pendulo simple

Grupo. “ L “
Univ. Henry Loza Choquetarqui
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad de Ingeniería
Curso Básico
Laboratorio de Física Básica I
FIS-100L
2/2014
INFORME Nº 9
“Pendulo simple”
Docente:
Auxiliar:
Ing. Roberto Parra Zeballos
Univ. Alex Gustavo GutierrezCoquendo
Estudiante:
Univ. Henry German Loza Choquetarqui
Carrera:
Ingeniería Petrolera
Grupo:
Fecha de Entrega:
“L”
27 de noviembre , 2014
La Paz-Bolivia
-1-
Grupo. “ L “
Univ. Henry Loza Choquetarqui
LAB. FISICA I
U.M.S.A
Facultad de Ingeniería
INFORME N° 8
PENDULO SIMPLE
I.
OBJETIVOS.-
Determinar experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad y determinar la
ecuación empírica de la oscilación del péndulo.
II.
FUNDAMENTO TEORICO.-
El péndulo simple consiste en una masa de dimensiones pequeñas suspendido de un hilo
inextensible carente de peso. Cuando La masa es apartada de su posición de equilibrio y
luego abandona, el péndulo oscila alrededor de esta posición en un plano vertical con
movimiento que a la vez es periódico.
El péndulo oscila con un periodo “T” que viene a ser el tiempo empleado en efectuar una
oscilación completa.
Se define la frecuencia “f” como el número de oscilaciones en una unidad de tiempo, por lo
tanto la frecuencia es la inversa del periodo.
1
f 
(1)
T
P
Para iniciar el análisis elegiremos dos ejes, uno en
dirección tangente a la trayectoria y el otro en dirección
radial. En el plano así formado se representaran todas las

fuerzas que actúan sobre la masa del péndulo en el
instante que es apartado de su posición de equilibrio de
un pequeño ángulo “  ”.
L
T
Si descomponemos el peso en la dirección del eje
tangente a la trayectoria tenemos:
Wy
Wx

Wx  mgSin
(2)
Por lo tanto el ángulo en muy pequeño:
W
Fig. 1
La fuerza recuperadora será:
Sin  
F  Wx  F  mg
(3)
(4)
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El signo negativo indica que esta fuerza tiende a regresar al péndulo a su posición inicial.
Como el ángulo “  ” es muy pequeño, se asume que el arco que describe la masa al oscilar
es aproximadamente un desplazamiento lineal:
X  L
Por lo tanto tenemos:
F 
mgx
L
Donde se puede observar que la Fuerza recuperadora”F” para pequeños desplazamientos es
directamente proporcional a la elongación “x”.
F  Kx
mg
, la denominada constante recuperadora del péndulo.
L
La condición necesaria para que el movimiento de un cuerpo sea catalogado como
moviendo armónico simple (M. A. S.) es que se halle sometiendo a una fuerza recuperadora
que sea directamente proporcional a la elongación y de sentido opuesto. En nuestro caso el
moviendo analizado cumple con estas condiciones.
Siendo que K 
Si Aplicamos la segunda Ley de Newton a la masa del péndulo tenemos.
 mg  ma
(8)
a  L
(9)
d 2
dt 2
(10)
a
Remplazando en la ecuación (8)
d 2 g
  0
dt 2 L
(11)
Se obtiene la ecuación característica del movimiento armónico Simple.
El segundo de la ecuación representa la frecuencia angular “w” elevada al cuadrado, es
decir.
d 2
  2  0
2
dt
Como:
2 

(12)
g
L
2
T
(13)
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L
g
(14)
4 2 L
T2
(15)
T  2
g
La ecuación (15) nos permite determinar la aceleración de la gravedad local previamente
conocidos el periodo y la longitud del péndulo.
Como es posible experimental con el péndulo simple, que no es nada mas que un modelo
ideal y como el desarrollo
a) Máximo ángulo de separación (  ):
Antes de iniciar la practica es necesario determinar cuan pequeño puede ser considerado el
ángulo se separación.
Si la amplitud de oscilación no es pequeña. El periodo del péndulo esta en función del
ángulo de separación según la siguiente expresión:
T  2
L
1  14 sin 2     9 sin 2     ................)
g
 2  64
2
(16)
Si depreciamos los términos de potencia superiores por ser valores muy pequeños y
consideremos únicamente los dos primeros términos, tenemos:
T  2
L 1
 
1  4 sin 2   
g
 2 
(17)
Si se desarrolla la serie sin 2 2  y se desprecian los términos superiores:
T  2
2
L
1    ................)
g
16
(18)
Despejando de la ecuación (18) la aceleración de la gravedad además desprecian los
términos superiores se tiene.
g1 
4 2 L   2 
1 

