1. Diseñ no ˜o y anális an´ alisis is de exp experim erimentos entos 1.1.. 1.1 Estrat Estrategi egias as de exper experime iment ntos os 1.1.1 1.1.1.. Pr Prin inci cipi pios os de dell d dise ise˜ ñ no o de experimentos Un experimento es un proceso, procedmiento, prueba o test que produce un resultado el cual puede ser determin determin´ı́ıstico stico o aleatorio. Los experimentos se usan para estudiar el desempeño desempe˜no de procesos y sistemas. Los objetivos ob jetivos de realizar un exp experimento erimento consisten en determinar cual´ cualés es son las variables que que tienen mayor influencia sobre la variable respuesta. El diseño dise˜ no de experimentos consiste en una prueba o serie de pruebas en las que se hacen cambios deliberados de las variables de entrada de un proceso o sistema para observar e identificar las razones de los cambios que pueden observarse en la variable respuesta. Dise˜ Diseño no de estad estad´ı́ıstico stico de experimen experimento to consis consiste te en el proceso para planear el experimento de tal forma que se recolect recolecten en datos adecuados que puedan analizarse con métodos m´etodos estad´ı́ısticos estad sticos que llevan a conclusiones validas y obje objetivas. tivas. 1.1.2. 1.1 .2. Paut autas as g gene eneral rales es p para ara dise˜ diseñar nar un experimento Identificación Identificaci´ on y exposici´ exposición on del problema Elección Elecci´ on de los factores, niveles y rangos Selección Selecci´ on de la variable respuesta Elección Elecci´ on del dise˜ diseño no experimental Realización Realizaci´ on del experimento Análisis An´ alisis esta estad d´ı́ıstico stico de los datos Conclusiones Conclus iones y recomenda recomendaciones ciones 1.1.3. Principios b´ básicos asicos (Diagrama d de e Fisher) Replicación: Replicaci´ on: permite estimar el error experimental. Aleatorizaci´on: pro Aleatorización: produce duce estimado estimadores res insesgados y de varianza m m´ı́ınima. nima. Es u un n pro proceso ceso que consite en la asignación asignaci´on aleatoria de los niveles de un factor o tratamiento en las unidades experimentales. Control local o bloqueo: proceso de clasificación clasificaci´on de las unidades experimentales en grupos ho homo mog´ gén eneo eos. s. 1.1.4. 1.1 .4. Con Concep ceptos tos p para ara ten tener er e en n cu cuen enta ta Tratamiento: conjunto de circunstancias creadas por el experimentador, en respuesta a la hipótesis hip´ otesis de investigaci´ investigación. on. Entre los ejemplos de tratamie tratamientos ntos se encuen encuentran tran dietas de animales, producci´ producción on de variedades de cultivos, temperaturas, tipos de suelo y cantidades de nutrientes. En un estudio comparativo se usan dos o más m´as tratamientos y se comparan sus efectos en el sujeto de estudio. 1 Unidad experimental(UE): son las unidades a las cuales se aplican los tratamientos. Unidades observacionales (UO): son las unidades sobre las cuales se toman las mediciones. Error experimental: describe la variación variaci´on entre las unidades experimentales tratadas de manera identica e independiente. Nota 1. El experimento comparativo es el tipo de experimento que utilizan los inves- tigadores en ´are areas as como biolog biolog´ı́ıa, a, medicina, agricu agricultura, ltura, ingeni ingenier er´ı́ıa, a, sicolog´ sicologı́ıaa y otras cienci ciencias as experimentales. El adjetivo comparativo implica que se establezca m´as de un conjunto de circunstancias en el experiment experimentoo y que se comp comparen aren entre s´ sı́ı las respuestas a las diferentes circunstancias. 2. DCA Dise˜ Diseño no Completamente Aleatorizado “DCA ”, este tipo de diseño dise˜no se utiliza cuando se tiene solo un solo factor y el inter inter´es és reca´ recaée en comparar los niv niveles eles de los tratamie tratamientos. ntos. El juego de hipótesis hip´ otesis a contrastar para probar la igualdad de las medias de los t tratamientos es el siguiente: 2.1. Caracter´ Caracterısticas ı́sticas H0 := µ1 = µ 2 = · · · = µ t , Halt := µi = µj ∀i =j Los tratamientos t ratamientos se ensayan en condiciones homog´ homogéneas eneas del ma material terial eexperimental. xperimental. La respuesta observada de cada uno de los t tratamientos es una variable aleatoria. Modelos para los datos: yij = µ + αi + ij • yij es la observación observaci´on j -és -´esim imaa de dell i-´ -ési esimo mo tra tratam tamient iento. o. • µ la media global. • αi es el efecto del i-´ -ési esimo mo tra tratam tamient iento. o. • ij es el componente aleatorio que incorpora todas las demás dem´as fuentes de variabilidad del experimen experimento. to. Para hacer estimaciones y pruebas de hipótesis hip´otesis sobre los parámetros par´ametros del modelo estad estad´ı́ıstico stico asociado al diseño dise˜ no de experimento, es necesar necesario io establece establecerr condicion condiciones es m m´ı́ınimas, nimas, estas son: Los errores e ij son independientes y tienen distribución distribuci´on normal con media cero y varianza constante. Cada tratamiento define una población poblaci´on con distribuci´ distribución on normal N (µi , σ 2 ); la varianza constante es igual par paraa to todos dos los tratamientos (varianzas homog´ homogéneas). eneas). 2 2.2. Estructura Estructura de los dato datoss para un ANAV ANAVA a una v´ vıa ı́a de clasificaclasificación ci´ on 2.2. 2.2.1. 1. For orma ma 1 Replicass Niv Replica Niveles eles del factor 1 2 3 ... t 1 y11 y12 y13 . . . y1t 2 y21 y22 y23 . . . y2t .. .. .. .. .. .. . . . . . . r 2.2. 2.2.2. 2. yr1 yr2 yr3 . . . yrt For orma ma 2 Tttos 2.3.. 2.3 Replicas 2 3 .. . y12 y13 . . . y22 y23 . . . .. .. .. . . . r y1r y2r .. . 1 2 .. . 1 y11 y21 ... t yt1 yt2 yt3 . . . ytr Expre Expresio siones nes para para tene tenerr en en cuen cuenta ta t y.. = r yij , est´ estáa expresi´ expresión on correponde a sumar los valores de todas las observaciones i=1 j=1 j =1 recoletadas para el análisis an´alisis del experimento. y= y.. , con N = rt r t el cual denominaremos número n´umero total de observaciones. N r yi. = yij , est´ estáa expresi´ expresión on corresponde a la suma de las observaciones por tratamiento. jj=1 =1 yi. = 2.4.. 