Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Tapachula Materia: Ingeniería de Control Clásico Tema: Modelado de Sistemas Dinámicos Docente: Ing. José Candelario Medina Cortes Alumno: Alexander López Hernández Carrera: Ingeniería Electromecánica Numero de Control: 19510699 Semestre y Grupo: 6°-B Fecha de Entrega: 27/03/2022 ~1~ 2.1 Función de Transferencia Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. La función de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas. El pico formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente. Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por la de convolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado. ❖ Descripción matemática Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática. Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión: ~2~ donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s)); Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y X (s)es la transformada de Laplace de la señal de entrada. La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada: La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s): Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos. Por ejemplo, en análisis de circuitos eléctricos, la función de transferencia se representa como: Una vez que se han definido los diferentes tipos de sistemas, es necesario conocer la dinámica de los mismos a partir de ecuaciones que relacionen el comportamiento de una variable ~3~ respecto a otra. Para lograr lo anterior se requiere de gran conocimiento de los procesos y de los elementos que los conforman, y de cada una de las disciplinas de la ingeniería involucradas. Es por ello que la ingeniería de control se considera un campo interdisciplinario. Una planta o cada una de las partes que forman un sistema de control, puede ser representada por un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de n-ésimo orden con coeficientes lineales invariantes en el tiempo que relacionan la variable de entrada con la variable de salida de la forma: Dónde: a1y b1 son constantes, u(t) es la entrada y y(t) es la salida. Usando la transformada de Laplace para convertir la ecuación integro diferencial (1.1) en una ecuación algebraica considerando que las condiciones iniciales son iguales a cero llegamos a la siguiente expresión: Relacionando la salida Y(s) con la entrada X(s) tenemos: Esta última expresión es denominada la función de transferencia de sistema. ~4~ La función de transferencia de un sistema lineal con coeficientes constantes invariantes en el tiempo está definida como: "La relación de la transformada de Laplace de la salida con la transformada de Laplace de la entrada, suponiendo condiciones iniciales cero". El hecho de trabajar con funciones de transferencia, simplifica en gran medida el manejo matemático de los sistemas dado que las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas lineales, y las operaciones en el dominio de la frecuencia compleja s son multiplicaciones simples. Con ello la salida del bloque de la figura 1.6 es Y(s) = H(s)X(s). Una metodología a seguir para la determinación de la función de transferencia de un sistema es la siguiente: 1) Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes físicas involucradas en el sistema. 2) Siguiendo las ecuaciones de equilibrio plantear las ecuaciones integro diferenciales correspondientes a cada variable de interés. 3) Obtener la transformada de Laplace de cada ecuación considerando condiciones iniciales cero. 4) Relacionar la variable de salida con las variables de entrada. Dada la naturaleza multidisciplinaria de un sistema de control este puede estar Conformada por subsistemas interconectados, donde cada uno de ellos contiene elementos cuyo comportamiento es estudiado por diferentes ramas de la ingeniería. ~5~ 2.1.1 Sistemas Mecánicos de Traslación y Rotación ❖ Maquinas El ser humano siempre intenta realizar trabajos que sobrepasan su capacidad física o intelectual. Algunos ejemplos de esta actitud de superación pueden ser: mover rocas enormes, elevar coches para repararlos, transportar objetos o personas a grandes distancias, extraer sidra de la manzana, cortar árboles, resolver gran número de problemas en poco tiempo... Para solucionar estos grandes retos se inventaron las máquinas: una grúa o una excavadora son máquinas; pero también lo son una bicicleta, o los cohetes espaciales; sin olvidar tampoco al simple cuchillo, las imprescindibles pinzas de depilar, el adorado ordenador