efecto doppler (eduardo)

EFECTO DOPPLER
Doppler descubrió que cuando una fuente de sonido se aproxima a un observador con una
cierta velocidad la frecuencia del sonido parece ser más alta que cuando la fuente está en
reposo. Fizeau predijo que este efecto debería también ser observable con una fuente de
luz. Éste efecto se puede explicar en forma clásica en una primera aproximación, pero la
relatividad especial puede dar un resultado más preciso. Desde un punto de vista clásico
se puede derivar la expresión para el desplazamiento Doppler en la frecuencia como
sigue. Si la longitud de onda no cambia debido al movimiento del observador, la
frecuencia sí debe cambiar, porque la velocidad de la fuente se suma a la velocidad del
observador. Entonces, si la fuente de luz se mueve con velocidad 𝑣 acercándose al
observador, pero con un ángulo θ con respecto a la línea fuente-observador, visto desde
el punto de vista del observador, tenemos:
𝝀𝝂 = 𝒄 + 𝒗𝒄𝒐𝒔𝜽 …. (1)
y si la fuente está en reposo con respecto al observador:
𝝀𝝂` = 𝒄 …. (2)
por lo tanto:
𝝂
𝝂`
=
𝝎`
𝝎
𝒗
= 𝟏 + 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝜽 ….(3)
para 𝜽` = 𝟎° y definiendo ∆𝜈 − 𝜈`
se puede obtener:
∆𝝂
𝝂`
=
𝒗
𝒄
La explicación relativista del efecto Doppler está íntimamente relacionada con la de la
aberración de la luz. Difiere de la clásica en que mientras que en ella se obtiene un cambio
de la frecuencia y en la velocidad de fase, conservando constante la longitud de onda, en
la relativista, en cambio, cambia tanto la longitud de onda como la frecuencia,
conservando constante la velocidad de fase. Para dar una interpretación relativista, se
considerara la siguiente figura, donde se tiene una fuente de luz en el origen del sistema
𝒔` y un observador en el punto 𝒙 en el sistema 𝒔. Un rayo de luz saldrá de la fuente en un
ángulo 𝜽`, pero debido al efecto de la aberración de la luz, el observador lo recibirá con
ángulo 𝜽.
Suponiendo que el origen de 𝒔` está en 𝒙 = 𝟎 en el tiempo 𝒕 = 𝟎, en el punto 𝒙 y en el
instante 𝒕 la fase de la luz será:
𝜱 = 𝒌(𝒙𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒚𝒔𝒆𝒏𝜽) − 𝝎𝒕
Al observarlo desde el sistema 𝒔` la misma fase 𝜱 ocurre en el punto correspondiente 𝒙`
y en el tiempo 𝒕` obteniendo de las ecuaciones
𝒙` =
𝒙−𝒗𝒕
𝟐
√𝟏−𝒗𝟐
𝒄
𝒗𝒙
y 𝒕` =
𝒕− 𝟐
𝒄
𝟐
√𝟏−𝒗𝟐
. Pero:
𝒄
𝜱` = 𝒌`(𝒙`𝒄𝒐𝒔𝜽` + 𝒚`𝒔𝒆𝒏𝜽`) − 𝝎`𝒕
Por lo tanto, igualando estas dos fases y usando las ecuaciones de trasformación de
Lorentz se puede obtener
𝒌(𝒙𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒚𝒔𝒆𝒏𝜽) − 𝝎𝒕 =
𝒌`(𝒙 − 𝒗𝒕)𝒄𝒐𝒔𝜽`
𝟐
√𝟏 − 𝒗𝟐
𝒄
𝒗𝒙
𝒄𝟐
+ 𝒌`𝒚𝒔𝒆𝒏𝜽` − 𝝎`
𝟐
√𝟏 − 𝒗𝟐
𝒄
𝒕−
Tanto los coeficientes de 𝒕 como los de 𝒙 y de 𝒚 deben ser iguales en ambos lados de esta
ecuación. Si ahora se igualan los coeficientes de 𝒕 en ambos lados y se utiliza el hecho de
𝝎
que 𝒌 =
𝝎`
𝒌`
se obtiene:
𝝎 = 𝝎`
𝒗
(𝟏 + 𝒄 𝒄𝒐𝒔𝜽`)
𝟐
√𝟏 − 𝒗𝟐
𝒄
Esta relación se reduce a la expresión clásica para el efecto Doppler dada por la ecuación
3, cuando la magnitud de 𝒗 es pequeña comparada con c.
La figura 2 muestra las magnitudes de los efectos Doppler, tanto clásico como relativista,
para una relación 𝒗 /c=0.5. Se observa que la explicación clásica predice el efecto Doppler
únicamente para la componente radial o, dicho de otro modo, que no hay ningún efecto si
la fuente luminosa se mueve de manera tangencial con respecto al observador. La
explicación relativista, por otro lado, sí predice un pequeño efecto transversal. Éste es el
efecto Doppler transversal que ha podido ser comprobado con una fuente de rayos
gamma. Esto representa una confirmación de la teoría de la relatividad especial. Se
considera que este efecto transversal es una consecuencia directa de la dilatación del
tiempo.