UD 12 CC SS I solucionario

Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
LEY DE BENFORD DE LA PÁGINA 266
Páginas de Internet que tratan este tema:
•
Ley de Benford en Wikipedia
•
Ley de Benford en Estadística para todos.
En 1881 el matemático y astrónomo Simón Newcomb llegó a la conclusión de que la
probabilidad de que un número, elegido al azar dentro de un conjunto cualquiera,
tenga como primera cifra significativa d (siendo d un número natural no nulo) viene
dada por la expresión:
1

P (primera cifra significativa igual a d) = log10 1 +  , con d = 1, 2,…, 9.
d

En la gráfica podemos ver que la cifra 1 aparece como primera cifra significativa aproximadamente la
tercera parte de las veces. En cambio, la probabilidad de que la primera cifra significativa sea un 9 es sólo
del 4,6%.
El artículo de Newcomb paso inadvertido a la comunidad científica. Años más tarde, en 1938, Frank
Benford, físico de la General Electric, hizó la misma observación y verificó su conjetura por medio de un
gran número de datos.
Un conjunto de números cumple la ley de Benford si, al escribir un número


la primera cifra significativa es d con probabilidad: log10 1 +
1

d
Entendemos por primera cifra significativa el primer dígito (más a la
izquierda) distinto de 0.
Así: en la gráfica podemos ver el diagrama de barras con los porcentajes de las primeras cifras significativas
de todos los números que aparecieron en el periódico El País ee 09.04.12.
Se ha considerado los promedios de las apariciones de cada una de las cifras significativas y se comparan
1

con los valores de la función f ( x) = log10 1 +  (línea azul).
x

Hay numerosos conjuntos que siguen la ley de Benford, que debería ser llamada ley de Benford-Newcomb,
datos relacionados con estadísticas en ciertos deportes, los pesos atómicos de los elementos químicos,
números extraídos de periódicos o revistas, datos de los libros de contabilidad de las empresas, constantes
físicas, indicadores bursátiles, cifras de los censos de población o número de habitantes de ciudades,
longitudes de los ríos de un país, . En general, los datos extraídos de fenómenos naturales, sociales y
económicos.
Esta ley se aplica a la detección de fraudes (errores o falsificación de datos) Si los fraudes son deliberados,
los datos falsificados raramente siguen la ley. Con la ley de Benford se han descubierto manipulaciones en
1
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los balances económicos de algunas empresas, en fraudes electorales o en declaraciones de impuestos, así
como en trabajos de investigación.
También existen conjuntos numéricos que no siguen la ley de Benford como los números de teléfonos de
una misma región, ya que suelen empezar por la misma cifra, las tallas de las personas en centímetros, los
números de la lotería primitiva, los tiempos de las carreras atléticas, o el coeficiente de inteligencia de las
personas que sigue una distribución normal de Gauss. En general, no siguen la ley, conjuntos de datos que
provienen de algún procedimiento relacionado con el azar o que estén muy condicionados.
2. Busca los datos relativos al número de habitantes de todos los pueblos de la provincia de Burgos.
Ese conjunto numérico, ¿cumple la ley de Benford?
La primera cifra significativa del número de habitantes de los 371 pueblos de la provincia de Burgos da
lugar a la siguiente tabla:
Primera
Frecuencia
absoluta
Porcentaje
1
122
32,88
30,10
2
52
14,02
17,61
3
41
11,05
12,49
4
36
9,70
9,69
5
33
8,89
7,92
6
31
8,36
6,69
7
28
7,55
5,80
8
14
3,77
5,12
9
14
3,77
4,58
Total
371
99,99
100,00
cifra
Ley de
Benford
Observando los valores de las dos últimas columnas de la tabla, podemos ver que existe una «buena»
aproximación a los valores teóricos que proporciona la ley de Benford. También aparece en el dibujo, donde
la línea roja es la gráfica de la función f ( x) = 100 · log 10 1 + 1  y las barras azules los porcentajes de la
x

