Analisis Matematico I Espinoza Ramos

i iiiiiüi; ANALISIS MATEMÁTICO I PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERIA (TERCERA EDICION) ♦ SISTEMA DE NUMEROS REALES ♦ RELACIONES Y FUNCIONES ♦ LIM ITES Y CONTINUIDAD ♦ DERIVADAS ♦ APLICACIONES DE LA DERIVADA ♦ DIFERENCIALES EDUARDO ESPINOZA RAMOS IMPRESO EN EL PERÚ 20 - 03 - 2002 39 EDICIÓN DERECHOS RESERVADOS W -jtr »■ ■ ■ *>■ '*• >-•• '*t w jr.-tfjr a’-*r-'jr/*r'&seir/jir.-.tv'jr.'jr.-jer*r 'á*rs¿r'jr/jir/*r.-m'jar tr.*y i ) i» ü I t \ Este libro no p u e d e reproducirse total ó p a rc ia lm e n te por ningún m é to d o ■ í lossistemas d e fo to c o p ia , |I g .rá fico , e le c tró n ico o m e c á n ic o , in clu y e n d' o ...í sni..< An j.f registros m a g n é tic o s o d e alim e n ta ció n d e datos, sin expreso consentim ie nto f £»f *i d e l autor y Editor. í I * í * I I í í f RUC N9 10070440607 Ley d e D e re ch os del Autor N9 13714 Registro c o m e rc ia l Ne 10716 Escritura P u b lica N2 4484 £t i i» PRESENTACION Eduardo Espinoza Ramos, catedrático en la especialidad de matemática pura, me hace el honor de pedirme la presentación de su obra Análisis Matemático I para Estudiantes de Ciencia e Ingeniería. El objeto principal de la presente obra Análisis Matemático I, es precisamente llenar el vacío que existe para su fácil y mejor aprendizaje, desarrollando y analizando los conceptos básicos necesarios y su aplicación hacia las especialidades de Ingeniería, de tal manera que permita a los estudiantes disponer de una herramienta de trabajo práctico y comprensible. El método didáctico empleado en todo el libro consta de cinco capítulos: Sistema de Números Reales; Relaciones y Funciones; Límites y Continuidad; Derivadas y sus Aplicaciones y Diferenciales. Para orientación del estudiante, el trabajo llevado a cabo por el autor, en esta obra, es digno de elogio. Su lenguaje sencillo y desarrollo al alcance del estudiante, producto de sus años de experiencia como docente Universitario le permiten tratar rigurosamente estos, desde el punto de vista científico en forma didáctica y amena. Los ejercicios y/o problemas cuidadosamente seleccionados complementan los propósitos y métodos empleados en la teoría. Finalmente, expreso mi felicitación al autor de la obra EDUARDO ESPINOZA RAMOS, quien ya se suma a la legión de autores nacionales que tienen más conocimiento de nuestra realidad Universitaria. ING. EDUARDO BULNES SAMAME JEFE DE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD RICARDO PALMA, i A-SECRETARIO ACADEMICO DE LA FACULTAD DE INGENIERIA PROLOGO En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático I para Estudiantes de Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la capital, motivo por el cual se ha ampliado la demostración de propiedades así como los conceptos básicos teóricos e incluyendo propiedades y teorema de acuerdo a las exigencias de la nueva curricula. Al igual que su 2da edición se expone en forma teórica y práctica, los conceptos de sistemas de números reales, relaciones y funciones, límites y continuidad, derivadas y sus aplicaciones, así como la regla de L’Hospital, las funciones hiperbólicas y la diferencial con sus aplicaciones, así mismo se ha incluido algunos teorema en cuanto corresponde a las aplicaciones de las derivadas antes de los Teoremas de Rolle y del Valor Medio, también se han incluido mas ejercicios desarrollados y propuestos en las practicas y exámenes de las diversas universidades de la capital proporcionados por mis colegas y en especiales de los coordinadores de área académica. La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado, tratando de noperder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que confunde al lector. La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo del álgebra elemental, geometría plana y trigonometría. La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas, física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real. Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por sus valiosos comentarios y sugerencias. D O C T O R PEDRO C O N T R E R A S CH A M O R R O Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. D O C T O R EU G EN IO C A B A N ILL A S LAPA Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro —Brasil. Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Nacional del Callao. LIC. A N T O N IO CA LD ER O N L EA N D R O Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la Universidad Nacional del Callao. Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo Palma. LIC. SE R G IO L EY V A H ARO Ex Jefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la Universidad Nacional del Callao. LIC. JUA N BERNUI B A R R O S Director del Instituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. LIC. PALERM O SO T O SO TO Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. Mg. JO SE Q UIK E BR O N C A N O Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras. Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE Catedrático de la Universidad Nacional del Callao Catedrático de la Universidad Nacional de Ingeniería. Catedrático de la Universidad Ricardo Palma. E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S DEDICATORIA Este libro lo dedico a mis hijos R O N A L D , JO R G E y D IA N A , caminos para que que Dios ilumine sus INDICE CAPITULO I [* ■ S í.-» T E M A S D E N U M E R O S R E A L E S 1.1 Introducción 1 1.2 Definición 2 1.3 Axiomas de Sustitución 4 1.4 Axiomas Distributivas 4 1.5 Teorema de Igualdad para la Adición 4 1.6 Teorema de Igualdad para la Multiplicación 4 1.7 Teorema de Cancelación para la Adición 4 1.8 Teorema de Cancelación para la Multiplicación 5 1.9 Sustracción de Números Reales 5 1.10 División de Números Reales 5 1.11 Ejercicios Desarrollados- 6 1.12 Representación de los Números Reales 10 1.13 Desigualdades 11 1.14 Axioma de la Relación de orden 12 1.15 Definición 12 1.16 Teorema 12 1.17 Teorema 13 1.18 Teorema 13 1.19 Teorema 14 1.20 Teorema 14 1.21 Teorema 15 1.22 Ejercicios Desarrollados 15 1.23 Ejercicios Propuestos 23 1.24 Inecuaciones 29 1.25 Conjuntos solución de una Inecuación 31 1.26 Resolución de una Inecuación 31 1.27 Inecuación de Primer Grado en una Incógnita 31 1.28 Inecuación de Segundo Grado en unaIncógnita 33 1.29 Inecuaciones Polinómicas 38 1.30 Inecuaciones Fraccionarias 42 1.31 Inecuaciones Exponenciales 45 1.32 Inecuaciones Irracionales 47 1.33 Ejercicios Desarrollados 58 1.34 Ejercicios Propuestos 84 1.35 Valor Absoluto 1.36 Propiedades Básicas para resolverEcuaciones e Inecuaciones donde interviene Valor Absoluto 101 102 1.37 Máximo Entero 104 1.38 Propiedades del Máximo Entero 106 1.39 Inecuaciones Logarítmicas 111 1.40 Ejercicios Desarrollados 116 1.41 Ejercicios Propuestos 155 1.42 Conjuntos Acotados 176 1.43 Axiomas del Supremo o Axiomasde la mínima cota superior 177 1.44 Principio Arquimediano 178 1.45 Ejercicios Propuestos 180 CAPITULO II 2.1 Introducción 182 2.2 Relaciones Binarias 191 2.3 Gráfica de una Relación de R en R 198 2.4 Ejercicios Desarrollados 202 2.5 Ejercicios Propuestos 212 2.6 Funciones 215 2.7 Dominio y Rango de una Función 216 2.8 Criterio para el Calculo del Dominio y Rango de una Función 217 2.9 Aplicaciones de A en B 218 2.10 Funciones Especiales 219 2.11 Evaluación de una Función 224 2.12 Función definida con Varias Reglas deCorrespondencia 224 2.13 Trazado de Gráficas Especiales 225 2.14 Ejercicios Desarrollados 229 2.15 Ejercicios Propuestos 247 2.16 Operaciones con Funciones 258 2.17 Composición de Funciones 264 2.18 Propiedades de la Comprensión de Funciones 270 2.19 Ejercicios Desarrollados 270 2.20 Ejercicios Propuestos 282 2.21 Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas 293 2.22 Funciones Crecientes, Decrecientes y Monotomas 295 2.23 Calculo de Rango de Funciones Inyectivas Monotomas 297 2.24 Función Inversa 298 2.25 Función Inversa de una Composición 300 2.26 Ejercicios Desarrollados 300 2.26 Ejercicios Propuestos 313 CAPITULO III 3. LIMITES Y CONTINUIDAD 3.1 Introducción 325 3.2 Definición 326 3.3 Ejercicios Propuestos 334 3.4 Proposición 337 3.5 Proposición 337 3.6 Teorema (Unicidad de Limite) 338 3.7 Teorema 339 3.8 Teorema 339 3.9 Propiedades sobre Limite de Funciones 340 3.10 Ejercicios Desarrollados 343 3.11 Ejercicios Propuestos 354 3.12 Limites Laterales 365 3.13 Ejercicios Propuestos 370 3.14 Limites al Infinito 375 3.15 Ejercicios Propuestos 381 3.16 Limites Infinitos 386 3.17 Ejercicios Propuestos 389 3.18 Teorema de Sándwich 390 3.19 Limites Trigonométricos 391 3.20 Ejercicios Propuestos 399 3.21 Función Exponencial y Logarítmica 404 3.22 El Numero e 408 3.23 Calculo de Limites de la forma Uní (/(.v ))?í' ' X->a ' 409 3.24 Ejercicios Desarrollados 410 3.25 Ejercicios Propuestos 413 Asíntota de una Curva 418 Ejercicios Propuestos 424 Continuidad de una Función 426 Tipos de Continuidad 427 Ejercicios Propuestos 433 Problemas Sobre Limite 440 Problemas Propuestos 446 CAPITULO IV L A D E R IV A D A Definición 499 Inierpretación Geométrica de la Derivada 451 Definición 453 Definición 453 Derivadas Laterales 454 Derivabilidad y Continuidad 455 Algunas Reglas de Derivación 457 Derivadas de una Función Compuesto (Regla de la Cadena) 462 Derivación de la Función Exponencial y Logarítmica 464 Teorema 468 Derivación de las Funciones Trigonométricas 471 Teorema (Derivadas de las Funciones Trigonométricas) 474 Derivación de las Funciones Trigonométricas 477 Regla de Derivación para las Funciones Trigonométricas Inversas 482 Derivación Implícita 484 Derivada de la Función de la Forma y = (f ( x ) ) s(r) 486 Ejercicios Desarrollados 487 4.18 Ejercicios Propuestos 511 4.19 Ecuaciones de la Tangente y Normal a una Curva 526 4.20 Ecuaciones Paramétricas 529 4.21 Derivadas de Orden Superior 533 4.22 Ejercicios Desarrollados 538 4.23 Ejercicios Propuestos 555 CAPITULO V 5. A P L IC A C IO N E S D E L A D E R IV A D A 5.1 Valores Máximos y Mínimos de una Función 565 5.2 Teorema 566 5.3 Extremos de una Función 566 5.4 Teorema (de los valores intermedios) 569 5.5 Teorema de Rolle 570 5.6 Teorema del Valor Medio 573 5.7 Teorema (de la función constante) 574 5.8 Teorema (de la diferencia constante) 575 5.9 Función Creciente y Decreciente 574 5.10 Teorema 580 5.11 Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos 581 5.12 Criterio de la Segunda Derivada para Extremos Relativos 582 5.13 Concavidad y Punto de Inflexión 583 5.14 Ejercicios Desarrollados 587 5.15 Ejercicios Propuestos 626 5.16 Razón de Cambio Promedio y Razón de Cambio Constante 639 5.17 Formula que Relaciona dos Variables cuya Razón de Cambio es Constante 640 5.18 Razón de Cambio Promedio 641 5.19 Razones Instantáneas 641 5.20 Velocidad y Aceleración Rectilínea 642 5.21 Razones de Cambio Relacionadas 642 5.22 Procedimiento Aconsejado para Resolver Problemas de Variables Relacionadas 642 5.23 Problemas Desarrollados 643 5.24 Problemas Propuestos 651 5.25 Aplicación a la Económica 658 5.26 Ejercicios Desarrollados 661 5.27 Problemas Propuestos 673 5.28 La Regla de L’Hospital 678 5.29 Ejercicios Desarrollados 680 5.30 Ejercicios Propuestos 684 5.31 Funciones Hiperbólicas 687 5.32 Ejercicios Propuestos 693 5.33 Derivadas de las Funciones Hiperbólicas 694 5.34 Ejercicios Propuestos 698 5.35 Funciones Hiperbólicas Inversas 701 5.36 Derivación de las Funciones Hiperbólicas Inversas 704 5.37 Ejercicios Propuestos 706 5.38 Diferenciales 708 5.39 Diferenciales como una Aproximación 710 5.40 Diferenciales de Orden Superior 711 5.41 Ejercicios Propuestos 717 BIBLIOGRAFIA 722 1 Sistema de Números Reales CAPITULO I 1. SISTEMA DE NÚMEROS REALES.- 1.1 flST R O PU C C lO N .E1 sistema de los números reales de los cuales ahora disponemos, es el resultado de una enorme cantidad de reílexión por parte del hombre. Los enteros positivos, es decir: 1,2,3,..., pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra civilización. Los enteros tan grandes como 100,000 se usaban en Egipto en fechas tan tempranas como es 300 A.C. Los antiguos Egipcios y Babilonios desarrollaron una aritmética con los enteros positivos con los cuales podían efectuarse las operaciones de adición y multiplicación, aunque la división no se desarrolló por completo. Estos antiguos pueblos usaron ciertas fracciones, tenemos pues, que los números racionales aparecieron también en una temprana etapa de nuestra civilización (un número racional es cociente de dos enteros). Los Babilonios fueron los que más éxito tuvieron en el desarrollo del aritmética y el álgebra por que tenían una notación para los números muy superior a la de los Egipcios. Esta notación en principio, análoga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de que su base es 60 en lugar de 10. Una buena notación es el pre-requisito para el desarrollo de los matemáticos. Nuestro sistema decimal con los números llamados arábigos fue inventado por los Hindúes e introducido en Europa occidental en el siglo XII a través de las traducciones de textos Arabes. Sin embargo, la aceptación generalizada de esta notación demoró mucho en llegar. Eduardo Espinoza Ramos La espera fue aun mayor para la aceptación de los números negativos, incluso hasta finales del siglo XVI se descartaban las raíces negativas de las ecuaciones. La aritmética y el álgebra se desarrollaron bajo él estimulo de problemas prácticos en contradicción de la'geometría que desarrollaron los griegos solamente para su satisfacción intelectual y en un modelo del sistema lógico. Sin embargo, con el desarrollo del cálculo, los números reales especialmente los números irracionales tales como ~Jl, n, V 5 . tuvieron que sustentarse sobre una firme fundamentación lógica, esto se logro en la ultima parte del siglo XIX. Disponemos ahora de un sistema de axiomas que describen completamente los números reales partiendo de estos axiomas podemos derivar todas las propiedades de los números reales. Esto es el método usado en la geometría Euclidiana, se acepta un cierto número de proposiciones, a las que se llama axiomas o postulados o hipótesis y basándose en esas axiomas se prueban todos los teoremas de la geometría. 1.2 DEFlNÍClQNvLlamaremos sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna) y una relación de orden denotado por “<”, es decir: Io LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA: +: R x R ----- >R (a,b) -—-> +(a,b) = a + b Además debe cumplirse los axiomas siguientes: Af, Cerradura: V a, b e R => a + b e R Ax Conmutatividad: a + b = b + a , Va.beR A-, Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), V a,b,c e R » Sistema de Números Reales 3 Aj Identidad aditiva: VaeR, 30eR /a+0=0+ a=a A4 Opuesto Aditivo: VaeR, 3 - a e R, y es único, tal que: a + (-a) = (-a) + a = 0 2o LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA: •: R x R - ^ R Además debe cumplirse los axiomas siguientes: A/„ Cerradura: V a, b e R => a.b e R M l Conmutativa: a.b = b.a,V a,b e R M 2 Asociativa: (a.b).c = a.(b.c), V a,b,c e R M 3 Identidad Multiplicativa: V a e R, 3 1 * 0, 1 e R, tal que: 1.a = a M 4 Inverso Multiplicativo: V a * 0, 3 a~1 e R, tal que: a.a ~l - a 1.a = 1 3o RELACIÓN DE ORDEN: Ox V a.b e R una y solamente una de las relaciones se cumple a a + c < b+ c, V a,b,c e R. 0 4 Sí a < b, c > 0 entonces a.c < b.c OBSERVACIÓN: i) A los números a_ y b los llamaremos sumando, y al número a + b suma de a y b. i¡) En a.b; a los números a y b los llamaremos factores y al número a.b producto de a y b. iü) El opuesto es único, así mismo cuando existe el inverso es único. 4 1,3 Eduardo Espinoza Ramos AXIOMA DE S I STITÜCION.Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a = b, entonces en toda relación se puede sustituir al elemento a por el elemento b sin que altere el significado de la relación. 1.5 a) a.(b + c) = a.b + a.c, V a, b, c e R distributiva a izquierda b) (a + b).c = a.c + b.c. V a, b, c e R distributiva a derecha TEOREMA PE IGUALDAD PARA LA A P IC IO N ~ Si a = b entonces a + c = b + c, para todo a, b, e e R Demostración Ioa = b. por hipótesis. 2o a + c = a + c, propiedad reflexiva. 3o a + c = b + c , Io. 2° y axioma 1.3 Sí a = b entonces a.c = b.c, para todo a, b, c e R Demostración j ,7 Io a = b por hipótesis. 2° a.c = a.c. propiedad reflexiva. 3° a.c = b.c, Io, 2° y axioma 1.3 TEO R EM A DE C AN C ELA C IO N PARA L A APICFON.Sean a,b,c e R ; S ía + c = b + c entonces a = b Demostración Io a + c = b + c . por hipótesis. 2o a + c + (-c) = b + c + (-c), Io y teorema 1.4? 5 Sistema de Números Reales J.8 3o a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)), 2° y A2 4° a + O = b + U, 3° axioma A4 5° a = b. 4o, axioma A¿ TEOREMA DE CANCELACION PARA LA M ULTIPLICACION.Sean a,b,c e R; Si a.c = b.e y e * 0, entonces a = b Demostración Io a.c = b.c, 2 o ... por hipótesis. c * 0, ... por hipótesis 3o 3 — e R / (a.c).— = (b.c). —, c c c 4o a.(c.—) =b.(c.—) , c c . .. 2 o, I o y axioma M A . . . 3 o y axioma M-, 5o a . l = b .l , . . . 4 o y axioma M 4 6° ... 5o y axioma M 3 a = b, 1.9 DEFINICION.- Para cualquier números reales a,b e R, definiremos a la sustracción de números reales por: a - b = a + (-b) 1.10 DIVISION DE N Ú M ER O S REALES.DEFINICION.- Para cualquier números reales a,b e R, donde b * 0, definiremos al cociente de números reales por: 6 1.11 © Eduardo Espinoza Ramos EJERCICIOS DES ARROLLADOS.Para cada número real a e R, demostrar que a + a = 2a Demostración 1° a = a.l . .. Por 2o a + a = a.l + a.l . .. 1° y axioma 1.4 3o a + a = a .(l+ l) . .. 2o y axioma 1J .a 4° a + a = a.2 ... 3o y por M •, 5o a + a = 2a ... 4o y por M , Para cada número real a e R, demostrar que a.0 = 0 Demostración ( 3) 1° a.0 = a.0 + 0 ... Por Aj 2o a.0 = a.0 + (a + (-a)) ... 1° y por A4 3o a.0 = (a.0 + a) + (-a) ... 2o y por A2 4° a.0 = (a.0 + a.l) + (-a) ... 3o y por M 3 5o a.0 = a(0 + l) + (-a) ... 4o y por axioma 1.3.a 6° a.0 = a.l + (-a) ... 5o y por A} 70 a.0 = a + (-a) ... 6° y por M 3 8o a.0 = 0 ... 7o y por A4 Para cada número real a e R, demostrar que: -a = (-l).a Demostración Basta demostrar que a + (-l)a = 0, porque (-l).a, y - a son inversos aditivos de a por A4 7 Sistema de Números Reales Luego a + (-1 )a = 1.a + (-l)a, ... por axioma a + (-l)a = (1 + (-1 ))a, ... por axioma vfy.b. a + (-l)a = 0.a, ... por A 4 a + (-l)a = 0, ... .-. ( 4) 1.3 por ejercicio 2. -a = (-l)a Para cada número real a e R, demostrar que -(-a) = a Demostración I o a + (-a) = 0 2 ° 30 ... (-a) + (-(-a)) = 0 ... por A4 (-a) + (-(-a)) = a + (-a) ... Io , 2 o 4o -(-a) = a por A 4 ... 3o y por teorema 1.6 ( 5 ) Para cada número real a,b e R, demostrar que (-a).(-b) = a.b Demostración (ó ) 1° (-a).(-b) = [(-1 )a][(-l )b] ... por el ejercicio 3 2o (-a).(-b) = (-1 )[a((-1)b)] ... 1° y M 2 3o (-a).(-b) = (-1 )[(-1 >a].b ... 2o y M x, M 2 40 (-a).(-b) = (-1 )[(-a)].b ... 3o y ejercicio3 5o (-a).(-b) = [(-1 )(-a)].b ... 4o y M 2 6o (-a).(-b)=a.b ... 5o y ejercicio4 V a.b e R, demostrar que a.(-b) = -(a.b) Demostración Io a.(-b) = a.((-l).b) ... por ejercicio 3 8 a.(-b) = (a.(-l)).b ... 1° y p o rM , 3o a.(-b) = ((-1 )a).b ... 2o y por M x 4° a.(-b) = (-l)(a.b) ... 3o y por M 2 5o a.(-b) = -(a.b) ... 4o y ejercicio3 6o -(a-b) = (-1 )(a.b) ... Por el ejercicio 3 ?o -(ab) = ((-l)a).b ... 6o y por M 2 8o -(ab) = (-a).b ... T y ejercicio 3. 9° a(-b) = -(ab) = (-a).b V a,b g O OC 2° O © Eduardo Espinoza Ramos R, demostrar que a.(b - c) = a .b -a .c Demostración 1° a.(b - c) = a.(b + (-c)) ... definición de sustracción 2o a.(b - c) = a.b + a.(-c) ... 10 y axioma 1.3 .a 3o a.(b - c) = a.b + (-(a.c)) ... 2o ejercicio 6 40 a.(b - c) = a .b - a .c ... 3o definición de sustracción Para a e R, demostrar sí a * 0, entonces a "1 = Demostración Io a 1 = ( a _l).l ... por M-, 2o a~l = l .( a _l) ... Io y 3o a "1 = — ... 2o definición de división 9 Sistema de Números Reales ( 9) V a,b e R, a .b * O, demostrar que (a.b) 1 =a 1.b Demostración Io (a.b).— = 1 {ab) por A/4 2° (ab).{aJb)~l =1 3° 10J ^ y definición de división (a.b).(a 1b 1) = ( a ) . ( a ) 1.(b).(b 1) por M 2 4°(a.b).(a .h ■' u) =1,( a . -*) . ( 1b ..--) 1. a b 3°, M 2 y definición de división. 5° (a.b).(a [.b ‘ ) = (1 )(!) = ! 4° y M 4 6° (a.b).(a l .b l ) = 1 de 5° 7° (a.b).(a.b) 1 = (a./>)(a 1i> 1) ... de 2° y 6° 8° (ai?) 1 ... 7° y teorema 1.7 1 V a,b,c,d e R, b * 0, d * 0. demostrar que: —+ — = b d +- ^'c b.d Demostración Io - + - = a.b 1 + c . d x b d por definición de división 2° T + Ì 7 = ( a . b ì ) . { d . - ) + {c.d-x).(b.-) b d d b Io y por M a 3° — + — = ( a . b l ).(d.d x) + (c.d 1).(b.b ') b d ... 2o y definición por división. 10 Eduardo Espinoza Ramos 4o U2 - + - = ( a. d) . (b]. d l ) + (b.c).(b1. d l ) b d ... 3o, A/, ' 50 — + — = (a.d).(b.d) 1 + (b.c).(b.d)~x h d ... 4° y ’ ejercicio9 6" — + — - ( a M + bx;).(bd) 1 b d ... de 5° y axioma 1.3.b. 1° —+ — = h d ... 6o y definición de división +— hd REPRESENTACION PE LOS NÚMEROS R E A L E sT Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia, es decir: 51 sobre una recta se fija su origen “O”, una unidad, y un sentido positivo, entonces, a cada punto de una recta le corresponde un número real y reciprocamente, a cada número real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto de la recta se le llama abscisa del punto. ------ 1-------- 1--------1------- 1------- 1------- 1-------- 1--------1---------1— ► -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 NOTACION PARA LOS CONJUNTOS DE NÜMEROS.- N: Conjunto de los: números naturales. Z: Conjunto do los números enteros. Q: Conjunto de ios números racionales, í: Conjunto de los números irracionales. R: Conjun ¡o de los números reales. C: Conjunto de los números complejos.; 11 Sistema de Números Reales CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES N 0 = {0,1,2,...,«,...} Z 0 entero positivo enteros negativos Decimales periódicos = 0.abe = 999 racionales R Decimales periódico mixto = 0.abede Decimales exactos = 0 .abe = abede - ab 99900 abe 1000 Q = { - l a . b e Z , b * 0} b I f propios: a/2 , -73 ,... V Irracionales! trascendentes = {e, 7t,...} 1.13 DESIGUALDADES., La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales. La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al número “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al número “b” . A B ------------ 1----------------------1-----------► a b El símbolo < se lee "Es menor que”. También usaremos los símbolos siguientes: 12 1.13.a Eduardo Espinoza Ramos DEFINICIÓN.i) ¡i) 1.13.b Un número real “a” es positivo sí, a > 0. Un número real “a” es negativo sí, a < 0. DEFINICIÓN.Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor ó menor que otro. Por ejemplo: 5 < 9. U4 AXIOMA DE LA RELACION DE ORDEN.V a,b,c e R., se tiene: Ox Orden de tricotomía: una y sólo una de las siguientes posibilidades se cumple: a = b v ab O, Orden transitivo: s í a a < c 0 3 Orden de adición: s í a a + c 0 => a.c < b.c En base a estos axiomas daremos las siguientes definiciones: L15 1.16 DEF1N1CJON.i) a b - a e s positivo. ii) a > b <=> a —b es positivo. iii) a b <=> a > b v a = b <=> a = b v a < b TEOREMA.V a,b,c,d e R ; Sí a < c A b < d a + b<c + Demostración O a< c 2° a + b -a > -b Demostración 1.18 1° a 0 1° y definición 1.1$ i. 3o ( b - a ) + (-b) > 0 + (-b) 2o y 0 , 4° -a + (b + (-b))> -b 5o -a + 0 > -b 4o y A4 6o -a > -b 5° y a 3 3o, a2 y A TEQ R EM A .Sí a, b, c e R, donde a a.c > b.c Demostración 1° a ( ) 2o y definición 1.14.i) 4o - a.c < -b.c I o, 3o y 0 4 y ejercicio 6 5o a.c > b.c 4o y teorema 1. bfa 14 1.19 Eduardo Espinoza Ramos 1 1LUKIUMA.Para a e R, a * 0 => a 2 > 0 Demostración 1° a* 0 por hipótesis 2o a> 0 v a< 0 l° y 0 , 3o sí a > 0 => a.a > 0.a 2° y 0 4 A O \M N 4o 3o y ejercicio 2 5o sí a < 0 => -a > 0 2o y definición 1.15i 6o (-a)(-a) > 0. (-a) 5o y o 4 T a2 >0 6o, ejercicio 2 y 5 TEO R EM A .Para a e R. a * O entonces a 1 tiene el mismo signo que “a” es decir: i) Sí a > 0 => a~x > 0 ¡i) Sí a < 0 => a~l < 0 Demostración i) Io a > 0 2o éT 'cO hipótesis auxiliar 3o ¿7.a’ 1 < 0 I o, 2o y teorema 1.18 4o 1 < 0 3o y M 4 es absurdo 5o por 2 o y 4 o íT ' > 0, 6o Sí a > 0 => a~x > 0 ü) por hipótesis I o y 5o Su demostración es en forma similar. Sistema de Números Reales « /«< 15 TCADCM A Para a,b e R, donde a y b tienen el mismo signo, sí a a 1 > d 1 Demostración Como a y b tienen el mismo signo entonces se tiene dos casos: i) a >0 a b >0 i¡) a< i) 1° a 0 T a 1>0 4o a.a~ < b.a~l 3o y 1°; 0 4 5o (a.a~l )b~l < (b.a x)b~x 3o y 4o; 0 4 6o (a.a~1)b~1 <(b.b~{)a~l 5o y 7° l i T 1 <1 .a~l 6o y A/ 4 8o b~x <a 1 7° y M 3 9o sí a a~l >b~l l ° y 8° 0 a b<0 por hipótesis a b>0 a por hipótesis b x >0 2o, teorema 1.20 m 2 V ii) 1i ,¿¿ © Su demostración es en forma similar. IT l t ? D C i r iIva ftC W c A D D A T T An / W GiJüiKvlv ÜÍ-SAKKULLAUU5.Si a > b > 0, Demostrar que: a 1 > b 2 , donde a,b e R. Demostración Por hipótesis se tiene a > b > 0 => a > 0 Como a b> 0 a > b => a + b > 2b > 0 => a + b > 0 . ..( a ) a > b => a - b > 0 .. (ß) 16 Eduardo Espinoza Ramos de (a) y (f¡) se tiene: (a + b)(a —b) > 0.(a —b) de donde a 1 - b 1 > 0 => a 2 > b 2 Sí a > b > 0 =s> a 2 > b 2 Sía,b>0 y a 2 > b2 = > a > b Demostración Por hipótesis se tiene a 2 > b 2 => a 2 - b 2 > 0 de donde (a + b )( a - b ) > 0 ... (a) como a > 0 a b > 0 => a + b > 0, de donde —— > o a+b de (a) y (P) se tiene ^ + ® Sib>a>0 a +b ... —— > 0 , de donde a - b > 0 entonces a > b . y c > 0. Demostrar: >— 3 bh-Lr+ c bh Demostración Como b > a > 0 => b > a y c >0 a. b>0 ...(1 ) => b .c > a .c . . . ( 2) en (2 ) sumando a.b > 0 en ambos lados. a.b + b.c > a.b + a.c , . v .. . i t 1 b.(a + c) > a.(b + c) , de donde: ® d +C Cl ------ > — b +c b a c „ a+c c >— Si a,b,c,d > 0 y — > — Demostrar br» d/i b+d d Demostración a c Como — > — , donde b ,d > 0 b d => a.d >b.c ... (1) Además c > 0, d > 0 entonces c.d > 0 Sumando c.d > 0, a ambos miembros en (1): a.d + c.d > b.c + c.d 17 Sistema de Números Reales d.(a + c) > c.(b + d), de donde: a + ° > — b +d d (^ ) Para a,b,c números reales. Demostrar que a 2 + b 1 + c 2 >a.b + a £ + b.c Demostración V a.b e R, ( a - b ) 2 > 0 a 2 + b 2 - 2a.b > 0 V a. c e R, (a - c )2 > 0 a 2 + c 2 - 2 a r >0 V b,c e R, (b - c ) 2 > 0 b 2 + c 2 - 2b.c > 0 2( a 2 + b 2 + c 2 ) -2(a.b + a.c + b.c) > 0 de donde a 2 + b 2 + c 2 >a.b + a.c + b.c (7 ) V a,b e R ' , demostrar que ü + ^ > -Jali Solución Como a,b e R + => -Ja - 4 b e R Sí 4 a —4b e R => (4a ~ 4 b ) 2 > 0, de donde a + b - 2 4 a 4 b > 0 => a + b > 2 4 a b a +b ->4ah (l) Demostrar que sí a < b, Entonces a < ■ a + a < a + b => 2 a < a + b ...(1 ) a a + b a.c + b.d, para a,b,c,d e R 18 Eduardo Espinoza Ramos Demostración V a,c e R, (cr-c’)2 > 0 => a 2 + c 2 > 2a ¿ ...(1 ) V b,d e R, ( b - d ) 2 > 0 => b 2 + d 2 >l b. d sumando (1) y (2 ) se tiene: ...(2 ) a 2 +b 2 + c 2 + d 2 > 2 (a£ + b.d) 2 > 2(a.c + b.d) V a,b,c,d e R + y n e Z + , demostrar que: 1 > a.c + b.d a 2" + b 2n + c 2n + d 2" > 4 (abcd)"12 Demostración a,b e R + => a " , b n e /?+ ,pero a ” - b n e R, entonces: (an - b n) 2 > 0 => a 2n + b 2n > 2 a nb ” c,d e R^ => c " , d n e R + , pero c " - d " . . . ( 1) e R, entonces: (c" - d " ) 2 > 0 => c 2" + ¿ 2n > 2 c nd" ...(2 ) Sumando (1) y (2) se tiene: ...(3 ) a 2" + ¿>2n + c 2" + d 2n> 2 ( a nb" + c " d " ) ( J a " b n - a / c V "”) 2 > 0 => a nb" + cnd n>2^¡anb nc nd n a 2" + />2” + c 2" + ¿ 2n > 4 -Janb nc nd n ... (lo) a 2" + 62” + c 2" + í / 2n ¿4(a¿>c</)”/2 Si a + b + c = l , donde a,b,c > 0, Demostrar que (1 —a)(l - b ) ( l - c ) > 8abc Demostración Como a,b ,c > 0 => -J~a,-Jb,-Jc > 0 entonces: ...( 4 ) 19 Sistema de Números Reales -Je e R b + c> 2-Jbc -Je e R => • a+ c> 2-Jac -Jb e R a + b> 2-Jab (b + e)(a + c)(a + b ) > 8abe 1- a = b + c Pero sí a + b + c = 1 \ - b - a +c . . ( 2) \-c+ a+b Reemplazando (2) en (1) se tiene:(1 —a)( 1 —b)( 1 - c) > 8abc © Si a.b.c.d e R" , Demostrar que: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd Demostración Como a,b,c,d e R + => ab > 0, cd > 0, ac > 0, bd > 0 De donde -Jai) -~Jcd e R, y -Jac--Jbd e R. entonces: \(-\fab—J c d ) 2 > 0 \ab + cd > 2-Jabcd \(4ac- - J b d ) 1 > 0 Iac + bd > 2-Jabcd multiplicando se tiene: Sean a,b,c,d e R (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd ac , a a+c c tal que — < — . demostrar que: — < -------< — b d b b+d d Demostración Como —< — => a.d < b.c por que b,d e R 1 a.d < b.c, sumando a.b, a ambos b d miembros ad + ab < be + ab, factorizando a(b + d) < b(a + c), de donde ~ En ad < be sumando cd, a ambos miembros ad + cd < be + cd, . . . ( 1) 20 Eduardo Espinoza Ramos Factorizando d(a + c) < c(b + d), de donde: Ü í£ < £ b+d d ^ . De (1) y (2) se tiene: c d a a+c — < ---------b b+d a _ , , . De donde por transitividad se tiene: a +c b+d . . . ( 2) ----------< — a a +c c —< ------- < — b b +d d Si a,b,c y d, son números reales cualesquiera. Demostrar que: a 4 + b 4 + c 4 + d 4 > Aabcd Demostración Como a,b,c,d e R => a 2, b 2, c 2, d 2 e R, además: \a2- b 2 e R (a2 - b 2) 2 > 0 \c~ —d~ e R (c2 - d 2) 2 > 0 de donde al efectuar se tiene: a 4 + b 4 > l a 2b 2 c A + d A > l c 2d 2 ... (2) Sumando (1) y (2) miembro a miembro se tiene: a 4 + b 4 + c 4 + d A > l ( a 2b 2 + c 2d 2) Como ab. cd e R => ab - cd s R, ...(3 ) entonces: (a b -cd )'>0 a~b2 + c 2d 2 >2abcd => 2(a2b 2 + c 2d 2)> 4abcd de (3) y (4) por transitividad se tiene: a 4 + b A + c 4 + d 4 > 4abcd Si a > 0, a e R, demostrar que: a + — > 2 a Demostración Como a > 0 => -Ja > 0 , de donde 4 a — e R por lo tanto de donde ...(4 ) Sistema de Números Reales 21 (Va — 7=)2 ^ 0 , desarrollando se tiene: Va , „+ , Si a,b,c, e , demostrar que: a - 2 + —> 0 de donde a + — > 2 a a bc ac ab , — + ------1-— >a + b + c a b c Demostración Por hipótesis se tiene que a,b,c > 0, entonces — > 0 , —> 0 , —> 0 entonces aplicando el ejercicio 14). b c c Ahora a (1) multiplicamos por c,a,b respectivamente. ac bc ^ _ — + — >2c b a ab a c . — + — >2a c b ab — +— >2b c a b a -a c c „bc -ab => . h e ac ab s -, , , 2(-----h— + — ) > 2(a + b + c) a b c r.- ^ i ^ rv j Si a > 0, b > 0, demostrar que: 2 — + 2 — + 2 — >2c + 2a + 2b bc ac ab , — + — + — >a +b +c a b c a +b _ a b -----:— - < -— - + a + b + 1 6+1 a + l Demostración Como a > 0, b > 0, entonces a + 1 > 1, b + 1 > 1 luego se tiene: a +l>1 a + è + 1> è + 1 Z> + 1 > 1 a +b + \> a + l ahora inviniendo cada una de las desigualdades: ----- ---- < —— y ----- ----- < — — a + b + 1 ¿>+ 1 a +b + 1 a + l 22 Eduardo Espinoza Ramos multiplicando a las desigualdades por a y b respectivamente. a a b _ b ---------- < ------ y ---------- < ------o + b +1 b +1 ¿7+ ¿>+ l +1 • a +b ^ a b Sumado estas dos desigualdades se t i e n e : ---------- < ------ + a + b +1 b +1 a +1 17) 1 Si a,b e R, b * 0, demostrar que: — a 2 +ab + b 2 4 3b 2 Demostración Completando cuadrado en a +ab + b se tiene: c r + a b + b = (a + — (1) Como a.b e R => a + — e R, de donde (a + —)2 > 0 2 2 J 3t>2 ■ Sumando ------ se tiene: 4 o , b ■, 3b2 3b 2 (a + —) ' + -------> -----2 4 4 ...( 2 ) Ahora de (1) y (2) se tiene. 2 . ,t a ' +ab + b~ 18) ' 3b2 , . . 1 como b * 0 invertimos — ----- -— a 2 +ab + b 2 Si a > 0 y b < 0, Demostrar que: a 4 3b2 <— a Demostración Como a > 0, b < 0 => ab < 0, sumando “a” a ambos miembros se tiene: a + b.a < a, de donde a(b + 1) < a Como a > 0 => ... (1) -X- > 0 , ahora multiplicamos a (1) por - \ a~ a~ ... a(b + l) a . Obten íendose ----- < —r- simplificando a a , ¿+1 1 .'. ----- < — a a Sistema de Números Reales 19j 23 Si a > 0 . b > 0 tal que a + b = l , demostrar que: a^ - ~ Demostración Como a > 0, b > 0 => a - b e R, de donde: ( a - b ) 2 > 0 => a 2 - 2 a b + b 2 > 0 sumando 4ab. a 2 +2ab + b 2 > 4 ab de donde: (a + b)2 > 4 ab pero como a + b = l , se tiene l >4 a b , por lo tanto a^>-~ 20j Si a > 0 , b > 0 , 3a * 5b, demostrar que: 5b 3a — +— >2 Demostración Como 3 a * 5 b => 3 a - 5 b * 0 y 3 a - 5 b e R entonces ( 3 a -5 6 )2 > 0 Desarrollando se tiene: 9a 2 - 3 0 a b + 25b2 > 0 Sumando 30ab, a ambos miembros: 9a 2 +25b 2 > 30ab multiplicando por 15ab 9 a 2 +25Z>2 30ab . . . 3a 5b , -------------- > ------- , de donde: — + — > 2 15ab 15ab 5b 3a i . 23 E JER C IC IO S PRO PUESTO S.- © Si a y b son números reales positivos, demostrar que: (T ) Si a,b,c son números reales positivos, demostrar que: (—+ —+ - ) ( a + b + c) > 9 a b e © Si positivos, a,b,c,d son números ( - + —+ - + —)(a + b + c + d ) > 16 a b c d reales (—+ —)(a + b) > 4 a b demostrar que: 24 Eduardo Espinoza Ramos ( 4) Si a y b dos números reales positivos tal que a > b, demostrar que: (J) V a e R. a * 0, demostrar que: Si a,b,c e R* , demostrar que: (T ) Si —+ — > — + 3 b a a2 a 2 +— > 6 (b + c)(a + c)(a + b) > 8abc a,b e R, demostrar que: a^b + ab* < a 4 + b A Si a,b,c e R, demostrar que: a 2 + b 2 + c 2 +3 > 2(a + b + c) ® Si 0 < a < 1, demostrar que a 2 <a ^ 0) Si a,b,c d a d+e +f a+b+c son números reales positivos y a b e . Demostrar que: f c Demostrar que si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, entonces: (a + b + c)(a2 + b 2 + c 2) >9abc © Si a.b.c son números positivos y no iguales entre si. Demostrar que: cero. Demostrar que: (a + b + c)(a~l + ¿ _1 + c _1) > 9 13J Si a y b son números reales diferentes a 2 16Z>2 8a 32 b — + — — + 24> — +---b~ a b a ¿ 4) Si Sug. a 2 + b 2 = 1. Demostrar que: - ^ ¡ 2 < a + b < 4 l ( x - y ) 2 > 0 => 2 ( x 2 +>’2) > (x + y ) 2 15) Si a + b = c, a > 0, b > 0, demostrar que: a 2,i + b 2,3 > c 2li ® Si a + b > c > 0, demostrar que: —— + l + o \ +b 1+ c de Sistema de Números Reales © Si a,b,c > O, demostrar que: 25 3abe < a 3 + 63 + c 3 ® Si c > 0, d > 0, 2d * 3c, demostrar que: (í? ) Si a > 0, b > 0, a * b, demostrar que: Si a,b,c e R, demostrar que: 4d 2 4b (20) — >1 3c -Ja b 2c 2 + c 2a 2 + a 2b 2 > abc(a + h + c) 2 l) Sea a + b = 2, donde a y b son números reales, demostrar que: a 4 + b 4 > 2 ^\ 221 7 7 ? 9 9 9 Si a~ +b~ +c~ = 1 y x +>> + z = 1 , demostrar que: ax + b y + c z < l 23) ‘ J b 1 1 " Si a > 0, b >0, demostrar que: — + ——> —+ — 4 b2 a 2 a b 24) Si 0 < a < l , demostrar que: a 2 < a 25) Si a,b > 0, demostrar que: 26) Si a > 0, b > 0, demostrar que: -Jab > a +b ° > (—í^ ) 3 (27) Si a > 0 , a * 1, demostrar que: a l + ^ — > a 2 + ~ a a~ 28) S i a > 0 y b > 0, demostrar que: 4(a +b ) > ( a + b) 29) Si a y b son números reales, demostrar que: ~J(a~+c ) 2 +(b + d ) 2 < -Ja2 + b 2 + -Je2 + d 2 3(y Si a.b,c e R T, demostrar que: (a + ¿>+ c) 3 >21abc (31) Si a,b,c y d son números reales cualesquiera. Demostrar (ab + c d )2 < ( a2 + c 2)(b2 + d 2) 26 Eduardo Espinoza Ramos 2) Si a.b e R, demostrar que: a 4 + b 4 > —(a + b)4 8 33)Si a > 0 y b > 0 , demostrar que: “■ (g + —) 2 + (b + —) 2 a h 2 Si a > 0 , b > 0 (35) Si a,b.t\d e R,demostrar que: ac+bd < ^ ( a 2 + b 2)(c2 + d 2) (3ó) Si a,b e R tal que a + b = 1, demostrar que: a 4 + b A > ^ ® 8j Si a,b e R tal que a + b = 3, demostrar que: a 4 + b 4 > — 38) Si a,b.c,d e R +, demostrar que: ~ ( a + b + c + d)>^J a bed Si a: , a 2,...,a„. bx, b2,...,b„ eR tal que: demostrar que: 40) + +¿*) 2 1 1 25 tal que a + b = l , demostrar que: (a + —) 2 + (b + —) 2 > -^- ^ 9) a +b a 2 + a 2 +...+a2 = \ , b 2 +b2 +...+b2 =1 axbx + a 2b2 +...+a„b„ <1 Demostrar que si -1 < a < 0 entonces a 3 > a Si - a > 0 y ( a - b ) 2 > {a + b)2 , entonces b >0 (42) Si a, b e R, tal que 2a +4b = 1, Demostrar que: .43) Si a > 0. b > 0 =? a 3 + b l > a 2b + ab 2 44) ^ Si jc,,x,,...,jcn e R - y si p =^Jxxj c2..jc„ V a 2 + b2 > x 2 +X1 —— + x n demostrar -—+— y a X1 =+ —-2---n que: p < a. ÍÍ) ^ Si a,b,c,m,n,p e R / m > 0 , n > 0 , p > 0 : — < —< — entonces: m n p — < ^+ a + c < m m+n+p p Sistema de Números Reales 27 ® _ , . Probar que si al < a 2 < — <a„ entonces Qi + di +...+ a„ ax < —----- P----------- < a „ 47) s*-' a3- b l Demostrar que si 0 < a A\abcd\ para a,b,c,d e R (49) Si a,b,c > 0, demostrar que: 2 (a3 +lr + c:3) > bc(b + c) + ac(c + a) + ab(a + b) (501 Demostrar que: <j2b 2 + b 2c 2 + a 2c 2 > abc(a + b + c) V a,b,c e R 51) “ 7 V x e R y n par, demostrar que: x" 1 —-------< — x 2n+l 2 52) ' Demostrar que si r > 0 y a — + — b2 a 2 a b 54) Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que: ■ > 2 2 ' > ^ 2 x + y + z + w > —(x y + xz + xw + y z + yw + zw) a2 b2 55) Si a y b son números desiguales positivos demostrar que: a + b < — + — • b a 56) Si a,b y c son números positivos distintos. Demostrar que: (a + b + c) 2 < 3 ( a 1 + b 2 + c 2) 51) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: ,58)Si x,y son números distintos, demostrar que: 59) (a 3 + b 3)(a + b)> ( a 2 + b 2) 2 (x 4 + y 4 )(x2 +>’2) > ( x 3 +>'3) 2 Si x,y,z son números positivos distintos, demostrar que: xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xyz 28 (£0) 61J Eduardo Espinoza Ramos a-2 b-2 Demostrar que: a —---- < a-1 b-1 Sean a,b,c,x,y,z números positivos distintos, demostrar que: (a2 + b 2 + c 2 )(x2 + y 2 + z 2) > (ax + by + cz) 2 (62) Demostrar que: 0 < d < c => ^ — ^ - > d 2 ( c - d ) _ 4 .3 @ Si 0 < d < c => d 3( c - d ) < — - — < c 2( c - d ) (64) Si x > 0 , y > 0, z > 0, demostrar que: ® a) xyz = 1 => x + y + z > 3 b) xyz = 1 a x+y+ z=3 o Demostrar que: x > 0 , y > 0 , z > 0 x=y =z= 1 x y z x y z = > — + —+ —>3 ( s u g : ----- —= 1 y ejercicio 64) y z x y z x (óó) Demostrar para todo a y b real \[ab < -~= \¡a2 + b 2 (ó?) Si x e y e R, demuestre que: |x| + |y| > |x + y| (68) Si x 1, x 2,...,x „ e R~ tal que x¡ (69^ Si a,b e R, demostrar que: (70) Si a > 0, probar que: =1. Entonces x x + x2>1 (a + b)4 < 8(a4 + b 4 ) 2 i X . + +a > a + 1 x +a J i ) Si a,b,c ei?* ,y si a 2 + b 2 + c 2 = 8 . demostrar que: a 3 + b3 + c 3 > 1 6 ^ 72) Si a > 0 , b > 0, demostrar que: (-^- + -^ -)(a 2 +Z>2) > 4 29 Sistema de Números Reates 73) Demostrar que sí a,b,c nos números reales positivos entonces a+ +C > Ifabc ^ 4) Sí V a,be R talque a > 0 A b > 0 y a < x 2 - J a < x < 4 b v - - J b < x < —Ja ^ 5) Si JC], x 2 , —, x„ e R, talque x¡ jc2...jc„ = 1. Demostrar que x x + x 2 +...+x„ > n Si a,h e. R ' , Demostrar que ( a 2 + b 2)(a + b)2 >&a2b 2 77) ^ Si 78) Si a,b g a + b + c = 0, Demostrar que: (—+ —+ —)2 = ——+ - Î - + — a b c a - b2 c2 1 1 R , Demostrar que ——+ ——> a 2 b2 1.24 JNECUACÏONES.- 1.24.1 DEFINICION.- (a + b)2 Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas. Ejemplo.- La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una incógnita “x” que se verifica para valores mayores que 4. 1.24.2 INTERVALOS.- Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos sé representan gráficamente en la recta numérica real. Consideremos los siguientes tipos de intervalos: a) Intervalo cerrado.- a = {x e R / a < x < b} — otymt Mt mt yé) a b 30 Eduardo Espinoza Ramos c) Intervalo cerrado en a y abierto en b.[a,b>= {x e R / a < x = {x e R / x > a } a <a,+*> = {x e R / x > a} < OHHmHHiHHMtHtttttt *• a <-oo,b] = { x e R / x = {x e R / x < b} * m m m m m t m m Q ------ 1 b <-oo,+oo> = {x/x g R} < -» , a> u <a,+oo> = {x e R / x * a} Nota.- ( l ) Ejemplo.- mmHtHHHmHMMtto mmmtHHmwmmm a S ix e [a,b] <3 > a s x ¿ b Demostrar que: síx e[2,4] entonces 2x + 3 € [7,11] Solución x e [2,4] => 2 < x < 4, multiplicando por 2 4 < 2x < 8, sumando 3 7 Sí 7 < 2 x + 3 < l l < 2x + 3 < 11 => 2x + 3 e [7,11] Por lo tanto, sí x e [2,4] => 2x + 3 g [7,11] Sistema de Números Reales © Ejemplo.- 31 <=> & < x => x e <1,5> Solución 2x —6 e <-4,4> =?> -4 < 2x —6 < 4, sumando 6 2 < 2x < 10 dividiendo entre 2 l<x<5, entonces x e <1,5> Por lo tanto, sí 2x - 6 <= <-4,4> => x e < 1,5> 1,25 C O N JU N TO SO LUCIO N DE UNA INECUACION.-: Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado. 1.26 R ESO LU CIO N DE U N A INECUACION.»: El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución; es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación. 1.27 INECUACION DE PRIMER GRADO EN UNA INCOGNITA.Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma: ax + b > 0 ó ax + b < 0 , a=£Q Para resolver estas inecuaciones se debe considerar a > 0, es decir, sí a > 0, entonces: X > b . ------ O a X a ó x e < -oo,— > a Resolver las siguientes inecuaciones. 3x —4 < x + 6 Solución Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación en la forma: En un sólo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir: 3x - x < 6 + 4, simplificando se tiene: x < 5, es decir: x e <-oo,5> m m H H M H t M m m t O ------► La solución es: x e <-oo,5> 5 0 3(x —4) + 4x < 7x + 2 Solución Poniendo en un sólo miembrola incógnita y en el otro miembrolos números: 3x - 12 + 4x < 7x + 2 => 3x + 4x - 7x < 2 + 12simplificando 0< 14 esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada , es el conjunto de todos los números reales (x e R). 0 5x —4(x + 5) < x —24 Solución En forma análoga a los ejemplos anteriores en un sólo miembro ponemos las incógnitas y en el otro miembro los números: 5x —4x —x < -24 + 20 simplificando 0 < - 4 Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningún valor de x, que verifique que la inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacío (<¡>). 0 2 < 5 —3x < 11 Solución Aplicando la propiedad de transitividad: a<b<c o a 2<5-3x » 3 x < 5 —2 a 5 —l l < 3 x o x<1 a 5 - 3 x < 11 a x -- O/////////////////////////////! -2 < -2 La solución es: x e < - 2 , l ] 1.28 1 ----------------------- ÍINECUACION DE SEG Ü N O D GRADO E3\ U N A INC O G NITA ,, Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma: ax2 +bx +c > 0 ó aje2 +e < Q , a * Oí donde a,b,c e R, siendo a * 0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las propiedades de los números reales ó también por medio de la naturaleza de las raíces del trinomio ax 2 + b x + c - 0 . a) CARÁCTER DE LAS RAICES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO. Consideremos el trinomio de segundo grado al analizar el valor numérico de la ecuación (1) dando valores reales a x se presentan tres casos: I o Caso.- Si A = b 2 - 4 ac > 0, entonces hay dos valores diferentes rx < r2 que anulan el trinomio ax1 +bx + c = 0 . Es decir: a(x - rx)(x - r2) = 0 , si se hace variar x a lo largo de la recta real resulta: i) Cuando x toma valores menores que r , , los factores ( x - r ¡ ) y ( x - r 2) son negativos, luego el trinomio ax 2 +bx + c , tiene el mismo signo del coeficiente de “a”. ¡i) Cuando x toma valores intermedio entre i\ y r2 ; entonces el factor (x ) es positivo y el factor ( x - r 2) es negativo, luego el trinomio ax 2 + b x + c , tiene signo opuesto del coeficiente de “a”. 34 Eduardo Espinoza Ramos iii) Cuando x toma valores mayores que r2 , entonces los factores ( x - r ¡ ) , ( x - r 2 ) son positivos, luego el trinomio ax 1 + bx + c , tiene el mismo signo del coeficiente de “a”. 2o Caso.- Si A = b 2 - A a c = 0 , entonces hay un solo valor real >\ = r 2 = r , que anulan el trinomio a x2 + bx + c , luego como ( x - r ) 1 es positivo, el signo del trinomio a x2 + bx + c es el mismo del coeficiente de “a”. 3o Caso.- Si A = b 2 - 4ac < 0 , entonces se tiene dos valores no reales -■ r¡ = a + fíi y r2 = a - fii que anulan el trinomio a x 1 + bx + c , y para i» * ' ' cualquier valor de x, el trinomio: a x 2 + bx + c tiene el mismo signo del /J coeficiente de “a”. NOTA.b) Sí ax2 + bx + c = 0 entonces x = —- ----- -----2a RESOLUCION DE UNA INECUACION DE SEGUNDO GRADO.Para resolver una inecuación cuadrática de las formas ax 1 +bx + c > 0 ó ax2 + bx + c < 0 , donde a,b,c e R , a # 0 , por medio de la naturaleza de las raíces primero se resuelve la ecuación ax 2 + bx+c = 0 , y de acuerdo a la naturaleza de las raíces se presenta tres casos: I o Caso.- Si la ecuación ax2 +b x+c = 0 , tiene dos raíces reales diferentes < ri ' " + v *--------------- © — i) 7 :— v ~ e ------------- Si la inecuación es de la forma a x2 + bx + c > 0 , con a > 0, la solución es todos los valores de x que pertenecen al intervalo < - o o , > U < r¡ ,+ao >. ¡i) Si la inecuación es de la forma a x 2 + bx + c < 0 con a > 0, la solución es todos lo valores de x que pertenece al intervalo < r¡, r2 > . Sistema de Números Reales 2° Caso.- 35 Si la ecuación ax2 + bx+ c = 0 , tiene una raíz real única rx = r2 = r . +— i) 1 6 ' r > Si la inecuación es de la forma: a x2 +bx + c> 0 , con a > 0. La solución es todos los valores de x * r, es decir: ii) x e <-oo,r> U <r,+oo> Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c < 0 , con a > 0. No se verifica para ningún valor real de x. 3o Caso.i) Si la ecuación ax2 + bx+c = 0 , tiene dos raíces no reales. + Si la inecuación es de la forma: ax2 bx + c >0, con a > 0. La solución es todos los valores reales de x. ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx+c < 0 , con a > 0. No se verifica para ningún valor real de x. RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO. Raíces de la Ecuación Forma de la Inecuación a x2 +bx + c = 0 a x 2 +bx + c > 0 , a > 0 Raíces diferentes Conjunto Solución < —oo, r, > U <r-, ,+oo > r\ <r2 Raíz Real Unica r Raíces no reales Raíces diferentes R — {r} R <rx, r2 > r\ < r2 ax2 +bx + c < 0 , a > 0 Raíz Real Unica <t> Raíces no reales <l> 36 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplos.- © Resolver las siguientes inecuaciones. 2 x 2 —jc-1 0 > 0 Solución Resolveremos la inecuación usando propiedades de los números reales: a,b > 0 o 2;t“ - ; t - 1 0 > 0 Ca>ÖA b > 0 ) v {a < 0 a b < 0) => (x + 2)(2x —5)> 0 (x + 2)(2x- 5 ) > 0 <=> (x + 2 > 0 a 2 x —5 > 0 ) v ( x + 2 < 0 a 2 x —5 < 0 ) <=> (x > -2 a x > 5/2) v ----------------- ► O--------------Q//////////A 5 O- -2 (x < -2 a x < 5/2) -«--------------- O « ///////////O -2 2 La solución es: -O -6 — ► 5 2 x e < —oo,—2 >U < — ,+oo> 2 Otra forma de resolver esta inecuación, es por la-naturaleza de sus raíces de la ecuación , 2x~ - jc - 10 = 0 , de donde = - 2 , r2 5 = — de acuerdo al cuadro la solución es: , luego 7 ¥ x e < - 00,-2 >U < — ,+«>> 2 © ;t2 +8 jc- 6 5 < O Solución Usando propiedades de los números reales. ¡sr<¿>,b>flO -^h < a < -4 b completando cuadrados en x 2 + 8x- 6 5 < O, se tiene: < r2 y como 2x , —je: — 1 0 > 0 , Sistema de Números Reales 37 x 2 + 8x + 16 < 65 + 16 => (x + 4) 2 < 8 1 , aplicando la propiedad (x + 4 )2 <81 o - ^ | 8 Í < x + 4 <4 %Í <=> - 9 < x + 4 < 9 o -13<x<5 La solución es x e <-13,5> Ahora resolveremos la inecuación por medio de la naturaleza de las raíces de x 2 + 8 x -6 5 = 0 , es decir: (x + 13)(x —5) = 0 de donde rj = —13, r-, = 5 de acuerdo al cuadro es: x e <-13,5> 0 "* O ///////////////O - lo o *" x 2 + 20x + 100>0 Solución Mediante propiedad de los números reales se tiene: x 2 + 2 0 jc + 1 0 0 > 0 V => (x + 1 0 ) 2 > 0 entonces: x e R; x * -1 0 , (x + 10)2 > 0 , por lo tanto la solución es; x s R -{ -1 0 ¡ Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces: x 2 + 20x +100 = 0 => r = -10, multiplicidad 2, y como x 2 + 20x +100 > 0 , de acuerdo al cuadro de solución es: x ® g R —{-10} , 3 9 x ~ + —jc + — < 0 inn Solución Aplicando la propiedad de los números reales: V x e R , x 2 > 0 luego 3 x 2 + —x + 5 9 -----< 0 100 3 'i => (x + — )2 < 0 10 pero F 3 ( x h ------- )2 > 10 ningún valor real para x que verifique a la inecuación, es decir: <j>. 0 , entonces no existe 38 Eduardo Espinoza Ramos 3 9 Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces de la ecuación x~ +—x + -—- = 0 , 5 100 3 r = ----- de multiplicidad dos, pero se tiene que 10 de donde acuerdo al cuadro la solución es: IM 9 3 9 x~ + —x +-------- < 0 y de 5 100 (|). INECUACIO NES PO LIN O M ÍC A S.Una inecuación polinómica en una incógnita, es de la forma siguiente: P { x } - a nx n +,..+atx + a $ > 0 donde o 0, a) s o n ó '. P{x) ~ a„xn constantes y a„ * 0 , n e Z 4 + <0 . RESOLUCION DE UNA INECUACION POLINOMICAS.Una inecuación polinómicas de la forma P(x) > 0 ó P(x) < 0, se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0, en una forma sencilla y rápida, considerando a„> 0 . Para esto hallaremos primero las raíces del polinomio P(x) = a„xn +...+£7lx + a 0 = 0, y como éste polinomio es de grado n entonces tiene n raíces, lo cual pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales. I o Caso.- Cuando las raíces de la ecuación polinómica p(x) = 0, son reales diferentes. Es decir: a) rx < r, < ...< rn_x < rn En los intervalos consecutivos determinados por las raíces del polinomio P(x) = 0, se alternan los signos “+” y reemplazando por asignar el signo (+) al intervalo < rn ,<x>> . ^ A A ^ A ^ T A A ^ A A ^ ■ ■ ■ ■ ■ rn-3 rn -2 rn - l rn r 39 Sistema de Números Reales b) Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = a nx n +...+alx + a 0 > 0 , a n > 0 ; al conjunto solución será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo c) Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anx" +...+axx + a0 < 0 , a„ > 0 ; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo NOTA.Ejemplo: © Explicar el método de Ruffini Resolver las inecuaciones siguientes: jc5 + 3 x 4 - 5 x 3 - 1 5 x 2 + 4 jc+ 1 2 >0 Solución Expresamos el I o miembro de la inecuación en forma factorizada (x + 3)(x + 2)(x—l)(x + 1)(x —2) = 0 1 1 1 1 1 3 -5 -15 4 12 1 4 -1 -16 -12 4 -1 -16 -12 0 2 12 22 12 6 11 6 0 -1 -5 -6 5 6 0 -2 -6 3 0 -3 1 0 1 2 -1 -2 -3 40 Eduardo Espinoza Ramos Luego las raíces son: /•, = - 3 , r2 = - 2 , r3 = - l , rA = 1, /-5 = 2 -3 - 2 - 1 1 2 Como P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). Es decir: © x e <-3,-2> U < -l,l> U <2,+oo> 2x3 - 3 jr 2 -1 l.v + 6 < 0 Solución Hall aremos las raíces de la ecuación 2 2 2 2 x 3 - 3x 2 -1 Le + 6 = 0 -3 -11 6 -4 14 -6 -7 3 0 6 -3 -1 0 -2 3 '/2 1 2 0 Luego las raíces del polinomio son: r, = - 2 , r2 = —, r, = 3 Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-). Es decir: 2° Caso.- x e < -oo,-2 > { / < —,3 > 2 Si algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene: 41 Sistema de Números Reales a) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x) = 0 es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del I o caso. b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x) = 0, es impar, en este caso a la raíz se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del I o caso. Ejemplo.0 Resolver las inecuaciones siguientes. ( x - l ) 2(x + 2)(x + 4) > 0 Solución Resolviendo la ecuación (x - 1 ) 2 (x + 2)(x + 4) = 0 , de donde rx = - 4 , r, = - 2 , y = 1, de multiplicidad 2. -4 -2 1 Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: © x e <-co,-4> U <-2,+co> - {1} (2x +1 )(3x - 2)3(2x - 5) < 0 Solución Resolviendo la ecuación (2x + l)(3 x -2 )3(2 x -5 ) = 0 , de donde 1 2 ri = y de multiplicidad 3, r, = — -1/2 2/3 5/2 Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-). Es decir: 3o Caso.- 1 2 5 x e < -oo,- —> U < —, — > Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales, en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores. 42 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- © Resolver las siguientes inecuaciones. (.v2 - 7 ) ( x 2 +16)(.v2 —16)(jc2 + 1) < 0 Solución Resolviendo la ecuación: (x 2 - l ) ( x 2 + 16)(x2 -1 6 )(x 2 +1) = 0 , de donde rx = - 4 , r2 = —j 7 , i\ = ^ 7 , r4 =4, r¡¡ = - 4 / , r6 = 4i , r-¡ = /, + A -4 -V7 V7 Como la inecuación es de la forma P(x) A T - i 4 < 0, la solución es de la unión de losintervalos donde aparecen el signo (-), es decir:x e < - 4 - - J l > U < -Jl,4 > (? ) (1+x + x 2)(2 - x - x 2) > 0 Solución La inecuación la expresaremos así: ahora resolviendo la ecuación -1 + V3i -1 -V 3 ; ( x 2+ x + 1)(jc 2 + x - 2) < 0 ( x 1 +x + \){x2 + x - 2 ) = 0 de donde: r¡= - 2 , ----- r 3 = ---- r ---- , # 4 = ---- ----- • AA~r A/' -2 r 2 =1 , + 1 Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-), es decir: x e [-2,1] L30 INECUACIONES FRACCIONAR! AS.Una inecuación fraccionaria en una incógnita es de la forma: donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferente de cero. Sistema de Números Reates 43 Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones: P(x) . . P(x) _ . , , ----- - > 0 o ------- < 0 , son equivalentes a las inecuaciones Q(x) Q(x) M P(x).Q (x)>0 ó P(x).Q (x)<0 es decir: Si Q( x ) * 0 = > Q 2(x)> 0 , de donde se tiene: Si ^ > 0 Q(x) =* P(x)n f ' ( x ) >0.Q2(x) O(x) =¡> P(x).Q(x) > 0 Si ^ > < 0 Q(x) => P(X)Q ( X) < 0 .Q2(x) Q(x) => Ejemplo./^ \ ^ P(x).Q(x)< 0 V ’w v w Resolver las inecuaciones siguientes: (-Y(.t 2 -1 )( jc x +3)(* + 3)(jc- 2 ) ^ Q ;> u ( x —5)(x + 7) Solución , • (* 2 - l)( * + 3 )(* -2 ) , • • • ■■ La inecuación----------- ——---------- > 0 , es equivalente a la siguiente inecuación. ( x - 5 ) ( x + 7) H B (jc2 —1)(jc+3)( jc—2)(jc—5)(jc-»- 7) > 0 , para x * -7 ,5 ahora hallaremos las raíces de la ecuación ( x 2 —1)(jc -i- 3)(jc —2)(jc —5)(jch- 7) = 0 . De donde r, = -7 , r2 - 7 -3 , - = - 1 , r4 = 1, rs =2 , r6 = 5 , que son reales diferentes. 3 - 1 1 2 5 P(x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+) es decir: x e <-»,-7> U <-3,-l> U <1,2> U <5,+oo> © x-2 x +3 jc + 1 <x 44 Eduardo Espinoza Ramos Solución La inecuación dada se expresa en la forma, mayor que cero o menor que cero, es decir: x - 2 .r + 1 --------------- < 0 x +3 x 6 x —3 x(x + 3) <0 x ( x - 2 ) - ( x + l)(x+3) => —------- — --------------- < 0 , de donde: x(x + 3) 2x +1 . => ---------- > 0 , que es equivalente a: a'( x + 3) x(2x + 1)(x + 3 )x > 0, para x * -3,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación. (2x + l)(x + 3)x = 0, de donde r, = - 3 , r2 = — , r3 = 0 -3 -1/2 0 Como la inecuación es de la forma: (2x + l)(x + 3)x > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir: xe x x -1 < —3,—> U < 0 .+ » > 2 x-\ 2x - + ----- <X X+1 Solución x x —1 2.x La inecuación dada expresaremos en la f o r m a : ------- h:--------- -— < 0 jc -1 .v x +1 x'(.v + l) + (.í- lK .r - l) ( x + l ) - 2 x ‘ f x - l ) . ----------------------------------------------------- < 0 , simplificando ( x - D x U + l) 2x2 - x +l < 0 , que es equivalente a la inecuación. ( a- - 1 ) . v( a- + 1) (2x2 - x + l)(x-l).v(.v +1) < 0 , para x * -1,0,1 45 Sistema de Números Reales ahora encontramos las raíces de ( 2x2 - x + l)(x - \)x(x + 1) = 0 , de donde sus raíces son: . - V + \ / -1 ~ V 0 + “ „ 1 P(x) Como la inecuación es de la forma ------ < 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (-), es decir: x e <-*>,-1> U <0. 1> 1,31 INECUACIONES E X P (ÍÜ ÍIÜ M C Las inecuaciones exponenciales en una incógnita son de la forma: donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a e R + , a 1. Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos: 1 ° Caso.- Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el mismo sentido prefijado, es decir: Si > a ^ y. <=> f[x)> g& } Sí a ri' ^ < a s M 2o Caso.- o f|x)<g(& ) Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en sentido contrario al prefijado, es decir: Ejemplos.- Sí a f í x ) > a ^ o f(x)<g(x> Si a f i A < a ^ <=> fíx) > gíx) Resolver las siguientes inecuaciones: 46 0 Eduardo Espinoza Ramos 3/3(S,-l>/3 Solución 5jr-t-l La inecuación dada es equivalente a: 3(x +l) 5x+l 3 9 < 9 10 => 6x+6 3 9 < 3 10 , ^ , 5jr + l 6.v + 6 como a = 3 > 1 entonces ------- < --------9 10 50.y+ 1 0 < 54.r + 54 =?> —44<4.v La solución es: 0 [(0,2>tv^1K' 2)]A 3>(0,°12^ => x > - l l => x e < - l l , + o o > x e <-11 ,+»> 3jr-l Solución La inecuación dada se puede escribir en la forma: (jr-j-'Xjr -2) ( 0 ,2 ) * -3 . (x+l)(.r-2) > ( u - ^ z o ) 3 x -i dedonde: (0<2) v-3 > ( 0 , 2 ) 12a- 4 , 8 , . (x + \ ) ( x - 2 ) como a = 0.2 < 1, se tien e:--------------- < 1 2 - 4 x-3 (jc + 1)(jc —2) => ------- ------ - - 1 2 * + 4 < 0 jc—3 1 l x 2 -3 9 x + 14 efectuando operaciones y simplificando tenemos: --------------------> 0 , esta inecuación es x -3 equivalente a: (1 be2 -3 9 x + 14)(j c - 3) > 0 p a ra x * 3 . Ahora hallando las raíces de : (1 lx 2 -3 9 x + 14)0c-3) = 0 , de donde: 3 9 -^ 9 0 5 , r, = ------------- , r7 = 3 , 1 22 2 3 39-V905 22 39+^905 = ------------22 3 39 + ^905 22 47 Sistema de Números Reales P(x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) , ■ . ■ donde aparece el signo (+) es decir: 1.32 3 9 -^ 9 0 5 , „ 39 + ^905 x e < -------------- j > U <-------------- ,+w > 22 22 INEC U AC IO N ES IRRACIONALES.» Las inecuaciones irracionales en una incógnita son de la forma: .....Ó ............................. 0 donde P2 (x),P-¡ (x),...,P„ (x) son monomios o polinomios diferentes de cero. Para que la solución de la inecuación sea valida debe resolverse antes la condición P¡(x)> 0 , i = 2,3,...,n en las expresiones con una radical par, cuyo conjunto solución constituirá el universo o dentro del cual se resuelve la inecuación dada.Debe observarse que quiere decir, ( +^ P ( x ) ) y si se desea la raíz negativa se escribirá expresamente como ( - - J P f x ) ) ; es decir: i) V P(x) > 0 , ^P(x) > 0 ii) -JP(x) = 0 <» P(x) =0 para resolver las inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes propiedades: O 0<x<y <=> 0 < 4 x < © © 0<x<y <=> 0 < 4 x < ^ y 0 <x < y o Si n es un entero positivo par. ax) V P(x) > 0 a 2) H¡P(x)= 0 ö3 ) !{¡P(x) > 0 <=> P(x)>() <=> P(x) = 0 » 0 < P(x) < Q(x) 0 <4x <Jy 48 Eduardo Espinoza Ramos J ii) Si n es entero positivo impar. bx) ^jP(x) > 0 <=> P(x) > 0 b2 ) '-{]P(x) < 0 o bi) P(x) < 0 !{[PM<!{lQM Las propiedades 6, ) , » P(x) < Q(x) b2 ) indican que '-{jP(x) tienen el mismo signo que P(x) si n es impar. OBSERVACION.- Cuando en una expresión existen k radicales par entonces se calculan los universos relativos UX, U 2,...,Uk para cada radical y el universo general será U = U l n U 2 n . . . n U k . Daremos algunos ejemplos de ilustración de estas propiedades, para después estudiar las diversas formas de inecuaciones irracionales. Ejemplos.Q Resolver las siguientes inecuaciones -Jx + 5 > - 2 Solución Como -Jx + 5 > -2 es valida para todo x tal que xeU: x+5>0 => x > - 5 => U = [-5,+»>, luego el conjunto solución es [-5,+*» © -Jx + 1 > 0 Solución Como -Jx + 7 > 0 entonces el conjunto universal es x + 7 > 0 => x > - 7 Además -Jx + l > 0 <=>x + 7 > 0 = > x e <-7,+oo>. Luego el conjunto solución es x @ -Jx^5 <0 U = [-7,+co> g [-7,+*>> A <-7,+oo> x g <-7,+ oo> Sistema de Números Reales 49 Solución Como sj x- 5 < 0 , el conjunto universal es x - 5> 0 => x > 5 => U= [5,+oo> y como <-Jx-5 < 00 ' / i - 5 = 0 => x—5 =0 => x = 5 e U, luego el conjunto solución es {5}. 0 @ <0 Solución Como - Jx-H < 0 es absurdo entonces la solución es (|). © V-v+ 9 >0 Solución Como a/-í + 9 >0 es verdadero V x e U: x + 9 > 0 es decir U = [-9,+°o>, luego el conjunto solución es x e [-9,+oo>. © V8-2.v <V Í3 Solución El conjunto universal es 8 —2x > 0 => x < 4 de donde U = <-oo,4], -Jü-2x < ~ jv í o 8 -2 x < 1 3 conjunto solución es: © -VAT3"-4- de donde => jc g [-^ ,+ o o > . U n [ —^-,+«>>=[-—,4] >-3 Solución Calculando los universos relativos. L\ : x + 3 > 0 => x > -3 U 2'. 4 —x > 0 x<4 => x e [-3,+oo> x e <-»,4] U =í/j nt/2 = [-3 .+ o o > n < -o o ,4 ] = [-3,4] como la suma de dos positivos es siempre mayor que un negativo. -Jx + 3 +- J 4- X > -3 es valido V x g U = [-3,4], Luego el Eduardo Espinoza Ramos 50 ® - J x ^ 7 >3 Solución Sea U: x —7 > 0 => x > 7 = > x e [7,+*> -Jx—7 >3 o x -7 > 9 =>x>16 => x e < 16,+*> el conjunto solución es x e U n < 16,+oo> = < 16,+*> (? ) -V -v -5 > 0 Solución - V-v- 5 > 0 o - J x - 5 < 0 el conjunto solución es <j>. V-í2 - x - 1 2 <-Jx2 - 6x + 5 Solución Calculando los universos relativos. U] : x 2 - x - 1 2 > 0 => (x —4)(x + 3) > 0 + -3 U l =< -oo,-3] U [4,+x> > U 2 '■ x 2-6 x + 5>0 => (x —5)(x —1 )> 0 \ / 1 V x2 - x —12 <-Jx2 - 6 x + 5 <=> x 2 - x - 1 2 < x 2 - 6 x + 5 17 x<— 5 17 => x e< - 00, — ] 5 17 x e V A < - 00, — ] = < -oo,-3] Luego el conjunto solución es: Vx2 - 4 (x - 2 ) 2( x 3 -1 3 x + 12) ^ ^ © (x + 4)3(x 3 + 8 x 2 + 4 x -4 8 ) “ + 4 + U = U l n U 2 = < - « - 3 ] U [5,+co > => \ / + U 2 =< -oo,l] U [5,+ *> de donde 5 x < 1 7 . 5 Sistema de Números Reales 51 Solución Como t/x 2 - 4 tiene el mismo signo que x 2 - 4 y (x + 4 )3 tiene el mismo signo que x + 4 entonces la inecuación dada es equivalente. \¡x2 - 4 ( x - 2 ) 2(x3 -1 3 x + 12) (x 2 - 4 ) ( x - 2 ) 2(x 3 -1 3 x + 12) _ ---------¿ U <=> ---------------:------------------------ > U (x + 4)3(x 3 + 8x 2 + 4 x -4 8 ) (x + 4)(xi + 8.x2 + 4 x - 48) Como V x e R, ( x - 2 ) 2 > 0 entonces (x 2 —4)(.v —2 )2( r 1 -13,v + 12) ■ U O (x + 4)(x3 + 8x2 + 4 x -4 8 ) (x 2 - 4 ) ( x 3 -13x + 12) ----------- ;-------;--------------¿ U (x + 4)(x3 + 8x2 + 4 x -4 8 ) (x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - l)(x 2 + x -1 2 ) > 0 , para x * 2, - 4 (x + 4 )(x -2 )(x + 6)(x + 4) (x + 2 )(x -l)(x + 4 )(x -3 ) (x + 6) > 0 , para x * 2, - 4 -6 Luego el conjunto solución es: -4 -2 x e <-6,-4] U [-2,1] U [3,+oo> Vx + 7 (x + 2 )4 (.v + 3);l í x 2^ 7x + 12 V h T I <0 fyx + 9 (x - 8 ) 3(x 3 - 2 7 ) ( x 2 - 1 4 x + 48) Solución Los radicales pares nos da el universo U. 1 0 - x > 0 A x + 9 > 0 => x < 1 0 A x > - 9 x e <-9.10] => U = <-9,10] (no se incluye el - 9 por que anula al denominador) como los radicales pares son positivos la inecuación es equivalente a: Eduardo Espinoza Ramos 52 Vx + 7(x + 2 ) 4 ( x + 3)^Jx2 - 7 x + \ 2 $ ] \ 0 - x < ^ ^ ^ + 9 ( j c - 8 ) 3( x 3 - 2 7 ) ( x 2 - 1 4 x + 48) $ J x + 7 ( x + 2 ) 4J t f + 3 ) ^ j x 2 —7jc+12 ^ ^ ~ (jc-8>3(jc3 - 2 7 ) ( x 2 - 1 4 x + 4 8 ) ~ como los radicales impares tienen el mismo signo que las cantidades subradicales entonces: (x + 7)(x + 2 )4(x + 3)(x2 - 7 x + 12) „ , _ . 4 „ - < 0 , como para todo x e R (x + 2) > 0 (or—8)3 ( x —3)(x') + 3 x + 9 ) ( x - 6 ) ( x - 8 ) (x + 7)(x + 3 )( x -3 )(x - 4 ) . , ------------- -----—-< 0 , para x * 3, 8 simplificando tenemos (x —8) (x —3 )(x -6 )(x -8 ) -— (x + 7)(x + 3 )(x -4 ) ^ A --------- — ---------< 0 , x * 3,8 - 7 - 3 x e [-7,-3] U [4,6> luego el conjunto solución es: /. + \A ~ ^ ~ ~ V 4 6 + _» x e U n ([-7,-3] U [4,6>) x e [-7,-3] U [4,6> ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional. 1° Para las inecuaciones irracionales de las formas: a) b) J P M > Q(x). La solución se obtiene así: J P Ü j > Q(x) o (P(x) > 0 A [Q(x) < 0 V (P(x) > 0 A P(x) > Q 2(x))]) sJP(x) > O(x) ; la solución se obtiene así: J P M > Q(x) o [P(x) > 0 A (Q(x) < 0 V [P(x) > 0 A P(x) > Q 2 (x)])] 2o Para las inecuaciones irracionales de las formas: a) -JP(x) < Q ( x ) ; la solución se obtiene así: J püc) < Q(x) «• [(P(x) > 0 A (Q(x) > 0 A P(x) < Q 2(x ))] 53 Sistema de Números Reales b) -JP(x) < Q(x) ; la solución se obtiene así: J P ( x ) < Q(x) 3o <=> P(x) > 0 A [Q(.x) > 0 A P(x) < Q 2(x)] Para las inecuaciones irracionales de la forma: a) b) -JP(x) +^¡Q(x) > 0 ; La solución se obtiene así: 4P(x)+4Q(x) > 0 => P(x) > 0 A Q(x) > 0 ,JP(x) + ~ J Q (x ) > 0 ^P(x)+^Q(x)> 0 4o / ; La solución se obtiene así: => P(x) > 0 A Q(x) > 0 Para la inecuación irracional de la forma: s¡P(x) +s[Q(x) > K , K > 0; La solución se obtiene así: -¡FV¡)+4Q( x ) > K 5o ^ [(P U )> 0 A Q(x)> 0) A P(x) > ( k ~ 4 0 M ) 2] Para las inecuaciones irracionales de la forma: -JP(x) +^¡Q(x) < 0 ; ^P (X )+ ^Q ^j< 0 La solución se obtiene así: => P(x) = 0 A Q(x) = 0 OBSERVACION.C’onsíderemos otros casos más generales. Io Caso.- b) Si n es impar positivo mayor que uno. P í » ) # w >0 R(x) o f w . e w >0 R(x) _ < 0 R(x)'i¡Q(x) « — <o R(x)Q(x) 54 Eduardo Espinoza Ramos ’-ljP(x) <H¡Q(x) A P U )>o R( x) A P W <0 R(x) ’< ¡QWR(x) d) P(x) '4q (x )R( x ) ~ e) nJP(x) > Q ( x ) o ( P ( x ) > 0 A [Q(x) < 0 V (P(x) > 0 A Q(x) > 0 A P(x) > Q" (*))] f) !{fPÜ) < Q(x) o Ejemplo.- (7) VI A o P(x) A IV Si n es par positivo Ó , C) P(x) < Q(x) o 2o Caso.- o O 2 c) P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A P(x) < Q n (jc)] Resolver las siguientes inecuaciones -n/.v2—14jc-i-13 > x - 3 Solución V-v2 -14.V + 13 > .v - 3 <=> x~ - 1 4 .v + 13 > 0 A [jt —3 < 0 V (a-2 -14.V o jc2 + 13 > 0 A -1 4 .V + 13> 0 .v2 -14.V A [x<3 V ( jc2 - + 13 > 14 jc + 1 3 > 0 o jc2 o x 2 -1 4 x + 13> 0 A [jc <3 V x < —1 2 o A 2 -1 4 .r + 1 3 > 0 - 1 4 a + 1 3 > 0 A [ j[ : < 3 A x<3 v x g ( jc- 3 ) 2 ) ] < —* , 1 ] U A x<~)] [ 1 3 , oo> A x < —] Sistema de Números Reales 55 o (x —13)(x —1) > 0 A x < 3 x » x e <-oo,l]U[13,+oo> A x < 3 x e < -* ,l] -Jx2 -1 4 * + 13 < x + l Solución Aplicando la parte b) del Io caso: ■\¡x2 - 1 4 X + 13 < x + l <=>(.v2 -14.V + 13 > 0 A [jc +1 > 0 ) A ( x 2 - 1 4 * + 1 3 < ( x + l )2 ]) <=> ((jc —13)(jc —1>> 0 A [ . v > - 1 ) A ( ( jc - 1 3 ) ( . v - 1 ) < ( . y + 1)2 ]) <=> ((jc-13)(x-1) > 0 A [x > —l) A jc > —] 4 <=> x e <-1,1] U [13,+*» A x > - ] 4 o 2x - 8 5-.v x e < —.1] U[13.+oo> 4 ¿ il Solución Aplicando la parte b), del i x-i Í5 ^ > 0 ]¡x + 3 o 3o 1 A — 4 P (x )> 0 A Q (x )> 0 20 -v-1x + 3 ( x - 4 ) ( x - 1) - -JP(x) +s]Q(x) > 0 0 » ~ + \/ caso: V > 0, x * 1 A (5 - x )(x + 3) > 0, x * 3 (x —4)(x—1) > 0, x * 1 A (x —5)(x + 3) < 0, x * - 3 + „ yV ____ ~IA / -3 - , 5 Eduardo Espinoza Ramos 56 x e <-oo,l> U [4,oo> A x e <-3,5] / ---------------------------- o • ------------------------- -----------e / / / / / / / / / / e ---------------------------- -3 1 4 5 O ---------------------------------------------------------------------- • La solución es: x e <-3,l> U [4,5] OBSERVACION.- Si n es un numero positivo impar, entonces: © 'jJP(x) <'ifQ(x) » P(x) < Q(x) © # W < # W « P (x )< 0 (x ) © o P(x) > Q(x) © '4 p o T)>'4 q Ü ) o P(x) > Q(x) 3j 2 _ j. Ejemplo.- Resolver la inecuación __*------------> 0 Solución El conjunto de referencia o conjunto universal se obtiene del radical par y diferente de cero: x 2 -1 > 0 , dé donde x 2 > 1 => x > 1 v x < -1 x e <-oo,-l> u <l,+oo> luego el radical par resulta positivo y puede simplificar quedando la inecuación > 0 , que de acuerdo a las observaciones, las expresiones del subradical tiene el \¡x + 5 mismo signo - —— > 0 , de donde ——- < 0 ------ - .....^ .................. x +5 .v + 5 .5 3 x e <-5,3> Luego la solución de la inecuación es: x e <-5.3> n (< -» .-1> u < 1,+oc>) .-. x e <-5,-l> u < l,3 > n i i • •• V A - A .( x 3 + 8 x 2 + 4 x -4 8 ) Ejemplo.- Resolver la inecuación--------------— ------------------- > 0 (* + 4)5(x -1 3 jc + 12) Sistema de Números Reales 57 Solución De acuerdo a las observaciones indicadas se tiene que ^ x 2 - 9 tiene el mismo signo que x 2 - 9 y que (x + 4 )5 tiene el mismo signo que x + 4, por lo tanto la inecuación dada resulta equivalente a la inecuación: ( x 2 - 9 ) ( x 3 + 8 x2 + 4 x -4 8 ) . ------------------------------------ > 0 factorizando el numerador y el denominador (x + 4)(x -1 3 x + 12) (.v + 3 )(x - 3 )(x - 2 )(x + 6)(a + 4) — ---------------------------—----- —> 0 o <a + 4)(a-1 )(a + 4 )(a -3 ) ( a + 3)(a--2 )( a 46X x + 4) x-1 " ~ (a + 3 )(a -2 )(a + 6)(a + 4) ---------------- -----------------> 0 , x * 3 ( x + 4) (a —1) + V ' - 6 - 4 - 3 V + V 1 2 1 V +■ x u [-6,-4] u [-3,1 > u [2,+oo> - -¡3} OBSERVACION.- O ¡(/PW < ’4 Q ( x ) Si n es un numero positivo par, entonces: « 0 < P(x) < Q(x) © 132-2v iEjemplo.- J --------- >V-V Vx + 2 Solución Aplicando la observación a) se tiene: r a/ x 32-2 a < — -----V x+2 O „ 32-2 a ()< x < — — x+2 32-2 a x +2 <=> X > 0 A a - 32 - 2x <0 . a+2 <=> x > 0 r 2 + 4x - 32 a --------------— < 0 a+2 o O 0 1.33 o x >o a x e <-oo,-8] a Z íí± w £ zí)< o x +2 u 2¿ Z 2 -8 ¿H 2 -2 <-2,4] ¿- + 4 x e [0,4] EJERCICIOS DESARROLI.ADOS.Resolver la inecuación cuadrática: - 4 x 2 + 4x + 3 > 0 Solución La inecuación dada expresaremos en la forma: 4x2 - 4 x - 3 < 0 faclorizando (2x + l)(2x - 3) < 0, aplicando la propiedad de números reales: (2x + 1)(2x —3) < 0 <=> (2x + 1 > 0 A 2x —3 < 0) V (2x + 1 < 0 A 2x —3 > 0) «■ 1 3 1 3 * ( * > - - A x <•—) V ( x < — A x > - ) 2 2 2 2 O ------------------------- * -O --------------------------O -- > O V -1/2 La solución es: x e 3/2 - 3/2 1/2 < - —, —> 2 2 Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces la ecuación 4 x 2 - 4x - 3 = 0 , de donde r, = —- , r-, = — + + -1/2 Como la inecuación es de la forma 3/2 4 x 2 —4jr —3 < 0 . la solución es la unión de los intervalos donde aparece el signo (-), es decir: 11 W M © x 5 + 8 x 4 +12x3 - x 2 —8jc —12 > 0 59 Sistema de Números Reales Solución Aplicaremos el criterio de las raíces de la ecuación: La ecuación que queda es: /• = —* .r + 8x4 +12*3 - x 2 - 8 .Í - 1 2 = 0 x 2 + x +1 = 0 , cuyas raíces son: ■ Luego las raíces reales son: /•, = - 6 , r2 = - 2 , r-, = 1 -6 -2 1 Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparece el signo (+). es decir: x e ( ? ) 12 x 4 - 56x3 + 89x 2 - 56x +12 < 0 Solución Encontrando las raíces de la ecuación 12x4 - 5 6 x 3 + 8 9 x 2 -5 6 x + 12 = 0 dividiendo entrex2 í i <L+<o> Eduardo Espinoza Ramos 60 Reemplazando en la ecuación (1) se tiene: y 12(r2 - 2 ) - 5 6 - + 89 = 0 . entonces: 12r2 - 5 6 r + 65 = 0 => ( 6 r - 1 3 ) ( 2 r - 5 ) = 0 de donde r = — . r = — 6 2 13 113 para : = — => ,v + — = —• => 6x -13x + 6 = 0 , de donde 6 x 6 3 2 2 r-> = — "3 para r = — => x + — = — => 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 , de donde r3 = — , r4 = 2 2 A' 2 '2 ordenando las raíces en la recta numérica + 1/2 2/3 3/2 2 Como la inecuación es de la forma P(x) < 0. la solución es la unión de los intervalos donde aparece el signo (-), es decir: x(2x + 1)(x —2)(2x —3) > 63 Solución Hallaremos las raíces de la ecuación: x(2x + 1)(x —2)(2x —3) —63 = 0, entonces x(2 x -3 )(2 x + 1)(x —2) —63 = 0 (2 x 2 - 3x)(2x2 - 3.v - 2) - 63 = 0 Sea r = 2.\'2 - 3 x r 2 - 2 r -6 3 = 0 z ( z - 2 )-6 3 = 0 => ( ; - 9 ) ( r + 7) = 0 , dedonde z = 9, z = -7, entonces: Para z = 9 => 9 = 2.y2 -3.y => 2.t2 —3jc—9 = 0 , dedonde: r,i = —2 . r-,. = 3 Sistema de Números Reales 61 Para z = -7 => --7 = 2 x —3jc => 2 j r - 3 j c + 7 = 0 , dedonde: r = 3 + V47i + -3/2 3 Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos © I! X donde aparecen el signo (+), es decir: > U <3„+0t> x < x-3 1- x 2-x Solución La inecuación dada se escribe en la forma: .v x-3 1—x 2-x <0 - 2 x +3 <0 (l-x)(2-x) x(2-x)-(x-3)(l-x) (l-x )(2 -x ) 2 x -3 (x-l)(x-2) > 0 , < 0 , simplificando entonces la inecuación 2x-3 > 0 , es equivalente a la inecuación (x-l)(x-2) (2x —3 )(x —1)(x - 2 ) > 0 para x ^ 1,2 encontrando las raíces de la ecuación ( 2 x - 3 ) ( x - l ) ( x —2) = 0, se tiene: r,1 = 1, r, = —,. r-,23= 2 3/2 como la inecuación es de la forma ------ > 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: XC< ! ,- } £ / < > Eduardo Espinoza Ramos 62 © x -2 x+1 ■< ---x+3 Solución La inecuación dada se escribe en la forma: x-2 x+1 A x(x - 2) - (x + \)(x + 3) . -------- — < 0 => ----------;-------------------< 0 , simplificando x+3 x x(x + 3) - 6 x —3 ---------- < 0 x(x + 3) n2x => ----------- > 0 , entonces la inecuación ----------- > 0 es equivalente a la x(x + 3) x (x +3) inecuación (2x + l)x(x + 3) > 0, para x * -3,0, ahoraencontraremos las raices de la ecuación: (2x + 1)(x + 3)x = 0, de donde rx = -3 , -3 -1/2 r2 = —~ , r3= 0. 0 Como la inecuación P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el i signo (+) es decir: 0 ^ ______ 2_______ * x; -15- 5» x++6 6> ¿o u x + x -4 2 Solución x -5 x + 6 „ (x -2 )(x -3 ) , — > 0 <=> ------------------> 0 , esta inecuación es equivalente a: x + x -4 2 (x + 7)(x - 6) (x—2)(x—3)(x + 7)(x - 6) > 0 para x * -7,6, ahora encontraremos las raíces de la ecuación, (x —2)(x —3)(x + 7)(x —6) = 0, donde i\ = - 7 , r2 = 2 , r3 = 3 , r4 = 6 . -7 2 3 6 + Sistema de Números Reales 63 P(x) Como la ecuación es de la forma ------> 0 la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: - x 3 + J 2 +22.V--40 ® x( x + 7) x £ -7> U [2,3 >0 Solución La inecuación dada escribiremos en la forma: x 1 -.v 2 - 22x + 40 x{x + 7) (x - 2 ) ( x - 4 ) ( x + 5) < 0 => ------- :----------------- < 0 x{x + 7 ) , -, ( x - 2 )( x - 4 )( a:+ 5) . , La inecuación --------- -— ......... < 0 , es equivalente a: x(x + 7) (x —2)(x —4)(x + 5)x(x + 7 ) < 0, para x * -7,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación (x - 2 )(x -4 )(x + 5)x(x + 7) = 0 de donde: rx = - 7 , r2 = - 5 , r3 = 0 , r4 =2 , r5 = 4 P(x ) Como la inecuación es de la forma ----- - < 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (-), es decir: © x 6 <-aj,-7> tí U [2,4] 2 4 ~ 4x > 0n 1i + —------------x 2 —2jc—15 Solución La inecuación dada escribiremos en la forma: — — 6x + 9 ^ ^ a-2 - 2 a-- 1 5 ^ (x -3 y >0 (,r-5 )(.r + 3) Eduardo Espinoza Ramos 64 i ( t —3)“ pero ( x - 3 ) 2 > 0 , x * 3 , entonces: — —— — — > 0 <=> (x-5Kor+3) 1 (.r-5 )(.t + 3) > 0 . x * -3 ,5 • » (x —5)(x + 3) > 0. 1 U -5K X +3) > 0 para 3 para x * -3, 5, ahora encontraremos las raíces de (x —5)(x + 3) = 0, de donde jj = - 3 , r2 = 5 . A A ~Â A -3 Pi Jr) Como la inecuación es de la forma —— > 0 , la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir: 3.V+ 5 2x + l | x 6 <-se,t3> U <5v*>> - f$ f <3 Solución A la inecuación dada escribiremos en la forma: ---------- 3 < 0 Zt + 1 — ——> 0 o 2x+1 o ---------- < 0 2x +1 C3> ---------> 0 2 x+ l (3x —2)(2x + 1) = > 0 , para x * —— 2 I 2 ahora encontramos las raíces de: (;3x —2> (2x + I) = 0, donde ri = —*r2 = y -1/2 2/3 P{x} Como la inecuación es de la forras — — > 0 , la solución es la unión de los intervalos Qix) donde aparecen el signo (+>, es decir 65 Sistema de Números Reales © (2.v2 - 8 x + 8)(x + 3) x+6 >0 Solución (2x2 - 8 x + 8)(x + 3) x+3 >0 x +6 > 0 , (x -2 ) x+6 x+6 > 0, Vx e R <=> (x + 3)(x + 6) > 0, para x * -6 Luego las raíces de (x + 3)(x + 6) = 0 son rx = - 6 , r2 = -3 -6 -3 P{x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: X, e <~to,~6> U (l-x -x ~ )(2 -x -x ) >0 (3 -x )(2 -x ) Solución ( l - x - x 2) ( 2 - x - - x 2) (3 -x )(2 -x ) >0 <=> (x + x - l ) ( x ~ + x - 2 ) (x -3 )(x - 2 ) >0 (x 2 + x - l ) ( x 2 + x - 2 ) >0<=>(x2 + x - l ) ( x 2 + x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) > 0 , p a ra x * 2 ,3 (x -3 )(x -2 ) ahora encontramos las raíces de: (x 2 + x - l ) ( x 2 + x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) = 0 , dé donde -1 -V 5 -1 + ^ 5 , 0 , rx = - 2 , r2 = ---- ----- , r3 = — - — , r4 = 1 , /-5 = 2 , r6 =3 -2—1—v/5 -1 + V5 1 2 3 Eduardo Espinoza Ramos 66 P(x) Como la inecuación es de la forma > 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: 2 x 5 - 1i x x4+l x 5 lili -> -2 +2 Solución Vx e R, x 4+ l> 0 , x 4+ 2>0, entonces la inecuación dada se puede escribir en la forma: (x5 - l ) ( x 4 + 2 ) < ( x 5 - 2 ) ( x 4 +1), efectuando operaciones y simplificando se tiene: x 4(x + l ) < 0 , luego encontrando las raíces de x 4(x + l ) = 0 se tiene /¡ = - 1 , r2 = 0 , multiplicidad 4. -i punto critico de multiplicidad par. Como la inecuación es de la forma p(x) < 0, la solución es: (x ¿ - 2x + 4)(x-1) <0 (2x + l)(x + 4) Solución (x 2 - 2 r + 4 )( x -l) La inecuación --------- :-------------- < 0 , es equivalente a: (2x + l)(x + 4) M (x2 - 2 x + 4 )(x -l)(2 x + l)(x + 4) < 0 , para x * - 4 , - ahora encontramos las raíces de la ecuación. (x 2 - 2x + 4)(x - l)(2x + l)(x + 4) = 0 , de donde. Sistema de Números Reales 67 Á ------------------ = - 4 , r2 = — , r3 = 1, r4 = l+ ^¡3i, r5 = 1 - ^ 3 / - 1/2 P (X ) Como la inecuación es de la forma — — < 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparece el signo (-), es decir: x +5 x -1 x —6 x-3 ,t € < - » , - 4 > U Solución x + 5 x —1 ------ < ------- c? x-6 x -3 3x - 7 (x -6 )(x -3 ) <0 x + 5 x —1 ----- -------- - < 0 , efectuando operaciones se tiene: x -6 x -3 <=> (3x —7)(x —6 )(x -3 ) < 0, x * 3,6 ahora encontramos las raíces de la ecuación (3x - 7)(x - 6)(x - 3 ) = 0, de donde r, = — , /•, = 3 , r-, = 6 3 + 7/3 P(x) Como la inecuación es de la forma — — < 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparece el signo (-), es decir: x € < -*> ,-] V <3,6 > 3 68 Eduardo Espinoza Ramos ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ^ ----------------Solución (x + 2 )2 > 0 , para x * -2, la inecuación dada es equivalente. (x -3 )(x + l)(x + 4) , ---------------------- —= —----p - > 0 , la cual es equivalente a: (jc+ 2)x(x + 3)(x + V 3 )(x -V 3 ) (x -3 )(x + l)(x -4 )x (x + 3)(x + -j 3) ( x- -j 3 )( x + 2) > 0 , x ^ O ,-3,-2, -^3 , —73 ahora encontramos las raíces de la ecuación, (x + 2 )(x - 3)(x +1 )(x - 4)x(x + 3 )(x + V3 )(x - V3) = 0 , de donde /•, = -3 , r2 = - 2 , /-3 = —s/3 , r4 = - 1 , r5 = 0 , r6 = -y/3 , r7 = 3 , r8 = 4 -3 -2 -V3 -1 0 -73 3 4 P(x) Como la inecuación es de la forma - — - > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: xe 17) x+2 < > U < - 2 ,-7 3 > l / < - ! , ü > t / < a/3,3> £/ < 4,+ô> * x" + 2 Solución ^ 2 2 X- 2 X x -2 X n j j ------ < —------- < = > --------------------------------------- --< 0 , de donde x+2 x + 2 x + 2 x '+ 2 -4 x 2 + 2 x -4 ----------- ------ < 0 (x + 2)(x + 2) 2x2 - x + 2 a ------------ -------> 0 (x + 2)(x +2) V x eR , 2x2 -x - t 2 > 0 y x 2 + 2 > 0 , entonces se simplifica la inecuación------ > 0 x+2 69 Sistema de Números Reales L u eg o ------ > 0 x+ 2 o x + 2 > 0, para x * -2. La solución es: x+4 x ■> x -7 x+l Solución x+4 xx+ 4 x . , , —---r > 0 , de donde x -7 x +l 12x + 4 (x - 7 )(x + l) , - •> ----x -7 x+l >0 o (3x + l)(x -7 )(x + 1) > 0, para x *-1,7 ahora encontramos las raíces de la ecuación (3x + l)(x —7)(x + 1) = 0, de donde r2 — ■r . r3 - 7 -3 -1/3 P(x) Como la solución es de la forma ------ > 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(X) donde aparecen los intervalos donde aparece el signo (+), es decir: x £< < 7,+üG > 2x' -6 x + 3 x 2 -5 x + 4 Solución 2x2 - 6 x + 3 x 2 -5 x + 4 x 2 —x —1 > 1 <=> 2x - 6x + 3 - 1 > 0 , de donde x 2 -5 x + 4 > 0 <=> (x 2 —x —1)(x2 —5x + 4) > 0 p a r a x * l , 4 ; x 2 - 5x + 4 ahora hallaremos las raíces de la ecuación. (x 2 - x - l ) ( x 2 - 5 x + 4) = 0 , dedonde r2 = 1 , r3 = ~ , r4 = 4 70 Eduardo Espinoza Ramos I - V5 i+ S P(x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) I - -s/5 „ l+ $ 5 r, „ x e < - í s , -------- >U <1.--------- > U <4,+30> a : 2 2 donde aparecen el signo (+), es decir: 2jc -1 x x +\ < ------ < x + 4x + 4 x + 4 Solución 2 x -l x x+1 <-— -< <=> x +4 x +4 x +4 2x-l x +4 x x +4 - — — < 0 A — ---- - ^ - < 0 , x +4 x + 4 x + 4 x +4 x +4 de donde x +4 !-< 0 x-4 A x +4 > 0 , estas ecuaciones son equivalentes a: (x — 1)(x + 4) < 0 A x + 4 > 0, para x * -4 ahora encontraron las raices de las ecuaciones, (x —2)(x + 4) = 0 A x + 4 = 0 , de donde t \ = - 4 , r 2 = 1 A r3 = —4 A de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es: + -4 x e <-4,l> A x e [-4,+to> 4 x2- x - 2 <5-x Solución Aplicando la propiedad: ^jP(x) < Q(x) <=> (P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A (P(x) < Q 2(x)]) 4 x 2- x - 2 <5 -x <=> ( x 2 - x - 2 > 0 A [ 5 - x > 0 A x 2 - x - 2 < ( 5 - x ) 2 ]) Sistema de Números Reales 71 <=> ( x 2 - x - 2 ) > 0 A [ 5 - x > 0 A j:2 —jc —2 < 2 5 —1Ojc-hjc2]) <=> ( jc - 2)(x +1) > 0 A ( x < 5 A x < 3 ) -1 5 -o x e <-oo,-l ] U [2,5] A x e <-*>,3> /W/iWWiWO--------- QW////////////zO -1 2 3 ---------------- o La solución es: x 6 <-'/„,-! j U [2,3> 3.V-4 22J y(0.8) 4 2 .V -2 > v(0.64) 5 Solución 3j - 4 4x- 4 La inecuación dada es equivalente a: (0.8) 16 >(0.8) 40 como a = 0.8 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario, es decir: 3.V-4 4.t - 4 16 40 3 * -4 8 x-1 <5 ■, efectuando y simplificando. 12 => x < — , la solución es: 7 X <£< 12 > -\ ¡ 2 4 - 2 x - x 2 <x Solución Aplicando la propiedad siguiente: -JP(x) < Q(x) <=> (P(x) > 0 A [Q(x) > 0 A P(x) < Q 2 (*)]) 72 Eduardo Espinoza Ramos V 24 —2x —jc2 < x <=> ( 2 4 - 2 x - x 2 > 0 A [x > 0 A 2 4 - 2 x - x 2 < x 2 ]) <=> (x + 2x < 24 A [x > 0 A 2x + 2x > 24]) <=> ((x + 1)2 <25 A [x > 0 A (x + y ) 2 > —~\) « (-6 < x < 4 A [x > 0 A (x > 3 V x < -4)]) <=> x e [0,4] A x e <-oo, -4> U <3,+*> x r <3,4 6.V- 4 2*-3 3.V-44.V-2 ( 0 . 2 5 ) ~ . ( 0 . 5 ) ~ < (0.0625) ^ .(0.125) ^ Solución 12*-» La inecuación dada es equivalente a: 6x-8 4x-2 (0.5) 3 .(0.5) 4 <(0.5) 3 .(0.5) 3 6.t-8 4.V-2 12*-» 2.V-3 Operando tenemos: (0.5) 2*-3 4 <(0.5) 3 ' 3 Como a = 0.5 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario a la . ., , . inecuación, es decir: 1 2 x -8 2 x - 3 6 x -8 4 x -2 --------- + -------- > ----------b-------- 1 2 x -8 2 x - 3 10x-10 . 2x + 2 2 x - 3 8x + 8 + 6 x - 9 --------- + — — - > -------------------------------------------------------------------- , sim plificando:----------- + 3 4 3 3 4 12 1 4 x -l> 0 => x > — ; la solución es: 14 32-^2**^ > (42A.8Jr~3) 2/5 Solución La inecuación dada es equivalente a: jr+l 2 5.2 2 > (24a.2 3a~9) 2' 5 , de donde 73 Sistema de Números Reales A-+U 14.V-18 2 2 >2 5 , como a = 2 > 0, entonces: x + 11 14jc—18 ------- > ----------- 5 x + 5 5 > 2 8 x -3 6 o1 < x < i1, Demostrar * que: Si — 2 91_ => x < La solución 23 X 91 • 23 € < ~tXJ ~~~ > 3 < -----x + 2< — ^ — 8 jc + 3 7 Solución x +2 = x +3 1— (se obtiene dividiendo) x+3 - < jc < 1, => 1 A— 1< 1 —< x + 3 < 4 1 => 4 x+ 3< 7 1 1 — <— 4 x +3 _2 7 1- - < 7 1- ----------------- <1 — x+3 4 5 x+2 3 — < ---- < — 7 x+3 4 27) 3 x+ 2 6 8 x +3 7 - J l ^ x < ^ 5 +x Solución V T A á V s + I <=> <=> -Jx + 5 > 1 - x o ( l - x > 0 A x + 5 > 0 ) A (V T A )2 <(V * + 5 )2 ( x < l A x > - 5 ) A ( l - x < ~Jx + 5) [x + 5 > 0 A (1 - x < 0 v (x + 5 > OAx + 5 > (1—x 2))] [x > - 5 A(x > 1v (x > -5Ax + 5 > 1- 2x + x 2 ))] o [x > -5A (x > 1v (x > -5A x2 - 3 x - 4 < 0 ) ) ] ...( 1 ) 74 Eduardo Espinoza Ramos ahora (2 ) en (1 ) o [jc > - 5 A (je > 1 v (jc > <=> [ jc > >1 v x <=> [ x > - 5 A x > -1 ] => x > - l se tien e: -5 A ( x (x < e 1 A x > -5) A x e -5 A jc e [ - 1 , 4 ] ) ) ] [-1,4])] => x e [ - l,o o > •( 2 ) [-l,+ o o > x e [-5, 1] A x e [-l,+oo> V3jc + 7 - V * r 2 > 9 Solución 7 C a lc u la n d o e l cam p o de e xiste n cia 3.r + 7 > 0 a .v - 2 > 0 o x > + x A x>2 p o r lo ta n to x e [ 2 ,+oo> es el cam p o de existe n cia ~j3x + l > 9 + V * - 2 <=> jce[2,+oo> A [3jc + 7 <81 + 18V *-2 -2] <=> Jce[2,+oo> A (jc- 3 6 < 9 V * - 2 ) <=> jte[2,+oo> A x 2 -153jc + 1458< 0 <=> x r~ € [ 2 , + oo > A. 153 2 17577 A ( j c -------) ' < ------— 2 jc „ e [ 2 , + oo > a 153-^17577 --------------------------< 2 1S3-V17577 153+VÍ7577 -Jx +1+V*-2 > 0 V9-JC2 -Vjc Solución Calculando el campo de existencia 4 m jc 153 + Vi 7577 < ------------------------ 2 Sistema de Números Reales (x —1 > 0 75 x - 2 > 0) A (9 -x A (x > 1 a x > 2 ) a ( x 2 < 9 (x x >1 > 2 a a x > 2) 0 < x (-3 a a <x <3 >0 x > 0) a x > 0) de donde x e <3, -1 + ylx-2 : 0 [2,3] -s/x-l +ylx~ 2 l -J9 - X 2 —s[x V x -1 + V x - 2 ■J9-X2 - 4 x simplificando es el campo de existencia. [ 2 ,3 ] Como - J x - l + V x - 2 > 0 , V x e a/ x x > 0) A > 0.V x -1 + V x - 2 , .------- > 0 <=> - j 9 - x 2 ~ 4 x > 0 -J9 - X 2 —sjx de donde Vx < ^ ¡ 9 - x 2 x + x - 9 <0 . 1 , 37 (* + —) ' < — 2 4 => x < 9 —x 2 1 2 37 (x + —) < — ^37 (completando cuadrados) 1 ^37 ---------< X H----- < --------- 2 2 2 V37+1 «y/3 7 - l -------- —< x < ---------- Luego la solución es: Solución ■y]2-^[T+x <-j4 + x » ( 2 - ^ 3 + x > 0 A 4 + x > 0 ) A ( 2 - ^ 3 + x < 4 + x) <=> (a/3 + x < 2 A x > - 4 ) A (a/3 + x > - x - 2 ) ... (1) Eduardo Espinoza Ramos 76 -s/3 + jc < 2 <=> (3 -t-jc> O A 3 + x < 4 ) o (2) ( x > - 3 A x < l ) => x e[-3,l] a/3 + jc > —x —2 <=> x + 3 > 0 A \—x —2 < 0 V (x + 3 > 0 A x + 3 > (x + 2 ) 2 ) ] x > -3 A [x > <=> i> - 3 A [ i> - 2 v ( i> 3 A ( jt + - ) 2<-)] o i> -3 o i -2 V .x 2 <=> (jc > -3 A + 3.r + l ”5 o a [ i > - 2 v (x > 3 a < 0 )] C 2 2 ^ , a ri > - 2 i/V^x e+<3-----------, ^ “3 --------i >1 > -3 2 2 -v/5+3 x > 3 a x e < -----------,+oo> 2 ^5+3 x e < ---------- ,+00 > 2 ... (3) Luego de (2), (3 ) en (1) se tiene: ■^2—\[¡^+3 <-Â + x <=> (x e [-3,1] a <=> x > —4) a 13 1 x 4(x - 1) 4jc + 12 e< - r 1 n ^5+3 x e [-3,1] a x e < -----—- ,+00 > ■J$+3 „ <=> jr €< - - - - - - J] 3 x Solución ^ ’+0° > Sistema de Números Reales 77 A la inecuación dada expresaremos así: 13 1 3 4(jc —1) 4(jc + 3) x > 0 , efectuando operaciones I 3 x 2 + 39x + x 2 ~ x - \ 2 ( x 2 + 2 x -3 ) 2 x 2 +14JC + 36 x + 7x + 18 >0 x(jc-l)(jt+ 3) VJ n 1 -i io n » V x e R, j r + 7x + 18 > 0 entonces: 1 x (x - l) (x + 3) >0 o jc(jc—1)(j c 4(x -1)( jc+ 3)x >0 > 0 , simplificando 4x(x-l)(x+3) 4 jc(jc-1 )( jc + 3) 1 3 (x + 3 )+ x (x -l)-1 2 (x -l)(x + 3 ) >0 X~+7X+18 ----------------jc ( j c — 1)(x 3 ) « 1 x(x - 1)(jc + 3) >0 3 )> 0 , para x * 1,-3, 0 resolviendo la ecuación x(x —l)(x + 3) = 0, de donde, i\ = -3 , r2 - 0 , r3 - 1 -3 0 como la ecuación es de la forma P(x) 1 > 0 la solución es la unión de los intervalos donde Q(x) aparecen los signos (+), es decir: 3 1 3 - + ------>jt- l x +l x Solución La inecuación dada escribiremos en la forma: 1 3 - + -----------> 0 x —1 X + l X 3 o <=> 3 x2 +3x + x 2 —x ~ 3 x 2 + 3 ^ n ----------------------------------- > 0 x(x —l)(x + 1) x +2x + 3 ^ „ ----------------- > 0 x (x -l)(x + l) Eduardo Espinoza Ramos 78 como V x e R, x 2 +2x + 3 > 0 , entonces x 2 + 2 x +3 x(jc-1 )( x + 1) . >0 -------- —------ > 0 x ( x - \ ) ( x + l) 1 . <=> ----------------- > 0 x (x -l)(jt + l) <=> x(x —l)(x + 1) > 0, para x * -1,0,1 Ahora resolviendo x(x —1)(x + 1) = 0, de donde t\ = - 1 , r2 = 0 , r3 = l -1 0 1 P(x) Como la inecuación es de la forma —---- > 0 la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: 33) * « lí 2x-25 2x + l l 1 ------------------ + ----- ------ > 2 (x2 + 2 x - 3 ) 2( x2 -1 ) * + 3 Solución La inecuación dada escribiremos en la forma: 2x-25 2x + l 1 1 A .. -+ ----- -------- —— > 0 , factorizando en el denominador 2 (x 2 + 2 x - 3 ) 2(x -1 ) * + 3 2x-25 2(jc + 3 )(x -1) ,.. 