Axiomas de cuerpo y de orden

Álgebra Básica
Guía 5: Axiom as de cuerpo y de orden
Profesores: ∀Fernández, ∃ Fernández
Ayud.: Epuñan, Peschke, Vidal (por axiom a)
Axiomas de cuerpo
1.
Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falso. Justifique determinando los axiomas y propiedades (en
caso de ser verdadero) y explicando o dando un contraejemplo (en caso de ser falso).
a) Existen dos números reales distintos x e y, tales que x + y = x y y + x = y
b) Para cualquier par de números reales x e y, se tiene que x + y = y + x.
c) Para cualquier par de números reales x e y, se tiene que x + y = x.
d) Todo número real posee inverso multiplicativo.
e) (ab) + (a · (-b)) = a · (b + (-b)) = a · 0 = 0, ∀a, b ∈ 
f) (1 – x) · y + xy = (y + -(xy)) + xy = y + (-(xy) + xy) = y
g) Existe un número real que sumado a cualquier otro da como resultado este último.
h) Si un número real es neutro para la suma, entonces su inverso aditivo también lo es.
i) Si un número real es neutro para la suma, entonces su inverso multiplicativo también lo es.
j) Si un número real x es neutro para la multiplicación, entonces su inverso aditivo también lo es.
k) Existen x1, x2, x3 ∈  , todos distintos entre sí, tales que x1 es el inverso aditivo de x2 y x2 es el inverso aditivo de x3.
l) Existe un número real que multiplicado por cualquier otro resulta él mismo.
m) El 0 no posee inverso aditivo.
n) Si a, b, c ∈  son tales que a · b = a · c, entonces necesariamente b = c.
o) Si x, y ∈  , son tales que x + y = 0, entonces necesariamente x = 0 ó y = 0.
p) Si x, y ∈  , son tales que x · y = 0, entonces necesariamente x = 0 ó y = 0.
2.
Sea C un conjunto de números reales que satisface los siguientes propiedades (axiomas):
(A1) 2 ∈ C.
(A2) Si x ∈ C, entonces 3x + 1 ∈ C.
(A3) Si x, y ∈ C, entonces x + y ∈ C.
(A4) 3 ∉ C.
Demuestre las siguientes propiedades indicando qué axiomas, ya sea de los números reales o de los recién mencionados,
utiliza:
a) 9 ∈ C b) 1 ∉ C c) Si 5 ∈ C, entonces 22 ∈ C d) Si x, y ∈ C, entonces 3x + 1 + 3y ∈ C e) x ∈ C ⇒ –x ∉ C
3.
Demuestre las siguientes propiedades de los reales:
−1
a) –(–x) = x
(
b) (-x) + (-y) = - (x + y)
)
f) ( x + y ) x −1 y −1 =
x −1 + y −1
c) x (y – z) = xy – xz
d) (xy)
–1
=x
–1
y
–1
x
y
e)   =
x
 y
g) Si (ad) + (-(cb)) = 0, entonces [(a + b) · d] + [-((c + d) · b] = 0
Axiomas de orden
4.
Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falso. Justifique determinando los axiomas y propiedades (en
caso de ser verdadero) y explicando o dando un contraejemplo (en caso de ser falso).
a) Todo número real no nulo, es positivo, negativo o ambos.
b) Toda suma de números reales positivos es positiva.
c) El inverso multiplicativo de un número positivo no puede ser positivo también.
d) Si un número real x satisface que x−1 > 0, entonces es positivo.
e) Si el inverso aditivo de un número real es positivo, entonces el número es positivo.
f) Dados x, y ∈  , tales que x < y, entonces para cualquier z ∈  se tiene que x + y < z.
g) Si x, y ∈  son tales que x < y, al multiplicar ambos por a < 0 se obtiene ax − ay > 0.
h) Dados x, y ∈  , tales que x < y, existe un número a > 0 tal que ax = ay.
i) Al multiplicar un número real no nulo cualquiera por sí mismo, se obtiene un número positivo.
j) Si x, y, z, w ∈  son tales que x < y y z < w, entonces x + z < y + w.
k) Si x, y, z, w ∈  son todos positivos y tales que x < y y z < w, entonces xz < yw.
l) Al multiplicar dos números reales, ambos no pertenecientes a  +0 , siempre se obtiene un número real negativo.
m) Si dos números reales x e y satisfacen que 0 < x < y, entonces sus inversos multiplicativos satisfacen x−1 > y−1.
n) Dado un intervalo real I, si x1, x2 ∈ I entonces (x1 + x2)/2 ∈ I.
o) Dado un intervalo real I, x1, x2 ∈ I y α ∈ [0, 1], entonces αx1 + (1 − α)x2 ∈ I.
p) Dado un intervalo real I, x1, x2 ∈ I y α1, α2 ∈ ]0, 1], entonces α1x1 + α2x2 ∈ I.
5.
Sean a y b dos números reales. Analice el valor de verdad de las siguientes afirmaciones.
a) Si a = 2b, entonces
6.
1
4
a 2 + b 2 > ab
b) Si a < b, entonces a < (3a + b)/4 < b
Sean x, y ∈  . Demuestre las siguientes desigualdades:
a) (1 + x)2 ≥ 1 + 2x
b) x2 + y2 ≥ 2xy
c) x2 – xy + y2 ≥ 0
7.
Demuestre los siguientes teoremas:
a) x > y ∧ y > z ⇒ x > z
b) x > y ⇔ x + z > y + z
8.
Sean a, b, c y d reales positivos. Demuestre las siguientes propiedades:
a)
a b
+ ≥2
b a
b) Si
c) a2 + b2 c2 ≥ ab + ac + bc
d) x + x -1 ≥ 2
c) x > y ∧ z > 0 ⇒ xz > yz d) x ≥ y ∧ y ≥ x ⇒ x = y
a c
a a+c c
< , entonces <
< .
b d
b b+d d
d) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
e) (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ac)
SOLUCIONES
1. a) F
4. a) F
5. a) F
b) V
b) V
b) V
c) F
c) F
d) F e) V
d) V e) F
f) V g) V h) V i) V j) F k)F
f) F g) V h) F i) V j) V k)V
l) V m) F
l) F m) V
n) F o) F p) V
n) V o) V p) F