2
El conjunto de los números reales: R
Gran parte de los temas tratados en este curso se sustentan en las propiedades de los números reales. Estas
propiedades pueden clasificarse en tres categorı́as:
• Propiedades algebraicas: son las referidas a las propiedades de las operaciones entre números reales y
se denominan Axiomas de Cuerpo.
• Propiedades de orden: los números reales son un conjunto ordenado, (a diferencia de, por ejemplo, los
números complejos) es decir existe una relación que establece un orden entre los números reales, cuyas
propiedades se desprenden de los Axiomas de Orden.
• Propiedades de completitud: Toda magnitud puede ser representada mediante un número real. Esto
no es cierto en conjuntos numéricos más pequeños, por ejemplo, no existe un número racional que represente la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1.
De modo que los nmeros reales son todos aquellos números que se pueden expresar como decimales:
3
• − = −0, 75
4
1
= 0, 3333...
3
√
• 2 = 1, 4142...
•
cualquier expansión decimal representa un número real, aunque no sea única: por ejemplo, 0, 9999... y 1, 000...
representan el mismo número real: 1.
Los números reales se representan geométricamente como puntos sobre una recta numérica llamada recta real:
−1 − 12
2.1
0
2
3
1
√
2
2
3
π
4
Propiedades algebraicas
Dotamos al conjunto de los números reales R de las siguientes dos operaciones:
1. Adición: Denotada por “+” y que satisface que:
si x, y ∈ R
entonces
x+y ∈R
llamada propiedad de clausura o cerradura de la adición o suma.
2. Multiplicación: Denotada por “·” que satisface que:
si x, y ∈ R
entonces
x·y ∈R
llamada propiedad de clausura o cerradura de la multiplicación o producto.
3
2.2
Axiomas de cuerpo
Axiomas de cuerpo
Si a, b, c ∈ R las operaciones antes definidas satisfacen los siguientes propiedades:
1. Conmutatividad
• a+b = b+a
• a·b=b·a
2. Asociatividad
• a + (b + c) = (a + b) + c
• a · (b · c) = (a · b) · c
3. Distributividad
• a · (b + c) = a · b + a · c
• (a + b) · c = a · c + b · c
4. Existencia del elemento neutro
• a+0 = 0+a= a
• a·1=1·a =a
5. Existencia del elemento inverso
• ∀a ∈ R, ∃(−a) ∈ R tal que
• ∀a ∈ R − {0}, ∃ a−1 ∈ R tal que
a + (−a) = (−a) + a = 0
a · a−1 = a−1 · a = 1
Decimos entonces que R dotado de la suma y multiplicación, que satisfacen las propiedades anteriores, constituyen el cuerpo de los números reales, o que el trı́o (R, +, ·) tiene estructura de cuerpo.
Proposición
1. Existe un único neutro aditivo y un único neutro multiplicativo.
2. Estos neutros deben ser distintos.
3. Los inversos aditivos y multiplicativos son únicos.
4
Con los axiomas de cuerpo podemos demostrar algunas propiedades básicas de los números reales
Teorema
Sean a, b ∈ R, entonces
5. b · 0 = 0
1. −(a + b) = (−a) + (−b)
2. −(−a) = a
3.
(ab)−1
=
a−1 b−1 ,
6. −(ab) = (−a)b = a(−b)
para a ̸= 0 y b ̸= 0
4. (a−1 )−1 = a, para a ̸= 0
7. (−a)(−b) = ab
Demostración. Sean a, b ∈ R , entonces
1. −(a + b) = (−a) + (−b)
Como a y b son números reales, a + b también es un número real. Ası́, por axioma, este último tiene su
inverso aditivo que es −(a + b), por lo tanto
(a + b) + (−(a + b)) = 0
Por otra parte, por conmutatividad, asociatividad, axioma del inverso y axioma del neutro tenemos que
(a + b) + (−a) + (−b) = (a + (−a)) + (b + (−b))
= 0+0
= 0
Por lo tanto
(a + b) + (−a) + (−b) = 0
esta última igualdad nos dice que también (−a) + (−b) es inverso de (a + b). De esta forma, por unicidad
del inverso aditivo, se tiene que
−(a + b) = (−a) + (−b)
2. −(−a) = a
Por axioma del inverso aditivo existe (−a) ∈ R y −(−a) ∈ R y notemos que
(−a) + a = a + (−a) = 0
y
(−(−a)) + (−a) = (−a) + (−(−a)) = 0
igualdades que nos dicen que tanto a como −(−a) son inversos aditivos de (−a); en consecuencia, por
unicidad del inverso aditivo
a = −(−a)
Análogamente se demuestran (3) y (4) cambiando suma por multiplicación y naturalmente cambiando la
notación de inverso aditivo a inverso multiplicativo.