2x + U 1 A , J . + ---------------------------> 0 , efectuando operaciones 2(x-1)(jc + 1) x + 3 (2x - 25)(x + \) + (2x + l 1)(-t + 3) - 2(x - l)(x +1) 2 (.r-l)(x + l)(x+3) > 0 , simplificando se tiene: ,v” - 3 x + 5 > 0 , como V x e R, x - 3 x + 5 > 0 , entonces: (.y-1 )( jc + 1)(jc+3) x ¿ -3x+5 n ■>0 (x - 1)(x + 1)(jc + 3) o 1 (x - l)(x + l)(x + 3) ------------------------ >0 „ Sistema de Números Reales 1 (jc-1 )( x + 1)(jc+ 3) 79 >0 «> ( x - l ) ( x + l)(x + 3 )> 0 , x * -3, -1,1 encontrando las raíces de (x - l)(x + l)(x + 3) = 0, donde rx = -3 , r2 = - 1 , r3 = 1 -3 P(x) Como la inecuación es de la forma - — - > 0 Q(x) donde aparece el signo (+), es decir: ( x - \ ) - - ( x + 2)¿ la solución es la unión de los intervalos x e < - 3 ,- ^ U O ,+ x» >0 ( x - 2 ) 2 - ( x + l)2 Solución Por medio de la diferencia de cuadrados se tiene: [( x - l ) - ( x + 2 )] [ ( r - l) + (x + 2 ) ] ^ 0 | simpliricand0. [(.v - 2) - (x + l)][(x - 2) + (x +1)] >0 - 3 (2 jc-1 ) <=> (2x + 1)(2x - 1) > 0 para x * — 2 encontrando las raíces de (2x + l)(2x - 1) = 0, de donde, /¡ = - 1/2 , 72 = y 1/2 P(x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0 la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: 80 35) Eduardo Espinoza Ramos * 4 + 5* ’ -2 0 * —1K< 0 x + 2.x -1 3 jc+ 10 Solución Factorizando tanto en el numerador y denominador. (x - 2 ) ( x + 2)(x 4 1)(x + 4) ---------------------------------< 0 , para x * -5,1,2 (jc+5)(x—2)( x—\) la inecuación dada es equivalente a: (x —2)(x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5 )(x -2 )(x - 1) < 0 para x * -5 ,l,2 ( x - 2 ) 2(x + 2)(x + 1)(x + 4)(jt + 5)(.v + 1) < 0 para x * -5,1,2 como V x e R, x * 2, ( x - 2 ) 2 > 0 entonces (x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5 ) ( x - 1) < 0 , para x * -5,1,2 encontrando las raíces de (x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x - 1) = 0 , de donde: rx = - 5 , r2 = - 4 , r, = - 2 , r4 = - 1 , r5 = 1 -5 -4 -2 -1 1 P(x) Como la inecuación es de la forma ----- - < 0 la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (-), es decir: x € < -$> O < -4, -2> U < -I, 1> 2-v— 1 -j4-.v Solución La inecuación dada expresaremos en la forma 3 2 , - 1+4-.r—6*+l > 3 ( 2 ^ 1 K - - 2 ) ) d e d o n d e ; y S x + 4 > 3 2x> -3x-2 Sistema de Números Reales como a = 3 > 0 81 => - 5 jc+ 4 > 2jc‘ - 3 x - 2 , de donde 2x2 - 2 j c - 6 < 0 <=> x 2 + x - 3 < 0 , completando cuadrados , 1 , 13 -JÍ3 l o/¡3 2 2 2 x 2 + x + -^-<3 + ^- ( * + — ) " < ---- v = > ---------------- < X + — < --------- 2 4 VÍ3+1 V Í3 -1 , , , -----------< x < ---------- , de donde 2 • 2 1 2x + --- > x 2 - 5 x + 6 2x 3 - 4 x + x 2 Solución A la inecuación dada expresaremos en la forma 2x ,v2 - 5 . y + 6 2.y > 0 , efectuando las operaciones: 3-4x+ x2 2 x 2( x - \ ) + ( x - 2)( x - 3)(x -1 ) - 4 x 2 (x - 2) > 0 , desarrollando: 2x(x - 3 ) ( x - 2){x - \) 2 x ' - 2 x ¿ + x ' - 6 x 2 + l l x - 6 - 4 x 3 +%x ■> 0 , simplificando 2x(x-3)(x-2)(x-\) , x~ -1Ly + 6 .y(.v - 3 ) ( x - 2 ) ( a--1) , 4, , 3-o/Í7w , 3+VÍ7\ (x - 3)(x + ---- ----- )(x + ---------- ) <0 <=> x(x-3)(x-2)(x-l) , , 3 - V n ^ . 3 + -Jn (x + — - — )(x + ---- ---- ) para x * 3 se tiene - 3 - 0/7 x(x - 2)(x - 1) - 3+ 0/7 o <0 <0 Eduardo Espinoza Ramos 82 P(x) Como la inecuación es de la forma — — < 0 la solución es la unión de los intervalos Q(x) 3 + VÌ7 , T - 3 + ^1 ? * — >U < $ > f ] <i¿>> 2 S lllill^ ! * donde aparece el signo (-) es decir: @ 1 x -3 2 — < -----< — 5 x+l 3 Solución Aplicaremos la propiedad siguiente: 1 x-3 2 — < ----- < — 5 x+l 3 o o » 1 x-3 . —< ------- A 5 x+l a<b<c a<bAb<c x-32 -------- < — x+l 3 x-3 1 . . x-3 2 ----------- > 0 A ------------ <0 jc + l 5 x+l 3 5jc —15—jc—1 n . 3 x - 9 - 2 x - 2 ■> 0 A ------------------ <0 5(jc + 1) <=> o x ~ 4 x+l 3( jc + 1 ) * •> 0a A ------- < 0 n x +l <=> (x —4)(x+ 1 )> 0 , x * - l A ( x - l l ) ( x + 1)< 0, x * - l ahora encontrando las raíces de (x —4)(x + 1) = 0, de donde r3 = - 1 , r4 =11 -1 4 A -i 11 de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es: x g <-oo,-1> U <4,+oo> A x e <-1,11> r, = —1, r, = 4 , Sistema de Números Reales 83 4 -1 o- 11 --------------- o x4 5x2 +36 <x 4 -1 6 x 4 -1 6 Solución A la inecuación dada escribiremos en la forma x4 5 x 2 +36 x 4 -1 6 x 4 -1 6 (x 2 - 9 ) ( x 2 +4) (x 2 —4)(x +4) + ~^'r—^ 1 < 0 (x + 2 )(x -2 ) <0 <=> x 4 - 5 x 2 -1 6 < 0 , factorizando x 4 -1 6 <0 <=> x 2 -9 <0 x2-4 <=> (x + 3)(x —3)(x + 2)(x —2 )< 0, p a ra x *-2,2 ahora encontrando las raíces de: (x + 3 )(x - 3)(x + 2)(x - 2 ) = 0 de donde rx = - 3 , r, = - 2 , r3 = 2 , r4 = 3 + como la inecuación es de la forma P(x) < 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen los signos (-), es decir: ( x - 9 ) 2'' (1 —x 3 ) 2 n (x4 - 9 ) < 0 , si n > 1, n e N Solución Para x * 9, ( x - 9 ) 2" > 0 . ( 1 - x 3) 2" > 0 , p a ra x * 1. Entonces a la inecuación dado se puede simplificar, es decir: (1 - x 3)(x4 - 9 ) < 0 Eduardo Espinoza Ramos 84 Factorizando ( x - l ) ( x 2 + x + \)(x -^J3)( x + 43)( x 2 +3)> 0, x * l , 9 como V x e R , x 2 +jc + 1 > 0 , j r + 3 > 0 entonces ( x - \ ) ( x - - j 3 ) ( x + -Jí) > 0 , x * l , 9 ahora encontrando las raíces de: ( x - I ) ( x ~ j3 ) ( x + -J í) = 0 de donde: t \ = - ^ ¡ 3 , r2 = 1, r3 = -\¡3 *_____ \ / ^ \ / —73 ^» 14 3 Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparece el signo (+), es decir: 1.34 EJERCICIOS PROPUESTOS. I. Resolver las siguientes inecuaciones X €< -~V-U > U < V i,+ » > -**j © -1 <-3 + 3 x < 2 2 5 Rpta. [ - , - > 3 3 © í - i > 2 í+ i 2 4 3 Rpta. < -oo,----- > 18 © -3x + 4 < 4x +5 Rpta. [ - y ,+ o o > © 2x + 6 x , ------------- < 5 3 4 D * < -oo,— 36 > Rpta. © 5x —2 < 1Ox + 8 < 2x —8 Rpta. <¡> © 1 , 1 1 — <3.r — < 5 4 3 Rpta. © a~-b~ a +b a-b 1 7 60 36 ] „ . 5a + 5b Rpta. < -o o ,----— — > \ +3 a - 3 b Sistema de Números Reales © 85 Rpta. <-oo. _ 6-3x . 2x + --------< 4 Rpta. < -oo,2 > X X . X , „ —+ — > 1 + —, c > b > a > 0 a h c © 2x - 6 • 3.V+ 8 3(x —5) —4 (4 - 3 x ) > 2(7 —x) —3 ( x - 5) 11. 24 ah — + 4 > — +2 x , a > b > 0 3a 6b Rpta. < 5a + \ 2 a b - 4 b a he -.+00 > ac + bc - ab » 38 Rpta. < oo,— > Rpta. <3,+»> Resolver las inecuaciones siguientes: , 3 - ^ 3 3 + ^3 Rpta. < -------- . --------- > „ © 2 x 2 - 6jc + 3 < 0 © 2.v2 + 6.v - 9 < 0 © 9.y2 + 54.y > -76 © - 4 x 2 + 4x + 3 > 0 © 4x~ + 9.y + 9 < 0 Rpta. (|> © 4 x 2 - 4.y + 7 > 0 Rpta. V x e R - {—\ © x 4 - 2 x 2 -8 < 0 Rpta. <-2,2> © -4.V2 - 8 < -12.Y Rpta. <-oo,l> U<2,+oo> © .y 2 - 2 -j3 x- 2 > 0 . - 3 - 3V3 - 3 + 3V3 Rpta. < ------------ , -------------> _ „ . 9+V 5 V 5 -9 Rpta. < - 0 0 ,-----------> U <--------- , + 0 0 > Rpta. < -oc.^3 —s/5 > U <-j3 + V5,+oo > Eduardo Espinoza Ramos 3x~ -S .v + 11 > 4< x-l) Rpta. V x 3x2 - iOx+3 < o Rpta. < —3 > 12) x(3x + 2) < (x + 2) Rpta. <-oo,-1> U <2,+oo> 13) 4a - 8 x + l < O 10) © © 15) 5a - —14x + 9 < O .v2 + 3a + 2 > O -2 x -3 x >0 g R , 2 - ^ 3 2 + ^3 R pta. < -------- , --------- > _ Rpta. [1.—] Rpta. <-oo,-2> U <-1 ,+*> Rpta. [-1 ,-] 17) 3x2 - 5 x —2 > O R pta. < — oo,— >U < 2,+oo> 3 18) (x 2 + 2 x )(x 2 —1) —24 > O Rpta. <-oo,-3 > U <2,+oo> 19) x(x —3 )(x —l)(x +■2 )> 16 „ „ 1 -^ 3 3 - 1+ ^33 Rpta. < -o o ,—— — > U < ----------- ,+oc> (jy x 4 + 2 x 3 - x 2 + 4x —6 < O Rpta. <-3,l> © (x" + x - 6 ) ( 4 x - 4 - x _ ) < O Rpta. <-oo,-3] U [2,+»> 22) 2x3 + 3 x 2 —1l x - 6 > O Rpta. [-3,-y]í/[2,+ oo > 23) x 3 - 3 x 2 -1 3 x + 15 >0 Rpta. <-3,l> IJ <5,+oo> x 4 - 4 x \ - x 2r+ 1 6 x -1 2 > 0 Rpta. <-oo,-2> U <1,2> U <3,+x> x 5 + 3x4 —5x3 - 1 5x2 + 4x +12 > O Rpta. <-3,-2>U < - U > U<2,+oo> (24) 25) ) Sistema de Números Reales @ x 5 - 6 x 4 - x 3 + 29x2 + 8 x -1 5 < 0 R p ta . @ 87 < -oc,z l z j l > [ / < - i , ~ 1 + ^5 > 2 2 < 3 > (x 2 -2 x - 5 ) ( x 2 - 2 x - 7 ) ( x 2 - 2 x - 4 ) > 0 R p ta . < -oo, 1 - 2 V2 > t / < l - V ó , 1 - 0 /5 > t / 0 @ (x 3 - 5 x 2 + 7 x -3 )(2 -x )> 0 ^0) ( x - a ) ( x — b ) ( x - c ) ( x — d ) < 0, si a 0 R p ta . < -3 ,0 > U <5,+oo> < -00.-/3 -a/ÌO > R p ta . (6 x (33) ( 3 - x ) 3( x 2 - l ) (3 4 ) x (3 5 ) x4- 3x3+5x2- 27x - 36 < 0 @ x (3 7 ) (2 x 2 - 4 x - l) ( 3 x x R p ta . x 2-3 2( l - x ( 3^ (X 2 ) 5x > R p ta . < - o o , - l > £ / < 1, - > 0 x-2 > 0 R p ta . <-0,l>U<3,+oo> R p ta . <-oo,-l]U[2,+oo> R p ta . < - 1 ,4> 2 R p ta . < - l , l > - { 0 } < - 2 - 6x 00,-2 - 0/6 5 + 8x 4 + 1 2 x 3 - x R p ta . < a ,b > U < c ,d > + 3 ) 2 ( x J - 1 ) j (3 x - 5 ) 7 < 0 4< (3 8 ) R p ta . [2 ,3 ] U<- 5 - 0/2 > U<-3 +o/T(),o/2 >U<2,+00 > (3 2 ) 4-2 1 + a/ 6 > x + 4 )(x 2 + 4 x - 2 ) > 0 > V < 2- 2-8 x -1 2 —1)(x2+9)(x +4)(x-5) > -2 + 0/6 > U < -2- - - — > 0 0 ,+00 > R p ta . < -6 ,-2 > R p ta . U<1,+qo> <-oo,-4> U<-1,1> U<5,+oo> Eduardo Espinoza Ramos 88 (4iy (x + 2)(x + 3)(x - 4)(x —5) > 44 R pta. V x e R © x 6 +6.v4 + 9 x 2 + 4 > 0 R pta. V x e R © x 4 ~3x2 - 6 x - 2 < 0 Rpta. < 1 - a/2 ,1 + V 2 > (43) x 5 - 6 x 4 - 1 7x3 + 17x2 + 6 x - l > 0 —3 —-Js —3 + -\¡5 .. . < --------— , ------- — > U < 4 -715,1 > U < 4 + VÍ5,-+ * > 2 2 Rpta. x 4 - 2 x 2 + 8 x -3 > 0 x 4 - 2 x 3 - 5 x 2 + 1 0 x -3 < 0 {46 © III. 2 2 Rpta. [-l-V 7 l,-4 ] t/[2 ,-l+ V 7 T ] Resolver las ecuaciones siguientes: X Rpta. <-00,-3> U<2,+oo> ------ < 3+x 2-x 4 ^ 3 x - 7 '" 3 - 2 x © x -2 3 31i r , 7 R pta. < —, — l t / < —,+00 > 2 14 3 x 2 +2 ? x~ Rpta. <2,+oo> X x +4 Rpta. < -00,-4 >t/[—,2 > x-2 x3-4 © 2 —1—s/3 3 -a /5 , -] (x + 9)(x —3)(x -7 )(x + 5) <385 1 © 2 3 —s/5^ Rpta. <-00,-7] U[9,+oc> © © 1 -V Í3 Rpta. [-------, (x —7)(x —3)(x + 5)(x + 1) > 1680 X+1 O Rpta. < —oo.—l --\Í2 > U < —1+-J2 ,+00 > x -2 < -------x 2 +1 x 2 +2 Rpta. <-2,0> U<0,+oo> 2x x x +1 x -1 R pta. < — oo,— l > U < 0,1> Sistema de Números Reales © © x 2 +2 x 2 +l x 4 +1 x 4 +1 ■ >- Rpta. V x € R x ' —2x ^ ,t+ 8 x —4 ~ 2 I © 89 Rpta. <-oo,4> 3.V+1 <4 X Rpta. <-oo,0> U<1,+oo> X x 1 +8 5,v-8 x +4 ~ 5 x +4 © > x 2 +4x + 4 1 x+1 — •< • x -2 Rpta. V x e R - {-2,2} x 2 —4 2 Rpta. < -oo.-l > [ / < - 3 > 3x-ì 2 x 2 - 3 x +3 < . 2 jc Rpta. <-4.6] 3 +1 x +2 x x -3 x2+4 x 2 +x + 4 7 Rpta. < -oo,— > £ /< ( ),—> U < 2,+oo > 2 6 ( x - 2 ) ( 2 x + 3) Rpta. < - 2 ,— > u < jc —1 Rpta. (fi { x2 - 2)(x + 5)(x- 3) >0 Rpta. < -oo,-5 > U < - 3 ,- ^ 2 > U < 0 , ^ 2 > U < 3,+oo > x( x - +2K.V + 3) (6 . y + 3 )2(.t2 + 1)3(3jc —5 )7 (.y + 6 )- ( 2 a- + 3) 17 (4.Y + 2 )2(.r2 + 2 ) 5(2.y - 8 ) 9 (.v + 1)2(2,v + 5 )13 x + 4 < ____ x -2 ____ x —5 x +3 >0 <0 3 5 2 3 Rpta. <- 0 0 ,-6 >U < - 6 ,— > U < —,+oo> Rpta. < - - , 4 > - { - l , - - } 2 2 Eduardo Espinoza Ramos 90 20) "J -J— +A L < - 2 x -4 x +2 Rpta. <-3,-2> U <1,4> U 2 + ! ~ 6)(J:; ~ J:~ 6) > 0 (v —4)(x - 2) _ -y Rpta. < -to,-3 > U < - J l M > U < 3 .4 * • 2 22) ^ ———< —-----x +2 x +2 Rpta. <-2,+oo> 23) ‘ J -A _ +- i - > 2 jc + 3 x - l Rpta. < -3 ,-l> U < l,2 > 24) 2 25) " , 26) > > -L y ~ —?v4-3 Rpta. , > [ -1 0 3 Rpta. < -oo,l > U < — , 2 > U < 3,+» > 2 > -3 x~ —4 * + 3 2jc4 7jc3 + 8 x 2 + 6 x + 1 — -— -——— ■ — -------- ---------- > 0 6x + 17x + 23x + 18x + l x + \ _ „- 5 —yry . . . i i -5 + V n R pta. < ------------ ,-1 > £/ < -----,— > U < ------------- ,+oo > 2 2 3 2 7 2 7 ) ^ x -l 2g> f. —— < 5Rpta. < -o o ,-l >(J < — ,1 > {/ < 2,+oo > x l "2 5 12x5 - 3 5 x 4 - 5 3 x 3 + 53x2 + 3 5x-12 x 6 +15x5 + 78x 4 +155x3 + 7 8x2 +15x + l < Rpta. 29) ^ (30) 2x ~1 x +4 < -o o ,~ 5 ~ -^ 2 A'+ 2 3-x ■ ....... > (l-x -)d -x ) Rpta. A'—l .í + 3 > ¿ / < - l , - 2 > t / < - -5 ^ A - .2 - 7 3 > ¿ / < l,2 + V3 > 3 4 2 ——— h---- > -------- Rpta. <-ao,-4> U <-3,3> +9 ( l - x ) - ( l + x) < - o o - l - V3 > U < -1 + -s/3,1 > 1/ < 1,2 > í / < 2,+oc > 91 Sistema de Números Reales W 4x-----20jc2 + 8 < 8 x —5x + 4 ^ ® ( x - l ) 2(x 2 —1)(a 4 -1 ) A ------------------ ---------- > 0 (x + \ ) ( x - 2 ) /^ \ ( x 2 + 5x + 6)(x4 -1 6 )(x 2 - 4x - 1 2) ^ Q (1 —3jc)3 (.v —1)( j: 2 +1) Rpta. 2 > U < —1,1 > t / < 2 ,-Jó > Rpta. <2,+oo> < -oo,-3 > U < -2 , j > U < 1,2 > U < 6,+oo > 34 ) " J —-------- X- ^ - < 4-x 5 x R pta. 35) k - , -+- 7--+- < 2 x~ +3x + 2 R pta. 36) " --Y- - - - - - - - v--T ~ —- < 0 (x —4)(x -16) Rpta. <-4,-3]U [3,4> (1 + x + x 2 ) ( 2 - x - x 2 )(x4 - 2 x 2 —3 x -2 ) <0,2> U <4,+oo> <-2,-l> <ß (2x~ - 4 x - l ) ( 3 x 2 - 6 x + 4 ) ( x 2 + 4 x - 2 ) ( x 2 - 7 ) [7 Rpta. ® x 12 x +1 — <— <— — x + l 19 x + 2 /£ > (x - 3)(x + 2 )2 (x +1 )(x - 4) ^ x(x + 2)(x2 -3 )(x + 3)(x2 +4) Rpta. 40) [7 < - * ,- V 7 > U < - l - ~ - , - 2 y j [ - l , ~ j 6 + 2 > U < ^ j — U > U [ 2 , ^ f > U < ^ 6 + 2,+oo> „ Rpta. P 5 12 < —, — > 7 7 ; 0 < -00,-3 }U < -2 ,-7 3 > t/[-l,0 >U < -73,3]i/[4,+oo > A+ ~ > X * ~ Rpta. <2,+oo> Eduardo Espinoza Ramos 92 2 3 © +5 a - + ------> X —1 A+ l Rpta. <l,+oc> 1 -X 2 x 2 2a c2 - 5 a + 6 2-x (3-x)(l-x) 13 1 l< . -+ x 4( .y —1) 4x + 12 (a-- +4x + 4 ) ( x - 9)' R pta. <-oo,-6] U <2,3> r 31+ a/889 . . V889 —31 „ .. Rpta. [--------------- ,-3 > U[--------------,0 > U < 1,+» > <0 Rpta. <11,+oo> (1 \ - x ) ( x 2 + 5) 3 1 3 ---- + ------ > X —1 x-\ a+ X +1 Rpta. < - 1,0> U< 1,+oo> X -<1 Rpta. <-2,+oo> 2 ( x 2 ~5) (x2 + 7)___ >0 Rpta. < - oo, - V 5 ] í / < 1 , 2 > C / [ - n/ 5 , + oo> ( x 2 +.v + l)(x 2 - 3 x + 2) 3a a2 - >1 x2-3 a+ 2 a2 Rpta. <-2, 2-VÍO >C/<3, 2+VÍO > x-6 <2 2a - 2 5 x 2 + 4a + 4 2a + 1 1 1 - + -------------------- ----------> <-3,-l> U<l,+oo> Rpta. 2( a 2 -1 ) x +3 >0 Rpta. <-oc,-l> U<5,+oo> <0 Rpta. <-l,0>U«),l> 2( a 2 + 2 a - 3 ) a2 Rpta. <-oo,3> U<4,+oo>- {1} -4 a+ 3 - 4A - 5 2 a - a 2 -1 A2 - A 4 (2 a - 8a + 8)(a -i- 3) a+ 6 >0 Rpta. <-oo,-6> U[-3,+oo> Sistema de Números Reales x~ -2-y + I 2x + \ x+1 Rpta. < 1,+oo> >0 x —1 93 Rpta. [-2,-l> >3 x 2 +4.Í +9 <0 Rpta. < -l,5> x 2 —4 x —5 x2 + a + 2 <0 Rpta. <-oo,-1> U <0,2> x ( x 2 —x —2) 2 3 <- 3jc —2 „ ^ 2 rr 10 Rpta. < - 2 , — > U < — .+oo > 3 7 x+2 32 _ x 2 —4 x x-2 2+x - x 2 x+ 2 >0 Rpta. t-4.-2> U<2,6] Rpta. [-1,1> U<1,2] x2 -2x + \ jc3 —x~ —8a + 12 <0 Rpta. <-oo,-7> U[-3,2> >0 Rpta. [-3,1> U<6,+oo> U {2} x 2 + 5 a -1 4 a-- +X.V-12—jf 3 l x - x 2-6 a + 3x + 2 a -2 a-2 a+2 © 1 2 3 A+l a +3 a +2 A +1 , - + ------ > ■ 1-A -------- 2 < -----1—x X X 2 + 8a + 24 a+ 2 >8 Rpta. <-oo,-2> u <0,2> Rpta. <-3,-2> u <-!,!> Rpta. < -o o ,-l > u < 0, Rpta. <-2,+oo> 1 94 Eduardo Espinoza Ramos x-2 2x-3 x +2 Ax -1 6 3 7 x -1 x +1 a +2 40 + (x - 1)(.y - 3 )(x + 4)(x + 6) 30 . + ------ < . x -4 x +2 2x2 - 6 x +3 . x~ - 5 x + 4 3x ■<0 >1 x 1 —x —6 7 © .y + 1 , >] 1 - + --------7 <2 x-2 x +4 , x-2 x-3 2 -------- > ------x-l x-2 x +1 Ox +16 2 x 2 + 7x + 5 -3x + 2 x -l x 2 + 6x + 5 >0 x -2 x 2 + 3x + 2 (79) iV . © © © © >10 -+ 4 > x + 1 0 3x 2 - 4 ^ £ ----------< x + 6 x-6 Resolver las ecuaciones siguientes: 4.V-3 © ,l]u[4,+oo> Rpta. < - 2 ,— > u < 4 <0 x 4 -3.v3 - 6 x 2 - 2 8 x - 2 4 7 1 Rpta. < -oo,-2 ■> - (0.5)“ lx -2 > ( 0 .0 6 2 5 ) ~ 27-V-! < 9 .v+3 R pta. < —,+oc> 4 Rpta. <-oo,9> 2.V -2 2**1 (0.2) 2 <(0.0016) Rpta. < -oo,—> 2 5'" 8 <16Jt+5 Rpta. <-oo,12> 2x 3 ->4 .v 3----- 3 ----l5.v I 32,M)(.v-2) ' ’ „ . -1 —733 -1 + ^33 4 4 Rpta. < ---------- — -------- — > Sistema de Números Reales © t ( 0 . 5 ) '! (0.5)‘ r ' - , < 95 Rpta. V x g R í ^ 8' Rpta. V x e R © 9 x*i .3 2x4-5 x) Rpta. <-oo,-1>U<l,+oo> < X~-IÍ322 Rpta. <110,+oo> V81A"1S < V243A w Mx-zy (n) (256) 2 XM6, > 29(jJ~,)\83j;+1.2565( 729A \243A ' 2436.275jr_6 812x @ 86 Rpta. <-oo,-1> U<2,+oo> 27 Rpta. <l,+oo> 3A ’.32v>27 x-5 u , . 42293 +33 a/2293-33 Rpta. < -------- —------, -------— — > x-9 Rpta. <-oo,13> 2 ~ >8 ~ 5^+3 2x+l o * <-oo,--------> 131 Rpta. 217 (16) (42) »"-1>(64)-'~1 Rpta. <-oo,-l > U < 1,—> 17; [(0.3)ív“1)(a:~2)]v"3 >[(0.09)vi-4]r2~9 Rpta. V x 18) ^/(0.00032)5' 2 <" y(0.2) 2 a-+1 g R 43 Rpta. < — ,+oo> 94 Rpta. <-oo,-3> U<-2,-1] 86 Eduardo Espinoza Ramos 96 __________ ___________ *Jx-1 (0.16) ^ .'í *Z¡ j m ) 2 5 6 ) ^ ) ~ < ^ / o . 004096 20) Rpta. <1,2> U [3,5] 2j) ^(O.OOS)-'“1 > l^/(0.04)jr*3 22) x+l¡(0.G4)2x~l > V(°-2)2v l Rpta. <-3,0>t/[|,3] Jf+^(0.0016)jr+3 > x ^ (0 .2 )4x+1 Rpta. < - — -2 > í/ < X~^¡4X~4 > X+J ¡ 2 ^ Rpta. < — 1,2] [ / < 5, +00 > @ ^ (O .O l ) (2ó) x+^¡(0.04)2x~1 >^( 0. 2) 2x~1 ® (— ) ' ( - ) 4jr2+1 < ( - ) í+2(— J*2“3* 250 5 5 625 Rpta. < —o o ,-2 ]u [——,+00 > 2 - ^ p x(j)~¿ < -'^ 9 ( -)x Rpta. <-3,3> 28) 29) ^ 2 < x ^¡(0A)lx i 5,+oo Rpta. <-3,-1 > u [3 ,+oo> Rpta. < - 3 , 0 > u < - , 3 > á x y j )2x2 ® (2 @ 15a"1 <lj(0.2)x+l @ 2x-jj(0.00032)'"2 < J ( - ) 3jr_1 @ V(0.5)4*-3 > a/(0.625)3v-2 Rpta- <_* ’*3> u - 9 -57 T---- - < x+ ^ 2 2x+í Rpta. < - l , + 0o > - { - i } @ V5 > (0.1) v~3 < 1 0 v+3 @ [(0.5)^ .(0.5)6](r2~3)> gv 97 Sistema de Números Reales V. Resolver las ecuaciones siguientes: © -J3x + 1 —\ J x- 2 > 3 Rpta. [2,3> U<6,+oo> © -Jx + 5 +^fx < 5 Rpta. [0,4> © ■\¡x2 - x - 2 < 5 - x Rpta. < - o o - l] £/ [2,3 > © -Jx-9Í¡x+nX>0 Rpta. [0,81] U [1296,+oo> © x + 2 < \ [ )x 3 +8 Rpta. <-2,0> a/ x - V7 Rpta. [—^- + 6 ,8 ] © 4 -V 8 - X > 1 © -Jx2 -1 < -\Jx + \ Rpta. [1,2> © -j2x-9 < 3 -x Rpta. 4> © -%/3x +1 - - J x —2 > 9 Rpta. (x-4)sjx2 - 2 x + 2 <0 Rpta. <-oo,4] x l +2 © -Jx1 - 2 x - 15 > x + 1 Rpta. <-oo,-3 ] i¡y V 3x - 6 > -V 4jc —12 Rpta. [3,+oo> ^ 5 x - 3 - 4 x ^ ->0 Rpta. [ 1,+oo> ■\J\fx - 4 - 4 x x —1 V x -T + o /x - 2 >0 >0 Rpta. [64,+oo> Rpta. [2 .^ Ä V 9 - x 2 - a/ x - Jx- 3 + ^ ¡6 - x <^Jx + l Rpta. <3,+oo> - - 1 > Eduardo Espinoza Ramos 98 © a / x - 1 + a / * - 3 >^Jx + 1 o/V*~3+V 6- V R p ta . < y , 5 ] * R p ta . [9, © © a/4 - V i - X - a / 2 - X > 0 R p ta . A¡X1 - 1 4 x + 13 > jc —3 R p ta . <-oo,3 ] a /a 2 + 3 a + 4 © © R p ta . < -oo,-2] U [2,+oo> a /ÏT + a /x 2 - 4 ■\l~x + 2 < a /-4 x + 2 + a /-9 x + 6 a /ó 2 5 -x 2 V a 2 - 4 ( a + 4 ) * ( x 2 - l © © a3- —= i— © > a/a ■Jx - 1 lx+6 © V A' 2x 2 - x +1 © © + R p ta . < - o o , ^ ] )2 R p ta . [-2 5 ,-2 ] u < - l , l > u { 2 5 } 2 R p ta . < 1 ,2 > lx + 2 R p ta . <-oo,- 6] u < l , 2 > ' V JC-1 a /a 2 - 1 4 a - 1 3 < a + 1 J x 2 - 4 l j x +4 © 16^ ] +1 ^ © 84 + a /a 2 - 4 a ' + 3 R p ta . <-oo,-4 ] u [2 ,3 > " l ^ S, - 4 y 2 -A/A + 4 1 A' A- 2 X+ 4 ------ < ------- < R p ta . < | , l ] i / [ 1 3 , + o o > A- 2 --------A+ l R p ta . (|) R p ta . <8,+oo> 99 Sistema de Números Reales Ix - 9 1 - 2 x Ijc + 5 1+5 Rpta. < V Ì 0 -1 , l +-JÍ0> <0 © 4 x +4 < ------ < 2 x-4 x-4 Rpta. <18,+oo> @ 3 x*4 (3x~a -1 ) < 3 * - 8 ! Rpta. <0,4> ■n/ a-2 - 3 a - 4 (33 >0 Rpta. <-5,-2] U [4,5> y -J2 I - Va 2 - 4 -3 a-4 a Rpta. [-4,-1] U {4} > a 2 - 2a - 2 9 [5 - V 16- A 2 32 - 2 a a N x 2-X -2 -: v Rpta. [0,4] >-Jx + 2 Rpta. [-4,-2] U [2,3] > a-5 2 —4 x —4 V a 2 - 6 a + 5 + a /a 2 - 7 a + 10 < 0 Rpta. x = 5 ® V a 2 - 6 a + 5 + V x 2 - 7 a + 10 > 0 Rpta. <-0 0 ,1] U <5,+oo> Í39) V 4 - V a + 13 < V r + 5 Rpta. [-5,3] V a 2 - 2 a - 1 5 ( a 3 - 6 a 2 + 9 a) <0 Rpta. [-3,0] u <2.5] (x -1 ) (a - 2 ) a +4 x-2 >4x Rpta. <2,4] {42) V 3 -3 a < ^ 2 l +4 x - x 2 Rpta. [-2,1] (43) Va 2 - a - 1 2 ( a - 5 ) ( 2 a 2 - 3 x - 2 ) < 0 Rpta. <-oo,-3] u [4,5] 100 44) Eduardo Espinoza Ramos ^j4~y¡í—X —\¡2 - X > 0 * - -1 6 >0 Rpta. < - 2 , - —> Rpta. <-0 0 ,-4> VU-4I-UJx2 -3x + 2 > 2 - x lx + 4 Rpta. <2,4] Íx-2 y¡24-2x-x2 @ 3JL i l + x+2 Rpta. <2,+oo> <1 Rpta. [-6,3] lzl> o Vx+1 ■^4—J l ^ x —j 2 - x > O 4 jc- 5 >x-6 Rpta. <-2,l> U [3,5] Rpta. < - 2 , - —> Rpta. [-5,-3] U {5} V 4-Vx2 -9 'Jx2~ - x —l 2 ( x ~5 )( 2x 2 - 3 x - 2 ) < O +*-2+3 ® >x-4 Rpta. < -2 ^ 2 , —2] £/ [1, 2^2 > V 9 - x 2 -1 l^ x 2 -5x + 4 - 2 I >x-6 Rpta. [-2,0] U [4,5] 2--Jx-2 Í£ z * + ííz £ > o x -1 ^x +3 (56) Rpta. <- 0 0 ,-3] U [4,5] V x 2 —JC+ 1 < V 4 - j Rpta. <-3,l> U [4,5] Rpta. < - t/3 , a/3 > Sistema de Números Reales 101 V'x 2 + l ( x 2 - 4 x + l) >0 4x + 4 ■Jx-Ì +-Jx + 2 Rpta. <-1, 2 - 0 /3 > u < 2 + a/3 , 00 > Rpta. [ 1 , ^ — !-> >0 ■\¡9-x2 -o /x 5?) -Jx + 3 + a/x - 6 > a /6 - j 6 Ì) V2x —1 + a/3 x 63) a/ 2 x óo) - 2 > a/4 x - 3 + + 3 + a/ 3 x - 2 - a/ 2 x a/5 x 0/ x 2 - 2 x - a /x 2 + 4x > 2 a/ x 2 - 2 x -4 + 5 < a/ 3 x a/ ö - x 2 (i? ) 1.35 - a/ x 2 + 4x > 2 - a/ x V 2 x + 3 + a/ 3 x - 2 ~ a/ 2 x + 5 < a/3 x VALOR ABSOLUTO.a) DEFINICION.- Al valor absoluto del número real x denotaremos por |x|, y se define por la regla. x sí x > 0 lili -X si x < 0 Ejemplo.b) |7| = 7. |-7| = -(-7) = 7 PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO.(T ) |a| > 0, V a e R Q |a| = |-a| @ b*0 6 ( 2) |a| > a V a e R |ab| = |a||b| © |a+b|<|a| + |b| (desigualdad triangular) 1*1 Demostraremos la 6o propiedad, las demás dejamos para el lector. Eduardo Espinoza Ramos 102 \ a + b \ 2= | ( a + b ) 2 \ = (a + b)2 = a 2 +2a b + b 2 < | a | 2 + 2 |fl||¿)| + |¿)t2 = (\a\ + \b \)2 |fl + ¿>|2< ( |a | + |f>|)2 entonces IM /. |a + b{< |a| + |b| PROPIEDADES BASICAS PARA RESOLVER ECUACIONES" 1 INECUACIONES DONDE INTERVIENE VALOR ABSOLUTO» (7 ) [a| = 0 <=> a = 0 |a| = b <=> [ b > 0 A ¡a = b v a = -b)J ^3) |a| = |b) <=> a = b v a = -b © Si b > 0, entonces: i) © |a| b <=> a > b v a < -b Si a, b e R se verifica i) |a| > b <=> a > b v a < -b La demostración de estas propiedades dejamos paira el lector. Ejemplo.- Resolver la ecuación |4x + 3| = 7 Solución „ |4x + 3{=7 <=> 4x + 3 = 7 v 4x + 3 = -7 O . X = l V X 5 = ------ 2 Luego para x = 1, .1 = - — son soluciones para la ecuación dada. Sistema de Números Reales 103 Ejemplo.- Resolver la ecuación |2x + 2| = 6x - 1 8 Solución |2x + 2| = 6x —18 o [6x —18 > 0 A (2x + 2 = 6 x —18 v 2x + 2 = -6x + 18)] <=> [x > 3 A (x = 5 v x = 2)] > 2 5 3 Luego la solución de la ecuación es x = 5. Ejemplo.- Resolver la ecuación |x —2| = |3 —2x| Solución |x - 2 | = |3 - 2 x | <=> x —2= 3 —2x v x —2 = -3 + 2x <=> x=— vx=l, 3 la solución es: {1,—} 3 . t» ,, , , j , •. |4 x + l | —| jc- 1 | , . , Ejemplo.- Hallar el valor de la ex p resió n :---------------------, si x e <0,1> X Solución 1 4x +1 , x > — 4 14x + 11 =■ -4 x -l , x< — 4 si x e <0,1> => Luego: |4x + 11= 4x + 1 , |x —11= 1 —x 14x + 1 1—| x —11_ 4x + l —(1 -x ) _ 5x — =5 x X X |4 x + l | - | x - l | x —5 , para x e <0,1> Eduardo Espinoza Ramos 104 Ejemplo.- Resolver la inecuación |2x —5| < 3 Solución |2x - 5| < 3 <=> -3 < 2x - 5 < 3 » 2<2x<8 <=> 1 < x < 4 <=> x e <1,4> Luego la solución es x e <1,4> Ejemplo.- Resolver la inecuación: 2x-5 | --------1 < 3 x-6 Solución 2x-5 --------1<3 x-6 2x-5 <=> - 3 < ---------< 3 x-6 o 2x-5 2x-5 - 3 < --------- A -------- <3 x-6 x-6 <=> 5x-23 x-13 --------- > 0 A -------- > 0 x-6 x-6 <=> (5x—23)(x —6) > 0 A (x —13)(x —6 ) > 9 , x * 6 23/5 6 6 13 23 x e < - o o ,— > U < 6,+oo> A < —» ,6 > í/< 1 3 ,+ o o > 5 •4wMMHmHHMtmmQ------------ ©--------- (ywmHwmmim► 23/5 6 13 ---------------------------- O La solución es: O----------- 23 x e < -oo, — > U < 13,+oc > 5 Si x es un número real, el máximo entero de x representaremos por [| x |] y es el mayor de todo los entero menores o iguales a x. es decir: 105 Sistema de Números Reales [| x |] = máx {n e Z / x > n | Para calcular el máximo entero de un número real x, se observa todos los enteros que se encuentran a la izquierda de x (o que coinciden con x, en caso que x sea entero) y el mayor de todos ellos es el máximo entero [| x |] , por ejemplo: -------1------- 1-------1-------1-------1-------1--------h — * -1 0 1 2 x 3 De donde [| x |] = 2 Ejemplo.- Hallar [| 3.7 |] De donde [| 3 .7 1] = 3 ^ Q 1 2 3 3 7 4 Si x se encuentra entre dos enteros consecutivos de la forma: •4------ n Entonces: x n+1 f [ j k| ] =n <9 n s x < n + f , n « Z Ejemplo.- Sí [ | x | ] = 5 <=> 5 < x < 6 [| x |] = -5 <=> -5 < x < -4 NOTA.- Como se podrá observar siempre se toma él numero entero mas próximo a la izquierda. OBSERVACION.- Por definición de máximo entero se tiene: [| x |] = n <=> n < x < n + 1, n e Z <=> x e [n, n+l>, n e Z Ejemplo.-[| x |] = -4 <=> -4 < x < -3 => x Ejemplo g [-4,-3> v H ?.. ■\ '.■■■; absurda-, puesip que todo máximo entero.es un numero entero. Eduardo Espinoza Ramos 106 1.38. PROPIEDADES DEL MAXIMO ENTERO.[| x |] e Z, por definición © ( 3) V x e R, [| x |] < x, por definición ( 4) [| x |] < x < [| x |] + 1, V xeR © 0 < x —[| x |] < 1, V x e R © [ |[ |x |] |] = [ |x |] , V x e R 0 [| x + n |] = ti x |] + n, n e Z En efecto: Sea [| x |] = k, k e Z, entonces [| x |] = x o xeZ k <x<k+ 1 => k + n < x + n < ( k + n) + 1 => [| x + n| ] = k + n = [ | x | ] + n © [| x |] < n o ^ 0) [| x |] > n <=> x > n, n e Z , x e R ^2) V x, y e R,si x < y <=> [| x |] < [| y |] © [| x + y |] > [| x |]+ [| y |] En efecto: x < n + 1, n e Z Sean [| x |] = m ni < x < m +1 [| y |] = n n< y <n + 1 © [| x |] < n <=> x < n , n e Z ^ l) Sí yeZ [| x |]<y <=> x < y+1 m + n < x + y < ( m + n) + 2 entonces [|x + y |] = m + n o m + n + 1 por lo tanto [| x + y |] > m + n Si 11 e 1 [| x + y |] > [| x |] + [| y |] Z + => [| nx |] > n [| x |] efecto: Sea [| x| ] = m => m < x < m + l => nm < nx < nui + n => [| nx |] > nm [| nx |] > n [| x |] Sistema de Números Reales 15) Si x e R y a? e Z + , entonces [| n |] = [| — |] n (16) Si a y b e Z , x e R , entonces se cumple: i) a<[|x|]<b=>a<x<b+l ¡ii) a < [| x |] a + l < x a<x 2 < 3 x + l < 3 © 1 2 12 => —< x < — entonces x e [— > 3 3 3 3 Resolver la inecuación [| 5x |] < 3 Solución 3 => x < — 5 [| 5x |] < 3 => 5x < 3 © 3 j g < —oo, —> 5 [| 2x |] < x Solución Si x < 0 => 2x < x => [| 2x |] < 2x < x Es decir [| 2x |] < x Sí 0<x <y =< -*>,0 > => 0 < 2x < 1 => [| 2x |] = 0 < x Es decir [| 2x |] < x S 2 -< 0, -- > Si S 3 -■<f> x > y => 2x> 1 => [| 2x |] > 1 es decir: [| 2x |] * x S =< -oo.O > u < 0, — > 2 Eduardo Espinoza Ramos © [I 2x |] < [| 4x I] Solución 1 f[l 2jc |] = 0 S i O < x < — =>{ => 0 < 0 falso 4 [[| 4x |] = 0 , , 1 Ahora si x > — 4 2x>— [| 2jc|]> 0 2 => 4x>\ 5 = [ ,+oo > i Entonces [| 2x |] < [| 4x |] © [| -5x |] < [| x |] Solución 1 í 0 < 5jc < 1 Sí 0 < x < — => \ 5 [[|x |] = 0 /. => -1 < -5x < 0 => [| -5x |] = -1 y -1 < 0 11 U ^ =< 0, j > Sí x > y => -5x < x => [| -5x |] < [| x |] S 2 = [-j ,+°° > S = <0,+oo> © [I x - 1|] < [| x |] Solución Sí x > 1; supongamos que: [| x |] = k => [| x —11] = k —1 < k = [| x |] de donde Si x < 1, entonces [| x —1 |] < 0 entonces © [| x —1 |] < [| x |] a [| x |] < S 2 =< -»,1 ([I x |] —2)(x —2)(x + 1) > 0 Solución = [l,+oo > 0 >S= R 109 Sistema de Números Reales a) Si x < 2 [| x | ]—2 < 0. luego resolveremos -(x -2 ) ( x + 1)> 0 es decir -2)(x+l)<0 de donde 5, =<-1,2 b) Sí 2 < x < 3, entonces [| x |] - 2 = 0 de donde S 2 = </) c) Si x > 3 => [| x |] —2 > 0 luego resolveremos (x —2 ) ( x + l ) > 0 Sy = [3.+» > n(< --»,-1 > i^>{2,+*>) /. Sj =[3,+oc > S = <-1,2> o [3,+x> ® (.*'- \ ) ( x 2 + \) J [ \x \] - x > 0 Solución [| x |] —x > 0, entonces [| x |] > x, pero por definición se tiene: [| x |] < x, VxeR => [| x |] = x e Z Luego resolveremos (x ' -1)(jc2 +1) > 0 => x > 1 (7 ) S =Z ([| x —2 [| x |]) (x —1)(x + 1) > 0 Solución [| x —2[| x |] |] = [I x |] —2[| x |] = [| -x |] i) Si x < 0 , => -[| x |] > 0. entonces resolveremos (x —l ) ( x + l ) > 0 5 , = < —oo.-l] ii) Si 0 < x < l ^ [| x |] = 0 entonces S = [0,I> iii) Si x > l => [| x |] > 0, entonces resolveremos (x — l ) ( x + l ) < 0 ... s = <-*,-!] u [0,1] Solución S 3 = {H Eduardo Espinoza Ramos Ill) Sc conoce que [| .v |] + n <=> n < x < n + 1 x + 2\ x+2 jr + 3 a a- + 3 +3 O 1 < ------- < 2 x +3 <=> 1< --------- A ----------.v + 3 .V+ 3 <=> 1+ ------ < 0 A 2 + ------A +3 A+3 x +4 2a + 7 ----- < 0 A —— -> ( ) A+i A+3 f(x + 4)(x + 3) < 0 A (2x + 7)(x + 3) > 0], x * - 3 Luego la solución es: © x e [ - 4 ,- — > Resolver la inecuación [| x -l — |] > 4 Solución Aplicando la propiedad siguiente: 4 e Z. r i * L h >4 <T> X - j—i— > 4 <=>|x|-1>20 5 <=> La solución es: x e Si y e Z, [ | a |]>_ v <=> x > y |x| > 21 < -o o ,-2 1] U <=> x > 21 V x < -21 [ 2 1,+<*> Resolver la inecuación [|| a | - 2 a |] = 0 Solución 111 Sistema de Números Reales Por definición de máximo entero se tiene: [|| x | - 2 x |] = 0 •» 0 < |x| - 2x < 1 o ahora por la propiedad transitiva se tiene: 2 x < |x |< l + 2 x además se conoce que: 2x < |x| < 1 + 2x (a 2x < |x| A |x |< 1 + 2x |x | = ...(1) x, x > 0 -x, x<0 Io Si x > 0 => |x| = x reemplazando en (1 ) se tiene: 2x < 0 A x < 1+ 2x = > x < 0 A x > - l La primera parte de la solución es: 2° x<0 :=> x e x e [0,+oo> A <-l,0] => x = 0 => |x| = -x reemplazando en (1) se tiene: 2x < -x A -x < 1 + 2x => x < 0 A jc> — la segunda parte de la solución es: 3 => x e < - —,01 3 x e <-oo,0> A < — ,0] 3 Por lo tanto la solución de [ || jc|- 2 x |] = 0 es: 1.39 <-1,0] => jc€ < ~ —,0> 3 . r e < - y ,0 > t / { 0 [ = < - ÿ , 0 ] INECUACIONES LOGARITMICAS., Para el estudio de las inecuaciones logarítmicas es necesario recordar lo siguiente: En primer lugar la definición de logaritmo es decir: N* *x o A N > 0 a b>0 En segundo lugar las propiedades del logaritmo a) log/, AB = log/, A + log6 B b) log,, — = logfc A -lo g * B D Eduardo Espinoza Ramos 112 c) log* A" = u log* A d) \ogh '4a = - \ o g h A ti e) log,, 1 = 0 f) log* b = 1 g) log/, N log* a log„ N : En tercer lugar se observa la gráfica y = log/, x cuando b > 1 y 0 < b < 1. También dentro del campo de los números reales, solo tiene logaritmo los números reales positivo: ahora gratificamos la ecuación y = log* x . Al observar la gráfica se tiene los siguientes casos: I o Caso.- Cuando la base es b > 1, en la gráfica podemos observar: i) Los números mayores que 1 tiene ii) Los números A,, x 2 e R logaritmo positivo. entre 0 y 1 tiene logaritmo negativo, entonces para cualquier se tiene Sí b > 1 y 0 < x x < x 2 <=> log* x x < logAx 2 De donde deducimos las relaciones siguientes: a) Sí x > 0, b > 1; N e R => log* x > N <=> x > b" b) Si x > 0, b > 1; N e R => log* x < N <=> x < b" Sistema de Números Reales 2o Caso.i) 113 Cuando la base es 0 < b < 1. en la gráfica podemos observar: Los números mayores que 1 tiene logaritmo negativo. ii) Los números entre 0 y 1 tiene logaritmo positivo, entonces para cualquier x x, x 2 de R+ se tiene: Sí 0 logfc x x > logfc x 2 de donde deducimos las relaciones siguientes: Sí x > 0, 0 log/, x > N o Sí x > 0, 0 <=> x > b N OBSERVACION.- log6 x < N 0 < x <bN Resumiendo, para la solución de las inecuacioneslogarítmicas obtiene de la siguiente manera: a > c si b > 1 a < c si 0 b r si b > 1 a log2(5x + 3) Solución Calculando el campo de existencia de los logarítmicos dados 2x + 4 > 0 a 5 x + 3>0 de donde x > -2 a como la base es 2 > 1, entonces se tiene: x > — 3 5 se 114 Eduardo Espinoza Ramos , , 3 1 3 1 La solucion es: a e< — ,+oo > n < -oo,—> = < — , —> 5 3 5 3 © „ 3 1 S =< — , —> 5 3 log, (2x + 5 ) < - 2 3 Solución Calculando el campo de existencia del logaritmo 2x + 5 > 0, entonces * > - — de donde U =< ,+oo> 2 2 , 1 < ,1, entonces se tiene: • como ,la base es — 3 lo g , (2 ,r+ 5) < - 2 o (2x + 5 > ( —y 2 => 2x + 5 > 9 = > x > 2 3 Luego la solución es: x e < © => x e <2,+»> 3 ,+oo > n < 2,+oo >=< 2,+ » > S= <2,+oo> log2 (| -v —2 1-1) > 1 Solución Calculando el campo de existencia del logaritmo | x —2 | - 1 > 0 => | x —2 | > 1 => x —2 > 1 v x —2 < - 1 => x > 3 v x < l de donde U = <-oo,l> u <3,+'»> como la base es 2 > 1, entonces se tiene: log2 (| -Y—2 1—1) >1 => | jc—2 1—1 > 2 1 => | x —2 | > 3 => x - 2 > 3 v x - 2 < - 3 x e <-ao,-1> u <5,+oo> La solución es: x e (<-oo,l> u <3,+oo>) n (<-*>,-1> u <5,+oo>) S = <-oo,-l > vj <5,+oo> => x > 5 v x < -l Sistema de Números Reales © 115 -v + 15. iogjr( £ ± i l )ì >> ii jc-1 Solución jc+ 15 El logaritmo dado esta bien definida sí x > 0 y x * 1 además ------- > 0 JC-1 Luego el campo de existencia es U ” < 1,+oo> x + 15, . x + 15 ¡ x + 15 Ion. (------—) > 1 => — — • > x => —— —- x > 0 , de donde w x -1 x —1 x -1 ,r + 1 5 -,v 2 + x „ jc2 - 2 x - 1 5 . , , , (jc —5)(jc 3) „ > 0 => ----------------< 0 de donde - — <0 .v - 1 .V-1 x- 1 de donde x g <1 ,+oo> u <1,5> La solución es: x e <1,+ oo> n (<-oo,-3> u <1,5>) = <1,5> S = <1,5> Resolver la inecuación log1/3 (2x + 5) < -2 Solución Aplicando la propiedad siguiente: x > 0, 0 x > b v para nuestro caso 2x + 5 > 0 =í> x > ~ ^ log1/3(2jt + 5 ) < - 2 2x + 5 > 9 (ó ) <=> 2x + 5 > ( ^ y 2 <=> 2 x > 4 => x > 2 , Resolver la inecuación la soluciónes: xg <2,+°o> log2( |x - 2 1-1) > 1 Solución Aplicando la propiedad siguiente: para nuestro caso se tiene |x —2| - x > 0, b >1, N g R , 1> 0 logft x > N • » x> b h Eduardo Espinoza Ramos 116 |x -2 |> lo x -2 > lv x -2 < -l log2( | jc—2 1—1) > 1 o |x - 2 |> 3 o x > 3 v x <1 |x —2| - 1 > 2 <=> x - 2 > 3 v x - 2 < - 3 <=> x > 5 v x < - l La solución es x e <-oo,-l> U <5,+*>> 1.40 EJER CIC IO S D ESAR RO LLA DO S,Resolver las siguientes ecuaciones: © | x 2 + 2 |= 2 x + l Solución Aplicando la siguiente propiedad: |a| = b <=> [b > 0 A (a = b V a = -b)] | x 2 +2 |= 2x + 1 <=> [2x + l > 0 A (x 2 + 2 = 2x + l V x 2 +2 = - 2 x - l ) ] o [ . r > - y A (x 2 - 2 x + l = 0 V x 2 + 2x + 3 =0)] <=> x > ~ — A (x = l V x —(j>) 2 ---------------é --------------- e - 1/2 Luego la solución es: x = 1 © | x 2 —x - 6 | = x + 2 Solución | x 2 - x - 6 |= x + 2 o <=> [x + 2 > 0 A ( x 2 - x - 6 = x + 2 v La solución es el conjunto {-2,2.4} x 2 —2 1x | —3 = 0 2 - x -6 = - x -2)] [ x > - 2 A (x 2 - 2 x - 8 = 0 v x 2 = 4 )] <=> [x > -2 A (x = 4, x = —2 v x = ±2)] © x -2 2 4 Sistema de Números Reales 117 Solución La ecuación dada se expresa así: 2 1je| = je2 —3 o [x 2 - 3 > 0 A (2x = x 2 - 3 v 2jc = - x 2 +3)] <=> [,v2 > 3 A (jc2 - 2 .v - 3 = 0 v x 2 + 2 x - 3 «> ( x>yf 3 -3—s/3 -1 0 1 V V3 3 La solución es {-3,3} Solución |x —4| = |x —2| <=> |a| = |b| o a = b V a = -b x —4 = x —2 V x —4 = -x + 2 <=> -4 = -2 V 2x = 6 <=> <|> V x = 3, La solución es x = 3 0 |x —2| = |3 —2x| Solución |x —2| = |3 —2x| <=> x —2 = 3 —2x V x —2 = -3 + 2x «> 0 0)] x < —J3) A (x = 3,-1 v jc = -3,1) |x —4| = |x —2| Aplicamos la propiedad: = x =— V x = l. 3 La solución es: {1.—> 3 2|j:+2|- | 2 jr+1- l | = 2 jf+l+l Solución Aplicando la definición de valor absoluto Eduardo Espinoza Ramos 118 -2 -1 x + 2\ = - x - 2 para x < -2 12 x+l - 1 1 = 1 - 2 ' reemplazando en la ecuación 2U' 21- 12*+1 - 1 1 = 2'v*1 +1, se tiene: 2 v~2 - (1 - 2 ' M) = 2 a*1 + 1 , simplificando 2~x 2 - 2 ==> - x - 2 = l = > x = -3 Lueiío x < -2, la solución es x = -3 x + 2\ - x + 2 Para -2 < x < -1 12'v+1 - 1 | = 1- 2 jr+1 reemplazando en la ecuación 2 r"2 = 2 Para x > -1 2 r* - ( 1 - 2 x+ ) = 2 *+! + 1, simplificando => x + 2 = l => x = -1, como - 2 < x < - l entonces x = -l no es solución j\x+2 \ = x + 2 l l 2 í+1 - II = 2*+1 -1 reemplazando en la ecuación se tiene: 2 X~~ - ( 2 A+1 -1 ) = 2 J+1 +1, simplificando 2 '" 2 = 2'f+2 => x + 2 = x + 2, V x e R Luego la solución para x > -1 es R A [-1,*£> = [-1 ,oo> Por lo tanto la solución de la ecuación es: © x = -3 y [-l,+oo> \ x 2 - 9 | + |jr2 —4 1 = 5 Solución A la ecuación |.v2 —9 | + | x 2 —4 | = 5 expresaremos en la forma: |x + 3 ||x —3| + |x —2||x+2| = 5 ...(1) Sistema de Números Reates 119 II I2 *3 U I5 ---------- h — H-------------------------------- 1---1-----------► - 3 - 2 analizando en cada intervalo /,■, D Para x < -3 2 i = 1, 2, 3, 4, 5 Í| jt+ 3| = - x - 3 ; => i [|x + 2 | = - x - 2 3 |x -3 |= 3 -x : \x-2\ = 2-x ... (2) Reemplazando (2) en (1) se tiene: (-x —3)(3 —x) + (-x —2)(2 —x) = 5 efectuando y simplificando x 2 = 9 => x = ± 3 luego como x < -3 la solución es: x e <-oo,-3> A {± 3} = <|> Para -3 < x < -2 => f|x + 3 | = x + 3 ; | x - 3 | = 3 - x \ ]\x + 2 \ = - x - 2 : \ x - 2 \ = 2 - x Reemplazando (3) en (1) se tiene: ...(3 ) (x +3)(3 —x) —(x + 2)(2- x ) = 5 efectuando operaciones y simplificando: 9 —x 2 - 4 + x 2 =5 =>5 = 5 es valido V x e R luego la solución es: d Para - 2 < x < 2 l\x + 3 \ = x + 3 ; \ x - 3 \ = 3 - x => { [U + 2 | = x + 2 ; | x - 2 | = 2 - x ...(4 ) Reemplazando (4) en (1) se tiene: (x + 3)(3 —x) + (x + 2)(2 —x) = 5 9 - x 2 + 4 _ r 2 =5 => x = ± 2 luego la solución es: [-2,-2> n {± 2} = {-2} \\x + 3 \ = x + 3 , | x —3 1 = 3 - x para 2 < x < 3 => { 1 |Jx + 2 1 = x + 2 , |x —2 1 = x - 2 reemplazando (5) en (1) se tiene: (x + 3)(3 - x ) + (x + 2)(x - 2 ) = 5 efectuando y simplificando 5 = 5 es valido V x e R ...(5) Eduardo Espinoza Ramos 120 Luego la solución es: { 2 3 > n R - [2,3> í|.Y + 3 |= j r + 3 , | jc—3 1 = _v—3 Para x > 3 => ^ ||x + 2 | = x + 2 , \ x - 2 \ = x - 2 Reemplazando (6) en (1) se tiene: ... (6) (x + 3)(x - 3 ) + (x + 2)(x —2) = 5 efectuando y simplificando: x 2 - 9 Luego la solución es: [3,+eO n => x = ± 3 - {3} Por lo tanto la solución de la ecuación es: [-3,-2> v {-2 ¡ U [2,3> v {3¡[-3,-2] U [2,3] © \x2-4 \= -2x+ 4 Solución Por la propiedad:|a| = b <=> |A-2 - 4 1 = -2,v-h4 o b > 0 A (a = b v a = -b) -2 x + 4 > 0 A (x2 - 4 = -2x+ 4 \ x 2 - 4 = 2x-4) •» x < 2 A (.v2 + 2 ,r - 8 = 0 v x 2 -2jc = 0) » x < 2 A ((x + 4)(x —2) = 0 v x(x —2) = <=> x< 0) 2 A (x = 2, -4 v x = 0,2) Luego {-4, 0, 2\ son las soluciones de la ecuación dada © \ x 2 + 3 | = |2 x + l | Solución Por la propiedad: |a| = |b| <=> a = b v a = -b 3 |.x2 + 3 1 = \2x+] | x 2 + = 2x + \ v ,v2 +3 = -2„v-l <=> .t2 - 2 x + 2 = 0 v x 2 + 2 a + 4 = 0 <=> <{>V ({) = (J) La solución es él (j> puesto que V x e R, a*2 - 2x + 2 > 0 , x 2 + 2x + 4 > 0 Sistema de Números Reales (ÍO) 121 | je2 +6.V + 1I =2.c + 6 Solución Por la propiedad: |a| = b <=> b > 0 A (a = b v a = -b) |.v2 +6.V + 11 =2.c + 6 » « 2x + 6 > 0 A [x2 +6a + 1 =2x + 6 v x 1 +6x + \ = - 2 x - 6 ] x > - 3 A (x 2 + 4 .t- 5 = 0 v x 2 +8,r + 7 = 0) <=> x > -3 A ( x = l,- 5 v x = -l,-7) + -7 -5 -3 Luego la solución es {-1.1} 3-v + 8 © Ix - 3 1=8 Solución 3x + 8 2x - 3 | =8 3x + 8 3x + 8 <=> --------= 8 v -------- = -8 , para x * — 2 x -3 2x-3 o © 13x = 32 v 19x = 16, Luego la solución es: 16 x = — , jt = — | |x| —5 | = 2x —3 Solución | |x| —5| = 2x —3 « o 2x —3 > 0 A (|x| —5 = 2x —3 v |x| —5 = -2x + 3) x ~~2 ^ (I ■* N 2jc + 2 v' | jc |= —2jc + 8) => x = -2 v x = —, 3 por lo tanto la solución es x = — 3 Eduardo Espinoza Ramos 122 @ |-v —4 12 - 5 1JC-41+6 = O Solución Factorizando se tiene: (|x - 4| - 3)(|x - 4| - 2) = 0 « • |x —4| —3 = 0 v |x —4| —2 = 0 <=> |x —4| = 3 v |x —4| = 2 <=> ( x - 4 = 3 v x - 4 = -3) v ( x - 4 = 2 v x - 4 = -2) <=> x = 7 v x = l v x = 6 v x = 2,las soluciones son: Hallar el valor de la expresión:+ ^— ——Zi x {1,2,6,7¡ si x £ <2,5> Solución Por la definición de valor absoluto se tiene: x 14x + 7 | = • —l 1 -x - 4 a - 7 si x < — 4 si A > 7 si X<1 ahora para x e <2,5> <=> |4x + 7| = 4x + 7, |x —7| = 7 —x como x e <2,5> o | 4 a + 7 | - 1a - 7 1_ 4a + 7 - (7 A | 4a + 7 1—| a —7 1 A a) _ 5a — =5 A = 5 si x e <2,5> A Hallar el valor de la expresión: | 5a + 4 1- 14 + 3a I Solución Aplicando la definición de valor absoluto si x e <0,3> Sistema de Números Reales 123 5x4 4 si x > — 5 15.V+ 4 1 = - 5cx - 4„ ■ si x < — ; |4 + 3;c| = 4 5 4 + 3x si x > — 3 4 - 4 - 3 x si x < — ahora para x e <0,3> <=> |5x + 4| = 5x + 4, |4 + 3x| = 4 + 3x | 5jc + 4 1—14 —3jc I 5x + 4 - ( 4 + 3x) 2x „ corno x e <0,3> <=> ----------1 1 -------— = ---------- ---------- = — = 2 15x + 4 1- 14 + 3x | r r li l i j -2 si x e <0,3> i Hallar el valor de la expresión: | 5jc —2 0 1—13x —2 0 1 . ----- ------ 1-------------- 1 si x e <-3,-2> Solución Aplicando la definición de valor absoluto |5 x - 2 0 | = Í5 x -2 0 si x > 4 20 - 5x si x <4 ; 13x-201 3x - 20 si x > — 3 ln , . 20 2 0 - 3 x si x < — 3 ahora para x e <-j.-2> <=> |5x —20| = 2 0 - 5 x , |3x —20| = 2 0 - 3 x l , . 15.v - 2 0 1- 13x - 2 0 1 2 0 - 5 x - ( 2 0 - 3 x ) 2x „ corno x e <-3,-2> <=> —— ■ — '— ---------------------------------------------------!•= ----------- ---------- = - 15x - 2 0 1- 13x - 2 0 1 17) = -2 si x e <-3,-2> Resolver la inecuación | x 2 - 4 1< 5 Solución Por la propiedad: |a| -b < a 0 IX2 —4 1<5 <=> - 5 < x 2 - 4 < 5 124 Eduardo Espinoza Ramos - 1 < a 2 A x 2 <9 o - 1 < a2 <9 «> o xeRA-3<x<3 c=> -3 < x < 3, Luego la solución es | 9 - x | >3 Solución Por la propiedad |a| > b <=> a > b V a < -b 19 - ,v2 | >3 <=> 9 - a 2 >3 v 9 - a2 <3 <=> x 2 <6 v a-2 >12 <=>- a/ó < x < a/ó v x > a/Í2 v x < -a/T2 - M wm» -a/6 -síñ Luego la solución es: ,3 a -3 a€<^cdt“-a/Í2] m S /////////////////► V Í2 V [-^¡6,-M] U[-a/Í2^,+3o> <2 A+ l Solución Mediante la propiedad: |a| - 2 < --------< 2 A+l <=> 3a - 3 3a - 3 A+ l A+ l - 2 < -------- A --------< 2 o — —- > 0 A * — < 0 , para x * -1 o (5 x - l)(x + 1) > 0 A (x —5)(x + 1) <0, A+ l A+ l x*-l Sistema de Números Reales 125 < a -1 A / ~ r V ~ + ~ t> -1 1/5 x e < - » ,- 1 > £ /< —,+oo> A x e < - l ,5 > 5 1HHHM -1 oLuego la solución es Resolver: 5 -o 1¡ 5 / X S < ~ ,5 > —!— e [—,1] x+4 3 Solución —— e [ - , l ] x+4 3 => => 21) Resolver 2 x -l 3 x+4 <1 => 1<x + 4 < 3 -3 < x < - l, luego la solución es x e [-3,-1 ] *1— r l x -2 Solución 2 x -l 1 , -----o x-2 5 1 1 , ----------> --------- para x * —,2 se tiene \2 x -\\ |x - 2 | 2 5|x—21> |2x - 1|, elevando al cuadrado 2 5 ( x - 2 ) 2 > ( 2 x - l ) ? efectuando y simplificando: 7 x 2 -3 2 x + 3 3 > 0 o (7 x - ll)( x -3 ) >0 + 11/7 3 Como (7x — 11 )(x - 3) > 0, se toma los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir < -oo,-y-] U [3,+to > . Luego la solución es: U [3,+*>-{!>' Eduardo Espinoza Ramos 126 22) Resolver la inecuación: | jr —11 + 2 1x - l | -3 < 0 Solución Completando cuadrados se tiene: ( | jc- 1|+ 1 )2 < 4 o - 2 < |x + 1|+ 1 < 2 o -3 < |x + 11< 1 <=> -3 < |x + 11 A |x + 11< 1 <=> R A -1 < x + 1 < 1 <=> R A -2 < x < 0, la solución es x e <-2,0> 23)i jc—3 1 —3 1jc—3 1—18 > 0 Solución Factorizando se tiene: (|x —3| - 6)(|x - 3 | + 3) > 0 « (|x —3| > 6 A |x —3| > -3) v (|x —31< 6 A |x —3| < -3) <=> (|x —3| > 6 A R) v 4> <=> ( x - 3 > 6 v x - 3 < - 6 ) A R La solución es <=> (x > 9 v x < -3) A R <=> (x < -3 v x > 9) x e <sg ,-3> U <9,+<x>> \x\-\ > 0 2-x Solución Por la definición de valor absoluto | x |= x, x > 0 -x, x <0 Si x < 0 => |x| = -x, reemplazando en la ecuación dada se tiene Sistema de Números Reales x +\ -x-\ >0 2-x x —2 127 >0 x +\ >0 x-2 de donde ( x + l ) ( x - 2 ) = 0 como « r (x + l ) ( x - 2 ) > 0, para x * 2 _2 -1 2 x +1 > 0 la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+) es x-2 x e (<-oo,-1] U <2,+oo>) A <-f»,0] decir: X fe <-x:A] ...(1 ) Si x > 0 => |x| = x, reemplazando en la ecuación dada se tiene .r-1 2-x -C-l < 0 de donde x-2 >0 x —1 Si ------ < 0 <=> (X- l ) ( x - 2 ) < 0 para x * 2 x-2 Entonces (x - 1)(x —2) = 0 => t\ = 1, r2 = 2 x —1 Como — —-< 0 => la solución es: x x-2 e [0,+»> A [1,2> = [1,2> x e [ Ì s2> ...(2 ) La solución de la inecuación es la unión de (1) y (2) es decir: x e <-oo,-l] U [1,2> I 2x + 3 1— I T3x~ + ~ 7i I Solución 1 . 2.V-+3 . x , 3x + 7 1 .1x1 \2x + 3\ |3x + 71 7 3 Para x * — , ~— , se tiene: |3x + 7| < |x| |2x + 3| Eduardo Espinoza Ramos 128 -3/2 -7/3 13x + 7 | = —3x - 7 a) si x < ...( 2 ) \x\= -x |2 x + 3 | = —2 x —3 reemplazando (2) en (1) se tiene: -3x—7 < (-x)(-2x —3) de donde 2x' ! + 6x + 7 > 0 pero como V x e R , 2 x 2 + 6x + 7 > 0 7 la solución es: <~oo,~- - > K R ~ < 7 -> 13x + 7 1= 3x + 7 .v b) o7 3 Si — < x < — 3 2 ...(3) | X |= - x 12x + 3 |= -2 x - 3 reemplazando (3) en (1) se tiene: 3x + 7 < -x(-2x - 3) de donde 2x2- 7 > 0 2x2 - 7 > 0 => (V2x + V 7 )(V 2 x -V 7 )> 0 'V 2 La solución es: 7 <- y 3 V7 V2 7 7 > A (< -o o ,-J —] [/ U íy >+0° >) ■ <_Z _ ¡Ir " 3' 12} ^ c) Si — < x < 0 2 [ |3 x => + 7 | - 3x + l •|x | = -x I 12x + 3 1 = 2x + 3 • (4) Sistema de Números Reales 129 reemplazando (4) en (1 ) se tiene: 3x + 7 < (-x)(2x + 3 ) de donde 2 x 2 + 6x + 7 < 0 como V x e R, 2 x 2 + 6x + 7 > 0 entonces la solución es: _ <L A __ A. * 2 13.v + 7 ! = 3x + 7 d) Si x > 0 => |x|=x ... (5) 12x + 3 1 = 2x+ 3 reemplazando (5) en (1 ) se tiene: 3x + 7 < x(2x + 3) => 2 x 2 - 7 >0 2.v2 - 7 > 0 <=> (V2 x +V 7)( a/2 x - V 7 )1S0 ; La solución es: luego la respuesta es: lx-H-ixl 1-1 x¡ < y > t/ < - y ,-^ jy ] £/ [ ,+oo > >0 Solución [Jt —1, SÍ JC^ 1 Aplicando la definición de valor absoluto: | x —11 = < ’ ; |x | 11—x, si x < l x, si x > 0 - x , si x < 0 0 a) Si x < 0 j |x | = -x ...(2 ) j | x —1 ¡ = 1 —x reemplazando (2) en la inecuación dada. —— — > 0 1—(—x) como ------> 0 < = > x + l > 0 , x * - l <=> x > - l x +1 I+x >0 Eduardo Espinoza Ramos 130 La solución para esto caso es: b) Si 0 < x < 1 => <-x,0> A <~c.~ )> - <-! ,0> .V1= A j ¡ , ll A--1 |=1-A- ...(3 ) reemplazando (2) en la ecuación dada: -A- A I-A 2 a -1 >0 > A -l 0 <=> (2x —1)(x —1) > 0 para x * 1 ahora mediante el criterio de los puntos críticos se tiene: 1 /2 La solución para este caso es: c) Six>l => í| a I = —A 1 •<4) 1|A -1 i = A - 1 reemplazando (4) en la inecuación dada: ——'——>()<=> —í— > 0 1“ A <=> x - 1 > 0 para x * 1 de donde x > 1. A -l La solución para este caso es: Por lo tanto la respuesta es: < l.o > U f0,~3 v < !.+« > -^ < ~ f.~ J V < 1,-x > | 2 a 2 - 3 a - 9 1< 2 1a 2 - 2 a - 3 1 Solución Se conoce que: í 2 a 2 - 3a - 9 = (2 a + 3)( a - 3) [a 2 - 2 a - 3 = (a +1 )(a - 3 ) Reemplazando (1) en la inecuación dada -.(1) Sistema de Números Reales 131 \ 2 x 2 -3 .V -9 | < 2 1je2 —2jc—3 1 o |(2x + 3)(x- 3)| < 2|(x + l) ( x - 3 ) | de donde: |2x + 3| |x —3| < 2 |x + 11|x —31 para x * 3 se tiene: |2x + 3| < 2 |x + 1|, elevando al cuadrado: 4 x 2 + 12x + 9 < 4 x 2 + 8x + 4 => 4x < -5 de donde: .v < — ; luego la solución es: I— x x ->x‘,— > '• ....... . 2 | <1 Solución Mediante la propiedad: |a| -b < a -11 < —- 2 <11 o X X mediante la propiedad: a - 9 < — A - < 1 3 9x + l . . 1 3 x -l . <=> ------- > 0 A --------- > 0 1/9 La solución es: 0 0 ,v e (<-■»,—^ - > { / < 0 , + o o > ) A (< - » ,0 > U < — ,+*> >) 9 13 1 9 © 1/13 1 >(/< -,+ *> 13 |3x + 2| < |2x — 11+ |x + 3| Solución 132 Eduardo Espinoza Ramos Aplicando la desigualdad triangular V x e R: |3x + 2| = |(2x —1) + (x + 3)| < |2x—1| + |x + 3| Por lo tanto la solución es: 4 * + 2 X*3 - 9 > 0 Solución Se conoce: 4 ' = 2 2' . 2 r+3= 8 .2 jr 4 V+ 2 ' ^ —9 > 0 <=> 2 2v + 8 .2 r - 9 > 0 2 lx + 8.2A - 9 > 0 o (2A+ 9)(2A-1) > 0 o Demostrar que: (2* + 9)(2A-1 ) > 0 (2A+ 9 > 0 A 2 A- 1 > 0 ) V (2 x + 9 < 0 A 2 A-1 < 0) o (2X > - 9 A 2 X > 1) V (2* < - 9 A 2 X <1) o x e (R A [0,+*>>) V (<j>A <-oo,0]) Si |x —a| < R => x e [a —R, a + R] Solución Si |x —a| < R => -R < x —a < R => a - R < x < a + R x e [a - R, a + R] Demostrar que: Sí |x + 4 | < 1 => | 2jc+ 3 7 Solución A la expresión 2t +3 2x + 3 ----- expresaremos en la forma: —— — = 2 + x -l x -\ x -l ...íl) 133 Sistema de Números Reales Como |x + 4 | < l => - I < x + 4 < 1 sumando —5 se tiene: => -6 < x —1 < -4 inviniendo 1 1 1 ,• j r - —< ---- - < — , multiplicando por 5 4 x —1 6 4 < —— < - — sumando 2 jc + 1 6 3 5 — 4 3 7 7 < 2 + ---- < —< — x —1 6 4 2 a- + 3 7 2 a- + 3 , — < ——— < — 4 x —l 4 | 2 a - 1 1 +1 7 T T ' "4 <0 a2 - 2 a - 3 Solución 2a - 1 , ,v> — Por definición de valor absoluto: 2 | 2 a - 11= >a , x < —1 1, - 2■ a z : + 1/2 Sí a < — => |2x —11= 1 —2x Reemplazando en la inecuación dada: - 2 a +1 A --------- < 0 a- - 2 a-3 <=> — 2a - 2 n — - >0 (x ~ l) ( x - 3 ) ( x + 1 ) > 0 (a - 3 ( a' + Ì) para x * - 1,3. Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene: -1 1 3 134 Eduardo Espinoza Ramos La solución para este caso es: x € < - » , —> A (<-1,1] U < 3.+oo>) x&< - J , ~ > 2 Si -v>— => |2x —11= 2x — 1, reemplazando en la inecuación dada 2x - 1+1 <0 <=> .V2 -2 .V -3 (x-3)(x+\) >0 => x (x - 3 )(x + l ) > 0 , x * - l , 3 Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene: -1 0 3 La solución para este caso es: x e [—,+oo > A (< -1.0] U < 3.+oo > X € <3,+«3> Por lo tanto la solución de la inecuación es: x e < -1, —> U < 3,-f<*> > * M ' ' I-V--.VI-2 >0 \x\-l Solución A la inecuación expresaremos en la forma -v - i ..(1 ) 1*1-1 Ahora aplicamos la definición de valor absoluto. m=<¡ x si x > 0 . , -X SI X < 0 I-k- J K , x - i si * > i . , 1- X , SI X < 1 p a r a x < 0 =>|x| = -x , | x - l | = l - x < + \y 0 - \ / + 1 ...(2 ) t 135 Sistema de Números Reales - a ( 1 - x ) - _2 ^Q —A' —1 ^ -v2 - , -v.- 2 < o => ^ ~ 2 ^ + 1> < q A + 1A+ l) para x * 1, —---- ^'v-~ - < 0 => x —2 < 0, x * -1 A +l => x e <-oc,-l> U <-l,2] Luego la solución para este caso es: x e <-*,0> A (<-*>,-!> U <-1,1]) ...(a) X € <-cO;r \ > C J < -] ,( )> ... (3) para 0 á x < 1, -=> |x| = x, |x —11= 1 —x reemplazando (3) en (1) se tiene: > | l ~ Jrl~ 2 > o » A- 1 = A- 1 £ —ü ± l < o A- 1 pero como V x e R. a 2 —x + 2 > 0 => — <0 => x —1 < 0 x # 1 => x < 1, luego la solución para este caso es: x e [0,1> A <-oc,l> = [0,1 > ... O ) para x > 1 => |x| = x. |x —11= x —1 reemplazando (4) en (1) se tiene: xU -0-2^ o A —1 :Y -— -I- >Q ^ A —1 ( x ~ 2)(x+- ^ > o A -l => (x —2)(x + l)(x —1) > 0, para x * 1 Ahora por el criterio de los puntos críticos se tiene xe <Y> 136 Eduardo Espinoza Ramos Por lo tanto la solución general de la inecuación es: la unión de (a), (p) y (y) x € <-'/v-l> U <-1,0> U [<),!> U [2.+x> 35) |4 a' - X1L ~ 5 > 0 \~ 4 ? Solución A la inecuación dada expresaremos en la forma. |4,-->iL-s>o =. Ly.!l£2-4.!y5>o 1 -4 7 ...(l| h*i Aplicando la definición de valor absoluto: I -v |= 1 si 1 2 0 -x si x < 0 Parax<0 , |. Y - 4 b { * ~ 4 51 4 - x si x < 4 4 => |x| = - x, |x —4| = 4 —x ...(2 ) —x( 4 —iri —5 Reemplazando (2) en (1) se tiene: --------- :------ > 0 => 1 +x |-, - 5 ) ( t t l | > 0 jr +1 para x x - 5 La solución para este caso se tiene: Para 0 < x < 4 >0 v 2 —4 r —S — ---- -— > 0 x +1 =» x > 5 x e <-*,fl> A [5,+*>> = <j) => |x| = x, |x —4| = 4 —x ...(3 ) Reemplazando (3) en (1) se tiene: x(4 —v) - 5 — - >0 1 -x 4 x - x 2 -5 A x 2 —4x + 5 ^ A => -------------- ¿ 0 = > --------------- > () 1 -x x —1 como V x e R , x 2 - 4x + 5 > 0 => —-— > 0 x -1 . .. ( a ) => x — 1 > 0. x * 1 entonces x > 1, por lo tanto la solución para este caso es: Sistema de Números Reales x g 137 [0,4> A <l,+ob> x e <1,4> ... (ß) para x > 4 => |x| = x , |x —4| = x —4 ... (4) reemplazando (4) en (1) se tiene: jc( jc - 4) - 5 1—X x~ —4x —5 >0 x 1 - 4x - 5 >0 1—Xx - \ >0 para x * 1, (x —5)(x+l)(x—1) >0, ahora mediante el criterio de los puntos críticos se tiene: -1 1 5 la solución para este caso es: x e [4,+oo> A ([-!,!> V [5,+oo>) (Y) La solución general es la unión de (a), (ß), y (y) \2 -x\-x 8 a - 19 - jc 2 <0 | Solución A la inecuación dada se puede expresar en la forma: I*- x \ x ^ o ^ 8x | 9 - jc \2-x\-x 8 jc— 19 — j c “ | _[£—- 1 X— < 0 (propiedad del valor absoluto) 8 jc-1 x <0 - 9 1 | x - 2 1- x 2 <=> 8a—|x + 3 || x - 3 <0 (1) ahora aplicando la definición de valor absoluto [ x + 3 , x > -3 l* + 3 | = Íjc- 2 ,, x > 2 | A-- 2 1 = |a-3 | l—jc—3 , jc < —3 ’ ' ' ' 1.2—-C ., A < 2 ’ 1 , jc> 3 \3 -x . A <3 Eduardo Espinoza Ramos 138 ------ ©--------- ©--------- ©---- ► -3 2 3 ...(2) Sí x < - 3 , => |x + 3| = -x —3, |x —2| = 2 —x, |x —31= 3 —x Ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: -i 2 8 x -( -jc -3 )(3 -.v ) £0 8jt + 9 - x 2 (x + 2 ) { x - l ) (x -9 )(x + l) => i 2 2 - X- 1-------SO 8x + (3 + x ) ( 3 - x ) jc2 V8jc—9 <0 <=> (x + 2)(x—l)(x —9)(x + 1) < 0 , x - 2 - 1 1 -1,9 9 de donde x e [-2,-l> U [1,9> La solución para el caso en que x < -3 es: x e ([-2,-l> U [ 1,9>) A <-*>,-3> = ()) para - 3 < x < 2 => | x + 3| = x + 3, |x - 2 | = 2 - x , |x - 3 | = 3 —x ...(3 ) reemplazando (3) en (1) se tiene: 8x-(.v + 3 )(3 -x ) (x + 2 ) ( x - l ) (x + 9 ) ( x - l ) >0 < 0 => => >0 8X- 9 + * 2x~+8x—9 <=> (x + 2)(x—l)(x + 9)(x —1) > 0, parax ^ -9,1 U + 2)(.v + 9 ) ( x - l ) 2 > 0 , x * -9,1 -9 de donde x e <-oo,-9> U [-2,1> U <l,+oo> La solución para este caso en que -3 < x < 2 es: -2 1 Sistema de Números Reales 139 x e (<-oo,-9> U [-2,1> U<l,+oo> A [-3,2> ..(a) \ x e [ -2 .1 > U < I,2 > para2<x<3 => |x + 3| = x + 3, |x —2| = x —2, |x - 3 | = 3 —x ...(4 ) reemplazando (4) en (1) se tiene: * - 2-* 2 <0 = <Q 8x-(x +3)(3 - x ) como x2 - x + 2 > 0 x2 +8a - 9 3 8x- 9 + x2 VxeR 20 x 2 + 8jc- 9 => —— --------> 0 x2 +8x-9 > 0 => -----------------> 0 => (x + 9)(x—1) > 0, x * - 9 ,l ( x + 9)( x -1) -9 1 de donde x e <-oo,9> U <l,+oo> La solución para este caso en que 2 < x < 3 es: x g <-x,-9> U <1 ,+qo> A [2,3> = [2,3> ... (p) para x > 3 => |x + 3| = x + 3, |x —2| = x —2, |x - 3 | = x —3 -.(5 ) reemplazando (5) en (1) se tiene: <„ 8.v-(x +3)(x-3) 3 . > - / .<: l l a l l i <Q 8 x - x 2 +9 x 2 - 8 x - 9 corno x 2 - x + 2 > 0 , V x => —------------< 0 x 2 - 8 x —9 < 0 <=> (x —9)(x + 1) < 0, x * 9,-1 x2-8 x -9 de donde x e <1,9> + V ' V + <------------- *-------------- v------------- ► -1 Eduardo Espinoza Ramos 140 La solución para este caso es: ...(y) x e <-l,9> A [3,+oo> = [3,9> la solución es: x e [-2.1 > U <1,2> U [2,3> U [3,9> k37j |l í l |< 4 x +3 Jt + 1 Solución x +3 | — - | < 4x + 3 x+l x +3 (4x + 3 > 0 A - 4 x - 3 < ------ < 4 x + 3) x+l o <=> , 3 . . . . x +3 x +3 . (x > — A ( - 4 * - 3 < ------ A ------ < 4x + 3)) 4 x +l x+1 o (x > -- 3 A r-f 3 - + 4x + 3 > 0 A x+l 4x + ,2x2 + 4 x + 3 x ( 2 x + 3) 4 <=> , 3 (x > . — A (---------------- > 0 A -------- —L > 0)) 4 o X+ 3 3 - - — — > 0)) x+l (— , x + l 3 A / 1 A x + l * x ( 2 x + 3) ( x > —- A (— - > 0 A ------- — >0)) 4 x+l x+l puesto que 2 x 2 + 4x + 3 > 0 -3/4 A ( V / -3/4 A l \ V <----------------------------------Jtm miH * -1 -3/2 - 1 0 ' AiLw//»/ ° --------------------------------- \ ■*------------------------ HMMHHHmHHMHtHH* -3/2 -3/2 -1 - 1 o---------------o 3 x e< — ,+oo > A < 0,+oc >=< 0,+oo > 4 0 o o / ' 141 Sistema de Números Reales 38) x'+4| > '- 3 x 2 +x + 4 Solución Aplicando la propiedad: V x e R , x 2 > 0 de donde x ~ + 4 > 0 A x ~ + x + 4 > 0 , entonces | x 2 + 4 | = x 2 + 4 luego reemplazando se tiene: X > X 3— x2 + 4 x 2 +x+ 4 @ <=> x (x 2 + x + 4 ) > ( x - 3 ) ( x 2 +4) <=> x 3 + x 2 + 4 x > x 2 - 3 x 2 + 4 x -1 2 <=> x2 >-3 => V x e R J í M d d i _ ü l z i L d l +V 9 ^ > 0 Ir + +4 |x + 2y i|++ ll |Ixr -—111I +4 Solución y 4 X II X | —| —12 |x + 2 | + l 111—X | —3 1 | x —11+4 f - ------ . ------------------------------- +V9-X > 0 , entonces x | | x I —11-12 _ j l l ~ x I - 3 1^ Q A 9 _ ^ 0 |x + 2| +l | x - 1 1+4 ^ M x - l | - 1 2 ^ j | l , - x | - 3| |x + 2|+l | x - 1 1+4 además como U _!_LL_11> o , | x - 1 1+4 xiixM i-n j i - x i ^ j ^ |x + 2 | + l entonces: dedonde | x - 1 1+4 iLÜül—L!—— > o A x < 9 como |x + 2| + 1 > 0 entonces lx + 21+1 ' ' Eduardo Espinoza Ramos 142 x |x —11- 12 > O A x < 9 Por definición: ... (1) í jc, x > 0 | x |= < , entonces (-je, x < 0 si x < 0 => x|-x —11- 12 > 0 => x|x + 1| - 12 > 0 I x+ 1 , x > —1 . como |.v + l | = i => x e <-go,0> = <-oo,-1> U [-1,0> | —x —1 , X < - 1 si x e <-oo,-1> => |x + 1| = -x —1 como x|x + 11- 12 > O => —jc2 —jc —12 >0 => x 2 +x + 12 < O => 3 x e R, v tal que x 2 + x + 12 < O; por lo tanto (j) si x e [ - 1 ,0 => |x + 1| = x + 1 => x(x + 1 ) - 12 > 0 x2+ x-l2> 0 :=> (x + 4)(x —3 )> O *— + Luego x e [-1,0> A <-oo.-4] U [3,+ oo> = (j> Ahora si x > O => x|x —11-1 2 > O A x < 9 => x (x —1)—12 > O A x < 9 => jc2 —j c —1 2 > 0 A x < 9 => (x —4)(x + 3) > 0 A x < 9 -3 x e <-oo,-3] U [4,+oo> A x g 4 x <9 <-oo,-3] U [4,9] como x > O A x g (<-oo,-3] U [4,9]) ^ y + ---------- * Sistema de Números Reales @ x+l 143 ri x ~ + 2x + l Solución ■ 1 i i x i I------l < l ^ ----------- 1 x +l x 2 +2x + l x| + 1 | 1 \x +l\2 1*1 , 1 < 1*1 - para x * -l1 => l, < -------7 l* l , donde j de |x + l |x + l |2 l* + l| |x + l| < |x| para x * -l => x + 2x + l < x , x * -l 2x + l < 0, x * - l => x < — , x * - l 2 I — 1! - 2 | — - | > 0 x +3 x+3 Solución Completando cuadrados se tiene: n * + l i ^2 , ( |------ l - l ) 2 > l x+3 | —+- |2 - 2 1 * + - 1+ l > l de donde x+ 3 x+3 , x + l . ,, . x + l , , , <» | ---- 1- l > l v | ---- - | - l < - l x+3 x+3 » ,x+l, „ . x+1, . I---- r i > 2 v I---- - | < 0 x+3 x+3 x + l . .x + l . x +l . ------ 1 > 2 => ------- > 2 v ------- < -2 x+3 x+3 x+3 x+l -, «x + l „ . -------- 2 > 0 v -------+ 2 < 0 x+3 x+3 x +5 x+3 3x + 7 < 0 v ---------< 0 x+3 Eduardo Espinoza Ramos 144 -5 -3 -3 -7/3 5 -3 * [ | - ———I] = 2 x Solución |í z 3 í n , 2 « 2 < ^ < 3 x X 5 -3 x 2 < --------< 3 <=> 5 -3 * 5 - 3 jc 2 < — — A --------<3 0 2 -í^ ís O A í ^ - 3 < 0 X <=> X 5* - 5 ^0n AA -------6x - 5 > 0 . --------< X , + v 0 X V 1 + , u 5/6 jce< 0 ,ll A x e< -oo,0 > U < — ,+°o > 6 0 oLa solución es: 5/6 1 Sistema de Números Reales 145 Solución <1 o 0< la expresión esta definida para 2 o / x - l * 0 , x > 0 2-Vjc * 1 => 4.v * 1 => x — 4 Por lo tanto analizaremos en: [0, —> U < —,+to > 4 4 si -v > ~ entonces en (1) se tiene: .v > 0 A jc < 2-v/x -1 x > 0 A x - 2 - J x + 1< 0 x > 0 A (Vx - l ) 2 < 0 si 0 < x < — =;• x < 0 A x > 2 y [ x - l 4 => => x < 0 A x > 0 => [ | - jc|] > 1 o como -x > 1 => x < -1 => x © -x2l g <-oo,-1] [| -A' |] < 0 Solución [| - x |] < 0 c<0 A (Vx-1)2 >0 x=0 Solución [ |- x |] > 0 => x í <j) <=> -x <0 => x > 0 => x e <0,+oc> Eduardo Espinoza Ramos 146 46) [ |2 * - l |] = -3 Solución [| 2 jc—11] = —3 « • -3 < 2x - 1 < -2 o 47) -2 < 2x < -1 [|Vx + lQ = - l Solución [|Vx+l|] = - l 48) -1 < a /x + 1 < 0 . La solución es <j> puesto que - J x +1 > 0 tlx2 - 2 x - 8 | ] = | Solución Como — t Z => no tiene solución. 2 49) [ \ ^ x - [ \ x \ ] |] = 0 Solución ti V * -11*11 l] = 0 §) o 0< 4x-[\x\]< \ « 0< » [ U |] < x < [ |* |] + 1 , V x e R jc- [ | jc|]<1 [ U 2 |]< 15 Solución [ |x 2 |] < 15 => [| -v2 |] < 16 => x 2 < 16 => -4 < x < 4 x e < -4 ,4 > Sistema de Números Reales 5 Ì) 147 [ | jc2 - 2 jc- 3 |] = 0 Solución [|;c —2 jc —3 |] = 0 «■ 0 < jc - 2 jc- 3 < 1 0 < jr2 —2jc—3 < 1 <=> 0 < x 2 - 2 x - 3 A jc2 —2jc —3 < 1 <=> \ / -1 ~ . V 3 » (jc-3)(jc + 1) > 0 A (a* —1)2 <5 + —» A - V 5 + l< x < V 5 + l x e< -oo,-l][/[3,-t-oo > A x e< \-~Js,l+-yf5 > <--------- -1 [M I] <0 Solución CI--V|] <0 <=> (x > 0 A [| —J C | ] < 0) V (jc< 0 A <=> (x > 0 A x > 0) V (x < 0 A x <-1) <=> (x > 0 V x < - l ) o JC+ {JCI X € <-00,-1] U <0,+dO> i'rAiiViírYiY¿iiwiii'v¿ <2 UHUI] Solución Se conoce que | x |= JC , JC> 0 -jc, , x < 0 [|- x |]> 0) 148 Eduardo Espinoza Ramos i) si x > O => — — — < 1 X~[\x\] X - [|x |] - M <=> — - — jc-[|jc|] < 2 x-[\x\] - < 0 A JC -C |X |] o ( [ | jc| ] > 0 » ( [U l]> 0 <=> (x > 0 A x e Zq ) V( jc <1 A o ( jc <=> x e <-oo,l> jc- V ([|jc|]< 0 A [ | x |]< 0 ) jc- [ | jc | ] > 0 ) -Y— [| JC |] ¡i) Si x < 0 . .v eZ <2 - jc- A jc< [|jc|]) V ( [ | jc | ] < 0 A[ | jc| ] > jc) x e R) e Z ¿ ) V ( jc < 1) .*. x e <0,+oo> A(<-oo,1>) = <0,1> => |x| = -x => 0 < 2 => x < 0 , jc e Z " x e Z ” [ | jc |] x e Z " U <0,1 > 5 ^ D e m o stra r que V x e R ; |x |> ^ /[|jc 3 |] Solución Por p ro pieda d: Si x e R => V xeR , [| x |] < x < [| x |] +1 x 7, e R , Luego V x 3 e /?: [| jc3 |]< además V x e R: x < |x| => jc3 < [ | jc3 |] + jc3 < Luego (2) en (1) se tiene: V x e R , 1 => [ | jc3 | ] < jc3 |jc3 | [| jc3 1] < jc3 < ... (1) ... | jc |3 => [| jc3 |] < Ijc |3 (2) Sistema de Números Reales 55) 149 [ |x [ |x |] |] = x Solución Se conoce que [| x |] e Z entonces como [| x[| x |] |] = x e Z Es decir x e Z Luego: [ |x | ] = x e Z => x [ |x |] e Z [ |x [ |x |] |] = x => [|x.x|] = x [Ix2 I] = x => x 2 = x = > x ( x - l ) = 0 => x = 0 , x = 1 por lo tanto [ |x [ |x |] |] = x 56) [||x|+l|]<2 Solución Aplicando la propiedad [| x + n |] = n + [| x |] , n e Z [I Ix | + 11]< 2 => [ | | x | 0 + l < 2 => [ ||x ||] < 1 como [ ||x ||] <1 D ^ D 3x - 2 í => |x|< 1 => -1 < x < 1 3 Solución Api icando la propiedad [| x |] < a => x < a + l ti £ ± > 3 3x - 2 3x + l - 4 ( 3 x - 2 ) 3 x -2 —9 v + 9 3.V-2 < 0 => 3x + l <4 3 x -2 3x + l -4 < 0 3 x -2 3x + l-1 2 x + 8 < 0 => -------------------< 0 3 x -2 x —1 ------ —> 0 , aplicando el criterio de los puntos críticos. 3x-2 150 Eduardo Espinoza Ramos 2 /3 1 jc - 1 2 Como la inecuación es ------ - > 0 , entonces la solución es: jt € < —» , - > U < l,+oo> 3 3x-2 [| x~ —2jc—2 1] < 13 Solución Por la propiedad: si [| x |] < a => x < a [ \ x 2 - 2 x - 2 |] < 1 3 => x 2 - 2 x - 2 < 13 (jc —1)2 <16 = > - 4 < x - l < 4 59) => x 2 - 2 x + 1<16 => -3 < x < 5 2[U + l | r - l l [ | . v | ] < - 4 Solución Como [|af + l|] = [ | i | ] + l entonces: 2([| x |] + 1)2 - 1 1[| jc |] < - 4 desarrollando 2[| jc|]2 + 4 [ | jc|] + 2 - 1 1 [ | jc| ] < - 4 2[l jc I]2 - 7 [ |x |] + 6 < 0 =» < 2 [ |r |] - 3 ) ( [ |* |] - 2 ) < 0 . — - como ( 2 [ |:r |] - 3 ) ( [ |jr |] - 2 ) < 0 entonces: [ | j c | ] e [—,2] => 3/2 [ | jc | ] = 2 =>2<x<3 [| 2 jc- | jc | | ] = jc Solución Se sabe por propiedad que si [| a |] e Z A [| a |] = a => a e Z Luego como [| 2 x - \ x \ |] = jc De donde |x| = x => jc e Z(j => x e Z => 2x —|x| = x U solución es {0,1,2,...^} Sistema de Números Reales (61) 151 |[|¿I]~ ^-^ I< V T Solución Calculando los valores de x en donde la expresión esta definida, es decir: x —í > 0 A x > 0 de donde x e [ 1,+x> ahora calcularemos [| — |] cuando x e [l,+oo> 2x como x e [!,+ *> => x > 1 => 2x > 2 inviniendo 0 < — < — => [| — |] = 0 , por lo tanto: 2x 2 2x 2x como V x X- Ì \< ^ => 1 0 - J — V x JC-1 : -Jx \< J¿ x-\ : -Jx < x => x 2 - x + 1 > 0 como x 2 - x + l > 0 , V x e R entonces para x e [l,+ »> , x 2 - x + 1 > 0 Por lo tanto la solución es: 62) log, 3(2x + 5) < -2 Solución Aplicando la propiedad: loga x 2x + 5 > ( —) 2x + 5 > 9 => 2x > 4 => x > 2 (ó?) sí 0 < a < 1 <=> x> a log2(3x + 2 ) - l o g 2( l - 2 x ) > 2 x e <2.+oc> Eduardo Espinoza Ramos 152 Solución loga * > ¿>, a > 1 <=> x > a h A x > 0 log,(3* + 2 ) - l o g , ( l - 2 * ) > 2 3x + 2 => log2(-—- —) > 2 1-2x ,3* + 2 3* + 2 3* + 2 i lo g ,(--------) > 2 <=> -------- > 0 A --------->2* l-2 .t 1 -2 * 1 -2 * 3*+ 2 3*+ 2 <=> --------< 0 A ----------- 4 > 0 2 * -l 1 -2 * o -2/3 2 3*+ 2 11*-2 < 0 A ----------< 0 2* - l 2* - l 1/2 1 2 2/11 1/2 2 1 * e < ---- ,—> A * e< — , —> 3 2 11 2 6^ 1 log1/ 5(2* 2 - 3*4 5 )< lo g 1/5(* 2 + 2* + l) Solución logu P(x) < loga Q(x) 1 •» P(x) > Q(x) A (P(x) > 0 A Q(x) > 0), 0 < a < 1 og, , 5í2jc2 - 3 * + 5 ) < log1/5(* 2 +2* + l ), 0< j < l \7 2 * 2 - * + 5 > * 2 + 2* + l A (2*2 —3* + 5 > 0 /V *2 +2* + l > 0 ) *2 -5* + 4 > 0 A x *-1 Sistema de Números Reales 153 (x - 4 )(x —1 ) > 0 A x * - l x e < - to. 1 > U <4..+oo> x * -1 ...... ■ ■.....ni’...... ...... . ■».».i■ um ■ i l ogt ( X « < - 3 0 .. 1 > u < - ] . ) > l i < 4 ,+ 5 C > .v + 3 -)>1 -V'-l Solución x +3 La variable x debe cumplir x > O A - —- > 0 -3 0 o- Como x > l aplicamos la propiedad: x+3 X —1 >x x2-2x-3 x +3 . = > -------- x > 0 x —l <0 => M K £ ii x —1 x +3 lo g r (------ )> 1 x- 1 x+3 x -1 -------- > X [ —X x+3 -x ' +x >0 x-1 ) <0 -1 1 x e <- <o,-l > U <1,3> La solución es: x e<l,+oo> A (< -»,-1> U <1,3>) 66/ Hallar el menor de los números M tales que: Solución x -9 3 ------ = 1--------- , como x e [2,5] => 2 < x < 5 x -6 x -6 -4 < x —6 <- 1 => - 1 < —— < - x-6 4 x —9 x -6 | < M , sí x e [2,5] 3 Eduardo Espinoza Ramos 154 1 - < ---- — <1 4 x-6 5 jr —9 —+ 1 < ———< 2 4 x-6 x —9 74 á i ^x - 6 | á 2 Hallar el mayor número M de tal manera que: ——^ ' Y+—-- > M , si x e [-2,2] .r3 +27 Solución .v2 + 6.r + 14 = (x + 3)2 + 5 entonces: si x e [-2,2] => -2 < x < 2 l<x+3<5 => 1 < (jc + 3)2 < 25 de donde 6 < (jc + 3)2 + 5 < 3 0 6 < .r2 + 6.v + 14<30 como x e [-2,2] =?> - 2 < x < 2 19 < jc3 +27 <35 . . de (1) y (2) se tiene: => —8 < jc3 <8 — < — -— < — 35 x +27 19 ...( 2 ) 6 .v 2 + 6 x + 14 30 — < ----- ----- -— < — 35 x + 27 19 \x~ +6x + 6\ > 6 x 3 +27 “ 35 M 11 Mí Hallar el número mayor de m y el número M tal que para todo x e [ —,1] se cumple: x +2 m < ------ < M x +3 Solución x +2 A la expresión :— — escribiremos en la forma: x +3 co m o .v e [—,1] 2 => —<„ r < l 2 sumando 3 x •+■2 1 ------ = 1--------x +3 x +3 Sistema de Números Reales 155 7 1 1 2 — < x + 3 < 4 , inviniendo — < ------< —, multiplicando por - 1 2 4 x + 31 2 — 7 1 1 J , < -- < — sumando 1 x +3 4 . 1 1 5 x+2 3 1 — < 1 -------------------- < 1— entonces —< ----< — 7 x+3 4 7 x+3 4 de donde 47 » '■ * - 4.4 1.41 EJERCICIOS PROPUESTOS I Hallar los valores de x que satisfacen a las siguientes ecuaciones. © i 2x + 3 | + 4 = 5x Rpta. x = y © | 3 x - l | = 2x + 5 Rpta. © | x 2 - 4 1 = -2 x + 4 Rpta. {0,2,-4} © 1 -^ -1 = x —1 x Rpta. { 2 - 2 + 2s¡2) © ( x - 4 ) 2 —2 | x - 4 | - 1 5 = 0 Rpta. {-1,9} © 12x + 9 | = x —1 Rpta. (j) © |x2-3 x -7 |= 3 Rpta. {-1,-2,4,5} © I —r l = 3 x+4 Rpta. {-5,-2} © |3x + 11= 7 —x Rpta. { - 4 . | } y I O Eduardo Espinoza Ramos 156 |jc 2 2 1 = 2 jc + 1 R p ta . { 1 } © | 3x — 5 | + x — 7 = 0 R p ta . { - 1 ,3 } © | 5 x - 3 | = | 3x + 5 | R p ta . © | 2 x — 6 1= | 4 —5 x | © | 6x + 3 | = | 1 8 + x | R p ta . { - 3 .3 } © 13x — 1 | = | 5x — 15 | R p ta . { 2 ,7 } © | 5x + 3 | = 3 x — 1 R p ta . © | | x 2 —1 1—JC| = x R p ta . { 1,-1 + V 2 ,1 + V © |2 x — 3 | + 2 = | x —6 | R p ta . 4 © |3 x — l | - | x + R p ta . 4 « © | jr —4 12 - 5 | jc - 4 1+6 = 0 R p ta . { 1 , 2 . 6,7 } 2 1x 2 - 2 |+ 5 = 6 | 2 jc 2 - 3 | R p ta . | 6x + 3 | = | 18 + x | R p ta . { - 3 ,3 } © © < - > R p ta . {_ 2 1 0 . ' 2 |= l © 3 11jc + 1 1—4 12 - 5 | | j c + 1 | - 4 | = © 1 lx I - 3 | = | 3 x + 2 | © || jc + © | 2x — 3 21 - 1 12 - 5 2 ||jc + 2 |- 1 |- 6 = | - 1 = | x —3 | 3 ' 7 {± V 2 , ± ^ 2} R p ta . {-7 ,-3 ,1 ,5 } R p ta . 0 {_74 ’Í4 } R p ta . {-9 .5 } R p ta . < -4 2} Sistema de Números Reales 157 @ | |x 2 -5jc + 1 5 |- x 2 + 8|=3jc + 9 Rpta. {-,16} @ |x + 1 | + 2 | x —2| = | x —8 | Rpta. @ 3 |x + 1 | - 2 | x —2 | = 2x —1 Rpta. { | , 8} ® 2 11A*—5 1-t-212 -11 II Jt- 5 1- 2 1+12 = 0 Rpta. {3,7} II. Hallar el valor de las siguientes expresiones: © |12 + 5 -rJ ~ | 1 2 r 4*J si x € <1,3> | 7jc + 1 0 1—I 5a* —101 . . . Rpta. 9 _ ^ , ® -----------y-!----------- si x e <0,1> Rpta. 6 ® |9jc + 8 |- |2 j c - 8 | --------- -—--------- ' „ ,, Rpta. 11 . si x e <1.2> 34) f f i .t 31 J 3 -* ! si x e <0,1 > Rpta. 3 55) 15.V-201-|3.V- 2 0 1 . „ „ ------ ----- — — ------ si x e <-3,-2> „ , Rpta. -2 © |6 * + 32 | - 4 I « - * I R pta. 2 © I 4-V+ 1 | - | A- 1 | si x e < .3,.2> g. x e < Q l > 38) 17Y+ 2 1 I3-y + 2 1 si x e <0,3> 3 13jc - 8 1- 13x + 2 4 1 . e , — !— ----------- si x € <-5,-4> 2x R p ta > j Rpta. 4 „ , Rpta. -6 Eduardo Espinoza Ramos 158 15^ 41- 14. 4,1 s i x £ < 0 3 > Rpta. 1 l$2) n i. (41) Resolver cada una de las siguientes inecuaciones. x +2 2.V-3 Rpta. < - 00, I<4 3 + .v 9 5 11 3 10 Rpta. [— , - ] 2 4 + - | <5 x Rpta. < - 00,— > U < 1,+od > JCH---I < 6 Rpta. [-4,-2] U [2,4] 9 X x + 3jc +11 l<3 x-2 Rpta. [-5,-1] 5 — | <1 x x+ -\ x 3 - 2x 2 +x x +3 6-3.v 2x < 6 I<4 <2 >6 x+1 .v I >1 3-3.v x -\ I> 2 Rpta. [ - 3 - 2V 2 - 3 +2V 2 ] U [3-2o/2,3 + 2V2] w, 11> U, , < — 5, » > Rpta. < - 00,----- 2 6 Rpta. < - - , - l > U < - l , - - > 2 4 Rpta. < . - 1 > U < - 1 ,- —> 2 4 Rpta. < -oc,0 > U < 0, — > Rpta. < -» , 1> U <1, *>> Sistema de Números Reales Rpta. < -oo,-3 > ' 3+.v f ^ ' 42 2.V-5 4-x i— 6-2.V , 3.V -1 © U< -3 , — ][/[!, » Rpta. <-oo, 1] U [3,4> U <4, x » 1*1 i ì 159 Rpta. [0,3> U <3, co> 2 I > -6 Rpta. <-oc,2> U <2, oo> | x —4 1 < - 2 x + 4 . x +3 < 5-x x +Z Rpta. <-4,0> Rpta. < -00.22 - -Jvì > U < -2.1 + 2sÌ2 > I “ " 7 1 < 4 jc + 3 .r + 1 Rpta. <0, oo> |x —2| < 2x Rpta. <y , 0 O> |x -Q\-2x <0 | x + 5 1+5 Rpta. <y[U) |3x —9| < x + 1 Rpta. <2,5> x-2. .V+ 4 x+3 x-6 \ x 2 + 3 x | +x2 - x + 16 +\> Rpta. < 6 . oo> 2 >0 x-4 \4x~ —8jc + 4 1 <4jc + 10 Rpta. < -o o ,- 2 1 00 > 3M 2 ’ Rpta. <-oo,4> _ „ r3 - V Ì 5 3 + VÌ5 Rpta. [---------- , ----------- > > Eduardo Espinoza Ramos 160 I x + 5 I > 2x —3 (68 ) a) b) 12. r - l I +1 Rpta. <--x>,8> <0 Rpta. <-l,3> .r2 - 2 x - 3 I 4x —3 I > x + 2 <5,00> Rpta. [69) Ix 2 - 4 1> —2x + 4 Rpta. <-00,-4> U <0,2> U < 2 ,00> (70) |2x + 11> 2 + x Rpta. <-0 0 , - 1 ] U [ 1. oo> © |4x + 3| > x + 2 Rpta. < K !2) |3x + 8| > 8x —3 „Rpta. ( 73 ) Demostrar que: 00, 1_> U < — ,00 > 11,] < - 00, — a) Sí I x I < 3 => —5— e < — — —> x-1 4 10 b) c) Sí I x I < 2 d) Si I x I < 1 =* I ——7 1 < 2 x -2 e) Sí I x —3 I < 1 => | ^ | < 7 f) Si Ix —2 I < 1 => I x" —4 1 < 5 I x +4 2 5 x +1 3 x-1 g) Sí I x I < 3 => I ^ 4 1 < 7 x-4 4 h) Si I x —4 I < 1 => i) Sí Ix —3 I< 1 => 1 < _ ! _ | k) 74) Si I x - 2 | < y = > | x 2 - 4 | < | | x - 2 | Sabiendo que: b > 0 y | x —a | < 2b probar que: 2 x -2 — - | <x +3 2 Si I x —5 I < 1 => —< —i— < 1 3 x -3 1 x - a + 2b e < 1 - , l, > 5 Sistema de Números Reales 161 © D e m o s tra r que si x,a e < -o o ,-l] U [1 , * > © | — |2 + 3 | — | < - 2 2 4 R p ta . -1 < x < 1 © I M + 2 | < | jc2 | R p ta . < -to ,-2 ] U [2 , no > © l- v - 2 1 2 —3 1jc—2 1— 4 < 0 R p ta . < -2 ,6 > | . c - I | 2 + 2 1jc -1 1 - 3 < 0 R p ta . < 0 ,2 > | . v - 2 |2 —2 1jc—2 1—15 > 0 R p ta . < -3 ,7 > ~ © U l2 + U l < v 4 3 3 R p ta . < — , — > H 2 2 © 2 < | , v | 2 + \x\ R p ta . © | jcj - 1 | 2 —| jc3 —11—3 < 0 „ 4 r i — s/nr 3 + v r j -, R p ta . [ 2 , 2 ] © | jc—3 12 —3 1jc—3 1- 1 8 > 0 R p ta . < -oo,-3> U < 9 , * » © | x —1 12 + 5 1jc —1 1- 3 6 > 0 R p ta . <-oo,-3> U <5,+co> © | * + '| ! - 2 | * +ì|> 0 jc + 3 jc + 3 R p ta . © 1x R p ta . R © © | x - 3 | + 2| x | < 5 .v2 © + 2|jc + 3 | - 1 ( x 0 12,v- 5 i - 1.V- 2 1 + 1je I2 > 7 |- - - |< |jc - ì/| jc a „ R p ta . 1] U [ 1, » > < -5 ,-3 > U < - 3 , - r~ | rn — 1 1> | x | —2 entonces: 2 „ < -y,2 > R p ta . [ 1 - - T Í 7 - 1 + V 5 ] Rpta. < - * . - Ì 6 ] t / [ 2 V 2 . + o o > 162 Eduardo Espinoza Ramos Rpta. <-oo,-2 - V2]£/[l+o/3,+oo> (91J ,y 2 - | 3 . v + 2 | + . v > 0 © | 3x —2 | < | x + 6 | Rpta. <-l,4> © |x + 2| < Rpta. <-oo,-1> U< 2 ,+to> \ x \ 2 |3.v2 - 2.v + 1 1 > 3 1x2 + x - l | 1+ V 4 8 Í TT 12 © | x —1 | + |x + 1 |< 4 Rpta. <-2,2> @ 12 x 2 - 4 x - 6 \ > 12 x J —3jc —9 1 Rpta. <-oo,— ] © | x + 6 | > | x + 9-| + | x —2 | Rpta. (j) (98) |4 x + 2 | > | x —1 | + 3 | x + 1 | Rpta. 1 1— 7481 22 12 5 Rpta. <-oo,------------- > U < ------------ , — > 3.v3 - 2 x 2 - l x - 2 1 > |x 3 + 6 .y2 —9jr —1 4 1 Rpta. <-oo,-2> U<3. oo> |10-3.y +jc | < \x~ +x-6| Rpta. [4, oo> \ 2 x ¿ +JT-1I < \ 2 x z - x - \ \ Rpta. <-no,—]= > U < 0, > V2 V2 x —6 | - | x —3 | < | x —1 I Rpta. < -oo,-2]í/[^,+oo > (|x-l| +|*-2|X |l-*|-|*-2|) < jc2-6 6 -3 x | jc + 3| x x + 12 x-3 4 3 \x+2\ 2,v +1 < - Rpta. <-oo,.l] U [3 ,« » D . 15 3^/30-, t7 r25 3-^30 Rpta. <-oo,---------— ] U [— —] 7 35 7 35 3sÍ33 -J33 - 3 . , , . . . Rpta. < - 00,---- — ] U [-—- — ,3 > U < 3.4] Rpta. < - * > - 2 > U < - 2 , ~ 5 + > Sistema de Números Reales 3 163 5 -< - „ „ r 13 + 5Vl3 -1 3 + 5-/Í3 n Rpta. [----- ------ , ------- --------] 12.v- 31 *2+* +l Rpta. < - o o - l > U < -1,0 > U < I— — I > 1-l-vl x | x " —2x —4 8 1( | x ” —2x 1—| x —121) | x —2 1—6 2-|2-x|-x <0 <0 > U < 1’+0° > Rpta. {-6} U <-4,-3]U [4,oo> Rpta. <2, oo> | x - x 2 1-2 Rpta. < -oo,0 > U l+ | x | ôo > X 2x-l x-2 > | x + 3| Rpta. [ - l - V 6 , | > t / < | , - l + V 6 > t / < 2 , o o > Rpta. [-1 —s/7,—n/6] U [1 + V 7 , 2 > U h/6,+oo> x - l x+1 Ix 1 <— +11 | x 2 —161< x 2 x +4 |x - 1 1 12x2 + lOx| 14x| Rpta. <0,1> X - < 3x x+4 Rpta. < -oo,-4 > C/[—,1 > U < l,+oo > Rpta. [L+oc> Rpta. R —{-2} | x " + 4x + 4 1 x ' + 4 ■> x —1 |x|+l| Rpta. < -oo, -Jl > 164 © @ © © © © © © © © Eduardo Espinoza Ramos 14x2 - 91 >0 12x + 5 1 R pta. V x e R - { - : | x + 1 | - 2 | x | + 3 | x —2 | < 6 3—| -Y - 4 x [ <0 Rpta. < —0 0 ,2 - -Jl ] U [1.3] U [2 + ^,+oo> | x - 5 1+ X 2 3 | 2 x + 6 | - | x + --| < 6 V Rpta. <:-00.-3] U [ - 1 , - | ] U < 0 ,—^ y ^ ] 1 x 2 - 1 6 , + 8(x + 4) ^ o x-3 9-x4 I / ' I - I ~~T 1 x ' —4x + 8 x —1 x x-2 2-|2-x[-x >0 Rpta. [-4,-3> U <3,5] Rpta. < -oo, —] - {1} Rpta. [-V 2,V 2]-{0} R pta. <-oo,-l> U <-l,2> |x2 - x |- 2 [ x | 3 —4 x 2 +20 | x | +1 16x-x2 |-4 >-1 4-lxl Rpta. <-oo,-4] U [-2,2] U [4 Rpta. <-4,0> U <0,4í> U <5,7> © (|x + 2 1+ 1x —2 1)(| 1—x| —12—x | ) > x - 6 R pta. [-1,3] © | x —1 | - 1x | + | 2x —3 |> x + 2 Rpta. < -oo, — > U < 6,+oo > @ (V |x -l|-3 -V 5 -|x -4 |)(V |x -l|-3 + V 5 -|x ^ 4 |) < |x |- 6 Rpta. [4,7] Sistema de Números Reales (| x | +2)(| x [ - 2 h l x 2 + 4 165 >0 Rpta. <-oo.-2] U <1,2] U <3,+°o> (| je2 + 3 1- 4 a ) a /a 2 +5 ,Al£Ì^£|<_L. X +1 x+ l Rpta. < — ,5 > -{3} x -3 (a + 3)(x - 5) | x | Rpta. <-3,5> - {0} U I 2 +2 3a - a 2 Rpta. <0O, —] - { - 2 } I------ — I A' + 2 (a + 3)(a - 5 ) | a [ <0 I a | 2 +2 Rpta. <-3,0> U <0,5> 138) (| x | - l )(2x+ l ) ( | x| + 3)>0 Rpta. [—1,——]u[l,+oo> 139) ! 6 a + 9 a - 3 |< | 2x - 9 x + 21 o * < —1 ,— 1 > u < 2—,1—> Rpta. 2 4 5 2 | a 2 - 5 12 - | a 2 - 5 1< 12 Rpta. [-3,-1] u [1,3] (|x —2 | + | a —3 |)(|2 —x | - | 3 —a | ) > | a Rpta. [->73-1,2] (140) 141) Rpta. <-oo,4 ]—{-2} U43J | x - 6 | - a+ | x + 2-[<3 [144) I * - 4 | + |2a + 3 | ^ 2 I A—11—1 Rpta. Rpta. <0,2> -,+oo > Eduardo Espinoza Ramos 166 | x - 5 | + l*+![ © Rpta. <-oo, 1> u [3,+oo> x —1 | A' - © 8 1 - J C+ A-+ I A' + 4I 2 Rpta. < -*,-2 > u < —,+oo> <3 -r|-3 ^ 2 - U | © 5 - 1x | |jc|+1 © (^j\x-\\-3 -^¡5--\x-4\)(y¡\x-l\-3 + ^ ¡ 5 - \x -4 \)< x -6 Rpta. [4,7] © (Vi * - 2 1 - 4 - V ^ - l x - 3 | ) ( V U - 2 1-4 + a/ 6- | a- - 3| ) < \x-- 2 1-5 Rpta. [-3 ,-2]u [6,9] |x + l | . | | j c - l | - 2 | © x-3 -1 + I Jr—11 x~ + 4 | >0 x + jc+ 4 Rpta. < -00,-3] u [ | (1 + V Í7)3 > u [ | ( 3 + a/ Í 7 ),+oo > a 0 0 © 0 © 0 | | a + 1 |- 2 |- 6 | a - 2 1+5 | x ~ 2 | —x Hx + 31-11 , ^ IJC+ 1 1+2 Rpta. [4,9] 1*2 + 2 |( >0 8a- | 9 - jc2 . 1 \x2 + x~ + + a -12) <0 JC + 1 | x 2 —3 jc+ | jc—11+4 <2 I a-I-1 | jc 2 <0 | jc- 1 | + jc2 +10JC + 27 2.r + 3 | + 1A'2 —1 | <0 <6 | A2 +71 \ ( x 2 - 5 a' + 6) | x —1 I- | x 1+ | 2 x - 3 | > x + 2 ( jc- —9)(jc +jc + l) | a 2 + 9 1+3 \x2 - x \- 2 I a- I +1 >0 IA2 -1 (a - 2 ) ( a - 4 ) <1 >0 Sistema de Números Reales [,v + 5 1-4x+ | x - 2 1 167 >0 163/ | | x | - | 2 x + 3 | | < | | x | - | 2 x + 2|| 165) |x m 1 3 £ Ì+ 5 £ + 2 Is 0 |x 2 +2| | x + 5 | +8 |3x + 2| a/ x 2 +5 >0 - x 2 +6x-3 x 2 +5 Ix —2 12 |x~ + 4| x(x + 2) + 2(x + 3) - 2 1x2 | + | x 2 - t |+l 169) x 2 + 3 - | x 2 —2x —151 | x —1 | - | x + 2 | + | x + 4 | < 8 | x 2 —161 < x 2 + 4 x+4 | x- <0 x 2 —5x + 6 19 - x | 4 x - x 2 |-5 <0 | - 8x x 3 - x 2 +4x - 4 |+ 8 > | x - 2 | + 4 x >0 1+ Vx >0 1757 | x 2 - 3x + 2 1 1< x 2 + | x | -3 l+|x| [176) x-lx + H-lxl^Q Il X1 -1 1 [177) 4 < if± ^ L ± l£ ± lL l< 2 5 | x + 2 1+2 (178) —---I x | -1 [,79} | j ~3 | t 7 ~ it>» 1181) |X| < x - l Il x | - 4 1 [ 2 x - x 2 |- 3 <0 | x 2 -2 x -1 5 1 -x 2 -3 ¡x 2 - x | - 2 1x 2 C O S TC I +1 x 2 - 5x - 6 cos n <0 | x + 3 | -2 lui+n > 2x 4-1 ■duardojjspiítoza Ramos 168 [186) | j í | - |2 j - -1J > !.* .! > | | x 2 + 6 [ - 3 | ü JCÍJr-l) 188) ||x2 + l|+ 3 | jc - + 1—|x 3 —11 > O a 2 + a | jc + 1 |-| jc | <0 IU I-11 190) L - — l 3- ^ i < |x 1 4 x - x 2 1-5 | -4 192) >0 n-^x' -eo s V |x -3 |-|x -l| |jc- +2jc + 3| + | . y - - 1 | < 6 <0 x2 -9 \ x - x 2 |.(V^ —1) x U - 6x 1 1 6 - A 2 I —A'2 a 2- | 2 - a >0 4| l * 2+ |3x|| >0 <|x|-4 | | V-v2 —6jc + 9 —3 1> 200) \4x - i \ - 4 x >0 1199) -JJ-x x 2 + x + l - | x 3 - 1 1>0 3-|x |x '-5 a + 7 |> x "-1 -4x| <0 |x-5|+ x2 202) I A —1 | + 2 | —| A —1 | (x2 -6 x + 8 ) V ^ - |4 - x 2 |< 0 x +2 ( | 4 x - x 2 | —5 ) - y / Á ( x - l ) ( x —3 ) U - 4 | <0 Ix | - 1 > -1 4 —| x | | x —3 |3 + 2 ( x - 3 ) 2 - 5 1a - 3 | - 6 .a <0 3I ■< 2 - 6x + 7 , 2 I--------- ---- 1<----- :¡ A —1 ( x - 2 ) 2 —2 1x —2 1- 2 4 14 —x | + 1 2 x + [209) A —1 | ^ _ 8 | < | | - 6 | + |x-2| I A —1 1—1 | 3 a 2 + 5 x + 2 1- 4 a 2 +5 >0 >0 A3 - A2 +4 X | a 2 - 3a + 2 1 >0 Sistema de Números Reales -V l-v-41-l jc-11 IV. 169 w UI-1 Encontrar el menor número M con la propiedad de que para todo x e R se cumple: © 2x - x 2 < M Rpta. M = 1 © \ - 4 x - x 2 <M Rpta. M = 3 © 2 - j c 2' 3 - x lli < M Rpta. M © 2jc2 Rpta. M = 1 © \ + 6x —x 2 < M Rpta. M = 10 © 3 + 36jc-12 x 2 < M Rpta. M = 30 V. © 3 -J t 4 ' 3 < M Encontrar el número mayor M con lapropiedad deque para todo x eR secumple: M< 3 + 4 - - x~ x Rpta. M = — 6 ^5) M < x 2/5 - x lls - 2 Rpta. M = - ^ © M <9.v2 —4 8 * -3 6 Rpta. M = -100 A /< 5x2 - 2 0 x + 16 © Si 2x + 3 X+ < M x -7 (7 ) e [7,11] Rpta. M =- 4 encontrar el valor M que satisface a la siguiente desigualdad Rpta. M = —— 5 Si x g [ y ,y ] encontrar el mayor valor M que satisface a la desigualdad Rpta. M < - +^ Eduardo Espinoza Ramos 170 1 x —1 © Sí — e ¿>[< -oo,l > U < 2,+ro > ]. Hallar el menor valor de M tal que | --------1 < M x 2 x+ 5 © Sí |x —31< 1. Hallar el número M tal que: © Hallar M tal que sí |x| < 2 => © Encontrar un número M positivo tal que: x 3- 2 x 2 + 3 x -4 | <M © Encontrar un número M positivo tal que: x +2 ------ \ < M x-2 Encontrar un número M positivo tal que: x - 3 x + 4 | < A f sí x g [-2,2] Encontrar un número M positivo tal que: x 2 + 4,v-3 | < M sí x g [-2,4] 14) Encontrar un número M positivo tal que: x +2 < M sí x x —4 [15) Encontrar un número M positivo tal que: x +2x~ - 3 x - 6 | < M sí x fí? ) Encontrar un número M positivo tal que: | x 4 - 2x3 + x 1 - 3x - 5 1< M sí x <M x +4 Encontrar un número M positivo tal que: 18) x +5 | ------ 1 < M x +l Encontrar un número M positivo tal que: | , 1 3 si .t e - , —1 2 2 g x —6x + 2 | -------------- 1 < M x+5 x +l <M [5,8] g Hallar el mayor número N tal que: x ” + 6x + 14 | -----_ ■ ' ■ — - 1 > N si x x 3 + 27 g 9 sí x e [— ,4] 2 sí x g [-1,3] x 2 + 4x + 4 x —3x + 5 Encontrar un número M positivo tal que: | —-----------1 < M x ' -2x-5 [-2,5] si x g g [0,4] [-2,2] [-3,-1] Sistema de Números Reales 171 21) Si — e (< -to,1 >U < 2,+oo> ), Determinar el menor número M tal que | ———|< M x x +4 22) Determinar el número M tal que: | —— < M , V x e <l,3> x^ +14 | —--------------- 1 < M , sí x e [-1,2] x -4jc + 14 ® Hallar el menor número M tal que: (2 ^ Hallar un número M tal que: sí |x| < 1 => | - í- í—| < M x +3 VI. Resolver las siguientes ecuaciones: © [| 3x |] = x + 2 Rpta. x= 1 © [| 3jc I] = 2x + 2 Rpta. x = 2 ,^ © [| l £ r -2 1 - 3 1] = 5 Rpta. <-7,-5]U [9,11> © [|2-|jt||] = 1 Rpta. [-1,0> U <0,1] © [| 3 x - 5 1] = 2x + \ Rpta. {6,-^} © [|V 3--v |] = 2 Rpta. <-6,-1 ] © [| U ~31 |~ 1 13= 2 Rpta. <-9,-6] U [8,11> © [lliy ^ l l ] = - l Rpta. 4) © [II—y —_ 3 1|] = -1 Rpta. <J, © tiltil] =5 Rpta. [- 4 , - ^ > í / < - ^ , - Z ] 172 Eduardo Espinoza Ramos © [II - ^ 7 II] = 3 x+1 4 3 Rpta. [-3 .-2 > U < — , - - ] 5 5 © ( l % + 3 |) = 3 23 m r, Rpta. < ------,-9] U [6, — > 2 2 © [ | | 2, : - 1||] = 1 © x ■+■2 t l ^ l ] =2 x+3 Rpta. < Rpta. < ü . 8] 2 © [1 U - 2 | +3 n = 4 © [| 2 - 1x 11] = 1 Rpta. [7,9> © [1~ ~ T 1] = ^ x +3 Rpta. © [I* 2 - 2 x |] = 3 Rpta. < l - 7 5 , - l ] u [ 3 4 + V 5 > © [| 2x |] - 1x —11= 2x —3 Rpta. {-2 — — 4} 3 ’3 Rpta. [-1 , 0 u <0, 1] r 13 16 T '~ T > © © l[U 2 |]—11=3 Rpta. < -V 5 ,-2 ]u [2 ,V 5 > r. | x - 2 | + | 2x - l |- 2 3 5 2 . r8 11 Rpta. < — .— ] ^ [ - , — > 3 3 3 3 © ti x —11]2 + 2 [ |x |]2 =57 Rpta. [-4,-3> VIL Resolver las siguientes inecuaciones: © [ |~ ~ ~ l ]< 2 x+2 Rpta. <-oo.-2> U <-l,3> © [|4 x 2 —5 x —4 1] < 1 Rpta. < ——,2 > 4 \ \ 173 Sistema de Números Reales [112* ' + 5.t | —2 11< 1 R p ta . |[ |- j c |) - l |< 2 Rpta. <-3,0] [ |* - - i |] a o Rpta. <-oo,-1] U[1,+oo> © [1-73- 2 jc|] < V3 Rpta. <0,+oo> © [|.v2 - l | ] < 0 Rpta. < -V 2 ,V 2 > © ilf 'lK i 5- x Rpta. <0,5> © [12a: —— 1] > 1 Rpta. [-2,0 > U [ - , + * > © [ |x 2 -41] < -1 Rpta. <-2,2> © 2x + 3 [ ||^ - f - l ||] < l x +1 Rpta. < -oo,— — > U <6,+oo> © © 2 2 Rpta. < -oo,-5] U [5,+oo > 4 Rpta. [-2,0 > u [-j ,+oo> [12.V-— |] > 1 X V y ü R o n l <N 1 r*•— i i i—i © © © © 2 X © © <-3,--> U < -!,-> _ <0 Rpta. [0,2] Rpta. < 1- 2^5,-3]u [3,1+ 2^5 > [|x —2jc—191] -J[\x\]2 - I 2 ( [ \ x \ } 2 - Rpta. <-oo,-3> f i * s „ [|.v -2 .V -3 |] Rpta. [2,3> <4,+oo> Eduardo Espinoza Ramos 174 19) [ |x - 2 [ |x |] |](x2 - 4 ) > O ti - * 0 - 2 ( [ |x |] - 2 ) V Ü y + 2 |( x 2 - 4 x + 3 ) > 0 Vl-J [| jc —2 |].(x2 —x + 2) > O 6 - [ |x |] <0 23) >0 ( [ |x |] - x ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) 2 > 0 x 2 - [ |x |] - 4 V2-j <1 >0 1*1 [| * - i 13—9 1*1]- © | * - 1 1-ti * |] | < x - 2 x - l_ l > 5x + 26 x -2 JxJ x+7 x (|x —5 1+2x + - J x - 5 —[|x —2 |]x + 5)(x-^y-) < O 129 a/ 6 -x (x 2 +4x + 5)-V x-l(2jr + senx)(x + 2) <0 [I* - 9 1] >0 31) n^±ÍD *4 ([ ! * ! ] - - ) ( * —2 x -3 ) V ili. © © Resolver la inecuación logarítmica. lo g ,,, 12x—3 1 > —3 Rpta. < > - { - } 2 2 2 log2(x-3-\/x + l +3) <1 Rpta. [-1,0> U <3.15> © , |x + 4 x |+ 3 log 7 7 ¡----x + 1x —5 1 Rpta. [—,+oo > © 4 x -l 1 1o82[- ^ — ---- - I - " 1 2x‘ - 4 x - 6 Rpta. [2,-i- > U < 4,+oo > © , rl 2 * —3 L . log[^------ — > 1 Rpta. < ^ ( V 2 l - 3 ) , l > x +1 A Sistema de Números Reales 175 © l‘>g(.v 4) ( 3 - * ) < 2 Rpta. cj) 0 log, (2.r + 6 ) < - 2 Rpta. < 2 ,+ x > (s) log v Rpta. < 1 ,3 > v -1 >1 ^ 5 11 4 4 Rpta. < —x ,— > u < — .+■» > log, 13 - 4.v|> 3 @ lo g ,1 3 - 4 v |> 2 Rpta. < - 00,—y > u < 3,+» > © l()gf.[l Rpta. < —,5 > u < 5,+x > © 7 1+35] > 2 2 4 - 2 * - v2 k W ^ Ì ------- — ® ,08' (i T ^ ’ 21 (h ) l o g (a - 3 V-v +1 -4-3) < 1 (i? ) log5(3.v-5) > log,(7-2.V ) Rpta. »1 < -3 .1 > u < 3 ,4 > Rpta. < -1 + VÄ.2 > u < 2,5] Rpta. [- 1, 0 > u < 3 ,1 5 > _ 12 7 5 2 Rpta. < — , —> ^ò) lo g , (.v -4.Y + 3) > -1 Rpta. [0 .1 > © log2(| -V—2 1-1) > 1 Rpta. < - x , - 1> u < 5 , » > © l0 g ^ H (l ^ 7 Rpta. < 0 ,i> (Í 9 ) lo g (;(2 + .v )< l )-° (20) 'u < 3,4] l l o g , (.v2 - 4 ) > l o g , ( 4 . v - 7 ) 1 @ lo g 2(.v2) + lo g 2(.v4) > 3 (22) [ 2 , + to> log, ( 8 - 2 a ) >3 T 1 Eduardo Espinoza Ramos 176 1.42 CONJUNTOS ACOTAPOS.a) DEFINICION.- Llamaremos cota superior de un conjunto A c R a todo número k e R tal que x < k, VxeA, ósea que cualquier número que sea mayor o igual que los elementos de A se llama “cota superior de A”. Cuando A tiene alguna cota superior, diremos que el conjunto A es acotado superiormente. Ejemplo.- Sea A = <-*,3> y la cota superior k = 5 cotas superiores de A A --------- C ...............,.............,................. ,...............;.......R x 3 4 5 6 7 . Observamos que cualquiera de los números reales mayores que 3 e incluso el 3 es cota superior de A. De todas estas cotas superiores de A, él número 3 es la menor. Luego daremos la siguiente definición. b) DEFINICION.- A la menor de las cotas superiores de un conjunto A c R y acotado superiormente, se le llama supremos de A o mínima cota superior de A y se denota por Sup(A). OBSERVACIÓN.O El supremo de A es también una cota superior de A. © La menor cota superior k = Supremo de A = Sup A esta caracterizada por las condiciones siguientes que es equivalente a la definición. K = Sup A o V x e A y para toda cota superior k' de A, se tiene que x < k < k' © El supremo de un conjunto A, si existe, no es necesariamente un elemento de A. como en el caso de A = <-x,3> cuyo supremo es 3 no pertenece al conjunto A. La existencia del supremo para conjuntos acotados superiormente esta dado por el siguiente axioma. Sistema de Números Reales 1.43 177 A X IO M A DEL SUPREM O O A X IO M A D E LA M ÍN IM A C O T A ...... SU PER IO R .Todo conjunto A de números reales, no vacío y acotado superiormente, tiene una menor cota superior en R. Ejemplo.- Demostrar que sí A = <-oo,3> entonces Sup A = 3 Solución Probaremos esta afirmación por el absurdo. Supongamos que 3 no es la menor cota superior de A, entonces se puede asegurar que k +3 existe una cota superior k de A tal que k < 3 y puesto que k < —-— < 3 Tomamos k ' = —— 2 De donde => k < k ' < 3 ...( 1 ) k ' e A = < -oo,3 > , pero siendo 1 cota superior de A debería tenerse k'< k contradiciendo a (1). La suposición es absurda por lo tanto Sup A = 3. a) DEFINICION.- Llamaremos cota inferior de un conjunto A c R a todo número k e R tal que k < x, V x eA. Osea que cualquier número que sea menor o igual que los elementos de A se llama “cota inferior de A”. Cuando A tiene alguna cota inferior, diremos que el conjunto A es acotado inferiormente. Ejemplo.- Sea A = [-2,7> y la cota inferior k = -2. cota s inferiores de A -4 A R 7 Se observa que cualquiera de los números reales menores que - 2 e incluso el —2 es cota inferior de A. Eduardo Espinoza Ramos 178 De todas estas cotas inferiores de A el número -2 es la mayor. Luego daremos la siguiente definición. b) DEFINICION.- A la mayor de las cotas inferiores de un conjunto A c R y acotado inferiormente, se le llama infimo de A o máxima cota inferior de A y se denota por inf (A). OBSERVACIÓN. , © El infimo de A es también una cota inferior de A. (T ) La mayor cota inferior k = inf(A) = K = inf(A) o © infimo de A esta caracterizada por la condición. V x e A y para (oda cota inferior k' de A se tiene k'< k < x . El ínfimo de un conjunto puede no ser elemento del conjunto dado. Ejemplo.- El conjunto A = [-2,7> esta acotado superiormente por 8 e inferiormente por —3, además la mayor cota inferior es -2 y la menor cota superior es7 por lo tanto: Sup(A) = 7 y Inf(A) = -2 de donde Sup(A) í A, Inf(A) e A Cuando en un conjunto A se tiene que Sup(A) e A entonces el Sup(A) también se le llama el máximo de A y si el Inf(A) e A entonces al ínfimo de A también se le llama el mínimo de A. c) DEFINICION.- Un conjunto A se dice que es acotado, si es a la vez acotado inferiormente y superiormente. Ejemplo.- El conjunto A = <1,7> U [30,50] es acotado y Sup(A) = 50, Inf(A) = 1. Ejemplo.- El conjunto A = <-x>,-5] U <l,+oo> no es acotado inferiormente ni superiormente. 1.44 PRINCIPIO ARQLIMEDIANÜ.Si x es 0<— <x »<> un número real positivo entonces existe un número natural n0 tal que (o equivalentemente tal que xn0 > 1 ) 179 Sistema de Números Reales D em ostración Demostraremos por el absurdo. Suponiendo que nx < 1, V n e N Por lo tanto el conjunto A = {nx / n e N} esta acotado superiormente al menor por k= 1, y por el axioma del supremo el conjunto A posee una menor cota superior k (Sup A) en R que satisfece la condición n x < k < l , V n e N pero siendo x > 0 => k —x < k y por lo tanto (k —x) no puede ser cota superior de A puesto que k es la menor de todas ellas. Luego existe un elemento de A: /n,jc como e iV tal que k - x < m^x < k ...( 1 ) Pues si así no fuese, entonces se tendría que n x < k - x , V n x e A => k —x seria cota superior de A lo cual es felso. Luego de (1) => Jt<(m 1 + l)x => k <mx , con m = (m1 + l ) e i V lo cual es absurdo, pues siendo k = Sup A debería tenerse mx < k, de esta manera el principio queda demostrado por el absurdo. E jem plo.- Probar que el conjunto A = {—l n & N } es acotado. n Solución Ubiquemos los elementos de A en una recta para x = — , n e N. n n= 5 ò l i n n= 3 i 5 n=2 n= 1 i 3 R r 2 Ahora encontraremos el supremo y el ínfimo de A como: V n e N => n > 1 => 0 < x = — <1 n ... (i) Cuando n crece los elementos de A se acercan al cero (0) pero sin coincidir con el 0 para n e N de esta observación se tiene: Sup (A) = 1 e A inf (A) = 0 e A Eduardo Espinoza Ramos 180 Probaremos que inf(A) = 0, de (1) se vio que 0 es una cota inferior, si no fuese la mayor existiría otra cota inferior k mayor que 0 y por principio Arquimediano se tiene que existe un n0 e N tal que 0 < — < k lo cual es absurdo pues — e A y siendo k cota inferior «o «o de A debería cumplirse que k < — , de manera que Inf A = 0. «o © Si A * <|>, B (|), dos conjuntos acotados superiormente tales que A c B , probar que Sup A , B * (|> son dos conjuntos acotados inferiormente tales que A c = B probar que Inf (B) < Inf(A). © Hallar supremos y el ínfimo de A = {-—— / n e N ) , B = 3«+ 4 Rpta. © sup(^) = - — , inf(A) = - 2 , — +^n / n & N } 3«+ 8 sup(S) = 4 , inf(5) = 0.2 Determinar el supremo y el ínfimo si existen en cada uno de los ejercicios. a) A = { x e R / x ¿ <9} Rpta. Sup A = 3, Inf A = -3 b) A = { x e R / 2 l + 4 x - x 2 >0} Rpta. Sup A = 7, Inf A = -3 . c) .,3 + 2« , A={/n 3 -2 n g N} d) A = {x& R/x —4jc—12 < 0} e) /Í = {jce7?/|*||jc + l | < 2 } Rpta. Sup A = 1, Inf A = -2 f) A = { x & R ! \6 + x - x Rpta. Sup A = 4, Inf A = -3 |<6} Rpta. Sup A = 5, Inf A = -7 Rpta. Sup A = 6, Inf A = -2 Sistema de Números Reales ( 5) 181 Encontrar el supremo y el ínfimo de A = | cosw7r / n &N } , 2 +n B = t^ + ^ n / n e 2 -7 « Rpta. , s u p (/í)= y , inf(A) = ~ ~ , sup(#) = - y n } inf(2?)=-2 Hallar el supremo y el ínfimo si existe de: A = {x e R / x 2 - 4 x -1 2 <0}, B = {x2 - 4jc —12 / x e < - 00,00 >} Rpta. (j) Dar un Sup (A) = 6. Inf (A) = -2, Sup (B) = 3 , Inf (B) = -16 ejemplo de dos conjuntos A y B, mediante intervalos tales que Inf (A o B) > Sup {Inf(A), Inf(B)}. © Determinar el supremo y el ínfimo si existe de los siguientes conjuntos. a) A = {xeR /\4-x\> x} b) A = { x & R / \ I*2 -4 1 <16} c) A = { x e R / |x + 6 | + | 3 - * | =9} d) A = { x e R ! \ | x 2 + 2x - 41 <7} e) A = { x z R I \ x - % \ - \ 4 x 1 - 1 1 <0} Eduardo Espinoza Ramos 182 c a p it u l o 2X h ra m o m ic c iO N . a) PAR ORDENADO.Llamaremos “par ordenado” de números reales a la expresión (a,b) donde a es llamada la primera componente y b es llamada la segunda componente. Ejemplo.- b) Son pares ordenados, (3,5), (-2,7), (etc). IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.Los pares ordenados (a,b) y (c,d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, esto es: Ejemplo.- _ Los pares ordenados (5,6) y (5,4) no son iguales sus segundas componentes son diferentes. Luego diremos que dos pares ordenados son diferentes si una de sus componentes correspondientes son diferentes esto es: Ejemplo.- Determinar el valor de x e y de tal manera que (5x+2y, -4) = (-1, 2 x - y) Solución Para calcular el valor de x e y aplicamos el concepto de igualdad de pares ordenados: Relaciones y Funciones 183 5x + 2y = - \ (5x + 2y, -4) = (-1 ,2x —y) «> c) x = -\ 2 x - y = -A y= 2 PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B. La notación del producto cartesiano de A y B es: AxB. Simbólicamente el producto cartesiano se representa: B» Nota: « A A b € (a,b) e A x B <=> a e A A b e B Ejemplo.- Sean A = {1,3,5} y B = {2,4} Entonces: A x B = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} También puede determinarse A x B mediante el método del “diagrama del árbol” el cual nos permite observar el conjunto de pares ordenados, este método consiste en disponer los elementos de A y B del modo siguiente A B A xB 184 Eduardo Espinoza Ramos OBSERVACION.- Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces: donde: n(A): es el número de elementos del conjunto A. n(B): es el número de elementos del conjunto B. n(A x B): es el número de elementos del conjunto A x B. Ejemplo.- Si A={2,4} y B = {1,3,5} entonces: AxB={(2,l),(2,3),(2,5),(4,l),(4,3),(4,5)} De donde: n(A x B) = n(A).n(B) = (2)(3) = 6 Además se tiene: B x A = {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} de donde se observa que A x B í B x A d) PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO (T) A x B í c B k A , no siempre se cumple { !)' A x ^ ^ x A ^ f ® A x(Bu C )~ A xS U AxC 0 0 Ax(B-C) = Axb (t ) Si A c 8 í > A * C c B x C ¿ . V C (D li. A c e | e) ,b ;c d Ax(B(^C) = Ax B a A x C ') (A<l’n C ~ A k (B\C) ' j JJ.§¡ c cx d | REPRESENTACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CARTESIANO.En el producto cartesiano A x B, a cada uno de los conjuntos A y B lo representaremos sobre dos rectas perpendiculares, en donde los elementos del conjunto A se representa sobre el eje horizontal y los elementos del conjunto B se representan sobre el eje vertical, de tal manera que las líneas verticales que pasan por los elementos de A y las líneas horizontales que pasan por los elementos de B al interceptarse se obtienen los pares ordenados de A x B. 185 Relaciones y Funciones Ejemplos.Sí A ={1,3,5} y B = { 2 , 4 } entonces: A x B = {(1,2),( 1,4),(3,2)(3,4)(5,2)(5,4)} A los elementos del conjunto A lo representaremos en el eje horizontal y a los elementos del conjunto B lo representaremos en el eje vertical. OBSERVACION Como los conjuntos A y B son arbitrarios, entonces consideremos los siguientes casos: ( 1 ) Si A = B, el producto cartesiano denotaremos por A x B - A x A - A 2 © f) Si A = B = R entonces A x B = R x R = R 2 este producto nos representa al plano cartesiano. DIAGONAL DE UN CONJUNTO.Dado un conjunto A * <|>, a la diagonal del producto cartesiano A x A denotaremos por IA y es definido por: IA = { ( x , y ) e A x A / y = x} Ejemplo.- Sí A ={1,3,5} entonces: A x A = {(1,1),(1,3)(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)} Entonces: g) 7) IA = {(1,1), (3,3), (5,5)} EJERCICIOS DESARROLLADOS.- Determinar los valores x e y, en cada caso: a) (4, 2x —10) = ( x—1, y + 2) Solución Eduardo Espinoza Ramos 186 Mediante la igualdad de pares ordenados se tiene: Í4 = x - 1 fx = 5 (4 . 2 x —1 0 ) = (x —1 , y + 2 ) => ] => l [2 ;t-1 0 = j> + 2 \y = -2 b) (y —2 , 2 x + 1 ) = (x —1 , y + 2 ) Solución Mediante la igualdad de pares ordenados se tiene: (y - © 2 , 2 x + 1 ) = (x —1 , y + 2 ) => [y - 2 = x - 1 \x = 2 ; =* [ 2x + 1 = y + 2 [>> = 3 Dados los conjuntos A = {x e z / - l < x < 3 } ; B={xez/l<x<4} C = {x e z / 1 < x á 4} Hallar los siguientes conjuntos y graficar: a) AxB b) Bx C c) (A-C)xB Solución Tabulando los conjuntos dados se tiene: A = {-1,0,1,2,3}, B = {1,2,3,4}, C = {1,2,3,4} a) A x B = {(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(0,1),(02),(0,3),(0,4),(1,1),(1,2),(1,3)(1,4),(2,1), (2.2)(2,3)(2,4)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)} b) B x C = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2,),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1), (4.2),(4,3),(4,4)} c) A —C = {-1,0} ( A - C ) x B = {(-1,1), (-1,2), (-1,3), (-1,4), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4)} Relaciones y Funciones A= {x e R/ x —3 187 < 7}, B = {y e R / -2 < y < 3}. Graficar, A x B, B x A Solución Como x —3 < 7 => x < 1 0 A x B = {(x,y) / x < 10 A -2 < y < 3} B x A = {(x,y) / -2 < x < 3 A y < 10} Eduardo Espinoza Ramos 188 © Para A y B subconjuntos arbitrarios de R, geométricamente visualizar, como superficie, el producto cartesiano A x B en el espaciq bidimensional R 2 , entonces: © Que parte del plano cartesiano se obtiene si se representa gráficamente los siguientes productos cartesianos. a) <0,+oo> X <0,+oo> b) <-oo,0> x <-oo,0> c) <-oo,0> x <0,+oo> d) <0,+oo> x <-oo,0> Solución a) <0,+oo>x <0,+oo> => {(x,y)/ x > 0 A y > 0 } b) <-00,0> X <-QO,0> => {(x,y) / x < 0 A y < 0} c) <-oo,0>x <0,+oo> => {(x,y) / x < 0 A y > 0} d) <0,+oo> x <-oo,0> => {(x,y) / x > 0 A y < 0} 189 Relaciones y Funciones h) I. EJERCICIOS PROPUESTOS. En cada caso determinar los valores de x e y. o (x,4) = (-2,y) © (4 ,2x —10) = (x —1, y + 2) ® ( y—2, 2x + 1) = (x —1, y + 2) © (5x + 2y, -4) = (-1 ,2x —y) © (x + 4, 6) = (10, y —x) © (x + 5, 3 - y ) = (7,2) © (x + y. 3) = (5. y - x ) © (x —7y, 2x —6y) = (15,-10) © (3x —8y, 4x + 3y) = ( 4 - 2 x - 1 0 y , 2x + 4 y + 7) @ (5x + 2y, -4) = (-1 ,2x —y) © (2x —y, x + y + 3) = (x + y + l , 2x + y) © (x3 -1 9 , jc2>’—6) = (>’3, xy Eduardo Espinoza Ramos 190 II. (7 ) En cada caso hallar los conjuntos y graficar: Dado los conjuntos: A ={xe z / -1 < x < 3}, B ={xe z / 1 < x < 4}, C= { x e z / 1 < x < 4}; Hallar los conjuntos y graficar: a) AxB b) Sea A = {x e R / 1 < x < 3} y B xC c) (A-C)xB B = {y e R / 2 < y < 4}. Hallar A x B y graficar 0 Sean A = {a.b}, B = {1,2,3,4,5} y E = {3,5,7,9}. Hallar (A x B) n ( A x E ) ( 4) Representar al conjunto producto cartesiano: {x e R / |x| < 5} x {x e R / -2 < x < 3} Sombreando el área apropiada en el sistema bidirnensional. Dado los conjuntos A = {x e N / x = ~ ^ ~ < k 6 N} , C = {x e N / x 2 - 1 = 0 } , entonces el número de B = { x e N / x 2 -14x + 40 = 0}, elementos del conjunto [(A n B) u C] x (B - C) es. Qó) Si A={x e R /2< x< 5¡ y B = {xeR /1 < x < 4}. Graficar A x B, luego graficar BxA. Si A= {x e R / 2 < x < 5} , T = {x eR /1 < x < 4}. Graficar T x A, luego graficar AxT. (8 ) r3 , 2 „2 Sí A = {— y - ^ / ( x - 2 ) ( x + 3 )(x -5 ) = 0} y 5 = { y + 3 / í ( j t + 2 ) ( í- 4 ) = 2 } V x e R Hallar A x B, B x A y graficar. © Si A = { x e N / x = - ^ - , k s N } , B = { x e N ¡ x 2 + 1 < 1 2 ) . Hallar (A n B) x (B - A) @ Sí A = { x 2 - 1 / 0 < j c < 5 , x e z } , B = {x2 + 1 / - 5 < x < -3, x e z } , C = { x3 + 4 / ( x - l ) ( x + 2 ) ( x - 3 ) = 0, x e z } . Hallar A x B , A x C , B x C (Ti) Si A = { — / x e z A - 2 < x < 4 } , B = { x e N / x < 2 A x e {3,2,4,5}} x Hallar y graficar A x B y B x A 191 Relaciones y Funciones ^ 2) Si A = {3x + 1 / (x e N A x < 3) V (x e z A O < x < 5)} Calcular la diagonal del producto A x A y luego grafique. Dado A = {x e < / -12 < x + 6 < 20} y B = {x e z / 10 < x 2 < 400} Cuantos elementos tiene A x B. ^ 4) Dados los conjuntos: A={xeN/x<3} , B = {x eN / x es par y x < 5}, C = {x e N /x es impar y x <4}. Hallar el conjunto ( A n B ) x ( C - A ) ^ 5) Sí A = {x e z + / x = — (ló ) Si A y B son dos conjuntos arbitrarios demostrar que: A x B = 4> <=> A = (j) V B = (j) ( 17) Demostrar que: A x (B u C) = (A x B) u (A x C) @ Demostrar que: A x (B n C) = (A x B) n (A x C) Demostrar que: (A —B) x C = (A x C) —(B x C) Demostrar que: Sí A c B entonces A x B c B x B © Den ostrar que: Sí Ac z B entonces A x A c A x B © Den ostrar que: A x (E -B ) = (AxE)-(AxB) De; istrar que: (A n B) x (E n F) = (A x E) n (B x F) Den istrar que: ( A x E ) u ( B x F ) c ( A u B ) x ( E u F) Dei jstrar que: A c B y E c D implica que A x E c B x D © © © © © 2.2 Rf a) , k Gz+} y & = {x ez + ¡ + 1 -1 2 } . Hallar (A nB ) x (B-A) ACIONES BINARIAS.D EFINICION.- Consideremos dos conjuntos A y B no vacíos, llamaremos relación binaria de A en B ó relación entre elementos de A y B a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B, esto es: RcsitnaíelacíóndeAert B o R e A xB Eduardo Espinoza Ramos 192 Ejemplo.- Sean A ={2,4} y B = {1,3,5} entonces A x B = {(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)} Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de A a B: Rx ={(2,1),(2,5)}, R 2 ={(2,3),(4,1),(4,5)}, R 3 = {(2,1),(4,3),(2,3)} , i?4 = A x B Pero los siguientes conjuntos de pares ordenados no son relaciones de A en B: Rs ={(1,2),(4,1),(4,5)} , R 6 ={(2,1),(4,1),(3,4)} puesto que (1,2) sé A x B, (3,4) ¿ A x B por lo tanto R5 g: A x B , R 6 AxB. Observación. © Si A = B, entonces R es una relación en A ó, R es una relación entre elementos de A. © La definición 1.1 establece una comparación entre elementos de pares ordenados, motivo por el cual se le llama “relación binaria”. ( T ) Si R es una relación entre elementos de A y B, al conjunto A le llamaremos conjunto de partida y al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada. © Generalizando: una relación R, entre los elementos del conjunto de los números reales R, está determinado por una función proposicional P(x,y); esto es: E~ © GÜ.X.R/ P(xTy)} Cuando el par ordenado (a,b) satisface a la íúnción proposicional P(x,y) de la relación R, diremos que (a,b) e R en caso contrario (a,b) <£ R. © Si A tiene p elementos y B tiene q elementos entonces 3 2" relaciones entre A y B donde n = pq. E jem plos.-Sí A = {1,3} y B = { 2 , 4 } entonces A x B = {(1,2),( 1,4),(3,2),(3.4)} El número de relación que se obtendrá de A x B es 2 lxl = 2 4 =16 puede formar 16 relaciones: es decir: que se 193 Relaciones y Funciones {(1,2)}, {(1,2),(3,2)}, {(1,4)}, {(3,2)}, «3,4)}, {(1,2),(1,4)}, {(1,4),(3,2)}, {(1,2),(3,4)}, {(1,4),(3,4)}, {(3,2),(3,4)}, {(1,2),(1,4),(3,2)}, {(1,2),(1,4),(3,4)}, {(1,4),(3,2),(3,4)}, {(1,2),(3,2),(3,4)}, {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}, <j> b) DOM INIO Y RANGO DE UNA RELACION BINARIA. Consideremos una relación R de A en B: es decir que R c A x B . El dominio de la relación R denotado por D R es el conjunto definido por: D# » { ( t & A Í S b & B A {■«*$) El rango de la relación R denotado por R r es el conjunto definido por: : R fi ~ @ e B f 3 q e A A Ejemplo.- Si R = {(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)} entonces —{1,2}, R r = {3,4,5} OBSERVACION.Para determinar el dominio de una relación, primero se despeja “y” enseguida se analiza los valores que pueden tomar “x” para que la variable “y” sea real. Pa ra determinar el rango de una relación se despeja “x ”, enseguida se analiza los valores que puedan tomar “y” para que la variable “x” sea real. E mplo.- Determinar el rango y dominio de la siguiente relación: R = { ( x , y ) G R x R / x 2 + y 2 + 1 0 y -7 5 = 0} Solución En primer lugar despejamos la variable “y” para obtener el dominio, es decir: x 1 + y 2 + 1 0 y - 7 5 = 0 , completando cuadrado (y + 5)2 = 100—oc2 dedonde y = - 5 ± V l 0 0 - x 2 Ahora analizaremos los valores que pueda tomar x para que “y” sea número real es decir: 1 0 0 - jt2 > 0 dedonde: jc2 < 100 =>-10<x<10 .\ D f =[-10,10] 194 Eduardo Espinoza Ramos Ahora despejamos la variable “x” para obtener el rango, como => x 2 + y 2 + 10_y—75 = 0 x = ± ^ 7 5 -1 0 y - y 2 entonces analizando los valores que puede tomar “y” para que x sea número real se tiene: 1 5 - \ 0 y - y 2 > 0 donde ( j + 5)2 <100 c) -10<y+5<10 => - 1 5 < y < 5 /. R f =[-15,5] PROPIEDADES DE LA RELACION BINARIA.Las relaciones binarias gozan de las siguientes propiedades: O Propiedad Reflexiva.- Una relación R en A, diremos que es reflexiva si (a,a) e R para todo a e R esto es: R ea reflexiva en A <& V a e A> (? ) Propiedad Simétrica.- Una relación R en A diremos que es simétrica si (a,b) e R implica que (b,a) e R, esto es: R es simétrica (¿) V (a,b) £ R (b,a) e R Propiedad Transitiva.- Una relación R en A, diremos que es transitiva sí: (a,b) e R A (b,c) e R implica que (a,c) e R, esto es: R es transitiva o (4^ V a,b,e e A, [(a.b) 6 R A <b,c) € R Propiedad Antisimétrica.- Una relación R en A, (a,c) e R] diremos que es antisimétrica sí: V a,b e A, (a,b) e R y (b,a) e R implica que: a = b, esto es: R es aotisimetrica <» V a,b e A, [fe,b) e R A (b,a) & R => a - b | (¿) Propiedad de Equivalencia.Una relación R en A, diremos que es de equivalencia si es: reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo.- Si A = {1,2,3,4,5,6} las relaciones en A. Relaciones y Funciones 195 a) Rx ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} es reflexiva en A. b) R 2 - {(1,1),(3,3),(4,4),(5,5), (6,6)} no es reflexiva en A porque falta (2,2). Ejemplo.- Si A = {2,3,5,7}, las relaciones en A a) /?, ={(5,3), ( 2 , 7 ) , (3,5), ( 7 ,2 ) , ( 2 , 2 ) } es simétrica porque (x, .y) e b) R 2 = {(5,3),(2,7),(3,5),(2,2)} no es simétrica porque falta (7,2). =>(>>, jc) e R{ Ejem plo.- Si A = {1,3,7,9} las relaciones en A. a) ={(7,1),(2,2),(1,2)}no es transitiva porque (7,1) e R2 A (1,2) e R2 =>(7,2) e R 2 Ejemplo.- Si A = {1,2,3,4,5} la relación R en A dado por R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)} es una relación de equivalencia porque es reflexiva, simétrica y transitiva en A. Ejemplo.- Sea Z = conjunto de los números enteros y la relación R definida sobre Z en R = {(x,y) e Z x Z / x — y = 3m, m e Z} es una relación de equivalencia. En efecto: (T ) R es reflexiva porque: a - a = 0 = 0.3 V a e Z ^ 2) R es simétrica porque: es decir: (a,a) e R, V a e Z S í a - b = m.3 => b —a = - ( a - b ) = (-m).3 V a,b e Z => (a,b) e R => (b,a) e R , ( 3) R es transitiva porque: Si a - b = m.3 y b - c = m ' . 3 entonces a - c = (a —b) + (b —c) = m.3 + m' .3 a-c = es decir: (a.b) e R A (m+w')3 => a - c =m.3, V a,b,c e Z (b,c) e R => (a,c) e R, V a,b,c e Z. Por lo tanto R es una relación de equivalencia. Eduardo Espinoza Ramos 196 d) DETERMINACION DE UNA RELACION BINARIA. Teniendo en cuenta que una relación es un conjunto de pares ordenados, entonces a una relación determinaremos por extensión o por compresión. Ira. Por Extensión.Una relación queda determinada por extensión cuando se menciona cada uno de los pares ordenados de la relación. Ejemplos.a) b) ={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} , R 2 = { (a ,b), (c, d),( e, f) } Si A = {2,3,6,9} y B = {1,4,5,6,12} Expresa por extensión cada una de las relaciones: (T ) R = {(x,y) e A x B / y = 2x} Solución R = {(2,4),(3,6),(6,12)} R = {(x,y) e A x B / x + y = 12} Solución R = {6,6} 2da. Por Comprensión.Una relación queda determinada por comprensión cuando se da una propiedad que caracteriza a todos los pares ordenados que conforman la relación. Ejemplos.a) Si A = Z conjunto de los números enteros la relación R={(x,y)eZx Z / y = x} es una relación expresada por comprensión. b) Si U = {x e N / x < 7}. Determinar por comprensión la relación: R = {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5)} Relaciones y Funciones 197 Solución Se observa que la diferencia entre la primera componente y la segunda componente es dos unidades por lo tanto expresaremos por comprensión: R = {(x,y) e U x U / x —y = 2 } e) RELACION INVERSA.Si R c A x B es una relación de A en B; entonces a la relación inversa de R lo denotaremos por R~l y está definido por: R~l ={(y,x) e B x A l ( x , y ) e R \ Ejemplo.- Sí R= {(3,2),(3.1),(4,2),(4,5),(6,8)} => R~l = {(2,3),(1,3),(2,4),(5,4),(8,6)} Ejemplo.- Hallar la inversa de las siguientes relaciones. a) R = {(x,y)e R x R / x + 3y = 12} Solución Para determinar la inversa de una relación se despeja x, es decir: Luego se permuta x por y es decir: x = 12 —3y y = 12 - 3x R * ~ U x , y ) z R x R , !y ^ n ~ 3 x \ b) R = {(x,y) e R x R / 3 x + 4 y = 5 A 1 < x < 7} Solución 5-4y Primeramente despejamos x de 3x + 4y = 5 es decir: x = ■■■ ■ , 1 < x < 7 5 - 4y Ahora veremos como va variando y; como l < x < 7 => 1 < ------ —< 7 3 3 < 5 — 4 y < 21 =í> - 4 < y < ^ Eduardo Espinoza Ramos 198 5 -4 v 1 Luego x - — ——, - 4 < ^ < —, por lo tanto al permutar x por y se tiene: 5 - 4* - 4 < j t < — v = --------, ■ 3 2 jt* = { (x ,y ) e R x R /y =^ ^ , - 4 < x < - } 3 2 2,3. GRAFICA DE UNA RELACION DE R EN R,a) Definición.- Llamaremos gráfica de una relación de R en R al conjunto de puntos P(x,y) cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación, teniendo en cuenta que una relación puede estar expresada en una de las formas: E(x,y) = 0 V E(x,y) < 0 V E(x,y) > 0 V E(x,y) < 0 V E(x,y) > 0. b) Discusión de la Gráfica de una Relación. Para trazar la gráfica de una relación dada por la ecuación E(x,y) = 0, daremos el siguiente criterio. Ira. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados. - Intersección con el eje X: E(x,y) n eje x = {(x, y) e R 2 / y = 0} = P Es decir: para hallar el punto P de intersección con el eje X se hace y =0 en la ecuación E(x,y) = 0, ósea que se resuelve la ecuación E(x,0) = 0 - Intersección con el eje Y: E(x,y) n eje y = {(x,y) e R 2 l x = 0} = Q Es decir: para hallar el punto Q de intercesión con el eje Y se hace x =0 en la ecuación E(x,y) = 0, ósea que se resuelve la ecuación E(0,y) = 0. 2da. Determinación de la simetría con respecto a los ejes coordenados. - Simetría con respecto al eje X. Existe simetría con respecto a eje X si se cumple E(x,y) = E(x,-y). Fig. (a) Relaciones)’ Funciones 199 Simetría con respecto al eje Y. Existe simetría con respecto al eje Y si se cumple E(x,y) = E(-x,y) Fig. (b) Simetría con respecto al origen. Existe simetría con respecto al origen si se cumple E(x,y) = E(-x,-y). Fig. (c) 3ra. Determinación de la extensión de la curva. Consiste en determinar el dominio y el rango de la relación. 4ta. Determinación de las Ecuaciones de las Asíntotas. Trataremos solamente de las asíntotas verticales y horizontales. - Asíntotas Verticales.- La recta x=a, es una asíntota vertical de la relación E(x,y) = 0, si para cada (x,y) e E(x,y), se tiene que para “y” bastante grande la distancia de “x”a“a” es decir |x-a| es muy pequeño. 200 Eduardo Espinoza Ramos Para calcular las asíntotas verticales se despeja la variable y de la ecuación E(x,y) = 0 es decir: y = —— de donde f y g son expresiones solamente de x, g(x) entonces las asíntotas verticales se obtienen de la ecuación g(x) = 0, es decir haciendo el denominador igual a cero. Asíntotas Horizontales.- La recta y = b es una asíntota horizontal de la relación E(x,y) = 0 sí para cada (x,y) e E(x,y) sé tiene que para “x” bastante grande la distancia de “y” a “b” es decir |y —b| es muy pequeña. ecuación E(x,y) = 0, es decir: x ■ donde f y g son expresiones 8(y) solamente de y, entonces las asíntotas horizontales se obtienen de la ecuación g(y) = 0 es decir haciendo el denominador igual a cero. Relaciones y Funciones 201 5ta. Tabulación. Consiste en calcular un número determinado de pares ordenados a partir de la ecuación E(x,y) = 0. 6 ta. Trazado de la curva.- Mapeo de los pares ordenados. OBSERVACION (7) Diremos que el par (a,b) pertenece a la relación E(x,y) =0 sí y solo sí E(a,b) = 0. Ejemplo.- Discutir y graficar la relación: R = {(x,y) e R x R / xy —2 y —x = 0} Solución A la relación dada escribiremos en la forma: R(x,y) = x y —2y - x = 0 Io Intersección con los ejes coordenados: - Con el eje X; hacemos, y = 0 ; R(x,0) = 0 - 0 - x = 0 => x = 0 - Con el eje Y; hacemos, x = 0; R(0,y) = 0 —2 y - 0 = 0 => y = 0 2° Simetrías: - Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y) pero x(-y) —2(-y) —x * xy —2y —x, por lo tanto no existe simetría con el eje X. - Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y) pero x y —2 y —x * -xy—2y + x, por lo tanto no existe simetría con el eje Y. - Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y) pero x y -2 y - x * (-x)(-y) - 2(-y) - (-x), por lo tanto no existe simetría con el origen. 3o Extensión: - X Calculamos el dominio, para esto despejamos y es decir: y = ------ . jc -2 Luego D r = R - { 2} 202 Eduardo Espinoza Ramos - Calculamos el rango, para esto despejamos x es decir: x = -----y -1 Luego R r = /? -{ l} 4° Asíntotas: - x Asíntota Vertical: se despeja y. y = ------ la ecuación de la asíntota vertical es x=2 x-2 - Asíntota horizontal: se despeja x: 2 y x = ------, la ecuación de la asíntota horizontal es y = 1. y -1 5o Tabulación: X Y O 0 1 0 -1 3 4 3 2 Hallar el dominio y rango de la relación: -1 -2 0.3 0.5 R = {(x,y) e R x R I x y 2 - x + 3 y 2 +1 = 0} Solución Calculando el dominio de la relación R, para esto despejamos y de la ecuación x y 2 - x + 3 y 2 +1 = 0 => (x + 3 ) y 2 = x - \ ' => y = ± J ——V* + 3 Relaciones y Funciones 203 Analizando los valores que pueda tomar x para que y sea real, en este caso debe cumplirse: —— > 0. + *+ \ / - -3 \ / + 1 Luego D r =< -oo,-3 > t/[l,+oo > Ahora calculamos el rango de la relación R. Para esto despejamos x de la ecuación: x y 2 - x + 3y 2 +1 = 0 2 2 3>’2 + 1 x(v~ -1 ) = -3 y~ - 1 => x - -------------- J 2 -1 Luego los valores que puede tomar y para x sea real es que y * ± 1 P orlotanto R r = /J -{ -l,l} Hallar el dominio y el rango de la relación: R = {(x,y) e. R x R I x 2y 2 - A x 2 - A y 2 =0} Solución Sea x 2y 2 - A x 2 - A y 2 = 0 ...(1 ) Ax2 Para calcular el dominio de la ecuación (1) despejamos y = ± x 2 -A Ahora analizaremos los valores que pueda tomar x para que y sea real, en este caso debe cumplir: x2 —----- > 0 x -4 La solución es x e => <-oo,-2> 1 ——— - > 0 x2-A 1 ------------------ > 0 (x + 2 ) ( x - 2 ) U <2,+*> Para x = 0 también se verifica. Por lo tanto: DR = < - o o ,- 2 > U < 2,+oo > U {0} Eduardo Espinoza Ramos 204 Ahora calculamos el rango de la relación para esto despejamos x de la ecuación (1) 4y 2 x = ± —f—— , analizando los valores que pueda tomar y para que x sea real, en este caso ty ~4 4y 2 se tiene —------> 0 y2-4 V y e R, y2 > 0 4 ¿— - s>o0 => y = 0 se cumple, —~ y 2-4 -2 = ----------=> —----- — > 0 (y-2)(y+2) 2 La solución es y e <-oo,-2> U <2,+oo> Por lo tanto: R r = < -*>,-2 > U < 2,+oo > í/{0} © Sí A = {2,3,6,9,11} y B = {1,4,5,6,12,14} Expresar por extensión cada una de las siguientes relaciones: a) R = {(x,y) e R A x B / y = 3x} Solución R = {(2,6)} b) R = {(x,y) e A x B / x + y = 12} Solución R = {(6,6),(11,1)} c) R = {(x,y) e A x B / y = x} Solución R = {(6,6)} Relaciones y Funciones (T ) 205 Si el universo es U = {1,2,3,4,5} determinar por comprensión cada una de las relaciones: a) R = {(1,1 ),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5) } Solución R = {(x,y) e U x U / y = x ¡ b) R = {(3,1 ),(4,2),(5,3)} Solución R = {(x,y) e U x U / y = x - 2} La relación R = {(x,y) e Z x Z / x —y = 2k, k e Z ( . Es una relación de equivalencia Solución a) Reflexiva: S ix = y => y —x = 0 => x —x = 2(0), 0 e Luego V (x,x) e R b) R es reflexiva. _ Simetría: Como x —y = 2k, multiplicando p o r—1 se tiene: y —x = 2(-k),-k e Z Luego (y,x) e R c) Z .'. R es simétrica Transitiva: Sí (x,y) e R => x - y = 2kx , k x &Z (y,z) e R => y - z = 2k2 , k 2 &Z x - z = 2(kx + k 2) , k x + k 2 e Z Luego (x,z) e R ^6^ .’. R es transitiva. Por lo tanto R es de equivalencia. La relación R definida por: R = {(x,y) € R x R / |x - y| < 4}, R es de equivalencia. Solución a) Reflexiva: V x e R , |x —x| = 0 < 4 => (xjc) e R .\ R es reflexiva Eduardo Espinoza Ramos 206 b) Simétrica: (x,y) e R => |x - y| < 4 => | y - x | < 4 c) => (y,x) e R R no es transitiva: para esto tomemos dos R es simétrica. pares ordenados (7,4) e R => |7 —4| = 3 < 4 (4.1) e R => |4 —11= 3 < 4 (7.1) e R |7 —1| = 6 ¿ 4, luego R no es transitiva. Por lo tanto R no es de equivalencia. © Determinar sí la relación: R = { ( x , y ) / + ~Jy =1, x, y e R ' } es reflexiva, simétrica y transitiva. Solución , a) Reflexiva: S í x e / ? + => v V x* — 4 . Luego (x,x) í R => R no es reflexiva. b) Simétrica: Sí (x,y) e R ~Jx + - J y + J x =1 => (y,x) e R Por lo tanto R es simétrica. c) Transitiva: Sí (x,y) e R entonces: -Jx+^Jy' = 1 (y,z) e R entonces -Jy + -J: = 1 4 x + -Jz = 2(1 - J y ) * 1 (x,z) g R, por lo tanto no es transitiva. Relaciones y Funciones Discutir y graficar la relación: 207 R ={(jc, y ) e RxR! x 2y - 4 y + x = 0} Solución La relación dada también se escribe así: R(x, y) = x 2y - 4y + x = 0 Ahora haremos la discusión correspondiente: Ira. Intersección con los ejes coordenados - Con el eje X, hacemos y = 0; R(x,0) = 0 —0 + x = 0 => - Con el eje Y, hacemos x = 0; x= 0 R(0,y) = 0 - - 4 y + 0 = 0 = > y = 0 2da. Simetrías - Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y). Pero x 2 ( - y ) - 4 ( - y) + x * x 2y - 4 y + x , por lo tanto no existe simetría en el eje X. - Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y) Pero x 2y - 4 y + x * (~x)2y - 4 y - x , por lo tanto no existe simetría con el eje Y. - Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y) x 2y - 4y + x = (-je)2 - 4( - y ) - x , por lo tanto si existe en el origen. 3ra. Extensión. Calculamos el rango, para esto despejamos x el rango es todos los reales R, puesto que y = 0, x = 0. la ecuación se verifica. 208 Eduardo Espinoza Ramos 4ta. Asíntotas - —X Asíntotas Verticales: se despeja y, y = —------, las ecuaciones de las asíntotas x~ - 4 verticales se obtienen de la ecuación x 2 - 4 = 0 de donde x = -2, x = +2 es decir: x = ± 2 son las asíntotas verticales. - - l ± J l + 16>’2 Asíntotas horizontales, se despeja x, x = ------- -----------. 2y La ecuación de la asíntota horizontal es y = 0 5ta. Tabulación. (? ) Discutir y graficar la relación: R = {(x,y) e R x R / x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 0} Solución A la relación dada escribiremos en la forma: R(x, y) = x 2y 2 - Ax2 - 4 y 2 = 0 Ahora haremos la discusión correspondiente. Relaciones y Funciones 209 Ira. Intersecciones con los ejes coordenados. - C o n elejeX , ha c e mo s y =0 de donde i?(x,0) = 0 - 4 x 2 - 0 = 0 => x = 0 - Con el eje Y, hacemosx = 0 de donde R( 0, jk) = 0 —0 —4>-2 = 0 => y = 0 2da. Simetrías: - Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y) Como x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = x 2( - y ) 2 - 4 x 2 - 4 ( - y ) 2 Por lo tanto existe simetría en el eje X. - Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y) Como x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = ( - x ) 2y 2 - 4 ( - x ) 2 - 4 y 2 Por lo tanto existe simetría en el eje Y. - Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y) Como x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = ( - x ) 2( - y ) 2 - 4 ( - x ) 2 - 4 ( - y ) 2 Por lo tanto existe simetría en el origen. 3ra. Extensión. Calculamos el dominio para esto despejamos y, y =± + y es real sí ———- > 0 x-l-22 -__4A => ( x - 2 ) ( x + 2) x e <-oo,-2> U <2,+oo> por lo tanto >0 + -2 2 D R =< - qo,- 2 > U < 2,+<x>> U {0} Eduardo Espinoza Ramos 210 4 y x es real si —— —> 0 y _4 1 (>’-2)(> ’+ 2) -2 2 y e <-oo,-2> U <2,+x>>. Por lo tanto .'. R r = < -*>,-2 > U < 2,+oo > {/{0f 4ta. Asíntotas. Asíntotas verticales: 4* se despeja y = ± J —----Ijc - 4 Las asíntotas verticales se obtiene de la ecuación x - 4 = 0 => x = ± 2 Asíntotas horizontales: se despeja 4yJ x =± ly 2-4 Las asíntotas horizontales se obtienen de la ecuación j r - 4 = 0 5ta. Tabulación. » Discutir y graficar la relación. R ={(x,y) Solución w |Si ±4 i+ y ±3 i+ X @ => y = ± 2 g 0 0 R x R / y x 2 - 4 y - x 2 =0} 211 Relaciones y Funciones A la relación dada escribiremos en la forma: R(x, y) = y x 2 - 4 y - x 2 = 0 Ahora haremos la discusión correspondiente Ira. Intersección con los ejes coordenados. - Con el eje X, hacemos y = 0, de donde R(x,0) = 0 - 0 - x 2 =0 - Con el eje Y, hacemos x = 0, de donde => x = 0 R(0,y) = 0 - 4 y - 0 = 0 => y = 0 2da. Simetrías - Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y) pero y x 2 - 4 y - x 2 * - y x 2 - 4 ( - y ) - x 2 por lo tanto no existe simetría en el eje X. - Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y) como y x 2 - 4 y - x 2 = y ( - x ) 2 - 4 y - ( - x ) 2 por lo tanto existe simetría en el eje Y. - _ Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y) pero y x 2 - 4 y - x 2 * - y ( - x ) 2 - 4 ( - y ) - ( - x ) 2 por lo tanto no existe simetría en el origen. 3ra. Extensión. X Calculamos el dominio, para esto despejamos y de donde y = —------, y es real ' x~ - 4 si x ± 2, luego entonces .\ DR = R - {-2,2} Calculamos el rango, para esto despejamos x., x = ± x es real sí: —— > 0 >'-1 + + 0 212 Eduardo Espinoza Ramos y e <-oo,0] U <l,+oo>, Rr =< -oo,0] U < l,+oo > 4ta. Asíntotas Asíntotas verticales, se despeja y, y = x2 .... , las asíntotas verticales se obtienen *2-4 de la ecuación x 2 - 4 = 0 => x = ±2. - Asíntotas horizontales, se despeja x, x =± 4y y- 1 las asíntotas horizontales se obtienen de la ecuación y —1 = 0 => y = 1. 5ta. Tabulación. X y 1US. 0 0 ±1 -0.3 ±1.5 -1.2 ±3 1.8 ±2.5 2.7 EJERCICIOS PROPUESTOS.» Hallar el dominio y rango de las relaciones. a) R ={(x,y) e R x R / y = x 2 - 4 x , y < 0} c) R = { ( x , y ) e R x R / x 2 = .v -l} e) R = { { x , y ) < z R x R I - J x + f i = X) f) b) R = {(x,y) e R x R / y = - ^ 4 - x 2 } d) R = {(x,y) e RxR / xy-2y-x=0} R = { ( x , y ) e R x R / x 2y 2 +xy = 5} 213 Relaciones y Funciones g) ( 2) ( 3) R = { ( x , y ) e R x R / y = — ----------- } 2x - 3 x - 5 h) i) R = { ( x , y ) e R x R ! x 2y 2 - 2 x + y 2 - 4 = 0} j) R = { ( x , y ) e R x R / ( x 2 - 6 x + 5 )y 2 = 4 y - l } Si U = {x gZ ' / x impar A i < 8 } . R ={( x, y) g Rx R/ ( x 2 - 4 ) y = y 2} Tabular las siguientes relaciones en U a) R = {(x,y) e U x U / x = 3 V y = 5 } b) R = {(x,y)e U x U / x + y = 8 } c) R = {(x,y) d) g U x U / x y = 21} R = {(x,y)eU xU /x divide a 20} En el conjunto de los naturales N se define una relación R de la siguiente forma: R = {(x,y) e N x N / x 2 + x = y 2 + >>} es decir si es una relación de equivalencia, justifique su respuesta. © En R se define las siguientes relaciones, V x,y e R a) R = {(x,y) g R x R / | x —l| = |y —1|} R = {(x, y) g R x R / x 2 - x = y 2 - y } . b) Demostrar que son relaciones de equivalencia. © Siendo A = {1,2,3,4,5,6} estudiar las propiedades de las relaciones binarias. a) c) R = {(x,y) e A x A / x - y < 2} R = {(x,y) e A x A / x < y } R pta. (^ó) b) R = {(x,y) e A x A / x + y > 0} a y c es de equivalencia, b) es reflexiva En A = {1,2,3,4} se considera la relación R = {(x,y) e A x A / x = y V x + y = 3} Es de equivalencia. R pta. Si ( 7) En Z define la relación R: (? ) Clasificar la relación R definida en Z x Z mediante (a ,b)R(a\ b' ) R pta. R = {(x,y) R es de equivalencia. g ZxZ / x 2 + x = y 2 + y } . Graficar R. <=> ab'=ba' Eduardo Espinoza Ramos 214 © Definimos en el conjunto Z x (Z —0) la siguiente relación (a,b) R (c,d) <=> ad = be Es una relación de equivalencia © Demostrar que la relación dada por: R es una relación de equivalencia R p ta . R = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(c,a),(b,d),(d,b)} En el conjunto A = {a,b,c,d} es una relación de equivalencia. (íl) Discutir y graficar las relaciones siguientes: a) xy2 - 3 y 2 - l = 0 c) y 2 =-?— b) d) y 2( x2 - 4 ) = x + 2 y =- 3-x T 2x2 - 3 x - 5 e) x 2y 2 - x 2 + y 2 +1 = 0 g) xy-2x-y-2 = 0 f) h) x 2y 2 + 4 x 2 - 4 y 2 = 0 y 2 (x + l) = 4 Discutir y graficar las relaciones siguientes: \ a) 2 , ¿ i n wv b) y x y + xy-6x-3 = 0 3x2 - 8 x + 4 = — *— ---------- x v C) y V 2 4jc2 x 2 +1 _ d) y = —---------- ----- x -4 2xz - 5 x + 2 e) 3 2 x +x y - y g) yx2 - 2 5 y - x = 0 =0 2 a-V f) y = h) y = j ( x + 3) (x + 2 )(x -2 ) x 2 -3 x + 2 ( A - l) 2 ^3) Discutir y graficar las relaciones siguientes: , a) x 2 -2 5 y = ---------— ^ b) x+1 c) 2x2 - 5 x + 2 v = — -------------3x -1 0 x + 3 4 x -5 y = --------------- 2(x -1 ) d) 2 2 , 2 ,n n xy - 4 x - 3 y +12x = 0 215 Relaciones y Funciones @ Discutir y graficar la relación R definida por: ( 2 x - \ ),2 R = {(x, y ) e RxR / y = ~ ;---------- ' x - 7 xh 1'.‘ Se va a introducir el concepto de función, hablando libremente una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento o mecanismo) que nos transporta de un conjunto a otro de manera que asociamos cada elemento A un único elemento en B. a) DEFINICION.- Consideremos dos conjuntos cualquiera A y B, a la relación binaria f de A en B le llamaremos función de A en B, si y solo si, verifica: esto quiere decir, que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente. Gráficamente: B f es función, sí b = c Observaciones: O Una función f de A en B denotaremos por: f: A -----> B; ó A — ——>B y se lee “f es una función de A en B”, donde el conjunto A le llamaremos conjunto de partida y el conjunto B le llamaremos conjunto de llegada. © Si el par (a,b) e f, escribiremos b = f(a) y se dice que b es la imagen de “a” por f ó también, que b = f(a) es el valor de f en el punto a. © Sí A —B —R, ci 1&función f! R ^ R, se denomins. funciónre<ilde v3.r13.ble reíil. © Teniendo en cuenta la parte 2) se tiene la siguiente notación: 216 Eduardo Espinoza Ramos donde y = f(x) se lee “y es función de x” ó “y es la imagen de x por f (x,y) e f se lee “el par (x,y) pertenece a f \ Ejemplo.- f(l) = 3 <=> (1,3) e f © De la parte 4), a la función f se puede escribir en la forma: t ~ ( t o ) , e R x & / y - ffx)} donde la ecuación y = f(x) es llamada regla de correspondencia. Observación: Una consecuencia inmediata de la definición a), es que toda función es una relación pero no toda relación es una función. Ejemplo.- La relación: R = {(1,2),(2,3),(3,4),(2,5)} no es una función, puesto que para el elemento 2 existen dos elementos 3 y 5 tales que (2,3),(2,5) e R, que contradice a la definición de función. b) DEFINICION GEOM ETRICA.- f es una función <=> cualquier recta perpendicular al eje X corta a la gráfica de f en un solo punto. Es decir: Gy ( / ) g j, n L = {punto} G1( / ) n L = { p } , G2(h) n L = { P , Q } f es función => h no es función DOMINIO Y IMM0O PE Sea f: A ----- >B una función de A en B, llamaremos dominio de la función f, al conjunto de todas sus primeras componentes, al cual denotaremos por D f , e s decir: Relaciones y Funciones 217 y llamaremos rango de la función f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de A, mediante f al cual denotaremos por R f es decir: Ejemplo.- Sea f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)} su dominio y rango es: Df ={1,3,5,7}; Rf ={ 2,4,6,8} 2,8. C R ITER IO PARA E L CALCULO DEL D O M IN IO Y R A N G O D I El dominio de una función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar x, de tal manera que f(x) sea real, salvo el caso en que dicho dominio sea especificado. El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de “y”, luego se analiza todos los valores posibles que pueda tomar “y”, de tal manera que x sea real. Ejemplo.- Hallar el dominio y rango de la función / ( x ) = -Jl + x - x 2 Solución Calculando el dominio: como y = f(x,) entonces: y = -Jl + x - x 2 luego “y” es real si, 2 + x - x 2 > 0 , de donde ^ - x - 2 < 0 (x —2)(x + 1) < 0 -1 Eduardo Espinoza Ramos 218 Luego el dominio es: Df = [-1,2] Calculando el rango: como y = ^ 2 + x - x 2 , y > 0 y 2 =2 + x - x 2 , despejamos x, es decir: x l± ^9 -4 y2 9 3 3 Luego x es real si 9 - 4 y 2 > 0 => y 2 < — => — < v < — 4 2 2 P orlotanto / ? / =[ 0 , +oo >n [-^-,-^-] = [0,^-] Ejemplo.- Hallar el rango de la función: de donde R f =[ 0 ,y ] f ( x ) = x 2 - 4x + 7 , x e [2,3] Solución En este caso el dominio esta especificado x e [2,3] ahora calculando el rango: como 2 y = f ( x ) = x - 4 x + 7 . Despejamos x es decir: x=2±Jy^3 4 ± J 4 y —12 i-----x = ----- ----------- = 2 ± ^ J y - 3 e [2,3] => 2 < 2 ± ^ 3 < 3 0 < ±-\¡y—3<1 => 0 < ~Jy—3 <1 => 0 < y —3 < 3<y<4 => y e [3,4]porlotanto 1 .\ /?/• =[3,4] A una función f, le llamaremos aplicación de A en B, si y solo si: D f = A. En forma simbólica: Un conjunto f c AxB es una aplicación de A en B <=> V x eA, 3 Observación.- y e B, tal que y = f(x). Una aplicación es un caso particular de una función, luego toda aplicación es una función, pero toda función no siempre es una aplicación. Relaciones y Funciones Nota.- 219 Algunos autores consideran a la función y aplicaciones como sinónimos, en estos apuntes, a las aplicaciones las consideraremos como casos particulares de las funciones. Ejemplo.- Sean A = {1,3,5}, B = {2,4,6}, calculando A x B A x B = {(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6)} a) El conjunto f = {(1,4),(3,2)¡- es función donde D f = {1,3} y R f = {4,2} pero f no es una aplicación de A en B puesto que D f * A . b) 2,10. (? ) El conjunto f={(l,2),(3,4),(5,6)¡- es una función donde:D f « R f = {2,4,6'f como D r = A entonces f es una aplicación de A en B. ={1,3,5} FUNCIONES ES F E O A L ES,FUNCION CONSTANTE.- A la función f, le llamaremos función constante, si su regla de correspondencia es: m ~ c, doado te s tina constante. También a la función constante, se puede definir por: f = {(x,y) e R x R / y ~ c, c constante} donde su dominio es D f - R , su rango es R, = {c} y su gráfica es: (2 ) FUNCION IDENTIDAD.- A la función f, le llamaremos función identidad, si su regla de correspondencia es: :f{x) = X También a la función identidad se define: f = {(x,y) e R x R / y = x}, donde D f - R , R f = R y su gráfica es: Eduardo Espinoza Ramos 220 © FUNCION LINEAL.- A la fimción f, le llamaremos función lineal, si su regla de correspondencia es: f(x) = a x + b donde a,b son constantes y a # 0. También a la función lineal se puede expresar en la forma: X f = {(x,y)eRx R / y = ax + b}, donde D f = R y R f = R', a,b e R y a * 0, cuya gráfica es: © FUNCION RAIZ CUADRADA.- A la función f, le llamaremos función raíz cuadrada, si su regla de correspondencia es: También se puede expresar en la forma: donde D f = R r y R f =[0,+°o> © FUNCION VALOR ABSOLUTO.- A la fimción f, le llamaremos función valor absoluto, si su regla de correspondencia es: f(x) = jx¡, donde ¡ * j; También se puede expresar en la forma: f= {(x.y) € R x R / y » fx¡| Donde D f = R y R f =[0,+oo> y su gráfica es: © FUNCION MAXIMO ENTERO.- A la función f, le llamaremos función máximo entero, si su regla de correspondencia es: Relaciones y Funciones 221 f ( x ) = [j .r j] donde [[x |]= n o También se puede expresar en la forma: n < \ < n + 1, n e Z j - í(x,_v) e R x R f y = Q x []} donde D f = R y R ¡ = Z 1 Y 4 . --- o 3 o 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 Si xe [0,1> f ( x ) = [|* |] = 0 => f(x) = 0 Si xe [1,2> o f ( x ) = [|x |] = l => f(x) = 1 Si x € [2,3> o f ( x ) = [ |x |] = 2 => f(x) = 2 Si x e [3,4> <=> f ( x ) = [| -v |] = 3 => f(x) = 3 3 S í x g [-1,0> <=> / ( x ) = [|x |] = —1 => f(x) = -l Sixe[-2,-l> <=> / (x) = [| x |] = —2 => f(x) = -2 Si x <» / ( x ) = [| x |] = - 3 => g [-3,-2> f(x) = -3 4 5 X 222 Q Eduardo Espinoza Ramos FUNCION SIGNO.- A la función f, le llamaremos función signo, si su regla de correspondencia es: ~~ , x * 0 lililí!! 0 . Jf = 0 o X También puede expresar en la forma: f~ e 8 x R / y -síg (x )} Donde D f = R , Rf = {-1,0,1} (? ) y su gráfica es: FUNCION CUADRATICA.A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es: f i x ) - a x 1 + bx + c , a,b.e e R, a * 0 También a la ecuación cuadrática se expresa así: La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje X en el cual se presenta dos casos. Si a > 0 la gráfica se abre hacia arriba. Si a < 0 la gráfica se abre hacia abajo. El dominio de la función cuadrática es: D f - R , El rango se determina completando cuadrados. Como f ( x ) = a x 2 +bx + c => f { x ) = a{x2 + —x+-^-—- ) + c ~ — n A^ 2 án Relaciones y Funciones 223 Luego el vértice de la parábola es: V(— — , ^ ac 2a 4a @ ■) D f =R D f =R D r4 a c - b ¿ Rr = [ ----------- ,+oo> ' 4a R f =< -oo,------------ 1 n f 4ac-b 4a FUNCION POL1NOM1AL.A la función f, le llamaremos función polinomial, si su regla de correspondencia es: donde a 0, a 1, a 2,...,a„_l ,a„ son números reales, an * 0 . Ejemplo.- (lo) f ( x ) = 5 x5 + I x 4 +3jc + 6 , esuna función polinomial. FUNCIÓN RACIONAL.A la función f, le llamaremos función racional, si su regla de correspondencia es: , ,_v a nx n -t an , xn (....- ..... \.r -t-.+ b iX + h f, -rK * _ ______ ...... J Ä*OT6A donde a0, a1,...,an , b0,bl ,...,bm son constantes reales y b„ ± 0 224 Eduardo Espinoza Ramos x + 5 x -1 7 Ejemplo.- La función f ( x ) = —------------ , es una función racional cuyo dominio es el x - 5 x +6 conjunto de todas las x, de tal manera que el denominador no se anule, es decir: 2,11. D f ={x e R / x 2 - 5 x + 6 * 0} = R-{2, 3} EVALUACION DÉ m k Consideremos una función f con regla de correspondencia. Si x toma valores específicos, por ejemplo: x = x 0 , entonces y 0 = f ( x 0) se dice que la función ha sido evaluada, en otras palabras es: Cuando x = x 0 el valor de la función es / (x0) Ejemplo.- Si f ( x ) = 2 x 3 + x 2 + x + 2 , el valor de f en el punto x = 2 es f(2) es decir: / ( 2 ) = 2(2)3 +( 2 ) 2 + 2 + 2 = 16 + 4 + 2 + 2 = 24 Ejemplo.- Si f ( x ) = x 2 + x + 1 entonces /(z ) = z 2 +z + 1 f ( 4 y ) = y + 4 y +l Ejemplo.- Si / ( x) = 5* , probar que f(x + y) = f(x).f(y) Solución f ( x + y) = 5x+y = 5*.Sy = f ( x ) . f ( y ) ••• f(x + y) = f(x).f(y) _ _ _ _ _ _ _ ™ CORRESPONDENCIA. CON VARIAS _____________ " ■ REGLAS 'K - m A .v En las funciones definidas con dos o mas reglas de correspondencia, su dominio y rango se determinan de la siguiente forma: Relaciones y Funciones 225 Suponiendo que la función f es definida por: el dominio de f(x) se determinan así: D f * D fi sjDfi el rango de la función f(x) se calcula por: R r ~ R;t <jRft Esta forma de calcular dominio y rango de una función con dos reglas de correspondencia, también se extiende, a funciones de tres o mas reglas de correspondencia. Ejemplo.- Calcular el dominio y rango de la función: / ( * ) = [2x + l si jcSI U 2 - 2 Sí X < 0 Solución . Calculando su dominio se tiene: Luego su dominio de f(x) es: D f í/ iU ) = 2jf + l, si x > 1 •{ , [ f 1{x) = x 1 - 2 , si x < 0 => \Df = [l,+oo> \ [Dft = < -oo,O> D r = D fi u D f¡ = [l,+oo > u < -<*,0 > = < -o o ,O > u [l,+ o o > * Ahora calcularemos el rango: Si x > l = > y = 2 x + l despejamosx: * =^ --> 1 Si x<0=> y = x 2 - 2 , despejando x se tiene: x = de donde: => y > 3 de donde: y e [3,+oo> y + 2 < O => -Jy + 2 > O => y > -2 y e <-2,+oo> Luego el rango de la función f es dada por: R f = < -2,+oo > u [3,+oo > = < -2,+oo > Cuando se conoce una función y = f(x), en base a esta función, se puede construir otra función en una forma rápida mediante el siguiente criterio: Eduardo Espinoza Ramos 226 le r. Si se tiene la gráfica de y = f(x) entonces la gráfica de la íunción: F(x) = f(x) + c se obtiene desplazando verticalmente la gráfica de y = f(x) en c unidades, siendo hacia arriba si c > 0 y hacia abajo si c < 0. 2do. Si se tiene la gráfica de y = f(x) entonces la gráfica de la íunción F(x) = f(x —c) se obtiene desplazando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en c unidades, siendo hacia la derecha si c > 0 y hacia la izquierda si c < 0. 3er. Si se tiene la gráfica de y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = f{x —h) + k se obtiene desplazando horizontal y verticalmente la gráfica y = f(x) en h y k unidades respectivamente. f ( x - h ) + k, h < 0, k < 0 f(x - h) + k, h > 0, k < 0 227 Relaciones y Funciones 4ta. Si se tiene la gráfica y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = af(x), a > 0 se obtiene de la siguiente manera: i) ii) Si a > 1 la gráfica esta estirándose verticalmente en un factor a en base al eje X. Si 0 < a < 1, la gráfica esta encogiéndose verticalmente en su factor a. 5ta. Si se tiene y = f(x) entonces la gráfica de la ñinción F(x) = f(ax), a > 0 se obtiene de la siguiente manera: i) Si a > 1, la gráfica se encoge horizontalmente en un factor a en base al eje Y. ii) Si 0 < a < 1, la gráfica se estira horizontalmente en un factor a en base al eje Y. 6 ta. Si se tiene la gráfica y = fi(x) entonces la gráfica de la función F(x) = -f(x) se obtiene haciendo rotar la gráfica y = ffa.) alrededor del eje X. Eduardo Espinoza Ramos 228 7ma.Si se tiene la gráfica y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = fT-x) se obtiene haciendo rotar la gráfica y = í(x ) alrededor del eje Y. 8va. Si se tiene la gráfica y = f (x) entonces la gráfica de la función F(x) = -f(-x) se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f(x) alrededor del eje X y el eje Y. Ejemplo.- Graficar la función F( x) = - J x - 2 + 2 Solución La gráfica de F(x) = -Jx - 2 + 2 se construye a partir de la función f ( x ) = 4 x , trasladando a la derecha 2 dos unidades y hacia arriba dos unidades. Relaciones y Funciones 229 Ejemplo.- Graficar la función F(x) = |x - 3| +3 Solución La gráfica de F(x) = |x - 3| + 3 se construye a partir de la función f(x) = |x |, trasladando a la derecha 3 unidades y hacia arriba 3 unidades. © Determinar el dominio y rango de la función / (x) = -Jx2 -1 Solución Como y = f { x ) = 4 x 2 -1 =>y = 4 x 2 - 1 . Luego analizamos los valores que x puede tomar para que “y” sea real, y como y ^ J x 2 - 1 entonces “y” es real si x 2 -1 > 0 => x 2 > l = > x < - l V x > l por lo tanto el dominio es: D f = < -o o ,-l]u [l,o o > Ahora calculamos el rango, y para esto despejamos x y = ^ x 2 - 1 , y > 0 => x = ± J y 2 + 1 , Luego analizamos los valores que “y” puede tomar para que x sea real y como x = i ^ f y ^ V l entonces x es real Vy e R . Por lo tanto el rango de f es :R r = [0,+*> > n R =[0,+oo > © Calcular el rango de f ( x ) = 2 x 2 + 5 x - 6 Solución Eduardo Espinoza Ramos 230 Como y = f ( x ) => y = 2*2 + 5 x - 6 es una función cuadrática en estos casos el rango se determina completando cuadrados: , . . 2 5 25x 25 . _ . 73 . . 5 x2 v + 6 = 2(jc + —x — ) ------dedonde y + — = 2 (x + —) ' 2 16 8 8 4 5 73 Luego K (-—,— —) por lo tanto el rango de fes: (5 ) 73 R f = [— — ,+oo> Determinar dominio, rango y construir la gráfica de la función / (x) = 4 x 2 -1 2x + l Solución _ . . , . , . 4x2 - 1 (2x + l ) ( 2 x - l ) 1 Factorizando y simplificando se tiene: / (x) = ---------------------------------------------------- = ---------- -2x +1 2x +1 2 Luego como f(x) = 2x-l , x * -1 / 2 su dominio es: D f = R - { - —} Ahora calculando el rango, para esto despejamos x: 1 1 c o m o x e c -o o .— > u < — ,qo > entonces 2 2 y = 2x -1 => x = y +l y+l 1 1 ------ e< - 00,— > u < — ,00 > 2 2 2 . - 0 0 < v+i ---- < — 1v1— y<+ 1----- <00 entonces -< e< y < - 2- v - 2 -< y < o o 2 2 2 2 Relaciones y Funciones © 231 Determinar el dominio y rango de la función 2x J'(x) = x 2 -4 Solución La función f(x) está bien definida si: 2x > 0 entonces x -4 (x + 2 ) ( x - 2 ) -2 > 0 , ahora resolvemos la inecuación. 0 2 Luego D r - < -2,0] u < 2,+oo > Para determinar el rango despejamos x, como y = f(x) 2jf 2 2x Entonces y = I— -----, v > 0 = > v =■— ----’ X = Vx 2 - 4 ' X2 -4 ' 2±V4 + 16/ .- 1 6 / —’ , y > 0 .racionalizando x —2>'2 ’ "’ 2y2(2 + 7 4 + 16/ ) x es real si y solo si y eR. © 2 2 2 dedonde y x - 2 x - 4 y = 0, y > 0 Luego R / = [0 ,+ o o > a R Determinar dominio, rango y graficar la función: ’ r, V>0 2 +-^4 + 16/ = [ 0 , + oo > x —3 f (jc) = sig(------ ) x +4 Solución Aplicando la definición de la función signo se tiene: , . ,x-3 J (x) = sig(----- -) = x +4 * ~ 3 0n -1i SI• -------< x +4 x —3 0 s i :------= 0 , al resolver cada una de las inecuaciones se tiene: x +4 11 SI• -------> * “ 3 0n x +4 Eduardo Espinoza Ramos 232 -1, s i - 4 < x < 3 x —3 ----------f'(x) = sig(----- -) = { 0, si x = 3 x +4 ,1, si• x < - 4* v x > 3-j Y •4 , 3 x* 0 Su dominio es: D f =< -oo,- 4>u<-4,oo> Su rango es R f - {-1,0,1} (ó ) Determinar el dominio rango y graficar la íimción: f (x) = [| 4 x |] Solución Calculando su dominio se tiene: f(x) está definida si x > 0 , luego D¡ = [0, oo > Por lo tanto su rango es: R f ={0,1,2,...} Sí [ | ^ Si ti 4 x |]=0=> 0 < ~Jx |] =1 => < 1= > 0 < x \ < 4 x <2 => < 1Y --------------f---------------- 0 i iii i 1 1< x < 4 ^ Si [1-7x1] = 2 => 2<-J x <3 => 4 < x < 9 - • ¡ 1 1 1 : 1 I : ! 4 9 X Determinar el dominio y graficar la función: f(x) = |x| + | x - l | Solución Por definición del valor absoluto se tiene: , . í x si x > 0 X=< . [—X si X < 0 . , f x -1 \x ~ 1 = { [—X +1 si x > \ si X < 1 V 0 Ahora calculando las reglas de correspondencia de f(x) Si .Y< 0 => |jcj = - x , |x -l¡ = l - x como / (x) = ¡x| + ¡x - 1| =5- f ( x ) = - x +1 - x = 1- 2 x , para x < 0 1 ♦ Relaciones y Funciones 233 Si O < x < 1 => |jc| = jc, |jc-1| = 1-jc Como / ( x) =|.r| + | jc-1 | = x + l - x = \=> / ( jc) = 1 , para0 < x < Si jc > Como 1 => |jc| = x, / ( jc ) |jc—1| = jc—1 = |jc]+|jc —1| = jc + jc -1 = 2jc-1 = > /(jc ) = 2jc —1 , para Determinar el dominio, rango y graficar la función: J[UI] |_2jc —[| jc -t- 1 1] si[\x\\espar si [|jc | ] es impar Solución Si x g [0,1> => [| jc |] = 0 es par Sixe[l,2> =>f(x) = 0 =í> [| jc |] = 1 es impar =>f(x) = 2 x - 2 Si x e [2,3> => [| jc |] = 2 es par Si x g [3,4> => [| jc |] = 3 es impar S i x e [ - 1 , 0 > => 1 [|jc |] = -1 es impar S i x e [ - 2 , - l > => [| x| ] = - 2 es par => f(x) = 2 => f(x) = 2x - 4 => f(x) = 2x => Rx) = -2 x>l Eduardo Espinoza Ramos 234 Sixe[-3,-2> (? ) [|x |] = -3 es impar => f(x) = 2x + 2 Determinar el dominio, rango y graficar la función: f ( x ) = s j x - [ \ x |] Solución Calculando el dominio de la función f es decir: f(x), está definida si x - [ | x | ] > 0 de donde x > [| x |] que por definición de máximo entero se cumple VxeR. Luego D r = R Co mo [ | x | ] = n «> n < x < n + l, n e Z Entonces f ( x ) = V x - n , V x e[n , n +1>, n e Z Si x e [0,1> => [| x| ] = 0 => x e [2,3> => tix| ] = 1 => / ( x ) = V x -1 x e [2,3> => [| x| ] = 2 => / ( x ) = ^ x - 2 xe[-l,0>=> [| x| ] = —1 x e [-2.-1> =;• [| x |] = —2 => f(x) =4 x / ( x ) = Vx + 1 f ( x ) =~Jx + 2 Relaciones y Funciones 235 Luego el rango es: 10) R r = [0,1 > Hallar dominio, rango y graficar la función f definida por f ( x ) = 3 -x Solución Calculando el dominio de la función, es decir: f(x) es definida si x - [ |x |] * 0 Como | jc |= [| jc |] _ , , Íjc Como I x |= -{ Si es decir: Df = R - { x / 1jc| —[| jc|] = 0} => x e N puesto que |x |> 0 . si x >0 - x si x < 0 x > 0 => f ( x ) =- Por lo tanto D f = R - N „ , analizamos en la forma 3 —jc x -[|* |] X e [0,1> => [I Jc |] = 0 3 -x 3 => / ( x ) = ------ = — 1 X x e [1,2> => [| jc|] = 1 /(J C ) = x e [ 2 ,3 > => [ | jc|] = 2 - /(JC) = x e [3,4> => [| jc |] = 3 X 3 -x 7^1 3 -x x -2 3 —jc f(x)= ± -± =- l x -3 236 Eduardo Espinoza Ramos x e [4 .5 > => [ | jc | ] = 4 => f{x) = ^ ~ jc- x e [5 ,6 > => X € [-1 ,0 > => [| jc |] = 5 [ |jf |] = - l x e [-2.-1 > => [| JC |] = -2 x e [-3 ,-2 > => [ | jc | ] = -3 4 = > /(* ) = lz £ jc —5 = > /(x )= -^ í- jc+ 1 => / ( x ) = J z f L - x +2 =* f ( x ) = - t ^ L - jc + 3 Luego el rango es : R r = < -a>,-2 > u {-1} u < 0,+oc > Determinar el rango y graficar la función definida por f ( x ) = [ \ - X ~ l - \] + 2 x , x -1 six e<-l,0> Solución Por la propiedad [| jc + n |] = u + [| x |], n e Z Relaciones y Funciones 237 /(•* )= [I ~~— ~ I] + 2x = [| — x —\ x —\ -----—- 1] = [| 7 -----|] + 2jc x- 1 x- 1 / W = 7 + [ | — - ? - | ] + 2* X -1 g Ahora definimos [ |-------- 1] es decir: x-1 Como x e<- 1 , 0 > = > - I < x < 0 => - 8 => -2 < x —1 < -1 => -1 < —— < —x -1 2 < —— < - 4 JC-1 => 4 < — — < -V—1 [I------- 7 1] =4, 5, 6 , 7 x -1 Además [| 8 — |] = n x —1 => 8 n < --------< n + 1 x -l 1 n+1 8 n+1 X - l l < --------< — 8 n < -x + 1 8 <— n +1 n +1 « -8 n-1 ------ < x < ------n n+ 1 x e [ - —- , - ——> entonces x e < -1,0> para n = 4, 5, 6 , 7 n ti Luego f(x) = 7 + n + 2x, n = 4, 5 , 6 , 7 Ahora definimos f para cada valor de n 8 238 Eduardo Espinoza Ramos 2.v + 7 + A = 2x +\\ si fix) = Jce< -l,-3/5> 2jc + 7 + 5 = 2x + 12 si x e< -3 /5 ,-1 /3 > 2x + 7 + 6 = 2x + 13 si x e f - 1 /3 ,- 1 /7 > 2x + 7 + 7 = 2x + 14 si x e [—1/ 7,0 > Graficando la función f se tiene: _ . 49 54 34 r37 89 r96 , . R , = < 9 ,— > u [— , — > u [— , — > u [— , 14 > ’ 5 5 3 3 7 7 Hallar el dominio, rango y graficar la función f(x) definida por: / (x) = 4 - x , si x < l 2 + x , si x > \ Solución El dominio se determina en la forma siguiente: D f = < -oo, l] u < l,+oo >= R Ahora calculamos el rango: Si x < 1 => y = 4 - x 2 => x 2 = 4 - y x 2 = - ( y - 4) => V (0,4) de acuerdo al criterio de la función cuadrática. P arax>l => y = 2 + x 2 , de donde y ~ 2 = x 1 V(0, 2) 239 Relaciones y Funciones Ahora uraficando se tiene: Luego R r = < - qo,4 ] u < 3 , + o o > = R X2 - (l3 ) Hallar el rango y graficar la función f definida por: / (.y) = x - 2 JY+1 Solución Calculando el rango de la función jc- 1 2 , s i x e [—4 ,6 ] s i x e < 6,+ oo > Eduardo Espinoza Ramos 240 Si x e < 6, + oo> x-2 , >• = -------- = 1 Jt + 1 3 x+1 x e <6, + oo> => 6 < x < +oo =>7 < x + l < + o o 0< — < .t + l 7 3 3 0 < —— < .t + l 7 4 < 1, --------------3 < 1, - - < — — <0 7 .t + l - 7 .t + l © Solución Calculando el dominio de la función f(x) es decir, f(x) está definida si x * -1 Luego el D r = ^ -•¡-1 } Ahora a la limción expresaremos en la forma: ... . x 3 + x 2 + .t + l ( x 2 +\)(x + \) , . J (x) = ------- r— r---- = ------ ¡----- ---- , como |.t + \x + 1 \x + 1 Por lo tanto la función f(x) es dada por: \ x 2 +1 f(x) = - X + 1, si x > -1 —JC—1, si si x > -1 X < —1 Relaciones y Funciones ( Í 5) Hallar el dominio, rango y graficar la función: f ( x ) = [| x |] + ^ x - [ |x |] Solución La función f(x) está definida si x - [ | x |] > 0 De donde x > [| x |] es valida V x e R, luego D f =R Si x e [0,1 > => [| |] = 0 => f(x) =4* x e [1,2 > => [|* |] = 1 => f ( x ) = l +4 7 - ¡ x e [2,3 > => [|x |] = 2 => / ( x ) - 2 +^ x - 2 x [|x |] = 3 => / ( x ) = 3 + Vxr 3 e [3,4 > => x e [ - l , 0 > = > [|A'|] = —1=> x g [-2,-l> => [ |X|] = - 2 => f ( x ) = - 1+ Vl + x / ( * ) = - 2 + J 2 +H 242 Eduardo Espinoza Ramos Determinar el rango y grafícar la función / ( jc ) = | jc 2 -9 1 Solución Aplicando la definición de valor absoluto a la función f(x) expresamos: / ( x) = U 2 - 9 | = . | jc 2 - 9 , si x 2 >9 9 - x 2, si fix) = jc 2 <9 |a-2 - 9 , si x e <-00,-3] u[3,+oo > 9 - x 2. si x e < -3 ,3 > El rango de la función f(x) es Rf = [0,+oo> La gráfica es como se muestra en la figura © Construir la gráfica de la función / \ x+[\ x\ ]\ si [|x |] es par ( jc) = | x + [ | x - l| ] | si [ | j c |] es impar Solución S i x e [ 00,1 , l >> =>=> [|-v|] = 0 espar es par x G [1,2 > => [| jc |] = 1 es impar => f(x) = |x| = x =>fl;x) = |x| = x xe [2,3 > => [| x |] = 2 es par => f(x) = |x + x e [3 ,4 > => [ | x | ] = 3 es impar x e [-1 ,0 > x e [-3 ,-2 => f(x) = |x + => [| jc |] = —1 es impar => f(x) = x e [-2 ,-1 >=> [I jc |] = —2 es par => f(x) = =x+ 2| |x -2 | |x -2 | > => [| jc |] = —3 es impar => f(x) = x e [-4,-3 > 2| 2 = x+ =2 -x = -x + )x —4| 2 2 = -x + 4 => [| x |] = - 4 es par => f(x) = |x - 4| = -x + 4 Relaciones y Funciones 243 118) Solución x e [ 0 ,l> x e [ l,2 > => [|jc|] = 0 => / ( x ) = x 2 [ | x |] = 1 => /(x ) = (x -1 )2 x e [2,3 > => [|x |] = 2 => /(x ) = (x - 2 )2 x e [-1,0> => [|x |] = - l => / ( x ) = (x + l) 2 x e [-2,-1 > => [| x |] = -2 => / ( x ) = (x + 2)2 D f = R , Rf/ =[0,1 > ^9) Graficar la función / (x) = -J\x] Solución Por definición | x | = x, si x > 0 - x , si x < 0 Eduardo Espinoza Ramos 244 Luego la función f(x) queda expresado así: . í V * , si x > 0 f { x ) = \ ---[V - x , si x < 0 donde Df = R y R f =[0 ,+ oo > 20) Hallar el rango y graficar la función f definida por: f(x) = |2x — 11- x Solución Por definición de valor absoluto | 2 jc—11 = 2 x - l si x > — 2 \ - 2 x si x < — 2 Si jc c — => |2x - 11= 1 - 2x => flx) = 1 - 3x x > — => |2x —11= 2x —1 => fl¡x) = x - 1 Ahora la función dada se expresa así: / (x) = 1 -3 * si x < — 2 JC—1 si x > — 2 calculando el rango de la función f(x) si => Si x - ~^ y = 1 - 3 x, y = x - 1, despejandox Por lo tanto R f = < — Su gráfica es: despejando x => x = — ,+oo > u [ — 2 -2 y < 3 => x = .y + l>-^- => y > - ^ ,+oo > = [ — 1 ,+oo > => y > 245 Relaciones y Funciones 211 Hallar el rango y graficar la función f(x) dado por: x , si jc e [1,2 > f ( x ) = [\x\] + s ¡ x - [ \ x \ ] , si x e [-1,1 > x , si x e [-4,-1 > Solución x e [ - l , 0 > => [|jc|] = —1 => /(jc) = —1+ Vx + l x e [0,1 > => [| x |] = 0=> f ( x ) = 4 x R f = [-2 ,4 > Graficando cada parte de la función Si / ' ( j c) = a x , Demostrar que f(x + y) = f(x) f(y) Solución Como f ( x ) = a~ => f ( x +y ) = a x+y = a x . a y = f ( x ) . f ( y ) f(x + y) = f{x).f(y) Eduardo Espinoza Ramos 246 © La función f(x) es lineal, hallar dicha función sí f(-l) = 2 , f{2) = -3 Solución Como fíx) es una función lineal entonces f(x) = ax + b Ahora calculamos los valores de a y b 5 a=— / ( - 1 ) = - a +b = 2 , por lo tanto f ( 2 ) = 2a + b = - 3 , _ 5x 1 / (x) = —— + -j b= Dada la función f(x) = mx + b, V xeR , si se sabe que f{3) = 11, f(-3) = 6. Hallar m + b Solución Calculando los valores de m y b / ( 3 ) = 3m + 6 = 11 / (-3) = -3 m + b = 6 _ 5 m ~6 , ¿ = 1I * entonces: . 5 51 56 28 m + b = —+ — = — = — 6 6 6 3 6 m +b Dada la función 28 fi[x) = ax + b, x e R, donde a y b son constantes reales, sí ftx + y) = ffa) + f(y) V x, y e R , y sí f(-2) = -6.Hallara y b Solución Como f(x + y) = f(x) + f(y) a(x + y) + b = ax + b + ay + b a(x + y) + b = a(x + y) + 2b => b = 0 Luego f(x) = ax + b => flx) = ax fí-2) = -2a = -6 => a = 3 .\ a = 3, b = 0 Relaciones y Funciones 247 Si f ( x + 4) = jc“ + 3 x , Hallar f(a + 1) Solución Definiremos la función f(x) Para esto se hace una sustitución z = x + 4 => x = z - 4 Ahora se sustituye en f ( x + 4) = x 2 +3x => f ( z ) = ( z - 4 ) 2 + 3 (z -4 ) = z 2 - 5 z + 4 Luego la función f(x) es dado por: f ( x ) = x 2 -5 x + 4 Calculando fía + 1) es decir: f ( a + l) = (a + l )2 - 5 ( a + l) + 4 = a 2 - 3 a - 4 f ( a + l) = a - 3 a - 4 Dado el polinomio P(x) = jc3 +(a + \ ) x 2 + x , se define la función f con dominio {0,1,2,3,5}, por f(a) = resto de la división de P(x) entre x + a , calcular f(2) + f(3) Solución Calculando el resto de la división de P(x) entre x + a jc 3 + (a + l):c2 +x I x + a Como f ( a ) = a - a - x 3 -a x 2 í(2) = 4 - 2 = 2 x 2 +x f(3) = 9 —3 = 6 ~x~ —ax Luego f(2) + f(3) = 8 (1 —a)x -(1 —a)x —a(l —a) a~ - a = resto 12M. Q m O F IJE S T C ^ Hallar el dominio de cada una de las funciones a) / (x) = -y]x2 - 4 x + 3 b) f ( x ) = - Jl - \ x\ Eduardo Espinoza Ramos 248 c) fix) 4 ,, , d) Í^ -X 2 x 2 —5x + 6 2x¿ - x - l e) /(x )= i — g) f( x ) = 4 x 2 -3x+2 + 3r f) f(x) = h) f(x) = 43 + 2 x - x ¿ i) f(x) 2 + I 1 -x -M (x + 1)2 x-1 f(x) = 1+ x x +\ I(x2 - 4 ) ( x 2 -9 ) \ - x 4 +I7x2 -16 1 4 x~\x\ i) f (x ) = 4 x - \ + 2 - J \ - x + 4 x 2 +1 I) 4x2-3x-4 /(* )= . \ 4 ñ - 4 x 2-4 Rptas: (? ) a) D f - < -o o ,l] u [3 ,+oo > b) D f = [-1 4 ] c) D f — < -o o ,- 2 > u [0 ,2 > d) D f = [1 ,2 > u < 3 ,o o > e) D f = < - o o ,-3 > u [- - ^ - , 0 > u [l,+oo > 0 D f = [-3 3 > - {-1^2} g) D f = < -1,1] u [2,3 > h) Df =<t> i) D f =<f> i) D f ={ 1} k) [ - - - 1 > U < - 1 ,- - ] 3 4 1) Determinar el dominio, rango y graficar la función: <-5,-2] u [4,5> / (x) = x - 9 si x < 4 5 x - 2 si x > 4 Rpta. D f = R ,R r = [-9 ,+ * > Relaciones y Funciones (3 ) 249 Hallar el dominio de las funciones siguientes: a) 1 /(* )= - b) /(* ) = *M l* l] 2x-[\x\] d) / ( * ) = [ |- |] e) /( * ) = [ I-----rl] g) 2-x f(x)=-v . V* + 1 h) /(x ) = j) / ( * ) = >/1-^4—J k) I) /(X ) = V *2 + 4 x -1 2 + - T-- 3 - X x-3 4 -x = 2x c) /(* ) í) / W = [ |x 2 |] i) /(x ) = V x -x 3 x-[\x\] 11*1-1 / ( x ) = l —\ l s ~ x 2 - 2 x Vx + 2 0 - x 2 ® Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes: a) /(x ) Jx .Vi X < 1 b) g(x) = d) /(x ) = 3 x -2 si - 4 < x < 4 si 4 < x < 6 } - X J .5/ X>1 c) /(x ) : jV x -2 s/ x > 2 x 2 + 2 x -3 s /x e < - l,l> © |x - 4 5/ x < 3 12x —1 si x > 3 Hallar el dominio, rango y graficar la función: | x + 2 1- x si x e< -4 ,0 > a) sí x e< 0,4 > f(x) = 2 x -8 2[| x | ] + 2 c) e) /(x) : b) /(x ) : s/ x < 4 -5 < x < 1 Vi s/ 1 < x < 4 6 sí - 7 < x < - 5 f(x) = |x - ] | + |x + 11 s¡ 4 < x < 7 1*1 si x e < 4 ,o o > .sí j x 2 -1 f [ |x - l |] d) lVi*T f) sí 4<x<7 /(x ) = sí x<4 / ( x ) = (x 2 + 4 )[|2 x + 3 |] 250 Eduardo Espinoza Ramos ■V4 -JC2 + 2 , si - g) f i x ) = |d ] 2 <x <2 si x < 2 2 h) / w = í " 2xl1 si * 6[0J1 [2[U |] si x e<3,5] ' si x < - 2 2[| x |] si x e< -5,1] ■Jx si x e < l,4 ] j) / ( * ) = 2(jc—1)“ 2—\ x —4 | x 2 +3 si jc e < -7 ,-5 ] © si x < 0 l* + 3| si x e [ 0 ,l> si xe[2,+ oo> Hallar dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes. a) f(x) = |x + 1| + |x —1| —2|x| b) f(x)=[\x\]~\x\ c) f^x) = |x + 2| + |2 x - 2 | + |-x + 5| d) f(x) = |x| |x —11 e) f(x) f) f(x) = |x + 2| + |x —2| — |x| —1 g) f ( x ) = j 2 Ü 2 x + 5 |] - 4 [ |x |] = |x —2| + |x + 11 h) A x ) = 4 \ x - 2 \]-[\x\] |x + 3 |,x < 0 i) 2 ( x - l ) 2, x e[0,2 > f ( x ) = \ x K |x |] 2 - 1x - 4 1, x e [2,00 > k) © f(x) =- x ‘ \x + l \ - l x +3 , -3 < x < 4 1) f ( x ) \ ¡ 2 x - - J x , s ix e [l,9 ] Determinar dominio, rango y gráficar cada una de las funciones siguientes. a) /(* ) = 2[\x\]-2x d) f(x) = [\2x\] b) f(x) = ^¡5 -\x -3 1 e) m = 2-x c) f ( x ) = [| 2 - 3 * |] f) /(* ) x -^ ü ñ g) /(* ) = [ |* - 3 |] - [ |* |] j) f(x)=[\x\]+^l\x\-[\x\] h) f(x) = \x \ ti x 0+1 i) f ( x ) = 1*1 [|x |] + l 1* H I *13 y¡2-[\x\] Relaciones y Funciones (8 ) (? ) 251 Construir la gráfica de las funciones siguientes. a) f ( x ) = s i g ( ¡| * 2 - 1 |- 1 ) b) /(* )= [\4a - x2 c) f(x) = sig (x 4- 1) - sig(x - 1 ) d) f ( x ) = sig(— x +4 |] En cada una de las funciones dadas, hallar el dominio, rango y hacer su gráfica. a) (x + l)(x2 + 3 * -1 0 ) / ( * ) = -------------------------x +6x + 5 .. , b) f { x ) = jc2 —IOjc-1 [| x |]—2jc —1 c) nx) =^ - ± ' 2x + 3 d) f { x ) J x 2 + l * - 4 K x 2 - 5 * + 6 ) ‘ (x2 - 3 x +2)(x-3) e) f(x)=[\x\]+\x\+x +2 f) / ( * ) = ------ g) /W = .. 0 ,, . [1*1] / ( x ) = —i— | x | - x +1 T 1*1-1 t t *~ [U I] h) .. j) / W = ^ ( [ U - H ] - l) + « g ( [ U + l|] - l) .. , x 2 + x - / ( x ) = s/g(---------- ^— ) x +1 Gráficar las funciones siguientes. ^ l) a) / ( x ) = [ | - x 2 |] b) / ( x ) = [ | - x 2 + l|] c) f(x)= 4\x] d) /(x )= V tl* l3 e) f(x)= 4r|if2 x~-ilT| ] -)2Vx 0 / W = U || jc 3l-4-;11 |l^—4 5 |- x g <-5’2] En cada función, hallar el dominio, rango y hacer la gráfica. a) f ( x ) = 7 T J L r.7 [|x + l|] b) /(* )= - 2_JC U H I2 x |] 252 Eduardo Espinoza Ramos c) 1 f(x) d) f(x) = 3 e) ./(*) = li g) / ( * ) = * - [ ! 1*11] 1*1 [ | jc|] V i 2 x I —2[| x |] , 1 + JC f) / W = ( í- [ | x | ] ) 2 h) /( * ) = [ ! * ! ] + (* -[!* !]) Hallar el rango de la función f(x) = x - |x - 2|, x e R @ Gráficar la función / ( x ) = ( x 2 + 4)[| 2x + 3 1], D f = [-1,1] © Hallar el rango de f(x) = |x + 2 |- 2 |3 - x |, x e [-4,10> gráficar la función f. 15) Sea / (x) = | x | + ^ J - x - [ \ x | ] , 0 < x < 2 Hallar el rango de f. Hallar el rango de f ( x ) = —[| 2 1x + 11|] (| x | -1) para x e <-5/2 , 2 > , gráficar f. 17) Hallar el dominio, rango y gráficar la función 1*1-2 | 3 —jc a) si -1 < X <1 5 —jc f ( x ) = -V*2 +2x si 1 < x < 2 2 f(x) = si - 2 < x < - \ x +1 b) f(x) =x 2 - 2 x - 3 d) /(* ) = — h) / ( x ) = | 6 + jc- x b) 2 - 9 xl -2 x -3 x" | x+ , J t e < - 2 ,3 > 2 1- x , * e [3 ,5 ] =Vi-* +Vl +* c) / e) /(* ) g) / ( x ) = * 2+ | x | - x + l (jc) =Vtl * l]+1“ Vi - * Relaciones y Funciones © 253 Hallar dominio, rango y gráficar la función 16 —jc | —1 a) f(x) = x +3 116—x 2 | 16x | . , Q X1 - 2 si -1 < x < 8 b) / ( x ) = x - \ x - 2 1, 0 < x < 8 si - 5 < x < - 3 2 + V jc -4 , 4 < x < 8 4 , si x < 3 [1-1— 1] x ¿ +1 (l9 ) Hallar el dominio, rango y gráficar la función: f (x) = [| —=-----|]+3x x -1 3(x - 6) @ Determinar dominio, rango y gráficar: Hallar el dominio, rango y gráficar @ , si 4 < x < 6 - 4 | ] , si 8 < x < 9 Hallar el rango de f (x) = ? sí x e [-2,4> l+ |x-3| 2 r. 2 —x n x [ | —— |] + 3 x - l Hallar el rango de f ( x ) = ------------ - sí x e < - 2 , —> |5x - 1 | - 1 5 + 6 | x + 2 1 (22) , -3< x<0 / (x) = - \j9 - x 2 s/g / (x) = |X -[|X |]| { 5 + * ) + [| + ^ |] - 1 x -1 x+3 , si [|x |] es par | x - [ | x + l |] | , si [|x |] es impar Construir la gráfica y hallar el rango de: f[l x —2 1] , si [|x |] es par f ( x ) = <¡: ~ xr , v * <=[-3,4] 3 x - [ |x + l|] | , si [|x |] es impar R pta. Rf = [-7 ,-4 ] u [-3,0] u [1,4] u [5,8 > ® Sea f : [ - 2 , 4 > - > R / / ( x ) = ^X+ ^ - Hallar el rango de f. l+ |x-3| (26) Dadas las funciones f ( x ) = - x 2 +3x + l , g(x) = 3x2 +2x + l Hallar R r R pta. R r = [ - —,1] 5 a Rx 254 Eduardo Espinoza Ramos 27/ Hallar los valores de a y b para que cada uno de los conjuntos de pares ordenados sea una función y determinar la función en cada caso. f = {(1,8),(2,-3),(1, a 2 + b 2) , ( - l , a + b),(a2 + b , b ) ,( b + a 2 ,£>)} g = {(4,3)(-5,-3)(4.a2 - b 2), ( -5, a + b),(a2 +b ,a ), ( a2 + b 2,b)} R pta: a) a=2 , b=2 b ) a = -2 28j Sí /'(x) = x 2[\ y |] - 441 ~ |] , x e <0,6], Hallar el rango 29) Hallar dominio, rango y gráficar la función , b = -l y gráficar / ( x) z=-x ^x U K U I] (30) Determinar el rango y gráficar la función: ® Sí f ( x ) = ax2 + bx + c , / ( - 1 ) + / ( | ) = ^ , f(-l) = 0 y f(l) = 8. Hallar f(5) Rpta. (32) (33) / {x) = | x 2[| ^x ^ |] —4 1, x e <1,3] a = 3 , b = 4 , c = 1, f(5) = 96 Determinar las siguientes funciones lineales a) f(l> = 1 y f(3) = 3 c) f(7) = 0 f(8) = 42 y b) f(l) = y f(3) = 1 Si f es una función real es devariable real tal que f ( x + 2) = x 2 + x . ' 3* * is [|x|] 1?. . |[|f+x|]-x£j . /(a + 3 )-/(a -3 ) 3 Calcular ---------- — ------- , a * — 2a-3 2 (34) 3 _ 4 R pta. 6 Rpta. a Si f es una función real de variable real tal que f ( x + l) = x 2 +3 Calcular +^ ,a* 0 Relaciones y Funciones 35) 255 Sea f una función real de variable real definida por flx) = mx + b tal que : 2f(2) + f(4) = 21 y f(-3) —f(l) = -16 Hallar el valor de j / ( l ) Sea f ( x ) = ln(—— ) , demostrar que: 1 -x ¿7) R pta. | f (x ) + f (y) = f (-X +-~-) l + xy Sea f(n) la suma de n miembros de una progresión aritmética, demostrar que: f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0 38} Sea t p ( x ) = - ^ ( a x + a x ) y i//(x) =-^-(a-a x ) Demostrar que: <p (x+y) = cp (x) cp (y) + y (x) y (y) y V (x+y) = (p (x) y (y) + <p (y) 39) (x) Demostrar que, si f(x) es una función exponencial, es decir j'(x) - a x (a<0) y los números x ,,x 2,x 3 constituyen una progresión aritmética, los números f ( x l ) , f ( x 2) y / (x3) forman una progresión geométrica. 40) Hallar analíticamente el rango de la función f ( x ) = 4 x - x 2 - 1 , x e 4 j) Determinar el rango de la función / (x) = -J2x--Jx , sí x e [1,9] 42) Determinar el dominio, rango y graficar la función f { x ) = x 1 + | x | - x + 1. 43) Hallar el dominio, rango y graficar las funciones dadas. 44) ^ a) ./( * ) = [ | l - x 2 |] Sí í l-2 x , - l< x < 0 f(x)= \ ’ )[|3 + co sx |] , x > 0 b) , ’ Hallar dominio, rango y graficar f + g. [0,10]. g (x )= 4 x +4 - 4 íx 2 , x < 0 g(x) = \ ' sv ' [senx , 0 < x < ? r x -5 Eduardo Espinoza Ramos 256 Halle el dominio, rango y dibujar la gráfica. a) fix) = J x 1 -1 6 V 2 x -1 b) fix) = d) / ( x ) = [| |l - 2 x 11] f) / ( x ) = ^ / [ |x |] - 3 x [ U 2 - 1 6 |] X4 1*1 c) fix) = e) / ( x ) = [ |x 2 - 2 x - 3 |] |x |- [ |x |] Vx~2 - 9 g) , x e < - 5 ,- 3 ] x -2 / ( x ) = | x -e3 1—2 , x e < -3 ,5 ] h) / ( x ) x+ 2 1—x x - | x - 2 | , x e [ 0 ,4 > I x | +2 , x e [-7 ,-2 ] 5 - x , x e < - 2 ,3 > / (x) = j) , x e[3,5] f i x ) = [ | | | ] + x , I x |< 2 í-ix+n 2x - 1 k) f{x) = 1) fix) = H) fix) = x e [-3,0 > 2 + V x - 4 , x e [4,8 > x 2 -1 0 x + 26 , x e < 5 ,7 ] i) , , x e[2 ,5 ] I a —11—2 |]x - 2 x , x e < - l , 2 > Ix —4 1 , x e [2,9 > 3 x - [ |l + x |] si [|x |] es impar [| - x |] 2 5 -x 7 -x si [| x I] es par V x e [-2,4] , x e [ -5 ,— ] 27 V Ü -3 I , * e [ |,4 > Determinar una función polinómica de segundo grado f(x) tal que f(0)=-5,f(-l)=l, f'( 1)=-7 (47) si x e [-1,10] Hallar el rango de la función J'(x) x +x + 2 Relaciones y Funciones 257 Hallar el rango de la función f (x) = — —— ~+ - X— 1 - , sí x e <0.1> 2 -V u n u i] Hallar el rango de la función f ( x) = 8x[| — —— |] + x 2[| — —- | ] donde D r = < - 1,1] x -4 x+2 50) Hallar el rango de la función f ( x) = - + ——— sí x e <-3,5> 2 1jc—2 1H-l Si f (x ) = - ^ — T y D f = [4,20], Hallar R f l + x~ ' Hallar el rango de la función f ( x ) = — ------ , sí x e [1,10] 4x +1 ^3) Dado f ( x ) = 4 --J (x + 6)2 - 9 , x e < -o o ,-ll> . H a lla rá / 54) 2 r. 7 - x Determinar le rango y graficar la función f ( x ) = \ 4 - x [| 55) Determinar él domino, rango y graficar la función / (x) = 1 -x , x > l COS7T, - 1 < X < 1 x - x 2, X < —1 56) Hallar el rango y graficar las funciones: a) /W = [I1 ^ | ] , x £ [-1,3] b) / ( x ) = J | x | - | [ | x | ] , x 6 [ - 2 ,l > Calcular el rango y graficar las funciones dadas: x +5 x-2 a) ■slx2 - 9 - 2 , - 5 < x < -3 si Ijc—2 1> 3 f ( x ) = 4 x 2 + 4x —1, si 0 < x < 1 b) / ( x ) = | x + 2 1-3 , 0 < x < 5 3 x -1 6 2+ 12 x - 5 1, si 2 < x < 3 x —5 x> 6 258 Eduardo Espinoza Ramos - | . r + 4 |, .sí - 8 < x < 2 |x + 3 |, si - 4 < x < 0 c) /(* ) = 3 - x 2, si O< x < 4 - 2, d) x 2 - 4 x - 2 , s/ 2 < x < 5 /« = - x 2 + 1 0 x -2 2 , si | x | > 4 sí 5<x<8 - 3 , si |x |> 8 Consideremos dos funciones reales de variable real, f,g: R -> R si D f r\Dg , Entonces: a) Igualdad de Funcios^.vDiremos que las funciones f y g son iguales sí y sólo sí Ejemplo.- Las funciones f ( x ) = 3 - 1 . «(x) = x 3 -3 Son iguales porque £ Ejemplo.- Las funciones =D, :'x ,~ g (* . ’ puesto que D, ■- ' - ' . i '• o ?;on : " Ejempíu.- la s funciones ;<x) = son iguales x a : .’c ¿ . * £>,, \ « <Jr ner < * •• • • lies !] í ij i.i qi. . sus d o m m ic '* 1 ■ mv. icn b) Suma de Fmidoues.Teniendo en cuenta v-!(: i ’a regla de correspondcncn DEFINICION.- • . Si f res; . i . ■K -;on . ' : a se si :.ine: id< >*. fu* , ! ; . i . - y -.y >.• (x )\ , v r) , • ¡ f*i ‘ t v . ' u,, ■por 259 Relaciones y Funciones i) *i> i S + g ) ( x ) ^ f U ) + g{x) a Vx<sDf Ejemplo.- Hallar f +gs i : f={(-l,2),(0,0),(2,4),(3.-l),(4,3)}, g= {(2,0).(3,4),(4,7),(6,2)} Solución Primeramente calculamos el dominio de f y g. D f = {-1,0,2,3.4} , Dg = {23.4,6} Luego calculamos el dominio de la suma: D r+g = D r a £>? = {2,3,4} ahora calculamos los pares ordenados que pertenecen a f + g. ( / + g)(2) = / ( 2) + g( 2) = 4 +0 = 4 ( / + g)(3) = f ( 3 ) + g(3) = -1 + 4 = 3 (2,4) e f + g (3,3) e / + g => ( / + g)(4) = /( 4 ) + g(4) =3 + 7 = 10 (4,10) e / + g Luego la suma de f y g es: f + g = {(2,4),(3,3),(4,10)} Ejemplo.- Calcular (f + g)(x) sí: \2x +1, si x > 1 f(x) = \ . [x Í3x +1, si x < 8 , gW = ] . - 2 , s i x < 0 [ 2 jc Solución Primeramente calculamos el dominio de f y g D r — < —oo,0> u [l,+ * > , = < -o o ,8] u < 1 0 ,+ o o > Luego calculamos el dominio de la suma f + g es: ■*----------- o 0 D r+g = D r a o----------------------------------------- ►Df 'i 1 8 -• 10 D f+(! = D f A D fi = < -o o ,0 > u [1,8] u < 1 0 ,+ oo> o--------- • Dn 9 Dg , s i jc> 10 260 Eduardo Espinoza Ramos Ahora definimos la suma en cada intervalo Si x < 0,( / + g)(x) = f ( x ) + g(x) = x 2 - 2 + 3x + 1 r x 2 + 3 x - \ Si 1 < x < 8, (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x + 1 + 3x + 1 = 5x + 2 Si x < 10, ( / + g)(x) = f ( x ) + g(x) = 2x + 1 + 2 jc3 = 2 jc3 + 2x + 1 Luego la suma (f + g)(x) es: ( f + g)(x)- x~+3x-l si x < 0 5x + 2 si 1 < x < í 2x3 +2x + \ si x > 10 c) Diferencia de Funciones.Si f y g son dos funciones con dominio D f y D g respectivamente entonces a la diferencia de f y g denotada por f - g se define: i> Df , ~ D f / n, ¡i) 11 - g m = m - g(x). v « 0 / a d . Ejemplo.- Hallar f - g si f = {(1,2),(2,5),(3,4),(4,1)} y g = {(0,2),(1,0),(2,1),(-1,3)} Solución Primeramente calculamos el dominio D f y Dg : D f = {1,23,4}, D g ={-1,0,1,2} Ahora calculamos el dominio de la diferencia ^ f g =Df Calculando los pares ordenados que pertenecen a f —g í(/-á f)(l) = / ( l ) - g ( l ) = 2 - 0 = 2 ^ f(1.2) s . f - g \ ( f - g ) ( 2 ) = f ( 2 ) - g ( 2 ) = 5 -1 = 4 ^ [(2,4) e f - g Luego la diferencia f - g es: f —g = {(1,2),(2,4)} a D ? = {1,2} Relaciones y Funciones d) 261 Multiplicación de funciones.Si f y g son dos funciones con dominio D r y Dg respectivamente, entonces a la multiplicación de f y g denotado por f.g se define: I) D/ g = £ ) y A D s : V .t 6 /> / A Ü g Ejemplo.- Hallar f.g si: f = {(1,4),(4,5)(2,3),(3,2)} y g = {(0,2),(1,2),(2,-1),(3,0),(5,2)} Solución Primeramente calculamos el dominio Df y D g : D r = {1,23,4}, D g = {0,1,2,3,5> Ahora calculamos el dominio del producto: D f g = D r a Dg = {1,23} Calculamos los pares ordenados que pertenecen a f.g (/.g )(l) = / ( l ) + g(l) = 4.2 = 8 (1.8) € f . g (/.g X 2 ) = / ( 2 ) + g (2 ) = 3 .(- l) = -3 (2,-3) g f . g (/.g )(3 ) = /( 3 ) + g(3) = 2.(0) = 0 (3,0) e f . g Luego el producto f.g es: f.g = {(l,8),(2,-3),(3,0» 2x + l . x > l Ejemplo.- Hallar (f.g)(x) donde: f ( x ) = \ 2 , g(x)=. \x 2 - 2 , x <0 Solución Primeramente calculamos los dominios de f y g: D f -- < -oo,0 > u [l,+oo > , D g = < -x>,8] u < 10,+oo > Ahora calculamos el dominio del producto f.g 3.r +1 , x < 8 3 2 x 3 , .r > 10 Eduardo Espinoza Ramos 262 D f g = Z ) r A D g = < - o o , 0 > u [1,8] u < lO .oo > Ahora definimos el producto en cada intervalo Si x < 0, (f .g)(x) = f ( x ) . g( x ) = (x 2 -2).(3x + 1) = 3x3 + x 2 - 6 x - 2 Si 1 < x < 8, (f .g)(x) = f (x ) .g (x ) = (2x + l)(3x + l) = 6 x 2 + 5x + l Si x > 10, {f.g)(x) = f (x) .g {x) = {2x + l)2x3 = 4 x 4 + 2x3 3x3 + x 1 —6x - 2, Luego el producto (f.g)(x) es: (f.g){x) = 6x2 + 5x +1 4x4 + 2x3 e) si x < 0 , si 1 < x 10 Cociente de Funciones.Si f y g son dos funciones con dominios D f y Dg respectivamente entonces el cociente de f y g denotado por f/g se define Ejemplo.- Hallar f/g si: f ={(-2,3), (0,3), (4.0), (5,-3), (6,3)} y g ={(0,-2), (-2,5), (3,2), (5,0), (8,-2)} Solución Primeramente calculamos el dominio de f y g: D f = {-2,0,4,5.6}, D g = {-2,0,3,5,8} Ahora calculamos el dominio del cociente f/g D r/g = D f A —{x e D g i g(x) = 0} = {-2,0,4,5,6}n {-2,03,5,8}-{5 e D , / ^{5) = 0} = {-2,0,5}- {5} = {-2,0} Relaciones y Funciones 263 Calculando los pares ordenados que pertenecen a f/g g g(~2) ( - 2 ,-^ ) g — 5 5 g (0,-2) e Z Y g(0) 2 2 2 1 Luego el cociente — es: g g f 3 3 — = {(-2,—),(0,— )} g 5 2 /' Í2x +1, si x e[-3 ,0 > fx2 + 1, si x g [-2,21 Ejem plo.-Hallar (—)(x) si: / ( x ) = < ,g W = . g |x + 2 , si x e [0,4] [x —4 , si x g< 2,5] Solución Calculando los dominios de f y g: D f = [-3,0 > u [0,4] , £>? = [-2,2] u < 2,5] Ahora calculamos el conjunto { x e D g / g(x) = 0} a) Si x b) Si x e <2,5] => g [-2,2] => g(x) = x 2 + l = 0 g(x) = x —4 = 0 -3 -2 -{4} = [-2,0 , si x g [-2,0 > ( - ) ( * ) = A ——, si x g < 0 ,2 ] Df i g = D f a í ),, 2x +1 0 x ¿ +1 x ‘ +1 x+2 , x+4 s í x g <2,4> > u => 3 x => x = 4 2 tal que g(x) = 0 entonces: 4 x g <2,4>u <4,5] 5 <0,2] u < 2 ,4 ]-{ 4 } = [-2,0 > u < 0,2] u < 2 , 4 > 264 Eduardo Espinoza Ramos M í i l COMPOSICIÓN m F D N O O N E S.Definición.- Dadas dos funciones f y g, tales que: f: A ----- >B ; g: B ----- > C y que R f AÜf, *(j), entonces la función compuesta g o f es aquella función definida por: h =g o f\ OBSERVACION. Para que exista la composición de funciones g o f es necesario que: Rf a D g *<f>. ILUSTRACION GRAFICA i») ' ¿W cC Relaciones y Funciones 265 Ejemplo.- Sean f = {(0,1),(1,2),(2,3),(4,3),(5,2)} yg= {(6,7),(5,4),(4,3),(2,4),(1,4),(0,7)} Hallar Dgof , Dgof , así como f o g y g o f. Solución i) Calculando Dg°f fog {x G D g / X G D g A g ( x ) G D f } por definición: 2, 4, 5, 6} 4 4 4 4 4 g(i) g(2) g(4) g(5) g(6) ll ii 4 II 4 II 7 II 4 ll 7 Dg= { 0, 1 g(0) 1, 3 _____y veremos cuales pertenecen al D f Se observa que el 4 & D r entonces D r„g ={ 1,2,5} Ahora veremos su regla de correspondencia. (/0g)(l) = /( g ( l) ) = / ( 4 ) = 3 (fog)(2) = f(g(2)) = /(4) = 3 (/» g )(5 ) = / ( g ( 5 ) ) = /(4)=3 (1.3) G f og (2.3) g fog (5.3) g f o g f o g = {(1,3),(2,3),(5,3)} ii) Calculando Dgof ; Dgof —{ x & D f / x & D f a f ( x ) g Dg } por definición. Eduardo Espinoza Ramos 266 Df = { O, 1, 2, 4, 5} f(0) f(l) f(2) f(4) f(5) II II II II II 1 2 3 3 V._______ 2 _______ y Veremos cuales de estos elementos pertenecen al Dg , entonces 1 e Dg , 2 e Dg luego: D eof ={0,1,5} Ahora veremos su regla de correspondencia. (g»n(0) = g (/(0 ) ) = g(l) = 4 (0,4) e g o f (go/')(l) = g ( /( l) ) = g(2) = 4 (1.4) 6 g o f (go.f)(5) = f (g ( 5 ) ) = g(2) = 4 (5.4) e g o f g o f = {(0,4),(1,4),(5,4)} Ejemplo.- Sean f, g: R — » R tal que: f ( x ) = x 2 + 2x + 3 , g(x) = x —5 Agof)(l) + (fog)(2).(fog)(3) - (gogX 2) 1-2 Hallar [(fng)(2) Solución Calculando cada una de las operaciones (g o í)(l) = (g(f(D) = g(6) = 1 ; (fog)(2) = (f(g(2)) = f(-3) = 6 (fog)(3) = f(g(3)) = f(-2) = 3 ; (gog)(2) = g(g(2) = g(-3) = -8 Ahora reemplazamos en la expresión dada: ri g o / m + (Jog)(2)lfog)(3) -(gog)(2) (fog){ 2) 2 _ 1+ (6)(3) - (-8) 2 = 27 2 = ,9 12 = J _ J 16J6281 Relaciones y Funciones r. , c Ejemplo.- Sea 267 , v |- 3 x 2 + l si x > 1 g(x) = < . [x-l si x < \ TI „ Hallar (gog)(l) + 2 g (-l) —-------------e—— (go g )(-l) + g '( l ) Solución = g ( g ( l ) ) = g ( - 2) = -3 (gog)í-D = g ( g ( - l ) ) = g(-2)=-3 ( g o g ) ( l) Calculando cada operación se tiene: g (-l) = -2,g(l) = -2 Ahora reemplazamos en la expresión: (gog)(-\) + g 2(l) Ejemplo.- Si í{x)=x2 encontrar dos = -3 + 2(-2) = ± ± = _ 1 - 3 + (-2) -3 + 4 funciones g para los cuales ( fag)(x) = 4 x 2 - 12x + 9 Solución ( f o g ) ( x ) = f ( g ( A-)) = 4.V2 - 12x + 9 = (2.x - 3 ) 2 g 2(x) = (2 .v -3 )' => g(x) = ±(2x-3) g l ( x) = 2 x - 3 , g 2 (x) = - 2 x + 3 Ejemplo.- Dadas las funciones f(x) = 3x- 2 si x e < 0 ,+<»> ; g ( x ) = x 2 sí x e <-3,5> a) b) Hallar fog (la función f composición g) Hallar gof (la función g composición f) Solución a) 1ro. calculamos el dominio de f o g: D foK - {x e Dx l x e x e Dg a Ag(x) e D f } g(x) e D , x €< -3,5 > a x 2 e< O.oo > x e <-3,0> u <0,5> entonces x e <-3,5> A <-x,0> u <0,x» Eduardo Espinoza Ramos 268 2do. Calculando la regla de correspondencia de f o g ( fog)(x) = f{g(.x)) = / ( x 2 ) = 3x 2 - 2 Por lo tanto: (fog)(x) 3x 2 - 2 para x g <-3,0> <0,5> u 1ro. Calculamos el dominio de g o f: D gof ~ { x &D f I x & D r a J'(x) e D g } x e D, x g a f ( x ) e Dg <fí,oo> A 3x —2 e <-3,5> x e <0,oo> A - l < 3 x < 7 entonces entonces x g <0,°o> A -3 < 3x —2 < 5 jcg < 0 , oo> a 1 7 — < x < — => x e < 0 , 3 3 OJ I b) = 2do. Calculando la regla de correspondencia de g o f (gof)(x) = g ( f ( x ) ) = g ( 3 x - 2 ) = ( 3 x ~ 2 ) 2 = 9 x 2 - \ 2 x + 4 Por lo tanto: (gof )(x) = 9,v2 -1 2 x + 4 , para: , v e < 0 ,- > Ejemplo.- Hallar fog si f(x) = 3x + 2, x g <-oo,3>, g(x) = Solución donde £ )„ * = /)„ u £ )„**2 dominio de la función g Ahora calculamos el dominio de f o g D,og = { x e D g / x e D e = { x e Dg¡ a a g ( x ) e D , \ = { x e D g l x e D g¡ u D g^ a g ( x ) e D f } g x(x)D f } u {x g Dg2 a g 2 (x) e D f } = D fog¡ u £>^ Relaciones v Funciones 269 Ahora calculando D ^ D roe, = t i e D g, ! x e y D to;¡ Dg¡ a g ((x) e Dr \ x e <-x,0> A 2x e <-oo.3> x e <-*,0> A x e <-oo,3/2> D fog2 = {x e /x e x e [l,oo> A -3x e <-oc,3> D /og, entonces x e <--*>,0> por lo tanto D fo^ - < -*>,0 > a g 2(x) e D f } entonces x e [l,x>> A x e <-1,qo> entonces x e [1,*> =[1.»> (/og! )(x) = / ( g , (x)) = f ( 2 x ) = 3(2x) + 2 = 6x + 2 ( f o g 2 )(x) = / ( g 2 (x)) = / ( - 3 x ) = 3(-3x) + 2 = -9 x + 2 (./«g)(x) = 6x + 2 si x e< —oo,0 > - 9 x + 2.si x e [ l , » > Ejemplo.- Hallar (f o g)(x) sí: Ix ' si x < 1 í —t si x < 2 /(x ) = < , g(.v) = • [ - x3 í / x > 2 [2 x sí x >4 Solución Veremos el caso cuando las funciones tienen dos reglas de correspondencia. í/i( x ) /W = L . | / 2(x) si x e D r . n ‘ . s; x e D /z £ (* )= íg(x) .sí x e D „ /' » ■ n [g 2W * e D Í2 el dominio de f o g se obtiene siguiendo el mismo criterio del ejemplo anterior, es decir: 0 D f w , = V e Dk¡ / x e Dg¡ A g, (x) € D fi} x e<-oo,2> A -x e <-,» ,l> entonces x e<-'»,2> A x e <-l,oo> de donde x e< -l,2> i¡) n Aog2 = ( t e Dg, / x e Sj a g 2(x) e /,} x e [4,oo> A 2x e <-*>,!> entonces x e [4-oo> A x e <-*>,l/2> => x e Eduardo Espinoza Ramos 270 ¡¡i) D >2 ogi = ^ e / x e a g i (x) e D u } x e<-oo,2> A -x e [2,oo> entonces x e<-oo,2> A e <-oo,-2> de donde x e<-oo,-2] iv) D fi0g¡ = {x e D ?, / x e D gz a g 2(x) e D /2} x e[4.oo> A 2x e [2,oo> entonces x e[4,oo> A x e [1,*> de donde x e[4,oo> Luego de i ) , iii), iv), la regla de correspondencia es: (J\og\ )(x ) = ,/¡ (g ¡ ( x ) ) = / , ( - x ) = x 2 ( Í 2 ° 8 i )W = f i ( g \ W ) = h (~ x ) = X3 (,/2o g 2 )(x) = / 2 ( g 2 (x)) = h (2x) = - 8 x ‘ , luego (/lOgiXx) (fog)(x) = ( / 2ogi)(x) ( J 2 ° g 2 )(x) 2.18. x' , .s¡ x e< -1,2 > , s/ x e < -o o ,-2 ] (/og)(x) = x 2 , si x e [4,oo> , si x e < -a o ,-2 ] , .sí x e < - l,2 > - 8 x 3 , si x e [4 ,o o > PROPIEDADES DE LA COMPOSICION DE FUNCIONES,Consideremos las funciones f, g, h, I (identidad) 2.19. © © f o g * g o f no es conmutativa © (fóg) o h = fo(goh) asociativa © (f + g) o h = (foh) + (goh) distributiva © (fg) o h = ( f o h ).(g o h ) © fo I = f , I o f = f , V f ® I " o l m = J nm, n , m e Z + © I v ”o l " = 7" o I 1"' = / , w e z + ,nim par © /" = /././.. J EJERCICIOS DESARROLLADOS. Dada las funciones f= {(2,1),(-2,3),(1,5),(-3,4),(7,8)); g = {(3,-2),(7,2),(-3,l),(2,4)} Calcular f + g, f - g, f.g , f/g Relaciones y Funciones 271 Solución Calculando el dominio de cada función: D f - { - 3,-2,l,2,7} ; D e = {- ■3,23,7} Como D r^g = D r- g = D f g = D f a Dg ={-3,2,7} (-3,5)e/ + g (./ + g )(-3 ) - . / (—3) + g (-3 ) = 4 + 1=5 ( / + íf )(2) = f ( 2 ) + g(2) = 1+ 4 = 5 (2,5) e / + g (7,10) e / + g =* ( / + #)(7) = / ( 7 ) + g(7) = 8 + 2 = 10 /. f + g = {(-3,5),(2,5),(7,10)} ( / - g ) ( - 3) = 1 (-3 ) -¿ K -3 ) = 4 - 1 = 3 ( / - g >(2) = / ( 2 ) - g (2 ) = 1- 4 = -3 (-3,3) e / - g =* (2,-3) e / - g (7,6) e / - g (/-g ) (7 )= /( 7 ) -g (7 ) = 8 -2 = 6 f-g= {(-3,3).(2,-3).(7.6)} (-3,4) e / .g (/.g )(-3 ) = /(-3 ) .g (- 3 ) = 4(1) = 4 (./.g)(2) = /(2 ).g (2 ) = l ( 4 ) = 4 => (/.g )(7 ) = /(7 ).g (7 ) = 8(2) = 16 (2,4) e f .g (7,16) e . / ‘.g f . g = {(-3,4),(2,4),(7,16)} Calculando el dominio de f/g: (Z f = r1 íf |(- , , = T g(~3) D / /? = / ) , - a D>r- { * /g(jc) = 0} = {-3,2,7} 4 (-3,4) e — g /(2 ) _ 1 (—)(2) = g(2) 4 g (2 ,1 )./ 4 g (7_)(7) = / Í Z l = | = 4 (7,4)e — g g(7) 2 — = ¡(-3,4), (2,-^-), (7,4)} 2 4 © Sean f = {(1,3),(3,5),(2,4),(4,6)}; g = {(4,1),(0,-3),(3,2),(1,0)}. Hallar f/g Eduardo Espinoza Ramos 272 Solución Calculando el dominio de cada función: D f = {1,2.3.4} , Calculando el dominio de f/g: D rig = D r g g(3) 2 2 ® g(4) D e - { x / g(x) = 0\ = {1,3,4} —{1 }={3,4} g (4.6) e áT a DR = {0,1,3,4} — - {(3,2),(4,6)| / g 2 1 [jc + 4, x < - l Si f ( x) = 4 jc —3, —1 < j c < 4 -2 x , —4 < jc < 3 , g(x) = < . -4 , x> 3 Calculando f + g Solución Calculando el dominio de cada función: D f = < - « ,- 1 > u [-1,4 > ; Dg = < -4,3 > u [3,oo > Ahora interceptamos los dominios------- um m rnm m m m w im m im aiiiim ri -4 D rJ.g = D f a Ds = < -4 ,-1 > u [-1.3 > -1 u [3,4 > Si x e < - 4 ,- l> , f(x) + g(x) = x + 4 - 2 x = -x + 4 x e [-1,3>, f'(x) + g(x) = x - 3 - 2 x = - x - 3 x g [3,4>, f(x) + g(x) = x —3 —4 = x —7 -JC + 4 si de donde ( / + g)(x) = - x - 3 jc © —7 jc e < - 4 ,-1 > si x e [-1 ,3 > ,v ;x e [3 ,4 > Hallar (f + g)(x) si f y g están definidas por: 3 Relaciones y Funciones 273 [ | jc|] , si - 3 < jc <1 f(x) = |JC —1 I . -V/ I x - 1 |< 1 , si | .r - 1 1> 1 3jc • g(x) = -2 , si \ < x <2 1 - 2 jc , si x <2 Solución |x -l|< 1 -1 < x —1 < 1 => 0 < x < 2 |x —11> 1 x —1 >1 V x - K - l Ahora a la función f(x) expresamos así: => x>2 V x<0 f (x) = | x - 1 1 si 0 < x < 2 3x si x e< -oo,0 > u < 2,+oo > Dibujando los dominios de cada función en una recta horizontal. ■Dr 1 -O =Df D e = [-3.0 > u [0,1 > u [1,2] u < 2,oo > a Calculando la suma en cada intervalo x g [-3,0> => x e [0.1> X € [1,2] f ( x ) + g(x) = 3a+ [|jc|] /(jr) + g W = |jc - l|+ [ |jc |] => / ( x ) + g(x) = | jc- 1 |- 2 X € <2,00> => líx) + g(x) = 3x + 1 - 2x = x + l NOTA.