Energía Cinética para una Partícula
Relativista
4 de septiembre de 2021
Índice
1 Calcular la Energía Cinética
2
p
2 Expresión Ec = c m20 c2 + p2
q
m 2 c4
3 Deducir v = c 1 − E02
4
5
p
m2o c2 + p2
4 Deducción formal de Ec = c
5
5 Invarianza de la masa
5.1 La Segunda Ley de Newton newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 La Segunda Ley de Newton relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Invarianza de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
10
11
6 NOTAS
6.1 Masa y Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Postulados Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
14
El cálculo de la energía cinética Ec para un partícula que se mueve a velocidades cercanas a la luz, se debe realizar teniendo en cuenta la expresión relativista del «momento
lineal», dado por:1
m0 v
p= q
2
1 − vc2
1
En comparación con la relación clásica del momento lineal, como el producto de la masa por la velocidad,
se induce el concepto de masa relativista como m = r mo 2 , el cual se uso en los comienzos de la Teoría
1− v2
c
Relativista y que actualmente esta en desuso
1
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1.
Calcular la Energía Cinética
dp
La fuerza tangencial esta definida por FT = dt la derivada del momento lineal respecto
del tiempo. La Energía Cinética es el trabajo realizado por esta fuerza a lo largo de la
trayectoria de la partícula, para un arco ds el trabajo realizado esta dado por:
Z
Ec =
v
FT ds
0
Definición de fuerza tangencial→ FT =
dp
d m0 v
q
=
2
dt
dt
1− v
c2
Para realizar las operaciones en la integración es conveniente utilizar m = q m0
2
1− v2
para
c
expresar la fuerza y tener una notación mas compacta, dada por la expresión FT =
d
dt (mv) .
Z
Ec =
v
Z
FT ds =
0
0
v
d
(mv) ds =
dt
Z
0
v
ds
d (mv)
=
dt
con
v=
ds
dt
integrando por partes con la variable independiente v ,
Z
f (v)g 0 (v)dv = f (v)g(v) −
2
Z
f 0 (v)g(v)dv
Z
=
v
vd (mv)
0
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con v = f (v) → f 0 (v) = 1 y d(mv) = g 0 (v)dv → g(v) = mv , se tiene que:
v
Z
v
Z
mvdv →
vd (mv) = vmv −
0
0
introducción la dependencia de m con respecto de v :
m0
→q
1−
2
v2
c2
Z
v −
0
v
m v
m0
q 0
dv = q
2
1 − vc2
1−
v2
c2
r
m0
→q
1−
"
2
2
v2
c2
2
v + mo c
1−
r
2
v − −mo c
v2
1− 2
c
#v
→
0
v2
− mo c2
c2
Operando con los términos que contienen las raíces cuadradas.
m0
Ec = q
1−
2 + m c2 1 −
m
v
0
o
v2
q
1 − 2 − mo c2 =
2
c
1 − vc2
r
v2
c2
v 2 + mo c2
v2
c2
− mo c2 →
2
2
2
2
m0 v 2 + mo c2 − mo c2 v2
m
m
mo c2
0v
0 v + mo c − c
q
q
→
− mo c2 = − mo c2 = q
− mo c2
v2
v2
v2
1 − c2
1 − c2
1 − c2
Utilizando m = q mo
2
1− v2
se obtiene
c
mo c2
Ec = q
− mo c2 = mc2 − m0 c2 = (m − m0 ) c2
v2
1 − c2
Este resultado puede ser interpretado como que la ganancia en energía cinética es una
ganancia en la masa de la partícula.
La magnitud mo c2 se puede definir como la energía en reposo de la partícula y la siguiente expresión se puede considerar por tanto como la energía total, salvo la energía
potencial.
3
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Ec + m0 c2 = mc2
mo c2
E = mc2 ←→ E = q
2
1 − vc2
2.
