Tema4 CalDiferVariasVar 2021

Capı́tulo
4
CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES
DE VARIAS VARIABLES
4.1.
Funciones de varias variables
Hasta ahora sólo hemos considerado magnitudes que dependen únicamente de otra, es decir, funciones
que dependen de una variable. Sin embargo, hay otras muchas magnitudes que dependen de dos o más variables,
como el volumen de un cilindro que depende del radio de la base y de la altura (V = πr2 h) o en la ecuación
de estado de los gases ideales, donde el volumen depende de la presión, temperatura y la cantidad de materia
(V =
nRT
P
).
La posición de un móvil o la temperatura en una región del plano o del espacio queda determinada por
sus coordenadas (dos en el plano y tres en el espacio). Pero en cinemática hay que considerar su velocidad
(otros dos o tres valores más respectivamente). Es decir, aunque habitualmente trabajamos con una, dos o tres
coordenadas, en otros muchos problemas nos vemos obligados en la necesidad de aumentar dicho número y, a
veces, trabajar con infinitas dimensiones.
Al igual que hicimos en una variable, antes de adentrarnos en el estudio de las funciones de varias variables
vamos a considerar en primer lugar el conjunto donde vamos a definir dichas funciones: El espacio Rn .
4.1.1.
El Espacio Rn
n
z
}|
{
El espacio R es el producto cartesiano R × R × · · · × R. Es decir,
n
Rn = {(x1 , x2 , · · · , xn )|xi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n}.
71
72
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
En particular, los espacios más cercanos a nuestra intuición geométrica y que serán los que consideraremos
habitualmente son
R2 = {(x, y)|x, y ∈ R},
R3 = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R}.
que representan el conjunto de puntos o vectores del plano y del espacio respectivamente.
Z
z
P (x, y, z)
Y
y
P (x, y)
~k
~v
~j
x
~i
x
~v
~j
y
~i
Y
X
X
Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores e~1 ≡ ~i = (1, 0) y e~2 ≡
~j = (0, 1) de manera que ~v = (x, y) = x~i + y ~j = x e~1 + y e~2 . Análogamente en el espacio, e~1 ≡ ~i = (1, 0,0),
e~2 ≡ ~j = (0, 1, 0) y e~3 ≡ ~k = (0, 0, 1), obteniéndose que ~v = (x, y, z) = x~i + y ~j + z ~k = x e~1 + y e~2 + z e~3 .
Observar que (x, y) representa indistintamente las coordenadas de un punto P en el plano o las componentes de un vector que une el origen de coordenadas con el punto P .
Los siguientes conceptos los definimos para R3 , siendo inmediata su generalización a R2 ó Rn .
Dados los vectores ~u = (x, y, z) y ~v = (x0 , y 0 , z 0 ) llamaremos producto escalar de ~u y ~v al número real
~u · ~v = x x0 + y y 0 + z z 0 .
El módulo, norma o longitud de un vector se define como
p
√
|~u| = ~u · ~u = x2 + y 2 + z 2 .
Se expresa también como k~uk. En el caso de R coincide con el valor absoluto. La distancia entre dos puntos o
vectores se define mediante
d(~u, ~v ) = |~u − ~v | =
p
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 .
donde ~u − ~v = (x − x0 , y − y 0 , z − z 0 ).
~uN
Si |~u| = 1 diremos que el vector ~u es unitario (los vectores ~i, ~j, ~k son unitarios). El vector ~u normalizado,
~u
=
es un vector unitario de la misma dirección y sentido que ~u.
|~u|
Ejemplo: Dado el vector ~u = (−2, 5, 1), su módulo es
p
√
|~u| = (−2)2 + 52 + 12 = 30.
4.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
73
El vector unitario de la misma dirección y sentido que ~u será
1
−2 5
√
√
√
.
,
.
~uN =
30 30
30
Este vector lo utilizaremos para calcular derivadas direccionales. Si consideramos el vector ~v = (1, −1, 1), el
producot escalar
~u · ~v = (−2, 5, 1) · (1, −1, 1) = −2 − 5 + 1 = −6
El vector ~u − ~v = (−2, 5, 1) − (1, −1, 1) = (−3, 6, 0) con lo que la distancia
p
√
d(~u, ~v ) = |~u − ~v | = |(−3, 6, 0)| = (−3)2 + 62 + 02 = 45.
El ángulo entre dos vectores se obtiene mediante
cos θ =
~v
~u · ~v
|~u| |~v |
θ
(esta expresión se obtiene aplicando el teorema del co-
~u
seno al triángulo formado por los vectores ~u, ~v y ~u −~v ).
Consecuencia: ~u ⊥ ~v (~u y ~v son ortogonales) ⇐⇒ ~u · ~v = 0.
√
√
Ejemplo: Obtener el ángulo formado entre los vectores ~u = (2 3, 2) y ~v = (3, 3 3).
√
√
√
√
√
~u · ~v
6 3+6 3
12 3
3
3
π
√
cos θ =
=√
=
=
=⇒ θ = arc cos
=
|~u| |~v |
24
2
2
3
12 + 4 9 + 27
4.1.2.
Geometrı́a en R3
Ecuación de una recta en el espacio
X
A
~v
La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A y su vector direccional es ~v la podemos expresar
mediante:
OX = OA + λ~v .
O
Si OX = (x, y, z), OA = (a, b, c) y ~v = (v1 , v2 , v3 ), podemos escribir la ecuación anterior componente a
componente con lo que obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta:


 x = a + λv1
y = b + λv2


z = c + λv3
74
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
Eliminando λ de las ecuaciones anteriores obtenemos la expresión
x−a
y−b
z−c
=
=
,
v1
v2
v3
que nos indica que las componentes de los vectores AX y ~v deben de ser proporcionales. Y de aquı́, utilizando
dos de las tres ecuaciones anteriores, llegamos a la ecuación de una recta como intersección de dos planos:
(
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Si nos dan dos puntos A(x0 , y0 , z0 ) y B(x1 , y1 , z1 ) por los que pasa la recta, el vector direccional de la
recta es ~v = (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ) con lo que las ecuaciones anteriores quedarán de la siguiente forma


 x = x0 + λ(x1 − x0 )
y = y0 + λ(y1 − y0 )


z = z0 + λ(z1 − z0 )
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
x1 − x0
y1 − y0
z1 − z0
Ejemplos:
• Obtener la ecuación de la recta que pasa por (3, −1, 2) y tiene como vector direccional ~v = 2~i − 3~j + 4~k.
Plantearemos en primer lugar la ecuación vectorial: (x, y, z) = (3, −1, 2) + λ(2, −3, 4). De aquı́ obtenemos
la ecuación paramétrica


 x = 3 + 2λ
y = −1 − 3λ


z = 2 + 4λ
Eliminando λ se llega a
x−3
y+1
z−2
=
=
2
−3
4
y considerando la igualdad del primer miembro con el segundo y tercer miembros obtenemos
(
(
−3x + 9 = 2y + 2
3x + 2y − 7 = 0
=⇒
4x − 12 = 2z − 4
2x − z − 4 = 0
• Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 1, −3) y (6, −1, −5).
En este caso obtenemos,