8 
T 2 
(19)
Además:
g
4 2 L
T2
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El error cometido en la determinación de la Aceleración de la gravedad por la influencia del
ángulo de separación será:
g  g1  g  g
2
8
g  2

g
8
(20)
Para que este error relativo sea despreciable es necesario el valor 8 sea muy pequeño
comparado con el error relativo prefijado para la determinación de la aceleración de la
gravedad.
Para cumplir esta condición se sugiere que sea por lo menos la décima parte del error
relativo prefijado.
2
2
8

Er g
(21)
10
Con la ecuación (21) podemos calcular el máximo valor que puede adoptar el ángulo de
reparación en radianes:
b) Máximo radio de la esfera:
Como el péndulo que se utiliza en el experimento es en realidad un péndulo real, su
movimiento también puede ser analizado mediante la dinámica del cuerpo rígido.
P
El periodo de oscilación del péndulo físico, es decir el
péndulo real esta dado por:

IP
(22)
mgL
I P  Momento de inercia respecto al eje de suspensión
“p”.
T  2
L
Según el teorema de Steiner.
R
R
R
I P  I O  mL2
(23)
I o  Momento de inercia respecto al eje que pasa por el
centro de gravedad de la esfera.
Fig. 2
Io 
2
mR 2
5
(24)
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Remplazando en la ecuación (22) se tiene:
 2 R2

L  2  1
5 L

T  2
g
(25)
Despejando la aceleración de la gravedad:
 2 R2

4 2   2  1
5 L

g2 
T2
(26)
El error que se comete en la medida de la aceleración de la gravedad al considerar se la
masa de la esfera como la masa puntual será:
 2 R2 
g  g 2  g  g   2 
5 L 
g  2 R 2 

 
g  5 L2 
(27)
 2 R 2  Er g
  2  
 5 L  10
(28)
Utilizando la igualdad se puede calcular el radio máximo que debería tener la esfera para
que el péndulo en estudio sea considerado péndulo simple:
c) Medidas del periodo:
Para no sobre pasar el error relativo prefijado en la determinación de la aceleración de la
gravedad, se deben efectuar un numero mínimo se oscilaciones para la medida del periodo.
El valor medido del periodo se lo puede expresar como:
T  T  T
Donde:
T  El valor mas probable del periodo
T  Error del periodo
T 
tn
n
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También en este caso:
e
n
n  Numero de oscilaciones.
e  Error del cronometrista (e = 0.2 segundos)
T 
Donde:
El error relativo del periodo será.
E rT 
T
e

T
Tn
Despejando el número de oscilaciones:
n
III.
e
E rT T
(29)
Metodologia Experimental.-
En este laboratorio péndulo simple mi grupo trabajo con todos los datos exactos para que
asi al finalizar nuestros datos coinsidieran con la teoría mencionada
IV.
PROCEDIMIENTO.-
A) Determinación de la aceleración de la gravedad:
a) El Docente asignara el error porcentual prefijado para la determinación de la
aceleración de la gravedad.
b) Medir el diámetro de la esfera y la longitud del hilo (aproximadamente 90[cm.]
del eje suspensión “p” al centro de gravedad de la esfera).
c) Utilizando la ecuación (21), calcular la amplitud máxima “  ” y le
desplazamiento lineal”x”.
X  L
d) Mediante la ecuación (28) determinar el radio máximo y compararlo con el radio
de la esfera para verificar si el péndulo en estudio puede ser considerado
péndulo simple.
e) Empleando la ecuación (15), realizar el proceso inverso de la propagación
inversa de errores y determinar el error relativo que se debe cometer en la
medida del periodo.
f) Para 10 oscilaciones medir el periodo aproximado “T”, repetir el procedimiento
tres veces y sacar el promedio.
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T
t10
10
g) Con la ecuación (29), calcular el valor de “n”.
h) Medir el tiempo para las “n” oscilaciones cinco veces, sacar el promedio y
determinar el periodo y su correspondiente error
B) Ecuación empírica del periodo:
a) Considerando el numero “n” de oscilaciones determinado, medir el período de
oscilaciones para diferentes longitudes del hilo.
b) Construir una tabla de los valores de:
T L
V.
Tratamiento de Datos.-
A) Determinación de la aceleración de la gravedad:
Con los valores obtenidos calcular la aceleración de la gravedad utilizando las ecuaciones
(15), (19) y (26).
DETERMINACION DE LA AMPLITUD MAXIMA Y DEL NUMERO DE OSILACIONES
Error relativo de la gravedad (asignado)
Amplitud angular Maxima =1.8
Longitud del Pendulo
L1
L(cm)
=0.01
L2
89,9
L3
90,1
L4
90,1
L5
90,5
90,1
90,1
SL=0.14
=0.174
=1.93*
t10(segundos)
18,9
t
1,89
n(calculado)
33
DETERMINACION DE LA ACELERACION DE LA GRAVEDAD
Masa del péndulo: m=45.2g
Diametro de la esfera D=2.22cm
= 965.51
=1.28
tn1(s)
tn2(s)
tn3(s)
tn4(s)
tn5(s)
tn(s)
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63,22
L(cm)
tn(s)
63,27
90
63,3
g
4 2 L
T2