p
Expresión Ec = c
m20 c2 + p2
mo c2
m2o c4
E=q
→ E2 =
2
2
1 − vc2
1 − vc2
sumar y restar m20 v 2 c2 y reagrupar los términos:
2
E =
m2o c4
−
m20 v 2 c2 +
2
1 − vc2
→
m20 v 2 c2
=
m2o c4
2
v
1−
m2o c4 2
c
v2
c2
1−
−
+
4
m20 v 2 cc2 +
2
1 − vc2
m20 v 2 c2
1−
v2
c2
m20 v 2 c2
= m2o c4 +
=
m2o c4 1 −
1−
m20 v 2
1−
v2
c2
v2
c2
+ m20 v 2 c2
v2
c2
→
c2
m20 v 2
Utilizando la expresión del momento lineal relativista p = qmo v 2 con p2 =
se
v2
1− v2
c
obtiene:
Ec = m2o c4 + p2 c2
p
Ec = c m2o c2 + p2
4
1−
c2
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q
3. Deducir v = c 1 −
m20 c4
E2
2
mo c2
mo c2
1
v2
v2
m20 c4
E2
m20 c4
2
E=q
→E =
=
=
1
−
→
=
1
−
→
→
2
2
2
2
2
2
4
2
E
c
c
E2
m0 c
1 − vc2
1 − vc2
1 − vc2
r
v =c 1−
m20 c4
E2
De esta formula se concluye que si una partícula tiene masa cero m0 = 0 su velocidad
debe de ser v = c sea cual sea su energía, dado que cualquier valor de la energía
m2 c4
distinta de cero E 6= 0 con m0 = 0, hace que el termino E02 se pueda hacer cero sin
problemas.
Esto es consistente con la idea de que un fotón viaja a v = c y puede tener diferentes
energías en función de su frecuencia, como indica la Mecánica Cuántica, a través de
formula:
Ef otón = hν ←
4.
(
h constante Planck
ν frecuencia
Deducción formal de Ec = c
p
m2o c2 + p2
Definición. En Relatividad Especial un cuadrivector o vector de Lorentz es una expresión que tiene su modulo al cuadrado invariante (no cambia) bajo las transformaciones
de Lorentz. El ejemplo más significativo es el cuadrivector espacio temporal, cuyo modulo al cuadrado esta dado por:
(4s)2 = 4s0
2
←→ c2 (4t)2 − (4x)2 = c2 4t0
Transformaciones Lorentz → x0 = γ (x − vt)
5
2
− 4x0
v t0 = γ t − 2 x
c
2
1
γ=q
1−
v2
c2
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2
2
2
2
De la invarianza del intervalo espacio temporal c2 (4t) −(4x) = c2 (4t0 ) −(4x0 ) (Ver
deducción) se puede deducir que las siguientes expresiones tienen el mis valor para
todos los observadores inerciales:
Identico valor para observadores inerciales →
(
c2 (4t)2 − (4x)2 intervalo
4τ =
4t
γ
tiempo propio
por otra parte la masa en reposo de un objeto es del mismo modo la misma para todos
los observadores
Identico valor para observadores inerciales → mo masa reposo
Con estas tres cantidades invariantes se pueden construir otras que serán también
invariantes, se puede definir una de ellas del siguiente modo:
Identico valor para observadores inerciales → m20
c2 (4t)2 − (4x)2
(4τ )2
Resulta muy interesante evaluar esta expresión para ver su valor
2
c2 (4t)2 − (4x)2
(4x)2
c2 (4t)
= m20 2 − 2 = m2o
m20
4τ
4t
4t
γ
γ 2 c2 − γ 2
4x
4t
2 !
= m2o γ 2 c2 −m2o γ 2 v 2 =→
γ
4x
con v = 4t y valor para todos los observadores inerciales:
→= m2o γ 2 c2 − v 2 = mo
1
1−
v2
c2
c2
c2 − v 2 = m2o 2−
c2
−
v2)
(
c v 2
m2o γ 2 c2 − m2o γ 2 v 2 = m2o c2
Dado que la masa en reposo y la velocidad de la luz son constantes, la expresión anterior
es una constante
6
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c2 (mo γ)2 − (mo γv)2 = m2o c2
Esta expresión tiene la forma de un vector de Lorentz al cuadrado, semejante al cua2
2
drado del vector de Lorentz para espacio-tiempo c2 (4t) − (4x) .
Por tanto es de interés encontrar el significado físico de las componentes que lo forman,
es decir: mo γ y mo γv . Para ello se aproximan esta expresiones a sus valores no
relativistas, es decir a velocidades muy pequeñas comparadas con la velocidad de la
luz v c, en estas condiciones el factor de Lorentz γ toma la siguiente expresión:
1
γ == q
1−
v2
c2
'1+
v2
3 v4
+
+ ···
2c2 8 c4
2
a bajas velocidades vc 1 y el factor vc2 y su potencias sucesivas se pueden despreciar
y el termino mo γv se convierte en:
mo γv = mo v
el cual claramente corresponde con el momento lineal de la mecánica clásica, se
justifica por tanto definir el momento lineal en Relatividad Especial como:
mo v
p ≡ mo γv → p ≡ q
2
1 − vc2
El termino mo γ por si solo no lleva a ningún resultado útil, pero si se evaluá multiplicado
por c2 , se obtiene:
v2
v2
c mo γ = m0 c 1 + 2 = m0 c2 + m0
2c
2
2
2
el cual tiene unidades de energía y el segundo termino claramente se corresponde con
la Energía Cinética.