 x = 2 + 4λ
 x = 2 + λ(6 − 2)
=⇒
y = 1 + λ(−1 − 1)
y = 1 − 2λ




z = −3 + λ(−5 + 3)
z = −3 − 2λ
x−2
y−1
z+3
x−2
y−1
z+3
=
=
=⇒
=
=
6−2
−1 − 1
−5 + 3
4
−2
−2
(
(
−2x + 4 = 4y − 4
x + 2y − 4 = 0
=⇒
y−1=z+3
y−z−4=0
4.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
75
Ecuación de un plano
Si conocemos un vector perpendicular al plano (vector
~v
caracterı́stico), el plano estará formado por todos los
·
X
vectores ortogonales al anterior, es decir, los vectores
que cumplan
A
AX · ~v = 0.
Si ~v = (A, B, C); A = (a, b, c) y X = (x, y, z), la condición anterior quedará
(A, B, C) · (x − a, y − b, z − c) = 0
A(x − a) + B(y − b) + C(z − c) = 0
Ax + By + Cz + D = 0
Ejemplos:
• Determinar el plano que pasa por (1, 0, 0) y es perpendicular al vector ~v = ~i + ~j + ~k.
De acuerdo con la ecuación anterior, la ecuación del plano será
1(x − 1) + 1(y − 0) + 1(z − 0) = 0 =⇒ x + y + z − 1 = 0.
• Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 1), B(2, 0, 0) y C(1, 1, 0).
Para aplicar la ecuación anterior necesitamos un vector perpendicular la plano. Este vector será el producto
~ y AC.
~
vectorial de los vectores AB
~ × AC
~ =
~v = AB
~i
~j
~k
2−1
0−1
0−1
1−1
1−1
0−1
=
~i
~j
~k
1
−1
−1
0
0
−1
= ~i + ~j.
Por tanto, la ecuación del plano será
1(x − 1) + 1(y − 1) + 0(z − 1) = 0 =⇒ x + y − 2 = 0.
Nota 4.1.1. Dados dos vectores ~v = (x1 , y1 , z1 ) y w
~ = (x2 , y2 , z2 ) su producto vectorial es un vector perpendicular
a ~v y w
~ definido mediante
~v × w
~=
~i
~j
~k
x1
y1
z1
x2
y2
z2
76
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
4.1.3.
Funciones de varias variables
Definición 4.1.2. Dado un conjunto D ⊂ Rn , llamaremos función de Rn en Rm a una regla que hace corresponder
un único valor de Rm a cada elemento de D.
La representaremos por
f : D ⊂ Rn −→ Rm
~x = (x1 , x2 , · · · , xn ) 7−→ ~y = f (~x) = (y1 , y2 , · · · , ym )
Los conceptos de dominio de definición y conjunto imagen se definen de forma análoga a los de una variable.
Ejemplos:
• Dada f (x, y) = xy, su dominio de definición es todo R2 mientras que su conjunto imagen es toda la recta
real (−∞, ∞) (se trata de una función de R2 en R).
p
• La función f (x, y) = 1 − (x2 + y 2 ), tiene como dominio de definición el conjunto {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1}
(el circulo unidad) y su conjunto imagen es el intervalo [0, 1].
La gráfica de f es el conjunto {(~x, ~y ) ∈ Rn+m |~y = f (~x), ~x ∈ dom f }. Por tanto, sólo podremos visualizar
funciones que verifiquen que n + m ≤ 3. La representación gráfica de una función f : D ⊂ R2 −→ R es una
p
superficie en el espacio. La gráfica de la función f (x, y) = 1 − (x2 + y 2 ) es la semiesfera
Tipos de funciones
Dada f : D ⊂ Rn −→ Rm , si m = 1 se les denomina campos escalares, por ejemplo, el potencial
eléctrico, y si m > 1 se les denomina campos vectoriales, por ejemplo, el campo eléctrico. En función de los
valores de n y m podemos clasificar las funciones de la siguiente forma:
• n = m = 1: f : D ⊂ R −→ R. Funciones reales de variable real (o de una variable).
• n = 1, m > 1: f : D ⊂ R −→ Rm . Funciones o campos vectoriales de variable real.
• n > 1, m = 1: f : D ⊂ Rn −→ R. Funciones de varias variables o campos escalares.
4.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
77
• n > 1, m > 1: f : D ⊂ Rn −→ Rm . Funciones vectoriales de varias variables o campos vectoriales.
En el caso de las campos vectoriales
f : D ⊂ Rn −→ Rm
~x = (x1 , x2 , · · · , xn ) 7−→ ~y = f (~x) = (y1 , y2 , · · · , ym )
podemos definir m funciones de varias variables
fi : D ⊂ Rn −→ R
~x = (x1 , x2 , · · · , xn ) 7−→ yi
i = 1, 2, · · · , m, de forma que f (~x) = (f1 (~x), f2 (~x), · · · , fm (~x)). A estas funciones fi se les llama funciones
coordenadas o componentes de f y ası́, un campo vectorial lo podemos expresar como un vector de funciones
f~ = (f1 , f2 , · · · , fm ) de manera que
f~(~x) = (f1 (~x), f2 (~x), · · · , fm (~x)) = (y1 , y2 , · · · , ym ).
Por ejemplo, la función f~(x, y) = (x2 y, x2 − y 2 , 2x + y) es una función f~ : D ⊂ R2 −→ R3 que tiene como
funciones coordenadas, f1 (x, y) = x2 y, f2 (x, y) = x2 − y 2 y f3 (x, y) = 2x + y.
Estudiar un campo vectorial f~ equivaldrá a estudiar simultáneamente sus funciones coordenadas f1 , f2 , · · · , fm .
En adelante, prestaremos especial atención al estudio de las funciones o campos escalares de R2 en R.
4.1.4.
Curvas y superficies de nivel
No siempre es fácil de dibujar la representación gráfica de una función z = f (x, y). Afortunadamente,
actualmente hay muchos programas de ordenador que facilitan la tarea. Fijando una variable podemos ver el
tipo de curva que describen las otras variables y ası́ intuir la forma gráfica la función, pero ésto, la mayor parte
de las veces es complicado.
Otra forma de visualizar estas funciones es recurrir a las curvas de nivel, método utilizado normalmente en los mapas topográficos donde se trazan lı́neas para representar altitudes constantes, y que aunque no
representan a la superficie, dan una idea de ella. Las curvas de nivel consisten en representar gráficamente el
conjunto de puntos de la superficie que se encuentran a la misma altura, es decir,
Definición 4.1.3. Llamaremos curva de nivel de f : D ⊂ R2 −→ R al conjunto de puntos (x, y) tales que
f (x, y) = k, con k constante.
Las curvas de nivel es un subconjunto de puntos de D y por tanto están en el plano R2 . A partir de las
curvas de nivel etiquetadas con el valor o “altura”de la función se puede deducir la forma de la gráfica elevando
cada curva a su “altura”que le corresponda.
78
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
Ejemplos:
Las curvas de nivel del paraboloide f (x, y) = 4−x2 −y 2
√
son circunferencias de centro el origen y radio 4 − k.
4 − x2 − y 2 = k =⇒ x2 + y 2 = 4 − k
También son circunferencias las curvas de nivel de la
p
semiesfera f (x, y) = 4 − x2 − y 2 , pero en este caso
√
son de radio 4 − k 2 .
p
4 − x2 − y 2 = k =⇒ x2 + y 2 = 4 − k 2
Las curvas de nivel de ambas superficies coinciden para k = 0 y para k = 1. El paraboloide crece más
rápidamente cerca del origen.Cuanto más cerca estén entre sı́ las curvas de nivel, más rápidamente crece la
función.
Una función de tres variables, f : D ⊂ R3 −→ R no la podemos representar gráficamente ya que
necesitarı́amos un espacio de 4 dimensiones. En este caso la superficie f (x, y, c) = k representa una superficie
de nivel de la función y nos da el conjunto de puntos en el espacio que tienen la misma imagen.
Ejemplo: Las superficies de nivel de la función f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 son las esferas de centro el origen
√
y radio k, x2 + y 2 + z 2 = k.
De acuerdo con todo lo anterior, la relación entre la forma de representar una curva y las funciones es la
siguiente:
Curvas en el plano
• Explı́cita: Representación gráfica de f : D ⊂ R −→ R : y = f (x).
• Implı́cita: Curvas de nivel de f : D ⊂ R2 −→ R : f (x, y) = k.
(
x = x(t)
2
• Paramétrica: Conjunto imagen de f : D ⊂ R −→ R :
.
y = y(t)
4.2. DERIVADAS PARCIALES
79
Superficies en el espacio
• Explı́cita: Representación gráfica de f : D ⊂ R2 −→ R : z = f (x, y).
• Implı́cita: Superficies de nivel de f : D ⊂ R3 −→ R : f (x, y, z) = k.