o las obligatorias escaleras. Todos ellos son máquinas y en común tienen, al menos, una cosa: son inventos humanos cuyo fin es reducir el esfuerzo necesario para realizar un trabajo. Prácticamente cualquier objeto puede llegar a convertirse en una máquina sin más que darle la utilidad adecuada. Por ejemplo, una cuesta natural no es, en principio, una máquina, pero se convierte en ella cuando el ser humano la usa para elevar objetos con un menor esfuerzo (es más fácil subir objetos por una cuesta que elevarlos a pulso); lo mismo sucede con un simple palo que nos encontramos tirado en el suelo, si lo usamos para mover algún objeto a modo de palanca ya lo hemos convertido en una máquina. ❖ Clasificación De Las Máquinas Las máquinas inventadas por el hombre se pueden clasificar atendiendo a tres puntos de vista: Según su complejidad, que se verá afectada por el número de operadores (piezas) que la componen. Según el número de pasos o encadenamientos que necesitan para realizar su trabajo. Según el número de tecnologías que la integran. ❖ Según El Número De Piezas Analizando nuestro entorno podemos encontrarnos con máquinas sencillas (como las pinzas de depilar, el balancín de un parque, un cuchillo, un cortaúñas o un motor de gomas), complejas (como el motor de un automóvil o una excavadora) o muy complejas (como un ~6~ cohete espacial o un motor de reacción), todo ello dependiendo del número de piezas empleadas en su construcción. ❖ Según El Número De Pasos O Encadenamientos También nos podemos fijar en que el funcionamiento de algunas de ellas nos resulta muy fácil de explicar, mientras que el de otras solo está al alcance de expertos. La diferencia está en que algunas máquinas solamente emplean un paso para realizar su trabajo (máquinas simples), mientras que otras necesitan realizar varios trabajos encadenados para poder funcionar correctamente (máquinas compuestas). La mayoría de nosotros podemos describir el funcionamiento de una escalera (solo sirve para subir o bajar por ella) o de un cortaúñas (realiza su trabajo en dos pasos: una palanca le transmite la fuerza a otra que es la encargada de apretar los extremos en forma de cuña); pero nos resulta muchos más difícil explicar el funcionamiento de un ordenador, un motor de automóvil o un satélite espacial. ❖ Traslación Son los movimientos que se caracterizan por el desplazamiento de un cuerpo a lo largo de una línea recta. La ley de Newton sobre cuerpos rígidos dice que la suma algebraica de fuerzas es igual a la masa del cuerpo por el vector de aceleración: ~7~ En la relación causa-efecto del desplazamiento, los cuerpos sometidos a un conjunto de fuerzas, pueden ser modelados a través de tres elementos base: masa, resorte o muelle y rozamiento o fricción. La masa es la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de traslación: Muelle es un elemento que almacena energía potencial al ser sometido por una fuerza externa: Siendo k la constante del muelle. En cuanto a la fricción o rozamiento, modelan la conversión de la potencia mecánica en flujo calorífico, fenómeno que aparece cuando se deslizan dos superficies que están en contacto. Su expresión matemática es no lineal. Existen tres tipos de modelos: fricción viscosa, fricción estática y fricción de Coulomb. La primera es lineal y las otras dos siguientes no son lineales. En este curso, sólo se empleará el rozamiento viscoso para simplificar la función de transferencia de estos sistemas. La fricción viscosa representa la relación lineal entre la fuerza aplicada a un cuerpo con la velocidad de desplazamiento entre este cuerpo y otro que está en contacto con él. Se modela ~8~ como un pistón que se mueve dentro de un cilindro. El pistón se desplaza dentro del cilindro a través de una película de aceite. El aceite resiste cualquier movimiento relativo entre el pistón y la concavidad del cilindro; este efecto es debido a que el aceite puede fluir alrededor de la cámara del pistón. En este tipo de rozamiento, la transferencia de energía mecánica a calorífica es de carácter lineal. La expresión matemática es: Figura 4.6 a) muelle b) fricción Donde B es el coeficiente de fricción viscosa. Desde el punto de vista del análisis dimensional, las unidades en el sistema internacional de los elementos de modelado de los movimientos de traslación están relacionadas con las expresiones (4.4), (4. 5) y (4. 