2.4 yi. , est´ estáa expresi´ expresión on corresponde a el promedio de las observaciones por tratamiento r Expre Expresio siones nes par para a determi determinar nar las fuent fuentes es de varia variabil bilida idad d Total t SC T = r yij2 y..2 − N yi.2 y ..2 − N i=1 jj=1 =1 Tratamientos 1 SCtttos = r t i=1 Error SC E = S C T − SC ttt tttos os 2.5. Análisis An´ alisis de varianza varianza H0 se rechaza y se concluye que hay diferencias en las medias de los tratamientos si F0 = CMttos > Fα (t − 11,, N − tt)) CM E 3 FV Tttos Error Total GL SC CM SCtttos t − 1 SC SCtt ttos os t−1 E N − t SCE SC N −t N − 1 SCT F CMtttos CM E Tabla 1: Tabla de Análisis An´alisis de varianza en un DCA Donde Fα (t − 1, 1, N − t) t) es el valor tabulado de la distribución distribuci´on F de Fisher con t − 1 y N − t grados de libertad, a un nivel de significancia α. Para repeticiones distintas tenemos: FC = y.. t rj j =1 rj SC T = t i=1 j=1 j =1 t SCttos = j=1 j =1 yij2 − F C 2 y.j rj − FC Ejemplo 1. Se pide a 4 Qu Qu´ı́ımicos micos que determinen el % de alcohol met met´ı́ılico lico en un compuesto especifico. espe cifico. Cada Qu Qu´ı́ımico mico hace tres determinaciones y los result resultados ados son los siguientes: Quı́ımico Qu´ mico Q1 Q2 Q3 Q4 Deter Determinaci minaciones ones 84.99 84.04 84.38 85.15 85.13 84.88 84.72 84.48 85.16 84.20 84.10 84.55 ¿Los Qu Qu´ımicos ı́micos difier difieren en si signific gnificativamente,? ativamente,? usar α = 0,05 Solución: Soluci´ on: Plnatear la hipótesis hip´otesis a contrastar: H0 := µ1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 , Halt := µi = µj ∀i =j Identificar los tratamientos, el número n´umero de replicas y el número n´ umero total de observaciones. Para el ejemplo tenemos que los tratamientos ccorresponde orresponden n a los Qu Qu´ı́ımicos micos que par participaron ticiparon en el experimentos los cuales son 4, por tanto, t = 4. El número n´ umero de replicas es igual a r = 3, puesto que son tres determinaciones que realiza cada ca da qu´ quı́mi ımico co.. Y e número n´ umero total de observaciones es N = rt r t = 3(4) = 12. 12. Hallar y.. = 1015, 1015,78, 78, esto es, sumar todas las observaciones y..2 (1015,,78)2 (1015 Hallar N = = 8598 859844,0840 0840,, esto es, sumar el cuadrado de cada una de las 12 observaciones t Hallar r =1 i=1 jj=1 yij2 = 85985, 85985,9868 4 t Hallar i=1 yi.2 = 257955, 257955,3858 t (253,41)2 + (255, (255,16)2 + yi.2 = (253, i=1 (254,36)2 + (252, (254, (252,85)2 = 257955, 257955,3858 Sumas de Cuadrados: • t SC T = r i=1 j=1 j =1 yij2 y ..2 − N = 85985, 85985,9868 − 85984 85984,,0840 = 1,9028 • 1 SCtttos = r t yi.2 i=1 y..2 − N 1 = (257955, (257955,3858) − 85984 85984,,0840 3 = 85985, 85985,1286 − 85984 85984,,0840 = 1,0446 • SC E = S C T − SC ttto tttoss Completarr la Tabla de An´ Completa Análisi alisiss de Varianza FV Ttto Tt toss Erro Er rorr Total GL S SC C CM F 3 1.04 1.0446 46 0,3482 3, 3,2481 8 0.85 0.8582 82 0,1072 11 1.90 1.9028 28 Conclusi´ Conclusión: on: como Fc = 3,2481 < F (3, (3, 8) = 4, 4,07 no se rechaza H0, esto es, no existe evidencia suficiente para establecer que existe diferencia significativa entre las medias de los tratamientos. 2.6. 2. 6. Esti Estim maci´ ación on del Cuadrado Medio del Error t σ2 = (nj − 1)σj2 j=1 j =1 t (nj − 1) jj=1 =1 2.7.. 2.7 Inter Interv valos alos de co confia nfianza nza de la media media del tratam tratamien iento to i-´ essimo é yi. ± tα/2 t) CME/r α/2 (N − t) 5 2.8. 2. 8. Inte Interv rval alos os de confi confian anza za para para la difer diferen enci cia a en las medi media a de dos tratamientos t) 2CME/r y i. − y j. ± tα/ α/2 2 (N − t) 2.9. 2. 9. Ejer Ejerci cici cios os de Dise˜ Diseño no Completamente Aleatorizado 1. Se llevó llev´o a cabo un experimento para probar los efectos de un fertilizante nitrogenado en la producción producci´on de lechuga. Se aplicaron cinco dosis diferentes de nitrato de amonio a cuatro parcelas (r´ (réplicas) eplicas) en un diseño dise˜no totalmente aleatorizado. Los datos son el número n´umero de lechugas cosechadas en la parcela Tratamiento Lechuga/parcela 0 104 114 90 140 50 134 130 144 174 100 146 142 152 156 150 147 160 160 163 200 131 148 154 163 2. Las isletas isletas b beta eta de Lang Langerha erhans ns son las célu c´ elulas las produ productor ctoras as de insuli insulina na en el p´ páncreas. ancreas. Los datos siguientes representan la producción producci´on de insulina por isletas del páncreas p´ancreas de ratas obesas enseun periodo9 para de tres semanas. Inicialmente se prepararon cultivos y semanalmente tomaron calcular la cantidad de insulina producida36 (Koopmans, 1981). Semanas 0 1 2 3 31.2 18.4 55.2 69.2 72.0 37.2 70.4 52.0 31.2 24.0 40.0 42.8 28.2 20.0 42.8 40.6 26.4 20.6 36.8 31.6 40.2 32.2 80.4 66.4 27.2 23.0 60.4 62.0 33.4 17.6 17.6 22.2 7.8 7.8 65.6 15. 15.88 59.2 222. 2.44 Realice el ANA ANAV VA para estos datos. A qu´ quée conclusi´ conclusión on puede llegar? Construya un gráfico gr´afico para cada semana y analice varia bilidad y tendencia en la producción producci´ on de insulina con el tiempo. 3. Se comp comparo aro la pobl poblaci´ ación on de aves en cuatro ´areas áreas de bosques diferentes: u un n ro rodal dal de cipr´ ciprés es (RC), un bosque secundario al noroeste (BSN), una plantación plantaci´on de pinos patula (PP), y un bosque b osque secun secundario dario aislado (BSA); lo localizadas calizadas en Piedras Blanc Blancas as (Antioqu (Antioqu´ı́ıa). a). El total de especies observadas po porr d´ı́ıaa ffue ue el sigu siguiente: iente: PP RC BSN BSA Esp ecies Especi es por po r d´ı́ıaa 1 1 2 3 1 1 3 2 2 3 4 4 2 5 2 2 1 2 3 2 10 10 12 11 10 12 14 12 14 11 8 9 9 5 7 8 7 4 12 9 6 Especifique el modelo, construya la tabla ANAVA e interprete los resultados. Estime las medias para cada uno de los bosques y construya los in- tervalos de confianza respectivos fijando un (1 − α α)100 )100 % apro apropiad piado. o. 4. Se estudió estudi´o los h´ hábitos abitos alimenticios de M. Ocellata como depredador de larvas de C. quinquefasciatus. En particular, se comparó compar´o el consumo promedio diario de larvas en los ultimos 4 instares del depredador. Una parte de los resultados obtenidos es la siguiente: 7 25.16 20.85 20.00 18.67 20.33 19.00 21.33 17.00 21.50 Instare 8 9 24.22 27.56 27.75 27.10 25.14 26.64 29.25 26.63 27.40 29.38 24.60 28.00 25.60 28.25 25.56 27.67 24.10 26.90 1 10 0 25.58 23.67 24.73 25.30 22.75 24.18 26.50 25.36 27.08 Describir el factor que se está est´a estudiando, sus niveles, las unidades experimentales y la variable respuesta. Realize un gráfico gr´afico donde ilustre el comportamiento de los promedios por cada nivel del factor (tratameintos). Lleve a cabo el ANAVA e interprete los resultados de la prueba F, a un nivel de significancia α = 0,05. 05. 5. Un entomólogo entom´ologo realiz´ realizóo un experimento sobr sobree la ene energ rg´ı́ıaa consumida por las abej abejas as al b beber, eber, para determinar dete rminar el efecto d dee la viscosidad del liquido en el consumo de ener energg´ıa. ı́a. La viscosidad del l´ı́ıquido quido se contro control´ lóo por las concentraciones de Sacarosa (S), cuyos porcentajes son los sigui siguient entes es 0 %, 20 %, 40 % y 60 % del total de sol solido idoss disueltos disueltos en el liq liquid uidoo que beben las avejas. El entomólogo entom´ologo registr´ registróo la energ´ energı́ıaa ggastada astada por las avejas en joules/segundo. Sacarosa 0% 3.1 3.7 4.7 6.0 6.0 6.9 6.9 7.5 7.5 7.7 7.7 8.3 8.3 9.5 9.5 2 20 0% 5.5 6.7 7.3 11.5 11.5 12.9 12.9 13.4 13.4 15.7 15.7 14.3 14.3 15.9 15.9 4 40 0% 7.9 9.2 9.3 17.5 17.5 15.8 15.8 14.7 14.7 19.1 19.1 18.0 18.0 19.9 19.9 6 60 0% 20.58 13.67 14.73 25 25.7 .700 20 20.7 .788 22 22.1 .188 25 25.5 .500 29 29.3 .366 22 22.0 .088 6. Se investigó investig´o la p´ pérd erdid idaa de pes pesoo en por porcen centaje taje del pes pesoo inic inicia iall de la carne carne de res ti tipo po milanesa, milane sa, des despu´ pués es de ccinco inco d´ dı́as ıas de eempaca mpacada da en ccuatro uatro tip tipos os de eenvolturas nvolturas:: Icop Icopor, or, Bio Biopak, pak, Cry-O-Vac y Shopak. Para tal finalidad se realizarón realizar´on 5 repeticiones de cada uno, los resultados obtenidos se presentan a continuación: continuaci´on: 7 Envoltura Icopor Biopak Cry-O-Vac Shopak 5.33 6.59 4.95 2.41 4.95 7.90 4.44 2.83 5.10 4.48 3.48 2.93 7.14 7.32 3.92 2.38 7.84 6.41 8.62 2.11 7. Dada la siguiente información, informaci´on, complete la tabla de an´ análisis alisis de varianza. Suponga que los 7 tratamientos se escogieron aleatoriamente y se repitieron cuatro veces cada uno. FV GL SC CM F Tttos 5587174 9.83 Error Total y.. = 57110 y1. = 8507 y2. = 10712 y3. = 10207 y4. = 8512 y5. = 7184 y6. = 6724 y7. = 5264 8. Se lleva a cabo un experimento aleatorio donde el inter´ interés es radica en comparar los rendimientos mien tos de diferen diferentes tes variedade ariedadess de ma ma´ı́ız. z. Los siguien siguientes tes datos son el rendimi rendimiento ento (p (peso eso en seco) de cuatro variedades de ma ma´ız ı́z Cornell Robson Ohio K-24 Ohio M-15 12.8 12.2 14.1 8.6 11.00 10.00 13.1 10.2 10.9 9.8 12.8 8.7 99..16 9.3 99..88 12.1 1110..88 7.8 79..33 8.2 9. Para determinar la calidad de la dieta, las ratas macho reci reci´en én destetada destetadass fueron alimentados con dietas con div diversos ersos nive niveles les de prote prote´ı́ına. na. Quince ratas fueron asignad asignadas as aleatoriamente a uno de tres dietas, y se registró registr´o su aumento de peso en gramos. Nivel de proteina la Dieta Baja aja Media Alta 3.89 8.54 20.39 3.87 9.32 24.22 3.26 8.76 30.91 23..7820 190..3405 2226..7383 10. Los siguiente siguientess datos son medici mediciones ones en el ´ı́ındice ndice de fuerza de tres varie variedades dades de algod´ algodón, on, donde los tratamientos son libras de óxido ´oxido de potasio por acre 8 ´Indice Índice de fuerza 1 2 3 4 7.066 7.7 7.0 7.755 7.9 7.955 7.2 7.51 8.22 8.59 7.63 7.5 8.0 8.088 8.6 8.699 7.3 7.355 7.27 8.18 8.39 7.83 7.49 7.49 7.9 7.9 8.04 8.04 7. 7.52 52 11. El cátodo c´atodo tiempo de calentamiento en el segundo se determinó determin´o para tres tipos de tubos diferentes con ocho observaciones en cada tipo de tubo. El orden del experimento fue completamente al azar. Los resultados fueron: Tipo de tubo A B C 19 20 16 23 20 19 26 32 15 18 27 17 20 40 18 12. Se estudi´ estudióo la eficacia de los tres fármacos f´armacos anticoagul anticoagulantes antes en la disolu disoluci´ ción on de los co´ coágulos agulos de sangre. Cada uno de cinco los sujetos recibieron los tres medicamentos (en orden aleatorio con el tiempo de lavado adecuado en el medio), y la longitud de tiempo (en segundos) requerido para un corte de tamaño tama˜no especificado para detener el sangrado se registró. registr´ o. Tipo de tubo A B C 127.5 127 .5 29.0 29.0 135. 135.55 130.6 129.1 138.0 118.3 111.7 110.1 155.5 144.3 162.3 180.7 174.4 181.8 13. Para inv investigar estigar el efecto sobre los rendimien rendimientos tos de papa de la p´ pérdida erdida de agua p por or transpiración, piraci´ on, un horticultor utilizado sombra cubre en parcelas en las diversas etapas de su crecimiento crecimi ento y desarrol desarrollo. lo. Las parcelas se somb sombrean rean para reducir la entra entrada da de energ´ energıa ı́a solar (para las plantas). Cada una de las 3 pantallas se aplicaron a 4 parcelas durante un per per´ı́ıodo odo de un mes durante las etapas tempranas tempranas,, medias y finales de crecimi crecimiento. ento. El diseño dise˜ no fue un DCA. Los rendimientos por parcela (en kilogramos) fueron: Etapas de crecimiento Tempranas Medias Finales 60 65 62 53 68 70 64 58 54 50 61 57 42 49 60 14. Para inv investigar estigar el efecto sobre los rendimien rendimientos tos de papa de la p´ pérdida erdida de agua p por or transpiración, piraci´ on, un horticultor utilizado sombra cubre en parcelas en las diversas etapas de su crecimiento crecimi ento y desarrol desarrollo. lo. Las parcelas se somb sombrean rean para reducir la entra entrada da de energ´ energıa ı́a 9 solar (para las plantas). Cada una de las 3 pantallas se aplicaron a 4 parcelas durante un per per´ı́ıodo odo de un mes durante las etapas tempranas tempranas,, medias y finales de crecimi crecimiento. ento. El diseño dise˜ no fue un DCA. Los rendimientos por parcela (en kilogramos) fueron: Etapas de crecimiento Tempranas Medias Finales 54 57 58 46 53 62 48 59 60 42 50 52 49 63 51 15. En un estudio del efecto del origen del polen, el conte contenido nido proteico del ma ma´ız ı́z fue medido, un tipo de ma ma´ız ı́z de ´ı́ndice ındice proteico bajo se poliniza con una clase de ´ı́ndice ındice proteico alto y con otra clase de bajo. Las medidas registradas en la siguiente tabla son el porcentaje proteico. Se hicieron las determinaciones del origen de cada mazorca y del polen. Nivel de pro prote´ teı́na ına Baja Media Alta 10.00 10. 00 11.2 11.222 11. 11.44 44 9.42 9.42 9.54 9.54 10 10..12 10 10.0 .08 8 10.6 9.98 9.987 11. 10 10.5 .59 10.87 10. 87 10.67 11.55 559 10.21 10. 21 10.6 10.677 12. 12.29 29 16. En un estudio del efecto del origen del polen, el conte contenido nido proteico del ma ma´ız ı́z fue medido, un tipo de ma ma´ız ı́z de ´ı́ndice ındice proteico bajo se poliniza con una clase de ´ı́ndice ındice proteico alto y con otra clase de bajo. Las medidas registradas en la siguiente tabla son el porcentaje proteico. Se hicieron las determinaciones del origen de cada mazorca y del polen. Nivel de pro prote´ teı́na ına Baja Media Media Alt Altaa 9.57 9.57 11. 11.18 18 11.5 11.544 9.90 9.90 9.78 9.78 10 10.2 .222 9.44 9.44 9.38 9.38 10 10.3 .399 9.87 9.87 10. 10.47 47 11.5 11.555 9.57 9.57 10. 10.77 77 11.2 11.299 17. En un estudio del efecto del origen del polen, el conte contenido nido proteico del ma ma´ız ı́z fue medido, un tipo de ma ma´ız ı́z de ´ı́ndice ındice proteico bajo se poliniza con una clase de ´ı́ndice ındice proteico alto y con otra clase de bajo. Las medidas registradas en la siguiente tabla son el porcentaje proteico. Se hicieron las determinaciones del origen de cada mazorca y del polen. Baja 9.20 9.20 11. 11.42 42 10. 10.28 28 10.2 10.277 110. 0.11 11 Medi Me diaa 10 10.3 .322 9.34 9.34 9. 9.18 18 11 11.5 .5 12.5 12.577 Altaa 17. Alt 17.43 43 10.2 10.222 10.7 10.799 11.5 11.500 11.30 10 3. Val alid idac aci´ ión on de los supuestos del modelo Luego de la formulación formulaci´on de un modelo y realizar su ajuste, el paso siguiente es la validaci´ validación on de los supuestos de este que permiten verificar si dich dichoo modelo es correcto y as as´ıı́ las conclusiones del ajuste son buenas. Entre estos supuestos encontramos: Los errores se distribuyen normal con media cero y varianza σ 2 constante. Homogeneidad de las varianzas de los tratamientos. Aditividad o linealidad en los parámetros par´ametros del modelo. 3.1. 3. 1. Prue Prueba bass de de nor norma mali lida dad d H0 := Los dat datos os se di dist strib ribuy uyen en no norma rmall, Halt ::= = Los d datos atos no se dis distrib tribuy uyen en no normal rmal Entre estas pruebas encontramos: Prueba de Shapiro-Wilk Prueba de Angostino 3.2.. 3.2 Prueba Pruebass de homo homogen geneid eidad ad de de vari varianz anza a σ12 = σ 22 = · · · σt2 , H0 := Halt := σi2 = σ j2 Entre estas pruebas encontramos: Prueba F-Max de Hartley Prueba de Bartlett Prueba de Cochran Prueba de Box Prueba de Levene Prueba de Burr-F Burr-Foster oster 3.2.1. Prue Prueba ba de F-M´ F-Máx ax de Hartley Carac Car acter´ terı́s ısti tica cas: s: Es sensible a la no normalidad de los datos. Requiere que todas las muestran sean del mismo tama˜ tamaño, no, esto es, r 1 = r 2 = · · · = r t = r. Asume que las poblaciones son normales e independientes. Estad Esta d´ı́ıstico st ico de prue prueba: ba: Fmax m´ máx( ax(S Si2) = mı́ıx m´ x(Si2) con Si2 la varianza muestral del i-´ -ési esimo mo ttrat ratami amiento ento,, co con n i = 1, 2, . . . , t 11 1),, en caso de que el número n´umero Criterio de rachazo: se rechaza H0 si Fmax > Ftabulado (t, r − 1) de repeticiones por tratamientos es diferente entonces en el criterio de rechazo se utiliza Fmax > Ftabulado (t, v ), con v = m´ máx( ax(rrj ) − 1 3.2.2 3.2.2.. Pr Prue ueba ba de Ba Bart rtle lett tt Carac Car acter´ terı́s ısti tica cas: s: Se recomienda cuando el número n´ umero de replicas por tratamiento es mayor o igual a 3. No requiere que las repeticiones sean iguales. Sensible a la no normalidad de los datos (particularmente a la curtosis). Estad Esta d´ı́ıstico st ico de prue prueba: ba: U= 1 C t t (rj − 1)ln 1)ln((S 2 ) − j=1 j =1 (rj − 1) 1)ln ln((Sj2 ) j=1 j =1 donde Si2 la varianza muestral del i-´ i -ési esimo mo trat t ratami amiento ento,, co con n i = 1, 2, . . . , t t S2 = (rj − 1)S 1)Sj2 j=1 j =1 t (rj − 1) jj=1 =1 1 C = 1+ 3(t 3(t − 1) t jj=1 =1 1 − rj − 1 1 t (rj − 1) jj=1 =1 Criterio de rachazo: se rechaza H0 si U > χ2 (α, t − 1) 3.2.3 3.2.3.. Pr Prue ueba ba de Coc Cochr hran an Estad Esta d´ı́ıstico st ico de prue prueba: ba: C= m´ máx( ax(S Si2 ) t jj=1 =1 Sj2 donde Si2 la varianza muestral del i-´ i -ési esimo mo trat t ratami amiento ento,, co con n i = 1, 2, . . . , t Criterio de rachazo: se rechaza H0 si C > Ctabulado(1 tabulado(1− −α) (t, r − 1) 12 3.2.4 3.2.4.. Pr Prue ueba ba de Le Lev ven ene e Levene propuso efectuar un análisis an´alisis de varianza simple sobre las variables Z ij =| y ij − y.j | co con n y .j la media muestral del j -´ -ési esimo mo tra tratam tamient ientoo o Zij =| y ij − M ed.j | con M ed.j la mediana del j-´ j -ési esimo mo tra tratam tamient iento. o. El estad´ estadı́stico ıstico de prueba prue ba est´ estáa dado por: t (N − t) t) rj (Z j. − Z .. )2 jj=1 =1 W = t (t − 1) rj (Zij − Z i. )2 jj=1 =1 i=1 donde Z .. es la media global de Z ij y Z j. es la media del j -ésimo -´esimo trat tratamiento amiento de los Zij . Se rechaza H0 := σ12 = σ22 = · · · σt2 a un nivel de significancia α si W > Fα (t − 11,, N − tt)) valor cr´ crı́ıtico tico de la distr distribuci ibuci´óon n F con t − 1 grados de libertad en el numerador y N − t grados de libertad en el denominador. 4. Pr Prue ueba bass de co comp mpar arac acio ione ness m´ múltiples ultiples de medias Se presen presentan tan diferentes pruebas de comparac comparaci´ ión on m´ múltiple ultiple con el fin de tomar decisiones, una vez la hipótesis hip´otesis general sobre igualdad de tratamientos ha sido rechazada. Estas pruebas se realizan después despu´ es de haber elaborado el an´ análisis alisis de varianza, con el fin de determinar que tratamientos o grupo de tratami tratamientos entos son distin distintos tos o iguales entre s´ı. ı́. El inte inter´ rés es al realiza realizarr las pruebas de comparaciones multiples, reca´ recaée een n contrastar el siguiente juego de hip´ hipótesis: otesis: H0 := µi = µ j , Halt := µi = µj i =j Estas pruebas de comparaciones multiples de medias pueden ser planeadas o no planeadas. 4.1. 4. 