925
w
x
y
x
y
t
TEOREMA 13.6 REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
w
f x y
w
Figura 13.39
x
t
Solución
dw
dt
w dx
w dy
x dt
y dt
xy
t
x
t et
et
y et
t
t
et
t
et et
t
t
e
t
dw dt
w
w
t
x y
y
et
t
et
dw
dt
t
et
et
e
t
t
t
et
t
e
t
926
t
Solución
s
s
x y x
Figura 13.40
y
927
s
intermedias
y x
y
w
w
t
w
s
t
Solución
w
TEOREMA 13.7 REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES
w
fx y
f
x y. x g s t
x s x t y s
y t
w s
t
w t
s
Figura 13.41
s
928
Solución
t
s
s
t
s
t
y
x
y
x
s
s
t
s
t
w
n
m
929
y
s
t
Solución
y
implícitamente
x
y
930
TEOREMA 13.8 REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLÍCITA
x
Solución
y
Solución
– x
y–
931
En los ejercicios 1 a 4, hallar
na apropiada.
1. w
x
x
3. w
x
utilizando la regla de la cade-
y
t y
2. w
x
y
x
t
y
4. w
y
x
x
t
t
x
y
et y
t
et
y
t
En los ejercicios 5 a 10, hallar
) utilizando la regla de la
cadena apropiada y ) convirtiendo en función de antes de
derivar.
5. w
xy
6. w
7. w
et
x
x
x
y
y
y
t
z
8. w
xy
z
9. w
xy
xz
10. w
xy
xz
y
x
x
t
t
yz
y
x
yz
19. w
yz
x
20. w
x
y
t
x
t
t
y
t
et
z
z
t
t
y
z
t
t
z
t
t
t y
t
t
t
x
s
24. w
x
y
25. w
ze xy
26. w
x
14. w
x
y
et
x
x
t
y
utilizando la regla de la
en el valor de dado.
y
e
t
t
15. w
x
x
s
t
16. w
y
x
es
y
s
y
s
17. w
s
x
s
t
18. w
x
y
x
s
t
y
y
y
s
y
s
t
z
x
s
t
y
t
s
s
t
utilizando la regla
yz
x
s
y
t
xy
29.
x
y
y
st
t
z
z
s
z
st
st
s
t
por derivación implícita.
y
xy
y
x
x
x
z
t
x
y
y
y
y
37.
z
yz
x
ex z
32. xz
z
yz
34. x
y
y
z
xy
xy
y
36. z
ex
38. x
y
40. x
41.
42. w
yz
wz
wx
y
z
yw
xy
yz
z
y
yz
z
z
x
y
w
wz
y
z
t
s
t
s
t
t
s
r
Una función es
si
En los ejercicios 43 a 46, ) mostrar que
la función es homogénea y determinar , y ) mostrar que
t
et
x
t
t
xy
y
y
y
x
xy
28.
39. xy
Punto
t
r
En los ejercicios 39 a 42, hallar las primeras derivadas parciales
de por derivación implícita.
t
En los ejercicios 15 a 18, hallar
y
utilizando la regla
de la cadena apropiada y evaluar cada derivada parcial en los
valores de y dados.
Función
x
r
r
En los ejercicios 27 a 30, hallar
33. x
En los ejercicios 13 y 14, hallar
cadena apropiada. Evaluar
y
y
y
xyz
35.
x
y
r
x
31. x
t
t
13. w
r
r
En los ejercicios 31 a 38, hallar las primeras derivadas parciales
de por derivación implícita.
t
t y
x
x
23. w
30.
t y
x
z
En los ejercicios 23 a 26, hallar
de la cadena apropiada.
11. x
12. x
r
y
y
x
22. w
27. x
t y
y
xy
21. w
En los ejercicios 11 y 12 se dan las
ecuaciones paramétricas de las trayectorias de dos proyectiles.
¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos en el valor de dado?
x
x
) utilizando la
en una función
t
e
x
En los ejercicios 19 a 22, hallar
y
regla de la cadena apropiada y ) convirtiendo
de y antes de derivar
43.
44.
45.
46.
932
47.
w = f x, y x = g t
dw dt
ht
f g
h
57.
t
2
48.
y
2
2
w = f x, y x = g s t
ws
4, 3
2
y
ht
4, 3
I
f g
h
wt
1, 2
1, 2
1, 2
1, 2
1, 2
1, 2
4, 3
4, 3
Figura para 57
Figura para 58
58.
49.
w u
59.
50.
w
v
w
fx y x
u v
60.
w
51.
x
y
y
x
61.
a
52.
fx y z
z
xyz
x
t
y
t
e–t
a
df dt
b
f
b
t
62.
df dt
a
b
63.
ecuaciones diferenciales CauchyRiemann
53.
54.
55.
56.
64.
65.
x y
Sugerencia:
n
A-40
Soluciones de los ejercicios impares
0