6): Ejemplo 4.1 Obtener la relación causa efecto entre la fuerza aplicada a un carro sujeto a la pared a través de un muelle y el desplazamiento que se produce en éste. La masa del carro es M, el coeficiente del resorte es K y el rozamiento entre las ruedas y la superficie se modela con el coeficiente de rozamiento B. Considere condiciones iniciales nulas. ~9~ La ecuación diferencial que explica el desplazamiento del carro según el eje X, en la misma dirección que la fuerza, es: Aplicando transformadas de Laplace resulta la FDT pedida: ❖ Rotación Los movimientos de rotación se definen como extensión de la ley de Newton: La suma algebraica de momentos o pares alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angular alrededor de un eje. Los elementos bases constitutivos son: el momento de inercia, el resorte tensional y la fricción viscosa. Inercia, J, se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación: ~ 10 ~ Donde r es el radio del cilindro de masa M y a, w y q son la aceleración, velocidad y desplazamiento angular respectivamente del cilindro. Resorte tensional, k, es el elemento que almacena energía potencial por desplazamiento de unidad angular: Fricción viscosa, B, modela el rozamiento provocado por la velocidad angular entre el cilindro y la superficie de contacto: En análisis dimensional, las magnitudes físicas de los elementos de modelado de los movimientos de rotación en el sistema internacional son: ~ 11 ~ En la analogía con los sistemas eléctricos, el par mecánico será análogo a la corriente eléctrica y el desplazamiento angular con el potencial eléctrico. Los pares mecánicos serán representados como fuentes de corriente y el desplazamiento angular como nodos del circuito eléctrico. 2.1.2 Sistemas Eléctricos Este sistema es un conjunto de elementos eléctricos interconectados de tal manera que forman una unidad eléctrica que cumple con las leyes de Kirchhoff. Podemos clasificar los elementos de un circuito en dos grandes categorías: elementos activos y elementos pasivos. Los elementos activos son los elementos que proporcionan energía al sistema, fuentes de voltaje y fuentes de corriente con sus representaciones siguientes: Los elementos pasivos son los elementos que consumen energía en el sistema, estos pueden ser: resistores, inductores y capacitares. La propiedad del resistor es la resistencia, del inductor es la inductancia y del capacitor es la capacitancia, y sus representativos son: ~ 12 ~ ✓ Las leyes lineales de estos elementos son: Con el manejo de las leyes lineales de comportamiento de los elementos y las leyes de Kirchhoff se puede modelar cualquier sistema eléctrico. Ley de voltajes de Kirchhoff. La suma algebraica de las subidas y bajadas de voltaje en una malla debe ser igual a cero. Ley de corrientes de Kirchhoff. La suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un nodo debe ser igual a cero. ❖ Ejemplo Encontrar el modelo matemático y la función de transferencia del siguiente circuito: ✓ Por la ley de voltajes de Kirchhoff tenemos ~ 13 ~ El modelaje de los sistemas eléctricos se puede realizar en forma genérica mediante el método general de mallas o el método general de nodos. ❖ Método de mallas Consiste en determinar las corrientes de mallas de un circuito plano obteniendo 'n' ecuaciones linealmente independientes a partir de aplicar la ley de Kirchhoff de voltajes a las 'n' mallas de un circuito. Se dice que un circuito es plano cuando se puede dibujar en un plano sin que existan ramas que se crucen y que una malla es un lazo o trayectoria cerrada que no contiene otro lazo en su interior. Con el sistema de dos ecuaciones se determinan las dos corrientes de mallas 𝐼1 e 𝐼2 . y así, si nuestro circuito contiene 'n' mallas, tendríamos que suponer 'n' corrientes de malla y determinar 'n' ecuaciones independientes. En general la solución puede obtenerse sistemáticamente mediante el uso de determinantes. La forma de aplicar el método, se puede resumir con los siguientes pasos 1°. Asegurarse que el circuito es plano 2°. Hacer un esquema de circuito, simple y claro, indicando los valores de los elementos, son preferibles los valores de resistencia. ~ 14 ~ 3°. Asignar a cada malla una corriente de malla en sentido horario. 4°. Si el circuito contiene únicamente fuentes de voltaje, aplique la ley de Kirchhoff de voltaje alrededor de cada malla. 