/16 1/4 4 2 5to PRIMARIA 31 ÁLGEBRA 8 Repaso 1. Si: A = -19 + 23 - 18 + 52 - 14 6. Calcula: B = (-2)(-4)(-3) + 10 Calcula A + B. a) 38 c) -10 b) -38 d) -34 e) 10 2. Calcula: B= ( −15 + 12 ) ( −5 ) − 3 5 a) 17 5 c) 17 7 b) 34 7 d) 24 5 c) 2 b) 1 d) -2 3. Calcula: C = (15 - 17) (-4 - 6) ÷ (-7 + 5) a) 10 c) -10 b) 5 d) -5 e) 24 7 e) 11 10 7. Resuelve: T= 2 ÷ 3+2 ÷ 3 5 2 5 7 e) -1 a) 0 ( )( ) ( )( 35 ) K = 1 13 + 7 5 2 2 a) 13 10 c) 1 b) 6 5 d) e) -2 11 5 8. Calcula: 3 9 4 10 2 F= + − 5 10 5 4 7 ( )( ) 4. Si: D = 7 + 2 5 5 E= 4+7 3 3 Calcula D + E. 5 a) 2 c) 82 b) 15 d) 41 4 e) 83 15 28 15 a) 18 c) 1 b) 2 d) 0 e) -1 9. Resuelve: Q = (-5 + 13)2 - 52 a) 39 c) 49 b) 29 d) 54 e) 44 5. Calcula: 10. Resuelve: J= 1+3+5 3 4 2 a) 1 b) 32 c) 3 4 41 12 d) 43 24 5to PRIMARIA e) 43 12 M = 523 −5 × 5... × 5 + 33 − 24 23 veces a) 1 c) -1 b) -7 d) 11 e) 2 ÁLGEBRA 11. Calcula: 12. Resuelve: L= ( ) ( ) 25 + 2 − 142 2 3 +7 a) 16 c) 3 b) 2 d) 1 e) 8 I= − 1 2 −3 a) -17 c) -12 b) -1 d) 0 + −1 3 −2 e) 1 5to PRIMARIA 33 ÁLGEBRA 9 Operaciones combinadas con exnentes especiales Esta semana aprenderemos a resolver operaciones combinadas con los exponentes especiales del tema anterior. Caso I: Recuerda: • a0 = a (a ≠ 0) • a1 = a Aplicamos los exponentes especiales: C = 230 + 151 + 132 C = 1 + 15 + 1 C = 17 Caso II: Con exponentes negativo y signos de colección. Recuerda: 1 –n = an (a ≠ 0) a • A= 1 –2 1 –3 ÷ 4 2 × 1 –2 3 A = [ 42 ÷ 23] × 32 A = [ 16 ÷ 8] × 9 A= × 9 2 A = 18 Caso III: Utilizando signos de colección y exponentes «0», «1» y negativo. D = [(25 × 4 – 81)0 + 1200] ÷ D=[ D= + 1] ÷ 21 1 ÷ 2 2 D=1 34 5to PRIMARIA 1 –1 2 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 6. Si: [(23 × 17)0 + 141] ÷ (10 – 9)45 Resuelve los siguientes ejercicios: 7. N = [(2400 – 23)0 + 136] – 141 1. J = 1 + 30 – 42 50 0 1 Nivel avanzado Resolución: J = 150 + 300 – 421 8. J = J = 1 + 1 – 42 J= 2 – 42 1 –1 1 –2 + 5 3 Resolución J = –40 3. M = 32 – 116 + 5000 – 61 1 Nivel intermedio J= 5 1 3 2 + 1 1 M= 9. M = + 15] ÷ (1)23 16 ÷ M = 16 ÷ 71 ÷7 + 9 ] ÷7 J= [ 14 ] ÷7 J=2 Resolución M = [(17 × 42)0 + 151] ÷ (9 – 8)23 1 + J= [ 5 5. M = [(17 × 42)0 + 151] ÷ (9 – 8)23 M=[ 1 –2 3 1 5 J = [ (5)1 + (3)2 ] ÷ 7 4. N = (23 × 15 + 17) + 1 – 15 15 –1 J= 2. P = 130 + 200 – 351 0 ÷ 71 1 10. J = 1 –1 1 –2 + ÷ 41 3 5 1 –2 1 –3 + 4 2 ÷ 1 –1 3 5to PRIMARIA 35 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico 18. C = [(12 – 8)1 – 151] ÷ (6 – 5)12 a) –11 c) 11 e) 11/12 b) 4 d) –4 Resuelve los siguientes ejercicios: 11. M = 42 – 115 + 3000 – 41 a) 4 c) –7 b) 12 d) –2 e) 15 12. A = (15 × 17 + 14)0 + 113 – 91 a) –5 c) 5 b) –1 d) –7 e) –3 19. E = [(23 × 15)0 + 111] ÷ (5 – 3)2 a) 2/4 c) 3 e) –2 b) 2 d) –3 20. J = [(2300 – 140)0 – 151] ÷ 71 a) –16 c) –2 b) 16 d) +2 13. M = 101 + (17 × 14)0 – (10 – 9)15 a) 10 c) 12 b) –13 d) –4 a) 96 c) 15 b) 18 d) –1 21. M = e) –72 c) 29 b) 25 d) 3 e) 7 16. A = [(1500 – 14)0 + 113] – 91 c) –1 b) 13 d) 7 e) –7 17. B = [(25 × 15)0 + 151] ÷ (27 – 26)36 a) –18 c) –20 b) 18 d) 16 36 5to PRIMARIA ÷ 1 –1 2 c) –8 d) –26 1 –1 1 –2 + 6 4 a) 31/2 b) –2 e) 31/2 ÷ 111 c) 2 d) 14/11 e) –31/2 Claves Nivel intermedio a) 1 1 –2 1 –3 + 5 3 a) 26 b) 8 22. S = 15. J = (14 × 15 + 16)0 + (15 – 10)1 + 123 a) –7 Nivel avanzado e) 17 14. N = –180 + 151 + (27 × 12)0 e) 14 e) –16 11. b 17. d 12. d 18. a 13. a 19. c 14. c 20. c 15. e 21. a 16. e 22. c ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO EXPONENTES ESPECIALES a0 = 1 a≠0 b1 = b Ejemplos: Ejemplos: ZZ 15 = 1 ZZ 151 = 15 ZZ (23 × 15 – 100)0 = 1 ZZ (–3)1 = –3 0 Es hora de practicar lo aprendido... ¡Buena suerte! a –n b n = b a Ejemplos: ZZ 1 –1 5 1 1 = =5 =5 5 1 ZZ 4 –2 3 2 32 9 = = 2= 3 4 4 16 5to PRIMARIA 37 ÁLGEBRA 10 Leyes de exponentes I PRODUCTO DE BASES IGUALES Escribimos la misma base y sumamos los exponentes. los exponentes se suman am • an = am + n bases iguales Ejemplos: ZZ x5 • x4 = x5 + 4 = x9 ZZ a7 • a–3 = a7 – 3 = a4 ZZ 54 • 5–2 = 54 + (–2) = 54 – 2 = 52 = 25 DIVISIÓN DE BASES IGUALES Escribimos la misma base y restamos los exponentes. bases iguales los exponentes se restan am = am – n ; donde a ≠ 0 an Ejemplos: x7 ZZ 4 = x7 – 4 = x3 x a5 ZZ –3 = a5 – (–3) = a5 + 3 = a8 a 32 ZZ = 32 – (–1) = 32 + 1 = 33 = 27 3–1 38 5to PRIMARIA ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 1. Resuelve: 3. Simplifica: 4. Reduce: 7. Resuelve: Agrupamos los exponentes en + y – M = 39 • 3–8 • 32 J = x10 • x–15 • x20 M = b7 • b10 • b–2 • b–4 5. Resuelve: N= N=4 25 • 27 24 13 –5 J = 4 4 • 42 4 •4 Nivel avanzado 8. Efectúa: 5 7 4 –2 M = 2 • 3 6 • 2 4• 3 2 •3 Resolución 5 7 4 –2 M = 2 • 3 6 • 2 4• 3 2 •3 5 4 7 –2 M=2 •2 •3 •3 6 4 2 •3 5+4 Nivel intermedio Resolución 5 4 N = 2 •72 2 5 +4 2 N= 27 9 N = 27 2 N = 29 – 7 N = 22 5 4 M= 3 •3 6 3 A = 27 • 2–5 • 23 Resolución: A = 27 • 2–5 • 23 A = 2(7 + (–5) + 3) A = 2(7 – 5 + 3) A = 2(7 + 3 – 5) A = 2 (10 – 5) A = 25 A = 32 2. Calcula: 6. Calcula: M=2 26 • 37 – 2 • 34 9 5 M = 26 • 34 2 •3 M = 29 – 6 • 35 – 4 M = 23 • 31 M=8•3 M = 24 9. Resuelve: 5 8 4 –4 N = 4 • 7 7 • 4 3• 7 4 •7 10. Simplifica: J= x10 • y9 • x–5 • y–2 ; x, y ≠ 0 x3 • y7 5to PRIMARIA 39 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico 11. Reduce: A = x7 • x–10 • x13 a) x16 c) x30 4 b) x d) x10 19. Simplifica: e) x19 12. Simplifica: B = b15 • b7 • b–4 • b–8 a) b4 c) b34 e) b8 10 14 b) b d) b 13. Resuelve: C = 25 • 2–8 • 24 a) 12 c) 14 b) 16 d) 8 14. Calcula: D = a) 81 b) 27 32 • 35 3–3 • c) 4 d) 19 15. Efectúa: E = 45 • 4–6 • 44 • 4–1 a) 162 c) 2 b) 12 d) 16 e) 2 a) –3 b) 3 17. Reduce: a) x7 b) x17 9 4 F = 38 • 32 3 •3 c) 27 d) –27 e) 9 e) 4 a) 4 b) 8 40 c) 1 d) 2 28 • 22 23 • 24 5to PRIMARIA 7 4 –3 J= 5 •5 •5 55 • 53 c) 5 d) 6 a) –1 b) 1 21. Simplifica: e) –10 a) x10 b) x10 y16 x16 • y12 • x–3 • y–8 ; x, y ≠ 0 x3 • y4 c) x16 e) x14y 16 16 d) x y 22. Efectúa: L= e) –2 x8 • x5 ;x≠0 x4 c) x e) x9 d) 9 H= 20. Calcula: K= G= 18. Resuelve: a) 1 b) a8 a18 • a–1 ;a≠0 a7 • a3 c) a13 e) a9 d) a7 Nivel avanzado Nivel intermedio 16. Resuelve: I= e) 3 a) 9 b) 27 Claves 32 • 47 • 36 • 4–2 35 • 45 c) 36 e) 1 d) 31 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO LEYES DE EXPONENTES I 1. Producto de bases iguales am • an = a m+n Al multiplicar bases iguales los exponentes se suman Ejemplo: 24 • 22 = 24 + 2 = 26 = 64 2. División de bases iguales Al dividir bases iguales am =a an Ejemplo: 37 = 37 – 4 = 33 = 27 34 m–n los exponentes se restan ¡Recuerda! a≠0 «a» es diferente de 0 5to PRIMARIA 41 ÁLGEBRA 11 Leyes de exponentes II 1. Potencia de potencia En la potencia de potencia, se escribe la misma base y los exponentes se multiplican. Definitivamente es más fácil de lo que pensé... los exponentes se multiplican (am)n = am × n «paréntesis» Ejemplos: YY (23)2 = 23 × 2 = 26 = 64 YY [(a2)3]6 = a2 × 3 × 6 = a36 YY [(m7)0)]4 = m7 × 0 × 4 = m0 = 1 OJO: ¡Si el exponente es cero, el resultado total sera igual a 1! 2. Exponente de exponente En exponente de exponente, se escribe la misma base y los exponentes se elevan. Se lee: «dos al cubo» 3 veces 3 a 2 = a2 × 2 × 2 = a8 YY YY 42 2 m3 3 74 = 2 veces = m3 × 3 = m9 3 veces 74 × 4 × 4 = 2 764 5to PRIMARIA 2 (x 5) ≠ x5 x10 ≠ x25 Como hay paréntesis, los exponentes se multiplican. «no hay paréntesis» Ejemplos: ¡Es diferente! No hay paréntesis, los exponentes se elevan. ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE M = 217 – 12 Nivel básico 1. Simplifica: A= Resolución: 2 A=x •x 10 A = x • x9 A = x10 + 9 • M = 25 2 x3 M = 32 se lee tres al cuadrado A = (x2)5 • x3 2×5 (x2)5 6. Resuelve: 3×3 7. Simplifica: A = x19 2. Reduce: 3. Simplifica: 4. Reduce: 1 J = (37)2 • (32)–6 • 32 5 1 M = x0 • (x3)–1 • x7 Nivel avanzado 2 B = (x7)2 • x5 8. Reduce: 7 I = {[(35)7]0}9 + 31 0 C = (94)0 • a3 Resolución 3 D = (x7)0 • x3 • x–7 7 I = {[(35)7]0}9 + 31 I = 3 5×7×0×9 + 31 I = 30 + 3 I=1+3 Nivel intermedio 5. Efectúa: 1 M = (25)3 • (23)–4 • 22 Resolución 1 M = (25)3 • (23)–4 • 22 M = 25 × 3 • 23×(–4) • 22 M = 215 • 2–12 • 22 M = 215 + (–12) + 2 Agrupamos exponentes M = 215 – 12 + 2 15 + 2 – 12 en + y – M=2 I=4 9. Calcula: 9 K = {[(54)9]0}8 + 51 10. Efectúa: 1 0 S = [(23)2]–1 • 28 + 35 5to PRIMARIA 43 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico 18. Calcula: Simplifica: a) 49 b) 7 50 11. A = (b6)0 • b a) b0 b) 1 (x5)0 12. B = a) x3 b) x8 • c) b11 d) b30 e) b 3 x2 • x–5 c) x5 d) x13 e) x12 2 13. C = (x4)3 • x5 a) x22 b) x17 c) x27 d) x37 14. D = (a4)7 • a–10 a) a38 c) a28 b) a18 d) a8 e) x1 19. Simplifica: a) m24 b) m20 20. Reduce: a) a12 b) a8 2 H = (72)7 • (74)–3 • 70 c) –49 e) 29 d) 39 3 I = (m4)6 • m0 • m–4 c) m10 e) m48 40 d) m 1 2 J = a3 • (a3)–2 • a3 c) a14 e) a 6 d) a Nivel avanzado 21. Resuelve: e) a1 a) 7 b) 5 1 0 K = [(32)4]–1 • 39 + 24 c) 9 e) 15 d) 10 1 15. E = (m8)3 • m2 a) m48 c) m26 14 b) m d) m24 e) m13 a) 7 b) 10 Nivel intermedio 16. Reduce: a) b7 b) b1 7 a) 18 b) –16 44 1 F = b0 • (b2)–1 • b9 c) b e) b21 d) b14 17. Reduce: 1 G = (24)5 • (29)–2 • 22 c) 16 e) 17 d) 20 5to PRIMARIA 22. Efectúa: Claves 5 L = {[(49)8]0}7 + 41 c) 4 e) 5 d) 6 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO LEYES DE EXPONENTES II ¡RECUERDA! 2 (x3)2 ≠ x3 1. Potencia de potencia x6 ≠ x9 (xa)b = x a•b multiplicamos los exponentes Ejemplos: YY [(m5)3]2 = m5×3×2 = m30 YY [(a4)0]5 = a4×0×5 = a0 = 1 2. Exponente de exponente b xa = x Ejemplos: «b» veces a • a.....a se eleva 2 veces YY 2 x3 YY x5 = x1 = x = x3 • 3 = x9 0 5to PRIMARIA 45 ÁLGEBRA 12 Leyes de exponentes III 1. Potencia de un producto El exponente afecta a cada factor A. B. Exponentes iguales x n • y n = (x • y)n (x • y)n = xn • yn Producto Producto Ejemplos: Ejemplos: YY (2 • 3) = 2 • 3 = 4 • 9 = 36 2 2 2 YY 2 2 • 3 2 = (2 • 3)2 = 62 = 36 YY (a • b ) = (a ) • (b ) = a • b 3 4 3 3 3 4 3 9 12 YY (2m n ) = 2 • (m ) • (n ) = 8 m n 4 3 3 3 4 3 3 3 2. Potencia de una división El exponente afecta A. al numerador y al denominador n x x y = yn Ejemplos: YY YY 46 2 3 3 5 Se coloca solo un exponente = n donde y ≠ 0 23 8 = 33 27 a a = 5 b b 5 5to PRIMARIA 12 9 YY 4 2 • 2 2 = (4 • 2)2 = 82 = 64 YY a 5 • b 5 = (ab)5 B. Exponentes iguales n xn x n = y y Ejemplos: YY 10 3 10 53 = 5 5 YY a 5 = a b b 3 5 Se coloca sólo un exponente donde y ≠ 0 = (2)3 = 8 b≠0 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 6. Calcula: E = 55 • 25 • 10–4 Resuelve: 1. A = (2x5 y3)3 7. Resuelve: F = 34 • 44 • 12–2 Resolución: A = (2x5 y3)3 Nivel avanzado A = 23 • (x5)3 • (y3)3 8. Efectúa: A = 8x15y9 G= 2. B = (3x y ) 4 2 2 3. C = (a5 • b)3 Resolución 4. D = (4a3 b)2 G= 6 3 10 2 + 2 33 5 G= 6 3 10 2 + 3 5 Nivel intermedio 5. Calcula: D=3 •2 •6 4 Resolución 4 –2 El mismo exponente D = 3 4 • 2 4 • 6–2 D = (3 × 2)4 • 6–2 D = (6)4 D = 64 + (–2) D = 64 – 2 D = 62 D = 36 • 6–2 63 102 + 33 52 G = (2)3 + (2)2 G= 8 + 4 G = 12 9. Efectúa: 2 3 M = 152 + 83 5 4 Multiplicación de bases iguales 10. Resuelva: 4 4 N = 6 • 44 12 5to PRIMARIA 47 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico Resuelve los siguientes ejercicios: 18. M = 59 • 39 • 15–7 a) 15 c) 5 b) 1 d) 125 e) 225 d) a • b7 e) a2 b14 19. N = 26 • 56 • 10–4 a) 10 c) 1 b) 100 d) 1000 e) 0 12. B = (3a5 b)3 a) 27a15b b) 27a15b3 c) 9a15 b3 d) 3a125 b3 e) 3a15 b13 20. J = 32 • 22 • 6 a) 36 b) 6 e) 16 13. C = (2x6y2)3 a) 6x18y8 b) 6x18y6 c) 8x18y6 d) 8x18 y8 e) 16a3 b2 11. A = (a • b7) a) 2a2b14 b) ab49 c) a • b14 2 14. D = (2a7b2)4 a) 16a28b8 b) 8a28b8 c) 16a7b16 d) 8a14 b8 e) 16a3 b2 d) 25x91 y100 e) 5x18 y20 Nivel intermedio 16. F = 2 • 4 • 8 a) 16 b) 36 7 –5 c) 64 d) 8 17. G = 33 • 43 • 12–2 a) 1 c) 7 b) 144 d) 12 48 Nivel avanzado 5 5 21. M = 4 • 5 105 a) 2 b) 4 184 122 + 2 94 4 a) 25 b) 90 c) 1 d) 16 e) 32 c) 2 d) 14 e) 50 22. N = 15. E = (5x9y10)2 a) 10x81 y100 b) 25x18y20 c) 10x18y20 7 c) 216 d) 1 5to PRIMARIA e) 6 e) 0 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO LEYES DE EXPONENTES III Potencia de un producto Potencia de un cociente (x • y)n = xn • yn xn yn = (x • y)n y≠0 y≠0 x n xn y = yn xn = x n y yn 5to PRIMARIA 49 ÁLGEBRA Operaciones combinadas con leyes de exponentes CASO 1 Tenemos: Potencia de potencia 3 4 5 2 H = (a ) • (a ) • a H = a3 × 4 • a5 × 2 • a H = a12 • a10 • a Multiplicación de bases iguales H = a12+10+1 H = a23 Esta semana aplicaremos en la resolución todas las leyes de exponentes que hemos aprendido. CASO 2 Tenemos: 2 Exponente de exponente a3 • a4 M= a2 3×3 a • a4 M= a2 9 4 M = a •2 a a 9+4 13 a M = 2 = a2 a a a≠0 División de bases iguales M = a13 – 2 M = a11 CASO 3 CASO 4 Potencia de un producto 2 5 4 a, b ≠ 0 J = (a • 3b ) 4• a a •b 5 2×5 4 J = a • 3b 4• a a •b 5 10 4 J = a •3b •4 a a •b 5+4 10 9 10 a J = 3 • b4 = a 3 • b 4 a •b a •b 4 4 3 Exponentes L = 2 •4 6 – 183 iguales 4 6 4 (2 • 6) – 18 3 L= 6 44 4 L = 124 – 33 4 4 L = 12 – 27 4 L = 34 – 27 Tenemos: J = a9 – 3 • a10 – 4 J = a6 • b6 50 13 5to PRIMARIA Tenemos: L = 81 – 27 L = 54 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico J = (2)4 – 25 J = 16 – 25 1. Resuelve: A = (34)2 • (32)3 • 3–11 J = –9 6. Calcula: Resolución: A = (34)2 • (32)3 • 3–11 A = 38 • 36 • 3–11 A = 38+6–11 A = 33 A = 27 M= 7. Resuelve: 8. Reduce: 3. Calcula: M= 4. Efectúa: N= J= Resolución 3 5 J = (9 • 4) – 15 184 3 4 36 4 – (5)2 18 4 J = 36 – 25 18 9 • 4 – 15 184 32 4 (x3 • y5)2 x 5 • y6 Resolución (33)4 • 31 310 4 A= 2 A= (x3 • y5)2 x 5 • y6 A= (x3)2 • (y5)2 x5 • y6 A= x6 • y10 x5 • y6 A = x6–5 • y10–6 A = x • y4 J = 9 • 44 – 152 18 3 4 4 (23)4 • 2–2 216 Nivel intermedio 5. Resuelve: J= 45 • 75 + 452 + 112 145 152 Nivel avanzado 2. Resuelve: B = (22)3 • (24)3 • 2–13 4 33 • 63 – 202 93 52 2 2 9. Simplifica: 7 4 5 B = (a15• b 19) a •b 10. Calcula: 2 (2 • 3)4 • 23 C= 210 • 33 5to PRIMARIA 51 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico 11. Resuelve: A= a) 5 b) 1 e) 25 33 (4 ) • 4 444 a) 64 b) 16 12. B = 2 (53)2 • 54 520 c) 0 d) 15 5 4 122 • 22 + 104 82 54 a) 25 c) 15 b) 5 d) 27 18. L = c) 4 d) 1 13. M = (27)3 • 2–20 • 23 a) 4 c) 32 b) 16 d) 64 e) 2 (34)3 • 3–3 + 17 37 a) 5 c) 2 b) 10 d) 9 44 • 84 + 272 + 115 16. B = 164 92 a) 25 c) 15 b) 16 d) 26 43 • 53 – 492 103 72 a) –41 c) 39 b) 41 d) –39 e) 3 Claves 5to PRIMARIA e) 28 (x4 • y3)6 • x3 x17 • y13 c) x10 • y3 e) x3y5 5 d) y M= a) x10y5 b) x10 2 (5 • 2)3 • 53 511 • 22 c) 20 e) 10 d) 8 C= 22. Reduce: e) 23 e) 16 Nivel avanzado a) 5 b) 2 17. K = 52 92 143 + 3 + 230 32 7 a) 6 c) 9 b) 18 d) 17 e) 16 Nivel intermedio e) 8 20. A = 21. Calcula: 15. C = Resuelve: 83 62 + + 117 43 32 a) 15 c) 13 b) 12 d) 12 19. M = e) 2 2 14. N = (62)0 • 63 • 6–7 a) 36 c) 1 b) 6 d) 0 e) 23 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO LEYES DE EXPONENTES Potencia de un cociente Producto de bases iguales Potencia de potencia am • an = am+n (am)n = am • n a n an b = bn Potencia de un producto División de bases iguales Exponente de exponente (ab) = a • a am = am–n an n n n mn a =a n veces m....m 5to PRIMARIA 53 ÁLGEBRA 14 Radicación I: cálculo de raíces básicas RADICACIÓN Es la operación inversa a la potenciación, y consiste en que dados dos números llamados «cantidad subradical» e «índice», se requiere encontrar otro número llamado «raíz». índice n raíz a = b ; porque bn = a cantidad subradical o radicando Se debe cumplir: «La raíz elevada al índice da como resultado la cantidad subradical o radicando». Ejemplos: ZZ 3 27 = 3 porque 33 = 27 Se lee: «la raíz cúbica de veintisiete es tres». aquí está el «2» tácitamente ZZ ZZ 0 16 = 4 porque 42 = 16 Se lee: «la raíz cuadrada de dieciséis es cuatro». 5 32 = 2 porque 2 = 32 Se lee: «la raíz quinta de treinta y dos es dos». 