Se define la Energía Relativista para un partícula libre (sin Energía Potencial) con velocidad v como:
7
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mo c2
E ≡ mγc2 → E ≡ q
2
1 − vc2
2
2
La expresión c2 (mo γ) − (mo γv) = m2o c2 se expresa en función del momento y energía
relativista:
(nota: mo γ = cE2 y mo γv = p)
2
c
E
c2
2
− (p)2 = m2o c2 → c2
E=
5.
E2
− p2 = m2o c2 → E 2 − c2 p2 = m2o c4
c4
p
p
m2o c4 + c2 p2 −→ E = c m2o c2 + p2
Invarianza de la masa
En ocasiones se hace referencia al concepto de masa relativista mr de un objeto, definida del siguiente modo:
m0
mr = q
1−
v2
c2
donde m0 es la masa en reposo, v es la velocidad relativa entre el objeto y un observador y c es la velocidad de la luz, esta fórmula fue introducida por Richard Tolman en
1912. Conceptos relacionados fueron usados por Hendrik Anton Lorentz en su teoría
del electrón, donde introdujo la masa transversal y la masa longitudinal de un objeto
por la manera en que aparecían en las distintas componentes de la Segunda Ley de
Newton.
Fx = mL ax ,
Fy = mT ay ,
Fz = mT az
donde
m0
mL = q
3,
v2
1 − c2
8
mT = q
m0
1−
v2
c2
5.1
La Segunda Ley de Newton newtoniana
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Estas definiciones en un principio parecían respaldadas por los experimentos de Kaufmann, Bucherer y Neumann entre 1901 y 1905, que sugerían que la inercia de un objeto
depende de su velocidad.
Sin embargo, el uso de los conceptos de masa relativista, masa longitudinal y masa
transversal tienden a llevar a confusiones, dificultades e incluso errores, se deben utilizar con los conceptos de masa de reposo, energía y momento e interpretar los resultados de Kaufmann, Bucherer y Neumann de manera diferente.
5.1.
La Segunda Ley de Newton newtoniana
En la mecánica newtoniana se pueden encontrar dos expresiones distintas para la Segunda Ley de Newton, que relaciona las fuerzas que actúan sobre un objeto con los
cambios de velocidad. La formulación más frecuente es
d~v (t)
d2~r(t)
~
F = m~a ←− ~a(t) =
=
dt
dt2
(5.1)
~ que actuá
donde m es la masa del objeto y ~a es la aceleración debida a la fuerza F
sobre esta. Matemáticamente hablando la aceleración es la derivada de la velocidad
con respecto al tiempo y parametriza cómo cambia la velocidad ~
v (t) con el tiempo.
La otra formulación de la Segunda Ley de Newton, menos frecuente, relaciona la fuerza
actuando sobre un objeto con cambios del momento lineal:
d~
p
F~ =
←− {~
p = m~v }
dt
(5.2)
donde p
~ es el momento lineal. Las dos formulaciones (5.1) y (5.2) son equivalentes en
el caso donde la masa del objeto es constante, puesto que entones
d~
p
d(m~v )
d~v
=
=m
= m~a
F~ =
dt
dt
dt
Sin embargo, en el caso donde la masa de objeto cambia con el tiempo, m = m(t) (por
ejemplo, un cohete que va expulsando gases al acelerar, o un carro que va acumulando
lluvia mientras que se mueve) las dos formulaciones no son equivalentes. De la formula
(5.2) se obtiene la siguiente expresión.
9
5.2
La Segunda Ley de Newton relativista
F =
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d(m(t)~v )
dm(t)
= m(t)~a +
~v
dt
dt
La formula (5.1) es un caso especial de (5.2), cuando la masa es constante, y la fórmula
con toda su generalidad, es (5.2)
5.2.
La Segunda Ley de Newton relativista
La teoría de la relatividad especial modifica y generaliza la mecánica newtoniana a velocidades cercanas a la velocidad de luz, v ∼ c. Concretamente afirma que la velocidad de
la luz es la misma para todos los observadores inerciales y que además es la velocidad
máxima con que se puede mover cualquier observador, objeto o incluso información.