tabla.
2
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SOLUCIONARIO
3. Puedes repetir lo que pide la actividad anterior para todas las poblaciones de tu Comunidad
Autónoma.
Intenta realizar esta actividad.
CUESTIONES INICIALES de la página 268
1. Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican, por alturas, según la tabla
siguiente:
Altura
[1,70; 1,75)
[1,75; 1,80)
[1,80; 1,85)
[1,85; 1,90)
[1,90; 1,95)
[1,95; 2,00)
Nº de
jugadores
1
3
4
8
5
2
¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una desviación típica?
La media y la desviación típica son: x = 1,866 y σ = 0,065.
Los jugadores que se encuentran por encima de x + σ = 1,866 + 0,065 = 1,931 son 2 del intervalo [1,90;
1,95) y 2 del intervalo [1,95; 2,00); en total 4.
2. En la siguiente distribución de frecuencias:
3
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X
(60, 76]
(76, 92]
(92, 108]
(108, 124]
(124, 140]
(140, 156]
Frecuencia
12
13
18
19
11
7
(
)
¿Cuántos valores hay en el intervalo x − σ , x + σ ? ¿Qué porcentaje del total representan?
La media y la desviación típica son x = 105 y σ = 23,95 .
El intervalo buscado es:
(x − σ , x + σ ) = (105 − 23,95; 105 + 23,95) = (81,05; 128,95).
En el intervalo anterior se encuentran 9 + 18 + 19 + 3 = 49 valores del total, que representan el
49
· 100 = 61,25% del total.
80
3. Diez alumnos han realizado el último mes dos ejercicios de matemáticas. Las notas son las de la
tabla siguiente:
Primer ejercicio
4
7
6
9
4
7
9
4
8
10
Segundo ejercicio
5
8
5
10
3
6
8
4
8
10
Dibuja la nube de puntos. Ajusta a ojo una recta a la nube de puntos, y estima el valor que tendrá la
posible correlación.
La nube de puntos parece en el gráfico.
La recta ajustada a ojo puede ser la bisectriz del
primer cuadrante, y = x.
La correlación será positiva y fuerte, próxima a 1.
Si calculamos el coeficiente de correlación lineal
obtenemos r = 0,927.
ACTIVIDADES de la página 273
4
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CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
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1. Determina todos los parámetros de centralización y de dispersión de la siguiente serie de datos:
2 6 7 5 4 6 7 5 0 1 7 4 3 4 5 1 3 6 5 9 9 7 8 4 3
8 1 3 8 4 8 9 7 5 8 2 8 6 9 4 5 6 4 7 6 0 7 4 2 5
Calcula los mismos parámetros para los mismos datos agrupados en intervalos de amplitud 2,
comenzando en cero. ¿Obtienes los mismos resultados? ¿Por qué?
A partir de los cálculos de la tabla, podemos
obtener los parámetros buscados.
Los parámetros de centralización son:
257
= 5,14
50
● Media aritmética: x =
● Moda: Mo = 4
● Mediana: Me = 5
Los parámetros de dispersión son:
xi
fi
xi · fi
x i2 · f i
xi − x · f i
0
2
0
0
10,28
1
3
3
3
12,42
2
3
6
12
9,42
3
4
12
36
8,56
4
8
32
128
9,12
5
7
35
175
0,98
6
6
36
216
5,16
7
7
49
343
13,02
8
6
48
384
17,16
9
4
36
324
15,44
Sumas
50
257
1621
101,56
● Rango: R = 9
● Desviación media: DM =
● Desviación típica: σ =
101,56
= 2,03
50
6,00 = 2,45
● Varianza: σ 2 =
1621
− 5,14 2 = 6,00
50
● Coeficiente de variación: CV =
2,45
= 0,4767
5,14
Si agrupamos los datos en intervalos de amplitud 2 comenzando en cero, obtenemos la distribución:
5
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CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
Intervalos
[0, 2)
[2, 4)
[4, 6)
[6, 8)
[8, 10)
Frecuencias
5
7
15
13
10
Realizamos una nueva tabla y calculamos los
parámetros pedidos.
Los parámetros de centralización son:
● Media aritmética: x =
●
Mo = 4 +
282
= 5,64
50
15 − 7
· 2 = 5,6
(15 − 7) + (15 − 13)
Moda:
SOLUCIONARIO
xi
fi
xi · fi
1
5
5
5
23,20
3
7
21
63
18,48
5
15
75
375
9,60
7
13
91
637
17,68
9
10
90
810
33,60
Sumas
50
282
1890
102,56
x i2 · f i
xi − x · f i
50
− 12
● Mediana: Me = 4 + 2
· 2 = 5,76
15
Los parámetros de dispersión son:
● Rango: R = 8
● Desviación media: DM =
102,56
= 2,05
50
● Desviación típica: σ = 5,99 = 2,45
● Varianza: σ 2 =
1890
− 5,64 2 = 5,99
50
● Coeficiente de variación: CV = 2,45 = 0,4344
5,64
Los valores que obtenemos en esta segunda opción son ligeramente diferentes de los de al primera. Este
hecho es debido a que se han cambiado los datos, al tomar las marcas de clase de los intervalos que, en
algunos casos no se corresponden con los verdaderos datos.
2. Halla los parámetros de centralización y de dispersión de los datos que aparecen en la tabla,
referidos a las puntuaciones obtenidas en un test de habilidad manual, realizado por los empleados de
una fábrica.
6
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SOLUCIONARIO
X
(38, 44]
(44, 50]
(50, 56]
(56, 62]
(62, 68]
(68, 74]
(74, 80]
Nº de trabajadores
7
8
15
25
18
9
6
xi
fi
xi · fi
x i2 · f i
xi − x · f i
41
7
287
11 767
126,98
47
8
376
17 672
17,12
53
15
795
42 135
92,10
59
25
1475
87 025
3,50
65
18
1170
76 050
105,48
71
9
639
45 369
106,74
77
6
462
35 574
107,16
Sumas
88
5204
315 592
559,08
Nos ayudamos de la tabla para calcular los
parámetros pedidos.
Los parámetros de centralización son:
● Media aritmética: x =
5204
= 59,14
88
88
− 30
● Mediana: Me = 56 + 2
· 6 = 59,36
25
● Moda: Mo = 56 +
25 − 15
· 6 = 59,53
(25 − 15) + (25 − 18)
Los parámetros de dispersión son:
● Rango: R = 36
● Desviación media: DM =
●
559,08
= 6,35
88
● Varianza: σ 2 =
315 592
− 59,14 2 = 88,73
88
1ª A
0
1
1
2
3
4
5
5
5
6
6
7
8
8
9
1º B
2
2
4
3
4
5
4
6
5
5
7
8
6
6
8
Desviación típica: σ = 88,73 = 9,42
● Coeficiente de variación: CV = 9,42 = 0,1593
59,14
3. Los resultados de las calificaciones correspondientes a la evaluación de la asignatura de Lengua en
dos grupos de 1º de Bachillerato de 15 alumnos son los siguientes:
7
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¿Qué grupo obtuvo mejores resultados? ¿Cuál es más homogéneo?
Hallamos las medias aritméticas y las desviaciones típicas de ambas calificaciones y obtenemos:
x A = 4,67 y σ A = 2,70
x B = 5 y σ B = 1,83
Obtuvo mejores resultados el grupo B ya que su media es mayor que la del grupo A. El grupo B es más
homogéneo, al ser su desviación típica menor que la del grupo A.
ACTIVIDADES de la página 275
4. En un hospital se quiere estimar el peso de las niñas recién nacidas. Para ello se seleccionan, de
forma aleatoria, cien de estas, obteniéndose los siguientes resultados:
Intervalos (kg)
[1; 1,5)
[1,5; 2)
[2; 2,5)
[2,5; 3)
[3; 3,5)
[3,5; 4)
[4; 4,5)
[4,5; 5)
Nº de niñas
1
2
5
20
40
26
5
1
Calcula la media, la moda, la mediana y la desviación típica y el número de niñas que están en los
intervalos x − σ , x + σ , x − 2σ , x + 2σ y x − 3σ , x + 3σ . Comenta la simetría de esta
distribución.
(
) (
)
(
Nos ayudamos de la tabla para calcular los parámetros pedidos.
Los parámetros pedidos son:
● Media aritmética: x = 324,50 = 3,25
100
100
− 28
● Mediana: Me = 3 + 2
· 0,50 = 3,28
40
40 − 20
● Moda: Mo = 3 +
· 0,50 = 3,29
(40 − 20) + (40 − 26)
)
xi
fi
xi · fi
x i2 · f i
1,25
1
1,25
1,56
1,75
2
3,50
6,13
2,25
5
11,25
25,31
2,75
20
55,00
151,25
3,25
40
130,00
422,50
3,75
26
97,50
365,63
4,25
5
21,25
90,31
4,75
1
4,75
22,56
Sumas
100
324,50
1085,25
8
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
● Desviación típica: σ =
SOLUCIONARIO
1085,25
− (3,25) 2 = 0,54
100
Veamos el número de niñas que hay en cada uno de los intervalos:
(
)
En x − σ , x + σ = (2,71; 3,79 ) hay 12 + 40 + 15 = 67 niñas. Se corresponde con el 67% del total.
(
)
(
)
En x − 2σ , x + 2σ = (2,17; 4,33) hay 3 + 20 + 40 + 26 + 3 = 92 niñas. Se corresponde con el 92% del
total.
En x − 3σ , x + 3σ = (1,63; 4,87 ) hay 1 + 5 + 20 + 40 + 26 + 5 + 1 = 98 niñas. Se corresponde con el 98%
del total.
La distribución de datos presenta una buena simetría al agruparse la mayoría de los datos alrededor de los
valores centrales. También presenta un comportamiento “normal” a la vista de los porcentajes obtenidos en
los intervalos del enunciado.
5. Se desea comparar la duración de dos marcas de pilas A y B. Para ello elegimos una muestra de 10
pilas de cada marca. La duración en horas de cada una de ellas fue:
Marca A
25
28
26
34
30
28
24
27
22
23
Marca B
24
31
26
29
32
31
27
29
24
32
a) Calcula la media y la desviación típica de las duraciones de cada marca.
b) ¿Qué marca será aconsejable elegir?
a) Las medias aritméticas de cada una de las distribuciones son:
xA =
267
285
= 26,7 y x B =
= 28,5
10
10
Las distribuciones típicas son:
9
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
σA =
7 243
− (26,7) 2 = 3,38 y σ B =
10
SOLUCIONARIO
8 209