54 Raíz enésima de la unidad La raíz enésima de uno es igual a uno; es decir, si extraemos la raíz de cualquier índice a uno, siempre será igual a uno. n 1 = 1 porque 1n = 1 5 5to PRIMARIA Ejemplos: ZZ 5 1 = 1 porque 15 = 1. ZZ 9 1 = 1 porque 19 = 1. ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 1. Completa: YY 25 = _________ porque 5 = _______ YY 3 8 = _________ porque 2 = _______ YY 4 81 = _________ porque 3 = _______ YY 7 1 = _________ porque 1 = _______ 2. Completa: 100 = _________ porque 10 YY YY 3 YY YY = _______ 27 = _________ porque 3 = _______ 4 16 = _________ porque 2 = _______ 3 64 = _________ porque 4 = _______ 3. Resuelve: A= 25 + 3 4 6. B = ( 25 × 8 – 7 1 3 5 9 7. C = ( 64 × 6 81 ) + ( 32 × 1 × 81 ) + 1 ) 144 Nivel avanzado 8. Calcula el valor de M + 7. M= 3 125 × 4 100 16 Resolución M= 3 125 × 4 100 16 M= (5 × 10) 2 M= 50 2 M = 25 4. Resuelve: M= 3 27 – 100 + 3 64 Te piden calcular el valor de M + 7: ↓ 25 + 7 = 32 Nivel intermedio Resuelve: 5. A = ( Rpta.: 32 4 × 3 27 ) + ( 9 × 4 16 ) N= Resolución A=( 4 × 9. Calcula el valor de N + 5. 3 27 ) + ( 9 × A=( 2 × 3 )+( 3 × A= 6 + 6 A = 12 4 144 × 5 16 ) 2 ) 10. Calcula el valor de P + P= 3 32 27 : 9 × 5 16 25 1 5to PRIMARIA 55 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico Resuelve: 11. J = 100 + a) 11 b) –11 4 8 16 – 1 c) 15 d) –13 3 12. S = 81 + a) –11 b) 13 13. R = 121 + a) –17 b) 17 e) 13 4 27 – 1 c) 11 d) –13 3 e) 12 8 + 4 c) 15 d) –11 e) 11 = 81 ⇒ 81 = YY 2 =8⇒ 8 = YY 5 = 25 ⇒ a) 10 b) 17 25 = .................. ( ) YY 16 = 4 .................. ( ) YY 100 = 50 .................. ( ) 16. M = ( 64 × a) 260 b) 13 8 17. J = ( 1 × a) 46 b) 13 56 5 16 ) e) 19 3 4 4 ) × ( 25 + c) 45 d) 90 16 ) e) 23 16 ) e) 15 7 32 × 1 ) + c) 26 d) 28 3 144 × 27 ) – c) 23 d) 25 5to PRIMARIA 100 e) 30 169 e) 27 27 : 16 × 22. Calcula el valor de A + a) 39 b) 37 3 169 × c) 43 d) 38 36 4 c) 20 d) 12 A= Nivel intermedio Calcula: 20. S = ( 9 + a) 25 b) 35 8 × 1 ) + ( 27 × c) 9 d) 11 M= 27 = 9 YY 5 21. Calcula el valor de M + 15. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 3 19. L = ( 25 × a) 14 b) 10 25 ) – ( c) 18 d) 1 Nivel avanzado 14. Completa: YY 3 3 18. K = ( 36 × a) 22 b) 24 4 e) 15 16 : 9 × 9 1 e) 41 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO RADICACIÓN n a =b Si n n = índice a = radicando b = raíz a = b ⇒ bn = a Ejemplos: ZZ ZZ 3 5 8 = 2 ⇒ 23 = 8 1 = 1 ⇒ 15 = 1 5to PRIMARIA 57 ÁLGEBRA 15 Radicación II: operaciones combinadas en el radicando RADICAL El día de hoy, aprenderemos a resolver expresiones en las que dentro del radical haya operaciones que efectuar. Es el signo ; es un operador compuesto por ( ) y el signo de colección vínculo ( ). RADICANDO Es el número o expresión que se escribe dentro del signo radical: 52 – 32 radicando Recuerda • 52 = 25 • 23 = 8 • 71 = 7 C= Ejemplos: A= 6+5×2 A= 6 + 10 A= 16 = 4 Primero resuelvo el radicando 9 • • +1 + C= 3+ 1 + C= 4 +2 16 4 C=2+2 C= 4 B=3 4 + 52 B= 3 2 + 25 B= 3 27 = 3 58 5to PRIMARIA D = 23 × 4 – 71 D= 8× 4 – 7 D= 32 – 7 = 25 = 5 16 = 4 4 =2 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico Resuelve los siguientes ejercicios: 1. N = 7. B = 47 – 2 × 6 +13 49 + 4 × 2 + 50 16 – 3 × 4 Nivel avanzado Resolución: N= 6. A = 16 – 3 × 4 Primero resuelve el producto 8. Calcula el valor de J + J= N = 16 – 12 Resolución N= J= 4 23 × 4 – 42 1.o las potencias 23 × 4 – 42 N=2 2.o el producto J= 2. A = 24 – 5 × 3 3. B = 4. C = J= 36 + 2 × 5 144 – 4 × 2 23 – 3 × 5 +1 23 – 3 × 5 +1 23 – 15 + 1 M= 8+1 M= 9 M=3 ∴ Nos piden: J + ↓ 4 7 M= 16 J=4 Resolución M = 23 – 3 × 5 +17 M= 8 × 4 – 42 J = 32 – 16 Nivel intermedio 5. M = 256 , si: 256 + 16 ↓ 4 + 4 1.o resolvemos la potencia 2.o el producto 8 Rpta.: 8 9. Calcula el valor de T + T= 16 , si: 52 × 4 – 82 10. Resuelve: P= 32 × 7 + 118 + 72 – 62 5to PRIMARIA 59 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico Resuelve los siguientes ejercicios: 11. R = a) 9 b) 39 49 + 6 × 3 c) 5 d) 25 12. M = 100 + 13 × 2 a) 260 b) 130 c) 36 d) 6 13. T = 44 – 4 × 2 a) 6 c) 80 b) 3 d) 2 18. R = 3 e) 10 c) 2 d) 29 19. S = 9 + 7 × 2 – 90 c) 19 d) 3 20. T = 3 a) 3 b) 27 e) 1 15. M = a) 5 b) 3 4 100 + 16 c) 2 d) 4 e) 2 e) 10 3 144 + 2 × 7 + 80 c) 13 d) 2 17. J = 32 + 8 × 2 + 14 a) 5 c) 6 b) 7 d) 81 60 5to PRIMARIA e) 3 e) 12 e) 4 81 + 81 c) 1 d) 30 e) 33 a) 13 b) 18 23 × 6 + 117 + 52 – 42 c) 16 d) 15 22. Calcula el valor de M + Nivel intermedio 16. N = a) 1 b) 9 5×2+ e) 0 Nivel avanzado 21. J = 14. J = 28 + 3 × 7 a) 8 c) 10 b) 7 d) 11 16 + 5 × 4 + 51 a) 3 b) 7 a) 2 b) 11 e) 5 4 M= a) 10 b) 4 e) 19 81 , si: 52 – 3 × 23 c) 7 d) 6 e) 2 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO RADICACIÓN radical 52 + 11 radicando Si dentro del radical hay una operación combinada, se resuelve: A= 52 + 11 A= 36 A=6 ¡Resuelvo! 52 + 11 25 + 11 36 5to PRIMARIA 61 ÁLGEBRA 16 Repaso 1. Relaciona: A)130 B) 131 C)013 a) IA, IIB, IIIC b) IB, IIC, IIIA c) IC, IIA, IIIB d) IA, IIC, IIIB e) IB, IIA, IIIC I) 13 II) 0 III)1 b) x23 c) x24 e) x25 S= a) 8a10 b13 b) 16 a10 b13 c) 2a7 b9 3. Reduce: a) x5 x7 • x • x4 x5 • x3 d) x2 b) x6 e) x4 M= c) x 3 4. Calcula: a) 9 39 • 3–3 • 34 38 d) 0 b) 27 e) 3 R= 8. Calcula: a) –5 b) 13 c) –7 5. Reduce: A= a12 • b7 • a–3 • b4 a7 • b3 d) a8 e) ab 6. Simplifica: T= 23 (x ) • x x4 • x 3 7 5to PRIMARIA (2a3 b5)4 a2 b7 d) 16 a6 b20 e) 16 a12 b3 –2 183 B = 150 – 1 + 3 – 51 3 9 d) –6 e) 12 9. Relaciona: 3 A) 125 I) 5 B) 27 II) 4 C) 16 III) 3 4 IV) 2 3 D) 16 a) IC, IIB, IIIA, IVD b) IA, IIC, IIIB, IVD c) IA, IIB, IIID, IVC d) IC, IIB, IIIA, IVD e) IA, IIID, IIIB, IVC 10. Calcula A + c) 1 62 d) x19 7. Reduce: 2. Resuelve: A = (23 × 15 + 73) 0 + 117 – 141 a) 14 d) –12 b) 13 e) –14 c) –13 a) a15 b11 b) a2 b8 c) a22 b14 a) x21 a) 7 b) 5 c) 8 11. Resuelve: a) 18 b) 6 c) 9 25 , si: A= B= 3 27 + 64 – d) 12 e) 17 16 23 × 3 + 17 + 72 – 62 d) 43 e) 25 ÁLGEBRA 12. Calcula M + N, si: M= N= 16 + 51 3 8 – 10 + 3 × 2 a) 0 b) 1 c) 2 d) –8 e) 4 5to PRIMARIA 63 ÁLGEBRA Radicación en Z primera parte 17 Esta semana estudiaremos en el radicando cantidades enteras (positivas y negativas). Caso I: Radicando positivo Índice: Par/impar → raíz positiva par/impar + = + Ejemplos: 100 = 10 ZZ ZZ 3 8 =2 ZZ 4 81 = 3 Caso II: Radicando negativo Índice: Impar → raíz negativa impar – = – Ejemplos: 3 –27 = –3 ZZ ZZ ZZ Índice: par → la raíz no pertenece a par – =∈ 13 5 –1 = –1 –32 = –2 Ejemplos: –9 = ∈ ZZ No existe un número entero que elevado al cuadrado dé como resultado –9. 64 5to PRIMARIA ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 6. Efectúa: 1. Resuelve: a) 3 5 –8 = _______ c) b) 7 –1 = _______ d) 32 = _______ –16 = ______ A=2 3 a) B=– 5 c) impar b) 7 32 = 2 + + par d) –1 = –2 – – –16 = ∈ – 2. Resuelve: a) 3 –64 = _______ c) b) 15 –1 = _______ d) 3 M= 3 15 –1 + 3 M= M= 125 = ______ M= –8 + 49 3 –1 – 3 –8 + 4 16 –32 + 3 25 19 –1 25 + 2 – 13 –1 – (–2)3 impar 3 13 –1 – (–2)3 – – (–1) – (–8) 27 3 +1 +8 impar – = – 12 9. Calcula: N= 15 5 25 + 2 – 4. Efectúa: T= 9 –2 Resolución: M= M= –27 + 5 8. Efectúa: –4 = _______ 3. Calcula: 3 Nivel avanzado impar –8 = –2 – – 16 – 3 7. Calcula: Resolución: impar 4 5 31 + 1 – 17 –1 – (–3)2 10. Resuelve: Nivel intermedio S=2 3 –8 – 15 –16 + 15 + 100 5. Resuelve: R=5 3 8 –4 5 –32 + 2 64 Resolución: 5 3 R=5 8 – 4 –32 + 2 R = 5(2) – 4(–2) + 2(8) R = 10 +8 64 + 16 R = 34 5to PRIMARIA 65 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico Resuelve (ejercicios 11 a 22) 3 11. M = –125 – a) 2 b) –5 12. T = a) 6 b) 8 13. S = a) 3 b) 1 17 3 –1 – –1 + 3 3 243 + c) –2 d) 5 36 e) 7 –64 – 81 c) 13 d) –8 4 14. D = –8 + a) –4 b) 4 4 3 3 15. E = –64 + a) 3 b) 1 5 e) –6 5 16 – –32 c) –3 d) 8 81 – –243 c) 7 d) –7 e) 2 11 8 – –1 – 5 c) –3 e) 4 d) 8 17. G = 3 a) 21 b) 22 66 4 4 –3 3 16 – 5 3 –27 – 5 c) 10 d) 11 –8 + c) 20 d) –19 c) –7 b) –5 d) 4 100 – 4 19. T = 9 1 17 –1 e) –11 25 5to PRIMARIA e) –32 5 c) 97 b) 117 d) 107 20. M = –8 3 –8 + 2 e) 3 –32 + 91 a) 106 4 e) 98 14 16 – 3 a) 23 c) 25 b) –23 d) 24 –1 e) –17 Nivel avanzado 21. S = 3 5 4 – 112 a) –4 e) 4 Nivel intermedio 16. F = –2 a) –10 b) –12 9 –8 18. R = 7 3 –27 – 21 –9 + 8 + a) 2 c) 0 b) 1 d) 3 22. K = 3 62 + 2 – 19 81 e) 4 –1 – (–3)3 a) –15 c) 31 b) 32 d) 15 e) 8 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO Radicación en Z Radicando positivo Índice: Par/impar → raíz positiva par/impar + = + Caso II: Radicando negativo Índice: Impar → raíz negativa impar – = – Índice: par → la raíz no pertenece a par – =∈ 5to PRIMARIA 67 ÁLGEBRA 18 Radicación en Z Segunda parte Esta semana trabajaremos las operaciones combinadas. Resolvemos las operaciones del radicando. A= 18 + 7 – A= 25 A= 5 A= 5 5 – 8×4 + 5 13 + (–1) 32 –2 – A= Recuerda –1 Recuerda el orden: –1 1° → Radicación y potencia 2° → Multiplicación y división 3° → Suma y resta 3 2 B= 32 + 52 + 21 + 3 B= 9 + 25 + 2 + 3 (6) 25 + 22 – C= 5+4 – C= 9 – C= 3 C= C= 68 5 –31 – 1 + (–2)3 5 –32 + (–8) (–2) –8 +2 –8 5 –8 –3 5to PRIMARIA + 1 B= 36 + 18 + 1 B= 6 + 18 + 1 B= C= 36 + 130 25 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico Resolución: Resuelve (ejercicios 1 a 10) 1. A = –32 + 36 + 5 16 × 2 + 17 –1 –32 + 36 + A= 5 + 4 A= 2 + A= 17 16 × 2 + 5 + (–1) 32 2 –1 –1 3 23 + 42 + 19 – 31 S= 4 25 – 9 + 8 + 16 + 1 – 3 4 S= 3 19 –18 + 27 + 3. T = 16 – 7 + 3 –6 – 2 + 150 4. R = 27 × 3 + 3 –24 – 3 + 180 25 –3 2 5 –3 + S= 6. T = 4 3 32 – 1 + 7. M = 9×3 + 23 + 52 + 31 – 41 32 + 7 – 3 35 + 1 + 23 Nivel avanzado 8. S = 3 9 + S=3 –1 Nivel intermedio 52 – 9 + 16 + 25 – 3 –24 – 3 + (–3)2 25 – 3 –24 – 3 + (–3)2 Resolución: 2. M = 4 52 – 9 + –1 4 A= 5. S = 4 S= Resolución: A= S= 23 + 42 + 19 – 31 9 + 3 S= 3+5 3 S= S= 8 – 2 –27 (–3) +3 S= + (+9) + 9 + 9 14 9. T = 10. M = 3 – 16 + 3 25 –50 – 14 – 19 – 3 –6 – 2 + (–2)3 –1 + 18 + 5to PRIMARIA 49 69 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico Resuelve (ejercicios 11 a 22) 4 3 11. T = 21 – 5 + –25 – 2 + 160 a) –2 c) –1 e) 0 b) 2 d) 1 12. M = a) 4 b) 7 13. R = a) 4 b) 9 12 × 3 + 3 –8 + 5 –27 – 5 + 170 c) 15 e) 12 d) 5 11 – 2 + c) 13 d) –5 3 9×3 e) 10 18. N = a) –4 b) –7 3 23 – 42 + 51 – 2 – 23 c) –5 e) –6 d) –3 9 3 19. R = –32 + 14 + 3 14 + 2 + –1 a) –7 c) 10 e) 11 b) 8 d) 13 17 20. M = 15 – 6 + 2 33 + 3 – –1 a) –7 c) 18 e) 4 b) 16 d) –13 Nivel avanzado 21 3 11 3 14. T = –29 + 2 + –1 – a) –4 c) –7 b) –2 d) –3 15. M = a) –8 b) 7 16 + 9 – 15 –1 – c) 9 d) 6 3 3 –6 – 2 e) 0 –32 + 5 e) –5 Nivel intermedio 16. R = 32 – 5 – 2 48 + 1 + 32 a) –3 c) 4 e) 7 b) –2 d) –5 17. M = a) 7 b) –6 70 24 + 9 + 24 + 52 + 23 – 51 c) –2 e) 8 d) 0 5to PRIMARIA –6 – 21 – –1 + 21. T = a) –15 c) 0 b) –10 d) 1 22. K = a) 16 b) 13 25 + 3 64 – c) 20 d) 26 3 1+ 9 e) 5 –29 – 3 + (–4)2 e) 21 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO Operaciones combinadas en el radicando Si dentro del radical hay una operación combinada se resuelve y luego se aplica la radicación. M= 3 13 • 4 – 52 = 3 27 = 3 Resolviendo: 13 • 4 – 52 52 – 25 = 27 5to PRIMARIA 71 ÁLGEBRA 19 Teoría de exponentes para la radicación (exponente fraccionario) n am = a m n Se divide el exponente de la cantidad subradical entre el índice. ÷ Ejemplos: tácitamente es 2 ÷ 8 ZZ = x 2 = x4 x8 ZZ m n a = n 5 ZZ 9 ZZ 5x 27 2 27 = 2 9 = 23 = 8 ÷ ÷ 25 m25 = m 5 = m5 20x 3 20x = 3 5x = 34 = 81 El numerador del exponente fraccionario es el exponente de la cantidad subradical, y el denominador es el índice de la raíz. am Ejemplos: 5 ZZ x 6 = ZZ 1 5 m = 6 x5 5 m = 1 5 m 1 ZZ 36 2 = ZZ 16 4 = 1 2 361 = 4 161 = 36 = 6 4 16 = 2 EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico Calcula (Ejercicios del 1 al 10) 1. T = 6 x30 • Resolución: ÷ 6 T = x 30 • 72 3 x18 • 5 ÷ 3 x 18 • 5 30 2 x5 • x3 ÷ 2 x 5 • x3 «3 al cuadrado» 5to PRIMARIA 18 5 T = x 6 • x 3 • x 5 • x9 T = x5 • x6 • x1 • x9 multiplicación de 5+6+1+9 bases iguales T=x T = x21 2. M = 7 x7 • 18 x36 • 8 3 x40 • x2 ÁLGEBRA 3. P = 4. G = a8 • 4 b 36 13 a13 • • a50 • a5 • a 12 b 4 • Nivel intermedio 5. N = 8 78 + 10 420 – 115 Resolución: ÷ ÷ 8 10 8 N = 7 + 4 20 – 115 8 8 Nivel avanzado 2 5 20 10 5 1 a 10 1 3 S= 8 3 81 – S= 3 9 + 4 16 + 7 S= 2 3 2 + 2 + 7 – 3 16 – 1 S= – 11 6. R = 7. D = 50 9 + 5 100 + 20 – –1 2 0 7 2 1 1 9. G = 27 3 – 36 2 + 81 4 + 1 21 2 +7 8 1 32 + –3 S= 27 49 8 – 7 + 13 + 161 + 7 N= 2 1 4 + 16 4 S= 22 49 91 + 4 – 1 42 – 1 9 1 2 – 9 S= 7 + 71 + 13 1 Resolución: N= N= N= 1 8. S = 8 3 – 9 2 + 16 4 + 10. P = 4 4 + 9 1 518 – 49 2 – 100 8 224 5to PRIMARIA 73 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico Calcula (ejercicios 11 a 22) 11. R = a10 • a) 41 b) a41 9 12. N = b18 • a) b15 a4 b) b5 a5 13. G = a) x37 b) a27 8 x8 • 21 14. H = m a) m10 b) m50 8 15. T = 42 • 15 5 4 8 18. T = a) 9 b) 6 2 4 a15 • a40 • a5 c) a23 e) a26 31 d) a 3 4 a10 • b9 • a12 5 8 c) b a e) a10 b2 d) b5 a3 2 25 x32 • x50 • x4 c) x19 e) x7 d) x27 10 m • m c) m23 d) m32 16 100 2 •m e) m25 6 x •x •x •x •x 4 5 7 a) x c) x10 b) x15 d) x7 3 e) x2 Nivel intermedio 100 6 16. D = 4200 + 150 – 318 a) –10 c) 15 b) –8 d) 3 17. J = 812 + a) 69 b) 79 74 8 19. M = a) 15 b) 17 516 + 224 – 4 11 244 – 127 c) 39 d) 27 5to PRIMARIA e) –12 e) 45 8 78 – c) 7 d) 8 15 615 + c) 24 d) 14 3 4 312 + 21 e) 12 9 5 318 + 31 e) 9 7 20. R = 37 • 35 + 29 • 25 – 150 a) 33 c) 18 e) 25 b) 30 d) 16 Nivel avanzado 1 21. J = 9 2 + a) 24 b) 26 1 7 12 6 8 18 1 436 – 81 4 + c) 32 d) 15 1 1 9 227 e) 22 1 22. T = 64 3 + 36 2 + 16 4 + 8 3 a) 17 c) 14 b) 15 d) 11 e) 8 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO Exponente fraccionario n am = a m n a m n = n am 5to PRIMARIA 75 ÁLGEBRA 20 Teoría de exponentes para la radicación (raíz de un producto) Separamos en un producto de raíces, el índice afecta a cada factor. n a•b = n a • n b producto Ejemplos: ZZ 4 m•n = 4 m • 4 n ZZ 3 27 • 8 = 3 27 • 3 8 =3•2=6 ZZ 5 x15 • y20 = 5 x15 • 5 15 20 y20 = x 5 • x 5 = x3 y4 Si los índices son iguales, se pueden juntar en una sola raíz manteniendo el mismo índice. n a • n b = n producto Ejemplos: ZZ ZZ ZZ 3 x • 3 y = 3 x•y 4 8 • 4 2 = 4 8•2 = 4 16 = 2 7 x • 7 x13 = 7 x • x13 = 7 x1+13 = 76 5to PRIMARIA 7 x14 = x2 a•b ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico Resuelve (ejercicios 1 a 10) 3 1. M = 64 • 8 – 5 2 5 2 M= 64 • 8 – M= 3 64 • 4 M= 8 –25 • 2 – 22 8 – 4 4 2. D = 16 • 81 – 4. N = 27 • 125 + 5. S = 4 • 9 518 – 71 4 • 49 2 – 36 Resolución: S= S= 3 4 • 3 3 4•2 1 20 • 4 – 49 2 2 – 36 – 2 3 2 • 3 2 • 3 1 2 + 16 4 + 15 530 4 2 • 212 • 38 + 8 Resolución: 320 Nivel intermedio 3 6 –4 7. R = 8. F = 10 9 • 16 + 3 – Nivel avanzado 4 3 2 6. N = 10 36 – 10 3 M= 3. M = 8 S= ÷ 3 M= S= 10 Resolución: 3 S= 1 2 1 2 361 F= 4 212 • 38 F= 4 2 12 12 • 4 + 2 • 8 ÷ 2•8 38 + 8 16 F=24 •34 + F = 23 • 32 + 4 F= 8 • 9 +4 F = 72 + 4 F= 76 7 12 • 9. G = 314 • 221 + 10. H = 3 29 • 56 + 5 16 • 3 5 2 – 20 5to PRIMARIA 240 77 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico Calcula (ejercicios 11 a 22) 18. R = a) 1 b) 2 6 11. T = 4 • 9 – 318 – 61 a) 36 c) 42 b) 17 d) 15 e) 27 12. M = 36 • 81 + 25 • 16 a) 74 c) 36 b) 72 d) 42 e) 51 4 8 9 c) 121 b) 116 d) 18 17. L = a) 5 b) 7 78 3 4 • 50 + 3 4 • c) 22 d) 8 3 5 5 10 2 + –8 + 315 c) –37 e) 0 d) 37 3 3 3 + –32 – 420 c) 15 e) 7 d) –15 3 e) 42 22. T = 316 • 224 + 32 • a) 76 c) –17 b) 37 d) –15 8 1 3 4 + 25 2 + e) 14 1 2 – 36 2 c) 3 d) 4 5to PRIMARIA 3 21. M = 26 • 33 + 4 • a) 10 c) 32 b) 11 d) –11 Nivel intermedio 16. N = a) 19 b) 18 218 e) –1 5 327 e) 17 916 – 31 a) 118 9 Nivel avanzado 14. R = 16 • 81 – 81 • 100 + a) 37 c) 32 b) 58 d) 57 15. K = 25 • 64 + 2 – 49 2 + c) 3 d) 