ECUACIONES EN DIFERENCIAS 2 SEGUNDA PARTE TRANSPARENCIAS 2022

ECUACIONES EN DIFERENCIAS
DE ORDEN SUPERIOR
1
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N
• Forma general
xt  n  a1 xt  n 1  … an 1 xt 1  an xt  a (t )
• Ecuación homogénea
xt  n  a1 xt  n 1  … an 1 xt 1  an xt  0
• Problema de valores iniciales con solución única
xt  n  a1 xt  n 1  … an 1 xt 1  an xt  a (t )
x0  k0  x1  k1  … xn 1  kn 1
• Solución particular
 x0  k0  x1  k1 … xn1  kn1 , xn , xn1 ,...
x( k0 k1 …kn1 )  x(e , t ) , e  (k0  k1 … kn 1 )
2
EJEMPLO: ECUACIÓN DE FIBONACCI
Leonardo de Pisa (1170-1240)
Una pareja de conejos procrea al mes de existencia y da a luz a una
nueva pareja tras un mes de gestación y así sucesivamente. ¿Cuántas
parejas habrá al cabo de un año?
xn  2  xn 1  xn 

x0  0 , x1  1 
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
3
ECUACIONES HOMOGÉNEAS:
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE SOLUCIONES
• Para una ecuación lineal, homogénea, cualquier combinación lineal
de soluciones es una solución.
• Sean dos soluciones de la ecuación 𝑋𝑡+2 + 𝑎1 𝑋𝑡+1 + 𝑎2 𝑋𝑡 = 0
zt   z0 , z1 ,..., zt ,... , yt   y0 , y1 ,..., yt ,...
zt  2  a1 zt 1  a2 zt  0
yt  2  a1 yt 1  a2 yt  0
sumando
( zt  2  yt  2 )  a1 ( zt 1  yt 1 )  a2 ( zt  yt )  0
multiplicando por c : czt  2  a1czt 1  a2czt  0
4
SOLUCIONES INDEPENDIENTES DE UNA ECUACIÓN HOMOGÉNEA
Dos soluciones ut y vt de la ecuación homogénea de orden n son
independientes si y sólo si los vectores
(u0  u1 … un 1 ) , (v0  v1 … vn 1 )
u0
v0
u1
v1
0
son linealmente independientes.
Ejemplo: Las dos soluciones de la ecuación de Fibonacci son
independientes
xn  2  xn 1  xn 

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
x0  0 , x1  1 


xn  2  xn 1  xn 

1,
2,
3,
5,
8,
13,
21,
34,
...




x0  1 , x1  2 

0 1
1 2
 1  0
En cambio las soluciones (1,1,2,3,5,8,13,…) , (2,2,4,6,10,16,26,…) no son
independientes
5
EJEMPLO: SOLUCIONES INDEPENDIENTES DE UNA HOMOGÉNEA
Ver que 𝟐𝒕 𝒚 𝟑𝒕 son soluciones independientes de 𝑋𝑡+2 − 5𝑋𝑡+1 + 6𝑋𝑡 =0
Ver que 2𝑡 es solución
2𝑡+2 − 5 2𝑡+1 + 6 2𝑡 = 22 2𝑡 − 5 21 2𝑡 + 62𝑡 =(4 − 10 + 6)2𝑡 = 0
Ver que 3𝑡 es solución
3𝑡+2 − 5 3𝑡+1 + 6 3𝑡 = 32 3𝑡 − 5 31 3𝑡 + 63𝑡 =(9 − 15 + 6)3𝑡 = 0
Independencia de ambas soluciones: : 20 , 21 = 1,2 𝑦 30 , 31 =
1,3 son independientes
1 1
 3 2 1 0
2 3
6
SOLUCIONES INDEPENDIENTES DE UNA ECUACIÓN HOMOGÉNEA
n soluciones son independientes cuando los vectores formados por los
n primeros valores de cada una de las soluciones son independientes
(el determinante es distinto de cero).
Ejemplo:
Ver que 1𝑡 , 2𝑡 𝑦 3𝑡 son soluciones independientes de
𝑋𝑡+3 − 6𝑋𝑡+2 + 11𝑋𝑡+1 − 6𝑋𝑡 =0
10
20
30
11
21
31  1 2 3  0
12
22
32
1 1 1
1 4 9
7
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Ejemplo:
1𝑡 , 2𝑡 𝑦 3𝑡 son soluciones independientes de
𝑋𝑡+3 − 6𝑋𝑡+2 + 11𝑋𝑡+1 − 6𝑋𝑡 =0
Solución general: 𝐶1 1𝑡 + 𝐶2 2𝑡 + 𝐶3 3𝑡
Hallar la solución particular que verifique x0  0 , x1  1 , x2  1
La solución general de una ecuación homogénea de orden n es una
combinación lineal de n soluciones independientes
xt  C1 xe1  C2 xe 2  … Cn xe n
{e 1  e 2 … e n} base de
n
: det{e 1  e 2 … e n}  0
8
CÓMO BUSCAR BASES DE SOLUCIONES EN LAS ECUACIONES
HOMOGÉNEAS
•.
xt  n  a1 xt  n 1  … an 1 xt 1  an xt  0
solución general :
yt  c1u1 (t )  c2u2 (t )  … cnun (t )
buscar soluciones independientes del tipo ut  
ut 1    ut  2  
t 1

