Matemáticas 10° Guía 1 | Periodo 1 | 2021 Juan Diego Vergara García Docente Tabla de Contenidos Datos Generales ................................................................................................................. iv ¿Qué voy a aprender?.......................................................................................................... 6 Lo que estoy aprendiendo ................................................................................................... 7 Practico lo que aprendí...................................................................................................... 14 ¿Cómo sé que aprendí? ..................................................................................................... 15 ¿Qué aprendí? ................................................................................................................... 16 Datos Generales Objetivos de Aprendizaje Clasificar ángulos y convertir sus medidas entre grados y radianes. En esta guía encontrarás teoría, Introducción ejemplos, ejercicios de práctica, ejercicios para entregar y una autoevaluación sobre Ángulos: Clasificación y Conversión entre grados y radianes. Primero, realiza la sección ¿Qué voy a aprender? En la cual podrás explorar tus conocimientos previos, la cual servirá de base para seguir aprendiendo o afianzar tus conocimientos. Realizarlo correctamente o no, no tiene calificación numérica, pero el hacerlo sí se tendrá en cuenta para la evaluación. Luego, lee detenidamente la sección Lo que estoy aprendiendo y revisa muy bien los ejemplos dados. Debes tomar nota en tu cuaderno. Posteriormente, en la sección Practico lo que aprendí encontrarás diversos ejercicios para que practiques lo aprendido; estos no se tendrán en cuenta para la calificación. No obstante, en la sección ¿Cómo sé que aprendí? Estarán algunos ejercicios disponibles para que demuestres lo aprendido; estos serán tenidos en cuenta para la calificación. iv En la sección ¿Qué aprendí? Habrá una lista de chequeo que permitirá que realices una autoevaluación del trabajo realizado. Igualmente, se aclara que esta guía tendrá una duración de dos semanas y como evidencias deberás enviar la solución de las secciones ¿Qué aprendí? Y ¿Cómo sé que aprendí? Teniendo como plazo máximo el viernes 05 de febrero de 2021 (hasta las 02:00 p.m. GMT-5). Además, recuerda que si tienes alguna duda puede consultarla por medio del WhatsApp 3127655379 en el siguiente horario: 10°01. Los miércoles y jueves de 09:40 a.m. a 11:20 a.m. y los viernes de 08:20 a.m. a 09:10 a.m. 10°02. Los miércoles y jueves de 11:35 a.m. a 01:15 p.m. y los viernes de 08:20 a.m. a 09:10 a.m. v ¿Qué voy a aprender? Antes de leer la guía o buscar en internet, ¿podrías responder las siguientes preguntas? 6 Lo que estoy aprendiendo Los ángulos según sus medidas se clasifican en: Un ángulo está en posición normal si estando representado en un eje de coordenadas cartesianas su vértice coincide con el origen del plano cartesiano y el lado inicial coincide con el semieje positivo de las 𝑥. La ubicación del lado terminal indica el cuadrante en el cual se encuentra el ángulo. Si se mide a favor de las agujas del reloj, el ángulo es negativo; si se mide en contra de las manecillas del reloj, el ángulo es positivo. 7 Dos o más ángulos son coterminales cuando sus lados inicial y final son los mismos sin importar su magnitud y sentido. Por ejemplo, los ángulos 150°, 510° y −210° son coterminales: Dos ángulos son complementarios si suman 90° y son suplementarios si suman 180°. Las medidas de estos se pueden expresar en grados, minutos y segundos (° ′ ′′), en grados (°) o en radianes (𝑟𝑎𝑑). En relación a la conversión de ángulos, es importante recordar que, en la calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudan a la conversión de las Funciones Trigonométricas. Éstas son Grados sexagesimales (D) (DEG) Radianes (R) (RAD) Gradianes (G) (GRAD) 8 1. Grados sexagesimales. Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales, cada una de ellas se llama grado sexagesimal. 1° es la forma de simbolizar un grado sexagesimal. Además, estos se pueden subdividir en minutos y segundos, así: 1° = 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto) 1′ = 60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo) 1.1. De grados sexagesimales a grados, minutos y segundos. Para convertir de grados a grados minutos y segundos, es necesario que el ángulo a convertir tenga cifras decimales (por ejemplo 45,675°), pues si el valor es exacto entonces los minutos y segundos serían nulos (Es decir 60° = 60° 0′ 0′′ ). Para ello, se siguen los siguientes pasos: a. Se toman los grados. b. Se toman las cifras decimales y se multiplica por 60. La parte entera de este resultado serán los minutos. c. Si no hay decimales, los segundos son nulos; en caso contrario, se toman las cifras decimales y se multiplica por 60. El resultado serán los segundos. Ejemplo 1. Convertir 45,675° a grados, minutos y segundos. Solución: a. Se toman los grados. 