- Se efectúa la operación en sus propias reglas de correspondencia 3* + [| x |] ( / + g)(x) = , si jc e [-3,0 > j jc - 1 |+ [ | jc|], si .re [0 ,l> | x - 1 1-2 , si jc + , si .v e < 2 ,+ * > 1 x e [1,2] 274 © Eduardo Espinoza Ramos sr flx) = |x - 2 | + |x + 2 |, g (x )= [3x + 2, s i x < 0 . [ l- .t, .s íjc > 0 y H(x) = fíx) + g (x ), D H = [-2,3 > . Hallar la gráfica y el rango de H. Solución Primeramente definiremos los valores absolutos \x~2\ = x - 2 , si x > 2 2 - x , si x < 2 U + 2| = -2 x +2 , si x > - 2 - x - 2 , si x < - 2 2 Ahora definiremos f(x) en cada intervalo Si x < -2 , ftx) = (2 —x) + (-x —2) = -2x -2 < x < 2 , fíx) = 2 - x + x + 2 = 4 x > 2 , flx) = x - 2 + x + 2 = 2x - 2x , si x < - 2 por lo tanto f(x) = 4 , si - 2 < x < 2 2x . si x > 2 Ahora calculemos los dominios de cada función D4 -2 D„, Da = [-2,3 > = [-2,0 > u [0,2 > u [2,3 > Definiremos a la función H(x) en cada intervalo x e [-2,0> => H(x) = 4 + 3x + 2 = 3x + 6 x € [0,2> => H(x) = 4 + 1 —x = 5 —x Dg Relaciones y Funciones x e [2,3> 275 H(x) = 2x + 1 —x = x + 1 Y Por lo tanto la función H(x) queda definida por: 3x + 6 si ~ 2 < x < 0 H(x) = <5 - x si 0 < x < 2 x +1 si 2 < x < 3 Calculando ífa), para esto x + 2 = y => x = y - 2 Como x e <-5,5] => y-2 e <-5,5] de donde -5< y - 2 <, 5 => - 3 < y < 7 = > y e <-3,7] Luego f ( x + 2) = x 2 => f ( y ) = ( y - 2 ) 2, y e <-3,7] Ahora evaluamos en x: f ( x ) = ( x - 2)2 , x g <-3,7] Calculando g(x), para esto x - 1 = y => x = y + l Como x g [-2,2] => y + 1 g [-2,2] => - 2 < y + l < 2 = > - 3 < y < l => y g [-3,1] Luego g ( x - \ ) = x 2 => g (y ) = ( y + \ )2 ,y e [ - 3 .1 ] Ahora veremos en x: (7 ) g(x) = (x +1)2 , x e [-3,1 ] Calcular (f+g)(x) y (f/g)(x), donde f ( x) V i - * , Si JC<1 r V* Solución Calculando el dominio de cada función , si jc> 4 je" - 1 , si jt < 0 x ;g (* ) = {x , si Q < x ú 2 x + 5 , si x > 2 Eduardo Espinoza Ramos 276 D , =< —oo,l] u [4,+oo> , Dg = < -oo,0> u [0,2] u <2,+oo> Ahora calculamos D f+g -► D f 1 0 -o 4 D„ D f +g = D f A Dg = < -oo,0 > u [0,1] u [4,+oo > Calculando f(x) + g(x) en cada intervalo Si x e <-oo,0> , x g [0,1], f ( x ) + g(x) = - J l - x + x 2 -1 f ( x ) + g(x) = J l - x + x x g [4,+oo> , f ( x ) + g(x) = -Jx +x +5 • J l - x + x 2 -1 , sí jc<0 ( / + g )(*) = f M + g(x) = -JT-x + x , si O < x < 1 -Jx + x + 5 , s¡ x S 4 Ahora calculamos D f¡K es decir: D//g = Df K D g - {* / g(x) = 0} = <-oo,0> u [0,1 ] u [4,+oo> - {O,-1} = <-oo,-1> u <-1,0> u <0,1 ] u [4,+oo> -Jl-x , si X G< -00,-1 > U < —1,0 > *2-i V i-* JC , Sí X G< 0,1] , s/ jt + 5 * > 4 Relaciones y Funciones © 277 Calcular (f + g)(x) y (f/g)(x) donde x , si x < - 2 r----/ ( * ) = V l - x , si - 2 < x < 0 X , si 0 < x < 2 0 ; . X2 -1 , SÍ ~ 1 0 < X < 2 g(x) = < r _ ,six > 2 Solución Calculando el dominio de cada función D f = < -oo,-2 > u f—2,0 > u [0,20 > , D g = < -10,2 > u [2,+oo > Ahora calculamos el D f+g -o • --------o -10 o— -o D# -2 20 -> D n Df+g = D f A Dg = < -1 0 ,-2 > u [-2,0 > u [0,2 > u [2,20 > Calculando f(x) + g(x) en cada intervalo. x e <-10,-2>, / ( x ) + g ( x ) = x 2 -1 + x 2 - l = 2x2 - 2 x e [-2,0>, /(jc) + g(x) = 4 l - x + x 2 - 1 x e [0,2>, f ( x ) + g(x) = x + x 2 -1 x e [2,20>, f ( x ) + g(x) = x + -Jx 2x2 - 2 Luego se tiene: ( / + g)(x) = / ( x ) + g(x) = si -1 0 < x < -2 • J l - x + x 2 -1 si —2 < x < 0 x + 2 x -l s/ 0 < x < 2 x+ si 2 < x < 20 Eduardo Espinoza Ramos 278 Calculando (f/g)(x) x2- l —2— si -1 0 < JC< 2 —{-1.1} x —1 1 si x e [-2,-1 > u < -1,0 > , x2-l ósea (—){x) = si x e [0,1 > u < 1,2 > g x2-l si - 2 < * < 0 - { - U } (A(x) = x g — si 0 < jc < 2 —{—1,1} x -1 4~x ( 9) si —10 < jc < —2 si x e[2 ,2 0 > si 2 < x < 2 0 ■Jx Dadas las funciones definidas por: f = {(0,0),(4,3),(2,4),(-3,2),(3,-1)} y g = {(6,2),(3,4),(2,0),(4,7)}. Calcular f o g Solución II Q . es decir: {xl x e D g a g ( x ) e D f } 3, 4, 6 i 4 4 g(2) 8(3) 8(4) 8(6) II II 4 II ll 7 2 Dg = { 2, 0 } V Veremos cuales pertenecen al Df Se observa que: 0 e D y , 4 g D r , 2 & D f entonces D fog = {2,3,6} Ahora calculamos los elementos de f o g (f°g)(2) = f ( g ( 2 ) ) = / ( 0 ) = 0 (/óg)(3) = /(g (3 )) = / ( 4 ) = 3 (fog)(6) = f ( g ( 6 ) ) = f ( 2 ) = 4 (2,0) g Dfog => (33) e Dfog (6,4) g D fag f o g = {(2,0),(3,3),(6,4)} Relaciones y Funciones (ío ) 279 Sean las funciones reales de variable real / ( x ) = J * + ^ ^ [x - 1 , x > l g(x) = i * ’ * < ^ ( l—x , x > 0 Hallar f o g Solución De acuerdo a los criterios establecidos se tiene: / W = ( / l W * ’t + 2 - I S 1 , * w = | * > w " 12 • x < 0 } / ,( * ) = ) t - l . » > 1 = *20 Calculando D /ofi = {xe Z)^ A g, (x) e / ) ^ x e< -oo,0 > A x 2 < 1 desarrollando x e <-oo,()> A -1 < x < 1 => x e [-1,0> (/iO gi)(x) = / 1(g 1(x)) = / i ( x 2) = x 2 + 2 , x e [ - l ,0 > Calculando D /¡ogi = {x / x e _ A g 2(x) e Df ¡ } x e [0.+*> A 1 - x e <-ao,l] entonces x e [0,+oo> A 0 < x < o o => x e [0,+oo> (f\Og2 )(x) = f i ( g 2 (x)) = / i ( l - x ) = l - x + 2 = 3 - x Calculando D f og¡ = {x / x e D g A g x(x) e D f } x g < - » ,0 > A x 2 e<l,+oo> x e <-oo,0> A x e <-oo,-l> u <l,+oo> = <-ao,-l> => x 6 < -» ,-l> ( f r ° g \ )(x) = f 2( g X(x)) = / 2(X2) = x 2 -1 Calculando D y j<#j = { x / x e D g A g 2( x ) ^ D f i } x e [0,+oo> A 1 - x e < !,+ «> entonces x e [0,+oo> A x e <-oo,0> => (j) x 2 -1 si X < - 1 ( fog)(x) = x 2 + 2 si x &[—1,0 > 3 -x si xe[0,+oo> Eduardo Espinoza Ramos 280 (íj) Dadas las funciones: f ( x ) = { *’ * E< °°’1] [-1 , x e< l,+ o o > *(*) = {* 8 ’ * < 0 [ [ |* l ] , * > 0 Calcular (f o g)(x) Solución íf t (x) = x2 -8 si x < 0 f ( x ) \ A M =x , x e < ^ ] I /2 (*) = “ i- x e< l>+a0 > ’ \ g 2 W = [|* |] si x > 0 Dfog = ^->f,ogl u ^/,0g2K ~JP>f1ogl U^>f1°g2 D f log¡ = { x l x e D g¡A g {( x ) e D f i } x < 0 A x 2 - 8 e< -oo,l] x < 0 A -00 < x 2 < 9 => x < 0 A (-00 < x 2 A x 2 < 9) => x < 0 => x < 0 A (R A -3 < x < 3) A - 3 < x < 3 => x e [-3,0> ( A ° ¿ i ) = A ( g i O)) = f \ ( x 1 -8) =x2-8 (/lO g i)(*) = * 2 - 8 , X 6 [-3,0> D.f¡og1 - { x f x e Dg A g 2(x) e D ^ } i > 0 A [|x |]e < -o o ,l] => jc> 0 A —00< [|ar |] < 1 => x > 0 A-oo<x<2 => x e [0,2> (f\Og2 )(*) = /1 ( g 2(x)) = / j ([|x |]) = [|x |] (f\Og2) ( x ) H \ x \ ] , x g [ 0 ,2 > Df 2og¡ = { x / x e D g¡ A g(x) g D f i } x < 0 A x 2 —8g<1,+oo> x<0 => x < 0 A 9 ) => x < 0 A (x < - 3 V x > 3) = > xg< -oo,-3> 281 Relaciones y Funciones ( f 2° S \ )(*) = h (Si O » = f 2(x 2 - 8) = -1 (Í20Si )(*) = “ I . x e <-«v3> D f 2og2 = { x / x & D gi A g 2( x ) G D f 2} x > OA [| jc |] e< 1,+ qo > => => x >0 A2 <x <o o =>xe [2,+oo> jc> 0 A 1 < [ | jc| ] < +oo Ü 2 ° S 2) = f 2( g 2 (*)) = f i (tix I]) = “ I • x e [2,+«» ( f 2° g 2 )M = " I . x 6 [2,+oo> x 2 - 8 si x e [ - 3 ,0 > (fog)(x) = [| x |] —1 ( Í 2) si x e [0,2 > si x e< —oo,-3 > i^{2,+oo > Si f ( x ) = x 2 y (fog)(x) = 4 x 2 -1 2 x + 9 encontrar dos funciones g(x). Solución (fog)(x) = f ( g ( x ) ) = 4 x 2 -1 2 x + 9 g 2( x ) = ( 2 * - 3 ) 2 => g(x) = ± ( 2 x - 3 ) 13) g 1(x) = 2 x - 3 , g 2(x) = -2 x + 3 Sí f(x - 1) = x - 2 y (gof)(x + 2) = 2 x 2 - x . Calcularg(x) Solución f ( x - l ) = x —2 => fTx) = x —1 (go/)(x + 2) = 2x2 - x (g of )(x) = 2 x 2 - 9 x + 10 g ( x - l ) = 2x2 - 9 x + 10 => (gof)(x) = 2 ( x - 2 ) 2 - ( x - 2 ) = 2x2 - 9 x +10 de donde g (/(x )) = 2x 2 - 9x +10 => g(x) = 2(x + l) 2 -9 (x + l) + 10 = 2 x 2 - 5 x + 3 Eduardo Espinoza Ramos 282 © Si f { x ) = x 2 +2 y g ( x ) = x + a , determinar el valor de a de modo que (f o g)(3) = (g o f)(a —1). Solución (fog)O) = f (g (3 ) ) = f ( 3 + a) = (3 + a ) 2 + 2 = a 2 + 6a + l l ...( 1 ) ( g o f ) ( a - 1) = g ( f ( a -1)) = g((a - l ) 2 + 2) = g ( a 2 - 2 a + 3) = a 2 - 2 a + 3 + a = a 2 - a + 3 - ^ 5) , Igualando (1) y (2) se tiene: , 8 a +6a + \ \ = a - a + 3 ... (2) => a = Si H(x) = eos 2x y f(x) = sen x encuentre una función g tal que H(x) = (g o f)(x) Solución H(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = eos 2x g(senx) = cos2 x - s e n 2 x = l- - 2 s e n 2 x g(x) = 1 - 2 x 2 © Calcular f ± g , f.g , f/g , donde f = {(1,2),(3,4),(2,5),(4,1)}; g={(3,-l),(2,l),(l,0)(0,2)} © Calcular f ± g , f.g , f/g , donde f = {(-3,2),(0,0),(2,4),(3,-1),(4,3)} , g = {(2,0),(3,4),(4,7),(6,2)} © — “ i» / Si f= {(1,3),(2,6),(4,8),(6,2)} y g = {(1,2),(2,-1),(0,1),(4,5),(7,0)} Hallar f + g , f - g , f.g , f/g © Si f= {(1,4),(2,5),(3,6),(4,-6),(5,-5)} y g = {(0,8),(1,3),(2,0),(3,7),(4,0),(5,10)} Calcular f + g , f - g , f.g , f/g © Sean f= {(2,8),(8,4),(6,9),(4,7),(3,6),(1,5)} y g = {(7,1),(3,2),(5,5),(10,5),(1,3)} Hallar f + g , f - g , f.g , f/g " r,J Relaciones y Funciones © 283 Sean f = i(4,l),(6,5),(5,4),(8,3),(9,2),| y g = <(8,-5),(2,2),(5,-4)¡ Calcular f + g , f - g, f.g , f/g © Calcular f + g , f.g . f/g de las funciones Í3x + l , x < 8 Í2x + l , x > l a) f(x) = [x 2 - 2 , x < 0 7 b) f(x) = c) f(x) = • ,x< 10 3 x -l , U - 1 K 1 x , x >3 x - \ , x>ll x2 si X>1 |x - l |s / x~ d) x > 10 JC< 1 U x +l , x > - l g(x) = \ 2 [X - 1 , x < - l si XG [-1 0 ,-7 > f ( x ) = 2x si x e [-4,0 > - x 2 +x , g(x) = - x + 3 x +2 2 x i - 2 si x e < 0 ,8 > Í2x -1 , x e [ 0 ,l> e) /(x ) = f) /(* ) = Ix , x e [ 2 ,5 > x | , x s [-1,3 > g) /(* ) = - 2x + 3 , x e [3,6] x2 - l , | x | < 2 x , x>2 © Hallar (f+g)(x) y (f / g)(x) sí: / ( x ) = © Hallar (f + g )(x ), donde: [| X — 11] , x e< g(*) = g(x) = , si x e < - 8 ,- 4 ] , si x e < - 4 ,0 ] , si x e < 0 ,3 ] 3x , x e< -1,1] 2x , x e< 1,4] -v/x-1 , x e [ l,4 > [| X |] , x e[5,7 > x —1 , 0 < x < 3 gW = x+1 , x < 0 í-\/l—x , x<l IVx , x>4 -4,-1] / ( x ) = [ |x |] + l , x e [0,2] | x - 2 1+3 , x e< -1,0 > u < 2,3] x2 -1 , x<0 , 0<x<2 g(*) = x x+5 , x>2 5 , x e < - 3 ,- l> g(x) = - 2 , x e < 0 , 2 > - 3 , x e [ - l ,0 > u [ 2 ,3 > 284 Eduardo Espinoza Ramos f Dadas las funciones definidas por: f{x) = { 4 jc+ [ | jc | ] [| —jc I]—5jc , x e < -4,-1] (II) Hallar | jc —3 1 (f/g )(x ) , x e < 1,6 > + l |- 3 I|jc g (* ) = , jc e < - 3 ,0 > . Hallar (f + g)(x) y graficar , ig < 0 ,2 ] donde: 1*1 2x /(jc ) = x g [ —5,—1] *6 f[| * —2 1] , x e [0,3 > [1,4] gX ' X1 { , x g [3,6] Hallar (f + g)(x) y graficar donde [ |* - 1 |] 7 , x e [-3 ,-1 > , x e < - 4 ,- l] g(x) = 1 , * G[0,2] / ( * ) = [|* |]+ 1 | jc—2 1-1-3 , j c e < - l ,0 > u < 2 ,3 ] 11) , x e [0,2 > - 2 , x e [ - l ,0 > u [ 2 ,3 ] Hallar (f + g)(x) y graficar donde sig (| x 2 - 4 1) si x 2 <9 si x - 12jc < -2 7 , /(* ) = Ü ^ D jr2 + 10X + 21 si g(x) = 3 , x e R -[9,+oo> | x - 3 1> 6 Dado las funciones f{x) = 2 x - 3 , - l < x < 3 ; g-(jc) = jc—[| jc |] x +2 ---------< 0 Dadas 1as funciones: x-4 7 - jc f(x) = i A jc < o ( r í = í[ll * - 11- 2 1]*2 -2 jc , - 1 < * < 2 Hallar (f + g)(x) [ | jc - 4 1 , 2 < jc < 9 ' y , x e [-2,2] 2jc —1 JC jc —1 5 2 y graficar graficar donde [I*2 l]+1* 2 - 1 1-3 /(* ) = — —<x<4 Vi * - 3 1 Hallar (f+g)(x) r f \)(jc) , x 6 R, hallar (— g e< 2,4 > j4 —[|x |] , x < 2 , g(*) = - 2 , jc> 2 Relaciones y Funciones © 285 Dada las funciones f ( x ) = 2x - [ | 2 x +[| x |] |] , - ~ < x < \ g(x) = | | x —2 | - | x | | , |x| < 1 ; Hallar (f+ g)(x) Hallar (f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x) donde Í3x+1 / w - L 5x , x e [-1,1 > , x e< 1,6] g(x) 2-sfx -1 x e[0,3 > x-2 x g < 3 ,5 ]u [6 ,8 > Hallar (2f —4g)(x), donde U 2-4| x+2 , x g [[I * ~ 3 1], x e [1,4 > x < -2 ,1 > x e [u o > 3x + 5 Calcular (f + g) (x), (f.g) (x), (f/g) (x) y graficar donde Í2x --1 , x e[0,2] a) . / (x) = j b) f ( x ) = 3x, 1 < x < 3 : [3 ,x r ; g(x)=Jx g [3.5] x x <1 -x 2 < x <3 34 , x<6 í[ |x |] [ |x 2 - 4 |] , x < 3 j ( x ) = \ r ------U /x " -1 6 ,x>4 d) f(x) = e) J(x)=\ f(x)=< g(x) = [[|-4 + cosx|] , x > 0 3x + 2 f) íx , x < 2 , g(x) = { ^ ' x>$ , - 3 < x <-1 si x g si x V x -2 [ -4 ,0 ] , g(x) = e < 0 ,5 > , x g [2,4> Ix2 - 14x + 48 , , x<-2 , c) íx + 3 =[1,4] g(x) = 11 eos x , x > 3 1- 2 x , D x g [6 ,I 0 > ■ x<0 sen x , 0 < x < n 2 x - 4 , x e [-3 .2 ] 2 -x g(x) = , x g <2, 8> [|-|] 12x , X G [1,8 > —10 1 , x g [8,12 > Eduardo Espinoza Ramos 286 , g) . \\x - 4 , x e[-6 ,0 ] ,f(x) = \' ' J 2 , jte [l,6 > ux h) Si , . Jx + 2 , x > -2 , g(x) = l 1 , x < -2 4 f |x - l|[ |.v ig ( 3 - x ) |] , x e[0 ,6 ] [ |x - 2 \ , x e < - 8 ,3 > f ( x) = ■ , , g(x) = { x2 , x e < 6 ,1 0 > | x | x - 2 | , x e<3,8] ^ |], .v/ x < 3 x~ +1 X2 + X + 1 [x2 -4 x - 4 .s 7 g (|x |- 3 ) , x e [0,2] x- 1 V x2 +16 , x e < - 4 ,- 2 > j) Si / ( x ) = [| x |] —2x , x e [ - l ,2 > , , g{x) - (22) , x e < - 3 ,- l > [| x2 - 2 1 , x x 2 + 2| , xe<4,6> 21; 2x + 4 , si x e [5,10 > g [-1,5 > Determinar fog , cuando f = {(l,3),(2,4),(3,5),(4,6)f y g = {(4,l),(l,2),(6,3),(0,-2)} Determinar fog , g o f, cuando: f= {(0,1),(1,2),(2,3),(4,3),(5,2)} g = {(6,7),(5,4),(4,3),(2,4),(1,4),(0,7)} 0 Hallar gof sí: f = {(2,5), (3,4), (6,2), (5,0), (1,7)} @ Hallar gof sí: f = {(2,5),(5,7),(3,3),(8,1)} ® Í3 x -2 Sí / (x) = <^ [x ( 26) ,xeM ,4> , x e[4 ,6 ] g = {(1,2),(2,3),(4,5),(6,7)} , g(x) = x" +1. Hallar (fog)(x) Consideremos las funciones reales de variable real [x2 x <0 g(x) = \ ' [l-x , x > 0 {Y n ; y y g = {(4,8),(5,3),(0,9),(2,2),(7,4)} íx + 2 , x —1 ; f(x) =\ . [x —1 , x > l Sean las funciones f y g definidas por: Hallar fog 287 Relaciones y Funciones Hallar: f(0) + g(0) , fll) íT-3) , (fog)(-2) , , (gof)(3) , (gog)(-3/2) -jc +1 , x s< -oo,-2 > 2jc , g ( - l) 28} 29} Hallar fog sí /(jc) = 2 x 2 +1 , x e <-2,20>, g(jc) = Hallar fog sí flx) = 3x + 2 , D f =< -oo,3 > , g(x) = 2x , jc < Jce<6,ao> 0 - 3 j c , jc > 1 Determinar gof si. Í2jc —1 , jc < —1 /(jc) = < [jc + 2 , x > 2 Hallar fog s í , / ( * ) = -1 Íjc , jc< 0 g(x)= \ [2x , x > O x> * <_1 31) 1 © ^ 3) Hallar fog y g o f, donde, , 1 < jc< 2 , jc > 2r-> , x < 1. g(x) = < 1 , jc > 2 , 4 Í2jc-1 , jc e [0,2] f(x) =\ [jc , jce<3,5] , <— g(x)=4x Sí H(x) = 4 x 2 -2jc + 3 y (Hof)(x) = -y/[| jc|] + 3 . Calcular f(x) —11 , JC x< < 33 í[| uJC22 -11 Calcular (fog)(x), donde f ( x ) = \ ---U [Vc*22 + 1 ,, jc jc> > 33 3 , g(x) = jc , jc > 4 | x | —x , JC< O 35) x< <00 Í[| jc|] , jc ,-----JÜ*I] Calcular fog y graficar sí: g(jc) = < , , f ( x ) = - J x + l , -l<x<2 = V - i , jc > 0 36} Calcular fo g , donde, Í2 jc- 5 ~ [-jc-2 37) Sí / ( x) = - j 2 x - \ y 38} Dadas las funciones / ( jc) = 2 jc - [ | g(x) = 11x + 2 , x <2 fN Al * g(x) = < , g(jc) = Ijc" —2jc , le ' jc < , g(x) = ^ 2 x 2 - 7 . Hallar la función h t a l q u e f o h = g 2 x + [ |2 jc |]|], | - 1x | , |x| < 1. Hallar fog , gof 1 Eduardo Espinoza Ramos 288 © Sean / (x) = 2x2 - 1 , g(x) = 4 x 3 - 3x , x e R , probar que fog = gof (40) Si ffa+1) = 3x+l , g(x) = 2x-3 , hallar (fog)(x+l) © Sean f ( x ) = Jx2 , <1 g(x)- - x 3, x>2 - x ,x < 2 2x , x > 4 ’ hallar gof Hallar fog y gof si existen , donde 1 xe<-U> f ( x ) = x —1 | x 2 + 1 1 , x e< 1,2 > f[|x|] , x e [0,1 > g(x) = ' l'Jx2 - 1 , X G [1,3 > , Hallar ( f o g oh)(x) si f ( x ) = x 2 +2x + l , g(x) = x - 2 , h(x) = x - 3 © © Sean f(x) = ax + 2 , g(x) = x —6 , a ^ O , b * 0 Sean / M - P ” 1 • [x/2 , 4<x<6 y si fog = gof hallar b(a-l) J * V l ] - 2 | * l , >i J l < x i O ( x [ |x - 3 |] + 2 , si 2 < x < 4 Hallar fog si existe © Dadas las funciones f y g definidas por: / (x) [ 1 ^ 1 ] , *6<-U > 3-x Vx2 + 2x , x e [ l , 2 > 2 g(x) = x —1 ’ 'Y e f |- 1 | , x e < 0 , 3 > Determinar gof sí Calcular (fog)(x) y (gof)(x) íx , x e [-3,0] f(x) =\ , | x ¿ , x e< 0,5] Sean / ( x ) = [|x |] y g(x) = [|x - 4 | ] , x > 0 x* SiF(x) = ctgx ,g(x) = x -1 5 , x e < - 1 0 , 9 ] , x<0 . Hallar: \ (f og) (x2 ) h(x) = ¡ \(g<>f)(4x) y g(x) = cosecx encontrar una función f tal que , x<0 , x>0 F(x) = (fog)(x) Relaciones y Funciones ¿0 / 5^ 52) 289 Si ( gq f ) ( x +2 ) = 2x~ - x Si ( f o g ) ( x - \ ) = x 2 - 2 x y f(x—l) = x —2 Calcular g(x). y g(x) = x + 3 Determinar ffa). Dadas las funciones f.g: R ------» R, definidas por: f(2x + 3) = 4 x + l y g(.x)=JC2 + 3 . ^ 3) Si F(x) = (1 —cos2x) secx 54) Si F(x) = eos2 x y f (x) =— ' 55) y Determinar (fo g)(x) y (gof)(x) ffx) = senx. Hallar una función g tal que F(x) = (gof)(x) , hallar una función g tal que F(x) = (fog)(x) l + JE" Si F(x) = sen 2x y g(x) = eos x , encontrar una función f tal que F(x) = (fog)(x) 0 , jc < 0 56) 1 , Determinar gof si, f ( x ) = .r2 , x e [0.1] Si K x ) = 4 x - x ~ , 0 < x < 7 , 1 , x>l g(x) = -jV 4 x+2 , x , 0 , hallar (gof)(x) x>2 58) Si (goi)(x) = x+2 , 1( x ) = jc3 + 6 x 2 + 12jc+8 /hallar g(x). 59) Dadas las funciones / ^ [| x - 1 1], 0 < jc < 3 Si / ( * ) = •{ r~----- —-v/i 1 — JC I —2 , JC > 3 ( jc) = j jc2 - 1 1 y g(x) = - j 9 - x 2 . Determinar (gof)(x) x +\ y g(x) = — determinar gof JC-4 . 61) Hallar fo g , siendo / ( jc) = i [2jc - 1 . - 4 < x < 4 62) Si g ( 2 - x ) = y (gof)(x) = 2x-1, hallar f(x) ■ -0 , g(x) = 2x , x e [0,1] 0 , jc > 1 51) jc< [[|JC|] , x> 4 , , # (jc )= jc - 2 jc 290 Eduardo Espinoza Ramos 2.Y+ 1 , si X SÍ / (Y)= - 2.v a/[I*I]2 4 U | ] , si X . Hallar gof si es que existe. si X 0 Sean las funciones f y g definidas por: |x + 6 | , si x < -2 fix) = , si X €< -4 ,-1 > gix) ■ l-v + 3 | - 3 1 —X (x + 2)2 , si x e [-2,-1] a/ 5 ~ -2 , si x e< -1,5 > Hallar las funciones (fog)(x) y (gof)(x) Sean las funciones f y g definidas en R, tales que: x+2 , x<l fix) = gi x) = ( x - 1 ) 2 +3 , x > 1 \x2 -2 . x > 2 x -5 , x<2 Hallar las funciones (fog)(x), (gof)(x) \X ' xA>< 2*, Sean las funciones f ( x ) = ' -x , g(x) = i x ' x _ Hallar gof [2x , x > 4 Hallar gof, si f y g son funciones reales, tales que: , x 2 +1 , X < 1 fix)= \ , -x 2 , X > 4 ,[x —1 , x < 2 g(x) = \ l 2 , x>4 y Sean las funciones f y g definidas por: / (x) = | ' V -x Sí +3 si x > 3 y g(x) = \ X 1 ’ í < .2 - Hallar fog y su rango i 2 , x>4 Sean las funciones f y g definida por: jx 2+ l , x < l fix) =\ , - x 2 , x>4 y íx ' - 4 , x e [0,4] g (x ) = -¡ 0 . x e< 4,7 > . Hallar fog Relaciones y Funciones 70/ Dada las funciones f y g definidas por: ./(*) = \ x +1 , x < l - x 7u 291 , jc> y 4 g(x) = x - - 4 , x e [0,4] 1 J o , xe< 4,7> Dadas las funciones f y g definidas en R por: s i g ( \ x - - 4 \ ) si | JCI <3 f(x) = .y + 6 jc si x e< 3,9 > y g(x) = 3 , x e <-oo,9> +10.c + 21 si [ jc —3 1 > 6 Construir la gráfica de f + g, indicando explícitamente su rango. 72) Hallar fog, siendo / +1 , x < ^ 3 y ( jc) = • g (x ) = x>^¡3 73) r, „ r • , Hallar fog, siendo: 74) Hallar fog siendo: [ f , , ] x Sl x e<_00,l] f(x) =\ 1 si x e< l,+oo > 2x + l , —3 < jc < f(x) = -1<*<1 | ^ 2~ 2x [|jc |] 75) Dadas las funciones / ( jc) = - , jc x( x -2 ) > 0 jc (jc -2 )< 0 , . Jjc2 - 4 , x e 0,4 g(x) = < J 0 , jce<4,7> y —1 y g(x) Ijc 2 - 4 , x e [0,4] 0 JC si si , jc e < 4 ,7 > > 1 y g(x) = 1 - x determinar los dominios de las 1 + JC composiciones fog y gof. 76) Si g ( 2 - x ) = 4 x - \ y (g o f)(x) = 2x - 1 , Hallar la función fi(x) 77) Dadas las funciones / ( jc) : y g(x) = 1 — x, determinar los dominios de las 1—x composiciones fog y gof y sus reglas correspondientes. Eduardo Espinoza Ramos 292 2 jc + 1, —3 < jc < —1 78) -1 . .v < O Hallar (fog)(x) sí: f ( x ) = 1. —1 < JC< 1 , g(x) = 3jc + 2. jc > O - , x>\ X Si /'(jc) = -Jx2 -1 6 y g(x) = —-— , Hallar (fog)(x) jc + _ 2 _ , Sean las funciones f y g definidas por: f (x)=< jc2 + 3 jc, .v/ jc< 3 , g(x) ■ \ - x +3, si jc> 3 f3 —jc, si x < \ 5 —jc, si jc>1 Hallar (fog)(x). 1 , xe< -2 ,2 > f [ | x — 1 1], jc e [0 ,1 > , g(x) = < ¡—— Hallar (fog)(x) si es que existe n/jc -1 , x e [1,3 > \2x2 + 3|, * e< 2 ,3 > Si /( * ) = jc -2 ^82 Si / ( jc) = jc2 + 2 jc + 2 . hallar la función g(x) tal que (fog)(x) = x 2 - 4 © Hallar (fog)(x) si / ( * ) = { Tj ■> JCG<-00,1] (-^/l 1 —jc| —2 . jc > 3 © Sean f y g dos JJC - 8 . JC<0 , g(*) = -L „ „ ■1, x e<l,+oo> [[|jc|], jc> 0 í[ | jc —11], 0 < jc< 3 Si /(.c) = { ,--------■ — jc + 5 jc-t-1 y g(x) = — ~, calcular (gof)(x) funciones, x-4 tales que: / ( jc) = [ l ^ - ^ l] , xe< -l,l> 3 —x , ■yjx2 +2x, jc e [1,2 > 2 , x-l jc g [ - 2 ,- 1 > . . . Hallar fog, si es que existe. | jc —11, x e < 0,3 > Si H(x) = ' j x 2 - 2 jc + 3 y (HoF)(x) =-J[\x\]+3 calcular F(x) íx - 1 , x e [ 0 ,l] [jc3, jc e [—1,1] Dados f ( x) = \ , , g(*) = 'í [ j r + 1 , x e < -o o ,0 > u < l,+ o o > [2 jc + [ | jc|]jc-, . c e [3,4] (fog)(x) si es que existe. „ „ .H alla r Relaciones y Funciones 2J1 293 FUNCIONES; INYgCTIVAS» S m m C 'm A B Y BIY1QWA&~ a) Función Inyectiva.La función f: A -» B es inyectiva (univalente) si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del rango, es decir, si existen dos elementos x x x 2 e D r distintos x x * x 2 cuyas imágenes son distintas f { x x) ± f ( x 2) loque es equivalente a decir: Si xx, x 2 e D f : f ( x x) = f ( x 2) => x x = x 2 que es la forma más práctica para ' * * t determinar si una función es inyectiva. Ejemplo.- f función inyectiva f no es inyectiva Ejemplo.- Determinar que la función f(x) = 5x + 3 es inyectiva. Solución f es inyectiva sí f { x x) = f ( x 2) => x¡ = x 2 f ( x x) = f ( x 2)=> 5xx +3 = 5x2 +3 xx =x2 f ( x ) = 5x + 3 es inyectiva Observación.- En forma gráfica se puede determinar si una función es inyectiva o no, para esto tracemos una recta paralela al eje X, si dicha recta corta a la gráfica en dos partes o más, entonces la función f no es inyectiva y si corta en un solo punto, entonces la función f es inyectiva. Ejemplo.- Si f ( x ) = x 2 y g(x) = 4 x 294 Eduardo Espinoza Ramos b) Función suryectiva.La función f: A -> B, es suryectiva (o sobre) si y solo si, V y e B, existe x e A tal que y = f(x); esto quiere decir que todo elemento de B es imagen por lo menos de un elemento de A es decir que f: A B es suryectiva si R f = B Ejemplo.- La función f: [0,qo> -» [0,oo> tal que f ( x ) =-Jx es suryectiva puesto que R f =[0,*> > Ejemplo.- Determinar si la función f(x) = 3x+5 es suryectiva. Solución Como f: R —> R / f(x) = 3x+5 y —5 v —5 y = 3x+5 despejamos x es decir jc= - - Luego V y e R, 3jc = — — y —5 y -5 Tal que f ( x ) = / —) = 3(—-—) + 5 = y entonces f es suryectiva. c) Función Biyectiva La función f: A -> B se llama función biyectiva, si la función f es inyectiva y suryectiva simultáneamente. Relaciones y Funciones 295 x Ejemplo.- Determinar si la función f: [0,2> -> <-co,0] tal que / (x) = ------ es biyectiva. x-2 Solución i) Veremos si i' es inyectiva, es decir: x-2 Xy~2 f ( x ) = f ( x {) => x = xx x x¡ —2x = x¡x-2x¡ => —2x¡ = -2x-¿ => jtj = x 2 por lo tanto f es inyectiva. ii) Ahora veremos si f es suryectiva, para esto es suficiente ver si el rango de f coincide con el conjunto de llegada. >■ = — x-2 ^ x =^ ~ 0<-^-<2 y —1 y-1 e [0 ,2 > = > 0 < - ^ < 2 y-1 <=> 0 < - ^ y —1 a- ^-<2 y- 1 . o 1 • » 0 ^ ———a —-— < 0 y —1 y —1 — y 1 y e <-oo,0], luego R f =< -oo,0] entonces f es suryectiva. Como f es inyectiva y suryectiva entonces f es biyectiva. 2.22, FUNCIONES CRECIENTES» DECRECIENTES Y MONÓTONAS. a) Función Creciente. La función f se llama creciente si para todo x x, x 2 e D f se tiene: 296 Eduardo Espinoza Ramos 4 Y f(x 2 ) f(* l) / ^ < b) / / I1 1 1! X1 x2 X Función Decreciente. La función f se llama decreciente si para todo par x x, x 2 e D f se tiene: y = f(x) c) Función Monótona. La función 1' se llama monótona si la función f es creciente o decreciente d) Teorema.- Si una función f es creciente, entonces f es inyectiva (univalente). Demostración Sean x ¡ , x 2 z D f , tales que x x * x 2 , de donde se tiene x x < x 2 ó x 2 < x x Si x x < x 2 entonces f ( x x)< f ( x 2) por ser f creciente Relaciones y Funciones Si x 2 < 297 entonces f ( x 2)< f (x{) por ser f creciente Por lo tanto en ambos casos se tiene f ( x ¡ ) * f (x2) es decir, si x, * x 2 entonces / (x¡) * f (x2) ■ Luego la función f es inyectiva. e) Teorema.- Si una función es decreciente, entonces f es inyectiva (univalente). Demostración La demostración se hace en forma similar al teorema anterior. 2.23 CALCULO DE RANGOS DE MONÓTONAS.-______________ Cuando las funciones dadas son inyectivas su rango se encuentra en forma muy práctica de la siguiente manera: Sea la función inyectiva cuyo D f = [a, b] entonces se tiene: Si f es creciente se tiene: R r = [ f ( a ) , f (b)]; Fig (a) Si f es decreciente se tiene: R f = [ f ( b ) , f (a)]; Fig(b) Ejemplo.- Calcular el rango de f ( x ) = x 3 para x e[-2,2]. Solución f es inyectiva y creciente entonces R f = [ / ( - 2 ) , /( 2 ) ] => R f - [-8,8] 298 Eduardo Espinoza Ramos 2 ¿ á ': m v N c im ^ m s m a) Definición.- Consideremos la función: f = { ( x , f ( x ) ) / x e£> /} condom inio D f y rango R f entonces diremos que existe la función inversa de f. si y solo si, f es inyectiva. A la función inversa de f denotaremos por f * ó / 1, la cual es definida en la forma siguiente: donde: D r, = R f y R¡> = D f Ejemplo.- Consideremos una función inyectiva f = {(1,3),(2,5),(4,7),(6,9),(8,11)} b) entonces la función inversa de f es: / * = {(3,1),(5,2),(7,4),(9,6),(11,8)} donde Df . = {3,5,7,9,11} = R r Rf , = [1,2,4,6,8} = D f y Gráfico de la Función Inversa Consideremos una función f y su inversa / * , el gráfico de la función inversa / * es simétrica a la función f con respecto a la función identidad I(x) = x por tal motivo dicho gráfico se obtiene por reflexión con respecto a la recta I(x) = x. Relaciones y Funciones c) 299 Propiedad Fundamental de las Funciones Inversas Sí f: A->B es una función inyectiva y / * : B-»A es la función inversa de f entonces: d) Cálculo de la función Inversa Sea f: A-»B una función inyectiva, entonces a la función inversa f * : B -> A se Wíí$: puede hallar resolviendo la ecuación Ejemplo.- Hallar la inversa de la función fl¡x) = 7x + 3 Solución f ( f * ( x ) ) = x => l / * ( x ) + 3 = x f*(x) = x-3 También la inversa de una función inyectiva se puede obtener en la forma siguiente: Ejemplo.- Hallar la inversa de la función Solución Como y = fl[x) => y = 5x - 3, x e [0,5] f(x) = 5x-3 s íx e [0 ,5 ] 300 Eduardo Espinoza Ramos v+3 x= ■ , x €[0,5] Primeramente se despeja x: Luego se determina la variación de y x = ^ Í ^ e [ 0 , 5 ] => 0 < ^ - < 5 5 5 -3 <>-<22 => 0 < y + 3 < 2 5 => y e [-3, 22] y 4-3 x - ------ ,y e [-3 ,2 2 ], ahora permutaremos x por y es decir: y = 2,25 , x e [-3,22]. Por lo tantof * ( x ) = ■ , x e [-3,22] FUNCIÓN IN \ ERSA D I UNA COMPOSiCIÓRSi dos funciones f y g son inyectivas y la función composición f o g existen entonces la función f o g es inyectiva por lo tanto tiene inversa (f o g)* en este caso tiene la siguiente propiedad, (fo g )* = g * o P (7 ) Determinar si la función es inyectiva f ( x ) = , \ 3 x 3/2+ 2 x U2 Solución Simplificado 3jc372 + 2 x Xí 2 = -Jx(3x + 2) de aquí se tiene que x>0 => |x| = x entonces 2¡x\+x +2 ' X ~ U x 3/2+2 x 1/2 _ 3x + 2 _ 1 Í 4 x ( 3 x +2 ) ~ ^ debemos probar que f(a) = f(b) =^> a = b con lo cual se determina que es inyectiva. f(a) = f(b) => -1= = —!= Va Vb => a = b. Por lo tanto f es inyectiva. Relaciones y Funciones 301 Demostrar que f es in>ectiva donde f ( x ) = 5 X , V x e R. Solución Debemos probar que: f(a) = f(b) => a = b fía) = ftb) => 5a =5* => a = b Por lo tanto f es myectiva. © Dada la función f ( x ) = x + 'Jx2 + 7 , x e [-3,3]. demostrar que f es inyectiva. Solución Probaremos que fía) = f(b) => a = b fía) = ffb) => a + 4 a 2 + 7 = b + 4 b 2 +7 a - h = 4 b 1 + 7 - 4 a 2 +7 , elevando al cuadrado: ( a - b ) 2 = ( 4 b 2 + l 4 a 2 + 7 )2 a b + 1 = 4 a 2 + 7 4 b 2 +1 , elevando al cuadrado: 0 2/>2 +14a/> + 49 = a 2í r + 7 o 2 + 7 /r + 4 9 a2 -2ab+ h 2 =0 © => ( a - b ) 2 = 0 =>a = b .*. fesinyectiva La función f: R —►[(),+*> definida por /(jr) = 5jc2 . ¿Es f suryectiva? Solución Debemos de comprobar que: V y e[0,+*>> , 3 x e R tal que f(x) = y pero como y = 5x2 => x = ± 4 y / 5 .entonces: 3x = ±V>’ / 5 , y e [(),*> tal que / ( x ) = f ( ± 4 y / 5 ) = 5( ± 4 y T x ) 2 = y /.ffx ) = y => f es suryectiva. 302 Eduardo Espinoza Ramos Determinar si la lünción f { x ) = x +1 - [ | x |] , x e R es inyectiva. Solución Definimos él [| x | ] , V x e R [| .v |] = k <=> k < x < k + l , k e Z . x +3 fix) = Luego la función f(x) queda definida , x e [-2,-1 > x +2 jr + 1 , x e[-l,0 > , x e [0,1 > Luego la función f(x) es la unión de una familia de funciones lineales donde cada una de las cuales es inyectiva, es decir: f ( x ) = x+l-[| x|] => f(x) = x + l - k Probaremos que si f(a) = ffb) => a = b ffa) = fíb) = > a + l - k = b + l - k => a = b Por lo tanto cada función f(x) sea inyectiva falta ver que la intersección de los rangos de dos en dos es el vacío. f k (x) = x + \ - k x£[k,k+l>=>k<x<k+l => k + l < x + l < k + 2 => l < x + l - k < 2 1 < f k (x) < 2 y e [1,2> => Rfi =[1,2 > tf C ^ f k W =[1,2 >±<j). por lo tanto f(x) no es inyectiva. *=i 303 Relaciones y Funciones (ó ) Determinar sí la función f: <-4,3]----- > [-9,13> definida por f(x) = -2x + 1 es biyectiva. Solución Veremos si f es inyectiva, es decir: / (x ,) = / ( x 2) => x¡ = x 2 f f ( x , ) = -2 x , +1 <' => -2x, +1 = -2 x 2 +1 => x, = x 7 . Por lo tanto f es inyectiva. [ / ( x 2 ) = - 2 x 2 +1 Ahora veremos si fe s suryectiva, es decir: Como y = - 2 x + l => x = - 4 < - —- < 3 => 1 —y Rf = [-9,13 > e< -4,3] -8<l-y<6 => - 9 < - y < 5 => - 5 < y < 9 .•. R , = [-5,9 >* [-9,13 > , por lo tanto f no es suryectiva, Luego la fimción f no es biyectiva. (7 ) Determinar el dominio de la función / ( x ) = x 2 - 6 x + 8 para que la función f sea biyectiva. Solución " Y El dominio de una función cuadrática para que sea inyectiva se determina \ completando cuadrado es decir: y =f(x) / ( x ) = x 2 —6x + 8 = ( x - 3 ) 2 -1 que es una parábola con vértice en el punto (3,-1) por lo tanto f es inyectiva si 0 -1 D r = [3,+oo > ó para D f =< -°o,3] ® Si existe f o g, donde f y g son inyectivas. Demostrar que f o g es inyectiva. Demostración 304 Eduardo Espinoza Ramos Como f y g son inyectivas, entonces: f ( X ! ) = f ( x 2) X: = X 2 ... (1) g ( x 3) = f ( x 4) x3 = x 4 ...(2 ) Probaremos que í' o g es inyectiva, es decir: (fog)(x 1) = (fog)(x2)=> Xj = x 2 (/og)(*l) = (/og)(*2)=> /(g(*l)) = /(g(*2)) => g(xt ) = g (x 2) , por ser f inyectiva. => x, = x , , por ser g inyectiva. Como (fog)(xx) = (f og )(x2) => Xj = x 2 , enlonces f o g es también inyectiva. ( 9) Si f: R ----- >B es una función suryectiva. Tal que f(x) = |x —3| - x, Hallar el conjunto B. Solución Luego a la función f expresaremos así: / (x) = Donde Df =< - 00,3 > u [3,+00 > , ahora calculamos el rango Si x > 3 => y = fix) = -3 => y = -3 R f = < - 3 ,+00 > u {-3} = [-3 ,+00 > Por lo tanto la función f es suryectiva cuando: B = [-3,+®> Si la función f es creciente en todo su dominio demostrar que f es inyectiva. Solución Relaciones y Funciones 305 xx x2 Aplicaremos la definición siguiente de función inyectiva f es inyectiva, si V xi,x2 eZ)y implicaque f ( x x) * f ( x 2) , Como jcj *■x 2 => JCj < x 2 V x 2 < x x pero f es creciente entonces: / ( x , ) < f ( x 2) V f ( x 2) < f { x x) de donde f ( x x) * f ( x 2) por lo tanto f es inyectiva. Demostrar que la función f es inyectiva, donde: / ( jc) = „ —2¡= , si• jce<4,+oo> yx —x ~ , si x < 0 Solución 2 Primeramente veremos si f x(x) = V Xj , x 2 G Dfi , y f 2(x) = -x~ son inyectivas. 2 2 f i ( x 1) = f 1(x2) => - = = - = V*i y xz => x x = x 2 Por lo tanto f x(x) es inyectiva. V x , , x 2 e D fi => f 2(Xj) = f 2(x2) => -x!2 = - x 2 => X! = x 2 Por lo tanto f 2 (x) es inyectiva. Ahora veremos que R f¡ A R f = 0 „ Para x e „ < 4 ,+ oo> 4 2 4 x = — e<4,+oo> => —r - > 4 ^ para x < 0 4 => y = —== => x = —— Vx y => , <1 ■ =5. y e <0,1> => R f = < 0 , l > .. ‘ => y = - x 2 => x = - s [ ^ y < 0 => - J - y > 0 => - y > 0 R r = < —oo,0 > Jl => y <0 306 Eduardo Espinoza Ramos Rf a Rfi = < 0,1 > a < -oo.O > = ( Por lo tanto es inyectiva. {- 5 x 2/_+^73x - 3 X< 0 , x >0 Solución La función f x(x) = V ~ x 3 , x < 0, es inyectiva. La función / 2(x) = - 5 x 2 + 7 x - 3 , x > 0 no es inyectiva. Por lo tanto la función no es inyectiva. Hallar la inversa f , (x) si existe, de la función f definida por: f ( x ) = \ Í 2x + 1 , x <0 9 [x +1 , x > 0 Solución Graficandoa la función f(x) se tiene: Si x < 0 => Rj- = < -°o,l] x > 0 => R f = < l,+oo > además cada función f x(x) y / 2 (x) son inyectivas, y como a Por lo tanto existe la inversa de f(x). calculamos la inversa de fi(x) Si x < 0 , /j(x ) = 2x + l x g <-oo, 1], » » x —1 2/j* (x) +1 = x , de donde f x (x) = ——- , x < 1 R ( =<¡> Ahora Relaciones y Funciones 307 Sí x > 0, f 2(x) = x 2 +1 para esto: f 2( f , (x)) = x , x e <l,+oo> f p (x) +1 = x , de donde f 2 (x) = - J x - l , x e < l,+ « > 'je—1 por lo tanto: / (x) = 2 , x<l ~Jx- \ , x > 1 14) Probar que f ( x ) = 4-Jx - x para 0 < x < 1, posee inversa y hallar la función inversa si es que existe. Solución Para que f(x) tenga inversa debe de ser inyectiva y para esto debe cumplir que: /(x,) =/(x2) ^ - x =>xx= x 2 x = 4 j x 2 - x 2 => - x 2) = 0 => 4 ( ^ ’ - ^ 7 ) - ( ^ " - ^ / x 7 ) ( V * i " + ^ / * 7 ) = o => ( ^ - ^ K 4 ~ 4 x í - x 2) = 0 Como0<x!<l Luego => 4-^/x¡~-.^xj" * 0 --4*2 ~ 0 => x, = x 2 por lo tanto f(x) es inyectiva entonces existe f*(x), ahora calculamos la inversa f*(x) para esto: f(f*(x)) = x, x e [0,3] despejando f í x ) se tiene: f * ( x ) = (2 + - j 4 - x ) 2 , x e[0,3] 15} Hallar P (x ) si existe donde f ( x ) = —*[|1 ——|] si - 2 < x < 0 l x2 - l | - l si 0 < jc < 1 308 Eduardo Espinoza Ramos Solución Primeramente definiremos el máximo entero [ | 1 - ^ | ] y el valor absoluto | x 2 - 1 1 en cada intervalo [| 1 - |] = 1 + [| —j |] = 1 + 0 = 1 Como - 2 < x < 0 => 0 < -x <2 o < - £ [|-£| ]=o => x ' - l = (x + l ) ( x - l ) -1 Para 0 < x < 1 =^> | x 2 —11= 1—x 2 por definición Por lo tanto la función f(x) queda en la forma: í - x si - 2 < x < 0 f(x) =\ , - x si 0 < x < l Si - 2 < x < 0 , / j (x) = - x , calculando su inversa /i(./i* (x)) = x x e < 0 , 2> , (x) = x , de donde f [ (x) = - x , 0 < x < 2 Si 0 < x < 1 , J'2 (x) = - x 2 , calculando su inversa / 2*(x) Se tiene: / 2( / 2*(x)) = x ,-1 < x < 0, de donde - / 2*2(x) = x , - l < x < 0 f j (*) = V - x , 1 < x < 0 Por lo tanto la inversa de f(x) es: / * (x) x si 0 < x < 2 V - x si - 1 < x < 0 © Hallar P (x) si existe donde / ( x ) = 2 1x | +x + 2 3 x 3/2 + 2 x 1/2 Relaciones y Funciones 309 Solución Calculando el dominio para definir |x| 3jr3/2 + 2x 1' 2 - 4 x (3x + 2) de a q uí x> 0 => |x| = x Ahora simplificado se tiene: 2\x\+x +2 / (x) = I 3x3/2 + 2xxn 3x + 2 1 ’] ¡-^ (3 x + 2) V* Determinaremos si f(x) es inyectiva: f(a) = f(b) => a = b (f es inyectiva) W = W ~ a=b Por lo tanto fi(x) es inyectiva entonces f(x) tiene inversa. Ahora calculamos la inversa. f(f*(x)) = x —-f- L ■ -- - = x , de donde / * ( * ) = ~V 4V 7 * w * © Si f es la función definida por f ( x ) = -Jx2 +16 + 2x , x e [0,3] determinar si existe P(x). Solución Para que exista P (x) la función f(x) debe de ser inyectiva, es decir: Sí fía) = f{b) entonces a = b -Ja2 +16 + 2a = -\jb2 +16 + 2b entonces 2( a - b ) = -Jb2 +16 - V a 2 +16 para que sea f inyectiva debe cumplir a = b de donde a —b = 0 => -Jb2 +16 —-Ja2 +16 = 0 -Ja2 +16= J b 2 +16 => a 2 = b 2 => \ a \ 2=\b\2 => |a| = |b| => a = b puesto que a , b e[0,3] por lo tanto f(x) es inyectiva => 3 f*(x) 310 Eduardo Espinoza Ramos Ahora calculamos f*(x) mediante la ecuación: f(f*(x)) = x , x e [4,11] V /* ( x ) ) 2 +16 + 2 / * (x) = x => -\/(/* (x ))2 +16 = x - 2 / * (x) elevado al cuadrado ( / * ( * ) ) 2 +16 = x 2 - 4 x /* ( x ) + 4 ( /* ( x ) ) 2 => 3 ( /* ( x ) ) 2 - 4 x /* ( x ) + x 2 - 1 6 = 0 4x± J l ó x 2 -1 2 (x 2 -1 6 ) 4* + 2-Jx1 +48 / * ( x ) = ------ -i------------ ---------- - => / * (x) " ~■ 2 x ± V x 2 +48 f * ( x ) = -------- --------- JJZ I •• / 3 > 3 ’ x'+2x-3 ... 2 xx++ J^.x 2 +48 .n (x) = -------- --------- , x e[4,l 1] Determinar si P (x) si existe. ,xe[-lj> Solución Determinaremos si f(x) es inyectiva Six>3 => /j( x ) = V x -3 donde = [0,oo> S i/ j (x ,) = / [ (x2) =>-^x, - 3 = ^/x2 - 3 elevando al cuadrado => Xj = x 2 => / es inyectiva Si —1 < x < 1 => / 2(x) = x 2 + 2 x - 3 = (x + 1)2 - 4 Como -1 < x < 1 => 0 < x + 1 < 2 => 0 < (x + 1)2 < 4 => —4 < ( x + 1)2 - 4 < 0 =í> /?/2 = [-4 ,0 > Si f 2(x1) = f 2(x1)=> (x¡ +1)2 - 4 = (x2 +1)2 - 4 => (x¡ +1)2 = (x2 +1)2 => X] +1 = x 2 +1 => x, —x 2 puesto que x j,x 2 e [ - l , l > . Por lo tanto f 2 es inyectiva. Como Rft a. R f - [0,oo > a [-4,0 > = <!>. 311 Relaciones y Funciones Entonces f(x) es inyectiva y por lo tanto 3 f*(x) Ahora calculando la inversa de cada función: / , ( /j (jc)) = x , x e [0,+»> t/í./'i* (-V)) —3 = x => f * (.v) = x 2 + 3, x e[0,+oo> f 2( . / * ( x ) ) = x , x e [-4,0> (/ 2*(x))2 + 2 / * ( x ) - 3 = x => f 2 (x) = -Jx + 4 - \ , x e [-4,0> Jx2 +3 ■■■/ * ( * ) = 19) , x>0 Vx + 4 - 1 , - 4 < x < 0 Si f(x) = 2x —3b , determinar el valor de b de manera que / ( / ; +1) = 3 f * ( b ~ ) Solución Calculando la inversa de f(x): 2P(x) - 3b = x, x e f(f*(x)) = x, x e D t . D , * , de donde / * (x) = , x & D r, como /'(b + \) = 3 f * ( b 2) , entonces 2(b + \ ) - 3 b = 3(— y ^ - ) 3/?2 +1 16-4 = 0 => ( 3 b - l)(b + 4) = 0, de donde b = | , b = -4 , 20P íx 2 - 8x + 7 .vi 4 < x < 7 V - 3 < x < -1 Sea J (x) = <{_____ . Hallar f*(x) si existe. [V 7 -2 x si - l < x < 3 Solución Anal izaremos sí J\ (x) = x 2 - 8x + 7 , J 2 (x) = s¡l - 2x es inyectiva S í 4 < x < 7 V —3 < x < - l => /,( x ) = x 2 - 8 x + 7 ./,(x) —x 2 - 8 x + 7 = ( x - 4 ) 2 - 9 Eduardo Espinoza Ramos 312 Si x, ,x 2 e D f¡ ; f \ (x ,) = /j (x2 ) (Xl _ 4 ) 2 - 9 = (x 2 - 4 ) 2 - 9 => x, = x 2 => IXj —4 12= |x2 —4 12 => |Xj - 4 | = |x 2 - 4 | => x, = x 2 , puesto que |x - 4 | = x - 4 Sí 4 < x < 7 , |x —4| —4 —x s i —3 < x < - l . S í —l < x < 3 Luego f x(x) es inyectiva => / 2(x) = V 7 -2 x Sí x x, x 2 eZ>/2 ; f 2(Xj) = f 2(x2) => Xi = x 2 -2xi 2x 2 =í> 2 xj = 2 x 2 => x, = x 2 . Luego / 2(x) es inyectiva. Ahora calcularemos el rango de cada función. Sí 4 < x < 7 V - 3 < x < - 1 => 0 < ( x - 4)2 < 9 V - 7 < x - 4 < - 5 - 9 < ( x - 4 ) 2 - 9 < 0 V 16 < ( x - 4 ) 2 - 9 < 40, pro lo tanto Sí —1 < x < 3 => - 6 < - 2 x Entonces <2 => 1 < 7 - 2x < 9 => Ry¡ = < -9 ,0 ] u < 16,40] l< ^ 7 -2 x =<1,3] Como R r¡ a R f = <j> entonces f es inyectiva en todo su dominio. Ahora calculamos f*(x) / , (/i*(x)) = x , x e <-9,0] u <16,40] (/i*(x))2 -8 /j* (x ) + 7 - x = 0 ,x e <-9,0] u<16,40] /j*(x) = 4 ± V x + 9 4 + Vx + 9 ,x e < - 9 ,0 ] f i (x) = 4 - V x + 9 , x e < 16,40] <3 Funciones y Relaciones / 2( / 2*(*)) = * ,x e <1,3] 313 => ^ 7 - 2 /2 * (x) = x ,x e <1,3] / 2*(jc) = 2 ( 7 - x 2) , x e <1,3] A + ^ x + 9 , x e< -9,0] Luego la función P(x) queda en la forma: f * ( x ) = 4 - J x + 9 , x e< 16,40] l / 2 ( 7 - x 2) , x e < 1,3] 2.27 O EJERCICIOS PROPUESTOS.Sea la función f: [1,4] —> [a,b], tal que /(x ) = x 2 - 2 x + 3 , Demostrar que f es inyectiva y hallar los valores de a y b para que f sea biyectiva. ( 2) Es inyectiva la función real f ( x ) = Rpta. a = 2 , b = 11 x x 1 +1 ( 3) ( 4) © Seaf: A -> <1,10] dada por f ( x ) = a) Determinar A b) Mostrar que f es inyectiva 4 -1 lx 4 -2 x Rpta. <-*>,0]u[4,°o> 10 + 3* Sea f: A -» <-4,1Jdefinida por / (x) = 10 —2jc a) Determinar A b) Mostrar que f es inyectiva Rpta, <-00,0] u<10,oo> 3 + 4x Sea f: A ->[-9,-l> dada por f ( x ) = 3-x a) Determinar A b) Rpta. <0,oo> Probar que f es inyectiva c) ¿fes suryectiva? Rpta. no 314 (ó ) Eduardo Espinoza Ramos Dadas las funciones reales siguientes: flx) = 3x + 2|x|, g(x) = x-l ■, x * 1 y h(x) = 3x + 7, p(x) = x + 2|x| ¿Cuál de estas funciones es inyectiva? ^ 7) Demostrar que las siguientes funciones son inyectivas a) f(x) = 3x —2, x > 0 b) f(x) = sen x, c) f(x) = (x-h)2 +k ,x > h d) f(x) =2 - x i , x e R e) /(jc) = V 9+jc2 ,x > 1. jc 2 2 En forma analítica y gráfica (? ) Demostrar que la función f definida por: f ( x ) = 1 - - J x 2 ~ 4x - 5 , x < - 1 es inyectiva ( 9) Demostrar que J ( x ) = ——j , x * -2 es inyectiva 10J Sean f: A —>B, g: B -> c, demostrar que: a) Si g o f es suryectiva entonces g es suryectiva b) Si g o f es inyectiva entonces f es inyectiva. La función f ( x ) = J —— .¿Es suryectiva? U _I ( 12) w Sea f una función definida por: f (x) = Determinar si la función f ( x ) = 6 x ~ x 2 - 5 es f dominio para que sea inyectiva. '*■' — , x e < 0,2 > u < 2,00> x2-4 Determinar si f es una función biyectiva ^ 3) «• R pta. si es biyectiva inyectiva, si no lo es, restringir su R pta. No es inyectiva Funciones y Relaciones © 315 Sea f una Junción definida por / ( x ) = ^—y —j-, D f = R . Es f una función inyectiva? R pta. f es inyectiva ( Í 5) W Dada la función f ( x ) =—— Mostrar que f es inyectiva y graficar ' ' (x -2 )(x - 4 x - 1 2 ) Sea f ( x) = ———+- ——-1 , x e <1,2>. Demostrar que f es inyectiva (ó univalente) x -1 (x -1 )2 17) Si se sabe que f(-1) = 4 y f(3) = -2 , donde f es una función lineal, hallar la ecuación que Rpta. / * ( * ) = define P(x) 1$) Sí a) ©) f( x ) =2x+c fíO). P (0 ) y / ( c ) = 2 / * ( c 2 ). Encontrar el valor de : Rpta. - 8 b) R pta.- 4 Si f(x) = 3x + 2a, Determinar los valores de a de modo que Rpta. 20) f(a2) a--l V =f*(a + 2) a=\ Hallar la inversa f*(x) si existe para la función. f ( x ) = x 2 + 4x -1 Rpta: / * ( x ) = - 2 21) + , x e <-4,-3> - 4 x +5 ,xe[-4,-l> Hallar la inversa f*(x) si existe de la función, / ( x ) = x 2 - 2 x - l , x > 2 Rpta. / * ( x ) = 1+ Vx + 2 , x > - l (22) Hallar la función f*(x) si existe, para la función, f ( x ) = ( | x - 5 1 +l + x )V 5 -x Eduardo Espinoza Ramos 316 lx 2+'2.x ■+■2,x ^1. Hallar la función inversa de fi(x) si existe Sí f ( x ) = < ’ x 3 + 4,x <1 - R pta. f *(x) = 1+ Vx-T,x > 5 3- J x - 4 , x < 5 24) Sí la función f: <-1 ,!> -» R, definida por: f ( x ) Hallar la inversa de f(x) si existe 1-1*1 R p ta . / * ( x) = 1+ 1 * 1 (25) Hallar í*(x) si existe de: a) \-Jb-X,X< 0 f(x) = - b) í-x,x < 0 f(x) = \ \-x ,x>0 d) f{x) = Lr + l , x > 0 C) f(x) = ( \ x -3 \ + x y j 3 - x |x-6|+x+Vx-6-[|x-4|]x +6 -Jl - x 2x + 3 7 9 Dada la función f ( x ) = ---------- , x e < — > . Hallar P (x) si existe. ' ® x-1 2 2 \2-x\,x>2 Sí f: R -> R tal que f ( x ) = \ , -jr . Determinar la función inversa f*(x) si existe. <0 x+3 / 28} Consideremos la función f definida por: f (x) = , x< -3 x2+4x-2,0<x<3 7 , x < 11 4-x Determinar si f es inyectiva, si lo es hallar f*(x). 29) “ Sea f : R -» R tal que f ( x ) = ---- ----- , si f es inyectiva hallar f*(x) * ~ [|* l] 30) Hallar la inversa f*(x) si existe de: Funciones y Relaciones 317 2x -1,JE < -1 a) - j - x + 1 , X <1 f ( x ) = 4 x 1,-1 < x < O f ( x ) = jc-[x ] , 1 <x <2 b) x + 4,x>0 3jc-5 , x g< 2,4 > |-4x¿ , x<0 c) / ( x ) = í - ^ r ’- 3 S j f < 0 \3x , 0 < x <4 d) ./(* ) = !- ^ 4 - x 2 , O < x < 2 | jc2 - 4 1 , O < * < 2 Dada la función / (x) = Hallar P (x) si existe. ------+ x - l , x > 2 4 , R p ta : / * ( * ) = ] f 2 V - x + 2, x < O --------- [ V 4 - jc, O < x < 4 © 2j c —1 , x < -1 Dada la función / (x) = 4 x 2, -1 < x < O , Hallar f*(x) si existe. x + 4, x > 0 'x +\ R p ta : f * (x) = x-4 . © (x 2 + 2 Dada la función / (x) = ^ x ___ -V * + l + 2 , j c < —1 „ , x<-3 _ . , x >4 . , Hallar P (x) si existe. , x> -\ R p ta . / * (x) = | —1 —-v/x—T , x > 1 Ijc2 - 1 , x < O 4 - ( 34) x 2 + x Dada la función f definida por: f ( x ) = 2— +2 + \ 7 JC + 1 , - 1 < jc< 1 /2 2<x<4 318 Eduardo Espinoza Ramos jc + 5 f*(x) = Rpta. Hallar f*(x) si existe. , 2 i i — <x< — 3 5 . \< x< - 2 2 I r + 4| Hallar la inversa si existe para la función, f ( x ) = ------------ , x e < - 2 , 0 > u < 0 , l > U-ll-l Rpta. f * ( x ) = -------- ,x e <-oo,-5> u < 1,* > *+1 (3ó) La función f definida por la regla de correspondencia fix) = J4 — 12jc + 27 , . « * < - 1 1 Lv2 +6jc + 6 , si . Demostrar que f es inyectiva y hallar P (x) x>0 Rpta. P (x) = j ó —J x 2 + 8 x + 25 , x < 0 (Vx + 3 - 3 , x >6 Sea la función f: R —>R, definida por: f ( x ) = [| x |]+ - J x - [ \ x |] , hallar P (x) si existe Rpta. f * ( x ) = k + i x - k ) © ,xe[k,k+l> Sea las funciones f y g definida por: -Jx1 + 4 a' - 5 . 6 < x < 7 jc -2 1 —13—jc| , 3.5 < jc < 7.5 (jc - 8 ) 2 —9 fix) = [ | jc|] , 9 < * < 10 x ,7 .5 < jc< 9.5 , 9.5 < jc < 13.5 Hallar (f + g)* si existe 0, x < 0 (39) 2, x <0 Dadas las funciones f y g definidas por: f ( x ) = jc2,0 < x < 2 , g(x) = 4 x , 0 < x < \ 71, x > 2 —l,x > 1 Hallar (f o g)(x), determinar si es inyectiva en caso afirmativo, calcular (f + g)* (x) Relaciones y Funciones 319 2x - 1 2 x + 2 40} Dadas las funciones / (x) ■ x +2 ,x<-2 y g(x) = x +2 , -2< x< 3 , x-3 x >3 , -2<*<3-V¡7 -(2xz - 1 2 x + l) Hallar f* o g Rpta. ( f * o g ) { x ) = 2^+ 2 , x> 3 -Jx~ 3-^J x +2 (41) Sean las funciones f ( x ) = ------ y x +l í* o g con el dominio de (f o g)(x). 42) g(x) = 3x —1. Hallar la intersección del dominio Rpta. R -{ 0 ,2 } Sí / ( x) = 3x - 2x + 5 , Df =< 1,4 > y g(x) = | x | + 3. Determinar el dominio de f*o g. 2 4 Si f ( x - 2) = ------ . Hallar el valor de x que satisfaga ( / * o / ) ( —) = 2 . jc + 3 ' x Dada la función f definida por: / (x) = \ x - 5 \ + 4 x + * J x - 5 - [ |x |] x + 5 -Jó-x Rpta. f * ( x ) = Hallar f*(x) si existe. 6 x 2 +5 x 2 +1 x +4 Si f* es una función biyectiva tal que / * ( ------ ) = D . Hallar el conjunto solución de la 3x 3x inecuación: / (c) > Rpta. x e <-4,-l> u <0,2> jí + 4 @ Sean f ( x ) = x * + 2 , g l x ) - ——- si x +3 Rpta. - 47) 3 1 Hallar g*(a+5) Dada las funciones reales / (x) = 1+---X ■, g(x) = —, x ^ 0 . Hallar el dominio de f*og* x x Rpta. <-1 , 1> - {0} = <-1, 0> U <0, 1> Eduardo Espinoza Ramos 320 48) Si f y g son dos funciones donde f(x-l) = 3x+2, g(2x+3) = 4x+4 . Hallar (g* o g)(x) R pta. £ * ± 2 49) Sea f: < - l , l > - > R , tal que / ( x ) = -— -— , analizar si f es inyectiva. 50) Hallar P (x ) si existe, donde, / (x) = x +x , x > 5 Ix 51J , JC< —1 |x + (x 2 +1)1/2 ,x > 1 Analizar la inyectibilidad de la función, / (x) - -i l ------- 1 , en caso afirmativo \ —y/ - x 3 +1 , x < -1 hallar P(x) 52) Sea f y g dos funciones, tales que: , x e < - l ,l > /( * ) = 3~ x 4 x 2 + 2x , x e'[l,2 > — - , xe[\2> . ; g(x) = x -1 . Hallar f o g si es que existe. | je —11 , i e < 0 , l > x2 + 2 x - 2 , - 3 < x < - 2 53) Hallar P (x ) si es que existe de la función, / (x) U+3| lx-21-1 54) Analizar la inyectibilidad de tal función, , -1 < x < 1 x H" 2x “ 1 , x 5í 2 /'(x) = -i ’ ‘ ( -x 3 , x>2 , en caso afirmativo hallar P (x) 55) Hallar f*(x) si existe donde a) ¡x + 4 x - 5 , x e [-2 ,l > f(x) = < x -5 , x e [ 5 ,+ * > b) |x ¿ + 2x + 2 , x > l fix) = • x2 +4 , x<l Relaciones y Funciones 321 2x-l c) fix) • 4x2 , X € < -00,-1 > , x e [ - l ,0 ] d) x 4 4 , xe<0, +oo> e) /(* ) Jx2 -8 x + 7 j/7 -2 x t) fix) x , , 2 + 1 0 x + 21 , •fx + l + l fix) |—\Jx + 1 -( h) fix) x , 2 + 6 x + 8) , x s< 0 ,3 > , x e [ 1 0 ,+00 > xe<-oo,-2] fix) 3+^ k) xe<-oo,-4] , —x 2 —4 x —3 , j) x e [ - 7 , - 5 > £/ [ —2 , —1 > xg[-1,+oo> •x + 3 , [1,+ oo> x g | —x 2 —2 x , xe[-3 ,-l> ¡2 + V3 + 2 x - x 2 , xe[-l,l] fix) = fix) = j4 ---\/x 2 + 1 2 x + 27 , [x2 +6x + 6 I) fix ) = , x < -l x>0 x2 , x e[l,2> [|A|] + V x - [ | x | ] , x e[-l,l> -V -x 4,7] [-13> xe< -oo,-l > ■yfx —1 O >U< , xe< -l,3] Jx2 +2x + 2 , g) , + 1 , x e [-4,-2 > V x + 2 , x e [-2,2] x e < -3,-1 x g — fix)=< 2 xe[-9 ,-l> Eduardo Espinoza Ramos 322 - 4 - ( x + 2) 2 , J te [-5 ,-2 ] 11) 0 2a[|x + 3|] , j c e < - 2 ,- l> 2 + -Jx+ 1 , jte<-13> 4 , x=l fix) = Dadas las funciones f(x) ir2-I r <—1 =< ’ y |jc+1 , x > - \ Í2.V-1 , JC<0 [-Jx , jc>0 g(x) = 1 r - Hallar si existe fog* Analizar si las funciones reales f y g son inyectivas - 2x +10 , x < 0 f i x ) = ■Jx2 +16 , 0 < x < 3 , 3 , - x 2 - U ) x - 2 1 , ,v e [-5 ,-l] g(x) ■ , .v>3 U - 2 1-1 , x e < 1,2] U + 3| x2-4 © Si g: A -> B y f: B -> C, son funciones inyectivas, demostrar que fog: A -» C es inyectiva. 59) Analizar la inyectividad de la función f(x) ■ -J - x J , x <0 en -5jc2 + 7jc-3 , x > 0 afirmativo, hallar su inversa. Si / (x) = - x 2 , x<0 i probar si es inyectiva, si lo es, hallar su inversa. - , x>0 x ¡ 2 - x 2 , -f3<x<2 Dadas las funciones f ( x ) = < --------, g(x) = [\-^ x 2 -4 ,x< -4 U<0.2] tal que f =h * o g i) Demostrar que f y g son funciones inyectivas. ¡i) Hallar la función h. i— j--------x - 4 1-3 , x e <-oo,-4] caso Relaciones y Funciones 62) 323 Dadas las funciones f ( x ) = —— , x e [ f l , 4 ] - { 2 > y g(*) = i ^ ' x-2 Lr + 3 ^ X< ^ . - 6<x <1 Hallar f*og si es que existe. x 2-4 , x<-2 63J Determinar la inversa P (x) si existe donde / (x) = - V x - 2 , 2 < x <6 - 2x +10 , x > 6 64) " [ -Jx - 3 , x > 3 Si f ( x ) = < . Determinar f*(x) si existe ' x 2 + 2 x - 3 , x e [-1,1 > 65) " x ~ —4 si x < -~2 Si / ( x) = < ____ ’ " . Determinar P (x) si existe. l - V x - 2 , si x > 2 66) Hallar la inversa de f si existe donde / (x) = Jx + 2 x - 3 , x < 2 -x3 67) , x>2 Decir si f(x) es inyectiva, si es así hallar f*(x) donde / (x) = | x |, x < —1 2 - x 2, x > 11 68) 2x, x < 3 Dado f ( x ) = < , probar que f(x) es inyectiva y hallar f*(x). x‘ , 3<x<5 69) Analizar si es inyectiva la función f ( x ) = x 2 - 3 x + 2 , x e [0,+oo>, en caso que no sea, determinar el dominio para que sea inyectiva y hallar su inversa. 70) Analizar si la función f ( x ) = x 4 - 2 x 2 - 3 , x > 2 es inyectiva, en caso afirmativo, hallar su inversa. © Sea / ( x ) = | ^ ^ _ ^ L A ^ , mostrar que fes inyectiva y hallar P(x). -V3-x, x<2 324 Eduardo Espinoza Ramos x —3 1 f ( x ) = ------- f -------- -— 1, x e <1,2>, analizar rigurosamente si f es inyectiva, en x-i (x -iy caso afirmativo, hallar f*(x) y sus dominios. Si 73/ Encontrar f(x) y f*(x), si se sabe que: i) ii) «■(-.•) = —---- r , (fog)(x) = 2x + 3 4x + l g(x) = 3x - 2, (gof)(x) = 2x + 4 x -2 4jc —1, x e [l,+ *> , g(x) = -——=- , xgR. Calcular (gof*)(x) si existe. x +4 [14) Sean f ( x ) = 2x~ Í75) Si f ( x - l ) = 3x + 2, g(2x + 3) = 4x + 4, encontrar (g*oí)(x) x 2 + 4x-l, x Calcular f*(x) si existe, donde: f ( x ) = Jl) Sean f ( x ) = |x + 4 | 2x2 - 1 2 x + 3, — , x<-2 y g(x) = x + 2 _ 2 +x , jc>3 x-3 , x g< g< Hallar f*(x) si existe donde f ( x ) = - j 9 x - 2 , x -2,0 > u < 0,1 > j t g c -2,3] ■Calcular (Pog)(x), si existe x + 2, x < 2 18) -4 ,-3 ] g< 23 > ( x - 3 ) 2 +5, x > 3 325 Limites y Continuidad CAPITULO III 3. L IM IT E S Y C O N T IN U ID A D . 3A INTRODUCCION^ La teoría de límites de una función es indispensable conocer la teoría puesto que es la base sobre el cual se dan los conceptos fundamentales del cálculo como son: la continuidad, la derivada, la integral, etc.. Antes de dar la definición de límite de una función daremos la idea intuitiva. Sea L un número real y f una función definida en las proximidades del número “a”, no necesariamente en “a” y denotaremos por: lim f ( x ) = L y diremos que: x->a Cuando x se aproxima a “a”; f(x) se aproxima a L. ó para x próximo a “a”; f{x) está próximo a L. ó para x aproximadamente igual a “a”, f(x) es aproximadamente igual a L. Ahora daremos algunas definiciones previas a la definición de límite. a) Punto de Acumulación.- Sean A c R y jc„ e R , al punto x 0 le llamaremos punto de acumulación del conjunto A sí y sólo sí, todo intervalo abierto de centro jc0 contiene por lo menos un elemento x * x n del conjunto A. Eduardo Espinoza Ramos 326 Ejemplo.- Si A = <-l,5> entonces 2 es un punto de acumulación de A, es decir: -1 Sí A = [2,9> entonces 2 es punto de acumulación de A y también 9 es punto de acumulación, es decir: - H — 2 H ----------------- 9 Si A = [1,5] u <7,9] entonces 6 no es un punto de acumulación de A y tampoco “o” es punto de acumulación del conjunto A, es decir: —(-----H1---- ]—(— 5 6 Observación.- -----9J— 7 £1 punto de acumulación x () de A, no es necesario que dicho punto sea elemento del conjunto A. b) Función Acotada.- La función f(x) se dice que es acotada, si existe un número real M positivo, tal que | f ( x ) \ < M , Vx e D f Ejemplo.-' La función f(x) = cosx es acotada por que existen n=l, tal que: |f(x)| = |cosx| <1 = n. 3,2 DEFINIOION.Consideremos una función f : A c z R - > R (D f = A) y x Q un punto de acumulación de A = D f , se dice que el número real L es el límite de f(x) cuando x se aproxima a x () (x —>x t)) al cual denotaremos por: lim f ( x ) = L , si y sólo si para todo número e > 0 (épsilon) existe otro número 8 (delta) positivo tal que, para x e D r a 0 < | x ~ x {) | < 8 entonces | f(x) - L | < s En forma simbólica fám f {x) = L V £ > 0 , 3 $ >Q i Vx&Dr a 0 < fx - ¿j , j <<5 =» L\<s todo 327 Limites y Continuidad a) Interpretación Geométrica del Límite A cada parte de la definición de limite haremos su representación gráfica: i Y lY L +£ ■ L 0 L -E ■ fe 1 *0 0 X i x0 -...—► X Ve>0 jt() en el eje OX L en el eje OY “Y L - 0 x (, —S x° 0 < | .V- je,, | < 8 -f x n +¿> I fíx) —L I < £ Ahora consideremos un arco de la curva y = f(x) sobre el cual se ubica el punto i-*», Eduardo Espinoza h'amos 328 Como el límite de f(x) cuando x -> x0 es el número real L, es decir que pan i cada s > 0 (tan pequeño como uno quiere) debe existir un número 8 > 0 de tal mane)ra que los puntos (je ,/(x)), Vx e (x0 - 8 , x 0 + 8) rectángulo comprendido , debe de estar en el interior del entre las rectas de ecuaciones: x = x 0 - 8 , x = x0 +<5, y = L - e, y = L + e OBSERVACION. De la definición de límite se observa que la función f puede no estar definida en x = x0 , sin embargo existe el limite, es decir: lim f ( x ) =L X ~ * X () Ejemplo.- Considerémosla función /'(x) = - x -3 —— donde f(x) no está definida ~ . , . . . . (x + l)(x -3 ) . para x = 3, sin embargo el l im---------------- = 4 existe. *-*3 x -3 Ejemplo.- Aplicando la definición de límite. Demostrar que: lim 2x —1 = 11 x —>6 Solución lint 2x —1 = 11 <^> V c > 0 , 35 = 1/ si 0 < | x - 6 | < 5 =^> | (2x —1) —111 < e x -* 6 pero |f(x) —L| = |2x—1 - 11| = |2x —12| = 2|x —6| < e < = > | x - 6 | < - ^ = 5 £ Luego dado e > 0, tomamos 5 = — , se tiene: Sí 0 < | x - 6 1< S = ^ => | J ( x ) - l l | = 2 | x - 6 | < 2(~) = £ => |f(x) — 111< e lim 2x -1 = 11 A— »6 Ejemplo.- Aplicando la definición de límite. Demostrar que: lim x 2 - 3 x + 5 = 9 a-*4 329 Limites y Continuidad Solución l i m x 2 - 3 * + 5 ==9 » :r~>4 V £ > 0 , 3<5>0/.si 0 < | j c - 4 | < 5 => | (x2 - 3 + 5 ) - 9 ) | < £ pero | f ( x ) - L \ - |.v2 -3jc + 5 - 9 1 = | x 2 —3jc—4 1 = |x + l1 |x - 4 \ ..-(1) tomamos S¡ =1 para acotar |x+l| en efecto: Sí |x —4 |< 1 =? -1 < x —4 < 1 => 4 < x + 1 < 5 Luego de ( 1) , (2) se tiene: => |f(x) - L| = |x + 1||x - 4| |x+l|<6 ...(2) < 6|x - 4 |< e £ £ | x - 4 1< — = S 2 . Por lo tanto tomamos S = min{ 1,—} 6 ' 6 £ Luego dado e > 0 , 3 S = min{l,—\ se tiene que: 6 Sí 0 < |x - 4 | < 5 --=> |ff x )-9 | = |x + l ||x - 4 | < 6 |x - 4 | < c b) .\ lim x 2 -3jc + 5 = 9 *-->4 Método General Para Encontrar él 6 En la definición de límite de una función f(x) cuando x -> .v0 ( lim f ( x ) = L ) , x -tx „ necesitamos probar que dado cualquier e>0, es posible encontrar un 5 >0 tal que sí: 0 < | jc—jc0 | < ^ =>| f ( x) —L | < £ Para encontrar un 8 > 0 se hace de la manera siguiente: 1ro. Se descompone |f(x) - L| en dos factores, en donde uno de los cuales debe de ser | 2do. | es decir: \ f ( x ) - L \ = | g(x) ||x - x0 | < | h(x) \ \ x - x 0 \ Se debe acotar |h(x)| < K , para algún K dentro de un intervalo 0 < | x - x 0 | < 5 ,, donde 5, se elige como cualquier valor que satisface la relación 5, < | jc0 —a | (diferencia entre x f) y su asíntota) En particular 5, = -j | x () - a \ Eduardo Espinoza Ramos 330 Nota.- Si se tiene varias asíntotas se toman las diferencias de x 0 con todas las asíntotas, luego se elige la menor de ellas y se toma <5j a la mitad de éste menor. 3 ro. Sí 0 < | x - x 0 | < (?! \ f ( x ) - L \ < \ h { x ) \ \ x - X q \ < k \ x - xü \< s de £ donde | x - xQ \ < — = S2 4to. Luego el 5 se escoge el menor ó mínimo entre <5¡ y S 2 es decir: c <5 = m ín J ó ,,—1 1k 5to. Se tiene: si 0 < | x - x0 \ < 5 \ f ( x ) - L \ < c con lo cual se prueba que: lim f (x) = L x +3 Ejemplo.- Aplicando la definición de límite. Demostrar que: l i m :----- = 4 Jf-»5 x - 3 Solución Por definición de límite se tiene: lim x~>5 X - 3 =4 o V c > 0 . 3 8 = ? / , si 0 < | x - 5 | < 5 => \l H-4\<e x -3 es decir dado e > 0, debemos de encontrar 8 > 0 en términos de e, tal que: 0< |x — 5| < 8 => | ^ Ü - 4 | < e x-3 Para encontrar el 8 > 0 se hace la forma siguiente: \ f ( x ) - L \ = 1 - 4 - 4 1 = | ~ 3 (* ~ 5) | = 31 — ~ [ | * ~ 51 jc —3 x-3 x-3 ...(1 ) Ahora acotando la función | —-— | y para esto calculamos (5, = — 15 —3 1=1 de acuerdo .t- 3 2 2do. Paso del método establecido. 331 Limites y Continuidad |jr-5|<5,=l => -1 < x —5 < 1, sumando2 3 x-3 => 1 < x - 3 <3 . invirtiendo => | - U < 1 x-3 ...(2 ) Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: | /'(x)-£|=3|-— |U -5 |< 3 |jc -5 |< e x-3 £ Luego se elige S = min{ 1, y} de donde | j c - 5 | < - = 5 , 3 Por lo tanto, dado c > 0 , 3 8 = m in{\,^) se tiene: Sí 0 < | x - 5 | < 8 => |f(x) —L | < e x +3 lim ------ = 4 Jf— *5 X -3 X Ejemplo.- Aplicando la definición de límite demostrar que: lim — ------------ = -1 '-»i 2x - 5 x + 2 Solución Por definición de límite se tiene: lim — ------- = -1 o V e > 0 , 3 8 = ? / s i 0 < | x - l | < 6 = > | — — ------------ (-1 )| <e *->'2x--5x +2 2x - 5 x + 2 es decir, dado c > 0, existe un 8 > 0 en términos de e. Tal que 0 < |x - 1| < 8 entonces | — — - ---------- ( - l ) | < c 2 x - - 5 x +2 Para encontrar el 8 > 0 se hace en la forma siguiente: |/( ,) - ! | = | 2x~ - 5 x + 2 = — — 2 -----— I jc-112 1 2 ,t-l || jc -2 | ... (1) Ahora acotado la expresión —— — -------- y para esto calculamos <5, de acuerdo al 2do. \2x-\\\ x - 2 \ Paso del método general indicado donde sus asíntotas son | y 2 por lo tanto: Eduardo Espinoza Ramos 332 \ x0 - a \ = \ l ~ \ = ± U o - a I= |1 -2 | = 1 y Al r)j elegimos la mitad de la diferencia menor. 1,1. 1 5, = —| x 0 - a | - —(—) = — 2 2 2 0 < |x —11 < 5 , = — => 1 4 4 4 <x-l< — 4 3 5 I . , 3 5 . 3 — < .v < — => — < 2x —1 < —,— < x —2 < — 4 4 2 2 4 4 => 1 2x-l 1 x-2 4 3 - < 2> Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: | / ( x ) - Z , | = 2 ---- ---- .— -— | x - l | 2< — | x - l | 2< c dedonde: 12.x - 11 | x —2 1 3 1 -JJc Por lo tanto el S = miu\ —, — -} se tiene que: 4 4 |x -l|< ^^ 1 1 4 Si 0 < | x —1 | < 5 => | f ( x ) - L | < c A lint— ——-------= -1 2x - 5 x + 2 Ejemplo.- Aplicando la definición de límite demostrar que: lim 2~Jx + 5 = 7 X --> \ Solución Por definición de límite se tiene: lim 2s[x+ 5 = 7 o x> 1 V e > 0 , 3 8 = ? / s i 0 < |x —1| < 5 => \2-Jx + 5 - l \ < c es decir dado í; > 0 existe un 5 > 0 en términos de e de tal manera que 0 < |x — 1| < 8 entonces 12 ^ x + 5 —7 1 < c Limites y Continuidad 333 Ahora calculamos el 5 > 0 y para esto se tiene: 12~Jx + 5 - 7 |= 2 1~Jx - 1 1= 2 1-p¡-— 1| * ~ 11 V* +1 Luego acotamos la expresión ' •••(!) * ' -Jx +1 Tomamos ó', = 1 para acotar | —=l— | en efecto: *\lx +1 Si 0 < | x - l | < 5 , =1 => -1 < x —1 < 1 => 0 <- / x <- i / 2 => 0<x<2 => 1 <^[x + 1 < -Jl +1 1 < - J — <1 “sfl + 1 -yfx + 1 => 1 - 4 — 1<1 -yfx + 1 ...(2 ) Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: | f ( x ) - L | = 2 1-¡= — | | jc- 1 | < 2 | x - 1 | < £ de donde: \x - \ \ < —= 8 V * +1 2 Por lo tanto el 3 8 = min{ 1,y} se tiene que: Si 0 < |x —11< 5 => |f(x) —L| < e .*. / / w2^/ x+5 = 7 X— >1 x--Jl Í2 Ejemplo.- Aplicando la definición de límite demostrar que: lim - ------ ¡=r = - , | — — 0 2x + ^3 V3 Solución Por definición de límite se tiene: lim * ^> 2 x+ -j3 = 1 1 V3 V c > 0 ,3 5 = ? / si 0 < |x - 0| < 5 => 2x + V3 V3 Eduardo Espinoza Ramos 334 es decir dado c > 0, existe 8 > 0 en términos de e de tal manera que 0 < |x — 11 < 8 entonces , x —J l Í2 --------■==+ ■»/—) <£ 2 x+ f3 v3 Ahora calculamos el 8 > 0 y para esto se tiene: , x-Jl . -Jl , 2x + V3 +2-^2 , ^3 V3 1 „ , l 2^ + -V3 " Y| *"( S, = —|x 0 -a | = —| 0 - - — | 1 2 2 2 Calculamos 4 1 41 Ahora acotamos la expresión | --------¡= I, tomando 8, = — 2x+ j3 1 4 , . s 73 V3 ^3 V3 . S 0 < \ x < 8, = — = > ------ < x < — = > ------- < 2 x < — 1 4 4 4 2 2 V3 , p¡ 3^3 => ---- <2x + ^ 3 < -----2 2 => 2 1 2 = r < ---------= < - = 3-V3 2* + -v/3 V3 * , . . . 4 / l v . Ahora reemplazando (2) en ( 1) se tiene: , x~ sf2 V 3, -V3+2V2 2 , | --------j= + —¡= | < j =— . —j= \ x \ < c 2x + -v3 V3 V3 V3 - A1_ - ® | jc | < .... - /—j ' £ - p . = g 2 .. Por 3- 1 S^ = min{— ,1 U I lo tanto ic u n u r— \' 2(V3+V2) ' 4 2(V3+2V2) 3,3. EJERCICIOS PROPUESTOS.Mediante la definición de límite. Demostrar que: (l) Hm 3 x 2 - x - 2 = 8 .r->2 ( 2) ^ lini3x2 + 2 x = 5 ,r->l ) Limites y Continuidad © 335 lim 4x~ + x - 4 = 10 © © 3 x -l 1 l i m ------- = — ■'—•o x - 2 2 © lim ——- = -1 *->0 x +1 © 3 + 2x lint ■V-»1. 2 5 —JC © lim — = -21 x—*-i x + 8 © jr-*3 © 13) X-* 2 8 9 lim x 3 - 3 x2 + 3x -1 = 8 » lim 2 x —1 1 lim r-*:' x 2 +16 1 25 lim -Jx +T = 2 x ‘ + 7 x + 10 3 lim —------------- = — x-*-2 x - 3 x - 1 0 7 32 2 x 4 - 6 x 3 + x 2 +3 //wí------------------------ = -8 *-»i x -1 19) lim x 3 + x 2 - 2 x = 140 .V— >5 lim 3.v1 - 2 x 2 + 2 x - 3 = -3 9 A 3x3 + l l x 2 + x - 5 15) ío ) lim a x 1 +bx + c = axl + bx() + c © /im — — = 5 *-*2 X - l 18) //w =4 *-»1 x —1 2x - 2 20) lim -J2x = 2 " ^Í3x^ - ñ 1 lint------------- = — •v-»2 3 3 22) -v—>2 lim a/x + 5 = 3 .r-*4 © lim -J- 2x = V2 (24) © x— >\ lim l¡2¿ = \ T 2 @ jr->27 (TT) lim \Í2x = V = 4 © lim l¡ 4 x -5 = 3 v->H lim 3 -V 3 x = 0 v-*“* @ lim V2 - X 2"- Vx = O ® lim ifx = -2 lim Vx —8 = -5 Eduardo Espinoza Ramos 336 3 Í) 1 33) lint -J lx - t f x = 2 lim (32) W lim — = -)= -Jx + Í s¡2 —- = — (34) lim —= L = r = ^ - (35) lim ■ — = 1 < >0~Jx + 4 (3ó) ^ limX t } ■'-’■i ~Jx .37) lim ^=-f-»i je —1 2 (38) lim ^ ~ 2 *->4 x —4 3,1 <® x-+2 x —2 2 -2 1 4 H n.r«*7 - 3 x-*5~v x~ —9 4 lim , Y 1---- = 2 x~*i -yjx2 + 3 - 2 (42)lim ^ 2x + 1 3 1 jc2 - 3 x - 4 43) lim X~ ]0 x +- = - l 2 ~>1 -74.c + 5 —4 (44) 45) lim x - — ¿ = - 3 4 ■> *h ^ x +3 41) 47) //w *-»2 15 4 -- = 3 .v —2 (46) lim ^ •,- >a * - a ~ '^ a1 2-Ja ^ r-o.s lim ,v“[|jc + 2|] —0.5 (48) lim — - (49) W lim \ ¡ 4 - x 2 =a/3 v->i (50) W lim X_ ^ ?L—— = —4 *->i - j 9 - 5 x - 2 lim3 — Í=- = l .<->1 Vx (52) lim l x ^ + — =l jf— >1/3 y 9 @ //w ^ ~ 4* ~ 3 51) lim • £ —^- = 1 , ,My x +3 v- / w ,-»2 1jc | —2 -<-->-3 = -12 .v+2 a> 0 337 Limites y Continuidad 55) lim —— — —- = O jr-»4 57) 59) (56) X —3 x 4 + l 5 lim 4x +1 = -5 2.V+ 1 © w l i m x -+2x+- 2 = 2 -v_>o x 2x +1 lim_ íli -P-+ i -=:l (60) lim í-» v l3 + x - x 2 3.4. l i m j * * +17 x —» v2 l'X| - 1 jr- * - i x 2 + l 2 PROPOSICION.Sí x e R, |x| < e para todo c > 0, entonces x = 0. Demostración La demostración la haremos por el absurdo. Supongamos que x * 0, esto quiere decir Ix I | x | > 0. Ahora elegimos c, = — de donde e, > 0 y como |x | < c se cumple para £¡ = — 2 de donde: | x | < ^— => 2 1 < Vi (absurdo) y esto es debido a la suposición original la cual no es valida, por lo tanto se cumple que x = 0. 3*5. PROPOSICION.Si lint f ( x ) = L y a < L < b, entonces existe un número 5 > 0, tal que: a < f(x) .V„ para todo x e D f y 0 < |jr-jc 0 | < ¿> Demostración Sea e = min {b —L, L —a} Entonces a<L -e<L + e 0, existe un 8 > 0 tal que, x->x„ ' V xeD f b —L > 0 , L - a > 0 e Además como a < L A 0 < |-v —jc0 I < ¿> Eduardo Espinoza Ramos 338 Entonces |f(x) —L| < c => L —c < f(x) < L + e . . . (2) Luego de (1) y (2) se tiene: a < L —e < f(x) < L + e < b, V x e D r y 0 < |x - J t 0 | < £ => a<fíx)<b, V x& D , y 0 < |_ r-.r0 | <«5 ■t ¿ T C A D r M A /IT V irT rv A T i fU f I IM T T F i El limite de una lünción si existe, es único, es decir: Si lim f ( x ) = L¡ y lim f ( x ) = L 2 entonces x —>u x —>a =L2 Demostración Por la proposición 1.8 es suficiente probar que: 1Lx - ¿ 2 I < £ de donde Lx - L 2 = 0 => Lx = ¿ 2 £ En efecto para e > 0, consideremos lim f (jc) = L x; para —> 0 , existe <5, > 0 tal que x —>a' 2 £ 0 < \ x - a | < 5 , entonces| f ( x ) - L x \ < — , en forma similar lim f ( x ) = 2 £ , para — > 0 , x - >a' 2 £ existe 8 2 > 0 , tal que 0 < \ x - a \ < S 2 entonces \ f ( x ) - L 2 \ < — además se tiene: | Lx - L 2 | = | (L, - f ( x ) ) + ( / ( x) - L 2) | < | f ( x ) - Lx | + 1f ( x ) - L2 | < | + 1 = c es decir: \ L x - L 2 \ < e para 0 < \ x - a | < 8 = min{8x, 8 2) Por lo tanto: se tiene si e > 0 para 0 < |x —a| < 8 Se tiene | L x - L 2 | < lo tanto: Lx = L2 . e y esto implica L x - L 2 = 0 de acuerdo a la proposición 1.8 por 339 Limites y Continuidad 3.7. TEOKEMA.Si f y g son dos funciones tales que f(x) < g(x), V x de un intervalo con x * a, lim f ( x ) = L , lim g(x) = M x~>a entonces L < M es decir: x y lint f (x) < lim g(x) x~*a x —>a Demostración Demostraremos por el absurdo. Supongamos que L > M entonces L - M > 0 Como lim f ( x ) - - L y lim g(x) = M , para r. = ——— , existen 8¡ >0 y S 2 > 0 tales .v >o' \ >í/ 2 que: f ( ) < \ x - a \<¿>, \ f ( x ) - L \ <r. ■ „ => , , . entonces | 0 < |jc —o | <¿>2 I -M \ <£ Ahora tomando S = min{8l , S 2 } y si \ L - e < f(x)< L +c < ...(•) [M - £ < g(x) < M + £ 0 < \x - a \ < 8 entonces se cumple simultáneamente (1) y como f(x) < g(x), por lo tanto 0 < |x - a| < 8, se tiene: M - c < g(x) < M + e = L - e < f(x) entonces g(x) < f(x) lo cual es una contradicción puesto que f(x) s g(x) y esto es debido a la suposición L > M por lo tanto debe cumplirse L < M. 3.8, TBOREMA-Si lim f ( x ) = L entonces existe 8 > 0 , tal que: para todo x e < a - 8 , a + 5>, x * a, x -->u se tiene |f(x)| < k para algún k real positivo. Demostración Como lim f (x) - L por definición se tiene, dado c = 1 existe 8 > 0 tal que para todo x~> a' x, | f ( x ) - L | < c = l siempre que 0 <¡ x —a¡< 8. Consideremos el mismo 8 > 0 y para x * a, un elemento del intervalo <a — 8, a + 8> entonces: Luego tomando |f(x)| = |f(x) - L + L| < |f(x) - L| + |L| < 1 + |L| k = 1 + |L| se cumple que: |f(x)| < k para x e <a - 8, a + 8> Eduardo Espinoza Ramos 340 i a DDADiFTt a n r c C A it o r i l u v n r c n c c i T v r i r u i v c Sean f y g dos funciones tales que: lint f ( x ) = L , lint g(x) = M y k una constante, entonces: a) c) lint k = k b) x —>a x~>a lim( f ( x ) ± g(x)) = lim j ( x )± lim g(x) = L ± M x *a ' -V—>í/ ' x->a d) lim f ( x ) . g ( x ) = ( lim f(x)).(lim g(x)) = L.M e) l i m —— = ------ ----- = — , si M * 0 jt m g(x) lim g(x) M f) f( . l i m f ( x ) , l i m ± ------- = — , si M * 0 , g ( x ) * 0 ,r->" g(x) lim g(x) M x ~*u x —>a g) lim ( f (x))" = ( limf ( x ) ) " , n entero positivo. h) lim %Jf(x) - nflim f ( x ) = '^¡L , V n par positivo. i) lim kf (x ) = k lini f ( x ) x —*a jr tu x-> a lim | f ( x ) x-> a x-+a Yx —fa | = | lim f ( x ) x —>a | = |L \ Demostración a) La demostración es inmediata de la definición de límite, dado c > 0, existe 6 > 0, tal que | f(x) —k | < e siempre que 0 < |x —a| < 8 Como f(x) = k entonces | k - k| = 0 < e siempre que |x - a| < 8, en este caso se puede tomar cualquier 8 en particular 8 = e. Limites y Continuidad b) Como 341 £ lim f ( x ) = L por definición dado c > 0, ex = — , existe S > 0 tal que x-*a \k\ |f(x)-L | < c) Como £ =— |k | entonces: \ k f ( x ) —k L \ < c . Por lo tanto: l i m kf { x) = kL x— *u E lim f ( x ) = L y lim g(x) = M , dado c > 0, para — > 0 existen <5j > 0 , ' 8-, >0 tal que: Ahora tomando x->a 2 Í0< \ x - a \ < 8 y ' ' 1 => | 0 < \x - a \ < S2 \f(x)-L \< z 8 = min{81, 8 2} ,para 0 < |x - ...(1 ) a| < 8 se verifica (1) simultáneamente, además: | ( /( x ) + g(x)) ~ ( L + M ) ¡ < \ f ( x ) - L | + 1g(x) - M | < ! + ! = c es decir: 0 < | x - a | < 8 entonces |(f(x) + g(x)) —(L + M)| < c lo que implica: lim( f ( x ) + g(x)) = L + M = lim f ( x ) + lim g(x) x —>a ' x d) Como lim f ( x ) = L « • x -ya 0< \x-a\< 8l x —>a £ V e > 0 y e, —------------- > 0 , existe <5t > 0 , tal que: 2(| M |+1) =>| f ( x ) - ¿ | < C], además limg(x) = M , Ve >0 y x~>a £ = ------------ > 0 , existe 5 , > 0 tal que 0 < \ x - a |< 8-, => I g(x) - M |< e-,. ' 2(| ¿| +1) M 2 h 2 Ahora para r.3 = 1 como l i m g( x) = M entonces existe <53 > 0 tal que x->a 0 < \ x —a | < <53=>|g(x) —M| < 1 => |g(x)| < 1 + |M| Ahora elegimos 8 =min{8l , S 2, <53 \ , V x e D f f, y 0 < |x —a| <8 entonces: |l'(x).g(x) - LM| = |f(x).g(x)- g(x).L + g(x).L—LM| < |g(x)| |f(x) - L| + |L| |g(x) - M| Eduardo Espinoza Ramos 342 | f (x) .g {x) - L M | < (1+ 1M |)+ 1L | c2 = ^ ¡ T T Í T + ?¡Í 7T n < f + 7 = c 2(| M |+1) 2(| L |+1) 2 2 Luego esto prueba que: e) lim f{x).g(x) = L.M x —>a' Como lim g(x) = M * 0 , existe 5¡ > 0 , tal que: X-+tí 0 < | x - a | <S, 1 => — -— < —2 — Ig W I (sug. Tomar c, . . . (1) 1 *1 y aplicar la definición de límite), cM~ Sea c > 0 para c 2 = —-— > 0 , existe 5 , > 0 , tal que: 0 < | j c - ¿ z | < í >2 => | g ( x ) - M |< £ , •••(2) Ahora tomando 8 = min{8{, S2} para 0 < |x - a| < 8 se verifica (1) y (2) y además: 1 g(x) 1 , 1 1 2 I— — . : lXv-'W g ( * ) - * l < ----- T *'’ r-2) M IM || g(x) | | M | | g(x) | | M |" 1 2 cM 1 1 1 — — | <---------- —.—-— = £ , ósea que 0 < |x —a| < 8 =>| —— \<£ g(x) M |M | 2 g(x) M de donde lim —-— = — *-** g (x) M f) Como lim f ( x ) = L y x —>a' l i m ----- = — , Ahora aplicando d) y e) se tiene: x—>a g ( X) M lim - — = lim f ( x ) . —-— = lim f (x ). lim —-— = — ' >« g(x) v ->a g(x) x~*a ‘ x xi g ( x ) M La demostración de las propiedades g) h) i) se deja para el lector. lim -- — = — x->a g ( x ) M Limites y Continuidad 343 OBSERVACIÓN.- Si Límite de una función polinómica: f \ x ) = b„xn +bn_1x n l +...+b]x + b0 es una función polinómica donde b„ , b„ , ,...,b0 son constantes reales, entonces para todo número real “a” se cumple: lim f ( x ) = lim b„xn + b „ ^ x n l +...+blx + b0 = a"b„ + a n~1bn_l +...+abx + Z>0 X -+ U X -> £ / (La demostración se deja como ejercicio para el lector). 3.10. EJERCICIOS PESARROLLABOS.Calcular los siguientes límites aplicando sus propiedades. (^7) lim 3 x 3 - 2 x 2 + 5 x - 7 j->2 Solución Aplicando el criterio del limite de una función polinómica: lim 3x 3 - 2 x 2 +5j c- 7 = 3(2)3 - 2 ( 2 ) 2 + 5 (2 )-7 .v->2 = 3 (8 )-2 (4 ) + 1 0 - 7 = 2 4 - 8 + 1 0 - 7 = 3 4 - 15= 19 ® (,-„ 2 íl± i2 í± i x~>2 5x —3jc + 10 Solución Para el caso de los límites de las funciones racionales, primeramente veremos los casos inmediatos y esto ocurre cuando se evalúa el numerador y denominador, si son diferentes de cero simultáneamente o uno de ellos por lo menos es diferente de cero, entonces el límite se obtiene en forma directa (veremos estos casos). 3.y2 +17jc + 4 _ 3(2)2 + 17 (2 )+ 4 _ 50 _ 25 *-2 5 x 2 —3JC+ 10 5(2)2 —3(2) + 10 24 12 344 Q Eduardo Espinoza Ramos 2x3 - 3 x 2 + 4 x -3 9 Hm , 4x + 3x + 7 Solución 2x3 - 3 x 2 + 4 x -3 9 _ 2(3)3 -3 (3 )2 + 4 (3 )-3 9 _ 5 4 - 2 7 + 1 2 -3 9 _ _0_ _ '-»s ® 4 x 2 + 3x + 7 ~ 4(3)2 +3(3)+ 7 ~ 36 + 9 + 7 “ 52 " „ 2 x 2 + 7x + 5 hm *-*4 x 2 -1 6 Solución 2 x 2 + 7x + 5 2(4)2 + 7(4) + 5 32 + 28 + 5 65 _ h m ----- ---------- = -------- ------------ = -------------- = — 3 *->4 x -1 6 4 -1 6 16-16 0 Nota.- Ahora veremos los límites de las funciones racionales que al evaluar nos d a — . 0 en este caso sé factoriza para evitar la indeterminación. 0 . x3-2 x 2-4x + 8 .im ------- --------------lim x~>~2 3 x " + 3x - 6 r—k_ Solución x3 - 2 x2 - 4 x + 8 x 2( x - 2 ) - 4 ( x - 2 ) (x 2 - 4 ) ( x - 2 ) h m ------- -------------= hm ————------ — -— = l i m --------- --------3x + 3 x - 6 x-> -2 3(x + x - 2 ) » - 2 3 (í + 2 ) ( x - l ) (x + 2 ) ( x - 2 ) 2 (x-2)2 (-2 -2 )2 16 = lim — ■ — —----------------------------------- — = lim --L— = » - 2 3 ( x + 2 ) ( x - l) x- - > - 2 3 (x—1) 3(—2 —1) 9 © lim x~+a x~ - ( a - 2 ) x - 2 a Solución x2 -(a-l)x-í? x 2 - a x +x - a x ( x - a ) +( x - a ) lim — ------------------- = lim ■ , ■■ — —-------- = lim x~*a x 2 - ( a - 2 ) x —2a x^ a x 2 - a x + 2 x - 2 a ar~>" x (x —a) + 2 (x —a) (x + 1) ( x - a ) = h m -----------------= lim *->« (x + 2)(x - a) x~*a x + 2 - x +1<3+1 a+2 = --- Limites y Continuidad © IJ M -l *->2 3 x - 6 345 2 2x2 -5 x +2 Solución Al evaluar se tiene la forma <x>- oo, en este caso se debe efectuar la operación para evitar la indeterminación, es decir: 4.v4 + 9 r ’ + 3 ; r - 5 ; c - 3 lim ----- ------------------------3;<:4 +9;c3 +9;t2 +3;t Solución Factorizando tanto numerador como denominador: 9 "31 3 -5 -3 i 4 2 -3 3 0 3 0 -1 4 5 - 2 4 -4 1 4 - 3 -1 -3 0 4 x 4 + 9 x3 + 3x 2 - 5 x - 3 = ( 4 x - 3 ) ( x + l ÿ 3 x 4 +9,v3 + 9 x 2 +3x = 3 x( x3 + 3 x2 + 3x + l) = 3x(x + l ) 3 4.v 4 + 9 x 3 4 3x 2 - 5 jc- 3 ( 4 x - 3 ) ( x + l)3 4x-3 7 hm ----- --------- ------ 1---------= l i m --------------- -— = h m ------- = *->-> 3jc + 9 x + 9 x +3jc x~*~l 3jc(jc + 1) *-*-i 3x 3 Eduardo Espinoza Ramos 346 Solución Este límite es de la f o r m a , y para calcular se racionaliza: -Jxl + 3 - 2 (Vjc2 + 3 - 2 ) ( V * 2 +3 + 2) x2-l h m --------------- -- h m --------------- , .. ..---------- = hm '- 1 x~] x~*1 (jc -Ik V * 2 +3 +2) JMl ( x - \ ) ( s l x 2 +3 + 2) ( a - 1) ( a + 1) : lint---------- -------------- = hm Jt->1 (jc-1)(V* 2 +3 +2) ,0 ) x + 1 ---- -- —j=---- = ------ x_>1 V.v2 +3+2 V 4+2 2 +2 1 + 1 21 — 2 lin ,h d ¿ E *-+4 l —-s/5 —JC Solución Este límite es de la forma jj-, y para calcular se efectúa una doble racionalización, se obtiene: .. ( 3 - y f T + x ) ( 3 - 4 5 + x ) ( 3+ 45 + x ) { \ + ^ 5 - x ) h m -------r .... = hm -— -— ---- — ■ — ,■ —------- - ■ *->* (1 — V 5 - j c ) (3+V5 + jc) ( 1 - V 5 - jc)(1 + V 5 - - t) ( 4 - jc)(1 + V 5 - I ) 1 + a/ 5 ^ c 1+ 1 2 1 = h m ------- ,----- ---------- = h m --------- ===== = -------- = ----- = — Jr->4 (3 + 'j5 + x ) ( x - 4 ) *->4 3 + V5 + jc 3+3 6 3 © Solución Este límite es de la forma jj-, y para hallar este límite se puede usar una doble racionalización pero se hace muy operativo, entonces para los casos en que las cantidades subradicales son iguales y se tenga diversos tipos de raíces se hace un cambio de variable con el propósito de simplificar. El cambio de variable se hace de la siguiente forma: 347 Limites y Continuidad Se elige una variable que se iguala a la cantidad subradical y el exponente de esta variable es el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales. lim Para nuestro caso se tiene: -Jx - 8 x->64 Vx-4 Sea v6 = x donde m.c.m. (2,3) = 6 Para x = 64 , y6 = 64 => y= 2 Ahora reemplazamos, se tiene: 4-y/x + 3 -Jx +-yfx —3 l im---------—---------- — Solución Este limite es de la forma -jj-, como se tiene tres tipos de raíces y la cantidad subradical son iguales, se hace la sustitución en la misma forma que se hizo el ejemplo anterior. z 12 = x donde el m.c.m. (4,3,2)=12 Como r 12 = x => • 3a/x = z 4 . Para x = 1, z 12 = 1 => z = 1 4~{x = z 3 ( z - l) ( z + z + 2z +3z +3z + 3) l,m----- 1-------- i---- ------- —1----- — (z 6 + l)(z 3 + l ) ( z - l ) ( z 2 + z + l) 348 Eduardo Espinoza Ramos (z + z +2: + 3z + 3r + 3) = ¡IM------7---------ó---------7 --------- — *-»1 (z + l)(z + l)(r + r + l) 1+1+2+3+3+3 13 13 _ (1 + 1)(1 + 1)(1 +1 +1) _ (2)(2)(3 ) _ 12 lint *- J x +* a ~>i 13) lini •»'-*1 x- + 'Jx - 3 13 1 12 V x + A y + 5-V3.V + 13 -T- 1 Solución Este límite es de la forma—, pero como se tiene varias raíces cuyas cantidades subradicales son diferentes, en este caso se agrupan en la forma siguiente: a cada una de las raíces se evalúa y dicha cantidad se resta, es decir: -Jx +V4jc + 5 — \¡3x + 13 X —1 ( 4 x - 1 ) + (J~4x + 5 - 3 ) - ( - J 3 x + 1 3 - 4 ) lim ------------------------------- = lim ----------------------------- ---------------------- -V—>1 X —1 JT—»1 rJ x - l V4x + 5 - 3 -j3x + \3 —4 : hm[---------- b------------------------------------ ] Jf-»1 JC—1 x-l x-l : r 1 1+ 1 -*—»i 1 4 3 — + —,------ =--------- ,--------- — ] * ^ 4 x + l 4 4 :t + 5+3 4____ 3 _ . _ i 3+3 4 + 4 ~ 2 3 ~J2x-l ~ 4 x Solución V3À+13+4 8 _ 24 349 Limites y Continuidad También este límite es de la form a^ , pero observamos que tanto en el numerador como en el denominador tienen varios radicales en este caso se debe de transformar a la forma del ejercicio anterior dividiendo numerador y denominador entre x —1 es decir: -n/3jc - 2 + -Jx —s/5jc —1 V 3 x - 2 +4x-y¡5x-\ .. x-l h m -------— = ------------------- = h m -... Jr~>1 - j 2 x - \ --Jx s .— = --- -J2x - 1 - V x -r” >1 je—1 lint . *->i -JJx-2 +-Jx —-JSx-í x -1 ~ j 2 x - l —Jx limJf->1 x -1 Ahora calculamos cada uno de los límites aplicando el criterio del ejercicio anterior. V3x-2+Vx-V5x-l (V3x-2-l) +V x-l)-(V 5x -l-2) //»i------------------------------= h m ------------------------------------------------»-»i x -1 *->i x -1 r-v/3jc—2 —1 V x - 1 ' J S x - l - 2 1 = /j»j[-------------- + -------------------------- ] *->i x —1 x —1 x -1 3 1 5 ,. r . = hm[ - ¡ = = — + - p --------- p = — ] *->! V 3 x - 2 +1 Vx +1 -J5 x - l + 2 = 2 +I - 1 = 2 - 1 = 2 2 2 4 4 4 - J h x - 2 + Vx -V 5 x - 1 3 l i m---------------- ------------ = *->i x -1 4 //„, a/2x-1 - 4 JC— *1 x -1 x _ /¡m ( j 2 x - \ - l ) - ( V x -1) _ ^ V2x- 1 - 1 _ V x - 1 ^ í-»l x -1 -r-»l x -1 x -1 = r 2 1 , 2 1 1 ---------= ----] = ------- = — •v->i ^ 2 x —l + 1 ‘yfx + 1 2 2 2 ...(2 ) Eduardo Espinoza Ramos 350 ... ...( 3 ) *->i je—1 2 ____ Ahora reemplazamos (2), (3) en (1) tenemos: lim - *■-*! ____ 2 —- = -4- = — V2x + 1 —n/ jc J_ 2 Ahora resolveremos ejercicios aplicando las propiedades y los criterios explicados en los ejercicios anteriores. 15) x->2 X 2 -4 Solución .. l ] 5 x - 2 - \ [ x + 6 V 5 x - 2 - 3lx + 6 (3a / 5 a - 2 - 2 ) - ( 3-Jx + 6 - 2 ) hm ------ —r - ---------------------------------------------------------------------------------= l im---------r—»2 X"- 4 ( x - 2 ) ( x + 2) A-»2( x - 2 ) ( x +2) 3 -j5x-2 -2 3^/x"+í>- 2 _ /(W------2—2------------- a—2---at— >2 X+ 2 5 lim í->2 1 lJ(5x-2)2 + 2l]5 x-2+ 4 í/(* + 6)2 + 2Vx + 6 + 4 X+ 2 5 1 5 1 4 + 4 + 4 4 + 4 + 4 . 12 12 . 1 2+2 4 12 16J lim x— >0 *¡ x 3 +8 -•>/ a 2 +4 x2 Solución a / a 3 + 8 ~-\/ a 2 + 4 l i m --------- — ---------- = lim --------------------— jr-»0 xa 2 x~^ X l im-- - Limites y Continuidad 351 w ^ *->0 X2 2>- ^ .. 2 )) X2 JC3 = lim X2 ( \ j ( x * + S ) 2 +2%]xi +8 - 4 ) x 2 x x = lim — p = = = ----, - .■.-------. X~>0l j ( x i +8)2 + 2^x3 + 8 + 4 V x 3 + 8 - V x 2 +4 n 1 ---- =O -----=---1 2 +2 1 4 V x 2 +4 -a/x2 +6x l i m ------------------ x->2 -4 Solución V x 2 + 4 - V x 2 +6 x V x 2 + 4 - 2 ) - V x 2 +6 x - 2 ) lin t -------------------= h m ------------ -------------- *->2 a: -4 *->2 jt -4 Vx2+4-2 V x 2 +6x - 2 = l..i m ----------------h m ------- - © jf2 1 V x 2 +4 + 2 h m ------------ ----------- = — í->0 2( 4 x T + 4 +2 ) jt- » 2 X2 - 4 *-*2 x -4 1 = í/m —= = = = = -------------------,— ” 2 }J(x2 + 4 ) 2 + 2 V x 2 + 4 + 4 1 4+ 4 + 4 12 .. —/z /w jc2 12 6 jc—16 M 2 ( x - 2 ) (x + 2 ) ( ^ x 2 + 6 x + 2 ) ( a/ x 2 + 6 x + 4 ) 1 1 Jr“ >2( x 2 - 4 ) ( ^ x 2 + 6 x + 2 ) ^ 2 { x 2 - 4 ) ( ^ x 2 + 6x + 2 )(V x 2 + 6x + 4 ) x + 8 = ----- //»i 12 V x 2 +6x - 4 . ------ /;m Jf_*2 ( x + 2 ) ( V x 2 + 6 x + 2)(4x2 + 1 10 _ 1 4 (2 + 2 )(4 + 4 ) _ 12 128 _ 12 2+8 _ 6x + 4) 5 1 64 “ 192 4 Eduardo Espinoza Ramos 352 jt-»o je Solución IJ\ + X — Jü~X .. //» i------------------x->0 X (Ml + x - l ) ~ ( - J \ ~ X - 1 ) V l+ J f - 1 -yjl -X - 1 ................... .......... ....... . = l i m ---------------h m ------------*-><> a-—>0 X X JT-»0X = l im---- ;---------- -— ------------ lim X^ ° x ( ^ ( l + x ) 2 +VT+X+1) r' >0 xi-J T ^ x + l) = lim ",: "'r~-------------- f /?W ■ .v—»0 ; 1 1+1+1 19J I 1 _ 1 11_ 5 1+1 3 2 x 2Vjc + 6 -Vjc + 1+ 4jc-1 l i m ------------- = = = ---------------^ -2 V ^ 3 -l Solución .. x 2J x + 6 - \ ¡ x + 1+ 4 x - l x 2(-Jx + 6 — 2) — ( ^ / j c + 1 + l) + 2 (x 2 - 4 ) + 4(jc + 2) l i m ----------- =====------------- - l i m -------------------------- ,------------------------------------M ~2 4x2-3 - l x^~24 x 2- 3 -1 x - /¡«i v^ 2 = lim -2 2( J x + 6 - 2 ) 4 x +1 +1 2 ( x 2 - 4 ) + 4(jc + 2) * +2 * + ^ 'v+ ^ Jt + 2 4x2-3 -l x +2 x2 \ -Jx + 6 + 2 (^/x+T) 2 —(Vx+T) +1 JC-2 + 2(x —2) + 4 *Jx2 - 3 + 1 ~ 10 -4 - — 1 + 4„ - 8o1 - 14 — „ 1 ----------. 4 1+ 1+ 1 ________3 _ 3 _5 -4 -2 -2 3 1+ 1 353 Limites y Continuidad -r - >0 x 2Xl x+l + %]x + \ - 1 Solución xVÄ+T + VÄ + T -1 x(\fic + ï - l ) + tflx + ï - l ) + x hm , , . - = lim * ^ ' x 24 7 + \ + i f c + \ - i ^ o x 2( V 7 + T - i ) + ( V Ä + T - i ) + x 2 -+1 = lim ,r->0 x x(\i7 + ï- i) + ^......... ^ ................. X 1 *-+JC 1 +i r ( ^ x + I ) 2 +VÂ+T+i (VÂ+T)2 + V * + T + i = K«[ 7, --------------- VV --------------] x2 1 -+x (a/ x + 1)2 + \lx + 1 +1 (4/x +1 ) 2 + a/x +1 +1 0 + — 1— +1 1 (2)(2) , = 4. = 5 0 + —— + 0 (2)(2) . « 21) 4 V 3x+5+x + 3 /îw — 7 7 = ------x~*-2 ljX + l+ \ Solución \/3x + 5 +1 lim *-*-2 = lim ( ^ T I + 1) + (x + 2 ) = ^ SX +1 +1 •r_>' 2 V-ï +1 +1 ____________________ +1 (\j3x + 5 )2 -3/3x + 5 +1 = um - ----— .r->-2 1 (3/x +1 )2 - \ ¡ x + \ +1 22) f a ,^ - * x— >2 " 1 ^ V3X + 1 0 - 4 1 x+2 x +2 + x +2 VX + 1 +1 x+2 3 1+ 1+ 1 + _ 2 = ^ =6 1 1 1+ 1 + 1 3 354 Eduardo Espinoza Ramos Solución Mx-l -x+s/x2 -3 ( V x —1 - l ) + (-Jx2 - 3 - \ ) - ( x - 2 ) h m ------ . --------- = lim ------------------ — -— ------ ---------*->2 v 3 jc + 1 0 - 4 x -> 2 V 3 jc + 1 0 - 4 V x -1 -1 + -Jx2 - 3 -1 x-2 = /,-«[■ x r 2 _ _ x ^ 2 ------- x ^ 2 } x~>2 *j3x + 10 - 4 7 -2 1 x+2 , + - ? = = ------- 1 ( M x - l ) 2 + \ j x - 1 +1 V x2 - 3 +1 = l i m ------------------------ ------1— — x— >2 3 V3x + 10 +4 1 - + ------4 1, -1+ 2i- 1 , —+ 1 1, 1 + 1 + 1 1+ 1 _ 3_____ _ 3___= 3 3 3 4+4 8 8 \J x -1- x + J x 2 -3 32 I m -------,........................= — *->2 V3x + 1 0 - 4 9 3.1.1. EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular los siguientes limites, mediante las propiedades. ® x 2 ~ (a + \)x + a h m ------- 3----- 5----- x— >a x -a x 3 - x 2- 8 x + 12 hm — ----- ------- ----- a- 1 Rpta. — i st 3a2 n , Rpta. 0 '-* 2 x 3 - x 2 —12x + 20 ® .. 3jc2—17jc + 20 hm — ---------x~*4 4x -2 5 x + 36 D , Rpta. I 4 — 3_= 32 3 9 8 355 Limites y Continuidad © „m í-»2 *-X - ~ 2? x2 - 4 © l,m ^ *-»ijc3 + 2x2 - 7jc + 4 /-\ R pta. 11 Rpta. i 5 5jc2 + 3 jc5 - 8 17 16J lim------------------------------------------------------------------------;-----Rpta.— © x 3 + 6 x 2 + 9x 3 hm— r------------------------------------------------------------------ --------- Rpta.— ^ /^ n (8 ) v“x ® V->1 7x - 4 . X - 3 *->3 .y3 + 5 x 2 + 3 * - 9 © W 12) 2 2.r3 - 52 - 2jc - 3 lim—-------r----------- 11 Rpta. — * - M x 3 -13x2 + 4 x - 3 x2 lim---------1-- ■'--------, x~*i (1 + 1-*1 /I _L ax) *- „—í(asi +I x) v\^ 10) 24 17 a > Oy a Rpta. 1 2x~" + l - 3 r “2" lim -----r_>13x ~ 5 + 2x 1- a R pta. 5 lin/ ™ - 2* * 1 — i j r s o- 2 x + l R pta. * 24 10 l i m - —------ X 2 ) - ■ ^ 2 ( x 3 -1 2 jc + 2 1 6 ) 10 Rpta. -1 13) ■1 //ro(—---------^— ) x- l 1-X l-JC3 14) Hallar los valores de m de tal manera quelim —— mX- -- ——— = m 1 - 2 7 '— Rpta. ¿ ) 2 jr - * m JC — m Rpta. m = 5, m = - 4 (íi) W Hallar el valor de “a”, a > 0, sabiendo que lim —— 2a x + ax *-»1 2a x + x 2 =2a-5 Rpta. a = 2 Eduardo Espinoza Ramos 356 Q ) Si li m— ^ ----------- = ¿ * 0 , calcular el valor de a + b *->'ax-+2x + b R pta. -2 (l7 ) Si f(x) = x - 2 y g(x + l) = x 2 - x , calcular lim ^ ° S ) ( X + ^) 65) Si se sabe que lim ^ = 4 y lim = -6 . Calcular lim — — —n - x 3 n -x2 * -* ig W w R pta. *->2 (g o /)(x + 2) 3 R pta. -1 b +x , , , f ( a + x ) —f ( a ) Si f ( x ) = ------ , x * b , calcular / r a ;------------- :----b-x *->0 x n R pta. ab ---------— (b-a) (20) ^ Si f ( x ) = X+- - , x * 0 , calcular lim ' -------— x -3 *->o 5/¡ R pta. -1 (21) Sí w lim fS l t 2> - = 8 y *^-^h2x-2 lim _£Íí2_ = 3 . Calcular l i m ^ x —4 «ogW R pta. x->-2 Si f ( x ) = j 3 x + l , Hallar lim f ( x + h) ~ f ( x). A V l + x 2 -1 R pta. — 2= 2-j3x + \ „ //w ------------------ 1 Rpta. — .V—>0 v-2K 24; 2 Rpta. 1 .v- > 0 jt 25 ) lim V - .- -—V 3jr 14 ^ X-.5 f f wVx 2 - 2 x + 6 z 2 / x i í 2«z 6 W *-»J (27) ^ lim — .v—> 2 1 ¡Ay —1 lim Rpta. -1 X~5 @ 28) - x , ;Y + 3- x~*~ yx + 7 -4 a> _ i -4 x + 3 3 Rpt a. 2 Rpta. 3 3 Limites y Continuidad 357 © „ 'h+a+b-Ja*b Jf-»0 X Rpta. ® 2-4 x hm----, j;->4 3 -v 2 x + l Rpta. © x->a © V8 + JC-2 lim-----------<->n x Rpta. © 4x2+9 -3 ,r->0 x a+X-, Rpta. + X-1 hm -x/l-----*-*<>M\ +x -1 Rpta. 3 2 V *- 2 hm-------•<- >* .v-8 Rpta. 1 12 .. Vb2-x © © © © © © © -Jb2-a X-a l,m 77=---*->™yx-2 1 2-Ja+b 3 4 1 Rpta. 2-fb2- a 1 12 1 6 Rpta. 4 5 hm tfT -i Rpta. hm V *-1 •'->>v* -1 Rpta. 3 2 VT-1 Al— ■ r-»• 4/X - 1 Rpta. 4 3 —ü hm -Jx _ Rpta. 3 •'-*1v* -1 .. ,v-»64 ijx - 4 8 358 Eduardo Espinoza Ramos - © ^ @ @ i ^ T 7 -V 8 !'™ T T ~ r *-i *->i © W ),„, *-1 7 12 1 RP,a - i Rpta. - JC-1 K + F 6 R p ta . - i 6 x -1 \[ x - 2-Jx + 3x - 2 lim -- ----------------------------jc-l ® 3 R p ,a - í/(jr + l): - '7 x + 1 - 1 í ™ --------------------------- v- ' F ,. a t f x 2 - 2 l f x +1 (j - i , í - © _ 7 R p ta . 3 _ 1 R pta- ? Rpta. _ L W ( jc- 8 ) 144 x 2 +2x ^ @ v-y . 52) “J & r * £ = L 7.í x-*i JC-1 x 2 -*J x - x - 5 9 5 i m ---------- -------------------- v-»2S x-25 R p ta . 6 48 9 R p ta . ------- 10 Limites y Continuidad 53) 359 Rpta. 3 Um x ' •t~>1 V x -1 aâx-x2 CN 54J ^ g) 56) o , lim ---------,— •'-»« a-~Jax „ Rpta. ---- '= v->a x* - a lini „ Rpta. 3a 6aMa2 —- Rpta. \[x - l ^ 57) .. J b c - x + i H i ï - J ï lim -------------------------x~*4 x-4 g) U m ^Z Sß. ^ *-»■ V x - V ä g) ,„ V ^ T - Æ ît 2 6 _ „ 3 V2 Rpta. 3a Rpta. _ j_ ^ VÔ X 60) lj3x +5 + x f 3 //»i — ------------- Rpta. -rjv 61) ^ Vx2 + 4 - 2 hm—--------------------- _ 1 R p ta .----36 •v->-2 »2 + 1+ 1 X —2x —16x + 32 © 63) ^ 10 6 R pla. _ i .v—»0 lim . jc2 X—r W ) V l+ x 3 - V l + x 2 - 8 Rpta. --------v 12 4 Rpta. -2 Eduardo Espinoza Ramos 360 ® © Rpta. ^Jx4 + l —^Jx2 +l lim —--------- -------— *— ► 0 X1 Rpta. 1 2 (¿Jx + 6 -%Jx + 7 h m -------- —--------- .<■->2 x -4 Rpta. 1 24 - J x —J a + ^ x - a —----h m -------, -Jx1 - a 2 Rpta. .. - i x - ~ j 2 a + ^ ¡ x - 2 a hm --------.......... .---------Jx2 - 4 a 2 Rpta. Rpta. © 2 -4 x h m ------. *->A 3 -- J 2 x + l Rpta. © © Í5 1 1 12 3 4 Rpta. 2V2 V Í-V 2 3*j2x2 - 2 - j 3 x 2 +4 + 2 h m -----------------------------x~>2 1 2sfa 5 V I-3 -V x -4 lim ------------------Jf->4 x-4 3^2x2 -V 8 * -2 3 ■J2a © © 70 x 2 - 6 —v/x + 6 h m ----- 7= -------Jr_>3 -Jx + l —2 Rpta. -1 X -2 ifx + J -2 x -x -1 0 h m -------------------------X +8 Rpta. 19 16 Limites y Continuidad -7 -7 1 V ® ¿5 3 -x R pta- 78) lim 1 - f f i î ï ï *->o 3x R p ta . lim — 1~SÍ2X — L =^ r~>2 2 - ^ / 9 —>/2x-3 Rpta. -12 ;■ ^/x4 +1 -a/Ä 2 +1 lim ------------ ---------.«-o r 1 Rpta. — P 2 " y 79) " 80) ^ X ^ ^ X 2 ~ 1 “ 361 6 7 I I 9 * +x2 2 o-«a 82) i- V Î W 2 T 7 - 7 3 lim ---------------------'-»2 /-2 i Rpta. — = K 8-x/3 83) lim *->i Rpta. -^* 1—x 1¡3~+4x - 2 lim -— ==-------*->25 V ^ - 5 ® 0iC, 86) lim ------------ ;---------------------'-»í x -4x +3 V x2 + 4 - 2 lim —---------------------v ~*2 x -2 x ~ -1 6 x + 32 I 8 1 Rpta. — 12 V-T2 - 2 x + 6 ~ 4 x 2 + 2 x -6 1 Rpta. — 3 „ 1 R p t a .-----36 Eduardo Espinoza Ramos 362 ¡¡m V 7 + ^ T T - V 5 T T ^ R p(a 22 a/jc + -JAx + 5 —J3x + 13 ® y ;. 4\[4x - 5j&x - x 2 +16 /íW —;------ F = - r— ---*->2jc3 - 4 ^ 2 x - 5 l f 4 x + l O «6 19 23 R p t a .------25 V ^ 3 -3 18 1 ,-3 1 ^ 2 6 1 ^ 3 1 -2 6 7 ^ 3 3 ‘ ~ 3 4 - 2 1 l x 2 + 1 5 x -6 x-3 93) .. V* 2 + 2 7 - 3 hm , ■ —----^ « 4 /7 7 1 6 -2 _ . Rpta. 32 — 27 .n j l 94) k 7 , ^ 3 x - 2 + x - s^ 2 h m ------- ,,------ ----------*-1 V ^ + 7 -2 „ „ Rpta. 57 — 5 95) lini X -T :\ ^ ^ í - M l - x +x 2 " S ) •r-’2 97) " .. //W X^ s j \ ¡ 5 x - 2 +-\¡x + 2 - 2x H 5 x -2 + x +% ...=--------, x 2 - X + 2 + X +3 Rpta. 6 R |„ a, 4 288 _ t 2560 Rpta. ------1863 Limites y Continuidad ,00) Un, '- 2 3 x - 2 V l5 - 3 x 101) S 12 +^ + jr->0 2 '-*> Rpta. -2 X- x-jx + 1 [102) 103) 363 Rpta. +oo V x2 - 3 x + 2 l i m ---------- V * + ^ — -----v - - 7 = 7 ^ 2 - V ^ T + 2x Rota. — 18 104) /• a/ x -1 + 4 1- ^ x - l - ^ x - l + 4 h m —¡ = — -------— ----- ----*-*o ^ T ^ - S ^ x - î + l i x ^ - S Rpta. 4 — 3 105) + 3 ^ /x -3 x -l /zm ------------------^ = - _ Rpta. 27 — L ' x +3^ - 3 ^ 7 106) J lint y i í f —yj—1 v.o 3 /f^ 7 _ V l 3 7 107) »■ V3x2 + x + 4 + -\/x 2 +5x + 1 0 - 6x 2 ------- . . . — :---- ------ ------------lim •r_>1 Rpta. — F 2 _ Rpta. \j-Jx + 3 + 6 + Vx + 8 - 5x2 (l08j v ' lim ^ X +? ^ 2 + 3 *-»i x —1 ■ y / /w 8 - 2 x + ^ - Æ .<->4 x -4 110) 8 lim V2x + 7_ ,v->in x - 9 - c o s ( x - 1 0 ) 506 371 Rpta. -I 4 _ 23 12 Rpta. — 54 Eduardo Espinoza Ramos 364 111) 4 ¿ j 4 x - 5 ^ x - x 2 +16 lim » 2 j t 3 -4 a/2 x -5 V 4 jc +10 „ 23 R p t a . -----25 Vl + x 2 —J \ ~ 2 x h m ---------------------- R pta. 1 -v/jc—1 —x + V x2 —3 h m -------------'■*2 V3x + 1 0 - 4 Rpta. 4 ,im £ t E jn z Rpta. x +x ,u ) x —»0 r 2 .. a/x + 1 —1 //w -----------*-><> X Vl + 3x - ^ 3 - x h m ------------ -------*-*> 1- x a /x 119) ijx -ifx hm JT-.1 l - x 2 121) lim ■Jx—'J 2 x - l -8 l i m ---- - = lim ----- ...... ...... - x^ l - \ ¡ 3 - 4 x ^ \ *->64 4 - V x [,201 t o 3 E Z d !5 ± I jt->0 r -J$x—1 —\¡2x + 2 x-l lim x~*1 V x2 + 3 - 2 -\/3.V-2 + Vx + 6 - 4 h m ----------------------------Jf->2 x —2 - j 2 x - 2 Ijx lim --------------Jf-»8 x —8 V4.t - 7 - V 4 x + 1 /znj----------------------*->2 x -2 V x - 4 —s/3x —14 h m ----------------------x-*s x -5 122) 126) Jm lim — p = ------*-»2 *j2x - 2 lim x -* 4 VxZ 5 -V 2 x -4 x +T+4 Limites y Continuidad 3.12. 