E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL D EPARTAMENTO DE F ORMACIÓN B ÁSICA C ÁLCULO EN UNA VARIABLE P RUEBA 2 26 DE JULIO 2018 E JERCICIOS : 1. Halle las asíntotas de la función definida por 2 x − 2x 2x + 1 f (x) = 2 x − 16 2 x − 4x si x ≤ −1, si x > −1 ∧ x2 6= 4x. 2. Dado el gráfico de la derivada de la función f : R → R. Si los únicos ceros de f son −4 y 0, determine la monotonía, concavidad y extremos relativos de f mediante un cuadro resumen y esboce la gráfica de la función f . 3. Halle la familia de funciones u tales que d2 u = tan(v) sec2 (v). dv2 4. Dada la función f ( x ) = | x − 2| en [0, 5], calcule el área bajo la curva utilizando sumas de Riemman. S UGERENCIA : Divida el intervalo dado en dos partes. 5. Calcule el área de la región delimitada por las curvas y2 = 2 + x 6. Si f ( x ) = Z sen( x ) p 0 1 + t2 dt y g(y) = Z y 3 y y = 4 − x. f ( x )dx, calcule g′′ π 6 . 7. Determine el valor c ∈ [−1, 1] que verifica el teorema del valor intermedio para integrales con la función f ( x ) = x2 + 2x. 8. Determine el área exacta de la región acotada por la recta x = 4, y la curva x3 − x2 + 2xy − y2 = 0, utilizando rectángulos verticales. Sabiendo que al resolver el ejercicio utilizando rectángulos horizontales Z f (4) f (0) f −1 (y)dy = 128 . 5 S UGERENCIA 1: Resuelva la ecuación cuadrática en y (exprese y como dos funciones de x). S UGERENCIA 2: No necesita graficar, analice la funciones.
