t6. efecto doppler y desplazamiento cosmológico al rojo

T6. EFECTO DOPPLER Y DESPLAZAMIENTO
COSMOLÓGICO AL ROJO
1. Introducción
2. Efecto Doppler acústico
3. Efecto Doppler para la luz
4. Desplazamiento cosmológico al rojo
4.1 Parámetro de desplazamiento al rojo
4.2 Ley de Hubble-Humanson
4.3 Noticias recientes de las supernovas lejanas
Descubre la relatividad
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1
Introducción
• C. Doppler (1842)
• Para una vibración que se propaga un medio (Ej. sonido) lo importante es la velocidad de
fuente y receptor respecto al medio (efecto no relativista)
ω
F
R
u1
u2
• Para la luz en el vacío lo único importante es la velocidad relativa entre fuente y receptor
(efecto relativista)
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Efecto Doppler acústico
ω
F
R
u1
u2
|u1 | < w, |u2 | < w
Frecuencia del sonido según F:
Velocidad del sonido según R:
Longitud de onda según R [resp. medio]:
Periodo del sonido según R:
Frecuencia del sonido según R:
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1
ν = donde τ es el periodo
τ
v 0 = w − u2
λ0 = (w − u1 )τ [pulsos más juntos si u1 > 0]
0
λ
w − u1
0
τ = 0 =
τ
v
w − u2
ν0 =
w − u2
ν
w − u1
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Casos particulares
ω
ν0 =
w − u2
ν
w − u1
F
R
u1
u2
Fuente en reposo
Receptor se aleja: (u1 = 0, u2 = v)
⇒
ν 0 = ν (1 − β )
(más grave)
Receptor se acerca: (u1 = 0, u2 = −v)
⇒
ν 0 = ν (1 + β )
(más agudo)
ν
=
1+β
ν
0
ν =
1−β
(más grave)
( β ≡ v/w)
Receptor en reposo
Fuente se aleja: (u1 = −v, u2 = 0)
⇒
Fuente se acerca: (u1 = v, u2 = 0)
⇒
ν0
(más agudo)
Cuando β 1 sólo importa el movimiento relativo
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lso
pu
pu
F
R
1.
fuente
(x2,t2)
2.
rece
pto
t
lso
r
Efecto Doppler para la luz
v
F
(x1,t1)
τ
x1
x2
(t2)
x0

cτ
x1
x2

∆t = t2 − t1 =
t1 =
, t2 =
+τ
c−v
c
c
⇒
cvτ
x1 − x0
x2 − x0

∆x = x2 − x1 =
t1 =
, t2 =
c−v
v
v v
τ
0
0
τ = ∆t = γ ∆t − 2 ∆x =
= γ(1 + β)τ ( β = v/c)
γ (1 − β )
c
Según F:
Según R:
(β)
R
x
0
Se alejan:
(t1)
x1
s
ν0 =
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1−β
ν
1+β
desplazamiento
al rojo
Se acercan:
(− β)
s
ν0 =
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1+β
ν
1−β
desplazamiento
al azul
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Caso general y efecto Doppler transverso
F x’1
x’2
v
r’2
∆r 0 = r10 − r20 = ∆x 0 cos θ
r’1
[∆x 0 ri0 ]
θ
R
Según F: pulsos emitidos en t1 y t2 , separados por τ = t2 − t1
Según R: pulsos emitidos en t10 y t20 , se reciben separados por τ 0 = (t20 + r20 /c) − (t10 + r10 /c)
⇒
∆r 0
∆x 0
0
τ = ∆t −
= ∆t −
cos θ
c
c
0
0
donde ∆t0 = t20 − t10 = γτ (dilatación temporal),
⇒
τ0
= γ(1 − β cos θ )τ
es decir
ν0
∆x 0 = v∆t0 = vγτ
ν
=
γ(1 − β cos θ )
Casos: cos θ = ∓1 (se alejan/acercan colinealmente) y cos θ = 0 (efecto Doppler transverso)
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Efecto Doppler en función del ángulo
3
=
0
2.5
2
= 0 1
:
= 0 5
= 0 8
:
:
↑ desplazamiento al azul
1.5
1
0.5
↓ desplazamiento al rojo
0
-1
-0.5
↑
Se aleja colinealmente
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0
os 0.5
1
↑
Se acerca colinealmente
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Desplazamiento cosmológico al rojo
Parámetro de desplazamiento al rojo: z
Hecho observacional (E. Hubble, 1919): espectros de galaxias lejanas desplazados al rojo
ν0 − ν
λ − λ0
z=
>0
=
ν
λ0
Interpretación: se alejan a una velocidad v = βc dada por el efecto Doppler
ν0
ν=
γ (1 + β )
s
z=
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1+β
−1
1−β
⇔
Nota: β 1
⇒
( z + 1)2 − 1
β=
( z + 1)2 + 1
z ≈ β, v ≈ cz
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Ley de Hubble-Humanson
(1929) El desplazamiento al rojo es proporcional a la distancia
v ≈ cz = H0 d
H0 [constante de Hubble] = 70 ± 10 km s−1 Mpc−1
[1 pc = 3.2 años luz] z ≈ 0.01 ⇔ d = 40 Mpc ;
Supernovas lejanas
1 Mpc ⇔ z ≈ 2 × 10−4 (distancia a Andrómeda)
[http://www-supernova.lbl.gov/public]
Para comprobar la Ley de Hubble hay que conocer bien las distancias (candelas estándar)
En realidad no es lineal a grandes distancias. La Cosmología nos dice que
h
i
1
1
2
H0 d L = c z + 2 (1 − q0 )z + . . .
q0 ' Ω M − Ω Λ
2
donde q0 = parámetro de deceleración, sensible al contenido de materia y energía del universo
Supernovas lejanas ⇒ q0 < 0 el Universo se reacelera debido a una energía oscura que
contrarresta la atracción gravitatoria (¿constante cosmológica?)
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FAINTER
(Farther)
(Further back in time)
meff
= m B + 5 log10 d L (Mpc) + 25
B
h
i
H0 d L = c z + 12 (1 − q0 )(cz)2 + . . .
q0 ' 12 Ω M − ΩΛ
Perlmutter, et al. (1998)
24
effective mB
22
Flat
Supernova
Cosmology
Project
Λ=0
(ΩΜ,ΩΛ) =
( 0, 1 )
(0.5,0.5) (0, 0)
( 1, 0 ) (1, 0)
(1.5,–0.5) (2, 0)
26
20
18
Calan/Tololo
(Hamuy et al,
A.J. 1996)
16
14
0.02
0.05
0.1
redshift z
0.2
0.5
1.0
MORE REDSHIFT
(More total expansion of universe
since the supernova explosion)
In flat universe: ΩM = 0.28 [± 0.085 statistical] [± 0.05 systematic]
Prob. of fit to Λ = 0 universe: 1%
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