1. Prue Prueba bass plan planea eada dass Las pruebas planeadas son aquellas en las cuales el investigador planea las comparaciones que va a realizar antes de obtener los resultados del experimento. Entre estas pruebas encontramos: Contrastes: se definen como una combinación combinaci´on lineal de totales o medias de tratamientos t tales que i=1 ci sea cero. Estos se utilizan para realizar comparaciones donde las variables son de tipo cualitativo. Ejemplo: se desea comparar las medias de dos tratamientos y se plantea el juego de hipótesis hip´ otesis de la siguiente manera: H0 := µ1 − µ2 = 0 Halt := µ1 − µ2 =0 En este caso c 1 = 1, c2 = −1 − 1 y satisfacen t i=1 ci =0 13 Ejemplo: se desea comparar las medias de tres tratamientos y se plantea el juego de hipótesis hip´ otesis de la siguiente manera: H0 := 2µ1 − µ2 − µ3 = 0 Halt := 2µ1 − µ2 − µ3 =0 t i=1 ci En este caso c 1 = 2, c2 = c 3 = −1 − 1 y satisfacen =0 Ejemplo: se desea comparar las medias de cinco tratamientos y se plantea el juego de hipótesis hip´otesis de la siguiente manera: H0 := 3µ1 + 3µ 3 µ2 = 2µ3 + 2µ 2 µ4 + 2µ 2 µ5 Halt := 3µ1 + 3µ 3 µ2 = 2µ3 + 2µ 2 µ4 + 2µ 2 µ5 En este caso c 1 = c 2 = 3, c3 = c 4 = c 5 = −2 − 2 y satisfacen t i=1 ci =0 contrastes stes independien independientes. tes. El n´ número umero de contrastes que se Contrastes ortogonales: son contra pueden realizar en un experimento es igual al número n´umero de tratamientos menos 1, es decir, t − 1 con t el número n´ umero de tratamientos. t Dos contra contrastes stes Q1 = j=1 j =1 cj y.j t y Q2 = j=1 j =1 dj y.j son ortogonales si t cj dj = 0 jj=1 =1 Nota 2. Si dos contrastes Q1 y Q2 no son ortogonales se determina el grado de correlaci´on entre los contrastes utilizando la siguiente expresi´on: ρij = j j=1 j =1 cj dj t 2 jj=1 =1 cj t j=1 j =1 dj2 Nota 3. Los contrastes se utilizan para realizar comparaciones donde el tipo de variable es cualitativa. Despu´ ués es de rea realiz lizar ar el ANAVA ANAVA Prueba de diferenc diferencia ia m´ı́ınima nima signifi significativa cativa “L “LDS”: DS”: Desp y con la prueba F se rechaza la hipótesis hip´otesis nula H0 : µ1 = µ2 = · · · = µt , el inte inter´ rés es recaée en comparar las medias de los tratamientos en parejas, para determin reca´ determinar ar cual de los tratamientos es “mejor”El contraste a realizar es el siguiente: Se rechaza H0 en favor de Halt si • Dise˜ Diseño no balanceado H0 := µi = µ j Halt := µi = µj | y i. − y j. |> tα/ gle)) α/2 2 (gle 2C M E r 14 • Dise˜ Diseño no desbalanceado | y i. − y j. |> tα/2 gle)) C M E α/2 (gle 1 1 + ri rj Pasos para realizar la prueba DMS: Identificar en la tabla de la t-Student tα/2 gle)) α/2 (gle α/2 2 (gle Calcular t α/ gle)) 2CM r E Realizar la diferencia de los promedios dos a dos Identificar | y i. − y j. ||> > tα/2 gl e) α/2 (gle 2C M E r Ejercicio 1. Se comparo la poblaci´on de aves en cuatro ´areas de bosques diferentes: un rodal de cipr´ ciprés es (RC), un bosque secundario aall noro noroeste este (BSN), una plantaci´on de pinos patula (PP), y un bosque secundario aislado (BSA); localizadas en Piedras Blancas (Antioquia). El total de especies espe cies observadas por d´ıa ı́a fue el siguiente: Especi Esp ecies es por po r d´ı́ıaa PP RC BSN BSA 1 1 2 3 1 1 3 2 2 3 4 4 2 5 2 2 1 2 3 2 10 10 12 11 10 12 14 12 14 11 8 9 9 5 7 8 7 4 12 9 Bosque RC BSN PP BSA Total 27 116 1199 78 Prome Pro medi dioo 2.7 11. 11.66 1.9 1.9 7.8 7.8 Los cálculos c´alculos para realizar la tabla de an´ análisis alisis de varianza estan dados por: t = 4, #U E = 40 y.. = 240 y..2 FC = = 1440 40 yij2 = 2150 yi.2 = 272 + 1162 + 192 + 782 = 20630 Scttos = SC T = 1 10 yi.2 − F C = 623 yij2 − F C = 710 SC E = S C T − SCttos = 710 − 623 = 87 Tabla abl a de an´ análi alisis sis de varianz varianza, a, ANA ANAV VA: FV Ttos Tt os Erro Er rorr Tota otall GL 3 36 39 SC CM Fcal Ftab 623 207 207.6 .667 67 85. 85.931 93100 2.92 2.92 87 2.41 2.4166 6677 710 15 Como F cal > Fcal se rechaza H 0 en favor de H alt . Aplicare Aplicaremos mos la prueb pruebaa de llaa dife diferenc rencia ia m´ mı́ınima nima significativa DMS, para establecer que par de medias difieren significativamente. Pasos para realizar la prueba DMS: Identificar en la tabla de la t-Student tα/2 gle)) = 2,042 α/2 (gle 2CM E r Calcular t α/ gle)) α/2 2 (gle tα/2 gle)) α/2 (gle 2(2,,41667) 2(2 2C M E = 2,042 10 r = 2,042(0 042(0,,69522) = 1,419639 Realizar la diferencia de los promedios dos a dos e identificar | y i. − y j. ||> > tα/2 gl e) α/2 (gle 2C M E r 2 ,7 − 11 11,,6 ||= = 8,9 • 1 vrs 2 | 2, • 1 vrs 3 | 2, 2 ,7 − 1, 1,9 ||= = 0,8 • 1 vrs 4 | 2, 2 ,7 − 7, 7,8 ||= = 5,1 11,,6 − 1, 1,9 ||= = 9,7 • 2 vrs 3 | 11 • 2 vrs 4 | 11 11,,6 − 7, 7,8 ||= = 3,8 • 3 vrs 4 | 1, 1 ,9 − 7, 7,8 ||= = 5,9 Los valores resaltados indican que no existe diferencia significativa entre el par de tratamientos que se estan contrastando 4.2. 4. 2. Prue Prueba bass no plan planea eada dass Las pruebas no planeadas son aquellas en las cuales el investigador realiza sin ningún ning´un tipo de planeación planeaci´on y despu´ después es de obtener los resultados el inter´ interés es recaé reca´e en realizar comparaciones multiples entre los niveles del fa factor ctor de inter´ interés. es. Entre estas pruebas encontramos: M´ Método etodo de la diferencia significativ significativa a honesta de Tukey: est´ estáa prueba se utiliza para realizar comparaciones múltiples, m´ ultiples, en donde se realizan comparaciones por pares, independienteme independie ntemente nte de cuan cuantas tas medias est´ estén en en un grupo. El estad estad´ıstico ı́stico de prueba a utilizar es el siguiente: CM E Tα = q α (t,gle t,gle)) r donde α es el nivel de significancia, t el número n´umero de tratami tratamientos entos,, r el número n´ umero de replicas, gle grados de libertad del error, C M E cuadrado medio del error y qα (t,gle t,gle)) valor tabulado del estad estad´ı́ıstico stico del rango studentizado. La prueba de Tukey declara dos medias significativamente diferentes si el valor absoluto de sus medias muestrales excede Tα , esto es, se rechaza H0 si | y i. − y j. ||> > Tα 16 lo cual implica que existe eviden evidencia cia estad´ estadı́stica ıstica que indica que las medias µ i y µj difieren significativamente. Pasos para realizar la prueba de Tukey: • Identificar en la tabla de rangos studentizados de Tukey qα(t,gle t,gle)) • Calcular Tα = q α (t,gle t,gle)) CM E r • Realizar la diferencia de los promedios dos a dos • Identificar | y i. − y j. |> Tα estáa prueba se utiliza para comparar un grupo de t medias y sigue M´ Mét etod odo o de Du Dunc ncan: an: est´ los siguientes pasos: • Ordenar en forma ascendente (de menor a mayor) los promedios de los t tratamientos. • Determinar el error estándar est´andar de cada promedio, utilizando la siguiente expresión: expresi´on: Syi. = CM E r • Calcular el conju conjunto nto de rangos de significancia m´ı́ınima, nima, Rp = r α (p, gle gle))Sy.j , con p = 2, 3, . . . , t y r α (p, gle gle)) valor tabulado denominados rangos significativos para la prueba del rango múltiple m´ultiple de Duncan. • Determinar los resultados de las coparaciones, si una diferencia observada es mayor que el rango de significaci´ significación on m´ı́ınima nima ccorrepondiente, orrepondiente, se