365 LÍM ITES LA TER ALES Para que exista lim f ( x ) , depende del comportamiento de la función f(x) cuando x tiende x —*a ' hacia a, tanto para valores de x menores que a (por la izquierda de a), como para los valores de x mayores que a (por la derecha de a). Para el caso de los límites laterales es más simple, por que depende del comportamiento de la función f(x) cuando x se aproxima hacia a ya sea por la izquierda o por la derecha de a y a esto denotaremos en la forma: Al límite de la función f(x), cuando x se aproxima hacia a por la izquierda es el número lx que denotaremos por: fim , / ( x j t¿ al límite de la función f(x), cuando x se aproxima hacia a por la derecha es el número l2 que denotaremos por: im /£ * )~ /2 Eduardo Espinoza Ramos 366 a) Definición.- Consideremos una función f definida en el intervalo <c,a>; el límite de la función f(x) cuando x se aproxima hacia “a” por la izquierda es el número real L al cual denotaremos por lim f (x) = L si para todo e > 0, x-> a~ existe un 8 > 0 tal que sí: a —8 < x < a. Entonces | f(x) —L | < e. Expresando esta definición en forma simbólica. hm f{ x ) - L ^ > (V í>>0, 3 8 > 0 / s i a ~ 6 < x < a z¿> [ f l x ) ~ L j <«> b) Definición.- Consideremos una función f definida en el intervalo <a, d> el límite de la función f(x) cuando x se aproxima hacia “a” por la derecha es el número L al cual denotaremos por lim f ( x ) = L , si para todo e > 0, existe un x- *a + 8 > 0 tal que si: a < x < a + 8 entonces | f(x) —L | < e Expresando esta definición en forma simbólica. hm /{ * ) = £ = » OBSERVACION.- ( V fj> 0 , 3 S > f l / & a < x < 8 + S r-> ¡^ x )~ L |< g } Para que exista lim f ( x ) debe de cumplirse la condición siguiente: rl hm f { x ) ~ L <■.-■> Hm / ( O x^4f ' Um f { x ) ~ L x-'+a* En otras palabras, existe límite de una función sí y solo si, existen los límites laterales y son iguales. OBSERVACIÓN.- No existe lim f ( x ) en los siguientes casos: x —yci Cuando no existan uno de los límites laterales. © Cuando los límites laterales existen y son diferentes. OBSERVACIÓN.- Al calcular el lim f ( x ) , cuando la función f(x) tiene diferentes x —>a ' reglas de correspondencia para x<a, y para x>a se aplica el criterio de los límites laterales Limites y Continuidad 367 Ejemplo.- Calcular si existe lim f ( x ) donde: *-»> ‘ f{x )= \X ' [x +1 -Ví * <' 1 si x > 1 Solución Aplicando el criterio establecido, es decir: lim .v-*r lim v -» r 3 lim f ( x ) = L <=> lim f ( x ) = lim f ( x ) = L n i' jt-»r ‘ A->r f ( x ) = lim x 2 +3 =1 +3 = 4 ...(1) x —,>r J'(x) = lim .v + l = l + l = 2 ...(2) x —>i * al comparar (1) y (2) se tiene que: lim f ( x ) * limf ( x ) entonces .T->1 .r->r Ejemplo.- Calcular si existe , lim f ( x ) , donde: •r~>2 3 lim f(x) -V— >1 f(x) = \ X S‘ v - 2 8 —2x si x > 2 '■ Solución Aplicando el criterio establecido se tiene: lim jr—»2- ' 3 lim f { x ) = 1 o x~>2 limf ( x ) = lim f ( x ) = 1 x->2+* x—»2-* f ( x ) = lim x 2 = 2 2 = 4 ...(1 ) ,v->2- lim f ( x ) = lim 8 - 2 * = 8 - 4 = 4 jr-»2+ jt— >2— ...(2 ) al comparar (1) y (2) se tiene que:lim f ( x ) = /j'w /(jc) x-> 2-' Ejemplo.- Calcular, si existe lim x .l—— -1 6 *->0 ^4*2 Solución x-*2+' = 4 entonces 3 lim f ( x ) = 4 x —>2 368 Eduardo Espinoza Ramos .. x V1- 64x2 x V1- 64x2 V1- 64x2 1 lim --------------- = hm ----------------= /i»i — ---------- = — 2 1x | -v*o ' 2x a'— >ti ’ xVT- 64x2 xa/i - 6 4 x 2 lim 1--------- :— tí lim ----------— Como < -»o 2 [x | Ji ->n+ Ejemplo.- Calcular si existe 22 entonces: 2 1x | , ¡~¡ 3 lim x A — - - 1 6 jt-»o ]] 4X - lim — —^ —— A >-1 ' J x 2 -[\X \] Solución Por propiedad se tiene X^ y ¡ x 2 -[ \x \] [] jc — 11] = [| x |] — 1 X^ 4 x 2 - [ \x \] para - 4 < x < -3 => -4 X .3 X .2 [| -v |] = —4 .. [ |x - l |] - x .. - 4 -1 - x -5 -x -5 + 3 -2 hm , =■= lim . = lim • •• = ■ r ..... = -==■ r_> 3 -y/x2 - [ |x |] t~>'3y x 2 + 4 Jr~>“3~ t/x 2 + 4 a/9 + 4 VI3 para -3 < x < -2 => [| x |] = -3 [|x —1|]—x ..—3 —1—x .. —4 —x —4 + 31 lim ■■■.■ ■■■■■■■■- . — = lim —, ..... = hm --------= = — ■==■ ' ^ r J x 2 - [ \x \] r- 5W r + 3 j - - 3W x 2 +3 V9 + 3 V l2 [|JC- 1 1]-JC ^ hm - j _ * Como ' V * 2 - [I Jf I] [ |x - l |] - x . lim ■ . ■ =■ entonces A' ^ “ r a/ * 2 - [I x I] x 2[ | 2x + ! | ] _ Ejemplo.- Calcular io x lim -------- ¡-----------------v->2- x 3 - l l x - + 3 8 x - 4 0 Solución 3 lim v > 3 , [|x — - t i x |] 11] —X Limitesy Continuidad 369 Í i± i =2+J L = JC—1 JC—1 x 2 „ i £ i l l]= 2 + [l- L . x -1 x -1 7 3 1 4 3 para — < jc < 2 => —< .x —1 < 1 => 1 < ------< — => 3 < -------< 4 4 4 x -1 3 x -1 Por lo tanto [ |—— 1] = 3 x -1 * 2[ | ~ “ |] —1Ojt , 2 in y —] 5x -lO x lim —------ ------------------- = lim > >2 X1 - 1 L r + 38x - 400 *-*2 - x 3 - 1 lx 2 + 38x - 40 5 x (x -2 ) 5x um — ----------------------- = lim >2'( x 2 - 9 x + 2 0 )( x -2 ) >-»2 x 2 - 9 x + 20 Ejemplo.- Calcular 10 4 -1 8 + 20 3 lim -J\ x | +[| 3x |] si existe *->7/3 Solución Sea 2< x< \ => 6 < 3 x < 7 => [|3jc|] = 6 _________ ____ s R lim J\ x | +[| 3x |] = lim -Jx + 6 = -----.V—>7/3’ JT—>7/3" 3 Sea — < x < 3 3 => 7 < 3x < 8 => [| 3x |] = 7 lim J\ x | +[| 3x |] = //w Vx + 7 ■V *7/3* Como J—>7/3+ lim J \ x \ +[|3x|] * .v—>7 / 3” Ejemplo.- Calcular si existe 3 lim J\ x | +[| 3x |] entonces .v->7/3+ jc—>7 / 3 //'»i ^ ^ *->^3 3 lim J\ x | +[| 3x 11 ^ — X - a/3 Eduardo Espinoza Ramos 370 Solución 2 < x <3 ■J2 < X < -s/3 - 3 < - x 2 < -2 v r 0 < 3 -Jc2 < 1 => [ |3 - x 2 |] = 0 , a / [ |3 - x 2 |] 0 „ hm ------------------------j =— = hm ---------j= = 0 .v x - a/3 Í-V 3 -J3<x<-J~4 ------- => "^3 ^ X => 3< O <4 = > - 4 < - x 2 < - 3 = > - l < 3 - x 2 < 0= > Luego [ |3 —x 2 |] = -1 lim ^ 3 * ^ = lim 3 . Por lo tanto ■ x —v''3 x->$+x~*j3 3.13 x2 3 lim 3 * ^ •»-»V? x - V J EJERCICIOS PROPUESTOS.- Calcular si existen lim f ( x ) , l i m f ( x ) , donde: -V— >1 / (x) a) 6x —x ® Calcular si existe .Sí X < 1 x .v/ 1 < x < 4 4 - x .y; x > 4 Rpta. (Y ) ^ X lim f ( x ) donde: / ( x ) = 2 x 2 - x - 3 jt-*2 ’ 6 xy^ H Calcular si existe lim f (x ). donde /'(x) = <' ’ ' ■<-->0' ' x , x<0 1 b) a s» x < 2 sí Rpta. a) x > 2 sí x=2 Rpta. 0 3 Limites y Continuidad 371 í X~ Y< 1 Calcular si existe l i m f ( x ) , donde f ( x ) = { ' »-*1 ' 2 , x >1 Rpta. x -5 ® Calcular si existe lim f (x ), donde: x —>5 * , x>5 i —yjf—4 f (x) = Rpta. -2 x 2 -1 2 x + 35 , x<5 x -5 0 Calcular si existen a) lim f(x ) X— >1 b) lim f{x) x —>2 1 - x 2 si X<1 donde fix ) 1 Rpta. si 1 < x < 2 a) 3 b) 1 x -3 1 si x > 2 Calcular si existe lim f ( x ) , donde: r->3 ‘ ® 10) Calcular si existe Calcular lim r->« © /(x ) = Vx + 1 -1 x+2 lim J |x |+ [ |3 x |] x —>5/ 2 [U - |]- X Rpta. Rpta. -1 X Calcular si existe lim 2x Ix - 1 1 -V-»1 Calcular si existe lim Rpta. 3 X —1 Calcular si existe lim í i J J —ñ i *-»1 x +1 13) x 3 - 2 x 2 -5 x + 6 si x < 3 x -3 1 1 6 -x 2 1+1 Rpta. - Rpta. 3 ' ->* ( 4 —x)-y/5— I x — 1 1 Calcular si existe lim I x->\ x 3 - X 2 + 3x-3 , x —1 Rpta. 4 si x > 3 Rpta. 3 Eduardo Espinoza Ramos 372 15) 3r + I x I Calcular si existe lim ------------ Rpta. 3 16) Calcular si existe lim — ——----- Rpta. O 17) Calcular si existe lim [|3jc |] + 13 jc"- 1 1 Rpta. 3 J ■J *-*> 7jc—5 1jc I x—*2 ‘ 18) I JC—2 I P .V -> 3 Calcular si existe lim -x/|.v | + [|3 x |]+ 4 Rpta. 3 .V—>5/3 19) Calcular si existe lim 20) ‘ Calcular si existe lim -^ 4 -----^ l] + 2jt: x~*1 2x + 2 [|x + l |] 21) Calcular si existe 1 J --- --- - —— IJc —21—[| jc|] 12- [ l f l ] lim --------- -— x - » i/6 [ |3 x |] - 1 0 Rpta. 3 Rpta. 3 6 Rpta. — 5 ' |J"H}X| *- WM• ^ 22) 23j n i i Calcular , 2 [|x 2 + l |] + |x + 2 |- 2 lim -----------------------------[|3jc + 2 |] x—>VT Calcular lim ^ ^ _ Rpta. /J 4 + V2 6 Rpta. 1 *->1* [|jc + 1 |] + 3jc-1 24) Calcular si existe 1S) Calcular ^ Rpta. R p t, x-»2- 26) 1 lim a/|jc |+ [|3 jc |] + 4 X— >5/2 v [| 2 jc - 1 1] + 2 * M lfl] Calcular si existe lim -------------*-»6 [| 2* |] + 10 3V6 ’ 8 Rpta. 3 Limites y Continuidad (27) 373 Calcular lim ^ * + ^ +-^ ~ [ | x - 3 1] R pta. - ( 2 ^ 7 + 6 ) Calcular lim ' “»r R pta. — 6 Calcular -J9 sig ( x - \ ) - x ¿ R pta. 1 lim [x~ —s i g ( \ x ~ - 1 |- 1 ) ] Calcular si existe lim [x2 + 5 + .si'g(|;t2 - 1 1-1)] x->j2 Rpta. 2 1 —J x si X > 1 Calcular si existe l i m f ( x ) , donde: A—>1 f(x) = 2 X * _ 2~2 (x -l) © Calcular si existe Donde: a) lim f (x) X— >— 1 /(* ) = (x-2 [\x\])¿ R pta. 1 b) si x < 1 lim f ( x ) Jr— >1 Rpta. a) Calcular si existe lim [| jc |]+[| 4 - x \ R pta. 3 34) Calcular R pta. 10 35) Calcular si existe at->3 lim f| ———r—- |].[| ——— — — — —|] .r— >3 10 10 lim U x 2 |]-1 1 x+1 Calcular lim ( x 2 + 2.v)[| 1- x |] R pta. 3 R pta. -16 v -> 2 + 37) Calcular si existe lim ^ X ^ x 2 -[\x\] Rpta. 3 3 b) 1 m I <N 1- l [ x 374 Eduardo Espinoza Ramos u*’ - 3iH ix 2 n x -2 © Calcular si existe ® Calcular si existe lin i([\x -\\]-x)-y]x-[\x \] ,v->V2 Rpta. 3 Rpta. a jr->3 M 1 -* © Calcular si existe lim f (x) , donde: f (x) = • x -t-2 si - 9 < x < - 2 > -w i N ] - H l - 8. [ i | i ] -, si - 2 < x < 7 X - |x | Rpta. 3 © Calcular si existe los límites: a) lini b) Evaluar lim f ( x ) donde: ■V->1 ' f(x) = x +2 x+3 2x + \ © 44) lini x->.r lini *-* 36- 5 x 36 + 5x 10 10 ■ si Iim (x-\)[\x\] X->1 X > 1 Rpta. si x e< 0,1 > Rpta. -10 2[| -V2 + l |] + |x + 2 |- 2 Rpta. [|3x + 2|] 3(4-V 2 ) ljrti[j2x + 3 \ ] - 3 x - 2 [ \x \] Rpta. 3 l- X ax2 +bx + 1 ; x < l 46) Sea J (x) - 2a x - b ; 1 < x <2 . Hallar los valores de a y b para que exista los x +1 ; x >2 límites de f(x) en x = 1 y x = 2. ™ 5 , 1 Rpta. a = —, h = — 3 3 375 Limites y Continuidad x -x 47) -4 x + 4 , x < -2 J+2 Si f i x ) = ax2 - 2&C+1, - 2 < x < 2 , Hallar a y b de tal manera que existe los limites x 2 - \ 3 x + 22 -, x > 2 x-2 D * a =— 1 y bA = — 21 Rpta. de f(x) en x = 2 y x = -2 (48) Calcular si existe lini f i x ) , donde: x-* 2 f (x) = <1 es pai ' [ 2 x - [ \ x - 2 \ ] si [|x |] es impar Rpta. 3 49) (50) Calcular si existe lim f i x ) , donde: *->o ' Calcular si existe lim (x x->-V2 x+3 Si fix ) : x -3 Lsen A ^ Ix I Rpta. Rpta. 3 3 , si x < -3 a x 9 -2 b x + l , si - 3 < x < 3 x 2 -22X + 57 . Hallar a y b de tal manera que exista los , si x > 3 limites de f(x) en x = -3, x = 3 3.14. f {x) = — + 5 + .ï/g(|x - 11- 1)) x 3 + 3x2 - 9 x - 2 1 SI) ' Rpta. a = -1 y b =- LIMI IE S AL INFINITO.Consideremos la función f i x ) = 2 +------ , cuya gráfica es: x -2 Eduardo Espinoza Ramos 376 Examinando la gráfica para valores de x cada vez más grande, el valor de la ñinción f se aproxima a 2, por lo tanto se puede decir que: lim f ( x ) = 2 para el caso cuando x *-*+ 0 0 * decrece sin limite, el valor de la función f se aproxima a 2. Luego podemos decir que lim f (.v) = 2 . A estos tipos de límites se les llama límites al infinito. jr-*-«>* Ahora daremos las definiciones correspondientes. a) DEFINICION.- Consideremos f: <a, + *>>----- > R, una función definida en el intervalo <a,+oo>, él limite de la función f(x) cuando x crece sin limite es él número L y denotamos por lim f ( x ) = L , para todo e > 0, existe un AT—M-co N > 0 tal que sí x > N entonces: |f(x) - L| < e; es decir: lim f ( x ) b) DEFINICION.- (V e > 0 , 3 N > 0 / s U > K f " ^ ¡f & P í| < «> Consideremos f: < -* ,b > ----- > R, una función definida en el intervalo <-oo,b> él limite de la función f(x) cuando x decrece sin limite es él número L y denotaremos por lim / ( x) = L , si para todo e > 0 existe .V—>—OO* un número M < 0 tal que sí x < M, entonces: | f(x) —L| < c, es decir: Um f { x ) ~ l * * (V 0 0 , 3 M < O/sí •=» ff ( x ) ~ M < 2) 377 Limites y Continuidad c) DEFINICION.- Consideremos la función / : D r —>R , una función definida en su dominio él limite de la función f(x) cuando x -»*>, es número real L que denotaremos por lim f ( x ) = L jr—>oo ‘ él sí para todo e > 0, 3 M > 0. tal que si |x |> M => |ff x )-L |< £ . d) TEOREM A.- Sea n un número entero positivo cualquiera entonces se cumple: i) lim ----= 0 ¡i) lini — = 0 Demostración i) Por definición: V e > 0 , 3 N > 0 / x > N => I-i— 1 n 0 |<' £ X => I — 1 n1<£ X C o m o x > N > 0 => |*|">A T" => —— < —— u r Nn Por lo tanto si x > N => —— < — U l" N" y —í— < e |jt|" => N n = — e Como N " = — => N = c V£ Luego sí x > N => | —n— 0 1 < c siempre que: N = ü) Su demostración es en forma similar que i). Ejemplos.- Calcular los siguientes límites: Q Hallar lim 2x2 +3* + 5 >~>ot 3 x 2 —2.V+ 1 Solución La forma más práctica de calcular los limites cuando x ----- > +°o o x ----- > -oo es dividiendo tanto el numerador como el denominador, entre la mayor potencia de x que aparece en la expresión dada, luego se aplica el criterio del teorema anterior, para nuestro ejemplo dividimos entre x 2 tanto el numerador como denominador es decir: Eduardo Espinoza Ramos 378 , 2+i +4 2x +3.V + 5 x x 1 2+0+0 2 lim — ------------= l i m -------— = -----------= — *-**’ 3x —2 x + l Jr_>“=-i__2 , _J_ 3 - 0 + 0 3 X 2 X¿ 2x - 3 x - 4 Solución Cuando x toma valores positivos bastante grande, se toma x 2 = ^[x ^ con el cual dividimos el numerador y denominador entre x 2 = V x 4 se tiene: .. 2x: - 3 x - 4 X X2 2 - 0 - 0 hni ... — = lim — , .= ■■-7— ■= 2 Vx4 + i x-KO h +J _ 4 i+ ó , *-*+* x + 7 Solución Como x toma valores positivos bastante grandes, se toma dividimos el numerador y denominador entre x = -Jx* x = V x2" con el cual se tiene: Vx2 + 4 hm .v-»+oo X _ +7 X = lim jr-»+oo ‘V _VTTo=1 ^ 7 1+ 0 i, , jr - » + * X +7 X *-»-» x + 7 Solución Cuando x toma valores negativos bastante grande, se debe tomar x = - J x 2 , con el cual dividimos el numerador y denominador es decir: 379 Limites y Continuidad 4.x ■ + 4 -Jx2 + 4 -^[x2 hm -----------= lim -------- -— = hm A->-CC JC+ 7 .V—>—co x+7 J ^ 71+0 x —>-oo . .. ‘J x 2 +4 Um -----------= -1 x -» -» jc +7 lim (-yjx2 - 5 x + 6 - x ) .v-»t-ür. Solución En este tipo de ejercicios para poder aplicar el método de los ejemplos anteriores, es necesario expresar a la función como un cociente y para esto se debe racionalizar: >• / / •> 7 ^ (Vx2 - 5 x + 6 -x ) ( a /x 2 - 5 x + 6 +x) hm (Vx~ - 5 x + 6 - a ) = / ; » ; -------------- = = = = = ----------------™ ^ +0° V *2 - 5 x + 6 + x -5 x + 6 ■ ----™ V * 2-5 x+ 6 + x Jim ____ Como x toma valores positivos bastante grande entonces dividimos entre x = -Jx2 . 6 5* + 6 lim (V-í2 - 5 x + 6 - x ) = lim , X+= — = lim ’V x2 - 5 x + 6 + x fi \ (ó ) x -5 + 0 5 5 I 6 I¡ V l-0 + 0 + 1 2 x x2 lim -Jx2 - 2 x + 4 + x jt- í - k Solución En forma análoga al ejemplo anterior debemos expresar a la función como un cociente y para esto se debe racionalizar: n ^ 7 »• (V *2 - 2 x + 4 + x ) ( V x 2 - 2 x + 4 - x ) -2 x + 4 lim V-V - 2 x + 4 + x = l¡m -------------- ■ ■ ■ ---------------- - = //w - = = = = — * Vx2 - 2 x + 4 - x w W *2 - 2 x + 4 - x Como x toma valores negativos bastante grande entonces dividimos entre x = - V x 2 . Eduardo Espinoza Ramos 380 4 lini ~2+x -2 x + 4 = ----= lim —¡ = = = — =— ™ V x 2 - 2x + 4 - x j1_ l + _4_ _ 1 " x x2 -2 +0 , =1 - V l- 0 + 0 -1 lim -Jx2 - 2 x + 4 + x = l X— >-«> x 3 + 3x2 + 7x + 5 3 /1 T I lim (------r------------------ Vx + 2x - 3 0 ) ,_♦+» x" + 4x + 7 Solución En el ejercicio dado se observa que el numerador es de un grado mayor que el denominador en estos casos se resta y se suma x a la vez para luego hacer las operaciones respectivas. lim (--y3+^ 2 + 7 r + 5 - V x 3 + 2 x 2 - 3 0 ) ,->+ce X +4x +7 r,X3 + 3 x 2 + 7x + 5 , 3/ 3 - 2 = lim [(------------------------ x ) - ( - x + Vx + 2x -3 0 ) ] *->+* x +4x + 7 , -x 2+ 5 - 2x2 + 30 v = ¡im (— — + ---------- = = = = = ----p-rr:7 ------------ ---- ) *-»+• x + 4x + 7 x 2 + xA/x3 + 3x2 - 30 + 3/(x3 + 2x2 - 30)2 Ahora dividimos numerador y denominador entre x 2 ,im _ > /7 T P ^ 3 0 ] x _ + 4x + 7 - ‘* 7 . ™ ( - 2+“ 2 30 I 2 30 2 ) 1+ - +— i + 3 i + ------------------- r + 3 ( l + ----------r ) 2 x x x x3 V * x3 4 -1 + 0 [ 1+ 0 + 0 7+ i -2 + 0 2 5 1 + 3 /Í + 0 + V Í + 0 3 3 381 Limitesy Continuidad J x + J x + a/*+ 2 lin, J ------ -----4 +2 2 Jxx + ® Solución Como x loma valores positivos dividimos numerador y denominador entre J x , 1 1 -Jx + -\fx + 'Jx + 2 V y* lim ---------¡------ ------- - lim ----------- , V* + 2 *-►+• / 3.15 2 V*3 *4 ----------- = - — , -:■■■■ —- = 1 2 a/1 + 0 EJERCICIOS PROPÜESTOS.Calcular si existen los siguientes ejercicios. © Rp(a i -r-»K 4jc +3 j t + 2 x + l © © w .. 4.r3 +2jc2 - 5 lim ------ ----------*->-<* - 8x +x + 2 lim 4 Rpta. — 1 2 Rpta. 0 jf -1 + 2 x + \ U) r3 -v2 //w (— ---------------------------------------------------------------------- ) Rpta.2 X ' +2 -v + 2 © w ,/ra[J í L _ C í d S 4 í í í i l ] v— 2x + l 4jc 3 j f - 2 .V - 4 r Um ( 2x i + 1 * x '—3~T- © ,3 v2 lim (—^--------- - — ) .r ' 2x -1 2.V+ 1 Rpta. í 2 3 R pta- T2 i Rpta. — 4 Eduardo Espinoza Ramos 382 ® © lim ( ^ \ 6 x 2 + 8* + 6 - V l 6x 2 - 8x x-*+ao Rpta. 2 lim ( 4 x 2 +x —s/x2 + 9 ) .r-»+a Rpta. ^ 2 x 2 +\ lim -----------x-»-<* .v + 3 Rpta. —\¡2 lim ( 4 * 2 +2x - x ) Rpta. 1 Rpta. © lim (-Jx2 - 2x - l - Vx2 - 7x + 3) x— >±cc © lim(-Jx(x + a ) - x ) x—*u> © lim (sj{x + a)(x + b) --*) X—*or- D * a+b Rpta. © lim ( x + 4 x 2 - x 3 + 1) jr-»•+-* Rpta. W -X lim . ' —* V l-4 x 2 „ © © lim (x + V l - x 3 ) 2 1 Rpta. 1 Rpta. O © l i m ------ p ------'■** X -V x 2 +] Rpta. -oo © lim (4 -v + 4 2 x ~ 4 x --a/2x ) Rpta. -J2 © , V x + V x + 4 /x l i m ------, — v-»x V2X+ 1 Rpta. —= 42 Limites y Continuidad 383 T-V7 TI ¡¡m 22) ^ / 23) ^ Rpla. o lim x(-Jx2 +1 - x ) lim ™ Rpta. — s i X —> +00 , -00 si X—>-00 2 Rpta. -1 a47 ^ c- x 24)lim ( 4 x 4 + x 3 +1 - V x 8 + x 6 +1) ^ X-*-'r Rpta. — 4 25) ^ V *7 +3 + a / 2 x 3 -1 lim ----------- ;— .-■■■=— ™ 4 7 7 7 V \ Rpta. 26) ^ Um f - ' G X ' G * » *-+-:/)] 243x - 11 R pta. - i 3 ¡27) ^ lim (V-r3 + 2 x 2 + 3 - V - r 2 + 4x + l) Rpta. - 3 28) ^ lim —----------------*— V í +T Rpta. 1 S> lim (-Jx + -Jx + a /x - - J x ) Rpta. 1 30) lim ] i ? Z I E Æ ± Z - Rpta. , 3 l) lim x 3' 2 (a/x 3 +1 - V x 3 - 1 ) Rpta. 1 32J lim ^ X- +. } +A 2 x:.J ± C ^ -Jx + -Jx + y x r-w*.6 / 8 . 00 Rpta. * 7 . , Eduardo Espinoza Ramos 384 ® 34) ■ 7 35 ) ' 36) Iim xf^jx2 +-Jx4 +1 -jc-%/2) O Rpta. X ->V lim y.A+ ^—^ j r 1,2 x - k t . ^ 7 T _ 3/7 Rpta. lin , Rpta. i ™ 1/ x i + 2 i + l - i P ^ Í 3 a/ 8x 9 + 3x 4 + 1 + á/ jc'^ + x ~ +1 +10 lim — , jr— >+ac> :— .................. _........ R pta. 2 * a/jc4+ x 2 +1 + a /x 12 + x 2 +1 - 1 0 .. V* 4 +3 - V * 3 + 4 /;»;------—— — ^8) 39) (41) V ' Jr-Ko 42) © lim ( J 4x + ->/4x + -J4x - 2-Jx) _ . A Rpta. O Jt-»+or. Rpta. — 2 lim (Mx3 - x 2 +\+%JxA - x 5 +1) X->-K R p ta.-— 15 lim (Vx6 - 4 j c 3 - 1 / x 12+ 2 x 9 ) JT-»cr Rpta. - 2 lim V jr- + 3 ---------x)Rpta.O lim (x 2 ~ 4 x 6 - 2 x 4 ) Rpta. — lim ' l x 2 + l ~ 4 x 2 +\ r -\A/x3 +5 + 4 x 2 + 6 - 2 x lim — ------ , :— J~ +* x —a/x3 - 12x 2 +1 1 R p t a .-----16 j ® Limites y Continuidad 45) lim É Í6 ) lim " 47) .r— S t/l- n n - x 1 R pta. I R pla. , i l x l' + f a s + 2 - V i ’ + 3x3 +1 a/,y4 + 1 + a l i m --------------X—>X x +l „ . . Rpta. 2 /■ ^/x6 -1 +2x lim ----------------x+2 R pta. 3 x-*+cr 49) " x->.!f 50) lim ~ x '~ 5 l) 1) V r '- 2 ^ + 1 + 3 / 7 7 1 ao\ 48) “■ " 385 lim jr-»-® Rpta. , / í + l x —\ +- R pta. 2 X +1 lim (x - ^ J ( x - a ) ( x - b )) Rpta. a + b 2 cXc ^ + 2 x c Hallar el mayor valor de c de modo que él lim — ------- = sea infinito y calcular él limite. (53) v -' Si lim *->+* R pta. c = 1, L x +x +l - - J x 2 + 3 x -1 0 ) = —, calcular el valor de k 9^3 - R pta. k = 3 2 (54) Hallar las constantes k y b quecumple lim (kx + b - X + ) = 0 *-»+<* x~ + 1 (55) Determinarel valor de las constantes,M y N tal R pta. k = 1, b = 0 que lim [M x + N — f — -] = 0 *->+■* x +1 Eduardo Espinoza Ramos 386 XU LIMITES INFINITOS,-: Consideremos la función f (x) = ------ cuya gráfica es: ' x-2 En el gráfico se observa que cuando x se aproxima a 2 por la derecha, la función f(x) crece sin limite y su notación es: f o n /< * ) = +*> x-> T y cuando x se aproxima a 2 por la izquierda, la función f(x) decrece sin limite y su notación es: lim co a todo este tipo de limites se les llama limites infinitos. Ahora daremos las definiciones siguientes: a) DEFINICION.- Consideremos una función f definida en algún intervalo 1 que contiene a c, excepto en c, entonces él lim f (x) = +*>, si y solo x —* r' si, dado un número N > 0, existe un 8 > 0 tal que 0 < |x - c| < 8 entonces f(x) > N. Es decir: lim f i x ) « + * o (V N > 0 . 3 8 > 0 / sí 0 < fx - c| < 8 fix) > N) 387 Limites y Continuidad b) DEFINICION.- Consideremos una función f definida en algún intervalo I que contiene a b excepto en b, entonces él lim f (x ) = -oo, sí y solo x->b si, dado un número N<0, existe un 5 > 0 tal que sí: 0 < |x —b| < 8 entonces f(x)<N. c) TEOREM A.. . . i) Si n es un número entero positivos cualquiera, entonces: lim —1 = +oo xa . . . n) x->o* í ~°° >si n es impar lim —1 =< x" [+oo , si n es par a->°- La demostración del teorema queda a cargo del estudiante. NOTACION.i) — = +oo, a > 0 O ..v n) a « — = -o o , a < O O in) — = O, a 5*0 a Eduardo Espinoza Ramos 388 d) PROPIEDADES.Sí lim f (x) = c , lint g(x) = 0 , donde a es un número real, c * 0, entonces: i) f(x) Sí c> 0 y g(x) ——> 0, para valores positivos de g(x) entonces: lim - — - = +*> ii) ffa ) Sí c > 0 y g(x)------ > 0, para valores negativos de g(x) entonces: lim -------- = - » x - ,a g ( X ) x - ,a g ( X) ••• f(x) ii¡) S í c < 0 y g ( x ) ------ >0, para valores positivos de g(x) entonces: lim —-------= -oo X -> a g(x) f(x) iv) Si c <0 y g(x)------>0. para valores negativos de g(x) entonces lim —■- x->a g (x ) = +-» Ejemplos.- Calcular los siguientes limites: © x +2 Hm jr-»2* X~ —4 X —‘i Solución x +2 l im — © x + 21 x +2 ----- = l im -------------------= lim ------- = +oo x~*2* X~ —4 *-*!' (X - 2 )(x + 2) l im — r-»2+ X ~ 2 ----- = +x> *->2"*2 - 4 ,¡m J £ Í ± í _ x-»r 2 - x - x ~ Solución lim 5x3 +1 ,->r 2 - x - x W x-,4 5,v3 +1 5.r3 +1 (-4) 4 x + x-2 (x + 2 )( x -l) 0" 0’ ------------ = - u m — ---------- = - l i m -------------------= ----------- = — = -oo X-4 Solución Limites y Continuidad lim 4- V l6 -jc2 x -4 389 16 -x2 (4 -x )(x + 4 ) = h m --------- = = = = = lim ( x - 4 y j \ 6 - x 2 ^ 4" ( x - 4 y j \ 6 - x 2 lim x— >4” © x -4 x+4 -8 — lim , = —- = -00 ” 4~ V l 6 - x 2 0+ ■= —00 I¡„ ¡ L i J h l x —»4~ JC - 4 Solución [ |* |] - 4 3 -4 -1 -1 l i m -----------= h m ------- = hm ------- = — = +00 X —4 x—>4- X —4 x —>4- x —4 O [U I J - 4 hm ----- -— = +00 X - 4 x —>4- x—» 4 - Calcular los siguientes límites: (T ) W lim x— »2* x — 4 R pta. +ao Ç2 ) W x-,-4-X lim ■■X— R pta. +00 ® (7 ) W ( 5) +4 lim ■■X.,+ 2 x->2~ x —4 lim R pta. -00 R pta. +00 x -» -3 " 9 - X lim —-— X -5 R pta. +00 lim X + 2 R pta. -00 x —>5+ ® x-» r 1— x Eduardo Espinoza Ramos 390 (j) ^ lim ——x+l Rpta. -oo (¿ ) lim ^ * 0 - -x-»3~ 3 —JC Rpta. -oo (T ) lim x-*o* 5x~ +3x Rpta. +oo ® x 3 + 9 x 2 + 20x lim -----:------------*-*r x + x -1 2 Rpta. -oo lim x-»3* Rpta. +oo ® © ■■ x -3 ' 3x2 - 7x + 6 lim — i ----- — 2" xv 2 _- xv -_ 6A (l3 ) lim — 116 x |+J— w x~>4 ( 4 - x h / 5 - l x + l l @ W lim 2* 2 ~ 5 x ~ 3 * -> 1 x -1 ® (íó ) ^ _ Rpta. +oo Rpta. +00 Rpta. 00 lim(— ------- -— -------------------------------------------------------------)Rpta.+00 - I l - x x - 2 x —1 lim (—----------— ) x-+2 x - 2 x -4 Rpta. 00 Consideremos tres funciones ffr), g(x) y h(x) tales que i) f(x) < g(x) < h(x), V x * x 0 y ii) Si lim f (x) = lim h(x) = L , entonces se cumple: jt— >jr0 lim g(x) = L *-»*0r->jro Limites y Continuidad 391 Demostración Mediante la definición de limites se tiene: lint f (x) = L <=> V c > 0, 3 <5, > 0 / 0 < | x - x0 | < <5j => |f(x) —L| < c lim h(x) = L o V e > 0 , 3 <5-, > 0 / 0 < | x —x 0 | <<5-, =>|h(x) —L |< c Luego si tomamos 8 = »(¡«{<5,, S 2} se tiene: 0 < |jc -jc 0 | < 0 de donde: => 0 < \ x - x {) | < \f{x)-L \< o 0< |x - x 0 | < S2 | h ( x ) - L |< e L —£ < í{x) < L + £ L —e < h(x) < L + c entonces: L —c < f(x) < g(x) < h(x) < L + c, de donde: L - c < g(x) < L + c por lo tanto: Si 0 < | x - x0 | < <5 => |g(x) - L| < £, lo que significa que: tim g(x) = L Para él cálculo de los límites trigonométricos es necesario establecer algunos criterios, los cuales mencionaremos en el teorema siguiente: a) TEOREM A.- x —»0 iii) Demostrar que: X lim sen x = sen x n Demostración i) sen x Demostraremos que lim -— —= 1 r->0 x ii) lim =1 iv) lim eos .ï = eos x () Eduardo Espinoza Ramos 392 , x sen x , 1------ < eos x < --------< 1 2 x para esto demostraremos la desigualdad: donde x es el ángulo medido en radianes tal que: 0 < |x | < — Consideremos él circulo unitario con centro en el origen del sistema de coordenadas rectangulares XY. Sea 0 < x < — el arco AP, medido en radianes, donde: 2 P(cos x, sen x), A(1,0), B(cosx,0), C (l,tg x ) siendo C el punto de intersección de la recta que contiene el radio OP con la recta tangente a la circunferencia en A. En el gráfico observamos que: Area A POA < Area del sector circular OPA < área A OCA Donde: Area A POA = —(1) sen x = Sen'Y 2 ’ 1 2 X Area del sector circular OPA = —arco(radio)2 = — * tgX , . Area AOCA = - £— , es decir: 2 seni i tg x , , , -------< —< , de donde: 2 2 2 Lim itesy Continuidad 393 sen x < x < tg x dividiendo entre sen x. x 1 sen x 1 < -------< ------- tomando inverso eosx < -------<1 sen x eos x x Además ... (1) n d (A ,P ) < a rc .A P , (1 - eos x ) 1 + sen2 x < x 2 x2 l-c o s x < — 2 x2 => 1------ < co sx 2 Ahora de (1) y (2) se tiene: — (2) x2 sen x 1-------< eos x < ------- <1 2 x si x e ( ~ | . 0) suponiendo que <x<0 => ...( a ) 0 < -x < y que reemplazando en (a) se cumple: , (-x )2 . , sen(-x) , 1---------- < c o s ( - x ) < ----------^-<1 2 -x , x2 senx , => 1------ < c o s x < --------<1 2 x t i x2 senx . , n | . n Luego 1------ < c o s x < ------- <1 se cumple para 0 < | x | < — 2 x 2 x2 Como lim 1------ = 1 y lim 1 = 1 entonces por el teorema de Sándwich se tiene: j— >o 2 jc-»o senx , lim -------= 1 x jt-»o Ejemplo.- Calcular los siguientes límites: © lint x— >0 sen 7x x Solución 394 ® Eduardo Espinoza Ramos ó * -s e n 2x lim «i 2x + 3 sen 4x Solución Dividimos numerador y denominador entre x - 6x - sen 2x sen 2* . _ sen2x -------------o ----------- 6 - 2 ------------------, .. lim - ----- — — = lim — — — - lim ------------------------------------— = ---------- = — x~>o 2x + 3 sen4x *->o ^ + ^ sen 4x x ^ o ^ + ^ sen^x 2 + 12 7 X X 4 6 x -s e n 2 x lini *->o 2x + 3 sen 4x ® 2 7 1 - eos x lim r— wH X x-*Q Solución .. 1-e o s * ■ (l-c o sx )(l + cosx) sen2 x sen* sen* 0 lim ---------- = lim ------------------------- = h m ---------------= lim--------.------------= (1)(—) = 0 x-+0 X x-»0 x(l + cosx)-«-»Ox(l + COSX) JT-*0 x 1+ cosx 2 1 -c o sx „ lim ---------- = 0 x->0 X ( 4) lim W *-*“ x J l-e o s x Solución .. l - e o s x (1 - eosx)(l + cosx) .. sen2 x l im ---- -— = h m ------- ---------------- = hm — ------------x>0 x x <0 x '(1 + cosx) m 0 x ‘ (1 + cosx) senx 2 = hm( ------ ) *->0 x 1 nu 1 , 1 1+ 1 2 ----- = (1)(— — ) = - 1 + eos x cos(mx)-cos(/ix) lu» -----------x -2-------jr-»n Solución 395 Lim itesy Continuidad , cos(w.r) - c o s ( h ) [1 -c o s(/;x )]-[l - eos mx] 1 - eos nx 1 - eos mx h m --------------------- = h m ----------------- ----------------= h m ----------------lim ------- -----jr— >0 ^ x— >0 x x— »0 x Jr-*0x sen2 nx .. sen2 mx = lim — ----------------- hm x_>0 .r2 (1 + cos nx) x 2 (1 + eos mx) vjsennx 2 1 ,m s e n m x , 2 1 = hm(---------- ) ' -------------- lim(-------------) -»-><> nx 1+ eos nx •<-><> nix 1+ eos mx n2 m 2 n 2- m 2 2 2 1- eosfsen 4x) *->l) s e n '(s e n 3x) Solución sen 2 4 x 1 - cos(sen 4x) ¡jm l-co s(sen 4 x ) = ¡jm x~*° sen2(sen3x) ' \(,x 2 sen2 4x 1 = 16(1)(2 } _ Jr_>0 ^ sen2 3x ^sen(sen3x)^2 9x2 9(1)(1) 8 9 sen3;c NOTA.- Si se tiene que calcular limites de fondones trigonométricos, cuando x tiene a x 0 diferente de cero, aplicaremos el teorema siguiente. b) TEOREM A.- Sí hm f ( x ) = L o lim f ( x 0 +h) = L x->x0 ‘ h -->0 ‘ Demostración Aplicando la definición de limites se tiene: Para cada c>0, existe 8 > 0 tal que sí x & D f y 0 < | jc—jc0 | < «5 entonces: |ffx) —L| < e ...( 1 ) Ahora hacemos un cambio h = x - x () de donde x = x 0 + h es decir la sustitución en (1) se tiene: x0 + h s D r | / ( x ü + h ) - L | < £ , por lo tanto: y 0 < | jc0 + h - x 0 \ < c entonces Eduardo Espinoza Ramos 396 V e > 0 ,3 8 > 0 /x0 +h e D f A O < |h| < 5 => \ f ( x 0 + h ) - L \ < e Luego por definición de limite se tiene: OBSERVACION.- lim f ( x 0 +h) = L En la práctica este procedimiento consiste en hacer el cambio de variable de la siguiente forma: L = lint * f(x)= lint f ( x ) = lint f ( x 0+ /;) donde:x - x ()=h t-jr0->0 h->()‘ => x = x0 + h A este procedimiento se le da el nombrede reducción del limite de x0 a 0. Ejemplo.- Calcular los siguientes límites: O , 1- 2 eos x lint ------------j i n —3x Solución Aplicando el procedimiento de reducción: 3 lim ... (2 ) 3 Reemplazando (2) en (1) se tiene: l-2 c o s x li n t ------------- = lim h->0 -v-3x l-2C0S(/í + y ) = lim h->o n - 3 ( h +- ) 3 = lim h->0 1- 2[cosh .eos— - senh. sen —1 ___ 3 3 -3/! Limites y Continuidad 397 1 -co sh (l-c o sh )(l + cosh) 1 -c o s 2 A sen2 A h m ---------- - l i m ----------- ------------= h m ----------- -— = h m -------------h-> o h a->o h { 1+ cosh)*->o /i(l + cosh) *->o h ( 1+ cosh) senh senh 0 . 0 . : lim ------ .---------- =(1)(----- )= —= 0 a->o h 1+ cosh 1+ 12 © lim 1+ cos nx r -*1' x 2 -2 x + l Solución 1 + COS7U' 1+ COS7CC lim — ---------- = hm ---------- — *-**x - 2 x + l (x -1 )2 .-.(1 ) Sea x - l = h => x = h + l ...(2) Reemplazando (2) en (1) se tiene: 1 —cos tot 1+ c o s 7t (/; + 1) .. l + cos7z/icos7r-sen7¡Asen7r hm —----------- = hm — ----------------= h m -------------------- -----------------x -2 x + l h h—>o ),i 1-co s nh (1 - cos nh)(l + cos nh) ,7rsen7ZÄ,2 1 = h m ------ ----- = lim -------- -------------------- = lim(------------ ) . h2 h~>o A2(l + co s7iÄ) *-»° nh l + cosm'f ■>, lt K n 2 n~ (------- ) = -— 1+ 1 ® l1+ cos7cc 2 a-> o . 1- cos 6x im -----------lim w-*o v/l sen 6x Solución 1- cos 6x l-c o s 6 x x h m ------------= hm — ■ = -V— >o sen 6x <->o o sen ox 6x donde 0 „ - =0 6 1—cos 6.v sen 6x sen 6x A h m ------------ = hm 6.-— — .--------------= 6(1)(0) = 0 « »o x x-*o 6x 1 + cos 6x * 2 _ 2 x +1 n7 h m — -- = — 2 Eduardo Espinoza Ramos 398 1+ sen x -co sjc © l i m --------------------a-*o 1 - s e n x - e o s x Solución 1+ se n -e o sx senx 1 -c o sx l + sen x -eo sx x , x x 1+ 0 , lim --------------------= lim -------------------- = lint — -- ------- ---------- = ---------= -1 x— >0 l —sen x —cos x *->o 1 - s e n x - e o s x ,r->o sen x + 1- eos jc -1 + 0 1+ s e n x - e o s x lim -------------------jc-»o 1 - s e n x - e o s x ® sen(7r - x ) lim v ------------r— nr* x ( n —x) Solución se n (^ --x ) lim ------------ - = x~>x X ( X - X ) se n (7 T -x ) lim -----------x - n —*0 •••(!) x(TT-X) Sea z = x - 7t => x = z + n •••(2) Reemplazando (2) en (1) se tiene: sen(Tr-x) sen(-z) senz 111 l i m ------------- = lim --------------- = lim ------- (------- ) = (1)(-------) = — x(n -x) (: + n )( -z ) 2-»o z z+ n n 0+n s e n te -x ) 1 l i m ------------- -- — *->x x ( n - x ) n © , 1- eos 3x lim ------------ x-to 1 - eos 4x Solución 1 - cos 3xé ^sen3x^? 1 lim ] ~ cos3x. = lim , x2 - = lim * U c f 3* jr— >o 1- cos 4x *->o 1- eos 4x a >o ^sen 4x ^2 * 2 x 1 + eos 4x x Limites y Continuidad 399 , , sen 3 x ,2 ,, „ . ( 3 _ 3 7 “ ) (1 + cos4jc) = lim »o sen4x 2 (4 -------- ) (l + cos3x) 4x 9(2) 16(2) v' 9_ 16 Calcular los siguientes limites: 1 - sen— 2 © x->n n —x © eos x - eos 3x lim ---------r------x— >0 © x->0 © Jt-s e n 2 x h m ------------*->o x + sen 3x © © © lint lim Rpta. 0 Rpta. 4 tg .t- s e n x Rpta. Rpta. —— 4 1- a/ cosx Rpta. — 4 hm - lim h->o I sen(x + A )-se n x Rpta. cosx .. Vl + senx - V l - s e n x h m ----------------------------Jr-»0 x Rpta. 1 © Vcosx -a /c o sx h m --------------------x~>° sen x Rpta. — — 12 © e o s * -e o s 2x h m ----------------*->o 1- eos x Rpta. 3 fío} h m ----------------------X-*Q Y 1 - 2 c o s jc + c o s 2 oc Rpta. -1 Eduardo Espinoza Ramos 400 1 - cos7jc lim ------ ------ _ Rpta. x -0 7 — 2 ,. 1 -se n x l i m ------------ „ 1 Rpta. — 2 @ Un, Í 2 £ £ Z 2 Í Í .r—>— ,* Rpta. eos 2x 2 //m (l-jc )tg — *->i 2 Rpta. — n 4 (h ) © 15) ,nx^ cos(— ) lim ------ j=x - > l 1 - -Jx 0 Rpta. 2 6 17) Rpta. n -VJ / 2 - eos x sen x -co sx l i m ---------------r —>-f . „ Rpta. - l-tg x 1 ' ^2 4 (ís ) l i m ( - - x ) tgx '2 ® ,. sen x - s e n a //m ---------------jr-*o „ Rpta. eos a X —Q eos je-eo s o « m ---------------*->« Rpta. 1 „ Rpta. -sen a X -< 7 senóje lint ——— r ,2* 3x - 2 tt _ Rpta. „ 2 h 3 sen2 (7; + a ) - sen 2 a lint-------------------------a-»o h „ _ Rpta. sen 2a Limites y Continuidad 23) ... 24) 401 sen 3 jc. sen 5x l i m -------------- r—;— AT-.0 (x - x 3)2 3 sen/cc - sen 37a h m ----------- ---------- “J x->0 25) hm —-------------------------- " ,• _ "v-Y2 + 4 —3 eos x + 1 1 — eos x s e n 2 6.x + tg 3 x 26) " l i m --------------- -— 3x-n @ lim ■> _ „ _ 7 Rpta. 4 n ¡ X1 x-»n ,, 15 Rpta. Rpta. „ , Rpta. t g 2 x (-íl se n 2 x + 3 s e n .t + 4 - V s e n 2 jt + 6 s e n jc + 1 2 ) - 2 -1 Rpta. x —*— 2 Q s) (n + 2x) cos(^~- + 3x) lim ------------------2--------- ? R pta. £ 3 s e n (3 y + 3x) sen(a + 2 x ) - 2 s e n ( e r + x ) + s e n a (S Î) Rpta. -sen a cos(a + 2 x ) -2 c o s (a + x) + cosa hm — ----------- --------- ------------ ------------*-*(> x2 „ Rpta. -eos a „ „ U t o + 2 * ) - 3 «<■ + *) + lg « 2sna eos3 a x t_>() (1 -c o s x )2 hm —------------— x->o tg (33) „ h m ----------------------------------------.v— >0 x2 x - sen x Rpta. oc lim COSX Rpta. t g f l j r - t g 3 ax h m ----------------- „ Rpta. a -v- >0 tg x 1 — Eduardo Espinoza Ramos 402 (35) lim -- -S- n- - - (1 + eos 2x) 36) Rpta. -2 X~+\ 37) Rpta. ~ 64 ~Jx -1 ,,„ ,V Z Z Z ¡ ¡ E I JT ► (> Rpla. 2 1 - COS X (55) /*» Rpta. 2 © lim - - - s— * 7r *-* y sen(x - —) Rpta. V3 (40) lim ------- —------- — Jt->0 (tg x -s e n x )" Rpta. 4 41) 1 lim ----------- ---------------v ><) (l - cos ax + x) sec ax Rpta. a ,v\ 42) .. sen(x2 -1 0 x + 25) lim —— ^—r------------- — *-*$ x + 5x -1 2 5 * + 375 1 Rpta. — 20 43) " lim (— \ ----------- -----) « O s e n i 1 -c o s x Rpta. — 2 k ljm jsenfsen2jr) *~>o 1- cos(sen 4x) R pla. I 4 iim cos*.... (ü V l - sen c" " xv' Rpta. 4 Í ^ © A +0 4 Limites y Continuidad 403 ,,, .. £9 U-»* m ------------------; JT , , W X---------rX\ R p ta * t 2 @ ;im £ ^ í ± Ü z £ ^ í z i > R pta. -2sena ^ J-*0 (3) , * $ +* * * co s* /2 (e o s— sen—) 4 4 r->0 SO) l-s e n x /2 X z£ -* ZL fl„ x -* a Rpta, 1 tg * Rpta. 2 x 2 H 2 4 e o sx -e o s2 x -3 lim ------------- ---------x~*° x sen x „ R pta. oo /Ç%\ (521 1- 4 c o s 2 x hm -- -----------------V—>f. 8 sen(x - n 12) „ Ä R pta. O 53) /f» i(x -l)sen (— ) Jt-»1 x -1 Rpta. O &) __A 55) ® 57) 58) 2x3 - e o s ( x - l ) - l l™ ---------- r ~ ; _ „ Rpta. 3 5 sen x -3 eo sx + 3 h m ------------------------*_>(> 2 tg x +1 - eos x „ 5 R pta. — 2 ,. sen2 x - s e n 2 a h m --------------------- „ „ R pta. sen 2a *-»> X -1 cosx -co s(sen2x) //m -------------r--------- x2 eos mx - eos nx lim 3,----------x~*°y x 3 Rpta. - 2 „ Jn2-m 2 Rpta. Eduardo Espinoza Ramos 404 . 59) 1 - cosxcos2xcos3x h m --------------------------- ^ r- » 0 601 ‘ sen(2x + a )-2 s e n (x + a) + sena lint--------------------- ------------------jc2 (61) , x1-x -Jx - 1 , hm{------------ + — ---------) jt-»i se n (x -l) se n (x -l) „ x Rpta. 14 1 - COS X _ Rpta. sen a /rrv (62) 1 -se n x lin t—-------x eos* 2 631 ft. izl£“ Ll • fW (5) /™2(1-“ SJ:) j-i) 651 "" (66) *->o sen x X 'S * lim Í Í £ z £ i S í z l l £ 2 i £ E * -»o x 67) ,/m i z £ 5 i £ •t->0 senz x © ' ’ í™ '2 " 2 “ “ »2 x4 3.21 FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMIC A.a) FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE “ A” POSITIVA Sea a e /? + y a *1, a la íunción exponencial de base “a” definiremos en la forma siguiente: exp, -M ix . v) e RxR / y =- a* } donde su dominio es <-°o , +oo> y su rango es <0,*» Si a > 1, la función y = a v es creciente gráfica (a) Si 0 < a < 1, la función y = a -' es decreciente gráfica (b) Si a = e entonces y = e x su gráfica es (c) Limites y Continuidad 405 (T ) © ® (T ) b) lim e x = +*> *— ►+00 lim e x = 0 ,v->-co lim e x =1 *->0 lim e x = 0 PROPIEDADES DE LA FUNCION EXPONENCIAL.Sí a, b > 0, entonces: © a°= l © a x jay = a x*y © (ax ) y = a x © ~ 7 = a *~y a-> © ^ (<¡b)x = a xb x © (7 ) ' = 4 b b Ejemplos.- © Trazar la gráfica de las siguientes funciones. v=2 v © .v = ( |r Solución Como a = 2 > 1 => y = 2 r es creciente * Como a = — < 1 => y = (—)x es decreciente 2 2 Eduardo Espinoza Ramos 406 c) FUNCION LOGARITM ICA DE BASE “A” POSITIVA.De la definición de la función exponencial y = f ( x ) = a x a > 0, a * 1 se deduce que dicha función es inyectiva y por lo tanto tiene inversa. Luego a la función inversa de y = / ( x ) = a * le llamaremos función logarítmica de base “a” y la definiremos en la forma siguiente. Definición.- A la función f: <0, + oo> ->■ R definida por: Le llamaremos función logarítmica (ó función logaritmo) de base a donde a>0, a*l Se sabe que loga x es un número único b, tal que x = a h es decir: NOTA: loga x = b se lee “el logaritmo en base “a” del número x es b” OBSERVACION La función logarítmica de base “a” tiene por regla de correspondencia la ecuación: donde i) ii) Si a > 1, la función / ( x ) = log„ x es creciente Si 0 < a < 1, la función f ( x ) = log0 x es decreciente 407 Limites y Continuidad d) PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTM ICA Si a, b > 0; entonces: © lo g „ l= 0 © log« a = 1 © log„ AB = loga A + loga B © lo g „-^ = logfl A - l o g a B (? ) log„ A" = wlog„ A © © loga © = — logfc a OBSERVACION.DEFINICIÓN.- Sí ^ iogu J a a lo g .^ ^ 1 log* a x - e y <* v= log» x = la je i La función logaritmo cuya base es e, se llama función logaritmo natural ó neperiano y denotaremos por: /(r> -to g , x ~ L n x Y ——ioga n donde D f < 0,+°o > y R f =R Eduardo Espinoza Ramos 408 DEFINICIÓN.- La función cuya base es 10, se llama función logaritmo decimal ó vulgar y se denota por: OBSERVACION (? ) 3*22 ln e x = x © e'n x = x EL NUMERO La expresión (1 + —)” tiene limite comprendido en 2 y 3 cuando n ----- *x>, es: n 2< a) Definición.- <3 Al número e definiremos como el límite de la expresión (1+—) 11 cuando n-Kio, es decir: • V«» ~> donde: e s 2.718281828459045.... OBSERVACION O La función (1+—)x tiende al número e, cuando x -><», es decir: ( 2) Sea z = — => x = — cuando x -» 00; z -> 0, entonces: Limites y Continuidad 409 Para el cálculo de los límites de la forma l i m ( f ( x ) ) g(x) se consideran los siguientes x-*u * casos: le r. Sí existen loslímites lim f ( x ) = Ay x —*a lim g( x) = B y sonfinitos,entonces: ' x —>a lim( f ( x ) ) g(x) = ( l i m f ( x ) y ” g(X) = A b x —>a x —>a 2do. Sí Hm f ( x ) = A* l y x —>a' lim g(x) = ±oo, x~*a entonces l im (f{ x ))g{x)esinmediato. x-> a ' 3er. Si lim f ( x ) = A = 1 y lim g(x) = ±oo ( l 00 indeterminado) x —>a ' x —>a En estos casos, estos límites se calculan de la siguiente forma. A la función f(x) expresamos así: f(x) = 1 + 4>(x) donde lim <$>(x) = 0 x —>a Luego se hace la sustitución y se aplica la definición del número e. J .v. •. x~xt .......; .i.-..—.................. OBSERVACION.- ...■■■■■...y; ' ......; a En el cálculo de los límites de funciones logarítmicas se aplica la propiedad siguiente: i m W f í x ) } ~ L t í h m ÍUW x->a .. • *-w» 410 Eduardo Espinoza Ramos Calcular los siguientes límites. rx -4 ,,._ -) x-*s X + 1 Solución x-4 7 _5 , - 5 — — <*-2> J ~ :2)< lim [—— ]x~2 = lim[l+— ] ^ 2 = lim[(l + — ) 5 ] *+I = e ~ " *+1 = tT 5 Jr-* * je + 1 r-* » jc + l *-><* jr + 1 -> ~ * -l +3 *->cr *•- +4* jc” Solución x 2 +3 ,. + x2 1+ 0 , lim —z------------------------------- = lim ---------= -------jr-»*' + 4X x~>oc 4^ 1 + 0 1 Ahora hacemos la transformación indicada en el criterio establecido. x 2 +3 — 3 -4 * — 3 -4 x — (— K ^ ) l i m v = fa i[ l+ 1 v = //w [q + . ) 3"4* ] * x+4x '->r' x~ +4x *->*> x ~ + 4 x x~>c' x " + 4x (x2 -1)(3 —4x) _4 = exp{ h m --------~ =e Solución lim (4 x + l - V x + T ) ^ = lim [l + ( - J x - J x T l ) ] ^ = lim [1+—= — ^ = ] V7 *-** *-»■+» *-♦+» Vx -V-v + 1 = lim [(l + - ?=— p = r ) < ^ +^ 7>)] VnvTTT = e ^ 7 ^ 7 ^ = e -l/2 V jc-V x + 1 411 Limites y Continuidad (T ) lim —Ln. <-»oi v l-x Solución .. 1 - 11+X .. 1 ,1 + X 1/* h m - L n ------= h m - L n ( - ------) *-»0 1 r r/- / =—Ln(—- ) = —Ln e 2 = Ln e = l 2 e ~l 2 ® (1 + X) - = - L n [ h m ( ------------- - )] lim —L n ^ ¡ X = 1 » o jt ïl-x 1 sen a + sen3x, sen 3x S„C I!n1, .. ,sen JA l m { ----------------- )\ sen3jr »0 sen a - sen 3x Solución sena + sen3x sena + 0 , Como lim - ------ —— = ------------= 1 a->o sen a - sen 3x sen a - 0 Entonces transformamos la función mediante el criterio establecido. , . ,.3sen U 1 a M + T 3sen V 1 I3 Jx A .. “ c o t, 77 u . „ + ------------------yenlx 2sen3x o v il J A . OQ, „ -j .. Um(----------------)sen3* = ./Z /W(l x—*o sen a - sen 3x *->0 sen a - s e n 3x 2 S e n jOX x ■lim[(l+-------------------------- ) *-»0 sen a - sen 3x ® sen M a -sen 3.v ' •* lífft Z : , Z x->o sen a -s e n 3* ^ a 2 sen 3 x ] sen a -s e n 3* = e = g \l/ X lim (cosx + a sen hx)1 x— >t\0' Solución Como //w(cosx + asen¿>x) =1 + 0 = 1 entonces transformamos la función mediante el -V—>0 criterio establecido lint (eos x + a sen hx) ' = lim (1 + (eos x + a sen bx - 1) X - *i) *->() eos jr+tf sen.r-1 lim[(1+ (eos x + a sen bx - 1))cos*+<,senbx~1 ] .v— >0 412 Eduardo Espinoza Ramos cosjr+asen¿wr-l hm--------------- x = £jr-*o © , . sen bx 1 - c o s jt limlab-------------) — g x -'0 bx x —e , _ —6 . x i lim ^ — Jt->0 x Solución Sea a = e x - \ = > e x = \ + a tomando logaritmo => Lnex = Ln(l + a ) x Lne = Ln(\+ a) =>x=L n(l+a) Cuando x —>0; a-+0 entonces: X ® lim .íl jt-»0 « 1 l lint Ln(i+a) -- l i m ——= — = - = 1 a->0 a->0 L n(\+ a ) Lne 1 - e x -1 lim ------- 1 l x -1 x Solución Sea a = 7 X - \ =>7X = l + a =>Ln7x = L n (l+ a ) => x = —— L n(l+ a ) Ln 7 Cuando x—>0; a-->0 entonces: lim —----- = lim — -------- = Ln7. lim --------- — — v-o x a ->n_ J _ £ „ n + a ) a -*0 l B ( l + a ) l a Ln7 ® Um >0 - L n l.-^— = L n l Lne 7X -5 * x Solución En este limite se debe de aplicar el criterio del ejemplo (8) es decir la forma del límite del ejemplo anterior. i* _ 5 r n x _ d _ ( 5 jc 7* _ i 5 ^ -1 lim ------— = lim ---------— ------- = lim -------------lim -- ------= Ln7 - Ln5 = Ln x —y() X jt->0 X x -* 0 X *->0 X 413 Limites y Continuidad 9* _ 7 J lim ---------jr-.o 8X- 6 X Solución Ahora debemos de expresar en la forma del ejemplo anterior, dividiendo entre x 9* - 7 * 9' -1* lim ---------- = lim 9* - 1 7* -1 -1 ex - 1 x__ _ = ..lint. jr->o g * _ 6 X « o ^ v © lim a:->o r ln 8 - ln 6 j _4 3 r sen 3x - s e n * Ln( 1+ jc) Solución sen 3 x - sen* sen 3 x -se n jr lim ----------------- = lim = lim *-*o Ln(\+x) *-»o 1 Ln(y + x^ ° lim *-»o sen 3jc sen x _x____ 3(1) —1 3x L n (l+ x )Vx 3 -1 _ = Lne 1 e„ ax —e„ß* x 3.25 JC em - = lim (------a->0 X EJERCICIO!?i:i*í5MísSí: 1* em - e * X lim c-»fl 1 Solución ) =J = Lnea - L ne^ = a L n e - ß Lne = a - ß ÉÉË f e Hallar los siguientes límites: © ltm JT -MO(x ’x\32x + 4+ 3f ' 1 R pta. e © , x 2 - 2 x +\ ,x hm (—----------- ) ' R pta. e © 3x-4 — lim(i í - J ) 3 3x+2 x - -4 x+2 Rpta. e • 2/3 2 Eduardo Espinoza Ramos 414 ® 0 ® lim (cosx + sen x )x r-*0 ¡¡m L * a + x ) - L m ^ lim x(ln(x + a) - Inx) Rpta. a r —>nr 2 lint jr-*° x - 3 x + 2 ( 8) 2 . l i m ( ^ r — ) x+x *-** x" +1 (? ) w X-*« x 2 - 2 @ 12) ® I ~ sen x -* © ^ lÓ) Rpta. e x Rpta. 2 Rpta. 1 Rpta. <?3 lim y l - 2 x Rpta. e -2 lin t(^ -Y x-*x> x - a Rpta. <?2fl 3 - I- V lim (X ^ - T-+ - ) x x-t+yi x + 4 Rpta. e~2 x-+Q 1 l i m - sen3x)2x x->() i Rpta. e 2 m ® lim(ex + x ) x jc-»0 Rpta. e 2n © limix + ex) x r-»l> Rpta. e 2 (x + a )'" “(x + b)*'b lint---------------------- -— . Rpta. e (a+b) (16) W (x + a + h)2x+a^h 415 Limites y Continuidad i 17) 18) ^ Um Ç1^] + scn-sßx ) 3enÆ 4............. , ) X$en^ Um ( jr-»+oo Rpta. e'5 Rpta. \¡2 I 16x sen — 4x lnfe + » ) - l . x » A (20) v ] //w (1 + tëJC) senjf >0 1 - tgjc 21) ^ /;»»(■ + tg5_) sen; jr-»o 1- sen x ® ® 1 lim t->0 1 t 2 - J cos x ) * 2 1 x Rpta. e 2 R pta. Rpta. 1 lim (cosx)*2 Rpta. e Um(cosJ— )bx Rpta. e (ex +x)'*x — lim[— ---- —— ] ' x~*° (1 + sen x) x Rpta. e lim (senx ) lÊX Rpta. 1 x- , 0 15o6 (24J 26) 28) jt- t o x 1 3 l i m ( - ^ ^ - ) xl v’^ô'cos 2x ' Rpta. e 2 lim(\ + x 2)<tê~x *->() Rpta. e 2 Eduardo Espinoza Ramos 416 29) ^ (30) i lim(l + tg ^ /x )lx *->0 Rpta. -Je lim(cosx)senx jr-»0 Rpta. 1 31) ' Rpta. - I ' i 1 2 sen.r @ l i m i * ^ - ) * ™* x -o x e p in ic o s « * ) x-»o ln(costa) © 35; Oi 36) Rpta. - R pta. (£ )2 b lim ln(1 + g } Rpta. 0 lim - i -1- — ! Rpta. 1 i—k-cr x ->+cc r x / 1—\ 1*^3In.t limlplx) — Rpta. e 2 x —>0 ax _ (37) Bx /;m— - ----- — — x-»o sen ax - sen px Rpta. 1 sen Lx lim ---------ln(l + x) „ „ Rpta. 2 39) lim (sen—+ eos —) jr X-X» X X Rpta. e 40) " lim ------ + g ---- , a > 0 a-»0 h Rpta. a xL n 2a x -» o Limites y Continuidad 417 x-a lim ■ x*a Lux - Lna Rpta. a e —1 lim .v->n frh' _ i Rpta. — b ;■ O' - a . A /zw---------- , a > O v~*A X —b Rpta. a bLna 1+ ax lim — \n\ •f->o ax V I- ax R p„. i 5' - 4 ' h m —------ Rpta. - L n — 4 -1 lim - Rpta. 1 *->i je In je © i lim(^-)x l Rpta. -Je x->2 2 ln (c o s x ) lim ---------- j *~>f>ln(l + x~) Rpta. - - sen2 3x lim — ---------- Rpta. — 9 Jr~>nln (l +2x) 4 Rpta. 1 lim ( a* + b x Rpta. -Jab y lim (eos—+n. sen— )* a j x X Rpta. e an Eduardo Espinoza Ramos 418 54) . Ln(nx + 4 1 -m 2* 2) lim Ln(x + Vi -Je 2; R pta. n 55) lim( o 1+ sen x. cos P x Rpta. 56) + ( 2 - —)'82u ] /<»»[•^ 'Y -Jx-Ja a Rpta. e P2 -a 2 +e* 3a> (57) 591 .. . a '+ é '+ c ' ltm(------- ----------) ' v ->o 3 Jim ln0 +j: + -v2) + ln(1~ ji: + x2' 58) 60) lim 8 7 x— *0 6 J _ 5 J lim (1 + c tgx) .V—»— 2 a) DEFINICIÓN.- Consideremos una recta L y un punto A que se desplaza a lo largo de la curva C: y = f(x), cuando la distancia entre la recta L y el punto A de la curva tiende a cero, cuando el punto A tiende al infinito, entonces a la recta L se denomina asíntota de la curva, es decir: A••<-•: Limitesy Continuidad b) DEFINICIÓN.- 419 La recta x = a es una asíntota vertical de la curva C: y = f(x) si se cumple una de las relaciones siguientes: i) lint f ( x ) = ± » ¡i) lint f (x) = ± * iii) Ilustración Gráfica lint f ( x ) - +'x> x >a’ lint / ( * ) = -*> .V — lint f ( x ) = ±*> Eduardo Espinoza Ramos 420 c) DEFINICIÓN.- La recta y = k es una asíntota horizontal de la curva y = f(x) si se cumple una de las siguientes relaciones: i) d) lin, f ( x ) = k Definición.- ii)lini f ( x) = k iii) lin, f ( x ) = k La recta y = a x + b es una asíntota oblicua de la curva C: y = f(x) si se cumple que: lint [ f ( x ) - ( a x + b)] = fí OBSERVACION.- lint [/(,v)-(úur+/>)] = 0 ó La forma práctica de encontrar las asíntotas oblicuas (horizontales) de una curva y = f(x) es de la manera siguiente: , • f ( x) lim it é e lin, //mi _ Si existen los límites ■----—■■■■ = k . lim [ f ( x ) —k] = b X -> ÍX X X ~>±cc La recta y = k x + b es una asíntota oblicua (a la derecha cuando x cuando x—»-*>) y es una asíntota horizontal cuando k=0. -> + tc y a la izquierda Limites y Continuidad 421 Ejemplo.- Hallar las asíntotas de la función: Q y ( x - 3 ) = x 2 +9 Solución 2 V2 +9 y( x - 3 ) = x + 9 => y - ------— , como el denominador se anula para x = 3 entonces: jc—3 x~ +9 i i m --------- = ± * x -3 entonces x=3 es una asíntota vertical x~ +9 Ahora calculamos las asíntotas horizontales si existe y = k donde k = lim-------- = +oo x-3 Por lo tanto no existen asíntotas horizontales. Calculando las asíntotas oblicuas: y =mx + b donde: y x 2 +b . . m = hm — = lim -------- = 1 => m = 1 jr->±oo X x->±<*>2 X — 3X b = lim ( y - mx) = lim ( - —— ) = lim A >*:/ x —»±Q0 X — 3 V >T3T X — 3 —3 z=>b = 3 Luego la asíntota oblicua es la recta: y = x + 3 © y- x +3 -Jx1 - 4 Solución x 2 +3 Observamos que el denominador se anula para x = ± 2 y además lim . = +00 x ^±2 -yjx2 - 4 entonces se tiene que x = ± 2 Son las asíntotas verticales. v2 +3 Ahora veremos las asíntotas horizontales: y = k donde k = lim .....= ±00 — 47^4 Por lo tanto no tiene asíntotas horizontales. 422 Eduardo Espinoza Ramos Calculando las asíntotas oblicuas y = mx + b, donde: k = lint lim *1 - - 3 =±1 -4 x~ + 3 b = l i n i ( y - m x ) = lim (—= = ± x) = 0 => b = 0 x-»±oo ^ x _ 4 2 Luego las asíntotas oblicuas son y = x , y = -x © y = ----- - + Mx x-\ Solución Se observa que el denominador se anula para x = 1 y además lim ——— + \[x = <x>, '-♦1 JC—1 entonces la asíntota vertical es x = 1 x~ +1 Calculando la asíntota horizontal y = k, donde: k = l i m --------+ \¡x = oo * - > jc—1 Por lo tanto no tiene asíntota horizontal. Calculando las asíntotas oblicuas y = mx + b donde: y jc2 +1 \fx m = lim — = lim — ------ v---- = 1 .r-» a X X —X x b = lim {y - mx) = lim ('x X — ® X —» 0 0 + \[x - x) = oo, Luego, no existe asíntota oblicua. JC — 1 £/“ (£/ —JC) a~(a-x y= *> 3 2*> ¿7" + J t ~ Solución Cálculo de las asíntotas verticales, como el denominador no se anula para ningún valor real de x entonces no tiene asíntota vertical. Limites y Continuidad 423 Cálculo de la asíntota horizontal: y = k donde: k = lint a—j ü—y - = 0 * -.0 0 a - + x 2 Por lo tanto la asíntota horizontal es y = 0. Cálculo de las asíntotas oblicuas: y = mx + b donde: y a 2( a - x ) m = hm — = hm —------- —= 0 x->'x *-**■ a~x + x a ~ ( a —x) b = lint (y - mx) = lint —------ -- - 0 = 0 , Luego y = 0 es la asíntota horizontal, X —►' / © ' X- *CS’ Q + X 2 x l —5jc—3 x —1 v = - Solución 2 x 2 —5x —3 Como el denominador se anula para x = 1 y además: lint----------------= oo, entonces la *->i x-l asíntota vertical es calculando la asíntota horizontal: y = k, donde: k = lim — --- ——- = oo. Por lo tanto no se tiene asíntota horizontal. *-»»■ x -1 Calculando las asíntotas oblicuas: y = mx + b donde: y 2x2 - 5 x - 3 x x —x . m = hm — = lim ------ ---------- = 2 , .. . . .. ,2x2 - 5 x - 3 . , ,2x2 - 5 x - 3 - 2 x 2 +2x -3x-3 b= l i m ( y - m x ) - hm(----------------- 2x) = lim(-----------------------------= lint------- - = -3 X-V-t A—K/j X —1 jr->oo Por lo tanto la asíntota oblicua es: y = 2x - 3 y 2( x - 2 a ) = x 3 - a 3 Solución X — 1X - W X Eduardo Espinoza Ramos 424 y 1( x - 2 a ) = x i - a * = > y = ± J ^ — ^ V x-2a Se observa que el denominador se anula para x = 2a r i } _ Además lim ± , |---------- = ±oo, por lo tanto x = 2a es la asíntota vertical. x -> 2 a V x - 2 a Calculando la asíntota horizontal: y = k donde: I 3_ a3 k = lim ± J ---------- = ±oo, por lo tanto no se tiene asíntota horizontal. *->•' v x - 2 a Calculando las asíntotas oblicuas y = mx + b, donde: y = lim ,■ W - fl3 m = lim — ± —*-r3 =----x x^jx _ 2a = ±1 b = lim ( y - m x ) = lim ± ( J —— x— »±00 y x - 2a ± x ) ==±a por lo tanto y = ± (x + a) son las asíntotas oblicuas Hallar las asíntotas de las siguientes funciones: © y{ x - 3 ) 2 = x 2 +9 Rpta. x = 3 , y = 1 (2) x 2(x + y ) - a 2( x - y ) Rpta. y = -x (i) x y 2 - 3y 2 - 4x = 8 Rpta. x = 3 , y = - 2 , y = 2 y = 4x2+x - x Rpta. v- - j x y2 + y x 2 = í/3 Rpta. x = 0. y = 0, y = -x ^5) Limites y Continuidad 425 © © © x 2( x - y ) 2 - a 2( x 2 + ^ 2) = 0 R pta. x = ± a , y = x ± a 4 2 v= R pta. X = 1, X = -1, y = ± X © y = \ x + 4\ + R pta. X = ±3, y = x+4, y = -x-4 R pta. X = ±2, x +a y =x Rpta. X = a x-a 1*1-3 „2 10) y =- © y = 12) y = @ X = -4, y = 0 x 4 - 1 2 x 2 + 2 x 3 - 8 x + 32 X2 +3 R pta. y = -X , y= x x ¿ +l x ¿ +2x-l R pta. x = 0, y = x + 2 5 7 R pta. x = 1, x = 2, y = - 3 x + — , y = - x ~ — _y = 3 - 2 x 4x2-x~: 14) f(x) = l-xz f(x) = 17) fix) = 19) /( * ) = 21) /(* ) = . x 2 - 7 x + 10 x2-4 16) f(x) = 18 ) f(x)=. x ' + 2 x +l /16 jc2 + 4 x - 6 ' 9x2 - 6 x - 8 OC f(x) = 1 £ i 20) I 9x2 i 16x2 + 4 x - 6 x -5 15) 2x + 5x - 8 x +3 x4 - 5 x 2 +4 x 2 + 2x - 24 20 + x - x x 2 + 4 x -1 2 426 Eduardo Espinoza Ramos @ 21 + 4 x - x 2 23) f ( x ) = Vx4 - x 3 - 9 x 2 +9x / ( x ) = V*3 - 3 x 2 - 9 x + 21 25) f(x ) = Vx3 - 5 x 2 - 2 5 x + 125 3jc3 + 3x + 1 I 2 7 / ( * ) = -----------— + < x 1 +4 271 f ( x ) = ----- -------- +V * + 4 f(x) = x 2 + 7x-8 x +x -6 m = - 6 x + 4x +5 x" —x 3 +1 I 2" 7 x +1 +“j s 6 x ¿ +5 x 3 - 6 x 2 - 4 x + 24 a) CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.Consideremos una función real de variable real f: R—>R, diremos que la función f es continua en el punto x = x0 , si y solo si, se cumple las tres condiciones siguientes: OBSERVACION.- Cuando una de las tres condiciones ó más no se cumple, se dice que la función f es discontinua en el punto x = x0 . b) PROPIEDADES SOBRE CONTINUIDAD. © Consideremos dos funciones f y g continua en x = x0 , entonces: a) f ± g es continua en el punto x = x0 b) k f es continua en el punto x = x 0, k e R c) f.g es continua en el punto x = x0 Limites y Continuidad ^ 2) 427 La función polinomial definida por: / ( x ) = a„xn + a n_1x"~1 +...+a1x + a0, a„ * 0 , positivo © donden es entero y a¡ &R , i = 0,1,.. .,n es continua. La función racional / (x) = es continua en todoslos puntos x = x0 donde h(x0) * 0 (? ) Si lim g(x) = b y si f es continua en b entonces: x->x„ lim f ( g ( x ) ) = f ( b ) = / ( lim g(x)) X—>X0 X~>X0 © Si g es continua en x0 y f es continua en g ( x Q) , entonces la función compuesta f o g es continua en x = x 0 . a) DISCONTINUIDAD EVITABLE O REMOVTBLE.Diremos que la función real de variable real f: R—>R tiene una discontinuidad evitable ó removible en un punto x = x0 sí: i) Existe el número lim f ( x ) ii) x 0 í D f o bien x0 e D f se tiene que: lim f ( x ) * / (x0) , en este caso x-> x0 definimos la función Eduardo Espinoza Ramos 428 b) DISCONTINUIDAD NO EVITABLE O IRREMOVIBLE.lro. Discontinuidad de primera especie.una discontinuidad de primera Diremos que la función f(x) tiene especie siexiste los límites laterales lim f ( x ) y lim f ( x ) , finitos y diferentes. jr-»jr0~ jr— 2do. Discontinuidad de Segunda Especie.- Diremos que la función f(x) tiene una discontinuidad de segunda especie en el punto x0 , si no existe lim f ( x ) , x~*xo o si uno de los límites laterales es ± oo. EJEMPLOS DE APLICACIÓN Determinar los valores de x para los cuales la función f es discontinua y construir la gráfica. © 2x-\ , x*2 /(* ) = 3 , x =2 Solución Analizaremos la discontinuidad en el punto x = 2 i) f(2) = 3 existe ii) 3 lim f ( x ) <=> lim / ( x) = lim f ( x ) x-*2 x-*2~ Jr->2+ lim f ( x ) = lim 2x -1 = 4 -1 = 3 x-> 2 x->2~ lim f ( x ) ~ lim 2jc—1 = 4 —1=3 x-t2* jr-»2* como lim f (x) = lim f ( x ) = 3 => 3 lim f ( x ) = 3 x-> 2 ' ' x->2* x->2 Limites y Continuidad iii) © 429 lim f ( x ) = / ( 2 ) = 3 , por lo tanto la fruición f(x) es continua en todo x. x—*l m = x 4 -8 1 x2 -9 Solución O, • ,-r n \ X4 -8 1 (x1 + 9)(x + 3 )(x -3 ) 2 n i r, Primeramente snnphficamos: / (x) = — -------------------------------------------------------- = -- ---------- x -9 (x + 3 )(x -3 ) I La función f(x) tienen puntos de discontinuidad evitable en los puntos x = -3, x = 3 Ahora definiremos a la función de tal manera que sea continua en todo x. lim x 2 +9 = lim Jt->3 f(x) = I X +^ [l 8 © x2+ 9 =18 ^ ara X * . para = -3,3 x Por lo tanto F(x) es continua V x. x 3 - 2 x 2 -1 lx + 12 f(x) =X x 2 - 5J xX + T 4 Solución Primeramente simplificamos: ~ 2f - l b t + 12 = <iz f e g £ . í i l = x -5 x + 4 (x -4 )(x -l) ' „ 1,4 Luego la función f(x) tiene puntos de discontinuidad evitable en los puntos x = 1, x = 4. Ahora definiremos la función de tal manera que se continua en todo x. lim f (x) = lim x + 3 = l+ 3 = 4 y x->\ F(x) = x->l lim f ( x ) = lim x + 3 = 4 + 3 = 7 x->4x->4 x +3 para x * 1,4 4 para x = 1 . Por lo tanto F(x) es continua Vx. para x=4 7 Eduardo Espinoza Ramos 430 2x + 3 ® / ( * ) = 8 -3 x x+3 5/ X<1 si 1< x <3 si x>3 Solución Los posibles puntos de discontinuidad son 1,3 analizando la discontinuidad en x= 1 y x=3 i) f( 1) = 5, f(3) = 6 existen ii) 3 lim f { x ) , 3 l i m / ( x ) x —>\ x —>3 lim f ( x ) = lim 2x + 3 = 2 + 3 = 5 jr->l 3 lim f ( x ) = 5 X~>\ lim f ( x ) = lim 8 - 3 x = 8 - 3 = 5 X -> \* X ~ > \* lim f ( x ) = lim 8 - 3 x = 8 - 9 = - l ^ jr-»3~ x -* Y r Como lim f ( x ) * lim f ( x ) => 3 lim f { x ) jr-»3‘ x-»3 lim f ( x ) = lim x + 3 = 3 + 3 = 6 x->3* x -* 3 * Por lo tanto la función tiene una discontinuidad de primera especie en x=3. x - 2 1 s i g( x - 1 ) x 3 + 3x2 + 3jc - 9[| x2 - 9 © /(* ) = x2 -2 x -3 9 4 3 2 si - 5 < x < 0 a x * - 3 1] si 0 < x < 5 a x * 3 si x = - 3 si x = 3 Solución Los puntos donde posiblemente sean discontinuos son: x = -3, x = 0, x = 3 Limites y Continuidad 431 Ahora los puntos x = -3, x = 0, x = 3 Para - 5 < x < 0 , [ |^ |] = -1 1 , s /g (jc -l) = 0 jc > 1 , x = 1 ; entonces la función f(x) queda simplificado en la forma: -1 , jc < —1 + 27 si - 5 < jc< 0 ajc* - 3 x 3 + 3 x 2 + 3jc+ 9 x 2 -9 f(x) = si 0 < x < 5 a x 2-2 x-3 9 4 *3 si x - - 3 3 si x - 3 2 para x = -3 x entonces ff-3) = 9/4 está definida. x +27 9 3 lim f (x) = lim —-------------------= —, Luego f(x) es continua en x = -3 *--3 jc3 + 3x 2 + 3 x + 9 4 ’ * w Para x = 0 entonces f(0) = 3 está definida 3 lim f (x) <=> lim f (x) = lim f (x) = 3 , Luego f(x) es continua en x = 0 x —>0 x— >0 Para x = 3 entonces x —>0+ f(3) = 3/2 está definida x¿-9 3 lim f ( x ) = lim — = —, * ^ x 2- 2x-3 2 © /(* )■ = ] ( ^ 2 ~ 4 cosx 1 /8 ) Luego f(x) es continua en x = 3 si x * 0 sisi xx ==00 Solución 432 Eduardo Espinoza Ramos El punto donde la función puede ser discontinua es x = 0 es decir: •) / ( 0 ) = —, la función está definida ii) 3 lim f ( x ) = limi^Jl- 4 e o s x ) llx = lim ( 2 -4 c o s x ) 1/lx2 jr-»0 x->0 8 1 l-Vcosx = lim([ 1 + (1—ycosx]1- ^ 7 ) jc— »0 ¡ii) 2' 2 1-Vcosjr lim -, „2 =e""° 2x1 =< lim f (x ) * / ( 0 ) , por lo tanto la función f(x) es discontinua en x = 0. x —»0 © /(*) x sen — x =■ 0 si x * 0 si x = 0 Solución Analizaremos la continuidad en x = 0 i) f(0) = 0 la función está definida en x = 0 ii) 3 lim f (x) = lim x sen 1/ x = 0 jr— >0 Jr— »0 iii) lim / ( x ) = /(O ) = 0 jr-»0 Por lo tanto f(x) es continua en todo x. NOTA: sen z lim x sen 11 x = l i m ------- = 0 puesto que: x->0 z—>oc> 2 -1 / z < SCn 2 < 1/ z tomando límite -1 < sen z < 1 l i m - M z < lim SCn~ < lim 1/ z Limites y Continuidad 8J 433 H (x) = sen(-^-— - ) x +4 Solución 3x3 - 2 Sea fix) = senx, g(x) = —------ , de donde g(x) es continua V x e R, y f es continua x 2 +4 en todo g(x), para x e R, luego: ,3* - 2 , H(x) = f ( g ( x ) ) = sen(—-------) es la función compuesta y es continua VxeR. x~ + 4 I Determinar los valores de x para los cuales la función es discontinua y construir la gráfica: Rpta. Cont. en todo x * 1 1 +x , x< -2 © f(x) = 2 - x , - 2 < x < 2 2x-l ,x> 2 Rpta. Discont. En x = -2, x = 2. ® sen ---- , x * 0 f(x) = x 0, x=0 Rpta. Discont, en x = 0 © -\x\+ x ,x < 0 f(x) = 2 2 , x =0 Rpta. Discont. En x = 0 © f(x) = © f(x) = 3x3 + 2 x 2 - 6 x + \ Rpta. Discont. En x=0, x=l x2-x 2 x -|x | 3 x + |x | Rpta. Discont. x=0 Eduardo Espinoza Ramos 434 x3 - x 2 + 2 x -2 © /(* ) = x-l 4, X *1 Rpta. Discont. en x = l x=1 x 2 +2 , x < 0 © © /w = 3x2 - 7 x + 2 , si x * 0 /(* ) = x-2 si x = 0 3. /(x) = fix) | x - [ | x | ] | , si t|x |] es impar f(x) = si x * ± 2 |x - 4 | — 4 12) Rpta. Discont. en ± 2 si x = ±2 ¡x2 - 9 , x < 3 x f(x) = , si 0 < x < 2 2jx\-[\x\] 2 x —5 Rpta. Rpta. Discont. en x=3 , x >3 [ |l - x | ] + [ | x - l | ] 13) Rpta. Discont. En x=0, x=2 x - [ |x |] | , si [|x |] es par x2 - x - 2 @ Rpta. Cont. En todo R sen x 2 -------, x > 0 , s i x >2 Es continua en x = 2, discontinua en x = 0, x = 1 |x | , X>-1,X*1 f(x) = |x - l | % ( |x 2 - l | - l ) , x < - l Rpta. Es Discont. En x = —7 2 ,-1 ,! Limites y Continuidad 435 .y3 + 8 /(x ) = , 5/ x * - 2 x+2 5 , s i x = -2, en x = —1 > -x x<8 f i x ) = VX - 2 3 - 2x, x > 8 Rpta. Discont. en x = 8 x < -l s/g(x2 - 7 ), 4 /(x ) = x2 - 9 x>1 sig(x2 - 4x) - 1 , Vx2 + 7 + ^ 3 x 2 - 1 9 - 6 = Rpta. Discont. en x = -1 |x |< l ' — + -Jx2 - 2x + 1, 8 /w Rpta. Discont. en x = -2 x -3 9 3 - lO x 1 v - ¿ 7 ^ + 7 ^ ' V x -4 x < -3 -3 < x < 3 3 <x < 4 Rpta. discont. en x = -3, x = 3 x >4 a/i 6 —x-\/5x - 4 /(x ) = sen x - sen a -,x* a x —Ü COS fl ,x = a Rpta. Cont. en x = a cos nix - cos «x /(x ) = 2 »I -17 2 1 + COS /EC /(X): Rpta. Discont. en x = 0 2 -, X2 - 2x + 1 ,x = 0 X *1 Rpta. Cont. V x 436 II. Eduardo Espinoza Ramos Determinar el valor de A para que la función f sea continua. x —4 © fix) = x - 2 © f i x ) = -i © fix) = © R pta. A = 4 si x = 2 J-Ax2 s i x <4 Rpta. A = 1 - 6x +16 si x > 4 _ j Ax2 III. si x * 2 si x <2 Rpta. A = — 4 si x > 2 Determinar A y B de modo que la función f dada sea continua en todo su dominio. x + 2A f i x ) = 3 Ax + B 6x-2 B si x < -2 „ 4 „ 14 R pta. A = — , B = — P 9 9 si - 2 < x < \ si x > 1 ^ —n - 2-i sen .v , x < 2 © f i x ) = /ls e n x + fi , ~ — < x < — 2 cosx © © x +2A f i x ) = 3Ax + B 6.V-2 B x A x +B, fix) = cosx. 2 R pta. A = -1, B=1 7T * X *2 si x < - 2 si - 2 < x < l si x > 1 „ . 1 „ 2 R pta. A = — , B = — 3 3 x e< - ti,0 > x e [0 , n > x e [ti,27i > Rpta. A=0 , B=-l Limites y Continuidad fix) 437 12,r2 - 3 a - 9 I . 3 , -----—---------- si x < — V x > 3 2x2 - 3 x - 9 2 A si x ■ = B si x = — -2 s e rix © , A D / ( * ) ■ A + B sen x , 1- sen x fix) = x < ---- 2 71 —7 1- < x < — 2 x> 3 -V 3Z + 3 © Rpta. A = 1 , B = -1 A $lx-2) AB 2 \2x-l\B Rpta. A = 1 , B = -1 2 n si x < 8 si x ■ si x > 8 5[| 3.T + 4 1] , x e [1,2 > © Jix) = 3 x ^ A - 2 x 18 Ai © f i x ) —• Rpta. A = 13 , B = 2 . xe<23> , x =2 8 -V x^ 2 4 7 + 2 V 7 -x +4Y- ■x2 - 4 A_ ~B a/3 1—jc —6x - 8 B 2i \ l 2 6 - x - 5 x - & ) ■) , "—s/5 < x < - \ ,x = - \ , x > -1 „ , 24,531 _ 135 R pta. A = --------- , B = ----13,500 204 438 Eduardo Espinoza Ramos IV O Analizar la continuidad 2 -se n x -se n 2 x fix) = 1 -se n x 3 de la función f en el punto x=y , siendo: n ' X*2 K , X =— 2 -V2 -5 C ly |], - 2 < x < 2 Analizar la continuidad de la función f dado por: f ( x ) l-* 3 . x< -2 jc + 1 , x>2 ax + bx +1, x < 1 Dada la función f ( x ) = 2a x - b x+1 , \ < x < 2 . Hallar el valor de las constantes a y b , x> 2 para que la función f sea continua en R. a x2 - 2 , x < 1 ( 4) Para que valores de a y b la función: f ( x ) = 1 -fc t2, l < x < 3 es continua en el - 2 -ax, x > 3 intervalo <0,5> A , si x < -1 Dada la función / (x) = x6 - l x 4 -1 3 , si | x | < 1. Hallar los valores de A y B para que la + x , si x > l función sea continua en x = ± 1. 2x + l, x < 3 © Hallar los valores de a y b para que la función: f ( x ) = a x 2 + ¿\ 3 < x < 5 sea continua x 2 +2, x > 5 en todo R. Limites y Continuidad 439 - , x< -2 x © Halle los valores de A, B y C para que la función: / (x) = Ax~ + Bx, - 2 < x < 3 sea ex + 6, x > 3 continua en todo R. ^8) ( 9) Determinar sí la función f dada por: / (x) -j4 + x --v/4-jc , x*0 x es continua en x = 0 _1_ , x=0 3 Hallar los valores de a y b, para que la función: se n 2 (x -3 ) , *<3 x-3 ax + b , 3 < x <5 f(x) = 7 sea , x>5 continua en todo R. ¿>[|3x + 4|], l < x < 2 Dada la función / (x) = 3 x4 a - 2 x , 2 < x < 3 . Hallar los valores de a y b para que f sea 18 , x=2 continua en x = 2. © tgnx 5 . —-----, — < x < - 2 x+2 2 Dada la función: / (x) = ax + b, - 2 < x < 0 . Hallar los valores de a y b para que 2 senx + 3sen2 x -, x > 0 x + 2x f sea continua en < — ,+00 > 2 x + 2o, x < - 2 12) Hallar los valores de a y b para que la función: f ( x ) = 3ax + b, - 2 < x <\ 3x-2b, x > l continua en todo R. sea 440 3.31 Q Eduardo Espinoza Ramos PROBLEMAS SOBRE LIMITES. En una circunferencia de radio 9, sea L, (d) y L2 (d) las longitudes de dos cuerdas a las distancias d y —(9 + d) del centro respectivamente, donde 0 < d < 9. Hallar lim ^ 2^ 2 dÎ^(d) Solución Representando gráficamente los datos se tiene: L 2(d) 2 ^ 4 (9+rf>2 l 2(d) = 2 - j8 1 ^ í (9 + d ) 1 £, = 2-n/81 - d 8 1 - - ( 9 + rf)2 4 , J 3 2 4 - ( 9 + d',2 i l ( l 8 - 9 - d ) ( l 8 + 9 + d) 1 Í27+7 1 Í36 V I //« - -----, ; = ■— = — hm I--------------------------- - = — hm , -------- = —_ — = -----2^81 - r f 2 2 ^ ( 9 - d ) ( 9 + d) 2 d - * \ 9 +d 2 V 18 2 © En la figura mostrada. P- dlLUlai olpnlor i//»#--lim V ,v~»o /Í5 Y r Solución -X / fr K x , A \ Limites y Continuidad 441 Dibujo de la figura: Q T=ÂT-AQ EnelAQ AS: E nelA O A T : ...(1) A Q = A S cotgx A T = tgx ...(2) ...(3) ...( 4 ) En el A OPS: OS = sec x a AS = OS - OA se tiene: A S = sec x -1 ...(5) reemplazando (5) en (4) se tiene: QT = tg x - (sec x - l)cotgx = tg 2 x - s e e x + l _ sec2x - s e c x _ secx (secx -1 ) ...(6) tgx Igx tgx sec2 x ( s e c x - l) 2 L = lim Q L - = lint v->o AS *-*o sec.v-1 1 - eos x lim x~y° eos x. sen2 x sec" x (s e c x -l) secx -1 = l i m -------------------- lim x —>0 •t->0 sen x tg 2 x 1- eos X •lim x~*° eos x(l - eos2 x) 1 1- eos x = lim = lim ÓCOSXÍI-COSXXI + COSX) x-*0 eos x(l + eos x) (T ) En la figura, C es una circunferencia unitaria cuyo centro es el origen de coordenadas, T Y 1 1(1 + 1)2 Eduardo Espinoza Ramos 442 Por trigonometría: OE = eos ecx nv __ En el A OPE: cosec x = —- = OE OP ...d) En la figura DE = OE - OD = cosec x -1 OA = eos .r ...(2) , DE cosec x -1 1- sen x L = hm - = - = h m ------------- = h m ------------v ,» OA cosx ' ■) ■) 2 eos2 X (l-s e n x )(l + senx) = lim ---------------------------- = lin t ----------------------------- sen x eos x(l + sen x) ' iim ‘ 2 ( 4) 2 , ,» sen x eos x(l + sen x) ' 2 eos x _ 0^ _ o sen x(l +sen x) 2 L = lim =0 *-+*-OA 1 Dado el sector circular de radio R y ángulo central x (como se muestra en la figura), se inscribe en el un triángulo equilátero de lado L, calcular: R - lJ 3 h m ----------x->— 3 3 x -/r Solución Expresaremos a R como una función de x En la figura: R = OC = OH + ~HC En el A OHB cotg - = 2 J L , OH = HB.coig 2 HB 2 ...(2) Limites y Continuidad 443 /T /T HC = — BC = — L E nelA B H C : 2 ...(3) 2 Ahora reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene: „ -rry; X a /J . R = HB cotg —+ — L pero 2 2 rr—: AB L n L X -J3 . HB = ---- = — entonces R = — cote —+ -— L 2 2 2 2 2 • , R -L j3 ¿iinoüD no obní; \i*^T i(c o tg ^ -V 3 ) h m -------------- = hm —---------- --------- ---------------- = lim —------------ ------------3x - n 3x-7r 3 x ,« 3 X ^ •V“>j 3 . 1 1 6- X . . l ___________________ (3x-7r)sen —.sen — 6 ' 1 6 sen2 - " 6 2 ¿ (1 L 12 3 ^71 X eos— c tg —.sen — 2, , . , E 6-----2 ^ x-*y n x n x sen —eos---- eos —.sen— 2 v_>f "2 X (3x - rrjs e n ^ lim — = rz eos— V 3sen— r -------------2 = ¿ , . L . 3x-n 3 (3 .r-7 r)se n ^ ,n jr sen(-------- ) 6 _ 2 = £ //w ----— . 2 _ I -- x ^ *-*t - 6(— - —) sen—.sen— 3 6 2 6 . = /. 2 R -L j3 _ 3 x -7 r 3 (? ) Hallar el límite del ángulo interno de un polígono regular de n lados sí n — zoíLüí v rninv sbibreiqnHK» ¿JK> »2. íjjnrbup fionil el 3b olrîTíg'-* omigó-sí ¡3 Solución (iv " L 3 444 Eduardo Espinoza Ramos La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es: Sí = re (n-2) Como nos piden el límite de un ángulo interno cuando n _ . n ( t i - 2) Osea i = --------- - 2 (jp —k>c, es decir i = — ti n ( t t - 2) lim i = l i m ---------- = n entonces n —>t» n —>oo fj Hallar el límite, cuando n -* » , del perímetro de la línea quebrada , inscrita en la espiral logarítmicar = e ~v> si los vértices de esta quebrada tienen,respectivamente, los ángulos polares: <p„ = O , q>x = y = ~ - Solución Teniendo en cuenta la magnitud del ejercicio daremos algunas reflexiones iniciales. i) En el espiral r = e ®, r es un radio vector, V valor de cp. ii) La quebrada inscrita en la espiral significa que a cada vértice le corresponde un vector. iii) Cada segmento de la quebrada está obviamente entre dos vértices consecutivos. ¡v) Cada segmento es el lado de un triángulo cuyos otros dos lados son los radios vectores correspondientes. Si C es el segmento de la línea quebrada que es el lado de un triángulo seaplica la fórmula. v) c 2 = a 2 + b 2 - 2a b eos O A cada vértice M k le corresponde un radio vector t\ —e~^k donde cpk = — 2 vi) El k-ésimo vectores rk ...(1) segmento de la linea quebrada S kestá comprendida entrelos y rk , los cuales forman el k-ésimoángulo (cpk ~(pk \ )■ radios 445 Limites y Continuidad vii) Calculando el k-ésimo segmento S k : Sk - Vrk-1 +rk ~ - rk~\rk cos(<Pk ~<Pk-1) - " í2) Reemplazando (1) en (2) y simplificando exponentes: 5* = ^ k\ e n + e - k* - 2 e ~ kn.eKÍ1 c o s ^ = ^ lrc(ert +1) ...(3) viii) Calculando el perímetro de la línea quebrada finita n n se tiene: ti P„ =P„(M0M lM 2. . M n) = ' £ s k = £ J L 1¿r k=i *=i V e P" = Vß + 1( /2 + 2*/2 + 3tt/2 " + -(4 ) nir/2 ^ *=1 Ve* +1 n " + _ J ______ 1 _ + e 1" 12 ___ 1___ g(n-i)»/2* Para la suma de una progresión geométrica es dado por: ____ 1 V 77T e71/2 ix) L „ e ^'2 1 -I ,1------____1 _ „*/2 e* ____ 5 = ------------ ____ +1 J - g '',T/~ -.„g/2 _ ~JeK + 1 .. _ „„n _ / -) t - /1 . Je e ' g’172 e'r / 2 - l e* / 2 - l Calculando el perímetro de la línea llevando el límite para n -* » , se tiene: n ;• r> ;• ^ ë ^ + ï n - m l2\ Ve* +1 /1 -nnll^ e * +1 , n P = ¡im P„ = h m — ---- (1 -e ) = — ---- h m ( 1 - e ) = — —---- (1 -0 ) «->«. n -> a ,e ' t / 2 _ j e"/2 _1 e nl1 - 1 n-»oc e -1 446 331 © Eduardo Espinoza Ramos PROBLEMAS PROPUESTOS.Hallar el límite de las áreas de los cuadrados construidos sobre las ordenadas de la curva y = 2 1” ' como base, donde x = 1,2,3, . ...,n, con la condición de que n—>oc Rpta. 4 © Hallar el límite de la suma de las longitudes de las ordenadas de la curva y = e~x cosrar trazadas en los puntos x = 0 ,1 ,2 , ,...,n , sin -> o o Rpta. e e +\ © Sobre los segmentos obtenidos al dividir el cateto a de un triángulo rectángulo en n partes iguales, se han construido rectángulos inscritos (ver figura). Determinar el límite del área de la figura escalonada así construida, si n ->oo -A z] Rpta. S = © ab Hallar el límite de los perímetros de los polígonos regulares de n lados inscritos en una circunferencia de radio R y de los circunscritos a su alrededor, sí n-»oo © Rpta. L=2Rtt El punto C( divide al segmento AB=L en dos partes iguales, el punto C 2 divide el segmento AC¡ en dos partes también iguales; el punto C3 divide a su vez, el segmento C2C, en dos partes iguales; él C 4 hace lo propio con el segmento C2C3 y así sucesivamente. Determinar la posición límite del punto C„ , cuando n->ao Rpta. j © Consideremos un triángulo equilátero de lado a sus tres alturas sirven para engendrar un nuevo triángulo equilátero y así sucesivamente n veces. Hallar el límite de la suma de las áreas de todos los triángulos cuando n-*© Rpta. a 243 Limites y Continuidad (? ) 447 Un círculo de radio R lleva inscrito un cuadrado; éste, lleva inscrito un círculo el cual, a su vez, tiene inscrito un cuadrado y así sucesivamente n veces. Hallar el límite de la suma de las áreas de todos los círculos y el de la suma de las áreas de todos los círculos y el de la suma de las áreas de todos los cuadrados cuando n—*». (s) Rpta. 2nR2 El segmento AB cuya longitud es a . está dividido en partes iguales por n puntos, desde los cuales se han trazado rayos en ángulos — (ver figura). Hallar el límite de la longitud 2» de dicha línea quebrada cuando n crece infinitamente. Rpta. a A------------------------------ B (? ) El segmento AB cuya longitud es a está dividido en n partes iguales. Los pequeños segmentos resultantes sirven de cuerdas subtienden arcos de circunferencia, cada uno de los cuales es igual a — radian (ver figura). Hallar el límite de la longitud de la línea n resultante cuando n—kc ¿Cómo cambiaría el resultado si las cuerdas subtendiesen una semicircunferencia? (ío ) Rpta. a, -y- En los puntos extremos y medios del arco AB de una circunferencia se han trazado las tangentes y los puntos A y B se han unido por una cuerda. Demostrar que la razón de las áreas de dos triángulos resultantes tienden a 4, disminuyendo infinitamente el arco AB. Sea C\ un círculo de radio 7 y Tx el triángulo equilátero inscrito en C ,;C 2 el círculo inscrito en Tx y T2 el triángulo inscrito en C2 y así sucesivamente se construye T„ el triángulo equilátero inscrito en C„ Si A„ es la suma de las áreas de los triángulos : Tl ,T2 ,...T„ y B„ es la suma de las áreas de los círculos C \ , C2 (y ) . Hallar lim An y lim B n . n —>oo w—»oo La gráfica de f ( x ) = V 4 - x 2 es una semicircunferencia de radio 2 con centro en el origen. Sea Q un punto fijo de la semicircunferencia con Q * (±2,0). Eduardo Espinoza Ramos 448 Sea p un punto que se mueve hacia Q a lo largo de la curva. La secante que pase por P y 0 interceptada a la recta vertical x = 4 en el punto E. Hallar la posición límite del punto E cuando P se aproxima a Q. Demostrar que esta posición límite está en la tangente a la semicircunferencia en Q. 13) Una caja cerrada con base cuadrada va ha tener un volumen de 2000 pulg\ El material para las partes superior e inferior de la caja costara S 3 por pulgada cuadrada y el material por los lados costara S 1.50 por pulgada cuadrada y el material para los lados costara $ 1.50 por pulgada cuadrada. Sea x pulgadas la longitud de un lado de la base cuadrada y C(x) dólares el costo total del material. a) Escribir una ecuación que defina C(x) y establezca el dominio de la función C. b) Calcular él lim C(x) y X— >0+ problema. c) 14) lim C(x) Jr-í+oo y explicar estos resultados en términos del Trazar la gráfica de C. Un campo rectangular que tiene una rea de 2,700 m2 va a ser limitado por una cerca, además, otra cerca dividirá el terreno por la mitad. El costo de la cerca que dividirá el terreno es 5 4 por metro y el costo de los lados es de $ 6 por metro. Sea x metros de longitud de la cerca divisora y C(x), el costo de la cerca. a) Escriba la ecuación que definida C(x) y establezca el dominio de la b) Encuentre lim C(x) y •r->0+ lim C(x) función C. y explique sus resultados en termino del problema. c) 15j Trazar la gráfica de C. Un tanque abierto de forma rectangular tendrá una base cuadrada y su capacidad será de 125 metros cúbicos. El costo por metro cuadrado para el fondo será de $ 8 y para los lados será de $ 4. Sea x m la longitud de un lado de la base cuadrada y C(x), el costo del material. a) Establezca una ecuación que defina C(x) y determine el dominio de C. b) Halle lim C(.v) y lim C(x) y explique sus resultados en términos del problema. jr-MT x->+ct- c) Trace la gráfica de C. 449 Derivada CAPITULO IV 4 *»• Í A t-JtUfVt r>FRIVATÍA » jrVJL./Tt» En este capítulo realizaremos el estudio de la derivada de una función, que es un instrumento matemático muy potente, que sirve para el estudio del cálculo diferencial e integral. Las derivadas aparecieron aunque de una forma un tanto obscuras en el siglo XVIII, como consecuencia del estudio de las velocidades, hechos por el matemático y físico inglés NEWTON y el estudio sobre tangentes de curvas hecho por el matemático y filósofo alemán LEIBNIZ. En este capítulo haremos el estudio de las derivadas en las diversas funciones, de tal manera que el siguiente capítulo trataremos sus aplicaciones. 4.1. DEFINICION.Consideremos la función real de variable real y = f(x), si x e D f entonces la derivada de la función f con respecto a x definiremos por la expresión: siempre que dicho límite exista. El proceso de encontrar la derivada se llama “diferenciación”. Por definición de derivada se tiene: Si x e D f , f ' ( x ) = lim 1 Ax— >0 f ( x +A x ) - f ( x ) Ax 450 Eduardo Espinoza Ramos r<t \ V _ J _____ 1_ _____ 4x -Jx-ylx + Ax a /x + A * 1 -1 f (x) = lim —----------- — = lim .=— = hm - = - = = —= — = = - ■= -------------¡= Ar-.o Ar Ax-»oVxVx+AxAx -Jx^Jx + A x H x +~Jx + Ax) 2x-Jx Ejemplo.- Si f ( x ) = x 2 , calcular / '( x ) Solución f ( x + Ax)~ f'(x) (x + A t)2 - x 1 x 2 + 2x.At + A t2 - x 2 f (x) = hm ------------------------------------------— — = h m ---;-----------= h m -----A *-> 0 A t A x-» 0 A r A r-> 0 A t 2x.Ax + Ax' = l i m -----------= /;»;(2x + Ax) = 2 x + 0 = 2x Av—>0 Ax Ají-» / (x) = 2x Ejemplo.- Si f(x) = eos x, calcular f ' ( x ) Solución . . .. f(x + A x )~ f(x) cos(x + A x )-c o sx / (x) = hm --------------- ------ = h m ------------------------a *-> o Ax a * -» o Ax c o sx .co sA x -se n x .se n A x -co sx r senAx (1-cosA x), = l i m --------------------------------------------= hm [-se n x .------------ c o sx --------------- J A.r-*0 Ax Ax— *0 AxAx .. senAx 1-cosA x .14 /A, n = - s e n x h m -----------cosx h m ------------- = -sen x .(l)-co sx .(0 )= -sen x -0 = -senx Ajt >0 Ax Ax—>0 Ax f ' ( x ) = —senx Ejemplo.- Si J ' ( x ) = e x , calcular f ' ( x ) Solución k J( x + A x ) - f ( x ) e x+Ax- e x e x e*x - e x f (x) = hm — -------- = h m ------------------------ = h m ---------------- = hm e (--------- ) A r-» 0 At Av->0 e** -1 = e x . l i m ---------- = e x .ln e = e* &«■->() Ax At A r->0 At Ar ->0 Ax / ' (x) = e s 451 Derivada OBSERVACION: Si la derivada de una función f(x) se desea calcular en un punto x = x 0 , simplemente se reemplaza x por x 0 en la definición es decir: Ejemplo.- Calcular / ’(—1) sí f ( x ) = 8 —2x Solución Por definición se tiene: f '( ~ 1) = lim ^ *->o / ' (-1) = lim h—>0 = Jim h—>0 *+ ^ h - (8 - 2(—1+ A)3) - (8 - 2(—l)3) \ - 2 h + 6A + 2 - 8 - 2 = l i m ~ 2 h2 + 6/i - 6 = -6 h—>0 Consideremos una curva C: y = f(x) y un punto fijo P0 (x0, y 0) de dicha curva, sea Ls la recta secante que pasa por P0(x0,v 0) y por el punto M(x, y) eC. La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P0 y M es: 452 Eduardo Espinoza Ramos mLs = tg a = f ( x ) - f ( x 0) = y - y 0 x _^x Si el punto M(x,y) se aproxima al punto P0 (x0, y0) resulta que la variable x se aproxima a x 0 de tal manera que Ax = x - x 0 se aproxima a cero, con lo cual se está haciendo uso del concepto de límite. Por lo tanto, cuando el punto M(x,y) se aproxima al punto P0 (x(), y 0 ) la recta secante L s se ha transformado en la recta tangente L r, lo cual indica que el ángulo a tiende a coincidir con el ángulo 0 y tg a = f ( x 0 + A x ) - / ( x n) Ax tiende a convertirse en: Luego la derivada de la función f en él P0 (x0, y 0 ) es / ' (x0) y representa la pendiente de la recta tangente en el punto P0 (x0, y 0) NOTACION Si f es una función que depende de los valores de la variable independiente x entonces a la derivada de f denotaremos por: dy La notación que más se usa es — la cual se lee: la derivada de “y” con respecto a “x”. dx En la notación — , no debe considerarse como una fracción, aunque lo parezca, es un dx símbolo para la derivada. Derivada 453 OBSERVACIÓN: S i x = x„+ A x => Ax = h entonces h = x - x 0 y cuando x -» x () se tiene h —> 0, lo que es lo mismo cuando Ax —> 0, h —> 0: por lo tanto la definición de derivada , (. - r-, * ;• f ( x + A x ) - f ( x ) , f (x) = hm :— 1 , daremos en la forma: Ar->0 Ax ■m 43. d 0 0 < fe x + i 6 ü f D EFINIC IO N,La función real de variable real y = f(x) es diferenciable en un punto x = x0 si existe su derivada en el punto x = x0. es decir si / '( x 0) exis'te. 4.4. DEFINICION«Diremos que la función f es diferenciable en un intervalo [a, b] si la función f es diferenciable en cada uno de los puntos del intervalo [a, b] Ejemplo.- Demostrar que la función f definida por: / ( x ) = x 3,2 cos(—);x > 0 x es 0, x=0 diferenciable en el punto x = 0 Solución Para que f sea diferenciable en x = 0, debe existir / ' ( 0 ) , en efecto m =un m i M z m =¡imm - m a->o h h~>o h ¡¡mÜ Z Ü V h->o h rh cos(1 , . 0 = *->o h Luego 3 f(0 ) = 0 => f(x) es diferenciable en x = 0 Ejemplo.- Demostrar que la función f definida p o r /( x ) = x 2' 3, x e R, no es diferenciable en x = 0 454 Eduardo Espinoza Ramos Solución Para que f no sea diferenciable en x = 0, debemos probar que 3 / '( O ) , es decir /'(O ) = lim h~>0 no+h) - m =l¡mm - m h h->0 _ II lim h2/3 = lim h-*0 h 1 h->0 fil/3 por lo tanto como /'(O) no existe => f no es diferenciable en x = 0 4,5 Consideremos una función real de variable real, y = f(x), entonces: i) La derivada de la función f en el punto x = x 0 , por la derecha representaremos por / ' (*o ) y está definido por: lim o equivalente a la forma > X - -V(, si el límite existe. ii) La derivada de la función f en el punto x = x 0 , por la izquierda representaremos por f ' ( x o ) y está definido por: o equivalente a la forma: im , w «> si el límite existe. Ejemplo.- Hallar /'(x o ) Y / (*o ) en x = xo s* f ( x ) 2x~ —3 , s i x <2 8j c —11 , s i x > 2 455 Derivada Solución /•(2- ) « um m ± a t m = h->o+ h lim h->o+ h 16 + 8 A -1 1 -8 + 3 8h = lim ----------------------- - hm — />->o+ /¡*->o+A f ' ( 2 ~ ) = lim A-»0" = lim h—>0~ A lim (2(2 + * )z - 3 ) - ( 8 - 3 ) h—>0~ h \ + %h + 2h - 3 - 8 + 3 M +2h2 = lim A->0~ h h OBSERVACIÓN.- lim 8+ 2/? = 8 h— >0 Diremos que la derivada de la función f(x) existe en el punto x = x 0 , si sus derivadas laterales existen y son iguales es decir: i yyyyyyyyyyyyyyy¿yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy. Las propiedades de las funciones más útil en el cálculo son: la continuidad y la derivabilidad; como estos conceptos son definidos mediante un límite, entonces nos haremos las siguientes preguntas - ¿Si una función es continua, es derivable en ese punto? - ¿Si una función es derivable ha de ser también continua o quizás las dos propiedades son equivalentes? Para dar respuesta a estas preguntas daremos un ejemplo; Sea f: R —> R / f(x) = |x| es continua en R, en particular en x = 0, ahora veremos si es derivable en x = 0, es decir /.(O) = I m ZElíLZffi = ¡mm h->0 h o - m = Miz»=Un!*! - f ">10 h A-»0 h h-}0 h l- l,/¡ < 0 456 Eduardo Espinoza Ramos entonces / ' ( 0 +) * / ' (0 ) => 2 f(0 ), esto quiere decir que la función f no es derivable en x = 0 por lo tanto “Si f es continua en x - x 0 =£> f sea diferenciable en: x = x 0 . Si f es derivable en x = x (j => f es continua en: x = x0 a) TEOREMA Sea f una función y x0 e D¡ , si f es diferenciable en x0 entonces f es continúa en Xq Demostración Por hipótesis se tiene que f es diferenciable en x0 , esto quiere decir que3 f ' ( x 0) , y lim f ( x 0 + h ) ~ / ( x 0) = lim /(* o + ¿ 0 h-tO A->0 h h-tO entonces: f ( x o) h h . A-»0 S m k - r M 0=» lim ( f ( x 0 + h) - f ( x 0)) = 0 => lim f (x0 + h ) ~ lim f (x0) = 0 *->o A-»0 h->o l i m( f ( x0 + h ) ~ f ( x 0)) = 0 => lim f ( x 0 +h) = f ( x 0 ) *->0 A-»0 f es continua en x0 COMENTARIO: „ L . . . . f ( x 0 + h ) - f ( x 0) . Sabemos que si existe l i m----------------------- entonces existe una recta tangente no a~»o h vertical bien definida y es única en el punto (x0, / (jc0 )): La no existencia de la recta tangente no vertical cuando las derivadas laterales existen pero no son iguales. Derivada 457 Tal es el caso del valor absoluto f(x) = |x| en donde sus derivadas laterales en x0 = 0 son diferentes / ' ( 0 +) * /'( 0 ~ ) .También no existe recta tangente no vertical cuando uno o ambas derivadas laterales no existen, es +00 ó -00 Como la recta tangente no vertical es única entonces en la gráfica de las funciones se presentan esquinas como se muestra en la figura. 4.7 ALGUNAS REGLAS DE DERIVACION.a) . La derivada de una constante es cero.- dy Sí y = f(x) = c => — = 0 dx Demostración dx b) La derivada de la función identidad es 1.- Sí y = f(x) = x => — = 1 dx Demostración dv rw x i- f ( x + h ) - f ( x ) .. x + h - x h , = f ( x ) = lim — ------ y = l i m ----------- = lim — = hm 1 = 1 dx *->o h *-><* h h-*o h *->0 c) La derivada de la función potencia simple.Si y = f(x)=x" ~ = nx n 1, n es cualquier número real. ax Demostración dx h—>o h , l i m {x + h ) ' - x ' .para n <= Z* a->o h dy .•. — = 1 dx Eduardo Espinoza Ramos 458 , .r(x+h)nX+{x+h)n+2x (x+fi)xn 2+x" 1, = lim(x + h - x ) [ - ------ --------------- ------- + ...+ ------------------------ ] h->o h h = lim[(x + h)n +(x + h)n+ x + ...+(x + h) xn h->o _x = d) +x" ] . dy _ „ ” i — - = nx dx _ n„„n-1 +i x^"“1 +, ...+. X„n-l +. x„«-1 = x La derivada del producto de una función por el escalar Sí y = k frx) => ^ = k f ' ( x ) dx Demostración ± . l i „ W fr +W - W dx *->o h e) . t Um / ( * + « ) - / ( * ) s t f w *-»o h . d y _ kf'ix) dx La derivada de la suma de dos funciones Si y = f(x) + g(x) => % = f { x ) + g \ x ) dx Demostración dy = Um ( / + g)(x + h ) - ( f + g)(x) = Um f ( x + h) + g (x + h ) ~ ( / ( x ) - g(x) dx h->o h h-*o h = ^ / ( * + » ) - /< £ ) . + ,m A->0 /l A->0 f) . j . w + , h ^ = f ' ( x ) + g'(x) dx f) La derivada del producto de dos funciones.- Sí y = f(x).g(x) => ! j - = f ( x ) g ' ( x ) + f ' ( x ) g ( x ) dx Derivada 459 Es decir: La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más el producto de la derivada de la primera función por la segunda función. Demostración Sea y = F(x) = f(x).g(x), entonces: dy _ ¡im F ( x + h ) - F ( x ) = ^ f ( x + h)g(x + h)~ f ( x ) g ( x ) dx h->o h *-»o h ahora sumamos y restamos f(x + h) g(x) en el numerador dy_ = ¡jm / ( x + h)g(x + h )~ f ( x + h)g(x) - f ( x ) g ( x ) + f ( x + h)g(x) dx h—>0 h É L mUm / ( » ) , ) *(» + * )-* (* > +g(x) / ( * + * ) - /( * > *->o ¿ = t e /(* + * )t e A-»0 A->0 + t e g fc r).te h->0 h->0 ^ = / W g 'W + g ( x ) f (x) g. h : . ^ = f ( x ) . g ' (x) + g ( x ) . f ' (x) dx La derivación del cociente de dos funciones.Si V = / M gW Es decir: ^ É L = ew a dx [g W ] - » ^ g(x)<0 La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador menos el producto del numerador por la derivada del denominador dividido por el cuadrado del denominador. Demostración f (-^0 Sea y = F(x) = ------ , entonces g(x) Eduardo Espinoza Ramos 460 f ( x + h) dy _ ¡im F ( x + h ) - F { x ) _ ^ g(x + h) dx h~>o h h->o h f(x) g(x) _ ^ g ( x ) f ( x + h ) ~ f ( x ) g ( x + h) h->o hg(x)g(x+h) Ahora sumando y restando f(x) g(x) en el numerador se tiene: dy _ lim g ( x ) f ( x + h)~ f (x)g(x) - f ( x ) g ( x + h) + f { x )g {x ) dx h-*o hg(x)g(x + h) g ( x ) [ f {x + h )~ f ( x ) ] f ( x ) [ g ( x + h)~ g(x)] = Um_________h___________________ h ... g ( x ) f ' ( x ) - f (x) . g' ( x) a-.o g(x )g(x + h) g(x).g(x + 0) g ( x ) . f ' ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) . dy g(x).f(x)-f(x)g(x) [g(x)f " dx [g W ]2 RESUMIENDO: ® y= F(x)=x => ® y = k F(x) ^ = k r<x\ d\ * = F{x)**xn : G(x} ¡lili fe •• ' ■ J r ® SXr --m” 1 ís i-3 i •s F(\)G(x.> ft y ; F (\)+ O x ) ® dx £ ía - ® Jy - 0 dx l ! ! l F(x)=c ^ • ® F f.v io f i ' ,r i dy _ G\ x)f~’( x ) - F{x)<j{x) d\ < C r(^ : . | 1 461 Derivada Ejemplo.- Hallar la derivada / '( * ) si la función f(x) es: 0 f ( :x ) = x 1 + x 5 + ^ j + 4x Solución f(x) =x7 +x5 + - ~ + 4x = x 1 + x jc5 + x ~3 +4jc f ' ( x ) = l x 6 + 5 x4 - 3 x ~ 4 + 4 = 7 x 6 + 5x4 — ~r + 4 0 /( x) = (x 5 + 2 x )( x 3 + x 2 + x .\ f ' ( x ) = l x 6 + 5 x 4 - ^ - + 4 + 7) Solución f ( x ) = ( x 5 +2x)’.