 x = x(u, v)
• Paramétrica: Conjunto imagen de f : D ⊂ R2 −→ R3 :
y = y(u, v) .


z = z(u, v)
Observación: La función z = f (x, y) se puede considerar la curva de nivel de la función F (x, y, z) = f (x, y)−z =
0. Se utilizará esta más adelante para obtener determinados resultados.
4.2.
Derivadas Parciales
No estudiaremos en este capı́tulo los conceptos de lı́mite y continuidad que básicamente son análogos
a los de funciones de una variable. Aunque el concepto de lı́mite ocupa un lugar central en la definición de
la diferencial, en el estudio que vamos a realizar, al igual que ocurrı́a con las funciones de una variable, no es
necesario un conocimiento profundo de este concepto para poder abordar los problemas de diferenciación que
vamos a tratar.
Dada una función f : D ⊂ R2 −→ R no es posible definir el concepto de derivada de forma análoga al de
funciones reales de variable real.
Una definición semejante serı́a de la forma
f 0 (a, b) =
lı́m
(x,y)→(a,b)
f (x, y) − f (a, b)
.
(x, y) − (a, b)
Este cociente no está definido ya que no es posible dividir por un vector y, aunque dividiéramos por la norma
k(x, y) − (a, b)k, no obtenemos una extensión satisfactoria de la derivada que mantenga las propiedades vistas
para funciones de una variable.
Sin embargo, es posible establecer una noción restringida para las funciones de varias variables que es el
concepto de derivada parcial que consiste en estudiar la variación de la función según una variable dejando
lo otra fija, con lo cual obtenemos una definición análoga a la derivada de una función de variable real:
∂f
f (a + h, b) − f (a, b)
(a, b) = = lı́m
h→0
∂x
h
f (a, b + k) − f (a, b)
∂f
(a, b) = = lı́m
k→0
∂y
k
En la derivada parcial respecto de x estudiamos la variación de la función siguiento la dirección del eje OX y
en la derivada parcial respecto de y estudiamos la variación de la función siguiento la dirección del eje OY La
notación habitual que utilizaremos es
∂f
≡ fx ≡ f1
∂x
∂f
≡ fy ≡ f2
∂y
80
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
Nota 4.2.1. i) La generalización para funciones f : D ⊂ Rn −→ R es inmediata.
ii) Observar que de la definición de derivada parcial deducimos que la misma es equivalente a una
derivada respecto de una variable (aquella respecto de la cual estamos derivando). Por tanto, para hallar
derivadas parciales podremos aplicar las mismas reglas de derivación que hemos obtenido para las funciones de
una variable.
iii) El concepto de derivada parcial es un caso particular de la derivada direccional. En la derivada
direccional estudiamos la variación de la función según la dirección de un vector v = (v1 , v2 ). En el caso
particular v = (1, 0) tenemos la
∂f
∂x (a, b)
y si v = (0, 1) tenemos la
∂f
∂y (a, b).
Más adelante veremos una forma
sencilla de obtener la derivada direccional a través del vector gradiente para fuciones diferenciables en el punto.
Interpretación geométrica:
La intersección de la superficie representación gráfica de la función z = f (x, y) con un plano cuya traza
en el plano XY lleva la dirección del vector v da una curva sobre dicha superficie. La pendiente de la tangente
a esa curva en el punto (~a, f (~a)) es igual a la derivada direccional de f en a según el vector v.
tan α =
∂f
(a)
∂v
Z
f (~a)
~a
Y
~v
α
X
En los casos particulares en las que la dirección del vector v tenga la dirección de los ejes coordenas, tenemos
las derivadas parciales.
4.2. DERIVADAS PARCIALES
81
Ejemplos:
1. Obtener las derivadas parciales de la función
(
f (x, y) =
x3
x2 +y 2 ,
(x, y) 6= (0, 0);
0,
(x, y) = (0, 0).
Para calcular la derivada parcial respecto de x en un punto (x, y) 6= (0, 0) derivaremos respecto de x
suponiendo la y fija; y derivando respecto de y suponiendo la x fija, obtendremos la derivada parcial
respecto de y.
∂f
x2 (x2 + 3y 2 )
3x2 (x2 + y 2 ) − 2x4
=
(x, y) =
2
2
2
∂x
(x + y )
(x2 + y 2 )2
∂f
−2yx3
(x, y) = 2
∂y
(x + y 2 )2
Estos valores no están definidos en el origen, lo cual no quiere decir que no existan las derivadas parciales
en el origen. Para calcular dichas derivadas parciales deberemos aplicar la definición:
f (0 + h, 0) − f (0, 0)
h−0
∂f
(0, 0) = lı́m
= lı́m
=1
h→0
h→0
∂x
h
h
∂f
f (0, 0 + k) − f (0, 0)
0−0
(0, 0) = lı́m
= lı́m
=0
k→0
k→0
∂y
k
k
2. Si consideramos la función f (x, y, z) = cos xy 2 z 3 + xz sen y, se obtiene
∂f
(x, y, z) = − y 2 z 3 sen xy 2 z 3 + z sen y
∂x
∂f
(x, y, z) = − 2xyz 3 sen xy 2 z 3 + xz cos y
∂y
∂f
(x, y, z) = − 3xy 2 z 2 sen xy 2 z 3 + x sen y
∂z
Nota 4.2.2. La existencia de las derivadas parciales en un punto, no es condición necesaria ni suficiente para la
continuidad de la función en ese punto. Ası́, por ejemplo,
(
y
2
2
x sin(x + y ),
f (x, y) =
0,
x 6= 0;
x = 0.
tiene todas derivadas parciales en (0, 0)
∂f
f (0 + h, 0) − f (0, 0)
0−0
(0, 0) = lı́m
= lı́m
=0
h→0
h→0
∂x
h
h
∂f
f (0, 0 + k) − f (0, 0)
0−0
(0, 0) = lı́m
= lı́m
=0
h→0
h→0
∂y
k
h
pero no es continua en (0, 0), ya que si nos acercamos al origen por la curva x = y 3 el lı́mite no es f (0, 0):
y
y
y7 + y3
sin(x2 + y 2 ) = lı́m 3 sin(y 6 + y 2 ) = lı́m
= 1 6= f (0, 0),
y→0 y
y→0
(x,y)→(0,0) x
y3
3
3
3
lı́m
x=y
x=y
x=y
82
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
donde se ha tenido en cuenta que sen f (x) ∼ f (x), si f (x) → 0.
x→a
Por otra parte se puede ver que la función
 p