concluye que el par de me medias dias en cuestion difieren significativamente. M´ Méto etodo do de Newm Newman-K an-Keuls euls:: esta prueba tiene un procedimiento similar al de Duncan, difieren en que los intervalos multiples Rp se sustituyen por kp , donde kp = q α (p, gle gle))Sy.j qα (p, gle gle)) valores tabulado de en la tabla de rangos studentizados de Tukey. Prueba de Dunnett: esta prueba se utiliza para comparar un control con el resto de los tratamientos. Supongamos que el tratamiento t0 es el control. Se contrasta el siguiente juego de hip´ hipótesis: otesis: H0 := µj = µ 0 , Halt := µj = µ0 Para cada hip´ hipótesis otesis se calculan las diferencias que se observan en las medias muestrales | y j. − y 0. | j = 1, 2, . . . , j − 1 La hipótesis hip´otesis nula se rechaza a un nivel de significancia α si | y j. − y 0. ||> > dα (t − 11,gle ,gle)) 2C M E r 17 M´ Mét etod odo o de She Sheffe: ffe: Este procedimiento se recomienda cuando el experimentador desea hacer un número n´ umero grande de co comparaciones mparaciones multiples. El m´ método etodo de Sheffe s´ sólo olo dar´ daráa significancias para los contrastes si con la prueba F realizada en el ANAVA se rechaza H0 := µ 1 = µ 2 = · · · = µ t Méto M´ etodo do de Bonf Bonferon eronni: ni: Mét M´ eto odo de t− multivariado Ejercicio 2. Un ingeniero de desarrollo desea determinar si al variar el contenido de algodon en un fibre sintética sint´etica influye en la 5resistencia la tensi´ on ydepara ello ha realizado un dise˜ no completamente aleatorizado con niveles deaporcentaje algod´ on se y cinco repeticiones, los datos se presentan a continuaci´on: % de Algodón Algod´on 15 % 2200 % 2255 % 7 12 14 7 17 18 15 12 18 11 18 19 8 18 19 3300 % 19 25 22 19 23 3355 % 7 10 11 15 11 % de Algodón Algod´ on 15 % 2200 % 2255 % 3300 % 3355 % Total 49 77 88 108 54 Prom Pr omed edio io 9.8 9.8 15 15.4 .4 17. 17.66 21 21.6 .6 10. 10.88 Tabla abl a de an´ análi alisis sis de varianz varianza, a, ANA ANAV VA: FV Ttoss Tto Erro Er rorr Total otal GL SC 4 475 475.7 .766 20 161 161.2 .200 24 636 636.9 .966 CM Fcal Ftab 118 118.9 .944 14 14.7 .7568 568 2.87 2.87 8.06 8.06 71 7100 Como Fcal > Fcal se rechaza H0 en favor de Halt . Aplicaremos las pruebas no planeadas de comparaciones múltiples, m´ ultiples, para establecer que par de medias difieren significativamente. Pasos para realizar la prueba Tukey: Identificar en la tabla de rangos studentizados de Tukey qα (t,gle (5,, 20) = 4, 4,24 t,gle)) = q α (5 Calcular T α = q α (t,gle t,gle)) CM E r CM E r 8,06 = q α (5, (5, 20) 5 = 4,24(1 24(1,,269) = 5,380 Tα = q α (t,gle t,gle)) Realizar la diferencia de los promedios dos a dos e identificar | y i. − y j. ||> > tα/2 gl e) α/2 (gle 2C M E r 18 • 1 vrs 2 | 9, 9 ,8 − 15 15,,4 ||= = 5,6 • 1 vrs 3 | 9, 9 ,8 − 17 17,,6 ||= = 7,8 • 1 vrs 4 | 9, 9 ,8 − 21 21,,6 ||= = 11, 11,8 • 1 vrs 5 | 9, 9 ,8 − 10 10,,8 ||= =1 • 2 vrs 3 | 15 15,,4 − 17 17,,6 ||= = 2.2 • 2 vrs 4 | 15 15,,4 − 21 21,,6 ||= = 6,2 • 2 vrs 5 | 15 15,,4 − 10 10,,8 ||= = 4.6 • 3 vrs 4 | 17 17,,6 − 21 21,,6 ||= =4 • 3 vrs 5 | 17 17,,6 − 10 10,,8 ||= = 6,8 • 4 vrs 5 | 21 21,,6 − 10 10,,8 ||= = 10, 10,8 Pasos para realizar la prueba Duncan: Ordenar en forma ascendente (de menor a mayor) los promedios de los t tratamientos. Y1 Y5 Y2 Y3 =9.8 =10.8 =15.4 =17.6 Y 4 =21.6 Determinar el error estándar est´andar de cada promedio, utilizando la siguiente expresión: expresi´on: Syi. = CM E = 1,269 r Calcular el conjunto de rangos de significancia m´ı́ınima, nima, Rp = r α (p, gle gle))Sy.j , con p = 2, 3, 4, 5 R2 = r α (2, (2, 20)(1 20)(1,,269) = 2, 2,95(1 95(1,,269) = 3, 3,743 R3 = r α (3, (3, 20)(1 20)(1,,269) = 3, 3,10(1 10(1,,269) = 3, 3,933 R4 = r α (4, (4, 20)(1 20)(1,,269) = 3, 3,18(1 18(1,,269) = 4, 4,035 R5 = r α (5, (5, 20)(1 20)(1,,269) = 3, 3,25(1 25(1,,269) = 4, 4,124 Realizar la diferencia de los promedios dos a dos e identificar | y i. − y j. ||> > tα/2 gl e) α/2 (gle 2C M E r 4 vrs 1 4 vrs 5 4 vrs 2 4 vrs 3 3 vrs 1 | 9, 9 ,8 − 21 21,,6 | | 21 21,,6 − 10 10,,8 | | 15 15,,4 − 21 21,,6 | | 17 17,,6 − 21 21,,6 | | 9, 9 ,8 − 17 17,,6 | =11.8 =10.8 =6.2 =4 =7.8 R5 R4 R3 R2 R1 3 vrs 5 3 vrs 2 2 vrs 1 2 vrs 5 5 vrs 1 | 17 17,,6 − 10 10,,8 | | 15 15,,4 − 17 17,,6 | | 9, 9 ,8 − 15 15,,4 | | 15 15,,4 − 10 10,,8 | | 9, 9 ,8 − 10 10,,8 | =6.8 =2.2 =5.64 =4.6 =1 R4 R3 R2 R1 R2 19 4.3.. 4.3 Comen Comentar tarios ios sobre sobre las las pruebas pruebas de com compar parac acion iones es múltiples m´ ultiples La prueba de Tukey y de Duncan tienen bases muy semejantes, sin embargo, la prueba de Duncan da diferencias significativas con más m´as facilidad, ya que al formular un nivel de significancia canc ia del 5 % la prob probabi abilid lidad ad de que un con contras traste te incl incluy uyaa dos medias exige una probabi probabilid lidad ad del 95 % de que no se encu encuent entre re signifi significanc cancia ia en una difer diferenci enciaa real realmen mente te nula, para el caso de 2 tres medias la probabilidad será ser´a de (0 (0,, 95) . En el caso de la DMS la probabilidad será ser´a de (0 (0,, 95)t−1 ; en tanto que la prueba de Tukey es más m´ as exigente, mantiene siempre una probabilidad de (0, (0 , 95) de no encontrar significancia en una diferencia realmente nula entre todas las medias de los tratamientos. La prueba de Duncan aplicada ampliamente no es muy rigurosa, por lo cual debe ser usada con mucha muc ha cautela. As As´ıı́ la prueba de Duncan es un intermedio intermedio entre el excesi excesivo vo rigor de la prueba de Tukey y la falta de rigor de la prueba DMS. 20 5. DBCA En el Diseño Dise˜ no de Bloques Completos Aleator Aleatorizados izados “DBCA ”los bloques son utilizados para controlar la variación variaci´on local en un ´área area experimental. El bloqueo solo es efectivo cuando la varianza de las unidades experimentales dentro de cada bloque es menor que la varianza para todas las unidades experimentales. Por lo anterior, se puede establecer que el diseño dise˜ no en bloques aleatorios es adecuado cuando una fuente de variablidad extraña extra˜na se elimina (control local) para poder comparar un conjunto de medias muestrales asociadas con los tratamientos. An´ An á alis l isis is y mode mo delo lo esta es tad d´ısti ı́s tico co El modelo estad estad´ı́ıstico stico para un dise˜ diseño no en Bloques Completamente Aleatorizados est´ estáa dado por: yij = µ + ρi + τj + ij i = 1, 2, . . . , r j = 1, 2, . . . , t donde µ := media