(xi + x 2 + x + 7 ) + (jc5 + 2 j c ) . ( x 3 +x 2 + x + 7)' = (5jc4 + 2 ) . ( x 3 + x 2 + x + 1) + (x * + 2 jc ).(3 x 2 + 2 x + l ) +10x 2 +4x + \4 = 8 x 7 + 9 j c <* + 6 x 5 + 4 1 * 4 + 2jc3 x 3 + 2x2 +7 © /(* )= ■ 4 3 x +-t- JC JC x ++ JC x Solución /•>/• \ J \X ) = +Jf3 + x).(jc3 + 2 x 2 + 7 )'—(jc3 2 - (x + x 2 jc2 + 7).(.x 4 + x 3 + jf)' - +x) (* 4 + x 3 + x ).(3 x 2 + 4 x ) - ( x 3 + 2 x 2 + 7 ).(4 x 3 + 3 x 2 + l) ( x 4 + x 3 -t-x)2 x 6 +4x +2 x 4 + 5 x 3 + ( jc4 + x 3 + x ) 2 I9x2 + 7 462 Eduardo Espinoza Ramos El criterio de la regla de la cadena para la derivada de las funciones compuestas, es la herramienta más importante del cálculo diferencial. Antes de dar una demostración formal, le daremos un tratamiento intuitivo y para esto, consideremos dos funciones diferenciales en general: y = f ( u ) "y es función de u" h = g(x) u es función de x" entonces a “y” se puede expresar en función de x, es decir y = f(u) = f(g(x)) = (f o g)(x) esto viene hacer la composición de funciones, ahora para calcular su derivada se hace de la forma siguiente: y = f(u) u = g(x) du , entonces- j - = - f - . - ^ - = f ' ( u ) g ' ( x ) = f '( g(x) ).g' {x) du dx du dx — = g (x) dx ÉL~: dx dy Sí y = (f o g)(x) => — = / ' (g(x)).g' ( x ) . Ilustraremos mediante un diagrama dx dy dx NOTA.- dy du du dx Cuando se trata de tres funciones f, g, h, se tiene: (fogoh)(x) = f '( g (f i (x )) g ' (h(x))h' (x) 463 Derivada (fogoh)(x) 9(h(x))- -tX dy Ejemplo.- Calcular mediante la regla de la cadena — ' donde: dx y = (f(x)) n Solución Sea y = u", u = f(x) => — = nu n^ , — = f ' ( x ) du dx ~ = = nUn X~ = n ( f ( x ) ) n-1f ' ( x ) dx du dx dx OBSERVACIÓN.- entonces ^ = n ( f ( x ) ) n~1f \ x ) dx Sea f una función derivable en x 0 , si y - F(x ) = ( f ( x ) ) n , n e Q entonces F es derivable en x Q y es dado por: 'I ... ^ xw x -xx^ ^ í -x* -x-x**»(/{ * # » * ' : : . / ’(*#> . : : Ejemplo.- Hallar — sí y = [a + bx ]” dx a-bxn Solución Sea f ( x ) - a + bx" =: f ’(x) - nbx" a-bxn y m ( s a + tZl r a-bx + l ( a+b xn) (a - b x " ) 1 > / ’(*) = l abnx n-1 (,a - b x n) 2 = dx dx (a - b x ) a-bx Ejemplo.- Sí f ( x 2 +1) = V *2 +1 + $Jl6(x2 +1) y f { x 2 - 2 ) = g ( x 2 +1). Calcular g ' ( 5) Solución Sí z = V x2 +1 entonces z 2 = x 2 + 1 , de donde / ( z ) = z + a/ i ó z 2 464 Eduardo Espinoza Ramos Luego f ( z ) = z + kj\6.1fz entonces f ( x 2 - 2 ) = x 2 - 2 + a/Í6.a/x2 - 2 ahorasí u = x 2 + 1 => x 1 = u - 1 y g(u) = u - 3 + ^ ¡ \ 6 . \ l u - 3 de donde g '(« ) = l + $/Í6 g'(5)=- 3^/(m- 3 ) 2 4,9 D E R ÍV ACION a) DI LA Función Exponencial de Base “a” Positiva.Sea a e /?+ y a * 1, a la función exponencial de base “a” definiremos en la forma: donde su dominio es <-oo,+oo> y su rango es <0,+oo>, si a > 1, entonces la función y = a x es creciente, si 0 < a < l entonces la función y = a x es decreciente. OBSERVACIÓN.- Del gráfico se observa que: Q ) © ® (4 ) lim ex = +oo jc"+oo lim e x = O x"-00 lim e~x = O A'"-t-OC> lim r— >— 00 465 Derivada b) Propiedades de la Función Exponencial: Sí a, b > 0, © «°=1 © © (ax ) y = a xy © © (atí)x = a xbx entonces: a xa y = a x*y -n*-y ■= a Ejemplo.- Trazar la gráfica de las siguientes funciones: © y = 2x © y= (¿r Solución Como a = 2 > 1 => y = 2 es creciente Como 1 1 a = —< 1 => y = (—) es decreciente De la definición de la función exponencial y = f { x ) = a x , a > 0, a * 1 se deduce que dicha función es inyectiva y por lo tanto tiene inversa. Luego a la función inversa de y = / ( * ) = a x le llamaremos función logarítmica de base “a” y la definiremos en la forma: d) Definición.- A la función f: <0,+oo> ->R, definida por: 466 Eduardo Espinoza Ramos Le llamaremos función logarítmica (o función logaritmo) de base “a”, donde a > 0, a * 1 se sabe que logfl x es un número único b, tal que a b = x Es decir: IÜ NOTA: Logax = b se lee “el logaritmo en base a del número x e s b ” OBSERVACIÓN.- La función logarítmica de base “a” tiene por regla de correspondencia la ecuación: , f ( x ) = logfl x de donde: i) Si a > 1 =>f ( x ) = logfl jc es creciente ii) Si 0 < a < 1 => f ( x ) = log„ x es decreciente. e) Propiedades de la Función Logarítm ica. © loga l = 0 © log,, (AB) = log,, A + log,, B © logfl a = 1 © logfl ^ = log,, A -logfl B (? ) log„ A" = n loga A (ó ) log a "sÍA ——log a A © loga ¿ = © log 1 logf, a Las demostraciones de estas propiedades se deja para el lector log* a 467 Derivada OBSERVACIÓN.f) Sí Definición.La función cuya base es e, se llama función logaritmo natural o neperiano y denotaremos por: - tag, x «X»x , donde g) Definición.- ~ y Rf s>R La función logaritmo cuya base es 10, se llama función logaritmo decimal o vulgar y es denotado por: OBSERVACIÓN.- Casos particulares de las funciones exponenciales y logarítmicas son: Q Ln e ' = x OBSERVACIÓN.(^ Algunos límites que se dan en la definición de las derivadas: lim (1 + —) x =e .v-»+ot Q eln r= x X lim( l + - ) x = e a x ->oo X 7) lim ------ - = L n a , a > 0, a * 1 v->0 x 468 Eduardo Espinoza Ramos a)Demostrar que la derivada de la función exponencial: / ( x) = e x es / ' ( x) = e ' Demostración Por definición de la derivada se tiene: r,, x f ( x +h ) - f ( x ) e x+h- e x e h -1 f (x) = Lim-------------------- = Lim--------------= e Lim-------*--»n /; h-*() h h"o /) t'A-1 lim-------- = Lne = 1 A"0 h Por la observación 4 se tiene: Ahora reemplazando 2 en 1 tenemos: b) / ' (x) =e* (1) .•.(!) ...(2) de donde / (x) = e'v Demostrar que la derivada de la función exponencial F(x) = a x , a > 0. a * 1 es F'(x) = a x.Lna Demostración Por definición de derivada se tiene: n„ , r . F(x +h ) - F ( x ) /i->0 // r . a x+h- a x //-+0 /y X r . a" - 1 Lirti -------A->0 // /* (x) =Lim------------------ =Lim------------- =a Por la observación 4 se tiene: /i _| l i m ---------= Lna *-»o ...(1) ...(2) Ahora reemplazado 2 en 1 tenemos: F '(x ) - a ' .Lna c) Demostrar que la derivada de la función logarítmica: Demostración Por definición de derivada se tiene: F(x) = Ln x es F ‘(x) = — x Derivada 469 F |, ) = Im = A->0 d) Demostrar / r '(x) = /) que 1 ¡ M n - H - U a _ /lm l i n ( , A( .. t m LnfX + fty , , A -» 0 la derivada /j de la A -» 0 fimción h X logarítmica: * -» 0 X F (x) = log„ x e x >0 xLna Demostración Por ser similar al anterior inciso, se deja como ejercicio. , OBSERVACIÓN.y = Lnu dy _ 1 du u= f(x) u ~ ~ = / ' (x) dx dy = dy d ^ = \ f ,. dx du dx u Por lo tanto: / Si y=Ln u donde u=f(x), entonces aplicando la regla de la cadena Sí OBSERVACIÓN.- *■ X _ / '( x ) f(x) > - ¿ f l ( / < x » =9. Si _y= e" y u = ffa), entonces: y —e du u = f(x) £ -/* (x ) dx dy = rfx du dx Por lo tanto _ e/ (x) Si V , ™ •= f>f< '> 470 Eduardo Espinoza Ramos RESUMIENDO: © W Sí y = e x => — = e x© dx S í y = a x =í> — = a x Lna W © Sí y = L n x = > - ^ = dx x © © Sí y = e f(x) = > ^ W {V W dx © dx Sí y = loga x => & = — — x > 0 dx x l n a ^ Sí y = Lnfflx» => & = dx f ( x ) Ejemplos.- Hallar — si: dx © y = e x' x Solución y = e xKx © => * y = e xl+x— ( x 2 +x) = (2x + l)ex dx dx y = 5 ^ xl Solución v = 5' ® ' — = 5A dx — ( x i + x 1)Ln5 => — = (3x2 - 2 x ) L n 5 ¿ x x dx dx T , / 2 t i rf>’ Dx(a + x + 4 x 2 +2ax) y = Ln[a+x + y x +2ax] => — = --------------.. . ,, ■, — aa + ^ + xx + + yy xr 2 +2ax ' — Solución , 1+ - </>• _ jt + a -y/x2 + 2crx a + x + 4 x 22ax ______a + x + 4 x 2 + 2 ax_____ t _1 (a + x + 4 x 2 +2ax)-Jx2 + 2 ax V-r2+2ax Derivada 4.11 471 DERIVACION P E L A S FUNCIONES TRIGONOMETRÍCAS,Para definir la derivada de las fiinciones trigonométricas daremos la definición de dichas funciones: a) La Función Seno.- Si x e y son números reales, entonces a la función seno definiremos por: í t {{*•> - sen x} ó también mediante la regla f(x)=sen x donde D f = R y R f [—1,1], cuya gráfica es b) La función Coseno.- Si x e y son números reales, entonces a la función coseno definiremos por: ó también mediante la regla ffx) = eos x , donde D r = R gráfica es: t Y -1 y R f =[-1,1], cuya 472 Eduardo Espinoza Ramos c) La Función Tangente.- Si x e y son números reales, entonces a la función tangente definiremos por: f « {(x,y) e f U Í U y - Igx} ó también mediante la regla f(x) = tg x , donde: D f = {x e R / x * ~ + k n k e z) y R , = R cuya gráfica es: d) La Función Cotangente.- Si x e y son números reales, entonces a la función cotangente definiremos por: ó también mediante la regla R r = R , cuya gráfica es: f(x) = ctg x , donde D r ={x e R / x * k n , k e r} y 473 Derivada e) La Función Secante.- Si x e y son números reales, entonces a la función secante definiremos por f * f f c í # M 'R x R f y-se e xj ó también mediante la regla f{x) = sec x, donde: D f = {jc e i? / x * y + kn, k e : } y /?; = < -oo,-l]u[l,+qo > cuya gráfica es: f) La Función Cosecante.- Si x e y son números reales, entonces a la función cosecante definiremos por: {(x,y) g R x R / y ~cosec xj ó también mediante la regla f(x) = cosec x , donde: Dy ={x e R / x # ^ + k n , k e z ) y R f = <-oo,-1] u [l,+oo>, cuya gráfica es: 474 Eduardo Espinoza Ramos Las funciones trigonométricas son derivables en todo su dominio y. a) Por definición de la derivada tenemos: dy . . F ( x + h ) - F ( x ) T. senLc + M -s e n * r . senx cosh+eos xs et ih -s e nx — = Lim— ------ ------ — Lim---- ------- ---------- = L i m -------------------------------------dx h-> o h h->o h *->oh r■ senh ,1-COSh. /Av = Ltm cosjc.-------- senx(---------- ) = cosx (1) —senx (0) = cosx *->o h h b) Por definición de la derivada tenemos dy dx — = T. F(x + h ) - F ( x ) . . cos(.v + h) —eosx . . *-»o h *->o cosx.cosh-sen x .se n h - c o s j c h*-»oh L m i --------------------------- Lint ---------------- -------------- = Litfi--------------------------------------------------- Derivada 475 = . c) 1 -cosh senh L i m { - eos a : -------- — -) - sen x. ---------------------------------------------------------------------- )- eosx(0)- senx(l)= - senx *-»o h h dy „ .senx. eosx(senx) - senx(cosx) - j - = D y tgx = Z)v(------ ) = -------i------ ----------i------ dx cosx c o s 'x eos x. eos x + sen x. sen x eos" x c o s 'x + s e n * x 1 •> - = -------= sec' x cosx eos2 x d), e), f) Su demostración dejamos como ejercicio. OBSERVACIÓN.- Si y = sen u, u = f(x) funciones derivables en general dy = eos u dy du . Calculemos — mediante la regla de la cadena du dx = f'(x) dx y = sen u u = /(x ) y X 4axL = 4duL- dx ^ = cos por lo tanto: w =cos( / w ) - / ' w Sí ___ .__ i En forma similar se calcula la derivada de las demás funciones trigonométricas. 476 Eduardo Espinoza Ramos Corolario.- Si u = f(x) es una función derivable entonces: a) Si >•= sen (f(x)j -r> - f =cos{ A .v ))/’í,v) dx ' b) ' '' ’ '' , Si y “ cos(f(x)) => ~~ ~ ~ $ e n / {*))■/ ’(x) . t*x c> Si y = tg (í\x )) =s> d) Si y - ctg (fix)} => — ~ - m s e c 2( f ( x ) } . f (x) dx ' e> Si y - see ( % » f> Sí y = coscc (f(x)> 53> ax - see¿ ( f i x )}./’f.v) -> H = se c (/ü ')) tg(/(jc. ^~wsecxif(x))ctg(f(xyf(x} Ejemplos.- Hallar — sí: dx (l) y=sen(.v2 + e x ) Solución — = cos(x2 + ex )(x2 + e x) = (2x + e x).cos(x2 + ex ) dx y = tg(senx + cosx) Solución — = see2 (sen x + cos x ) D x (sen x + cos jc) = (cos x - sen x) see2 (sen x + eos x) dx (T ) v—cos(sen x + x 2) Solución — = -sen(sen x + .v2 )jDv(sen x + .v2 ) = -(eos x + 2.v).sen(sen x + x 2 ) dx Derivada (? ) 477 y =c tg(ex + Lux) Solución — = - c o s e c 2(ex + Lnx)Dx ( ex + ln x ) = - ( e x + —)cos e c 2(e* + lnx) dx x 4.13 DERIVACIO N DE LA S FU N CIO N ES TRIG ONOM ETRICAS] Antes de definir las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, daremos la definición de dichas funciones: a) Función Inversa del Seno: Arcoseno.- La función seno: y = f(x) = senx, no es inyectiva, por lo tanto no tiene inversa Pero si se observa el gráfico de la función f(x) = sen x en el intervalo n n T ’T se tiene que f(x) es estrictamente creciente. Por lo tanto a pesar que la función seno no tiene inversa, se concluye que para la 71 71 función definida por f(x) = senx, x e [ - — , —] si tiene inversa: Eduardo Espinoza Ramos 478 A la inversa del seno le llamaremos arcoseno por lo tanto a la función arcoseno de x denotaremos por: y = g(x) = arc.senx y definiremos por: ¡II donde Dg =[-1,1] y Rg = [ - y , y ] . La gráfica de la función arco seno es: De la definición de are. Sen x &yi(arc.scd) = t , x e £ -U ] Árcset!{se& y) - y . j e b) f:wm:+hm m +:¿:+h+< 2 2\ Función Inversa del Coseno: Arcocoseno.La función coseno: y = cosx, no es inyectiva por lo tanto para hallar su inversa haremos una restricción similar que la función senx. Entonces a la función coseno definimos por: f(x) = cosx, x e [0,tt] y a la inversa de la función coseno le llamaremos arco coseno y denotaremos por: y = g(x) = arc.cosx y definiremos como donde: D f = [-1,1] y R r = [0, n ] . La gráfica de la función arco coseno es Derivada 479 De la definición del ar.cosx se tiene: c) Función Inversa de la Tangente: Arcotangente.Arco tangente la función tangente: y = tgx, no es inyectiva, por lo tanto para hallar su inversa haremos una restricción similar a las funciones anteriores. Entonces a la función tangente lo definiremos por: n n F(x) = t g x , x > y a la inversa de la función tangente le llamaremos arco tangente y denotaremos por: y = g(x) = are.tgx donde D g = R definiremos por: y Rr = < n n > cuyo gráfico de la función arco tangente es: Eduardo Espinoza Ramos 480 d) Función inversa de la Cotangente: Arcocotangente La función cotangente: y = ctgx, no es inyectiva, por lo tanto para hallar su inversa, haremos una restricción en forma similar a la función anterior, entonces a la función cotangente definiremos por: • F(x) = ctgx, x e < 0 ,7t> y a la inversa de la función cotangente le llamaremos arco cotangente y denotaremos por y = g(x) = arc.ctgx y definiremos por: donde Dg =R y R g =< 0, n > . La gráfica de la función arco cotangente es: y = ctg x e) Función Inversa de la Secante: Arcosecante La función secante: y = sec x no es inyectiva , por lo tanto para hallar su inversa se hará una restricción en forma similar a las funciones anteriores. Entonces a la función secante definiremos por: F(x) = sec x, x e [ 0 ,y > u < y ,7 r] y a la inversa de la función secante le llamaremos arco secante y denotaremos por: y = g(x) = aic.secx y definiremos por: donde: Dg = < -» ,-1 ] u [ l,+ 00 > y Rg = [ 0 , - j > u < y , 7 r ] 481 Derivada La gráfica de la función arco secante es: f) Función Inversa de la Cosecante: Arcocosecante La función cosecante: y = cosecx, no es inyectiva, por lo tanto para hallar su inversa, haremos una restricción en forma similar a la función secante. Entonces 71 a la función cosecante definiremos por: F(x) Tí = cosecx, x e [— ,0 > u < 0,—1 y a la inversa de la función cosecante le llamaremos arco 2 2 cosecante y denotaremos por y = g(x) = arc.cosecx y definiremos por: Donde D g = < -o o -l]u [l,o o > y Rg = [ - y , 0 > u < 0 , y > La gráfica de la función arco cosecante es: 482 4,14 Eduardo Espinoza Ramos REGLA DE DERIVACION PARA LAS Sea u = u (x) una función derivable en x, entonces: Sí y -a rcseo « (x } © m © || p - Sí v = arc.coSu{x) => * Sí y = arc.tguíx) : © g il '■ Sí yârcxfgttlx} © Si y= are.secuíx.) | ,— - ¿ ^ 5 1 J l -»*<*) dy ~ - [~ S XL dK i+U-(X) % ' P © dx , \G2 )/ ^ 31 y ■ ÍíK * )Í^ » 20 f)“ i "• i............. dy Hallar — sí: dx Ejemplos.- (T ) ' y = arc. tg V 4jc2 -1 Solución 4x —— dy ü j 4x2 -1 -J4x2 -1 y = arc. tg^/4x -1 => — = — — = —--- - dx dy 4x dx 4 x 24 4 x 2 - 1 l + (V 4 x 2 - l ) 2 x ^ 4 x 2 -1 1+ 4 * - - 1 Derivada (¿ ) 483 y = arc.sen e x + are.sen- J \ - e„2* 2 Solución y = are.sene x + are.sen Vl - e 2x , derivando se tiene: e 2' dy Dxe x te e x_________ e 2x V l - e 2x é - e 2x ^ e x4 \ - e lx ,2x ex - J \ - e 2x + ^ i _ (, / r ^ V dy _ te D x 4 \ - e 2x ^ 7 e x________ e x - J l - e 2x - J l - e 2x e 2' _ Q=? d y =Q dx y = arc.sen (Lnx) Solución ,T dy D xLnx y = arc.sen (Lnx) => — = te 1 r = — ------ ■ J l - L n 2x x y l l - L n 2x x sen a . y = are. tg(--------------- ) 1 -x c o sa Solución D 4 , x sena . dy y = arc.tg(------------- 1 ■* 1 -x c o sa dx x se n a 1 -x c o sa ^ | ^ x sena 1 -x c o sa dy (1 - x eos a )(x sen a ) ' -( x sen a )(l - x eos a )' Tí (1 -x c o s a )* (1 - x eos a)sena + xsena eos a dx ( 1 - x c o s a ) 2 + x 2 sen2 a 1 - 2x co sa + x 2 eos2 a + x 2sen2a (1 -x c o sa )2 sena dy se n a l-2 x c o s a + x 2 dx l-2 x c o s a + x 2 484 Eduardo Espinoza Ramos n síiK'iffiyyyyyyyyyyyyyyyy.-ys\-Y.-Yy. h iM P u e im - Y A las funciones y = f(x) definidas en un intervalo se denominan funciones explícitas; por ejemplo; la función j/f(x )= x 2 y= f ( x ) = x 2 ,a las ecuaciones de las variables x e y denotaremos por: E(x,y) = 0. X 0 - Por ejemplo: La ecuación x 2 + y 2 = 2 5 , no es una función CJl E( x , y ) = x 2 + y 2 - 2 5 = 0 es decir, jc2 +>'2 = 2 5 , que nos representa a una circunferencia. definida en forma explícita, pero x 2 + y 2 = 25 Y ► 11 l1 \ \ l1 \\ 1 \ i y5 i // iL / x" entonces y = ± 4 2 5 - x 1 Es decir de la ecuaciónx 2 + y 2 = 2 5 , que no es una función definida en forma explícita; se puede obtener dos ecuaciones, cada una definida en forma explícita; por lo tanto una ecuación de dos variables E(x, y) = 0, de donde se obtiene dos o más funciones en forma explícita se denomina función implícita. En la ecuación E(x,y) = 0 muchas veces no es fácil despejar la variable y, por ejemplo: y 1 - 3 y 5 + l y l -.y -jc o s * = 0 •••(!) entonces para calcular su derivada se hace de la siguiente manera: como E(x, y)=0 se verifica para y = f(x) entonces remplazando en la ecuación (1) se tiene: Derivada 485 / 7 ( x ) - 3 f 5(x) + 1 f 2( x ) - f (x) + x e o s x = 0 ahora derivamos aplicando la regla de la cadena: 7 f 6( x ) . f ' ( x ) - l 5 f A(x).f' (x) +1 4 / (x). / ' (x) - f ' ( x ) + eos x - x sen x = 0 como y = f(x) => y ' = f ' ( x ) , entonces 1 y 6. y ' - l 5_y4./+ 1 4y.y'-y'+ eos x - x se n x = 0 /- 6 ( ly 4 —15jv + I 4 y - l ) y = x s e n x - c o s x j j j de donde . y = x sen x -eo s* 7y 6 - 1 5 y 4 + 1 4 y ~ l a este proceso de derivar se denomina derivación implícita. Ejemplo: Hallar y'= — sí dx x 3 + a x 2y + bxy2 + y 3 = 0 Solución x 3 + ax 2y + bxy2 + y 3 = 0 => 3 x2 +2ax y+ax2y'+by2 + 2bxy.y'+3y2_y'=0 3 x 2 +2a xy+b y2 +(ax2 +2 bx y +3y 2)y '=0 ( 2) /= * ^ b y +2axy ax +2bxy+3y x sen y - eos y + eos 2y = 0 Solución x sen y - eos y + eos 2_y = 0 => sen y + x eos y.>'' + sen >\y' - 2 sen 2y.iy ' (x eos y + sen y - 2 sen 2y)_y' = - sen y OBSERVACION.- ■’■ / = - sen y x eos y + sen y - 2 sen 2_y dy La derivada (— ) de la función implícita E(x,y) = 0, se calcula dx derivando término a término, considerando a y = f(x) como una función de x, y de esta ecuación despejamos y'= r dy^ Kd x , . Una forma más práctica para calcular ÿ — ecuación E(x,y)=0, es aplicando la fórmula siguiente: dy Kdx J de la Eduardo Espinoza Ramos 486 Donde E xx ( x , y ) es la derivada de E(x, y) = 0 con respecto a “x” donde a la variable “y” se le considera como constante y E' y(x, y) es la derivada de E(x, y) = 0 con respecto a “y”, y la variable “x” se le considera como constante. Ejem plo.- Hallar v '= — sí dx x 3 + a x2y + b x y 2 + y 3 = 0 Solución Sea E (x , y ) = x 3 +ax2y + bxy2 + y 3 => 416 E x ( x , y ) = 3 x 2 + l a x y + by2 y E y (x ,y) - a x2 + 2bxy+ 3y 2 dy E x (x,y) 3 x 2 +2 axy + by2 dx E Y(x ,y) a x 2 +2b xy +3y 2 dy dx 3 x 2 + 2 axy +by2 ax 2 + 2 b x y + 3 y 2 DERIVADA DE LA FUNCION DE LA FORMA y » (%x))m . Para calcular la derivada de la función ambos miembros, es decir: y = ( f ( x ) ) g(x), primero se toma logaritmo en Lny = Ln{J (x))s(x) = g { x ) L n ( f (x )). ahora derivamos implícitamente: — = g' (x)Ln(f(x)) + g ( x ). ^ -y^ - , despejando y' y /(* ) y' =y {g ' ( x ) L n ( f (x)) + g { x ) . £ £ k f(x) y ' = { f ( x ) ) g(x)[g'(x)JLn(f(x))+g(x).f(x) Derivada 487 ~ = ( / W ) s(v)_1 f ' ( x ) g ( x ) + ( f ( x ) ) gW g' (x)L„(f (x)) dx Ejemplo.- Hallar— sí _y = x senAr dx Solución Tomando logaritmo a y = xsenJr se tiene: Lny = LnxseDX = sen x.Lnx , . , . y T senx derivando se tiene: — = eos x.Lnx + ------y x dy — =x dx sen r / , , , , de donde , , , sen* y = y(cos x. ln x + ------- ) ' ' x Sen X x (cosx.lnx + -------) x 4.17 EJERCICIOS DESARROLLA DOS. - I Hallar — sí dx 1 +V1 - * 2 Solución A la función expresaremos en la forma: y = arcc° s x —[ln(l - y ¡ \ - x 2 )-ln(l + V l- * 2)], derivando aplicando la regla dy _ x 2Dx arccosx-(arccosx)Dxx 2 1 Dx ( \ - ' J \ - x 2) dx 2 x4 í-V l-x 2 - 2 x arccosx Vi - X 2 _____________ ^ J_ r V l - X 2 ______ Vi —X" x4 2 Í-V i-X 2 Dx (l + y ¡ \ - x 2 ) 1+ V l - x 2 Eduardo Espinoza Ramos 488 (x 2 + 2 xV l-x^ árceos x) + 1 j. xa4 ~ x2 2 V l- x 2 x (1 + —v/l —x2 ) x V l~ x 2(l + V l- x 2) 2V 1 - X 2 ( l - V l - x 2)(l + V l- x 2) x 3 V l- x 2 x +2-Jl-x2 arccosx x 3 V l~ x 2 x 1_arccosdy_x2-xx x-y/l-x 2 x 3 Vi —jc* j = ln(x + Vx 2 - 1 )- V TÎ Solución 1+ ¿y ^ Dx(x + Vx2 -1 ) X+Vx2 X (Vx2 - l ) 2 - 1 (T) w 2 x +Vx 2 rfy _ r+ - - 1 ) Vx2 - l ( x 2 - 1) r í 7 x2 V P^T — Vx2 - 1 __________ Vx2 -1 + Vx2 -1 Vx2 - l( x + V* de donde Vx2 -l(x )'-x (V x 2 -1 )' = x - Vx2 - 1 - 1 x2 - 1 x2 - 1-x 2 1 Vx2 - l ( x 2 - l) (JC2 - 1) 3/2 x2 (x 2 - 1 ) 3 / 2 y = — sen(5x2 ) - —senx 2 • 20 4 Solución — = — cos(5x 2)D v(5x 2) - —cos(x2)Dx(x2) =^^cos5x 2 - — cosx2 =-cos5x 2 - —cosx2 <¿t 20 4 20 4 2 2 1 X 489 Derivada (7 ) y = 1n(1+ ) + 2 arctgVsen x ' 1—v/senx Solución Antes de derivar, a la íunción expresaremos asi: y = ln(l + Vseñjc) - ln(l - V senx) + 2 arctgVsenx Ahora derivando mediante las reglas establecidas: C OSX d y _ D x(l+-Jseñ x ) dx D v(l-V se n x ) Dx*jsenx 1+Vsenx cosx ___ 1—Vsenx l+ (V senx)2 , 2-Jsenx 1+Vsenx \-4 s enx , 1-Vsenx+ 1 + Vsenx )x-i--------------------cosx ---------- ( -------- 2-Vsenx (l + -\/senx)(l- - J s e n x ) _ _ 2-^senx COS .Y eos x eos x -Jsenx(\ -s e n x ) (1 + senx)Vseñx 2 cosx V senx(l - sen2 x) _ 2 cosx (l + senx)Vsenx eos x ^ 1 + sen x +1 - sen x ^ Vsenx (1 - senx)(l + senx) _ ^fseñx(cos2 x) 2 Vseñx.cosx sen x - eos x >' = ---------------sen x + cosx Solución Derivamos mediante la regla del cociente: dy _ (sen x + eos x)Dx (sen x - eos x) - (sen x - eos x)D r (sen x + eos x) dx (senx + cosx)2 _ (sen x + eos x)(cos x + sen x) - (sen x - eos x)(cos x - sen x) (sen x + eos x )2 (sen x + eos x ) 2 + (sen x - eos x ) 2 (sen x + eos x ) 2 cosx, Vsenx 1+ senx Eduardo Espinoza Ramos 490 sen2 x + cos2 x + 2 se n x c o sx + sen2 x + cos2 x - 2 sen x cosx (sen x + cosx)2 2(sen2 x + cos2 x) 2 dy (sen x + co sx )2 (5 ^ (sen x + c o sx )2dx (senx +co >’ = (1 + Ln(senx))" Solución — = ii(l + Ln(senx))n ] D x(l + Ln(senx)) = n(\ + L ii(s e n x ) )" 1 ^ x SCnX dx sen x _ n cos-r ^| + ¿ /;(s e n ! sen x (? ) . ^ = 77ctgx(l + ¿«(senx ) ) " _1 dx X x2 y = (sen y - cos —) Solución dy x — = 2( sen dx 2 , x 4 ,, x x ..l. x x x% eos —) = 2(sen-----eos —)(—(eos—+ sen —)) x x eos —)D r (sen 2 2 2 2 X X X Xx 2 2 2 2 2 2 * 7 X 2 2 2 = (sen — eos—)(sen —+ cos—) =sen — eos- —= - c o s x CD _ a /x 2 2 r fv .\ — = - c o s x ¿x + 1 —/ x - 1 V x + 1 + Vx~~T Solución A la función y = / ( x ) . Expresamos en la forma siguiente: Vx+1+a/x-1 _ ( V x + T - V x - 1 ) _ (Vx + 1 - a / x - 1 )(Vx + 1 —s/x —1 ) (a /x + 1 + V x - 1) (Vx + l + V x - 1)(a /x +1-V x - 1) (V x T T - V x - l )2 x + 1 - 2i/x + l i / x - l + x - l 2x - 2-Jx2 - 1 r~, 7 V = ---------------------— - ---------- -------------------------= -------------------- = x - Vx~ + 1 (x + l ) - ( x - l ) x+l-x +1 2 Derivada 491 Ahora calculamos la derivada — , es decir: dx’ ' ® — =1------- — Vx2 +1 y = x 6( l- c o s 2 x ) 2 Solución Aplicando la regla del producto se tiene: — = x 6Dx (1 - eos 2x) 2 + (1 - eos 2x) 2 Dxx 6 = x 6 (2 sen 2x)2(l - eos 2x) + 6x5 (1 - eos 2x)2 dx = 2x5(1 - eos 2x)(2x sen 2x + 3(1 - eos 2x)) — = 8x5(2x eos x + 3 sen x) sen3 x dx 10) y .L n - y \ l + sen* Solución A la función dada la expresaremos así: y =\ ~ sen *) ~ + sen *)] ahora derivando de acuerdo a las reglas establecidas: dy _ 1 (1 -s e n x ) í/x D x(l + sen x)^_ 1 ^- c o s x 1-se n x 2 1 + senx 2 1 -sen x cosx 1 +senx ,1 + senx + l - s e n x . =—cosx -—(----------5------) =— -—.--- r—=— — 2 © 1 -s e n x 2 eos x cosx Vx 2 + o 2+ x x >' = l n ( / - 2 2 > Vx + a - x Solución A la función dada expresaremos en la forma: y _ ^ _ in(Vx2 V x2 + a 2 - x + a 2 + x ) - ln(-\/x2+ a 2 - x) cosx —2 =1¿/y-secx íit Eduardo Espinoza Ramos 492 ahora derivando mediante la regla establecida: D J s l x 2 + a 2 + x) / 2 , 2 . V* +a +x D x (-Jx2 + a 2 - x / 2 +, a 2 - x Vx 1 2 . 2 . Vx + a + x x + Vx2 + a 2 x - J x 1+a2 Vx2 + a 2 (Vx 2 + a 2 + x) -Jx2 + a 2 (Vx2 + a 2 - x ) 1 1 2 r + - Vx2 + a 2 12) Vx2 + a 2 dy - Vx2 + a 2 • Vx2 +a2 ¿x Vx2 + a 2 .senx + cosx, y = arctg(----------------- ) sen x - eos x Solución Aplicando la regla de derivación del arco tangente: sen x + eos x dy _ dx *^senx-cosx^ i | (Senx + co ss 2 sen x - e o s x (senx -cosx)(senx+ eosx)Msenx+ eosx)(senx - cosx)' _________________ (sen x-cosx )2_________________ (sen x-cosx) 2 +(senx+cosx )2 (sen x-cosx )2 _ (sen x - eos x)(cos x - sen x) - (sen x + eos x)(cos x + sen x) sen 2 x + c o s 2 x - 2 sen x eosx + sen 2 x + cos2+ 2 senx cosx - ( s e n x - c o s x )2 -(s e n x + cosx )2 2 sen2 x + cos2 x - 2 senx eos x + s e n 2 x + cos2 x + 2 se n x c o sx 2 2 dx (Í5 ) y - Varctgx -(a re se n x )3 = -1 . Derivada 493 Solución Aplicando la regla de la potenciación dy D x arctgx — = —7 = dx 2^/arctgx ^ 1 3(arcsenx)2 2 (l + x 2)Varctgx V i- * 2 „ dy _ 14) 1 3(arcsenx) D x arcsenx = ------- — ,, . 2(1 + x ^ arctgx y i - x 2 .■■— . 3 . x2 (arcsenx) ______ 2 i______ >' = y V x 2 + a 2 + ^ - L n ( x + 4 x 2 + a 2 ) Solución Derivando mediante los criterios establecidos: ■» - * n ,/^TTT . tZ oxX. * 2 2 * jj¿ +«*> 2 , + = _ ¿ 1 _ + : £ ± Z + £ L [! ! 3 S Z ] 2 ,/T T ? 2 2 x+4 ? 7 7 ~ 2x 2 + a 2 a2 . 2-Jx2 + a 2 ^ x +4 x 2 + a 2 + - - ( • _ — = ----r -y/jc2 + a 2 (x + Vx2 + a 2 2 (xz + a 2) = — .... =V x¿ + a 2V ?^V g) 2x 2 + a 2 a2 - ) = r- +2-\/x2 + a 2 2^|x2~+a2 l~2 2"dy l 22 = Vx + a * .v = t g ( / " (<" ct^ ' 3>) Solución Antes de derivar aplicamos la propiedad: e ln“ = a e ¿»(ore.tg 3> = arc.tgx 173 dedonde Ahora derivando se tiene: y = tg(eÍB(aretEJr* 3)) = tg(arc.tgx1/3) = x 1/3 — = —-----í£c 494 16J Eduardo Espinoza Ramos 4 a - b senx. y = arctg(— ----------------) b + a. cosx Solución Derivando mediante la regla del arco tangente: 4 a - b 2 Sen r dy _ dx ° x b + a.eos* J^2 ( b + ac os x)Dx sen x - sen xDx (b + a eos x) = ____________________ (b+a.cosx)2____________ . , 4 a 2 - b 2 sen a: , (b + acosx)2 + ( a 2 -Z r)sen 2 x l + (--) ---------------------------------------------------- j ------------b + a.cosx (b +a c os x) 4 a 2 - b 2 [(b + a eosx) eosx + a sen 2 x] b 1 +2abc as x + a 2 eos 2 x + a 2 sen 2 x - b 2 sen 2 x 4 a 2 - b 2 (¿>eos x + a eos2 x + a sen2 x) b2 + l a b eosx + a 2 eos2 x + a 2 - a 2 eos2 x - ¿ 2( l-c o s 2 x) 4 a 2 ~ b 2 (a + b.eosx) _ 4 a 2 - b 2 (a + b eosx) b" + eos x + 2abcosx + a (a + b cosx) dx II. (l) dy _ 4 a 2 - b 2 Si y = f(z), z = g(x), calcular dx" Solución d~ v Para calcular — aplicaremos la regla de la cadena dx~ dy _ dy dz dx dz dx Ahora calculemos la derivada de la ecuación (1) a + b .c 495 Derivada d 2y _ dy d 2z dx2 dz ' dx2 dz d dy dx 'dx dz d y ^ z ^ x dy dy dz ’ dx dz d ,dy dz dz dz dx d 2y dz d z 2 dx ± (± ) = £ i . i dx dz dz dx ...(3) reemplazando (3) en (2) se tiene: ^—y = — .^—^- + ^—y . ( — ) 2 dx dz dx dz dx •••(4) y = m como d 2y dy = / '( * ) dz dz 2 = /" ( * ) ...(5) => z = g(x) dz dx d 2z = * ’(*) = g"(x) dx2 Ahora reemplazando (5) en (4) se tiene: = f ( z ) . g " ( x ) + f " (z).(g'{x))2 dx © Sí /'(* ) = s e n * 2 e p dy = d y _ t e donde dx dz dx / ( — ——) . Calcular x +l dx y =m 2 x —l z = ------x+l dy = / '( * ) dz dz 3 dx (x + l) 2 dy dz 2 3 3 , 2* ~ lx 2 — = / (z )— = senz .-------- - = -------- -.s e n (------- ) dx dx (* + l) (x + l) x +l Eduardo Espinoza Ramos 496 dy 3 2 x -l 2 — = ....... v -sen(--------) dx (x + 1)2 x +\ Hallar f ' ( x ) sí f ( x ) = sen3 (sen2 (senjc)) Solución Aplicando la regla de la cadena se tiene: / ( x ) = sen3 (sen2 (sen x)) => f ' { x ) = 3 sen2 (sen2 (sen x ) ) D x sen(sen2 (senx)) f ' ( x ) = 3 sen2 (sen2 (sen x))cos(sen2 (senx)).Dx sen2 (senx) -.(1 ) D x sen2 (sen x) = 2 sen(sen x ) Dx sen(senx) = 2 sen(sen x ) .cos(sen x) eos x D x sen2(senx) = 2 sen(senx ) cos(senx ) eosx = sen(2senx)cosx ...(2) Reemplazando (2) en (1) se tiene: / ' (x) = 3 sen2 (sen2 (sen x)).cos(sen2 (senx)).sen(2 sen x) eos x 2 (!) Dada la función / (x) = 1 x sen —+ x, x 0 , x*0 „ . Demostrar que / (0) = 1 x=0 Solución ~ * Por definición de derivada se tiene: a a a ;• /-----------( 0 + A ) - -------------------= /(0 ) m - hm 0 / (0) = lint h->0 h h-*0 h / - . / m 1 h,2 sen — + hj, f = l i m --------- *-------- = l im(hsen—) + l = 0 + 1 = 1 *->o h *->0 h NOTA.- V h * 0 , - l < s e n —< 1 , h - h < h s e n — <h h lim{-h)< lim /¡sen —< lim(h) ; de donde h—>0 h—>0 h h-*0 l i m (- h ) s e n ~ = 0 h—>0 h / ’(0) = 1 497 Derivada (? ) x 5/2 sen —, x 0 , Sea f ( x ) = x*0 „ , „ . Hallar / ( O ) x=O Solución Por definición de derivada se tiene: n0) = n m O puesto que: = nm h->0 h 1 h15/2 sen— = lirn — - lim //3/2 sen — = 0 *-»O h />->() h h - l < s e n — <1 => - / i 3' 2 < /r3' 2 sen — < /¡3/2 h h l i m ( - h 3l2)< lim h 3' 2 sen —< lim A3' 2 a -» o /¡-»o /j A->0 0 < lim /?3,2 sen — < 0 A—»0 /z luego: lim Ir"2 sen— = 0 , por lo tanto: A->0 (7 ) /í Dada la función / (x) = f ' (0) = 0 ax' + b , x< \ 1 . Hallar los valores de a y b de tal forma que , X > 1 f ' (x) exista Solución ax2 +b , x < 1 Como para x > 1, se tiene [x| = x entonces: / (x ): l x mediante derivadas laterales en x = 1 se tiene / (1) = 2 ax |x=1 = 2 a 2a = - l= > a = — 2 X“ , X> 1 Eduardo Espinoza Ramos 498 además de ser continua en x = 1 entonces: como (l) lim f (x ) = lint f ( x ) => a + b = 1 1 1 . , , 3 a = — = í > ----- i-o = l => b = — 2 2 , 1 , 3 por lo tanto: a = — ; b = — 2 2 2 Hallar A, B y C para que la función que se da, sea continua en -2 y derivable en 3 Ax + 5 , x < -2 , -2< x< 3 f ( x ) = B x 2 +cx A x 2 + Bx , x >3 Solución Para que f sea continua en x = -2 se tiene: lim f (x) = lim f ( x ) x-> -2~ x —>—2+ lim A x + 5 = lim Bx~+c x x -* -Y x-> -2* - 2A + 5 = 4B - 2C de donde 2A + 4 B - 2 C = 5 Para que f sea derivable en x = 3 debe 3 / ' (3) 3 / '( 3 ) « f _ (3) = f +(3) 2Bx + C |a=3 = 2A x + B\ r=3 => 6B + C = 6A + B de donde 6 A - 5 B - C = 0 ...(2) como f es derivable en x = 3 <=> f es continua en x = 3, si f es continua en x = 3 entonces se tiene: lim f (x) = lim f (x) x-> y entonces x —>3* lim Bx2 + Cx = lim A x 2 + Bx x —>-3“ 9B + 3C = 9A + 3B de donde 9A - 6 B -3 C = O .r->-3+ 3 A -2 B —C = O .(3) 2A + 4B - 2 C = 5 luego 6A-5B-C =0 3A-2B-C = O (8 ) Sea f(x) = resolviendo el sistema se tiene: A = — = B = C 4 3 —4(jc —1) si x < 2 x-3 six > 2 probar que f es continua pero no derivable en x = 2 Derivada 499 Solución La función f es continua en x = 2 sí y solo sí lim f (x ) = lim f (x) y además 2 e D f x->2 ' -v—>2+ lim 3 —4(jc —1)“ = lim x - 3 =-1 x— >2 x— »2 Por lo tanto lim f ( x ) = l i m f ( x ) y 2 e D r *->2“ ' x^>2* ' ' Luego f(x) es continua en x = 2, ahora probaremos que f(x) no es derivable en x = 2 í/'(2) =-8(x-l)|,=2=-8 En efecto: / i ( 2 ) * / ] (2 ) [/lw =i como f [ (2) * / ] (2) => 3 / '( 2 ) por lo tanto la función f(x) no es derivable en x = 2 ,\x\> 2 Hallar los valores de a, b, c para que la función: / (jc) = l * f . ax~ +b x+c continua en x = 2, y derivable en x = -2 Solución |x |> 2 o x > 2 V x <-2 además |x| < 2 o -2 < x < 2 a la función f(x) lo expresaremos en la forma: , x<-2 -x J'(x) = a x2 +bx + c 8 —r la función f(x) , -2< x< 2 . , x>2 es continua en x = 2 si lim f x —> 2 (jc) = lim f ( x ) = f a -—> 2 fl 7 lim ——= lim ax" + bx + c , de donde 1 = 4a + 2b + c x— >2* x x— >2 (2) , | jc | < 2 Sea Eduardo Espinoza Ramos 500 la función f(x) es derivable en x = -2 si 3 / ' (-2) y 3 / ' (-2) <=> /_ (-2) = f +(-2) 24 ...(2) í=_2 = 2ax + ¿ | jr=^2 de donde como f(x) es derivable en x = -2 => f(x) es continua en x = -2, si: lim f i x ) = lint f ( x ) , - 2 x-> -2~ a gDf - > - 2 + lim — - = lim a x2 +bx +c entonces *->-2~ x *-> 2* luego se tiene: ...(3) 4a+2b+c = \ 3 5 - &a+2b =3 resolviendo el sistema se tiene: a = — , b = 0, c = — 8 2 % -2 ¿+ c= l 3 . 1 ax +4x , x < — Si la función f está definida por : / (x) = ¿x -3 , x> 2 Hallar los valores de a y b para que f sea derivable en todo R Solución La función f(x) es derivable para x < - - y para x > - i- ahora veremos si es derivable en x = , por lo tanto f(x) es derivable en x = —i- si 3 / ' ( - —) 3 / ' (—-) => f i (-Í-) = /+ ( - “ ) entonces 2 2 2 2 .(1) si f(x) es derivable en x = 3 lim f i x ) <=> t - al evaluar se tiene: v_ » _ l / 2 (3ax2 + 8x) | lim -v — 1/ 2 2 2 , luego f(x) es continua enx = - — si lim f ( x ) = / ’( - —) 2 jc— >-i/2 ‘2 /(x )= lim a' > 1 /2 fix) Derivada 501 lim (ax3 + 4x 2)= -V—>-1/2~ lim (b x -3 ) Jr—>—1/2+ - - + l- - - 3 = > -a + 8 = -4 6 -2 4 8 2 => \ 3 a - 4 b = 16 luego se tiene: < , de donde 1 a - 4b = 32 & - 4 b IB ... (2) 2a = -16 => a : S ia = -8 => b = - —— = —- —— —■= —10 . Por lo tanto b = -10 4 4 La respuesta es: a = -8 y b = -10 © sea f ' ( x ) = Calcular A y B para que la derivadas de: / (x) = V 4 -x 2x ( 4 - x ) 3/2 Solución f ( x ) = ^¡X~- ^ , derivamos mediante la regla del cociente V 4 -x J \X) J 4 - x D v( A x + B ) - ( A x + B ) D x* j 4 - x _ ' (V í^ )2 -A r+8^4 + 3 => -------------r v 2(4 —x) 2x = --------- r r -y4x+8/4 + 5 Hallar /'(O ) si / ( x ) = 2A(4-x) +Ax+B 3/2 4-x 2(4—JC) „ => ------------------ = 2 x (4 -x )2 -Ax + 8A + B = 4x, ahora por identidad se tiene: 12) 2^4-x A =4 SA + B = 0 A = -4 ^ B =32 x 3 -3 x 2 + 2 x -6 x2-2 x -3 Solución Calculando la derivada de la función f(x) por medio de la regla del cociente: Eduardo Espinoza Ramos 502 x 3-3 x 2 + 2 x -6 , 3 x -9 / ( x ) = ------ , _ -----— = x - l + x 2 -2 x -3 x 2 -2 x -3 P ( x ) - 1 i 3(*2 - 2 x - 3 ) - ( 3 x - 9 ) ( 2 x - 2 ) (x 2 - 2 x - 3 ) 2 / ’(x) = l + 18* 3x2 27 => / '( 0 ) = 1+ —— (x - 2 x - 3 ) (0 —3) luego si: 13) f ( x ) = - — 3x +2x 6 (x 2 - 2 x - 3 ) ‘ = 1 —3 = - 2 y (O) = _2 Si / (x) = 4 tg 3x + Vi + 2x3 , Hallar / '( 0 ) = 0 Solución o prrr ^ Como se conoce que: / M ; D J t g 3 3x + Vl + 2x3 ) 2 / '( 0 ) = Í W ^ , 0 +Q 2 m 14) D yU(x) Si y = -Jit(x) =>— = — -----dx 2,]u(x) V O + V 1 - 9 tg 2 3xsec2 3x + Vl + 2x3 ■ 2T/tg3 3x + VT+2x3 / ' ( 0) = 0 = j =0 + O 2 un dy . 1+ sen2 x 3 Hallar — si y fifr ’ l + cos3 x 2 Solución Aplicando la regla del cociente se tiene: dy 0 + cos3 x 2 )O v(l + sen 2 x 3) - ( l + se n 2 x 3)D v(l + cos3 x 2) (1 + co s3 x 2) 2 Derivada 503 6x2 sen x 3 co sx 3(l + cos3 x 2) + 6xcos2 x 1 sen x 2(l + sen2 x 3) (1 + cos3 x 2) 2 x 2 +x + l 15) Dada la función f definida por: f (x) ■ . . , si x < 1 x +a x 3 +fct2 - 5 x + 3 , si l < x < — Hallar el valor de a y b para que f sea diferenciable en < Solución 2 La función f\ (x) = ——+ x + ^ y f 1(x) = x i +bx2 - 5 x + 3 son diferenciables en sus x +a dominios respectivos como f debe ser diferenciable en x = 1 entonces: debe 3 / '( l ) entonces /_ (1) = f +(1), donde: f ' /lv _ x 2 + 2ax + a - l , (1 ) ? _ 3a \x = l — (x + a)~ T (1 + fl) f i (1) = (3x 2 + 2bx - 5) |x=1 = 2b - 2 como f j l ) = f i ( l ) => -3a , = 2 b - 2 (a+1) si f es diferenciable en x = l x=l o ...(1) f es continua en x = 1, la función f es continua en 3 limf ( x ) = /( l ) JC— >1 3 lim f ( x ) <=> lim f ( x ) = lim f (x) A-»f jt-»i .r—>r lim X -V— >1 — = lim x 3 + bx2 - 5 x + 3 , de donde x +a lu e g o — — ■= 2 b - 2 (o + l) 2 y - - = b —\ 1+ a =b- 1 .v->r1+a ...(2) Eduardo Espinoza Ramos 504 3a de donde (a + 1)2 16) ■2 => a = 2a + 2 1+ a Hallar f \ x ) , si f ( x ) entonces a = -2 y b = -2 a+1 x 2 +1 x 2 +2 Solución x~ +1 = (dividiendo) 1- x 2 +2 x 2 +2 x 2 +1 x ? +2-i 1— x +2 como V x e R , i ■< 0<x~ +2 sumando x 2 +1 x = 1+ -1 por propiedad 2+x‘ > 0 = > x “ + 2 > 2 > 0 invirtiendo - => - i < <0 2 2 x +2 1 1— < 1 ---- ------ <1 => - < 2 x +2 2 x ¿ +l < 1, de donde: x 2 +2 = 0 => f(x) = 0 => / ' (x) = 0 , V x e R +2 Calcular f ' ( x ) , si / ( x ) = [ |x |] + [ |- x |] Solución / ( x ) = [ |x |] + [ |- x |] = 0 , six e Z -1, s i x í Z por lo tanto f es diferenciable V x í Z entonces f(x) = -1 de donde f ( x ) = 0, V x e Z Calcular f ' ( x ) , si f ( x ) = [ |x + [ |x |] |] Derivada 505 Solución Por la propiedad [| x + n |] = [| x |] + « <=> n e z como [| x |] e Z => [|* + [|* |]|] = [ |* |] + [ |* |] = 2 [|x |] luego V x e z, / ( x ) = 2[\x\] => f ' ( x ) = 0 19) Si f ( x ) = tg(AS(^n X) + sen2 (x eos 2 x ) . Hallar / ' Solución Calculando la derivada de acuerdo a las reglas establecidas: ... . 2/J fs e n x .^ .x se n x , . , „ x f (x) = sec (— - — )DX(— - — ) + 2 sen(x eos 2x)Dx sen(x eos 2x) y , x sen x . . x eosx + senx . , _ , . _ w _ _ _ = sec (— - — )(-------- --------- ) + 2 sen(x eos 2x) ,cos(xcos2x)(cos2x-2xsen2x) f ' (—) = sec2 — (—) + se n (-—) eos — (eos n - n sen n) = 1 + 0 = 1 2 4 2 2 2 20) f (—) = 1 2 Si x 3 + y 3 = 8xy Hallar Dxy Solución Derivando implícitamente se tiene: 3x2 + 3y 2D xy = 8_y + 8xDxy donde despejamos D xy = — ---8x-3_v • , • • . dy E x ( x,y) . aplicando el otro criterio de: — = --------------se tiene: dx E y (x, y) sea E (x , y ) = x + y - i x y E x (x ,y) = 3 x 2 - 8 y dy _ Ex (x,y) _ 3x2 - 8 y _ 3x2 - 8 y dx Ey (x,y) 3_y2 - 8x 8 x -3 y 2 . y E y (x,y) = 3_y - 8 x _ dy _ 3 x 2 - 8y dx 8 x -3 y 2 Eduardo Espinoza Ramos 506 Si s e n ( v - x 2 ) - L n ( y - x 2 ) + 2 J y - x 2 - 3 = 0 . Hallar — dx Solución Sea E( x ,y ) = s e n ( y - x 2) - L n ( y - x 2) + 2 ^ y - x 2 - 3 .derivando _ t , 2w a . ~2x 2x „ . E x (x, y) = cos(y - x )(-2 x )--------- ----- = -2 x cos(y - x ) + y~x2 - J y - x 2 ' E x (x,y) = - 2x 2x y -* 2 V - -2x ( y - x ) 2 c o s ( y - x 2) + 2 x - 2 x - J y - x 2 y-x2 E,(x,y>=a * y - x ' ) - ^ - r + *— = —X sjy-x2 y~x - 2 x ( y - x 2 ) c o s ( y - x 2) + 2 x - 2x^1y - x 2 dy _ E x (x,y) _ dx £ ,,(x ,y ) _______________ y - x z________________) ( y - x 2) c o s ( y - x 2) - l + -y /y -x 2 t/y _ 2 x [ ( y - x 2) c o s ( y - x 2) —l + -^/y—x 2 ] _ ^ 22J - ^ =2 ( y - x 2)c o s ( y - x 2) - l + - J y - x 2 Si x 2 sen y + y 3 c o s x - 2 x - 3 y + l = 0 . H a lla r -^ Solución a Sea E ( x , y ) = x 2 s e n y + y 3 c o s x - 2 x - 3 y + l .derivando: £ v(x,y) = 2 x s e n y - y 3 s e n x - 2 y £ y (x,y) = x 2 cosy + 3 y 2 c o s x - 3 dy _ E x ( x,y) _ 2x sen y - y 3 s e n x - 2 dx Ey (x,y) x 2 cosy + 3 y 2 c o s x -3 x2 Derivada (23) 507 Hallar y ' = — si tg(x2 + y 2) + e x' +e y2 = 0 por dos métodos que se han establecido. dx Solución Aplicando el primer criterio se tiene: derivamos la ecuación tg(x2 + y 2) + e*2 + e }" = 0 sec2(x 2 + y 2)Dx( x 2 + y 2) + e x D xx 2 + e y Dxy 2 = 0 sec2(x2 + y 2)(2x + 2y.y') + 2xe*2 +2 y.y'ey2 = 0 2>’sec2(x 2 + y 2)y'+2yer y ' = - ( 2 x s e c 2( x 2 + y 2 ) + 2xex2) 2y(sec2( x 2 + y 2ey2 )y'= -2x(sec2( x 2 + y 2) + ex¡) . dy _ _ x ^.sec2(x 2 + y 2) + e x2 ' dx y sec2( x 2 + y 2) + e xl Ahora aplicando el segundo criterio se tiene: Sea E ( x , y ) = tg(x2 + y 2) + e x' +e r .derivando E x (x ,y) = 2xseo.2( x 2 + y 2) + 2 xex y E y (x ,y) = 2 x s z c 2( x 2 + y 2) + 2 y e y dy E (x, y) 2x(sec2(x 2 + y 2) + e x‘ ) como — = -----— -----= —------------------ —-------- dx E y (x ,y) 2y(sec2 ( x 2 + y 2) + e y2 _ dy _ _ x ^.sec2(x 2 + y 2) + e x¡ dx '24) y sec2( x 2 + y 2) + e yl Hallar ^ si y = (x 2 + l)sen* dx Solución Tornando logaritmo a ambos miembros: ln_y = ln(x2 +1)sen v = sen x ln(x2 +1) Eduardo Espinoza Ramos 508 ahora derivando implícitamente se tiene ____=>_ y'= v[senjc.— „ 2x + cosx.Ln(x2 +1)] y' = senx.DxLn(xl +l) + L n( x¿ + l ) D x senx y ' ' ‘ x +1 dv , ■> . , sen r ,2 x se n x 2 — = (x +1) (— ------ + cosx.£w(x +1)) ¿X X‘ + l — = (x 2 + l)senA_I2 x senx + (x 2 + l))senjr eosxLn{x2 +1) dx 25j Hallar — si y = x C0SJr dx Solución Tomando logaritmo en la ecuación y = x C0SX ln y = ln x C0SJr = c o sx ln x derivando implícitamente y* — = eos x.DxLnx + Lnx.Dx eos x de donde , r cosx , , COSA-r cosx . , y = vi---------lnx.senx] = x [— -ln x s e n x ] x x 26) Hallar — si dx v = x Lnx Solución Tomando logaritmo en la ecuación y - x Lnx ln y = ln(xlnx) = ln x .ln x derivando implícitamente: dy COSJ:rcosx , n =x [--------- lnx.senx] dx x Derivadas 509 Solución Tomando logaritmo a ambos miembros l n x y = ln y* aplicando propiedad de logaritmo y Ln x = x Ln y derivando implícitamente y ' \ n x + — = lnj>+—y' de donde ( l n x - —) y ’= l n ^ - — x y ' y x y ln .v -x y , 0, 28) u „ Hallar ,_x\ n y - y .y — x y fx l n y - y s => y — ( -) x ylnx-x dy y x i a y - y ——— i dx x y l n x - x dy . x 2sjx + 1 — si y ~ dx ' (x - l ) 3Z]5x-\ Solución Tomando logaritmo y aplicando sus propiedades: ln y = ln (— X -- / r —— r) =lnxtyx + l —ln(cjc —1)3^5jc —1) ( x - l ) ZfSx-l ’ ln y = lnjc2 + I n ^ x +1 - ln(x - 1)3 - I n ^ S x - l ln y = 2 ln x + 1n(jr +1) - 3 ln(jc -1 ) - j ln(5x -1) y’ 2 1 3 1 . . . , r2 1 — = — i------------------------------ de donde y = y[—+: y x 2(x + l) x - \ 5 x - l x 2(jc + 1) dy _ dx 29) ' J x 2-Jx + 1 j-2 + (x - 1 )3a/5x-1 x Hallar & dx 1 2(x + l) 3 x-l 1 5je-1 si y = X ..arctgx ' 1+*2 Solución Tomando logaritmo y aplicando propiedades: 3 jc-1 1 5 x -l Eduardo Espinoza Ramos 510 1n y = ln(X arctk * ) = ln x 2 + ln . arctg jc - ln(l + x 2) 1+x~ y' 2 1 2x , 2 1 2x — = - + ------- ---------------------- dedonde y = y [ - + — ,--------------------- j ] y x (l + x )arctgx l + x x (l + x )arcAgx l + x dy _ x ~are. tg x 2 + dx 30) l+ x2 x 1 2x (\ + x 2 )arc. tg x l+x2 u ,, dy . (x + l)3^ ( x - 2 ) Hallar — si y dx ‘ ■' ^/(x —3)2 Solución Tomando logaritmo y aplicando propiedades: (x + 1) 3^ ( x - 2)3 3 2 V ( x - 3)2 4 5 Z,«y = L n ------ , ■■ -----= 3Ln(x + 1) + —Ln(x - 2) — Ln(x - 3) y' 3 3 2 i - = —— + — ----------------- dedonde y x + l 4(x - 2) 5 (x -3 ) 31) dy (x + l) 3^ /( x - 2 ) 3 3 ^ ^ /(x -3 )2 X+ 1 , 33 2 / = _y[—— + ------- ------- -----— ] x + l 4 (x -2 ) 5 (x -3 ) 3_______ 2 4 (x - 2 ) 5 (x -3 ) dv . (x + l)(2 x -3 )1/2 Hallar — si y = dx l¡3x - 2 Solución Tomando logaritmo y aplicando propiedad: 1/2 l n y = l n (* + 2 i(2 x ~ 3)— = ln(x + 2 )(2 x -3 )1/2 - ln ty 3 x - 2 ' V 3 x -2 ln y = ln(x + 2) + l n ( 2 x - 3 ) 1/2 - l n ( 3 x - 2 ) 1/3 511 Derivadas ln y = ln(x + 2) + —\n(2x - 3) - j Ln(3x - 2) y 1 - + — 1— de donde 1 Jy j= y[-----------------^ • r 1 +- x +2 2x-3 3x-2 . d y _ ( x + 2 ) ( 2 x - 3 ) 1/2 dx l¡3x-2 x +2 EJERCICIOS PROPUESTOS.- I. Calcular las siguientes derivadas, usando la definición ^ = (D A ( x ) = —f = = slx + 2 ® f(x) (4 ) f(x) =4 4 - x 2 =x-Jx +1 2x-3 1 3x-2 1 | 1_______1 _ x +2 2 x - 3 3 x - 2 418 ^ 1 - y - -13 R p t3 ' (3x-2)2 f ' (X)z -1 Rpta. f'(x)-- 2(x + 2)3/2 Rpta. /'(* ) = 3x + 2 2^1'x +1 X Rpta. f ' ( x ) ~ © f ( x ) = l]2x + 3 Rpta. f (x) = 'J4 --X2' 2 3(2x + 3)2/i (ó ) (7 ) (?) f(x) =43- 2 x f (x) ——~z----x +] f(x) = -fL = *Jx +1 1 Rpta. / ' (x) - 43-2x Rpta. f \ x ) - 4x ( x 2 +1)2 Rpta. f'(x ) = 1 2 ( x + l ) 3 /2 512 Eduardo Espinoza Ramos Cx + D x3 +l (Cx + D ) 2 „ . ... . 2x3 -1 a f(x)=4ax+-jL= Vox R pta. / '( x ) = — ^ 2-fax 2^ 13) f(x)J a2+x2- Rpta. /'(* ) = -14; /w ”^ 15} f(x)= -^~ 2 x -l Rpta. / '( x ) = 16) f(x) =¥ Rpta. / ’(x) = 3XLn3 17) f(x) = cosx Rpta. / ’(x) = - sen x 18) /(x )= l± ^ 3 -2 x II. Calcular la derivada en el punto indicado usando la definición © (T ) 7 /(x )= V l + 9 x , a = 7 f= = .a=3 -Jlx + 3 / ( x ) = —+JC+ X2 . a = -3 2 x-Jax ^ R p ,a- ^ 1 “ (2 x - l)2 Rpta. / ’(x )= (3 -2 x )2 Rpta. f ' { a ) = ^ ~ 16 Rpta. / • ( a) = - J 27 Rpta. / ’(a) = - ^ 9 12 513 Derivadas © f ( x ) = (x2 +x)2, a = 2 Rpta. f ' ( a ) = 60 © f ( x ) = V *2 - 4 , a = 5 Rpta. / ’(a) = © f(x) = © © © /(* ) = Rpta. , a = -e -Jl-3x 250 Rpta. / - ( a ) - - - , a= 1 / ( jc) =| J c - ll3, a = 1 Rpta. f ' ( a ) = 0 / W = -p - -1 , a = 4 Vx Rpta. /'(« ) = - — f ( x ) = J x 2 - 9 ,a = 5 "> nx)’ i ñ - * - 2 Rpta. /'(a ) = -11 Rpta. /'(« ) = - i f (x) = 3 -V 5 + x , a = -4 Determinar, cuales de las funciones siguientes son derivables en los números dados por -Jx © f'(a) =---- lW 5 + llx ÍO) III. V 2l , x<4 f(x) , X0 = 4 2 (x -8 ) © f(x) = 7Ü I , x> 4 -Jl-x © f(x)=\x2 -4 \ , x0 = 0 ,x0 = 2 a x 0 = - 2 © ,x< 1 >Xn =1 /(* ) = (1 - X ) 2 , X> 1 514 Eduardo Espinoza Ramos ,x < 1 Vm © © © fix) = , *0 =1 x2 , X>1 x2-4 ,x < 2 © /(x )= V U H U II. , x„ = 2 /(*)=• Vx-2 , x>2 1x + 2 1 ,x < 0 / w =• 2 - 2 x 2 , 0<x <2 , x 0 = 0,2 x 2 - 4 x + 2, x > 2 © / ( x ) = | * - 3 |3 ( x - 3 ) + x 3 x — , x0 =3 s/ x < -1 /(* ) = , *0 = - ! -1 - 2 x IV. (? ) sí —1 Problemas de diferenciabilidad. Calcular los valores de a , b y c para que la función: — Ix | fix) ■ si | x | > 2 sea continua en x = -2 y diferenciable en x = 2 ax 4 bx + c (T ) jc > si \ x \ <2 Calcular los valores de a y b de la fimcion f para que sea derivable en x = 2 fix) = J -3 x \ax+b , si x < 2 , si x > 2 Rpta. a = -12, b = 12 3 5 - 1- 4 ' , Derivadas (T ) 515 Halle los valores de a y b tales que f sea diferenciable en 2 sí: [ax + b , si x < 2 f (x ) = \ . ' \2x -1 ,si x > 2 Rpta. a = 8, b = -9 © Sí f ( x ) =j x - 8 1 (x - 8 ) . Hallar los puntos donde f es diferenciable. (? ) Si f ( x ) = \ X [ax + b si x < 1 Encontrar los valores d e a y b ta lq u e f ' ( 1) existe. si x > 1 Rpta. a = 2, b = -1 (ó ) Hallar los valores de a y b de manera que exista / '( 2 ) sí: f ( x ) ax+b, si x < 2 x 2 - 3 , si x > 2 Rpta. a = 4, b = -7 0 1X ax~ +b, si x < \ 1 sea — , si x > 1 .1*1 1 3 R pta. a = — , b = — 2 2 Hallar los valores de a y b, de manera que la función: derivable en todo su dominio. © f(x) ■ Hallar las constantes m y n de tal manera que la función / ( x ) = x 1 +mx + 3, jc < —1 - 4 m x + n , x > —1 sea derivable en x = -1. 10^ Rpta. m = 2, n = 10 Sea f la función definida como: f { x ) = Í3—x, x < l , donde a y b son constantes. [ax +bx, x > 1 i) ¡i) ’seaderiv Rpta. a = 2, b = 1 en todo su dominio. © X<1 Hallar los valores de a y b de manera que la función: / (x) = < [ax + b, x > l Si la función es continua para todo x ¿Cuál es la relación entre a y b? Determinar los únicos valores de a y b que hacen a f continua y diferenciable. Eduardo Espinoza Ramos 516 Si / ( x ) = | x - 3 | 3 ( x - 3 ) + x 3[ | x ~ | ] ¿Sea f derivable en x = 3? 12) Dado / ( x ) = ( x - l ) [ |x |] , trace la gráfica de f para x e [0,2], halle si existen /_ (1 ), A ( i ) . / ' ( i). 13^ Dado / (x) = (5 —jc)[| x |] , trace la gráfica de f para x en [4,6], obtenga si existen /_ (5), f 'A5 ). /'(5 ) 14) Dada f ( x ) = (x - a)[| x |] , demuestre que: f ! (a) +1 = / ' (a) 1?) Determine / '( - 3 ) sí f ( x ) = ( \ x \ - x ) \ ¡ 9 x V. dy Hallar la derivada — sí dx CD í y- 1 dy dx (.x + a)m (x + b)n n(x +a) + m(x + b) (x +a ) m+x (x + b)n+l a2 Rpta. dy © dx 4 a 2- x 2 x+a © y = © y=- © Vx3 + 3x2 y=- © Rpta. Rpta. dy dx -Jx + -Ja -J2x2 - 2 x + 1 dy x dx =(3 x 2 + 4x + 8 ) V x - l Rpta. (a 2 - x 2 ) 3/2 -J a ( 4 x - - J a ) 2-Jx-Jx + a ( 4 x +-Ja) x -1 x 2y¡2x2 - 2 x dy -1 dx (x3 + 3 x 2) 2/3 dy " '15x2 dx 2 ( x - l ) 1/2 +l Derivadas 517 © y= © y= © y = (x + a ) m(x + b)n fío ) Vi + X + -\/l ~ x - \/l + X i-V x 4x + 6 ¿l =- l r[l +- F± = ) dx dy dx Rpta. — n =(x +a )m 1(x + b)n l [m(x + b) +n(x +a)] dy x * V*4 - i Rpta. — = í¿X Rpta. 3 Rpta. 2(4 x + l ) 4 x - x 2 1 dx (x2 + 3 x + 4 )3/2 ¿ y _ 3 6 x 2( x 3 —l )3 dx 2x +1 (2x 3 + l )5 r. ^ -dy Rpta. f = - _ a[ !ri - -Ja + b x + 4 a - b x _ t x ? +3x + 5 45 (Vx2 +1 W x 2 - 1)2 Rpta. ^ V* 2 + 3x + 4 _ 4 a + bx —4 a —bx n-1 (x + 1) «+i Rpta. ll + Vx y= «x -~J 1 - x 4 x 2 + \ - 4 x 2 -1 y- ■ rfy _ dx d +x ) n v _ 4 x 2 + 1 + V * 2 -1 V © Rpta. dx dy bx2 4 a 2 - b 2x 2 5(2x2 - 2 x - 1 3 ) x 2 +3x + 5 4 Rpta. — = ------------- ------(------------- ) dx (2x - l ) 2x —1 -m 16) y = ^ ( l - x ) m( l + x ) n IV y- © Rpta . ^ = [Í Z 1 Z ^ L Z Z 2 ) £ ](1 - X)W . (1 + X) m+n dx m+n 1+ x dy _ i -x d x ~ (1- x 3) 2 1+ x 3 ' y - 4 X + -\[x + 4 x Rpta. dy _ 2x 2 J-x 3 2/3 1+ 2-Jx + 44 x ^ x - J x Z -T x J ^ T x -\/x + a / x + a / x Eduardo Espinoza Ramos 518 (Í9 ) ^ y =l a 20) t -v/l - eos x y =a rc tg -= _ Vi + eos x _ , rfy 1 R pta. — = dx L 21) cosx 1 , . x. y = ------ ------—ln (tg -) 2 sen 2 x 2 2 _ ^ ¿y R pta. - dx 23) . .a 24) 25) l R pta. ^ = — (1 + ^1 + V ^ )" 2/3d + ^ ) ' 2/3x*2/3 dx 21 1 sen3 tg x -tg 3x dy 1 l - 6 t g 2 x + tg 4 x dx eos2 4x x ex - e x x cosx + 2senx y = arctg—---- — - are. tg--------- ------- n . dy 1 , R pta. -f - = -----—— + 1 dx cosh2x .x 2" -1 y = are. cos(—-------) x 2" + l R pta. _v=— arc. tg(emxJ - ) m'■Jab ' U R pta e +e 1 se n x -2 c o sx 1 x¿arc.lgx+—Lnx+l 1 dy ' dx ^ ' dx 2nx n~l x 2n+l ^ aemx + b e mx c[y l e R Pta- — = (2 x -------- r-) dx 1+ x x2arc. tg.r+—Z,ar+1 2 rVx 26) y =4— j=e x 21) , se n a .se n x . _y = a/r.sen(-------------------- ) 1 -c o s a .s e n x „ dy se n a R pta. — = dx 1 -c o s a .c o s x 28) ,6 + a c o sx y = are. cos(-------------) a + b cos x Rpta. 29) i Vx r 2/-1y —eos (----- j=) 1 + Vx a sent2(r ^ r ^ 1+Vx Rpta. — = — =------------------ = — dx V x (l+ v x ) 30) ^ y ->,1 -Ira; v = sen"(--------- ) ' x „ . rfy L n x - 2 1 -Z ,ra r.. Rpta. — = ----- -— sen[2(--------- )] dx x~ x dy -Ja2 - b 2 dx a+ b eos x 519 Derivadas \ - e \ Rpta. dx •‘' = ,S (I 7 7 ) © 55) dy _ - 2 e x 2 1 x y = - are. Ig x + - arctg------ 3 3 \-x Rpta. y = Lti( tg —) - c tg x.Ln( 1+ sen x) - x Rpta. , 1+ x *—-a 1 rc tg ♦x >’= T1 1ln("¡-----) 4 1 -x 2 Rpta. y = \n(x + 4 x 2 -1 ) Rpta. Rpta. •= L«(V 2senx + l + dx y = Ln. dx dy _ dx sen2 x x2 I-* 4 dy _ dy _ Rpta. dy 1 Vx2 - 1 1 are. sen l4x cosx dx V 4sen2 x - \ dx eos x 1+ sen x 1 -s e n x „ . ífy Rpta. — - y = Lti(3x2 +V 9x4 +1) * ^ 4 tg x + l - 2 ^ t g x 21n (senx) + 3 21n2(se n x )-3 ^ 9 x 4 +1 dx Rpta. ) y = y a/íí/r. sen -Jx1 +2x 6x 2sec2 x 7 4 tg x + T + 2Vtgx y = ln( l + x6 dy _ Ln(l + sen x) dx s e n x -1 ) sec (--------) l +ex dy _ 1+ x 4 dx y = 4xarc. sen -Jx + 4 l - x (\ + e x ) í/y _ dx Rpta. dy dx tg x + 1) 241n (sen x )rtg x 41n4(s e n x )-9 x+1 3/ 4 &4x2 + 2 x V l - x 2 - 2 x (are. sen -Jx2 + 2 x ) Eduardo Espinoza Ramos 520 43J y = arc.tg (Ln(ax+b)) R pta. ------------------------------(ax + b)( 1+ Ln ~( ax+ b)) 44) , = i |l n (se „ ü ¿ ) Rpta. 4 4S) ^ (4ó) ^ dx >>= ln 2 x-ln(lnx) 1 ct8«* + 3>'4> 12 z,„2/3(sen(jc + 3 )/4 )) Rpta. — = 2^n.~X—dx xLnx y = ( 2 - x 2) c o s x 2 + 2 x se n x 3 Rpta. — = -2 x c o s x 2 + (jc2 - 2 ) 2 x s e n x 2 + 2 s e n x 3 + 6x3 eos*3 dx (47) w y = sen(cos2 x) cos(sen2 x) Rpta. (4§) y = sen(sen(senx)) Rpta. — = cos(sen x(sen x)) cos(sen x) eos x (4 ^ dx — = - sen 2x cos(cos2 x - sen2 x) dx 7 = sen3 (sen2 (sen x)) dy dx 9 9 1 Rpta. — = 3 sen '(sen (senx))cos(sen (senx)).sen(2senx)cosx S0j >■= sen(,sen7 jr7 +1)7) Rpta. | - 3 4 3 * V . , x « ’ W 51) y = sen(x2 + sen(x2 + s e n x 2)) , 7 + l) ‘ .coS(K „ 7 , 7 + 1)7 Rpta. — = cos(x2 +sen(x2 + se n x 2)).[2x + cos(x2 + senx2)(l + cosjt2)2x] dx © W >'=<— r = r > 1+ V l- x 2 (53) v -^ _v = (-\/x + l + 4 x —l ) 4Rpta. — = 2(-\lx +1 + 4 x —l ) 3( dx ' «p«“- (l+Vl-JC ) r — r )" ‘ (1+ Vl-Jf2) -Jx + \ —. V x -1 ) Derivadas 54; y - 521 . R pta. d y ^ 3^(1+ x 2) 3 te ^5) ^ y = {x+4~x)n 56) Sí / • ( * ) = — í _ , j, = / ( _ £ _ ) . x2 +l Jf + 1 ^ ■CT\ 57) 58) (g ) Hallar dx . (x —l ) 3( x - 2 ) y = ln(--------— ----- ' ) x-3 dy dx = 3 ln 2.2arcse^ _ R pta. y = ln(arcsen(5x)) + arcsen(lnx) R pta. — = dy 1 R pta. — = dx ey -1 l „ >l + i = * y R pta. * L = J L dx x - y (? ) arctg—= —ln(jr2 + y 2) R pta. — = X + ^ dx x-y 2 ¿ _x~y y 3 = ——— Rpta, x+y © ^ dx x x y = are. tg — u >' 1 x-3 6(1 - arccos3x) sí: © x 1 x-2 . ^ - J l - 2 5 x 2 are. sen 5x dy ey =x +y 3 x-l R pta. — = ------- + - 2 arcsen3" + ( 1 - árceos3x)2 Derivación Implícita. Hallar ( x 2 + l )512 R pta. ^ - = n(x + 4 x ) n~l (l } ) dx 2*J- x te VI. 2 ( x 2 - x + l) 2 - 3 y (x + y) „ dy y l-x 2-y 2 R p ta. — = — . /7v xV 1 + jc2 + y 2 ' dx ^ jcVI —ln jc 2 Eduardo Espinoza Ramos 522 sen y x sen y - e o s y + eos 2y = 0 (j) 10) © íy Rpta. y sen x - eos (x - y) = 0 sen xy + eos xy = tg (x + y) © dx _ dy _ y eos x + sen(x - y) dx s e n (x -.y )-s e n x dy y eos2 (x + v)(eos xy - sen xy) -1 dx xcos (x + >>)(cos xy - sen xy) -1 Rpta. — = -------- ----- ----- ------ —— — dy 3x 2 +2 axy+by2 dx ax +2bxy+3y dy x y2-2x2 dx y '2y2- x 2 x 3 + a x 2y + bxy2 + y 3 = 0 Rpta. — = ----- --------------- - x4 + / = x V Rpta. x —y = are.senx —arc.seny Rpta. dy _ J l - y 2 d - 4 l - x 2 ) <** x 2 - a-Jxy + y 2 = a Rpta. 13) 2 x * y 2 - 4 x 2y 4 + x 2y 2 =6 4) y 5 - 2 x 2y 3 + 3x 4y - x 5 = 5 -Jy+iJy+tfy* =x _ V l-x 2(l-V l- y 2) dy _ 4x j x y + y dx ís ) 2 sen 2y - sen y - x eos .y 4 y-Jxy dy y . 4 x 2 - 4 v 2 +1 dx x 2 x 2 - S y 2 +1 dy 5x4 —4x y 3 -1 2 x 3y dx 5 j 4 - 6 x y +3x Rpta. — = -----(— ------ -Jxy+ 2 x =4~y ) Rpta. — = ----------V —------ f Rpta. dy _ dx~ 1 1 .+ 2J y 16) + ax Rpta. dx Vx - x ! + . 34 7 1 W 7" 523 Derivadas ^ 7) x - y = arc.senx - arc.seny R pta. — = ^ L = £ = iÍ — ^ L .J L J (Ts) ^ y = x + arc.tgy R p ta. — = 3 , 2 2 -> 3 x +2x~y-xy +2y = 2 R pta. — = -------------- f -— :— r dy _ l + y 2 dx ^ dy 3x 2 + 4 x v - v 2 dx 2x y - 2 x - 6 y 2 @ x3 -3 a x y + y3 = a3 R pta. dy - ay dx © 4 + 4 = 1 @ x +xy (11) (x + y ) 3 + ( x - y ) 3 = x 4 + y A 3 2 x yv 2 - a y «*» 2 _ dy R pta. - 7 - = =x y dx n r R pta. © 2xy-3x2 - y 2 7 2x y - x 2 dy 2 x3 - 3 x 2 - 3 y 2 dx 6xy-2y3 R p ,.. $ = ^ T T w dx 4x-3y .3 @ VII. (T ) w ( 2) w (x + ^ J=*-y R p ta. £ = 1 l l + 3xy + 4jy 3 Derivadas de las funciones y = ( f (x))*w j> = (x 2 + l)sen' R pta. ^ = (x 2 +1)sen* (eosx l n ( x 2 +1) + 2 dx >» = e x "-) x 2 +l R pta. — = e x' x x x ' ( — + (Z,nx + l)) dx x 524 © Eduardo Espinoza Ramos y = ( l « 2)*“ '*' Rpta. dx + l +x l+x © y -* f' RP«. (? ) w y = x senx R pta. Q = x seDX(— +eosxLnx) dx x © y = x Lnx R pta. ^ = 2 x Lnx~lLnx dx ( 7) y = (Lnx)x R pta. — = (Lnx)(Ln(Lnx) + —^—) dx Lnx (8 ) w y = (sen x )cosx ( 9) y = (cosx)* dy R pta. — = (eos x) * (Ln eos x - x tg x) dx xy =yx Rpta. y = x x2 R pta. ^ = x*2+1(1 + 2Lnx) dx y - x 1" , dy i-\-Lnx R pta. - f - = S j x ------— dx X w 10) © 12) x W T " 14) " ,= , < * -? * ^/(x + 2 )2 i/(x + 3)3 dx Vx R pta. — = (sen)cosx (c tg x eos x - sen xZ,« sen x) dx dy xLny-y y dx yLnx-x x R p ta ' R pta. * = , ( - » ______ 1_______ * _ ) * l¡{x + 2)2 -J(x + 3)' x ~ 2 3(* + 2> 2^ + 3> 525 Derivadas V* + l o . y = . --------- Rpta. — dy = ----------------------V ( x - l ) 5( x - 3 ) n dx - J ( x - l ) 5 ( x - 3 ) 11 2(* + 1) y - 3 |x (x 2 +1) dx ( x - 2 ) 2V ^ T Í y VIII. 2 Í * - 1) 3 x ( l - x 4 ) 'Y(jc2 - 1 ) 2 Rpta. (jc- 5 ) 3 2 ( x - 2 ) ( x 2 +11jc + 1) d* (x+1^47^2 Rpta. S¡(x-3)2 3 ( x - 5 ) A4 ( x + l )2 dy _ 51x 2 - 3 0 2 x + 361 (x + l ) 24 / ^ 2 dx 5j(x - 3 ) 2 20(x-2)(x-3) Derivadas en un punto O Si y = tg3 - ^ , Hallar ^ U 2 6 dx Rpta. 671 © / ’(O) Si f(x) = tgx y g(x) = Ln(l —x); H allar—g ’(0) Rpta. -1 © Si f ( x ) = l - x Rpta. 0 © Calcular /'(O ) sí f ( x ) = e x cos3x © Hallar / ' (1) sí f ( x ) = ln(l + x) + arcsen— © Sí / ( * ) = l n( t g^) — 2 sen x © Sí f ( x ) = 2jLrtx . Hallar / ' (e) © 2( * ~ 3) Rpta. ^ , í l ± f a L ± í , K !+ 1 > X2 - l y=- 11 y g(x) = l - s e n — ; Hallar ^ ^ J s 2 / ’(I) Hallar / " £ ) 4 Si f ( x ) = e m sen me. Hallar / ' ( - ) Rpta. -1 1 „ V3 Rpta. —+ ---2 f Rpta. „ 4 V2 1 Rpta. — 3e 71 Rpta. /r e 2 3 ) Eduardo Espinoza Ramos 526 ® ^ 10) Rpta. -1 Si / ( x ) = l n ( ± ± ^ ) Hallar / ' £ ) tgx 4 Hallar y' sí y = arctg(-— + arcsen(— ^ X_ ) 1+ tgx V í + tg x © _ j x 2(sen(l/x) + x , x * 0 Dada la función / ( x ) = '"~“ v ’ ' ~ ^ ” ; Demostrar que / ’(O) = 1 ^2) Dada la función / (x) = x 2 + sen x ,x=0 ¡x + 0.2l|]+ x2 eos— , x * 0 Hallar / ’(O) si existe, usando la definición de derivada. ¡ 3) Si y 3 = V 5* 3 + 3* 2/V /3 Calcular — para x = 1, y = 1 dx 14) Dada la función V5 — ^8x" / (x) = Ijlx-l 15) Si / ( x ) = cos3(x + 7r), hallar / ' ( —_) 4 S) Si f ( x ) = 4 x + \ £ X,i^ , hallar / ’(0) Sí f: I—» R es una función derivable en el punto x = a, (a e I), entonces la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(a, f(a)) es dado por: ■ _,determin Derivadas 527 Si / ' (a) O , entonces la ecuación de la recta normal que pasa por el punto P(a, f(a)), es dado por: ln -y-ña)**Para el caso en que / ' (a) = 0, la ecuación de la recta normal es: x = a. Llamaremos longitud de la tangente, al segmento de la tangente comprendida entre el eje X y el punto de tangencia y denotaremos como: L, = d(A, P ) . Llamaremos longitud de la subtangente al segmento AB que es la proyección ortogonal del segmento AP sobre el eje X, al cual denotaremos como: Ls, = d ( A B ) . Llamaremos longitud de la subnormal al segmento BC que es la proyección ortogonal del segmento PC sobre el eje OX . De la ecuación de la recta tangente L , : y - f (a) = f ' (a)(x - a) . Calculamos el punto de la intersección A con el eje X, para y = 0, entonces: x =a m / '( « ) A ( a - £ f - , 0) /(a ) como el punto de tangencia es P(a,f(a)) m L, = d (A, P) = + ( f ' ( a ) ) 2 - Longitud de la tangente. f'(a) Ls, - d (A, B) = m = longitud de la subtangente. f'(a ) De la ecuación de la normal L„ : y - f ( a ) ~ ----------( x - a ) , calculamos el punto C de la f'(a ) intersección con el eje X. Eduardo Espinoza Ramos 528 Para y = 0 =i> x = a + f ( a ) f ' ( a ) Ln = d(P, C) + =i> C(a + f ( a ) f ' ( a ) , 0). (a))2 = longitud de la normal. Ls„ = d(B, C) = \ f ( a) f' ( a) \ = longitud de la subnormal. Ejemplos: Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = x 3 - 3 x en el punto (2.2) Solución Calculando la pendiente = mL, = — \p(2 2>, pero como y = x 3 - 3x=> — = 3 x 2 - 3 . dx dx dy Entonces mL, = — 1^2,2)=12 - 3 = 9 Luego Lt : y - y 0 = m L , ( x - x 0) , dedonde L, : y - 2 = 9 (x - 2 ) => L, : 9 x - y - \ 6 = 0 como L„ ± L, => mL„ = -■^ , entonces L n : y - 2 = - ^ ( x - 2 ) L n :x + 9 j - 2 0 = 0 © Hallar la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva x 5 + y 5 - 2xy = 0 en el punto P(1,1) Solución Para calcular la pendiente de la recta tangente, en primer lugar calculamos su derivada, es decir: x5 +y5-2xy =0 => 5 x 4 + 5 y 4y ' - 2 y - 2 x y ' - 0 ( 5 / - 2 x ) y ' = 2 y - 5 x 4 => y ’= 2/ A~5~~ 5 y'-2 x dy _ 2_y-5x4 _ 2 -5 529 Derivadas entonces L, : y - y 0 = m L , ( x - x 0) => L, : >>-1 = —( x - 1 ) , de donde como L„ 1 L, => mLn = 1, entonces tenemos que: L „ :y-\= x-\ a) L, :x + y - 2 = 0 => L „ : x - y = 0 Representación de curvas en forma parainétricas Las coordenadas (x,y) de un punto P de una curva pueden ser funciones de una variable t llamado parámetro, es decir: 1 c *(n . A la ecuación (a) se denomina ecuación paramétrica en donde cada valor de t le corresponde un punto P(f(t),g(t)) del plano XY. El lugar geométrico que describe los puntos f(t) y g(t) se denomina curva parametrizada de la ecuación paramétrica, para obtener la ecuación cartesiana se elimina el parámetro t y de esa manera se obtiene una ecuación de la forma cartesiana y = f(x) ó E(x, y) = 0 Ejemplos: Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas. (!) x = 2t, y = -5t t 0 K 0 0 1 2 -5 2 4 -10 -1 -2 5 -2 -4 10 530 ( 2) Eduardo Espinoza Ramos x = t-l y =t2 Solución Ejemplos.- Trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas pasando a coordenadas cartesianas x = -1 + cosG , y = 2 + 2sen0 Solución ® x=t y = lSolución Eliminando el parámetro t para obtener la ecuación cartesiana • x =t l => xy = 1 ecuación cartesiana cuya gráfica es una hipérbola. Derivadas b) 531 Derivadas de las Ecuaciones Param étricas Consideremos dos funciones f y g derivables en un intervalo [a, b], tal que: [* = / ( / ) ...(a), son las ecuaciones paramétricas y = g(0 dy La — donde x e y están dados en forma paramétrica, se obtiene aplicando la regla dx de la cadena, es decir: x =f ( t ) dx -J '(0 ~dt Sí dy , entonces: y= g(0 f . dy _ g'(t) # no dx f ' ( t ) ' " — =~ - = 8 ; f'(0 ^ 0 dx dx^ f ' ( t ) ' dt *0 Para obtener la segunda derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es decir: ± ( d y, d d~y_= d _( dy _ ._ d t dx _ d t f ' ( t ) d x' dx dx dx_ / '( / ) di f'(Q g "(0 -g '(0 f"(0 ( / ’(O)2 / ’(/) d \v _ f'(0g"(0-g'(0f"(0 dx2 (./"(O)’ Eduardo Espinoza Ramos 532 Ejemplo.- Calcular la derivada — de las funciones dadas en forma paramétrica. dx © / +1 >• = (— t ) í+r Solución 1 2/ 0 +0 /+1 y = (-Z )2 /+1 2 /(1 + /)' 2/ (l+ o3 1+/ d +0' (1 + 0 3 í/ v í¿t © (1 + 0 í/y v, — =— =— dx x, 1 , . , de donde 2/ _ 2/ 1+ / .y = a ( /- s e n /) para I - y = a(\ - eos 0 Solución x = a(t-sent) x, = a ( l - c o s / ) y - a( 1- cos I) V/ - a sen / dy _ .v, _ dx x, £' a sen / a(l -e o s /) 1 i-o _ sen / 1 -c o s / — i —i dx Ejemplo: Encontrar las ecuaciones de la tangente y normal de la curva x = / 2 + 1 , y = / ’ + 2/ en el punto donde t = -2 Derivadas 533 Solución I.v = I ~ +1 x, = 21 entonces y = r + 2/ dv y, 3r +2 — = — = --------d.v ,v, 2/ , dy 7 mL, = — I, 2 = - ^ Í7X 2 >•, = 3 / - + : el punto para t = -2 es P(5,-12) por lo tanto - 1 2 L, : y + 12 = ——(jc-5) 2 «;L„ = ----- = — por lo tanto L„ : v +12 = —(.v - 5) n,L, 1'7 4.21 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.Sí f: R —»R es una función derivable en x entonces: que es otra función la cual puede derivarse es decir: / ' U W o - ' / ’Cx) a esta función le llamaremos la segunda derivada de f y si la función f " ( x ) se vuelve a derivar, se obtiene otra función: r"(x)- hm ' : /; A x). y lo llamaremos la tercera derivada de f y así sucesivamente se tiene, que la derivada de la función f (" °(,v) es: h y se denomina la n-ésima derivada de f con respecto a x. Eduardo Espinoza Ramos 534 NOTACION: a) /*"* (jc) = D uf ( x ) = f ( x ) Propiedades de las Derivadas de O rden Superior Si D ' ' / ( x ) . D" g( x ) existen en un intervalo entonces Q D" (./ (x) ± g(x)) = D"x f ( x ) ± 0 d ; ( f (x)g(x)) = £ ( Z )D'' */(jr)D Í n jí(-v) (Regla de Leibniz) k0 ttí! si 0 m Ejemplos: O Hallar f {n)(x) si J'(x) = Jt + 1 Solución ./‘(jc) = — r=> -v + l /''(*) = -----------i (x + 1)“ , / " W / ' ” (*) = / " ( V) = ~ (JC+ 1) -1.2.3 (-v + 1)4 (—1)" (1.23. . j i ) (-V + 1) ii+l : ..r " ( x ) (-1 )” »! (Jf + l ) " '1 Derivadas 535 Hallar f in)(x) si f(x) = Ln(x + a) Solución f(x) = Ln(x + a) => f ' ( x ) (x + a ) f " ( x ) = ------- — (x + a)~ r w 12 (x + a)3 (x + a)4 , y , x 1.2.3.4 ./ (x) = ---------— (x+a) r { x ) j-ir'i.2 ....(n -i) fn (x )J -,r\n -iy. (x + a)n © Demostrar que la función y = A x n + B x l ”, satisface la ecuación (x + a ) n diferencial: n ( n - l ) y - x 2y ” =0 Solución .V= Ax" + B x l~” => y = + (1 - n ) B x " n ( n - \ ) y = t i( n- \ )x " + n ( n - \ ) B x x~" ... (1) .v" = »(/; -1 )Ax" 2 - n ( l - n ) B x n l x 2y " —n(n —l)Ax" + n( n—l)xl " Luego restando (1) y (2) se tiene: ... (2) n ( n - l ) y - x 2y " —0 Eduardo Espinoza Ramos 536 © senh x cosh x Demostrar que la función y = A ----------(- B ------- -, satisface a la ecuación diferencial: x x x v"+2xy'-x~y = 0 Solución , ,,x co shx-senhx, „^xsenhx-coshx, coshx „senhx 1 senhx coshx, y = A(---------- ----------) + B(---------- --------- ) = A ------- + B------------ (A-------- +B-------- ) x~ X' X X X X X y coshx „ se n h x y , . , = A -----------B ----------- — , derivando nuevamente X X X , x s e n h x ~ c o sh x . x c o s h x -s e n h x xy’- y V = A(--------------------- ) + B(----------- r--------- ) - - V 1 senhx „ c o sh x 1 ..c o s h x _ senhx, xy’- y 1 , . y . x y '- y = A -------- + B -------------- ( A --------- + B --------- ) — = y — (y + —) — :LT ZX X X X XX ' x Xx~ „ x 2 y - x y '- y -x y ' + y x 2y - x y '- x y ' 2 t > 2 n y = — :------ — j----- — —= — :----- ----- — dedonde x y + 2 x y - x y = 0 x" x' © Muestre que eos bx)(n) = r " e ax eos(bx+ncp) determinando r y ip en función de a y b Solución (eax eosbx){l) = a e“x eosb x - b e “1 senbx = e ax( a eosb x - b senbx) sen /?x] 2 +b2 4 ci2 +b2 = V a 2 + b 2 eax (eos cp eos bx - sen <psen bx) = V a2 + b 2 e “x eos ((p + bx) pues en el siguiente gráfico se tiene: sen (p b ,--------------------- V a2 + b 2 ; eos ,r + <p)] •Ja2 + b 2 -Ja2 + b 2 = ( a2 + b 2)eax[cos(pcos(bx + (p)-sen(psen(bx + (p)] = ( a 2 + b 2)eax cos(fcc+2<p) En forma similar obtenemos: (eax eosbx)m = ( 4 a 2 + b 2 )3 eos(bx + 3(p)eax Luego por inducción, para un n e Z ^ , tenemos: (e“x eosbx)(n) = ( 4 a 2 + b 2 )" cos(bx + n<p)e“x y se pide demostrar: (eax eos bx)(n) = r "e ax cos(bx + n(p) I ? ,i entonces r = â~ + b~ (ó ) b y (p = arctg— a Si f(x) = a sen 3x + b eos 3x, Hallar los valores de a y b tal que se cumple la igualdad: f " ( x ) + 4 / ' ( x ) + 3f ( x ) = 10 eos 3x Solución í f ' (jc) = 3a eos 3x - 3b sen 3x f(x) = a sen 3x + b eos 3x => <' , entonces: [ / ' ' (x) = - 9 a sen 3x - 9b eos 3x -9a sen 3x —9b eos 3x + 12a eos 3x —12b sen 3x + 3a sen 3x + b eos 3x = 10 eos 3x (- 6 a - 12b) sen 3x + (-6b + 12a) eos 3x = 10 eos 3x igualando coeficientes se tiene: 2 -6 a -1 2 Z) = 0 - 6 / j + 1 2 fl = 0 , resolviendo el sistema a =— 3 6 - 1 3 Eduardo Espinoza Ramos 538 4,22 (? ) EJERCICIOS DESARROLLADOS.8 Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y = —----- en el punto (2,1 Solución cSe conoce que mL, r =— ¿y i| r=1, ade adonde a — dy = ----- ------16x dx ]6x__ +4)2 (x 2 ' dx (x~+4)~ = _32=_32=_ I 82 ~~ 64 "" 2 L, : y -1 = —j ( . y - 2 ) , de donde L, : x + 2y = 4 (T ) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x 5 + y 5 - 2 x y = 0 en el punto (1,1). Solución Primeramente calculamos la derivada, es decir: x 5 +>,r> - 2xy = 0 => 5x4 + 5_y4 — - 2 y - 2 x — = 0 ' dx ' dx , , 4 ,dy 4 _ dy 2 y - 5 x 4 (5 y - 2 x ) — = 2>‘-5 .r dx ' dx 5y - 2 x dv 2 y -5 x 4 pero como mL, = — |P(U) = — - - - - - |P(11) = ax 5_k - 2 x además (T ) L, :y - y 0 = mL, (x - x fí) , de donde 2 -5 —— = - i L, :x + y - 2 = 0 Encontrar una ecuación de cada una de las rectas normales a la curva y = x 3 - 4 x que sean paralelas la recta L: x + 8y - 8 = 0 Solución Como L,1L„ y Ln || L : x + 8.y - 8 = 0 . entonces: 539 Derivadas L,1L,,=> mL. = — — donde m L = —— mL 8 por lo tanto: mL, = — — = í Además sea P„ (x0 , y 0 ) un punto de la curva y = x 3 - 4 x , entonces y ...(2) m L , = -7 - l.r=.v„ = 3* 2 ~ 4 U , „ = 3 * o - 4 dx igualando (1) y (2) se tiene: —Xo -4 * „ 3x,2 - 4 = 8=> x 2, = 4= > x(, =±2 para x (t = - 2 , y» = 0 => P, (-2,0) y x0 = 2 , y n = 0 => P2 (2,0) I como Ln : y - y 0 = mLn ( x - x 0) , entonces se tiene: :y -0 = ~ ( x + 2 ) , © £ n : y - 0 =-■^ ( x - 2 ) | Demuestre que para la hipérbola cuya ecuación es b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b ' , una ecuación en la línea tangente en (x0, y 0)es b 2x 0x - a 2y 0y = a 2b 2 Solución Calculando la derivada se tiene: 2b2x - 2 a 2 y ~ = 0 => J~ dx dx a 2y - a„ 2 b, 2 si (jt„, _y0) es punto de tangencia de la hipérbola entonces: b 2x l - a 2y n2 — , . , dy b 2x . b 2x () ademas mL, = — l/>n(^ ^ o) = — lpo(Wo) = ~ T ~ ax a y a y () como L, : y - y 0 = m L , ( x - x 0) entonces b 2x L, : y - y 0 = ■/ 0 ( x - x , a'yo Eduardo Espinoza Ramos 540 T L, :a 2 y 0y - a 2 y 02 = br.2 x 0x - b1.2 x02 r :/> 1.2x {)x - a 2y 0y = b. 2x 02 - a 2y 02 = a 2.2 L, b L, : b 2x 0x - a 2y 0y = a 2b 2 © Demuestre que la elipse cuya ecuación es: b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 , una ecuación de la línea tangente en (x „ ,y n )es b 2x ()x + a 2y 0y = a 2b 2 Solución Calculando su derivada se tiene: 2b2x + 2 a 2v — - = 0 dx dy = - ----1)2x ____ _ d> de donde: — , como mL. ='— I„ ,x v , dx a 2y d x ™ 0'™ * r b 2x i r . / \ b" xQ entonces : mL, = — — | P() (x0, y {)) = — -— , ademas a y a-y0 b 2Xn L, : v - i-'o = m L , ( x - x 0) , entonces: L, : y - y 0 = — r— ( x - x 0) a'y0 L, : b 2x„x + a 2y ny = a 2b 2 (ó ) Encontrar la ecuación para cada una de las rectas que pasan por (-16,-3), y que sean tangentes a la curva y = x —l x +3 Solución El punto (-16,-3) no está en la curva, entonces para calcular la pendiente tomamos un punto de la curva P(a,b) que es por donde pasa la tangente. Calculando la pendiente mL, = — fl + 16 541 Derivadas además mL, = — \ , h) donde — = — - —-.e n to n c e s dx ' dx (x+3)~ igualando (1) y (2) se tiene: mL, = — - —— (a + 3 )" ^ ■ = — - —- = > - 3 + a + 16 (a + 3) (a + 3) 2 ...(2) ...(3) como el punto P(a, b) pertenece a la curva, entonces satisface a la ecuación b = ^ \ a+3 ...(4) ahora reemplazando (4) en (3) se tiene: ——- = -3 + simplificando se tiene: a +3 (a + 3)2 a 1 + 4a -1 0 = 0 => a = —2 + -Jl4 , a = —2 —J\4 para a = - 2 + -JÏ4., • J Í4 -3 . 4 b = —j = — .=>mLr = -J\4+ 1 ' ' (l-r-J\4)2 4 L, : v + 3 = --------.= — (x + 16) (1+ V Î4)2 rrr para a = - 2 - v i 4 , , *J\4 + 3 b = —¡= — V Í4 -1 4 => mL, =■ ' (1 -V Í4 )2 L, : y + 3 = ------^ = ^ - ( * + 16) (i —y íí) ( 7) Hallar la ecuación de la tangente a la curva x 2y ~ x + 1 cuya inclinación es de 45° Solución Como 45° es el ángulo de inclinación de L , , entonces: mL, = lg45" =1 => mL, =1 ’ , *+1 1 1 , ■ ademas: x~ v = x +1 => y = —— = —+ ——, derivando *..(1) , Eduardo Espinoza Ramos 542 2 1 2 _dv = — 1 — z^ mL¡= dv ¡. K-~ ..2 „3 => mLt - ^ U o ^ '_ 3 dx x x' dx a “ a" -.(2 ) 1 2 igualando (2) y (1) se tiene: — --------- = 1 de donde a 3 +a + 2 = 0 => a = - 1 o- a como p(a, b) pertenece a la curva => b = para a = -1, b = 0 => P(-1,0), a~ L, : y - 0 = l(x +1), de donde L, : x - y +1 = 0 (? ) Si una recta tangente a la curva x 4 - 2 x 2 - x + y = 0 en el punto (-1, 0) es también tangente a la misma curva en el punto P(a, b), hallar las coordenadas de P. ■ Solución Como mL, = ^ | /)(-i,0)= (l + 4 x - 4 r , ) |/,(_U)) = l ...(1) mL, = C - ~ \ P(a.h) = l+ 4 < 7 -4 a3 ...(2) igualando (1) y (2) se tiene: \ + 4 a - 4 a 3 =\ =?• (1 - a 2) = 0 => a = ± 1 :=> a = 1 como P(a,b) es punto de la curva entonces: a 4 - 2 a 2 - a + b = 0 para a = 1 => b = 2 El punto es Pf 1, 2) (5 ) Probar que la suma de las intersecciones con los ejes coordenadas de cualquier recta tangente a la curva x Xl 2 + >■* 2 = b 1' 2 es constante e igual a “b” (b > 0) Solución Calculando la recta tangente x h l + y i n = b l‘2 => — = - J — dx Vx Derivadas 543 , =— d>' i p = - — yo mL, d x ' P" Vx0 l, =y-yo =-J—(x-x0) 4*üy+4 ñ x - yo - x 0- J ñ = o 4 7 y + sj yüx - -Jx o.Vn (Xfí 2 + y O 2) = o L, : -Jx~^y+ yfyñx = -\/-vo>'o ^ 1 2 • Ahora calcularemos las intersecciones A s L, a ejex => y - 0 , x = ^Jxob^2 y B & L , A e j e y => x = 0, y = b^1 por demostrar que x + y = b (constante). Luego x + y = J x ^ b u2 + J y ^ b h2 = ( ^ + 4 ñ ) b h l = b h 2 .bv2 =b x+y=b Encontrar una ecuación para cada una de las rectas tangentes a la curva 3y = x 3 - 3 x 1 + 6x + 4 que sean paralelas a la recta 2x —y + 3 = 0 Solución Se sabe que L, II L: 2x —y + 3 + 0 => mL, = mL = 2 i* Además 3 y = .v3 - 3 x2 + 6 x + 4 = > — = x 2 - 2 x + 2 ' dx como mL, = -^- \P(a.b)=a2 - 2 a + 2 Ahora igualando (1) y (2) se tiene: ...(2) a 1 - 2 a + 2 = 2 => a (a —2 ) = 0 => 1a = 0, a = 2 además el punto p (a, b) pertenece a la curva entonces: Eduardo Espinoza Ramos 544 3b = cr3 - 3 a 2 + 6a + 4 => paraa = 0 => A = y => /?(0,-j) 4 4 L ,: y ---- = 2(x —0 ), de donde L, : 2x - y + —= 0 para a = 2, b = 4 => p(2,4), L, = y - 4 = 2 ( x - 2 ) , de donde L, : 2 x - y = 0 © Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal ala curva .r3 + y 2 + 2 .v -6 = 0 , en el punto cuya coordenada es y = 3. Solución Calculando el punto de tangencia para y = 3 jr3 + 2x + 3 = 0 , Ahora resolveremos la ecuación 1 0 2 3 1 -1 -1 1 3 -3 0 -1 Es la única solución real Luego el punto de tangencia es: p(-l, 3) Ahora calculamos la pendiente de la recta tangente: Para esto derivamos x * + y ~ + 2 x - 6 = Q de donde: * i - > d y ~ n . . . dy 3x 2 +2 3jc~+2y — + 2 = 0 de donde — = -----------dx dx 2y evaluando en el punto p(-l,3) se tiene: mL, = — |„(„t 3) = ~ ^X + 2 L {_! 3)= ~ dx ' 2y ' 6 la ecuación de la tangente es: L, : y - y t) = m L , ( x - x 0) , de donde: L, :5x + 6 y -1 3 = 0 también: L„ : y - 3 = y (x +1) de donde: L„ : 6x + 5.v + 21 = 0 12) Demostrar que el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta tangente, en cualquier punto a la curva de ecuación xy = 5 es siempre constante. Derivadas 545 Solución Primeramente encontraremos la recta tangente, como: xy = 5 => y = — entonces su pendiente x CS: mL' T - mLi - 5 I- 5 r k h .>■„)7 xxn L , : v - v o = — ^ - ( x - x 0 ) => l , \ 5 x + x l y = y nx l + 5x0 *<7 encontrando las intersecciones con los ejes coordenados: , A g Lj , • _ _ O 'o*o+5)x0 a eje x ==> y = 0 => x ------------------ B g L, a eje y x = 0 => y - y 0x 0 + 5 *0 área del triángulo = = constante Area - OVô + 5>*o 0 ^ * 0 + 5) _ (>’0*0 + 5)2 _ (5 + 5)2 _ 2Q 5x0 5 5 © Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva: y = -^5 + x 2-Js + x 2V ? + x 2" , en el punto de abscisa 2. Solución y = 1/5 + x 2 a/s + x 2V5 + x 2 " elevado al cuadrado y 2 = 5 + x 2^5 + x 2^jT+xi2^ ^ . de donde y2 = 5 + x 2.y Eduardo Espinoza Ramos 546 ahora calculando el punto para x = 2 => y 2 = 5 + 4 y (y —5)(y + 1) = 0 => y = 5, y = -1 como y>0 => y 2 - 4 y ■ => p(2,5) derivando y 2 = 5 + x 2y se tiene: 2yy' = 2 x y +x 1y' „ - x 2v)y . = 2xy t = _> — d> 2xy (2y —' =-----dx m ' 2\-x~ _ dy 20 20 10 dx /'(2-5)~ 1 0 - 4 ~ 6 “ 3 como L, : y - y„ = mL, ( x - x n ) , de donde como L„1L,=> mL„ = - 1 mL, L„ :.y - 5 = - — (jc- 2 ) y . L, : I Ojc - 3 v - 5 = 0 3 10 porlotanto i L„ :3jc + 10>' - 5 6 = 0 , dv d~ a Hallar — y — ~ si x —t - t , y = t +1 dx " dx 2 Solución v = / +1 dt d 1y f = 6l dt2 x =r -t — = 2í —1 d 2x dt dr dx d 2y d2y _ dy ■> ~ ' J,, _ dx dx dy d 2x dt ’ dt2 dt 'dt2 4dt» ’ [15) Hallar — y — d x' = dy dy dx 31 ■dv - 3/2 , entonces: — = = dx 21 - 1 ’ Í¿Y 2/ -1 dt 2 _ (2/ —1)6/ —3/2(2 ) C 2 í- l)J si x = cos3 / , y = a sen3 / rf2.y - 6 t +6 t 2 dx 2 ~ (2r —l)3 547 Derivadas Solución — = -3 o e o s2 /sen / di x = a eos / d \ d 2y dv „ 2 — = 3er sen / eos t di v = a sen / = 6a eo s/sen - / - 3 a e o s - t d t2 = 6a sen /e o s 2 / - 3 a sen3 / dt2 dv dv (h 3 ase n 2 /.eos/ sen/ — = = ----------- ---------- = --------- = - tg / , entonces: dx av -3 a e o s ~ /.s e n / eos/ dt d 2y dx d 2y dt d t 2 rfy — = - tg / , í¿y d 2x dy d t 2dt _ - 3 a c o s 2 /.sen/(6a sen/.eos2 / - 3 a s e n 3 /) (-3 a e o s/2, sen)3 dt (6a eos /se« / - 3a eost)(3asen t eos /) (-3 a eo s/2..ve//)3 18a2 eos2 / sen4 / - 9 a 2 eos4 / sen2 / (-3 a e o s 2 / se n /)3 (-3 a e o s /2, s e n /)’ 9 a 2 eos2 /s e n 2 /(sen2 / + cos2 /) 1 - 2 7 a 3 eos6 / sen3 / (eos /sen/)3a d 2y Hallar — j d x' |x . , = Z,n(l+/ 2) para t = 0 si < v = /2 Solución x = Ln(\ + t 2 ) c/x 2/ dt l + /2 => ■ => ■ •> >*= /' 1^ II . 16) - 1 8 a 2 eos4 / sen2 / + 9 a 2 eos2 / sen4 / dt d 2x 2-2 /2 ¿ /2 (1 + / 2 )2 d 2y d t1 = 2 _ í/ 2j _ sec4 /.esc/ 3a dx Eduardo Espinoza Ramos 548 dx d 2y d i'd i2 d 2y dx- d 2x dy d i 1 dx -1 ^ l +t 2 A > ( - V l+r dt rf2V ~ ~ ~ r 2/ (1 + r ) 2 4/(l + í 2) - 4 r + 4 ^ (1 + / 2 ) = 8/3( l + / 2) 8r3 = (1 + r ) , de donde: df |f=0=(1 + 1 2) |,=0 = 1 di1 Hallar las ecuaciones de la tangente y normal a la curva en el punto correspondiente al valor del parámetro que se indica a) x = t 2 +1, v = / 3 + 2 / , t = - 2 Solución * = 3 ,J + 2 dt >■=/•* + 2/ => • ^ -1 dt => • ÍÉC — = 2/ dt x —t 2 +1 -1 4 2_ — 1 --4 [ J ' - dy 14 mL, = — \p =■%— - --------- — dx " d x , -4 2 it= - 2 dt como L , : y - y 0 = mL, (x - x 0) donde para t = -2, x = 5, y = -12 => p(5,-12 ) L, : v + 12 -= — ( x - 5 ) , de donde: L, :7x + 2y = 1 1 '■ 2 además L„±L,=> mL„ = - 1 mL, 7 L„ : y - y,, = mL, (x - x0 ) , de donde: Z,„ : 2x - 7 y = 94 Derivadas b) 549 x = 3sent - 4, y = 5 + 2cost, t= 5n 4 Solución dy dt dy — = - 2 sen/, dt dx , t — = 3 eos /, dt y = 5 + 2 eos t x = 3 sen t - 4 - 42 5n 3~Jl rr 3-J2 , _ /rpara f = — , x0 = — — 4 , >•„ = 5 -V 2 => ;?(---- ----- 4,5-V 2 ) dr ^ <fr. dt ~ lí= 57r/4 -3 ^ 2 2 3 ------- como L, : y - y 0 = m L , ( x - x 0) , de donde: ¿ f :2x + 3 y - 7 + &J2 = 0 además L„\ L, => mL„ =- 1 3 mL, 2 L„ - y - y n —rnL„(x—x 0) L „ \y - 5 +^2 = |( x +^ + 4 ), de donde: L n : 3 x - 2 y + 22 + ^ Si f ( x ) ——-— . Hallar / '(n)(x) 1 -jt Solución Si / ( . v) = t- L = > /■(*) = - 1 1 -jr O -Jf) /" ( x ) = - ^ T (1 -x )3 =0 Eduardo Espinoza Ramos 550 1.2.3 O -* )4 /•<->w - i Ü 4 = - í (1- x )""1 (1- x ) " '1 19) ...í - r (1 - x ) Si /(x ) = —-— . Hallar f {n)( x ) l+x Solución / ( * ) = —^— => / '( x ) = 1 1+ JC ' ' ' (1- x ) 2 r( jc )= 1.1 a -* )3 r " {X) = — ^ (i-* ) / /V(JC)= 1 2 *3 4 , /rC-)(l ) = J Z & . (5q) Si / ( x ) = -^7 — — ; Hallar / '(")(x) x' - 4 Solución 5 x -2 5 x -2 A x 2 - 4 ~ (x + 2 ) (x -2 ) ~~ x + 2 B x -2 _ A ( x - 2 ) + B(x + 2) (x + 2 )(x -2 ) Derivadas 551 A +3 = 5 5x - 2 = (A+B)x + -2A + 2B, por igualdad se tiene: \A = 3 -2A + 2B = - 2 ^ \B = 2 4 5 x -2 3 2 a ■ a f ( x ) = , ......= ------- + ------- , derivando se tiene: x —4 x + 2 x - 2 (x + 2)2 (x-2)2 3.1.2. 2.1.2. . / ( * ) = ----- -T7T + (x + 2)3 ( x - 2 ) 3 f"'(x) = - , , v/ / 4 3.1.2.3 2.1.2.3. (x + 2)4 (x -2 )4 3 .1 .2 .3 .4 2 .1 .2 .3 .4 ( * ) = --------- r + --------- r (x + 2) (x -2 )' /•<«>/ > _ 3.(-1)"1.2.3... j » 2.(-1)” 1.2.3..j » (x + 2)"+I 21) ^ . (x - 2 )" " 1 W 3 (-l)"« i 2.(-1) " h! (x + 2)"+1 ( x - 2 ) " “1 JC ~ + X *+■1 Determinar la derivada n-ésima de la función f (x) = —----------' x -7 x + 6 Solución Para calcular la derivada n-ésima de la función f(x) primeramente descomponemos en fracciones parciales. x ~ + x +1 x —7x + 6 ( x - 2 ) ( x - l) ( x + 3) x ~ + x +1AB C - +---- + x - 2 x -1 x + 3 A(x - l)(x + 3) + B(x - 2)(x + 3) + C(x - 2)(x - 1) ( x - 2 ) ( x - l ) ( x + 3) Eduardo Espinoza Ramos 552 x 2 + x + l = A ( x 2 + 2 x - 3 ) + B ( x 2 + x - 6 ) + C (x2 - 3 x + 2) x 2 + x + l = (A+ B + C ) x 2 + ( 2 A + B - 3 C ) x - 3 A - 6 B + 2C 5 A+B+C= 1 2A + B - 3C = 1 por identidad de polinomios se tiene: , la solución es: B =- - 3 A - 6 B + 2C = 1 20 v -v + x +1 7 1 / ( x ) = —----------- = - ( ----- + x —7x + 6 5 x - 2 7 1 31 71 ^ 20 x + 3 4 x -1 3 - 1 7 - 1 / '( x ) = -C ------- ------------------- " ) + ” (-------- ~) 5 (x -2 ) 4 (x -1 )2 20 (x + 3)2 f 4 7 1.2 3 1.2 = 5 ------r ) —7(—— + (x -2 )3 4 (x - 1 ) 3 7 -1.2.3 5 (x -2 )4 3 7 1.2 ------ r> 20 (x + 2) -1.2.3 4 (x - 1 ) 4 7-1.2.3 20 (x + 3 )4 rlv, 4 7 1.2.3.4 3 1.2.3.47 . 1.2.3.4 / (x) = - ( ---------t ) - t (-------- ------------------- r ) 5 (x -2 )5 4 (x - 1 ) 520 (x + 3)5 f(n)( * 22) ^ 7 ( - ! ) ” />! 3 (-1)"»! | 7 (-!)"» ! 5 ( x - 2 ) " +1 4 (x - i ) " +1 20 (x + 3)n+l Hallar la n-ésima derivada de la función ' / (x) = -------- ---------(x - 1 ) 2( x - 2 ) Solución Descomponemos de la función f(x) en sumas parciales Derivadas 553 /(* ) = A B C - + ------+ x -2 x - \ (jc—1)2 (jc —2) 1 (x - 1 ) 2 A (x -l)2 + B (x-2)(x-l) +C(x-2) (x -2 )(x -l)2 (x - 1 ) 2 ( x - 2 ) 1 = A(x —l ) 2 + B ( x 2 - 3 x + 2) + C(x —2) 1 = (A + B ) x 2 + ( ~ 2 A - 3 B + C)x + A + 2 B - 2 C , por igualdad de polinomios se tiene: A +B =0 A =-l - 2 A - 3 B + C = 0 , resolviendo se tiene: B=- 1 A +2 B - 2 C = \ C=-1 1 f(x) = 1 (JC— 1)2 (JC— 2) / '( * ) = - 1 x -2 1 -1 (x -2 )¿ (x —1) 1 x-1 - (¿-1)2 1.2 (x - 1 ) 3 1.2 /" (x ) = (x -2 )J (x - 1 ) 3 (x -1 )4 / ' ’ ' (x) = - = ^ - - ( ^ 4 ) - ( Z l ^ ) (x -2 ) (x -1 )4 (x - 1 ) 5 / ,v(x) = 1.2.3.4 1.2.3.4 1.2.3.4.5 (x -2 )5 (x - 1 ) 5 (x - 1 )6 t _ ( - ! ) " ! . 2 ..j i r ' n (x) = - ( x - 2 ) n+i /•c>(jc)- (-1 )"1 .2 .3 ..ji (x -1 ) (~1)n»! ( x - 2 ) n+I ( x - l ) n+1 ( - 1 ) * 1 . 2 . . j i ( ii + 1) w+l (x-1) + (x -1 )"" 2 n+2 Eduardo Espinoza Ramos 554 23) Calcular f (n) (0) si f ( x ) = Ln{-^— ) Solución f ( x ) = Ln(—!—) = -£«(1 1—x .. ./ ( * ) = - /"(* > = /■'(,»: -1 1-JC - je ) , derivando 1 1 -x 1 2 ( l- jc ) 2 12 (l-* )3 (1-JC )4 /•<"> (x) = — (1 -x )" 24) “ (1 -* )" si f in)(x)= (n 1)! ‘ (\-x)n Si f ( x ) = £/K— ——); Hallar / (n)(l) mx-b Solución m r -4- / ) /(x ) = ¿«(-— ■ — ) = Ln(mx + b)-L?i( mx - b) mx-b ffu(x)\ = m m ivc + b mx-b f " (x) = ( - ^ - ) - ( (mx+b)~ (mx-b)" /■(n>(0) = (n-1)! Derivadas ./ 555 4 , m \ 1.2 , , m \ 1.2 x ( * ) = (------------ r ) - ( ------------r ) (mx + b) / ,vu ) = ( (mx-b) m \ 1.2.3, . - m 41.2.3, • • 7 )-( (w.v + ¿ )4 (mx-b)4 r (x) = ( WI •1 1 3 ;4 ) (mx + b) ~3-4 ) (mx-b) ,(»), , w " ( -l)" +11.2.3...(n-1) w ''( -l)" +11.2.3...(w-1) . / ' ' (x) = ------------------------ — -------------------------------- , entonces: (mx + b)" (mx-b)" ./ . « " (-U ^ ín -l)! (x )= (mx + b)" m " (-l)" +I( » - l) ! (mx-b)" («i2 - é 2) n 4.23 G) EJERCICIOS PROPUESTOS.» Formar las ecuaciones de las tangentes a la línea y = x - — en los puntos de su ~ ' x intersección con el eje de abscisas. (T ) R pta. y = 2x - 2, y = 2x + 2 Trazar la tangente a la hipérbola y = x + ^ de modo que atraviese el origen de x+5 coordenadas. Rpta. x + 25y = 0 , 2 (J) Formar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola perpendiculares a la recta: 2x + 4 y - 3 = 0 Rpta. 2x-y+1=0 x+y= 0 2 -y— -y - = 1 que sean 2x —y —1 = 0 Eduardo Espinoza Ramos 556 ( 4) Formar la ecuación de la tangente a la línea y = .v3 + 3 x 2 - 5 , perpendicular a la recta Rpta. 3x + y + 6 = 0 2x —6y + 1 = 0 (? ) Formar la ecuación de la normal a la línea y = ~ 4 x + 2 en el punto de su intersección con la bisectriz del primer ángulo coordenado. © Rpta. 2x —y — 1 = 0 . 4x —y —12 = 0 Formar la ecuación de la normal a la parábola: y = .t2 - 6 x + 2 perpendicular a la recta que une el origen de coordenadas conel vértice de la parábola. © Trazar la normal a la línea y = Rpta. 4x —4 y —21 = 0 xLnx que sea paralela a la recta 2x - 2y + 3 = 0 Rpta. x - y - 3 e 2 = 0 © Hallar la ecuación de la recta tangente a la línea x 2 (x + y ) = a 2 (x - y) en el origen de coordenadas. ( 9) Halle una ecuación de la recta tangente a la curva y = x 4 - 6 x , y perpendicular a la recta x - 2y + 6 = 0 QÖ) Rpta. 2x + y + 3 = 0 Determine una ecuación de cada una de las rectas normales a la curva y = x 3 - 4 x paralela a la recta x + 8y —8 = 0 (n ) Rpta. y = x y Rpta. x + 8y + 2 = 0, x + 8y—2 = 0 Determine una ecuación de cada una de las rectas normales a la curva y = x 3 - 4 x y paralela a las rectas que pasan por el punto (4, 13) y que son tangente a: y = 2 x 2 -1 Rpta. 4 x - y - 3 = 0, 2 8 x - y —99=0 Obtener una ecuación de la recta tangente a la curva y = ( 7 x - 6 ) ~ u3 que es perpendicular a la recta: 12x —7y + 2 = 0 (Í3) Rpta. y = — —— ( x V2 12 7 ¿En que punto de la curva x + -Jxÿ + y = 1, la recta tangente es paralela al eje X ? Rpta. p( 1,0) Derivadas 14) 557 Hay dos rectas que pasan por el punto (-1,3) que son tangentes a la curva x 2 + 4y 2 - 4x - +3 = 0 , obtenga una ecuación de cada una de estas rectas. Rpta. 4 y + llx —1 = 0, 4 y + x - 13 = 0 15) Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva ¿Jx}' = 14x + y , en el punto (2,-32) Rpta. 352x + 23y + 32 = 0 íó ) Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva 2 x 3 + 2 y 3 -9 x y = 0 Rpta. 5x—4 y - 6 = 0, 4x + 5 y - 13 = 0 en el punto (2,1) n) Hallar las ecuaciones de las dos tangentes a la elipse 4 x 2 + y 2 - 1 2 que pasan por el Rpta. 2x + y = 12 , 14x + y = 60 punto (4,4) 18) Hallar las ecuaciones de la tangente a la estrofoide y = - x J ——— Va + x en el punto Rpta. 31x + 8y + 9a = 0, 8x —3 ly + 42a = 0 19) Demostrar que la ecuación de la tangente a la curva y = a x 2 +b x +c en el punto la curva y - x 3 +ax + b en el punto (Xj, Vj) es: y = 2(axx + b ) x - a x 2 + c. 20) Demostrar que la ecuación de la tangente a (Xj, >')) es: _y = (3x2 + a )x -2 x ¡3 +b 21) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y es normal a la curva x 2 = 4y (22) Rpta. y = - x + 3 Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva y 2 + 4x = 0 y que pasa por el punto (2,1) Rpta. x + 2 y - 4 = 0, x —y —1 = 0 558 Eduardo Espinoza Ramos 23) Hallar las rectas normales a la curva xy - 2x + 4 = 0 en donde su abscisa es igual a su Rpta. y = - —+—, y = ~ — ordenada. 24) 3 3 ' 3 3 , x + 2 y —4 = 0 Demostrar que la hipérbola x 2 - y 2 = 5 y la elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 72 se cortan en ángulos rectos. 25) Demostrar que los círculos x 1 + y 1 =%axy la cisoide (2 a -x ).y 2 = x 3 son perpendiculares en el origen. ¿ó) Hallar las ecuaciones de las normales a la hipérbola 4 x 2 - y 2 = 36 paralelas a la recta Rpta. 2x + 5y —50 = 0, 2x + 5y = 4 2^ 2x + 5y + 50 = 0 Hallar una ecuación de la recta normal a la curva x - y = -Jx + y en el punto (3. 1) Rpta. 5x + 3y = 18 2 8 Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva y = 8 sen 2x en el punto (— ,1) 12 ^ 9) Rpta. y = & j 3 x - ^ ^ - + l , y = ——j= + l — —¡= H ' 2 Demuestre que las tangentes al folio de descartes 72^/3 x 3 + .y3 = 3 axy 6^3 en los puntos de intersección con la parábola y 1 =ax son paralelas al eje de las Y. 30) Halle la ecuación de la parábola y - x 2 + b x + c que es tangente a la recta y = x en el Rpta. >' = x 2 - x + l p u n to ( l,l) 31) Hallar una ecuación de la recta tangente y una ecuación de al recta normal a la curva dada en el punto indicado. a) x 3 - 3 x y 2 +y* = 1 , p(2,-l) b) x 2 -2x>' + _y2 + 2x + .y -6 = 0 , p(2,2) c) x 3 + y 2 + 2 x - 6 = 0 en y = 3 d) x 3 - 2 x 2_y2 +5x + j - 5 = 0 en x = l e) xy[xy+2y2 - 3 = 0, p (l,l) f)V3 + x\y2 — ^ 2x2 = 0 . p (l.l) Derivadas 32J 559 Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal en el punto p(-1,2) a la curva y e x+l + 2x y 2 - y + 2 x 2 + 6 = 0 33J Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de f ( x ) = (2 - 3.v + .V3 )Vl + jc2 en el punto x = 0. 