x2 + y 2 sen √ 21 2 , (x, y) 6= (0, 0);
x +y
f (x, y) =
 0,
(x, y) = (0, 0).
es continua en el origen pero no es derivable según ningún vector de R2 en ese punto.
4.3.
Diferencial de un campo escalar
Ya se ha comentado que el concepto de derivada no se puede ampliar a funciones de varias variables
y que vistos los últimos ejemplos del apartado anterior, ni siquiera, las derivadas parciales o direccionales nos
dan propiedades análogas como las de la derivada de una función de una variable. Es por ello que necesitamos
extender el concepto de derivada de una función de una variable.
En primer lugar consideraremos el caso de un campo escalar o función de varias variables f : D ⊂
n
R −→ R.
Volvamos a la definición de derivada para una función de una variable:
f 0 (a) = lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x−a
que se puede expresar de la forma
f (x) − f (a)
f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a)
lı́m
− f 0 (a) = lı́m
=0
x→a
x→a
x−a
x−a
Es decir, podrı́amos haber definido la derivada de f en a diciendo que f es derivable en a, si existe un k ∈ R
tal que
f (x) − f (a) − k(x − a)
=0
x−a
El valor k será la derivada de f en a. Como el lı́mite tiene que existir por la derecha y por la izquierda podemos
lı́m
x→a
poner
f (x) − f (a) − k(x − a)
=0
|x − a|
Observar que para cada punto a en que f es derivable, existe el valor k y esto nos define una aplicación lineal
lı́m
x→a
en a
La (x) = k(x − a)
que actúa sobre el incremento de la variable independiente. A esta aplicación le llamamos diferencial de f en
a y la denotamos por dfa de forma que
dfa (x) = f 0 (a)(x − a)
Sabemos que gráficamente esta función representa el incremento de la función a través de la recta tangente a
la gráfica de f en a y de acuerdo con
f (x) − f (a) + f 0 (a)(x − a)
lı́m
=0
x→a
|x − a|
4.3. DIFERENCIAL DE UN CAMPO ESCALAR
83
lo que hemos obtenido es que la diferencia entre el valor de f (x) y el obtenido a través de la recta tangente en
x = a es cero aun al dividirse pr |x − a| cuando x → a. Esta idea es la que vamos a extender a continuación.
Para un campo escalar f : D ⊂ Rn −→ R y a ∈ Rn , ésta es la definición que vamos a considerar.
Definición 4.3.1. Diremos que f : D ⊂ Rn −→ R es diferenciable en a ∈ D si existe una aplicación lineal
L : Rn −→ R tal que
f (x) − f (a) + L(x − a)
lı́m
=0
x→a
kx − ak
Si x = (x1 , x2 , . . . , xn ) y a = (a1 , a2 , . . . , an ), una aplicación lineal L : Rn −→ R queda definida mediante
n constantes k1 , k2 , . . . , kn de la siguiente forma:
L(x − a) = k1 (x1 − a1 ) + k2 (x2 − a2 ) + · · · + kn (xn − an ).
Como x − a representa el incremento h de la variable, el lı́mite anterior se puede expresar mediante
f (a + h) − f (a) + L(h)
lı́m
=0
khk
h→0
El vector incremento h se suele representar indistintamente como
h = (h1 , h2 , . . . , hn ) = (dx1 , dx2 , . . . , dxn ).
∂f
(a). Por consiguiente, para una función de dos variables,
∂xi
que es el caso habitual con el que vamos a trabajar, f : D ⊂ R2 −→ R es diferenciable en (a, b) ∈ D, si
∂f
f (x, y) − f (a, b) + ∂f
(a,
b)(x
−
a)
+
(a,
b)(y
−
b)
∂x
∂y
p
lı́m
=0
2
2
(x,y)→(a,b)
(x − a) + (y − b)
En el caso de la diferencial, se obtiene que ki =
o bien
f (a + h, b + k) − f (a, b) + ∂f
∂x (a, b)h +
√
lı́m
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
∂f
∂x (a, b)k
=0
donde los incrementos de cada una de las variables son h = x − a y k = y − b.
A la aplicación lineal L le llamaremos diferencial de f en a y la representaremos por dfa .
dfa (h) =
∂f
∂f
∂f
(a)h1 +
(a)h2 + · · · +
(a)hn
∂x1
∂x2
∂xn
En el caso de una función de dos variables,
df(a,b) (h, k) =
∂f
∂f
∂f
∂f
(a, b)h +
(a, b)k =
(a, b)(x − a) +
(a, b)(y − b).
∂x
∂y
∂x
∂y
Ejemplo: Consideramos la función f (x, y) = x2 + y 2 y queremos estudiar su diferenciabilidad en el punto (1, 1):
La función f (x, y) es diferenciable en (1, 1), ya que
f (1 + h, 1 + k) − f (1, 1) + ∂f
∂x (1, 1)h +
√
lı́m
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
∂f
∂y (1, 1)k
=0
84
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
es decir, se debe cumplir que el siguiente lı́mite
(1 + h)2 + (1 + k)2 − (2 + 2h + 2k)
√
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
lı́m
=
p
h2 + k 2
√
=
lı́m
h2 + k 2 = 0.
(h,k)→(0,0)
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
lı́m
Su diferencial en dicho punto es df(1,1) (h, k) = 2h + 2k, donde h = x − 1 y k = y − 1.
Proposición 4.3.2. La diferencial de una función en un punto, si existe, es única.
Proposición 4.3.3. Si una función es diferenciable en un punto, es continua en dicho punto.
El recı́proco del resultado anterior no es cierto. La función f (x, y) =
p
x2 + y 2 es continua en el origen,
pero no es diferenciable en dicho punto ya que no existen las derivadas parciales de la función en el origen.
4.3.1.
Vector gradiente
∂f
∂f
∂f
(a),
(a), . . . ,
(a) se le llama vector gradiente de f en a. Este vector
∂x1
∂x2
∂xn
es la expresión matricial de la aplicación lineal que es la diferencial, podremos identificar la diferencial por su
Al vector ∇f (a) =
matriz asociada que es dicho vector. Ası́ pues,
dfa (h) =
∂f
∂f
∂f
(a)h1 +
(a)h2 + · · · +
(a)hn
∂x1
∂x2
∂xn
∂f
∂f
∂f
(a),
(a), . . . ,