0 5 20. T = 9 • a) –14 b) –7 e) 27 1 + 19. P = 16 • a) –27 b) 27 15 3 13. N = 27 • 64 – 730 a) 37 c) –18 b) –37 d) –10 8 e) –1 3 38 3 3 3 25 2 + 550 e) –8 2 e) 42 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO n a•b = n a • n b Raíz de un producto m x • m y = m x•y 5to PRIMARIA 79 ÁLGEBRA Expresiones algebraicas Expresión algebraica (E.A.) Es el conjunto finito de constantes (números) y variables (letras) unidos por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Los exponentes de sus variables deben ser números racionales (Q). Ejemplo: 3a5b7c – 2a4b3 + 7 21 Término algebraico (T.A.) Es la unidad mínima de una expresión algebraica. Ejemplo: –17m2n + 8m7n + 3xy – 5x4 Esta E.A. tiene 4 términos algebraicos y son: ZZ –17m2n Los 4 términos están ZZ 8m7n separados por los sigZZ 3xy nos + y – . ZZ –5x4 Términos semejantes (T.S.) Elementos del término algebraico Expresión algebraica (E.A.) Ejemplo: Es el conjunto FINITO de constantes 2 –5a3b(letras), (números) y variables unidos por las operaciones de adición, exponentes sustracción, multiplicación, división y potenciación. Los exponetes de3 sus –5 a b2 variables deben ser: números racionales (Q). coeficiente Ejemplo: variables 3a5b7c – 2a4b3 + 7 parte literal 80 5to PRIMARIA Son aquelos términos que tienen la misma parte literal, es decir: variables y exponentes iguales. Ejemplos: ZZ 15 y2 ; 3 y2 ; 4 y2 ; 7 y2 → sí son T.S. ZZ 3x3 ; 4x6 → no son T.S., porque tie- nen exponentes diferentes. ZZ 3 xy5 ; –3 y5x ; 4 xy5 → sí son T.S. porque a pesar de estar invertido el orden de las variables, estas son las mismas y sus exponentes también. ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 1. Escribe dentro del paréntesis (S) si es E.A. y (N) si no lo es: 2 x6y5 YY 3x5y3 – 5xy + ( ) 3 YY 5mab3 – 2x5 ( ) 2 6 YY 3x + 5y + 3 ... ( ) YY 7x 2 – 3x6 + 5 ( ) Resolución: YY 3x5y3 – 5xy + YY 5mab3 – 2x5 2 x6y5 3 YY 3x2 + 5y6 + 3 ... YY 7x – 3x6 + 5 2 (S) ( N ) → porque el exponente es una letra ( N ) → porque es una expresión infinita ( N ) → porque el exponente de «x» es un número irracional 2. Escribe dentro del paréntesis (S) si es E.A. y (N) si no lo es: YY 5 x7y8 – 16x3y6 YY 29x 9 – 5x4y3 + 3 YY –50a6b3 + 15ab – 3 ... ( ) ( ) ( ) YY 26x ( ) 3 + 3y5 + 7 3. Completa: –23 x7 y3 Resolución: 25 – 5 Nivel intermedio 5. Construye un término algebraico: cuyo coeficien1 2 te es 25 – 36 • 4 , sus variables son a, b y x; y sus exponentes 2, 4 y 3 respectivamente. – 36 • 4 36 • 6 • 4 2 –7 YY Variables: a, b, x YY Exponentes: 2, 4 y 3 respectivamente: 2 → a → a2 4 → b → b4 3 → x → x3 ⇒ El término algebraico es: –7a2b4x3 6. Construye un término algebraico cuyo coeficien1 te es 49 2 – 25 • 9 , sus variables son m, n, z; y sus exponentes 7, 9 y 4 respectivamente. 7. Elabora un término algebraico cuyo coeficiente es 3 3 1 2 • 4 + 36 2 , sus variables son x, y, a; y sus exponentes 16, 3 y 9, respectivamente. Nivel avanzado 8. Calcula x + y, si los siguientes términos son semejantes: T1: 5mx n9 T2: –7m4 ny Resolución: T1: 5 mx n9 T2: –7 m4 ny 4. Dado el siguiente T.A.: –27x7y4m Completa: YY coeficiente: _____________ YY parte literal: _____________ YY variables: _____________ YY exponentes: _____________ 1 YY Coeficiente: 25 2 – Si son T.S., entonces tienen la misma parte literal. YY El exponente de m → 4, por lo tanto x = 4 YY El exponente de n → 9, por lo tanto y = 9 ∴ Nos piden: x + y ↓ ↓ 4 + 9 = 13 9. Determina a + b si los siguientes términos son semejantes: T1: –7xa y13 T2: 13x8 yb 10. Calcula m + n – a si se tienen los siguientes T.S. T1: –7xm y9 za+3 T2: 8x7 yn–5 z11 5to PRIMARIA 81 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico Nivel intermedio 16. Elabora un término algebraico cuyo coeficiente es 1 11. Completa: 5 5 (4 2 + 16 • 2 ) sus variables m, n y x; y sus exponentes: 7, 3 y 9 respectivamente. a) 5mnx d) 4m7 n3 x9 9 3 7 b) 4m n x e) 4 m3 x9 n7 c) 6m4 n3 x9 –5 m4 n7 17. Construye un término algebraico cuyo coeficiente es 12. Dado el siguiente T.A.: –13x y z Completa: YY coeficiente: _____________ YY parte literal: _____________ YY exponentes: _____________ YY variables: _____________ 10 5 13. Escribe dos términos semejantes a: –13m3n7: _________, _________ 14. Dado el siguiente T.A.: –m7 n3 Completa: YY coeficiente: _____________ YY parte literal: _____________ 15. Escribe dentro del paréntesis (S) si es E.A. y (N) si no lo es. YY 13 x5y7 + 7x 5 y3 ( ) 1 49 • 4 + 81 2 , sus variables a, b y z ; y sus exponentes: 5, 4 y 1 respectivamente. a) 15 a5 b4 z d) 23ab4 z5 b) 13 a5 b4 z e) 18a5 b4 z 5 4 c) 23a b z 18. Construye un término algebraico cuyo coeficien1 te es 27 3 – 50 + 23; sus variables x, y; el exponente de «x» es el doble de 4 y el exponente de «y» es la raíz cuadrada de 9. a) 12 x4 y9 d) 5 x8 y3 8 3 b) 10 x y e) 10 x4 y9 c) 15 x4 y9 19. Escribe dos expresiones algebraicas: YY __________________________________ YY __________________________________ 20. Escribe dos expresiones no algebraicas: YY 5 x2 + 3y3 YY –8xay3 – 3m ( ) ( ) YY __________________________________ YY –7m + 3x –2 ( ) YY __________________________________ 82 5to PRIMARIA ÁLGEBRA Nivel avanzado 21. Calcula m + n – b, si se tienen los siguientes T.S. T1 = –3x4 y13 zb+5 T2 = a) 17 b) 14 8 xm yn–2 z11 c) 19 d) 13 22. Calcula a – b, si los siguientes términos son semejantes: T1 = –9x12 yb T2 = 5xa y7 e) 20 a) 5 c) 4 b) 6 d) 19 e) 7 ESQUEMA FORMULARIO Expresión algebraicas Conjunto finito de constantes y variables unidas por las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. tiene Términos algebraicos coeficiente –9 x3y6 pueden ser Términos semejantes (T.S.) parte literal Porque tienen igual parte literal 5to PRIMARIA 83 ÁLGEBRA Reducción de términos semejantes 22 Recordemos: Los términos semejantes (T.S.) → son aquellos términos que tienen la misma parte literal. ZZ Si tenemos dos o más términos semejantes podemos reducirlos, para ello, sólo debemos operar sus coeficientes: Tienen la misma parte literal (variable y exponente) A = –5m2 + 11m2 – 13m2 A = (–5 – 13 + 11) m2 –18 + 11 Agrupamos los coeficientes porque todos los términos son semejantes. A = – 7m2 ZZ También podemos reducir aplicando la propiedad distributiva: M = 2(a – 5) + 8(a + 3) M = 2a – 10 + 8a + 24 M = 2a + 8a – 10 + 24 M = 10a + 14 Agrupamos Ya no podemos reducir, no son T.S. Cambia el signo No cambia el signo T = –(5x + 7) + (–10 + 8x) T = –5x – 7 – 10 + 8x T = –5x + 8x – 7 – 10 T = (–5 + 8)x – 17 T = 3x – 17 84 Agrupamos Ya no podemos reducir porque no son términos semejantes 5to PRIMARIA ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 6. E = –(10b + 5) + (–a + 9) 1. M = –12a3 + 20a3 – 17a3 7. G = –(3m + 2) + (2m + 5) – (–m – 7) Resolución: M = –12a3 + 20a3 – 17a3 M = (–12 – 17 + 20) a3 – 29 + 20 M = –9a3 Nivel avanzado 8. H = 3(4x + 5) – 2(3 + 4x) Resolución: H = 3(4x + 5) – 2(3 + 4x) H = 12x + 15 – 6 – 8x H = 12x – 8x + 15 – 6 2. N = –15b2 + 17b2 – 8b2 3. R = –23m + 18m – 4m + 10m H = (12 – 8)x + 9 H= 4x + 9 4. T = –27x2 + 11x2 – 8x2 + 4x2 Nivel intermedio 9. J = 4(5a + 6) – 3(2a + 5) 10. T = 5. D = –(12a + 4) + (–a + 7) 15x 7x 2x + + 4 4 4 Resolución: D = –(12a + 4) + (–a + 7) D = –12a – 4 – a + 7 D = –12a – a – 4 + 7 D = (–12 – 1)a + 3 D = –13a + 3 Recuerda: –•+=– –•–=+ 5to PRIMARIA 85 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Reduce las expresiones (ejercicios 11 a 22) Nivel básico 11. R = –15a + 8a – 13a + 24a a) –4a c) 4a b) 8a d) 44a e) 37 12. T = –32b3 + 15b3 – 5b3 + 18b3 a) –4b c) –4b2 2 b) 4b d) 4 e) –4b3 13. M = –18m + 23m – 7m a) 2m c) –2a b) –2m d) 2 e) 12m 20. K = –(2a2 + 4) + (7a2 + 3) – (–a2 – 15) a) 6a2 – 14 d) 10a2 + 14 2 b) 6a + 14 e) 10a2 + 8 c) –14 – 6a2 27m 5m 4m + + 6 6 6 a) 5m c) 6m b) 7m d) 4m 21. R = e) 10m3 15. R = 4x – 13x + 5x – 18x a) 22x c) –4x b) –22x d) 4x e) 4 Nivel intermedio 16. S = –(2m + 4) + (3m + 2) – (–m – 4) a) –2m + 2 d) 6m + 2 b) 2m + 2 e) 10 – 6m2 c) –2 – 2m 17. T = –(15a + 2) + (–a + 8) a) –16a + 6 d) –16a – 6 b) 14a + 10 e) –16a c) –14a – 10 5to PRIMARIA 19. M = –(3m + 2) + (5m + 4) – (m + 5) a) 2m – 3 d) –3 b) m – 11 e) m – 3 c) m + 3 Nivel avanzado 14. T = 15m3 – 18m3 + 9m3 – 2m3 a) 4m3 c) 4m2 3 b) –4m d) 14m3 86 18. R = –(10b2 + 3) + (–b2 + 7) a) 11b2 + 10 d) 11b – 10 b) 11b2 – 4 e) 10 + 4b2 c) –11b2 + 4 e) m 22. T = 4(3x + 4) – 5(2x – 3) a) 3x + 15 d) 2x + 1 b) –31 + 2x e) 2x – 1 c) 2x + 31 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO Reducción de T.S. se reducen si tienen Igual parte literal A = 3 xy2 + 3 xy2 + 8 xy2 Podemos reducir operando solo los coeficientes A = (3 + 5 + 8) xy2 A= 16 xy2 5to PRIMARIA 87 ÁLGEBRA 23 Reducción de términos semejantes II Hoy vamos a reducir expresiones en las que hay más de un tipo de término semejante (T.S.). M = –7x + 10y + 11x – y En esta expresión encontramos dos tipos de T.S. Agrupamos: M = –7x + 11x + 10y – y M = (–7 + 11)x + (10 – 1)y M = 4x + 9y Ya no se puede reducir Recuerda Al momento de resaltar los T.S. debes hacerlo con todo el signo de su coeficiente: 3a – 7b + 5a – 8b correcto 3a – 7b + 5a – 8b incorrecto EJERCICIOS PARA LA CLASE Reduce las expresiones (ejercicios 1 a 10) Nivel básico 1. M = –5a + 10b – 16a + 27a – 10b Resolución: M = –5a + 10b – 16a + 27a – 10b M = –5a – 16a + 27a + 10b – 10b M = (–5 – 16 + 27)a –21 + 27 M = 6a 88 5to PRIMARIA 2. T = –14 + 12n – 3m + 38m – 12n 3. S = 17x2 – 5x + 13x2 + 5x 4. T = 15a2 + 13b3 – 8a2 – 7b3 Nivel intermedio 5. R = –(3x + 7y) + (7x – 5y) Resolución: cambia los signos no cambia los signos R = – (3x + 7y) + (7x – 5y) ÁLGEBRA R = –3x – 7y + 7x – 5y R = –3x + 7x – 7y – 5y R= 4x – 12y 6. K = –(5a + 10b) + (12a – 15b) 7. M = 4(a2 + 3) – 4a2 + 17 Nivel avanzado 8. A = x(x + 5) + 3x2 – 2x Resolución: A = x(x + 5) + 3x2 – 2x A = x2 + 5x + 3x2 – 2x A = x2 + 3x2 + 5x – 2x A = (1 + 3)x2 + (5 – 2)x + 3x A = 4x2 9. B = x(x + 8) + 5x2 – 4x 10. D = x(x – 7) + 2x(x + 9) 5to PRIMARIA 89 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Reduce las expresiones (ejercicios 11 a 22) Nivel básico 11. K = 15b2 – 3b + 18b2 + 3b a) –33b2 c) 33b2 b) 17b2 d) 15b3 e) –15b2 12. M = 19a2 + 32b5 – 13a2 – 27b5 a) 11a7 d) 6a2 + 5b5 2 5 b) 5a + 6b e) 6a2 – 5a5 2 5 c) –6a + 5a 13. R = –5m + 8x – 13m + 25x a) 18m – 33x d) –18m – 33x b) –18m + 33x e) –15m + 31x c) –16m + 33x 14. T = –5y + 9b2 – 12y – 13b2 a) 17y + 4b2 d) –17y + 4b2 2 b) 17y – 4b e) 4b2 – 16y c) –17y – 4b2 15. M = –13a2 + 5b – 2m + 12a2 – 5b + 2m a) –2a2 c) –a2 e) 2a2 2 b) 0 d) a Nivel intermedio 16. R = 2(b2 + 6) – 2b2 + 15 a) 25 d) b + 27 b) b2 + 27 e) 27 c) 4b2 – 27 17. M = –(3m + 5a) + (7m – 3a) a) –4m + 8a d) 4m – 8a b) 8a e) 4m c) 4m + 8a 90 5to PRIMARIA 18. T = –(4b2 + 3m) + (9b2 + 13m) a) 5b2 + 10m d) 5b2 2 b) 10m – 5b e) 5b2 + 16m c) –10m – 5b2 19. R = 3(m2 + 5) – 3m2 + 18 a) –33 d) m2 – 33 b) 33 e) 6m2 + 33 c) m2 + 33 20. S = –(3x3 – 5y) + 3(x3 + 2y) a) x3 + 11y d) x3 – 11y b) 6x3 – 1y e) 11y c) –11y Nivel avanzado 21. K = x(x – 5) + 2x(x + 4) a) 3x d) 3x2 + 9x b) 6x e) 9x c) 3x2 + 3x 22. D = x(x + 7) + 8x2 – 7x a) 9x2 d) 10x2 2 b) x + 9x e) –9x2 c) x + 9x2 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO Reducción de T.S. II Expresiones que tengan más de un grupo de T.S. A = 2x + 3y + 5x + 6y Agrupa A = 2x + 5x + 3y + 6y A= 7x + 9y Ya no se puede reducir 5to PRIMARIA 91 ÁLGEBRA 24 Repaso 1. Resuelve: 8. Resuelve: A=5 5 16 – 3 a) 26 b) 13 –32 – c) 15 d) 18 15 –1 e) 27 2. Calcula: B=3 3 –8 – a) –21 b) 22 21 –17 + 16 – (–3)3 e) 21 c) –29 d) –27 3. Calcula M + N, si: M= 32 – 5 + N= a) 3 b) 5 4×9 – 3 64 + 25 3 –6 – 2 c) 13 d) 10 e) 9 3 212 + 1 9. Calcula m + n – a, si los siguientes términos son semejantes: T1 = 7xm y9 za+7 T2 = –5x4 yn–5 z8 a) 7 c) 16 e) 21 b) 9 d) 17 10. Calcula A + B. A = –(7x + 5) – (–2x + 2) B = 3(2x + 5) + 4(5x + 6) a) 21x + 32 d) 31x + 46 b) –5x – 7 e) –5x + 32 c) 26x + 39 11. Reduce: 4. Calcula R × S. R= a) 20 b) 19 1 A = 100 2 + 25 • 4 – (–1)3 c) 21 e) 17 d) 18 54 – 1 50 3100 1 S = 36 2 + 64 3 – 81 4 a) 9 c) 27 b) 31 d) 32 e) 19 M = –(3a + 5b) + (7b – 5a) a) 4b d) 8a b) –8a + 2b e) 8a – 2b c) 2b + 8a 12. Construye un término algebraico cuyo coeficiente 3 5. Reduce: T= a) x7 b) x4 6. Simplifica: a) 12x3 b) 3x2 + 9x c) 9x2 + 3x 7. Reduce: a) x b) –2x2 2 92 15 x10 • x3 • x17 • x5 • x3 c) x5 d) x9 e) x10 R = x(x – 5) + 2x(x + 7) d) 7x3 e) 4x2 + 9x Q = x(x + 3) – 3x(x + 1) c) 5x2 d) x + 3 5to PRIMARIA e) x 3 3 sea: ( 100 • 81 + 2 • 2 • 2 ), sus variables x, y, a; y sus exponentes: 5; 3 y 8 respectivamente: a) 81x5 y3 a8 d) 92x8 y3 a5 b) 92x5 y3 a8 e) 19x8 y3 a5 8 3 5 c) 82x y a ÁLGEBRA Ecuación de primer grado 25 Una ecuación es una igualdad que se cumple para un valor de una variable llamada incógnita. Comprobamos: 3x – 1 = 20 3(7) – 1 = 20 3x = 21 21 – 1 = 20 x=7 20 = 20 La igualdad se ha comprobado para x = 7 (es el único valor) I. FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO ax + b = 0 a, b: son constantes x: es la variable o incógnita Ejemplo: 2y – 16 = 0 2; –16: son constantes y: es la variable o incógnita II. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN A. Caso 1 ● Resuelve: x + 9 = 15 Resolución: La que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro: x = 15 – 9 ∴x=6 ● Resuelve: x – 17 = 21 Resolución: Lo que está restando en un miembro, pasa sumando al otro miembro: x = 21 + 17 ∴ x = 38 C. Caso 3 Ahora combinaremos los casos anteriores: ● Resuelve: 5x – 3 = 7 Resolución: 5x = 7 + 3 Pasa sumando B. Caso 2 Resuelve: 7x = 42 Resolución: Lo que está multiplicando en un miembro pasa a dividir al otro miembro. 42 x= 7 ∴x=6 x ●● Resuelve: =5 9 Resolución: Lo que está dividiendo en un miembro, pasa a multiplicar al otro miembro. x=5×9 ∴ x = 45 ● 5x = 10 x= 10 5 Pasa a dividir x=2 5to PRIMARIA 93 ÁLGEBRA ● Resuelve: x+1 =8 2 Resolución: x+1=8× 2 x + 1 = 16 x = 16 – 1 Pasa a multiplicar Pasa a restar ∴ x = 15 Recuerda La ecuación de primer grado también se llama ecuación lineal. EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico Resuelve las siguientes ecuaciones: 1. 5x – 11 = 14 Resolución: 5x – 11 = 14 5x = 14 + 11 5x = 25 25 x= 5 6. 5x – 1 = 12 2 7. –10 – 7x = 32 Nivel avanzado 8. 6 – 3x –1=6 2 Resolución: x=5 6 – 3x – 1 = 6 2 + 2. 3x – 17 = 10 3. x +1=9 5 6 – 3x =6+1 2 4. 2x – 5 = –1 3 6 – 3x = 7 2 × 5. Nivel intermedio 6 – 3x = 14 2x – 1 = 11 3 Resolución: 2x – 1 = 11 3 × 2x – 1= 33 2x = 33 + 1 2x = 34 34 x= 2 x = 17 94 5to PRIMARIA –3x = 14 – 6 –3x = –8 8 x=– 3 9. 7 – 4x –1=4 2 10. 9 + 3x +1=7 5 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico Resuelve las siguientes ecuaciones: 11. 12. x +1=9 7 a) 12 b) 37 2x – 7 = –1 5 a) 15 b) 10 c) 19 d) 65 18. e) 56 c) 25 d) 17 e) 9 13. 9x – 21 = 42 a) 17 b) 9 c) 7 d) 6 e) 13 14. 7x – 2 = –16 a) 2 b) –2 c) 19 d) 7 e) 12 15. 2x + 13 = –11 a) 12 b) 7 16. –7 – 9x = 20 a) –3 b) 3 17. –1 – 3x = –5 1 a) 2 4 b) 3 c) 8 d) 5 19. 20. 21. e) –12 22. x – 1 = 15 3 a) 18 b) 12 c) 48 d) 17 e) 15 x + 9 = 15 7 a) 42 b) 24 c) 16 d) 12 e) 17 2x –1=2 3 7 a) 3 5 b) 7 2 + 3x +1=4 5 1 a) 2 3 b) 4 9 8 9 d) 2 c) e) 3 7 e) 4 7 Nivel avanzado 13 3 2 d) 5 c) 2 – 5x – 1 = 11 7 81 82 a) c) – 7 5 b) 13 d) 15 e) 7 Nivel intermedio c) 9 d) 7 e) 5 c) 8 e) d) 5 2 7 4 5to PRIMARIA 95 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO Ecuación de primer grado Resolución Transposición de términos x – 12 = 20 x = 20 + 12 x = 32 5x = 60 60 x= 5 x = 12 96 5to PRIMARIA x =5 2× x = 10 x + 12 = 30 x = 30 – 12 x = 18 ÁLGEBRA 26 Ecuación de primer grado II (AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES, PROPIEDAD DISTRIBUTIVA) Esta semana aprenderemos ecuaciones de primer grado reductibles en cada miembro de la igualdad. 