34) Determinar la ecuación de la recta que pasa por (0,2) y es tangente a la gráfica de J ’{ x ) = 2 x i - 5.r + 6 . Determinar los valores de a, b y c de modo que: f ( x ) = x ~ + ax + b y g(x) = x~ + c x , tienen la misma recta tangente en el punto (2,2). VUvl — Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto p(-1,2) y es tangente la curva xy + 3y = x —1. (37) Hallar la ecuación de la tangente a la curva x 2y = x +1 cuya inclinación es 45°. @ Encontrar una ecuación de la recta normal a la curva y - xVl6 + x 2 en el origen. (39) dy Hallar — de las lünciones siguientes dadas en forma paramétricas: 2 al a) dy R pta. — = dx l+r 2/ 1- i ¿ l +r b) ,v = a(cosr + /se n /) y = a(sen t - t eos t) dy R pta. — = tgC dx eos 3 ! c) a/cos 2t sen3 i •Jeos 2t „ ¿ dy R pta- dx 3 - 4 sen2 / — l - 4~a— sen - / Eduardo Espinoza Ramos 560 d) x = arc. cos( . ' = ) Vi Rpta. -^ = -1 dx y = are. sen( Vi+t e) x =a(Ln tg —+ c o s í-s e n /) Rpta. y = o(sen / + eos t) dy _ dx a(cost-sent) ,1 t a(— tg —- sen í - eos t) Hallar í L Z de las siguientes funciones dadas en forma paramétrica. dx a) x - Lnt Rpta. dx~ v= /3 b) c) x = arc. tg I d 2y Rpta. - ~ y = 2 y - L n ( l + t 2) Ijc = a eos3 1 dx 1 Rpta. d 2y _____________ d x2 v = asen31 d) e) x = arc. tg I 1 t V =T [jé = are. eos-Jt = Rpta. dx~ Rpta. y =-Jt-t2 d 2y 3a eos4 /.sen/ = +0 +t 2)(3t2 +1) Wt - l 2 dx" Hallar la ecuación cartesiana en cada una de los siguientes casos: a) \ x —t -1 \y =4 t - t 2 c) x - 2 eos 9 +1 y = 3 sen 9 b) x = 2 sen 9 + eos 9 y = 2 sen0 -1 Rpta. (^ -J-)2 + Z - = 1 2 9 Derivadas 561 at x =- ü? d) Rpta. x ' + y 3 - a x y = 0 ai1 v=1+ / 3 e) „ f) x =a sed \y~btgt < Rpta. —— p ( 3, \x = acos i x2 y2 =1 a 2 bi 2 - j Rpta. x 3 +>' 2 - 2 - =a3 | v = a sen t 42) Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones x = 2t + 3 /2 , y - 12 + 2t3 satisface la relación y = y ' 2 +2y ' 3 43) Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones x = , r 3 2 y = —r H— ' 2t t 44) xy'3 = 1+ y’ • • Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones x= , ■Ji 45) satisface la relación 1 _ 1+ Vl + r - L n —— — — , y = , 1,satisfacelarelación Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones 1+ ln/ x = — -— . y = ----------- satisface la relación 46^ 3 + 2Luí,,2 y y = 2xy +1 Demostrar que y, determinada como función de x por las ecuaciones x = sent e v = ae1’^ 2 +be~’^ 2 satisface cualquiera que sean a y b la ecuación diferencial (1 - x 2) ^ ~ ~ - - x — - 2 y , dxdx Eduardo Espinoza Ramos 562 d-y 47) dx~ d ) \ 2l 3/2 ax Hallar n I* = a ( /- c o s í) para í = — donde: ■{ para a > 0 , t e[0,27r] 0(1- c o s í) 2^= Rpta. 2-Jía Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto correspondiente al valor del parámetro que se indica. x = a) 3/ ,2V 3r b) . t= o v = 2 sen2 1 r3 +l x = 3 s e n /-4 t=- C) 5K x = ae cost ,t = 0 d) V = 5 + 2 cos I y = ae sen t x = 2Ln(c tg/) + l x = t(t c o s í- 2 sen t) e) f> >' = tg / + C tg t , t=y = t(t sen t + 2 eos t) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva x = P , y = — — +— 2t 21 Rpta. 7 x - 10 y + 6 = 0, 10x + 7 y - 3 5 = 0 en el punto (2,2) Escribir la ecuación de la tangente a la curva x = t cost , y = t sent en el origen de coordenadas y en el punto t = — 5 l) n A + n ' Escribir las ecuaciones de la tangente y la normal y = V 2 sen 3 1 en el punto t= — 4 ti Rpta. v — - = ------- ( x ---8 A—7i 8 a la cicloide .y = -J2 eos' /, Rpta. x + y = 1, x —y = 0 Derivadas 52) 563 Escribir las ecuaciones de la tangente y la normal a la cicloide x = t - sent, y = 1 —cost en el punto para que el í = — 53) Escribir las ecuaciones de la tangente y la normal a la parábola semicúbica x = t 2 , y = / 3en el punto para que t = 2 54) R pta. 3 x —y —4 = 0 , x + 3 y —28 = Hallar f (n) (x) en cada una de lasfuncionessgtes: a) f(x) = senx R pta. / (n)(x) = sen(x+ — ) b) f(x) = cos2x Rpta. / (n)(x) = 2" cos(2x + -^ -) c) Rpta. / (n)(x) =nla" d) f(x) = cosx Rpta. / (n)(x) = cos(x + yp-) e) Rpta. f ^ n)(x) = k ne kx f(x) = (ax +b)n f(x) = e*J Rpta. f (n)(x) = 3.5.1...(2n + l)^fx ?5) Hallar / (M)(x) si f ( x ) = x"-Jx 5ó) ^ Hallar f (n)(x) si f ( x ) = ^ cx+d 5^ Hallar f (n)(x ) , si f ( x ) = sen a x + eos bx Rpta. f <n)(x) = n' (‘ad (cx+d) Rpta. 58) f (n)(x) = a n sen(ax+— ) + b n eos(bx + — ) J w 2 Hallar / (B,(x) si: a) J(x)=xex — Rpta. / <n)(x) = ex (x + n) 2 0 Eduardo Espinoza Ramos 564 b) f(x) = xLnx c) f(x) = se rr x d) f(x) = — Rpta. / " > ( , ) ,n>2 (x -2 )" * 1 59) ( x - l ) n+1 1 e) /(or) = 0 ./(x) = e 's e n x x2-l 2 L(x + l)n+1 ( x - l ) ',+1 n Rpta. f (n)(x) = e x ^T C* sen(x + Á~—) *=o Hallar / ‘"’(x) si: a) C) , e) J(x) = 1+x 1 -x 8 x -5 /(* ) = — 2x" + x - 6 ,, . 4x +1 /( x ) = — ---------2x + x - 3 g) 3x2 + 5x - 1 / (JC> = —----x - x r -“4:------7 x +4 i) fix) = 5x - 1 x 2 + x -1 2 b) .. d) 0 h) J(x) = x+1 x-x r, , 4 x 2 +3x + 5 / W = 7x-’ T +- 2x T X -— x -2 r 2x3 -1 9 x + 43 /(* ) = — x - 9 x + 20 f(x) =— 2x + l 6x' - x -1 j) x 6 + x 2 -1 f ( x) = — x" + x - 2 Aplicaciones de la Derivada 565 Ya se ha tratado una aplicación de la derivada, al hacer el estudio de las rectas tangentes y normales a la gráfica de una función. Una de las aplicaciones más importantes y útiles de la derivada está en el estudio de los valores máximos y mínimos de una función. Existen muchos problemas prácticos en los cuales se trata de encontrar una “mejor” manera de formularse problemas relacionados en la determinación de los valores máximos y mínimos de una función; ahora nos dedicaremos gran parte de este trabajo al estudio de los máximos y mínimos. Cuando se piensa que una derivada como en la razón instantánea de una función, se presenta muchas aplicaciones físicas de la derivada, las aplicaciones más obvias de la derivada en problemas de este tipo, es la determinación de la velocidad y aceleración de un objeto móvil los cuales también estudiaremos. a) DEFINICION.- La función f: D c R -> R, tiene un valor máximo absoluto en f(c) donde: b) DEFIN ICION.- La función f : D c R - > R , tiene un valor mínimo absoluto en f(c) donde: OBSERVACIÓN.- Algunas funciones tienen máximos ó mínimos absoluto sobre un intervalo y otras no. 566 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo. La función f ( x ) = x 3 , tiene a 8, como valor máximo absoluto y a “0”, como valor mínimo absoluto en el intervalo cerrado [0, 2] pero en él, intervalo abierto <0, 2> no tiene máximo ni mínimo absoluto. 5.2 TEOREMA.Sí f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor mínimo absoluto y un valor máximo absoluto en el intervalo cerrado [a, b]. OBSERVACION. Si el intervalo no es cerrado, el teorema no necesariamente se cumple. Por ejemplo: La función f ( x ) = — es continua en <0,1 > x pero no tiene máximo absoluto. Consideremos una función f continua en el intervalo cerrado [a, b]. Observando la figura se tiene que los puntos A y D son los más saltantes de la curva desde x = a hasta x = b, y el punto B es el más bajo; luego a las ordenadas de A y D que son f(a), f(c) le llamaremos valores máximos absolutos, pero los puntos F y H se denomina máximos relativos y los puntos C, E y G se denomina mínimos relativos. Por lo tanto, llamaremos extremos de una función a un valor máximo relativo ó a un valor mínimo relativo de una función. 567 Aplicaciones de la Derivada a) DEFINICIÓN.Diremos que f(c) es una valor máximo relativo de una función f si existe un intervalo abierto <c —5, c + 8> con 5 > 0 tal que f(x) está definida y f(x) < f( c), V x e <c —8, c + 8> b) DEFINICIÓN.Diremos que f(c ) es un valor mínimo relativo de una función f si existe un intervalo abierto <c - 8, c + 8>, tal que: f ( c) está definida y f(x) > f( c) V x e <c—8, c+ 8>. c) TEOREM A Consideremos una función f continua en el intervalo abierto <a, b> y sea c e <a, b>, si f(c) es un extremo relativo de f, entonces / ' (c) = 0 ó / ' (c) no existe. Demostración Consideremos que f(c) sea un valor máximo relativo, suponiendo que / ' (c) existe => 3 <c - 8, c + 8>, con 8 > 0, tal que V x * c, cuando x e <c-8,c>= > x < c = > x > 0 , de donde x —c f(x)< f(c — c < 0 . Luego V x )f(x) —f(c ) < 0, e <c — 8, f ' ( c ) = lim f ( x ) ~ f ( c) > o => f \ c ) > 0 x-c ...(1) c>, Eduardo Espinoza Ramos 568 cuando x e <c, c+8> => x > c => x —c > 0 f ( x ) — f(c) luego V x e <c, c+8>,-——— :----- < 0 , de donde x-c f ' ( c ) = lim x— *c x-c <o => f ' ( c ) <0 / ' (c) = 0 por lo tanto de (1) y (2) se tiene que: d) ...(2) DEFINICIÓN.Un número c para el cual una función f está definida y además f (c ) = 0 ó no existe, le llamaremos número crítico o valor critico de f. Ejem plo.- Encontrar los puntos críticos de: 0 /(x )= jc 4 +8x3 - 2 jr - 2 4 jc + l Solución Como: f ( x ) = x 4 +8jc3 - 2 x 2 -24at + 1 => f ' ( x ) = 4 x i + 24x2 - 4 x - 2 4 para hallar los números críticos de f, hacemos / ' (x) = 0 es decir: 4 x 3 + 2 4 2 - 4 .v - 2 4 = 0 => ( x 2 - l) ( x + 6) = 0 de donde los números críticos son {-6,-1,1} 0 f ( x ) = ( .v -l)2/3 +1 Solución I/I 2 Como f ( x ) = ( x - l ) ~ +1 => f'(:x) = — ¡ = ' ' 3 \fx -l Luego para hallar los números críticos se tiene que no existe f ' ( x ) por lo tanto M x - \ = 0 => x = 1 es un número crítico. Aplicaciones de la Derivada 569 Solución _ „ „ x 4 +3 3 3 ... „ Como f (x) = — ■ — - = x +— => / (x) = X X X2 Los puntos críticos se encuentran cuando f ' ( x ) = 0 ó no existe f ' ( x ) Si f ( x ) = 0 => x 4 -1 = 0 => x = ± l valores críticos Si no existe f ' ( x ) => x 2 = 0 = > x = 0 Sin embargo no es un valor crítico, porque la función f(x) no está definida en x = 0. Luego x = 0 es punto de discontinuidad. Si f es una función continua en [a,b], m y M son los mínimo y el máximo de f en [a,b] y d es tal que: m < d < M. Entonces existe: c e <a,b> tal que: f(c) = d En algunos casos es muy difícil determinar los números críticos de una función, de hecho no siempre hay números críticos. El siguiente teorema que se atribuye al gran matemático francés: MÍCHEL ROLLE, da condiciones suficientes para la existencia de un numero critico. El teorema se anuncia para funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en <a,b> tal que f(a) = f(b). Eduardo Espinoza Ramos 570 Observando la gráfica deducimos que es razonable esperar que existe un numero c entre a y b tal que la recta tangente en el punto (c, f(c)) sea horizontal o equivalente: / ' (c) = 0 , que viene a ser precisamente la conclusión del siguiente teorema: Ejemplo.- Halle el posible valor de z que satisface el teorema del valor medio para la función / ( x) = x 2 - 2 x + \ , x e [-1, 4] Solución Según el teorema del valor medio se tiene: Si f(x) es continua en [-1,4] y derivable en <-1, 4> entonces 3 z e <-l,4>, tal que: , / ( 4 ) - / ( —1) 9 - 4 , _______ / (r) = -----------------= ------- = 1, como: 4 -(-l) 5 f(x) =x 2 -2 x + \ 2 z= 3 5,5 => f \ x ) = 2 x - 2 => f' (=) = 2 z - 2 = l z = — e < - l ,4 > 2 T E O R E M A B E R O L L E .Sea f una función continua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto <a,b>; si f(a) = f(b), entonces existe un número z e <a, b>, tal que: / ' (z) = 0 . Demostración Aplicaciones de la Derivada 571 Primeramente daremos una interpretación geométrica del teorema. Geométricamente quiere decir, si f es una función continua y derivable en <a,b> y f(a) f(b) => 3 z e <a, b>, donde la recta tangente es horizontal. Ahora daremos la demostración del teorema: Si f(x) = f(a), V x e [a, b] => es una función constante y por lo tanto / ' ( - ) = 0 , V z e <a,b> si f(x) > f(a) para algún x e <a, b> => el valor máximo absoluto de la función continua f en [a, b] no es f(a) ni f(b), es decir que 3 z e <a, b> tal que f(z) es el valor máximo absoluto de f en [a, bj. Como el valor máximo absoluto, también es un valor máximo relativo, además f ( z ) existe entonces / '( z ) = 0 , porque f(z) es un extremo relativo. Si f(x) < f(a) para algún x e <a, b> => el valor mínimo absoluto de la función continua f en [a, b] no es f(a) ni f(b) es decir que 3 z e <a, b>, como el valor mínimo absoluto, también es un mínimo relativo, además f (z) existe por hipótesis => f ' ( z ) = 0 , puesto que f(z) es un extremo relativo. OBSERVACION.Si la derivada de la función no existe en algún punto de <a, b>, puede ser que no haya tangente horizontal, aunque la función sea continua y f(a) = f(b). y T Eduardo Espinoza Ramos 572 APLICACIONES.(7 ) Demostrar que la ecuación x 3 + x -1 = 0 m tiene exactamente una raíz real. Solución Primero usamos el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz. Esto es: f ( x ) = x 3 + x - l , entonces f(0) = -1 < 0 y f(l) = 1 > 0 puesto que f es un polinomio, es una función continua de esta manera el teorema del valor intermedio dice que existe un número c entre 0 y 1, tal que f(c) = 0, por consiguiente la ecuación dada tiene una raíz. Para demostrar que esta raíz es única aplicamos el teorema de ROLLE y razonamos por contradicción. Esto es: Supongamos que la ecuación tiene dos raíces a y b: entones f(a) = f(b) y como f es un polinomio; entonces es diferenciable f(a) = f(b) y como f es un polinomio; entonces es diferenciable en <a,b> y continua en [a,b], por lo tanto, por el teorema de ROLLE, existe un numero c entre a y b tal que / ' (c) = 0 ; pero f ' ( x ) = 3x2 +1 > 0 , V x. Es decir: / ' (x) no puede ser cero, lo que da lugar a una contradicción, por lo tanto, la ecuación no puede tener dos raíces. (? ) Demostrar que la ecuación: x 7 + 5x3 + x - 6 = 0 , tiene: exactamente una raíz real. Solución Sea /(x ) = x 7 + 5 x 3 + x - 6 , y f(0) = -6 < 0 y f(l) = 1 > 0 Puesto que f(x) es un polinomio, es una función continua y diferenciable en todo x; entonces es continua en [0,1] y diferenciable en <0,1>; Entonces, existe c e <0,1> tal que f(c) = 0, es decir la ecuación tiene una raíz real para demostrar que esta raíz es única, aplicamos el teorema de Rolle y razonamos por contradicción. Esto es; supongamos que la ecuación tiene dos raíces a y b entonces fía) = f(b) y como f es un polinomio, entonces f es diferenciable en <a,b> y continua en [a,b], por lo tanto por el teorema de Rolle, existe un numero c entre a y b tal que / ' (c) = 0 pero / '(x) = 7x6 + 15x2 + 1 > 0 , V x es decir: / ' ( x) no puede ser cero, lo que da lugar a una contradicción. Aplicaciones de Ia Derivada 573 Por lo tanto, la ecuación no puede tener dos raíces: La principal aplicación del teorema de ROLLE radica en la demostración del siguiente teorema. 5.6 T E O R E M A B E L V A L O R M E D I O. Si f es una función continua en el intervalo [a, b], derivable en <a, b> => 3 z e <a, b>, tal f(b)-Ab) b-a Demostración Primeramente daremos una interpretación geométrica del teorema. Geométricamente quiere decir, que la función continua tiene una tangente en todo punto entre A y B => por lo menos un punto en la curva entre A y B en la cual la tangente es paralela a la cuerda ad . AB, puesto que f(b)-f(a) , --------------- , es la b-a pendiente de la cuerda que une los puntos A y B por otra parte f ' ( z ) es la pendiente de la recta tangente en el punto (z. f(z>), por lo tanto: / '( - ) = —— —LJ—1 _ cuando f(a)=f(b) este teorema se transforma en el teorema de Rolle. b-a Ahora daremos la demostración del teorema. Consideremos una función g definida por: g(x) = f(x)(b - a) - x(f(b) — f(a)), g(x) es continua porque f(x) ( b - a ) y x(f(b) - f(a)) es continua en [a, b] Además g'(x) = f ' ( x ) ( b - a ) - f ' ( x ) ( b - a ) - ( f ( b ) - f ( a ) ) , com og'(x) existe en <a, b>; entonces g(x)es derivable en <a, b> g(a) = f(a)(b —a) —a(f(b) —f(a)) = bf(a) —af(b) g(b) = f(b )(b -a )-b (f(b )-f(a)) = b f(a)-af(b ) Eduardo Espinoza Ramos 574 Luego g(a) = g(b), por lo tanto cumple las condiciones del Teorema de Rolle => 3 z e <a, b> tal que g' (z) = 0 como g' (x)= f ' ( x ) ( b - a ) - ( f ( b ) - f ( a ) ) => g' (:) = f ' ( : ) ( b - a ) - ( f ( b ) - f ( a ) ) = 0 f ' ( : ) ( b - a ) = / ( b ) - f(a) de donde f ' ( z) = ^ ^ — b-a Ejemplo.- Verificar si se cumple el teorema de Rolle de la función / (x) = 2 x 2 -3 jc - 2 en x e [ - —,2] en caso afirmativo halle el valor posible de z. Solución La función íTx) es continua en [~,2] y derivable en <-■j , 2 > además f ( ~ ) = .1(2) = 0 por lo tanto cumple con las condiciones del teorema de Rolle. Ahora calcularemos el valor de ; e< - —,2 > como 2 f ( x ) = 2x 2 —3x ~ 2 => f ' ( x ) = 4 x - 3 , para : e < - ^ - , 2 > 3 1 4 2 f' (z) = 4 r - 3 = 0 => : = — e< — ,2 > 5.7. TEOREMA (PE LA FUNCION CONSTANTE).Sí / '( x ) = 0 , V x en algún intervalo <a,b>, entonces: fes constante en <a,b>. Demostración Sean .y, , x-, puntos cualquiera en <a,b> con .v, < x 2 puesto que f es diferenciable en <a.b>, entonces será diferenciable en < ,y¡ ,x 2 > y continua en [x, ,x 2 ]. Aplicaciones de la Derivada 575 Ahora aplicaremos el teorema del Valor Medio a la función f en el intervalo [xj , x 2 ] y tenemos un numero c tal que x x < c < x 2 y / ( x , ) - / ( x , ) = f ' ( c ) ( x 2 - x ¡ ) pero se tiene que: / ' (x) = 0 V x => / ’(c) = 0 . Luego f \(x2 ) - / ( x , ) = 0 ,\ 5.8. / (X[) = / (x2 ). Es decir la función f es contante en <a,b> TEOREMA (PE LA DIFERENCIA CONSTANTE).Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces: / ' (x) = g' (x) en a < x < b, si y solo si f(x) = g(x) + c, donde c es una constante. Demostración 1 ° Sí / ' (x) = g' (x ), en a < x < b, entonces: ( f ( x ) - g(x))'= 0 en a < x < b ahora por le teorema de la función constante se tiene: f(x) —g(x) = c = constante. 2o Si f(x) = g(x) + c. con c constante, entonces derivando se tiene: f ' ( x ) = g'(x) APLICACIONES.(T ) W Resolver: {> '- 3 * n * + 5*J +2 [ V'(0) = 4 Solución Tenemos >''= 3senx + 5x3 +2 = (-3 co sx + —x 4 +2x)' 4 Lueuo por el teorema de la diferencia constante, se tiene: y = -3 eos x + —x 4 + 2x + c • 4 donde c es una constante. Para hallar c evaluamos la ecuación en x = 0 y(0) = c => c = 4 (? ) W Resolver: ! " ' (,) = 2 r’ " sen ' + 3 1/40) = 1 y = -3 c o sx + —x 4 + 2x + 4 4 Eduardo Espinoza Ramos 576 Solución 2 9 Tenemos: n'(t) = 2 t 2 - s e n / + 3 = (—t 2 + cos/ + 3/)' entonces: n(t) = — 3 3 Evaluando la ecuación t = 0. ja(0) = 1 + c = 1 => c = 0 .\ + cosf + 3/ + c /u(l) = ^ t ' + eos i + 3í 3 Ejemplo.- Usar el teorema del valor medio para probar la siguiente desigualdad | sen x - sen y | < | x —y |, V x , y e R Solución Sea f(t) = sen t, esta función satisface las condiciones del teorema del valor medio, en f(y)-A x) todo intervalo [x,y] c R con x < y, entonces 3 c e <x,y> tal que / ' (c) = y -x sen y _sen \ y, f(x) = senx, / '(x) = cosx , f(y) = sen y. Luego :— — —= c o s c , c e <x,y> y-x Con | eos c | < 1, V c e R , entonces , sen v - sen x cos c |< 1 => | sen y —sen x | < | x —y |, V x, y e R v- x Ejemplo.- Usar el teorema del valor medio para probar la siguiente desigualdad: b-a , b-a . , n ------— < tg b - tg a < ------— , 0 < a < b< — eos- a eos" b 2 Solución Sea f(x) = tg x. Esta función es continua en [a,b] cz< 0 , y > y diferenciable en <a,b>; tg b —tg a i 7 entonces 3ce<a,b> tal que f'( c) = ------------ y / ' (x) = sec ~ x entonces / ' (f) = sec ‘ c b-a Ahora para a < c ; ■> ^tg ft-tg a í , sec’ a < f (c) < sec- b => sec a < —------<sec b b-a Aplicaciones de la Derivada . . b —a 577 b —a , „ , n es decir: ------— < t g / ; - t g a < ---- -— , pues O < a < b < — cos~ a eos b 2 Ejemplo.- Usar el teorema del valor medio para probar la desigualdad: ln (1 + x) < x, V x * -1 Solución Sea f(t) = ln (1 + t). Esta función es continua y diferenciable en todo su dominio. Luego es continua en [0,x] y diferenciable en <0,x> entonces por el teorema del valor / ( * ) - / ( 0 ) _ ln(l + jr)-lnl _ lnfl + x) medio 3 c e <0,x> tal que / '( c ) = - jc — Pero r W = — 1 De donde 0 => /'(<•)= — < 1 , c * - l +x ' 1+ c + £) < | p0r iQ tanto ln(l + x )< x , V x ^ - 1 Ejemplo.- Usar el teorema del valor medio para probar la siguiente desigualdad: l - - < ---------- < 1 --------; -1 < x < 0; x > 0 2 1 I (1 + x ) 2 2(1+ x ) 2 Solución a) Sea / ( / ) = - + --------(1 + ty Esta función es continua y diferenciable en <x,0>, con —1 < x < 0 entonces 3 c e <x,0> tal que / ' (c) = x 2 a-x 1 ì I I c , ■ ,w 4 (1 + x ) 2 2(l + x ) 2 - x ( \ + x ) 2 - 2 Es decir: f (c)= -—— ------;— = ---------------------- --------x I -2.v(l + x ) 2 Eduardo Espinoza Ramos 578 1 1 r y como //•./ ( / )1= —----------- 1 j => //■./ ( c )v = 1- ------------ 2(1 + O1 ~ 2(1+ c ) 2 rLuego 1 -----------1 - = — ( 1 -i - --------1 -) , 2 1 x 2 i 2(1+c)2 ...(1) (l+jc)2 Ahora sí c e <x,0> cz <-l,0> => -1 < c < 0 3 Entonces: 0 < 1 + c < 1 => 0 < (1 + c ) 2 < 1 1 => ,i < -------- 2 (l + <-)2 1 —)< X => - -1(/ -------2 1 (1 + c )2 1 2 1 1/ 2 2 =>1 - V - - n( --r < ° 3 (1 + c) 2 además; como x < 0 = > - x > 0 => - — > 0 x X 1 " (1 + * ) 2 entonces de (1) se tiene: 1----------—— —< 0 de donde tenemos: ... (a) Sea / ( 0 = — -——+ -—— ; x > 0 - b) x 1 1--- < -------- — 2 i (1 + x )2 (1 + í ) 2 2(1 + / ) 2 Esta función es continua y diferenciable en <0,x>: entonces 3 c e <0,x> tal que — L ^ + _ * * f ' (c ) i , (1+x)2 2(1 + x ) 2 -3/ =- --f ( x-j t)---0f (es0)decir:. f . ( c ) = - ------------------------------------------------------------- ------- -----x 1 2(1 + 1)2 Ahora como t > 0 => -t < 0 => f ' ( t ) < 0 579 Aplicaciones de la Derivada Entonces / '( e ) < 0 : pero x > 0 , por lo tanto: - + —— —< 0 de donde ---------- -----< 1 -------- — \ ' 2 I "" 1 (1 + a:)2 2(1 + . r ) 2 (l+.V )2 2(1 + , Y ) 2 - ■1 + Luego de (a) y (p) se tiene: X 1 1 - —< -------- r < ' (l + .v)2 5.9 2(l + .r)2 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES.a) DEF1NICION.Consideremos una función f definida en un intervalo 1, entonces f(x) es creciente en el intervalo; si para todo par A] ,.íi del intervalo, se tiene que / (A'i) < f ( x- , ) siempre que x x < x 2 b) DEFINICION Consideremos una función f definida en un intervalo I, entonces f(x) es decreciente en el intervalo, si para intervalo, todo se / ( y, ) > f ( x - ,) a-, <x-, par x^. xj del tiene que siempre que ... (p) 580 5J0 Eduardo Espinoza Ramos TEOREMA,Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en <a, b>, entonces: i) Si / '( x ) > 0 , V x e <a, b> => f(x) es creciente en <a, b> ii) Si / '( x ) < 0 , V x e <a, b> => f(x) es decreciente en <a, b> Demostración i) Suponiendo que _/'(x) > 0 , V x e <a, b>, sea entonces: ^ / ' ( ; ) = -— x x, x 2 e <a, b>, tal que x, < x 2 j _ ^ ^Y j 1—— , donde z está entre x, y x , (por el teorema del x2 -x , valor medio), pero x 2 - x ( > 0 y además ./ '(:) existe por hipótesis. Luego f ( x 1) - f ( x l )> 0 , es decir / ( x 2) > / ( x 1), ó sea, / ( x 1)< / ( x 2) para x, ,x 2 e< a , b > . entonces f(x) es creciente en el intervalo <a,b> ii) Suponiendo que / '( x ) < 0 , V x e<a,b>, sea x x ,x 2 e < a , b > , tal j entonces: |_ que: x, < x 2 j (X | = ------ — ;---- — , donde z está entre x, y x-, (por el teorema del x2 -x¡ valor medio) pero x¡ - x 2 < 0 como f ' ( - ) < 0 por hipótesis. Luego / ( x 2) —f ( x \ ) < 0 »entonces f ( x 2) < / ( x 1),ó sea, que / ( x , ) > / ( x 2) para Xj ,x 2 e< a, b> , entonces f(x) es decreciente en <a, b> Ejemplo.- Hallar los intervalos donde la función: f ( x ) = x 5 - -5x3 -2 0 x —2 es creciente y decreciente. Solución Los intervalos donde la función f(x) es creciente o decreciente se encuentra con los puntos críticos de la función es decir haciendo /'( x ) = 0 entonces: / '( x ) = 5x4 - 1 5 x 2 - 2 0 = 0 de donde (x 2 - 4 ) ( x 2 +1) = 0 => ¡-2,2¡son los puntos críticos, ahora los puntos críticos los dibujamos en la recta real Aplicaciones de la Derivada 581 - o -2 O 2 y se obtienen los intervalos '<-*>,-2>, <-2,2> y <2,+»> Luego determinaremos en que intervalo es creciente o decreciente. Si xe<-*,-2>, f ( x ) = (x + l)(x -2 )(x ' +!)>() => la función f(x) es creciente sobre <-oo,-2> Si x e< -2 ,2 > ,/'(x ) = (x + l)(x -2 )(x 2 +1) < 0 =>la función f(x) es decreciente sobre <2,+x> Si xe<2,+oO, / '( x ) = (x + l)(x -2 )(x 2 +1) > 0 =>la función f(x) es creciente sobre <2,+oo> 5.11 CRITERIO DE LA l'RIMLRA M M i \ RELATIVOS.» A PARA . Vi R F M O S Consideremos una función f continua en [a, b] y sea c e <a, b> un número crítico y / '( x ) está definida para todos los puntos de <a, b> excepto posiblemente en c, entonces: . i) .. Si / '( x ) > 0 ,V x e < o ,c > l > => f(c) es un valor máximo relativo de f f ' (x) < 0, Vx e< c, b > j r ( x ) < 0 . V x e < O.c > ii ) Si ^ f ' (x) > 0, Vx e < c , b >j ¡ii) Si / '( x ) no cambia de signo, cuando x pasa por c entonces f(c) no es un valor máximo ni mínimo relativo. f(c) es un valor mínimo relativo de f Eduardo Espinoza Ramos 582 Ejemplo.- Hallar los valores máximos y mínimos relativos de la función f ( x ) = .r5 —5jc3 -2 0 jc - 2 Solución Para calcular los máximos y mínimos relativos, primeramente se debe de calcular los números crítico, es decir: f ' ( x ) = 0 para obtener los números críticos como; / ( x) = x - ~ 5 x 3 - 20.V- 2 => ./"(.t) = 5*4 - 1 5x2 - 20 = 0 (x - 4 ) ( .v +1) = 0 de donde x = ±2 números crítico. Para x = - 2 Para x = 2 Sí -O -o - f ' ( x ) = 5(x + 2)(x -2)(x~ +1) -2 , x < -2, f ' ( x ) > O4 Sí - 2 < x < 2, / ' (x) < 0 - 2 < x < 2 , / ' (x) < 0 “ | 2 => máximo relativo en f(-2) = 46 mínimo relativo en f(2) = -50 x > 2 ,f'(x ) > 0+ Ejemplo.- Hallar los máximos y mínimos de la función f ( x ) = x 5 - 5 x i —2 0 x - 2 , mediante el criterio de la segunda derivada Solución Primeramente hallaremos los números críticos de la función f(x), es decir: Aplicaciones de Ia Derivada 583 / ( * ) = . r 5 - 5 x 3 - 2 0 x - 2 => f ' ( x ) = 5 x4 - 1 5 x 2 - 2 0 = 0=>(x2 - 4 ) ( x 2 + l) = 0 = > x = ± 2 números críticos ahora calculamos la segunda derivada, es decir: J'"(x) = 20 x 3 -3<)x, ahora evaluamos en los números críticos. / " ( - 2 ) = -100 < 0 => 3 máx.relativo en f(-2) = 46 / " ( 2 ) = 100 > 0 => 3 min.relativo en f(2) = -50 5.13 CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION.Consideremos una función f derivable y sea P un punto de la gráfica f, si todos los puntos de f arbitrariamente cercano a P están por arriba de la recta tangente a f en el punto P, entonces la gráfica es cóncava hacia arriba en P. Si todos los puntos de f arbitrariamente cercano a P están por debajo de la recta tangente en P, entonces la gráfica es cóncava hacia abajo en P. Eduardo Espinoza Ramos 584 Cuando f tiene una sola tangente en P y f es cóncava hacia arriba en todos los puntos cercanos arbitrariamente a P situados a un solo lado y es cóncava hacia abajo en todos los puntos cercanos arbitrariamente a P situados al otro lado de P, entonces P recibe el nombre de punto de inflexión. a) DEFINICION.Sea f una función derivable, si P(c, f(c)) es un punto de la gráfica y si existe un intervalo abierto <a, b> sobre el eje X y e e <a, b>, tal que: V x í c, x e <a, b>. Si el punto Q(x, f(x)) correspondiente a la gráfica está por arriba de la recta tangente en P, entonces la gráfica es cóncava hacia arriba en P. i Y \ c ó n c a v a h a c i a \ a r r i b a \ P ( c i \ . l ^ 1 1 1 1 1 1 1 1 0 b) a y / , f ( c ) ) i f(x) / / Q(x, f(x)) i T 1 1 1 1 1 1 1 c = 1 1 1 1 1 1 1 1 x b X ' DEFINICION Sea f una función derivable, si P(c, f(c)) un punto de la gráfica y si 3 <a, b> sobre el eje X y ce <a, b> tal que V x * c, x e <a, b>, si el punto Q(x,f(x)) correspondiente a la gráfica está por debajo de la recta tangente en P entonces la gráfica es cóncava hacia abajo en P. Aplicaciones de la Derivada c) 585 DEFINICION.Un punto P(c, f (c )) es un punto de inflexión de f si existe un intervalo abierto <a,b> y c e <a,b> tal que la gráfica de f sea cóncava hacia arriba sobre <a,c> y cóncava hacia abajo sobre <c, b> ó reciprocamente d) DEFINICION.Si P(c, f(c )) es un punto de inflexión de f y si existe / " ( c ) entonces f " ( c ) = 0 . e) TEOREM A.Suponiendo que f: R -> R es derivable en <a, b>. a) Si f es una función tal que f " ( x ) > 0 , V x e <a, b>, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre <a, b>. b) Si f es una función tal que J "(x) < 0 , V x e <a, b>, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre <a, b> Eduardo Espinoza Ramos 586 INTERPRETACION GRAFICA Y A Y y = f(x) 0 a c b x *• 0 a c b X Ejemplo.- Determinar los intervalos en donde la función es cóncava hacia abajo y cóncava hacia arriba. 0 f ( x ) =3jc4 -lO .t3 - \ 2 x 2 +10.V + 9 Solución / ( * ) = 3jc4 —IOjc3 -12jc2 +10x + 9 =? i ' (.r) = 12x 3 - 30,t 2 —24x +10 => f " (x) = 3 6x 1 - 60x - 2 4 . ahora hacemos: / ' '(x) - 0 para determinar los puntos de inflexión. 36.v2 -6 0 .V -2 4 = 0 =í> 3.v2 - 5 . r - 2 = 0 ^ 2 de donde x = — . x = 2 3 Para ~ - < x < 2 , 3 / ” ( x ) < Q => f(x) es cóncava hacia abajo en < — ,2 > Aplicaciones de la Derivada 587 5.14 EJERCICIOS DESARROLLADOS.- 1.- Construir la gráfica determinando los puntos críticos, puntos de discontinuidad, los extremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los puntos de inflexión y la dirección de su concavidad de la gráfica. © 3 2 v = x - 3x Solución Calculando, los valores críticos — = 0 , es decir: dx dy , 2 — = 3.v - 6.v = 0 dx x = 0, x = 2 valores críticos para el valor critico x = 0 x<0 dy >0 dx entonces 3 máximo relativo en x = 0 donde se tiene el punto máximo (0.0) 0<x<2 , ^ < 0 dx para el punto critico x = 2 0 < x <2 , — < 0 dx entonces 3 mínimo relativo en x = 2 donde se tiene el punto mínimo (2,-4) 2<x <+oo, — > 0 dx La curva y = .y3 - 3 .í 2 es creciente sobre los intervalos <-oo,0> y <2,+oo> y es creciente en el intervalo <0,2> Ahora calculamos los puntos de inflexión, es decir: d*\ — = 6r - 6 = 0 => x = 1 => y = -2 dx Eduardo Espinoza Ramos 588 Luego (1,-2) es el punto de inflexión i • Como — —= 6(a -1) dx~ d 2y Para x < 1,— j - < 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < -* ,l> . dx~ d1 • Para x> l , — r- > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < 1,+»> dx~ © X fix) Conclusiones < - 0 0 ,( ) > + Creciente < 0 ,2 > - Decreciente <2.oo> + Creciente X f"(x) Conclusiones <-*>,l> - Cóncava abajo < 1 ,0 0 > + Cóncava arriba f(x) = Solución Primeramente hallaremos los puntos críticos 12_v — 4 y * ------ 1— = / ' ( x) = — 0 => 4 jc( 3 - jc ' ) =0 Luego { -7 3 ,0 ,^ 3 } son los valores críticos => x = 0, jc = ± V 3 -r i rz ■r Aplicaciones de ia Derivada 589 ~ = 4 x( * j3 - x ) ( ^ 3 + x) dx ahora veremos en que puntos críticos se tienen máximos o mínimos. ~ S x < —s/3 , ^ > 0 * dx 3 máx. relativo en ,y = —73 , (—73,1) - V 3 < a- < o , 4 : <0 dx -V3 < . r < 0 , ^ - < 0 “ dx 3 mín. relativo en x = 0, (0,0) 0 < .y < ^ 3 , — dx > 0 * para el puato critico x = -73 0<x<^¡3 , — > 0 + dx ■3 máx. relativo en -7 3 < ,y < + o o , — .y = V J , (V3,1) < 0 ‘ dx La función f(x) es creciente sobre los intervalos< -oo,—7 J > ,< 0 ,V3 > y es decreciente sobre < —73,0 > , < 7 3 ,+ * > ahora calcularemos los puntos de inflexión, es decir: 12 12 9 /" ( . Y) = — - =0 => X = ±l => 5 9 5 9 (1.— ) . (— 1,— ) son los puntos de inflexión. Ahora calculamos los intervalos de concavidad Eduardo Espinoza Ramos 590 /■•(jr) = ^ ( 1- jcKI + jc) ____ + A/ -1 para x < -1, f " ( x ) <0 - V __ + 1 => f(x) es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-oo, -1> para -1 < x < 1, / " ( x) > 0 => f(x) es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-1, 1> f + (x) Conclusiones + Creciente > - Decreciente V para x > 1, f ' ( x ) < 0 => f(x) es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <1, +oc> + Creciente > - X < -no, -^¡3 > A o < - 7 3 ,0 < © -y/3 ,+ 0 0 f(x) = X / " ( X) Conclusión Cóncava abajo < - O C ,- 1 > < -l,l> + Cóncava arriba < l, 0 O > - Cóncava abajo Decreciente 125 Solución Hallaremos los puntos críticos es decir: fax(\~_5)” i_ / ' (x) = — ---------- = 0 => x = 0, x - ±V5 son los valores críticos 125 f' (x) = 6x( x2 - 5 ) 2 125 -7“ ■r Aplicaciones de la Derivada 591 ahora veremos en que puntos críticos se tiene máximos y mínimos. Para ei punto critico x ~ ~ ^ 5 Para x < - 4 5 , / ' (x) < 0 ' 3 máximo ni mínimo en x = -7 5 - V 5 < .v < 0 , / ' ( je ) < 0 -■Js < x <0 , /"'(jc)< 0 3 mínimos relativo en x = 0, (0, - 1) Q<x<S, c)> 0 + 0 < * < V 5 , f ' ( x ) > 0* 3 máximo ni mínimo en x - 45 s Í 5 < x < + * , / ’ (je) > 0 " además la función f(x) es creciente sobre los intervalos < 0, V5 > , < V5 ,+*> > y es decreciente sobre los intervalos< -oo,—\¡5 > y < —v/5,0 > . Ahora calcularemos los puntos de inflexión , es decir: / " ( j e ) = Y j t i 2 — 5>(je2 - 1 ) = 64 0 de donde x 64 Luego Í - 1 - — ) . (1- ^ r- = ± 1, je = ± ^ 5 i— ’ (-V 5.0). (^5,0) Son los puntos de inflexión, ahora calculando los intervalos deconcavidad ---------- 4 ----------------- A--------------------------------- i-1----------- f Para x < —\Í5 , / ' ' (.v) > 0 intervalo < y/5 > •1 => 1 la gráfica -n/es cóncava hacia arriba sobre el Eduardo Espinoza Ramos 592 Para --J5 < x < - 1 , f ”(x)< O => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el Para -1 < x < 1, intervalo < -l,l> f " ( x ) > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el Para f " ( x ) < 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < —V5,—1 > \ < x <-j5 , intervalo <1, V 5 > Para -J5 < x < +-c, f"(x)> 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el Decreciente —n/5,0 > - Decreciente O < + Creciente + Creciente v/5 > + Cóncava arriba < -V 5 - 1 > - Cóncava abajo < -l,l> + Cóncava arriba - Cóncava abajo V5 ,+ • » > + Cóncava arriba A A V Conclusión X < 4$ ,+Q ° > < ( 4) f ( x ) = (x + l ) L n i (x + \) Solución La función f(x) es definida para x e <-1, +oo> Luego calcularemos los puntos críticos, es decir: /'(.* ) =[ln(x + l) + 2]ln(.v + l) = 0 , de donde: V - 00, — < - f"{x) V Conclusión A 1 8 l /' X & intervalo < -J5 ,+*> > 593 Aplicaciones de la Derivada Ln(x+1) = O v Ln(x+1) +2 = 0= > x = 0, x = - \ + — e~ o sea que {0,-1 + — } son los puntos críticos e~ -1 J ' ( x ) = Ln(x+l)[Ln(x + \) + 2\ 0 ~ 1+7 ahora calculamos los máximos y los mínimos 1 para el punto crítico x - - 1 + ~ -1 < x < - 1 + —, f ' ( x ) > 0" e 1 1 4 3 máx. relativo en.v = -1 + — , (-1 + — , — ) e~ e~ e~ -1 + —< .r < 0 , / ’(jc) < 0 “ e para el puato crítico -l+-<.v<0, e x -Q r(x)<0~ 3 mínimo relativo en x = 0, (0,0) 0 < 0 < + oo, f ' ( x ) > 0" La gráfica es creciente sobre los intervalos < -1,-1 + —> , <0,+oo> y decreciente sobre el e intervalo < -1 + - ,0 > . Ahora calcularemos los puntos de inflexión, es decir: e z, . w = 3 í ü < í l ! ) ± l l „ o = , — u í .í + 1 e de donde (-1 + — ) es un punto de inflexión. e e Eduardo Espinoza Ramos 594 W + .H U x +l para —1 < jc< —1 e , --------- + -------------------+ 7 -1 + — e - f ' ( x ) < O, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el ' intervalo < - l , - l + —> e para -1 + —< jc<oo, e f " ( x ) > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < - l + —,+ o o > e f'W X < - l,- l + -> e Conclusiones + Creciente Conclusiones Cóncava abajo ' Decreciente < - l+ - ,0 > e + <0,+*>> J"(x) + Cóncava arriba Creciente f(x) = Solución La función f(x) está definida en todo R-{-1.1} ahora calcularemos los puntos críticos, es decir: x 2 —3 [ ' (x) = — ..... — = 0 3 ^ 1 ? => jc = ±V3 valores críticos. Aplicaciones de la Derivada 595 --73 / ( jc) = ------ ¡----3 —-s/3) para el pimío critico JC < l ï , . , , ....................... , ahora calculamos los máximos o mínimos; x -S —s/3 . f ' ( x ) > 0J ■Æ, 3 máx.relativo en x = -73, (—7 3 , - - 7=) V2 —•73 < x < - 1 , / ' (x) < 0 para el punto critico je =-73 1 < x < -73 , /'(.c ) < 0 ■3 mín. relativo en x = ^JÏ , (-73, -J ï / V2 ) -JÎ < * < * > , f ' ( x ) > (T además la función f(x) es creciente sobre los intervalos < -oo,—73 > y < a/3 ,+°° > . decreciente en los intervalos < -7 3 ,-1 > ,< -1 , 1> y < 1,-73 > . Ahora calcularemos los puntos de inflexión, es decir: /" ( * ) = = 0 => x = 0, x = ± 3, 9*j(x2 - l ) 7 3 3 de donde: (0, 0),(3,—), ( - 3 ,- —) son los puntos de inflexión, además como asíntotas verticales tiene a x = ±1 ahora calcularemos los intervalos donde f(x) es cóncava - 3 - 1 0 1 3 para x <- 3, / " ( v ) > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-*>,- 3> Eduardo Espinoza Ramos 596 para -3 < x < -1, / ' " (x) < O, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-3,-l> para -1 < x < O, f " { x ) > O=> la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-1, 0> para O< x < 1, f " ( x ) < O=> la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <0, 1> para 1 < x < 3, J "(x) > O => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < 1,3> para 3 < x < Conclusión X f"(x) Conclusión + Creciente <-oo, -3> + Cóncava arriba - Decreciente i V Cóncava abajo 1> - Decreciente + A - Decreciente V < V3,oo V i, 1 8 A < - 7 3 ,- 1 > + > A 1 f'(x) X <-1, < O => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <3, *>> <-l,0> <0, Creciente Cóncava arriba Cóncava abajo <1, 3> + Cóncava arriba < 3 ,+ » > - Cóncava abajo 1> i i Y O © —r=----------------'--► -^r 3 x f(x) i](x-2)2 Solución La función f(x) está definida V x * 2 calculando los puntos críticos, es decir: x-6 3 ^ /Ü ^ 2 )5 ■= 0 => x = 6 valor crítico Aplicaciones de la Derivada 597 ahora calcularemos el máximo o el mínimo. Para x = 6 2 < x < 6, f ' ( x ) < 0 => 3 mínimo en x = 6 , el punto critico (6,—¡=) v2 6 < x < + x, f ( x ) > 0' además la función f(x) es creciente sobre los intervalos < -x, 2>, <6. + x > y es decreciente sobre el intervalo <2, 6> ahora calcularemos los puntos de inflexión, es decir: —2(v —12) f"(x) =— = = = = = 0 9ij{x-2) 12 => x = 1 2 d e d o n d e (12,—= = •) es el punto de inflexión VToo calculamos los intervalos de concavidad. / " ( -V) = - 2 (jc-1 2 ) >lj(x- 2)g —<D- 12 para x < 2, f " ( x ) > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < -x , 2> para 2 < x < 12, J " ( x ) > 0 =>la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <2,12> para x > 12, f " ( x ) <0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <12,+x> © f ( X) = ( J L - ) e ' 4 -x Eduardo Espinoza Ramos 598 Solución Calculamos los puntos críticos, es decir: / ' (x ) = —— —— (4-x)2 = 0 => x = 2 además x = 4 es punto de discontinuidad. Luego determinaremos si tiene máximo o mínimo en x = 2 ---- 2 4 para el valor critico x = 2 para x < 2, f ' ( x ) > 0+ => No existe max. ni min. relativo para 2 < x < 4, / ' (x) > 0 ' )* además f'(x) > 0 , V x e <4,+x>> => f(x) es creciente sobre los intervalos <-*.2>, <2,4>, - <4,+oc>, ahora calcularemos los puntos de inflexión es decir: x ( x —2)(x —))xe * t (x) = ---------------------- = 0 (4-x) => x = 0, x = 1, x = 2 de donde (0.0), (1,— ) , (2,— ) son los puntos de inflexión 3e f e~ ■ 0 Si x < 0, f " ( x ) < 0 1 2 4 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-oo,0> Si 0 <x < 1, f " ( x ) > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <0, 1> Si 1 < x < 2, f " ( x ) < 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <1,2>. Si 2 < x < 4, f ”(x) > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <2,4>. Si x > 4, f " ( x ) < 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <4, +»>. Aplicaciones de Ia Derivada 599 CONCLUSIÓN x /' Conclusión <-x,2> >0 Creciente < -» ,0 > <2,4> >0 Creciente < 0, <4,»> >0 Creciente X Conclusión de f /"(-Y ) <0 Cóncava hacia abajo > 0 Cóncava hacia arriba <1,2> <0 Cóncava hacia abajo <2,4> > 0 Cóncava hacia arriba <4,oo> < 0 Cóncava hacia abajo 1> © Solución Calculando los puntos críticos, es decir: 1 f '( x) = (x + l)~ (.r- l)(5,v-l) = 0 , de donde x=-l, .y = —, x=l son los puntos críticos. Ahora analizaremos en que puntos críticos se tiene los máximos ó mínimos. / ' ( y) = (.Y+l)2(.r-l)(5 ,Y -l) T\ * para el punto critica x - - l para x < -1, f ' ( x ) > 0" No existe máx. ni mín en x = para -1 < x < —, / ' (.v) > 0 * 1 Eduardo Espinoza Ramos 600 para el punto critico x = i para - 1 < x < —, / ' ( a ) > 0 ‘ . para < v < 1, / '( * ) < 0 1 1 3456 :=> 3 max. en jc = —, (—, -------) J para el punto critico x = 1 => 3 min. en x = 1, ( 1.0 ) < x < x. /'■(x) > 0 La función f(x) es creciente sobre los intervalos < -*, -1>, < - 1 ,—> y <1, +*-> y es decreciente < -7,1 > ahora hallaremos los puntos de inflexión, es decir: / " ( a) = 4(. y + 1)(5,v' —2x —1) = 0 =>x = -l, x = -— ( 1+ -\/6 J ^ ( 2 9 _ 6^ ) > , (i—2^ 5 625 5 , x - de donde (-1,0) y _lr_(29 + 6^ ) ) son los puntos de inflexión. 625 Ahora detenninaiemos los intervalos de concavidad. , " ( x ) = Mx + \ ) ( x - -] ^ ) ( x - ]- ^ ) '1 t3 -g . para x< - 1 ,/ " ( . y) < 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-•*>.-1> para -1 < a < -—— . f ' ' ( a ) > 0 => la urálica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo 5 . , 1-V 6 . ' Aplicaciones de la Derivada para 1 ^ 601 < x < *+^ ~ , / ” (*)< 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el . 1—\fb 1+ 4 6 intervalo < -------- , ---------> 5 5 para x > ■+^ , f " ( x ) > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo 1+ V6 < -------- ,+oo > X x <-00, -1> / '( * ) + + < -l,-> 5 < - ,l> 5 <1, 00> ® w Conclusión f'ix ) + <-00, -1> Creciente Creciente , 1 -4 6 < 5 Conclusión Cóncava abajo Cóncava arriba > - Decreciente J - 4 6 1+ 4 6 _ 5 ’ 5 + Creciente 1+ 4 6 < -------- ,+00 > 5 Cóncava abajo ' + Cóncava arriba /w =_ £ ! ^ ñ je + 8x + 16 Solución Hallaremos los puntos críticos, es decir: 4(3* - 4) 4 f ' (x) = --------- — = 0 => x = — punto crítico (x + 4 y 3 además x = —4 es punto de discontinuidad ahora calcularemos el punto máximo ó mínimo. Eduardo Espinoza Ramos 602 / '( * ) = 4 (3 * -4 ) -4 (* + 4)3 4/3 para - 4 < x < — , f ' ( x ) < 0" 4 4 1 • 3 mínimo en x = — de donde: (—,— ) 3 3 8 para — < x < oo, / ' (x) > 0 + además para x < — 4, / ’(x) > 0 . Luego intervalos la función f(x) es creciente sobre los 4 4 — 4>, < —,+*>> y decreciente sobre el intervalo < - 4 , —> ahora < -o o , calcularemos los puntos de inflexión, es decir: x -4 = 0 x= 4 (x + 4) de donde (4,0) es punto de inflexión. Luego calcularemos los intervalos de concavidad —4(x —4) -4 para x < —4, f"(x)> 0 la =: 4 gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <—*>,—4> para - 4 < x < 4, f ” (x) > 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < - 4, 4> para x > 4, /" (* )< 0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <4, + o o > X <-00, -4> . 4 < - 4 , —> 3 4 < —, + 0 0 > 3 f'(x) + ” 4 Conclusiones Creciente Decreciente Creciente f"(x) X Conclusiones -4> + Cóncava arriba <-4, 4> + Cóncava arriba < 4 ,+ o o > -■ Cóncava abajo < -o o , 603 Aplicaciones de !a Derivada f(x) =x e Solución Calcularemos los puntos críticos, es decir: f ' ( x ) = x 2( 3 - 4 a 2 )e4~2' = 0 =>x = 0, x = ± 73 puntos críticos. Ahora analizaremos en que puntos hay máximos y mínimos f ( x ) = x 2( 4 3 - 2 x ) ( 4 3 + 2x)e4~2xl 2 para .t < • f(x) < 0 . 73 ,-a /3 -3 ^ 3 5/2 , =>3m m . en x = ------ ,(-------, ------- -e ) 2 para /3 < x < 0 , / ' (x) > O-* < jc < 0 , f ' ( x ) > 0 + 2 no existe max. ni min. 2 8 Eduardo Espinoza Ramos 604 F 0 < x < —j - , / ' (x) > 0* a - • V3 ,V3 3V3 5/2 , => 3 máximo en x = — , (— ,----- e ) 2 2 8 x > 2y . f ( x ) < 0 ■73 -73 además la función fi(x) es creciente sobre los intervalos < ------ ,0 > y < 0 .— > y 2 2 decreciente sobre los intervalos •73 -73 < - x , ------ > y < — ,+*> > ,ahora calcularemos los 2 2 puntos de inflexión, es decir: f " ( x ) = 2 x ( 2 x + l ) ( 2 x - l ) ( - j 2 x + - j 3 ) ( - j 2 x - ~ j í ) e 42x = 0 => n 1 VJ V3 1 x = 0, x = — , x = ------ , x = -----, x = — 2 2 2 2 ( 0 , 0 M - ^ , - - ^ ) , i - ¿ - | | | e ) , ( ^ , | ^ | é ? ) , ( | - , ^ y - ) son puntos de inflexión. Ahora calcularemos los intervalos de concavidad. 0 f ' '(x) = 2x(2x + 1)(2x - 1)(-Jlx + -73 )(-72x - V J )e4~2x'' para x< , f ”(x)< 0 intervalo: < -•», J - > V2 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el Aplicaciones de la Derivada para 605 f"(x)> 0 - I intervalo para « => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el 4 ~ —<x < (), f"(x) <0 => la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo: < —- ,0 > 2 para 0 < x < —, f " ( x ) > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < 0, —> 2 para /" (* )< 0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < — 2 V2 para x > ^ j — , f ”(x)> 0 => la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo 4 RESUMIENDO: X / '( * ) Conclusiones - Decreciente + Creciente + Creciente o V A < -0 0,--------> 2 A o V -73 < -----,+00 > 2 Decreciente Eduardo Espinoza Ramos 606 X /" (* ) Conclusiones Cóncava abajo ' 3 2’ <— 2 l + Cóncava arriba * Cóncava abajo + Cóncava arriba 2 > ,0 > < 0 ,-> 2 1 < — 2 — > v 2 3 —,+00> 2 "i (n ) Cóncava abajo 17 ‘ + Cóncava arriba Graficar f ( x ) = cos(- j X^) + Solución © Sea f ( x ) = a) , Xl = , Hallar: 4x2 +7 Los intervalos donde f es creciente y decreciente. Aplicaciones de la Derivada 607 b) Los valores máximos y mínimos relativos. c) Puntos de inflexión y graficar. Solución entonces / ' (x) ■ /(* ) = x2+ 7 (x¿ + i y / ' (jc) > 0 , V x e R, entonces f es estrictamente creciente en R. No tiene máximos ni mínimos relativos. Además f(0) = 0, su gráfica es: lim f ( x ) ~ 1 y x —>+cc< lim f ( x ) = -1 .v— ■ uiolüw» J ob i- )u rn • fií fi soorioiioo {£-,.() rfírnsbc X II. O Si f ( x ) = a x s + b x 2 , determinar a y b de modo que la gráfica de f tenga un punto de inflexión en (1,2) Solución Como (1,2) es punto de inflexión => / ' ’(1) = 0 / ' ( x) = 3a x 2 + 2 bx => f " ( x) = 6ax + 2b f' '( \) = 6 a + 2b => 3a + b = 0 además (1,2) pertenece a la gráfica de f(x), entonces: Eduardo Espinoza Ramos 608 3a + ¿>= 0 f(l) = 2 => f(l) = a + b = 2 => a + b = 2. Luego: => , a +b = 2 © a = -1 b= 3 Determinar a y b, tal que: f ( x ) = 2 x 3 + 0 *2 +6 presenta un extremo relativo en (1, -2) Solución Como (1, -2) es un extremo relativo / ' (jc) = 6 x 2 + 2ax => /'(1 ) = 0 => / ' (1) = 6 + 2a = 0 =í> a = -3 además (1,-2) pertenece a la gráfica de f, entonces: f(l) = -2 => 2 + a + b = -2 => a + b = -4 => b = -l (!) Si / (jc) = ax3 + Ax2 + e x , determinar a , b y c de manera que (1,2) sea punto de inflexión de la gráfica de f y de pendiente de la tangente de inflexión en dicho punto sea—2. Solución Como (1,2) es punto de inflexión => / ' 1(1) = 0 , entonces: / ' (x) = 3ax2 + 2bx + c => f " ( x ) = 6ax + 2b entonces: / " ( l ) = 6a + 2b = 0 . de donde 3a + b = 0 además se tiene la pendiente de la tangente de inflexión en entonces : (1,2) es / '( l ) = -2 / ’(1) = 3a + 2b + c = - 2 entonces 3a + 2b + c = -2 también (1,2) pertenece a la gráfica entonces f(l) = 2, es decir: 3a + b = 0 íU) = a + b + c = 2 => a + b + c = 2. Luego 3a + 2b + c = - 2 a + b + c =2 a =4 => ¿7 = -12 c = 10 609 Aplicaciones de la Derivada (? ) Hallar a, b, c y d de manera que / ( jc) = ax 3 +bx2 + ex + d presente extremos relativos en (1,2) y (2, 3) Solución Como (1, 2) y (2, 3) son extremos relativos => / ' (1) = 0 , / ' (2) = 0 , entonces / ' ( jc) = 3a x 1 + 2bx+ c de donde además los puntos (1,2) y (2,3) pertenece a la gráfica, entonces: / ( 1) = 2 a +b + c + d = 2 / ( 2) = 3 t a + 4b + 2c + d = 3 por lo tanto se tiene: 3a + 2¿>+c = 0 a = -2 12a + 4é + c = 0 ¿=9 c = -12 a+ b + c + d = 2 8a + 4b + 2c + d = 3 ( 5) Dada la función / ( jc) d =1 = m x3 + nx 2 +rx + t , determinar las constantes m, n, r, t para que f tenga un extremo relativo en (0, 3) y la gráfica de f con punto de inflexión en (1,-1) Solución Como (0, 3) es un extremo relativo => / ’(0) = 0 entonces f ' ( x ) = 3mx2 + 2nx + r => f(0) = r = 0 => r = 0 además (0, 3) pertenece a la gráfica entonces f(0) = 3 entonces 0+0+0+1=3 => t = 3. Como (1,-1) es punto de inflexión => / " 0 ) = 0 , f " ( x ) = 6mx + 2n => / " ( l ) = 6w + 2n = 0 de donde: 3m + n = 0 además el punto de inflexión está en la gráfica => f(l) = -1 entonces Eduardo Espinoza Ramos 610 m=2 3m+n=0 m + n + r + t = -l => m + n = -4. n = -6 Por lo tanto: r =0 m + n = -4 (ó ) t =3 Sea f ( x ) = ax3 +bx2 + ex + d una función. Hallar los valores de a, b, c, d tal que f tenga un punto de inflexión en 1 49 ~ ) >y sea tangente a la recta y = 3—2x en el punto Q(0,3) Solución 1 49 1 Como p (— , — ) es un punto de inflexión entonces: / ” (— ) = 0 2 12 2 / ' (x) = 3ax 1 + 2bx + c=> f " (x) = 6ax + 2b => / ' ' ( - y ) = -3 a + 2b = 0 => -3a+2b=0 1 49 además /> (-—, — ) pertenece a la gráfica de f entonces 1 49 /(— )= — 2 12 a b c ,49 — + -------+ d = — 8 4 2 12 sea L, : y = - 2 x + 3 => mL, = - 2 => / ' (0) = - 2 => 0 + 0 + c = -2 =^> c = -2 además el punto Q(0, 3) pertenece a la gráfica => f(0) = 3 => 0+0+0+d=3 => d = 3 3a + 2Z> = 0 a b ---- 1 8 4 III. (l) - 3a + 2b = 0 1 -> a 1 ----- h b —— 12 2 3 1 , a i 3 l l . Por lo tanto a = — , b ~ —, c = -2, d = 3 , l 3 2 b =— 2 PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y MINIMOS Una caja rectangular tiene una base cuadrada y no tiene tapa. El área combinada de los lados y el fondo es de 48 pies cuadrados. Hallar las dimensiones de la caja de máximo volumen que cumpla estos requerimientos. Solución Aplicaciones de ¡a Derivada 611 Condición del problema: A = x 2 + 4xy = 48 4 8 —x i de donde y = ---------- además V = x 2y ' 4x ' 4x 4 i„, , 4 8 -3 .V .. V (x ) = ----------- = 0 => x = ± 4 puntos críticos V ”(x) = - —x=$ V ' ( 4 ) = - 6 < 0 => 3 máximo en x = 4 48- x como >• = — — •• => y = 2. Luego las dimensiones de la caja deben ser x = 4, y = 2. 4x © Encontrar la altura del cono recto de mayor volumen que pueda inscribirse en una esfera de radio R. Solución Se sabe que el volumen del cono es: V= n r 2h Del gráfico se observa que: ACAB = ABAD entonces; r 2R -h r 2 =2 R h -h 2 ...(2) Eduardo Espinoza Ramos 612 ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: V = V(h) = ^ - ( 2 R h - h 2) = ^ ( 2 R h 2 - h 3) V(h) = ^ j ( 2 R h 2 - / ; 3) , 0 < h < 2 R V'(h) = j ( 4 R h - 3 h 2) = 0 = > h = AR jt 4R kAk V"(h) = - ( 4 R - 6 h ) => F " ( — ) = j( 4 / ? - 8 / ? ) = - — « < 0 . . , 4 R ,; 4 R . , , . . => 3 máximo en /; = — por lo tanto para h = — se tiene el volumen máximo. © Dada una hoja cuadrada de lado a, se desea construir con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible. Solución El lado del cuadrado cortado = x entonces el volumen de la caja es: V(x) = x ( a - 2 x ) , 0 < x < — X CM V (x) = (a - 2 x) 2 - 4x(a - 2x) (C a - 2x X V'(x) = ( a - 2 x ) ( a - 6 x ) = 0 => x = — , x = — 2 6 X \ V"(x) = -%a + 24x => F " (—) = -8 a + 4a = - 4 a < 0 6 3 máximo en x = - Por lo tanto el lado del cuadrado cortado para obtener volumen máximo es x = - 613 Aplicaciones de la Derivada @ Un rectángulo a de tener un área de 64 pulgadas cuadradas. Hallar sus dimensiones, de forma que la distancia desde una de sus esquinas al punto medio de un lado no adyacente sea mínima. Solución Datos del problema: . A = xy = 64 64 -, x => v = — , d = J y ~ + — ' x V 4 ,, , 4096 x 2 Vi 6384+ x 4 / ( x ) = J — — + — = ------- -------- entonces x4 2x x 4 -16384 f'(x) 2x 2VÍ6384 + x 4 Como >• = 64 V = 4 4 /2 -7 2 Luego las dimensiones son 4 V2 V2 y 8^2 pulgadas. © Hallar los puntos de la hipérbola x 2 - y 2 =1 más próximo al punto (0, 1) Solución Condición del problema d = V* 2 + ( ,y - l) 2 Como x 2 - y 2 =1 => x 2 = y 2 +1 614 Eduardo Espinoza Ramos Entonces / (y) = -J.V'2 + l + ( y - l ) 2 = ^ 2 y 2 - 2 y + 2 2 v -l 1 / '( > ’) = - p = - - ---------= 0 =>2y —1 = 0=> y = — a/ 2 v' 2 - 2 y + 2 2 como a-2 - y 2 =1 => x = ±t/.V2 +1 JC=± •v/S Por lo tanto los puntos más cercanos a la hipérbola al punto (0, 1) son Pl /> © *y ) y -i 2 ’ 2* Si un recipiente cilindrico de lámina (cerrado en ambos extremos) ha de tener V como volumen, encuéntrese las dimensiones que requieran la mínima cantidad de material. Solución Datos del problema: V = n r ~ h de donde h = nr 7 7 ~>V A, = 2 n r ~ + 2 n r h entonces A , - 2 n r ' + — r A, (r) = 2 n r 7 2V +— r • IV A, (;•) = 4n r -----—= 0 r1 A, (/•) = 4n + (T) 4V V r = %— V2 k ■ ,V V A, Q — ) = 12tt > 0 => existe mínimo en r = 3 — 12 n i 2n I4V La sección de un canal de irrigación abierto ha de tener la forma de un trapezoide 4 ' 7 isósceles con lados de pendiente — . Si el área de la sección a de ser 52.674m~ . ¿Qué dimensiones son las que hacen mínima la superficie sustentadora (el fondo y los lados)? Aplicaciones de Ia Derivada 615 Solución -»+*—m4 h 3/7 . , 3 52.674 3 . tg 0 = — = — => m = — ; z = x + 2m => 52.674 = (x + —h)h => x = — — - — /? 6 3 m 4 4 A 4 Además se conoce por geometría que: s = (x+2y)L, donde y = 4 h 2 + m 2 => y = — ' 4 52.674 3 , 5/í ... ,52.674 7/i r ■v(/í) = (— ------- - h + — )L => s(h) = (— --- f — )L h 4 2 h 4 , , . 4 , 52.674 7 ■v (h) = (-------- --- -- ) ¿ /r 4 Como y = — h ' 4 _ =0 h =30.0994 => h = 5.5 mts. y = 6.875 mts _ 52.674 3 . Como x = -------------- h h 4 x = 5.45 mts. Por lo tanto las dimensiones son: (¿ ) 4(52.674) ,, ^ x = 5,45 mts. y = 6.87 mts. h = 5.5 mts. En un cono circular recto de radio r, se inscribe un cilindro circular recto. Hallar el radio R del cilindro para que: a) Su volumen sea máximo b) Solución C •R IB Su área lateral sea máxima. Eduardo Espinoza Ramos 616 a) Volumen del cilindro = V —n R 2y h r hR Además AABC = AECD, de donde —— = — => y = h —— h-y R ' r reemplazando (2) en (1) se tiene: ...(2) i hR^ V = n ( R 2h -------- ) r V(r) = n h ( R 2 - — )=> V'(R) = n h ( 2 R - — ) = 0 de donde R = — r /■ 3 V"(R) = n h ( 2 - — )=* V " ( — ) = n A(2 - 4 ) = - 2 n h <0 r 3 _ . . , _ 2r => 3 máximo cuando R = — 3 b) El área lateral del cilindro es: A = 2?iRy A( R) = i m h - — ) = 2n h(R - — ) r r A' (R) = 2n h ( \ - — ) = 0 = > R = r 2 A"(R) = (? ) r 0 => 3 máximo cuando R = — 2 Una estatua de 6 mts. de altura tiene su base a 2 mts. arriba del nivel del ojo de un observador. A que distancia de la estatua debe colocarse el observador para que el ángulo subtendido desde su ojo por la estatua sea máxima. Solución Sea x la incógnita correspondiente a 0 máximo sea p = 0 + a , de donde 0 = p - a 617 Aplicaciones de la Derivada tgfl = tg( f i - a ) ■ tg /3 -tg a l + tg a.tg /3 . . 2 . 6 ademas tg a = — , tg p = — x x tgO tg /J -tg a 1+ tg a . tg 4x 6 2 x x 4x 1+J 2 x 2 +12 4 jc tg 0 = —^ — =? 0 = are. tg(—------ ) , derivando: .xz +12 4X dO _ D x ( x 2 +\2 ¿v | 4(x ~ + 1 2 )- 4x(2x) _ 16.y2__ (x 2 +12)2 (jc2 + 12)2 +16 jc2 (jc2 +12)2 4 8 -4 x 2 A-4 4 8 - 4 jc2 _______________ x 4 +40.v2 +144 ( x 2 + 12)2 = 0 = ± 2^3 + 40x2 +144 Por lo tanto analizando para x = 2-^3 se tiene que sea máximo. 10) Una ventana tiene la forma rectangular con su parte superior en media circunferencia. Cuáles serán sus dimensiones para que penetre el máximo de luz para un perímetro dado. Solución De los datos del problema se tiene: „ xx „ , 1 „ nx P = - y + 2 y + x - perímetro. y = - ( P - x — — ) La cantidad total de luz correspondiente a la mayor superficie es: n x" --x í P —x ------n x} Ai v*\ —--------1 Eduardo Espinoza Ramos 618 2 r. , P* X 1 KX 2 _ r. X 1 nX X _ _ 8~+T ~ 1 2 4~2~2T ' ... P nx . 2P A (x) = -----x ------- = 0=> x = — — 2 4 7T+ 4 y4"(jr) = - l - — < 0 ==> 3 máximo en x = 4 ;r + 4 1 „ n-x 1 „ 2P n , 2P P como r = - ( P - x ------- ) = — ( P --------------------------- (--------)) = -----' 2 2 2 tt + 4 2 n +4 n +4 2 x = ------ 7 ^■+ 4 Por lo tanto las dimensiones son: © P y y= P 7T+ 4 Dada la recta L: x + 2y = 8, encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima con uno de sus lados sobre esta recta y cuyos otros dos vértices están en los semi ejes coordenadas positivos. Solución entonces tg 6 = tg(l8 0 - a ) = - tg a = O A 1 a eos 0 , OB = a sen 6 Por simetría de triángulos ABEC = AOBA B E ~ B I? -----= • =a pero Bk - 4A - a sen 0n BC OA entonces luego BC = h y O A = a eos 0 4 -a se n 0 a a eos 6 b = eos 0(4-asen0) Aplicaciones de la Derivada 619 n i „ 2 . 1 tg 9 = — , eos 9 = —= , sen 9 = —¡= 2 V5 V5 ¡ , = 4 , ( 4 V5 - 4 . ) . V5 8 7 5 - 2 0 5 . . , Ü - j 5a - 2a 2 , area = A = ah = --------------- = /4(a) derivando leñemos A \ a ) = *— — 4c'- = 0 => a =2 ^5 A" (a) = < 0 => 3 máximo en a = 2^5 8^5-2 a 8 ^ 5 -4 ^ 5 4^5 Luego las dimensiones del rectángulo son: a = 2-%/5 y b= Un río tiene un codo de 135° (ver figura) un granjero desea construir un corral bordeado por dos lados por el río y los otros dos por 1 Km. de valle ABC. Hallar las dimensiones del corral de área máxima. Solución Se tiene que z = x por ser triángulo isósceles Eduardo Espinoza Ramos 620 De los datos del problema se tiene: AB+ BC = \km. -- 2x + y de donde y = l —2x. A = área total es = xy + - x(\ - 2x) + y => A(x) = x - 3x A’(x) = 1- 3.V => x = — número crítico 3 A ” (x) = - 3 1 por lo tanto las dimensiones son: 13) 1 =>A " ( —)< 0 =>3 máximo en x = —, ycom o 3 3 2 1 v = l-2 x = l — = — 33 — y — de Km. 3 3 Una hoja de lata de anchura “a” debe ser encarvada longitudinalmente en forma de canalón abierto (ver figura). ¿Qué ángulo central p debe tomarse para que el canalón tenga la mayor capacidad posible? Solución A = área de la parte sombreada A = área del sector circular área del AAOB. . p n i n . R s e n p x RA = — R ‘ - R { ----------) = — ( p - s e n p) 2 2 2 B dA R~ ,, , — = ---- ( l - c o s p ) = 0 => cosp = 1 => p = 0 dp 2 Aplicaciones de la Derivada como 0 < p < 7t, 621 por lo tanto para obtener la mayor capacidad posible se tiene p = n. Es decir que la sección del canalón tiene la forma de semicircunferencia. 14) Determinar la altura minima h = OB que puede tener la puerta de una torre vertical ABCD. para que atravéz de ella, se pueda introducir en la torre, una barra rígida M N , de longitud L, cuyo extremo M resbalará a lo largo de la línea horizontal A B . La anchura de la torre es d < L (ver figura). Solución Haciendo rodar la barra por ambas paredes a una distancia “d”, desde la pared vertical, la barra se levantará una longitud H del suelo. El problema nos pide, este máximo levantamiento y para esto se tiene: Por semejanza de triángulos se tiene: ABOM = AMAN LcosO-d L eos# , , , TI L c o s O - d --------------= —— —- , de donde H = --------------H L sen 0 c tg 0 H = (L eos 0 - d) tg 0 ahora derivando: = ( L cos0 - í/) s e c 2 9 + tg(?(-/sen0) = 0 dO Eduardo Espinoza Ramos 622 L cos 6 - d L sen2 8 eoss 2 G eos 0 *_ d => eos 6 = — coa6 = 1 — => sen 0 = J l - ( —)2' 3 U V ¿ 1 -(V ’ = ( ¿ y — - d ) —-----/ ----- simplificando se nene: H = (^¡Ll - Vrf"" f 1' " Inscribir en una elipse dada, un rectángulo de la mayor área posible, que tenga los lados paralelos a los ejes de la propia elipse. Solución y '1 P(x,y) La ecuación de la elipse es: ~ + ~ ~ = 1 o“ b x 0 de donde: y = —4 a 2 - x 2 Condición del problema: bx A = x y = — y a 2 - x 1 => A(x) = — y a 2 - x 2 .derivando ' a a n a dA b ¡~i 7’ fot' - 0 => x = - 7= — = —Va - * ----4i dx a aya2- x 2 Luego las dimensiones del rectángulo son: como O b I i ■> — y a " —x~ => 2x = —% - \¡2a , 2y = a/ IV. v 2 = -Jlb. V 2 PROBLEM A SOBRE EL TEOREM A DEL VALOR M EDIO Y DE ROLLE Verificar las condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle son satisfechas por la función dada en el intervalo indicado. Luego encontrar un valor adecuando para C que satisface la conclusión del teorema. a) /(x )= x 2 -4 x + 3 , [1,3] Aplicaciones de la Derivada 623 Solución i) La función ffx) es continua en [1,3] ii) Como /'(,r) = 2 x - 4 => 3 / ' (x) V.v iii) f(a) = f(b) = 0 puesto que f(-l) = 0 y f(3) = 0 ahora hallaremos un valor z e <1, 3>, haciendo: / '(:) = 0 para esto se tiene f ' ( x ) = 2 .v -4 = 0 => / '( r) = 2 r - 4 = ()=> z = 2 b) f(x)= x*-l6x, [-4,0] Solución i) La función f(x) es continua en [-4, 0] ii) Como f ' ( x ) = 3.v2 -1 6 => 3 f ' ( x ) , Vx f(x) es diferenciable en <-4,0> iii) f(a) = f(b) = 0 puesto que f(-4) = 0 y f(0) = 0 ahora hallaremos un valor z e <-4, 0>, haciendo f(z) = 0 .rz como f ' ( x ) = 3x2 -1 6 => / ( - ) = 3 r 2 - 1 6 = 0 de donde r = ---- c)J ' ( x ) = x 3 - 2 x z - x + 2; [1,2] Solución i) La función f(x) es continua en [1, 2] ii) Como f ' ( x ) = 3jc2 -4 jc -1 3 f' ( x) \/ x f es diferenciable en <1,2> iii) f(a) = f(b) = 0 puesto f(l) = 0, f(2) = 0 ahora hallaremos un valor z e <1, 2>, haciendo f ' ( z ) = 0 como / ' (jc) = 3x 2 - 4x - 1 f ( : ) = 3_2 - 4 ^ - 1 = 7 + ^7 por lo tanto 3 : = ......... en < 1, 2> tal que / ' (:) = 0. 0 =» == 2 + ^ Eduardo Espinoza Ramos 624 (T ) Verificar que la hipótesis del teorema del valor medio se satisface para la función dada en el intervalo indicado. Luego encontrar un valor adecuado z, que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio. a) J'(x) = x ~ + 2 x - \ , [0,1] Solución Se tiene que f(x) es continua y diferenciable V x y con esto satisface las condiciones del teorema. Ahora hallaremos un valor z en <0, 1>, haciendo / '( - ) = . / (1> - ./( 0) f(]) _ f(0) = 2 —(-1) = 3 como: f ‘(x) = 2x + 2 => / ' ( - ) = 2z + 2 = 3 , de donde r = y e < 0,1 > b) / ( x) = x 1‘\ [0,1] Solución Calculamos la derivada: 2 f'(x) - — — ' 3.v entonces f(x) es diferenciable en <-oo, 0> u <0, +*> y por lo tanto es continua en [0,1], . * . , , Ab)-.na) m -r n . Ahora hallaremos un valor para z haciendo / (z )= --------------=> /(z )= -------------=1 ' b-a 1-0 como f ' ( x ) = — 3.v => / ’( z ) = — 3z = 1 => z 1/3 = \ => z = ~ e <0, 1> 3 27 c)/ ( .v ) = jr—1 h— í—- ; [ | , 3 ] .t + 1 7 Solución 3 1 La función f(x) es continua en [—,3], y como f ' ( x ) = 1---------- —=> f(x) es 7 ' (Jt + 1)diferenciable en <-oo, -1> u <-1, + to> en particular es diferenciable en < y ,3 > ahora hallaremos un valor : e < - , 3 > 7 haciendo Aplicaciones de la Derivada 625 I _ L | i§. 40 7 b-a 7 C0m0 r ( x ) = ¡ — (x + 1)' , 1 33 , tl2 40 . ^ fio" . Í4Ó 3 . J ' ( z) = 1---------- - =-— =>(z+i)¿ = — :=> r = - l ± — => z = - l + J — e < - 3 > (z + 1)2 40 7 V7 V7 7 |8 —4 jc2 « x < 1 Verificar si el teorema del valor medio es aplicable a la función: f ( x ) = ■ [4x~2 .y/ x >1 en el intervalo [0. 2] en caso afirmativo hallar el valor ó valores que lo verifican. Solución i) Analizamos la continuidad de la función f(x) en [0,2] para esto veremos si es continua en el punto sospechoso x = 1. f(x) es continua en x = 1 <=> 3 Lint f (x) = f ( 1) x->\ ' 3 Lim / ( x) => Lim f (x) = Lim f (x) >“»1' .v-»l jr— »1* Lim f ( x ) = Lim 8 - 4 x 2 = 8 - 4 = 4 X —>1 X~>\* como 3 Lim f ( x ) = f( 1) = 4 => f(x) es continua en x = 1. x-*l ' por lo tanto f^x) es continua en [0,2] -8 x , x < l ii) Como /*(x) = 8 — r , x>l x y / ( I ) - = m r = -8 ‘ => f(x) es diferenciable en <0, 2> por lo tanto satisface las condiciones del teorema del valor medio, entonces 3 z e < 0 ,2> y lo hallaremos haciendo m ) _ /(2 )- /( 0 )_ l-(8 )_ ' 2-0 2-0 7 2 como / ’(I) = -8 => z < 1 ó z > 1 pero f'(x) = -8 x para x < 1 626 Eduardo Espinoza Ramos => /■'(-) = - 8r = - — => r = — g <0, 2> además f ' ( x ) = — par ax>l ' 2 16 jc3 => / '( - ) = - 3 = " | => - = ^ e <0, 2> 7 116 Luego los valores que satisfacen el teorema del valor medio son — y 3/— 16 V7 (5 ) Verificar si el teorema del valor medio es aplicable a la función f ( x ) = — —- en el ‘ 3 jc- 4 intervalo [1,2], en caso afirmativo hallar el valor ó valores que lo verifican. Solución 4 F(x) no es continua en x = —e [1,2], por lo tanto no es diferenciable en < 1 ,2> Como ffl) = -1 y /( 2 ) = ^ entonces no existe z e < l ,2 > T alque / * ( , ) - Z M Como ,/"(r) = | y / '( * ) = ------- = * ---------------- ^ - T = 4 2 (3 x-4 ) (3 z-4 )2 2 => - = ^ r ^ 3 Por lo tanto no existe z real que z e <1, 2>. Luego no se cumple las condiciones del teorema del valor medio. 5.15 EJERCICIOS PROPUESTOS.- I. Determinar los puntos críticos, intervalos donde la función es creciente y decreciente, los máximos y mínimos relativos. f ( x ) = x 4 —14jc2 -24jc + 1 Rpta. máx. x = -1 y mín. x = -2,3 627 Aplicaciones de la Derivada © f(x) =—.ï + 1 Rpta: máx. x = 0 y inin. x = -2 © f( x) = 2 - 3 x +x 3 Rpta. máx. x =-1 y min. x = 1 @ / ( * ) = 1 - ( jc - 2 ) 4/5 Rpta. máx. x = 2 (? ) X + X+ 1 f(x)= x4 \ - x 2 „ . 1 . 42 42 © f ( x ) = x 2( \ - x 4 x ) Rpta. máx. x = 2 J — © f ( x ) = x 2 + 2 x - 23 x-4 Rpta. máx. x = 3 y min. x = 5 © f(x) =- Rpta. máx. x = 1 y inin. x = -1 © 1 - x + jc ' f(x) = ^ T 1-f X-X" Rpta. min. x = — 10) X" + JC+ 1 ,ÏZ - jc+ y min. x = 0 ./(.v) = Rpta. máx. x = 1 y min. x = -l 1 f ( x ) = 2.v3 - 6 x '- 1 8 x + 7 12) Af 49 I + x~ /(.v) : ______ 1 1 Rpta. max. x - —7= y mm. x = — ;= Rpta. máx. x = -1 y min. x = 3 Rpta. máx. x = -3 ¿ « (x 4 + 4*3 +30) / (jc) = - x 2~Jx2 -t 2 Rpta. máx. x = 0 14) f(x) = x —Ln(l —x) Rpta. min. x = 0 15) 1 ( x ) =x - Ln( ! + * - ) Rpta. No existe, crece. Eduardo Espinoza Ramos 628 0 © 0 Rpta. máx. x = 0 y mín. x = ±a ? 3 7 J ( x ) = (x~ —2 x ) L n x - —x +4x / W = - j — ^— .v2 - 6 jc- 16 Rpta. máx. x = 1 y mín. x = e Rpta. es decreciente <*,2>,<-2,8>,<8,+'»> © f(\) = xLnx Rpta. mín. en x = — 0 f(x) = arc.sen (1+x) Rpta. <-2, 0> crece. f { x ) = 2ex2~Ax Rpta. mín. en x = 2 /(.x ) = % x 2 - l ) ‘ Rpta. mín. x =Z 1 y máx. x = 0 © © © © 0 f(x) = xarc.tgx ■st i * OI 0 Rpta. máx. en x = 3.2 x~ II 'SJ' 0 0 e f ( x ) = x { x —\ )* {x—2)i f ( x ) = x L n 2x Rpta. 3 máx ni mín. Rpta. máx. en i = -2-\/3 ; mín. en x = 2-Jl Rpta. mín. x= 0.23, 1.43 y máx. x = 0 „ . 1 e ... . l a r c . t g x 1 x v /(* ) = + are. tg( ,) J J 1-X " © rt* )- 0 /w = 16 .y( 4 - jc ) 4 r7 — 4 x l +8 . , Rpta. max. en x = — y min. en x = 1 ' Rpta. No existe máx. ni mín. -2 . Rpta. max. en ,v - —=■ y mín. en x = V3 Rpta. máx. en x = 0 2 V3 Aplicaciones de la Derivada II. 629 Construir las gráficas de las funciones indicando, los puntos de discontinuidad, los puntos críticos, intervalos en donde es creciente y decreciente, los máximos y mínimos relativos los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad. O ® © f ( x ) = x 4 - 4 x 3 + 16.r / ( * ) = J f2 (JC + 4 ) 3 © f ( x ) = 3 x 5 + 5.v3 f ( x ) = x A - 3 x 3 + 3x2 +1 © /(x ) = —---- 2x3 + 3 x 2 + 2 2 © /(* )= — f(x) = 3 jc 4 +4x3 + 6 x 2 -4 2 © /(* ) = © / ( x) = 3x2/3 - ' x —1 2 10) x © / ( * ) = (.x © J( x) = x - ln ( x + l) (5?) J( x) = + 2 ) 4 ^ x JC- - 4 f(x) = xin + 2 x 4 /3 (¿ y / = (x + l) 2/3( x - 2 ) 1/3 (14) f ( x ) = Ln(x2 +1) 16) /(* ) = — 18) f(x)=x + ¿ 0) f(x) = x e ' Z .22) /(x ) = 3 - x 17) f ( x ) = x -a rc tg x .. , 2 a rc \ tg .v 1 jc f ( x ) = — —----- + - a r e tg ----- T i i \-x~ f(x) = (-v-1)~ f ( x) = x 2 —4 1x | +3 (25) f ( x) = are. sen v V i- x 2 x3 + 2x2 + 7 x -3 2x2 (-V+1)3 (23) Lux 24) f(x)=tfx2 - x *26) / ( x ) = are.sen(l -^ [x2 ) Eduardo Espinoza Ramos 630 @ © © / (x) = x + sen x !--+ / ( * ) = ------sen x eos x /( x ) =eos x - e o s 2 X f ( x ) = L n (e + -) X / (x) = Ln(x~ -1 ) + —^— x 2 -1 28) @ f (x) = cos x. cos 2x 0 0 0 f ( x ) = sen x + eos x 0 f ( x ) = (x +1 )Ln (x +1) 32) 36) ® /(x )= -£ Lnx @ © ... , Lux /(x )= -j— Vx @ © @ © © © © © f(x) = - ~ — Zj( x-2) /( x ) = V ( x + 4 )2 - V ( x - 4 ) 2 /(x ) = V l-x 1 /v 4 /(x ) = ./(X) = , 16 x (x —4) V6 x 2 - x 3 V x“ +1 / ( x ) = 2x4 - 4 x 3 Ln-J.x + 1 —1 © X“1 -1 0 0 0 /(x ) = 0 / ( x ) = —y —Vx - 4 0 /(X ) = / ( x ) = 2x + 2 - 3 l j ( x + 2)2 f ( x ) = V8 + x —V 8 -x 4 x -1 2 (x -2 )2 X- - 3 x - 4 x -2 Aplicaciones de la Derivada 631 x 1-4 f(x)= ^~ x -9 55) f ( x ) = 2(18x + 6 r 2 - 2 x 3 - 5 4 ) 1/3 (56) 5^ *3- 2 /( * ) = -------(x-\) (58) f ( x ) = arctg(lnx) f ( x ) = L n ( 3 x - x 2) (óo) f ( x ) = e~x cosjc (59) III. (7 ) Si f ( x ) = ax3 + ¿ t 2 + e x , determine a, b y c de manera que la gráfica de f tenga un punto de inflexión en (1,2) y que la pendiente de inflexión ahí sea-2 . © Si f ( x ) = a xA +bxy + e x1 + d x + e , determine los valores de a, b, c, d y e de manera que la gráfica de f tenga un punto de inflexión en (1,-1), tenga ahí su origen y sea simétrica respecto al eje y. Obtener a y b tales que la función definida por: f ( x ) = x 3 + a x 2 +b , tenga un extremo relativo en (2,3). ( 4) Determine a, b y c tales que la función definida por f ( x ) = a x 2 +bx + c , tenga un valor máximo relativo de 7 en 1 y la gráfica y = f(x) pase por el punto (2, -2). (? ) Hallar a. b, c y d para y = ax3 + bx2 + ex + d , sea tangente al eje X en (2 ,0) y tenga punto de inflexión (0, 4). (ó ) Rpta. a = — , b = 0, c = -3, d = 4 4 Determinar los coeficientes a, b, c y d de tal forma que la función f ( x ) - a x ’ +bxl +cx+d tenga un máximo en (-1, 10) y un punto de inflexión en (1,-6). Rpta. a = 1 , (7 ) b = -3, c = -9, d = 5 Determinar las constantes a y b de manera que la función / (x) = x 3 + a x2 +bx + c , tenga un máximo relativo en x = -1 y un mínimo relativo en x = 3. Rpta. a = -3, b = -9 Eduardo Espinoza Ramos 632 (i) Determinar la constante a demodo que la función mínimo en x = 3. ( 9) f ( x ) = x 2 +— tenga un R pta. a = 16 Determinar las constantes a y b demanera que la función / ( x) = x 3 + ax 2 +b x +c un mínimo relativo en x = 4 y un punto de inflexión en x = 1. no) x tenga R pta. a = -3 y b = -24 Determinar la constante a de modo que la función f ( x ) = x 2 + — tenga un punto de x inflexión en x = 1. R pta. a = -1 Sea f (.v) = x 4 + «x3 + b x2 + 2x - 2 a) ¿Qué condiciones deben satisfacer a y b para que en x = 1 exista punto de inflexión? R pta. 3a + b = -6 b) ¿Existen a y b de modo que en horizontal en este punto? (12) x = 1 exista punto de inflexión con tangente R pta. a = -3, b = 0 Si f ( x ) = \ x \ tt\ x ~ \ \ b , donde a y b son números racionales positivos, demuestre que f a “b h tiene un valor máximo relativo igual a la expresión: ---------- — (a + b)a+ IV. (7 ) PROBLEM AS SOBRE MAXIMOS Y M INIMOS Encontrar el área del mayor triángulo isósceles que tenga un perímetro de 18 pulgadas. R pta. A = 9V3 u 2 (T ) Se debe construir una lata cilindrica (con tapa) de manera que se gaste el menor material posible. Cuál debe ser la relación entre la altura y el radio de la base para que esto ocurra? R pta. h = 2r (? ) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P(3, 4) y forma con el primer cuadrante un triángulo de área mínima. R pta. 4x + 3 y - 2 4 = 0 Aplicaciones de la Derivada (T ) 633 Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje x los otros dos están respectivamente sobre las rectas y = x, 4y + 5x = 20. Hallar el valor de Y para que el área del rectángulo • sea máximo. „ 1 0 Rpta. — 9 Una hoja de papel tiene A c n r de material impreso, con márgenes superior e inferior de 4cm. y márgenes laterales de 2cm. Determinar cuales deben ser las dimensiones de la hoja para que se use la menor cantidad de papel. Rpta. ^ + (ó ) Base y %+*JlA altura. Si los lados de un rectángulo son a y b, demostrar que el rectángulo más grande que puede construirse de manera que sus lados pasen por los vértices del rectángulo dada es un cuadrado de lado a + ~^=. 42 ( 7) Determinar la superficie lateral del cilindro recto que puede ser inscrito en un cono circular recto dado. Rpta. A = . Un alambre de longitud L es cortado en dos partes, con una parte se forma un cuadrado y con la otra una circunferencia. De que modo debe ser cortado para que la suma de las áreas sea máxima? ® n +4 Se quiere construir un jardín que tenga la forma de un sector circular con un perímetro de 30 mts. Hallar el jardín de mayor superficie. 10) Rpta. x = ™—' ■lado delcuadrado. Rpta. 56.25mis2 Se tiene una hoja rectangular de papel, de lados 8 y 15, se desea hacer con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados, afín de que el volumen sea el mayor posible. (íl) Rpta. — Un punto móvil P describe la curva y = —, x > 0. Determinar la distancia mínima x de P al origen. Rpta. 2-^2 Eduardo Espinoza Ramos 634 12) Se necesita construir un embudo cónico cuya generatriz debe ser igual a 20 cm. Cuál debe ser la altura del embudo para que su volumen sea el mayor posible. 13J 20J 3 ------- cm. R pta. Si un paralelogramo y un triángulo tienen un vértice del paralelogramo está sobre los lados del triángulo dado. Probar que el área del mayor paralelogramo que se puede inscribir del modo descrito, es igual a la mitad del área del triángulo (se conoce la base y la altura del triángulo). 14) Se quiere construir un jardín en forma de sector circular con un perímetro de 30 mts. Hallar el jardín de mayor superficie. 15) Rpta. A = 56.25mis2 Hallar un punto sobre la parábola_y = 4 - x 2 , tal que la recta tangente en el segundo cuadrante, determine un triángulo de área mínima (con los ejes coordenados). D * ------32^3 Rpta. 9 16) Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área y con los lados paralelos a los ejes coordenados que puede inscribirse en la figura limitada por las dos parábolas 3_y = 1 2 - x 2 , 6_y = x 2 -1 2 . YT) Rpta. Base4, altura4. Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo de lados 8, 10, 12, tal que un lado del rectángulo está contenido en el lado del triángulo de lado 5-J7 Rpta. Las dimensiones son — 12. 18) y 6. Debe construirse una lámina triangular isósceles y de 60cm. de perímetro de manera tal que al rotar sobre su lado común a los ángulos congruentes determine un sólido de volumen máximo. Cuáles deben ser las dimensiones de los lados de la lámina triangular? 45 Rpta. Las dimensiones son — y 15 19) Hallar la base y la altura de un triángulo isósceles de área mínima circunscrito a la elipse 2 ,2 a~ b~ = 1, y cuya base sea paralela al eje X. Rpta. Altura 3b, base 2^3 a. Aplicaciones de la Derivada 2tí) 635 Dados los puntos A (l,4) y B(3,0) en la elipse 2x 2 + y 2 = 1 8 , Hallar un tercer vértice C Rpta. ( - 7 6 ,- 7 6 ) tal que el área del triángulo ABC sea máxima. 21J Un cuadrado de altura 1.4 mts. Cuelga de la pared de modo que su borde inferior está 1.8 mts. por encima del radio de la vista de un observador. A qué distancia de la pared debe colocarse el observador para que su posición sea la más ventajosa para contemplar el Rpta. 2.4 mts. cuadro? (Angulo visual: el mayor posible). 22) Hallar el área del mayor rectángulo que tiene su base inferior en el eje X y con los vértices en la curva y = 12 -,v 2 23) Rpta. A = 3 2 u 2 Si un punto de una elipse inscrito en un semicírculo está sobre el diámetro y tiene otros dos puntos sobre la semicircunferencia en posición simétrica. Demostrar que su área será 2n r 2 un máximo igual a — = - donde r es el radio del círculo. 3V3 24) Un alambre de longitud L es cortado en dos secciones una para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. Cómo debería cortarse el alambre a) Para que la suma de las dos áreas sea máxima. b) Para que la suma de las dos áreas sea mínima. Rpta. a) b) 25) -73Z. Lado del cuadrado = ------- -¡= y Lado del triángulo 9 + 4-73 9 + 4-73 Ú_ Todo el cuadrado (área total máx.) = : 16 Dado un sector circular de radio r; si el perímetro P mide 100 pies. ¿Qué valor del radio r producirá un área máxima? 26) 3L Rpta. r = 25 Hallar la base superior de un trapecio isósceles de base 12m. y lados 5m. si su área es máxima. Rpta. 6+ -786 Eduardo Espinoza Ramos 636 27) Hallar los puntos sobre la curva 5*2 - 6 x y + 5 y 2 = 4 que están: a) más cercanas al origen.b) Rpta. 2%) a) más alejadas del origen. (-L I)y (I-I) b) (1,1) y (-1,1) Un fabricante de cajas va ha producir cajas cerradas de volumen específico, cuya base es un rectángulo con longitud igual al triple del ancho. Encontrar las dimensiones más económicas. 29) Rpta. La profundidad será la mitad de la longitud de la base. La resistencia de una viga rectangular es proporcional al ancho y al cuadrado de su profundidad. Encontrar las dimensiones de la viga más resistente que pueda ser cortada de un tronco, en forma de un cilindro recto circular de radio a. 2 2-yfó V3 3 Rpta. ancho -=■ a, profundidad------ a 30J Un cono recto circular va a ser circunscrito en una esfera de radio conocido. Encontrar la razón de la altura al radio de la base del cono de volumen mínimo. 31) Rpta. 2-JI Demostrar que el triángulo isósceles de área máxima que puede inscribirse en una circunferencia es una triángulo equilátero. 32) Un cono es cortado por un plano paralelo a su base. A qué distancia debe ser echo el corte, para que el cono recto de base en la sección determinada y de vértice en el centro del cono dado, tenga volumen máximo? 33) Una huerta Rpta. y de la altura del cono. rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino, y ha de tener una área de 10,800w 2 . Si el vecino paga la mitad de la cerca mediana. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo al cercarla sea para el dueño de la huerta sea mínimo? 34) En la elipse 2 2 —^ + ■=-^- = 1, se inscribe un triángulo isósceles cuyo vértice es el punto a~ b~ (0, b). Hallar la ecuación de la base correspondiente al triángulo de área máxima. Rpta. 2y + b = 0 637 Aplicaciones de la Derivada Un triángulo isósceles está circunscrito a un círculo de radio R. Demostrar que el triángulo de perímetro mínimo tiene por altura 3R. (36) Un agricultor quiere construir y cercar un campo que tenga la forma de un sector circular. Si para cercarlo posee un alambre de 200m. de longitud. Calcular el radio que debe tener Rpta. r = 50 m. el sector para que el campo sea la más grande posible. y¡ ) Cada lado de un cuadrado tiene una longitud L. Demostrar que entre todos los cuadrados inscritos en el cuadrado dado, el de área mínimo tiene lados de longitud L 72' 38J Entre lodos los cilindros circulares sector de área lateral dado “a”. Demostrar que la menor esfera circunscrita tiene el radio R igual al radio r del cilindro multiplicado por 72. 39J Tres ciudades están situadas en los vértices de un triángulo isósceles. Las ciudades B y C que distan entre sí 16 millas están situadas en la base, en tanto que A es el tercer vértice y a una distancia de 10 millas de la base. ¿A que distancia de A sobre la altura del triángulo, se debe ubicar una instalación de bombeo de manera que se emplee la menor longitud de g cañerías para abastecer de agua a las tres ciudades? 40) Rpta. (10 . V§) millas de A Un recipiente abierto está formado por un cilindro terminado por su parte inferior en una semiesfera; el espesor de sus paredes es constante. ¿Qué dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su capacidad, se gaste la menor cantidad de material? Rpta. La altura de la parte cilindrica de ser igual a cero, es decir el recipiente debe tener forma semi-esférica. 4 lJ Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la parábola y 2 = 2 p x cortado por el área x = 2a. (42) Rpta. Los vértices deben estar en ±2^^-) Hallar el área mínima del triángulo isósceles circunscrito a la elipse b 2x 2 + a 2x 2 = a 2b 2 cuyo lado desigual es paralelo al eje x. Rpta. ab 3^3 638 Eduardo Espinoza Ramos ( 43) Si los lados de un rectángulo son a y b. Demostrar que el rectángulo más grande que puede construirse de manera que sus lados pasan por los vértices del rectángulo dado es un cuadrado de iat}0. V2 ( 44) Dado el volumen de un cilindro circular recto, hallar su altura y radio si la suma de las áreas de una de sus bases y de su superficie lateral es mínima. 45J Rpta. b(altura)=r(radio) De una lámina circular de radio “a” se quiere recortar otra como la figura para hacer un cono circular recto. Si el cono debe tener Volumen máximo: Determinar el ángulo 0. (46) Rpta. iJlñ Q = ■■ v/_ radianes V3 Un hombre puede remar a 2mk/ hora y caminar 4km/hora. Si está a 3 km. De la playa y quiere llegar al punto 0 que está a 4km. de P. Dónde tiene que desembarcar para que el Rpta. -J3km. de P. tiempo sea mínimo? ( 47) Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se pueda inscribir en el rectángulo cuyas dimensiones son 10 y 15 cm, (los catetos). Dos lados del rectángulo están sobre los catetos del triángulo. (48) Rpta. Las dimensiones son: 2.5 cm y 5 cm. Un jardín rectangular de 400 m 2 está rodeado por un camino de 2m. de ancho. ¿Que dimensiones debe tener el jardín para que el área total del jardín y el área del camino sea mínima.? Rpta. 20 x 20 (m). 2 (4?) Se traza la tangente en un punto de la elipse 2 = 1 de forma que el segmento de ella interceptado por los ejes coordenados sea mínimo. Demostrar que la longitud de dicho segmento es 9 unidades. (50) Una persona está en un bote a 3 millas del punto más cercano a la playa y desea alcanzar en el menor tiempo posible una caseta de la playa, situada a una distancia de 5 millas en la perpendicular a la recta que una la posición del bote y el punto de la playa, suponiendo que puede caminar a razón de 5 millas por hora y remar a la velocidad de 4 millas por hora. Determinar el lugar donde debe descender a tierra. Rpta. A una milla de la caseta. 639 Aplicaciones de la Derivada 5.16. RAZON DE CAMBIO PROMEDIO Y RAZON DE CAM BIO C O N S[A N TE.-___________________________________________________ Sea y una función de x y si x x, x 2 son dos valores de x; donde y x, y 2 son los y *>—y\ correspondientes valores de y, entonces el cociente de las diferencias — — — le x2 ~ xx llamaremos razón de cambio de y con respecto a x en el intervalo(x¡,x2) . La razón de cambio promedio indica que y cambia en una cantidad y 2 - y , cuando x cambia de x x a x2■ Si la razón de cambio no es constante a casi constante no es de tanto interés salvo como medio de comparación , pero si la razón de cambio promedio es la misma para todos los valores del intervalo (x^ , x 2) , diremos que y está cambiando con respecto a x en una razón constante. y? ~yi El valor del cociente — ------ se llama razón de cambio de y con respecto a x. Por X 2 -X] ejemplo, suponiendo que se está bombeando aceite, a razón constante en un tanque que contiene 10 litros a las 10.2’ a.m. y 50 litros a las 10.12’a.m. se observa que el contenido está aumentando a 40 litros en 10', o sea 4 litros por minuto, por lo tanto en los 5' serán añadidos 5x4 = 20 litros más, en los siguientes 10' 40 más y así sucesivamente. Este ejemplo expresaremos de un modo más formal: V = volumen de aceite en el tanque (función del tiempo) que se mide a partir de las 10 a.m. los valores de t son tx - 2 y l 2 =12 y los correspondientes valores de V son V¡ =10 y V2 = 50 entonces por definición de razón de cambio promedio de V con respecto al tiempo en el intervalo v, - v , 5 0 -1 0 . .. . (2, 12) es: —— —= — — = 4 litros por minuto. 12-2 H Puesto que la razón de cambio es constante. Eduardo Espinoza Ramos 640 5.17. FO RM U LA Q U E R E L A C IO N A D O S V A R IA BL E S C U V A R A ZO N DE CAMBIO ES CONSTANTE.-! TEOREM A.- Si y es una función lineal de x, la razón de cambio de y con respecto a x es constante y viceversa. Demostración Como y es una función lineal de x entonces y = mx + b siendo m y b constante, sean x¡, x2 dos valores cualquiera de x; y sea y ¡ , y 2 los correspondientes valores de y, entonces y 2 = mx2 + b y y = mxx + b Lo cual demuestra que la razón de cambio de y con respecto a x es constante recíprocamente, si m es la razón de cambio de y con respecto a x donde x l , y l son valores fijos correspondientes a x, y, y sean x, y, otro par de valores entonces por definición se tiene: y — y . -------i- = m => y - y i = m(x - x 1) que es una ecuación de primer grado y por lo tanto y es una función lineal. Para el caso del ejemplo anterior t = 2, v = 10 Y V —10 = 4(t —2) => V = 4t + 2 2 0 X Aplicaciones de Ia Derivada 5.18 641 RAZON DE CAMBIO PROVI EDIO.DEFINICION.- Si y es función de x, la razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo (x,,x, + Ax). es el valor de — para x = x, Ax 5.19 RAZONES INSTANTANEAS.* DEFINICIÓN.- Si y es función de x, la razón de cambio instantáneo de y con respecto a x, cuando x = x, es el límite (si existe) de la razón de cambio promedio en el intervalo (x,,x, + Ax) cuando Ax se aproxima a cero. Expresado en otra forma se tiene: Si y = f(x), la función de cambio instantáneo de y con respecto a x. para x = a, es el valor de — para x = a, es decir: dx Razón instantánea = lim — = — a .í -» o Ax dx Ejemplo.- A medio día un barco que navega hacia el norte está a 60 km. Al sur de otro barco que navega hacia el este. Si el primer barco navega a razón de 15 km/hora y el segundo barco a razón de lOkm/h. Encontrar la velocidad con que estaría cambiando la distancia entre ellos. a) a las 14 horas b) a las 15 horas. Solución B D Sean A y B las posiciones iniciales de los barcos y C y D las posiciones de t horas, entonces BD = lOt y C'B = 60 —15l, sea z la distancia entre ellos = = 4 C B 2 + B D 2 = 7 (6 0 - 1 5 /) 2 +100í2 60 151 Para encontrar la razón a la cual está cambiando z se halla la derivada: A Eduardo Espinoza Ramos 642 dy 3 2 5 /-9 0 0 , ... , , dz -250 — = —¡ = . . a las 14 horas t = 2 , — = . = -6.9 d' V3600 -1800/ + 325/2 dt V130 quiere decir que los barcos se están aproximando uno a otro a razón de 6.9Km/h. cuando t= 3, —- = a/5 = 2.5 quiere decir que los barcos se estarán separando a razón de 2.5Km/h. di 5,20 V ELO C ID A D Y A CELERA CIO N R E C T IL lN E A ,DEFINICIÓN.- Si s = s(t) es la ecuación de la posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta, la velocidad del objeto en el instante t está dado por: Y (t} * hm A? >ü . Át ■ DEFINICIÓN.- Si s = s(t) es la ecuación de la posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta, la aceleración del objeto en el instante t está dado por: <«/)=» v‘(/> = .y” (0 Sai R AZO NES DE C A M B IO RELAC IO N AD Q S.Frecuentemente se conoce la razón de cambio de una variable con respecto al tiempo, y se desea encontrar la razón de cambio con respecto al tiempo de una segunda variable que está relacionada con la primera, dichos problemas se resuelven fácilmente, derivando implícitamente, con respecto al tiempo, la ecuación que liga las variables, y sustituyen de los valores dados de las mismas. _____________________________________ . _____________ 5.22 (1 ) I__________________________________ j ljn í) l?i h- ‘ / . -■ • PR O C ED IM IEN TO A CO NSEJA DO PARA PR O BLEM AS DE V A R IA B L E S R E L A C IO N A D A S^ \) d ~ ’ ■ _) V ______________ R ESO LV ER Asignar símbolos a todas las cantidades, tanto a las conocidas como a las incógnitas. Hacer un dibujo cuando resulta factible. (T ) Establecer la ecuación que liga las variables tanto conocidas como las que se van a calcular. Aplicaciones de la Derivada (? ) 643 Derivar implícitamente por la regla de la cadena ambos miembros de la ecuación respecto al tiempo t. ( 4) Sustituir en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y de sus razones de cambio, despejando entonces la razón de cambio pedida. 5.23 Q PROBLEMAS DESARROLLADOS.Un globo está siendo inflado en tal forma que su volumen aumenta a razón de 5m 2 / min. ¿A qué rapidez aumenta el diámetro cuando éste tiene 12m? Solución Datos del problema: V = Volumen del globo esférico = 4n r ^ D = 2 r= 12 => r = 6 dD dr dV , 3 . . — = 2 — = ? y ---- = 5m / min. dt di di 4 /rr3 dV 2 dr como V = --------= > — = 4n r — 3 dt dt ahora reemplazando sus valores se tiene: dt (?) 5 = 4;r(6) 2 — => — = 0.011 m / min. dt dt = 2(0.01 \)m / min. = 0.022m / min. Un hombre de 1.8m de estatura camina hacia un edificio a razón de 1.5m/seg. Si hay una lámpara sobre el suelo a 15m. del edificio. ¿Con qué rapidez se acorta la sombra del hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 9m. del mismo? Solución Eduardo Espinoza Ramos 644 dx Datos del problema: — = 1.5m i s e g dt z = 15 mts. y h = 1.8 mts. dt ? cuando x = 9m. i Ahora por semejanza de triángulos. x h i i —= — => xy = :h = 15(1.8)m~ entonces xy =- 27m ", derivando implícitamente dv dx . , , t dy 27 dx dy 27 x — + y — = 0 reemplazando tenemos x — + ------— = 0 => 9 — + — (1.5) = 0 dx di dt x dt dt 9 9 — + 4.5 = 0 dt => — = -0.5 dt la sombra se acorta con una rapidez de — = 0.5 m i seg. dt © Un muchacho lanza una cometa a una altura de 150m. sabiendo que la cometa se aleja del muchacho a una velocidad de 20m/seg. Hallar, la velocidad a la que suelta el hilo cuando la cometa se encuentra a una distancia de 250 metros del muchacho. Solución Datos del problema: H = 150m. z = 250m. — dt 20m / seg. y — = ? dt En el AABC, por pitágoras Se tiene: z = -J x 2 + 22500 derivando implícitamente con respecto a t. Aplicaciones de la Derivada dx ~dt dz dl 645 reemplazando valores se tiene Va'2 +22500 — = ---- f . = .