t n
 a1
t  n 1
t 2
… ut  n  
t n

 … an   0   (  a1
t
Ecuación característica
t
  a1
n
t
n
n 1
n 1
 … an  0
 … an )  0
9
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA CON RAÍCES REALES Y DISTINTAS
• Ecuación característica
xt  n  a1 xt  n 1  ...  an 1 xt 1  an xt  0   n  a1 n 1  … an  0
1  2 … n
• Raíces reales y distintas
• Soluciones
   … 
t
1
t
2
t
n
• Independencia de soluciones
• Solución general
10
11
12
20
21
22
…
n0
… n1
… n2  0
…
…
…
…
1n 1 2n 1 … nn 1
xt  C11t  C2 2t  … Cn nt
10
Ejemplo: hallar la solución particular de
xt  2  3 xt 1  2 xt  0 , x0  0  x1  1
• Ecuación característica
 2  3  2  0  1  2 2  1
• Solución general
xt  C1 2t  C21t  C1 2t  C2
• Solución particular
0  C1 20  C2  C1  C2 
t

C

1
,
C


1

x

2
1

1
2
t
1
1  C1 2  C2  2C1  C2 
11
Ejemplo: ECUACIÓN DE FIBONACCI
xt  2  xt 1  xt  0 , x0  0  x1  1
• Ecuación característica
 2    1  0  1,2 
t
1 5
2
 1 5 
1 5 
• Solución general xt  C1 
  C2 

 2 
 2 
• Solución particular
t
Número áureo
0  C1  C2

1
1

, C2  
1 5
1  5   C1 
5
5
1  C1
 C2

2
2 
t
1  1 5 
1 1 5 
 xt 

 


2
2
5
5


t
xt 1 1  5
lim

 1.616
t  x
2
t
12
EJERCICIOS: RESOLVER LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS
xt  2  6 xt 1  8 xt  0 ,
x0  1, x1  6
Solución general xt  C1 2t  C2 4t
•.
Solución particular xt  2t  2  4t
xt  2  xt 1  6 xt  0 , x0  0, x1  5
Solución general xt  C1 2  C2  3
t
Solución particular xt  2t   3
t
t
xt  2  xt  0 , x0  1, x1  3
Solución general xt  C1  C2  1
Solución particular xt  2   1
t
t
13
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA CON RAÍCES REALES MÚLTIPLES
Si λ0 es raíz de la ecuación característica de multiplicidad m, la
ecuación homogénea tiene m soluciones independientes:
  t  t   …  t
t
0
t
0
2
t
0

m 1
t
0
La solución general contendrá un sumando del tipo
C   C2t   C3t   …  Cmt
t
1 0
t
0
2
t
0

m 1
t
0
14
Ejemplo: hallar la solución general de
xt  4  2 xt  2  xt  0
Ecuación característica
  2  1  0     1  0
4
2
2
2
1  1  doble  , 2  1  doble 
Solución general
xt  C1  C2t  C3 (1)t  C4t (1)t
15
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA CON RAÍCES COMPLEJAS
Si la ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas
𝜆1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝜆2 = 𝑎 − 𝑏𝑖
Hay dos soluciones independientes de la ecuación homogénea:
r cos  t   r sen  t 
t
t
r  a b
2
2
  arctan ba
a=r cos(α)
b=r sen(α)
Solución general
xt  C1r t cos  t  C2 r t sen  t  r t  C1 cos  t  C2 sen  t 
16
Demostración: aplicando la formula de Moivre se obtiene
1t  (a  bi )t  r t (cos   i sen  )t  r t (cos  t  i sen  t )
2t  (a  bi )t  r t (cos   i sen  )t  r t (cos  t  i sen  t )
Como una combinación lineal de soluciones es una solución
1 t 1 t 1
1  2  (a  bi )t  (a  bi )t   r t cos  t
2
2
2
1 t 1 t 1
1  2  (a  bi )t  (a  bi )t   r t sen  t
2i
2i
2i
Solución general
xt  C1r t cos  t  C2 r t sen  t  r t  C1 cos  t  C2 sen  t 
17
Ejemplo: hallar la solución particular de
xt  2  2 xt 1  2 xt  0 , x0  1 , x1  2
Ecuación característica
 2  2  2  0    1  i  a  1  b  1
3
b
r  a  b  2    arctan a  arctan (1) 
2
2
4
xt  C1
 3
2 cos 
 4
 