− (28,5) 2 = 2,94
10
b) Es aconsejable utilizar la marca B, ya que dura más por término medio y posee menor dispersión respecto
de la media.
ACTIVIDADES de la página 277
6. Una empresa de trabajo temporal pasa una prueba a 20 aspirantes para varios puestos de trabajo.
La prueba consiste en contabilizar el número de llamadas telefónicas, para captar clientes, que
pueden hacer en función del tiempo que emplean. Se han obtenido los siguientes resultados:
Tiempo
(min) (x)
2
0
18
14
22
20
16
24
15
16
22
18
12
16
22
24
20
19
17
14
16
Nº
llamadas
(y)
5
4
3
4
5
4
6
4
3
5
4
4
5
4
5
3
3
2
2
3
a) Elabora las tablas marginales correspondientes y halla x; σ X ; y; σ Y .
b) ¿Cuántos aspirantes tienen sus resultados en
(x − 2σ , x + 2σ ) ?
(y − σ , y + σ ) ?
¿Cuántos los tienen en
10
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
a) Las distribuciones marginales son:
xi
12
14
15
16
17
18
19
20
22
24
Total
fi
1
2
1
4
1
2
1
3
3
2
20
La media y la desviación típica de la variable X, «tiempo en minutos» son:
x=
365
= 18,25
20
σX =
6887
− 18,25 2 = 3,36
20
yi
2
3
4
5
6
Total
fi
2
5
7
5
1
20
La media y la desviación típica de la variable Y, «número de llamadas» son:
y=
78
= 3,9
20
σY =
326
− 3,9 2 = 1,04
20
b) El número de aspirantes que tienen sus resultados en:
(y − σ , y + σ ) = (3,9 − 1,04; 3,9 + 1,04) = (2,86; 4,94)
son 5 + 7 = 12.
El número de aspirantes que tiene sus resultados en
(x − 2σ , x + 2σ ) = (18,25 − 2 · 3,36; 18,25 + 2 · 3,36) = (11,53; 24,95)
son todos, es decir los 20.
11
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES de la página 283
6. A los 18 alumnos de un aula de 2º de Bachillerato se les ha realizado una encuesta sobre su altura y
su número de calzado. Se han recopilado los siguientes datos:
Altura
(cm)
Nº calzado
165 180 175 174 175 168 180 182 174 170 166 174 176 165 174 172 166 172
38
44
40
39
41
39
45
45
40
39
38
40
41
38
39
41
a) Elabora el diagrama de dispersión.
b) Halla la covarianza y el coeficiente de correlación lineal entre estas variables. Estudia el tipo de
correlación que presentan.
a) El diagrama de dispersión puede verse en la imagen.
12
38
40
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
b) Para calcular el coeficiente de correlación de Pearson
r=
SOLUCIONARIO
σ xy
, calculamos previamente la
σ x ·σ y
covarianza:
σ xy =
∑f
ij
xi y j
− x·y =
N
125363
− 172,67 · 40,28 = 9,46
18
Con este valor obtenemos:
r =
σ xy
9,46
=
= 0,85
σx ·σ y
5,06 · 2,21
La correlación es positiva y fuerte.
ACTIVIDADES de la página 288
7. Con ayuda de la calculadora, halla todos los resultados que esta nos ofrece y que aparecen en esta
página, para los siguientes datos:
a) Las horas de estudio semanales de un grupo de 20 alumnos son:
10 18 12 13 16 7 5 6 14 17 8 15 9 19 20 11 4 10 12 9
b) Puntuaciones obtenidas en una prueba de habilidad manual:
Puntuaciones
[3,5; 6,5)
[6,5; 9,5)
[9,5; 12,5)
[12,5; 15,5)
[15,5; 18,5)
Frecuencias
6
10
18
12
4
a) Siguiendo los pasos del texto obtenemos:
∑x
2
= 3181 ;
∑ x = 235
n = 20 ; x = 11,75 ; xσn = 4,58
13
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
minX = 4 ; maxX = 20
b) Procediendo de forma análoga al apartado anterior obtenemos:
∑x
2
= 6476
;
∑ x = 544
n = 50; x = 10,88 ; xσn = 3,34
minX = 5 ; maxX = 17
ACTIVIDADES de la página 289
8. Con ayuda de la calculadora, halla todos los resultados que esta nos ofrece y que aparecen en esta
página, para los siguientes datos:
a) Las calificaciones obtenidas por un alumno de primero de bachillerato en Matemáticas y Física que
están recogidas en la tabla:
Matemáticas
5
6
10
4
3
8
7
8
5
5
Física
7
8
9
3
3
6
7
7
4
6
b) Los proporcionados por una empresa que fabrica piezas de precisión para balanzas, relativos a X =
«número de horas trabajadas» e Y = «número de piezas fabricadas»:
X (Nº de horas
trabajadas)
50
75
100
135
145
160
170
Y (Nº de piezas
fabricadas)
20
30
45
65
75
85
90
14
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
a) Siguiendo los pasos del texto obtenemos:
∑x
2
= 413
n = 10
minX = 3
∑ x = 61
∑y
x = 6,1
xσn = 2,02
y=6
minY = 3
maxY = 9
r = 0,78
xˆ = − 0,78
maxX = 10
A = 1,38
B = 0,76
2
: ∑ xy = 397
∑ y = 60
= 398
yσn = 1,95
yˆ = 0,79
b) Procediendo como en el apartado anterior obtenemos:
∑x
2
= 111875
∑ x = 835
n=7
x = 119,29
minX =50
maxX = 170
A = -13,29
B = 0,60
∑y
2
= 28500
∑ y = 410
xσn = 41,87
y = 58,57
minY = 20
maxY = 90
r = 0,996
xˆ = 23,72
∑ xy = 56300
yσn = 25,31
yˆ = − 12,69
ACTIVIDADES de la página 291
1. Triángulo equilátero. Se considera un triángulo equilátero de 3 m de lado. Un punto P, interior a
dicho triángulo dista de los tres lados a, 2a y 3a respectivamente. Calcula el valor de a.
FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA
El enunciado no presenta dificultad para entenderlo. Comenzamos
dibujando aproximadamente la situación que se plantea.
15
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS
El problema es análogo a otro problema que dice:
Triángulo. Se da un triángulo equilátero ABC de lado 2. Sea M un punto
cualquiera interior del triángulo. Se trazan las distancias de M a los tres
lados. Se pide:
a) Prueba que la suma de las tres distancias es siempre la misma, cualquiera que sea la posición de M.
b) Calcula dicha suma.
También nos recuerda al teorema de Viviani:
Sea P un punto interior de un triángulo equilátero. La suma de las distancias
desde P hasta los lados del triángulo coincide con su altura.
:
LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA
En la resolución de nuestro problema utilizaremos el mismo procedimiento que nos permitió resolver el
problema denominado “Triángulo” o que permite demostrar el teorema de Viviani.
Trazamos los segmentos que unen el punto P con los vértices A, B
y C del triángulo.
El triángulo ABC queda descompuesto en tres triángulos ABP,
ACP y BCP, cuyas alturas son a, 2a y 3a respectivamente.
El área de un triángulo equilátero de lado L es:
Área =
3 2
L
4
16
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
En el triángulo ABC se cumple:
Área del triángulo ABC = Área del triángulo ABP + Área del triángulo ACP + Área del triángulo BCP
Expresando estas áreas, tenemos:
3 2 1
1
1
· 3 = · 3 · a + · 3 · 2a + · 3 · 3a
4
2
2
2
⇔
3 3
= 6a
2
⇔
⇔
3 3
= a + 2a + 3a
2
a=
⇔
3
4
REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL
Observamos que el proceso de resolución de este problema es análogo al de los dos resultados citados con
anterioridad.
2. Cuadrados mágicos. El cuadrado de la imagen recibe el nombre de
cuadrado mágico. Puedes observar que la suma de los números de cada una
de las filas, de las columnas y de las diagonales vale los mismo, 15. Al
número 15 se le llama constante mágica del cuadrado.
a) Construye cuadrados mágicos como el anterior cuya constante mágica sea
27, 375 y – 210.
b) Intenta construir un cuadrado en el que el producto de los números de una misma fila o columna o
diagonal sea el mismo.
a) Si en el cuadrado mágico del enunciado sumamos un mismo valor, a, en cada
una de las casillas resulta otro nuevo cuadrado mágico.
La constante mágica del nuevo cuadrado mágico es 15 + 3a, por tanto:
17
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
● 15 + 3a = 27
⇒
a=4
● 15 + 3a = 375
⇒
a = 120
● 15 + 3a = - 210
⇒
a = - 75
SOLUCIONARIO
Los cuadrados mágicos con constantes mágicas 27, 375 y – 210 aparecen a continuación.
b) Los cuadrados mágicos para el producto serán los formados por potencias con las bases iguales y
exponentes los mismos del cuadrado aritmético del enunciado, es decir, los cuadrados de la forma:
18
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
3. Diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de 85 lados?
Intentamos resolver una situación semejante más sencilla.
Comenzamos con los polígonos convexos más sencillos y organizamos los resultados que obtenemos en una
tabla.
Número de lados
3
4
5
6
7
8
…
n
Número de diagonales
0
2
5
9
14
20
…
Dn
Buscamos la expresión del número de diagonales Dn, para cualquier polígono convexo de n lados.
La sucesión del número de diagonales es una progresión aritmética de segundo orden, al cumplirse:
Sucesión:
0
2
Primeras diferencias:
5
9
14
2
Segundas diferencias:
20
3
1
…
4
1
5
1
6
1
…
…
El número de diagonales, Dn será un polinomio de segundo grado en n, de la forma Dn = an2 + bn + c.
Hallamos los coeficientes a, b y c:
19
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
Si n = 3,

Si n = 4,
Si n = 5,

D3 = 0 = 9a + 3b + c
9a + 3b + c = 0

=2 ⇒
D4 = 2 = 16a + 4b + c ⇒ 7a + b

=3
D5 = 5 = 25a + 5b + c
9a + b
El número de diagonales de un polígono convexo de n lados es:
Dn =
SOLUCIONARIO
1

a = 2
9a + 3b + c = 0

3


= 2 ⇒ b = −
7a + b
2

2 a
=1

c = 0


n 2 − 3n n · (n − 3)
1 2 3
n − n=
=
2
2
2
2
Ahora podemos responder a la cuestión que se plantea en el enunciado. Para un polígono de n = 85 lados el
número de diagonales será:
D85 =
85 · (85 − 3)
= 3485 .
2
4. Área de una región. Calcula el área encerrada por la gráfica de y3 – x · y2 – 3y2 = 4x2 · y – 4x3 – 12x2.
La ecuación y3 – x · y2 – 3y2 = 4x2 · y – 4x3 – 12x2 la podemos escribir como:
y2 · (y – x – 3) = 4x2 · (y – x – 3)
⇒
⇒ (y – x – 3) · (y2 – 4x2) = 0
⇒
(y – x – 3) · (y + 2x) · (y – 2x) = 0.
La gráfica dada consiste en las tres rectas:
y – x – 3 = 0, y + 2x = 0, y – 2x = 0.
20
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
Estas rectas se cortan dos a dos dando el triángulo del dibujo, de vértices:
O (0, 0), A (- 1, 2) y B (3, 6).
El área del citado triángulo la podemos calcular como:
● El área del trapecio ACDB:
6+2
· 4 = 16 u 2 .
2
●
Menos
- ODB que es
las
áreas
de
los
- ACO que es
1
·1 · 2 = 1 u2
2
triángulos
rectángulos:
1
· 3 · 6 = 9 u2
2
En definitiva, área encerrada por la gráfica = 16 – (1 + 9) = 6 u2.
5. Caníbales y vegetarianos. En la orilla de un río se encuentran dos caníbales y dos vegetarianos.
Desean pasar a la orilla opuesta y solo disponen de una barca con capacidad para dos personas.
¿Cómo pasaran el río si los vegetarianos saben que su integridad física peligra en cuanto el número de
caníbales los supere en cualquier orilla?
La lectura del enunciado nos ha traído a la mente el problema clásico del pastor, el lobo, la oveja y la col.
Esta semejanza entre ambos problemas nos sugiere la idea de resolverlo de forma análoga.
Utilizamos la notación: Caníbal: C; Vegetariano: V; Barca: B y Separación de las dos orillas del río: /
Lo resolvemos utilizando la estrategia de ensayo y error dirigido, para lo cual, tenemos en cuenta las
situaciones o estados que están permitidos por el problema:
CCVVB /
CVVB / C
21
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
CVV / CB CVB / CV VVB / CC CCB / VV
CB / CVV CV / CVB CC / VVB VV / CCB
C / CVVB
/ CCVVB
Observamos la simetría de los estados permitidos. Representamos los viajes por flechas, colocando encima
de cada flecha a quien o quienes viajan en la barca. Los viajes permitidos son:
Hemos utilizado todas las situaciones o estados posibles, pero dos de ellas, con sus respectivas simétricas,
no nos conducen a ningún fin.
ACTIVIDADES de la página 292
1. Se cree que el número de zorros de una finca está relacionado con el número de conejos. En los
últimos años se han realizado ocho censos de ambos animales, resultando estos datos:
Número de zorros (X)
20
32
16
18
25
30
14
15
Número de conejos (Y)
320
500
260
300
400
470
210
240
a) Determina las dos rectas de regresión.
b) Estima la cantidad de conejos que habría si hubiera 10 zorros.
c) ¿Cuántos zorros habría si hubiéramos contado 350 conejos?
a) Utilizando la tecla STAT y procediendo como se explica en el texto, obtenemos los siguientes parámetros
para los datos de la tabla del enunciado:
22
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
2 – Var Stat
SOLUCIONARIO
2 – Var Stat
2 – Var Stat
x = 21.25
↑
∑ x = 170.00
y = 337.50
∑ xy = 62600.00
∑ y = 2700.00
∑ x = 3950.00
2
mínX = 14.00
Par
a
calc
ular
el
∑ y = 992600.00
2
Sx = 6.94
Sy = 107.80
σx = 6.50
coeficiente
σy = 100.84
σy = 100.84
de
correlación
máxX = 32.00
mínY = 210.00
á Y
Pearson
de
500 00
σ xy
, calculamos
r=
σ x ·σ y
previamente la covarianza:
σ xy =
Con este valor obtenemos:
∑f
ij
xi y j
N
− x·y=
62600
− 21,25 · 337,50 = 653,125
8
17
σ xy
653,125
r=
=
= 0,996
σ x · σ y 6,50 · 100,84
La recta de regresión del número de conejos (Y) sobre el número de zorros (X) es:
y− y=
σ xy
σ
2
x
( x − x)
⇒
y − 337,50 =
635,125
( x − 21, 25)
6,50 2
⇒
y = 15,48 x + 8,52
La recta de regresión del número de zorros (X) sobre el número de conejos (Y) es:
x−x=
σ xy
( y − y)
σ y2
⇒
Con la calculadora se determinan así:
x − 21,25 =
635,125
( y − 337,50)
100,84 2
⇒
x = 0,06 y − 0,43
LinReg
y = ax + b
a = 15.48
b = 8.52
23
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
● Para la recta de regresión del número de conejos (Y) sobre el número de zorros (X), en el menú de tecla
STAT, elegimos CALC seguido de la opción 4:LinReg(ax+b), tecleando posteriormente L1, L2 (teclas
2nd 1; tecla , teclas 2nd 2) y obtenemos, como vemos en la imagen, la recta de ecuación y = 15,48 x +
8,52
● Para la recta de regresión del número de zorros (X) sobre el número de conejos (Y), en el menú de tecla
STAT, elegimos CALC seguido de la opción 4:LinReg(ax+b), tecleando posteriormente L2, L1 (teclas
2nd 2; tecla , teclas 2nd 1) y obtenemos, como vemos en la imagen, la recta de ecuación x = 0,06 y –
0,43
LinReg
y = ax + b
a = .06
b = -.43
b) Estimamos la cantidad de conejos que habría si hubiera 10 zorros, calculando en la recta de regresión de Y
sobre X, de ecuación y = 15,48x + 8,52, el valor que se obtiene al hacer x = 10.
Operando, obtenemos:
Si x = 10
⇒
y = 15,48 · 10 + 8,52
⇒ y = 163,32.
Por tanto, si hubiera 10 zorros, la cantidad de conejos estimada sería 163.
c) Estimamos la cantidad de zorros que habría si hubiéramos contado 350 conejos, calculando en la recta de
regresión de X sobre Y, de ecuación x = 0,06y – 0,43, el valor que se obtiene al hacer y = 350.
Operando, obtenemos:
Si y = 350
⇒
x = 0,06 · 350 – 0,43
⇒ x = 20,57.
Por tanto, si hubiera 350 conejos, la cantidad de zorros estimada sería 21.
24
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES FINALES de la página 293
1. Calcula todos los parámetros de centralización y de dispersión que se describen en el texto para las
siguientes distribuciones estadísticas:
a) Calificaciones de 20 estudiantes:
6, 3, 2, 5, 7, 5, 9, 7, 6, 1, 4, 6, 6, 4, 2, 10, 8, 7, 5, 9
b) Goles por partido en la liga de fútbol 07-08:
Nº de goles
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Partidos
32
71
80
62
36 15
6
2
2
c) Prueba, con puntuación de 0 a 10, a 20 personas:
Intervalos
[0, 2)
[2, 4)
[4, 6)
[6, 8)
[8, 10)
Nº de personas
2
4
8
5
1
a) Nos ayudamos de la tabla para calcular los
parámetros pedidos.
Los parámetros de centralización son:
● Media aritmética: x =
112
= 5,6
20
● Mediana: Me = 6
● Moda: Mo = 6
Los parámetros de dispersión son:
xi
fi
xi · fi
x i2 · f i
xi − x · f i
1
1
1
1
4,6
2
2
4
8
7,2
3
1
3
9
2,6
4
2
8
32
3,2
5
3
15
75
1,8
6
4
24
144
1,6
7
3
21
147
4,2
8
1
8
64
2,4
9
2
18
162
6,8
10
1
10
100
4,4
Sumas
20
112
742
38,8
25
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
● Rango: R = 9
● Desviación media: DM =
38,8
= 3,88
10
● Desviación típica: σ = 5,74 = 2,40
● Varianza: σ 2 =
742
− 5,6 2 = 5,74
20
● Coeficiente de variación: CV = 2,40 = 0,4286
5,6
b) Procediendo como en el apartado anterior, obtenemos:
Los parámetros de centralización son:
702
= 2,29
306
● Media aritmética: x =
● Mediana: Me = 2
● Moda: Mo = 2
Los parámetros de dispersión son:
● Rango: R = 8
● Desviación media: DM =
● Desviación típica: σ =
377,40
= 1,23
306
2,41 = 1,55
xi
fi
xi · fi
0
32
0
0
73,28
1
71
71
71
91,59
2
80
160
320
23,20
3
62
186
558
44,02
4
36
144
576
61,56
5
15
75
375
40,65
6
6
36
216
22,26
7
2
14
98
9,42
8
2
16
128
11,42
Sumas
306
702
2342
377,40
● Varianza: σ 2 =
x i2 · f i
xi − x · f i
2342
− 2,29 2 = 2,41
306
● Coeficiente de variación: CV = 1,55 = 0,6769
2,29
26
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
c) Procediendo como en los apartados anteriores, obtenemos:
Los parámetros de centralización son:
98
= 4,9
20
● Media aritmética: x =
● Mediana: Me = 4 +
● Moda: Mo = 4 +
10 − 6
· 2 =5
8
4
· 2 = 5,14
4+3
xi
fi
xi · fi
x i2 · f i
xi − x · f i
1
2
2
2
7,8
3
4
12
36
7,6
5
8
40
200
0,8
7
5
35
245
10,5
9
1
9
81
4,1
Sumas
20
98
564
30,8
Los parámetros de dispersión son:
● Rango: R = 8
● Desviación media: DM =
● Desviación típica: σ =
30,8
= 1,54
20
● Varianza: σ 2 =
564
− 4,9 2 = 4,19
20
● Coeficiente de variación: CV = 12,05 = 0,4184
4,9
4,19 = 2,05
2. Una encuesta sobre el gasto que 200 países harán durante el próximo quinquenio para proteger la
capa de ozono, ha dado los resultados de la tabla siguiente:
Gasto
(millones
de
dólares)
[150155)
[155160)
[160165)
[165170)
[170175)
[175180)
[180185)
[185190)
[190195)
xi
152,5
157,5
162,5
167,5
172,5
177,5
182,5
187,5
192,5
fi
7
14
24
37
42
35
23
13
5
27
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
Calcula la media, la desviación típica, así como el número de países que se encuentra en cada uno de
los intervalos (x − σ , x + σ ) , x − 2σ , x + 2σ y x − 3σ , x + 3σ .
) (
(
)
Las soluciones son:
La media: x = 172,5 . La desviación típica: σ = 12,91
El número de países en:
(x − σ , x + σ ) = (159,59; 185,41) es 161.
(x − 2σ , x + 2σ ) = (146,68; 198,32) es 200.
(x − 3σ , x + 3σ ) = (133,77; 211,23) es 200.
3. En la tabla aparecen los resultados de las calificaciones correspondientes a un examen de
Matemáticas para dos muestras de 10 alumnos y alumnas:
Grupo A
0
1
1
3
5
5
6
8
8
9
Grupo B
2
2
4
4
4
5
5
6
6
8
¿Qué grupo obtuvo mejores resultados? ¿Cuál es más homogéneo?
Hallamos al media y la desviación típica de cada uno de los grupos. Obtenemos:
- Grupo A: media aritmética x A = 4,6 y desviación típica: σA = 3,07.
- Grupo B: media aritmética x B = 4,6 y desviación típica: σB = 1,74.
Ambos grupos obtienen la misma media aritmética, no podemos decir que uno sea mejor que el otro.
Como la desviación típica del grupo B es menor que la del grupo A, aquel es un grupo más homogéneo en
cuanto a las calificaciones.
28
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
4. Una máquina corta perfiles de hierro de 3 centímetros de longitud. En un control de calidad, las
longitudes de diez perfiles de una muestra han sido:
3,11
3,12
3,09
2,98
3,03
3,09
2,97 3,20
3,15
3,07
a) Calcula la media y la desviación típica de las longitudes de las diez piezas.
b) Teniendo en cuenta que una pieza no pasa el control de calidad si su longitud está fuera del
intervalo x − 2 σ , x + 2 σ , ¿hay alguna pieza de la muestra que no supera el control de calidad?
(
)
a) La media aritmética es x = 3,08 cm y la desviación típica σ = 0,07 cm.
(
)
b) El intervalo x − 2 σ , x + 2 σ es (2,94; 3,22) y puede comprobarse que la longitud de todas las piezas de
la muestra están dentro de dicho intervalo. Por tanto, todas las piezas superan el control de calidad.
5. Se ha preguntado a un grupo de estudiantes por el número de horas semanales dedicadas al estudio
y sus respuestas se recogen en la tabla.
Horas de estudio
semanales
10
11
12
13
14
15
16
Frecuencias absolutas
1
2
4
8
5
3
2
Con ayuda de la calculadora, halla la media aritmética y la desviación típica de estos datos.
Seguimos los pasos descritos en la página 288 del libro de texto.
- Borramos los datos que pueda contener la calculadora de trabajos anteriores.
- Entramos en el modo o editor STAT.
29
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
- Introducimos los datos en las columnas X, FREQ tal y como se indica en la siguiente tabla:
X
10
11
12
13 14
15
16
FREQ
1
2
4
8
3
2
5
- Obtenemos los resultados:
- media aritmética: x = 13,24
- desviación típica: σX = 1,48
ACTIVIDADES FINALES de la página 294
6. En las siguientes variables estadísticas bidimensionales, referidas los alumnos de una clase, estima
si hay o no correlación y, en caso de existir, señala si esta es positiva o negativa, fuerte o débil:
a) Estatura y calificación en Lengua.
b) Número de horas diarias de estudio y número de asignaturas aprobadas en la última evaluación.
c) Estatura y grado de concentración en el estudio.
d) Peso y estatura.
En cada caso queda:
a) No existe correlación.
c) No existe correlación.
b) Existe correlación positiva y fuerte.
d) Existe correlación positiva y fuerte.
30
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
7. Se ha realizado una encuesta a 20 vecinos de una urbanización de las afueras de una gran ciudad
obteniéndose los resultados mostrados a continuación, en los que el primer número se refiere al
número de viajes realizados por los padres y el segundo al número de viajes realizado por los hijos:
(4, 1)
(3, 4)
(2, 5)
(1, 6)
(3, 2)
(2, 6)
(2, 6)
(4, 2)
(4, 1)
(4, 2)
(1, 7)
(1, 6)
(4, 1)
(1, 7)
(2, 4)
(2, 6)
(3, 3)
(4, 2)
(1, 6)
(2, 5)
a) Construye la tabla de doble entrada correspondiente.
b) Representa gráficamente los datos de esta tabla y, a la vista de la gráfica, estudia si existe
correlación entre las variables y el tipo de la misma.
a) La tabla de doble entrada es:
Y
X
Viajes
/
hijos
Viajes
1
2
3
4
TOTALES
3
3
3
4
padres
1
2
1
3
1
1
1
2
4
1
5
2
2
3
6
6
3
7
2
TOTALES
5
1
6
3
6
20
b) El diagrama de dispersión aparece en la imagen:
Se observa una correlación negativa fuerte (puede calcularse el
coeficiente de correlación r = - 0,944).
31
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
8. En una muestra de 50 alumnos de Educación Primaria se han estudiado las habilidades numéricas
(X) y verbal (Y). Los resultados han sido los siguientes:
(4, 3) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (5, 6) (6, 8) (7, 5)
(8, 8) (8, 10) (9, 10) (10, 10) (10, 10) (4, 3) (9, 10) (4, 4) (8, 10) (5, 4)
(8, 8) (4, 5) (7, 5) (4, 5) (6, 8) (5, 6) (6, 5) (5, 5) (10, 10) (5, 5)
(9, 10) (5, 6) (8, 10) (6, 8) (8, 8) (7, 5) (10, 10) (6, 8) (7, 5) (8, 8)
(6, 8) (8, 8) (8, 10) (9, 10) (8, 8) (8, 10) (9, 10) (7, 5) (9, 10) (9, 10)
a) Construye la tabla estadística bidimensional de doble entrada.
b) Construye la tabla estadística bidimensional simple.
c) Escribe las tablas de las distribuciones marginales de de cada una de las variables.
d) Construye la tabla correspondiente a la variable X condicionada a que Y tome el valor 5.
a) La tabla bidimensional de doble entrada es:
X
3
4
5
6
7
8
9
10
Totales
Y
3
4
2
1
5
2
2
2
3
3
6
5
2
5
13
3
3
7
0
8
5
6
11
9
0
10
Totales
1
7
8
7
5
5
7
4
16
11
7
4
50
32
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
b) La tabla bidimensional simple es:
xi
3
4
4
4
5
5
5
6
6
7
8
8
9
10
yi
4
3
4
5
4
5
6
5
8
5
8
10
10
10
fi
1
2
2
3
2
3
3
2
5
5
6
5
7
4
c) Las tablas de las distribuciones marginales son:
xi
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
fi
1
7
8
7
5
11
7
4
50
yi
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
fi
2
5
13
3
0
11
0
16
50
d) La distribución correspondiente a la variable X condicionada a que Y tome el valor 5 es:
xi / Y = 5
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
fi
0
3
3
2
5
0
0
0
13
e) La distribución correspondiente a la variable Y condicionada a que X tome el valor 5 es:
yi / X = 5
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
fi
0
2
3
3
0
0
0
0
8
33
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
9. Se han observado en una muestra de 60 individuos dos variables estadísticas X e Y, obteniéndose
los datos que aparecen en la tabla.
X
3
4
5
6
7
Totales
Y
1
1
2
2
1
4
3
6
6
10
4
16
12
5
Totales
3
10
22
15
1
28
5
4
9
20
5
60
a) Construye la tabla bidimensional simple.
b) Calcula la media aritmética y la desviación típica de las distribuciones marginales.
c) Calcula los mismos parámetros para la distribución de la variable X condicionada a que Y valga 4.
d) Calcula los parámetros anteriores para la distribución de la variable Y condicionada a que X valga
5.
a) La tabla bidimensional simple es:
xi
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
yi
1
2
2
3
3
4
4
5
4
5
fi
1
2
4
6
10
12
15
5
1
4
34
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
b) Los parámetros buscados son:
xi
fi
f i · xi
f i · xi2
3
3
9
27
4
10
40
160
5
22
110
550
6
20
120
720
7
5
35
245
Sumas
60
314
1702
x=
314
= 5,23
60
σx =
1702
− (5,23) 2 = 1,01
60
yi
fi
f i · yi
f i · yxi2
1
1
1
1
2
6
12
24
3
16
48
144
4
28
112
448
5
9
345
225
Sumas
60
218
8402
y=
218
= 3,63
60
σy =
842
− (3,63) 2 = 0,93
60
35
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
c) La media aritmética y la desviación típica de la distribución de la variable X condicionada a que Y valga
4 es:
xi / y = 4
fi
f i · xi / y = 4
f i ·(xi / y = 4 )
3
0
0
0
4
0
0
0
5
12
60
300
6
15
90
540
7
1
7
49
Sumas
28
157
889
x /Y = 4 =
157
= 5,607
28
2
σ x/ y =4 =
889
− (5,607) 2 = 0,56
28
d) La media aritmética y la desviación típica de la distribución de la variable Y condicionada a que X valga
5 es:
yi / x = 5
fi
f i · yi / x = 5
f i · (yi / x = 5 )
1
0
0
0
2
0
0
0
3
10
30
90
4
12
48
192
5
0
0
0
Sumas
22
78
182
y/x = 5 =
282
= 3,55
22
σ y / x =5 =
2
282
− (3,55) 2 = 0,50
22
36
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES FINALES de la página 295
10. En una muestra de 100 familias se han
estudiado las variables estadísticas X (número de
miembros en edad laboral) e Y (número de ellos
se encuentran en activo). Los resultados obtenidos
pueden ver en la tabla:
que
se
a) Construye la tabla bidimensional simple
correspondiente y obtén las distribuciones marginales de X e Y.
b) Calcula la media y la desviación típica de las distribuciones marginales.
a) La tabla bidimensional simple es:
X
1
1
1
1
2
2
2
3
3
Y
1
2
3
4
2
3
4
3
4
fi
9
14
16
20
7
9
12
5
8
Las distribuciones marginales son:
b)
x = 3,01
xi
fi
1
9
2
21
yi
fi
3
30
1
59
4
40
2
28
3
13
σ X = 0,98
y = 1,54
σ Y = 0,71
11. Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedica
diariamente a dormir y a ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la
siguiente tabla:
37
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
Nº horas dormidas X
6
7
8
9
10
Nº horas televisión Y
4
3
3
2
1
Frecuencia absoluta
3
16
20
10
1
SOLUCIONARIO
a) Realiza el diagrama de dispersión correspondiente.
b) Calcula la media y la desviación típica de cada una de las variables.
c) Halla el porcentaje de individuos que ven la televisión por encima de la media.
d) Calcula el coeficiente de correlación lineal.
a) El diagrama de dispersión podemos verlo en el dibujo.
38
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
b) Para ambas variables queda:
x=
390
= 7,8 horas dormidas y σ X = 0,89
50
y=
141
= 2,82 horas televisión y σ Y = 0,55
50
c) El porcentaje de individuos por encima de la media es
d) Para el cálculo de r =
20 + 10 + 1
= 0,62 , es decir, el 62%.
50
σ XY
1078
, calculamos la covarianza: σ XY =
− 7,8 · 2,82 = − 0,436.
σ X ·σY
50
El coeficiente de correlación es: r =
− 0,436
= − 0,89 .
0,89 · 0,55
La correlación es muy fuerte y negativa.
12. En una clase compuesta por 30 alumnos se ha
hecho un estudio sobre el número de horas diarias de
estudio X y el número de suspensos Y, obteniéndose los
datos que figuran en la tabla estadística bidimensional.
Con ayuda de la calculadora, encuentra los
parámetros de correspondientes a las distribuciones
marginales, el valor del coeficiente de correlación de
Pearson y la ecuación de la recta de regresión de Y
sobre X.
Seguimos los pasos descritos en la página 391 del libro de
texto.
X
0
1
2
3
4
Total
0
0
0
2
1
2
5
1
0
0
8
2
0
10
2
0
2
5
1
0
8
3
0
2
0
0
0
2
4
1
1
1
0
0
3
5
2
0
0
0
0
2
Total
3
5
16
4
2
30
Y
- Borramos los datos que pueda contener la calculadora de trabajos anteriores.
39
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
- Entramos en el modo o editor STAT.
- Introducimos los datos en las columnas X, Y y FREQ tal y como se indica en la siguiente tabla:
X
0
0
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
Y
4
5
2
3
4
0
1
2
4
0
1
2
0
FREQ
1
2
2
2
1
2
8
5
1
1
2
1
2
- Obtenemos los resultados que siguen.
Los parámetros de las distribuciones marginales son:
σX = 0,98
x = 1,9
σY = 1,42
y = 1,8
El coeficiente de correlación de Pearson y la recta de regresión de Y sobre X son:
r = - 0,78
y = - 1,13x + 3,96
13. Se han realizado dos pruebas de historia a un grupo de diez estudiantes de 3º de ESO. Los
resultados obtenidos son:
Alumno
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
14
12
15
12
13
12
17
7
9
14
B
14
13
17
15
16
12
12
10 14 20
Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. Existe dependencia entre ambas pruebas.
La covarianza es σ AB =
1819
− 12,5 · 14,3 = 3,15
10
El coeficiente de correlación es: r =
3,15
= 0,42 .
2,73 · 2,72
La correlación es positiva y débil.
40
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
14. En cinco estudios estadísticos se han obtenido los siguientes coeficientes de correlación lineal:
r = - 0,98
r = 0,93
r = 0,05
r = 0,71
r = - 0,62
Identifica, justificando la respuesta, la nube de puntos correspondiente a cada uno.
La correspondencia de cada gráfico con su coeficiente de correlación es:
a) r = 0,05
b) r = 0,71
c) r = - 0,98
d) r = 0,93
e) r = - 0,62
ACTIVIDADES FINALES de la página 296
15. La estadística de ingresos de determinadas empresas (en miles de euros) y de empleados (en miles)
es la siguiente:
Ingresos
5,7
3,8
1,9
1
1
Empleados
16
29
17
6
9
Estudia la correlación existente entre ambas variables y determina la recta de regresión de ingresos
en función del número de empleados.
Los parámetros estadísticos son:
x = 2,68; y = 15,4; σ X = 1,82; σ Y = 7,97; σ XY = 8,47
a) El coeficiente de correlación es: r =
b) La recta de regresión es: y − 15,4 =
8,47
= 0,58 .
1,82 · 7,96
8,47
( x − 2,68) , es decir, y = 2,56x + 8,54.
3,31
41
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
16. Se quiere estudiar la posible relación entre el número de rapaces de una comarca y el número de
conejos. En los últimos diez años se han realizado censos de ambos animales, resultando estos datos.
Nº de aves rapaces
22
30
18
16
25
32
16
15
14
20
Nº de conejos
330
480
280
290
400
500
250
240
210 320
a) Dibuja el diagrama de dispersión y calcula el coeficiente de correlación lineal.
b) Halla las dos rectas de regresión.
c) Estima la cantidad de conejos que habría si hubiera 10 rapaces.
d) ¿Cuántas rapaces serían si hubiéramos contado 350 conejos? ¿Cuál de las dos estimaciones es más
fiable?
a) El diagrama de dispersión puede verse en el dibujo.
42
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
Los parámetros que se obtienen en el cálculo del coeficiente de correlación lineal son:
x = 20,8
σ X = 6,03
y = 330
σ Y = 94,55
σ XY = 564
El valor del coeficiente es:
r=
564
= 0,9892
6,03 · 94,55
Observamos que el valor obtenido nos permite afirmar que existe un excelente grado de dependencia
positiva, es decir, que a mayor número de conejos, existe mayor número de rapaces.
b) Las rectas de regresión son:
De Y sobre X es: y − 330 =
564
( x − 20,8)
6,03 2
De X sobre Y: x − 20,8 = 564 2 ( y − 330)
94,55
⇒
⇒
y = 15,51x + 7,39
x = 0,06 y + 1
Sus gráficas pueden verse en el dibujo.
43
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
c) Estimamos la cantidad de conejos que habría si hubiera 10 rapaces:
En la recta de regresión de Y sobre X: si x = 10, entonces y = 15,51 · 10 + 7,39 = 162,49 ≈ 162 conejos.
En la recta de regresión de X sobre Y: si x = 10, entonces 10 = 0,06y + 1
⇒ y = 150 conejos.
d) Estimamos la cantidad de rapaces que habría si hubiera 350 conejos:
En la recta de regresión de Y sobre X: si y = 350, entonces 350 = 15,51 · y + 7,39
⇒ 22,09 ≈ 22 rapaces.
En la recta de regresión de X sobre Y: si y = 350, entonces x = 350y + 1 = 22 rapaces.
Es más fiable la segunda estimación, ya que el valor inicial de la primera se aleja bastante de la media de
rapaces.
17. La estatura media de una muestra de padres es de 1,68 m con una desviación típica de 5 cm. En
una muestra de sus hijos la estatura media es de 1,70 m con una desviación típica de 7,5 cm. El
coeficiente de correlación entre las estaturas de padres e hijos es 0,7. Si un padre mide 1,80m, ¿qué
estatura se estima que tendrá su hijo?
Al ser el coeficiente de correlación r = 0,7; obtenemos:
r=
σ XY
σ X ·σ Y
⇒
0,7 =
σ XY
5 · 7,5
=
⇒
σ XY = 26,25.
La recta de regresión de Y (estatura de los hijos) sobre X (estatura de los padres) es:
y − 170 =
26,25
( x −168)
52
⇒
y = 1,05 x − 6,4
Si un padre mide 180 cm, se estima que su hijo tendrá y = 1,05 · 180 – 6,4 = 182, 6 cm.
Nota: Todos los datos se han convertido en centímetros.
44
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
18. Los datos de la tabla corresponden a una variable bidimensional (X, Y):
X
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
Y
10
15
18
25
28
30
35
38
40
42
Analiza lo que sucede con los parámetros de las distribuciones marginales, con la covarianza y el
coeficiente de correlación, en cada caso.
a) Si sumamos 8 a todos los valores de la variable X.
b) Si sumamos 8 a todos los valores de las variables X e Y.
c) Si multiplicamos por 4 a todos los valores de la variable X.
d) Si multiplicamos por 4 a todos los valores de las variables X e Y.
Los parámetros de las distribuciones marginales, la covarianza, el coeficiente de correlación para los datos
de la tabla son, respectivamente:
x = 30
y = 28,1
σ Y = 10,46
σ X = 11,49
σ XY = 119
r = 0,99
a) Si sumamos 8 a todos los valores de la variable X, la tabla y los resultados son:
X
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
Y
10
15
18
25
28
30
35
38
40
42
x = 38
y = 28,1
σ Y = 10,46
σ X = 11,49
σ XY = 119
r = 0,99
Observamos que la media aritmética de la nueva variable X ha aumentado 8 unidades con respecto a la
media aritmética de la anterior variable X. El resto de los resultados no ha variado.
b) Si sumamos 8 a todos los valores de las variables X e Y, la tabla y los resultados son:
X
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
Y
18
23
26
33
36
38
43
46
48
50
45
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
x = 38
σ Y = 10,46
σ X = 11,49
y = 36,1
SOLUCIONARIO
r = 0,99
σ XY = 119
Observamos que la media aritmética de las nuevas variables X e Y han aumentado 8 unidades con respecto a
la media aritmética de las anteriores variables X e Y. El resto de los resultados no ha variado.
c) Si multiplicamos por 4 todos los valores de la variable X, la tabla y los resultados son:
X
48
64
80
96
112
128
144
160
176
192
Y
10
15
18
25
28
30
35
38
40
42
σ X = 45,96
y = 28,1
x = 120
σ Y = 10,46
σ XY = 476
r = 0,99
Observamos que la media aritmética y la desviación típica de la nueva variable X es 4 veces mayor que la
media aritmética y la desviación típica, respectivamente, de la anterior variable X. La covarianza también se
ha multiplicado por 4.
d) Si multiplicamos por 4 todos los valores de las variables X e Y, la tabla y los resultados son:
X
48
64
80
96
112
128
144
160
176
192
Y
40
60
72
100
112
120
140
152
160
168
x = 120
y = 112,4
σ X = 45,96
σ Y = 41,85
σ XY = 1904
r = 0,99
Observamos que todos los resultados se han multiplicado por 4 excepto el coeficiente de correlación que no
varía.
46
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
19. En una distribución bidimensional (X, Y), la recta de regresión de Y sobre X es x + 5y = 2 y la de X
sobre Y es x + 4y = 1. Encuentra el centro de gravedad x, y y el coeficiente de correlación.
( )
El centro de gravedad, (x, y ) , es el punto de corte de las dos rectas de regresión. Sus coordenadas son la
solución del sistema siguiente:
x + 5 y = 2
⇒