𝟒𝟓° 9 b. Se toman las cifras decimales y se multiplica por 60. La parte entera de este resultado serán los minutos. 0,675 × 60 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 40,500 Es decir que, tenemos 𝟒𝟎′ c. Si no hay decimales, los segundos son nulos; en caso contrario, se toman las cifras decimales y se multiplica por 60. El resultado serán los segundos. En lugar de tomar 0,500 solo se toma 0,5 pues los ceros después de la coma se eliminan. 0,5 × 60 ̅̅̅̅̅̅ 30,0 Es decir que, tenemos 𝟑𝟎′′ Respuesta: 45,675° = 45°40′ 30′′ 1.2. De grados, minutos y segundos a grados sexagesimales. Para convertir de grados minutos y segundos a grados sexagesimales, se realizan los siguientes pasos: a. Se multiplican los minutos por 60 y se suman con los segundos. b. Se dividen este resultado entre 3600. c. Se suman los grados y el resultado anterior. 10 Ejemplo 2. Convertir 45°40′ 30′′ a grados sexagesimales. Solución: a. Se multiplican los minutos por 60. 40 × 60 ̅̅̅̅̅̅̅ 2400 Se suman con los segundos 2400 + 30 ̅̅̅̅̅̅̅ 2430 b. Se dividen este resultado entre 3600. 24300 27000 18000 0000 | 3600 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 0,675 c. Se suman los grados y el resultado anterior. 45 + 0,675 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 45,675 Respuesta: 45°40′ 30′′ = 45,675° 11 2. Radianes. Un radián es la unidad de medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo cuyos lados son cortados por el arco de la circunferencia, y que además dicho arco tiene una longitud igual a la del radio. Es una medida muy útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de 𝜋. Tenemos entonces que: 180° equivale a 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 y 360° equivale a 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠. 2.1. De grados sexagesimales a radianes. Para convertir de grados a radianes, existen dos maneras que son equivalentes entre sí: a. una regla de tres o b. multiplicar por 𝜋 𝑟𝑎𝑑 y dividir por 180°. (En caso de que la división sea inexacta, se debe usar la fracción simplificada al máximo) Ejemplo 3. Convertir 45° a radianes. Solución. Forma rápida: 45° ( 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝜋 ) = 𝑟𝑎𝑑 180° 4 Por regla de tres: 180° → 45° → 𝑥= 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑥 (45°)(𝜋 𝑟𝑎𝑑) 𝜋 = 𝑟𝑎𝑑 180° 4 12 2.2. De radianes a grados sexagesimales. Para convertir de radianes a grados, existen dos maneras que son equivalentes entre sí: a. una regla de tres o b. reemplazar 𝜋 𝑟𝑎𝑑 por 180° y resolver la operación resultante. 3 Ejemplo 4. Convertir 𝜋 𝑟𝑎𝑑 a grados. 4 Solución: Forma rápida: 3 3 540° 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = (180°) = = 135° 4 4 4 Por regla de tres: 𝜋 𝑟𝑎𝑑 3 𝜋 𝑟𝑎𝑑 4 → 180° → 𝑥 3 ( 𝜋 𝑟𝑎𝑑) (180°) 3 540° 𝑥= 4 = ( ) (180°) = = 135° 𝜋 𝑟𝑎𝑑 4 4 13 Practico lo que aprendí 1. Convierte de grados a radianes. 120° 45° −270° −300° 11 𝜋 𝑟𝑎𝑑 4 1 − 𝜋 𝑟𝑎𝑑 2 2. Convierte de radianes a grados. 2 𝜋 𝑟𝑎𝑑 3 15 𝜋 𝑟𝑎𝑑 6 3. Completa la siguiente tabla. Grados Radianes 45° 0 1 𝜋 𝑟𝑎𝑑 6 90° 1 𝜋 𝑟𝑎𝑑 3 4. Escribe tres ángulos coterminales a 45°. 5. Convierte a grados, minutos y segundos 37,425° 43,67° 6. Convierte a grados. 37°25′ 30′′ 43°40′ 12′′ 14 ¿Cómo sé que aprendí? 1. Convierte de grados a radianes. 150° 135° 90° 60° 3 𝜋 𝑟𝑎𝑑 4 1 − 𝜋 𝑟𝑎𝑑 2 2. Convierte de radianes a grados. 5 𝜋 𝑟𝑎𝑑 3 5 𝜋 𝑟𝑎𝑑 6 3. Completa la siguiente tabla. Grados Radianes 30° 1 𝜋 𝑟𝑎𝑑 12 3 𝜋 𝑟𝑎𝑑 5 210° 1 𝜋 𝑟𝑎𝑑 5 4. Escribe tres ángulos coterminales a 100°. 5. Escribe dos ángulos que sean complementarios y dos que sean suplementarios. Exprésalos en grados y en radianes. 6. Convierte a grados, minutos y segundos 150,897° 210,49° 7. Convierte a grados. 37°25′ 30′′ 43°40′ 12′′ 15 ¿Qué aprendí? Es momento de autoevaluar tu desempeño. Coloca un ✓ según corresponda. Criterio Logrado En proceso Se me dificulta Sé clasificar un ángulo según su medida. Sé cuándo un ángulo está en posición normal. Sé cuándo varios ángulos son coterminales. Sé cuándo dos ángulos son suplementarios o complementarios. Convierto de grados, minutos y segundos a grados y viceversa. Convierto de grados a radianes y viceversa. Organizo cronograma para el desarrollo de todas las actividades tanto académicas como personales. Otras observaciones y comentarios: _____________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 16