Solución general
Solución particular
x0  C1 cos  0   C2 sen  0   1  C1  1
1
0
 3
x1  C1 2 cos 
 4
 2 /2

  C2

t

t   C2




 xt 
 3 
2 sen    2  C2  3
 4 

2 /2

 3
2 sen 
 4
 
t
 3
2 cos 
 4
 
t

t

 3
2 sen 
 4
 

t3

t
18

t

EJERCICIOS: RESOLVER LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS
xt  2  2 xt 1  2 xt  0 , x0  1, x1  3
Solución general xt  C1
•.
Solución particular xt 
 
2 cos  t   C2
4 
 
t
 
2 cos  t   2
4 
 
 
2 sen  t 
4 
 
 
2 sen  t 
4 
 
t
t
t
xt  2  2 xt 1  2 xt  0 , x0  2, x1  4
t
 3 
 3 
Solución general xt  C1 2 cos  t   C2 2 sen  t 
 4 
 4 
t
t
 3 
 3 
Solución particular xt  2 2 cos  t   6 2 sen  t 
 4 
 4 
 
t
 
 
 
xt  2  xt  0 x0  3, x1  2
 
 
Solución general xt  C1 cos  t   C2 sen  t 
2 
2 
 
 
Solución particular xt  3cos  t   2sen  t 
2 
2 
19
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA CON RAÍCES
COMPLEJAS MÚLTIPLES
Si la ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas 𝑎 +
𝑏𝑖 , 𝑎 − 𝑏𝑖 con multiplicidad m
Conjunto de 2m soluciones independientes:
r t cos  t  tr t cos  t  t 2 r t cos  t  … t m 1r t cos  t
r t sen  t  tr t sen  t 
t 2 r t sen  t … t m 1r t sen  t
20
Ejemplo: hallar la solución general de
xt  4  2 xt  2  xt  0
• Ecuación característica
  2  1  0     1  0
4
2
2
2
1  i  doble  , 1  i  doble 
 0  i doble  ,    2 , r  1
• Solución general
xt  C1r t cos  t  C2tr t cos  t  C3r t sen t  C4tr t sen t 
 
 
 
 
C1 cos  t   C2 t cos  t   C3 sen  t   C4 t sen  t 
2 
2 
2 
2 
21
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
xt  n  a1 xt  n 1  … an xt  a (t )
Si 𝑧𝑡 y 𝑦𝑡 son soluciones de la ecuación no homogénea, entonces
𝑧𝑡 − 𝑦𝑡 es solución de la homogénea
Sean dos soluciones de la ecuación 𝑋𝑡+2 + 𝑎1 𝑋𝑡+1 + 𝑎2 𝑋𝑡 = 𝑎(𝑡)
zt   z0 , z1 ,..., zt ,... , yt   y0 , y1 ,..., yt ,...
zt  2  a1 zt 1  a2 zt  a  t 
yt  2  a1 yt 1  a2 yt  a  t 
res tan do
( zt  2  yt  2 )  a1 ( zt 1  yt 1 )  a2 ( zt  yt )  0
22
EL TEOREMA FUNDAMENTAL
xt  n  a1 xt  n 1  … an xt  a (t )
Si 𝑢𝑡 y 𝑣𝑡 son soluciones de la ecuación no homogénea, entonces
𝑢𝑡 − 𝑣𝑡 es solución de la homogénea
Si 𝑢𝑡 es solución de la ecuación no homogénea y 𝑣𝑡 es solución de la
ecuación homogénea, entonces 𝒖𝒕 + 𝒗𝒕 es solución de la no
homogénea
Teorema fundamental
La solución general de la ecuación no homogénea se obtiene sumando
una solución particular cualquiera de la no homogénea con la solución
general de la homogénea
23
SOLUCIÓN PARTICULAR DE EQUILIBRIO
Cuando la parte no homogénea es constante puede haber una solución
de equilibrio
xt  n  a1 xt  n 1  … an xt  a
xt  n  xt  n 1  …  xt  xe
xe  a1 xe  … an xe  a
a
 xe 
1  a1  … an
si 1  a1  … an  0
Cuando a no es constante, la ecuación no tiene solución de equilibrio
24
Ejemplo: hallar la solución general de xt  2  2 xt  5
2  2  0     2
• Ecuación característica
ut  C1
• Solución general de la homogénea
• Solución de equilibrio
xe  2 xe  5 
 2   C  2 
t
t
2
xe  5
• Solución general de la ecuación no homogénea o completa
xt  C1
 2   C  2   5
t
t
2
25
Ejemplo: Hallar solución general de
xt  2  2 xt 1  2 xt  2
Ecuación característica
𝜆2 + 2𝜆 + 2 = 0 → 𝜆 = 1 ± 𝑖 → 𝑟 = 2, 𝛼 = 𝜋4
Solución general de la homogénea
t
 