g
63,01
80
60,34
4 2 90cm
1.89s 2
70
55,63

63,5
60
51,92
63,72
63,34
50
48,62
40
45,85
g  995.77cm / s 2
VALIDACION DE LA ECUACION DEL PENDULO
a) Construir la grafica T versus L , ajustar la recta por el metido de mínimos
cuadrados y obtener la pendiente “B”.
1
T  B  L2
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Si linealizamos la anterior ecuación:
Y  LogC  n  Logx
Yi  A  Bx i
;
Donde: n = pendiente de la recta
Ci = intersección con la ordenada
A = LogC = 30.96
n=B= 0.359
La ecuación final es: y = 30.96+0.359 xi
VI.
CUESTIONARIO.1. Un alumno que ha realizado la practica del péndulo simple escribe el
siguiente párrafo es su cuaderno de laboratorio “El objetivo fundamental de
la practica del péndulo simple es observar como varia el valor de la gravedad
en el laboratorio .Para ello se construyen diversos péndulos todos ellos con
la misma masa y diversas longitudes ¿Son correctas las dos afirmaciones?
R.-no es correcto xq con cualquier massa y diversas longitudes el valor de la gravedad
no varia
2.-Aldeterminar “g” con un péndulo simple observamos que podemos actuarsobre dos
parámetros : lalogitud del hilo y l amasa que depende de el ¿Cómo afectanal teriodo de
osilacion del penduloestos dos parámetros?
R.- afectan mucho por que no es lo mismop hascer osilar una esfera de masa m con una
longitud L que hacerlo osilar a una longitud L1.
3.-Para un péndulo en osilacion señale los puntos en los cuales la velocidad Aceleracion
y tencion en la cuerda alcanzan valores máximos Expleque mediante un dibujo

L
4.-Con referencia a la pregunta anterior y con los datos del experimento calcule dichos
valores máximos
R.-978cm/s2
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5.-¿Por qué no es conveniente medir directamente el periodo midiendo el tiempo de una
osilacion en vez de medirel tiempo de 10 osilaciones
R.- por la variación de la velocidad en cierto tiempo a causa de la gravedad
6.-Para un péndulo en osilacion bosqueje los graficos de c vs t vs t y a vs t
7.-Calculese el periodo de un péndulo con L=1.000m a nivel del mar en l a paz y en la luna
R.- por internet El periodo en la luna es T=0.56 para 10 osilaciones
8.-El peridodo de un péndulo simple de longidud L es T se esta longitud se reduce a la
midad El nuevo periodo T se habrá reducido también a la mitad ¿Aumentara al doble ¿
Explique su respuesta.
R.-reduce por ma mitad y un poco mas demostrado con los datos de el experimento
9.-Dos péndulos tienen distancia longitud la de uno es doble que la del otro ¿Qué relación
existe entre sus peridos de osilacion
R.-mucho depende de la masa si mes a la misma masa el de la distancia corta su periodo
será mas corto y el de la mas larga será moyor a la de la otra.
10.-Dos esferas A y B de iguales masas cuelgan de hilos de longitud La=Lb e inician su
movimiento en las posiciones que muestra la figura si oa=2ob ¿El periodo de A será el
doble que el de B ¿ el triple ¿ la mitad Justifique su res`puesta.
R.-sera el doble por que el tiempo de A será el doble que el de B y por esa razón será el
doble
VII.
CONCLUSIONES.-
En conclusiones se podría decir que hay varias formas de medir la magnitud de
aceleración de la gravedad en esta oportunidad usamos un péndulo simple para medir
aceleración de la gravedad que no fueron nuestros resultados tan exactos ya que en
mismo experimento se presentan varios tipos de error y esos errores no dejaron sacar
valor requerido.
la
la
el
el
Y se pudo observa el Movimiento Armónico Simple en el péndulo simple y a su vez se
pudo estudiar al péndulo y sus características se pudo determinar la ecuación experimental
del péndulo simple. Mediante este experimento se pudo determinar la aceleración de la
gravedad de diferentes formas con las ecuaciones que planteamos anteriormente el la
practica.
- 11 -