x + 4 y = 1
(
x = − 3

y = 1
)
El centro de gravedad es x = − 3, y = 1 .
La relación entre el coeficiente de correlación r y los coeficientes de regresión, m =
asociados a las rectas de regresión es m · m´ = r2.
σ XY
σ
y m ´ = XY2 ,
2
σX
σY
Los coeficientes de regresión son:
x + 5 y = 2
⇒

x + 4 y = 1
5 y = − x + 2

x = − 4 y + 1
⇒
1
2

y = − x +
5
5


x = − 4 y + 1
⇒
1

m = −
5


m ´ = − 4
El coeficiente de correlación será:
4
 1
r 2 =  −  · (− 4 ) = = 0,8
5
 5
⇒
r =
0,8
⇒ r = 0,89
20. En una distribución bidimensional (X, Y) el coeficiente de correlación r vale 0, y el centro de
gravedad está situado en el punto (5, 4). Determina la ecuación de las dos rectas de regresión y
represéntalas gráficamente.
σ XY
= 0 , la
σ X · σY
covarianza σXY = 0 y los coeficientes de regresión
σ
σ
m = XY
y m ´ = XY2 también son nulos.
2
σX
σY
Al ser el coeficiente de correlación r =
La recta de regresión de Y sobre X, de ecuación:
47
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
y − y =
(
)
(
)
SOLUCIONARIO
σ XY
x − x , es y – 4 = 0.
σ X2
La recta de regresión de X sobre Y, de ecuación:
x− x=
σ XY
y − y , es x – 5 = 0.
σ Y2
Ambas rectas son perpendiculares y pasan por el punto (5, 4) como puede verse en el dibujo.
21. En una distribución bidimensional (X, Y), el centro de gravedad está en (4, 4), el coeficiente de
correlación r vale – 0,88, y la recta de regresión de Y sobre X es y = - 1,5x + 10. Halla la recta de
regresión de X sobre Y.
La relación entre el coeficiente de correlación r y los coeficientes de regresión, m =
asociados a las rectas de regresión es m · m´ = r2.
Conocemos r = - 0,88 y m =
σ XY
σ
y m ´ = XY2 ,
2
σX
σY
σ XY
= − 1,5 . Sustituyendo en la relación anterior:
σ X2
− 1,5 · m ´ = (− 0,88) 2 ⇒
m´=
La recta de regresión de X sobre Y, de ecuación x − x =
x − 4 = − 0,52 · ( y − 4 ) ⇒
(− 0,88)2
− 1,5
(
= − 0,52
)
σ XY
y − y es:
σ Y2
x = − 0,52 x + 6,08
48
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES FINALES de la página 297
22. Los pediatras facilitan a las familias la siguiente tabla de los pesos de los niños según la edad:
Edad (meses)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
Peso (kg)
3,5
6,25
8
9,2
10,2
11
11,6
12,05
12,6
a) Halla el coeficiente de correlación y la recta de regresión, del peso en función de la edad y
represéntala en el diagrama de dispersión.
b) Calcula la varianza residual y el coeficiente de determinación.
c) ¿Cuál es el incremento mensual de peso esperado?
d) ¿Cuál es el peso esperado de un niño de 14 meses? ¿Y de un niño de dos años y medio?
Calculamos previamente los parámetros correspondientes a las distribuciones marginales y la covarianza,
obteniendo:
x=
108
= 12
9
σx =
84,40
y=
= 9,38 σ y =
9
1836
− 12 2 = 7,75
9
863,52
− (9,38) 2 = 2,83
9
1201,20
σ xy =
− 12 · 9,38 = 20,93
9
a) El coeficiente de correlación lineal vale:
xi
yi
xi2
y i2
xi · y i
0
3,50
0
12,25
0,00
3
6,25
9
39,06
18,75
6
8,00
36
64,00
48,00
9
9,20
81
84,64
82,80
12
10,20
144
104,04
122,40
15
11,00
225
121,00
165,00
18
11,60
324
134,56
208,80
21
12,05
441
145,20
253,05
24
12,60
576
158,76
302,40
108
84,40
1836
836,52
1201,20
49
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
r=
SOLUCIONARIO
20,93
= 0,96
7,75 · 2,83
La recta de regresión del peso (Y) en función de la edad (X) es:
y − 9,38 =
20,93
( x − 12)
7,75 2
⇒
y = 0,35 x + 5,19
En el dibujo puede verse la nube de puntos y la gráfica de la recta de regresión.
50
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
b) Los valores de la varianza residual y el coeficiente de determinación son:
La varianza residual vale:
σ e2 =
6,30
= 0,70
9
El coeficiente de determinación
es:
0,70
R =1−
= 0,91
8,00
2
xi
yi
yˆ i = 0,35 xi + 5,19
ei = yˆ i − y i
ei2
0
3,50
5,19
- 1,69
2,86
3
6,25
6,24
0,01
0,00
6
8,00
7,29
0,71
0,50
9
9,20
8,34
0,86
0,74
12
10,20
9,39
0,81
0,66
15
11,00
10,44
0,56
0,31
18
11,60
11,49
0,11
0,01
21
12,05
12,54
- 0,49
0,24
24
12,60
13,59
- 0,99
0,98
6,30
c) El incremento del peso esperado en un mes, podemos calcularlo como la diferencia de los pesos
esperados para dos meses consecutivos, por ejemplo para x = 1 y x = 2:
Si x = 1, entonces yˆ (1) = 0,35 · 1 + 5,19 = 5,54 kg.
Si x = 2, entonces yˆ (2) = 0,35 · 2 + 5,19 = 5,89 kg.
La diferencia es yˆ (2) − yˆ (1) = 5,89 − 5,54 = 0,35 kg.
Puede observarse que el peso esperado en un mes coincide con el coeficiente de regresión
m=
20,93
= 0,35 .
7,75 2
d) El peso esperado para un niño de 14 meses es: yˆ (14) = 0,35 · 14 + 5,19 = 10,08 kg.
El peso esperado para un niño de dos años y medio (30 meses) es: yˆ (30) = 0,35 · 30 + 5,19 = 15,66 kg.
51
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
23. Se ha medido el contenido de oxígeno Y (en mg/L) de un embalse a una profundidad de X (en m).
Se obtuvieron los siguientes datos:
Profundidad (m)
10
20
30
40
50
60
70
80
Oxígeno (mg/L)
7,5
6
5,4
5,8
3,6
1,4
0,3
0,02
a) Dibuja el diagrama de dispersión.
b) Calcula el coeficiente de correlación lineal y explica su significado.
c) Calcula y dibuja la recta de regresión de Y sobre X.
d) Para las profundidades de 25 m, 55 m y 85 m, ¿qué contenido de oxígeno se podría predecir?
e) Halla el coeficiente de determinación.
a) El diagrama de dispersión puede verse en el dibujo.
52
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
b) Los parámetros que se obtienen en el cálculo del coeficiente de correlación lineal son:
x = 45
σ X = 22,91
y = 3,75
σ Y = 2,68
σ XY = − 59,41
El valor del coeficiente es:
r=
− 59,41
= − 0,968
22,91 · 2,68
Observamos que el valor obtenido nos permite afirmar que existe un excelente grado de dependencia
negativa, es decir, que a mayor profundidad, existe menos oxígeno en el agua del embalse.
c) La recta de regresión de Y sobre X es:
y − 3,75 =
− 59,41
( x − 45)
22,912
⇒
y = − 0,11x + 8,85
Su gráfica puede verse en el dibujo.
53
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
d) Calculamos las estimaciones de la cantidad de oxígeno en el agua a las distintas profundidades que se
piden:
Para x = 25 m, tenemos que y = - 0,11 · 25 + 8,85 = 6,1 mg/L.
Para x = 55 m, tenemos que y = - 0,11 · 55 + 8,85 = 2,8 mg/L.
Para x = 85 m, tenemos que y = - 0,11 · 85 + 8,85 = - 0,5 mg/L.
Puede observarse que los dos primeros valores son razonables, pero el último carece de sentido.
e) Nos ayudamos de los cálculos que aparecen en la tabla.
yˆ i = − 0,11xi + 8,85 ei = yˆ i − y i
xi
yi
10
7,50
7,75
- 0,25
0,0625
20
6,00
6,65
- 0,65
0,4225
30
5,40
5,55
- 0,15
0,0225
40
5,80
4,45
1,35
1,8225
50
3,60
3,35
0,25
0,0625
60
1,40
2,25
- 0,85
0,7225
70
0,30
1,15
- 0,85
0,7225
80
0,02
0,05
- 0,03
0,0009
ei2
3,8384
La varianza residual vale: σ e2 =
3,84
= 0,48
8
El coeficiente de determinación es: R 2 = 1 −
0,48
= 0,93
7,18
54
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
24. Un examen de cierta asignatura consta de dos partes: una teórica (X) y otra práctica (Y). El
profesor de esta quiere ver si existe algún tipo de correlación entre las calificaciones de teoría y
práctica. Obtiene que la recta de regresión de Y sobre X es 4x – 3y = 0 y que la de X sobre Y es 3x – 2y
= 1.
a) Calcula el coeficiente de correlación y estudia si las variables están o no correlacionadas.
b) Calcula la media de las notas de teoría y prácticas.
a) Como la recta de regresión de Y sobre X es 4x – 3y = 0, su pendiente es el coeficiente de regresión y vale:
m=
4 σ xy
=
3 σ x2
La pendiente de la recta de regresión de X sobre Y, 3x – 2y = 1, es:
m´ =
2 σ xy
=
3 σ y2
La relación entre el coeficiente de correlación lineal y los coeficientes de regresión nos permite calcular:
r =
m · m´ =
4 2
· =
3 3
8
= 0,94
9
El coeficiente de correlación es muy alto y nos permite afirmar que las variables están muy relacionadas.
b) Sabemos que las dos rectas de regresión pasan por el punto
puntos.
(x, y ), centro de gravedad de la nube de
Para calcular las medias de las variables, calculamos el punto de corte de las dos rectas. Resolviendo el
sistema, obtenemos:
4 x − 3 y = 0

3 x − 2 y = 1
⇒
x = 3

y = 4
La nota media en teoría es x = 3 y la nota media en práctica es y = 4.
55
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
25. En una distribución bidimensional (X, Y), se sabe que la recta de regresión de Y sobre X es y =
0,85x – 13,24 y la recta de regresión de X sobre Y es x = 0,91y + 5,88. Represéntalas. Determina el
centro de gravedad de la distribución y el coeficiente de correlación.
La representación gráfica puede verse en el dibujo.
El centro de gravedad de la distribución es el punto
de corte de las rectas de regresión. Por tanto:
 y = 0,91x − 5,88

 x = 0,85 y + 13,24
⇒
El centro de gravedad
G x = 36,39; y = 27,23 .
(
)
 x = 36,39