xt  C1
 
2 sen  t 
4 
 2  cos  4 t   C  
2
t
Solución particular de equilibrio: 𝑥𝑒 − 2𝑥𝑒 + 2𝑥𝑒 = 2 → 𝑥𝑒 = 2
Solución general de la no homogénea o completa
xt  C1
 
2 cos  t   C2
4 
 
t
 
2 sen  t   2
4 
 
t
26
Ejemplo
Sea la ecuación en diferencias 𝑥𝑡+2 − 5𝑥𝑡+1 + 6𝑥𝑡 = 2
¿Para que valor de las condiciones iniciales obtendremos 3𝑡 + 1 como
solución particular de dicha ecuación? (Repetir para 2𝑡 + 1 )
Ecuación característica  2  5  6  0  1  2
Solución de equilibrio 𝑥𝑒 − 5𝑥𝑒 + 6𝑥𝑒 = 2 → 𝑥𝑒 = 1
Solución general
t
t
xt  C1 2  C2 3  1
2  3
Solución particular 3𝑡 + 1 → 𝐶1 = 0, 𝐶2 = 1
x0  C1 20  C2 30  1  C1  C2  1  0  1  1  2 
  x0  2 , x1  4
1
1
x1  C1 2  C2 3  1  2C1  3C2  1  0  3  1  4 
27
Hallar la solución particular de las siguientes ecuaciones
con condiciones iniciales
•.
 x0  3 , x1  4 
xt  2  2 xt 1  2 xt  1
solución : xt 

 

2  cos t  sen t   1
4
4 

 
t
7
xt  2  3 xt 1  xt  9
4
1
xt  2  xt 1  xt  2
4
 x0  6 , x1  3
 x0  4 , x1  7 
28
NO EXISTENCIA DE SOLUCIÓN DE EQUILIBRIO
a
xt  n  a1 xt  n 1  … an xt  a  xe 
1  a1  … an
Si 1  a1  … an  0 no existe solución de equilibrio
xt  2  3 xt 1  2 xt  1
Ejemplo:
Solución general homogénea
C1 2t  C21t
Buscaremos una solución particular de la forma
a  t  2   b  3a  t  1  3b  2at  2b  1
Solución general de la no homogénea
ut  at  b
 a  1
C1 2  C21  t
t
t
29
Ejercicio: Hallar solución general de
xt  2  2 xt 1  xt  2
Comprobar que no tiene solución de equilibrio
Comprobar que tampoco no admite una solución particular de la forma
𝑢𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝑏
Probar que si admite una solución particular de la forma 𝑢𝑡 = 𝑎𝑡 2 ,
donde 𝑎 = 1
Solución general
C1  C2t  t 2
30
BUSCAR SOLUCIONES PARTICULARES:
MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
C