1. –2x + 5x – 3 = 18 3x –3 = 18 3x = 18 + 3 3x = 21 21 x= 3 4. 2(x – 1) – 5 = x – 5 Aplico la propiedad distributiva 2x – 2 – 5 = x – 5 Reduzca 2x – 7 = x – 5 2x – x = –5 + 7 x=2 x=7 2. x + 13 – 6 – 1 = 19 Reducir 13 – 6 – 1 = 13 – 7 = 6 x + 6 = 19 x = 19 – 6 x = 13 3. 6 + 3x + 4 – x = –x – 9 + 28 Reducir en cada lado de la igualdad 2x + 10 = + –x + 19 2x + x = 19 – 10 traspaso términos 3x = 9 9 x= 3 x=3 5to PRIMARIA 97 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico Resuelve las siguientes ecuaciones: 6x – 2 = 5x + 4 6x – 5x = 4 + 2 x=6 1. –5x + 9x – 2 = 34 Resolución: –5x + 9x – 2 = 34 4x – 2 = 34 4x = 34 + 2 4x = 36 36 x= 4 x=9 2. –8x + 13x – 7 = 38 3. 12 + 8x – 12x = –15 + 17 4. 16x – 15 – 5 – 4x = –2 – 6 Nivel intermedio 5. –10 + x + 8 – 7x = 8x – 5 + 9 Resolución: –10 – x + 8 + 7x = 5x – 5 + 9 98 5to PRIMARIA 6. –7 – x + 4 + 9x = 4x + 6 – 41 7. 3x – 11 + 4x + 2 = –x + 47 Nivel avanzado 8. 3(x – 4) + 1 = x – 7 Resolución: 3(x – 4) + 1 = x – 7 3x – 12 + 1 = x – 7 3x – 11 = x – 7 3x – x = –7 + 11 2x = 4 4 x= 2 x=2 9. 2 + 5(x – 1) = –x – 2 10. 1 – (x + 3) = 2(x – 1) + 9 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico 11. 15 + 2x – 6x = –2 + 7 1 7 a) c) 3 4 b) 7 9 d) 13. –4 + x + 16 – 4x = 5x + 7 – 11 a) 15 c) 12 b) 7 d) 14 14. –8 – 2x + 5 + 10x = x + x – 7 2 7 a) – c) 3 2 1 3 d) 2 3 5 2 12. 7x – 12 – 8 – 5x = – 9 – 7 a) 5 c) 9 b) 2 d) 7 b) e) e) 12 e) 2 e) 7 5 3 15. 2 – x – 7 + 3x = x – 19 a) 7 c) 6 b) –14 d) 9 e) –4 18. 5 + 3(x – 1) = –x + 9 1 a) c) 4 2 2 1 b) d) 3 5 19. 8(x – 2) – 6 = –x – 3 19 7 a) c) 9 5 9 2 b) d) 20 7 20. 8 + 6(x – 3) = x – 1 1 a) c) 17 5 9 b) 2 d) 5 e) 7 3 e) 9 19 e) 15 Nivel avanzado 21. 2 – (x + 1) = 3(x – 1) + 8 a) 2 c) 9 b) –1 d) 7 22. 7 – (x + 2) = 2 + 5(x – 1) 2 4 a) c) 5 3 b) 9 e) 6 e) 18 d) 7 Nivel intermedio 16. 10x – 6 + 2x + 1 = –x + 60 a) 7 c) 9 b) 8 d) 5 e) 12 17. 2(x – 7) + 1 = x – 21 a) 8 c) –8 b) –2 d) 12 e) –4 5to PRIMARIA 99 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO Ecuación de primer grado II con Transposición y agrupación de términos semejantes –3x + 5x – 8 = x + 20 2x – 8 = x + 20 2x – x = 20 + 8 x = 28 100 5to PRIMARIA Propiedad distributiva 2(x – 1) + 1 = x – 5 2x – 2 + 1 = x – 5 2x – 1 = x – 5 2x – x = –5 + 1 x = –4 ÁLGEBRA 27 Ecuación de primer grado con coeficiente en Q Esta semana aprenderemos a resolver ecuaciones que tenga como constantes números fraccionarios. CON FRACCIONES HOMOGÉNEAS CON FRACCIONES HETEROGÉNEAS 6x 20x 1. – + + 1 = 11 7 7 3. 9x + 2x = 21 + 1 18 11x = 22 18 2 22 × 18 x= 11 1 x = 36 Fracciones homogéneas –6x + 20x = 11 – 1 7 14x = 10 7 2x = 10 x=5 2x 7x 2. x + + = –15 + 45 9 9 Fracciones homogéneas 2x + 7x x+ = 30 9 9x x+ = 30 9 x + x = 30 2x = 30 x= 30 2 x x 2 + 9 – 1 = 21 4. x x x 7 + + = 3 2 5 10 MCM(3; 2; 5; 10) = 30 × × × × x x x 7 30 + 30 + 30 = 30 3 2 5 10 10x + 15x + 6x = 21 31x = 21 x= 21 3 x=7 x = 15 5to PRIMARIA 101 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 20x + x = 30 5 5x = 30 30 x= 5 Resuelve las siguientes ecuaciones: 1. – 9x 21x + – 3 = 27 4 4 Resolución: 9x 21x + – 3 = 27 – 4 4 –9x + 21x 4 6. 5x 4x + – 3x = –84 + 18 2 2 7. x x + + 2 = 13 8 3 = 27 + 3 12x = 30 4 3x = 30 30 x= 3 x = 10 2. x=6 Nivel avanzado 8. Resolución: x x x 5 + + = 3 9 6 3 12x 8x + + 1 = 20 5 5 3. – x 8x – – 2 = –14 3 3 4. 5 + MCM(3; 9; 6) = 18 × × × × x x x 2 18 + 18 + 18 = 18 3 9 6 3 7x 5x + = 21 6 6 6x Nivel intermedio 5. x x x 5 + + = 3 9 6 3 + 2x + 12x 8x + + x = –18 + 48 5 5 Resolución: 12x 8x + + x = –18 + 48 5 5 9. x x x 1 + + = 4 2 3 4 12x + 8x + x = 30 5 10. x+1 x–3 = 3 5 102 5to PRIMARIA 3x = 30 11x = 30 30 x= 11 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico x 7x – – 3 = –15 4 4 a) x = 2 c) x = –6 b) x = 6 d) x = 8 18. 11. – 2x 7x + = 36 3 3 a) x = 9 c) x = 10 b) x = 3 d) x = 6 e) x = 9 19. 12. 9 + 11x 13x + – 9 = 21 2 2 a) x = 15 c) x = 9 b) x = 7 d) x = 2 b) x = 15. x 8x + + 7x = –61 + 21 3 3 a) x = –1 c) x = 5 b) x = –4 d) x = –8 20. e) x = 30 e) x = –7 e) x = 6 Nivel intermedio 16. 17. x x + + 9 = 23 5 2 a) x = 15 c) x = 20 b) x = 10 d) x = 7 x x x 2 + + = 2 5 3 15 4 2 a) x = c) x = 31 5 9 2 b) x = d) x = – 8 5 e) x = –9 x x x 1 – + = 8 3 2 12 a) x = 1 e) x = 1 13. – 9x 5x 14. + – 5 = 44 2 2 a) x = 8 c) x = 7 b) x = 1 d) x = 2 x x x 3 + + = 7 6 3 14 a) x = 9 c) x = 10 b) x = 1 d) x = 3 1 7 c) x = 2 7 e) x = 3 5 d) x = 9 x x x + – = –3 – 5 5 2 10 a) x = –9 c) x = –2 b) x = 4 d) x = 7 e) x = – 4 3 Nivel avanzado 21. x – 8 = x + 4 3 4 a) x = 22 b) x = 44 c) x = 19 d) x = 15 e) x = 17 22. 3x – 1 = x + 6 5 2 a) x = 18 b) x = 7 c) x = –28 d) x = 13 e) x = 6 e) x = 2 e) x = 1 7 5to PRIMARIA 103 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO Ecuación de primer grado con coeficientes en Q Si hay fracciones homogéneas: x + 7x – 3 = 5 2 2 8x 2 Si hay dos fracciones: x–1 x+2 7 = 9 se realiza el producto cruzado. =5+3 4x = 8 x=2 Si hay fracciones heterogéneas: 3x + x + x = – 11 4 3 4 2 MCM(2; 4; 3) = 12 104 5to PRIMARIA ÁLGEBRA 28 Planteo de ecuaciones Tengo «x» monedas y tú Yo tengo el doble de lo que tú tienes 2x Plantear una ecuación consiste en interpretar y transformar un enunciado (frase verbal) en una expresión matemática (símbolos). ENUNCIADO La mitad de un número La tercera parte de un número Un número aumentado en 7 EXPRESIÓN MATEMÁTICA x 2 Recuerda que una ecuación puede x 3 ser representada por cualquier x+7 letra que tú quieras usar. Un número disminuido en 6 x–6 El doble de un número 2x El triple de un número 3x El exceso de un número sobre 12 La cuarta parte de un número aumentado en 9 La cuarta parte de la suma de un número y 9 Un número aumentado en su cuarta parte Las dos terceras partes de un número x – 12 x +9 4 x+9 4 x+ x 4 2 x 3 5to PRIMARIA 105 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 1. Un número aumentado en 15 da como resultado 50. Calcula dicho número. Resolución: Sabemos «x» ⇒ número desconocido o incógnita x + 15 = 50 x = 50 – 15 x = 35 ∴El número es 35. 2. Un número aumentado en 17 da como resultado 85. Calcula dicho número. 3. El exceso de un número sobre 9 da como resultado 15. Calcula dicho número. 4. El triple de un número es igual a 42. Calcula dicho número. Nivel intermedio 5. El triple de un número es igual a la suma de dicho número con 18. Calcula dicho número. Resolución: Número = x El triple del número = 3x Es igual a la suma del número con 18 3x = x + 18 3x – x = 18 2x = 18 106 5to PRIMARIA x=9 ∴El número es 9. 6. El doble de un número es igual a la suma de dicho número con 50. Calcula dicho número. 7. Un número aumentado en su cuarta parte da como resultado 10. Calcula la quinta parte de dicho número. Nivel avanzado 8. La cuarta parte de un número aumentado en 5 es igual a 8. Calcula dicho número. Resolución: Número = x x +5=8 4 x =8–5 4 x = 3 ⇒ x = 12 4 ∴ el número es 12 9. La quinta parte de un número disminuido en 1 es igual a 3. Calcula dicho número. 10. Las dos terceras partes de un número da como resultado 20. Calcular la tercera parte de dicho número. ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico 11. Un número excede a 13 en 11. Calcula la tercera parte de dicho número a) 7 c) 15 e) 8 b) 16 d) 12 12. El triple de un número es igual a 60. Calcula dicho número. a) 21 c) 9 e) 6 b) 20 d) 13 13. Un número aumentado en 35 da como resultado 72. Calcula dicho número. a) 12 c) 107 e) 6 b) 10 d) 17 18. La cuarta de un número aumentado en 1 es igual a 7. Calcula dicho número. a) 6 c) 24 e) 18 b) 9 d) 12 19. La quinta parte de un número disminuido en 7 es igual a 7. Calcula la quinta parte del número. a) 16 c) 7 e) 4 b) 9 d) 15 20. El exceso de un número sobre 5 es 19. Calcula dicho número. a) 16 c) 5 e) 2 b) 24 d) 14 Nivel avanzado 14. Un número disminuido en 19 da como resultado 31. Calcula dicho número. a) 30 c) 10 e) 100 b) 50 d) 80 21. Las dos terceras partes de un número da como resultado 16. Calcula la mitad de dicho número. a) 15 c) 13 e) 20 b) 19 d) 12 15. El triple de un número es igual a la suma de dicho número con 24. Calcula el número. a) 6 c) 20 e) 12 b) 50 d) 15 22. Un número aumentado en su cuarta parte da como resultado 25. Calcula la mitad de dicho número. a) 11 c) 2 e) 10 b) 17 d) 15 Nivel intermedio 16. La mitad de un número aumentado en 5 da como resultado 15. Calcula el número. a) 20 c) 7 e) 5 b) 60 d) 3 17. Un número excede a 12 en 15. Calcula dicho número. a) 18 c) 2 e) 27 b) 15 d) 13 5to PRIMARIA 107 ÁLGEBRA ESQUEMA FORMULARIO Planteo de ecuaciones Incógnita: «x» El doble 2x La cuarta parte x 4 Aumentó es suma 108 La mitad x 2 El triple 3x 5to PRIMARIA La quinta parte x 5 Exceso es resta ÁLGEBRA Sistema de ecuaciones I 29 Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales con dos o más variables, que se verifican simultáneamente solo para un determinado conjunto de valores que toman dichas variables, denominadas «conjunto solución» (C.S.). 2x + y = 20 C.S. = {(x; y)} 3x – y = 15 I. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Es aquel sistema que está formado por dos o más ecuaciones de primer grado. ax + by = c mx + ny = e II. MÉTODO DE REDUCCIÓN Aquí utilizaremos un método de resolución llamado método de reducción. ax + by = c mx + ny = e Resuelve: Sumamos las ecuaciones para eliminar una de las variables. x + y = 13 ... (1) → llamado ecuación N° 1 x – y = 27 ... (2) → llamado ecuación N° 2 Resolución: x + y = 13 x – y = 27 2x = 40 x = 20 Sustituimos en 1: x + y = 13 20 + y = 13 y = 13 – 20 y=–7 C.S. = {(20; – 7)} Recuerda: En un C.S. las soluciones deben ir en orden alfabético. Ejemplo: m = 8 y n = 3 C.S. {(m; n)} = {(8; 3)} par ordenado 5to PRIMARIA 109 ÁLGEBRA EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 1. Resuelve: x+y=5 x – y = 17 Resolución: x + y = 5 ... (1) x – y = 17 ... (2) 2x = 22 x = 11 Reemplazamos en (1): x+y=5 11 + y = 5 y = 5 – 11 y=–6 El conjunto solución: C.S. = {(11; –6)} 2. x + y = 12 x – y = 10 3. x + y = 12 2x – y = 15 4. x + 3y = 29 2y – x = 11 x – y = –1 –x + 2y = 5 Resolución x – y = –1 ... (1) ... (2) –x + 2y = 5 –y + 2y = –1 + 5 y=4 Reemplazamos en (1): x – y = –1 x – 4 = –1 x = –1 + 4 x = +3 El conjunto solución: C.S. = {(+3; 4)} 110 x – y = 15 –x + 3y = 7 7. x+y=8 –x + 2y = 1 Nivel avanzado 8. 2x + 3y = 19 3x – 3y = –9 Resolución 2x + 3y = 19 ... (1) 3x – 3y = –9 ... (2) 2x + 3x = 19 – 9 5x = 10 x=2 Reemplazamos en (1): 2x – 3y = 19 2(2) – 3y = 19 4 – 3y = 19 –3y = 19 – 4 –3y = 15 3y = –15 y = –5 El conjunto solución: C.S. = {(2; –5)} Nivel intermedio 5. 6. 5to PRIMARIA 9. –x + 9x = 17 x – 5y = 7 10. 3x + 4y = –5 –3x – 2y = –7 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel intermedio Nivel básico 16. Si –x + 7y = 15 x – 3y = 5 Calcula «x» a) 16 b) 12 c) 20 Resuelve: 11. x + y = 15 x–y=7 a) {(2; 3)} b) {(1; 5)} c) {(5; 2)} d) {(8; 2)} e) {(11; 4)} 17. Si: 8x + 3y = 31 3x – 3y = –9 Calcula «x» a) 4 b) 9 c) 3 12. x + 3y = –13 y – x = 33 a) {(1; 7)} b) {(3; 2)} c) {(2; 9)} d) {(–28; 5)} e) {(1; 5)} 18. Si: –2x + 5y = 21 2x + 8y = 18 Calcula «x» a) 4 b) 9 c) 3 13. 4x – y = 24 5x + y = 48 a) {(8; 8)} b) {(2; 7)} c) {(2; 6)} d) {(1; 5)} e) {(1; 9)} 14. Si: 4x + 5y = 12 x – 5y = 8 Calcula «x» a) 6 b) 4 c) 15 15. Si: y + 2x = 16 x–y=5 Calcula «x» a) 8 c) 20 b) 17 d) 12 d) 3 e) 20 19. Si: –x + 10y = 14 x – 7y = 13 Calcula «x» a) 9 b) 19 c) 6 d) 9 e) 12 e) 7 d) 6 e) 10 d) 6 e) 10 d) 12 e) 15 20. Resuelve: 5x + y = 17 –y – 2x = –11 a) {(2; 7)} b) {(1; 8)} c) {(1; 9)} d) {(7; 8)} e) {(2; 0)} 5to PRIMARIA 111 ÁLGEBRA Nivel avanzado 21. Si: 8x + 4y = –10 –8x – 2y = –14 Calcula «y» a) –16 c) 10 b) 12 d) 17 e) –12 22. Si: 3x + 7y = –12 –3x – 4y = –6 Calcula «y» a) 6 c) 5 b) 3 d) –6 e) 1 ESQUEMA FORMULARIO SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción ⇒ x + y = 19 ... (1) x – y = 5 ... (2) Lo que esta multiplicando 2x = 24 pasa al otro miembro dividiendo. x = 12 Reemplazamos x = 12 en (1) 12 + y = 19 y = 19 – 12 y=7 C.S. = {(12; 7)} 112 5to PRIMARIA ÁLGEBRA 30 Sistema de ecuaciones II Si: x + y = 10 x–y=2 Ahora: + Podemos eliminar una de las variables utilizando el método ya aprendido «el método de reducción». x + 2y = 14 + x–y=5 No podemos eliminar una de las variables En esta ocasión vamos a estudiar un sistema de la siguiente forma: x + 2y = 14 x – 2y = 5 Para lo cual vamos a seguir utilizando «el método de reducción». Ejemplo: x + 2y = 14 ... (1) x – 2y = 5 ... (2) Resolución: 1° Multiplicamos a toda la ecuación por dos. x + 2y = 14 2.x – 2.y = 2.5 x + 2y = 14 2x – 2y = 10 2° Sumanos las ecuaciones resultantes para eliminar una de las variables. x + 2y = 14 + 2x – 2y = 10 3x = 24 x=8 5to PRIMARIA 113 ÁLGEBRA 3° Ahora sustituimos el valor de «x» en la ecuación. x + 2y = 14 8 + 2y = 14 2y = 14 – 8 2y = 6 y=3 4° Ahora para concluir escribiremos el conunto solución: C.S. = {(8; 3)} Par ordenado Recuerda: Buscar un número con su respectivo signo positivo o negativo que al multiplicar a una de las ecuaciones nos ayude a eliminar una de las dos variables. EJERCICIOS PARA LA CLASE Nivel básico 1. Resuelve: x + 3y = 20 x–y=4 Resolución: x + 3y = 24 3.x – 3.y = 3.4 4. x + y = 8 x . 2y = 2 Calcula «x» Nivel intermedio 5. 3x – y = 12 2x – y = –8 Resolución: x + 3y = 24 ... (1) + 3x – 3y = 12 ... (2) 4x = 36 x=9 Reemplazamos en (1): x + 3y = 24 9 + 3y = 24 3y = 15 y=5 El conjunto solución: C.S. = {(9; 5)} 2. x + 5y = 32 x–y=2 Calcula «x» 3. 2x + 3y = 15 x – y = 10 Calcula «x» 114 5to PRIMARIA 3x – y = 12 (–1)(2x) –(–1)(y) = (–1)(–8) x 3x – y = 12 ... (1) + ... (2) –2x + y = 8 x = 20 Reemplazamos en (1): 3x – y = 12 3(20) – y = 12 60 – y = 12 –y = 12 – 60 –y = 12 – 60 –y = –48 y = 48 El conjunto solución: C.S. = {(20; 48)} ÁLGEBRA 6. Resuelve: 5x – y = 15 2x – y = –7 Calcula «x». Reemplazamos en (1): 3x + 2y = 5 3(13) + 2y = 5 39 + 2y = 5 2y = 5 – 39 2y = – 34 y = –17 7. Resuelve: –x + y = 7 2x + 2y = 2 Calcula «y». El conjunto solución: C.S. = {(13; –17)} Nivel avanzado 8. Resuelve: 3x + 2y = 5 x + y = –4 Calcula «x». Resolución 3x + 2y = 5 (–2)x +(–2)(y) = (–4)(–2) 3x + 2y = 5 –2x – 2y = 8 x = 13 9. Resuelve: 2x + y = 6 x + 3y = 10 ... (1) ... (2) 10. x + y = 9 2 x–y =4 3 + 5to PRIMARIA 115 ÁLGEBRA EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel básico Nivel intermedio 16. –2x + y = 9 4x + 3y = 12 Calcula «y» a) 15 b) 12 c) 3 d) 30 e) 16 Resuelve: 11. 2x + 3y = 16 x–y=3 Calcula «x» a) 7 b) 5 c) 6 d) 12 e) 15 12. 3x + y = 11 x – 2y = 4 Calcula «y» a) 2 b) 7 c) 6 13. x+y=1 3x – 3y = 5 Calcula «x» 1 a) 2 b) 7 14. x + y = 12 y – 2x = 3 Calcula «y» a) 9 b) 15 c) 3 15. 7x – y = 13 x–y=1 Calcula «x» a) 7 b) 15 c) 2 116 17. 5x + 3y = 19 x+y=5 Calcula «y» a) 6 b) 3 c) 5 d) 9 e) 18 d) 0 e) 5 c) 12 e) d) 8 d) 12 e) 6 d) 9 e) 16 5to PRIMARIA 4 3 18. 3x + y = 9 x + 5y = Calcula «x» a) –2 c) 19 e) 15 b) 2 d) 10 19. 3x + y = 9 x + 4y = 14 Calcula «x» a) 16 b) 7 c) 9 20. x + 5y = 13 2x + y = 8 Calcula «y» a) 2 b) 15 d) 5 e) 2 c) 8 d) 13 e) 7 ÁLGEBRA Nivel avanzado 21. 22. x+y =2 7 x–y =4 9 Calcula «x» a) {(12; 5)} b) {(3; 9)} c) {(25; –11)} e) {(15; 11)} d) {(0; 5)} 2x + y =3 5 x–y =3 2 Calcula «x» a) 8 b) 2 c) 19 d) 17 e) 7 ESQUEMA FORMULARIO S II CUACIONE EE SISTEMA D Forma: 3x + 2y = 25 x–y=5 ... (1) ... (2) 3x + 2y = 25 .5 2.x – 2.y = 2 3x + 2y = 25 2x – 2.y = 10 5x = 35 x=7 + os en (2) Reemplazam x–y=5 7–y=5 –y=5–7 –y = –2 y=2 C.S. = {(7; 2)} 5to PRIMARIA 117 ÁLGEBRA 118 5to PRIMARIA