Una consecuencia directa de esta última afirmación es que la formulación (5.1) no
puede ser cierta, puesto que implicaría que una fuerza constante podría acelerar una
masa hasta velocidades arbitrariamente grandes, mucho más que la velocidad de la
luz. Otra vez la formulación correcta de la Segunda Ley de Newton es el equivalente
relativista de (5.3),
d~
p
F~ =
dt
(5.3)
La gran diferencia entre la fórmula relativista de (5.1) esta en la definición de momento
relativista p
~, que se define como sigue:
m0~v
p~ = q
2
1 − vc2
(5.4)
donde m0 es la masa del objeto, medida en el sistema que está en reposo con respecto
a objeto y ~
v es la velocidad relativa entre el objeto y el observador.
Las expresiones (5.3) y (5.4) esta indicando que ningún objeto puede alcanzar, ni sobre~ sobre un objeto resulta en
pasar la velocidad de la luz: dado que al aplicar una fuerzaF
un cambio del momento relativista p
~, ademas la mayor contribución al momento relativista de un objeto proviene
del
denominador
de (5.4), cualquier fuerza finita aumentará
q
2
sobre todo el factor 1/ 1 − vc2 , más que el factor m0~
v . Este efecto es mayor, cuando
más que se acerca la velocidad del objeto a la de la luz. Para acelerar el objeto hasta la
velocidad de la luz, hace falta una fuerza infinitamente grande, lo cual no es posible.
10
5.3
Invarianza de la masa
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En la interpretación de Tolman y Kaufmann, Bucherer y Neumann se creía que esto
implicaba que la inercia del objeto crece en función de su velocidad, pero es mucho
más natural decir que lo que aumenta es el momento relativista
Observación. La siguiente expresión es incorrecta, dado que no se ha tenido presente
que la derivada con respecto a el tiempo, hay que realizarla como un cociente dado que
la velocidad depende del tiempo, en el numerado y en el denominador.
d m0~v
m0~a
q
F~ =
=q
= mr~a ←− "formula incorrecta
2
2
dt
1 − vc2
1 − vc2
La derivación correcta esta dado por:
d m0~v m0 (~v · ~a)~v
m0~a
q
= q
F~ =
+q
3
2
2
dt
2
1 − vc2
1 − vc2
1 − vc2
5.3.
Invarianza de la masa
La masa m0 en relatividad especial es una cantidad constante, independiente del estado
de movimiento del observador y del objeto. De la mismo modo que se define el momento
relativista en (5.4) se puede establecer la energía relativista como:
m0 c2
E=q
2
1 − vc2
(5.5)
Para velocidades mucho más bajas que la velocidad de la luz, esta expresión se simpli2
fica (a través de un desarrollo de Taylor en el termino de vc2 ) a
1
E ≈ m0 c2 + m0 v 2 + . . .
2
A velocidades bajas se recupera la expresión Newtoniana para la energía cinética, más
un término para la «energía de reposo», E = m0 c2 . Lo que resulta muy importante, es
combinar las expresiones del momento relativista (5.4) y la energía relativista (5.5)
11
5.3
Invarianza de la masa
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E 2 − p2x c2 − p2y c2 − p2z c2 =
m20 c4
v2
c2
−
m20 vx2 c2
−
v2
c2
m20 vy2 c2
2
1 − vc2
1 − vx2 + vy2 + vz /c2
2 4
= m0 c
2
1 − vc2
1−
1−
−
m20 vz2 c2
1−
v2
c2
(5.6)
= m20 c4
Un observador puede determinar la masa de un objeto si conoce su energía E y su
momento p
~ relativista.