t
4

2

xt  n  a1 xt  n 1  … an xt  a (t )  
 Polinomio en t
a1  t   a2  t 

• Buscar una solución particular 𝑢𝑡 que tenga una forma funcional
similar a 𝑎 𝑡 .
• Caso 1: Si 𝑎 𝑡 = 𝑎𝑏 𝑡 y b no es raíz de la ecuación característica
(𝑃 𝜆 = 𝜆𝑛 + 𝑎1 𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛 , es decir, 𝑃 𝑏 ≠ 0), buscar solución
particular del tipo 𝑢𝑡 = 𝑐𝑏 𝑡 → 𝑐 = 𝑎/𝑃(b)
• Caso 2: b es raíz multiplicidad k de ecuación característica: 𝑃 𝑏 = 0,
buscar una solución particular del tipo 𝑢𝑡 = 𝑐𝑡 𝑘 𝑏 𝑡
31
Ejemplo: hallar la solución general de
xt  2  4 xt 1  4 xt  3
t
• Ecuación característica
 2  4  4  0    2  doble 
C1 2t  C2 t 2t
• Solución general de la parte homogénea
• Como λ=3 no es una raíz de la ecuación característica buscamos una
solución particular de la forma 𝑢𝑡 = 𝐶3𝑡
C 3t  2  4C 3t 1  4C 3t  3t 
9C 3t  12C 3t  4C 3t  3t  C  1
• Solución general de la no homogénea
C1 2t  C2 t 2t  3t
32
Ejemplo: hallar la solución general de
xt  2  4 xt 1  4 xt  2
t
• Ecuación característica  2  4  4  0    2  doble 
• Solución general de la parte homogénea C1 2t  C2 t 2t
• Como λ=2 es una raíz doble de la ecuación característica buscamos
una solución particular de la forma 𝑢𝑡 = 𝐶𝑡 2 2𝑡
C (t  2) 2 2t  2  4C (t  1) 2 2t 1  4Ct 2 2t  2t
 C (t  2) 2 2 2  4C (t  1) 2 2  4Ct 2  1
4C (t  2) 2  2(t  1) 2  t 2   1  4C t 2  4t  4  2t 2  4t  2  t 2   1  C  1
8
1 2 t
• Solución general de la no homogénea xt  C1 2  C2t 2  t 2
8
t
t
33
BUSCAR SOLUCIONES PARTICULARES:
MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
• Caso 3. Si a(t) es un polinomio de grado m buscaremos una solución
particular polinómica con coeficientes indeterminados de grado m.
• Ejemplo: xt  2  xt  1  t
2

 1  0    i
• Ecuación característica
 
 
C
cos
t

C
sen
• Solución general de la homogénea
1
2
 
 t
2 
2 
• Buscar la solución particular 𝑢𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝑏
a (t  2)  b  at  b  1  t  2at  2a  2b  1  t 
2a  1

1
 a  ,b0
2a  2b  1
2
• Solución general no homogénea
 
  1
xt  C1 cos  t   C2 sen  t   t
2 
2  2
34
Ejercicios: hallar una solución particular polinómica
de las siguientes ecuaciones
•.
1
solución : x p  t
4
xt  2  2 xt 1  5 xt  t
xt  2  5 xt 1  2 xt  18  6t  8t 2
xt  2  5 xt 1  2 xt  t
2
solución : x p  2  t  t 2
13
7
1 2
solución : x p 
 t t
256 32 8
xt  2  2 xt 1  5 xt  4  2t
35
BUSCAR SOLUCIONES PARTICULARES:
MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
• Caso 4. Si 𝑎 𝑡 = 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 y podemos calcular,
separadamente, las soluciones particulares 𝑢𝑡 𝑦 𝑣𝑡 de las ecuaciones
xt  n  a1 xt  n 1  … an xt  a1 (t )
xt  n  a1 xt  n 1  … an xt  a2 (t )
• 𝑢𝑡 + 𝑣𝑡 será solución particular de la ecuación
xt  n  a1 xt  n 1  … an xt  a1 (t )  a2 (t )
36
Ejemplo: hallar la solución general de
t
xt  2  4 xt 1  4 xt  3  1
• Ecuación característica
 2  4  4  0    2  doble   C1 2t  C2t 2t
• Solución particular de la ecuación no homogénea
xt  2  4 xt 1  4 xt  3t  buscar solución ut  C 3t
C 3t  2  4C 3t 1  4C 3t  3t  9C  12C  4C  1  C  1
xt  2  4 xt 1  4 xt  1 buscar solución vt  xe cte  xe 1
• Solución general no homogénea
xt  C1 2t  C2 t 2t  3t  1
37
Ejemplo: hallar la solución general de
t
xt  2  4 xt 1  4 xt  2  1
• Ecuación característica
 2  4  4  0    2  doble   C1 2t  C2t 2t
• Solución particular de la ecuación no homogénea
xt  2  4 xt 1  4 xt  2t  buscar solución ut  Ct 2 2t
C (t  2) 2 2t  2  4C (t  1) 2 2t 1  4Ct 2 2t  2t
 C 1
8
xt  2  4 xt 1  4 xt  1  buscar solución vt  xe  cte  xe  1
1 2 t
t
t
• Solución general no homogénea xt  C1 2  C2 t 2  t 2  1
2
38
ESTABILIDAD DE LA SOLUCIÓN DE EQUILIBRIO
xt  2  a1 xt 1  a2 xt  b
Solución de equilibrio
b
1  a1  a2  0  xe 
1  a1  a2
Ecuación característica 𝜆2 + 𝑎1 𝜆 + 𝑎2 = 0 raíces reales distintas
xt  C   C   xe
t
1 1
t
2 2
i  1 convergencia hacia el equilibrio
i  1 divergencia del equilibrio
39
ESTABILIDAD DE LA SOLUCIÓN DE EQUILIBRIO
xt  2  a1 xt 1  a2 xt  b
Ecuación característica 𝜆2 + 𝑎1 𝜆 + 𝑎2 = 0 raíces reales iguales
xt  C1 t  C2t  t  xe
Si 𝜆 <1 convergencia monótona al equilibrio
L`Hopital lim t  t  lim
t 
t 
t
 t
 t 
1
 lim  t
 lim  
0
t   ( 1) ln 
t 
 ln  
lim xt  C1 lim  t  C2 lim t  t  xe  0  xe  xe
t 
t 
t 
Si 𝜆 >1 divergencia del equilibrio
lim xt  C1 lim   C2 lim t   
t
t 
t 
t
t 
40
ESTABILIDAD DE LA SOLUCIÓN DE EQUILIBRIO
xt  2  a1 xt 1  a2 xt  b
Ecuación característica 𝜆2 + 𝑎1 𝜆 + 𝑎2 = 0 raíces complejas a ± bi
xt  r t (C1 cos  t  C2 sen  t )  xe , r  a 2  b 2 ,   arctan b 
a
r<1 convergencia oscilante al equilibrio
r=1 oscilaciones sostenidas
r>1 divergencia oscilante del equilibrio
41
CONDICIONES GENERALES DE ESTABILIDAD
• Estabilidad: el módulo de las raíces de la ecuación característica es
menor que 1 (raíces dentro del círculo unidad del plano complejo).
• Inestabilidad: alguna raíz característica tiene módulo mayor que 1
xt  n  a1 xt  n 1  … an xt  a
1  a1  ...  an  0 
b
xe 
1  a1  ...  an
42
RELACIÓN CON LA ECONOMETRÍA:
MODELOS AUTORREGRESIVOS
Ecuaciones en diferencias perturbadas por ruidos
a0 xt  n  a1 xt  n 1 
 an 1 xt 1  an xt  ε t  n
 an 1 xt  n 1  an xt  n  ε t , ε t  N  0,  2  .
a0 xt  a1 xt 1 
Operador retardo L
xt 1  L xt , xt  2  L2 xt ,
a0 xt  a1 L xt 
, xt  n  Ln xt
 an 1 Ln 1 xt  an Ln xt  ε t
2
a