5
5. b · 0 = 0
Puesto que por axioma del neutro aditivo
0=0+0
entonces tenemos por distributividad
b · 0 = b · (0 + 0) = b · 0 + b · 0
luego
b·0=b·0+b·0
Sumando a ambos miembros de la ecuación, el inverso aditivo del número real b·0, asociando debidamente,
y por la propiedad del neutro e inverso aditivo se tiene que
b · 0 + (−(b · 0)) = b · 0 + b · 0 + (−(b · 0))
0 = b · 0 + (b · 0 + (−(b · 0)))
0 = b·0+0
0 = b·0
luego
b·0=0
6. −(ab) = (−a)b = a(−b)
La demostración consiste en probar que −(ab) y (−a)b son inversos aditivos del mismo número: notamos
que −(ab) es el inverso de (ab) luego ab + (−(ab)) = 0. Por otro lado por la propiedad de distributividad
y axioma del inverso aditivo y por tenemos que
ab + (−a)b = (a + (−a))b
= 0·b
= 0
luego ab + (−a)b = 0, igualdad que nos dice que (−a)b también es inverso de ab, ası́, por unicidad del
inverso de ab se tiene que −(ab) = (−a)b. Además, por conmutatividad, se tiene que
−(ab) = −(ba)
= (−b)a
= a(−b)
por lo tanto −(ab) = a(−b), que es la otra igualdad que querı́amos probar.
7. (−a)(−b) = ab
Consideremos
(−a)(−b) = −(a(−b))
= −(−(ab))
= ab
usando (6)
usando (6)
usando (2)
luego
(−a)(−b) = ab
lo que prueba finalmente la proposición.
!
6
Notación: Sean a, b ∈ R , entonces escribiremos
a + (−b) = a − b
1
a−1 = , a ̸= 0
a
a
−1
ab = , b ̸= 0
b
Ejemplo. La expresión
x2
1
−4
denota el inverso multiplicativo de x2 − 4. De esta forma,
decir si x ̸= 2 y x ̸= −2, ası́ la igualdad
x2
1
es un número real si y sólo si x2 − 4 ̸= 0, es
x2 − 4
1
= (x2 − 4)−1
−4
está definida en R si y sólo si x ∈ R − {−2, 2} (en otro caso ambas expresiones carecen de sentido).
"
Ejercicio. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.
1.
x+3
= 1, para todo x ∈ R
x+3
x+3
representa un número real solo si x ∈ R − {−3}, luego, simplificando
x+3
x+3
la expresión, obtenemos
= 1, para todo x ∈ R − {−3}.
x+3
Solución: Falso. la expresión
2. (∀a, b ∈ R)(ab = 1 ⇒ (a = 1 ∨ b = 1))
Solución: Falso. Consideremos a = 2/3, b = 3/2 en R
2 3
2
3
· = 1, pero ̸= 1 y ̸= 1
3 2
3
2
3. (∀x, y ∈ R)(x2 = y 2 ⇒ x = y)
Solución: Falso. Sean x = −2, y = 2, se tiene que (−2)2 = 22 pero − 2 ̸= 2
Una propiedad que nos será muy útil en la resolución de ecuaciones es la siguiente.
Teorema
Sean a, b ∈ R
ab = 0 ⇐⇒ a = 0 ∨ b = 0
7
(1)
Demostración. (⇒) Por equivalencia lógica esta implicancia en (1) se puede escribir (p ⇒ q ∨ s), que es
equivalente (p∧ ∼ q ⇒ s) y esto último es lo que usaremos en esta parte de la demostración. Supongamos
a ̸= 0; entonces existe a−1 ∈ R tal que
ab = 0 ⇒ a−1 ab = a−1 0
⇒
1·b = 0
⇒
b = 0
( ⇐ ) Es claro que si a = 0 ∨ b = 0 entonces ab = 0; luego
(∀a, b ∈ R)(ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0)
!
La propiedad (1) nos permite resolver algunas ecuaciones. Por ejemplo resolvamos en R la siguiente
ecuación
(x + 1)(x − 1) = 0
Es claro que
(x + 1)(x − 1) = 0 ⇔ (x − 1 = 0) ∨ (x + 1 = 0)
de donde el conjunto solución S es
S = {x ∈ R : (x + 1)(x − 1) = 0} = {−1, 1}
Análogamente se puede resolver el siguiente problema
Ejemplo. La solución de la ecuación
x2 = 25
es {−5, 5}
Solución:
En efecto;
x2 = 25 ⇔
x2 − 25
⇔ (x − 5)(x + 5)
⇔
x−5=0
⇔
x=5
=
=
∨
∨
0
0
x+5=0
x = −5
"
8