general ρi := es el efecto en el i-ésimo -´esimo bloque, el cual se supone que est´ estáa distribuido normal con 2 media 0 y varianza σ ρ . τj := es el efecto del j -ésimo -´esimo tratamiento, el cual se supone que est´ estáa distribuido normal con media 0 y varianza στ2 . ij := termino del error aleatorio, el cual se supone que está est´a distribuido normal con media 0 y varianza σ 2 constante. La estructura más m´as simple para un diseño dise˜no en Bloques Completamente Aleatorizado se presenta a continuación: continuaci´on: Bloque 1 Bloque 2 .. . Y11 Y21 .. . Y12 Y22 ... Y13 Y23 .. . ... ... ... Y1t Y2t .. . Bloque r Yr1 Yr2 Yr3 . . . Yrt 5.1. Análisis An´ alisis de varianza varianza Suponga que se tienen t tratamientos replicados r veces bajo un diseño dise˜no de bloques completamente aleatorizados, con r bloques. Sea Yij la respuesta del j -ésimo -´esimo trat tratamiento amiento en el i-é -´essimo bloque. La estructura de este diseño dise˜ no puede darse en cualquiera de las siguientes formas: 5.1.1 5.1.1.. Es Estr truc uctu tura ra 1 Bl Bloqu oques es Trat ratami amien ento toss 1 1 2 3 ... t Y11 Y12 Y13 . . . Y1t 2 Y .. . r Y Y 21 22 23 .. . .. . ... ... Y 2t ... ... Yr1 Yr2 Yr3 . . . Yrt 21 Observaci´ Observación on 1. Lo que cambia en las estructura es la posici´on que toman los tratamientos y los bloques, puesto que algunos casos las filas corresponden a los bloques y las columnas a los tratamientos. O viceversa las filas corresponden a los tratamientos y las columnas a los bloques. 5.1.2 5.1.2.. Es Estr truc uctu tura ra 2 Trata ratam mientos 1 2 .. j Bloq oqu ues 1 2 3 ... r Y11 Y12 Y13 . . . Y1r Y21 Y22 Y23 . . . Y2r .. .. .. .. .. Yjj11 Yjj22 Yjj33 . . . Yjr Las hip´ hipótesis otesis de interés inter´es contra contrastar star son las siguie siguientes: ntes: para los tratamientos H0 := µ1 = µ 2 = · · · = µ t , para los bloques Halt := H0 := µi = µj ∀i =j El bl bloqu oqueo eo no fue fue eefe fect ctiv ivoo, Halt ::= = El b bloq loque ueoo fu fuee ef efect ectiv ivoo para las comparaciones multiples H0 := µi = µ j , Halt := µi = µj i =j Se puede emplear cualquiera de las pruebas no planeadas vistas en clases, Tukey, Duncan, Newmann Keuls y Dunnett. 5.2. Análisi An´ alisiss de varianza arianza para un DBCA FV GL SC CM B Bloques r−1 SCBloques SC r−1 Tttos t−1 SCttos SCtttos t−1 SC E Erro Er rorr (r − 1)( 1)(tt − 1) SCE N −t Total rt − 1 SCT FB CM CM E CMtttos CM E Para la prueba de hipótesis hip´otesis de los tratamient tratamientos, os, H 0 se rechaza y se concluye que hay diferencias en las medias de los tratamientos si F0 = CMttos > Fα (t − 1, 1, (r − 1)( 1)(tt − 1)) CM E Para la prueba de hipótesis hip´otesis asociado a los bloques, H0 se rechaza y se concluye que el bloqueo fue efectivo si CM B > Fα (r − 1, 1, (r − 1)( 1)(tt − 1)) CM E 1, (r − 1)( 1)(tt − 1)) es el valor tabulado de la distribuci´on F de Fisher Observación Observaci´ on 2. Fα (t − 1, con t − 1 y (r − 1)( 1)(tt − 1) grados de libertad, a un nivel de significancia α F0 = 22 1, (r − 1)( 1)(tt − 1)) es el valor tabulado de la distribuci´on F de Fisher Observaci´ Observación on 3. Fα(r − 1, con r − 1 y (r − 1)( 1)(tt − 1) grados de libertad, a un nivel de significancia α Ejemplo 2. Se desea medir la respuesta de 100 100kg/Ha kg/Ha de Nitrigeno, para ello se seleccionaron 4 tratamientos testigo absoluto, aplicaci´on de 100 1 00K K g en Octubre, aplicaci´on de 10 1000K g en Marzo, 50K 50K g en Marzo. Se realiz´o un DBCA para controlar el efecto aplicaci´ on de 50 K g en Octubre y 50K del tipo de suelo. Los resultados de la producci´on obtenidos son los siguientes: Trat ratam amie ient ntos os Bloqu Bloques es I I I II I 9.9 9.9 12.3 12.3 11.4 11.4 11.4 12.9 12.7 12.1 13.4 12.9 10.1 12.2 11.9 t1 t2 t3 t4 Verifique si hay diferencia entre los tratamientos. Soluci´ Solución: on: El primer paso que se debe realizar es obtener los totales por tratamientos y por bloques respectivamente, Tttos Bloques I t1 9.9 t2 11.4 t3 12.1 t4 10.1 Total otal por bl bloqu oquee 43 43.5 .5 II 12.3 12.9 13.4 12.2 50 50.8 .8 I II Total por ttto 11.4 33.6 12.7 37 12.9 38.4 11.9 34.2 48.9 48.9 143. 143.22 El segundo paso a realizar es determinar el factor de correción correci´on y las sumas de cuadrados de los totales por bloque, por tratamiento y de todas las unidades experimentales, Factor de correción: correci´ on: (143,2)2 (143, FC = 12 Suma de cuadrados de los totales por bloque: 43, 43,52 + 50, 50,82 + 48, 48,92 = 6864, 6864,1 Suma de cuadrados de los totales por tratamiento: 33, 33,62 + 372 + 38, 38,42 + 34, 34,22 = 5142, 5142,16 Suma de cuadrados de las unidades experimentales: 3 4 1721,76 yij2 = 1721, i=1 j=1 j =1 El tercer paso consiste en obtener las sumas de cuadrados para cada una de las fuentes de variación, variaci´ on, presentes en el an´ análisis alisis de varianza. 23 Suma de cuadrados de bloque, SCBloques: Suma de cuadrados de los totales por bloque − FC Número N´ umero de tratamientos 6864.1 − FC = 4 = 1716.025 − F C = 7.1717 = Suma de cuadrados de tratamiento: SCTttos Suma de cuadrados de los totales por Tttos − FC Número N´ umero de bloques 5142.16 = − FC 3 = 1716.025 − F C = 5.2000 = Suma de cuadrados total: SCT 3 SC T = 4 yij2 − F C i=1 j=1 j =1 = 1721.76 − F C = 12.9067 Suma de cuadrados del error: SCE SC E = S C T − S CBloque CBloquess − SCT tt ttos os = 12.9067 − 7.1717 − 5.2000 = 0.535 FV Bl Bloqu oques es Tttos tos Error Total otal G GL L 2 3 6 11 SC CM F Ftabla 7.17 7.1717 17 33.5 .5858 85855 40.2 40.2181 181 5.14 5.14 SCtt ttos os 55..2000 000 1.7333 4.76 4.76 SCE 0.535 00..08916 SCT 12.9067 067 Con base en la tabla de análisis an´alisis de varianzas anterior podemos establecer que la hip´ hipótesis otesis de 0 igualdad sesigni rechaza ycia la del hip´ hipótesis bloqueo loqueo no fue efectivo, ta tambi mbi´éen n se rechaza rec haza ade unmedias nive nivell de significan ficancia 5otesis %. nula H := el b Lo que sigue es realizar una de las pruebas de comparaciones multiples desarrolladas en la clase para establecer que par de medias de tratamientos difieren significativamente. 24 6. Ej Ejer erci cici cios os pro propu pues esto toss de dise˜ diseño no en Bloques Completamente Aleatorizados 1. En un ensayo con animales, estos fueron bloqueados por peso, en tres grupos para la composición composici´ on de tres dietas en el control de la obesidad. El peso final en gramos es el siguiente: Tttos I t1 t2 t3 Bloques II III IIV V V VI 96 96 94 99 99 102 103 1101 01 10 1033 105 1101 01 10 1077 103 1104 04 10 1066 108 1109 09 11 1100 Lleve a cabo la prueba de diferencia entre tratamientos, en caso de que se rechaze la hipótesis hip´ otesis nula de igualdad de media entre los tratamientos lleve a cabo una prueba de comparción comparci´ on multiple. 