 y = 27,23
es
el
punto
El cuadrado del coeficiente de correlación lineal es igual al producto de los coeficientes de regresión.
Sustituyendo, obtenemos:
r 2 = m · m´
⇒
r 2 = 0,91 · 0,85
⇒
r = 0,7735 = 0,8795.
56
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
26. Las rectas de regresión de cuatro distribuciones bidimensionales son las que aparecen
representadas en los diagramas que siguen.
Estudia en qué casos es significativa la correlación lineal.
Observando los gráficos vemos que el ángulo formado por las rectas es más pequeño en las distribuciones II)
y IV). Por tanto, en estos casos es más significativo.
Analizando las ecuaciones de las rectas obtenemos los resultados que siguen.
I) El coeficiente de regresión de la recta y = x + 2 vale m = 1, lo que significa que la covarianza σ xy es no
nula. Por lo tanto, no puede ser el coeficiente de regresión de la otra recta m´ = 0, como ocurre con la recta x
= 4. Es decir, esta situación carece de sentido, ya que no es posible que haya una distribución con estas dos
rectas de regresión.
II) En este caso, m =
4
5
, m ´= y r =
5
6
4 5
· =
5 6
2
= 0,82 .
3
III) Para esta distribución m = 0 , m ´= 0 y r = 0.
IV) En esta distribución, m = 1 , m ´=
4
y r =
5
4
= 0,89 .
5
De nueve podemos ver que la correlación es significativa en los apartados II) y IV).
57
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES FINALES de la página 298
27. El número de días de lluvia (X) y el número de días de sol (Y) registrados durante el año pasado en
diez observatorios meteorológicos han sido:
Días de lluvia
82
206
170
69
215
85
107
113
72
125
Días de sol
271
174
211
294
109
264
241
252
271
243
Representa los datos en un diagrama de dispersión. Halla el coeficiente de correlación lineal e
interprétalo. Determina la recta de regresión de Y sobre X. ¿Puedes saber cuántas horas de sol se
esperan en un observatorio que ha registrado 100 días de lluvia?
El diagrama de dispersión puede verse en el dibujo.
Los parámetros que se obtienen en el cálculo del coeficiente de correlación lineal son:
x = 124,4
σ X = 51,52
El valor del coeficiente es: r =
y = 233
σ Y = 52,38
σ XY = − 2560,5
− 2 560,5
= − 0,9488
51,52 · 52,38
58
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
Se trata de una correlación negativa, en los lugares con más días de lluvia hay menos horas de sol y
recíprocamente.
La recta de regresión de Y sobre X es:
y − 233 =
− 2 560,5
( x − 124,4)
51,52 2
⇒
⇒
y = − 0,96 x + 352,42
Si se han registrado x = 100 días de lluvia
se predicen:
y = - 0,96 · 100 + 352,42 ≈ 256 horas de sol.
59
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
28. La torre inclinada de Pisa es una maravilla arquitectónica. Su creciente inclinación ha generado
numerosos estudios sobre su futura estabilidad. En la siguiente tabla se presentan las medidas de su
inclinación durante los años 1978 -1987. Los datos de inclinación se han codificado como décimas de
milímetro por exceso de 2,9000 m, de forma que la inclinación en el año 1978, que fue de 2,9667,
aparece en la tabla con el valor 667.
Año
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
Inclinación
667
673
688
696
698
713
717
725
742
757
a) Representa gráficamente estos datos. ¿Crees que la inclinación de la torre tiene una tendencia
lineal que crece con el tiempo?
b) Calcula la recta de regresión de la inclinación en función del tiempo.
c) Calcula el coeficiente de determinación.
d) En 1918 la inclinación de la torre fue 2,9071 m. ¿Cuál sería el valor ajustado según la recta que has
obtenido con anterioridad? ¿Cuál crees que es la causa de la diferencia entre ambos valores?
a) Tomando el año 1978 como año 1, la representación gráfica puede verse en el dibujo.
60
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
A la vista de la nube de puntos parece que tiene una tendencia lineal que crece con el tiempo.
Para poder confirmarlo hallamos el coeficiente de correlación lineal.
xi
yi
xi2
y i2
xi · y i
1
667
1
444889
667
2
673
4
452929
1346
3
688
9
473344
2064
4
696
16
484416
2784
5
698
25
487204
3490
6
713
36
508369
4278
7
717
49
514089
5019
8
725
64
525625
5800
9
742
81
550564
6678
10
757
100
573049
7570
55
7076
385
5014478
39696
x=
55
= 5,5
10
σx =
y=
385
− 5,5 2 = 2,87
10
7076
= 707,6
10
σy =
σ xy =
5014478
− (707,6) 2 = 27,39
10
39696
− 5,5 · 707,6 = 77,8
10
61
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
El coeficiente de correlación lineal vale r =
SOLUCIONARIO
77,8
= 0,99 .
2,87 · 27,39
b) La ecuación de la recta de regresión de la inclinación (Y) en función del tiempo (X) es:
y − 707,6 =
77,8
( x − 5,5)
8,24
⇒
y = 9,44 x + 655,68
c) Calculamos el coeficiente de determinación.
xi
yi
yˆ i = 9,44 xi + 655,68
ei = yˆ i − y i
ei2
1
667
665,12
-1,88
3,5344
2
673
674,56
1,56
2,4336
3
688
684
-4
16
4
696
693,44
-2,56
6,5536
5
698
702,88
4,88
23,8144
6
713
712,32
-0,68
0,4624
7
717
721,76
4,76
22,6576
8
725
731,2
6,20
38,44
9
742
740,64
1,36
1,8496
10
757
750,08
-6,92
47,8864
163,6322
La varianza residual vale: σ e2 =
163,6322
= 16,37
10
El coeficiente de determinación es: R 2 = 1 −
16,37
= 0,98
750,21
62
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
d) El valor ajustado para 1918 en la recta de regresión es:
yˆ (− 59) = 9,47 ·(− 59) + 655,68 = 96,95
El valor obtenido es muy diferente de 71, esto es debido a que el año 1918 está muy alejado del intervalo de
años que estamos considerando.
29. La tabla muestra el número de gérmenes patógenos (en miles por cm3 ) de un determinado cultivo,
según el tiempo transcurrido.
Nº HORAS
0
1
2
3
4
5
Nº DE GÉRMENES
20
26
33
41
47
53
a) Calcula la recta de regresión para predecir el número de gérmenes por cm3 en función del tiempo.
b) Calcula el coeficiente de determinación.
c) ¿Qué cantidad de gérmenes por cm3 es predecible encontrar cuando hayan transcurrido 6 horas?
¿Es buena esta predicción?
Calculamos los parámetros de la distribución bidimensional considerando el número de horas como variable
X y el número de gérmenes como la variable Y.
63
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
xi
yi
xi2
y i2
xi · y i
0
20
0
400
0
1
26
1
676
26
2
33
4
1089
66
3
41
9
1681
123
4
47
16
2209
188
5
53
25
2809
265
15
220
55
8864
668
σ xy =
x=
15
= 2,5
6
σx =
y=
SOLUCIONARIO
55
− 2,5 2 = 1,71
6
220
= 36,67
5
σy =
8864
− (36,67) 2 = 11,53
6
668
− 2,5 · 36,67 = 19,67
6
a) La ecuación de la recta de regresión del número de gérmenes (Y), por centímetro cúbico, en función del
tiempo (X) es:
y − 36,67 =
19,67
( x − 2,5)
1,712
⇒
y = 6,73 x + 19,85
b) Calculamos el coeficiente de determinación.
xi
yi
yˆ i = 6,73 xi + 19,85
ei = yˆ i − y i
ei2
0
20
19,85
0,15
0,0225
1
267
26,58
- 0,58
0,3364
2
33
33,31
- 0,31
0,0961
3
41
40,04
0,96
0,9216
4
47
46,77
0,23
0,0529
5
53
53,50
- 0,50
0,2500
1,6795
64
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
La varianza residual vale: σ e2 =
SOLUCIONARIO
1,6795
= 0,2799
6
El coeficiente de determinación vale R 2 = 1 −
El coeficiente de correlación es r =
0,2799
= 0,9979
11,53 2
0,9979 = 0,9989 .
c) Estimamos el número de gérmenes a las 6 horas:
yˆ (6) = 6,73 · 6 + 19,85 = 60,26
Al cabo de 6 horas habrá uno 60 miles de gérmenes por centímetro cúbico. Esta estimación tiene una gran
probabilidad de ser válida ya que el coeficiente de determinación es muy alto.
65
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
30. Las ecuaciones que siguen representan las rectas de regresión lineal de una distribución estadística
bidimensional.
2x + y + 1 = 0
5x + 3y + 4 = 0
Halla los coeficientes de determinación y correlación entre las correspondientes variables
unidimensionales.
De las rectas de regresión no podemos asegurar cuál es la de regresión de Y sobre X y cuál la de X sobre Y.
Supongamos que la primera de ellas es la de regresión de Y sobre X, se tiene:
y= - 2x – 1
y su coeficiente de regresión es m = - 2.
La segunda corresponderá a la de regresión de X sobre Y, se tiene:
x=−
y su coeficiente de regresión es m ´ = −
3
4
y−
5
5
3
.
5
Con los datos anteriores se obtiene el coeficiente de determinación es:
 3 6
R 2 = m · m ´ = (− 2 ) ·  −  = > 1
 5 5
lo cual carece de sentido.
En consecuencia, es necesario elegir las rectas de la otra forma posible.
La recta de regresión de Y sobre X es 5x + 3y + 4 = 0, se tiene:
66
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
y=−
y su coeficiente de regresión es m = −
SOLUCIONARIO
4
5
y−
3
3
5
.
3
La recta de regresión de X sobre Y es 2x + y + 1 = 0, se tiene:
x=−
y su coeficiente de regresión es m ´ = −
1
1
y−
2
2
1
.
2
El sigo negativo de m y m ´ nos indica que la dependencia lineal entre las variables es de tipo inverso, y el
coeficiente de determinación es:
5
 3
R 2 = m · m ´ =  −  · = = 0,83
6
 5
Como el coeficiente de correlación es r = ±
coeficiente vale:
R 2 y estamos ante una dependencia de tipo inverso, este
r = − 0,83 = − 0,91 .
67
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 12: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
SOLUCIONARIO
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN de la página 299
Trabajos relacionados con la estadística
A continuación se describen con brevedad algunos trabajos que pueden ser abordados desde la
estadística.
1. La estadística en los medios de comunicación. Estudio crítico
Describe los errores que habitualmente se cometen en estadística y como se utilizan para manipular la
información. Las situaciones descritas, ilústralas con ejemplos actuales, sacados de los medios de
comunicación.
2. El precio de la cesta de la compra. El IPC en tu lugar de residencia
Conoce el Índice de precios al consumo (IPC). Diseña una aproximación al IPC para la alimentación
en tu lugar de residencia. Obtén los datos a lo largo de varios meses y compáralos con los obtenidos en
las estadísticas oficiales.
3. ¿Influye el mes de nacimiento en el rendimiento escolar?
Investiga esta situación en tu centro de enseñanza y compara los resultados obtenidos con datos
nacionales o europeos, si existen. Investiga como tratan este posible problema los distintos sistemas
educativos.
4. Las redes sociales y los jóvenes
Estudia la influencia de las redes sociales en los jóvenes: costumbres en el uso de Internet, redes
sociales y opinión de los alumnos sobre las redes sociales
5. Estudio de la ley de Benford
Describe la ley de Benford: historia, definición, aplicaciones. Busca conjuntos numéricos que sigan la
ley de Benford: estadísticas en ciertos deportes, números extraídos de periódicos o revistas,
indicadores bursátiles y censos de población.
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