(a) · (h1 , h2 , . . . , hn ) = ∇f (a) · h,
∂x1
∂x2
∂xn
2
3
En los casos particulares de R y R el vector gradiente es ∇f (a, b) =
∂f
∂f
∂f
(a, b, c),
(a, b, c),
(a, b, c) respectivamente.
∂x
∂y
∂z
∂f
∂f
(a, b),
(a, b) y ∇f (a, b, c) =
∂x
∂y
Teorema 4.3.4. Sea f : D ⊂ Rn −→ R diferenciable en a. Entonces, existen todas derivadas direccionales de
f en a y en particular todas sus derivadas parciales. Además, se cumple:
∂f
(a) = dfa (v) = ∇f (a) · v.
∂v
El teorema anterior nos dice que una condición necesaria, aunque no suficiente, para que una función sea
diferenciable en un punto, es la existencia de derivadas parciales en dicho punto. Si f diferenciable en a sabemos
que es continua en dicho punto pero ya vimos al introducir las derivadas parciales que no hay relación entre
éstas y las continuidad de una función en un punto. Una condición suficiente es
Proposición 4.3.5. Si existen las derivadas parciales y son continuas en un punto, entonces la función es
diferenciable en ese punto.
A la expresión
df =
∂f
∂f
∂f
dx1 +
dx2 + · · · +
dxn
∂x1
∂x2
∂xn
4.3. DIFERENCIAL DE UN CAMPO ESCALAR
85
se le llama expresión analı́tica de la diferencial.
Ejemplo: Para f (x, y) = 2x sen y − 3x2 y 2 , la expresión analı́tica de la diferencial será
df =
∂f
∂f
dx +
dy = (2 sen y − 6xy 2 )dx + (2x cos y − 6x2 y)dy
∂x
∂y
Observar que las derivadas parciales
∂f
∂x
y
∂f
∂y
son continuas para todo punto de R2 , luego la función es diferen-
ciable en todo R2 .
La relación entre los conceptos que hemos utilizado es la siguiente:
deriv. parciales
⇑
deriv. parciales continuas
=⇒
diferenciable
⇓
continua
Ejemplo: Dada la función f (x, y, z) = x sen πy + y cos πz, el vector gradiente en un punto genérico (x, y, z)
será
∇f =
∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z
= (sen πy, πx cos πy + cos πz, −πy sen πz)
Observar que las derivadas parciales calculadas anteriormente son continuas en todo punto de R3 y por lo tanto
la función f es diferenciable en todo R3 .
Si queremos calcular el gradiente en un punto, por ejemplo, en (0, 1, 2)
∂f
∂f
∂f
(0, 1, 2),
(0, 1, 2),
(0, 1, 2) = (0, 1, 0) = j
∇f (0, 1, 2) =
∂x
∂y
∂z
Si queremos
calcular
la derivada direccional de la función en el punto (0, 1, 2) según la dirección del vector
1 √1 √1
√
v=
, 3 , 3 , obtenemos
3
∂f
1
1
1
1
(0, 1, 2) = ∇f (0, 1, 2) · v = (0, 1, 0) · √ , √ , √
=√ .
∂v
3
3
3
3
Finalmente, la diferencial de la función en el punto (0, 1, 2) será
df(0,1,2) (h, k, l) = ∇f (0, 1, 2) · (h, k, l) = (0, 1, 0) · (h, k, l) = k.
Propiedades del gradiente
Si kvk = 1, sabemos que
∂f
(a) = ∇f (a) · v = k∇f (a)k kvk cos θ = k∇f (a)k cos θ
∂v
que es el valor de la proyección ortogonal del vector gradiente en la dirección del vector v. Este valor es máximo
si θ = 0, en cuyo caso la dirección de v es la del vector ∇f (a); en este caso se obtiene que
∂f
(a) = k∇f (a)k
∂v
86
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
∂f
(a) = 0, con lo cual la función no varı́a según la dirección
∂v
tangente a v, es decir, nos movemos en una curva de nivel. En resumen:
Por otro lado si θ =
π
2,
es decir, v⊥∇f (a) y
En cada punto, el gradiente indica la dirección según la cual la derivada direccional es máxima, es decir,
la dirección de mayor crecimiento de la función.
En cada punto, el gradiente es ortogonal a la curva o superficie de nivel que pasa por ese punto de una
función z = f (x, y) ó w = f (x, y, z) respectivamente.
La derivada direccional de la función z = f (x, y) según la dirección tangente a una curva de nivel es 0.
4.3.2.
Interpretación geométrica. Plano tangente. Aproximación lineal
Dada f : D ⊂ R2 −→ R diferenciable en (a, b) ∈ D, existe un único plano tangente a la superficie
z = f (x, y) en (a, b) de ecuación
z = f (a, b) +
∂f
∂f
(a, b)(x − a) +
(a, b)(y − b)
∂x
∂y
expresión que podemos también podemos escribir
z = f (a, b) + df(a,b) (x − a, y − b)
que es analóga a la de la recta tangente en un punto para funciones de una variable (y = f (a) + f 0 (a)(x − a) =
f (a) + dfa (x − a)).
Observar que el verdadero incremento de la función es
4f = f (x, y) − f (a, b)
mientras que el incremento a través del plano tangente es
z − f (a, b) = df(a,b) (x − a, y − b) =
∂f
∂f
(a, b)(x − a) +
(a, b)(y − b)
∂x
∂y
De esta forma, la diferencial nos permite realizar una aproximación del valor de una función en un punto
mediante una aproximación lineal, es decir moviéndonos por el plano tangente en lugar de por la gráfica de la
función. Ası́, si queremos obtener el valor de f en un punto (x, y) cercano a (a, b), lo podemos obtener de forma
aproximada mediante el valor de la función en (a, b) incrementado en df(a,b) (x − a, y − b), es decir,
f (x, y) ≈ f (a, b) +
∂f
∂f
(a, b)(x − a) +
(a, b)(y − b)
∂x
∂y
|
{z
}
df(a,b) (x−a,y−b)
Observar que la diferencial también nos da una estimación del error obtenido al aproximar f (x, y) por f (a, b):
|f (x, y) − f (a, b)| ≈ |df(a,b) (x − a, y − b)|
4.3. DIFERENCIAL DE UN CAMPO ESCALAR
87
Ejemplos:
♦ La ecuación del plano tangente a la superficie z = x2 + y 2 en el punto (1, 1, 2) será
z = f (1, 1) +
∂f
∂f
(1, 1)(x − 1) +
(1, 1)(y − 1) = 2 + 2(x − 1) + 2(y − 1)
∂x
∂y
que escrito en forma implı́cita quedará
2x + 2y − z − 2 = 0
320 032/5
x2/5