a
L

a
L
0 1 2 
Estabilidad: raíces del
polinomio de retardos
fuera del círculo unidad
 an 1 Ln 1  an Ln  xt  ε t
Ecuación característica y polinomio de retardos
a0  n  a1 n 1  a2  n  2 
a0  a1 L  a2 L2 
 an 1  an  0
 an 1 Ln 1  an Ln  0
43
Ejemplo: proceso AR(1)
xt  axt 1  b  t , donde a  1 y t
• Solución de equilibrio
xe  b
N  0,  2 
1  a 
• Proceso estacionario
E  xt   aE  xt 1   b , E  xt   E  xt 1 
 E  xt   b / 1  a 
Var  xt   a 2Var  xt 1    2
 Var  xt    2 / 1  a 2 
, Var  xt   Var  xt 1 
xt


 b
2 
N
,
2 
1

a
1

a
 x

 e

44
Intervalo de confianza del AR(1)
xt  axt 1  b   t , donde a  1 y  t

xt
N  0,  2 


2
 b
 
N
,
2 
1

a
1

a
 x

 e

Intervalo de confianza del 90%




, xe  1.96
 xe  1.96

2
2
1 a
1 a 

45
ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
CUESTIONES TEÓRICO-PRÁCTICAS
Y PROBLEMAS
MOODLE
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
EJERCICIOS
57
Ejercicio con diferencias primeras
•.
58
Ejercicio: modelo de telaraña con expectativas
•.
59
Resolver las ecuaciones en diferencias
•.
60
Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones
•.
61
Ecuaciones con parámetros
Sea la ecuación en diferencias 𝑥𝑡+2 − 6𝑥𝑡+1 + 𝐴𝑥𝑡 = 8, donde A es un
número real. Calcular el valor de A sabiendo que la ecuación característica
que corresponde a dicha ecuación tiene una única raíz doble. Hallar dicha
raíz y resolver la ecuación en diferencias.
6  36  4 A
Ecuación característica :   6  A  0   
 36  4 A  0  A  9
2
6  36  36
2
Ecuación característica :   6  9  0   
 3  doble 
2
Solución de equilibrio : xe  6 xe  9 xe  8  xe  4
2
Solución general completa : C1 3t  C2t 3t  4
62
Ecuaciones con parámetros
Determinar dos números reales A y B no nulos de forma que
𝐶1 𝐴𝑡 +𝐶2 𝐵𝑡 (con 𝐶1 , 𝐶2 números reales) sea la solución general de la
ecuación en diferencias 𝑥𝑡+2 + 2𝑥𝑡+1 + 𝐵𝑥𝑡 = 0
A, B son raíces de la ecuación característica  2  2  B  0
B  0
B  2 B  B  0  B  3B  0  B  B  3   0  
 B  3
2  4  12 2  4  A  3
2
A  2A  3  0  A 


