Simulación de procesos y optimización

1.1 CUESTIÓN
Q1
a) Para
el
modelo
combinado
representado en la Ilustración 1
obténgase el tiempo medio de
residencia global, así como la
funciones E(t) y E() obtenidas a
partir de la respuesta F(t) a un
escalón unitario.
Vp1
Q
Vp2
Q2
Ilustración 1. Reactores pistón en paralelo
b) Para una reacción de orden mayor que uno, ¿qué expresión proporcionaría un
límite superior para la conversión de salida del sistema del apartado b?
a)
Q  Q1  Q 2
En un reactor pistón la salida es igual a la entrada desplazada en el tiempo con
un retraso igual al tiempo de residencia. Por la tanto las respuestas de cada uno de los
elementos a un escalón C0·U(t) son:


t1 


t2 
C 1 t   C 0  U t  t 1
C 2 t   C 0  U t  t 2
V p1
Q1
V p2
Q2
Y las respuestas a un escalón unitario son:
F1 t  
F 2 t  
C 1 t 
C0
C 2 t 
C0

 U t  t1


U t  t2

La respuesta global al escalón se obtiene a partir de un balance para el
componente en el nudo previo a la salida:
C0
Q
V p1
Q1
C0
Q
C0
Q
C1
Q
Cs
Q
Q
Q2
V p2
C2
Q
Q  C s t   Q 1  C 1  t   Q 2  C 2  t 
Dividiendo por C0 y Q:
C s t 
Q 1  C 1 t   Q 2  C 2 t  




Q  C 0 
Q  C 0 

C0
Q1
F t  
Q
F1 t  
Q2
Q
F 2 t 
La respuesta al impulso es la derivada de la respuesta al escalón:
E t  
dF  t 
dt
Aplicando que la derivada de la función escalón es a su vez la función impulso o
delta de Dirac:
E t  
E t  
Q1
Q


 t  t2

 Q2

Vp 2

   t 

Q
Q2






 t  t1 

Vp 1
   t 
Q
Q1

Q1
Q2
Q

El tiempo de residencia total es:
t 
V
Q

V1  V 2
Q1  Q 2
Como las funciones que aparecen son impulso (funciones indeterminadas, pero
un valor de área claro) no debemos aplicar la expresión
t  E  t   t  E   t   E   deducida para la relación entre diferenciales de área en
con
funciones con valor finito. En este caso las partes asociadas a la función impulso no
precisan de la multiplicación por el tiempo de residencia, como se puede ver:


E  t 
   t  t 1  
Q1
Q

Q1
Q

Q1
Q





   

Q1
Q

  t    

Q2
Q
   t  t 2  
t1   Q2  
t2 
 t   
 
 





t  Q  
t  
t1  Q2 
t2 

 


t  Q 
t 
    1  
Q2
Q
    2   E 