utilizaremos
la
función
, como punto (a, b) = (32, 2),
10 954
y4
0
con lo que f (32, 2) = 0 25 y los incrementos de las variables independientes serán h = x − a = 00 03 y k = y − b =
♦ Para dar una estimación del valor
−00 05; por consiguiente
f (320 03, 10 95) ≈ f (32, 2) +
∂f
∂f
(32, 2)(00 03) +
(32, 2)(−00 05) ≈ 00 2751
∂x
∂y
♦ El radio y la altura de un cilindro recto miden 3 y 8 centı́metros respectivamente, con un error posible
en la medición de ±00 05 cm. Una estimación del error máximo posible al calcular el volumen del cilindro
V (r, h) = πr2 h lo obtenemos a través de la diferencial de V
dV = 2πrhdr + πr2 dh
donde r = 3, h = 8 y dr = dh = 00 05. Sustituyendo estos valores en la expresión anterior obtenemos que el error
es |dV | ≈ 80 95 cm3
Superficie en forma implı́cita
Si la superficie viene dada como una superficie de nivel de una función de tres variables F (x, y, z) = 0,
considerando que en cada punto el gradiente es ortogonal a la superficie, dicho vector será el vector caracterı́stico
del plano tangente. En consecuencia se ecuación será
∇F (a, b, c) · (x − a, y − b, z − c) = 0
es decir
∂F
∂F
∂F
(a, b, c)(x − a) +
(a, b, c)(y − b) +
(a, b, c)(z − c) = 0
∂x
∂y
∂z
En este caso el vector gradiente será asimismo el vector direccional de la recta normal, con lo que la
ecuación de dicha recta será:
x−a
∂F
∂x (a, b, c)
=
∂F
∂y
y−b
=
(a, b, c)
∂F
∂z
z−c
(a, b, c)
Ejemplo: Para calcular el plano tangente y la recta normal a la superficie x2 + y 2 + z 2 = 14 en el punto
(1, 2, 3), consideramos la superficie de nivel F (x, y, z) = 0 de la función F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 14. Entonces
∂F
∂x
∂F
∂y
∂F
∂z
= 2x
=⇒
= 2y
=⇒
= 2z
=⇒
∂F
∂x (1, 2, 3)
∂F
∂y (1, 2, 3)
∂F
∂z (1, 2, 3)
=2
=4
=6
88
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
Por tanto la ecuación del plano tangente a la superficie x2 + y 2 + z 2 = 14 en el punto (1, 2, 3), será
2(x − 1) + 4(y − 2) + 6(z − 3) = 0
x + 2y + 3z − 14 = 0
=⇒
y la ecuación de la recta normal
x−1
y−2
z−3
y−2
z−3
=
=
=⇒ x − 1 =
=
2
4
6
2
3
Si la superficie es la representación gráfica de una función de dos variables z = f (x, y), para obtener la
recta normal, consideramos la superficie de nivel F (x, y, z) = f (x, y) − z = 0, con lo que
∂F
∂f
=
;
∂x
∂x
∂F
∂f
=
;
∂y
∂y
∂F
= −1.
∂z
con lo que la ecuación de la recta tangente cuando la superficie venga dada en forma explı́cita será
x−a
∂f
∂x (a, b)
4.3.3.
=
y−b
∂f
∂y (a, b)
=
z − f (a, b)
−1
Derivadas parciales de orden superior:
Sea f : D ⊂ R2 −→ R, si para todo (x, y) ∈ D existen
∂f
∂x
y
∂f
∂y
quedan definidas las funciones derivadas
parciales. De la misma forma que para las funciones de una variable, se pueden considerar las derivadas parciales
de estas funciones. Ası́,
∂ ∂f
=
∂x ∂x
∂ ∂f
=
∂y ∂x
∂ ∂f
=
∂x ∂y
∂ ∂f
=
∂y ∂y
∂2f
≡ fxx ≡ f11
∂x2
∂2f
≡ fxy ≡ f12
∂x∂y
∂2f
≡ fyx ≡ f21
∂y∂x
∂2f
≡ fyy ≡ f22
∂y 2
A las derivadas fxy y fyx se les llama derivadas parciales cruzadas. Estas derivadas no siempre son iguales,
en general, aunque si lo son en los casos más frecuentes y en particular cuando se cumplen las condiciones del
teorema de Schwarz:
Teorema 4.3.6. Sea f : D ⊂ R2 −→ R. Supongamos que existen y son continuas en D,
∂2f
∂x∂y
en D y es continua en (a, b) ∈ D. Entonces existe
∂2f
∂y∂x (a, b)
y es igual a
∂2f
∂x∂y (a, b)
∂f
∂x
y
∂f
∂y ,
y que existe
4.4. CAMPOS VECTORIALES
89
Ejemplos:
1. Dada f (x, y) = sin(x2 + y 2 ),
∂f
∂x
∂f
∂y
∂2f
∂x2
∂2f
∂y 2
∂2f
∂y∂x
= 2x cos(x2 + y 2 )
= 2y cos(x2 + y 2 )
= 2 cos(x2 + y 2 ) − 4x2 sin(x2 + y 2 )
= 2 cos(x2 + y 2 ) − 4y 2 sin(x2 + y 2 )
= −4xy sin(x2 + y 2 ) =
∂2f
∂x∂y
2. El potencial gravitatorio de una masa m en un punto (x, y, z) provocado por una masa M colocada en el
mM
mM
= gp
origen está dado por V = −g
. Comprobar que este potencial satisface la ecuación
2
r
x + y2 + z2
de Laplace
∂2V
∂2V
∂2V
+
+
= 0.
∂x2
∂y 2
∂z 2
Como el papel jugado por x, y o z en la expresión de V es el mismo, nos limitaremos a calcular una de
las tres y después sustituiremos las otras variables.
mM
= −gmM (x2 + y 2 + z 2 )−1/2
V (x, y, z) = − g p
x2 + y 2 + z 2
∂V
=gmM x(x2 + y 2 + z 2 )−3/2
∂x
∂2V
=gmM (x2 + y 2 + z 2 )−3/2 − 3gmM x2 (x2 + y 2 + z 2 )−5/2 ,
∂x2
por consiguiente,
∂2V
∂2V
∂2V
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
=g
4.4.
3mM x2
mM
3mM y 2
mM
3mM z 2
mM
−
g
+
g
−
g
+
g
−
g
r3
r5
r3
r5
r3
r5
mM
mM 2
mM
mM
= 3g 3 − 3g 5 (x + y 2 + z 2 ) = 3g 3 − 3g 5 r2 = 0
r
r
r
r
Campos vectoriales
Teorema 4.4.1. Sean f : D ⊂ Rn −→ Rm y fi : D ⊂ Rn −→ R, i = 1, . . . , m, sus funciones coordenadas.
Entonces, f es diferenciable en a ∈ D sı́ y sólo si fi son diferenciables en a ∀ i = 1, . . . , m,; verificándose que
df a = (df1 a , df2 a , . . . , dfm a )
90
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
4.4.1.
Matriz Jacobiana
Como la diferencial es una aplicación lineal entre espacios vectoriales, vamos a obtener su matriz asociada:
Sea h = (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn y k = (k1 , . . . , km ) ∈ Rm , verificando que df a (h) = k. Como df a =
(df1 a , df2 a , . . . , dfm a ) tendremos
k = df a (h) = df1 a (h), df2 a (h), . . . , dfm a (h)
=
n
X
∂f1
i=1
Escrito en forma matricial tenemos