5°, Si el circuito contiene fuentes de corriente, mentalmente reemplace a cada fuente por un circuito abierto reduciendo de esta manera el número de mallas en uno y aplique la L.V.K. a las mallas resultantes, relacionando la corriente de la fuente con las corrientes de mallas. ❖ Métodos de Nodos Consiste en determinar los voltajes asociados con los nodos de un circuito. Puesto que la existencia de un voltaje se define entre dos nodos, conviene seleccionar un nodo en el circuito que sea un nodo de referencia y asociarlo en un voltaje o en un potencial con cada uno de los otros nodos. El voltaje de cada nodo con respecto al nodo de referencia se define como voltaje de nodo. Es común seleccionar las polaridades de modo que el voltaje de cada nodo sea positivo con respecto al nodo de referencia. En un circuito que contenga 'n' nodos, habrá 'n-1 ' voltajes de nodos a determinar, mediante la aplicación de la ley de Kirchhoff de corrientes a los 'n-1 ' nodos del circuito, dándonos 'n-I ' ecuaciones linealmente independientes. Con frecuencia se escoge como nodo de referencia aquel al cual se conecta el mayor número de ramas. Muchos circuitos en la práctica se construyen sobre una base o bastidor metálico y es común que haya varios elementos conectados al bastidor, el cual ofrece una elección lógica como nodo de referencia. La forma de aplicar el método, se puede resumir en los siguientes pasos 1°. Hacer un esquema en el circuito simple y claro indicando los valores de los elementos, son preferibles los valores de conductancia. 2°. Elegir al nodo al que incide mayor número de ramas como el nodo de referencia y asignarle a cada nodo un voltaje VI, V2, ... Vn-1. que estarán en función o referidos al nodo de referencia. ~ 15 ~ 3°. Si el circuito contiene únicamente fuentes de corrientes, aplique la ley de Kirchhoff de corrientes a los n-1 nodos. 4°. Si el circuito contiene fuentes de voltaje, mentalmente reemplace a cada fuente de voltaje por un corto circuito, reduciendo de esta manera el número de nodos en uno y aplique la L.C.K. a los nodos resultantes, relacionando el voltaje de las fuentes con los voltajes de nodos. ❖ Ejemplo: Encontrar el modelo matemático y la función de transferencia del siguiente circuito por el método de mallas. Por el método de mallas (en condiciones iniciales igual acero) ✓ teniendo el modelo matemático, se pasa a Laplace ~ 16 ~ ✓ Organizando Resolviéndolo por el método de Kramer y teniendo a ¡J(s) como salida la función de transferencia es: Ejemplo: Encontrar el modelo matemático y la función de transferencia del siguiente circuito por el método de nodos (condiciones iniciales igual a cero): ~ 17 ~ ✓ Por el método de nodos ✓ aplicando la transformada de Laplace ✓ Organizando ~ 18 ~ ~ 19 ~ 2.2 Sistemas Análogos Se denominan sistemas análogos aquellos que tienen igual modelo matemático, pero son diferentes físicamente. Las ventajas que tiene este proceder son dos básicamente: 1. La solución de la ecuación que describe un sistema físico puede ser resuelta por un sistema análogo de otro campo. Por ejemplo, si se traslada un sistema mecánico a un símil eléctrico equivalente, se podrá aplicar todas las herramientas de la teoría de los circuitos eléctricos. 2. Facilidad en el trabajo experimental. Resulta más económico montar un circuito eléctrico que un montaje mecánico y las medidas son más asequible y hasta más fiables. Existen varias analogías entre los movimientos de traslación y los circuitos eléctricos. Se ha elegido una de ellas, la que resulta más sencilla: ❖ Ejemplo 4.2 El esquema de la figura muestra el comportamiento dinámico de una prensa hidráulica. Al dar presión al fluido, P, transmite una fuerza sobre el pistón que al desplazarse comprimirá al cuerpo. Este efecto se modela por un muelle, cuya constante es kp. Además, se considera despreciable la masa del cuerpo a comprimir respecto al de la prensa. No así la masa del pistón, al que se le asigna por la letra M. La dinámica del tablero, donde se apoya el cuerpo, es modelada por cuatro amortiguadores de constante k. Se pide: a) Ecuaciones físicas de los sistemas b) Linealizar el sistema cuando la presión del fluido sea nula, P=0. c) Diagrama a bloques ~ 20 ~ d) FDT entre la causa, variación de la presión, y el efecto, grado de compresión del cuerpo a) La fuerza dada por el fluido se suma a la de la propia gravedad de la masa del pistón. Ambas desplazarán el pistón hacia abajo, dando lugar a un rozamiento entre las paredes del émbolo y el pistón. Estas fuerzas comprimirán al cuerpo y el tablero se opondrá a deformarse. Para obtener el conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales de la prensa se emplea las analogías entre los sistemas mecánicos de traslación y los