Ahora, tanto la energía (5.5) como el momento (5.4) de un objeto dependen de la velocidad v con que se mueven con respecto a un observador. Un observador O 0 que está en
reposo respecto a la partícula verá una energía E 0 = m0 c2 y un momento p
~0 = 0, mientras que el observador O , verá un momento no-nulo y una energía más grande. Resulta
que E y p están relacionados con E 0 y p
~0 a través de una transformación de Lorentz
E − vpx
E0 = p
,
1 − v 2 /c2
px − vE/c2
p0x = p
,
1 − v 2 /c2
p0y = py ,
p0z = pz
(5.7)
la relación (5.6) es invariante bajo las transformaciones (5.7): el observador O 0 , que
mide energía E 0 y momento p
~0 puede traducir sus resultados en términos del E y p~
medidos por O como
E0
2
2
2
2
− p0x c − p0y c − p0z c =
=
E − vpx
p
1 − v 2 /c2
!2
−
p − vE/c2
px
1 − v 2 /c2
!2
c2 − p2y c2 − p2z c2
E 2 − 2vEpx + v 2 p2x p2x c2 − 2vEpx + v 2 E 2 /c2
−
− p2y c2 − p2z c2
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2 E 2 − p2x c2
=
− p2y c2 − p2z c2
1 − v 2 /c2
=
= E 2 − p2x c2 − p2y c2 − p2z c2
= m20 c4
Un observador O , que mide una energía E y un momento p
~ y un observador O0 , que
0
0
mide una energía E y un momento p
~ , obtendrán el mismo valor para la m0 del objeto:
E 2 − p2x c2 − p2y c2 − p2z c2 = m20 c4 = E 0
12
2
2
2
2
− p0x c − p0y c − p0z c
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La masa m0 de un objeto es por lo tanto un invariante, independiente del estado de movimiento del observador y del objeto mismo, puesto que su valor es el mismo cualquier
conjunto de observadores conectados a través de una transformación de Lorentz.
Observación. Anomalía: Si la masa de un objeto depende de su velocidad, un objeto
en movimiento tendería a formar un agujero negro por el aumento de masa, combinado
con la disminución de volumen debido a la contracción de Lorentz, en la dirección
del movimiento, en algún momento se formaría un gran cantidad de masa comprimida
dentro de un radio menor que radio de Schwarzschild.
Además el supuesto agujero negro solo se manifestaría para el observador que se mueve con respecto a la masa considerada, mientras que el observador en reposo con respecto a esta masa no lo notaría ya que no mediría un aumento de masa relativista.
Los efectos que el supuesto agujero negro tendría, deberían ser objetivos y no pueden
depender del observador.
6.
6.1.
NOTAS
Masa y Energía
La consecuencia de la relatividad especial con mayor importancia, es la equivalencia
entre masa y energía.
E = m0 c2
donde m0 es la masa en repeso de una partícula y c es la velocidad de la luz en el vacío.
Esta ecuación indica que la masa no es más que una manifestación diferente de
la energía (masa inercial). Pero eso no significa que todo lo que tiene energía tiene
que tener masa. Hay partículas sin masa que tienen energía. ¿Cómo es posible? La
respuesta a esta en el hecho de que esa ecuación solo es válida para partículas que
están en reposo respecto a los observadores que miden su masa, para medir la masa de
un partícula hay que estar en reposo relativo con la partícula.
Si el sistema está en movimiento respecto al observador, su energía total tiene
dos componentes, uno debido a su masa y otro debido a su movimiento. Los
sistemas tienen más o menos energía en tanto en cuanto su movimiento tenga mas o
menos velocidad, o de otras características intrínsecas de las partículas.
E=
p
m2o c4 + c2 p2
13
6.2
Postulados Relatividad Especial
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¿Qué ocurre cuando hay una partícula que se mueve a la velocidad de la luz? Según
la relatividad esa partícula tiene que tener la velocidad de la luz para cualquier observador que se mueva en línea recta y a velocidad constante. Por lo tanto, no puede
estar en reposo respecto a ningún observador, así que no tiene sentido plantearse
la cuestión de medir su masa, toda su energía procede de sus características internas.
6.2.
Postulados Relatividad Especial
Primer postulado (principio de relatividad) Las leyes de la física son las mismas
para cualquier observador inercial (no acelerado).
Nota: observadores diferentes ven trayectorias diferentes para una móvil pero, en los dos casos las
trayectorias se describen usando las mismas leyes de Newton. (valido para cualquier ley física)
Segundo postulado (constancia o universalidad de la velocidad de la luz) La velocidad de la luz en el vacío es siempre la misma, independientemente de la velocidad
de la fuente de luz respecto al observador.
La teoría de la relatividad no significa que todo sea relativo. Al contrario, lo que nos
dice es que hay dos elementos de la realidad que son los mismos para todos los observadores que se mueven en línea recta y a velocidad constante. Estos elementos son
la velocidad de la luz en el vacío y las leyes físicas. Toda física debe de ser formulada, de manera que estas condiciones se verifiquen. Cualquier teoría física que este en
vigor o que se cree en el futuro, deberá de respectar los postulados de la Relatividad
Especial.
(Nota: la gravitación de Newton, no es relativista y tuvo que ser sustituida paro la Gravitación de Einstein, la Mecánica Cuántica cuando fue modificada para ser relativista,
dio origen a las Teorías cuánticas de Campos)
Energia-Cinetica-Relativista
14