 
k1

 
 k2  
 . =
 .  
 .  
km
∂f1
∂x1 (a)
∂f2
∂x1 (a)
∂f1
∂x2 (a)
∂f2
∂x2 (a)
···
..
.
···
..
.
∂fm
∂x1 (a)
∂fm
∂x2 (a)
···
..
.
∂xi
(a)hi ,
n
X
∂f2
i=1
∂f1
∂xn (a)
∂f2
∂xn (a)
..
.
∂xi
(a)hi , . . . ,
i=1

h1






h2
..
.





∂fm
∂xn (a)
n
X
∂fm
∂xi
!
(a)hi
hn
Por tanto, la matriz asociada a la df a es una matriz que en cada fila tenemos las derivadas parciales de las
funciones componentes en a y la llamaremos Matriz Jacobiana de f en a y la representaremos por
df a ≡
∂(f1 , . . . , fm )
(a)
∂(x1 , . . . , xn )
Si m = n, la matriz es cuadrada y podemos obtener el determinante de la matriz jacobiana que llamaremos
Jacobiano de f en a.
Jf (a) = det
∂(f1 , . . . , fn )
(a)
∂(x1 , . . . , xn )
Ejemplos:
♦ Sea f : R3 −→ R2 , con f (x, y, z) = sen(xy + z), (1 + x2 )yz . Su funciones coordenadas son
(
f1 (x, y, z) = sen(xy + z)
f2 (x, y, z) = (1 + x2 )yz
La matriz jacobiana resulta ser
!
∂f1
∂f1
∂f1
∂(f1 , f2 )
∂x
∂y
∂z
=
∂f2
∂f2
∂f2
∂(x, y, z)
∂x
∂y
∂z
=
y cos(xy + z)
2xyz(1 + x2 )yz−1
x cos(xy + z)
cos(xy + z)
!
z(1 + x2 )yz log(1 + x2 ) y(1 + x2 )yz log(1 + x2 )
Observar que como las derivadas parciales de las funciones componentes f1 y f2 son continuas en R3 ,
dichas funciones son diferenciables en R3 y por tanto, f también es diferenciable en R3 . Si calculamos la matriz
jacobiana en el origen,
∂(f1 , f2 )
(0, 0, 0) =
∂(x, y, z)
0
0
1
0
0
0
!
4.4. CAMPOS VECTORIALES
91
con lo que la expresión de la diferencial en ese punto será
df (0,0,0) (h, k, l) =
0
0
1
0
0
0
!

h

!
l


 k =
l
0
♦ Coordenadas polares:
El cambio de coordenadas cartesianas a polares
Y
se puede considerar como las funciones componentes
de la función vectorial
(
f : R2 −→ R2 :
y
P
r
x = r cos θ
θ
y = r sen θ
X
x
El Jacobiano del cambio será
Jf = det
∂(x, y)
∂(r, θ)
=
∂x
∂r
∂y
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂θ
=
cos θ
−r sen θ
sen θ
r cos θ
= r(cos2 θ + sen2 θ) = r
♦ Coordenadas esféricas:
El cambio de coordenadas cartesianas a esféri-
Z
cas viene dado por una función vectorial f : R3 −→ R3
z
cuyas funciones coordenadas son