— , donde jt = -7-2 —1502 dl V-v2 +22500 dl para z = 250 => a := ^62500-22500 =200 200 ^ _ 4000 4000 — = -, i— . (20) = , = ——- = 16 í// 740000 + 22500 762500 250 © = 16m ! seg. Dentro de un tanque cónico está entrando agua a razón constante de 3 w / .veg .El radio del cono es de 5m. y su altura de 4m. encontrar: a) La velocidad con que asciende la superficie libre de agua. b) La razón de cambio (0 variaciones) respecto al tiempo de la velocidad de subida cuando la profundidad del agua es de 2m. (considere el vértice del cono hacia abajo). Solución Datos del problema: = 3m ' / seg. V t = (está aumentando).; H = 4 a) El volumen del cono: V = - r=5 3 por semejanza del triángulo AABC = AADE /• 5 5h , 2 5 ^ ,3 — = — => r = — entonces V = ----- h h 4 4 48 derivando implícitamente con respecto a t. 1 1 Eduardo Espinoza Ramos 646 dV 75/r , -> dh _ 15n ^ dh — - = ----- \ r — => 3 = ------ ( 2 ) '— di 48 dt 48 di dh = ----12 m //seg. cuando ,, hu = 2.o — di 25 n b) Ahora calcularemos — (— ) = — ^ -, cuando h = 2m di di dl2 , como 3 dV 75 , , dh — = — n Ir — dt 48 di dh 48 di 257 r/r dt^5) d-h d i2 ~ , 25 , , dh => 3 = — n f r — 16 dt 96 _ 25n h 3 ' d l ~ 96 12 (25tt)(8) ' 25tt 25n Una lampara está a 15 pies sobre una recta horizontal. Si un hombre de 6 pies de altura camina alejándose de la luz a razón de 5 pies/seg. ¿Con qué rapidez se alarga su sombra? Solución Datos del problema: h = 15 pies dx = 5pies/seg. di por semejanza de triángulos: AADE = AABC V 6 —:— = — v +x => 2x . . . . v = — derivando se tiene: 15•3 dv 2 dx dy 2 10 . — = ------ => — = —(5 = — pies/seg. di 3 di di 3 3 (T ) En una pila cónica se está dejando caer arena a razón de 10 pies Vmin. Si la altura de la pila es siempre el doble del radio de la base. ¿En que razón aumenta la altura cuando la pila tiene 8 pies de altura? Aplicaciones de la Derivada 647 Solución Datos del problema: dV , = lOpies /m in . h = 2r, Volumen de la pila cónica V = tc r 2h implícitamente con respecto a t. di — f,2 — reemplazando cuando h = 8 A di 1A 64;r dh dh 5 . , . 10 = ----------=> — = — pies/mia 4 di di 87r © Un punto se mueve sobre la parte superior de la parábola semicúbica y 2 = .y3 de tal manera que hace que su abscisa aumente 5 unidades por segundo cuando x = 4. ¿Con qué rapidez cambia la ordenada? Solución Datos del problema: como = 5u/seg. y =? y 2 = jr3derivando implícitamente con respecto al tiempo t 2 \ — = 3 x 2 — , ahora para x = 4, y = 8 y — = 5 di dt dt al reemplazar en la ecuación se tiene: (ü) dv 7 dy 2(8) = — = 3(4) *(5) => — = 15 pies/seg. dt dt Un punto se mueve la parábola y 2 =12 x , de manera que la abscisa aumenta uniformemente 2 cm/seg. En qué punto aumenta la abscisa y la ordenada a la misma razón? Eduardo Espinoza Ramos 648 Solución Se tiene: — = 2cm/seg di Hallar p(x, y) tal que — = — di di como y~ = 12x derivando implícitamente con respecto a t. ~ dv dx dx dv 2 y — = 12-— co m o — = — " di dt dt dt 2 — = 12 — di dt • 2y = 12 => y = 6 de donde x = 3 P(3, 6) Se tiene un reloj de arena de 3 cm. de radio y 6cm. de altura. Se pasa la arena a un solo lado y se voltea para que la arena comience a fluir a razón de 2cm3 / seg . Suponga que la arena en la parte inferior forma un tronco de cono. Cuál es la velocidad de aumento de h para una altura dada? Solución Haciendo un gráfico de los datos del problema: Sea r el radio del cono como indica la figura u-también se • tiene dV . 3 — = 2cm .seg. dt .. Ahora mediante la regla de la cadena: dV__dV^ dh^^ dt dh dt para calcular — es necesario hallar una función dt que relacione V y h, y esto se obtiene por la fórmula de la diferencia de los dos volúmenes de conos. 649 Aplicaciones de la Derivada V ^ K ( 3 ) 26 - ^ ( T c ) r 2( 6 - h ) => V = 1 8 t t - ^ — ( 6 - h ) , . . . . . . r 6- h ahora por semejanza de triángulos se tiene: —= ------ => r = ------3 6 2 F = 1 8 ;r--(— 3 2 ) 2( 6 - /;) = 1 8 ;r- — 12 6-h (6 - /i)3 dV n i k ■> dV d V dh — = ()+—( 6 - //) = —(6 -A ) com o:— = — .— dh 4 4 di dh di - n 2 dh => 2 = —(6 - h ) — 4 di dh 8 , — = ---------- - cm/seg. dt 7T(6 —//) ~ 10J Un jugador golpea una bola de billar, haciéndola moverse en línea recta. Si “s” cm. es la distancia de la bola desde su posición inicial a los t seg. entonces s = 100/2 + 100/, si la bola da en una banda que se encuentra a 39 cm. de su posición inicial. ¿A qué velocidad pega en la banda? Solución Como s = 100/2 -i-100/ por datos del problema s = 39 => 100/2 +100/ = 39 => tx = 0 .3 , / 2 = -1 .3 el valor t 2 = -1.3 por ser negativo no es para nuestro problema. Además se conoce V = — = 200/ +100 dt V(t) = 200t + 100 => V(0.3) = 60 + 100 = 160 Si una pelota es empujada hacia abajo en un cierto plano inclinado de manera que tenga una velocidad inicial de 24 pies/seg. Entonces s = 24/ + 10/2 , donde s pies es la distancia de la pelota desde el punto inicial a los t seg. y el sentido positivo es hacia abajo del plano inclinado. 650 Eduardo Espinoza Ramos a) ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota a los /, seg.? b) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar a los 48 pies/seg.? Solución Como V0 = 24 pies/seg. velocidad inicial, además: .v(/) = 24/ + 10/2 => F(/) = .v'(/) = 24 + 20/ por lo tanto la velocidad instantánea de la pelota a los /, seg. será: (20/, + 24)pies/seg. según el problema se tiene: 20t + 24 = 48 l = - seg. = l.2seg. por lo tanto la velocidad tarda —seg. en llegar a los 48 pies/seg. Rpta: a) (20/, +24)pies/seg. b) —seg. = 1.2seg. En un instante dado la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 10 pies. Y está aumentando a razón de 1 pie/min. Y el otro cateto es de 12 pies y esta disminuyendo a razón de dos pies/min. Hallar la razón de cambio respecto al tiempo del ángulo agudo opuesto al cateto que en ese instante mide 12 pies. Solución Datos del problema: para x = 10, y = 12 — = 1p i e / min. y — = - 2 pies / min. di dt tg 6 = — => 0 = are. tg(—) -V x , dy dx. . i derivando implícitamente: i + £ )'- x dy dx X dt '* di ■) 1 x- + y Aplicaciones de la Derivada reemplazando se tiene: 13) 651 dd dt 10(—2 )—12(1) 100 + 144 -32 244 8 de8 . . . — = ----- pies/min. dt 61 61 Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba y está a Sp sobre el suelo, t seg. después de ser encendido. Donde .v = 560? - 1 6 /2 y la dirección positiva hacia arriba. Encontrar: a) La velocidad del cohete 2seg. después de haber sido encendido. b) Cuánto tardará en alcanzar m altura máxima. A Solución La ecuación del movimiento es: S(t) = 560/ - 1 6 / 2 La velocidad del cohete, /¡seg. después de haber sido encendido será: V (/,) = S' (/,) como ^(z) = 560/ —16/2 entonces: S ' (/) = 5 6 0 -3 2 / £ _ A ' (l l l ' l ' I M ' l ' I I I M ' l l l l l i ni i ni i ni i lint :.V(tx) = 56 0 -3 2 /, a) V(2) = 560 —64 = 496 seg. b) Como V(/¡) = 0 , es para que alcance su altura máxima crece. 0 5.24 © I III I¡111*1 III I III H li • ii 111 ii ■11 li 11111••i ii = 5 6 0 -3 2 t => t = 17.5 seg. PROBLEMAS PROPUESTOS.Un depósito de agua, en forma de un cono invertido, es vaciado a razón de 6ny / min. La altura del cono es de 24m. y el radio de su base es de 12m. Calcule la rapidez con la que el nivel de agua desciende cuando el agua tiene lOm. de profundidad. Eduardo Espinoza Ramos 652 (T ) Cierta cantidad de aceite fluye hacia el interior de un depósito en forma de cono invertido a razón de 3n w 3 / min. Si el depósito tiene un radio de 2.5m. en su parte superior y una profundidad de l()m. ¿Qué tan rápido cambia dicha profundidad cuando tiene 8m? R pta. — = 0.75m / min. di ( 3) Un automóvil que se desplaza a razón de 30 pies/seg. se aproxima a un crucero, cuando el auto está a 120 pies de la intersección, un camión que viaja a razón de 40 pies/seg. cruza la intersección. El auto y el camión se encuentran en carreteras que forman un ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 2 seg. después de que el camión pasa dicho crucero? ( 7) Rpta. — = 14 pies/seg. di Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60°. Una locomotora dista 160m. del cruce y se aleja de él a la velocidad de lOOkm/hora, un automóvil dista del cruce 160m. y se acerca a él a la velocidad de 50km/hora. ¿A que razón se altera la distancia entre los dos? © Rpta. Aumenta 25 km/hora ó 25-j3km/h. El radio de la base de cierto cono aumenta a razón de 3cm. por hora y la altura disminuye a razón de 4cm por hora. Calcule como varía el área total del cono cuando el radio mide 7cm. y la altura 24 cm. © Rpta. Aumenta 96n c m 1 / h Un aeroplano que vuela en dirección norte a 640 millas por hora pasa sobre cierta ciudad a mediodía; un segundo aeroplano que va a dirección oeste a 600 millas por hora está verticalmente sobre la misma ciudad 15 minutos más tarde, si los aeroplanos están volando a la misma altura, ¿con qué rapidez se estarán separando a la 1.15 p.m.? R pta. 872 millas por hora. (2) Un tendedor de alambres trepa a un poste telefónico a razón de 2.5 pies por segundo, mientras su jefe está sentado a la sombra de un árbol vecino observando. Si el terreno es llano y el jefe está a 36 pies de la base del poste. ¿Cuántos segundos tiene que trepar el tendedor de alambres para que la distancia entre él y el jefe crezca a razón de un pie por segundo? R pta. 6.2847 segundos. Aplicaciones de la Derivada (? ) 653 Un objeto que se lanza verticalmente hacia abajo desde la azotea de un edificio, con una velocidad inicial de Vfí pies/seg. Viaja aproximadamente según la ecuación S = K,,/ + 16/2 pies en t segundos. Si toca el suelo a los 2.5seg. con una velocidad de 110 Rpta. 175 pies. pies/seg. ¿Cuál es su altura del edificio? Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada en una casa. Si la base de la escalera se separa de la pared de la casa a razón de 2 pies por segundo. ¿A qué velocidad está bajando el extremo superior cuando la base de la escalera está a a) 7 pies de la pared? Rpta. a) (ío ) 7 b) pies/seg. c) 15 pies de la pared? 3 b) 24 pies de la pared? 48 c)— — pies/seg. pies/seg. En una planta de arena y grama, la arena está cayendo de una cinta transformadora formando una pila cónica a razón de 10pi es1 / m i n . El diámetro de la base del cono es aproximadamente tres veces la altura. ¿A qué razón está cambiando la altura de la pila g cuando tiene 15 pies de altura? Rpta. ------- pies/min. 4057T © La arista de un cubo se expande a razón de 3cm/seg. ¿A qué velocidad cambia el volumen cuando cada arista tiene: a) b) lcm. Rpta. (í^ a) lOcm. 9c m3 / seg. b) 900cwi3 / seg. Al caer una gota esférica de lluvia, alcanza una capa de aire más seco en los niveles más bajos de la atmósfera y comienza a evaporarse. Si esta evaporación se produce a una velocidad proporcional al área de la superficie (s = 4 n r 2) de la gota, probar que el radio se contrae a la velocidad constante. (u ) Un avión vuela a 31,680 pies de altura, pasando la trayectoria de vuelo exactamente sobre una antena de radar. El radar detectael avión y calcula que la distancia s al avióncambia a razón de 4 millas/min.Cuando tal distancia es de 10 millas, calcular la velocidad del avión en millas por hora. Rpta. 300 millas/hora. Eduardo Espinoza Ramos 654 Un barco A navega hacia el sur a una velocidad de 16 millas por hora, y otro B, situado 32 millas al sur de A, lo hace al este con una velocidad de 12 millas por hora. Hallar la velocidad a la que dichos barcos se aproximan o separan al cabo de una hora de haber Rpta. Se aproxima a razón de 5.6 millas/hora iniciado el movimiento. En que punto de la parábola y~ =18.v, la ordenada crece dos veces más deprisa que la 9 9 Rpta. ( - , - ) 8 2 abscisa? Un peso W está unido a una cuerda de 50 metros de longitud que pasa por una polea P situada a una altura de 20 metros con respecto al suelo. El otro extremo de la Cuerda, se encuentra unido a un vehículo en el punto A, situado a una altura de 2 metros como indica la figura, sabiendo que el vehiculo se mueve a una velocidad de 9 metros por segundo, calcular la velocidad a la que se eleva el cuerpo cuando se halle a una altura de 6 metros. © Rpta. — = —-</3m/seg. di 2 5 Un tren que sale a las 11 horas de la mañana se dirige hacia el este a una velocidad de 45 kilómetros por hora, mientras que otro, que sale al medio día desde la misma estación, se dirige hacia el sur a una velocidad de 60 kilómetros por hora. Hallar la velocidad a que se separan ambos trenes a las tres de la tarde. © V2 Rpta. 150 - y - Km/hora Un hombre en un muelle tira de una soga atada al nivel del agua a una bola a razón 50 pies/min. Si las manos del hombre están a 16 pies sobre el nivel del agua. ¿Con qué rapidez se acerca el bote al muelle cuando la cantidad de soga suelta es de 20 pies? Rpta. 19) Se aproxima a razón de 250 pies/min. Se bombea aire a un globo, de modo que su volumen se incrementa en 200c'»!'1 / seg. Despreciando la comprensión del aire. ¿A qué ritmo crece el radio cuando el diámetro llega a 30cm? Rpta. — cm/seg. 9n Aplicaciones de la Derivada 2tí) 655 Huyendo de un perro una ardilla trepa por un árbol, corre a 12m/seg. y la ardilla a 6 m/seg. ¿Cuál será el cambio de distancia relativa entre los dos cuando el perro está a 12m. Rpta. -8.77m/seg. del árbol y la ardilla ha trepado 5 metros? 21) Un cometa que vuela a lOOmts. de altura es empujado horizontalmente por el viento a una velocidad de 4m/seg. Si la cuerda se va soltando desde un punto fijo. ¿A qué velocidad se aleja el cometa en el instante en que se han soltado 125m. de la cuerda? R pta. 2.4 m/seg. 22) Una partícula se mueve a lo largo de la curva 3 y = x 3 + 2 . Encuentre los puntos sobre la curva en los cuales la ordenada está cambiando 9 veces más rápido que la abscisa. 29 25 Rpta. (3,y ) y (-3 ,——) 23) Un cono recto circular va a ser inscrito en una esfera de radio conocido. Encontrar la 2 razón de la altura al radio del cono de volumen máximo. Rpta. —-Jl 3 24) En lo alto de un farol brilla una luz a 20 pies del suelo, una mujer con una estatura de 5 pies se aleja caminando desde el farol. Hallar la razón en que aumenta su sombra si se aleja a razón de: a) b) 4 pies/seg. Rpta. 25,) Un a) 3 pies/seg. 4/3 pies/seg. b) 1 pie/seg. avión vuela paralelo al suelo a una altura de 2km y a una velocidad de 4.5 km./min. Si el aparato vuela directamente sobre la estatua de la libertad. ¿Con qué intensidad cambia la distancia según una línea visual entre el aparato y la estatua, a los 20 segundos posteriores? 26) Rpta. 2.7 Km./min. Cuando un péndulo con longitud de lOcm. ha oscilado de modo que 0 es el ángulo en radianes formado por el péndulo y la vertical, entonces sí h(0) cm. es la altura del extremo del péndulo sobre su posición más baja, h(Q) = 20 sen2(6 / 2) . Determinar la rapidez de variación de h(0) con respecto a 0 cuando: a) 6= - 3 b) 0=— Rpta. a) 2 5y[3 b) 10 Eduardo Espinoza Ramos 656 Una piedra es arrojada a un estanque tranquilo, una serie de anillos circulares concéntricos se extienden por el estanque y el radio de la región perturbada aumenta a razón de 16 cm/seg. ¿Con qué rapidez aumenta dicha área cuándo el radio es de 4 cm? Rpta. 128n c m 2 / s e g . Un avión vuela con velocidad constante a una altura de 10 000 pies en una trayectoria recta que lo llevará directamente sobre un observador en tierra. En un instante dado el observador advierte que el ángulo de elevación del aeroplano es n/3 radianes, y aumenta a Rpta. razón de — rad/seg. Determine la velocidad del avión. 60 200 pies/seg. El lado de un triángulo equilátero mide a cms; si aumenta a razón de k cm/hora. ¿A razón de cuántos centímetros cuadrados por hora aumenta el área? Rpta. — -J3cm2 / hora . Una escalera de 20m. descansa sobre una pared, la parte inferior de la escalera es empujada horizontalmente a la velocidad de 2m/seg. ¿Cuál es la velocidad del extremo Rpta. — =■ m / seg . superior.' V3 A un recipiente como el que se muestra en la figura, entra agua a la velocidad constante de 1 m 3 / min ¿con qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad es de un metro? Rpta. dv — dx 1 . . = — m i min. 10 A un recipiente semiesférico de radio lOm. entra agua a la velocidad constante de 4 m } / min. ¿Con qué velocidad sube el agua cuando su profundidad es 5m? Rpta. 4 75 n -m / min. 657 Aplicaciones de la Derivada 33J Un cohete se lanza formando un ángulo de 30° con la horizontal a la velocidad v = (80 + 40t) m/seg. siendo t el tiempo (seg.) después del lanzamiento. Si 20 segundos después del lanzamiento el sol está directamente encima de él, hallar la velocidad con que se desplaza su sombra sobre la horizontal. 34J R pta. 440-^3m / seg. Un avión vuela horizontalmente a la velocidad de 100 m/seg. y a una altura de lOOOm., volando en la dirección de un observador que está en tierra. ¿Con qué velocidad se acerca al avión el observador cuando la distancia entre los dos es de 2000m? R pta. 50^3 m/seg ¿y Un avión vuela a lOOOm. de altura a la velocidad de 500 m/seg. y comienza aterrizar formando su ruta de descenso un ángulo de 30° con la pista y disminuyendo su velocidad a la razón de 20 m/seg. Si el sol está directamente sobre el avión. ¿Con qué velocidad se desplaza la sombra 2 segundos después de comenzar a aterrizar? 36j R pta. 230^/3m / seg. Se apoyan los puntos de un compás sobre una mesa, los brazos del mismo son de 50 cm. de longitud. Si la parte superior del compás desciende a lcm/seg. ¿Cómo varia la g distancia entre las puntas cuando están a 60 cm.? R pta. —m / seg. 37j Para gases ideales se sabe que PV = constante, siendo P la presión del gas y V el volumen del recipiente que lo contiene. ¿Cómo varía la presión de un gas conteniendo en un recipiente que disminuye su volumen a la razón de 10c»/3 / seg ?. Cuando V = 500c/n3 y P = 15kg/crn2. 38) Rpta. — k g /e rn 2 Un helicóptero deja una base, elevándose verticalmente a una velocidad de 15 pies/seg. al mismo tiempo que despega un helicóptero, un observador parte desde un punto situado a 100 pies de la base y se mueve en línea recta, alejándose de la base a la velocidad de 80 pies/seg. ¿Con qué velocidad crece el ángulo de elevación del helicóptero respecto al observador cuando este último esté: a) a 400 pies de la base? b) a 600 pies de la base? „ Rpta. , b) 1500 ------------ — — rad I seg. 4002 + (— )2 4 v 1500 .. a ) ---------- — — rad/seg. 4002 + (-^— ) 2 4 Eduardo Espinoza Ramos 658 Una torre está al final de una calle, un hombre va en un automóvil hacia la torre a razón de 50 m/seg. La torre tiene 500m . de altura. ¿Con qué rapidez crece el ángulo subtendido por la torre y el ojo del hombre cuando éste se encuentra a 1OOOm. de la torre? R pta. 0.02 rad/seg. © Una partícula se mueve sobre la curva y 2 = 4kx con velocidad constante v y alejándose del origen. Hallar la velocidad con que se mueve las proyecciones de la posición de la partícula sobre los ejes OX y OY. 5.25 APLICACIÓN A LA ECONOMIA.Las razones de cambio en el campo de la economía, no se miden con respecto al tiempo; por ejemplo los economistas se refieren al beneficio marginal, ingreso marginal y costo marginal, como las razones de cambio del beneficio, ingreso y costo respecto al número de unidades producidas ó vendidas. La ecuación que relaciona estas tres cantidades es: P(x) = R(x) —C(x) donde: P(x) = beneficio total, R(x) = ingreso total, C(x) = Costo total. Ahora la derivada de cada una de estas da los marginales términos usados en Economía. — dx = beneficio marginal, — = ingreso marginal, dx dx = costo marginal O = S(P) función de oferta ; D = f(P) función de demanda. OBSERVACION Los problemas planteados son problemas de máximos y mínimos. Para estudiar el efecto de los niveles de producción en el costo. Los Economistas usan la función de costo medio c(x) definida por c(x) = donde c(x) función de costo total. X Aplicaciones de la Derivada 659 ELASTICIDAD La elasticidad de una función y = f(x) en el punto x se define como la tasa de cambio Ey proporcional de y con respecto a x y denotaremos por: M = —— y es definido por: Ex ÉL Ex dx x y dx ■■ La elasticidad es un concepto importante en la teoría económica y se aplica en el estudio de la demanda, la oferta, el costo y la productividad. a) INGRESO NACIONAL CONSUMO, NACIONAL Y AHORRO Llamaremos función de consumo a la relación entre el ingreso nacional (total) disponible y el consumo nacional (total). La función de consumo se caracteriza porque a medida que aumenta (o disminuye) el ingreso, el consumo aumenta (o disminuye) lo cual se da en menor intensidad y es la llamada “propensión marginal al consumo” que significa que es mayor que cero y menor que uno, donde la propensión marginal es la tasa de cambio del consumo con respecto al cambio en el ingreso disponible. Si c = f(x) es la función de consumo, donde c representa al consumo nacional y x el ingreso nacional entonces la propensión nacional es: En el análisis teórico elemental del ingreso nacional se supone que el ingreso disponible es igual al consumo c más el ahorro s lo cual expresaremos x = c + s, de donde la propensión marginal al ahorro es: Eduardo Espinoza Ramos 660 b) EQUILIBRIO ECONOM ICO El objetivo principal de toda empresa es maximizar su utilidad total (o lucro total), o minimizar pérdida. El punto de utilidad máxima es el punto de equilibrio y ocurre cuando el ingreso marginal (I. mag) es igual al costo marginal (c. mag). > Y /Cm g. Cmg. p 1 i /7 ' i/ P = Img 1 1 1 0 x0 X En las gráficas mostradas en ambos casos x () es la cantidad de equilibrio. Si u(x) = ganancia o utilidad total, entonces escribiremos U(x) = l(x) —C(x). Ahora nuestro objetivo es obtener la cantidad de x que maximice la utilidad u(x). La cantidad de equilibrio de la empresa es el valor de x que maximiza U(x) y el punto de equilibrio es P(x0,u(x0)) donde ¡t0 es la cantidad de equilibrio. _ , . .... . . . ,, dU(x) . d 2U ( x ) , . Para obtener la utilidad maxima debe tenerse que-------- = 0 y ------- -— L < 0 M dx ’ dx2 0 OBSERVACION En el punto de equilibrio, el ingreso marginal debe ser igual al costo marginal. Es decir: como U(x) = I(x) —C(x) entonces dU(x) _ dl(x) dx dx dC(x) dx _ dl(x) _ dC(x) dx dx .-. Im g = Cmg Aplicaciones de la Derivada 661 OBSERVACION En el caso especial de competición pura, se tiene que: I = Px luego P = Img Esto quiere decir que existe utilidad máxima sí Cmg = P 5.26 © EJERCICIOS DESARROLLADOS.Un fabricante de televisores desea vender un promedio de 1000 televisores al mes a S50,000. El fabricante piensa que puede vender 100 televisores adicionales al mes por cada S 2,000 de reducción en el precio. ¿Cuál es el precio que produce el mayor ingreso? Solución Sea x el nuevo precio del televisor que produce el mayor ingreso, donde: I = Ingreso = (precio del televisor)(número de televisores vendidos). El número de televisores que se desea vender es 1000 más 100 televisores por cada S 2000 de reducción sobre S50000. El precio rebajado es el precio original menos el precio nuevo x es decir: 50000 - x. La cantidad de reducción de $2000 es: 50000——. 2000 Luego el número de televisores, excedentes de los 1000 vendidos será: 50000 —jc 2000 ” 5 0 0 0 0 -* 20 el número de total de televisores vendidos: 1000 +100(~ ^ ^ - ■■-*-) 2000 ,, X /,HA 50000-jc 70000*- x 2 . entonces: /(* ) = *(100+------------- ) = -----------------ahora derivando 20 20 7 0 000*-2* i cnr m / ( x) = ------------------------------ = 0 => x = 35,000 20 662 Eduardo Espinoza Ramos /" ( * ) = — => /"(35000) < O entonces se tiene un máximo en x = 35000 10 Por lo tanto el precio de venta por televisor es de $35000. ( 2) Una compañia de transporte, con una tarifa de S20, transporta 8000 pasajeros por día, al considerar un aumento de la tarifa, la compañía determina que perderá 800 pasajeros por cada S5 de aumento en estas condiciones. ¿Cuál debe ser el aumento para que el ingreso sea máximo? Solución Sea x el número de aumentos de S5 en la tarifa entonces 20 + 5x es la tarifa resultante y el número de pasajeros será 8000 - 800x donde el ingreso es: I(x) = (20+5x)(8000-800x) entonces I(x) = 4000(40 + 6 x - x 2) , derivando / ' (jc) = 4000(6- 2 x ) = 0 para el número crítico, de donde: 6 —2x = 0 = > x = 3 I " ( x ) = -8000 => I(x) < 0 V x Luego x = 3 se tiene máximo. El aumento en el pasaje debe ser de 3 x 5 = 15 Y © el nuevo valor del pasaje es S35. El número de dólares del precio total de la manufactura de x relojes en cierta fábrica está 20 dada por: C(x) = 1500 + 30jc + — , Encontrar: x a) La función del costo marginal b) El costo marginal cuando x = 40 y c) El costo de la manufactura del cuadragésimo primer reloj. Solución Como la función costo total C(x) es dado: C(x) = 1500 + 30.v + — entonces x 663 Aplicaciones de la Derivada (7 ) 20 a) La función costo marginal = C '(.x) = 30 — — x b) El costo marginal cuando x = 40 es: 6 c) Costo de manufactura del 4 lavo, del reloj es C(41) —C(40) 20 C '(4 0 )= 3 0 --------- = S29.29 1600 = S29.95. Supóngase que un liquido se produce por cierto proceso químico y que la funcióndel costo total C(x) está dado por C(x) = 6 + A^fx, donde C(x) S es el costo total de la producción de x galones del líquido. Encontrar: a) El costo marginal cuando se produce 16 galones y b) El número de galones producidos cuando el costo marginal es de 40 centavos por galón. Solución C(x) = La función del costo total para producir x galones: a) C(x) =6 + 4-Jx 2 Costo marginal: CM = C"(x) = ~ j = , el costo marginal cuando x = 16 galones 4x CM = C' (16) = —p = = —= 0 / 5$ / galón. a/Í6 2 S b) número de galones cuando el CM. es 0.40 cent/gal 2 4 S0.40 = - t = => x = -------- r = 25 galones 4x (0.40) , \ x = 25 galones. Suponiendo que la función precio está dado por P(x) = 24 - 8x y la función costo por C(x) = 4x + 10x supóngase además que el gobierno grava las ventas con un impuesto de t% por cada unidad. Determinar en términos de t. la cantidad de producción que maximiza la utilidad. Determinar también el valor de t que maximiza la renta del gobierno por concepto de impuesto. Eduardo Espinoza Ramos 664 Solución La función utilidad = U(x) = I(x) —C(x) donde I(p) = xP(x) = ingreso = 40.v - 8jc2 C(x) = 4x + 10* + t x - costo total U'(x) = 4 0 - 1 6 * - 4 - / = 0 => x - :.U(x) = 4 0 x - 8 jr - 4 .V - 1 0 8 - t x 1 unidades (en millones) ,36-1. Renta del gobierno es = / g (/) = xt = (—■— )< 16 Igit) = ^ ü f~ Có) ^ /s(/) = ^ l 6^ = ° ■ ' t=18% Si la ley de la demanda es P = ——c . Demuéstrese que el ingreso total disminuirá cuando la producción aumenta, siendo el ingreso marginal una constante negativa. Solución Como la demanda es: P = - - c entonces I(x) = xP = a —ex por lo tanto, si x aumenta, el x término ex aumenta y su diferencia con “a” disminuirá además lm e = - ^ ^ = - c dx constante negativa. (l) Si la función de costo total esC (x) = O.lx2 +5x + 200. Determinar el costo promedio y costo marginal. Solución Como la función costo total C(x) = 0. l.r + 5x + 200 C(x) — ? 00 c ( x ) ~ ------ = función costo promedio; entonces C(x) = 0. lx + 5 + -----x x dC(x) . -------- = costo marginal = 0.2x + 5. dx Aplicaciones de la Derivada © 665 El número de dólares del costo total de la producción de x unidades de una mercancía es C(x) = .V2 + 4 a : + 8 . Encontrar la ecuación que defina. a) El costo promedio. b) El costo marginal y costo promedio marginal. c) Encontrar el mínimo absoluto del costo unitario promedio. d) Trazar las curvas del costo total, del costo promedio y del costo marginal en el mismo sistema de coordenadas verificar que los costos promedios y marginales son iguales cuando el costo promedio tiene un valor mínimo. Solución La función del costo total por manufactura x artículos es: C(x) = x 2 + 4a: + 8. a) El costo promedio por definición es: C(x) es decir: C(x) = x + 4 + — X b) El costo marginal: X Cmg(x) = C'(x) = 2x + 4 y el costo marginal promedio es: C (x ) = l ~ X ~ c) El _ mínimo absoluto del costo unitario g promedio se obtiene haciendo _ C" (x) = 1— —= 0 => x = 2V2 es decir que x = 2 ^ 2 es el número crítico de C(x) x" 16 r- -¡2 — rC ' ( x ) = — de donde C"(2v2) = — >0=> C(x) tiene mínimo relativo en x = 2V2 jc3 2 O C (2V 2) = 2 ^2 + 4 + — — = 4 ^2 + 4 = $9.64 2-/2 _ g además se tiene que C ( x ) = x + 4 + — es continua en <(),+*>. Luego como x x = 2 ^ 2 . Entonces C(2-j2) = $9.64 es un valor mínimo absoluto del costo unitario. Eduardo Espinoza Ramos 666 d) Las gráficas son: Yt Una empresa tiene una producción de x toneladas de cierto artículo con un costo variable total dado por C(x) = ax3 - b x 2 + e x . Demostrar que la curva de costo medio es una parábola, hallar la producción que corresponde al costo medio mínimo y el valor del costo medio respectivo. Solución C(x) El costo medio = Cme = — — = a x 2 - bx + c completando cuadrados se tiene: x 7 b h2 c h1 b 7 b2 b 7 4a c - b 2 Cme(x) = a (x ~----x + — - + ---------- ) = a ( x - — )- + c ~ — = a ( x —— )~ +---- -----a 4a a 4a 2a 4a 2a 4a de donde Cme+—— 4- — = a ( x - — ) 2 ecuación que representa una parábola, con vértice 4 a 2a b b2 - 4 ac , , , . . Cme(x) b en (— ,-) , ahora veremos el Cme(x) m ínim o---------------------- = 2a x - b = 0 =>x = — 2a 4a dx 2a d 2Cme(x) . ------- -— - = 2a > 0 dx~ Vx => x b =— 2a Será la producción que corresponde al Cme(x) mínimo. El valor del costo medio mínimo será: Cme(— ) = a(— )2 - b ( — ) + c = 2a 2a 2a —— 4a 667 Aplicaciones de la Derivada Hy La curva del costo total del producto ó artículo está dado por y = 15x - 8.r2 + 2 x 3, de donde y representa el costo total y x representa la cantidad producida. Suponga que las condiciones del mercado indican que deberán producirse entre 3 y 10 unidades (esto es 3 < x < 10), Determine la cantidad en este intervalo para lo cual el costo medio ó promedio es mínimo. Solución Costo medio = y C(x) = — = 15 - 8x + 2 x 2 x tLL = - s + 4.v = 0 => x = 2 número critico dx d 2~ d 2~ — -- = 4 , Vx =;• — dx~ dx' 3<x<10: \x =2 = 4 > 0 = > 3 mínimo en x = 2 pero 2 no está en el intervalo ' si: x = 3, y = 9 y x = 10, y = 135 por lo tanto en el intervalo 3 < x < 10, el valor mínimo de y ocurre cuando x = 3 y el valor máximo en x = 10 en ninguno de estos puntos — es igual a cero. dx Luego entre 3 y 10 artículos, el costo promedio es mínimo para 3 unidades. Para cada una de las siguientes funciones de costo promedio obtenga el valor mínimo del costo promedio mínimo, y demuestre que dicho costo promedio mínimo, el costo marginal y el costo promedio son iguales. a) y = C(x) = 2 5 - i x + x 2 668 Eduardo Espinoza Ramos Solución — y — Como y - — => y = x y = C(x) = costo total y = C(x) = 25x - 8x1 + x l dx = -8 + 2x = 0 => x = 4 número crítico d y — —= 2 dx~ y = C(4) = 2 5 -3 2 + 16 = 9, ...(1) Cntg(x) = C (x) = 2 5 - 1 6 x +3 x 2 =C' (4) = 2 5 -6 4 + 4 8 = 9 ...(2) de (1) y (2) b) d' y . , . — — | v=4 = 2 > 0 => 3 mínimo en x = 4 dx~ y = C(x) _y = 2 + * ln x Solución v=C( x ) = x v = 2 x + x 2L wc de donde — - = Lnx + l = 0=> x = e 1 dx d y 1 dl y. n a - -i — —= —=? — — _ -, = e > 0 =>3 mínimo en x = e dx 2 x dx 2 x=e y = C(e x)-=2 + e l Lne 1 entonces y = 2 - — e 1 2 1 1 2 1 1 C'mg(x)=2 + 2xLnx + x reemplazando Cmg(—) = 2 + — —h— - 2 — + - = 2 — e e e e e e e Aplicaciones de la Derivada 12) 669 El costo total de producir x artículos por semana es de: (ax2 +bx + c) pesos, el precio (en pesos) al que cada artículo puede venderse es de P - ( P - a x 2). Demostrar que la producción total para la ganancia G es: J a 2 +3 a ( P - b ) - a x = —-----------------------3a Solución Ingreso total l ( x ) = x P = x P ~ a x 3 Utilidad ó ganancia = U(x) = I(x) —C(x) U(x) = x f ) - a x J - ( a x 2 +bx + c) derivando U'(x) = P - 3 a x 2 - 2 a x - b = 0 3 a x 2 + 2ax + b - p = 0 resolviendo: - 2 a ± J 4 a 2 -A(3a)(b- p) - 2 a ± 2 j a 2 - 3 a b + 3ap x = --------- ------------------------- = ------------ ——---------------6a 6a - a ± J a 1 +3 a ( p - b ) - a +J a 2 + 3 a ( P - b ) x - -----------------------------=> x = -------------------------------3a 3a 13) Un fabricante de radios averigua que puede vender x instrumentos por semana a P pesos x cada uno, siendo 5x = 375 - 3P. El costo de la producción es (500 + 15x + — ) pesos. Demostrar que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana. Solución Ingreso total = I(x) = por la venta de número de instrumentos: I(x) = xP x2 Costo total = c(x) = 500 +15x + — 5 Ganancia ó utilidad = u(x) = I (x ) - c ( x ) Pero 5x = 375 —3P => P = - 7 5 ~ 5* ...(1 ) Eduardo Espinoza Ramos 670 /(* ) = x P = 3 7 5 * -* Luego ...(2) c(x) = 500 + 15* + : Reemplazando (2) en (1) se tiene: 3 7 5 * -5 * x u(x) = ------- ----------(500 + 15* + — ) , derivando „ 3 7 5 -1 0 * 1£r 2x 1 8 7 5 -5 0 * -2 2 5 -6 * . u (*)---------------15------ -- ---------------------------- = 0 3 5 15 1650 - 56x = 0 => x = 1 ^ 2 = 29.46 valor crítico 56 « "(*) = - — => u " (29.46) = - — < 0 15 15 => d máximo en x = 29.46 La máxima ganancia se obtiene al producir alrededor de 30 instrumentos por semana. Si el problema 13 se supone que la relación entre x y P es * = 1 0 0 - 2 0 . Demostrar que la producción que corresponde a una ganancia máxima es la de unos 25 instrumentos por semana. Solución l(x) = ingreso total = Xp como * = 100-20,1— V5 P 5 , 1 0 0 -* 2 20 / (x) = xP = c(x) = costo total = 500 +15* + — 5 => 20-1— = 1 0 0 -* V5 p _ (ÍOO-JC)2 80 * (1 0 0 -* )' 80 U(x) = I(x) - c(x) reemplazando se tiene: Aplicaciones de la Derivada _ ,v(l00—x)— 80 671 —15jc—— 5 „ . w = S O ^ _ i (100z í ) _ 8 40 _ 100—jc ~ 80 X 75 + 2x 5 derivando se tiene 2i 5 80 5 (100 - jc)(100 - 3x) -16(75 + 2x) 80 . ... 1 3.r2 -4 3 2 + 8800 „ .. 256 U (x) = --------------------- = 0 => x = 25, x = ------80 3 U"(x) = - — - 32- => í/"(2 5 ) = - — < 0 80 40 en x = 25, por lo tanto la máxima ganancia se obtiene al producir 25 instrumentos. 15^ Esta semana en una fábrica se produjeron 50 unidades de cierta mercancía y la cantidad de producción aumenta a razón de 2 unidades por semana. Si C(x) dólares es el costo de producción de x unidades donde: C(x) = 0.08*3 - x 2 +10*+ 48 , calcule la rapidez actual a la que el costo de producción aumenta. Solución Sea x = número de mercancía — = 2 unid/semana de = rapidez actual en la que el costo de producción aumenta. Como c(x) = 0.08x3 - x 2 +10x + 48 derivando se tiene: Eduardo Espinoza Ramos 672 di = 0.24(50)2 (2) —2(50)(2) + 10(2) =0.48(50)2 -4 (5 0 )+ 20 = 1020 D,c{50) = 1020 El costo aumenta a razón de 1020 por semana. 16j En cierto mercado, la demanda por una clase especial de cereal para el desayuno está indicada por la ecuación de la demanda: Px + 25P = 4000, donde P centavos es el precio de una caja y x miles de cajas es la cantidad semanal demandada. Si el precio actual de dicho cereal es de 80 centavos por caja y ese precio aumenta a razón de 0.2 centavos semanales, calcule la razón de cambio de la demanda. Solución dP Datos: — = 0.2 centavos /semana ; dt dx — = ? para P = 80 dt , nAft 4 0 0 0 -2 5 P como Px + 25P = 4000 => x = --------------P 4000 „ dv 4000 dP x = ---------25 => — = -•-----------P dt 2 dt ^ = - «00 dt (80)2 --------W _ = ^ 1 0 ; _ ! = _ (80)(80) 80 8 La demanda disminuye a razón de 0.125 miles de cajas por semana. © La ecuación de la oferta de cierta mercancía es: x = 1000-^3P 2 + 2 0 P donde cada mes se surten x unidades cuando P dólares es el precio por unidad. Calcule la razón de cambio en el suministro si el precio actual es de S20 por unidad y está aumentando a razón de $0.50 por mes. Solución dP Datos: — = 0.5 $/mes ; dt dx — = ? cuando P = $20 dt x = m<h¡3P* + 20P se surten x unidades cuando p S es el precio por unidad Ahora calculamos la derivada implícita. Aplicaciones de la Derivada 673 dx 1000(3^+10) dP , _ _n — = ----- -— cuando P = 20 V 3P2 + 20P 1 0 0 0 (7 ^ 0 di 70000 -^1200 + 400 ?5 40 El suministro aumenta a razón de 875 unidades por mes. 18j Suponga que “y” es el número de trabajadores en la fuerza laboral necesaria para producir x unidades de cierta mercancía y, x = 4y 2 . Si la producción de esta mercancía, este año, es de 250,000 unidades y la producción aumenta a razón de 18000 unidades anuales. ¿Cuál es la razón actual a la que se debe incrementar dicha fuerza laboral? Solución Datos: x = 250,000 unidades ; — = 18,000 unidades anuales ; — = ? dt dt como x = 4y 2 , cuando x = 250,000, y = 250 ahora derivando implícitamente la ecuación x = y 2 con respecto al tiempo. — = 8y— dt ' dt reemplazando los datos 18000 = 8(250)— dt => — = 11222. = g dt 8(250) = 9 trabajadores anuales. 5.27 O PROBLEMAS PROPUJE S TOS«Un monopolista determina que si c(x) centavos es el costo total de la producción de x unidades de cierta mercancía, entonces c(x) = 25x + 20000, la ecuación de la demanda es x + 50P = 5000, donde son demandas x unidades cada semana, cuando el precio unitario es de P centavos, si se desea maximizar la utilidad semanal encontrar: a) El número de unidades que deben producirse cada semana. b> El precio de cada unidad. Rpta. a) x = 1875 unidades b) P = $62.5 Eduardo Espinoza Ramos 674 ( 2) La ecuación de la demanda de cierta mercancía es P = ( x - 8 ) 2 y la función del costo total está dada por C(x) = 1 8 x - x 2 donde c(x) dólares es el costo total cuando se compra x unidades. a) Determinar los valores permisibles de x. b) Encontrar las funciones del ingreso marginal y del costomarginal. c) Encontrar el valor de x que rinde la máxima utilidad. d) Trazar las gráficas de las funciones del ingreso marginal y del costo en el mismo sistema de coordenadas. Rpta. (? ) a) x e [ 0 ,8] c) x = 1.89 b) /'(x ) = ( x - 8 ) ( 3 x - 8 ) , c'(x) = 1 8 - 2 x La ecuación de la demanda para cierta mercancía es P x 2 - 9 P - 1 8 = 0 donde P dólares es el precio por unidad cuando 1OOx unidades son solicitadas. Encontrar: a) La función del precio. c) La función del ingreso marginal. d) Encontrar el ingreso total máximo absoluto. Rpta. ( 4) 1O a ) ----- — Q 9 + x-v-2 b) b) La función del ingreso total. 1800x 9+x2 Un campo rectangular que tiene un área de 2700w2 , será cerrado con una barda y se empleará una barda adicional para dividir el campo por la mitad. Si el costo de la barda central es de S 2 por metro lineal y el de la barda a lo largo de los lados es de S 3 por metro lineal encontrar las dimensiones del campo que haga que el costo de la barda sea mínima. Rpta. Las dimensiones del campo que hacen que el costo mínimo son: 45 de ancho por 60 de largo. 675 Aplicaciones de la Derivada © Un fabricante puede tener una utilidad de $20 en cada artículo si se producen semanalmente no más de 800 artículos. La utilidad decrece a 2 centavos por artículo que sobre pasa los 800. ¿Cuántos artículos deben fabricarse a la semana para obtener la utilidad máxima? (ó ) Rpta. 900 artículos. Un fabricante puede producir grabadoras de cassette a un costo de $20 cada una. Calcular que si las vende a x pesos cada una podrá vender aproximadamente 120 —x grabadoras de cassette al mes. Determinar el precio de venta x que producirá la mayor utilidad para el fabricante. © Rpta. $ 70 cada una. Para cada una de las siguientes funciones de costo total, evalúe el costo marginal y determine el comportamiento del costo marginal (sí es creciente ó decreciente) a) (? ) y = IOOOjc - 1 80x2+ 3jc3 b) y = 220 + 5 5 x - 2 x J + x 4 Determinar el comportamiento de las funciones de costo promedio y marginal (creciente o decreciente) para cada una de las siguientes funciones de costo total. a) y = *Jx + 25 , 0 < x < 10 Rpta. b) y = 9x + 5xe~2x a) 0 < x < 10 creciente el costo promedio y marginal b) El costo marginal es decreciente para x < 1 y creciente para x > 1, el costo promedio siempre es creciente. ( 9) La función de ingreso total de la empresa Compañía Manufacturera de Muebles Coloniales se expresa mediante la ecuación I(x) = 2 4 x - 3 x 2 , en la que I(x) es el ingreso y x es la cantidad vendida. a) ¿Cuál es el ingreso máximo que la compañía puede esperar suponiendo que la ecuación anterior es válida? b) ¿Cuál es la ecuación correspondiente a la función de ingreso marginal de esta compañía? Eduardo Espinoza Ramos 676 La compañía ANTO SA . fabrica gabinetes para aparatos de televisión, y el costo total de producir cierto modelo está representando por la ecuación: y = 4 x - x 2 + 2x3 , en donde y representa el costo total y x representa la cantidad producida (su valor numérico son millares de unidades). El departamento de ventas ha indicado que la producción x debe estar entre 2 y 6. ¿En que cantidad es mínimo el costo marginal? Rpta. En el intervalo 2 < x < 6, CM. es mínimo en x = 2 Un fabricante puede producir para camas de agua a un costo de $10 cada uno, calcula que si los vende a x pesos cada uno podrá vender aproximadamente 50 - x marcos al mes. a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio de venta x y represente gráficamente esta función de utilidad. b) Use el cálculo para determinar el precio de venta que ha de elevar al máximo la utilidad del fabricante. Rpta. a) P(x) = (x-10) (50-x) b) Precio óptimo de venta $30 utilidad máxima El costo total de una firma que manufactura x bicicletas es a) ¿A qué nivel de producción decrece el costo marginal? b) ¿A qué nivel de producción crece el costo marginal? c) ¿Cuál es el mínimo costo marginal? Rpta. © $370 a) 0 < x < 20 b) x > 20 c) c(x) = - c'(20) = 70 Un fabricante de accesorios eléctricos tienen unos costos de producción diarios de 1 X~ ¿• = 8 0 0 -1 0 x 4 — . ¿Cuántos accesorios x se habrían de producir cada día para 4 minimizar los costos? Rpta. 20 5x2 677 Aplicaciones de la Derivada 14) Un fabricante de radios cobra $90 por unidad cuando el costo medio de producción por unidad es de $60, para seguir, sin embargo, mayores pedidos de los distribuidores, el fabricante reducirá el precio en $0.10 por unidad pedida a partir de las 100 primeras. Hallar el menor pedido que podría admitir el fabricante para obtener beneficio máximo. Rpta. 200 15) Una empresa que fabrica y vende escritorios trabaja en competición perfecta y puede vender a un precio de $200 el escritorio, todos los escritorios que produce si x escritorios se produce y se vende cada semana y c(x) dólares es el costo total de la producción semanal, entonces c(x) = x 2 + 4x+3000. Determine cuántos escritorios deberán fabricarse por semana para que la empresa obtenga la mayor utilidad total por semana. ¿Cuál es dicha utilidad total máxima por semana? 16) Rpta. 80, $ 3400 Suponga que en una situación de monopolio la ecuación de la demanda de cierto artículo es P = 6 -y -y /jt-1 0 0 , donde P dólares es el precio por artículo cuando se demanda x artículos y x e[100, 1000]. Si c(x) dólares es el costo total de la producción de x artículos, entonces: c(x) = 2x + 100 a) Encuentre las funciones del ingreso marginal y del costo marginal. b) Calcule el valor de x que arroje la máxima utilidad. 1 Rpta. 17) y a) Img(jc) = 6 — V x -1 0 0 ----------------- -:— ; Cmg(x) = 2 5 10Vjc-100 b) 200 ó 100 En competencia perfecta, una firma puede vender a un precio de 100 dólares por unidad todo lo que produce de una cierta mercancía. Si a diario se produce x unidades, el número de dólares del costo total de la producción diaria, es x 2 + 20*+ 700. Hallar el número de unidades que deben producirse diariamente para que la firma obtenga la máxima utilidad total diaria. Rpta. La mayor utilidad diaria es cuando se produce 40 unidades por día. 678 Eduardo Espinoza Ramos (Í8 ) Un fabricante en la producción de cierto artículo, ha descubierto que la demanda del artículo viene representando por x = .^22. suponiendo que el ingreso total I(x) está por P2 I(x) = xP que el costo de producción x artículos está dado por: c(x) = 0.5x + 500, hallar el precio por unidad que dé un beneficio máximo. 19) Rpta. S I.00 La función de demanda de un cierto artículo está dado por P = (1 6 - x ) 1,2.0 < x < 16, calcular para que precio y cantidad el ingreso es máximo. (20) Rpta. P ■= Un cierto artículo tiene una función de demanda dada por P = 100 - , x=~ y la función de costo total es C(x) = 40x + 375. a) Qué precio da el beneficio máximo? b) Cuál es el costo medio por unidad si se produce para obtener el beneficio máximo? Rpta. 5.28 a) $80.00 b) $99.29 LA REGLA DE L HOSPITAL.Para calcular límites de funciones que asumen formas indeterminadas, se debe tener en cuenta las siguientes formas indeterminadas. a) lera. De La Forma 2 0 Consideremos dos funciones derivables f y g en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en a e I. Suponiendo que V x * a en I, g ' ( x ) 0 y sí lim f ( x ) = 0 y x -* a lim g(x) = 0 , entonces: ¿YvV g(x) fV vi Hmi í s » > « g ü ): ...d ) 679 Aplicaciones de la Derivada OBSERVACION i) f w En el caso que / ' (a) - 0 , g'(a) = 0 se aplica la expresión (1) al cociente------- es g ’M decir: ») En algunos casos puede ocurrir que sea necesario repetir el procedimiento varias veces. ¡íi) Si a = oo, la sustitución de x = — el problema se reduce a evaluar el límite z cuando z —>0 esto es: , , = l im------7- = lim 1, 1 b) ., z -* 0 1, jr->oo g 'M 2 g'(x) De La Form a Para determinar él f(x) lim-----x —>a g(x) cuando él lim / ( x ) = o o , y lim g(x) = o o , es x-> a x —>a suficiente aplicar la regla establecida en (1). c) De La Form a O.oo Para determinar él lim f (x ) .g (x ) x —>a cuando lim f (x) = 0 y lim g(x) = <*>, a la x —>a * x~>a 0 00 O oo función f(x). g(x) se expone dé tal manera que adopte una de las formas —ó — es decir: ó también Luego se aplica la regla establecida en (1) Eduardo Espinoza Ramos 680 d) De La Forma oo - oo Para determinar él l i m ( f ( x ) - g ( x )) x —>a ' cuando: lim f ( x ) = oo, l i m g( x) = oo, la x-> a x —>a función f(x) - g(x) se expresa en la forma siguiente: y de esta manera cuando x -> a, toma la forma — luego se aplica la forma establecida en (1) e) De la form a 0o , °o0, 1“ Para determinar el lim ( / (x) g('x)) que toma la forma: 0o , oo°, 100, cuando x —» a, x-> a se debe tener en cuenta que / (x) g(-x) = e 5.29 © . EJERCICIOS DESARROLLADOS. Lnx l i m-----*-»1 X ~ 1 Solución Um — =lim -=1 x-> l X — 1 © lim - *->1 X X —1 -1 Solución lim —— = lim - 1n -1 x n -1 x~*1 H X .V © .lim n x -1 x-> i x ” -X e -e Jim----------sen x Solución -1 1 n 681 Aplicaciones de la Derivada » X x ->0 a -n X „V Solución a*-bx a ' L n ( a ) - b xLn(b) lint---------- = l i m ------------------------ - = Lna - Lnb t-» 0 (¿) Jr—»0 X T T , h m ----------- = Ln jr-»0 x 1 cr | Cl ® lim x- - -* n lim x" sen —, n >0 JT-.II X Solución a a sen- , , hm x sen — = h m ----------------- , donde X ~n z-»*1 a a , r = — => x = — cuando x X „ a a senz .. a cosz a lim x sen — = h m -----------= h m -------- — - ——= oo x z ->0 z -»0 f¡ ~ n 1 o ® lim *2 sen k x 2-x Solución , sen n x , n eos n x h m --------- = hm —-........ - = - n •r->2 2 - X -1 0 e - eos x 1im ■V>o x sen x Solución .. e x - e o s * .. e^ -sen x 1+ 0 h m -------------= h m ------------------- = ------ = oo x-+o x senx *->osenx + x co sx 0 ® . x -2 lim x-2 v -O2 Solución n -»n n-1 x -2 nx „^«-i l i m ---------- = l i m -------- = n i ■>'->2 X-2 a ~>2 1 Z oo, n z -> 0 ax - b x T Eduardo Espinoza Ramos 682 © ¿«(sen x) lim , x-ntii (n - 2 x ) Solución Z,w(senx) c tg x -c o s ec~x 1 lim -----------—= lim -------------- = lim --------------- = — Jr-xr/2 (ft —2x) x-*n!2 —4(n —2x) x-*n!2 8 8 10) ^ lim ( n - 2 are. tg x)Lnx .r-»or- Solución l i m ( n - 2 are. tg x)Lnx = lim —— 2arc-t^ x x —>zr x —>cc 1 Lnx = lim X— »00 -2 1+x2 ,■ 2xLn2x .. 2 Ln 2x + 4 2 — = l i m ------- — = l i m ------------- = h m — = 0 1 x —>00 \ + X x—»00 2.X x —>coX x Ln 2x ® lim xLn(senx) x->0 Solución Ln(senx) .. c t g x lim xLn(sen x) = l i m ------ ------= lim — — x-+ 0 1 x —fO x— »0 1 I " I7 -e o s ec2x x3 .. 3x2 3x 0 . l i m -------------= - l i m ---------— = - l i m ---------- = - l i m ------------= —= 0 *->o _2_ x-to 2 sen x 2 sen 2x *->o 2 eos 2x 2 3 12} lim x senx x-> 0 Solución lim sen x.L nx . lim x senx = lim esenxLnx x —>0 x-+ 0 = — -— —•„, = lim e ULnx = e ^ ° VxLn x = e “ = e ° = 1 x— >0 •. lim x senx = 1 jr-*0 --------------- n 683 Aplicaciones de la Derivada \[x - \ f a © '"'■-Tx-ra Solución \[x -\[a 2-Jx lint - t=---- = - = lim ■ \lx -4a x~*a i lfx* 2 a 1,2 3a 2n 3a 1/6 lim ----- sen* x-m) Solución lim■ '1 = Uní — ■= 1 jr-»o sen * *->ocosx © lim L n eos * x~*0 Solución Ln eos* . . . . l i m -------— = lim ( - tg x) = 0 jr-*0 X jr~*0 lim x~-,° -e o s P x Solución ae^-asenax e^-cosax a l i m ---- —------------ = l i m ------------------------= — x~*° f ie ^* -e o s fí x x->° p e ^ * - p sen p x P lim x - are. tg * X - *{) Solución x-arcAgx l i m --------;——— = lim *-*» 1l + x2 = — 1 lim 3x 3 *->o x ( l + x ) 3 Eduardo Espinoza Ramos 684 e a^ -1 lint '-*0 -Jscnbx Solución e ^ - l a hm , -------= lim — ;=e ^ r~+° Vscn bx x M) 2-Jx b eos bx a x->‘o b = lim sen bx eos bx.-Jx 2-Jsenbx Vsen bx a .. 2-Jsenbx a b jx c o s b x ■— lim = — lim ■ b >->o eos bx *->o ~Jx b *->o 1 b *-»o -Jseñbx 2^/x 1 - a lim - .---------•t ->0 Ib sen bx bx a r -4b l i m - -----— *-*0 c x - d x Solución a -t a xL n a - b xLnb _ L n a - L n b _ ^ d ^ lim ■= lim c x L n c . - d x Lnd L n c - L n d i n(^L\ «»c1-d x d © lim x - *q Lnx Ln(sen*) Solución lim 5.30 Lnx = lim x Lu(sen x) *-»o eos* sen* senje , l i m-------- 1= 1 x->o x eos x E JE R C IC IO S PROPUESTOS.Hallar los límites siguientes aplicando la Regla de L’Hospital. O x - sen x l im ■V“ *0 J C - t g X Rpta. - 1 685 Aplicaciones de la Derivada Rpta. 2 m (? ) x ( 4) m Rpta. — a n lim ------ — -a lim —------ — Rpta. -2 x ->() COS X —1 © © e ~e lim ■ -v->n sen x. eos x Rpta. 2 l m e ‘ ' e ' - 2x *->0 x - sen x Rpta. 2 x e ® lim x— >0 X3 x 2 ----------------x —1 6___ 2 ____ Rpta. 1 eo s* + :----- 1 1 (i) Ln( 1+ x )4 - 4 x + 2 x 2 - - x 3 + x 4 l i m ------------------------------ j-v-»° 6 sen x -6 x + x © lim Rpta. 16 L / / ( l - X ) + tg — r -» l Rpta. -2 t ' t g 7T X Rpta. I © 12J eos x . L n x - a l i m ------- --------v~>fl I « ( e r - e a ) Rpta. eos a //« (—------- — ) 1 Zwx Lux Rpta. -1 Eduardo Espinoza Ramos 686 ® Iim x x R pta. 1 x~*0 © ^ l i m ( - ) seax x - ,0 x R pta. 1 © l i m x [ + x 2 ~ l x ~ 15 x~*^ x —5x ■+*8x “ 6 R pta. 26/5 sen2x + 2sen2 x - 2 s e n x l i m .......... ..................^----------v eos x - e o s x „ x . R pta. 4 17) m sen x -se n m x lint---------------------*->o x(cosx-cos/w x) _ , ni R pta. — 3 18) l ini xLn (sen x) R pta. 0 ^ X —>0 19) lint e +SWC 1 *-><> Ln( 1 + x) R pta. 2 20) lint ■■■■■ x + Lnx= • ^ 'l - ^ x - x 2 R pta. -1 21) lint ... 22) ^ , s e n (o ¡+ x )-s e n (a -x ) ! im----- ------- -------- ------- »<>cos(a + x) - cos(a - x) ?*-- °°Sx +e - ■ v->o x sen x (x-2)ex + x + 2 lim---------- —— .rô (ex - l f Rpta. 2 _ Rpta. -ctga Rpta. - 1 6 24) k J H m - tg — JT-+0 x 2 R pta. 2 25) " 7 1 Hm----- -----------.v->osen2 1 -c o s x 1 Rpta. 2 Aplicaciones de la Derivada 26J 687 lim x 1 ' Rpta. e 1 .r—>0 27) u \ 2/3 , /, 2x3/4 (LtlX) + (1—X ) li m---------- — ---- ------sen (x -1 ) Rpta. 1 28) lim (senx)tg' Rpta. 1 291 Rpta. « .<•->() (30) ^ 5.31 tg X - X lim(------ —= --------- R pta. — '-*1 2(1-V x ) 3(1-V x ) 12 FUNCIONES HIPERBOLICAS.A las funciones trigonométricas a veces se llaman funciones circulares debido a la estrecha relación que tiene con él circulo x 2 +y~ = 1. En la misma forma ciertas combinaciones de las exponenciales e x , e~x se relaciona con la hipérbola que son: Seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica cotangente hiperbólica , secante hiperbólica, cosecante hiperbólica y que denotaremos por: Senh, Cosh, Tgh, Ctgh, Sech, cosech. respectivamente. Ahora daremos las definiciones de cada una de estas funciones hiperbólicas. a) DEFINICION.- La función seno hiperbólico f : R -> R, se define de la forma siguiente: /( x ) - s c n h x ~ e* - e ‘ lili donde D f = < - 00,+00 > y R f = < - 00,+00 > . Su gráfica es: Eduardo Espinoza Ramos 688 b) DEFINICION.- La función coseno hiperbólica f: R —> R, se define de la forma siguiente: f Or) = cosh x~-e*+e~x donde D f ~ <-oo,+oo> y R , = < -oo,+go > . Su gráfica es: A la gráfica del coseno hiperbólico se le llama “cateriana” La cual adopta la forma de un cable flexible y uniforme que cuelga de dos puntos fijos. OBSERVACIÓN.- Las funciones Senh x y Cosh x no son independientes pues, de las dos funciones se tiene: senh .x ■ senh2 x • e 2x - 2 + e ~2x , de donde, cosh2 x - senh2 x = 1 X Cosh x = . e +e -x 2 Cos fr x e 2x +2+e -2 v 689 Aplicaciones de la Derivada senh x = e -e e x =senh x + cosh x además de: X Cosh x = c) . e +e -x e x = cosh x. senh x DEFINICIÓN.- La función tangente hiperbólica f: R —>R se define de la forma siguiente: _ i* e~e +e donde d) D r = <-*>,+00 > y R f = < - ! ,! > . Su gráfico es: DEFINICIÓN.- La función cotangente hiperbólica f: R —>R se define de la forma siguiente: x donde D f = < -oo,0 > U < 0,+oo > y R f = < -oo,-l > U < l,+oo > . Su gráfica es: Eduardo Espinoza Ramos 690 e) DEFINICIÓN.- La función secante hiperbólica f: R-4R define de la forma siguiente: donde D f = < -oo,+oo > y R f = < 0,1]. Su gráfica es: f) DEFINICIÓN.- La función cosecante hiperbólica f: R->R, se define de la forma siguiente. / Ix) ~ donde D f ~ < -oo,0 > U < 0,+oo > y R f — < -oo,0 > U < 0,+ » > . Su gráfica es: g) IDENTIDADES HIPERBÓLICAS.- FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES 0 cosh2 x - s e n h 2 x = l ( 2) 1 - tg h 2 x = s ec h 2x (T ) ^ l - c t g h 2 x = - c o s e c h 2x (7 ) tg h x = — -— c tgh x 691 Aplicaciones de la Derivada © © senh 2x = 2senh x cosh x cosh 2x = cosh2 x + senh2 x © senh(x ± y) = senh x.cosh y ± coshx . senhy © cosh(x ± y) = cosh x . cosh y ± senh x.senh y © tgh(jc ± y) = tío ) . _ y .A + B A —B senh A + senh B - 2 senh(------- ).cosh(------- ) tgh x ± tgh .y l l t g h x . tgh y cosh A + cosh B - 2 cosh( ^ +- ^ ). cosh(———) © ,2 cosh 2 x - l 2 cosh 2x +1 senh' x = -------------- , cosh x = --------------EJEM PLO S DE APLICACION: © Demostrar que: tg(lnx) = x2-\ x 2 +1 Solución e -e Como tgh x ■ e 21 -1 e +e tgh(lnx) = e 2Lnx * - l e +1 NOTA.(T ) © Lnx2 -i 2 i -1 X -1 e Lnx +1 X +1 x2-l tgh(lnx) = — — x +1 Se ha aplicado las siguientes propiedades e Lna=a © _ 1+ tg h x -,t Demostrar q u e : ----------- = e~ 1 —tgh x Solución Como tgh x = e 2x- l e 2x +1 . al reemplazar se tiene Arlna = ln a Eduardo Espinoza Ramos 692 2x i e -1 g^ + i e -1 1+ 1+ tgh x _ 1 -tg h x e 2x , i . +l + e i 2x -1 2e e 2* + l _ 2e 2x _ _ 2* 2x . i e +1 e 2x + l - e 2x +1 e 2x +1 (T) ^x 1 + tgh x 1 -tg h x =e e 2x +l e 2x +1 Demostrar que: (senh x + cosh x )" =cosh n x +senh n x Solución senh x = e -e cosh x + senh x = ex Cosh x = - (cosh x + senh x)" = e nx senh (nx) ■ e nx -e -n x cosh (nx) + senh (nx) = e" ...(2) cosh (nx) ■ Luego comparando (1) y (2) se tiene que: (coshx + senhx ) n = cosh nx + senh nx © Demostrar que: tgh(-x) = -tghx Solución -x - (- x ) -x X X -x . , . . e -e v ' e -e e -e tgh(-.v) = — ;------------------- — = — ----e +e 1 ' e +e e +e © Calcular el valor de x si: . . = —-- — = - tgh x tgh(-x) = -tgh x. tgh(lnx) = — 4 Solución tgh(lnx) : é?ln * ~~(2, - l n x 1-i 1 [n +------ bT = - ^ ’ aplicando las propiedades e - a se tiene: Aplicaciones de la Derivada * —x_ ___ £_1 ___ 1 4 x +— 693 X -1 _ 1 x~ +1 _ 4 4 x 2 - 4 = - x 2 -1 => 5*2 = 3 X x = ± ,|— de donde © Calcular el valor de x si senh (ln 2x) = cosh (ln x) Solución senh (ln 2x) = cosh (ln x) por definición se tiene: í,ln2-' - e ~,n2x e ,nx+ e - lDX i i ------------------ = -----------------de donde 2 x ------- = x + — simplificando -i * 2 2 2 x x , [J 4 x 2 -1 = 2 x 2 +2 => 2 x 2 = 3 => * = ± J — I. © © . ¡3 por lo tanto x = J — Demostrar las identidades siguientes: cosh (x ± y) = cosh x. cosh y ± senh x. senh y senh (x ± y) = senh x. cosh y ± cosh x. senh y tgh x ± tgh y 1± tgh*. tgh>> © tgh(.v ± y) = © sen A + senh B = 2 senh(-------- ) cosh(—— ) © cosh A + coshB - 2 cosh(^ + -g)cosh(———) © , ,x - v senh x - senh y tgh(— — ) = — ---------- r 12 cosh * + cosh y © sech (-x) = sechx (s) cosech(-x) = -cosech x Eduardo Espinoza Ramos 694 ® 11. © » n h í = ± fe < ÍL £ li 110 ) Demostrar que: tgh x : senh 2x cosh 2x + l ( 3) senh2 x - senh2 y = senh(x + y) senh(x - y) @ senh 3x = 3 senh x + 4 senh3 x 5,33 coSh | = ± , lcOShlr + 1 © senh 2x +senh 4 y © cosh 3x = 4 cosh3 x - 3 cosh; cosh 2x + cosh 4 y = c tgh(x + 2y) DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBGLICAS.Mediante la regla de la derivada de la función exponencial se puede deducir las fórmulas de derivación de las funciones hiperbólicas. Sea u una función de x diferenciable, entonces © Si y - senh u => ~ ~ - cosh u .~~ ' ih iíx Si v = coshw =?> (7 ) Si y = igb 11 => ~ (4 ) Si y “ ctg h u ,,. Si :í;: ' ., y = seen u Si y - cosech a ' / w.— dx dx = %cc/r«. dx ech2u du d\ dy . > i . , ■ , s? ™ s= -se e h u. tgh u.— dx dx ~ í/x oc «.í'tgh a . ~ " dx > da Aplicaciones de la Derivada 695 Ejemplo.- Hallar la derivada de las siguientes funciones 0 / (x) = ln(senhx3) Solución u k f u x (senhx3)' coshx3(x3)' , . 3 ,2 f ( x ) = ln (sen h x ') => f (x) = ---------- — = ------------ — = c tg h x 3 x senh x senh x : . f ' ( x ) = 3 x 2c tgh x3 ( 2) f ( x) = s ec h 2x + 3cosech2x Solución f ( x ) = sech 2x + 2 eose c h 2x => f ' ( x ) = 2 sec/)x.(scnhx) + 6 eosechx.(cosechx)' = -2 sec h 2x. tgh x - 6 eos ech2x.c tgh x © tgh x + senh x /(* )= . senh x - tgh x Solución 2 cosh2 ~~~ tgh x + senh x senh x(l + cosh x) 1+ cosh x ? ,2x ------------------= ----------------------- = --- — — = -------------- — = c tgh — senhx - tg h x se n h x (c o sh x -l) c o sh x -1 2 h2 * ^ ... , tghx +senhx , 2x , x / ( * ) = , —----------- — - J c tg h — = e ig h tys e n h x -tg h x y 2 2 f ' ( x ) = - e o s ech2 ' @ 2 2 co sh -* 2 eos ech2 — 2 . . . „ i . ^ 2 - v i + cosh2 x Solución Simplificando V x * 0 se tiene: Eduardo Espinoza Ramos 696 .. v y¡2 +Vl-I COSh2 X ,2 (V2 +Vl + COSh2 x )2 2 f ( x ) = - ------.................---.senhz x = i — — ---------- — — .senh2 x V 2 - v l + cosh2 x 2 -1 -c o sh " x (42 + VT+cosh2 x ) 2 ,2 (V ? + Vi + cosh2 x ) 2 ,2 = ----------------- ---------- senh x = ---------------------------- .senh* a 1 - cosh x senh“ x f (x) = -(V 2 + v i + cosh2 x ) 2 , derivando se tiene. rz í. 71 senhx coshx f (x) = -2(V2 + y l + cosh~ x )(0 + - -----^ ....) Vi + cosh2 x ..., ,- (V2 + Vi + cosh2 x ) senh 2* ••• J w =--------- 1— — —------Vi + cosh x dv Ejemplo.- Usando derivación implícita; hallar y'= — ' dx y = s e n h (x -y ) Solución y = senh(x - y) => y' = cosh(x - y).(l - y ' ) => y'+ cosh(x - y)y' = cosh(x - y) => [1 + cosh(x - y)]y' = cosh(x - y) ( 2) y = senh(cosh( x 2 + y 2 )) Solución y' = cosh(cosh (x 2 + y 2 )).(cosh( x 2 + y 2 ))' >•'= cosh(cosh( x 2 + y 2 )).senh(x2 + y 2).(2x + 2y.y') y'—2 y cosh(cosh( x 2 + y 2 )).senh(x2 + y 2 ).y' = 2xcosh(cosh( x 2 + y 2 ) ) sen h (x2 + y 2 ) y' cosh(x - y) 1 + cosh(x - y) Aplicaciones de la Derivada 697 [l-2_ycosh(cosh(x2 + y 2))senh(x2 + y 2)]y' = 2xcosh(cosh( x 2 + y 2 ))se n h (x 2 + y 2) 2x cosh(cosh(x2 + y 2))senh(x2 + y 2) 1 - 2 y cosh(cosh(x2 + y 2))senh(x2 + y 2) @ f ( x ) = x seDhA Solución Tomando logaritmo a ambos miembros se tiene: Ln( f ( x ) ) = Lnx™hx = senh x.Liix aplicando derivación implícita. ^ x y = cosh x.L//x + senhx.— entonces f ' ( x ) = /(x)(cosh x,L>vc + sen^ X) f(x) X ‘ ‘ X y, / \ / , . Senh X : . f (x) = (cosh x.Lnx+-------- )x y + sennx + y j-s e n h x senh j y-sennx _ ^ \ y + senhx Solución Elevando el cuadrado a ambos miembros de la igualdad ( fc y e n h £ + b ^ X y y -s e n h x j . ^ 2 y y + senhx y + senhx y-se:nhx ,.y + senhx y -s e n h x _ -------------+ ------------- + 2 = 5 simplificando se tiene - ------------+ --------------- = 3 _y-senhx .y + senhx y - s e n h x y + senhx (y + sen h x )2 + ( y - s e n h x ) 2 =3(.y2 -s e n h 2 x) 2y 2 + 2 senh2 x = 3,y2 - 3 senh2 x simplificando >'2 = 5 se n h 2 x , V= derivando implícitamente 2yy’= 10 senhx coshx 5 senhx coshx 5senh2x -------------------------------- = — -— y 2y despejando y' , 5senh2x ••• y = — z— 2y Eduardo Espinoza Ramos 698 5,34 EJERCICIOS PROPUESTOSmi Hallar la derivada de las siguientes funciones f ( x ) = scnh(^¡— i-) x' -2 © f { x ) = senh( Q) f ( x ) = c o s h (^ — 10x+ 9) x- + 10X+9 © f ( x ) = (— + — ^ — ) senh x cosh x cosh x © /(-*) = © f ( x ) = tgh(---------- - ) © f ( x ) = tg h (x -^ /x 3 + 26) (? ) © senh x. cosh x 4 a cosh2 + b see / r ; / ( x ) = tg (^ — ) x -1 1 -) —X + 1+x+x 1 -x + x © f i \ . ur*2 ~18x + 32 / W = tgh(— — —) x~ + 18x+32 10) 1 / (x) = ln(cosh x) + 2 cosh"x © , , , coshx , , , , x >x f ( x ) = -------- ~ L n ( c tgh(—)) senh . 2 12 ) f(x) = 16j f(x) =ar cAg(s enhx~) 18) / (x) = ln(c tgh 3x - eos ech3x) f ( x ) = ln[arcsec( a + b tgh(x / 2) a-Z >tgh(x/2) )] cos(tgh-\/x + -7x) v 1 , -J2 , + tghx^ / (x) ——tghx + ~ —ln( V- s ) 2 8 1—s/2 tghx /(x ) = © eos ecAx+ c tgh x eose c h x - c tghx / (x) = are. sen(tgh x ") ,, v , . x 2 + 7x + 10, /íx ) = t- tg h ( — —-----—) x 2 - 7x +10 X t-, )* = seeA(— í./ --------X+ 1 i) /(x x +x + l 699 Aplicaciones de la Derivada II. © Usando derivación implícita hallar y'= — ' dx ctg(xy) + xy = 0 © cosh (x + y) = y senh x tgh y = 3x2 + tgh(x + y ) OBSERVACIÓN.- y = sen(cosh( x 2 + y 2 )) Por medio de las derivadas de las funciones hiperbólicas y la regla de L’Hospital se puede establecer las propiedades siguientes: c0 //w senh x = 0 vxi (2 J ' —' lim cosh x v->n ® ^ //» 2 £ !5 £ = i J >0 X @ — /» M í jf— >0 X © //wi z ! “ 5£ = o ^ 1 -se n h x jr— >0 jr— »0 „ (6 ) r hm Solución ® -2 se n h 2 x , 4 cosh 2* x-»o - 7 senh7x *-><» 49 cosh I x hm ---------------= l i m ---------------- = l i m ---------------- — lin, senh 9 x -s e n h 5x x cosh x 4 49 Solución sen h 9 x -sen h 5 x 9 c o sh 9 x -5 c o sh 5 x 9 -5 „ h m ---------------------- -- h m ------------------ -------- = ------- = 4 v->o x cosh x .v— >o coshx + xsenhx 1+ 0 ® -1 x © i,,,, w <->o 1- cosh I x v-__vn ■1 1 -c o s h x Ejemplo.- Calcular el límite de las siguientes fondones l- c o s h 2 x 1- cosh I x =1 x -s e n h 4x lim >i» x + senh 5x Solución , x -s e n h 4 x , l- 4 c o s h 4 x 1 - 4 -3 1 h m -------------- = h m -----------------= ------- = — = — v >n x + senh 5x >>o l + 5 cosh 5x 1+ 5 6 2 jt- > 02 Eduardo Espinoza Ramos 700 ( 4) lint senh(Tr-jt) x(n-x) Solución senh(7r-jc) -c o sh (^ -x ) -1 1 h m ------------- - = lint----------------- = --------- — *-nt x ( n - x ) x->x n-2x n-2n n © lint rt-»() —*11 1- cosh a x 2 Solución , 1- cosh a x , - a senh a x , - a 2 cosh a x a2 lint ------------- = lint--------------- = lint-------- ------------------ *-»() x~ x >0 2x x —>n 2 2 EJER C IC IO S PROPUESTOS Calcular los límites que se indican senh 15x lint-----------.«»o x „ ,, Rpta. 15 © , senh 3x lint---------*-><> sen 5* „ 3 Rpta. — 5 ® 2 - Jco sh x - cosh x lint---- ^ -------------------.v— >0 Rpta. - - l-c o s (s e n h x ) lint------------------*-+° sen (senh 2x) „ 1 Rpta. 8 3 24 701 Aplicaciones de la Derivada 5.35 FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS.Las funciones hiperbólicas senh x, tgh x, ctgh x y cosech x son inyectivas en todo su dominio por lo tanto tiene inversas, y las funciones hiperbólicas cosh x, senh x no son inyectivas, pero si restringimos su dominio en el intervalo [0,+*>>, en éste intervalo las funciones cosh x, sech x son inyectivas por lo tanto se puede determinar su inversa. Ahora definiremos la inversa de cada una de estas funciones. a) DEFINICIÓN.- A la inversa de la función seno hiperbólico denotaremos por are.senh ó s e n h '1 y es definida del modo siguiente: y ~ arc.scnh x <» %- senh y ísenh(arc. senh x) = x de donde < . Su gráfica es: [are. senh(senh y) = y b) DEFINICIÓN.- A la inversa de la función coseno hiperbólico denotaremos por arc.cosh ó cosh 1 y es definido del modo siguiente: y - a r c * c » s h x o x * cosh y, y > 0 donde su dominio es [l,+x>> y el rango es [0,+«» í cosh(arc. cosh jc) = x, x > 1 además < . Su gráfica es: [are. cosh(cosh y) = y, V S 0 Eduardo Espinoza Ramos 702 c) DEFINICIÓN.- A la función inversa de la tangente hiperbólica denotaremos por arc.tgh ó tgh”1 y es definida del modo siguiente. Donde su dominio es < -1 ,1> y su rango es R. Su gráfica es: d) DEFINICIÓN.- A la inversa de la función cotangente hiperbólica denotaremos por arc.ctgh ó c tg h '1 y es definido del modo siguiente. y - arc.ctgb x , x - ctgh y Donde su dominio es <-*>,-1> u <1, +oo> y el rango R —{0}. Su gráfica es: Aplicaciones de la Derivada e) 703 DEFINICIÓN.- A la inversa de la función secante hiperbólica denotaremos por arc.sech ó sec h 1y es definida del modo siguiente: y = arc.sech x o x M seeb y donde su dominio es <0, 1] y el rango [0, +«£>. Su gráfico es: f) DEFINICIÓN.- A la inversa de la función cosecante hiperbólica denotaremos por arc.cosech x ó eos ech [ y es definida del modo siguiente ; y » arccosecb eose¿#f ; Donde su dominio es <-oo ,0> U <0, +x> y el rango <-oo, 0> U <0, +oo>. Su gráfico es: OBSERVACION.- También a las {unciones hiperbólicas inversas se puede expresar en términos de logaritmo natural. Eduardo Espinoza Ramos 704 a r c . f ó t ú l x ~ L t t ( x + 4 x 2 +3}; V x e R a n .cosh x ~ Ln(x + ^ x 2 + 1 ) , para x ¿ 1 1 1+ x are. Igb x = —! « ( - —~ ) . para [x¡ < 1 2 l~x a n x tgh x - -- ¿« f-— ~ ) . para |xi> 1 ~ 2 1- x 5.36 DERIVACION INVERSAS.- DE LAS . FUNCIONES . v HIPERBOLICAS Sea u una función diferenciable de x, entonces *11 (l) y - arc.cosh ( 3} y - a t e . tgh u(x) (4 ) :? . — - - ~ ^ = ,u> } 4 u 2 ~i => “ y = arc.etglt u{x> => ~ ~ ~ — —r ; ju¡ > ! :■ :sás :§ls¡:§il sí?;::::w:»I»!:!: d* ( f i) W » U} X^ , luj < 1 y = arc.coseeh u(x) 1~ U ‘ m i W i - -ffilí => 4~ ~ , u *■0 ^ iu \4 u ^ Aplicaciones de la Derivada 705 Ejemplo.- Calcular la derivada de las siguientes funciones (1 ) / (x) = x 2 arccos h x 1 Solución 2x / ' (x) = 2xarc.coshx2 + x 2 — V x4 -1 ( 2) w 2x^ / ' (x) = 2x arc.coshx2 + a/ x 4 -1 f ( x ) = Ln(— V /6 + ^ - a r e . tgh(-£=r) x +1 3 si 2 Solución Aplicando propiedades de logaritmo se tiene: f ( x ) = —L n ( - —-) + — - are. tg h ( - ^ ) 6 x +1 3 V2 1 4 1r 1 1 1 , V2 / W = t [ -----r -------r] + — 6 x -1 x + 1 3 V2 1 , 2 2 1 2 = t (-5---- ) + ------ í ~ = -----5------------- 5-----6 *2- l 3(2x ) 3(x -1 ) 3(x2 - 2 ) 2 2 ••• / ’(X ) = - * 3(x4 - 3x2 + 2) J ( x ) = are. senhe* + are. tgh(—) x Solución Aplicando la regla de derivación se tiene: / '( * ) = ex v2 ex 1 /! + ^ h - = ,f -^ r— Ve2jr+1 l - J 4 e 2x+l x 2 - l f(x) = arc.senh (Lnx) + Ln(arc.tgh x) Solución ex ••• /'( * > = " ■ 4 e lx +1 *2 - l 706 Eduardo Espinoza Ramos Aplicando la regla de la derivación se tiene f'(x) 4 L h2x + 1 | (arc-tgh*)' 1 , (*)' are. tgh x V ¿n 2x + 1 ( l - x 2)a /t.tg h x ■■■f ' w = — = L = + — — -----------xV¿« x + 1 (1 -x )arc.tgh x 537 EJERCICIOS PROPUESTOS,- I. Hallar / ' ( x) si f(x) es dado por: ® /(.x) = tgh”1(sen 3x) © f ( x ) = árceos h( eos ecx) © f ( x ) = are. tgh(cos e x ) © f ( x ) = L n 4 x 2 +1 - x are. tghx © f ( x ) = arcsen/í(tgx) © / (x) = xarc. senh x - Vi + * 2 © / (x) = arctg(senhx) - arcsec(coshx) © / ( x ) = arcsen/;(lnx) + ln(arctg/¡x) © © II. © © © © , 1 / (x) = arc. senh e + are. tg h — X f ( x ) = 3 a 2 arctg/;J— -----(3a + 3x)4ax - x 2 , a > 0 Vx + a Hallar — donde dx arc.tg x = arc.tgh y © y 2 +xcosh v + senh2 x = 30 arc.senx = sech y © cosh2 x - c o s h 2 y = 1 arc.tgh x + x arc.cosh y = arc.senh (x+y) arctg h(x + >') = -- [arctg h x + arctg h y] Aplicaciones de la Derivada 0 ) ' 707 v = arctgh — + arctgh — x 2 (IT) v = arctgh{ ^ + scnx 4 - 5 eos* y = arctg h{—) + —------— , a>0 ' na xv III. (T ) La gráfica de la ecuación: x = a m e .senh J ~ T ~ 1 - ^ a 2 - y 2 se denomina tractriz. — V Demuestre que la pendiente en la curva en cualquier puesto (x, y) es -Jn-y2 (2 ) Sea P(cosh a, sen a). Demostrar que la recta tangente a la hipérbola x 2 - y 2 =1 en su vértice (1,0) intercepta a la recta OP en el punto (1, tgh a) ^3) Dadas las funciones definidas por: x 1 / (.t) = 4 - are. tg(----- —) + are. tg — y l + X- R(x) = 4 + are.senh (x+2) 2 g(x) = - 2 + t g h ( x - l ) y h(x) = are.tgh('V■■+ ~'X + 4 ) - - L n ( - ) - 2 x - - 5 jc+ 4 2 5 Hallar el área del rectángulo, tal que el primer vértice en el punto de inflexión de g(x), el segundo vértice en el punto máximo relativo de f(x), el tercer vértice en el punto extremo relativo de h(x), y el cuarto vértice en el punto de inflexión R(x). ( 4) Dadas las funciones definidas por R pta. 18«2 f(x) = arc.tg(x + 6) — 1, g(x) = ^ /(x -3 )2 - 1 , v2 + x + 9 1 h(x) = 2 - are tghf—----------) + —L 11 6 y la curva dada por la ecuación paramétricas x -x+ 9 2 6 /2 y = ----- —, t * 1. Hallar el área del trapecio isósceles con base paralela al eje l-/3 ’ ’ 1 -/ x, tal que el primer vértice A es el punto de inflexión de f(x), el segundo vértice B punto máximo relativo de h(x), el tercer vértice c es un punto que está sobre la asíntota oblicua de la curva y el cuarto vértice D está sobre ésta asíntota y es punto extremo relativo de x= g(x). 61 Rpta. A(-6,-l), B(-3,2), C(0,2), D(3,-l), área = \%u2 Eduardo Espinoza Ramos 708 © Sea L la recta tangente a la hipérbola x 2 - y 2 =1 en el punto A(cosh u. sen u). Demostrar que L corta el eje X en el punto (sech u, 0) y el eje Y en (0, -cosech u). fó ) Dadas las funciones f y g definidas por " f (x ) =4 +are. tg(—^— ) - ar e. tg — ' 1+x 2 y / , ->l /* 2 + 10x + 9 v 1 r 3 TT „ , . , , .. , . . gíx) = -3 + are.tgh(—------------- ) — L n — . Hallar el area del triangulo cuyos verdees x -1 0 x + 9 2 5 son: El punto (1, -3), el segundo vértice es un extremo relativo de g(x) y eltercer vértice es el máximo relativo de f(x). 538 Rpta. A = \ 4 u 2 P1FERENC1ALÉS.Consideremos una función f: R —> R, MN el arco de la gráfica de la función y = f(x); M T es la tangente a la curva en el punto M ( x x, / fx-,)) Sea Ax = x - Xj, al cual llamaremos incremento del argumento x en el segmento [x¡, x] Ay = f ( x ) - f (x j) , pero como x = x 1 +Ax , entonces: Ay = /(X j + A x ) - / ( x j ) , el cual llamaremos incremento del argumento de la función Ay y = f(x) en el segmento [x{ ,x] la razón — = tg a , representa el coeficiente angular de la Ax recta Ls . Aplicaciones de la Derivada 709 , A . ■ A v ' /( * ! + A x ) - / ( x i ) Ademas wZ,v = ,tg a = — = -----------------------Ax Av y la pendiente de la recta tangente L, en e! punto A/(x, , / ( x , )) es: m i , - & U . Á - f ' ( x x) ^ Km cix a) DEFINICION.- |i |p : La diferencial de x. es un incremento cualquiera de la variable independiente x es decir: dx~Ax b) DEFINICIÓN.- La función de la diferencial f (ó variable dependiente y) en un punto X] es igual al producto de la derivada de f en x¡ por la diferencial de x es decir: dy = d( f (x j)) = / ’(x, )dx d y ~ f ’(xx)dx c) FÓRMULAS PARA DIFERENC1ALES.C'onsideremos dos funciones de x; u = f(x), v = g(x) y c constante, entonces: © í de = tí © d(cu) = ciiu © ; d(u + v ) ~ d u + d v ; G ) d(uv) = udv + vdu © vdu-udv d{ V V Ejemplo.- Hallar la diferencial dy de las siguientes funciones © y = x Lnx-x Solución dy = y'dx = (ln.v + 1 - 1)dx - Inx.rfx © V= are. tg — a d y= ln x.d x Eduardo Espinoza Ramos 710 Solución :.d v dx x - +a- Ejemplo.- H allardysí x 2 + 2 x y - y 2 =a~ Solución Como dy = y' dx entonces calculando y' se tiene: , x+ v => v = — x-y - i ^ i i x ‘ + 2.vv- v" = a " dv = - ^ - d x x- v dv = y'dx = - —— — dx x- y 5.39 DIFERENCIALES C O M O UNA A PRO X i M A C ! O N.~ Se conoce que dx = Ax. es decir que la diferencial de la variable independiente x coincide con su incremento además tenemos que: A y = f ( x + A.v) —f ( x ) , dy = J ' (c)dx se observa en el gráfico que el incremento de la función no es igual a la diferencial de la variable dependiente, es decir que son aproximadamente iguales. Ay = dy, de donde f ( x +Á x ) - f ( x ) = f ' ( x ) d x . í(x + Aí) s f(x) + f ’íx)Ax Para calcular el error introducido cuando se utiliza dy para aproximar Ay, cuando Ax es suficientemente pequeño se tiene: E = Ay-dy Aplicaciones de Ia Derivada dv 711 se le conoce con el nombre de error relativo /(* , ) A ——— 100% se le llama error porcentual. /(* i ) Es decir: m ) dy / ( i ,) ! 5.40 DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.« Sea f: R-»R una función tal que y = f(x) a la diferencial de f se ha definido por ahora calcularemos la diferencial de segundo orden de f d 1y = d(dy) = d ( f ' (x ) dx ) = (f '(x) dx)' dx = [ f " (x)dx + f ' (x)(dx)']dx = ( f " ( x ) d x + 0)dx = (f '' ( x) dx )d x = f ' ( x ) ( d x ) 2 puesto que ( d x ) ' - 0 , debido a que dx es independiente de x entonces: d 2y ~ f ' ( x ) ( d x ) ’ en forma análoga se tiene para: Luego en general se tiene que: d 3y = f " { x )( dx ) 3 Si y = f(x) entonces: EJEM PLO DE APLICACIÓN (I) Calcular dysi y = (3x2 - 2 jt + 1)3 Eduardo Espinoza Ramos 712 Solución y = (3.v2 - 2.v +1)3 => dy = 3(3.v2 - 2x +1 )(6x —2)dx dy = 6(3x2 - 2x + l)(3.v-1 )dx ^2) Si y = 4 x 2 -3.y + 1, encontrar A y ,d y .A y -d y para cualquier x y Ax Solución Como y = / ( . x) = 4.x2 - 3.x + 1, entonces: Ay = f(x + A x )- T(x) = 4(.v + Ax)2 -3 (x +Av) + l~ ( 4 x 2 - 3 x + l) = 4x + 8xAx + 4(Av)2 - 3x - 3A.v +1 - 4 x 2 + 3.x -1 =8.vAv-3A,v + 4(Ax)2 Ay = (8* - 3) At + 4( Ax)2 también: dy = / ’(x)dx = (8x- 3)Ax d y = (8 x -3 )A x calculando A v-í/y = (8x-3)A x + 4(Ax)2 -(8 x -3 )A x = 4(Ax)2 Hallar Ay, dy y E = A y -d y si f ( x ) = x 2 + 5,x , x x = -1 , Ax = 0.02 Solución Se conoce que Ay = / (x¡ + Ax) - / (.x,) Av = / ( - 1 + 0.02) - / ( - l ) = fí-0.98)-fl-1) = (-0.98)2 + 5(-0.98) - (1 - 5) = 0.9604 - 4.90 + 4 = -3.9396 + 4 = 0.0604. además dy = f ' ( x ) d x => dy = / ’(-1).(0.02) =(-2+5).(0.02) =3(0.02) = 0.06 dy = 0.06 E = Ay - dy = 0.0604 - 0.06 = 0.0004. Aplicaciones de la Derivada 713 ( 7 ) Usando diferenciales calcular el valor de f(3.002). Sí f (x) = x 3 + 2 x 2 - x +1 Solución Se sabe que: f ( x + Ax) » f ( x ) + / ' (x)Ax Luego / (3+ 0.002) * /( 3 ) + / ' (3)(0.002) f ( x ) = .x3 + 2 x 2 - x + l => f ' ( x ) = 3x 2 + 4 x - l / ' (3) = 27 + 12—1 = 38 f(3) = 27+ 1 8 - 3 + 1 = 43 f(3.002) » 43 + 38(0.002) = 43.076 © f(3.002)« 43.076 Usando diferenciales usar el valor aproximado de ^28 Solución Sea fia función definida por f ( x ) = \[x De donde x = 27 y Ax = 1 reemplazando se tiene: f ( c ) = l¡x /( 2 7 + 1) * / ( 2 7 ) + /'(2 7 ).(l) í/(2 7 )= 3 ^ 2 7 = 3 / ’(*) = —T T ^ I / “(27) = — = 0.037 3V*2 l 27 / (28) a / ( 2 7 + / ' (27)Ax => / ( 2 8 ) * 3 + (0.037)(l) = 3.037 .-. /(2 8 ) * /(2 7 ) + / ' (27)0) = 3.037 .'. /(2 8 ) *3.037 Hallar el valor aproximado de £ = -J%L64&L6 mediante diferenciales. Solución Definiendo la función / ( * ) = ■Jx'Jx donde x = 81, Ax = 0.6 Eduardo Espinoza Ramos 714 Como £ = /(8 1 + 0.6) * /(8 1 ) + /'(81)(0.6) £ = / ( 8 1 . 6 ) / ( 8 1 ) + /'(81)(0.6) f i x ) = -Jxjx /(8 1 ) = V W s T = 27 E = 1Í81.6) s 27 + (0.25K0.6) 7; /. V^L6V8L6 »27.15 Hallar un valor aproximado mediante diferenciales de ( 5 (-l .91)- 4 ( - l ,91)3 + 2 2/, (1.91)2 -0.91 Solución Definamos la función f por: donde x = 2 y Ax = -0.09, puesto que ( 5 (-1 .9 1 )-4 (-1.91)3 + 2 )2/:, _ ( 5(-1.91) + 4(-1.91)3 + 2 )2n (1.91)2 -0.91 como (1.91)2 -0.91 f ( x + Aí) « f ( x ) + f ' ( x ) A x / ( 2 + (-0.09)) = / ( 2 ) + /'(2 ).(-0 .0 9 ) / ‘ ( jc) = (- + -v2 - + 2 ) 2n derivando se tiene: jc + 1 2 x 2 - x + l . i / 3 / 4x4 —8x3 +17.V2 —4 x —3 ^---------> •/ W = T Í — í-----------) (------------^ 3 4x3 - 5x + 2 (x —X + 1)- 2 4 - 2 + 1 1,3 6 4 -6 4 + 6 8 - 8 - 3 J9 19 /■( 2 ) = - ( 3 3 2 -1 0 + 2 ~ ( 4 - 2 + 1) 2 ) _3( 3 ) _ 9 715 Aplicaciones de la Derivada como / (1.91) * / ( 2 ) + /'(2 ).(-0 .0 9 ) ( 5 (-1 .9 1 )-4 (-1.91)3 + 2 )2/3 ^ , + 19 (1.91) -0.91 (? ) ^ 9 Calcular aproximadamente el valor de sen 59° si: Sen 60° = 0.86603 y eos 60° = 0.5, mediante diferenciales. Solución Sea f(x) = senx , donde x = 60° y Ax = -1° Como / (x + A x)« / (x) + / ' (x)Av entonces / ( 6 0 o + (-1 °)) * / ( 6 0 o) + / ' (60°)(-l°) j (x) = senx / '( x ) = cosx / ( 6 0 o) = sen 60° = 0.86603 ^ / '( 6 0 o) = eos 60° = 0.5 . . . . . ademas por trigonometría se tiene: .v R n n? -----= — => R = -— 180 n 180 x = 60° = — , Ax = -1 ° = — ( - 1 ) = - — = -0.01745 3 180 180 como / (59o) * / ( 6 0 o) + / ' (60°)(—1°) sen 59° « 0.86603 + (0.5)(-0.01745) © .-. sen 59° * 0.857305 Hallar aproximadamente la variación experimentada por el volumen de un cubo de arista x cuando esta se incrementa en 1% Solución Sabemos que: v = x 3 => dv = 3x2dx como dx = l% x = O.Olx reemplazando se tiene: (ío ) dv = 3x2 (O.Olx) = 0.03x 2,en? Un disco metálico se dilata por la acción del calor de manera que su radio aumenta desde 5 a 5.06 centímetros. Hallar el valor aproximado del incremento del área. Solución Eduardo Espinoza Ramos 716 Como el radio aumenta de 5cm a 5.06cm entonces 5.06 = 5 + 0.06, de donde r = 5 y dr = 0.06. además: A = r i r 2 diferenciando dA = 2Flr dr reemplazando dA = 2IT(5)(0.06) = 0.6rr ^1) de donde dA = 1.88c m 2 Una bola de hielo de lOcm de radio, se derrite hasta que su radio adquiera el valor de 9.8cm. Hallar aproximadamente, la disminución que experimenta su volumen. Solución Por dato del problema r = lOcm, dr = 0.2 cm Además v = diferenciando dv = 4 n r 2dr = 4;r(100)(0.2) =%0ncm3 dv = 80/T c « r 12J Un cilindro circular recto tiene 10 cm de altura, si el radio cambia de 2 a 2.06 cm. calcular el cambio aproximado correspondiente al volumen del cilindro y hallar el error porcentual de cambio en el volumen. Solución El volumen del cilindro: V = n r 2h dondeh = 1Ocm, r = 2 cm y dr = 0.06cm como V = n r 2/¡ => dV = 2rr rh dr d V = 2tt(1 0)2(0.06) = 2.4/r por lo tanto dv = 2.4tt c m3 dV 2 4n el error porcentual es: — 100% = --------jcI 00% =- 6% v 40 tt 13j Demostrar que si se comete un error al medir el diámetro de una esfera, el error relativo del volumen de la esfera es tres veces el error relativo del radio. Solución 717 Aplicaciones de la Derivada El volumen de la esfera V = 4 7T r . , dv 4 n r 2dr dr Calculando — -=------- — = 3 — v 4 /r r ' ** 5.41 EJERCICIOS PROPUESTOS. I. Calcular dy sí © y = x 2-Jlx + 3 © 3x © © ® .v- + 2 ' © v = 4.v3 + 5.y 2 +1 © y= (? ) x +l 2 .v-l -Y (? ) lo) A '2 - 1 Hallar Ay, dy yE = Ay—dy sí f{x)-x'+ 3 x2 -6x-3, / (-Y ) = ——— , 1+ .Y © / (x) —— , VA' 2 + eos x y=2 -s e n a: y —x~J\ ~x2 >■= 3x2 + 2*Jx 3ax y ~ , 2 . ,.2 +1 © y = ctg 2x. cosec2x 2 1 1 y = x sen— x eos — y = tg" .v.sen" x © II. dV_= 3 cfr V ~ r .Y, A-, * 1 = 2 , Ax = 0.01 = 0 , Ax = 0.1 = 4 , Ax = 0.01 718 Eduardo Espinoza Ramos x3 / (x) = — — , x, = 1, Ax = 0.3 x~ +1 © IH. Usando diferenciales, calcular el valor que se indica. f i x ) = .t4 +5.V2 © fix) /(.y) = -v3 + 2 x 2 - x + 1 , © f ( x ) - ^ 5 + 2x . f(2.024) X © f i x ) = x 31 + 2 x 32 + 3*5 + 2 x 2 + x + 3, f(0.00009) © / ( J ) = ^ ± L . f(i.91) x +1 IV. f(3.002) © © V1 + JC Calcular el valor aproximado de © 735.5 © © 77.45 V37.5 0 70.00098 © a/0.042 © \l0.009 © ^82+782 © \j63 © V83 © 1 1 © \¡25 © VÍ28 © E’ = [(3.01)2 + (4.0)2 + (12.08)2 ]1/2 (2.037)2 - 3 © i (2.037)2 +5 © TToT -750 Rpta. 5.04 © V63Ò Rpta. 0.355 {(-2.97) 719 Aplicaciones de la Derivada 17) “J -4 = V31 Rpta. 0.5032 18) '^0.999 Rpta. 0.9999 19) VÍ22 20) ^ ¿ = 7+[5 + (2.99) ] [270-(2.99) ] Rpta. 4.96 Rpta. 0.99918 V. Se encontrará con un posible error de 0.01 pulg. Que la medida de la arista de un cubo es 15 pulg. Usando diferenciales encontrar el error aproximado al calcular con esta medida. a) El volumen Rpta. © a) dV = 6.75pwlg3 b) El área de una de las caras b) dA = 0. 3pu \g 2 La altura de un cono recto circular es el doble del radio de la base. Al medir se encontró que la altura es de 12 pulg. Con un posible error de 0.005 pulg. Encontrar el error aproximado en el volumen calculado del cono. © Rpta. dV = 0.18zr pu lg3 Un tanque cilindrico abierto tiene una capa de 1/8 pulg. de espesor. Si el radio interior es de 6 pulg. y la altura es de 10 pulg, encontrar usando diferenciales, la cantidad aproximada de pintura que se necesita. © Rpta. dV = 8 pu lg3 . La medida de la arista de un cubo de 15cm, con un error posible de 0.0lcm. Empleando las diferenciales, halle el error aproximado al evaluar. a) el volumen Rpta. a) 6.75 cm3 b) el área de una de las caras b) 0.3cm2 Eduardo Espinoza Ramos 720 (? ) Un tanque cilindrico tendrá un revestimiento de 2cm de espesor. Si la radio interior tiene 6m y la altura es de lOm, calcule mediante las diferenciales la cantidad aproximada de material de revestimiento que se usara. © R pta. 12 , — nm Una quemadura en la piel de una persona tiene la forma de una circunferencia tal que si r centímetros es el radio de A c m 2 es el área de la lesión, entonces A = n r 2. Use la diferencial para determinar la disminución aproximada en el área de la quemadura cuando el radio decrece de 1cm a 0.8cm. © R pta. 0.47T c m 2 Un tumor situado en el cuerpo de una persona tiene una forma esférica tal que si r centímetros es el radio y V c m3 es el volumen del tumor, entonces v = — r 3 utilice la 3 diferencial para hallar el crecimiento aproximado en el volumen del tumor cuando el radio aumenta de 15cm a l.cm. © R pta. 0.9n c m 2'. La medida de la resistencia eléctrica de un alambre es proporcional a la medida de su longitud e inversamente proporcional a la medida de su diámetro. Suponga que la resistencia de un alambre de longitud dada se calcula a partir de una medición del diámetro con un error posible del 2%. Encuentre el posible error porcentual en el valor calculado de la resistencia. R pta. 4% El error posible en la medición del volumen de un gas es de OApie3 y el error permitido en la presión es de 0.001cldr ¡ p ie2 . Halle el tamaño del recipiente más pequeño con el cual es válida la ley de Boye. © Una caja metálica de forma cúbica de 64p u lg3 de volumen interior, tiene por caras, planchas de % pulgadas de espesor. Si el costo de metal a emplearse es de 8 dólares por pu lg3 aplicando las diferenciales hallar el costo aproximado del metal que se empleará en la construcción de la caja. Rpta. 96 dólares Aplicaciones de la Derivada (7?) 721 El diámetro de una esfera de 9cm, al medirlo se introduce un posible error de ± 0.05cm ¿Cuál es el error porcentual posible en el cálculo del volumen? ( Í 2) Se mide el diámetro de una esfera y con el resultado se calcula el valor de su volumen, si el máximo error posible al medir el diámetro es 0.02cm y el error máximo aceptable al calcular el volumen es de 3cm3 ¿cuál es el diámetro aproximado de la esfera más grande a la que puede aplicarse estas condiciones? Rpta. f3" Vn 10J-— cm. Si el radio de la base de un cono circular recto es la mitad de su altura y si el radio de la base mide 2 cm. con un posible error de 0.01, aproximar el error posible cometido al calcular el volumen. © Rpta. AV = 0.80n Un contratista acuerda pintar ambos lados de 1,000 rótulos redondos, cada uno de los cuales tiene un radio de 3m. Al recibir los rótulos, se descubre que el radio tiene lem más. Emplee las diferenciales para calcular el aumento porcentual aproximado de pintura que se necesitará. Rpta. 2.77% de aumento. Eduardo Espinoza Ramos 722 BIBLIOGRAFÍA (1 ^ Calculus Volumen I por: Tom M. Apóstol 0 Análisis Matemático por: Protter Morrey © Análisis Matemático Tomo 1 por: L. D. Kudriavtsev (7 ) Cálculo con Geometría por: Louis Leithold (? ) Cálculo y Geometría Analítica por: Larson —Hostetle (7 ) Análisis Matemático Volumen I por: Hasser - Lasalle - Sullivan ( 7) Cálculo de una y Varias Variables con Geometría Analítica por: Saturnino L. Sales, Einar Hile (? ) Cálculo con Geometría por: Edwin J. Purcell © Cálculo y Geometría Analítica por: Sherman K. Stein Matemática Superior para Ingeniería por: C. R. Wylie J. R. (f¡) Matemática Superior para matemáticos, físicos e ingenieros Volumen I por: R. Rothe ^ 2) Cálculo Avanzado por: Murray R. Spiegel (d ) Cálculo Diferencial e Integral por: Banach ^ 4) Cálculo Infinitesimal por: Smith - Longly y Wilson (í^ Cálculo con Geometría Analítica por: John B. Fraleich ^6) Análisis Matemático por: © Ejercicios y problemas de matemática superior Tomo I por: M. N. Bentebol, J. Margalef P. Danko Popov. Bibliografia 723 (18) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático por: B. Demidovich. (T9) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático por: G. N, Berman ô) Cálculo Diferencial e Integral Tomo I. II por: N. Piskunov (21) 5000 problemas de Análisis Matemático por: B. P. Demidovich (22) Análisis de una Variable Real por: Celso Martínez, Carracedo, Miguel A. Sanz Alix (23) Cálculo Diferencial e integral por: (24) Cálculo con Geometría Analítica por:R.E. Johnson- F.L. Kiokemeister - E.S. (25) Cálculo por: James Stewart (26) Calculus Tomo 1, II por: Michel Spivak (27) Problemas de las Matemáticas Superiores I, II por: V. Bolgov, A. Karakulin, R. (28) Cálculo Diferencial e Integral por: Yu Takeuchi (29) Cálculo Infinitesimal con Geometría Analítica por: G.B. Thoinas (30) Principios de Análisis Matemático por: E. LINÉS. (3 ^ Calculo con Geometría Analítica por: EDWARDA y PENNEY (32) Calculo de una Variable por: ^3) Calculo de una Variable por: (34) Calculo I por: Granville-Smith - Langley Wolk. FINNEY - DEMANA - WAITS - KENNEDY CLAUDIO PITA RUIZ ALVARO PINZON PEDIDOS AL POR MAYOR Y MENOR AV. G E R A R D O U N G E R N° 247 OF. 202 U rbanización Ingeniería (Frente a la UNI) T eléfono: 3 8 8 8 5 6 4 - LIMA —PERU .) ; IMPRESO EN: EDITORIAL SERVIVIOS GRAFICOS J.J 'i -Ip . O B R A S é. - i a a ^ DEL A U T C ► l 1 ^ ■ ■ ■ ■ ■ ■ K0 '|j | ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Matemática Básica para estudiantes de Ciencias e Ingeniería Análisis Matemático I para estudiantes de Ciencias é Ingeniería Análisis Matemático II para estudiantes de Ciencias é Ingeniería Análisis Matemático III para estudiantes de Ciencias é Ingeniería Análisis Matemático IV para estudiantes de Ciencias é Ingeniería Transformada de Laplace Sucesiones y Seríes Infinitas Geometría Analítica Plana Vectores, Matrices y sus Aplicaciones Algebra Lineal Rectas, Planos y Superficies Números Complejos y Polinomios Variable Compleja Solucionarío de Makarenko (Ecuaciones Diferenciales) Solucionarío de Análisis Matemático I por Deminovich Solucionarío de Análisis Matemático II por Deminovich Solucionarío de Análisis Matemático III por Deminovich Solucionarlo de Análisis Matemático III por G. Berman Solucionarío de Leithold 2da. 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