Notas I de Álgebra

Notas I de Álgebra
(Héctor Juárez)
Proposición I
Por demostrar que para todo número real (natural, entero, racional e irracional) se
cumple que si lo multiplicamos por cero el producto es cero.
Misma proposición pero con símbolos lógicos-matemáticos:
P.d. ∀ a ∈ ℝ a0=0
Demostración (directa):
Sea a ∈ ℝ
0 + 0 = 0 (Por la propiedad de neutro aditivo)
Multiplicamos todo por a tenemos que
a 00=a0
⇒ a0a0=a0 (Por la propiedad de distributividad)
Usamos el hecho de que para todo número real existe su inverso aditivo así que
sumamos −a0 a ambos lados de la igualdad.
a0a0 −a0=a0−a0
⇒ a0a0−a0 =a0−a0 (Por la propiedad de asociatividad.)
⇒ a00=0 (Por la propiedad de inverso aditivo.)
⇒ a0=0 (Por la propiedad de neutro aditivo.)
Y como a es un número arbitrario en ℝ , es decir a puede ser cualquier número,
∴ ∀ a ∈ ℝ a0=0.
∎
Proposición II
Por demostrar que no se puede dividir por cero.
Demostración (por contradicción):
Supongamos que se puede dividir por cero. Esto significa que existe el inverso
multiplicativo de cero que denotaremos por 0−1 .
−1
Por un lado 0 ∙0 = 1 (Por definición de inverso multiplicativo.)
Por otro lado 0 ∙0−1 = 0 (Por la proposición I)
−1
∴ 0=1 pues 0 = 0 ∙ 0 = 1 lo que es una contradicción pues 0 ≠ 1.
∴ No la hipótesis inicial es falsa, es decir no existe 0−1 .
∴ No se puede dividir por cero.
∎
Proposición III (unicidad de inversos)
a)Por demostrar que el inverso multiplicativo de cualquier número real (natural,
entero, racional e irracional) es único.
Misma proposición pero con símbolos lógicos-matemáticos:
a)P.d. ∀ a ∈ ℝ , a −1 es único.
Demostración (directa):
−1
−1
Supongamos al menos existen a 1 y a 2 que son inversos multiplicativos de a. Es
decir:
−1
a −1
1 ∙ a = a ∙ a 1 =1. (Por la definición de inverso multiplicativo)
−1
−1
ii) a 2 ∙ a = a ∙ a 2 =1. (Por la definición de inverso multiplicativo)
−1
Multiplicando i) por la derecha por a 2 tenemos que
−1
−1
a−1
1 ∙ a∙ a 2 = 1∙ a 2 .
−1
−1
−1
⇒ a 1 ∙ a∙ a 2 = a 2 (Por la propiedad de neutro multiplicativo.)
−1
−1
−1
⇒ a 1 ∙ a∙ a 2  = a 2 (Por la propiedad de asociatividad)
−1
−1
⇒ a 1 ∙1 = a 2 (Por la ecuación ii) (inverso multiplicativo))
−1
−1
⇒ a 1 = a 2 (Por la propiedad de neutro multiplicativo)
Y como a es un número arbitrario en ℝ , es decir a puede ser cualquier número
∴ ∀ a ∈ ℝ , a −1 es único, que es lo que queríamos probar.
∎
i)
b)Por demostrar que el inverso aditivo de cualquier número real (natural, entero,
racional e irracional) es único.
Misma proposición pero con símbolos lógicos-matemáticos:
b)P.D. ∀ a ∈ ℝ , −a es único.
Demostración (directa):
Supongamos que al menos existen −a 1 y −a 2 que son inversos aditivos de a. Es
decir:
i) −a 1a = a−a 1 =0. (Por la definición de inverso aditivo)
ii) −a 2a = a−a 2 =0. (Por la definición de inverso aditivo)
Sumando −a 2 por la derecha en la ecuación i) tenemos que
[−a 1a ]−a 2 = 0−a 2 .
⇒ [−a 1 a ]−a 2 = −a 2 . (Por la propiedad de neutro aditivo.)
⇒ −a 1[a−a 2]= −a 2 . (Por la propiedad de asociatividad)
⇒ −a 10 =−a 2 (Por la ecuación ii) (inverso aditivo))
⇒ −a 1 =−a 2 (Por la propiedad de neutro aditivo)
Y como a es un número arbitrario en ℝ , es decir a puede ser cualquier número,
∴ ∀ a ∈ ℝ , −a es único, que es lo que queríamos probar.
∎
Proposición IV (Leyes de los signos)
a) (-)(+)=(-) y (+)(-)=(-).
b) (-)(-)=(+).
En matemáticas (-) y (+) no son más que un abuzo de notación que se puede
considerar una abreviación de (-1) y (1) respectivamente.
Reescribiendo a) tenemos la siguiente proposición:
a) (-1)(1)=(-1) y (1)(-1)=(-1).
Aquí realmente no hay mucho que demostrar pues esta ley de los signos
particularmente es una consecuencia natural de la definición de neutro multiplicativo.
Ahora probaremos esta misma ley de signos reescribiéndola de una manera más
interesante para poder involucrar a varias de las propiedades de los número reales.
a) P.d. (-1)(a) = (-a), ∀ a ∈ ℝ .
Obsérvese que este problema dice que queremos probar que el inverso aditivo de
cualquier número a es exactamente a multiplicado por el inverso aditivo de 1.
Demostración (por unicidad de los inversos):
(-1)(a) + (a) = (-1)(a) + (1)(a) (Por la propiedad de neutro multiplicativo)
= [(-1) + (1)](a) (Por la propiedad de distributividad)
=[0](a) (Por la propiedad de inverso aditivo)
=0 (Por la proposición I)
∴ (-1)(a) es inverso aditivo de a (por la definición de un inverso aditivo). Por otro
lado (-a) también es inverso aditivo de a y por unicidad de inversos (proposición III)
tenemos que (-1)(a) = (-a). Y como a es un número arbitrario en ℝ , es decir a puede ser
cualquier número, podemos concluir que (-1)(a) = (-a), ∀ a ∈ ℝ .
∎
Reescribiendo b) tenemos la siguiente proposición:
b) (-1)(-1)=1.
Esta proposición la demostraremos un poco más en general.
b) P.d. (-1)(-a)=(a), ∀ a ∈ ℝ .
Demostración (por unicidad de los inversos):
(-1)(-a) + (-a) = (-1)(-a) + (1)(-a) (Por propiedad de neutro multiplicativo)
= [(-1) + (1)](-a) (Por propiedad de distributividad)
=[0](-a) (Por propiedad de inverso aditivo)
=0 (Por la proposición I)
∴ (-1)(-a) es inverso aditivo de (-a) (por la definición de un inverso aditivo). Por
otro lado (a) también es inverso aditivo de (-a) (esto por la definición de inverso aditivo) y
por unicidad de inversos (proposición III) tenemos que (-1)(-a) = (a). Y como a es un
número arbitrario en ℝ , es decir a puede ser cualquier número, podemos concluir que
(-1)(-a) = (a), ∀ a ∈ ℝ .
∎