 x = r sen θ cos ϕ
y = r sen θ sen ϕ


z = cos θ
P
θ
r
y
Y
x
X
ϕ
92
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
El Jacobiano del cambio será
Jf = det
∂(x, y, z)
∂(r, θ, ϕ)
=
∂x
∂r
∂y
∂r
∂z
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂θ
∂z
∂θ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
∂ϕ
=
4.5.
sen θ cos ϕ
r cos θ cos ϕ
−r sen θ sen ϕ
sen θ sen ϕ
r cos θ sen ϕ
r sen θ cos ϕ
cos θ
−r sen θ
0
= r2 sen θ
Extremos de funciones de dos variables
En R2 , llamaremos disco abierto de centro (a, b) y radio r al conjunto de puntos
Br (a, b) = {(x, y) ∈ R2 |d((x, y), (a, b)) =
p
(x − a)2 + (y − b)2 < r}.
Geométricamente son los puntos del cı́rculo de centro (a, b) y radio r. Si en lugar de < exigimos ≤ tendremos
la definición de disco cerrado donde añadimos los puntos de la circunferencia. En R3 ó Rn se les suele llamar
bola abierta o bola cerrada respectivamente.
Definición 4.5.1. Dada la función f : D ⊂ R2 −→ R, diremos que (a, b) ∈ D es un máximo relativo o local
de f se existe un disco de centro (a, b) y radio r, Br ((a, b)), tal que
f (a, b) ≥ f (x, y) ∀(x, y) ∈ Br ((a, b))
De forma análoga, si se verifica que
f (a, b) ≤ f (x, y) ∀(x, y) ∈ Br ((a, b))
diremos que la función f tiene un mı́nimo relativo o local en (a, b)
Si f (a, b) ≥ f (x, y) ∀(x, y) ∈ D, diremos que f tiene un máximo absoluto en (a, b) y si f (a, b) ≤
f (x, y) ∀(x, y) ∈ D, entonces f tiene un mı́nimo absoluto en (a, b).
Una condición necesaria de extremo relativo es que
∂f
∂f
(a, b) =
(a, b) = 0
∂x
∂y
(⇐⇒ ∇f (a, b) = 0 ⇐⇒ df(a,b) = 0)
Esta condición no es suficiente. Un punto que cumple la condición anterior se le llama punto estacionario de f . Un punto estacionario de f que no es extremo relativo, lo denominaremos punto de silla.
Ejemplo: El origen (0, 0) es un punto de silla de la función f (x, y) = xy. Es un punto estacionario ya
que
∂f
∂x (0, 0)
=
∂f
∂y (0, 0)
= 0; y como f (0, 0) = 0 y en el primer y tercer cuadrante f (x, y) > 0 y en el segundo
y cuarto f (x, y) < 0, no hay ninguna bola de centro el origen y radio r (por pequeño que sea r) en la cual
f (x, y) ≥ 0 ó f (x, y) ≤ 0 ∀(x, y) ∈ Br (0, 0).
4.5. EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
93
Condición suficiente de extremo relativo:
Sea f : D ⊂ R2 −→ R con derivadas parciales segundas continuas en (a, b), punto estacionario de f
∂f
∂f
∂x (a, b) = ∂y (a, b) = 0 , y sea el Hessiano de f en (a, b)
H(a, b) =
∂2f
∂x2 (a, b)
∂2f
∂y∂x (a, b)
∂2f
∂x∂y (a, b)
∂2f
∂y 2 (a, b)
Entonces,
i) Si H(a, b) > 0 y
ii) Si H(a, b) > 0 y
∂2f
∂x2 (a, b)
2
> 0, f tiene un mı́nimo relativo en (a, b).
∂ f
∂x2 (a, b)
< 0, f tiene un máximo relativo en (a, b).
iii) Si H(a, b) < 0, f tiene un punto de silla en (a, b).
iv) Si H(a, b) = 0, no se obtiene información, pudiéndose dar cualquiera de los casos anteriores. En este caso
se debe de estudiar directamente la función en un entorno del punto (a, b).
Ejemplos:
♦ f (x, y) = 4 − x2 − y 2 .
Los puntos estacionarios los obtenemos resolviendo el sistema
(
∂f
∂x = −2x = 0 =⇒ x = 0
∂f
∂y
= −2y = 0
=⇒
y=0
con lo que se obtiene el punto estacionario (0, 0). Para clasificar este punto obtenemos el Hessiano de la función
en ese punto:
H(x, y) =
∂2f
∂x2
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y 2
Por tanto el punto (0, 0) es un extremo relativo y como
=
−2
0
0
−2
∂2f
∂x2 (0, 0)
= 4 > 0.
< 0, se trata de un máximo relativo.
♦ f (x, y) = xy.
(
Puntos estacionarios:
∂f
∂x
∂f
∂y
=y=0
)
. Se obtiene de nuevo (0, 0) como único punto estacionario. El
=x=0
Hessiano de la función en ese punto es
H(x, y) =
∂2f
∂x2
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y 2
=
0
1
1
0
= −1 < 0.
Por tanto el punto (0, 0) es un punto de silla como ya se habı́a comentado anteriormente.
♦ f (x, y) = x3 + y 3 .
Puntos estacionarios:
(
∂f
∂x
∂f
∂y
= 3x2 = 0
=⇒
x=0
2
=⇒
y=0
= 3y = 0
94
CAPÍTULO 4. CÁLCULO DIF. DE FUNC. DE VARIAS VARIABLES
Por tanto (0, 0) es el único punto estacionario. El Hessiano de la función es
∂2f
∂x2
∂2f
∂y∂x
H(x, y) =
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y 2
=
6x
0
0
6y
= 36xy.
Por tanto H(0, 0) = 0, con lo que nos encontramos en un caso dudoso. Es fácil ver que en el primer cuadrante
la función es positiva y en el tercero negativa y como f (0, 0) = 0, el origen es un punto de silla.
♦ f (x, y) = x4 + y 4 .
Puntos estacionarios:
(
∂f
∂x
∂f
∂y
= 4x3 = 0
=⇒
x=0
3
=⇒
y=0
= 4y = 0
De nuevo (0, 0) es el único punto estacionario. El Hessiano de la función es
H(x, y) =
∂2f
∂x2
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y 2
=
12x2
0
0
12y 2
= 144x2 y 2 .
Volvemos a obtener H(0, 0) = 0, y otra vez estamos en un caso dudoso. En este caso f (x, y) > 0 si (x, y) 6= (0, 0),
y como f (0, 0) = 0, ahora el origen es un mı́nimo relativo (f (x, y) > f (0, 0) ∀(x, y) 6= (0, 0)).
4.5.1.
Extremos absolutos
Si la función f es continua en D, cerrado y acotado, la función tiene extremos absolutos en D. Si no
están en el interior de D, estarán en la frontera. Por tanto los puntos candidatos a extremos absolutos de la
función en D, serán los puntos estacionarios en el interior de D (un extremo absoluto en un abierto es extremo
relativo y por tanto será punto estacionario) y los extremos de lo función sobre la frontera de D (al imponer
las condiciones de frontera a la función, ésta se convierte en una función de una variable y hacemos el mismo
estudio que el que se realiza para obtener extremos de funciones de una variable).
Ejemplo: Dada f (x, y) = ex
2
2
−y 2
, vamos a obtener los extremos absolutos de dicha función en el disco
2
unidad cerrado x + y ≤ 1.
En primer lugar obtenemos los puntos estacionarios de f :
(
∂f
x2 −y 2
= 0 =⇒
∂x = 2xe
∂f
∂y
x2 −y 2
= −2ye
=0
=⇒
x=0
y=0
Obtenemos el (0, 0) como único punto estacionario.
A continuación estudiamos la función sobre la frontera del disco, es decir, sobre x2 + y 2 = 1. De aquı́
obtenemos que y 2 = 1 − x2 con −1 ≤ x ≤ 1. Sustituyendo esta condición en f (x, y), definimos una función de
√
2
una variable h(x) = f (x, 1 − x2 ) = e2x −1 . El problema de encontrar los extremos de f (x, y) sobre la frontera
(que es la circunferencia unidad) se ha convertido en el de encontrar los extremos absolutos de la función h(x)
en −1 ≤ x ≤ 1.
Calculamos los puntos crı́ticos de h(x):
h0 (x) = 4xe2x
2
−1
= 0 =⇒ x = 0
4.5. EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
95
Los puntos crı́ticos en la circunferencia unidad serán los correspondientes a x = 0, es decir, (0, 1) y (0, −1).
Además hay que considerar los extremos del intervalo −1 ≤ x ≤ 1 que son (−1, 0) y (1, 0). Por consiguiente,
los puntos candidatos a extremos absolutos de la función en el disco unidad cerrado son: (0, 0), (0, 1), (0, −1),
(−1, 0) y (1, 0).
Evaluando la función en esos puntos obtenemos que f (0, 0) = 1, f (1, 0) = f (−1, 0) = e y f (0, 1) =
f (0, −1) = e−1 . Por tanto, la función alcanza un máximo absoluto en (1, 0) y (−1, 0) y un mı́nimo absoluto en
(0, 1) y (0, −1).