sistemas eléctricos, de cuya representación se conseguirá las ecuaciones del sistema: El nivel de compresión del cuerpo es una variable dependiente entre el desplazamiento del pistón y del tablero, al que se le designará por z. ~ 21 ~ b) Se hace notar que la fuerza de la gravedad del cilindro produce un término constante que hace necesario la linealización de las ecuaciones diferenciales, para luego obtener la FDT. En el punto de equilibrio, esto es, sin presión, marcará las condiciones de reposo: La dinámica del sistema es una función que depende de la presión, P, de la primera y segunda derivada del desplazamiento del cilindro respecto al tiempo, x, y de la compresión del cuerpo, z. Procediendo a linealizar a: c) El diagrama a bloques entre la compresión del cuerpo (efecto) y su causa (Presión en el fluido), estará definida por las siguientes FDT: ~ 22 ~ a) Sólo faltará aplicar la expresión de estructuras de realimentación negativa y el encadenamiento en cascada, para obtener la FDT solicitada: En la analogía del sistema mecánico al circuito eléctrico, las fuerzas se convierten en fuentes de corriente y los desplazamientos mecánicos suponen los nodos de potencial. ~ 23 ~ 2.2.1 Analogía Fuerza-Tensión Considerando los sistemas mostrados en la figura 2.1 podemos determinar siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales. ✓ Si expresamos la ecuación (1.35) en términos de la carga obtenemos: Si comparamos (2.2) y (2.3) observamos que son sistemas análogos, esto es, tienen una ecuación diferencial idéntica, y podemos establecer las relaciones resumidas en la tabla siguiente: Otra analogía entre los sistemas mecánicos y eléctricos es conocida como analogía masa inductancia, y las relaciones se pueden observar en la tabla. ~ 24 ~ Sistema eléctrico Sistema mecánico Traslacional Rotacional Voltaje (V) Fuerza (f) Par (T) Corriente (i) Velocidad (v) Velocidad angular ( ) Carga (q) Desplazamiento (x) Desplazamiento angular ( ) Inductancia (L) Masa (m) Momento de inercia (J) Resistencia (R) Coeficiente de fricción viscosa Coeficiente de fricción viscosa traslacional (B) rotacional (B) Recíproco de la Constante del resorte Constante del resorte capacitancia (Elastancia traslacional (k) rotacional (k) S) 2.2.2 Analogía Fuerza Corriente De manera similar podemos considerar los sistemas mostrados establecer la relación existente entre las ecuaciones de fuerza de un sistema mecánico y un sistema eléctrico. Las ecuaciones que describen el sistema para el circuito eléctrico son: ✓ Que expresa da en términos del flujo magnético nos da: Dado que el sistema mecánico ha sido considerado el mismo que para la analogía fuerza voltaje podemos comparar (1.36) y (1.38) para obtener obtenemos las relaciones dadas en la siguiente tabla que son denominadas analogías fuerza-corriente. ~ 25 ~ La analogía fuerza corriente a veces es también llamada analogía masa capacitancia con las relaciones indicadas en la tabla. Sistema eléctrico Sistema mecánico Traslacional Fuerza (f) Velocidad (v) flujo Desplazamiento (x) Corriente (i) Voltaje (V) Acoplamiento por magnético () Capacitancia (C) Reciproco de la resistencia (Conductancia) Reciproco de la inductancia (Invertancia) 2.3 Rotacional Par (T) Velocidad angular ( ) Desplazamiento angular () Masa (m) Momento de inercia (J) Coeficiente de fricción viscosa Coeficiente de fricción viscosa traslacional (B) rotacional (B) Constante del traslacional (k) resorte Constante rotacional (k) del resorte Algebra de Bloques. Reducción y Presentación de Sistemas Es importante notar que los bloques se pueden conectar en serie solamente si la salida de un bloque no es afectada por el bloque inmediato siguiente. Si hay cualquier efecto de carga entre los componentes, es necesario combinar esos componentes en un bloque individual. Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes que no producen efecto de carga se puede representar como un bloque individual, siendo la función de transferencia de ese bloque simplemente el producto de las funciones de transferencia individuales. Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo, con muchos lazos de retroalimentación, modificando paso a paso, utilizando las reglas del álgebra de diagrama de bloques. En la tabla 7.1 se dan algunas de estas reglas importantes. Se obtienen escribiendo la ecuación en forma diferente. Hay que notar, sin embargo, que, al simplificar el diagrama de bloques, los nuevos bloques se vuelven más complejos, debido a que se generan nuevos polos y ceros. Al simplificar un diagrama de bloques debe darse lo siguiente: 1. El producto de las funciones de transferencia en sentido directo debe quedar igual ~ 26 ~ 2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe quedar igual. Tabla 7.1 Reglas del álgebra de diagrama de bloques ~ 27 ~ ❖ Ejemplo 7.1 Sea el sistema que aparece en la Figura 7.4(a). Simplifique este diagrama usando las reglas que aparecen en la Tabla 7.1 ❖ Solución Desplazando el punto de suma de lazo negativo de retroalimentación que contiene H2 fuera del lazo positivo de retroalimentación que contiene aH1, se obtiene le figura 7.4(b). Eliminando el lazo de retroalimentación positiva, se tiene la figura 7.4(c). Luego, eliminando el lazo que contieneH2/G1, se obtiene la figura 7.4(d). Finalmente eliminando el lazo de retroalimentación, se llega a la figura 7.4(e). a b c ~ 28 ~ d e 2.4 Sistemas Electromecánicos Motor de CD Contralados Por el Inducido ~ 29 ~ Motor de CD Controlados Por el Campo ~ 30 ~ ~ 31 ~ ~ 32 ~ 2.5 Espacio de Estados y su Relación entre la Función de Transferencia En ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto último sólo puede hacerse cuando el sistema dinámico es lineal e invariante en el tiempo). La representación de espacios de estado (también conocida como aproximación en el dominio del tiempo) provee un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas. Con que escribir entradas y salidas, tendríamos veces la transformada de Laplace para procesar toda la información del sistema. A diferencia de la aproximación en el dominio de la frecuencia, el uso de la representación de espacios de estado no está limitada a sistemas con componentes lineales ni con condiciones iniciales iguales a cero. El espacio de estado se refiere al espacio de dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por variables de estados. El estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio. ❖ Sistemas lineales Una forma general de representación de espacios de estado de un sistema lineal con entradas, salidas y variables de estado se escribe de la siguiente forma: ~ 33 ~ ✓ Donde es llamado vector de estados, es llamado vector de salida, es llamado vector de entradas (o control), es la matriz de estados, y es la matriz de entrada, es la matriz de salida, es la matriz de transmisión directa. Por simplicidad, normalmente se toma como la matriz cero, p. ej.: se elige que el sistema no tenga transmisión. Nótese que en esta formulación general se supone que todas las matrices son variantes en el tiempo, p. ej.: algunos o todos sus elementos pueden depender del tiempo. La variable temporal una "continua" (p. ej.: ~ 34 ~ puede ser ) o una discreta (p. ej.: ): en este último caso la variable temporal es generalmente indicada como . Dependiendo de las consideraciones tomadas, la representación del modelo de espacios de estado puede tomar las siguientes formas: Tipo de sistema Modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo continuo y variante en el tiempo Discreto e invariante en el tiempo Discreto y variante en el tiempo Transformada de Laplace de continua e invariante en el tiempo Transformada discreta e invariante en el tiempo ~ 35 ~ La estabilidad y la respuesta natural característica de un sistema puede ser estudiado mediante los autovalores (o valores propios) de la matriz . La estabilidad de un modelo de espacio de estados invariante en el tiempo puede ser fácilmente determinado observando la función transferencia del sistema en forma factorizada. Tendría una forma parecida a la siguiente: El denominador de la función transferencia es igual al polinomio característico encontrado tomando el determinante de Las raíces de este polinomio (los autovalores) proporcionan los polos en la función transferencia del sistema. Dichos polos pueden ser utilizados para analizar si el sistema es asintótica o marginalmente estable. Otra alternativa para determinar la estabilidad, en la cual no involucra los cálculos de los autovalores, es analizar la estabilidad de Liapunov del sistema. Los ceros encontrados en el numerador de puede usarse de manera similar para determinar si el sistema posee una fase mínima. El sistema podría ser estable con respecto a sus entradas y salidas aún si es internamente inestable. Este podría ser el caso si polos inestables son cancelados por ceros. ~ 36 ~ Bibliografía Alvares, E. (s.f.). Apuntes para la U.E.A. sistemas de control 1 . 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