2. El p peso eso neto en onzas de albaricoques congelados fu´ fuée medido para varios tipos y diversas concentraciones de jarabe. Los pesos originales de los albaricoques eran iguales, las diferencias en el p peso eso neto deb deb´ı́ıan an atribuirse a diferenc diferencias ias en las concentraci concentraciones ones o en el tipo de jarabe (Mart (Mart´ı́ınez nez 1981). Los resulta resultados dos se resumen en la siguie siguiente nte tabla: Concentración Concentraci´ on de jarabe Composici´ Composición on de jarabe B1 28.80 29.12 29.76 30.56 30 40 50 65 B4 28.76 28.64 30.40 29.44 B3 29.28 29.12 29.12 28.96 B4 29.12 27.86 28.32 29.60 Con T1 := sucioso, T2 := 2/3 sucioso y 1/3 granular, T3 := 1/2 sucioso y 1/2 granular y T4 := jarabe granular 3. La evaluación evaluaci´on de 7 variedades de frijol, en el municipio de Taminango (Nari˜ (Nariño) no) dio los siguientes resultados: Bloques I II I I L´ı́ınea nea ICA-22 1.9 3.5 1.9 L´ı́ınea nea ICA-23 1.7 3.5 1.8 L´ı́ınea nea ICA-24 2.5 2.7 1.8 DiacolDia col-Nim Nimaa 1.1 22.1 .1 1. 1.33 Diacol-Calima 2.7 2.1 1.7 Diacol-Andino 1.4 1.7 1.5 Diacol Dia col-Li -Lima ma 1.3 2.5 2.4 Material 4. Considere un exp experimento erimento de campo, donde el inte´ inteŕes res re reca´ caée en estudiar la cap capacidad acidad d dee adaptación adaptaci´ on de tres variedades de fresas en suelo venezolano. Los rendimientos en kilogramos gram os de cuat cuatro ro bloqu bloques es de tie tierra rra dura durante nte un per per´ıodo ı́odo de dos sema semanas nas se pres presen entan tan a continuación: continuaci´ on: Varie arieda dad d de fres fresaa A B C I 10.1 6.3 8.4 Blo loqu ques es II I II IV 10.8 9.8 10.5 6.9 5.3 6.2 9.4 9.0 9.2 25 5. Mart Mart´ı́ınez nez (1981) (1981),, repor reporta ta un estu estudio dio de los efectos del orig origen en del p pole olen n en el con conteni tenido do protéico prot´ eico del ma ma´ı́ız, z, un ma ma´ız ı́z con un ´ı́ndice ındice prot´ protéico eico ba bajo jo (orig (origen en de la mazor mazorca) ca) se pol poliinizóo con ´ı́ındice niz´ ndice alto y con otra clase de bajo, las medici mediciones ones reportadas son el porcentaje protéico. prot´ eico. Se hicier hicieron on dos determi determinaciones naciones del origen de cada mazorca y del polen. Bloque Ttto 1 Ttto 2 Mazorc Maz orcaa Pro Prote´ teı́na ına Alt Altaa Pro Prote´ teı́na ına Ba Baja ja 1 11.44 11.22 2 10.12 9.54 3 4 5 6 7 8 10.59 11.55 9.40 12.29 10.88 9.57 9.95 11.39 9.85 12.10 11.30 9.44 Haciendo uso del diseño dise˜ no experimen experimental tal apropiad apropiado, o, llev llevaa a cabo el an´ análisi alisiss escribi escribiendo endo en detalle su conclusión. conclusi´on. 6. Se evaluaron los efectos de 3 recipientes (R ( R1 , R2 , R3 ) para producción producci´on de pl´ plántulas antulas y 8 especies de eucaliptos (E (E1 , E2 , · · · E8 ), la variable de respuesta medida fue la altura media de las plántul pl´antulas, as, en cm, a los 80 d´ı́ıas as de edad. Los recipien recipientes tes y las esp especies ecies evalu evaluadas adas fueron: Recipiente R1 R2 R3 Eucalipto E1 E2 E3 E4 E5 E6 26.2 26.0 25.0 25. 25.66 24. 24.88 24. 24.66 25.7 26.3 25.1 26. 26.55 19. 19.66 21. 21.11 22.8 19.4 18.8 21. 21.66 19. 19.88 21. 21.44 E7 26 26.7 .7 19 19.0 .0 22 22.8 .8 E8 225.9 5.9 221.1 1.1 221.3 1.3 donde las especies de eucaliptos en el experimento fueron: E1 := elata E5 := deglupta E2 := globoidea E6 := decinei E3 := grandis E7 := cornuta E4 := ficifolia E8 := citriodora 7. Se quiere llevar a cabo un experimento para medir el efecto de la densidad de plantación plantaci´on sobre el area ´ área foliar de una variedad de Papa criolla. Se tiene suficiente material para hacer cinco repeticiones de cada tratamiento y para realizar las prácticas pr´acticas agron´ agronómicas omicas homog´éeneamente homog neamente en todas las parcelas parcelas.. Se quieren ensaya ensayarr 5 diferen diferentes tes densidades densidades de plantación. plantaci´ on. El terreno a sem sembrar brar tien tienee una pendie pendient ntee del 40 % y se consid considera era de mayo mayorr fertilidad en la zona baja, sin embargo, el investigador asegura que no es una causa de variación variaci´ on a contro controlar. lar. En algun algunas as horas del d´ıa, ı́a, ´áarboles rboles sembrados en la parte superior del terr terreno eno propo proporci rcionan onan cie cierto rto grad gradoo de som sombr br´ıo ı́o grad gradual ual sobr sobree parte parte del terr terreno eno y se considera que este factor puede afectar el tamaño tama˜no de la hoja. ¿Qu´ ¿Q uée dise di se˜ ñ noo experimental recomendar recomendar´ı́ıaa pa para ra realizar este experimento? Si el diseño dise˜ no es de bloques completos al azar, especifique que fuentes de variaci´ variación on se contr co ntrol olar´ arı́a ıan. n. 8. Quince variedades de ma´ maı́z ız fueron se sembradas mbradas en una estaci´ estación on experimental, experimental, con el prop´ propósiosito de seleccionar los de mayor producción. producci´on. El ensayo se realizó realiz´o teniendo en cuenta una estructura de bloques. Se midió midi´o el rendimiento de ma ma´ız ı́z (T (Tonelada/Unidad onelada/Unidad de Superficie), los resultados del ensayo se resumen en la siguiente tabla: 26 FV GL S SC C CM F Ftabla Bloq oqu ues 2 Variedades 38033.14 Error Total 7082935 9. Arregl Arreglo o de las par parcel celas as expe experim rimen ental tales es par para a el expe experim rimen ento to de tri trigo go en un diseño dise˜ no de bloques complatamente aleatoriazado. Bloque 1 T2 T5 T4 T1 T6 T3 40,98 37,98 37,28 34,90 34,87 42,90 Bloque 2 T1 T3 T4 T6 T5 T2 41,98 47,98 47,28 64,90 50,87 52,90 Bloque 3 T6 T3 T5 T1 T2 T4 44,98 52,98 37,98 37,90 46,87 40,90 Bloque 4 T2 T4 T6 T5 T3 T1 41,98 39,98 47,28 44,90 44,87 42,78 10. Arregl Arreglo o de las par parcel celas as expe experim rimen ental tales es par para a el expe experim rimen ento to de tri trigo go en un diseño dise˜ no de bloques complatamente aleatoriazado. Bloque 1 T2 T5 T4 T1 T6 T3 40,86 37,89 37,28 34,90 34,87 42,90 Bloque 2 T1 T3 T4 T6 T5 T2 41,87 47,89 47,28 64,90 50,87 52,90 Bloque 3 T6 T3 T5 T1 T2 T4 44,88 52,85 37,98 37,90 46,87 40,90 Bloque 4 T2 T4 T6 T5 T3 T1 41,48 39,78 47,78 44,90 44,97 42,88
