República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para La Educación Universitaria Universidad Fermín Toro Cabudare - Edo Lara ACTIVIDAD 01 Mecánica Estática Nombre: Alejandro Jordán Profesor: Daniel Duque Sección: SAIA -A Jueves 02 junio de 2022 Vectores Un vector es la representación gráfica de una magnitud física con la forma de una flecha recta, la cual posee una magnitud, una dirección y un sentido, dentro de un sistema de posición de referencia. Elementos De Un Vector. Los vectores se denotan con una sola letra, o con las letras de sus extremos. Características De Un Vector. Todo vector siempre posee tres cualidades que lo caracterizan: Magnitud O Módulo: Es la longitud del segmento rectilíneo de un vector y se simboliza indicando el vector entre barras: Dirección: Es el ángulo formado con la horizontal del vector. Sentido: Ubicación del vector hacia un extremo: sentido hacia la derecha o hacia la izquierda. Ubicación de un vector. El sistema de referencia del vector plano (en dos dimensiones) puede definirse de dos formas distintas: Coordenadas polares: Cuando se da el valor de su magnitud (longitud "r") y dirección (ángulo θ de formación con la horizontal). Coordenadas rectangulares: Cuando se da el valor de las componentes horizontal y vertical como un punto (a, b) en el plano cartesiano. Para realizar cambios de equivalencia entre las dos formas, se emplean las fórmulas de la Geometría Analítica. Operaciones Con Vectores Igualdad De Vectores. Dos vectores son iguales si tienen igual magnitud, dirección y sentido. No necesariamente deben de coincidir sus colas en el mismo punto. Se denota: Vector cero o nulo. Es el vector cuyos puntos inicial y terminal coinciden, por lo tanto, su magnitud es nula. Se simboliza por: Vector opuesto. Es el vector que tiene la misma magnitud y dirección, pero con sentido opuesto. Vectores colineales. Son aquellos que están contenidos en una misma línea recta. Pueden ser de sentidos iguales o contrarios. Vectores coplanares. Son aquellos que pertenecen a un mismo plano en el espacio. Vectores concurrentes. Son aquellos cuyas líneas de acción se cortan. Al punto de corte se le llama: Punto de Concurrencia. Las Operaciones Matemáticas de los vectores cumplen con todas las propiedades de las Operaciones Numéricas. Las Operaciones Básicas (suma y resta) para los vectores se pueden tratar de cuatro modos distintos, los cuales son: Métodos Geométricos. Método Del Polígono. Método Del Paralelogramo. Métodos Analíticos. Método De Las Componentes Rectangulares. Método Del Vector Como Un Número Complejo. Método Del Polígono. Desde el extremo final de un vector, se traza el segundo vector (conservando su magnitud, dirección y sentido), y desde el final de éste se traza el otro y así sucesivamente. Al final, el vector que une el comienzo del primero y el final del último, es el vector resultante. Método Del Paralelogramo. Se toma dos vectores y se hacen coincidir sus puntas iniciales conservando sus magnitudes, direcciones y sentidos. Luego se prolongan rectas paralelas, de tal modo que se forme un paralelogramo. La diagonal del mismo será el vector resultante final. Método De Las Componentes Rectangulares. Si se toma un vector dentro de un plano cartesiano, se obtendrá una proyección del mismo sobre cada eje, en forma separada. Esta propiedad se llama componentes del vector. Si se suman separadamente los componentes de varios vectores a la vez, se obtendrá las coordenadas del vector resultante. Todos los puntos iniciales de los vectores deben coincidir en el mismo punto. Dependiendo de los datos del vector, se pueden emplear las nociones de Trigonometría o de Geometría Analítica. Método Del Vector Como Un Número Complejo. Si se conocen los valores de las coordenadas de la ságita del vector, se pueden usar directamente como punto de la forma (a,b) semejante al de un Número Complejo. Los vectores, así representados, se pueden operar fácilmente como un número complejo en todas las operaciones matemáticas. Resta: Para restar un vector de otro, simplemente a uno se le suma el vector opuesto del otro. Multiplicación De Vectores Multiplicación Y División Por Una Constante. La multiplicación o división de un número real por un vector, sólo altera su magnitud, conservando su dirección inicial. Si el número es positivo, el sentido del vector no cambia; y si es negativo, cambia al sentido opuesto. La magnitud nueva se determina por la operación respectiva (sea multiplicar o dividir) entre el módulo del vector y el número dado. Producto Escalar: Es la multiplicación de un vector por un escalar. Su