2
2
A 1
2
2
63
Ecuaciones con parámetros
Determinar un número real A positivo de forma que 𝐶1 2𝑡 +𝐶2 𝑡2𝑡 (con
𝐶1 , 𝐶2 números reales) sea la solución general de la ecuación en
diferencias 𝑥𝑡+2 + 𝐴𝑥𝑡+1 + 4𝑥𝑡 = 0
Ecuación característica  2  A  4  0
 A  A2  16

 A2  16  0  A  4  raíz doble 
2
A
A4 
 2  no sirve 
2
A
A  4   
 2  solución 
2
64
Ejercicio de ecuaciones con parámetros
Sea la ecuación en diferencias 𝑥𝑡+2 + 𝐴𝑥𝑡+1 + 𝐵𝑥𝑡 = 0. Determinar los
números reales A y B, de forma que 𝐶1 2𝑡 +𝐶2 3𝑡 sea la solución
general de dicha ecuación en diferencias.
Solución: A=-5, B=6
65
TEOREMA DE SCHUR
Las raíces de la ecuación 𝜆𝑛 + 𝑎1 𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝜆 + 𝑎𝑛 = 0
tienen módulo menor que la unidad si y sólo si los siguientes n
determinantes son todos positivos
1 
2 
a0
an
an
a0
a0
0
an
an 1
a1
a0
0
an
an
0
a0
a1
an 1 an
0
a0
n 
a0
0
… 0
an
an 1 …
a1
a1
a0
… 0
0
an
…
a2
…
…
… … …
…
…
…
an
an 1
an  2 … a0
0
0
…
an
0
… 0
a0
a1
… an 1
an 1
an
… 0
0
a0
… an  2
…
…
… … …
…
…
…
a1
a2
… an
0
…
a0
0
66
ESTABILIDAD PARA LA ECUACIÓN DE SEGUNDO ORDEN
xt  2  a1 xt 1  a2 xt  a
• Ecuación característica
a1  a12  4a2
 1  2 
2
 2  a1  a2  0
• Raíces complejas
a1
a  4a2  0 1  2     i  
, 
2
2
1
2

4
a

a

a
 1 
2
1
2
2
2
r     

 
2
 2  
2
• Condición de estabilidad:
4a2 a12
2
2

  a2  r  a2


r 1 
a2  1  0  a2  1
67
ESTABILIDAD PARA LA ECUACIÓN DE SEGUNDO ORDEN
xt  2  a1 xt 1  a2 xt  a
• Ecuación característica
 2  a1  a2  0
a1  a12  4a2
 1  2 
2
a
2
1
 4a2  0 
• Condición de estabilidad con raíces reales
1  a1  a2  0 
f (1)  0 


1  a2  0  
a2  1
1  a1  a2  0 
f (1)  0 
• Donde
f ( )   2  a1  a2
68
Estudiar estabilidad de la solución de equilibrio
𝑥𝑒 = 0 para 𝑥𝑡+2 + 𝑥𝑡+1 + 𝑐𝑥𝑡 = 0
Ecuación característica 𝑓 𝜆 = 𝜆2 + 𝜆 + 𝑐 = 0
Raíces complejas 1 − 4𝑐 < 0 ⇔ 𝑐 >
Raíces reales 1 − 4𝑐 ≥ 0 ⇔ 𝑐 ≤
1
4
⇒ 𝑥𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑖
1
4
<𝑐<1
1
4
1  a1  a2  0 
f (1)  1  1  c  0  c  2 


1  a2  0  
a2  c  1
1  a1  a2  0 
f (1)  1  1  c  0  c  0 
c  (0,1/ 4]  xe  0 estable
69
Estudiar estabilidad de la solución de equilibrio
𝑥𝑒 para 𝑥𝑡+2 + 𝑏𝑥𝑡+1 + 0.5𝑥𝑡 = 1
Ecuación característica 𝑓 𝜆 = 𝜆2 + 𝑏𝜆 + 0.5 = 0
𝑏2
1
4
2
Raíces complejas −
< 0 ⇔ 𝑏2 < 2 ⇔ − 2 < 𝑏 < 2
𝑆𝑖 ⇔ − 2 < 𝑏 < 2 𝑥𝑒 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 0.5 < 1
Raíces reales 𝑏 ∉ − 2, 2
1  a1  a2  0 
f (1)  1  b  0.5  0  b  1.5


1  a2  0  
a2  0.5  1
1  a1  a2  0 
f (1)  1  b  0.5  0  b  1.5


Como  2, 2   1.5,1.5 

 

Si b  1.5,  2  1.5, 2  xe estable
70
EL MODELO DE SAMUELSON
Yt  Ct  I t  G0
 G0 déficit
pre sup uestario 
Ct   Yt 1 (0    1) multiplicador Keynesiano
I t    Ct  Ct 1 
(  0) acelerador
Sustituyendo la segunda ecuación en la tercera y en la primera
I t   Yt 1  Yt  2   Yt   1    Yt 1   Yt  2  G0
Solución de equilibrio
G0
G0
Ye 

1   (1   )   1  
 1

 1

 1 

El déficit presupuestario tiene, gracias al multiplicador, un efecto sobre
la renta de equilibrio superior al propio déficit.
71
EL MODELO DE SAMUELSON
• Ecuación característica
Yt   1    Yt 1   Yt  2  G0   2   (1   )    0
1  2 
 (1   )   2 (1   ) 2  4
2
   2 (1   ) 2  4
4
Si   0   
(1   ) 2
4
Si   0   
(1   ) 2
4
Si   0   
(1   ) 2
las raíces son reales y distintas
las raíces son reales e iguales
las raíces son complejas
72
EL MODELO DE SAMUELSON
Convergencia de la renta hacia su nivel de equilibrio
Yt   1    Yt 1   Yt  2  G0  Ye  G0 / 1   
Ecuación característica f ( )   2   (1   )    0
Estabilidad solución equilibrio
f (1)  0  1   (1   )    1    0    1
f (1)  0  1    2  0
a2  1     1    1/ 
Signo del discriminante
4
   (1   )  4  0   
(1   ) 2
4
2
2
   (1   )  4  0   
(1   ) 2
2
2
raices complejas
raices reales
73
EL MODELO DE SAMUELSON
Región A: 𝛾 < 1/𝛼 y Δ > 0
convergencia monótona hacia 𝑌𝑒
• Espacio de parámetros 𝛼, 𝛾
Región B: 𝛾 < 1/𝛼 y Δ < 0
convergencia oscilante hacia 𝑌𝑒
Región C: 𝛾 > 1/𝛼 y Δ < 0
divergencia oscilante explosiva
Región D: 𝛾 > 1/𝛼 y Δ > 0
divergencia monótona explosiva
74
EL MODELO DE SAMUELSON
Región A: 𝛾 < 1/𝛼 y Δ > 0
convergencia monótona hacia 𝑌𝑒
Renta frente al tiempo
Región B: 𝛾 < 1/𝛼 y Δ < 0
convergencia oscilante hacia 𝑌𝑒
Región C: 𝛾 > 1/𝛼 y Δ < 0
divergencia oscilante explosiva
Región D: 𝛾 > 1/𝛼 y Δ > 0
divergencia monótona explosiva
75
CAOS DETERMINISTA
76
EL LABERINTO NO LINEAL:
ECUACIÓN EN DIFERENCIAS LOGÍSTICA
 b 
yt 1  ayt  by  yt 1  ayt 1  yt 
 a 
b
xt  yt  xt 1  axt (1  xt )
a
Espacio de fases
2
t
0 < 𝑎 ≤ 4 evita soluciones
explosivas
77
Soluciones de equilibrio
xt 1  axt (1  xt ) , 0  a  4
 xe  0
xt 1  xt  xe  axe (1  xe )  xe  
1
x

1

 e
a
Estabilidad de 𝑥𝑒 f  ( x )  a (1  x )  ax  2ax  a
t
t
t
t
 xe  0 estable para 0  a  1
f '(0)  a  
 xe  0 inestable para a  1
f '(1  1 )  2a 1  1  a   a  2
a
a
a  2  1   1  a  2  1  1  a  3

xe  1  1
a

estable para 1  a  3
78
ESTABILIDAD DE LAS SOLUCIONES DE EQUILIBRIO
•.
xe  0 estable para 0  a  1
xe  1  1
estable para 1  a  3
a
79
CAOS DETERMINISTA: 3 < 𝑎 ≤ 4
• Desdoblamiento del periodo
• a>3.5699 ciclos de todos los periodos
• Alta sensibilidad a las condiciones iniciales
80
CAOS DETERMINISTA
•.
81