producto es un vector de la misma dirección y sentido del vector inicial, y su magnitud es el producto del escalar por el módulo del vector. Es una operación de multiplicación entre dos vectores que da como resultado un único número real. El producto escalar de dos vectores se calcula de la siguiente manera: · = | | · | | · cos α Siendo: | | el módulo o longitud del vector | | el módulo o longitud del vector α el ángulo que forman los vectores Por otro lado, se denomina Producto Vectorial a la operación de multiplicación que da como resultado un vector. Ejemplos de Producto Escalar: Veamos algunos ejemplos de cálculo de Producto Escalar: Ejemplo 1: Sean los vectores = (0, 4) y = (2, 2) calcular el producto escalar si entre ellos forman un ángulo de 45º. Calculamos el módulo de : | | = √(ax2 +ay2) = √(02 + 42) = √(0 +16) = √16 = 4 Calculamos el módulo de : | | = √(bx2 +by2) = √(22 + 22) = √22 (1 + 1) = 2√2 Coseno de 45º = √2 / 2 Por lo tanto, · = | | · | | · cos α = 4 · 2√2 · √2 / 2 = 4 · 2 = 8 Propiedades del Producto Escalar: Veamos algunas propiedades del Producto Escalar: El Producto Escalar de dos vectores ortogonales o perpendiculares es igual a 0 El Producto Escalar de dos vectores perpendiculares es igual al producto de sus módulos Propiedad Conmutativa: A · B = B · A Propiedad Distributiva: A · (B + C) = A · B + A · C Propiedad Asociativa: m · (A · B) = (m · A) · B = A · (m · B) Producto Punto (•): Es la multiplicación de dos vectores que forman entre sí un ángulo θ y da por resultado un escalar. Se define como el producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman. Producto Cruz (X): Es la multiplicación de dos vectores que forman entre sí un ángulo θ y da por resultado un vector. Se define como el producto de los módulos de ambos vectores por el seno del ángulo que forman. Se lee "A cruz B". Su dirección es perpendicular al plano de A y B (es un vector en el espacio tridimensional) en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto entre A y B. Producto Vectorial El producto vectorial y el producto escalar son las dos formas de multiplicar vectores que se realizan en la mayoría de las aplicaciones de Física y Astronomía. La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos. La magnitud del producto vectorial se representa de la forma: y la dirección es dada por la regla de la mano derecha. Si los vectores se expresan por medio de sus vectores unitarios i, j, y k en las direcciones x, y, y z, entonces el producto vectorial, se expresa de esta forma bastante engorrosa: que corresponde al desarrollo de la forma más compacta de un determinante del producto vectorial. Determinante del Producto Vectorial El producto vectorial se representa de forma compacta por medio de un determinante que para el caso de dimensión 3x3 tiene un desarrollo matemático conveniente: A partir de esta forma familiar, podemos desarrollarlo para obtener su forma expandida: Aplicaciones del Producto Vectorial Geométricamente, el producto vectorial es útil como método de construcción de un vector perpendicular al plano, si se tiene dos vectores en ese plano. Físicamente, aparece en el cálculo de par de fuerza y en el cálculo de la fuerza magnética de una carga en movimiento. Enunciado de la ley de los senos. “En todo triangulo se cumple que la razón del seno de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto.” Lo anterior se expresa así: Ley de los cosenos. “En todo triangulo se cumple que conociendo 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos, se puede conocer el tercer lado” Esto supone 3 posibilidades: Solución de triángulos. Resolver un triángulo significa conocer todos los ángulos y los lados de este. Para resolver un triángulo se pueden utilizar la ley de senos, la ley de cosenos o también el teorema de Pitágoras. Veamos la aplicación de estas leyes en los siguientes ejemplos. Ejemplos: Resolver los siguientes triángulos: Hallar los ángulos α , β , θ Luego de hallar θ: Como los ángulos interiores de todo triangulo suman 1800, entonces: θ=1800-(α+β) θ=1800-(37.400+84.930)=57.670 2) No se conocen “a”, β ni α EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1) Encontrar el perímetro de un pentágono regular inscrito en un círculo con radio 1.26m. Como el triángulo es isósceles los ángulos interiores α son iguales y con un valor α=180-72/2=54º Hallando L, por ley de senos. Luego el perímetro es P=5(1.48m)=7.4m 1) Un hombre observa que el ángulo de elevación a la parte alta de una torre es de 300, camina hacia la torre 300m y encuentra que el ángulo es ahora de 600, que altura tiene la torre. Solución:
